ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ
С. Э. X А Й К И Н
ФИЗИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
ьысшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 197J

530.1
X 15
УДК 530.1 @75. 8)
Физические основы механики. X а й к и н С. Э. Издание
второе, исправленное и дополненное Учебное пособие. Главная
редакция физико-математической литературы изд-ва «Нау-
«Наука», 1971.
В книге, наряду с обычно рассматриваемыми вопросами
механики, особое внимание уделено движению заряженных
частиц в электрическом и магнитном полях. Это позволяет
не только расширить круг физических явлений, которые при-
привлекаются для иллюстрации задач механики, но также позво-
позволяет органически ввести в механику изложение основ специ-
специальной теории относительности. Такое построение книги
является педагогически целесообразным новшеством. По срав-
сравнению с первым изданием, вышедшим в 1962 г., в книгу вне-
внесены отдельные уточнения и небольшие дополнения.
Книга рассчитана на студентов физико-математических фа-
кулыетов университетов, а также инженерно-физических и физи-
физико-технических факультетов втузов. Будет полезна преподава-
преподавателям физики в вузах и широким кругам физиков различ-
различных специальностей.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакции 6
Предисловие 7
Глава 1. Введение 11
§ 1. Задачи механики A1). §2. Измерение физических величин A5), §3. Сис-
Системы единиц A8). § 4. Размерность физических величии B2). § 5. Физические
законы и размерности величин B5). § 6. Правило размерностей B7).
Глава II. Кинематика 31
§7. Пространственно-временные системы отсчета C1). § 8. Элементарное пере-
перемещение точки C7). § 9. Скорость D0). § 10. Ускорение D1). § 1Ь Угловая
скорость н угловое ускорение D6). § 12 Перемещения твердого тела D9).
§ 13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси E1), § 14. Векторы
угловой скорости и углового ускорения E3). § 15. Некоторые случаи «сложного
движения» твердого тела E6).
Глава III. Законы Ньютона 64
§ 16. Выбор системы отсчета F4). §17. Силы. Первый закон Ньютона F8).
§ 18. Измерение сил G2). §.19. Сила Лореитца G7). § 20. Связь между силой
и ускорением (83). § 21 Связь между силой и ускорением прн больших ско-
скоростях (91). § 22. Масса. Импульс (93). § 23. Второй закон НьюТона (95).
§ 24. Второй закон Ньютона при больших скоростях A00). § 25. Третий закон
Ньютона A04). § 26. Закон сохранения импульса A07). § 27, Инерциальные
системы отсчета A11).
Глава IV. Работа и энергия 122
§ 28. Работа силы A22). § 29. Потенциальная энергия A29). ^ 30. Кинетическая
энергия A36). § 31 Энергия и масса. Закон сохранения энергии A39). § 32. Абсо*
лютно неупругий удар A45). § 33 Абсолютно упругий удар A52). § 34 Передача
работы A58).
Глава V. Движения под действием упругих сил 162
§35. Возникновение деформаций A62). §36, Деформации при вращательном
движении A64). § 37. Колебания прн возникновении силы A67)» § 3&- Упругие
силы и деформации A69)» § 39. Абсолютно жесткие связи A71).
Глава VI. Движения под действием сил тяготения 17S
§ 40. Земное тяготение A75). § 41. Взвешивание тел A76). § 42. Силы тяго-
тяготения и деформации A82). § 43, Состояние невесомости A87).
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII. Движения в присутствии сил трения 192
§ 4 4. Силы трения A92). § 45. Сухое и жидкое треийе A95). § 46. Зависимость
силы жидкого трения от скорости A96). § 47. Падение тел в вязкой среде A97).
§ 48. Парашютный прыжок A98). § 49. Трение покоя A98). § 50. Трение сколь-
скольжения B00). § 51. Роль сухого трения B01). § 52. Явление застоя B02).
Глава VIII. Движение электрически заряженных частиц в электрическом
и магнитном полях ¦ . . . 206
§ 53. Движения в электрическом поле B06). § 54. Линейные ускорители B09).
§ 55. Движения в магнитных полях B12). § 56. Циклические ускорители B17).
Глава IX. Механика специальной теории относительности 224
§ 57. Принцип относительности Галилея B24). § 58. Принцип относительности
Галилея и законы сохранения B33). § 50. Принцип относительности Галилея
и быстрые движения B35). § 60. Роль скорости света B41). § 61. Сокращение
размеров тел при движении B47). § 62. Замедление хода движущихся часов
B59). § 63. Преобразования Лорентца. Интервал B74). § 64. Кинематика
теории относительности B82). § 65. Силы в механике теории относительности
B88). § 66. Инвариантность законов механики B93).
Глава X. Момент импульса 297
§67. Момент силы и момент импульса B97). § 68. Уравнение моментов B99).
§69. Математический маятник C03). § 70 Закон сохранения момента импульса
для системы материальных точек C05). § 71. Закон сохранения момента им-
импульса и закон сохранения энергии C08). § 72. Уравнение моментов для частиц
в циклическом ускорителе C10).
Глава XI. Всемирное тяготение 313
§ 73. Закон всемирного тяготения C13). §74. Гравитационная постоянная C16).
§ 75. Движения в поле тяготения C19). § 76. Искусственные спутники и планеты
C28)
Глава XII. Силы инерции 332
§ 77. Два класса систем отсчета C32). §78 Расчет сил инерции C41). § 79 Уско-
Ускорения в инерциальных и неинерциальных системах отсчета C43). § 80 Вторич-
Вторичные системы отсчета C52). § 81. Силы инерции в системах отсчета, движущихся
поступательно(ЗСО). § 82 Силы инерции во вращающихся системах отсчетаC64).
$ 83. Движения на поверхности Земли C75). § 84. Неинерциальные системы
отсчета и законы сохранения C79). § 85. Силы ннернни и общий принцип
относительности C81). § 86. Приливы C92).
Глава ХН1. Механика твердого тела 393
§ 87. Твердое тело как система материальных точек C98). § 88 Движение
центра тяжести твердого тела D00). § 89. Движение тела, закретенного
на оси. Момент ниерции D03). § 90 Физический маятник D07). § 91. Измерение
сил& тяжести D09). § 92. Уравнения движения твердого тела Равновесие
твердого тела D12). § 93 Рычажные весы D16) § 94. Плоское движение твердого
тела D17). § 95 Закон сохранения момента импульса для системы тел D21).
§ 96 Удар твердых тел D24) § 97. Качение тел D28). § 98 Самодвижущиеся
экипажи D32) § 99 Свободные оси D35). § 100. Изменение направления момента
импульса D39) § 101. Движение тела, закрепленного в одной точке D46).
§ 102 Действие внешних сил на быстро вращающееся тело D47). § 103 Гиро-
Гироскопы D50). § 104 Применения гироскопов D56).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Глава XIV. Механика упругих тел 460
§ 105. Сплошные тела D60), § 106. Типы деформаций D61). § 107. Упругие
тела D65). § 108. Упругие напряжения D68). § 109. Напряжения в точке D71).
§ 110. Изотропные и анизотропные тела D75). §111. Энергия упругой деформации
D76). § 112. Устойчивость упругого равновесия D80). § 113. Распространение
импульса в упругом теле D82). § 114. Течение энергии в упругом теле D92).
Глава XV. Гидростатика и аэростатика 497
§ 115. Общие свойства жидкостей и газов D97). § 116. Давление в жидкости
и газе E00). § 117. Сжимаемость жидкостей и газов E02). § 118. Распределение
давлений в покоящихся жидкости и газе E04). § 119, Подъемная сила. Плавание
тел E07). § 120. Изменение давления с высотой. Барометрическая формула E11).
§ 121. Жидкость в движущихся сосудах E14). § 122. Поверхностные явления
E17).
Глава XVI. Гидродинамика и аэродинамика 520
§ 123. Стационарный поток жидкости. Закон Бернулли E20).§ 124. Законы
сохранения импульса и момента импульса. Реактивное движение E29). § 125.
Роль вязкости E34). § 126. Движение тел в жидкости или газе E40). § 127.
Обтекание цилиндра E45). § 128. Сопротивление давления и сопротив-
сопротивление трения E49). § 129. Возникновение вихрей E51). § 130. Обтекание крыла
самолета E54). § 131. Подъемная сила и лобовое сопротивление E56). § 132.
Эффект Магиуса. Циркуляция E61). § 133. Летательные аппараты E66). § 134.
Распространение импульса сжатия в газе E78).
Глава XVII. Колебания систем с одной степенью свободы 587
$ 135. Колебательные движения E87). § 136. Гармонические колебания E88).
§ 137. Собственные колебания E94). § 138. Собственные колебания при большом
трении F00). § 139. Автоколебания F02). § 140. Вынужденные колебания F04).
§ 141. Резонанс F11). § 142. Негармоническое внешнее воздействие. Вынужден-
Вынужденные колебания в апериодических системах F16). § 143. Непериодическое внешнее
воздействие F22).
Глава XVIII. Собственные колебания систем со многими степенями
свободы 628
§ 144. Колебания систем с двумя степенями свободы F28). § 145,, Колебания
связанных систем F31). § 146. Неодинаковые парциальные системы. Резонанс
в связанных системах F38). § 147. Колебания замкнутых систем F43). § 148. Ко-
Колебания в сплошных телах F50). § 149. Нормальные колебания упругого
стержня F58). § 150. Нормальные колебания струны F70. § 151, Поляризация
поперечных колебаний F72). $ 152. Параметрическое возбуждение колеба-
колебаний F74).
Глава XIX. Волны 676
§ 153. бегущие волны F76). § 154. Стоячие волны F82). § 155. Колебания
сплошных систем как наложение бегущих и стоячих волн F88). § 156. Сплошные
и дискретные колебательные системы F93). § 157. Волны в сплошной среде
G04). э 158. Волны на поверхности жидкости G07). § 159, Интерференция
воли G09). § 160. Принцип Гюйгенса G13). § 161. Дифракция волн G16).
§ 162. Гармонические н негармонические волны G18).
Глава XX. Акустика 721
§ 163. Звуковые волны G21). § 164. Звуковые волны большой амплитуды G27)
§ 165. Распространение звука в атмосфере G29). § 166. Бинауральный эффект.
Эффект Допплера G31). § 167. Звуковые волиы в грубах G32). § 168. Акусти-
Акустические резонаторы G35). § 169. Источники звука G38). § 170. Ультразвуки G43).
Предметный указатель 747

ОТ РЕДАКЦИИ
Эта книга — первое посмертное издание учебника физической механики профессора
Семена Эммануиловича Хайкина.
Над учебником механики Семен Эммануилозич работал более тридцати лет.
Первая книга, «Механика», вышла в 1940 г. и была переиздана с дополнениями двумя
тиражами — в 1947 и 1948 гг. После этого С. Э. Хайкин существенно расширил свой
курс, положив в его основу новые методические идеи, и переработанная книга вышла
в 1962 г. под названием «Физические основы механики». Дополнительный тираж этой
книги вышел в 1963 г.
Подготовкой данного издания С. Э. занимался последний год своей жизни, но не
успел ее закончить. Тем не менее оставленные им материалы весьма подробны и не
оставляют сомнений в его намерениях. Это позволило внести в новое издание «Физиче-
«Физических основ механики» С. Э. Хайкина ряд изменений, дополнений и поправок в полном
соответствии с замыслами и стилем автора. В тех немногих случаях, когда, вследствие
краткости некоторых заметок, не было уверенности в точности такого соответствия,
— исправления не вносились.
Работая над этой книгой, С. Э. говорил, что если бы не чересчур резкая нетради-
нетрадиционность словосочетания, книгу следовало бы назвать «Механические основы физики».
Действительно, такое название правильно отражало бы методические идеи и нововведе-
нововведения, подробно и убедительно обоснованные С. Э. Хайкиным в предисловии к прижиз-
прижизненному изданию «Физических основ механики» и осуществленные им в этой книге.
Здесь следует прежде всего отметить 'физическое изложение основ механики специаль-
специальной теории относительности и расширение границ курса механики, включающего
рассмотрение движения под действием электродинамических сил.
Рукопись нового издания книги С. Э. Хайкина «Физические основы механики»
подготовлена к печати М, С. Хайкиным.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге круг рассматриваемых вопросов значительно рас-
расширен по сравнению с тем, которым обычно ограничиваются в меха-
механике; прежде всего, в книгу включены вопросы о движении электри-
электрически заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, т. е.
под действием силы Лорентца. Сделано это по следующим соображе-
соображениям.
В книге, посвященной физическим основам механики, т. е. рас-
рассматривающей механику как раздел физики, должны быть изложены
вопросы о механическом движении тел, независимо от того, в каком
из разделов физики эти вопросы возникают. Вопросы механического
движения, возникающие в различных разделах физики, нет никаких
оснований относить не к механике, а к этим разделам физики, если
эти вопросы таковы, что по своему существу они могут быть рас-
рассмотрены в рамках механики, т. е. для их решения не требуется при-
применять никаких других законов, кроме законов механики. Эти законы
позволяют определить движение тел, если известны действующие
на тела силы. Происхождение этих сил, механизм их возникновения,
для определения движения тел не имеет значения. Необходимо лишь
располагать независимым (% е. не опирающимся на самые законы
движения) способом измерения сил, обеспечивающим возможность
измерить или рассчитать силы, действующие в каждом конкретном
случае. Тогда, пользуясь законами Ньютона (или следствиями из
них), можно найти движение тела, т. е. решить задачу механики.
Вопрос же о происхождении сил выходит за рамки механики и
в механике вообще не рассматривается. Поэтому принципиально
неправильно разделять задачи о движении тел на «механику» и «неме-
«немеханику» с точки зрения происхождения сил, вызывающих движение.
Ведь нет никаких признаков, по которым упругие силы, силы трения
и силы всемирного тяготения можно относить к механике, а силу
Лорентца — к «немеханике», поскольку, например, в возникновении
упругих сил существенную роль играют силы взаимодействия между
электрическими зарядами ионов кристаллической решетки. Поэтому
такое разделение было бы совершенно условным и с точки зрения сов-
современных физических представлений не оправданным.
Словом, традиционное разделение задач о движении тел на «меха-
«механику» и «немеханику», основанное на существовавшем когда-то и

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
безнадежно устаревшем разделении сил на «механические» и «немеха-
«немеханические», потеряло в свете современных физических представлений
всякий смысл. Это разделение, искусственно ограничивая предмет
механики, препятствует такому изложению механики как раздела
физики, которое правильно отражало бы развитие всей физики в целом.
Исключение из механики задач о движении электрически заря-
заряженных частиц приводит к тому, что из механики выпадают все вопросы
о движениях со скоростями, не малыми по сравнению со скоростью
света; между тем именно с такими движениями приходится сталки-
сталкиваться при рассмотрении многих вопросов в других разделах физики.
Вместе с тем исключение из механики задач о движении со скоростями,
сравнимыми со скоростью света, лишает конкретного содержания
механику теории относительности. Вследствие этого приходится либо
излагать механику как раздел физики, вовсе игнорируя теорию отно-
относительности (т. е. на уровне начала нашего века), либо излагать меха-
механику теории относительности совершенно формально, не опираясь на
результаты экспериментов. Включив же в механику движения элект-
электрически заряженных частиц, мы устраняем не только ничем не оправ-
оправданное ограничение рамок механики, но и указанные методические
трудности, которые порождаются этим совершенно искусственным
ограничением.
Рассмотрение в механике задач о быстрых движениях электри-
электрически заряженных частиц позволяет установить экспериментальный
факт — зависимость массы от скорости и изложить механику быстрых
движений, учитывая эту зависимость, но не пользуясь преобразова-
преобразованиями Лорентца — Эйнштейна.
Такое изложение механики движений со скоростями, сравнимыми
со скоростью света, хотя и не отражает истории возникновения и
развития специальной теории относительности, Ьо в методическом
отношении является вполне оправданным, так как оно больше спо-
способствует правильному пониманию содержания теории относитель-
относительности и ее связи с опытом, чем изложение истории развития этой
теории, происходившего при почти полном отсутствии эксперимен-
экспериментальных фактов, на которые теория могла бы опереться.
Конечно, изложение вопросов о движении электрически заря-
заряженных частиц, а тем более механики теории относительности свя-
связано с преодолением известных методических трудностей. Однако
это — трудности естественные, обусловленные существом дела, и
если не в разделе механики, то в разделе, посвященном электромаг-
электромагнитным явлениям, или в оптике эти трудности все равно преодолевать
придется. Но эти трудности вполне преодолимы и в механике, по-
поскольку элементарный курс физики дает знания, необходимые для
того, чтобы ввести представление о силе Лорентца. Словом, включе-
включение в раздел механики задач о движении электрически заряженных
частиц (в том числе и движущихся с большими скоростями) не создает
никаких искусственных методических трудностей, а именно исключе-

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
ние этих задач из механики такие трудности создавало. Поэтому
включение в раздел механики задач о движении заряженных частиц
является оправданным не только с физической, но и с методической
точки зрения.
Нарушая традиционную границу механики, необходимо наметить
новую границу, притом не искусственную, как нарушенная, а воз-
возможно более естественную. Естественно включить в механику все те
вопросы о движении тел, для решения которых требуется применение
только законов механики (конкретно — законов Ньютона и следствий,
из них вытекающих), и исключить из механики все те вопросы, для
решения которых недостаточно законов механики и требуется приме-
применение еще каких-либо других законов, например законов электроди-
электродинамики или термодинамики. В соответствии с этим в механику должны
быть включены движения электрически заряженных частиц, в том
числе и с большими скоростями, но не должны рассматриваться дви-
движения заряженных частиц с большими ускорениями, поскольку в этом
случае необходимо применять законы электродинамики для того,
чтобы определять силы, действующие на частицы со стороны излучае-
излучаемого ими поля. Так мы поступаем, например, исключая из механики
газодинамику, поскольку для рассмотрения движений со скоростями,
сравнимыми со скоростью звука в газе, необходимо учитывать изме-
изменение состояния газа с изменением его температуры, вызванным этими
движениями, т. е. применять законы термодинамики.
Помимо движений электрически заряженных частиц в электри-
электрическом и магнитном полях в настоящую книгу включены многие
вопросы механики, которые возникают в других разделах физики
и в механике обычно не рассматриваются. Изложение этих вопросов
в физических основах механики целесообразно потому, что здесь они
могут быть систематически изложены в связи с основным излагаемым
материалом; в других же разделах физики эти вопросы возникают
изолированно и поэтому требуют возвращения к физическим основам
механики, отвлекая от изложения существа дела.
Например, при рассмотрении вопросов теплоемкости приходится
пользоваться представлениями о колебаниях атомов и молекул.
Конечно, целесообразно нужные представления ввести заранее при
рассмотрении вопросов колебаний в физических основах механики.
Точно так же целесообразно при изложении физических основ
механики рассмотреть вопрос о переходе от микроскопически дис-
дискретных тел к сплошным, а затем к макроскопически дискретным
(этот вопрос в той или иной форме возникает во всех разделах фи-
физики).
Словом, для того чтобы изложение физических основ механики
соответствовало современному уровню развития физики, это изло-
изложение должно охватывать гораздо более широкий круг вопросов,
чем тот, который обычно излагался в разделе механики общего курса
физики и, в частности, в моей книге «Механика», вышедшей последний

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
раз (вторым изданием) в 1947 г.1). Поэтому, конечно, и объем настоящей
книги значительно превосходит тот объем, который занимает раздел
механики даже в наиболее полных курсах физики. Однако перенос
в раздел механики ряда вопросов, которые было принято излагать
в других разделах общего курса физики, не вызывает, конечно, уве-
увеличения объема всего курса в целом, так как ведет лишь к перераспре-
перераспределению материала между отдельными разделами курса.
Приведенные соображения позволяют утверждать, что такое пере-
перераспределение материала оправдано не только с физической, но и
с методической точки зрения и, следовательно, никак не должно затруд-
затруднить, а, наоборот, должно облегчить изучение общего курса физики.
Все же объем настоящей книги очень велик; чтобы облегчить ее
чтение, можно (по крайней мере при первом чтении) пропустить пара-
параграфы или части параграфов, содержащие либо частные примеры,
которые иллюстрируют приведенные ранее общие положения, либо
специальные вопросы, которые вообще нельзя считать обязательными
при изучении физических основ механики. Весь такой материал,
который к тому же может быть пропущен без нарушения после-
последовательности изложения, напечатан мелким шрифтом.
Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность
академику Н. Н. Андрееву и профессору М, С. Рабиновичу, которые
прочитали рукопись настоящей книги и сделали ряд ценных замечаний,
а также доктору физ.-мат. наук М. А. Исаковичу и профессору
С. П. Стрелкову, советами которых я воспользовался при подготовке
книги.
С. Хайкин
Ленинград
Февраль 1962 г.
х) Часть материала из моей книги «Механика» перенесена в настоящую книгу
без существенных изменений. Остальной материал книги «Механика», использован-
использованный в настоящей книге, подвергся значительной переработке.

ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Задачи механики
Механика — раздел физики, в котором изучается простейшая форма
движения материи — механическое движение, т. е. перемещение одних
тел или частей тела относительно других. Эти движения возникают
в результате действия на данное тело или данную часть тела сил со
стороны других тел или других частей тела. Задача механики состоит
в экспериментальном исследовании различных движений и обобщении
полученных экспериментальных данных в виде законов движения,
на основании которых далее в каждом конкретном случае может быть
предсказан характер возникающего движения. Для этого необходимо
знать не только свойства тел, движение которых рассматривается, но
и характер тех сил, которые действуют в том или ином конкретном
случае. Но вопросы о природе сил, вызывающих механические дви-
движения, выходят за рамки механики. На эти вопросы механика ответить
не в состоянии, они изучаются в других разделах физики — в электро-
электродинамике, молекулярной физике и т. д. Поэтому независимо от при-
природы сил, вызывающих механическое движение, изучение этих движе-
движений должно рассматриваться как задача механики. Наметить границы
механики как раздела физики на основании каких-либо признаков,
касающихся природы сил, вызывающих движение, невозможно; любое
такое разделение всегда оказалось бы более или менее произвольным.
К задачам механики с одинаковым основанием могут быть отне-
отнесены как движения тела под действием упругих сил, сил трения и
сил всемирного тяготения, так и движения электрически заряжен-
заряженного тела под действием сил со стороны других электрически заря-
заряженных тел (неподвижных или движущихся). Однако относить к ме-
механике все задачи о движении электрически заряженных тел невоз-
невозможно, потому что среди этих задач встречаются такие, которые не
могут быть решены путем применения только законов механики, а
требуют применения также законов, лежащих в основе других разде-
разделов физики, в частности электродинамики.
При движении электрически заряженных частиц в известных
случаях возникает электромагнитное излучение и создается электро-

12 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Т
магнитное поле, которое действует на породивший его заряд с опре-
определенной силой. Процесс электромагнитного излучения и характер
излучаемого электромагнитного поля определяются законами элек-
электродинамики. Пользуясь законами механики и электродинамики,
можно рассмотреть движение заряженного тела при наличии электро-
электромагнитного излучения.
Однако если бы такие задачи мы включили в механику, то для
их решения пришлось бы привлекать электродинамику *). Поэтому
естественно именно в этом месте провести границу между механикой
и электродинамикой, т. е. включить в механику те задачи о движении
электрически заряженных тел, в которых электромагнитное излуче-
излучение движущегося тела не играет существенной роли и им можно пре-
пренебречь. Конечно, при таком пренебрежении решение задачи оказы-
оказывается правильным лишь приближенно, но все же достаточно точным
для ответа на многие (в том числе и практически важные) вопросы.
Приступая к решению задач механики, необходимо прежде всего
рассмотреть методы описания движений. Раздел механики, в котором
рассматриваются только методы описания движений, но не ставятся
вопросы о законах движения, называется кинематикой. Законы дви-
движения и их применение к отдельным конкретным задачам изучает
динамика. Динамика в виде частного случая включает в себя ста-
статику, изучающую условия, при которых тела остаются в покое. В за-
зависимости от свойств тел, движение которых изучается, характера
изучаемых движений и содержания вопросов, на которые должен быть
получен ответ, механика делится на механику точки, механику твердых
(недеформируемых) тел и механику упругих тел (последняя включает
с себя механику жидкостей и газов).
Для того чтобы стало ясно, какой физический смысл содержится
в этом разделении, рассмотрим следующий конкретный пример. Ме-
Металлический диск подвешен горизонтально на цилиндрической пру-
пружине, прикрепленной к центру диска (рис. 1, а). Когда диск совершает
вертикальные колебания, которые возникнут, например, если мы
оттянем диск вниз и сразу отпустим его (рис. 1, б), то период колеба-
колебаний не зависит сколько-нибудь заметно от размеров к формы диска
и определяется упругостью пружины и массой диска Когда диск со-
совершает крутильные колебания вокруг вертикальной оси, которые
возникнут, например, если мы повернем диск вокруг вертикальной
оси на некоторый угол, а затем сразу отпустим его (рис. 1, <з), то опыт
показывает, что период колебаний диска, помимо упругих свойств
пружины, зависит от размеров, формы и массы диска, но не зависит
от его упругих свойств. А если нас интересует вопрос о периоде тех
звуковых колебаний, которые будет совершать диск после удара по
х) К тому же, как будет видно из дальнейшего (§ 24), характер некоторых зако-
законов механики изменился бы, если бы в механику были включены задачи о движении
электрически заряженных тел, сопровождающемся электромагнитным излучением.

1]
ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
13
нему, то мы на опыте сможем убедиться, что период этих колебаний
зависит не только от массы, размеров и формы диска, но и от его упру-
упругости. Таким образом, опыт показывает, что в разных движениях
определяющую роль играют разные свойства реального объекта (ди-
(диска). Период вертикальных колебаний диска зависит (помимо упру-
упругих свойств пружины) от его массы, но не зависит от его размеров и
упругих свойств. Поэтому можно заменить диск материальной точкой,
т. е. телом, не обладающим размерами, но обладающим массой. Заме-
Заменив диск материальной точкой, которая обладает массой диска, мы
правильно отразим то единственное свойство реального объекта, кото-
которое играет определяющую роль в
рассматриваемом движении.
Период крутильных колебаний за-
зависит от массы диска и его разме-
размеров, но не зависит от его упругих
свойств; поэтому, рассматривая диск
как твердое тело, мы сможем пра-
правильно отразить те свойства реаль-
реального диска, которые играют роль в
рассматриваемом движении. Наконец,
период звуковых колебаний зависит
не только от размеров диска, но и от
упругих свойств и плотности материа- Рис 1.
ла, из которого диск сделан. Поэтому
только представление об упругом теле, обладающем размерами, упру-
упругостью и плотностью реального диска, позволяет правильно отразить
его свойства, которые играют роль в рассматриваемом движении.
Как видим, один и тот же объект в зависимости от характера изу-
изучаемого движения рассматривается то как материальная точка, то как
твердое тело, то как упругое тело, и соответственно задача, которую
мы решаем, относится либо к механике точки, либо к механике твер-
твердого тела, либо к механике упругих тел.
Но, рассматривая диск как упругое тело, т. е. учитывая его массу,
форму, размеры и упругость, все же не удается передать все без исклю-
исключения свойства реального диска. Всякий металл обладает внутренним
трением, на преодоление которого затрачивается часть энергии упру-
упругих колебаний, превращающейся в тепло, вследствие чего колебания
постепенно затухают. Однако поскольку внутреннее трение, если оно
мало, практически не влияет на период звуковых колебаний, мы
можем, рассматривая диск как абсолютно упругое (т. е. не обладающее
внутренним трением) тело, правильно определить период звуковых
колебаний г). Но если бы нас интересовал вопрос о том, как быстро
1) Можно пренебречь также и тем затуханием, которое вызвано потерями энер-
энергии в пружине и в окружающем диск воздухе вследствие того, что воздух и пружина
обладают «внутренним трением» (вязкостью).

14 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
затухнут эти колебания, мы не могли бы дать правильного ответа на
этот вопрос, рассматривая диск как абсолютно упругое тело.
Приведенный конкретный пример в достаточной степени разъяс-
разъясняет смысл разделения механики на механику точки, твердого тела
и упругих тел. В природе не существует ни материальных точек,
ни твердых (недеформируемых) тел, ни абсолютно упругих тел. Все
это абстракции, которыми приходится пользоваться в науке для того,
чтобы правильно отразить те свойства реальных объектов, которые
необходимо учесть при решении поставленной задачи. Применяемые
абстракции никогда не отражают полностью всех свойств реального
объекта. Но это и не обязательно, если те свойства реального объекта,
которые применяемая абстракция не отражает, не сказываются
сколько-нибудь заметно на характере изучаемого движения; между
тем применение абстракций существенно упрощает решение всякой
задачи. Если бы мы пытались всякий раз полностью учесть все свой-
свойства реального тела, движение которого должно быть рассмотрено, то
задача настолько усложнилась бы, что решить ее практически было
бы невозможно. Поэтому всегда следует стремиться применять абст-
абстракции, правильно отражающие только те свойства реальных объек-
объектов, которые играют определяющую роль в рассматриваемом дви-
движении.
Однако, приступая к изучению тех или иных движений, мы еще
не знаем достоверно, какие свойства реальных тел играют определяю-
определяющую роль в данном движении, поэтому мы не знаем заранее, какие
абстракции в данном случае надлежит применять. Только опыт дает
указания о роли тех или иных свойств реальных тел в интересующем
нас движении, а следовательно, и о том, какие из этих свойств необ-
необходимо учесть. Иногда такой непосредственный опыт оказывается
ненужным, так как накопленные нами ранее сведения, относящиеся
не к изучаемому, а к сходным с ним другим движениям, позволяют
более или менее уверенно судить о том, какие свойства реальных тел
нужно учесть, чтобы правильно решить поставленную задачу. Тем
не менее во всех случаях, после того как задача уже решена, получен-
полученные результаты необходимо сопоставить с опытом. Конечно, сопоста-
сопоставление результатов теории с данными опыта никогда не может дать
полного совпадения тех и других, так как, с одной стороны, всякая
теория является приближенной (уже по одному тому, что все абстрак-
абстракции лишь частично .и притом приблизительно правильно отражают
свойства реальных объектов), а с другой — данные опыта также
являются лишь приблизительно правильными, так как всякие измере-
измерения производятся с известной степенью точности. (Предельная дости-
достижимая степень точности определяется уровнем измерительной тех-
техники; но для решения практических задач часто бывает достаточна
меньшая точность.) Если в пределах той точности, с которой произ-
сод51тся измерения, данные этих измерений не отличаются от резуль-
результатов теории, говорят о согласии теории с опытом. Только такое со-

§ 2] ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 15
гласие теории с опытом дает нам уверенность в том, что примененные
абстракции с достаточной точностью отражают все те черты реальной
системы, которые определяют характер интересующих нас движений.
Как бы логичны и последовательны ни были физические теории,
в основе их всегда лежит применение абстракций, не отражающих
всех свойств реальных объектов. И в самой теории не могут содержаться
доказательства законности применения этих абстракций. Только
согласие теории с опытом служит этим доказательством. Поэтому
в физике, и в частности в механике, как и во всех опытных науках,
при сопоставлении всякой теории с опытом решающее слово принадле-
принадлежит опыту.
§ 2. Измерение физических величин
Всякое измерение физической величины представляет собой пря-
прямое или косвенное сравнение измеряемой величины с эталоном, в ре-
результате мы получаем численное значение физической величины.
Так, длину какого-либо предмета мы определяем, прикладывая к
этому предмету линейку — эталон длины. Число, указывающее,
сколько раз эталон, принятый за единицу, укладывается вдоль изме-
измеряемого тела, и выражает длину предмета. Точно так же для определе-
определения веса тела мы уравновешиваем это тело на равноплечем рычаге при
помощи эталонов веса (гирь). Число принятых за единицу эталонов
веса, которое необходимо для того, чтобы уравновесить тело на равно-
равноплечем рычаге, и выражает вес тела.
Для того чтобы в результате измерений можно было получить
числа, мы должны, во-первых, выбрать эталон данной физической
величины (т. е. образец, для которого эта величина принята за еди-
единицу), во-вторых, установить способ сравнения данной величины с
эталоном и, наконец, установить способ сложения эталонов. Напри-
Например, в указанном выше способе измерения веса тела содержатся опре-
определение способа сравнения весов тел и способ сложения эталонов:
веса тел равны, если тела уравновешиваются на равноплечем рычаге;
вес нескольких эталонов, положенных на одну чашку весов, равен
арифметической сумме весов отдельных эталонов.
Точно так же, если в качестве эталона силы мы выбираем извест-
известным образом растянутую пружину, то мы должны установить, как
найти силу, которая действует на тело, если к нему прикреплены две
пружины-эталона под известным углом друг к другу (эта сила равна
не арифметической, а геометрической сумме сил, действующих со сто-
стороны каждого из эталонов).
Способы сравнения величин и сложения эталонов отнюдь не про-
произвольны, так как результаты измерения должны удовлетворять
вполне определенным требованиям: повторяемости, однозначности
и т. д. Например, если бы мы считали, что сила, действующая на

1G ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Г
тело со стороны двух пружин, равна арифметической, а не геометри-
геометрической сумме сил, действующих со стороны каждой из пружин, то
результаты измерений сил оказались бы неоднозначными: в зависи-
зависимости от угла между направлениями пружин мы получали бы разные
значения измеряемой силы. Только геометрическое сложение сил,
действующих со стороны пружин-эталонов, обеспечивает однознач-
однозначность результатов измерений. Так же обстоит дело и с установлением
способов измерения всех физических величин.
Помимо указанных выше требований (повторяемости, однознач-
однозначности и т. д.) результаты измерений физических величин должны
удовлетворять еще одному требованию, вытекающему из того, что
в результате измерений физических величин мы должны получать
числа. Но числа должны обладать известными свойствами; например,
две величины, порознь равные третьей, должны быть равны между собой.
Поэтому независимые измерения трех физических величин должны
всегда удовлетворять этому требованию.
Чтобы удовлетворять требованиям повторяемости, однозначности
и т. д.} способы измерения должны отражать свойства измеряемых
физических величин. Геометрическое сложение сил, действующих со
стороны пружин, отражает векторный характер силы; арифметическое
сложение весов эталонов отражает свойство аддитивности масс, и т. д.
Выбор того или иного способа измерения физической величины под-
подсказывается опытом, и пригодность установленного способа измерения
испытывается на опыте: результаты измерений должны удовлетворять
указанным выше требованиям.
Таким образом, способы измерения физических величин не выби-
выбираются произвольно, а вырабатываются на основании опыта. Но
эти способы должны быть установлены — они требуют определения.
Поэтому, вводя какую-либо новую физическую величину, мы должны
прежде всего установить способ ее измерения.
Указанные выше требования накладывают известные ограничения
и на выбор эталонов. Конечно, самая величина эталона может быть
выбрана совершенно произвольно, ко эталон должен обладать вполне
определенными физическими свойствами. Например, эталон длины —
линейка — должен быть сделан из достаточно жесткого материала.
Если бы в качестве эталона длины мы выбрали не металлическую, а
резиновую линейку, но не установили, с какой силой растягивать
линейку при измерении, то повторяемость результатов, конечно, не
была бы обеспечена.
Числа, которые мы получаем в результате измерений, обладают
одной важной особенностью, обусловленной тем, что всякое измере-
измерение мы производим с известной степенью точности: ни одно измерение
невозможно произвести «абсолютно точно». В сущности, при измере-
измерении мы никогда не получаем какого-либо определенного значения
физической величины, а лишь пределы, между которыми эта величина
заключена. При усовершенствовании измерительной техники пре-

§ 2] ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ 17
делы, между которыми заключена измеряемая величина, могут сужи-
суживаться, но только до известной степени. Во всяком измерении сущест-
существует некоторый предел точности измерений, которого нельзя перейти
ни при каком усовершенствовании данного метода измерений. Так,
пользуясь для измерения длины оптическими приборами, мы не можем
получить результатов с точностью много большей, чем длина световой
волны. Но часто можно выбрать принципиально другой метод изме-
измерений, обеспечивающий более высокую точность. Однако граница
точности существует во всяком методе измерения.
То обстоятельство, что число, выражающее значение всякой физи-
физической величины, всегда задается только с известной степенью точ-
точности, имеет не только принципиальное, но и практическое значение,
когда мы оперируем с этими величинами. Точность наших расчетов
никогда не должна превышать той точности, с которой измерены вели-
величины, участвующие в расчете. Излишняя точность в расчетах не только
бесполезна (между тем, чем больше точность, тем сложнее расчеты),
но и вредна, так как она создает неправильное представление о точ-
точности результатов.
Пусть, например, при определении плотности жидкости мы изме-
измерили объем и массу некоторого количества жидкости, причем объем
измерен с точностью до 1 °6, а масса — с большей точностью, напри-
например до 0,1%. Объем жидкости оказался равным 12,5 см3, а ее масса —
15,40 г. Для определения плотности нужно разделить массу на объем,
что даст 15,4 : 12,5 = 1,232. Однако не имеет смысла указывать, что
найденная плотность оказалась равной 1,232. Ведь точность, с которой
определена плотность жидкости, во всяком случае не выше, чем точ-
точность измерения объема, т. е. не выше 1 %. Поэтому четвертый знак
в числе, выражающем плотность, ничего не дает. Он не только беспо-
бесполезен, но и вреден, так как дает основание предполагать, что плотность
определена с точностью до 0,1%, между тем как в действительности
она определена с точностью до 1%. Вот почему точность расчетов
никогда не должна быть выше, чем точность измерения тех величин,
которые входят в наши расчеты.
То, что числа, выражающие значения физических величин, всегда
могут быть заданы только с известной степенью точности, играет
существенную роль еще в целом ряде случаев. Так, например, о чи-
числах, выражающих значения физических величин, не имеет смысла
говорить, что они несоизмеримы, ибо, поскольку самые измерения
физических величин производятся всегда с известной степенью точ-
точности, с этой степенью точности для двух физических величин может
быть найдена и общая мера. Поэтому никакие особенности в физиче-
физическом явлении не могут возникнуть оттого, что некоторые, заданные для
характеристики этого явления числа оказались несоизмеримыми.
Явление будет протекать так же, как и в случае, когда его характери-
характеризуют сои^мец^имыа-числа, яогтятпино близкие к заданным несоизме-
несоизмеримым.

18 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
§ 3. Системы единиц
Для измерения всякой физической величины нужно выбрать эта-
эталон данной физической величины. Поэтому, в сущности, мы должны
были бы иметь множество эталонов для всех разнообразнейших фи-
физических величин. Для того чтобы избавиться от необходимости вво-
вводить новый эталон для всякой новой физической величины, поступают
следующим образом. Выбрав несколько эталонов для основных физи-
физических величин (например, длины, времени, массы), принимают их
за основные единицы. Единицы всех остальных физических величин
устанавливают при помощи этих основных единиц, пользуясь для
этого какими-либо физическими законами, связывающими между
собой новые физические величины с теми, для которых эталоны суще-
существуют.
Так, например, в качестве эталона силы можно было бы пользо-
пользоваться сжатой (или растянутой) на определенную величину пружи-
пружиной. Но необходимость в этом эталоне силы отпадает, если мы вос-
воспользуемся вторым законом Ньютона, устанавливающим связь между
массой, ускорением и силой. Так как согласно этому закону сила
пропорциональна произведению массы на ускорение, то за единицу
силы мы можем принять такую силу, которая определенной массе т
сообщает определенное ускорение а. Если хранящиеся у нас эталоны
позволяют измерять массы и ускорения, то мы всегда сможем воспро-
воспроизвести эталон силы, подобрав силу (например, сжатие пружины) так,
чтобы она массе т сообщала ускорение а.
При переходе от основных единиц (т. е. тех, для которых хранятся
специальные эталоны) к производным можно было бы устанавливать
эти новые единицы совершенно произвольно и за единицу силы принять
такую силу, которая произвольно выбранной определенной массе
сообщает некоторое произвольно же выбранное определенное ускоре-
ускорение. Однако вся система единиц получается гораздо более стройной и
все физические соотношения принимают более простой и удобный вид,
если при установлении новых единиц определять их таким образом,
чтобы в выражение новой величины через основные не входили никакие
числовые коэффициенты. Тогда за единицу силы мы должны принять
такую силу, которая массе, равной единице, сообщает ускорение,
равное единице; за единицу количества электричества мы должны
принять такое количество электричества, которое с равным ему коли-
количествам электричества на расстоянии, равном единице, взаимодействует
с силой, равной единице, и т. д. Построенные по этому принципу си-
системы единиц носят название абсолютных.
Существует несколько абсолютных систем единиц, отличающихся
выбором тех величин, которые приняты за основные и для которых
установлены специальные эталоны. В физике наиболее употреби-
употребительна система единиц, в основу которой положены единицы длины

§3] СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 19
(L), массы (М) и времени (Т). Все остальные единицы выводятся из
этих трех основных1). Это—так называемая система LMT.
В качестве эталонов в этой системе служат: эталон длины — ли-
линейка, длина которой принята за 1 ж, и эталон массы — гиря, масса
которой принята за 1 кг 2); в качестве эталона промежутка времени до
последнего времени служили средние солнечные сутки.
Средние солнечные сутки были введены потому, что истинные сол-
солнечные сутки, т. е. промежуток времени между двумя последователь-
последовательными прохождениями центра Солнца через меридиан, не остаются
неизменными в течение всего года, так как Земля не только вращается
вокруг своей оси, но и движется по эклиптике вокруг Солнца. По-
Последнее движение, происходящее в разных участках эклиптики с не-
несколько различной угловой скоростью, и приводит к тому, что в разные
времена года продолжительность истинных солнечных суток оказы-
оказывается несколько различной. Эти регулярные изменения продолжитель-
продолжительности истинных солнечных суток исключаются введением средних
солнечных суток.
Однако в последнее время благодаря усовершенствованию методов
астрономических наблюдений и измерения промежутков времени было
обнаружено, что сама угловая скорость вращения Земли вокруг своей
оси не остается абсолютно постоянной, а испытывает некоторые изме-
изменения, что сказывается на продолжительности истинных, а значит, и
средних солнечных суток. В связи с этим вместо средних солнечных
суток в качестве эталона времени был выбран средний тропический
год (его продолжительность приблизительно 365,24 средних солнечных
суток). Но так как величина среднего тропического года претерпевает
медленные изменения, то за эталон была принята та продолжитель-
продолжительность среднего тропического года, которую он имел в 1900 г.
В качестве эталона длийы вместо линейки может служить также
длина определенной световой* волны (например, желтой линии кадмия).
Постоянство этого эталона может быть обеспечено путем выбора усло-
условий, в которых возникает свечение данной длины волны, и ее сравне-
сравнение с измеряемой длиной может быть выполнено (при помощи интерфе-
интерференционных методов) с очень высокой степенью точности.
Выбрав те физические величины, эталоны которых в данной системе
приняты за основные (в системе LMT это — эталоны длины, массы и
времени), следует установить еще и самую величину этих основных
эталонов. Например, за единицу длины может быть принят и метр,
т. е. длина того эталона, который хранится в Париже, и сантиметр,
т. е. одна сотая длины эталона. Точно так же за единицу массы можно
принять и грамм, т. е. одну тысячную массы эталона.
х) Впрочем, кроме единиц температуры и силы света, которые оказалось удоб-
удобнее определять независимо от этих трех основных единиц.
г) Эталоны длины и массы хранятся в Парижской палате мер и весов, а тща-
тщательно сделанные копии с них — в других странах.

20 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Наконец, за единицу времени могут быть приняты либо средний
тропический год, либо некоторая доля его. Для того чтобы разделить
эталон времени — средний тропический год — на равные части,
применяются те или иные часы. Чаще всего часы — это устройство,
в котором происходит какой-либо периодический процесс (т. е. про-
процесс, повторяющийся через равные промежутки времени). Сосчитав
число периодов процесса, происходящих в часах в течение среднего
тропического года, мы можем разделить год на известное число рав-
равных частей и пользоваться продолжительностью одного периода, т. е.
известной долей среднего тропического года, как единицей времени.
За единицу времени в физике принята 1 секунда, составляющая опре-
определенную с высокой точностью долю среднего тропического года.
Часы представляют собой, таким образом, физический прибор,
служащий при измерении времени той же цели, какой служит линейка
с нанесенными на ней делениями (расстояние между которыми состав-
составляет известную долю эталона длины) при измерении длины. Как и
всякий физический измерительный прибор, часы должны удовлетво-
удовлетворять известным требованиям, и прежде всего происходящий в них
процесс должен быть точно повторяющимся.
Для разделения эталона времени — среднего тропического года —
на равные части, кроме часов с маятником, сейчас применяют другие
типы часов, например кварцевые часы, в которых периодическим про-
процессом служат упругие колебания пластинки, вырезанной из пьезо-
пьезоэлектрического кристалла кварца (эти колебания поддерживаются
при помощи схемы с электронными лампами). В последнее время были
созданы молекулярные и атомные часы, в которых используются
периодические колебания, происходящие в атомах или молекулах;
чтобы число этих колебаний можно было считать (с помощью специ-
специальных электрических устройств), выбирают такие колебания, которым
соответствуют спектральные линии, лежащие в области радиоволн х).
В зависимости от выбора единиц длины, массы и времени получаются
различные системы единиц, например сантиметр, грамм, секунда
(CGS) или метр, килограмм, секунда (MKS). Но поскольку основными
единицами и в том, и в другом случае служат единицы длины, массы
и времени, то системы CGS и MKS принадлежат к одной и той же си-
системе LMT и отличаются только «масштабами» — величиной основных
единиц, но не их природой. В дальнейшем, когда мы будем говорить
об «изменении масштабов единиц», мы будем иметь в виду именно этот
случай: замену в той же системе одних основных единиц другими,
меньшими или большими, но не изменение природы основных единиц.
Переход от основных единиц (например, длины, массы и времени)
к электрическим единицам может быть произведен уже упоминав-
упоминавшимся способом выбора единицы количества электричества. Тогда все
х) Принципиально можно построить часы, в которых протекает не повторяю-
повторяющийся во времени процесс (например, процесс радиоактивного распада), если ско-
скорость протекания этого процесса во времени точно известна.

§3] СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ 21
остальные электрические единицы устанавливаются при помощи трех
основных единиц и единицы количества электричества; например, за
единицу силы тока принимается такой ток, при котором за единицу
времени через сечение проводника проходит единица количества
электричества, и т. д. Такая система электрических единиц называется
абсолютной электростатической системой единиц. Вместе с системой
CGS она образует абсолютную систему единиц CGSE.
Но переход от основных единиц — длины, массы и времени —
к электрическим единицам может быть произведен и иным путем: по
силе взаимодействия токов. За единицу силы тока принимается такой
ток, который, протекая по проводнику, длина которого равна единице,
с таким же током, протекающим по такому же проводнику, располо-
расположенному параллельно первому на расстоянии, равном единице, взаи-
взаимодействует с силой, равной единице. Все остальные электрические
единицы устанавливаются при помощи трех основных единиц и еди-
единицы силы тока. Например, за единицу количества электричества
принимается такое количество электричества, которое протекает через
сечение проводника за единицу времени при силе тока, равной единице,
и т. д. Такая система электрических единиц называется абсолютной
электромагнитной системой единиц. Вместе с системой CGS она
образует абсолютную систему единиц CGSM.
Существуют и другие абсолютные системы единиц, в которых
в основу положены другие основные величины. В механике поль-
пользуются, например, системой единиц, в которой основными единицами
служат единицы длины, силы и времени. Эталоны длины и времени
в этой системе единиц выбираются так же, как в системе CGS, а эта-
эталоном силы служит та сила, с которой гиря-эталон притягивается
к земле на широте 45°. Это — так называемая система LFT.
До последнего времена в различных областях науки и техники
отдавали предпочтение разным системам единиц; в физике применя-
применялись главным образом системы LMT, в частности система CGS с ее
разветвлениями CGSE и CGSM. Однако в октябре 1960 г. на Между-
Международной XI генеральной конференции по мерам и весам принята
единая международная система единиц (СИ), которая должна при-
применяться как предпочтительная во всех областях науки, техники и
народного хозяйства. В этой системе принято шесть основных единиц
и две дополнительные (см. таблицу).
Как ясно из определений основных единиц системы СИ, эта си-
система примыкает к системам LMT, причем три основные ее единицы —
длины, массы и времени — совпадают с таковыми системы MKS х).
*) То обстоятельство, что в системе СИ длина в 1 метр определяется не как рас-
расстояние между крайними штрихами линейки-эталона, а как определенное число
длин волн излучаемой криптоном спектральной линии, практически не нарушает ра-
равенства единиц длины в системах MKS и СИ: указанное в определении длины сис-
системы СИ число длин волн выбрано так, что оно как раз укладывается между край-
крайними штрихами линейки-эталона.

22 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Т
Однако четвертая единица — ампер — в системе СИ определена не
так, как она должна определяться в абсолютной системе MKSM (в аб-
абсолютной системе MKSM в определении ампера вместо 2-Ю'7 единиц
силы должна была бы стоять 1 единица силы). Это отступление сде-
сделано для того, чтобы ампер, а вместе с тем и все электрические и маг-
магнитные единицы системы СИ совпали с соответствующими единицами
так называемой практической системы электрических единиц, давно
принятой в электротехнике (отказаться от этой применяемой во всем
мире и во всех областях теоретической и практической электротехники
системы единиц было бы совершенно нецелесообразно). Однако в тех
случаях, когда рассматриваются вопросы физические, а не техниче-
технические, часто оказывается удобнее для электрических и магнитных
величин пользоваться единицами не системы СИ, а систем CGSE и
CGSM. По этим соображениям мы будем иногда применять системы
CGSE и CGSM, каждый раз специально оговаривая это.
В следующих параграфах будут рассмотрены общие вопросы, свя-
связанные с переходом от одних систем единиц к другим и с изменением
масштабов основных единиц. При этом мы будем для определенности
иметь в виду системы LMT, но все те общие соображения, которые
будут высказаны, в одинаковой мере относятся и ко всем другим
абсолютным системам единиц.
§ 4. Размерность физических величин
В том случае, когда мы пользуемся какой-либо одной абсолютной
системой единиц, часто бывает удобно изменять масштабы единиц,
например измерять длину в одних случаях в сантиметрах, в других —
в метрах, и т. д. Поэтому прежде всего необходимо выяснить, как
изменяются результаты измерения тех или иных физических величин
при таком изменении масштаба. Пока речь идет о результатах изме-
измерения тех величин, которые лежат в основе данной системы единиц,
дело обстоит просто. Если, например, мы увеличиваем масштаб длины
в 100 раз — переходим от сантиметров к метрам, — то числа, полу-
получающиеся в результате измерения всех длин, уменьшаются в 100 раз.
Но когда мы производим измерения каких-либо других, не основных
величин, например силы, работы и т. д., то влияние изменения масшта-
масштабов на числа, получающиеся в результате измерения этих величин,
не столь очевидно.
Числа, получающиеся в результате этих измерений, вообще го-
говоря, изменяются при изменении масштабов основных единиц, так как
в абсолютной системе единиц при изменении основных единиц изме-
изменяются и все производные единицы. Действительно, если, например,
мы увеличим в п раз единицу длины, то во столько же раз увеличится
и единица силы; если мы увеличим в п раз единицу времени, то единица
силы уменьшится в п2 раз. Вместе с изменением единиц, служащих для
измерения, изменятся, конечно, и числа, получающиеся в результате

РАЗМЕРНОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ
Международная система единиц (СИ)
23
Наименование величины
Единица измерения
Основные единицы
Длина
Масса
Время
Температура
Сила электрического тока
Сила света
Метр
Килограмм
Секунда
Градус Кельвина
Ампер
Свеча
Дополнительные единицы
Плоский угол
Телесный угол
Пр ои з]
Площадь
Объем
Частота
Объемная масса (плотность)
Скорость
Угловая скорость
Ускорение
Угловое ускорение
Сила
Давление (механическое напря-
напряжение)
Динамическая вязкость
Кинематическая вязкость
Работа, энергия, количество1
теплоты
Мощность
Количество электричества
Электрическое напряжение, раз-
разность потенциалов, электро-
электродвижущая сила
Напряженность электрического
поля
Электрическое сопротивление
Электрическая емкость
Поток магнитной индукции
Индуктивность
Магнитная индукция
Напряженность магнитного поля
Световой поток
Яркость
Освещенность
Радиан
Стерадиан
водные единицы
Квадратный метр
Кубический метр
Герц A/шс)
Килограмм на куб. метр
Метр в секунду
Радиан в секунду
Метр на секунду в квадрате
Радиан на секунду в квадрате
Ньютон (кг-м1сек2)
Ньютон на кв. метр
Ньютон-секунда на кв. метр
Кв. метр на секунду
Джоуль
Ватт
Кулон
Вольт
Вольт на метр
Ом
Фарада
Вебер
Генри
Тесла (вб\м2)
Ампер на метр
Люмен
Свеча на кв. метр
Люкс
Обозначение
единицы
Ж
кг
сек
°К
а
ев
рад
стерад
м*
ж3
гц
кг\м*
м/сек
рад\сек
м\секл
рад-сек?
н
«/ж2
н • сек1м*
M-JCCK
дж
вт
к
в
в/ж
ом
ф
еб
гн
тс
а\м
лм
св/ж3
лк

24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ 1
Определения основных единиц
Meтр — длина, равная 1650763,73 длин волн (в вакууме) излучения, соот-
соответствующего переходу между уровнями 2р10 и 5AЪ атома криптона-86.
Килограмм — единица массы — представлен массой международного про-
прототипа килограмма.
Секунда —1/31556925,9747 часть тропического года для 1900 г. января 0
в 12 часов эфемеридного времени.
Ампер — сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум парал-
параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого
кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого
в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2 • 10~7 единиц
силы Международной системы на каждый метр длины.
Градус Кельвина — единица измерения температуры по термодинамической
температурной шкале, в которой для температуры тройной точки воды уста-
установлено значение 273,16° К (точно).
Свеча—единица силы света, значение которой принимается таким, чтобы
яркость полого излучателя при температуре затвердевания платины была
равна 60 ев на 1 см-.
измерения тех или иных физических величин. Очевидно, что при
данном изменении масштабов результаты всех измерений одних и тех
же физических величин изменятся одинаково. Другими словами, для
всякой физической величины существует вполне определенная связь
между изменениями масштабов основных единиц и изменениями чисел,
получающихся в результате измерения этой физической величины.
Размерность физической величины и выражает эту связь.
Размерность физической величины указывает, как изменяется
число, выражающее результат измерения данной физической величины,
при изменении масштабов применяемых единиц.
Для указания размерности физических величин пользуются сим-
символическими обозначениями, например LPM'*T г. Это означает, что
в системе LMT число, выражающее результат измерения данной физи-
физической величины, уменьшится в пр раз, если единицу длины увеличить
в п раз, увеличится в nq раз, если единицу массы увеличить
в п раз, и, наконец, увеличится в пг раз,если единицу времени увеличить
в п раз.
Итак, размерность физической величины указывает, как в данной
абсолютной системе единиц изменяются единицы, служащие для
измерения этой физической величины, при изменении масштабов основ-
основных единиц. Например, сила в системе LMT имеет размерность LMT2;
это значит, что при увеличении единицы длины в п раз единица силы
также увеличивается в п раз; при увеличении единицы массы в п раз
единица силы также увеличивается в п раз и, наконец, при увеличении
«единицы времени в п раз единица силы уменьшается в п2 раз.

$ 5] ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ И РАЗМЕРНОСТИ ВЕЛИЧИН 25
Размерность всякой физической величины определяется, с одной
стороны, установленным способом измерения данной физической ве-
величины, а с другой, — выбором системы единиц. Например, если мы
измеряем скорость отношением пройденного пути к тому промежутку
времени, за который этот путь пройден, то в системе LMT скорость
будет иметь размерность LT-1. Но если бы мы измеряли скорость по
тому времени, в течение которого свободно падающее тело достигло
бы измеряемой скорости, тогда за единицу скорости мы должны были
бы принять такую скорость, которой свободно падающее тело достигло
бы за единицу времени. Ясно, что в этом случае единица скорости изме-
изменялась бы так же, как единица времени, и размерность скорости в си-
системе LMT была бы Т.
Вместе с тем, как уже сказано, размерность физической величины
зависит и от выбора системы единиц. Так, например, плотность, кото-
которую мы определяем как отношение массы тела к его объему, в системе
LMT имеет, очевидно, размерность L~3M. Если же пользоваться си-
системой единиц, в основу которой положены единицы длины, силы и
времени, т. е. системой LFT, то размерность массы, а вместе с тем и
плотности, будет зависеть от выбора способа измерения масс. Изме-
Измеряя массу по отношению силы к сообщаемому этой силой ускорению,
мы получим для массы размерность L^FT2, а для плотности — L'4FP.
Таким образом, в различных системах единиц размерность одной
и той же физической величины, вообще говоря, различна. В частности,
например, различны размерности силы тока в системах CGSE и CGSM.
В первой системе размерность силы тока есть L'^M'^T, а во второй —
L'^M'^T. Поэтому отношение величины силы тока в системах
CGSE и CGSM имеет размерность LT~X, т. е. совпадает с размерностью
скорости. Это отношение называется электродинамической постоянной.
Специальные измерения показали, что электродинамическая посто-
постоянная с = 2,99796-1010 см/cfK, т.е. совпадает со скоростью света
в пустоте.
§ 5. Физические законы и размерности величин
Всякий количественный физический закон содержит в себе неко-
некоторое утверждение относительно связей между теми или иными физи-
физическими величинами. Например, во втором законе Ньютона содержится
утверждение, что ускорение тела пропорционально действующей на
это тело силе; в законе Кулона содержится утверждение, что сила
взаимодействия между двумя точечными зарядами обратно пропорцио-
пропорциональна квадрату расстояния между ними, и т. д. Для того чтобы про-
проверить на опыте эти утверждения, мы должны независимыми способами
одновременно измерить все те величины, к которым относится наше
утверждение. Пока мы не располагаем способами независимого изме-
измерения всех тех величин, которых касается наше утверждение, мы не
можем проверить его на опыте.

26 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Так, положение, содержащееся во втором законе Ньютона, что
ускорение пропорционально действующей силе, только тогда можно
рассматривать как утверждение, поддающееся проверке на опыте,
если мы располагаем независимыми способами измерения ускорений
и сил. Если же мы не располагаем независимым способом измерения
силы, а определяем силы по тем ускорениям, которые они сообщают
телу, то положение, что ускорение пропорционально силе, уже не
является утверждением, поддающимся опытной проверке, а пред-
представляет собой определение силы, которое, как и всякое определение,
в непосредственной опытной проверке не нуждается. Если мы опре-
определяем силу по ускорению, заранее считая ее пропорциональной уско-
ускорению, то нет смысла подвергать опытной проверке положение, что
ускорения пропорциональны силам.
При формулировке всяких физических законов нужно ясно отда-
отдавать себе отчет, в какой мере те или иные положения представляют
собой утверждения, нуждающиеся в проверке на опыте, и в какой
мере они являются лишь определениями новых физических вели-
величин. Различать утверждения и определения необходимо потому, что
утверждения и определения стоят в совершенно различной связи
с опытом.
Утверждения можно и нужно проверять на опыте. Именно по-
постольку, поскольку эти утверждения поддаются опытной проверке и
подтверждаются на опыте, они представляют собой физические за-
коны. Проверка состоит в том, что результаты нескольких независимых
измерений различных физических величин удовлетворяют соотноше-
соотношению, выражаемому законом.
Определения же не поддаются опытной проверке такого рода.
Правда, поскольку в определении всякой физической величины со-
содержится способ ее измерения, этот способ должен, как указывалось,
удовлетворять определенным требованиям, С этой точки зрения опре-
определения подлежат испытанию на опыте. Однако это испытание сводится
к тому, что результаты многократных измерений одной и той же
физической величины должны удовлетворять определенным требова-
требованиям: однозначности, повторяемости, должны «вести» себя как числа
и т. д. Таким образом, испытание на опыте, которому подлежит опре-
определение, отличается от проверки на опыте, которой должно быть под-
подвергнуто утверждение.
Если бы в физических законах речь шла всегда только о пропор-
пропорциональности между физическими величинами, утверждения о том,
что между данными величинами существует пропорциональность,
оставались бы правильными для любых масштабов единиц (конечно,
при условии, что мы во всей серии измерений, используемых для
проверки данного утверждения, применяем все время одни и те же
единицы). Действительно, замена во всех измерениях одних единиц
другими изменит результаты всех измерений в одинаковое число раз,
и если между какими-либо величинами существует пропорциональ-

§6] ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТЕЙ 27
ность в одной серии измерений, то она сохранится и во всякой другой
серии измерений, произведенной при помощи других единиц.
Таким образом, пока''речь идет только о пропорциональности
между какими-либо величинами, все ограничения при выборе единиц
заключаются только в том, что каждую величину мы должны изме-
измерять все время в одних и тех же единицах. Выбор же самих единиц,
служащих для измерения той или другой величины, остается произ-
произвольным.
Иначе обстоит дело, когда в физическом законе содержится утверж-
утверждение не о пропорциональности, а о равенстве между какими-либо
комбинациями физических величин. Ясно, что от пропорциональности
между какими-либо величинами всегда можно перейти к равенству
между ними, введя соответствующий коэффициент пропорционально-
пропорциональности. Этот коэффициент пропорциональности мы могли бы определить
из опыта, измерив один раз все физические величины, входящие в дан-
данный закон. Дальше мы могли бы утверждать, что результаты измере-
измерения нескольких различных физических величин должны удовлетво-
удовлетворять определенному равенству.
Например, второй закон Ньютона представляет собой утвержде-
утверждение, что произведение массы на ускорение равно действующей силе.
Мы утверждаем, что, измерив какими-либо независимыми способами
массу тела, его ускорение и действующую силу и перемножив числа,
полученные в результате первых двух измерений, мы получим число,
равное результату третьего измерения. Но в таком виде это утверж-
утверждение справедливо только при определенном выборе единиц измерений,
например, если мы будем измерять массу в граммах, ускорение в
см/сек2 и силу в динах. Если же мы будем измерять массу в килограм-
килограммах, а ускорение и силу — по-прежнему в см/сек2 и динах, то равен-
равенство между произведением массы на ускорение и силой, конечно, на-
нарушится. Следовательно, в этом случае на выбор единиц измерений
накладываются какие-то более жесткие требования, чем в том случае,
когда речь идет только о пропорциональности между физическими
величинами.
§ 6. Правило размерностей
Эти жесткие требования, казалось бы, заключаются в том, что,
формулируя какой-либо физический закон в виде равенства, мы
должны тут же фиксировать и единицы, в которых следует измерять
все входящие в этот закон величины. Однако эти требования можно
значительно смягчить, если во всех равенствах, выражающих физи-
физические законы, размерности обеих частей равенства будут одинаковы.
В таком случае требование сводится только к тому, чтобы для изме-
измерения всех величин, входящих в данное равенство, пользоваться одной
и той же абсолютной системой единиц. Масштаб же основных единиц
можно выбирать совершенно произвольно — равенство при этом не
нарушается.

28 введение Ггл. г
Так, во втором законе Ньютона можно, пользуясь системой LMT,
измерять массу в граммах, ускорение в см/сек2 и силу в г-см/сек2,
т. е. в динах. Но можно также пользоваться систем «^единиц: метр,
килограмм массы, секунда; тогда ускорение следует измерять в м/сек2,
а силу — в кг -м/сек2. Как в том, так и в другом случае произведение
массы на ускорение будет равно действующей силе. Обусловлено это
именно тем, что во втором законе Ньютона размерности обеих частей
равенства одинаковы: размерность силы равна произведению размер-
размерностей массы и ускорения. Поэтому при переходе к новым масштабам
результаты измерений отдельных величин будут изменяться одина-
одинаково и равенство не нарушится.
Это справедливо, конечно, всегда. Соотношения, которые суще-
ствукуг между физическими величинами, не зависят от выбора мас-
масштабов единиц, если знак равенства соединяет выражения, имеющие
одинаковую размерность. Нельзя сказать, что соотношения, в кото-
которых знак равенства соединяет выражения различной размерности,
не имеют смысла, — они лишь не имеют общности. Например, можно
утверждать, что давление Р в воде, выраженное в кГ/см2, равно одной
десятой от глубины погружения h в метрах, и записать это следующим
образом:
Эта формула не только имеет вполне определенный смысл, но ею поль-
пользоваться удобнее, чем всякой другой, несмотря на то, что размерности
правой и левой частей в ней различны. Но она не имеет общности —
она верна лишь в тех случаях, когда мы измеряем давление в кГ/см2,
а глубину в метрах. Если мы перейдем к измерению глубины, напри-
например, в сантиметрах, то формула окажется'неверной.
Каким же образом достигается в физических формулах равенство
размерностей правой и левой частей, обеспечивающее этим формулам
общность, т. е. независимость от масштабов?
Здесь следует различать два случая.
Первый состоит в том, что в формулу, выражающую данный фи-
физический закон, входит какая-либо физическая величина, для которой
единицы измерения устанавливаются на основании этого самого за-
закона. Примером этого может служить закон Кулона:
F=e-f. A.1)
Единица количества электричества устанавливается на основании
самого закона Кулона: мы принимаем за единицу такое количество
электричества, которое с равным ему количеством электричества,
находящимся на расстоянии, равном единице, взаимодействует с си-
силой, равной единице. В этом случае одинаковая размерность правой
и левой частей соблюдается, так сказать, «автоматически». Действи-
Действительно, если закон Кулона справедлив при любых масштабах единиц,,

$ 6] ПРАВИЛО РАЗМЕРНОСТЕЙ 29
значит, размерности правой и левой частей в A.1) должны быть одина-
одинаковыми. Отсюда определяется связь между единицами количества
электричества и единицами силы и длины. Размерность количества
электричества в системе LMT должна быть L^M^T \ чтобы размер-
размерность выражения exe2/r2 оказалась равной размерности силы.
Таким же образом в каждом из законов, которыми мы пол? дуемся
для установления единиц измерения какой-либо из физичес .их ве-
величин, входящих в этот закон, одинаковая размерность правой и левой
частей равенства всегда будет обеспечена.
Во втором случае в формулу, выражающую данный закон, входят
только такие физические величины, для которых единицы измере-
измерения установлены были ранее либо непосредственно (в виде эталонов),
либо при помощи каких-либо других законов. При этом, вообще
говоря, может случиться, что наш закон устанавливает пропорцио-
пропорциональность между комбинациями физических величин, размерности
которых различны. Тогда после перехода от пропорциональности
к равенству, чтобы это равенство не нарушалось, коэффициент пропор-
пропорциональности должен изменяться при изменении масштабов.
Например, в случае закона всемирного тяготения утверждение
состоит в том, что сила F взаимного притяжения двух тел прямо про-
пропорциональна произведению масс тх и т2 этих тел и обратно пропор-
пропорциональна квадрату расстояния г между ними:
Но размерность правой части есть M2L 2, а размерность левой —
MLT"^, следовательно, величина численного коэффициента, который
нужно ввести, чтобы от-'пропорциональности перейти к равенству,
будет зависеть от выбору масштабов. Мы могли бы написать закон
всемирного тяготения в общем виде следующим образом:
F = Y™. A-2)
где у — некоторый численный коэффициент. При этом значение у
изменяется при изменении масштабов; следовательно, у представляет
собой величину, имеющую определенную размерность. И так как мы
каждый раз при переходе к новым масштабам подбираем у так, чтобы
равенство A.2) оставалось справедливым, то тем самым мы так опре-
определяем размерность у, чтобы размерности правой и левой частей ра-
равенства A.2) оказались одинаковыми. Для этого коэффициент у дол-
должен иметь размерность I^M^T. (Значение у определяется из опыта;
величина эта носит название гравитационной постоянной.) Но, вводя
в закон всемирного тяготения этот коэффициент, размерность которого
определяется из самого же закона всемирного тяготения, мы свели
наш второй случай к первому. А в перзом случае, как мы видели,

30 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ, I
одинаковая размерность правой и левой частей обеспечивается «авто-
«автоматически».
Может, конечно, случиться, что в новом физическом законе, свя-
связывающем между собой величины, единицы измерения которых,
а значит, и размерности, были установлены заранее, размерности пра-
правой и левой частей «сами собой» оказываются одинаковыми. Тогда,
хотя при переходе от пропорциональности к равенству может оказаться
необходимым ввести некоторый численный коэффициент, величина
этого численного коэффициента не будет зависеть от выбора масшта-
масштабов единиц, т. е. он окажется безразмерным.
Мы видим, таким образом, что равенствам, выражающим физи-
физические законы, всегда можно придать такой вид, чтобы эти равенства
не нарушались при изменении масштабов единиц (т. е. чтобы размер-
размерности правой и левой частей равенства были одинаковы). Именно
в таком общем, не зависящем от выбора масштабов виде и принято
обычно выражать все физические законы и вообще все соотношения
между физическими величинами. Иногда, однако, бывает удобнее не
соблюдать условия одинаковой размерности правой и левой частей
(выражения получаются проще). Но тогда обязательно должно быть
оговорено, в каких единицах производится измерение всех входящих
в соотношение величин, и нужно иметь в виду, что применять другие
единицы, отличные от указанных, уже нельзя.

ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА
§ 7. Пространственно-временные системы отсчета
Движением тела называется изменение его положения со временем;
для описания движения тел нужно прежде всего установить способ
определения положения тела и способ отсчета момента времени, в ко-
который тело занимает это определенное положение. Описание движений
(без рассмотрения причин, их вызывающих) составляет предмет кине-
кинематики.
Положение тела может быть определено только по отношению
к каким-либо другим телам. Поэтому и о движении тела, т. е. измене-
изменении его положения, можно говорить только постольку, поскольку
выбраны другие тела, которые служат для определения положения
данного тела. Эти тела, которые служат для определения положения
движущихся тел, называют телами отсчета.
Для описания движений на Земле в качестве такой системы отсчета
обычно выбирают Землю или (что то же самое) какие-либо тела, не-
неподвижные относительно Земли, например стены лаборатории, в ко-
которой производятся опыты. Но в некоторых случаях оказывается
более удобным выбирать другие системы отсчета; так как по отноше-
отношению к разным системам отсчета одни и те же тела совершают различ-
различные движения, то надлежащим выбором системы отсчета можно упро-
упростить описание рассматриваемого движения.
С точки зрения кинематики, т. е. пока речь идет об описании дви-
движения, но не об изучении законов движения, никакого принципиаль-
принципиального различия между разными системами отсчета нет и все они совер-
совершенно равноправны. Только в динамике, при изучении законов дви-
движения, обнаруживаются принципиальное различие между некоторыми
системами отсчета и преимущества одного класса систем отсчета по
сравнению с другими.
После того как выбраны тела, которые должны служить телами
отсчета, можно связать с ними какую-либо систему координат, напри-
например прямоугольную (декартову), и определять положение каждой точки
движущегося тела тремя координатами в выбранной системе коор-
координат.

32 КИНЕМАТИКА [ГЛ. II
Для этого требуется измерить расстояние от данной точки до трех
осей координат. Эти измерения можно осуществить при помощи любых
инструментов, служащих для измерения длин, например, жесткой
линейки с делениями.
Как сказано, для описания движения тел нужно не только выбрать
систему отсчета, но и установить способ определения моментов вре-
времени, в которые та или иная точка движущегося тела занимает извест-
известное положение.
Время отсчитывается по часам того или иного типа. Если приме-
применяются обычные часы, то отсчет сводится к определению положения
стрелок часов в то мгновение, когда выбранная точка движущегося
тела занимает определенное положение. Другими словами, должна
быть установлена одновременность двух событий: прохождения какой-
то точки тела мимо определенного деления линейки и прохождения
стрелки через определенное деление циферблата часов. Если для от-
отсчета времени применяются, например, кварцевые часы, то отсчет
времени также сводится к определению одновременности двух собы-
событий: прохождения точки тела мимо определенного деления линейки и
прихода одного определенного электрического импульса. Тело от-
отсчета, опирающаяся на него система координат и инструменты, служа-
служащие для измерения времени, вместе образуют так называемую «про-
«пространственно-временную систему отсчета». Для краткости ее называют
просто системой отсчета или системой координат.
Когда движущееся тело и часы находятся в одном месте, то можно
непосредственным наблюдением констатировать одновременность двух
событий 1). Если же часы и движущееся тело находятся в разных ме-
местах, то речь идет об установлении одновременности двух событий,
из которых одно происходит «здесь» (стрелка часов проходит через
определенное деление), а другое — «там» (движущееся тело проходит
через определенное положение). А это нечто совсем иное. Нужен
какой-то сигнал, который дал бы нам знать, что «там» это событие про-
произошло.
Для этой цели пользуются сигналами, обладающими конечной
скоростью распространения, а именно, световыми или радиосигна-
радиосигналами. В тот момент, когда «там» произошло событие (точка тела про-
проходит через определенное деление линейки), посылается световой или
радиосигнал. В момент прихода сигнала мы отмечаем положение
стрелки часов. Однако, поскольку скорость распространения сигна-
сигналов конечна, не этот момент является моментом, когда «там» произошло
событие. Если в момент получения сигнала часы показывают время /,
то моментом, когда «там» произошло событие, следует считать время
/' = /-xlf B.1)
г) Чтобы исключить субъективные ошибки наблюдателя, можно применить
какие-либо объективные методы, устанавливающие одновременность двух событий,
н апример моментал ьную фотографию.

§ 7] ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ OTG4ETA 33
где тх — промежуток времени, в течение которого световой сигнал
проходит путь «оттуда» -т- «сюда». Для определения момента, когда
«там» произошло событие, мы должны знать этот промежуток времени
и отсчитать его от показаний часов.
Мы не в состоянии непосредственно измерить промежуток вре-
времени, за который сигнал проходит путь «оттуда» — «сюда», так как
для этого нужно знать момент, когда сигнал вышел «оттуда». (Это
было бы возможно только в том случае, если бы в нашем распоряже-
распоряжении был какой-то другой сигнал, который дал бы нам знать, когда
именно световой сигнал вышел «оттуда», для чего этот другой сигнал
должен был бы распространяться с гораздо большей скоростью, чем
световой; тогда временем его распространения, по сравнению с вре-
временем распространения светового сигнала, можно было бы пренеб-
пренебречь.) Но при помощи часов можно измерить промежуток времени,
в течение которого световой или радиосигнал проходит путь «от-
«отсюда» — «туда» и обратно. Для этого достаточно послать «отсюда»
сигнал на зеркало, находящееся «там», и по часам, установленным
«здесь», отсчитать промежуток времени, прошедший с момента отправ-
отправления сигнала до момента возвращения сигнала, отраженного от
зеркала.
Промежуток времени между отправлением и возвращением сигнала
%' = тх + т2, где т2 — время прохождения сигнала «туда», а тх —
время прохождения сигнала обратно. Мы не можем непосредственно
на опыте убедиться в том, что тх == т2, т. е. что скорость сигналов в
обоих направлениях одинакова. Однако веские соображения дают осно-
основания считать, что скорость света в свободном пространстве (в «пу-
«пустоте») должна быть во всех направлениях одинакова. Эти соображе-
соображения вытекают из свойств изотропности свободного пространства,
в котором все направления должны быть равноправны х). Заметим,
кстати, что это утверждение о равноправности всех направлений не
применимо к свободному пространству, в котором действуют силы
всемирного тяготения. Как будет показано ниже (§ 85), силы тяготе-
тяготения могут изменять скорость и искривлять пути распространения
света.
Если принять указанное выше предположение, что скорость света
в двух направлениях одинакова, т. е. что х± = т72, то из B.1) можно
определить момент времени t', когда «там» произошло событие, по
моменту времени /, когда «сюда» пришел сигнал о том, что событие
«там» произошло. Но для этого необходимо послать два световых
сигнала: один «оттуда» — «сюда», извещающий о том, что событие
х) Говоря о свободном пространстве («пустоте»), мы имеем в виду, что среда,
в которой распространяются сигналы, настолько разрежена, что она не влияет на
скорость их распространения. При наличии достаточно плотной среды не только
скорость распространения сигналов может отличаться от скорости в пустоте, но
и путь их распространения может оказаться криволинейным и, наконец, различные
направления в пространстве могут оказаться неравноправными,
2 С. Э. Хайкин

34 КИНЕМАТИКА [ГЛ. 11
произошло, т. е. служащий для отсчета t, и другой «отсюда» — «тудах
и обратно, служащий для измерения т' = 2х±.
Можно, однако, существенно упростить метод определения момента
/', когда «там» произошло событие, избавившись от необходимости
при каждом определении посылать световые сигналы, если, помимо
часов, находящихся «здесь», установить достаточно большое число
часов во всей области, где могут происходить интересующие нас собы-
события, например, расставив часы достаточно часто на траекторий тела,
движение которого мы хотим изучить. Тогда наблюдатели, находя-
находящиеся у каждых часов, могут по этим часам непосредственно отсчиты-
отсчитывать момент t\ когда «там» произошло событие (тело прошло мимо
точки, в которой установлены данные часы).
Что же нужно сделать для того, чтобы обеспечить совпадение от-
отсчетов /' по часам, установленным «там», с результатами определе-
определения f из B.1) путем измерения t и т' по часам «здесь» с помощью свето-
световых сигналов?
Конечно, прежде всего мы должны пользоваться везде одина-
одинаковыми часами, т. е. такими, которые, будучи установлены рядом,
не расходятся между собой. Но этого мало: мы не можем утверждать,
что часы не расходятся между собой при транспортировке «туда»,
так как мы не изучили детально поведения часов. Мы убедились только,
что они не расходятся между собой, когда они покоятся друг относи-
относительно друга, но мы ничего не знаем о том, как движение часов влияет
на их ход. Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Забегая впе-
вперед, отметим, что на опыте действительно обнаруживается влияние
движения часов на их ход. Но в рассматриваемой задаче нет необхо-
необходимости учитывать это влияние, так как его можно устранить, сверив
каждые часы, доставленные «туда», с часами, находящимися «здесь»,
при помощи световых сигналов. При этом все часы, расположенные
«там», нужно установить так, чтобы величина t't отсчитываемая по
каждым из этих часов, совпадала с найденной из B.1). Для этого мы
должны поступить следующим образом.
Установим около каждых часов «там» зеркало и будем посылать
световые сигналы «отсюда» — «туда» и обратно. Если сигнал отправ-
отправлен в момент t0, а возвратился в момент t, то время распространения
сигнала туда и обратно
а время распространения сигнала «оттуда» — «сюда»
Мы должны сделать так, чтобы момент/', когда происходит отражение
сигнала «там», и момент /, когда отраженный сигнал пришел «сюда»,
удовлетворяли соотношению B.1). Подставляя в это соотношение

§ 7] ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 35
полученное значение хи найдем:
1±к B.2)
Следовательно, чтобы отсчет момента времени, когда «там» про-
произошло событие, по расположенным «там» часам совпадал с определе-
определением этого же момента времени при помощи световых сигналов по
B.1), все расположенные «там» часы должны быть предварительно,
при помощи синхронизующих световых сигналов, установлены в со-
соответствии с B.2): стрелка часов «там» в момент отражения синхрони-
синхронизующего сигнала должна находиться посередине между положениями,
которые занимает стрелка часов «здесь» в моменты отправления и воз-
возвращения синхронизующего сигнала. Если все часы «там» при сверке
с часами «здесь» установлены так, как только что указано, и дальше
все часы идут с одинаковой скоростью, то говорят, что все часы син-
синхронизованы между собой. После этого момент времени /', когда «там»
произошло событие, можно отсчитывать непосредственно по часам,
находящимся в той точке, где произошло событие, не пользуясь све-
световыми сигналами (сигналы могут понадобиться лишь для того, чтобы
время от времени с помощью соотношения B.2) проверять синхрон-
синхронность всех часов).
Однако для синхронизации часов между собой после транспорти-
транспортировки световые сигналы принципиально необходимы. Таким обра-
образом, для того чтобы обеспечить описание движения тел, т. е. описание
положения тел в определенные моменты времени, помимо линеек,
необходимы не только часы, но и источники световых сигналов (с со-
соответствующими приспособлениями для регистрации моментов отправ-
отправления и прихода сигналов). Линейки, часы и источники световых сиг-
сигналов составляют «комплект основных инструментов», которые обес-
обеспечивают получение данных, необходимых при пространственно-
временном описании движений.
Каждым из этих инструментов приходится пользоваться не в одном
экземпляре, а часто сразу во многих экземплярах (примером может
служить большое число часов, расставленных в разных точках, для
измерения tr). Поэтому возникает вопрос о том, как связаны между
собой результаты измерений, произведенных при помощи различных
экземпляров инструментов. Мы всегда можем сверить между собой
две или несколько неподвижных линеек (прикладывая их одну к дру-
другой), двое или несколько неподвижных часов (сравнивая их показания
непосредственно, когда они находятся близко, или при помощи све-
световых сигналов, когда они находятся далеко). Но если две линейки
движутся одна относительно другой, то надо применять какой-то
более сложный метод их сравнения. Точно так же усложнились бы
методы сравнения хода движущихся друг относительно друга часов
или сопоставления показаний, полученных в результате применения
движущихся друг относительно друга источников световых сигналов.
2*

36 КИНЕМАТИКА [ГЛ. II
Чтобы избежать всех этих осложнений, мы сначала будем поль-
пользоваться только одной определенной системой отсчета (как сказано
выше, выбор этой системы отсчета будет сделан в динамике) и будем
производить все измерения при помощи неподвижных относительно
этой системы отсчета основных инструментов — линеек, часов и источ-
источников световых сигналов. Тем самым мы избавляемся от необходи-
необходимости учитывать влияние движения на показания этих инструментов
(влияние движения на ход часов при их транспортировке, а не при
измерениях, как мы видели, исключается путем синхронизации часов
с помощью световых сигналов после транспортировки). Что же ка-
касается неподвижных инструментов, то о сверке между собой линеек и
часов уже было сказано, и остается рассмотреть только вопрос о сопо-
сопоставлении показаний неподвижных источников световых сигналов.
Единственное свойство источников световых сигналов, которое
может иметь значение в случае применения в указанных выше целях,—
это скорость распространения световых сигналов. С помощью син-
синхронно идущих часов, расположенных в разных местах, мы можем из-
измерить скорость световых сигналов. Для этого поместим источник
коротких световых сигналов в точку Л, где находятся одни часы, и
пошлем световой сигнал в направлении других часов, находящихся
в точке В. Если сигнал отправлен из Л в момент /^> а пришел в В в мо-
момент tB и если расстояние между А и В (измеренное при помощи уло-
уложенных вдоль прямой АВ линеек) есть rABt то скорость света
(напомним, что часы в Л и В были предварительно синхронизованы
при помощи световых сигналов по способу, определяемому соотно-
соотношением B.2)).
Такой метод измерения скорости света принципиально является
наиболее безупречным, однако практически он не может обеспечить
достаточно высокой точности. Поэтому обычно применяется метод
измерения скорости света по времени прохождения светового сигнала
от источника до зеркала и обратно. Тогда время, в течение которого
световой сигнал проходит путь туда и обратно, измеряется только
в одном месте, в чем и заключается практическое преимущество этого
метода1). Однако в этом методе дополнительно используется предпо-
предположение, что скорость света одинакова в двух направлениях. Правда,
мы этим предположением уже пользовались для синхронизации часов.
Но в самом методе измерения скорости света при помощи двух син-
синхронизованных часов никаких предположений не делается, и в этом
заключается принципиальное преимущество метода.
х) Вместо измерения при помощи одних часов оказывается возможным приме-
применять другие методы, которые могут обеспечить гораздо более высокую точность, чем
отсчет по часам.

§ 8] ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ 37
Измерения скорости света производились неоднократно различ-
различными способами, причем оказалось, что величина этой скорости в сво-
свободном пространстве (в «пустоте») всегда одна и та же, а именно:
с = 299 796 ±1 км/сек.
Поэтому, пока мы будем иметь дело с неподвижными источниками
света (вопрос о движущихся источниках света будет рассмотрен особо),
мы можем быть уверены, что все источники световых сигналов посы-
посылают сигналы, распространяющиеся с одинаковой скоростью.
Так же как на опыте мы убеждаемся, что при измерении длины
достаточно жесткие (например, стальные) линейки удовлетворяют
требованиям повторяемости, однозначности, транзитивности и т, д.,
опыт показывает, что световые сигналы обеспечивают выполнение
аналогичных требований при синхронизации часов.
Пока мы все измерения производим, как было условлено, только
при помощи инструментов, неподвижных в единственной выбранной
нами системе координат, весь наш опыт говорит о свойствах только
неподвижных инструментов. Опираясь на этот опыт, мы можем счи-
считать идентичными все экземпляры неподвижных друг относительно
друга инструментов данного типа и считать совпадающими результаты
измерений, производимых при помощи каждого из экземпляров этих
инструментов. Но этот опыт ничего не говорит о соотношении между
показаниями движущихся инструментов. Поэтому, пока не изучен
вопрос о влиянии движения на свойства инструментов, мы не вправе
применять движущиеся инструменты.
Постановка и решение вопроса о влиянии движения на показа-
показания основных инструментов входят в круг задач специальной теории
относительности и будут рассмотрены в гл. IX. А до этого мы должны
пользоваться основными инструментами только неподвижными, т. е.
покоящимися в той систему координат, относительно которой рассмат-
рассматриваются движения и выбор которой будет обоснован в динамике
(§ 16). (Если иногда мы будем пользоваться для измерений движу-
движущимися инструментами, то только в тех случаях, когда движение ин-
инструментов заведомо не может сказаться на результатах измерений.)
§ 8. Элементарное перемещение точки
Для того чтобы полностью определить движение какого-либо
реального тела, нужно знать движение каждой его точки. Поэтому
прежде всего необходимо установить способы описания движений
точки, т. е. установить основные положения кинематики точки.
Выбрав систему отсчета, мы можем определять положение точки
в пространстве при помощи трех координат, например, в прямоуголь-
прямоугольной (декартовой) системе координат. Если точка движется, то это зна-
значит, что положение ее относительно системы отсчета меняется со вре-
временем, т. е. координаты движущейся точки являются функциями

38
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. II
Рис. 2.
времени. Для определения движения точки мы должны были бы найти
вид этих функций. Однако конкретными условиями задачи непосред-
непосредственно определяется не вид этих функций, а
вид функций, определяющих ускорение или,
в некоторых случаях, скорость движущейся
точки. Чтобы установить связь между коор-
координатами точки, ее скоростью и ускорением,
нужно ввести представление об элементар-
элементарном перемещении точки.
Если при движении по какой-либо траек-
траектории точка переместилась из Л в В (рис. 2),
то перемещение точки есть отрезок АВ (на-
(направленный от А к В). Если затем точка пе-
переместилась из В в С, то это второе переме-
перемещение есть отрезок ВС. Результирующее пе-
перемещение точки выражается отрезком АС и представляет собой
замыкающую двух составляющих перемещений или, что то же, диаго-
диагональ параллелограмма, построенного на составляющих перемещениях.
Следовательно, отрезки, представляющие перемещения, складываются
геометрически (по правилу параллелограмма).
Такие величины, которые, подобно переме-
перемещениям, характеризуются не только значе-
значением величины, но и определенным направ-
направлением в пространстве (в отличие от скаляр-
скалярных величин, не связанных с определенным
направлением в пространстве) и складывают-
складываются геометрически, называются векторными
величинами или векторами. Перемещение точ-
точки есть вектор. Векторные величины мы будем обозначать либо дву-
двумя буквами (соответствующими началу и концу отрезка) со стрелкой
наверху, либо одной жирной буквой. Мы будем, например, писать
(рис. 3): _ _ „
АС^АВ + ВС или а + Ь = с.
Всякое перемещение мы можем изображать в виде суммы каких-
либо составляющих перемещений бесчисленным числом способов. Но
при заданных направлениях всех составляющих перемещений задача
становится однозначной. Например, если мы изобразим перемещение
ОС в виде суммы трех перемещений, направленных по трем осям де-
декартовой системы координат (рис. 4), то эти составляющие перемеще-
перемещения будут равны соответственно ОА, АВ и ВС или 0Af, OB' и ОС'
(рис. 5). Эти векторы представляют собой составляющие (компоненты)
вектора ОС по трем осям координат. Если направления, в которых
мы берем составляющие данного вектора, раз навсегда фиксированы,
то и направления составляющих векторов также остаются неизменными.
Рис. 3.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ТОЧКИ
39
При изменении вектора ОС изменяются только абсолютные величины
компонент ОА\ ОВ' и ОС''. Поэтому с векторами ОА', ОВ' и ОС' мы
можем обращаться, как со скалярными величинами (так как они пол-
полностью определены, если известна их величина). Таким образом, всякий
вектор мы сможем задавать тремя скалярными величинами: тремя
компонентами по осям координат.
С
о
Рис. 4.
Рис. 5.
Если вектор а образует с осями координат х, у, г углы а, E, у, то
его компоненты по этим осям соответственно равны
где a — }fa% + al + a%L есть абсолютная величина (длина) вектора а.
Вектор перемещения, вообще говоря, не совпадает с участком
траектории, которую описала движущаяся точка при данном пере-
перемещении (так как траектория может быть криволинейной). Но если
взять достаточно малое перемещение, то с требуемой степенью точ-
точности можно заменить малый участок траектории ее хордой и считать,
что вектор перемещения совпадает с соответствующим участком тра-
траектории. Такое достаточно малое перемещение As называется элемен-
элементарным перемещением. Если компоненты этого вектора по трем осям
ху у, z соответственно равны Ах, Ау, Аг, то абсолютная величина век-
вектора As
As-
Если вектор As образует с осями координат углы а, C, ч% то
Ал: = As cos а, Ar/ = Asce>S(i, Az = Ascosv. B,3)

40 КИНЕМАТИКА 1ГЛ. II
§ 9. Скорость
Пусть элементарное перемещение As произошло за время At.
Отношение As/At есть величина, вообще говоря, непостоянная, зави-
зависящая от выбранной нами величины промежутка времени At. Если
мы будем брать промежуток А^ все меньше и меньше, то отношение
As/At будет изменяться. Уменьшая все дальше и дальше промежуток
времени At, мы обнаружим в конце концов, что отношение As/ At пере-
стает заметно меняться при дальнейшем дроблении промежутка. При
неограниченном уменьшении промежутка времени At отношение
As/At будет стремиться к некоторому пределу. Этот предел
есть линейная скорость точки1). Это — вектор, по величине равный
пределу отношения величины перемещения As к соответствующему бес-
бесконечно малому промежутку времени At и по направлению совпадаю-
совпадающий с вектором As, т. е. с касательной к траектории. (Скорость v пред-
представляет собой вектор, полученный из вектора As умножением его на
скалярную величину 1/А/.)
Вектор скорости, как и всякий вектор, можно задавать тремя
компонентами по осям координат. Компоненты вектора скорости по
осям координат соответственно равны
[Щ B-4>
где а, р, у — углы вектора ю с осями координат. Принимая во внима-
внимание B.3), где а, |3, у — те же углы (так как направления As и v сов-
совпадают), найдем:
»-"&?-& *-&?-* *-¦?„?-*. <2-6>
т. е. компоненты вектора скорости выражаются производными по вре-
времени от соответствующих координат точки.
Из сказанного вытекает и метод измерения скорости. Если каким-
либо способом регистрировать значения трех координат движущейся
точки через достаточно малые интервалы времени At, которые можно
еще дальше делить на части, и если окажется, что отношения Ах/At,
Ay/At, Az/Ai, взятые для данного интервала времени от t0 до t0 + А/,
практически не изменяются при делении At на части, то эти отношения
и представляют собой результат измерения компонент скорости точки
для интервала от t0 до t0 + At. Конечно, предел, до которого нужно
уменьшать At для того, чтобы при дроблении А* на части перестали
г) Когда речь идет только о линейной скорости и другие (угловые) скорости не
рассматриваются, термин «линейная» обычно опускают.

§ 10] УСКОРЕНИЕ 4]
изменяться отношения AxlAt, Ay/At, AzIAt, зависит не только от ха-
характера движения, но и от той точности, с которой производятся изме-
измерения Ах, Ау, Аг и At. Но для данной точности измерений при любом
характере движения этот предел может быть достигнут, и тогда можно
считать, что скорость точки для данного интервала времени измерена
с точностью, определяемой точностью измерения Ах, Ау9 Аг и At.
(Если все эти величины измеряются с одной и той же относительной
точностью, то компоненты скорости определяются с вдвое меньшей
относительной точностью.)
Если известен вид функций, выражающих зависимости координат
точки от времени, то компоненты скорости мы получим, дифференци-
дифференцируя эти функции по времени. Наоборот, если нам известно, как ком-
компоненты скорости точки зависят от времени, то при помощи обратной
операции — интегрирования — мы можем найти вид функций, выра-
выражающих зависимость координат от времени. При этом, однако, в ре-
результате интегрирования мы получим функции, содержащие по одной
произвольной постоянной (постоянной интегрирования). Чтобы опре-
определить эти произвольные постоянные и иметь возможность находить
значения координат в любой момент времени, необходимо знать зна-
значения координат для какого-либо определенного момента времени.
Поясним сказанное на простейшем примере. Пусть, например,
известно, что компонента скорости по координате х постоянна и равна
v0. Другими словами, dxldt = v0 или dx = vodt. Интегрируя, получим:
x = lv0dt=vJ + C9 B.6)
где С— постоянная интегрирования. Если нам известно, что х = хх
в момент t = tu то, подставляя в уравнение B.6) эти значения, най-
найдем: хг = votx + С, откуда С = хг — vbtx и, следовательно,
§ 10. Ускорение
При движении точки скорость ее, вообще говоря, может изме-
измениться как по направлению, так и по величине. Пусть, например,
векторы vx и ©2 изображают скорость точки со-
соответственно в моменты времени tx и /2 (рис. 6).
Изменение скорости за промежуток времени
А/ = t2 — tx есть вектор Av = v2 —v±.
Взяв отношение Av/At9 мы получим некото-
некоторый новый вектор, величина и направление ко-
которого, вообще говоря, будут различны для раз- рис 5
личных промежутков времени. Вектор Av/At
будет изменяться, если мы, выбрав какой-либо промежуток време-
времени Л?, будем затем этот промежуток уменьшать. Однако если мы
все дальше и дальше будем уменьшать промежуток времени At, то,

42 КИНЕМАТИКА [ГЛ. If
в конце концов, перестанем обнаруживать изменения вектора Av/At.
Другими словами, при неограниченном уменьшения промежутка вре-
времени А* отношение Av/At стремится к некоторому определенному
пределу. Этот предел
'=2?о? B-7)
представляет собой линейное ускорение точки г). Это — вектор, длина
которого равна пределу отношения Да/Л/, а направление совпадает
с направлением вектора Aw, изображающего изменение скорости за
бесконечно малый промежуток времени At.
Av может не совпадать по направлению с vy и, следовательно,
направление вектора ускорения, вообще говоря, не совпадает с на-
направлением вектора скорости.
Если компоненты вектора Av суть Avxy Avy и Avzy то, рассуждая
так же, как и при определении компонент вектора скорости, найдем
компоненты вектора ускорения:
>х dvx . ,. А»у dvy . Ъюг dvz
^^ l B8)
Принимая во внимание B.5), получим:
*х dt2 ' *У dt2 ' iz dt29 \t?"*f)
т. е. компоненты вектора ускорения выражаются вторыми производ-
производными по времени от соответствующих координат точки.
Отсюда вытекает и метод измерения ускорений. Если по методу,
изложенному в § 9, измерены скорости в двух смежных интервалах
времени Д/, то отношения разностей компонент скоростей в этих ин-
интервалах к величине интервала, т. е. AvJAt, Avy/At и AvJAt, пред-
представляют собой значения компонент ускорения для момента времени,
соответствующего границе между двумя взятыми смежными интерва-
интервалами At. Однако относительная точность определения компонент уско-
ускорения при этом может оказаться значительно меньшей, чем относи-
относительная точность, с которой были измерены компоненты скорости,
так как Avx, Avy, Avz часто оказываются малыми разностями больших
величин vx, vy, vZf вследствие чего относительная ошибка определе-
определения Avx, Avy, Avz может быть значительно больше, чем относительная
ошибка измерения vx, vy, vz. Поэтому на практике обычно применяют
другие методы измерения ускорений, основанные не на кинематиче-
кинематических, а на динамических соотношениях.
Когда нам известен вид функций, выражающих зависимость коор-
координат от времени, то двукратным дифференцированием их мы найдем
х) Когда речь идет только о линейном ускорении и другие (угловые) ускорения
не рассматриваются, термин «линейное» обычно опускают.

§ 10] УСКОРЕНИЕ 43
компоненты вектора ускорения, а вместе с тем его величину и напра-
направление. Наоборот, если известен вид функций, выражающих зави-
зависимость компонент ускорения от времени, то обратной операцией —
интегрированием — мы найдем функции, выражающие зависимость
координат от времени. Однако при двукратном интегрировании в функ-
функции, выражающие зависимость координат от времени, войдут по две
произвольные постоянные (постоянные интегрирования), для опре-
определения которых необходимо знать либо значения координат в какие-
нибудь два определенных момента времени, либо значения координат
и компонент скорости в какой-нибудь определенный момент времени.
По известным значениям компонент скорости в какой-либо момент
времени мы сможем определить постоянную интегрирования, появив-
щуюся после первого интегрирования, а по значениям координат в
некоторый момент времени — вторую постоянную, появившуюся в ре-
результате второго интегрирования. Пусть, например, тело движется
в направлении оси х с постоянным ускорением а:
1а BЛ0>
Интегрируя это уравнение, получим:
ox^=at + C1. B.11)
Интегрируя уравнение второй раз, получим:
* B.12)
Если, например, известно, что при t = 0 vx — v0 и х = 0, то, под-
подставив / = 0 и vx = v0 в уравнение B.11), мы определим первую
постоянную интегрирования: Сх = а0. Подставив / = 0 и jc = O в
уравнение B.12), найдем вторую постоянную: С2 = 0. Тогда
at2
Это — известная формула пути, проходимого при равномерно уско-
ускоренном движении с ускорением а и начальной скоростью v0.
Таким образом, если нам известны компоненты ускорений как
функции времени, то для того, чтобы определить координаты точки
в любой момент времени, необходимо, помимо выполнения чисто
математической операции — двукратного интегрирования, знать еще
координаты точки и компоненты ее скорости в какой-либо определен-
определенный момент времени. Обычно в задачах механики бывают известны
координаты и скорость точки в один и тот же момент времени, кото-
который принимается за начальный момент рассматриваемого движения.
Поэтому известные значения координат и скорости в какой-либо

44
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. TI
Рис. 7.
определенный момент времени называют начальными условиями. Для
полного описания движения точки достаточно, следовательно, опре-
определить ускорения, которые испытывает точка
в каждый момент времени, и знать началь-
начальные условия.
Поскольку вектор ускорения не совпадает
по направлению с вектором скорости, ускоре-
ускорение может быть разложено на две компонен-
компоненты: в направлении скорости и в перпендику-
перпендикулярном направлении. Обе эти компоненты иг-
играют разную роль в изменении скорости
движения.
При выяснении роли двух компонент ус-
ускорения мы рассмотрим сначала плоское дви-
движение точки (т. е. случай, когда траектория
точки лежит в одной плоскости). Разложим
вектор ускорения / на две взаимно перпенди-
перпендикулярные компоненты — тангенциальную ji9
совпадающую по направлению с вектором скорости (а значит, и с
касательной к траектории), и нормальную /„, перпендикулярную к
вектору скорости (рис. 7). За малый промежуток времени Д/ тан-
тангенциальная компонента ускорения даст
малое изменение скорости на величину
Avt = jtAt в направлении вектора v. Нор-
Нормальная же компонента ускорения даст за
это время малое изменение скорости Avn =
= jnAty направленное перпендикулярно к
самому вектору скорости (рис. 8), Легко
видеть, что изменение t±v; вектора, направ-
направленное по самому вектору v, изменит только величину vy но не изме-
изменит его направления. Поэтому и величина тангенциального ускоре-
ускорения jt представляет собой производную по вре-
времени от величины скорости v, рассматриваемой
как скаляр:
/* = $• B.13)
Рис. 9. С другой стороны, изменение &vn, направленное
перпендикулярно к v, если оно мало, изменяет
только направление вектора v, а не его величину. Действительно, по-
после изменения на Дивектор v превратится в вектор vr (рис. 9). Но
v'2 = у2 + {AvnJ, и так как Avn достаточно мало, то с точностью до
величины второго порядка малости v' = v.
Таким образом, тангенциальная компонента ускорения изменяет
только величину скорости, а нормальная — только ее направление.
Так как вектор скорости совпадает по направлению с касательной
к траектории движения, то нормальная компонента ускорения всегда
Рис. 8.

10]
УСКОРЕНИЕ
45
должна быть направлена в ту сторону, куда поворачивается касатель-
касательная, т. е. внутрь траектории; поэтому и полное ускорение всегда на-
направлено внутрь траектории. Если полное ускорение j будет направ-
направлено вперед от нормали — в направлении
движения (рис. 7), то тангенциальная ком-
компонента ускорения совпадает с направле-
направлением скорости, т. е. абсолютная величина
скорости увеличивается. Наоборот, если
полное ускорение j направлено назад от
нормали (рис. 10), то тангенциальное уско-
ускорение направлено против скорости и абсо-
абсолютная величина скорости уменьшается.
Найдем величину нормального ускоре-
ускорения в наиболее простом случае равномер-
равномерного движения по окружности. Пусть точка
за некоторое время At переместилась из Л
в В (рис. 11). Скорости точки в А и В
представляют собой равные по величине
векторы vx и v2i касательные к окружно-
окружности соответственно в точках А и В. Пе-
Перенеся вектор vx в точку В, получим вектор Av, изображающий из-
изменение скорости за время At. Но треугольники BCD и ОАВ подоб-
подобны, как равнобедренные с одина-
одинаковыми углами при вершинах.
Поэтому CD/ВС = АВ/ОА или
Av = ~AB. B.14)
При беспредельном уменьшении
At угол между vx и v2 стремится
к нулю, а угол между v2 и Av —
к прямому; значит, вектор Av при-
приближается к направлению нормали
к траектории, т. е. к направлению
радиуса. Следовательно,
J
Рис. 10.
С
Г
B.15)
Рис. 11.
Но, с другой стороны, р
длина хорды А В приближается к
длине дуги As, которая представляет собой путь, пройденный точ-
точкой за время А/. Поэтому при малых At мы можем вместо B.14) на-
написать: Av = (v/r) As. Деля обе части на At и переходя к пределу,
получим:
/» = ~. B.16)

46 КИНЕМАТИКА [ГЛ. ТТ
Это ускорение направлено к центру окружности, его называют цент-
центростремительным .
Такую же величину имеет нормальное ускорение и в случае нерав-
неравномерного движения по окружности. В этом случае вектор <vz будет
по величине отличаться от щ. Однако это изменение величины век-
вектора v связано с наличием тангенциального ускорения jt. Нормальное
же ускорение связано только с изменением направления вектора v
и по-прежнему выражается формулой B.16).
Итак, в случае движения по окружности
/»=?; Л=|. BЛ7)
Следовательно, зная радиус траектории и скорость движения точки
как функцию времени, мы можем найти нормальную и тангенциаль-
тангенциальную компоненты ускорения. Так как эти компоненты взаимно перпен-
перпендикулярны, то полное ускорение
Когда величина скорости постоянна, то dvldt = О, / = /„; полное
ускорение направлено к центру окружности и постоянно по величине.
§ 11. Угловая скорость и угловое ускорение
При движении точки по окружности радиус, проведенный к этой
точке, поворачивается за время At на некоторый угол Да (рис. 11).
Этот угол называется угловым перемещением.
Угловой скоростью со называется предел, к которому стремится
отношение углового перемещения Да к промежутку времени Д/, за
который это перемещение произошло, при бесконечном убывании Ы,
т. е.
-I. Асе dec /tr. * fw
*в?!?од7=ж- BЛ9>
Для иллюстрации представления об угловой скорости можно воспользоваться
методом стробоскопического освещения г). Если черный диск с белой чертой по ра-
радиусу привести в быстрое вращение (например, насадив его на ось мотора), то при
непрерывном освещении черту нельзя разглядеть, диск будет казаться серым. Если
же освещать диск стробоскопически, то глаз будет отмечать отдельные положения
белой черты, соответствующие моментам, когда стробоскоп дает вспышку света.
Поэтому на диске мы увидим несколько белых линий, составляющих равные углы
между собой (рис. 12, а). Это соответствует постоянной угловой скорости. Эти линии
могут перемещаться в ту или другую сторону в зависимости от соотношения между
числом оборотов диска и числом вспышек стробоскопа в секунду, но углы между
всеми линиями будут равны. Когда число вспышек стробоскопа в точности кратно
г) Стробоскопическим называется освещение отдельными кратковременными
вспышками, следующими через равные промежутки времени.

§ in
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ
47
числу оборотов диска, то линии на диске остановятся, причем число этих линий будет
равно п — отношению числа вспышек стробоскопа к числу оборотов диска (за каждый
оборот диска стробоскоп даст п вспышек, которые застанут белую черту в «различных
положениях, отличающихся на угол 2п/п). Если же резко затормозить диск, то, пока
диск останавливается, можно заметить, что углы между линиями уменьшаются в
соответствии с тем, как уменьшается угловая скорость при торможении (рис. 12, б).
Точка, лежащая на расстоянии г от оси вращения, при повороте
на малый угол Да опишет малую дугу As = гАа (см. рис. 11). Раз-
Разделив обе части равенства на
элемент времени Aty за который
произошло это перемещение, по-
получим: ^==г~?-> или после пе-
перехода к пределу:
0 = ©г, B.20)
где v — линейная скорость рас-
рассматриваемой точки, а о) — уг-
угловая скорость вращения.
Угловым ускорением называет-
называется предел отношения изменения
угловой скорости Асо за промежуток времени At к этому промежутку
времени при бесконечном уменьшении последнего, т. е. угловое уско-
ускорение
ч=НтД = 5 B.21)
и, на основании B.19),
Рис. 12.
Зная угловую скорость и угловое ускорение, можно найти линей-
линейное ускорение точки, движущейся по окружности. Для эгого подста-
подставим в соотношения B.17) выражения, связывающие линейную ско-
скорость с угловой B.20) и производную линейной скорости с производ-
производной угловой скорости (последнее получается дифференцированием по t
выражения B.20), в котором г — постоянная величина):
do d(o
rr4
В результате этих подстановок получим:
Полное ускорение точки согласно B.18)
B.22)
B.23)

48
КИНЕМАТИКА
[ГЛ, И
Соотношения B.17) и B.18), полученные нами для частного случая
движения по окружности, справедливы для всякого плоского движе-
движения. Всякий достаточно малый участок криволинейной траектории
мы можем заменить дугой окружности. Эта окружность называется
кругом кривизны для данной точки кривой. Рассматривая отдельные
элементы плоской криволинейной траектории как элементы окруж-
окружностей, мы получим для них те же результаты, что и для движения
по окружностих). Только вместо радиуса ок-
окружности г мы должны подставить радиус кру-
круга кривизны р, т. е. радиус кривизны траекто*
рии\ следовательно, для всякого плоского кри-
криволинейного движения
Рис. 13.
Но в отличие от движения по окружности р ме-
меняется от точки к точке. Если тангенциальное
ускорение отсутствует, то полное ускорение
направлено по нормали и движение происходит
со скоростью, постоянной по величине, но пере-
переменной по направлению, — это криволинейное
равномерное движение. Когда движение происхо-
происходит по окружности, для равномерного движения
необходимо, чтобы полное ускорение было всегда
направлено по нормали к окружности, т. е. по
радиусу. При этом ускорение всегда направлено в одну и ту же точку —
к центру. Если же при движении по любой другой криволинейной
траектории ускорение всегда направлено в одну и ту же точку, то оно
уже не может везде оставаться нормальным к траектории (так как
только для окружности нормаль все время направлена в одну и ту
же точку). В некоторых частях траектории непременно будет суще-
существовать тангенциальная составляющая ускорения, и скорость не
может оставаться постоянной по величине. Отсюда, например, видно,
что движение планет по эллиптическим орбитам должно происходить
с переменной по величине скоростью, так как ускорение планет всегда
направлено к Солнцу.
В случае неплоского движения (траектория точки является не-
неплоской кривой) картина усложняется, однако по-прежнему ускоре-
ускорение может быть разложено на две составляющие — тангенциальную
и нормальную, так же как и в случае плоского движения. При этом
*¦) Когда речь шла об определении скорости движения, мы могли элемент кри-
криволинейной траектории заменить элементом прямой. При определении ускорений
мы уже не можем этого сделать, так как наличие ускорения обусловливает искрив-
искривление траектории. Поэтому необходимо учесть кривизну траектории. Эту кривизну
траектории и определяет круг кривизны, элементом которого мы заменяем элемент
траектории.

$ 12] ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 49
остаются справедливыми выражения B.24) для величин нормальной
и тангенциальной составляющих и абсолютной величины ускорения.
В качестве примера неплоского движения рассмотрим движение точки А по вин-
винтовой линии с постоянной по величине угловой скоростью со (рис. 13). При этом коор-
координаты движущейся точки изменяются по закону:
х = г cos со/; у = г sin со/; z = vot (v0 = const < 0).
Компоненты скорости точки получим дифференцированием координат по t:
vx~ — rwsinco/; vy = rco cos со/; vz — v0.
Полная скорость точки по величине равна
0 = Vvx + vy + vl= V rW + vl
и направлена по касательной к винтовой линии. Компоненты ускорения точки полу-
получим дифференцированием компонент скорости по t:
/^ = — гсо2 cos со/; jy = — г со2 sin со/; )z — 0.
Полное ускорение по величине равно
и направлено по перпендикуляру, опущенному из движущейся точки на ось z (это
видно из того, что \z = 0, а \х и \у пропорциональны координатам х, у движущейся
точки и противоположны им по знаку).
§ 12. Перемещения твердого тела
Описание движения тела должно дать возможность определить
движение любой его точки. Часто можно определить положение любой
точки тела, если известно положение ограниченного числа отдельных
его точек. Это имеет место в случае, когда взаимное расположение
отдельных точек тела при движении практически не изменяется, т. е.
тело при движении почти не деформируется. Если деформации тела
малы и не играют принципиальной роли в рассматриваемом движении,
то ими можно пренебречь и рассматривать тело как недеформируемое
(абсолютно жесткое). Тогда для определения положения тела доста-
достаточно задать положения любых трех точек этого тела, не лежащих
на одной прямой, иначе говоря, задать положение произвольного
недеформирующегося треугольника, жестко связанного с телом.
Для определения положения одной точки в пространстве нужно
знать три ее координаты. Определение положения трех произвольных
точек в пространстве требует задания девяти величин — трех троек
координат. Однако в жестком треугольнике неизменяющееся расстоя-
расстояние между каждой парой точек выражается определенным образом
через координаты точек. Девять координат вершин треугольника не
независимы, а связаны между собой тремя уравнениями. Поэтому,
чтобы определить положение абсолютно жесткого тела в пространстве,
нужно задать шесть независимых величин.

50 кинематика [гл. и
Количество независимых величин, которые должны быть заданы
для определения положения тела (или системы тел), определяет число
степеней свободы тела. Следовательно, свободное абсолютно жесткое
тело обладает шестью степенями свободы.
Если абсолютно жесткое тело не вполне свободно, то оно обладает
меньшим числом степеней свободы. Если такое тело закреплено не-
неподвижно в одной точке, вокруг которой око может вращаться, то из
шести независимых координат три координаты неподвижной точки
фиксированы и для определения положения тела должны быть заданы
только три координаты. Следовательно, абсолютно жесткое тело,
одна точка которого закреплена неподвижно, обладает тремя степе-
степенями свободы.
Если абсолютно жесткое тело закреплено на неподвижной оси,
вокруг которой оно может вращаться, то это означает, что фиксиро-
фиксировано положение двух вершин треугольника. Из шести независимых
координат заранее фиксированы пять (координаты двух вершин тре-
треугольника, т. е. двух точек, расстояние между которыми также фик-
фиксировано), и для определения положения тела должна быть задана
только одна координата. Тело, закрепленное на оси, обладает одной
степенью свободы.
О числе степеней свободы можно говорить только применительно
к абсолютно жесткому телу или к отдельным точкам г). Если тело спо-
способно деформироваться, то положение нескольких его точек уже не
определяет положения всех его остальных точек и положение каждой
точки тела должно быть задано независимо. Поскольку всякое реаль-
реальное тело в действительности способно деформироваться, оно должно
было бы обладать бесконечным числом степеней свободы. Только пре-
пренебрегая деформациями тела, т. е. считая его абсолютно жестким,
можно говорить о конечном числе его степеней свободы (не превышаю-
превышающем шести).
При изучении движения твердого тела мы в большинстве случаев
будем рассматривать только плоские движения, при которых все точки
тела перемещаются в параллельных плоскостях. В этом случае жест-
жесткий треугольник ABC, которым мы определяем положение тела,
можно выбрать так, чтобы он все время лежал в одной из таких парал-
параллельных плоскостей (рис. 14). При этом для определения положения
треугольника достаточно задать только положение одной из его сто-
сторон, например стороны А В. Задать положение отрезка А В мы можем
при помощи двух пар координат его концов на плоскости. Но так как
расстояние между концами неизменно, эти две пары координат свя-
связаны одним уравнением. Поэтому положение отрезка на плоскости
г) Из самого определения ясно, что отдельная свободная точка обладает тремя
степенями свободы. Точка, которая может двигаться только по какой-либо фикси-
фиксированной поверхности, обладает двумя степенями свободы; точка, которая может
двигаться только по какой-либо фиксированной линии, обладает одной степенью
свободы.

131
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
51
определяется заданием трех независимых величин — твердое тело,
совершающее плоское движение, обладает тремя степенями свободы.
При движении твердого тела различные точки совершают, вообще
говоря, различные перемещения. В том частном случае, когда все
точки тела совершают одинаковые перемещения, движение его назы-
называется поступательным. В этом случае любая прямая, проведенная
в геле, движется, оставаясь параллельной самой себе. Другой важный
частный случай движения твердого
тела — это случай, когда какие-
либо две точки тела все время
остаются неподвижными. Прямая,
соединяющая эти две неподвижные
точки (и также остающаяся непод-
неподвижной), называется осью враще-
вращения, а само движение — вращением
вокруг неподвижной оси (легко ви- Рис- 14-
деть, что это движение является
частным случаем плоского движения). При поступательном движении
все точки тела движутся одинаково, и, определив движение какой-
либо одной точки тела, мы вместе с тем определим движение любой
его точки. Поэтому при описании поступательного движения тела не
возникает никаких новых вопросов по сравнению с теми, которые воз-
возникали при описании движения точки. При вращении вокруг непод-
х у вижиой оси различные точ-
точки тела движутся, вообще
говоря, по-разному; воз-
возникает вопрос, как из опи-
описания движения вращаю-
^А_ щегося тела получить ука-
>у зания о движении всех
г -JLJL точек этого тела.
^-^Z § 13. Вращение твердого
С тела вокруг неподвижной
оси
U При вращении твердого
тела вокруг неподвижной
оси все точки тела описы-
описывают окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к оси
вращения XX (рис. 15). Центры всех этих окружностей лежат на оси
вращения. Все точки тела совершают за любой промежуток времени
одинаковые угловые перемещения а, и поэтому угловая скорость со
Есех точек тела одинакова. Линейные скорости всех точек тела
Рис. 15,
где гь — радиус окружности, описываемой /-й точкой тела.

52
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. II
Скорости всех точек тела перпендикулярны к радиусам, прове-
проведенным к этим точкам, и пропорциональны расстояниям от оси вра-
вращения. Поэтому концы векторов скорости точек, лежащих на од-
одном радиусе, лежат на одной прямой, об-
образующей с радиусом угол а, причем
tga пропорционален угловой скорости о>
(рис. 16).
Нормальное и тангенциальное ускоре-
ускорения каждой точки тела определяются вы-
выражениями B.22), где для каждой точки
должен быть подставлен радиус описывае-
описываемой ею окружности г,-. Следовательно, нор-
нормальное ускорение точек тела
а тангенциальное ускорение
Рис. 16.
B.25)
B,26)
где т) — угловое ускорение, одинаковое
для всех точек тела. Полное линейное ускорение 1-й точки тела сог-
согласно B.23)
j^nV^ + rf. B.27)
Зная угловую скорость и угловое ускорение вращающегося тела,
а также расстояние от точки до оси
вращения, можно найти величину
и направление линейного ускоре-
ускорения для любой точки тела. Так как
отношение тангенциального уско-
ускорения к нормальному \tl\n —• т)/оJ
одинаково для всех точек тела, то
вектор полного ускорения/для всех
точек тела образует с радиусом, про-
проведенным к этой точке, один и тот
же угол р, причем tg р = rj/to2 (рис.
17). Величина полного ускоре-
ускорения пропорциональна расстоянию
до оси вращения. Поэтому для
всех точек, лежащих на одном ра-
радиусе, концы векторов ускорения
лежат на одной прямой. При т] >0
(угловая скорость возрастает) век-
векторы Ji лежат по ту же сторону от радиуса, что и векторы юг\ при
Ч <С 0 (угловая скорость уменьшается) векторы jt и vt лежат по разные
Рис. 17.

§ 14]
ВЕКТОРЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ
53
(О
стороны радиуса. При ц = 0 (вращение с постоянной угловой скоро-
скоростью) E = 0 и полное ускорение для всех точек направлено по радиусу
к оси вращения (т. е. существует только центростремительное уско-
ускорение).
§ 14. Векторы угловой скорости и углового ускорения
Угловая скорость и угловое ускорение, для которых задана только
величина, ничего не говорят об ориентировке оси вращения в прост-
пространстве. Можно так определить угловую скорость, что она будет ука-
указывать не только величину уг-
угловой скорости, но и ориенти-
ориентировку оси вращения в простран-
пространстве. Для этого угловую ско-
скорость изображают вектором,
направленным по оси вращения,
причем длина вектора в некото-
некотором условном масштабе выра-
выражает величину угловой скорости.
Чтобы полностью определить на-
направление вращения, требуется
задать не только ось вращения,
но и указать, в какую сторону
происходит вращение. Для этого
необходимо направление отрез-
отрезка, изображающего угловую ско-
скорость, связать определенным Рис. 18.
образом с направлением враще-
вращения. Обычно эту связь устанавливают, пользуясь правилом буравчика.
Отрезок, изображающий угловую скорость, считают направленным
в ту сторону, в которую будет двигаться поступательно (ввинчиваясь
или вывинчиваясь) буравчик, если его вращать в направлении изо-
изображаемого вращения (рис. 18 иллюстрирует это правило).
Однако, чтобы утверждать, что угловая скорость есть вектор,
нужно убедиться, что отрезки, изображающие указанным способом
угловые скорости, действительно обладают свойствами векторных
величин. Для этого рассмотрим свойства элементарных угловых пере-
перемещений (т. е. таких, которым соответствуют элементарные линейные
перемещения). Будем изображать их, так же как угловую скорость,
отрезками, направленными по правилу буравчика вдоль осей, вокруг
которых происходят эти перемещения, причем длина отрезка в опре-
определенном масштабе выражает величину углового перемещения. Тогда
(рис. 19) элементарное угловое перемещение Да, соответствующее пере-
перемещению точки из Л в В, изображается отрезком 0В'\ элементарное
угловое перемещение Д|5, соответствующее перемещению точки из В
в С, изображается отрезком ОС, и т.д. Каждому элементарному

КИНЕМАТИКА
[гл. тг
линейному перемещению соответствует отрезок, выражающий элемен-
элементарное угловое перемещение; этот отрезок пропорционален линейному
перемещению и повернут относительно него на 90°.
Таким образом, переход от элементарных линейных перемеще-
перемещений точки к отрезкам, изображающим соответствующие элементарные
угловые перемещения, осуществляется умножением на одну и ту же
величину и поворотом на один и тот же угол 90°. Отсюда видно, что
отрезки, изображающие элементарные угловые перемещения, во всем
подобны элементарным линейным перемещениям и, следовательно,
так же как линейные перемещения, представляют собой векторные
величины. Если элементарное угловое перемещение Да изображается
вектором, направленным вдоль оси вращения, то и угловая скорость
Да
B.28)
получающаяся умножением Да на скалярную величину 1/Д/, изо-
изображается вектором, направленным вдоль оси вращения.
Следует подчеркнуть, что только элементарные угловые перемеще-
перемещения подобны элементарным линейным перемещениям. С конечными
угловыми перемещениями
дело обстоит иначе. Это
видно хотя бы из того, что
направление вектора ко-
нечного линейного переме-
перемещения (т. е. хорды, стяги-
стягивающей дугу, которую
описала точка при переме-
перемещении) изменяется при изменении величины вектора соответствую-
соответствующего углового перемещения (даже когда направление этого последнего
вектора остается неизменным). Следовательно, между конечными ли-
линейным и угловым перемещениями не существует той связи, какая
существует для элементарных перемещений. Поэтому если конечные
угловые перемещения изображать при помощи отрезков, то эти отрезки
не были бы подобны линейным перемещениям и не являлись бы век-
векторными величинами.
Поскольку угловая скорость есть вектор, то и изменение угловой
скорости есть вектор. Следовательно, угловое ускорение
ц=Ит~- B.29)
€сть вектор, совпадающий по направлению с вектором До изменения уг-
угловой скорости за достаточно малый промежуток времени. Вектор Д<о,
вообще говоря, не совпадает по направлению с вектором <о, так как
направление этого последнего может изменяться. Но в том частном
случае, когда направление оси вращения остается неизменным, век-
вектор т| лежит на этой же оси. Он совпадает по направлению с о>, если

§ 14] ВЕКТОРЫ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ 55
угловая скорость возрастает по величине, и направлен в противополож-
противоположную сторону, если со уменьшается.
Угловую скорость и угловое ускорение можно, как и все векторы,
разлагать на компоненты по определенным направлениям, в частности
задавать тремя компонентами по трем осям координат.
а)
Рис. 20.
Установим связь между векторами угловой и соответствующей
линейной скорости. Для этого будем рассматривать радиус вращения г
также как вектор, направленный от оси вращения. Определим теперь
связь между направлениями векторов и, о и г. Расположение этих
векторов указано на рис. 20. Как видно,
вектор v перпендикулярен и к вектору о,
и к вектору г (рис. 20, а). Направление v
можно определить, пользуясь правилом
буравчика (рис. 20, б). Если мы располо-
расположим буравчик так, чтобы его рукоятка
сначала совпадала с вектором <*>, а затем Рис. 21.
повернем рукоятку кратчайшим путем так,
чтобы она совпала сг1), то поступательное движение буравчика бу-
будет происходить параллельно V. Такая же связь существует между на-
направлениями двух перемножаемых векторов и их векторного произ-
произведения.
Векторным произведением двух векторов АВ и АС называется
вектор, перпендикулярный к векторам АВ и АС, направленный по
правилу буравчика и равный по величине Л-В-ЛС-sina (рис. 21) —
т. е. площади параллелограмма ABDC. На рис. 21 векторное произ-
произведение АВ на АС направлено перпендикулярно к ABDC за чертеж.
Обозначается векторное произведение следующим образом:
[АВ-АС| или АВхАС.
Очевидно, векторное произведение меняет направление, т. е.
меняет знак, при изменении порядка сомножителей, так как при этом
г) Мы могли бы также совместить рукоятку буравчика с вектором г, вращая
буравчик в обратном направлении. Поэтому правило становится определенным
только тогда, когда берется то направление вращения, при котором угол* поворо-
поворота до совмещения с г будет наименьшим (меньше я).

56 КИНЕМАТИКА [ГЛ. ТТ
меняется направление вращения буравчика. Следовательно,
Как видно из определения операции векторного умножения, век-
вектор линейной скорости v представляет собой векторное произведение
векторов (о и г. В самом деле, в рассматриваемом случае векторы (оиг
перпендикулярны, поэтому синус угла между ними равен 1 и вектор v
в согласии с B.20) по величине равен просто произведению величин со
и г. Следовательно,
B.30)
Рассматривая радиус г как вектор, можно выражения для нормаль-
нормального и тангенциального ускорений при вращении вокруг неподвижной
оси B.22) также записать в векторной форме. Нормальное ускорение
jn = -^r; B.31)
знак минус взят потому, что это ускорение направлено к оси враще-
вращения, а радиус-вектор г направлен от оси вращения. Тангенциальное
ускорение^ направлено по касательной в ту же сторону, что и линей-
линейная скорость, если угловая скорость возрастает по величине, т. е.
если вектор углового ускорения ц совпадает по направлению с векто-
вектором <о. Поэтому
B-32)
Если угловая скорость убывает по величине, то г] направлено в сто-
сторону, противоположную (о, и jt направлено в сторону, противополож-
противоположную линейной скорости.
Напомним, что все полученные нами соотношения относятся к слу-
случаю вращения вокруг неподвижной оси.
§ 15. Некоторые случаи «сложного движения»
твердого тела
Некоторые случаи движения твердого тела могут быть сведены
к рассмотрению упомянутых выше простейших движений — посту-
поступательных и вращательных. Мы рассмотрим два случая, когда дви-
движение твердого тела можно представить как результат двух движений,
происходящих одновременно: 1) вращение тела вокруг оси, положе-
положение которой в теле остается неизменным, но которая движется посту-
поступательно относительно выбранной системы отсчета, и 2) вращение
тела вокруг оси, положение которой в теле остается неизменным, но
сама эта неизменная ось вращается вокруг другой оси, неподвижной
относительно выбранной системы отсчета.
Такие движения в механике принято называть сложными или со-
составными; в соответствии с терминологией, принятой в механике,

§ 15] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ «СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ» ТВЕРДОГО ТЕЛА 57
вращение тела вокруг оси, положение которой в теле остается неиз-
неизменным, называют относительным движением, вращение оси (поло-
(положение которой в теле остается неизменным) относительно выбранной
системы отсчета — переносным движением, а результирующее сложное
движение тела относительной выбранной системы отсчета — абсолют-
абсолютным движением. Термины эти, конечно, совершенно условны, так как
всякое движение может быть определено только по отношению к не-
некоторой системе отсчета и в этом смысле всегда является относи-
относительным.
В данном случае, рассматривая сложное движение как результат
двух движений, мы эти два движения относим к двум разным систе-
системам отсчета. В связи с этим, строго
говоря, мы должны были бы рассмот-
реть вопросы, возникающие при при-
менении движущихся систем отсчета,
а именно, вопросы о влиянии движе-
ния на свойства основных инструмен-
инструментов — линеек и часов. Однако здесь
мы не будем обсуждать этих общих
вопросов. В дальнейшем выяснится,
в каких случаях на результатах та-
такого рассмотрения не сказывается
движение основных измерительных
инструментов.
В случае плоского движения, как рис 22
мы видели (§ 12), достаточно задать
движение на плоскости отрезка прямой, жестко связанного с те-
телом. Если мы определим перемещение этого отрезка, то мы вместе
с тем определим и перемещение всех точек тела. Но перемещение
отрезка АВ на плоскости в любое положение А2В2 можно рассматри-
рассматривать как результат двух перемещений (рис. 22): поступательного,
при котором отрезок перемещается параллельно самому себе в поло-
положение A1Bli и поворота отрезка вокруг точки О на угол а до совпаде-
совпадения с положением А2В2. Вместе с поступательным перемещением от-
отрезка АВ такое же поступательное перемещение совершают и все
точки тела. Вместе с поворотом отрезка на угол а поворот на тот же
угол и вокруг той же оси совершают и все точки тела. Следовательно,
всякое плоское перемещение тела можно рассматривать как результат
двух перемещений — поступательного и вращательного.
Конечно, разделение результирующего перемещения на посту-
поступательное и вращательное не однозначно. Если мы изменим величину
поступательного перемещения, то изменится при этом и положение
оси, вокруг которой нужно повернуть отрезок АгВ1у чтобы он совме-
совместился с отрезком Л2В2. Но при этом, как легко убедиться, не изме-
изменится угол, на который нужно повернуть отрезок А1В1 до совмеще-
совмещения с Л2В2. Всякое плоское перемещение твердого тела можно

58 КИНЕМАТИКА [ГЛ. Г1
различными способами представить как сумму поступательного и вра-
вращательного перемещений, причем ось, вокруг которой происходит по-
поворот, в разных случаях будет разной, а угол поворота будет во всех
случаях один и тот же.
Элементарное перемещение тела можно представить себе как ре-
результат двух элементарных перемещений, происходящих за один и
тот же промежуток времени At: поступательного As, при котором
все точки тела перемещаются на одну и ту же величину As, и поворота
Да, при котором все точки тела поворачиваются на один и тот же
угол Да относительно одной и той же оси.
В соответствии со сказанным выше поступательное перемещение
тела мы будем рассматривать как переносное движение, а вращение
тела вокруг неизменной относительно тела и поэтому вместе с телом
поступательно движущейся оси — как относительное движение.
При этом для всех точек тела скорость переносного движения
t. As
а угловая скорость относительного движения
At-*OAt
Относительная линейная скорость, различная для различных точек
тела, будет равна
где г— расстояние от рассматриваемой точки до оси вращения. Пол-
Полная («абсолютная») скорость всякой точки тела
Для определения скоростей всех точек тела достаточно знать
скорость поступательного движения v0, угловую скорость вращения <о
и положение оси вращения.
Разделение скорости точек тела на поступательную и обуслов-
обусловленную вращением так же не однозначно, как и разделение переме-
перемещений. Всегда можно изменить скорость поступательного движения,
тогда соответствующим образом изменится и положение оси вращения,
но угловая скорость останется неизменной. Все это прямо следует из
картины сложения перемещений. Однако для пояснения можно при-
привести более наглядные соображения.
Пусть, например, движение тела в какой-то момент времени мы
представили в виде поступательного движения со скоростью v0 и
вращения вокруг оси О с угловой скоростью о>. Обусловленная этим
вращением линейная скорость точек тела есть xf = ыг, где г — рас-
расстояние данной точки от оси 0;r = ОА, 0Bt ОС, ... (рис. 23, а). Концы
векторов v' этих скоростей для точек А, В,С> ..., М лежат на прямой,

§ 15] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ «СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ» ТВЕРДОГО ТЕЛА
59
образующей с направлением AM угол, пропорциональный угловой
скорости со. Уменьшим теперь поступательную скорость на Av0, a
к обусловленным вращением скоростям v' каждой точки прибавим
эту же величину Av0. При этом, очевидно, результирующие скорости
всех точек останутся неизменными. Но после увеличения на одну и
ту же величину Av0 всех скоростей i/, обусловленных вращением
(рис. 23, б), концы векторов, изображающих эти скорости, снова рас-
расположатся на прямой, образующей тот
же угол с направлением AM (эта пря-
прямая переместится параллельно самой
себе). Следовательно, новые скорости,
обусловленные вращением, соответст-
соответствуют вращению с прежней угловой ско-
скоростью, но вокруг новой оси, проходя-
проходящей через точку О'. Это — точка, в ко-
которой прежняя относительная скорость
\v'\ = \Avo\.
Мы можем произвольно выбирать по-
поступательную скорость тела; при этом
будет изменяться положение оси враще-
вращения. Но угловая скорость вращения бу-
будет во всех случаях одна и та же. В ча-
частности, мы можем положить поступа-
поступательную скорость равной нулю. Тогда
скорость всякой точки тела выразится
как линейная скорость, обусловленная
только вращением вокруг некоторой оси с прежней угловой скоро-
стью оз. т. е. v' = cor, где г — расстояние от точки тела до этой оси.
Эта ось проходит через точку, скорость которой в данный момент рав-
равна нулю.
Мы всегда можем изобразить скорость всех точек тела в данный
момент только как результат вращения вокруг оси, проходящей через
точку тела, скорость которой в данный момент равна нулю. В следую-
следующий момент мы также сможем это сделать, но положение оси враще-
вращения относительно тела, вообще говоря, будет уже другим. Ось, вы-
выбранная таким образом, что скорости всех точек тела можно изобразить
только как результат вращения вокруг этой оси, будет изменять свое
положение относительно тела. Поэтому она называется мгновенной
осью.
Картину сложения поступательной скорости и скорости, обусловленной враще-
вращением, а также представление о мгновенной оси можно пояснить с помощью следующей
установки. На ось патефонного моторчика х) насажен белый диск с черными точками.
Моторчик с диском укреплен на тележке, которая может перемещаться по рельсам
(рис. 24). При одновременном вращении моторчика и движении тележки каждая
Рис. 23.
Ось моторчика делает примерно 1,25 оборота в секунду.

60
КИНЕМАТИКА
[ГЛ. IT
точка диска движется со скоростью, которая равна сумме поступательной скорости
тележки и линейной скорости, обусловленной вращением диска вокруг оси моторчика.
cfra последняя v' = cor. Пусть, например, диск вращается по часовой стрелке, а те-
тележка движется влево; линейные скорости v' некоторых его точек, обусловленные
Рис.
этим вращением, изображены на рис. 25, а. К скорости v' в каждой точке прибавля-
прибавляется одна и та же скорость поступательного движения тележки щ. Вследствие этого
получится распределение результирующих скоростей v, указанное на рис. 25, б.
о)
6)
Рис. 25.
В точках, лежащих на диаметре диска, расположенном в данный момент вертикально,
скорости ю' направлены горизонтально; поступательная скорость v0, направленная
также горизонтально, изменяет только величину, а не направление результирующей
скорости *о\ в точках, лежащих на диаметре диска, расположенном в данный момент
горизонтально, скорости v' паправлены вертикаль-
вертикально; поступательная скорость v0 изменяет не только
величину, но и направление результирующей скоро-
скорости v\ вектор v отклоняется в направлении щ, т. е.
влево. В точке О', где v' = — v0, результирующая
скорость v = 0. Через эту точку и проходит мгно-
мгновенная ось вращения; она лежит на расстоянии
г — ©о/со от оси моторчика.
Положение мгновенной оси хорошо видно на
диске, так как черная точка на диске, через которую
проходит мгновенная ось, не размывается. Другие
же точки размываются и оставляют след в виде окружностей с центром на мгновенной
оси (рис. 26, а). Мгновенная ось перемещается вместе с тележкой, так как точка, где
v = 0, всегда лежит на вертикали, проходящей через центр диска. В результате
Рис. 26.

§ 15] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ «СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ» ТВЕРДОГО ТЕЛА 61
сложения поступательного движения со скоростью v0 и вращения вокруг оси О с угло-
угловой скоростью со получается вращение с той же угловой скоростью со вокруг мгновен-
мгновенной оси О', которая сама движется прямолинейно со скоростью v0. При изменении
знака ф0 мгновенная ось располагается на том же расстоянии по другую сторону от
точки О (рис. 26, б). При увеличении скорости поступательного движения мгновенная
ось удаляется от точки О и может уйти за пределы диска. Тогда ни одна точка на
диске не будет иметь скорости, рагной нулю. Все точки Диска будут описывать окруж-
окружности с центром, лежащим вне диска, а сам центр будет по-прежнему перемещаться
со скоростью v0.
Если колесо катится без скольжения по какой-либо поверхности, то соотношение
между линейной скоростью центра колеса и угловой скоростью вращения оказывается
фиксированным (иначе происходило бы скольжение). Именно, линейная скорость
центра колеса vQ = со/\ где со — угловая скорость вращения колеса, а г — его радиус.
С другой стороны, скорость, обусловленная вращением, есть v' = cor. Поэтому точка,
где v' = v0, лежит под осью на расстоянии г от оси и мгновенная ось совпадает с
прямой на ободе колеса, соприкасающейся с поверхностью. Качение колеса без сколь-
скольжения можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей
с прямой, в которой колесо опирается на поверхность.
Аналогично можно рассмотреть частный случай движения твердого
тела, имеющего одну неподвижную точку. В этом случае, очевидно,
ни относительное, ни переносное движение не может быть поступа-
поступательным, так как скорость одной точки тела всегда остается равной
нулю; движение тела можно рассматривать как вращение тела от-
относительно оси, которая сохраняет неизменным свое положение
по отношению к телу и в свою очередь вращается относительно
оси, неподвижной в пространстве. При этом линейная скорость
каждой точки тела равна геометрической сумме линейных скоростей
«относительного движения» данной точки тела (вращения вокруг не-
неизменной оси) и «переносного движения» (вращения неизменной по
отношению к телу оси относительно другой оси, неподвижной в прост-
пространстве). В этом случае результирующее («абсолютное») движение тела
представляет собой вращение с угловой скоростью, равной геометричес-
геометрической сумме угловых скоростей относительного и переносного движений.
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся тем, что уже было сказано
выше (§ 14) о связи между малыми угловыми перемещениями и соответ-
соответствующими им линейными перемещениями. Пусть (рис. 27) ОВ' изобра-
изображает элементарное угловое перемещение Да, обусловленное вращением
тела вокруг оси хх\ т. е. относительным движением, а ОС — элемен-
элементарное угловое перемещение Д|3, обусловленное вращением оси хх1 от-
относительно другой, неподвижной оси уу\ т. е. переносным движением.
Какая-то точка А движущегося тела вследствие поворота Да вокруг
оси хх' переместится по дуге АВ, а вследствие поворота оси хх' относи-
относительно оси у у' на угол Д|3 переместится по дуге АС.
Результирующее угловое перемещение изобразится углом Д7, a
результирующее линейное перемещение — дугой AD. Так как углы
Да и Д|3 малы, то сферический параллелограмм ABDC можно считать
плоским. Очевидно, этот параллелограмм подобен параллелограмму
OB'D'C, так как стороны этого последнего получаются из сторон
параллелограмма ABDC одинаковым изменением масштаба и поворотом

62
КИНЕМАТИКА
I ГЛ. П
на угол я/2. Поэтому и диагональ OD' получается из диагонали AD
таким же преобразованием масштаба и направления. Следовательно,
вектор OD' Выражает результирующее угловое перемещение Ду.
Разделив все векторы на элемент времени At, за который происхо-
происходят рассматриваемые элементарные перемещения, мы получим (рис. 28)
из ABDC параллелограмм, построенный на линейных скоростях ю1 —
относительного движения и щ— переносного движения точки Л; из
Рис. 28.
OB'D'C мы получим параллелограмм, построенный на соответствую-
соответствующих угловых скоростях обоих вращений, <о' и <о0. И так же, как вектор
0D' на рис. 27 изображает результирующее угловое перемещение, век-
вектор <о изображает результирующую угловую скорость, которой соот-
соответствует результирующая линейная скорость v точки А.
В рассмотренном случае «абсолютную» линейную скорость всякой
точки тела можно рассматривать как результат вращения тела с угло-
угловой скоростью <о, которая представляет собой геометрическую сумму
относительной угловой скорости <о' и переносной угловой скорости <о0.
Иначе говоря, угловые скорости относительного и переносного движе-
движений складываются геометрически.

§ 15] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ «СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ» ТВЕРДОГО ТЕЛА 63
Для демонстрации геометрического сложения угловых скоростей может служить
следующая установка. Шар с нанесенными на нем отчетливыми точками (белыми
на черном фоке, или наоборот) может вращаться на оси, подшипник которой устанав~
ливается наклонно на втулке центробежной машины (рис. 29, а). При этом шар
Рис. 29.
может вращаться вокруг своей оси О А с угловой скоростью сод (относительное движе-
движение), а ось шара может вращаться вокруг оси центробежной машины ВО' с угловой
скоростью &в (перекосное движение). Раскрутив шар (рис.
29, б), а затем приведя в движение центробежную машину, мы
получим одновременно оба вращения.
Результирующая угловая скорость о) должна быть равна
геометрической сумме слагаемых скоростей ыА и &в (рис. 30). О
положении вектора результирующей угловой скорости можно су-
судить по тому, что точки, лежащие вблизи пересечения этого векто-
вектора с поверхностью шара, имеют малые линейные скорости и по-
поэтому должны быть хорошо видны. Все остальные точки из-за
больших линейных скоростей размоются и в отдельности не будут
видны—они прочерчивают окружности в плоскостях, перпенди-
перпендикулярных к вектору результирующей углевой скорости о. Од-
Однако, так как направление вектора <о не остается неизменным
в пространстве (как видно из рис, 30, вектор о) описывает ко-
конус вокруг вектора <ов), то линии, прочерчиваемые точками ша-
шара, наблюдателю представляются не дугами окружностей, а
волнистыми линиями. Но если <йуз>>б)л, тою почти совпадает
по направлению с edg и линии, прочерчиваемые точками шара,
очень близки к дугам окружностей. Для наблюдателя, рассматривающего шар в на-
направлении, перпендикулярном к оси О'В, эти линии представляются прямыми, пер-
перпендикулярными к этой оси (рис. 29, в).
Рис.

ГЛАВА HI
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
§ 16. Выбор системы отсчета
Как уже было отмечено (§7), в динамике выбор системы отсчета
может играть существенную роль. Пользуясь различными системами
отсчета, мы обнаружим, что одни и те же тела по отношению к этим
различным системам отсчета движутся, вообще говоря, по-разному.
Значит, и законы движения этих тел в разных системах отсчета, вообще
говоря, оказываются различными. Та важная роль, которую может
играть выбор системы отсчета, впервые стала ясной благодаря Копер-
Копернику. Он заменил связанную с Землей систему отсчета, которой поль-
пользовался Птолемей, другой системой отсчета, связанной с Солнцем и звез-
звездами. Этим Коперник достиг радикального упрощения описания харак-
характера движения планет.
В системе отсчета Птолемея движения планет выглядели столь
сложно, что в течение многих веков астрономам не удавалось найти
общие и наглядные законы движения планет. В системе отсчета, вве-
введенной Коперником, характер движения планет настолько упростился,
что Кеплеру удалось (в начале XVII в.) в самом общем виде сформули-
сформулировать законы движения всех планет солнечной системы. Так была
продемонстрирована та существенная роль, которую может играть
выбор систем отсчета, и то упрощение характера движений, которое
надлежащим выбором системы отсчета может быть достигнуто. Все это
говорило в пользу применения введенной Коперником системы отсчета
для изучения законов движения небесных тел.
Решающий шаг в этом важном вопросе сделал Ньютон.
Следуя Копернику, Ньютон раз и навсегда в качестве тел отсчета
выбрал Солнце и звезды; говоря о системе отсчета, связанной с Солнцем
и звездами, он применял термин «абсолютное пространство». Правда,
попытка Ньютона вложить в термин «абсолютное пространство» кон-
конкретное содержание с современной точки зрения является бесплодной,
но сама по себе система отсчета, предложенная Коперником и выбран-
выбранная Ньютоном в качестве единственной системы отсчета, оказалась
столь удобной и обладающей такими преимуществами перед другими си-
системами отсчета, что она до сего времени сохранила в механике избран-

§ 16] ВЫБОР СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 65
ное положение. Это система отсчета (для конкретности, например, пря-
прямоугольная система координат), начало которой (т. е. точка пересече-
пересечения всех трех осей) связано жестко с центром Солнца, а три оси направ-
направлены на три звезды, положение которых практически не изменяется
со временем (вследствие огромной удаленности этих звезд от нашей
солнечной системы). Этой системой отсчета Ньютон и пользовался при
рассмотрении движения небесных тел. Мы будем широко пользоваться
этой системой отсчета, которую справедливо называть коперниковой.
Впрочем, у этой системы отсчета есть и другое «конкурирующее»
название, которое применяется достаточно широко. Эту систему отсчета
часто называют неподвижной. Конечно, термин «неподвижная система
отсчета» имеет смысл, только если существует другая система отсчета,
относительно которой первая действительно является неподвижной.
Для коперниковой системы отсчета эту другую систему отсчета можно
указать. Можно полагать, что вся масса небесных тел по отношению
к коперниковой системе отсчета обладает в среднем нулевой скоростью.
Поэтому по отношению ко всей массе небесных тел коперникову систему
отсчета можно называть «неподвижной». Чтобы не забывать некоторой
условности этого термина, мы будем брать его в кавычки.
Однако помимо коперниковой, или «неподвижной», системы отсчета,
которой мы будем пользоваться при рассмотрении движений небесных
тел, в других случаях оказывается целесообразным применять иные
системы отсчета, например, систему отсчета, связанную с Землей (при
рассмотрении движения тел вблизи поверхности Земли). Начало прямо-
прямоугольной системы координат в этом случае жестко связано с центром
Земли, а три оси координат либо неизменно направлены на три
удаленные звезды, либо жестко связаны с теми тремя точками земного
шара, в которых эти оси выходят на поверхность земного шара. Оче-
Очевидно, в первом случае система координат не вращается относительно
Солнца и звезд, а совершает поступательное движение, следуя за движе-
движением центра Земли по ее орбите. Во втором случае система координат
вращается вместе с земным шаром. Мы будем пользоваться как той, так
и другой из этих систем отсчета, называя первую «земной невращающей-
ся», а вторую — «земной вращающейся».
Поскольку обе эти системы отсчета движутся относительно коперни-
коперниковой системы отсчета, то тела, движение которых мы рассматриваем,
в каждой из этих систем отсчета могут двигаться не так, как они дви-
движутся в коперниковой системе отсчета. Поэтому, приступая к изучению
законов динамики, целесообразно все движения рассматривать в одной
и той же системе отсчета. В самом деле, нам предстоит, наблюдая раз-
различные движения, установить те общие закономерности, которым все
эти движения подчиняются. Ясно, что эта задача будет усложнена,
если мы будем пользоваться различными системами отсчета, в которых
одни и те же тела движутся по-разному; установление общих законо-
закономерностей движений будет затруднено теми различиями, которые вно-
вносит в рассматриваемые движения применение различных систем отсчета.
3 С. Э. Хайкин

66 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. III
Поэтому мы вначале будем пользоваться преимущественно копернико-
вой системой отсчета; ту или иную из двух введенных выше «земных»
систем отсчета мы будем применять только в тех случаях, когда это
упрощает рассмотрение и когда движение этих «земных» систем отсчета
относительно коперниковой системы отсчета практически не играет
роли (т. е. не вносит существенных изменений в характер изучаемых
движений). Возможность применения вместо коперниковой системы
отсчета одной из «земных» систем отсчета будет обоснована в § 27.
Как было отмечено, под системой отсчета обычно понимают не только
тела отсчета и связанную с ними систему координат, но и совокупность
тех инструментов, с помощью которых определяются координаты дви-
движущейся точки и моменты прохождения движущейся точки через дан-
данную точку системы координат, т. е. линейки, часы, источники сигналов
для синхронизации часов и т. д. Напомним, что при этом должны со-
соблюдаться условия применения этих инструментов, сформулированные
в конце § 7.
Итак, мы начинаем изучение законов движения с рассмотрения
различных движений, но будем относить все рассматриваемые движе-
движения к коперниковой системе отсчета, отличающейся тем преимущест-
преимуществом, что общие характерные черты всех движений именно при наблюде-
наблюдении этих движений в коперниковой системе отсчета выступают наиболее
отчетливо. Это существенно упрощает установление законов движений.
Нужно, однако, иметь в виду, что таким путем мы найдем законы дви-
движения, относительно которых мы вправе утверждать, что они справед-
справедливы лишь в коперниковой системе отсчета. Чтобы решить вопрос,
будут ли справедливы найденные таким образом законы движения в
других системах отсчета, потребуется специальное рассмотрение. Как
будет показано в результате этого рассмотрения (§27), помимо коперни-
коперниковой системы отсчета существует обширный класс систем отсчета,
в котором справедливы все те законы движения и следующие из этих
законов выводы, которые справедливы в коперниковой системе от-
отсчета.
Исходя из приведенных соображений, при изучении движений с
целью установления общих законов движений целесообразно пользо-
пользоваться все время одной и той же и притом именно коперниковой систе-
системой отсчета. Однако в большинстве случаев мы будем изучать движения,
происходящие на Земле, и поэтому рассматривать, как движутся эти
тела относительно Солнца и звезд, практически было бы невозможно.
Но в большинстве случаев это и не нужно. Различия в характере дви-
движений одного и того же тела в двух системах отсчета — коперниковой и
«земной вращающейся», а тем более «земной невращающейся», обычно
столь невелики, что эти различия практически не будут сказываться
в тех сравнительно грубых опытах, которые мы будем рассматривать
при опытной проверке законов Ньютона. Поэтому мы будем пользо-
пользоваться практически «земной вращающейся» системой отсчета, считая,
что движение тел в этой системе отсчета ничем не отличается от движе-

§ 16] ВЫБОР СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 67
ния тех же тел в коперниковой системе отсчета. Те случаи, когда этого
считать будет нельзя, будут специально оговорены.
Конечно, коперникова система отсчета хотя и является преимущест-
преимущественной, но только пока мы ограничиваемся движениями в пределах
солнечной системы. Если бы нам предстояло рассматривать движения
небесных тел, лежащих за пределами солнечной системы, то вполне
вероятно, что преимуществами, которые дает коперникова система
при рассмотрении движений в пределах солнечной системы, обладала
бы система отсчета, связанная не с Солнцем и звездами, а с какими-то
другими звездными системами. Но поскольку мы ограничиваемся рас-
рассмотрением движений, происходящих в пределах солнечной системы,
коперникова система отсчета сохраняет за собой положение преиму-
преимущественной (но отнюдь не единственной). Преимущество жеее перед дру-
другими системами отсчета выражается в том, что свойства всякой другой
системы отсчета проще всего можно будет выяснить, зная, как эта
система отсчета движется по отношению к коперниковой и каковы при-
причины этого движения.
Приступая к изучению законов движения, мы должны не только
остановить свой выбор на одной определенной системе отсчета, но и
сделать выбор в отношении тех тел, которые будут служить объектами
при изучении движений. Очевидно, из всего разнообразия тел, движе-
движение которых рассматривается в механике, целесообразно выделить
такие тела, для которых закономерности движения оказываются наи-
наиболее простыми. Естественно, что для таких тел нам легче всего удастся
установить законы движения. Вообще говоря, характер движения
протяженных тел может существенно зависеть от их размеров и формы;
наиболее же простыми для описания и рассмотрения должны быть
такие движения, характер которых от размеров и формы движу-
движущихся тел не зависит. В таких случаях, как было указано (§ 1),
мы можем заменить эти протяженные тела материальными точками —
воображаемыми телами, не имеющими размеров, но обладающими
такой же массой, как и протяженное тело, движение которого мы
изучаем. При этом, поскольку от размеров и формы этих протяженных
тел характер движений не зависит, замена их материальными точками
не искажает рассматриваемой картины движений и не лишает нас
возможности изучать эти движения, но, как сказано, значительно
упрощает эту задачу. Поэтому в этой главе при изучении законов
Ньютона, а также во всех следующих главах, вплоть до гл. XII, дви-
движение протяженных тел мы будем сводить к движению материальных
точек, т. е. будем решать те задачи, которые составляют предмет
механики точки.
Однако замена реальных протяженных тел воображаемыми мате-
материальными точками (если эту замену понимать буквально) лишила бы
нас возможности рассматривать один важный вопрос, необходимость
постановки которого возникнет уже в следующем параграфе. Введя
представление о силах, мы должны будем, для того чтобы это представ-
3*

68 законы ньютона [гл. ш
ление стало конкретным, рассматривать силы, действующие со стороны
одного тела на другое, или силы, действующие со стороны одной части
тела на другую часть этого же тела. Как мы увидим, во многих случаях
эти силы возникают потому, что тела оказываются деформированными.
Но совершенно ясно, что представление о деформации материальной
точки лишено смысла, и, следовательно, заменяя протяженное тело
материальной точкой, мы лишаемся возможности объяснить происхож-
происхождение тех сил, которые возникают в результате деформации протяжен-
протяженных тел.
Таким образом, если материальную точку мы будем представлять
себе буквально, то вместо конкретного и четкого представления о
силах, возникающих в результате деформации тел, мы должны будем
пользоваться представлением о силах, не имея возможности объяснить
их происхождение. Между тем для полноты физической картины, кото-
которая дальше будет развита, необходимо ясно представлять себе не только
результат действия сил, но и причины возникновения сил. Чтобы сохра-
сохранить возможность говорить о деформациях, которые во многих случаях
являются причиной возникновения сил, мы введем представление о
материальной точке, понимая его, однако, не буквально. Мы условимся,
что под материальной точкой следует понимать ие точку, а протяжен-
протяженные тела, но ограничимся рассмотрением только таких движений этих
протяженных тел, характер которых не зависит от размеров и фор-
формы тел.
Например, характер движения протяженного тела не зависит от
его формы и размера, если это тело совершает поступательное движение
или если это тело вращается вокруг оси, расстояние до которой очень
велико по сравнению с размерами тела. В обоих этих случаях для
описания движения тела достаточно определить движение одной его
точки (обычно центра тяжести). Это и дает нам основание относить
подобные задачи к механике точки. В последующем изложении, вплоть
до гл. XII включительно, рассматриваются вопросы, относящиеся к
механике материальной точки. Однако, в соответствии с нашим усло-
условием, мы будем продолжать говорить о движущемся теле и даже иногда
конкретнее — о движущемся шарике, грузе, гире и т. д., но всегда
будем иметь в виду движение одной фиксированной точки этих тел,
даже в тех случаях, когда мы этой фиксированной точки не указываем
(этого и не нужно указывать, когда все точки тела движутся одинаково,
и поэтому любая точка может быть «фиксированной»).
§ 17. Силы. Первый закон Ньютона
Приступая к изучению законов движения, мы должны прежде всего
выяснить, как возникает движение. Поместим на горизонтальном глад-
гладком стекле стальной шар. Если стекло установлено точно в горизон-
горизонтальном положении, то шар, положенный на стекло, будет оставаться
неподвижным. Если шар толкнуть рукой, то он покатится по стеклу.

17]
СИЛЫ ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 69
В этом случае толчок руки является причиной возникшего движения.
Если шар свободен, то он будет продолжать катиться по стеклу с неиз-
неизменной скоростью, пока не достигнет края стекла, после чего упа-
упадет со стекла. Но если шар охвачен кольцом, которое в свою оче-
очередь удерживается пружиной
(рис. 31, а), то шар после толч-
толчка рукой будет двигаться не
так, как в отсутствие кольца,
а по-иному. Возникшее после &)
толчка движение шара вызо-
вызовет растяжение пружины, •/ ~~ \j
скорость шара будет умень- V^rmrrrrr^rm^^ N1
шаться и, когда пружина^ рас- ( \
тянется до определенной ве- б)
личины, шар остановится
(рис. 31, б), а затем будет дви- рис- 6i-
гаться в обратном направле-
направлении с возрастающей скоростью. В этом случае толчок руки по-преж-
по-прежнему является причиной возникшего движения, а пружина является
причиной изменений возникшего движения.
Мы должны сделать следующий вывод: возникновение движения
и изменение движения какого-либо тела происходят только под дейст-
действием других тел (в рассматриваемом случае — руки и пружины).
а)
б)
Рис. 32.
Для того чтобы возникало или изменялось ранее возникшее движение
какого-либо тела, необходимы другие тела, но не обязательно сопри-
соприкосновение этих других тел с движущимся телом. Движение шара
может вызвать магнит, помещенный на некотором расстоянии от шара
(рис 32 а) После того как пружина достаточно сильно растянется,
движение шара прекратится, шар и магнит будут покоиться, находясь

70
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. Ш
на некотором расстоянии друг от друга (рис. 32, б). Чтобы обнаружить
изменение движения шара под действием магнита, достаточно поме-
поместить магнит несколько в стороне от направления движения шара.
Когда шар будет проходить вблизи полюса магнита, траектория шара
сильно искривится. На основании опыта, приведенного на рис. 32, б,
мы должны сделанный нами выше вывод дополнить следующим: два
тела, каждое из которых вызывает появление и изменение движения
данного тела, могут не вызывать этого эффекта, если они на данное
тело действуют одновременно. Действительно, растянутая пружина,
которая вызывала изменение скорости шара, не изменяет скорости шара
в присутствии магнита (рис. 32, б), который сам по себе может вызывать
изменение скорости шара.
Рис. 33.
Таким образом, действия двух тел, вызывающие появление или из-
изменение движения какого-либо тела, могут компенсировать друг
друга, если эти действия двух тел на третье тело происходят одновре-
одновременно. И, наконец, еще одна особенность тех действий, которые вызы-
вызывают появление или изменение движения, может быть обнаружена,
если несколько видоизменить описанный опыт с магнитом. Положив
магнит на ролики, мы достигнем того, что он будет двигаться по стеклу
так же свободно, как и шар (рис. 33, а). Прикрепим к концу магнита
такую же пружину, какая прикреплена к кольцу, удерживающему
шар, и расположим шар и магнит так, как указано на рис. 33, а. Мы
обнаружим, что шар и магнит, сблизившись, остановятся в положении,
в котором обе пружины растянуты одинаково (рис. 33, б). Такой же
результат мы получим, производя опыты с электрически заряженными
легкими шариками. Если два одинаковых, но разноименно заряжен-
заряженных шарика подвесить на нитях одинаковой длины, то вследствие
электрического притяжения разноименных зарядов оба заряженных
шарика приблизятся друг к другу и при этом их подвесы отклонятся
от вертикали на одинаковые углы.
Опыт с шаром и магнитом и опыт с шариками, заряженными разно-
разноименным электричеством, показывают, что рассматриваемые нами

§ 17] СИЛЫ ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 71
действия тел друг на друга оказываются взаимодействиями: если магнит
вызывает движение стального шара, то стальной шар вызывает движе-
движение магнита (положенного на ролики). Если один из разноименно заря-
заряженных шариков притягивает к себе другой шарик, то второй шарик,
в свою очередь, притягивает к себе первый х).
Итак, описанные нами опыты приводят к заключению, что возник-
возникновение и изменение движений тел может происходить только под
действием других тел и что эти действия тел друг на друга носят харак-
характер взаимодействий. Но возникновение или изменение движения тела
означает, что тело испытывает ускорение. Следовательно, наше заклю-
заключение можно сформулировать так: всякое ускорение тела есть результат
действия на него другого тела или других тел, причем эти действия
носят характер взаимодействий. Вот эти взаимодействия тел, в резуль-
результате которых тела могут сообщать друг другу ускорения (но не обяза-
обязательно должны сообщать, как, например, в случае, приведенном на
рис. 33, б), называются в механике силами.
Напомним, что мы пользуемся коперниковой системой отсчета и
все наши утверждения справедливы только в этой системе отсчета.
Когда мы перейдем к другим системам отсчета, движущимся относи-
относительно коперниковой, нам придется от некоторых из высказанных выше
утверждений отказаться. Но поскольку силы — это действия одного
тела на другое, то для того, чтобы исчерпывающим образом определить
силу, о которой идет речь, всегда достаточно указать, на какое тело
и со стороны какого тела эта сила действует.
Установив тот факт, что ускорение тела может возникнуть только
под действием других тел, Ньютон сформулировал вывод, который из
этого факта непосредственно следует. Представим себе уединенное
тело, от которого все другие тела расположены бесконечно далеко.
Вследствие того, что всякие силы взаимодействия ослабевают по мере
удаления взаимодействующих тел друг от друга и на бесконечно боль-
большом расстоянии перестают действовать, уединенное тело не может
испытывать действия каких-либо сил. Поэтому уединенное тело, на
которое не действуют силы со стороны других тел, может двигаться
только прямолинейно и равномерно (без ускорений). Этот вывод
Ньютон сформулировал в виде первого закона движения: «Всякое тело
продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или прямолиней-
прямолинейного и равномерного движения, пока и поскольку оно не принуждается
приложенными силами изменить это состояние».
Ясно, что этот закон не может быть подтвержден экспериментально,
так как невозможно поставить эксперимент с уединенным телом, на
которое не действуют никакие силы со стороны других тел. Всякое
1) Следует отметить, что по отношению к движущимся электрическим зарядам
сказанное не всегда бывает справедливо. Но это относится как раз к случаям, ко-
которые были оговорены в § 1 (случаи, когда возникает электромагнитное излучение)
и которые мы условились не рассматривать.

72 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. II!
реальное тело окружено другими телами, воздействие которых на
наблюдаемое тело не может быть полностью устранено.
Как будет показано дальше (§ 25), первый закон Ньютона не явля-
является самостоятельным законом, а представляет собой лишь частный
случай второго закона Ньютона. Ньютон все же счел необходимым
выделить этот частный случай и сформулировал его отдельно как
«первый закон механики», по-видимому, потому, что сама возможность
движения тела в отсутствие сил, которые бы это движение «поддержи-
«поддерживали», до Ньютона вызывала сомнения. Чтобы подчеркнуть возмож-
возможность движения тел в отсутствие действия сил и определить тот един-
единственный тип движения, который в этих случаях возможен (равномер-
(равномерное и прямолинейное движение), Ньютон и сформулировал первый
закон движения. Движение в отсутствие сил, о котором идет речь
в этом законе, называют движением по инерции, и поэтому первый
закон Ньютона часто называют «законом инерции».
§ 18. Измерение сил
Все силы, с которыми имеет дело механика, можно разделить на
два основных класса: силы, возникающие только при непосредственном
соприкосновении тел, и силы, которые могут действовать в отсутствие
непосредственного контакта между телами. К первому классу относятся
упругие силы и силы трения; ко второму относятся силы всемирного
тяготения, или гравитационные силы, существование которых открыл
Ньютон, и силы взаимодействия между электрическими зарядами,
или электромагнитные силы, открытые Кулоном и Ампером.
Упругие силы возникают при непосредственном соприкосновении
тел в результате их деформации, например растяжения или изгиба
пружины. К этой категории сил относятся и силы, действующие на
стальной шарик со стороны стекла, на котором он лежит, и со стороны
шарика на стекло, или силы, действующие со стороны веревки на при-
привязанный к ней вращающийся груз и со стороны груза на веревку.
При этом деформации тел, вызвавшие возникновение упругих сил,
например прогиб стекла и шарика и растяжение веревки и груза, часто
бывают малы, и обнаружить их без специальных приборов трудно.
Но во всех реальных телах могут возникать деформации, и упругие
силы всегда появляются только в результате деформации тел. Абсо-
Абсолютно жестких (недеформируемых) тел в природе не существует. Все
тела в той или иной степени подобны пружинам — всякое тело может
деформироваться и в деформированном состоянии действовать с какой-
то силой на другие тела, с которыми оно соприкасается; величина
этой силы определяется свойствами тела и характером и величиной
возникшей деформации.
При непосредственном соприкосновении тел могут возникать силы,
зависящие не от характера деформации (или не только от характера
деформации), а от других факторов, например от скорости относитель-

§ 18] ИЗМЕРЕНИЕ СИЛ 73
ного движения соприкасающихся тел, состояния их поверхности и т. д.
Именно к этому типу относятся силы трения, действующие между
соприкасающимися телами вдоль поверхности соприкосновения,
когда должно возникнуть или уже возникло скольжение одного из
тел по поверхности другого.
Силы второго класса, которые могут действовать без непосредствен-
непосредственного соприкосновения тел («на расстоянии»), обусловлены наличием
полей, которые создаются действующими телами. Например, всякое
тело создает в окружающем пространстве поле сил тяготения, или
гравитационное поле; электрически заряженное тело создает в окружа-
окружающем пространстве электрическое поле; движущееся электрически
заряженное тело создает в окружающем пространстве, помимо электри-
электрического, также и магнитное поле. В свою очередь всякое тело, будучи
помещено в гравитационное поле, испытывает силу со стороны этого
поля; электрически заряженное тело испытывает силы со стороны
электрического поля; если электрически заряженное тело движется,
то оно испытывает, кроме того, силу со стороны магнитного поля.
Таким образом, силы, действующие между телами «на расстоянии»,
возникают в результате действия полей, создаваемых этими телами.
Между силами, возникающими при непосредственном соприкосно-
соприкосновении тел, и силами, действующими «на расстоянии», т. е. возникаю-
возникающими в результате действия полей, нет какого-либо принципиального
различия. В сущности, и силы, возникающие при непосредственном
соприкосновении тел, обусловлены существованием тех или иных полей,
создаваемых молекулами или атомами тел. Но особенность этих полей
состоит в том, что они чрезвычайно быстро убывают по мере увеличения
расстояния между молекулами или атомами. Поэтому результат дей-
действия этих полей обнаруживается только при очень малых расстояниях
между молекулами, т. е. практически только внутри тела или при не-
непосредственном соприкосновении тел. Таким образом, все силы взаимо-
взаимодействия между телами или между отдельными частями одного и того
же тела обусловлены полями. Однако вопросы о природе сил, как
уже указывалось, изучаются не в механике, а в других разделах
физики: электродинамике, теории твердого тела и т. д. В механике же
ограничиваются лишь рассмотрением частного вопроса: какие силы
возникают в том или ином конкретном случае.
Ответ на этот вопрос для разных указанных выше типов сил оказы-
оказывается различным. Прежде всего величина и направление упругих
сил, возникающих в результате деформации тела, зависят только огг
характера деформации тела, со стороны которого сила действует х),
но не зависят от свойств и состояния того тела, на которое эта
сила действует. В случае сил трения дело обстоит сложнее: эти
силы, вообще говоря, зависят не только от состояния поверхности
г) Если деформация изменяется со временем, то во многих телах возникают и
другие силы, величина которых зависит не только от величины деформации, но и
от скорости изменения деформации. Мы будем пока пренебрегать этими силами.

74 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. III
того тела, со стороны которого сила трения действует, но и от состояния
поверхности того тела, на которое сила действует; кроме того, направ-
направление, а часто и величина силы трения зависят от относительной ско-
скорости соприкасающихся тел, между которыми эта сила возникает.
Наконец, в случае сил, возникающих в результате действия полей
(действующих «на расстоянии»), величина и направление силы зависят
не только от свойств и состояния тех тел, со стороны которых силы
действуют, но и от свойств и состояния того тела, на которое эти силы
действуют.
Однако во всех случаях возникновения сил в результате действия
полей (гравитационного, электрического и магнитного), когда сила,
действующая на тело Л со стороны тела S, зависит от свойств и со-
состояния как тела Л, так и тела В, роль обоих этих тел совершенно
четко разделяется. Тело В (со стороны которого действует сила)
создает в окружающем пространстве поле (соответственно гравитацион-
гравитационное, электрическое, магнитное), характер которого определяется
только свойствами и состоянием тела В. Более того, само существование
создаваемого телом В поля (которому соответствует определенное
состояние окружающего тело В пространства) никак не связано с при-
присутствием в этом пространстве тела Л. (В некоторых случаях присут-
присутствие тела Л может изменять состояние тела В, а значит, и характер
создаваемого им поля; но всегда при помощи специальных мер воз-
возможно этого избежать, и поэтому влиянием тела Л на тело В мы будем
пренебрегать.) Но если в поле, созданное телом В, помещено тело Л, то
сила, действующая на тело Л, определяется, с одной стороны, харак-
характером поля, созданного телом В в том месте, куда помещено тело Л,
а с другой стороны, вполне определенным образом зависит от свойств
и состояния тела Л. (Конечно, все сказанное справедливо и для случая,
когда рассматривается сила, действующая со стороны тела Л на тело В.)
Таким образом, вопрос о том, какие силы, обусловленные действием
полей, возникают в том или другом конкретном случае, распадается
на два независимых вопроса: 1) какие поля (гравитационное, электри-
электрическое, магнитное) возникают в том или другом конкретном случае;
2) какие силы действуют на тело, обладающее определенными свойст-
свойствами и находящееся в определенном состоянии, если оно помещено
в данное поле.
Соответственно задача измерения сил распадается на две отдельные
задачи: 1) измерение полей, возникающих в том или ином конкретном
случае, и 2) измерение сил, действующих на данное тело со стороны
данного поля. Мы пока не будем рассматривать эти задачи для гравита-
гравитационных полей, они будут рассмотрены позднее (гл. XI). Измерение
электрических и магнитных полей и измерение сил, действующих со
стороны этих полей на электрические заряды, будет рассмотрено
в § 19.
Для измерения сил должны быть установлены, во-первых, эталон
силы, а во-вторых, способ сравнения других сил с этим эталоном.

18]
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛ
75
Возьмем какую-то вполне определенную пружину (например, из
стальной проволоки, имеющей форму цилиндрической спирали),
растянутую до известной длины. Эталоном силы мы будем считать ту
силу Fo, с которой эта пружина при фиксированном растяжении дей-
действует на прикрепленное к любому из ее концов тело. Способ сравнения
других сил с эталоном состоит в следующем: измеряемая сила равна
К к
Рис. 34а.
К к
-ЛППШ^ 0 -ПЯПЯЯЛ-
Рис. 346.
по величине и противоположна по направлению эталону силы, если
при одновременном действии на любое тело т силы-эталона Fo и изме-
измеряемой силы Fx (рис. 34а) тело остается в покое или движется прямо-
прямолинейно и равномерно.
Приведенным способом мы сможем установить, равна ли измеряемая
сила Fx эталону силы Fo, но не сможем измерить любую силу. Для
этой последней цели воспользуемся тем,
что способ сравнения сил позволяет
воспроизводить силу-эталон в любом
количестве экземпляров. Достаточно
взять другую такую же пружину и подо-
подобрать ее растяжение так, чтобы при од-
одновременном действии этой пружины Кг
и пружины-эталона Кэ в противополож-
противоположных направлениях тело га оставалось в
покое (рис. 346). (Заметим, кстати, что
этого можно достичь только в том слу-
случае, когда оси обеих пружин лежат на
одной прямой; это значит, что сила, с
которой действует каждая из пружин,
направлена вдоль оси этой пружины.)
Зафиксировав подобранное таким об-
образом растяжение пружины Къ мы сможем дальше пользоваться ею
также в качестве эталона силы.
Далее, мы положим, что если на какое-либо тело действует несколько
пружин, то результирующая сила равна геометрической сумме сил,
действующих со стороны всех пружинх). Располагая несколькими
эталонами силы, мы сможем измерять силы, величина которых не
равна эталону силы. Прикрепим к телу га, на которое действует изме-
измеряемая сила FXJ две пружины-эталона и расположим их под такими
углами (рис. 35), чтобы тело т не испытывало ускорения. Тогда
г) Справедливость этого предположения, как и пригодность всего метода из-
измерения сил в целом, подтверждается тем, что результаты измерения сил удовлет-
удовлетворяют всем требованиям, перечисленным на стр. 16.
Рис. 35.

76
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
|Г.Л. ТТТ
измеряемая сила равна взятой с обратным знаком геометрической
сумме сил, действующих со стороны эталонов, т. е.
Так мы сможем измерять силы только меньшие, чем 2F0. Но, распо-
располагая пружины параллельно, мы сможем воспроизвести эталоны в
2F0, а затем в 4F0 и т. д., а далее с их помощью измерить силы любой
величины (а не только меньшие, чем 2F0). Конечно, практически нет
никакой надобности производить каждый раз такие измерения. Мы
можем взять любую подходящую пружину и измерить указанным выше
способом силу, действующую
со стороны этой пружины при
различных растяжениях. Та-
Такими калиброванными пружи-
пружинами-динамометрами и поль-
пользуются на практике для
измерения сил.
Располагая способом измере-
измерения сил, можно установить, при
каких условиях возникают силы, и
найти их величины в любых кон-
конкретных случаях.
Например, изучая упругие си-
силы, можно установить, что растя-
растянутая цилиндрическая пружина
создает силу, которая при не слиш-
слишком больших растяжениях пружины
пропорциональна величине растя-
растяжения. Это упрощает калибровку
динамометров, так как достаточно
отметить только растяжение, соответствующее наибольшей силе (не выходящей за
указанные выше пределы), и всю шкалу динамометра разделить на равные части.
Точно так же и для любых Других типов деформации можно установить зависи-
зависимость величины возникшей упругой силы от характера и величины деформации.
Аналогично можно измерять и силы трения. Если к движущемуся телу прикрепить
динамометр и установить то растяжение динамометра, при котором тело будет дви-
двигаться прямолинейно и равномерно, то сила трения будет равна по величине и проти-
противоположна по направлению силе, действующей со стороны динамометра (конечно,
при условии, что никакие другие силы на тело не действуют).
Принципиально так же можно измерять силы, обусловленные действием полей
(гравитационного, электрического и магнитного). Например, общеизвестный метод
взвешивания тел на пружинных весах позволяет измерить притяжения этих тел
Землей (правда, только приближенно, так как Земля, на которой покоится тело при
взвешивании, движется относительно выбранной «неподвижной» системы координат
и это несколько искажает результаты измерений). Точно так же при помощи динамо-
динамометров можно измерять силы взаимодействия между неподвижными электрическими
зарядами, прикрепив к двум заряженным телам динамометры и подобрав растяжение
динамометров так, чтобы тела покоились. Эти же измерения позволяют определять
величину зарядов (по силам взаимодействия зарядов) и установить единицу электри-
электрического заряда в системе CGSE. Наконец, при помощи динамометров можно измерять
силы взаимодействия между электрическими токами, текущими в жестких отрезках
проводов. Для этого нужно прикрепить динамометры к жестким отрезкам проводов
Рис. 36.

§ 19] СИЛА ЛОРЕНТНА 77
(рис. 36) и измерить растяжение динамометров, при котором провода остаются в покое.
Таким образом можно измерить силы взаимодействия между токами, т. е. те добавоч-
добавочные силы, которые возникают между электрическими зарядами вследствие того,
что эти заряды движутся. Эти же измерения позволяют определять силу тока (по
силам взаимодействия токов) и установить единицу силы тока в системе CGSM.
В случаях взаимодействия заряженных тел, как уже указывалось, задачу
измерения возникающих между телами сил можно разбить на две независимые задачи
и найти силу, действующую на электрические заряды со стороны электрического
и магнитного полей.
§ 19. Сила Лорентца
Помещая в ту или иную точку пространства, в котором заряженное
тело В создает электрическое поле, другое заряженное тело Л доста-
достаточно малых размеров1), мы при помощи прикрепленных к нему динамо-
динамометров измеряем величину и направление силы Fa, действующей со
стороны тела В на тело Л. Изменяя величину заряда тела Л, мы обна-
обнаружим, что в данной точке пространства эта сила FA зависит только
от величины заряда еА, сообщенного телу Л, а именно пропорциональна
величине этого заряда. Следовательно, отношение FaI^a (при неизмен-
неизменном состоянии тела J5, создающего электрическое поле) есть величина
постоянная. ПосколькуFaI^a не зависит от величины заряда тела Л,
а зависит только от свойств тела В (его размеров, формы, величины его
заряда ев), это отношение может служить характеристикой того элек-
электрического поля, которое тело В создает в данной точке пространства.
Это отношение определяет напряженность электрического поля тела В
в данной точке пространства. Так как сила Fa, действующая на тело Л,
есть вектор, то и отношение этой силы к заряду еА, т. е. к скалярной
величине, также есть вектор, совпадающий по направлению с вектором
Fa, если заряд тела еА положителен, и обратный по направлению век-
вектору Fa, если заряд тела еА отрицателен. Таким образом, вектор на-
напряженности электрического поля в данной точке
?=7^. C.1)
а сила, действующая в этой точке на заряд е,
F = eE. C.2)
Далее, помещая тело Л, заряженное одним и тем же зарядом еА>
в разные точки пространства, мы обнаружим, что на него действуют,
вообще говоря, различные по величине и направлению силы. Это значит,
что напряженность электрического поля, создаваемого телом J5, в
разных точках пространства, вообще говоря, различна (поэтому для
измерения напряженности электрического поля в данной точке и
нужно брать тело Л достаточно малых размеров, в пределах которых
Как малы должны быть эти размеры — будет ясно из дальнейшего.

78 законы ньютона [гл. ш
изменениями напряженности поля тела В от точки к точке можно пре-
пренебречь). Но, например, при помощи двух разноименно заряженных
параллельных пластин, находящихся на малом по сравнению с раз-
размерами пластин расстоянии друг от друга (плоский конденсатор),
можно создать электрическое поле, напряженность которого почти
во всем пространстве между пластинами практически одинакова по
величине и направлению, т. е. создать однородное электрическое поле.
Итак, измеряя при помощи динамометров силу, действующую на
известный электрический заряд, мы можем определить напряженность
электрического поля в любой точке пространства. Как уже указыва-
указывалось, величину зарядов можно измерять по силе взаимодействия между
ними, т. е. также при помощи динамометров. Таким образом, при по-
помощи динамометров, используя соотношение C.2), мы можем определить
силу, действующую на электрически заряженное тело со стороны элек-
электрического поля.
Так как в случае однородного электрического поля напряженность
поля Е связана с напряжением V между двумя точками, расположен-
расположенными на прямой, совпадающей с направлением поля, соотношением
U = Et, C.3)
где I — расстояние между точками, то напряжение на плоском конден-
конденсаторе также выражается соотношением C.3), где I — расстояние меж-
между пластинами. Поэтому в случае однородных полей измерение напря-
напряженности поля может быть заменено измерением напряжения, напри-
например, при помощи электростатических приборов — электрометров,
электростатических вольтметров, представляющих собой в принципе
также динамометры, измеряющие силы взаимодействия между электри-
электрическими зарядами на электродах прибора (величина же этих зарядов
пропорциональна приложенному к прибору напряжению).
Принципиально так же решаются задачи измерения напряженности
магнитных полей и сил, действующих со стороны этих полей на движу-
движущиеся электрические заряды. Частным случаем движения зарядов
является электрический ток в металлических проводниках. С него мы
и начнем рассмотрение указанных задач.
Поместив в магнитное поле, созданное телом В, например электро-
электромагнитом, жесткий отрезок провода х) и пропуская по нему ток опре-
определенной силы (рис. 37, поле направлено по оси г), мы сможем при
помощи прикрепленных к отрезку провода динамометров определить
величину и направление силы F, действующей на ток со стороны магнит-
магнитного поля. (При этом нужно проводники, подводящие ток к отрезку
провода, взять достаточно мягкими и расположить их так, чтобы с их
стороны на жесткий отрезок провода не действовали упругие силы.)
г) По соображениям, аналогичным тем, которые были приведены выше для раз-
размера заряженного тела Л, длину жесткого провода нужно взять достаточно ма-
малой, чтобы магнитное поле, действующее на все точки провода, можно было счи-
считать одинаковым.

19]
СИЛА ЛОРЕНТЦА
79
Прежде всего мы обнаружим, что величина и направление силы F
зависят от ориентации провода по отношению к магнитному полю.
Направление силы F всегда перпендикулярно к направлению тока
и магнитного поля и связано с этими
направлениями правилом буравчика,
рукоятка которого поворачивается от
направления тока к направлению по-
поля. Величина же силы зависит от угла
а между направлениями магнитного
ноля и тока и при неизменных прочих
условиях пропорциональна sin а.
В простейшем случае, когда на-
направления тока и поля взаимно пер-
перпендикулярны (рис. 38), величина си-
силы F не зависит от ориентации отрезка
провода в плоскости ху, перпендику-
перпендикулярной к направлению магнитного по-
поля. Этот простейший случай удобно
использовать для определения зави-
зависимости силы F от силы тока / и дли-
длины жесткого провода /. Измерения по-
показывают, что F пропорциональна II, и, следовательно, отношение
Fill (при неизменном магнитном поле) есть величина постоянная, оп-
определяющая (аналогично случаю электрического поля) напряжен-
напряженность магнитного поля. Таким обра-
образом, при помощи динамометров, изме-
измеряющих силы, действующие на отрезок
провода с током, мы определяем на-
напряженность магнитного поля //.
Далее, на основании установлен-
установленной выше зависимости силы F от дли-
длины отрезка жесткого провода /, силы
тока в нем / и угла а между направ-
направлениями тока и магнитного поля, мы
можем найти силу F, действующую
на любой отрезок провода с током:
Рис. 37.
У
Рис. 38. (как было оговорено, предполагается,
что Н одинаково во всех точках про-
провода). Так как направление F связано с направлениями тока и поля
правилом буравчика, то, рассматривая ток /как вектор (совпадающий
с направлением тока), мы можем выражение для силы F написать
в виде векторного произведения (см. § 14):
C.4)

80 законы ньютона [гл. ш
Эту силу, обусловленную движением электрических зарядов в
отрезке провода, можно выразить через величину и скорость зарядов,
образующих ток /. Общий заряд е, движущийся в рассматриваемом
отрезке провода (рис. 39), пройдет через любое сечение проводника
за время т = l/v, где v — скорость движения заряда (для крайнего
сечения St это очевидно, но через все сечения за одно и то же время
должно пройти одно и то же количество электричества). Значит, за
1 секунду через любое сечение проводника пройдет количество электри-
электричества e/r = evil = / (количество электричества, проходящее за 1 се-
секунду через сечение провода, — это и есть сила тока / в проводе).
Так как направление ev совпадает с направлением / (если движутся
положительные заряды), то / = evil.
Подставляя это выражение для / в
C.4) и вынося скаляр е из-под знака
векторного произведения, получим:
C.5)
В приведенном выше рассмотре-
рассмотрении предполагалось, что сила тока
Рис. 39 измеряется при помощи динамомет-
динамометров, что дает величину силы тока
в единицах CGSM. Следовательно, и количество электричества в C.5)
будет выражаться в единицах CGSM. Чтобы количество электричества
выражалось в единицах CGSE, мы должны перейти к силе тока в едини-
единицах CGSE. Как указывалось (§ 4), отношение единиц силы тока
CGSE и CGSM равно с — 2,99796 • 1010 см1сек (скорости света в пустоте).
Поэтому, переходя к единицам CGSE, мы должны выражение C.5)
записать в виде
F = f [«//). C.6)
Это выражение получено нами из рассмотрения частного случая
движения электрических зарядов в металлическом проводнике. Для
того чтобы выяснить, насколько общим является это выражение и
можно ли его распространять на другие случаи движения электри-
электрических зарядов в магнитном поле, необходимо представить себе физи-
физическую картину движения зарядов в металлическом проводнике и
возникновения силы F. В металлическом проводнике носителями заря-
зарядов являются «свободные» электроны, слабо связанные с атомами ме-
металла. Независимо от того, течет по проводнику ток или нет, «свобод-
«свободные» электроны совершают хаотическое тепловое движение со скорос-
скоростями порядка сотен километров в секунду (эта скорость растет с ростом
температуры). Пока электрическое поле в проводнике отсутствует,
вследствие полной хаотичности теплового движения за единицу вре-
времени через любое сечение проводника в обе стороны проходит одинако-
одинаковое число электронов, т. е. одинаковое количество электричества, и ток

§ 19] СИЛА ЛОРЕНТЦА 81
в проводнике отсутствует. При наличии электрического поля электро-
электроны в своем хаотическом движении в одну сторону движутся.по направ-
направлению сил, действующих на них со стороны электрического поля, а
в другую сторону — навстречу этим силам. В первом случае скорость
движения несколько возрастает, а во втором—несколько уменьшается.
Вследствие этого в ту сторону, в которую скорость больше, через каж-
каждое сечение проводника за секунду проходит больше электронов,
чем в обратную, в которую скорость меньше, и в проводнике возникает
электрический ток.
Сила тока определяется, следовательно, не скоростью движения
электронов, а избытком скорости в одном направлении по сравнению
с другим. Иначе говоря, сила тока определяется средним значением
скорости электронов (скорость в одном направлении считается положи-
положительной, а в другом — отрицательной). Поэтому v в выражении C.6)
в действительности есть не скорость движения отдельных электронов,
а среднее значение этой скорости. При полной хаотичности движения
электронов (когда электрическое поле в проводнике отсутствует) сред-
средняя скорость v = 0. При наличии поля, когда на хаотическое движение
накладывается регулярное движение водном направлении, v ^0. Но
пока электрическое поле в проводнике не слишком велико (при не
слишком сильных токах), эта средняя скорость v чрезвычайно мала
по сравнению со скоростями, которыми могут обладать электроны в ре-
результате хаотического движения (v в миллионы раз меньше скоростей
хаотического движения).
Как же можно объяснить, что сила, действующая со стороны магнит-
магнитного поля на все движущиеся электроны вместе, зависит от средней
скорости, т. е. от избытка скорости в одном направлении? Ведь для
каждого отдельного электрона этот ничтожный избыток скорости
не может играть никакой существенной роли. Единственное объясне-
объяснение, которое может быть дано, состоит в следующем. На каждый
отдельный электрон со стороны магнитного поля действует сила, опре-
определяемая выражением C.6), где v—истинная скорость этого электрона.
Но вследствие того, что при изменении направления v на обратное
изменяется и направление силы, действующей на электрон, результи-
результирующая сила, действующая на все электроны вместе, равна разности
сил, действующих на электроны, движущиеся в ту и другую стороны.
Поэтому она и определяется разностью скоростей электронов, т. е.
избытком скорости в одном направлении по сравнению с другим.
Таким образом, выражение C.6) следует применять к каждому отдель-
отдельному движущемуся электрону, понимая под v скорость движения этого
электрона.
Есть также все основания полагать, что выражение C.6), справедли-
справедливое для «свободных» электронов в металле, остается справедливым
и для всяких заряженных тел. Опыт это подтверждает.
Как ясно из изложенного выше, под v следует понимать скорость
движения электронов относительно тех приборов, при помощи которых

82 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ III
измеряется фигурирующая в C.6) напряженность магнитного поля Н.
Поэтому, пока мы пользуемся, как условлено, «неподвижной» системой
отсчета, приборы, измеряющие напряженности электрического и маг-
магнитного полей, должны покоиться в «неподвижной» системе отсчета
и скорость v измеряется в этой же системе отсчета.
Если электрический заряд движется в пространстве, где одновре-
одновременно существуют и электрическое и магнитное поля, то на него дейст-
действуют одновременно две силы: со стороны электрического поля, опреде-
определяемая выражением C.2), и со стороны магнитного поля, определяемая
выражением C.6). Следовательно, результирующая сила, действующая
на заряд,
{ ±} C.7)
Это и есть сила Лорентца. Такое объединение двух сил, действующих
со стороны электрического и магнитного полей, в единую силу Лорентца
отнюдь не является формальным. Сила, определяемая выражением
C.7), является по своей природе единой силой, и, наоборот, разделение
ее на две силы, из которых одна действует со стороны электрического,
а другая — со стороны магнитного поля, носит условный характер.
Весь этот вопрос в целом будет рассмотрен позднее (§ 57), а сейчас мы
ограничимся только указанием на то, в чем заключается условность
разделения силы Лорентца на две. Так как вторая сила зависит от
скорости заряженного тела, а сама скорость этого тела зависит от
выбора системы отсчета, то величина той части силы Лорентца, которая
должна рассматриваться как сила, создаваемая магнитным полем,
зависит от выбора системы отсчета. Но пока мы будем, как было услов-
условлено, пользоваться всегда одной и той же «неподвижной» системой
отсчета и приборы, измеряющие электрические и магнитные поля,
будут неподвижны относительно этой системы отсчета, условность
разделения силы Лорентца на две никак не будет сказываться и это
разделение всегда будет однозначно.
Сила Лорентца является не только единой, но и единственной силой,
действующей на электрически заряженные тела со стороны электричес-
электрического и магнитного полей до тех пор, пока не возникает электромагнит-
электромагнитное излучение движущегося заряженного тела, порождающее электро-
электромагнитное поле, которое действует с определенной силой на само заря-
заряженное тело. Возникает электромагнитное излучение в тех случаях,
когда электрически заряженное тело движется с ускорением, и только
при больших ускорениях это излучение играет существенную роль.
Поэтому, ограничив задачу механики только теми движениями заря-
заряженных тел, при которых электромагнитное излучение еще не играет
существенной роли, мы тем самым исключили из механики рассмотре-
рассмотрение движений заряженных тел с большими ускорениями.
Пренебрегая электромагнитным излучением движущихся зарядов,
мы можем не принимать во внимание конечность скорости распростра-

20]
СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ
83
нения этого излучения. И если, кроме того, напряженности внешних
электрического и магнитного полей, действующих на заряд, изменяются
достаточно медленно, то не нужно учитывать и скорости распростране-
распространения этих изменяющихся полей. Введенные ограничения позволяют
пользоваться представлением о «мгновенном» распространении элек-
электрического и магнитного полей.
Это представление сближает оба рассматриваемых случая — сил,
действующих при непосредственном соприкосновении, и сил, действую-
действующих «на расстоянии» (поскольку в обоих случаях время, в течение
которого «распространяется действие силы», не учитывается). Таким
образом, введенные ограничения (в отношении величии ускорений заря-
заряженных тел и скоростей изменения внешних электрического и магнит-
магнитного полей) в значительной степени исключают те различия, которые
существуют между силами, действующими при непосредственном сопри-
соприкосновении, и силами, действующими «на расстоянии». Именно поэтому,
измеряя с помощью динамометров величину электрических зарядов
и напряженностей электрического и магнитного полей в данной точке
пространства, мы можем не различать сил, действующих при непо-
непосредственном соприкосновении, и сил, действующих на расстоянии.
§ 20. Связь между силой и ускорением
Располагая независимыми способами измерения ускорений и сил,
можно на опыте установить связь между ними. Для этого может слу-
служить, например, следующий опыт (рис. 40). К тележке, которая может
Рис. 40.
катиться (с пренебрежимо малым трением) по рельсам, прикреплен
динамометр, а к другому концу динамометра—нить с грузом М, пере-
переброшенная через блок. По показаниям динамометра можно определить
силу, с которой растянутая пружина динамометра действует на те-
тележку х). Измеряя, с другой стороны, ускорение тележки, мы обнару-
х) Сила эта при движении тележки с ускорением меньше веса груза М. Это вид-
видно из того, что груз не находится в покое, а опускается с ускорением. Вопрос о ве-
величине силы натяжения нити, на которой висит движущийся с ускорением (подымаю-
(подымающийся или опускающийся) груз, будет рассмотрен в § 41.

84
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. III
жим, что тележка под действием постоянной силы испытывает все
время одно и то же ускорение, независимо от того, какой скоростью
обладает в данный момент тележка. Далее, прикрепляя к нити различ-
различные грузы и создавая тем самым различные растяжения пружины дина-
динамометра, мы обнаружим, что ускоре-
ускорение тележки пропорционально дейст-
действующей силе.
Аналогичный опыт можно произве-
произвести, не измеряя непосредственно дей-
действующую на тело силу, а пользуясь
заранее известной зависимостью меж-
между деформацией пружины и силой, с
которой она действует на прикреплен-
прикрепленное к ней тело. Возьмем, например,
пружину, для которой сила пропор-
циональна деформации, пока послед-
няя не превосходит некоторого пре-
предела (предел пропорциональности), и
подвесим к ней тело небольшой массы т (рис. 41). Под действием
веса тела пружина несколько растянется и тело займет положение
равновесия х = 0. Если оттянуть тело вниз на небольшое расстоя-
расстояние х0 от положения равновесия, а затем его отпустить, то оно будет
совершать колебания в вертикальном направлении, причем расстоя-
расстояние х от положения равновесия будет изменяться по закону
/ C.8)
Рис 41
(здесь х0 — амплитуда, со — угловая частота колебаний). При этом
растяжение пружины будет меняться по закону (I — /0 + х), где /0 —
длина нерастянутой пружины, а / — ее длина, когда груз находится
в положении равновесия (х = 0). Если коэффициент упругости пружины
(т. е. коэффициент пропорциональности между растяжением и силой)
есть k, то со стороны пружины на груз будет действовать сила
(знак минус взят потому, что сила при растянутой пружине направлена
кверху, а положительным направлением оси х мы считаем направление
вниз). Кроме силы Fr на тело действует вниз сила веса
(так как она растягивает пружину от длины /0 до длины /). Сумма сил,
действующих на тело,
F = Ft + P = — fct = — kx0 cos (x)t. C.9)
С другой стороны, взяв вторую производную от х по t, мы найдем
ускорение тела:
/ = — *осо2 cos orf. (ЗЛО)

§ 20] СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ 85
Из сопоставления C.9) и C.10) следует, что
/=tf- <ЗЛ1>
Так как ft и со2 — постоянные положительные числа, то последнее
выражение показывает, что ускорение тела в каждый момент времени
пропорционально сумме сил, действующих на тело в этот момент; при
этом, так как ускорение тела направлено по оси х, а сила, действующая
со стороны пружины, направлена вдоль ее оси, т. е. также по оси х,
то опыт показывает, что направление ускорения совпадает с направле-
направлением действующей силы. Следовательно, отношение F/j = ft/со2 есть
постоянная скалярная величина, т. е. ускорение тела т пропорцио-
пропорционально действующей на это тело силе. Производя подобные опыты
с различными телами и пружинами, мы обнаружим, что величина
отношения F/j зависит от свойств тела. Но для данных тела и пружины
отношение F/j остается постоянным.
Опыты, подобные описанным, возможны только при скоростях,
очень малых по сравнению со скоростью света. Поэтому на основании
этих опытов мы можем утверждать, что пока скорости тел очень малы
по сравнению со скоростью света, ускорение тела пропорционально
равнодействующей всех сил, действующих на это тело, и совпадает
с ней по направлению. Опыты же, в которых тела движутся со скорос-
скоростями, сравнимыми со скоростью света, показали, что связь между силой
и ускорением оказывается более сложной. Скорости, сравнимые со
скоростью света, при которых обнаруживаются изменения отношения
F/j, могут быть сообщены электрически заряженным частицам (элек-
(электронам, протонам, ионам) силами, действующими на них со стороны
электромагнитного поля. Эти опыты, описываемые ниже, позволят
выяснить, как в случае движения тел со скоростями, сравнимыми со
скоростью света, должен быть изменен вывод, к которому мы пришли
(о пропорциональности между силой и ускорением). Предварительно,
однако, мы приведем некоторые качественные соображения, поясняю-
поясняющие этот вывод.
Чтобы тело, обладающее конечным ускорением, приобрело некото-
некоторую конечную скорость, действие силы должно продолжаться конечное
время. Другими словами, под действием сил тело приобретает или из-
изменяет скорость не сразу, а постепенно. Это именно и означает, что
тела обладают инерцией. Свойство инерции непосредственно вытекает
из того факта, что силами определяются ускорения (именно ускорения,
а не скорости) тел.
Один из наиболее наглядных опытов, служащих для демонстрации инерции тел,
заключается в следующем: два больших одинаковых груза подвешиваются на одина-
одинаковых нитях один под другим (рис. 42). Нить подбирается так, чтобы она выдерживала
натяжение, равное весу одного груза, и обрывалась при натяжении, равном весу
обоих грузов. Тогда, если плавно опустить сначала верхний груз, поддерживая
нижний, а затем плавно же опустить нижний груз, то верхняя нить обрывается.

86
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. III
Если же опустить нижний груз не плавно, а сразу, выдернув из-под него подставку>
то оборвется не верхняя, а нижняя нить.
Чтобы смысл описанного опыта был совершенно ясен, необходимо принять во
внимание, во первых, что нить действует с известной силой на груз, только когда она
растянута, и, во-вторых, что обрывается нить тогда, когда ее удлинение превосходит
некоторый определенный предел. Учтя оба эти обстоятельства, легко объяснить
описанный опыт.
Когда нижний груз падает с некоторой высоты, обрывается не верхняя, а нижняя
нить потому, что верхний груз не может «сразу» (за очень малый промежуток времени)
приобрести заметную скорость, а нижний не может «сразу» поте-
потерять свою скорость, т. е. потому, что грузы обладают инерцией.
Ясно, что чем менее растяжима нить, т. е. чем меньше удлине-
удлинение, при котором она обрывается, тем меньше должна быть скорость
нижнего груза (т. е. практически высота его падения) для того,
чтобы нижняя нить оборвалась. Если бы нить была совсем нера-
нерастяжима, то совсем малой начальной скорости груза было бы доста-
достаточно, чтобы оборвать нить. Действительно, груз не может мгно-
мгновенно остановиться, когда нить вытянется до нормальной длины,
так как для этого потребовались бы бесконечно большие силы.
Свойство инерции представляет собой проявление того факта,
что ускорения тел определяются действующими на них силами. В
этом факте заключаются все те черты поведения тел, которые назы-
называют инерцией. Инерцию тел иногда описывают как свойство тел
«сопротивляться» изменению скорости. Однако слово «сопротив-
«сопротивляться» вряд ли здесь уместно. Это слово было бы уместно, если бы,
несмотря на действие сил, тело все же сохраняло свою скорость по-
постоянной. Между тем, как только на тело начинает действовать
сила, скорость тела тотчас же начинает изменяться. Таким образом, термин «соп-
«сопротивляться» не дает правильного представления о действительном положении
.вещей.
Рассмотрим теперь связь между силой и ускорением в случае
электрически заряженных тел, движущихся в электрических и магнит-
магнитных полях; например, рассмотрим электроны, движущиеся в электри-
электрическом поле без столкновений с молекулами или ионами газа, т. е.
.в вакууме. /
Рис.
Рис. 43.
Для получения пучка движущихся электронов внутрь длинного
сосуда (рис. 43), из которого удален воздух, помещают испускающий
электроны источник К (например, накаленную нить), а на некотором
расстоянии от него — второй электрод А\ между источником электро-
электронов и электродом А включают высокое напряжение положительным

§ 20] СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ 87
полюсом к электроду А. Электрод А называют анодом, а электрод,
служащий источником электронов, — катодом. Высокое напряжение,
приложенное между анодом и катодом, создает между этими электро-
электродами электрическое поле, направленное от анода к катоду. На элек-
электроны, испускаемые катодом, это поле действует с силой,направленной
к аноду (так как электроны обладают отрицательным зарядом), вслед-
вследствие чего электроны движутся ускоренно к аноду и достигают его
со скоростью, определяемой величиной напряжения между анодом и
катодом. Через малое отверстие в аноде часть электронов вылетает
в виде тонкого пучка (электронного луча), в котором электроны про-
продолжают двигаться без ускорения с той скоростью, с которой они до-
достигли анода (если ускоряющее электрическое поле позади анода отсут-
отсутствует). Описанный прибор представляет собой так называемую элек-
электронную пушку, используемую во многих электронных приборах,
в частности в электронно-лучевой трубке, которая снабжается, кроме
того, различными дополнительными электродами и флуоресцирующим
экраном Э. Иа экране в месте падения электронного луча образуется
светлое пятно (иногда экран заменяют фотопластинкой, на которую
электронный луч действует так же, как световой).
Если в пространстве за анодом, на пути электронного луча, сущест-
существует электрическое или магнитное поле, или и то и другое одновременно,
то на электроны луча будет действовать сила Лорентца. Зная напряжен-
напряженности этих полей — электрического Е и магнитного Я — и скорость
электронов, мы можем определить силу Лорентца, действующую на
единицу заряда. Для того чтобы определить силу Лорентца, действую-
действующую на электрон, нужно знать величину его заряда. Принципиально
заряд электрона может быть измерен, как и всякий электрический
заряд, при помощи динамометров, как описано выше. Однако вследст-
вследствие малости заряда электрона приходится применять специальные
методы измерения, описывать которые здесь было бы нецелесообразно.
Измеренный с помощью этих методов заряд электрона оказался рав-
равным 4,8-100 CGSE. Вместе с тем опытные факты говорят о том, что
эта величина заряда электрона при всех условиях остается неизменной.
Создавая в пространстве за анодом трубки электрическое и магнит-
магнитное поля различной конфигурации, можно по характеру движения
электронов определить испытываемые ими в этих полях ускорения
и установить связь с силами, действующими на электроны со стороны
этих полей. Одна из возможных конфигураций электрического и магнит-
магнитного полей, пригодная для этих опытов, такова (рис. 44). Трубка распо-
располагается между полюсами электромагнита, создающего однородное маг-
магнитное поле. Это поле существует во всем пространстве за анодом (на
рис. 44 это поле перпендикулярно к плоскости чертежа, точки — следы
магнитных силовых линий). Внутри трубки непосредственно за отвер-
отверстием в аноде располагается плоский конденсатор с очень малым рас-
расстоянием между пластинами, к которому подводится регулируемое
постоянное напряжение 1/с. Электрическое поле конденсатора

88
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. Ш
параллельно плоскости чертежа, т. е. перпендикулярно к электрон-
электронному лучу и магнитному полю.
Так как сила, действующая со стороны магнитного поля на движу-
движущийся электрон, перпендикулярна к скорости луча и к направлению
магнитного поля, то ее направление либо совпадает с направлением
силы, действующей на электрон со стороны электрического поля,
либо противоположно ему (в зависимости от направления электричес-
электрического и магнитного полей); «полная» сила Лорентца Fn направлена
перпендикулярно к пластинам конденсатора. Она искривляет электрон-
электронный луч в плоскости чертежа, и электроны попадают на ту или другую
обкладку конденсатора, вследствие чего электронный луч не выходит
Рис. 44.
за пределы конденсатора. Но если подобрать направления и напряжен-
напряженности электрического и магнитного полей так, чтобы силы, с которыми
-они действуют на электрон, были противоположны по направлению
и равны по величине, т. е. сила Лорентца была бы равна нулю, то элек-
электронный луч не будет отклоняться внутри конденсатора и выйдет за его
пределы. На дальнейшем пути луча на электроны действует только
магнитное поле, которое вызовет искривление луча, вследствие чего све-
светящееся пятно на экране сместится в сторону от осевой линии трубки.
Наличие светящегося пятна на экране, независимо от его положе-
положения, свидетельствует о том, что внутри конденсатора сила Лорентца
равна нулю. Так как в рассматриваемом случае v и Н перпендикулярны
друг к другу, а их векторное произведение направлено навстречу Е,
то величина силы Лорентца
C.12)
Из равенства ее нулю следует: v — сЕ/Н. Зная значения Е и Я, при
которых на экране появилось пятно, мы находим скорость, с которой
электроны вылетают из отверстия в аноде. Производя эти опыты при
разных значениях напряжения Ua на аноде, можно найти зависимость
приобретенной электроном скорости от напряженности электрического
поля между катодом и анодом. Для простоты мы будем считать это поле
однородным и, следовательно, напряженность поля везде одинаковой

2U]
СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ
89
и„
и пропорциональной Ua (мы могли бы, не делая этого предположения,
измерять напряженность поля во всех точках пространства между като-
катодом и анодом).
Как показывает опыт, пока напряжения на аноде невелики (напри-
(например, порядка тысяч вольт), достигнутая электронами скорость оказы-
оказывается пропорциональной ]/?/а. Отсюда следует, что ускорение элект-
электрона в электрическом поле постоянно и пропорционально Ua, а значит,
и напряженности поля Е. В самом деле, скорость, достигнутая на пути
s при постоянном ускорении а, будет иметь значение v = jf^as', и если
(при данном s) v ^ VE, то а ~ Е. Поскольку, с другой стороны, дей-
действующая на электрон сила
F ~ Е, то a ~ F, т. е., как и
в описанных выше опытах,
ускорение пропорционально
силе.
Изучая движение электро-
электронов в магнитных полях, мож-
можно установить связь между
ускорением и силой, дейст-
действующей на электрон со сторо-
стороны магнитного поля (рис. 45).
Это можно осуществить, опре-
определив траектории движения
электронов, когда на них дей-
действует только магнитное по-
поле, перпендикулярное к ско-
скорости их движения (после того
как электроны вылетели из
конденсатора). Как уже ука-
указывалось, магнитное поле вы-
вызывает смещение пятна на экране от осевой линии. Величина это-
этого смещения еще не дает представления о траектории движения
электронов. Но, поместив на пути электронного пучка ряд диафрагм
Dl9 D2,... с малыми отверстиями, можно убедиться, что электроны дви-
движутся по дуге окружности, для которой скорость электронов v при
выходе из конденсатора является касательной, а светящееся пятно С
на экране — точкой пересечения этой дуги с экраном. Доказательством
этого служит то, что пятно на экране не исчезает, только когда отвер-
отверстия диафрагм расположены по такой дуге (при всяком другом располо-
расположении отверстий диафрагм пятно на экране исчезает).
После того как установлено, что электроны в магнитном поле,
перпендикулярном к направлению скорости, движутся по дуге окруж-
окружности, радиус этой окружности R может быть определен по смещению
светящегося пятна на экране. Уравнение окружности радиуса R,
центр которой О лежит на оси у на расстоянии R от начала координат,
Рис. 45.

90
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. III
есть (у — RJ + *2 = R2. Подставляя в это выражение координаты
пятна хг и yl9 получим:
R=4A- C.13)
-е
Рис. 46.
Опыт показывает, что величина смещения пятна зависитот v и Я; следо-
следовательно, радиусы дуг окружностей, по которым движутся электроны,
изменяются при изменении v и Я. Пользуясь выражением C.13),
можно определить радиус дуг окруж-
окружности, по которым движутся электро-
электроны при различных v и Я. Далее,
поместив на пути электронов, дви-
движущихся по окружности, плоский
конденсатор, можно таким же спосо-
способом, каким была измерена скорость
электронов по выходе из отверстия в
аноде, измерить скорость электронов
после того, как они прошли какой-то
путь в магнитном поле, и убедиться,
что величина скорости при движении электронов только в магнитном
поле остается неизменной. Тот факт, что электроны движутся пер-
перпендикулярно к магнитному полю по окружностям с постоянной скоро-
скоростью, свидетельствует, что они испытывают в этом поле только цент-
центростремительное ускорение, постоянное по величине и перпендику-
перпендикулярное к v и N. Поскольку электроны движутся по часовой стрел-
стрелке, если смотреть в направлении поля, то, значит, направлено это
ускорение у в сторону, обратную движению буравчика, если его ру-
рукоятку поворачивать от ю к Н (рис. 46).
Определения с помощью C.13) радиусов R дуг окружностей, описы-
описываемых электронами в магнитном поле с напряженностью Я, показы-
показывают, что при неизменном v
R~w- <ЗЛ4>
А так как центростремительное ускорение электронов / = v2/R, то,
значит, при неизменном v
/~Я. C.15)
С другой стороны, так как в рассматриваемом случае электрическое
поле отсутствует, то сила Лорентца F = ~ [*>Н\* т. е.
с
Отсюда следует, что j *~^ F. Вместе с тем, поскольку заряд электрона
отрицателен (е <^ 0), то сила F направлена в сторону, обратную движе-
движению буравчика при повороте его от v к //, т. е. в ту же сторону, в кото-
которую, как мы убедились выше, направлено /

§ 21] СВЯЗЬ МЕЖДУ СИЛОЙ И УСКОРЕНИЕМ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 91
Следовательно, и в этом случае опыт показывает, что при неизмен-
неизменном v отношение F/j есть постоянная положительная величина.
Производя те же опыты при различных Uaj т. е. при различных
скоростях электронов v, мы убедились бы, что пока Ua невелико, так
что v <^ с, отношение F/j при движении электрона в магнитном поле
также остается постоянным.
Таким образом, пока v <^ с, отношение F/j во всех случаях оста-
остается постоянным.
§ 21. Связь между силой и ускорением
при больших скоростях
Постоянство отношения F/j соблюдается только до тех пор, пока
скорость v заряженных частиц достаточно мала по сравнению со ско-
скоростью света с. Изучить связь между силой и ускорением при и, срав-
сравнимых с с, можно при помощи тех же опытов, которые были описаны
выше, но для этого нужно располагать потоком достаточно быстрых
частиц. Ускорение электронов до скоростей, сравнимых со скоростью
света, не представляет больших технических трудностей. Уже при уско-
ускоряющем напряжении в 100 киловольт скорость электронов значительно
превышает половину скорости света. Но для ускорения более тяжелых
частиц, например ионов (т. е. атомов, лишенных одного или нескольких
своих электронов), до скоростей, сравнимых со скоростью света, тре-
требуются специальные сложные устройства, описанные ниже (§§ 54 и 56).
Частицы, обладающие скоростями, сравнимыми со скоростью света
(например, испускаемые при радиоактивном распаде электроны и
ядра гелия), также могут быть использованы в опытах для изучения
связи между ускорением и силой.
Именно на электронах, испускаемых при радиоактивном распаде,
были впервые обнаружены отклонения от постоянства отношения
F/j. Этот результат был получен при изучении траекторий движения
электронов в магнитных полях. Как мы видели, в этом случае ускоре-
ускорения могут быть определены (если независимо измерена неизменяющаяся
при движении в магнитном поле величина скорости частиц) непосред-
непосредственно по смещению пятна на экране. Результаты таких опытов,
произведенных с различными частицами, независимо от их происхожде-
происхождения (получены ли они с помощью ускорителей или возникли при
радиоактивном распаде), показали, что при различных, но постоянных
значениях и, сравнимых с с, отношение F/j не остается постоянным,
а оказывается тем больше, чем больше v. Было установлено, что
4—Л=. (зле)
где численный коэффициент с (также определенный из опыта) равен
2,99796-1010 см/сек, т. е. скорости света в пустоте. Для различных

92
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. III
частиц, например электронов и протонов, при одной и той же скорости
F/j оказывается совершенно различным (для протонов в 1840 раз мень-
меньше, чем для электронов), но зависимость этого отношения от скорости
частиц оказывается для всех частиц одинаковой и выражается отноше-
отношением C.16).
Такой же результат дали опыты с ускорением электронов в электри-
электрическом поле в том случае, когда это поле сообщает электронам только
нормальное ускорение и, следовательно, изменяет только направление
скорости. Правда, в электрическом поле этот случай не может быть
осуществлен в таком чи-
чистом виде, как в магнит-
магнитном (которое всегда сооб-
сообщает электрону только нор-
нормальное ускорение). Но
приближенно он может
быть осуществлен, если пу-
пучок электронов пропускать
i
Рис. 47.
через плоский конденса-
конденсатор, в котором создано од-
однородное электрическое по-
поле (рис. 47). Это поле сооб-
сообщает электронам ускорение
в направлении, обратном
полю, и вызывает искривление траектории электронов (одна из
таких траекторий указана на рисунке пунктиром). В отличие от опы-
опытов с определением скорости электронов расстояние между пласти-
пластинами конденсатора выбирается достаточно большим, чтобы элек-
электроны даже при заметном отклонении не попадали на пластины
и могли выйти за пределы конденсатора. Тогда светлое пятно на экране
трубки смещается; величина этого смещения может быть измерена и по
ней определен угол 6.
По мере искривления траектории появляется составляющая элект-
электрического пол я, направленная вдоль скорости электронов и сообщающая
им тангенциальное ускорение, вследствие чего скорость электронов
изменяется. Поскольку заряд электрона отрицателен, тангенциальное
ускорение электронов совпадает с направлением движения электронов
(рис. 47) и, значит, скорость электронов возрастает. Но если угол 6
достаточно мал, то возрастанием скорости можно пренебречь и считать,
что электроны испытывают только нормальное ускорение и движутся
с постоянной по величине скоростью vx. В таком случае электрон,
двигаясь в поле конденсатора, испытывает постоянное ускорение
j в течение времени t± = l/vXt где I — длина конденсатора, и при выходе
из конденсатора он обладает двумя составляющими скорости vx и vy,
лричем vy = jt± = jl/vx. Так как при малых 6 vy/vx да 6, то

§ 22] МАССА. ИМПУЛЬС 93
Изменяя напряженность Е электрического поля в конденсаторе, мы
обнаружим, что пока vx неизменно, 6 ~ ?, а значит, и / ^ Е.
Так как, с другой стороны, сила, действующая на электрон, F =
—еЕ, то / ~ F, т. е. при фиксированном vx отношение F/j постоянно.
Оно оказывается равным отношению, получаемому из опытов с откло-
отклонением в магнитном поле (при том же значении vx), и, следовательно,
F/j изменяется со скоростью по тому же закону C.16).
В случае тангенциального ускорения, когда электрическое поле
увеличивает скорость частиц, при v, сравнимых с с, также нару-
нарушается постоянство F/j. Это сказывается в том, что в опытах по измере-
измерению скорости частиц v при различных ускоряющих напряжениях
Uа (эти опыты описаны в предыдущем параграфе) нарушается пропор-
пропорциональность между v и V~Va. При Иа больших v растет медленнее,
чем \Z~Ua9 и тем медленнее, чем больше Ua. Однако зависимость F/j
от скорости частиц оказывается иной, чем при нормальном ускорении
(вид этой зависимости будет установлен в § 23). Зависимость F/j от ско-
скорости v C.16) соблюдается для всех частиц лишь тогда, когда они испы-
испытывают только нормальное ускорение.
§ 22* Масса. Импульс
Отношение F//, зависящее от свойств ускоряемого тела, является
мерой инертности этого тела, т. е. определяет его инертную массу х).
Как следует из сказанного в § 20, пока достигнутая ускоряемым телом
скорость v ^ с, масса тела
me = F/j C.17)
есть величина постоянная. Далее, как мы убедились в § 21, когда v
становится сравнимым ее, отношение F/j также остается постоянным,
если скорость тела v не изменяется, но для различных v это отношение
имеет разные значения, причем изменяется это отношение в соответ-
соответствии с C.16). Это значит, что инертность тела зависит от его скорости
и возрастает со скоростью в соответствии с C.16); так же возрастает
и масса тела, т. е. масса тела
При v2/c2 -> 0 масса тела т -> т0, при v -*> с масса т -» со, а при
v > с выражение C.18) теряет смысл. Однако, как будет видно из
дальнейшего,никакому телу не может быть сообщена скорость больше с.
1) Массу тела, определяющую инертные свойства тела, называют инертной в
отличие/от гравитационной массы, которая характеризует свойства тел при их взаим-
взаимном притяжении. При соответствующем выборе единиц инертная и гравитационная
массы совпадают. Значение этого факта будет выяснено позднее, а пока, основываясь
на этом факте, мы будем говорить просто о массе тела.

94
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ ITF
р,гсм/сеп
9.6/0*
Измеряя нормальное ускорение, сообщаемое какому-либо телу
известной силой, мы можем определить массу, которой обладает тело
при данной скорости. Именно для
этого мы производим измерения
при наличии только нормального
ускорения, когда скорость тела
не изменяется, и, следовательно,
наше измерение массы относится
к вполне определенной скорости.
Если, кроме того, мы измерим ско-
скорость, при которой производится
измерение ускорения, то мы сможем
из выражения C.18) определить
массу, которой обладает это тело
при любой скорости, и в частности
при v <^ ct т. е. величину т0, ко-
которая называется массой покоя дан-
данного тела и характеризует его
инертные свойства при малых ско-
скоростях. Наоборот, если мы изме-
измерим массу покоя т0 (т. е. будем
производить измерения ускорения
при малых скоростях), то из вы-
выражения C.18) мы найдем массу
тела при любой известной скорости
v. Ясно, что при измерении массы
покоя указанное выше требование, что ускорение должно быть нор-
нормальным, не является обязательным, так как масса покоя вообще не
зависит от скорости, и в частности от направления скорости.
Зная массу тела т и его скорость vt мы можем найти импульс
тела (количество движения):
C.19)
цсм/сеп
Рис. 48.
И Y1 —
Поскольку масса тела есть скаляр, то импульс р представляет собой
вектор, по величине равный то и по направлению совпадающий с v.
Иначе говоря, импульс есть вектор с компонентами
Рх = -
movx
Ру = \
movy
1 _
где vX9 vy, vz — компоненты скорости по соответствующим осям пря-
прямоугольной системы координат, а хР = v$ + v$ + ig. Пока v <^ с
(т. е. массу тела можно считать равной массе покоя), импульс растет
пропорционально v, а когда v становится сравнимым с с, импульс
растет быстрее v9 и тем быстрее, чем больше v. В самом деле, производ-

§ 23] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 95
ная импульса по скорости
— 1Т77Г
При t>2/c2 <^ 1 величина dp/dt> = m0, а при возрастании у также воз-
возрастает dp/dv и при v -* с величина dp/do -» оо. При v > с выражения
для р и d/?/dt> теряют смысл, но так же, как и в случаях выражения
для массы тела, и по той же причине это обстоятельство не следует
рассматривать как ограничение области применимости полученных
выражений для р и dp/dv.
Зависимость импульса от скорости для тела с массой покоя т0 = 1 г
изображена на рис. 48. Пунктирная прямая соответствует той зави-
зависимости, которая получилась бы, если бы масса не зависела от ско-
скорости и оставалась равной т0.
§ 23. Второй закон Ньютона
Второй закон движения Ньютон сформулировал следующим обра-
образом: «Изменение количества движения пропорционально приложенной
движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой
эта сила действует», т. е.
гдер — импульс, af — действующая на тело сила. Справедливость
этого закона может быть подтверждена при помощи опытов, аналогич-
аналогичных описанным в §§ 21 и 22. Рассмотрение опытов, подтверждающих
второй закон Ньютона, поможет выяснить физическое содержание
утверждений, которые в этом законе заключены.
Начнем с рассмотрения случая, когда v <; с. Тогда р = mov и
i(mo<v) = F. C.22)
Если к тому же масса покоя т0 остается неизменной (т. е. от дви-
движущегося тела не отделяются какие-либо части или, наоборот, к нему
не присоединяются какие-либо другие тела), то т0 может быть выне-
вынесено из-под знака дифференцирования и
mo^ = F или mJ=F. C.23)
Для рассматриваемого случая оба выражения C.21) и C.23) вто-
второго закона эквивалентны. Проверка второго закона Ньютона на
опыте заключается в том, что, определив массу тела (для чего нужно
измерить один раз одновременно ускорение, сообщаемое какой-либо

96 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. III
силой, и величину этой силы), а затем измеряя ускорения, сообщаемые
этому телу известными силами, мы должны убедиться, что во всех
случаях произведение массы на ускорение равно действующей силе
(или геометрической сумме действующих сил, если на тело их дей-
действует несколько).
Для этой цели мы могли бы воспользоваться, например, той же
тележкой с динамометром, которой мы пользовались для установления
связи между силой и ускорением (см. рис. 40). Выбрав груз М какой-
либо определенной величины и измерив силу F, действующую при
этом на тележку (по показанию динамометра), и ускорение /, испыты-
испытываемое тележкой, мы найдем массу тележки т — F/j. Далее, беря
разные грузы (вследствие чего растяжение динамометра каждый раз
будет иным) и измеряя каждый раз силу и ускорение, мы убедимся,
что во всех случаях соблюдается равенство C.23).
Проверка второго закона Ньютона для электрически заряженных
частиц, движущихся в электрическом и магнитном полях, может быть
произведена с помощью таких же опытов, которые служат для опреде-
определения отношения силы к ускорению. Для электронов такие опыты
могут быть осуществлены при помощи электронно-лучевой трубки,
питаемой достаточно низким анодным напряжением Ua (поскольку
изучается случай v ^ с). Для этого случая справедливо уравне-
уравнение C.23), в котором F представляет собой силу Лорентца C.7),
т. е. второй закон Ньютона принимает вид
. C.24)
Для проверки закона мы, как и прежде, должны при какой-то
известной величине силы Лорентца F измерить ускорение / и по отно-
отношению F/j определить массу заряженной частицы, а затем, измеряя
ускорение / этой частицы при разных значениях силы Лорентца,
убедиться, что во всех случаях соблюдается равенство C.24).
Однако для того чтобы определить величину силы Лорентца (т. е.
правую часть C.24)), нужно не только измерить ?, Н и v, но и знать
величину заряда частицы е (которая, как указывалось, может быть
определена из других опытов). Если же не привлекать данных других
опытов, то е неизвестно, и из измерений можно определить только
отношение mje для данной частицы, а не каждую из этих величин
порознь. Обратное отношение е/т0 называется удельным зарядом
частицы. Определив удельный заряд частицы при определенном зна-
значении F, мы далее можем проверять справедливость второго закона
Ньютона при различных значениях F, так как во всех случаях для про-
проверки уравнения C.24) достаточно знать /, v, Е, Н и е/т0. Таким обра-
образом, для проверки второго закона Ньютона можно не определять
заряд е; достаточно знать, что он остается во всех опытах одним
и тем же.

§ 23] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 97
В случае движения заряженной частицы, например электрона,
в поперечном магнитном поле второй закон Ньютона принимает вид
mJ = ±vH. C.25)
По отклонению светящегося пятна на экране можно определить радиус
дуги окружности, описываемой электроном, и, если скорость элек-
электрона известна (она может быть определена, например, способом,
описанным в § 20), найти ускорение электрона и определить его удель-
удельный заряд еЬщ, Далее, изменяя значение Н или скорость, с которой
электрон достигает анода (путем изменения Ua, однако не увеличивая
его очень значительно), т. е. изменяя величину силы Лорентца Fy и
измеряя отклонение пятна на экране, можно убедиться, что во всех
случаях
Так как непосредственное определение ускорения* электрона (при
условии, что скорость его известна) может быть произведено по откло-
отклонению не только в поперечном магнитном поле, но и в поперечном
электрическом поле, то для проверки второго закона Ньютона могут
быть поставлены опыты в поперечном электрическом поле, аналогич-
аналогичные опытам, описанным в § 21.
В случае же движения электронов в продольном электрическом
поле (т. е. при наличии только тангенциального ускорения) непо-
непосредственное измерение ускорения является сложной задачей. Поэтому
для проверки второго закона Ньютона в этом случае применяют
кинематические соотношения, связывающие скорость и ускорение
и тем самым позволяющие измерение ускорения заменить измерением
достигнутой скорости. В рассматриваемом случае второй закон Ньютона
принимает вид (электрическое поле Ех направлено вдоль оси х, началь-
начальная скорость электрона равна нулю)
щ^^еЕ*. C.26)
Умножая правую и левую части уравнения на vxdt = dx, получим:
movxdvx = еЕх dx.
Это уравнение справедливо, например, для электронно-лучевой
трубки в любой точке пространства между катодом и анодом. Поэтому
можно взять определенный интеграл от левой части в пределах от
v = 0 (поскольку электроны покидают катод с очень малыми началь-
начальными скоростями) до v = vx (скорость, с которой электроны достигают
анода); интеграл от правой части берем в пределах от х = 0 до х = /,
4 С. Э« Хайкии

98 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ III
где I — расстояние от катода до анода:
7)\ i
(так как поле Ех направлено от анода к катоду, то, считая их поло-
положительным в направлении от катода к аноду, мы получим Ех < 0;
с другой стороны, заряд электрона е < 0, поэтому можно прямо
брать абсолютные значения Ех и ё). Полагая для простоты поле одно-
однородным, т. е. Ех = const, получим:
и так как 1Ехх]10 = Ua9 где Ua — напряжение между анодом и като-
катодом, то
mjut/2 = eUa C.27)
или
ku- C-28)
(Предположение об однородности поля принципиальной роли не
играет; дальше будет показано, что в неоднородном электрическом
ь
поле также $ Exdx~Uab, где Uab — напряжение между точками
а
а и Ь.)
Пользуясь соотношением C.28), можно проверить второй закон
Ньютона так же, как и в предшествующих случаях. Задав какое-
либо значение Ua и измерив соответствующее ему значение vly мы
найдем удельный заряд электрона; затем, задавая различные значе-
значения Uа и измеряя соответствующие значения vlt мы убедимся, что
соотношение C.27) справедливо, пока v <^ с. Так как это соотношение
вытекает непосредственно из второго закона Ньютона, то справедли-
справедливость этого соотношения подтверждает справедливость второго закона
Ньютона в рассматриваемом случае (дальнейшее истолкование соот-
соотношение C.27) получит в гл. IV при рассмотрении вопросов о работе
и энергии).
Измерения удельного заряда электронов, произведенные описан-
описанными выше (или аналогичными им) методами, дали следующий ре-
результат:
е/т0 = 0,527- 101й ед. CGSE/г.
Так как заряд электрона, определенный другими методами,
е=4,8.10 10 ед. CGSE,

$ 231 ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА 99
то масса покоя электрона
то = 9,Ы0-28 г.
При помощи подобных опытов можно определить удельный заряд
других электрически заряженных частиц, например протонов (ядер
водорода), а-частиц (ядер гелия), и убедиться в справедливости вто-
второго закона Ньютона в форме C.24) для случая, когда v <^ с (конечно,
в этих опытах вместо электронно-лучевой трубки нужно пользоваться
источниками, испускающими соответственно протоны или а-частицы
с не слишком большими скоростями). Отметим, кстати, что опыты по
определению удельного заряда различных частиц являются одним из
важнейших методов определения природы этих частиц (так назы-
называемая масс-спектрография).
Проверив второй закон Ньютона на опыте, мы можем на основании
этого закона для данного тела по известным силам найти ускорение
тела, или, наоборот, по известным ускорениям найти сумму дей-
действующих на него сил, если хотя бы один раз для этого тела мы одно-
одновременно определим и действующую силу, и сообщаемое ею ускорение.
В этом и заключается физическое содержание второго закона Ньютона.
Так как для установления способа измерения массы тела исполь-
используется тот же второй закон Ньютона (величина массы определяется
одновременным измерением силы и ускорения), то второй закон
Ньютона содержит, с одной стороны, утверждение, что ускорение
пропорционально силе, а с другой, — определение массы тела как
отношения силы, действующей на тело, к сообщаемому этой силой
ускорению *).
Мы пользовались все время произвольно выбранной единицей
силы: принимали за единицу силы ту силу, с которой действует
какая-то произвольно выбранная пружина при каком-то фиксиро-
фиксированном растяжении. Но закон Ньютона устанавливает связь между
единицей силы и единицей массы, так как массой, равной единице,
в абсолютной системе единиц обладает таксе тело, которому сила,
равная единице, сообщает ускорение, также равное единице. Поэтому
если единица силы выбрана, то единица массы будет тем самым опре-
определена. Однако в физике поступили наоборот: выбрали единицу массы
и тем самым определили единицу силы. Такой путь предпочли потому,
что хранить эталон массы удобнее, чем эталон силы.
В Международной системе единиц СИ (§ 3) единицей силы является
сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/сек2. Эта единица
названа ньютоном.
Помимо этой основной единицы силы, в физике применяется и
ее доля — дина. Это — сила, которая массе 1 г сообщает ускорение
1 см/сек2.
1 «=:105 дн.
х) Практически для измерения масс пользуются методом взвешивания, о кото-
котором у нас будет идти речь ниже (§ 41).
4*

100 законы ньютона [гл. in
Так как уравнение C.23) — векторное, то оно эквивалентно трем
уравнениям для трех компонент векторов ускорения и силы, взятых
по трем осям координат:
mojz = Ц/^, C.29)
где справа стоят суммы компонент всех сил, действующих на уско-
ускоряемое тело.
§ 24. Второй закон Ньютона при больших скоростях
Перейдем теперь к движениям при v, сравнимых с с. Тогда на
основании C.19) и C.21) второй закон Ньютона должен быть записан
в виде
В этом случае масса есть функция времени (так как, вообще говоря,
абсолютная величина скорости меняется со временем) и поэтому
выносить массу /п° = из-под знака дифференцирования нельзя.
\ 1 — xfi/c2
Рассмотрение этого общего случая приводит к сложным выра-
выражениям, и поэтому мы ограничимся двумя наиболее простыми част-
частными случаями, когда существует либо только нормальное, либс
только тангенциальное ускорение. В первом случае абсолютная
величина скорости остается неизменной и постоянная величина
то — может быть вынесена из-под знака дифференцирования
Таким образом, для случая, когда существует только нормально*
ускорение /Л, второй закон может быть записан в виде
,/-, °"9f9- =Fn- C.31
Во втором случае изменяется абсолютная величина скорости
но зато остается неизменным ее направление. Поэтому уравнение
C.30) можно рассматривать как скалярное, т. е. считать, что v в чис
лителе и v в знаменателе уравнения C.30) представляют собой одн?
и ту же скалярную величину, являющуюся функцией времени. Тогда
воспользовавшись результатами дифференцирования, содержащимися
в выражении C.20), можно написать:
mov \ d / mov \ dv
i

§ 24] ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ 101
Следовательно, для случая, когда существует только танген-
тангенциальное ускорение, второй закон может быть записан в виде
7 = Ъ. «.32)
1—\
Таким образом, связь между силой и ускорением в обоих рас-
рассматриваемых случаях оказывается различной. (Конечно, при v <^ с
эти различия исчезают, так как оба случая охватываются одним
уравнением C.23).)
В то время, когда законы движения были сформулированы Ньюто-
Ньютоном, движения со скоростями, сравнимыми со скоростью света, еще
вообще не были изучены, и в частности ничего не было известно о зави-
зависимости массы тела от скорости. Поэтому обе формулировки второго
закона ^™V' = F и mJ^=^F представлялись совершенно эквива-
эквивалентными. Между тем, если масса зависит от скорости (что было
гораздо позднее обнаружено на опыте), эти обе формулировки не
эквивалентны. Как было показано, лишь для частного случая, когда
существует только нормальное ускорение, замена постоянной массы
массой, зависящей от скорости, в выражениях ^ = F и т~&=^^
приводит к одной и той же форме второго закона C.31). Но уже в част-
частном случае, когда существует только тангенциальное ускорение
(а значит, и в общем случае, когда существуют как нормальное, так
и тангенциальное ускорение), замена постоянной массы массой, зави-
зависящей от скорости, в выражениях —(mv) — F и m-^--=F привела
бы к разным результатам. При такой замене в выражении -п (mv) = F
мы пришли ко второму закону движения в форме C.32), а если бы про-
произвели такую же замену в выражении m-^ = F, то пришли бы ко
второму закону движения в форме C.31).
Таким образом, две исходные формы второго закона Ньютона
' А ^ и m-? = F, совершенно эквивалентные в случае ?><^с,
приводят к существенно различным результатам при распростране-
распространении этого закона на движения, для которых v сравнимо с с. Наиболее
заметное различие состоит в том, что, исходя из второго закона
Ньютона в форме -7T(mv)~F9 мы получаем различные выражения
для /„ и jh а исходя из формы ^^ = ^» получили бы для /„ и jt
одинаковые выражения.
Ответ на вопрос о том, какая форма второго закона Ньютона,
-rr(mv) = F или m^ = f, справедлива для движений со скоростями,

102 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ ГГГ
сравнимыми со скоростью света, должны дать опыты с быстрыми
электрически заряженными частицами. По идее эти опыты не отли-
отличаются от тех, которые служили для проверки второго закона Ньютона
в случае v <^ с. Как и в том случае, при проверке второго закона для
нормального ускорения можно непосредственно по полученным из
опыта значениям m0, jn и vn и известным значениям F убедиться
в справедливости уравнения C.31). При проверке же второго закона
для тангенциального ускорения (так же как и в случае v <^ с) нужно
найти связь между v и Va% которая в этом случае будет иной, поскольку
связь между / и Е в обоих случаях различна. Произведя в уравне-
уравнении C.32) те же преобразования, которые были выполнены для полу-
получения уравнения C.27) (и при тех же предположениях), получим:
C.33)
Интегрируя левую часть (интегрирование может быть произведено,
например, при помощи подстановки с2 — v% = у), получим:
-1
Правая часть C.33) совпадает с таковой в уравнении C.27); прирав-
приравнивая результаты интегрирования правой и левой частей C.33),
окончательно получим:
*- П == eUa9 C.34)
где Uа — напряжение, ускоряющее движение заряженных частиц,
a vx — скорость, достигнутая в результате действия этого напря-
напряжения.
Разрешая это уравнение относительно vl9 найдем:
Г
Измерив один раз е/т0 и измеряя значения vl7 соответствующие
различным Uа, можно убедиться в справедливости формулы C.35),
а значит, и выражения C.32) для второго закона Ньютона, из кото-
которого эта формула непосредственно вытекает.
Отметим некоторые особенности зависимости между Ua и v, выра-
выражаемой формулой C.35). Прежде всего, как это и должно быть, пра

i 24]
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
103
v1 <^ с эта формула дает резульгат, совпадающий с C.28). В самом
деле, при ^- ^ << 1 из формулы C.35) следует, что
Y2eUjm0 или v\ я« 2eUa/m0i
1 равнозначно условию v\ <J с2. Когда
но тогда условие — 7~
ttlQ /С
— oj становится сравнимым с единицей, знаменатель выражения C.35)
/72q /XT'
растет быстрее, чем числитель, и поэтому vx растет медленнее, чем
УТ/а (° чем Уже упоминалось выше). Наконец, при очень боль-
больших Ua можно пренебречь единицей в'
числителе и в знаменателе, и следова-
следовательно, при Ua -> оо
8Ю'°
I и. см/сек
V
==С.
C.36)
8-/0'° ¦
Следовательно, как бы ни было вели-
велико напряжение, ускоряющее заряжен-
заряженную частицу, скорость ее не может до-
достичь скорости света с.
Зависимость скорости электронов от
величины ускоряющего напряжения изо-
изображена сплошной кривой на рис. 49
(пунктиром изображена зависимость,
которая получилась бы, если бы масса
не росла со скоростью, а оставалась по-
постоянной, равной массе покоя). Получен-
Полученный результат, говорящий о том, что
невозможно сообщить скорость, равную
скорости света, электрически заряжен-
заряженной частице при ее ускорении в элек-
электрическом поле, не связан с какими-
либо специфическими свойствами частиц
или механизма ускорения, а носит все-
всеобщий характер. Инерционные свойства всех тел, выражающиеся
в найденной нами зависимости массы от скорости, приводят к тому,
что при скорости v -* с сообщаемое телу конечными силами ускоре-
ускорение / -> 0, вследствие чего скорость не может достичь с. Таким обра-
образом, скорость света играет в механике принципиальную роль: она
является предельной для всех механических движений.
Мы уже второй раз встречаемся в механике со скоростью света
(первый раз скорость света появилась как скорость сигналов). Сейчас
мы можем констатировать, что скорость механических движений
всегда меньше скорости света. Это подкрепляет соображение о том,
что скорость света является наибольшей из всех скоростей, с которыми
1)а,6ольты
НО* ЕШЬ
Рис. 49.

104 законы ньютона [гл ш
могут быть переданы сигналы (если бы частицам можно было сооб-
сообщить скорости, превышающие с9 то эти частицы можно было бы исполь-
использовать для передачи сигналов со скоростью, большей с).
В заключение сделаем одно замечание, касающееся общего случая
движений со скоростями v, сравнимыми с с, когда эти движения про-
происходят как с нормальным, так и с тангенциальным ускорениями.
Мы исключили этот случай из рассмотрения вследствие его сложности.
Чем объясняется сложность этого общего случая, видно из сопостав-
сопоставления двух рассмотренных частных случаев только нормального и
только тангенциального ускорений. Вследствие того, что связь между
ускорением и силой в этих двух случаях оказывается различной,
как это видно из сопоставления выражений C.31) и C.32), отноше-
отношение /„/// оказывается не равным отношению FnIFt. Значит, в этом
общем случае направление ускорения не совпадает с направлением
силы. Иными словами, хотя векторное уравнение C.21) и справедливо
в общем случае, но определяемый из этого уравнения вектор полного
ускорения в общем случае не совпадает по направлению с вектором
силы.
§ 25. Третий закон Ньютона
Мы рассматривали до сих пор только одну сторону вопроса: связь
между силами, действующими на данное тело со стороны других тел,
и ускорением этого тела. Но, как уже указывалось, силы, действую-
действующие со стороны одних тел на другие, в коперниковых системах отсчета
носят характер взаимодействий. Вследствие этого, если тело А сооб-
сообщает ускорение телу В, то и тело В сообщает ускорение телу А. Либо
непосредственно измеряя силы, с которыми действуют друг на друга
тела Л и В, либо измеряя ускорения, которые сообщают эти тела
друг другу, и пользуясь вторым законом Ньютона, можно убедиться
на опыте, что силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны
по величине и противоположны по направлению1).
Примером первого из этих двух типов опытов может служить уже описанный
в § 17 опыт со стальным шаром и магнитом на стекле. Если магнит лежит на катках
и как шар, так и магнит прикреплены к одинаковым пружинам, то, как показывает
опыт, магнит и шар только тогда остаются в покое, когда обе пружины растянуты
одинаково (рис. 50). Так как шар и магнит при этом не имеют ускорений, то мы должны
заключить, что сила Flt с которой шар действует на магнит, равна силе F2, с которой
действует на магнит прикрепленная к нему пружина; с другой стороны, сила F3, с
которой магнит действует на шар, равна силе F4, с которой на шар действует прикреп-
прикрепленная к нему пружина. А так как обе пружины растянуты одинаково, то F2 = — FA
и, следовательно, Fy = — F3.
х) Как уже упоминалось (в § 17), это утверждение не имеет всеобщего характера,
но в случаях, рассмотрением которых ограничивается механика, это утверждение
всегда справедливо. (Дальнейшие соображения по этому вопросу будут изложены
в § 26.)

§ 25]
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
105
Примером второго из двух типов опытов могут служить несколько видоизменен-
видоизмененные опыты с тележкой. Возьмем сначала одну тележку и, прикрепив к ней динамометр
и груз (см. рис. 40), измерим одновременно действующую силу и сообщаемое ею тележ-
тележке ускорение; тем самым мы определим массу тележки тх. Повторим затем этот опыт
с другой тележкой и определим массу второй тележки т2. Поставим теперь на рельсы
Рис. 50.
обе тележки и заставим их каким угодно способом взаимодействовать между соОой.
Можно, например» соединить тележки пружиной (рис. 51) или установить на одной из
тележек маленький электромотор, на вал которого накручивается нитка, привязанная
|—|
|—|
Рис. 51.
другим концом ко второй тележке (рис. 52). Независимо от характера взаимодействия
между тележками, мы обнаружим, что всегда тележки сообщают друг другу противо-
противоположные по направлению ускорения, величины которых определяются соотноше-
соотношением rrixji = /Я2/2» откуда следует, что тележки действуют друг на друга с равными
Рнс. 52.
по величине, но противоположными по направлению силами. Результат опытов оказы-
оказывается одинаковым, независимо от того, соединены обе тележки пружиной или нитью,
один конец которой закреплен на шкиве электромотора. Таким образом, опыт доказы-
доказывает, что силы, действующие между двумя телами, равны по величине и противопо-
противоположны по направлению, независимо от происхождения этих сил.
Итак, опыт показывает, что пока скорости тел v <^ с, при любом
характере взаимодействия двух тел А и В ускорения, сообщаемые А
и В друг другу, обратно пропорциональны их массам и направлены
в противоположные стороны, т. е.
C.37)
и, следовательно, поскольку тА и тв постоянны, отношение jA/jB
также остается постоянным.
Когда скорости взаимодействующих тел А и В становятся сравни-
сравнимыми со скоростью света, постоянство отношения }аЦв нарушается.

106 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА ГГЛ. III
Это отношение оказывается зависящим от скорости тел А я В. Напри-
Например, если из двух тел Л и Б, обладающих одинаковой массой покоя т0,
тело А обладает большей скоростью, чем тело В, то А сообщает В
большее ускорение, чем В сообщает Л. Но и в этом случае, если бы
мы измерили скорости тел А и В и сообщаемые ими друг другу уско-
ускорения (которые должны быть либо оба нормальными, либо оба тан-
тангенциальными), то левые части соответствующих выражений второго
закона Ньютона C.31) или C.32) при подстановке в них результатов
измерений для А я В оказались бы равными по величине и противо-
противоположными по направлению (так же как и в случае v <^ с). А значит,
и правые части уравнений, выражающих второй закон Ньютона для
тел Л и Б, т. е. силы, с которыми действуют друг на друга тела Л и Б,
равны по величине и противоположны по направлению.
Таким образом, опыт показывает, что силы, с которыми действуют
какие-либо два тела друг на друга, равны по величине и направлены
в противоположные стороны. Это положение и составляет содержание
третьего закона Ньютона. Сам Ньютон формулировал третий закон
следующим образом: «Действию всегда есть равное и противоположное
противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга
между собой равны и направлены в противоположные стороны».
Не следует, однако, думать, что «противодействие» чем-либо прин-
принципиально отличается от «действия». Сила «противодействующая» по
своей природе и происхождению ничем не отличается от силы «дей-
«действующей». Если «действующая» сила обусловлена всемирным тяго-
тяготением, то и «противодействующая» сила обусловлена той же причи-
причиной. Если «действующая» сила обусловлена деформацией какого-либо
из соприкасающихся тел, то, как будет показано ниже (§ 35), «противо-
«противодействующая» сила обусловлена деформацией другого из соприкасаю-
соприкасающихся тел.
Третий закон Ньютона не содержит никаких определений и пред-
представляет собой утверждение, поддающееся опытной проверке. Непо-
Непосредственным измерением сил или на основании второго закона
Ньютона (измерив массы тел и испытываемые телами ускорения) мы
можем путем независимых измерений проверить на опыте правиль-
правильность третьего закона Ньютона. Однако после того как второй закон
Ньютона сформулирован, третий закон уже не представляет собой
целиком самостоятельного утверждения. Новым в третьем законе
Ньютона является лишь утверждение, что существует определенная
связь между массами покоя, скоростями и ускорениями двух взаимо-
взаимодействующих тел. Пока v <^ с, эта связь упрощается, и выражается
она в том, что при взаимодействии двух тел сообщаемые ими друг
другу ускорения всегда обратно пропорциональны массам этих тел г).
Для v, сравнимых с с, эта связь значительно сложнее.
1) Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение, сообщаемое данной силой,
обратно пропорционально массе тела; но он не утверждает, что при любом взаимо-
взаимодействии двух тел их ускорения обратно пропорциональны массам»

§ 261 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 107
Второй и третий законы Ньютона представляют собой основные
законы движения. Все остальные законы движения, как мы увидим,
могут быть выведены из этих двух основных законов.
Что же касается первого закона Ньютона, то он вообще не пред-
представляет собой самостоятельного закона, так как не содержит никаких
новых утверждений. Первый закон Ньютона целиком содержится во
втором законе, частным случаем которого он является. В самом деле,
если действующая на тело сила равна нулю, то по второму закону
Ньютона и ускорение тела равно нулю, т. е. тело может либо нахо-
находиться в состоянии покоя, либо двигаться прямолинейно и равномерно.
А ведь этим и исчерпывается содержание первого закона Ньютона.
Но, как уже указывалось выше (§ 17), этот частный случай столь
важен, что Ньютон выделил его как отдельный закон и назвал первым
законом движения.
§ 26. Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса является прямым следствием второго
и третьего законов Ньютона. Для изолированного тела этот закон
является очевидным следствием второго закона Ньютона. Если на
тело не действуют никакие силы, то его скорость, а значит, и импульс
остаются постоянными. В случае же нескольких взаимодействующих
тел закон сохранения импульса является следствием обоих законов
Ньютона и оказывается справедливым в том случае, когда эти тела
взаимодействуют между собой, но не подвергаются действию внешних
сил. Система, которая включает в себя все взаимодействующие тела
(так, что ни на одно из тел системы не действуют другие тела, кроме
включенных в систему), называется замкнутой системой. Силы, дей-
действующие между телами, образующими замкнутую систему, назы-
называются внутренними силами (для этой системы тел).
Итак, рассмотрим замкнутую систему, состоящую из материальных
точек с массами т1ч т2, т3, ... Если скорости этих точек — vl9 v2,
v3, ..., а внутренние силы, действующие между ними,—F12* FX39...
..., Fn, F<2a, ..., /^si, />2» ••• (F12 — сила, действующая на точку /
со стороны точки 2, и т. д.), то уравнения второго закона Ньютона
для каждой из этих точек имеют вид
d __
d
Складывая все эти уравнения, мы получим слева производную по
времени от суммы импульсов всех точек системы, или от полного

108 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. Ш
импульса системы, а справа — сумму всех сил, действующих в си-
системе. Но так как система замкнута, то сумма всех сил в ней равна
нулю. Действительно, в этой сумме встретятся попарно силы F12
и F2l9 F2S и FS2 и т. д., причем всякой силе Fik будет соответствовать
сила Fki. Но полтретьему закону Ньютона
Поэтому полная сумма сил в замкнутой системе всегда равна нулю.
Следовательно, во всякой замкнутой системе
= 0' т* е> Д>№ = const C.39)
— полный импульс замкнутой системы есть величина постоянная.
Если система не является замкнутой, т. е. на точки системы дей-
действуют внешние силы со стороны каких-либо других тел, не входящих
в систему, то полный импульс системы уже не буде! оставаться по-
постоянным. Действительно, пусть эти внешние силы будут Фх, Ф2, ...
Тогда
= F21 + F2S +... + Ф2,
Если мы сложим уравнения движения для всех точек, то сумма всех
внутренних сил Fik по-прежнему будет равна нулю. Следовательно,
<- C.40)
Производная от полного импульса системы равна геометрической
сумме всех внешних сил, действующих на систему. Внешние (и только
внешние) силы изменяют импульс системы.
Поскольку уравнения второго закона Ньютона C.38) написаны
в общем виде, справедливом для v, сравнимых с с, следствия C.39)
и C.40) из этих уравнений применимы и для vy сравнимых с с.
Применяя закон сохранения импульса к движениям на Земле,
необходимо принимать во внимание, что на все тела действует при-
притяжение Земли. Поэтому ни одна система тел на Земле не является
замкнутой, если в эту систему не включена Земля. Конечно, мы
могли бы в эту систему включить Землю и получили бы замкнутую
систему. Однако тогда пришлось бы учитывать изменения импульса
Земли. Мы могли бы, например, рассматривать замкнутую систему,
состоящую из падающего на Землю камня и Земли. Импульс, который
приобретает при этом Земля, равен импульсу, который приобретает
камень. Но вследствие того, что масса Земли гораздо больше массы

§ 26] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 109
камня, изменение скорости Земли будет исчезающе мало. Поэтому,
если мы включаем Землю в замкнутую систему, следствия закона
сохранения импульса теряют свою наглядность. Но, не включая
Землю в нашу систему тел, мы никогда замкнутой системы не получим.
Однако, так как уравнение C.40) есть уравнение векторное, то оно
эквивалентно трем уравнениям для сумм компонент количеств движе-
движения по трем осям координат:
где 2Ф/д:, %Ф[У, 2Ф|в суть суммы компонент всех внешних сил по
каждой из трех осей. Следовательно, если внешние силы Фь дей-
действующие на незамкнутую систему, таковы, что сумма компонент
всех этих сил в каком-либо определенном направлении, например
в направлении оси х, равна нулю, то для этого направления
^ = ® и 2miVix = const-
Компонента полного импульса системы в направлении, в которой
не действуют внешние силы, есть величина постоянная. Незамкнутая
система в этом направлении будет вести себя, как замкнутая. В при-
приводимых ниже примерах система тел не является замкнутой, но в го-
горизонтальном направлении, в котором компонента силы земного
притяжения равна нулю, ведет себя, как замкнутая.
Из закона сохранения импульса следует, что внутренние силы,
действующие в системе, не могут изменить полного импульса си-
системы, а позволяют лишь отдельным телам системы частично или
полностью обмениваться импульсами.
Общеизвестную демонстрацию с отдачей при выстреле из «пушки» можно изме-
изменить так, чтобы было особенно ясно, что при выстреле пушка и снаряд только обме-
обмениваются импульсами. Если пушка скатывается с наклонной плоскости (рис. 53)
и при выстреле уже имеет соответствующую скорость, то после выстрела она останав-
останавливается. При выстреле пушка передала снаряду весь тот импульс, которым она
обладала.
Для демонстрации закона сохранения импульса в случае трех тел может служить
следующий опыт (рис. 54). На тележку, движущуюся с малым трением, поставлен
ящик с песком. По двум желобам из углового железа, укрепленным наклонно навстре-
навстречу ДРУГ Другу, в тележку могут скатываться стальные шары. Если в тележку падает
один шар, то она начинает двигаться в направлении, в котором двигался шар
(верхняя часть рисунка). Если два шара равной массы одновременно падают в тележку
с одинаковой высоты, то тележка остается на месте (нижняя часть рисунка).
Так как закон сохранения импульса прямо вытекает из двух законов Ньютона,
нет необходимости проверять на опыте непосредственно закон сохранения импульса,
поскольку второй и третий законы Ньютона подтверждаются опытом. Однако, как
мы уже говорили, третий закон Ньютона в некоторых случаях не соблюдается. Но,
как указывалось, для всех случаев нарушения третьего закона Ньютона характерно
существование электромагнитного излучения, которое обладает определенным меха-
механическим импульсом, как и движущиеся тела. Наиболее убедительным доказатель-
доказательством наличия импульса у электромагнитного излучения являются опыты

по
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
(ГЛ. III
Рис, 53
Рис. 54-

§271 ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Ц]
П. Н. Лебедева, подтвердившие существование светового давления. Эти опыты показа-
показали, что свет, падающий на зачерненную пластинку, ведет себя в сущности так же, как
шарик, падающий в тележку в только что описанном опыте: свет передает пластинке
механический импульс.
Если в изолированной системе не соблюдается третий закон Ньютона, то это зна-
значит, что импульс системы изменяется под действием внутренних сил. Но всегда
сопутствующее нарушению третьего закона электромагнитное излучение уносит
с собой импульс, который как раз компенсирует изменение импульса системы, обус-
обусловленное действием внутренних сил. Иначе говоря, если при определении импульса
изолированной системы учесть импульс создаваемого ею электромагнитного излуче-
излучения, то, как показывает опыт, для изолированной системы всегда оказывается спра-
справедливым закон сохранения импульса, независимо от того, соблюдается третий закон
Ньютона или нет.
Таким образом, закон сохранения импульса шире третьего закона Ньютона,
поскольку он соблюдается и в тех случаях, когда третий закон не соблюдается.
Однако, как уже неоднократно указывалось, явления, в которых электромагнитное
излучение играет принципиальную роль и третий закон Ньютона не соблюдается,
мы рассматривать не будем. Когда же третий закон Ньютона соблюдается, закон
сохранения импульса является прямым следствием второго и третьего законов Нью-
Ньютона и в непосредственной экспериментальной проверке не нуждается.
§ 27. Инерциальные системы отсчета
Во всей третьей главе при изложении законов Ньютона мы поль-
пользовались только двумя системами отсчета — коперниковой и «земной
вращающейся», причем последнюю применяли только в тех случаях,
когда движение данного тела в «земной вращающейся» системе отсчета
практически не отличалось от движения этого тела в коперниковой
системе отсчета, т. е. фактически пользовались только коперниковой
системой отсчета. Между тем, в разных случаях целесообразно при-
применять разные системы отсчета, для чего выбор систем отсчета должен
быть значительно расширен по сравнению с тем, которым мы пользо-
пользовались выше. Расширение выбора систем отсчета требует прежде всего
расширения круга тех тел отсчета, которыми мы могли бы пользо-
пользоваться. Но, расширяя круг тел отсчета, которыми мы пользуемся,
мы должны дать себе отчет в последствиях этого, т. е. представлять
себе, какими окажутся свойства тех систем отсчета, которые мы свя-
связываем с тем или другим телом отсчета.
В предыдущем рассмотрении были названы только два тела от-
отсчета — Солнце и Земля, с которыми могли быть связаны три системы
отсчета («Земля вращающаяся» и «Земля невращающаяся» служат для
построения двух различных систем отсчета). Однако Солнце и Земля
отнюдь не исчерпывают всех тех небесных тел, которые могут служить
телами отсчета. Любое из естественных небесных тел может, так же
как Солнце и Земля, служить телом отсчета; нужно только, чтобы
с этим телом возможно было жестко связать систему координат.
Поэтому, если ограничиться пределами солнечной системы, то в каче-
качестве тел отсчета могут быть использованы все планеты (в том числе и
малые) и все спутники любых планет. Более того, в качестве тел
отсчета могут быть использованы не только естественные, но и искусст-

112 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА ГГЛ. ЦТ
венные небесные тела (искусственные спутники и планеты) и вообще
любые тела, с которыми возможно жестко связать систему отсчета.
Дальше мы будем так поступать, связывая систему отсчета, например,
с катящейся по столу тележкой, с вращающейся вокруг вертикальной
оси чашей и т. д.
Свойства этих систем отсчета зависят не только от характера того
движения, которое совершает выбранное тело отсчета; помимо этого
свойства системы отсчета зависят и от характера тех сил, которые
вызывают движение тела отсчета относительно коперниковой системы
отсчета. Пока телами отсчета служат естественные небесные тела,
причиной их ускоренного движения могут быть только силы всемир-
всемирного тяготения, действующие со стороны других небесных тел (если
эти другие тела находятся очень далеко от тела отсчета, то последнее
должно двигаться в коперниковой системе отсчета прямолинейно и
равномерно).
Если же небесное тело, которое мы выбрали в качестве тела отсчета,
движется в коперниковой системе отсчета с ускорением, то, значит,
на него действуют силы тяготения со стороны какого-то другого небес-
небесного тела. Но эти силы тяготения могут действовать на другие тела,
находящиеся вблизи выбранного нами тела отсчета, и сообщать им
ускорение, а это неизбежно изменит характер движения наблюдаемых
нами тел в выбранной системе отсчета. То же самое будет происходить
и с искусственными небесными телами, например, искусственными
спутниками Земли или космическими ракетами. Если эти искусствен-
искусственные небесные тела, принятые нами за тела отсчета, будут двигаться
с ускорением под действием сил тяготения, то эти же силы тяготения
будут сообщать такое же ускорение и всем другим телам, находящимся
внутри искусственных небесных тел или вблизи них. Это будет суще-
существенно сказываться на характере движения этих других тел.
Но искусственные небесные тела могут испытывать ускорение не
только под действием сил тяготения, но и под действием силы тяги
реактивного двигателя. Однако сила тяги будет действовать на корпус
искусственного спутника или ракеты и сообщать ему ускорение, но не
будет действовать на другие тела, находящиеся вблизи искусственного
небесного тела, выбранного за тело отсчета, но не соприкасающиеся
с ним. Отсюда видно, что искусственное небесное тело, движущееся под
действием только силы тяготения, как тело отсчета будет обладать
иными свойствами, чем искусственное небесное тело, движущееся под
действием не только сил тяготения, но и силы тяги реактивного дви-
двигателя.
Значит, системы отсчета, которые мы свяжем с одним и тем же
телом отсчета, в этих двух случаях (когда на тело отсчета действуют
только силы тяготения или кроме силы тяготения еще какие-либо
силы, например, сила тяги реактивного двигателя) будут обладать
разными свойствами. Поэтому, если мы хотим правильно определять
свойства систем отсчета, связанных с тем или другим телом отсчета,

§ 27] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 113
то мы прежде всего должны разделить случай, когда тело отсчета
испытывает ускорение под действием только силы тяготения, и случай,
когда телу отсчета сообщают ускорение еще какие-либо силы, возник-
возникшие в результате непосредственного соприкосновения с телом отсчета
других тел (например, силы тяги реактивного двигателя, соприкасаю-
соприкасающегося с ракетой-носителем космического корабля).
Однако пока мы выбираем тела отсчета среди естественных небес-
небесных тел, то случай, когда ускорение тел отсчета вызывается не только
силами тяготения, а еще и какими-либо другими силами, исключается
сам собой. Конечно, принципиально нет ничего невозможного в том,
чтобы какому-либо небесному телу, например малой планете, сообщал
ускорение установленный на этой планете мощный реактивный дви-
двигатель. Однако такие принципиальные возможности пока еще очень
далеки от практического осуществления, и было бы преждевременно
осложнять наше рассмотрение такими воображаемыми случаями.
Поэтому когда мы в качестве тел отсчета будем выбирать естественные
небесные тела, мы будем заранее исключать возможность действия на
эти тела отсчета каких-либо сил, кроме сил всемирного тяготения.
Наоборот, когда в качестве тел отсчета мы будем применять искус-
искусственные тела, например корпус космического корабля, кабину лифта,
демонстрационную тележку и т. д., то мы будем рассматривать оба
случая: действия на тело отсчета только сил тяготения или сил тяго-
тяготения и сил, возникающих при непосредственном соприкосновении
тела отсчета с какими-либо другими телами.
Итак, все мыслимые тела отсчета с точки зрения свойств сил,
которые на них могут действовать, а значит и с точки зрения свойств
систем отсчета, которые мы с этими телами будем связывать, можно
разделить на два класса: естественные небесные тела и всевозможные
искусственные тела. Первый класс — естественные небесные тела —
мы будем называть первичными телами отсчета, а все искусственные
тела — вторичными телами отсчета. Названия эти в достаточной мере
условны, но они подчеркивают то обстоятельство, что для определения
характера движения какого-либо искусственного тела отсчета (лифта,
демонстрационной тележки и т. п.) обычно приходится пользоваться
какой-то первичной системой отсчета (этой первичной системой отсчета
чаще всего служит Земля).
В дальнейшем мы будем широко пользоваться вторичными телами
отсчета. Сейчас же мы остановимся на рассмотрении важных свойств
целого класса систем отсчета, которые могут быть «построены», если
в качестве тел отсчета для них пользоваться небесными телами, дви-
движущимися прямолинейно и равномерно в коперниковой системе от-
отсчета. Правда, строго говоря, таких небесных тел не существует, так
как все они испытывают ускорение под действием сил тяготения Солнца.
Но даже движение Земли, находящейся сравнительно близко к Солнцу
и движущейся по орбите, близкой к круговой, в пределах небольшого
участка орбиты можно считать приблизительно прямолинейным и рав-

114 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. [II
номерным. А, например, для планеты Плутон, движущейся по сильно
вытянутой и очень удаленной от Солнца орбите, движение на участках
орбиты, имеющих малую кривизну, можно считать почти точно прямо-
прямолинейным и равномерным. Системы отсчета, связанные с телами отсчета,
движущимися прямолинейно и равномерно в коперниковой системе
отсчета, представляют не столько практический, сколько принципиаль-
принципиальный интерес.
Впрочем, вопрос о том, насколько близко к прямолинейному и рав-
равномерному фактическое движение того или иного тела отсчета, не
играет существенной роли. Мы можем в качестве тел отсчета «восполь-
«воспользоваться» воображаемыми небесными телами, настолько удаленными
от всех других небесных тел, что они движутся прямолинейно и рав-
равномерно. Принципиальное значение систем отсчета, связанных с такими
телами отсчета, состоит в том, что эти системы отсчета обладают тем же
свойством, которым обладает коперникова система отсчета, а именно,
так же как и коперникова система отсчета, все системы отсчета, дви-
движущиеся относительно коперниковой равномерно и прямолинейно,
оказываются инерциальными системами отсчета.
Инерциальными называются такие системы отсчета, в которых
справедлив закон инерции (§ 17). Хотя, как показано в § 17, из законов
движения, справедливых в коперниковой системе отсчета, как будто
следует, что закон инерции в этой системе отсчета справедлив, т. е.
что коперникова система отсчета является инерциальной, все же этот
вывод нельзя считать достоверным, потому что он сделан умозри-
умозрительно и не подтвержден экспериментально.
Утверждать, что та или иная система отсчета является инерциаль-
инерциальной, мы вправе только после того, как убедимся на опыте в том, что
закон инерции в этой системе отсчета действительно соблюдается.
Однако непосредственная проверка закона инерции путем наблюдения
за движением уединенного тела, как уже было отмечено, практически
неосуществима. Но мы можем, наблюдая за неуединенным движу-
движущимся телом и определяя ускорения этого тела, установить, объяс-
объясняются ли все ускорения наблюдаемого тела действием тех «неустра-
ненных тел», которые должны на наблюдаемое тело действовать.
Если удастся все наблюдаемые ускорения объяснить действием
определенных «неустраненных тел», то, очевидно, выбранная система
отсчета инерциальна. В самом деле, если бы мы удалили в бесконеч-
бесконечность те «неустраненные тела», действием которых объясняются уско-
ускорения наблюдаемого тела, то эти ускорения исчезли бы, т. е. тело
стало бы двигаться прямолинейно и равномерно. А это и значит, что
выбранная система отсчета инерциальна.
Таким образом, вместо практически неосуществимого эксперимента
с уединенным телом ставится эксперимент, в котором учитывается
действие «неустраненных тел». Эти тела могут сообщать ускорение
телу, движение которого мы изучаем. Но поскольку действие этих тел
учитывается, мы можем мысленно исключить все те ускорения, которые

$27]
ИНПРИИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
115
этими телами сообщаются. Если после этого мысленного исключения
окажется, что наблюдаемое тело не обладает ускорением, то система
отсчета, в которой изучается движение тела, инерциальна. Если же
окажется, что после мысленного исключения всех ускорений, которые
сообщаются «неустраненными телами», наблюдаемое тело все же будет
обладать ускорением, то, значит, применяемая система отсчета не-
инерциальна. Для того чтобы такой опыт позволил сделать надежные
выводы, необходимо, чтобы были обеспечены: во-первых, точное опре-
определение фактического ускорения наблюдаемого тела, и, во-вторых,
возможность точного учета тех ускорений, которые получает наблю-
наблюдаемое тело под действием всех «неустраненных тел».
Впервые подобный опыт был осуществлен Леоном Фуко в Париже
A850 г.). Фуко наблюдал движение плоскости качаний маятника
относительно двух различных систем
отсчета — коперниковой и «земной
вращающейся». Для того чтобы мож-
можно было точно следить за движения-
движениями маятника, был применен маятник
на длинном подвесе (длиной в не-
несколько десятков метров), период ко-
колебаний которого составлял десятки
секунд. Так как размахи маятника
(после того как маятник выведен из
состояния равновесия) уменьшаются
очень медленно, то наблюдать за коле-
колебаниями маятника можно было в тече-
течение многих часов. Чтобы исключить закручивание стальной проволоки,
на которой подвешено тело маятника, верхний конец этой проволоки
был закреплен в свободно вращающемся подшипнике (рис. 55). При
этом проволока может действовать на тело маятника только с силой
натяжения F, направленной вдоль проволоки вверх. Другая сила,
которая действует на тело маятника, это сила земного тяготения Я,
направленная к центру Земли. Таким образом, мы точно знаем направ-
направления тех двух сил, которые действуют на тело маятника со стороны
других «неустраненных тел» (действие сил сопротивления воздуха не
может повлиять на характер тех движений маятника, которые нужно
изучить; эти силы вызывают только очень медленное уменьшение раз-
махов маятника).
Чтобы упростить рассмотрение и истолкование результатов опыта
Фуко, мы положим, что опыт производится на одном из полюсов
Земли. На основании результатов опыта Фуко, многократно повто-
повторявшегося на различных широтах, можно с полной достоверностью
установить, как будет выглядеть опыт Фуко, например, на Северном
(для определенности) полюсе. Будем рассматривать движение тела
маятника, оттянутого нитью от вертикального положения. Если
пережечь нить, маятник начнет совершать колебания — двигаться
Рис

116 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. III
под действием сил натяжения проволоки F и притяжения Земли Р.
Так как обе эти силы лежат в вертикальной плоскости, проходящей
через земную ось и начальное положение тела маятника, то маятник,
начиная движение от этого начального положения, будет испытывать
ускорение, лежащее в той же вертикальной плоскости, которая и
является начальной плоскостью качаний маятника. Зафиксируем
положение этой плоскости в коперниковой системе отсчета, т. е. отме-
отметим несколько неподвижных звезд, лежащих в этой плоскости. Даль-
Дальнейшие наблюдения покажут, что отмеченные звезды останутся в этой
плоскости, и, значит, плоскость качаний маятника сохраняет свое
положение неизменным относительно коперниковой системы от-
отсчета.
Если же относить положение плоскости качаний к «земной вра-
вращающейся» системе отсчета, т. е. фиксировать положение плоскости
качаний маятника, например, относительно расположенной на полюсе
горизонтальной плоскости, жестко связанной с Землей, то мы обна-
обнаружим, что плоскость качаний маятника медленно вращается в на-
направлении, обратном направлению вращения Земли вокруг своей оси
(т. е. в направлении по часовой стрелке, если смотреть сверху) со
скоростью, равной скорости вращения Земли {2п радиан в сутки).
Конечно, эти два факта — неизменность положения плоскости
качаний в коперниковой системе отсчета и вращение плоскости кача-
качаний в«земной вращающейся» системе отсчета (со скоростъю2п рад/су тки
в направлении, обратном вращению Земли) — с точки зрения прин-
принципа относительности движения представляют собой один и тот же
факт. Действительно, если Земля вращается относительно копернико-
коперниковой системы отсчета с угловой скоростью 2зх рад/сутки, то, с точки
зрения принципа относительности движения, это же движение можно
представлять себе как вращение коперниковой системы отсчета отно-
относительно Земли с той же скоростью 2зх рад/сутки в обратном направ-
направлении. Эти два движения с точки зрения принципа относительности
движений физически тождественны. Поэтому не имеет смысла утвер-
утверждение, что опыт Фуко доказывает вращение Земли относительно
коперниковой системы отсчета. Как будет подробнее показано позднее
(§ 85), опыт Фуко нужно толковать иначе. Нужно учесть, что свой-
свойства систем отсчета определяются тем, вращаются ли эти системы
отсчета относительно всей массы небесных тел. И именно вращение
той или иной системы отсчета относительно всей массы небесных тел
приводит к тому, что во вращающейся системе отсчета появляются
ускорения тела маятника, не лежащие в плоскости качаний и приво-
приводящие к изменению плоскости качаний.
Рассмотрим теперь результат опыта Фуко с точки зрения выска-
высказанных соображений. В какой из систем отсчета, коперниковой или
«земной вращающейся», наблюдаются ускорения, которые не лежат
в плоскости качаний маятника и поэтому заставляют плоскость кача-
качаний маятника изменять свое положение?

§27] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 117
Силы, с которыми действуют Земля и проволока на тело маятника,
лежат в начальной плоскости качаний маятника, и, значит, ускоре-
ускорения, создаваемые этими силами, не вызывают ухода тела маятника из
плоскости качаний. Следовательно, мы можем утверждать, что если
маятник пришел в движение, то в отсутствие этих и всяких других
сил тело маятника в коперниковой системе отсчета двигалось бы прямо-
прямолинейно и равномерно, т. е. в коперниковой системе отсчета ускорения
тела маятника, не лежащие в плоскости его качаний, отсутствуют.
Наоборот, рассматривая движение плоскости качаний в «земной
вращающейся» системе отсчета и учитывая, что плоскость качаний
маятника в этой системе отсчета вращается, а силы, действующие на
тело маятника со стороны «неустраненных тел», по-прежнему не могут
сообщить телу маятника ускорений, которые вывели бы его из пло-
плоскости качаний, мы можем утверждать, что и в отсутствие этих «не-
«неустраненных тел» ускорения, вызывающие уход тела маятника из
плоскости качаний, не исчезнут. Значит, в «земной вращающейся»
системе отсчета в отсутствие этих (и всяких других) сил тело маятника
все же должно уходить из плоскости качаний, и, следовательно,
в «земной вращающейся» системе отсчета тело маятника движется
с ускорением, не лежащим в плоскости качаний маятника.
Как мы убедились, если такие ускорения отсутствуют, то значит,
в отсутствие других сил (натяжения подвеса и тяготения Земли) тело
маятника двигалось бы прямолинейно и равномерно, а это значит,
что коперникова система отсчета является инерциальной. Наоборот,
если маятник движется с ускорением, не лежащим в плоскости кача-
качаний, то и в отсутствие других сил (натяжения нити и тяготения Земли)
он будет двигаться с таким ускорением. Значит, «земная вращаю-
вращающаяся» система отсчета является неинерциальной.
Сопоставив эти выводы с тем, что сказано выше относительно усло-
условий возникновения ускорений тела маятника, не лежащих в пло-
плоскости его качаний, мы можем так сформулировать результат опыта
Фуко. Опыт Фуко доказывает, что коперникова система отсчета не
вращается относительно всей массы небесных тел, а «земная вращаю-
вращающаяся» вращается относительно всей массы небесных тел. Именно
поэтому коперникова система отсчета является инерциальной, а «зем-
«земная вращающаяся» — неинерциальной.
После того как мы установили, что коперникова система отсчета
является инерциальной, мы можем, опираясь на эту систему отсчета,
«построить» множество других инерциальных систем отсчета. Эта
возможность основывается на том, что любая система отсчета, которая
движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной,
сама также является инерциальной. Иначе говоря, если тело А дви-
движется в данной инерциальной системе отсчета прямолинейно и равно-
равномерно, то во всякой другой системе отсчета, движущейся относительно
данной инерциальной прямолинейно и равномерно, тело А также
движется прямолинейно и равномерно. В этом можно убедиться из-

1 18 ЗАКОНЫ НЬЮТОНА [ГЛ. ИГ
следующих простых соображений: пусть тело А движется в системе
отсчета / прямолинейно и равномерно, т. е. с постоянной скоростью и,
а система отсчета 2 движется относительно системы отсчета / прямо-
прямолинейно и равномерно, т. е. с постоянной скоростью v. Скорость и
движения тела А в системе отсчета 2 может зависеть только от скоро-
скоростей и и vt а так как обе эти скорости не зависят от времени /, то и
не зависит от /, а значит, тело А в системе отсчета 2 движется также
с постоянной скоростью, т. е. прямолинейно и равномерно.
Таким образом, всякая система отсчета, движущаяся относительно
коперниковой прямолинейно и равномерно, также является инер-
циальной системой отсчета. Таких систем может быть множество,
поскольку скорость, с которой такая система отсчета движется отно-
относительно коперниковой, может быть любой (единственное условие —
эта скорость должна быть- постоянна по величине и направлению).
Из всего изложенного выше может создаться впечатление, что
само существование инерциальных систем отсчета стало нам извест-
известным в результате случайности. Ведь могло бы быть так, что в опыте
Фуко плоскость качаний маятника в коперниковой системе отсчета
не сохраняла бы неизменным свое положение, т. е. что коперникова
система отсчета не оказалась бы инерциальной. Так как в «земной
вращающейся» системе отсчета плоскость качаний также не сохраняет
неизменным свое положение в пространстве, то, значит, при сделанном
предположении опыт Фуко не обнаружил бы ни одной инерциальной
системы отсчета и мы не могли бы «построить» всего множества инер-
инерциальных систем отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно
относительно системы, найденной с помощью опыта Фуко.
Однако в действительности в результате опыта Фуко не только
«случайно обнаружена» инерциальная коперникова система отсчета.
Опыт Фуко дает регулярный метод обнаружения по крайней мере
одной инерциальной системы отсчета. Действительно, пусть, например,
опыт Фуко показал, что в коперниковой системе отсчета положение
плоскости качаний маятника не остается неизменным, а эта плоскость
вращается вокруг земной оси со скоростью 2я рад/сутки. Тогда, если
мы выберем систему отсчета, которая отличается от коперниковой
только тем, что она вся как целое вращается вокруг земной оси с той
же по величине скоростью 2я рад/сутки, но в обратном направлении,
то, очевидно, те звезды, которые лежат в плоскости качаний маятника
в момент начала опыта, останутся в плоскости качаний и в дальней-
дальнейшем. Значит, в системе отсчета, связанной с Солнцем и неподвижными
(друг относительно друга) звездами и вращающейся вокруг земной оси
со скоростью 2я рад/сутки, плоскость качаний маятника сохраняет
неизменным свое положение. Повторяя те соображения, которыми мы
пользовались при истолковании результатов действительного опыта
Фуко, мы должны будем сделать вывод, что «исправленная» «коперни-
«коперникова система отсчета» (вращающаяся вокруг земной оси со скоростью
2п рад/сутки) является инерциальной системой отсчета. Таким обра-

§ 27] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 1 19
зом, опираясь на результаты опыта Фуко, мы всегда смогли бы с той
точностью, которую этот опыт может обеспечить, найти действительно
инерциальную систему отсчета. Результаты опыта Фуко и показали,
что коперникова система отсчета является точно инерциальной, а «зем-
«земная вращающаяся» не является инерциальной.
Рассмотрим с этой точки зрения третью, введенную выше систему
отсчета — «земную невращающуюся». Начало координат этой системы
жестко связано с центром Земли и, следовательно, в коперниковой
системе отсчета движется так же, как Земля по своей орбите, но на-
направление осей координат «земной невращающейся» системы при этом
не изменяется (так как все три оси направлены на удаленные звезды).
Следовательно, хотя «земная невращающаяся» система отсчета дви-
движется с ускорением в коперниковой системе отсчета, но это движение
поступательное. Начало координат «земной невращающейся» системы
движется так же, как центр Земли, т. е. с тем же ускорением, которое
Солнце сообщает Земле. Поскольку «земная невращающаяся» система
отсчета движется в коперниковой системе отсчета с ускорением, мы
уже не имеем оснований утверждать, что она является ннерциальной.
Во всяком случае доводы, которые мы приводили для доказательства
инерциальности систем отсчета, движущихся относительно коперни-
коперниковой прямолинейно и равномерно, неприменимы в случае ускорен-
ускоренного движения систем отсчета.
Но, как будет показано в § 79, «земная невращающаяся» система
отсчета практически является инерциальной. При этом в коперниковой
системе отсчета Земля, а значит, и начало координат «земной невра-
невращающейся» системы отсчета движутся по земной орбите с линейной
скоростью 30 км/сек. Медленное изменение направления этой скорости,
вызванное силой притяжения Солнца, как сказано, практически не
нарушает инерциальности «земной невращающейся» системы отсчета,
и этой системой отсчета можно пользоваться как инерциальной, дви-
движущейся с постоянной скоростью 30 км/сек относительно копернико-
коперниковой системы отсчета (небольшими изменениями этой линейной ско-
скорости, обусловленными тем, что орбита Земли несколько отличается
от окружности, можно пренебречь).
Существование инерциальных систем отсчета и возможность поль-
пользоваться ими имеет не только для механики, но и для физики прин-
принципиальное значение. Галилей установил, что прямолинейное и рав-
равномерное движение системы отсчета не может быть обнаружено ника-
никакими механическими опытами, поставленными в этой системе отсчета.
Это утверждение получило название принципа относительности Гали-
Галилея. Для пояснения этого принципа Галилей приводил картину раз-
различных движений в каюте плывущего корабля; из принципа относи-
относительности следует, что в отсутствие качки и при ровном ветре (т. е.
при прямолинейном и равномерном движении корабля) невозможно,
наблюдая движения внутри каюты, установить, плывет ли корабль
или неподвижно покоится на воде.

120
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[ГЛ. III
Принцип относительности Галилея позволяет утверждать, что
движение любого тела в различных системах отсчета, движущихся
одна относительно другой прямолинейно и равномерно, протекает
одинаково, а это значит, что во всех этих системах отсчета действуют
одни и те же законы механики. Так как в число инерциальных систем
отсчета входит также коперникова, то, значит, все те законы, которые
были установлены Ньютоном именно в этой системе отсчета, справед-
справедливы для всех инерциальных систем отсчета.
Таким образом, преимущество любой инерциальной системы отсчета
по сравнению с неинерциальной заключается в том, что в инерциаль-
лой системе можно пользоваться уже известными нам установленными
Ньютоном законами движения и след-
следствиями, которые из них вытекают.
Рассматривая же движения в неинер-
циальных системах отсчета, мы не
вправе непосредственно пользоваться
законами механики в том виде, как
они были установлены для коперни-
ковой системы отсчета. Переход к
новым (неинерциальным) системам от-
отсчета потребует, как будет показано
в § 78, внесения существенных изме-
изменений в некоторые основные положе-
положения механики Ньютона.
Принцип относительности Гали-
Галилея, установленный им применитель-
применительно к механическим движениям, можно сформулировать следующим
образом: любой механический опыт, поставленный в одинаковых
условиях в различных инерциальных системах отсчета, протекает
одинаково и дает один и тот же результат; поэтому все инерциальные
системы отсчета равноправны с точки зрения механики. Однако, как
показало дальнейшее развитие науки, принцип относительности Гали-
Галилея охватывает несравненно более широкий круг явлений, чем тот,
к которому применил его Галилей. Оказалось, что этот принцип спра-
справедлив не только для механики, но и для всей физики, т. е. что его
нужно формулировать так: любой физический опыт протекает одина-
одинаково во всех инерциальных системах отсчета и все эти системы отсчета
физически равноправны. Однако распространение принципа относи-
относительности Галилея на все физические явления потребовало радикаль-
радикального пересмотра основных физических представлений, в результате
чего возникла специальная теория относительности (см. гл. IX).
В заключение дополним рассмотрение опыта Фуко. Дело в том, что мы рассматри-
•вали результаты, которые должен дать опыт Фуко, произведенный на Северном по-
полюсе. Между тем реальные опыты Фуко производились на разных широтах. Первый
•опыт был произведен Фуко в Париже в 1850 г. Хотя принципиальное содержание
опыта, изложенное выше, при произвольной географической широте не изменяется,
Рис. 56.

§27] ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 121
тем не менее характер движений маятника будет иным. На полюсе плоскость качаний
маятника сохраняла бы неизменным свое положение относительно звезд, т. е. вра-
вращалась бы относительно Земли в направлении, противоположном суточному враще-
вращению Земли. Во всех других точках земного шара этого уже не будет и, как легко ви-
видеть, не может быть. Ведь во всяком случае плоскость качаний маятника всегда
проходит через вертикаль данного места, а вертикаль всякой точки Земли (кроме по-
полюсов) при вращении Земли изменяет свое направление относительно звезд. Поэтому
плоскость качаний маятника уже не будет сохранять неизменным свое положение
относительно звезд; относительно Земли она также будет двигаться по-иному.
Характер движения плоскости качаний маятника в этом случае можно установить
при помощи следующих соображений. Будем рассматривать движение маятника отно-
относительно «неподвижной» системы координат. Разложим угловую скорость вращения
Земли <й на две составляющие: вертикальную щ и горизонтальную {о2 (рис. 56). Так
как силы, действующие на маятник со стороны Земли и нити, по-прежнему лежат в
вертикальной плоскости, то они не могут вызвать вращения плоскости качаний маят-
маятника вокруг вертикальной оси. В отношении вертикальной составляющей вращения
Земли все будет обстоять так же, как на полюсе. Но поскольку эти силы все время
удерживают маятник в плоскости, проходящей через вертикаль данного места, они
тем самым заставляют плоскость качаний вместе с вертикалью вращаться вокруг
горизонтальной оси. Таким образом, силы, действующие на маятник, не увлекают
плоскость качаний маятника вслед за Землей во вращении щ и полностью увлекают
плоскость качаний вслед за Землей во вращении ш2- Относительно звезд плоскость
качаний маятника будет вращаться с угловой скоростью со2. Земля же будет «уходить»
из-под плоскости качаний маятника с угловой скоростью шх. Следовательно, по от-
отношению к Земле плоскость качаний маятника будет вращаться в направлении,
противоположном вращению Земли относительно звезд (т. е. по часовой стрелке,
если смотреть сверху), с угловой скоростью % = со sin ср, где ср — широта данного
места. Поэтому угловая скорость вращения плоскости качаний маятника будет мень-
меньше, чем на полюсе. Для Москвы, например, sin cp =0,83 и плоскость качаний маятника
совершает полный оборот приблизительно за 29 часов.

ГЛАВА IV
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
§ 28. Работа силы
Если точка приложения силы F совершает элементарное переме-
перемещение А$у то сила F совершает элементарную работу
AA=FAScos(F, AS) = FsASy D.1)
где Fs — проекция силы на направление перемещения. Произведение
абсолютных величин двух векторов на косинус угла между ними носит
название скалярного произведения этих векторов и обозначается
(FAS); следовательно, работа силы равна скалярному произведению
.векторов силы и перемещения:
AA^(FAS). D.2)
Если угол между F и AS острый, то cos (F, AS) >0 и совершен-
совершенная работа положительна. Если угол между F и AS тупой, то
cos {F, AS) < О и работа, совершенная силой F, отрицательна.
В таком случае иногда говорят, что совершена работа против силы F.
В юм случае, когда перемещение происходит в направлении, пер-
перпендикулярном к действию силы, cos (F, AS) = 0 и сила не совер-
совершает работы.
Для того чтобы подсчитать работу, совершенную силой на каком-
либо конечном пути, на котором величина силы изменяется, нужно
весь путь разбить на ряд отдельных достаточно малых элементарных
перемещений, на каждом из которых силу можно считать постоянной,
а затем взять алгебраическую сумму работ, совершенных силой на
каждом таком элементарном перемещении.
Если весь путь разбит на отдельные элементарные участки AS, то
работа на всем пути
Для каждого из участков должны быть взяты значения силы F и
угла (F, AS), соответствующие этому участку. Этому подсчету соот-
соответствует математическая операция интегрирования вдоль пути пере-

щ
РАБОТА СИЛЫ
123
мещения. Следовательно, работа силы F при перемещении S выра-
выражается интегралом
\ \FsdS. D.3)
За единицу работы (как и всегда при построении абсолютных
систем единиц) должна быть принята такая работа, которую сила,
равная единице, совершает при перемещении, равном единице (при-
(причем направление перемещения совпа-
совпадает с направлением силы).
В системе СИ единицей силы слу-
служит ньютон (я), а единицей работы
н-м'у эта единица носит название
джоуль. В системе CGS единицей ра-
работы служит динаХсм. Эта единица
называется эрг.
1 дж=№7 эрг.
В системе MKS (метр — кило- Рис- 57*
грамм — секунда) единицей силы слу-
служит килограмм-сила (кГ). Поэтому в качестве единицы работы
должна быть принята работа, совершенная силой в 1 кГ при пере-
перемещении на 1 м, т. е. килограммометр. Так как 1 кГ = 9,8 -105 дн7
то 1 кГм = 9,8-107 дн = 9,8 дж.
Найдем выражение работы для некоторых простейших случаев.
Если на всем пути проекция силы на направление пути остается
постоянной, то значение Fs = F cos (F, AS) для всех элементов
суммы будет одно и то же. Поэтому Fs может быть вынесено из-под
знака интеграла:
Входящий в это выражение интеграл равен всей длине пути. Когда
проекция силы на направление перемещения на всем пути постоянна,
работа силы равна произведению проекции силы на длину пути.
Примером может служить движение тела по наклонной плоскости
(рис. 57). Работа, совершенная силой тяжести Р на пути S по на-
наклонной плоскости,
Работа зависит не от длины пути по наклонной плоскости S, а от
высоты /г, на которую опустилось тело.
Если сила F остается постоянной по величине и направлению,
но величина ее проекции на направление пути изменяется (потому
что изменяется направление пути), то из-под знака интеграла можно

124
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. IV
вынести не Fs, a F:
= F\ cos {F, &S)dS.
Под знаком интеграла стоит проекция элементарного перемещения
на постоянное направление силы. Но сумма проекций всех элементов
пути на постоянное направление равна проекции всего пути на это
направление. Следовательно, рабо-
/г^ та силы в этом случае
где Sp — длина проекции всего
пути на постоянное направление
силы F.
Примером может служить рабо-
работа силы тяжести при движении тела
по какому-либо криволинейному
пути г). Так как длина проекции
пути на направление силы тяже-
тяжести, т. е. на вертикальное направле-
направление, есть просто изменение высоты
тела /г, то работа силы тяжести
зависит не от длины пути, а от
изменения высоты тела: А = Ph,
где h — изменение высоты тела.
Во всех случаях работа, совер-
совершенная силой тяжести при переме-
перемещении тела, не зависит от пути, по которому происходило перемеще-
перемещение, и определяется только высотой, на которую опустилось тело,
т. е. начальным и конечным положениями тела.
Подобным же свойством обладают и упругие силы.
В этом мы можем убедиться на таком примере. К какому-либо
телу прикреплена растянутая пружина, другой конец пружины за-
закреплен неподвижно в точке О (рис. 58, а). Подсчитаем работу, кото-
которую совершает сила, действующая со стороны пружины, при переме-
перемещении тела из точки С в точку В по различным путям (рис. 58, б).
Положим для определенности, что сила, с которой действует
пружина, подчиняется закону Гука; тогда сила пружины F = —kry
где г — удлинение пружины, k — ее коэффициент упругости. При
элементарном перемещении Лг сила пружины совершит работу
ДЛ = —krAr (Аг< 0, так как пружина сокращается). Чтобы вычис-
вычислить работу А сю на всем пути CD, нужно взять сумму элементарных
работ по всему пути, т. е. вычислить определенный интеграл, взятый
Рис. 58,
х) Однако при этом изменение высоты тела должно быть достаточно мало, чтобы
силу тяжести можно было считать постоянной. Случаи, когда нужно учитывать
изменения силы тяжести с высотой, будут рассмотрены в гл. XI.

; 28]
РАБОТА СИЛЫ 125
в пределах от гъ соответствующего точке С, до г2, соответствующего
точке D:
f~2
= - \krdr = -1 ^ ? = 4 (r\ - г|).
п
При перемещении по пути DB сила пружины не совершит работы,
так как путь DB есть дуга окружности и cos (F, AS) = 0. Следова-
Следовательно, полная работы силы пружины на пути CDB есть
Ясно, что при перемещении по пути СЕВ сила пружины совершит
ту же работу.
На пути СВ будет изменяться не только величина силы, но и
угол (F, AS) между направлением силы и направлением перемеще-
перемещения (рис. 58, б). Работа силы F на пути СВ
АСв = —§ kr cos a dS.
ri
Сравним теперь работу силы по путям СВ и CD. Пути СВ и CD
мы можем разбить на одинаковое число элементов (AS и Аг соответ-
соответственно). Тогда проекция каждого элемента AS на направление
силы есть Ar' = AS cos а. Поэтому на соответствующих элементах
путей CD и СВ совершается одинаковая элементарная работа, а зна-
значит, и вся работа ка пути СВ равна работе на пути CD. А так как
работа на пути DB равна нулю, то во всех трех случаях перемеще-
перемещения конца пружины из С в В сила пружины совершает одинаковую
работу.
Иначе говоря, работа силы пружины зависит только от положения
начальной и конечной точек, между которыми произошло перемещение
конца пружины, т. е. от величин начальной и конечной деформаций
пружины, но не от пути, по которому это перемещение произошло.
Сказанное справедливо не только для пружин, подчиняющихся закону
Гука, но и для упругих сил, возникающих при деформации любых
тел и при любом характере зависимости величины этих сил от вели-
величины деформации.
Таким же свойством обладают силы, действующие на электрически
заряженные тела со стороны электрического поля, если это поле со-
создано электрическими зарядами. В этом можно убедиться, рассмотрев
некоторые случаи движения электрически заряженных тел в однород-
однородном электрическом поле.
Начнем с движения заряда в электрическом поле плоского кон-
конденсатора (рис. 59). На положительный электрический заряд А-е со
стороны поля действует сила

126
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
ГГ.П. IV
где Е — напряженность поля, причем F по направлению совпадает
с Е . При перемещении заряда вдоль направления поля (параллельно
оси а:), из точки С в точку D, сила F совершает работу
xD
xc
xD
= eE (xD-
Так как сила в этом случае постоянна и направлена по ху то, анало-
аналогично случаю движения под действием постоянной силы тяжести,
при движении по любому пути из С в D
xD
хс
т. е. работа зависит только от координаты х начальной и конечной
точек, но не зависит от пути перемещения. В рассматриваемом случае
существенно даже не положение на-
начальной и конечной точек С и D, а
только положение проекций этих то-
точек на ось х. Например, работа при
перемещении заряда из С в D будет
равна работе при перемещении заря-
заряда из К в D или из С в L, так как на
участках КС и DL, где перемещения
происходят перпендикулярно к по-
полю, работа равна нулю.
Этот случай совершенно аналоги-
аналогичен движению под действием постоян-
постоянной силы тяжести. Работа зависит
только от расстояния между перпен-
перпендикулярными к направлению поля
плоскостями, на которых лежат на-
начальная и конечная точки переме-
перемещения. Если направление электрического поля условно считать
направлением «вниз», то работа силы зависит только от разности
«высот» начальной и конечной точек перемещения. В частном случае,
когда перемещение заряда происходит от одной обкладки конденсато-
конденсатора до другой, работа силы
A=eEd=eU,
где d — расстояние между обкладками конденсатора, а (/ — разность
потенциалов или напряжение на конденсаторе.
Рассмотрим, далее, случай движения электрического заряда +et
в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом +е
(рис. 60). Согласно закону Кулона сила взаимодействия между двумя
точечными зарядами (в пустоте) F = ехе/г2, где г — расстояние между
Рис. 59.

§ 281 РАБОТА СИЛЫ 127
зарядами. Напряженность поля, создаваемого зарядом е9 Е = Flex =
= е/r2. При перемещении заряда ех из точки С в точку D сила /%
действующая со стороны поля Е на этот заряд, совершает работу
(bU12, D.4)
где U12 = -— разность потенциалов или напряжение между
точками С и D. При помощи рассуждений, аналогичных приведенным
выше, можно убедиться, что работа
Aqd зависит только от положений на-
начальной и конечной точек пути пере-
перемещения заряда еъ но не зависит от
формы самого пути. В рассматривае-
рассматриваемом частном случае поля точечного
заряда зависимость от положения
выражается в том, что работа зави-
зависит только от расстояний гх и г2 на-
начальной и конечной точек перемеще-
перемещения от точечного заряда, создающего
поле.
В общем случае электрического
поля, созданного произвольно рас-
расположенными электрическими заря- Рис- ь0-
дами, работа также зависит только
от положений начальной и конечной точек пути перемещения, но
не от формы самого пути, по которому происходит перемещение.
При этом работа через координаты начальной и конечной точек пере-
перемещения выражается более сложно, чем в случае одного точечного
заряда. Однако во всех случаях в электрическом поле, созданном
электрическими зарядами, работа силы электрического поля при
перемещении электрического заряда ег из точки / в точку 2
Л12 = е1и127 D.5)
где U12 — напряжение между точками 1 и 2.
Итак, работа сил тяготения, упругих сил и сил электрического
поля, созданного электрическими зарядами, не зависит от пути и
определяется только начальным и конечным положением точки при-
приложения силы. Но в таком случае работа этих сил по любому замкну-
замкнутому пути всегда должна быть равна нулю. Действительно, пусть
точка приложения силы переместилась из В в С по пути BDC, а затем
по тому же самому пути — обратно из С в В (рис. 61). На обратном
пути сила в каждой точке будет равна силе, действовавшей в этой
точке на пути туда. Но направление перемещения на обратном пути

128 работа и энергия [гл, iv
будет противоположно направлению перемещения на пути туда.
Поэтому работа на обратном пути АСрв по величине будет равна
работе на прямом пути ABDc и противоположна ей по знаку, т. е.
Асов + ABDC = 0. Пусть теперь обратное перемещение происходит
по другому пути, СЕВ\ работа силы не зависит от пути, и, следова-
следовательно, Асов = Асев, откуда ABDC = —АСЕв и на всем пути
Abdceb — 0. Путь этот мы выбрали совершенно
произвольно. Следовательно, работа упругих
сил, сил тяготения и сил электрического поля,
созданного электрическими зарядами, по любому
замкнутому пути всегда равна нулю.
Иначе обстоит дело с силами электриче-
электрического поля, возникающего в результате элек-
электромагнитной индукции (а не создаваемого
рис ei. электрическими зарядами). В этом случае ра-
работа сил поля может зависеть от пути, т. е.
при перемещении заряда между теми же на-
начальной и конечной точками, но по разным путям работа может ока-
оказаться различной и соотношение D.5), вообще говоря, не применимо.
Поскольку работа этих сил при перемещении между одними и теми же
начальной и конечной точками, но по разным путям может быть раз-
различна, то, значит, работа этих сил по замкнутому пути может быть
отлична от нуля.
Что касается работы силы, действующей со стороны магнитного
поля на движущиеся в этом поле электрические заряды, т. е. силы
то она всегда нормальна к скорости, а значит, и к перемещению заряда.
Вследствие этого работа силы Fh во всех случаях равна нулю.
Все рассмотренные силы, несмотря на их различия, обладают
той общей чертой, что работа этих сил в частном случае перемещения
по одному и тому же пути туда и обратно равна нулю (конечно, при
условии, что за время прохождения всего пути туда и обратно сила
не успевает измениться).
В этом отношении особняком стоит сила трения, работа которой
при перемещении точки приложения силы не только по замкнутому
пути, но и в частном случае перемещения по одному и тому же пути
туда и обратно может быть не равна нулю. Действительно, если
сила трения направлена навстречу скорости движения (например,
тело движется в сопротивляющейся среде), то на пути туда и обратно
сила трения будет совершать отрицательную работу и сумма этих
работ на пути туда и обратно не будет равна нулю.
Нельзя, однако, утверждать, что сила трения всегда совершает отрицательную
работу. При известных условиях работа эта может быть положительна, и работа сил
трения на замкнутом пути можег оказаться положительной или равной нулю. Дело

§ 29] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 129
в том, что сила трения направлена всегда навстречу относительной скорости движения
тел; поэтому она может оказаться направленной в сторону движения данного тела,
если другое тело, со стороны которого эта сила действует, движется в ту же сторону
с большей скоростью. В этом случае сила трения совершает положительную pa6oiy.
§ 29. Потенциальная энергия
В системе тел, в которой действуют только силы тяжести, упругие
силы и силы электрического поля, созданного электрическими заря-
зарядами, всякая работа этих сил связана с изменением конфигурации
(так как, когда система вернулась к прежней конфигурации, работа
всех этих сил должна быть равна нулю). Если силы, действующие
в системе, совершают положительную работу, то конфигурация при
этом всегда изменяется так, что в конце концов способность системы
совершать работу оказывается исчерпанной. Например, если сила
растянутой пружины совершает положительную работу, то при этом
пружина сокращается. В конце концов пружина сократится до нор-
нормальной длины и не сможет далее совершать работу. Растянутая пру-
пружина обладает определенным ограниченным запасом работы, которую
она может совершить. Величина этого запаса работы определяется
начальным растяжением пружины, т. е. ее начальной конфигурацией.
Всякая система тел, в которой действуют силы тяжести, упругие
силы и силы электрического поля, созданного электрическими заря-
зарядами, обладает определенным ограниченным запасом работы, которую
эти силы могут совершить. Этот запас работы, обусловленный конфи-
конфигурацией тел системы, представляет собой потенциальную энергию
системы.
Например, потенциальная энергия растянутой пружины есть вся
та работа, которую может совершить сила пружины при сокращении
пружины до нормальной длины. Как мы видели (§28), при сокращении
растянутой пружины (если она подчиняется закону Гука) сила пру-
пружины может совершить работу А = (ki2) (xf — xl), где х± и х2 —
начальное и конечное удлинения пружины* Если растянутая пружина
сокращается до нормальной длины, то х2 = 0, и потенциальная энер-
энергия пружины, растянутой на величину хъ
U=k-^. D.6)
Эта энергия связана с наличием упругих деформаций в материале
пружины. В этих случаях потенциальная энергия представляет
собой энергию упругой деформации. Так же выразится и потенциаль-
потенциальная энергия сжатой пружины, если хг — ее сжатие (опять-таки если
пружина подчиняется закону Гука).
Если тело опускается вниз, то сила тяжести при этом может со-
совершить некоторую определенную работу, величина которой зависит
от начальной высоты тела. Тяжелое тело, поднятое на некоторую
высоту, обладает потенциальной энергией, равной шй работе, которую
5 С. Э. Хайкин

130 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ4 IV
совершит сила тяжести, когда тело опустится до «наинизшего» уровня.
Однако «наинизшая» конфигурация для силы тяжести не может быть
так естественно определена, как для пружины. Для пружины и вообще
для упругих сил «наинизшей» конфигурацией будет та, при которой
деформация отсутствует. Для тяжелого тела наинизшим положением
может быть уровень пола, уровень земли и т. д. Уровень, относительно
которого отсчитывается потенциальная энергия тела, поднятого на
некоторую высоту, может быть выбран совершенно условно. Но эта
условность никогда не скажется в расчетах, так как нас интересует
всегда не величина потенциальной энергии, а ее изменения (нужно лишь
всегда отсчитывать потенциальную энергию относительно одного и
того же уровня).
Если тело опускается с высоты /г3 до высоты ft2, то сила тяжести Р
(пока ее можно считать постоянной) совершает работу А = Р ф,х — ft2),
т. е. потенциальная энергия тела
U = Ph, D.7)
где h — начальная высота тела над уровнем, от которого отсчиты-
отсчитывается потенциальная энергия тела.
Аналогично в системе двух одноименных электрических зарядов
(рассматриваемых как точечные) поле, создаваемое зарядом е, при
удалении заряда ег совершает работу, определяемую выражением D.4).
Когда заряд ег удаляется в бесконечность, е/г2 -> 0, а значит, вся
работа, которая может быть совершена при удалении заряда, находя-
находящегося сначала на расстоянии г от заряда е, т. е. потенциальная энер-
энергия системы,
</ = ?. D.8)
Энергия, обусловленная взаимодействием тел, называется их
взаимной энергией. Следовательно, U = еге/г есть взаимная потен-
потенциальная энергия двух электрических зарядов (ее называют также
взаимной электростатической энергией).
Знак этой взаимной энергии, как видно из приведенного выраже-
выражения, положителен для одноименных и отрицателен для разноимен-
разноименных зарядов. Физически это ясно, так как в случае одноименных
зарядов при их удалении совершается положительная работа (за-
(заряды отталкиваются), а в бесконечности, как следует из выражения
D.8), потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, при г
конечном потенциальная энергия должна быть больше нуля. Наобо-
Наоборот, в случае разноименных зарядов и в случае их удаления совер-
совершается отрицательная работа (заряды притягиваются), а так как
в бесконечности потенциальная энергия по-прежнему должна
быть равна нулю, то при г конечном потенциальная энергия меньше
нуля.

§ 29] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 131
При этом, однако, полная энергия двух зарядов, независимо от
их знаков, всегда положительна. Дело в том, что каждый заряд сам
по себе обладает положительной энергией, независимо от знака заряда
(эту энергию можно рассматривать как взаимную потенциальную
энергию отдельных частей данного заряда, а так как все части заряда
имеют одинаковый знак, то эта энергия всегда положительна). Далее
оказывается, что сумма энергий, которыми обладают оба заряда,
всегда больше взаимной энергии этих зарядов. Поэтому полная потен-
потенциальная энергия любой системы зарядов всегда положительна.
Всякий раз, когда силы, действующие в системе, совершают поло-
положительную работу, происходят такие изменения конфигурации, при
которых потенциальная энергия системы уменьшается. Наоборот,
если силы, действующие в системе, совершают отрицательную работу,
то конфигурация изменяется так, что потенциальная энергия возра-
возрастает. Чтобы силы, действующие в системе, совершали отрицательную
работу, точки приложения этих сил должны перемещаться в направ-
направлении, противоположном действию сил. Этого можно достичь, напри-
например, прикладывая к телам системы внешние силы. Тогда эти внешние
силы совершают положительную работу и увеличивают потенциаль-
потенциальную энергию системы.
Так, сила, растягивающая пружину, совершает работу и увели-
увеличивает потенциальную энергию пружины. При этом, если мы растяги-
растягиваем пружину медленно, работа внешней силы как раз равна увеличе-
увеличению потенциальной энергии пружины. Действительно, для медлен-
медленного растяжения достаточно приложить к пружине (с закрепленным
неподвижно другим концом) такую постепенно увеличивающуюся
силу F, которая все время сколь угодно мало превышает силу, дей-
действующую со стороны пружины. Если затем пружина будет сжиматься,
то она совершит такую же работу, какую совершила внешняя сила
при растяжении пружины. Следовательно, при медленном растяжении
пружины работа, совершенная внешней силой, как раз равна увели-
увеличению потенциальной энергии пружины. При быстром растяжении
это уже не будет иметь места, так как для того, чтобы конец пружины
двигался со значительным ускорением, нужно, чтобы внешняя сила F
была заметно больше силы, действующей со стороны пружины, и
тогда работа внешней силы будет больше, чем увеличение потенциаль-
потенциальной энергии пружины. Только при медленных движениях работа
внешних сил как раз равна увеличению потенциальной энергии си-
системы.
Рассмотрим еще один конкретный пример, из которого можно будет вывести об-
общее заключение. Две разные пружины соединены своими концами в точке О. Второй
конец одной из пружин закреплен, а на второй конец другой пружины действует сила
F, изменяющаяся так, что происходит медленное растяжение пружин (рис. 62).
Положим, что обе пружины подчиняются закону Гука, причем коэффициенты упру-
упругости их kt и ?2 различны. В каждый момент и,в частности, в конечном состоянии силы,
действующие со стороны пружин друг на друга, равны. Поэтому 1гххл = k^x^. где хх и
х% — соответственные растяжения пружин. Отсюда xjx^, = kzikx. Потенциальная

132 РАБОТА И ЭНЕРГИЙ [ГЛ IV
энергия растянутых пружин соответственно
U,=Y и t/,--^, откуда ? = ¦?(?).
Заменяя отношение хх/х2 через k2fku получим:
Распределение потенциальной энергии в пружинах обратно отношению коэффициен-
коэффициентов упругостей пружины. Создастся
эта энергия за счет работы внешней
1
'татш^ S ПЧУШ?1 x г силы F; при этом если одна
\j\j\j\j\j \J\j\J\J\J\J г жина гораздо жестче друго
жина гораздо жестче другой, то
практически вся работа идет на уве-
увеличение энергии упругой деформа-
р go ции более мягкой пружины.
Очень жесткие (мало деформи-
деформируемые) тела подобны пружине
с очень большим k. Полагая, что k -* со, мы все же получим в таких пружинах
конечные силы (так как соответственно уменьшаются деформации и F = kx остается
конечным). Но потенциальная энергия таких пружин стремится к нулю, так как
kx2 F2
— = j^r —*0 при ^->oohF конечном. Поэтому, вводя представление об абсо*
люгно жестких (недеформируемых) телах, мы можем считать энергию их упругой
деформации при всяких (конечных) силах равной нулю.
Если в системе, кроме трех рассматриваемых типов сил, действуют
и силы трения, то они также могут совершать работу — положительную
или отрицательную. Однако та работа, которую могут совершить
эти силы, не изменяет потенциальной энергии системы. Рассмотрим,
как изменяется величина потенциальной энергии вблизи поло-
положения равновесия. Для упрощения проведем все рассуждения приме-
применительно к системе с одной степенью свободы, т. е. к материальной
точке, которая может перемещаться вдоль фиксированной прямой.
Положение, в котором сумма действующих на точку сил равна
нулю, представляет собой положение равновесия. В этом положении
ускорение точки равно нулю; если к тому же в этом положении также
и скорость точки равна нулю, то точка в таком состоянии равновесия
находилась бы как угодно долго, если бы указанные выше условия —
равенство нулю сил и скоростей — не нарушались. Однако практи-
практически эти условия никогда не могут быть точно соблюдены.
Под действием внешних толчков, от которых никакое тело не может
быть изолировано полностью, это тело приобретает некоторую ско-
скорость и начинает удаляться от положения равновесия; так как силы,
действующие на тело, могут по-разному зависеть от положения тела,
то, когда тело уходит из положения равновесия, сумма действующих
на него сил, вообще говоря, оказывается не равной нулю. Равнодей-
Равнодействующая этих сил может быть направлена либо к положению равно-
равновесия (т. е. в сторону, противоположную той, в которую тело откло-
отклонилось от положения равновесия), либо от положения равновесия (т. е.

§29] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 133
в ту же сторону, в которую тело отклонилось от положения равно-
равновесия).
В первом случае сила, направленная к положению равновесия,
препятствует значительному удалению тела от этого положения;
в результате внешних воздействий тело хотя и будет двигаться, но все
время оставаясь вблизи положения равновесия. Во втором случае
сила, направленная от положения равновесия, наоборот, будет еще
дальше уводить тело, отклонившееся от положения равновесия.
А так как слабые внешние толчки всегда неизбежны, то только
в первом случае тело будет как угодно долго находиться в состоянии,
близком к состоянию равновесия; во втором случае тело не может
сколько-нибудь длительное время находиться в состоянии, близком
к состоянию равновесия. В первом случае состояние равновесия ока-
оказывается устойчивым, во втором — неустойчивым.
Каков же характер зависимости потенциальной энергии системы
от ее конфигурации вблизи состояний равновесия? Пусть какому-либо
положению равновесия соответствует значение координаты х = ху
и значение потенциальной энергии V = U (хг). При перемещении
тела на расстояние dx действующая на тело в направлении х сила F
совершает работу dA = Fdx\ эта работа совершается за счет потен-
потенциальной энергии системы, т. е. убыль потенциальной энергии
-dU-^Fdx или ~^-=F.
dx
Но так как в положении равновесия (х = хг) действующая на тело
сила F должна быть равна нулю, то
\ -О
т. е. в положении равновесия потенциальная энергия должна иметь
либо минимум, либо максимум.
Если возникающая при отклонении от положения равновесия сила
направлена к положению равновесия, то при удалении тела от этого
положения она совершает отрицательную работу и потенциальная
энергия возрастает; значит, положению равновесия в этом случае
соответствует минимум потенциальной энергии. Если же возникаю-
возникающая сила направлена от положения равновесия, то при удалении тела
она совершает положительную работу и потенциальная энергия умень-
уменьшается; значит, положению равновесия в этом случае соответствует
максимум потенциальной энергии.
Сопоставляя это с приведенными выше определениями устойчивого
и неустойчивого состояний равновесия, мы видим, что устойчивому
состоянию равновесия соответствует минимум, а неустойчивому —
максимум потенциальной энергии. Так как признаками максимума
или минимума функции / являются, как известно, для минимума
'-]>0 и для максимума -,-г <^0, то признаками устойчивого и

134 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV
неустойчиього состояний равновесия являются (помимо условия экстре-
экстремума ^-=0) соответственно:
_ > 0 — равновесие устойчиво,
-j-g- <^0 — равновесие неустойчиво.
Приведем несколько конкретных примеров, иллюстрирующих
сказанное. (Напомним, что сказанное относится к системам, в кото-
которых действуют только упругие силы, силы тяготения и силы электри-
электрического взаимодействия между зарядами; роль сил трения в этих
вопросах будет рассмотрена позднее.)
Начнем с простейшего случая, когда на тело действуют только упругие силы.
Определим, устойчиво ли состояние равновесия, в котором находится точка О на
рис. 62, когда правый конец пружины закреплен в таком положении, что обе пружи-
пружины несколько растянуты. Так как для равновесия силы, с которыми действуют пру-
пружины на точку О, должны быть равны, то удлинения пружин в состоянии равновесия
связаны соотношением kxxt = k%x2. Отсчитывая смещения х точки О относительно
положения равновесия, найдем выражение общей потенциальной энергии двух пру-
пружин, как функцию х (при смещении точки О растяжение одной из пружин увеличива-
увеличивается, а другой — уменьшается):
1,_
2 + 2 '
После простых преобразований (учитывая, что kxxy = kzx2) получим:
F7 — М[ . VI I (&1 + &2)*2
U~~ 2 + 2 ~*~ 2 •
Отсюда следует, что —=0 при л: = 0, т. е. что х = 0 (состояние равновесия) соответ-
соответствует экстремуму U. Далее, даже не определяя знака второй производной, легко уви-
увидеть, что при любом х =? 0 (независимо от знака х) значение Ux^_0 > UXs=Qi сле-
следовательно, этот экстремум есть минимум; в рассматриваемой задаче существует
только одно состояние равновесия и оно всегда устойчиво.
Перейдем теперь к задаче о равновесии электрически заряженных частиц,
между которыми действуют только силы электрического взаимодействия. Прежде
всего, для двух заряженных тел из выражения для их взаимной потенциальной энер-
энергии D.8) видно, что при конечных значениях г потенциальная энергия U нигде не
обращается в нуль. Следовательно, два заряженных тела, на которые не действуют
другие силы, не могут находиться в состоянии равновесия: одноименно заряженные
удаляются на бесконечно большое расстояние, разноименно заряженные сближаются
до соприкосновения (после чего их заряды должны стать одноименными, поскольку
в общем случае разноименные начальные заряды тел не равны по величине) и тогда
тела разойдутся в бесконечность.
Но в случае более чем двух заряженных теп, если их заряды не одноименны,
возможно такое их расположение, которому соответствует положение равновесия.
Примером может служить система из трех зарядов, величина и расположение которых
приведены на рис. 63. Так как при изменении взаимного расположения зарядов
собственная потенциальная энергия каждого из зарядов остается неизменной, то
достаточно рассмотреть, как взаимная энергия зарядов зависит от их расположения.
В соответствии с D.8) взаимная энергия среднего и каждого из крайних зарядов

; 29]
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
135
равна — 4е2/гг и — 4е2/г2 соответственно, а взаимная энергия двух крайних зарядов
16e2/(f*i + rs). Рассмотрим, как зависит полная взаимная энергия всей системы заря-
зарядов только от смещения среднего заряда в направлении оси х1); отсчитывать это сме-
t~*.
зн^-ч rn
О
- r0 --
Рис. 63.
щение будем от точки х = 0, которая лежит на одинаковом расстоянии г0 от точек,
где расположены заряды +4е. Тогда полная взаимная энергия
o
ro-x
r0 r*-
Из этого выражения сразу (не находя производных) можно усмотреть, что при
х = О U имеет максимум, так как UXsss0 = 0 и, независимо от знака х% V'хФС<^ 0.
Следовательно в системе суще- t "~ +
ствует только одно состояние
равновесия х = 0и это состоя-
состояние неустойчиво 2).
Этот результат, полученный
нами для одного частного слу-
случая, справедлив в самом общем
случае любой системы электри-
электрических зарядов, в которой не
х=0т-
I
I
о
i. 4~§
X
±
J L
t
Рис. 04
действуют никакие другие силы,
кроме сил электрического взаи-
взаимодействия. Состояния равнове-
равновесия, свойственные таким системам, всегда неустойчивы, и эти системы не могут суще-
существовать сколько-нибудь продолжительное время. Неустойчивыми, в частности,'ока-
частности,'оказывались и все статические модели атомов, в которых ядра и электроны неподвижны;
для того чтобы построить устойчивую модель атома, пришлось предположить, что
электроны движутся вокруг ядер (так называемая «планетарная модель»3)).
х) То есть ограничивая задачу системой с одной степенью свободы.
2) Если бы смещение заряда —е из положения равновесия происходило в напра-
направлении, перпендикулярном к оси х, то возникали бы силы, возвращающие заряд к по-
положению равновесия; значит, если бы возникали только такие смещения, система вела
бы себя так, как будто она обладает устойчивым состоянием равновесия. Но так как
случайные смещения возможны как перпендикулярно к оси ху так и вдоль нее, то
в результате последних смещений система уйдет как угодно далеко от положения рав-
равновесия. Поэтому состояние равновесия, «неустойчивое хотя бы в одном направле-
направлении», является неустойчивым состоянием равновесия.
3) Однако и планет-арная модель оказалась неустойчивой, так как электрон,
движущийся по орбите, обладает ускорением и должен излучать электромагнитную
энергию; значит, его энергия должна все время убывать. В частности, должна умень-
уменьшаться его потенциальная энергия взаимодействия с ядром, и электрон должен все
время приближаться к ядру и в конце концов упасть на него. Чтобы придать устойчи-
устойчивость планетарной модели атома, пришлось сделать специальное предположение
о том, что, вопреки законам электродинамики, электрон, движущийся вокруг ядра
по замкнутой орбите, не излучает электромагнитной энергии.

136 РАБОТА И ЭНРРГИЯ [ГЛ. IV
Но если помимо сил электрического взаимодействия между заряженными телами
действуют и другие силы, упругие или сила тяжести, то свойственные такой системе
состояния равновесия могут оказаться устойчивыми; например, в случае тела массы
т, несущего заряд +е и подвешенного в поле плоского конденсатора напряжен-
напряженностью Е на пружине с коэффициентом упругости k (рис. 64), полная потенциальная
энергия системы
kx2
U = -у + еЕ (/г- х) + mg (Л — x),
где х — смешение тела от положения, в котором пружина не растянута.
Так как — = kx — еЕ — mg, то существует только одно положение равновесия
хг = (еЕ -Ь mg)lk.
Далее, так как -r-g- = к >> 0, то единственное состояние равновесия, соответствующее
найденному значению xl9 устойчиво.
Конечно, вопрос об устойчивости или неустойчивости состояния
равновесия можно решить и не пользуясь указанным критерием,
а определяя направление силы, возникающей при смещении тела из
положения равновесия. Но даже в рассмотренных простейших при-
примерах систем с одной степенью свободы часто оказывается проще
определить, имеет ли потенциальная энергия минимум или макси-
максимум, чем найти направление результирующей силы, возникающей
при отклонении тела от положения равновесия. Но особенно суще-
существенно упрощает решение вопроса об устойчивости состояния равно-
равновесия применение указанного критерия в тех случаях, когда система
обладает больше чем одной степенью свободы. По-прежнему состояние
равновесия устойчиво, если потенциальная энергия V в этом состоя-
A2FJ
нии имеет минимум, т. е. если -^ "> 0 для всех п координат системы
ох*
В заключение обратим внимание, что все выводы получены выше
в предположении о пропорциональности между силой и удлинением
пружин (закон Гука). Если пружины не подчиняются закону Гука,
то количественные результаты могут существенно измениться, однако
качественные выводы останутся в силе.
§ 30. Кинетическая энергия
Когда на покоящееся тело начинает действовать постоянная по
направлению сила, то скорость, приобретаемая телом, совпадает по
направлению с силой и возрастает по величине. При этом сила совер-
совершает положительную работу, так как перемещения тела (точки при-
приложения силы) совпадают по направлению с силой. Наоборот, если
х) Так как U в этом случае есть функция нескольких переменных (координат),
то вместо полных производных нужно брать частные производные по каждой ко-
координате.

§ 301 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 137
на тело, обладающее начальной скоростью, начинает действовать сила,
направленная навстречу скорости, то скорость тела уменьшается и
тело совершает работу против этой силы, так как перемещения тела
направлены навстречу действующей силе. Тело будет способно совер-
совершать работу до тех пор, пока скорость его не упадет до нуля. Чем
больше начальная скорость, тем большую работу тело способно совер-
совершить. Таким образом, в результате работы внешней силы тело при-
приобретает определенную скорость, а вместе с тем и определенный запас
работы, которую оно может совершить, теряя скорость. Этот запас
работы, которую тело может совершить потому, что оно обладает
скоростью, представляет собой кинетическую энергию тела.
Чтобы определить кинетическую энергию тела, нужно подсчитать
ту работу, которую может совершить тело, обладающее начальной
скоростью v0, до полной остановки. Если силы трения отсутствуют, то
эта работа равна той работе, которую нужно затратить, чтобы тому же
телу, не обладающему начальной скоростью, сообщить скорость v0.
В этом можно убедиться при помощи следующих соображений. Поло-
Положим, что под действием силы F тело, пройдя по какому-либо пути от
точки / до точки 2, приобрело скорость v0. Представим себе теперь,
что это тело с начальной скоростью —v0 движется обратно от точки 2
к точке / по тому же пути. Тогда сила, а значит, и ускорение тела во
всех точках будут такие же, как на пути туда, и будут направлены
навстречу скорости. Поэтому тело достигнет точки / со скоростью
v = 0. Но при этом на пути «обратно» тело совершит работу против
силы F, равную той работе, которую совершила сила F на пути «туда».
На основании сказанного, для определения кинетической энергии
тела достаточно подсчитать работу, совершаемую действующей на
тело силой, воспользовавшись для этого вторым законом Ньютона.
При v «^ с можно воспользоваться уравнением второго закона
и рассмотреть прямолинейное движение вдоль оси х, совпадающей
с постоянным направлением силы F. Умножив обе части этого урав-
уравнения на элементарное перемещение dx = v dt, получим:
mvdv = F dx.
Для движения от точки хъ в которой скорость v =• 0, до точки х2у
в которой скорость равна v, можно написать:
ъ х2 х%
т jj vdv=*^ Fdx или !^=^Fdx. D.9)
6 Xl Xl
Но правая часть уравнения D.9) представляет собой работу А12 силы F
на пути от хх до л;2.

138 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV
В соответствии со сказанным выше, кинетическая энергия тела
Т = ^. D.10)
Так как импульс тела р = то, то кинетическая энергия тела может
быть выражена через его импульс:
Выражение, аналогичное D.9), мы уже получили выше, когда
определяли скорость электрически заряженных частиц, ускоряемых
электрическим полем C.27). Была также найдена работа электриче-
электрических сил в этом случае D.5). Таким образом, мы уже получили выше
выражение для кинетической энергии заряженной частицы, но не
толковали его с этой точки зрения.
Аналогично мы получили выражение C.34) для скорости электри-
электрически заряженных частиц, ускоряемых электрическим полем, при о,
сравнимых с с. Так как выражение D.5) во всех случаях (независимо
от скорости частицы) представляет собой работу электрических сил,
то из C.34) следует, что когда v сравнимо с с, выражение для кинети-
кинетической энергии принимает вид
D.12)
Выражение это и по виду и по своему физическому содержанию суще-
существенно отличается от выражения для Т при v <^ с. Прежде чем пере-
переходить к обсуждению физического содержания выражения D.12),
покажем, что, несмотря на внешнее различие, это выражение при
v^c срвпадает с D.10). Для этого достаточно, переписав выраже-
выражение D.15) в более удобном виде, разложить его в ряд:
Г -1 ]
r-moc4(l-J) _l=^(i +-|J +...). D.12а)
Отсюда сразу видно, что при z?/(?<^ 1 имеем Т = /not>2/2. Из D.12)
и D.12а) видно, что кинетическая энергия тела растет сначала про-
пропорционально & (пока v2/c2 <^ 1), а затем возрастает быстрее, чем
v2t и при v ~>с энергия Т -> оо. Характер зависимости кинетической
энергии от скорости графически изображен на рис. 65. Пунктирная
кривая изображает ту же зависимость, но в предположении, что
масса постоянна.
Сопоставим прирост кинетической энергии с приростом массы
тела, обусловленным увеличением скорости тела. Прирост массы
Дт—

§31]
ЭНЕРГИЯ И МАССА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
139
Из сопоставления этого выражения с D.12) следует:
Т=с2 Am, или Am = Т/с2.
D.13)
Значит, с ростом скорости масса тела возрастает на величину, про-
пропорциональную кинетической энергии
тела. Это можно толковать так, что
кинетическая энергия Т обладает
массой Tic2, которая добавляется к
массе покоя га0. Инерционные свой-
свойства тела изменяются потому, что
кинетическая энергия, которую при-
приобрело тело, сама обладает свойством
инерции.
§ 31. Энергия и масса. Закон
сохранения энергии
Приведенное только что толкова-
толкование смысла выражения для кинетиче-
кинетической энергии D.13), во-первых, стра-
страдает неполнотой, так как касается
инертных свойств только кинетиче-
кинетической энергии, во-вторых, приводит к
некоторой двойственности, так как
появляются двоякого рода массы —
масса покоя га0 и масса кинетиче-
кинетической энергии Tic2. Оба эти недостат-
недостатка можно устранить, если представ-
представление об инерции кинетической энергии распространить на все дру-
другие виды энергии и полагать, что всякая энергия Е, независимо от
ее характера, обладает массой
m=Efc2 D.14)
и что всякая масса, в том числе и масса покоя тела, определяется содер-
содержащейся в этом теле энергией, причем они связаны соотношением D.14).
Иначе говоря, масса тела и энергия, содержащаяся в теле, пропорцио-
пропорциональны друг другу. В случае, если масса покоя тела равна т0, то
это обусловлено тем, что в теле заключена энергия
Е0 = т0с2, D.15)
которую называют «энергией покоя». Тогда выражение D.12) может
быть записано так:
D.16)
3-Ю10
цсм/сеп
Рис. 65.

но
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. TV
и истолковано следующим образом: полная энергия тела Е9 пред-
представляющая собой сумму энергии покоя Ео и кинетической энергии,
равна тс2, причем масса тела т= -г=^ , где т0—масса
у 1 — v2/c2
покоя тела.
Характер зависимости полной энергии тела от его скорости изо-
изображен графически на рис. 66.
Одним из наиболее убедительных экспериментальных подтвержде-
подтверждений связи между энергией покоя и массой покоя является так назы-
называемый дефект массы ядер атомов.
Как известно, ядра атомов состоят из
протонов и нейтронов; например, яд-
ядро атома тяжелого водорода состоит
из одного протона и одного нейтро-
нейтрона, ядро атома гелия — из двух про-
протонов и двух нейтронов, и т. д. Для
того чтобы раздробить ядро атома на
составные части, нужно затратить не-
некоторую работу. Наоборот, при соеди-
соединении протонов и нейтронов в ядро
они такую же работу могут совер-
совершить. Это значит, что сумма энергий,
которыми обладают протон и нейтрон
до того, как они образовали ядро
атома тяжелого водорода, на некото-
некоторую величину АЕ больше, чем энер-
энергия этого ядра. Соответственно масса
покоя ядра атома тяжелого водорода
должна быть на АЕ/с2 меньше суммы
масс покоя протона и нейтрона.
Этот «дефект массы» действитель-
действительно обнаруживается при сопоставле-
сопоставлении результатов измерения масс про-
протона и нейтрона и ядер атомов. Например, для ядра атома гелия
дефект массы Am ^ 5 • 10~26 г (масса ядра гелия составляет 7 • 10~24 г).
Отсюда мы можем определить ту энергию АЕ, на которую умень-
уменьшается обшая энергия протонов и нейтронов при образовании ядра
гелия: АЕ = Am -с2 о^_ 4,5 • 10~5 эрг.
Эта энергия должна освобождаться в том или ином виде при обра-
образовании каждого ядра гелия. Умножая на число атомов, содержа-
содержащихся в одном грамме гелия (~ 1,5 -1023), мы получим для энергии,
освобождающейся при образовании одного грамма гелия, огромную
величину 7-1018 эрг (~ 200 000 киловатт-часов), дающую представле-
представление о том, какие колоссальные количества энергии могут освобо-
освобождаться при ядерных реакциях.
Рис. 66.
зю
и,см/ст

§ 31] ЭНЕРГИЯ И МАССА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 141
Выше для упрощения подсчета работы силы, сообщающей телу
ускорение, мы предполагали, что скорость тела совпадает по направ-
направлению с силой. Если это не так, то действующую на тело силу нужно
разложить на две составляющие: тангенциальную, направленную
вдоль скорости, и нормальную, направленную перпендикулярно к ней.
Работу совершает только тангенциальная составляющая (нормальная
составляющая не совершает работы, так как она перпендикулярна
к направлению перемещения). С другой стороны, только тангенциаль-
тангенциальная составляющая силы изменяет величину скорости тела. Поэтому,
произведя подсчеты только для тангенциальной составляющей, мы
получим ту же связь между работой силы и скоростью тела, а значит,
те же выражения для кинетической энергии, которые были получены
выше.
Рассмотрим вопрос об энергии изолированной системы тел. Так как
для случаев и^сии, сравнимого с с, мы пришли к различным выра-
выражениям для энергии тел и во втором случае дали этому выражению
совершенно новое истолкование, то вопрос об энергии изолированной
системы тел для этих двух случаев нужно рассматривать раздельно.
В общем виде мы рассмотрим только случай v <^ с.
Итак, рассмотрим изолированную систему материальных точек,
обладающих массами т1у т2, /п3, ..., между которыми действуют
только силы тяготения, упругости или электрического поля, создан-
созданного электрическими зарядами. При v <^ с можно массы считать
постоянными и для этих точек уравнения второго закона Ньютона
записать так:
2~^7 — *
21 ~Ъ* * 23
dt
± F X F 4- -\~ F
D.17)
где Fik — сила, действующая на t-ю точку со стороны fe-й.
Пусть все точки за какой-то элемент времени dt совершают пере-
перемещения dxly dx^ ..., dxn. Умножим каждое из уравнений скалярно
на соответствующее перемещение. Мы получим (так как dxt = vtdt):
щ (©!dvj -{F12 + Fls +...)dxx = 0,
пц(tt2dtf2) - (F2l + F2S + ...)dx2 = 0,
Сложив все эти уравнения, получим:

142 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV
У пц (vt dvi) = У d ( -трО есть бесконечно малое изменение кинети-
кинетической энергии всей системы dT, а —2 (/^ + Fi2 + ...) djCj —
взятая с обратным знаком бесконечно малая работа всех сил, дей-
действующих в системе, т. е. бесконечно малое изменение потенциальной
энергии системы dU. Следовательно, для всей системы в целом
0, D.18)
откуда полная энергия системы
Е = Т + U = const. D.19)
Значение этой постоянной определяется значениями кинетической
энергии То и потенциальной энергии Uo системы в какой-то (один
и тот же) момент времени:
Полная энергия изолированной системы, в которой действуют
только упругие силы, силы всемирного тяготения и силы электриче-
электрического поля, созданного электрическими зарядами, есть величина по-
постоянная. Это — закон сохранения энергии в механике, который
для рассматриваемого случая (отсутствуют силы трения) непосред-
непосредственно вытекает из второго и третьего законов Ньютона.
Однако не всегда оказывается возможным или удобным учитывать
работу сил в виде изменения потенциальной энергии системы. Если
систему нельзя рассматривать как изолированную, то, помимо вну-
внутренних сил, действующих между точками системы, на некоторые
точки могут действовать внешние силы и работа этих сил не может
быть учтена как изменение потенциальной энергии системы. Тогда
закон сохранения энергии должен быть формулирован иным образом.
Обозначим внутренние силы, работа которых учитывается в виде изме-
изменений потенциальной энергии, по-прежнему через Fikf а внешние
силы, работа которых не учитывается в виде изменений потенциаль-
потенциальной энергии, — через Фг. Уравнения движения материальных точек
системы после скалярного умножения их на соответствующие беско-
бесконечно малые перемещения dxt будут иметь вид
тг (tfx dvx) - {F12 + Fls +...) dxx = Фг dxXy
dv,) - (Г21 + F25 +...) dx2 = Ф2 dx2,
Сложив эти уравнения, мы получим слева по-прежнему сумму беско-
бесконечно малых изменений потенциальной и кинетической энергии си-
системы, а справа — сумму бесконечно малых работ всех внешних сил.
При конечных изменениях конфигурации изменение полной энергии
системы будет равно всей работе Л, совершенной внешними силами Ф^

§ 31] ЭНЕРГИЯ И МАССА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 143
При переходе системы из состояния 1 в какое-либо другое состояние 2
Aw D.20)
т. е. изменение полной энергии системы при переходе из одного со-
состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними силами.
Это — более общая формулировка закона сохранения энергии.
Если в системе действуют силы трения, то работа этих сил, пре-
превращаясь в тепло, не изменяет потенциальной энергии системы.
Поэюму работу сил трения нужно учитывать отдельно — так, как
мы учитывали выше работу внешних сил. Когда в изолированной
системе действуют силы трения, то, так же как и в случае действия
внешних сил,
(Га + U2) - G\ + иг) = Л12, D.21)
где А12 — работа сил трения, действующих в системе. Силы трения
направлены навстречу перемещениям тел и работа, совершаемая ими,
оказывается отрицательной, т. е. Л12<0 и Т + U в замкнутой системе
при движении убывает.
Примеры такого уменьшения механической энергии системы
в результате действия сил трения мы наблюдаем на каждом шагу.
Всякий раз, когда отсутствуют внешние силы, работа которых могла
бы пополнить убыль энергии, вызванную силами трения, движения
в системе затухают.
В замкнутой системе, в которой действуют силы трения, полная
механическая энергия системы при движении убываетх). Следова-
Следовательно, в этих случаях закон сохранения энергии в узко механиче-
механическом смысле несправедлив. Однако при таком «исчезновении» механи-
механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии
другого вида. В частности, если уменьшение механической энергии
обусловлено действием сил трения, то при этом всегда выделяется
определенное количество тепла, эквивалентное «исчезнувшему» коли-
количеству механической энергии.
Всякий раз, когда «исчезает» энергия одного вида, появляется
эквивалентное количество энергии других видов. Энергия никогда
не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного
вида в другой. В этом заключается закон сохранения энергии в его
общем физическом смысле.
Закон сохранения энергии в механическом смысле представляет
собой лишь следствие, и притом не всегда справедливое (если силы
зависят от скоростей), из законов движения. Всеобщее же значение
х) Напомним, что зто справедливо только для замкнутой системы. В незамкну-
незамкнутой системе не только работа внешних сил может быть больше, чем отрицательная
работа сил трения, и увеличивать энергию системы, но и сами силы трения могут
совершать положительную работу, увеличивающую энергию системы.

И1 РАБОТА И ЭНРРГИЯ [ГЛ TV
закона сохранения энергии выступает именно там, где он не является
следствием из законов движения. Там, где закон сохранения энергии
в узко механическом смысле оказывается несправедливым, мы всегда
сможем указать другие виды энергии, в которые превратилась «исчез-
«исчезнувшая» механическая энергия.
Для системы материальных точек из законов Ньютона вытекает
еще один закон: закон сохранения массы. Положим, что внутренние
силы в системе таковы, что они удерживают все точки системы на
одинаковых расстояниях друг от друга и эти расстояния достаточно
малы, так что всю систему точек можно рассматривать тоже как
материальную точку х) (такую систему наглядно можно себе пред-
ставить как несколько шаров, соединенных друг с другом короткими
жесткими стержнями). Ограничиваясь по-прежнему случаем v «^ с,
мы можем написать уравнения второго закона Ньютона для всех
точек системы в таком виде:
D.22)
Так как расстояния между всеми точками системы остаются неиз-
неизменными и все точки вместе рассматриваются как одна материальная
точка, то ускорение этой точки
d*D dv-L dv2 _ dvn
It 'dt ~di ~~ "dt '
Учитывая это, а также что сумма всех внутренних сил равна нулю,
в результате сложения всех уравнений D.22) получим:
(т1 + т2 + ... + тп)(^ = Ф1+Ф2+... + ФП9 D.23)
т. е. вся система точек с массами mlf пц, ..., mn, на которую действует
сумма сил 2Ф,-, испытывает такое же ускорение, какое под действием
этих сил испытывает материальная точка с массой М = 2 т/. Это и
есть закон сохранения массы или закон аддитивности масс. Однако
выше мы привели пример, когда этот закон явно не соблюдается:
дефект массы в ядрах атомов. Это связано с тем, что закон сохранения
масс получен из законов Ньютона в предположении v «^ с, и поэтому
мы не вправе применять его к образованию ядер атомов, где указанное
ограничение может не соблюдаться. Законы сохранения энергии и
массы при v, сравнимых с с, будут пояснены в следующем параграфе
частным примером.
х) Это последнее требование не имеет принципиального значения, а служит лишь
дгля упрощения задачи. Дальше (гл. XIII) мы распространим вывод на систему, в
которой расстояния между точками неизменны, но не должны быть малы.

«32] АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИЙ УДАР 145
§ 32. Абсолютно неупругий удар
Движение сталкивающихся тел (как и всякая другая задача о дви-
движении тел) может быть исследовано с помощью законов Ньютона.
Однако для этого нужно было бы знать, какие силы возникают при
соприкосновении тел и как они изменяются в процессе соударения.
Но если нас интересуют не детали процесса соударения, а лишь конеч-
конечный результат его, то такое полное исследование с помощью законов
Ньютона в ряде случаев становится ненужным. Так как два сталки-
сталкивающихся тела, на которые не действуют силы со стороны каких-либо
других тел, представляют собой замкнутую систему, то к ним приме-
применим закон сохранения импульса, а во многих случаях и закон сохра-
сохранения энергии. Зная движение тел до столкновения и применяя законы
сохранения, можно определить движение тел после столкновения,
хотя мы при этом не узнаем ничего о том, как происходит само столк-
столкновение.
Такое рассмотрение применимо также и в случаях, когда непосред-
непосредственного соударения не происходит, но когда силы взаимодействия
между телами достаточно резко убывают при увеличении расстояния
между ними и весь процесс «соударения», т. е. взаимодействия между
телами, происходит в очень малой области пространства. Тогда опре-
определение движения тел, после того как они вышли из этой малой об-
области, можно рассматривать как задачу об ударе. Таким методом
можно решать, например, задачи о «столкновении» микрочастиц,
обладающих электрическими зарядами.
«Моделью» для всех задач подобного рода может служить задача
о соударении шаров. Если шары катятся по гладкой горизонтальной
плоскости, то сила тяжести уравновешена упругой силой давления
плоскости, и если к тому же силой трения качения можно пренебречь,
то систему из двух шаров можно считать замкнутой. Однако чтобы
определить скорости двух шаров после соударения, зная их скорости
до соударения, одного закона сохранения импульса недостаточно,
так как нужно определить не сумму импульсов двух шаров, а каждый
из импульсов в отдельности. В качестве второго уравнения для этой
цели используется уравнение, выражающее закон сохранения энер-
энергии. Однако закон сохранения энергии в его механическом (а не обще-
общефизическом) смысле, как было указано, соблюдается не всегда, и в та-
таких случаях задача об ударе шаров, вообще говоря, не может быть
решена. Но в одном частном случае решение этой задачи становится
возможным. Это — случай абсолютно неупругого удара.
Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого ско-
скорости обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. Для
этого, очевидно, соударяющиеся тела должны обладать определен-
определенными свойствами. Это возможно, если при деформации тел возникают
силы, зависящие не от величины деформаций, а от скорости изменения
деформаций. В природе часто встречаются такие тела, в которых

146 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ТЛ. IV
значительные силы возникают только при быстрых изменениях деформа-
деформаций, медленные же деформации не связаны с возникновением заметных
сил. Такими свойствами обладает, например, мягкая глина и другие
пластичные тела. Поэтому медленно их можно деформировать, при-
прикладывая очень малые силы: удар молотка очень мало расплющивает
глиняный шар, в то время как рукой его легко можно расплющить,
если это делать медленно. Если тело обладает такими свойствами, то
после того, как прекратится изменение деформации, исчезают и силы.
Поэтому тела, обладающие такими свойствами, не восстанавливают
своей формы.
При соударении таких тел (например, глиняных шаров) происхо-
происходит следующее. В момент столкновения возникают быстрые дефор-
деформации — шары будут быстро сжиматься; поэтому возникают значи-
значительные силы, которые будут сообщать обоим шарам ускорения, на-
направленные в противоположные сторо-
стороны. Так будет продолжаться до тех пор,
пока скорости шаров не окажутся рав-
равными. В этот момент деформации шаров
перестанут изменяться, а значит, исчез-
исчезнут и силы (так как они существуют
только до тех пор, пока деформации из-
изменяются). Поэтому перестанут изменять-
изменяться и скорости шаров и оба шара будут
продолжать двигаться с одинаковой ско-
скоростью. Это и есть случай абсолютно
неупругого удара.
Рис- 67- Реальные пластические тела не обла-
обладают такими идеально неупругими свой-
свойствами. Однако если скорости соударяющихся пластических тел не
очень велики, то удар практически оказывается абсолютно неупругим.
Продемонстрировать этот случай абсолютно неупругого удара
можно при помощи шаров из пластилина (глины), подвешенных на
нитках (рис. 67). После удара оба шара будут двигаться вместе с оди-
одинаковой скоростью.
Если удар оказывается абсолютно неупругим, то определить
требуется только одну общую скорость обоих тел после удара. Рас-
Рассмотрим эту задачу сначала для случая t/^си применим закон сохра-
сохранения импульса в том виде, в каком он справедлив для этого случая.
Удар будем считать центральным, т. е. считать, что скорости шаров
лежат на линии, соединяющей их центры (рис. 68). Если массы тел тл
и т2, их скорости до удара юг и v2> a их общая скорость после удара я,
то по закону сохранения импульса
{тх + m2) v=m± vx + m2 щ D.24)
(обратим внимание, что при этом мы пользуемся законом аддитив-
аддитивности масс).

i 32]
АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИИ УДАР
147
Скорость после удара будет направлена по той прямой, по которой
направлены обе скорости до удара. Поэтому уравнение D.24) можно
рассматривать как скалярное (однако скорости надо считать совпадаю-
совпадающими по знаку, когда они направлены в одну сторону, и противопо-
противоположными по знаку, когда они на-
направлены в разные стороны). Ско-
Скорость после удара
m1 vx + пг21>2
nil -\- m2
D.25)
Рис. 68.
Если шары движутся навстречу
друг другу, то они вместе будут
продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обла-
обладающий большим импульсом. Если, в частности, импульсы обоих
шаров равны по величине, то оба шара остановятся. Если оба шара
движутся в одну сторону, то они после удара будут двигаться в ту же
сторону со скоростью большей, чем скорость первого шара, и меньшей,
чем скорость второго (догнавшего первый). В частном случае, если
массы шаров равны,
0=а±*. D.26)
В случае нецентрального удара (рис. 69, а) можно разложить
обе скорости на составляющие vn в направлении линии, соединяющей
центры шаров, и составляющие
vt в перпендикулярном направ-
направлении (рис. 69, б). Для состав-
составляющих vnl и vr2 все будет об-
обстоять так же, как и при цент-
центральном ударе. Они в конце кон-
концов окажутся равными, и для
Рис 69. них мы можем написать то же
соотношение, что и при централь-
центральном ударе. Для составляющих же va и vt2 дело будет обстоять иначе.
Их могут изменять только тангенциальные силы, т. е. силы трения.
Но силы трения вызовут вращение шаров, т. е. движение, которое
нельзя рассматривать в рамках механики точки. Во всяком случае
нельзя утверждать, что составляющие скоростей в направлении, пер-
перпендикулярном к линии центров, после удара окажутся равными.
Поэтому закон сохранения импульса позволит нам определить только
составляющую результирующей скорости в направлении линии цент-
центров. Для составляющих скоростей после удара в направлении, пер-
перпендикулярном к линии центров, закон сохранения импульса, конечно,
тоже справедлив, но эти составляющие после удара могут быть различ-
различными. Двух же скоростей на основании одного закона сохранения
импульса определить нельзя. Таким образом, пока мы рассматриваем

148 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ГГЛ ГУ
шары как материальные точки, до конца может быть решена только
задача о центральном абсолютно неупругом ударе.
Выясним, как изменяется полная энергия шаров при центральном
абсолютно неупругом ударе. Поскольку в процессе соударения шаров
между ними действуют силы, зависящие не от величин самих дефор-
деформаций, а от скоростей деформаций, т. е. силы, подобные силам тре-
трения, то ясно, что закон сохранения энергии в его механическом смысле
не должен соблюдаться. Действительно, кинетическая энергия двух
шаров до удара
гг_туу\ ]
i —2—
кинетическая энергия после удара
f = (
Подставив сюда найденное выше выражение D.25), можно убедиться,
что
Т<Т.
Это совершенно очевидно для случая, когда т1ю1 -\~ m^v2 = 0 (напри-
(например, шары одинаковой массы т движутся друг другу навстречу с оди-
одинаковой по величине скоростью v). Тогда v = О (после удара шары
остановились) и _
T^mv2, а Г — О.
Хотя при ударе возникла деформация шаров, которая не исчезла
после удара, но эта деформация не связана с энергией, поскольку шары
не обладают упругостью. Уменьшение кинетической энергии при
ударе означает поэтому, что механическая энергия системы при ударе
не остается постоянной. Она частично или полностью (в последнем
рассмотренном случае) превратилась в тепло.
Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар при больших ско-
скоростях, когда v сравнимо с с (конечно, при этом мы уже не имеем
в виду конкретно удар глиняных шаров, которым нельзя сообщить
скоростей, сравнимых с с). К случаю абсолютно неупругого удара
близки некоторые типы соударений микрочастиц.
Закон сохранения импульса должен быть написан в том виде,
который справедлив для и, сравнимых с с. Далее, так как мы еще
ничего не знаем о пределах применимости закона сохранения масс
для случая v, сравнимых с с, мы не имеем оснований заранее считать
массу после удара равной сумме масс до удара, а должны ввести
какую-то новую массу покоя Мо двух соединившихся шаров, которые
до удара обладали массами покоя т0 (для упрощения мы считаем оба
сталкивающихся шара одинаковыми). На основании закона сохра-
сохранения импульса C.39) можно написать:

$ 32] АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИЙ УДАУ 149
где ©х и щ — скорости шаров до удара, a v — их общая скорость
после удара.
В этом уравнении две неизвестные величины, ю и Мо, и его не
достаточно для решения задачи. Но зато в этом случае, в отличие от
предыдущего, мы вправе применить закон сохранения энергии, по-
поскольку система является изолированной. В самом деле, выраже-
выражение D.16) учитывает не только кинетическую энергию, но и энергию
покоя системы. Хотя при неупругом ударе какое-то количество кине-
кинетической энергии превращается в тепло, но эта энергия остается
в изолированной системе и, значит, на такую же величину возрастает
энергия покоя шаров. Поэтому общая энергия до удара должна быть
равна общей энергии после удара, т. е. должно выполняться равенство
_ _ _ D-28)
или
то _, _|_ то . ^о /л оо\
Это уравнение вместе с уравнением D.27) позволяет определять
обе неизвестные величины, v и Мо. Мы не будем делать этого в об-
общем виде, так как результаты получаются громоздкими и ненагляд-
ненаглядными, а ограничимся частным случаем, когда v2 = —vY = v. Тогда
из уравнения сохранения импульса D.27) вытекает, что ?Г= 0, а зна-
значит, из D.29) следует:
2т« -Мо. D.30)
Масса покоя дзух соединившихся шаров оказывается больше, чем
сумма масс покоя этих шаров до того, как они соединились. Она
равна сумме масс, которыми обладают шары при движении (до удара).
Масса покоя обоих шаров возросла при ударе на величину
которой соответствует энергия
i — tf/cA )
Как следует из выражения D.12), эта энергия как раз равна Т —
сумме кинетических энергий обоих шаров до удара. Поскольку мы
рассматриваем случай, когда ц = —v2 и v = 0, то кинетическая энер-
энергия Т при ударе вся полностью перешла в тепловую и соответственно
масса шаров после удара возросла на Т/с2.

150
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
[ГЛ. IV
Из рассмотренного конкретного случая можно сделать общие
выводы относительно законов сохранения энергии и массы. При
v <^ с, пока мы не учитываем зависимости массы от скорости и того,
что масса покоя (которая в этом случае фигурирует как постоянная
масса) зависит от содержания энергии в теле, соблюдается закон
сохранения масс, однако не соблюдается закон сохранения энергии
в его механическом смысле. Оба эти закона выступают как независи-
независимые, поскольку один из них соблюдается, а другой нет. Когда при v,
сравнимых с с, в полную энергию системы включается и ее энергия
покоя, то в изолированной системе соблюдается закон сохранения
энергии, который вместе с тем является и законом сохранения масс,
поскольку сумма масс системы пропорциональна ее полной энергии.
Рис. 70.
Однако закон сохранения масс в этом случае имеет иное содержание,
чем в случае v <^ с, так как становятся заметными изменения масс
покоя при переходе кинетической энергии в другие формы энергии.
Вообще массы покоя тел системы остаются практически постоянными,
пока кинетическая энергия или энергия взаимодеГхтвия между те-
телами мала по сравнению с их энергией покоя. В случае же сильных
взаимодействий в зависимости от знака взаимной энергии масса покоя
двух или нескольких соединившихся тел может быть либо больше,
либо меньше суммы масс покоя всех этих тел до соединения (послед-
(последнему случаю соответствует дефект массы ядер атомов).
Пользуясь законами сохранения импульса и энергии, можно рас-
рассмотреть задачу, обратную абсолютно неупругому удару, именно за-
задачу о «распаде» тела. Для конкретности представим себе два шара
с массами тх и т2, между которыми проложена спиральная пружина;
шары стянуты нитью так, что пружина оказывается сильно сжатой
(рис. 70, а). Если нить пережечь, то шары разлетаются в противопо-
противоположные стороны с некоторыми скоростями vt и v2 и поднимаются до
высот hj и h2 (рис. 70, б). Так как до пережигания нити общий импульс
двух шаров был равен нулю, то на основании закона сохранения

§ 321 АБСОЛЮТНО НЕУПРУГИЙ УДАР 151
импульса мы можем написать:
Шары приобретают скорости в результате действия силы сжатой
пружины. Распрямляясь, пружина совершает работу, которая пре-
превращается в кинетическую энергию шаров. Можно так подобрать
пружину, чтобы почти вся потенциальная энергия, которой она обла-
обладает в сжатом состоянии, превратилась в кинетическую энергию шаров.
Если считать, что вся потенциальная энергия пружины U преврати-
превратилась в кинетическую энергию шаров, то на основании закона сохра-
сохранения энергии можем написать:
Пользуясь выражением кинетической энергии через импульс D.11)
и учитывая, что импульсы pt = m1v1 и /»2 = m2^2 B рассматриваемом
случае равны по величине, мы можем закон сохранения энергии пере-
переписать так:
где р0 — одинаковое абсолютное значение импульсов обоих шаров.
Если проделать опыты с шарами разной массы, то окажется, что
наибольшие высоты hx и ft2, на которые они поднимаются после «рас-
«распада», удовлетворяют отношению
ht/ht^ ml/ml. D.32)
Поднимаясь на высоту h, шар приобретает потенциальную энергию
mgh за счет кинетической энергии, которой он обладал в момент
«распада». Следовательно, для обоих шаров, выражая кинетическую
энергию через импульсы, мы можем написать: m1gh1 = pi/2ml9
2 откуда
2. D.33)
Из сопоставления D.32) и D.33) следует, что
Pi = Pl,
т. е. описанные опыты подтверждают закон сохранения импульса.
Рассмотренный случай «распада» тела представляет собой модель явления распада
ядер урана. Под действием нейтронов ядра урана распадаются на две части примерно
одинаковой массы, т. е. образуются два ядра элементов, сумма масс которых прибли-
приблизительно равна массе ядра урана (это могут быть различные элементы, расположенные
в середине таблицы Менделеева). Так как масса нейтрона мала по сравнению с массой
ядра урана и деление может в некоторых случаях происходить под действием медлен-
медленных нейтронов, то импульс нейтрона не играет существенной роли и импульс ядра

152 РАБОТА И ^НРГГИЯ ГГЛ. IV
урана до деления можно считать равным нулю. (Пользуясь представлениями нашей
модели, можно сказать, что нейтрон лишь «пережигает нить». Впрочем, это «пережига-
«пережигание нити» не всегда оказывается необходимым — деление ядер урана иногда происхо-
происходит самопроизвольно, без участия нейтронов.) Следовательно, при делении ядра
урана «осколки» разлетаются в противоположные стороны со скоростями, близкими
по величине (так как массы образовавшихся ядер близки). Кинетическая энергия
разлетающихся осколков образуется за счет некоторой доли внутренней энергии
ядра (эта доля Д?, так называемая «энергия распада», в нашей модели соответствует
энергии сжатой пружины). Поскольку часть внутренней энергии АЕ превращается
в кинетическую энергию осколков, то сумма масс покоя «осколков» должна быть
меньше массы покоя ядра урана на величину Am — АЕ/с2. Измерения показывают,
что сумма масс ядер, образовавшихся при распаде, меньше массы ядра урана на
3- I05 г. Следовательно, «энергия распада» ядра урана составляет:
АЕ = Am • г2 ^ 3 • 10~4 эрг.
Так как в одном грамме урана содержится примерно 2,7 • 1021 атомов, то энергия, выде-
выделяющаяся при распаде одного грамма урана, составляет примерно 8-1017 эрг.
Для определения скоростей разлетающихся осколков можно воспользоваться
соотношением D.31), считая vt ~ а2- Принимая во внимание, что масса покоя каждого
из осколков т0 ^ 2 • 10~22 г, а кинетическая энергия каждого из них Т ж 1,5 • 1(Н эрг,
найдем, что v ^1,5-109 см/сек, т. е.
v/c^l/20.
При таком отношении v/c для приближенных расчетов вполне можно пользоваться
выражением кинетической энергии, справедливым, пока v << с. В том, что для под-
подсчета скорости пригодны выражения, справедливые при v <^ с, можно убедиться так-
также из сопоставления кинетической энергии осколка Т = 1,5- Ю^4 эрг и энергии покоя
осколка
=:2- l(T22-9- 102°^0,18 эрг.
Поскольку Т <^ ?0, то масса тела практически еще не отличается от массы покоя,
т. е. зависимость массы от скорости можно не учитывать.
§ 33. Абсолютно упругий удар
Рассмотрим теперь задачу об ударе шаров для случая, когда,
помимо закона сохранения импульса, может быть применен закон
сохранения энергии в его механическом смысле. Это — задача о так
называемом абсолютно упругом ударе.
Абсолютно упругим ударом называют такое кратковременное
взаимодействие тел, после которого в обоих взаимодействующих телах
не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой
обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетиче-
кинетическую энергию.
Для того чтобы удар был абсолютно упругим, тела должны обла-
обладать вполне определенными свойствами. Прежде всего все силы, воз-
возникающие в телах, должны зависеть только от деформаций. Если бы
в телах возникали силы, зависящие от скоростей деформаций, т. е.
подобные силам трения, и деформации не исчезали бы полностью после
прекращения взаимодействия тел, то часть работы сил, действующих

§ 331 АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР 153
между телами, превращалась бы в тепло и кинетическая энергия после
удара была бы меньше, чем до удара. Таким образом, для того чтобы
удар был абсолютно упругим, должны отсутствовать силы, подобные
силам трения. Реальные тела не обладают такими идеально упругими
свойствами, но все же в некоторых реальных телах силы, зависящие
от скоростей, могут быть очень малы. Таковы, например, хорошие
сорта стали, слоновая кость и т. д.
Соударение таких тел происходит следующим образом. Как и при
абсолютно неупругом ударе, будут возникать деформации соударяю-
соударяющихся тел и в результате этого силы, изменяющие скорости тел. Так
будет продолжаться до тех пор, пока скорости обоих тел не окажутся
равными. Но с этого момента все будет происходить иначе. При абсо-
абсолютно неупругом ударе в момент, когда скорости станут равны, силы,
зависящие от скоростей изменения деформаций, исчезают, так как
скорости изменения деформаций обратились в нуль, и скорости тел
в дальнейшем остаются равными. В случае же упругого удара в этот
момент силы не исчезнут, так как они зависят от деформаций, которые
не исчезли, и скорости будут продолжать изменяться в том же направ-
направлении, что и раньше. Поэтому шары будут «отодвигаться» друг от
друга и деформации будут уменьшаться, пока вовсе не исчезнут.
К этому моменту упругие силы, возникающие в шарах, совершат такую
же положительную работу, какая была затрачена на деформацию.
Вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, снова
превратится в кинетическую. Правда, при этом часть кинетической
энергии может быть связана с движением деформированных частей
обоих тел, т. е. с упругими колебаниями самих тел, а не с движением
тела как целого. Но если соударяющиеся тела достаточно упруги и
скорости до удара невелики, то эта энергия бывает очень незначи-
незначительна и кинетическая энергия движения тел как целого после удара
практически оказывается равной кинетической энергии до удара.
Если удар можно считать абсолютно упругим, то для скоростей
до удара и после удара должны быть справедливы уравнения, выра-
выражающие закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
Предполагая v<^p, напишем оба эти закона в форме, применимой
при указанном ограничении:
т1 юг +m2v2 = mt vx + т2 v2t D.34)
—2~H 2~ — ~2 ' 2~> D.35)
где vxvlv2 — скорости шаров до удара, a vx и щ — скорости их после
удара.
Рассмотрим сначала случай центрального удара. Уравнение D.34)
в этом случае можно рассматривать как скалярное (все скорости до
удара и после удара направлены по линии центров и их разные нап-
направления различаются только знаком) и переписать уравнения в

154 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ. IV
таком виде:
Щ (*>i - vi) = т2 (Щ - Щ)> D.36)
Wi№-oD = /n,W-»3- D.37)
Разделив второе уравнение на первое, получим:
Умножая это уравнение один раз на тъ а другой раз на тг и вычитая
€го из уравнения D.36), получим выражения для обеих скоростей
после удара:
(Ш *"> V + 2/П ^ (^ m) Ц + 2Щ Vl (A QO4
2—• D*38)
В общем виде эти выражения сложны. Мы рассмотрим только
два частных случая, охватываемых этими соотношениями.
1) Сумма импульсов обоих шаров до удара равна нулю, т. е.
mi vi = — Щ vz- D.39)
Тогда уравнения D.38) принимают вид
т1 (v2 — уг)
1" т1 + т2 * 2 пц + т2
откуда, применяя D.39), находим:
т. е. импульсы обоих шаров при ударе только изменяют свой знак.
Результат этот почти очевиден. Так как по закону сохранения им-
импульса оба импульса после удара должны быть также равны по вели-
величине и противоположны по знаку, а по закону сохранения энергии
они при этом не должны изменять своей абсолютной величины, то
они могут только изменить -знаки на обратные.
2) Один шар до удара покоится: v2=0. Тогда
_ 2m1v1
После удара второй шар движется в ту же сторону, куда двигался
первый до удара. Скорость v2 и поведение первого шара зависят от
соотношения масс.
а) Если т1^>т29 то первый шар продолжает двигаться в том же
направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью. Скорость
второго шара после удара больше, чем скорость первого до удара
(рис. 71).
б) Если m1<^m2, то направление движения первогб шара при уда-
ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется
в ту сторону, в которую двигался первый до удара, но с меньшей
скоростью (рис. 72).

33] АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР
в) Массы шаров одинаковы: тг=т2. Тогда
15й
т. е. шары равной массы при ударе обмениваются скоростями.
До удара До удара
После удара
Рис. 71.
//осле удара
Рис. 72.
Все эти случаи можно продемонстрировать при помощи стальных
или костяных шаров, катящихся по гладкому горизонтальному стеклу.
Конечно, наше рассмотрение, строго
говоря, не относится к случаю каче-
качения шаров по плоскости. Но если
стекло достаточно гладкое, то цент-
центры шаров движутся примерно так,
как это следует из нашего рассмот-
рассмотрения.
Рис. 73.
В случае нецентрального удара можно
разложить скорости шаров на составляющие
(рис. 73): vnl и vn2 в направлении линии
центров и V(X и vn в перпендикулярном на-
направлении, а затем написать два уравнения, выражающих закон сохранения коли-
количества движения (черточками сверху по-прежнему отмечены скорости после
удара):
0/а + гпг vn2 = m1 vnl + m2 vn2y D.41)
rnx vtl + m2 vt2. D.42)
Так как vz = v^ + v^t то закон сохранения энергии можно написать в виде
Для четырех неизвестных компонент скорости vn, vnlt vi2, vn2 мы получили только
три уравнения. Однако, поскольку мы сделали предположение, что энергия при ударе
сохраняется, мы должны считать, что силы трения отсутствуют (шары абсолютно
гладкие). Но тогда шары при ударе не могут изменить тангенциальных составляющих
своих скоростей (так как для этого нужны тангенциальные силы, которые между
абсолютно гладкими шарами возникнуть не могут). Поэтому вместо уравнения D.42)
мы можем прямо написать;
vtx — «a. vt% = vt2.

156 РАВОТА И ЭНЕРГИЯ [ГЛ. IV
Соответствующие члены в уравнении D.43) сократятся, и для нормальных составляю-
составляющих мы получим два уравнения:
Щ vnx + т2 vn2 = тг vnl + т2 vn2,
Эти уравнения совершенно аналогичны тем, которые мы получили для полных
скоростей в случае центрального удара. Таким образом, при нецентральном абсо-
абсолютно упругом ударе гладких шаров нормальные составляющие скоростей ведут
себя так же, как при центральном ударе; тангенциальные же составляющие не изме-
изменяются.
Так как при абсолютно упругом ударе мы должны считать, что тангенциальные
силы отсутствуют, то, значит, в результате удара (пусть даже нецентрального) не
может возникнуть вращение шаров.
Остановимся еще на одном случае нецентрального удара. Положим, что масса
одного из шаров гораздо больше массы другого шара (т2 > тх). До удара этот шар
покоится (v2 = 0). Из соотношений D.38), пренебрегая т1 по сравнению с т2, мы
получим для нормальной составляющей первого шара:
v,n = — vnl.
Тангенциальная составляющая скорости после удара не изменится. Полная скорость
шара после удара изменит лишь свое направление. Это справедливо и для случая
абсолютно упругого удара о гладкую стенку. При
этом «угол "падения» а будет равен «углу отраже-
отражения» Р (рис. 74).
Отметим одно обстоятельство, очень характер-
характерное для законов сохранения. Так как мы получили
выражения для скоростей после удара, разделив
— L Ni^ \ J уравнение D.37) на D.36), то при этом мы, очевид-
vt~**r ^~*e-\ но> потеряли одно решение, при котором обе части
„ ^¦У^^у^уу.у'у уравнения D.36) обращаются в нуль, а именно
*;;*¦ - уу,у,у/гУ,ууу/у/уууу/уу,#уу/У/у. решение
Рис.74. ** = Ъ *•-*'
Оно также удовлетворяет законам сохранения;
это решение соответствует тому, что скорости шаров вообще не изменились при
ударе: шары как бы прошли один сквозь другой, не изменяя своих скоростей.
Мы знаем, конечно, что это невозможно, но узнаем это на основании совсем
других соображений, а не законов сохранения. Это не случайное обстоятельство,
а очень характерная и принципиальная черта законов сохранения. Законы сохра-
сохранения никогда не дают и не могут дать однозначного ответа на вопрос о том,
что произойдет. Но если мы, исходя из каких-либо других соображений, можем
указать, что именно должно произойти, то законы сохранения дают ответ на
вопрос, как это должно произойти. С точки зрения закона сохранения энергии
свободное тело может остаться «висеть» в воздухе, так как при этом энергия его ос-
остается неизменной. Но если мы знаем, что тело будет падать, то закон сохранения
энергии позволяет установить, как будет меняться скорость тела с высотой. Понятно,
почему законы сохранения не могут дать однозначного ответа на вопрос о том, что
произойдет. Ведь законы сохранения во всяком случае будут соблюдены, если во-
вообще ничего не произойдет. Поэтому законы сохранения дают ответ на вопрос в
виде альтернативы: либо ничего не произойдет, либо произойдет то-то и то-то.
Разделить случаи центрального и нецентрального ударов возможно, конечно,
только для соударения шаров. Если же речь идет об упругом столкновении микрочас-
микрочастиц, то их взаимное расположение во время взаимодействия нам не известно, и поэтому
мы не можем различить центральный и нецентральный удары. Однако если известно,
что силы взаимодействия частиц подобны упругим силам и обладают центральной

§33] АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ УДАР 157
симметрией, т. е. в результате взаимодействия частиц не возникает их вращение, то
абсолютно упругий удар шаров может служить моделью для столкновений таких
частиц. Тогда мы можем пользоваться законами сохранения импульса и энергии,
как и в случае соударения шаров. Но вследствие того, что взаимное расположение
частиц при взаимодействии нам не известно, закон сохранения импульса можно при-
применять только в общем виде, а не к отдельным компонентам импульса, как мы делали
это выше. При этом мы получаем меньше сведений о результатах столкновений частиц,
чем получали для удара упругих шаров. Например, для случая, когда импульсы
сталкивающихся частиц до столкновения равны и противоположны по направлению,
можно на основании законов сохранения импульса и энергии, пользуясь теми же
соображениями, которые были применены выше в аналогичном случае для удара
упругих шаров, утверждать, что импульсы после удара должны быть также равны
по величине и противоположны по направлению. Но о том, как будет ориентирована
прямая, вдоль которой направлены импульсы после столкновения, мы ничего не можем
сказать, поскольку нам не известно расположение частиц при взаимодействии. Мы
можем лишь утверждать, что весь результат столкновения сводится только к повороту
той прямой, на которой лежат скорости частиц.
В случае упругого удара при и, сравнимых с с, нужно применять
соответствующие этому случаю выражения для импульса и энергии.
На основании закона сохранения импульса можно написать урав-
уравнение:
m01% ¦ ^02^2 __. ^01^1 . ^02^2 D 45)
|Л __ vyc2 у\ _ Vi/C2 у\ _ Щ/С2 у\ __ Щ/с*» V " '
где по-прежнему ю± и ю2 — векторы скорости шаров до удара, а юх
и ©2 — после удара (vl9 v2, vty v2 — соответственно их величины),
т01 и т02 — массы покоя шаров, не изменяющиеся при ударе, по-
поскольку удар упругий и энергия покоя шаров не изменяется. По-
Поэтому в правой и левой частях уравнения фигурируют одни и те же
массы т01 и га02. На основании
закона сохранения энергии мож- / ^0 б
но написать второе уравнение: ¦ ^- "" *у1
т01с2
j /2 "Г"
П-vUc
т02с2
D:46)
XZ
Так как скоростями, сравни-
сравнимыми со скоростью света, могут
обладать только микрочастицы, Рис. 75.
то выделение специального слу-
случая центрального удара не представляет интереса, поскольку взаимное
расположение частиц при их взаимодействии нам не известно. Но
интерес представляет решение более общей задачи о нецентральном
ударе. Тогда в случае шаров одинаковой массы написанные выше
уравнения будут удовлетворены, если одни компоненты скоростей
(например, х-компоненты) при ударе не изменяются, а другие

158 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ. TV
изменяют знак на обратный (рис. 75). Действительно, при этом абсолют-
абсолютные скорости шаров не меняются, а значит, не изменяется и энергия
шаров; вместе с тем изменения знака на обратный у х-компонент
обоих шаров при неизмененных у-компонентах, очевидно, удовлет-
удовлетворяют закону сохранения для двух компонент импульса. Этот ре-
результат ничем не отличается от того, который мы получили выше
для случая а<?. Но задача об упругом ударе при vy сравнимых с с,
в дальнейшем будет использована в качестве примера в механике
специальной теории относительности (§ 66).
§ 34. Передача работы
Все механизмы служат в конечном счете для передачи работы.
Скорость передачи работы механизмом характеризуется его мощ-
мощностью. Мощность механизма есть отношение работы, которая со-
совершена механизмом, к тому промежутку времени, за который эта
работа совершена. Если это отношение не остается постоянным,
то для определения мощности нужно брать столь малые промежутки
времени, чтобы дальнейшее их дробление не изменяло отношения
работы к промежутку времени. Следовательно, если за промежуток
времени Ы совершена работа ДЛ, то мощность механизма
W=lim^^. D.47)
Единицей мощности в абсолютной системе единиц должна слу-
служить такая мощность, при которой за единицу времени совершается
работа, равная единице. Поэтому единицей мощности в системе CGS
служит эрг в секунду. В системе СИ единица работы — джоуль, а
единица мощности — джоуль в секунду. Эта единица носит название
ватта (вт):
1 ят=107 эрг,1 сек.
В системе MKS единицей мощности служит килограммометр в
секунду. Применяется и другая единица — лошадиная сила:
1 л, с. = 75 кГ м!сек.
Элементарная работа, совершенная за промежуток времени dty
есть
где dS — бесконечно малое перемещение точки приложения силы
за элемент времени Д/. Поэтому мощность
{F*)9 D*48)
где qj — скорость точки приложения силы. Этим соотношением обыч-
обычно и пользуются для измерения мощности механизмов.

§ 34] ПЕРЕДАЧА РАБОТЫ 159
Для того чтобы механизм совершал работу, движущиеся части
механизма должны действовать друг на друга с определенными сила-
силами, т. е. должны быть определенным образом деформированы: при-
приводной ремень должен быть растянут, вал двигателя должен быть
скручен и т. д.
Из деформации движущихся частей можно определить те силы,
с которыми действуют друг на друга эти части; определив также ско-
скорости движения деформированных частей механизма, находят мощ-
мощность, передаваемую механизмом. Для измерения сил, действую-
действующих между движущимися частями механизмов, в каком-либо месте
вставляют упругий (деформирующийся) элемент, по деформации
которого и определяют развиваемые им силы. Например, для изме-
измерения мощности, развиваемой локо-
локомотивом, между локомотивом и пер- /у
вым вагоном помещают специальный
динамометрический вагон, который
представляет собой «динамометр на
колесах», предназначенный для из-
измерения больших сил.
Так как мощность механизма оп- Рис* 76-
ределяется произведением силы, ко-
которую развивает движущаяся часть механизма (вал, шкив, шестер-
шестерня и т. д.), на скорость, с которой эта часть движется, то для увели-
увеличения мощности нужно либо увеличивать эти силы, либо увеличи-
увеличивать скорости движения. Но увеличение сил всегда связано с увели-
увеличением размеров движущихся частей. Например, чтобы вал при наи-
наибольших допустимых деформациях развивал большие силы, нужно
взять больший диаметр вала. Поэтому при данной скорости увели-
увеличение мощности механизма всегда связано с увеличением его разме-
размеров. Не увеличивая размеров механизма, можно повысить его мощ-
мощность, увеличивая скорость движущихся частей. При одних и тех
же размерах быстроходный механизм всегда мощнее тихоходного;
при одинаковых мощностях быстроходный механизм компактнее
тихоходного.
Деформации движущихся частей механизма, совершающего ра-
работу, играют принципиальную роль во всем процессе передачи ра-
работы.
Рассмотрим этот процесс на конкретном примере работы при-
приводного ремня (рис. 76). Пусть левый шкив служит ведущим, а пра-
правый — ведомым; следовательно, работа передается от левого шкива
к правому. Ремень, верхняя часть которого растянута, действует на
ведомый шкив с силой F, направленной в сторону вращения шкива
и поэтому совершающей положительную работу1). На ведущий шкив
г) Для упрощения мы говорим о силах, хотя правильнее было бы говорить о
моментах сил (см. § 67). Но рассмотрение моментов сил не внесет ничего принципи-
принципиально нового, а лишь усложнит рассуждения*

160 РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 1ГЛ. IV
ремень действует с силой Fu направленной навстречу движению шкива,
и, значит, сила FL совершает отрицательную работу (положительную
работу совершает сила, действующая со стороны ведущего шкива
на ремекь).
Растянутая часть ремня обладает определенной энергией упругой
деформации. Эта энергия распределена во всей деформированной
части ремня. Если бы растянутый ремень покоился, то и энергия
упругой деформации оставалась бы на месте, в растянутой части ремня.
Так как ремень движется, то растянутыми оказываются все новые и
новые участки ремня, вступающие в верхнюю область между шкивами.
При этом, очевидно, энергия упругой деформации, которой обладает
растянутый ремень, не остается неподвижной в одних и тех же мес-
местах ремня, а переходит из одних его участков в другие, так что она
оказывается локализованной в части ремня, находящейся в данный
момент между шкивами. Следовательно, энергия движется по ремню
в направлении, противоположном движению самого ремня, но с той
же скоростью. Этот случай представляет собой один из простейших
примеров течения энергии в движущемся упругом деформированном
теле. Вообще, когда упруго деформированное тело или отдельные его
участки движутся, с этим связано и перемещение энергии упругой
деформации, т. е. течение энергии.
Картину течения энергии в упругом теле мы рассмотрим деталь-
детально позднее (§ 114). Но уже сейчас мы должны принять во внимание
течение упругой энергии в ремне, если хотим проследить процесс
передачи работы от ведущего шкива к ведомому.
Ведущий шкив совершает положительную работу, которая идет
на создание энергии упругой деформации ремня. Эта энергия течет
по ремню к ведомому шкиву, и там за счет нее снова совершается
механическая работа по вращению ведомого шкива. При стационар-
стационарном режиме (постоянных оборотах и постоянной нагрузке) у ведущего
шкива в ремень втекает столько же энергии, сколько ее вытекает у
ведомого шкива, и поэтому энергия упругой деформации ремня < все
время остается постоянной. В стационарных случаях мы не можем
непосредственно обнаружить движения энергии по ре^ню. Устано-
Установить, что энергия движется, можно только на том основании, что
количество энергии в данном объеме изменяется и, значит, энергия
втекает или вытекает из этого объема.
Поэтому при стационарном движении (когда деформации ремня
остаются постоянными) нельзя получить непосредственных указаний
о движении энергии от ведущего шкива к ведомому. Однако в слу-
случае нестационарного движения можно было бы при помощи специально
поставленных опытов обнаружить, как энергия упругой деформации
движется от ремня к ведомому шкиву.
Если бы, например, участок ремня, находящийся у ведущего
шкива, внезапно остановился, то ремень мог бы совершить еще не-
некоторую работу. Действительно, он действовал бы на ведомый шкив

§ 34] ПЕРЕДАЧА РАБОТЫ 161
с некоторой силой до тех пор, пока его деформация не исчезла бы,
и совершал бы положительную работу1). Энергия упругой дефор-
деформации ремня продолжала бы течь по ремню к шкиву. В этом случае
мы обнаружили бы, что энергия, находящаяся в одном месте, пере-
переместилась в другое место, т. е. наблюдали бы движение энергии в
пространстве. Это дает нам основание говорить о движении энер-
энергии и в стационарном случае.
Совершенно такую же картину движения энергии мы наблюдали
бы и во всех других передаточных механизмах- и вообще во всех слу-
случаях, когда работа передается из одних точек пространства в другие.
При этом, однако, направление движения энергии не связано одно-
однозначно с направлением движения деформированных тел — оно зависит
также от характера деформации. В растянутом ремне, как мы видели,
энергия течет в направлении, противоположном движению ремня.
В толкающем (сжатом) рычаге энергия течет в том же направлении,
в котором движется рычаг. При изменении деформации (замена рас-
растяжения сжатием) направление течения энергии меняется на обратное.
Во вращающемся скрученном валу работа передается от одного конца
вала, на котором находится двигатель, к другому концу, на котором
находится нагрузка, т. е. энергия движется в направлении оси вала.
Между тем все точки вала движутся в плоскостях, перпендикулярных
к оси.
Из всего сказанного ясно, что упругие деформации тел, передаю-
передающих работу, играют принципиальную роль. Если бы мы считали
эти тела недеформируемыми, то мы не могли бы проследить всей кар-
картины движения энергии. Для недеформируемых тел нельзя было
бы говорить об энергии упругой деформации, а значит, и о движении
энергии. Если бы, например, мы считали ремень абсолютно нерас-
нерастяжимым, то мы должны были бы считать, что у ведущего конца шки-
шкива работа исчезает, а у ведомого — вновь появляется. Представление
об абсолютно твердых недеформируемых телах так же непригодно
для построения физической картины передачи работы (движения энер-
энергии), как оно непригодно для построения физической картины «пере-
«передачи» силы. Говоря, что «сила передается» или «работа передается»,
мы в случае абсолютно недеформируемых тел никаких физических
представлений с этими словами связать не можем.
х) Если ведущий шкив и прилегающий к нему растянутый участок ремня вне-
внезапно остановились, а ведомый шкив продолжает вращаться, то деформация
растянутого участка ремня будет постепенно уменьшаться. (Во всем рассмотрении
мы не учитываем кинетическую энергию, которой обладает движущийся ремень.)
6 С. Э. Хайкин

ГЛАВ А V
ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГИХ СИЛ
§ 35. Возникновение деформаций
Задача о движении под действием упругих сил может быть сфор-
сформулирована следующим образом. Заданы конфигурация, т. е. взаим-
взаимное расположение и деформации тел системы, и их скорости в какой-
либо момент времени (начальные условия). Для того чтобы опре-
определить дальнейшие движения в системе, мы должны прежде всего
найти ускорения, которые будут иметь отдельные тела или части
тел системы в начальный момент. Эти ускорения мы найдем, опре-
определив из начальной конфигурации силы, действующие в системе
(предполагается, что мы знаем, как именно силы зависят от конфи-
конфигурации). Зная скорости и ускорения в начальный момент, мы сможем
определить, как будет происходить движение в следующий момент
времени и как при этом изменится конфигурация тел — их взаимное
расположение и деформации. Отсюда мы найдем, как изменятся силы,
действующие в системе, и какие ускорения будет иметь система в
следующий момент времени. Продолжая это рассмотрение дальше,
мы сможем шаг за шагом проследить движения в системе. Таким
образом, начальное состояние системы определяет все ее последую-
последующее движение.
Применим теперь эту схему рассуждений к отдельным конкрет-
конкретным задачам. В качестве простейшего примера рассмотрим такую
задачу: тело массы га сначала находится в покое и в недеформирован-
ном состоянии. Затем на одну из точек тела начала действовать неко-
некоторая постоянная сила; например, к этой точке тела прикреплена
пружина, которую мы внезапно растягиваем до некоторой определен-
определенной величины и потом следим за тем, чтобы растяжение пружины
все время оставалось неизменным. Для упрощения мы будем рассмат-
рассматривать тело удлиненной формы и будем считать, что сила F действует
на все сечение тела (рис. 77).
Из второго закона Ньютона следует, что, когда все тело будет
двигаться как целое, оно должно двигаться с постоянным ускоре-
ускорением j=F/m. Однако легко видеть, что сразу такое движение тела
как целого возникнуть не может.

§ 35] ВОЗНИКНОВЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ 163
В начальный момент тело не деформировано. Следовательно,
нет никаких сил, которые действовали бы со стороны одних частей
тела на другие. Когда пружина окажется растянутой, на левый конец
тела, к которому пружина прикреплена, начнет действовать сила,
сообщающая этому концу тела некоторое ускорение, и он начнет дви-
двигаться. Остальные части тела сначала будут оставаться в покое, так
как на них не действуют еще никакие силы. Но если левый конец тела
начал двигаться, а правый остается в покое, то тело будет растяги-
растягиваться. Вследствие деформации тела в нем возникнут внутренние
силы, действующие между отдельными частями тела.
Разделим мысленно тело плоскостью X на две части: А и ВС;
вследствие растяжения на часть ВС со стороны части А будет дейст-
действовать сила, направленная влево.
Под действием этой силы часть * ^
ВС также начнет двигаться вле- г А ¦ В i С
во. Но вначале, пока деформации —П5б&У^*—1 \ ; 1
и силы еще малы, ускорение части ; :
ВС также будет мало и она будет
отставать от части Л. Деформация Рис# 77*
будет возрастать, вследствие чего
будет увеличиваться сила, действующая на часть ВС, а вместе с тем
будет возрастать и ее ускорение. Часть ВС будет в свою очередь дей-
действовать на часть А с силой, направленной вправо, и поэтому уско-
ускорение части А будет постепенно уменьшаться. В конце концов должен
наступить момент, когда ускорение обеих частей тела, А и ВС, и вооб-
вообще всех точек тела, окажется одинаковым. Тогда дальнейшая дефор-
деформация тела должна прекратитьсях).
Следовательно, с того момента, когда все тело будет двигаться с
одинаковым ускорением j=F/m9 оно будет находиться в некотором
неизменном деформирова ином состоя нии.
Чтобы все тело двигалось с одинаковым ускорением /, со стороны
левой части тела на правую через разграничивающее эти части сече-
сечение должна действовать сила, пропорциональная массе правой части
тела. Например, через сечение X (рис. 77) должна действовать си-
сила Fx= (mBC/m) F, где твс — масса частей тела В и С, а через сечение Y—
сила FY=(mc/rri) F, где тс — масса части тела С. Сила убывает от значе-
значения F у левого конца тела до нуля у правого конца тела по линейному
закону; так же убывает от максимума до нуля и деформация тела.
Когда мы имеем дело с достаточно жесткими телами, возникаю-
возникающие в них деформации в случае, подобном описанному, малы. Но в
х) Строго говоря, дальнейшая деформация тела прекратится не тогда, когда
ускорения всех точек тела окажутся равными, а когда окажутся равными скорости
всех точек тела. Но в этот момент ускорения их будут уже снова различны: в теле
возникнут упругие колебания. Колебания такого рода будут изучены позднее (§ 37).
Здесь они представляют собой побочное явление, и мы не будем их принимать во
внимание.

1Р4 йвижрния под действием упругих сил 1г,п v
легко деформируемом теле деформации, возникающие в том случае
когда тело испытывает ускорение, могут быть значительны. Для их
демонстрации может служить следующая модель. На резиновой лен-
ленте закреплен ряд одинаковых свинцовых грузиков на равных расстоя-
расстояниях друг от друга (рис. 78, а). Если ленту с грузиками положить на
гладкое горизонтальное стекло и резко дернуть за один ее конец то
все участки ленты растянутся по-разному (рис. 78, б). Больше всего
растянется участок ленты, прилегающий к тому концу, на который
действует сила, сообщаю-
а) / ~1 щая грузикам ускорение
/а*<я<&<^ / (наблюдать такую картину
/ можно только при усло-
условии, что силы трения гру-
грузиков о стекло достаточно
малы).
Так как ускоряемое те-
тело при движении оказывает-
оказывается деформированным, то оно
Рис- 78- действует на прикреплен-
прикрепленную к нему пружину (с
такой же силой, с какой пружина действует на тело). Ускоряемое
тело действует на ускоряющее именно потому, что оно деформиро-
деформировано; если бы тело не испытывало ускорения, но было так же де-
деформировано, как в рассматриваемом случае, то оно действовало
бы на пружину точно с той же силой. Деформацией тела объясня-
объясняется происхождение той силы, которая согласно третьему закону
Ньютона должна действовать со стороны тела на ускоряющую его
пружину.
Если пользоваться терминологией Ньютона, то силу, действую-
действующую со стороны растянутой пружины на тело, следует назвать «дей-
«действием», а силу, действующую со стороны растянутого тела на пру-
пружину, — «противодействием». Но по своей природе «противодейст-
«противодействие» ничем не отличается от «действия».
§ 36. Деформации при вращательном движении
Проведем аналогичное рассмотрение движения тела по окруж-
окружности с постоянной угловой скоростью. Пусть, например, тело массы т,
прикрепленное на пружине к неподвиж-
неподвижной точке О, вращается с постоянной уг- q ^^^ \
ловой скоростью (рис. 79). Вращение с ° Г0000000Л—]Hfll
постоянной угловой скоростью есть дви- '
жение с ускорением, направленным к цент- Рис. 79.
ру. Это центростремительное ускорение
телу сообщает растянутая пружина, которая действует на тело с
определенной силой. Как мы уже знаем (§ 11), при равномерном дви-

§361 ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ 165
жении по окружности радиуса г тело испытывает только нормаль-
нормальное ускорение /п=юа/\ т. е. пружина должна на него действовать
с силой F = moV.
Чтобы составить полную картину возникновения рассматри-
рассматриваемого движения, необходимо выяснить, почему пружина оказа-
оказалась растянутой. Для этого рассмотрим какой-либо конкретный слу-
случай возникновения вращательного движения.
В нашем примере мы могли бы получить равномерное вращение
следующим образом. Пусть вначале тело покоится в точке А (рис. 80),
а пружина не растянута (для упрощения рисунка пружина заме-
заменена нитью, а тело — точкой). Сообщим телу некоторую начальную
скорость v в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к О А. Вначале, пока на тело недей- кь
ствуют никакие силы, оно должно двигать- J
ся прямолинейно и равномерно в направ- """"л
лении начальной скорости ю. Придвиже- и~*^ д
нии тела расстояние ОБ от тела до точки О
будет увеличиваться, а пружина — растя- Рис- ^°
гиваться. Возникнет сила, действующая со
стороны пружины на тело в направлении точки О, тело приобретет ус-
ускорение в этом направлении и перестанет двигаться прямолинейног).
Сначала, пока растяжение пружины мало, ускорение, сообщаемое
телу, также будет мало и траектория движения будет лишь слегка
искривлена. Удлинение пружины будет продолжаться и сообщае-
сообщаемое ею ускорение будет возрастать. Траектория будет становиться все
более и более искривленной. Растяжение пружины прекратится,
когда она будет сообщать телу ускорение, необходимое для того, чтобы
траектория превратилась в окружность, т. е. когда пружина дейст-
действует на тело с силой
. E.1)
После этого и установится равномерное вращение тела с угловой
скоростью {x>—vlry где г—радиус вращения2).
Эту картину установления вращения можно продемонстрировать
при помощи следующего опыта (рис. 81). На гладкое горизонтальное
стекло помещен тяжелый шарик, удерживаемый мягкой пружиной;
другой конец пружины закреплен неподвижно. Если шарик сильно
толкнуть, сообщив ему начальную скорость в направлении, перпен-
перпендикулярном к оси пружины, то можно наблюдать описанную выше
г) Строго говоря, вначале скорость будет изменяться не только по направлению,
но и по величине, если сила, действующая со стороны пружины, не будет точно пер-
перпендикулярна к скорости. Но если пружина достаточно жесткая и растяжение ее
мало, то этим можно пренебречь и принимать во внимание только изменение нап-
направления скорости.
2) Мы опять пренебрегаем побочными колебательными явлениями, которые могут
возникнуть и в этом случае.

166 ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГИХ СИЛ 1ГЛ V
картину. Вначале траектория шарика будет заметно отличаться от
окружности, и лишь в дальнейшем, когда пружина достаточно рас-
растянется, траектория превратится в окружность.
Ясно, что при установлении вращения будет деформироваться
не только пружина, но и вращающееся удлиненное тело (примерно
так, как и в предыдущем примере). Так как пружина прикреплена
только к одной стороне тела, то она только прилегающей к ней части
тела будет сообщать ускорение к центру. Поэтому вначале только
ближайшие к пружине части тела начнут двигаться криволинейно,
а наружные будут двигаться прямолинейно. Расстояние между от-
отдельными частями тела будет возрастать — тело будет растягиваться.
Возникнут упругие силы, действующие между отдельными частями
тела, и эти силы начнут сообщать ускорение внешним частям тела.
Изменение деформаций тела прекратится
только тогда, когда возникшие внутри
тела упругие силы достигнут величины,
нужной для того, чтобы всем частям те-
тела сообщить ускорения, необходимые
для движения по окружности. Далее
равномерное вращение будет происхо-
происходить при неизменной деформации пру-
пружины и тела. Но величины деформаций
пружины и тела и характер распреде-
распределения этих деформаций будут различ-
различны. Если массой пружины по сравнению
Рис gi с массой тела можно пренебречь, дефор-
деформация пружины будет однородна. Что
же касается распределения деформаций во вращающемся теле, то
в случае удлиненного тела (длина которого, однако, мала по сравне-
сравнению с радиусом вращения) при условии, что сила, действующая со
стороны пружины, распределена равномерно по всему сечению/тела,
характер деформации будет примерно такой же, как и в случае пря-
прямолинейного движения такого же тела с ускорением /=со2г.
Вращающееся тело оказывается деформированным и поэтому
действует на пружину в направлении от центра. Как и в предыду-
предыдущем примере, наличием деформации ускоряемого тела объясняется
происхождение силы, которая должна действовать со стороны тела
на пружину, т. е. силы «противодействия», которая должна сущест-
существовать по третьему закону Ньютона. Если бы тело не вращалось,
но было деформировано так же, как и при вращении, оно действовало
бы на пружину точно с той же силой.
Эту силу, которая действует со стороны вращающегося тела на
пружину (нить, стержень и т. д.), удерживающую тело на постоян-
постоянном расстоянии от оси вращения, называют «центробежной», так
как она направлена от центра. Но, применяя этот термин, всегда
следует помнить о происхождении этой силы. Она возникает потому.

§37] КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВОЗНИКНОВЕНИИ СИЛЫ 167
что вращающееся тело оказывается деформированным, и по своей
природе ничем не отличается от центростремительной силы, с которой
растянутая пружина действует на вращающееся тело.
Применяя это рассмотрение, мы легко объясним, почему в не-
которых случаях происходит разрушение быстро вращающихся тел,
например разрыв маховиков. Внутренние части маховика (спицы)
должны сообщать внешним частям ускорения, необходимые для дви-
движения по окружности. Для этого они должны развивать достаточные
силы. Если даже при наибольших допустимых деформациях внутрен-
внутренние части маховика все еще не развивают сил, необходимых для дви-
движения внешних частей по окружности, то эти внешние части будут
двигаться по раскручивающимся спиралям, деформации внутренних
частей будут нарастать, превзойдут наибольший допустимый предел
и маховик разлетится на части (дальше части маховика будут двигаться
с той скоростью, которую они имели при отделении от спиц и друг от
друга, т. е. по касательным к окружности маховика). Таким образом,
причиной разрыва маховика являются не силы, а, наоборот, отсутст-
отсутствие сил> достаточных для того, чтобы сообщить внешним частям ма-
маховика нужные ускорения. Силы необходимы для того, чтобы махо-
маховик вращался как целое, и маховик разрывается, если величина этих
сил оказывается недостаточной.
§ 37. Колебания при возникновении силы
Если на тело действуют только упругие силы (силы трения отсутствуют), то при
движении тела соблюдается закон сохранения энергии в его механической форме,
т. е. полная энергия системы (в которую входит кинетическая энергия движущегося
тела и потенциальная энергия деформации действующих на него упругих тел) должна
осгаваться постоянной. Применение закона сохранения энергии не может дать ничего
3
нового по сравнению с тем, что дает второй закон Ньютона (поскольку в рассматривае-
рассматриваемом случае первый из них является следствием второго), но оно упрощает решение
некоторых вопросов, так как не требует интегрирования уравнений движения.
Пользуясь законом сохранения энергии, легко решить следующую конкретную
задачу. На тело массы т, прикрепленное к пружине (подчиняющейся закону
Гука) с коэффициентом упругости k, в какой-то момент начинает действовать постоян-
постоянная сила F (рис. 82). Каково наибольшее отклонение тела под действием этой силы?
Будем отсчитывать смещения тела к относительно положения х = 0, в котором
пружина не растянута. Перемещение тела из любого начального положения х0 до
конечного хк сопровождается изменением полной энергии системы, когорое должно

168 ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УПРУГИХ СИЛ [ГЛ. V
быть равно работе внешней силы, т. е.
/яю? kxi\ inwi kx%
где v! и v0 — скорости тела соответственно в точках хг и х0. Пусть в начальный момент
тело покоится (v — 0) и пружина не растянута (*0 = 0), т. е. полная энергия системы
в начальный момент равна нулю. Посмотрим, прежде всего, какова 1удет потенциаль-
потенциальная энергия Ux и кинетическая энергия Т± в тот момент, когда сила натяжения пру-
пружины достигнет величины F, т. е. когда отклонение тела достигнет значения хх= F/k,
а скорость его — значения vx-
Так как в начальный момент То = 0 и Uo = 0, то полная энергия системы равна
работе, совершенной внешней силой, т. е. 7\ -|- их — Fxlt и так как F = kxlt то
Но Ux = kx\/2 и, следовательно, Тг ~ kx\/2. С другой стороны, Тг ~ muj/2 и, значит,
/m/j/2 = kx[/2.
При движении тела работа внешней силы F идет на увеличение отчасти потен-
потенциальной, а отчасти кинетической энергии системы. В момент, когда натяжение пру-
пружины достигнет величины F, потенциальная и кинетическая энергии системы ока-
окажутся равными (половина работы внешней силы, совершенной при перемещении
от 0 до хх = F/k, пошла на увеличение потенциальной энергии, а половина — на
увеличение кинетической). Но если mv\/2 — kx\/29 то в этот момент тело обладает
скоростью vx — хх y^k/m. Оно будет продолжать двигаться дальше с убывающей
скоростью, причем за счет работы внешней силы и кинетической энергии тела будет
увеличиваться потенциальная энергия пружины до тех пор, пока тело не остановится
в какой-то точке х = х2. К этому моменту вся работа внешней силы Fx2 полностью
превратится в потенциальную энергию пружины (так как v2 — 0). Отсюда мы можем
определить то наибольшее отклонение, которого достигнет тело. При этом отклонении
потенциальная энергия пружины kx*j2 = Fx2, т. е.
х2 = 2F Ik = 2хг.
Если бы внешняя сила возрастала очень медленно от нуля до величины F (а не
возникала сразу, как в нашем примере), то наибольшее отклонение тела было бы
равно х = F/k. Наибольшее отклонение, которого достигает тело при мгновенном
возникновении внешней силы, оказывается вдвое больше того статического отклоне-
отклонения, которое устанавливается при медленном возрастании силы.
Дальше тело начнет двигаться обратно с возрастающей скоростью; в положении хх
его скорость снова достигнет того же абсолютного значения ' vx \ ~ xx \rkjm. При
дальнейшем движении скорость и вместе с тем кинетическая энергия упадут до нуля»
Пусть это будет в положении х3. Так как работа постоянной силы F и силы, действую-
действующей со стороны пружины, зависит только от начального и конечного положений тела,
то работа по любому пути, пройденному туда и обратно, всегда равна нулю, и, зна-
значит, вся работа силы на пути от 0 до х2 и затем обратно от #2 до *з равна Fx3; поскольку
Ts ~ 0, эта работа Fx3 должна быть равна потенциальной энергии пружины UH ==
= kxj/2, т. е. Fx3 = kx%/2. Решение 2F = kx3 невозможно, так как при растяже-
растяжении, меньшем х2, везде 2F > kx. Остается одно решение х3 = 0, т. е. тело вернется
в начальное положение. После этого все движения будут повторяться: тело будет
совершать колебания около положения хх = F/k в обе стороны на величину хх. При
этом скорость тела будет изменяться в пределах от нуля (в крайних точках) до
\v±\ = хх Vk/m в средней точке (при х = д^).
Рассмотренную нами картину можно иллюстрировать при помощи следующего
опыта. Если груз на пружине (рис. 83) подтянут ниткой так, чтобы пружина вначале
не была растянута, а затем нитку пережечь, то груз будет совершать колебания около
положения, соответствующего статическому растяжению пружины. Наибольшие

38]
УПРУГИЕ СИЛЫ И ДЕФОРМАЦИИ
169
отклонения груза от этого положения при колебаниях будут как раз равны величине
статического растяжения. Пережигание нити соответствует «мгновенному включению»
силы тяжести, которая раньше была уравновешена
натяжением нити.
Всякое мгновенное возникновение или изменение
внешней силы при наличии упругих сил неизбежно
вызывает колебания около того статического отклоне-
отклонения, которое соответствует медленному изменению си-
силы до того же постоянного значения. О подобных коле-
колебаниях мы уже упоминали при рассмотрении в предыду-
предыдущих параграфах вопроса о происхождении деформации,
но там мы этими колебаниями пренебрегали.
Конечно, на практике мы обычно имеем дело не
с мгновенно возникающими, а лишь с постепенно из-
изменяющимися силами. Но если они изменяются доста-
достаточно быстро, то все же колебания возникают. (Усло-
(Условия возникновения колебаний будут рассмотрены в
гл. XVII—XIX.) При всяких быстрых изменениях силы
всегда некоторая часть работы силы превращается в
энергию упругих колебаний, подобных тем, которые
мы сейчас рассматривали. Эти колебания в конце концов
затухают вследствие наличия силы трения в системе.
Быстрое возникновение или изменение силы всег-
всегда сопряжено с изменением положения равновесия
системы. Переход системы из одного устойчивого со-
состояния равновесия, соответствующего одному значе- Рис. 83.
иию внешней силы, в другое, соответствующее друго-
другому значению внешней силы, также устойчивоех), сопровождается колебаниями
около этого нового положения равновесия. С таким механизмом возникновения коле-
колебаний приходится встречаться очень часто.
§ 38. Упругие силы и деформации
Рассмотренные выше примеры достаточно поясняют физическую
картину в тех случаях, когда взаимодействия обусловлены непосред-
непосредственным соприкосновением тел2).
Конечно, картина иногда может быть сложнее, чем в рассмотрен-
рассмотренных примерах, но общий характер явлений остается тем же. При
соприкосновении тел сначала приобретают ускорения только непосред-
непосредственно соприкасающиеся их части. Отдельные части одного и того
же тела движутся вначале по-разному, и тело начинает деформиро-
деформироваться. Поэтому всякое тело, испытывающее ускорение в результате
непосредственного соприкосновения с другими телами, всегда ока-
оказывается деформированным. Этими деформациями ускоряемых тел
и объясняется происхождение сил, с которыми ускоряемые тела дей-
действуют на ускоряющие, т. е. сил «противодействия», которые должны
существовать по третьему закону Ньютона.
г) В § 29 было показано, что в случае тела, находящегося под действием постоян-
постоянной внешней силы и силы упругости пружины, существует одно состояние равновесия
и это состояние устойчиво.
2) Мы пока все еще считаем, что силы трения отсутствуют.

170 ДВИЖЕНИЯ ПОЛ ДЕЙСТВИЕМ УПРУГИХ СИЛ [ГЛ. V
Деформации ускоряемых тел часто называют динамическими
деформациями, чтобы подчеркнуть их отличие от статических дефор-
деформаций, возникновение которых не сопряжено с ускорениями дефор-
деформированных тел. Различать динамические и статические деформации
следует потому, что характер распределения этих двух типов дефор-
деформаций в одном и том же теле обычно бывает различным. Это видно
из того, что динамические деформации обычно бывают неоднородны,
в то время как статические деформации во многих случаях оказы-
оказываются однородными. Конечно, происхождение статических и дина-
динамических деформаций одно и то же. Как те, так и другие являются
результатом того, что разные части тел в течение некоторого времени
двигались по-разному. Но если взаимодействуют более чем два тела,
то может случиться, что силы, возникшие в результате деформаций,
в конце концов уравновесятся и ускорения тел прекратятся; вместе
с тем прекратятся дальнейшие изменения деформаций. Эти неизмен-
неизменные деформации тела, покоящегося или движущегося без ускорений,
и называют статическими деформациями.
Обычно, чтобы объяснить происхождение статических деформаций,
ограничиваются только тем, что указывают силы, которыми «данная
деформация вызвана». Однако это объяснение — неполное. Силы
являются причиной движений, а деформации — результатом движе-
движений. Поэтому, не рассматривая движений, нельзя дать полной картины
возникновения деформаций. Чтобы объяснить происхождение вся-
всякой деформации, нужно на основании законов движения объяснить,
почему отдельные части деформированного тела в течение некоторого
времени двигались по-разному. Правда, в случае статических дефор-
деформаций связь между силами и движениями, с одной стороны, и между
движениями и деформациями,—с другой, столь очевидна, что можно
обойтись без детального рассмотрения и прямо связывать силы с де-
деформациями. В случае же динамических деформаций эта связь далеко
не так очевидна, и для объяснения их происхождения необходимо
(как это было сделано в наших примерах) рассмотреть движения,
в результате которых данная деформация возникла.
Силы, действующие со стороны ускоряемого тела на ускоряющее,
иногда называют «силами инерции». Однако применение этого термина
неуместно прежде всего потому, что самое разделение тел на уско-
ускоряющие и ускоряемые весьма условно и часто вообще не имеет смыс-
смысла. Далее, этот термин дает основания думать, что между силами,
действующими со стороны ускоряющих тел и со стороны ускоряемых,
есть какое-то принципиальное различие. Между тем, как мы видели,
силы эти по существу друг от друга ничем не отличаются, и их про-
происхождение и природа совершенно одни и те же. Наконец, этот термин
уже «занят», поскольку им обозначают обычно силы совсем другой
природы.
С этим новым типом сил мы встретимся позднее, и только их мы
будем называть силами инерции.

§ 39] АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ СВЯЗИ 171
§ 39. Абсолютно жесткие связи
Несмотря на то, что деформации ускоряющих тел, возникающие
при их соприкосновении с ускоряемым телом, играют принципиаль-
принципиальную роль (так как именно деформацией ускоряющих тел определя-
определяются силы, с которыми эти тела действуют на ускоряемые), в механике
пользуются представлением об абсолютно жестких связях, т. е. пренеб-
пренебрегают деформацией ускоряющих тел, а иногда и их массой. Это пред-
представление часто очень упрощает задачи и поэтому весьма полезно.
Однако необходимо ясно себе представлять, когда можно рассматри-
рассматривать ускоряющие тела как аб-
абсолютно жесткие связи и какая ™dh
физическая картина за этим -*.
кроется. Мы поясним это на кон-
конкретных примерах.
Две массы т1 и т2 связаны Рис- 84-
нитью массы т0 (рис. 84). На мас-
массу тх действует внешняя сила F. Если нить мало растяжима, т. е. уже
при очень малом удлинении развивает силу, достаточную для того,
чтобы сообщать нужное ускорение телу т2 (как велика должна быть
эта сила — будет ясно из дальнейшего), то ее удлинением можно
пренебречь и считать ее нерастяжимой. Тогда оба тела и нить под
действием силы F движутся как одно целое с общим ускорением
v,
E.2)
При этом обе массы действуют на нить с силами Fx и F2. В свою
очередь нить действует на обе массы с силами F3 и /v Для каждого
из тел (двух масс и нити) мы можем написать уравнение второго за-
закона Ньютона:
E.3)
E.4)
E.5)
где / — ускорение, одинаковое для всех тел. Но если масса щ очень
мала по сравнению с т1 и т2, то из E.2) следует:
E.6)
а тогда из E.5) следует, что
/722
и F±— F2-*0 при m-*0. Поэтому, пренебрегая массой нити, мы
вместе с тем должны считать, что F1=F2i несмотря на то, что нить
движется с ускорением, а не покоится. Мы пришли к этому заклю-
заключению на основании второго закона Ньютона.

172 движения под действием упругих сил Ггл. v
С другой стороны, на основании третьего закона Ньютона мы
можем утверждать, что Fi=F3 и F2=F^ и так как при mo-^O Fi=F2»
то F3=F^f т. е. силы, с которыми действует нить на оба тела, равны
и противоположны. Но мы можем тогда выбросить все промежуточные
рассуждения с нитью и просто сказать, что тела тгк гп2 действуют друг
на друга через икть с равными и противоположно направленными
силами Fs и F4. При этом масса нити (если она мала по сравнению с
массами тх и т2) и упругость нити (если нить мало растяжима) не
играют роли; нить можно рассматривать как абсолютно жесткую
связь.
Заменяя в E.4)/его значением из E.6), определим величину силы
с которой действует эта абсолютно жесткая связь.
Аналогично в тех случаях, когда можно пренебречь деформациями
и массами рычагов, валов, зубчатых зацеплений и т. п. (связывающих
между собой движущиеся тела), их рассматривают как абсолютно
жесткие связи и говорят прямо о взаимодействии тел, хотя силы, с ко-
которыми эти тела действуют, приложены к разным концам рычага, вала,
разным осям зубчатых зацеплений и т. д.
В тех случаях, когда сами ускоряющие тела не участвуют в дви-
движении, масса их, очевидно, не играет роли. Например, если шар
катится по неподвижнохму изогнутому желобу, то он деформирует
стенки желоба, вследствие чего со стороны желоба на шар действует
сила, изменяющая направление скорости шара. Если деформации
стенок желоба достаточно малы, то желоб можно рассматривать как
абсолютно жесткую связь (масса желоба в этом случае не играет
роли, так как желоб покоится). Но зато в подобных случаях, когда
ускоряемое тело движется по поверхности ускоряющего, возникают
силы трения. Когда силами трения можно пренебречь, вводится пред-
представление о связях не только абсолютно жестких, но и абсолютно
гладких. Это соответствует предположению, что на ускоряемое тело
действуют только силы, нормальные к поверхности ускоряющего
тела.
Рассматривая связи как абсолютно жесткие, мы должны считать,
что возможны только такие движения, при которых связи не дефор-
деформируются. Но тогда для определения характера движения и не нуж-
нужно знать силы, с которыми связи действуют на ускоряемые тела. Так,
в рассмотренном примере с двумя телами, связанными нерастяжимой
нитью, мы сразу можем написать уравнение E.6), не находя сил,
действующих со стороны нити. Точно так же при движении шара по
абсолютно жесткому и абсолютно гладкому желобу для определения
тангенциального ускорения шара не нужно знать силы, действующие
на шар со стороны желоба, поскольку эти силы нормальны к желобу и,
значит, не могут изменять тангенциального ускорения. (Если бы силы

; 39]
АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИЕ СВЯЗИ
173
а)
трения играли существенную роль, то их можно было бы ввести и
учесть, не отказываясь от представления об абсолютно жесткой
связи.)
Таким образом, сил, действующих со стороны абсолютно жестких связей, мы не
должны знать заранее для того, чтобы решить задачу о движении тела. Если бы это
было не так, то введение абсолютно жестких связей не имело бы смысла, поскольку,
не рассматривая деформаций связей, мы не можем определить силы, с которыми эти
связи действуют на ускоряемое тело, и движение тела не могло бы быть определено.
Но, как мы убедились, заранее эти силы
знать и не нужно. А после того как задача
о движении решена, мы можем определить и
те силы, с которыми связи действуют на ус-
ускоряемое тело, например силу FA E.7) в
рассмотренном выше примере. Мы могли бы
пойти, если это понадобится, еще дальше и
найти деформации «абсолютно жестких» свя-
связей, зная их упругие свойства, в частности
в рассмотренном примере по величине силы
найти растяжение нити, если нам известен
ее коэффициент упругости.
Из сказанного ясно, что в представле-
представлении об абсолютно жестких связях не содер-
содержится никакой новой физической картины
по сравнению с той, которую мы рассмат-
рассматривали выше, учитывая, что все реальные
тела деформируются и поэтому действуют
с определенными силами на другие тела, с которыми они соприкасаются. Все дело
в том, что пока деформации связей достаточно малы, можно найти движение тела, не
определяя сил, действующих со стороны связей, а следовательно, не учитывать
деформаций, которыми эти силы определяются, т. е. рассматривать связи как абсо-
абсолютно жесткие. Замену реальных достаточно жестких связей (для которых деформа-
деформации практически уже не нужно учитывать) воображаемыми абсолютно жесткими
связями можно представлять себе как непрерывный переход. При достаточно жестких
связях величина силы, действующей со стороны связи на ускоряемое тело, уже не
зависит ни от величины деформации, ни от упругости связи. Так, например, в рас-
рассмотренном случае сила, действующая со стороны нити,
F4 = Ш,
где k — коэффициент упругости нити, а Д/ — ее растяжение. При увеличении жест-
жесткости связи, т. е. при росте k, величина Д/ уменьшается так, что F4 остается неизмен-
неизменным. При k — • оо должно А/ —* 0, и мы приходим к представлению об абсолютно
жесткой связи.
Потенциальная энергия растянутой нити, так же как и потенциальная энергия
растянутой пружины D.6),
U = ?Д/2/2,
и так как khl — F4y то
U = F\l2k.
Поэтому при неизменном значении F4 и k — оо потенциальная энергия U —> 0. Следо-
Следовательно, рассматривая связи как абсолютно жесткие, т. е. пренебрегая их деформа-
деформациями, мы вместе с тем можем не учитывать потенциальной энергии упругих деформа-
деформаций этих связей. В частности, можно не учитывать этой потенциальной энергии при
рассмотрении вопроса об устойчивости состояния равновесия системы при наличии

174 движения под действием упругих сил [гл v
абсолютно жестких связей. Так, например, если тело массы т укреплено на абсолютно
жесткой невесомой штанге, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси О
(рис. 85), то для рассмотрения вопроса о состояниях равновесия нужно принимать
во внимание только потенциальную энергию тела т в поле тяжести х). энергию же
упругой деформации штанги, если штангу можно рассматривать как абсолютно
жесткую, ие нужно учитывать. Ясно, что потенциальная энергия тела т в поле
тяжести будет минимальной, когда это тело занимает наинизшее положение (рис. 85,а),
и будет максимальной, когда тело занимает наивысшее положение (рис. 85, б).
Следовательно, первое положение соответствует состоянию устойчивого, а вто-
второе — неустойчивого равновесия (к такому же выводу мы бы пришли, рассмат-
рассматривая направление составляющей силы тяжести mgsina в том и другом поло-
положении).
х) Если длина штанги велика по сравнению с размерами тела т, то последнее
можно рассматривать как материальную точку.

ГЛАВА VI
ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
§ 40. Земное тяготение
Рассмотрим теперь более общий случай, когда наряду с упругими
силами действуют силы всемирного тяготения, не обусловленные
непосредственным соприкосновением. Для этого, не рассматривая
законов всемирного тяготения (что будет сделано в гл. XI), напомним
лишь некоторые факты, касающиеся движений под действием зем-
земного тяготения.
Как известно, все тела в данной точке под действием земного тя-
тяготения испытывают одинаковые ускорения. Различное ускорение
некоторых тел при падении, например куска металла и куска бумаги,
объясняется тем, что, помимо Земли, на эти тела при движении дейст-
действует еще и окружающая среда (воздух). Если же падение происхо-
происходит в безвоздушном пространстве, то все тела падают с одинаковым
ускорением. Этот факт можно продемонстрировать при помощи из-
известного опыта с падением различных тел в стеклянной трубе, из
которой удален воздух: бумажка и металлический шарик в этой трубе
падают с одинаковыми скоростями.
В данной точке земного шара все свободно падающие тела обла-
обладают одним и тем же ускорением. В различных же точках ускорение
свободно падающего тела оказывается различным. Прежде всего
ускорение зависит от высоты тела над землей — оно обратно про-
пропорционально квадрату расстояния от тела до центра земного шара,
т. е. убывает с высотой в отношении
R2 R2
(R + АJ ИЛИ R2 + 2hR -\ А2 • FЛ)
где R — радиус Земли, h — высота тела над уровнем моря. Пока
h-^Ry в F.1) членом № можно пренебречь по сравнению с 2hR и приб-
приближенно записать это соотношение в виде , , о,/р. Так как /?^6300км>
то при подъеме на 3 км от уровня моря ускорение свободного падения
убывает примерно на 0,001 своей величины. Поэтому при изменении
высоты тела над земной поверхностью ускорение свободного падения
практически можно считать постоянным, пока речь идет о движениях
вблизи поверхности Земли.

176 ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ [ГЛ. VI
Если измерять ускорение падающих тел в различных точках у
поверхности земного шара (на различных широтах) и пользоваться
при этом «неподвижной» системой отсчета, то ускорение падающих тел
оказывается несколько различным. Это обусловлено тем, что Земля
по форме несколько отличается от шара: она имеет слегка сплюснутую
в направлении полюсов форму, так что расстояние от поверхности
Земли до ее центра меньше у полюсов, чем на экваторе. Вследствие этого
притяжение тел Землей на уровне моря уменьшается от полюсов к
экватору приблизительно на 0,002 своей величины. Если бы Земля
имела точно сферическую форму и была бы совершенно однородна
(чмела везде одинаковую плотность), то она сообщала бы всем на-
находящимся у ее поверхности телам одинаковое ускорение относитель-
относительно «неподвижной» системы отсчета.
При этом ускорение свободно падающего тела относительно Земли
(а не относительно «неподвижной» системы координат) на различных
широтах будет различно, так как точки на поверхности Земли, ле-
лежащие на различных широтах, вследствие суточного движения Земли
описывают окружности разных радиусов, а значит, имеют различное
ускорение по отношению к «неподвижной» системе отсчета.
Ускорение g, отсчитываемое относительно «неподвижной» системы
отсчета, у полюсов равно 983 см/сек2, а у экватора 981 см/сек%. Мы
примем g=982 см/сек2 (что примерно соответствует широте в 45°)
и будем считать его одинаковым на всех широтах.
Если ускорение силы тяжести в данной точке Земли для всех тел,
независимо от их массы, оказывается одинаковым, то сама сила,
с которой тело притягивается к Земле, должна быть пропорциональна
массе тела. Действительно, если тело массы тг обладает ускорением g
по отношению к «неподвижной» системе отсчета, то, как следует из
второго закона Ньютона, на него действует сила Fx—mxg. Точно так
же на тело массы т2 действует сила F2—m2g. Но так как ускорение
силы тяжести g для всех тел одно и то же, то
F.2)
Силы, с которыми тела притягиваются к Земле, пропорциональны
инертным массам тел (пг1 и т2 — массы, входящие во второй закон
Ньютона, определяемые по отношению силы к ускорению, т. е. инерт-
инертные массы тел). Поэтому можно измерять инертные массы тел, из-
измеряя силы, с которыми тела притягиваются к Земле; для измерения
этих сил при соблюдении известных условий можно применять взве-
взвешивание тел.
§ 41. Взвешивание тел
Взвешивание тел можно производить при помощи рычажных
или пружинных весов. В первом случае непосредственно сравни-
сравниваются массы двух тел, масса одного из которых принята за эталон;

§ 41] ВЗВЕШИВАНИЕ ТЕЛ 177
массы тел равны, когда система весов оказывается в равновесии.
Применяются и такие конструкции весов, где равновесие наступает
не при равенстве масс, а при каком-то определенном отношении между
ними (например, десятичные весы). Но принципиально это ничего не
меняет; во всех этих случаях непосредственно сравниваются массы
двух тел.
В пружинных весах дело обстоит иначе: массы двух тел сравни-
сравниваются не непосредственно, а косвенным образом. Взяв какую-либо
пружину, нагружают ее конец известными массами и отмечают рас-
растяжение пружины, вызванное той или иной известной массой. На-
Нагружая затем весы неизвестной массой и отсчитывая вызванное ею
растяжение пружины, определяют величину этой массы.
Как в пружинных, так и в рычажных весах для взвешивания необ-
необходимо констатировать, что взвешиваемое тело не обладает ускоре-
ускорением по отношению к «неподвижной» системе от-
отсчета, так как только в этом случае две силы,
действующие на взвешиваемое тело, равны по ве-
величине и противоположны по направлению. Однако
практически в качестве такой системы отсчета мы
всегда пользуемся Землей.
Таким образом, принципиально мы должны бы-
были бы при взвешивании констатировать отсутст-
отсутствие ускорений относительно «неподвижной» систе-
системы отсчета, а практически констатируем отсутст-
отсутствие ускорений относительно Земли. На результа- Рис. 86.
тах взвешивания с помощью пружинных весов это
может сказаться. Чтобы выяснить вопрос, рассмотрим, какую роль
играет то обстоятельство, что сами пружинные весы вместе с вися-
висящим на них телом обладают ускорением по отношению к «неподвиж-
«неподвижной» системе отсчета.
Представим себе, что мы производим взвешивание на пружинных
весах, установленных в лифте (рис. 86), который может двигаться
с некоторым постоянным ускорением ±а (положительным будем
считать направление вниз) относительно «неподвижной» системы
отсчета. В этих опытах важно лишь, куда направлено ускорение, а
не скорость лифта; но для наглядности мы будем считать, что когда
ускорение направлено вниз, то и лифт движется вниз, и наоборот,
когда ускорение направлено вверх, то и лифт движется вверх.
Итак, представим себе, что лифт движется вниз с ускорением +a<^g.
Каково будет растяжение пружины весов, если мы подвесим к пру-
пружине массу т? После того как установится «равновесие», т. е. пру-
пружина перестанет растягиваться, масса пг будет двигаться вместе
с лифтом, т. е. также с ускорением +а. (В действительности это во-
вовсе не равновесие, так как масса т обладает ускорением.)
Так как под действием сил притяжения Земли mg и направленного
вверх натяжения пружины —f тело массы т испытывает ускорение а,

178
ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. VT
то из второго закона Ньютона следует:
или
F.3)
F.4)
Соответственно сила, действующая со стороны груза на пружину
весов,
Ь = -! = т^-а) F.5)
и направлена вниз. Показание пружинных весов в лифте,
опускающемся с ускорением a<Cg, равно не mg, каким оно было бы в
покоящемся относительно «неподвижной» системы отсчета лифте,
а меньшим на величину та. Когда же лифт опускается с ускорением
a=g, натяжение пружины исчезает и указатель пружинных весов
устанавливается на нуле. (К этому последнему выводу можно прийти
непосредственно: если лифт, а вместе с ним и груз
падают с ускорением g, то это значит, что на груз не
действуют никакие силы, кроме притяжения Земли.)
Иллюстрацией этого последнего случая являются опыты
Любимова. На легкой рамке, которая может почти без трения
скользить вдоль вертикальных направляющих проволок, укреп-
укреплены на одинаковых пружинах два или три груза разной мас-
массы. Когда рамка закреплена и покоится, грузы эти по-разному
растягивают пружины (рис. 87, а). Но если освободить рамку,
так что она начинает падать почти свободно с ускорением, близ-
близким к g, то растяжение пружин исчезает и вершины всех трех
грузов располагаются на одинаковой высоте, соответствующей
одинаковой длине иерастянутых пружин (рис. 87, б).
Легко объяснить, почему при освобождении рамки в самом
начале свободного падения деформация пружин исчезает. В пер-
первый момент на рамку, кроме силы тяжести, действует направ-
направленное вниз натяжение пружин, на которых висят гири, и
поэтому рамка падает с ускорением, большим g. Сами же гири
вначале падают с ускорением, меньшим g, так как на них (кроме
силы тяжести) действует сила натяжения пружин, направленная
вверх. Поэтому рамка догоняет гири и растяжение пружин
уменьшается. Так будет продолжаться до тех пор, пока не
прекратится действие всех пружин, т. е. пока все пружины не сократятся до нор-
нормальной длины. После этого рамка вместе с грузами будет падать с одинаковым ус-
ускорением, равным ускорению свободного падения 1).
Представим себе теперь, что лифт опускается вниз с ускорением
^g. (Конечно, для этого на лифт должны действовать еще какие-
то силы, кроме притяжения Земли, например натяжение троса, при-
прикрепленного к лифту снизу и наматывающегося на барабан лебедки,
укрепленной на земле и вращаемой мотором.) Как видно из F.4),
б)
Т :' V
1 i ¦
L j__l_i J
Рис. 87.
1) Мы опять пренебрегаем колебаниями грузов, которые возникают в первый
момент после освобождения рамки.

$ 413 ВЗВЕШИВАНИЕ ТЕЛ 179
сила пружины в этом случае должна быть направлена вниз (а не вверх,
как при +а <g), а для этого пружина должна быть сжата; она должна
сообщать грузу добавочное ускорение а — g сверх ускорения g*, сооб-
сообщаемого грузу Землей (возникает это сжатие пружины так же, как
деформация ускоряющего тела в случаях, рассмотренных в гл. V).
Как видим, в случае +a>g пружинные весы ведут себя так, как
будто груз не подвешен к весам, а как бы лежит на них как на под-
подставке; сила Д——/, действующая при этом на пружину весов, как
следует из F.5), направлена не вниз (как при +a<.g), а вверх, т. е.,
проходя через нуль при +а = gt меняет свое направление. Если бы
о действии силы тяготения мы судили по показаниям пружинных ве-
весов, не принимая во внимание ускорения лифта, то при постепенном
возрастании -\~а мы должны были бы заключить, что сила тяготения,
сначала направленная вниз, уменьшаясь, обращается в нуль, а за-
затем, направленная вверх, снова увеличивается; величина силы тяго-
тяготения, действующей на тело массы ту если бы мы ее определяли по
показаниям пружинных весов, оказалась бы равной m(g — а).
Несколько иная картина получится в случае, когда лифт подни-
поднимается с ускорением —а (напомним, что направление вниз мы счи-
считаем положительным). Тогда вместо F.3) мы должны написать:
— ma=mg — f, F.6)
или
Y, F.7)
соответственно показание весов
h = -f = m{g + a)- F-8)
В этом случае /г при всех абсолютных значениях а направлена
вниз и с ростом [ а | монотонно возрастает. Судя опять только по по-
показаниям весов, мы заключили бы, что сила тяготения, действую-
действующая на тело массы т, не изменяет своего направления, но может из-
изменять свою величину от mg до га (g-j-a), т. е. возрастать в (g+a)/g раз.
Итак, показания пружинных весов существенно зависят от того,
какое ускорение они испытывают по отношению к «неподвижной»
системе отсчета. Стоит подчеркнуть еще раз, что сила тяготения, дей-
действующая на взвешиваемые тела, зависит только от взаимного располо-
расположения Земли и тела /пив пределах небольших изменений высоты тела
практически остается постоянной; в частности, она не зависит от того,
испытывает ли ускорение взвешиваемое тело относительно «непод-
«неподвижной» системы отсчета. При наличии этого ускорения сила, с кото-
которой действует тело на пружину весов, не равна по величине дейст-
действующей на тело силе тяготения.
Однако в случае, когда взвешивание производится на земной по-
поверхности и пружинные весы и взвешиваемое тело покоятся относи-
относительно Земли, возможные расхождения между показаниями весов и

180 движения под действием сил тяготения 1гл. vr
силой тяготения, действующей на взвешиваемое тело, невелики: они
ограничены теми небольшими ускорениями, которые могут иметь точки,
неподвижные на поверхности Земли, относительно «неподвижной»
системы отсчета.
Так как Земля вращается х) относительно «неподвижной» системы
отсчета, то все точки Земли, а вместе с тем и подвешенные в этих
точках весы обладают ускорением по отношению к «неподвижной»
системе отсчета. Это ускорение, направленное к центру той окруж-
окружности радиуса г = R cos <p, которую описывает данная точка С Земли
(рис.88), равно GJr=GJ/?cos<p(cD — угловая скорость Земли, г — радиус
параллельного круга, R — радиус Земли, <р — широта точки С).
, На показаниях весов сказывается глав-
<<±2 ным образом вертикальная составляющая
1^ этого ускорения 2)
она достигает максимума, равного со2/?,
на экваторе и падает до нуля на по-
полюсах.
Взвешивая тело на пружинных ве-
весах в различных точках земного шара, мы
как бы повторяем описанные выше опыты
Рис. 88. со взвешиванием в ускоренно движущем-
движущемся лифте, причем различным широтам
земного шара соответствуют различные ускорения лифта. Только на
полюсе натяжение пружины будет равно силе, с которой взвешива-
взвешиваемое тело притягивается Землей (так как на полюсе взвешиваемое
тело не имеет ускорения по отношению к «неподвижной» системе от-
отсчета). Во всех других точках земного шара тело, покоящееся на
пружинных весах, обладает направленным к земной оси ускорением
относительно «неподвижной» системы отсчета и вертикальная составляю-
составляющая а этого ускорения играет такую же роль, как ускорение опускаю
щегося лифта. Так же как в опускающемся с ускорением а лифте, натя
жение пружины будет меньше, чем притяжение Земли. На экватор»
натяжение пружины будет меньше, чем на полюсе, на величин1
ma=moJi? (где со=7,3-10~5рад/сек и #=6,3-108еж), или а^3,3 см/сек*
и наибольшая разница в натяжении пружины (между полюсом и э*
ватором) будет составлять около 0,3%.
Если вес тела мы определяем по показаниям пружинных Becoi
не вводя поправок на ускорение весов относительно «неподвижно^
системы отсчета, то, значит, весом тела мы называем ту силу, с котор<
г) В рассматриваемой задаче мы учитываем только суточное движение Зем
(вращение вокруг своей оси). Роль годового движения Земли (обращение вокр
Солнца) будет выяснена в § 83.
2) Роль горизонтальной составляющей ускорения также будет выясш
в §83.

§ 41] ВЗВЕШИВАНИЕ ТЕЛ 181
тело действует на пружинные весы, т. е. на подвес или подставку,
поддерживающие тело, и которая, вообще говоря, не равна силе при-
притяжения тела Землей.
Выясним теперь, при каких условиях можно сравнивать массы
тел с помощью взвешивания. Как рычажные, так и пружинные весы
отмечают вес тела, т. е. силу, с которой тело давит на подставку или
тяиет подвес весов. Эта сила, как мы видели, равна m (g— а), где а —
вертикальная составляющая ускорения самих весов относительно
«неподвижной» системы отсчета; с указанными выше оговорками g
можно считать величиной постоянной, но а зависит от широты места.
В рычажных весах можно считать, что обе массы—эталон и изме-
измеряемая — находятся практически в одной точке земного шара (малая
длина плеч весов всегда позволяет так считать). Поэтому, когда оба
тела покоятся на рычажных весах, а для обеих масс одно и то же. И
если веса тел равны, то
и, следовательно, пгг = /п2.
С пружинными весами может случиться, что они прокалиброваны
в одном месте, где вертикальная составляющая ускорения самих весов,
обусловленная суточным движением Земли, равна alf а применяются
для взвешивания в другом месте (на другой широте), где вертикаль-
вертикальная составляющая ускорения весов другая, а2. jMacca-эталон тг при
калибровке весов вызовет растяжение пружины, соответствующее
силе Fli^m1(g — a1); взвешиваемая масса т2 вызовет растяжение,
соответствующее силе F2~m2(g— а2). Если растяжение пружины
весов в обоих случаях окажется одинаковым, т. е. F1=F2t то тг =j?m2,
так как ах^=а^.
Таким образом, с помощью пружинных весов мы можем сравни-
сравнивать массы тел только при том условии, что весы калибруются и при-
применяются на одной и той же широте. (Строго говоря, следовало
бы калибровать и применять весы даже в одной и той же точке зем-
земного шара, так как и величина g немного меняется от точки к точке
вследствие отступлений от шарообразной формы и неоднородности
Земли.)
Силы притяжения тел Землей всегда пропорциональны массам тел.
Однако веса тел будут также пропорциональны их массам лишь в toivi
случае, когда ускорения обоих сравниваемых тел относительно
«неподвижной» системы отсчета будут одинаковы при измерениях.
В пружинных весах это условие (равенство ускорений) может не соблюдаться,
если мы помещаем весы в разных точках земного шара. В рычажных весах это условие
обычно соблюдается само собой. Но если условие равенства ускорений будет нарушено
в рычажных весах, то и в этом случае равновесие весов может быть нарушено, хотя
массы тел равны. Это имеет место, если одно из взвешиваемых тел движется с ускоре-
ускорением. Если, например, на платформе рычажных весов уравновешен человек, который
затем приседает на корточки и выпрямляется, то во время движения человека равнове-

182
ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. VI
Рис. 89.
•сие будет нарушено, хотя масса его тела, конечно, не изменилась. Когда человек
лриседает, его ускорение направлено вниз и вес человека будет меньше, чем когда
он покоится. Наоборот, когда человек выпря-
выпрямляется, его ускорение направлено вверх и
вес будет больше, чем когда человек покоится.
Демонстрацией случая, когда не выпол-
выполняется условие равенства ускорений, может
служить взвешивание на рычажных весах диска
или маятника Максвелла — массивного диска,
подвешенного на двух нитях, обмотанных вокруг
оси диска (рис. 89). Законы движения диска Мак-
Максвелла мы рассмотрим в главе о движении твер-
твердого тела (§ 94). Как покажет это рассмотрение,
движение диска Максвелла таково, что диск
опускается вниз и поднимается вверх с направ-
направленным вниз постоянным ускорением, состав-
составляющим некоторую долю ускорения силы тяже-
тяжести (как если бы он скатывался с не очень крутой
горы и затем вкатывался на другую такую же
гору). Опыт со взвешиванием диска Максвелла
на рычажных весах показывает, что если урав-
уравновесить покоящийся диск на вееах, то при дви-
движении диска равновесие нарушается. Для вос-
восстановления равновесия нужно снять часть груза
с другой чашки весов. Диск оказывается «легче»
как при движении вниз, так и при движении
вверх (это и понятно, так как ускорение диска в
•обоих случаях направлено вниз). Равновесие на рычажных (как и на пружинных)
весах дает право считать массы равными только при условии, что обе сравниваемые
массы имеют одинаковое ускорение по отношению к «неподвижной» системе отсчета,
а при движении диска это условие не соблюдено.
§ 42. Силы тяготения и деформации
При движении тела под действием сил, обусловленных непосред-
непосредственным соприкосновением, ускоряемые тела всегда в большей или
меньшей степени оказываются деформированными, и в результате
этих деформаций возникают силы, действующие как между отдельными
частями одного и того же тела, так и между соприкасающимися те-
телами. Силы тяготения также могут вызвать деформации тел, но
различие в характере сил, возникающих при непосредственном
соприкосновении, и сил всемирного тяготения приводит к тому, что
деформации движущихся тел в обоих случаях оказываются различ-
различными.
Принципиальное отличие сил тяготения от сил, возникающих при
непосредственном соприкосновении, состоит в том, что всем телам,
находящимся в некоторой достаточно ограниченной области простран-
пространства, силы тяготения сообщают одинаковые ускорения. Это спра-
справедливо не только для силы тяготения, действующей со стороны одного
тела, но и для равнодействующей сил тяготения, создаваемых каким
угодно числом тел. Вследствие этого всякое тело под действием только
силы тяготения испытывает то же ускорение, как и всякое другое

42]
СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
183
тело, помещенное в ту же точку. Если мы разделим тело на части, то
все эти части будут испытывать одинаковое ускорение — такое же,
какое они испытывали, когда были соединены между собой. Отсюда
видно, что отдельные части тела, движущегося под действием силы
тяготения, не сообщают друг другу никаких ускорений. В случае же
сил, возникающих при непосредственном соприкосновении, всегда
одна часть тела ускоряет другую. Именно это различие в характере
действия сил тяготения и сил, возникающих при непосредственном
соприкосновении, и приводит к существенному различию в картине
деформаций.
Чтобы выяснить эти различия, рассмотрим следующий конкрет-
конкретный пример. Тело массы т, удлиненной формы и постоянного се-
сечения, подвешено в вертикальном положе-
положении на нити, прикрепленной к подставке,
установленной на земле (рис. 90). Тело не
испытывает ускорения относительно «не-
«неподвижной» системы отсчета, значит, на
него действуют две равные по величине
силы: сила земного тяготения, равная mg%
и равная ей сила натяжения нити F, на-
направленная вверх. Нить действует на тело
потому, что она растянута.
Легко видеть, что в этом случае должна
быть растянута не только нить, но и само
тело. Действительно, нить действует толь-
только на верхний конец тела (для упрощения
будем считать, что она действует равно-
равномерно на всю площадку верхнего конца). Но земное тяготение дейст-
действует на все части тела; направленная вниз сила земного тяготения,
действующая на какую-либо часть тела, лежащую ниже определенного
сечения, должна быть уравновешена упругой силой, действующей на
эту часть тела со стороны части тела, лежащей выше данного сечения
и направленной вверх; величина этой силы пропорциональна массе
части тела, лежащей ниже рассматриваемого сечения.
Таким образом, через каждое горизонтальное сечение со стороны
верхней части тела на нижнюю действует сила, направленная вверх
(а значит, со стороны нижней части тела на верхнюю — равная ей
сила, направленная вниз), изменяющаяся по линейному закону от
значения mg у верхнего конца тела до нуля у нижнего конца. А для
этого все тело должно быть деформировано (растянуто). Это растяже-
растяжение, наибольшее, у верхнего конца тела, уменьшается по линейному
закону до нуля к нижнему концу тела.
Сопоставляя эту картину с описанной в § 35, легко усмотреть,
что тело будет деформировано совершенно так же, как если бы сила
тяготения отсутствовала, но через нить на тело по-прежнему дей-
действовала сила, равная mg и сообщающая телу ускорение g кверху..
V//////77^/777/s//,v7,///, • /У//,
Рис. 90.

184
ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
[ГЛ. VI
а)
В обоих случаях одинаково деформированное тело и одинаково де-
деформированная нить действуют друг на друга с одинаковыми силами,
совершенно независимо от того, сообщают ли они ускорения или урав-
уравновешивают силу тяготения. Но принципиальное различие заклю-
заключается в том, что одна и та же деформация получается под действием
только одной-единственной силы, если эта сила возникает при не-
непосредственном соприкосновении (нить действует на тело), и под
действием двух сил, если одной из этих сил является сила тяготения,
а другой — уравновешивающая ее сила натяже-
натяжения нити.
Конечно, все сказанное справедливо и в слу-
случае, когда это же тело не подвешено за верхний
конец, а опирается нижним концом на подстав-
подставку, стой только разницей, что оно будет не растя-
растянуто, а сжато, причем сжатие, наибольшее у
нижнего конца тела, спадает до нуля по линей-
линейному закону к верхнему концу тела; этой де-
деформацией нижнего конца тела и обусловлена
та сила, с которой покоящееся тело действует
на подставку. Возникновение деформаций тела в
обоих случаях было рассмотрено выше. Рассмот-
Рассмотрим теперь, при каких условиях эти деформации
могут исчезнуть.
Если висящее тело освободить (например,
пережечь нить, на которой оно висит), то сна-
сначала верхние слои его имеют большее ускорение,
чем нижнее (так как, помимо сил тяготения, на
верхние слои действуют еще упругие силы, на-
направленные вниз, а на нижние слои действуют
упругие силы, направленные вверх). Вслед-
Вследствие этого деформации быстро исчезают, а дви-
движущееся под действием только силы тяготения
тело очень скоро оказывается недеформированным. С исчезнове-
исчезновением деформаций исчезают и те силы, с которыми отдельные части
тела действуют друг на друга и тело действует на подвес. Ана-
Аналогично обстоит дело и в случае тела, лежащего на подставке. Если
подставку освободить, то, помимо сил тяготения, на верхние слои
тела действуют еще упругие силы, направленные вверх, а на нижние
слои и на подставку — силы, направленные вниз. Ускорение нижних
слоев оказывается больше, чем ускорение верхних, и деформации
исчезают, а вместе с тем исчезают и силы, с которыми части тела
действовали друг на друга и тело действовало на подставку, пока
оно покоилось.
Для иллюстрации сказанного может служить мягкая пружина,
свитая из толстой проволоки. Такая пружина, подвешенная за один
конец, оказывается растянутой вверху сильнее всего; книзу растя-
б)
Рис. 91.

§ 42] СИЛЫ ТЯГОТЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 185
жение пружины постепенно уменьшается (рис. 91, а). Если верхний
конец пружины освободить, то она начинает падать и при этом сжи-
сжимается, растяжение ее исчезает и дальше она падает в недеформиро-
ванном состоянии (рис. 91, б).
Итак, когда тело испытывает ускорение только под действием
силы тяготения, то оно оказывается недеформированным; поэтому,
если оно находится в соприкосновении с другим телом, которое также
испытывает ускорение только под действием силы тяготения (а зна-
значит, также оказывается недеформированным), то упругие силы между
этими телами не возникают. Но если из двух соприкасающихся тел
на одно действует только сила тяготения, а на другое кроме силы
тяготения действуют какие-то другие силы, то в этих телах неиз-
неизбежно возникают деформации (так как эти тела испытывают разные
ускорения), а вместе с тем и упругие силы между телами.
Типичным примером случая, когда деформации возникают потому,
что на второе тело сила тяготения не действует, могут служить рас-
рассмотренные выше деформации тела, покоящегося на поверхности
Земли.
Для упрощения рассуждений положим, что тело лежит не на под-
подставке, а прямо на поверхности Земли. Именно потому, что сила земного
тяготения действует только на тело, но не действует на Землю (точнее,
равнодействующая сил тяготения, действующих между всеми отдель-
отдельными элементами земного шара, равна нулю1)), тело это оказывается
деформированным (так же как и слой Земли, расположенный в непос-
непосредственной близости от тела) и между телом и Землей возникают
упругие силы.
Чтобы пояснить это рассуждение, введем силу тяготения Солнца,
которая сообщает лежащему на Земле телу и самой Земле прибли-
приблизительно одинаковое ускорение. Если бы сила земного тяготения
отсутствовала, а действовала только сила тяготения Солнца, сооб-
сообщающая примерно одинаковые ускорения телу и Земле, то в первом
приближении лежащее на Земле тело и сама Земля не были бы де-
деформированы и между ними не действовали бы силы. (Роль силы тя-
тяготения Солнца в задачах о равновесии и движении на поверхности
Земли более подробно будет рассмотрена в § 83.)
В случае, о котором шла речь (когда тело покоится на Земле),
деформации тела определяются главным образом величиной силы
земного тяготения (небольшие ускорения той точки Земли, в которой
покоится тело, относительно «неподвижной» системы координат, как
мы убедились, не играют существенной роли). Если же на тело, помимо
силы тяготения, действуют другие силы, сообщающие телу ускорение,
то это ускорение в значительной степени определяет характер и вели-
1) Конечно, эти силы тяготения, действующие между отдельными элементам»
земного шара, вызывают его деформацию. Но мы сейчас говорим о той деформации»
которая возникает при соприкосновении Земли и лежащего на ней тела.

186 движения под действием сил тяготения [гл. vi
чину возникающих деформаций. На основании результатов рассмот-
рассмотрения опытов по взвешиванию тел в ускоренно движущемся лифте
была установлена связь между ускорением тела и деформацией, ис-
испытываемой телом, для одного частного случая.
Было показано, что тело, подвешенное на нити и покоящееся в
таком поле тяготения, которое свободно падающему телу сообщало
бы ускорение g, будет так же деформировано, как если бы поле тя-
тяготения отсутствовало, но со стороны нити на тело действовала бы
та же сила, как и в первом случае (очевидно, в этом случае эта сила
сообщала бы телу ускорение —g). Это положение имеет совершенно
общий характер: если на тело действует какая-либо внешняя сила,
кроме силы тяготения, то она вызывает одинаковые деформации как
в том случае, когда эта сила единственная и сообщает телу ускорение,
так и в том случае, когда, кроме этой силы, действует сила тяготения
и эти обе силы уравновешивают друг друга, вследствие чего тело не
испытывает ускорения.
Из сказанного можно сделать следующий вывод: всякое тело массы
т находится в одинаковом сосгоянии (испытывает одинаковые де-
деформации и, следовательно, между отдельными элементами тела дейст-
действуют одинаковые силы) в двух следующих случаях:
1) на тело действует сила тяготения т/\ но тело не испытывает
ускорения /, потому что, кроме силы тяготения, на тело действует
другая сила —mj;
2) сила тяготения не действует, но под действием этой другой
силы тело испытывает ускорение —/.
Только по состоянию тела (если нам неизвестно расположение тя-
тяготеющих тел) мы не можем судить, который из этих двух случаев
имеет место; если бы мы наблюдали только за деформациями тела
ч не знали ничего об ускорении тела и наличии других тел в окру-
окружающем пространстве, то мы не могли бы различать, какой из причин
эти деформации вызваны: а) наличием силы тяготения и отсутствием
ускорения, или б) наличием ускорения и отсутствием силы тяготения,
или, наконец, действием частично одной, а частично другой причины
(действует сила тяготения и другая сила, ее не уравновешивающая,
тело деформировано и испытывает ускорение).
Например, если бы в опытах по взвешиванию тел в ускоренно
движущемся лифте мы наблюдали за деформациями взвешиваемого
тела, то деформацию меньшую, чем в покоящемся лифте (а<§и оба
одного знака), мы могли бы объяснить не тем, что лифт имеет уско-
ускорение а, направленное вниз, а тем, что помимо Земли появилось ка-
какое-то тяготеющее тело над лифтом, вследствие чего сила тяготения
уменьшилась. Деформацию большую, чем в покоящемся лифте, т. е.
при ускорениях g и а разных знаков, мы могли бы объяснить не уско-
ускорением лифта, направленным вверх, а тем, что появилось помимо
Земли тяготеющее тело под лифтом, вследствие чего сила тяготения
увеличилась.

§ 43] СОСТОЯНИЕ НЕВЕСОМОСТИ 187
§ 43. Состояние невесомости
Среди рассмотренных в предыдущем параграфе случаев совер-
совершенно особое место занимает случай, когда a=g и деформации тел
отсутствуют. Отсутствие деформаций позволяет утверждать что ни-
никакие силы, кроме сил тяготения, на тело не действуют (если какая-
либо сила действует, то это может быть только сила тяготения). Этот
особый случай, когда на тело действует извне (со стороны каких-либо
других тел) только сила тяготения и поэтому тела находятся в не-
деформированном состоянии1), называется состоянием невесомости2).
Происхождение этого названия связано с тем, что когда в телах
отсутствуют деформации, то не возникают силы, действующие со
стороны одной части тела на другую часть того же тела или со сто-
стороны одного тела на соприкасающееся с ним другое тело. Но эта пос-
последняя сила, в частности сила, с которой тело давит на подставку или
натягивает подвес, как раз и называется силой веса. Это название ес-
естественно распространить и на силы, с которыми верхняя часть тела,
лежащего на подставке, давит на нижнюю его часть; это есть сила
веса верхней части тела. Название «состояние невесомости» подчер-
подчеркивает, что в этом состоянии отсутствуют силы веса в том расширен-
расширенном смысле, который указан выше, т. е. упругие силы, действующие
между частями одного и того же тела или между соприкасающимися
телами и обусловленные деформациями, которые возникли в резуль-
результате движения тел под действием сил тяготения и каких-либо других
сил 3).
Помимо характерной черты состояния невесомости, которая под-
подчеркивается в названии (отсутствие деформаций и обусловленных ими
сил веса), это состояние обладает и другой характерной чертой, касаю-
касающейся движений в системе тел, находящихся в состоянии невесо-
невесомости. Так как единственная действующая на систему тел сила тяго-
тяготения сообщает всем телам одинаковое ускорение, не вызывая при этом
деформации тел, т. е. не вызывая появления упругих сил, то тела
движутся друг относительно друга так, как будто сила тяготения вооб-
*) Подчеркнем, что деформации тел отсутствуют только в случае, когда силы
тяготения действуют извне со стороны каких-либо других тел (находящихся так да-
далеко от рассматриваемых, что эти последние испытывают со стороны других тел оди-
одинаковые ускорения). Силы же тяготения, действующие между рассматриваемыми
телами, могут вызвать деформации этих тел. Например, в описанном выше случае
груза, лежащего на поверхности Земли, между Землей и грузом действуют силы
тяготения, вследствие чего и груз и слой Земли оказываются деформированными.
2) Конечно, когда на тело вообще не действуют никакие силы, оно также не де-
деформировано и находится в состоянии невесомости; но этот специальный случай пол-
полного отсутствия сил не нуждается в особом рассмотрении и редко осуществляется.
3) Как мы видели (§ 42), если в момент, когда началось движение иод действием
только силы тяжести, в телах существуют деформации, то дальнейшее движение
под действием одной только силы тяжести всегда приводит к исчезновению этих
деформаций.

188
ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ ТЯГОТЕНИЯ
1ГЛ. VI
ще отсутствует. Поэтому если в момент, когда возникло состояние
невесомости (перестали действовать все силы, кроме силы тяготения),
тела системы двигались друг относительно друга с некоторыми на-
начальными скоростями, то они с такими же относительными скоростя-
скоростями будут продолжать двигаться дальше. Если при этом тела придут
в соприкосновение, то возникнут явления, сходные с соударением
тел. В зависимости от упругих свойств тел, а в известной мере и от
их относительной скорости, происходящие явления будут сходны
либо с абсолютно упругим, либо с абсолютно неупругим ударом,
либо будут занимать промежуточное поло-
положение между этими двумя предельными слу-
случаями.
Когда происходит соударение тел, возни-
возникают деформации и силы, принципиально
ничем не отличающиеся от тех, которые возни-
возникают во всех случаях, когда при непосредствен-
непосредственном соприкосновении тел эти тела сообщают
друг другу ускорения; однако эти силы дей-
действуют только кратковременно. Между тем
лишь длительное отсутствие деформаций и
упругих сил является характерным признаком
состояния невесомости. Если происходит соуда-
соударение тел, находящихся в состоянии невесомо-
невесомости, между соударяющимися телами действуют
упругие силы только до тех пор, пока тела не
вышли из соприкосновения (при абсолютно
упругом ударе) или не стали двигаться как
одно целое (при абсолютно неупругом уда-
ударе); только в течение очень короткого време-
времени соударяющиеся тела при соприкосновении
сообщают друг другу различные ускорения.
Но все же, строго говоря, для состояния не-
невесомости характерно, что все тела испыты-
испытывают одинаковое ускорение не все время, а исключая те короткие
промежутки времени, когда происходят соударения, которые при-
приводят к деформациям соприкасающихся тел, вызывающим появление
упругих сил взаимодействия.
Характерные особенности поведения системы тел, находящихся
в состоянии невесомости, можно продемонстрировать при помощи сво-
свободно падающей легкой рамки (такой же, какая применяется в опы-
опытах Любимова) с укрепленным на ней маятником (рис. 92). Пока рам-
рамка неподвижна, маятник либо покоится в отзесном положении, либо
колеблется около этого положения. Если отклонить маятник от от-
отвесного положения и одновременно освободить и маятник и рамку,
они начнут падать с ускорением, близким к ускорению свободного
падения, но маятник не будет изменять своего положения относительно
»
Рис. 92.

^ 43] СОСТОЯНИЕ НЕВЕСОМОСТИ 189
рамки, т. е. будет находиться в том же отклоненном положении, в
каком находился в момент начала свободного падения (рис. 92,а).
В момент, когда рамка и маятник начинают падать, на них дейст-
действует только сила земного тяготения и наступает состояние невесо-
невесомости. Поскольку в этот момент маятник не движется относительно
рамки, то и все время, пока происходит свободное падение и сохра-
сохраняется состояние невесомости, маятник не движется относительно
рамки. В таком отклоненном от отвеса положении маятник мог бы
покоиться относительно «неподвижной» системы координат только в
том случае, если бы сила тяготения отсутствовала. Этот опыт демон-
демонстрирует еще одну характерную черту состояния невесомости: от-
отсутствие выделенного направления «вниз», которое в обычных ус-
условиях определяется направлением силы тяготения; направление
«вниз» определяется положением отвеса, между тем маятник (отвес)
в описанном опыте может занимать любое положение.
Видоизменив описанный опыт, можно продемонстрировать ха-
характерную черту относительного движения тел, находящихся в со-
состоянии невесомости. Когда рамка неподвижна, а маятник колеб-
колеблется, то он проходит через отвесное положение с некоторой ско-
скоростью. Если в этот момент освободить рамку, то она начнет падать,
а маятник будет продолжать вращаться вокруг оси с той же угловой
скоростью, какой он обладает в момент начала падения рамки (рис. 92,6).
Правда, в этом случае при падении рамки и вращении маятника
штанга, удерживающая тело маятника на окружности, деформирована
и сообщает ему центростремительное ускорение (деформировано и
тело маятника, действующее на штангу с «центробежной силой»).
Но движение маятника все же сохраняет ту особенность, которая
характерна для движения тел, находящихся в состоянии невесомости:
движение это происходит так, как если бы сила тяготения отсутст-
отсутствовала. Представим себе, что в момент, когда началось свободное па-
падение рамки и маятника, соединяющая тело маятника с рамкой штанга
исчезла; так как при этом наступило состояние невесомости, то тело
маятника продолжало бы двигаться относительно рамки горизон-
горизонтально с той начальной скоростью, какую оно имело в момент, когда
наступило состояние невесомости (относительно «неподвижной» системы
отсчета тело маятника двигалось бы по параболе).
Итак, в состоянии невесомости сила тяготения сообщает всем
телам одинаковые ускорения, но при этом не изменяет состояния тел
(тела не испытывают деформации) и не изменяет характера движения
одного тела относительно другого (тела движутся одно относительно
другого без ускорений). Словом, в состоянии невесомости сила тяго-
тяготения сообщает всем телам одинаковое ускорение, но во всем остальном
(деформации, относительные движения) тела ведут себя так, как
будто сила тяготения отсутствует; происходит так не потому, что «сила
тяготения перестает действовать», а именно потому, что сила тяготе-
тяготения «делает свое дело» — сообщает всем телам одинаковое ускорение.

190 движения под действием сил тяготения [гл. vt
Состояние невесомости наступает в баллистических ракетах 1) и космических
кораблях после того, как прекратилась работа двигателей и ракета или космический
корабль вышли из плотных слоев атмосферы. Вначале под действием силы гяги
реактивных двигателей (см. § 124), направленной вверх, ракета или корабль движутся
с большим ускорением а и набирают вертикальную скорость. В это время на корабль
и находящиеся в нем тела, помимо силы земного тяготения и силы тяги двигателей,
действует сила сопротивления воздуха, направленная против скорости корабля, т. е.
вниз, и несколько уменьшающая ускорение корабля. Но все же это ускорение а
по величине значительно превосходит ускорение свободного падения g (например,
по данным иностранной печати а может достигать 9—10g). В этом случае корпус
корабля и все тела в кабине корабля будут находится в таком же состоянии, как тела,
взвешиваемые в кабине лифта, движущегося кверху с ускорением а.
При этом, как мы видели, деформации всех тел и силы, действующие вследствие
этого между частями одного тела и между соприкасающимися телами, будут в (g-\-a)/g
раз больше, чем в случае, когда на все эти тела действует только сила земного тяготе-
тяготения и они покоятся относительно Земли. Происходит увеличение деформаций, а зна-
значит, и обусловленных ими сил, возникающих в корпусе космического корабля и в те-
телах, находящихся внутри корабля; как мы уже знаем, обусловлено это увеличение тем,
что при работе двигателей космический корабль и находящиеся в нем тела, полнимо
силы земного тяготения, испытывают силы непосредственного соприкосновения,
сообщающие кораблю и всем телам в нем ускорение а, направленное в сторону, проти-
противоположную g. Но все выглядит так, как если бы на корабль, покоящийся относитель-
относительно Земли, и на все находящиеся в нем тела действовала сила тяготения в (g-{-a)/g
раз большая, чем сила земного тяготения, т. е. корабль и все тела в нем стали
бы в (g-{-a)/g раз тяжелее. Сила, которая как бы добавляется к силе земного тяго-
тяготения^" может быть в 9—10 раз больше силы земного тяготения. Вследствие этого
корпус корабля и все находящиеся в нем тела испытывают большие перегрузки—
деформации тел и обусловленные ими силы возрастают и достигают значений, в 9—10
и больше раз превышающих те, которые существуют, когда корабль покоится на
поверхности Земли.
После того как ракета или космический корабль достигли требуемой большой
скорости, которая в зависимости от назначения ракеты или космического корабля
должна быть различной (см. § 76), двигатели выключаются; если при этом космичес-
космический корабль уже поднялся ня такую высоту, где плотность атмосферы очень мала
и поэтому она не создает сколько-нибудь заметного сопротивления движению, то
корабль и все заключенные в нем тела находятся под дежлвием только сил тяготения
Земли, Луны, планет и Солнца (какие из этих сил практически следует учитывать —
зависит от места нахождения корабля). Вследствие этого для корабля и всех находя-
находящихся в нем тел наступает состояние невесомости. Исчезают деформаци! тел и обуслов-
обусловленные ими силы, действующие со стороны частей тела друг на друга и со стороны
одних тел на другие; например, тела перестают давить на подставки, на которых они
покоятся, и если тело приподнять над подставкой, то оно будет покоиться в таком
положении («висеть» в воздухе); жидкость, налитая в сосуд, перестанет давить на дно
и стенки сосуда, поэтому она не будет вытекать через отверстие внизу сосуда и ее
надо будет через это отверстие «выдавливать»; отвесы будут покоиться в любом поло-
положении, в котором их остановили. Тела, которым сообщена относительно кабины
корабля начальная скорость в любом направлении, будут двигаться в этом направле-
направлении прямолинейно и равномерно (если пренебречь сопротивлением воздуха, находя-
находящегося в кабине), пока не придут в соприкосновение с другими телами, после чего
возникнут явления типа соударения.
Указанные характерные особенности состояния и движения тел внутри косми-
космического корабля относятся, конечно, и к телу космонавта. При ускорении корабля
тело его испытывает большие перегрузки — сильное давление частей тела и внутрен-
1) Баллистическими называются ракеты, которые в начале пути ускоряются
реактивными двигателями, а затем, набрав большую скорость, после выключения
двигателей продолжают движение только под действием силы земного тяготения.

§ 43] СОСТОЯНИЕ НЕВЕСОМОСТИ 191
них органов друг на друга, давление крови на стенки сердца и сосудов и т. п. В состоя-
состоянии невесомости, наоборот, отсутствуют те деформации и связанные с ними силы давле-
давления частей тела космонавта и его внутренних органов друг на друга, которые привыч-
привычны для человека, поскольку в нормальных условиях он не испытывает вертикальных
ускорений, сравнимых по величине с ускорением силы тяжести; не требуется прила-
прилагать мышечных усилий для того, чтобы удерживать руки или ноги в отклоненном от
направления оси тела положении, — без всякого усилия со стороны человека рука
или нога остаются в отклоненном от направления оси тела положении (подобно не
имеющему начальной скорости маятнику в описанном выше опыте с маятником на
падающей рамке); у космонавта исчезает представление о том, где верх и где низ
(хотя направление вниз как направление к центру Земли полностью сохраняет свой
геометрический смысл).
Когда космический корабль опускается на Землю и входит в более плотные слои
атмосферы, снова становится заметным сопротивление воздуха, направленное на-
навстречу скорости. Кроме того, для уменьшения скорости корабля часто применяют
двигатели, создающие силу тяги, также направленную против скорости. Сила сопро-
сопротивления воздуха и сила тяги тормозящих двигателей нарушают состояние невесо-
невесомости, и при спуске корабля возникают перегрузки такого же характера, как к при
подъеме корабля (конечно, величина и направление ускорения при спуске могут зна-
значительно отличаться от величины и направления ускорения при подъеме). Однако
поскольку и в том и в другом случае ускорение будет иметь большую вертикальную
составляющую, направленную вверх, то как при подъеме, так и при спуске возникают
перегрузки такого характера, как будто сила земного тяготения сильно возрастает.
При рассмотрении явлений невесомости и перегрузки мы не могли воспользо-
воспользоваться той системой отсчета, в которой эти явления могут быть наиболее наглядно
истолкованы, а именно системой отсчета, связанной с космическим кораблем (мы не
могли это сделать потому, что еще не знаем, какие законы механики справедливы
в этой системе отсчета). Несмотря на это, все же можно так, как это сделано выше,
более или менее наглядно объяснить явления невесомости и перегрузки. Однако при
объяснении невесомости пришлось все же говорить, что тела ведут себя так, «как
будто сила земного тяготения отсутствует», а описывая явления перегрузки — «как
будто сила земного тяготения сильно возрастает». Объяснить же эти явления исчерпы-
исчерпывающим образом можно, только пользуясь системой отсчета, связанной с космическим
кораблем, и учитывая действующие в этой системе отсчета силы инерции. Это будет
сделано (в § 81) после того, как будет изложено представление о силах инерции.

г
ГЛАВА VII
движения в присутствии сил трения
§ 44. Силы трения
Силы трения по своему характеру существенно отличаются от
упругих сил и сил всемирного тяготения. Отличие состоит в том, что
силы трения в той или иной мере зависят не только от конфигурации
тел, но и от относительной скорости тех тел, между которыми силы
трения действуют. Вопрос о происхождении сил трения, как и о про-
происхождении всех других сил, выходит за
рамки механики. В механике мы ограничим-
ограничимся только изучением свойств сил трения и той
роли, которую они играют при движении.
Силы, действующие между соприкасающи-
мися твердыми телами, могут быть, вообще
говоря, направлены не по нормали к поверх-
поверхности раздела соприкасающихся тел. Напри-
Рис. 93. мер, изогнутая стальная пружина (рис. 93)
может действовать на брусок, к которому она
прикасается, с силой F, направленной под каким-то углом к поверх-
поверхности соприкосновения. При этом величина и направление действую-
действующей силы зависят не только от внутренних упругих свойств пружины
и бруска, но и от состояния их поверхностей.
Разложим силу, действующую на брусок со стороны пружины,
на две составляющие: нормальную Fn и тангенциальную Ft. Изменяя
состояние соприкасающихся поверхностей, например степень их ше-
шероховатости и т. п., мы обнаружим, что нормальная составляющая Fn
не зависит от свойств поверхностей, а лишь от величины деформации
пружины. Это уже известный нам тип сил — упругие .силы. Между
тем тангенциальная составляющая Ft существенно зависит не только
от Fny но и от свойств поверхностей и при изменении их изменяется в
широких пределах. В случае, если соприкасающиеся твердые тела
движутся друг относительно друга (например, одно тело скользит по
другому), также возникают такие тангенциальные силы, величина ко-
которых существенно зависит от состояния соприкасающихся поверхно-
поверхностей. Эти тангенциальные силы, возникающие между соприкасающимися

§ 44J СИЛЫ ТРЕНИЯ 193
телами (покоящимися или движущимися одно относительно другого),
и называются силами трения.
Тангенциальные силы возникают не только между поверхностями
твердых тел, но и между соприкасающимися поверхностями твердого
тела и жидкости (или твердого тела и газа) при движении жидкости
(или газа) относительно твердого тела. Покоящаяся жидкость или газ
может действовать на твердое тело только с силой, нормальной к повер-
ности соприкосновения. Между тем в
случае твердых тел тангенциальные си-
силы могут возникать и между неподвиж-
неподвижными телами. |[
Обнаружить тангенциальные силы, возни-
возникающие между движущимся газом и твердым
телом, можно при помощи следующего опыта
(рис. 94). На ось мотора насажен гладкий диск,
параллельно ему на подставке укреплена пла-
пластинка (не касающаяся диска), которая может
легко поворачиваться вокруг оси, на которой
она установлена. Эта пластинка удерживается в
определенном положении при помощи мягкой
спиральной пружины. К пластинке прикреплен рис 94.
указатель, конец которого движется вдоль шка-
шкалы. Если мотор с диском привести во вращение,
то пластинка поворачивается на некоторый угол в направлении вращения мотора и
остается в этом положении. Очевидно, что это может быть вызвано только танген-
тангенциальными силами, действующими на пластинку со стороны воздуха (так как диск
с пластинкой непосредственно не соприкасается). Воздух приводится во вращение
силами, действующими на него со стороны вращающегося диска, и сам действует на
пластинку с силами, направленными и в том и в другом случае вдоль поверхности
соприкосновения воздуха и диска и воздуха и пластинки.
Эти тангенциальные силы, действующие со стороны движущейся
жидкости или газа на твердые тела, также называют силами трения.
В этом случае силы трения зависят как от состояния поверхности твер-
твердого тела, соприкасающейся с жидкостью, так и от свойств самой жид-
жидкости или газа.
При относительном движении твердого тела и соприкасающейся
с ним жидкости ил>и газа могут возникать и другие силы, кроме тан-
тангенциальных. Например, если плоская пластинка движется в жидкости
нормально к своей поверхности, то изменяются силы давления, дей-
действующие нормально к поверхности пластинки. Обусловленные дви-
движением изменения нормального давления таковы, что давление на
переднюю сторону пластинки больше, чем на заднюю, и поэтому равно-
равнодействующая нормальных давлений направлена навстречу движению.
Эта сила, возникающая при движении тела в результате изменения
нормальных давлений, носит название сопротивления среды.
Силы сопротивления среды могут быть гораздо больше сил трения;
например, при продольном движении тонкой пластинки (т. е. в каком-
либо направлении, лежащем в плоскости пластинки) возникающие
7 С. Э, ХаЙкии

194 ДВИЖЕНИЯ В ПРИСУТСТВИИ СИЛ ТРЕНИЯ [ГЛ VTT
силы обычно гораздо меньше, чем при движении пластинки в направ-
направлении ее нормали. Поэтому при движении тела в жидкости или газе
сопротивление среды часто играет большую роль, чем силы трения.
Свойства этих двух типов сил, их зависимость от формы тел, состояния
поверхностей тел и т. д. совершенно различны х). Но как силы трения,
так и силы сопротивления среды зависят от скорости движения и ка-
качественно одинаково влияют на характер движения. Поэтому с точки
зрения механики эти силы целесообразно объединить и рассматривать
их вместе.
В этой главе мы будем рассматривать движения в присутствии как
собственно силы трения, так и сопротивления среды.
Для измерения сил трения мы будем пользоваться тем же методом,
каким мы пользовались для измерения всех других сил: силы равны
и противоположны, если, действуя одновременно на одно и то же тело,
они не сообщают ему ускорений относительно «неподвижной» системы
координат. Поэтому, чтобы найти силу трения, действующую на какое-
либо тело, достаточно измерить ту силу, которую необходимо прило-
приложить к телу, чтобы оно двигалось без ускорения, т. е. с постоянной
скоростью.
Этим способом обычно и пользуются для определения силы трения.
Например, для того чтобы определить силу трения и сопротивления среды, дей-
действующую со стороны жидкости на движущееся в ней тело, прикрепляют динамометр
одним концом к испытуемому телу, а другим — к движущейся с постоянной скоростью
тележке. Измеряя показания динамометра при различных скоростях тележки, тем
самым определяют силу трения и сопротивления среды при разных скоростях. Для
таких измерений строятся специальные гидроканалы.
Для измерения сил трения и сопротивления среды в случае движения в воздухе
пользуются тем обстоятельством, что силы трения и сопротивления среды должны
быть одинаковы в обоих случаях, когда тело движется с постоянной скоростью в среде
или когда тело покоится, а среда движется с той же скоростью в обратном направлении.
Поэтому если мы закрепим тело при помощи динамометров и будем обдувать его
потоком воздуха, имеющим известную скорость vf то показания динамометров дадут
нам величину и направление сил, действующих на тело со стороны движущегося
воздуха, а вместе с тем и те силы, которые действовали бы на тело, если бы оно двига -
лось с той же скоростью v в покоящемся воздухе. Для получения быстрого и однород-
однородного (т. е. имеющего одинаковую скорость по всему сечению) потока воздуха применяют
аэродинамические трубы, в которых движение воздуха создается при помощи мощных
вентиляторов.
Для измерения сил трения, действующих между твердыми телами, одно из сопри-
соприкасающихся тел укрепляется при помощи динамометров, которые и измеряют танген-
тангенциальные силы, действующие на это тело со стороны другого. Это второе тело может
покоиться или двигаться (скользить) относительно первого, и таким образом измеряют
силы трения, соответствующие различным скоростям движения соприкасающихся
тел. Такие приборы называются трибометрами.
х) Однако происхождение тех и других сил связано с одним и тем же свойством
жидкостей и газов — именно с их вязкостью. Роль вязкости и механизм возникно-
возникновения сил трения и сопротивления среды будут выяснены в гл. XVI.
Когда нужно подчеркнуть, что при движении жидкости или газа или движении
твердых тел в жидкости и газе необходимо учитывать силы трения и сопротивления
среды, жидкость или газ называют вязкой средой.

§ 45] СУХОЕ И ЖИДКОЕ ТРЕНИЕ 195
Измеряя силы трения, возникающие при различных движениях,
мы сразу обнаружим, что эти силы зависят от скорости движения од-
одного из соприкасающихся тел относительно другого. Эту скорость мы
для краткости будем называть относительной скоростью (хотя, как
мы уже неоднократно указывали, всякая скорость по существу своему
относительна).
Повседневный опыт показывает, что сила трения всегда направлена
навстречу относительной скорости. Чтобы поддерживать движение
тела с постоянной скоростью, всегда нужно прикладывать силу в на-
направлении относительной скорости движущегося тела. Следовательно,
сила трения зависит от относительной скорости уже по одному тому,
что при изменении направления относительной скорости изменяется
и направление силы трения. Но и величина силы трения всегда в боль-
большей или меньшей степени зависит от величины относительной скорости.
§ 45. Сухое и жидкое трение
Характер зависимости от скорости для сил трения между двумя
твердыми телами и сил трения между твердым телом и жидкостью
(или газом) оказывается совершенно различным. Наиболее существен-
существенным в этом различии является совершенно разное поведение тех и
других сил при малых скоростях. Именно, в случае соприкосновения
твердых тел, как бы ни была мала скорость их относительного движе-
движения, силы трения всегда имеют конечную величину и сохраняют конеч-
конечную величину, когда относительная скорость движения падает до нуля.
В случае же соприкосновения твердого тела с жидкостью или газом
силы трения и сопротивление среды с уменьшением скорости также
уменьшаются и падают до нуля, когда скорость тела относительно сре-
среды падает до нуля.
Это существенное различие между силами трения в обоих случаях можно проде-
продемонстрировать при помощи следующего опыта. Если деревянный брусок плавает
в сосуде с водой, то, как бы малы ни были силы, действующие на брусок, они заставят
его медленно двигаться (плыть). Чтобы привести брусок в движение, достаточно
слегка подуть на него. Значит, малая сила, действующая при этом на брусок, все же
больше, чем сила трения, действующая со стороны воды. Но если этот же брусок
лежит на столе, то, слегка подув на него, мы уже не приведем его в движение. Даже
более значительные силы не всегда приведут брусок в движение. Следовательно, сила
трения уравновешивает действующую на брусок силу, т. е. сила трения имеет конеч-
конечную величину и тогда, когда брусок покоится относительно стола.
По этой же причине человек, упираясь шестом в дно или берег, может двигать
баржу весом в сотни тонн (конечно, очень медленно), но никогда не сможет сдвинуть
с места стоящий на земле груз такого веса.
Указанные различия в характере зависимости сил трения от скоро-
скорости приводят к тому, что оба типа сил трения по-разному влияют на
характер движений. Поэтому при изучении влияния сил трения на
движение тел необходимо различать эти два типа сил. Принято назы-
называть сухим трением силы трения, которые не обращаются в нуль,
7*

196
движения в присутствии сил трения
1ГЛ VII
когда относительная скорость равна нулю, жидким трением — силы
трения, которые обращаются в нуль вместе со скоростью.
Мы рассмотрим сначала влияние жидкого трения на движение тел.
§ 46. Зависимость силы жидкого трения от скорости
Силы жидкого трения (как силы трения, так и сопротивление сре-
среды) возникают при движении твердого тела в жидкости или газе, при-
причем эти силы зависят от относительной
скорости тела и среды и растут со ско-
скоростью сначала медленно, а затем бы-
быстро. Зависимость силы жидкого трения
/ от относительной скорости v выглядит
примерно так, как показано на рис. 95.
При малых относительных скоростях v
зависимость силы трения от скорости
можно выразить линейным законом
f^-klV, G.1)
Рис. 95. где kx — коэффициент трения (знак ми-
минус указывает, что сила направлена на-
навстречу относительной скорости). При больших относительных ско-
скоростях силу трения можно выразить приближенно квадратичным
законом
f=-- + k*v\ G.2)
в котором должен быть взят знак, противоположный знаку и, так как
сила трения направлена навстречу скорости х). Значения коэффициен-
коэффициентов kx и k2 зависят от свойств среды, формы тел и состояния их поверх-
поверхности.
В частности, коэффициент kx растет с увеличением вязкости среды;
например, коэффициент kx для движения в глицерине больше, чем для
движения в воде. Коэффициент k2 для тел, поверхность которых не
имеет резких изгибов и острых выступов («обтекаемая форма» тел),
гораздо меньше, чем для тел, имеющих выступы, резкие изгибы и т. п.
Кроме того, значения обоих коэффициентов зависят от размеров тел.
При данной форме тел коэффициенты kx и k2 тем меньше, чем меньше
размеры тел.
Теоретический расчет коэффициентов kx и k2 возможен только для
тел простейшей формы. Поэтому величины коэффициентов kx и k2
обычно определяют опытным путем, измеряя силу, действующую на
тело со стороны среды, при различных скоростях движения. Например,
когда речь идет о движении тел в воздухе, коэффициенты kt и ?2 опре-
определяют путем «продувки» тела в аэродинамической трубе.
г) При очень больших скоростях зависимость силы сопротивления среды от
скорости, выражаемая формулой G.2), не соблюдается.

$ 47] ПАДЕНИЕ ТЕЛ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ 197
Необходимо, однако, иметь в виду, что не только самые величины
коэффициентов kx и &2> но и те области скоростей, в которых можно
считать силы трения линейно или квадратично зависящими от скорости,
также зависят от размеров и формы тел и свойств среды.
Таким образом, нельзя придавать сколько-нибудь общего значения
приведенным формулам зависимости сил трения от скорости. Но все
же расчеты, производимые при помощи этих формул, дают известное
представление о характере движения тел в сопротивляющейся среде.
§ 47. Падение тел в вязкой среде
Приведенными выше формулами мы воспользуемся, в частности, для того, чтобы
произвести некоторые расчеты, касающиеся падения тел в воздухе и вообще в вязкой
среде.
Уравнение движения для тела, падающего под действием силы тяжести в вязкой
среде, можно написать следующим образом:
m^ = P — f(v). G.3)
где f(v) — сила трения и сопротивления среды, направленная навстречу движению
тела, т. е. вверх, а Р — сила притяжения Земли (или, точнее, разность между силой
притяжения и «выталкивающей» силой окружающей среды — воздуха или воды).
Во многих случаях эту силу Р можно считать постоянной.
Если падение началось без начальной скорости, то вначале f(v) = 0. Поэтому
в начальный момент тело имеет такое же ускорение, как и в отсутствие сил трения
и сопротивления среды. Но при возрастании скорости возрастает и f(v)\ при этом
сумма сил, действующих на тело (Р — /(*>))> уменьшается и вместе с тем уменьшается
и ускорение. Когда скорость достигнет такого значения vct при котором f(v) = Р,
ускорение обратится в нуль, и дальше тело будет падать с постоянной, установившейся
(стационарной) скоростью *).
Величина установившейся скорости зависит, с одной стороны, от веса тела,
а с другой, — от того, как изменяется сила f(v) со скоростью. Чем меньше kx или k%
в формулах, выражающих зависимость сопротивления среды от скорости, тем больше
должно быть vc, чтобы f(vc) достигло значения Р. Но ?3 и k2 уменьшаются с уменьше-
уменьшением размеров тел. Поэтому, чем больше вес тела при данных его размерах, т. е. чем
плотнее тело, тем больше установившаяся скорость (и тем больший должен быть
пройден путь для того, чтобы эта скорость была достигнута).
Установившуюся скорость vc можно найти из условия f(vc) = Р, если нам из-
известно, как именно зависит сила f(v) от скорости. Для тел достаточно плотных при
падении в воздухе установившаяся скорость во всяком случае настолько велика, что
можно применять формулу G.2). Тогда vc = Y^P/k2. Установившаяся скорость паде-
падения в воздухе для тел одинаковых размеров и формы (для которых k2 одно и то же)
растет пропорционально квадратному корню из веса тел.
При одной и той же форме тел k2 растет примерно пропорционально квадрату
линейных размеров тел, а в некоторых случаях даже медленнее (но во всяком случае
небыстрее). Вес же тел, если они сделаны из одинакового материала, растет пропор-
г) При падении тел с большой высоты нужно принимать во внимание изменение
плотности воздуха с высотой. Поэтому при приближении тела к земле сопротивление
воздуха возрастает и скорость падения не только перестает возрастать, но даже
начинает уменьшаться. Для упрощения мы пока не будем принимать во внимание
это обстоятельство.

198 движения в присутствии сил трбния [гл vti
ционально объему (т. е. кубу линейных размеров), следовательно, во всяком случае
быстрее, чем k2. Поэтому тела одинаковой формы и сделанные из одинаковых мате-
материалов, брошенные с большой высоты, достигают земли с тем большей установив-
установившейся скоростью, чем больше вес тела.
§ 48. Парашютный прыжок
Для человеческого тела (вследствие относительно больших его размеров и мало
благоприятной формы) коэффициент k2 сравнительно велик: в системе CGS он равен
примерно 2 г/см (коэффициент k2, конечно, зависит от положения тела и его ориенти-
ориентировки по отношению к скорости; приведенное значение дает лишь порядок величины).
Принимая вес человека Р— 70 кГ ^7«107 дн, мы получим для скорости уста-
установившегося движения значение vc = У 7 • 107/2 ^» 6 - 103 см/сек = 60 м/сек. С какой
бы высоты ни падал человек, если высота падения достаточно велика (примерно более
700 м), то он достигнет земли всегда с одной и той же скоростью, около 60 м/сек.
Для парашюта вследствие его больших поперечных размеров и специальной
формы k2 примерно в 100 раз больше, чем для человеческого тела, т. е. ^2^200 г/см.
При прыжке с парашютом установившаяся скорость равна поэтому 5—6 м/сек и соот-
соответствует той скорости, которая была бы достигнута при прыжке без парашюта с вы-
высоты около 2 м.
Если парашютист прыгает с раскрытым парашютом (прыжок с тренировочной
парашютной вышки), то его скорость монотонно возрастает, пока не достигнет значе-
значения установившейся скорости (примерно 6 м/сек). Если парашют при прыжке раскры-
раскрывается не сразу (затяжной прыжок), скорость парашютиста сначала быстро растет,
и если затяжка составляет более 700 м. то парашютист достигает установившейся
скорости падения без парашюта (примерно 60 м/сек). После раскрытия парашюта
сразу возникают очень большие силы, действующие на парашют со стороны воздуха.
Поэтому скорость падения быстро уменьшается до установившейся скорости падения
с парашютом F м/сек).
§ 49. Трение покоя
Силы сухого трения возникают, например, между несмазанными
соприкасающимися поверхностями твердых тел. На величину этих
сил и характер их зависимости от скорости существенно влияют со-
состояние поверхностей, их обработка, наличие загрязнений и т. д.
Вместе с тем величина этих сил зависит от величины нормального дав-
давления между поверхностями. Сила трения между соприкасающимися
,—-—, твердыми телами обладает харак-
характерной чертой сухого трения: она не
обращается в нуль вместе со скоро-
скоростью. Сила трения, которая может
существовать между соприкасаю-
соприкасающимися, но не движущимися телами,
носит название трения покоя.
Для демонстрации особенностей силы
трения покоя может служить следующий
Рис. 96. опыт (рис. 96). На столе лежит тело М, к
которому прикреплена перекинутая через
блок нить с чашкой на конце. Пока на чашке нет груза (вес самой чашки очень мал
и им можно пренебречь), тело, конечно покоится и сила трения равна нулю. Положим

$ 49J ТРЕНИЕ ПОКОЯ 199
теперь на чашку небольшой груз Р\ тело все же остается в покое. Следовательно,
кроме натяжения нити, на гело действует еще сила трения, равная по величине натя-
натяжению нити и направленная в противоположную сторону. При увеличении груза на
чашке тело будет оставаться в покое, пока груз этот не достигнет определенной вели-
величины (после чего возникает скольжение). Пока не возникло скольжение, сила трения
все время остается равной натяжению нити и изменяется при изменении этого натя-
натяжения. То же самое происходило бы при изменении направления нити.
Величина и направление силы трения покоя определяются величиной
и направлением той внешней силы, которая должна была бы вызвать
скольжение. Сила трения покоя всегда равна по величине и противопо-
противоположна по направлению этой внешней силе.
Сила трения покоя может иметь разную величину и разное направ-
направление в плоскости соприкосновения, но по величине не может превос-
превосходить некоторого определенного значения, которое называют макси-
максимальной силой трения покоя. До тех
пор пока внешняя сила не превосходит
максимальной силы трения покоя, сколь-
жение не возникает. Сила трения покоя
«автоматически» принимает такое зна-
значение, чтобы скольжение не возникло. ^
Законы сухого трения были сформу- flLJli*
лированы Кулоном. Величина макси- рис. 97.
мальной силы трения покоя /макс за-
зависит от величины силы нормального давления между поверхностя-
поверхностями. Если в нашем опыте (рис. 96) увеличивать силу нормального
давления тела М на стол, например накладывая на тело М грузы,
то примерно пропорционально этой силе будет возрастать и величина
того груза Р, который нужно положить на чашку, чтобы возникло
скольжение. Следовательно,
f.«c = l*tf. G.4)
где N — сила нормального давления, \х — постоянный коэффициент,
зависящий от состояния соприкасающихся поверхностей стола и
груза.
При одинаковых условиях по всей поверхности соприкосновения
силу трения, приходящуюся на единицу площади, можно рассчитать,
разделив всю силу трения на площадь S поверхности соприкосновения.
Максимальная сила трения покоя, отнесенная к единице площади
соприкосновения,
f /макс ., Al (j г»
Г1макс = ~Sf—^t1'^» '
и так как NIS = а есть нормальное давление, то
/хыакс = 1^- G.6)
Это — так называемый закон трения Кулона. Величина \х носи г

200
ДВИЖЕНИЯ В ПРИСУТСТВИИ СИЛ ТРЕНИЯ
[ГЛ. VII
название коэффициента трения покоя. Закон Кулона соблюдается
лишь приблизительно и притом лучше для больших давлений, чем для
малых.
Для определения \х можно пользоваться методом предельного угла. Если два
тела, для которых нужно измерить \х, положить одно на другое и затем наклонять их
(рис. 97), то при угле наклона а > а0 верхнее тело начнет скользить по нижнему.
Угол а0 и называется предельным углом. Зная угол наклона а0, легко подсчитать ве-
величину нормальной и тангенциальной составляющих силы, действующей со стороны
верхнего тела на нижнее:
Ft = P sin a, N= P cos а,
где Р — вес верхнего тела. Если предельный угол есть а0, то для этого угла Ft =
= /макс- Введя площадь соприкосновения S, получим:
N Р
_ = o==_cosa0;
/1 макс — ?~ — ~g Sln
L макс
О
= tga0.
Значения коэффициентов трения покоя для различных материалов при различном
состоянии соприкасающихся поверхностей могут лежать в пределах от нескольких
десятых до нескольких сотых долей единицы.
'мак
§ 50. Трение скольжения
Когда внешняя сила достигает величины /макс» возникает скольже-
скольжение. При этом сила трения продолжает существовать — она называ-
называется в этом случае трением скольжения. Силы трения скольжения за-
зависят от материала тел и состояния поверх-
поверхностей, но, кроме того, они зависят и от
скорости скольжения (относительной ско-
скорости тел).
Самый характер зависимости силы тре-
трения скольжения от скорости для различных
тел и различной обработки поверхностей
весьма различен, но для разнородных ма-
материалов (если поверхности не подверга-
подвергались какой-либо специальной обработке и
очистке) сила трения скольжения нередко
вначале падает с увеличением скорости, а затем снова начинает
возрастать. Для этого случая зависимость силы трения от скоро-
скорости скольжения изображена на рис. 98. Эта характеристика силы
трения передает также и особенности силы трения покоя. При относи-
относительной скорости, равной нулю, сила трения (трение покоя), как ука-
указывалось, может иметь любое значение, не превосходящее /макс- Этому
соответствует вертикальный участок характеристики, совпадающий с
осью ординат.
Таким образом, сила трения как функция скорости скольжения v
неоднозначна при значении v = 0. При v = 0 она не имеет производ-
производной, и поэтому ее не всегда можно дифференцировать. Эти обстоятель-
обстоятельства необходимо учитывать, когда / (v) входит в уравнения движения.
'маис
Рис. 98.

§ 51] РОЛЬ СУХОГО ТРЕНИЯ 201
Изменение нормального давления между соприкасающимися те-
телами влияет на величину силы трения скольжения качественно так
же, как и на величину трения покоя. Чем больше нормальное давление,
тем больше сила трения скольжения при
той же скорости скольжения.
В некоторых специальных случаях (для
однородных твердых материалов или при
специальной обработке соприкасающихся
поверхностей) сила трения скольжения ока-
оказывается очень мало зависящей от скоро-
скорости и примерно равной максимальной си-
силе трения покоя; характеристика силы тре- Рис 99
ния в этих случаях имеет вид, приведенный
на рис. 99. Сила трения скольжения остается все время примерно рав-
равной силе трения покоя, и к ней также применим закон Кулона G.6).
Входящий в него коэффициент трения [i будет относиться не только к
максимальной силе трения покоя, но и к силе трения скольжения х).
§ 51. Роль сухого трения
Трудно указать не только какую-либо машину или механизм, но
и вообще движение твердых тел на земле (за исключением полета и
плавания), где сухое трение не играло бы принципиальной роли. При
этом сухое трение не всегда играет вредную роль, препятствующую
движению. Очень многие движения без сухого трения со всеми его
особенностями были бы невозможны. Примеров таких движений мож-
можно привести множество. Достаточно указать, что человек не мог бы
ходить, если бы отсутствовали силы трения. Именно силы трения, воз-
возникающие при ходьбе между подошвами и землей (обычно силы тре-
трения покоя, так как нормально при ходьбе подошвы не скользят по
земле), позволяют человеку двигаться. Там, где силы сухого трения
являются причиной движения, обычно играют роль силы трения покоя,
несмотря на то, что тела, между которыми возникают эти силы, дви-
движутся. В этом смысле особенно типичны случаи вращения и качения,
причиной которых являются силы сухого трения.
Примером вращения, вызываемого силами сухого трения, является
движение ременного приводного механизма. Ремень и ведомый шкив
приводятся в движение силами трения, действующими между шкивами
и надетым на них ремнем. При этом нормально ремень и шкивы дви-
движутся так, что линейные скорости на окружности шкива и внутренней
поверхности ремня одинаковы. Поэтому не происходит тангенциальных
1) Все сказанное в §§ 49 и 50 о трении покоя и трении скольжения относится не
только к соприкасающимся плоским, но и к соприкасающимся цилиндрическим
поверхностям (например, оси, вращающейся в подшипнике). Правда, в этом послед-
нем случае нужно говорить не о силах, а о моментах сил (§ 67). Но ничего прин-
принципиально нового переход от сил к моментам сил не вносит.

202 ДВИЖЕНИЯ В ПРИСУТСТВИИ СИЛ ТРЕНИЯ ГГЛ VTI
смещений соприкасающихся точек ремня и шкива друг относительно
друга — скольжение отсутствует J), и между соприкасающимися по-
поверхностями действует трение покоя. Величина этой силы определя-
определяется величиной других сил 2), действующих на шкив со стороны на-
нагрузки — вращаемого механизма. Если силы, действующие на шкив
со стороны нагрузки, оказываются очень большими, то максимальной
силы трения покоя между ремнем и шкивом оказывается недостаточно
для поддержания нужной скорости вращения шкива и возникает
скольжение. Так как сила трения скольжения обычно меньше силы
трения покоя, то после возникновения скольжения скорость ведомого
шкива еще больше падает, и часто он вообще останавливается. Для нор-
нормальной работы приводного ремня необходимо, чтобы скольжение
вообще не возникало.
При качении колес самодвижущихся экипажей (локомотива, авто-
автомобиля) дело обстоит совершенно таким же образом. В нормальных
условиях качение колес происходит без скольжения, и поэтому силы,
действующие со стороны земли на колеса, — это силы трения покоя.
И именно на использовании особенностей сил трения покоя основано
действие ведущих колес экипажа и принципы торможения. Эти во-
вопросы будут изложены в главе о движении твердого тела (§ 98), где
они могут быть рассмотрены полнее.
§ 52, Явление застоя
Наличие трения покоя приводит к тому, что во всех случаях, где действующие
силы должны вызвать скольжение соприкасающихся поверхностей, нужны конеч-
конечные силы для того, чтобы вызвать движение. Это обстоятельство играет важную роль
в ряде случаев, например, в различных измерительных приборах. Большинство из-
измерительных приборов, не только механических, но и электрических, основано на
измерении смещений стрелки или другого указателя под действием тех или иных
сил. Измеряя смещения указателя, мы определяем силы, вызвавшие это смещение,
и по ним судим об измеряемой величине (давлении, ускорении, силе тока и т. д.).
Но движение указателя в обычных технических приборах почти всегда связано с воз-
возникновением скольжения. Ось стрелки прибора обычно укрепляется в подшипниках,
и вращение стрелки связано со скольжением оси в подшипнике. Движение стрелки
может начаться только после того, как действующая на стрелку сила (которую мы
и хотим измерить) достигнет некоторого конечного значения, превосходящего мак-
максимальную силу трения покоя в подшипниках 3).
Это явление «застоя» ставит предел увеличению чувствительности приборов,
в которых стрелка укреплена на подшипниках (и вообще приборов, в которых дви-
движение указателя связано с возникновением скольжения). Явление застоя сказыва-
сказывается не только на чувствительности прибора, но и на точности его показаний. Если бы
трение покоя отсутствовало, то стрелка всякий раз устанавливалась бы в таком по-
ложении^ где внешняя (измеряемая) сила и упругая сила, возвращающая стрелку
к положению равновесия, были бы равны. Но из-за наличия трения покоя стрелка
1) Строго говоря, скольжение отсутствует не на всей поверхности соприкос-
соприкосновения. В некоторых местах происходит проскальзывание ремня, но мы для упро-
упрощения картины не будем принимать это во внимание,
2) См. примечание в конце § 50.
3) См. примечание на стр. 201.

; 52]
ЯВЛЕНИЕ ЗАСТОЯ
203
может остановиться не точно в этом положении, а лишь вблизи него. Не только в на
чале, но и в любой точке шкалы существует область застоя. Прибор дает показания
с некоторой ошибкой, которая может быть тем больше, чем больше область застоя.
Для демонстрации явления застоя может служить следующая модель (рис. 100).
На горизонтальной планке лежит груз, к которому с двух сторон прикреплены пру-
пружины. Трение груза о подставку вызывает явление застоя. Если отвести груз от по-
положения равновесия, например вправо, и предоставить его самому себе, то он начнет
двигаться к положению равновесия, но остановится, вообще говоря, не точно в поло-
положении равновесия, а в какой-то точке в области застоя, либо не дойдя до положения
равновесия (рис. 100, б), либо перейдя его (рис. 100, в); это зависит от начального
отклонения груза, которое определяет скорость груза на границе области застоя.
Явление застоя, характерное для приборов, в которых движение указателя свя-
связано со скольжением, отсутствует в приборах, в которых не возникает скольжения, на-
например в приборах на подвесе. В подвесных приборах подвижная система укрепля-
укрепляется на тонкой и длинной (и потому очень легко закручивающейся) нити. Так как силы
а)
Рис. 100.
сухого трения в этом случае отсутствуют, то подвижная система начинает перемещать-
перемещаться под действием сколь угодно малой силы и в конце концов останавливается в таком
положении, в котором измеряемая сила точно равна упругой силе, действующей на
подвижную систему. Поэтому в подвесных приборах увеличение точности отсчета
положения подвижной системы (при помощи зеркального отсчета или микроскопа)
позволяет достичь значительного увеличения чувствительности и точности прибора.
Конечно, и в подвесных приборах действуют силы трения и сопротивление среды
(или электромагнитные силы, подобные силам трения), но это всегда силы, относя-
относящиеся к типу жидкого трения. Они влияют лишь на скорость движения подвижной
системы, но не могут вызвать застоя подвижной системы.
Несмотря на наличие сухого трения, явление застоя иногда может отсутствовать.
Поясним это на конкретном примере (рис. 101). На ленте, движущейся с большой
постоянной скоростью ч>[и неподвижно лежит груз (рис. 101, а)у т. е. относительно
ленты он скользит со скоростью v0 = —v'q. Для этого, конечно, к грузу должна быть
приложена сила F (например, со стороны пружины), уравновешивающая силу тре-
трения скольжения F'. Если под действием силы /^ возникло движение с малой скоро-
скоростью <ол в направлении, перпендикулярном к v0 (рис. 101, б), то составляющая силы
трения, действующая на груз со стороны ленты в этом направлении, оказывается
пропорциональной скорости vu т. е. обладает характерной чертой жидкого трения:
при vx -» 0 и Fx -» 0. В самом деле, сила трения всегда направлена навстречу скорости
относительного движения. Когда возникает движение со скоростью^ (рис. 101, в),
то скорость скольжения будет равна геометрической сумме vo+ Vi, т. е. изобразится

204
движения в присутствии сил трения
[ГЛ. VII
вектором v2. Значит, сила трения /J будет направлена навстречу v2> а по величине
равна F (если величина силы трения не зависит от скорости). Тогда составляющая
силы трения F'2 в направлении, перпендикулярном к v0, есть F\ = F sin а. Но
vx/v0 — tg а, и если vt <^v0, то угол а мал и sin a ^ tg а. Следовательно, F[ = (vJv^F'\
т. е. пропорциональна v± — скорости движения в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к v0.
Сила FXj вызывающая скольжение со скоростью vlt может быть как угодно мала,
и она все же вызовет движение в направлении, перпендикулярном к vOy а это и зна-
значит; что в этом направлении застой отсутствует. Это явление используется для устра-
устранения застоя в некоторых приборах (например, в гирокомпасе Брауна). Этим же яв-
явлением объясняется, например, тот факт, что приводные ремни соскальзывают при
остановке или резком уменьшении скорости ведомого шкива. При нормальной работе
станка скольжение ремня отсутствует; при резком изменении скорости ведомого
шкива возникает скольжение ремня. Тогда достаточно самых малых сил в направ-
направлении, перпендикулярном к скольжению, чтобы ремень начал двигаться вдоль оси
шкива и соскочил с него (обычно эти малые силы существуют всегда вследствие не
вполне параллельной установки ведущего и ведомого шкивов). Этим же явлением
объясняется и занос автомобилей при резком торможении. Нормально колеса авто-
автомобиля катятся по дороге без скольжения (во всяком случае между некоторой ча-
частью шины и землей скольжение отсутствует), но при резком торможении скорость
вращения колес сразу падает и возникает их скольжение по полотну дороги вдоль
направления движения автомобиля. Поэтому достаточно совсем небольших сил, что-
чтобы колеса начали скользить в направлении, перпендикулярном к первоначальному
направлению движения автомобиля, и автомобиль заносит в сторону.
В заключение рассмотрим вопрос о влиянии сил трения на устойчивость состоя-
состояний равновесия. Прежде всего, силы жидкого трения, направленные навстречу ско-
скорости тела, всегда препятствуют удалению тела от положения равновесия; однако,
поскольку эти силы стремятся к нулю вместе со скоростью, они не могут изменить
направления движения тела, смещенного из положения равновесия. Поэтому в при-
присутствии сил жидкого трения устойчивость состояния равновесия по-прежнему опре-
определяется условием, что потенциальная энергия должна иметь минимум.
Наличие же в системе сил сухого трения благодаря особенностям, которыми
эти силы обладают, может изменить характер состояния равновесия — устойчивое
состояние равновесия превратить в неустойчивое.
Этот случай «потери устойчивости» может встретиться в модели, изображенной
на рис. 101, а. Положение равновесия груза на ленте определяется условием, что
сила пружины kx = F9 где F — сила трения, действующая на груз со стороны ленты.
Вследствие неизбежных внешних толчков груз будет совершать нерегулярные дви-
движения со скоростью, меняющейся по величине и направлению. В тех случаях, когда
груз будет двигаться в направлении движения ленты (влево), относительная скорость
его скольжения по ленте будет уменьшаться; когда же груз будет двигаться против
направления движения ленты (вправо), относительная скорость скольжения груза

§ 52] ЯВЛЕНИЕ ЗАСТОЯ 205
по ленте будет увеличиваться. Поведение груза будет зависеть от того, как зависит
сила трения скольжения от скорости скольжения.
Если сила трения растет со скоростью, то при движении груза влево сила тре-
трения уменьшится и сила пружины окажется больше силы трения — груз вернется
к положению равновесия: то же произойдет при движении груза вправо, когда ско-
скорость скольжения увеличивается, а значит, увеличивается и сила трения, которая
вернет груз в положение равновесия, так как она стала больше, чем сила пружины.
Таким образом, когда сила трения растет при увеличении скорости скольжения,
положение равновесия груза на ленте соответствует устойчивому состоянию рав-
равновесия .
Совсем по-иному будет вести себя груз, если сила трения уменьшается при уве-
увеличении скорости скольжения (такие падающие характеристики сил трения скольже-
скольжения, как указывалось, встречаются нередко). Если в результате случайного толчка
груз начал двигаться влево, то скорость скольжения будет уменьшаться, а значит,
сила трения будет возрастать; так как она окажется больше силы пружины, то груз,
растягивая пружину, будет двигаться влево со все возрастающей скоростью, скорость
скольжения будет уменьшаться, а сила трения будет продолжать возрастать. Это
движение груза прекратится, когда груз уйдет так далеко влево и настолько растя-
растянет пружину, что сила пружины окажется больше силы трения (которая не может
возрасти больше, чем до значения FMSKC, соответствующего силе трения покоя). Тогда
груз начнет двигаться навстречу движению ленты, т. е. будет возвращаться к поло-
положению равновесия.
Итак, если скорость ленты такова, что значение скорости лежит на падающем
участке характеристики трения скольжения, то силы, возникающие при случайных
движениях груза в ту или другую сторону от положения равновесия, уводят груз
далеко от положения равновесия, т. е. состояние равновесия оказывается неустойчи-
неустойчивым. Груз не остается в этом состоянии, а совершает колебания около положения рав-
равновесия. Такие колебания, происходящие около положения неустойчивого равно-
равновесия, будут рассмотрены позднее (§ 139).

ГЛАВА VIII
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
§ 53. Движения в электрическом поле
Движения электрически заряженных частиц в электрическом поле
мы рассматривали, чтобы показать, как может быть проверен на опыте
второй закон Ньютона (§§ 23 и 24). Были рассмотрены движение ча-
частиц, попадающих в однородное электрическое поле без начальной
скорости (движение в «продольном поле»), и движение частиц, облада-
обладающих скоростью, перпендикулярной к направлению поля на началь-
начальном участке, пока изменением абсолютной величины скорости частиц
можно пренебречь (движение в
«поперечном поле».) В этом па-
параграфе, пользуясь вторым за-
законом Ньютона, мы рассмотрим
еще несколько примеров движе-
движений частиц в электрическом по-
поле, ограничив это рассмотрение
\
П.
только случаем и<* с-
Рассмотрим движение части-
Рис 102. цы, которая, обладая электри-
электрическим зарядом — ей начальной
скоростью и0, влетает в пространство, в котором существует однород-
однородное электрическое поле напряженности ?, например в поле плоско-
плоского конденсатора, обкладки которого сделаны из металлической сетки;
сквозь отверстия сетки частицы могут влетать внутрь конденсатора
(рис. 102). В зависимости от угла а между направлениями напря-
напряженности поля Е и скорости v движения будут иметь разный ха-
характер.
Если этот угол острый, то продольная составляющая начальной
скорости направлена вдоль поля Е; действующая на частицу сила —еЕ
будет сообщать ей ускорение, направленное навстречу Е. Это ускорение
а = — еЕ/т9 (8.1)
где га — масса частицы. Изменение продольной составляющей скорости

53]
ДВИЖЕНИЯ Б ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
207
частицы будет происходить по закону
(8.2)
Поперечная же составляющая скорости частицы vt не будет испытывать
изменений, так как в направлении, перпендикулярном к полю, силы
на частицу не действуют. Следовательно,
vt = vQt. (8.3)
Движение частицы, как мы видим, совершенно подобно общеизвестному
случаю движения тяжелого тела, брошенного под углом к горизонту.
Частица будет двигаться по
параболе, и для расчета ее
движения можно пользо-
пользоваться теми соотношения-
соотношениями, которые известны для
движения тела, брошенного
под углом к горизонту, по-
полагая в этих соотношениях
g=eElm. (8.4)
-€
Рис. 103.
Однако это подобие су-
существует только до тех
пор, пока частица движет-
движется в электрическом поле,
т. е. между обкладками
конденсатора. Между тем
при достаточно большом voi может случиться, что частица достиг-
достигнет верхней обкладки конденсатора при vt =^= 0, выйдет сквозь
отверстие в сетке наружу и дальше будет двигаться прямолинейно с той
скоростью vly которой она обладает, пролетая через отверстие в сетке
(рис. 103). Поэтому подобие существует только до тех пор, пока высота
h «подъема» частицы над нижней обкладкой меньше расстояния между
обкладками конденсатора d (рис. 102). Пользуясь этим подобием, из
известного выражения для максимальной высоты тела, брошенного под
углом к горизонту, h = vli/2g, где vGi — вертикальная составляющая
начальной скорости тела, подставляя (8.4), найдем максимальную
высоту «подъема» частицы:
h = mo\t]2eE. (8.5)
Условие, при котором подобие еще не нарушается:
d^>h или mvlil2<^eU, (8.6)
где U = Ed — напряжение на конденсаторе.
Полученный результат легко истолковать с энергетической точки
зрения. Пролетая сквозь конденсатор, частица должна совершить

208
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИ11
ГГЛ VTII
работу против сил электрического поля конденсатора, равную eU. Эта
работа совершается за счет кинетической энергии частицы. Так как
при пролете сквозь конденсатор уменьшается только продольная со-
составляющая скорости voi, то именно выражением mv%il2 определяется
та наибольшая работа, которая может быть совершена за счет кинети-
кинетической энергии. Это видно из того, что начальная кинетическая энергия
mv\ fnivh\ , fmvh\ /
частицы равна -^ = (—~\ + (-^) (так как vQt и vQt взаимно перпен-
перпендикулярны и Vq = v'ot + Vot), а при пролете через конденсатор vot оста-
остается неизменным. Если соблюдает-
соблюдается неравенство (8.6), то частица не
может совершить необходимой ра-
работы и выйти за пределы конденса-
конденсатора. В противном случае частица
выходит за пределы конденсаторах).
Ее скорость vx после вылета из кон-
конденсатора (рис. 103) образует с нор-
нормалью к обкладке конденсатора
угол C (так как при пролете кон-
конденсатора Vi уменьшается, a vt ос-
остается неизменным, то C > а).
Если направление электрическо-
электрического поля в конденсаторе изменить
на обратное (рис. 104), то сила, дей-
действующая на частицу со стороны
электрического поля, будет направлена в ту сторону, куда направлена
vQi\ при пролете конденсатора vt будет возрастать, a vt по-прежнему
оставаться неизменным. Поэтому частица при любом v0! пролетит через
конденсатор и скорость ее vx после вылета будет направлена под углом
Р<а.
Первый из рассмотренных трех случаев (рис. 102) можно толковать
как отражение частиц от некоторой плоскости (параллельной обклад-
обкладкам конденсатора), а два других (рис. 103 и 104) — как преломление
траекторий. «Преломление» это происходит не на границе двух сред,
как это обычно происходит в оптике, а во всем пространстве внутри
конденсатора. Однако величина угла преломления при данной началь-
начальной скорости частиц зависит только от изменения продольной состав-
составляющей скорости частиц, т. е. в конечном счете от напряжения на
конденсаторе ( и не зависит от расстояния между его обкладками). Изме-
Изменение направления движения частиц, т. е. искривление траекторий
Рис. 104.
г) Следует отметить, что и тело, брошенное под углом к горизонту, при доста-
достаточно большом Vqi может уйти за пределы той области, где практически сказывается
притяжение Земли. Но поле тяготения не «обрывается» так резко, как электричес-
электрическое поле на обкладке конденсатора. Поэтому в случае тела, удаляющегося от Земли с
большой начальной скоростью, необходимо учитывать изменение силы тяготения с
расстоянием. Это будет сделано в § 76.

§ 54] ЛИНЕЙНЫЕ УСКОРИТЕЛИ 209
частиц, происходит всякий раз, когда скорость частицы не совпадает
с направлением электрического поля.
Рассмотренные два случая преломления траекторий частиц явля-
являются лишь простейшими примерами эффектов, которые могут наблю-
наблюдаться при движении частиц в электрическом поле. При различной кон-
конфигурации электрических полей можно достичь, например, того, что
пучок расходящихся траекторий частиц в этом поле превратится в схо-
сходящийся, т. е. произойдет фокусировка пучка частиц. Такие методы
широко применяются сейчас для получения тонких пучков заряженных
частиц, а также для различных других преобразований пучков частиц,
главным образом электронов (так называемая электронная оптика).
Электроды, которые служат для создания электрических полей нужной
конфигурации, называются электрическими (или электростатическими)
линзами.
§ 54. Линейные ускорители
Сообщить электрически заряженным частицам большие скорости
можно только с помощью электрического поля. Магнитное поле, как
уже отмечалось, не изменяет величины скорости, так как сила, дей-
действующая со стороны этого поля, всегда нормальна к скорости частицы
и поэтому изменяет лишь направление скорости. Если в ускорителях
частиц применяется только электрическое поле, то движение частиц
происходит по прямолинейным траекториям, вдоль которых на части-
частицы действует ускоряющее электрическое поле. Применяя также и
магнитное поле, можно заставить ускоряемые частицы двигаться по
круговым (или близким к круговым) траекториям. Но по-прежнему
для ускорения частиц необходимо применять электрическое поле,
которое в этом случае должно действовать вдоль круговой траектории
или отдельных ее участков. В соответствии с этим ускорители, в кото-
которых применяется только электрическое поле, называют линейными, а
в которых применяется также и магнитное поле — циклическими.
По принципу действия наиболее простым из линейных ускорите-
ускорителей является ускоритель, в котором частицы движутся прямолинейно
вдоль направления электрического поля, создаваемого каким-либо
постоянным источником высокого напряжения, например электроста-
электростатическим генератором. Однако с помощью такого генератора трудно
осуществить ускорители с напряжением, превышающим 5—6 мегавольт.
Этим ограничиваются и те скорости и энергии, которые могут быть
сообщены частицам с помощью такого ускорителя.
Прежде чем переходить к рассмотрению других типов ускорителей,
заметим, что ускорители принято характеризовать не скоростью, а
кинетической энергией, которую они сообщают ускоряемым частицам.
Когда ускоряемые частицы обладают зарядом, равным или кратным
заряду электрона (электроны, протоны, ионизированные атомы), их
энергию удобно выражать в электроновольтах (эв).

210 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ VUI
1 эв — это энергия, которую приобретает частица с зарядом, рав-
равным заряду электрона, когда она проходит без столкновений путь
между точками, напряжение между которыми равно 1 в.
Так как кинетическая энергия, приобретенная частицей,
T = eU эрг,
где е — заряд и U — ускоряющее напряжение в единицах CGSE,
то, подставляя заряд электрона е = 4,8 -10 10 ед. CGSE и напряжение
г/зоо еД- CGSE, получим:
1?^р=1,б. Ю-12 эрг, (8.7)
Для характеристики ускорителей, в которых частицам сообщаются
энергии в миллионы и миллиарды электроновольт, применяются еди-
единицы
1 Мэв= 10б эв, 1 Гэв= 109 эв.
Зная кинетическую энергию частицы, можно определить ее скорость
v из выражения для кинетической энергии D.12):
Т =¦- т°с2 - т0 с2. (8.8)
Легко видеть, что чем больше масса частицы, тем меньше ее ско-
скорость при данной энергии. Далее видно, как уже отмечалось ранее,
что при скоростях, сравнимых со скоростью света, кинетическая энер-
энергия частицы становится сравнимой с ее энергией покоя га0с2. Для ориен-
ориентировки приведем значения энергии покоя некоторых частиц:
Электрон 0,51 Мае
Протон (ядро водорода) 938 »
Дейтрон (ядро тяжелого водорода) .... 1877 »
Ядро гелия 3733 »
Чтобы сообщить частицам более высокие энергии, чем те, которых
можно достичь с помощью электростатического генератора, применя-
применяются линейные ускорители с переменным электрическим полем. Ча-
Частицы движутся внутри системы полых электродов (в простейшем слу-
случае — цилиндрических трубок), расположенных вдоль прямой линии
(рис. 105). Переменное ускоряющее поле между электродами создает
генератор электрических колебаний высокой частоты. Простейший
способ включения генератора изображен на рис. 105; электроды при-
присоединяются через один к полюсам (четные — к одному полюсу, не-
нечетные — к другому) генератора, так что между каждыми двумя со-
соседними электродами в каждый момент существует одинаковое по ве-
величине, но противоположное по знаку напряжение.
Этот простейший способ при высоких частотах (больших скоростях
частиц) оказывается невыгодным, и применяются другие, более слож-

$54] ЛИНЕЙНЫЕ УСКОРИТЕЛИ 211
ные способы возбуждения ускоряющего поля между электродами. Од-
Однако с точки зрения принципа работы ускорителя способ возбуждения
ускоряющих полей не является существенным. Пролетая в промежутке
между электродами, частица находится под действием сил электриче-
электрического поля, создаваемого генератором, и в каждом промежутке энер-
энергия частицы изменяется на величину еО, где е — заряд частицы, a U —
напряжение в промежутке между электродами в момент, когда частица
пролетает промежуток. Если частица пролетает какой-либо промежу-
промежуток в тот момент, когда переменное напряжение на нем достигает макси-
максимального значения Um и имеет такой знак, что электрическое поле
ускоряет частицу, то про-
происходит увеличение энер- Источник Высокочастотный
гии частицы на наиболь- /заряженныхчастиц генератор ,
шую возможную величину
elJm. Если частица дости-
достигает следующего промежут-
промежутка между электродами в
момент, когда напряжение
на нем также имеет мак- рис юз.
симальное значение Um и
тот же знак, какой оно
имело на предыдущем промежутке во время пролета частицы, то и на
втором промежутке частица приобретет наибольшую возможную энер-
энергию eUm- Так как напряжения на смежных промежутках противопо-
противоположны по знаку, а переменное напряжение за полпериода проходит
от максимального значения одного знака до максимального значения
другого знака, то условие наибольшего прироста энергии на двух
смежных промежутках сводится к тому, чтобы частица пролетала
расстояние между соседними промежутками за полпериода перемен-
переменного напряжения. Следовательно, расстояние d между соседними про-
промежутками должно быть связано с периодом Т ускоряющего перемен-
переменного напряжения и скоростью v, с которой частица движется внутри
цилиндрического электрода от одного промежутка до другого, соотно-
соотношением
(8.9)
Поскольку скорость частицы при прохождении промежутка возрастает,
для соблюдения этого соотношения расстояние между промежутками,
т. е. длина электродов, должно возрастать в направлении движения
частиц. Нужный закон возрастания длины электродов зависит от за-
закона увеличения скорости в промежутках между электродами. Пока
v < с, общее увеличение энергии частицы на neUm на п промежутках
приводит к тому, что скорость частицы растет по закону C.28), т. е.
vn = VBe/m)Umn, (8.10)

212 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ VIII
и, следовательно, длина электродов должна возрастать по закону
^~n9 (8.11)
т. е. пропорционально \гп, где п — номер электрода.
Чтобы обеспечить лучшие условия ускорения для большей группы
частиц, длины промежутков рассчитывают не на максимальное значе-
значение Um, а на несколько меньшее значение иг.
Когда скорость частицы v становится сравнимой с с, прирост ско-
скорости (при том же приросте энергии) замедляется и соответственно
медленнее должны расти d. Когда v близко к с, ускоритель с электро-
электродами в виде полых цилиндров применять не выгодно. В этом случае
выгоднее создать электромагнитную волну, распространяющуюся со
скоростью, близкой к скорости частицы. Если скорость частиц близка
к скорости света, то в линейном ускорителе вдоль системы электродов
(которые в этом случае представляют собой расположенные одна за
другой диафрагмы) должна распространяться электромагнитная вол-
волна, также со скоростью, близкой к скорости света. На «гребнях» этой
волны частицы проносятся вдоль ускорителя, и их энергия непрерывно
возрастает.
Такой ускоритель называют линейным ускорителем на бегущей
волне. Он применяется для ускорения электронов, так как они быстро
набирают скорость, близкую к скорости света. Для тяжелых частиц
ускоритель на бегущей волне осуществить очень трудно, так как труд-
трудно создать электромагнитную волну, распространяющуюся со скоростью,
значительно меньшей скорости света; а с другой стороны, тяжелые
частицы трудно ускорить до скорости, близкой к скорости света. Поэто-
Поэтому для протонов, например, применяют линейный ускоритель с ци-
цилиндрическими электродами, описанный выше.
Так как ускоряемые частицы проходят через все ускоряющие про-
промежутки за короткие интервалы времени, в течение которых напряже-
напряжение на промежутках U ~ Um, то на выходе ускорителя частицы по-
появляются не непрерывным потоком, а отдельными «сгустками» в тече-
течение интервалов времени, малых по сравнению с периодом колебаний
ускоряющего переменного поля.
Максимальные энергии, которые могут быть сообщены частицам
в линейном ускорителе, зависят от напряжения U на ускоряющих
промежутках и числа этих промежутков. В настоящее время с помощью
линейных ускорителей удается ускорить электроны до энергии, близ-
близкой к 1 Гэв, а протоны — до энергии около 100 Мэв.
§ 55. Движения в магнитных полях
Движение электрически заряженных частиц в магнитном поле
также уже рассматривалось выше, когда речь шла об эксперименталь-
экспериментальной проверке второго закона Ньютона (§§ 23 и 24). Теперь, пользуясь

55]
ДВИЖЕНИЯ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
213
вторым законом Ньютона, мы изучим некоторые характерные черты
движений электрически заряженных частиц в однородном магнитном
поле.
Для определенности будем рассматривать частицы, заряженные
отрицательно. Для положительно заряженных частиц направление
действующей силы изменится на обратное.
Пока v <^с, второй закон Ньютона может быть написан в форме
C.23):
dv
т
dt
=у WH\.
(8.12)
Разложим скорость частицы v на две составляющие: продольную vu
направленную вдоль магнитного поля, и поперечную vu направленную
перпендикулярно к магнитному полю (рис.
106). Так как ivtH\ = 0 (векторы колли-
неарны), то
«5-0
или i>j =
(8.13)
Рис. 106.
ma% = ±vtH. (8.14)
Это последнее уравнение описывает уже
известный нам случай движения частицы,
скорость которой лежит в плоскости, пер-
перпендикулярной к //. Сила Лорентца F пер-
перпендикулярна к vt и Н и направлена про-
против направления движения буравчика, по-
поворачиваемого от vt к //, так как е < О
(рис. 106). Эта сила лежит в плоскости, перпендикулярной к /У, и ос-
остается постоянной по величине (поскольку vt не меняется по величи-
величине). Следовательно, частица испытывает постоянное нормальное ус-
ускорение
jn=evtH/mc7 (8.15)
и проекция траектории частицы на плоскость, перпендикулярную к /У,
представляет собой окружность, причем движение частицы происходит
по часовой стрелке, если смотреть по направлению Н (рис. 107). Радиус
окружности R определяется из условия, что центростремительное
ускорение равно v2/R. Следовательно,
Щ _ evt U
тс
откуда
_m vtc
(8.16)
В частном случае, когда v/ = 0 (скорость частицы v перпендикулярна
к //), уравнения (8.15) и (8.16) справедливы для v и, следовательно,
сама траектория частицы (а не ее проекция на плоскость, перпендику-

214
ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
ГГЛ. VIII
лярную к Н) представляет собой окружность, радиус которой опреде-
определяется уравнением (8.16).
Время тп, за которое частица делает полный оборот по окружности
(период обращения частицы),
(8.17)
Подставляя выражение для R из уравнения (8.16), получаем:
тс
Период обращения для частиц, обладающих данным удельным зарядом,
зависит только от напряженности поля и не зависит от скорости части-
частицы. С другой стороны, для разных частиц,
чем больше их масса (при неизменном заря-
заряде), тем больше период обращения. Это обу-
обусловлено тем, что, как видно из (8.15), чем
больше т, тем меньше центростремительное
ускорение.
Рассмотрим подробнее общий случай, ког-
когда v не перпендикулярно к Я. Результаты,
полученные для частного случая vt = 0, ос-
остаются справедливыми для vt\ что же касается
vh то, как следует из (8.13), она остается по-
постоянной. В этом случае движение частицы
можно себе представить как движение по ок-
окружности, которая сама движется поступа-
поступательно в направлении, перпендикулярном к
своей плоскости. При этом vt остается постоян-
постоянной только по величине, a vt — постоянной
по величине и направлению. Это — уже рассмотренное нами в § 11
движение по винтовой линии с постоянной по величине скоростью
(рис. 107), причем радиус цилиндра, на котором лежит винтовая линия,
определяется уравнением (8.16), а время обращения —уравнением
(8.17). За один оборот по винтовой линии частица перемещается вдоль
поля на расстояние d = ьгт0 (шаг винта). Подставляя значение т0 из
(8.17), получим:
d = 2jl77/- (8.18)
Рис. 107.
Представляет интерес специальный случай, когда пучок частиц
обладает одинаковыми по величине скоростями, направления которых
близки к направлению магнитного поля (рис. 108). Если бы скорости
всех частиц пучка точно совпадали с направлением магнитного поля
(т. е. пучок был бы строго параллельным), то со стороны магнитного
поля на частицы никакие силы бы не действовали, частицы двигались
бы прямолинейно и пучок оставался бы параллельным. Однако прак-

551
ДВИЖЕНИЯ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
215
тически пучок частиц, например, вылетающих через отверстие в диа-
диафрагме, по ряду причин никогда не бывает строго параллельным (од-
(одной из основных причин являются силы отталкивания, с которыми
действуют друг на друга одноименно заряженные частицы пучка).
Если пучок слегка расходящийся, то наряду с продольной составля-
составляющей Vi частицы обладают и трансверсальной составляющей v(f т. е.
Рис. 108.
движутся не прямолинейно, а по винтовым линиям, причем радиусы
цилиндров, на которые навиваются эти винтовые линии, определяются
выражением (8.16), а шаг их —выражением (8.18).
Если частица вылетает со скоростью v3 из отверстия диафрагмы под
углом а3 к направлению Н (рис. 108), то vi3 = o3sin a3, a vi3 = y3C0S аз-
Так как частицы вылетают под разными углами и в разных направле-
направлениях, то vt для них будет различно и
траектории их будут навиваться на
цилиндры различных радиусов, оси
которых лежат на разных расстоя-
расстояниях от точки О (отверстия диафраг-
диафрагмы); эти цилиндры имеют общую об-
образующую, проходящую через О (рис.
109). Если угол а мал, то cos a ^ 1
и V[ « v, т. е. для всех частиц, как
следует из (8.18), шаг спиралей d
можно считать одинаковым. Следова- рис 109.
тельно, на расстоянии d от диафраг-
диафрагмы все частицы снова окажутся на одной и той же образующей, т. е.
соберутся в одной точке, лежащей на оси диафрагмы (очевидно, то же
самое повторится на расстоянии nd, где п —любое целое число).
Это обстоятельство используется для фокусировки пучков частиц
(главным образом электронов). Например, когда расходящийся пу-
пучок попадает на флуоресцирующий экран, то на экране образуется
сильно размытое светящееся пятно. Но если создать однородное маг-
магнитное поле, направленное вдоль оси пучка (для этого достаточно на-
надеть на трубку длинную катушку, питаемую постоянным током), и
подобрать напряженность этого поля так, чтобы шаг витка спиралей,
определяемый выражением (8.18), был равен расстоянию от диафрагмы
до экрана (или был в целое число раз меньше), то как раз у экрана все

216 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ VTII
частицы соберутся в одной точке и светящееся пятно на экране полу-
получится очень малого размера.
Этот эффект может быть использован для определения удельного
заряда частиц. Если скорость частиц известна (определена каким-либо
другим способом, например описанным в § 20), то, определив значение Я,
при котором пятно фокусируется на экране (расстояние до которого
известно), можно из выражения (8.18) найти elm.
Когда v становится сравнимым с с, второй закон Ньютона в форме
(8.12) уже неприменим и вследствие этого полученные выше соотно-
соотношения для R и Т не соблюдаются. Второй закон Ньютона должен
быть записан в форме C.31), относящейся к случаю наличия только
нормального ускорения, который мы рассматриваем. В результате
вместо постоянной массы в выражениях для радиуса круговой траекто-
траектории (8.16) и времени обращения (8.17) появится масса, зависящая от
скорости, m = ——m° > и эти выражения примут вид:
(8.19)
(8.20)
еН\г\ —
т°с
еНу\ —
Из этих выражений видно, что при vy сравнимых с с, радиусы jR
круговых траекторий частиц с ростом R растут быстрее, чем при v <^ су
и время обращения т, постоянное и равное т0 при v <^ с, также на-
начинает возрастать. Однако для количественных оценок этих эффектов,
наступающих при больших скоростях частиц, удобнее выразить jR и т
через энергию частиц. С этой целью через энергию выразим импульс
частицы
Так как полная энергия частицы D.16)
я энергия покоя Ео = т0с2, то
но Е = Ео + Т, где Т — кинетическая энергия частицы, и
(?2 __ Е$Ч% _ Gа + 2Е0ТL2 __[Т(Т + 2Е0)]1/2

§ 56] ЦИКЛИЧЕСКИЕ УСКОРИТЕЛИ 217
Используя (8.21), мы получим выражение для импульса частицы через»
ее кинетическую энергию и энергию покоя:
p==li w t~b;i ^ (822)
С
Подставляя это выражение в (8.19), найдем:
R== ТЕ • (8-23>
другой стороны, так как масса частицы т. = —-~ и =~Н;—^
то, заменяя в (8.20) массу частицы этим выражением, найдем:
Из этих выражений видно, что для очень больших энергий, когда Т^Е0,
R^T/eH, (8.25)
*~2«Лг (8-26)
При этом скорость частиц v = 2nRh » cy как и должно быть в случае,
когда кинетическая энергия значительно превышает энергию покоя.
Зависимость периода обращения от энергии частиц получается
особенно наглядной, если выражение (8.24) преобразовать следующим
образом:
btgf&f^ ?H(?) (8.27,
где т0 —постоянное время обращения (8.17) для v <^c.
§ 56. Циклические ускорители
Общей чертой всех циклических ускорителей являются, как уже
указывалось, близкие к круговым траектории (орбиты) частиц, полу-
получающиеся в результате движения частиц в магнитном поле, направлен-
направленном перпендикулярно к их скорости. Метод же ускорения частиц в
большинстве циклических ускорителей применяется тот же, что и в
линейных ускорителях с переменным электрическим полем. Вакуум-
Вакуумная камера, в которой движутся частицы, имеет форму цилиндра (диа-
(диаметр которого много больше его высоты), расположенного между полю-
полюсами электромагнита так, что ось цилиндра совпадает с направлением
магнитного поля. Камера покрыта электропроводящим слоем, в кото-
котором по радиусам сделаны изолирующие разрезы (в простейшем случае
— один или два разреза по одному диаметру). Эти разрезы, к которым
подводится переменное напряжение, и служат ускоряющими проме-
промежутками, аналогичными промежуткам между трубчатыми электродами

218 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. VIII
в линейном ускорителе с переменным полем. Так же как и для линей-
линейного ускорителя, наибольший прирост энергии частицы будет полу-
получаться при условии, что частица проходит через каждый из промежутков
в тот момент времени, когда напряжение на этом промежутке достигает
наибольшего значения и имеет такой знак, что поле в промежутке
ускоряет частицу.
Если период обращения частиц т остается постоянным, то указан-
указанное условие будет соблюдено (в случае двух промежутков) при совпа-
совпадении периода переменного напряжения, питающего промежутки,
с периодом обращения частицы. Как уже отмечалось в § 55, период
обращения частицы при неизменном магнитном поле остается посто-
постоянным (не зависит от скорости частицы), пока v <^ с. В этом случае
частица, движущаяся в постоянном магнитном поле и ускоряемая пе-
переменным электрическим полем, постоянный период которого определя-
определяется уравнением (8.17), при прохождении каждого из двух промежутков
будет увеличивать свою энергию (т. е. в случае двух промежутков
ускорение частицы будет происходить дважды за оборот).
Орбита частицы при этом не будет оставаться постоянной. Как
видно из (8.16), с увеличением скорости радиус орбиты частицы будет
возрастать. Поэтому частица будет двигаться по дуге окружности толь-
только в пределах участка между ускоряющими промежутками, где ее ско-
скорость не изменяется. В ускоряющем промежутке, где ее скорость воз-
возрастает, частица будет переходить на дугу окружности большего
радиуса (соответствующего скорости частицы после прохождения про-
промежутка). Таким образом, траектория частицы будет состоять из дуг
окружностей постепенно увеличивающегося радиуса, соединенных не-
небольшими участками, по которым частица переходит с одной дуги на
другую. Так как частицы должны пролетать ускоряющие промежутки
в определенные короткие интервалы времени (так же как и в случае
линейного ускорителя), то они движутся по этим траекториям не сплош-
сплошным потоком, а отдельными сгустками, занимающими малую долю
каждой дуги окружности. По такому принципу был построен первый
циклический ускоритель, который был назван циклотроном.
Когда кинетическая энергия частицы в циклотроне возрастает
настолько, что становится сравнимой с ее энергией покоя, то, как сле-
следует из (8.27), период обращения частицы начинает возрастать. Син-
Синхронность обращения частиц и изменений напряжения на ускоряющих
промежутках нарушается. Вследствие этого фаза, которую имеет пере-
переменное напряжение на промежутках в момент пролета частиц, сдвига-
сдвигается, напряжение оказывается уже не максимальным и прирост энергии
уменьшается, а затем и вовсе прекращается, когда в момент пролета
частиц напряжение на промежутке оказывается равным нулю. Поэтому
с помощью циклотрона частицам удается сообщить энергию, лишь
много меньшую, чем энергия покоя частиц.
Применяются два пути для устранения этого препятствия. Первый
путь состоит в том, что по мере увеличения энергии сгустка частиц и

56]
ЦИКЛИЧЕСКИЕ УСКОРИТЕЛИ
219
увеличения периода его обращения, согласно (8.27) соответственно
увеличивается период переменного напряжения на ускоряющих про-
промежутках. Для этого по нужному закону изменяется (модулируется)
частота колебаний высокочастотного генератора, питающего ускоряю-
ускоряющие промежутки. Такие ускорители называют фазотронами (или син-
синхроциклотронами) .
Другой путь состоит в том, что по мере увеличения энергии сгустка
частиц увеличивают напряженность магнитного поля Я, в котором
движутся частицы, таким образом, чтобы период обращения т, опре-
определяемый выражением (8.24), оставался постоянным. Тогда к ускоря-
ускоряющим промежуткам нужно, так же как и в циклотроне, подводить
переменное напряжение того же постоянного периода т. Такие ускори-
ускорители называют синхротронами. В этих системах с переменной частотой
ускоряющего напряжения или переменной напряженностью магнит-
магнитного поля синхронизм, т. е. равенство
частоты обращения большой группы ча- . Н И
стиц и частоты ускоряющего напряже-
напряжения, устанавливается в среднем сам со-
собой (не требуется очень точно выдер-
выдерживать нужную частоту ускоряющего ?<
напряжения). Это явление автофази-
ровки (открытое советским ученым, ака-
академиком В. И. Векслером в 1944 г.)
играет очень существенную роль в ра- а) ^
боте фазотронов и синхротронов.
Изменение напряженности магнит- Рис. 110.
ного поля в синхротроне вызывает по-
появление электрического поля (явление электромагнитной индукции).
Силовые линии этого электрического поля представляют собой ок-
окружности, которые охватывают силовые линии изменяющегося маг-
магнитного поля; направление возникающего электрического поля зави-
зависит от того, возрастает напряженность магнитного поля (рис. ПО, а)
или убывает (рис. ПО, б). Это электрическое поле все время действует
на движущиеся по орбитам заряженные частицы с силой, которая в
зависимости от направления поля либо совпадает по направлению со
скоростью частицы, т. е. ускоряет ее движение, либо направлена на-
навстречу скорости частицы, т. е. замедляет ее движение. В ускорителях
с изменяющимся магнитным полем это электрическое поле индукции,
вообще говоря, приходится учитывать (но оно не играет существенной
роли в ускорителях с ускоряющими промежутками).
Существуют циклические ускорители, в которых для ускорения
частиц используется только это электрическое поле индукции, а уско-
ускоряющие промежутки отсутствуют. В таких ускорителях в течение все-
всего процесса ускорения сгустка частиц магнитное поле возрастает, и
поэтому направление электрического поля индукции остаегся неизмен-
неизменным; частицы в течение всего времени движения по орбите ускоряются

220 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. V1TT
этим полем и, совершив большое число оборотов по орбите примерно
постоянного радиуса, приобретают значительную энергию. Постоянство
радиуса орбиты обеспечивается специальным выбором закона измене-
изменения напряженности магнитного поля, при котором величина
—_ р* = в (8.19) остается постоянной. Так как в этом типе
ускорителя нет переменного ускоряющего электрического поля, ча-
частота которого должна совпадать с частотой обращения частиц по ор-
орбите, этот тип циклических ускорителей, применяемых только для уско-
ускорения электронов, называется нерезонансными ускорителями или бе-
бетатронами.
Пределы, в которых должна изменяться частота ускоряющего на-
напряжения в резонансном циклическом ускорителе или фазотроне,
как видно из (8.27), тем больше, чем больше конечная кинетическая
энергия частиц по сравнению с их энергией покоя. Однако когда речь
идет о питании системы электродов напряжением высокой частоты, бы-
быстрое изменение этой частоты в широких пределах представляет собой
технически очень сложную задачу. Поэтому синхроциклотроны при-
применяются главным образом для сообщения тяжелым частицам энергии,
которая не превышает существенно энергии покоя частицы. Тогда тре-
требуемое уменьшение частоты питающего напряжения за время ускоре-
ускорения группы частиц составляет лишь десятки процентов, что практически
вполне осуществимо. Вместе с увеличением периода обращения по мере
увеличения энергии частиц, как видно из (8.23), увеличивается и радиус
их орбит.
Для ускорения же электронов наиболее целесообразным является
принцип синхротрона. В отличие от синхроциклотрона в синхротроне
напряженность магнитного поля изменяется со временем, а частота
ускоряющего электрического поля остается постоянной. Если наимень-
наименьшая энергия, которой обладают электроны, вводимые в камеру син-
синхротрона, уже заметно превышает его энергию покоя (что может быть
достигнуто путем применения предварительного ускорителя на неболь-
небольшую энергию), то для всего процесса ускорения электронов справедли-
справедливы соотношения (8.25), (8.26). Следовательно, при постоянном периоде
обращения Т изменяется пропорционально Я. Но при таком условии
и R остается постоянным, т. е. электроны в течение всего процесса
ускорения обращаются по орбите практически постоянного радиуса.
При орбитах почти постоянного радиуса вакуумная камера уже
не должна иметь форму цилиндра; она представляет собой полое коль-
кольцо, внутри которого располагаются все орбиты, используемые в уско-
ускорителе. Такая кольцеобразная вакуумная камера синхротрона на 30
Мэв Физического института им. П. Н. Лебедева изображена на рис. 111.
Камера —стеклянная, посеребренная изнутри, лежит на нижнем по-
полюсе электромагнита (верхний полюс удален). Слева на камеру надет
ускоряющий электрод (под ним в серебряном покрытии сделан разрез).

ЦИКЛИЧЕСКИЕ УСКОРИТЕЛИ
221
Патрубки в наружной стенке камеры служат для присоединения ва-
вакуумного насоса, ввода в камеру пучка предварительно ускоренных
Рис. Ш.
частиц (инжекции частиц) и установки мишени —объекта, который
должен быть подвергнут бомбардировке ускоренными частицами.
В случае орбит постоянного радиуса
в соответствии с изменением формы ва-
вакуумной камеры изменяется и требуемая
конфигурация магнитного поля. При ис-
использовании орбит, радиус которых зна-
значительно возрастает в процессе ускоре-
ускорения, магнитное поле должно быть созда-
создано во всем пространстве, ограниченном
радиусом наибольшей орбиты (рис.
112, а). В случае же орбит постоянного
радиуса магнитное поле должно быть
создано только в тонком кольце, радиус
которого определяется постоянным ра-
радиусом орбиты (рис. 112,6). Из сопо-
сопоставления форм сечения сердечника элек-
электромагнита (на рис. 112 сечения заштри-
заштрихованы), необходимых для получения
магнитного поля в том и другом случае,
видно, что гораздо меньше стали тре-
требуется для сердечника и соответственно мощности для питания элек-
электромагнита в случае орбит постоянного радиуса, т. е. существенно
упрощается и удешевляется наиболее сложная и дорогая часть вся-
всякого циклического ускорителя —электромагнит.
Рис. 112.

222 ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. VTIT
Однако применение принципа синхротрона, позволяющего осуще-
осуществлять ускорение электронов на орбитах постоянного радиуса, не
дает этой возможности при ускорении протонов и более тяжелых
частиц. Причина этого состоит в том, что для протонов, энергия покоя
которых почти в две тысячи раз больше энергии покоя электронов,
время обращения по орбитам постоянного радиуса становится практи-
практически постоянным при гораздо больших энергиях, чем для электронов,,
так как выражения (8.23) и (8.24) переходят в (8.25) и (8.26) для элек-
электронов при энергиях в несколько Мэв, а для протонов — при энергиях
в несколько Гэв. Поэтому при ускорении протонов от начальных энер-
энергий, гораздо меньших, чем энергия покоя, увеличение напряженности
магнитного поля, обеспечивающее постоянство радиуса орбиты, не
обеспечивает постоянства периода обращения по этой орбите, так как
связь между Т и Я, обеспечивающая постоянство R в (8.23) и обеспе-
обеспечивающая постоянство Н в (8.24), различна.
При увеличении энергии протонов скорость их значительно воз-
возрастает и время обращения по орбитам постоянного радиуса существен-
существенно уменьшается. Для поддержания синхронизма между периодом об-
обращения протонов и периодом ускоряющего электрического поля не-
необходимо увеличивать частоту ускоряющего напряжения. При этом,
если закон изменения напряженности магнитного поля Н (t) задан, то
для движения частиц по орбитам постоянного радиуса необходимо, что-
чтобы период ускоряющего напряжения т изменялся также по вполне
определенному закону. Эта связь между Я (/) и т (t) определяется из
(8.19) и (8.20) в результате исключения v и подстановки вместо R фик-
фиксированного радиуса орбиты Ro. Для того чтобы обеспечить требуемое
соотношение между Н (t) и т (t), мгновенное значение Я (t) непрерывно
измеряется специальным устройством, которое автоматически устанав-
устанавливает значение т (t), соответствующее измеренному мгновенному зна-
значению Я (t). Таким образом, для ускорения протонов (или более тяже-
тяжелых частиц) на орбитах постоянного радиуса одновременно сочетаются
оба принципа, синхротрона и фазотрона. Ускорители, в которых со-
сочетаются оба эти принципа, так называемые синхрофазотроны, явля-
являются наиболее совершенными из существующих ускорителей и позво-
позволяют сообщать протонам энергии свыше 70 Гэв. Таков наиболее мощ-
мощный в мире ускоритель АН СССР в Серпухове. (Принципы синхротрона
и фазотрона, а также их сочетания в синхрофазотроне были впервые
предложены В. И. Векслером.)
При рассмотрении в рамках механики движений электрически заряженных ча-
частиц в электрических и магнитных полях мы, как уже указывалось, вынуждены пре-
пренебрегать эффектом излучения электромагнитной энергии этими частицами и теми
тормозящими силами, которые при этом действуют со стороны излучаемого поля на
частицы. (Что эти силы должны тормозить движение частиц, ясно из энергетических
соображений: на создание энергии излучения затрачивается часть работы сил уско-
ускоряющего поля, т. е. часть работы этих сил идет на преодоление сил, действующих
со стороны излучаемого поля.) В ускорителях больших энергий потери энергии на
электромагнитное излучение могут играть существенную роль и положить предел

$ 56] ЦИКЛИЧЕСКИЕ УСКОРИТЕЛИ 223
увеличению энергии частиц в ускорителе. Этот предел наступает, когда энергия, ко-
которую частица излучает на пути от одного ускоряющего промежутка до другого, рав-
равна той энергии, которую частица получает в ускоряющем промежутке.
Как уже указывалось, потери на излучение быстро растут с увеличением уско-
ускорения частицы. В циклических ускорителях центростремительное ускорение пропор-
пропорционально квадрату скорости. А так как при данной энергии скорость частицы тем
больше, чем меньше ее масса покоя, то потери на излучение при ускорении электро-
электронов становятся заметными при значительно меньших энергиях, чем при ускорении
протонов (или еще более тяжелых частиц). Практически в современных ускорителях
потери на излучение кладут предел увеличению энергии только для электронов (этот
предел составляет около 10 Гэв). Потери на излучение даже в наиболее мощных сов-
современных ускорителях протонов (или более тяжелых частиц) практически роли не
играют. Для данного типа частиц потери энергии на излучение в циклическом уско-
ускорителе быстро уменьшаются с уменьшением энергии частицы. Потери энергии элек-
электроном за один оборот при очень большой энергии (Т>> тос^) составляют примерно
-jt-• 10~7 (——s) электроновольт, где R — радиус орбиты в метрах.
Мы пока ограничимся только качественным рассмотрением прин-
принципов действия ускорителей. Уравнения движения частиц в ускорите-
ускорителях для простейших случаев будут рассмотрены в § 72.
В современных ускорителях больших энергий скорости, которых
достигают частицы, уже очень близки к скорости света. Например,
электроны при энергии в 100 Мэв обладают скоростью, которая только
в шестом знаке, а при энергии в 1 Гэв — скоростью, которая только в
восьмом (!) знаке отличается от скорости света. Но ведь все расчеты
движений ускоряемых частиц основаны на применении второго закона
Ньютона в форме C.30), и результаты, которые дают эти расчеты, под-
подтверждаются опытом работы ускорителей. Таким образом, весь опыт
работы ускорителей подтверждает, что второй закон Ньютона в фор-
форме C.30) справедлив для быстрых движений вплоть до скоростей, очень
близких к скорости света.

ГЛАВА IX
МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 57. Принцип относительности Галилея
Два основных положения механики: I) ускорения тел вызываются
действующими на них силами, 2) силы есть результат действия на уско-
ускоряемое тело других тел, — как было показано, должны оставаться
справедливыми во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому сле-
следует ожидать, что наиболее простым будет переход от одной инерци-
альной системы отсчета к другой, также инерциальной, т. е. движущейся
по отношению к первой прямолинейно и равномерно. При пере-
переходе к неинерциальным системам отсчета оба основных положения ме-
механики не могут оставаться справедливыми и механика качественно
становится иной (этим вопросам посвящена гл. XII). Но при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой, когда сохраняют
свою силу два указанных основных положения механики, возникает
новый вопрос, о котором мы уже упоминали. Пользуясь различными
инерциальными системами отсчета, движущимися одна относительно
другой прямолинейно и равномерно, мы должны в каждой из систем
отсчета производить измерения расстояний при помощи линеек, а
промежутков времени — при помощи часов и световых сигналов.
Чтобы иметь право в каждой из этих систем отсчета применять рас-
рассмотренные выше законы механики и вытекающие из них следствия,
справедливые для той «неподвижной» системы отсчета, которой мы
пользовались, мы должны в каждой системе отсчета производить изме-
измерения расстояний и промежутков времени тем же способом, каким про-
производили их в «неподвижной» системе отсчета, т. е. в каждом случае
при помощи линеек и часов, неподвижных в той системе отсчета, ко-
которой мы в данном случае пользуемся. А при переходе от результатов
измерений, произведенных в одной системе отсчета, к результатам из-
измерений в другой потребуется знать, как связаны между собой резуль-
результаты измерений при помощи линеек и часов, не покоящихся, а движу-
движущихся друг относительно друга (так как одни линейки и часы покоятся
в одной, а другие —в другой системе отсчета). Таким образом, при
переходе от одной системы отсчета к другой возникает как раз тот воп-
вопрос о влиянии движения на показания основных измерительных ин-
инструментов, о котором упоминалось в §7.

§ 57] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 225
Прежде всего уточним содержание вопроса. Вопросы о влиянии
движения на показания линеек и часов целесообразно отделить от
вопроса о влиянии движения на источники световых сигналовг).
Поэтому сейчас речь будет идти только о линейках и часах. При тща-
тщательном изготовлении и взаимной проверке разных линеек и разных
часов мы всегда сможем добиться такого положения, что при измере-
измерении расстояния между двумя фиксированными точками все линейки,
неподвижные друг относительно друга, будут давать одинаковый ре-
результат, так же как при измерении промежутка времени между двумя
определенными событиями все часы, неподвижные друг относительно
друга, будут давать одинаковый результат. Вопрос заключается в том,
будут ли давать одинаковый результат те же линейки, если они движут-
движутся друг относительно друга, и те же часы, если они движутся друг отно-
относительно друга. Долгое время полагали, что ответ на этот вопрос можно
дать умозрительно, не опираясь на опыт, а исходя из априорных (т. е.
не вытекающих из опыта, а установленных путем логических рассуж-
рассуждений) представлений о свойствах пространства и Бремени. И ответ,
который давали умозрительно, состоял в том, что показания линеек
и часов не должны зависеть от того, покоятся или движутся друг отно-
относительно друга линейки или часы.
Однако этот ответ был опровергнут результатами опытов, содержа-
содержание которых будет описано ниже. Сейчас мы укажем только выводы,
которые из этих опытов были сделаны: выяснилось, что движущиеся
друг относительно друга линейки и часы, вообще говоря, дают различ-
различные показания и что это различие показаний тем больше, чем больше
скорость движения инструментов друг относительно друга. Только
когда скорость относительного движения инструментов очень мала по
сравнению со скоростью света, различием в показаниях двужущихся
друг относительно друга инструментов можно пренебречь. Таким об-
образом, упомянутые выше «умозрительные соображения» давали прак-
практически правильный ответ на вопрос о влиянии движения на показа-
показания инструментов в тех случаях, когда скорость относительного дви-
движения инструментов очень мала по сравнению со скоростью света.
То, что «умозрительные соображения» в этом случае давали правиль-
правильный ответ, отнюдь не является случайным совпадением. Ведь так на-
называемые «умозрительные соображения» в действительности опираются
на весь наш практический опыт и на представления, сложившиеся у
нас в результате этого опыта. А весь этот опыт в течение долгого вре-
времени (во всяком случае до конца прошлого столетия) относился только
к движениям со скоростями, малыми по сравнению со скоростью
света.
Словом, хотя «умозрительные соображения» и дали частично пра-
правильный ответ на вопрос о влиянии движения на показания инструмен-
х) Так как в случае линеек и часов это влияние обнаруживается, а в случае све-
световых сигналов оно отсутствует,
8 С Э. Хайкин

226 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
тов, но совершенно ясно, что исчерпывающий ответ на этот вопрос в
состоянии дать только опыт. Опыты, при помощи которых должна
быть установлена связь между показаниями движущихся друг отно-
относительно друга линеек или часов (для краткости мы дальше будем го-
говорить о «поведении линеек и часов»), имеют глубокое принципиаль-
принципиальное значение. Эти опыты должны выяснить те общие черты поведения
линеек и часов, которые не зависят от каких-либо индивидуальных
свойств отдельных типов линеек или часов; речь идет о поведении всех
линеек и всех часов, независимо от их устройства и индивидуальных
различий. В таком случае поведение линеек и часов должно зависеть
только от свойств тех объектов, которые при помощи линеек и часов
измеряются (расстояний и промежутков времени), т. е., в конечном сче-
счете, от свойств пространства и времени.
Таким образом, задача экспериментального изучения поведения
линеек и часов, которая на первый взгляд кажется хотя и важной, но
ограниченной и преследующей лишь практическую цель «усовершен-
«усовершенствования измерений», при более глубоком рассмотрении оказывается
одной из фундаментальных задач физики, так как конечной целью этой
задачи является экспериментальное исследование свойств пространства
и времени. Геометрия, дополненная измерением промежутков времени,
становится с точки зрения физики экспериментальной наукой. Переход
на эту новую точку зрения со старой точки зрения, согласно которой,
как упоминалось, представления о свойствах пространства и времени
устанавливаются на основании априорных соображений, привел к
коренному пересмотру некоторых понятий, при помощи которых осу-
осуществляется пространственно-временное описание движений.
Необходимость этого пересмотра возникла вследствие того, что по-
поведение линеек и часов, установленное опытным путем, как уже отме-
отмечено выше, оказалось совсем не таким, каким оно должно было быть
согласно априорным представлениям. Иначе говоря, эксперименталь-
экспериментальное изучение поведения линеек и часов позволило установить, что дей-
действительные свойства пространства и времени существенно отличны
от тех свойств, которыми их прежде наделяла физика, исходя из апри-
априорных представлений. Однако эти различия в свойствах пространства
и времени и соответственно в поведении линеек и часов, как уже отме-
отмечалось, практически становятся незаметными, когда скорость всех
рассматриваемых движений очень мала по сравнению со скоростью све-
света. Рассмотрение задачи о переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой мы начнем именно с этого случая.
Так как в случае скоростей, малых по сравнению со скоростью
света, движение основных измерительных инструментов не сказыва-
сказывается на результатах измерений, то, фиксируя момент, когда происходит
одно и то же событие, по двум часам, покоящимся в разных системах
отсчета, мы отметим один и тот же момент времени, и, измеряя рассто-
расстояние между двумя точками при помощи двух линеек, покоящихся в раз-
разных системах отсчета, мы измерим одно и то же расстояние. (Напомним

§ 57] ПРИНИИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 227
еще раз, что когда скорости рассматриваемого движения или движения
одной инерциальной системы отсчета относительно другой не очень малы
по сравнению со скоростью света, необходимо учитывать влияние
движения измерительных инструментов на их показания.)
Рассмотрим простейший случай, когда система К' с координатами
х'', у', z движется относительно «неподвижной» К с координатами xt
у, z прямолинейно и равномер-
равномерно в направлении оси х со ско-
скоростью v «^ с, а точка А дви-
движется относительно системы ко-
координат К со скоростью v «^ с.
Требуется определить движение
точки А относительно системы
координат К! • Для упрощения
выберем системы координат так,
чтобы оси а: и а:'совпадали (рис. Рис* пз*
113), а в момент t = О совпадали
также оси у с у' и z с z'. Тогда в любой момент времени для координат
точки А имеем: у' = у и z1 = г; координаты же я' и л: связаны соотно-
соотношением х = х0 + х1, где х0 — координата точки О' в системе К в рас-
рассматриваемый момент времени t (на основании сказанного выше мы
можем не различать, в какой из систем координат производятся изме-
измерения расстояний и моментов времени). Но так как х0 = vt, то х = х' +
+ vt. Соотношения
x=jf + vt; y = tf\ z = t\ t = f (9.1)
(где t и f — время, отсчитываемое соответственно по часам, покоящим-
покоящимся в К и К') носят название галимевых преобразований координат. Они
отражают переход от одной системы координат к другой в случае, когда
одна из систем координат движется относительно другой равномерно со
скоростью v вдоль оси х (конечно, при указанных выше ограничениях
относительно скоростей).
Из соотношений (9.1), дифференцируя их дважды по времени, мож-
можно получить связь между компонентами скоростей и и и' и ускорений
/ и /" точки А в обеих системах координат. Так как v от времени не за-
зависит, то
их = их + v\ иу=иу\ uz = uz\
т. е. компоненты ускорения, а значит, и полное ускорение точки А
в обеих системах координат одни и те же. Компоненты же скорости и
точки А в системе К равны сумме соответствующих компонент скорости
и' в системе К' и скорости v. Следовательно,
8*

228 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЕ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ IX
Посмотрим, как обстоит дело с двумя законами Ньютона при пере-
переходе от одной инерциальной системы координат к другой. В системе К
второй закон Ньютона имеет вид
где F — сумма сил, действующих на тело в системе К. В системе К'
ускорение/ =/ Чтобы второй закон Ньютона оставался справедливым
в системе К', должно быть F' = F, где F* —сумма сил, действующих
на тело в системе К'- Что касается сил, определяемых конфигурацией
тел, т. е. упругих сил и сил тяготения, то следует ожидать, что эти
силы в системе К' равны тем же силам в системе К. В самом деле, рас-
расстояния между телами или отдельными точками тел не изменяются при
галилеевых преобразованиях координат, а следовательно, если силы
зависят только от конфигурации, т. е. от расстояний, то они не должны
изменяться при переходе от системы К к системе /С'. То же самое долж-
должно быть справедливо и для сил трения, поскольку они зависят от отно-
относительной скорости тел, между которыми действуют силы трения. Но
при галилеевых преобразованиях относительная скорость, т. е. раз-
разность скоростей двух тел, не изменяется, так как к каждой из них
прибавляется с обратным знаком одна и та же скорость системы К'
относительно /О
Наконец, в силу Лорентца входит скорость движения заряженного
тела относительно тех приборов, при помощи которых мы измеряем
напряженности электрического и магнитного полей, входящих в выра-
выражение силы Лорентца. Если эти приборы покоятся в выбранной нами
сначала «неподвижной» системе координат, то под v в выражении для
силы Лорентца следует понимать скорость заряженного тела относи-
относительно «неподвижной» системы координат. Когда мы пользуемся двумя
движущимися одна относительно другой системами координат, то при-
приборы для измерения напряженностей полей, покоящиеся в одной из
этих систем координат, окажутся движущимися в другой системе ко-
координат. Поэтому, когда мы переходим к движущимся системам коорди-
координат, нужно установить, как связаны между собой показания приборов,
служащих для измерения напряженностей электрического и магнит-
магнитного полей, если эти приборы движутся друг относительно друга.
Прежде всего рассмотрим идею опыта, который мог бы доказать,
что сила Лорентца не изменяется при изменении скорости движения
электронов относительно «неподвижной» системы координат, если эта
скорость остается неизменной относительно приборов, с которыми про-
производится опыт, т. е. конденсатора и магнита, создающих электрическое
и магнитное поля, и приборов, служащих для измерения этих полей.
(Практически такой опыт не надо делать, так как ряд опытов, хотя и
косвенно, но убедительно доказывает это; но идея прямого опыта по-
поможет нам лучше понять существо вопроса.)
Для такого опыта может служить метод измерения скорости элек-
электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях, описанный

§57] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИПЕЯ 229
выше (§ 20). Как указывалось, Земля в своем годовом движении по ор-
орбите на отдельных малых участках орбиты движется относительно Солн-
Солнца и звезд почти прямолинейно и равномерно со скоростью v ?^30 км/сек.
Поэтому если прибор, в котором производится измерение скорости
электронов, сначала ориентирован так, что направление движения пуч-
пучка электронов совпадает с направлением движения Земли по ее орбите,
а затем прибор поворачивается на 180°, то движение электронов ока-
оказывается направленным противоположно движению Земли. В первом
случае электроны движутся по отношению к «неподвижной» системе
координат со скоростью и + v, а во втором случае — со скоростью
и — vy где и — скорость движения электронов относительно прибора,
a v — скорость движения Земли по орбите. Подобрав напряженности
электрического и магнитного полей так, чтобы пучок электронов не
отклонялся в конденсаторе и попадал на экран при одном положении
прибора, можно было бы убедиться, что при повороте прибора на 180°
пучок электронов по-прежнему попадает на экран, т. е. сила Лорентца,
равная нулю в первом случае, остается равной нулю и во втором. Меж-
Между тем скорость движения электронов относительно «неподвижной» си-
системы координат при переходе от первого положения до второго измени-
изменилась довольно существенно 1). Неизменной же в опыте осталась скорость
электронов относительно прибора 2), в котором производится опыт.
Убедившись с помощью этого опыта в том, что сила Лорентца не
зависит от выбора системы координат (поворот прибора на 180° со-
соответствует переходу к другой инерциальной системе координат),
мы должны на основании этого вывода установить, как изменяются
показания приборов для измерения полей в тех случаях, когда эти
приборы движутся друг относительно друга или, иначе говоря, когда
мы переходим от одной системы координат К к другой /(', пользуясь
в каждой системе координат покоящимися в ней приборами для изме-
измерения полей. Так как при переходе от одной системы координат к дру-
другой в выражении силы Лорентца
изменяется vy а значит, и величина второго члена, то для того, чтобы F
осталась неизменной, должна соответственно измениться величина пер-
первого члена, т. е. напряженность электрического поля Е.
Чтобы определить количественно эти изменения, мы рассмотрим
частный случай, когда система К.' движется относительно К со скоро-
1) Напомним, что мы рассматриваем случай й<си тогда v сравнимо с и.
2) В описанном опыте при повороте прибора остается неизменной и скорость
згектронов по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Однако предгюло
жение, что сила Лорентца зависит от схорости движения электронов по отношению
к системе отсчета, связанной с Землей, хотя она и не зависит от скорости по отноше-
отношению к «неподвижной» системе отсчета, должно быть отвергнуто, тах как нет абсо-
абсолютно никаких оснований предполагать, что система отсчета, связанная с Землей,
занимает особое место среди всех инерциальных систем отсчета.

230
МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ГГЛ. IX
стью v7 равной скорости движения заряженных частиц в системе//0
Тогда в системе К' заряженные частицы неподвижны и не испытывают
силы со стороны магнитного поля. Чтобы сила Лорентца доставалась
прежней, электрическое поле Е в системе К должно действовать на
заряд е с силой
{±} (9.3)
где Е и Н— напряженности электрического и магнитного полей
в системе К- Нужно выяснить, какова должна быть связь компонент
электрического поля Е'х, Е'уу Е'г в
системе К' с компонентами элек-
электрического и магнитного полей Ех>
Еу, Ez, Нх, Ну, Нг в системе /С,
чтобы выполнялось соотношение
(9.3). Для этого требуется рассмот-
рассмотреть случай различной ориенти-
ровки этих компонент по отноше-
отношению к направлению скорости v
движения заряженных частиц. По-
Положим, что частицы с зарядом ~\-е
движутся в положительном нап-
направлении оси ху а электрическое и
магнитное поля направлены соот-
соответственно по у и z (рис. 114).
Магнитное поле Hz создает при этом силу, направленную по оси у, при-
причем силы еЕу и — \vHz\ направлены в противоположные стороны, и сле-
следовательно, чтобы выполнялось соотношение (9.3), должно быть
Рис. 114.
y Су — 11 z.
(9.4)
Пусть теперь при том же направлении движения зарядов электрическое
и магнитное поля направлены соответственно по z и у (рис. 115). Маг-
Магнитное поле создает силу, направленную по оси г, причем силы еЕг и
\vHi направлены в одну сторону, и чтобы выполнялось соотношение
с
(9.3), должно быть
(9.5)
Наконец, если при том же направлении движения зарядов компонента
электрического поля направлена тоже по оси х (рис. 116), то компо-
компонента Нх магнитного поля не действует на заряд, а компоненты Ну>
Hz действуют на заряд с силами, перпендикулярными ко, а значит,
и к л:, и, следовательно, не создают компоненты силы в направлении

§ 57]
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
231
оси х. Следовательно, в этом случае соотношение (9.3) будет выполнять-
выполняться, если
Е'Х = ЕХ. (9.6)
Выражения (9.4) — (9.6) получены нами для частного случая, когда
скорость движения системы К* относительно К совпадает по величине
со скоростью движения зарядов
(следовательно, v в этих фор-
формулах представляет собой ско-
скорость системы К' относительно
К)- Но эти же выражения ока-
оказываются справедливыми и в том
случае, когда система К' дви-
движется относительно К по-преж- -
нему со скоростью и, но эта ско-
скорость v отлична от скорости
движения электронов в системе
К (ход рассуждений при этом
остается прежним, усложняются
только расчеты).
Таким образом, выражения Рис. 115.
(9.4)—(9.6) дают связь между
показаниями покоящихся в системе К приборов, измеряющих напря-
напряженности электрического и магнитного полей, с показаниями покоя-
покоящегося в системе К' прибора, измеряющего напряженность электри-
электрического поля. Иначе говоря, выражения (9.4)—(9.6) представляют
собой формулы преобразования трех
компонент электрического поля при
переходе от системы К к системе /С',
если /С' движется относительно К со
скоростью v вдоль оси х.
Эти формулы преобразования вы-
вытекают из утверждения, что сила
Лорентца не изменяется при переходе
от одной инерциальной системы коор-
координат к другой, движущейся по отно-
отношению к первой с постоянной скоро-
скоростью. Но само это утверждение ос-
основывается на опытах, в которых
фигурирующая в формулах преобра-
преобразования (9.4) —(9.6) скорость v движения системы /(' относительно
системы К очень мала по сравнению с с; поэтому наши рассуждения
справедливы только при соблюдении этого ограничения; случай, когда
v не очень мало по сравнению с с, будет рассмотрен особо.
При помощи рассуждений, аналогичных проведенным выше, могут
быть получены формулы преобразования магнитных полей, имеющие
г
.,
у У
/
tHx Ех v z
Рис. 116.

232 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
такой же вид, как формулы (9.4)—(9.6); но в этих формулах компонен-
компоненты электрического поля в системе К' должны быть заменены соответ-
соответствующими компонентами магнитного поля в системе К\ Нг и Ну за-
заменены соответственно на —Ег и —Еу, а Еу и Ez — соответственно
на Ну и Нг.
Характер этих преобразований полей, показывающий, что наличие
магнитного поля в одной системе отсчета может быть причиной воз-
возникновения электрического поля в другой системе отсчета и наоборот,
отражает ту условность разделения полей на электрическое и магнит-
магнитное поля, о которой мы уже упоминали выше (§19).
Результат разделения единого электромагнитного поля на части,
представляющие собой электрическое и магнитное поля, зависит
от выбора системы координат. При этом в случае инерциальных систем
координат, движущихся друг относительно друга со скоростями, ма-
малыми по сравнению со скоростью света, сила Лорентца не изменяется
при переходе от одной системы координат к другой.
Итак, мы убедились, что при переходе от одной инерциальной си-
системы координат К к другой К" все силы, действующие на тело, оста-
остаются неизменными. Так как неизменным остается и ускорение, то вто-
второй закон Ньютона в системе К'
mf=F (9.7)
совпадает с тем же законом для системы К, т. е. уравнение второго за-
закона Ньютона в форме, справедливой для v <^ с, оказывается инвари-
инвариантным по отношению к преобразованиям Галилея. Так как при пере-
переходе от системы К к системе К' силы не изменяются, то, следовательно,
и третий закон Ньютона справедлив в системе /С', если он был справед-
справедлив в системе /О
Поскольку законы движения имеют один и тот же вид, т. е. движе-
движения описываются одними и теми же уравнениями во всех инерциальных
системах отсчета, одинаковые механические опыты во всех этих
системах отсчета должны давать одинаковые результаты. Иначе го-
говоря, никакими механическими опытами нельзя обнаружить движение
одной инерциальной системы отсчета относительно другой инер-
инерциальной (и в частности «неподвижной») системы отсчета. Это поло-
положение, впервые сформулированное Галилеем, получило название
принципа относительности Галилея. Принцип был сформулирован
Галилеем для таких скоростей движения тел и систем координат, ко-
которые были достижимы во времена Галилея и очень малы по сравнению
со скоростью света. Поэтому, когда говорят о принципе относитель-
относительности Галилея, имеют в виду, что он применим только при указанном
ограничении, касающемся скоростей.
Приведенные выше соображения хотя и объясняют, почему второй
и третий законы Ньютона удовлетворяют принципу относительности
Галилея, но не могут служить обоснованием принципа относительности
Галилея, потому что кроме законов Ньютона в механике существуют

§ 58] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 233
и другие законы, например законы сохранения, и они также должны
удовлетворять принципу относительности Галилея. Между тем это
не очевидно, так как при переходе к системе К' от системы К скорости
всех тел, т. е. их импульсы, и их кинетическая энергия изменяются.
Однако, как будет показано в следующем параграфе, законы сохране-
сохранения удовлетворяют принципу относительности Галилея. Тем самым
будет расширен круг фактов, подтверждающих справедливость прин-
принципа относительности Галилея.
§ 58. Принцип относительности Галилея
и законы сохранения
Мы должны убедиться в том, что закон сохранения импульса и закон сохранения
энергии удовлетворяют принципу относительности Галилея.
Начнем с закона сохранения импульса. Если скорости материальных точек,
образующих замкнутую систему в «неподвижной» системе координат /С, равны vlt
^2» ^3. ..., то в движущейся инерпиальной системе координат К' они будут равны
ъ[ =vx — щ, ©о = ©2 —^о» ••• * гДе ^о — скорость второй системы К' относительно
«неподвижной» 7С. Соответственно полный импульс всех тел в системе К
Р = Щ vt + т2 v2 + ..., (9.3)
а в системе К
р' = тх v[ + гщ v'2 + ... = тх <ох + т2 щ 4" -• — {ml -f т2 + ...) я0-
р' отличается от р на постоянную величину (/% + т2 + ...) v0. Одна и та же система
материальных точек обладает разным импульсом в разных системах координат.
Но если импульс в «неподвижной» системе координат остается постоянным, то он
остается постоянным в системе координат, движущейся прямолинейно и равномерно
относительно неподвижной. Закон сохранения импульса справедлив для замкнутой
системы тел в любой инерциальной системе координат.
Закон сохранения энергии также справедлив для любой инерциальной системы
координат; однако это не столь очевидно, как для закона сохранения импульса.
Прежде всего ясно, что потенциальная энергия данной системы точек во всех инер-
циальных системах координат одна и та же. Действительно, потенциальная энергия
данной системы материальных точек зависит только от их конфигурации, т. е. от
разностей координат. Поэтому потенциальная энергия данной системы материальных
точек во всех инерциальных системах будет одна и та же.
Кинетическая же энергия в различных системах координат будет различна.
В «неподвижной» системе К
В движущейся системе /С'
щ v[2 m1v\ ,
11 = —2— ^ —2 ' * °

234 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
(9.11)
Если скорости vly v2y ... изменяются, то не только сама величина кинетической энер-
энергии, но и разность кинетических энергий каждой материальной точки в системах
К и К' будет изменяться.
Общая кинетическая энергия всей системы материальных точек в системе К'
G" = Т\ -f П + ...) будет отличаться от общей кинетической энергии в системе
К (Т = 7\ -Ь Y2 + ...) на величину
J — i = [гщ Щ-т m2v2-\~ ...)v0 2 . (y.lz)
Если в рассматриваемой замкнутой системе материальных точек сила трения отсут-
отсутствует, то полная энергия системы точек Е — U + Т = const, и так как U в обеих
системах координат одно и то же, то полная энергия Е' данной системы материаль-
материальных точек в системе К' будет отличаться от полной энергии Е в системе К на ту же
величину (9.12). Второй член правой части выражения (9.12) всегда остается постоян-
постоянным, так как v0 постоянно. Первый же член, вообще говоря, может изменяться при
изменении скоростей.
Но в замкнутой системе величина (тх©! + т2я2 + •••) Должна оставаться постоян-
постоянной, так как эта сумма представляет собой полный импульс всех материальных то-
точек системы. Поэтому если для данной системы Е остается постоянным, то Е' — Е,
а значит и Е'', остается постоянным. Если закон сохранения энергии справедлив для
замкнутой системы материальных точек в «неподвижной» системе координат, то он
справедлив для этой системы и в любой инерциальной системе координат. Кинетиче-
Кинетическая, а следовательно, и полная энергия системы материальных точек в различных
системах координат различна, но в любой инерциальной системе координат сумма
кинетической и потенциальной энергии замкнутой системы материальных точек
остается постоянной.
Если на материальные точки системы действуют внешние силы (т. е. система не
является замкнутой), то ее полная энергия ни в одной из систем координат не оста-
остается постоянной. Но при этом и разность Е' — Е уже не остается постоянной, так
как общий импульс системы (который входит в эту разность) для незамкнутой системы
изменяется. Следовательно, не только полная энергия системы, но и изменения этой
энергии для различных систем координат оказываются различными. При этом изме-
изменение полной энергии системы в каждой из систем координат равно работе внешних
сил; но перемещения материальных точек, а следовательно, и работа внешних сил в
разных системах координат также оказываются различными.
Поясним это на следующем простом примере. Пусть на тело массы т начинает
действовать постоянная внешняя сила F, Будем рассматривать это движение в двух
системах координат, из которых вторая движется относительно первой в направ-
направлении, противоположном Z7, с постоянной скоростью — v0. Ускорение тела в обеих
системах координат будет одно и то же: а = F/m. Если в начальный момент скорость
тела равна нулю в системе К, то в момент времени t она будег равна v = (F/m)t.
В движущейся системе /С', как следует из (9.2), в этот момент скорость будет равна
V=vo+-tt.
Соответственно кинетическая энергия в двух системах координат выразится так:
_/то _ F Р ___ mv _ mvl
-~'T~m; l -~-2~~ 2

§ 59] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ И БЫСТРЫЕ ДВИЖЕНИЯ 235
Так как кинетическая энергия тела в начальный момент в системе К была равна нулю,
а в системе К' Т'о — /тшЦ/2, то кинетическая энергия в обеих системах координат за
время t изменится на величины
J72 /2 /72 /2
С другой стороны, пути, пройденные телом в обеих системах координат, выразятся
•гак:
с at* Ft* _, ф , afi Ft*
а работы силы F на этих путях будут соответственно равны
/72 /2
Следовательно, А71 = А; А7" = Л'. Изменения кинетической энергии и работа силы
F в обеих системах координат различны, но и в той и в другой системе координат ра-
работа внешней силы равна изменению энергии системы.
Таким образом, импульс системы точек, ее кинетическая и полная энергия,
работа внешних сил не являются инвариантами — их значения в различных инер-
циальных системах координат различны. Но уравнения, выражающие законы сохра-
сохранения импульса и энергии, не изменяют своего вида; при этом в каждой системе ко-
координат в эти уравнения входят значения импульса, энергии и работы в этой системе
координат. Это и значит, что законы сохранения импульса и энергии инвариантны
по отношению к преобразованиям Галилея и что во всех инерциальных системах ко-
координат действуют одни и те же законы сохранения.
§ 59. Принцип относительности Галилея
и быстрые движения
Мы убедились в справедливости принципа относительности Гали-
Галилея для движений, скорости которых (в том ^исле и скорость движе-
движения одной системы координат относительно другой) малы по сравне-
сравнению со скоростью света. Естественно возникает вопрос, распростра-
распространяется ли принцип относительности Галилея на движения, скорость
которых сравнима со скоростью света. Опыт дает, по-видимому*),
положительный ответ на этот вопрос. На работе мощных ускорителей,
в которых частицы движутся со скоростями, близкими к скорости
света, никак не сказывается движение Земли относительно «непод-
«неподвижной» системы координат. Между тем все движения частиц в уско-
ускорителях мы относим к системе отсчета, жестко связанной с Землей.
Эту систему отсчета, как указывалось, можно рассматривать как
инерциальную, скорость движения которой относительно «непод-
«неподвижной» все время изменяется по направлению. Следовательно, опыты
в системе координат, жестко связанной с Землей, представляют собой
как бы совокупность опытов, производимых в различных инерци-
инерциальных системах координат (движущихся с различной по направле-
направлению скоростью относительно «неподвижной»). Поскольку на работе
г) Почему можно сказать только «по-видимому», будет ясно из дальнейшего.

236 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ TFOPHW ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ ТХ
ускорителей никак не сказывается движение Земли, следует заклю-
заключить, что во всех этих системах координат справедливы одни и те же
законы движения быстрых частиц и что для быстрых движений также
справедлив принцип относительности Галилея.
Однако если мы поставим вопрос — справедливы ли преобразова-
преобразования Галилея для быстрых движений, то на основании того же опыта
работы мощных ускорителей мы должны будем дать на этот вопрос
отрицательный ответ. В самом деле, в мощных ускорителях, как уже
указывалось, электроны движутся со скоростями, которые лишь в ше-
шестом, седьмом и даже в восьмом знаке отличаются от скорости света,
т. е. лишь на сотни, десятки и даже единицы метров в секунду меньше
скорости света. И если мы применим преобразования Галилея, т. е.
будем просто складывать геометрически скорость движения электро-
электронов относительно Земли и скорость движения Земли относительно
«неподвижной» системы координат, то в той точке орбиты электронов,
в которой эти скорости совпадают по направлению, мы получим ско-
скорость электронов относительно «неподвижной» системы координат,
примерно на 30 км/сек превышающую скорость света (так как Земля
движется со скоростью 30 км/сек, а скорость электронов относительно
Земли может быть лишь на единицы метров в секунду меньше скорости
света).
Но если во всех инерциальных системах отсчета справедливы
одни и те же законы механики, ни в одной из них не может быть до-
достигнута скорость, превышающая скорость света. Значит, преобразо-
преобразования Галилея не применимы к быстрым движениям, и для этого слу-
случая должны быть найдены лругие формулы преобразования от одной
инерциальной системы координат к другой. Когда эти формулы будут
найдены (для чего необходимо изучить на опыте поведение основных
измерительных инструментов), Мы сможем проверить, являются ли
инвариантными (т. е. сохраняющими свой вид) по отношению к этим
преобразованиям известные нам законы механики для быстрых дви-
движений (аналогично тому, как это было сделано в §§ 57 и 58 с преобра-
преобразованиями Галилея и законами механики для медленных движений).
Пока же новые формулы преобразования нам не известны, мы не мо-
можем утверждать, что для быстрых движений справедлив принцип отно-
относительности Галилея (именно поэтому мы в начале параграфа, ссылаясь
на опыт, могли сказать только, что он «по-видимому» подтверждает
справедливость принципа относительности Галилея).
Прежде чем ставить в полном объеме задачу отыскания новых формул
преобразования для перехода от одной инерциальной системы координат к другой,
мы рассмотрим одну частную задачу, решение которой не требует знания новых фор-
формул преобразования в общем виде. Непосредственной причиной отказа от преобра-
преобразований Галилея для нас послужил результат, полученный при сложении скорости
электронов в ускорителе и скорости Земли относительно «неподвижной» системы
координат, когда результирующая скорость превысила скорость света. Посмотрим,
какой вид должен иметь закон преобразования скоростей при переходе от одной
системы координат к другой, чтобы в результате преобразования никогда не полу-

591 ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ И БЫСТРЫЕ ДВИЖЕНИЯ 237
чалась скорость, превышающая скорость света. Для ответа на этот вопрос рассмо-
рассмотрим конкретный пример, а именно, уже известную нам задачу об абсолютно не-
неупругом ударе (§ 32), и полученному из рассмотрения этой частной задачи выра-
выражению для закона преобразования скоростей придадим общую форму на основании
некоторых дополнительных соображений.
Для абсолютно неупругого удара двух одинаковых шаров с массой покоя т(Ь
движущихся до удара навстречу друг другу со скоростями их = —и2 (рис. 117),
мы нашли, что после удара масса покоя двух соединившихся шаров
(9.13)
а общая их скорость после удара и = 0. Систему координат, в которой получен этот
результат (т. е. в которой общий импульс двух шаров равен нулю), мы назовем си-
Рис. 117.
Рис. 118.
стемой К. Введем теперь другую систему координат /С', которая движется относитель-
относительно К со скоростью Wjl, т. е. такой же, с какой движется первый шар до удара (рис. 118).
Для определения в системе К' скорости первого шара до удара и общей скорости
двух шаров после удара не требуется знать в общем виде закон преобразования ско-
скоростей. Так как система К! движется относительно К с той же скоростью, с какой
первый шар движется до удара в системе К, то скорость первого шара в системе К!
до удара
и\ = 0.
Далее, так как общая скорость обоих шаров после удара в системе К
6=0,
то их общая скорость в системе К' после удара п' = —иг = «2 (эти очевидные слу-
случаи преобразования скоростей, когда в одной из систем координат скорость равна
нулю, не требуют знания в общем виде закона преобразования скоростей, но, конечно,
содержатся в нем как частные случаи).
Зная в системе К' скорость одного из шаров до удара и общую скорость обоих
шаров, а также их массу покоя Мо после удара, на основании закона сохранения
импульса в системе К! можно найти скорость щ другого шара до удара, а значит и
формулу преобразования скоростей, связывающую щ и и2.
Так как скорость, а значит и импульс первого шара в системе К' равны нулю,
то импульс второго шара до удара в той же системе К'
должен быть равен импульсу обоих соединившихся шаров G' после удара. Масса этих

238 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГГЛ. IX
шаров, движущихся в системе К со скоростью —щ = и2,
где Мо — их масса покоя. Подставляя ее значение из (9.13) и учитывая, что и\ :
найдем импульс обоих соединившихся шаров в системе /С':
^7, 2/П() U2
Так как должно быть G'& =. G\ то
m0 u:2 2/п0 и2
Разрешая это уравнение относительно и'2 (для чего нужно возвести обе части в квад-
квадрат и выполнить очевидные преобразования), находим:
(9л4>
Чтобы из этого выражения, полученного для частного случая, когда скорость, с ко-
которой система К' движется относительно системы /<", есть v = иг = —щ,у найти в об-
общем виде формулу преобразования скоростей, нужно использовать следующие два
соображения:
1) При v << с и и «< с (9.14) должно совпадать с преобразованием Галилея,
т. е. должно принимать вид и' = и— v\ следовательно, в числителе (9.14) должна
быть произведена замена
2) Должна быть исключена возможность получения в системе К' скорости
и' > с, если в системе К и не больше с и v не больше с. Для этого в знаменателе (9.14)
должна быть произведена замена
w| = — щ v.
Таким образом, в общем виде формула преобразования скоростей должна иметь вид
1 — uv/с2 '
Легко убедиться, что эта формула обладает требуемым свойством: при и = с
будет и' = с при любом у, и наоборот, при v = с будет и = —с при любом к, т. е.
тело, обладающее скоростью с в системе /(, обладает той же скоростью в системе /С,
независимо от скорости движения К" относительно К; если же 1С движется со ско-
скоростью с относительно К, то все тела в системе К' движутся со скоростью с, незави-
независимо от скорости движения этих тел в системе К- Отметим, что формула (9.15) полу-
получена для случая, когда и uv лежат на одной прямой, и только к этому случаю приме-
применима (частные случаи и = 0 и и' =0, встретившиеся выше, получаются из нее сразу).
Отличие полученной формулы преобразования скоростей (9.15) от формулы, по-
получающейся из преобразований Галилея и' = и — и, состоит в том, что при и и v,
направленных в одну сторону, и' по абсолютной величине оказывается больше, чем
разность скоростей и и и, а при и и v, направленных в разные стороны, и! по абсолют-
абсолютной величине оказывается меньше, чем сумма скоростей и и v.
Совершенно ясно, что непосредственная причина неприменимости
преобразований Галилея для быстрых движений и необходимости за-
замены их другими преобразованиями лежит в поведении основных

§59] ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ И БЫСТРЫЕ ДВИЖЕНИЯ 239
измерительных инструментов. Преобразование Галилея мы получили,
исходя из того, что результаты измерений при помощи линеек и часов
в двух системах координат совпадают, т. е. что эти измерения дают
одинаковые расстояния между двумя фиксированными точками и
одинаковые промежутки времени между двумя фиксированными со-
событиями. Новая же формула преобразования скоростей (9.15), отлич-
отличная от вытекающей из преобразований Галилея, могла получиться
голько вследствие того, что результаты измерений в двух системах
координат не совпадают и при переходе от одной системы коорди-
координат к другой происходит преобразование расстояний и промежутков
времени.
Как уже указывалось выше, различие в показаниях линеек и
часов, покоящихся в двух разных системах координат, т. е. движу-
движущихся друг относительно друга, отражает те свойства времени и про-
пространства, которые не были известны раньше и которые не учитыва-
учитывались в преобразованиях Галилея. В новой формуле преобразования
скоростей (9.15) эти свойства времени и пространства учтены. Поэтому
новая формула преобразования скоростей правильно отражает пере-
переход от одной инерцнальной системы координат к другой при всех
скоростях вплоть до скорости света, тогда как преобразование Галилея
отражает этот переход только приближенно при скоростях, очень
малых по сравнению со скоростью света. Новая формула преобразо-
преобразования скоростей является одним из примеров того кардинального
пересмотра, которому подверглись многие основные физические поня-
понятия и представления, господствовавшие в классической физике на
протяжении всего ее развития от Галилея и Ньютона до начала
XX века. Этот кардинальный пересмотр привел к развитию новой
теории, которая получила название специальной теории относитель-
относительности х).
Новая теория, главная роль в создании которой принадлежит
А. Эйнштейну, глубоко проникла не только в механику, но почти
во все разделы физики и составляет одну из основ современной физики.
Краткое и элементарное изложение основных идей специальной тео-
теории относительности и тех изменений, которые специальная теория
относительности внесла в механику, содержится в следующих пара-
параграфах этой главы.
Однако нужно иметь в виду, что последующее изложение не может
дать полного представления о той огромной роли, которую идеи тео-
теории относительности сыграли в развитии всей физики. Создать такое
представление это изложение не в состоянии прежде всего потому, что
оно охватывает лишь вопросы механики теории относительности,
х) Термин «специальная» подчеркивает то обстоятельство, что эта теория рас-
рассматривает явления только в инерциальных системах координат. Явления в неинер-
циальных системах координат рассматриваются в общей теории относительности
(см. § 86),

240 MFXАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ IX
между тем идеи теории относительности, как уже отмечалось, глубоко
проникли почти во все другие разделы физики и оказали большое
влияние на их развитие. Более того, дальнейшее изложение механики
теории относительности не отражает полностью даже той роли, кото-
которую сыграла теория относительности в развитии механики.
Дело в том, что законы движения при скоростях, сравнимых со
скоростью света, изложены выше вне связи с теорией относительно-
относительности. Такое изложение преследовало цель сначала рассмотреть все те
вопросы механики, при обсуждении которых не возникает необходи-
необходимости учитывать влияние движения на показания основных измери-
измерительных инструментов, т. е. затрагивать вопросы, ответ на которые
дала теория относительности. Пользуясь только одной, специально
выбранной системой координат и основными измерительными инстру-
инструментами, покоящимися в этой системе координат, мы нигде не могли
столкнуться с вопросом о том, как связаны между собой показания
основных инструментов, покоящихся в различных системах координат.
Это и дало нам возможность рассматривать законы быстрых движений
как самостоятельную проблему, никак не связанную с теорией отно-
относительности.
По существу, дело так и обстоит: при истолковании и обобщении
экспериментальных фактов, касающихся быстрых движений, и фор-
формулировке законов этих движений можно обойтись без примене-
применения теории относительности, пока не ставится вопрос о переходе
к другим системам координат, движущимся по отношению к той
исходной системе координат, для которой эти законы сформулиро-
сформулированы. Исторически же дело обстояло совсем иначе: когда возникла
теория относительности, было известно еще очень мало эксперимен-
экспериментальных фактов о движениях быстрых электрически заряженных
частиц. Между тем уже в первой работе А. Эйнштейна по теории
относительности (появившейся в 1905 г.) были теоретически выведены
законы быстрых движений со всеми характерными их чертами (зави-
(зависимость массы от скорости, связь между энергией и массой, различие
между нормальным и тангенциальным ускорением и т. д.). Таким
образом, хотя по существу законы быстрых движений являются
обобщением опытных фактов и могут быть установлены независимо
от теории относительности, открытием этих законов наука обязана
теории относительности. Тем самым изложение законов быстрых
движений вне связи с теорией относительности является отступле-
отступлением от исторического хода развития механики теории относитель-
относительности.
Подобные отступления допущены и в дальнейшем изложении.
Они продиктованы следующими соображениями. Только благодаря
теории относительности стали ясными постановка некоторых вопросов
и содержание (а иногда и бессодержательность) некоторых утвержде-
утверждений классической физики. Только с точки зрения теории относитель-
относительности оказывается возможным отчетливо изложить те разногласия,

§ 60] РОЛЬ СКОРОСТИ СВЕТА 241
которые возникли между классической физикой и теорией относитель-
относительности, и указать те опыты, которые должны решить, какая из этих
теорий верна. Классическая же физика была не в состоянии сделать
это. Именно поэтому целесообразно излагать соответствующие вопросы
не так, как они возникли в свое время в классической физике, а так,
как они были освещены позднее в теории относительности.
Таким образом, отступления от исторического пути развития
теории относительности позволяют сделать изложение этой теории
более конкретным и доступным.
§ 60. Роль скорости света
В теории относительности была впервые отчетливо выяснена та
особая роль, которую в физике вообще и в механике, в частности,
играет скорость света. Как уже указывалось (§ 7), поскольку в меха-
механике возникает необходимость отсчитывать момент времени, когда
где-то произошло определенное событие, мы должны пользоваться
теми или иными сигналами, которые дали бы нам знать, когда «там»
это событие произошло. Если бы мы располагали сигналами, которые
распространяются мгновенно, то мы могли бы отсчитывать момент,
когда «там» произошло событие, непосредственно по часам, находя-
находящимся «здесь». Однако такими сигналами мы не располагаем. Наиболее
быстрые сигналы, которые мы можем использовать для указанной
цели, — это световые сигналы, которые распространяются хотя и
с большой (с точки зрения наших обычных масштабов), ко все же ко-
конечной скоростью. Поэтому в показания часов мы должны вносить
поправку на время распространения светового сигнала «оттуда» —
«сюда» (эта поправка зависит от скорости сигналов). Таким образом,
скорость световых сигналов играет существенную роль, если для от-
отсчета времени в разных местах мы пользуемся одними и теми же часами.
Если же для отсчета времени в разных местах мы пользуемся раз-
различными часами, которые находятся в тех местах, где происходят со-
события, то световые сигналы необходимы для того, чтобы синхронизо-
синхронизовать часы, находящиеся «здесь», и часы, находящиеся «там» (после их
транспортировки), т. е. скорость световых сигналов играет столь же
существенную роль. Именно вследствие этого, как уже указывалось
в § 7, в набор тех основных «инструментов», при помощи которых мы
производим измерения промежутков времени и расстояний, кроме
линеек и часов обязательно должны входить источники световых сиг-
сигналов. Поэтому наряду с вопросами о постоянстве длины линеек и
хода часов возникает вопрос о постоянстве скорости света.
В § 7 рассматривались методы измерения скорости света при по-
помощи линеек и часов. Существуют также астрономические методы
определения скорости света, в которых измеряется время распрост-
распространения светового сигнала «оттуда» — «сюда». Таков метод Рёмера,
опирающийся на видимое нарушение периодичности затмений спут-

242 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
ников Юпитера. Рёмер обнаружил, что время между двумя последую-
последующими затмениями каждого из спутников Юпитера по мере увеличе-
увеличения расстояния между Юпитером и Землей постепенно возрастает,
а затем, после того как это расстояние начинает уменьшаться, время
это снова постепенно сокращается. Из-за конечной скорости распро-
распространения света момент, когда затмение наблюдается на Земле, запаз-
запаздывает, если за время между двумя затмениями расстояние между
Землей и Юпитером возросло, и наоборот, этот момент наступает
раньше, если расстояние уменьшилось. Однако для того чтобы из этих
нарушений периодичности определить скорость света, нужно считать,
что движение спутников Юпитера строго периодично, т. е. что их
движения подчиняются законам Ньютона. Между тем вопрос о постоян-
постоянстве скорости света должен быть решен до того, как сформулированы
законы движения, ибо для формулировки и проверки законов движе-
движения мы уже должны пользоваться световыми сигналами для отсчета
времени и должны сделать предположения об их свойствах. Так же
обстоит дело и с другим астрономическим методом определения ско-
скорости света — по аберрации звезд (метод Брадлея). Он основан на
использовании определенных физических представлений, развивать
которые можно только после того, как установлены способы отсчета
расстояний и времени. Таким образом, непосредственное измерение
скорости света возможно только при помощи линеек и часов.
Измерение скорости световых сигналов при помощи линеек и часов
представляет собой проверку на опыте одного из основных «инстру-
«инструментов» — источника световых сигналов — при помощи других (ли-
(линеек и часов). Такая же возможность существует и по отношению
к двум другим основным инструментам. Длину линеек можно изме-
измерять при помощи часов и световых сигналов (такое устройство можно
назвать «световой линейкой»). Поместив на одном из концов линейки
(точка А) источник коротких световых сигналов, а иа другом конце
линейки (точка В) зеркало, отражающее идущие вдоль линейки све-
световые сигналы в обратном направлении, можно при помощи часов,
помещенных в точке Л, измерять промежуток времени т, в течение
которого световой сигнал проходит путь от Л до В и обратно. Зная
скорость света с, можно определить длину этого пути ст, а значит, и
длину линейки г). Аналогично ход часов можно проверять при помощи
линеек и световых сигналов. Для этого на двух концах линейки А и
В нужно установить зеркала, отражающие в обратном направлении
световые сигналы, пришедшие вдоль линейки. Короткий световой
сигнал, посланный вдоль линейки, будет «бегать» между зеркалами.
Промежуток времени т между двумя последовательными отражениями
*) Метод определения расстояния до какого-либо объекта по измерению про-
промежутка времени между моментом отправления короткого электромагнитного им-
импульса и моментом его возвращения после отражения от объекта приобрел сейчас
большое практическое значение в радиолокации для определения расстояния до
наблюдаемых локатором целей (самолетов, морских судов).

§ 60] РОЛЬ СКОРОСТИ СВЕТА 243
сигнала от одного из зеркал и является периодом того повторяющегося
процесса, который будет служить для измерения промежутков вре-
времени. Если длина линейки и скорость света известны, то мы можем
определить величину т и отсчитывать время при помощи описанного
устройства, которое может быть названо «световыми часами».
Как видим, благодаря тому, что в «комплект основных инстру-
инструментов» входят три инструмента, оказывается возможным изучать
поведение каждого из них при помощи двух других инструментов:
скорость световых сигналов измерять при помощи линеек и часов,
длину линеек измерять при помощи «световых линеек» (т. е. световых
сигналов и часов) и ход часов измерять при помощи «световых часов»
(т. е. световых сигналов и линеек).
Более того, если речь идет не об измерении, а только о сравне-
сравнении длин линеек, можно поставить опыт, пользуясь только световыми
сигналами и не пользуясь часами. Для этого линейки располагают так,
чтобы их качала лежали в одной точке А (направлены линейки могут
быть как угодно). На концах линеек (в точках Bt и В2) устанавливают
зеркала, которые отражают идущие вдоль линеек световые сигналы
в обратном направлении; у начала линеек (в точке А) устанавливают
источник световых сигналов. Посылая короткие световые сигналы
сразу вдоль двух линеек, можно непосредственно (без помощи часов)
определить, возвращаются ли сигналы в точку А одновременно. Одно-
Одновременность возвращения обоих сигналов указывает, что время их
распространения вдоль двух линеек туда и обратно одинаково (на-
(наоборот, нарушение одновременности возвращения сигналов указывает,
что это время различно). Зная скорости распространения сигналов
вдоль двух линеек, мы из равенства времен распространения сигналов
можем вывести определенные заключения о длине пройденных ими
путей, а значит, и о длине линеек.
Произведя в определенной последовательности описанные опыты
в одних случаях с неподвижными, а в других — с движущимися ли-
линейками, либо часами, либо источниками световых сигналов, мы смо-
сможем определить, как влияет движение на показания того или иного
кз основных инструментов, т. е. изменяется ли в результате движения
длина линеек, ход часов и скорость световых сигналов, и если изме-
изменяется, то как именно.
Принципиальное значение всех этих опытов состоит не только
в том, что в них проверяется поведение «комплекта основных инстру-
инструментов», но и в том, что в них участвует лишь этот комплект инстру-
инструментов. Как уже отмечалось выше, поведение основных инструментов
отражает свойства пространства и времени. Поэтому проверка на опыте
поведения основных инструментов представляет собой метод экспе-
экспериментального изучения свойств пространства и времени. С этой точки
зрения особенно важную роль играет то обстоятельство, что в опытах
по проверке трех основных инструментов участвуют только эти три
инструмента. Если бы для проверки инструментов, входящих в «ком-

244 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ IГЛ IX
плект трех основных инструментов», мы привлекали на помощь еще
какие-либо инструменты, не входящие в этот «комплект», то возникла
бы необходимость проверки этих дополнительных инструментов;
иначе говоря, «комплект основных инструментов» не обеспечивал бы
возможности экспериментального изучения свойств пространства и
времени. Существенно, что «комплект основных инструментов» яв-
является полным как в том смысле, что он обеспечивает все измерения,
необходимые для пространственно-временного описания движений,
так и в том смысле, что он обеспечивает возможность взаимной про-
проверки основных инструментов и вместе с тем возможность экспери-
экспериментального изучения свойств пространства и времени.
Обратим внимание, что во всех описанных выше опытах по про-
проверке одного основного инструмента с помощью других участвуют
световые сигналы. Без них проверять часы при помощи линеек или,
наоборот, линейки при помощи часов невозможно. В отсутствие све-
световых сигналов «комплект основных инструментов» (в котором остаются
только линейки и часы) теряет свою полноту. Без помощи световых
сигналов не только нельзя определять момент, когда «там» произошло
событие, но и нельзя проверить на опыте поведение линеек и часов при
движении. Таким образом, только присутствие световых сигналов
в «комплекте основных инструментов» обеспечивает возможность экспе-
экспериментального изучения свойств пространства и времени. При помощи
световых сигналов показания линеек и часов могут быть связаны
между собой, и благодаря этому могут быть поставлены опыты, в кото-
которых проявляются свойства как пространства, так и времени, а не
каждого из них в отдельности. Объектом экспериментального изуче-
изучения являются поэтому не пространство и время (каждое в отдель-
отдельности), а единое пространство — время. Исключение световых сигна-
сигналов из «комплекта основных инструментов» делает невозможным экс-
экспериментальное изучение свойств пространства — времени и опытную
проверку поведения основных инструментов.
Именно такое положение существовало в классической физике
в конце прошлого столетия. Предполагалось, что синхронность двух
часов не нарушается после того, как одни из них подверглись транс-
транспортировке. Но тогда часы после транспортировки не нуждаются в
синхронизации и отсчитывать время «там» можно, не пользуясь све-
световыми сигналами; значит, нет надобности включать источники све-
световых сигналов в число основных инструментов. В комплект основных
инструментов классической физики входили только два инструмента —
линейки и часы. Поэтому классическая физика не могла указать спо-
способа непосредственной проверки влияния движения на показания
основных инструментов и вынуждена была постулировать свойства
этих основных инструментов. Постулаты эти, в частности предполо-
предположение о том, что часы после транспортировки не нуждаются в синхро-
синхронизации, оказались ошибочными. Теория относительности отказалась
о г этих ошибочных постулатов классической физики, вследствие чего

$ 60] РОЛЬ СКОРОСТИ СВЕТА 245
возникла необходимость ввести в «комплект основных инструментов»
источники световых сигналов и вместе с тем появилась возможность
изучить на опыте влияние движения на поведение основных инстру-
инструментов.
Прежде всего при помощи подобных опытов можно выяснить,
зависит ли скорость распространения световых сигналов от скорости
движения источника этих сигналов. Прямой опыт по сравнению ско-
скоростей света, испускаемого двумя источниками, движущимися с раз-
разными скоростями, был выполнен А. М. Бонч-Бруевичем в 1955 г. х).
В этом опыте в качестве движущихся источников света были исполь-
использованы края солнечного диска, лежащие вблизи экватора. Так как
Солнце вращается вокруг своей
оси, то восточный и западный
края солнечного диска имеют
линейные скорости, направлен-
направленные в противоположные сторо- | ( \ \ ———*-Земля
ны. Скорость одного края на-
направлена к Земле, а другого —
от Земли (рис. 119). Абсолютная
величина этой скорости на эква-
торе составляет около 2 км/сек,
а следовательно, скорости за- Рис- 119-
падного и восточного краев
Солнца различаются на величину ^г 4 км/сек. Опыт состоял в том,
что при помощи очень чувствительного модуляционного устройства
сравнивались промежутки времени, в течение которых свет, идущий
от одиого или другого края Солнца, проходит туда и обратно путь
между двумя зеркалами, расположенными у поверхности Земли иа
расстоянии 1 км друг от друга.
В этом опыте «линейка» (т. е. Земля с двумя укрепленными на
ней зеркалами) и «часы» (т. е. модуляционное устройство, позволяю-
позволяющее измерять промежуток времени, в течение которого свет распро-
распространяется между зеркалами туда и обратно) находятся в одних и тех
же условиях: как «лииейка», так и «часы» все время неподвижны по
отношению к Земле. При переходе от одного края Солнца к другому
изменяется только скорость источника света относительно Земли.
Поэтому опыт позволяет непосредственно изучать влияние скорости
источника света на скорость распространения света. Поскольку
«линейка» и «часы» все время остаются неподвижными по отношению
*) Доводы в пользу того, что скорость света не зависит от скорости источника, уже
давно были найдены в некоторых астрономических наблюдениях. Однако, как уже
указывалось, астрономические наблюдения не принадлежат к числу прямых опытов.
С другой стороны, мы с самого начала отказались от попыток сохранить истори-
историческую перспективу при изложении теории относительности. Поэтому мы начинаем
с опыта А. М. Бонч-Бруевича, хотя хронологически он является последним из всех
опытов, на результаты которых нам придется ссылаться.

^46 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЕ TFOPHH ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ IX
к Земле, для того чтобы сделать выводы из этого опыта, не нужно ничего
знать о влиянии движения на длину линеек и ход часов.
В опыте А. М. Бонч-Бруевича не было обнаружено различие во
временах распространения, а значит, и в скоростях света, идущего
от двух краев Солнца. Как и во всех случаях, когда опыт дает отрица-
отрицательный результат, нельзя утверждать, что эффект (в данном случае
эффект зависимости скорости света от скорости источника) отсутствует.
Можно лишь утверждать, что он меньше определенной величины.
Опыт А. М. Бонч-Бруевича позволяет утверждать, что при времени
распространения сигнала /^7-10~6 сек различие во временах рас-
распространения света от двух краев Солнца не достигает величины
А/1,4-102 сек, т.е. относительное изменение скорости света
с t
Между тем отношение изменения скорости источника AvK к ско-
скорости света в описываемом опыте составляет Avjc ^ 1,3 • 10~5.
Значит, относительное изменение скорости света, если оно вообще
имеет место, по крайней мере в 60 раз меньше относительного изме-
изменения скорости источника света. Единственное предположение о за-
зависимости скорости света от скорости источника, которое удалось
разумно сформулировать, состоит в том, что скорость источника уи
складывается с той скоростью с, с которой распространяется свет от
неподвижного источника. Но в таком случае в опыте А. М. Бонч-
Бруевича относительное изменение скорости света, распространяю-
распространяющегося от двух краев Солнца, Avjc, должно было бы составлять
1,3 -10~5. Между тем опыт не обнаруживает даже в 60 раз меньшего
эффекта. Поэтому предположение, что скорость источника склады-
складывается со скоростью света, должно быть отвергнуто.
Поскольку каких-либо других разумных предположений на этот
счет сформулировать не удалось, опыт А. М. Бонч-Бруевича следует
толковать как экспериментальное доказательство независимости ско-
скорости света от скорости источника. Мы могли бы не делать этого обоб-
обобщающего вывода, а в каждом отдельном случае рассматривать, может
ли играть какую-либо роль эффект зависимости скорости света от
скорости источника, если величина этого эффекта меньше того порога,
который был найден в опыте А. М. Бонч-Бруевича. Однако приведен-
приведенные только что соображения, а также упоминавшиеся выше астрономи-
астрономические наблюдения, дают основания сделать общий вывод о том, что
скорость света не зависит от скорости источника. Этот вывод яв-
является одним из двух положений, лежащих в основе теории относи-
относительности х).
г) Необходимо подчеркнуть, что постулат о независимости скорости света от
скорости источника был сформулирован и введен в теорию относительности при
ее возникновении, т, е. задолго до того, как А, М. Бонч-Бруевич выполнил описан-
описанный опыт.

§ 61] СОКРАЩЕНИЕ РАЗМЕРОВ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ 247
§ 61. Сокращение размеров тел при движении
После того как на опыте установлено, что скорость световых сиг-
сигналов не зависит от скорости движения источника этих сигналов,
с помощью световых сигналов можно сравнить длину движущихся
линеек, по-разному ориентированных относительно скорости движе-
движения, т. е. установить на опыте, зависит ли длина линейки от направ-
направления и величины скорости, с которой эта линейка движется. Чтобы
избежать применения в этом опыте часов (свойства которых еще не
изучены), нужно, как указывалось в предыдущем параграфе, распо-
расположить сравниваемые линейки так, чтобы их начала лежали в одной
точке, а на концах линеек расположить зеркала. Опыт такого рода
был впервые осуществлен Майкельсоном в 1881 г., а затем неодно-
неоднократно повторялся с целью повышения точности полученных резуль-
результатов. Прежде чем излагать сущность опыта Майкельсона, поясним
его идею с помощью следующей наглядной модели.
Представим себе, что в центре жесткой сферы, внутренняя по-
поверхность которой отражает падающий на нее свет, находятся наблю-
наблюдатель и источник очень коротких световых сигналов, распространяю-
распространяющихся по всем направлениям. Очевидно, что если все направления
равноправны, то световые сигналы одновременно достигнут поверх-
поверхности сферы и, отразившись от нее, одновременно вернутся обратно.
В какой-то момент времени наблюдатель увидит, что вся сфера сразу
осветилась. Однако если вся сфера вместе с источником и наблюда-
наблюдателем движется в каком-то направлении, то равноправие всех напра-
направлений в пространстве может быть нарушено. Нельзя заранее утверж-
утверждать, что вся сфера осветится одновременно. Возможно, наблюдатель
увидит, что сначала освещаются одни части сферы, а затем — другие.
Опыт Майкельсона и должен был дать ответ на вопрос, нарушает ли
общее движение сферы, источника света и наблюдателя равноправие
всех направлений в пространстве. Ответ на этот вопрос был отрица-
отрицателен. Как и в случае неподвижной сферы, наблюдатель увидел бы,
что вся сфера освещается сразу.
В опыте Майкельсона вместо такого случая — распространения
световых сигналов во всех направлениях —осуществляется рас-
распространение световых сигналов только в двух направлениях, вдоль
двух одинаковых линеек, расположенных перпендикулярно друг
к другу. Цель опыта состоит в том, чтобы выяснить, нарушается ли
равноправие направлений вдоль двух линеек при движении всей уста-
установки вдоль одной из линеек.
Основная трудность в осуществлении опыта состоит в том, что
влияние движения при малых скоростях не может быть заметно,
и для того чтобы его можно было обнаружить, скорость движения
должна быть не очень мала по сравнению со скоростью света.
В опыте Майкельсона было использовано движение Земли по
ее орбите со скоростью около 30 км/сек (§ 27). Конечно, используя

248 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
эту скорость, мы не можем останавливать приборы и снова приво-
приводить их в движение. Зато, поворачивая всю установку, можно изме-
изменять расположение приборов относительно этой скорости. Если уста-
установка расположена так, что одни световые сигналы распространяются
вдоль направления скорости движения Земли по ее орбите, а дру-
другие — перпендикулярно к этой скорости, то, повернув установку на
90°, мы достигнем того, что направление распространения первых
световых сигналов окажется перпендикулярным к направлению ско-
скорости движения Земли по ее орбите, а вторых —совпадающим с на-
направлением этой скорости.
В опыте Майкельсона, как ясно из сказанного выше, дело своди-
сводилось к выяснению вопроса, влияет ли поворот установки на времена
распространения двух световых сигналов, из
которых один распространяется в направле-
направлении движения установки, а другой — в пер-
перпендикулярном направлении. Пользуясь яв-
явлением интерференции световых волн, можно
jl с очень большой точностью сравнивать между
а собой промежутки времени, за которые свет
^ проходит туда и обратно по различным путям.
р В последних установках для осуществления
^ опыта Майкельсона при сравнении этим спо-
собом двух промежутков времени была до-
р 120 стегнута точность в 10~18 сек. Однако в меха-
механике было бы нецелесообразно рассматривать
те оптические явления, которые происходят
в установке Майкельсона и позволяют достичь такой точностих).
Поэтому мы заменим реальный опыт Майкельсона некоторым вообра-
воображаемым опытом, который принципиально эквивалентен реальному
опыту и должен дать те же результаты.
Представим себе (рис. 120), что на жесткой плите в точке S уста-
установлен источник света, посылающий во всех направлениях очень
короткие световые сигналы. На двух взаимно перпендикулярных на-
направлениях установлены зеркала А к Ву отражающие световые сиг-
сигналы обратно в точку S. В этой точке, помимо источника света, нахо-
находится устройство, позволяющее точно констатировать, одновременно
ли возвращаются в точку S световые сигналы, отраженные от зеркал
А и В.
Таким образом, в этом опыте две линейки, длины которых мы
должны сравнить, заменены двумя линиями SA и SB на жесткой
плите (содержание опыта от этой замены, конечно, не меняется).
Плита может вся целиком, вместе с приборами, поворачиваться отно-
*) Описание опыта Майкельсона см. Г. С. Л а н д с б е р Гу Оптика, изд. 3-е,
Гостехиздат, 1954.

§ 61] СОКРАЩЕНИЕ РАЗМЕРОВ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ 249'
сительно вертикальной оси. Так как плита вместе с Землей движется
по ее орбите, то для выяснения вопроса о влиянии этого движения
на размеры плиты в том или другом направлении мы должны рас-
рассматривать движение плиты относительно Солнца и звезд, т. е. отно-
относительно «неподвижной» системы отсчета (относительно системы
отсчета, связанной с Землей, плита покоится).
Пусть сначала установка ориентирована так, что ее скорость
относительно Солнца и звезд, т, е. скорость движения Земли по ор-
орбите (v = 30 км/сек), направлена по SA. Зеркала устанавливаются
так, чтобы сигналы, отраженные от зеркал Л и В, возвращались в
точку S одновременно. После этого установка поворачивается на 90°,
так что скорость v оказывается направленной по SB. При этом, как
показывает опыт, сигналы, отраженные от Л и В, по-прежнему воз-
возвращаются в точку S одновременно.
Следовательно, равенство времен рас- к s/J^i
пространения сигналов вдоль скоро-
скорости v («продольного» сигнала) и по- ? \С—?- 1 I
перек этой скорости («поперечного» ^^^ I ~|
сигнала) не нарушается, когда про- ^/г'г А /
дольный и поперечный сигналы ме- v ж Y*
няются местами.
Поскольку мы пытаемся обнару- рис- 121.
жить влияние движения Земли от-
относительно Солнца и звезд (т. е. относительно «неподвижной» си-
системы отсчета), следует и картину распространения световых сиг-
сигналов в опыте Майкельсона рассматривать также относительно «не-
«неподвижной» системы отсчета. В этой системе отсчета «продоль-
«продольный» и «поперечный» сигналы прежде всего отличаются тем, что ско-
скорость движения источника световых сигналов в первом случае направ-
направлена вдоль направления движения сигнала, а во втором — поперек
этого направления. Но так как опытом, описанным в предыдущем
параграфе, установлено, что скорость распространения сигналов не
зависит от скорости источника, мы должны считать, что продольный
и поперечный сигналы распространяются с одинаковой скоростью.
Следовательно, если время распространения одинаково для обоих
сигналов, то и пути, проходимые продольным и поперечным сигналом
в «неподвижной» системе отсчета, одинаковые в первом положении
установки (напомним, что перед опытом зеркала были установлены
так, чтобы сигналы из Л и В возвращались в S одновременно), остаются
одинаковыми и во втором положении установки. Для того чтобы сде-
сделать из этого интересующий нас вывод, найдем длины путей, прохо-
проходимых продольным и поперечным сигналами в «неподвижной» системе
отсчета.
Обозначим расстояния, на которых были установлены зеркала Л
и В в начале опыта, соответственно SA через /' и SB через / (эти рас-
расстояния мы не измеряем, а подбираем так, чтобы обеспечить одно-

250 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
временность возвращения сигналов в точку S; поэтому мы не должны
при подготовке опыта применять линейки).
Найдем сначала путь, проходимый продольным сигналом, т. е.
сигналом, отражающимся от зеркала А в начальном положении
установки (для нахождения путей в этой задаче в качестве вспомога-
вспомогательной величины удобно пользоваться временем распространения
сигнала). Если х[— время распространения сигнала от S до Л, то
за это время зеркало Л удалится на расстояние vx\ и займет положе-
положение Л', а точка S —положение S' (рис. 121). Световой сигнал дол-
должен будет нагонять зеркало, и если скорость света есть с, то пройден-
пройденный сигналом путь сх\ — V + ьх\у откуда
Если время распространения сигнала обратно, от А' до S", есть х'%
{за это время точка S пройдет навстречу сигналу расстояние vx2 и
займет положение S"), то пройденный сиг-
сигналом путь сх'2 = Г — vxoy откуда
a:' = —L—m (9.17)
2 1 + v/c v /
Складывая (9Л6) и (9.17), получим путь,
проходимый продольным сигналом от S
до Л и обратно:
где х — время распространения продоль-
продольного сигнала туда и обратно.
Рис. 122. Найдем теперь путь, проходимый попе-
поперечным сигналом. Если хк — время распро-
распространения сигнала до зеркала В, то за это время точка S переместит-
переместится на vxx и займет положение S' (рис. 122). Аналогично, если т2 —
время распространения поперечного сигнала обратно от В до S, то
за это время точка S переместится еще на расстояние vx2 и займет
положение S". За все время распространения поперечного сигнала
туда и обратно г = тх + т2 точка переместится на расстояние т.
Весь пройденный поперечным сигналом путь от S до В и обратно:
.откуда
Л (9.19)
Так как предварительно / и V были подобраны так, что т' = т,
то правые части выражений (9.18) и (9.19) должны быть равны:

§ 61] СОКРАЩЕНИЕ РАЗМЕРОВ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ 251
ИЛИ
r = lV\-iPl<*. (9.21)
Это равенство должно быть справедливо как в первой части опыта,
когда продольный сигнал отражается от зеркала Л, а поперечный —
от зеркала В, так и во второй части опыта, когда «продольный» отра-
отражается от Ву а «поперечный» — от Л. Но это возможно лишь в том
случае, если при повороте установки меняются местами не только
«продольный» и «поперечный» сигналы, но и расстояния V и /, а именно:
расстояние до зеркала Л, прежде равное /', становится равным /, а рас-
расстояние до зеркала В, прежде равное /, становится равным /'. Иначе
говоря, при повороте установки «продольное» расстояние /', превра-
превращаясь в «поперечное» /, увеличивается в отношении ^= — —.
а «поперечное» расстояние /, превращаясь в «продольное» /', умень-
уменьшается в отношении *'— ^ l — v2/c2 i Вместе с тем из (9.21) следует,
что при v = О должно быть /' = /. Это, впрочем, очевидно и без (9.21):
если установка покоится, то зеркала Л и В должны быть установлены
на одинаковом расстоянии от S, чтобы сигналы от обоих зеркал воз-
возвращались в S одновременно.
Итак, опыт Майкельсона состоит в том, что с помощью световых
сигналов сравниваются расстояния между лежащими в разных на-
направлениях фиксированными точками твердого тела, движущегося
с постоянной скоростью v относительно «неподвижной» системы от-
отсчета1). Сравнение производится при различной ориентировке тела
относительно скорости ©. Для сравнения этих расстояний сопостав-
сопоставляются пути, проходимые световыми сигналами в «неподвижной»
системе координат. То обстоятельство, что в опыте Майкельсона источ-
источник световых сигналов сам движется, не может играть роли, поскольку
скорость световых сигналов не зависит от скорости их источника.
Впрочем, здесь можно было бы не ссылаться на то, что скорость свето-
световых сигналов не зависит от скорости источника, а сослаться на непо-
непосредственный опыт. Позднее опыт Майкельсона был повторен с тем
отличием, что вместо источника света, связанного с движущейся уста-
установкой, в качестве источника света была использована одна из звезд.
Опыт этот дал те же результаты, что и опыт Майкельсона. Таким
образом, непосредственно было доказано, что движение источника
света в опыте Майкельсона не играет роли.
Результат опыта Майкельсона состоит в том, что пути, проходимые
световыми сигналами, распространяющимися вдоль и поперек ско-
скорости ©, остаются одинаковыми при различной ориентировке тела
*) В соответствии с избранным методом изложения содержание и результаты
опыта Майкельсона описываются не так, как их понимала классическая физика,
когда опыт Майкельсона был задуман и осуществлен, а так, как следует толковать
содержание н результаты опыта с точки зрения теории относительности.

252 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
относительно скорости v. Отсюда прежде всего следует, что движение
с постоянной скоростью всей установки в целом никак не сказывается
на результатах опыта, а значит, не может быть обнаружено на опыте.
Но из результатов опыта должен быть сделан и другой важный вывод.
Прямой расчет, произведенный выше, показывает, что если бы расстоя-
расстояния между фиксированными точками твердого тела (плиты, на которой
установлены приборы) не изменялись при изменении ориентировки
плиты относительно скорости ©, то, как следует из сопоставления (9.18)
и (9.19), пути, проходимые продольными и поперечными световыми
сигналами в «неподвижной» системе отсчета, оказались бы различ-
различными. Между тем опыт показывает, что пути остаются одинаковыми.
Отсюда следует, что при изменении ориентировки плиты относительно
скорости ъ расстояния между фиксированными точками плиты не ос-
остаются неизменными, а изменяются так, что в направлении скорости v
расстояние сокращается (по сравнению с тем, каким оно было бы при
v = 0) в отношении |/"l —v2/c2: 1, а в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к vt сокращение отсутствует.
Как показывает более детальное рассмотрение, сокращение про-
происходит и во всех других направлениях так, что если в отсутствие
движения фиксированные точки тела располагаются на сфере ра-
радиуса г0, то при движении со скоростью © эти точки располагаются
по поверхности эллипсоида вращения с полуосями г0 |/~1 — v2lc2\ r0;
г0, причем первая (укороченная) полуось лежит в направлении ско-
скорости V.
Подчеркнем еще раз, что это сокращение размеров тела при дви-
движении обнаружено в результате сравнения путей, проходимых свето-
световыми сигналами в той системе координат, относительно которой тело
движется. В опыте Майкельсона ею служит «неподвижная» система
отсчета. В этой системе координат и обнаружено сокращение дви-
движущегося тела.
К выводу о сокращении размеров тел при движении приводит
отрицательный результат опыта Майкельсона. Если бы сокращения
не происходило, то при повороте установки равенство г = %' должно
было бы нарушиться. Поэтому важно знать, с какой точностью срав-
сравниваются эти времена тит'в опыте Майкельсона. Ведь если бы ока-
оказалось, что разница во временах т и т', которой вообще можно ожидать,
меньше, чем достигнутая в установке точность сравнения, то, конечно,
на основании отрицательного результата опыта Майкельсона мы никак
не могли бы сделать заключения о сокращении продольных размеров тел.
Легко видеть, что если бы продольные размеры тел не сокращались,
то при повороте прибора время т должно было бы увеличиться в от-
отношении 1 \]/~\ — v2/c2, а время т'— уменьшиться в отношении
}rl — v2/c2 : 1, причем отношение т : т' уже было бы равно не единице,
а 1: A — \ \. Для опыта Майкельсона v = 30 км/сек и v*lc* =

§ 6lJ СОКРАЩЕНИЕ PA3MFPOB ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ 253
— 1 • КГ8, т. е. необходимо было бы обнаружить разность времен
прихода сигналов в т-10"8 сек. Само время распространения сигнала
в наиболее совершенных установках, на которых производился опыт
Майкельсона, составляло около 5-10"8 сек (длина пути луча — около
15 м)9 и разность времен прихода, которая должна была бы получиться
(если бы продольные размеры тел не сокращались), составила бы
5-106 сек. Между тем при сравнении времен распространения сигна-
сигналов в последней установке, как уже указывалось, была обеспечена
точность в 10~18 сек, т. е. во много раз более высокая, чем та, которая
необходима для обнаружения эффекта, если бы он существовал. По-
Поэтому отрицательный результат опыта Майкельсона дает совершенно
надежные основания для вывода о сокращении продольных размеров
тел при движении.
Объяснение отрицательного результата опыта Майкельсона со-
сокращением размеров движущихся тел было впервые предложено
Фитцжеральдом в 1891 г., а затем независимо Лорентцем. Оба они
при этом предполагали, что эффект сокращения размеров тела воз-
возникает только при движении тела относительно Солнца и звезд, т. е.
относительно «неподвижной» системы отсчета. Когда же тело по-
покоится в «неподвижной» системе отсчета, а движется относительно
какой-либо другой инерциалькой системы отсчета (которая при
этом, очевидно, сама движется относительно «неподвижной»), то в этой
инерциальной системе отсчета, согласно представлениям Фитцже-
ральда и Лорентца, эффект сокращения размеров тела не возникает.
Хотя в опыте Майкельсона установка двигалась относительно «непо-
«неподвижной» системы отсчета, однако это не дает основания утверждать
именно то5 что имели в виду Фитцжеральд и Лорентц, так как опыт
Майкельсона с установкой, покоящейся относительно Солнца и звезд
(но движущейся относительно какой-либо другой инерциальной си-
системы отсчета), вообще не был произведен. Предположение Лорентца
о том, что сокращение размеров тела происходит только при его дви-
движении относительно «неподвижной» системы отсчета, не является
необходимым следствием из опыта Майкельсона. Результат опыта
Майкельсона объясняется и в том случае, если эффект сокращения
размеров тела возникает в любой системе отсчета (в том числе
и в «неподвижной») при движении тела относительно этой систе-
системы отсчета. Эта вторая точка зрения была выдвинута Эйнштейном.
В основе точки зрения Лорентца лежит представление о том,
что система отсчета, связанная с Солнцем и звездами, занимает
особое положение по сравнению со всеми другими инерциальными
системами отсчета. Это особое положение сказывается, в частности, в
том, что из всех одинаковых линеек, покоящихся в различных систе-
системах отсчета, линейка, покоящаяся в «неподвижной» системе отсчета,
была бы самой длинной, так как линейки, покоящиеся в других си-
системах отсчета, двигаясь относительно «неподвижной», сокращались
бы по сравнению с покоящейся в «неподвижной» системе отсчета.

254 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
Эта точка зрения, что система отсчета, связанная с Солнцем и
звездами, занимает особое положение среди всех инерциальных
систем отсчета, опирается на представления об электромагнитных
явлениях, существовавшие прежде в классической физике. Пред-
Представления эти сводились к тому, что все электромагнитные явления
(в том числе и световые) протекают в электромагнитном эфире, запол-
заполняющем все пространство и неподвижном относительно Солнца и
звезд, т. е. покоящемся в «неподвижной» системе отсчета. Особое
положение этой системы отсчета с точки зрения классической фи-
физики обусловлено именно тем, что в этой системе отсчета эфир не-
неподвижен. Но тогда приборы, движущиеся относительно звезд, дви-
движутся и относительно эфира, и можно попытаться обнаружить это
движение.
Опыт Майкельсона раньше рассматривали именно как одну из
попыток обнаружить это движение («эфирный ветер»). Но «эфирный
ветер» не был обнаружен не только в опыте Майкельсона, но и в ряде
других электрических опытов, которые были предприняты с той же
целью. Более того, зти опыты приводили к явному противоречию —
для объяснения их нужно было бы предположить, что эфир покоится
по отношению к разным комплектам приборов, которые движутся
друг относительно друга. Таким образом, сама постановка вопроса
о движении эфира или о движении относительно эфира приводит
к противоречиям.
Но если нельзя говорить о движущемся или покоящемся эфире,
то нет никаких оснований выделять систему отсчета, связанную с
Солнцем и звездами.
Поскольку не удается не только обнаружить на опыте прямоли-
прямолинейное и равномерное движение относительно звезд, но и вообще
выделить по каким-либо признакам систему отсчета, связанную
с Солнцем и звездами, нужно признать, что эта система отсчета
ничем не отличается от всех других инерциальных систем отсчета.
Следовательно, во всех системах отсчета, движущихся прямо-
прямолинейно и равномерно относительно Солнца и звезд, и в частности
в неподвижной относительно Солнца и звезд, любые физические яв-
явления должны протекать одинаково и любые физические опыты должны
дать одинаковый результат, — конечно, при условии, что не только
все тела и приборы, при помощи которых производятся опыты, но и
все условия (и в частности начальные условия), в которые поставлены
зти тела и приборы, во всех системах отсчета одинаковы. Поэтому
все физические законы должны выглядеть одинаково как для системы
отсчета, связанной с Солнцем и звездами, так и для любой системы
отсчета, движущейся относительно Солнца и звезд прямолинейно
и равномерно. Все эти системы отсчета равноправны.
Это положение о полном равноправии всех инерциальных систем
отсчета было сформулировано А. Эйнштейном и получило название
специального принципа относительности (так как оно относится только

§ 61] СОКРАЩЕНИЕ РАЗМЕРОВ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ 255
К СПеЦИаЛЬНОМу ?ЛучаЮ ПРЯМОДИЖЙШТО и равномерного движения
систем отсчета). При этом как скорости тел, так и скорости движе-
движения систем отсчета друг относительно друга не должны быть исче-
зающе малы по сравнению со скоростью света (в отличие от того, что
имелось в виду для принципа относительности Галилея).
Специальный принцип относительности наряду с сформулирован-
сформулированным в § 60 положением о том, что скорость света не зависит от скорости
излучающего свет источника, являются двумя основными постулатами
специальной теории относительности.
Исходя из равноправия всех инерциальных систем отсчета, мы
должны заключить следующее: если в какой-либо одной из инер-
циальных систем отсчета (все равно, неподвижна она или движется
прямолинейно и равномерно относительно Солнца и звезд) существует
какое-либо физическое явление, то это же физическое явление должно
существовать и во всякой другой кнерциальной системе отсчета.
А значит, и эффект сокращения размеров движущихся тел, обнаружен-
обнаруженный в опыте Майкельсона при движении тела относительно «неподвиж-
«неподвижной» системы отсчета, должен возникать при движении тела отно-
относительно любой инерциальной системы отсчета. Поэтому в любой
инерциальной системе отсчета опыт Майкельсона должен дать
один и тот же (отрицательный) результат, так как сокращение разме-
размеров тела, происходящее при движении тела в данной системе отсчета,
как раз компенсирует разницу длин путей, проходимых продоль-
продольным и поперечным световыми сигналами в той же системе отсчета.
В соответствии с принципом относительности опыт Майкельсона (как
и всякий опыт) не может обнаружить равномерного и прямолиней-
прямолинейного движения всех приборов в целом относительно любой инерциаль-
инерциальной системы отсчета.
Чтобы отчетливее представить себе различие точек зрения Лорентца и Эйнштей-
Эйнштейна на результаты опыта Майкельсона, вернемся еще раз к точке зрения Лорентца.
Как с этой точки зрения следует толковать опыт Майкельсона в какой-либо
инерциальной, но не «неподвижной» системе отсчета? Прежде всего, так как та-
такой опыт не был произведен, то нужно высказать какое-то предположение о том,
какой результат дал бы этот опыт, если бы он был произведен. Выделяя «неподвиж-
«неподвижную» систему отсчета из всех инерциальных систем, Лорентц наделил ее тем особым
свойством, которое должно дать возможность обнаружить при помощи физических
опытов прямолинейное и равномерное движение относительно зтой «неподвижной»
системы отсчета. Однако опыт Майкельсона, как оказалось, не способен обнаружить
этого движения, правда, в силу «случайной» причины — сокращения размеров тел,
как раз компенсирующего неравенство путей, проходимых продольным и попереч-
поперечным световыми сигналами в неподвижной системе отсчета.
Но если опыт Майкельсона не способен обнаружить прямолинейного и равномер-
равномерного движения относительно «неподвижной» системы отсчета, то с точки зрения
Лорентца было бы в высшей степени странно, если бы этот опыт позволил обнару-
обнаружить движение установки Майкельсона относительно какой-либо другой инерциаль-
инерциальной системы отсчета (которая так движется относительно «неподвижной», чго
установка Майкельсона в этой «неподвижной» системе отсчета покоится). Ведь
это значило бы, что «неподвижная» система отсчета в отношении опыта Майкель-
Майкельсона среди всех других инерциальных систем не выделяется тем особым свойством,
которым наделил ее Лорентц. Значит, с точки зрения Лорентца следует ожидать,

256 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГГЛ. IX
что во всех инерциальных системах отсчета опыт Майкельсона должен дать отри-
отрицательный результат.
Однако объяснить этот отрицательный результат сокращением размеров тел
при движении невозможно, так как во всех инерциальных системах отсчета (кро-
(кроме «неподвижной») этот эффект сокращения, по мнению Лорентца, должен отсутство-
отсутствовать. Стоя на точке зрения Лорентца, мы можем указать только одно объяснение от-
отрицательного результата опыта Майкельсона: в ииерциальных системах отсчета,
движущихся относительно «неподвижной», нельзя так рассчитывать пути, проходи-
проходимые «продольным» и «поперечным» световыми сигналами, как мы это делали в § 60.
Ведь именно этот расчет приводил к различным длинам путей «продольного» (9.18)
и «поперечного» (9.20) световых сигналов; а вследствие различия путей равенство
времен распространения должно нарушиться при повороте установки, если сокра-
сокращения размеров тел не происходит.
В чем же заключаются те особенности расчета путей световых сигналов, которые
с точки зрения Лорентца делают этот расчет неприменимым в системах отсчета,
движущихся относительно «неподвижной»? Все дело в том, что в нашем расчете учи-
учитывается движение только зеркал и приборов, регистрирующих приход световых
сигналов, но не учитывается движение эфира. Пока речь идет о движении приборов
относительно «неподвижной» системы отсчета, в которой с точки зрения Лорентца
эфир покоится, то действительно нужно учитывать только движение приборов. Но
в системе отсчета, движущейся относительно «неподвижной», с точки зрения Ло-
Лорентца эфир движется и его движение должно сказаться на распространении сигна-
сигналов. Расчет путей распространения световых сигналов, примененный в § 60, не учи-
учитывал этого обстоятельства (впрочем, как следует учитывать это обстоятельство —
было неясно)и поэтому сточки зрения Лорентца не должен давать правильных резуль-
результатов. Так как расчет путей распространения сигналов, примененный в § 60, с точки
зрения Лорентца законен только в «неподвижной» системе отсчета, то вытекающий
из опыта Майкельсона и этого расчета вывод о сокращении размеров тел при движении
также законен только для движения тела относительно «неподвижной» системы от-
отсчета.
С точки зрения Эйнштейна эфир вообще должен быть исключен из рассмотрения,
и при расчете путей, проходимых световыми сигналами, следует принимать во вни-
внимание только движение участвующих в опыте приборов,а не эфира, т,е. движение зер-
зеркал и приборов, регистрирующих приход сигналов. Поэтому приведенные в § 60
расчеты путей распространения продольного и поперечного сигналов одинаково
применимы во всех инерциальных системах отсчета. А значит, если во всех инер-
инерциальных системах отсчета (вследствие их полного равноправия) опыт Майкель-
Майкельсона должен давать один и тот же (отрицательный) результат, то с точки зрения Эйн-
Эйнштейна эффект сокращения размеров твердого тела должен существовать при дви-
движении тела относительно всякой инерциальной системы отсчета.
Ясно, что эффект сокращения размеров тел при движении при-
приводит, в частности, к сокращению длины линейки в том случае, когда
линейка движется вдоль своей длины, и это должно сказываться на
результатах измерений расстояний при помощи движущейся ли-
линейки 1). Для того чтобы было ясно, когда и как сказывается сокра-
сокращение длины линеек на результатах измерений, рассмотрим, как мы
уже делали, две инерциальные системы отсчета К и К", причем К
движется относительно К вдоль оси х со скоростью v. В каждой из
систем отсчета вдоль оси х расположена неподвижно линейка.
*) Движение линейки в направлении, перпендикулярном к ее длине, вызывает
сокращение только поперечных размеров линейки, а не*ее длины, и поэтому не может
сказаться на результатах измерений расстояния.

§ 61] СОКРАЩЕНИЕ РАЗМЕРОВ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ 257
Для упрощения дальнейших рассуждений положим, что обе линейки
совершенно одинаковы и пока они обе покоятся в одной из систем
координат, например в К, они имеют одинаковую длину 1I которую
мы обозначим /.
Перенесем теперь одну из линеек в систему К'• Поскольку обе
системы совершенно равноправны, а линейки одинаковы, линейка,
перенесенная в систему К' и покоящаяся в этой системе, также будет
иметь длину L Эту длину /, которую имеют линейки в той системе
отсчета, в которой они покоятся, можно назвать «длиной покоя».
Но линейка, покоящаяся в /(, движется относительно К! со скоро-
скоростью v. Вследствие эффекта сокращения размеров тел линейка, покоя-
покоящаяся в системе К, в системе К' имеет меньшую длину
С другой стороны, линейка, покоящаяся в К', движется относительно /С
со скоростью —v. Вследствие эффекта сокращения размеров тел эта
линейка в системе К также имеет длину
Как и следовало ожидать, в силу полного равноправия систем
координат и идентичности линеек в каждой системе координат полу-
получаются одинаковые результаты: «своя» линейка длиннее «чужой».
В том, что в рассматриваемом случае две идентичные линейки оказы-
оказываются не одинаковыми по длине в одной системе отсчета, нет ни-
никакого противоречия с принципом относительности. Ведь обе линейки
хотя и идентичны, но в каждой системе отсчета они находятся в раз-
разных условиях: в системе К покоится первая линейка и движется вто-
вторая, в системе К' покоится вторая линейка и движется первая. По-
Поэтому в системе К сокращается длина второй линейки, а в системе К
сокращается длина первой.
Чтобы не нарушить равноправия всех инерциальных систем
отсчета, мы должны во всех системах отсчета пользоваться
линейками, поставленными в одинаковые условия, а именно: в ка-
каждой системе отсчета пользоваться линейкой, покоящейся в этой
системе отсчета. Но это значит, что в разных системах отсчета
мы пользуемся линейками, движущимися одна относительно другой.
Следовательно, связывая между собой результаты измерений, произ-
произведенных в разных системах отсчета, мы должны соответствующим
образом учитывать роль сокращения длины линеек.
Поскольку величина этого сокращения нам известна из опыта
Майкельсона, мы можем в каждом конкретном случае заранее указать,
*) Пока линейки не движутся одна относительно другой, легко проверить, имеют
ли они одинаковую длину: если расположить линейки так, чтобы их начальные
штрихи совпадали, то при этом должны совпасть и их конечные штрихи,
9 С. Э. Хайкиц

258 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ГХ
каким должно быть соотношение между длинами движущейся и не-
неподвижной линеек. Но мы еще не установили, как можно непосредст-
непосредственно проверить это соотношение между длинами двух параллельно
расположенных линеек, одна из которых движется относительно дру-
другой (ведь в опыте Майкельсона сравниваются две линейки, располо-
расположенные под прямым углом друг к другу и движущиеся вместе в на-
направлении одной из них).
Способ сравнения длин движущейся и неподвижной линеек должен
быть таким, чтобы он включал как частный случай сравнение длин
неподвижных линеек. Две неподвижные линейки имеют одинаковую
длину, если при совпадении их начальных штрихов совпадают также
и их конечные штрихи. Как мы это контролируем? Установив, что
совпадают начальные штрихи линеек, мы можем перейти к другому
концу линеек и проверить, совпадают ли их конечные штрихи. Про-
Промежуток времени между первым и вторым наблюдением не играет
роли. Так как линейки неподвижны, то если какие-то их штрихи сов-
совпадают в один определенный момент времени, они совпадают всегда,
поэтому констатировать совпадение начальных и конечных штри-
штрихов мы можем в моменты, разделенные каким угодно промежутком
времени.
Но так как для движущихся линеек совпадение начальных штрихов
происходит только в какой-то единственный, определенный момент
времени, то при равенстве длин линеек должны совпадать в этот же
момент времени и конечные штрихи обеих линеек. Если же длины
линеек не одинаковы, то в тот момент, когда совпадают начальные
штрихи обеих линеек, конечный штрих одной из линеек совпадает
не с конечным, а с каким-либо промежуточным штрихом другой ли-
линейки. Установив, с каким именно промежуточным штрихом второй
линейки совпадает конечный штрих первой в тот момент, когда началь-
начальные штрихи обеих линеек совпадают, мы находим соотношение между
длинами неподвижной и движущейся линеек. Таким образом, срав-
сравнение длин движущейся и неподвижной линеек требует констатации
двух событий (совпадения определенных штрихов линеек), происходя-
происходящих в один и тот же момент времени, но в разных местах (у двух кон-
концов линеек). Для этого должна быть обеспечена возможность оп-
определения одновременности двух событий, происходящих в разных
местах.
Как было показано (§ 7), для этого необходимо расставить ряд
неподвижных часов в разных точках (вдоль линеек) и синхронизовать
их между собой. Если двое синхронизованных часов, расположенных
в тех точках, в которых происходят события, в момент, в который
происходят события, дают одинаковые показания, то, значит, собы-
события происходят одновременно. Однако по каким часам констатировать
одновременность совпадения штрихов линеек при сравнении длин двух
движущихся линеек? Ведь для того, чтобы не нарушить равноправия
в системах К и /f', мы должны расставить две системы часов — одну

§ 62J ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 259
неподвижную в системе К и другую неподвижную в системе К • Ка-
Каждая из этих систем неподвижных часов после того, как она синхро-
синхронизована, позволяет установить одновременность двух событий, про-
происходящих в разных точках. Но эти две системы часов движутся одна
относительно другой. Поэтому для того чтобы сопоставить показания
одной системы часов с показаниями другой, нужно знать, как влияет
движение часов на их ход. Вследствие того, что движение часов влияет
на их ход, две системы часов, неподвижных одна в системе К, а другая
в системе К' и синхронизованных каждая «внутри себя», оказываются
несинхронизованными друг с другом.
Поэтому для рассмотрения результатов непосредственного срав-
сравнения длин неподвижной и движущейся линеек предварительно
необходимо установить, как связаны между собой показания часов,
неподвижных в системах К и К' (что будет сделано в следующем
параграфе). Установив это, мы сможем выяснить, как повлияет на
результат сравнения длин двух линеек (покоящихся одна в системе К
и другая в системе К'), если для констатации одновременного сов-
совпадения штрихов на линейках мы будем пользоваться разными систе-
системами часов (либо покоящимися в системе К> либо покоящимися в си-
системе К')-
§ 62. Замедление хода движущихся часов
Влияние движения на ход часов (безразлично каких — механи-
механических, кварцевых или молекулярных), как уже указывалось (§ 60),
может быть изучено на опыте путем сравнения этих «обычных» часов
со «световыми часами». В «световых часах» эталоном времени служит
промежуток времени, в течение которого короткий световой сигнал
проходит путь от начала линейки до ее конца и обратно. Следовательно,
сравнение «обычных» часов со «световыми» может быть произведено
путем измерения по «обычным» часам промежутков времени между
отправлением и приходом обратно светового сигнала, отражающегося
от конца линейки. «Обычные» часы должны при этом находиться
у начала линейки как в момент отправления сигнала, так и в момент
его возвращения.
Если линейка «световых часов» неподвижна относительно выбран-
выбранной нами системы отсчета, то моменты отправления и возвращения
сигнала могут быть отсчитаны при помощи одних и тех же покоящихся
в этой системе отсчета «обычных» часов, расположенных у начала
линейки. Если же линейка «световых часов» движется вдоль своей
длины относительно выбранной нами системы отсчета, то измерения
промежутков времени между отправлением и приходом обратно сиг-
сигнала «световых часов» по «обычным» часам можно производить двумя
способами: либо при помощи «обычных» часов, расположенных у на-
начала линейки «световых часов» и движущихся вместе с этой линейкой
относительно выбранной системы отсчета; либо при помощи боль-
9*

260 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ГХ
шого числа «обычных» часов, неподвижных относительно выбранной
системы отсчета и синхронизованных между собой.
Если часы эти достаточно густо расставлены вдоль направления
движения линейки, то мы всегда сможем отсчитывать момент отпра-
отправления сигнала по одним часам, а момент возвращения — по другим
часам, мимо которых в соответствующие моменты проходит начало
линейки. Так как свойства линеек и световых сигналов, а значит,
и «световых часов» в целом нам уже известны, то, сопоставляя их
показания с показаниями «обычных» часов в различных слу-
случаях, мы смогли бы на опыте установить влияние движения на ход
часов.
Однако осуществить такой опыт с требуемой точностью практи-
практически было бы трудно, да в осуществлении именно этого опыта и нет
необходимости. Дело в том, что принцип относительности позволяет
частично предсказать результат опыта, а на основании этого резуль-
результата, опираясь на известные уже свойства линеек и световых сигна-
сигналов, можно сделать вывод о влиянии движения на ход часов. Таким
образом, сравнение «обычных» часов со «световыми» — это не дейст-
действительно осуществленный, а лишь воображаемый опыт, поясняющий
возможность проверки одного из «основных инструментов» (часов)
при помощи двух других (световых сигналов и линеек). Но выводы
относительно влияния движения часов на их ход, которые из этого
воображаемого опыта могут быть сделаны, находят себе подтвержде-
подтверждение в некоторых экспериментальных фактах. Поэтому воображаемый
опыт по проверке часов при помощи линеек и световых сигналов вместе
с указанными экспериментальными фактами дает надежный ответ на
вопрос о влиянии движения на ход часов.
Как уже сказано, принцип относительности позволяет частично
предсказать результат описанного воображаемого опыта. Именно,
в силу полного равноправия всех инерциальных систем координат
измерения скорости света в любой из этих систем координат должны
дать одинаковые результаты, конечно, если эти измерения выполняются
в одинаковых условиях. Какие же именно условия можно считать оди-
одинаковыми?
Прежде всего ясно, что в каждой системе отсчета измерения
должны производиться при помощи находящихся в одних и тех же
условиях, например покоящихся в этой системе, линеек и часов.
Что же касается самого источника света, то в силу независимости
скорости света от скорости источника никаких ограничений на дви-
движение источника накладывать не требуется. Источник света может
двигаться относительно выбранной системы отсчета; на резуль-
результатах измерения скорости света это сказаться не должно. Поэтому
во всех инерциальных системах отсчета, несмотря на то, что они
движутся друг относительно друга, скорость света должна быть
одинакова, если в каждой системе отсчета мы пользуемся покоя-
покоящимися в ней линейками и часами; скорость движения источника

§ 62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 261
света при этом не играет роли; в частности, во всех системах отсчета
можно пользоваться одним и тем же источником света.
Таким образом, из принципа относительности вместе с утвержде-
утверждением о независимости скорости света от скорости источника вытекает
постоянство скорости света во всех инерциальных системах от-
отсчета (как уже отмечалось, речь идет о скорости света в свободном
пространстве и в отсутствие гравитационных полей). Следовательно,
если мы производим измерения скорости света при помощи неподвиж-
неподвижных друг относительно друга лннеек и часов, например при помощи
покоящейся линейки длиной /0 с зеркалом на конце и часов, установ-
установленных в начале линейки, то мы всегда получим одну и ту же величину
скорости света
где 2/0 — путь, пройденный светом вдоль линейки туда и обратно
(в той системе отсчета, в которой линейка покоится), а т — про-
промежуток времени между отправлением сигнала от начала линейки
и его возвращением обратно, отсчитанный по часам, покоящимся
в этой же системе. С другой стороны, пользуясь той же линейкой и
световыми сигналами как «световыми часами», мы будем измерять
промежутки времени
Поскольку 10 и с в обоих случаях одинаковы, то и т в обоих случаях
должно быть одинаково. Следовательно, «обычные» часы, отсчиты-
отсчитывающие т в первом случае, и «световые часы», отсчитывающие т во
втором случае, должны давать одинаковые показания. Иначе говоря,
«обычные» часы и «световые часы», покоящиеся друг относительно
друга (при этом они могут двигаться вместе относительно выбранной
системы отсчета), всегда идут одинаково1). Если же в какой-либо
системе отсчета мы пользуемся в «световых часах» не покоящейся,
а движущейся линейкой, то необходимо учитывать сокращение длины
линейки при движении. Если, кроме того, мы будем пользоваться
движущимися «обычными» часами, то понадобится учитывать и влия-
влияние движения на ход часов.
Каково это влияние — должен выяснить рассматриваемый во-
воображаемый опыт. В этом опыте мы измеряем промежутки времени
между отправлением и приходом сигналов в «световых часах» 2) при
х) Этот вывод может служить иллюстрацией к сказанному в § 57: речь идет об
общих чертах поведения всех вообще часов, независимо от их устройства. «Световые
часы», не отличаясь своим поведением от всяких других часов, представляют осо-
особый интерес потому, что, зная поведение световых сигналов и линеек, мы можем
предсказать, как будут вести себя «световые часы».
2) Напомним, что «световые часы» движутся вдоль направления линейки, ко-
которая в них используется.

262 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
помощи двух систем «обычных» часов: во-первых, часов, расположен-
расположенных в начале линейки «световых часов» и движущихся вместе с ними
в выбранной системе отсчета /С, и, во-вторых, многих синхронизо-
синхронизованных между собой часов, покоящихся в системе /(. Введем вторую
систему отсчета /(', движущуюся вместе с «световыми часами» и
«обычными» часами, установленными в начале линейки «световых
часов». Конечная цель наша состоит в том, чтобы сопоставить между
собой показания «обычных» часов, неподвижных в системе /Сив си-
системе /С'. Для этого мы должны в момент, когда произошло какое-
либо событие, снимать показания часов той и другой системы, находя-
находящихся в той точке, в которой произошло событие. Событиями этими
будут служить отправление светового сигнала от начала линейки
«световых часов» и возвращение его обратно. Но так как, по сказанному
выше, показания «обычных» и «световых часов», неподвижных в одной
и той же системе координат, всегда должны совпадать, то мы можем
не сравнивать непосредственно показаний «обычных» часов, покоя-
покоящихся в системах К и К'У а сравнивать показания «световых часов»,
покоящихся в тех же системах.
Для того чтобы определить, какие показания дают «световые
часы» в данной системе координат, нам нужно знать только длину
пути, проходимого световым сигналом в данной системе координат,
когда он распространяется от начала линейки «световых часов» до
ее конца и обратно (так как скорость сигналов во всех системах от-
отсчета одинакова). Начнем с системы /С'. В этой системе линейка
«световых часов» покоится и имеет при этом длину /0. Поэтому если
момент отправления светового сигнала мы примем за начало отсчета
времени, то момент возвращения светового сигнала
Для определения показаний «световых часов» в системе К мы
можем использовать в них ту же линейку, что и в системе /(', но
должны учесть, что в системе К эта линейка движется вдоль своей
длины. Поэтому сигнал «световых часов» проходит в системе К такой
же путь, какой проходит в неподвижной системе координат «продоль-
«продольный» сигнал в опыте Майкельсона. Этот путь согласно (9.18) равен
2Г (9.18а)
где /' — длина линейки в системе /С, в которой она движется со ско-
скоростью v\ но тогда согласно (9.21)
/' = /0]Л-а2/с2, (9.23)
где /0 — длина покоящейся линейки, та же, что и в (9.22).
Подставив (9.23) в (9.18), мы найдем путь, проходимый сигналом
«световых часов» в системе /С, а поделив путь на скорость света с,

§ 62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 263
найдем и момент возвращения светового сигнала в «световых часах»,
покоящихся в системе К (момент отправления сигнала по-прежнему
принимается за начало отсчета времени):
т = г21° =. (9.24)
В опыте Майкельсона сокращение размера тела в направлении
движения приводило к тому, что пути обоих сигналов, «продольного»
и «поперечного», оказывались равными (поэтому опыт Майкельсона и
дает отрицательный результат). Но сокращение размеров тела при
движении, как видно из сопоставления (9.22) и (9.24), не компенсирует
различия в длинах путей, проходимых сигналом туда и обратно,
вдоль покоящейся и движущейся линеек.
Иначе говоря, если в «световых часах» используется движущаяся
линейка, то длина пути, проходимого световым сигналом, отличается
от длины пути светового сигнала в случае покоящейся линейки; но
вследствие сокращения длины линейки при ее движении длины путей,
проходимых «продольным» и «поперечным» сигналами, оказываются
равными.
Отсюда следует, во-первых, что движение «световых часов» влияет
на их показания, а во-вторых, что это влияние не зависит от напра-
направления скорости движения «световых часов» по отношению к направ-
направлению линейки, которая в «световых часах» используется. Можно
сказать, что «световые часы» представляют собой «скалярный инстру-
инструмент», так как их показания не зависят от их ориентировки *).
Из сопоставления показаний «световых часов» в один и тот же
момент возвращения сигнала в системе К' (9.22) и в системе К (9.24)
видно, что
ff = xyi -v2/c2, (9.25)
т. е. что «световые часы», движущиеся в системе К, идут медленнее
покоящихся в системе К в отношении j/l —v2tc2: 1. Поскольку,
как было показано, покоящиеся друг относительно друга (движу-
(движущиеся вместе) «световые» и «обычные» часы должны иметь одинаковый
ход, эффект замедления хода при движении должен существовать
и для «обычных» часов: движущиеся часы идут медленнее неподвиж-
неподвижных в отношении \г\ — v2/c2:1.
В силу полного равноправия всех инерциальных систем коор-
координат утверждение о замедлении хода движущихся часов относится
в равной мере ко всем системам координат. Ясно, что если бы в рас-
рассмотренном опыте мы пользовались для «световых часов» линейкой,
*) Интересно отметить, что линейка (которая входит в состав «световых часов»)
не обладает этим свойством. Результаты измерения длины движущейся линейкой
оказываются различными при движении линейки вдоль своего направления или пер-
перпендикулярно к нему.

264 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
покоящейся в системе /(, то в системе К' эта линейка бы двигалась
и в нашем рассуждении системы К и К' поменялись бы местами:
«световые часы», движущиеся в системе /(', шли бы медленнее по-
покоящихся в этой системе. То же самое относится и к «обычным» часам.
В данной системе координат покоящиеся часы идут быстрее часов,
движущихся относительно этой системы отсчета.
Дело обстоит примерно так же, как и с сокращением длины дви-
движущихся линеек. В силу полного равноправия систем координат
в каждой из них «свои» часы идут быстрее, чем «чужие». В том, что
в одной системе координат часы Л, покоящиеся в этой системе, идут
быстрее, чем часы В, а в другой системе координат, наоборот, часы В,
покоящиеся в этой системе, идут быстрее Л, конечно, нет никакого
противоречия. Ведь именно часы Л в одной системе и часы В в дру-
другой находятся в одинаковых условиях (в обеих покоятся или в обеих
движутся). Поэтому при переходе от одной системы отсчета к дру-
другой часы Л и В должны «меняться местами» (в смысле скорости хода).
Как уже упоминалось, вывод из описываемого воображаемого
опыта, заключающийся в том, что движущиеся часы идут медленнее
неподвижных, получил убедительные экспериментальные подтвержде-
подтверждения. Наиболее убедительным подтверждением этого вывода может
служить так называемый поперечный Допплер-эффект. Уже давно
был известен и объяснен классической физикой продольный Допплер-
эффект, заключающийся в том, что при относительном движении
источника и приемника электромагнитных волн г) частота этих волн
изменяется, если скорость движения направлена вдоль линии, сое-
соединяющей источник и приемник, или имеет составляющую в направ-
направлении этой линии. При этом частота волн повышается (а период пони-
понижается), если расстояние между источником и приемником умень-
уменьшается; наоборот, при увеличении расстояния между ними частота
волн понижается (а период повышается). Теорией относительности был
предсказан, а затем был экспериментально обнаружен поперечный
Допплер-эффект, который состоит в том, что при относительном дви-
движении источника и приемника всегда наблюдается не зависящее от
направления движения понижение частоты 2) принимаемых волн (по
сравнению с той, которая наблюдалась бы, если бы источник по от-
отношению к приемнику был неподвижен). Поперечный Допплер-эф-
Допплер-эффект был обнаружен при наблюдении спектральной линии, испускае-
испускаемой быстро летящими ионами. Оказалось, что эта линия, которая для
покоящихся ионов имеет частоту v, в случае быстро движущихся ионов
г) Допплер-эффект существует также и для волн другой природы, например
упругих; но так как в этом случае, помимо относительного движения источника и
приемника, играет роль и движение среды, в которой распространяются волны, Доп-
Допплер-эффект выглядит несколько иначе, чем в случае электромагнитных волн. Про-
Продольный Допплер-эффект для акустических волн рассмотрен в § 166.
2) Помимо того повышения или понижения частоты в зависимости от направле-
направления относительного движения, которое соответствует продольному Допплер-эффекту.

§ 62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 265
смещается в сторону низких частот и имеет частоту
v' = v)/l-crVc2, (9.26)
где v — скорость движения ионов относительно системы координат,
в которой покоится спектральный прибор, измеряющий частоту ли-
линии. Происхождение этого эффекта нам станет совершенно ясным,
если мы будем рассматривать ионы как «молекулярные часы». Так
как вывод о замедлении хода часов при движении, вытекающий из
воображаемого опыта (при рассмотрении которого никаких специаль-
специальных предположений о свойствах часов не делалось), относится ко вся-
всяким часам, то он должен быть справедлив и для молекулярных часов.
Ион, движущийся со скоростью v по отношению к прибору, на котором
измеряется частота излучаемой им спектральной линии, представляет
собой движущиеся «молекулярные часы», ход которых, как и «ход»
всякого повторяющегося процесса, должен замедляться как раз в со-
соответствии с выражением (9.26),
Другим экспериментальным подтверждением вывода о замедле-
замедлении хода движущихся часов может служить зависимость продолжи-
продолжительности жизни мезонов *) от их скорости. Опыт показывает, что
продолжительность жизни мезона возрастает по мере увеличения его
скорости в соответствии с (9.26). Это значит, что если бы мы пользо-
пользовались «мезонными часами», в которых эталоном — промежутком
времени служит время жизни мезона, то мы обнаружили бы, что «ход»
«мезонных часов» замедляется при их движении, так же как и ход вся-
всяких других часов. Приведенные факты подтверждают, что ход всяких
часов, независимо от их устройства, замедляется при движении, т. е.
подтверждают тот вывод, который был сделан из описанного вообра-
воображаемого опыта.
Эффекты сокращения длины линеек и замедления хода часов при
движении, хотя и имеют между собой много общего, существенно
по-разному сказываются на результатах измерений расстояний и
промежутков времени. Дело в том, что эффект сокращения длины ли-
линейки сказывается на результатах измерений расстояний лишь по-
постольку, поскольку этот эффект существует во время самого измерения.
Если между двумя измерениями мы переносим линейку с одного места
на другое, то это никак не сказывается на результатах измерений.
Существенно лишь, покоится или движется линейка во время измере-
измерения. В частности, если между измерениями мы переносим линейку
с места на место, но во время измерений линейка покоится в выбран-
выбранной системе координат, то мы получим те же результаты, как и с ли-
линейкой, все время покоящейся в данной системе координат.
Иначе обстоит дело с часами. Если между двумя измерениями мы
переносим часы с места на место, то даже если во время каждого из
1) Мезоны — частицы, занимающие по массе среднее положение между элект-
электронами и протонами.

266 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Ч[ГЛ. IX
измерений часы покоятся в данной системе координат, мы не получим
тех результатов, которые дали бы часы, все время покоящиеся в этой
системе координат. Ведь переносимые, т. е. движущиеся, часы идут
медленнее неподвижных, и, значит, когда они будут установлены в
новом месте, они уже будут отставать, если не будут вновь синхрони-
синхронизованы после того, как были установлены в этом месте.
Кроме того, на ход часов может влиять не только равномерное
движение при их переносе, но и неизбежное ускорение в начале и
конце переноса, без которого часы не могут ни начать двигаться,
ни остановиться. О том, как влияет ускорение на ход часов, мы вообще
ничего не можем сказать, так как рассмотрение, которое привело нас
к эффекту замедления хода часов, относилось только к равномерному
движению. Именно эти обстоятельства — влияние скоростей, а может
быть и ускорений, на ход часов — и вызывают необходимость синхро-
синхронизации часов при помощи световых сигналов после каждого пере-
перемещения часов из точки, в которой они были синхронизованы, в дру-
другую точку данной системы координат или передачи часов в другую
систему координат. Для того чтобы не возникала необходимость в по-
повторной синхронизации часов, нужно все часы, расставленные в раз-
разных точках данной системы координат, после синхронизации больше
не перемещать из этих точек.
Это ограничение приводит к тому, что при сопоставлении пока-
показаний часов, покоящихся в двух системах координат, можно только
один раз непосредственно сопоставить показания каких-либо опре-
определенных часов одной системы с определенными часами другой си-
системы. Действительно, непосредственное сопоставление можно делать
только в тот момент, когда те и другие часы находятся в одной точке.
Вследствие того, что системы координат движутся одна относительно
другой все время в одном направлении, в следующий момент часы,
показания которых мы сопоставляли, будут находиться в разных
точках и больше уже никогда не окажутся в одной точке. Показания
каких-либо определенных часов одной системы можно сопоставлять
только с различными часами другой системы, мимо которых эти часы
первой системы проходят. Зная, как замедляется ход часов при дви-
движении, мы можем рассчитать результаты сопоставления показаний
часов, покоящихся в двух системах координат, имея в виду именно
упоминавшийся только что случай — сопоставление показаний одних
часов одной системы со многими часами другой системы.
Итак, пусть в системе К (рис. 123) неподвижно установлены часы
Л, а в системе К! неподвижно установлены и синхронизованы между
собой часы В, С, D, ... В момент, когда часы А поравнялись с часами
В, установим часы А так, чтобы они показывали то же время, что и
часы Ву и примем это время за начало отсчета времени. В системе /С,
в которой часы А покоятся, часы Б, С, ... идут медленнее в отношении
\rl — v2/c2:1; значит, когда часы А показывают время т, часы В,
а вместе с тем и часы С, ?>, ... (так как они синхронизованы между

§62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 267
собой) будут показывать время
t? = tYI-v2/c\ (9-27)
Следовательно, за время т (отсчитанное в системе К) все часы в системе
К' (В, С, D, ...) отстанут от часов А в системе К на время
т. е. с течением времени будут отставать все больше и больше. По-
Поэтому для связи между показаниями неподвижных и движущихся
часов нужно знать не только скорость движения часов, но и проме-
промежуток времени т, прошедший с момента, когда часы А показывали
то же время, что и часы В, т. е. с момента, когда часы А и В порав-
поравнялись и часы А установлены по показаниям часов В. Конечно, мы
могли бы часы А установить в систе-
системе К, а часы BtC,D,... установить —*- -^U-
и синхронизовать в системе К- Тог-
Тогда все сказанное выше о часах в си- н
стеме К относилось бы к системе
К и, наоборот, сказанное о часах
в системе К' относилось бы к систе-
системе К- Можно, наконец, установить *
совершенно одинаковые группы ча-
часов: одну, неподвижную в системе/С, ~~~~
и другую, неподвижную в системе Рис. 123.
К'. В момент времени, который мы
примем за начало отсчета времени, установим одинаковые (нулевые)
показания каких-либо одних из первой группы часов и находящихся
в той же точке одних часов второй группы (как это делалось выше с
часами А и В), после чего по этим сверенным между собой часам,
принадлежащим к двум группам, синхронизуем при помощи световых
сигналов все остальные часы каждой из групп. Тогда на основании
(9.27) мы можем установить связь между определенными часами одной
группы и любыми часами другой группы. Для простоты по-прежнему
полагаем, что система /(' движется (со скоростью v) относительно К
вдоль оси х (причем х' параллельна х)у а также что двое часов, которые
устанавливались на нулевые показания в этот момент, находились в
начале координат (х = х' = 0). Тогда те из этих сверенных часов,
которые принадлежат к системе К\ в системе К в момент г имеют ко-
координату х = vx. Пользуясь этим соотношением, мы можем преобра-
преобразовать (9.27) следующим образом:
/t аа\ v xv
'--^ —- —- — (9.28)
Это выражение связывает показание т7 движущихся часов, находя-
находящихся в точке х, с показанием т неподвижных часов при условии, чго

268 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
в момент начала отсчета времени движущиеся часы находились в на-
начале координат и были установлены на то же показание, что и непод-
неподвижные. Это же соотношение справедливо и для часов, движущихся
в противоположном направлении — в сторону отрицательных значе-
значений х. При этом нужно считать скорость v отрицательной, произве-
произведение xv тогда по-прежнему будет положительным, т. е. движущиеся
Рис. 124.
часы, синхронизованные с неподвижными в момент прохождения мимо
начала координат, по-прежнему будут отставать.
После того как установлена связь между показаниями двух групп
часов, покоящихся в разных системах координат, можно вернуться
к вопросу о непосредственном сравнении длин двух линеек, движу-
движущихся одна относительно другой.
Для этого рассмотрим две одинаковые линейки (т. е. такие, кото-
которые, будучи неподвижны друг относительно друга, имеют равную
длину /0) и установим на их
?'?Ч'3 концах одинаковые часы (т. е.
у такие, которые, будучи не-
*" подвижны друг относительно
друга, имеют одинаковый ход).
Поместим линейку L, с часа-
часами Л и Б на концах, непод-
неподвижно в системе координат
Qj $ /^и линейку Z/, с часами
А1 и В' на концах, непод-
Рис 125. вижно в системе координат
/С', которая движется относи-
относительно К вдоль оси х со скоростью v (рис. 124). В момент, когда часы
В' поравняются с часами Л, установим и те и другие часы на нулевые
показания и одновременно синхронизуем при помощи световых сиг-
сигналов часы В с часами Л и часы А' с часами В'. Тогда соотношения
между показаниями часов, принадлежащих к системе /С, и часов,
принадлежащих к системе К\ определяются выражением (9.28).
Пользуясь этим выражением и выражением (9.21), связывающим длины
неподвижной и движущейся линеек, можно найти показания часов В
и Б' в момент, когда часы А' совпадают с Л (рис. 125, а), и показания
часов Л и Л' в момент, когда совпадают часы В и В' (рис. 125, б).
с-
/г
•у
>
1
L
*

§62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 269
Будем сначала рассматривать всю картину в системе /С, в которой
неподвижны линейки L и часы Л и В. В этой системе линейка V дви-
движется со скоростью vy вследствие чего длина линейки V в системе К
Следовательно, путь, который должны пройти часы Л' от начального
положения (рис. 124) до положения, когда они поравняются с часами А
(рис. 125, а)у
Так как движение происходит со скоростью v, то оно будет про-
продолжаться время xjvy и в момент, когда часы А' поравняются с часами
Л, эти последние будут показывать время
(9.29)
Показания движущихся часов А* в момент, когда они поравняются
с часами Л, т. е. находятся в точке х = О, мы найдем из соотношения
(9.28), подставив в него х = 0 и т из (9.29):
Как видно, на показаниях часов А' никак не сказывается движе-
движение линейки и часов. Они показывают то же время, что и в случае,
если бы линейка не изменяла своей длины, а часы не изменяли своего
хода. Поскольку мы считаем неподвижной линейку L, этот результат
объясняется тем, что сокращение длины линейки U и замедление хода
часов Л' как раз компенсируют друг друга. Если бы мы выбрали в ка-
качестве неподвижной линейку Z/, то это означало бы, что часы Л
должны пройти путь /0, равный длине покоящейся линейки Z/, а часы
Л', как покоящиеся, не изменяют своего хода, поэтому они и должны
показывать время lo/v. Итак, (9.30) выражает связь между показа-
показаниями часов Л и Л' в момент, когда они поравнялись.
Найдем теперь показания часов Б и Б' в момент, когда они порав-
поравняются. Опять будем рассматривать картину в системе /С. Часы Б'
должны пройти всю длину /0 покоящейся линейки, чтобы поравняться
с часами Б, и в этот момент Б покажут время
Ъ = Уь. (9.31)
Это же время покажут и часы Л, находящиеся в начале координат
(так как часы Л и В неподвижны и синхронизованы). Следовательно,
показания часов В' в момент, когда они поравняются с часами Б, мы
можем определить из соотношения (9.28), где под т следует понимать
показания часов В, т. е. т^, а под х — расстояние часов В от начала

270 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
координат, т. е. /0. После подстановки и простых преобразований по-
получим:
т l«V
Если теперь считать неподвижной линейку Z/, этот результат
также очевиден. В этом случае для совпадения В с В' часы В должны
пройти всю длину движущейся линейки L, т. е. /0 Y 1 ~ v2/c2 . Из
сопоставления (9.31) и (9.32) находим связь между показаниями часов
Б и В' в момент, когда они поравнялись:
тв. = хву \-v2lc2 . (9.33)
Посмотрим теперь, какие выводы можно сделать из сопоставления
всех этих показаний.
Прежде всего мы можем сравнить ход часов, движущихся и по-
покоящихся в системе /С. Для этого мы должны сравнить показания про-
проверяемых часов сначала с показаниями одних, а затем других часов,
мимо которых эти проверяемые часы проходят. Сверим сначала дви-
движущиеся часы В' с системой неподвижных часов А, В. Когда часы В'
находились против часов Л, их показания совпадали. В момент,
когда часы В' поравнялись с часами В, часы В', как следует из (9.31)
и (9.32), показывают время тв'=хв\г\ — v2/c2, т. е., как и должно
быть, движущиеся часы Б' идут медленнее неподвижных Л и Б в от-
отношении |7 1 — v2/c2 :1 и отстают от неподвижных на соответствую-
соответствующую величину.
Аналогично мы можем сравнить ход часов, движущихся и покоя-
покоящихся в системе /('. Сначала можно сверить движущиеся часы А
с покоящимися В'; в момент, когда эти часы поравнялись, их пока-
показания по условию совпадают. Затем движущиеся часы А можно срав-
сравнить с покоящимися А' в момент, когда они поравнялись.
Как видно из выражений (9,29) и (9.30), в этот момент часы А пока-
показывают время
iA = rA'\rl~v2/c\ (9.34)
т. е. и в этом случае движущиеся часы А идут медленнее системы не-
неподвижных часов А\ В' в отношении \f\ - v2/c2: 1 и отстают
от них.
Вообще, если у нас есть две системы синхронизованных часов,
движущихся одна относительно другой, одна Л, В, С, ..., неподвиж-
неподвижная в системе К. и другая Л', В', С, ..., неподвижная в системе К\
и если мы выберем систему К за неподвижную, то часы Л', В', С, ...
будут идти медленнее, чем Л, В, С, ..., и отставать от них. Наоборот,

§ 62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 271
если мы выберем за неподвижную систему /(', то часы Л, В, С, ...
будут идти медленнее, чем Л', В', С, ..., и будут отставать от них.
Результаты отсчета времени по часам Л, В, С, ... или часам Л', В',
С, ... будут различны. Однако, так же как не существует избранной
абсолютной системы координат, не существует и избранной абсолют-
абсолютной системы часов для отсчета времени.
Более того, не только показания часов Л, В, С, ... и Л', В', С, ...
в момент, когда произошло какое-либо событие, будут различны, но
и промежутки времени, протекшие между какими-либо двумя собы-
событиями, отсчитанные по этим двум системам часов, будут различны. Это
видно непосредственно из соотношения (9.28), которое как раз связы-
связывает результаты отсчета промежутка времени между двумя событиями
по часам Л, В, С, ... и по часам Л', В', С, ... Из этого соотношения
видно, что не только промежутки времени тит' различны, но когда
т = О, то, вообще говоря, т' Ф 0. Если промежуток времени между
двумя событиями т = 0, то это значит, что оба события происходят
одновременно, если же г' =? 0, то, значит, те же события происходят
разновременно.
События, одновременные при отсчете времени по одной системе
часов, оказываются неодновременными при отсчете времени по другой
системе часов. Как видно из соотношения (9.28), только в случае х = 0
события, одновременные в одной системе часов, оказываются одно-
одновременными и в другой. Но это — случай тривиальный; он соответ-
соответствует тому, что оба события происходят в одном месте. Если же два
события происходят в разных местах, то они могут быть одновремен-
одновременными только при отсчете времени по какой-либо одной системе часов.
При отсчете времени по всякой другой системе часов, движущейся по
отношению к первой, эти же события оказываются неодновременными.
Понятие одновременности так же относительно, как и понятие покоя:
оно имеет смысл, только если указана система часов, по которой про-
производится отсчет времени, — так же как понятие покоя имеет смысл,
только когда указана система координат, относительно которой тело
покоится.
Таким образом, принцип относительности придает всему вопросу
об отсчете времени совсем новый смысл. С точки зрения Лорентца
эффект замедления хода часов наблюдается только при движении
часов относительно системы координат, связанной с Солнцем и звез-
звездами (так же как и эффект сокращения длины линеек). По часам,
неподвижным относительно звезд, с точки зрения Лорентца можно
отсчитывать абсолютное время. Понятие одновременности сохраняет
абсолютный смысл; событие, одновременное по часам, неподвижным
относительно звезд, можно считать «абсолютно» одновременным,
так же как и время, отсчитываемое по этим часам. Словом, с точки
зрения Лорентца все дело сводится к тому, что часы, движущиеся
относительно звезд, начинают «врать». Пользуясь этими часами,
нужно вводить соответствующую поправку и приводить их показания

272 MFXAHHKA СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
к «абсолютному» времени, отсчитываемому по часам, неподвиж-
неподвижным относительно звезд. Само же «абсолютное» время сохраняет свой
прежний смысл, который в него вкладывала классическая физика
еще со времен Ньютона.
Однако, как показал А. Эйнштейн, весь вопрос гораздо глубже.
Дело не в том, что какие-то одни часы начинают «врать». Свойства
времени и способ его отсчета, применяемый в физике, — по часам,
синхронизованным между собой световыми сигналами, — таков, что
результат отсчета времени всегда относителен: он зависит от выбора
системы часов. А так как все системы часов равноправны, у нас нет
никаких оснований выделять ту или иную из них, и поэтому отсчету
времени нельзя придать абсолютного характера. Следовательно, и
понятие одновременности является относительным. В том виде, как
оно применялось в классической физике, как абсолютное понятие,
оно не имело определенного содержания, — вернее, в различных слу-
случаях в него вкладывалось различное содержание. Именно поэтому
классическая физика пришла к принципиальным противоречиям,
разрешить которые удалось только теории относительности, после
того как было уточнено понятие одновременности. Пересмотр всего
вопроса об отсчете времени и, в частности, об одновременности собы-
событий является одной из наиболее глубоких реформ, которые внесла
в физику теория относительности.
Перейдем теперь к сопоставлению длины линеек. Напомним, что
по условию обе линейки, когда они покоятся, имеют одинаковую
длину 10. Это значит, что, уложив покоящиеся линейки так, чтобы
концы Л и Л' совпадали, мы обнаружим, что концы В и В' тоже сов-
совпадают. При этом, так как линейки неподвижны, то, после того как
линейки так уложены, концы Л и Л' и концы В и В' всегда будут
совпадать.
Иначе обстоит дело с движущимися линейками.
Как указывалось, если совпадение концов Л и Л' и концов В и В'
произошло одновременно, то линейки имеют одинаковую длину.
Если же эти события произошли в разное время, то в зависимости от
того, какое из них произошло раньше, а какое позже, мы сможем
установить, какая из линеек длиннее. Иначе говоря, при непосред-
непосредственном сравнении длин двух линеек, из которых одна движется
относительно другой, необходимо пользоваться часами для отсчета
моментов времени, когда совпадают концы линеек.
Две линейки с часами по концам как раз дают возможность срав-
сравнить между собой длину линеек. Для этого нужно сопоставить между
собой показания часов Л и Л', В и В' в моменты, когда концы линеек
поравнялись друг с другом (рис. 125). При этом каждый раз мы должны
пользоваться неподвижными часами, т. е. часами, связанными с той
линейкой, которую мы считаем неподвижной. В первом случае, когда
линейка L неподвижна, а V движется мимо нее (вправо), мы должны
отсчитывать показания по часам Л и В. Как видно из выражений (9.29)

§ 62] ЗАМЕДЛЕНИЕ ХОДА ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСОВ 273
и (9.31),
TA = tBVl-vyc*. (9.35)
Так как тА < rJU то концы Л и Л' линеек поравнялись раньше, чем
концы В и В'. В момент, когда поравнялись концы Л и Л', конец В*
еще не достиг конца В, а это и значит, что линейка V короче L. Во
втором случае, когда линейка L' неподвижна, a L движется мимо нее
(влево), нужно отсчитывать показания по часам А' и В'. Как видно из
выражений (9.30) и (9.32),
%ъ.=%А*У\-&1&. (9.36)
Так как тВг < т^, то концы линеек В и В' поравнялись раньше, чем
концы Л и Л'; в момент, когда поравнялись концы В и В', конец Л
еще не достиг конца Л', а это и значит, что линейка L короче линейки
Z/. Так как соотношения (9.35) и (9.36) между хА и tBi с одной стороны,
и х& и тА', с другой, — одинаковы, то очевидно, что и сокращения
длины движущейся линейки в обоих случаях одинаковы. В соответст-
соответствии с принципом относительности в обоих случаях движущаяся ли-
линейка короче неподвижной в отношении
То, что две одинаковые линейки L и L', неподвижная и движущаяся,
в данной системе координат имеют различную длину, отнюдь не про-
противоречит принципу относительности. Принцип относительности тре-
требует, чтобы линейка L', измеренная в системе К, имела ту же длину,
какую имеет линейка L, измеренная в системе /С'. В самом деле, прин-
принцип относительности требует, чтобы одинаковые измерения давали
в системах К и К одинаковый результат. Но одинаковые измерения
в обоих случаях — это измерения движущихся линеек, т. е. именно
линейки V в системе К и линейки L в системе /С'. Измерение же ли-
линеек L и V в системе К — это измерение первый раз неподвижной,
а второй раз движущейся линейки, т. е. два различных измерения
(в одной и той же системе /С).
Как мы убедились при сравнении длины двух линеек, движу-
движущихся одна относительно другой, совпадение концов Л и Л' и В и В'
происходит не одновременно при отсчете времени как по часам Л и В,
так и по часам А' и В'. При этом по часам Л и В раньше совпадают
концы Л и Л' и позже — концы В и В'. Наоборот, по часам Л' и В'
раньше совпадают концы В и В' и позже — концы Л и Л'. Поэтому-то
результат сравнения длины линеек зависит от того, какими часами мы
пользуемся для отсчета времени, т. е. какую линейку и часы мы счи-
считаем неподвижными. Результат сравнения длин движущихся линеек
самым тесным образом связан с относительностью отсчета времени и
понятия одновременности двух событий. При этом, в полном соответ-
соответствии с принципом относительности, все системы координат, движу-

274 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
щиеся прямолинейно и равномерно друг относительно друга, действи-
действительно оказываются совершенно равноправными в отношении пове-
поведения линеек и часов. Для каждой из систем координат получаются
одни и те же соотношения между длинами линеек и ходом часов, покоя-
покоящихся в этой системе координат и движущихся относительно нее.
В результате рассмотрения эффектов сокращения длины линеек
и замедления хода часов при движении отчетливо выступает тесная
связь между обоими указанными эффектами и свойствами световых
сигналов. Как мы убедились, с одной стороны, пути, проходимые
световыми сигналами между какими-либо двумя фиксированными
точками, оказываются различными в разных системах координат.
При рассмотрении опыта Майкельсона была показана причина этого:
за время распространения светового сигнала точка, в которую сигнал
должен прийти, успевает сместиться в той системе координат, отно-
относительно которой эта точка движется. Значит, пути, проходимые
световым сигналом в разных системах координат, оказываются раз-
различными потому, что скорость световых сигналов не бесконечно ве-
велика, а конечна (при бесконечно большой скорости сигнала точка не
успевала бы сместиться). С другой стороны, скорость световых сиг-
сигналов одинакова во всех инерциальных системах координат. А ведь
именно в опытах, в которых световые сигналы проходят в разных
системах координат разные пути, вследствие того, что они проходят
эти пути с одинаковой скоростью, должны существовать эффекты
сокращения длины линеек и замедления хода часов (иначе скорость
света в этих опытах не могла бы оказаться одинаковой). Отсюда ясно,
что оба эти эффекта самым тесным образом связаны с основными свой-
свойствами световых сигналов — именно конечной и одинаковой во всех
инерциальных системах координат скоростью их распространения
(в свободном пространстве). Естественно поэтому, что множители, вы-
выражающие величину сокращения линеек и замедления хода часов,
стремятся к 1 при с~+ оо.
§ 63. Преобразования Лорентца. Интервал
Как уже отмечалось в § 59, преобразования Галилея не отражают
перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой в слу-
случае быстрых движений (когда скорость тела относительно одной из
инерциальных систем отсчета или скорость одной инерциальной
системы отсчета относительно другой не малы по сравнению со
скоростью света). Выше была выяснена и причина этого: в преобра-
преобразованиях Галилея не учитываются эффекты сокращения длины линеек
и замедления хода часов. Этими эффектами нельзя пренебрегать,
когда скорости движений не малы по сравнению со скоростью света;
преобразования, отражающие переход от одной инерциальной си-
системы отсчета к другой, должны учитывать указанные эффекты,
чтобы эти преобразования были справедливы не только при медлен-

§631 ПРРОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНТЦА. ИНТЕРВАЛ 275
ных, но и при быстрых движениях. Учитывать эффекты необходимо
всякий раз, когда мы переходим от показаний линеек и часов,
покоящихся в одной системе координат, к показаниям линеек и часов,
покоящихся в другой системе координат.
Чтобы установить вид требуемых преобразований, рассмотрим,
как и прежде, две системы координат — первую ху уу г, или систему
/С, и вторую х' у1', г', или систему К\ движущуюся относительно
первой с постоянной скоростью v. Для упрощения будем предпола-
предполагать (как мы это уже делали выше), что оси х и хг совпадают, а оси
у и у\ z и г' параллельны друг другу и система К' движется относи-
относительно К вдоль оси х (рис. 113), а также что в момент времени t — О
начала координат О и О' совпадают г). В началах координат О и О'
поместим двое часов: первые, неподвижные в К, и вторые, неподвиж-
неподвижные в К' у и в момент / = 0, когда часы будут находиться в одной точке,
установим их так, чтобы их показания совпадали. Кроме того, в си-
системах К и К' установим еще ряд часов, синхронизованных соответ-
соответственно с часами в О и О' при помощи световых сигналов. Тогда, как
было выяснено выше, показания каких-то определенных движущихся
часов связаны с показаниями любых неподвижных часов соотношением
(9.28). Применяя это соотношение к рассматриваемой задаче и учиты-
учитывая, что все часы, неподвижные в системе /С, одновременно (это одно-
одновременность для системы К) показывают то же время ty что и часы
в точке О, мы найдем связь между показаниями F определенных часов
системы К' и показаниями t любых часов системы /С:
1хф% (9.37)
где х — координата (в системе К в момент t) тех часов системы К\
показания которых f мы отсчитываем. Следовательно, в тот момент,
когда все часы в системе К показывают одно и то же время t> каждые
часы системы К' показывают свое местное время f (поскольку коор-
координата х для разных часов системы Кг различна). Так как мы должны
во всех случаях отсчитывать время по часагл, неподвижным в выбран-
выбранной нами системе координат и находящимся в данной точке («здесь»),
то соотношение (9.37) и представляет собой формулу преобразования
времени при переходе от системы К к той точке системы /С', которая
имеет в момент t координату х в системе /С.
Для рассмотрения вопроса о преобразовании координат возьмем
точку, имеющую в системе К в момент / координату х\ точка О' имеет
в этот момент координату х — vt. При этом, так как оба расстояния
г) Очевидно, что эти упрощения не накладывают каких-либо ограничений прин-
принципиального характера. Переход от рассматриваемого частного случая к общему
может быть осуществлен путем замены системы KJ другой системой К", неподвижной
относительно К', но смещенной и повернутой относительно К' произвольным обра-
образом. Переход же от одной системы координат к другой, неподвижной относитель-
относительно первой, ничего принципиально нового дать не может.

276 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГГЛ. IX
(х и vt) измерены при помощи линейки, неподвижной в системе /С,
то выбранная точка в момент t будет отстоять от точки О' на расстоя-
расстоянии х — vt, если это расстояние измерять также при помощи линейки,
неподвижной в системе /С. Но расстояния в системе К' нужно изме-
измерять при помощи линейки, неподвижной в системе /С', т. е. движущейся
в системе /С со скоростью v. Так как длина движущейся линейки вы-
выражается соотношением (9.21), то она в отношении \f\ — о2/с2 : 1
короче неподвижной; поэтому в результате измерения расстояния от
выбранной точки до О' линейкой, движущейся в К и неподвижной в К\
мы получим число в 1 -.У^] —v2/c2 большее, чем при измерении
расстояния между теми же точками линейкой, неподвижной в систе-
системе /С. Но расстояние от выбранной точки до О', измеренное вдоль оси х
линейкой, неподвижной в /С', это и есть координата х' выбранной точки.
Следовательно,
xvt (9.38)
Что касается координат у' и z', то они, очевидно, остаются равными у
и г соответственно, так как при движении системы /С' в направлении
оси к линейка, неподвижная в /С', не испытывает сокращений в на-
направлениях у' и г', и, следовательно, расстояния, измеренные вдоль
осей у' и zr при помощи линейки, неподвижной в /С', окажутся равными
расстояниям вдоль осей j и г, измеренным при помощи линейки,
неподвижной в /С.
Окончательно мы приходим к полученным впервые Лорентцом
формулам преобразования от системы К к системе К''-
(9.39)
Так как системы К и /С' совершенно равноправны, то те же самые
рассуждения мы можем повторить для перехода от системы К! к си-
системе /С; при этом, однако, нужно учитывать, что система К движется
относительно /С' в направлении, обратном тому, в котором движется К!
относительно К- Следовательно, для получения формул преобразо-
преобразования от системы /С' к системе К необходимо в формулах (9.39) заме-
заменить v на
В этом случае все часы в системе К' показывают одновременно (это
одновременность для К') одно и то же время t\ а каждые часы в си-
системе К показывают свое местное время t.
Легко видеть, что преобразования Лорентца превращаются в пре-
преобразования Галилея при соблюдении следующих двух условий:

§63] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНТЦА. ИНТЕРВАЛ 277
Первое означает, что скорость v должна быть достаточно мала по
сравнению со скоростью света. Второе содержит еще другое требо-
требование, а именно, чтобы х/с было мало по сравнению с ty т. е. чтобы
времена распространения световых сигналов на расстояния, фигу-
фигурирующие в наших задачах, были малы по сравнению с временами,
интересующими нас в этих задачах. Оба эти условия хорошо соблю-
соблюдаются в большинстве задач макроскопической механики. Поэтому
классическая механика (в которой применяются преобразования
Галилея) в большинстве случаев дает практически достаточно точные
решения задач макроскопической механики.
Однако между преобразованиями Лорентца и Галилея есть прин-
принципиальное различие в самом характере зависимости tf от х, у, г, t
или t от х\ у\ г' и f. В то время как в преобразованиях Галилея,
независимо от значений координат, f — t, в преобразованиях Лорентца
связь между ? и t зависит от значений координат (в рассмотренном
нами простейшем случае — от значения х или хг). Это различие озна-
означает следующее: классическая физика, признавая правильными пре-
преобразования Галилея, в которых временная характеристика события
преобразуется совершенно независимо от пространственной, не усмат-
усматривала той связи между пространством и временем, которая отчетливо
выступает в преобразованиях Лорентца и сказывается в том, что в пре-
преобразование времени входят также и координаты. Эта связь между
пространством и временем, вскрытая теорией относительности, как
уже было отмечено (§ 59), была установлена в результате эксперимен-
экспериментального изучения свойств пространства и времени. Анализ этих
результатов показал, что нельзя отделить друг от друга эксперимен-
экспериментальное изучение свойств пространства и свойств времени.
С точки зрения теории относительности объектом физического
исследования является единое пространство — время. В этом про-
пространстве — времени вместо расстояния между двумя точками, слу-
служащего в классической физике основной пространственной характе-
характеристикой двух событий, и промежутка времени между двумя собы-
событиями, служащего в классической физике основной их временной
характеристикой, может быть введена некая основная пространст-
пространственно-временная характеристика двух событий. Такая характери-
характеристика была введена, причем оказалось, что эта пространственно-
временная характеристика обладает такими свойствами, которыми,
как предполагалось в классической физике, обладают отдельно про-
пространственная и отдельно временная характеристики.
Как уже было отмечено, вследствие сокращения длины линеек
и замедления хода часов при движении расстояние между двумя
точками или промежуток времени между двумя событиями в разных
системах координат имеют, вообще говоря, различные значения, т. е.
не остаются инвариантными при переходе от одной инерциальной
системы координат к другой. Переход этот при учете сокращения
длины линеек и замедления хода часов отражают преобразования

278 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
Лорентца; и действительно, написав при помощи (9.39) формулы пре-
преобразования от системы /С к системе /(" для расстояния между двумя
точками хх и х2у т. е. Дх = х2 — л^, и промежутка времени между
двумя событиями, происшедшими в моменты (г и /2, т. е. At = /2 — tlt
можно убедиться, что, вообще говоря, Ал:' ^= Ах и At' Ф At. Это спра-
справедливо и для того частного случая, когда Д/ = О (т. е. события,
одновременные в одной системе координат, могут быть неодновременны
в другой системе координат).
В классической физике, в которой не учитывалось сокращение
длины линеек и замедление хода часов (и поэтому предполагалось,
что переход от одной инерциальной системы координат к другой
отражают преобразования Галилея), расстояние между двумя точ-
точками или промежуток времени между двумя событиями сохраняли
неизменными свои значения, т. е. являлись инвариантными при пере-
переходе от одной инерциальной системы координат к другой. Таким
образом, расстояние между двумя точками и промежуток времени
между двумя событиями (и, в частности, одновременность событий)
в классической физике рассматривались как понятия безотноситель-
безотносительные или абсолютные в том смысле, что величины расстояний или про-
промежутков времени не зависят от выбора системы координат.
В теории относительности эти понятия низведены до ранга отно-
относительных понятий х), так как они не инвариантны к преобразованиям
Лорентца, т. е. по отношению к переходу от одной инерциальной
системы координат к другой 2).
Итак, расстояние Ах между двумя точками само по себе и проме-
промежуток времени Д/ между двумя событиями сам по себе не являются
инвариантными. Но из величин Ах и At, где Ах — расстояние между
двумя точками, a At — промежуток времени между двумя событиями,
происшедшими одно—в одной, а другое—в другой из этих точек, можно
составить такую комбинацию, которая является инвариантом по от-
отношению к преобразованию Лорентца. Следовательно, эта комбина-
комбинация из Ах и Д^ должна обладать тем свойством, что для каждого кон-
конкретного случая во всех инерциальных системах координат она должна
иметь одно и то же значение. Для одного частного случая вид этой
х) Отсюда произошло и название теории относительности. Название это нель-
нельзя признать удачным, поскольку оно очень односторонне подчеркивает перевод в
ранг относительных некоторых понятий, но не отражает того, что теория относитель-
относительности, как мы увидим дальше, взамен этих относительных понятий вводит другое
понятие, абсолютное в том смысле, что оно не зависит от выбора системы координат.
2) Заметим кстати, что, поскольку масса тела зависит от скорости, она также
не является инвариантом по отношению к переходу от одной системы координат к
другой. Так как в теории относительности все системы координат равноправны, то
в каждой системе координат мы должны брать ту массу тела, которая соответствует
скорости движения тела в этой системе координат (именно так мы и поступали при
рассмотрении частной задачи в § 59). Таким образом, масса тела — понятие отно-
относительное, так же как и длина тела. Но в то время как относительность длины
сказывается уже в кинематике, относительность массы сказывается только в дина-
динамике (к этому вопросу мы еще вернемся в § 66).

$63] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНТЦА. ИНТЕРВАЛ 279
комбинации сразу можно указать. Ведь абсолютная величина скорости
света во всех инерциальных системах координат должна быть одна и
та жех). Поэтому если в любой инерциальной системе К в момент tx
световой сигнал выходит из точки с координатой хъ а в момент /2
он приходит в точку с координатой х2, то, измеряя расстояние между
точками Дл: = х2 — хг и промежуток времени между событиями (выхо-
(выходом и приходом сигнала) At = t2 — tl9 мы должны в любой инерциаль-
инерциальной системе координат получить соотношение
ДГ7Д/2 = С2
где с2 — постоянная. Поскольку левая часть последнего выражения
во всех системах координат равна нулю, то, значит, величина
AS2 = c2A/2-Ax2 (9.41)
должна быть инвариантом. Однако это утверждение пока касается
только того специального случая, когда речь идет о световых сигна-
сигналах, т. е. когда Ал: есть путь, пройденный световым сигналом, аД/ —
время, за которое этот путь пройден. В этом специальном случае
AS = 0. Во всех других случаях, когда речь идет не о распростране-
распространении световых сигналов, а о каких-либо других событиях, AS ^= 0.
Но оказывается, что выражение (9.41) и в этом случае инвариантно
по отношению к преобразованию Лорентца, если Дл: и At имеют тот
же, указанный выше, смысл: Ах = х2 — хг — расстояние между точ-
точками хх и х2, в которых произошли события, a At = t2 — h — проме-
промежуток времени между моментами tx и 4, когда эти события в точках хг
и х2 соответственно произошли. Чтобы убедиться в этом, составим вы-
выражение, аналогичное (9.41), для системы координат /С, в которой
Ах' = %2 — х[ — расстояние между точками, в которых произошли
события, а А/' = f2 — t[ — промежуток времени между моментами,
когда произошли события. Если (9.41) есть инвариант по отношению
к преобразованию Лорентца, то равенство
с2Д*2 - Да:2=cW1 - Ах'2 (9.42)
должно превратиться в тождество при подстановке выражений для
At'2 и Ах'2 из (9.39), т. е.
J) Именно абсолютная величина скорости света должна быть постоянна. Что
касается направления вектора скорости света, то, как будет показано в § 64, оно
в разных системах координат может быть различным. (Раньше мы могли не разли-
различать вектора скорости и его абсолютной величины, так как во всех случаях, когда
речь шла об измерении скорости света, как распространение сигнала, так и движе-
движение линейки происходили в одном направлении — вдоль длины линейки.) Следова-
Следовательно, постоянным должен быть не вектор с, а величина с2.

280 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
После подстановки и простых преобразований (9.42) действительно
превращается в тождество.
Выражение (9.41) написано для частного случая, когда обе точки,
в которых происходят события, различаются только координатой х.
В общем случае, когда точки, в которых происходят события, разли-
различаются всеми тремя координатами, вместо (9.41) следующее выраже-
выражение оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям
Лорентца:
AS2 = с2At2 - Ах2 - Ау2 - Az\
Этот инвариант получил специальное название интервала. Таким
образом, теория относительности, снизив до ранга относительных
(т. е. зависящих от выбора системы координат) два понятия — рас-
расстояния между двумя точками и промежуток времени между двумя
событиями, которые классическая физика считала абсолютными (т. е.
не зависящими от выбора системы координат), ввела взамен этих поня-
понятий новое абсолютное понятие интервала.
Из свойств инвариантности следует, что если мы определим значение интервала
для какой-то определенной пары событий в одной инерциальной системе координат,
то мы будем знать значение этого интервала и во всех других инерциальных систе-
системах координат (так как это значение для всех систем координат будет одним и тем
же). Но определить значение интервала удобнее всего в такой системе координат,
в которой либо Л/'2, либо Ал;'2 в выражении (9.42) обращается в нуль. Поэтому воз-
возникает вопрос: можно ли для данной пары событий так выбрать систему координат,
чтобы либо At', либо Ал:' обратилось в нуль? Всегда ли это возможно, а если не всег-
всегда, то при каких условиях?
Начнем с условий, при которых может быть Ах' — 0.
Если произошли два события, которые в системе К определяются координатами
jcl и х2 и соответственно моментами времени tL и t2t то, как следует из преобразований
Лорентца (9.39), в системе /С'
v v 7) A f\ *2 ^ 72 (*2 **)
^_^^_у t[ r с
Для того чтобы два события, происходящие в разных точках системы К (неодно-
(неодноместные в системе /С), в системе К' происходили в одной точке (оказались бы одно-
одноместными в системе /С')» должно быть
Да:' = хг2 — х[ =0
или, как следует из (9.43), должно быть:
х2 — х,\ Ах Ах
" = -?1377 = д7> причем д7<с
(так как v должно быть меньше с).
Таким образом, два события могут оказаться в специально выбранной системе
координат К' одноместными только в случае, если в какой-либо одной системе коор-
координат К для этих событий Ах < с At Если события, неодноместные в одной системе
координат (положим, что для них х'2 — х[ > 0), в другой становятся одноместными
(т. е. для них х!2 — х[ = 0), то можно выбрать и такую систему координат, в которой
хз — x'i <С 0 (для этого должно быть достаточно велико v). Следовательно, если собы-

§63] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНТЦА. ИНТЕРВАЛ 281
тия могут быть сделаны одноместными, то порядок их расположения в пространстве
зависит от выбора системы координат.
Определим теперь условия, при которых два события, не одновременные в одной
системе координат, могут оказаться одновременными в другой. Для этого должно
быть At' = t'2—t\ = 0 или, как следует из (9.43), должно быть
х2 — *i __ Ах _ с2
/2 —/, ~ 'At " ~v > °
(так как v должно быть меньше с).
Таким образом, два события могут оказаться одновременными в специально
выбранной системе координат Кг только в том случае, если в какой-либо одной си-
системе координат /С для этих событий
А* > с At.
Аналогично тому, как в случае событий, которые могут быть сделаны одномест-
одноместными, (х'2 — х[) может не только обращаться в нуль, но и изменять знак, в случае
событий, которые могут быть сделаны одновременными, (t'2 —t[) может не только об-
обращаться в нуль, но и изменять знак; следовательно, событие, которое в одной си-
системе координат происходит раньше второго события данной пары, в другой системе
координат может происходить позже второго события.
Из сказанного следует, что все пары событий могут быть разделены на два клас-
класса: пары, для которых Ах < cAt, и пары, для которых Ах > cAt. Для первого клас-
класса пар событий порядок их расположения в пространстве зависит от выбора системы
координат, но зато их последовательность во времени одинакова во всех системах ко-
координат. Для второго класса пар событий порядок их расположения в пространстве
одинаков во всех системах координат, но зато их последовательность во времени в раз-
разных системах координат может быть различна. Из сопоставления неравенств Ал: <
< cAt и Ах > cAt, определяющих принадлежность пары событий к тому или другому
классу, с выражением для интервала (9.41) видно, что для первого класса (событий,
которые могут быть одноместными)
А52>0,
а для второго класса (событий, которые могут быть одновременными)
А52<0.
Интервалы, для которых AS2 > 0, называются времениподобными, а для которых
AS2 < О, называются прострйнственноподобными.
Как уже указывалось, определить значение интервала для какой-либо пары со-
событий можно в любой системе координат (так как во всех системах координат значе-
значение интервала одинаково), но наиболее просто и наглядно значение интервала может
быть определено в том случае, когда либо Ах\ либо At' обращается в нуль. Так как
во времениподобном интервале в нуль может обратиться только Ал:', а в пространст-
венноподобном — только At', то для этих двух классов интервалов должны приме-
применяться различные простейшие способы определения их значения и соответственно
наглядные представления этих двух классов интервалов оказываются различными.
Для определения значения времениподобного интервала можно выбрать систему ко-
координат, в которой события одноместны (т. е. Ах' = 0), и при помощи часов, непод-
неподвижных в этой системе координат^ измерить промежуток времени At' между двумя
событиями. Тогда значение интерзала определяется выражением
AS2=cW2 или А5 = сАГ,
а если за единицу скорости принять с, то А5 = At'.
Для определения значения пространственноподобного интервала можно выбрать
систему координат, в которой события одновременны (А/'=0), и при помощи линей-
линейки, неподвижной в этой системе координат, измерить расстояние Ал:' между точками,

282 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГГЛ. IX
в которых произошли события. Тогда значение интервала определяется выражением
Таким образом, специально выбрав системы координат, можно времениподобный
интервал измерить только при помощи часов, а пространств енноподобный интервал—
только при помощи линейки (отсюда и произошли их названия). В общем же случае
для измерений интервалов необходимы как линейки, так и часы. И хотя результаты
измерений при помощи линеек и часов зависят от выбора системы координат, но зна-
значение интервала, найденное в результате измерений при помощи линеек и часов,
оказывается инвариантом, т. е. не зависит от выбора системы координат1). Призна-
Признание относительности понятий расстояния между двумя точками и промежутка вре-
времени между двумя событиями, как мы видим, отнюдь не означает отказа вообще от
абсолютных понятий. Теория относительности лишила абсолютного характера толь-
только каждое из двух указанных понятий в отдельности, но взамен этого ввела абсо-
абсолютное понятие интервала. Будучи абсолютным понятием, интервал выражает оп-
определенные абсолютные свойства единого пространства — времени.
§ 64. Кинематика теории относительности
Как было показано в предыдущем параграфе, если мы в каждой
инерциальной системе координат пользуемся неподвижными линей-
линейками и часами и применяем указанные выше методы синхронизации
часов, то переход от координат х, у, z и времени t> описывающих собы-
событие в системе /С, к координатам х', у\г' и времени t\ описывающим то
же событие в системе К\ выражается преобразованиями Лорентца.
В простейшем случае, когда оси х н х' совпадают, а оси у и у', г и г'
параллельны друг другу и система К' движется относительно К
вдоль оси х со скоростью v, преобразования Лорентца для перехода
от системы К к системе К имеют вид (9.39). Преобразования же,
соответствующие обратному переходу от /С к /С, имеют вид (9.40).
Из преобразований Лорентца вытекают формулы преобразования ско-
скоростей и ускорений при переходе от одной системы координат к дру-
другой. Чтобы написать формулы преобразования скоростей, нужно найти
соотношения между бесконечно малыми приращениями координат и
времени в двух системах К и К! - Так, например, для того чтобы от
скорости и' в системе К перейти к скорости и в системе /С, нужно
продифференцировать выражения (9.40):
Пусть какая-либо точка обладает в системе К' скоростью и с ком-
компонентами
г) Напомним, что для измерения интервала требуются часы, расставленные в
разных местах, и для их синхронизации необходимы световые сигналы. Таким обра-
образом, для определения интервала в общем случае необходимы измерения при помощи
всех трех «основных инструментов».

§ 64] КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 283
а в системе К — скоростью и с компонентами
и*=ё: иу=% и*=т- <9-46>
В эти соотношения мы должны подставить выражения (9.44) для dx,
dy, dz и dt. Принимая во внимание, что dx'/dt' = u'Xy мы можем вы-
выражения для dx и dt записать так:
dx= ;* + V df и dt- l±^ df. (9.47)
Подставляя dx к dt в соотношения (9.46), получим:
U*- l + uxv/c* ; иУ~ \+u'xvl<* ; w*= 1+«>/<?
Это — формулы преобразования скоростей при переходе от си-
системы К! к системе /С. Для того чтобы получить формулы преобразо-
преобразования скоростей от системы К к системе /С', нужно полученные урав-
уравнения разрешить относительно их% и'у и uz:
l—Uxv/<*
(9.49)
Как и следовало ожидать, соотношения (9.49) получаются из (9.48)
заменой v на —v (так как системы /С и К' равноправны и единственное
различие состоит в том, что если /С' движется относительно К со ско-
скоростью v7 то К движется относительно К' со скоростью —v).
Заметим, кстати, что первая из формул (9.49) совпадает с форму-
формулой (9.15), полученной выше для частного случая абсолютно неупру-
неупругого удара.
Как видно из уравнений (9.48), если и'х, и'у и uz не зависят от /',
то и иху иу, uz не зависят от t (так как v не зависит от f). Из уравнений
(9.49) следует аналогично, что если иХ9 иу, uz не зависят от /, то и иХу
и'у, u'z не зависят от /'. Значит, движение, не обладающее ускорением
в одной инерциальной системе координат, не обладает ускорением
ни в какой другой инерциальной системе координат. В этом отноше-
отношении преобразования Лорентца дают такой же результат, как и пре-
преобразования Галилея. Этого и следовало ожидать, поскольку и те
и другие преобразования отражают переход от одной системы коорди-
координат к другой, движущейся относительно первой без ускорения.
В силу равноправности всех инерциальных систем координат два
последовательных преобразования от системы К к К' и от системы К
к К" должны приводить к такому же результату, как непосредственное
преобразование от К к К" • В том, что это действительно так, можно
убедиться непосредственно подстановкой (чтобы избежать громоздких
выкладок, ограничимся только компонентой скорости и вдоль оси ху
полагая, что система /С' движется относительно К со скоростью и

284 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГГЛ. IX
вдоль оси х, а система К" движется относительно К со скоростью v'
также вдоль оси х). Так как
то, подставляя первое выражение во второе, получим:
v4-xf
& 1 j^ (w'/c2)
Но, с другой стороны, как следует из (9.48), скорость движения си-
системы К" относительно системы К
V+V'
1 + w'/c*
При этом непосредственный переход от К к К" дает:
подставляя в последнее выражение значение wf убеждаемся, что два
последовательных перехода от К к К' и от /С' к /С", как это и должно
быть, эквивалентны переходу непосредственно от К к /("'.
Так как в любой прямоугольной системе координат величина ско-
скорости выражается через ее компоненты формулой
то из формул (9.48) следует:
Эта формула выражает величину скорости в системе /С, если компо-
компоненты скорости в системе К равны и'х, иу и и'ги система Дг движется
относительно системы К со скоростью у, направленной по оси х.
Преобразования Галилея приводят для этого случая к выражению
и = V(ux + vf + и'у + uz\ (9.51)
Из сопоставления выражений (9.50) и (9.51) видно, что второе
является приближенным, справедливым в случае, если соблюдаются
условия;
?<1 и ^<1. (9.52)

§64] КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 285
Это уже известные нам условия: скорости тел и скорости движения
систем координат друг относительно друга должны быть малы по
сравнению со скоростью света.
Формула (9.50) обладает характерной особенностью, которую
мы уже отмечали выше для одного частного случая. Особенность
эта состоит в том, что если одна из складываемых скоростей, и' или v,
равна скорости света с, то и скорость и оказывается равной с. В са-
самом деле, пусть и' = с. После простых преобразований формулы (9.50)
и принимая во внимание, что и'1 + и'у + и'% = с2, получим:
и-;)
л ^_ с.
1 + uxv/c2 \ _|_ uxv/c2
Выше мы уже рассматривали один частный случай, когда ско-
скорость и' направлена по оси х. В другом частном случае, когда и' пер-
перпендикулярна к х, например: и'х = 0, иу = и , uz = 0, для компонент
скорости и из (9.48) получаются выражения
— V2/C2 ,
и если иу=с, то Uy^yc2 — v2 сокращается как раз настолько,
что величина скорости u~~[fiix + Uy оказывается равной с. Движе-
Движение системы /С' относительно К со скоростью v не изменяет величины
скорости и' = су а лишь поворачивает ее в направлении ©.
Точно так же, если v = с, то формула (9.50) дает
1 + их1с
независимо от величины и направления скорости и!. Иначе говоря,
если система К! движется относительно системы К со скоростью с,
то, как бы ни двигались Отдельные точки в системе /С', они все дви-
движутся со скоростью с в системе /С, вследствие чего их взаимное рас-
расположение в системе К не изменяется. Из системы /С при этих усло-
условиях нельзя наблюдать никаких движений, происходящих в системе К'.
В частности, движущиеся стрелки часов, находящихся в системе /С',
в системе К будут неподвижны. Часы, идущие нормально в системе Кг
и движущиеся вместе с нею относительно системы /С со скоростью
света, для системы К будут остановившимися.
Этот результат вполне согласуется с уже известным нам обстоя-
обстоятельством — замедлением хода движущихся часов. В самом деле,
как следует из формулы замедления хода часов при движении (9.24),
для системы координат, по отношению к которой часы движутся со

286 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
скоростью света, стрелки часов должны стоять на месте, т. е. их по-
положение относительно циферблата не должно изменяться. Конечно,
приведенные соображения нельзя рассматривать как подтверждение
правильности формулы, выражающей зависимость хода часов от их
движения. Эта зависимость установлена опытом и в основу кинематики
теории относительности положены именно эти, установленные на
опыте, свойства часов. Но если бы из кинематики теории относитель-
относительности вытекало, что стрелки часов, движущихся со скоростью света
относительно системы К, в этой системе изменяют свое расположение
относительно циферблата, то это привело бы к внутреннему противоре-
противоречию между исходными положениями и конечным результатом. По-
Поскольку формулы кинематики уже получены, мы можем, ничего ке
говоря о физических свойствах часов, рассмотреть кинематическую
задачу: зная, как движутся стрелки относительно циферблата в си-
системе К, найти, как они движутся в системе /С. Как видим, в резуль-
результате такого рассмотрения никакого противоречия не возникает.
Как было показано выше, несколько преобразований от системы
К к К\ от К' к К" и т. д. эквивалентны одному преобразованию от
первой системы к последней. Следовательно, скорость с не может
быть превышена и при каком угодно числе последовательных преоб-
преобразований.
Таким образом, если в исходной системе координат мы не встре-
встречаемся со скоростями, большими скорости света, то ни в какой другой
системе координат, которая движется по отношению к первой со ско-
скоростью, не превосходящей скорости света, мы также не встречаемся
со скоростями, большими, чем скорость света. Но, как мы убедились
при рассмотрении законов движения с большими скоростями (§ 24),
ни одному телу не может быть сообщена скорость, превышающая
скорость света. Это утверждение касается не только скоростей тел, но
и скоростей движения одной системы координат относительно другой.
Дело в том, что системы координат всегда должны быть связаны с
какими-либо телами отсчета. Представление о системах координат, не
связанных с телами отсчета, а «связанных» с самим пространством, как
показала теория относительности, лишено физического содержания.
Подобно тому как выше были найдены формулы преобразования
скоростей, можно найти формулы преобразования ускорений при
переходе от системы К" к системе К, если первая движется относи-
относительно второй в направлении оси х со скоростью v. Пусть какая-
либо точка обладает в системе К! ускорением f с компонентами
du'x duy duz
i I l
а в системе К — ускорением J с компонентами
dux dUy duz
' 1 !

§ 64] КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 287
Дифференцируя выражение (9.48), мы найдем связь между бесконечно
малыми приращениями компонент скорости йих, du'Vt duz в системе К
и dux, duy, duz в системе К- Разделив полученные выражения на dt
и воспользовавшись выражением (9.47), связывающим dt и dt\ мы
выразим компоненты ускорения в системе /С через компоненты уско-
ускорения в системе К'.
Однако в таком общем виде эти выражения несколько громоздки, потому что
в общем случае все три компоненты скорости их, и' uz изменяются со временем, так
как ускорение может быть направлено произвольным образом. Формулы существен-
существенно упрощаются, когда в начальный момент скорость и' направлена по оси х\ а уско-
ускорение У по направлению либо совпадает со скоростью (тангенциальное ускорение),
либо перпендикулярно к нему (нормальное ускорение). Для задач динамики, которые
нам предстоит рассмотреть, этих двух случаев будет достаточно, и мы ими ограни-
ограничимся.
В первом случае — тангенциального ускорения, — так как вначале скорость и'
направлена по оси х', она все время остается направленной по оси х\ т. е. и'х = ы,
и* = 0, u'z = 0. Принимая это во внимание и дифференцируя выражение (9.48),
получим:
/ , i ч V j f (л , U'V U'V V*\
л,- с+'>* l'+)
Деля обе части равенства на dt и принимая во внимание связь между dt и dt't най-
найдем связь между тангенциальными ускорениями в системах К и К':
/'=-7 -ЛпгП> (?-бЗ)
где
du du'
3 И ]
Следует подчеркнуть, что это соотношение справедливо лишь в рассматриваемом
случае, когда скорость и ускорение не только совпадают по направлению, но и на-
направлены по оси х, т. е. совпадают по направлению со скоростью v.
Перейдем теперь к другому случаю, когда ускорение нормально к оси х', напри-
например направлено по оси у'. В этом случае du'x = 0 и du'z = 0 и при дифференцировании
(9.48) и'х нужно считать постоянным:
Деля обе части равенства на dt и принимая во внимание, что мы рассматриваем мо-
момент, когда скорость иг направлена по оси х' и, следовательно, и направлена по оси х,
и что du /dt = jn, a du'\dt' = j'n, найдем связь между нормальными ускорениями
в системах К и /(';
\"? Гп. (9.54)

288 механика специальной теории относительности 1гл, ix
Опять следует иметь в виду, что это соотношение справедливо лишь для того момента,
когда не только ускорение нормально к скорости, но и скорость и' направлена по
оси х'', т. е. совпадает по направлению со скоростью v.
Формулы преобразований для обратного перехода от системы /С к системе К1
получаются (как и в случае преобразования скоростей) путем замены v на —v и и'
на и в выражениях (9.53) и (9.54).
Как и формулы преобразования скоростей, формулы преобразования ускорений
теории относительности при v << с и и' <^ с совпадают с формулами, вытекающими
из преобразований Галилея.
§ 65. Силы в механике теории относительности
Для того чтобы от уравнений движения в одной инерциальной
системе координат перейти к уравнениям движения в какой-либо
другой инерциальной системе координат, необходимо знать, как
преобразуются не только скорости и ускорения, но и силы. Строго
говоря, для того чтобы сохранить прежний способ измерения сил
при помощи деформированных пружин, мы должны определить, как
движение пружины, растянутой до определенной длины, влияет на
силу, с которой эта пружина действует. Однако опыты, которые могли
бы дать прямой ответ на этот вопрос, практически неосуществимы.
Поэтому мы рассмотрим вопрос о силах для поддающегося расчету
случая сил, действующих со стороны электрического поля на электри-
электрически заряженное тело, а затем, опираясь на опытные данные, перей-
перейдем к силам, действующим со стороны пружин. Для упрощения по-
положим, что электрическое поле создано зарядами, расположенными на
обкладках плоского конденсатора. Задача состоит в том, чтобы опре-
определить, как движение этого конденсатора влияет на величину силы F,
действующей со стороны электрического поля конденсатора на какой-
либо заряд е, помещенный между обкладками конденсатора и движу-
движущийся вместе с ним. Так как эта сила
F = eE, (9.55)
где Е — напряженность поля в конденсаторе, а величина заряда не
изменяется при его движении, то для решения задачи требуется только
определить, как движение конденсатора влияет на напряженность
поля между его обкладками.
Прежде всего определим напряженность поля в неподвижном
плоском конденсаторе. Как известно, заряд на обкладках конденса-
конденсатора Q связан с напряжением U на конденсаторе соотношением
Q = CU9 (9.56)
где С — емкость конденсатора, причем С = S/4nd, где S — площадь
обкладки конденсатора, ad — расстояние между обкладками. Под-
Подставляя выражение для С в (9.56), получим:

§65]
ИЛИ
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Q
289
(9.58)
Но так как, с одной стороны, Q/S — а есть плотность заряда на обклад-
обкладках конденсатора, а с другой, Did = Е есть напряженность поля
в конденсаторе, то
? = 4ла, (9.59)
т. е. напряженность поля зависит только от плотности заряда на
обкладках конденсатора и не зависит от расстояния между ними
(конечно, пока это расстояние мало по сравнению с размерами пла-
пластин).
Положим, что плоский конденсатор, внутри которого существует
электрическое поле Е9 покоится в системе К- Каково будет поле этого
конденсатора в системе /(', движущейся относительно системы К со
Рис. 127.
скоростью v вдоль оси х? (В системе К' конденсатор движется со ско-
скоростью v' = —v вдоль оси х\ в сторону отрицательных значений х'.)
Рассмотрим два случая: первый, когда обкладки конденсатора парал-
параллельны оси х, например перпендикулярны к оси г' (рис. 126), и второй,
когда обкладки конденсатора перпендикулярны к оси хг (рис. 127).
В первом случае, вследствие того, что конденсатор движется в си-
системе К\ в результате сокращения длин размер его обкладок в напра-
направлении оси х , а значит, и площади обкладок сократятся в отношении
У~1 —v2/c2:1. Так как общий заряд конденсатора остается неизмен-
неизменным, то плотность заряда возрастет в отношении 1 : j/l — v2/c2,
вследствие чего в таком же отношении возрастет и напряженность поля
в конденсаторе. Поэтому для случая, изображенного на рис. 126 (поле
направлено по оси г'), напряженность поля в системе К'
(9.60)
10 С. Э. Хайкин

290 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
где Ег — напряженность поля в системе К- Такое же рассуждение
справедливо и для случая, когда обкладки конденсатора перпендику-
перпендикулярны к оси у', т. е. поле направлено по оси у' и, следовательно,
_3_.
у 1 — v*/c2
(9.61)
В случае же, изображенном на рис. 127 (поле направлено по оси х),
в результате сокращения длин изменится лишь расстояние между
обкладками (от которого, пока оно мало, Е не зависит), а площадь
обкладок, а значит, и плотность зарядов останутся неизменными,
поэтому и напряженность поля останется неизменной, т. е.
Е'Х = ЕХ. (9.62)
Эти изменения напряженности поля, вызванные движением кон-
конденсатора в системе К', не являются характерными только для пло-
плоского конденсатора. Рассмотрение других случаев (которое является
более сложным и которого поэтому мы здесь не приводим) показы-
показывает, что всегда, когда в системе К существует только электрическое
поле с компонентами ЕХу Еу, EZJ компоненты этого электрического
поля в системе К' выражаются формулами (9.60) — (9.62). Следова-
Следовательно, эти формулы выражают преобразования электрического поля
при переходе от системы К к системе К', если в системе К существует
только электрическое поле. Если же в системе К существует также
магнитное поле, то при переходе к системе /С' появляются, как мы
видели (§ 57), добавочные электрические поля и формулы преобразо-
преобразования приобретают более сложный вид (они будут приведены позднее).
Для силы F, действующей со стороны электрического поля на
какой-либо электрический заряд (9.55), формулы преобразования
для перехода от системы К к системе К! (движущейся относительно /(
со скоростью v вдоль оси х) должны быть аналогичны формулам пре-
преобразования электрических полей, т. е.
F'X = FX9 (9.63)
^тА^> (9-б4)
F'z= Vl*^v2j- (9-65)
Зная, как преобразуются силы, действующие на электрические
заряды со стороны электрических полей, можно из опыта определить,
как преобразуются упругие силы при переходе от системы К к системе
К1'. Опыт, отвечающий на этот вопрос (поставленный Траутоном и
Ноблем), заключался в следующем. Как показывает расчет, если силы,
действующие со стороны электрических полей на электрические заряды
(в частности, силы взаимодействия электрических зарядов), преобра-

>65]
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
291
зуюгся по формулам (9.63) — (9.65), то эти силы в движущейся со
скоростью v системе отсчета должны поворачивать заряженный
конденсатор, расположенный под некоторым ост-
острым углом а (рис. 128) к скорости v, так, чтобы
нормаль к пластинам конденсатора ориентирова-
ориентировалась перпендикулярно к v, т. е. поворачивалась по
стрелке М. В опыте Траутона и Нобля заряжен-
заряженный конденсатор, подвешенный на легко закручи-
закручивающейся нити, вследствие движения Земли (а вме-
вместе с ней и конденсатора) со скоростью около
30 км/сек относительно Солнца и звезд должен был
бы ориентироваться указанным выше образом. Од-
нако этот эффект не был обнаружен. Отсутствие эф-
эффекта объясняется тем, что при переходе к движу-
щейся системе отсчета наряду с преобразованием
сил взаимодействия между зарядами происходят
преобразования упругих сил; при этом возникают
моменты упругих сил, стремящиеся повернуть
конденсатор в направлении, обратном тому, в ко-
тором его стремятся повернуть преобразованные
силы взаимодействия между зарядами, и оба эффекта как раз ком-
компенсируют друг друга.
—1— >-с/
рис^
Рис. 129.
Рис. 130.
Чтобы сделать результат и истолкование опыта Траутона и Нобля более нагляд-
наглядными, мы рассмотрим упрощенную модель этого опыта. Представим себе два шарика,
укрепленных на концах упругого изолирующего стержня, подвешенного горизон-
горизонтально на нити, прикрепленной к точке О (рис. 129). Оба шарика заряжены разно-
разноименными зарядами одинаковой величины е. Стержень покоится в системе коорди-
координат К'- Пусть в системе К* длина стержня равна /', а угол, который он образует с
10*

292 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. ГХ
осью х\ равен а'. Проекции стержня на оси х' и у* равны
/; = /'cosaf и /^ = /'sma' и tgar = ly/l'x. (9.66)
Заряды в системе KJ действуют друг на друга с равными по величине силами
F\ = F» — F'w направленными по линии, их соединяющей, т. е. вдоль стержня.
Компоненты этих сил по осям х и у:
F'lx = F cos а'\ ^ = ^япа'; f^ = —F cos a'; ^ = -fsinaf. (9.67)
Под действием этих сил стержень сжимается и в нем возникают упругие силы Ф[
и Ф'., причем Ф^ = —F[ и Фо = —F'%. В результате вся система находится в равно-
равновесии, так как все четыре силы F[9 F'*y Ф[ и Ф^ проходят через точку О.
Если система /С' движется относительно Солнца и звезд (системы К) со скоростью
v в направлении оси #, то в системе /С (рис. 130) вследствие сокращения длин проек-
проекции стержня на оси х и у будут равны
1Х = 1'х ) /1 — ^2/с2 = /' j f\ __ V2/C2 cos a'; ly = ly = /f sin a'. (9.68)
Компоненты сил взаимодействия зарядов F[ и /\> (9.67) в системе /С в соответствии
с формулами преобразования сил (9.63) и (9.64) будут равны
Flx = F[x = F cos a'; F±y = F'ly\r\ - ^/c2 = Г /l — v^/d* sin a', (9.69)
F2x = F'%X = — F cos a'; F2y = F^l - ^/c2 = -Г/1- ^/с2 sin a'. (9.70)
В системе К стержень образует с осью х угол а, причем, как видно из (9.66) и (9.68),
К tga'
а сила Fj — угол plf причем, как видно из (9.69) и (9.71),
tg Pi = Fiy/Fix = ^а' УТ^Щф < tga' <C tg a.
Соответственно сила F2 образует с осью х угол р2, причем, как видно из (9.69) и
(9.70),
Из рис. 130 ясно, что если бы упругие силы Фх и Ф2, действующие в системе /С,
оставались по-прежнему направленными вдоль стержня, то под действием сил Fx
н Fz стержень должен был бы повернуться и установиться перпендикулярно к на-
направлению v (ось х). Но поскольку на опыте этот эффект не наблюдается, значит, уп-
упругие силы Ф\ и Сб.; в результате преобразования от системы К' к системе /С, т. е.
силы й\ и Ф2, оказываются равными и направленными противоположно силам Fx
и F2. Следовательно, упругие силы (и, в частности, силы, с которыми действуют пру-
пружины) при переходе от системы /С' к системе К преобразуются так же, как и силы,
с которыми электрические поля действуют на электрические заряды, т. е. в соответ-
соответствии с формулами преобразования (9.63) — (9.65).
Вывод, вытекающий из опыта Траутона и Нобля, так же как и сам
результат опыта, находится в согласии с принципом относительности,
так как, если на стержень не действуют силы, которые могли бы выз-
вызвать его вращение в одной инерциальной системе отсчета, то они не
должны действовать ни в какой другой системе отсчета. Вообще,

$ fi61 ИНВАРИАНТНОСТЬ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ 293
если какие-либо силы уравновешивают друг друга в одной инерци-
инерциальной системе координат, то они должны уравновешивать друг друга
к во всякой другой инерциальной системе координат. А для этого
преобразование не только сил электрического поля и упругих сил,
но и всяких сил должно происходить по формулам (9.63) — (9.65).
Мы рассматривали в этом параграфе преобразование напряжен-
напряженности электрического поля при переходе от системы К к системе К'
в случае, когда магнитное поле в системе К отсутствует. Но еще раньше
(§ 57) для медленных движений мы нашли формулы (9.4) — (9.6) пре-
преобразования напряженности электрического поля для случая, когда
в системе К присутствуют как электрическое, так и магнитное поля.
Теперь мы должны дополнить преобразования (9.4) — (9.6), справед-
справедливые для медленных движений, так, чтобы они были справедливы и
для быстрых движений. Для этого нужно учесть, что напряженность
электрического поля, полученная по формулам (9.4) — (9.6), при
переходе к системе К! преобразуется еще по формулам (9.63) — (9.64).
В результате этого полные формулы преобразования электрических
полей от системы К к системе /С', справедливые для быстрых движений,
при наличии в системе не только электрического, но и магнитного поля,
принимают вид
Е'Х = ЕХ,
Е --Н
1 1ей+±н,
y\-vz/d* \ с
(9.72)
Аналогичные формулы получаются и для преобразования магнитных
полей.
§ 66. Инвариантность законов механики
Если специальный принцип относительности справедлив для быст-
быстрых движений, то все законы механики должны быть инвариантны
по отношению к преобразованиям Лорентца (9.39) или (9.40), выте-
вытекающим из них преобразованиям скоростей (9.48) и ускорений (9.53)
и (9.54) и, наконец, преобразованиям сил (9.63) — (9.65), полученным
в предыдущем параграфе. В частности, можно было бы показать (как
это было сделано в § 57 для медленных движений), что второй закон
Ньютона сохраняет свою форму при переходе от одной инерциальной
системы координат к другой и в случае быстрых движений. Однако
в общем виде это доказательство требует применения специального
математического аппарата, излагать который здесь было бы нецелесо-
нецелесообразно. Поэтому мы вынуждены ограничиться только самыми про-
простыми конкретными примерами и самыми общими замечаниями по
вопросу об инвариантности законов механики.

294 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. IX
Наиболее простыми примерами, иллюстрирующими инвариантность
законов механики, являются задачи, в которых применяется не сам
второй закон Ньютона, а вытекающие из него законы сохранения
импульса и энергии, применяемые для решения задачи об ударе. Это
и понятно, так как в задачах об ударе мы не рассматриваем сил и уско-
ускорений и пользуемся только лишь формулами преобразования скоро-
скоростей, связь между которыми устанавливается на основании законов
сохранения. Первым таким примером может служить задача об абсо-
абсолютно неупругом ударе, рассмотренная в § 59. Действительно, из
закона сохранения импульса при этом рассмотрении была получена
формула преобразования скоростей (9Л4), которая представляет собой
частный случай общей формулы (9.48), вытекающей из преобразований
Лорентца — Эйнштейна. Следовательно, если бы мы шли по обрат-
обратному пути, т. е. применили бы формулу (9.48) к преобразованию ско-
скорости при переходе от системы К к системе К\ то убедились бы, что
закон сохранения импульса соблюдается в системе /('.
В качестве второго примера может служить нецентральный абсо-
абсолютно упругий удар двух одинаковых шаров, рассмотренный нами
в «неподвижной» системе координат (§ 33). Как было показано, оба
закона сохранения будут удовлетворены, если одна из компонент
(х-компонента) скоростей остается неизменной, а другая (у-коыпо-
нента) меняет знак на обратный. Перейдем теперь к системе коор-
координат К\ движущейся относительно системы К с некоторой ско-
скоростью v вдоль оси х (т. е. именно той оси, для которой компоненты
скорости не меняют знака при ударе), В системе К, поскольку компо-
компоненты скоростей их1 и их2 не изменяются при ударе,
пХ1=иХ1; йх2 = иХ2 (9.73)
(значения после удара — с черточками наверху). А так как компо-
компоненты скоростей иу1 и иу2 при ударе меняют знак на обратный, то
0п = — иуъ пу2 = —иу2. (9.74)
Для того чтобы найти соответствующие компоненты в системе К',
нужно воспользоваться формулами преобразования (9.49). Но из
самого вида этих формул ясно, что равенства (9.73) и (9.74) остаются
справедливыми для компонент скоростей и'х1 и их1\ иХ2 и пх2у и'У1 и
Щ/ь иу2 и п'уъ в системе /('. Следовательно, в системе Я", так же как
в системе /С, при ударе х-компоненты не изменяются, а ^-компоненты
меняют знак на обратный. А в таком случае, как было показано в § 33,
удовлетворяются законы сохранения импульса и энергии.
Перейдем теперь к примеру, иллюстрирующему инвариантность второго закона
Ньютона по отношению к преобразованиям ускорений, скоростей и сил, вытекающим
из преобразований Лорентца — Эйнштейна. В качестве примера выберем такой
частный случай, когда тело испытывает только тангенциальное ускорение. Для этого

§ 66] ИНВАРИАНТНОСТЬ ЗАКОНОВ МЕХАНИКИ 295
случая уравнение второго закона Ньютона может быть записано в форме C.32):
где т0 — масса покоя тела, и — его скорость, // — ускорение и F — сила в системе /С.
Чтобы избежать сложных выкладок, положим, что тело в системе /С покоится,
т. е. и = 0. Поскольку на тело действует сила F, то и может быть равно нулю только
в какие-то отдельные моменты времени, например в тот момент, когда сила только
начала действовать. Для этого момента уравнение второго закона Ньютона (9.75)
принимает вид
mojt = F. (9.76)
Конечно, при и = 0 случаи тангенциального и нормального ускорений в системе
неразличимы и уравнение второго закона Ньютона для случая нормального ускоре-
ускорения C.31) также имеет вид (9.76). Однако в системе К\ которая движется относитель-
относительно К со скоростью v, случай чисто тангенциального ускорения получится только при
условии, что v лежит на одной прямой с F. В самом деле, только в этом случае сила
F' в системе /С' будет лежать на одной прямой со скоростью тела и' — — v (в системе
К') и будет сообщать телу только тангенциальное ускорение. Применяя формулу пре-
преобразования тангенциального ускорения (9.53) для случая, когда и' = —v, получим:
/9 77)
-Я
Далее по формулам преобразования сил (9.63) для рассматриваемого случая
(F и v лежат на одной прямой)
F'^F.
Подставляя (9.76) и (9.77) в (9.75), получим уравнение второго закона в системе K'l
('-Я
имеющее такой же вид, какой имеет уравнение второго закона в системе К для тан-
тангенциального ускорения.
Рассмотренные примеры, представляющие собой весьма частные
случаи, не могут служить доказательством инвариантности второго
закона Ньютона и законов сохранения по отношению к преобразо-
преобразованиям Лорентца, а являются лишь иллюстрацией этой инвариант-
инвариантности. Идея же наиболее общего метода доказательства инвариант-
инвариантности физических законов подсказана дальнейшим развитием пред-
представления об интервале. Как было показано (§ 63), из относительных
(неинвариантных по отношению к преобразованиям Лорентца) поня-
понятий расстояния между двумя точками и промежутка времени между
двумя событиями может быть составлена комбинация — интервал,
являющийся инвариантом по отношению к преобразованиям Лорентца.

296 МЕХАНИКА СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГГЛ ГХ
Наряду с интервалом могут быть образованы и другие инварианты,
представляющие собой комбинации из неинвариантных физических
величин. Наиболее важным примером таких инвариантов является
определенная комбинация из импульса и энергии тела. Каждая из
этих величин в отдельности не является инвариантом, а три компо-
компоненты вектора импульса и энергия тела определяют некоторую новую
физическую величину, инвариантную по отношению к преобразова-
преобразованиям Лорентца. Применение подобных инвариантов не только упро-
упростило формулировку многих физических законов, но и облегчило
доказательство их инвариантности.
Важный вклад, внесенный в физику специальной теорией относи-
относительности, в том и состоит, что, с одной стороны, был вскрыт относи-
относительный характер некоторых физических понятий, которые класси-
классическая физика считала абсолютными, а с другой — был установлен
абсолютный характер ряда новых физических понятий и доказан абсо-
абсолютный характер физических законов, т. е. возможность формулиро-
формулировать эти законы таким образом, чтобы они были инвариантными по
отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к дру-
другой, также инерциальной.

ГЛАВА X
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
§ 67. Момент силы и момент импульса
Для замкнутых систем, помимо закона сохранения импульса,
оказывается справедливым закон сохранения момента импульса.
Одаако особый интерес закона сохранения момента импульса заклю-
заключается в том, что в ряде случаев он оказывается справедливым для
незамкнутых систем, к которым закон сохранения импульса непри-
неприменим.
Для того чтобы сформулировать закон сохранения момента им-
импульса, необходимо ввести два новых физических понятия: момент
силы и момент импульса. Для упрощения мы
введем эти понятия и сформулируем закон сох- J?4
ранения момента импульса сначала для случая, у' "хчх
когда силы и скорости лежат в плоскостях, пер-
перпендикулярных к оси моментов.
Моментом силы относительно какой-либо
оси называется, как известно, произведение
есличины силы F на плечо d, т. е. на длину
перпендикуляра, опущенного из точки О, че-
через которую проходит ось, на направление си-
силы (рис. 131). Следовательно, по величине момент
силы равен удвоенной площади треугольника ОАВ, т. е. площади
параллелограмма, построенного на векторах г и F7 где г — радиус-
вектор, проведенный из точки О к точке приложения силы. Направле-
Направлением момента силы условлено считать то, в котором будет двигаться
направленный вдоль оси буравчик, если его рукоятка поворачивается
по направлению силы (рис. 132). Следовательно, момент силы F
относительно оси, проходящей через точку О, есть вектор М; этот
вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат F и радиус-
вектор г, по величине равен площади параллелограмма, образован-
образованного векторами г и F, и направлен по правилу буравчика, т. е.
M = [rF]. A0.1)
Нам придется в дальнейшем находить результирующий момент
нескольких сил, действующих на данное тело. Покажем, что момент

298
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
[ГЛ. К
Рис. 132.
суммы сил Z7! и F2 относительно какой-либо оси равен сумме момен-
моментов этих сил относительно той же оси 1).
Найдем, например, момент суммы сил Рг и F29 лежащих в плоскости
чертежа, относительно оси, проходящей через точку О (рис. 133)
перпендикулярно к плоскости чертежа. Перенесем для этого силы
Fx и F2 в точку их пересечения А.
Как следует из самого определения,
моменты сил не изменяются, если точ-
точка приложения силы переносится
вдоль направления силы. Поэтому
моменты сил /^ и F2 направлены пер-
перпендикулярно к чертежу и выражают-
выражаются площадями параллелограммов, по-
построенных соответственно на векторах
F[ и F'% и радиусе-векторе г. Момент
же суммы сил F[ и F'2, т. е. их равно-
равнодействующей Fy также перпендикуля-
перпендикулярен к чертежу и выражается площадью параллелограмма, построенно-
построенного на векторе F и радиусе-векторе г. Эта площадь ADEO равна
сумме площадей параллелограммов AKLO и АВСО> построенных
соответственно на векторах F{ и F<t и векторе г (это видно из того, что
параллелограмм АВСО равен параллелограмму KDEL, а треугольник
ADK равен треугольнику OEL). Сле-
Следовательно, вектор, выражающий мо-
момент суммы сил F-i и F2, равен сумме
векторов, выражающих моменты сил
/=i и F2.
Аналогично моменту силы опре-
определяется и момент импульса. Ограни-
Ограничимся опять случаем, когда ось мо-
моментов выбрана таким образом, что
вектор импульса лежит в плоскости,
перпендикулярной к оси. Моментом
импульса (или моментом количества
движения) относительно некоторой оси
(рис. 134) называют вектор N, направ-
направленный вдоль этой оси по правилу буравчика и равный по величине
произведению импульса то на длину перпендикуляра г, опущенного
на этот вектор из заданной оси. Следовательно, момент импульса N
есть векторное произведение радиуса-вектор а г и вектора импульса mv:
-7'L
А
О
Рис. 133.
= [rmv].
A0.2)
1) Это утверждение прямо вытекает из свойств векторного произведения и не
требует специального доказательства. Однако приводимое рассуждение придаег
этому утверждению большую наглядность.

§ 68] УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ 299
Чтобы найти момент импульса тела относительно какой-либо
неподвижной оси, нужно учесть все импульсы отдельных элементов
тела, находящихся на разных расстояниях от оси. Но если размеры
тела малы по сравнению с расстоянием до выбранной оси, то радиусы-
векторы, проведенные к различным элементам тела, практически
будут совпадать и тело можно рассмат-
рассматривать как материальную точку. Так как
мы изучаем сейчас механику точки, то мы
ограничимся только этими случаями.
Случаи, когда размеры тела сравнимы с
расстоянием до оси моментов, рассматри-
рассматриваются в механике твердого тела (гл. XIII).
Поясним представление о моменте силы и мо-
моменте импульса некоторыми конкретными приме-
примерами. Отметим прежде всего, что момент импульса,
которым обладает тело, движущееся прямолиней- Рис. 134.
но и равномерно (рис. 135), есть величина постоян-
постоянная. Действительно, хотя радиус-вектор г все время изменяется, но момент импульса
остается постоянным, так как остается неизменной длина перпендикуляра d, опущен-
опущенного из точки О на направление вектора mv.
Как будет показано ниже, в замкнутой системе точек, в которой общий импульс
всех точек есть величина постоянная, общий момент импульса относительно любой
оси также будет оставаться постоянным. Закон сохранения
моментов импульса справедлив для любой замкнутой си-
стемы. Но, как уже было сказано, интерес представляют
sX как раз те случаи, когда импульс изменяется, а момент
' ! импульса относительно какой-либо оси остается постоян-
I*9' ным. Простейшим примером этого случая является дви-
I жение точки по окружности с постоянной скоростью. Так
/ как направление скорости при этом все время изменяет-
\j' ся, то вектор импульса также изменяется (по направле-
и нию, но не по величине). Если за ось моментов мы выбе-
р jop- рем ось, проходящую через центр вращения, то момент
импульса относительно этой оси будет оставаться постоян-
постоянным. Вектор импульса будет направлен все время по оси и
по величине равен произведению постоянных величин mv и г (угол между v и г все
время остается прямым). Конечно, если бы за ось моментов мы выбрали ось, не про-
проходящую через центр окружности, то момент импульса относительно этой оси не
оставался бы постоянным, так как в векторном произведении A0.2) изменялась бы
величина г и угол между г и v.
Материальная точка, движущаяся по окружности, не является замкнутой си-
системой, так как на нее все время должна действовать какая-либо внешняя сила, со-
сообщающая ей центростремительное ускорение (например, натяжение нити, которая
прикреплена к оси вращения). Эта сила и изменяет импульс, но не изменяет момента
импульса материальной точки относительно оси, проходящей через центр вращения.
§ 68. Уравнение моментов
Установим связь между моментом внешних сил и моментом импульса
материальной точки (в соответствии с предыдущим, для случая, когда
внешние силы лежат в плоскости, перпендикулярной к оси моментов).
Если на материальную точку массы m действует сила F (это может

300 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА [ГЛ. X
быть равнодействующая многих сил), то уравнение второго закона
Ньютона имеет вид
Выберем какую-либо неподвижную ось, перпендикулярную к пло-
плоскости движения точки. Пусть след этой оси есть точка О (рис. 136).
Проведем от точки О к точке массы т радиус-вектор г. При движе-
движении точки этот радиус-вектор изменяется, т. е. г есть функция вре-
времени. Умножим вектор но обе части уравнения движения на г:
{rF\. A0.3)
Правая часть этого уравнения есть момент сил, взятый относительно
выбранной нами оси. Левая же часть, как мы увидим, есть производ-
производная по времени от момента импульса материальной точки относительно
'r+dr
Рис. 137.
выбранной оси. Производная векторного произведения выражается
аналогично производной произведения скалярных величин, т. е.
~ [rmv\ = \~mv] + \r -^ (mv)]. A0.4)
Но dr есть элементарное изменение радиуса-вектора (рис. 137), т. е.
элементарное перемещение точки за время dty и, значит, drldt = ю.
Таким образом, первый член в правой части A0.4) есть векторное
произведение двух колинеарных векторов (v и mv), которое, как
известно, равно нулю. Следовательно,
Поэтому уравнение A0.3) можно записать следующим образом:
или согласно определению A0.2)
dN

$ 681 УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ 301
Уравнение моментов A0.5) гласит, что производная по времени от
момента импульса N материальной точки относительно какой-либо
неподвижной оси равна моменту М действующих на материальную
точку сил относительно этой оси. В частности, если М = 0, то
N= const. A0.6)
Силы не изменяют момента импульса относительно какой-либо оси,
если сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю.
В нашем примере с равномерным движением материальной точки по окружности
сила натяжения нити не изменяет момента импульса относительно оси, проходящей
через центр вращения, именно потому, что мо-
момент силы относительно этой оси равен нулю
(сила проходит через ось). Если бы мы выбрали
ось, не проходящую через центр вращения, то
момент силы не был бы равен нулю и поэтому
изменялся бы момент импульса относительно
этой оси.
Примером движения, к которому может
быть применен закон сохранения моментов, слу-
служит движение планет по своим орбитам (рис. \s^_ _^^ птиг
138). Так как сила, действующая со стороны
Солнца на планету, всегда направлена к центру рис> 138»
Солнца S, то момент импульса планеты относи-
относительно оси, проходящей через центр Солнца, всег-
всегда остается постоянным. Огсюда видно, что скорость планеты в перигелии Р должна
быть больше скорости движения в афелии А в отношении r2/rlf так как моменты им-
импульса /rav^ и mv2r2 должны быть равны (угол между v и г в обоих случаях прямой).
Для промежуточных положений нужно принять во внимание, что угол между г
и гп<о изменяется. Однако, как легко видеть, г sin а для любой точки больше, чем rlf
и поэтому скорость в любой точке меньше, чем в перигелии.
Уравнение моментов A0.5) указывает, как изменяется момент импульса матери-
материальной точки под действием сил. Так как dN = Mdt, то момент сил, совпадающий
по направлению с моментом импульса, увеличивает
его (dN совпадает по направлению с N). Если же
момент сил направлен навстречу моменту импуль-
импульса, то этот последний уменьшается (dN противопо-
противоположно N).
Рассмотрим пример движения, при котором мо-
момент импульса изменяется (рис.139): к круглой па-
р jog лочке на нерастяжимой нити привязан шарик (сил
ис" тяжести не будем принимать во внимание). Сообщим
шарику начальную скорость v0 в направлении, пер-
перпендикулярном к нити. Шарик начнет вращаться вокруг палочки, причем нить будет
накручиваться на палочку и шарик будет двигаться по закручивающейся спирали.
Относительно оси О, совпадающей с осью палочки, момент силы не равен нулю (так
как нить не проходит через ось палочки), и, следовательно, момент импульса отно-
относительно этой оси не будет оставаться постоянным; можно показать, что он будет
уменьшаться.
Уменьшение момента импульса шарика обусловлено тем, что на шарик действует
момент силы натяжения нити F, направленный навстречу начальному моменту им-
импульса шарика. Действительно, в нашем примере начальный момент импульса от-
относительно оси О, равный N = [г mt>0], направлен на наблюдателя, а момент силы
натяжения нити относительно этой оси направлен за чертеж. Следовательно, dN
также направлен за чертеж, т. е. навстречу N. Поэтому начальный момент импульса
при движении уменьшается.

302 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ГГЛ. X
Уравнение моментов справедливо для любой произвольно выбран-
выбранной неподвижной оси. Но оно приобретает особенно простой вид для
случая вращения по окружности, если в качестве оси моментов вы-
выбрать ось, проходящую через центр окружности. Тогда радиус-вектор
остается постоянным по величине и направление его всегда перпенди-
перпендикулярно к направлению вектора момента импульса. В этом случае
величина вектора момента импульса N = trwr. Так как, с другой
стороны, для вращения по окружности v = cor, где со — угловая
скорость вращения, то
Л/ = тг2со A0.7)
и
dN 2da>
Уравнение моментов A0.5) принимает вид
тг*^ = М. A0.8)
Это уравнение записано нами в скалярной форме. Однако для
рассмотренного частного случая легко восстановить его векторный
характер, рассматривая угловую скорость и угловое ускорение как
векторы. Так как ось вращения постоянна, то вектор угловой ско-
скорости изменяется только по величине и, следовательно, вектор угло-
углового ускорения направлен по оси вращения. Вектор момента силы
также направлен по оси вращения; эти векторы совпадают по на-
направлению, и мы можем написать уравнение моментов в следую-
следующем виде:
/$ = М, A0.9)
где / = тг2 для нашего частного случая представляет собой некото-
некоторую скалярную величину. В таком виде это уравнение аналогично
уравнению Ньютона для линейных ускорений, но вместо сил в него
входит момент сил, а вместо массы — величина / = т/'2, которая
называется моментом инерции материальной точки массы т относи-
относительно данной оси. При помощи момента инерции удобно выражать
и момент импульса. Как видно из A0.7), при движении по окруж-
окружности момент импульса относительно оси вращения есть
Л/ = /со. (ШЛО)
Это выражение справедливо и для случая, когда движение про-
происходит не по окружности и для любых неподвижных осей, но мы
пока его получили и будем им пользоваться только для движения
по окружности и для оси, проходящей через центр вращения. Опять

; 69]
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
303
для нашего частного случая мы можем просто переписать это соот-
соотношение в векторной форме. Вектор момента импульса в случае не-
неподвижной оси вращения совпадает с направлением оси вращения,
т. е. с направлением вектора угловой скорости.
Поэтому
ЛГ=/со. A0.11)
В таком виде это выражение аналогично выражению для импульса,
только вместо линейной скорости в него входит угловая скорость,
а вместо массы —момент инерции.
§ 69. Математический маятник
Применим уравнение моментов к задаче о движении так называемого «математи-
«математического маятника», т. е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что
размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь (рис. 140). За ось
момента выберем горизонтальную ось, проходящую через точку
подвеса перпендикулярно к плоскости качаний маятника. Момент
силы натяжения нити относительно этой оси всегда равен нулю.
Момент же силы тяжести выразится так:
М = mgl sin a,
где I — длина нити, а — угол отклонения от вертикали. Момент
импульса маятника относительно оси, проходящей через точку
подвеса, выражается формулой A0.10), а момент инерции маятни-
маятника относительно той же оси есть / = ml2. Уравнение моментов
A0.8) принимает вид
da mgl sin a
Знак минус взят потому, что момент силы тяжести сообщает маят-
маятнику угловое ускорение, обратное угловому отклонению. Так как
day d2a
—• = — то
dt dt2 9
d2cx я
~d^=Tsinoc-
\mg
Рис. 140.
Это — дифференциальное уравнение, определяющее угол отклоне-
отклонения a как функцию времени. Для общего случая определение вида
функции a (t) из полученного дифференциального уравнения тре-
требует громоздких вычислений. Но если ограничиться малыми уг-
углами а, то задача весьма упрощается. При малых углах можно заменить sin a че-
через а, и тогда уравнение движения маятника принимает вид
2
A0.12)
Это уравнение показывает, что а должно быть такой функцией времени, чтобы
вторая производная от этой функции в любой момент была равна самой функции,
умноженной на величину —g/L Такими свойствами, как известно, обладают гармони-
гармонические функции синус и косинус. Следовательно, при колебаниях маятника угол a
должен меняться со временем по гармоническому закону, например по закону
a = a0 cos ptt где a0 — амплитуда колебаний, а р = 2пп, причем п есть частота ко-

304 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА |ГЛ. X
лебаний, т. е. число колебаний, совершаемых маятником в 1 сек. Очевидно, р есть
число колебаний за 2д секунд; р называют угловой частотой колебаний
Однако не всякая гармоническая функция будет удовлетворять полученному
нами дифференциальному уравнению, т. е. обращать его в тождество. Подставив
а = а0 cos pt в уравнение A0.12), получим:
р
рРа0 cos pt = j- a0 cos pt.
Для того чтобы уравнение удовлетворялось, должно быть р2 == g/lt или
Это выражение определяет угловую частоту колебаний маятника. Следовательно,
а = а0 cos Vgjl t.
Маятник совершит полное колебание за время Т, в течение которого повторяется
значение функции синус или косинус. Это время определяется из условия
отсюда время полного колебания маятника — период маятника —
A0.14)
При подстановке решения а = а0 cosp/ в дифференциальное уравнение A0.12)
а0 сократилось, т. е. амплитуда колебанийа0 не определяется из уравнения движения.
При законе колебаний а = а0 cos pi величина а0 представляет собой то значение,
которое принимает а при /= 0, т. е. начальное отклонение маятника. Амплитуда
колебаний маятника а0 определяется начальными условиями, в частности в нашем
случае величиной начального отклонения. Если бы мы приняли, что колебания ма-
ягника происходят по закону а = а0 sin pt, то это значило бы, что в момент t = 0
а = 0, т. е. что начало отсчета времени совпадает с одним из моментов, когда маят-
маятник проходит через среднее положение. Замена косинуса синусом соответствует
только изменению начала отсчета времени на 7/4. Амплитуда колебаний маятника
и в том и в другом случае определяется начальными условиями.
Наше рассмотрение показывает, что период колебаний маятника зависит от
его длины (и ускорения силы тяжести), но не зависит от амплитуды. При любых ам-
амплитудах период колебаний будет один и тот же. Это свойство называется изохрон-
изохронностью колебаний маятника.
Однако все наше рассмотрение справедливо только при малых отклонениях
(когда sin а можно заменить через а). В частности, и свойство изохронности имеет
место только при этих предположениях. При больших отклонениях это уже не будет
справедливо: момент силы тяжести будет расти медленнее, чем угол а (так как мо-
момент пропорционален sin а), и маятник будет медленнее возвращаться к положению
равновесия, т. е. период колебаний будет возрастать, и тем заметнее, чем больше
отклонения. При больших отклонениях маятник уже не обладает свойством изохрон-
изохронности, так как период колебаний зависит от амплитуды.
Рассматривая колебания маятника, мы не учитывали того, что на маятник будут
действовать силы трения и сопротивления среды. Эти силы приведут к тому, что коле-
колебания маятника будут постепенно затухать, т. е. уже не будут подчиняться закону
а = а0 cos pt, где а0 — постоянная величина. Величина а0 будет с течением времени
уменьшаться. Но если силы трения невелики, то это уменьшение величины а0 будет
происходить очень медленно, а период маятника будет оставаться практически неиз-
неизменным. Поэтому колебания маятника являются одним из удобных методов отсчета
постоянных промежутков времени.

70]
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
305
§ 70. Закон сохранения момента импульса
для системы материальных точек
От уравнения моментов для одной точки легко перейти к уравне-
уравнению моментов для системы точек. Пусть у нас есть ряд материальных
точек с массами mlf m2, m3, ... (рис.
141). На каждую из этих точек дейст-
действуют внутренние силы со стороны дру-
других точек системы F129 F13, ..., F21%
F2S, ••• Кроме того, на все точки могут
действовать внешние силы со стороны
других тел, не входящих в систему. Обо-
Обозначим эти силы через <Dlt Ф2, ... Урав-
Уравнения движения для точек системы бу-
будут иметь вид
d
Ограничимся опять случаем, когда
все силы и все скорости лежат в одной
и той же плоскости (или в параллельных плоскостях), и выберем ось
моментов, перпендикулярную к этой плоскости (точка О на рис. 141
есть след этой оси).
Проведя радиусы-векторы rl9 r2, ... ко всем точкам системы, мы
получим (как и прежде):
dt
= [r2F21]
[г2Ф2],
A0.15)
Сложив все эти уравнения, получим слева
где N — общий момент импульса всех точек системы, а справа —
сумму моментов всех сил (внутренних и внешних), действующих
в системе. Но сумма моментов всех внутренних сил должна быть
равна нулю, так как внутренние силы всегда попарно равны и про-
противоположны по направлению, и моменты этих сил относительно
одной и той же оси также всегда попарно равны и противоположны
по направлению. Поэтому после сложения всех уравнений A0.15)

306 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
[ГЛ. X
мы получим справа только сумму моментов внешних сил. Уравнение
моментов принимает тот же вид, что и для материальной точки:
dN м
где М —момент только внешних сил.
Производная общего момента импульса системы материальных
точек относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту
действующих на систему внешних сил относительно этой же оси.
В частности, если для какой-либо оси М = 0, то
#=const. A0.17)
Это уравнение выражает закон сохранения импульса системы
материальных точек: общий момент импульса системы относительно
какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент
внешних сил относительно этой оси равен нулю.
Отсюда следует, в частности, и тот вывод, о котором мы упоми-
упоминали в § 67: момент импульса замкнутой системы есть величина
постоянная, так как для нее сумма внешних сил, а значит, и момент
внешних сил равны нулю.
Внутренние силы не могут изменить общего момента импульса,
а могут лишь вызвать обмен моментами импульсов между различ-
различными точками системы. В незамкнутой системе общий момент импульса
системы может изменяться в ре-
результате действия моментов внеш-
внешних сил. Но если можно выбрать
. т такие оси, относительно которых
т '- ¦ - момент всех внешних сил равен
нулю, то общий момент импульса
системы относительно этих осей
будет оставаться постоянным.
Иллюстрацией закона сохранения мо-
Рис. 142. мента количества движения может служить
следующий простой опыт. На металличе-
металлический стержень насажены две одинаковые
массы т, которые могут свободно скользить вдоль стержня (рис. 142). Стержень ук-
укреплен на жесткой опоре, которая может вращаться с малым трением вокруг оси 00'.
Массы связаны нитью и расположены так, что они находятся по обе стороны от оси
на одинаковом расстоянии от нее. Если раскрутить стержень и затем пережечь нить,
то массы соскользнут на края стержня; угловая скорость стержня при этом умень-
уменьшится. Если пренебречь моментами инерции стержня и опоры, то полный момент
импульса двух масс т относительно оси вращения
Л/ = 2 тг2ы
должен оставаться постоянным (так как момент внешних сил относительно оси вра
щения равен нулю). Поэтому если вначале угловая скорость была <% и расстояние
масс до оси гь а в конце соответственно со2 и г2, то ' "' "

§ 70] СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 307
Следует отметить, что и линейная скорость при этом также уменьшается. Дей-
Действительно, v = cor, и если coj/cog = г\/г\, то vx/v2 = ^гху т- е- линейная скорость
после перемещения грузов уменьшилась в отношении, обратном отношению радиу-
радиусов. Уменьшение линейной скорости масс может быть вызвано только направленными
навстречу линейной скорости силами, с которыми на массы действует стержень.
Эти силы возникают вследствие того, что при движении масс по стержню последний
деформируется. Механизм возникновения таких деформаций будет рассмотрен позд-
позднее (§ 82); но, без рассмотрения этого механизма, из того, что линейная скорость масс
уменьшилась, мы должны заключить, что во время движения масс по стержню он был
изогнут вперед, так как силы, действующие со стороны стержня на массы, чтобы умень-
уменьшить их скорость, должны быть направлены навстречу линейной скорости масс, обу-
обусловленной вращением стержня.
Еще более убедительной получается эта демонстрация, если ее произвести в об-
обратном порядке: заставить грузы приближаться к оси. Для этого их можно соединить
достаточно тугой пружиной, а затем при помощи нити, привязанной к грузам и про-
пропущенной через кольца, укрепленные по концам стержня, растянуть грузы к краям
стержня. Такое закрепление грузов позволяет освободить оба груза одновременно,
в одном месте пережигая нить, после чего пружина стянет грузы к оси. Если пере-
пережечь нить при вращении стержня, то угловая скорость вращения стержня резко
возрастает (момент инерции уменьшается, а момент импульса не изменяется). В этом
случае линейные скорости грузов увеличиваются, так как угловая скорость растет
быстрее, чем уменьшается расстояние до оси. Соответственно стержень во время
движения грузов должен быть изогнут назад.
В том случае, когда момент внешних сил, действующих на систему
материальных точек, не равен нулю, момент импульса системы изме-
изменяется и эти изменения определяются уравнением моментов A0.16).
Однако связь между изменениями момента импульса и изменениями
скоростей различных точек системы в общем случае сложна. Поэтому
здесь мы ограничимся рассмотрением только простейшего случая,
когда все точки системы движутся с одинаковой угловой скоростью
по кругам, центры которых лежат на одной прямой, перпендикулярной
к плоскости кругов; эта прямая представляет собой ось вращения
(в этом случае взаимное расположение точек при вращении не изме-
изменяется). Приняв ось вращения за ось моментов, можно выразить
момент импульса всей системы следующим образом:
N = Ц nmiVi = 2 m?rfco = Q] т^п) со = (Ц U) со,
гдет* —масса, rt —радиус вращения i-Pi точки системы, а / —сумма
моментов инерции всех точек системы, взятых относительно оси 00',
или общий момент инерции системы относительно этой же оси. Урав-
Уравнение моментов для системы точек может быть записано в таком же
виде A0.9), как и для одной точки:
/f = M, A0.18)
где М — сумма моментов всех внешних сил относительно оси враще-
вращения. Такой простой вид уравнение моментов принимает только в рас-
рассматриваемом случае вращения всех точек системы вокруг одной и
той же неподвижной оси с общей угловой скоростью.

308
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
[ГЛ. X
Когда движение происходит вокруг неподвижной (закрепленной)
оси 00' и эта ось выбрана за ось моментов, то силу F9 не лежащую
в плоскости, перпендикулярной к этой оси (рис. 143), можно раз-
разложить на две составляющие: Fi9 лежащую в этой плоскости, и Fnt
перпендикулярную к этой плоскости.
Для составляющей Ft справедливо все
то, что было сказано выше для сил, ле-
лежащих в плоскости, перпендикулярной
к оси. Составляющая Fn, направлен-
направленная вдоль оси, не может изменить мо-
момента импульса относительно этой оси
и вызовет только дополнительное давле-
давление на опоры оси. Поэтому в случае за-
закрепленных осей вращения мы можем
всегда брать только составляющие внеш-
внешних сил, лежащие в плоскостях, пер-
перпендикулярных к оси вращения. При
этом, поскольку ось вращения закре-
закреплена, внешние силы, как бы они ни бы-
были направлены, могут изменять только
величину момента импульса, но не могут изменять его направления.
Но если ось вращения может изменять свое направление в простран-
пространстве, то внешние силы, вообще говоря, изменяют не только величину,
но и направление момента импульса. Этот случай будет рассмотрен
позднее (§ 100).
§ 71. Закон сохранения момента импульса
и закон сохранения энергии
Кинетическая энергия движущегося тела массы т, рассматривае-
рассматриваемого как материальная точка, равна mv2/2. Если движение тела пред-
представляет собой вращение вокруг достаточно удаленной неподвижной
оси, то кинетическую энергию удобно выражать через угловую ско-
скорость вращения. Так как v = cor, то
где / —момент инерции материальной точки относительно оси вра-
вращения. Это же выражение справедливо и для системы материальных
точек, вращающихся с общей угловой скоростью вокруг одной и той
же оси.
Если в отсутствие моментов внешних сил момент инерции системы
изменяется, то происходит и соответствующее изменение угловой
скорости, так как момент импульса /со остается неизменным; но если
/со остается неизменным, то /со2 уже не может оставаться неизменным;

§ 71] СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
309
Рис. 144.
поэтому когда при неизменном моменте импульса момент инерции
увеличивается, то кинетическая энергия уменьшается, и наоборот.
Эти изменения кинетической энергии обусловлены работой тех
сил, которые вызывают изменения момента инерции вращающейся
системы.
Выясним, как эти изменения происходят, на конкретном примере вращения ша-
шарика на нити. Шарик массы т вначале покоится на горизонтальном столе, а при-
прикрепленная к нему нить пропущена через отверстие О,
служащее центром вращения (рис. 144), и момент инер-
инерции шарика относительно оси, проходящей через точку
О, можно изменять, изменяя длину нити. При закреп-
закрепленном конце нити сообщим шарику некоторую началь-
начальную скорость vQf т. е. некоторый момент импульса Л/о =
= mrQv0 — тг%щ (соо — начальная угловая скорость, а
г0 — начальная длина нити). Будем изменять момент
инерции вращающегося шарика, медленно втягивая или
отпуская нить. При этом момент импульса относительно
оси вращения не будет изменяться, так как сила натяже-
натяжения нити проходит через ось моментов. Так как /co~const,
то при увеличении радиуса вращения (возрастании I) ки-
кинетическая энергия шарика /оJ/2 будет уменьшаться. Для
того чтобы удерживать конец нити, мы должны к ней при-
приложить внешнюю силу, сообщающую шарику центро-
центростремительное ускорение со2л, т. е. силу F = mco2r. Если
шарик удаляется от оси, то точка приложения силы F
перемещается в направлении, противоположном направ-
направлению силы. Сила F совершает отрицательную работу. Эта отрицательная работа
внешней силы и уменьшает кинетическую энергию шарика (за счет кинетической
энергии шарика совершается работа «против силы» F).
Наоборот, если нить втягивать, то кинетическая энергия шарика будет увеличи-
увеличиваться (так как / уменьшается). Но при этом внешняя сила F совершает положитель-
положительную работу, гак как точка приложения силы F пере-
перемещается в направлении силы. Эта работа идет на
увеличение кинетической энергии шарика.
Изменение кинетической энергии шарика связано
с изменением его линейной скорости v (так как, в ко-
конечном счете, кинетическая энергия шарика есть mv2/2).
Причиной изменения линейной скорости шарика яв-
является сила, действующая со стороны нити. При из-
изменении радиуса вращения (длины нити) шарик дви-
движется по некоторой спирали, и поэтому направление
нити не перпендикулярно к скорости шарика. Появ-
Появляется тангенциальная составляющая ускорения, из-
изменяющая абсолютную величину скорости. При рас-
раскручивающейся спирали нормаль к спирали оказы-
оказываете." спереди радиуса-вектора (рис. 145). Составляющая натяжения нити F(, а зна-
значит, и таш'енциальное ускорение будут направлены в сторону, противоположную
скорости, и скорость v будет уменьшаться. При скручивающейся спирали, наоборот,
нормаль к спирали оказывается позади радиуса-вектора, тангенциальное ускорение
направлено в сторону скорости и будет ее увеличивать.
Во всех случаях, когда внешние силы изменяют момент инерции вращающейся
системы, они совершают работу и изменяют кинетическую энергию системы. Если же
момент инерции вращающейся системы изменяется не под действием внешних сил,
а вследствие изменения связей в системе, например в результате пережигания нитей
в опытах, описанных в § 70, то картина получается иная. В этих случаях внешние
О
Рис. 145.

310 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА [ГЛ. X
силы отсутствуют й, следовательно, они не могут быть причиной изменения кинети-
кинетической энергии системы. Но в этих случаях перемещения отдельных тел системы
происходят быстро и неизбежно связаны с возникновением упругих деформаций,
а значит, и колебаний, аналогичных тем, которые были рассмотрены в § 37. Часть
энергии системы превращается в энергию этих колебаний. Эта энергия вследствие
затухания колебаний рассеивается в виде тепла. Поэтому механическая энергия
системы в конечном счете уменьшается.
В первом из опытов, описанных в§ 70, когда грузы движутся от центра, кинети-
кинетическая энергия грузов действительно уменьшается. Во втором из этих опытов, когда
грузы движутся к центру под действием пружины, кинетическая энергия системы
в конце оказывается больше, чем вначале. Это объясняется тем, что силы, действую-
действующие со стороны пружины, совершают положительную работу и увеличивают кинети-
кинетическую энергию системы. Однако и в этом случае возникают колебания, при которых
рассеивается часть энергии, и поэтому кинетическая энергия системы в конце
-оказывается меньше, чем сумма начальной кинетической энергии системы и потен-
потенциальной энергии растянутой пружины.
§ 72. Уравнение моментов для частиц
в циклическом ускорителе
В циклических ускорителях момент импульса частицы относительно оси магнит-
магнитного поля (которое во всех циклических ускорителях имеет осевую симметрию) уве-
увеличивается под действием момента сил ускоряющего поля относительно той же оси.
Эти силы действуют вдоль орбиты в большинстве случаев не на всем ее протяжении,
а только на отдельных участках — в ускоряющих промежутках. Однако вследствие
того, что момент импульса частицы за один ее оборот по орбите возрастает незначи-
незначительно, а число оборотов, совершаемых частицей, пока она достигает максимальной
энергии, очень велико A04 и более), момент силы, действующей в ускоряющих про-
промежутках, можно считать равномерно распределенным по орбите.
Рассмотрим случай, когда в ускорителе с постоянным магнитным полем (т. е.
электрическое поле, возникающее вследствие электромагнитной индукции, отсут-
отсутствует) есть только один ускоряющий промежуток и напряжение на этом промежутке
во время прохождения частицы равно U. Сила, действующая со стороны электриче-
электрического поля,
F = eE, A0.19)
где Е — напряженность электрического поля в ускоряющем промежутке. Момент
этой силы
М = cER, A0.20)
где R — радиус орбиты. Для того чтобы подсчитать средний момент силы, распре-
распределенный по орбите, мы должны представить себе, что ускоряющее поле не сосредо-
сосредоточено в ускоряющем промежутке шириной d, а «распределено» вдоль всей орбиты
длиной 2nR. Для того чтобы это поле сообщало частице за каждый оборот такое же
ускорение, которое сообщает поле Е в промежутке d, оно должно быть в d/2nR раз
слабее поля в промежутке. Для того чтобы от момента силы, действующей в ускоряю-
ускоряющем промежутке, перейти к среднему моменту, распределенному по орбите, нужно
в A0.20) умножить Е на d/2nR, Учитывая, что Ed = {/, получим выражение для сред-
среднего момента сил, распределенного по орбите:
Следовательно, уравнение моментов для частицы, движущейся в ускорителе, имеет
вид

« 721 УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ ДЛЯ ЧАСТИЦ В ЦИКЛИЧЕСКОМ УСКОРИТЕЛЕ 311
где N — момент импульса частицы. Аналогичное выражение получится для уско-
ускорителя, в котором частица проходит через несколько ускоряющих промежут-
промежутков, но в этом случае под U следует понимать сумму напряжений во всех про-
промежутках.
Подставляя в уравнение A0.21) выражение для момента импульса A0.7), полу-
получим уравнение моментов в таком виде:
¦?(mR*>)=g, A0.22)
где R — радиус орбиты, со — угловая скорость вращения частицы, am — масса ча-
частицы.
Когда частицы в ускорителях достигают скоростей, сравнимых со скоростью
света, необходимо учитывать зависимость массы от скорости. Тогда уравнение мо-
моментов принимает вид
d , „н,- ~ i — (Ю 23)
В левой части этого уравнения, вообще говоря, переменными являются не только со,
но также R и а, так как скорость и радиус орбиты постепенно возрастают (при этом
со, v и R связаны соотношением v = to/?). Только в тех случаях, когда ускорение
частиц происходит по орбитам постоянного радиуса (например, при ускорении элек-
электронов в синхротронах), R в уравнении A0.23) есть величина постоянная. Однако,
поскольку во всех циклических ускорителях радиус орбит если и не остается постоян-
постоянным, то увеличивается очень медленно (за весь процесс ускорения частицы делают
не менее 104 оборотов и, следовательно, изменение радиуса за один оборот не превы-
превышает долей процента), можно для каждого отдельного оборота частицы считать R
в уравнении A0.23) постоянным; тогда из этого уравнения можно найти среднее угло-
угловое ускорение частицы, считая его так же равномерно распределенным по орбите,
как и момент силы.
Рассмотрим теперь случай бетатрона, в котором роль ускоряющего напряжения
играет электродвижущая сила индукции, возбуждаемая изменением магнитного
потока Ф, пронизывающего орбиту электрона. Электродвижущая сила индукции по
всей орбите
Напряженность электрического поля индукции мы найдем, разделив % на длину ор-
орбиты 2зхЯ, где R — радиус орбиты. Следовательно, напряженность электрического
поля индукции
Е
2nRc dt
а сила, действующая на электрон,
и, наконец, момент этой силы
2пс dt '
Заменяя этим выражением правую часть A0.22), получим уравнение моментов
для бетатрона (знак минус можно отбросить, если нас не интересует направление

312 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 1ГЛ К
момента силы):
d е йФ
Интегрируя правую и левую части этого уравнения, окончательно получим:
m/fto = ~ О. A0.24)
Магнитный поток Ф, пронизывающий орбиту электрона, можно выразить через сред-
среднюю напряженность поля, пронизывающего орбиту, ЯСр и площадь орбиты nR2:
Ф = HcpnR*.
С другой стороны, угловая скорость обращения электрона со = 2л/т0, где т0 — период
обращения электрона, и, как следует из (8.17), со .= etl/mc. Подставляя значения Ф
и (о в A0.24), получим условие ускорения в бетатроне:
// = //ср/2,
т. е. поле на орбите должно быть в два раза меньше среднего значения поля, прони-
пронизывающего орбиту.

ГЛАВА XI
ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
§ 73. Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения, как и все физические законы, пред-
представляет собой обобщение опытных фактов. Факты, из которых Ньютон
вывел закон всемирного тяготения, были установлены Кеплером.
Это —так называемые законы Кеплера, которым подчиняются все
планеты солнечной системы. Факты эти следующие:
1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых
находится центр Солнца.
2. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные
площади.
3. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы боль-
больших полуосей их орбит.
Из этих фактов могут быть сделаны вполне определенные заклю-
заключения об ускорениях, испытываемых планетами при их движении
вокруг Солнца. Чтобы упростить вывод этих заключений, мы заменим
эллиптические орбиты круговыми (в центре которых находится Солнце).
Из первых двух законов Кеплера следует, что сила, действующая на
все планеты, направлена в одну и ту же точку, к центру Солнца (так
как для круговых орбит второй закон означает, что планеты движутся
с постоянной угловой скоростью). Третий закон Кеплера для круговых
орбит гласит:
T\m=RMRl (ИЛ)
где 7\ и Т2 — времена обращения, a R± и R2 — радиусы орбит.
При движении по круговой орбите планета должна испытывать
центростремительное ускорение / = со2/?, где <о —угловая скорость
обращения планеты по орбите. Поэтому отношение ускорений для
двух различных планет равно
А//а = <of#i/<O2#a-
Так как ыг/щ = Тг1Тх> то
А//а =

314 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ. XI
Подставляя сюда отношение квадратов времен обращения из A1.1),
получаем:
Так как третий закон Кеплера справедлив для всех планет в их
обращении вокруг Солнца, то, значит, для любой планеты ускорение
равно
A1.2)
где С — константа, одинаковая для всех планет, a R — расстояние
от данной планеты до Солнца.
Солнце сообщает всем планетам ускорение, направленное к центру
Солнца и обратно пропорциональное квадрату расстояния от Солнца.
Это и есть тот вывод, который был сделан Ньютоном из законов Кеп-
Кеплера (этот вывод справедлив также и для эллиптических орбит).
Если выражение A1.2) применить к движению Луны вокруг Земли,
то постоянная С будет иметь другое значение. Отсюда следует, что
эта постоянная С зависит от свойств ускоряющего тела, которым
в случае движения Луны является Земля.
Наконец, из сопоставления ускорений, испытываемых Луной
и различными телами, находящимися у поверхности Земли, следует,
что Земля сообщает Луне ускорение приблизительно в 3600 раз
меньшее, чем всем телам, находящимся у поверхности Земли. Так
как расстояние от центра Земли до центра Луны приблизительно
в 60 раз больше радиуса Земли, то и для ускорений, сообщаемых
Землей любым телам (в том числе и Луне), справедливо соотношение
A1.3)
где Сг одинаково для всех тел, ускоряемых Землей.
Таковы факты, которыми располагал Ньютон. Из этих фактов
он вывел заключение, что ускорения, сообщаемые небесными телами
друг другу, и ускорения, сообщаемые различным телам Землей,
обусловлены силами, имеющими одну и ту же природу. Это — силы
всемирного тяготения, или гравитационные силы, действующие между
всеми телами, будь то Солнце и планета, или Земля и «ньютоново
яблоко». На основании этих же фактов Ньютон установил те законы,
которыми определяются силы взаимного тяготения. Прежде всего,
силы взаимного тяготения должны быть обратно пропорциональны
квадрату расстояния между центрами тел (для тел шарообразных).
Далее, силы эти должны зависеть от свойств ускоряющих тел (так
как постоянная С для различных ускоряющих тел различна). Наконец,
так как различным телам данное тело сообщает одно и то же ускоре-
ускорение, то силы эти должны зависеть также и от свойств ускоряемых тел.
(Если бы силы не зависели от свойств ускоряемых тел, то ускорения
были бы не одинаковы, а обратно пропорциональны инертным мас-
массам тел.)

§ 73] ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 315
На основании этих соображений Ньютон установил, что сила
взаимного тяготения между телами, размеры которых малы по сравне-
сравнению с расстоянием между ними, выражается соотношением
(П.4)
где г — расстояние между телами, а тг и т2 — постоянные, харак-
характеризующие гравитационные свойства каждого из тел; эта сила на-
направлена по линии, соединяющей тела. Постоянные тг и т2 назы-
называются гравитационными (или тяжелыми) массами тел.
Если размеры тел сравнимы с расстоянием между ними, то каж-
каждое тело нужно разделить на элементы, размеры которых малы по
сравнению с этим расстоянием. Тогда для взаимного тяготения каж-
каждого элемента одного тела с каждым элементом другого тела спра-
справедливо выражение A1.4), а полная сила взаимного притяжения тел
представляет собой сумму сил, действующих со стороны всех элемен-
элементов одного тела на все элементы другого тела. В частном случае,
когда оба тела представляют собой однородные шары (или распределе-
распределение масс в них обладает сферической симметрией), эта полная сила
равна той силе, с которой притягивались бы две «точечные массы»
тх и т2, расположенные в центрах шаров, т. е. под г в A1.4) в этом
случае нужно понимать расстояние между центрами шаров.
Закон всемирного тяготения A1.4) не является целиком утвер-
утверждением, поддающимся опытной проверке, так как мы не располагаем
способом независимого измерения тяжелых масс тел. В законе все-
всемирного тяготения содержится только утверждение, что силы тяго-
тяготения обратно пропорциональны квадрату расстояния между телами
(это утверждение может быть проверено на опыте — законы Кеплера
являются его подтверждением). Кроме того, в нем содержится опреде-
определение тяжелой массы тела. Это определение таково: если мы измерим
силу, с которой какое-либо тело А притягивается к телу В, а затем
вместо тела В поместим другое тело С и измерим силу притяжения
между Л и С, то отношение сил притяжения и будет определять отно-
отношение тяжелых масс тел Б и С. Но это мы и делаем при взвешивании;
следовательно, взвешиванием мы определяем тяжелые массы тел.
Совсем другим способом, по отношению между силой и ускоре-
ускорением, мы определяем инертные массы тел. И заранее вовсе нельзя
утверждать, что отношение тяжелых масс тел должно быть равно
отношению их инертных масс. Однако наблюдения подтверждают
это. Так как все тела падают к Земле с одинаковым ускорением g,
то силы, с которыми они притягиваются Землей, пропорциональны
их инертным массам. С другой стороны, по определению, отношение
этих сил равно отношению их тяжелых масс. Следовательно, отно-
отношение тяжелых масс тел пропорционально отношению их инертных
масс. Чтобы проверить это со всей возможной точностью, Ньютон
произвел специальные опыты с маятниками, сделанными из различных

316 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ. XI
материалов, и убедился, что все маятники одинаковых размеров и
формы колеблются с одинаковым периодом. Совпадение периодов
маятников свидетельствует о том, что g для всех тел одно и то же х).
Эти и аналогичные им опыты повторялись неоднократно все с большей
и большей точностью и всегда давали такой же результат. Таким
образом, со всей доступной сейчас высокой точностью установлен
тот факт, что тяжелые массы тел пропорциональны их инертным
массам.
С точки зрения классической физики этот факт представляется
поразительным «случайным совпадением», поскольку инертные и
гравитационные свойства тел в классической физике никак не свя-
связаны между собой. С точки же зрения общей теории относительности
пропорциональность инертной и тяжелой масс не является случайным
совпадением, а отражает ту связь, которая существует между силами
тяготения и силами инерции (подробно этот вопрос будет рассмотрен
в § 85).
§ 74. Гравитационная постоянная
Если тяжелая и инертная массы тела пропорциональны друг
другу, то мы можем считать их равными. Для этого тот же плати-
платиновый куб, который мы приняли за единицу инертной массы, мы
должны считать и единицей тяжелой массы и размерность тех и дру-
других единиц считать одинаковой. Тогда в законе всемирного тяготе-
тяготения A1.4) у нас уже заранее выбраны единицы для измерения всех
величин, входящих в этот закон. Если мы сохраним этот закон в том
виде, как он написан (т. е. в виде пропорциональности), то он оста-
останется справедливым при любом выборе единиц измерения. Но если
мы хотим заменить пропорциональность равенством, то мы должны
ввести некоторый коэффициент пропорциональности у:
^ (И.5)
Однако размерности / и mxtnjr2 при выбранных нами единицах
измерения тяжелой массы (совпадающих с единицами инертной массы)
оказываются различными. Это значит, что при изменении масштабов
единиц должно изменяться и численное значение коэффициента у,
чтобы соотношение A1.5) оставалось справедливым, т.е. у—вели-
у—величина, имеющая размерность. Чтобы равенство A1.5) не зависело от
выбора масштабов, размерности правой и левой частей должны быть
одинаковы, и поэтому у в системе LMT должна иметь размерность:
'ГА
г) Как мы видели (§ 69), период математического маятника зависит только от
его длины и величины g. Для физического маятника, как будет показано ниже (§ 90),
период также зависит только от размеров и формы маятника (если он весь сделан
из одного и того же материала) и от величины g.

§74] ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ 317
Размерный коэффициент у называется гравитационной постоянной.
Гравитационная постоянная имеет наглядный физический смысл.
Если положить т1 = 1, т2 = 1 и г — 1, то / = у, т. е. у равна той
силе, с которой притягиваются два тела с массами, равными единице,
и находящиеся на расстоянии, равном единице.
Теперь понятно, почему мы выше вообще могли не различать
инертной и тяжелой масс. Массы эти оказались пропорциональными,
а единицы измерения этих масс мы выбрали так, чтобы они оказа-
оказались к тому же и равными. Поэтому мы и могли говорить о массе тела,
не уточняя, идет ли речь об инертной или о тяжелой массе.
Мы могли поступить иначе: выбрать единицу тяжелой массы так, чтобы не толь-
только закон всемирного тяготения был справедлив при любом выборе масштабов единиц,
но и чтобы у оставалась постоянной и не зависящей от выбора масштабов единиц.
Тогда у была бы величиной безразмерной, но зато размерность тяжелой массы ока-
оказалась бы другой, не такой, как размерность инертной массы. Именно, размерность
тяжелой массы в системе LMT была бы:
[mg] = i/^M^f1.
Это значит, что хотя тяжелая масса данного тела и остается пропорциональной
инертной массе, но эти массы уже не равны, независимо от выбора масштабов еди-
единиц (так как размерности этих масс различны).
Для инертной массы мы имеем эталон — определенное тело, масса которого
принята за единицу. Единицу тяжелой массы следовало бы считать производной еди-
единицей, для которой мы не должны иметь эталонов, а должны его воспроизводить па
основе закона всемирного тяготения, измеряя при помощи динамометров силу взаим-
взаимного притяжения между двумя равными массами т. Если бы мы хотели последователь-
последовательно строить абсолютную систему единиц LMT, то эталон инертной массы нельзя
было бы в то же время рассматривать как эталон тяжелой массы1).
Тем, что мы одно и то же тело выбираем за эталон и инертной и тяжелой масс,
т. е. заранее считаем их равными при всяком выборе масштабов, мы предопределяем
изменения коэффициента у при изменении масштабов, т. е. определяем размерность
этого коэффициента.
Для непосредственного определения значения коэффициента у мы должны один
раз одновременно измерить все величины, входящие в закон всемирного тяготения,
т. е. измерить силу взаимного тяготения двух тел, массы которых нам заранее из-
известны. (Мы не можем определить у из ускорения, сообщаемого планетам Солнцем,
так как масса Солнца нам не известна,)
Значение у можно определить из силы притяжения тел к Земле, если масса Зем-
Земли измерена независимо (путем сравнения с какой-либо известной массой). На этом
принципе была основана первая группа измерений у.
Ньютон предложил способ определения массы Земли путем сравнения ее с мас-
массой горы. Эту последнюю можно приближенно определить по размерам горы, если
плотность горных пород известна. Идея заключается в измерении отклонения, кото-
которое испытывает отвес под действием притяжения горы. Если отвес укреплен у подош-
подошвы горы (рис. 146), то, кроме силы притяжения Земли F, на него действует сила при-
притяжения со стороны горы /, вызывающая отклонение отвеса. Угол отклонения отве-
1) Можно было бы поступить еще иначе: выбрать хранящийся в Париже плати-
платиновый куб за эталон только тяжелой массы. Тогда единица инертной массы оказа-
оказалась бы производной единицей, которую можно воспроизводить по эталонам тяжелой
массы, длины и времени (устанавливая по взаимному притяжению тяжелых масс
единицу силы и измеряя отношение силы к сообщаемому ею ускорению).

318
ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
[ГЛ. ХГ
са ф определяется соотношением tg <p = f/F. Этот угол <р можно измерить путем астро-
астрономических определений вертикали данного места. По отношению сил jF и / можно
найти отношение масс горы и Земли. Так как масса горы известна, то измерение поз-
позволяет определить массу Земли.
Такие измерения были произведены Маскелином A775 г.) и Джемсом и Кларком
A856 г.). Эти измерения дали для массы Земли значение М = 5,75» 1027 г, т. е. уже
достаточно близкое к тому, которое было установлено более точными позднейшими
измерениями. Зная массу Земли, по
силе притяжения Землей тела извест-
известной массы можно из закона всемир-
всемирного тяготения найти гравитационную
постоянную.
Вторую группу составляют методы
определения у по силам взаимодейст-
взаимодействия между двумя телами, массы ко-
которых могут быть непосредственно т
о) Q
б)
• м •
Рис. 146.
Рис. 147.
измерены. Главная трудность в осуществлении таких методов состоит в том, что при
не очень больших массах, которыми можно пользоваться в этих методах, силы притя-
притяжения оказываются очень малыми. Кавендиш впервые построил прибор, на котором
эти малые силы могут быть измерены A798 г.). Схема этих измерений изображена на
рис. 147. Коромысло с двумя одинаковыми массами т, подвешенное горизонталь-
горизонтально на очень тонкой и длинной нити, находится в положении равновесия (рис.
147, а). Если к массам т приблизить сбоку другие массы М (на рис. 147, б по-
показано расположение масс, если смотреть сверху), то силы взаимного тяготения за-
закручивают коромысло с нитью на определенный угол. Приближение масс М к мас-
массам т с другой стороны (положение М') вызывает закручивание коромысла в
другом направлении.
В этих двух смещенных положениях равновесия момент сил притяжения, действую-
действующих на массы т со стороны масс М, равен моменту упругих сил, действующих на
коромысло со стороны подвеса. Зная упругость подвеса, можно определить силы,
действующие на массы т в новых положениях равновесия. Так как массы т и М
и расстояние между ними известны, то из значения найденной силы можно определить
величину у.
Измерения, произведенные Кавендишем, дали значение
у = 6,66 • 10"8 шз г'1 сек'2.
Прибор Кавендиша в дальнейшем был усовершенствован Бойсом A893 г.). Его
измерения дали значение
у = 6,70 • 11Г* см* г'1 сек'2.

75]
ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
319
Рис.
К этой же группе методов относится и метод Жоли. Измерение силы притяже-
притяжения между двумя массами производится при помощи чувствительных рычажных ве-
весов (рис. 148). На весах уравновешивается шар известной массы /я, а затем к нему
подносится снизу другой шар большой массы
М. Сила притяжения, действующая со сторо-
стороны этого большого шара, нарушает равнове-
равновесие весов. По величине груза, который нуж-
нужно положить на другую чашку весов, чтобы
восстановить равновесие, определяется сила
притяжения между шарами. Чтобы шар М не
действовал на грузы, находящиеся на второй
чашке весов, шар т подвешивается к коро-
коромыслу весов на очень длинной нити.
Кекиг и Рихард усовершенствовали ме-
метод Жоли и получили для у значение, кото-
которое сейчас считается наиболее точным:
у = 6,685 • 10~8 еж3 г1 сек~\
После того как у определена, можно
найти и массу Земли. Так как ускорение на
поверхности Земли g = yMIR2, где М —
масса Земли, R — ее радиус, то, подставляя известные значения g = 982 см/сек?
и R — 6,35-108 см, мы найдем М. Масса Земли, найденная из непосредственных
измерений у, оказывается равной
Зная V» по ускорению, сообщаемому Земле Солнцем, и расстоянию между ними мож-
можно таким же образом определить и массу Солнца; наконец, по ускорению, сообщае-
сообщаемому Земле Луной, и расстоянию между ними можно определить и массу Луны.
§ 75, Движения в поле тяготения
Как уже указывалось (§ 17), возникновение сил, действующих
«на расстоянии», в частности сил всемирного тяготения, обусловлено
существованием полей. Всякое тяжелое тело создает в окружающем
пространстве поле тяготения, а всякое другое тяжелое тело, поме-
помещенное в это поле, испытывает силу, определяемую законом всемир-
всемирного тяготения. Поле тяготения в каждой точке пространства опре-
определяется только свойствами (формой и массой) и положением тела Л,
создающего это поле, а сила /ля, действующая на другое тяжелое
тело ВУ помещенное в любую точку поля, оказывается пропорциональ-
пропорциональной тяжелой массе тв тела В. Поэтому отношение [ав^в не зависит
от массы тела В и характеризует то поле тяготения, которое создает
тело А в той точке, в которую помещено тело В. В случае, когда рас-
расстояние г между телами А и В велико по сравнению с их размерами,
сила [ав определяется выражением A1.5)
Пв = У^. (П.6)
Тогда отношение g = \ав1шв («напряженность» поля тяготения, созда-
создаваемого телом А) будет равно
? = 7^. (П.7)

320 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ. XI
Для того чтобы определить силу fAB, действующую на тело В
массы tnih помещенное в данную точку поля тяготения тела Л, нужно
вернуться к выражению A1.6), т. е. умножить тв на значение g в этой
точке. Но силу, действующую на тело В со стороны поля тяготения
тела Л, мы можем, с другой стороны, выразить через инертную массу
тела т'в и ускорение / относительно «неподвижной» системы коорди-
координат, сообщаемое полем тяготения:
Ы = тв1. A1-8)
Из сопоставления A1.6) и A1.8) в силу равенства инертной (т'в)
и тяжелой (тв) масс следует:
1 = 8-
Таким образом, величина g, напряженность поля тяготения в данной
точке, есть не что иное, как ускорение, которое испытывает любое
тело, помещенное в данную точку поля тяготения. Напряженность
поля тяготения g в данной точке можно рассматривать как векторную
величину, направление которой совпадает с направлением ускорения,
сообщаемого любому телу полем тяготения в данной точке.
Свойством сообщать всем телам одинаковое ускорение обладают
только поля тяготения. Например, для электрического поля зарядов
мы выше (§ 19) рассматривали величину, характеризующую поле, —
напряженность электрического поля, которая совершенно анало-
аналогична A1.7). Однако ускорение, которое сообщает заряженному телу
электрическое поле напряженности ?,
/ = (elm) E,
где е —заряд, а т —масса тела, т. е. данное поле Е телам, обладаю-
обладающим разными массами и зарядами, сообщает разные ускорения.
При движении тела в поле тяготения силы, действующие на тело
со стороны поля, совершают работу. Поскольку величина силы зави-
зависит только от положения тела, величина работы определяется только
начальной и конечной точками перемещения, но не зависит от пути,
по которому происходит перемещение. В самом деле, для случая,
когда поле тяготения создается достаточно удаленным телом или
однородным шаром, находящимся на конечном расстоянии (т. е.
когда величина силы зависит только от расстояния до некоторой
фиксированной точки), применимы те рассуждения, при помощи
которых мы убедились, что работа силы, действующей со стороны
растянутой пружины, определяется только начальной и конечной
точками перемещения, но не зависит от пути (§ 28).
В общем случае, разбив тела на отдельные элементы, размеры
которых малы по сравнению с расстоянием между ними, мы можем
свести задачу к предыдущему случаю.
Когда поле тяготения создается удаленным телом или однородным
шаром, находящимся на конечном расстоянии, то сила тяготения

§ 75] ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 321
направлена в точку, где находится удаленное тело (или в центр одно-
однородного шара). Поэтому работа силы определяется даже не положе-
положением начальной и конечной точек перемещения, а радиусами тех кон-
концентрических сфер, на которых эти точки лежат. Это видно из fcro,
что перемещение по поверхности сферы не связано с совершением
работы, так как оно происходит нормально к направлению силы.
Работа по любому пути между двумя сферами равна работе при
перемещении по радиусу между двумя сферами. Так как в этом случае
сила и перемещение либо совпадают, либо прямо противоположны по
направлению, элементарная работа при перемещении тела В на dr есть
Знак минус появился потому, что dr > 0 соответствует перемеще-
перемещению тела в направлении, противоположном силе тяготения (так как
расстояние между телами при dr > 0 возрастает). Работа при пере-
перемещении от сферы гх до сферы г2 выражается определенным интегра-
интегралом от dA> взятым в пределах от гг до г2, т. е.
С ( тАта Г 1 1 1
Alt= \ dA = - ) y-As±dr = ymAmB[---\. A1.9)
Если тело В приближается к притягивающему телу Л, то г2<^гх и
Если же тело В удаляется от тела А, то
г2>гг и [1-1]<0, т. е. Л12<0.
В первом случае силы тяготения совершают работу, во втором —
должна быть совершена работа против силы тяготения.
Потенциальная энергия двух тел, обусловленная их взаимным
тяготением, равна той работе, которую силы тяготения совершают
при сближении тел (находившихся в исходном положении на рас-
расстоянии гг друг от друга) до наименьшего возможного расстояния
г = г0. В соответствии с AL9) потенциальная энергия в исходном
положении 1:
\±±\ A1.10)
Это выражение справедливо либо для расстояний, больших по сравне-
сравнению с размерами тяготеющих тел, либо для шаров, распределение
масс в которых обладает сферической симметрией (в частности, одно-
однородных шаров). В последнем случае, очевидно, г0 не может быть
меньше, чем сумма радиусов обоих шаров. В частности, для потенциаль-
потенциальной энергии, обусловленной взаимным тяготением Земли и какого-
11 С. Э. Хайкин

322 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ XI
либо тела, размер которого мал по сравнению с радиусом Земли R3y
наименьшее расстояние между центрами Земли и тела го^./?з- Сле-
Следовательно, потенциальная энергия, обусловленная взаимным тяго-
тяготением Земли и тела массы т> размеры которого малы по сравнению
с радиусом Земли,
^Г] A1.11)
где Мз —масса Земли, а гх —расстояние от центра Земли до тела
массы т. С увеличением гг возрастает и Ulf но при гг -> оо значение
потенциальной энергии стремится
U к конечному пределу
f/^^утЛЫЯз. A1Л 2)
Конечное значение потенциальной
энергии при бесконечном удале-
удалении тел друг от друга обусловлено
тем, что сила взаимного тяготения
убывает как 1/г2, т. е. быстрее, чем
растет расстояние. Поэтому работа,
/? ¦?/? 47? 7/?
¦* 3 3 3 которую совершают силы тяготения
Рис И9 при сближении тел, исчезающе
мала до тех пор, пока тела не сбли-
сблизятся на некоторое конечное рас-
расстояние. Вследствие этого потенциальная энергия при бесконечном
удалении тел практически определяется той работой, которую совер-
совершают тела при сближении, начиная с некоторых достаточно больших,
но конечных расстояний, при которых потенциальная энергия уже
конечна. Это иллюстрируется графиком рис. 149, который изображает
ход потенциальной энергии {/, обусловленной взаимным тяготением
Земли и тела, находящегося на расстоянии г, от ее центра.
Так как в задачах механики играет роль не сама величина по-
потенциальной энергии, а изменения этой величины, то потенциальную
энергию можно отсчитывать от любого начального уровня. Если за
этот начальный уровень выбрать потенциальную энергию при гг = оо,
т. е. в A1Л2) положить !/«, = 0, то выражение A1.11) упрощается:
Uloa=—ymM3/r1. A1.13)
Ulo0 представляет собой разность потенциальных энергий при гг конеч-
конечном и гг = оо. Так как потенциальная энергия в первом случае
меньше, чем во втором, то естественно, что 1/1Э0< 0.
Все сказанное выше, конечно, справедливо не только для Земли,
но и для всех небесных тел, поскольку они обладают сферической
симметрией.
Рассмотрим теперь характер движений, которые могут совершать
тела, находящиеся только под действием сил всемирного тяготения.

§75]
ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
323
При этом мы ограничимся только простейшим случаем двух тел и
упростим еще эту задачу, предполагая, что масса М одного из них
гораздо больше массы т второго тела. Тогда мы можем считать первое
тело практически неподвижным (или движущимся прямолинейно и
равномерно), поскольку ускорение, сообщаемое ему вторым телом,
мало; задача сводится к определению движения второго тела. Реше-
Решение этой задачи позволяет приближенно определить, например, дви-
движение планет вокруг Солнца или движение спутников вокруг планет.
Так как движение происходит под действием только силы тяготе-
тяготения, действующей со стороны покоящейся массы М, то по второму
закону Ньютона ускорение /, сообщаемое
массой М, определяется уравнением
A1.14)
тМ
Рис. 150.
где т —инертная, т —тяжелая масса
тела, движение которого мы рассматриваем,
а г — расстояние между телами. Так как
т' = гп, то уравнение A1.14) принимает
вид
1 = у% A1.15)
^ , )Зллипс
причем, так же как и сила тяготения, ус-
ускорение направлено к центру большого
тела. Интегрируя это уравнение движения,
можно найти траекторию движения тела
для разных начальных условий. Мы не
будем решать эту задачу, которая, как известно, приводит к следую-
следующим результатам: в зависимости от начальных условий тело может
двигаться либо по эллипсам, либо по гиперболам; граничной траекто-
траекторией, разделяющей эти два типа траекторий —замкнутых и незамк-
незамкнутых, является парабола (рис. 150; в точке F находится притягиваю-
притягивающее тело).
Выясним, как влияют начальные условия на характер траектории.
Для этого будем считать, что тело массы М находится в точке Z7,
или F29 а меньшему телу, помещенному в точке, для которой г == г0,
сообщена начальная скорость i»0, перпендикулярная к линии, соеди-
соединяющей оба тела (рис. 151).
Прежде всего, в том специальном случае, когда
м
^ = V~, или fo=
м
A1.16)
из A1.15) и A1.16) получаем: i>5/r0 =/, т. е. ускорение, сообщаемое
притяжением большой массы, как раз равно центростремительному
ускорению при равномерном движении по окружности радиуса г = гь.

324
ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
[ГЛ. XT
Следовательно, в этом специальном случае орбита представляет собой
окружность радиуса г0 с притягивающим телом в центре. Если v0 не
удовлетворяет равенству A1.16), то орбита не может быть круговой,
но при определенных условиях может оставаться замкнутой —эллип-
—эллиптической, с притягивающим телом в одном из фокусов. Для выясне-
выяснения этих условий нам достаточно рассмотреть скорости и ускорения
тела в двух точках орбиты — перигелии П и афелии А (рис. 151).
В этих точках сила тяготения
направлена нормально к ор-
орбите, т. е. тело испытывает
только центростремительное
ускорение, которое опреде-
\д ляется соотношением B.19)
Рис. 151.
о)
где р — радиус кривизны ор-
орбиты в этой точке. При этом
скорость в перигелии больше,
чем в афелии; это видно из
того, что момент импульса относительно оси, проходящей через
центр притягивающего тела перпендикулярно к плоскости орбиты,
должен оставаться постоянным. Но р (по свойствам эллипса) в пери-
перигелии и афелии одно и тоже. Подставляя выражение A1.17) в A1.15),
получаем для перигелия (индекс п) и афелия (индекс а) следующие
соотношения:
vl M vl M
A1.18)
где гп и га — расстояния от движущегося тела соответственно до
перигелия и афелия, ар — одинаковый для них радиус кривизны
траектории.
Скорость в афелии va может быть мала — при любой конечной
скорости в афелии тело обладает конечным моментом импульса и из
закона сохранения импульса .следует, что это тело должно обра-
обращаться вокруг притягивающего тела; но va не может обращаться
в нуль, так как в этом случае момент импульса тоже обратится в нуль.
Скорость в перигелии не может быть как угодно мала, так как она
должна быть больше скорости в афелии. С другой стороны, поскольку
начальная скорость v0 перпендикулярна к радиусу-вектору орбиты.
то это может быть только либо скорость в афелии, либо скорость
в перигелии. Поэтому если мы будем сообщать телу достаточно малые
значения vOy то тело будет двигаться по орбите, для которой началь-
начальная точка А служит афелием, т. е. притягивающее тело находится
в F2 — дальнем фокусе эллипса (рис. 151, а). При этом va = vOj и так
как v0 мало, то, как видно из A1.18), радиус кривизны р в точке А
будет мал. С ростом va радиус кривизны должен увеличиваться. Когда

§ 75] ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 325
радиус кривизны р достигнет значения гс, то соотношение A1.18)
превратится в vl = yMlra, которое совпадает с условием A1.16) для
круговой орбиты.
При дальнейшем увеличении v0 начальная точка становится пери-
перигелием (рис. 151, б), а афелий орбиты, а вместе с тем и второй ее фокус
удаляются на все большее и большее расстояние от начальной точки,
и, наконец, при достаточно больших v0 орбита превращается в незамк-
незамкнутую (афелий удаляется в бесконечность). При каком значении vu
это наступает, можно определить из следующих соображений. Помимо
соотношений A1.18), мы можем для какой угодно точки орбиты напи-
написать соотношения, вытекающие из закона сохранения энергии (см.
A1.13)):
^ ^^L A1.19)
Так как значения полной энергии Е для перигелия и афелия должны
быть равны, то, подставляя в A1.19) значения vn и va из A1.18) и
учитывая, что р для перигелия и афелия одно и то же, получим:
утМр утМ утМр утМ
После сокращений и простых преобразований получим:
Р ^ + ^_i
2 А »
(X tl
Взяв р из первого соотношения A1.18) и подставив его в предыдущее
выражение, окончательно получим:
* + Г*=:1. A1.20)
Когда гфелий удаляется в бесконечность, то гп <^ га и значением
гп можно пренебречь по сравнению с га. Тогда
^ A1.21)
Отсюда следует, что при
vl = 2y М/г0 A1.22)
орбиты из замкнутых (эллиптических) превращаются в незамкну-
незамкнутые; значению v0, определяемому A1.22), соответствует граничная
параболическая орбита; еще большим значениям v0 соответствуют
незамкнутые (гиперболические) орбиты.
В самом деле, для замкнутых орбит (гп + га)/га > 1 и только в пре-
пределе при га -> оо будет (гп + га)/га -> 1, поэтому из равенства A1.20)
для замкнутых орбит следует неравенство
Значит, при v% > 2уМ/г0 замкнутых орбит быть не может.

326 всемирное тяготение Ггл. xi
Упрощающее предположение, что начальная скорость перпенди-
перпендикулярна к радиусу-вектору, может играть существенную роль. Если
тело в начальной точке получило скорость, которая образует с радиу-
радиусом-вектором угол, отличный от прямого, то качественно вся картина
останется прежней (конечно, кроме случая, когда начальная скорость
направлена по радиусу-вектору в ту или другую сторону и орбита
вырождается в прямую линию). Но начальная точка в этом случае
уже не будет афелием или перигелием орбиты, по которой движется
тело. А так как наши расчеты основывались на том, что начальная
скорость v0 есть вместе с тем скорость в перигелии или афелии, то
неясно, в какой мере результаты этих расчетов применимы к случаю
начальных скоростей, не перпендикулярных к радиусу-вектору.
Но критерий существования замкнутых орбит может быть сфор-
сформулирован в общем виде, независимо от начальной скорости. Легко
видеть, что равенство A1.22) эквивалентно равенству
в котором левая часть выражает кинетическую, а правая — абсо-
абсолютную величину потенциальной энергии (за нулевое значение кото-
которой взято значение в бесконечности). Сумма этих энергий при соблю-
соблюдении равенства A1.22)
Для случая, когда v0 — скорость в перигелии, мы убедились, что
орбиты замкнуты при mvo/2 < утМ/г0, т. е. при Е < 0, и не замкнуты
при mv\l2 > утМ/г07 т. е. при Е > 0. Но так как сумма потенциаль-
потенциальной и кинетической энергий в силу закона сохранения энергии должна
оставаться постоянной, то эта сумма сохраняет свое значение для
любой точки орбиты. Если в любой точке орбиты Е < 0 — орбита
замкнутая, если Е >0— незамкнутая1).
В приведенном выше рассмотрении мы полагали массу тела постоянной, т. е.
не учитывали зависимости массы от скорости. Для движений небесных тел это пред-
предположение в большинстве случаев оказывается законным в силу двух обстоятельств.
Во-первых, сами скорости планет в перигелии малы по сравнению со скоростью све-
света и, во-вторых, орбиты планет близки к круговым, а значит, величина скорости при
движении мало меняется. Первая из этих причин приводит к тому, что масса планет
мало отличается от их массы покоя, а вторая — к тому, что масса планет очень мало
изменяется при движении по орбите. А так как для постоянной массы планет характер
движения не зависит от величины массы, то влияние зависимости массы от скорости
на характер движения для всех планет, кроме Меркурия, оказывается столь малым,
что обнаружить его при помощи астрономических наблюдений невозможно.
г) Величину Е мы умышленно не называем полной энергией, так как она может
иметь отрицательные значения, полная же энергия — величина существенно поло-
положительная. Е может быть отрицательной потому, что потенциальную энергию в бес-
бесконечности мы условно приняли равной нулю. Если бы к Е мы добавили ту потен-
потенциальную энергию, которой тело обладает в бесконечности, то эта «настоящая» пол-
полная энергия всегда была бы положительной.

§ 75] ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 327
У Меркурия же изменения массы при движении его по орбите оказываются бо-
более значительными, чем у других планет, так как оба указанных выше обстоятельства
для этого более благоприятны. Во-первых, так как расстояние до Солнца у Мерку-
Меркурия меньше, чем у других планет, то и скорость движения по орбите, в соответствии
с третьим законом Кеплера, у Меркурия больше, чем у других планет. Во-вторых,
орбита Меркурия представляет собой гораздо более сильно вытянутый эллипс (его
эксцентриситет е = 0,21), чем орбиты других планет, вследствие чего изменения
скорости при движении по орбите оказываются гораздо более значительными, чем
для других планет. Поэтому обнаружение влияния зависимости массы от скорости
на характер движения Меркурия лежит уже в пределах возможностей астрономиче-
астрономических наблюдений.
Решение уравнений движения Меркурия с учетом зависимости его массы от ско-
скорости представляет собой сложную задачу. Мы приведем только окончательный ре-
результат решения этой задачи, который состоит в том, что орбитой Меркурия явля-
является эллипс, не неподвижный в пространстве, а поворачивающийся вокруг Солнца
в том же направлении, в котором обращается Меркурий, со скоростью около 7"
в столетие. Этот же результат может быть получен при помощи следующих элемен-
элементарных соображений.
Так как относительные изменения массы Меркурия при его движении по орбите
малы (порядка 1 • 10"8), то в первом приближении можно считать, что он движется
по законам Кеплера, т. е. так, как тело постоянной массы. Но вследствие того, что
скорость, а значит, и масса Меркурия в перигелии больше, чем в афелии, момент им-
импульса в перигелии оказывается больше, чем в афелии (так как при постоянной мас-
массе моменты импульса в перигелии и афелии равны). Следовательно, при движении по
законам Кеплера закон сохранения момента импульса относительно оси, проходя-
проходящей через центр Солнца перпендикулярно к орбите, не был бы соблюден. Но этот
закон может быть соблюден, если сама орбита поворачивается вокруг Солнца в том
же направлении, в котором обращается Меркурий; обусловленный этим вращением
добавочный момент импульса планеты в афелии больше, чем в перигелии, вследствие
того, что расстояние до Солнца в первом случае больше, чем во втором. Из условия,
что скорость вращения орбиты должна быть такой, чтобы обусловленный этим
избыток момента импульса в афелии был равен избытку момента импульса в пери-
перигелии при орбитальном движении, эта скорость может быть определена.
Обусловленный ростом массы со скоростью избыток момента импульса в пери-
перигелии при орбитальном движении (по-прежнему индексы п относятся к перигелию,
индексы а — к афелию)
(так как vnrn =vara для орбитального движения). Поскольку vn<^c и va<^cy то
. п л а \ п а
-\ 1 ) =/п0
2с2 2с2/ 2с2
и, следовательно,
2с2 "
С другой стороны, избыток момента импульса в афелии за счет вращения орбиты
где со — угловая скорость вращения орбиты (относительное отличие та и тп от т0
на много порядков меньше, чем относительное отличие г^ и г%\ поэтому в последнем
выражении вместо та и тп можно подставить тл).

328 всемирное тяготение
Приравнивая A Nt и A iV0, получим:
[ГЛ. XI
Подставляя сюда значения, соответствующие движению Меркурия (rn i=s24-106 /еж;
га ^36-106 км; vn ^50 км/сек; va «34 км/сек), найдем:
0)=^ 1,2» 10"~14 рад/сек ^ 2,4 • 10~9 угловых секунд за секунду,
и так как столетие содержит «3,1-Ю9 сек, то поворот орбиты Меркурия за столе-
столетие составляет ^7",4.
Вращение орбиты Меркурия было обнаружено уже давно; длительные наблюде-
наблюдения показали, что скорость этого вращения составляет около 42" в столетие, т. е.
примерно в шесть раз больше, чем дает учет зависимости массы от скорости. Это рас-
расхождение объясняется тем, что, помимо зависимости массы от скорости, существуют
и другие причины, вызывающие вращение орбиты Меркурия. Эти другие причины
(так же как и зависимость массы от скорости) не учитывались в классической механи-
механике и были выяснены в общей теории относительности (см. § 86).
Как следует из этого, невозможно дать правильный ответ на вопрос о движении
орбиты Меркурия, учитывая только зависимость массы от скорости. Но приведен-
приведенное элементарное решение, в котором учитывается только зависимость массы от ско-
скорости, дает наглядное представление о том, как зависимость массы от скорости может
изменить характер движения планеты.
§ 76. Искусственные спутники и планеты
Результаты, полученные в предыдущем параграфе, могут быть
применены к движениям искусственных спутников Земли и искус-
искусственных планет под действием сил тяготения (но в отсутствие ка-
каких-либо других сил). Если ракета-носитель поднялась на достаточ-
достаточную высоту, на которой плотность зем-
земной атмосферы, а следовательно, и ее
сопротивление движению ничтожны,
и если после этого двигатели раке-
ракеты-носителя выключаются, дальней-
дальнейшее движение можно рассматривать
как происходящее только под дейст-
действием сил тяготения. Начальными ус-
условиями этого движения служат по-
положение и скорость ракеты-носителя
(или отделившегося от нее спутника)
в точке А в момент выключения дви-
двигателей (рис. 152).
Наиболее простой случай — это
движение спутника по круговой ор-
орбите на постоянной высоте над поверхностью Земли. Для того
чтобы сопротивлением воздуха можно было пренебречь, эта высота
должна быть значительна. Радиус орбиты спутника на величину
этой высоты должен быть больше радиуса Земли, равного 6350 км.
Для дальнейших расчетов мы примем, что радиус орбиты составляет
Эллипс
Рис. 152.
Гипербола
^ Парабола

§ 76] ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ И ПЛАНЕТЫ 329
6700 км. Начальную скорость vOj которой должен обладать спутник
для движения по этой круговой орбите, найдем, подставив в усло-
условие A1.16) значения массы Земли Ms = 6-Ю27 г, гравитационной
постоянной у = 6,7 • 10~8 см3 г сект2 и радиуса орбиты г = 6,7 • 108 см:
v0 = УуМ/г =7,8 км/сек. A1.23)
При меньшей скорости, как показано в предыдущем параграфе,
спутник двигался бы по эллиптической орбите, для которой точка А
являлась бы афелием. Если бы начальная скорость была заметно
меньше, чем vOy то в перигелии спутник приближался бы к поверх-
поверхности Земли и, входя в более плотные слои атмосферы, испытывал
бы сильное торможение и быстро терял скорость. Если бы атмосфера
Земли отсутствовала, то спутник мог бы двигаться по круговой орбите
непосредственно у поверхности Земли, т. е. по орбите с радиусом
/?з = 6350 км, В этом случае необходимая начальная скорость, как
видно из A1.23), была бы несколько больше. Эта скорость
A1.24)
называется первой космической скоростью.
Хотя скорость, которую нужно сообщить телу для того, чтобы
оно превратилось фактически в искусственный спутник Земли, меньше
vK1 (например, в рассмотренном выше конкретном случае эта скорость
оказалась равной 7,8 км/сек), но работа, которая должна быть затрачена
на сообщение спутнику необходимой скорости v0, в действительности
больше, чем mv^/2. Помимо сообщения спутнику кинетической энер-
энергии mvl/2 < mv2K1/2, должна быть совершена работа против силы
тяжести при подъеме ракеты-носителя и спутника на нужную высоту
и против сил сопротивления воздуха во всей толще атмосферы, сквозь
которую они должны проникнуть.
При начальной скорости, большей чем величина v0, определяемая
выражением A1.23), спутник, как показано в предыдущем параграфе,
будет двигаться по эллиптической орбите, для которой точка А яв-
является перигелием. Если в точке Л, в которой выключен двигатель
ракеты-носителя (и сопротивлением воздуха можно уже пренебречь),
скорость ракеты не перпендикулярна к радиусу Земли и имеет доста-
достаточно болЪшую величину, то дальнейшее движение будет происходить
также по эллиптической орбите, но точка А уже не будет являться
перигелием этой орбиты. Таким образом, для вывода спутника на
круговую орбиту должны быть точно выдержаны определенные вели-
величина и направление скорости ракеты-носителя в момент выключения
двигателей. При неточном выполнении этого условия орбита оказы-
оказывается эллиптической. Поэтому практически орбиты спутников всегда
оказываются эллиптическими, но чем точнее осуществлен запуск, тем
более близкая к круговой орбита может быть получена.

330 ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ [ГЛ XI
Период обращения спутника по круговой орбите Т = 2nr/vu.
Например, для рассчитанного выше случая, когда R = 6,7 -103 км
и v0 = 7,8 км/сек, период Т « 91 мин. Спутник движется по орбите,
в плоскости которой лежит центр Земли (в одном из фокусов эллипса).
Поэтому сила тяготения, действующая на спутник и направленная
к центру Земли, также лежит в плоскости орбиты и не может изменить
положения этой плоскости относительно Солнца и звезд. Дело здесь
обстоит так же, как и с плоскостью качаний маятника Фуко, установ-
установленного на полюсе (§ 27). Плоскость орбиты сохраняет неизменным
свое положение относительно Солнца и звезд, а Земля вращается под
нею вокруг своей оси г). Если за один оборот Земли вокруг своей оси
спутник делает много оборотов по своей орбите, то траектория спут-
спутника относительно Земли представляет собой ряд «витков», сдвинутых
по экватору на тот угол, на который Земля успевает повернуться за
один оборот спутника. Угол, который образуют витки с экватором,
зависит от угла между плоскостью орбиты и осью Земли (который
можно считать неизменным, поскольку можно считать, что плоскость
орбиты сохраняет свое положение относительно Солнца и звезд).
В результате действия очень малых сил сопротивления атмосферы
скорость спутника все же уменьшается, но это уменьшение становится
практически заметным только после многих сотен и даже тысяч обо-
оборотов спутника вокруг Земли. Уменьшение скорости спутника ведет
к тому, что радиус кривизны его траектории уменьшается, т. е. орбита
оказывается не эллиптической, а представляет собой скручивающуюся
спираль, вначале с очень малым шагом. При этом спутник прибли-
приближается к Земле, сопротивление атмосферы возрастает и шаг спирали
увеличивается. Для возвращения на Землю космических кораблей —
спутников применяются специальные тормозные реактивные двига-
двигатели, резко уменьшающие скорость корабля, вследствие чего траекто-
траектория корабля сильно искривляется по направлению к Земле.
Когда начальная скорость ракеты в точке А (рис. 152) превышает
значение, определяемое уравнением A1.21), то ракета движется не по
эллиптической, а по гиперболической траектории, т. е. ракета уже
не возвращается к Земле, а удаляется в бесконечность, практически —
в области, в которых сила тяготения Солнца преобладает над силой
тяготения Земли (предполагается, что при этом тело не приближается
к какой-либо планете настолько, что сила тяготения этой планеты
начинает играть существенную роль). Под действием силы тяготения
Солнца тело движется по замкнутой орбите вокруг Солнца, т. е. пре-
превращается в искусственную планету.
Из сопоставления A1.21) и A1.23) видно, что начальная скорость,
соответствующая переходу от замкнутых орбит к незамкнутым,
*) В действительности в результате действия различных возмущающих сил
плоскость орбиты не остается неподвижной относительно Солнца и звезд, а медленно
вращается.

§ 76] ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ И ПЛАНЕТЫ 331
в V~2 раз больше скорости, соответствующей круговой траектории
(при одной и той же высоте начальной точки над земной поверх-
поверхностью). В частности, при тех же условиях, для которых была по-
получена выше начальная скорость 7,8 км/сек (см. A1.23)), для запуска
искусственной планеты требуется начальная скорость 7,8-1,41 »
^ 11 км/сек. Если же подсчитать минимальную начальную скорость,
необходимую для запуска искусственной планеты при тех же условиях
(запуск с земной поверхности в отсутствие атмосферы), для которых
была определена первая космическая скорость A1.24), то мы получим
=U? км/сек. A1.25)
Эта скорость называется второй космической скоростью. Ей соответ-
соответствует параболическая траектория, разграничивающая замкнутые и
незамкнутые траектории.

ГЛАВА XII
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
§ 77. Два класса систем отсчета
Все приведенные выше законы движения (законы Ньютона) и
вытекающие из них следствия были установлены и проверены в копер-
никовой системе отсчета, той единственной системе отсчета, которой
пользовался Ньютон. Мы знаем также, что все эти законы справедливы
и во всякой инерциальной системе отсчета. Но мы ничего не можем
сказать о том, останутся ли эти законы и вытекающие из них следствия
справедливыми, если мы перейдем к какой-либо неинерциальной си-
системе отсчета; не знаем мы этого потому, что ни в какой другой системе
отсчета, кроме инерциальных, мы этих законов на опыте не проверяли
в тех случаях, в которых могло бы обнаружиться нарушение законов
Ньютона и вытекающих из них следствий х).
Между тем, вопрос о том, справедливы ли законы Ньютона и след-
следствия из них в других системах отсчета, кроме инерциальных (а если
не справедливы, то как надо эти законы изменить или дополнить,
чтобы они были справедливы в той или иной неинерциальной системе
отсчета), имеет как принципиальное, так и практическое значение.
Практически нам важно знать, можно ли пользоваться другими систе-
системами отсчета, которые оказываются во многих случаях гораздо более
удобными, чем коперникова, так как значительно упрощают рассмо-
рассмотрение задачи. Но еще более важными являются принципиальные
вопросы о пределах применимости ньютоновой механики. Вопрос
о том, справедлива ли механика Ньютона в каких-либо других неинер-
циальных системах отсчета, и является одним из принципиально важ-
важных вопросов о пределах применимости ньютоновой механики 2).
Отказавшись от рассмотрения этих вопросов, мы бы «приковали»
механику «навечно» к инерциальным системам отсчета и даже не
1) Рассмотренные в предыдущих главах опыты, в которых мы пользовались в
качестве тела отсчета Землей, были заведомо слишком грубыми для того, чтобы они
могли служить для проверки справедливости законов Ньютона и вытекающих из
них следствий.
2) Помимо выбора системы отсчета существуют и другие пределы применимости
механики Ньютона. Эти ограничения, касающиеся величин скоростей и напряжен-
напряженности полей тяготения, рассматриваются соответственно в §§ 59 и 85.

§ 77] ДВА КЛАССА СИСТЕМ ОТСЧЕТА 333
смогли бы оправдать этого, так как, не рассматривая всего вопроса
в целом, мы не можем судить, необходимо ли отказаться от применения
других систем отсчета, кроме инерциальных. Таковы соображения,
которые заставляют нас ввести другие системы отсчета, кроме копер-
никовой, и проверить на опыте, соблюдаются ли в этих системах
отсчета законы Ньютона и вытекающие из них следствия. Мы уже
рассматривали подобную задачу, но цель рассмотрения была несколько
более узкой. Именно, в § 27 мы рассматривали опыт Фуко в коперни-
ковой и в «земной вращающейся» системах отсчета, однако ставили
себе только такую задачу: установить, соблюдается ли в той и другой
системе отсчета первый закон Ньютона.
Сейчас мы ставим вопрос шире: соблюдаются ли в каких-
либо неинерциальных системах отсчета все законы Ньютона и все
вытекающие из них следствия? Определить характер движений в какой-
либо неинерциальной системе отсчета, например «земной невращаю-
щейся» (для краткости будем называть ее системой 3), мы пока еще
не умеем, так как не знаем, какие законы движения в этой системе 3
справедливы. Но зная, как движется в коперниковой системе отсчета
(которую мы будем для краткости называть системой К) система 3,
и зная, как движется какое-либо тело А в системе /С, мы можем при
помощи чисто кинематических преобразований х), не привлекая зако-
законов динамики, определить, как движется это тело А в системе 3.
Итак, система К — это коперникова система отсчета, в которой
телами отсчета служат Солнце и три звезды. Система 3 — это «невра-
щающаяся земная» система отсчета. В качестве тела А, движение
которого мы будем изучать, выберем какую-либо из наиболее удален-
удаленных планет солнечной системы, например Нептун, отстоящий от
Солнца на расстоянии примерно в 30 астрономических единиц (т. е.
в 30 раз большем, чем расстояние от Земли до Солнца).
Прежде всего опишем движение Нептуна в системе /(. Нептун
движется вокруг Солнца по орбите, близкой к круговой, и поэтому
практически все время находится на расстоянии 30 астрономических
единиц от Солнца. Ускорение, которое он при этом испытывает, ему
сообщает сила тяготения, действующая со стороны Солнца (возму-
(возмущающим действием других планет в силу удаленности их друг от
друга вполне можно пренебречь). Ускорение, сообщаемое Нептуну
Солнцем, как раз равно тому центростремительному ускорению, кото-
которое должен испытывать Нептун, совершая по своей орбите один обо-
оборот примерно за 165 земных лет. Мы не будем вычислять это ускоре-
ускорение, а обратим только внимание на то, что оно в 302 раз меньше уско-
1) Мы ограничиваем наше рассмотрение скоростями, малыми по сравнению со
скоростью света, и поэтому переход от одной системы отсчета к другой осуществля-
осуществляется при помощи преобразований, аналогичных преобразованиям Галилея (анало-
(аналогичных, но не тождественных, так как это переход от одной инерциальной системы
отсчета к другой — неинерциальной, а не от одной инерциальной к другой, также
инерциальной, как в случае преобразований Галилея.)

334 силы hhfpuhh Ггл. хтт
рения, которое испытывает Земля под действием притяжения Солнца
(поскольку расстояние от Солнца до Земли в 30 раз меньше, чем до
Нептуна, а напряженность поля тяготения уменьшается с расстоя-
расстоянием г как 1/г2).
Для определения движений Нептуна в системе 3 мы должны про-
производить измерения угловых координат Нептуна при помощи опти-
оптических приборов, а измерения составляющих скоростей и ускорений —
по лучу зрения, например, при помощи радиолокационных приборов.
Так как мы рассматриваем движение Нептуна в системе отсчета «Земля
невращающаяся», то оптические и радиолокационные приборы должны
быть установлены, например, на платформе, расположенной на Север-
Северном полюсе Земли и вращающейся вокруг земной оси со скоростью 2л
. а радиан в сутки, но в направле-
^_ q О—*. о нии» обратном направлению вра-
и ^ с щения Земли вокруг своей оси.
Рис J53. Для упрощения будем рас-
рассматривать случай, когда Солнце
(С), Земля C) и Нептун (Я) лежат на одной прямой (рис. 153) *). Цент-
Центростремительное ускорение, которое в системе К испытывает Земля под
действием силы притяжения Солнца, обозначим 2) через а. Тогда,
по сказанному выше, центростремительное ускорение, которое в си-
системе К испытывает Нептун под действием силы притяжения Солнца,
будет равно «/900. Будем считать направленное к Солнцу ускорение
положительным, а направленное от Солнца — отрицательным. Так
как в системе К Нептун движется с ускорением «/900, а система 3
движется с ускорением а, то Нептун в системе 3 движется с ускоре-
ускорением — а + а/900 да— а. Откуда появилось в системе 3 у Нептуна
ускорение а\ приблизительно равное —я, направленное в сторону,
противоположную Солнцу? Оно обусловлено тем ускорением +я,
которым обладает система 3 по отношению к системе К- Но можем ли
мы просто удовлетвориться констатацией такого факта: «В системе 3
Нептун обладает ускорением —а потому, что сама система 3 обладает
ускорением +я в системе /С»?
Констатация этого факта ни в какой мере не приближает нас
к выяснению того вопроса, ради которого мы предприняли все рас-
рассмотрение. Мы ведь хотим выяснить, будут ли справедливы законы
Ньютона и вытекающие из них следствия, если мы вместо копернико-
вой системы отсчета применим какую-либо другую. Значит, прежде
всего мы должны выяснить, можно ли так истолковать указанный
факт, чтобы он находился в согласии с законами Ньютона. Среди
законов Ньютона наиболее важное место занимает второй закон дви-
1) Сохранить истинное соотношение расстояний между Солнцем, Землей и Неп-
Нептуном на рисунке ограниченных размеров трудно, и поэтому мы его не соблюдаем.
2) Считая, что Земля движется по круговой орбите, мы должны положить, что
а постоянно по величине, но медленно меняется по направлению.

§ 77] ДВА КЛАССА СИСТЕМ ОТСЧЕТА 335
жения. Поэтому, обнаружив, что в системе 3 Нептун движется с уско-
ускорением —а, мы должны в соответствии со вторым законом Ньютона
дать объяснение наблюдаемому ускорению Нептуна: если Нептун
в системе 3 получает ускорение —а, то значит, в системе 3 на Нептун
действует сила F = —та, где т — масса Нептуна.
Но тогда сразу же возникает следующий вопрос: в механике Нью-
Ньютона силы есть результат действия тел друг на друга; действием
какого же тела на Нептун обусловлена сила F, сообщающая ему уско-
ускорение? Обнаружить это тело мы не сможем. Всего в нашей задаче
участвуют три тела: Нептун, Земля, Солнце. Но ни Земля, ни Солнце,
со стороны которых действуют только силы тяготения и никакие дру-
другие, не могут сообщить Нептуну ускорение, направленное от Солнца,
ибо оба они находятся в стороне, противоположной той, в которую
направлено ускорение Нептуна —а. Значит, объяснив ускорение
Нептуна в соответствии со вторым законом Ньютона действием силы F,
мы встретились с силой, характер которой не согласуется с представ-
представлением о силах, сложившимся в механике Ньютона.
Мы оказались перед альтернативой. Либо мы должны предполо-
предположить, что второй закон Ньютона справедлив не всегда, т. е. что в не-
некоторых случаях ускорения вызываются не силами, а какими-либо
другими причинами; либо нужно предположить, что не всегда мы
в состоянии указать то тело, со стороны которого действует данная
сила. Но закон есть закон и должен соблюдаться всегда, в противном
случае он перестает быть законом. Поэтому, если мы выберем первый
из альтернативных ответов, то второй закон Ньютона рухнет, а вместе
с ним и вся механика Ньютона. Между тем второй альтернативный
ответ, допускающий, что существуют такие силы, для которых мы не
можем указать то конкретное тело, со стороны которого данная сила
действует, хотя и требует существенного пересмотра некоторых поло-
положений механики Ньютона, но отнюдь не грозит ньютоновой механике
катастрофой.
Мы должны только «правильно обращаться» с такими силами,
которые действуют не со стороны какого-либо из конкретных тел,
входящих в рассматриваемую нами совокупность тел, а «откуда-то
извне». Очевидно, эти силы не являются силами взаимодействия и
к ним неприменим закон равенства действия и противодействия (тре-
(третий закон Ньютона). Вместе с тем, поскольку такие силы действуют
«откуда-то извне», то система тел, на которые подобные силы дей-
действуют, никогда не может быть замкнутой. А это значит, что к системе
тел, на которые действуют подобные силы, нельзя применять закон
сохранения импульса. Таким образом, допуская существование сил,
для которых мы не можем указать конкретных тел, со стороны которых
эти силы действуют, мы вынуждены признать, что для этих сил неспра-
несправедлив третий закон Ньютона и вытекающее из него следствие — за-
закон сохранения импульса. Но эти силы сообщают телам ускорение,
так же как те «обычные силы», с которыми мы привыкли иметь дело

336 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XII
в механике Ньютона. Как мы убедимся дальше, и во всем осталь-
остальном они действуют так же, как обычные силы.
Как явствует из всего сказанного, альтернатива, которую мы рас-
рассматривали, в сущности не была альтернативой. У нас не было
возможности выбора одного из двух путей, поскольку первый из двух
путей нас сразу приводил в тупик. Допущение о том, что ускорение
может быть вызвано не силами, а какими-либо другими причинами,
означает отказ от второго закона Ньютона, являющегося основным
законом движения, и лишает нас возможности написать уравнения
движения.
Допущение же о том, что для некоторых сил нельзя указать тела,
со стороны которых данная сила действует, никак не затрагивает
основного закона движения и вообще основ механики Ньютона,
а лишь заставляет отказаться от некоторых хотя и существенных, но
не основных положений механики Ньютона. Поскольку у нас нет
другого выбора, необходимость заставляет нас, пользуясь не копер-
никовыми, а неинерциальными системами отсчета, признать существо-
существование сил, для которых мы не можем указать конкретных тел, со
стороны которых эти силы действуют. Хотя во всем остальном эти
силы не отличаются от тех «обычных сил», с которыми мы имеем дело
в механике Ньютона, но все же указанное отличие этих новых сил
от «обычных» столь существенно, что представляется целесообразным
выделить их в особый класс сил. Этот класс сил, которые действуют
в системах отсчета, движущихся с ускорением относительно копер-
никовой, и для которых нельзя указать тех конкретных тел, со сто-
стороны коих эти силы действуют, называют силами инерции г).
Сразу видно, что если в какой-либо системе отсчета действуют силы
инерции, то эта система отсчета не может быть инерциальной. Дей-
Действительно, поскольку силы инерции не связаны с какими-либо кон-
конкретными телами, мы не можем удалить эти тела и тем самым устра-
устранить силы инерции. Поэтому тело, свободное от воздействия других
тел, но испытывающее действие сил инерции, будет двигаться не прямо-
прямолинейно и равномерно, а с ускорением, т. е. первый закон Ньютона
не будет соблюдаться.
Таким образом, все системы отсчета, казалось бы, можно разде-
разделить на два класса — инерциальные и неинерциальные системы отсчета
(однако это разделение в дальнейшем нам придется уточнить). Как
было показано (§ 27), к инерциальным системам отсчета прежде всего
принадлежит коперникова. Далее всякая система отсчета, движу-
движущаяся относительно коперниковой прямолинейно и равномерно, также
является инерциальной. Система 3, которая движется с ускорением
х) Следует отметить, что.этот термин иногда применяют не только к указанному
классу сил. Силами инерции часто называют и совсем другие силы. Но мы будем
применять термин «силы инерции» только к указанному классу сил, т. е. к силам,
действующим в системах отсчета, движущихся с ускорением относительно коперни-

§ 77J ДВА КЛАССА СИСТЕМ ОТСЧЕТА 337
относительно коперниковой, является неинерциальной, поскольку
в ней действуют силы инерции. Необходимость разделять эти два
класса систем отсчета — инерциальные и неинерциальные — совер-
совершенно очевидна, ибо в инерциальных системах справедлива меха-
механика Ньютона, а в неинерциальных первый и третий законы Ньютона
и вытекающие из последнего следствия оказываются несправедливыми.
Критерий для этого разделения сам по себе вполне однозначен: инер-
инерциальные системы отсчета — это те, в которых силы инерции отсут-
отсутствуют, а неинерциальные — это те, в которых действуют силы инерции.
Но на вопрос о том, присутствуют ли в той или иной системе отсчета
силы инерции, ответ «нет» является исчерпывающим, а ответ «да»
требует дополнительных разъяснений, без которых практически вос-
воспользоваться этим ответом невозможно. Дело в том, что отсутствие
сил инерции в системе отсчета, движущейся прямолинейно и равно-
равномерно относительно коперниковой, есть «всеобщее свойство» этой
системы отсчета: везде, в любой точке
пространства, в которой мы пользуемся
данной системой отсчета, силы инерции от-
отсутствуют.
Но присутствие или отсутствие сил инер-
инерции в системе отсчета, движущейся с ускоре-
ускорением относительно коперниковой, есть свой-
свойство локальное. Выбирая те или иныеточки пространствами обнаружим,
что в одних точках, лежащих в какой-либо одной области простран-
пространства, в данной системе отсчета присутствуют силы инерции, а в точ-
точках, лежащих в какой-либо другой области пространства, в той же
системе отсчета силы инерции практически отсутствуют. Чтобы выяс-
выяснить, почему это может происходить, вернемся к рассмотрению движе-
движения планет в системе 3, сопоставив результат, полученный для движе-
движения Нептуна, с картиной движения Марса. По-прежнему будем рас-
рассматривать случай, когда Солнце, Земля и Марс лежат на одной пря-
прямой (рис. 154), причем обе планеты находятся по одну сторону от
Солнца (так называемое противостояние Марса). Пользуясь теми же
методами радиолокации, мы обнаружим, что в системе 3 ускорение
Марса примерно вдвое меньше, чем ускорение Нептуна. Сопоставляя
расстояния планет от Солнца (Марс от Солнца находится на расстоя-
расстоянии в 1,5 раза большем, чем Земля) и сравнивая ускорения Нептуна
и Марса с ускорением Земли а, мы найдем, что ускорение, сообщаемое
Марсу Солнцем, составляет а/1,52 »0,4а, в то время как ускорение,
сообщаемое Солнцем Нептуну, составляет а/900. Вследствие этого,
хотя силы инерции, действующие в системе 3, сообщают Нептуну и
Марсу одинаковые направленные от Солнца ускорения, равные —а,
ко слабая сила притяжения Солнца, действующая на далекий Нептун,
уменьшает результирующее ускорение Нептуна лишь на доли про-
процента, а большая сила притяжения Солнца, действующая на близкий
Марс, уменьшает результирующее ускорение Марса почти вдвое.

338 СИЛЫ ИНЕРПИИ [ГЛ. XII
Все, что нам известно о движении планет, позволяет утверждать,
что, произведя с Земли такие измерения, мы получили бы указанные
выше результаты, из которых можно сделать следующие выводы.
1) В системе отсчета 3, движущейся под действием притяжения
Солнца с постоянным ускорением а (в сторону Солнца), действуют
силы инерции, одинаковые во всех точках пространства и сообщающие
всем телам независимо от их массы и положения ускорение —а х).
2) Так как на всякое тело А, испытывающее в системе 3 под дей-
действием сил инерции ускорение —а, кроме того, действует сила при-
притяжения Солнца, сообщающая телу А ускорение 6, направленное
к Солнцу, то результирующее ускорение, испытываемое телом А
в системе 3, равно (—а + 6).
3) Чем ближе друг к другу по абсолютной величине сила инер-
инерции —та и сила тяготения тЬ, действующие в системе 3 на тело А
с массой т, тем меньше результирующая сил инерции и тяготения,
действующих на тело А.
4) При неизменном расстоянии тела отсчета, т. е. Земли, относи-
относительно Солнца ускорение Земли в системе Коперника постоянно и
равно а. Поэтому результирующая сил инерции и тяготения, дей-
действующая на тело А в системе 3, зависит от положения тела А отно-
относительно тела отсчета (Земли). Чем ближе тело А к Земле, тем ближе
значения тех ускорений \а\ и |6|, которые Солнце сообщает Земле
и телу А.
5) В случае, когда тело А находится близко к телу отсчета (Земле),
сила инерции в системе 3 и сила тяготения Солнца почти равны по
величине, и так как они направлены прямо противоположно, то резуль-
результирующая силы инерции и силы тяготения близка к нулю. Наоборот,
когда тело А находится очень далеко от тела отсчета, то сила тяготе-
тяготения, действующая на тело Л, очень мала и на тело А действует сила,
почти равная силе инерции —та7 где а — ускорение тела отсчета
(Земли) в коперниковой системе отсчета.
Рассмотрение приведенного выше конкретного примера дает на-
наглядное представление о том, в какой мере возможно разделение
систем отсчета на инерциальные и неинерциальные. Пока мы поль-
пользуемся первичными системами отсчета (естественными небесными
телами) и полагаем при этом, что причиной ускорения тел отсчета
могут быть только силы тяготения 2), мы можем встретиться с двумя
классами систем отсчета:
а) Инерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно
и равномерно относительно коперниковой, в которых силы инерции
отсутствуют.
*) Напомним, что мы считаем орбиту Земли круговой и поэтому ускорение а
по величине постоянным, а медленным изменением его направления пренебрегаем.
2) Мы пока ограничиваемся только такими случаями, когда тела отсчета движутся
поступательно.

$77] ДВА КЛАССА СИСТЕМ ОТСЧЕТА 339
б) Смешанные системы отсчета, движущиеся поступательно с уско-
ускорением относительно коперниковой, в которых силы инерции практи-
практически не действуют в малой области, окружающей тело отсчета, посте-
постепенно возрастают по мере удаления от этой области и вдали от нее
достигают полной величины —та, где т — масса тела, на которое
сила инерции действует, а — ускорение тела отсчета относительно
коперниковой системы отсчета.
В том случае, когда мы (пользуясь первичными телами отсчета)
встречаемся со смешанными системами отсчета, их свойства опреде-
определяются одновременным действием как сил тяготения, так и сил инер-
инерции. В этом случае, как мы убедились, ответ на вопрос о том, является
ли данная система отсчета инерциальной или неинерциальной, зави-
зависит не только от характера движения этой системы отсчета относи-
относительно коперниковой, но и от того, где расположены тела, движение
которых в этой системе отсчета нам предстоит рассматривать. Если
все эти тела находятся вблизи тела отсчета, то силы тяготения и силы
инерции почти компенсируют друг друга и система отсчета оказы-
оказывается практически инерциальной, несмотря на то, что она движется
с ускорением относительно коперниковой.
Если же все наблюдаемые тела находятся вдали от тела отсчета,
то действующие на них силы инерции и силы тяготения не компенси-
компенсируют друг друга и система отсчета оказывается неинерциальной.
Именно поэтому для системы отсчета, движущейся с ускорением отно-
относительно инерциальной, инерциальность является не общим свой-
свойством всей системы отсчета, а лишь локальным свойством, которым
эта система отсчета обладает в некоторой ограниченной области.
Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инер-
инерциальной, может быть инерциальной только в пределах некоторой
ограниченной области, внутри которой расположены тело отсчета и
все тела, движение которых мы наблюдаем. Если эти тела в своем
движении удаляются от указанной ограниченной области, то для них
система отсчета перестает быть инерциальной. Таким образом, дви-
движущаяся с ускорением относительно инерциальной система отсчета
может быть только локально инерциальной; ее инерциальность —
свойство, сохраняющееся только в пределах ограниченной области
в пространстве и в пределах ограниченного промежутка времени,
пока тела, движение которых мы наблюдаем, не выходят за пределы
ограниченной области пространства.
Сопоставляя характер поля сил тяготения и поля сил инерции,
существующих в данной системе отсчета, мы сможем проследить, как
происходит нарушение равенства между силами инерции и силами
тяготения при различной конфигурации полей сил тяготения и сил
инерции. В рассмотренной нами «земной невращающейся» системе
отсчета поле сил тяготения Солнца по конфигурации представляет
собой «центральное поле», т. е. такое поле, напряженность которого
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра

340 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XII
симметрии этого поля; положение центра симметрии совпадает с цен-
центром тяготеющего тела, которое это поле тяготения создает (предпо-
(предполагается, что тяготеющее тело имеет сферическую форму).
Поле сил инерции в системе отсчета, жестко связанной с Землей
(«невращающейся»), однородно, поскольку все точки неинерциальной
системы отсчета движутся относительно коперниковой системы отсчета
с постоянным по величине и направлению ускорением, одинаковым
во всех точках. Поэтому и силы инерции, действующие на тело массы
т, помещаемое в разные точки неинерциальной системы отсчета, бу-
будут одинаковы по величине и направлению. В этом простейшем случае
легко представить себе, как изменяется соотношение между силой
тяготения и силой инерции при изменении расстояния от тела, со-
создающего поле тяготения.
Напряженность поля сил тяготения мы найдем из закона всемир-
всемирного тяготения. Сила тяготения Солнца будет
Рс = уЦ^9 A2.1)
где Мс —масса Солнца, т —масса тела, на которое сила тяготения
Солнца действует, гтМ — расстояние между центрами Солнца и тела т.
Напряженность поля тяготения Солнца на расстоянии гс от центра
Солнца
Напряженность однородного поля сил инерции gn = —а, где а — ус-
ускорение, сообщаемое Земле Солнцем. Следовательно,
?и = -?тА A2.3)
где Гсз — расстояние между центрами Солнца и Земли. Если это
расстояние считать неизменным, то напряженность поля сил инерции
gu одинакова во всех точках поля, как это и должно быть для однород-
однородного поля. А результирующая напряженность полей тяготения и
инерции
зависит от расстояния rQ между точкой, в которой мы определяем
величину g, и центром Солнца.
Задавшись теми пределами, которых не должна превосходить
результирующая напряженность полей тяготения g и полей инерции
?и, для того чтобы систему отсчета можно было считать практически
инерциальной, можно, пользуясь выражением A2.4), определить
границы области локальной инерциальности, т. е. найти значения гс,
при которых g не превосходит заданных пределов. Ясно, что чем

§78] РАСЧЕТ СИЛ ИНЕРЦИИ 341
меньше заданные пределы величины g9 тем меньше величины гс должны-
отличаться от гсз, т. е. тем уже пределы области, в которой рассма-
рассматриваемую систему отсчета («земную невращающуюся») можно счи-
считать локально инерциальной.
Причиной нарушения равенства сил тяготения и сил инерции
в рассматриваемом случае является не только различная зависимость
этих двух сил от расстояния гс, но и различная конфигурация полей
сил тяготения и сил инерции (первое является «центральным полем»
с центром симметрии в центре Солнца, а второе — однородным полем).
Поэтому по мере удаления от центра Солнца не только будет сильнее
нарушаться равенство между величинами напряженностей поля
инерции и поля тяготения, но и все больше и больше будут отличаться
направления напряженностей этих полей. Вследствие этого резуль-
результирующая напряженность поля сил тяготения и поля сил инерции
в разных точках пространства окажется различной не только по вели-
величине, но и по направлению.
Поэтому в области, где локальная инерциальность системы отсчета
уже не имеет места, мы сможем обнаружить не только нарушение
равенства сил тяготения и сил инерции, но, изучив тщательно харак-
характер результирующего поля, обнаружим, что оно является результатом
наложения полей сил тяготения и сил инерции.
Между тем в тех случаях, когда сила тяготения и сила инерции
почти полностью компенсируют друг друга, мы не можем измерениями
определить, является ли действующая сила «остатком силы тяготе-
тяготения» или «остатком силы инерции». Причина этого лежит в том, что
в малой локально инерциальной области различия между величинами и
направлениями напряженностей поля тяготения и поля инерции еще
слишком малы, чтобы их можно было надежно измерить. В случае же
сильного нарушения компенсации сил тяготения и сил инерции, т. е.
вне области локальной инерциальности, различия между величинами
и направлениями напряженностей сил тяготения и сил инерции могут
быть обнаружены и надежно измерены, и тем самым силы инерции и
силы тяготения могут быть разделены.
§ 78. Расчет сил инерции
В неинерциальных системах отсчета помимо «обычных» сил на все
тела действуют силы инерции, которые сообщают всякому телу в этих
системах отсчета ускорения, пропорциональные массе тела. Поэтому
в уравнениях, описывающих движение тел относительно неинерциаль-
ной системы отсчета, помимо «обычных» сил, действующих на тела,
движение которых рассматривается, должны фигурировать и силы
инерции. Однако в то время как величины «обычных» сил мы можем
определить, зная конфигурацию тел, между которыми эти силы дей-
действуют, и относительную скорость движения этих тел, для сил инер-
инерции мы этого сделать не можем, поскольку эти силы зависят не от

342 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. ХН
конфигурации тел и их относительной скорости (как в случае «обыч-
«обычных» сил), а от других факторов.
Между тем, не определив величин сил инерции, действующих в том
или ином случае, мы не сможем решить уравнений движения, по-
поскольку эти силы в них фигурируют. Однако определить величину
сил инерции, действующих в той или иной неинерциальной системе
отсчета, оказывается возможным следующим образом. Прежде всего,
поскольку сила инерции пропорциональна массе тела, на которое эта
сила действует, то для того, чтобы найти действующую на тело извест-
известной массы силу инерции, достаточно определить то ускорение, кото-
которое сила инерции сообщает данной массе.
Поэтому, чтобы определить силу инерции, действующую в данной
системе отсчета, нужно поступить так: пусть в неинерциальной си-
системе отсчета, в которой нам нужно определить силы инерции, дви-
движется какое-либо тело известной массы т. Рассмотрим то же самое
движение той же самой массы в инерциальной системе отсчета. «Обыч-
«Обычные» силы в инерциальной и неинерциальной системах отсчета будут
действовать на данное тело одинаково, так как величина «обычных»
сил зависит от конфигурации взаимодействующих тел (и иногда от
относительной скорости их движения). Но ни конфигурация тел, ни
их относительная скорость не изменяются при переходе от неинер-
неинерциальной системы отсчета к инерциальной. Следовательно, «обычные»
силы сообщают данному телу в неинерциальной и инерциальной систе-
системах отсчета одинаковые ускорения. Однако в неинерциальной системе
отсчета на данное тело действует сверх «обычных» сил еще и сила
инерции, которая сообщает данному телу некоторое добавочное уско-
ускорение//. Определив это ускорение и зная массу т тела, которому сила
инерции это ускорение сообщает, мы найдем искомую силу инерции:
Таким образом, задача определения силы инерции, действующей на
данное тело в данной неинерциальной системе отсчета, сводится к со-
сопоставлению ускорений, которыми данное тело обладает в двух раз-
различных системах отсчета: данной неинерциальной и любой инерциаль-
инерциальной, т. е. к кинематической задаче нахождения разности двух уско-
ускорений одного и того же тела в разных системах отсчета.
Нужно учесть, что эта разность ускорений может зависеть не
только от того, с каким ускорением неинерциальная система отсчета
движется относительно инерциальной, но и от того, как данное тело
движется в неинерциальной системе отсчета; рассмотрев только один
частный случай, например, когда данное тело покоится в неинерциаль-
неинерциальной системе отсчета, естественно, мы найдем ответ только для данного
частного случая; чтобы получить достаточно общий ответ на вопрос
о величине сил инерции в разных неинерциальных системах отсчета,
нам придется сопоставить ускорения данного тела в двух системах
отсчета, во-первых, при различных движениях неинерциальной си-

$ 79] УСКОРЕНИЯ В НЕИНЕРИИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА 343
стемы отсчета относительно инерциальной и, во-вторых, при различ-
различных движениях данного тела в неинерциальной системе отсчета.
Чтобы упростить рассмотрение, мы, во-первых, воспользуемся
той терминологией, которая была введена в § 15 (когда шла речь
о «сложных движениях»). При этом мы будем называть «относительным
движением» движение рассматриваемого тела в неинерциальной си-
системе отсчета, «абсолютным движением» — движение этого тела в инер-
инерциальной системе отсчета и переносным движением —двии#ение неинер-
неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной. Конечно,
в свете принципа относительности движения первый и второй термины
совершенно условны, и чтобы подчеркнуть их условность, мы поме-
поместили их в кавычки.
В этих терминах стоящая перед нами задача формулируется так.
Зная «относительное» движение данного тела и переносное движение,
найти добавочное ускорение ju т. е. разность «относительного» и
«абсолютного» ускорений данного тела. Найдя эту разность, мы опре-
определим силу инерции, действующую на тело данной массы т в рассма-
рассматриваемой неинерциальной системе отсчета, а зная эту силу, сможем
решать все вопросы о движении данного тела в неинерциальной системе
отсчета. Сопоставление движений одного и того же тела в двух систе-
системах отсчета, неинерциальной и инерциальной, будет способствовать
более отчетливому пониманию существа дела. При этом сопоставлении
мы будем пользоваться общепринятой, но также условной термино-
терминологией, именно, говорить о «неподвижном» и «движущемся» наблюда-
наблюдателях, считая, что неподвижный наблюдатель покоится в инерциаль-
инерциальной, а движущийся —в неинерциальной системе отсчета. Конечно,
при этом субъективные ощущения наблюдателей не играют никакой
роли. Этих наблюдателей можно заменить какими-либо приборами,
например кинокамерами, регистрирующими движение данного тела,
причем «неподвижная» камера покоится в инерциальной системе от-
отсчета, а «движущаяся» камера — в неинерциальной системе отсчета.
Поскольку задача определения сил инерции сводится к сопоставле-
сопоставлению ускорений 6 неинерциальной и инерциальной системах отсчета,
мы должны прежде всего рассмотреть детально вопрос о преобразо-
преобразовании ускорений при переходе от одной системы отсчета к другой х).
§ 79. Ускорения в инерциальных
и неинерциальных системах отсчета
Начнем со случая, когда неинерциальная система отсчета движется
по отношению к инерциальной прямолинейно, но с ускорением. Пусть
это движение происходит вдоль оси х. Тогда в каждый момент времени
*) При рассмотрении этого вопроса мы ограничимся движениями, скорость ко-
которых мала по сравнению со скоростью света, и, следовательно, будем пользоваться
преобразованиями, аналогичными преобразованиям Галилея (а не преобразо-
преобразованиями Лорентца).

344 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. ХП
координаты ху у, z инерциальной системы и х\ у\ z' неинерциальной
связаны соотношениями
y=yr\ z = z', A2.5)
где х0 — расстояние между началом координат инерциальной системы
и неинерциальной в этот момент времени. Дифференцируя A2.5)
дважды по времени и учитывая, что-—=v0 есть скорость переносного
движения, а -^=/0 есть ускорение переносного движения, получим:
]х = ]х + /о» / v == ly\ lz = ]zi
ИЛИ
«, = tf + «,0 И j=f+J0. A2.6)
Этот результат, полученный нами для прямолинейного переносного
движения, справедлив также при всяком поступательном переносном
движении, поскольку, так же как при прямолинейном, все точки
движущейся системы отсчета имеют по отношению к неподвижной
одни и те же скорости и ускорения. Поэтому к «относительной» ско-
скорости рассматриваемой точки, независимо от ее положения в движу-
движущейся системе отсчета, прибавляется одна и та же скорость перенос-
переносного движения и к «относительному» ускорению точки прибавляется
одно и то же ускорение, именно ускорение переносного движения.
В случае непоступательного переносного движения скорости раз-
различных точек движущейся системы отсчета относительно «неподвиж-
«неподвижной» различны. Но при этом по-прежнему «абсолютное» перемещение
рассматриваемой точки представляет собой геометрическую сумму ее
«относительного» перемещения и переносного перемещения той точки
движущейся системы отсчета, в которой в данный момент находится
рассматриваемая точка. Поэтому «абсолютная» скорость рассматри-
рассматриваемой точки по-прежнему представляет собой геометрическую сумму
«относительной» скорости этой точки и переносной скорости той точки
движущейся системы координат, в которой в данный момент находится
рассматриваемая точка тела. Иначе говоря, всегда «абсолютная»
скорость рассматриваемой точки представляет собой геометрическую
сумму «относительной» и переносной скоростей.
С «абсолютным» ускорением дело обстоит иначе. Только в рассмо-
рассмотренном выше частном случае поступательного переносного движения
«абсолютное» ускорение представляет собой геометрическую сумму
«относительного» и переносного ускорений. В случае же непоступа-
непоступательного переносного движения, когда скорости движения различ-
различных точек движущейся системы отсчета относительно «неподвижной»
различны, к «относительной» скорости рассматриваемой точки тела
лрибавляется скорость переносного движения, которая зависит от

§79]
УСКОРЕНИЯ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
345
г. г
положения точки в движущейся системе отсчета. Так как положе-
положение рассматриваемой точки тела в движущейся системе отсчета
изменяется вследствие «относительного» движения, то «абсолютная»
скорость изменяется вследствие трех причин:
1) изменения «относительной» скорости рассматриваемой точки тела;
2) изменения переносной скорости той точки движущейся системы
отсчета, в которой в данный момент находится рассматриваемая точка
тела;
3) изменения переносной скорости вследствие перехода рассма-
рассматриваемой точки тела из одной точки движущейся системы отсчета
в другую.
Каждое из этих изменений скорости связано
с наличием соответствующего ускорения, а
именно:
1) «относительного» ускорения, зависящего
только от характера «относительного» движения;
2) переносного ускорения, зависящего толь-
только от характера переносного движения;
3) некоторого дополнительного ускорения,
зависящего от характера как «относительного»,
так и переносного движения. Это дополнитель-
дополнительное ускорение, впервые рассмотренное Кориоли-
сом, называют кориолисовым ускорением.
«Абсолютное» ускорение рассматриваемой
точки тела представляет собой сумму этих трех
ускорений. Только в частных случаях кориолисово ускорение обра-
обращается в нуль, например в рассмотренном выше случае поступатель-
поступательного переносного движения.
В общем случае нахождение «абсолютного» ускорения представляет
собой сложную задачу. Поэтому мы ограничимся только частным
случаем, когда движущаяся система отсчета вращается относительно
«неподвижной», вокруг неподвижной оси с постоянной угловой ско-
скоростью. Примером этого случая могут служить движения тел в «земной
вращающейся» системе отсчета. (Годовое движение Земли относительно
Солнца происходит с гораздо меньшей угловой скоростью, и поэтому
в большинстве случаев его можно не принимать во внимание.)
Расположим обе системы отсчета—вращающуюся х'у у\ z' и
«неподвижную» х, у, z — так, чтобы оси z' и z совпадали с направле-
направлением оси, вокруг которой происходит вращение с постоянной угло-
угловой скоростью со (рис. 155). Переходя от координат рассматриваемой
точки х\ у\ z' во вращающейся системе отсчета к координатам этой
же точки х9 у, z в «неподвижной» системе отсчета и выразив
их как функции времени, мы смогли бы дифференцированием найти
«абсолютную» скорость и «абсолютное» ускорение, подобно тому как это
было сделано для поступательного переносного движения. Однако
мы применим более наглядные приемы рассмотрения.
Рис. 155.

346 силы инерции [гл. хи
Начнем со специального случая, когда рассматриваемая точка М
покоится во вращающейся системе отсчета, т. е. «относительная»
скорость v' = 0. Тогда относительно «неподвижной» системы коорди-
координат эта точка вращается вокруг оси z с постоянной угловой скоростью
(х) <и описывает при этом окружность
радиуса г (рис. 156). При этом, как
мы знаем, точка обладает скоростью
A2.7)
и центростремительным ускорением
у=-<о2г. A2.8)
Так как это —скорость и уско-
рение движения относительно «не-
Рис. 156. подвижной» системы отсчета, то это
и есть искомые «абсолютные» ско-
скорость и ускорение. Следовательно, в случае, когда «относительная»
скорость равна нулю, «абсолютная» скорость равна переносной и
«абсолютное» ускорение равно переносному. Первое совершенно оче-
очевидно; второе становится понятным, если принять во внимание, что
«относительное» ускорение равно нулю, а кориолисово ускорение,
обусловленное движением точки во вращающейся системе отсчета,
в нашем случае также равно нулю
(так как точка не движется во вра- д \° м в
щающейся системе отсчета).
Рассмотрим теперь более сложные
случаи, когда «относительная» ско-
скорость не равна нулю. Начнем со слу-
случая, когда рассматриваемая точка
движется вдоль прямой, проходящей
через ось вращения и перпендикуляр-
перпендикулярно к ней. Иллюстрировать этот слу-
случай можно следующей моделью (рис. Рис. 157.
157). Прямая штанга АВ вращается
вокруг перпендикулярной к ней оси 00' с угловой скоростью со. Те-
Тело М движется по штанге со скоростью v относительно штанги.
Требуется найти скорость и ускорение этого тела относительно «не-
«неподвижной» системы отсчета.
Прежде всего заметим, что в «неподвижной» системе отсчета рас-
рассматриваемое движение уже не будет прямолинейным. В этом легко
убедиться, если представить себе, что тело М, двигаясь, прочерчивает
след на столе, над которым вращается штанга. Ясно, что вследствие
вращения штанги этот след, т. е. траектория тела в «неподвиж-
«неподвижкой» системе отсчета, будет представлять собой некоторую кривую
(рис. 158). Следовательно, наряду с тангенциальным ускорением
в «неподвижной» системе отсчета должно существовать и нормальное

§79] УСКОРЕНИЯ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА 347
ускорение /л, направленное внутрь траектории, которую описывает
тело в «неподвижной» системе координат.
Для вычисления этого ускорения положим, что относительная
скорость v', т. е. скорость тела относительно штанги, по величине
остается постоянной (это ограничение не принципиально и, как будет
показано, не изменяет результатов). При
этом, однако, «абсолютная» скорость те-
тела v изменяется как по величине, так
и по направлению. Так как тело дви-
движется вдоль штанги, а сама штанга вра-
вращается, то «абсолютная» скорость тела
направлена как-то под углом к штанге.
Разложим эту скорость на две состав-
ляющие: югу направленную вдоль штан-
штанги, и юпу направленную перпендикуляр-
но к штанге (рис. 159). Составляющая
«V обусловлена движением относительно
штанги и равна относительной скорости
ъ'\ составляющая vn обусловлена вра-
вращением штанги и равна переносной ско- Рис- 158-
рости той точки, где находится тело М,
т. е. vn = cor. (Как всегда, «абсолютная» скорость равна сумме «отно-
«относительной» и переносной.) Если бы тело М оставалось неподвижным
на штанге, т. е. составляющая vr = 0, то составляющая vn изменялась
бы только по направлению, и это изменение, обусловленное перенос-
переносным ускорением (как в первом примере), как раз было бы равно <о2г
и направлено к центру. Следовательно, переносное ускорение изме-
изменяет направление составляю-
щей
j Однако при движении тела М
«U——-**->vr вдоль штанги этим не исчерпы-
м ваются изменения составляющих
w vn и юг. Вследствие вращения
Рис. 159. штанги изменяется направление
составляющей vry а вследствие
движения тела по штанге и изменения г —величина составляющей ©я.
Так как юг направлена вдоль штанги, то изменение ее направления есть
изменение скорости, нормальное к штанге. С другой стороны, так
как vn направлена перпендикулярно к штанге, то изменение ее вели-
величины есть также изменение скорости, нормальное к штанге. Таким
образом, при равномерном движении тела по равномерно же вращаю-
вращающейся штанге в «неподвижной» системе отсчета будет существовать
не только переносное ускорение jc = —со2/*, направленное к центру
и вызывающее изменение направления скорости vr, но и нормальное
к штанге ускорение jkf вызывающее изменение направления скорости
vr и величины скорости ©п.

348
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XII
Рис. 160.
Чтобы определить величину этого ускорения, нужно найти ука-
указанные изменения скоростей за малый промежуток времени At. Для
этого сравни^значения vr и vn для двух положений точки, М и М'9
разделенных промежутком времени At (рис. 160). Так как нас инте-
интересует изменение только величины vn9 а не его направления, то мы
должны сравнивать только величины vn в двух положениях. Поэтому
вектор vn мы должны переносить из положения М в положение ЛГ,
не сохраняя его направления, а
наоборот, совмещая его с векто-
вектором ъ'п. В результате мы полу-
получим отрезок АюП9 выражающий
изменение величины скорости
юп. Наоборот, для вектора ©г мы
должны найти изменение его на-
направления; поэтому vr мы долж-
должны переносить в новое положе-
положение М\ сохраняя его направле-
направление. В результате мы получим
отрезок АюГ9 выражающий изменение направления скорости юг.
Сумма отрезков Avn и Avr представляет собой полное изменение
«абсолютной» скорости тела в направлении, нормальном к штанге,
за элемент времени At.
Подсчитаем величину этого ускорения. Если за время At штанга
повернулась на угол Да = соД/, то Avr = ?>гДа = vr(i>At; с другой
стороны, за время At тело прошло по штанге путь Ar = vrAt и при
этом скорость vn = cor возросла по величине на Avn — соДг = gw7A/.
Оба эти изменения скорости равны по величине и направлены в одну
и ту же сторону. Поэтому пол-
полное изменение скорости в на-
направлении, нормальном к
штанге, есть Avr + Avn =
= 2vrioAt и ускорение
A2.9)
Рис. 161.
1.
Это ускорение, зависящее
как от «относительной» скоро-
скорости vr = vr, так и от переносной (скорости вращения со), и предста-
представляет собой кориолисово ускорение для нашего случая. Направление
этого ускорения зависит как от направления ©', так и от направле-
направления вращения.
Совершенно очевидно, что при изменении направления вращения
направление jk изменится на обратное. Легко убедиться и в том, что
при изменении направления ч>' направление jk также изменяется на
обратное. Действительно, при движении точки М от центра к перифе-

§79]
УСКОРЕНИЯ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
349
рии скорость vn возрастала по величине, а направление vr поворачи-
поворачивалось в ту же сторону, в которую вращается штанга. При движении
точки М от периферии к центру (рис. 161) скорость юп уменьшается
по величине, а направление ч)г поворачивается в сторону противопо-
противоположную той, в которую вращается штанга. Следовательно в этом
случае Avn и kvr, а значит, и jk направлены в сторону, противопо-
противоположную перемещению штанги.
Во всех случаях направление jk будет определяться (рис. 162)
по правилу буравчика, считая от <о к v', т. е. к юг *). Так как в нашем
случае векторы <о и v' взаимно перпендикулярны, то jk представляет
собой удвоенное векторное произведение векторов <о и v':
A2.10)
Это выражение остается справедливым и в том случае, когда вращающаяся
штанга образует не прямой, а произвольный угол р с осью вращения (рис. 163),
т. е. описывает не плоскость, а конус. Действительно, разложим *ог на две состав-
составляющие: t^sinp, лежащую в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, и
t»rcosp, направленную вдоль оси вращения. Изменять направление при вращении
штанги будет только составляющая vr sin p. С другой стороны, расстояние тела
от оси вращения будет возрастать только за счет той же составляющей скорости
vr sin p. Все будет происходить так же, как и в рассмотренном выше случае плоского
движения штанги^если бы тело двигалось по штанге со скоростью crsin p. Следова-
Следовательно, jk по величине равно 2o>^/.sin(io, *>'), а направление его по-прежнему опре-
определяется правилом буравчика, т. е. и в этом случае^ выражается формулой A2.10).
х) Вектор jk, как показано выше, совпадает с Л^л и Д^г; чтобы не загромож-
загромождать рис. 162, на нем указан только один из этих векторов, именно Avn.

350
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XIT
163.
Полное ускорение тела в «неподвижной» системе отсчета, т. е.
«абсолютное» ускорение, равно геометрической сумме Jc и jk.
Если бы тело двигалось вдоль штанги не равномерно, а с ускоре-
ускорением/ («относительное» ускорение), то все наши выводы, касающиеся
ускорения jk, остались бы в силе, так как мы рассматривали только
малые элементы времени А/, за которые скорость юг можно считать
постоянной. Однако вследствие на-
наличия «относительного» ускорения
«абсолютное» ускорение будет рав-
равно геометрической сумме не двух
(как было в случае постоянной
«относительной» скорости), а трех
ускорений:
J=f+Jc+Jk> A2Л1)
где f —«относительное» ускоре-
ускорение, зависящее от характера отно-
сительного движения; jc = —co2r
— переносное ускорение, завися-
зависящее от угловой скорости переносного движения и положения рассма-
рассматриваемой точки в движущейся системе отсчета; jk = 2 [<о©'] —
кориолисово ускорение, зависящее как от «относительной» скорости,
так и от угловой скорости переносного движения.
Полученные нами количественные результаты относятся только
к одному случаю относительного движения, когда относительная
скорость все время лежит в плоскости, проходящей через ось враще-
вращения (рис. 164). Чтобы убедиться, что это выражение справедливо при
любом направлении относительной скорости, нужно еще показать,
что оно справедливо при относительной ско-
скорости, направленной нормально к плоскости,
в которой лежат движущаяся точка и ось
вращения. Для этого рассмотрим случай, ког-
когда относительное движение представляет со-
собой вращение вокруг той же оси, вокруг
которой происходит вращение движущейся
системы отсчета.
Пусть рассматриваемая точка М вращается
вокруг оси г с угловой скоростью со' относи-
относительно движущейся системы отсчета, которая
в свою очередь вращается вокруг той же оси с угловой скоростью со
относительно «неподвижной» системы отсчета (рис. 165). Для опре-
определенности положим, что оба вращения происходят б одну и ту же
сторону. «Относительная» скорость v' = coV направлена нормально
к плоскости, проходящей через радиус-вектор г и ось вращения
(именно этот случай нас интересует). Угловая скорость вращения
точки в «неподвижной» системе отсчета представляет собой сумму
р

\ 79]
УСКОРЕНИЯ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ OTC4FTA
351
Рис. 165.
угловых скоростей *о и <*>' (так как обе направлены в одну сторону),
и «абсолютная» скорость точки v — (<и + о/) г направлена так же,
как и относительная скорость Ч)\ Так как «абсолютная» скорость по
величине постоянна и движение происходит по окружности, то «аб-
«абсолютное» ускорение направлено к цент-
центру, причем
/ = ((и + ft)'J/" = dJr + <д/*Г + 2<0ft/r.
Но о/2г есть «относительное» ускорение
(так как «относительное» движение есть
вращение с постоянной угловой скоростью +**
©'), а со2/* —переносное ускорение (так как Ч^
система координат вращается с угловой
скоростью (и). Следовательно, «абсолют-
«абсолютное» ускорение, кроме «относительного»
и переносного, содержит еще дополнительное ускорение 2<и<д/г.
Поскольку со'г — v', то это дополнительное ускорение равно 2cot/,
т. е. по величине совпадает с найденным нами выше выражением
для кориолисова ускорения. Сопоставляя направления векторов
о и ©' (рис. 165), мы убедимся, что это ускорение 2coz/ направлено
к центру, т. е. по движению буравчика, поворачиваемого кратчайшим
путем от о) к ?/. Таким образом, это дополнительное ускорение
jk = 2[<ог/] и есть кориолисово уско-
ускорение, выражающееся так же, как и в
рассмотренном выше случае.
Как и прежде, «абсолютное» ускоре-
ускорение равно сумме «относительного», пе-
переносного и кориолисова ускорений.
f Однако роль кориолисова ускорения в
рассмотренных случаях несколько раз-
различна. В то время как в первом случае
кориолисово ускорение изменяло и ве-
величину, и направление «абсолютной»
скорости, во втором случае кориоли-
кориолисово ускорение изменяет только направление «абсолютной» ско-
скорости, действуя в этом случае «совместно» с «относительным» и пере-
переносным ускорениями. В этом случае кориолисово ускорение появ-
появляется потому, что «относительная» и переносная скорости направлены
в одну сторону и складываются их абсолютные величины; так же
складываются «относительное» и переносное ускорения. Между тем
при увеличении скорости центростремительное ускорение должно
возрастать пропорционально квадрату скорости. А это и значит, что,
помимо «относительного» и переносного ускорений, каждое из которых
пропорционально квадрату соответствующей угловой скорости, должно
появиться еще дополнительное ускорение, пропорциональное удвоен-
удвоенному произведению этих угловых скоростей. Если скорости со и о/
рис

352
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XII
направлены в противоположные стороны, то сумма «относительного»
и переносного ускорений оказывается больше, чем «абсолютное» уско-
ускорение, и кориолисово ускорение должно быть направлено в противо-
противоположную сторону, т. е. от центра. В этом легко убедиться из рас-
рассмотрения рис. 166.
Мы рассмотрели два случая относительного движения: когда
скорость лежит в плоскости, проходящей через ось вращения, и когда
она нормальна к этой плоскости. В общем случае произвольно направ-
направленную относительную скорость v' мы можем разложить на две состав-
составляющие: одну (©"), лежащую в плоскости ОАВС, проходящей через
ось вращения, и другую (©'"), нормальную к этой плоскости (рис. 167).
Для каждой из этих составляющих справедливы результаты, полу-
полученные нами выше; следовательно, они
справедливы и для ©' в целом. Поэтому,
когда точка движется произвольным обра-
образом со скоростью v' относительно системы
отсчета, вращающейся с постоянной уг-
угловой скоростью <*>, абсолютное ускорение
точки
j=f - cu2r + 2 [ш/\. A2.12)
у п ) °т Здесь У —«относительное» ускорение,
—со2г—переносное ускорение и 2[о)г#'] —
кориолисово ускорение.
В случаях, когда переносное движение
представляет собой вращение, переносное
ускорение всегда направлено к оси вращения. Кориолисово уско-
ускорение направлено нормально к векторам сои v'\ поэтому оно всегда
лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения; его ориенти-
ориентировка в этой плоскости зависит от направления вектора ©\
§ 80. Вторичные системы отсчета
В тех немногих системах отсчета, которыми мы пользовались
в предшествующем изложении, телами отсчета служили естественные
небесные тела. Вследствие того, что каждое из небесных тел солнеч-
солнечной системы сравнительно медленно вращается вокруг своей оси и
еще значительно медленнее обращается по своей орбите, связанные
с этими вращениями центростремительные ускорения невелики, и
поэтому все системы отсчета, для которых телами отсчета служили бы
естественные тела солнечной системы, оказались бы только «слегка
неинерциальными». Чтобы обнаружить силы инерции в таких «слегка
неинерциальных» системах отсчета, нужны специальные чувствитель-
чувствительные методы. Таков, например, метод, примененный Фуко. Хотя угло-
угловая скорость, с которой поворачивается плоскость качаний маятника
относительно Земли, очень мала (на полюсе 2д рад1сутки), но наблю-
Рис. 167.

§ 801 ВТОРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 353
дения можно вести в течение длительного времени, за которое угол
поворота плоскости качаний достигает значительной величины.
Если мы хотим сделать легко наблюдаемыми эффекты, вызванные
силами инерции, то естественные небесные тела в качестве тел отсчета
для этой цели оказываются мало пригодными. В этих случаях целе-
целесообразно пользоваться вторичными телами отсчета, которым мы
можем сообщить большие ускорения, и поэтому в системах отсчета,
связанных с этими вторичными телами, возникают большие силы
инерции и отчетливо наблюдаются вызванные ими эффекты. Это пре-
преимущество вторичных тел отсчета играет, например, роль, когда речь
идет о демонстрации сил инерции.
Однако гораздо более важными являются преимущества вторичных
систем отсчета, выражающиеся в том, что благодаря их применению
описания рассматриваемых движений в ряде случаев существенно
упрощаются. Один из наиболее убедительных примеров такого упро-
упрощения описания движений —это применение системы отсчета, свя-
связанной с корпусом (невращающимся)х) космического корабля. Космо-
Космонавтам приходится двигаться самим, наблюдать за движением много-
многочисленных приборов и механизмов, контролировать свои движения и
движения механизмов. Но для этого необходимо пользоваться систе-
системой отсчета, относительно которой можно было бы фиксировать все
движения — свои, механизмов и т. д. Ясно, что этой системой отсчета
практически может служить только корпус космического корабля.
То же самое в значительной степени относится и к самолету, и к дру-
другим самодвижущимся экипажам. Для людей, находящихся в этих
экипажах, корпус экипажа является самым удобным телом отсчета.
Но, пользуясь этими вторичными телами отсчета, движение кото-
которых нам задано обычно относительно Земли, мы должны в конечном
счете определить движение вторичного тела отсчета относительно
всей массы небесных тел, так как именно ускорениями применяемого
тела отсчета относительно всей массы небесных тел определяются
силы инерции, действующие в связанной с ним системе отсчета. Прак-
Практически это значит, что мы должны рассматривать ускорения вторич-
вторичного тела отсчета относительно коперниковой системы отсчета (в кото-
которой вся масса небесных тел в среднем покоится).
Когда в качестве вторичных тел отсчета служат самодвижущиеся
экипажи, движущиеся по Земле или в земной атмосфере, то ускоре-
ускорения, которые им сообщают двигатели (мотор автомобиля, реактивный
двигатель самолета и т. п.), часто значительно превышают ускорения,
с которыми движется Земля в коперниковой системе отсчета. То уско-
ускорение, которое сообщает Земле Солнце, как мы видели (§ 78), вообще
можно не учитывать, так как сила тяготения Солнца и сила инерции,
1) Вращение корпуса корабля вокруг какой-либо из его осей может возникнуть,
например, при отделении корпуса от ракеты-носителя. Это вращение может быть
устранено приборами автоматической ориентации корпуса.
12 С. 3. Хайкин

354
СИЛЫ ИНЕРНИИ
[ГЛ. XII
г\
\J
Носашч
коробль
J
\
г\
действующая в системе отсчета, связанной с Землей (вследствие того,
что Земля испытывает ускорение под действием тяготения Солнца),
компенсируют друг друга.
Поэтому, если бы не вращение Земли вокруг своей оси, то систему
отсчета, связанную с Землей, можно было бы просто считать инер-
циальной и относить движение вторичных тел отсчета к этой связанной
с Землей системе* отсчета, а не к коперниковой. Однако Земля вра-
вращается вокруг своей оси достаточно медленно и при сколько-нибудь
значительных ускорениях вторичных тел отсчета можно не принимать
во внимание ускорений, связанных с вращением Земли; иначе говоря,
ускорение вторичного тела отсчета относительно Земли можно прямо
принимать за ускорение его в ко-
коперниковой системе отсчета. В част-
частности, если вторичное тело отсчета
вращается вокруг оси, неподвижной
относительно Земли, с угловой ско-
скоростью (%, значительно превосхо-
превосходящей угловую скорость Земли (и0 =
= 2п рад1сутки, то, как было пока-
показано в§ 15, результирующая угловая
скорость вторичного тела отсчета
в коперниковой системе отсчета бу-
будет очень близка к щ\ следователь-
следовательно, вращение Земли вокруг своей оси
практически не изменяет характера
вращения вторичного тела отсчета
относительно коперниковой системы
отсчета.
Прежде чем рассматривать преи-
преимущества, которые в некоторых случаях дает применение вторичных
систем отсчета, поясним на конкретных примерах то принципиальное
различие между первичными и вторичными системами отсчета, о кото-
котором мы кратко упомянули в § 27 и которое заставило нас с самого
начала разделить все тела отсчета на эти два отдельных класса.
Рассмотрим два тела отсчета, движущихся в коперниковой системе
отсчета одинаково, но под действием различных сил. В качестве пер-
первого тела выберем кабину космического корабля (рис. 168), движу-
движущегося к Земле с выключенным двигателем под действием поля тяго-
тяготения Земли с ускорением ^g1). В качестве второго тела отсчета
возьмем такую же кабину космического корабля, снабженную реак-
реактивным двигателем, установленным на «крыше» корабля, и положим,
что эта кабина находится вдали от всех тяготеющих тел (рис. 169).
корабль
//
\J
Рис. 168.
Рис. 169.
х) Пока космический корабль находигся не очень высоко над Землей (но все
же еще не достиг плотных слоев атмосферы), его ускорение мало отличается от ус-
ускорения у поверхности Земли (так как расстояние до поверхности Земли мало по
сравнению с расстоянием до центра Земли).

§ 801 ВТОРИЧНЫЕ CHCTFMhl ОТСЧЕТА 355
Подобрав тягу реактивного двигателя так, чтобы он сообщал второму
космическому кораблю такое же по величине и направлению ускоре-
ускорение ^g, с которым движется первый космический корабль, мы достиг-
достигнем того, что оба космических корабля будут двигаться с одинако-
одинаковым ускорением относительно коперниковой системы отсчета.
Сопоставим свойства систем отсчета, связанных с этими двумя оди-
одинаково движущимися космическими кораблями. Первый корабль
свободно падает в поле тяготения с ускорением +g. Так как связан-
связанная с ним система отсчета также движется с ускорением +g, то в этой
системе существует поле сил инерции с напряженностью —g, которое
как раз компенсируется полем сил тяготения (в некоторой ограничен-
ограниченной области пространства, в которой можно считать однородным как
поле сил тяготения, так и поле сил инерции). Следовательно, система
отсчета, связанная с первым космическим кораблем, инерциальна.
Система отсчета, связанная со вторым космическим кораблем,
движется в коперниковой системе отсчета так же, как и первая, и,
следовательно, в ней действует такое же, как и в перБой системе отсчета,
поле сил инерции с напряженностью —g, которое, однако, в отличие
от первой системы отсчета не компенсируется полем тяготения,
поскольку последнее отсутствует. Итак, две системы отсчета, движу-
движущиеся с одинаковым ускорением относительно коперниковой системы
отсчета, оказываются различными по своим свойствам (одна — инер-
циальной, а другая — неинерциальной) вследствие того, что движе-
движения тел отсчета, с которыми эти системы отсчета связаны, вызываются
силами разной природы.
Эти же причины (изменение природы сил, действующих на корабль)
вызывают появление и исчезновение состояния невесомости в косми-
космическом корабле. Мы уже рассматривали явление невесомости (в § 43),
не пользуясь при этом представлением о силах инерции. Это значит,
что при рассмотрении состояния невесомости мы не пользовались
корпусом космического корабля как системой отсчета (так как если
бы мы пользовались этой системой отсчета, то неизбежно появились
бы действующие в этой системе отсчета силы инерции, которые нам
бы пришлось учитывать). Теперь, имея возможность пользоваться
корпусом космического корабля как системой отсчета и учитывая
силы инерции, мы в состоянии изложить вопросы о движении тел
внутри и вблизи космического корабля, в частности, вопросы о воз-
возникновении и исчезновении невесомости и перегрузок, более четко,
чем это можно было сделать раньше.
Рассмотрим силы, действующие на корпус космического корабля
и находящиеся в нем тела, когда корабль движется по орбите спутника
Землих), которую для упрощения будем считать круговой. Если
г) Об орбите спутника Земли мы говорим только для определенности. При дви-
движении космического корабля, например, по орбите планеты дело будет обстоять
совершенно так же.
12*

356 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XII
корабль находится на орбите спутника, то это значит, что, во-первых,
реактивные двигатели, сообщившие ему нужную скорость (первую
космическую скорость), уже выключены, и, во-вторых, что сила сопро-
сопротивления атмосферы уже не играет роли (в противном случае корабль
двигался бы по скручивающейся спирали и приближался к Земле).
Следовательно, на корабль и все находящиеся в нем или вблизи него
тела действует только сила земного тяготения, сообщающая космиче-
космическому кораблю центростремительное ускорение
/ = G>arlt A2.13)
где гг — радиус орбиты спутника, ш — угловая скорость обращения
корабля по орбите.
Введем систему отсчета, связанную с корпусом космического
корабля, сохранив предположение о том, что корпус космического
корабля не вращается вокруг какой-либо из своих осей, проходящих
через центр масс корабля. Поместим начало прямоугольной системы
координат в центр масс космического корабля; одну из трех осей,
например ось х, направим в центр Земли. В этой системе отсчета,
которая вращается с угловой скоростью си вокруг центра Земли,
вдоль оси х в направлении от центра Земли должна действовать цен-
центробежная сила инерции
Fi = —mto*r9 A2.14)
где т — масса тела, на которое сила Ff действует. Как легко убедиться
из сопоставления A2.14) и A2.13), напряженность поля тяготения
Земли и напряженность поля силы инерции, действующей в системе
отсчета, связанной с космическим кораблем, равны по величине, но
противоположны по направлению. Хотя эти два поля — сил тяго-
тяготения и сил инерции — различны по своей структуре, но изменениями
напряженностей обоих полей в пределах космического корабля и
даже в некоторой окружающей корабль области (значительных по
сравнению с размерами корабля размеров) вполне можно пренебречь,
так как изменения напряженностей полей становятся заметными
только на расстояниях, сравнимых с радиусом орбиты корабля.
Поэтому внутри космического корабля и вблизи него напряженности
полей тяготения и полей инерции можно считать равными по величине
и противоположными по направлению. Вследствие этого даже при
значительных размерах космического корабля силы тяготения и силы
инерции, действующие на все тела внутри корабля, движение которых
мы рассматриваем относительно корпуса корабля, полностью компен-
компенсируют друг друга *). Это значит, что тела в космическом корабле
х) Само собой разумеется, что на тело отсчета, т. е. на корпус корабля, силы
инерции не действуют. Силы инерции действуют на все тела, движение которых мы
рассматриваем в системе отсчета, связанной с телом отсчета. Но движения самого
тела отсчета в этой системе отсчета рассматривать нельзя (оно в этой системе отсчета
всегда покоится). О движении самого корабля можно говорить только в системе

§80] ВТОРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 357
ведут себя так, как они вели бы себя, если бы ни сила тяготения, ни
сила инерции на них не действовали извне (между телами, находя-
находящимися внутри корабля, как и между всеми телами, действуют силы
взаимного тяготения, но пока массы тел не очень велики, эти силы не
играют никакой роли). Но если на тела не действуют силы тяготения,
то эти тела находятся в состоянии невесомости.
Конечно, совершенно такое же объяснение можно привести для
состояния невесомости, которое мы наблюдали в лифте, движущемся
вниз с ускорением g (§ 43). Так как лифт движется вниз с ускорением g,
то, относя движение тел, находящихся внутри лифта, к системе отсчета,
связанной с лифтом, мы должны учитывать, что на все эти тела, кроме
поля тяготения напряженностью gt действует поле сил инерции напря-
напряженностью —g. Силы тяготения и силы инерции полностью компенси-
компенсируют друг друга, вследствие чего для тел, находящихся внутри лифта,
наступает состояние невесомости.
Полная компенсация сил инерции и сил тяготения необходима
не только для -юго, чтобы наступило состояние невесомости, но и
чтобы это состояние могло сохраняться достаточно долгое время. Это
в одинаковой мере относится как к лифту, так и к космическому ко-
кораблю и ко всем аналогичным случаям; мы поясним это обстоятель-
обстоятельство на конкретном примере космического корабля.
Как уже было отмечено в § 43, сила тяготения является массовой
силой и поэтому всем элементам тела сообщает одинаковые ускорения
(конечно, при условии, что это тело находится в однородном поле
сил тяготения). Массовой является и сила инерции (так как она тоже
пропорциональна массе элемента тела, на который действует), и
поэтому, если на тело действует только сила инерции, то она также не
вызывает деформаций тела. Таким образом, если на тело одновременно
действуют сила тяготения и сила инерции, но не действуют никакие
другие силы, то тело находится в состоянии невесомости. При этом
совсем не обязательно, чтобы силы инерции и силы тяготения как раз
компенсировали друг друга. Но если силы инерции и силы тяготения
не компенсируют друг друга, то поведение тела в космическом корабле
меняется.
Пока силы инерции и силы тяготения компенсируют друг друга,
то на тело, находящееся в космическом корабле, не действуют никакие
силы и тело может покоиться относительно корабля, не прикасаясь
к его стенам. Иначе говоря, поскольку в корабле, движущемся по
орбите спутника Земли, силы инерции и силы тяготения компенсируют
друг друга, система отсчета, связанная с космическим кораблем, ока-
оказывается инерциальной (напомним о предположении, что корпус
корабля не вращается). Если почему-либо компенсация сил инерции
отсчета, связанной с Землей. А в этой системе отсчета, лишь «слегка неинерциальной»,
практически на космический корабль силы инерции не действуют и космический ко-
корабль движется под действием только сил тяготения Земли (если он движется по
орбите спутника Земли).

358 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. ХН
и сил тяготения нарушится, то состояние невесомости не обязательно
нарушится, так как пока других сил, кроме сил инерции и сил тяго-
тяготения, не возникает, тело остается в недеформированном состоянии.
Однако если компенсация сил инерции и сил тяготения почему-
либо нарушается, то нарушается инерциальность связанной с корпу-
корпусом корабля системы отсчета. Но в неикерциальной системе отсчета
ни одно свободное тело не может покоиться. Оно будет двигаться под
действием суммы сил инерции и сил тяготения (направление движения
зависит от того, какая из этих сил оказалась больше) и в конце концов
ударится о стенку корабля. Если удар будет неупругий, то тело при-
прижмется к стенке корабля и действующий на тело некомпенсированный
избыток силы тяготения или силы инерции вызовет деформацию тела
(в случае упругого удара все кончится так же, но после того как про-
произойдет несколько ударов тела о стенку).
Несвободные тела (т. е. прикрепленные к бортам или дну корабля)
под действием некомпенсированного избытка сил инерции или сил
тяготения деформируются, и состояние невесомости во всем космиче-
космическом корабле будет нарушено. Таким образом, для того чтобы в кос-
космическом корабле длительно сохранялось состояние невесомости,
должна соблюдаться полная компенсация сил инерции и сил тяго-
тяготения.
При полете космического корабля по орбите спутника Земли сила
тяготения практически очень мало меняется, даже во время выхода
корабля на орбиту. В самом деле, если круговая орбита корабля
расположена на высоте ^300 км над Землей, то при выходе на орбиту
расстояние от центра Земли до корабля меняется, положим, от 6400 км
до 6700 /еж, т. е. примерно на 1/20 своей величины. А так как сила
земного тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния,
то величина силы тяготения Земли меняется лишь на 10%. Значит,
и ускорение, сообщаемое кораблю силой земного тяготения, на всем
пути полета, от запуска до возвращения на Землю, изменяется в тех же
небольших пределах.
Но зато ускорения, сообщаемые космическому кораблю другими
силами (тягой реактивного двигателя ракеты-носителя и сопротивле-
сопротивлением воздуха на участках выхода на орбиту и спуска на Землю), резко
возрастают и соответственно возрастают силы инерции. Ускорения,
сообщаемые тягой реактивного двигателя при запуске космического
корабля и выводе его на орбиту спутника Земли, достигают десятка g.
Такой же величины достигают и те ускорения (отрицательные), кото-
которые создает сопротивление воздуха при входе космического корабля
в плотные слои атмосферы.
Заметим, что эти ускорения при выходе на орбиту и возвращении
на Землю направлены одинаково. Ускорение, сообщаемое реактивным
двигателем при взлете, направлено вверх, а при замедлении скорости
возвращающегося на Землю космического корабля в результате дей-
действия сил сопротивления земной атмосферы скорость корабля направ-

§ 80] ВТОРИЧНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 359
лена вниз, а испытываемое космическим кораблем отрицательное
ускорение направлено, как и при выходе на орбиту, вверх. (При
спуске корабля иногда применяется торможение при помощи вспомо-
вспомогательных реактивных двигателей, сила тяги которых направлена
вверх. Но мы не будем вдаваться в эти подробности.)
Можно считать, что как при подъеме, так и при спуске корабля
он испытывает направленные кверху ускорения, величина которых
в десяток и больше раз превосходит ускорение, которое под действием
сил тяготения Земли испытывает корабль при движении по орбите
спутника Земли. Но если корпус корабля получает под действием
силы тяги реактивного двигателя или силы сопротивления воздуха
ускорение порядка 10g, то в системе отсчета, связанной с космическим
кораблем, возникает поле сил инерции с той же напряженностью, но
обратное по знаку. Ясно, что при возникновении этих больших сил
инерции состояние невесомости нарушается и движение тел внутри
космического корабля определяется практически только действием
сил инерции.
Так как напряженность поля этих сил инерции примерно в 10 раз
превышает напряженность поля земного тяготения, то все тела,
заключенные в космическом корабле, находятся в таком состоянии,
как если бы корабль покоился на Земле, но находился под действием
силы тяготения, в 10 раз превышающей силу тяготения Земли. Подоб-
Подобные состояния перегрузки уже рассматривались в § 43.
Мы все время говорили о состоянии и движении тел, находящихся
внутри космического корабля. Но все сказанное можно распростра-
распространить на тела, находящиеся вне космического корабля, но только при
том условии, что эти тела до того, как попали в окружающее корабль
космическое пространство, находились внутри корабля или были
к нему прикреплены и при удалении от корабля практически не при-
приобрели никакой скорости относительно корабля. Если эти условия
соблюдены, то тело, покинувшее корабль, обладает практически той
же скоростью относительно земной системы отсчета, какой обладает
корабль, и находится на орбите корабля. Следовательно, это тело
превращается в искусственный спутник Земли, движущийся по орбите,
очень близкой к той орбите, по которой движется космический корабль.
Это тело вне корабля будет находиться в состоянии невесомости, так
же как и тела внутри корабля.
Происхождение этой невесомости объясняется так же, как и для
тел, находящихся внутри корабля: космонавт, находящийся внутри
или вне корабля, но вблизи него, рассматривая движение находяще-
находящегося вблизи корабля тела, относит это движение к системе отсчета,
связанной с корпусом корабля. В этой системе отсчета существует поле
сил инерции, которое можно считать однородным в некоторой огра-
ограниченной области (границы этой области никак не связаны с конту-
контурами корабля, его размерами и т. п.). Поэтому поле сил инерции имеет
совершенно одинаковую напряженность как внутри корабля, так и

360 СИЛЫ ИНЕРЦИИ Г ГЛ. XII
в некоторой ограниченной области вне его. И если поле сил тяготения
тоже можно считать однородным в пределах этой ограниченной об-
области, то компенсация сил инерции и сил тяготения имеет место для
всех тел, движущихся по орбитам, близким к орбите космического
корабля, и находящихся в пределах указанной ограниченной области,
независимо от того, находятся ли они внутри корпуса корабля или
вне его.
Если же тело, покидающее корабль, имеет по отношению к кораблю
некоторую начальную скорость, то, двигаясь с этой скоростью, тело
постепенно удаляется от корабля, и траектория, по которой движется
тело, покинувшее корабль, будет все больше и больше отличаться от
орбиты корабля.
Все приведенное выше рассмотрение движения тел, находящихся
внутри или вблизи космического корабля, получается весьма простым
и наглядным только благодаря тому, что эти движения рассматрива-
рассматривались в системе отсчета, связанной с корпусом корабля. Пользуясь
этой системой отсчета, необходимо было учесть действующие в этой
системе отсчета силы инерции. Но учет сил инерции, как мы видим,
не только не усложнил, но, наоборот, упростил рассмотрение движе-
движений тел внутри и вокруг корабля. Как показало это рассмотрение,
при движении корабля по орбите силы тяготения и силы инерции ком-
компенсируют друг друга; рассмотрение движений тел внутри или вблизи
корабля предельно упрощается, поскольку в результате компенсации
сил инерции и сил тяготения система отсчета, связанная с корпусом
корабля, оказывается инерциальной. При подъеме и спуске корабля
инерциальность системы отсчета нарушается, но действующие в этой
системе отсчета силы инерции оказываются гораздо больше сил тяго-
тяготения, и приближенный ответ на вопрос о поведении тел, находящихся
в космическом корабле, можно получить, учитывая только действие
сил инерции. Если бы мы не пользовались в качестве системы отсчета
корпусом корабля, то нам не удалось бы так наглядно объяснить дви-
движение тел внутри и вблизи космического корабля, как это было сде-
сделано выше.
В следующих двух параграфах будут рассмотрены еще некоторые
примеры применения вторичных систем отсчета.
§ 81. Силы инерции в системах отсчета,
движущихся поступательно
Мы уже рассматривали (в § 77) случай, когда система отсчета
движется относительно коперниковой поступательно с постоянным
ускорением а. При этом мы пришли к выводу, что на любое тело в этой
системе отсчета должна действовать сила инерции —та, где т —
масса тела, на которое эта сила действует. Однако пример, который
мы рассматривали (движения планет), позволял сделать этот вывод
только умозрительно. Сейчас, пользуясь надлежащим образом выбран-

81]
СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ДВИЖУЩИЕСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО
361
ной вторичной системой отсчета, мы сможем подтвердить этот вывод
опытом.
В качестве вторичного тела отсчета воспользуемся тележкой
(рис. 170), которая может катиться по рельсам со столь малым тре-
трением, что им можно пренебречь. К одному из концов тележки при-
прикреплена нить, перекинутая через блок, а к концу нити подвешен груз
массы М. На тележке установлен отвес массы т. Вызванное телом М
о
Рис. 170.
натяжение нити сообщает тележке ускорение. Опыт, который позво-
позволит нам определить величину силы инерции в системе отсчета, свя-
связанной с ускоренно движущейся тележкой, состоит в следующем.
Освободив тележку и предоставив ей возможность ускоренно дви-
двигаться, мы обнаружим, что отвес отклонится от вертикали в на-
направлении, противоположном направлению ускорения тележки 1)
(рис. 170, а), и останется в некотором отклоненном положении (после
того как ускорение тележки достигнет некоторого постоянного зна-
значения /0). Величина угла а отклонения отвеса от вертикали однозначно
определяется величиной ускорения тележки /0. Чтобы определить
ускорение тележки /0, нужно знать общую массу тележки (вместе
с отвесом). Положим, что эта масса равна Мо. Обозначив через F силу
1) Если освободить тележку сразу, то ускорение возникнет скачком и вызове?
не только отклонение, но и колебания отвеса. Для устранения колебаний отвеса
нужно сделать так, чтобы ускорение тележки, после того как она освободится, не
возникало скачком, а нарастало бы плавно и постепенно достигало бы своего конеч-
конечного значения. Для этого можно, например, прикрепить к другому концу тележки
нить и, перекинув ее через блок, подвесить к ней контргруз в виде сосуда с песком,
масса которого равна М и который постепенно высыпается из отверстия в дне сосуда
(массой сосуда пренебрегаем).

362 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. ХП
натяжения нити, на которой подвешена масса М, мы можем записать
уравнения движения масс М и Мо в виде
Mjo = Mg-F и
Исключив из этих двух уравнений F, найдем ускорение /0:
Рассмотрим сначала поведение отвеса с точки зрения «неподвиж-
«неподвижного» наблюдателя. Если отвес отклонен на постоянный угол а, то с
точки зрения «неподвижного» наблюдателя он движется ^ускорением
/0 вместе с тележкой. Для того чтобы это движение отвеса происходило,
нужно, чтобы на массу отвеса т действовала в горизонтальном на-
направлении сила mj0. Если / есть сила натяжения нити отвеса, то гори-
горизонтальная составляющая этой силы /sin а должна быть равна т/0.
Попутно легко объяснить, с точки зрения «неподвижного» наблю-
наблюдателя, как возникло отклонение отвеса. Вначале, когда отвес нахо-
находился в вертикальном положении, горизонтальная составляющая силы
натяжения нити отвеса была равна нулю и масса т покоилась; тележка
«уходит из-под отвеса» и возникает отклонение отвеса от вертикали;
вследствие этого возникает горизонтальная составляющая натяжения
нити отвеса и масса отвеса т постепенно приобретает ускорение л).
Когда горизонтальная составляющая натяжения нити / sin а достигла
величины т/о, ускорение отвеса стало равным ускорению тележки и
дальнейшее отклонение отвеса прекратилось.
Теперь рассмотрим поведение отвеса с точки зрения движущегося
наблюдателя, находящегося в тележке. Для этого наблюдателя снача-
сначала тележка покоится и отвес расположен отвесно. Но когда тележка
начинает двигаться с постепенно возрастающим ускорением относи-
относительно Земли, то вместе с тем отвес начинает отклоняться в сторону,
противоположную направлению движения тележки. Когда ускорение
тележки относительно Земли достигает значения /0, дальнейшее откло-
отклонение отвеса прекращается и далее отвес покоится относительно тележ-
тележки в положении, отклоненном на угол а от вертикали. Чтобы отвес по-
покоился относительно тележки, сумма всех действующих на него сил
должна быть равна нулю. На отвес действуют сила земного тяготения
mg и сила натяжения нити/, но так как эти две силы направлены под
углом друг к другу, то их сумма не может быть равна нулю. Это воз-
возможно только в том случае, если помимо сил mg и /на тело т действует
сила fi = — mj0 (рис. 170, б), равная по величине и противоположная
по направлению сумме сил / и mg.
Для того чтобы объяснить наблюдаемое поведение отвеса, движу-
движущийся наблюдатель должен учесть, что система отсчета, к которой он
относит движение отвеса, обладает ускорением по отношению к Земле
*) См. предыдущее примечание.

§811 СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА, ДВИЖУЩИЕСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО 363
(а значит, и по отношению к коперниковой системе отсчета) и что
вследствие этого на все тела, движение которых он рассматривает, в
выбранной им системе отсчета должны действовать силы инерции.
Произведя расчеты, приведенные выше, движущийся наблюдатель
убедится, что если система отсчета (тележка) движется относительно
коперниковой с ускорением j^ то на тело в этой системе отсчета дейст-
действует сила инерции —mj0. Таким образом, движущийся наблюдатель
на опыте подтвердит правильность вывода, который мы сделали умо-
умозрительно в § 77. Однако движущемуся наблюдателю удалось это сде-
сделать так уверенно только благодаря тому, что мы поставили его в особо
благоприятные условия, а именно, мы «позволили» движущемуся на-
наблюдателю пользоваться не только движущейся системой отсчета (в ко-
которой сам наблюдатель покоится), но и «неподвижной» (коперниковой)
системой отсчета, относительно которой движущийся наблюдатель
фиксировал не только самый факт ускоренного движения тележки, но
и измерил величину ускорения.
Обычно же, когда говорят о «неподвижном» и движущемся наблю-
наблюдателях, то имеют в виду, что каждый наблюдатель может пользоваться
только той системой отсчета, в которой он покоится, и не может «за-
«заглядывать» в другие системы отсчета. В таких условиях оказался бы
движущийся наблюдатель, если бы он находился не в открытой тележ-
тележке, а в вагоне с наглухо закрытыми окнами. Тогда этот наблюдатель
мог бы следить за движениями отвеса, но ничего не знал бы о движении
вагона. Не зная, движется ли вагон с ускорением относительно копер-
коперниковой системы отсчета, движущийся наблюдатель не мог бы утвер-
утверждать, что поведение отвеса объясняется действием сил инерции. С та-
таким же основанием он мог бы предложить и другое объяснение: вагон
на рельсах закреплен неподвижно, но к нему справа приблизилась
большая масса, сила тяготения которой и вызвала отклонение отвеса.
Возможность двоякого истолкования поведения отвеса наблюдателем
в вагоне с наглухо закрытыми окнами является следствием эквива-
эквивалентности сил инерции и сил тяготения (к этому вопросу мы еще вер-
вернемся).
Предположение, что вагон жестко закреплен на рельсах, движу-
движущийся наблюдатель должен сделать для того, чтобы большая масса
своей силой тяготения не сообщила вагону такого же ускорения, ко-
которое она сообщает массе отвеса (в этом случае имела бы место компен-
компенсация сил инерции и сил тяготения и отклонение отвеса от вертикали
не наблюдалось бы).
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В рассматрива-
рассматриваемом случае первопричиной ускорения тележки является сила тяготе-
тяготения Земли, действующая на массу М. Между тем в этом случае ника-
никакой компенсации сил инерции и сил тяготения (что характерно для
первичных тел отсчета, ускоряемых силой тяготения) не происходит.
Легко объяснить, почему в рассматриваемом случае не происходит
компенсации сил инерции и сил тяготения: ведь сила инерции направ-

364 СИЛЫ ИНЕРЦИИ ГГЛ. ХП
лена горизонтально, а сила тяготения вертикально, а две взаимно пер-
перпендикулярные силы не могут компенсировать друг друга. Ясна и при-
причина того, почему эти две силы оказались взаимно перпендикулярными.
Сила тяготения Земли сообщает ускорение не непосредственно тележке,
а грузу Му а вызванная силой тяготения Земли сила натяжения нити
F сообщает горизонтальное ускорение тележке. Поскольку ускорение
тележке сообщает непосредственно не сила земного тяготения, а сила
натяжения нити, тележка является не первичным, а вторичным телом
отсчета, а для вторичных тел отсчета компенсация сил инерции и сил
тяготения, вообще говоря, и не должна иметь места.
Отметим в заключение, что примененный способ ускорения тележки
определенным образом отражается на свойствах тележки как вторичного
тела отсчета. Как видно из выражения A2. 15), выбранный способ уско-
ускорения тележки не позволяет сообщить тележке ускорение, превышаю-
превышающее g. Вследствие этого и напряженность поля сил инерции в связан-
связанной с тележкой системе отсчета не может превзойти величины g, а зна-
значит, перегрузка в этой вторичной системе отсчета наступить не может.
Таким образом, хотя рассматриваемая система отсчета является вто-
вторичной, так как на нее кроме сил тяготения действует и другая сила
(натяжения нити), но все же она сохраняет свойство (отсутствие пере-
перегрузок), более характерное для первичных систем отсчета. Так, напри-
например, в первичных системах отсчета, которыми мы пользовались в § 77,
мы не обнаружили перегрузок, т. е. вызванных силами инерции уско-
ускорений, превышающих g. Но, конечно, нельзя утверждать, что такие
перегрузки в первичных системах отсчета принципиально невозможны.
Ведь массивные небесные тела могут сообщать приближающемуся к
нему другому небесному телу ускорение, значительно превышающее
g. И если это последнее небесное тело служит телом отсчета, то в свя-
связанной с ним системе отсчета (но вдали от тела отсчета, чтобы не про-
происходила компенсация сил тяготения и сил инерции) могут наблюдаться
перегрузки.
§ 82. Силы инерции во вращающихся системах отсчета
Перейдем теперь к системам отсчета, вращающимся в коперниковой
системе отсчета вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоро-
скоростью. Опять путем сопоставления движений одного и того же тела
в инерциальной системе отсчета и в системе отсчета, вращающейся
относительно инерциальной, мы должны будем найти выражения для
сил инерции, появляющихся в этом случае. Для наглядности мы в
этом параграфе будем пользоваться вторичными телами отсчета. Одним
из таких тел отсчета будет служить подставка, вращающаяся вокруг
вертикальной оси.
Произведем опыт с отвесами на горизонтальной подставке, вращаю-
вращающейся вокруг оси 00' (рис. 171). При вращении подставки отвесы от-
отклоняются от вертикали, удаляясь от оси вращения. В случае постоян-

! 82]
ВРАЩАЮЩИЕСЯ CHCTFMbI ОТСЧЕТА
365
ной угловой скорости вращения подставки каждый отвес отклоняется
на некоторый угол с^, а2,..., после чего отклонение отвесов прекра-
прекращается. Величина этого отклонения тем больше, чем больше расстояние
от отвеса до оси вращения. Отвес, находящийся на оси вращения, не
отклоняется вовсе.
Выясним, как возникают отклонения отвесов с точки зрения «не-
«неподвижного» наблюдателя. Когда подставка начинает вращаться с уг-
угловой скоростью со,отвес висит вертикально и действующие на него си-
силы — притяжение Земли и натяжение нити — не могут ему сообщить
никаких ускорений в горизонтальной плоскости. Поэтому подставка
вместе с точкой подвеса начи-
начинает уходить от покоящегося
тела отвеса т. Нить натяги-
натягивается сильнее и отклоняется
от вертикали. Появляется со-
составляющая натяжения нити
в горизонтальной плоскости.
Она сообщает ускорение телу
т, и оно начинает принимать
участие в движении подстав-
подставки. Вместе с тем увеличение
натяжения нити вызывает по-
появление и вертикальной со-
составляющей ускорения — те-
тело т начинает подниматься.
Изменения угла отклонения
отвеса прекратятся тогда, ког-
когда тело т приобретет ту же
скорость, что и лежащая под
ним точка подставки, т. е.
будет полностью участвовать во вращении подставки. Если тело
массы т описывает окружность радиуса rt и угловая скорость вра-
вращения равна со, то на тело т должна действовать центростремительная
сила mcoV^. Эта центростремительная сила должна быть равна состав-
составляющей натяжения нити ft в горизонтальном направлении. С другой
стороны, вертикальная составляющая натяжения нити должна урав-
уравновешивать вес тела т. Следовательно, /^sinc^ = mco2^; /icosc^ =
= mg, откуда tgctx = coVj/g; аналогично /2sina2 = mcoV2 и /2cosa2 =
= mg, откуда tg c^ = co2r2/g, т. е. tg a ~ r.
Наблюдатель, находящийся на подставке, объясняет отклонение
отвеса от вертикали появлением сил инерции. Детальное объяснение
того, как возникает отклонение тела т для вращающегося наблю-
наблюдателя, оказывается довольно сложным (из дальнейшего будет ясно
почему). Но при установившемся отклонении отвесов легко найти силы
инерции, действующие на каждое из тел т. Со стороны Земли и нити на
каждое из тел т действуют силы, сумма которых равна mco2r и направ-
171.

366
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XII
лена к центру вращения (так же как для «неподвижного» наблюдателя).
Однако для вращающегося наблюдателя отвесы покоятся, и поэтому
сумма всех сил, действующих на тело т, должна быть равна нулю, и
вращающийся наблюдатель должен считать, что на каждый из отвесов
действует сила, уравновешивающая силы, действующие со стороны
Земли и нити, т. е. сила, направленная от центра и равная mco2r. Это —
так называемая центробежная сила инерции.
Итак, когда для вращающегося наблюдателя тело покоится, этот
наблюдатель должен ввести направленную от оси вращения центро-
центробежную силу инерции mcoV, где т — масса тела, на которое эта сила
действует, со — угловая
скорость вращения наблю-
наблюдателя (относительно «не-
«неподвижной» системы от-
отсчета), г — радиус-вектор.
Но —со2г есть переносное
ускорение той точки вра-
вращающейся системы отсче-
отсчета, в которой находится
тело. В этом случае, так
как тело покоится во вра-
вращающейся системе отсче-
отсчета, «относительное» уско-
ускорение равно нулю, а «аб^
солютное» ускорение равно
Рис. 172 Рис. 173. переносному. Поэтому до-
дополнительное ускорение,
которое нужно прибавить к «абсолютному», чтобы получить «относи-
«относительное», равно coV — переносному ускорению» взятому с обратным
знаком. Сила инерции равна этому дополнительному ускорению, умно-
умноженному на массу тела, и направлена от оси вращения.
Сделав этот вывод, мы можем теперь уже сразу рассматривать
движение тела с точки зрения вращающегося наблюдателя. Это весьма
упрощает решение некоторых вопросов.
Рассмотрим в качестве примера опыт с легким шариком, помещен-
помещенным во вращающуюся шарообразную чашку (рис. 172). При небольшой
угловой скорости вращения чашки шарик лежит на дне. Однако если
угловая скорость чашки достаточно велика, то шарик уже не остается
лежать на дне, а, поднявшись по стенке чашки, вращается вместе с чаш-
чашкой, оставаясь на некоторой определенной высоте, тем большей, чем
больше угловая скорость вращения чашки (рис. 173).
Как объяснит поведение шарика наблюдатель, вращающийся вместе
с чашкой? Шарик — легкий и вместе с тем шероховатый, поэтому силы
трения достаточно велики для того, чтобы увлечь шарик за чашкой. Тогда
можно считать, что, двигаясь вместе с чашкой, шарик нигде не отстает от
вращения чашки (т. е. не скользит по поверхности чашки), а значит,

$ 82] BPAIIIATOUIHFCfl СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 367
покоится во вращающейся системе отсчета. Мы можем представить себе,
что шарик надет (в виде бусины) на вращающуюся проволочную дугу,
по которой он может передвигаться без трения (рис. 174). Для непод-
неподвижного наблюдателя на шарик действуют сила тяжести mgu сила дав-
давления со стороны проволоки N, которая направлена нормально к дуге,
так как трение отсутствует. С точки зрения вращающегося наблюда-
наблюдателя на покоящийся шарик, как и в преды-
предыдущем случае, действует, кроме того, центро-
центробежная сила инерции mcoV, где со — угло-
угловая скорость вращения наблюдателя (чашки). \^ /?|l^v/ mco2r
Состояния равновесия шарика определяются
из условия, что сумма моментов силы тяжести
и силы инерции относительно оси, проходящей
перпендикулярно к плоскости проволоки через
центр дуги О, равна нулю. Из рисунка видно,
что момент силы тяжести Мг = —mg R sin a,
где R — радиус дуги (знак минус взят потому, что момент дей-
действует в направлении, противоположном отклонению). Сила инерции
есть mcoV = mco2/? sin а, и ее момент относительно выбранной оси
равен М2 = mo2/?2 sin a cos а (знак плюс взят потому, что момент
действует в направлении отклонения). Поэтому результирующий
момент есть
M=m<xJR2 s'ma (cosa--^-). A2.16)
Из условия равновесия М = 0 получаем два значения угла, при кото-
которых возможно равновесие: sin a = 0и cos a = g/o2/?. Первое условие
может быть осуществлено при любом со, второе — только при g/o2/? <^
<1, или со2 >g//?. Таким образом, при малых угловых скоростях
существует только одно положение равновесия шарика — в нижней
точке (а = 0). При больших угловых скоростях появляется и другое
положение равновесия, определяемое из второго условия. Угол а, соот-
соответствующий этому положению равновесия, тем больше, чем больше со.
Для того чтобы определить поведение шарика, нужно не только
найти состояние равновесия, но и решить вопрос об устойчивости.
Аналогично тому, что было сказано об устойчивости равновесия в § 29,
если момент сил, возникающих при отклонении от положения равно-
равновесия, возвращает шарик к положению равновесия, то состояние рав-
равновесия устойчиво; в противном случае состояние равновесия неустой-
неустойчиво. Иначе говоря, для устойчивости состояния равновесия необхо-
необходимо, чтобы результирующий момент обеих сил был по знаку противо-
противоположен отклонению от положения равновесия. Из выражения
A2.16) видно, что вблизи положения равновесия а = 0 знак момента
противоположен знаку отклонения при cos a < g/o2i?. Так как мы
рассматриваем малые отклонения от положения а=0, то cos a^l и наше
условие принимает вид g/co2/?>l. Это и есть условие устойчивости

368 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XII
нижнего положения равновесия. Но вместе с тем, как мы видели,
это — и условие существования только одного (нижнего) положения
равновесия. Поэтому, пока существует только одно' нижнее положе-
положение равновесия, оно всегда устойчиво — шарик может в нем нахо-
находиться как угодно долго. При больших оборотах чашки, когда
g/(xJR < 1, появляется другое положение равновесия (cos a = g/co2/?),
а нижнее становится неустойчивым. Таким же образом, как это было
сделано выше, можно убедиться в том, что верхнее положение равно-
равновесия, если оно существует, всегда устойчиво. Поэтому при достаточно
большой угловой скорости шарик сразу переходит из нижнего поло-
положения в верхнее.
Рассмотренный пример является хорошей иллюстрацией преимуществ приме-
применения движущихся систем отсчета. В «неподвижной» системе отсчета мы должны
были бы рассматривать сложные движения и решать трудный вопрос об устойчиво-
устойчивости этих движений.
Задача об устойчивости движения принципиально ставится так же, как задача
об устойчивости состояний равновесия. Положим, что при данных силах и заданных
начальных условиях согласно законам динамики должно происходить какое-то
определенное движение. Однако это еще не значит, что это движение будет происхо-
происходить в действительности. В законах динамики не учитывается то обстоятельство,
что, помимо заданных регулярных сил, рассматриваемое движущиеся тело под-
подвергается различным случайным воздействиям, вследствие которых происходят
небольшие отклонения координат и скоростей тела от тех значений, которые они
должны иметь в соответствии с законами динамики.
Если эти случайно возникшие отклонения координат и скоростей в дальней-
дальнейшем затухают, то истинное движение не отклоняется сколько-нибудь заметно от
того, которое должно происходить согласно законам динамики. Если же эти слу-
случайные отклонения в дальнейшем не затухают, а нарастают, то истинное движение
может, в конце концов, как угодно сильно отличаться от того, которое должно было
бы происходить по законам динамики. В первом случае движение является устой-
устойчивым, а во втором — неустойчивым. Однако решение вопроса о том, является дан-
данное движение устойчивым или неустойчивым, представляет собой весьма сложную
задачу. Применив вращающуюся систему отсчета, мы свели эту задачу к гораздо
более простой — определению устойчивости состояний равновесия.
На тело, которое покоится во вращающейся с постоянной угло-
угловой скоростью системе отсчета, помимо центростремительной силы
(например, натяжения нити) действует центробежная сила инерции.
Отсутствие ускорения у покоящегося тела вращающийся наблюдатель
объясняет тем, что эти силы уравновешивают друг друга. Если же тело
движется относительно вращающейся системы отсчета, то действующая
в этой системе отсчета сила инерции имеет более сложный характер.
Чтобы выяснить характер силы инерции, возникающей в этом слу-
случае, мы должны, как и прежде, найти то дополнительное ускорение,
которое нужно добавить к ускорению в «неподвижной» системе от-
отсчета, чтобы получить ускорение во вращающейся системе отсчета.
Проще всего выглядит эта задача, если тело не обладает ускорением
в «неподвижной» системе отсчета, т. е. покоится или движется пря-
прямолинейно и равномерно. Тогда ускорение во вращающейся системе
отсчета как раз равно интересующему нас дополнительному ускоре-

§82] ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 369
нию. Действительно, на тело не действуют никакие силы со стороны
других тел, и все ускорение во вращающейся системе отсчета есть
ускорение, обусловленное силами инерции.
В случае, когда «абсолютное» ускорение j = 0, «относительное»
ускорение во вращающейся системе отсчета, как это следует из
A2.11),
J — Jc Jky
где/. = — wV — переносное, ajk = 2[&v'] — кориолисово ускорение.
Следовательно, интересующее нас дополнительное ускорение есть
со2г +2 [*>'«>] A2.17)
(вместо изменения знака во втором члене мы изменили порядок сомно-
сомножителей), а сила инерции
/^ = m(co2r +2 [*'«>]). A2.18)
Таким образом, сила инерции в нашем случае состоит из двух час-
частей: первой, зависящей только от угловой скорости вращения, и вто-
второй, зависящей также и от «относительной» скорости. Можно ска-
сказать, что на тело, движущееся во вращающейся системе координат,
действуют сразу две силы инерции. Первая,
Рс = ты2г9 A2.19)
представляет собой уже известную нам центробежную силу инерции,
действующую также и на покоящееся тело во вращающейся системе
отсчета. Вторая,
A2.20)
представляет собой добавочную силу инерции, появляющуюся лишь
тогда, когда тело движется во вращающейся системе отсчета; когда
скорость этого движения v' обращается в нуль, эта сила исчезает. Эта
сила инерции связана, как мы видим, с существованием кориолисова
ускорения, и поэтому ее обычно называют кориолисовой силой инерции.
Нужно, однако, помнить, что кориолисова сила инерции вызывает не то
ускорение 2[<*>©'1, которое называют кориолисовым. а обратное ему
дополнительное ускорение 2[^'<о], которое появляется при переходе
от «неподвижной» к вращающейся системе отсчета.
Мы полагали для упрощения, что в «неподвижной» системе отсчета
тело движется прямолинейно и равномерно. Если же в «неподвиж-
«неподвижной» системе отсчета тело движется с ускорением, то, значит, на него
действуют какие-то силы со стороны других тел. Во вращающейся
системе отсчета эти силы действуют по-прежнему и имеют то же зна-
значение, но к ним добавляются две силы инерции — центробежная и ко-
кориолисова. Сумма всех этих сил должна быть по второму закону Нью-
Ньютона равна произведению массы тела на его ускорение во вращающейся
системе отсчета.

370 СИЛЫ ИНЕРЦИИ ГГЛ. XII
Для пояснения рассмотрим, как и в предыдущих параграфах, ка-
какое-либо движение с точки зрения как «неподвижного», так и движу-
движущегося наблюдателя. В качестве примера воспользуемся моделью,
изображенной на рис. 157, несколько ее дополнив. Ограничимся ради
простоты случаем, когда вдоль штанги тело движется с постоянной
скоростью. Обеспечить это можно, прикрепив к телу соответствующим
образом подобранную пружину (рис. 175), обладающую коэффициен-
коэффициентом упругости k = mco2 (т. е. пружину нужно подобрать под заданную
угловую скорость вращения штанги со). Если пружина не растянута,
когда тело лежит на оси вращения, то в
любой точке между О и В на тело т со
стороны пружины будет действовать на-
направленная к центру сила kr = rrwPr,
где г — расстояние до оси. Это значит,
что в любом положении тела т пружина
сообщает ему как раз такое центростре-
центростремительное ускорение, какое испытывало
Рис 175 бы это тело, вращаясь с угловой скоро-
скоростью со по окружности радиуса г, и тело
т может при любом г оставаться неподвижным на вращающейся штан-
штанге. Если же мы сообщим телу какую-то начальную скорость v' вдоль
штанги, то оно будет двигаться с этой скоростью до конца штанги (мы
предполагаем, что трение отсутствует). Так как для вращающегося
вместе со штангой наблюдателя тело движется прямолинейно и равно-
равномерно, то «относительное» ускорение его равно нулю.
В таком случае, как уже отмечалось выше, «абсолютное» ускорение
есть геометрическая сумма переносного ускорения
направленного к центру, и кориолисова ускорения
направленного нормально к штанге в сторону ее вращения, так как
тело движется от центра. Задача состоит в том, чтобы объяснить про-
происхождение этих ускорений и указать тела, со стороны которых дей-
действуют силы, вызывающие эти ускорения.
Как легко видеть, переносное ускорение как раз равно тому уско-
ускорению, которое сообщает телу растянутая пружина, так как сила, с ко-
которой она действует, равна racoV и направлена к центру. Таким обра-
образом, ту компоненту «абсолютного» ускорения, которая направлена
вдоль штанги, тело получает под действием пружины.
Перейдем теперь к вопросу о происхождении кориолисова ускоре-
ускорения, направленного нормально к штанге. Единственное тело, которое
может сообщать это ускорение, это сама штанга, которая может давить
на тело в направлении, нормальном к штанге. Но для этого штанга
должна быть соответствующим образом изогнута. Для того чтобы сила,

§82] ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 371
действующая на тело со стороны штанги, была направлена в сторону
перемещения штанги — вперед, сама штанга должна быть выгнута
назад. Необходимо, следовательно, объяснить, почему штанга оказы-
оказывается изогнутой.
Чтобы сделать более наглядным происхождение деформаций штанги,
представим себе несколько иную модель, в которой очень гибкая штан-
штанга закреплена только на оси вращения (рис. 176, а). Но тогда сила, с ко-
которой она может давить на тело /п, будет очень мала и не сможет замет-
заметно изменить скорость тела. Между тем, находясь вблизи центра, тело
обладает малой скоростью vm нормальной к штанге, так как расстояние
до оси вращения мало. Если, удаляясь от центра, тело сохраняет ту
малую скорость vm которую оно имело вблизи центра, то оно отстанет
от движения штанги и изогнет ее назад. Механизм возникновения де-
деформации принципиально такой же, как и в примерах, рассмотренных
а)
Рис. 176.
в §§ 35 и 36; разница заключается лишь в том, что после того, как тело
дойдет до конца штанги и остановится, деформация штанги исчезнет.
Если штанга достаточно жестка, то ее деформации, возникающие при
движении, заметить не удастся. Однако эти деформации возникают во
всякой штанге, причем величина этих деформаций в каждый момент
такова, что обусловленная ею сила давления на груз как раз равна
2т[о>©'], т. е. сообщает грузу нужное кориолисово ускорение. Если бы
эта сила была меньше, то груз в направлении, нормальном к штанге,
двигался бы с недостаточным ускорением и штанга изогнулась бы силь-
сильнее. Вместе с тем возросла бы до нужной величины сила, действующая
со стороны штанги на тело /п.
Конечно, при движении тела т по вращающейся штанге деформи-
деформированной оказывается не только штанга, но и само тело. При этом перед-
передняя часть тела оказывается сжатой, а задняя — растянутой (возник-
(возникновение этих деформаций после всего сказанного читатель без труда
объяснит сам). Вследствие этого не только штанга давит на тело, но и
тело давит на штангу с такой же по величине силой, но направленной
в противоположную сторону, т. е. навстречу движению штанги, если
груз движется от центра к периферии. Эта сила, следовательно,
равна —2тЫю'], или 2/п[©'<о].
Кориолисово ускорение, как мы видели, изменяет направление на
обратное при изменении направления относительной скорости v'. Зна-
Значит, когда тело движется по штанге от периферии к центру, то уско-

372
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XII
Рис. 177.
рение, а следовательно, и давление штанги на тело направлены навст-
навстречу движению штанги. А для этого штанга должна быть изогнута
вперед (рис. 176, б). Такая деформация штанги возникает потому, что,
двигаясь к центру, т. е. переходя из области, где ©„больше, в область,
где vn должно быть меньше, тело опе-
опережает штангу и изгибает ее в направ-
направлении ее движения.
В рассмотренной нами модели де-
деформации жесткой штанги малы и
наблюдать их непосредственно невоз-
невозможно. Однако описанную выше кар-
картину можно наблюдать на специальном
демонстрационном приборе, в котором
роль штанги играет резиновая труб-
трубка, а роль движущегося по штанге
тела — текущая по трубке вода (рис.
177). Патрубки, на которые надета
трубка, соединены с двумя концентрическими трубами, служащими
валом прибора. При помощи фланца, не препятствующего вращению
вала, эти трубы соединяются с неподвижными трубками, через которые
вода подводится к прибору и отводится от него. Таким образом можно
пропускать воду через резиновую трубку при вращении прибора.
Чтобы иметь возможность наблюдать форму трубки при быстром
вращении, применяется стробоскопическое освещение. Трубка благо-
благодаря этому кажется неподвижной, и форма ее хорошо видна. Если при-
привести прибор во вращение, не
пропуская воды по трубке, то
последняя остается прямой
(пунктирные линии на рисун-
рисунке). При пропускании воды
трубка изгибается тем силь-
сильнее, чем быстрее вращение и
ток воды. При изменении на-
направления вращения или на-
направления течения воды труб-
трубка изгибается в другую сторону. Так как трубка изогнута, то, зна-
значит, вода давит на трубку, а трубка в свою очередь давит на воду и со-
сообщает частицам воды нужное кориолисово ускорение.
Итак, для «неподвижного» наблюдателя, как это и должно быть,
ускорения тела на штанге обусловлены действием других тел. Возвра-
Возвращаясь к модели, изображенной на рис. 175, мы можем теперь утвер-
утверждать, что центростремительное ускорение /с телу сообщает сила /с,
действующая со стороны пружины, а кориолисово ускорение jk —
сила fki действуюшая со стороны изогнутой штанги (рис. 178).
Посмотрим теперь, как объяснит всю картину наблюдатель, вращаю-
вращающийся вместе со штангой. Так как тело движется относительно штанги
Рис. 178.

5 82] ВРАЩАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 373
с постоянной скоростью, то для вращающегося наблюдателя оно дви-
движется прямолинейно и равномерно (для него штанга неподвижна).
Между тем на тело действуют сила fc со стороны пружины и fk со сторо-
стороны штанги (эти силы, действующие со стороны одних тел на другие,
одинаковы во всех системах координат). Чтобы объяснить, почему, не-
несмотря на действие этих сил, тело все же движется прямолинейно и
равномерно, движущийся наблюдатель вводит силы инерции: центро-
центробежную fc, направленную от центра и уравновешивающую натяжение
пружины, и fa, направленную в сторону, противоположную кориоли-
сову ускорению, и уравновешивающую давление штанги.
С точки зрения вращающегося наблюдателя можно сказать, что ко-
риолисова сила инерции прижимает тело к штанге и вызывает изгиб
штанги. При этом, однако, нужно иметь в виду, что так же, как и сила,
с которой тело тянет пружину, вовсе
не есть центробежная сила инерции, т
давление тела на штангу — это bob- vJjrH "*^ \ V ^Г
се не кориолисова сила инерции. & ^^ Ь'
Силы, действующие со стороны те- °
ла на пружину и штангу, — это Рис 179.
«обычные» силы, действующие со сто-
стороны одного тела на другое и обусловленные тем, что движущееся
по штанге тело оказывается деформированным. Но возникновение этой
деформации вращающийся наблюдатель объясняет действием на те-
тело кориолисовой силы. Здесь дело обстоит совершенно так же, как,
например, в случае тяжелого тела, лежащего на подставке. На подстав-
подставку действует не притяжение Земли, а деформированное тело. Но тело
оказалось деформированным потому, что на него действует сила тяжести.
В разобранном примере направления центробежной и кориолисо-
кориолисовой сил инерции не совпадают. Но когда тело во вращающейся си-
системе само вращается вокруг той же оси, что и система координат, ко-
риолисово ускорение направлено также к оси вращения или от нее,
в зависимости от направления вращения (§ 79). В этом случае и кориоли-
кориолисова сила инерции либо совпадает по направлению с центробежной,
либо направлена ей навстречу. Приведем и для этого случая рассмот-
рассмотрение с точки зрения «неподвижного» и вращающегося наблюдателей.
Пусть тело массы /п, прикрепленное на нити к точке О, вращается
вокруг этой точки с угловой скоростью со относительно «неподвижной»
системы координат. Другая система координат вращается вокруг той
же точки О с угловой скоростью ш0 относительно «неподвижной»
(рис. 179). Для определенности положим, что со и соо направлены в одну
сторону и со> со0. Для «неподвижного» наблюдателя на тело массыт дей-
действует натяжение нити fc — racoV, которое и сообщает телу центростре-
центростремительное ускорение, необходимое для вращения с угловой скоро-
скоростью со.
Для вращающегося наблюдателя угловая скорость тела есть со — соо,
а линейная скорость v' = (со — щ)г. Следовательно, для него сумма

374
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
ГГЛ. Xil
сил, действующая на тело, должна быть равна /' = —• т(со — щJг и
направлена к центру. Эта сумма составляется из направленной к
центру силы натяжения нити fc = — mcoV, направленных от центра
Рис. 180.
Рис. 181.
центробежной силы f'c = m(ogr и кориолисовой силы f* — 2ти'щ =
= 2т (со—соо)гсоо. Сопоставляя значения fC9 f'c и /*, можно убедиться,
что действительно
В случае, когда о)о>о)И они направлены по-прежнему в одну сто-
сторону, линейная скорость v' меняет знак. Вместе с тем меняет знак и ко-
риолисова сила f'k — она будет в этом случае направлена к центру
(рис. 180). В частности, когда тело покоится в неподвижной системе
координат (со = 0), кориолисова сила f'k =
— — 2/ncoV направлена к центру и по величине
вдвое больше центробежной. Если система
координат вращается в сторону, противопо-
противоположную вращению тела, то кориолисова сила
f'k также направлена к центру (рис. 181).
Мы рассматривали до сих пор случаи, ког-
когда скорость тела во вращающейся системе ко-
координат ю[ лежит в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к угловой скорости вращения системы
координат. Но, так же как и для кориолисова
ускорения, полученное нами выражение для
кориолисовой силы справедливо и тогда, ког-
когда это условие не соблюдается. Например,
если точка движется прямолинейно в «непод-
«неподвижной» системе координат, то в системе координат, вращающейся
вокруг оси, параллельной направлению движения точки, ее движе-
движение будет происходить по винтовой линии (рис. 182). Поэтому ско-
скорость во вращающейся системе координат ©' не будет параллельна
оси вращения и кориолисова сила будет существовать.
На плоскости, перепендикулярной к оси вращения и вращающейся
вместе с наблюдателем с угловой скоростью со0, проекция движущейся
точки будет вращаться с угловой скоростью соо. Проекция кориолисовой
силы/^ при этом, как мы уже знаем, равна —2/псооГ и направлена к оси
вращения. Так как сама кориолисова сила \'и направлена тоже к
оси вращения и параллельна проекции f'k9 то по величине они будут
равны.
Рис. 182.

§ 83] ДВИЖЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ 375
§ 83. Движения на поверхности Земли
При рассмотрении движений на поверхности Земли в качестве тела
отсчета естественно принимать Землю (таким образом, мы возвра-
возвращаемся к первичным телам отсчета). Связанная с Землей система от-
отсчета участвует в суточном и годовом движениях Земли и поэтому не яв-
является инерциальной. Так как Земля относительно «неподвижной»
системы отсчета вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца, нужно
было бы ввести силы инерции, обусловленные ускорениями и суточного,
и годового движений.
Однако силы инерции, обусловленные вторым ускорением, обычно
не приходится учитывать, и вот почему. Так как размеры Земли малы
по сравнению с расстоянием до Солнца, то всем телам на Земле
Солнце сообщает примерно одинаковое ускорение — такое же, какое
оно сообщает самой Земле. Другими словами, Солнце действует на вся-
всякое тело массы т на Земле с силой, примерно равной mjf где/— центро-
центростремительное ускорение Земли в ее годовом движении.
При этом, как подробно было показано выше (§ 77), наступает ком-
компенсация сил тяготения Солнца и сил инерции, действующих в системе
отсчета, связанной с Землей (вследствие того, что Земля испытывает
ускорение под действием сил тяготения Солнца). Однако это справед-
справедливо лишь постольку, поскольку можно пренебречь разницей в расстоя-
расстояниях от Солнца до центра Земли и до рассматриваемой точки на ее по-
поверхности. Но так как эти расстояния различны? то сила притяжения
Солнца на обращенной к Солнцу стороне Земли больше, а на про-
противоположной — меньше, чем центробежная сила инерции, обуслов-
обусловленная обращением Земли вокруг Солнца. Это вызывает на Земле
приливные явления, которые будут описаны позже (§ 86). Если же
пренебречь приливными явлениями, то можно считать, что сила притя-
притяжения Солнца как раз уравновешивается центробежной силой инер-
инерции, которая обусловлена ускорением, сообщаемым Солнцем Земле и
направленным к Солнцу. Поэтому, например, сила притяжения Солнца
не сказывается на результатах взвешивания тел на пружинных весах.
Показания весов днем, когда притяжение Солнца направлено против
притяжения Земли, и ночью, когда они направлены в одну сторону,
оказываются одинаковыми1).
Все сказанное относится не только к Солнцу, но и ко всем вообще
небесным телам, в частности к Луне. Поэтому при помощи пружинных
весов и вообще динамометров на Земле нельзя обнаружить притяже-
г) С точки зрения «неподвижного» (внеземного) наблюдателя одинаковый вес
тел днем и ночью объясняется тем, что Солнце не только притягивает взвешиваемое
тело с силой /и/, но и сообщает Земле ускорение, направленное в ту же сторону.
Происходит то же самое, что и при взвешивании тел в ускоренно движущемся лифте
(§ 41) Днем «лифт» имеет ускорение вверх, а ночью — вниз. В обоих случаях из-
изменения в показаниях весов, вносимые этим ускорением, как раз компенсируют
притяжение Солнца.

376
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XII
ния других небесных тел, кроме Земли, хотя само по себе притяжение
это (например, в случае Солнца) вовсе не мало и легко могло бы быть
обнаружено, если бы оно действовало только на взвешиваемое тело, но
не на Землю. Приливные же силы, обусловленные разницей в расстоя-
расстояниях до центра Земли и до взвешиваемого тела, как будет показано,
гораздо меньше самих сил притяжения.
Что касается кориолисовой силы, обусловленной вращением Земли
вокруг Солнца, то вследствие малой угловой скорости этого вращения
в большинстве задач ею можно пренебрегать1). Таким образом, кроме
-силы земного притяжения достаточно ввести только силы инерции,
обусловленные суточным движе-
движением Земли, именно, центробеж-
центробежную силу fc = гасо?/", где г — ра-
радиус-вектор, проведенный от
земной оси, и кориолисову силу
fk — 2га IVo], где v' — скорость
движения тела относительно Зем-
Земли (рис. 183); fc направлена по
радиусу вращения от оси, fk
всегда лежит в плоскости па-
параллельного круга данной точ-
точки Земли, но может быть на-
направлена различно, в зависимо-
зависимости от направления v'.
рис 183, Если тело покоится на Земле,
то на него действует только цент-
центробежная сила инерции. Этой силой земной наблюдатель объясняет
уменьшение веса тел (уменьшение натяжения подвеса) с приближе-
приближением к экватору и отклонение отвеса от вертикали по направлению к
экватору. Вертикальная составляющая центробежной силы fc, умень-
уменьшающая натяжение подвеса на широте ф, равна
fc cos у = тщг cos ф = гао)^ cos2 ф. A2.21)
Она увеличивается с приближением к экватору, и поэтому вес (натя-
(натяжение подвеса) уменьшается. Горизонтальная составляющая центро-
центробежной силы fc, отклоняющая отвес к экватору, равна
fc sin ф = mcolr sin ф=тщЯ cos ф sin ф = -~- пкщЯ sin 2ф. A2.22)
Она достигает максимума при ф = 45" и на экваторе снова падает до
нуля.
г) Отношение кориолисовой силы к центробежной равно 2с//со0/ш02г=2с/7с0,
где v0—линейная скорость движения Земли по орбите; пока скорости v', с которыми
мы имеем дело на поверхности Земли, гораздо меньше линейной скорости Земли
(которая составляет около 30 км/сек)> влияние кориолисовой силы гораздо меньше,
чем центробежной.

83]
ДВИЖЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
377
При движении тел относительно Земли для земного наблюдателя
появляется также кориолисова сила, которой объясняется ряд харак-
характерных явлений. Прежде всего, кориолисовой силой с точки зрения
земного наблюдателя объясняется вращение
плоскости качаний маятника Фуко. Если сно-
снова (см. §27) рассмотреть воображаемый опыт
Фуко на северном полюсе, то скорость маятни-
маятника (при большой длине подвеса) можно счи-
считать все время перпендикулярной к земной
оси, т. е. v' и ш0 взаимно перпендикулярны и
кориолисова сила равна
Она лежит в горизонтальной плоскости, пер- (л>о
пендикулярна к v' и направлена по правилу Рис. 184.
буравчика, т. е. вправо, считая по направлению
движения маятника (рис. 184). Под действием этой силы скорость vr
все время отклоняется вправо, и маятник вычерчивает розетку, изо-
изображенную (в утрированном виде) на рис. 184. Плоскость качаний
маятника вращается относительно Земли в направлении часовой
стрелки и делает один оборот в сутки. Если же опыт делается не
на полюсе, а на широте ф (рис. 185), то горизонтальную составляю-
составляющую кориолисовой силы fk.v получим, взяв проекцию вектора о>0 на
направление вертикали данного ме-
места. Эта проекция равна (о08тф, и
горизонтальная составляющая корио-
кориолисовой силы
На полюсе, где действующая на маят-
маятник кориолисова сила вся лежит в
горизонтальной плоскости и равна
fk = 2mu'coo, плоскость качаний вра-
вращается с угловой скоростью 2зх
Рис. 185. рад/сутки; на широте ф, где горизон-
горизонтальная составляющая кориолисовой
силы меньше в отношении БШф : 1, вращение будет происходить со
скоростью 2я sin ф рад/сутки. На экваторе (рис. 185) кориолисова си-
сила, перпендикулярная к со0, направлена по вертикали; поэтому fk.i =
= 0 и не может вызвать поворота плоскости качаний г).
Для того чтобы выяснить одну деталь в характере движения маятника Фуко,
вернемся снова к опыту на полюсе. Мы предполагали, что колебания маятника
х) Выше (в § 27) мы нашли зависимость угловой скорости вращения плоскости
качаний маятника Фуко от широты места, разложив на две составляющие угловую
скорость вращения Земли. Здесь мы получили тот же результат более наглядно,
разложив на две составляющие кориолисову силу.

378
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
Ггл. хи
Рис. 186.
вызваны начальным толчком, подействовавшим на отвесно висящий маятник. В
этом случае в крайних точках скорость маятника для «неподвижного» наблюдателя
будет равна нулю. Поэтому для земного наблюдателя скорость маятника и в этих
точках направлена по касательной к окружности, охватывающей розетку, а корио-
лисова сила направлена к полюсу — розетка в
этих точках касается окружности (рис. 184).
Однако в реальном опыте маятнику сообщается
не начальная скорость, а начальное отклонение
(маятник оттягивают нитью, а затем нить пе-
пережигают). Поэтому вначале, и всякий раз в
крайней точке, скорость маятника для земного
наблюдателя (а не для «неподвижного», как в
первом случае) равна нулю. Следовательно, и
кориолисова сила в этих точках равна нулю.
В конце движения туда и в начале движения
обратно направления скорости маятника совпа-
совпадают. Розетка не касается окружности, а имеет
на окружности точки заострения (рис. 186).
Кориолисовой силой объясняется еще ряд
особенностей движений, происходящих на Зем-
Земле. Например, на движущийся по рельсам поезд
должна действовать кориолисова сила. Горизон-
Горизонтальная составляющая кориолисовой силы в
северном полушарии прижимает реборды колес к
внутренней стороне правого (по движению поезда) рельса. Поэтому на двухпутных
линиях правый рельс стирается изнутри. (При однопутном движении в обе стороны
проходит примерно одинаковое число поездов и оба рельса стираются одинаково.)
С точки зрения внеземного наблюдателя, когда поезд, двигаясь по меридиану
от северного полюса к экватору, перемещается по рельсам, участвующим во вращении
Земли, линейная скорость рельсов, обуслов-
обусловленная вращением Земли и направленная с
запада на восток, все время возрастает; пра-
правый рельс стирается потому, что рельсы,
участвуя в движении Земли, «уходят» из-под
поезда" влево и правый рельс прижимается к
реборде колеса.
Кориолисовой силой с точки зрения зем-
ного наблюдателя объясняется и характер
берегов рек. У рек в северном полушарии
правый берег обычно бывает более крутой и
подмытый, чем левый (закон Бера). Кориоли-
Кориолисова сила прижимает воду к правому берегу,
и вода подмывает берег. Точно так же объясняются искривления направлений по-
постоянных ветров, дующих с севера на юг и с юга на север (пассатные ветры).
Кориолисовой силой обусловлено также и отклонение падающих тел к востоку
(рис. 187). В случае, изображенном на рисунке, с точки зрения движущегося вместе
с Землей наблюдателя, на падающее тело действует кориолисова сила, направлен-
направленная-от чертежа к наблюдателю, т. е. к востоку. Она и вызывает отклонение падающего
тела от вертикали (оно упадет не в точку С, а в С). Для «внеземного» наблюдателя,
покоящегося относительно Солнца и звезд (для которого кориолисовой силы не су-
существует), отклонение объясняется тем, что покоящееся относительно Земли тело
имеет в момент начала падения горизонтальную скорость, обусловленную вращением
Земли и направленную к востоку. Эта скорость больше, чем обусловленная той же
причиной скорость точки С, находящейся на той же вертикали на поверхности
Земли (так как у первой радиус вращения на h больше). При свободном падении тело
сохраняет горизонтальную скорость, которую оно имело в момент начала падения,
л поэтому опережает ту точку Земли, над которой оно находилось в начале падения.
Рис. 187.

§ 841 НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 379
§ 84. Неинерциальные системы отсчета
и законы сохранения
Введение сил инерции позволило сохранить неизменным второй закон Ньютона
и вытекающие из него уравнения движения. Но зато появились силы инерции, к
которым третий закон Ньютона неприменим.
Из этого вытекает принципиально важное следствие. В неинерциальных системах
отсчета не существует замкнутых систем тел. Силы инерции для всякой ограни-
ограниченной системы тел являются внешними. Отсюда ясно, как обстоит дело с законами
сохранения в неинерциальных системах отсчета. Второй закон Ньютона в них
справедлив, и поэтому справедливы и Dee вытекающие из него следствия. Но все
следствия, которые вытекают из применения второго закона Ньютона к замкнутым
системам тел, не применимы в неинерциальных системах отсчета. Из второго за-
закона Ньютона вытекает, что производная общего импульса системы тел равна сумме
внешних сил, действующих на систему. Это остается справедливым и в неинерци-
неинерциальных системах отсчета, но в число внешних сил должны быть включены и силы
инерции, действующие на все тела системы.
Далее, из второго закона Ньютона вытекает, что изменение полной энергии
системы тел (в отсутствие сил трения) равно работе внешних сил, действующих на
тела системы. Это также остается справедливым для неинерциальных систем от-
отсчета, но должна быть учтена работа всех сил инерции. Наконец, то же самое можно
сказать и о моменте импульса системы тел: производная от момента импульса
системы тел равна сумме моментов внешних сил, в том числе и моментов всех сил
инерции.
Поясним все сказанное на классическом примере с камнем, падающим на Землю х).
Сумма импульсов камня и Земли для «неподвижного» (внеземного) наблюдателя ос-
остается посгоянной, так как камень и Земля представляют собой замкнутую систему
тел. Обозначим массы камня и Земли через т и М соответственно. Тогда между
ускорениями и скоростями камня и Земли для внеземного наблюдателя будут су-
существовать соотношения
где f /вд, v , Vjfl — ускорения и скорости камня и Земли соответственно по отноше-
отношению к «неподвижной» системе отсчета. Для наблюдателя, связанного с Землей,
ускорение камня будет Jm+/A1, ускорение Земли — нуль и соответственно скорости
будут vm+vM и нуль. Следовательно, общий импульс системы камень — Земля для
земного наблюдателя равен т {рт+ v^y или (M+m)vM (так как vm/vM = М/т). С
другой стороны, так как Земля обладает ускорением —jM по отношению к «неподвиж-
«неподвижной» системе координат, то для земного наблюдателя существуют силы инерции,
направленные навстречу —jM. На камень действует сила инерции mjM и на Землю —
сила инерции М)м. Сумма этих сил равна (M+m)jMt a
? (М + т) vM = (М + т) jM,
т. е. производная от полного импульса системы для земного наблюдателя равна
сумме внешних сил, действующих на тела системы. В рассматриваемом случае внеш-
внешними силами являются силы инерции, действующие на камень и Землю.
Тот же результат получится и для наблюдателя, связанного с камнем. Для нега
ускорение камня равно нулю, а ускорение Земли jm+jM и скорость Земли vm+ vM.
*) Вращение Земли в рассматриваемом примере не играет роли и мы его не
учитываем.

380 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ. XII
Общий импульс системы камень — Земля для наблюдателя, связанного с камнем,
равен Л4(ит+аД1) или (М + m)vm (так как vm/vM = М/т). С другой стороны, наблю-
наблюдатель, падающий с камнем, должен ввести силы инерции. Так как его ускорение
(относительно «неподвижной» системы координат) есть —/w, то он должен ввести
силы инерции: m/m, действующую на камень, и Mjm, действующую на Землю. Сумма
этих сил равна (Af+m)/m, и
т. е. опять производная импульса системы камень — Земля равна сумме дейст-
действующих сил инерции. Весь импульс система приобретает благодаря действию сил
инерции.
Теперь посмотрим, как с точки зрения наблюдателя, падающего с камнем, об-
обстоит дело с энергией системы камень — Земля.
Потенциальная энергия системы камень — Земля будет одинакова для
наблюдателей, так как она зависит только от расстояния между камнем и Землей.
Поэтому ее изменения мы можем для упрощения подсчитать с точки зрения непод-
неподвижного наблюдателя. На основании закона сохранения энергии, который справед-
справедлив для замкнутой системы камень — Земля (для «неподвижного» наблюдателя
система камень—Земля замкнута), можно утверждать, что уменьшение потенци-
потенциальной энергии равно увеличению кинетической, т. е. уменьшение потенциальной
энергии
А,; = ^т
Это изменение потенциальной энергии одинаково для всех наблюдателей.
Полная кинетическая энергия системы для наблюдателя, связанного с камнем,
будет равна кинетической энергии Земли, движущейся со скоростью vm+vM, т.е.
1 Mv*
Появление только малой части этой огромной энергии наблюдатель, связан-
связанный с камнем, объяснит убылью потенциальной энергии на величину Д1/. Для наб-
наблюдателя, связанного с камнем, появится огромный избыток кинетической энергии
над убылью потенциальной. Он будет равен
^ J5
или, так как vm/vM=M/my можем написать mv%n/2=MvmvM/24 и
С другой стороны, на Землю действует сила инерции Mjm (так как ускорение наблю-
наблюдателя, связанного с камнем, относительно «неподвижной» системы отсчета рав-
равно —jm). Вместе с тем для наблюдателя, связанного с камнем, за время t Земля прой-
пройдет путь s=(vM+vm)t/2. Работа силы инерции MJm на этом пути
Л = М]т (vm + vM) L = _ м (vm + vM) vm

§85] СИЛЫ ИНЕРЦИИ И ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 381
как раз равна Т — Д?/ — избытку кинетической энергии систедмы над потен-
потенциальной. Весь огромный избыток энергии системы, оцениваемой наблюдателем,
связанным с камнем, объясняется работой сил инерции, действующих на систему
камень — Земля.
Полученные нами результаты совершенно понятны. Поскольку для неинерциаль-
ных систем отсчета силы инерции играют такую же роль, как и «обычные» силы,
они так же могут изменять импульс системы и, совершая работу, изменять энергию
системы.
Точно так же в вопросе о происхождении деформаций силы инерции для дви-
движущегося наблюдателя играют такую же роль, как и «обычные» силы. Чтобы объяс-
объяснить происхождение деформаций, как уже указывалось, необходимо установить,
как двигались различные части деформирующегося тела и как эти движения привели
к возникновению деформации. При рассмотрении движений различных частей тела
движущийся наблюдатель должен учитывать силы инерции, которые действуют на
все тела.
Если речь идет о статических (с точки зрения движущегося наблюдателя) де-
деформациях, то для того, чтобы «объяснить» эти деформации силами, движущийся
наблюдатель должен учитывать и силы инерции. Например, в случае тела, ускоря-
ускоряемого пружиной (рис. 78), для наблюдателя, движущегося вместе с телом, дефор-
деформации тела являются статическими. Чтобы объяснить происхождение этих дефор-
деформаций, движущийся наблюдатель должен учесть, что на все элементы тела действуют
силы инерции. Он объяснит происхождение деформации совершенно аналогично
тому, как «неподвижный» наблюдатель объясняет происхождение деформации не-
неподвижного тела, находящегося под действием силы тяжести.
§ 85. Силы инерции и общий принцип относительности
Мы применяли неинерциальную систему отсчета — «земную невра-
щающуюся» — и обнаружили, что в этой системе отсчета, движущейся
относительно коперниковой поступательно с постоянным ускорением,
действуют во всех точках одинаковые по величине и направлению силы
инерции. Если постоянное ускорение этой системы отсчета в коперни-
коперниковой системе равно а, то сила инерции, действующая в любой точке этой
системы отсчета, равна —та, где т — это масса тела, на которое сила
инерции действует. Напомним, что это выражение мы получили (§ 77),
исходя из второго закона Ньютона; поэтому масса m в выражении для
силы инерции есть та же масса, которая фигурирует во втором законе
Ньютона, т. е. инертная масса тела.
Свойства системы отсчета, движущейся с постоянным ускорением
относительно коперниковой, представляют особый интерес с точки
зрения теории относительности. Специальная теория относительности
рассматривает системы отсчета, движущиеся прямолинейно и равномер-
равномерно относительно коперниковой; переход к системам отсчета, движу-
движущимся с постоянным ускорением относительно коперниковой, очевид-
очевидно, представляет собой следующий шаг, дающий возможность пере-
переступить границы специальной теории относительности. И этот шаг
сразу привел Эйнштейна к новым и важным выводам. Чтобы стало по-
понятным их содержание и значение, необходимо начать с более деталь-
детального рассмотрения свойств системы отсчета, движущейся поступатель-
поступательно с постоянным ускорением относительно коперниковой.

382 силы инерции 1гл. хн
Так как в равномерно ускоренной системе отсчета действуют во всех
точках одинаковые силы инерции, то значит, поле сил инерции, возни-
возникающих в равномерно ускоренной системе отсчета, является однород-
однородным: на тело массы т в любой точке пространства действует сила
—та, где а — ускорение системы отсчета относительно коперниковой,
am — инертная масса тела. Представим себе теперь, что возможно соз-
создать однородное поле тяготения, напряженность которого во всех телах
равна —а. Тело массы т в этом поле будет двигаться под действием
силы —т'ау где т' — тяжелая масса тела т. Уже грубые опыты, как
мы упоминали, показывают, что инертная и тяжелая массы од-
одного и того же тела равны друг другу. Однако для того, чтобы сделать
те важные выводы, о которых мы упо-
упоминали, нужно знать, насколько точ-
точно совпадают между собой инертная и
тяжелая массы данного тела. Если эти
массы лишь приблизительно равны,
то это может быть случайным совпа-
совпадением, причину которого искать не
имеет смысла. Но если при повыше-
повышении точности опытов результаты их
будут показывать, что расхождение
между инертной и тяжелой массой
тела становится все меньше и меньше,
Рис. 188. то все менее и менее вероятным пред-
представляется это «случайное совпаде-
совпадение». В таком случае единственно правдоподобным является предпо-
предположение, что тождество инертной и тяжелой масс—это не случай-
случайность, а закономерность; но тогда возникает необходимость эту зако-
закономерность объяснить.
Поэтому, прежде чем двигаться дальше, следует проанализировать
вопрос о том, насколько точно соблюдается равенство между тяжелой
и инертной массой тел. Наиболее точный ответ на этот вопрос могут
дать сопоставления моментов сил инерции и сил тяготения, действую-
действующих на крутильные весы. Такой опыт впервые был произведен Этве-
шем. Если в какой-либо точке земного шара подвешены крутильные
весы (рис. 188), то на каждое из покоящихся тел тг и /л2, укрепленных
на концах коромысла весов, действуют силы тяготения Земли fnl и \пь
направленные к центру Земли, а так как Земля вращается, то дейст-
действуют и центробежные силы инерции /с1 и /с2, направленные от оси вра-
вращения Земли по радиусам параллельного круга, на котором располо-
расположены массы 1щ и /л2. Так как силы тяготения Земли пропорциональны
тяжелым массам тех тел, на которые они действуют, то /;il ~ т\ и
fn2 r^ tri27 где т[ и т'2 — тяжелые массы тел тх и /л2. С другой стороны,
силы инерции пропорциональны инертным массам тех тел, на которые
эти силы действуют, т. е. fcl ~ т\ и fc2 ~ т\, где т" и т\ — инерт-
инертные массы тел тх и т2.

§ 85] СИЛЫ ИНЕРЦИИ И ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 383
Этвеш укреплял на концах коромысла два шара, изготовленных из
различных материалов, но имеющих одинаковую тяжелую массу, т. е.
ml = m'2. В таком случае должно быть fnl — fn2 и под действием этих
сил коромысло должно покоиться в горизонтальном положении. Но
кроме сил тяготения на тела тг и т2 действуют еще силы инерции fcl и
fc2, и чтобы коромысло находилось в состоянии равновесия, должны быть
равны равнодействующие силы (fnx+ fcl) и (fn2 +/c2), действующие
на оба тела. Если бы инертные массы т\ и mi не были равны, то не были
бы равны силы fcl и /с2, а значит, не были бы равны и равнодействую-
равнодействующие силы (/л1+ fa) и (fn2 +fC2)- В таком случае на коромысло весов
действовал бы вращающий момент, который может быть обнаружен
по повороту коромысла и закручиванию нити подвеса. Однако, несмо-
несмотря на то, что в опыте применялись самые разнообразные материалы,
при равенстве тяжелых масс тел т\ и /иг поворот коромысла и закру-
закручивание нити подвеса никогда не наблюдались. Чувствительность уста-
установки была столь велика, что относительное различие инертных и тя-
тяжелых масс на 1 • 10~8 было бы обнаружено.
Высокая чувствительность метода Этвеша позволила ответить еще
на один вопрос. Как было показано в § 31, по крайней мере часть инерт-
инертной массы всякого тела обусловлена внутренней энергией тела. В связи
с этим возник вопрос, распространяется ли на эту часть инертной массы
утверждение о равенстве инертной и тяжелой масс. Если бы на эту часть
инертной массы, которая обусловлена внутренней энергией тела, не
распространялось утверждение о равенстве инертной и тяжелой масс,
то различие между ними было бы заметно в телах, обладающих боль-
большой внутренней энергией, в частности в радиоактивных телах. Однако
опыт Этвеша, повторенный Саузернсом с радиоактивными веществами,
дал тот же результат: никакого различия между тяжелой и инертной
массой не было обнаружено. Значит, и та часть инертной массы,
которая обусловлена внутренней энергией тел, обладает равной ей
гравитационной массой. Опыт Этвеша был повторен Дикке в 1961 г.,
причем точность была улучшена до 1 • 10 и. С этой точностью никаких
различий между инертной и тяжелой массой обнаружено не было.
Установленный на опыте факт равенства тяжелой и инертной масс
Эйнштейн не только объяснил, но и сделал из него важный вывод, к ко-
которому он пришел с помощью следующих соображений. Рассмотрим
две системы отсчета: коперникову систему /С, свободную от полей тяго-
тяготения, и систему /С', движущуюся относительно коперниковой с посто-
постоянным ускорением а. Свободные тела, достаточно удаленные друг от
друга, в коперниковой системе не будут обладать ускорениями, а в сис-
системе К все эти тела будут обладать равными по величине и параллель-
параллельными по направлению ускорениями —а (поскольку в системе К они
не обладают ускорениями). Объяснить происхождение ускорения —а
мы сможем, считая, что система /С' не обладает ускорением относитель-
относительно коперниковой, но что в системе К' существует однородное поле
тяготения, сообщающее всем телам ускорение —а.

384 силы инерции [гл. хн
Возможность такого двоякого объяснения непосредственно связа-
связана с фактом равенства тяжелой и инертной масс, так как в одном слу-
случае тело находится под действием силы тяготения, и, значит, движение
его определяется величиной тяжелой массы, а в другом — под дейст-
действием силы инерции, и, значит, движение его определяется величиной
инертной массы, но при этом оба случая физически ничем не отличают-
отличаются друг от друга. Численное равенство инертной и тяжелой масс объяс-
объясняется, таким образом, единством их природы.
Двоякая возможность объяснения движений свободных тел в систе-
системе К' позволяет сформулировать общее положение, которое получи-
получило название принципа эквивалентности: коперникова система отсчета,
в которой действует однородное поле тяготения, сообщающее всем сво-
свободным телам одинаковое ускорение а, эквивалентна системе отсчета,
свободной от поля тяготения, но движущейся относительно копернико-
вой поступательно с ускорением —а. Из принципа эквивалентности
сразу следует сделать важный вывод. Можно расширить границы тео-
теории относительности и ввести в рассмотрение системы отсчета, дви-
движущиеся равноускоренно относительно коперниковой; но при этом ока-
окажется необходимым рассматривать поля тяготения, эквивалентные
полям инерции равноускоренных систем отсчета.
Однако теория тяготения Ньютона не может быть включена в теорию
относительности, так как эти обе теории несовместимы, и вот почему.
В теории Ньютона предполагается, что поля тяготения распространя-
распространяются мгновенно, поскольку в теории тяготения Ньютона в выражения,
определяющие напряженности полей тяготения, входят расстояния от
тяготеющих масс, но никак не учитываются времена, за которые поля
тяготения распространяются на то или другое расстояние. Это значит,
что теория тяготения Ньютона исходит из представления о том, что поля
тяготения распространяются с бесконечно большой скоростью. Между
тем одно из основных положений теории относительности состоит в том,
что никакое действие (никакой «сигнал») не может распространяться
со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.
Поэтому потребовалось развить теорию тяготения, которая нахо-
находилась бы в согласии с указанным выше положением теории относи-
относительности. Эту теорию тяготения (релятивистскую теорию тяготения)
создал Эйнштейн. Однако изложение этой теории требует специального
математического аппарата (тензорного исчисления). Поэтому, не излагая
общей теории относительности, мы все же рассмотрим те, пока немно-
немногие, факты, которые подтверждают эту теорию. Это нам нужно потому,
что представления о силах инерции нуждаются в освещении с точки
зрения общей теории относительности; но это будет поучительно только
при условии, что читатель представляет себе, на каких фактах основы-
основывается эта теория.
Следует сразу же отметить, что, в отличие от специальной теории
относительности, общая теория относительности не является закон-
законченной, а тем более надежно подтвержденной фактами теорией. Пока

§ 85] СИЛЫ ИНЕРЦИИ И ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 385
наблюдениями добыты только три факта, подтверждающих выводы,
вытекающие из общей теории относительности.
Первый из этих выводов был получен Эйнштейном в результате рас-
распространения приведенного выше принципа эквивалентности полей
инерции и тяготения на явление распространения света. Представим
себе, что наблюдатель, движущийся в коперниковой системе отсчета
ускоренно вверх, наблюдает распространение луча света в горизон-
горизонтальном направлении. В результате ускоренного движения вверх наб-
наблюдатель обнаружит отклонение луча вниз от прямолинейного направ-
направления, в котором распространялся бы луч, если бы наблюдатель покоил-
покоился в коперниковой системе отсчета. Но в силу эквивалентности полей
тяготения и инерции наблюдатель может заменить поле сил инерции по-
полем сил тяготения, направленным вниз. Следовательно, в поле сил тяго-
тяготения луч света не распространяется прямолинейно, а искривляется
в направлении поля тяготения х).
Придя к этому выводу, Эйнштейн указал и методы наблюдений,
которые этот вывод могли бы подтвердить. Если бы удалось наблю-
наблюдать луч света, идущий от звезды, расположенной на малом угловом
расстоянии от Солнца, то этот луч, проходя вблизи Солнца, искрив-
искривлялся бы под действием сил тяготения Солнца. Это приводило бы к ви-
видимому смещению положения наблюдаемой звезды по сравнению с тем
положением, в котором звезда видна, когда луч от нее проходит вдали
от Солнца. Однако наблюдать звезды, расположенные на малом угло-
угловом расстоянии от Солнца, в обычных условиях невозможно, так как
свет, посылаемый звездой, оказывается гораздо слабее рассеянного
света Солнца, попадающего в телескоп.
Чтобы обойти эту трудность, Эйнштейн предложил наблюдать звезду,
которая будет находиться на малом угловом расстоянии от Солнца в
момент полного солнечного затмения. В это время яркость солнечного
света, попадающегося в телескоп, очень мала, и точное определение
видимого положения звезды становится возможным. Другое положе-
положение той же звезды должно быть определено, когда эта звезда находится
на большом угловом расстоянии от Солнца, и для этого наблюдения не
требуется ждать солнечного затмения. Рассчитанное теоретически
(ожидаемое) смещение положения звезды, вызванное искривлением лу-
луча в поле тяготения Солнца, оказывается очень малым — немного мень-
меньше двух угловых секунд. Измерить это смещение впервые удалось во
время солнечного затмения 1919 г.; смещение оказалось равным Г',75;
этот результат наблюдений находится в хорошем согласии с теорети-
теоретически рассчитанной величиной.
г) Следует обратить внимание на то, что искривление луча света может проис-
происходить только вследствие различной скорости распространения света в разных точ-
точках пространства. Отсюда следует, что постулат о постоянстве скорости света, при-
принятый в специальной теории относительности, не соблюдается в полях тяготения.
Поэтому специальная теория относительности справедлива только в присутствии
слабых полей тяготения.
13 С. Э. Хайкин

386 силы инерции [гл хи
Второе из следствий общей теории относительности, которое нахо-
находится в удовлетворительном согласии с наблюдениями, касается дви-
движения орбиты планеты Меркурий. По законам классической механи-
механики планеты должны двигаться по эллиптическим орбитам, которые по-
покоятся в коперниковой системе отсчета. Однако уже специальная тео-
теория относительности вводит поправку в эти законы. Как показано в
конце § 75, вследствие зависимости массы от скорости орбиты планет
должны поворачиваться в том же направлении, в котором планета дви-
движется вокруг Солнца. Но исходя из общей теории относительности,
необходимо ввести поправку и в закон тяготения (заменить теорию тя-
тяготения Ньютона теорией тяготения Эйнштейна). Те отклонения в ха-
характере движения планетных орбит, которые должны наблюдаться
при замене теории тяготения Ньютона теорией тяготения Эйнштейна,
качественно оказываются такими же, как отклонения, получающиеся
при учете зависимости массы от скорости, но количественно эти откло-
отклонения больше. В то время как учет зависимости массы от скорости дает
угловую скорость вращения орбиты Меркурия около 7" в столетие,
замена теории тяготения Ньютона теорией тяготения Эйнштейна при-
приводит к увеличению скорости вращения орбиты Меркурия до 45" в сто-
столетие. Приблизительно такие же результаты дают наблюдения. Все же
точность этих наблюдений не столь высока, чтобы можно было считать,
что они надежно подтверждают общую теорию относительности. Ново
всяком случае можно считать, что эти результаты находятся в удовлет-
удовлетворительном согласии с выводами общей теории относительности.
Что касается третьего вывода, следующего из общей теории относи-
относительности, то он касается оптического явления (красное смещение ли-
линий в спектрах небесных тел, возникающее под действием тяготения);
но рассматривать в этой книге оптические явления было бы неуместно,
тем более, что результаты наблюдения красного смещения не позволя-
позволяют сказать больше, чем в предыдущем случае, а именно, что наблюдения
находятся в удовлетворительном согласии с выводами общей теории
относительности.
Несмотря на то, что общая теория относительности не является по-
пока ни законченной, ни надежно подтвержденной, все же в правильности
основных принципов, на которых общая теория относительности основа-
основана, вряд ли можно сомневаться. Убедительность основным положениям
общей теории относительности придает последовательность и строй-
стройность этой теории, а также та легкость, с которой общая теория относи-
относительности решает некоторые проблемы, которых не только не могла
разрешить, но за которые даже не рисковала браться классическая
механика. В качестве таких проблем, к которым классическая меха-
механика даже не знала, как приступить, достаточно указать вопрос о ра-
равенстве инертной и тяжелой масс. Мы уже видели, как просто и убе-
убедительно решила общая теория относительности эту проблему.
Классическая механика была склонна толковать силы инерции как
«фиктивные силы», которые вводятся формально для того, чтобы можно

§ 85] СИЛЫ ИНЕРЦИИ И ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 387
было применять законы Ньютона для движений, рассматриваемых
в неинерциальных системах отсчета. Естественно, что при таком толко-
толковании сил инерции не возникало даже потребности ставить вопрос о
происхождении этих сил. Однако положение дела существенно изме-
изменилось после того, как оказалось, что и силу тяготения в общей теории
относительности можно рассматривать как фиктивную силу, посколь-
поскольку надлежащим выбором системы отсчета сила тяготения в малых об-
областях пространства может быть «уничтожена» так же, как и сила инер-
инерции. Стало ясно, что вопросы о фиктивности сил инерции и сил тяготе-
тяготения нужно рассматривать с общей точки зрения. Какие же свойства этих
сил мы можем считать признаками их фиктивности? Очевидно, это мо-
могут быть только те особые свойства сил инерции, которые отличают
их от «обычных» сил. Таких особых свойств сил инерции можно ука-
указать два.
Во-первых, силы инерции появляются только в неинерциальных
системах отсчета и величина этих сил определяется ускорением неинер-
циальной системы отсчета относительно коперниковой. Между тем,
«обычные» силы действуют во всех системах отсчета и величина этих
сил определяется конфигурацией (а иногда и относительной скоростью)
тех тел, между которыми эти силы действуют. Во-вторых, для сил инер-
инерции мы не можем указать тех конкретных тел, со стороны которых эти
силы действуют. «Обычные» же силы — это всегда силы взаимодейст-
взаимодействия, и, указывая то тело, на которое сила действует, и то тело, со
стороны которого сила действует, мы однозначно определяем силу,
о которой идет речь.
Однако первое из дьух указанных особых свойств сил инерции тако-
таково, что связанное с ним отличие сил инерции от «обычных» сил сущест-
существует только в классической механике. В теории относительности, на-
наоборот, существует принцип эквивалентности, из которого следует, что
между силой инерции и одной из наиболее распространенных в природе
«обычных» сил — силой тяготения — не должно существовать разли-
различий. И действительно, если мы вернемся к тем соображениям, на осно-
основании которых Эйнштейн пришел к формулировке принципа эквива-
эквивалентности, то мы сразу увидим, что в механике общей теории относи-
относительности эти силы появляются на совершенно равных правах.
Равномерно ускоренное движение свободной материальной точ-
точки может быть объяснено либо как ускоренное движение тяже-
тяжелой массы в однородном поле тяготения, существующем в коперни-
коперниковой системе отсчета, либо как равномерное движение инертной
массы в ускоренно движущейся (относительно коперниковой) сис-
системе отсчета, в которой отсутствует поле тяготения. Таким образом,
поле тяготения, существующее в первой системе отсчета (коперниковой),
отсутствует во второй системе отсчета, движущейся с ускорением (отно-
(относительно коперниковой). Отсюда ясно, что поле сил тяготения зависит
от выбора системы отсчета и, значит, так же как и сила инерции, сила
тяготения в разных системах отсчета имеет разную величину, завися-
13*

388 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ XII
щую от характера движения системы отсчета (относительно копернико-
вой). Путем выбора системы отсчета мы можем в некоторой малой об-
области пространства вообще «уничтожить» поле тяготения.
Итак, если бы мы признали силы инерции фиктивными на том осно-
основании, что величина этих сил (и само появление этих сил) зависит от
выбора системы отсчета, то на том же основании мы должны были бы
признать фиктивными и силы тяготения.
Перейдем теперь ко второй особенности сил инерции — отсутствию
конкретного тела, со стороны которого эта сила действует. Чтобы объяс-
объяснить, почему мы не в состоя нии указать это конкретное тело, необходи-
необходимо рассмотреть вопрос с точки зрения принципа относительности дви-
движения, а именно, исходя из того, что все движения, которые мы наблю-
наблюдаем, это движения одних масс относительно других масс х). Мы никог-
никогда не можем наблюдать такие движения, в которых какие-либо
массы двигались бы «относительно пространства», а не относительно
каких-то других масс. Именно потому, что мы никогда не наблюдаем
движения «относительно пространства», мы не можем в представление
о «движении относительно пространства» вложить никакого конкрет-
конкретного содержания.
Поскольку мы должны говорить только о движении одних тел отно-
относительно других, мы всегда можем всякое конкретное движение пред-
представлять себе двояко. Например, если мы наблюдаем движение тела
А относительно тела В с постоянной скоростью +v, то мы можем так-
также представлять себе это движение как движение тела В относительно
тела А с постоянной скоростью —v. Принцип относительности дви-
движения утверждает, что оба эти движения совершенно тождественны
и физически неразличимы.
Поэтому, если мы наблюдаем движение какого-либо тела А в копер-
никовой системе отсчета с постоянной скоростью +и, то мы можем
представлять себе это движение как движение тех тел, на которые опи-
опирается коперникова система отсчета (Солнце и три фиксированных
звезды), относительно тела А со скоростью —v. Но в коперниковой
системе отсчета в среднем покоится и вся масса небесных тел, со-
составляющих «население вселенной», и значит, наблюдая движение
тела А с постоянной скоростью +v относительно коперниковой
системы отсчета, мы должны одновременно представлять себе это дви-
движение как движение всей массы небесных тел вселенной относительно
тела А с постоянной скоростью —v.
Вследствие того, что все небесные тела распределены в космичес-
космическом пространстве в среднем более или менее равномерно, мы можем
всю массу небесных тел вселенной представлять себе как «сферу небес-
небесных тел» — огромный полый шар с внешним радиусом, значительно
х) Так как энергия обладает массой, то, не нарушая принципа относительности
движения, можно говорить о движении масс не относительно масс, но и относительно
энергии. Для краткости мы будем говорить о движении одних масс относительно
других.

§ 85] СИЛЫ ИНЕРЦИИ И ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 389
превышающим его внутренний радиус (рис. 189). В таком случае дви-
движение всякой системы отсчета относительно «сферы небесных тел» мож-
можно представлять себе двояко. Поступательное движение какой-либо
системы отсчета /С' с постоянным ускорением а относительно «сферы
небесных тел» мы можем себе представлять как поступательное движе-
движение всей «сферы небесных тел» относительно системы К с ускорением
—а. Точно так же вращение системы К относительно коперниковой
с угловой скоростью о> мы можем рассматривать как вращение всей
«сферы небесных тел» с угловой скоростью —о относительно си-
системы /('.
Во всех этих случаях, когда какая-либо система отсчета К движется
с ускорением относительно коперниковой, или, что то же самое, «сфера
небесных тел» движется с ускоре- . .
нием относительно системы отсчета .. ;;. ¦/: *. * • *; .-;
/С', в этой системе отсчета должны -. * *.! .- ..>.•.""*"*; .>'.•.' г
действовать силы инерции. Мы ./;V.". •¦:::^".i- .•:••*-:-"" ¦":;": V "-
можем это утверждать, поскольку ..• -> у\';. -."•' -•"-'. ..'¦/.;..
нам известно из опыта, что при :.•."*••-*¦.' • ":.-;¦"'
ускоренном движении системы от- .'.}..ш1-а а к' *" /.: " ~&
счета К' относительно копернико- /\ ¦";/""""-"•--* -*-O-~f <• --т
вой в системе К действуют силы -\ •.";.;" ,-:"••-'* * -":.".*
инерции, а ускоренное движение -.\:fi:-::: /'.':---У:\
«сферы небесных тел» относитель- - \:: ¦/::": f "•• -.. :.'* .--.¦:" -".-;
но системы /С' по принципу отно- -:/"¦'] . "^V-vV.... •*•>**..."":
сительности движения физически ''.'.\':':*-; -? "•;.--;•.""
тождественно с движением систе- ';: ::*.";!" ;. -"**•"*
мы К' относительно копернико-
коперниковой. Из опыта же мы знаем, какие Рис* 189-
силы инерции возникают при уско-
ускоренных движениях системы 1С относительно коперниковой. В частно-
частности, если «сфера небесных тел» движется поступательно относительно
системы /С', то во всех точках системы К' возникает одинаковая по ве-
величине и направлению сила —та, гдет — масса тела, на которое сила
инерции действует, и а— ускорение «сферы небесных тел» относитель-
относительно системы /С'. Если же «сфера небесных тел» вращается относительно
системы /С', то внутри этой сферы возникают центробежная и кориоли-
сова силы инерции.
Оказывается, что по теории тяготения Эйнштейна именно такого ти-
типа силы действительно должны возникать при ускоренном движении
масс. Вот что говорит теория тяготения Эйнштейна об эффектах, возни-
возникающих при ускоренном движении массивных тел.
Пгервый эффект: движущиеся поступательно и с постоянным ускоре-
ускорением массивные тела оказывают «индукционное действие» на находя-
находящиеся поблизости тела, сообщая им ускорение в том же направлении,
в котором движутся массивные тела. Поэтому, если, например, система
отсчета /С', связанная с Землей («земная невращающаяся»), движется

390 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ ХИ
под действием тяготения Солнца с ускорением ау то этому движению
эквивалентно движение «сферы небесных тел» и Солнца с ускорени-
ускорениями —а относительно системы отсчета /('. Но тогда, в соответствии
с первым эффектом, «сфера небесных тел» и Солнце действуют на любое
тело, находящееся в системе отсчета /(', с силой F, направленной в сто-
сторону ускорения —а, т. е. с силой, направленной в ту сторону, куда
как раз должна быть направлена сила инерции в системе К' •
О величине этой силы сказать ничего нельзя, так как, хотя из теории
тяготения и следует, что этот эффект и следующий, второй эффект,
указанный ниже, должны быть пропорциональны общей массе небесных
тел, вызывающей индукционное действие, но о величине всей этой мас-
массы (массы всех небесных тел) мы, конечно, ничего сказать не можем.
Единственное, что можно сказать относительно величины эффектов, —
это то, что для не слишком больших масс, с которыми еще можно
экспериментировать, эти эффекты должны быть столь малы, что обна-
обнаружить их на опыте вряд ли возможно.
Второй эффект: внутри полого вращающегося тела на всякое дви-
движущееся тело действуют центробежная и кориолисова силы инерции,
а на покоящееся тело — только центробежная сила инерции.
Таким образом, общая теория относительности утверждает, что
ускоренное движение системы отсчета К относительно «сферы небес-
небесных тел» (или, что то же самое, ускоренное движение «сферы небесных
тел» относительно системы К') является причиной возникновения сил,
которые качественно совпадают с наблюдаемыми на опыте силами инер-
инерции. Правда, количественная проверка этого утверждения невозможна
вследствие того, что масса всех небесных тел нам неизвестна, а лабора-
лабораторные опыты с ограниченными массами, с которыми такие опыты воз-
возможно производить, не могут дать сколько-нибудь заметных эффектов.
Но все-таки нельзя не согласиться с тем, что теория тяготения Эйн-
Эйнштейна дает правдоподобный ответ на вопрос о происхождении сил
инерции.
Если принять эту гипотезу о происхождении сил инерции, то на воп-
вопрос о том, почему мы не можем указать то конкретное тело, со стороны
которого действуют силы инерции (как мы это можем сделать в случае
«обычных сил»), должен последовать ответ: мы не можем указать такое
конкретное тело не потому, что его нет, а потому, что таких тел слишком
много — это все небесные тела. Таким образом, рассматриваемая гипо-
гипотеза о происхождении сил инерции дает указание о тех телах, на-
наличием которых обусловлено возникновение сил инерции. Принимая
эту гипотезу, мы должны отказаться от представления, что силы
инерции возникают «неизвестно откуда», а ведь именно это представле-
представление служило одним из оснований для того, чтобы высказать подозре-
подозрение о фиктивности сил инерции.
Таким образом, рассматриваемая гипотеза о происхождении сил
инерции говорит против представления о фиктивности сил инерции.
И чем более правдоподобной представляется рассматриваемая гипоте-

^ 85] СИЛЫ ИНЕРПИИ И ОБЩИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 391
за, тем меньше у нас оснований считать силы инерции фиктивными.
А в пользу рассматриваемой гипотезы о происхождении сил инерции
говорит еще тот факт, что эта гипотеза находится в согласии с принци-
принципом относительности движения. Между тем, если бы мы пытались объ-
объяснить происхождение сил инерции, не учитывая всей массы небесных
тел, то мы неизбежно вступили бы в противоречие с принципом относи-
относительности движения. Чтобы убедиться в этом, вернемся копыту Фуко.
В § 27 мы описывали опыт Фуко, не вводя в рассмотрение сил инер-
инерции, и поэтому не могли указать ту силу, которая заставляет плоскость
качаний маятника поворачиваться в «земной вращающейся» системе
отсчета. Только в гл. XII, после того как были введены в рассмотрение
силы инерции, мы убедились, что плоскость качаний маятника повора-
поворачивается относительно «земной вращающейся» системы (по часовом
стрелке, если наблюдатель находится над Северным полюсом) под дей-
действием кориолисовой силы инерции (§83). Значит, опыт показывает,
что в «земной вращающейся» системе отсчета действуют силы инерции,
между тем как в копер никовой системе отсчета плоскость качаний
не поворачивается и, значит, силы инерции не действуют.
Как мы можем это объяснить? Так как «земная вращающаяся»
система отсчета вращается относительно всей «сферы небесных тел»,
или, что то же самое, вся «сфера небесных тел» вращается относительно
Земли, то в соответствии с нашим объяснением на Земле должны дей-
действовать силы инерции, в частности центробежная и кориолисова
силы. Наоборот, поскольку в коперниковой системе отсчета вся масса
небесных тел покоится, «сфера небесных тел» не вращается и силы
инерции внутри сферы не возникают. Поэтому в коперниковой системе
отсчета силы инерции отсутствуют. В соответствии с этим мы и сфор-
сформулировали выше (§ 27) результат опыта Фуко так: опыт Фуко доказы-
доказывает, что Земля вращается относительно всей массы небесных тел,
а коперникова система отсчета покоится относительно всей массы
небесных тел.
Но к этой формулировке нужно добавить следующее замечание:
может показаться, что ничего не изменится, если мы будем говорить
о вращении Земли относительно небосвода, а не относительно всей
массы небесных тел. Но вращение Земли «относительно небосвода»
это не есть вращение одних тел относительно других, а вращение тела
(Земли) относительно пространства (небосвода). Этим мы не только
нарушили бы принцип относительности движения, согласно которому
мы можем говорить только о вращении одних тел относительно других,
а не о вращении тел «относительно пространства»; если бы мы гово-
говорили о вращении Земли относительно небосвода, то рухнуло бы и
объяснение происхождения сил инерции, так как «вращение небосвода»
без вращения каких-либо масс не может вызвать каких бы то ни было
физических явлений и, в частности, возникновения сил инерции.
Таким образом, на вопрос о происхождении сил инерции и их
фиктивности общая теория относительности дает такой ответ:

392 силы инерции [гл. хн
поскольку силы инерции почти во всем подобны силам тяготения, то
можно либо и те и другие силы считать фиктивными, либо совершенно
с таким же основанием ни те, ни другие силы не считать фиктивными.
«Почти» относится к третьему закону Ньютона. В то время как силы
тяготения подчиняются закону равенства действия и противодействия,
к силам инерции этот закон неприменим. Во всем же остальном силы
инерции подобны силам тяготения; они одинаково сообщают ускоре-
ускорения другим телам, уравновешивают другие силы и т. д. Мы знаем,
когда эти силы должны присутствовать, но никогда не наблюдаем
случаев, когда эти силы присутствуют, но не действуют, т. е. эти
силы ведут себя отнюдь не как фиктивные, а как вполне реальные
силы.
Фиктивность как сил инерции, так и сил тяготения с точки зрения
общей теории относительности заключается в другом: соответствую-
соответствующим выбором систем отсчета эти силы можно «уничтожить», т. е.
достичь того, чтобы их величина обратилась в нуль; но возможно это
только в бесконечно малых областях пространства. А там, где эти силы
уничтожить невозможно, они не только присутствуют, но и действуют
как вполне реальные силы. И, конечно, самый факт, что силы могут
обратиться в нуль в некоторой бесконечно малой области пространства,
но мы никак не можем обратить их в нуль нигде, кроме бесконечно
малой области, это сильный довод в пользу того, что эти силы реальны,
а не фиктивны. Ведь фиктивные, т. е. «выдуманные», воображаемые
силы мы всегда, в любой области пространства могли бы «уничтожить»
каким-либо формальным приемом, так же как формальным приемом
они были введены. Поэтому в неинерциальных системах отсчета, где
силы инерции не могут быть уничтожены, эти силы выступают как
вполне реальные силы, действующие так же, как и все другие силы.
Признавая фиктивность сил тяготения и сил инерции в том смысле,
как она понимается в общей теории относительности, нужно ясно
себе представлять, что в тех областях пространства, где эти силы
не могут быть уничтожены, они действуют как вполне реальные силы,
и в этих областях пространства о фиктивности сил инерции и сил
тяготения следует просто забыть.
§ 86. Приливы
Как было показано в § 77, в системе отсчета, связанной с Землей
(«невращающейся»), силы тяготения Солнца, сообщающие ускорение
Земле, и силы инерции, возникающие вследствие этого в связанной
с Землей системе отсчета, компенсируют друг друга в точках, расстоя-
расстояние которых от центра Солнца равно расстоянию от центра Земли до
центра Солнца. В таких условиях полной компенсации ни силы тяго-
тяготения, ни силы инерции не могут быть обнаружены. Однако легко
видеть, что расстояние от центра Солнца до различных точек на поверх-
поверхности Земли не может быть равно расстоянию от центра Солнца до

§ 86] приливы 393
центра Земли нигде, кроме точек, образующих некоторую окружность
на поверхности Земли, Следовательно, нигде, кроме точек этой окруж-
окружности, точная компенсация сил инерции и сил тяготения не будет иметь
места.
Это нарушение компенсации сил тяготения и сил инерции поро-
порождает явление приливов на Земле. Явление приливов наиболее отчет-
отчетливо наблюдается у берегов океана. Дважды в сутки уровень воды
у берегов океана более или менее значительно повышается, а затем
снова опускается. Причина этого состоит в том, что в двух диамет-
диаметрально противоположных областях океана на его поверхности обра-
образуются два «горба», положение которых определяется в первую очередь
положением Луны, а отчасти и положением Солнца.
Положение горбов (так же как положение Луны) в течение суток
почти не меняется (в коперниковой системе отсчета), и поэтому при
вращении Земли вокруг своей оси «горбы» перемещаются по поверх-
поверхности океана в направлении, обратном вращению Земли. Когда оче-
очередной «горб» приближается к берегу океана, происходит подъем воды
(прилив), а когда наивысшая точка горба достигает берега океана,
начинается опускание воды (отлив). Таким образом, для объяснения
происхождения приливов и отливов нужно проследить, как возникают
«горбы» в двух диаметрально противоположных областях поверхности
океана.
Так как суточное вращение Земли вызывает только перемещение
положения горбов по поверхности океана, но не играет существенной
роли в образовании «горбов», то при рассмотрении происхождения
«горбов» можно не учитывать вращения Земли вокруг своей оси.
Приливы, наблюдаемые на Земле, вызываются в большей мере дей-
действием Луны, однако заметную роль в этом явлении играет и Солнце,
особенно во время новолуний, когда Луна и Солнце лежат примерно
в одном направлении от Земли.
Но явления приливов, вызванных Солнцем, проще поддаются
рассмотрению, чем явления приливов, вызванных Луной. Обусловлено
это следующими обстоятельствами. Для того чтобы объяснить проис-
происхождение «горбов», нам нужно рассмотреть движение воды относи-
относительно Земли, т. е. движение воды в системе отсчета, связанной с Зем-
Землей (но «невращающейся», как было отмечено выше). Поскольку мы
рассматриваем приливы, вызываемые Солнцем, мы для упрощения
задачи можем вообще не учитывать влияния Луны на движение Земли.
В результате мы получим воображаемую картину приливов, вызывае-
вызываемых Солнцем в том случае, если бы Луна вообще отсутствовала. Тогда
Земля движется по своей орбите (близкой к круговой) только под
действием сил тяготения Солнца, Характер сил инерции, действующих
в этом случае в системе отсчета, связанной с Землей, был рассмотрен
в § 77, и мы прямо будем пользоваться результатами этого рассмотре-
рассмотрения. Если же мы рассматривали бы приливы, вызываемые Луной, то
мы должны были бы учитывать и то влияние, которое оказывает Луна

394 СИЛЫ ИНЕРЦИИ [ГЛ ХН
на движение Земли. Движение Земли из-за влияния Луны, как мы
увидим дальше, существенно усложняется и вследствие этого услож-
усложняется определение сил инерции, дейст-
действующих в системе отсчета, связанной с
_ Землей.
салнцв Итак, мы начинаем рассмотрение движений
воды в океане в системе отсчета, связанной с
Землей («невращающейся»). Для упрощения
рассмотрения будем полагать, что земная ось
перпендикулярна к орбите Земли и плоскость
земного экватора совпадает с плоскостью зем-
ной орбиты. Тогда все рассмотрение можно
вести в плоскости чертежа (рис. 190). Рас-
!у смотрим силы, действующие на воду в различ-
Ь ных точках Земли. Прежде всего, как было
Рис. 190. показано, в каждой точке системы отсчета,
связанной с Землей, действует сила инерции
—та, где т —масса тела, на которое сила действует, а —ускоре-
—ускорение, с которым движется центр Земли под действием силы тяготе-
тяготения Солнца
Т^!-^ A2.23)
гзс
здесь М3 и Мс — массы Земли и Солнца, а гзс — расстояние между
их центрами. Следовательно ускорение, с которым движется центр
Земли, по величине равно
а=Рзс/М3 = уМс/гзс. A2.24)
Поскольку Земля обращается вокруг Солнца, мы должны были бы
при определении сил инерции, действующих в системе отсчета, свя-
связанной с Землей, в каждой точке Земли определять величину центро-
центробежной силы инерции. Но для упрощения расчетов мы будем считать,
что Земля под действием силы тяготения Солнца движется поступа-
поступательно в направлении Солнца. Ясно, что вследствие медленности
обращения Земли вокруг Солнца это допущение не может заметно
повлиять на результаты расчета. Принимая же, что Земля движется
поступательно по направлению к Солнцу с ускорением A2.24),
мы должны считать, что сила инерции, действующая на массу воды т,
во всех точках системы отсчета, связанной с Землей, равна
Fi = — та= — ymMJrlc A2.25)
Направлена эта сила во всех точках навстречу направлению на
Солнце.
Наряду с силой инерции на массу воды т действует сила тяготе-
тяготения Солнца, которая для указанных на рис. 190 точек аи b различна.

«R6i приливы 395
Сила тяготения в точках а и Ъ соответственно равна
f Т^^2^(,_?*\ A2.27)
V зс + гз) гзс \ гзс /
Что касается сил тяготения в точках с и d, то их можно приближенно
принять равными той силе тяготения, с которой Солнце действует на
массу т, расположенную в центре Земли, т. е.
Рте = /w=утМс/rbc A2.28)
Чтобы найти результирующие сил инерции и сил тяготения, дей-
действующих на массу воды т в точках ау Ь, с и d, нужно из сил тяготения,
действующих в этих точках и направленных к Солнцу, вычесть одно
и то же значение силы инерции Fu везде направленной от Солнца.
Результирующая сил Fm и Ft в четырех точках а, Ь, с и d оказывается
равной
2гз\ УтМс УпМс 2гз
(
2гз\
7 1
ГЗС/
М И 7 1 ^5
\ ГЗС/ ГЗС
Таким образом, помимо сил тяготения, действующих со стороны
Земли и имеющих практически одинаковое значение во всех точках
океана, на каждую массу т воды в подсолнечной точке а действует
результирующая сил инерции и тяготения Ф„, направленная от Земли
к Солнцу (так как в точке а сила тяготения превышает силу инерции),
а в диаметрально противоположной ей точке Ь действует результирую-
результирующая сил инерции и тяготения Ф^, направленная также от Земли (так
как в точке Ь сила инерции превышает силу тяготения).
Легко видеть, что по мере удаления от точек а и Ь к точкам с и d
результирующие сил инерции и тяготения постоянно уменьшаются
и в точках с и d спадают до нуля.
Приливообразующие силы Фа и Фь очень малы (ускорение, которое
они сообщают воде, составляет величину порядка 10~7g), но так как
действуют эти силы не только в точках а и Ь, но и на большой части
дневной (сила Фа) и ночной (сила Ф^) поверхности океана, то они вызы-
вызывают заметный подъем воды на этих участках океана. Этим и объяс-
объясняется образование заметных «горбов».
По причинам, которые были указаны в § 40, в разных точках океана
сила тяготения Земли, действующая на данную массу воды т, оказы-
оказывается различной. Но эти небольшие по величине различия в силах

396
СИЛЫ ИНЕРЦИИ
[ГЛ. XIT
тяготения распределены неподвижно по поверхности Земли и поэтому
не влияют на условия образования приливов.
При рассмотрении лунных приливов, как уже указывалось, необ-
необходимо учитывать, что сила тяготения Луны заметно влияет на дви-
движение Земли. Поскольку Солнце влияет на движение Земли и Луны
примерно одинаково, влияние Солнца можно вообще не учитывать,
а Землю и Луну рассматривать как замкнутую систему. При этом
Земля и Луна должны вращаться с одинаковой угловой скоростью
вокруг общего центра тяжести. Центр тяжести Земли и Луны лежит,
как известно, внутри Земли,- примерно на глубине 150 км под поверх-
поверхностью Земли. Луна и Земля вращаются вокруг оси, проходящей
через этот общий центр тяжести. При таком вращении Земли вокруг
Рис. 191.
оси, не проходящей через центр Земли, расчет сил инерции, действую-
действующих в системе отсчета, связанной с Землей, усложняется, и мы его
приводить не будем. Однако принципиально лунные приливы, конечно,
не отличаются от приливов, вызываемых Солнцем.
Явлению приливов можно дать следующее упрощенное, но зато
наглядное истолкование. Изменение уровня воды в океане происходит
потому, что вода в океане и «сосуд», в который эта вода заключена,
т. е. твердая оболочка Земли, движутся с различными ускорениями.
Это упрощенное истолкование может быть подкреплено следующей
демонстрацией.
Прямоугольная плоская стеклянная банка подвешивается на нитях
в виде маятника (рис. 191, а). В банку наливается подкрашенная вода
(чтобы можно было лучше следить за ее движением). Отклонив банку
и затем отпустив ее, можно наблюдать, как колеблется банка с водой.
Вначале поверхность воды неспокойна, но затем она успокаивается и
свободная поверхность воды все время остается параллельной дну
сосуда. Легко объяснить этот факт: действующая на сосуд с водой сила
тяготения Земли сообщает сосуду и воде одинаковые ускорения,

§ 86] приливы 397
поэтому сосуд и вода движутся одинаково и положение свободной
поверхности воды относительно сосуда не изменяется.
Если же прикрепить к сосуду с двух сторон мягкие пружинки
(рис. 191, б), то свободная поверхность жидкости при колебаниях
банки уже не будет оставаться параллельной дну сосуда, а будет
сама тоже колебаться. Причина этого заключена в том, что пружины,
действуя на банку с некоторой силой, изменяют ее ускорение, в то время
как на воду действует только сила тяготения Земли и ускорение воды
при колебаниях в банке остается неизменным. Поскольку банка и вода
движутся теперь с разными ускорениями, свободная поверхность воды
меняет свое положение относительно сосуда. Так как при движении
маятника в крайние положения пружины тормозят его движение,
вода движется с большим, чем маятник, ускорением и набегает на край
банки — уровень воды у этого края банки подымается. При движении
банки к другому крайнему положению подымается уровень воды
у другого края банки. Эти периодические подъемы уровня воды
у краев банки и представляют собой явление приливов в простейшем
виде.

ГЛАВА XIII
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 87. Твердое тело как система материальных точек
В вопросах, которые мы рассматривали выше, размеры и форма
движущихся тел не играли существенной роли, и мы могли ответить
на интересующие нас вопросы, принимая тело за материальную точку.
Однако в целом ряде случаев это оказывается невозможным, так как
именно размеры и форма тел определяют характер интересующего нас
движения. Но если при этом тело является настолько жестким, что
его деформациями, возникающими при рассматриваемых движениях,
можно пренебречь, то упругие свойства тела не играют роли. (Поло-
(Положение оказывается совершенно аналогичным тому, которое существует
при достаточно жестких связях; см. § 39.) Тогда тело можно рассмат-
рассматривать как недеформируемое, или как абсолютно твердое. Вопросы,
на которые можно ответить, рассматривая тело как недеформируемое,
и составляют предмет механики твердого тела.
В задачах механики твердого тела существенную роль играют
размеры и форма тел. Но мы всегда можем мысленно разделить тело
на отдельные столь малые элементы, чтобы размеры и форма каждого
такого элемента не играли роли в его движении. Насколько малы
должны быть эти элементы —зависит от условий задачи; обычно
дело сводится к тому, что размеры каждого отдельного элемента тела
должны быть малы по сравнению с теми или иными расстояниями,
существенными для данной задачи. Например, при рассмотрении
вращения тела вокруг оси размеры отдельных элементов тела должны
быть очень малы по сравнению с расстоянием до оси. Если размеры
всего тела не малы по сравнению с расстоянием до оси, мы всегда сможем
разбить тело на столь малые элементы, чтобы размеры каждого такого
элемента были очень малы по сравнению с расстоянием до оси.
Мы это можем сделать даже тогда, когда ось проходит через тело.
Представим себе, что мы высверлили в теле вдоль оси очень тонкий
канал. Это, конечно, не может изменить характера движения тела.
А тогда всякий элемент тела будет находиться уже на некотором
конечном расстоянии от оси, и мы всегда сможем так выбрать его
размеры, чтобы они были малы по сравнению с расстоянием до оси.

§ 87] ТВЕРДОЕ ТЕЛО КАК СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 399
Каждый такой элемент тела мы сможем рассматривать как материаль-
материальную точку. Мы сведем, таким образом, задачу о движении твердого
тела к задаче о движении большого числа отдельных материальных
точек, т. е. к задаче, которую мы уже рассматривали в §§ 26 и 70.
Так как мы считаем тело недеформируемым, то в системе материальных
точек, которыми мы заменим твердое тело, все расстояния между
отдельными материальными точками надо считать неизменными. Этим
наша новая система точек будет отличаться от ранее рассматривав-
рассматривавшейся, в которой расстояния между отдельными точками системы могли
изменяться.
Отдельные смежные элементы, на которые мы разбиваем твердое
тело, могут действовать друг на друга с известными силами. Это,
прежде всего, силы упругости, силы взаимодействия между электри-
электрическими зарядами, которыми обладают отдельные элементы тела,
и т. д. Но, рассматривая тело как абсолютно твердое, мы пред-
предполагаем, что уже при исчезающе малых деформациях тела силы
упругости достигают таких значений, при которых дальнейшие де-
деформации тела прекращаются. Мы предполагаем, что силы упругости,
действующие между отдельными элементами твердого тела, обладают
такими же свойствами, как и силы, действующие со стороны абсолютно
жестких связей. При этом, как и в случае абсолютно жестких связей,
мы лишаемся возможности определить эти силы из конфигурации (из
деформаций тела). Но это не вызовет никаких затруднений, потому
что эти внутренние силы, действующие между отдельными частями
твердого тела, не играют роли в движении всего тела как целого.
Действительно, как мы видели, в силу третьего закона Ньютона
сумма всех внутренних сил, а вследствие этого и сумма моментов
всех внутренних сил, действующих в системе материальных точек,
равна нулю. Но в уравнения движения системы материальных точек
внутренние силы и их моменты всегда входят в виде суммы всех сил
или всех моментов сил, действующих со стороны каждого элемента
тела на все другие элементы; поэтому из уравнений движения они
выпадают. Чтобы найти движение твердого тела, не нужно знать
внутренних сил, действующих в этом теле. Потом, когда движение
тела будет определено, мы сможем (как и в случае абсолютно жестких
связей) найти и внутренние силы, действующие между отдельными
элементами тела при данном движении.
Как и прежде, мы можем вводить силы, не определяемые из кон-
конфигурации (поскольку мы пренебрегаем деформациями тел, мы не
можем вычислить внутренних сил из конфигурации), только потому,
что эти силы сразу исключаются. В противном случае введение этих
сил лишило бы нас возможности решить задачу, так как до того, как
задача решена, мы не можем этих сил определить.
При разбиении твердого тела конечных размеров на отдельные
элементы мы всегда могли бы взять достаточно малые, но конечные
элементы. Однако при решении задачи требуется находить сумму

400 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХШ
большого числа таких малых элементов. Нахождение этой суммы
упрощается, если мы заменим ее суммой бесконечно большого числа
бесконечно малых элементов и воспользуемся методами интеграль-
интегрального исчисления. Каждый из этих бесконечно малых элементов мож-
можно рассматривать как материальную точку бесконечно малой массы
(так как плотность тела конечна, а объем элемента тела бесконеч-
бесконечно мал).
Во всем дальнейшем рассмотрении мы ограничимся только такими
движениями, при которых скорость всех элементов тела мала по срав-
сравнению со скоростью света, и поэтому массы всех элементов тела будем
считать не зависящими от скорости их движения.
§ 88. Движение центра тяжести твердого тела
Уравнения движения твердого тела должны дать указания о дви-
движении всех точек тела. Применяя законы Ньютона к отдельным эле-
элементам тела, мы прежде всего установим законы движения одной
фиксированной точки твердого тела, именно законы движения его
центра масс (или центра тяжести).
Разбив твердое тело на отдельные малые элементы, мы сможем
каждый из этих элементов рассматривать как материальную точку
и применять к каждому из элементов второй закон Ньютона. Обозначив
массу элемента номера / через Дть а его скорость через vi9 мы можем
для каждого из элементов написать второй закон Ньютона в виде
где Ф; —внутренние силы, действующие на данный элемент тела
со стороны других элементов этого же тела, a Ft — внешние силы,
действующие на этот элемент.
Складывая уравнения для всех элементов тела, мы получим (так
как по третьему закону Ньютона ^Фг==0):
|^(Дт^) = ^Ч A3.1)
Так же как и для всякой системы материальных точек, производ-
производная по времени от общего импульса тела равна сумме всех внешних
сил, действующих на тело. Но в случае твердого тела это уравнение,
как мы увидим, гораздо больше говорит о движении тела, чем оно
говорило о движении системы материальных точек. Обусловлено это
тем, что в твердом теле расстояния между отдельными точками (отдель-
(отдельными элементами тела) всегда остаются неизменными, в то время как
в системе материальных точек они могут изменяться.
Чтобы извлечь из уравнения A3.1) более детальные указания
о характере движения твердого тела, посмотрим, как связан общий
импульс твердого тела с движением его центра масс.

§ 88]
ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
401
Положение центра масс твердого тела определяется следующим
образом. Обозначим координаты элемента массы Am,- через xi9 yiy zt.
Составим выражения Am^-; Am^; Дт^ и просуммируем эти выра-
выражения по всем элементам масс тела, т. е. найдем У]Атл-; ^&щуг\
Т i
^AniiZi. Разделим, наконец, каждую из этих сумм на^Ать т.е. на
i i
общую массу тела. Полученные величины
У=
A3.2)
представляют собой координаты центра масс тела. Нетрудно убедиться,
что определенная таким образом точка тела совпадает с точкой прило-
приложения равнодействующей таких параллель-
параллельных сил, действующих на все элементы
тела, величины которых пропорциональны
массам этих элементов. Но именно так дей-
действует на отдельные элементы тела сила
тяжести в однородном поле тяготения,
т. е. центр масс совпадает с центром тя-
тяжести тела.
Действительно, если две параллельные силы
Fд и Fn приложены в точках А и В (рис. 192),
то равнодействующая этих сил приложена в точке
С, лежащей на прямой АВ, причем AC/CB=FBjFA.
Рис. 192.
B
Если силы FA и FB суть силы тяжести, то они
пропорциональны массам элементов тела АтА и Дгар. Поэтому АС/СВ=Атв/Атд,
т. е. центр тяжести Двух точек делит прямую, соединяющую эти точки, в отношении,
обратном отношению их масс. Следовательно, если мы обозначим координаты эле-
элементов тела Д/пг и Дта соответственно через xltyly z± и х2у #2> гг, то координаты ху
у, z центра тяжести этих двух элементов тела будут удовлетворять соотношениям
х2 — х
х — хг
Из этих соотношений
Дшх
Дш2'
. Уъ—У
1 У~ Ух
получаем
(Ат1 -\
(ДтН
- Дт2) х =
- Д/п2) ^/ =
(Дтх + Дт2) z =
Дга2' z — z±
Дт2д:2,
Дт2 *
A3.3)
A3.4)
Дтаг2,
т. е. значения координат х, у, z совпадают с выражениями A3.2), определяющими
координаты центра двух масс Дт3 и Дта.
Прибавляя к этим элементам масс третий, четвертый и т. д., мы убедимся, что центр
масс, координаты которого определяются соотношением A3.2), совпадает с центром
тяжести тела.
Понятие центра масс является более общим, чем понятие центра
тяжести, так как оно не ограничено одним определенным типом сил,
действующих на элементы тела. Центр масс является точкой приложе-

402 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ХШ
ния не только равнодействующей сил тяжести, но и равнодействую-
равнодействующей всяких массовых сил, т. е. сил, пропорциональных массам эле-
элементов тела, на которые эти силы действуют, при условии, что силы,
действующие на все элементы тела, параллельны друг другу, например
сил инерции в неинерциальной системе отсчета, движущейся посту-
поступательно относительно коперниковой (§81). Поэтому центр масс назы-
называют также центром инерции. Мы будем дальше пользоваться и
прежним термином «центр тяжести».
Дифференцируя по времени выражения A3.2), получим:
A3.5)
Справа в этих выражениях стоят компоненты по трем осям коорди-
координат общего импульса системы, а слева —масса тела, умноженная
dx dv dz
на соответствующие компоненты скорости центра масс ~v -J, -.
Складывая почленно уравнения A3.5), получим:
, A3.6)
где v —вектор скорости центра масс, а т —масса всего тела. Твердое
тело обладает таким импульсом, каким обладала бы материальная
точка массы, равной массе тела, и движущаяся так, как движется
центр масс тела. Иначе говоря, пока речь идет об импульсе твердого
тела, мы всегда можем заменить твердое тело материальной точкой,
помещенной в центр масс данного тела.
Подставляя A3.6) в уравнение A3.1), получим:
и пока масса твердого тела постоянна,
Зто уравнение совершенно аналогично уравнению движения мате-
материальной точки.
Центр масс твердого тела движется так же, как двигалась бы
материальная точка той же массы под действием всех внешних сил,
которые действуют на данное тело.
Уравнение A3.7) определяет движение центра масс твердого тела,
т. е. вполне определенной, фиксированной точки этого тела. Это

§ 89] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА ОСИ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 403
уравнение применимо к системе материальных точек и определяет
движение центра масс системы. Однако для системы материальных
точек центр масс не есть какая-либо фиксированная точка этой системы.
Поскольку расстояния между точками системы могут изменяться,
центр масс меняет свое положение в системе. Зная, как движется
центр масс, мы еще ничего не могли бы сказать о том, как движется
какая-либо определенная точка системы. Но все же закон движения
центра масс в применении к системе материальных точек дает опре-
определенные указания о характере движения системы. Так, например, из
закона движения центра масс следует, что в годовом движении вокруг
Солнца по эллипсу движется именно центр масс Земли и Луны, а не
центр Земли.
§ 89. Движение тела, закрепленного на оси.
Момент инерции
Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного на неподвиж-
неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться (рис. 193);
точка О — след этой оси. К одной из точек
тела А приложена внешняя сила F. Кроме
внешней силы /\ на тело действуют и силы
со стороны связей (реакции связей) — в
нашем случае давление подшипников, в
которых закреплена ось тела. Но это дав-
давление нормально к оси, если силы трения
отсутствуют. Поэтому если мы выберем ось
вращения за ось моментов, то момент сил
реакции относительно этой оси будет ра-
равен нулю. Момент относительно оси враще- Рис. 193.
ния дает только внешняя сила F. Разбив
тело на отдельные малые элементы Am,-, мы можем рассматривать
его как систему материальных точек. Как и для системы материальных
точек, в рассматриваемом случае справедливо уравнение A0.5)
ЗГ=Л1, A3.8)
где N — момент импульса тела, аМ- момент внешней силы/7 отно-
относительно оси вращения.
В рассматриваемом случае вращения вокруг неподвижной оси
момент импульса тела легко выразить через угловую скорость вра-
вращения. Элемент массы Дт,- (рис. 193) обладает элементарным моментом
импульса
Полный момент импульса тела N = ?&Niy причем сумма должна
быть взята по всем элементам, на которые разбито тело. Так как тело

404 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ XIII
твердое, то расстояние от каждого элемента тела до оси вращения
все время остается неизменным и линейная скорость всякого эле-
элемента перпендикулярна к радиусу-вектору, проведенному к этому
элементу. Поэтому vt = tor,- и
Так как моменты импульса всех элементов направлены по оси вра-
вращения и со для всех элементов одно и то же, то полный момент импульса
тела
= /со, A3.9)
где / — 2Дт?*/1 —величина, зависящая от распределения массы
тела относительно оси; это — уже знакомый нам момент инерции
тела относительно выбранной оси. Так как все rt в нашем случае
постоянны, то
ж2
i
и уравнение моментов A3.8) принимает вид
1^? = М. A3.10)
Кинетическую энергию вращающегося тела также удобно выра-
выразить при помощи момента инерции:
где Vi —линейная скорость элемента массы Дт*.
Выражения для момента импульса и кинетической энергии ана-
аналогичны тем, которые мы получили для системы материальных точек,
расстояния которых от оси вращения остаются неизменными. Однако
вычисление момента инерции в рассматриваемом случае представляет
собой более сложную задачу, так как вместо отдельных точек мы
рассматриваем сплошное тело. Поэтому для вычисления / нужно
взять сумму большого числа малых элементов XAmifi. Эту сумму
можно вычислить путем интегрирования. Заменив малые конечные
элементы тела бесконечно малыми, получим:
где интегрирование должно быть распространено на все элементы
тела. Таким образом, вычисление момента инерции тела сводится
к объемным интегралам. Мы ограничимся только простейшими слу-
случаями вычисления момента инерции.

§ 89] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА, ЗАКРЕПЛЕННОГО НА ОСИ. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 405
Положим, что тело представляет собой сплошной однородный цилиндр вы-
высоты h. Найдем момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси.
Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические
цилиндры бесконечно малой толщины dr (элементарные
цилиндры) с внутренним радиусом г и внешним r-\-dr
(рис. 194). Момент инерции каждого такого полого ци-
цилиндра мы можем вычислить, пренебрегая dr по сравне-
сравнению с г, т. е. считая, что расстояние от всех точек одного
элементарного полого цилиндра до оси равно г. Поэтому
для каждого отдельного цилиндра момент инерции равен
dl= ?Am/-2—r2?Am, где ?Дт — масса всего элементарного
цилиндра. Сечение стенки полого цилиндра есть h dr и
ее длина 2пг\ поэтому объем элементарного цилиндра
равен 2nrh dr, и если материал однороден, то масса все-
всего полого цилиндра ? Am = p2nrh drt где р — плотность
материала. Следовательно, момент инерции элементарного полого цилиндра равен
d/=2a/ipr3dr, а всего цилиндра
К
I =\dl = 2nhp $ /* dr,
где R — радиус цилиндра. Произведя интегрирование и подставив пределы, по-
получим:
/
Рис. 194.
Но я/ifi2 есть объем цилиндра. Поэтому масса цилиндра m=jtft#2p, и его момент
инерции
/ = /иЯ*/2. A3.12)
Моменты инерции других тел могут быть найдены принципиально тем же путем.
Однако практически расчет получается достаточно простым только для тел вращения,
особенно для тел цилиндрической формы. Например, для полого цилиндра момент
инерции относительно геометрической оси вычисляется так же, как и для сплошного
диска, с той разницей, что в
д* приведенном выше расчете в ка-
качестве нижнего предела интегри-
интегрирования нужно взять не нуль,
а внутренний радиус полого
цилиндра, а в качестве верхне-
верхнего предела — внешний радиус
полого цилиндра. При одной и
той же массе и одном и том же
внешнем радиусе момент инер-
инерции полого цилиндра всегда
больше, чем момент инерции
сплошного цилиндра. Поэтому,
если на оба цилиндра действует
один и тот же момент сил, то
сплошной цилиндр будет иметь
большее угловое ускорение, чем
полый.
Для тел неправильной фор-
формы, или неоднородных, вычис-
вычисление моментов инерции услож-
усложняется. Этих случаев мы рассмат-
рассматривать не будем. Для качествен-
качественного сравнения моментов инерции двух тел одинаковой массы, но распределенной
по-разному, часто можно пользоваться следующими соображениями. Если одинако-
Рис. 195.

406 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ГГЛ XIII
вые элементы массы в одном теле расположены дальше, чем в другом, то момент инер-
инерции первого тела будет больше, чем второго. Эти соображения можно, например,
применить к моментам инерции однородного прямоугольного параллелепипеда.
Из трех моментов инерции относительно трех осей, проходящих через точку пере-
пересечения диагоналей параллелепипеда и перпендикулярных к граням параллелепи-
параллелепипеда, наибольшим будет момент инерции относительно самой короткой из осей,
а наименьшим — момент инерции относительно самой длинной из осей, так как чем
короче ось, тем дальше от этой оси отстоят элементы массы параллелепипеда.
Если нам известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через
>его центр тяжести, то легко найти момент инерции тела относительно любой парал-
параллельной ей оси. Рассмотрим сначала тело, состоящее из двух элементов масс Ат1
и Аша (рис. 195). Центр тяжести тела лежит в точке О на расстояниях гх и г2 от обеих
масс, причем /i/rg^Ama/Am^ Момент инерции тела относительно оси, проходящей
через точку О перпендикулярно к чертежу, есть
/0 — Am^f + Am2r|.
Момент инерции этих же двух масс относительно оси, проходящей через точку (У
перпендикулярно к чертежу, есть
/' = Ат^;2
Из чертежа видно, что
¦Следовательно,
/' = Amvr\ + Am2r| + (Amx + Am2) d? + 2d(Aml Yr\ — hj —
Но так как треугольники ОАХВХ и OAZB2 подобны, a rJr^^Am^lAmlf то
AmL У r\ — h\ = Am2 ) rr% — hi • Поэтому
В действительности тело состоит из множества элементов. Но так как точка О
есть центр тяжести, то мы всегда можем так попарно скомбинировать элементы Атг- и
А/л^, чтобы их общий центр тяжести лежал в точке О. Поэтому для каждой пары
соответствующих элементов масс момент инерции относительно оси О' будет отли-
отличаться от момента инерции относительно О на величину (Am/+Amfe)d2. А момент
инерции всего тела массы т относительно оси О' будет отличаться от момента инер-
инерции относительно оси О на величину md2. Таким образом, момент инерции тела от-
относительно любой оси
A3.13)
где /0 — момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через
центр тяжести, d — расстояние между осями и т — масса тела. Это — так назы-
называемая теорема Штейнера.
Во многих механизмах движение частей механизма связано с вращением раз-
различных вспомогательных колес, блоков и т. д., массы которых часто не влияют суще-
существенно на ускорения в механизме. В таких случаях можно пренебречь моментом
инерции этих вспомогательных колес. Выясним, когда это можно делать, на кон-
конкретном примере машины Атвуда, которая применяется для демонстрации законов
ускоренного движения. В машине Атвуда через блок перекинута нить с висящими
на ней двумя грузами равной массы т. Грузы могут двигаться вдоль вертикальной
шкалы с делениями. Если на один из грузов положить небольшой добавочный грузик
Am, то грузы начинают двигаться с ускорением. На шкале укреплено кольцо, ко-
которое на ходу снимает добавочный грузик Am. После этого грузы продолжают дви-

90]
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
407
гаться равномерно с достигнутой к этому моменту скоростью. Измеряя эти скорости,
можно установить связь между массой Am и достигнутой скоростью.
Рассмотрим движение грузов в машине Атвуда до снятия добавочного груза
Am, не пренебрегая моментом инерции блока.
На каждый из грузов, кроме притяжения Земли, действует натяжение нитей
/i и /г (Рис- 196). Ускорения грузов / и —/ (грузы движутся в противоположные сто-
стороны) 410 второму закона Ньютона определяются уравнениями
(т -f- Am) j = (m + Am) g — fx; — mj = mg — /2. A3.14)
Вычитая второе из первого, получим:
Bm + Am) / = Amg + /2 — /i- A3.15)
На блок действуют те же натяжения двух нитей f± и /2, соз-
создающие моменты, направленные в противоположные сторо-
стороны. Уравнение моментов для блока имеет вид
г don
где г0 — радиус блока, / — его момент инерции относитель-
относительно оси, а со — угловая скорость блока. Если нить не сколь-
л . da*
зит по блоку, то / = /"о —л , и уравнение моментов можно пе-
переписать в виде
т+Дт
ir/ = fi — f*
A3.16)
(/п + Д т)д
Рис. 196.
Исключая из уравнений A3.15) и A3.16) величину fx — /2, окончательно получим
следующее выражение для /:
Bт + Ат+— / =
A3.17)
Момент инерции, вообще говоря, влияет на ускорение грузов. Но если ///•§ <^ 2т,
то в уравнении A3.17) величиной //г2 можно пренебречь. Когда /-»0,
Am
7
7*2т+ Am ё'
Но это — величина конечная, и, значит, произведение 1I г\ в уравнении A3.16) вместе
с / стремится к нулю. Следовательно, должна стремиться к нулю и правая часть этога
уравнения. Предположение, что /=0, приводит к равенству /i=/2. Так как всякий
блок обладает некоторым моментом инерции, то натяжение нити с двух сторон блока
будет несколько различным (при наличии ускорения). Но, пренебрегая моментом
инерции блока, мы можем прямо считать, что грузы «через нить» действуют друг на
друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Это пре-
пренебрежение моментом инерции вполне аналогично пренебрежению массой нити в
случае, рассмотренном в § 39. Малорастяжимую нить, перекинутую через блок с
малым моментом инерции, можно рассматривать как абсолютно жесткую связь.
§ 90. Физический маятник
Рассмотрим тот важный случай движения твердого тела вокруг
закрепленной оси, когда момент внешних сил обусловлен действием
силы тяжести. На каждый элемент тела действует сила тяжести Amt-g,
создающая определенный момент относительно оси. Сумма моментов
этих сил равна моменту равнодействующей сил тяжести, которая

408
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ XIII
приложена к центру тяжести тела. Поэтому если центр тяжести тела
лежит в точке С (рис. 197а), то момент силы тяжести относительно
горизонтальной оси вращения, проходящей через точку О,
M = mgd sin a,
где й — расстояние от оси вращения до центра тяжести С, а а —
угол между прямой ОС и вертикалью* Если тело закреплено на оси,
не проходящей через центр тяже-
тяжести, то при а =7^=0 на него действу-
действует момент силы тяжести. Так за-
закрепленное тело и называется f
{ УЖ-
Рис. 1976.
физическим маятником (в отличие от математического маятника,
§ 69, для которого размерами тела можно пренебречь по сравнению
с расстоянием до оси вращения).
гтл dw (Pet,
1ак как ~л — -ш> то уравнение моментов имеет вид
или
r 7772 — — mgd sin a,
d2a md
A3.18)
A3.19)
Сравнивая это уравнение с аналогичным уравнением для математи-
математического маятника A0.12), мы видим, что эти уравнения отличаются
только постоянным множителем. Там, где для математического маят-
маятника стоит множитель 1//, для физического маятника входит мно-
множитель mdil. Поэтому физический маятник будет вести себя так же,
как и математический, длина которого lo = I/md. Выведенный из состоя-

§ 91]
ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
409
ния равновесия физический маятник будет совершать колебания
с таким же периодом, как и математический маятник длиной /0, кото-
которая называется приведенной длиной данного физического маятника.
Если к оси физического маятника подвесить «математический
маятник», т. е. грузик т малых размеров на нити, и подобрать длину
этой нити так, чтобы она была равна приведенной длине физического
маятника (рис. 1976), то отклоненные на одинаковый угол оба маят-
маятника колеблются с одинаковым периодом, так что грузик все время
находится в одной и той же точке физического маятника. Эта точка
(лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения) назы-
называется центром качаний данного физического маятника.
Приведенная длина /0 всегда больше d, т. е. центр качаний всегда лежит ниже
центра тяжести. Действительно, по теореме Штейнера момент инерции относительно
оси маятника /=/0+md2, где /0 — момент инерции относительно оси, проходящей
через центр тяжести. Поэтому приведенная длина
A3.20)
*°" md ~ ' md •
т. е. больше d.
Если амплитуды колебания малы, то, как было показано в § 69, период мате-
математического маятника
Т = 2зт yijg-
Подставив вместо I значение приведенной длины /0, получим период малых коле-
колебаний физического маятника:
Т = 2л У lo/g = 2п У I/gmd - A3.21)
Физический маятник, так же как математический, обладает свойством изохрон-
изохронности, пока отклонения малы. Период колебаний физического маятника сущест-
существенно зависит не только от расстояния от оси враще- ,
ния до центра тяжести, но и от момента инерции маят- О
ника относительно оси, т. е. от расположения отдель-
отдельных элементов массы маятника.
§ 91. Измерение силы тяжести
Так как период маятника зависит от g, то маят-
маятником можно пользоваться для определения величины
g. При точных измерениях, конечно, уже ни один
реальный маятник нельзя рассматривать как матема-
математический. Поэтому при точных измерениях силы тяже-
тяжести для периода физического маятника пришлось бы
пользоваться формулой A3.21). Но расчет момента
инерции маятника также не может быть произведен с
большой точностью. Для устранения этих трудностей
используют свойство центра качаний, которое заклю-
заключается в следующем. Если мы перенесем точку под-
подвеса физического маятника в центр качаний, то преж-
прежняя точка подвеса окажется новым центром качаний. Точка подвеса и центр кача-
качаний обратимы. Поэтому период колебаний физического маятника остается преж-
прежним (так как прежней осталась приведенная длина).
chx> свойство центра качаний также можно продемонстрировать с помощью
модели, изображенной на рис. 1976. Если подвесить маятник в центре качаний„
Рис. 197в.

410
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ггл хш
т. е. в точке, против которой находился раньше грузик т, то при колебаниях грузик
(при той же длине нити) будет по-прежнему двигаться вместе с маятником, находясь
все время против той точки, которая прежде служила точкой подвеса. Прежняя
точка подвеса сейчас является центром качаний.
Обратимость точки подвеса и центра качаний можно доказать следующим об-
образом (рис. 197в). Расстояние от центра тяжести С до новой оси О' есть <2'= /0 — dt
где /0 = 00' — прежняя приведенная длина, ad — расстояние от центра тяжести
до прежней оси О. Поэтому новая приведенная длина
Г
~~ m(lo — d) »
где /' — момент инерции маятника относительно оси О'. По теореме Штейнера
где /0 — момент инерции относительно оси С. Из двух предыдущих соотношений
получаем:
Г = т f°_ d) + (/0 — d). A3.22)
Но, с другой стороны, как видно из формулы A3.20), /0—d—IJmd. Подставляя это
выражение в формулу A3.22), получим:
A3.23)
Сопоставляя с формулой A3.20), получаем:
Воспользовавшись обратимостью точки подвеса и центра качаний, можно опыт-
опытным путем найти положение центра качаний. Это—точка, в которой нужно укрепить
ось маятника, чтобы «обернутый» он колебался с тем же перио-
периодом, что и прежде. Для этого у «оборотного» маятника (рис. 198),
кроме неподвижного упора с ножами О', делается передвижной
упор О". Передвигая этот упор, находят такое его положение, при
котором маятник, опирающийся на ножи О", колеблется с тем же
периодом, что и опирающийся на ножи О'. Тогда расстояние меж-
между ножами и дает приведенную длину маятника. Зная приведен-
приведенную длину и период колебаний, можно найти g. Измерение при-
приведенной длины (измерение расстояния) можно произвести с гораздо
большей точностью, чем определение момента инерции. Поэтому
при точных измерениях g всегда пользуются оборотным маят-
маятником.
Ускорение свободного падения относительно Земли в разных
точках земного шара различно. Как уже было указано (§41), эти
изменения отчасти обусловлены не изменением силы притяжения
Земли, а различным ускорением разных точек Земли по отноше-
отношению к «неподвижной» системе координат. Однако влияние этого
фактора легко учесть, пересчитав ускорения свободного падения
к «неподвижной» системе координат. Пересчитанные таким обра-
зом ускорения определяются уже только силой притяжения, ко-
торая в разных точках Земли также различна. Изменения силы
тяжести от точки к точке обусловлены, с одной стороны, отли-
чием формы Земли от шарообразной, а с другой, — различными
Рис. 198. местными неоднородностями в строении Земли (так называемые
аномалии силы тяжести). Точное измерение силы тяжести в раз-
различных точках Земли, с одной стороны, дает указания о форме Земли, а с другой,—
позволяет обнаруживать различные местные неоднородности в строении Земли.
0'

§ 91] ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ 411
Основным прибором для измерения силы тяжести является оборотный маятник.
Определив на опыте центр качаний и измерив расстояние между центром качаний
и точкой подвеса, а также период колебаний маятника, можно по формуле A3.21)
найти значение g, откуда путем пересчета к «неподвижной» системе координат опре-
определяется величина силы тяжести в месте установки маятника. Такие измерения
силы тяжести называют абсолютными.
Однако даже при весьма точных измерениях приведенной длины и периода
маятника для получения точных окончательных результатов необходимо учесть
влияние еще целого ряда факторов, которых не учитывает формула A3.21). Прежде
всего, эта формула, полученная в результате замены since на а, является прибли-
приближенной. Для уменьшения ошибки измерения производятся при очень малых ампли-
амплитудах колебаний маятника, и при этом вводится поправка, которая для малых ам-
амплитуд может быть рассчитана с большой точностью. Далее приходится учитывать
поправки на температуру, так как с изменением температуры изменяются все разме-
размеры маятника (вследствие теплового расширения). Ошибки вносят также и силы трения,
действующие на маятник со стороны подвеса и окружающего воздуха, — они не-
несколько увеличивают период колебаний. Для устранения этих ошибок по возмож-
возможности уменьшают трение в подвесе (подвешивают маятник на агатовой призме) и
вводят поправку на давление, учитывающую изменение влияния воздуха. Учет
всех этих поправок позволяет достичь огромной точности в измерении силы тяжести.
В наиболее точных измерениях ошибка не превышает 2 • 10~8 от измеряемой ве-
величины.
Большая точность при абсолютных измерениях силы тяжести, как видно из
всего сказанного, требует весьма сложных и кропотливых измерений. Поэтому
производство большого числа абсолютных измерений весьма затруднительно. Для
получения большого числа данных применяется метод относительных измерений
силы тяжести. Этот метод основан на измерении периода, с которым один и тот же
маятник колеблется в различных точках земного шара. Из сопоставления периодов
определяется отношение g в разных точках земного шара. В ряде случаев (для изу-
изучения аномалий силы тяжести) этих относительных измерений вообще достаточно-
Для определения же абсолютной величины силы тяжести достаточно знать абсолют-
абсолютное значение силы тяжести в какой-либо одной из тех точек, где произведено отно-
относительное измерение силы тяжести.
При относительных измерениях весьма упрощается учет всех ошибок. Влия-
Влияние температуры, давления и т. д. на данный маятник везде будет одно и то же.
Поэтому для исключения ошибок достаточно определить на опыте влияние всех этих
факторов. Зная, как влияют все факторы, можно привести результаты всех измере-
измерений к одним и тем же условиям. Большинство измерений силы тяжести в различных
точках земного шара произведено именно с помощью относительного метода.
Местные аномалии силы тяжести являются признаками присутствия горных
пород большой плотности, например железных руд. Поэтому измерение силы тя-
тяжести является одним из методов обнаружения полезных ископаемых. Этот метод
гравиметрической разведки занимает важное место среди разнообразных методов
геологической разведки.
Если точка подвеса маятника не остается неподвижной относительно зем-
земной поверхности, а испытывает некоторое ускорение а, то наряду с силой тяжести
на каждый элемент массы маятника Am действует сила инерции — Ата. В простей-
простейшем случае, когда а направлено вертикально, вместо ускорения силы тяжести g
в выражение для периода колебаний войдет (g — а), если ускорение считать поло-
положительным, когда оно направлено вниз. Тогда период колебаний
Если точка подвеса медленно колеблется в вертикальном направлении, то даже
в том случае, когда а изменяется по гармоническому закону и среднее значение
а = 0, все же колебания точки подвеса сказываются на среднем периоде колебаний
маятника. Это обусловлено тем, что период колебаний нелинейно зависит от а, и

412 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ХТТТ
поэтому среднее значение периода колебаний
хотя среднее значение й = 0.
Рассмотренный простейший пример дает представление о тех трудностях, ко-
которые возникают при измерении силы тяжести на море вследствие неизбежной качки
надводного корабля. Силу тяжести на море измеряют на подводных лодках, погру-
погрузившихся так глубоко, что они уже не испытывают качки.
§ 92. Уравнения движения твердого тела.
Равновесие твердого тела
Рассмотрим теперь, как ставится задача о движении твердого тела
в общем виде.
Твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы, и
движение его определяется шестью уравнениями. Три из этих урав-
уравнений получим из закона движения центра тяжести твердого тела:
где х, у, z — координаты центра тяжести тела, ajf,, ?Fv, 2CF? —
суммы компонент внешних сил по осям к, у, г.
Три других уравнения мы получим, составив уравнения моментов
относительно осей х, у, z (эти уравнения справедливы для любых
неподвижных осей):
Здесь Nx, Nyj Nz — моменты импульса системы относительно осей
х> У> г> а 51МХ, ?MV, ^Мг — суммы моментов внешних сил отно-
относительно этих осей. Однако в общем случае связь между моментами
импульса и скоростями отдельных точек тела оказывается сложной,
и определение скоростей точек тела представляет собой трудную
задачу. Мы не будем рассматривать эту задачу в общем виде и огра-
ограничимся в дальнейшем только отдельными частными случаями.
В общем виде мы воспользуемся уравнениями A3.24) и A3.25)
только для определения условий равновесия твердого тела. Но прежде
приведем некоторые соображения, прямо вытекающие из вида этих
уравнений. Если мы будем переносить силы вдоль их направления,
т. е. заменим силы Fl9 F2> F8 и т. д. силами F\y F^ /*з и т. д. (рис. 199),
то не изменятся ни компоненты сил FXy Fy, Fzy ни компоненты моментов
сил А1Х9 Myj Mz (так как «плечи» сил останутся прежними); следова-
следовательно, не изменится и движение тела. Поэтому точки приложения
сил, действующих на твердое тело, можно переносить вдоль направ-
направления сил, — прием, которым постоянно пользуются. Это можно
делать именно потому, что уравнения A3,24) и A3.25), определяющие
движение тела, при этом не изменяются.

$ 92] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 413
Далее, как видно из этих уравнений, силы, действующие на отдель-
отдельные части твердого тела, можно заменять одной результирующей
силой, такой, чтобы она была равна геометрической сумме всех дей-
действующих сил, а ее момент (относительно любой оси) был равен сумме
моментов этих сил. Это можно делать потому, что уравнения движения,
а значит, и характер движений, останутся прежними. Но из равенства
моментов определяется только прямая, вдоль которой результирующая
сила должна быть направлена, а не точка приложения этой силы.
В частности, когда силы тяжести, действующие на отдельные
элементы тела, мы заменяем их равнодействующей, то из условия
равенства сил и моментов следует, что равнодействующая должна
быть направлена по вертикали, проходящей через центр масс тела.
При изменении положения тела величина и направление сил тяжести,
действующих на отдельные элементы тела, не изменяются. Не должна
изменяться и точка приложения равнодействующей сил тяжести;
это требование будет выполнено если рав-
равнодействующая сил тяжести приложена к
центру масс тела. Таким образом, точка
приложения равнодействующей сил тяже-
тяжести определяется не из условий равенства
сил и моментов при определенном положе-
положении тела, а из сопоставления сил и момен-
моментов, действующих при различных положе-
положениях тела.
Отметим, кстати, еще раз, что перенос
сил вдоль их направления и замена сил,
действующих на отдельные элементы тела, Рис. 199.
их результирующей допустимы лишь в том
случае, если нас не интересует вопрос о деформациях тела и мы
можем рассматривать его как абсолютно твердое. Так, например, мы
не могли бы дать правильного ответа на вопросы о деформации тел,
если бы в примере, рассмотренном в § 35, переносили точку прило-
приложения силы (рис. 77), или в примере § 43 считали бы силу тяжести
приложенной к центру тяжести пружины (рис. 90).
Чтобы тело находилось в состоянии равновесия, сумма действую-
действующих на него сил и сумма моментов сил должны быть равны нулю.
Положение тела, в котором выполняются эти условия, является поло-
положением равновесия. Из уравнений A3.24) и A3.25) вытекают условия,
определяющие положение равновесия твердого тела:
LFx = 2F, = 2F,=0; ?Мх=2Му=-?Мг = 0. A3.26)
Положение осей х, yf z мы можем выбрать совершенно произволь-
произвольно; удобно их выбирать так, чтобы наибольшее число моментов сил
обратилось в нуль (чтобы внешние силы проходили через выбран-
выбранные оси).

414
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ ХИГ
Рассмотрим, например, условия равновесия на горизонтальной плоскости не-
невесомого треножника, нагруженного массой т (рис. 200а). На треножник действуют
сила тяжести mg и силы давления со стороны пола Fl9 F2, Fa. Выберем оси так, как
указано на рис. 200а. Так как все силы вертикальны, то вместо первых трех урав-
уравнений A3.26) мы получим только одно:
g = 0. A3.27)
Вместе с тем и уравнение моментов относительно оси z тождественно обратится в нуль.
Пусть точка О есть проекция центра тяжести груза на плоскость опоры. Рас-
Рассматривая положение ножек А, В, С и точки О на этой плоскости (рис. 2006), мы
сможем составить два уравнения моментов относительно осей х и у, лежащих в
этой плоскости1):
l2f2 4- dxmg = 0, /«Л + d2mg = 0. A3.28)
Эти три уравнения и определяют условия равновесия. Для того чтобы они удов-
удовлетворялись, точка О должна лежать между осями х и у; иначе моменты сил mg и F\
или F3 будут одного знака. Из этих же уравнений определяются и наибольшие зна-
значения d/и d2, при которых уравнения A3.28) могут удовлетворяться (так как в силу
Рис. 200а.
Рис. 2006.
A3.27) ни одна из сил FlfF2j F^m может превосходить mg). Как легко видеть, эти наи-
наибольшие значения dt и d2 как раз таковы, что проекция центра тяжести^ (точка 0)
не должна выступать за линии, соединяющие ножки стола. Из уравнений A3.27) и
A3.28) мы можем определить и все три силы Flt FZj F3, т. е. давления на ножки стола.
Заметим, кстати, что если бы мы рассматривали стол на четырех ножках, то мы
получили бы тоже только три уравнения. Мы нашли бы условия равновесия» но ке
смогли бы определить четырех сил давления F,, F2, F3, F4. Причина этого заклю-
заключается в том, что распределение давлений на ножки стола существенно зависит от
упругих свойств стола и его деформаций. Поэтому определить эти давления, рас-
рассматривая стол как недеформируемое тело, невозможно. Пояснить, почему невоз-
невозможно определить силы давления на четыре ножки, считая пол и стол абсолютно
недеформируемыми, позволяет следующий пример. Если бы одна из четырех ножек
была немного длиннее трех остальных, то эти три ножки одновременно не могли бы
касаться плоскости, на которой стоит стол. Но если бы длинная ножка не была аб-
абсолютно твердой, а была бы способна деформироваться, то от ее упругости сущест-
существенно зависело бы давление на пол не только этой, но и всех остальных ножек. Такие
х) Как условлено, знак момента силы считается положительным, когда направ-
направление, в котором движется буравчик (к рукоятке которого приложена данная
сила), совпадает с положительным направлением соответственно оси х или у.

§ 92] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 415
случаи, когда распределение сил зависит от деформаций и упругих свойств тел и
поэтому, рассматривая тела как недеформируемые, нельзя определить эти силы,
в механике называются статически неопределимыми.
Условия A3.26) необходимы, но не достаточны для того, чтобы
тело находилось в состоянии равновесия. Для этого необходимо
также, чтобы скорости всех точек тела в положении равновесия были
равны нулю (так как в противном случае тело уйдет из положения
равновесия). Но и этого условия не достаточно, чтобы тело длительное
время находилось в состоянии равновесия. В реальных условиях
на всякое тело действуют случайные внешние толчки, которые немного
отклоняют тело от положения равновесия. В этом новом положении
условия A3.26) нарушаются, т. е. суммы внешних сил и их моментов
оказываются не равными нулю. Дальнейшее поведение тела, как мы
уже видели (§ 29), зависит от того, в каком направлении действуюг
силы и моменты сил, возникшие при отклонении тела от положения
равновесия: если эти силы и моменты сил направлены так, что они
возвращают тело к положению равновесия, то, несмотря на случайные
толчки, тело будет все время находиться вблизи положения равно-
равновесия и никогда не уйдет от него далеко, если случайные внешние
толчки достаточно малы — состояние равновесия будет устойчивым.
Если же возникшие силы и моменты сил направлены так, что они
уводят тело еще дальше от положения равновесия, то тело может уйти
как угодно далеко от положения равновесия — состояние равновесия
будет неустойчивым. Ясно, что длительное время тело может нахо-
находиться только в устойчивом состоянии равновесия.
Повторяя приведенные в § 29 рассуждения о работе сил вблизи
состояний устойчивого и неустойчивого равновесия, нетрудно убе-
убедиться, что для твердого тела существует такая же связь между харак-
характером состояния равновесия тела и значением его потенциальной
энергии, как и для материальной точки. При этом для твердого тела
величина потенциальной энергии в однородном поле тяготения опре-
определяется только положением центра тяжести тела. Потенциальная
энергия твердого тела массы т в поле тяготения, которое вблизи
поверхности Земли можно считать однородным, определяется выра-
выражением
U — mgh,
где h — высота центра тяжести тела над нулевым уровнем, т. е.
в однородном поле тяготения потенциальная энергия тела массы т
равна потенциальной энергии материальной точки той же массы т,
расположенной на той же высоте, что и центр тяжести тела. Наиниз-
Наинизшему из всех возможных положений центра тяжести твердого тела
соответствует минимум потенциальной энергии и устойчивое состояние
равновесия. Наоборот, наивысшему из всех возможных положений
центра тяжести твердого тела соответствует максимум потенциальной
энергии и неустойчивое состояние равновесия.

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ГЛ Х!П
I
§ 93. Рычажные весы
Схема рычажных весов приведена на рис. 201. Коромысло АВ может повора-
поворачиваться относительно точки О. В точках А и В подвешены чашки с взвешиваемыми
грузами. Силы, действующие со стороны чашек на коромысло, всегда остаются
вертикальными благодаря тому, что чашки могут поворачиваться вокруг точек А
и В. Стрелка Л/, укрепленная на коромысле в точке О, позволяет отсчитывать наклон
коромысла по шкале S. Если вес одной из чашек весов и лежащего на ней груза Р,
а другой чашки с грузом P~{-pf то ко-
Е ромысло после колебаний установится
в некотором положении равновесия
^ q ^-'^ * А'В'. При этом конец стрелки весов
\В отклонится на расстояние h по шкале.
р При малых отклонениях величина h
пропорциональна весу добавочного
груза р.
Чувствительностью весов называет-
называется коэффициент пропорциональности
между весом добавочного груза и ве-
величиной вызванного им отклонения
конца стрелки на шкале. Чем больше
чувствительность весов, тем меньше
добавочный груз, присутствие кото-
которого можно констатировать, т. е. тем
точнее может быть произведено взве-
взвешивание.
Для определения чувствительности
рассмотрим условия равновесия весов
в отклоненном положении. Это откло-
отклонение, как сказано, обусловлено тем,
что, помимо лежащих на двух чашках равных грузов, вес каждого из которых
вместе с чашкой равен Р, на одну из чашек положен добавочный груз р. Обозна-
Обозначим через / половину длины коромысла, т. е. ОЛ и ОВ, через Ро — вес коромысла
со стрелкой. Для того чтобы весы находились в состоянии устойчивого равнове-
равновесия, центр тяжести их Е должен лежать ниже точки опоры. Обозначим через d
расстояние от центра тяжести коромысла и стрелки до точки О. При отклонении
коромысла центр тяжести переместится в Е'. За ось моментов выберем ось, прохо-
проходящую через точку О. Условие равновесия есть условие равенства моментов сил
относительно этой оси:
nnm»immmnnnimmfflt
i i i i i i i f
Рис. 201.
Так как OC=OD, то уравнение моментов принимает вид
р.ОС=Р0- OF.
Если коромысло отклонено на угол ф, то
ОС = / cos ф и OF — d sin ф.
Подставляя эти выражения в уравнение моментов, получим:
pi cos ф = Pod sin ф или tg ф = pl/Pod.
Отклонение конца стрелки по шкале равно h =r tg ф, где г — длина стрелки. Следо-
h = (rl/Pod) p.
вательно,
Коэффициент пропорциональности между р и ht т. е. чувствительность весов,
k = rl/Pod. A3.29)
416

& 94] ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 417
Следовательно, чувствительность весов не зависит от величины взвешиваемых гру-
грузов и веса чашек; это достигается тем, что точки прикрепления чашек лежат на
одной прямой с точкой О и направление сил Р и Р-\~р всегда остается верти-
вертикальным.
Из полученного выражения для чувствительности весов легко усмотреть, ка-
каковы пути повышения чувствительности весов. Прежде всего для повышения чув-
чувствительности следует увеличивать длину коромысла и длину стрелки. Предел, од-
однако, ставится тем, что очень длинное коромысло и очень длинная стрелка будут
сами изгибаться, если не делать их достаточно массивными. Увеличение же их мас-
массивности, т. е. их веса Ро, уменьшает чувствительность весов. Последняя возмож-
возможность увеличения чувствительности весов — это уменьшение d, расстояния между
центром тяжести и точкой подвеса. Для регулировки чувствительности весов в не-
некоторых пределах обычно этим пользуются. На коромысле весов над или под точ-
точкой О помещается грузик, положение которого можно изменять при помощи винта.
Поднимая грузик, мы приближаем центр тяжести весов к точке О и тем самым уве-
увеличиваем чувствительность весов. Однако и в этом направлении нельзя идти слиш-
слишком далеко, поскольку весы представляют собой физический маятник и уменьшение
d увеличивает период колебаний этого маятника, а вместе с тем и то время, которое
необходимо, чтобы весы остановились в положении равновесия. Чтобы сократить
это время, в чувствительных весах с большим периодом колебаний, не дожидаясь,
пока весы установятся в положении равновесия, наблюдают наибольшие отклоне-
отклонения весов при колебаниях. Из этих наблюдений определяют положение равновесия,
около которого весы колеблются.
Чувствительность весов зависит еще от одного обстоятельства, которого мы не
учитывали, а именно от сил сухого трения в точке подвеса (§ 51). Силы сухого тре-
трения вызовут появление «застоя» у весов, так же как во всяком измерительном при-
приборе. Поэтому только в грубых рычажных весах коромысло надевается на ось, вок-
вокруг которой оно может вращаться. В точных же весах коромысло опирается на
острую грань призмы, сделанной из возможно более твердых материалов (специаль-
(специальных сортов стали, агата и т. п.). При достаточно острой и твердой грани призмы
явление застоя практически не играет роли.
§ 94. Плоское движение твердого тела
Рассмотрим простейший случай движения твердого тела, не имею-
имеющего закрепленных точек, именно случай плоского движения, при
котором каждая точка твердого тела движется, оставаясь в одной из
параллельных друг другу плоскостей. Примером этого типа движений
может служить качение цилиндра по плоскости.
Движение центра тяжести твердого тела определяется уравнением
A3.7)
где v — скорость центра тяжести, >]F — сумма всех внешних сил,
действующих на тело.
Для того чтобы полностью определить движение тела, нужно,
кроме того, написать уравнение моментов относительно какой-либо
произвольно выбранной оси (так как уравнение моментов справед-
справедливо для любой неподвижной оси). Однако положение движущегося
тела относительно неподвижной оси будет все время изменяться и
14 С. Э. Хайкин

418 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ХИТ
связь между моментом импульса и угловой скоростью будет сложной.
Зная, как изменяется момент импульса, мы еще очень мало сможем
сказать о том, как изменяются скорости различных точек тела.
Задача существенно упростится, если мы выберем ось моментов,
жестко связанную с телом. Но это значит, что мы составляем уравне-
уравнение моментов в движущейся системе отсчета, которая при ускорен-
ускоренном движении тела окажется неинерциальной. В этой системе от-
отсчета будут действовать силы инерции, и при составлении уравнения
моментов должны быть учтены моменты сил инерции, что опять услож-
усложнит задачу.
Однако для случая плоского движения твердого тела можно сразу
указать такую ось, связанную с телом, относительно которой моменты
сил инерции оказываются равными
нулю, и поэтому уравнение моментов
имеет такой же вид, как и для осей,
неподвижных в пространстве. Именно
этим свойством обладает ось, движу-
движущаяся поступательно (т. е. перпенди-
перпендикулярная к плоскостям, в которых
движутся точки тела) и проходящая
через центр тяжести тела.
В самом деле, положим, что пло-
~™ ™~ ¦""*" ское движение тела происходит так,
Рис. 202. что все точки тела движутся в пло-
плоскостях, параллельных координатной
плоскости х, у неподвижной системы координат х, у, г. Свяжем с
телом подвижную систему координат так, что ее оси х' и у' ос-
остаются все время параллельными осям х и у, а ось г' жестко свя-
связана с телом и проходит через его центр тяжести (рис. 202). Вслед-
Вследствие того, что движение плоское, ось г' будет все время оставаться
параллельной оси г и подвижная система координат х\у\ z' по отно-
отношению к неподвижной х, у, z будет двигаться поступательно. Но
в таком случае, как было указано (§ 79), «абсолютное» ускорение /
получается из «относительного» добавлением только переносного
\ скорения /0, одинакового для всех точек тела. Поэтому и дополни-
дополнительное ускорение —/0, появляющееся при переходе от «неподвижной»
системы отсчета к, у, z к движущейся *', у1, г', будет одинаково для
всех точек тела. Следовательно, в этой системе отсчета силы инер-
инерции, действующие на отдельные элементы тела массы Ать будут
равны — Д/nJo и параллельны друг другу. Равнодействующая этих сил
инерции, так же как и равнодействующая сил тяжести, будет прило-
приложена к центру тяжести тела, и момент ее относительно оси, проходя-
проходящей через центр тяжести, будет равен нулю. Вследствие этого отно-
относительно оси г', выбранной так, как указано выше, уравнение моментов
будет иметь такой же вид, как и для неподвижной оси; в него будут
входить только моменты внешних сил.

941
ПЛОГКОР
ТВЕРДОГО TF.nA
410
Поэтому при рассмотрении плоского движения за ось моментов
мы будем всегда выбирать ось, проходящую через центр тяжести тела
и перпендикулярную к плоскости, в которой происходит движение
тела. Например, в случае плоского движения цилиндра этой ось*о
будет служить его геометрическая ось. Поскольку эта ось неподвижна
относительно тела, мы сразу можем написать выражение момента им-
импульса относительно этой оси:
где / — момент инерции тела относительно этой же оси. Уравнение
dN ..
Л1 принимает вид
dN
моментов -«- =
I — -
1 di -~
A3.31)
где М — момент внешних сил относительно той же оси. Уравнение
A3.30) определяет скорость поступательного движения тела, а урав-
уравнение A3.31) — угловую скорость вращательного
движения (после того как ось выбрана, разделение
движения на поступательное и вращательное стано-
становится однозначным).
Применим полученные уравнения к движению маятника
Максвелла (§ 41). На диск массы т действуют сила тяжести
mg и натяжение нити / (рис. 203). Поэтому ускорение / центра
тяжести диска определится уравнением
Ось моментов, как условлено, выберем так, чтобы она прохо-
проходила через центр тяжести диска (т. е. совпадала с его геометри-
геометрической осью О). Момент силы тяжести относительно этой оси
равен нулю, а момент силы натяжения нити M~fr, и уравне-
уравнение моментов имеет вид:
f^T*=fr. A3*33) Рис. 203.
Из кинематических соображений легко найти связь между / и dcafdt. Так как
центр тяжести опускается как раз на столько, на сколько раскручивается нить,
то его перемещение S и угол поворота диска а связаны соотношением S—ar. Диф-
d@
ференцируя это соотношение дважды по времени, получим: / = г — % и уравнение
A3.33) можно переписать в виде
(I/г) / =* fr.
Из уравнений A3.32) и A3.34) найдем:
" т +
A3.34)
A3.35)
Ускорение диска тем меньше, а натяжение нити тем больше, чем больше момент
инерции диска.
Дойдя до нижнего положения, когда нить полностью раскрутилась, диск снова
начнет подниматься вверх с той начальной скоростью, которой он достиг в нижней
точке. Ускорение его будет прежнее и по-пртежнему направлено вниз.
14*

420 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ХШ
Движение всякой точки диска мы можем представить как поступательное дви-
движение со скоростью у, равной скорости центра тяжести, и вращение вокруг гео-
геометрической оси с угловой скоростью со.
Полную скорость любой точки получим, прибавив к скорости v' —for, обуслов-
обусловленной вращением, скорость поступательного движения v. В точке Л, где нить от-
отделяется от оси, эта полная скорость равна нулю. Через эту точку проходит мгно-
мгновенная ось вращения диска.
Мгновенную ось можно было бы принять за ось моментов. Тогда момент натяже-
натяжения нити был бы равен нулю (сила натяжения нити проходит через мгновенную ось),
и угловое ускорение было бы обусловлено моментом силы тяжести относительно
этой оси. Это представление очень наглядно, но при составлении уравнения моментов
возникли бы затруднения. С одной стороны, нужно было бы принять во внимание
момент сил инерции (который относительно оси, не проходящей через центр тяжести,
не равен нулю). С другой стороны, нужно было бы вычислять момент импульса
относительно оси, которая не остается неподвижной в теле (мгновенная ось пере-
перемещается относительно диска).
Как уже указывалось, эти затруднения не возникают, если за ось моментов выб-
выбрать ось, проходящую через центр тяжести тела и жестко связанную с телом.
Подсчитаем кинетическую энергию тела, совершающего плоское
движение. Если рассматривать движение тела как вращение вокруг
мгновенной оси, то элемент массы Am,- имеет в данный момент линей-
линейную скорость Vi = cor,-, где г-г — расстояние от этого элемента до мгно-
мгновенной оси. Кинетическая энергия отдельного элемента тела будет
а кинетическая энергия всего тела
где /А — момент инерции тела относительно мгновенной оси. Но
по теореме Штейнера (см. § 89) 1Л — I + mrl, где г0 — расстояние
от мгновенной оси до центра тяжести и / — момент инерции гела
относительно оси, проходящей через центр тяжести. Поэтому из
A3.36) получим:
т 1 « о . /СО2
Введя в это выражение линейную скорость центра тяжести v — сого,
получим:
T^ + f. A3.37)
Полная кинетическая энергия плоского движения твердого тела
равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кине-
кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр тя-
тяжести.

§ 95] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ 421
§ 95. Закон сохранения момента импульса
для системы тел
К замкнутой системе твердых тел, так же как к замкнутой системе
материальных точек, могут быть применены законы сохранения
импульса и момента импульса. При суммировании уравнений движе-
движения и уравнений моментов внутренние силы, действующие между
отдельными твердыми телами, исключаются (в силу третьего закона
Ньютона). Поэтому, если на систему твердых тел не действуют внешние
силы, то ее общий импульс остается постоянным. Тсчно так же, если
сумма моментов всех внешних сил равна нулю, то общий момент
импульса системы твердых тел остается постоянным. Применение
закона сохранения импульса к системе твердых тел дает, по существу,
то же самое, что и в случае системы материальных точек, -— закон
движения центра тяжести системы тел.
Закон сохранения моментов импульса в применении к системе
твердых тел дает нечто новое по сравнению с системой материальных
точек. Твердое тело может вращаться вокруг осей, проходящих через
тело, и с этим вращением связаны определенные моменты импульса,
которых мы не могли бы учесть, рассматривая тела как материальные
точки. Поэтому в целом ряде случаев закон сохранения моментов
импульса дает ответ на вопрос только в том случае, когда мы рассмат-
рассматриваем систему твердых тел, а не систему материальных точек.
Для пояснения сказанного может служить следующая демонстрация. Если
на «снаряд» пушки, которой мы уже ранее пользовались, сбоку насадить массивный
груз, например кусок свинца (рис. 204), то при выстреле пушка откатывается не
прямо назад, а вбок, в ту сторону, с которой находился добавочный груз до выстрела.
Если бы пушка была установлена на гладком столе (отсутствовали бы силы трения),
то, откатываясь, она вращалась бы вокруг своей оси. Между тем центр «снаряда»
после выстрела движется прямолинейно (так как после выстрела на него никакие
силы не действуют). Если бы мы рассматривали снаряд как материальную точку и,
следовательно, считали бы, что, двигаясь прямолинейно, он не обладает моментом
импульса, то закон сохранения моментов импульса был бы нарушен. В действитель-
действительности же снаряд при движении вращается вокруг вертикальной оси, проходящей
через его центр тяжести, т. е. обладает определенным моментом импульса относительно
этой оси. Так как никакие моменты внешних сил относительно вертикальной оси
на систему пушка —снаряд не действуют (если пренебречь силами трения), то пушка
после выстрела должна обладать таким же, как снаряд, по величине, но противопо-
противоположным по знаку моментом импульса относительно вертикальной оси, т. е., отка-
откатываясь, должна вращаться.
Применим теперь закон сохранения моментов импульса к вопросу о вращении
двигателя. Силы, действующие в двигателе — давление пара (в паровой машине),
давление газов, образовавшихся при взрыве (в моторе внутреннего сгорания), или,
наконец, электромагнитные силы (в электромоторе), — это всегда внутренние силы,
которые не могут создавать моментов импульса всей системы в целом. Между
тем роторы всех этих двигателей вращаются, т. е. приобретают некоторый момент им-
импульса.
Как согласовать этот факт с законом сохранения момента импульса? Дело в
том, что эти двигатели никогда не являются замкнутыми системами. Станина дви-
двигателя всегда укреплена на каком-то фундаменте, и давление со стороны этого фун-
фундамента и создает внешний момент относительно оси двигателя. Для этого, конечно.

422
MFX АНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ггл. хтп
давление фундамента полжно быть с одной стороны больгое, чем с другой. В этом
можно убедиться, если поставить электрический мотор на пружинную подставку.
При включении мотора подставка перекосится: пружины с одной стороны сожмутся,
Рис. 204.
а с яругой — растянутся. Разное давление пружин с двух сторон и создает отно-
относительно оси мотора момент внешних сил, необходимый для того, чтобы возник мо-
момент импульса всей системы в целом.
Если бы на статор мотора не действовали внешние силы со стороны подставки,
то внутренние силы, действующие между статором и ротором, сообщали бы ^тятору
а)
и ротору вращение в разные стороны, — общий момент импульса системы оставался
бы рявным нулю. Это можно продемонстрировать при помощи электромотора, ста-
статор которого установлен на подшипниках, так что он может свободно вращаться
вокруг той же оси, что и ротор (рис. 205). Ток к статору подводится через специаль-
специальные кольца со щетками (так, как обычно ток подводится к ротору). В таком виде мо-
мотор представляет собой замкнутую систему; момент внешних сил относительно оси
ротора равен нулю.

§95] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА ДЛЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ
423
Действительно, при включении тока сгатор и рогор начинаю! вращаться в
разные стороны (рис. 205, а) с одинаковой скоростью (если их моменты инерции
одинаковы). Если задержать рукой статор, то вращается только ротор (рис. 205, б).
Если же задержать рукой ротор, то вращается только статор в противоположном
направлении (рис. 205, в). Величина и направление общего момента импульса за-
зависят от величины и направления тех моментов внешних сил, которые приложены
к мотору. Поэтому в первом случае общий момент импульса равен нулю (внешний
момент отсутствует), а во втором и третьем — моменты импульса противоположны
по направлению (моменты сил, действующих со стороны руки, во втором и третьем
случаях прогивоположны по направлению). Внутренние силы во всех случаях
остаются одни и те же.
В приведенных примерах применения закона сохранения момента импульса
для системы твердых тел рассматривались моменты импульса относительно параллель-
параллельных осей, и поэтому дело сводилось к алгебраическому сложению моментов импульса
Рис. 206.
Для иллюстрации векторного характера закона сохранения моментов импульса
могут служить опыты с вращающимся массивным колесом на скамье Жуковского, т. е.
на подставке, которая может свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис.
206). Человек с колесом в руках, находящийся на скамье Жуковского, представля-
ei собой систему, на которую не действуют никакие моменты сил относительно вер-
вертикальной оси. Поэтому общий момент импульса системы относительно вертикальной
оси должен оставаться постоянным. И действительно, если находящийся на скамье
человек раскручивает колеси, то он сам со скамьей начинает вращаться в обратную
сторону во всех случаях, когда ось колеса не лежит в горизонтальной плоскости.
Если же ось колеса горизонтальна, то, раскручивая его, человек остается в покое
(рис. 206, а). Можно видоизменить опыт, передав в руки человека на невращающейся
скамье уже раскрученное колесо в определенном положении, т. е. сообщив системе
определенный момент импульса N (рис. 206, б). Тогда при всяком изменении поло-
положения колеса, связанном с изменением величины проекции вектора N на вертикаль-
вертикальною ось, человек со скамьей начинает вращаться так, что сумма момента импульса
человека со скамьей и проекции момента импульса колеса на вертикальную ось
остается постоянной. Например, если опустить ось колеса книзу, то скамья на-
чинаег ьращаться в сторону, противоположную вращению колеса (рис. 206, в);
при &юм момеш импульса челоьека со скамьей равен 27V, так что общий

424 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ Х1П
импульса остается равным N (поскольку оба момента направлены в противополож-
противоположные стороны).
На этом примере особенно ясна ценность применения законов сохранения им-
импульса. Мы можем определить, как будет двигаться человек со скамьей, на основании
закона сохранения момента импульса, не вникая в то, какие силы вызывают это
движение.
В дальнейшем, когда мы применим к этим движениям законы динамики, выяс-
выяснится и происхождение сил, вызывающих вращение человека со скамьей.
§ 96. Удар твердых тел
Удар шаров мы могли рассматривать как задачу механики точки, поскольку
мы считали шары гладкими, т. е. полагали, что при соприкосновении шаров тан-
тангенциальные силы отсутствуют. Вследствие этого вращение шаров не могло
возникнуть, и можно было ограничиться рассмотрением движения центров
тяжести шаров, т. е. свести задачу к механике
1 Q/и точки. С помощью механики твердого тела мож-
можно рассмотреть задачу об ударе шаров при наличии
I тангенциальных сил. Однако при этом пришлось
d 0г бы вводить какие-то специальные предположения о
U характере этих тангенциальных сил, что сделало
0г бы всю задачу очень искусственной.
т О О Гораздо более поучительными являются такие
задачи об ударе, в которых силы взаимодействия
между телами нормальны к поверхности сопр ИКОС-
ИКОСОВ О новегия; вращение же соударяющихся тел возни-
возникает не за счет тангенциальных сил, а вследствие
tvf того, что эти тела не обладают сферической сим-
симметрией; для этого нужно рассматривать тела не
шарообразные, а* более сложной формы. Первым
. 1 шагом на пути усложнения формы соударяющихся
От О тел является переход к телам с осевой симметрией,
а) б) например, имеющим форму гантели, т. е. состоящим
из двух одинаковых шаров массы т каждый, соеди-
Рис. 207. ценных жестким стержнем (рис. 207); при этом мы
будем считать, что длина стержня d велика по
сравнению с радиусами шаров, а масса стержня, наоборот, мала по сравнению
с т. Это упростит вычисление момента импульса гантели.
Мы ограничимся только случаем такого центрального удара шара одной гантели
с одним из шаров другой гантели, при котором скорости обоих шаров двух ганте-
гантелей до удара (а значит, и после удара) лежат в той же плоскости, в которой лежат
оси гантелей; тогда движение гантелей можно рассматривать как плоское.
Для дальнейшего упрощения задачи мы будем считать, что до удара гантели
не вращаются, а движутся только поступательно и из всех возможных случаев взаим-
взаимного расположения осей гантелей рассмотрим только два простейших: 1) осевой
удар гантелей, когда оси гантелей лежат на одной прямой (рис. 207, а); 2) нормаль-
нормальный удар гантелей, когда оси гантелей взаимно перпендикулярны (рис. 207, б).
Поскольку мы рассматриваем центральный удар, то в первом случае скорости по-
поступательного движения гантелей совпадают по направлению с осями обеих гантелей,
а во втором они совпадают с направлением оси одной гантели и перпендикулярны к
направлению оси другой гантели. Наконец, для упрощения расчетов мы будем
считать, что одна из гантелей до удара покоится; ясно, что это предположение не
является ограничением, так как движение гантелей после удара зависит только от
относительной скорости их поступательного движения до удара, и поэтому любую
из гантелей мы можем считать до удара покоящейся.
В случае осевого удара (рис. 207, а) нормальные к поверхности шаров силы,
действующие между шарами при соударении и проходящие через центры шаров.

^ 96] УДАР ТВЕРДЫХ ТЕЛ 425
направлены вдоль осей гантелей; они не создают моментов сил относительно осей,
проходящих через центры тяжести гантелей перпендикулярно к осям гантелей.
Поэтому при осевом ударе гантелей вращение их не может возникнуть; не возникает
и каких-либо новых вопросов по сравнению с ударом шаров. В случае же нормаль-
нормального удара гантелей (рис. 207, б) должно возникнуть вращение той из гантелей,
ось которой перпендикулярна к скорости их относительного движения до удара
(для определенности положим, что эта гантель до удара покоится). В самом деле,
в таком случае сила, действующая при соударении на шар этой гантели, создает
момент относительно оси, проходящей через точку 02 перпендикулярно к плоскости
чертежа, и этот момент силы вызовет вращение гантели вокруг оси. Следовательно,
при нормальном ударе гантелей, помимо скорости поступательного движения ган-
гантелей после удара, необходимо определить также угловую скорость вращения одной
из гантелей после удара.
Для замкнутой системы, состоящей из двух гантелей, справедливы законы
сохранения импульса и момента импульса. Первый закон сохранения даст уравнение,
связывающее скорости центров тяжести двух гантелей до удара и после удара;
второй закон сохранения даст уравнение, связывающее моменты импульса гантелей
до удара и после удара, например, относительно оси, проходящей через центр тя-
тяжести неподвижной гантели до удара. Однако необходимо _
определить значения трех величин: скоростей центров тяже- */ kVz
сти двух гантелей и угловой скорости вращения одной из i | _
гантелей вокруг оси, проходящей через ее центр тяжести. 1 fT^ О
Таким образом, законов сохранения импульса и момента им- О о ? 2
пульса недостаточно для решения задачи, так как число г
уравнений на единицу меньше, чем число неизвестных. Как и Q
в случае удара шаров (§ 33), это недостающее уравнение
можно получить из закона сохранения энергии, предпола-
предполагая, что сумма кинетических энергий поступательного дви-
движения гантелей и их вращения вокруг осей, проходящих че-
через центры тяжести, при ударе не изменяется.
В случае удара шаров предположение, что кинетиче-
ская энергия до и после удара одинакова, означало, во- Q
первых, что силы, возникающие при деформации шаров во р 2г)8
время соударения, имеют упругий характер и, во-вторых,
что энергия возникающих при ударе упругих колебаний
отдельных частей шара пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией
шаров. В случае удара гантелей предположение, что общая кинетическая энергия
обеих гантелей до и после удара одинакова, содержит, помимо двух указанных,
еще и третье допущение. Дело в том, что при ударе гантелей, помимо деформа-
деформации и колебаний отдельных частей шаров, возникают также деформации стержня,
соединяющего шары, поскольку реальный стержень не может быть недеформируе-
мым. В частности (рис. 207, б), стержень первой гантели при ударе сожмется и
возникнут колебания обоих шаров вдоль оси гантели. Следовательно, предполагая,
что сумма кинетических энергий поступательного и вращательного движений ган-
гантелей при ударе остается неизменной, мы пренебрегаем энергией упругой деформа-
деформации стержня.
Но, как было показано в § 29, представление об абсолютно твердом теле вклю-
включает в себя предположение о том, что энергией упругой деформации этого тела можно
пренебречь. Поэтому, рассматривая стержень, соединяющий шары в гантели, как
абсолютно твердый, можно применять закон сохранения энергии только к энергии
поступательного и вращательного движения гантелей (не учитывая энергии колебаний
шаров гантели). По аналогии с ударом шаров, удар гантелей, при котором со-
сохраняется кинетическая энергия движения гантелей, рассматриваемых как твердое
(недеформируемое) тело, можно назвать абсолютно упругим и говорить об «абсолютно
упругом ударе твердых тел». Представление о теле, являющемся одновременно и
абсолютно упругим, и абсолютно твердым, требует пояснения. Вспомним, что к
представлению об абсолютно твердом теле мы пришли, полагая, что тело становится

426 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ XIII
все жестче и жестче. Но все же тело упруго и поэтому в нем могут возникать дефор-
деформации (хотя и очень малые). И если силы внутреннего трения в теле отсутствуют,
то энергия этих деформаций не рассеивается в виде тепла, а вновь превращается в
кинетическую энергию соударяющихся тел.
Итак, применим законы сохранения импульса, момента импульса и энергии к
нормальному удару гантелей (рис. 208). Обозначим через vx, v2, vlt v2 соответственно
скорости движения центров тяжести гантелей до удара и после удара и через сог,со2,
co^cog — угловые скорости их вращения до удара и после удара вокруг осей, про-
проходящих через точки Olf О2. Тогда согласно сделанным выше предположениям v2=
=0, сох =0J=00! =0. Зная vit нужно определить vlfv2 и со2. Закон сохранения им-
импульса дает:
2mv1 == 2mvl -f- 2mv2, или v1 = v1-\- v2. A3.38)
Напишем теперь закон сохранения момента импульса относительно оси, проходя-
проходящей через точку О2. Так как расстояние от прямой, на которой лежит скорость уь
до точки О2 есть d/2, то момент импульса до удара есть 2т (d/2) vx~mdvx. После удара
скорость щ лежит на той же прямой, и следовательно, момент импульса первой ганте-
гантели относительно той же оси О2 после удара есть 2т (d/2) vx=mdvx. Кроме того, после
удара возникает вращение второй гантели с угловой скоростью аJ и, следовательно,
№ —
вторая гантель приобретает момент импульса (относительно той же оси О2) 2т -- со2 —
= ntd2—, Приравнивая полные моменты импульса до и после удара, получим:
mdut = mdv-x Ч~ гп —~-1 или vL = щ + -^-. A3.39)
Наконец, из закона сохранения энергии, пользуясь для определения полной
кинетической энергии второй гантели выражением A3.37), найдем:
2mv\ __ 2тЩ 2mv\ 2md2 co|
^ A3.40)
Исключая из A3.39) и A3.40) одно неизвестное со2, а затем из полученного урав-
уравнения и A3.38) второе неизвестное Юъ получим квадратное уравнение для неизвест-
неизвестного V\\
щ _ 4у1^1 -f uj = 0,
корни которого
v\ = vt и v'[ — vJ3.
Первый из этих корней соответствовал бы случаю, когда скорость первой гантели
не изменяется при ударе; при этом, как следует из A3.38) и A3.39), v2=0 и со2^=0.
Это значило бы, что первая гантель «проходит» сквозь шар второй гантели, не взаи-
взаимодействуя с ним Конечно, такой случай физически невозможен, и поэтому корень
v[=vx должен быть отброшен1). Единственный ответ, имеющий физический смысл,
есть
01 = о1/3. A3.41)
г) Причина того, почему законы сохранения дают такой физически невозмож-
невозможный ответ, была разъяснена в § 33.

§ 96] УДАР ТВЕРДЫХ ТЕЛ 427
Тогда из A3 39) следует, что
Щ = 21^ъ A3.42)
и из A3.40) следует, что
щсЦ2 = 7Л. A3.43)
Так как линейная скорость шаров второй гантели, обусловленная ее вращением,
есть
щ = dco2/2 = 2/3vlf
то. сразу после удара полная скорость левого (на рис. 208) шара второй гантели
^2л = ^2 + Щ = 4/з^1, A3.44)
а правого шара второй гантели
Последний результат означает, что в момент удара мгновенная ось вращения
второй гантели проходит через центр правого шара. Этот результат позволяет свести
рассматриваемый случай удара гантелей к удару шаров. Поскольку правый шар в
момент удара не приобретает скорости, то удар первой гантели в левый шар можно
рассматривать, не учитывая влияния правого шара второй гантели, т. е. как централь-
центральный удар шара массы 2т (поскольку стержень, соединяющий оба шара первой ган-
гантели, абсолютно жесткий, массы обоих шаров этой гантели играют одинаковую роль)
в шар массы т. Подставляя эти значения масс в формулу D.40) для шаров разной
массы, найдем:
&1 = Vs^i, v2jl = Ч^ъ
т. е. результаты, совпадающие с A3.41) и A3.44). Учтя, что мгновенная ось про-
проходит через центр правого шара, можно найти поступательную скорость и угло-
угловую скорость вращения второй гантели.
В рассмотренном частном случае нормального удара возникает вращение только
одной гантели. В случае же произвольной ориентировки осей гантелей при ударе
возникает вращение обеих гантелей или изменяется момент импульса обеих ган-
гантелей, если они обе вращались до удара. Таким образом, гантели при ударе могут
передавать одна другой как импульс, так и момент импульса. При этом энергия пос-
поступательного движения может переходить в энергию вращательного движения и
обратно. Но при ударе может изменяться угловая скорость вращения только вокруг
осей, перпендикулярных к оси самой гантели. Вращение же гантели вокруг оси
самой гантели не может возникнуть, поскольку действующие во время удара между
отдельными шарами гантелей силы нормальны к поверхности шаров, т. е. прохо-
проходят через центры шаров, а значит, и через оси гантелей, и не создают моментов от-
относительно этих осей.
Хотя гантель, как всякое свободное твердое тело, обладает шестью степенями
свободы, но в отсутствие тангенциальных сил взаимодействия между шарами (сил
трения) при ударах гантелей может возникнуть вращение только вокруг осей, ле-
лежащих в плоскости, перпендикулярной к оси самой гантели. Поэтому для описания
Движения гантели требуется не шесть уравнений, как для свободного твердого тела,
а только пять: три уравнения движения центра тяжести и два уравнения вращения
вокруг двух осей, перпендикулярных друг к другу и к оси гантели. Гантель в рас-
рассматриваемом случае ведет себя как тело, обладающее пятью степенями свободы;
Движение, соответствующее шестой степени свободы — вращению вокруг оси самой
гантели, — возникнуть не может. Эта шестая степень свободы не участвует в обмене
кинетической энергии, происходящем при соударении гантелей.
Ясно, что это «выключение» одной из трех вращательных степеней свободы яв-
является следствием осевой симметрии гантелей и отсутствия тангенциальных сил при
взаимодействии шаров гантелей. Тело, состоящее из трех шаров, укрепленных на

428
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ггл. xiif
жестком прямом стержне (рис. 209), в отсутствие тангенциальных сил вело бы себя
так же, как гантель: вращение вокруг оси тела при ударе не могло бы возникнуть.
Но если тело не обладает осевой симметрией, например, три шара расположены в
вершинах жесткого треугольника (рис. 210), то и в отсутствие тангенциальных сил
при ударах может возникать вращение вокруг каждой из трех взаимно перпенди-
перпендикулярных осей, проходящих через центр
масс тела. Все три вращательных степени
свободы участвуют в обмене кинетической
энергией, происходящем при ударе тел.
Таким образом, в случае твердого тела,
обладающего осевой симметрией, на поверх-
поверхности которого не могут возникать танген-
тангенциальные силы, только пять из шести степе-
степеней свободы, которыми обладает твердое тело,
участвуют в обмене энергией, происходящем
при ударе; в отсутствие же осевой симметрии
все шесть степеней свободы участвуют в
обмене.
Удар твердых тел в некоторых случаях
может служить механической моделью со-
соударения многоатомных молекул, так же
как удар упругих шаров может служить
моделью соударения одноатомных молекул.
Удар гантелей может служить моделью
соударения двухатомных молекул или таких трехатомных молекул, у которых
все три атома расположены на одной прямой. Поля, с которыми взаимодействуют
такие молекулы, обладают осевой симметрией, и поэтому, так же как и в случае
гантелей, при соударении этих молекул в обмене участвуют только пять из шести
степеней свободы молекулы. Конечно, соударение твердых тел может служить ме-
механической моделью соударения молекул только постольку, поскольку можно
пренебречь происходящим при соударении изменением взаимного расположения
атомов в молекуле (см. § 147).
О
О
6
Рис. 209.
Рис. 210.
§ 97. Качение тел
К задаче о плеском движении твердого тела сводятся и все про-
простейшие случаи качения тел. Однако в этих случаях существенную
роль играют силы трения со все-
всеми их специфическими особенно-
особенностями. Мы рассмотрим несколь-
несколько примеров качения тел. На
цилиндр радиуса г и массы га,
скатывающийся с наклонной
плоскости (рис. 211), действуют
две силы: сила тяжести rag" и си-
сила F, действующая со стороны
наклонной плоскости. Разложим
mgsincc
mgcosoL
эту силу на две составляющие:
нормальную Fn, т. е. силу нор- Рис. 211.
мального давления со стороны
наклонной плоскости на цилиндр, и тангенциальную Fty т. е. силу
трения. Так как в направлении нормали к наклонной плоскости ци-

$ 971 КАЧЕНИЕ ТЕЛ 429
линдр не испытывает ускорения, го Fn — mg cos a = 0. Ускорение
/" центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости определяет-
определяется силой трения Ft и составляющей силы тяжести цилиндра вдоль
плоскости, равной mgsina:
га/ = mg sin a — Ft, A3.45)
а уравнение моментов относительно геометрической оси цилиндра
(/ — момент инерции цилиндра относительно этой оси) имеет вид
ld^ = Ftr A3.46)
(момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю).
Если сила трения имеет достаточную величину, то цилиндр будет
скатываться без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра
должны проходить ту же длину пути, что и центр цилиндра, т. е.
da ** . dm
I и ,j должны оыть связаны соотношением у = г-,,, и уравнение
моментов A3.46) можно записать так:
ljjr* = Ft. A3.47)
Из уравнений A3.45) и A3.46) находим:
._ 1
I 1 -
Ft= iJ-Lz/'g818' A3.48)
Ускорение цилиндра тем меньше, чем больше его момент инерции.
С другой стороны, и сила трения увеличивается с увеличением момента
инерции.
Этот последний результат имеет следующий смыдо При качении
без скольжения играет роль сила трения покоя. Она, как было пока-
показано (§ 49), может иметь любое значение, не превышающее, однако,
некоторого максимального значения /маКс- При скатывании цилиндра
устанавливается как раз такая сила трения покоя, чтобы не возникло
скольжения, а для этого она должна быть тем больше, чем больше /.
Если же для этого потребовалась бы сила, большая максимальной
силы трения покоя, т. е. если бы оказалось, что
Т+
(например, при большом значении угла а), то возникло бы скольже-
скольжение. В этом случае полученные выше соотношения не соблюдаются.
В качестве другого примера рассмотрим поведение «непослушной»
катушки (рис. 212). Если катушку, лежащую на плоскости, плавно
тянуть за конец нитки, образующей с плоскостью достаточно большой
угол а, превышающий ас (рис. 212, а), то катушка будет откатывайся

430
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ XIII
назад. Чтобы притянуть катушку к себе, нужно держать нитку почти
параллельно плоскости (рис. 212, б).
Для объяснения того, почему при разных углах а центр тяжести
катушки движется в разные стороны, нужно принять во внимание
силу трения, действующую на катушку со стороны плоскости.
Рис. 212.
Обозначив эту силу через F, а натяжение нити через/, мы можем
написать уравнение движения центра тяжести катушки
mj = f cos a ~ F
и уравнение моментов относительно оси вращения
(мы сразу предполагаем, что скольжение отсутствует и, следова-
следовательно, R-jt =/"). Исключая из этих уравнений /, получим соотно-
соотношение между f и F:
Оююда видно, что при a/cos a < R, т. е. при достаточно малом а,
центр тяжести движется и катушка катится в сторону силы /. При
г/cos a > R
т. е. катушка движется в сторону, противоположную той, куда мы
ее тянем Граничное значение <х0 определяется из условия
Как видно из рис. 212, а, этому соответствует такое направление
нити, при котором ее продолжение проходи! через мгновенную ось.

$971 KA4FHHE ТЕЛ 431
При качении тел играет роль специальный тип сил трения,так называемое тре-
трение качения. О существовании этого типа сил трения говорит следующий факт. Если
цилиндр катится по горизонтальной плоскости без скольжения (рис. 213), то ско-
скорость движения цилиндра убывает, причем это не связано с возникновением сколь-
скольжения. Поскольку скорость центра тяжести цилиндра уменьшается, то, значит, на
него действует внешняя сила, направленная против движения. — сила трения F.
Но момент этой силы мог бы только увеличи-
увеличивать угловую скорость вращения цилиндра,
так как он направлен в ту же сторону, что
и вращение.
Следовательно, если бы при качении
существовала только тангенциальная сила
трения, то она не могла бы одновременно
уменьшать обе скорости цилиндра, поступа-
тельную и вращательную, так, чтобы не воз- f
никло скольженияг). Так как в действитель- р ^
ности при замедлении движения цилиндра с*
скольжение не возникает, значит, существует
еще какой-то момент силы, который направлен навстречу моменту тангенциальной
силы трения и, превосходя его по величине, замедляет вращение цилиндра как
раз так, чтобы не возникло скольжение. Это и есть момент силы трения качения. Ве-
Величину этого момента можно найти, измерив отрицательное ускорение цилиндра
при качении. Уравнения движения цилиндра имеют вид
mj = F\ f-^-^FR — УИ, A3.49)
где F — тангенциальная сила трения, аМ- момент силы трения качения. Так как
движение происходит без скольжения, то / = /? — - и уравнения принимают вид
mf = F, IUR = FR — M. A3.50)
Исключая из этих уравнений F, получим:
Зная m, R и / и измерив /, найдем М.
Исключая из уравнений A3.50) J, найдем:
Так как величина F ограничена значением наибольшей сччы трепич покоя fMaKc»
то при больших значениях момента силы трения качения М силы F может оказаться
недостаточно для того, чтобы обеспечить необходимое замедление движения центра
тяжести. Скорость вращения цилиндра будет убывать быстрее, чем скорость движе-
движения центра тяжести. Наряду с качением цилиндра будет происходить скольжение,
направленное вперед.
Обратный случай невозможен, так как F может иметь любое «значение от 0 до
fMaKc. Как бы ни было мало М, всегда установится такое значение F, при котором
скольжение не происходит.
Момент сил трения качения можно объяснить существованием сил, действую-
действующих со стороны плоскости ня цилиндр. На покоящийся цилиндр в вертикальном на-
1) Без скольжения цилиндр мог бы двигаться только равномерно (конечно, при
условии, что /7=0 и что в начале движения скольжение отсуктвует, т. е. / = /?-?-).
dt I

432 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ ХШ
правлении действует нормальное давление плоскости, и его равнодействующая про-
проходит через ось цилиндра. Но при качении вследствие деформации плоскости воз-
возникают силы, действующие со стороны плоскости на цилиндр и проходящие
впереди оси цилиндра; они-то и создают момент сил, тормозящий качение ци-
цилиндра, т. е. момент сил трения качения.
§ 98. Самодвижущиеся экипажи
Законы движения твердого тела позволяют рассмотреть задачу о движении колес-
колесных самодвижущихся экипажей (автомобиль, локомотив). Все внутренние силы,
возникающие в двигателе, не могут быть причиной изменения импульса системы,
т. е. изменения скорости движения экипа-
экипажа. Точно так же моменты этих внутрен-
внутренних сил не могут изменять момента им-
импульса, который определяется моментом
импульса колес, поскольку сам экипаж не
вращается. Поэтому тип двигателя не иг-
играет существенной роли. Рассмотрение
движения экипажей сводится к определе-
определению тех внешних сил, под действием кото-
рых изменяется импульс экипажа и его
у момент импульса.
Единственные внешние силы, дейст-
р «I/ вующие на экипаж в горизонтальном на-
*" правлении, — это силы трения, которые и
являются причиной изменения скорости
экипажа (сопротивлением воздуха мы пренебрегаем). Рассмотрим детально, как это
происходит. Для конкретности будем рассматривать электрический самодвижущийся
экипаж, схематическая модель которого приведена на рис. 214. Электромотор, по-
помещенный на рамс, соединен приводом с одной парой колес. Сначала мы рассмотрим
только силы трения F, действующие на ведущие колеса (силы трспия, действующие
на другие колеса, мы рассмотрим позже).
При включении мотора возникают силы, которые должны вызвать вращение
ведущих колес. Но если бы колеса начали вращаться, а экипаж оставался неподвиж-
неподвижным, то должно было бы возникнуть скольжение ведущих колес по рельсам. Поэтому
возникает сила трения покоя между колесами и рельсами. Эта сила, как всегда,
направлена в сторону, противоположную той, в которую должно было бы возникнуть
скольжение. При вращении мотора против часовой стрелки скольжение колес по
рельсам в нашем случае должно было бы происходить вправо и, следовательно,
сила трения направлена влево. Эта внешняя сила F и будет сообщать экипажу уско-
ускорение / = F/m (m — масса экипажа). Вместе с тем сила трения будет создавать
вращающий момент относительно оси колес, противоположный вращающему моменту
М, действующему со стороны мотора. Угловое ускорение колес определится раз-
разностью этих моментов сил, т. е. / --q — М — Fr, где / — момент инерции колес,
г — их радиус. Чтобы не возникло скольжения колес, необходимо, чтобы соблюдалось
соотношение г — = /. Поэт
определяться уравнениями
соотношение г — = /. Поэтому при отсутствии скольжения движение экипажа будет
откуда
l(l + -

^ 98] САМОДВИЖУЩИЕСЯ ЭКИПАЖИ 433
Так как обычно масса колес очень мала по сравнению с массой всего экипажа, тс
I <^тг2> и приближенно
F^M/r. A3.53)
Величина момента М может изменяться в широких пределах регулировкой силы
тока в электромоторе (давления пара в цилиндрах паровоза и т. п.). Между тем сила
трения покоя F не может превосходить определенной величины /МЙКс- Поэтому, если
окажется, что /макс < М/r, то второе из уравнений A3.52) уже не может быть выпол-
выполнено. При этом г — ;> /, т. е. возникает скольжение, колеса будут «буксовать».
Аналогично происходит и торможение экипажа. Пусть экипаж уже движется
с постоянной скоростью, без скольжения. Если пренебречь силами трения качения
и трения в осях, то при движении с постоянной скоростью без скольжения сила трения
вообще отсутствует. Сила трения покоя возникает только тогда, когда без нее должно
было бы возникнуть скольжение. При нажатии тормозной колодки Т (рис. 215)
возникает сила трения скольжения Рг, действующая на колеса и направленная в
сторону, противоположную скольжению колес под колодкой. Эта сила должна за-
замедлить вращение колес. Если бы скорость экипажа при этом не изменялась, то долж-
должно было бы возникнуть скольжение ко-
колес по рельсам, направленное вперед (на
рис. 215 — влево). Вследствие этого со
стороны рельсов на колеса начинает дей-
действовать сила трения покоя F% направ
ленная назад.
Эта внешняя сила и уменьшает ско-
скорость экипажа.
И в этом случае, до тех пор, пока не
возникло скольжения колес по рельсам, рис 215
справедливо уравнение A3.53), но в нем
М — это момент сил трения, действующих
со стороны тормозных колодок. Если колодки прижать так сильно, что М/г > /макс»
то возникает скольжение. При этом со стороны рельсов на колеса тоже действует сила
трения, замедляющая движение экипажа, но это уже сила трения скольжения (а не
трения покоя). Так как трение скольжения обычно меньше максимального трения
покоя, то при скольжении торможение происходит обычно медленнее, чем под дей-
действием максимальной силы трения покоя. Наивыгоднейшие условия торможения
получаются тогда, когда М,г лишь немного не достигает fMaKc- Для этого нужно
прижать тормозные колодки как раз до предела, при котором еще только-только не
возникает скольжение колес.
Рассмотрим теперь, как в результате действия внутренних сил, возникающих
в моторе, изменяется общий момент импульса системы. Под действием этих внутрен-
внутренних сил ротор мотора и колеса экипажа начинают вращаться в одну сторону, а статор
мотора вместе с корпусом экипажа должен был бы начать вращаться в другую сторону
(на рис. 214 — по часовой стрелке), подобно тому, как это происходило со статором
мотора в опытах, изображенных на рис. 205, Однако вследствие наличия второй пары
колес экипажа это вращение не возникает, но зато давление рельсов на задние (на
рис. 214 — правые) колеса увеличивается, а ка передние — уменьшается *). Вслед-
Вследствие увеличения давления рельсов на задние колеса и уменьшения давления на
передние возникает внешний момент, который и обусловливает изменение момента
импульса всей системы.
Конечно, и при выключенном моторе существует давление со стороны рельсов
на колеса, а следовательно, и момент внешних сил относительно любой горизонталь-
горизонтальной оси, параллельной оси колес. Но этот момент, как следует из условий равновесия,
г) Это изменение давлений можно заметить при трогании с места автомобиля.
При резком включении сцепления передок автомобиля немного подбрасывает
кверху.

434 МЕХАНИКА ТВЕРЛОГО ТЕЛА |ТЛ. ХТТТ
равен по величине и противоположен по направлению моменту силы тяжести относи-
относительно той же оси. Таким образом, результирующий момент внешних сил относитель-
относительно какой-либо оси, параллельной оси колес, равный нулю до включения двигателя,
после его включения становится отличным от нуля. Этот момент внешних сил и обу-
обусловливает возникновение момента импульса всей системы в пел ом. Что касаетсч
задних (на рис. 214 — правых) колес, то, поскольку они не соединены приводом
с двигателем, они вообше не вращались бы, если бы на них не действовали какие либо
силы трения. Поэтому в вопросе о трогании с места эти колеса не играют принципи-
принципиальной роли.
Наоборот, в случае торможения на задние колеса (на рис. 215 — прявые) их
роль становится существенной, но зато не играют роли ведущие колеса (обычно тор-
торможение происходит при выключенном двигателе). Возникает вопрос, как внутрен-
внутренние силы, действуюгаие между колесами и тормозной колодкой, могут уменьшить
момент импульса этих колес, а зиячит, и всей системы в целом. Как и в случае тро-
гаиия с места, при торможении возникают моменты внешних сил, обусловленные
изменением давления со стороны рельсов; при торможении увеличивается давление
на передние (на рис. 215 — левые) колеса.
Действительно, если бы передних колес ге было, то под действием сил трения
со стороны задних колес на тормозную колодку передний (на рис. 215 — левый)
конец экипажа гтал бы опускаться вниз. Аналогично тому, как это происходит при
трогании с места, изменение внешних давлений на колеса приводит к появлению
результирующего момента внешних сип относительно какой-либо горизонтальной
оси, параллельной оси колес. Этот внешний момент и обусловливает уменьшение
момента импульса всей системы в целом.
В нашем рассмотрении существенную роль играет наличие двух пар ко пес,
так как только поэтому возникают внешние моменты, обусловленные изменениями
нормального давления. Нормальное давление не может создать момента относительно
оси той пары колес, к которой оно приложено. Экипаж на одном колесе при включе-
включении двигателя допжен был бы начать вращаться в сторону, противоположную враще-
вращению колеса (как статор мотора в опыте, изображенном на рис. 205). Однако принци-
принципиально возможны и одноколесные самодвижущиеся экипажи. Например, на вело-
велосипеде можно ездить на одном колесе. Но тогда центр тяжести велосипеда с седоком
должен находиться не над осью колеса, я впереди нее (для того чтобы ездить на вело-
велосипеде на одном колесе, подняв «на дыбы» велосипед, нужно свой корпус наклонить
вперед). Момент силы тяжести относительно оси колеса является внешним моментом;
он и обусловливает возникновение момента импульса в системе (без чего не могло бы
возникнуть вращение ко теса).
Выясним теперь, какую роль играют силы трения, действующие на другие не
присоединенные к двигателю и не снабженные тормозными колодками колеса экипа-
экипажа. (Аналогичную роль играют силы трения, действующие на колеса вагонов, при-
прицепленных к паровозу.) Пусть на вторую пару кочес (рис. 214) действуют силы тре-
трения со стороны оси, на которой колеса вращаются. Если бы действовала только эта
сила трения, то при движении экипажа колеса не стали бы вращаться, возникло бы
скольжение колес по рельсам вперед. Поэтому со стороны рельсов на колеса начинает
действовать сила трения покоя Flf препятствующая возникновению скольжения.
Так как сила Ft всегда принимает такое значение, что скольжения не возникает, то
эта сила будет тем больше, чем больше трение в оси. (Если пренебречь моментом инер-
инерции колес, то момент силы Fa должен быть все время равен моменту сил тренич
в оси.) Но сила Fx направлена назад и уменьшает ускорение экипяжа. Ускорение
экипажа в этом случае определяется уравнением т\ = F — Fj.
Таким образом, внутренние силы — трение в осях колес —уменьшают ускорение
всего экипажа в целом. Так как F не может быть больше, чем /маКс» то чем больше Flt
тем меньше ускорение экипажа /. Если окажется, что Fx > /макс, то экипаж вообше
не может сдвинуться с места. Поэтому паровоз иногда не может сдвинуть с места
большого состава и «буксует» — сумма сил Ft, действующих на колеса всех вагонов,
оказывается больше, чем сила fMaKC, которая может действовать на все ведущие колеса
паровоза.

§ 99] СВОБОДНЫЕ ОСИ 435
Нетрудно дополнить всю картину, введя силы трения качения. При качении
колес по рельсам эти силы создают момент, который, так же как и момент сил тре-
трения в осях, должен быть уравновешен моментом силы трения F3. Чем больше момент
силы трения качения» тем больше будет сила трения Flt действующая на колеса
со стороны рельсов. Таким образом, для движения экипажа благоприятны следую-
следующие условия: возможно большая величина
/макс между ведущими колесами и землей x
и возможно меньшая величина сил трения
в осях и сил трения качения.
В заключение рассмотрим еще один
Ч
Y
вопрос, касающийся самодвижущихся ко-
колесных экипажей: почему поворачивается
автомобиль, если повернуть его передние | t -А/\
колеса? Для того чтобы направление дви- ' ] <(/~
жени я автомобиля изменилось, на него
должна действовать внешняя сила F (рис.
216). Происхождение этой силы легко объ- *>ис- 216.
яснигь, приняв во внимание, что сила тре-
трения покоя начинает действовать, когда должно возникнуть скольжение, и она про-
противоположна тому направлению, в котором должно было бы возникнуть скольжение.
Допустим, что автомобиль продолжал бы двигаться прямолинейно. При этом коле-
колеса его продолжали бы вращаться. Движение колес представляло бы собой качение
в направлении А" и скольжение в направлении Y. В результате этих двух движе-
движений колеса перемещались бы в направлении Z.
Скольжение, которое должно было бы возникнуть, если бы автомобиль продол-
продолжал двигаться прямолинейно, было бы направлено по К, следовательно, возникает
сила трения F, направленная навстречу Y. Эта внешняя сила F и изменяет направле-
направление движения автомобиля. На скользком месте, где силы трения малы, автомобиль
не только буксует, но и не слушается руля.
§ 99. Свободные оси
В рассмотренных выше примерах вращения тела вокруг закреп-
закрепленной оси или плоского движения ось вращения сохраняла неиз-
неизменным свое направление в пространстве. Это обеспечивалось опре-
определенными внешними условиями. При вращении тела вокруг непод-
неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшип-
подшипниками. При скатывании цилиндра направление перемещения оси
задавалось наклонной длоскостью. Однако после того, как цилиндр
скатился с наклонной плоскости, он продолжал бы вращаться вокруг
той же оси, и хотя ось вместе с центром тяжести двигалась бы уже
ые прямолинейно, а по параболе, но она сохраняла бы неизменным
свое направление в пространстве. Такие оси вращения, которые
в отсутствие каких-либо связей могут сохранять неизменным свое
направление в пространстве, называются свободными осями тела.
Возможность существования таких свободных осей и условия, кото-
которыми они определяются, мы выясним на простейшем примере.
При этом мы будем говорить для краткости о моменте сил отно-
относительно точки (а не относительно оси). Моментом силы относительно
точки О называется момент силы относительно оси, проходящей
через эту точку и перпендикулярной к плоскости, в которой лежат
сила и точка. В эюм понятии, в с\ щиссш, ист пичсю ноною но сравпе-

436
MFXАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. ХШ
нию с понятием момента силы относительно оси. Но вместо того
чтобы говорить о моменте относительно оси, перпендикулярной к
плоскости, и т. д., короче говорить о моменте относительно точки.
В качестве простейшего примера, поясняющего возможность суще-
существования свободных осей, рассмотрим два тела с массами ту и /п2,
укрепленных на жестком стержне, массой которого можно пренебречь
(рис. 217). Стержень в свою очередь
закреплен в точке О на оси, кото-
которая может вращаться в подшипни-
подшипниках П1 и П2. При вращении стержня
и масс с угловой скоростью со вок-
вокруг этой оси на концы стержня со
стороны масс действуют силы Д =
= тл @% и f2 — ш2оJг2. Чтобы под-
подшипники удерживали ось в неиз-
неизменном положении, они должны
действовать на ось с силами Рг и
Р2у уравновешивающими силы Д
и /2. Следовательно, сумма сил Р1
и Р2 и сумма моментов этих сил
относительно точки О должны быть
равны по величине и противопо-
противоположны по знаку сумме сил Д и /2 и
моментов этих сил. Чтобы ось была
свободной, т. с. чтобы она сохраняла неизменным свое направле-
направление в отсутствие подшипников, когда Р± и Р2 порознь равны нулю,
должно быть Д + f2 = 0 и сумма моментов этих сил относитель-
относительно точки О также должна быть равна нулю. Первое условие вы-
выполняется, если точка О есть центр масс щ и т2 (так как в этом
случае mvdx = m2d2, а значит, и тхгг = т2г2). Второе условие выпол-
выполняется, только если ось вращения
перпендикулярна к стержню (рис.
218). Таким образом, в случае двух
масс на жестком стержне любая ось,
проходящая через центр масс пер-
перпендикулярно к стержню, является
свободной осью.
Рассмотрим теперь более слож-
сложный случай (рис. 219)' шесть раз-
различных масс mly m2, т3, т4, т&,
ш6, укрепленных на концах трех
стержней, скрепленных в точке О перпендикулярно друг к другу
(массой стержней по-прежнему пренебрегаем). Расстояния всех масс
от точки О подобраны так, что соблюдены условия: т^ = т2г2у
т^гъ = т^ и тьгь = т6гь, т. е. центр масс совпадает с точ-
точкой О.
И—о-
К
Рис. 218.

99]
СВОБОДНЫЕ ОСИ
437
При вращении вокруг оси, совпадающей с любым из стержней,
сумма сил, с которыми каждая пара масс (т1 и т2, тя и пг4, тъ и пгв)
действует на стержень, и сумма моментов этих сил относительно
точки О будут равны нулю. Действительно, одна пара масс будет
лежать на оси вращения и вообще не будет играть роли; две другие
пары масс будут попарно лежать на прямых, перпендикулярных
к оси вращения, и, значит, для них, как и в первом примере, сумма
сил и сумма моментов этих сил относительно точки О будут равны
нулю. Эти три оси называются главными осями инерции. Так как при
вращении вокруг любой из этих осей сумма сил и сумма моментов
сил относительно точки О равны нулю, то они удовлетворяют условиям,
которым должны удовлетворять свободные оси. Для любой оси, не
совпадающей с одиим из трех стерж-
стержней, моменты сил не будут равны
нулю.
Так же обстоит дело и со вся-
всяким телом произвольной формы. В
нем всегда существуют такие три
взаимно перпендикулярные оси, про-
проходящие через центр тяжести тела,
которые являются главными осями *&ИЬ
инерции.
Для тел правильной формы эти
оси инерции легко могут быть най-
найдены. Например, для прямоугольно-
прямоугольного параллелепипеда оси могут быть
указаны просто по аналогии с на-
нашей моделью из шести тел. Главны-
Главными осями инерции прямоугольного параллелепипеда являются три
взаимно перпендикулярные оси, проходящие через точку пересече-
пересечения диагоналей параллелепипеда. Если тело приведено во вращение
вокруг одной из главных осей и момент внешних сил относительно
центра тяжести тела отсутствует, то направление оси вращения должно
было бы оставаться неизменным в пространстве. Однако практически
мы никогда не можем привести тело во вращение совершенно точно
вокруг одной из главных осей; неизбежные случайные толчки немного
нарушили бы это движение. Поэтому в реальных условиях можно
наблюдать длительное вращение вокруг свободной оси только в том
случае, когда небольшие отклонения от этого вращения в дальнейшем
не нарастают. Для этого силы, действующие на ось со стороны вращаю-
вращающихся частей тела, при небольшом нарушении движения должны
снова возвращать тело к вращению вокруг главной оси, т. е. враще-
вращение вокруг главной оси должно быть устойчивым. В отсутствие внеш-
внешних сил устойчивыми являются только главные оси, соответствующие
наибольшему и наименьшему моментам инерции тела; ось, соответст-
соответствующая среднему моменту инерции, является неустойчивой.
Рис. 219.

438
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл хит
I \
I \
*¦—д
б)
Рис. 220.
Свободные оси прямоугольного параллелепипеда и их устойчивость можно
продемонстрировать, подбрасывая картонную прямоугольную коробку так, чтобы она
при этом вращалась вокруг одной из своих главных осей. Если коробку заставить вра-
вращаться вокруг самой короткой или самой длинной оси, то она во время падения сохра-
сохраняет неизменной свою ось вращения. Если же, подбрасывая
! I Ч4_Х*' коробку, сообщить ей вращение вокруг средней оси, то на-
LJ Т~1 правление оси не будет оставаться неизменным, — падая, ко-
? ^ робка будет качаться.
В телах вращения одной из трех главных осей инерции
всегда является геометрическая ось тела (это ясно из сообра-
соображений симметрии). Другими главными осями могут быть лю-
любые две взаимно-перпендикулярные прямые, лежащие в пло-
плоскости, проходящей через центр тяжести тела и перпенди-
перпендикулярной к геометрической оси.
Практически редко приходится иметь дело с совершенно
свободным вращением вокруг одной из главных осей. Обычно
на вращающееся тело действуют силы трения и для поддер-
поддержания вращения нужно прикладывать момент внешних сил.
В этом случае обычно устойчивой оказывается толььо одна
главная ось, соответствующая наибольшему моменту инер-
инерции.
Это можно продемонстрировать, вращая тела различной
формы на центробежной машине. Если к оси центробежной
машины подвесить на нити за конец палочку так, чтобы
направление нити совпало с осью палочки (что соответствует наименьшему мо-
моменту инерции), то при вращении палочка постепенно раскачивается, затем подни-
поднимается и начинает вращаться в горизонтальном положении, т. е. вокруг оси, соответ-
соответствующей наибольшему моменту инерции (рьс. 220). Это вращение устойчиво. Нить
только уравновешивает силу тяжести и сообщает телу некоторый небольшой вращаю-
вращающий момент, необходимый для преодоления
сил трения (сопротивления воздуха).
Свойства свободных осей широко приме-
применяются в технике. Во всех машинах с быстро
вращающимися частями возникали бы боль-
большие силы, действующие со стороны вращаю-
вращающейся части на ось, если эту ось выбра*ь
произвольно. Эти силы должны были бы урав-
уравновешиваться соответствующим давлением
подшипников. Особенно опасно то, что на-
направление этих сил связано с расположением
масс вращающегося тела, и поэтому силы
«вращаются» вместе с телом. Эти большие пе-
переменные нагрузки на подшипники действуют
разрушительно на всю машину, и их надо
всячески избегать.
Путь для этого ясен: нужно сделать
так, чтобы ось вращения, заданная подшип-
подшипниками, была по возможности близка к сво-
свободной оси тела. Тогда силы, действующие
на ось со стороны различных частей вращаю-
вращающегося тела, будут почти уравновешивать друг друга. Для этого быстро вращаю-
вращающимся частям придают форму, возможно более близкую к телам вращения, и ось
вращения возможно точнее совмещают с геометрической осью тела. Однако сделать
это абсолютно точно, конечно, невозможно. Между тем «неуравновешенные» (в смыс-
смысле сил, действующих на ось при вращении) массы, даже если они очень малы, при
больших оборотах действуют на ось с очень большими силами (силы пропорциональ-
пропорциональны квадрату угловой скорости).
Рис. 221.

1001
HSMFHEHHE НАПРАВЛРЧИЯ MOMFHTA ИМПУЛЬСА
439
Так как даже при самом тщательном изготовлении машин нельзя полностью
уравновесить силы, действующие на ось, то в современных быстроходных машинах
(например, паровых турбинах, делающих до 30 000 оборотов в минуту) применяют
гибкие, или самоцентрирующиеся, валы. Если вал не очень жесткий и вместе с тем его
ось близка к свободной оси, то при достаточно большой скорости вращения вал изги-
изгибается, так что устанавливается вращение как раз вокруг свободной оси тела.
Поведение самоцентрирующегося вала может быть продемонстрировано на сле-
следующей модели. На тонкую ось, сделанную из стального прутка, насажен эксцентрич-
эксцентрично металлический цилиндр (рис. 221, я). Ось закрепляется в подшипниках так, чтобы
она могла вращаться (нужно принять меры к тому, чтобы ось не вырвало из подшипни-
подшипников). При медленном вращении такой вал сильно «бьет» (рис. 221, б). При увеличении
числа оборотов, если, успокоив рукой колебания вала, приблизить вращение к сво-
свободной оси, колебания прекращаются и вал перестает бить. Вращение тогда происхо-
происходит совершенно спокойно; можно зяметить, что вал при этом изгибается так, что на-
насаженный на него цилиндр вращается вокруг своей оси (рис. 221, в).
§ МО, Изменение направления момента импульса
Выше рассматривались такие движения твердого тела, при которых
ось вращения либо оставалась неподвижной в пространстве, либо
двигалась поступательно и, следовательно, момент импульса не изме-
изменял своего направления в пространстве. Но движение под действием
момента внешних сил может происходить так, что момент импульса
изменяет свое направление в пространстве. При рассмотрении этих
гораздо более сложных
движений мы ограничимся 2
только такими случаями,
когда изменение направле-
направления момента импульса про-
происходит медленно по срав-
сравнению с вращением самого
тела (для чего, как мы
увидим, момент импульса
должен быть достаточно
велик, а момент внешних
сил — достаточно мал).
Изучение этих случаев
мы начнем с рассмотрения
простейшей модели (рис.
222), в которой вращающее-
вращающееся твердое тело заменено
материальной точкой массы т, укрепленной на конце жесткой штанги
длиной г (массой штанги можно пренебречь по сравнению с т); другой
конец штанги закреплен в перпендикулярной к ней оси 00' (массой
которой также можно пренебречь). Эта ось может вращаться в под-
подшипниках СС\ которые в свою очередь укреплены так, что ось 00'
может свободно поворачиваться вокруг двух перпендикулярных
к ней и друг к другу осей XX' и YY'. Такое закрепление может быть
осуществлено, например, при помощи так называемого карда нова
v -

440
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ ХИТ
Рис. 223.
подвеса, устройство которого поясняет рис. 223 (на рис. 222 способ
крепления подшипников СС не указан, чтобы не загромождать ри-
рисунка).
В кардановом подвесе подшипники СС укреплены на раме, которая
может вращаться вокруг оси, укрепленной в подшипниках DD', пер-
перпендикулярно к оси СС.
Подшипники DD' в свою
очередь укреплены на вто-
второй раме, которая может
вращаться вокруг третьей
оси, укрепленной в под-
подшипниках ЕЕ', перпенди-
перпендикулярно к оси DD'.
Пусть штанга, несущая
материальную точку т,
вращается вокруг оси 00'
с большой угловой скоро-
скоростью со по часовой стрелке,
если смотреть со стороны
Z, и, следовательно, мо-
момент импульса этого вра-
вращения N направлен от Z к Z' (плоскость, в которой при этом движется
штанга, мы будем для краткости называть «плоскостью штанги»).
Положим, что на подшипники СС начинает действовать пара внешних
сил F, создающая внешний момент
УН, направленный в сторону X'
(рис. 222). Определим величины и
направления сил, с которыми при
этом штанга действует на тело шив
свою очередь тело т — на штангу
в направлении, перпендикулярном
к штанге (силы, действующие
вдоль штанги, не могут создать
моментов относительно осей XX',
YY'j ZZ' h поэтому в рассматри-
рассматриваемой задаче не будут нас интере-
интересовать). Для этого будем рассмат-
рассматривать вращение тела т вокруг
оси 00' с угловой скоростью о и ли-
линейной v' = cor как «относительное»
движение, а вращение оси 0G
вокруг оси XX' — как переносное движение с некоторой угловой
скоростью Q. В результате вращения тела т вокруг осей ZZ' и XX'
это тело будет испытывать некоторые ускорения. Найдем, как ме-
меняется ускорение точки т при изменении положения этой точки на
окружности, которую эта точка описывает (рис. 224).

§ 100] ИЗМЕНЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 441
Ускорение jky обусловленное перемещением тела т во вращаю-
вращающейся системе координат, направленное перпендикулярно к штанге,
представляет собой кориолисово ускорение. Это ускорение jk =
= 2[ftz>'l направлено перпендикулярно к векторам угловой скорости
ft и «относительной» скорости ©'. При вращении штанги вокруг ZZ' jk
меняет величину вследствие измене-
изменения угла между v' и fi. В точках
пересечения описываемой телом т
окружности с диаметром YY' уско-
ускорение jk обращается в нуль, так как
в этом месте v' и ft коллинеарны.
Пройдя через нуль, jk меняет знак и
начинает снова возрастать по величи-
величине. В точках пересечения описывае-
описываемой телом т окружности с диаметром
XX' значение jk проходит через мак-
максимум, так как здесь v' перпендику-
перпендикулярно к ft.
Ускорение jk телу т сообщает Рис- 225-
штанга, которая для этого должна
быть соответствующим образом деформирована: на рис. 224 штанга
должна быть изогнута вниз на передней части окружности и вверх на
задней. Зная ускорение, сообщаемое телу штангой, мы можем опре-
определить силу, с которой штанга давит на тело. Эта сила давления
штанги на тело
м*
Сила /?', с которой в свою очередь давит тело т на штангу г), рав-
равна по величине силе R и направлена в противоположную сторо-
сторону, т. е.
/?f=2m[*/ft]. A3.54)
Величина и направление этой силы для различных положений штанги
указаны на рис. 225.
Рассматривая направления сил давления тела на штангу, мы
обнаружим следующее. При пересечении телом т оси XX' сила R'
не меняет направления, поэтому ее момент относительно этой оси
меняет направление. Вследствие этого среднее значение момента
силы /?' относительно оси XX' за один оборот штанги равно нулю
и при быстром вращении тела этот момент не играет заметной роли.
Наоборот, при пересечении телом т оси YY' сила /?' меняет направ-
направление, и поэтому ее момент относительно этой оси направлен все
А) Тело давит на штангу и штанга на тело потому, что они оказываются дефор-
деформированными; здесь все происходит так же, как в примерах, разобранных в § 82..

442
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XIII
время по оси YY' в сторону К, так чю он должен поворачивать пло-
плоскость штанги вокруг оси YY' против часовой стрелки, если смотреть
со стороны Y (рис. 222).
Поскольку изменения силы R' происходят с большой частотой со,
пульсирующий по величине, но постоянный по направлению момент
силы /?' относительно оси YY' можно заменить средним его значением
за оборот, которое мы обозначим через /И'. Под действием момента
М плоскость штанги будет постепенно поворачиваться так, что
нижний конец О' оси 00' (рис. 222) будет двигаться в направлении
конца X' оси XX'. Но вниз, но оси ZZ\ направлен вектор момента
импульса N. С другой стороны, в направлении X' по оси XX' направлен
момент Л1, создаваемый парой внешних сил F (рис. 222). Таким обра-
образом, как только внешний момент Л! вызовет вращение плоскости штанги
вокруг оси XX' (вдоль которой направлен этот момент), тотчас же
возникнет сила давления /?' тела т
на штангу. Момент М этой силы
давления R' относительно оси YY' вы-
вызовет вращение плоскости штанги ьок-
руг оси YY' в таком направлении,
что момент импульса N будет пово-
поворачиваться вокруг оси YY\ прибли-
приближаясь к направлению внешнего мо-
момента М с некоторой угловой скоро-
скоростью Q' (рис. 226).
Но, как только возникнет вра-
вращение плоскости штанги вокруг оси
YYr, появится сила давления /?" со стороны тела т на штангу,
подобно тому как появилась сила давления R' при повороте вокруг
оси XX'. Так как угловая скорость Q' повернута относительно Q
на 90° по часовой стрелке, то и распределение силы R" повернется
относительно распределения силы /?' на 90° в ту же сторону. Момент
этой силы /?" относительно оси XX' также будет изменяться по вели-
величине, но направлен он будет все время в одну сторону — к концу
X оси XX'. Так же как и для момента силы /?', этот пульсирующий
момент можно заменить средним значением за один оборот тела т.
Этот средний момент М", как видно из рис. 226, направлен навстречу
внешнему моменту М. Через очень малый промежуток времени,
когда вращение вокруг оси YY1 достигнет такой скорости ?У, при
которой средний момент М" силы R" станет равным внешнему моменту
Л1, вращение вокруг оси XX' прекратится г). Вместе с тем исчезнет
и момент М силы /?', вызвавший вращение плоскости штанги вокруг
оси YY'. Но само это вращение будет продолжаться с достигнутой
скоростью Q', так как никаких моментов относительно оси YY\
г) В этой картине установления мы опускаем ряд деталей, которые сейчас не-
несущественны. Более подробно вся эта картина будет рассмотрена в § 102.

100]
ИЗМЕНЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУПЬСА
443
которые могли бы остановить движение или вообще изменить его
угловую скорость, не возникает.
Итак, внешний момент М сначала вызывает вращение плоскости
штанги вокруг оси XX' с возрастающей угловой скоростью п (рис. 227).
Вследствие этого появляется момент М\ вызывающий вращение
плоскости штанги вокруг оси YY' с возрастающей угловой скоро-
скоростью й\ При этом появляется возрастающий вместе с Q' момент А!",
направленный навстречу внешнему моменту М. Когда угловая ско-
скорость Q' возрастет настолько, что М" достигнет значения М, вращение
вокруг оси XX' прекратится, а вращение вокруг оси YY' будет про-
продолжаться.
Таким образом, конечный результат действия постоянного внеш-
внешнего момента М состоит в том, что возникает вращение оси 00\ вокруг
которой быстро вращается штанга (а вме-
вместе с тем и направленного вдоль оси 00'
момента импульса N)t вокруг оси, перпен-
перпендикулярной к направлениям момента М
и момента импульса /V, причем момент
импульса N поворачивается в сторону
внешнего момента Л1. В этом заключается
основное отличие в поведении быстро вра-
вращающегося тела под действием постоянно-
постоянного внешнего момента сил от поведения
тела невращающегося. Если бы штанга с
телом т не вращалась, то под действием
постоянного момента М плоскость штанги
поворачивалась бы вокруг оси, совпадаю-
совпадающей с направлением Ж; при быстром вра-
вращении плоскость штанги поворачивается вокруг оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к направлениям момента сил М и момента импульса N, обуслов-
обусловленного быстрым вращением.
Если действие внешнего момента М прекращается, то существую-
существующий при вращении тела вокруг оси YY' момент М" оказывается не-
неуравновешенным. Он вызывает вращение плоскости штанги вокруг
оси XX' в направлении, противоположном тому, в котором она вра-
вращалась сначала, когда появился внешний момент М. Это врашение
вызовет появление момента —М', также противоположного тому,
который существовал вначале и вызвал вращение вокруг оси YY*'.
Под действием этого момента скорость Q' будет уменьшаться и вра-
вращение вокруг оси YY' быстро прекратится. Внешний момент М
необходим для поддержания вращения вокруг оси У У. Когда внеш-
внешний момент исчезает, это движение почти сразу прекращается.
Как сказано, угловая скорость Q' должна быть такой, чтобы обус-
обусловленный ею момент М" был равен по величине внешнему моменту М.
Из этого условия определяется то значение угловой скорости ?2',
которое устанавливается под действием внешнего момента Л/1.

444
MFXАНИКА ТВЕРДОГО ТБЛЛ
Ггл чттг
Для определения it найдем в соответствии со сказанным выше
среднее значение момента ДО" за один оборот штанги. Аналогично
A3.54) сила jR" определяется выражением
Переходя от векторной записи к скаляр-
скалярной и выражая линейную скорость х/ че-
через угловую скорость вращения тела о),
получим (рис. 228, изображающий в плане
со стороны конца 2 расположение скоро-
скоростей ©', поясняет переход от векторной
формы к скалярной):
R" = 2mcorQ'sina, A3.55)
где а — угол между векторами ю' и й'.
При этом справа от оси XX' сила /?" на-
направлена на наблюдателя, а слева от оси XX' — от наблюдателя. Мо-
Момент ее в обоих случаях направлен к концу X оси XX' и равен
2mo)r2Q'sin2 а, так как плечо силы есть г sin а. Среднее значение sin2 a
за период есть 1Аг, и поэтому среднее значение этого момента
Рис 228.
A3.56)
Но тг2 = / — момент инерции тела т относительно оси быстрого
вращения, a /oj = N — момент импульса относительно этой оси;
поэтому
Так как установившаяся скорость должна быть такова, чтобы М" = М,
то
Qf = M/iV. (J3.57)
С такой угловой скоростью будет поворачиваться вектор N в на-
направлении внешнего момента М. За время А? он повернется на угол
Да = Q'At и изменится на величину AN =
= NAa=NQ'At (рис. 229). Подставляя N —
отсюда значение Й' в A3.57), найдем:
A3.58)
\AN
М
Рис 229.
Вектор AN, перпендикулярный к векто-
вектору N, совпадает по направлению с векто-
вектором ДО. Поэтому мы можем рассматривать уравнение A3.58) как
векторное и, переходя к пределу, получим:
dN _ м
dt ~~ '
A3.59)

$ 100] ИЗМЕНЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ MOMFHTA ИМПУЛЬСА 445
Это — уже известное уравнение моментов, полученное нами раньше
(§ 68) для случая, когда N и М совпадают по направлению. Сейчас
на частном примере мы получили это же уравнение для случая, когд-i
М перпендикулярно к N. Следовательно, это уравнение справедльвт
и в общем случае, когда М и N образуют какой угодно угол. Разла-
Разлагая М на две составляющие: Мг в направлении N и М2 в направлении,
перпендикулярном к N, мы получим оба рассмотренных случая, когда
справедливо, как мы убедились, уравнение A3.59). При этом состав-
составляющая Мг изменяет величину вектора N> а составляющая М2 — его
направление.
В рассматриваемой модели, если пара сил F, действующих на
подшипники СС\ остается неизменной при повороте оси с подшип-
подшипниками СС вокруг оси YY\ то момент этих сил М все время остается
неизменным по величине и перпендикулярным к оси СС. Поэтому
вращение оси СС\ а значит, и момента импульса N происходит вокруг
YY' с постоянной угловой скоростью Q', определяемой выражением
A3.57). Такое движение оси быстрого вращения, а вместе с тем и мо-
момента импульса этого вращения, называется прецессией.
В этом движении отчетливо выступает еще одно существенное
отличие в поведении быстро вращающихся тел от тел, не обладаю-
обладающих быстрым вращением. Под действием постоянного момента сил
в первом случае происходит движение с постоянной угловой ско-
скоростью, во втором — с возрастающей угловой скоростью. Если внеш-
внешний момент сил сохраняет неизменным свое направление в пространстве
(а не относительно оси быстрого вращения, как это было в рассмотрен-
рассмотренном случае), то направление этой оси, а вместе с тем и момент импульса
N приближаются к направлению внешнего момента.
Отмеченные особенности движения оси, вокруг которой быстро
вращается жестко связанная с ней материальная точка, находят себе
важные практические применения, которые будут рассмотрены в § 104.
Следует, однако, отметить, что модель, которой мы пользовались,
совершенно непригодна для этих практических применений, так как
ось быстрого вращения в этой модели не является свободной осью.
При вращении штанги с телом т с большой угловой скоростью штанга
действовала бы на ось с очень большой, переменной по направлению
силой, что привело бы к быстрому износу подшипников. Однако, так
как эта сила действует на ось вращения в точке пересечения осей
XX', YY\ ZZ'9 то она не создает моментов относительно этих осей
и поэтому не играла роли в нашем рассмотрении. Результатами
рассмотрения особенностей движений оси, вокруг которой быстро
вращается жестко связанная с ней материальная точка, мы
воспользуемся для того, чтобы объяснить особенности поведения
тел вращения, быстро вращающихся вокруг своей геометри-
геометрической оси. Однако предварительно будет полезно рассмотреть
один специальный случай движения тела, закрепленного в одной
точке.

446 MFXftHHKA TRFPHOro ТРЛА ГГЛ. ХТП
§ 101. Движение тела, закрепленного в одной точке
Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного в одной точке.
В этом случае тело не может совершать поступательного движения,
так как скорость одной его точки всегда равна нулю, и движение
можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, которая
изменяет свое положение и в теле, и в пространстве, но все время
проходит через неподвижную точку тела. Мы могли бы выбрать три
неподвижные оси, проходящие через эту точку, и написать уравнения
моментов A3.25) относительно этих трех осей. Однако положение этих
осей в теле, вообще говоря, будет изменяться, и связь между моментами
импульса относительно трех осей и скоростями точек тела будет слож-
сложной. С другой стороны, если мы выберем оси, жестко связанные с те-
телом, то связь между моментами импульса относительно этих осей и
скоростями точек тела будет достаточно простой, но определение
характера движения этих осей окажется сложной задачей. Поэтому
мы не будем рассматривать в общем виде задачу о движении тела,
имеющего одну закрепленную точку, а ограничимся только специаль-
специальным, но важным случаем, когда тело быстро вращается вокруг мгно-
мгновенной оси, а требуется определить, как будет двигаться эта ось под
действием внешних моментов.
При рассмотрении этой задачи в качестве осей, жестко связанных
с телом, выбирают три главные оси инерции. Обозначив моменты
инерции тела относительно этих осей соответственно через /ь /2, /8,
а проекции мгновенной угловой скорости со на эти оси через соь со2, сп8,
составляют выражения ^ov» /2со2; 'з<°з- Эти выражения можно рас-
рассматривать как компоненты некоторого вектора N.
Вектор /V, компоненты которого по трем главным осям инерции
соответственно равны
Nx = /tcolt N2 = /2©я, Л'3 = /Зсо3, A3.60)
называют главным моментом импульса твердого тела. Аналогично
моменты внешних сил относительно соответствующих осей можно
рассматривать как компоненты некоторого вектора М. Зная момент
внешних сил М, можно определить, как изменяется вектор N со вре-
временем. Но даже зная, как изменяются величина и направление /V,
мы в общем случае еще ничего не могли бы сказать о том, как дви-
движется тело, — как изменяются величина мгновенной угловой скорости
и направление мгновенной оси в пространстве.
Дело в том, что направление N не совпадает с направлением мгно-
мгновенной оси. Вектор полной угловой скорости со, направленный по
мгновенной оси, имеет по осям, жестко связанным с телом (по главным
осям инерции), компоненты соь со2, со3, а компоненты вектора N по
тем же осям определяются выражениями A3.60). Так как /ь /2, /3
(моменты инерции относительно трех главных осей), вообще говоря,

§ 102] ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ТЕЛО
447
различны по величине, то
Л/1/со1 ф Л72/оJ Ф Л/3/оK,
т. е. N и со не коллинеарны. Однако в интересующем нас специальном
случае можно установить приблизительно связь между направлениями
со и N и их расположением
относительно движущегося I5
тела. Если телу задано очень 1
быстрое вращение вокруг од- ^^^^^
ной из главных осей инерции \^^т %/" " '
(скажем, оси 1) и если оно и
вращается, но не быстро, от- Рис. 230.
носительно других осей, то
cjx гораздо больше, чем со2 и со3, значит, вектор со все время лежит
очень близко к оси L Иа рис. 230 изображены три компоненты уг-
угловой скорости со, имеющей постоянную величину и направление.
Но так как мгновенная ось изменяет, вообще говоря, свое направ-
направление в теле, то величины компонент о)ь «2 и со3 изменяются со
временем. Если по-прежнему о\ ^> о>2 и со1 ^> со3, то вектор угловой
скорости описывает конус с малым углом
раствора и осью, совпадающей с направ-
направлением вектора сох (рис. 231).
Вместе с тем и умножение wlf щ и со3 на
разные, но одного порядка величины /lf /2,
Рис 231 /3 мало изменит дело: Л^ будет гораздо
больше N2 и N3. Следовательно, N и со
хотя и не совпадают, но лежат близко
друг к другу и вместе с тем близко к главной оси 7, вокруг которой
происходит быстрое вращение. Можно доказать, что в рассматриваемом
случае для главного момента импульса N и момента М справедливо
уравнение моментов в обычном виде:
<!§=м. A3.61)
Так \гк уравнение A3.61) определяет, как изменяется направле-
направление N, то, учитывая, что векторы <& и N всегда близки друг к другу, мы
можем определить приблизительно, как движется вектор со и как
изменяется направление оси 1У вокруг которой происходит быстрое
вращение.
§ 102. Действие внешних сил на быстро вращающееся тело
Будем рассматривать массивный диск, вращающийся с большой угловой скоро-
скоростью со вокруг своей геометрической оси (рис. 232). Эта ось закреплена так, что она
может поворачиваться в любом направлении, но центр диска при этом остается непод-
неподвижным (для этого может служить описанный в § 100 карданов подвес). Если внешние
силы будут создавав момеш шиосительнс оси вращения диска, то Судет изменяться

448
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1ГЛ. XIII
только величина момента импульса, направление же его будет неизменным. Если
же момент внешних сил не совпадает по направлению с имеющимся уже у тела момен-
моментом импульса, то он будет изменять не только величину, но и направление момента
импульса. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как происходят эти изменения.
Расположим оси координат так, как указано на рисунке, и посмотрим, что про-
произойдет, если на диск начали действовать внешние силы, создающие момент М относи-
относительно оси XX'. Представим себе, что диск состоит из большого числа отдельных
малых масс Amh каждая из которых отдельной жесткой штангой, массой которой
можно пренебречь, скреплена с осью диска. Тогда к каждому отдельному элементу
Amt мы можем применить результаты § 100.
При этом мы более детально, чем это было
сделано в § 100, рассмотрим картину уста-
установления вращения.
iMacca Ami действует на «свою штангу»,
т. е. на диск, с силой (см. A3.54))
232.
где v' — линейная скорость элемента массы
Ат-1У обусловленная вращением диска вокруг
своей оси, a Q — угловая скорость вращения
диска вокруг оси XX'. Эта сила через «штан-
«штангу» действует на ось диска и создает момент,
который должен поворачивать ось диска вок-
вокруг оси YY'. Как было показано, момент этот
при вращении элемента А/П/ меняется по вели-
величине, но сохраняет неизменным свое направ-
направление. Отсюда ясно, что все элементы диска Ат-г действуют на «штанги» с силами,
создающими момент одного и того же направления. Чтобы подсчитать значение этого
результирующего момента сил, нужно просуммировать мгновенные значения мо-
моментов, создаваемых всеми элементами Апц. Вследствие осевой симметрии диска
результирующий момент будет равен сумме средних значений моментов от всех эле-
менюв диска, взятых за один полный оборот диска. Среднее значение момента силы
R' относительно оси YY' для отдельного элемента массы мы уже нашли в § 100.
Аналогично A3.56) со стороны отдельного элемента массы А1Щ на ось диска дей-
действует момент
АМ\ = o)QAm^r|.
Результирующий момент, действующий на ось диска со стороны всех его элементов,
равен сумме этих средних значений по всем элементам:
М' = coQ У. Amtr\ = coQ/ = NQ,
где / = 2 ^mir\ — момент инерции диска, а N — его момент импульса относительно
i
геометрической оеи.
Сила R'', действующая со стороны каждого отдельного элемента Am,-, будет созда-
создавать момент также и относительно оси XX', но, как было показано в § 100, этот мо-
момент изменяется не только по величине, но и по направлению, и его среднее значение
за оборот равно нулю. Поэтому сплошной диск при вращении его геометрической оси
вокруг оси XX' вообще не будет создавать момента относительно этой оси.
Итак, если под влиянием внешнего момента М возникнет вращение диска вокруг
оси XX' с угловой скоростью Й, то со стороны вращающихся масс диска на его ось
начнет действовать только момент М' относительно оси YY', равный NQ и направлен-
направленный по правилу вращения буравчика от N к Q. Следовательно,
М' = [№].
A3.62)

§ 102] ДЕЙСТВИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА БЫСТРО ВРАЩАЮЩЕЕСЯ ТЕЛО 449
Такие моменты, возникающие со стороны вращающихся масс при изменении
направления их осей вращения, называют гироскопическими моментами.
Так как ось диска свободна, то под действием момента М' она начнет поворачи-
поворачиваться вокруг оси YY' так, что вектор N будет приближаться к вектору внешнего
момента М (рис. 233), т. е. возникает вращение оси диска вокруг оси YY' с какой-то
угловой скоростью Q'. При этом, совершенно так же как и при вращении вокруг оси
XX', возникнет гироскопический момент
М" = [МУ],
но направленный по оси XX'. Этот момент направлен навстречу внешнему моменту
М. Под действием внешнего момента М будет возрастать угловая скорость Q, вслед-
вследствие чего будет возрастать гироскопический момент М', значит, будет возрастать
и скорость вращения Q'. Вследствие этого будет возрастать и гироскопический момент
М". Когда он достигнет значения —М, то
сумма моментов М и М" относительно оси
XX1 обратится в нуль и рост скорости вра-
вращения Q прекратится.
Но постоянной скорости вращения Q со-
соответствует постоянный гироскопический мо-
момент М', который будет продолжать ускорять
вращение Q'. Поэтому будет продолжать ра-
расти гироскопический момент М", замедляю-
замедляющий скорость вращения Q, так что возник-
возникшее сначала вращение Q в конце концов не
только прекратится, но и изменит направле-
направление на обратное. Вместе с тем изменит знак
гироскопический момент М', и вращение Q'
начнет замедляться; от этого уменьшится мо-
момент М", и т. д.
Следовательно, сразу после ioro, как
приложен внешний момент, возникнут дви-
движения вокруг обеих осей и колебания угловых скоростей около состояния, при кото-
котором моменты, действующие на ось диска, будут равны нулю. Для этого гироскопичес-
гироскопический момент М" должен быть равен /Л, а гироскопический момент М' должен быть
равен нулю. Это соответствует вращению только вокруг оси YY' с такой угловой
скоростью, при которой —М = М", или
М = [Q'N].
Возникшие вначале колебания в конце концов затухнут вследствие трения в под-
подшипниках и сопротивления воздуха. После этого останется только вращение вокруг
оси YY' с постоянной угловой скоростью
1' = M/N.
A3.63)
Однако для этого движения с постоянной угловой скоростью необходим постоянный
внешний момент М относительно оси XX', уравновешивающий гироскопический мо-
момент М".
Если внешний момент исчезнет, то под действием гироскопического момента М"
возникнет вращение —Q в направлении, обратном тому, которое возникало при появ-
появлении момента М. Это вызовет появление гироскопического момента —Ж', также
обратного направления, который быстро затормозит вращение Q'. После нескольких
колебаний ось диска остановится. Следовательно, если пренебречь колебаниями
в момент возникновения и исчезновения внешнего момента, то можно считать, что
ось диска движется с постоянной угловой скоростью, пока действует постоянный
внешний момент. Движение оси диска в этом отношении существенно отличаегся от
движения самого диска, который под действием постоянного момента вращался бы
с постоянно возрастающей угловой скоростью.
16 С. Э. Хайкин

450 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХШ
Посмотрим, как изменится картина, если при вращении относительно осей XX1
и YY' действуют силы трения или сопротивления среды. Внешний момент М непо-
непосредственно преодолевает моменты сил трения относительно оси XX1. Преодолеть
же моменты трения относительно оси YY' может только гироскопический момент
М1'. А для этого должно существовать вращение вокруг оси XX' с угловой скоростью
Q достаточной величины. Полученный нами вывод относительно направления и
скорости вращения оси диска можно сформулировать в виде одного векторного
уравнения, аналогично тому как это было сделано в § 100. За время At вектор /V
поворачивается на угол Да = Q'At = (M/N) At и изменяется на величину AN =
— NAa. Следовательно, AN — MAt (так как вектор AN направлен по М). Поэтому,
переходя к бесконечно малым изменениям, мы можем написать:
^ = М. A3.64)
Как было показано в § 100, уравнение A3.64), полученное для случая, когда № пер-
перпендикулярен к ЛГ, остается справедливым и тогда, когда они расположены под лю-
любым углом.
Уравнение A3.64) по внешнему виду совпадает с уравнением для главного момен-
момента импульса A3.61), коюрое мы привели без доказачельства. Поэтому можно считать,
что наш вывод представляет собой это доказательство применимости A3.61) для рас-
рассмотренного частного случая. Однако нужно иметь в виду, что это доказательство
является приближенным, и вот почему. Уравнение A3.61) относится к главному мо-
моменту импульса. Мы же рассматривали момент импульса, связанный с вращением
тела вокруг геометр и ческой оси и направленный по этой оси. Если возникает в ращение
еще вокруг какой-либо другой оси, то появляются и соответствующие компоненты
момента импульса, так что главный момент импульса уже не направлен по геометри-
геометрической оси. Но, как показано выше, если момент импульса, обусловленный вращением
тела вокруг геометрической оси, велик, то угловая скорость вращения вокруг других
осей будет мала. Вместе с тем будут малы и другие компоненты момента импульса, и
главный момент импульса будет мало отклоняться от геометрической оси.
Все же нужно помнить, что по отношению к моменту импульса 7V, связанному
с быстрым вращением вокруг геометрической оси тела, уравнение A3.64) является
приближенным и что внешний момент точно определяет не движение геометрической
оси тела, а изменение главного момента импульса.
§ 103. Гироскопы
Гироскопом в общем смысле называется всякое тело вращения,
которое вращается вокруг точки, лежащей на оси симметрии тела.
Мы будем рассматривать гироскопы, которые с большой скоростью
вращаются вокруг своей геометрической оси. Диск, движение которого
рассмотрено в предыдущем параграфе, может быть примером таких
гироскопов.
Пользуясь выводами предыдущего параграфа, рассмотрим сначала
свободный уравновешенный гироскоп, т. е. гироскоп, у которого ось
вращения может принимать любое направление в пространстве,
а центр тяжести закреплен. Для демонстрационных целей иногда
пользуются гироскопами такой конструкции, которая, например,
изображена на рис. 234. Ротор гироскопа насажен на ось, которая
может поворачиваться как вокруг горизонтальной, так и вокруг
вертикальной оси, т. е. может принимать любое направление в про-
пространстве (отклонения оси по вертикали в этой конструкции ограни-
ограничены не очень большими углами). Для того чтобы момент сил тяжести

103]
ГИРОСКОПЫ
451
относительно трех осей гироскопа был равен нулю, центр тяжести
гироскопа должен совпадать с точкой пересечения трех осей вращения.
Ротор гироскопа приводится в быстрое вращение при помощи малень-
маленького электромотора. Схематически свободный уравновешенный гиро-
гироскоп изображен на рис. 235 и следующих.
Так как момент сил тяжести относительно точки О равен нулю,
то ось вращающегося гироскопа в отсутствие каких-либо других
внешних сил остается неподвижной. Гироскоп обладает постоянным
моментом импульса Ny направ-
направленным вдоль неподвижной оси
вращения гироскопа. Если на
гироскоп начинают действовать
внешние силы, то его ось мо-
может начать двигаться — возни-
возникает вращение и вокруг других
осей. Пока момент внешних сил
мал, вектор N хотя и не совпа-
совпадает с осью гироскопа, но остает-
остается близким к ней. Поэтому,
зная, как изменяется положение
вектора N, мы можем сказать,
как приблизительно движется
ось гироскопа.
Из уравнения A3.61) видно,
что вектор N изменяется только
тогда, когда действует момент Ж.
Следовательно, ось гироскопа может заметно перемещаться только
до тех пор, пока действует момент Ж, изменяющий направление N.
Изменения N за короткий промежуток времени Д/ определяются
из уравнения A3.59):
Рис. 234.
При кратковременном действии внешних сил (удар) At мало,
поэтому и AN мало, — N почти не изменяется. Следовательно, очень
мало должно изменяться и направление оси гироскопа. Действительно,
после резкого удара ось гироскопа не уходит далеко, а дрожит, оста-
оставаясь почти на месте. Это объясняется тем, что N после удара перестает
изменяться, но ось гироскопа не должна совпадать с направлением N,
а должна быть лишь близка к нему. Она может и после удара совер-
совершать малые движения около направления N. Такие движения оси
гироскопа около направления N носят название нутаций. Дрожание
оси гироскопа после удара и представляет собой один из видов нутаций.
В быстро вращающемся гироскопе нутации очень малы, и ими вполне
можно пренебречь. Тогда изменения направления N определяют дви-
движение оси гироскопа. В дальнейшем мы будем считать, что направле-
направление N совпадает с осью гироскопа.
15*

452 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. ХШ
При длительном воздействии внешних сил вектор N может суще-
существенно изменять свое направление в пространстве. Вместе с ним
будет изменять свое направление и ось гироскопа. Направление AN,
в котором поворачивается вектор N, совпадает с направлением М,
т. е. не с направлением силы, а с направлением момента силы относи-
относительно точки О. Если на гироскоп в горизонтальном направлении дей-
действует некоторая сила F (рис. 235), то ось его будет двигаться в направ-
направлении момента этой силы Л1, т. е. будет подниматься вверх. Если сила
F действует на гироскоп в верти-
вертикальном направлении, создавая мо-
момент М (рис. 236), то ось его будет
поворачиваться в горизонтальной
плоскости по часовой стрелке (гля-
Рис 237 дя свеРхУ)-
Когда на гироскоп постоянно
действует сила, создающая момент
М, направленный нормально к оси гироскопа и вектору N, вектор N
будет вращаться с постоянной угловой скоростью, оставаясь все время
в плоскости, проходящей через М и ось гироскопа. Так же будет
вращаться и ось гироскопа. Это один из уже знакомых нам случаев
прецессии. Прецессию этого типа можно продемонстрировать, подве-
подвесив на ось гироскопа небольшой груз Р (рис. 237). Вес груза Р будет
создавать момент Ж, все время лежащий в горизонтальной плоскости;
в этой же плоскости вращается ось гироскопа.
Если подталкивать прецессирующий гироскоп в направлении, в котором он
прецессирует, то, как видно из сопоставления рис. 235 и 237, тот конец оси, на кото-
котором висит груз, будет подниматься. Наоборот, если давить на гироскоп против направ-
направления прецессии, то конец оси с грузом будет опускаться. Внешние силы, препятствую-
препятствующие прецессии, приводят к тому, что груз опускается. При прецессии на вертикаль-
вертикальную ось действуют силы трения в подшипнике, препятствующие прецессии; поэтому
ось прецессирующего гироскопа не остается в горизонтальной плоскости — конец
оси, на котором висит груз, постепенно опускается.
Это может служить иллюстрацией к общим соображениям о роли сил трения, при-
приведенным в предыдущем параграфе. Вследствие трения вращение, возникающее вна-
вначале под действием внешнего момента, не прекращается, но груз все время про-
продолжает опускаться.
Этот же тип прецессии можно продемонстрировать следующим образом. Гироскоп
подвешивается одним концом к нити.9Если расположить ось гироскопа вертикально
(рис. 238), то моменты силы тяжести не действуют и прецессия не возникает. Если
расположить ось гироскопа горизонтально (рис. 239), то вначале она вращается

ЮЗ]
ГИРОСКОПЫ
453
в горизонтальной плоскости (прецессия вызвана моментом силы тяжести, действую-
действующей на весь гироскоп). Однако закручивание нити и сопротивление воздуха препятст-
препятствуют прецессии и приводят к тому, что ось гироскопа постепенно опускается.
Когда вначале ось гироскопа образует произвольный угол (а не прямой, как
в предыдущих примерах) с постоянным направлением силы, создающей внешний
момент, гироскоп, прецессируя, описывает конус около этого постоянного направле-
направления силы. Так, например, когда ось неуравновешенного гироскопа в начальный мо-
момент наклонена к горизонту (рис. 240), возникает прецессия, при которой ось гиро-
гироскопа описывает конус вокруг вертикали.
Рис. 238.
Рис. 239.
Рис. 240.
Другой случай прецессии, при которой ось гироскопа описывает конус вокруг
постоянного направления внешней силы, можно продемонстрировать, привязав к
концу оси длинную мягкую резинку (достаточно длинная резинка действует на ось
гироскопа с силой, направление которой практически можно считать постоянным).
Если резинку натянуть так, чтобы она составляла небольшой угол с осью гироскопа,
то эта ось будет описывать конус вокруг направления, в котором расположен второй
конец резинки. Направление прецессии определяется, как и прежде, направлениями
М и N. Движение, которое в этом случае совершает ось гироскопа, изображено пунк-
пунктиром на рис. 234.
Движение оси гироскопа по конусу обусловлено тем, что она движется не в
направлении силы, а в направлении момента силы, т. е. всегда перпендикулярно
к направлению силы. Поэтому при постоянном направлении силы ось гироскопа опи-
описывает конус вокруг этого направления. Только в частном случае, когда вначале ось
перпендикулярна к направлению силы, конус превращается в плоскость.
В рассмотренном выше примере неуравновешенного гироскопа, прецессирую-
щего под действием момента силы тяжести (рис. 237), центр тяжести гироскопа смещен
относительно закрепленной точки (чем и обусловлено наличие момента силы тяжести),
ло лежит на оси гироскопа. В этих случаях, представляющих интерес с точки зрения
практических применений, гироскоп называют гироскопическим маятником.
Найдем угловую скорость прецессии гироскопического маятника. Пусть О —
точка закрепления гироскопа иС — его центр тяжести (рис. 241). Момент силы тя-
тяжести
М = PI sin ф,

454 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XIII
Где р — вес гироскопа, а / — расстояние ОС. Найденное нами выражение A3.57)
для угловой скорости прецессии было получено для случая, когда вектор N образует
с осью прецессии угол Р — 90°. Для определения скорости прецессии при Р < 90°
нужно учесть, что конец вектора N описывает окружность радиуса N sin р. Поэтому
угловая скорость прецессии
Q — Да/А/ = M/N sin гр.
Подставив в полученное выражение значение М, найдем:
Q = PI/N. A3.65)
Период обращения оси прецессирующего гироскопа, или «период гироскопичес-
гироскопического маятника»,
Т = 2k/Q = 2nN/Pl; A3.66)
он зависит от параметров гироскопа, но не зависит от углагр, который образуетесь
гироскопа с вертикалью. В этом смысле гироскопический маятник можно сравнить
с физическим маятником. Так же, как физический маятник совершает малые
колебания около вертикали с периодом Т — 2л j^/o/g, где /0 — его «приведен-
«приведенная длина», гироскопический маятник прецессирует вокруг
направления вертикали с периодом, определяемым формулой
A3.66), т. е. аналогичен физическому маятнику с приведен-
приведенной длиной
A3.67)
Если скорость вращения гироскопа велика, то его при-
приведенная длина может во много раз превышать приведенную
длину того физического маятника, который представлял бы
собой этот гироскоп, если бы он не вращался. Соответственно
и скорость движения оси вращающегося гироскопа может
быть гораздо меньше, чем скорость движения этого же гиро-
гироскопа, если он остановлен. Период прецессии гироскопа может
составлять десятки секунд и «приведенная длина» — десятки
метров; этот же гироскоп, не вращающийся и подвешенный
на горизонтальной оси в точке О, представлял бы собой физи-
физический маятник с приведенной длиной в несколько сантиметров.
Рис. 241. Благодаря быстрому вращению гироскопа изменение
положения его оси под действием заданных внешних сил
происходит не только в другом направлении, но и гораздо
медленнее, чем в случае, если бы гироскоп не вращался. Иначе говоря, для
того чтобы вызвать столь же быстрые изменения положения оси, нужно в случае
вращающегося гироскопа приложить гораздо большие силы, чем в случае, когда он
не вращается. Вместе с тем прецессия гироскопа происходит, только пока действует
внешний момент, и прекращается сразу же, как только этот момент исчезает. По-
Поэтому, если внешние силы действуют на гироскоп непродолжительное время, то ось
его не успеет заметно изменить свое положение и после прекращения действия сил
остановится в новом положении, близком к исходному. Именно все эти особенности
поведения оси гироскопа и имеют в виду, когда говорят, что ось гироскопа «обладает
устойчивостью», что она «стремится сохранить свое положение в пространстве» и т. д.
Обыкновенный волчок представляет собой также гироскопический маятник,
однако отличающийся тем, что точка опоры у него всегда лежит ниже центра тяжести.
Для физического маятника в случае, когда точка опоры лежит ниже цешра тяжести,
положение равновесия оказывается неустойчивым. Для гироскопического маят-
маятника при достаточной скорости вращения гироскопа это положение оказывается
устойчивым, и поэтому волчок, пока он вращается достаточно быстро, не падает
(здесь уже речь идет не об устойчивости состояния равновесия, а об устойчивости
движения), а прецессирует вокруг вертикали. Более того, наклонно пущенный

103]
ГИРОСКОПЫ
455
о
Рис. 242.
волчок выпрямляется, так что угол между его осью и вертикалью уменьшается.
Объясняется это действием сил трения между ножкой волчка и плоскостью опоры.
Так как точка опоры волчка лежит ниже его
центра тяжести (рис. 242), то момент силы тяжести "* ~~
М направлен так, что направление прецессии совпа-
совпадает с направлением вращения самого волчка 1).
Поэтому, когда ось волчка наклонена, силы трения,
действующие на ножку волчка со стороны плоско-
плоскости, направлены так, что они ускоряют прецессию.
Обусловлено это тем, что ось волчка практически
опирается на плоскость не одной точкой, а некото-
некоторой площадкой. Вследствие вращения оси эта пло-
площадка испытывает со стороны плоскости силы тре-
трения, под действием которых она должна катиться по
плоскости. При этом качение будет происходить в
ту же сторону, в которую происходит вращение оси
волчка. Но это означает, что силы трения дейст-
действуют в том же направлении, в котором происходит
прецессия волчка, т. е. ускоряют эту прецессию. А
это, как мы знаем, приводит к тому, что центр тя-
тяжести волчка поднимается. Однако силы трения,
ускоряя прецессию, замедляют вращение самого волчка. Когда вращение значитель-
значительно замедляется, движение теряет свою устойчивость и волчок падает.
В случае уравновешенного — «астатического» — гироскопа момент силы тяжести
равен нулю и ось гироскопа остается неподвижной до тех пор, пока на гироскоп не
действуют какие-либо внешние силы. Если эти внешние силы создают момент относи-
тельно точки закрепления гироскопа, то ось гироскопа начинаем
двигаться в направлении момента внешних сил.
Чтобы вызвать быстрое движение оси гироскопа, внешние
силы дол йены создавать большой внешний момент. В свою оче-
очередь поворачивающийся гироскоп создает большой гироскопи-
гироскопический момент, направленный навстречу внешнему моменту.
Внешний момент обычно передается на ось гироскопа в виде дав-
ления на подшипники, в которых она закреплена. В свою оче-
очередь возникающий гироскопический момент приводит к тому,
что сама ось давит на подшипники с силами, равными внешним
по величине и противоположными по направлению.
В частности, если подшипники оси гироскопа жестко связаны
с каким-либо телом, то гироскопические моменты действуют на
это тело при всяком движении этого тела, сопровождающемся
изменением направления оси гироскопа. Эти силы часто играют
заметную роль.
Например, вращающиеся части машины парохода представля-
представляют 'собой вгироскоп, обладающий большим моментом импульса.
Ось этого «гироскопа» расположена вдоль судна. При килевой качке корабля (когда
нос корабля поднимается и опускается) изменяется направление момента импульса
машины. Вследствие этого возникают силы давления со стороны вала на под-
подшипники; они лежат в горизонтальной плоскости и поворачивают корабль вокруг вер-
вертикальной оси. Это «рыскание по курсу» заметно у малых судов с мощными маши-
машинами (буксиры).
Силами, действующими со стороны гироскопа, объясняются движения, возникаю-
возникающие при повороте оси велосипедного колеса иа скамье Жуковского (§ 95). Когда,
например, человек, находящийся на скамье, желает опустить ось колеса вниз
(рис. 206,6 и в), то он должен надавливать на нижний конец оси колеса слева направо.
г) Если точка опоры или подвеса лежит выше центра тяжести, то гироскопический
маятник, как это видно, например, из рис. 241, прецессирует в направлении проти-
противоположном собственному вращению гироскопа.
Рис. 243.

456 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ?ГЛ ХШ
Вместе с тем возникает и сила /Удавления со стороны оси на руку (рис. 243), направ-
направленная в противоположную сторону. Эта сила F создает момент, вызывающий враще-
вращение человека со скамьей вокруг вертикальной оси. Определив для различных случаев
направление этих сил, можно убедиться, что всегда возникает вращение в таком на-
направлении, чтобы общий момент импульса системы оставался постоянным.
Все описанные свойства гироскопа объясняются тем, что движение оси гироскопа
подчиняется уравнению A3.61). Движение оси гироскопа определяется не направле-
направлением силы, а направлением момента внешних сил. Но этот момент определяется си-
силами, специально приложенными извне к
гироскопу, только тогда, когда гироскоп
вполне свободен, т. е. когда конструкция
прибора допускает любое положение его
оси. Если же гироскоп не вполне свободен,
то нужно принимать во внимание и момен-
моменты тех сил, которые могут действовать на
гироскоп со стороны подставки, в которой
он закреплен.
Эти моменты сил могут совершенно из-
изменить поведение гироскопа под действием
внешних сил. Например, если в демонстра-
демонстрационном гироскопе, которым мы пользова-
пользовались, закрепить горизонтальную ось и сде-
сделать возможным вращение оси гироскопа
только в горизонтальной плоскости, то
Рис. 244. он становится совершенно «послушным».
Под действием силы /\ приложенной к ги-
гироскопу в горизонтальной плоскости, ось
его не поднимается кверху, как в случае свободного гироскопа, а поворачивается
в горизонтальной плоскости в направлении действия силы (рис. 244). Это изменение
в поведении гироскопа объясняется тем, что наряду с моментом силы F на ось дейст-
действует момент сил и со стороны подставки, в которой он закреплен.
Возникновение этого момента легко проследить. Вначале, пока на гироскоп не
действует сила F, на него не действует момент и со стороны подставки. Гироскоп
«не знает», что он закреплен. Поэтому сначала он ведет себя как вполне свободный
гироскоп: под действием силы F7 создающей момент Ж, направленный вверх, правый
конец оси гироскопа начинает подниматься. Вертикальная ось, с которой жестко
связана ось гироскопа, немного изгибается (на рис. 244 этот изгиб сильно преувели-
преувеличен), и возникает момент упругих сил, действующих на гироскоп. Под действием этого
момента Mj ось гироскопа будет перемещаться в горизонтальной плоскости как раз
в том направлении, в котором действует сила F, Поэтому гироскоп и оказывается
«послушным». Качественно он ведет себя так, как будто быстрое вращение вокруг
его геометрической оси отсутствует.
§ 104. Применения гироскопов
Отмеченные выше свойства гироскопов нашли себе разнообразные практические
применения. Одно из первых применений свойства гироскопов нашли в нарезном
оружии. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое
вращение вокруг оси и превращают его в гироскоп с большим собственным моментом
импульса. После вылета из ствола центр тяжести снаряда движется по параболе,
и касательная к траектории постепенно опускается вниз (рис. 245). Действующее на
снаряд сопротивление воздуха создает момент, который должен был бы опрокинуть
снаряд. Поэтому, если бы снаряд не вращался вокруг своей оси, то направление
этой оси могло бы меняться самым произвольным образом.
В случае же быстрого вращения вокруг оси снаряд превращается в гироскоп,
и внешний момент вызывает лишь прецессию оси снаряда вокруг направления каса-

§ 104] ПРИМЕНЕНИЯ ГИРОСКОПОВ 457
тельной к траектории. Направление прецессии при этом совпадает с направлением
собственного вращения снаряда. В этом отношении снаряд подобен волчку, и так же,
как в случае волчка, чтобы прецессия была устойчива, собственный момент импульса
снаряда должен превосходить некоторую критическую величину. Для этого винтовые
нарезы в стволе орудия должны быть достаточно крутыми.
В случае очень настильных траекторий, когда касательная к траектории мало
изменяет свое направление в пространстве, момент импульса снаряда может быть до-
достаточно велик. В случае же навесных траекторий требования осложняются, так как
ось снаряда должна быть близка к направлению касательной и вместе с ней изменять
свое направление в пространстве. Это возможно только в случае, если момент импульса
снаряда не очень велик. Таким образом, для того чтобы ось снаряда во всех случаях
оставалась близкой к направлению касательной к траектории, величина собственного
момента импульса снаряда должна быть заключена между некоторыми определенными,
довольно узкими пределами.
Другим важным применением гироскопов являются различные гироскопические
навигационные приборы: гирогоризонт, гирокомпас и т. д. Создание искусственного
горизонта является одной из важнейших
задач как морской, так и аэронавигации.
Для астрономических измерений геогра-
фической широты нужно знать положение
горизонтальной плоскости или вертикали
в данной точке. Если линия горизонта не
видна, то для определения вертикали мож-
но пользоваться неподвижным отвесом.
Однако на экипаже, движущемся с уско-
ускорением, отвес не будет направлен по верти- р 945
кали. Поэтому на корабле или самолете
обычный отвес для определения вертикали
непригоден вследствие неизбежных ускорений при наборе скорости, поворотах и
качке. В этих случаях задачу можно решить при помощи специального гироскопичес-
гироскопического маятника, так называемого гирогоризонта.
Для выяснения принципа действия гирогоризонта мы рассмотрим поведение гиро-
гироскопического маятника в экипаже, обладающем ускорением. Пока экипаж не обладает
ускорением, гироскопический маятник, ось которого расположена вертикально, со-
сохраняет неизменным свое положение. Если возникло ускорение экипажа, то в системе
отсчета, связанной с экипажем, появляются силы инерции. Их действие можно
учесть как некоторое эквивалентное изменение направления силы тяжести. Направле-
Направление оси гироскопического маятника уже не будет совпадать с направлением силы
тяжести, и гироскоп начнет прецессировать. Но «приведенную длину» гироскопичес-
гироскопического маятника можно сделать очень большой (порядка сотни километров!), так что
период прецессии будет составлять десятки минут. Если ускорение длится короткое
время, то ось гироскопа вследствие медленности движения не успеет уйти далеко от
направления вертикали, которое она занимала прежде. Поэтому кратковременные
ускорения вообще заметно не отклоняют оси гирогоризонта от вертикали.
Экипажи обычно не могуг иметь длительное время большое ускорение одного
направления. Наиболее неблагоприятный в этом отношении случай — это набор
скорости, который может длиться значительное время и вызвать хотя и ие очень боль-
большие, но все же заметные отклонения оси гироскопа. Ускорения при поворотах длятся
короткое время, а при качке они меняют направление, и отклонения оси гироскопа
под влиянием этих переменных ускорений в результате усреднения оказываются
незначительными. Таким образом, гироскопический маятник с большим периодом
прецессии может служить искусственным горизонтом. Такие гирогоризонты сейчас
широко применяются на морских судах для астрономических наблюдений, на самоле-
самолетах при слепом полете и для различных специальных целей.
Другое важное применение гироскопов — поддержание заданного направления
движения экипажа, например судна («авторулевой») или самолета («автопилот»).
Для этой цели применяются уравновешенные («астатические») гироскопы на кардане-

458
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XIII
вом подвесе. В этом случае нет никаких внешних моменюв, которые могли бы изме-
изменить направление оси гироскопа, и она сохраняет свое направление в пространстве
независимо от движения экипажа. Конечно, осу-
осуществить такой вполне свободный гироскоп
практически невозможно вследствие неизбежно-
неизбежного трения в подшипниках карданова подвеса.
Однако если собственный момент импульса ги-
гироскопа велик, а силы трения малы, то момен-
моменты этих сил, возникающие при поворотах эки-
экипажа, мало изменяют направление оси гироскопа
в пространстве. Поэтому при отклонении на-
направления экипажа от направления, заданного
осью гироскопа, рамы карданова подвеса, на
котором укреплен гироскоп, поворачиваются от-
относительно оси гироскопа так, чтобы ось гиро-
гироскопа сохранила неизменным свое направление
в пространстве. Повороты рам карданова подве-
подвеса при помощи тех или иных механизмов превра-
превращаются в команды, которые вызывают отклоне-
отклонения рулей, возвращающие экипаж к заданному
направлению.
При движении в плоскости, например при
движении морской торпеды (самодвижущейся
мины), достаточно одного гироскопа с осью,
ориентированной по направлению движения. В
случае движения в пространстве (на самолете)
нужны два гироскопа: один с вертикальной осью,
задающей горизонтальную плоскость, в которой
должен оставаться самолет, и другой с гори-
горизонтальной осью, ориентированной вдоль оси
самолета, задающий курс самолета. Оба гироскопа дают соответствующие команды
рулям и лрупш элементам управления, поддерживающим горизонтальный полет
Я*
Рис. 246.
Рис. 247.
Рис. 248.
самолета по заданному курсу. Такими автопилотами, освобождающими летчика от
необходимости все время управлять самолетом, оборудованы почти все современные
самолеты, предназначенные для длительных полетов.

§ 104]
ПРИМЕНЕНИЯ ГИРОСКОПОВ
459
Еще одно важное применение гироскопа в навигации — это гироскопический
компас. В гирокомпасах используются свойства не вполне свободного гироскопа,
ось которого может двигаться только в одной фиксированной плоскости, которую мы
для краткости будем называть плоскостью оси, например в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к прямой 00' (рис. 246).
Пусть подставка, на которой закреплен такой не вполне свободный гироскоп,
вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, образующей некоторый
угол с плоскостью оси гироскопа. Так как гироскоп не вполне свободен, то со стороны
вращающейся подставки на него может действовать некоторый внешний момент.
Чтобы определить направление этого момента, раз-
разложим угловую скорость вращения подставки о на
составляющие: в плоскости оси щ и перпендику-
перпендикулярную к ней о>л. Это второе вращение никак не
влияет на гироскоп, так как относительно этой оси
он в подставке ке закреплен. По отношению к вра-
вращению щ гироскоп не свободен, и со стороны под-
подставки на гироскоп действует внешний момент M(t
направленный по б>/. Под влиянием этого момента
ось гироскопа будет поворачиваться в своей плос-
плоскости, пока не совпадет с Mf.
Это свойство не вполне свободного гироскопа
можно продемонстрировать следующим образом.
На подставке, которая может быть приведена во
вращение вокруг вертикальной оси, установлен
уравновешенный не вполне свободный гироскоп, ись
которого может вращаться в какой-либо одной
вертикальной плоскости (рис. 247). Пока подставка неподвижна, ось гироскопа мо-
может занимать любое положение в этой плоскости. Если привести подставку во вра-
вращение, то после нескольких качани-й ось гироскопа устанавливается в направлении
угловой скорости вращения подставки, и притом так. что момент импульса гиро-
гироскопа по направлению,совпадает с направлением угловой скорости (рис. 248). Если
изменить направление вращения подставки, то ось гироскопа поворачивается
на 180°.
Аналогично будет вести себя не вполне свободный гироскоп под влиянием враще-
вращения Земли (рис. 249) Если ось его может вращаться только в горизонтальной плоскос-
плоскости данного места, то под влиянием угловой скорости вращения Земли о она устано-
установится в направлении щ проекции со на горизонтальную плоскость, т. е. в направлении
меридиана данного места, причем векюр момента импульса будет иметь направление
на север. Таким образом, не вполне свободный гироскоп в комбинации с устройством,
удерживающим его в горизонтальной плоскости (например, с гирогоризонгом),
может служить компасом.
Гироскопические компасы обладают по сравнению с магнитными рядом преиму-
преимуществ: на их показания не влияют магнитные бури, находящиеся поблизости массы
железа, они менее чувствительны к вибрациям и качке и т. д. Поэгому гирокомпасы
сейчас играют важную роль в навигации.
Рис. 249.

ГЛАВА XTV
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
§ 105. Сплошные тела
Все реальные тела способны деформироваться, и поэтому различ-
различные части тела могут двигаться по-разному. Для того чтобы изучить
движение деформируемого тела, строго говоря, нужно рассмотреть
движение всех отдельных элементов тела, которые могут двигаться
друг относительно друга. Такими элементами являются атомы, из
которых построено всякое тело. (Атомы реального тела никогда не
бывают абсолютно жестко связаны между собой, поэтому тело и спо-
способно деформироваться.)
Однако в механике упругих тел задача ставится по-иному. Если
интересующее нас движение таково, что большое число смежных
атомов движется одинаково, то мы можем описывать движение этого
элемента тела, забывая о том, что он состоит из отдельных атомов.
Таким образом мы приходим к представлению о сплошных телах.
Мы разбиваем реальное тело на отдельные малые элементы, и силы,
действующие со стороны смежных элементов на данный, рассматри-
рассматриваем как внешние силы, действующие на данный элемент. К этим
элементам тела мы применяем обычные законы механики. Мы имеем
право это делать только потому, что в каждый отдельный элемент
входит очень много атомов. Действительно, законы механики являются
обобщением опытных фактов, которые были установлены на основании
опытов с макроскопическими телами (состоящими из многих атомов).
И мы не имеем никакого права утверждать, что эти же законы спра-
справедливы и для каждого отдельного атома. Законы движения отдельных
атомов могут быть установлены только на основании опытов с отдель-
отдельными атомами. Эти опыты показали, что к отдельным атомам, вообще
говоря, неприменимы те законы механики, которыми мы все время
пользуемся. Но если в выделенный элемент входит еще очень много
атомов, то к этому элементу вполне применимы обычные законы
механики.
Конечно, отдельные атомы выделенного элемента никогда не дви-
движутся одинаково, так как они все совершают хаотическое тепловое
движение. Но если атомов в элементе много, то именно вследепзие

§ 106] ТИПЫ ДЕФОРМАЦИЙ 461
хаотичности теплового движения общий импулг^с этого движения
всегда равен нулю. Поэтому мы и можем не учитывать теплового
движения, если выделенный элемент объема содержит достаточно
много атомов.
С обеих точек зрения каше рассмотрение законно только до тех
пор, пока в выделенный элемент входит большое число атомов. Для
этого размеры элементов, на которые мы разбиваем тело, должны
быть велики по сравнению со средними расстояниями между атомами.
Но, с другой стороны, размеры элементов должны быть столь малы,
чтобы все атомы элемента при рассматриваемом движении двигались
практически одинаково. Только в том случае, когда мы сможем разбить
тело на отдельные элементы так, чтобы были соблюдены оба эти усло-
условия, рассмотрение реальных тел как сплошных оказывается возмож-
возможным. Дальше (§ 156) будут приведены случаи, когда оба указанных
условия не могут быть соблюдены одновременно и рассматривать
некоторые явления в сплошных телах без учета их атомной структуры
оказывается невозможным.
§ 106. Типы деформаций
Рассматривая тело как сплошное, мы должны научиться находить
те «внешние» силы, с которыми отдельные элементы тела действуют
друг на друга. В абсолютно упругих телах эти силы однозначно
определяются деформациями взаимодействующих элементов тела.
При всем разнообразии деформаций тел оказывается возможным
любую деформацию тела свести к двум основным типам деформаций,
которые поэтому называются элементарными деформациями. Этими
элементарными деформациями являются растяжение (и сжатие) и
сдвиг. Для того чтобы ясно представить себе эти основные деформации
и их связь с другими типами деформаций, удобно пользоваться мо-
моделью, изображенной на рис. 250. Ряд одинаковых пластин (кусков
фанеры) соединен между собой по четырем углам одинаковыми пру-
пружинами. Нижняя пластина прикреплена к столу.
Растяжение тела мы получим, оттягивая верхнюю пластину вверх
(рис. 251), сжатие — нажимая на нее вниз (рис. 252). Изменение
расстояний между пластинами происходит таким образом, что расстоя-
расстояния между соседними пластинами во всех точках остаются одинако-
одинаковыми. Такая деформация называется однородным растяжением или
сжатием.
Деформацию сдвига мы получим, сдвигая верхнюю пластину
параллельно самой себе (рис. 253). При этом расстояния между пла-
пластинами останутся неизменными, но точки соседних пластин, лежащие
на одной вертикали, сдвинутся друг относительно друга в одном
направлении и на одну и ту же величину. Такая деформация назы-
называется однородным сдвигом.

462
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XIV
На этой же модели можно показать и некоторые другие типы
деформаций. Так, изгиб мы получим, наклонив верхнюю пластину
Ряс. 250.
Рис. 251.
(рис. 254). При этом расстояния между соседними пластинами в раз-
разных местах изменятся по-разному. С одной стороны они увеличатся,
Рис. 252.
Рис. 253.
с другой — уменьшатся. Таким образом, деформация изгиба сводится
к растяжениям и сжатиям, различным в различных частях тела, —
Рис. 254.
Рис. 255.
неоднородному растяжению и сжатию. Кручение мы получим, повер-
повернув верхнюю пластину вокруг вертикальной оси (рис. 255). При этом
расстояние между пластинами останется неизменным, но точки пла-
пластин, лежавшие на одной вертикали, сдвинутся друг относительно

§ 106] ТИПЫ ДЕФОРМАЦИЙ 463
друга. Этот сдвиг в разных местах будет различен. Например, в центре
сдвига совсем не будет, у переднего ребра он будет направлен вправо,
у заднего — влево. Таким образом, деформация кручения сводится
к деформациям сдвига, различным в различных частях тела, т. е.
к неоднородному сдвигу. Другие, более сложные типы деформаций
могут быть сведены к одновременно существующим двум деформациям:
неоднородного растяжения или сжатия и неоднородного сдвига.
Поэтому, введя величины, характеризующие деформации растяжения
и сдвига, можно потом с помощью этих же величин характеризовать
и все другие типы деформаций.
Деформацию растяжения можно охарактеризовать величиной отно-
относительного удлинения. Если / — длина тела до растяжения, а 1г —
после растяжения, то абсолютное удли-
удлинение тела при растяжении А/ = 1г — /.
Относительное удлинение
A4.1)
характеризует величину растяжения или
сжатия, причем г соответственно поло-
положительно или отрицательно. Очевидно,
что при однородном растяжении или
сжатии величина 8 во всех точках тела Рис- 256*
одна и та же.
Деформация сдвига определяется величиной относительного сдвига.
Если мы отметим какие-либо точки тела, лежащие на одной прямой,
например на левой грани (рис. 256), то при деформации абсолютный
сдвиг АА\ BB't CC и т. д. для различных точек будет различным. Но
отношение этого сдвига к расстоянию до точки О будет одно и то же:
y = AA'/OA=BB'lOB=...=tga. A4.2)
Эта величина у и называется относительным сдвигом. Одно из
направлений сдвига выбирается за положительное, а другое — за
отрицательное. Если деформации малы, то tg a ^ а и у = а. Таким
образом, при малых деформациях сдвига относительный сдвиг есть
измеренный в радианах угол сдвига. При деформации однородного
сдвига величина у во всех точках тела одна и та же.
В рассмотренных двух простейших случаях деформация опре-
определяется одной величиной е или у. Более сложные деформации уже
нельзя определить заданием одной величины. Однако, пока деформа-
деформации достаточно малы, можно всякую деформацию рассматривать как
результат некоторых растяжений и сдвигов. Если мы выберем в теле
какие-либо три взаимно перпендикулярных направления, то всякую
деформацию мы сможем представить как результат трех растяжений
по этим трем взаимно перпендикулярным направлениям и трех сдвигоз
в плоскостях,, перпендикулярных к этим направлениям. Если значе-
значения этих трех растяжений и трех сдвигов будут заданы, то мы сможем

464 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
найти по ним вызванное деформацией изменение расстояний между
любыми двумя точками тела и изменение угла между любыми двумя
направлениями в теле. Таким образом, любая малая деформация вполне
определяется заданием шести указанных величин (трех растяжений
и трех сдвигов).
В общем случае шесть величин, определяющих любую деформацию
в разных точках тела, различны. Поэтому, чтобы определить дефор-
деформацию тела, нужно указать, как изменяются эти шесть величин от
точки к точке, т. е. нужно задать их как функции координат точек
тела.
При рассмотрении деформаций растяжения и сжатия мы пока
оставили в стороне одно сопутствующее этим деформациям явление.
Всякое растяжение тела всегда сопровождается соответствующим
сокращением его поперечного сечения и, наоборот, сжатие — соот-
соответствующим увеличением поперечного сечения. На нашей модели
этого явления продемонстрировать, конечно, нельзя. Для демонстра-
демонстрации поперечного сокращения тел при растяжении может служить
следующий простой опыт. На расположенную вертикально резиновую
трубку плотно надето металлическое кольцо, которое благодаря трению
держится на трубке. Если трубку растянуть, то ее диаметр умень-
уменьшается и кольцо соскальзывает вниз.
Характеристикой этого изменения поперечных размеров при
растяжении и сжатии является относительное поперечное расшире-
расширение или сжатие
eq = (d^d)/d^Ad/d9 A4.3)
где d — поперечный размер тела до деформации, г dx — после дефор-
деформации. При растяжении тел поперечные размеры его уменьшаются
и eq < 0; при сжатии гд > 0. Таким образом, е и гд всегда различны
по знаку.
Отношение т = —в/ед называют коэффициентом поперечного сжа-
сжатия или коэффициентом Пуассона. Коэффициент Пуассона не зависит
от размеров тел и для всех тел, сделанных из данного материала,
имеет одно и то же значение. Поэтому коэффициент Пуассона является
константой, характеризующей свойства вещества.
Деформации растяжения и сжатия, вообще говоря, связаны с изме-
изменением объема тел. Куб с ребрами в единицу длины после малой
деформации, равной е, будет иметь длину 1 -f ей сечение A + е^J «
^1+28^ (вд мало). Объем куба V, до деформации равный 1, после
деформации окажется равным
У' = A+е)A+2е,)я«1+в + 2е,. A4.4)
Изменение объема
AV=V'-V = B+2Bq = e{l-2v), A4.5)
где v = —вд/е = 1/ш, т. е. величина, обратная коэффициенту Пуас-
Пуассона. У всех реальных тел при растяжении объем увеличивается,

1071 УПРУГИЕ ТЕЛА 465
при сжатии — уменьшается. Это свойство реальных тел можно сфор-
сформулировать в более общем виде. Если мы в отдельных местах прило-
приложим к поверхности тела силы, направленные только наружу, то объем
тела всегда увеличивается. Наоборот, если все силы, действующие
на поверхность тела, направлены только внутрь, то объем тела всегда
уменьшается.
В силу этого свойства реальных тел для них всегда AV и е
должны быть одного знака, а для этого должно бьпь v< 1/2 или
т >2. В предельном случае, если бы тело вообще не изменяло своего
объема при растяжении и сжатии, должно было бы быть v = 1/2
и т = 2.
§ 107. Упругие тела
Дальнейшая наша задача состоит в том, чтобы установить, какие
силы возникают в теле при тех или иных деформациях. Очевидно, что
самая постановка этой задачи, предполагает, что силы однозначно
связаны с деформациями. Однако реальные тела не обладают этим
свойством в полной мере.
При рассмотрении абсолютно неупругого удара (§ 32) мы даже
предполагали, что возникающие в телах силы определяются не дефор-
деформациями, а главным образом скоростью изменения деформаций. Но
для многих реальных тел при известных условиях силы можно считать
зависящими только от деформаций. Так мы приходим к представлению
об абсолютно упругом теле, в котором силы однозначно связаны с
деформациями. Каждой данной деформации соответствует вполне опре-
определенное распределение сил, возникающих в теле, и, наоборот, каж-
каждому данному распределению сил в теле соответствует вполне опреде-
определенная деформация. Поэтому есть только одно состояние тела, в котором
отсутствуют силы, действующие со стороны данного тела на другие
тела или между отдельными частями тела. Это состояние тела и назы-
называется недеформированным.
Мы будем считать, что покоящееся упругое тело, не подвергаю-
подвергающееся действию внешних сил, находится в таком недеформированном
состоянии. Правда, в реальных твердых телах, даже в том случае,
когда они не подвергаются действию внешних сил, могут существовать
внутренние силы, действующие между отдельными элементами тела.
Эти внутренние силы, или внутренние натяжения, возникают потому,
что при образовании твердого тела, например при затвердевании рас-
расплава, некоторые элементы тела оказываются деформированными. От-
Отжиг металлических отливок или стеклянных изделий и имеет целью ус-
устранение этих внутренних натяжений. Мы в дальнейшем будем считать,
что эти внутренние натяжения отсутствуют и что в недеформированном
теле никакие силы между отдельными его элементами не действуют.
Если в упругом теле по той или иной причине возникли деформа-
деформации, то в свободном покоящемся теле эти деформации в конце концов

466 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
исчезнут и тело вернется к недеформированному состоянию. Абсо-
Абсолютно упругое тело должно восстанавливать свою форму. Абсолютно
упругим телом называется такое тело, которое обладает способностью
в конце концов восстанавливать свою форму, какие бы деформации
в нем ни происходили до этого.
Конечно, реальные тела вовсе не обладают этой способностью
в полной мере. Только пока деформации тела не превосходят извест-
известных пределов, оно восстанавливает свою форму, и то, конечно, лишь
с известной степенью точности. Этот предел, до которого реальные тела
ведут себя приблизительно как абсолютно упругие, называется пре-
пределом упругости данного реального тела. Различные тела обладают
различным пределом упругости, но для всех тел существует предел,
после которого тело уже в заметши степени сохраняет изменения
формы. Такие деформации носят название остаточных или пластиче-
пластических деформаций. Ряд методов обработки материалов (ковка, прокатка
и т. д.) по существу состоит в создании таких остаточных деформаций.
Рассматривать тела как абсолютно упругие имеет смысл только
при том условии, что деформации тел заведомо не достигают предела
упругости. Правда, и до того, как достигнут предел упругости, уже
наблюдаются малые остаточные деформации. Но эти остаточные дефор-
деформации играют роль только в том случае, когда происходят быстро
повторяющиеся деформации тела. Поэтому при малых и медленных
деформациях многие реальные тела можно рассматривать как абсо-
абсолютно упругие. Вопрос о том, как малы и медленны должны быть
деформации, чтобы данное реальное тело можно было рассматривать
как абсолютно упругое, должен быть решен путем изучения поведения
тела при различных величинах деформаций.
Для этой цели применяются специальные машины, в которых
образцы испытуемого материала подвергаются различным деформа-
деформациям. При этом обычно изучается связь величин деформаций с силами,
которые приложены к испытуемому образцу, или, что то же самое
(пока деформации происходят медленно), с силами, возникающими
в самом образце. Так как для большинства применяемых на практике
материалов даже большие силы вызывают сравнительно малые дефор-
деформации, то машины, применяемые для испытания материалов, должны,
с одной стороны, развивать большие силы, а с другой — позволять
измерять малые деформации (конструкции этих машин сложны, и мы
не будем их здесь описывать). Принцип же их действия ясен из самой
цели, для которой они служат. Результаты испытания материалов
даются обычно в виде графиков, изображающих связь между деформа-
деформациями образца и силами, в нем возникающими.
Примеры таких графиков, полученных при испытании на растя-
растяжение чугуна (а) и стали (б), приведены на рис. 257. Как видно из
этих графиков, при малых деформациях силы F растут пропорцио-
пропорционально деформации е, т. е.
f = te, A4.6)

107]
УПРУГИЕ ТЕЛА
467
Пропорциональность между силой и деформацией впервые обнаружил
Роберт Гук. Поэтому наличие пропорциональности между силой
и деформацией называют законом Гука. Эта область называется также
«областью пропорциональности». Далее силы растут медленнее, чем
деформации. В этой области и лежит предел упругости тела. Точного
определения предела упругости дать вообще невозможно, так как
малые остаточные деформации наблюдаются всегда.
Пределом упругости считаются такие деформации, после которых
остаточные деформации достигают некоторой определенной условно
выбранной доли (например, 0,001%) от той наибольшей деформации,
которой подвергался образец. Этот предел упругости лежит обычно
близко за пределом пропорциональности. Дальше начинается область
Рис. 257.
текучести материала — наибольшие деформации, которым подвергся
материал, почти целиком сохраняются как остаточные деформации, но
целость материала при этом еще не нарушается. При еще больших
деформациях возникающие в материале силы уже не только не растут,
но даже уменьшаются с увеличением деформаций. Это и предопреде-
предопределяет разрушение материала. Уже без дальнейшего увеличения внеш-
внешней силы деформации материала продолжают увеличиваться и дости-
достигают предела, при котором наступает разрушение.
Область упругих деформаций в большинстве применяемых на
практике материалов очень незначительна (например, для стали
пределу упругости соответствует значение е порядка 0,01). Поэтому
наибольшие деформации, которые может выдержать данный материал
без разрушения, определяются главным образом величиной области
текучести. Материалы, для которых эта область мала, способны выдер-
выдерживать без разрушения только малые деформации — эти материалы
хрупки. Материалы же, у которых область текучести велика, способны
без разрушения выдерживать большие деформации. Такие материалы
называют вязкими. Например, чугун и сталь (как видно из рис. 257)

468 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ XlV
имеют примерно одинаковую область упругих деформаций и примерно
одинаково ведут себя в этой области — они в одинаковой мере упруги.
Но область текучести у чугуна гораздо меньше, чем у стали, поэтому
он гораздо более хрупок.
В дальнейшем мы не только будем рассматривать тела как абсо-
абсолютно упругие, но будем предполагать, что все деформации не выходят
за пределы области пропорциональности, т. е. что для них справедлив
закон Гука. Такая область принципиально должна существовать для
всякого материала, у которого силы однозначно определяются дефор-
деформациями. Это скорее математическое утверждение, чем физический
закон: сила как функция деформации может быть разложена в ряд
Тэйлора, и поэтому для малых изменений аргумента всегда можно
ограничиться первым членом ряда. Утверждение, заключающееся в за-
законе Гука, состоит в том, что существует достаточно широкая область,
в которой силы пропорциональны деформациям, и что вне этой широ-
широкой области сразу начинаются резкие отклонения от пропорциональ-
пропорциональности. Однако о том, как велика эта область, закон Гука ничего не
говорит. Этот вопрос должен быть выяснен опытом для каждого кон-
конкретного случая.
§ 108. Упругие напряжения
Рассмотрим связь между деформациями и силами в простейшем
случае однородного растяжения (рис. 258). К концу однородного
стержня с сечением S приложена постепенно возрастающая сила F,
действующая равномерно на все сечение стерж-
стержня; другой конец стержня закреплен. Под дей-
действием силы F конец стержня начнет двигаться —
стержень будет растягиваться. Когда прекратится
возрастание силы F, установится статическая де-
деформация, которой будут соответствовать опреде-
определенные силы, действующие со стороны одной ча-
части стержня на другую.
Разделим мысленно стержень на две части сече-
сечением S и определим силы, с которыми эти части
стержня действуют друг на друга. Так как обе
части стержня находятся в равновесии, то сумма
сил, действующих на каждую из них, должна быть равна нулю.
Поэтому на нижнюю часть стержня со стороны верхней действует
направленная вверх сила F'. Такая же по величине, но направленная
вниз сила F" действует по третьему закону Ньютона со стороны ниж-
нижней части на верхнюю.
Так как стержень однороден и деформация его также однородна,
то сила F равномерно распределена по всему сечению стержня. От-
Отношение силы к сечению, на котором она действует, называется

$ 108] УПРУГИЕ НАПРЯЖЕНИЯ 469
напряжением е данном сечении. Напряжение в сечении S равно
В общем случае, если деформации в различных местах сечения
различны, для определения напряжения нужно брать столь малые
элементы сечения, чтобы на этом элементе силу можно было считать
распределенной равномерно, т. е.
о= lim J? = ?. A4.7)
В рассматриваемом примере направление силы нормально к вы-
выбранной нами площадке, и возникающее в этом случае напряжение
на площадке S является нормальным напряжением. Очевидно, что
в рассматриваемом случае напряжение а одинаково для всех площа-
площадок, параллельных сечению S.
Опыт показывает, что для стержней разного сечения и длины,
но сделанных из одного и того же материала деформация стержня г
при данной силе F *) обратно пропорциональна сечению стержня S,
т. е.
Ee = F/S, A4.8)
где Е — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств
материала стержня, но уже не зависящий от его размеров. Этот коэф-
коэффициент называется модулем упругости или модулем Юнга данного
материала. И так как а = F/S, то
а = ?е. A4.9)
Это соотношение и дает связь между деформацией и напряжением
в рассматриваемом случае. Модуль Юнга считается положительным,
так что знак напряжения совпадает со знаком деформации. Если
модуль Юнга для данного материала известен из опыта, то мы можем
по заданным деформациям растяжения найти напряжения, и на-
наоборот.
Рассмотрим теперь напряжения, возникающие при сдвиге. Для
того чтобы получить деформацию сдвига, нужно закрепить одну
из граней параллелепипеда, а к противоположной грани приложить
силу F, лежащую в плоскости этой грани (рис. 259). Мысленно разделим
тело на две части сечением S. Для того чтобы верхняя часть тела
находилась в равновесии, на нее со стороны нижней части тела должна
действовать сила F. И в этом случае сила равномерно распределена
по всему сечению S. Напряжение т в сечении S равно отношению
силы к площади сечения, т. е. при однородном сдвиге
r=F/S,
1) Что касается связи между деформацией и силой, то мы заранее ограничи-
ограничились случаями, когда между ними существует прямая пропорциональность,

470 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
или в общем случае
[ГЛ XIV
A4.10)
В рассматриваемом случае сила лежит в плоскости площадки, на
которую она действует. Возникающее в этом случае напряжение для
площадки S является тангенциальным напряжением. Очевидно, что
в рассматриваемом случае напряжение х одинаково для всех площадок,
параллельных сечению S (параллельных плоскости сдвига).
Опыт показывает, что для параллелепипедов разных размеров,
но сделанных из одного и того же материала при одной и той же силе
F х) относительный сдвиг у обратно про-
пропорционален сечению S (сечению пло-
плоскости сдвига), т. е.
Gy = F/S> A4.11)
где G также зависит только от свойств
материала образца, но не зависит от его
размеров и формы. Этот коэффициент
называется модулем сдвига данного ма-
материала. И так как х = F/S, то
т = Су. A4.12)
Модуль сдвига также считается поло-
положительным, так что напряжение совпа-
совпадает со знаком сдвига. Определив из опыта G, можно по заданным
деформациям сдвига найти напряжение, и наоборот. Обе введенные
нами упругие константы Е и G имеют размерность напряжения (так
как е и у — безразмерные величины), т. е. в системе CGS измеряются
в дн/см2. Значения этих констант для некоторых распространенных
материалов приведены в таблице. В этой же таблице приведены и
напряжения амакс, соответствующие пределу упругости материала.
У
У
*
S
F
F У
У
Рис. 259.
Материал
Е (дн/см*)
О {ди!см2)
Чугун ,
Литая сталь ,
Сталь хромо-никелевая
Алюминий
Медь ,
Свиней ,
Латунь
Дуб
10-10"
12-10»
21 • 1011
7 • 10"
12,5-10»
1,7-10»
9-10"
1 -10»
8,5 • 10»
8- 10»
8-10»
2,7 • 10»
4,7-10»
0,6-10»
3,5 - 10"
12.10s
20-40-108
120-140-108
5-108
12 - 108
ЫО8
20-108
2-103
х) См. сноску на предыдущей странице.

$ 109] НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ 471
Как уже указывалось выше, закон Гука справедлив для всех
упругих тел, но только пока деформации не превосходят предела про-
пропорциональности. Обычно при рассмотрении задач механики упру-
упругих тел предполагают, что деформации не превосходят этого предела.
Это упрощает все расчеты и позволяет применять принцип суперпо-
суперпозиции, который заключается в следующем. Представим себе, что мы
подвергли тело какой-либо деформации, например растяжению,
а затем другой деформации, например сдвигу. Пока предел пропор-
пропорциональности не достигнут, модули Е и G, характеризующие упругие
свойства тела, являются константами, не зависящими от того, дефор-
деформировано уже тело или нет. Поэтому при сдвиге в теле возникнут
такие же дополнительные напряжения т = Gy, как и в том случае,
если бы тело не было предварительно растянуто. Общее напряжение
в теле будет представлять собой сумму тех напряжений, которые
возникли бы, если бы тело было подвергнуто только растяжению
или только сдвигу. Это и есть принцип суперпозиции (наложения)
в применении к нашему конкретному случаю. Он справедлив потому,
что упругие свойства тела не зависят от деформации (почему и соблю-
соблюдается закон Гука). Пока всякая новая деформация вызывает такие
же добавочные напряжения, как в отсутствие прежних деформаций,
в результате многих деформаций получается напряжение, равное
сумме всех тех напряжений, которые возникли бы, если бы каждая
из деформаций существовала отдельно.
Как было указано (§ 106), любую малую деформацию в теле можно
представить в виде суммы элементарных деформаций растяжения и
сдвига. Следовательно (это вытекает из принципа суперпозиции),
напряжения, возникающие при любой деформации, мы можем пред-
представить в виде суммы напряжений, возникающих при элементарных
деформациях растяжения и сдвига.
§ 109. Напряжения в точке
В механике сплошных тел приходится определять «внешние»
силы, действующие на рассматриваемый элемент тела со стороны
соседних. Эти силы действуют через площадки, служащие границами
данного элемента; упругие напряжения определяют величину и на-
направление тех сил, которые действуют на ту или иную площадку.
В простейшем случае однородного растяжения или сжатия, зная
одно только нормальное напряжение в плоскости S, мы сразу сможем
определить силу, действующую на ту или иную площадку AS, парал-
параллельную плоскости S. Эта сила А/ = a AS; направление ее нормально
к площадке, поскольку на данной площадке существует только нор-
нормальное напряжение.
Но уже в случае однородного сдвига одна величина тангенциаль-
тангенциального напряжения не определяет полностью силы, действующей на
площадку AS, лежащую в плоскости сдвига S. Величина этой силы

472
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ. XTV
А/ = tAS, но о направлении этой силы мы можем сказать только то,
что она лежит в плоскости S (поскольку напряжение тангенциально).
Мы определим направление этой тангенциальной силы, задав две
величины — две компоненты тангенциального напряжения — по двум
взаимно перпендикулярным направлениям, лежащим в плоскости
площадки AS. Умножая каждое из напряжений на величину площадки,
мы получим две компоненты тангенциальной силы, действующей на
площадку AS, и тем самым определим величину и направление силы А/.
В общем случае произвольной деформации сила, действующая
на площадку, может быть ориентирована как угодно. Чтобы определить
ее величину и направление, нужно знать три
компоненты этой силы по трем заданным на-
направлениям. Для нахождения этих трех компо-
компонент нужно задать три величины — три компо-
компоненты напряжения на данной площадке: нор-
нормальную и две тангенциальные. Умножая их
на величину площадки, мы и найдем три ком-
компоненты вектора силы, действующей на данную
площадку, — нормальную и две тангенциальные.
Таким образом, для того чтобы определить
силу, действующую на данную определенную
площадку, нужно знать три напряжения для
данной площадки. Но площадки, служащие гра-
границами рассматриваемого элемента сплошного
тела, могут быть расположены как угодно.
Чтобы найти «внешние» силы, действующие на
данный элемент, нам придется находить силы,
действующие на любую площадку, находящую-
находящуюся в данной точке тела, но произвольно ориентированную. Ясно,
однако, что напряжение для данной площадки зависит от выбора
площадки, к которой мы это напряжение относим.
Например, в случае растяжения стержня напряжение, отнесенное
к площадке, лежащей в плоскости сечения S' (рис. 260), будет отлично
от напряжения для площадки, лежащей в плоскости сечения S. Дей-
Действительно, сила, действующая со стороны одной части стержня на
другую через сечение S\ по-прежнему равна F, а площадь сечения S'
больше, чем сечения S. Поэтому напряжение для площадки, лежащей
в сечении S', меньше, чем для площадки в сечении S. Вместе с тем для
сечения S' сила уже не нормальна к площадке, для которой мы опре-
определяем напряжение. Мы должны поэтому задать напряжение двумя
составляющими — нормальной ог и тангенциальной тх. По этим двум
составляющим напряжения мы найдем нормальную Fn и тангенциаль-
тангенциальную Ft составляющие силы, действующей через площадку S'. Точно
так же и в случае сдвига напряжение для площадки в сечении S'
(рис. 261) меньше, чем для площадки, лежащей в сечении S. Вместе
с тем сила уже не лежит в плоскости площадки, для которой мы опре-
Рис. 260.

109]
НАПРЯЖЕНИЯ В ТОЧКЕ
473
деляем напряжение. Мы должны поэтому задать это напряжение двумя
составляющими <т2 и т2. По ним мы сможем найти компоненты Fn и Ft
силы, действующей через площадку S'.
В приведенных примерах однородной деформации напряжение
для всех отдельных элементов данного сечения S (или $') одинаково.
Поэтому мы могли говорить о напряжении для всей площадки конеч-
конечных размеров (S' или S). Однако при неоднородной деформации напря-
напряженке для отдельных малых элементов площадки, вообще говоря,
различно. В таком случае, как уже указывалось, для определения
напряжения нужно брать бесконечно малые площадки dS. Положение
такой бесконечно малой площадки можно определять одной точкой,
принадлежащей этой площадке, и ориентировкой площадки. Для
каждой точки тела существует бесчисленное множество таких беско-
бесконечно малых площадок, различным образом
ориентированных. Поскольку напряжение для
этих различных площадок зависит от их
ориентировки, то напряжение, отнесенное к
определенной площадке, еще не характеризует
тех сил, которые действуют на любую площад-
площадку в данной точке. Только в том случае, когда
могут быть определены напряжения для все-
всевозможных малых площадок, лежащих в дан-
данной точке тела, напряженное состояние в этой
точке будет полностью определено.
В рассмотренном выше простейшем слу-
случае равномерного растяжения, зная одну вели-
величину а, мы сразу могли бы найти напряже-
напряжение для любой площадки, ориентированной известным образом.
Заданием одного нормального напряжения для одной площадки
мы вполне характеризуем напряжение в любой точке тела. В общем
же случае неоднородных деформаций должны быть заданы напряже-
напряжения для трех взаимно перпендикулярных площадок. Тогда по этим
напряжениям может быть найдено напряжение для любой площадки.
Но напряжения для каждой данной площадки, как уже было указано,
в свою очередь должны быть заданы тремя величинами (одним нормаль-
нормальным и двумя тангенциальными напряжениями). Следовательно, для
определения напряжений на трех взаимно перпендикулярных пло-
площадках должны быть заданы девять величин — три нормальных
напряжения и шесть тангенциальных. Однако не все эти напряжения
независимы; при статических деформациях три тангенциальных
напряжения из шести должны быть попарно равны. Поэтому для
характеристики напряжения в домной точке требуется задание не
девяти, а только шести величин.
Чтобы пояснить сказанное, мы рассмотрим простейший случай неоднородной
деформации, именно плоскую деформацию, при которой все напряжения для всех
площадок лежат в параллельных плоскостях и соответствующие напряжения одина-
X I
1
Л" ¦—¦¦¦•
Ух s
у 1
V
Рис. 261.

474
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
ГГЛ XIV
ковы для всех этих параллельных плоскостей. Пусть плоскость чертежа (рис. 262)
будет одной из таких плоскостей. Тогда мы должны задать напряжения только для
двух взаимно перпендикулярных площа-
площадок Sx и 52, перпендикулярных вместе с
тем к плоскости чертежа; О А и ОВ —
следы этих площадок на плоскости чер-
чертежа. По напряжениям па этих площад-
площадках мы можем найти напряжение на лю-
бой площадке 5, образующей угол <р с
площадкой О А (А В — след этой площад-
площадки) Обозначим нормальные и тангенциаль-
тангенциальные составляющие напряжений на всех
трех площадках соответственно через gv>
*Gx>xv °*х (эти обозначения указаны на
) Н
xxv ( у
чертеже). Напряжения av, xx> ох,ту мы
считаем заданными; требуется найти на-
наРис. 262
пряжения а и т.
При статической деформации всякий
элемент деформированного тела должен
находиться в равновесии. Рассмотрим условия равновесия трехгранной призмы,
боковыми гранями которой являются площадки Slt S2 и 5. Для равновесия необхо-
необходимо, чтобы сумма всех сил, действую-
действующих на грани", и сумма моментов этих
сил относительно любой оси, перпен-
перпендикулярной к плоскости чертежа, были
равны нулю. Компоненты сил, дейст-
действующих на эти грани, мы получим, ум-
умножив соответствующие напряжения
на площади граней. Обозначим эти си-
силы через flt f2 и/(рис. 263).
Напишем сначала уравнение мо-
моментов, выбрав в качестве оси прямую,
проходящую через середину грани S
(точка С — след этой прямой). Так как
напряжения по всей площадке одни
и те же (мы всегда можем выбрать
столь малые площадки), то равнодей-
равнодействующие сил, действующих на все
грани, приложены к центрам граней.
Поэтому момент силы / относительно
оси С будет равен нулю. Моменты сил fx и/3 будут определяться только их тан-
тангенциальными составляющими flf и f2t (нормальные составляющие fLn и/2;, проходят
через точку С). Поэтому уравнение моментов будет иметь вид
ОВ f ОА
В
7
0 А
Рис. 263.
Но flt = rxSlt а f2f
TvSa. Поэтому
о ОВ
OA
Так как SjOA =S2/OB, то
Тангенциальные напряжения на взаимно перпендикулярных гранях должны быть
равны. Этой есть одно из тех соотношений, которые существуют между компонентами
напряжений на взаимно перпендикулярных гранях и уменьшают число независимых
величин, необходимых для определения напряжения в данной точке.

§ ПО] ИЗОТРОПНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ ТЕЛА 475
Для дальнейшего упрощения положим теперь, что хх = ту = 0, т. е. что на гра-
гранях 5Х и S2 существуют только нормальные напряжения (это предположение упростит
выкладки, но не лишит смысла нашу задачу). По двум заданным напряжениям ох
и gv мы должны теперь определить компоненты напряжения а и т (рис. 262). Эти
компоненты определятся из первого условия равновесия
Но fx = ovSlt f2 = oxS2, fn = gS, ft = tS. Проектируя fx и /2 на направления а и
т и приравнивая нулю сумму всех компонент сил по каждому из направлений,
получим:
oS = ovSx cos ф + oxS2 sin ф, xS = GVSL sin ф — o>S2 cos ф.
Принимая во внимание, что Sx = 5 cos ф и S2 = 5 sin cpt окончательно получим:
о = Оу cos2 ф + ох sin2 ф, A4.13)
т = (Оу — ax) sin ф cos ф. A4.14)
По напряжениям на гранях SL и S2 мы нашли напряжения на грани S.
§ ПО. Изотропные и анизотропные тела
Когда мы говорили об упругих свойствах магериала, мы полагали, что свойства
эти одинаковы по всем направлениям и упругие константы материала для всех направ-
направлений одни и те же. Многие материалы, применяемые на практике, действительно
обладают такими свойствами, однако далеко не все. В частности, отдельные кристал-
кристаллы обычно обладают различными упругими свойствами в разных направлениях.
Например, куб, вырезанный из кристалла, под действием одной и той же силы, прило-
приложенной к различным его граням, вообще говоря, испытывает различные деформации.
Тела, которые обладают одинаковыми механическими (и вообще физическими)
свойствами во всех направлениях, называются изотропными. Тела, свойства которых
в различных направлениях различны, называются анизотропными. Выше, когда мы
рассматривали связь между деформациями и напряжениями, мы говорили только
о материале, из которого сделан деформируемый образец, но не оговаривали направ-
направления, в котором этот образец вырезан. Это значит, что мы имели в виду только
изотропные тела.
Упругие свойства анизотропного тела можно охарактеризовать некоторыми
упругими константами так же, как упругие свойства изотропного тела можно харак-
характеризовать двумя константами — модулем Юнга и модулем сдвига. Однако для ани-
анизотропного тела этих констант существует не две, а больше — 21 в самом общем слу-
случае. Число констант уменьшается, если анизотропное тело обладает некоторой сим-
симметрией (в некоторых направлениях свойства тела одинаковы).
Для изотропных тел, кроме двух основных констант (модуля Юнга и модуля
сдвига), мы ввели выше еще одну упругую константу — коэффициент Пуассона.
Но эти три константы, ?, G и т, в изотропных телах не независимы, а связаны между
собой соотношением г)
0= , Е ,v . A4.15)
( I
2
11 + -
\ т
1) Это соотношение можно получить, рассматривая деформацию куба, подвергну-
подвергнутого растяжению в одном направлении. При этом происходит сдвиг диагональных
плоскостей куба. Таким образом, растяжение, сокращение поперечных размеров
и сдвиг оказываются связанными между собой.

476 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
Упругие свойства изотропного твердого тела вполне определяются двумя из
трех констанг Е, G, т = 1/v. Так как т > 2, то для всех те и G должно быть немногим
меньше, чем Е/2. Впрочем, для технических материалов, подвергшихся специальной
обработке (например, прокатке), это соотношение между G и Е не соблюдается.
Объясняется это тем, что подвергшиеся специальной обработке материалы уже нельзя
рассматривать как вполне изотропные тела.
Для изотропных тел можно ввести еще одну константу, характеризующую
упругие свойства вещества (конечно, уже не независимую, а связанную с константами
Е, С и т). При одностороннем сжатии куба, как было показано A4.5), объем куба
изменяется на AV — A—2v)e. Поэтому при одинаковом сжатии по всем трем парам
граней (всестороннее сжатие) объем куба уменьшится на
ЗД1/ = 3 A - 2v) 8 = 3A~2v) о = Kg.
Величина К = 3A—2v)/E называется коэффициентом сжимаемости вещества. Часто
вводится величина К\ = UK:
она называется объемным модулем сжатия. Если бы тело было абсолютно несжимаемо,
то для него v = V2 и коэффициент сжимаемости К ~ 0 (Кг = со).
Объяснение всех механических свойств тел, как изотропных, так и анизотропных,
следуег искать в природе и характере тех сил, которые действуют между отдельными
атомами и молекулами твердого тела. Это, конечно, задача атомной и молекулярной
физики, а не механики, и мы ее не будем касаться. Мы ограничимся только самыми
общими соображениями о связи между свойствами изотропных и анизотропных тел.
Всякий отдельный кристалл (монокристалл) построен из атомов, расположенных
в определенном порядке. Расположение атомов и расстояние между ними в различных
направлениях, вообще говоря, различны. Поэтому отдельный кристалл может обла-
обладать различными свойствахми в различных направлениях. И действительно, все моно-
монокристаллы в той или иной мере обладают анизотропией. Но если тело построено из
множества мелких кристаллов (поликристаллические тела), то, несмотря на анизо-
анизотропию отдельных кристаллов, все тело в целом может быть изотропным, когда отдель-
отдельные кристаллики расположены беспорядочно, без всякой системы. Тогда свойства
отдельных кристалликов усредняются по всем направлениям и в среднем оказываются
одинаковыми. Поэтому поликристаллические тела, к которым принадлежат почти
все применяемые в технике материалы, часто бывают изотропны. Однако при специ-
специальной обработке (волочении и т. п.) может произойти упорядочение в расположении
отдельных кристалликов тела. Свойства отдельных кристалликов уже не усредняются,
и поликристаллическое тело может оказаться анизотропным. И действительно,
пол и кристаллические материалы, подвергшиеся специальной обработке, нередко
обладают анизотропией.
§111. Энергия упругой деформации
При деформации тел внешняя сила, вызывающая деформацию,
совершает работу. С другой стороны, деформированное тело при
исчезновении деформации само совершает работу. Если бы деформи-
деформируемое тело было абсолютно упруго, то оно могло бы совершить такую
же работу, которая была затрачена на деформацию тела. В абсолютно
упругих телах вся работа, затраченная на деформацию тела, идет на
увеличение потенциальной энергии упругой деформации. В реальных
телах это не имеет места: возникающие в них силы всегда зависят
не только от величин деформаций, но и от скорости изменения дефор-

§ 111] ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ 477
мацнй. Эти силы подобны силам трения (их обычно и называют «внут-
«внутренним трением»), и работа против этих сил идет на нагревание тела,
а не на увеличение потенциальной энергии упругой деформации.
С этим связано и наличие остаточных деформаций во всяком реальном
теле. Поскольку реальное тело не восстанавливает полностью своей
формы, оно не отдает полностью и всей той работы, которая была
затрачена на деформацию. Однако для многих реальных тел при малых
деформациях остаточные деформации столь малы, что ими можно
пренебречь и считать, что вся работа, совершенная силами, вызвавши-
вызвавшими деформацию, целиком превращается в энергию упругой деформации.
В таком случае энергию упругой деформации деформированного
тела можно подсчитать следующим образом. Положим, что тело
подвергается медленному растяжению. Выделим в деформируемом теле
элемент объема в виде куба с гранями /. На грань элемента, перпенди-
перпендикулярную к направлению растяжения, действует со стороны соседнего
элемента сила
(мы, как и прежде, полагаем, что закон Гука справедлив). При пере-
перемещении этого элемента на расстояние Ах будет совершена работа
AA=-fAx=eEl2Ax. A4.17)
С этим перемещением связано увеличение растяжения на величину
Аг = Axil, откуда Ах = 1Аг. Подставляя в выражение A4.17) это
значение Ах, получим:
АА = ЕРг Аг.
Переходя от малых перемещений к бесконечно малым и интегрируя
бесконечно малые элементы работы на всем пути при изменении дефор-
деформации от 0 до 8, найдем всю работу, затраченную на деформацию эле-
элемента тела, имевшего начальный объем I3:
= ?/3 [ гйг = Р~
Эта работа превращается в ту энергию упругой деформации U,
которой обладает выделенный элемент тела, деформированный до
растяжения е. Так как I3 есть объем рассматриваемого элемента х), то
плотность энергии равна
k=U/P = Es*/2. A4.18)
Пользуясь соотношением о = Ег, можно формулу A4.18) привести
к другому виду:
к = Ев2/2 = ае/2 = G2/2E. A4.19)
х) Изменением объема, происходящим при малых деформациях, можно пренеб-
пренебречь, так как оно мало,

478 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ XIV
При заданной деформации плотность энергии прямо пропорциональна
?, при заданном напряжении обратно пропорциональна Е. Поэтому,
если силы (а значит, и напряжение) заданы, то чем жестче тело, тем
меньше энергия его упругой деформации. Здесь все обстоит так же,
как с пружинами (§ 29).
Энергию упругой деформации всего деформированного тела мы
получим, просуммировав энергию всех элементов объема тела. Если
деформация однородна, то полная энергия
где V — объем тела. При неоднородной деформации нужно разбить
тело на отдельные малые элементы объема &V, в которых деформацию
можно считать однородной, и просуммировать выражения 1/2 Ег2АУ
по всему телу. Эта сумма может быть найдена как взятый по всему
объему тела интеграл:
Таким же образом можно вычислить и энергию упругой деформа-
деформации при сдвиге. На грань куба с ребрами /, лежащую в плоскости
сдвига, действует сила
При сдвиге Ау происходит перемещение верхней грани на величину
Ах = 1Ау. При этом совершается работа
Переходя к бесконечно малым изменениям, находим, что при сдвиге
от 0 до -у совершается работа
Плотность энергии в деформированном элементе (объем элемента Р)
к = Of/2 = ту/2 = т2/2С A4.20)
Полученные выражения справедливы, только пока применим закон
Гука. Но и когда закон Гука не соблюдается, работа, затрачиваемая
на малую деформацию элемента объема, пропорциональна произведе-
произведению напряжения на величину деформации:
(для растяжения)
(для сдвига).

III]
ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
479
Полная работа соответственно равна
и Ау=г
о о
Поэтому, если мы изобразим связь между а и е или т и у в виде кривой,
то полная работа деформации выражается площадью, ограниченной
этой кривой и осью абсцисс (осью е или осью у).
Наличие остаточных деформаций при переменных деформациях
сказывается в том, что при обратном ходе тем же самым деформациям
соответствуют меньшие напряжения. Поэтому кривая а = / (е) (или
т = f (у)) при обратном ходе де-
деформации проходит ниже, чем при
прямом (рис. 264). Напряжение в
теле исчезает до того, как исчезла
деформация, — при а = 0 в теле су-
существует остаточная деформация е0.
Если продолжать деформировать
тело в другом направлении, то
остаточная деформация исчезнет
только тогда, когда в теле будет
уже существовать некоторое на-
напряжение —а0. Это явление носит
название упругого гистерезиса.
При периодически повторяю-
повторяющихся деформациях измененияе и а
изображаются замкнутой кривой
ABCDEFA, которая называется
петлей гистерезиса. При деформа-
деформации тела от ? до Л будет совершена
работа большая, чем та, которую отдаст тело при обратном ходе от А
до В. Разность этих работ, идущая на нагревание тела, выразится
площадью верхней части петли гистерезиса. Точно так же при дефор-
деформации BCDE работа, идущая на нагревание тела, выразится нижней
частью петли гистерезиса. При периодически меняющейся деформа-
деформации за каждый цикл выделяется тепло, пропорциональное площади
петли гистерезиса. Чем больше площадь петли гистерезиса, тем силь-
сильнее нагревается тело при периодических деформациях. При быстро
повторяющихся деформациях за единицу времени в теле выделяется
заметное количество тепла. Вследствие этого тела, подвергающиеся
быстрым периодическим деформациям, всегда в большей или меньшей
степени нагреваются. Для уменьшения этого нагревания (которое
может еще более ухудшить упругие свойства материала) ответственные
детали машин, подвергающиеся быстрым периодическим деформациям
(например, пружины клапанов в моторах внутреннего сгорания),
делаются из специальных сортов стали, в которых площадь петли ги-
гистерезиса очень мала.
Рис. 264.

480
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ XIV
§ 112. Устойчивость упругого равновесия
Зная упругие свойства тела, мы всегда сможем определить дефор-
деформации, которые возникают в теле при действии заданных внешних
сил, т. е. найти форму, которую принимает тело. Это — задача о рав-
равновесии упругого тела. Мы определяем деформации тела, при которых
силы, возникающие в теле, уравновесят внешние силы. Простейшие
задачи этого типа мы и решали, когда рассматривали однородные
деформации растяжения и сдвига. В случае более сложных деформа-
деформаций (кручения, изгиба и т. д.) задача ста-
ставится таким же образом. Упругие свойства
V2 я | ^ тела позволяют определить, как силы, дейст-
^ ||—А вующие со стороны тела, связаны с деформа-
^ ^V' циями. Из условия, что эти силы должны
° уравновесить внешние силы, приложенные к
телу, мы можем (по крайней мере принци-
принципиально) найти и те деформации, при которых
наступит равновесие.
Однако для того, чтобы тело могло длитель-
длительно находиться в состоянии равновесия, необ-
необходимо, чтобы это состояние равновесия было
устойчивым. Для этого при небольших от-
отклонениях от состояния равновесия упругие
силы должны изменяться таким образом, чтобы
они снова возвращали тело к состоянию равно-
а) °) весия. Если это условие не будет соблюдено,
Рис 265. то состояние равновесия будет неустойчиво.
Мслые отклонения от состояния равновесия
всегда неизбежны, и поэтому в реальных условиях тело не может
находиться в состоянии неустойчивого равновесия. Вопрос об устой-
устойчивости упругого равновесия впервые исследовал Эйлер. Так как ис-
исследование этого вопроса представляет собой сложную задачу, мы
ограничимся только качественными соображениями, применив их к
простейшему конкретному примеру.
Рассмотрим равновесие упругого стержня, закрепленного в шар-
шарнирах и находящегося под действием силы F, направленной вдоль
стержня (рис. 265). Если верхний шарнир может перемещаться в на-
направлении силы F, то под действием этой силы стержень сожмется
(рис. 265, а). Равновесие наступит тогда, когда деформация сжатия
достигнет значения
где S — сечение стержня. Чтобы определить, является ли это состоя-
состояние равновесия устойчивым, нужно исследовать, какие силы возник-
возникнут, если стержень немного отклонится от положения равновесия,
например слегка выгнется (рис. 265, б). При этом возникнут упругие

§ И2]
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ
481
силы, стремящиеся вернуть стержень в положение равновесия. Однако,
с другой стороны, сила F стремится изогнуть его еще больше. Дальней-
Дальнейшее поведение стержня определится тем, каков будет результат одно-
одновременного действия двух этих сил. Если сила F не превосходит извест-
известного предела, то стержень вернется к положению равновесия. Если
сила F превосходит этот предел, то стержень будет выгибаться еще
сильнее. Равновесие стержня окажется неустойчивым.
а) б)
Рис. 266.
Рис. 267.
При дальнейшем увеличении изгиба стержня упругие силы будут
увеличиваться, и при определенном изгибе стержня снова наступит
состояние равновесия, уже устойчивое. Этому новому состоянию
равновесия соответствует синусоидальная форма стержня.
Таким образом, для данного стержня существует некоторое наи-
наибольшее «критическое» значение силы F, после которого стержень
неизбежно изогнется. Так как силы, возникающие при изгибе стержня,
тем больше, чем меньше его длина и чем больше сечение, то и крити-
ческЬе значение силы F будет при этом расти. Наоборот, чем больше
длина стержня и чем меньше его сечение, тем меньше и критическое
значение силы F.
Поведение стержня при продольной нагрузке можно продемонстрировать при
помощи следующего опыта (рис. 266). Тонкий стальной пруток устанавливается
на штативе так, чтобы его верхний конец свободно проходил через отверстие в верхней
лапке штатива. Если на пруток надеть сверху достаточно большой груз, то пругок
изгибается и принимает форму синусоиды (рис. 266, б). Короткий пруток при том же
грузе не изгибается; чтобы он изогнулся, требуется гораздо большая нагрузка. Если
16 С. Э. ХаЙкин

482 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ ГГЛ XIV
середину стержня также пропустить через лапку, которая препятствовала бы изгибу
(рис. 267, а; это эквиваленпю уменьшению длины стержня), то критическое значение
F увеличивается. Но если увеличить F выше критического значения, соответ-
соответствующего этой меньшей длине стержня, пруток снова изгибается в виде синусоиды
(рис. 267, б). На длине стержня укладывается уже не половина периода, а целый
период.
Возникновение неустойчивости при продольной нагрузке стержней играет важ-
важную роль в вопросе об устойчивости конструкций. Например, при увеличении высоты
колонн, нагруженных сверху, необходимо увеличивать и сечение колони, даже если
нагрузка, которую должны испытывать колонны, остается прежней.
Неустойчивость продольно сжатых стержней может возникнуть еще задолго до
того, как напряжение в стержне достигнет предела упругости. Стержень легко выдер-
выдерживал бы ту же самую нагрузку, если бы она вызывала не сжатие, а растяжение
стержня. Поэтому, например, толкающие рычаги в машинах приходится делать боль-
большего сечения, чем тянущие. Зто относится и к другим конструкциям, в которых возни-
возникают деформации сжатия. Сосуды, которые должны выдерживать давление снаружи
(при этом в материале возникаег сжатие), должны иметь более прочную конструкцию,
чем сосуды, которые то же давление должны выдерживать изнутри (в материале
возникают растяжения). Это приходится учитывать, например, при конструировании
подводных лодок.
§ ИЗ. Распространение импульса в упругом теле
Выше рассматривались задачи статики упругих тел: из условий
равновесия определялись деформации, возникающие в упругом теле.
По самому характеру задач эти деформации оказывались стационар-
стационарными, т. е. не изменяющимися со временем.
Теми же методами статики можно решать задачи об упругом равно-
весии тел, если внешние силы, вызывающие деформации тел, а вместе
с ними и сами деформации меняются настолько медленно, что работой
сил, вызывающих ускорения тел или частей тел и изменяющих их
кинетическую энергию, можно' пренебречь. В таких случаях каждое
из состояний тел, которому соответствует определенная деформация,
можно рассматривать как состояние равновесия и решать задачу об
этой деформации как задачу статики. Весь же медленный процесс
изменения деформации при этом рассматривается как непрерывный
ряд состояний равновесия, последовательно сменяющих друг друга,
так что каждому состоянию равновесия соответствует определенная
стационарная деформация.
При таком рассмотрении предполагается, что деформация упру-
упругого тела в каждый момент времени тождественна со стационарной
деформацией, соответствующей постоянной внешней силе, значение
которой равно мгновенному значению изменяющейся внешней силы
в рассматриваемый момент времени. Так, например, рассматривая
изготовленный из материала с модулем Юнга Е стержень сечением S,
подвергающийся действию изменяющейся со временем силы F
(рис. 258), для определения деформации стержня методами статики
мы должны предположить, что в каждый момент времени стержень
испытывает однородную деформацию растяжения и величина этой

§ ИЗ]
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА В УПРУГОМ ТЕЛЕ
483
деформации
= F/SE,
т
Рис. 268.
где F — значение силы в рассматриваемый момент времени.
Это предположение хмогло бы выполняться только при условии,
чю изменения деформации, вызванные изменениями силы F, про-
происходят мгновенно по всей длине стержня, т. е. при условии, что
деформации распространяются по стержню с бесконечно большой
скоростью. Но в таком случае импульсы деформаций в упругом теле
могли бы служить для передачи сигналов с бесконечно большой
скоростью. Однако передача сигналов со скоростью, превышающей
скорость света, как это вытекает из соображений теории относитель-
относительности (гл. IX), принципиально невозможна. Следовательно, не может
происходить мгновенного распрост-
распространения в упругом теле изменяю-
изменяющихся со временем деформаций.
Но практически, если, с одной
стороны, деформации распростра-
распространяются в упругом теле с большой
скоростью и размеры этого тела
невелики, а, с другой стороны,
изменения деформаций происходят
достаточно медленно, то за малое время, потребное для распростра-
распространения деформаций от одного конца тела до другого, величины дефор-
деформаций не успевают сколько-нибудь заметно измениться. Все про-
происходит так же, как в случае, если бы деформации распространялись
мгновенно. Условия, при которых не сказывается конечная скорость
распространения деформаций, называются условиями квазистационар-
квазистационарности (так как деформация тела в каждый момент времени оказы-
оказывается тождественной некоторой стационарной деформации). В даль-
дальнейшем мы встретимся с такими случаями, когда эти условия вы-
выполняются.
Однако немало встречается и таких случаев, когда эти условия
не соблюдаются и на характере явлений сказывается конечная ско-
скорость распространения деформаций. Эти последние случаи не могут
быть рассмотрены методами статики, они относятся к динамике упру-
упругих тел. Одну из задач динамики упругих тел, касающуюся распро-
распространения деформации в упругом теле, мы и рассмотрим. Как ясно
из сказанного, необходимость в таком рассмотрении возникает тогда,
когда деформация изменяется быстро, размеры тела, в котором дефор-
деформация распространяется, не очень малы, а скорость распространения
не очень велика.
Примером может служить распространение в однородном упругом
стержне (рис. 268) деформации, возникающей в результате того, что
на один из концов стержня (для определенности — левый) подей-
подействовала кратковременная сила, направленная вправо (резкий удар).
16*

484 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
Эта сила вызовет движение вправо частиц стержня, лежащих у левого
его конца, вследствие чего возникнет деформация сжатия в крайнем
левом слое стержня. Упругие силы, возникающие при деформации,
остановят частицы, набегающие слева, и сообщат частицам, прилегаю-
прилегающим справа к крайнему левому слою, скорость, направленную вправо.
В результате этого деформация будет исчезать в крайнем слое и воз-
возникать в следующем слое. Так от слоя к слою с конечной скоростью
будут передаваться деформация сжатия и скорость частиц.
Если сила, вызвавшая движение частиц С1ержня у левого конца,
действует очень кратковременно, то область, в которой за время
действия силы возникли деформации и скорости, будет очень узкой;
при условиях, которые выяснятся из дальнейшего рассмотрения
(и которые часто выполняются), распространение деформаций вдоль
стержня не сопровождается расширением той области, в которой
вначале были локализованы деформации и скорости. Вследствие
того, что эта область очень узка, деформации и скорости в каждом
сечении стержня будут появляться на очень короткий промежуток
времени — по стержню с конечной скоростью будет распространяться
короткий импульс деформаций сжатия и скоростей.
Скорость движения частиц в импульсе и скорость распростране-
распространения самого импульса следует четко различать. Это различие станет
особенно наглядным, если мы отдадим себе отчет в том, какова величина
движущихся масс в обоих случаях — при движении частиц и при рас-
распространении деформации. Положим, что при распространении им-
импульса скорости и деформации локализованы в тонком слое стержня
толщиной Ал; (сечение стержня S) и во всем этом слое скорости частиц
одинаковы, а деформация однородна (сжатие 8 во всех точках слоя
одно и то же), иначе говоря, что импульс имеет «столообразную»
форму. Тогда при движении частиц в импульсе масса всех движу-
движущихся частиц 1)
A4.21)
где рх — плотность материала стержня в области сжатия.
При распространении же деформации сжатия вместе с деформацией
движется только «уплотнение», а не вся масса слоя стержня. Если
плотность недеформированного материала стержня есть р, то «плот-
«плотность уплотнения» Ар = рг — р и масса движущегося уплотнения
Дт1==Др5Дд:. A4.22)
Скорость распространения импульса деформаций и скоростей
можно определить при помощи следующих соображений. Количество
г) Мы при этом рассмотрении пренебрегаем описанным в § 106 эффектом изме-
изменения размеров поперечного сечения стержня, сопутствующим растяжению и сжатию
отдельных слоев стержня.

§ 113] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА В УПРУГОМ ТЕЛЕ 485
движения г), которое несет с собой импульс деформаций и скоростей,
распространяющийся со скоростью w, есть
Ар = Дт1ш> A4.23)
где Ат} — масса движущегося уплотнения. Подставляя Атх из A4.22),
получим:
Ар = Sw Ар Ах.
«Плотность уплотнения» в импульсе Др = ер, где е — деформация
(сжатие) в импульсе. Следовательно,
Ap = SspwAx. A4.24)
Так как Ах = wAt, где At — промежуток времени, в течение
которого импульс проходит путь Ах, то
Ap = Szpw2At. A4.25)
Если в начале промежутка времени At правый край («фронт»)
движущегося вправо импульса проходит через какое-либо сечение,
то за -время At через это сечение слева направо пройдет весь
импульс, т. е. к концу промежутка времени At фронт импульса будет
находиться на расстоянии Ах впереди рассматриваемого сечения,
а спад импульса поравняется с этим сечением. Следовательно, за
время At через сечение пройдет количество движения Ар и на такую
величину возрастет количество движения справа от рассматриваемого
сечения. Скорость, с которой увеличивается количество движения Ар
справа от рассматриваемого селения, как видно из A4.25), есть
^ = ?ерш2. A4.26)
По второму закону Ньютона она должна быть равна силе F9 дейст-
действующей через это сечение слева направо. Так как в течение всего
промежутка времени At это сечение находится в области однородной
деформации величины е, то в нем существует упругое напряжение
а = гЕ, т. е. через сечение стержня слева направо действует сила
F^oS-^eES. A4.27)
Из условия Ар/At = F после подстановки значений Ар/At и F
и простых преобразований получаем:
A4.28)
х) Термин «импульс» для обозначения количества движения мы здесь не при-
применяем, поскольку этот термин уже применяется в другом смысле (импульс дефор-
деформаций и скоростей). Поэтому во всем этом параграфе мы будем применять термин
«количество движения».

486
МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ
[ГЛ XIV
Скорость распространения импульса в рассматриваемом случае
зависит только от плотности и упругости материала стержня1).
В большинстве металлов (Е от 1011 до 1012 дн/см2, р от 3 до 10 г/смг)
скорость распространения импульса w оказывается порядка
5-106 см/сек.
Сравнительно высокой оказывается скорость распространения
импульса и в других твердых телах. По этой причине наблюдать
Рис. 269.
визуально распространение импульса в твердом теле <тем более,
что в твердом теле трудно создать большие деформации) практически
невозможно. Картину распространения импульса в упругом стержне
можно продемонстрировать на модели такого стержня (рис. 269),
состоящей из большого числа одинаковых шаров, подвешенных на
длинных нитях и связанных между собой одинаковыми достаточно
мягкими пружинами.
В этой модели упругим свойствам стержня соответствует упругость
пружины, а инертным свойствам (характеризуемым массой или плот-
плотностью стержня) — масса шаров. Эти свойства, которые в стержне,
*) Из выражения A4.28) видно, что при конечном р скорость w могла бы об-
обратиться в бесконечность, только если Е = со, т. е. в абсолютно жестком теле. Из
утверждения теории относительности о том, что скорость сигналов, и в частности ско-
скорость распространения деформаций, не может превышать скорости света, вытекает,
что модуль Юнга ни в одном теле не может превышать некоторого предельного значе-
значения, т, е. что абсолютно жестких тел (Е = со) в природе не существует.

§ ИЗ] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА В УПРУГОМ ТРЛЕ 487
как и во всяком сплошном теле, распределены непрерывно (а если
тело однородно, то и равномерно по всему телу), в нашей модели рас-
распределены неравномерно. Более того, если в нашей модели пренебречь
упругостью шаров, т. е. считать их абсолютго жесткими, а также
массой пружин (такое пренебрежение во многих случаях вполне допу-
допустимо), то упругость и масса в модели оказываются сосредоточенными
в разных местах: упругость — в пружинах, а масса — в шарах.
Таким образом, шары с пружинами являются прерывной (дискретной)
моделью сплошного тела. Однако, несмотря на это, модель позволяет
воспроизводить ряд явлений, характерных для сплошного упругого
тела, в частности распространение импульса в упругом теле х).
Если сообщить крайнему шару начальную скорость в направлении
соседнего (т. е. крайнему левому шару вправо), то хорошо видно,
как от шара к шару передается скорость, а от пружины к пружине
передается деформация сжа-
сжатия (на рис. z70 изображены д?О?}щ>0ж^оййо^
три последовательных поло- *
жения шаров и пружин при
распространении импульса де- шашшО*5ш&^^
формаций и скоростей по це- *"
почке шаров).
Сообщая крайнему шару Рис* 27°*
разные начальные скорости,
можно убедиться, что скорость распространения импульса по цепочке
при этом остается неизменной. Если же изменить жесткость пружин
или массы шаров, то скорость распространения импульса изменит-
изменится — будет расти с увеличением жесткости пружин и уменьшаться с
увеличением массы шаров.
Приведенный выше вывод выражения A4.28), из которого следует,
что скорость распространения импульса зависит только от свойств
стержня и не зависит от характера самого импульса, справедлив
лишь при некоторых существенных ограничениях. Прежде всего, при
вычислении сил, действующих в стержне, предполагалось, что сила
пропорциональна деформации, т. е. что соблюдается закон Гука.
Следовательно, вывод справедлив, только пока деформации не слишком
велики (не превосходят предела пропорциональности). Далее, скорость
распространения уплотнения вычислялась в предположении, что
среда, в которой возникло уплотнение, покоится. Между тем в области
шириной Ах, в которой существует уплотнение, все частицы стержня
движутся со скоростью v в ту же сторону, в которую дзюкется уплот-
уплотнение со скоростью w. Следовательно, вывод справедлив только при
условии, что v <^ w, так что величиной v можно пренебречь по срав-
сравнению с w. Если же пренебречь v по сравнению с w нельзя, то скорость
г) Условия, при которых дискретная модель может воспроизводить явления в
сплошном теле, будут рассмотрены в § 156.

-188 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
среды v должна быть добавлена к скорости w импульса относительно
среды. Значит, скорость распространения импульса должна возрастать
по мере увеличения скорости частиц в импульсе.
Таким образом, скорость распространения импульса не зависит
от величин деформаций и скоростей, только если и те и другие доста-
достаточно малы х).
Наконец, вывод был получен в предположении о столообразной
форме импульса. Однако это последнее предположение не является
ограничением, пока ограничения, касающиеся малости деформаций
и скоростей в импульсе, соблюдаются. Пока вывод о независимости
скорости распространения импульса от его продолжительности и
величины деформаций и скоростей справедлив для столообразного
импульса, этот вывод можно распространить на импульсы другой
формы, так как импульс любой формы можно приближенно пред-
представить как ряд следующих вплотную друг за другом столообразных
импульсов малой продолжительности.
То обстоятельство, что импульс распространяется как одно целое,
не изменяя своей формы, играет принципиальную роль при рассмот-
рассмотрении вопроса о скорости распространения импульса. Только бла-
благодаря этому обстоятельству понятие скорости распространения
импульса имеет вполне определенный смысл: за эту скорость может
быть принята скорость любой фиксированной точки импульса; напри-
например, в произведенном выше расчете мы определяли скорость движе-
движения фронта или спада импульса. Если бы импульс не двигался
как одно целое, а по мере распространения форма импульса
изменялась бы, то, значит, разные точки импульса двигались бы
с различными скоростями и понятие скорости распространения
импульса потеряло бы прежний определенный смысл2).
Поскольку, с одной стороны, неизменность формы импульса
обусловлена тем, что скорость импульса не зависит от его характера,
а, с другой, — понятие скорости импульса имеет определенный
смысл, только если форма импульса при распространении не изме-
изменяется, то, значит, понятие скорости импульса имеет определенный
смысл лишь при том условии, что эта скорость зависит от свойств
тела, в котором импульс распространяется, но не зависит от харак-
характера самого импульса (его продолжительности, формы и т. п.). Как уже
г) Ограничения, накладываемые на величины деформаций и скоростей, обуслов-
обусловлены различными свойствами среды и в этом смысле независимы. Однако величины
деформаций и скоростей в импульсе связаны между собой через параметры, харак-
характеризующие упругость и плотность среды. Поэтому одно из двух ограничений, кото-
которое оказывается более жестким, одновременно обеспечивает выполнение и другого
ограничения.
2) Придать определенный смысл понятию скорости можно и в том случае, когда
форма импульса изменяется, но этого нельзя сделать однозначно; например, можно
ввести скорость фронта импульса, скорость его «центра тяжести» и т. п., Ъсе эти
скорости будут различны и их определения могут не совпадать с определением ско-
скорости движения импульса неизменной формы.

§ 113] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА В УПРУГОМ ТЕЛЕ 489
сказано, это условие соблюдается только при известных ограниче-
ограничениях, но задачи, в которых можно считать, что это условие прибли-
приблизительно выполняется, встречаются достаточно часто.
Совершенно так же, как импульс сжатия, распространяется в
стержне импульс растяжения. Для того чтобы такой импульс возник,
на крайнее сечение стержня должна действовать кратковременная
сила, направленная не к стержню, а от стержня, например, на левый
конец стержня должна действовать сила, направленная влево. Под
действием этой силы частицы стержня, расположенные у левого его
конца, начнут двигаться влево, и в крайнем левом слое стержня воз-
возникнет деформация растяжения. Обусловленные ею упругие силы
остановят частицы, расположенные у левого конца стержня и движу-
движущиеся влево, и заставят двигаться влево частицы, расположенные
в следующем слое стержня; возникнет деформация растяжения во
втором слое стержня.
Так по стержню слева направо будет распространяться импульс
деформаций растяжения; при этом скорости частиц в импульсе будут
направлены влево, т. е. в сторону, противоположную направлению
движения импульса (напомним, что в импульсе сжатия скорости
частиц направлены в ту же сторону, в которую движется сам импульс).
Как и в случае импульса сжатия, с движением импульса растяжения
будет связано определенное количество движения. Но вектор этого
количества движения Ар направлен в сторону, противоположную
направлению движения импульса растяжения. Это связано с тем, что
движется в этом случае не «уплотнение» (как в случае импульса сжа-
сжатия), а «разрежение» (при котором Ар<0); ясно, что разрежение,
движущееся в одном направлении, обладает таким же по абсолютной
величине количеством движения, как такое же по величине уплотне-
уплотнение, движущееся в обратном направлении.
С другой стороны, и упругие силы F, действующие со стороны
одной части стержня на другую через какое-либо сечение, лежащее
в области деформации, в случае сжатия и растяжения направлены
в противоположные стороны: со стороны левой части стержня на
правую действует сила, в случае сжатия направленная вправо, а в слу-
случае растяжения направленная влево. Поэтому все соотношения, при
помощи которых выше было найдено выражение для скорости рас-
распространения импульса сжатия, а значит, и конечный результат
остаются справедливыми и для распространения импульса растя-
растяжения.
Рассмотрим теперь, что произойдет, когда импульс достигнет сво-
свободного правого конца стержня. Когда импульс сжатия достигнет
правого конца стержня, то частицы стержня, лежащие у самого его
конца, приобретут скорость, направленную вправо. Так как правый
конец стержня свободен, то остановиться эти частицы могут только
после того, как со стороны стержня на них подействует сила, на-
направленная влево. А такая сила может возникнуть только вследствие

490 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
того, что крайний слой стержня у его правого конца окажется растя-
растянутым (рис. 271). Следовательно, дойдя до свободного конца стержня,
сжатие превратится в растяжение.
На конце стержня сложатся такие же условия, как и в рассмотрен-
рассмотренном выше случае, когда на конец стержня подействовала кратковре-
-. менная сила, вызванная растяжением
amuj его крайнего слоя; поэтому сжатие,
1 превратившись в растяжение, начнет
| распространяться по стержню справа
! налево в виде импульса деформации
растяжения. Таким образом, на сво-
оодном конце стержня отражается им-
Рис- 271- пульс и изменяется характер дефор-
деформации; при этом, так как в импульсе
растяжений скорости направлены навстречу движению импульса, то
в импульсе растяжений, распространяющемся влево, скорости частиц
будут по-прежнему направлены вправо.
Это легко объяснить: силы, действующие со стороны растянутого
крайнего правого слоя на прилегающий к нему слева, сообщат части-
частицам этого слоя скорости вправо, т. е. в том же направлении, в каком
двигались частицы, когда импульс сжатия проходил слева направо.
Если по стержню слева направо распространяется импульс растя-
растяжения, то, дойдя до свободного правого конца, он вызовет в крайнем
правом слое стержня движение частиц
влево. Так как справа на эти частицы астяэн&ш
никакие силы не действуют, то оста-
остановиться они могут, только если на
них со стороны стержня будут дей-
действовать силы, направленные вправо, **
а для этого у правого конца стержня сжатие
должно возникнуть сжатие (рис. 272). Рис. 272.
Эго сжатие начнет распространяться
по стержню справа налево; при этом, так как в импульсе растяжений
скорость частиц направлена казстречу направлению распространения,
а в импульсе сжатий — в ту же сторону, в которую распространяется
импульс, то в обоих импульсах скорость частиц будет направлена
влево (объяснение аналогично предыдущему: силы, действующие со
стороны сжатого крайнего правого слоя, сообщат частицам прилегаю-
прилегающего к нему слева слоя скорости, направленные влево, т. е. в том же
направлении, в каком они двигались, когда импульс растяжения про-
проходил слева направо).
Таким образом, при отражении импульса деформаций и скоро-
скоростей от свободного конца стержня «знак деформаций» изменяется:
сжатие превращается в растяжение, а растяжение — в сжатие, а «знак
скоростей» остается неизменным (скорости частиц в импульсе до и
после отражения направлены в одну и ту же сторону).

S 113] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА В УПРУГОМ ТЕЛЕ 491
При отражении от жестко закрепленного конца стержня полу-
получается обратная картьиа. Так как крайний слой стержня закреплен
неподвижно, то созданная в нем пришедшим импульсом деформация
не меняет своего знака: пришедшее сжатие остается сжатием и растя-
растяжение — растяжением. Но при этом вместе с изменением направления
распространения импульса изменяется и направление движения
частиц в нем, поскольку в импульсе сжатия скорости частиц направ-
направлены в сторону движения импульса (в импульсе растяжения — в обрат-
обратную сторону). Изменение направления скорости частиц объясняется
тем, что при распространении импульса вправо скорость частицам
данного слоя стержня сообщал деформированный слой, лежащий
слева от данного, а после того, как деформация достигла правого
кониа стержня и частицы остановились, крайний деформированный
слой расположен справа от того слоя, частицам которого он сообщает
скорость; поскольку знак деформации не изменился, то направление
скорости частиц при отражении от закрепленного конца стержня
изменяется на обратное.
Таким образом, при отражении импульса деформаций и скоростей
от закрепленного конца стержня знак деформаций не изменяется,
а знак скорости изменяется на обратный.
В обоих рассмотренных случаях, импульса сжатия и импульса
растяжения, как движение импульса, так и движение частиц в им-
импульсе происходят вдоль оси стержня, т. е. скорости частиц и ско-
скорость импульса либо параллельны, либо антипараллельны. Поэтому
импульсы рассмотренных типов называют продольными импульсами,
в отличие от поперечных импульсов, в которых распространение
импульса происходит в направлении, перпендикулярном к скорости
частиц в импульсе.
Например, в случае, когда на конец упругого стержня действует
кратковременная сила (удар), направленная перпендикулярно к оси
стержня, эта сила вызовет движение конца стержня в направлении,
перпендикулярном к его оси; в резулыате этого движения в крайнем
слое стержня возникнет деформация изгиба. Упругие силы, обуслов-
обусловленные этой деформацией, остановят движение крайнего слоя стержня
и вызовут движение следующего его слоя, вследствие чего в этом
слое возникнет деформация. Так от слоя к слою будут передаваться
деформации и скорости, вдоль стержня будет распространяться попе-
поперечный импульс деформаций и скоростей.
В отличие от продольного импульса, рассмотренный поперечный
импульс при распространении изменяет свою форму (в связи с чем
понятие скорости распространения импульса, как указывалось, ста-
становится не вполне определенным). Уже одно это обстоятельство зна-
значительно усложняет картину распространения поперечного импульса
в упругом теле; поэтому мы не будем ее рассматривать. Отметим только,
что в картине распространения поперечного импульса есть много
общего с рассмотренной картиной распространения продольного

492 MFXAHHKA УПРУГИХ ТЕЛ ГГЛ. XIV
импульса. На описанной выше модели (рис. 269) можно наблюдать рас-
распространение поперечного импульса вдоль цепочки шаров, связанных
пружинами, если сообщить крайнему шару скорость в направлении,
перпендикулярном к линии расположения шаров (на рис. 273 изо-
изображены три последователь-
последовательных положения шаров при
распространении поперечного
импульса).
К числу поперечных им-
импульсов относится также им-
импульс, возникающий в упру-
рис 273. гом стержне, если на один из
концов стержня действует
кратковременный момент силы относительно оси стержня. Он вызы-
вызывает скручивание конца стержня, вследствие чего (как было показано
в § 106) в поперечных сечениях стержня возникают деформации сдвига;
они вызывают скручивание следующего слоя стержня, и так скорости
и деформации передаются от слоя к слою; в стержне распространяется
импульс деформаций и скоростей. Так как движение частиц стержня
происходит в плоскостях, перпендикулярных к оси стержня, т. е.
к направлению распространения импульса, то этот импульс также
является поперечным.
§ 114, Течение энергии в упругом теле
Как мы убедились, при отражении импульса изменяют знак либо
деформации, либо скорости, но не меняют знака и те и другие одно-
одновременно. Только поэтому импульс и отражается, т. е. движется в обрат-
обратном направлении. Что так именно и должно происходить, вытекает
из картины распространения энергии в упругом теле. Импульс несет
с собой определенную потенциальную энергию упругой деформации
и кинетическую энергию движения частиц. Распространение импульса
в теле связано поэтому с движением энергии, т. е. с течением энергии
в упругом деформированном теле. Выше мы уже сталкивались с про-
простейшим случаем течения энергии в упругом деформированном теле
(§ 34) — в приводном ремпе или передаточном валу приводного меха-
механизма. Однако там мы имели дело с однородной к не меняющейся со
временем деформацией. В интересующем нас сейчас случае импульса
деформаций течение энергии связано с движением неоднородной де-
деформации, т. е. с деформацией, изменяющейся как во времени, так
и от точки к точке. Эта общая задача о течении энергии в упругом
теле была изучена Н. А. Умовым. В этом общем случае вся картина
оказывается гораздо более сложной, чем для однородной и не меняю-
меняющейся со временем деформации.
Однако некоторые основные выводы, которые легко могут быть
сделаны для простейшего случая, оказываются справедливыми и

V
j§ 1141 ТЕЧЕНИЕ ЭНЕРГИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ 493
для распространения импульса деформаций. Чтобы сделать эти выводы,
рассмотрим подробно следующий конкретный пример.
Тело М приводится в движение силой F, действующей на конец
упругого стержня (рис. 274). Положим для определенности, что
стержень толкает тело. При движении на тело М со стороны плоскости
действует постоянная сила трения F\ равная —F, так что движение
происходит с постоянной ско-
скоростью г» и деформация (ежа- И
тие) стержня не изменяется. , ^ь _ _,_____._..__ . ?
Движение деформирован-
ного стержня как целого
уже само по себе связано р 274
с движением энергии в про-
пространстве, так как вместе
со стержнем движется и та энергия упругой деформации, которой
он обладает. Такой тип переноса, когда энергия (или количество
движения и т. п.) переносится вместе с частицами тела, которые этой
энергией обладают, называется конвективным переносом или кон-
конвекцией. Поток конвекции энергии, т. е. количество энергии, проте-
протекающей через единицу нормального сечения за единицу времени,
равен, очевидно, плотности упругой энергии в стержне, умноженной
на скорость его движения. Так как плотность упругой энергии
где а — напряжение в стержне, а 8 — его относительное сжатие,
то поток конвекции энергии
Zft = (ae/2)i>. A4.29)
Но помимо конвекции происходит течение энергии по стержню.
В самом деле, на одном конце стержня работа, совершаемая силой F,
идет на увеличение энергии деформации (сжатия) стержня. На дру-
другом конце за счет энергии упругой деформации стержня совершается
такая же работа против силы трения; эта работа превращается в тепло.
Столько же энергии, сколько втекает в стержень с одного конца, выте-
вытекает с другого. Через каждое сечение стержня за некоторый промежу-
промежуток времени протекает количество энергии, равное работе, совершен-
совершенной силой F за тот же промежуток времени. Эта работа за элемент
времени At выразится так:
где a — напряжение в стержне, S — его сечение, v — скорость
стержня. Следовательно, за единицу времени через единицу попереч-
поперечного сечения стержня протекает поток энергии
2= от. A4.30)

494 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
Направление этого потока в рассматриваемом случае совпадает
с направлением скорости тела v. Если бы стержень тянул тело, то
по-прежнему работа, совершаемая силой, приложенной к левому
концу стержня, превращалась бы в энергию упругой деформации,
которая у правого конца стержня превращалась бы в тепло, т. е.
скорость движения частиц стержня была бы направлена в обратную
сторону (на рис. 274 — плево), а энергия по-прежнему текла бы от
левого конца стержня к его правому концу (на рис. 274 — вправо).
Но при этом стержень был бы растянут, т. е. изменился бы и знак
деформации.
Таким образом, при растянутом стержне поток энергии направлен
навстречу его скорости. Чтобы выражение A4.30) определяло направ-
направление потока энергии, нужно принять во внимание, что напряжению а
следует приписывать (так же, как деформации е) знак плюс при растя-
растяжении и знак минус при сжатии. Если при этом рассматривать поток
энергии 2 и скорость v как векторы, а а как скаляр, то
2 = —от. A4.31)
Из сопоставления выражений для конвекции A4.29) и тече-
течения A4.30) энергии видно, что конвекция энергии по сравнению с тече-
течением энергии в стержне исчезающе мала, так как е в жестком стержне
очень мало по сравнению с единицей. Во всех аналогичных случаях,
когда упругие тела мало деформируются, основную роль играет тече-
течение энергий в упругом теле, а не конвекция энергии вместе с телом.
Заметим кстати, что из выражения для конвекции энергии видно, что
направление конвекции энергии, в отличие от направления течения
энергии, зависит только от направления движения тела (знака ю) и,
конечно, не зависит от знака а (так как а и е всегда одного знака).
Выражение для потока энергии A4.30), полученное нами для слу-
случая однородной и неизменной во времени деформации, остается спра-
справедливым и для деформации, распространяющейся в теле.
Если в каком-либо сечении упругого тела существует нормальное
напряжение а и лежащие в этом сечении частицы тела имеют ско-
скорость г\ направленную нормально к сечению, то через единицу пло-
площади сечения течет поток энергии 2, определяемый выражением
A4.30). Именно этот случай течения энергии имеет место при рас-
распространении продольного импульса в упругом теле.
При деформациях сдвига направление течения энергии не совпа-
совпадает с направлением движения частиц. В этом мы уже убедились на
примере вала, передающего работу. Вращающийся вал при передаче
работы должен быть скручен. В каждом сечении вала существуют
тангенциальные напряжения, и скорости отдельных элементов вала
лежат в плоскости его поперечного сечения. Энергия же течет вдоль
вала, т. е. в направлении, перпендикулярном к направлениям напря-
напряжений и скоростей. Но и в этом случае поток энергии изменяет свое
направление на обратное при изменении направления сдвига или

$ 114] ТЕЧЕНИЕ ЭНЕРГИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ 495
направления скорости частиц и остается неизменным, если одновре-
одновременно изменяются и направление сдвига, и направление скорости
частиц. В этом легко убедиться, проследив за тем, что происходит ири
изменении направления вращения двигателя или при перестановке
местами двигателя и нагрузки (без изменения направления вра-
вращения).
Так же обстоит дело и при распространении поперечного импульса
деформации в упругом теле. Если в каком-либо сечении тела суще-
существуют тангенциальные напряжения и лежащие в этом сечении частицы
тела движутся в направлении этих напряжений, то эти тангенциаль-
тангенциальные силы, приложенные к движущимся элементам тела, совершают
работу, которая превращается в энергию упругой деформации, и
поддерживают поток энергии в направлении, нормальном к этому
сечению. Поперечный импульс возникает, например, в упругом вале,
на конец которого подействовал кратковременный момент сил отно-
относительно оси вала.
Так как энергия упругой деформации связана с самим импульсом
деформаций, то направление течения энергии, очевидно, всегда сов-
совпадает с направлением распространения импульса. Поэтому при
отражении импульса деформаций должно изменяться на противопо-
противоположное и направление течения энергии. Но поток энергии меняет
направление на противоположное либо при изменении знака скорости
частиц упругого тела, либо при изменении знака деформации. Именно
с этим связано то, что при отражении импульса от конца стержня
изменяется знак либо деформации, либо скорости частиц. Если бы
они не изменяли знака или изменяли его обе одновременно, то энер-
энергия, а вместе с тем и импульс деформаций не изменяли бы направле-
направления распространения.
Картину отражения импульса деформаций от свободного и закреп-
закрепленного концов стержня также можно продемонстрировать на модели
стержня (рис. 269). Если последний шарик модели свободен, то сжатие
при отражении превращается в растяжение, и наоборот. Если же
последний шарик закреплен, растяжение отражается в виде растяже-
растяжения, а сжатие — в виде сжатия.
Отражение импульса деформаций происходит не только от гра-
границы упругого тела, но и от границы между двумя упругими телами,
если упругие свойства или плотности этих тел различны. В этом слу-
случае, однако, происходит только частичное отражение импульса,
а частично импульс проходит во второе тело.
Отражение импульса деформаций от границ тела приводит к воз-
возникновению упругих колебаний. Отразившись от второго конца
стержня, импульс снова возвращается к первому концу, затем снова
отражается и т. д. Картина повторяется через определенные проме-
промежутки времени — в стержне возникают колебания. Такие колебания
всегда наступают во всяком теле ограниченных размеров, обладающем
упругостью, если в этом теле возник импульс деформаций. Всякое

496 МЕХАНИКА УПРУГИХ ТЕЛ [ГЛ. XIV
резкое нарушение равновесия, вообще резкое изменение состояния
упругих тел, представляет собой импульс деформаций и сопровождается
колебаниями. Именно поэтому колебания так часто возникают в меха-
механических системах.
Рассмотренная картина представляет собой частный случай весьма
общего явления: возмущения, возникшие в какой-либо области сплош-
сплошной среды, обычно распространяются в этой среде со скоростью, в про-
простейших случаях зависящей только от свойств среды (а в более слож-
сложных — и от характера возмущения), и переносят с собой энергию,
которой обладало возмущение в начальный момент. В упругом стержне
в результате распространения возмущения деформаций и скоростей,
как мы видим, происходит перенос энергии упругой деформации и
кинетической энергии. В других случаях, как, например, в случае
жидкости, находящейся в поле тяжести, возмущение ее поверхности,
вызванное брошенным камнем, распространяется в виде кольцевых
волн, несущих с собой кинетическую и потенциальную энергию поды-
подымающихся и опускающихся колец поверхностного слоя жидкости.
Эта общеизвестная картина волн на поверхности жидкости дала назва-
название всем явлениям распространения возмущений, несущих с собой
энергию в сплошной среде. Волнами называются всевозможные воз-
возмущения различной природы и масштабов, начиная от рассмотренных
выше кратковременных импульсов деформации в упругом стержне и
вплоть до гигантских волн цунами, возникающих на поверхности
океана в результате подводных землетрясений.
В дальнейшем будут рассматриваться главным образом упругие
волны, т. е. волны, распространяющиеся в упругой среде в результате
различного рода возмущений. Особое место среди них занимают перио-
периодические волны. К подробному изучению явления волн мы обратимся
в гл. XIX.

ГЛАВА XV
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
§ 115» Общие свойства жидкостей и газов
Всякий объем жидкости или газа способен как угодно изменять
свою форму под действием сколь угодно малых сил 1). Это общее
свойство жидкостей и газов является вместе с тем их общим отличием
от твердых тел. Но для изменения самого объема жидкости или газа,
так же как и в случае твердых тел, необходимы конечные внешние
силы. Это значит, что при изменении объема жидкости или газа в нем
возникают силы, в конце концов уравновешивающие действие внеш-
внешних сил.
Правда, под действием малых сил изменение формы жидкости или
газа может происходить очень медленно; но оно всегда будет про-
происходить до тех пор, пока действуют внешние силы. Любое движение
твердого тела в жидкости или газе может служить этому подтвержде-
подтверждением. Движение тела в жидкости или газе связано с изменением взаим-
взаимного расположения отдельных частей жидкости или газа. Между тем
это движение возникает под действием каких угодно малых сил.
Жидкости и газы ведут себя как упругие тела только в отношении
изменения объема. Из двух элементарных деформаций — сжатия
(растяжения) и сдвига — только первая связана с изменением объема.
Поэтому только в отношении деформаций сжатия и растяжения жид-
жидкости и газы ведут себя как упругие тела. Однако и в отношении этой
деформации есть существенное различие в поведении жидкостей и
газов, с одной стороны, и твердых тел — с другой.
Твердое тело можно растянуть или сжать в каком-либо одном
направлении. Его можно также сжать во всех направлениях, т. е.
подвергнуть всестороннему сжатию или растяжению. В жидкостях
же и газах практически приходится иметь дело только со всесторон-
всесторонним сжатием. Правда, в специальных условиях жидкость может быть
подвергнута растяжению; при этой деформации в ней также возникают
*) За исключением случаев, когда размеры объема в каком-либо направлении
очень малы, т. е. жидкость образует пленку. Эти случаи будут рассмотрены особо
(§ 122).

498 ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА ГГЛ XV
силы, подобные упругим силам в твердом теле. Но в задачах механики
эти специальные условия обычно не возникают, и поэтому практически
приходится иметь дело только с всесторонним сжатием в жидкости.
Что же касается газов, то в них принципиально имеют место только
деформации сжатия. Какой бы объем ни занимала данная масса газа,
газ всегда оказывается сжатым, так как в отсутствие внешних сил
объем газа будет увеличиваться беспредельно. Между тем жидкость
в отсутствие внешних сил занимает определенный объем.
Однако мы сейчас не рассматриваем различия между жидкостями
и газами (это будет сделано позже), а, наоборот, отмечаем их общие
черты, отличающие их от твердых тел. Общая черта жидкостей и газов
состоит в том, что только в отношении деформации всестороннего
сжатия они ведут себя как упругие тела. При сжатии жидкости или
газа в них, как и в твердом теле, возникают упругие силы, определяе-
определяемые величиной деформации, т. е. степенью сжатия жидкости или газа.
Если бы мы все деформации жидкости относили к нормальному ее
состоянию, то мы всегда встречались бы с деформациями одного знака
(сжатием). Как сказано, для газа такое нормальное, несжатое состоя-
состояние вообще не имеет смысла вводить. Рассматривая же определенную
степень сжатия газа как нормальное состояние, мы встретимся и
с увеличением, и с уменьшением степени его сжатия, т. е. с деформа-
деформациями различных знаков. Точно так же и для жидкости часто удобно
определенную степень сжатия рассматривать как «нормальное» со-
состояние и вводить деформации различных знаков. Формально все
будет обстоять так же, как с упругими телами; можно говорить о сжа-
сжатии и о «рааяжении» жидкости или газа, хотя фактически речь будет
идти лишь о разной степени сжатия.
Элементарная деформация сдвига, как сказано выше, не сопровож-
сопровождается изменением объема тела. Все же при быстрых деформациях
сдвига в жидкости и газе могут возникать заметные силы; однако эти
силы зависят не от величины деформации, а от скорости изменения
деформации. И если скорость деформации стремится к нулю, то и
силы стремятся к нулю. Поэтому эти силы следует рассматривать не
как упругие силы, а как силы трения — это силы внутреннего тре-
трения, или силы вязкости. С силами вязкости приходится считаться
только при рассмотрении достаточно быстрых движений, когда сдвиги
в жидкости или газе изменяются с достаточно большой скоростью.
Какая скорость окажется «достаточно большой» в этом смысле, зави-
зависит от свойств жидкости или газа и конкретных условий задачи.
Но во всяком случае для каждых конкретных условий можно указать
столь медленные движения, при которых с силами, возникающи-
возникающими в жидкости и газе при сдвигах, можно ке считаться. Разумеет-
Разумеется, эти силы не играют роли в задачах о равновесии жидкости и
газов.
Общая черта жидкостей и газов — наличие лишь одного тина
упругой деформации, всестороннего сжатия, — позволяет целый ряд

§ 115] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 499
вопросов механики жидкостей и газов рассматривать с общей точки
зрения. Но между жидкостями и газами есть и ряд существенных
различий, которые приводят к различной постановке некоторых задач
механики жидкостей и газов. Например, существенное различие
жидкостей и газов состоит в том, что упругие свойства газов в гораздо
большей степени, чем жидкостей, зависят от температуры. Однако во
многих случаях можно полагать, что свойства тел нам заданы и все
время остаются неизменными, в частности, что все рассматриваемые
явления протекают при неизменной температуре. Там, где необходимо
учитывать изменения температуры газа, это будет специально ого-
оговорено.
При рассмотрении движений жидкостей и газов мы будем их
разбивать, как и твердые тела, на отдельные малые элементы. Эти
элементы должны быть столь малы, чтобы можно было считать все
отдельные их атомы движущимися одинаково. Здесь опять речь идет
о регулярном, а не о хаотическом тепловом движении атомов. То
обстоятельство, что отдельные атомы вследствие хаотического движе-
движения выходят за пределы данного элемента и их место занимают дру-
другие, в макроскопической механике жидкостей и газов можно не учи-
учитывать.
К отдельным малым элементам (которые должны по-прежнему со-
содержать еще много атомов) мы будем применять общие законы меха-
механики. Всякий объем жидкости или газа будем рассматривать как
систему таких элементов; но эти отдельные элементы могут изменять
взаимное расположение. Поэтому к данному объему жидкости или
газа мы не можем, вообще говоря, применять представления механики
твердого тела, так как в твердом теле взаимное расположение отдель-
отдельных элементов мы считали почти неизменным (изменяющимся лишь
постольку, поскольку эти отдельные элементы испытывают малые
деформации). Для объема жидкости или газа в общем случае справед-
справедливы только положения механики системы точек, не связанных жестко
между собой. Но в том случае, когда речь идет о покоящейся жидкости
или газе или о таких движениях, при которых взаимное расположение
отдельных элементов рассматриваемого объема не изменяется, мы
можем идти дальше и применять к этому объему положения динамики
твердого тела. В частности, в таких случаях можно говорить о центре
тяжести объема как о некоторой фиксированной точке, о моменте сил,
действующих на объем, перемещать точки приложения сил вдоль
направления сил, применять условия равновесия твердого тела и т. д.
Этот прием получил название принципа отвердения. Мы представляем
себе рассматриваемый объем отвердевшим и применяем к нему законы
механики твердого тела. Ясно, что этот прием допустим только в том
случае, если мы заранее уверены, что отдельные элементы объема
не изменяют своего взаимного расположения. В частности, принцип
отвердения всегда можно применять к покоящимся жидкостям и
газам.

500
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
[ГЛ XV
§ 116в Давление в жидкости и газе
Степень сжатия жидкости или газа определяет величину тех сил,
с которыми отдельные части жидкости или газа действуют друг на
друга или на соприкасающиеся с ними тела. Силы, с которыми дей-
действуют друг на друга отдельные части жидкости или газа, подобны
тем упругим силам, с которыми действуют друг на друга отдельные
части деформированного твердого тела. Если мы разделим какой-либо
объем сжатой жидкости или газа на две части, то со стороны одной
части на другую будут действовать силы, зависящие от степени сжа-
сжатия жидкости или газа. Как и в упругих телах, силы, действующие
на ту или иную площадку, определяются напряжением, т. е. отноше-
отношением силы к той площади, через которую они действуют. Однако
в жидкости и газе при сдвиге не возникает упругих сил, т. е. упругие
силы обусловлены только деформациями сжатия. Поэтому сила,
действующая со стороны одного элемента на другой, всегда нормальна
к плоьирдке, на которую эта сила действует. Для всякой площадки
в оюидкости существует только нормальное напряясение
,. AF
= lim -r-s,
A5.1)
где AjF — сила, a AS —¦ площадка, через которую эта сила действует.
Это нормальное напряжение называют давлением в жидкости или
газег) или гидростатическим давлением
(оно соответствует напряжению в твердых
телах).
В жидкости или газе достаточно задать
величину давления для какой-либо одной
площадки в данной точке, чтобы опреде-
определить давление для любой площадки в этой
точке. Действительно, рассмотрим, как мы
это делали для твердого тела, условия рав-
равновесия выделенной в жидкости малой пря-
прямоугольной трехгранной призмы (рис. 275)
с гранями, площади которых соответственно
равны Sl9 S2, SB и So. Сечение призмы выбе-
выберем столь малым, чтобы давлением жидкости
(или газа) на торцовые грани So можно было пренебречь. (Впрочем,
мы могли бы прежде всего заметить, что для того, чтобы выделенный
объем находился в равновесии, необходимо, чтобы силы .давления,
действующие на две торцовые грани So, были одинаковы по абсолют-
абсолютной величине и противоположны по направлению.) Пусть нам задано
\
\
Рис.
275.
i\
<^
—jpri
1
. . J
'~А ~
^ "\
\
д
\
\
\
*) В движущейся жидкости (или газе), как сказано, могут существовать силы,
обусловленные сдвигом слоев друг относительно друга. Но эти силы зависят от
скоростей, и их нельзя рассматривать как упругие напряжения.

§ 116] ДАВЛЕНИЕ В ЖИДКОСТИ И ГАЗЕ 501
давление рх на грань Sx. Нужно найти давления р2 и р3 на грани
S2 и Ss. Силы, действующие на все три грани (рис. 276), соответственно
равны
A5.2)
Для равновесия необходимо, чтобы было соблюдено равенство
т. е. эти силы образуют замкнутый треугольник, который подобен
треугольнику сечения призмы (так как /1э/2 и /3 перпендикулярны
к соответствующим граням призмы). Следовательно
где lu /2, /3 — длины соответственных сторон сечения. Так как пло-
площади граней пропорциональны
сторонам сечения /х, /2, /8, то
откуда на основании A5.2) еле- f2
дует, что
Р\ = р2 = Рз-
Давления на все три грани равны
по величине (но на каждой грани
направлены перпендикулярно к Рис. 276.
этой грани). Этот вывод справед-
справедлив и для случая, когда на жидкость или газ действуют еще какие-либо
массовые силы, например сила тяжести. Так как массовые силы
убывают как объем призмы, а силы давления — как площадь призмы
(т. е. медленнее), то мы всегда можем выбрать призму столь малого
сечения, чтобы массовыми силами можно было пренебречь.
Из сказанного выше следует, что величина давления в данной
точке жидкости или газа одинакова для всех направлений площадки,
к которой давление отнесено. Опыт подтверждает этот вывод.
Для измерения давления в жидкости или газе мы должны изме-
измерить силу, с которой действует на определенную площадку жидкость
или газ, прилегающие к этой площадке с одной стороны. Простейшим
образом эта задача осуществляется в мембранных манометрах и
барометрах-анероидах. В жидкость или газ помещается герметически
закрытая коробка г), одна из стенок которой может заметно деформи-
деформироваться под действием измеряемых сил. По величине этой деформации,
отсчитываемой при помощи стрелки и шкалы, определяется давление
1) Впервые такой прибор был построен Види. Поэтому все подобные конструк-
конструкции носят название коробок Види.

502 ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА tTVI.XV
в жидкости или газе. В этих приборах принципиально ражно, чтобы
коробка была герметически закрыта и жидкость или газ давили на
упругую стенку только с одной стороны (при наличии давлений с обеих
сторон их разность вызывает деформации стенки). С помощью мем-
мембранного манометра можно, в частности, подтвердить приведенный
выше вывод: изменение ориентировки мембраны в пространстве не
влияет на показания манометра.
Помещая манометр в жидкость или газ, мы как-то изменяем состоя-
состояние жидкости или газа. Поэтому нельзя заранее утверждать, что сила,
действующая на стенку коробки, будет такая же, какая действовала
на жидкость, место которой заняла коробка. Однако это можно утвер-
утверждать, если жидкость или газ находится в равновесии и манометр
этого равновесия не нарушил, так как в этом случае сила, с которой
прилегающая жидкость действует на коробку, равна той силе, с кото-
которой она действовала прежде на соседний объем жидкости.
Давление жидкости в системе CGS измеряется в дн/см2. В системе
LFT давление измеряется в граммах или килограммах силы на квад-
квадратный сантимер. Единица кГ/см2 называется технической атмосфе-
атмосферой. В системе СИ единицей давления служит н/м2.
§ 117. Сжимаемость жидкостей и газов
Давление в данной точке жидкости или газа зависит от степени
сжатия в этой точке. Так же, кяк и в твердых телах, связь между
давлением (напряжением) и сжатием (деформацией) определяется
упругими свойствами тела. Упругие свойства жидкостей и газов
полностью характеризуются объемной упругостью, т. е. соотноше-
соотношением между изменениями объема данной массы жидкости или газа
и изменениями давления в них. Здесь выступает второе различие
между жидкостями и газами — их существенно различная объемная
упругость.
Объемная упругость жидкостей или газов количественно может
быть охарактеризована отношением действующего давления к вели-
величине относительного изменения объема, которое этим давлением
вызвано. Пусть объем жидкости при некотором нормальном давлении
равен V и при изменении давления на Ар он изменился на А К. Следо-
Следовательно, относительное изменение объема есть AVIV, а коэффициент
сжимаемости
или модуль сжатия
К ————V—
Знак минус взят затем, чтобы К было положительно (AV и Ар
всегда противоположны по знаку).

§ И7]
СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
503
Коэффициент сжимаемости жидкостей очень мал, и измерение его требует спе-
специальных приемов. При значительном увеличении давления^ жидкости сосуд, в ко-
котором находится жидкость, изменяет свой объем («раздувается» от давления) и малое
изменение объема жидкости может маскироваться увеличением объема сосуда. Чтобы
обьем сосуда заметно не изменялся, Эрстед A822 г.) впервые
применил прием, который затем получил широкое распрост-
распространение. Сосуд с испытуемой жидкостью подвергают внешне-
внешнему давлению, такому же, как давление жидкости. Схема
прибора, который позволяет это осуществить (так называе-
называемого пьезометра), изображена на рис. 277. Внешний сосуд В
содержит другой сосуд А, в который помещена испытуемая
жидкость. Капилляр, которым оканчивается сосуд А, погру-
погружен в ртуть. Во внешнем сосуде В создается высокое давле-
давление (для этого обычно прибор наполняют водой и присоеди-
присоединяют к гидравлическому прессу). При сжатии объем жидкости
в сосуде А уменьшается, а объем самого сосуда остается не-
неизменным вследствие равенства внешнего' и внутреннего
давлений, и ртуть поднимается по капилляру. По измене-
изменению высоты столба ртути определяется изменение объема
жидкости.
Измерения сжимаемости жидкостей показали, что измене-
изменение давления в широких пределах пропорционально относи-
относительному изменению объем?, т. е. коэффициент сжимаемо-
сжимаемости К в широких пределах оказьшается постоянным.
При очень больших давлениях коэффициент сжимаемо-
сжимаемости падает (сжимаемость жидкостей уменьшается). Коэффи-
Коэффициент сжимаемости /Сзависит от температуры жидкости. Зна-
Значения К при не слитком больших давлениях и температуре 0° для некоторых жид-
жидкостей приведены в таблице.
Сжимаемость жидкостей в см2/кГ
Вода 5-10^ Алкоголь 8-10~*
Эфир ll-10-s Льняное масло . . .5,2-Ю^5
Ртуть 3,8-Ю-6 Глицерин 2,2-10~5
Для газов, как известно, связь между объемом и давлением данной массы га-
газа выражается законом Бойля—Мариотта (температуру мы условились считать по-
постоянной):
pV = const,
и следовательно,
ip)(V + AV) = pV или
где Ар — изменение давления, а АV — изменение объема, т. е. между Ар и AV нет
прямой пропорциональности. Но при малых изменениях давления и объема мож-
можно пренебречь малым произведением Ар А V, после чего полученное выражение прини-
принимает вид
1 AV 1
Рис. 277.
Если выражение, стоящее слева, мы так же, как и для жидкостей, назовем коэффацен-
том сжимаемости, то коэффициент сжимаемости газов
К = 1/Р.
Сжимаемость газов тем меньше, чем больше давление.
A5.6)

504 гидростатика и аэростатика [гл xv
Если для газов мы ограничимся такими же малыми относительными изменениями
объема, с которыми обычно имеют дело в жидкостях, то сжимаемость газов можно счи-
считать постоянной и сравнивать ее со сжимаемостью жидкостей при том же давлении.
Как следует из A5.6), при давлении р = 1 кГ/см2 для всех газов /С= 1 см2/кГ.
Так как для воды при р = 1 кГ/см2 К = 5« КН см2/кГ, то сжимаемость газов при
атмосферном давлении в 20 000 раз больше, чем сжимаемость воды.
Большое количественное различие в сжимаемости жидкостей и газов приводит
к существенным различиям в их поведении. Очень эффектно это различие выступает
в следующем опыте. Если в эбонитовую банку, налитую водой, выстрелить (из мелко-
мелкокалиберной винтовки) так, чтобы пуля попала выше уровня воды, то банка остается
целой (пуля лишь пробивает небольшое отверстие). Если же пуля пробивает банку
на несколько сантиметров под уровнем воды, то банка разлетается вдребезги. Объяс-
Объясняется это очень малой сжимаемостью воды. Когда пуля «вгоняется» в воду, она долж-
должна либо сжать воду на величину своего объема, либо вытеснить ее наверх. Не только
в первом, но и во втором случае в воде должны возникнуть огромные силы (так как
пуля вгоняется бысгро и вода должна вытесняться с большим ускорением). Эти силы
и разрывают банку.
Аналогичные явления происходят и при разрыве глубинных бомб, применяемых
против погрузившихся подводных лодок. При разрыве бомбы на глубине вследствие
малой сжимаемости в воде возникают очень большие силы, которые раздавливают
лодку.
Малая сжимаемость жидкостей позволяет во многих случаях
вообще пренебрегать изменениями объема жидкостей, т. е. рассматри-
рассматривать абсолютно несжимаемые жидкости. Это означает следующее: даже
если изменения объема жидкости под действием внешних сил столь
малы, что этими изменениями в рассматриваемых задачах можно пре-
пренебречь, однако уже при этих изменениях объема возникают столь
большие упругие силы, что дальнейшее уменьшение объема жидкости
практически прекращается. В последующем изложении мы в боль-
большинстве случаев будем рассматривать жидкость как несжимаемую
(обратное мы всегда будем оговаривать).
§ 118. Распределение давлений в покоящихся жидкости и газе
При исследовании давления в различных точках покоящихся жид-
жидкости и газа мы можем применять условия равновесия твердого тела
к любому конечному объему, выделенному из жидкости или газа.
Но в этом случае уже нельзя пренебрегать массовыми силами, напри-
например силой тяжести, как мы это делали, рассматривая очень малый
объем.
Рассмотрим условия равновесия элемента объема в виде располо-
расположенного горизонтально параллелепипеда с очень малой площадью
сечения. (Все сказанное ниже относится в одинаковой мере к жидко-
жидкостям и газам, но мы будем говорить только о жидкости.) Силы давле-
давления, действующие на торцы параллелепипеда, должны быть равны,
так как составляющие силы тяжести в горизонтальном направлении
равны нулю. Поскольку торцовые грани параллелепипеда имеют оди-
одинаковую площадь и силы равны, то давления также должны быть
равны. Во всех точках жидкости, лежащих в одной горизонтальной
плоскости (на одном уровне), давление одно и то же.

15 118] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЙ В ПОКОЯЩИХСЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗЕ 505
Для вертикально расположенной прямой призмы (рис. 278) силы
давления жидкости на торцовые грани и сила веса жидкости в объеме
призмы должны уравновеситься, и условия равновесия примут вид
где /i и /2 — соответственно силы давления на верхнюю и нижнюю
торцовые грани параллелепипеда, а Р — вес жидкости в объеме па-
параллелепипеда. Разделив все три члена равенства на площадь торцо-
торцовой грани параллелепипеда 5, мы получим:
Рис, 278.
где Рх и р2 суть давления на уровнях соответственно верхнего и ниж-
нижнего оснований, а Р1 — вес столба жидкости, площадь которого
равна единице, а высота — разности уров-
уровней 1 и 2.
Разность давлений между двумя уровня-
уровнями равна весу вертикального столба о/сидко-
сти между этими уровнями с площадью
сечения, равной единице. Поэтому высота
покоящегося вертикального столба жидко-
жидкости может служить для измерения разно-
разности давлений между нижним и верхним
концами столба.
Этот принцип измерения давлений ис-
используется в жидкостных манометрах и
барометрах. В жидкостном манометре (рис.
279, а) высота столба h измеряет разность
давлений между нижним и верхним откры-
открытым концом столба, т. е. избыток давления в закрытой трубке над
атмосферным давлением. В жидкостном барометре (рис. 279, б) вто-
второй конец трубки закрыт и из него удален воздух (давление прак-
практически равно нулю). Поэтому высота столба в барометре измеряет
все атмосферное давление у основания трубки. Вместо веса столба
давление обычно указывается прямо в высотах столба определенной
жидкости — миллиметрах ртутного или водяного столба.
Вес данного объема жидкости зависит от ее плотности, с одной
стороны, и от высоты и географической широты места — с другой.
Поэтому при точных измерениях давления приходится приводить
показания к определенной температуре — обычно к 0° и к весу на
уровне моря на широте 45°. При этих условиях вес столба ртути с
сечением 1 см2 и высотой 1 мм составляет 1,36 грамм-силы. Следова-
Следовательно, давление [в 1 мм Hg равно 1,36 Г/см2. При точных измере-
измерениях давлений приходится учитывать также явление капиллярности
(см. § 122), вследствие которого высота столба ртути всегда меньше
той, которая соответствует давлению на открытый конец барометра.
Наконец, давление в закрытом конце барометра также не равно нулю,

506
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
[ГЛ. XV
а определяется давлением, которое создают пары ртути при данной
температуре. Однако это давление очень мало, и обычно им можно
пренебрегать.
Рассмотрим теперь распределение плотностей в покоящейся жид-
жидкости. Для этого сравним две одинаковые прямые вертикальные
призмы, расположенные па одной и той
же высоте в разных местах жидкости.
Так как давление во всех точках жид-
жидкости, лежащих на одной высоте, одно
и ю же, то разность давлений на ниж-
нижнее и верхнее основания для обеих призм
должна быть одинакова, а значит, веса
призм должны быть равны. Поскольку
это справедливо для двух призм любой
(но одинаковой) высоты, то, следова-
следовательно, плотность жидкости (или газа)
во всех точках, лежащих на одной и
той же высоте, должна быть одинако-
одинакова. Этот вывод справедлив и для не-
нескольких различных жидкостей, распо-
расположенных одна над другой, и для жид-
жидкости и расположенного над ней газа.
Если этот ряд жидкостей или жидкость и газ находятся в равнове-
равновесии, то, рассматривая условия равновесия для призмы, части кото-
которой расположены но обе стороны от границы раздела, мы придем к
тем же самым выводам. Следовательно, граница раздела двух жид-
жидкостей разной плотности или жидкости и газа должна быть гори-
горизонтальной.
Призму, для которой рассматриваются условия равновесия, мы
можем продолжить вверх до верхней границы жидкости или газа
(для газа имеет смысл говорить о верхней границе только тогда,
когда он заключен в замкнутый сосуд). Тогда
it 05.7)
где р0 — давление на верхней границе жидкости или газа (внешнее
давление), а Рг — по-прежнему вес единичного столба. Если жид-
жидкость имеет где-либо свободную поверхность, то давление в данной
горизонгальной плоскости определяется весом единичного столба
жидкости, имеющего высоту, равную разности высот от свободной
поверхности до этой горизонтальной плоскости. При этом р0 есть
давление на свободную поверхность (в случае открытых сосудов —
атмосферное давление).
Если внешнее давление р0 столь велико, что даже для самого
высокого столба (от верхней до нижней границы жидкости или газа)
Ро ^ Л» то этим последним можно пренебречь и считать, что р = /?0,
т. е. что давление жидкости или газа во всех точках сосуда практи-

« 119] ПОДЪЕМНАЯ СИЛА. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ 507
чески одинаково. Например, в баллоне со сжатым газом при давлениях
в десятки атмосфер можно с большой точностью считать, что давление
сжатого газа во всех точках баллона одно и то же. Точно так же
практически можно считать одинаковым давление жидкости во всех
точках цилиндра гидравлического пресса, где жидкость сжата до
давления в сотни атмосфер.
Из сделанных выше заключений относительно распределения дав-
давления в жидкости и газе вытекает ряд следствий, известных из эле-
элементарного курса физики, — закон сообщающихся сосудов, распре-
распределение давления на стенки и дно сосуда и т. д.
§ 119. Подъемная сила. Плавание тел
Распределением давлений по высоте объясняется возникновение
подъемной силы, действующей со стороны жидкости или газа на по-
погруженное в них тело. Давление жидкости на каждый элемент поверх-
поверхности погруженного тела нормально к этому
элементу (рис. 280), ко при этом чем ниже
расположен элемент поверхности, тем боль-
больше давление. Вследствие этого результи-
результирующая всех сил, действующих на отдель-
отдельные элементы поверхности тела, всегда
направлена вверх. Это и есть подъемная,
или «выталкивающая», сила.
Для определения величины и направ-
направления подъемной силы воспользуемся прин-
принципом отвердения. Представим себе, что мы
удалили погруженное в жидкость тело и
снова заполнили объем, который оно зани- рис 280,
мало, жидкостью. При этом жидкость бу-
будет находиться в равновесии и, следовательно, можно считать отвер-
отвердевшей ту часть жидкости, которая занимает место погруженного те-
тела. На эту часть жидкости действует сила тяжести, равная весу
жидкости и приложенная к ее центру тяжести. Так как «отвердев-
«отвердевшая» часть жидкости находится в равновесии, то, значит, резуль-
результирующая сил давления, действующих со стороны окружающей жидко-
жидкости, равна весу «отвердевшей» части, направлена вертикально вверх
и проходит через центр тяжести «отвердевшего» объема.
Что касается точки приложения подъемной силы, то для ее опре-
определения можно применить те же соображения, которые были приве-
приведены при определении точки приложения равнодействующей сил
тяжести (§ 92). Если мы сравним два различных положения одного
и того же выделенного объема (рис. 281), то в обоих положениях
подъемная сила F должна быть направлена по вертикали АВ, прохо-
проходящей через центр тяжести выделенного объема. Как и в случае равно-
равнодействующей сил тяжести, для того чтобы точка приложении подъем-

508
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
[ГЛ. XV
А
-
F
0
1
i
i
A
F
1
/ ' /
Sy
:\в
ной силы не перемещалась относительно выделенного объема, эта
сила должна быть приложена к центру тяжести объема. Иначе говоря,
поскольку центр тяжести — это единственная точка, через которую
проходит подъемная сила при любом положении выделенного объема,
значит, подъемная сила приложена именно к центру тяжести выделен-
выделенного объема.
Если мы снова заменим «отвердевший» объем погруженным телом,
то сила давления на него со стороны окружающей жидкости должна
остаться прежней. Значит, на погруженное в жидкость или газ тело
действует подъемная сила, равная весу жидкости (или газа) в объеме,
занимаемом телом, направленная по вер-
вертикали и приложенная к центру тяжести
вытесненного объема.
При подсчете веса жидкости или газа в
объеме, занимаемом телом, нужно, конеч-
конечно, считать, что плотность жидкости или
газа во всех точках внутри объема такая
же, как плотность окружающей жидкости
или газа на том же уровне. В тех случаях,
когда плотность жидкости (и даже газа)
между наивысшей и наинизшей точками
тела меняется мало, можно считать ее по-
постоянной.
Чтобы тело, целиком погруженное в
жидкость или газ, находилось в равнове-
равновесии, подъемная сила и сила тяжести должны быть равны и ле-
лежать на одной прямой, т. е. центр тяжести тела и центр тяжести
вытесненного объема должны лежать на одной вертикали. Это поло-
положение равновесия будет устойчиво, если при отклонении от него воз-
возникают моменты сил, которые снова возвращают тело в положение
равновесия. При отклонении тела от положения равновесия сила
тяжести, приложенная к центру тяжести тела, и подъемная сила,
приложенная к центру тяжести вытесненного объема, создают момент
сил. Если центр тяжести тела О лежит ниже центра тяжести вытес-
вытесненного объема С (рис. 282, а), то возникший момент сил возвращает
тело к положению равновесия. В противном случае (рис. 282, б) воз-
возникший момент сил еще дальше отклоняет тело от положения равно-
равновесия. Поэтому для того, чтобы равновесие было устойчиво, центр тя-
тяжести тела должен лежать ниже центра тяжести вытесненного объе-
объема. Это условие должно быть соблюдено, например, в подводной лодке,
для того чтобы в погруженном состоянии она не опрокидывалась.
Для демонстрации условий устойчивости погруженного в жидкость
тела можно воспользоваться куском парафина, утяжеленного метал-
металлическим грузом настолько, чтобы тело тонуло очень медленно (для
чего общий вес парафина и груза должен очень немного превышать
вес воды в объеме, занимаемом телом). Кусок парафина, опущенный
Рис. 281.

§ 119] ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ПЛАВАНИЕ ТЕЛ 509
в воду грузом вверх, опрокидывается в воде (центр тяжести тела
немного смещен от центра тела в сторону груза).
Если подъемная сила, действующая на тело, целиком погруженное
в жидкость, больше, чем вес тела, то тело всплывет на поверхность;
подъемная сила (вес вытесненной жидкости) убывает до тех пор, пока
не окажется равной весу тела. Условия равновесия по-прежнему
сводятся к тому, что центр тяжести тела и центр тяжести вытесненного
объема должны лежать на одной вертикали. Однако условия устой-
устойчивости равновесия будут уже иными. Равновесие может быть устой-
устойчивым и тогда, когда центр тяжести тела лежит выше центра тяжести
вытесненного объема (иначе устойчивое плавание однородных тел на
поверхности жидкости вообще было бы невозможно, так как их
Рис. 282.
центр тяжести всегда лежит выше центра тяжести вытесненного
объема). Это различие в условиях устойчивости обусловлено тем, что
для тел, плавающих на поверхности, изменение положения тела всегда
связано с изменением взаимного расположения центра тяжести тела
и центра тяжести вытесненного объема.
Рассмотрим условия устойчивости для плавающего на поверхности
жидкости прямоугольного параллелепипеда. Из условий равновесия
следует, что целиком погруженная грань параллелепипеда должна
быть горизонтальна. При отклонении параллелепипеда от положения
равновесия центр тяжести вытесненного объема перемещается в ту
же сторону, куда наклонился параллелепипед. Вследствие того, что
точка приложения силы тяжести О и точка приложения подъемной
силы С не лежат на одной вертикали, возникают моменты силы тяжести
и подъемной силы. Если полностью погруженная в жидкость грань EF
параллелепипеда больше, чем частично погруженные DE и GF
(рис. 283), то возникший момент будет возвращать тело к положению
равновесия — равновесие будет устойчиво. В противном случае
(рис. 284), когда полностью погруженная в жидкость грань EF меньше,
чем частично погруженные грани DE и CF, возникший момент будет
еще больше наклонять тело — равновесие будет неустойчиво. Условие
устойчивости равновесия, как легко видеть, сводится к тому, чтобы

510
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
[ГЛ XV
точка М пересечения направления подъемной силы с прямой А В лежала
выше центра тяжести тела О. Точка М — пересечение направления
подъемной силы с плоскостью симметрии тела — носит название мета-
метацентра. Условие устойчивости сводится, следовательно, к тому, чтобы
центр тяжести тела лежал ниже метацентра.
Рис. 283.
Условия устойчивого плавания тел можно продемонстрировать при помощи дере-
деревянного бруска прямоугольной формы, плавающего на воде. Брусок, опущенный
в воду в любом положении, всегда принимает такое положение, при котором целиком
погруженной в воду оказывается его большая грань (рис. 283). Если утяжелить бру-
брусок металлическим грузом В так, чтобы центр тяжести О лежал достаточно низко, то
брусок будет плавать в вертикальном положении (рис. 285).
Для того чтобы корабль устойчиво держался на воде (обладал
«остойчивостью»), метацентр М должен лежать выше центра
тяжести корабля О (рис. 286). Для тел произвольной формы
положение метацентра изменяется при изменении положе-
положения тела. Поэтому при некотором достаточно большом на-
наклоне метацентр сможет оказаться ниже центра тяжести тела,
и тело опрокинется. Корпусу корабля придается такая фор-
форма, чтобы положение метацентра практически не изменя-
изменялось даже при значительном крене корабля. И если центр
тяжести корабля лежит ниже метацентра, то корабль может
выдерживать очень большой крен, не опрокидываясь.
Подъевшая сила исчезает, если на нижнее основание тела
не действует давление со стороны окружающей жидкости (ос-
(основание тела лежит на дне). В подобном положении оказывается подводная лодка,
опустившаяся на гладкое глинистое дно. Лодку «присасывает» к дну, и она не мо-
может подняться.
Несколько особый случай представляет собой возникновение подъемной силы
аэростатов. Она обусловлена тем, что при одинаковом изменении высоты давление
в более плотном газе изменяется на большую величину, чем в менее плотном. (То же
справедливо и для жидкостей. Поэтому, например, в сообщающихся сосудах с жид-
жидкостями разной плотности уровень более тяжелой жидкости стоит ниже, чем более
легкой.)
Для газов такие «сообщающиеся сосуды» получаются в том случае, когда сосуд,
наполненный каким-либо газом, сообщается с атмосферой. Например, стеклянная
труба длиной в I 1,5 м, затянутая с одной стороны очень тонкой резиновой пленкой
и открытая с другой, вместе с окружающей атмосферой образует «сообщающиеся
сосуды». Если налолнигь трубу водородом или светильным газом (более легким,
Рис. 285.

120]
H3MFHEHHE ДАВЛЕНИЯ С ВЫСОТОЙ
511
\
Рис. 286.
чем воздух) и поднять трубу закрытым концом вверх, то пленка заметно выпучивается.
Наоборот, если опустить этот конец вниз, то пленка вдавливается внутрь. В обоих
случаях у открытого конца трубы давления воздуха и светильного газа одинаковы
(как на границе двух жидкостей в сообщающихся сосудах). Поэтому в первом случае
давление светильного газа и воздуха у нижнего конца грубы одинаково; но у верхнего
конца трубы давление уменьшается внутри трубы на вес столба светильного газа,
а снаружи—на вес столба воздуха. Так как светильный
газ легче, то убыль давления внутри меньше, чем сна-
снаружи, — давление внутри больше, поэтому пленка
выпучивается наружу. Во втором случае давление ввер-
вверху одинаково. Прирост давления при переходе от верх-
верхнего конца к нижнему в светильном газе меныиэ, чем
в воздухе, и давление изнутри меньше — пленка вдав-
вдавливается. Если наполнить трубу углекислотой (газом
более тяжелым, чем воздух), то картина получается
обратная.
Первый из рассмотренных случаев поясняет воз-
возникновение подъемной силы в аэростатах. Оболочка
аэростата не представляет собой замкнутого объема,
а имеет в нижней части отросток, сообщающийся
с внешней атмосферой (рис. 287). Оболочка должна
сообщаться с атмосферой потому, что в противном случае на большой высоте,
где внешнее давлением мало, внутреннее давление газа разорвало бы оболочку.
Давление легкого газа, наполняющего оболочку, у отверстия равно давлению внеш-
внешнего воздуха. С увеличением высоты h над отвер-
отверстием давление внутри падает медленнее, чем
снаружи (столб газа весит меньше, чем столб
воздуха). Поэтому в каждой точке давление на
оболочку изнутри больше, чем снаружи, и раз-
разность давлений на оболочку направлена везде
наружу (нормально к оболочке). Чем выше над
/ \ отверстием, тем больше эта разность давлений.
~*r-f у~-*- Примерное распределение этих разностей давле-
давлений указано на рис 287 стрелками. Равнодей-
Равнодействующая этих разностей давлений и представ-
представляет собой направленную вверх подъемную
силу.
В закрытых оболочках, например оболоч-
оболочках жестких дирижаблей, подъемная сила обу-
обусловлена разностью давлений на различные часги
оболочки (как и в случае замкнутых тел, цели-
целиком погруженных в жидкость). В оболочках же,
сообщающихся с атмосферой, подъемная сила
обусловлена разностью давлений с двух сторон на
одни и те же части оболочки. Это различие приводит к некоторым различиям в пове-
поведении оболочек. Если бы мягкая оболочка, наполненная небольшим количеством газа,
была закрыта снизу, то ее нижняя часть была бы вдазлена внутрь. Если в откры-
открытой оболочке газа мало, то се нижняя часть наполнена воздухом, давления снаружи
и изнутри одинаковы и оболочка не вдавливается внутрь, а свободно висит складками.
§ 120. Изменение давления с высотой. Барометрическая формула
Как в жидкости, так и в газе изменений давления с высотой опре-
определяются весом расположенного между двумя данными уровнями
столба жидкости или газа, имеющего сечение, равное единице. Но вес
одного и того же столба с изменением высоты изменяется, так как на
Рис. 287.

512 ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА [ГЛ. XV
разных уровнях жидкость или газ сжаты по-разному, и поэтому плот-
плотность жидкости или газа на разных высотах различна. Однако вслед-
вследствие малой сжимаемости жидкостей изменения плотности жидкости
с высотой происходят гораздо медленнее, чем изменения плотности
газа. Плотность жидкости можно считать постоянной, пока давления
не очень велики, т. е. пока рассматриваются не слишком большие
глубины. В таком случае, если высота столба ht то его объем также ft
(сечение равно единице) и вес столба равен
Pi = РёК
где р — постоянная плотность жидкости. Поэтому в жидкости измене-
изменение давления с высотой выражается линейным законом
A5.8)
где р0 — давление на уровне ft = 0. Вследствие того, что жидкость
все же немного сжимаегся, давление при возрастании глубины растет
несколько быстрее, чем по линейному закону. Однако отклонение от
линейного закона для жидкостей становится заметным только при
больших изменениях глубины.
Изменения плотности газа с высотой вследствие большой сжи-
сжимаемости становятся заметными уже при не очень больших разностях
высот. Плотность можно считать постоянной только для малых изме-
изменений высоты АЛ. Если эти изменения считать положительными
вверх, то изменение давления на участке Ah будет отрицательным —
давление уменьшается на величину веса столба газа высотой Aft
и сечением 1 см2:
A5.9)
Связь между давлением и плотностью дается законом Бойля —
Мариотта (температуру газа мы считаем постоянной). Так как плот-
плотности обратны объемам, то по закону Бойля — Мариотта
Р/Р=Ро/Ро>
где р и р — давление и плотность на высоте ft, а р0 и р0 — давление
и плотность на высоте ft = 0. Подставляя отсюда выражение для р
в соотношение A5.9), получим:
Для того чтобы найти изменение давления на конечной высоте ft,
нужно взять сумму таких элементарных изменений давления на
отдельных элементах Ah. Для этого заменим малые элементы Aft и Ар
бесконечно малыми:

120]
ИЗМЕНЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ С ВЫСОТОЙ
513
н возьмем интеграл от этого выражения в пределах от 0 до Л:
Л
Интегрируя и подставляя пределы, получим:
In р =
А> Р» '
Переходя от логарифмических функций к показательным, оконча-
окончательно получим:
A5.10)
Эта формула, выражающая изменение давления с высотой для газа,
имеющего на всех высотах одинаковую температуру («изотермическая
атмосфера»), называется баромет- hhM
рической формулой. Давление в ат-
мосфере с высотой уменьшается по
показательному закону (рис. 288).
При изменении высоты по арифме-
арифметической прогрессии давление убы-
убывает по геометрической прогрессии.
(На каждые 5,5 км высоты давле-
давление убывает примерно в 2 раза.)
Чем больше высота, тем меньшая
разность давлений соответствует
одной и той же разности высот.
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
Барометрическая формула получена в
предположении, что температура по всей
высоте одна и та же. В действительности
температура агмосферы изменяется с вы-
высотой, и в эту формулу должны быть
введены соответствующие поправки. При
введении этих поправок (если, кроме то-
того, известно давление у земли р0) форму-
формула позволяет по величине атмосферного
давления определить высоту над землей.
На этом принципе и построены авиацион-
авиационные альтиметры, т. е. барометры-анерои-
барометры-анероиды, в которых на шкалу вместо давлений
прямо нанесены высоты. Однако для то-
того, чтобы по показаниям барометра мож-
можно было точно определить высоту, нужно знать величину давления у земли и тем-
температуру воздуха.
Уменьшение плотности атмосферы с высотой влечет за собой уменьшение подъем-
подъемной силы аэростагов. Когда подъемная сила, уменьшаясь, становится равной весу
аэростата, дальнейший подъем аэростата прекращается, аэростат достигает «потолка».
Стратостаты, предназначенные для подъема на большие высоты, должны обладать до-
достаточной подъемной силой на большой высоте. При неизменном объеме их подъемная
17 С. Э. Хайнин
/00 ?00 300 400 500 600 700 800тНд
Рис. 288.

514 ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА [ГЛ XV
сила у земли была бы чрезмерно велика (скорость подъема была бы недопустимо
большой). Для плавного подъема необходимо, чтобы подъемная сила (вес вытесненного
воздуха) лишь немного превышала вес аэростата с газом. Поэтому стратостаты напол-
наполняются небольшим количеством легкого газа (водорода или гелия), занимающим
у земли только несколько процентов от всего объема оболочки; нижняя часть оболочки
при этом висит свободно, образуя складки, и в этой части оболочки находится воздух.
При подъеме водород расширяется и занимает все большую и большую часть оболочки.
Происходит, с одной стороны, увеличение объема оболочки, а с другой — уменьшение
общего веса (воздух выходит наружу). На некоторой высоте водород полностью запол-
заполняет оболочку, давления внутри везде оказываются больше, чем снаружи, и оболочка
принимает правильную форму (высота выполнения). При дальнейшем подъеме водород
продолжает уходить из оболочки. Вес стратостата с газом уменьшается, и это компен-
компенсирует уменьшение подъемной силы с высотой еще на некотором участке (от высоты
выполнения до потолка). С этой точки зрения воздух и водород, выходящие из обо-
оболочки, играют роль сбрасываемого балласта (воздух до высоты выполнения и водо-
водород от высоты выполнения до потолка). Этот выбрасываемый «газовый балласт» ком-
компенсирует уменьшение подъемкой силы, обусловленное уменьшением плотности
воздуха с высотой.
Однако использование легкого газа в качестве «балласта» приводит к трудностям
при спуске стратостата. Дело в том, что, так же как для плавного подъема подъемная
сила должна лишь совсем немного превышать вес стратостата, для плавного спуска
подъемная сила должна быть лишь немного меньше веса стратостата. Практически
можно считать, что как при подъеме, так и при спуске подъемная сила должна быть
равна весу стратостата. Между тем если стратостат поднялся до потолка и, значит,
использовал часть легкого газа в качестве «балласта», то при спуске газ будет зани-
занимать меньший объем, чем он занимал на той же высоте при подъеме. Подъемная сила
окажется заметно меньше, чем вес стратостата, и для того, чтобы обеспечить плавный
спуск, необходимо соответственно уменьшить вес стратостата, выбрасывая балласт.
Таким образом, плавный спуск стратостата, поднявшегося до потолка, невозможен
без запаса балласта. Этот необходимый запас балласта понижает потолок стратостата.
Потолок практически определяется не тем, что стратостат не может подняться выше,
а тем, что, поднявшись еще выше, он не мог бы потом плавно спуститься.
Мы не учитывали изменений температуры воздуха с высотой и газа в оболочке
(вследствие нагревания солнцем и теплообмена с окружающим воздухом). Эти изме-
изменения, которые в действительности всегда происходят, существенно влияют ка всю
картину и очень усложняют задачу плавного подъема и спуска стратостата.
§ 121, Жидкость в движущихся сосудах
Часто встречаются случаи, когда жидкость движется вместе с сосудом так, что
по отношению к сосуду она покоится. Если сосуд движется без ускорений, то никаких
новых вопросов не возникает, так как для этого случая полностью остается в силе
все то, что было сказано выше о покоящейся жидкости. Однако, когда сосуд движется
с ускорением, также может оказаться, что жидкость относительно сосуда покоится.
Примером может служить «жидкий маятник», которым мы пользовались для демон-
демонстрации явления приливов (§ 86). Когда маятник колеблется свободно, жидкость
покоится относительно сосуда; но в этом случае жидкость ведет себя не так, как в по-
покоящемся сосуде. Это видно хотя бы из того, что в колеблющемся «жидком маягнике»
поверхность жидкости не остается горизонтальной. Поведение жидкости в движущем-
движущемся сосуде удобно рассматривать с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с
сосудом.
Прежде всего рассмотрим вопрос о форме поверхности жидкости, движущейся
вместе с сосудом. Выделим на границе жидкости тонкий элемент объема, прилегающий
к поверхности жидкости (рис. 289). Со стороны соседних слоев жидкости на него могут
действовать силы давления, нормальные к границам элемента. Если элемент взят
достаточно тонкий, то силы, действующие на боковые грани, исчезающе малы и ре-

§ 121]
жидкость в движущихся сосудах
515
Рис. 289.
зультирующая сила Р нормальна к поверхности элемента. Чтобы выделенный элемент
жидкости находился в покое, сумма всех других сил, действующих на него, должна
быть также нормальна к поверхности элемента. Следовательно, поверхность жидкости
всегда устанавливается таким образом, чтобы сумма
всех сил, действующих на частицы жидкости, кроме
сил давления, была нормальна к поверхности. По-
Поэтому в частном случае, когда на жидкость дейст-
действует только сила тяжести, поверхность жидкости го-
горизонтальна.
Пользуясь этим положением, мы легко сможем
объяснить поведение жидкости в качающемся сосуде.
С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с
сосудом, на элемент жидкости действуют сила тяжести
mg и сила инерции — т/, где/ — тангенциальное уско-
ускорение маятника (центробежная сила инерции, обуслов-
обусловленная центростремительным ускорением маятника,
при малых размерах сосуда везде приблизительно
совпадает по направлению с О А и не играет существен-
существенной роли). Ускорение /' обусловлено составляющей си-
силы тяжести в направлении движения маятника. Следо-
Следовательно,
/ = g sin a.
На частицы жидкости массы т действуют силы mg и
—т\ — — mg sin а, равнодействующая которых на-
направлена вдоль радиуса О А. Она должна уравновеши-
уравновешиваться силой давления прилегающих слоев жидкости
Р, и поэтому поверхность жидкости в маятнике нормальна к этой равнодействую-
равнодействующей, т. е. к направлению О А.
Сточки зрения неподвижного наблюдателя, на частицу жидкости действуют только
сила давления прилегающих слоев Р и сила тяжести mg. Их равнодействующая и со-
сообщает частице такое же ускорение /, какое имеет
сосуд.
Рассмотрим теперь поведение жидкости во
вращающемся сосуде. Если сосуд привести во вра-
вращение, то вследствие сил вязкости жидкость при-
принимает участие во вращении и в конце концов вра-
вращается вместе с сосудом. При этом поверхность
жидкости принимает форму параболоида вращения
(рис. 290). После того как это движение установи-
установилось, с точки зрения вращающегося вместе с сосу-
сосудом наблюдателя можно рассматривать жидкость
как покоящуюся. Этот наблюдатель, пользуясь си-
системой отсчета, вращающейся вместе с сосудом,
должен ввести, кроме силы тяжести mg, центробеж-
центробежную силу инерции mcoV, где т — масса частицы
жидкости. По сказанному выше, равнодействующая
этих сил F должна быть нормальна к поверхности
жидкости. Поэтому
Рис- 290* tga = mg/nwfr, A5.11)
где а — угол между F и moo2/*, а вместе с тем и
угол между касательной к сечению поверхности и осью вращения. Тангенс этого
угла обратно пропорционален г — расстоянию от оси до точки касания. Это —
свойство параболы.
С точки зрения неподвижного наблюдателя, на элемент жидкосги, лежащий
у поверхности, действуют только сила тяжести mg и сила давления прилегающих
т<огг
17*

516
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
[ГЛ XV
слоев Р. Сумма этих сил должна сообщать элементу жидкости центростремительное
ускорение, необходимое для вращения по окружности радиуса г, т. е. должна быть
равна —mooV и направлена к оси вращения. А для этого должно быть выполнено
соотношение A5.11).
Так же, как с поверхностью жидкости в сосуде, обстоит дело с поверхностью воды
в больших водных пространствах (в океанах). Поверхность воды должна быть в каж-
каждой точке нормальна к равнодействующей силы тяжести и центробежной силы, т. е.
к направлению отвеса в данной точке. Так как направление отвеса не совпадает с на-
направлением к центру Земли, то-поверхность воды, покрывающей Землю, не представ-
представляет собой точно шаровой поверхности, а несколько сплюснута к полюсам. Этим в из-
известной степени объясняется и сплюснутая к полюсам форма самого земного шара.
Когда Земля была еще жидкой, ее поверхность приняла такую форму, какую сейчас
имеет поверхность воды в океанах 1).
Если с точки зрения движущегося наблюдателя жидкость покоится, то вопрос
о распределении давлений в жидкости решается также, как для покоящейся жидкости.
Необходимо лишь принять во внимание, что на покоящую-
покоящуюся в сосуде жидкость действует не только сила тяжести, но
и силы инерции, обусловленные ускорением сосуда. На-
Например сразу ясно, что в жидкости, свободно падающей
вместе с сосудом, давление во всех точках будет одно и то
же. Сила тяжести будет уравновешена силой инерции, и
изменения давления с высотой, обусловленные силой тя-
тяжести, исчезнут. Исчезнет также давление жидкости на
стенки и дно сосуда и подъемная сила.
Точно так же для жидкости, вращающейся вместе с со-
сосудом, кроме силы тяжести нужно ввести еще центробеж-
центробежную силу инерции. Эта последняя в описанном выше
опыте с вращающимся сосудом лежит в горизонтальной
плоскости, поэтому она изменяет распределение давлений
только по горизонтали. По вертикали изменения давления
с высотой должны быть такими же, как в покоящейся жид-
жидкости (условия равновесия для вертикальной призмы ос-
остаются прежними). Отсюда сразу видно, что на данном
уровне давление в горизонтальной плоскости растет от оси
к стенкам сосуда (так как растет высота столба до свободной поверхности). На каж-
каждый элемент жидкости с внешней стороны действует большая сила, чем с внутрен-
внутренней: Pi > Р2 (рис. 291). Равнодействующая этих сил с точки зрения вращающегося
наблюдателя уравновешивает центробежную силу инерции, а с точки зрения не-
неподвижного наблюдателя — сообщает элементу жидкости необходимое центростреми-
центростремительное ускорение. Разность давлений в горизонтальной плоскости является причи-
причиной возникновения своеобразной «подъемной силы», направленной от периферии к
оси вращения (так же, как разность давлений по вертикали является причиной воз-
возникновения обычной подъемной силы).
Если во вращающуюся жидкость погружено тело меньшей плотности, чем жид-
жидкость, то эта «подъемная сила» приводит к тому, что тело движется к оси вращения
(«всплывает»). Для объяснения представим себе, что мы удалили тело и заполнили его
место жидкостью. Вследствие разности давлений на элемент жидкости будет действо-
действовать как раз такая сила — m(o2rt которая необходима для движения элемента жидкости
по окружности. Вернем теперь тело в жидкость. Если плотность тела меньше, чем
плотность жидкости (масса меньше массы объема жидкости), то оно получит центро-
центростремительное ускорение большее, чем жидкость, и, значит, будет приближаться к оси
вращения. Наоборот, тело более плотное, чем жидкость, получит меньшее ускорение,
Рис. 291.
1) Таким же образом можно было бы более детально, чем это было сделано рань-
раньше, объяснить и явление приливов. Задача опять сводится к определению формы,
которую примет жидкость в движущемся сосуде, роль которого играют водные бас-
бассейны земного шара.

§ 122]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
517
чем то, которое нужно для вращения, и будет удаляться от оси («тонуть»). Это обстоя-
обстоятельство и используется в центрифугах, сепараторах и т. д. В центрифуге более тяже-
тяжелые частицы (муть) движутся наружу. В молочном сепараторе более легкие частицы
(жир) перемещаются к оси вращения.
Принцип действия центрифуги и сепаратора можно продемонстрировать с помощью
следующего прибора. В изогнутую стеклянную трубку, наполненную водой, помещают
два шарика с плотностью большей и меньшей, чем
плотность воды (рис. 292). Тяжелый шарик М
лежит внизу, а легкий т плавает наверху. При
быстром вращении трубки легкий шарик переме-
перемещается к оси вращения (подымается кверху), а
более тяжелый — удаляется от нее (опускается
вниз).
рис 292
§ 122. Поверхностные явления
Мы предполагали, что силы, действующие
между отдельными соприкасающимися частями
жидкости,—это только силы давления, направ-
направленные нормально к плоскости соприкосновения. Однако в реальной жидкости су-
существуют и силы другого типа, которые вызывают ряд явлений, носящих общее
название поверхностных явлений. Мы не будем изучать эти явления: это задача
молекулярной физики; тем не менее и в механике жидкостей с этими явлениями
иногда приходится считаться. Мы выясним, при каких условиях эти явления возни-
возникают, для того чтобы знать, когда с ними необходимо считаться.
О существовании каких-то других сил, кроме сил нормального давления, говорит
самый факт существования капель жидкости. Капля ртути на стекле не расплывается,
но принимает сплюснутую форму (рис. 293). Выделим на поверхности капли элемент
объема. На него действуют сила тяжести mg и сила нормального давления Р.Эти две
силы не могут обеспечить равновесия элемента объе-
\р ма. Поскольку, однако, он находится в равновесии,
то, следовательно, существует еще третья сила F,
причем
Рис. 293.
Эта сила F направлена внутрь капли. Роль этой си-
силы тем более заметна, чем меньше размеры капли.
Это видно из того, что чем меньше размер капли,
тем менее она сплюснута. Следовательно, в малой
капле сила F имеет большее значение по сравне-
сравнению с силой mg, чем в большой капле (так как сплю-
сплющивание капли вызывает именно сила mg).
Сила F, направленная внутрь капли, представ-
представляет собой результирующую тех сил притяжения,
которые существуют между отдельными молекулами жидкости. Направление и
величина равнодействующей этих сил зависят от расположения молекул вокруг
данного элемента объема жидкости. Если рассматриваемый элемент объема ле-
лежит внутри жидкости, то силы притяжения, действующие на молекулы объема со
стороны окружающих молекул, всегда должны в сумме дать нуль (вследствие симмет-
симметричного расположения молекул). Если же рассматриваемый элемент объема лежит
на границе жидкости или прилегает к какому-либо другому телу, то симметрия в
распределении молекулярных сил нарушается и равнодействующая этих сил оказы-
оказывается не равной нулю. Тогда-то и возникают поверхностные явления, с которыми
в механике жидкостей иногда приходится считаться.
Эти силы сказываются на форме поверхности вблизи стенок сосуда (рис. 294).
Силы притяжения молекул жидкости между собой и между молекулами жидкости
и стенок сосуда могут быть различны. Если последние больше первых, то их равно-

518
ГИДРОСТАТИКА И АЭРОСТАТИКА
[ГЛ XV
действующая F для элемента объема, близкого к стенке, будет отклонена в сторону
стенок сосуда (рис. 294, а). Поэтому равнодействующая этой силы Fu силы тяжести
mg будет отклонена к стенке сосуда. Поверхность жидкости должна быть нормальна
к этой равнодействующей, так как она уравновешивается силой нормального давления
Р прилегающего слоя жидкости; следовательно, поверхность жидкости должна повы-
повышаться к стенке. Поверхность жидкости у стенки имеет вогнутую форму — жидкость
«смачивает» стенку.
Наоборот, если силы молекулярного притяжения между молекулами жидкости
больше, чем между молекулами жидкости и стенки, то равнодействующая этих сил F
будет отклонена в сторону, противопо-
»Ч ложную стенке. Поверхность жидко-
сти у стенки будет иметь выпуклую
форму—жидкость не «смачивает» стен-
стенку (рис. 294, б).
Силы молекулярного притяжения
не только приводят к искривлению
поверхности, но и придают поверх но-
тд
тд
б)
сти жидкости особые свойства. На мо-
молекулы жидкости, лежащие на поверх-
Рис. 294. ности, действуют силы молекулярного
притяжения, направленные внутрь
жидкости. Поверхность жидкости подобна мягкой пленке, которая удерживается
бесчисленным множеством упругих нитей, направленных внутрь жидкости.
Поверхностная пленка жидкости действует с некоторой силой на тела, с кото-
которыми она соприкасается и на которые она «натянута». Эти силы называют силами
поверхностного натяжения. Сила поверхностного натяжения зависит не от площади
пленки, а от длины границы пленки. Сила поверхностного натяжения пропорциональ-
пропорциональна этой длине.
Рис. 295.
б)
Если поверхность жидкости искривлена, то силы поверхностного натяжения
могут сказаться на поведении всего объема жидкости (а не только ее поверхностной
пленки). Например, в случае смачивающей жидкости в тонкой трубке силы поверх-
поверхностного натяжения вследствие искривления поверхности дают значительную верти-
вертикальную составляющую; поверхностное натяжение как бы втягивает жидкость в
трубку. Поэтому в капиллярных трубках смачивающие жидкости поднимаются выше
того уровня, который они занимают в широких трубках. Вес столба жидкости отчасти
уравновешивается составляющей поверхностного натяжения. Наоборот, несмачиваю-
щие жидкости (ртуть) в тонких трубках стоят на более низком уровне, чем в широких.
Силы, обусловленные поверхностным натяжением, растут пропорционально пери-
периметру трубки (длине границы пленки), а вес столба жидкости растет пропорционально
сечению трубки, т. с. быстрее. Поэтому в толстых трубках поверхностное натяжение
не изменяет заметно высоту столба жидкости. Чтобы исключить влияние поверх-
поверхностного натяжения на высоту столба жидкости при измерении давлений, следует брать
трубки достаточно большого диаметра.
Около тел, плавающих на поверхности несмачивающей жидкости, эта поверх-
поверхность имеет выпуклую форму. Силы поверхностного натяжения дают вертикальную
составляющую, которая прибавляется к подъемной силе жидкости. Но и в этом слу-
случае при увеличении размеров тел силы поверхностного натяжения растут пропорцио-

|5 122] ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 519
нально периметру тела, а подъемная сила — пропорционально площади. Для тел
больших размеров составляющая силы поверхностного натяжения исчезающе мала
по сравнению с подъемной силой. Вследствие этого для тел, плотность которых меньше
плотности жидкости (в которой плавает тело), картина плавания тела существенно
не изменяется в случае смачивающей и несмачивающей жидкости (последний случай
изображен на рис. 295, а). Тела же, плотность которых больше плотности жидкости,
в случае смачивающей жидкости тонут, а в случае несмачивающей жидкости при
известных условиях могут держаться на поверхности воды. Например, большой тонкий
алюминиевый диск, смазанный жиром (чтобы он не смачивался водой), может плавать
на воде (рис. 295, б). Однако его верхняя плоскость будет при этом расположена
ниже уровня окружающей воды. В этом случае вес диска уравновешивается не силами
поверхностного натяжения, а силой давления воды (снизу) на слегка погруженный
диск. Эта сила давления равна весу объема жидкости, вытесненной диском (считая
от свободной поверхности жидкости до нижней поверхности диска). Роль сил поверх-
поверхностного натяжения сводится к тому, что они удерживают воду от затекания на по-
поверхность диска (как бы создают борта по краю диска). Конечно, при увеличении веса
диска он будет погружаться глубже, сил поверхностного натяжения окажется недо-
недостаточно, чтобы удержать воду, «борта» разрушатся, и диск потонет.
В газах силы молекулярного притяжения гораздо меньше, чем в жидкости,
и силы поверхностного натяжения не играют никакой роли. Отсутствие поверхност-
поверхностного натяжения является одним нехарактерных признаков, отличающих газообразное
состояние от жидкого.

ГЛАВА XVI
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
§ 123. Стационарный поток жидкости. Закон Бернулли
При описании движения жидкости и газа можно было бы, как
это делается, например, в механике системы материальных точек,
следить за движением каждой отдельной частицы жидкости, изучать
ее траекторию, скорость и ускорение. Представление о траектории
отдельных частиц жидкости мы могли бы получить, отмечая каким-
либо образом эти частицы жидкости,
например бросая на поверхность те-
текущей жидкости крупинки какого-ли-
какого-либо не тонущего и ие растворяющегося
порошка. Вместе с тем мы получили
бы представление о скорости каждой
отдельной частицы жидкости. Однако
можно иначе описать движение жид-
жидкости в потоке. Вместо того чтобы
следить за каждой индивидуальной
частицей жидкости, движущейся в по-
потоке, можно изучать скорости и уско-
ускорения, которые в тот или иной момент
имеет всякая частица, проходящая через фиксированную точку прост-
пространства. В этом случае говорят о скоростях и ускорениях потока (в
отличие от скоростей частиц). Если мы будем знать распределение
скоростей и ускорений в потоке и зависимость этого распределения
от времени, то движение жидкости будет полностью определено.
Поток можно охарактеризовать, задав величину и направление
скоростей частиц жидкости во всех точках потока в каждый момент
времени. На рис. 296 распределение скоростей частиц в потоке в дан-
данный момент изображено стрелками. Проведем линии, к которым во
всех точках касательны эти стрелки. Такие линии, к которым ско-
скорость в каждой точке является касательной, называются линиями
тока.
Распределение скоростей в потоке может изменяться со временем.
Вместе с тем изменяется и вид линий тока. Линии тока при этом
Рис. 296.

§ 123]
стационарный поток жидкости, закон бернулли
521
Рис. 297.
не совпадают с траекториями отдельных частиц. Действительно,
касательньши к линии тока являются скорости различных частиц,
находящихся в данный момент времени, например, в сечениях А А
и СС (рис. 296). Касательными же к траектории частицы являются
скорости одной и той же
частицы, когда она нахо- Подача краски
дится в АА и ССУ т. е. в
различные моменты време-
времени. И если распределение
скоростей в потоке хменяет-
ся со временем, то за вре-
время, пока данная частица
дойдет от АА до ССУ ско-
скорость ее в точке сечения
СС может оказаться иной.
Часто распределение
скоростей в потоке не из-
изменяется со временехМ, хотя
скорости отдельных частиц
со временем изменяются.
Это имеет хместо, если каж-
каждая частица, оказавшаяся
в данный момент в некоей точке потока, имеет в этой точке такую же
скорость, какую имели в этой точке и все ранее попадавшие в нее ча-
частицы. Такой поток называется стационарным.
В стационарном потоке линии тока совпадают с траекториями
отдельных частиц, так как скорость в данной точке не изменяется
за время движения частицы. Вместе с
тем траектории частиц и линии тока
в стационарном потоке не иЗхменяют-
ся со временем.
Наглядное представление о ли-
линиях тока в стационарнОхМ потоке
можно получить, выпуская в текущую
жидкость тонкие струйки густой крас-
краски. Для этого служит плоский со-
сосуд, поперек которого расположен
ряд трубок с тонкими отверстиями;
трубки погружены в поток жидкости,
краска под небольшим давлением мед-
медленно вытекает из отверстий (рис.
297). Эти струйки краски, двигаясь вместе с частицами жидкости,
дают представление о траектории частиц, а значит (в случае ста-
стационарного потока), и о линиях тока. С помощью этой установки мож-
можно получить картину распределения линий тока в различных слу-
случаях стационарного течения. На рис. 298 для примера схематически
Рис. 298.

522 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА 1ГЛ XVI
изображены линии тока для потока, обтекающего пластинку, рас-
расположенную перпендикулярно к потоку.
Если течение стационарно, то поверхность, образованная линиями
тока, представляет собой как бы непроницаемую трубку. Ни одна из
частиц жидкости, находящихся внутри такой трубки, при движении не
выйдет за ее пределы, и ни одна из частиц, находящихся вне трубки, не
попадет в нее (так как скорости частиц у ее поверхности всегда каса-
тельны к поверхности). Вся жидкость или газ, прошедшие через одно
сечение такой трубки, должны пройти и через любое другое ее сечение.
Если сечение трубки выбрать достаточно малым, то скорость жидкости
во всех точках одного и того же сечения можно считать одинаковой.
Такие достаточно тонкие трубки носят название токовых трубок.
Масса жидкости или газа, прошедшая за время А/ через какое-
либо нормальное сечение токовой трубки площадью S,
где v — скорость частиц в этом сечении, ар — плотность, которую
имеет жидкость или газ у этого сечения. При стационарном течении
за одни и те же промежутки времени через два различных сечения
Sx и S2 одной и той же трубки тока должны проходить одинаковые
массы жидкости или газа. (В противном случае изменялось бы коли-
количество жидкости в отрезке трубки, ограниченном сечениями Sj и S2,
и течение не было бы стационарным.) Поэтому
A6 Л)
где иг и v2 — скорости жидкости или газа, а р1 и р2 — их плотности
у сечений 5г и S2.
При стационарном течении не только жидкостей, но даже газов
изменениями плотности часто можно пренебречь и даже газы рассма-
рассматривать как несжимаемые жидкости. Рассматривая жидкости и газы
как несжимаемые, мы поступаем так же, как поступали, вводя пред-
представление об абсолютно твердом теле. Мы вовсе не пренебрегаем изме-
изменениями сил, т. е. давлений, которые обусловлены именно изменением
степени сжатия. Но мы предполагаем, что уже при малых изменениях
степени сжатия возникают силы, достаточные для того, чтобы даль-
дальнейшее изменение объема прекратилось. Для жидкостей это верно
в большинстве случаев. К течению газов это представление применимо,
пока скорости течения и искусственно создаваемые разности давлений
невелики. Например, как будет показано ниже, при течении газа под
давлением, близким к атмосферному, и при скоростях порядка десят-
десятков метров в секунду разность давлений в различных местах потока
может изменяться только на сотые доли атмосферного давления. Эти
разности давлений весьма существенны для всей картины в потоке, и
ими нельзя пренебрегать. Но относительно атмосферного давления,
под которым находится газ, эти изменения давлений малы, и связан-
связанными с ними изменениями плотности газа вполне можно пренебречь.

§ 123] СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК ЖИДКОСТИ. ЗАКОН БЕРНУЛЛИ 523
Поэтому во всех случаях, когда мы будем рассматривать стационарное
движение жидкостей и газов, будем пренебрегать сжимаемостью не
только жидкостей, но и газов. Для краткости мы дальше будем гово-
говорить только о жидкостях, хотя все сказанное будет применимо к газам,
пока можно пренебречь их сжимаемостью.
Если плотность жидкости не изменяется, то для двух сечений токо-
токовой трубки вместо A6.1) мы можем написать:
SJS^ A6.2)
Там, где сечение трубки уменьшается, скорость потока возрастает.
Поэтому расположение линий тока позволяет судить о распределении
скоростей в потоке. Например, в случае, изображенном на рис. 296,
скорость в сечении СС больше, чем в сечении ЕЕ.
Мы рассматривали достаточно тонкие трубки тока для того, чтобы
иметь право во всем сечении трубки считать скорость потока одина-
одинаковой. Но если скорости во всех точках каждого сечения потока мало
отличаются друг от друга, то можно говорить о скорости в сечении
потока и вместо тонких трубок тока рассматривать весь поток как
одну трубку тока. Написанные выше соотношения относятся тогда
ко всему потоку в целом.
Рассмотрим теперь вопрос о распределении давления в текущей
жидкости. Для этого нам прежде всего необходимо уточнить, как
измерять давление в текущей жидкости. Давление в жидкости пред-
представляет собой отнесенную к единице площади силу, с которой один
элемент жидкости действует на другой. Поэтому для измерения давле-
давления в движущейся жидкости нужно вместо одной из частиц жидкости
поместить манометр и заставить этот манометр двигаться так, как
двигалась бы частица в потоке. Тогда мы сможем утверждать, что
измеряем силы и давления, с которыми действовали бы друг на друга
две частицы, движущиеся в потоке.
При рассмотрении связи между скоростью и давлением в потоке
жидкости мы будем полагать, что силы вязкости отсутствуют, т. е.
будем рассматривать идеальную (невязкую) жидкость. В дальнейшем
мы выясним (правда, только качественно), как влияют силы вязкости
на результаты нашего рассмотрения.
Выделим в стационарном потоке участок трубки тока, ограничен-
ограниченный сечениями / и 2 (рис. 299). Обозначим для этих сечений через
St и S2 площади, vx и v2 — скорости, рг и р2 — давления жидкости
и, наконец, через hx и h2 — высоты, на которых находятся центры
сечений. К элементу жидкости, заключенному между сечениями,
мы могли бы применить второй закон Ньютона. Но, поскольку силы
трения отсутствуют, вместо законов Ньютона можно сразу применить
закон сохранения энергии. Изменение энергии рассматриваемого
элемента жидкости должно быть равно работе внешних сил. Внешними
силами для рассматриваемого элемента являются, во-первых, сила
тяжести и, во-вторых, силы давления, действующие на объем через

524
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
сечения 1 и 2. Силы давления, действующие на боковые стенки трубки,
нормальны к стенкам и работы не совершают, так как движение жид-
жидкости в направлении, нормальном к поверхности трубки, не происходит.
За малое время Ы рассматриваемый элемент жидкости переме-
переместится по трубке. Его границы займут положения /' и 2'. Левая гра-
граница переместится на г^Д/, а правая — на У2А/. Энергия элемента
жидкости при этом изменится, но так как поток стационарный, то
энергия части элемента, ограниченной сечениями 1 и 2, останется
Рис. 299.
неизменной. Все изменение энергии элемента жидкости будет таким
же7 как если бы левый слой, заключенный между 1 и /', занял место
правого слоя, заключенного между 2 и 2\ При Д/, а значит, и vAt
достаточно малом можно эти слои считать цилиндрическими. Их объемы
Щх = S^i At и AQ2 = S2v2 At
должны быть равны (так как жидкость несжимаема и поток стацио-
стационарный). Поэтому
Объем AQt обладает массой Amj = pAQ^ Его потенциальная
энергия
Д(/, = Am^/*! = pSlv1
и кинетическая энергия
Аналогично выразятся потенциальная и кинетическая энергии
объема Д<22:

§ 123] СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК ЖИДКОСТИ. ЗАКОН БЕРНУЛЛИ 525
Изменение полной энергии всего рассматриваемого объема есть
А1Г = (ДГ2 - Д7\) + (Д(/2 - At/,) =
= Р? (S2v2h2 - S^A) At + Р (S&1 - ЗД) Ы.
Внешние силы (силы давления), действующие на рассматриваемый
объем через сечение /, направлены в сторону перемещения жидкости
и совершают положительную работу. Наоборот, внешние силы, дей-
действующие через сечение 2, направлены против перемещения жидкости
и совершают отрицательную работу. Поэтому вся работа внешних
сил pjSj и p2S2 при перемещениях vxAt и v2At будет равна
АА = PtS^ A/ - p2S2v2 At.
По закону сохранения энергии AW = АЛ. Подставляя их выражения
и сокращая на 51^1Д/ или S2v2kt (так как S^ = S2v2), получим:
или
Так как сечения Sx и S2 выбраны произвольно, то для любых сечений
данной трубки тока
pgh +1- у2 + р = const. A6.3)
Это уравнение было выведено Даниилом Бернулли A738 г.).
Уравнение Бернулли дает закон изменения давления р с изменением
высоты h и скорости потока и.
Если скорости потока vv и v2 у двух сечений трубки равны, то
или
т. е. разность давлений равна весу столба жидкости между уровнями
сечений. В случае, когда скорость во всех сечениях трубки одинакова,
разность давлений оказывается такой же, как в покоящейся жидкости.
Если скорость в разных сечениях трубки различна, то распреде-
распределение давлений изменяется по сравнению с тем, которое существовало
бы в покоящейся жидкости:
Давление в сечении S2 уменьшается по сравнению с давлением в сече-
сечении Sl9 если скорость потока возрастает от сечения SL к сечению S2.

526
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ. XVI
В частном случае горизонтального потока ht — h2 — О и
A6.4)
В этом случае изменения давления в потоке обусловлены только
изменением скорости. Там, где линии тока сгущаются и скорости
возрастают, давление уменьшается. Необходимость этих изменений
давления вытекает из второго закона Ньютона, примененного к дви-
движению отдельных элементов жидкости. Всякий элемент жидкости,
двигаясь по токовой трубке уменьшающегося сечения, должен увели-
увеличивать свою скорость. А для этого на элемент должна действовать сила
в направлении его движения; следовательно, сила давления на перед-
передней границе элемента, действующая навстречу потоку, должна быть
меньше, чем на задней границе элемента, где сила давления действует
в направлении потока.
Рис. 301.
Закон Бернулли относится к отдельным трубкам тока. Но если в потоке можно
выбрать такие сечения, в которых скорости по всему сечению одинаковы, то весь
поток можно рассматривать как одну трубку тока и применять ко всему потоку закон
Бернулли. Например, в трубке с переменным сечением (рис. 300) к сечениям /, 2, 3
можно применять закон Бернулли (так как в цилиндрическом участке трубки ско-
скорость потока во всех точках сечения одинакова). Если в этих сечениях установить
манометрические трубки, то, как показывает опыт, уровень воды в трубках устанав-
устанавливается в соответствии с законом Бернулли *),В узком сечении, где скорость потока
больше, уровень воды в манометрической трубке ниже, т. е. давление меньше.
Можно видоизменить этот опыт так, как указано на рис. 301. В правом открытом
конце трубы давление равно атмосферному. Поэтому в узкой части трубы (где скорость
больше, чем у конца трубы) давление ниже атмосферного. Вследствие этого жидкость
по манометрической трубке поднимается вверх. Это явление используется, например,
в водоструйных и пароструйных насосах и в разбрызгивателях.
Если поместить неподвижный манометр внутрь потока жидкости,
то он будет также измерять давление в жидкости, но при этом харак-
характер потока, вследствие присутствия неподвижного манометра, изме-
изменится. В частности, если манометрическая трубка поставлена отвер-
отверстием к потоку (рис. 302), то скорость жидкости перед отверстием будет
равна нулю; линии тока перед манометром расходятся, не попадая
1) Количественного соответствия с законом Бернулли в этом опыте не получается.
Явление осложняется действием сил вязкости, роль которых выяснится позднее-

§ 123]
СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК ЖИДКОСТИ. ЗАКОН БЕРНУЛЛИ
527
в область перед отверстием (рис. 303). Применим к этому случаю закон
Бернулли A6.4); подставляя v2 = 0, получим:
Pi= Pi -г -у.
Неподвижный манометр, обращенный отверстием к потоку, измерит
большее давление, чем манометр, движущийся вместе с потоком.
Избыток давления равен paf/2. Происхождение этого избыточного
давления совершенно очевидно. Частицы жидкости, останавливаясь
перед манометром, сжимаются, и вследствие этого давление повы-
повышается. Создается «динамический
напор» *).
Теперь мы можем дать себе от-
отчет в том, в каких случаях можно
Рис. 302.
Рис. 303.
пренебрегать сжимаемостью газов. Наибольшее увеличение давле-
давления, которое может получиться при остановке потока, равно ptrV2,
где v — максимальные скорости, встречающиеся в потоке. Это избы-
избыточное давление обусловлено тем, что в местах остановки (или замед-
замедления) потока газ оказывается сжатым сильнее, чем в тех местах, где
скорость потока наибольшая. Очевидно, дополнительное сжатие газа
будет тем менее заметно, чем меньше pi^/2 по сравнению с давле-
давлением р в местах наибольшей скорости. Следовательно, дополнительное
сжатие газа не играет существенной роли, пока ри2/2 <^ р, или
1) Величину pv2/2 иногда называют «динамическим давлением». Вместе с тем
«настоящее» давление, которое в A6.3) обозначено через р, называют «статическим
давлением», а сумму p-{-pv2/2 — «полным давлением». Термины эти вряд ли можно
признать удачными. В жидкости при данных условиях есть только одно давление,
которое мы обозначили через р (индексы 1 и 2 относятся к значениям этого «настоя-
«настоящего» давления р соответственно в сечениях 1 и 2), Если жидкость остановить, то
это «настоящее» давление возрастет на pv2/2. Следовательно, «динамическое давле-
давление» — это то увеличение давления, которое произойдет, если жидкость остановить.
«Динамическое давление» — это, так сказать, «будущий избыток давления», кото-
которого нет в потоке, но который появится при остановке жидкости. Точно так же и
«полное давление» — это «будущее давление», которому будет равно «настоящее дав-
давление» в остановленном потоке.
Все эти сложные рассуждения становятся излишними, если не пользоваться тер-
терминами «статическое», «динамическое» и «полное» давление. Если же с этими терми-
терминами придется встретиться, то нужно лишь помнить, что «статическое давление» —
это и есть единственное «настоящее» давление в жидкости.

528
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
1ГЛ XVI
0<1.4"|/р/р. Как мы увидим ниже (§ 134), скорость звука в газе
с я« 1,2 V"plp* и следовательно, сжимаемостью газов можно пренебречь,
пока наибольшие скорости в потоке малы по сравнению со скоростью
звука в этом газе.
Неподвижная манометрическая трубка, помещенная отверстием к потоку, носит
ienii° трубки Пито. Так как трубка Пито измеряет давление
р2 = р^ -\~ (pff/2), A6.5)
то, зная давление pt в движущемся (неостановленном) потоке, по показаниям трубки-
Пито можно онределить скорость потока.
Для измерения давления в движущемся потоке не обязательно применять мано-
манометр, движущийся вместе с потоком. Если небольшую трубку с отверстием в боковой
части поместить вдоль потока (рис. 304), то везде, кроме кошп трубки, расположение
Н поленам
нанометра
J
Рис. 304
Рис. 305.
токовых линий остается почти таким же, как и в отсутствие трубки. Поэтому у неболь-
небольших отверстий в боковых частях трубки давление будет таким же, как в неостановлен-
неостановленном потоке. Такая трубка называется зондом. Манометр, соединенный с зондом,
показывает давление в неостановленном потоке.
При помощи какого-либо манометра, измеряющего разность давлений в трубке
Пито и зонде, можно измерить разность давлений р2 и pt в A6.5) и определить ско-
скорость потока Vi. Этим способом очень широко пользуются для измерения скорости
потока. Трубку Пию и зонд обычно комбинируют в виде двух концентрических
трубок (рис. 305). Внутренняя трубка имеет отверстие на конце, наружная — ряд
отверстий в средней части. Обе трубки присоединяются к концам манометра, измеряю-
измеряющего разность давлений. Показания манометра прямо позволяют определить скорость
потока. Этот же прибор позволяет определить скорость движения относительно воз-
воздуха. Таким указателем скорости пользуются на самолетах.
Закон Бернулли, строго говоря, применим только к отдельным токовым трубкам.
Для разных токовых трубок значение постоянной в уравнении Бернулли A6.3)г
вообще говоря, различно. Но в некоторых частных случаях закон Бернулли можно
применять ко всему потоку в целом.
Один такой случай был указан выше, именно когда скорости во всех точках
каждого из рассматриваемых сечений потока одни и те же. Можно также применять
закон Бернулли ко всему потоку в случае, когда все трубки тока выходят из области,
ь которой скорости очень малы (или, наоборот, все трубки тока приходят в эту область).

§ 1241
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
529
Выход
газа
Подача
газа
л
Тогда в этой области можно пренебречь членами с^в уравнении A6.3), а гак как
pgh + p для покоящейся жидкости во всей области имеет одно и то же значение, то
и постоянная в уравнении Бернулли для всех токовых трубок будет одна и та же. По-
Поэтому уравнение Бернулли мож-
можно применить ко всему потоку в
целом.
Применение изложенных со-
соображении можно продемонстри-
продемонстрировать на следующем примере.
Если через насадку, изображен-
изображенную на рис. 306, пропускать
сильную струю газа (из балло-
баллона со сжатым газом), то ниж-
нижняя подвижная пластина на-
начинает колебаться вверх и вниз, рис 306.
ударяясь о верхнюю. Скорость
газа у края насадки уже мала.
По сказанному выше, уравнение Бернулли можно применить ко всему потоку в
целом. Но токовые линии расходятся от центра насадки к краям, т. е. скорость от
центра к краям падает, а значит, давление растет. Так как давление у края
насадки равно атмосферному, то везде ближе к центру (где линии тока гуще) оно
меньше атмосферного. Избыток внешнего (атмосферного) давления поднимает ниж-
нижнюю пластину, перекрылая поток газа. Вследствие этого давление газа в подводящей
трубке растет, избыток внешнего давления исчезает, пластина падает и процесс
повторяется
§ 124. Законы сохранения импульса и момента импульса.
Реактивное движение
Помимо закона сохранения энергии, на основании которого мы
вывели уравнение Бернулли, к движению жидкостей могут быть при-
применены законы сохранения импульса и момента импульса.
Когда струя жидкости вытекает с некоторой скоростью из отвер-
отверстия в стенке сосуда (рис. 307), она уносит с собой некоторый импульс.
Если внешние силы отсутствуют,
то общий импульс системы со-
сосуд— жидкость должен быть ра-
равен нулю. Свободный сосуд (на
который не действуют внешние
силы) должен двигаться в на-
направлении, обратном движению
жидкости в струе. И действитель-
действительно, если сосуд установить на те-
тележку, которая может двигаться
в горизонтальном направлении
с малым трением, то при истечении жидкости сосуд с тележкой дви-
движется в обратную сторону. Причиной движения сосуда являются силы,
которые действуют со стороны жидкости на стенку сосуда, поскольку
сила тяжести, действующая вертикально, не может изменить скорость
движения сосуда в горизонтальном направлении. Пока жидкость по-
покоится, силы давления, действующие на противоположные участки
Рис. 307.

530 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА [ГЛ XVI
стенок сосуда, уравновешиваются. При истечении жидкости в соот-
соответствии с законом Бернулли происходит изменение давлений, и
давление на глухую стенку оказывается большим, чем на стенку с от-
отверстием.
При помощи закона Бернулли легко подсчитать скорость истече-
истечения жидкости из отверстия. Если сосуд широкий, а отверстие мало,
то скорости жидкости в сосуде вдали от отверстия малы. Поэтому можно
применить закон Бернулли ко всему потоку в целом и рассматривать
его как одну токовую трубку. В верхнем сечении этой «трубки» —
у поверхности жидкости — давление р0 равно атмосферному, а ско-
скорость v = 0. В нижнем сечении «трубки» — в отверстии — давление
также равно атмосферному. Если скорость в отверстии обозначить через
v, то из A6.3) для этих двух сечений получим:
(рс>2/2) + р0 = pgh + р0> или v = Vp,
где h — высота уровня жидкости в сосуде. Истечение происходит с той
же скоростью, какую имело бы всякое тело при свободном падении
с высоты h. (Этот результат становится совершенно очевидным, если
вспомнить, что мы пренебрегаем силами вязкости в жидкости: при
свободном падении кинетическая энергия, которую уносит с собой
вытекаюшая жидкость, должна быть равна уменьшению потенциаль-
потенциальной энергии жидкости, обусловленному понижением ее уровня.)
Если площадь отверстия равна S, то масса вытекающей за единицу
времени жидкости
Уносимый жидкостью за единицу времени импульс
Этот импульс может возникнуть только под действием направленных
горизонтально сил, которые испытывает жидкость со стороны сте-
стенок сосуда. Следовательно, результирующая этих сил должна быть
равна 2pghS. По третьему закону Ньютона результирующая сил дав-
давления жидкости на стенки сосуда должна быть равна этой же величине,
но направлена в сторону, противоположную струе.
Если закрыть отверстие пробкой, то сила давления на пробку будет
pghS, а результирующая сил давления на стенки будет равна нулю.
В отсутствие же пробки появляется результирующее давление не
pghS, a 2pghS. Эта разница объясняется перераспределением давле-
давлений в жидкости в соответствии с законом Бернулли. Вблизи отвер-
отверстия линии тока сгущаются и, следовательно, давление в жидкости
уменьшается. В областях жидкости, прилегающих к отверстию,
давление жидкости будет меньше, чем в вышележащих областях жид-
жидкости (при закрытом пробкой отверстии соотношение было обратным).
Таким образом, появление при открытом отверстии результирующей
сил бокового давления, равной 2pghS, обусловлено, с одной стороны,

S 124] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 531
тем, что исчезает сила давления pghS на площади отверстия, а с
другой — тем, что уменьшается давление на стенки сосуда вблизи
отверстия.
Закон сохранения импульса лежит в основе движения судов при помощи гребных
колес и винтов. Гребные колеса отбрасывают назад некоторое количество воды, кото-
которая уносит с собой определенный импульс. По закону сохранения импульса противо-
противоположный импульс приобретает судно. Ту же роль выполняют и гребные винты паро-
парохода или самолета. Винты создают не только поступательное движение воды или воз-
воздуха назад, но и вращение отдельных частей объема воздуха или воды. Однако это
последнее не играет существенной роли в действии винта. Способ, при помощи кото-
которого струя жидкости отбрасывается назад, не имеет принципиального значения.
Например, в водометных судовых двигателях насос всасывает забортную воду и вы-
выбрасывает ее за корму в горизонтальном направлении. Эта струя уносит с собой
определенный импульс, а судно приобретает такой же импульс, направленный вперед.
Отсутствие вращения воды в струе водомета является преимуществом этого двигателя,
поскольку обычный гребной винт создает бесполезное вращение отбрасываемой им
воды, на что тратится работа.
При течении жидкости по изогнутой трубе постоянного сечения
(рис. 308) импульс любого элемента жидкости остается постоянным по
величине, но изменяется по направлению. Пусть скорость течения жид-
жидкости равна vly тогда за единицу времени через сечение St втекает
масса жидкости т = pS^. Она приносит с собой импульс Л^=(pS^) vt.
Через выходное сечение S2 уходит та же масса жидкости, которая
уносит с собой импульс N2 = (pS2v2) «2-
Общий импульс жидкости внутри трубы
при стационарном течении остается не-
неизменным. Следовательно, изменение
импульса жидкости за единицу време-
времени (так как скорости по величине равны,
т. е. щ = vt = v) будет
По второму закону Ньютона измене-
ние общего импульса жидкости за еди- рис Зов
ницу времени должно быть равно сумме
всех сил, действующих на жидкость со стороны стенок трубы. С дру-
другой стороны, по третьему закону Ньютона равнодействующая сил
давления струи на стенки (реакция струи Щ должна быть равна по
величине и противоположна по направлению сумме сил, действующих
со стороны стенок (рис. 308).
Реакция струи на стенки, изменяющие ее направление, используется в водяных
и паровых турбинах. Струя жидкости, протекая по искривленным каналам колеса
турбины (рис. 309), создает силы реакции, момент которых вызывает вращение колеса
турбины. В других конструкциях жидкость (или пар) вытекает из неподвижных тру-
трубок, расположенных против лопаток колеса турбины (рис. 310). Ударяясь о лопатки,
жидкость (или пар) изменяет направление своего движения. При этом изменяется
импульс жидкости и возникает сила реакции струи на лопатки колеса, приводящая
его во вращение. Момент сил, создаваемый реакцией струи, будет наибольшим в гом

532
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ. XVI
случае, когда обтекающая лопатки колеса жидкость сильнее всего изменяет свой
импульс. Поэтому лопаткам колес придают такую форму и расположение, чтобы
струя под действием лопаток возможно сильнее изменяла направление своей скорости.
Рис. 309.
Рис. 310.
Ркс 311.
Реактивным движением можно назвать всякое движение, возни-
возникающее в результате реакции вытекающей струи жидкости или газа.
Простейшим примером реактивного дви-
движения может служить упомянутое выше
движение судна с водометным двигате-
двигателем. Реактивным можно было бы наз-
назвать и движение судна или самолета,
поскольку гребные колеса или винт
создают струю воды или воздуха, от-
отбрасываемую назад. Однако термин
«реактивное движение» обычно приме-
применяют в более узком смысле, имея в виду
только движение ракет. В камере двига-
двигателя ракеты происходит быстрое сгора-
сгорание горючей смеси («топлива»). Образую-
Образующиеся при этом горячие газы с большой
скоростью (обусловленной большим давлением в камере) выбрасываются
через отверстие (сопло) в хвосте ракеты. Сила реакции этой вытекаю-
вытекающей струи газов, т. е. избыток давления газов на переднюю стенку
камеры по сравнению с давлением на заднюю стенку (в которой рас-
расположено сопло), сообщает ракете ускорение, направленное в сторону,
противоположную струе газов (рис. 311).
Уравнение движения ракеты может быть получено из второго
закона Ньютона:
-~=F, или dN = Fdtt A6.6)
где dN — изменение импульса, a Fdt — импульс внешних сил. Осо-
Особенность рассматриваемого случая состоит в том, что масса ракеты
постепенно уменьшается, так как топливо сгорает и образовавшиеся

^ 124] ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 533
газы вылетают через сопло. При определении dN нужно учитывать
оба эти обстоятельства. Обозначим через \л скорость уменьшения массы
ракеты, т. е. массу топлива, сгорающего за единицу времени, а через
с — скорость вытекающей струи газа относительно ракеты и подсчи-
подсчитаем изменение общего импульса всей системы — ракеты и сгорев-
сгоревшего (вылетевшего в виде газов) топлива — за малый промежуток
времени At. Пусть в начале рассматриваемого промежутка времени
масса ракеты равна М, а скорость v. Тогда импульс ракеты в этот
момент
За время At из сопла ракеты вылетает масса газа \xAt, и так как ско-
скорость газа по отношению к «неподвижной» системе отсчета равна
с + v (если газы вылетают в направлении, противоположном v, с и v
имеют разные знаки), то импульс вылетевших за время At газов равен
\iAt (с + v)\ при |а|< \с\ он направлен в сторону с. С другой сто-
стороны, масса ракеты к концу промежутка At равна М — |ыД/ и ее ско-
скорость v 4- До. Следовательно, обший импульс системы в конце про-
промежутка At
(v + Av)
(малым произведением \xAvAt можно пренебречь). Изменение импульса
за время Д/, т. е. dN = Nx — NOf согласно A6.6) должно быть равно
импульсу внешних сил FAt, т. е.
откуда, переходя к бесконечно малым промежуткам времени, получим
дифференциальное уравнение движения ракеты:
M% = ~vc + F. A6.7)
Это — уравнение для одного из частных случаев рассмотренной
И- В. Мещерским задачи о движении тела, масса которого изменяется
вследствие того, что непрерывно от нее отделяется (\i > 0) или к ней
присоединяется (|ы < 0) некоторая масса, имеющая скорость с отно-
относительно тела.
Реактивная сила \хс всегда направлена навстречу скорости сг
поэтому, когда в ракетах струя газа выбрасывается против движения,
реактивная сила является ускоряющей. Если струя газа в ракете на-
направлена по движению, то реактивная сила замедляет скорость ра-
ракеты; так может быть осуществлено реактивное торможение ракеты
(например, при посадке ракеты на Землю или другое небесное тело).
Наконец, если направление, в котором выбрасывается струя газов,
образует некоторый угол со скоростью ракеты, то реактивная сила
изменяет не только величину, но и направление скорости ракеты;
так может быть осуществлено управление направлением движения

534
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[гл xvr
ракеты. В этом случае, а также в случае, когда силы F образуют не-
некоторый угол с направлением скорости, уравнение A6.7) также спра-
справедливо, но его следует рассматривать как векторное. Внешние силы F
в A6.7) в случае полета ракеты — это, во-первых, сила притяжения
Земли (или других небесных тел) и, во-вторых, сила сопротивления
среды (например, земной атмосферы). Эта последняя сила всегда на-
направлена навстречу скорости ракеты и тормозит ее движение. Сила же
притяжения Земли (или другого небесного тела) тормозит движение
ракеты, когда последняя удаляется от небесного тела, и ускоряет
движение ракеты, когда последняя приближается к небесному телу.
Принципиальное отличие рассмотренного типа реактивного дви-
движения от всех других движений состоит в том, что ракета несет с собой
то другое тело, в результате взаимодействия с которым она может
изменять величину и направление своей скорости. Это другое тело —
запас топлива, которым снабжена ракета. Благодаря этому, в отличие
от других самодвижущихся экипажей, например самолета, возможен
не только выход ракеты за пределы земной атмосферы, но и управляе-
управляемый полет ракеты в космическом пространстве. При движении ракеты
в отсутствие других тел общий импульс ракеты и выброшенных ею
газов всегда равен нулю. Поэтому для того, чтобы ракета даже в от-
отсутствие других тел приобрела скорость, сравнимую со скоростью
вылета газов с, масса всего запаса топлива должна быть сравнима с
массой самой ракеты. Потребное количество топлива резко возрастает,
когда ракета должна уйти в космическое пространство, преодолев
силу притяжения Земли и сопротивление атмосферы.
Пути решения проблемы космических полетов были намечены
К. Э. Циолковским.
§ 125. Роль вязкости
При движении жидкости возникают силы внутреннего трения, или
силы вязкости, которыми мы раньше пренебрегали. Существование
сил вязкости может быть обна-
обнаружено при рассмотрении раз-
различных случаев течения жид-
жидкости, например при течении
жидкости вдоль трубы постоян-
ifT ного сечения. Если в разных
=- местах горизонтальной трубы
— неизменного сечения поставить
манометрические трубки (рис.
312), то высота уровня в этих
трубках, одинаковая, пока жид-
жидкость покоится, понижается от трубки к трубке, когда жидкость течет
по трубе. Следовательно, давление вдоль трубы в направлении течения
падает, но скорость потока в различных сечениях трубы одна и та же.
з
Рис. 312.

§ 125] РОЛЬ ВЯЗКОСТИ 535
Между тем, если бы в жидкости действовали только силы давления,
то разность давлений на столб жидкости между двумя сечениями /
и 2 должна была бы сообщать этому столбу жидкости ускорение. Так
как этого не наблюдается, то, значит, на движущийся столб жидко-
жидкости действуют со стороны трубы силы, направленные навстречу дви-
движению жидкости и уравновешивающие разность давлений. Такие
тангенциальные силы существуют не только между внешним слоем
жидкости и трубой, но и между отдельными слоями жидкости, сколь-
скользящими друг относительно друга.
Наличие тангенциальных сил внутри жидкости приводит к тому,
что слой жидкости, непосредственно прилегающий к трубе, действует
на соседний с ним внутренний слой, этот слой — на следующий,
и т. д. Таким образом, танген-
тангенциальные силы, действующие f и kz
со стороны стенок трубы, влияют —^ZZ—_ „ *., L
на скорость всего потока жидко-
жидкости. Прилегающий к трубе слой
жидкости практически вовсе не
движется («прилипает» к стен-
р j
кам). Внутренние же слои жид- I \J
кости движутся со скоростью, 1 IL_
постепенно возрастающей по ме- " *~F
ре удаления от стенок трубы. Рис 3i3.
Для того чтобы выяснить, как
распределяются скорости между
слоями и какие при этом возникают силы, рассмотрим более простую
задачу. Представим себе плоский слой жидкости, заключенный между
двумя пластинками (рис. 313). Верхняя пластинка движется с постоян-
постоянной скоростью v0, а нижняя покоится. При этом на каждую пластинку
со стороны жидкости действует сила F, которую можно измерить. Для
данной жидкости сила F оказывается прямо пропорциональной ско-
скорости верхней пластинки и площади пластинки и обратно пропорцио-
пропорциональной расстоянию между пластинками. Кроме того, эта сила зависит
от свойств жидкости, именно от ее вязкости. Например, для глицерина
эта сила при прочих равных условиях больше, чем для воды. Силу F в
соответствии со сказанным выше можно записать следующим образом:
Р = ^> A6.8)
где S — площадь пластинки, d — расстояние между пластинками,
a jx — коэффициент пропорциональности, различный для различных
жидкостей. Этот коэффициент называется коэффициентом вязкости
данной жидкости. Коэффициент этот может быть определен, если из-
измерена сила F 1).
*) Практически коэффициент вязкости измеряют другими способами. С одним
из этих способов мы познакомимся ниже.

536
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVT
Как следует из соотношения A6.8), коэффициент вязкости в си-
системе CGS измеряется в г/см -сек. Эта единица названа «пуазом» в честь
Пуазейля (см. ниже). В системе СИ вязкость измеряется в н-сек/м2.
В таблице приведены значения коэффициентов вязкости для не-
некоторых жидкостей и газов при определенных температурах, поскольку
вязкость жидкостей и газов зависит от температуры (в жидкостях
с повышением температуры вязкость падает, в газах, наоборот, уве-
увеличивается).
Вязкость жидкостей и газов
Вещество
Коэффициент вязкости (в пуазах)
t = 302°
Жидкости
Глицерин
Вода
Ртуть
Эфир
Углекислота (жидкая)
Аргон
Гелий
Кислород
Воздух
Азот
Углекислый газ . . .
Водяной пар
Водород
46
1,8 - 10~2
1,7 • 10~2
0.29 • 10~2
—
Г
210- 10-°
189.10-8
187. 10-6
171- 10 6
166.10-*
139-Ю-6
90- 10~6
86 •10~8
15
1,Ы0~2
1,6.10
0,25 • 10~s
0,08.10~8
азы
221 . \0гв
197.10"°
195-Ю-6
181 • 10-°
171 • 10 в
146 - 10~в
97. Ю-6
89-10-е
0,29.
1,2-
220-
186-
131 •
106-
10~2
ю-2
10~в
10~е
10~с
10~с
—
—
0,9. КГ*
—
—
—
—
—
299. 10-6
—
268.10"°
—
139- 11Г6
Рассмотрим теперь распределение скоростей в слое жидкости
для случая, изображенного на рис. 313. Верхний слой прилипает
к верхней пластинке и движется со скоростью v0. Нижний слой при-
прилипает к нижней пластинке, и его скорость равна нулю. В промежу-
промежуточных слоях скорость непрерывно изменяется, т. е. представляет
собой некоторую функцию от г. Производная этой функции по z назы-
называется градиентом скорости. В рассматриваемом случае все промежу-
промежуточные слои находятся в одинаковых условиях, поэтому скорость от
слоя к слою изменяется на одинаковую величину и градиент скорост*
есть величина постоянная:
дг
A6.9

§ 125] РОЛЬ ВЯЗКОСТИ 537
где d—расстояние между пластинками1). С другой стороны, все
слои движутся с некоторой, хотя и различной, но постоянной во вре-
времени скоростью. Следовательно, сумма тангенциальных сил, дейст-
действующих на любой слой жидкости, должна быть равна нулю. Поэтому
на любую горизонтальную площадку S, лежащую на границе данного
слоя, со стороны другого слоя должна действовать та же сила, что и
на пластинки, к которым прилегает жидкость, т. е. сила
Заменяя vjd его значением из A6.9), получим:
Сила, действующая на единицу площади (аналогичная тангенциаль-
тангенциальному напряжению в упругих телах, см. § 108),
т=|х|- A6.10)
В нашем случае градиент скорости постоянен, поэтому в т в любой
горизонтальной плоскости одно и то же. Но соотношение A6.10)
справедливо и в общем случае, когда гра-
градиент скорости от точки к точке меняется. ^ &х* ?
Тангенциальные силы, возникающие между ¦ /
двумя движущимися слоями жидкости, зави- '
сят только от того, как меняется скорость I /
вблизи границы этих слоев. Тангенциальные Аг '
силы пропорциональны градиенту скорости, I /
т. е. производной от скорости по координате /
в направлении, перпендикулярном к плоско- { ^х, /
сти соприкосновения слоев. / /'
Величина dv/dz представляет собой ско- Рис 314.
рость сдвига соседних слоев жидкости. Дейст-
Действительно, рассмотрим точки / и 2, лежащие на прямой, перпендику-
перпендикулярной к скорости, на расстоянии Дг (рис. 314). За время Ы точ-
точки эти сдвинутся соответственно на Ахх и Д#2. Сдвиг будет равен
(§ Ю6)
r Дг
Деля обе части на Д/, получим:
Ду __ (Ax2/At) —
At ~~ Az
1) Так как скорость может, вообще говоря, быть также и функцией времени,
то в общем случае при дифференцировании по координатам следует брать частную
производную. Для стационарных случаев можно брать полную производную.

538 гидродинамика и аэродинамика Ггл xvi
или, так как скорости потока в двух точках, лежащих на расстоянии
Д-г, равны AxJAt = vx и Дх2/А/ = и2, переходя к пределу, получим:
ду dv
dt ~~dz*
откуда на основании A6.10) найдем:
ду
Этот результат позволяет сделать вывод, о котором мы уже упоми-
упоминали: обусловленные вязкостью танген-
^циальные силы, возникающие в движу-
\ _;f>I1VJIv. / | рдейся жидкости, пропорциональны не ве-
" ^ ' V" \ ) личине сдвига, а скорости изменения
сдвига.
Л Рг
р «is Вернемся теперь снова к стационарному те-
течению вязкой жидкости по трубе. Мысленно вы-
выделим расположенный вдоль оси трубы цилиндр
длины / и радиуса г (рис. 315). Из-за действия сил вязкости, как мы убедились,
скорость жидкости в разных точках сечения трубы различна. Она зависит от расстоя-
расстояния до стенок, а градиент скорости есть dv/dr.
С внешней стороны на единицу поверхности цилиндра действует сила вязкости
dv
x — \i — l а на всю поверхность рассматриваемого цилиндра — сила
F = %
Так как скорость течения в каждой точке постоянна, то сила F должна уравновеши-
уравновешивать разность сил давления рг и р2 иа торцах цилиндра. Следовательно,
откуда
Интегрируя, получаем:
Но у стенок трубы v = О (жидкость прилипает). Отсюда для С имеем значение
Q — Pi ~~~ P* R2
Где /^ — радиус трубы. Окончательно
Скорости по сечению трубы растут по квадратичному закону от нуля у стенок до
максимальной скорости v = (рг —р2) R2/4\il у оси трубы (рис. 316).
Чтобы подсчитать количество жидкости, протекающей через все сечение трубы,
нужно разбить сечение на тонкие кольца радиуса г и ширины dr (рис. 317). Через

§ 125]
РОЛЬ ВЯЗКОСТИ
539
площадь такого кольца dS = 2кг dr в единицу времени протекает объем жидкости
dQ = 2nrdr-v, а через все сечение трубы протекает объем жидкости
Q = V
б
интегрируя, получим:
2nrv dr =
V
о
4 1 8ц • *"""'
Эта формула была получена Пуазейлем. Соотношения, в ней содержащиеся,
позволяют по скорости истечения жид кости измерять ее вязкость.
Как следует из формулы Пуазейля, при заданном давлении общее количество
вытекающей жидкости чрезвычайно резко уменьшается с уменьшением радиуса тру-
трубы. Наоборот, при заданном количестве вытекающей жидкости падение давления на
единицу длины трубы (рг —р2)/1 очень резко возрастает с уменьшением радиуса трубы.
г
1 "91
Рис. 316.
Рис. 317.
Силы вязкости нарушают распределение давлений, вытекающее из закона Бер-.
нулли. Этот закон был получен в предположении, что силы вязкости отсутствуют.
Важно знать, в какой мере закон Бернулли все же применим к реальным жидкостям
и газам, обладающим вязкостью.
Представление об этом могут дать следующие наглядные соображения. Закон
Бернулли будет приблизительно справедлив в том случае, когда потери энергии на
трение малы по сравнению с общей энергией текущей жидкости. Введем среднюю
скорость течения жидкости по трубе аср = Q/nR2. Тогда по A6.11)
(Pi — Рг) ^R2 = 8я[я/уср.
Но nR2 (рг — р2) есть разность сил давления. Она должна быть равна силе F, дейст-
действующей на столб жидкости длиной / со стороны стенок трубы; т. е. F = 8я,и/иср.
При перемещении этого столба жидкости на расстояние / сила трения о стенки трубы
совершит работу Л = FI, т. е.
А =
> ср.
Рассмотрим теперь объем жидкости, заключенный в отрезке трубы, длина которого /
равна радиусу трубы R. Кинетическая энергия единицы объема есть ри2ср/2 и всего
объема
Закон Бернулли будет хорошо соблюдаться, если Т ^> Л, или если
A6.121

540 гидродинамика и аэродинамика [гл. xvi
(числовой коэффициент можно отбросить, так как речь идет о сильном неравенстве).
Следовательно, чем больше вязкость жидкости, тем больше должно быть / (т. е. в на-
нашем случае радиус трубы) или скорость, чтобы закон Бернулли был справедлив.
Соотношение A6.12), полученное нами для одного частного случая течения по
трубе (и притом довольно искусственным способом), имеет весьма общее и важное
значение. Работа сил вязкости зависит от размеров поверхности рассматриваемого
элемента жидкости и пропорциональна \wftt а энергия элемента жидкости зависит
от его объема и пропорциональна pv2t3f где / — линейные размеры элемента жидкости.
Поэтому отношение энергии элемента жидкости к работе сил вязкости, т. е. безразмер-
безразмерная величина
A6.13)
характеризует относительную роль сил вязкости. Эта величина называется числом
Рейнольдса. Чем меньше число Рейнольдса, тем большую роль играют силы вязкости
в движении жидкости. Основные черты движения жидкости в очень сильной степени
зависят от того, насколько значительную роль играют силы трения. Поэтому число
Рейнольдса сразу дает важные указания о характере движения жидкости или газа.
Например, если размеры тел, с которыми соприкасается жидкость или газ, очень
малы, то даже при малой вязкости R будет мало и силы трения будут играть преобла-
преобладающую роль. Наоборот, если скорости и размеры тел велики, то даже значительная
вязкость мапо будет влиять на характер движения.
Число Рейнольдса играет очень большую роль при изучении движения жидкостей
на моделях. Для того чтобы геометрически подобная модель какого-либо гидротехни-
гидротехнического сооружения, судна и т. д. обеспечивала подобие в смысле динамики движения,
необходимо, чтобы соотношение между энергией потока и потерями на трение в модели
было таким же, как в реальном объекте. Между тем при изменении размеров тел
соотношение это неизбежно изменяется (так как поверхности и объемы изменяются
по-разному). Но если вместе с изменением размеров модели соответствующим образом
изменять и скорость потока так, чтобы число Рейнольдса оставалось неизменным, то
будет обеспечено динамическое подобие самого объекта и его модели. Однако очень
малые модели потребовали бы очень больших скоростей. Поэтому и модели обычно
приходится применять значительных размеров.
Помимо скорости v и характерного для данной задачи размера/, число Рейнольдса
зависит от отношения вязкости жидкости (или газа) [л к ее плотности р. Существенную
роль играет именно отношение этих величин, так как кинетическая энергия элемента
жидкости пропорциональна плотности р, а работа сил вязкости пропорциональна
коэффициенту вязкости [л. Поэтому относительное влияние сил вязкости определяется
величиной v = [я/р, которую называют кинематической вязкостью жидкости или газа.
Кинематическая вязкость v лучше, чем коэффициент вязкости [я, характеризует роль
вязкости при прочих равных условиях. Так, хотя коэффициент вязкости \л для воды
примерно в сто раз больше, чем для воздуха (при t= 0°), но вследствие того, что плот-
плотность воды примерно в 1000 раз больше плотности воздуха, кинематическая вязкость
воды почти в 10 раз меньше, чем воздуха. При прочих равных условиях вязкость
будет сильнее влиять на характер течения воздуха, чем воды.
В системе СГС единицей кинематической вязкости служит см2/сек; эта единица
называется стоке. В системе СИ единицей кинематической вязкости служит мУсек.
§ 126. Движение тел в жидкости или газе
Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является иссле-
исследование движения твердых тел в жидкости или в газе, в частности
изучение тех сил, с которыми эта среда действует на движущееся тело.
Практическое значение этой задачи совершенно очевидно — она воз-
возникает во всех случаях движения тел в воздухе и воде.

§ 126] ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗЕ 541
Особенно большое значение приобрела эта проблема в связи с
развитием авиации и увеличением скорости движения морских судов.
Во всех этих случаях решающую роль играют силы, с которыми среда
действует на движущееся тело. Теоретический расчет этих сил яв-
является весьма сложной задачей. Поэтому большое значение приобре-
приобретает экспериментальное исследование сил, с которыми среда действует
на движущееся в ней тело. При этом пользуются утверждением, о ко-
котором мы уже упоминали (§ 44), а именно, что среда действует на дви-
движущееся в ней тело с такими же силами, с какими действовал бы па-
падающий на неподвижное тело поток той же среды, если скорости тела
в первом случае и потока во втором равны по величине и противо-
противоположны по направлению. (В основе этого утверждения лежит прин-
принцип относительности движения, согласно которому все физические
явления, возникающие между двумя телами, могут зависеть только
от относительной скорости движения этих тел.) Поэтому для опреде-
определения сил, возникающих при движении в воздухе, тело закрепляется
при помощи динамометров в аэродинамической трубе, в которой соз-
создается равномерный поток воздуха. По показаниям динамометров
можно судить о силах, действующих на тело в различных направле-
направлениях, изучать зависимость этих сил от формы и состояния поверх-
поверхности тел, их расположения в потоке и, наконец, от скорости потока.
Чтобы исследовать эти зависимости вплоть до самых больших
скоростей, интересующих сейчас авиацию, строятся трубы, в кото-
которых скорость потока может быть доведена до сотен метров в секунду.
С другой стороны, чтобы в аэродинамическую трубу можно было по-
поместить отдельные части самолета или даже целые самолеты, сечение
трубы должно быть очень большим. Поэтому современные аэродинами-
аэродинамические трубы представляют собой грандиозные сооружения.
Казалось бы, что применение моделей уменьшенного размера по-
позволит обойтись без грандиозных и дорогостоящих аэродинамических
труб. Однако значительное уменьшение размеров моделей неосущест-
неосуществимо, ибо, как было указано в предыдущем параграфе, аэродинами-
аэродинамическое подобие двух различных движений достигается только при том
условии, что число Рейнольдса в обоих случаях имеет одно и то же
значение. Поэтому при уменьшении размеров модели (размер модели
в рассматриваемом случае и является характерным размером /) нужно
соответственно увеличивать скорость потока в трубе. Но когда скорость
потока приближается к 330 м/сек (скорости звука в воздухе), сущест-
существенную роль начинает играть сжимаемость воздуха, изменяющая
характер течения и нарушающая подобие. Поэтому при больших ско-
скоростях, интересующих современную авиацию, приходится применять
модели либо в натуральную величину, либо лишь немного уменьшен-
уменьшенных размеров.
При больших скоростях для уменьшения моделей без нарушения
подобия (т. е. с сохранением прежнего значения числа Рейнольдса)
можно идти по пути увеличения плотности среды. Поэтому приме-

542
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
нение сильно сжатого воздуха г) или тяжелых газов в аэродинами-
аэродинамических трубах позволяет использовать малые модели. Несмотря на
трудность постройки герметических аэродинамических труб, этот
метод все же получил практическое применение. Трудности еще
больше возрастают, когда возникает необходимость изучать поведе-
поведение тел в потоке, скорость которого превышает скорость звука.
Для демонстрации характера сил, действующих на тела в потоке
воздуха, можно применять малые модели аэродинамических труб.
Рис. 318.
Одна из таких демонстрационных аэродинамических труб изобра-
изображена на рис. 318. С помощью этой трубы можно качественно устано-
установить характер сил, действующих на различные тела как в направле-
направлении потока воздуха, так и в направлении, перпендикулярном к потоку.
Для обозначения компонент сил, действующих на тело, в техниче-
технической аэродинамике принято пользоваться прямоугольной системой
координат, у которой ось х направлена по скорости потока (рис. 319).
Опыт показывает, что величина и направление силы, с которой поток
действует на обтекаемое им тело, зависят от формы тел, их ориенти-
ориентировки в потоке и скорости потока. Тела, имеющие плоскость симмет-
симметрии и расположенные так, что эта плоскость параллельна координат-
координатной плоскости xz (как на рис. 319), испытывают со стороны потока
силу, направление которой (как и следовало ожидать из соображе-
соображений симметрии) совпадает с направлением потока. Эта сила Rx носит
название лобового сопротивления 2).
1) Коэффициент вязкости воздуха \х очень мало зависит от плотности последнего
(за исключением области больших разрежений) и при повышении плотности в де-
десятки раз остается практически неизменным.
2) Применяя термин «сопротивление», имеют в сущности в виду обратный слу-
случай, когда тело движется в покоящейся жидкой или газообразной среде. Тогда тело

126]
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗЕ
543
Лобовое сопротивление для данного тела быстро растет с увеличе-
увеличением скорости потока, а для различных тел зависит от их размеров
и формы. Лобовое сопротивление растет с увеличением поперечных
размеров тел. Для тел, имеющих одинаковые поперечные размеры, —
например диска, шара и сигарообразного тела (рис. 320), — лобовое
Рис. 319.
сопротивление оказывается наибольшим для диска и наименьшим
для сигары. Это указывает на то, что силы, действующие на тело со
стороны набегающего потока, зависят от характера движения потока
не только впереди, но и позади обтекаемого тела. Причины этого явле-
явления будут детально выяснены ниже.
В случае, если тело не обладает симметрией или его плоскость сим-
симметрии расположена наклонно по отношению к потоку (рис. 321),
результирующая сила #, действую- и
щая на тело со стороны потока, не
совпадает с направлением потока.
Тогда помимо составляющей Rx, на-
направленной вдоль потока, сущест-
существует составляющая Ry, направленная
перпендикулярно к потоку. Rx — это
уже рассмотренное выше лобовое соп-
сопротивление. Составляющая Цу назы-
называется подъемной силой. Название
это условно: составляющая Ку не
обязательно направлена вверх. Если
тело, обтекаемое потоком, расположе-
расположено так, что его плоскость симметрии
образует тупой угол с набегающим потоком, то «подъемная» сила Rv
направлена вниз (рис. 322). Но направление составляющей Rx не зави-
зависит от угла, под которым плоскость симметрии наклонена к потоку, —
лобовое сопротивление всегда направлено вдоль потока.
Рис. 320.
действительно испытывает сопротивление Rx со стороны среды. Но это название
созцэаняют и для случая текущего потока и покоящегося тела, хотя здесь, пожалуй,
правильнее было бы говорить о лобовом давлении.

544
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
Подъемная сила, так же как и лобовое сопротивление, зависит ог
скорости потока, формы и размеров тела и его расположения относи-
\У
Рис. 322.
Рис. 321.
тельно потока. Например, плоская пластинка, расположенная вдоль
потока или перпендикулярно к нему, будет испытывать только лобо-
лобовое сопротивление (конечно, различное
в обоих случаях). На эту же пластин-
пластинку, поставленную наклонно (рис. 323),
будут действовать и лобовое сопротив-
сопротивление, и подъемная сила. При неиз-
неизменном угле наклона пластинки к на-
направлению потока подъемная сила и
лобовое сопротивление растут с увели-
увеличением скорости потока. При этом нодъ-
г емная сила и лобовое сопротивление
примерно одинаково зависят от скоро-
скорости потока (растут пропорционально
квадрату скорости потока) и отношение их при изменении скорости
потока практически остается неизменным (иначе говоря, при из-
изменении скорости потока направле-
направление результирующей силы R не изме-
изменяется). Практически остается неиз-
неизменным и отношение подъемной силы
к лобовому сопротивлению при изме-
изменении поперечного размера пластин-
пластинки, пока этот размер еще значительно
превышает размер пластинки в пер-
перпендикулярном направлении (а также
пока угол а не очень велик; подробнее
этот вопрос будет рассмотрен в § 132).
Однако отношение подъемной си-
силы к лобовому сопротивлению су-
существенно зависит от ориентировки тела в потоке. Величина подъемной
силы и лобового сопротивления при изменении ориентировки те-
Рис. 323.

§ 127] ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА 545
ла изменяется по-разному. Поэтому их отношение не остается по-
постоянным, а существенно меняется с изменением угла а — угла атаки.
Например, в том же простейшем случае плоской пластинки, постав-
поставленной вдоль потока, при увеличении угла атаки лобовое сопротив-
сопротивление монотонно растет и достигает максимума при а = 90°. Подъем-
Подъемная сила при увеличении а сначала растет, а затем падает и при а = 90°
снова обращается в нуль. Так как с изменением угла атаки подъемная
сила и лобовое сопротивление изменяются по-разному, то, значит,
результирующая сила /?, действующая на пластинку, при изменении
угла атаки изменяет свое направление, отклоняясь от направления
набегающего потока на угол, во всяком случае меньший л/2.
Для тела произвольной формы результирующая сила /?, действующая на тело
со стороны потока, может иметь составляющие по всем трем осям: лобовое сопротивле-
сопротивление RXi подъемную силу Ry и боковую силу Rz.
Для упрощения задачи обычно ограничиваются такими случаями, когда боковая
сила не играет существенной роли и ею можно пренебречь. Так, для тел, удли-
удлиненных в направлении оси г и имеющих во всех сечениях, перпендикулярных к г,
одинаковый профиль, результирующая сила/? лежит в плоскости, перпендикулярной
к г, т. е. боковая сила не возникает (это следует из соображений симметрии). При
этом, конечно, у поверхностей, ограничивающих тело в направлении оси г, обтекание
тела будет происходить не так, как в средней его части. Однако при большой длине
тела это возмущающее влияние его концов не играет существенной роли. Можно
считать, что течение везде такое, как если бы в направлении оси г размеры тела были
бесконечно велики. Тогда во всех сечениях, перпендикулярных к z, картина течения
будет одна и та же и при исследовании обтекания тела можно ограничиться рассмот-
рассмотрением одного из сечений, перпендикулярных к г.
При исследовании подъемной силы и лобового сопротивления обычно пользуются
указанными выше упрощающими предположениями и рассматривают только двумер-
двумерную задачу, т. е. картину обтекания тел в одной плоскости, — так называемое плоское
течение.
§ 127. Обтекание цилиндра
Обтекание тел потоком жидкости или газа, как уже указывалось,
является одной из основных задач гидродинамики и аэродинамики 1).
Мы начнем рассмотрение этих задач с простейшего случая обтекания
цилиндра, ось которого перпендикулярна к потоку. При этом мы пока
ограничимся задачами, в которых силами вязкости можно пренебречь
(когда соблюдены условия, приведенные в § 125). Для цилиндра,
расположенного перпендикулярно к потоку жидкости, опыт дает изоб-
изображенную на рис. 324 картину распределения токовых линий в по-
потоке, обтекающем цилиндр. Поскольку мы пренебрегли вязкостью, то
для потока справедлив закон Бернулли. Согласно этому закону в
точке Л, где скорость потока близка к нулю, давление в жидкости
г) Дальше, для краткости, мы будем говорить о потоке жидкости, но большая
часть сказанного будет справедлива и для газов, однако с некоторыми оговорками,
которые будут приведены ниже.
18 С. Э. Хайкин

546
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
Ггл xvi
где р — давление жидкости в набегающем потоке. В тех местах, где
токовые линии сгущаются, скорость жидкости больше, чем в набегаю-
набегающем потоке, а значит, по закону Бернулли давление меньше, чем в на-
набегающем потоке. Следовательно,
У
Рис. 324.
(равенство рв = рс вытекает из
соображений симметрии). При этом
уменьшение давления в точках В
и С может оказаться значительно
большим, чем увеличение давления
в точке А.
Дальше в областях BD и CD,
i_ где густота токовых линий снова
уменьшается, скорость жидкости
снижается, а давление в ней воз-
возрастает. Частица жидкости, нахо-
находящаяся в точке А под давлением
р + ра2/2, двигаясь в области АВ и BD и не испытывая jipn этом
никаких потерь энергии (поскольку силы вязкости отсутствуют), обла-
обладает как раз такой энергией, которая необходима для того, чтобы она
могла достичь области D и остановиться в точке!), создав в этой точке
то же повышенное давление р + pv2/2. Аналогичное утверждение
справедливо и для всякой другой частицы жидкостл. Отсюда видно,
что токовые линии полностью обтекают цилиндр
и расположение токовых линий в потоке, набе-
набегающем на цилиндр, и в потоке, сбегающем с ци-
цилиндра, должно быть совершенно одинаково.
Однако скорость обтекающего цилиндр пото-
потока в точках Л, Ву С и D различна, а значит,
и давление жидкости на цилиндр различно.
Иначе говоря, жидкость, не обладающая вязко-
вязкостью и полностью обтекающая цилиндр, дейст-
действует на разные участки его поверхности с раз-
различными силами. Распределение этих сил дав-
давления изображено на рис. 325. Там, где силы
давления больше, чем в набегающем потоке, они
изображены стрелками, направленными к по-
поверхности цилиндра, а там, где эти силы давления меньше давления
в набегающем потоке, они изображены стрелками, направленными от
поверхности цилиндра.
Поскольку распределение сил, действующих на цилиндр со стороны
потока, совершенно симметрично относительно диаметра AD для обла-
областей В и С и относительно диаметра ВС для областей А и D, то сумма
всех сил, действующих на цилиндр со стороны жидкости, равна нулю.
Таким образом, при полном обтекании симметричного тела сила,
Рис. 325.

§ 127] ОБТЕКАНИЕ ЦИЛИНДРА 547
действующая со стороны жидкости на обтекаемое тело, равна нулю,
а следовательно, и сила, действующая со стороны обтекаемого тела
на поток, также равна нулю; иначе говоря, лобовое сопротивление
полностью обтекаемого тела равно нулю.
Картину полного обтекания мы получили в предположении, что
силы вязкости в жидкости отсутствуют. Если же от этого предполо-
предположения отказаться, то картина обтекания тел существенно изменяется.
Как было показано в § 125, слой вязкой жидкости, прилегающий к
твердой стенке, «прилипает» к ней. Следующие слои потока скользят
друг относительно друга с возрастающей скоростью, вследствие чего
между слоями жидкости возникают силы вязкости. При этом на каж-
каждый слой жидкости со стороны соседнего слоя, более удаленного от
стенки, действует сила вязкости в направлении потока, а со стороны
слоя, более близкого к стенке, — сила вязкости, направленная на-
навстречу потоку. В результате наряду с силами вязкости, действую-
действующими между соседними слоями жидкости, возникают также силы тре-
трения, действующие на поверхность обтекаемого тела со стороны приле-
прилегающего к ней слоя жидкости. Результирующая этих сил трения назы-
называется сопротивлением трения*
Если вязкость жидкости мала, то скорость жидкости, равная нулю
на поверхности обтекаемого тела, уже на небольшом расстоянии от
поверхности тела достигает значения скорости, близкой к скорости
в набегающем потоке. Таким образом, действие сил вязкости сказы-
сказывается только в тонком слое, прилегающем к поверхности обтекаемого
тела. Этот слой называется пограничным слоем. Присутствие погранич-
пограничного слоя и действующих в нем сил вязкости существенно изменяет
картину обтекания тела потоком.
Чтобы выяснить особенности обтекания тела вязкой жидкостью,
вернемся к уже рассмотренному случаю обтекания цилиндра невяз-
невязкой жидкостью и посмотрим, какие изменения в эту картину должны
внести силы вязкости. В набегающем потоке (рис. 326) картина будет
такой же, как и при обтекании цилиндра невязкой жидкостью, т. е.
аналогичная изображенной на рис, 324, Однако при дальнейшем тече-
течении жидкости от точки А к точкам А' и Л", вследствие действия сил
вязкости в пограничном слое, частицы жидкости, идущие из области
АА' и АА", теряют скорость и приходят в области В и С с меньшими
скоростями, чем в случае отсутствия сил вязкости. Потеря скорости
на участках АА' и АА" приводит к тому, что поток, обтекающий ци-
цилиндр, не может проникнуть в области D'D и D"D. В результате вблизи
точек ГУ и D" происходит отрыв потока от поверхности цилиндра.
В этом и заключается существенное изменение картины обтекания
цилиндра, вносимое силами вязкости. В отличие от невязкой жид-
жидкости, полное обтекание цилиндра вязкой жидкостью оказывается
невозможным. Позади цилиндра образуется область, в которую по-
потоки, обтекающие цилиндр, не проникают и в которой движение
жидкостей носит совсем особый характер —возникают вихревые
18*

548
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ. XVT
движения жидкости. Причины возникновения вихревых движений и
их роль будут рассмотрены в § 128.
Рис. 326.
Изменение характера обтекания цилиндра при переходе от невяз-
невязкой к вязкой жидкости влечет за собой существенное изменение рас-
распределения давления текущей жидкости на поверхность цилиндра.
Это распределение, изученное эксперимен-
экспериментально, изображено на рис. 327. Так же
как и в случае обтекания идеальной жид-
жидкостью (рис. 325), там, где давление жидко-
жидкости на цилиндр больше, чем давление в на-
набегающем потоке, стрелки направлены к по-
поверхности цилиндра, а там, где давление
жидкости на цилиндр меньше, чем в набегаю-
набегающем потоке, стрелки направлены от поверх-
поверхности цилиндра. Как и следовало ожидать
после всего сказанного, в вязкой жидкости
не остается и следа от симметрии распределения
давлений на цилиндр относительно диаметра
ВС. Давления в областях А и D направлены
так, что их результирующая отлична от нуля и направлена вдоль
потока жидкости. Но вследствие того, что распределение давлений
в областях В и С остается симметричным относительно диаметра AD,
результирующая сил давления в направлении, перпендикулярном к
потоку, равна нулю. Это значит, что цилиндр, обтекаемый вязкой
Рис. 327.

§ 128]
СОПРОТИВЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ И СОПРОТИВЛЕНИЕ ТРЕНИЯ
549
жидкостью, испытывает давление со стороны обтекающей его жид-
жидкости и результирующая этих сил давления совпадает с направлением
набегающего потока, т. е. направлена так же, как и лобовое сопро-
сопротивление. Поэтому результирующая этих сил давления также назы-
называется сопротивлением. Но, в отличие от лобового сопротивления, она
называется сопротивлением давления.
Таким образом, сопротивление давления представляет собой ре-
результирующую сил давления жидкости, а лобовое сопротивление пред-
представляет собой сумму сопротивления давления и сопротивления трения.
§ 128. Сопротивление давления и сопротивление трения
Лобовое сопротивление, как уже указывалось, представляет собой сумму сопро-
сопротивления трения и сопротивления давления. Соотношение между этими компонентами
лобового сопротивления в различных случаях различно. В случае цилиндра, напри-
например, преобладающую роль играет сопротивление давления. В случае же гладкой плас-
пластинки, расположенной вдоль потока, лобовое сопротивление обусловлено почти иск-
исключительно тангенциальными силами, действующими на пластинку со стороны жид-
жидкости, т. е. представляет собой почти целиком сопротивление трения. Наоборот,
Рис. 328.
лобовое сопротивление пластинки, расположенной перпендикулярно к потоку,
обусловлено почти исключительно избытком давления на переднюю сторону пластин-
пластинки по сравнению с давлением на ее заднюю сторону, т. е. представляет собой почти
целиком сопротивление давления.
Как сопротивление давления, так и сопротивление трения зависят от характера
обтекания, т. е. в конечном счете от формы тел. Однако форма тел гораздо сильнее
влияет на сопротивление давления, чем на сопротивление трения 1). Соответствующим
выбором формы обтекаемых тел можно значительно уменьшить сопротивление давле-
давления и снизить его до величины сопротивления трения и даже ниже. Как этого достичь,
ясно из рассмотренной в предыдущем параграфе картины возникновения сопротивле-
сопротивления давления. Вследствие отрыва потока от поверхности тела позади тела образуется
область пониженного давления. Чем больше эта область, тем больше сопротивление
давления.
Для уменьшения сопротивления давления следует придать телу обтекаемую
форму, при которой расстояние между точками отрыва обоих потоков, обтекающих
тело сверху и снизу, становится очень малым. Так, например, в случае длинной плас-
пластины, сечение которой изображено на рис. 328, оба потока полностью обтекают тело,
и отрыв их происходит у заднего конца пластины, т. е. почти в одной и той же точке.
Поэтому область пониженного давления позади тела практически отсутствует и
сопротивление давления очень мало. Лобовое сопротивление в этом случае обуслов-
г) Поэтому сопротивление давления называют также «сопротивлением формы».

550
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
лено почти одним только сопротивлением трения. Если эту пластину разрезать по
пунктирной линии, то лобовое сопротивление ее передней части отдельно было бы
во много раз больше, чем всей неразрезанной пластины.
Мы говорили все время о телах, имеющих большие размеры в направлении оси г.
Однако эти же соображения остаются справедливыми и в случае тел вращения, ось
которых расположена вдоль оси х. В частности, для объяснения различного лобово-
лобового сопротивления тел, изображенных на рис. 320, могут быть применены те же сооб-
соображения. На рис. 329 приведена фотография наблюдаемой картины обтекания тела
сигарообразной формы. В отличие от случая обтекания цилиндра (рис. 331, стр. 552),
позади тела отсутствует завихренная область пониженного давления.
Уменьшение лобового сопротивления тел во многих случаях имеет большое
практическое значение. Так, для самолета дирижабля или торпеды г) лобовое сопро-
сопротивление воздуха или воды яв-
является единственной силой, тормо-
тормозящей движение. Поэтому фюзеля-
фюзеляжу и крыльям самолета, корпусу
дирижабля и торпеды придают хо-
хорошо обтекаемую форму. В быст-
быстроходных наземных экипажах —
автомобилях и скоростных поез-
поездах — лобовое сопротивление, обу-
обусловленное воздухом, хотя и не
является единственным сопротивле-
сопротивлением, но все же играет заметную
роль. Для уменьшения лобового
сопротивления этим экипажам так-
также придается обтекаемая форма.
Сопротивление давления при
неизменном характере обтекания
тел растет пропорционально квадра-
квадрату скорости потока. Зависимость
эту можно объяснить следующим
образом. Если, например, у обтекаемого тела есть острые кромки, то отрыв потока
будет всегда происходить у этих кромок и, следовательно, характер обтекания не
будет существенно изменяться при изменении скорости потока. Но в таком случае
сопротивление давления зависит только от величин избытка давления перед обтекае-
обтекаемым телом и недостатка давления позади него.
Эти избыток и недостаток давлений обусловлены остановкой потока перед обтекае-
обтекаемым телом и «отсасывающим действием» потока позади тела. Но при неизменном харак-
характере течения изменения давления в потоке по уравнению Бернулли 2) пропорцио-
пропорциональны pv2t где v — скорость потока, ар — его плотность, и поэтому сопротивление
давления оказывается пропорциональным pv2.
Сопротивление трения более сложным образом зависит от скорости потока, но
тоже растет с увеличением скорости.
Сопротивление трения при не очень больших скоростях не зависит практически
от степени шероховатости поверхности. Это легко понять, вспомнив, что первый слой
жидкости, прилегающий к стенке тела, «прилипает» к ней и существенную роль играет
лишь трение внутри жидкости. Однако при больших скоростях обтекания, когда
пограничный слой очень тонок, шероховатость стенок может изменить условия обте-
обтекания. Если размеры неровностей сравнимы с толщиной пограничного слоя, то они
Рис. 329.
х) Торпеда (самодвижущаяся мина) движется под водой, и поэтому к ней приме-
применимы выводы, касающиеся тел, обтекаемых однородным потоком. В случае движения
надводных судов картина осложняется явлениями на поверхности воды.
2) Как уже указывалось, вне пограничного слоя силы вязкости уже не играют
существенной роли и к потоку, обтекающему тело, можно применять уравнение Бер-
Бернулли.

§ 129] ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕП 551
могут вызвать нарушение течения в пограничном слое и увеличить сопротивление
трения. Поэтому, например, скоростным самолетам не только придают хорошо обте-
обтекаемую форму, но и полируют или покрывают гладкой краской их поверхность.
Полное лобовое сопротивление в тех случаях, когда преобладающую роль играет
сопротивление давления, также растет приблизительно пропорционально pv2.
Вместе с тем для тел одинаковой формы оно пропорционально площади, характери-
характеризующей поперечные размеры тел, например площади наибольшего поперечного сече-
сечения в случае сигарообразного тела. Поэтому величину лобового сопротивления можно
выразить так:
A6.14)
где S — площадь, характеризующая поперечные размеры тела, а безразмерная вели-
величина Сх — коэффициент лобового сопротивления. Величина Сх зависит от формы тела
и его ориентировки по отношению к потоку. Теоретический подсчет Сх затруднителен,
и обычно его приходится определять экспериментально — путем «продувки» тела
или его модели в аэродинамической трубе.
К случаю медленного течения в очень вяякой жидкости все изложенные в послед-
последних параграфах представления неприменимы, так как силы вязкости играют сущест-
существенную роль не только вблизи тела, но и на значительном расстоянии от него. В этом
случае уже нельзя выделить тонкий пограничный слой, а весь остальной поток
рассматривать без учета сил вязкости. Вследствие этого и вся картина обтекания тела
медленным потоком вязкой жидкости, и механизм возникновения лобового сопротив-
сопротивления будут совершенно иными. Силы вязкости тормозят движение не только ближай-
ближайших, но и далеких слоев жидкости. Сопротивление при этом оказывается пропорцио-
пропорциональным первой степени скорости, аналогично силам, действующим на стенки трубы
со стороны медленно текущей в ней жидкости (§ 125).
§ 129. Возникновение вихрей
Вернемся к вопросу о движении вязкой жидкости позади обтекае-
обтекаемого тела —в области D'D" на рис. 326. В пограничном слое, как
указывалось, скорость частиц жидкости постепенно возрастает по мере
удаления от стенки. Вследствие это-
этого всякий объем жидкости в погра- ** *-
ничном слое обладает моментом им- _ г
пульса относительно оси, проходящей i
через центр объема О и перпендику- р
лярной к плоскости течения (рис. 330). г
В таком случае говорят, что течение L
обладает завихренностью. Наглядное '¦- : J
представление о завихренности мож-
можно получить, предположив, что рас- * *"*
сматриваемый элемент текущей жидко- рИСф ззо.
сти внезапно затвердел и при этом все
его частицы сохранили свои скорости.
В случае отсутствия завихренности он продолжал бы двигаться посту-
поступательно; при наличии завихренности этот элемент должен был бы
начать вращаться в направлении, указанном на рис. 330 стрелкой.
Наряду с движением центра тяжести затвердевшего элемента жидко-
жидкости возникло бы вращение его вокруг оси, перпендикулярной к пло-
плоскости чертежа и проходящей через центр тяжести элемента.

552
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
Поток жидкости, отрывающийся от поверхности обтекаемого тела,
оказывается завихренным. Но тонкие слои жидкости, обладающие
завихрением, не могут суще-
существовать долго: они неустой-
неустойчивы и распадаются на от-
отдельные вихри. Поэтому от-
отрыв потока от поверхности
тела связан с образованием
позади тела вихрей, которые
уносятся потоком и постепен-
постепенно затухают. Возникновение
вихрей и их движение можно
наблюдать, применяя один из
указанных выше способов —
посыпая поверхность жидко-
жидкости мелкими, нетонущими и
нерастворяющимися частица-
частицами или выпуская в жидкость
тонкие струйки краски. На
рис. 331 приведена фотография вихрей позади обтекаемого цилинд-
цилиндра, полученная первым из указанных способов.
Картина образования вихрей во многих случаях носит совершенно регулярный
характер. Вихри возникают по очереди в каждом из двух потоков, отрывающихся
с двух сторон от поверхности обтекаемого тела, и движутся все с одинаковой ско-
скоростью- (Эта скорость меньше, чем скорость потока, так как в вихрях собираются как
Рис. 331.
Рис. 332.
раз те частицы жидкости, которые тормозились при обтекании тела.) Возникает
система вихрей, изображенная на рис. 332. Она называется вихревой дорожкой Кар-
Кармана, по имени ученого, теоретически изучившего этот случай. Эта вихревая дорожка
носит столь правильный характер, что она позволяет рассчитать лобовое сопротивле-

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВИХРЕЙ
553
ние, испытываемое телом. Если подсчитать величину импульса, который уносит
поток жидкости вместе с движущейся в нем вихревой дорожкой, то она оказывается
меньше импульса, который приносится набегающим на тело потоком (так как вихри
движутся с меньшей, чем поток, скоростью). Обтекаемое тело уменьшает импульс
потока вследствие того, что оно действует на жидкость с некоторой силой, Р1аправлен-
ной навстречу потоку. Зная уменьшение импульса, можно определить эту силу,
а значит, и равную ей по величине, но противоположно направленную силу лобового
сопротивления.
Возникновение завихрений играет существенную роль не только при обтекании
тел, но и при течении жидкости по трубам. При малых скоростях жидкость течет по
трубе спокойно. Подкрашенная струя жидкости представляет собой линию, параллель-
параллельную оси трубы (рис. 333, а). Жидкость течет как бы отдельными слоями, скользящими
друг относительно друга. В трубе круглого сечения скользящие слои нужно представ-
представлять себе как вложенные друг в друга трубки. Скорости течения жидкости в этих
Приток
чистой Воды
Приток 1
подкрашен- »
ной боды
б)
Рис. 333.
трубках распределены так, как это было найдено в § 125. Такое течение называется
ааминарным (слоистым).
При увеличении скорости течения жидкости в трубе возникают завихрения, кото-
которые нарушают ламинарное течение жидкости. Подкрашенная струя разрывается,
и краска перемешивается в трубе (рис. 333, б). Такое течение называется турбулент-
турбулентным. При турбулентном течении падение давления в трубе резко возрастает — оно
оказывается пропорциональным уже не скорости течения (закон Пуазейля), а квад-
квадрату скорости. Изменяется и распределение скоростей по сечению трубы. Скорости
гораздо быстрее растут у края трубы и мало изменяются в средней части. Градиент
скорости у стенок трубы оказывается очень большим.
Возникновение турбулентности также определяется значением числа Рейнольдса
R—p vl/\it где / — диаметр трубы. Для определенных условий втекания жидкости
в трубу турбулентность возникает при определенных значениях числа Рейнольдса.
Например, для трубы с острыми краями, вставленной в гладкую стенку, турбу-
турбулентность возникает при R ~ 1400. Падение давления в трубе в случае турбу-
турбулентного течения, так же как и в случае ламинарного, очень сильно зависит от сече-
сечения трубы.
Большее падение давления в трубах малого сечения используется для регулиро-
регулирования при помощи крана количества вытекающей воды. Вращая ручку крана, мы
изменяем сечение внутреннего отверстия, через которое течет вода. Чтобы вода выте-
вытекала с малой скоростью, давление в выходной трубке крана должно быть мало. Пока

554 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА [ГЛ. XVI
кран открыт не очень широко, сечение внутреннего отверстия мало и почти все давле-
давление водопроводной сети теряется в кране. Если же широко открыть отверстие крана
и затем прикрыть пальцем его выходное отверстие, то давление под пальцем будет
почти равно давлению водопроводной сети (так как падения давления в широко от-
открытом кране не происходит). Поэтому вода из-под неплотно прижатого пальца вы-
вырывается с большой скоростью.
§ 130. Обтекание крыла самолета
Для полета самолета необходимо, чтобы при движении в гори-
горизонтальном направлении на крылья самолета со стороны воздуха дей-
действовала подъемная сила, направленная вертикально вверх. Как мы
убедились при рассмотрении обтекания цилиндра, на цилиндр может
действовать лобовое сопротивление (при наличии сил вязкости), но
подъемная сила не возникает.
Условия, при которых могут возникать лобовое сопротивление и
подъемная сила, легко сформулировать, исходя из самых общих сооб-
соображений. Если на обтекаемое тело со стороны обтекающего его потока
действует какая-либо сила, то по третьему закону Ньютона со сто-
стороны обтекаемого тела на поток должна действовать сила, равная
по величине и противоположная по направлению силе, действующей
на обтекаемое тело. Следовательно, если на обтекаемое тело действует
лобовое сопротивление, то на поток со стороны тела действует сила,
направленная навстречу потоку. Эта сила будет уменьшать скорость
потока, не изменяя его направления. Если же на обтекаемое тело дей-
действует подъемная сила, направленная перпендикулярно к потоку
вверх, то со стороны обтекаемого тела на поток должна действовать
сила, направленная перпендикулярно к потоку вниз. Эта сила, не
изменяя скорости потока, будет отклонять направление потока вниз.
Естественно, что при обтекании цилиндра вследствие полной сим-
симметрии не может возникнуть отклонение потока вниз, а значит, на
цилиндр не может действовать подъемная сила. Поэтому для того,
чтобы могла возникнуть подъемная сила, должна быть нарушена сим-
симметрия либо формы крыла самолета, либо его положения относительно
набегающего потока.
Для самолетов применяются крылья различной конфигурации и
различного профиля. Один из распространенных профилей крыла
самолета изображен на рис. 334. Что же касается контура крыла,
то мы будем считать, что крыло в плане представляет собой вытянутый
прямоугольник с неизменным по всей длине крыла профилем. Такая
форма крыла, хотя и далека от форм применяемых в авиации кры-
крыльев самолетов, но эта форма упрощает картину обтекания крыла
потоком, поскольку можно считать, что во всех сечениях крыла обте-
обтекание должно происходить одинаково. Правда, это допущение, строго
говоря, справедливо только для «бесконечно длинного крыла», так как
на конце крыла характер обтекания может измениться. Но явления,
происходящие у конца («торца») крыла, мы потом рассмотрим отдельно.

§ 130]
ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА САМОЛЕТА
555
Рис. 334.
Это позволит нам рассматривать «бесконечно длинное» крыло, а затем
в результатах рассмотрения учесть то обстоятельство, что крыло
имеет конечную длину.
Картина обтекания крыла потоком существенно зависит от рас-
расположения крыла по отношению к потоку. Профиль крыла, который
мы будем рассматривать, не имеет плоскости симметрии, поэтому для
характеристики положения крыла по отношению к потоку приходится
условно выбирать ту плоскость, относительно которой отсчитывается
угол, образуемый крылом с направлением
потока. Этот угол а (рис. 334) мы и бу-
будем принимать за угол атаки.
Выбранный нами профиль крыла та-
таков, что передняя кромка крыла имеет
форму цилиндра. Это позволяет нам,
пользуясь полученными выше резуль-
результатами изучения обтекания цилиндра, сделать некоторые заключения
о характере обтекания передней кромки крыла и о распределении дав-
давлений со стороны потока на верхнюю и нижнюю поверхности крыла.
Поскольку вся картина обтекания крыла существенно зависит от ве-
величины угла атаки и при больших углах атаки эта картина сильно
усложняется, мы будем рассматривать обтекание крыла при неболь-
небольших углах атаки Eе—10").
Поскольку у передней кромки крыла обтекание должно быть по-
подобно обтеканию цилиндра, то мы можем приведенную иа рис. 326
картину обтекания перед-
передней части цилиндра (при
наличии вязкости) перене-
перенести на переднюю кромку
крыла (рис. 335). В некото-
некоторой точке А скорость на-
набегающего потока падает
до нуля и соответственно
давление в потоке возра-
Рис. 335. стает. Далее поток раз-
разветвляется и обтекает обе
поверхности крыла. Но, конечно, в этой части крыла характер обте-
обтекания будет существенно отличаться от характера обтекания цилиндра
вследствие того, что крыло имеет совершенно иную форму. Благодаря
специфической «обтекаемой» форме крыла точка отрыва потока, обте-
обтекающего верхнюю поверхность крыла, перемещается к самому концу
крыла (точка D' на рис. 335). В результате обтекания крыла, как
видно на рис. 335, поток отклоняется вниз, а это свидетельствует о том,
что на крыло действует подъемная сила. Однако, как всегда, пользуясь
законами сохранения, мы можем сразу получить ответ на вопрос,
действует ли та или другая сила, но отнюдь не всегда можем получить
ответ на вопрос, как эта сила возникла.

556
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[гл xvt
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно, как мы это делали, рас-
рассматривая лобовое сопротивление при обтекании цилиндра, обратиться
к распределению давлений потока на различных участках крыла.
Такое распределение, полученное эк-
экспериментально, изображено на рис.
336. Давление под крылом оказывает-
оказывается повышенным по сравнению с дав-
давлением в набегающем потоке, а давле-
давление над крылом — пониженным по
сравнению с давлением в набегающем
рис 33б потоке. Результирующая этих сил,
направленная вверх, —это и есть
подъемная сила. Повышенное давле-
давление у передней кромки крыла создает лобовое сопротивление. Ясно,
что крылья самолета тем лучше будут выполнять свое назначение,
чем большую подъемную силу они позволят развивать и чем меньше
при этом будет лобовое сопротивление. Поэтому качество крыла оп-
определяется отношением подъемной силы к лобовому сопротивлению.
§ 131. Подъемная сила и лобовое сопротивление
При изменении угла атаки картина распределения давлений изменяется. При
увеличении угла атаки несколько возрастает давление под крылом, однако незначи-
незначительно, так как даже при очень больших
углах- атаки это избыточное давление не мо-
может достигнуть величины рг;2/2. (Этой вели-
величины избыточное давление достигает только
в случае пластинки, перпендикулярной к
потоку, когда поток, набегая на пластинку,
меняет направление своего движения на 90°.)
bio с увеличением угла атаки резко понижает-
понижается давление над крылом, и поэтому подъем-
подъемная сила сначала быстро растет с увеличе-
увеличением угла атаки. Однако, когда угол атаки
достигает некоторой определенной величины
(для рассматриваемого профиля — около 15°),
картина обтекания резко меняется. Условия
обтекания передней верхней части крыла при
больших углах атаки становятся сходными с
условиями обтекания задней стороны цилинд-
цилиндра, и, так же как в случае цилиндра, обтекаю-
обтекающий поток отрывается от крыла уже не у самой
задней кромки; позади крыла образуется за-
завихренное пространство. С увеличением угла
атаки точка отрыва потока быстро переме-
перемещается от задней кромки крыла к передней.
На рис, 337 приведены фотографии по-
потока, обтекающего крыло, при малом и р ^j
большом углах атаки. В завихренном про-
пространстве позади крыла давление хотя и ни-
ниже, чем в набегающем потоке, но выше, чем в случае полного обтекания крыла.
Действительно, в области, где поток не отрывается от крыла, распределение давлений

§ 1311
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И ЛОБОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
557
соответствует области AD' при обтекании цилиндра (рис. 327). После точки отрыва
потока от крыла распределение давлений будет примерно подобно распределению в
области D'D позади цилиндра. Но в этой области давление выше (падение давления
меньше), чем в области BD'. Поэтому приближение точки отрыва потока к передней
кромке крыла уменьшает подъемную силу. Несмотря на то, что с увеличением угла
атаки давление под крылом продолжает расти, подъемная сила не только перестает
увеличиваться, но начинает падать, так как точка отрыва потока начинает быстро
приближаться к передней кромке крыла. Угол атаки, при котором подъемная сила
начинает падать, называется критическим углом атаки.
При угле атаки, равном нулю, для рассматриваемого профиля еще будет сущест-
существовать некоторая подъемная сила, так как давление под крылом будет такое же, как
в набегающем потоке, а над крылом давление будет понижено. Подъемная сила обра-
обратится в нуль только при некотором небольшом отрицательном угле атаки. Дальней-
Дальнейшее увеличение отрицательного угла атаки вызовет появление «отрицательной подъ-
подъемной силы», направленной вниз.
Для поведения тел в потоке существенную роль играет направление, вдоль кото-
которого действует результирующая сил давления. Определяется это направление из
условия, что геометрическая сумма
моментов сил давления на все эле-
элементы поверхности тела должна
быть равна моменту результирую-
результирующей силы (относительно любой оси).
Как уже указывалось (§§ 92 и 119),
из этого условия определяется на-
направление прямой, на которой ле-
лежит результирующая сила, но не
точка приложения ее. Однако, так
же как и в указанных случаях (при
определении точки приложения си-
силы тяжести и гидростатической
подъемной силы), из рассмотрения
различных положений тела можно
извлечь указания о расположении
точки приложения результирующей
силы. При изменении положения
тела относительно потока прямая,
щая сила, вообще говоря, изменяет
Рис. 338.
результирую-
результирую-
вдоль которой направлена
свое положение в теле. Если
щая сила при всех рассматриваемых положениях тела остается лежать в
какой-то одной плоскости, то любые два ее направления должны пересекаться.
С другой стороны, при непрерывном изменении положения тела относительно потока
направление результирующей силы также непрерывно изменяется. Поэтому пересе-
пересечение двух направлений, соответствующих двум близким положениям тела, можно
рассматривать как точку приложения результирующей силы для всех промежуточных
положений тела. Так, если (рис. 338) /, 2,3. 4 — направления результирующей силы,
соответствующие четырем различным положениям тела, то точки Clf C2, С3 можно
рассматривать как точки приложения результирующей силы в положениях, лежащих
между положениями / и 2, 2 и 3, 3 и 4. Переходя к бесконечно близким положениям
тела 1,2, 3, 4 и т. д., мы получим непрерывный ряд точек приложения результирую-
результирующей силы, соответствующих этим положениям.
Таким образом, в том случае, когда все направления результирующей силы при
разных положениях тела не пересекаются в одной точке, но лежат в одной плоскости,
можно считать, что результирующая сила приложена к определенной точке тела,
но эта точка перемещается в теле при изменении его положения относительно потока.
Такой способ определения точки приложения результирующей силы вполне законен,
если мы рассматриваем только такие изменения положения тела, при которых резуль-
результирующая сила все время лежит в одной плоскости. В дальнейшем во всех случаях,
когда мы будем применять представление о точке приложения результирующей,

558
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
Ггл xvi
например, подъемной силы, речь будет идти только о таких изменениях положе-
положения тела, при которых указанное условие будет соблюдено. Поэтому представление
о точке приложения результирующей будет законно и вместе с тем упростит рассмот-
рассмотрение целого ряда вопросов.
На основании рассмотренной выше картины распределения давлении нетрудно
определить, где находится точка приложения подъемной силы. Так как в образовании
подъемной силы наиболее существенную роль играет пониженное давление над крылом
в передней его части, то точка приложения подъемной силы должна находиться не
в середине профиля крыла, а ближе к переднему краю. И действительно, как показы-
показывают измерения, при малых углах атаки точка приложения подъемной силы в обыч-
обычных профилях лежит примерно на 1/3 расстояния от передней до задней кромки крыла.
При увеличении угла атаки разрежение над передней частью крыла растет, так что
его роль в образовании подъемной силы становится еще большей. Вследствие этого

§ 131] ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И ЛОБОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 559
в обычных профилях точка приложения подъемной силы с увеличением угла атаки
приближается к передней кромке крыла.
Этот эффект играет существенную роль в вопросе об устойчивости самолета.
Для пояснения его роли может служить опыт с тонким диском в потоке воздуха.
Распределение давлений вокруг диска, обтекаемого потоком, конечно, отличается
от рассмотренной нами картины. Однако для диска также наибольшую роль в обра-
образовании подъемной силы играет пониженное давление за его передней частью, и
поэтому точка приложения подъемной силы лежит ближе к переднему его краю.
Этим и объясняется поведение в потоке воздуха тонкого диска, который может вра-
вращаться вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости диска (рис. 339). Если диск
повернуть вдоль потока, то он не остается в таком положении, а поворачивается
и устанавливается примерно перпендику-
перпендикулярно к потоку (рис. 339, б). Причины
этого -таковы. Когда диск расположен
точно вдоль потока, то на него дейст-
действует только сопротивление трения —
тангенциальная сила, не дающая момен- о)
та относительно оси вращения диска. Но
как только диск вследствие случайных
толчков повернется хотя бы на неболь-
небольшой угол к потоку, возникнет подъемная
сила, приложенная не к центру диска,
а несколько впереди него (рис. 340, а).
Эта сила будет поворачивать диск дальше.
Следовательно, положение диска вдоль
потока неустойчиво. Другое положение
равновесия получается для диска, когда б^
он перпендикулярен к потоку, так как в
этом случае равнодействующая сил дав-
давления приложена к центру диска и не
дает момента относительно его оси. (Но
при этом положении равнодействующая
сил давления — это уже не подъемная си- Рис. 340.
ла, а лобовое сопротивление.) При отклоне-
отклонении диска от этого положения (рис. 340, б) точка приложения равнодействующей
сил давления переместится немного вперед. Возникнет момент, который будет возвра-
возвращать диск в положение, перпендикулярное к потоку. Следовательно, это положение
устойчиво.
Примерно так же обстоит дело с крылом самолета. Положение вдоль потока для
отдельно взятого крыла оказывается неустойчивым. Поэтому в конструкцию самолета
приходится вводить специальные элементы, которые устраняют эту неустойчивость
(см. § 133).
Выше мы рассматривали обтекание крыла «бесконечной длины», т. е. не учиты-
учитывали явлений, происходящих у концов крыла. Эти явления сказываются на величине
подъемной силы и лобового сопротивления следующим образом. Для упрощения
картины положим, что концы крыла ограничены вертикальными плоскостями (рис.
341), которые мы будем называть торцами крыла. Когда возникает подъемная сила,
то это значит, что под крылом установилось более высокое давление, чем над крылом.
Поэтому у торца крыла возникает движение воздуха снизу вверх, как указано стрел-
стрелками на рис. 341. Это движение воздуха у торцов крыла изменяет распределение
скоростей, а следовательно, и распределение давлений в потоке, обтекающем крыло.
Оценить в общих чертах, каковы будут эти изменения, можно при помощи следую-
следующих соображений. Воздух, обтекающий торец крыла, имеет под крылом и над крылом
вертикальную составляющую скорости, направленную вниз; вверх скорость воздуха,
обтекающего торец крыла, направлена только сбоку крыла. Вследствие существова-
существования этой дополнительной вертикальной скорости w, направленной вниз (рис. 342),
результирующая скорость набегающего потока, а значит и результирующая сила
*
и-

560
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
давления R для крыла конечного размаха отклонена несколько назад от того направ-
направления, которое имела бы равнодействующая /?' для крыла бесконечной длины. Следо-
Следовательно, у крыла конечного размаха / лобовое сопротивление больше, чем у участка
бесконечного крыла той же длины /.
Перетекание воздуха снизу вверх у торцов крыла происходит тем более интен-
интенсивно, чем больше разность давлений под крылом и над ним, т. е. чем больше угол
атаки. Вследствие этого при увеличении угла атаки лобовое сопротивление для крыла
конечного размаха растет гораздо быстрее, чем для крыла бесконечной длины. Ясно,
что эти явления сказываются тем меньше, чем больше длина крыла по отношению
к его ширине, т. е. чем больше относительный размах крыла. С точки зрения умень-
уменьшения лобового сопротивления выгод-
выгодно применять крылья с большим отно-
относительным размахом.
Подъемная сила должна расти с
увеличением скорости набегающего по-
Рис. 341.
Рис. 342.
тока пропорционально pt>2 (по тем же соображениям, которые были приведены в § 128
для зависимости лобового сопротивления от скорости потока). Так как, помимо того,
величина подъемной силы и величина лобового сопротивления (при данном профиле
крыла и его относительном размахе) про-
пропорциональны площади крыла S, то их мож-
„ но выразить следующим образом:
лобовое сопротивление Rx = CxSpti*t A6.15)
подъемная сила R' = CySpv2t A6.16)
где Сх и Су —безразмерные коэффициенты ло-
лобового сопротивления и подъемной силы.
Очевидно, что все сказанное выше о за-
зависимости подъемной силы и лобового соп-
сопротивления от угла атаки и относительного
размаха крыла можно перенести соответст-
соответственно на коэффициенты Сх и Су.
Коэффициент подъемной силы Су с уве-
увеличением угла атаки растет сначала быстро,
а затем медленнее и после критического уг-
угла атаки начинает падать. Коэффициент
лобового сопротивления Сх растет сначала
медленно, а затем быстрее. На рис. 343
приведены графики зависимости Сх и Су от угла атаки а для одного из типов крыльев,
применяемых в авиации. Так как во всей области практически применяемых углов
атаки величина Сх много меньше, чем Су, то для того, чтобы обе кривые удобно было
нанести в одном масштабе, на графике отложена величина 5СХ. От крыла самолета
требуется большая подъемная сила при малом лобовом сопротивлении. Крыло тем
лучше будет удовлетворять этому требованию, чем больше величина k = Cv/Cx>
которая поэтому называется качеством крыла.

132]
ЭФФЕКТ МАГНУСА. ЦИРКУЛЯЦИЯ
561
§ 132. Эффект Магнуса. Циркуляция
Качественные соображения относительно распределения давлений,
которыми мы пользовались в предыдущих параграфах, весьма на-
наглядны, но, конечно, непригодны для расчета величин подъемной силы
и лобового сопротивления. Для этого нужна математическая теория,
которая позволила бы количественно описать рассмотренную выше
качественную картину. Создание такой теории настолько затруднено
необходимостью учитывать силы вязкости, что трудностей этих до
сих пор не удалось полностью преодолеть.
Между тем, как уже указывалось (§ 126), подъемная сила может
существовать и в случае обтекания тела вязкой жидкостью. Более
того, оказалось, что, не учитывая сил вязкости, можно не только
объяснить происхождение подъемной силы, но и правильно оценить
ее величину. Были разработаны теоретические методы, позволяющие
рассчитывать величину подъемной силы, т. е. решать одну из наиболее
важных задач прикладной аэродинамики. В развитии этих методов
основные заслуги принадлежат Н. Е. Жуковскому и С. А. Чаплыгину,
которые разработкой этих методов,
а также и другими своими иссле-
исследованиями существенно способство-
способствовали прогрессу теоретической аэро-
аэродинамики и авиации.
Чтобы выяснить, какую роль
силы вязкости играют в возникно-
возникновении подъемной силы, мы рассмот-
рассмотрим обтекание потоком вязкой жид-
жидкости не покоящегося, а вращаю-
вращающегося цилиндра (рис. 344).
Вращение цилиндра изменит
картину обтекания вследствие того,
что силы вязкости в пограничном слое с двух сторон обтекаемого
цилиндра будут играть разную роль. Наиболее отчетливо выступает
это различие, если линейная скорость точек поверхности цилиндра
больше, чем скорость набегающего потока. В таком случае скорости
движения потока относительно поверхности цилиндра выше и ниже
его будут направлены в противоположные стороны. Вследствие этого
и силы, действующие на жидкость со стороны стенок цилиндра в по-
пограничном слое, будут вверху и внизу цилиндра направлены в про-
противоположные стороны. Там, где обе указанные скорости направлены
в одну сторону (на нашем рисунке — сверху), силы вязкости не только
не будут тормозить движение жидкости в пограничном слое (как было
при невращающемся цилиндре), но, наоборот, будут способствовать
этому движению. С другой стороны, там, где обе скорости направлены
навстречу (на нашем рисунке — внизу), жидкость в пограничном слое
будет тормозиться сильнее, чем в случае невращающегося цилиндра.
Рис. 344.

562
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ. XVI
Наряду с этим частицы жидкости, находящиеся в пограничном слое
перёд цилиндром, под действием сил вязкости приобретут скорость,
направленную вверх. Вследствие этого точка А (рис. 344), в которой
скорость жидкости равна нулю, сместится по сравнению с рис. 326
в направлении, противоположном вращению цилиндра, — в область,
где скорость, сообщаемая жидкости стенками цилиндра, направлена
навстречу движению обтекающей жидкости. Сместятся также и точки
D' и D", в которых происходит отрыв потока, по сравнению с их поло-
положением на рис. 326 для иевращающегося цилиндра. Точки D' и D"
обе сместятся в направлении вращения цилиндра, так как поток,
обтекающий цилиндр в направлении его вращения, будет отрываться
дальше, а обтекающий против его вращения —ближе, чем в случае
невращающегося цилинд-
цилиндра. В результате получает-
получается картина обтекания, изо-
изображенная на рис. 344. На
рис. 345 приведена соот-
соответствующая этой картине
моментальная фотография
потока.
Чтобы установить рас-
распределение давлений в по-
потоке для рассматриваемого
случая, необходимо учесть
не только смещение точек,
где поток останавливается
и отрывается от цилинд-
цилиндра, но и изменения ско-
росгей потока в областях
В и С, вызванные вращением цилиндра. В области В линии тока гу-
гуще — скорость потока больше, и наоборот, в области С линии тока
реже — скорость потока меньше, чем в случае невращающегося ци-
цилиндра. Поэтому и падение давления в В будет больше, а в С мень-
меньше, чем в случае невращающегося цилиндра.
Перенеся распределение давлений с участков ABD и ACD невра-
невращающегося цилиндра и учитывая указанные изменения величин паде-
падения давления, получим для вращающегося цилиндра распределение
давлений, примерно изображенное на рис. 346. Легко видеть, что ре-
результирующая этих сил давления имеет вертикальную составляющую.
Таким образом, в то время как покоящийся цилиндр испытывает при
обтекании потоком вязкой жидкости только лобовое сопротивление,
вращающийся цилиндр при тех же условиях испытывает не только
лобовое сопротивление, но и подъемную силу. При этом, как указы-
указывалось выше (§ 130), возникновению подъемной силы должно сопут-
сопутствовать отклонение вниз потока, обтекающего тело; на рис. 345 это
хорошо видно.
Рис, 345,

\ 132]
ЭФФЕКТ МЛГМУСА. ЦИРКУЛЯЦИЯ
563
Рис. 346,
Возникновение подъемной силы при обтекании вращающегося
цилиндра называется эффектом Магнуса. Это явление можно наблю-
наблюдать при падении бумажного цилиндра, скатившегося с наклонной
доски (рис. 347). Так как, скатившись с доски, цилиндр продолжает
вращаться и при падении цилиндра происхо-
происходит обтекание его потоком воздуха, направ-
направленным вверх, то возникает «подъемная» сила,
направленная горизонтально и отклоняющая
цилиндр назад.
Эффектом Магнуса объясняется, например,
непрямолинейный полет теннисного мяча пос-
после «резаного» удара, при котором ракетка сооб-
сообщает мячу не только поступательное, но и
вращательное движение.
Наглядность картины обтекания вращаю-
вращающегося цилиндра позволяет проследить про-
происхождение подъемной силы и лобового сопро-
сопротивления и отчетливо разделить роль вязкости
в образовании той и другой силы. Подъемная
сила обусловлена тем, что скорость жид-
жидкости над цилиндром оказывается больше, чем под ним, и поэтому,
в соответствии с законом Бернулли, давление под цилиндром выше,
чем над ним. Лобовое сопротивление обусловлено главным образом
неполным обтеканием цилиндра — наличием позади него области с по-
пониженным давлением. Именно благодаря силам вязкости увеличи-
увеличивается скорость потока, обтекающего вращающийся цилиндр сверху,
^-^ и уменьшается скорость потока, обте-
обтекающего цилиндр снизу. С другой сто-
стороны, действие сил вязкости приводит к
отрыву потока от обтекаемого цилиндра.
ч Но представим себе, что после того
\ как установилась картина обтекания,
\ изображенная на рис. 344, силы вяз-
\ кости исчезли. При этом обтекание ци-
| линдра должно стать полным: точки D'
! и D", в которых отрывается поток от
/ стенок цилиндра, сольются с точкой D.
(^ Никаких других существенных измене-
изменений в характере потока исчезновение
сил вязкости не должно вызвать. Таким
образом, если бы силы вязкости исчезли, картина обтекания тела при-
приняла бы вид, изображенный на рис. 348. При этом лобовое сопро-
сопротивление исчезнет (так как оно вызывается неполным обтеканием),
подъемная же сила может остаться неизменной, если не изменится
распределение скоростей над и под цилиндром. Итак, предположе-
предположение, что силы вязкости исчезли, влечет за собой исчезновение лобового
Рис. 347.

564
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XV!
сопротивления, но не обязательно ведет к исчезновению подъем-
подъемной силы.
Поскольку нас интересует только подъемная сила, то обе кар-
картины, изображенные на рис. 344 и 348, можно считать эквивалентными
в том смысле, что они приводят к одинаковым результатам в отноше-
отношении подъемной силы. Силы же вязкости играют существенную роль
только при возникновении этой картины. Следовательно, силы вяз-
вязкости нужно учитывать, чтобы объяснить возникновение подъемной
силы, но их можно исключить из рассмотрения, если предположить,
что обтекание уже установилось,
подъемная сила уже существует
и требуется лишь найти ее ве-
величину.
Если распределение скоро-
скоростей, установившееся в потоке,
известно, то, рассматривая жид-
жидкость как идеальную и приме-
применяя теорему Бернулли, можно
найти подъемную силу.
Рис. 348. Сравнивая две картины обте-
обтекания цилиндра идеальной жид-
жидкостью — ту, при которой нет подъемной силы (рис. 349), и ту, при
которой она существует (рис. 350), нетрудно обнаружить следующее.
Вторая картина получается из первой, если на течение, соответствую-
соответствующее первой картине, наложить замкнутое течение жидкости вокруг
цилиндра в направлении часовой стрелки (рис. 351). При этом мы
можем «забыть», что жидкость обладает вязкостью и что цилиндр
вращается. Необходимо только, чтобы вокруг цилиндра, кроме пол-
полного обтекания потоком, возникло еще циркуляционное течение.
Рис. 35С.
Такое течение жидкости вокруг обтекаемого тела называется цир-
циркуляционным течением или циркуляцией. Наличие циркуляции обу-
обусловливает разность скоростей над цилиндром и под ним, т. е. суще-
существование подъемной силы. Зная скорость циркуляционного течения,
можно найти величину подъемной силы.
Положение точек А и D (рис. 348) зависит от соотношения между
скоростью набегающего потока v и скоростью циркуляции: чем силь-
сильнее циркуляция, тем ниже лежат эти точки.

§132]
ЭФФЕКТ МАГНУСА. ЦИРКУЛЯЦИЯ
565
В рассмотренном выше случае циркуляция была вызвана вра-
вращением цилиндра. В других случаях циркуляция может возникать
по другим причинам; например, циркуляция вокруг крыла возникает
при определенном угле атаки. Однако и в этих случаях, так же как
и при вращении цилиндра, само возникновение циркуляции обуслов-
обусловлено действием сил вязкости. Если бы силы вязкости • отсутство-
отсутствовали, циркуляция вообще не могла бы возникнуть ни в одном из
этих случаев.
При почти полном обтекании крыла (т. е. при малых углах атаки) поток отры-
отрывается вблизи задней кромки крыла. Поэтому циркуляцию, возникающую при обте-
каьии крыла, можно приближенно определить из условия, что точка отрыва потока
находится как раз у задней кромки крыла. Если бы циркуляция не возникала и вяз-
вязкость отсутствовала, то картина обтекания должна была бы быть подобна изображен-
изображенной на рис. 352; направление потока позади крыла должно быть такое же, как впереди,
Рис. 352.
Рис. 353.
Рис. 354.
а это возможно, только если точка отрыва потоков, обтекающих крыло с двух сторон,
находится у верхней поверхности крыла. Поскольку в действительности отрыв
потока происходит у задней кромки, то должна существовать циркуляция, направ-
направленная по часовой стрелке (рис. 353), которая, налагаясь на течение, изображенное
на рис. 352, переносит точку отрыва потока к задней кромке крыла (рис. 354). Вместе
с тем циркуляция увеличивает скорость потока над крылом и уменьшает ее под кры-
крылом. В соответствии с законом Бернулли давление под крылом возрастает, а над кры-
крылом уменьшается, и возникает подъемная сила (поток отклоняется вниз).
Возникновение циркуляции вокруг крыла тесно связано с возникновением вих-
вихрей позади крыла. Вначале, пока крыло находится в покое, циркуляция отсутствует
и общий момент импульса системы «крыло — окружающая среда» равен нулю. Поэто-
Поэтому и в дальнейшем общий момент импульса этой замкнутой системы должен оставать-
оставаться равным нулю. В начальный момент, пока циркуляция еще не возникла, картина
об!екания должна быть близка к той, которая изображена на рис. 352. Частицы
воздуха, обтекающие крыло снизу, поднимаются мимо задней его кромки вверх.
При этом под действием сил вязкости движение частиц воздуха становится завихрен-
завихренным. Так как частицы воздуха испытывают торможение со стороны кромки крыла,
то они приобретают вращение против часовой стрелки. У кромки постепенно образу-
образуется вихрь с вращением против часовой стрелки (рис. 355). Затем этот вихрь отрыва-
отрывается от крыла и уносится потоком. Вихри, обладающие моментом импульса, соответст-
соответствующим вращению против часовой стрелки, возникают один за другим, и таким обра-
образом у задней кромки крыла все время возникают моменты импульса. В результате в
силу закона сохранения моментов импульса вокруг крыла должна возникнуть цир-
циркуляция, направленная в сторону, противоположную врашению вихря (по часовой
стрелке).
Возникшая циркуляция могла бы существовать дальше как угодно долго,
если бы перестали действовать силы вязкости. Но тогда прекратилось бы и образова-
образование вихрей на конце крыла (так как изменившееся вследствие наложения циркуляции
распределение скоростей таково, что вихрь на конце крыла не возникает, рис. 354).
Наличие сил вязкости приводит к тому, что циркуляция вокруг крыла постепенно

566
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVT
затухает и снова появляются условия, необходимые для возникновения вихря.
Позади крыла снова появляется вихрь, и вместе с тем усиливается циркуляция вокруг
Рис. 355.
крыла. При постоянной скорости движения самолета процесс образования вихрей
происходит регулярно; от заднего края крыла периодически отрываются вихри,
которые уносятся потоком воздуха.
§ 133. Летательные аппараты
Воздушные корабли по происхождению подъемной силы, удерживающей их
в воздухе, можно разделить на два основных класса: воздухоплавательные аппараты,
удерживаемые статической подъемной си-
силой («выталкивающей силой»), и летатель-
летательные аппараты, удерживаемые аэродина-
аэродинамической подъемной силой. Основными
представителями второго класса являют-
являются самолеты и вертолеты.
В самолетах подъемная сила возни-
возникает в результате обгекания его кры-
крыльев потоком воздуха при движении
самолета относительно окружающего воз-
воздуха. Необходимую скорость движения
относительно воздуха самолету сообщает либо вращаемый мотором воздушный винт
(пропеллер), либо реактивный двигатель, отбрасывающий назад поток воздуха. При
этом возникает «сила тяги», действующая на самолет и направленная вперед.
Происхождение силы тяги, создаваемой винтом, станет сразу ясным, если мы
сравним винт с крылом. Элемент винта — поясок, вырезанный из винта сечениями
А и В (рис. 356), — аналогичен участку крыла, движущегося под некоторым положи-
положительным углом атаки со скоростью w. Эта скорость лежала бы в плоскости вращения
винта, если бы не возникал поток воздуха в направлении оси винта (в создании этого
потока воздуха, направленного назад, и заключается роль винта). Вследствие же
движения воздуха назад результирующая скорость элемента винта относительно

§ 133]
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
567
Рис. 357.
воздуха отклоняется вперед. Но мы пока для упрощения будем пренебрегать этим
обстоятельством. В таком случае действующая на выделенный элемент винта со сто-
стороны окружающего воздуха сила R дает «подъемную силу» Т, направленную вдоль
оси винта, и «лобовое сопротивление» Q, направленное против направления движения
винта. Сумма «подъемных сил» Т, действующих на отдельные элементы винта, и пред-
представляет собой силу тяги винта. Моменты сил Q, действующих на отдельные элементы
винта, дают результирующий момент, приложенный к оси винта и направленный
навстречу его вращению. Для поддержания равномерного вращения винта приложен-
приложенный к его оси вращающий момент мотора должен
быть равен по величине этому результирующему
моменту сил Q.
Мощность мотора будет использована наибо-
наиболее эффективно, если при заданном значении мо-
момента сил Q винт развивает возможно большую
силу тяги Т. Это достигается надлежащим выбо-
выбором профиля винта и «угла атаки» элементов
винта, т. е. шага винта. Теоретически эта зада-
задача впервые была успешно решена Н. Е. Жуков-
Жуковским, который предложил тип воздушного винта,
получивший широкое распространение в авиации.
При рассмотрении работы винта в реаль-
реальных условиях, как уже указывалось, необхо-
необходимо учитывать, что винт не только вращается, но и движется (вместе с самоле-
самолетом) поступательно. Поэтому всякий элемент винта, кроме скорости w, обусловленной
вращением, обладает еще скоростью vt обусловленной поступательным движением
(рис. 357). Результирующая скорость а каждого элемента винта оказывается
вследствие этого в большей или меньшей степени отклоненной вперед, и поэтому
угол атаки элемента винта уменьшается. Вместе с тем уменьшается и подъемная
сила элемента винта, и следовательно, результирующая сила все больше и больше
отклоняется назад от направления и. Ее составляющая в направлении v умень-
уменьшается — сила тяги элемента винта падает. При некотором значении скорости v
направление R отклонится настолько (рис. 358), что окажется перпендикулярным
к <d — сила тяги элемента винта упадет до нуля. При дальнейшем увеличении v,
когда угол атаки примет некоторое отрицательное значение, подъемная сила об-
обратится в нуль и сила R будет направлена по
п. Ее проекция на направление v будет на-
направлена против vy т. е. элемент винта
будет давать отрицательную силу тяги
(рис. 359).
Так как для разных элементов винта
скорости w различны (вследствие разного
расстояния до оси) и могут быть различны
углы атаки, то зависимость силы тяги эле-
элемента от скорости v для разных элементов
будет различной, но при больших значе-
значениях v сила тяги каждого элемента винта должна уменьшиться. Тяга вин-
винта уменьшается по мере увеличения скорости самолета либо монотонно, либо на-
начиная с некоторого значения скорости. Легко видеть, что влияние скорости v бу-
будет тем менее заметно, чем больше w, а значит, чем быстрее вращается "винт. Но
при приближении w к значениям скорости звука обтекание профиля винта ухуд-
ухудшается, возрастает лобовое сопротивление и уменьшается эффективность работы
винта. Следовательно, при скоростях полета, близких к скорости звука, винт не
может развивать большой силы тяги.
При полете с работающим мотором на самолет действуют четыре силы: сила зем-
земного тяготения, тяга винта, подъемная сила и лобовое сопротивление. Чтобы самолет
летел с постоянной скоростью, эта система четырех сил должна находиться в равнове-
равновесии. При этом самолет может лететь горизонтально, набирать высоту или планировать.
Рис. 358.

568
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
Взаимное расположение четырех сил во всех этих случаях будет различно, но для
того, чтобы скорость самолета оставалась постоянной, сумма всех четырех сил должна
быть равна нулю.
При горизонтальном полете (рис. 360) подъемная сила /?у должна быть равна
силе земного тяготения G, а тяга винта Т — лобовому сопротивлению Rx. Величины
подъемной силы и лобового сопротивления зави-
зависят от угла атаки крыльев самолета. Угол атаки
крыльев летчик может изменять, поднимая или
опуская нос самолета при помощи руля высоты
(см. ниже), и горизонтальный полет возможен
при различных углах атаки На рис. 361 изобра-
изображены три положения самолета при горизонталь-
горизонтальном полете с разными углами атаки. С увеличе-
увеличением угла атаки коэффициент подъемной силы
растет (пока угол атаки не достигнет критиче-
критического значения), и чем больше угол атаки, тем меньше скорость, при которой подъ-
подъемная сила достигает значения G. Каждому углу атаки соответствует определенная
скорость, тем меньшая, чем больше угол атаки. Критическому углу атаки соответст-
соответствует минимальная скорость горизонтального полетаJ). Если при полете с этой
Рис. 359.
Рис. 360.
минимальной скоростью еще увеличить угол атаки (т. е. сделать его больше кри-
критического), то подъемная сила уменьшится и самолет начнет проваливаться 2).
При горизонтальном полете с постоянной скоростью должны соблюдаться равен-
равенства Rx = Ту Rv = G; поэтому, пользуясь выражениями A6.15) и A6.16) для Rxu
х) При критическом угле атаки полет становится уже неустойчивым, и практи-
практически наименьшая скорость соответствует углу атаки, немного меньшему критиче-
критического.
2) Если угол атаки увеличивается (нос самолета поднимается), то появляется
вертикальная составляющая силы тяги. Однако поскольку обычно вся сила тяги 7
меньше G и угол между ее направлением и вертикалью близок к я/2, то вертикальная
составляющая силы тяги при горизонтальном полете (когда подъемная сила направ-
направлена вертикально) мала и не играет существенной роли.

§ 133]
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
569
Rv, можно написать:
Т =
', G = CvPSt^, T=G^
A6.17)
Потребная сила тяги зависит от отношения К = Сх/Су, которое называется
«качеством самолета» (аналогично «качеству крыла», § 131). Минимальная тяга по-
потребуется при горизонтальном полете с таким углом атаки, для которого отношение
Cx/Cv имеет наибольшее значение. Этот наивыгоднейший угол атаки для современных
самолетов лежит в пределах 3—8°. При этом отношение Сх/Су достигает 10, т. е.
вольшая трость
Средняя скорость
Рис. 361.
Малая спорость
потребная тяга винта при этих углах должна быть примерно в 10 раз меньше G. При
горизонтальном полете потребная тяга винта, а значит, и потребная мощность мотора
растут с увеличением нагрузки самолета (величины G), поскольку при большем G
самолет должен легеть с большей скоростью (при наивыгоднейшем угле атаки, кото-
который остается прежним) , чтобы развивать большую подъемную силу, и поэтому тяга
винта должна преодолевать большее лобовое сопротивление.
V
Рис. 362.
При наборе высоты с постоянной скоростью система сил, действующих на самолет,
по-прежнему должна находиться в равновесии, но расположение этих сил изменяется
(рис.362). Подъемная сила #v уравновешивает только составляющую Gv силы тяготе-
тяготения. Другую ее составляющую Gxt так же как и лобовое сопротивление Rx, должна
уравновесить сила тяги винта 7\ которая для этого должна быть больше, чем при
горизонтальном полете. Правда, при этом Ry должно быть меньше Gt а значит,
скорость может быть меньше, чем при горизонтальном полете; соответственно умень-
уменьшится и лобовое сопротивление. Но так как все лобовое сопротивление во много раз
меньше G, то величина, на которую оно уменьшится, будет гораздо меньше, чем
та часть G, на которую должна увеличиться тяга винта. Поэтому при увеличении

570 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА [ГЛ. XVT
крутизны подъема потребная мощность растет. Для того чтобы самолет мог набирать
высоту, мотор должен обладать запасом мощности по сравнению с той, которая нужна
для горизонтального полета при наивыгодиейшем угле атаки. Чем больше этот
резерв мощности, тем быстрее самолет сможет набирать высоту, тем больше его
скороподъемность.
При снижении с постоянной скоростью, наоборот, составляющая Gx действу-
действует в направлении тяги винта, и потребная мощность мотора уменьшается. При
достаточном угле снижения составляющая Gx полностью компенсирует лобовое
сопротивление, т. е. заменяет тягу винта. Если при этом скорость самолета тако-
такова, что возникающая подъемная сила компенсирует составляющую Gv, то самолет
может планировать—снижаться с выключенным мотором. Как и минимальная тя-
тяга винта при горизонтальном полете, минимальный угол планирования получается
при наивыгоднейшем угле атаки.
Для взлета самолет должен разбежаться по земле и набрать скорость, при кото-
которой подъемная сила RY может стать больше G. Чтобы ускорить наступление этого
момента, самолету перед взлетом придают такое положение, при котором угол атаки
близок к критическому: отрыв от земли происходит при скорости, лишь немного
превышающей минимальную. Поэтому обычно после отрыва от.земли самолет некото-
некоторое время летит почти горизонтально и набирает скорость, прежде чем перейти к на-
набору высоты.
При посадке самолет приближается к земле пологим спуском, и на небольшой
высоте летчик переводит его снова на горизонтальный полет. Постепенно увеличивая
угол атаки, летчик уменьшает скорость полета до минимальной и переводит самолет
в такое положение, какое он должен занимать при пробеге по земле. От дальнейшего
уменьшения скорости самолет начинает «проваливаться», прикасается колесами
к земле и, пробежав некоторое расстояние по земле, останавливается.
Чем больше скорости, при которых происходит отрыв и соприкосновение с
землей, тем труднее со всех точек зрения операции взлета и посадки. При этом су-
существенна, конечно, величина скорости относительно земли, между тем подъемная
сила определяется скоростью относительно воздуха. Поэтому взлет и посадку выгод-
выгоднее производить против ветра, когда при требуемой скорости относительно воздуха
скорость относительно земли меньше.
При прямолинейном полете с постоянной скоростью самолет должен двигаться
поступательно, т. е. не только сумма действующих на самолет сил, но и сумма момен-
моментов этих сил относительно любой оси должна быть равна нулю. Однако и этого мало.
Случайные причины (например, порывы ветра) могут немного отклонить самолет от
положения, соответствующего совершаемому прямолинейному движению. Нужно,
чтобы после этого самолет (без участия летчика) возвращался к исходному движению.
Для этого должны возникать силы и моменты сил, которые уменьшали бы возникшие
отклонения. Только при этом условии полет будет устойчивым.
При рассмотрении условий равновесия моментов сил следует выбрать оси,
проходящие через центр тяжести самолета. Чтобы обеспечить равновесие моментов,
при проектировании самолета стремятся прежде всего к тому, чтобы момент каждой
из действующих сил относительно центра тяжести в отдельности по возможности был
близок к нулю (для силы тяготения это получается само собой). Далее, ось винта
располагают так, чтобы она проходила через центр тяжести и чтобы момент силы тяги
относительно центра тяжести был равен нулю. Наконец, при выборе положения
крыльев стремятся к тому, чтобы равнодействующая аэродинамических сил (подъем-
(подъемной силы и лобового сопротивления) проходила через центр тяжести самолета. (Ко-
(Конечно, совершенно точно этого сделать нельзя, но, как будет видно из дальнейшего,
это и не требуется.) Из сказанного ясно, какое значение имеет положение центра
тяжести самолета или «центровка» самолета.
При расположении грузов в самолете необходимо по возможности мало изменять
положение центра тяжести самолета. Эта задача особенно усложняется в случае,
когда количество и расположение грузов изменяются в полете (расходуется горючее
и т. п.), так как при этом центр тяжести самолета не должен сколько-нибудь значи-
значительно перемещаться.

§133]
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
571
Для выяснения вопроса об устойчивости самолета мы рассмотрим моменты
сил, возникающие при повороте самолета около каждой из трех его осе», прохо-
проходящих через центр тяжести С, — продольной, поперечной и путевой (рис. 363).
Элерон
Руль
налраш
> Высоты
Рис. 363.
При повороте самолета относительно путевой оси (рис. 364) возникает давление
набегающего потока на киль — вертикальное оперение хвоста самолета. Эта си-
сила давления /?, представляющая собой «подъемную силу» вертикально располо-
расположенного крыла, создает момент относительно путевой оси, возвращающий самолет
Рис. 364.
к исходному положению. Таким образом, вертикальное оперение обеспечивает ус-
устойчивость самолета относительно путевой оси, или устойчивость пути (способ-
(способность сохранять направление полета).
При повороте самолета относительно поперечной оси (рис. 365) изменяется угол
атаки и перемещается точка приложения подъемной силы Ry — вперед при увеличе-
увеличении угла атаки (для большинства профилей). Это перемещение точки приложения
подъемной силы привело бы к еще большему задиранию носа самолета. Но при этом

572
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
хвост самолета опускается и на стабилизатор — горизонтальное оперение хвоста
самолета — начинает действовать подъемная сила /?', направленная вверх. Она
создает момент относительно поперечной оси, возвращающий самолет в горизонталь-
горизонтальное положение. Наоборот, если нос самолета опускается, то стабилизатор, подни-
поднимаясь, ^оказывается под отрицательным углом атаки к набегающему потоку и на
него действует «подъемная сила», направленная вниз. Момент этой силы поднима-
поднимает нос самолета, т. е. возвращает его
к исходному положению. Таким обра-
образом, хотя крыло само по себе не-
неустойчиво относительно поперечной
оси, стабилизатор придает самолету
устойчивость относительно этой оси
и обеспечивает сохранение горизон-
горизонтального (или близкого к горизон-
горизонтальному) положения продольной оси
самолета. Легко видеть, что положе-
положение не изменится, если с самого на-
начала точка приложения подъемной
силы будет лежать впереди центра
тяжести. При этом нос самолета бу-
будет несколько поднят, стабилизатор
будет уже с самого начала находить-
находиться под положительным углом атаки
и давать подъемную силу, так что
сумма моментов подъемной силы крыльев и стабилизатора относительно попе-
поперечной оси будет равна нулю. Поворот самолета относительно поперечной оси на-
нарушит равенство этих моментов, и возникший момент будет, как показано выше,
возвращать самолет к исходному положению.
Наконец, устойчивость самолета относительно продольной оси обычно обеспе-
обеспечивается специальным (V-образным) расположением крыльев, при котором концы
Рис. 365.
Рис. 3G6.
крыльев подняты (рис. 366). При горизонтальном положении самолета подъемная
сила Rt и R2 каждого из крыльев наклонена несколько внутрь, но их результирующая
направлена вертикально и уравновешивает силу тяготения. Если самолет накренился
(рис. 367), то результирующая подъемная сила R также изменит направление и ее
горизонтальная составляющая R' сообщит самолету горизонтальную скорость в сто-
сторону крена (скольжение на крыло). Возникшее при этом движении течение воздуха
со скоростью v' от одного крыла к другому (в направлении, противоположном сколь-
скольжению) создаст дополнительную «подъемную силу», направленную вниз (так как угол
атаки крыльев по отношению к потоку v' отрицателен). Эта «подъемная сила» R[
будет больше для поднявшегося крыла, чем Rr2 для опустившегося (так как отрица-
отрицательный угол атаки первого больше). Момент этих сил будет возвращать самолет

133]
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
573
в исходное положение. Если бы крылья были расположены в одной плоскости, то их
угол атаки по отношению к возникшему потоку воздуха был бы одинаков. Однако
и в этом случае при скольжении вследствие перемещения центра давлений возникал бы
момент сил, возвращающий самолет к исходному положению. Таким образом, и при
горизонтальном расположении крыльев можно было бы обеспечить устойчивость
самолета, но V-образное расположение крыльев усиливает его устойчивость отно-
относительно продольной оси.
Мы рассматривали прямолинейное движение самолета. При криволинейном дви-
движении вся картина усложняется; мы ограничимся только вопросом о способах изме-
изменения направления полета. Для этой цели служат руль направления, изменяющий
направление полета в горизонтальной плоскости, и руль высоты, изменяющий его
**Ж
Рис. 367.
направление в вертикальной плоскости. Рули представляют собой небольшие плос-
плоскости, при нейтральном положении являющиеся как бы продолжением плоскостей
хвостового оперения. Руль направления лредставляет собой продолжение киля,
а руль высоты — продолжение стабилизатора (рис. 363). При помощи рукояток
управления и передач летчик может поворачивать рули соответственно относительно
вертикальной и горизонтальной осей. (Обычно руль высоты поворачивается ручным
рычагом, а руль направления — педалями.) Поворот рулей приводит к изменению
формы поверхности киля или стабилизатора, которые представляют собой, как мы
видели, в сущности вертикальное и горизонтальное крыло. Вызванное поворотом
руля изменение формы этого крыла приводит к появлению «подъемкой силы» (или
к изменению уже действующей подъемной силы) в направлении, противоположном
повороту руля х). Момент этой возникшей силы вызывает поворот самолета вокруг
соответствующей оси.
Поворот руля высоты (рис. 368) приводит к повороту самолета вокруг поперечной
оси, т. е. к увеличению угла атаки, вследствие чего увеличивается подъемная сила,
г) Очень упрощая картину, можно было бы сказать, что на руль, отклоненный
от нейтрального положения, начинает действовать подъемная сила. Однако, строго
говоря, нельзя рассматривать подъемную силу, действующую на отдельный участок
крыла, расположенный у его задней кромки. Поворот рулей изменяет всю картину
обтекания и приводит к возникновению или изменению подъемной силы киля или
стабилизатора.

574
ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА
[ГЛ XVI
траектория полета искривляется и самолет приобретает вертикальную составляю-
составляющую скорости и переходит в прямолинейный полет с набором высоты.
Поворот руля направления приводит к тому, что самолет, продолжая лететь
прямо, начинает поворачиваться вокруг своей путевой оси (рис. 369). При этом ско-
скорость потока воздуха относительно крыла, поворачивающегося вперед (на рисунке —
правого), увеличивается, а поворачивающегося назад (на рисунке — левого) —
Рис. 368.
уменьшается. Вследствие этого подъемная сила, действующая на правое крыло, воз-
возрастает, а на левое — уменьшается. Возникает момент подъемной силы относительно
продольной оси, вызывающий крен самолета, — правое крыло поднимается, а левое
опускается. Результирующая подъемная сила наклоняется влево и дает составляю-
ющую в горизонтальном направлении (аналогично тому, как на рис. 367). Эта со-
составляющая и сообщает самолету ускорение влево — самолет начинает описывать
траекторию, искривленную влево. Помимо этого, фюзеляж самолета также играет
некоторую роль. Он представляет собой как бы вертикальное крыло. Подъемная сила,
действующая на это крыло, направле-
направлена в сторону поворота самолета вокруг
путевой оси и способствует искривле-
искривлению траектории.
Таким образом, сила, действую-
действующая на руль направления, не вызы-
вызывает непосредственно искривления
траектории, да и не могла бы вызывать
этого искривления, так как она на-
направлена наружу, а не внутрь описы-
описываемой траектории. Искривление траек-
траектории вызывается главным образом
креном самолета. Поворот в горизон-
горизонтальном направлении можно вызывать
или этому повороту помогать, непо-
непосредственно изменяя крен самолета. Для
этого служат специальные элементы
Рис. 369. управления — элероны (рис. 363), кото-
которые представляют собой небольшие пло-
плоскости, прикрепленные к задней кромке крыльев самолета на некоторой части
их длины. В нейтральном положении элероны являются как бы продолжением крыль-
крыльев. Летчик может поворачивать элероны относительно горизонтальной оси (подни-
(поднимать или опускать их концы) в противоположные стороны, увеличивая подъемную
силу для одного крыла (у которого элерон опускается) и уменьшая ее для другого
крыла (у которого элерон поднимается). Так как элероны обычно расположены ближе
к концам крыльев, то они изменяют подъемную силу тех частей крыла, которые как
раз дают большой момент относительно продольной оси. Поэтому хотя изменения
подъемкой силы, вызываемые элеронами, невелики, но момент сил, обусловленных
действием элеронов, получается значительным, и самолет кренится — поднимается
то крыло, у которого элерон опущен вниз. При крене появляется горизонтальная

$ 1331 ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ 575
составляющая подъемной силы, вызывающая искривление траектории самолета.
Руль направления и элероны, поворачивая самолет вокруг различных осей, приводят
в конечном счете к одному и тому же результату — искривлению траектории в гори-
горизонтальной плоскости.
В общем, как мы видим, силы, возникающие непосредственно при повороте
рулей и элеронов, невелики и не влияют непосредственно на траекторию полета
самолега. Но моменты этих сил достаточны для того, чтобы поворачивать самолет
вокруг осей, в результате чего возникают силы, действующие на весь самолет в целом
и вызывающие искривление его траектории.
Рассмотренные нами вопросы касались почти исключительно движения самолета
с постоянной по величине скоростью и сводились к рассмотрению условий равновесия
между силами, действующими на самолет (за исключением случая поворота в гори-
горизонтальной плоскости, когда на самолет действует неуравновешенная составляющая
подъемной силы). Большей частью полет самолета происходит именно в таких усло-
условиях. Однако для специальных типов самолетов (истребитель, пикирующий бомбарди-
бомбардировщик) большое значение имеют случаи движения с большими ускорениями, на-
например пикирование и выход из пике и т. д. В этих случаях равновесие сил уже не
имеет места, а наоборот, именно отсутствие равновесия обусловливает большие уско-
ускорения самолета.
Как уже указывалось, скорости, с которыми самолет отрывается или касается
земли, не должны быть велики. Но эти скорости близки к минимальной скорости
полета самолета. Поэтому минимальная скорость полета не должна быть очень велика.
С другой стороны, максимальную скорость полета в большинстве случаев желательно
сделать большой, т. е. диапазон скоростей самолета должен быть достаточно широк.
Именно расширение диапазона скоростей представляет собой одну из наиболее
важных и трудных задач конструирования самолета.
Так как при больших скоростях подъемная сила на единицу площади крыла ве-
велика, то при больших скоростях требуется меньшая площадь крыльев. При этом
уменьшается их лобовое сопротивление и, следовательно, легко увеличить скорости.
Однако при этом увеличивается и минимальная скорость полета. Для снижения ми-
минимальной скорости приходится принимать специальные меры: устраивать передвиж-
передвижные щитки, или закрылки, увеличивающие коэффициент подъемной силы (и вместе
с тем коэффициент лобового сопротивления). В полете эти закрылки убираются
(прижимаются к крыльям), при посадке они выдвигаются и уменьшают посадочную
скорость. Применение этих методов позволяет несколько расширить диапазон ско-
скоростей самолета. Однако недопустимость повышения минимальной скорости является
все же одной из серьезных трудностей при конструировании скоростных самолетов.
Возможности увеличения скорости самолета открываются при полете в верх-
верхних, менее плотных слоях атмосферы. Как видно из соотношений A6.15) и A6.16),
как подъемная сила, так и лобовое сопротивление уменьшаются при уменьшении
плотности воздуха р. Уменьшение лобового сопротивления позволяет при дан-
данной мощности мотора увеличить скорость самолета, и это увеличение скорости
как раз компенсирует падение подъемной силы, обусловленное уменьшением р *).
Однако, когда скорость самолета начинает приближаться к скорости звука, труд-
трудности, сопряженные с дальнейшим увеличением скорости, резко возрастают. Од-
Одна из главных трудностей уже указывалась выше: при приближении скорости са-
самолета к скорости звука тяга винта уменьшается; с другой стороны, при этом
увеличивается лобовое сопротивление, вследствие чего в винтовых самолетах «зву-
«звуковой барьер» не может быть достигнут. Преодолеть этот барьер в авиации уда-
удалось благодаря применению реактивных двигателей. Однако принцип реактивного
движения в том виде, как он описан в § 124, малопригоден для самолетов, в силу
того что масса запаса топлива должна была бы составлять подавляющую долю всей
*) Для того чтобы мотор самолета мог развивать полную мощность на большой
высоте, т. е. в разреженной атмосфере, применяются специальные меры: воздух,
необходимый для образования горючей смеси, сжимается и подается в мотор компрес-
компрессором (нагнетателем).

576 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА [ГЛ XVI
массы самолета. В авиации нашли применение воздушно-реактивные двигатели,
свободные or этого недостатка.
Принцип действия воздушно-реактивного двигателя состоит в следующем (рис.
370). При полете самолета во входное (переднее) отверстие двигателя посту-
поступает атмосферный воздух со скоростью v, с которой летит самолет. В камере сгорания
двигателя этот воздух нагревается пламенем горящего топлива (вследствие чего объем
воздуха увеличивается) и вместе с продуктами сгорания вылетает через выходное
отверстие двигателя со скоростью с > v (так как уходит из двигателя больший объем
воздуха, чем входит). Масса сгорающего за секунду топлива цг мала по сравнению
с массой \х0 прошедшего за это время через двигатель воздуха, и приближенно можно
считать, что масса, выбрасываемая через выходное отверстие двигателя, также равна
Рис. 370.
[х0. Скорость движения этой массы воздуха [i0 относительно системы отсчета, свя-
связанной с землей, есть с — v, так как с — скорость выбрасываемой массы относительно
самолета. Следовательно, импульс, уносимый этой массой за время At, есть
Apl = li0(c-v)AL A6.18)
Воздух, поступающий через входное отверстие двигателя, относительно системы
отсчета, связанной с землей, неподвижен; следовательно, он не приносит с собой
импульса. Поэтому полное изменение импульса прошедшего через двигатель воздуха
за время At определяется тем же соотношением A6.18). По закону сохранения
импульса самолет должен при этом приобретать импульс Ар2 =—Арх = \xQ(v — с)At,
и следовательно, на самолет при этом действует сила реакции вылетающей струи:
c). A6.19)
Так как при нагревании в двигателе воздух расширяется, то, как уже указывалось,
при одинаковой массе поступающего и уходящего воздуха скорость с, с которой
воздух уходи г, должна быть больше, чем скорость v, с которой он поступает.
Как видно из A6.19), сила Т при \с\ > \v\ направлена в сторону, противоположную
с, т. е. вперед. Это и есть сила тяги воздушно-реактивного двигателя.
При рассмотрении движения самолета под действием этой силы можно прене-
пренебречь изменением массы самолета, происходящим за счет сгорания топлива, так как
эти изменения массы происходят достаточно медленно и не играют принципиальной
роли. (В случае чисто реактивного движения, рассмотренного в § 124, уменьшение
массы ракеты за счет сгорания топлива играет принципиальную роль, так как именно
вылетевшая масса сгоревшего топлива уносит с собой импульс и определяет возни-
возникающую реактивную силу.)
Для увеличения силы тяги нужно увеличивать либо массу поступающего воздуха
|ш0, либо скорость с, с которой он вылетает, либо и то и другое вместе. Скорость с
определяется тем, насколько расширяется воздух в камере, т. е. какая температура
поддерживается в камере. Для увеличения количества воздуха, поступающего в дви-
двигатель, применяется компрессор, расположенный у входного отверстия двигателя
и приводимый во вращение турбиной, помещенной у выходного отверстия;
турбину вращает вылетающая из двигателя струя газа. Такие воздушно-реактив-
воздушно-реактивные двигатели получили название турбореактивных. Турбореактивный двигатель
может создать силу тяги и при скорости самолета v = 0 (т. е. на стоянке), в то
время как воздушно-реактивный двигатель без турбины в этом случае тяги не
создает (так как воздух в него не поступает). На самолетах, снабженных воздуш-

§ 133]
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
577
но-реактивным двигателем, сейчас удалось достичь скоростей, значительно превы-
превышающих скорость звука.
Другим распространенным типом летательного аппарата является вертолет
(рис. 371). Он не имеет крыльев; подъемной силой является сила тяги расположенного
горизонтально винта больших размеров, приводимого во вращение мотором (так
называемый несущий винт). Для
того чтобы при вращении винта
корпус вертолета вместе с мотором
не вращался в противоположную
сторону J) (как это происходит, на-
например, с электромотором, на ста-
статор которого не действует внеш-
внешний момент; см. рис. 205), на хвосте
вертолета устанавливается неболь-
небольшой вспомогательный винт, также
приводимый в движение мотором и
вращающийся в вертикальной пло-
плоскости. Этот винт при небольшой
силе тяги, благодаря большому выносу от центра тяжести вертолета, создает боль-
большой момент относительно вертикальной оси вертолета. Этот момент и является тем
внешним моментом, который поддерживает вращение несущего винта, т. е. останав-
останавливает вращение корпуса вертолета в обратном направлении. (В некоторых систе-
системах вертолетов для устранения вращения корпуса вертолета применяются два несу-
несущих винта, вращающихся в противоположные стороны).
Основное отличие вертолета от самолета состоит в том, что несущий винт, вра-
вращаясь, создает подъемную силу и в отсутствие горизонтальной скорости. Поэтому
вертолет может подниматься (и
Т ккГ s'li\ опускаться) вертикально и «висеть»
неподвижно. Благодаря этому для
взлета и посадки вертолета не тре-
требуется пробега по земле, т. е. не
требуется аэродрома с взлетной до-
дорожкой. Чтобы сообщить вертолету
горизонтальную скорость, приме-
применяется специальное устройство, ав-
автоматически изменяющее шаг (угол
атаки) двух противоположных ло-
лопастей несущего винта, расположен-
расположенных в данный момент в том направ-
направлении, в котором вертолету дол-
должно быть сообщено движение. При этом угол атаки передней лопасти винта
уменьшается, а задней — увеличивается (две другие лопасти, расположенные в дан-
данный момент перпендикулярно к направлению движения, имеют одинаковый угол
атаки). При вращении винта угол атаки всех четырех лопастей периодически
(с периодом вращения винта) изменяется, так что указанное расположение уг-
углов атаки в пространстве остается неизменным. Вследствие различия углов
Рис. 372.
х) Такое же вращение должно возникать у винтомоторного самолета вокруг
продольной оси (так как ось мотора горизонтальна). Иначе говоря, должен был бы
появиться все возрастающий крен самолета в сторону, противоположную вращению
винта. Однако, как было отмечено выше, при крене возникает встречный момент,
обусловленный разностью подъемных сил, действующих на оба крыла. Этот внешний
момент уже при небольшом крене оказывается достаточным для того, чтобы поддер-
поддерживать вращение винта. При помощи небольших дополнительных приспособлений,
увеличивающих подъемную силу опускающегося крыла, этот крен вообще может
быть устранен. (В самолетах с двумя и вообще четным числом моторов для этой цели
устанавливаются попарно моторы, вращающиеся в противоположные стороны.)
19 С. Э. Хайкин

¦V. С,* :;¦ \ '¦
':::•*-
578 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА [ГЛ. XVT
атаки подъемная сила задней лопасти оказывается большей, чем передней, и ре-
результирующая сила тяги Т несущего винта отклоняется несколько вперед
(рис. 372). Горизонтальная составляющая Тг этой силы тяги и сообщает вертоле-
вертолету движение в нужном направлении. Вертикальная составляющая силы тяги Т2
должна быть равна весу вертолета (чтобы он не опускался), и следовательно,
общая сила тяги Т должна быть несколько больше, чем в случае, когда вертолет
«висит» неподвижно. После того как под действием составляющей Тг вертолет
приобретет такую скорость горизонтального движения, при которой он испыты-
испытывает лобовое сопротивление, равное 7\, дальнейшее горизонтальное движение
будет происходить равномерно.
Для разворота вертолета вокруг вертикальной оси обычно используется вспомо-
вспомогательный винт. Немного увеличивая или уменьшая число оборотов этого винта,
соответственно изменяют его момент относительно вертикальной оси, что вызывает
вращение вертолета вокруг этой оси.
§ 134. Распространение импульса сжатия в газе
Во всех рассмотренных ранее случаях движения жидкостей и
газов изменение объема играло второстепенную роль, и поэтому
можно было рассматривать жидкости и
фронт газы как несжимаемые. Сейчас мы рас-
\ампульсо смотрим явление, в котором сжимае-
сжимаемость играет принципиальную роль,
именно распространение импульса сжа-
сжатия в газе. Как и в аналогичных явле-
явлениях в твердом теле, сжимаемостью оп-
определяется скорость распространения
импульса.
Рассмотрим прежде всего, как может
возникнуть импульс сжатия в газе.
Представим себе пластину очень боль-
больших размеров, помещенную в газ (рис.
^ ' "iH '""' I 373). Сообщив пластине быстрое пере-
*~г^__сд1: J мещение вдоль нормали к ней, мы вызо-
€ вем в прилегающем слое газа сжатие и
Рис. 373. вследствие этого повышение давления.
Это давление вызовет движение сле-
следующего слоя газа, и т. д. Сжатие и движение частиц будут пере-
передаваться от слоя к слою; в газе будет распространяться импульс сжа-
сжатия. Это импульс продольный, так как направление распространения
импульса совпадает с направлением движения частиц. Очевидно,
что с левой стороны пластины должен возникнуть продольный импульс
разрежения, но мы ограничимся рассмотрением импульса только справа
от пластины.
Распространение импульса сжатия обусловлено наличием упру-
упругих сил, возникающих в газе. Газы обладают упругостью только
в отношении изменения объема и не обладают упругостью в отноше-
отношении сдвига. ПоэтОдму, в отличие от твердых тел, в газах могут распро-
распространяться только импульсы сжатия и разрежения, т. е. продольные
v 'у
"••К?-:- '¦¦¦¦'¦'¦ .•:--

§ 134] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА СЖАТИЯ В ГАЗЕ 579
импульсы. Импульс всегда будет распространяться либо в направле-
направлении, в котором начали двигаться частицы газа в месте возникновения
импульса (импульс сжатия), либо в противоположном направлении
(импульс разрежения).
Если сообщить пластине быстрое перемещение не в нормальном
направлении, а под углом к нормали, то частицы все же получат
скорости, направленные по нормали. Действительно, между газом
и пластиной действуют только силы нормального давления, и, как
бы ни двигалась пластина, она может сообщить частицам только
нормальные скорости. Правда, при быстром движении между пла-
пластиной и газом возникают и тангенциальные силы вязкости, но если
они малы, то скорости частиц практически нормальны к пластине,
в газе возникнет только продольный импульс, нормальный к пла-
пластине. Движение газа в направлении вдоль пластины, обусловленное
силами вязкости, может быть заметно только вблизи нее.
Скорость распространения продольного импульса сжатия в газе
можно рассчитать совершенно так же, как и скорость продольного
импульса в твердом теле (§ 113). Пусть импульс сжатия соответствует
увеличению плотности на Др и увеличению давления на Др. Через
площадку S, перпендикулярную к направлению распространения им-
импульса, за время At проходит часть импульса сжатия с At, где с —
скорость распространения импульса. Прохождение этого участка им-
импульса сжатия связано с увеличением массы справа от площадки S
на величину Am = ApScAt. При этом через площадку передается
количество движения *) А тс = Др Sc2At. Вместе с тем слева на пло-
площадку S действует сила F = S Др. Изменение количества движения
должно быть равно F At. Следовательно,
или с2 = Ар/Ар. A6.20)
Скорость импульса сжатия определяется тем, как изменяется плот-
плотность среды при изменении давления.
При дальнейших расчетах необходимо принять во внимание,
что упругие свойства газа зависят от температуры. При быстром
сжатии газа выделяется тепло, которое не успевает распространиться
в соседние объемы. Так как при повышении температуры сжимае-
сжимаемость газа уменьшается, т. е. Ар/Ар возрастает, то это приводит к
увеличению скорости распространения импульса по сравнению с той,
которая имела бы место при неизменной температуре. Сжатие газа без
отвода тепла носит название адиабатического союатия. При адиабати-
адиабатическом сжатии вместо закона Бойля — Мариотта, который справедлив
при неизменной температуре (изотермическое сжатие), связь между
объемом и давлением дается соотношением
= const,
1) По той же причине, что и в § 113, мы вместо термина «импульс» и здесь приме-
применяем термин «количество движения»,
19*

580 гидродинамика и аэродинамика [гл. xvi
где у имеет несколько различное значение для различных газов. Для
воздуха у = 1,4. Так как плотности обратны объемам, то
p/pY = /ypy, или ppY=popY. A6.21)
Дифференцируя полученное выражение, находим:
*Е = Шру-\ A6.22)
Ф й
Из A4.28), A6.20) и A6.22) видно, что величина ??npY-i играет в газе
рУ
такую же роль, какую играет Е/р в упругом твердом теле (Е —мо-
—модуль сжатия, р — плотность твердого тела). Эту величину можно
назвать «модулем сжатия» газа; он и определяет скорость распро-
распространения импульса сжатия. В отличие от модуля сжатия^ твердого
тела, «модуль сжатия» газа зависит от того значения плотности р,
которое имеет газ в импульсе сжатия. Следовательно, скорость рас-
распространения импульса должна зависеть от степени сжатия в импульсе.
Только в том случае, когда сжатие столь мало, что можно поло-
положить р ж р0, модуль сжатия перестает зависеть от р и скорость
распространения импульса не зависит от величины сжатия. В этом
случае, как следует из A6.22),
j-^y-f A6.23)
и скорость распространения слабых импульсов сжатия
с0 = КтА/Ро- A6.24)
Для воздуха, например, при 0° : po/pi} = 8-10* см2/секг, у = 1,4
и скорость импульса сжатия с0 = 334 м/сек. Так как отношение ро/р0
меняется с температурой (повышается с увеличением температуры),
то скорость импульса сжатия в газе растет с повышением температуры.
При неизменной температуре отношение ро/ро Для данного газа не за-
зависит от плотности и, следовательно, скорость распространения сла-
слабого импульса не зависит от средней плотности газа. Найденная ско-
скорость распространения слабого импульса сжатия 334 м/сек совпадает
со скоростью звука в воздухе при тех же условиях. Это совпадение
вполне понятно, поскольку скорость распространения с0 должна быть
одинакова для всех слабых импульсов сжатия независимо от их формы
и степени сжатия (пока оно мало). Звуковые волны можно рассматри-
рассматривать как ряд таких импульсов сжатия, следующих вплотную друг за
другом и распространяющихся с одинаковой скоростью. Пока сжатия
в звуковой волне невелики, она должна распространяться с той же
скоростью, что и отдельные слабые импульсы сжатия.
Скорость звука в воздухе была впервые измерена следующим
образом. Из одного пункта одновременно посылались звуковой и све-
световой сигналы (удар колокола и вспышка света). В другом пункте

§ 134] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА СЖАТИЯ В ГАЗЕ 581
измерялось время, на которое запаздывает приход звукового сигнала
относительно светового. По этому времени и расстоянию между пунк-
пунктами определялась скорость звука, т. е. скорость распространения
слабого импульса сжатия *).
Импульс сжатия, возникающий при быстром перемещении бес-
бесконечно большой пластины, представляет собой простейший тип им-
импульса сжатия, так называемый плоский импульс. Во всех точках
любой плоскости, параллельной пластине, в каждый момент времени
газ находится в одном и том же состоянии. Энергия, движущаяся
вместе с импульсом сжатия, занимает все время одинаковый объем,
и плотность энергии, следовательно, не меняется — импульс сжатия
распространяется, не ослабевая. Но это было бы справедливо только
для бесконечно больших пластин. При конечных размерах пластины
вследствие явлений, о которых мы будем говорить в гл. XIX, импульс
сжатия размывается и захватывает все более и более широкие области.
При этом энергия распространяется на все большие и большие объемы
и плотность энергии в импульсе сжатия уменьшается. Импульс сжа-
сжатия постепенно ослабевает при распространении. Однако полная
энергия импульса сжатия оставалась бы постоянной, если бы при рас-
распространении импульса не происходило потерь энергии. В действи-
действительности вследствие теплопроводности и вязкости газа часть энергии
импульса сжатия превращается в тепло, полная энергия импульса
уменьшается и импульс сжатия ослабевает быстрее, чем в отсутствие
потерь.
Другим простым типом импульса сжатия является шаровой им-
импульс. Такой импульс мог бы возникнуть, если бы шар, помещенный
в газе, сразу резко увеличил свой радиус. Если среда однородна, то
скорость распространения импульса сжатия во все стороны одна и
та же и шаровой импульс в один и тот же момент будет приходить
в точки, лежащие на поверхности одной и той же сферы. При рас-
распространении такого шарового импульса сжатия объем, по которому
распределяется полная энергия импульса, растет как квадрат рас-
расстояния, пройденного импульсом от места возникновения, а плотность
энергии в импульсе будет уменьшаться обратно пропорционально
квадрату этого расстояния. Поэтому шаровой импульс сжатия будет
ослабевать с расстоянием быстрее, чем плоский (однако на большом
расстоянии от места возникновения, где плоский импульс уже доста-
достаточно сильно размылся, он не будет существенно отличаться от шаро-
шарового и так же быстро, как шаровой, будет ослабевать с расстоянием).
После того как найдена скорость, с которой распространяется
слабый импульс сжатия, можно определить условия, при которых
х) Интересно отметить, что в то время, когда производились первые опьпы по
измерению скорости звука, пользовались неправильной формулой, полученной
Ньютоном без учета адиабатического характера процесса и не содержавшей поэтому
под корнем множителя у. Когда обнаружилось расхождение с опытом, причина этого
была выяснена и формула исправлена Лапласом,

582 гидродинамика и аэродинамика [гл. xvi
возникший импульс действительно оказывается слабым и к нему
применимо все сказанное выше. В этом случае он распространяется
со скоростью с0 и за время Д? с момента начала движения пластины
передний край импульса пройдет расстояние с0Д/ (рис. 373). За это
же время пластина переместится на расстояние аД/, где v — скорость
движения пластины. Плотность газа в пространстве между пластиной
и передним краем (фронтом) импульса увеличится. Плотность газа
в импульсе
Pi=Po(q>-«0/co> О6-25)
где р0 — плотность газа до возникновения импульса. Следовательно,
для того чтобы сжатие в импульсе было мало, т. е. рх мало отличалось
от р0, должно быть
о<с0. A6.26)
Условию A6.26) можно придать более общий смысл. Двигаясь со
скоростью v, пластина такую же скорость сообщает частицам газа
в импульсе сжатия. Следовательно, сжатие в импульсе будет мало,
пока скорость, которой обладают частицы в импульсе, мала по срав-
сравнению со скоростью распространения звука в газе.
Если это условие не соблюдается, т. е. скорость частиц в газе
сравнима с с0, то определить р из выражения A6.25) уже нельзя,
так как в него войдет неизвестная нам скорость распространения
импульса с, отличная от с0. Представление о том, как ведет себя ско-
скорость распространения импульса при большом сжатии, дает выражение
A6.22), в котором еще не сделано предположение о том, что р ~ р0.
Из A6.20) и A6.22) следует, что с ростом р, т. е. величины сжатия
в импульсе, скорость распространения импульса возрастает. Обус-
Обусловлено это тем, что при сильном сжатии газа температура его заметно
возрастает, т. е. растет «модуль сжатия» газа, а значит, и скорость рас-
распространения импульса.
Поскольку пластина, создающая импульс сжатия, по нашему
предположению, начала двигаться сразу с конечной скоростью, фронт
импульса мы должны представлять себе как плоскость, параллельную
пластине, впереди которой плотность равна р0, а позади нее р. На этой
плоскости меняются скачком (претерпевают разрыв) значения р,
р и скорости частиц v. Поэтому такие импульсы сжатия называют раз-
разрывными волнами (или ударными волнами).
Может показаться, что в рассмотренном нами механизме возник-
возникновения ударной волны принципиальную роль играет то обстоятель-
обстоятельство, что пластина начала двигаться сразу с конечной скоростью;
между тем это физически невозможно, так как, чтобы сообщить пла-
пластине сразу конечную скорость, на нее должна действовать бесконечно
большая сила. Однако в действительности дело обстоит не так: закон
нарастания скорости движения пластины не играет существенной роли.
Для возникновения ударной волны необходимо только, чтобы скорость

§ 134] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА СЖАТИЯ В ГАЗЕ 583
пластины достигла скорости звука в газе. Убедиться в этом можно
при помощи следующих соображений.
Движение пластины с постепенно возрастающей скоростью можно
представить себе как ряд последовательных скачков скорости. Каждый
скачок скорости будет вызывать возникновение импульса сжатия, но
каждый следующий импульс будет возникать в газе, частицам кото-
которого пластина уже сообщила скорость и который уже сжат предшест-
предшествующими импульсами; поэтому распространяться он будет со скоростью
большей, чем все предшествующие импульсы. Все импульсы будут
догонять друг друга и вместе с тем догонят и первый импульс, сжатие
в котором вследствие этого сильно возрастет. Вся последовательность
импульсов, наложившись друг на друга, образует ударную волну.
Таким образом всякий импульс, в котором скорости частиц воз-
возрастают не мгновенно, но достигают значений, превосходящих ско-
скорость звука в газе, превращается в ударную волну. Так происходит,
например, образование ударной волны при взрыве, когда давление
образовавшихся при взрыве газов возрастает хотя и очень быстро, но
все же с конечной скоростью. Но независимо от механизма возникно-
возникновения ударной волны в реальном газе не могут существовать в бук-
буквальном смысле разрывы давления, плотности и скорости. Поэтому
рассмотренный механизм возникновения ударной волны приводит не
к образованию разрывов в буквальном смысле слова, а к возникно-
возникновению у фронта импульса сжатия тонкого слоя с очень большими
градиентами плотности, давления и скорости частиц. Но большие
градиенты скоростей приводят к большим потерям энергии за счет
вязкости, а большие градиенты сжатия, а значит и повышения тем-
температуры газа, — к большим потерям за счет теплопроводности. По-
Поэтому потери энергии в ударной волне велики, и при распространении
она гораздо быстрее ослабевает, чем слабый импульс сжатия.
Для того чтобы приблизиться к реальным случаям возникновения
ударной волны, нужно отказаться от рассмотрения очень большой
пластины и выяснить, как сказываются размеры пластины на усло-
условиях возникновения импульса. В случае пластины небольших разме-
размеров при медленных ее движениях давления по обе стороны от пластины
будут выравниваться; газ будет около краев пластины перетекать из
области сжатия впереди пластины в область разрежения позади нее.
Поэтому при медленном движении пластина небольших размеров не
будет создавать импульса сжатия в газе.
Однако если пластина движется так быстро, что давления не успе-
успевают выравниваться, то в газе возникнет импульс сжатия^ такой же
величины, как и в случае движения бесконечной пластины. Давле-
Давления выравниваются со скоростью распространения слабого импульса,
т. е. со скоростью звука с0 (пока давление успевает выравниваться,
мы имеем дело с малыми сжатиями). Поэтому, если скорость движе-
движения пластины превышает скорость звука с0, то давление впереди и
позади пластины не будет успевать выравниваться даже при малых

584
Гидродинамика и аэродинамика
Ггл xvi
ее размерах и впереди нее возникнет ударная волна. Точно так же и
всякое тело, даже малых размеров, движущееся со скоростью, превы-
превышающей скорость звука, например пуля или снаряд, создает ударную
волну.
Так как скорость распространения ударной волны меньше, чем
скорость тела, ее порождающего, то характер возникающей ударной
волны и характер ее распространения оказываются весьма своеобраз-
своеобразными. Пуля (или снаряд) создает в воздухе импульс сжатия, который
не может обогнать пулю, так как движется с меньшей скоростью.
Следовательно, перед пулей импульса сжатия не будет. Он будет
появляться только позади нее.
Чтобы выяснить характер импульса, представим себе, что пуля
движется не непрерывно, а равными скачками; каждый из этих скач-
скачков вызывает возникновение
импульса сжатия, который
распространяется во все сто-
стороны в виде шарового импуль-
импульса; так как он быстро ослабе-
ослабевает с расстоянием, то на не-
некотором расстоянии от места
возникновения скорость его
распространения приближает-
Рис 374 ся к скорости звука с0. На
рис. 374 цифрами отмечены
последовательные положения
пули через равные промежутки времени. Пользуясь указанным пред-
представлением, мы должны рассматривать точки 1, 2, 3, ... как источники
шаровых импульсов сжатия, возникающих в момент появления пули
в данной точке. Так как эти моменты отделены от момента, соответст-
соответствующего положению 8, разными промежутками времени, то импульсы
от отдельных точек успевают распространиться на разные расстояния.
Расположение таких отдельных импульсов для момента времени,
когда пуля находится в точке 8, отмечено на рисунке соответствующими
кругами.
Если отдельные скачки будут становиться все мельче и мельче,
круги эти будут расположены все гуще и гуще. При этом все шаро-
шаровые импульсы сжатия образуют сплошную коническую поверхность,
которая является фронтом ударной волны. Эта волна движется вместе
с пулей и с ее скоростью. Таким образом, хотя отдельные импульсы
сжатия распространяются с меньшей скоростью, но ударная волна
движется с такой же скоростью, с какой движется пуля. Так как
за время движения пули от точки / до точки 8 со скоростью v шаровой
импульс, распространяясь со скоростью с0, проходит путь d, то угол 2а
раствора конуса определяется выражением sin a = cjv.
Ударную волну, создаваемую пулей в воздухе, можно наблюдать
при помощи специальных оптических приемов, использующих уве-

§ 134] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА СЖАТИЯ В ГАЗЕ 585
личение коэффициента преломления света в воздухе при сжатии воз-
воздуха. При кратковременном освещении электрической искрой полу-
получаются моментальные фотографии летящей пули и сопровождающей ее
ударной волны. На рис. 375 приведена одна из таких фотографий.
Картина позади пули отчасти напоминает рассмотренные нами
выше случаи неполного обтекания потоком: пуля оставляет позади
себя завихренное пространство. Однако основную роль при движении
с большими скоростями играет картина не позади тела, а впереди него.
Рис. 375.
На создание ударной волны расходуется часть энергии движущегося
тела. Этот новый вид сопротивления среды, которое возникает при
быстром движении тел, называется волновым сопротивлением. При
скоростях, превышающих скорость звука, этот вид сопротивления
имеет решающее значение. Величина волнового сопротивления за-
зависит от формы не задней (как в случае обтекания), а передней части
тела. Для ослабления возникающей ударной волны, а значит и вол-
волнового сопротивления, передняя часть тела (у которой возникает удар-
ударная волна) должна быть заострена. Например, у самолетов, летающих
со сверхзвуковыми скоростями, передняя кромка крыльев делается
гораздо более тонкой, чем у самолетов, скорости которых меньше ско-
скорости звука.
Большие сжатия газа должны возникать и в случае, когда тело
покоится, а набегающий на него поток газа движется со скоростью,
близкой к звуковой. В этом можно убедиться, подсчитав значение

586 ГИДРОДИНАМИКА И АЭРОДИНАМИКА [ГЛ XVI
pir/2, т.е. увеличение давления в остановленном телом потоке газа;
например, для воздуха при атмосферном давлении и v = 330 м/сек
ро2/2я^0,7 атм.
При таких изменениях давления плотность газа существенно изме-
изменяется и необходимо учитывать его сжимаемость и все явления, про-
происходящие при сжатии газа, — выделение тепла и повышение «модуля
сжатия» газа.
В обоих случаях, когда скорости тела или скорости газа сравнимы
с с0, возникают значительные изменения состояния газа и в уравне-
уравнениях, описывающих эти движения, необходимо учитывать измене-
изменения свойств газа, вызванные изменением состояния газа. Движения
определяются не только законами механики, но и законами термо-
термодинамики. Поэтому детальное рассмотрение таких движений выхо-
выходит за рамки механики и составляет предмет специальной науки —
газодинамики, В газодинамике рассматриваются также задачи о дви-
движениях жидкости (или тел в жидкости) со скоростями, сравнимыми со
скоростью звука в жидкости. В этих случаях возникают явления,
аналогичные описанным выше, и хотя сжимаемость жидкостей мала
(гораздо меньше, чем сжимаемость газов), она играет в этих явлениях
принципиальную роль.

ГЛАВА XVII
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 135. Колебательные движения
Среди разнообразных физических явлений широко распространены
колебательные явления, обладающие общими чертами и даже под-
подчиняющиеся общим закономерностям, несмотря на то, что эти колеба-
колебательные явления имеют различную природу (например, механические
и электрические колебания). Среди этого обширного класса явлений
к механике относятся механические колебательные движения, подчи-
подчиняющиеся уже известным нам законам механики. Общая черта всех
колебательных движений состоит в том, что они представляют
собой движения, многократно повторяющиеся или приблизительно
повторяющиеся через определенные промежутки времени.
Характер колебательных движений определяет те вопросы, которые
нас главным образом интересуют при изучении колебаний. При изу-
изучении неповторяющихся движений задача механики состоит в том,
чтобы определить положение, скорость и ускорение движущихся тел
в тот или иной момент времени. При изучении колебательных движе-
движений на первый план выдвигается изучение особенностей, характерных
для повторяющихся движений: закон, по которому повторяется дви-
движение; время, через которое система снова приходит к тому же самому
состоянию; наибольшие отклонения, которых достигает движущееся
тело, и т. д. Изучив эти характеристики колебательного движения,
мы могли бы затем определить состояние системы в любой момент вре-
времени, но это обычно не представляет интереса. Для решения конкрет-
конкретных вопросов, с которыми приходится сталкиваться при изучении
колебательных движений, обычно необходимо знать лишь самые при-
признаки, характеризующие повторяемость движений. В этом и заклю-
заключается специфическая черта задачи, которая возникает при изучении
колебаний.
Изучение колебательных движений мы начнем с наиболее простых
задач, когда колеблющееся тело можно рассматривать как материаль-
материальную точку или твердое тело, а затем перейдем к случаям, когда прин-
принципиальную роль играют деформации самого колеблющегося тела,
т. е. к колебаниям в упругих телах. Колебательные движения твер-

588
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ XVII
дого тела представляют собой предельный случай колебаний упругих
тел, к которому мы должны прийти, пренебрегая деформациями упру-
упругих тел. Этот предельный случай более прост, поэтому мы с него и
начнем (так же, как это было сделано в механике). После того как
будет рассмотрена общая картина колебаний упругих тел, выяснится
и то место, которое занимает в ней предельный случай колебаний
твердого тела.
В этой главе будут рассмотрены колебания систем с одной степенью
свободы, т. е. таких, положение которых определяется одной коор-
координатой, а движение описывается одним дифференциальным уравне-
уравнением второго порядка.
§ 136. Гармонические колебания
Примером колебаний, происходящих в системе с одной степенью
свободы, могут служить колебания математического маятника (§ 69).
Как мы убедились, при отклонениях
на малый угол айв отсутствие сил
трения движение маятника, подчи-
подчиняющееся уравнению
<Z%6
О
Рис.
_зх_
d2a
A7.1)
происходит по гармоническому зако-
закону. Гармоничность колебаний маят-
маятника обусловлена тем, что ускорение
маятника можно считать пропорцио-
пропорциональным углу а.
Точно так же и колебания груза,
подвешенного на пружине (рассмот-
(рассмотренные в § 20), в отсутствие сил тре-
трения будут гармоническими до тех пор, пока пружина следует за-
закону Гука. Движение груза (рис. 376) описывается уравнением
где кх — упругая сила пружины, а Р — сила тяжести. Чтобы привести
это уравнение к виду уравнения A7.1), введем новую координату
х' = х — P/k. Тогда получим:
A7.2)
и мы видим, что и в этом случае ускорение пропорционально смещению
и направлено в противоположную сторону. Таким образом, действие
постоянной силы тяжести Р не изменяет характера колебаний груза;
оно лишь смещает его положение равновесия. Следовательно, /

§ 13G] ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 589
также будет изменяться по гармоническому закону — груз будет
совершать гармонические колебания около положения х' = О или
х = Plk. По аналогии с маятником (§ 69) мы можем определить и
период колебаний груза A0.14). Вместо отношения g/l, которое вхо-
входило в уравнение маятника, в уравнение колебаний груза входит
отношение klm. Поэтому период колебаний груза
Заметим, что, несмотря на полную аналогию в законах движения
математического маятника и груза на пружине, между ними есть и
глубокое различие. Период колебаний груза на пружине зависит от
массы груза, а период колебаний маятника от его массы не зависит.
Причина этого различия состоит в том, что сила, возвращающая
маятник к положению равновесия, пропорциональна его массе, тогда
как сила, действующая па выведенный из положения равновесия груз,
определяется только свойствами пружины, на которой он подвешен.
Гармонические крутильные или торсионные колебания совершает
тело, подвешенное на упругой нити. Уравнение вращательного дви-
движения тела вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса,
имеет вид
1 м
где а — угол поворота тела вокруг вертикальной оси, / — момент
инерции тела относительно той же оси, а М —момент (относительно
той же оси) упругой силы, действующей со стороны закрученной на
угол а нити. При малых а этот момент пропорционален деформации,
т. е. М — —/га, где k зависит от размеров и упругих свойств мате-
материала нити. В таком случае уравнение движения
? = -Т« A7-3)
аналогично уравнению движения груза на пружине. Если тело закру-
закрутить на некоторый угол и затем предоставить ему возможность дви-
двигаться, то оно будет совершать вокруг вертикальной оси гармониче-
гармонические колебания с периодом
T = 2nVTJk. A7.4)
Так как в рассмотренных крутильных колебаниях играет роль упру-
упругая сила, а не сила тяготения, как и для груза на пружине, то период
колебаний зависит от массы тела (правда, не непосредственно от
массы тела, а от его момента инерции относительно оси, вокруг которой
происходят колебания).
Во всех рассмотренных случаях тело, обладающее одной степенью
свободы и находящееся в состоянии устойчивого равновесия, при
небольшом отклонении от этого состояния совершает гармонические

590 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ.
колебания вследствие того, что на тело действует сила, возвращающая
его к положению равновесия, величина которой пропорциональна
отклонению тела от положения его равновесия. При наличии только
такой «восстанавливающей» силы малые колебания около положения
равновесия всегда будут гармоническими.
В реальных системах помимо такой восстанавливающей силы всегда
действуют и силы другого типа, прежде всего силы трения. Если они
достигают значительной величины, то их влияние может существенно
нарушить гармоничность колебаний. Но если эти силы малы, то для
тела, обладающего одной степенью свободы, малые колебания около
положения устойчивого равновесия всегда близки к гармоническим.
При гармонических колебаниях смещение колеблющейся точки
происходит по гармоническому закону
или x = Xcos(co/+i|)). A7.5)
Ясно, что оба эти закона аналогичны, так как соответствующим выбо-
выбором величин ф или if можно перейти от одного закона к другому.
Величина X (наибольшее значение отклонения) называется ампли-
амплитудой колебаний, величина о> называется угловой частотой колебаний.
Через промежутки времени Т — 2я/со функция sin или cos проходит
через одни и те же значения, т. е. движение повторяется. Этот проме-
промежуток времени Т есть период колебаний. Поэтому
A7.6)
где / —частота колебаний *), т, е. число полных колебаний (циклов)
в единицу времени. Так как число колебаний в единицу времени, т. е.
частота, / = 1/71, то размерность частоты обратна размерности времени.
В системах СИ и CGS единицей частоты служит сек1. Эта единица
получила специальное название «герц» (в честь физика Генриха Герца).
Аргумент гармонической функции, т. е. со/ + ф или со/ + if, назы-
называется фазой колебаний. Значения аргумента при t = 0, т. е. ф или яр,
называются начальной фазой колебаний. Форму кривой, выражающей
зависимость изменения колеблющейся величины от времени, называют
формой колебаний. В случае гармонических колебаний форма коле-
колебаний синусоидальна.
Форму колебаний может «вычертить» само колеблющееся тело. Например, ко-
колеблющийся маятник с песочницей «вычерчивает» синусоиду на равномерно движу-
движущейся под ним доске (рис. 377). Методы регистрации, позволяющие судить о форме
колебаний, называются «временной разверткой». Для временной развертки быстрых
колебаний чаще всего применяется световая запись. Пучок света, отражающийся от
колеблющегося тела, движется по экрану вверх и вниз. При этом какое-либо устрой-
устройство перемещает пучок света vno экрану в горизонтальном направлении с постоянной
скоростью. Широко распространенные (обычно — электронные) приборы для изу-
изучения колебаний называются осциллоскопами и осциллографами.
х) Эту частоту / иногда называют циклической, чтобы отличить ее от угловой
частоты ш.

13G]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
591
Если какие-либо два колебания происходят по гармоническому
закону,
xi = Xism (<°1* + 9i)« X2 = Х2 sin (со2/ + фа),
то разность фаз этих колебаний
1|) = ((dj + ф1) - (®2t + ф2) = ((О, - С02) t + (ф! - ф2)
есть величина, вообще говоря, переменная (зависящая от времени).
Но если о)х = со2, то
т. е. разность фаз двух колебаний одинаковой частоты есть величина
постоянная. Этот сдвиг фаз равен
разности начальных фаз обоих ко-
колебаний.
Представление о гармонических
колебаниях и о сдвиге фаз между
ними может дать следующая мо-
модель. На горизонтальном диске, вра-
вращающемся с постоянной скоростью,
укреплены на ножках два шарика,
положение которых на круге мож-
можно изменять (рис. 378). Если про-
проецировать шарики на экран, то те-
тени шариков на экране будут совер-
совершать гармонические движения.
Действительно, координата проек-
проекции шарика на экране (рис. 379, а)
х — R cos a = R cos wtf где со —уг-
—угловая скорость вращения круга, R
определяет амплитуду колебаний
тени на экране, а со —частоту этих
колебаний. Когда шарики стоят
на одном радиусе (рис. 379, б), но на разных расстояниях от оси,
их тени совершают колебания, совпадающие по фазе, но разной ампли-
амплитуды. Когда шарики расположены на двух радиусах, образующих
угол ф (рис. 379, в), то их тени совершают колебания, сдвинутые по
фазе на угол ф. Очевидно, что тени шариков на экране движутся
с одинаковыми частотами и с постоянным сдвигом фаз. Два гармо-
гармонических колебания, происходящие с одинаковой частотой и с по-
постоянным сдвигом фаз, называются когерентными. Далее мы встре-
встретимся со случаями, когда когерентность колебаний играет важную
роль.
Если смещение колеблющейся точки изменяется по гармониче-
гармоническому закону,
Xi
Рис. 377.

592
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ XVII
то скорость и ускорение точки
dx
v = -^ = (оХ cos (at + ф), A7.7)
/=^r = — co2Xsin(co/ + ф) A7.8)
также изменяются по гармоническому закону. При этом амплитуда
скорости V = соХ, а амплитуда ускорения А = со2Х. По фазе скорость
сдвинута на л/2, а ускорение — на я относительно смещения (рис. 380).
То обстоятельство, что при гармонических колебаниях смещение,
скорость и ускорение пропорциональны друг другу и изменяются со
временем по одинаковому (гармоническому) закону, является спе-
специальным свойством гармонических колебаний, которое выделяет их
из всех колебаний любых иных форм.
Колебания, совершаемые телом, часто бывает удобно рассматри-
рассматривать как результат наложения нескольких гармонических колебаний,
одновременно совершаемых телом. В связи с этим возникает вопрос
о сложении гармонических колебаний. Например, сумма двух гармо-
гармонических колебаний с одинаковыми частотами, но разными фазами и

§ 13G]
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
593
амплитудами представляет собой также гармоническое колебание
с той же частотой, но новой фазой и амплитудой:
a sin (Ш -J- фх) Н- Ъ sin (со/ + ср2) = X sin (со/ + -ф),
где
Ь COS ф2
X и я|) — соответственно амплитуда и фаза результирующего коле-
колебания.
Сумма двух гармонических колебаний с различными частотами
(и для простоты одинаковыми амплитудами)
a sin
sin со2/ = 2а соь
sin
уже не является гармоническим колебанием. Если ь\ и <х>2 близки по
величине, то результирующее колебание можно рассматривать как
колебание с некоторой «средней
частотой» (щ + со2)/2, амплиту-
амплитуда которого медленно (по срав-
сравнению со «средней частотой»)
меняется в пределах от 2а до
нуля по закону cos ^ ~ — /. Она
достигает максимума, равного
2а, когда фазы складываемых
колебаний совпадают, и падает
до нуля, когда они противопо- рт 380.
ложны (рис. 381). Такие коле-
колебания носят название биений. Время т = 2п1{щ — со2) называется
периодом биений, a Q = о)х — со2 — угловой частотой биений.
Рис. 381.
Поскольку для рассматриваемого случая двух колебаний с раз-
разными частотами ш2 и соа сдвиг фаз между колебаниями, равный

594
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
[ГЛ. XVII
яр = со^ — co2f, меняется со временем, этот случай является примером
двух некогерентных колебаний. Изменение со временем амплитуды
результирующих колебаний является характерным следствием неко-
некогерентности складываемых колебаний.
Если складываемые колебания имеют не только различную частоту,
но и различные амплитуды а и bf то размахи результирующих коле-
колебаний уже нигде не спадают до нуля. Они изменяются от а + Ь там,
где фазы складываемых колебаний совпадают, до а — Ъ там, где фазы
их противоположны. Чем больше отличаются амплитуды а и Ь, тем
меньше «глубина» биений.
Рис. 382.
Картину сложения двух гармонических колебаний можно продемонстрировать
при помощи двух камертонов с электромагнитным возбуждением (рис. 382). Ножки
камертонов совершают колебания, очень близкие к гармоническим. Луч света после-
последовательно отражается от двух зеркальных поверхностей на торцах камертонов, а
затем — от вращающегося зеркала, служащего для развертки, т. е. перемещения
зайчика в горизонтальном направлении. Отклонение зайчика на экране пропорцио-
пропорционально сумме отклонений ножек обоих камертонов.
§ 137. Собственные колебания
Колебания, которые совершает система около положения устой-
устойчивого равновесия после того, как она была выведена из состояния
равновесия, носят название собственных или свободных колебаний.
Рассмотренные нами колебания маятника или груза на пружине
являются примером собственных колебаний. Собственные колебания
возникают в результате достаточно быстрого изменения действующей
на тело силы, т. е. воздействия, имеющего характер толчка. Чтобы
возникли собственные колебания, нужны столь быстрые изменения
силы, при которых ее величина успеет заметно измениться за малую

§ 137] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 595
долю периода колебаний. Только такие, быстрые по сравнению с пе-
периодом колебаний изменения силы являются толчком для данной
колебательной системы и могут вызвать собственные колебания в си-
системе.
Если силы трения столь малы, что ими можно пренебречь, то в си-
системе с одной степенью свободы, в которой восстанавливающая сила
пропорциональна отклонению от положения равновесия, малые
собственные колебания происходят по гармоническому закону
где хл — координата, характеризующая положение колеблющегося
тела (например, смещение груза, угол отклонения маятника и т. д.).
Угловая частота собственных колебаний щ определяется свойствами
.самой системы: соо = ]/' klm, где k—коэффициент пропорциональ-
пропорциональности между восстанавливающей силой и смещением, либо моментом
восстанавливающей силы и угловым смещением (по предположению,
величина постоянная), а т—масса колеблющегося тела (или его
момент инерции для крутильных колебаний). Амплитуда X и фаза ф
собственных колебаний —также постоянные величины, значения
которых можно определить, если известны значения odb какие-то
определенные моменты времени. Если, например, в момент t = tx
смещение х = хи а в момент t = /2 скорость v = v2t то, подставляя
соответствующие величины в выражения
х=X cos (oHt + ф) и -? = v — —- w0X sin (ш0* + ф),
получим два уравнения:
хг = Х cos (Oq^ + ф) и v2 = — (хHХ sin (соо/2 + ф),
из которых можно определить X и <р. Задача упрощается, если известны
значения х0 и v0 в начальный момент времени t0; в этом случае находим:
X = \ ГХ1 + @2/Ц) , tg ф = —
В частности, если колеблющемуся телу сообщено только начальное
смещение xOi a v0 = 0, то
Х=хОу ф —0 и х = х0 cos too/.
Если же телу сообщена начальная скорость v0, а х0 = 0, то
= — ^ и
Начальное смещение и начальная скорость определяют тот началь-
начальный запас потенциальной и кинетической энергии, который сообщен
колеблющемуся телу. Если бы потери энергии в системе отсутствовали,
то этот начальный запас энергии оставался бы неизменным при коле-
колебаниях. Процесс колебаний сопровождался бы только переходом

596 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. При этом «коле-
«колебания энергии», т. е. переход энергии из потенциальной в кинетиче-
кинетическую и обратно, будут происходить с вдвое большей частотой, чем сами
колебания. Дважды за период энергия будет полностью превращаться
в потенциальную (в двух крайних положениях) и дважды за период —
в кинетическую (при прохождении через среднее положение). В соот-
соответствии с этим выражения потенциальной энергии
и кинетической энергии
7V=^=™ V2 sin*Ы + Ф) =^
содержат удвоенную частоту. Но изменения потенциальной и кине-
кинетической энергии происходят также по гармоническому закону
(рис. 383). Так как амплитуды смещения и скорости связаны соотно-
соотношением V = (д0Х, а о)о — \S~~klm,
то kX2 = mV2 и полная энергия
колеблющегося тела равна
A7.9)
При гармонических колебаниях
полная энергия колебаний пропор-
пропорциональна квадрату амплитуды сме-
смещений или амплитуды скоростей.
Рис. 383. Примером рассмотренных про-
процессов превращений энергии могут
служить колебания груза, подвешенного на пружине (рис. 376,
стр. 588). Когда груз опускается до самого нижнего положения
(рис. 376, в)9 потенциальная энергия пружины достигает максимума,
а кинетическая энергия остановившегося на мгновение груза обра-
обращается в нуль. Через полпериода груз подымается до наивысшего
положения (рис. 376, б) и его кинетическая энергия снова обращается
в нуль, а запас потенциальной энергии системы достигает максимума.
Если на колеблющееся тело действует сила трения, то энергия
системы, а вместе с тем и наибольшие смещения и скорости не остаются
постоянными, а убывают (энергия расходуется на преодоление сил
трения и превращается в тепло). Происходит постепенное затухание
колебаний. Такие затухающие колебания уже не являются гармони-
гармоническими (гармонические колебания —это колебания с неизменной
амплитудой). К этим негармоническим колебаниям, строго говоря,
уже неприменим термин «амплитуда»: он имеет определенный смысл
только для гармонических колебаний. Однако термин «амплитудах
применяют и к негармоническим колебаниям, понимая под амплиту-
амплитудами наибольшие значения, которых достигает соответствующая

137]
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
597
величина (смещение, скорость или ускорение) в течение одного периода
колебаний. Чем больше сила трения, тем быстрее затухают колебания.
Закон убывания амплитуд колебаний зависит от характера сил трения,
действующих на тело. График зависимости от времени смещения х
тела, совершающего затухающие колебания при одном определенном
типе сил трения, приведен на рис. 384.
К затухающим колебаниям, строго говоря, неприменим и термин
«период», так как эти колебания вообще не являются периодическим
процессом. Периодическим яв-
является такой процесс, при ко-
котором через одинаковые проме-
промежутки времени повторяется лю-
любое состояние системы. Этот
промежуток времени и назы-
называется периодом процесса. Но в
случае затухающих колебаний
состояние колеблющегося тела
вообще не повторяется точно:
если, например (рис. 384), от-
отклонения тела в моменты tt и
t2 одинаковы (равны нулю), то Рис. 384.
скорости в эти моменты неоди-
неодинаковы, так как амплитуды скорости убывают и скорость в мо-
момент t2 меньше, чем в момент t±. Однако если трение мало и ко-
колебания слабо затухают, то такие колебания представляют собой
процесс приблизительно периодический. Поэтому условно говорят
о «периоде» затухающих колебаний. «Периодом» затухающих колеба-
колебаний принято называть время Tl9 за которое система дважды проходит
через среднее положение х = 0 в одном и том же направлении, или
(что то же самое) время, за которое отклонения в одну и ту же сторону
дважды достигают максимальных значений хх и х2 (рис. 384). Силы
трения немного замедляют движение системы. Поэтому «период»
затухающих колебаний всегда несколько больше, чем период тех
собственных колебаний, которые совершала бы система, если бы трение
отсутствовало. Но если трение мало, то оно очень мало влияет на
«период» затухающих колебаний.
Закон убывания амплитуды колебаний зависит от характера сил трения, дей"
ствующих на колеблющееся тело. Наиболее простым и вместе с тем наиболее распро-
распространенным является случай, когда сила трения / пропорциональна скорости колеб-
колеблющегося тела:
В этом случае уравнение движения тела отличается от A7.2) дополнительным членом,
учитывающим силу трения, и имеет вид
A2v Ay
1 ' =0. A7.11)

598 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ tlTT. XVtt
Так как изменение энергии колеблющегося тела должно быть равно работе
сил трения, то при элементарном перемещении dx энергия тела изменится на величину
dx
~~bdidx^~
Изменение (уменьшение) энергии за период колебаний
т
A IF = — b[ xPdt.
Если трение мало, то оно мало изменяет характер колебаний и можно считать,
что в течение периода скорость изменяется по закону v = V cos coo/. Тогда
т т
AW = — b V V2 cos2 a>otdt = — ^- \ V* A + cos 2coo0 dt = — ^~i-. A7.12)
б о
Если рассматривать период между двумя амплитудными значениями скорости Vt
и V2t то энергия системы в начале периода будет Wx = mV'f/2 и в конце W2 — tnV^/2.
Убыль энергии равна AW = m(Vf — V|)/2 и по A7.12)
V?— щ = ЬУ\Т!ту
откуда
\ m I - 2 f m
Так как мы рассматриваем случай, когда трение мало, т. е. ЬТ/т <^ 1, то
JV-1^-^. A7.13)
Уг 2m v '
Изменение амплитуды колебаний на величину А V = Vt — V2 происходит за проме-
промежуток времени At = Т. Выражение A7.13) можно записать следующим образом:
AV Ь
Если колебания затухают медленно, то два смежных значения амплитуды отли-
отличаются на малую величину. Поэтому, хотя амплитуды колебаний имеют дискретный
ряд значений, при малом затухании можно рассматривать амплитуды смещения
и скорости как непрерывные функции времени, а А V и At — как бесконечно малые
элементы и, проинтегрировав выражение A7.14)
Г dV
получим
t
Ъ
ИЛИ Vz=V»e
г. е. амплитуды колебаний убывают по показательному закону.

.§ 137] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 599
В случае линейного закона трения A7.10), если трение достаточно
мало, скорость колебаний затухает по закону
V=V</T**'sin <ot. A7.15)
По аналогичному закону происходит и изменение смещения колеб-
колеблющегося тела 1):
#=X*r^cosco/. A7.16)
Величина а = Ы2т называется показателем затухания, со — угловая
частота затухающих колебаний. Если трение мало (т. е. а2 <^ соо), то
изменением «периода» затухающих колебаний вполне можно пренебречь
и считать, что
Значения двух последовательных амплитуд колебаний Хг и Х%
(разделенных промежутком времени в один период) мы получим,
подставив в выражение A7.16) значения t = 0 и t = Т. Отношение
Хг/Х2=&7 A7.17)
есть величина постоянная — амплитуды затухающих колебаний обра-
образуют геометрическую прогрессию. Натуральный логарифм этого
постоянного отношения
6 = 1п(Х1/Ха)=а71 A7.18)
называется логарифмическим декрементом затухания колебаний.
Показатель затухания а характеризует затухание колебаний за
единицу времени, а логарифмический декремент б —затухание коле-
колебаний за период.
Переходя обратно от логарифмической функции A7.18) к пока-
показательной A7.17), разлагая эту функцию в ряд по степеням малой
величины б и ограничиваясь первым членом этого ряда, получим:
откуда
(Х1 — Х2)/Х2 я^ 6.
Таким образом, если затухание мало, то логарифмический декремент
затухания представляет собой относительное уменьшение амплитуды
колебаний за один период.
Так как колебания затухают по показательному закону, то теоре-
теоретически они прекращаются только при t = оо. Но практически можно
г) Колебания мало отличаются от гармонических, и поэтому для них прибли-
приблизительно справедливы соотношения между смещением и скоростью, которые были
получены для гармонических колебаний.

600
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
считать, что колебания прекратились, если амплитуда их упала до
некоторой достаточно малой доли начальной величины. Обычно при-
принято считать (конечно, совершенно условно), что колебания затухли,
если их амплитуда упала до 0,01 от начальной величины. Тогда время
затухания колебаний т определяется соотношением
?-ат-_о,О1 или атя«4,6, откуда
а
Если, например, б = 0,1, то можно считать, что колебания практи-
практически затухают по прошествии 40—50 периодов.
§ 138. Собственные колебания при большом трении
Если трение мало, то оно вызывает затухание колебаний, но не
изменяет заметно периода колебаний. Если же трение велико, то оно
заметно увеличивает как период, так и затухание колебаний. Процесс
все больше и больше отличается от периодического, и термин «период»
Рис 386.
все менее и менее применим к этому процессу. В случае сильно зату-
затухающих колебаний уже совершенно условно «периодом» колебаний
называют время Т между двумя последовательными прохождениями
тела через нулевое положение или между двумя соседними максиму-
максимумами (рис. 385). Этот «период» растет с увеличением коэффициента
трения. По-прежнему логарифмический декремент затухания равен
б = 6772т, где Т —«период» колебаний. Если коэффициент трения b
очень велик, то колеблющееся тело вообще никогда не проходит дважды
через нулевое положение, а приближается к нему второй раз только
асимптотически (рис. 386); при эгом Т = оо, а вместе с тем и б = оо.
Движение из колебательного превращается в апериодическое. Переход
от колебательного движения к апериодическому происходит в области,
где коэффициент трения имеет критическое значение Ъ = 2]/rkm.
При дальнейшем увеличении b возвращение системы к положению
равновесия происходит все медленнее и медленнее.

§ 138] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ БОЛЬШОМ ТРЕНИИ 601
Критическое значение Ь = 2Ykm соответствует изменению характера решений
уравнения A7.11). Решения эти могут быть найдены путем подстановки в A7.11)
л; = е$*. При Ъ < 2Укт для р получаются комплексные значения, что соответствует
затухающим колебаниям функций х (/); при Ь > 2\fkm для р получаются действи-
действительные отрицательные значения, что соответствует монотонно убывающим функ-
функциям л; (t).
Влияние трения на затухание колебаний и переход от колебательной системы
к апериодической можно продемонстрировать при помощи груза на пружине, поме-
помещая его в среду с различной вязкостью. В воздухе сопротивление мало, и поэтому
колебания происходят с очень малым затуханием F ~ 0,01). В воде сопротивление
гораздо больше, и затухание заметно увеличивается F~ 1). Наконец, в масле откло-
отклоненный груз вообще не переходит за положение равновесия — происходит апериоди-
апериодическое движение (б = оо). Коэффициент трения Ь для силы трения, действующей
на тело со стороны жидкости, связан с коэффициентом вязкости жидкости. Измеряя
затухание колебаний тела, погруженного в жидкость, можно определить коэффициент
вязкости жидкости.
В измерительных приборах при всяком резком изменении измеряемой величины
обычно возникают собственные колебания около нового положения равновесия. Если
трение в приборе мало, то колебания эти затухали бы очень медленно. Приходилось бы
долго ждать, пока прибор установится в новом положении и можно будет произвести
отсчет. Поэтому в измерительных приборах обычно искусственно увеличивают зату-
затухание колебаний при помощи специальных демпферов — механических или электро-
электромагнитных. Простейшим является воздушный демпфер — легкий поршенек, соеди-
соединенный с подвижной системой прибора и движущийся в трубочке (без трения о стенки,
чтобы не было «застоя»). Сопротивление воздуха при движении поршенька делает при-
прибор апериодическим. Сопротивление это не должно быть очень большим, так как
тогда оно очень замедлит движение системы к новому положению равновесия. Наи-
Наивыгоднейшим является такое сопротивление, при котором движение системы из коле-
колебательного превращается в апериодическое (Ь = 2\/Гкт), т. е. когда трение равно
критическому.
Затухание колебаний по показательному закону происходит только в том случае,
когда сила трения пропорциональна скорости. При других типах сил трения и за-
закон затухания получается иным. Например, в случае постоянного трения, не зави-
зависящего от скорости («сухое трение»), работа силы трения, т. е. потеря энергии за
полупериод колебаний,
где / — постоянная сила трения, а (Хг + Х2) — пройденный путь, равный сумме
двух следующих друг за другом наибольших отклонений в противоположные сто-
стороны. В положениях наибольшего отклонения Хг и Х2> когда колеблющееся тело
останавливается, кинетическая энергия равна нулю, и поэтому полная энергия систе-
системы соответственно равна kX\i2 и кХ% /2, где к — коэффициент пропорциональности
для восстанавливающей силы. Убыль энергии к(Х~ —Х|) /2 должна быть равна
Л IF. Следовательно,
или
X1-X2 = 2f/k.
Такое же соотношение получится и для двух следующих отклонений Х<? и Х3. Сле-
Следовательно, убыль амплитуды за период есть
Амплитуды колебаний убывают по арифметической прогрессии с разностью
. Колебания продолжаются, только пока отклонение в момент, когда скорость

602 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
v = О, превосходит fiky т. е. выходит за пределы области застоя (области смещений
от положения равновесия, при которых возвращающая сила оказывается меньшей,
чем сила трения). Когда отклонение в момент v = 0 уже не выходит из области застоя,
колебания прекращаются. Колебания затухают не асимптотически, а за конечное
число периодов.
Картину затухания колебаний при наличии постоянного трения можно про-
продемонстрировать на модели, которой мы пользовались для демонстрации застоя
(рис. 100). Отклоненный от положения равновесия груз совершает несколько коле-
колебаний и останавливается где-либо в области застоя.
Во многих колебательных приборах наряду с трением, пропорциональным ско-
скорости, присутствует и сухое трение (например, в подшипниках измерительных
приборов). Пока колебания велики, преобладают потери, обусловленные трением,
пропорциональным скорости (так как они пропорциональны квадрату амплитуд),
и затухание происходит примерно по показательному закону. Когда амплитуды
уменьшаются, начинают преобладать потери, обусловленные постоянным трением, и
дальнейшее затухание происходит примерно по закону арифметической прогрессии.
§ 139. Автоколебания
Собственные колебания представляют собой колебания около положения устой-
устойчивого равновесия. Амплитуда этих колебаний определяется величиной начального
отклонения и начальной скорости, т. е. величиной той энергии, которая со-
сообщена телу начальным толчком. Вследствие наличия трения эти колеба-
колебания затухают; собственные колебания в системе никогда не могут быть незатухаю-
незатухающими (стационарными). Для поддержания колебаний система должна обладать ка-
каким-либо источником энергии, из которого она могла бы пополнять убыль энергии,
обусловленную затуханием. Чтобы колебания были стационарными, система за период
колебаний должна отбирать от источника как раз столько энергии, сколько расхо-
расходуется в ней за это же время. Для этого система должна сама управлять поступле-
поступлением энергии из источника. Такие системы называются автоколебательными, а не-
незатухающие колебания, которые они совершают, — автоколебаниями. К классу
автоколебаний относятся, например, рассмотренные в § 52 колебания, которые со-
совершает груз, положенный на движущуюся ленту и удерживаемый пружиной. Как
было показано, состояние равновесия груза оказывается неустойчивым и он начинает
совершать колебания около этого' неустойчивого состояния равновесия в том случае,
когда скорость движения ленты лежит на падающем участке кривой, выражающей за-
зависимость силы трения F от скорости скольжения v. Но именно в этом случае часть
работы двигателя, приводящего в движение ленту, идет на увеличение энергии коле-
колебаний груза.
В самом деле, когда груз движется в ту же сторону, что и лента, то сила трения,
действующая со стороны ленты на груз, совершает положительную работу; наоборот,
когда груз движется навстречу ленте, эта сила совершает отрицательную работу.
Но если скорость ленты соответствует падающему участку кривой F(vO то в первом
случае (груз движется в ту же сторону, что и лента) скорость скольжения меньше,
а значит, сила трения больше, чем во втором (груз движется навстречу ленте). Вслед-
Вследствие этого положительная работа, совершаемая в первом случае, оказывается боль-
больше, чем отрицательная, совершаемая во втором, и сила трения, действующая со сто-
стороны ленты на груз, больше помогает, чем мешает движению груза. Если же скорость
лежит в области подымающегося участка кривой F(v), то картина будет обратной:
положительная работа, совершаемая силой трения тогда, когда груз движется в ту
же сторону, что и лента, будет меньше, чем совершаемая ;на обратном пути отри-
отрицательная работа, т. е. сила трения больше 'мешает движению груза, чем помо-
помогает ему.
Таким образом, если скорость скольжения лежит на падающем участке кривой
F(v), то в целом за период колебаний груза сила трения, действующая со стороны
ленты на груз, совершает положительную работу. Эта работа сначала идет на увели-
увеличение энергии колебаний груза (пока колебания нарастают), а-затем компенсирует те

§ 139] АВТОКОЛЕБАНИЯ 603
потери энергии, которые возникают вследствие того, что при больших амплитудах
колебаний груза скорость скольжения выходит за пределы падающего участка кривой
F(v). «Автоматически» устанавливается такая амплитуда колебаний груза, при ко-
которой поступление энергии за ту часть периода, когда скорость скольжения груза
лежит в пределах падающего участка кривой F(v), как раз компенсирует те потери
энергии, которые происходят за другую часть периода вследствие того, что скорость
скольжения груза выходит за пределы падающего участка кривой F(v). С этой ста-
стационарной амплитудой и будут происходить автоколебания груза.
Другим типичным примером механической автоколебательной системы является
часовой механизм. Колебания маятника или баланса часов поддерживаются за счет
той энергии, которой обладает поднятая гиря или заведенная пружина часов. Проходя
через определенное положение^ маятник приводит в действие храповой механизм.
При этом маятник получает толчок, пополняющий потери энергии за период. Маятник
сам открывает и закрывает доступ энергии из заводного механизма. При нормальном
ходе часов энергия, которую получает маятник, как раз равна потере энергии на
трение за время между двумя толчками (обычно за полупериод). Поэтому колебания
и оказываются стационарными. Если начальное отклонение маятника больше нормаль-
нормального, то потери на трение оказываются больше, чем поступление энергии из заводного
механизма. Колебания затухают до тех пор, пока потери не окажутся равными по-
поступлению энергии. Автоматически устанавливается как раз такая амплитуда коле-
колебаний, при которой потери на трение компенсируются поступлением энергии из ис-
источника. Следовательно, амплитуда колебаний определяется не величиной началь-
начального толчка, а соотношением между потерями и поступлением энергии, т. е. свой-
свойствами самой колебательной системы. Это уже знакомая нам по предыдущему при-
примеру характерная черта автоколебаний, отличающая их от собственных колебаний
(амплитуда которых определяется начальными условиями).
В технике широко применяются электромеханические автоколебательные систе-
системы, в которых колебания совершает механическая система, а поступление энергии
регулируется специальным электрическим устройством. Таков, например, электри-
электрический звонок. К подобным же автоколебательным системам относятся и камертоны
с электромагнитным возбуждением, о которых упоминалось в § 136.
Если в автоколебательной системе потери энергии на трение малы по сравнению
с общей энергией колебаний, то и энергия, необходимая для компенсации потерь,
также мала. Поступающая в систему малыми порциями энергия компенсирует поте-
потери энергии, происходящие при колебаниях, но при этом очень мало изменяет ход
всего процесса. Колебания происходят почти так, как если бы отсутствовали и по-
потери энергии в системе, и поступление энергии в систему. В этом случае автоколеба-
автоколебания по форме близки к гармоническим. Вместе с тем и период автоколебаний близок
к периоду тех собственных колебаний, которые совершала бы система, если бы потери
энергии не компенсировались. Если же потери на трение велики, а значит, велика
и энергия, поступающая от источника, то автоколебания могут по форме заметно
отличаться от гармонических, и их* период может заметно отличаться от периода
собственных колебаний. Поэтому, например, в хороших часах, в которых потери
на трение малы, маятник совершает колебания, по форме почти не отличающиеся от
гармонических и с частотой, почти точно совпадающей с частотой собственных коле-
колебаний маятника (этим и обеспечивается точность хода часов). В простых ходиках, в
которых потери на трение велики, колебания маятника даже на глаз отличаются
от гармонических, и период этих колебаний уже заметно отличен от периода свободных
колебаний маятника.
Условия возбуждения автоколебаний зависят от устройства системы. Так, на-
например, автоколебания груза, удерживаемого пружиной на движущейся ленте,
возникают без начального толчка. С другой стороны, для обычных часов необходим
достаточно сильный толчок, так как при малой амплитуде колебаний маятника меха-
механизм подачи энергии не срабатывает. Однако по прошествии достаточного времени
(как будет ясно из дальнейшего) система «забывает» о том, как она была возбуждена,
и характер автоколебаний определяется только ее свойствами независимо от особен-
особенностей начального* толчка.

С04 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
§ 140. Вынужденные колебания
Если на какое-либо тело действует периодически или почти перио-
периодически изменяющаяся внешняя сила, то это тело будет совершать
колебания, характер которых в той или иной мере повторяет характер
изменений внешней силы. Такие колебания называются вынужденными.
Наиболее существенное отличие вынужденных колебаний от рас-
рассмотренных выше колебаний заключается в том, что частота этих
колебаний определяется не свойствами самой системы (как в случае
собственных колебаний или автоколебаний), а частотой внешнего
воздействия. Мы рассмотрим сначала простейший случай вынужденных
колебаний, возбуждаемых внешней силой, которая изменяется по
гармоническому закону.
Пусть, например, подвешенный на пружине груз массы т (частота
собственных колебаний которого (% — ]/ klm) испытывает действие
внешней силы F (рис. 387), изменяющейся по закону
-У//// У/у Л г? г? /
I Г — Го Sill ОЯ,
и силы трения / (сопротивления воздуха), пропорцио-
пропорциональной скорости груза, т. е.
f = — bx.
Рассмотрим случай, когда собственная частота
(оо ^ © и в начальный момент смещение и скорость
груза равны нулю. Под действием внешней силы
груз будет постепенно раскачиваться. Амплитуда
Y=FQsinwt колебаний груза растет, а вместе с нею и макси-
максимальные значения, которых достигают потенциаль-
Рис. 387. пая ЭНСрГИЯ пружины и кинетическая энергия груза,
увеличиваются за счет работы, которую совершает
внешняя сила. Величина этой работы зависит от величины смещений
груза и при прочих равных условиях растет прямо пропорционально
амплитудам колебаний груза. С другой стороны, как было показано
в § 137, потери энергии в системе растут пропорционально квадрату
амплитуд колебаний. Поэтому вначале, пока работа внешней силы
будет превышать потери энергии, энергия системы будет возрастать —
амплитуды колебаний будут увеличиваться. Но так как потери энергии
возрастают быстрее, чем работа внешней силы, то в конце концов
наступит момент, когда работа внешней силы будет как раз покрывать
потери энергии в системе. Дальнейшее нарастание колебаний в системе
прекратится — установятся колебания с некоторой постоянной ампли-
амплитудой. Поскольку внешняя сила изменяется по гармоническому за-
закону, то установившиеся колебания также будут гармоническими и
частота их будет совпадать с частотой внешней силы, если амплитуда
установившихся колебаний не превзойдет предела, до которого и
собственные колебания груза на пружине остаются гармониче-
гармоническими.

§ 140] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 605
Вынужденные колебания в' системе устанавливаются не сразу,
а постепенно. Для того чтобы в системе установились стационарные
вынужденные колебания, всегда должен пройти некоторый промежу-
промежуток времени после начала действия внешней силы; в течение этого
времени заканчивается процесс установления колебаний. Как велико
должно быть это время установления, будет видно из последующего
рассмотрения.
Мы изучим сейчас картину установившихся колебаний (в дальней-
дальнейшем мы еще вернемся к процессу установления). Для рассматривае-
рассматриваемого случая уравнение движения груза будет отличаться от A7.11)
наличием стоящего справа члена, учитывающего действие внешней
силы:
т~ + bdj + kx^Fosmwt. A7.19)
Интересующие нас вынужденные колебания происходят по закону
x=Xsm((Bt + q). A7.20)
Чтобы определить амплитуду X и сдвиг фаз ф этих вынужденных
колебаний, подставим выражение A7.20) в уравнение A7.19). Если
A7.20) есть решение уравнения A7.19), мы должны получить тож-
тождество. Подстановка эта дает:
— ты2Х sin (со/ + ф) + ЬыХ cos (wt + ф) + kX sin (cof + ф)=7^ sin го/.
После простых тригонометрических преобразований получим:
[(— тоJ + k) X cos ф — Ь(оХ sin ф — Fo] sin to/ -j-
+ [(— /mo2 + k) X sin ф + fecoX cos ф] cos со/ = 0,
откуда найдем два уравнения для определения X и ф:
= 0. J
( * }
Чтобы найти X, возведем оба уравнения в квадрат и сложим:
К_ шо2 + ку + (Ы I X2 =Ц,
или
^Y= ^° .= ^° A7 22)
У"(—/по8 +/Р) + (tooJ тУ((х>1 — со-'K + 4а2ш5 ' ' ;
где щ = klm — угловая частота собственных колебаний груза, а
а = Ы2т — показатель затухания этих собственных колебаний; ф
определится из второго уравнения A7.21):
— zzj^t'+k^"&$--(** ' A7.23)

606
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
Из выражений A7.22) и A7.23) видно, что значения амплитуды и фазы
вынужденных колебаний прежде всего существенно зависят от соот-
соотношения между частотой внешнего воздействия и частотой собствен-
собственных колебаний груза.
Выясним прежде всего, как ведет себя амплитуда вынужденных
колебаний при частотах внешнего воздействия со, близких и далеких
от соо, в случае, когда затуха-
затухание колебаний невелико, т. е.
оь ^ ^о- При со <^ соо под корнем
в выражении A7.22) играет роль
только член соо и
*l = F0/k. A7,24)
Амплитуда вынужденных коле-
колебаний оказывается равной ве-
величине статического смещения,
т. е. такого смещения груза, ко-
которое вызвала бы постоянная
сила Fo. Когда частота со при-
приближается к частоте соо, то (cog—
— со2J уменьшается, X возра-
возрастает и проходит через максимум
вблизи значения со = соо. Этот максимум наступает не точно при
со = со0, а несколько раньше, так как выражение, стоящее под корнем
в A7.22), проходит через минимум при со2 = cog —2а2. Но если зату-
затухание мало, то 2а2 ^ cog и практически можно считать, что X проходит
через максимум при со = соо. Приближенное значение этого максимума
есть
2а
— k
A7.25)
где S = 2ла/ю0 = аТ — логарифмический декремент затухания коле-
колебаний.
При дальнейшем возрастании со снова начинает играть роль член
(cog — со2J и амплитуды колебаний начинают убывать. Когда со ^> соо,
то
Хоо^/утсо2. A7.26)
При увеличении -частоты воздействия амплитуда колебаний стремится
к нулю.
Вся эта картина изменения амплитуды вынужденных колебаний
при изменении частоты внешнего воздействия (для одного определен-
определенного значения б) изображена на рис. 388. Как видно из выражений
A7.24) и A7.25), отношение между максимальной амплитудой выну-
вынужденных колебаний "Хмакс и статическим отклонением Хо зависит

§140]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
607
только от затухания системы:
1 6
A7.27)
Если б мало по сравнению с единицей, то наибольшая амплитуда
вынужденных колебаний во много раз превышает статическое откло-
отклонение Хо. Прослеженная нами на частном примере зависимость ампли-
амплитуды вынужденных колебаний от соотношения между ш и соо оказы-
оказывается характерной для так называемых резонансных эффектов,
наблюдаемых при вынужденных колебаниях разнообразных колеба-
колебательных систем. Возрастание амплитуд вынужденных колебаний
в области, где со близко к соо, представляет собой наиболее типичную
черту явления резонанса. Кривые, подобные изображенной на рис. 388,
называются амплитудными резонансными кривыми.
С помощью соотношения A7.23) можно таким же образом просле-
проследить изменение сдвига фаз <р при изменении частоты внешнего воздей-
воздействия. При со <^ (оо
tg ф я^ — йш/cojj,
т. е. ф близко к нулю. Фаза вынужденных колебаний примерно сов-
совпадает с фазой внешней силы. При
О) -> @0
tg Ф -> — оо и ф = — п/2
— фаза вынужденных колебаний на
л/2 отстает от фазы внешней силы.
Наконец, при ш ^> соо
tg ф я^ 2а/(о,
т. е. ф близко к —п. Фаза вынуж-
вынужденных колебаний почти противопо-
противоположна фазе внешнего воздействия.
Картина изменений ф при измене-
изменении со (также для одного определенного значения S) изображена
на рис. 389. Такие кривые называются фазовыми резонансными кри-
кривыми. Если б мало, то в области резонанса происходит резкое измене-
изменение фазы: в небольшой области изменения частоты сдвиг фазы меняется
почти на 180°.
Явление резонанса представляет собой один из наиболее удобных способов
измерения частоты колебаний. Располагая набором резонаторов (колебательных си-
систем с малым затуханием), частота которых заранее известна, можно определить ча-
частоту внешней силы. Частота эта совпадает с собственной частотой того из резонато-
резонаторов, который наиболее сильно колеблется под действием внешней силы. Этот принцип
используется, например, в язычковом частотомере, который представляет собой набор
упругих пластинок с массами на концах. Каждая пластинка является колебательной
системой, собственная частота которой определяется массой и упругостью пластинки.
Частоты собственных колебаний этих пластинок заранее известны. При колебаниях

608
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ XV II
язычка его торцевая часть видна в виде размытой полоски. Амплитуду вынужденных
колебаний язычков легко оценить по величине этого размытия. Измеряемая частота
совпадает с частотой наиболее сильно колеблющегося язычка. Язычковые частотоме-
частотомеры широко применяются для измерения частоты переменного тока. Для этого изме-
измеряемый переменный ток пропускается в обмотку электромагнита, возбуждающего
колебания язычков.
Принцип язычкового частотомера можно использовать для демонстрации полу-
полученных нами зависимостей амплитуды и фазы вынужденных колебаний от соотноше-
соотношения между частотами собственных и вынужденных колебаний. Если взять два язычка,
один из которрлх имеет собственную частоту, точно равную 100 пер1секу а другой имеет
частоту, отличающуюся на десятые доли периода, то при возбуждении электромаг-
электромагнита переменным током в 50 пер /сек 1) возбудятся оба язычка (рис. 390). Однако
Рис. 390.
Рис. 391.
амплитуды их колебаний будут различны. Сильнее будет колебаться тот из язычков,
частота которого точно совпадает с частотой внешней силы. Если рассматривать языч-
язычки в стробоскопическом освещении, при котором частота вспышек почти совпадает
с частотой внешнего воздействия, то язычки будут казаться движущимися очень мед-
медленно. Поэтому легко можно проследить за сдвигом фаз колебаний обоих язычков
(рис. 391). Часть периода язычки движутся навстречу друг другу. Это и значит, что
они колеблются в разных фазах.
От результатов, полученных нами для амплитуды и фазы сме-
смещения при вынужденных колебаниях, можно перейти к амплитудам
и фазам скорости и ускорения. Когда вынужденные колебания яв-
являются гармоническими, то амплитуда скорости
A7.28)
Если а2 <^ соо, то при о> <^ О)о получим
у ^ [[»
х) Язычок притягивается к электромагниту при обоих направлениях переменного
тока. Поэтому частота внешней силы вдвое больше частоты переменного тока, т. е.
равна 100 пер/сек.

§ 140] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 609
т. е. при со -^Ои 1/0 ->0. При со = соо скорость V достигает максимума:
Наконец, при со ^> соо
Рис. 392.
т. е. при со -> сю скорость V'co -> 0.
Эта зависимость амплитуд скоростей от со изображена на рис. 392.
Таким же образом можно просле-
проследить зависимость от со и амплитуд
ускорений (рис. 393).
Наиболее характерное отличие
между зависимостями амплитуд
смещений, скоростей и ускорений
от со состоит в том, что амплитуда
скоростей падает до нуля как при
со ~* 0, так и при со -^оо, а ампли-
амплитуда ускорений падает до нуля при
со ~> 0 и стремится к конечному
значению Fofm при со -> оо, в то
время как для смещений амплитуда
при со -^> оо падает до нуля, а при
со -> 0 стремится к конечному зна-
значению. Другое отличие состоит в том, что для амплитуд смещений
максимум наступает при со несколько меньшем, чем со0, для амплитуд
скоростей — при со = соо, а для амплитуд ускорений — при со не-
несколько большем, чем соо; различие в положении всех трех максимумов
тем меньше, чем меньше а, т. е.
чем меньше б. Это смещение мак-
максимумов обусловлено тем, что
характер зависимости амплитуд
смещения, скорости и ускорения
от со различен: каждая последую-
последующая зависимость получается из
предыдущей путем умножения
на со.
Сдвиг фаз между скоростью и
внешней силой и ускорением и
внешней силой мы получим сра-
сразу, приняв во внимание, что
скорость на зх/2, а ускорение на
п опережает смещение. Поэтому
сдвиг фаз между скоростью и внешней силой равен я|? = ф + зх/2, а
между ускорением и внешней силой д = ф + зх, где ф — сдвиг фаз
между смещением и внешней силой. При резонансе ф = — зх/2 и
ф = 0 — скорость совпадает по фазе с внешней силой. При со ^> соо
ф= — л и тЭ1 — 0 — ускорение совпадает по фазе с внешней силой.
20 С. Э, Хайкин
Рис. 393.

610 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ XVII
Полученные результаты можно пояснить наглядными физическими
соображениями. Когда частота внешнего воздействия мала по сравне-
сравнению с частотой собственных колебаний системы, в левой части
уравнения A7.19) заметную роль играет только член kx и, следова-
следовательно,
kx^Fv sin Ы.
Внешняя сила идет главным образом на преодоление упругой
силы. Амплитуда смещения Хо = FJk, и смещение совпадает по фазе
с внешней силой. Наоборот, когда частота со очень велика, играет
d2x
роль только член т-ж и
Внешняя сила идет главным образом на то, чтобы сообщать телу
ускорение. Амплитуда ускорений А^^ F0/m9 и ускорение совпадает
по фазе с внешней силой (а смещение противоположно по фазе).
В области резонанса члены ni-*% и kx хотя и велики каждый порознь,
но примерно равны по величине и противоположны по знаку. Дей-
Действительно, колебания происходят по закону х = X sin со/. Поэтому
т-р- = — mto2X sin Ыу a kx = kX sin Ш.
Но так как klm = wj, а со ^ соо, то —т т^-^kx.Оба эти члена
в уравнении A7.19) компенсируют друг друга, и
1 dх г- •
Это значит, что в области резонанса пружина сама, помимо внешней
силы, сообщает массе т необходимое ускорение. Роль внешней силы
сводится только к преодолению силы трения; амплитуда скорости
УМакс = F0/b, и если трение мало, то 1/макс велико; скорость совпадает
по фазе с внешней силой. При этом внешняя сила совершает наиболь-
наибольшую работу, так как направление движения груза все время совпадает
по знаку с направлением внешней силы. Наоборот, при о, заметно
отличном от соо, направление движения груза в течение некоторой
части периода совпадает с направлением внешней силы, а в течение
другой части периода противоположно ей. Внешняя сила совершает
почти одинаковую положительную и отрицательную работу, и работа
за весь период невелика. Таким образом, с точки зрения энергетической
явление резонанса обусловлено тем, что при совпадении частот со и соо
наступают наиболее благоприятные условия для поступления в систему
энергии от источника внешней силы,

§ 141]
РЕЗОНАНС
611
Явление резонанса можно рассматривать как случай, когда под
действием гармонической внешней силы система совершает «почти
собственные» колебания. Роль внешней силы сводится главным образом
к компенсации действующих в системе сил трения.
Малое затухание
Среднее затухание
§ 141. Резонанс
Амплитуды вынужденных колебаний зависят не только от соотно-
соотношения между частотами <о и соо, но и от величины сил трения в системе.
Как видно из A7.22), чем больше затухание а, тем меньше при прочих
равных условиях амплитуда вы- „
нужденных колебаний. Но вда-
вдали от резонанса силы трения
вообще не играют заметной ро-
роли; поэтому и изменение величи-
величины сил трения мало изменяет
амплитуду вынужденных коле-
колебаний. В области резонанса, где
именно силы трения играют ос-
основную роль, изменение их су-
существенно сказывается на изме-
изменении амплитуды вынужденных <о=ы0 ш
колебаний. В частности, при Рис 394.
резонансе, как видно из A7.25),
амплитуды вынужденных колебаний изменяются обратно пропорцио-
пропорционально Ь. Поэтому с увеличением сил трения вся кривая резонанса
опускается вниз, но максимум этой кривой опускается гораздо резче,
чем области, далекие от резонанса (рис. 394); кривая резонанса при
увеличении сил трения притупляется. Менее резкими становятся и
изменения сдвига фаз в области резонанса. С увеличением затухания
системы все явление резонанса становится все менее и менее заметным
и при больших затуханиях F порядка 1 и больше) вообще исчезает.
Резонансными свойствами, т. е. способностью особенно сильно
отзываться на колебания одной определенной частоты, обладают
только системы с малым затуханием. Поэтому для использования
явления резонанса, например для измерения частоты колебаний,
необходимо применять резонаторы с возможно малым затуханием.
Наоборот, в тех случаях, когда явление резонанса играет вредную
роль и его необходимо устранить, следует по возможности увеличивать
затухание колебательной системы.
Вернемся к вопросу, который мы уже затрагивали, а именно, к во-
вопросу о времени установления вынужденных колебаний. В общих
чертах дать ответ можно сразу. Установление вынужденных колебаний
в колебательной системе длится тем больше времени, чем меньше ее
затухание. Для получения количественной характеристики процесса
20*

612 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
установления ограничимся рассмотрением простейшего случая уста-
установления колебаний при резонансе.
При возникновении внешней силы в колебательной системе, как
мы знаем (§ 37), всегда возбуждаются собственные колебания. С дру-
другой стороны, при действии внешней силы в системе должны сущест-
существовать вынужденные колебания. Будем рассматривать картину уста-
установления как наложение двух процессов: собственных колебаний,
вызванных включением внешней силы, и вынужденных колебаний,
создаваемых постоянно действующей внешней силой. При резонансе
частоты этих двух колебаний совпадают, и следовательно, смещение
колеблющейся системы есть
х = Хфг<* sin (оу +ф) + X sin (ш0* + <р), A7.29)
где Хо — начальная амплитуда собственных колебаний, X — ампли-
амплитуда установившихся вынужденных колебаний, а г|) и <р — их фазы.
X и ф определяются соотношениями, полученными в предыдущем
параграфе, а Хо и ij)— начальными условиями.
Из соотношения A7.29) без детального рассмотрения сразу можно
объяснить отмеченную выше черту картины установления. Так как
собственные колебания затухают, то в конце концов в системе оста-
останутся одни вынужденные колебания. Но чем меньше затухание си-
системы, тем дольше нужно ждать, пока затухнут собственные колеба-
колебания, тем дольше длится процесс установления. Другими словами,
чем резче выражены резонансные свойства системы, тем дольше длится
установление резонанса. Это общая и весьма принципиальная черта
всех резонаторов.
Если в момент включения внешней силы х = 0 и — = 01 то из соотношения
A7.29), подставляя t = О, получим *):
Хо sin яр + X sin ф = 0. A7.30)
С другой стороны, если а<^соо, то, дифференцируя соотношение A7.29) и пренебрегая
величиной аХо по сравнению с величиной сооХо» мы получим приближенное выра-
выражение для скорости колеблющейся системы:
v = ^- ^ сооХое~at cos Ы + \р) + щХ cos (©о* + ф). A7.31)
Подставляя в это выражение t = 0 и v = 0, получим:
Хо cos яр + X cos q> = 0. A7.32)
Из соотношений A7.30) и A7.32) следует, что
Амплитуда собственных колебаний равна амплитуде вынужден-
вынужденных колебаний, а их фаза противоположна фазе вынужденных. По-
х) Мы всегда можем выбрать значение начальной фазы ^о так* чтобы моменту
включения соответствовало значение t = 0.

§ 141]
РЕЗОНАНС
613
этому результирующее смещение, определяемое выражением A7.29),
можно записать так:
jc = X(l-e-erf;sin(©</ + 4)). A7.33)
Результат сложения собственных и вынужденных колебаний пред-
представляет собой колебания с амплитудой, нарастающей до значения X
по закону 1 — e~at (рис. 395). Если мы за время установления примем
время, в течение которого амплитуда вынужденных колебаний дости-
достигает, например, 0,99 X (собственные колебания затухают до 0,01 X),
то для времени установления вынужденных колебаний мы получим
то же значение т = 4,6 776, которое получили выше для времени зату-
затухания собственных колебаний (§ 137).
В хорошем резонаторе с б порядка
0,01 должно пройти несколько сот
периодов, пока колебания успеют ус-
установиться.
С одной стороны, явление резо-
резонанса резко выражено только в случае
малого затухания резонатора; с дру-
другой, чем меньше затухание резонато-
резонатора, тем дольше нужно ждать, чтобы
резонанс установился. Поэтому явле-
явления резонанса отчетливо наблюдаются
только в том случае, когда за время
установления резонанса внешнее воз-
воздействие не успевает прекратиться или вообще измениться. Явление
резонанса позволяет обнаруживать очень слабые колебательные
воздействия, т. е. дает очень чувствительный способ обнаружения и
измерения колебаний; но для этого измеряемое воздействие должно
длиться достаточно долго. Увеличение чувствительности измеритель-
измерительного прибора (которым служит резонатор) требует увеличения дли-
длительности наблюдения, а значит, накладывает ограничения на ско-
скорость изменения измеряемых величин.
Если внешняя частота со несколько отличается от частоты резона-
резонатора <о0, то картина установления усложняется: поскольку со Ф соо,
собственные и вынужденные колебания дают биения; амплитуда коле-
колебаний системы в этом случае нарастает не монотонно, а проходя через
ряд минимумов и максимумов. Однако по-прежнему начальная ампли-
амплитуда собственных колебаний равна амплитуде вынужденных и нара-
нарастание амплитуды начинается с нуля. Далее вследствие затухания
собственных колебаний глубина биений уменьшается, и биения посте-
постепенно исчезают. Чем меньше |со — <о0|, тем больше период биений.
При очень малом |со — со0| собственные колебания успевают затухнуть
еще в течение первого полупериода биений. Картина установления
постепенно переходит в ту, которую мы получили для случая совпа-
совпадения со и со0.
х Внешняя сила действует
Рис. 395.

614
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
Если в какой-либо момент tx действие внешней силы внезапно прек-
прекращается, система начинает совершать собственные колебания, амплиту-
амплитуда которых определяется теми значениями смещения и скорости в мо-
момент tl9 которыми обладает
система вследствие того,
что до этого момента она
совершала вынужденные
колебания. Как ясно из
всего сказанного выше, за-
затухают эти собственные
колебания за то же вре-
время т, в течение которого
происходило установление
вынужденных колебаний
(рис. 396).
Количественной харак-
Внешняя сила действует
Рис. 396.
теристикой эффекта резо-
резонанса может служить от-
отношение амплитуды смещений при резонансе Хмакс к статическому
смещению Хо, которое вызывается внешней силой, когда частота ее
стремится к нулю. Это отношение
Хм&кс/Х0 = Q
называется добротностью колебательной системы. Как видно из
A7.27), добротность
Q = n/6.
Величина, обратная добротности,
называется затуханием колебательной системы.
Чем выше добротность системы Q (чем меньше затухание d), тем
острее кривая резонанса. Ширина кривой резонанса на некоторой
условно выбранной высоте может также служить количественной
характеристикой эффекта резонанса. Ширину кривой резонанса
принято измерять на высоте X = 0,7Хмакс (см. рис. 388). При так
выбранном значении амплитуды смещений энергия колебаний состав-
составляет 0,5 от максимальной энергии колебаний при резонансе (так
как энергия колебаний пропорциональна X2). Ширина полосы резо-
резонанса Асо на выбранной таким образом высоте называется «шириной
полосы резонанса по половине мощности». Дсо тем меньше, чем меньше
затухание d, и при малых затуханиях пропорциональна d.
Как уже было оговорено в начале этого параграфа, явление резо-
резонанса в том виде, как оно описано выше, наблюдается только в том
случае, когда колебательная система, в которой возникает резонанс,
в отсутствие внешней силы совершает колебания, близкие к гармони-
гармоническим. Такую колебательную систему мы дальше для краткости будем

§ 141] РЕЗОНАНС 615
называть гармоническим резонатором 1). Предыдущее рассмотрение,
поскольку оно относится к гармоническим системам, позволяет утвер-
утверждать, что гармонический резонатор сильнее всего отзывается на гар-
гармоническое внешнее воздействие, частота которого совпадает с собст-
собственной частотой резонатора. Но для того, чтобы резонатор был гармо-
гармоническим, не только его затухание должно быть мало, но и его «коле-
«колебательные параметры», определяющие период собственных колебаний,
т. е. масса тела и упругость пружины, не должны зависеть от смещения
и скорости тела.
Если бы смещения были столь велики, что для пружины станови-
становились заметными отклонения от закона Гука, а скорости столь велики,
что становилась заметной зависимость массы от скорости, собственные
колебания по форме отличались бы от гармонических. В этом можно
убедиться на простейшем примере груза на пружине: если бы закон
Гука не соблюдался, то уравнение A7.2) не было бы линейным и его
решение не было бы гармоническим.
Системы, описываемые линейными дифференциальными уравне-
уравнениями, называют линейными системами, а описываемые нелинейными
дифференциальными уравнениями — нелинейными. Таким образом,
собственные колебания являются гармоническими только в линейных
колебательных системах и только к линейным системам относится
все сказанное выше о собственных и вынужденных колебаниях.
Линейные системы обладают еще одной важной чертой. Если пара-
параметры, определяющие свойства системы (масса тела, коэффициент
упругости пружины, коэффициент трения), не зависят от смещения
и скорости тела, то, значит, свойства системы не изменяются от того,
что в системе происходят какие-либо движения, например собственные
колебания. Поэтому внешнее воздействие будет вызывать в линейной
системе такой же эффект, как и в случае, когда собственные колебания
отсутствуют (на этом основании мы и имели право рассматривать выше
процесс установления как наложение собственных и вынужденных
колебаний, поскольку речь шла о линейной системе). Точно так же
в случае, когда линейная система подвергается одновременно двум
воздействиям, каждое из них вызывает такой же эффект, как и в случае,
когда другое воздействие отсутствует. Поэтому результирующий
эффект двух (или нескольких) воздействий будет представлять собой
сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности.
Это уже знакомый нам принцип суперпозиции, который был применен
в § 108 к статическим состояниям линейной упругой системы. Здесь
мы его применяем к динамическим состояниям линейной колебатель-
колебательной системы. Как ясно из сказанного, принцип суперпозиции спра-
справедлив только в линейных системах и не соблюдается в нелинейных
системах.
х) Происхождение термина «гармонический резонатор» связано с тем, что резо-
резонатор, являющийся линейной колебательной системой, «отзывается» только на гар-
гармонические колебания.

616 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ G ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ХЛ. XVII
§ 142. Негармоническое внешнее воздействие.
Вынужденные колебания в апериодических системах
Мы рассматривали до сих пор случай, когда внешняя сила изме-
изменяется по гармоническому закону. Однако на практике очень часто
приходится иметь дело с воздействиями, хотя и повторяющимися или
приблизительно повторяющимися, но не по гармоническому закону,
например периодическими резкими толчками. Чтобы ответить на
вопрос, как ведет себя линейная колебательная система (гармониче-
(гармонический резонатор) при таких негармонических воздействиях, можно
воспользоваться тем, что мы уже знаем о воздействии гармонической
внешней силы.
Рис. 397.
Для линейной колебательной системы справедлив принцип супер-
суперпозиции. Поэтому негармоническое внешнее воздействие на систему
мы можем рассматривать как сумму гармонических воздействий;
как влияет на систему отдельное гармоническое воздействие, мы уже
знаем. И если мы знаем, как представить негармоническое воздействие
в виде суммы гармонических, то мы сразу получим ответ на интересую-
интересующий нас вопрос. Математические методы разложения любой функции
в ряд гармонических функций (ряд Фурье) хорошо известны. Мы не
будем, однако, рассматривать эту математическую задачу в полном
объеме, а воспользуемся некоторыми качественными соображениями,
пояснив их на конкретных примерах.
Прежде всего рассмотрим некоторые примеры негармонического,
но периодического воздействия. Например, негармоническую функ-
функцию / (t) периода Г, изображенную на рис. 397 жирной линией, как
видно из этого же рисунка, можно изобразить в виде суммы двух
синусов с периодами Т и 772, т. е. с угловыми частотами сох = 2п/Т
ИAJ = 2сог. Синус с частотой % называется основным тоном или пер-

§ 142]
НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
617
вой гармоникой разложения данной функции / (/), а синус с частотой
2сох — вторым обертоном или второй гармоникой этого разложения.
Таким образом, разложение функции / (t)9 изображенной на рис. 397,
в гармонический ряд содержит основной тон и второй обертон.
На рис. 398 жирной линией изображена периодическая функция
с частотой сох = 2л/Г, которая кроме основного тона с частотой щ
содержит еще второй и третий обертоны с частотами 2и>г и Зщ.
Вообще всякую периодическую, но негармоническую функцию
с частотой со можно разложить в спектр, т. е. представить в виде ряда
гармонических функций с частотами соь 2соь Зсоь ... (вообще /шь
где п — номер гармоники), кратными основной частоте. Чем сильнее
отличается от гармониче-
гармонической разлагаемая функция,
тем богаче ее спектр, тем
больше обертонов содер-
содержится в разложении и тем
больше амплитуды этих
обертонов. В общем слу-
случае спектр периодической
функции содержит беско-
бесконечный ряд гармонических
обертонов (т. е. имеющих
частоты, кратные частоте
основного тона), амплиту-
амплитуды которых, вообще гово-
говоря, убывают (но не всегда
монотонно) с увеличением Рис. 398.
номера обертона. Чем бо-
более «плавной» является разлагаемая функция, тем быстрее убывают
амплитуды обертонов. Хотя разложение периодической функции в
гармонический ряд дает в общем случае бесконечный спектр, но
вследствие того, что обертоны спектра обычно быстро убывают,
практически приходится принимать во внимание наличие только не-
некоторого конечного (и небольшого) числа обертонов.
Разложив периодическое воздействие в гармонический ряд, мы
сразу сможем ответить на вопрос о том, как будет вести себя гармони-
гармонический резонатор, находящийся под этим воздействием. Каждая из
гармонических составляющих будет вызывать такой эффект, как
если бы другие составляющие отсутствовали (принцип суперпози-
суперпозиции). Но мы уже знаем, что гармонический резонатор особенно сильно
отзывается на такое гармоническое воздействие, на которое он «на-
«настроен», т. е. частота которого близка к собственной частоте резона-
резонатора. Из всех гармонических составляющих внешнего воздействия
только эта составляющая вызовет сильные колебания резонатора.
Все остальные гармонические составляющие не вызовут заметных
колебаний резонатора, так как их частоты значительно отличаются

618 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
от собственной частоты резонатора. Резонатор будет совершать вы-
вынужденные колебания, примерно такие же, как если бы во всем внеш-
внешнем воздействии содержалась только та гармоническая составляющая,
частота которой близка к его собственной частоте. Эти вынужденные
колебания будут почти гармоническими, хотя само внешнее воздей-
воздействие по форме существенно отличается от гармонического.
Если, например, обычный маятник подталкивать малыми толчками, направлен-
направленными в одну сторону и действующими один раз за период его колебаний (так что каж-
каждый толчок приходится на одну и ту
asln?ojt Л же ФазУ колебаний), то он раска-
\ I \ чается и будет совершать вынуж-
¦""'** денные почти гармонические коле-
колебания, хотя внешняя сила (толчки)
вовсе не является гармонической.
Но внешняя сила имеет период, сов-
совпадающий с собственным периодом
маятника. Из всего спектра негар-
негармонического внешнего воздействия
маятник отзывается только на ос-
основной тон.
Если мы будем маятнику сооб-
сообщать такие толчки один раз за два
периода, то он также будет совер-
Риг 499 шать почти гармонические колеба-
ни я с собственной частотой. В этом
случае частота внешнего воздейст-
воздействия вдвое меньше частоты маятника и частота второй гармоники внешнего воздейст-
воздействия совпадает с собственной частотой маятника. Маятник отзывается только на
вторую гармонику спектра внешнего воздействия.
Таким образом, в обоих случаях частота и форма вынужденных колебаний маят-
маятника будут одинаковы; амплитуды же зависят от соотношения амплитуд первой и
второй гармоник в спектрах действующих на маятник толчков.
При очень малом затухании маятника можно поддерживать почти гармонические
вынужденные колебания, действуя на него слабыми толчками один раз за пять или
даже за десять периодов. В этом случае маятник выделял бы из внешнего воздействия
соответственно пятую или десятую гармонику.
Если во внешнем воздействии не содержится гармоники, частота которой близка
к собственной частоте резонатора, то резонатор вообще не отзывается на внешнее
воздействие. Таким образом, для резонанса недостаточно, сов падения частот внешней
силы и собственных колебаний, а необходимо, чтобы спектр внешнего воздействия
содержал гармоническую составляющую с частотой, равной частоте гармонического
резонатора. Например, внешнее воздействие с периодом Т и угловой частотой со =
=2я/7\ изображенное жирной линией на рис. 399, не содержит гармонической состав-
составляющей с частотой со (основной тон отсутствует). В нем содержатся только составляю-
составляющие 2со и Зсо (изображены тонкими линиями). Если гармонический резонатор на-
настроить на частоту внешнего воздействия со, резонанса наблюдаться не будет. Только
при настройке резонатора на частоту 2со или Зсо будет наблюдаться резонанс.
Простым примером негармонического колебания является колебание, амплитуда
которого периодически изменяется (в простейшем случае также по гармоническому
закону) (рис. 400), но период Ь — 2n/Q этих изменений амплитуды гораздо больше
периода самих колебаний Т. Такое колебание происходит по закону
х = Хо A — sin Qt) sin otf, где Q <^ со.
Подобные колебания называются модулированными; Q называется угловой частотой
модуляции, а ф =5= 2n/Q — периодом модуляции. Так как период колебаний Т и пери-

§ 1421
НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
619
бд модуляции ft могут быть не кратными друг другу, то модулированные колебания
являются, строго говоря, непериодически ми колебаниями. Однако поскольку Т ^ф,
то всегда можно приближенно считать, что в одном периоде О укладывается большое
целое число периодов Т, т. е. рассматривать модулированные колебания как перио-
периодические. Закон простейшего модулированного колебания
л; = Хо A — sin Qt) sin tot
при помощи простых преобразований можно представить в виде суммы трех гармо-
гармонических колебаний с частотами со, со — Q, со + Q:
х = Хо sin со/ + ^ cos (со + Q) t — ^ cos (со — Q) t.
A7.34)
Из этого преобразования следует, что спектр рассматриваемого колебания содержит
•три гармонических колебания, амплитуды и расположение частот которых можно
условно (на «шкале частот») изобразить так, как это сделано на рис. 401. Естественно,
Рис. 400.
Рис. 401.
что такое «гармоническое» колебание, амплитуда которого меняется со временем (пу-
(пускай даже по гармоническому закону), не является гармоническим колебанием, и
поэтому спектр модулированного колебания содержит больше чем одну составляю-
составляющую. Это колебание является, вообще говоря, и непериодическим, поскольку частоты
трех составляющих его гармоник в общем случае не кратны.
Таким образом, спектр рассматриваемого простейшего модулированного коле-
колебания содержит только три смежные гармоники, лежащие в области высоких частот
(очень далеко от частоты модуляции Q). Средняя из частот этих гармоник, совпа-
совпадающая с частотой модулируемого колебания со, называется несущей частотой, со-
соответствующая составляющая спектра — несущим колебанием, а частоты со — Q,
со + Q, лежащие по обе стороны от несущей, называются боковыми частотами (а со-
соответствующие составляющие спектра — боковыми колебаниями).
Итак, особым свойством гармонических колебаний является их
способность воздействовать на гармонические резонаторы, настроенные
на частоту данного гармонического колебания. Однако этим далеко не
исчерпываются все важные свойства гармонических колебаний. По
отношению к гармоническому внешнему воздействию специальным
образом ведут себя не только линейные колебательные системы (гар-
(гармонические резонаторы), но и гораздо более широкий класс линейных
механических систем (не только колебательных, но и апериодических).
Сочетание гармонического воздействия и свойств линейной системы
приводит к тому, что результат этого воздействия отличается харак-
характерными особенностями, не повторяющимися ни в каком случае негар-
негармонического воздействия на линейную или нелинейную систему. Эти
особенности касаются формы колебаний.

620 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ XVII
Прежде всего необходимо отметить, что само понятие формы коле-
колебаний имеет однозначный смысл только для гармонических колебаний.
Дело в том, что, говоря о форме колебаний, можно подразумевать
не только закон изменения смещения, но и закон изменения скорости
и, наконец, закон изменения ускорения. В случае, если смещение
изменяется по гармоническому закону, скорость и ускорение также
меняются по гармоническому закону (ибо производная от гармони-
гармонической функции есть также гармоническая функция). Если же форма
колебаний смещения отлична от гармонической, то форма колебаний
скорости не только отлична от гармонической, но и отлична от формы
колебаний смещения; то же относится к скорости и ускорению, так
как ни одна периодическая функция, кроме гармонической, не имеет
производной, которая по форме совпадала бы с самой функцией.
Поэтому только в специальном случае действия гармонической внеш-
внешней силы на линейную систему гармонической оказывается форма коле-
колебаний как для смещений, так и для скоростей и ускорений. Для опре-
определенности мы будем ниже везде (если не оговорено иное) под формой
колебаний понимать закон изменения смещения.
Особое поведение линейных систем по отношению к внешней силе,
изменяющейся по гармоническому закону, выражается в том, что
возникшие в линейной системе вынужденные колебания, после того
как они установились, также оказываются гармоническими; если же
Лорма колебаний внешней силы отличается от гармонической, то
форма колебаний смещения отличается от формы внешней силы.
Иначе говоря, вынужденные колебания в линейной системе воспроиз-
воспроизводят без искажений только гармоническую форму колебаний внешней
силы, вызвавшей вынужденные колебания; если же форма внешней
силы отлична от гармонической, то вынужденные колебания вос-
воспроизводят эту форму непременно с искажениями. Эта «устойчивость
формы» гармонических колебаний, проявляющаяся при их воспроиз-
воспроизведении во всех линейных системах х), и придает гармоническим коле-
колебаниям исключительно важное значение.
«Устойчивость формы» гармонических колебаний в линейной системе обнаружи-
обнаруживается при рассмотрении задачи о вынужденных колебаниях (§ 140). Уравнение
A7.19) описывает поведение линейной колебательной системы, находящейся под
действием гармонической внешней силы; линейность системы выражается в том, что
, , dx
параметры системы т, о, k не зависят от л: и —.
Если эти параметры могут принимать любые значения, то уравнение A7.19)
охватывает всевозможные линейные системы с одной степенью свободы. Как было
показано в § 140, выражение A7.20), в котором значения X и <р удовлетворяют соот-
соответственно A7.22) и A7.23), превращает уравнение A7.19) в тождество при любых
значениях m, b, k. Следовательно, в любой линейной системе, на которую действует
г) .Нелинейные системы, т. е. такие, в которых коэффициенты упругости пружин
или модули упругости материала зависят от величин деформаций (либо коэффициенты
трения зависят от скоростей), искажают форму не только негармонической, но и
гармонической внешней силы.

§ 142] НЕГАРМОНИЧЕСКОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 621
гармоническая внешняя сила, установившиеся вынужденные колебания также
являются гармоническими. Всякая линейная система без искажений воспроизводит
форму гармонических колебаний.
Покажем теперь, что при воспроизведении любых негармонических колебаний
в линейной системе искажения формы неизбежны. Начнем с периодических, но не-
негармонических колебаний. Их можно разложить в спектр, в котором будут содержать-
содержаться гармоники с частотами, кратными частоте внешней силы; при этом форма колеба-
колебаний внешней силы определяет амплитуды и фазы всех гармоник спектра.
Всякое изменение амплитуд или фаз гармоник в спектре какого-либо негармо-
негармонического колебания сопровождается изменением формы данного негармонического
колебания. Поэтому, если при воздействии негармонической внешней силы на какую-
либо систему соотношения между амплитудами и фазами вынужденных колебаний,
возбуждаемых разными гармониками внешней силы, оказываются не такими, как в
спектре внешней силы, то это указывает на искажение формы колебаний при их вос-
произвдении в системе. Чтобы негармоническое колебание воспроизводилось без
искажений, амплитуды всех гармоник спектра вынужденного колебания должны
быть пропорциональны соответствующим амплитудам спектра внешней силы, причем
коэффициент пропорциональности не должен зависеть от частоты; сдвиги фаз всех
гармоник вынужденного колебания относительно фаз соответствующих гармоник
внешней силы должны быть пропорциональны частотам гармоник. Однако точно эти
условия никогда не выполняются.
Для вынужденных колебаний в линейной колебательной системе в области ре-
резонанса это сразу видно из полученных выше зависимостей амплитуды и фазы вы-
вынужденных колебаний от частоты внешней силы (графики этих зависимостей приве-
приведены на рис. 388 и 389). Вследствие сильной зависимости амплитуды и фазы вынуж-
вынужденных колебаний от Частоты, соотношение между амплитудами и фазами разных гар-
гармоник в спектре внешней силы и в спектре вынужденных колебаний нарушается и
форма вынужденных колебаний может очень существенно отличаться от формы внеш-
внешней силы. Пример этого был приведен выше: для маятника, раскачиваемого толчками,
при малом затухании форма вынужденных колебаний будет близка к гармонической.
В рассмотренном случае искажение формы колебаний вызвано резонансными яв-
явлениями. Однако и в том случае, когда затухание системы столь велико, что резонанс-
резонансные явления в ней очень слабо выражены или даже система из колебательной пре-
превратилась в апериодическую, условия неискаженного воспроизведения формы негар-
негармонических колебаний все же не выполняются. Так как превращению колебательной
системы в апериодическую соответствует условие (см. § 138) Ь > 2]/&/гс, то при боль-
большом Ь и достаточно малых к и т мы всегда получим либо колебательную систему с
большим затуханием, либо апериодическую систему, т. е. как раз интересующие нас
случаи.
Но, как видно из A7.22), коэффициент пропорциональности между амплитудой
смещения X какой-либо гармоники вынужденного колебания и амплитудой Fo той
же гармоники внешней силы при Ъ большом, а т и к малых существенно зависит от
частоты со рассматриваемой гармоники; вместе с тем, как видно из A7.23), от со су-
существенно зависит и угол сдвига фаз (р. Следовательно, искажения формы негармони-
негармонической внешней силы принципиально неизбежны и в линейной колебательной си-
системе с большим затуханием, и в апериодической системе. Таким образом, всякая
линейная система в той или иной степени искажает форму негармонической внешней
силы, воспроизводя эту форму в вынужденных колебаниях.
Можно, однако, специально выбрать условия, при которых искажения формы
в линейной системе будут мало сказываться. Например, для колебательной системы,
у которой собственная угловая частота со^со/г, где сол— угловая частота самой вы-
высокой из играющих роль гармоник, как видно из выражения A7.24), соответствую-
соответствующего этому случаю, коэффициент пропорциональности между X и Fo не зависит от о.
С другой стороны, как видно из A7.23), пока соо ^> шл, значение ф будет мало и tg ф
(а следовательно, и ф) будет пропорционален со. Поскольку условия неискаженного
воспроизведения формы колебаний будут приблизительно соблюдаться, искажения
будут мало заметны. Однако в этом случае можно говорить только о приблизительно

622 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ XVII
неискаженном воспроизведении формы колебаний. Вообще же колебания, отличаю-
отличающиеся от гармонических, в линейной системе всегда воспроизводятся с искажениями.
Только гармонические колебания обладают «устойчивостью формы» при воспроизве-
воспроизведении в линейных системах.
Именно «устойчивость формы» гармонических колебаний по отно-
отношению к широко распространенному классу линейных систем и опре-
определяет то исключительное положение, которое занимают гармони-
гармонические колебания среди всех других форм колебаний. «Устойчивость
формы» играет решающую роль не только в случае гармонической
внешней силы, когда эта «устойчивость» позволяет заранее утверждать,
что в линейной системе вынужденные колебания будут гармониче-
гармоническими, и тем самым свести задачу о вынужденных колебаниях только
к определению амплитуды и фазы гармонического вынужденного коле-
колебания. Так как в линейных системах справедлив принцип суперпо-
суперпозиции, то и в случае негармонической внешней силы решение задачи
о вынужденных колебаниях легко находится: разложив негармониче-
негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу
к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колеба-
колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра
внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и
являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют
место как «устойчивость формы» гармонических колебаний, так и
принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес
математическому приему разложения периодической функции в спектр,
т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других
функций.
§ 143. Непериодическое внешнее воздействие
Метод разложения в спектр негармонической внешней силы, примененный в
предыдущем параграфе для рассмотрения действия на линейную систему негармо-
негармонической, но периодической внешней силы, может быть применен также и в случае
непериодической внешней силы.
Представление о спектре непериодической функции можно получить путем не-
непрерывного перехода от периодической функции к непериодической, для чего поло-
положим, что период функции Тг ~> со (ясно, что любая периодическая функция обра-
обращается в непериодическую, когда ее период 7\ становится равным бесконечности,
так как эта функция уже не повторяется за конечный промежуток времени).
В спектре периодической функции частоты гармонических составляющих от-
отстоят друг от друга по шкале частот на расстоянии Av = \/Тх (так как все гармони-
гармонические составляющие имеют частоты, кратные частоте основного тона vx = 1/7\).
Значит, при 7\ —> оо Av-»0 и гармонические составляющие спектра располага-
располагаются все ближе и ближе друг к другу; при 7\ = оо, очевидно, будет Av = 0, т. е.
гармонические составляющие спектра непериодической функции располагаются по
шкале частот вплотную друг к другу.
Таким образом, в отличие от дискретного спектра периодической функции,
спектр непериодической функции является сплошным. Это принципиальное различие
существенно сказывается в том, что из спектра непериодической функции невозмож-
невозможно вьщелить одну гармоническую составляющую (одной определенной частоты), по-

§ ИЗ] НЕПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 623
скольку соседние гармонические составляющие лежат бесконечно близко друг к дру-
другу, а всякий резонатор отзывается на гармонические колебания, лежащие хотя и в
очень узкой (если затухание резонатора очень мало), но все же конечной полосе ча-
частот.
К случаю воздействия на резонатор непериодической внешней силы можно при-
применять те же спектральные представления, которыми мы пользовались выше для пе-
периодической внешней силы; при этом, однако, нужно учитывать указанное различие
между дискретным и сплошным спектром. Так как всякий резонатор отзывается на
некоторую полосу частот, то в результате непериодического воздействия, имеющего
сплошной спектр, в резонаторе возникают гармонические колебания множества ча-
частот, лежащих бесконечно близко друг к другу и сплошь заполняющих полосу ча-
частот, на которые отзывается резонатор. Таким образом, если внешняя сила является
непериодической и име^т сплошной спектр, то и вынужденные колебания в системе
также имеют сплошной спектр, т. е. являются непериодическими.
Нужно, однако, иметь в виду, что разделение колебаний на периодические и не-
непериодические только математически может быть проведено совершенно четко, а фи-
физически такое разделение всегда является несколько условным. Математически раз-
разделение колебаний на периодические и непериодические основывается на определе-
определении периодических функций: периодической, с периодом Г, называется такая
функция /, для которой
f(t + T) = f(t)
при любом значении аргумента t от —со до +со. Поэтому периодическими, строго
говоря, являются такие колебания, при которых не только все значения колеблю-
колеблющейся величины повторяются через один и тот же промежуток времени Т, но кото-
которые, кроме того, начались при t = —оо и продолжаются до t = +00. (Этим условиям
должны удовлетворять и гармонические колебания, представляющие собой частный
случай периодических колебаний.)
Ясно, что ни одно из колебаний, с которыми нам приходится сталкиваться в дей-
действительности, не подходит под это определение, так как всякое колебание когда-то
начинается и когда-то кончается. Следовательно, строго говоря, все колебания, с ко-
которыми мы имеем дело, не могут быть периодическими (и, в частности, гармониче-
гармоническими); периодические колебания — одна из многих абстракций, которыми прихо-
приходится пользоваться в физике. Эта абстракция имеет вполне определенный физический
смысл: повторяющиеся через одни и те же промежутки времени процессы можно
рассматривать как периодические колебания, если они длятся достаточно долго для
того, чтобы на явлениях, которые нас интересуют, никак не сказывалось конечное
время существования колебаний; тогда интересующие нас явления протекают так
же, как если бы эти колебания не имели «ни начала, ни конца». Однако для того, что-
чтобы правильно применять эту абстракцию, надо решить вопрос, в каких случаях мож-
можно считать, что указанное условие выполняется.
Когда нас интересует характер вынужденных колебаний, возбуждаемых внеш-
внешней силой, действующей конечное время, то поставленный вопрос сводится к тому,
как быстро устанавливаются вынужденные колебания после включения внешней си-
силы и как быстро прекращаются собственные колебания, возникающие в момент вы-
выключения внешней силы. Оба эти процесса, как было показано в § 141, длятся оди-
одинаковое время установления т. Если время действия внешней силы значительно боль-
больше времени установления в данной колебательной системе, то «с точки зрения этой
колебательной системы» внешняя сила действует достаточно долго и условие, о ко-
котором идет речь, выполняется.
Например, если на колебательную систему (период собственных колебаний ко-
которой равен Т) действует внешняя сила, которая с момента t± до момента t2 совпадает
с гармонической силой периода Т, а вне промежутка времени от tL до t2 везде равна
нулю (такая сила графически изображается «отрезком синусоиды», рис. 402, а),
то условие, о котором идет речь, выполняется, если время установления в системе
т <^ -О1, где -О1 = t2 — ti — продолжительность действия силы. При этом процессы
установления и затухания колебаний в системе занимают очень малую долю того
времени, в течение которого вообще происходят колебания в системе, т. е. в течение

624
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ G ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [Г.П XVII
почти всего времени, пока действует внешняя сила, в системе происходят гармони-
гармонические вынужденные колебания, такие же, какие происходили бы под действием
гармонической силы, длящейся от / = —со до / = +оо (рис. 402, б). Следовательно,
при т «^ -О вынужденные колебания с малыми искажениями воспроизводят форму
внешней силы.
Если же условие г ^ •& не соблюдается и г становится сравнимым с -О, то время
установления и затухания колебаний в системе становится сравнимым с тем временем,
х
Рис. 402.
в течение которого вообще происходят колебания в системе (рис. 402, в), а вме-
вместе с тем форма вынужденных колебаний воспроизводит форму внешней силы с су-
существенными искажениями. В этом случае колебания, происходящие в системе, зна-
значительно отличаются от тех, которые происходили бы под действием гармонической
силы, длящейся от / = —оо до t — +со.
Таким образом, если нас интересуют колебания, происходящие в системе в про-
промежутке времени от ^ до t2, то в первом случае (т << ft) мы можем предположить, что
внешняя сила является периодической (а значит, и гармонической), а во втором слу-
случае (т сравнимо с -О) мы не вправе делать этого предположения. Существенно, что до-
допустимость или недопустимость предположения, о котором идет речь, зависит не
только от характера внешней силы, но и от свойств той системы, в которой под дей-
действием этой силы происходят вынужденные колебания.
На основании проведенного рассмотрения можно сделать некоторые заключе-
заключения о характере спектров непериодических процессов.

§ 143] НЕПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 625
Спектры эти, как указывалось, являются сплошными, в связи с чем для харак-
характеристики их состава применяются несколько иные величины, чем для характеристи-
характеристики дискретных спектров. Для последних основной характеристикой служат ампли-
амплитуды отдельных гармонических составляющих, причем частоты всех этих составляю-
составляющих отделены друг от друга некоторыми конечными интервалами, внутри которых
гармонические составляющие отсутствуют. Вследствие этого, если амплитуды гармо-
гармонических составляющих какого-либо колебания имеют конечную величину, то и энер-
энергия колебаний, приходящаяся на любой конечный участок частот, имеет конечную
величину.
В случае же сплошного спектра, когда его гармонические составляющие сплошь
заполняют тот или иной конечный участок частот, при конечных амплитудах всех
гармонических составляющих на этот участок частот приходилась бы бесконечно
большая энергия колебаний. Для того чтобы на конечный участок частот приходи-
приходилась конечная энергия колебаний, амплитуды отдельных гармонических составляю-
составляющих должны быть бесконечно малыми. Тогда «плотность амплитуд», приходящаяся
на бесконечно малую область частот, оказывается величиной конечной. Распреде-
Распределение «плотностей амплитуд» по частотам спектра и является основной характеристи-
характеристикой состава сплошного спектра, аналогично тому как величины амплитуд отдельных
гармонических составляющих являются основной характеристикой состава дискрет-
дискретного спектра.
Из сопоставления рассмотренных выше случаев действия непериодической силы
на колебательную систему можно сделать выводы о зависимости распределения
плотности амплитуд в сплошном спектре от продолжительности действия силы. Су-
Судить об этом можно по тому, искажается или не искажается форма внешней силы,
воспроизводимая вынужденными колебаниями. Если искажений не происходит,
то, значит, все те области спектра, в которых плотности амплитуд значительны,
воспроизводятся системой равномерно (без нарушения соотношений между ни-
ними). Наличие искажений свидетельствует о том, что некоторые из областей
спектра с значительной плотностью амплитуд воспроизводятся системой слабее
других.
В линейной колебательной системе равномерно воспроизводится только ограни-
ограниченная область спектра, лежащая вблизи резонансной частоты (в «полосе резонанса»),
причем эта область тем шире, чем больше затухание системы. Отсутствие искажений
свидетельствует о том, что вся область спектра, в которой плотности амплитуд значи-
значительны, лежит внутри полосы резонанса; наличие искажений указывает на то, что
вне полосы резонанса лежат области спектра с значительными плотностями ампли-
амплитуд. Но мы убедились, что при х <^ ft искажений не возникает, а при г, сравнимом
с -б1, искажения значительны.
С другой стороны, полоса резонанса тем уже, чем меньше затухание, т. е. чем
больше т. Поэтому, чем уже полоса резонанса системы, тем длиннее должен быть
«отрезок синусоиды», чтобы форма ее воспроизводилась без искажений. И наоборот,
чем шире полоса резонанса, тем короче может быть «отрезок синусоиды», форма
которого воспроизводится еще без искажений. Это свидетельствует о том, что по мере
увеличения продолжительности действия непериодической силы (длины «отрезка
синусоиды») возрастает плотность амплитуд в полосе частот, близких к частоте, со-
соответствующей периоду Г того гармонического колебания, частью которого является
отрезок синусоиды.
При этом играет роль не абсолютная продолжительность действия силы, а ее
отношение к периоду Т, т. е., иначе говоря, число колебаний N, которое содержится
в «отрезке синусоиды». Чем больше N, тем сильнее сконцентрирована плотность ам-
амплитуд сплошного спектра вблизи спектральной линии, соответствующей периоду Т.
В пределе при N -» оо весь сплошной спектр стягивается к этой линии. Так как вся-
всякий физический прибор, который мы можем использовать для анализа состава спек-
спектра, обладает конечной разрешающей способностью, т. е. может выделять только
участки спектра, занимающие хотя и малую, но конечную область частот, то разде-
разделить случаи N очень большого, но конечного и N = оо ни один физический прибор
не в состоянии.

626
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ [ГЛ. XVII
Рассмотренную выше задачу о воздействии «отрезка синусоиды» на колебатель-
колебательную систему легко распространить на случай повторяющегося воздействия «отрез-
«отрезков синусоиды», отделенных друг от друга равными промежутками времени б
(рис. 403, а). Если эти промежутки времени 6 достаточно велики, так что 6 > т,
где т — время установления в системе, на которую «отрезки синусоиды» воздейству-
воздействуют, то собственные колебания, возникшие в момент прекращения действия одного
«отрезка синусоиды», успевают полностью затухнуть до того, как начинает действо-
действовать следующий «отрезок синусоиды». Поэтому каждый «отрезок синусоиды» вызы-
вызывает такой же эффект, как если бы он был единственным, а все другие «отрезки сину-
синусоиды» отсутствовали (рис. 403, б).
Рис. 403.
Для неискаженного воспроизведения формы внешней силы в случае «отрезко]
синусоиды», разделенных равными промежутками времени б, к условию неискажен
ного воспроизведения одного отрезка (т ^ ft) добавляется еще одно (т < б). Об
условия будут соблюдены, если затухание в колебательной системе достаточно велико
Если же последнее условие не соблюдено и т > б, то к моменту начала действия не
вого отрезка синусоиды колебания, возникшие в момент прекращения действия пред]
шествующего отрезка синусоиды, еще не успевают затухнуть и на них накладывают
ся колебания, вызванные действием нового отрезка (рис. 403, в), — форма внешне
силы воспроизводится в системе с искажениями тем большими, чем больше т.
При большом г собственные колебания за время б не успевают сколько-нибуд
значительно затухнуть, поэтому в результате внешнего воздействия, состоящег
из отдельных «отрезков синусоиды», в системе возникают вынужденные колебани
с почти постоянной амплитудой (рис. 403, г). Таким образом, колебательная систем
с большим т, т. е. с малым затуханием, неспособна воспроизводить быстро следукящ
один за другим отрезки синусоиды. Чтобы система была способна это сделать, i

§ 143] НЕПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 627
затухание должно быть достаточно велико, тем больше, чем быстрее следуют друг
за другом отрезки синусоид.
Легко усмотреть связь между сделанным выводом и теми представлениями о мо-
модулированных колебаниях, которые были развиты выше. (Повторяющиеся один за
другим отрезки синусоид являются одним из случаев модулированных колебаний.)
Так как в этом случае изменение амплитуды колебаний происходит не по гармо-
гармоническому закону, нужно саму функцию изменения амплитуды колебаний («закон
модуляции») разложить в спектр; каждой гармонической составляющей этого спек-
спектра с угловой частотой Qk соответствуют две боковые частоты, со — Qk и со + Qk.
Чем быстрее следуют друг за другом отрезки синусоид, тем выше Qa (и все йд,) и тем
более широкую полосу частот занимает спектр модулированного колебания. Соответ-
Соответственно тем выше должно быть затухание колебательной системы, чтобы она весь
спектр модулированного колебания воспроизводила равномерно и не искажала фор-
формы модулированного колебания.
Как было показано, может быть соблюдено условие, при котором каждый «от-
«отрезок синусоиды» вызывает в колебательной системе эффект, не зависящий от того,
предшествуют ли этому «отрезку синусоиды» другие ее отрезки. Это дает возможность
совсем по-иному поставить задачу о действии на колебательную систему одного «от-
«отрезка синусоиды» (и вообще непериодической силы, действующей ограниченное вре-
время, независимо от ее формы).
Если мы предположим, что вместо одного «отрезка синусоиды», действующего
в промежутке времени от tx до t2, действуют периодически повторяющиеся одинако-
одинаковые отрезки синусоиды, разделенные достаточно большими промежутками времени
6 > т (так что за время 6 собственные колебания успевают полностью затухнуть),
то указанное условие будет соблюдено.
Тогда эффект, вызванный единственным реально подействовавшим «отрезком
синусоиды», никак не изменится от того, что до этого «отрезка синусоиды» и после
него периодически появляются «воображаемые отрезки синусоиды». Следовательно,
соблюдение упомянутого условия позволяет заменить непериодическое воздействие
(«отрезок синусоиды») периодическим (бесконечно повторяющимися «отрезками си-
синусоиды», подобными «отрезку синусоиды» в первом случае). Но если такая замена
возможна, то, значит, мы можем вообще исключить из рассмотрения непериодические
воздействия со сплошным спектром и ограничиться только периодическими воздей-
воздействиями с дискретным спектром.
Однако нужно помнить, что при такой замене непериодического воздействия пе-
периодическим мы получаем правильный ответ на вопрос о поведении колебательной
системы только в течение промежутка времени от tx до /2 + б (аналогично тому, как
в случае «отрезка синусоиды», длящегося от tx до t2f при замене его бесконечной си-
синусоидой мы получаем правильный ответ только для промежутка времени от tx до у.
«Воображаемые отрезки синусоиды», действующие как до tlt так и после ?2 + 6»
вызовут ложные эффекты.

ГЛАВА XVIII
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ
СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§ 144. Колебания систем с двумя степенями свободы
Если колеблющееся тело обладает более чем одной степенью сво-
свободы, то при колебаниях могут изменяться все координаты тела.
Условия возникновения собственных колебаний в системах со мно-
многими степенями свободы аналогичны условиям возникновения собст-
собственных колебаний в системах с одной степенью свободы. При откло-
отклонении тела по каждой координате должна возникать восстанавливаю-
восстанавливающая сила. Тогда при надлежащим образом выбранных начальных
условиях (начальном толчке) возникают колебания по всем коорди-
координатам. В частности, если колеблющееся тело рассматривать как мате-
материальную точку, то при колебаниях могут изменяться все три коор-
координаты этой точки. Примером может служить шарик, укрепленный
на шести пружинах (рис. 404).
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда колебания про-
происходят в одной плоскости, т. е. изменяются только две координаты
шарика, растянутого на четырех пружинах (рис. 405); плоскость,
в которой происходят колебания шарика, совпадает с плоскостью
рамки, в которой лежат оси всех четырех пружин. Из того, что нам
уже известно о колебаниях систем с одной степенью свободы, мы смо-
сможем вывести ряд заключений о характере колебаний системы с двумя
степенями свободы.
Начнем с простейшего случая, когда все четыре пружины одина-
одинаковы. Если мы сместим шарик массы т в направлении х на величину
XOi а затем освободим его, не сообщив никакой начальной скорости,
то он будет совершать гармонические колебания по закону
Х=Х0 COS (i)t.
Частота со зависит от массы шарика и упругости пружин. При смеще-
смещении в направлении у шарик будет совершать гармонические колебания
с той же частотой (так как пружины одинаковы) по закону

144]
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
629
Если сместить шарик в каком-либо произвольном направлении
(рис. 406) так, чтобы его отклонения по осям х и у были равны Хо
и Ко, то он будет совершать колебания, которые можно рассматривать
как суперпозицию двух колебаний в направлениях х и у, происходя-
происходящих с одинаковыми частотами и одинаковыми фазами, т. е. по закону
0 и y=0
Так как при этом х/у = XQ/Y0 = const, то колеблющаяся точка будет
все время двигаться по прямой, в
направлении которой она была
отклонена в начальный момент.
Сместим теперь массу на не-
некоторую величину Хо в направ-
Рис. 404.
Рис. 405.
лении х и сообщим ей толчком начальную скорость v0 в направлении у
(рис.407). При этом возникнут колебания, которые мы можем рас-
рассматривать также как суперпозицию двух колебаний в направлениях
х и у, происходящих с одинаковой частотой, но с различными на-
начальными фазами (так как начальные условия для обоих колебаний
различны). Колебания эти будут происходить по закону
х = XQ cos о/, у=Yo sin otf,
где Yo = vo/(x) (так как при амплитуде скорости v0 амплитуда смещений
Yo = 0о/ю и при t = 0 смещение по оси у равно нулю). Перепишем
закон колебаний в виде
х/Х0 = cos at, y/Y0 = sin со/.

630
КОЛЕБАНИЯ'СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIli*
Возведя оба эти выражения в квадрат и сложив их, получим:
Xf,
Y 0
A8.1)
Это — уравнение эллипса. Колеблющаяся точка будет совершать
движение по эллипсу с полуосями Хо и Ко.
В частности, если подобрать начальную скорость v0 так, чтобы
Уо = vo/<u = XOj to уравнение A8.1) превращается в уравнение
окружности. Колеблющаяся точка будет двигаться по кругу.
Оси эллипса в рассмотренном выше примере совпадают с осями
хну. Это обусловлено определенным выбором начальных условий.
Если мы изменим начальные условия, то изменится и расположение
У у
осей эллипса. Например, если мы, отклонив массу т в направлении х,
сообщим ей начальную скорость v09 направленную под углом к оси х,
то оси эллипса будут наклонены под определенным углом к осям х
и у (рис. 405). Отношение полуосей эллипса и угол наклона зависят от
амплитуд и фаз колебаний в направлениях х и у.
Перейдем теперь к случаю, когда обе пары пружин в нашей модели
имеют разный коэффициент упругости. Тогда колебания по направле-
направлениям х и у будут происходить с различными частотами щ и <о2. В общем
случае, если начальное отклонение задано сразу и в направлении х,
и в направлении у7 возникнет колебание, которое можно рассматри-
рассматривать как суперпозицию двух колебаний с разными частотами сог и со2,
но с одной и той же начальной фазой. Если пружины мало разли-
различаются по упругости, то частоты <аг и щ близки друг к другу. В тече-
течение одного периода картина почти не будет отличаться от той, которую
дают одинаковые частоты, т. е. точка будет описывать эллипс. Однако,
так как частоты все же различны, то разность фаз между обоими
колебаниями постепенно будет изменяться и вместе с тем будет дефор-
деформироваться и эллипс, проходя через все состояния, соответствующие
различным сдвигам фаз.

§ 145]
КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
631
Когда частоты о)х и со2 заметно отличаются одна от другой, картина получается
очень сложной. Но она снова упрощается, если частота одного из колебаний в целое
число раз больше частоты другого. Пусть, например, период Ту колебаний в направ-
направлении у вдвое больше, чем период Тх колебаний в направлении х. По прошествии од-
одного периода колебаний Ту точка должна вернуться в исходное положение (так как
за это же время прошло два периода Тх и, следовательно, отклонение в направлении у
также должно повториться). Поэтому траектория движения точки за период Ту замк-
замкнется. Но за время Ту точка дважды успеет пройти через крайние положения Хо
и —Хо и один раз через крайние положения Yo и —YQ. Следовательно, траектория
будет два раза касаться прямых х = Хо и х = —Хо и один раз касаться прямых
у= Ко и у= —Ко (рис. 408).
Рис. 408.
Рис. 409.
При других соотношениях между частотами колебаний по осям х и у вид траек-
траекторий будет усложняться. Однако во всех случаях, хотя вид траектории зависит
от фаз обоих колебаний, но число точек касания определяется только отношением
частот. Эти траектории носят название фигур Лиссажу.
При простых кратных отношениях между обеими частотами фигуры Лиссажу
представляют собой замкнутые кривые, вписанные в прямоугольник со сторонами,
равными удвоенным амплитудам происходящих колебаний. По числу касаний траек-
траектории сразу можно определить отношение частот колебаний. На рис. 409 приведен
пример траектории, которая получается при некотором определением соотношении
фаз для частот, относящихся, как 1:3. Если между обеими частотами нет простого
кратного отношения, то траектории движения являются незамкнутыми и вместо фи-
фигур Лиссажу получаются области, сплошь заполненные траекторией движущейся
точки.
Кинематической иллюстрацией рассматриваемых случаев может служить кар-
картина, которую дает на экране пучок света, последовательно отражающийся от двух
камертонов, колеблющихся во взаимно перпендикулярных направлениях; пятно на
экране будет описывать фигуры Лиссажу.
§ 145. Колебания связанных систем
По мере увеличения числа степеней свободы колебательной системы
рассмотрение колебаний усложняется. Однако задачу удается упро-
упростить, если колебательная система состоит из нескольких тел. каждое
из которых можно рассматривать как материальную точку. Если эти
тела соединены между собой при помощи деформируемых связей, то

632 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVHT
общее число степеней свободы системы равно сумме чисел степеней
свободы всех входящих в нее тел. В простейшем случае, когда каждое
из п составляющих систему тел обладает одной степенью свободы,
общее число степеней свободы системы равно п. Такую систему нередко
целесообразно рассматривать как п связанных между собой колеба-
колебательных систем, каждая из которых обладает одной степенью сво-
свободы. Смысл подобного рассмотрения состоит в том, что, зная харак-
характер колебаний каждой системы с одной степенью свободы, можно
установить, как изменится поведение каждой системы вследствие
того, что эти колебательные системы связаны между собой.
Примером двух связанных колебательных систем могут служить
две массы тх и т2, растянутые на трех пружинах /Съ К2, Кз (рис. 410).
Если эти массы при колебаниях
^ смещаются только в одном на-
._«?__ г. правлении, например только
параллельно оси у, то каждая
масса обладает одной степенью
Рис. 410, свободы, а вся система —дву-
—двумя степенями свободы. Однако
если не принять специальных мер, в рассматриваемой модели,
вообще говоря, возникают движения масс т1 и т2 в направлениях,
параллельных оси х. Вследствие этого систему, изображенную на
рис. 410, нельзя рассматривать как систему с двумя степенями сво-
свободы. Чтобы исключить возможность движения тел т1 и т2 вдоль
оси х, представим себе, что они просверлены и надеты на жесткие
стержни ух и у%. Эту систему, ставшую системой с двумя степе-
степенями свободы, можно представить как две связанные системы с од-
одной степенью свободы каждая, вообще говоря, различными спо-
способами.
Чтобы избежать неопределенности, условимся о следующем:
положение каждой из двух связанных систем должно определяться при
помощи одной из тех двух координат, которыми определяется поло-
положение исходной системы с двумя степенями свободы. Зафиксируем
значение первой из двух координат, определяющих положение системы
с двумя степенями свободы; тогда мы получим систему с одной сте-
степенью свободы, положение которой определяется второй из этих двух
координат. Затем, зафиксировав значение второй из двух координат
системы с двумя степенями свободы, мы получим систему с одной
степенью свободы, положение которой определяется при помощи
первой из двух координат. Для того чтобы выполнить эту процедуру,
нужно закрепить тело так, чтобы эта координата не могла изменяться
(в частности, можно закрепить тело в таком положении, в котором
эта координата равна нулю).
Конкретно для рассматриваемой модели, закрепив массу т2 в по-
положении, например, у2 = 0, мы получим систему с одной степенью
свободы, состоящую из массы тх и пружин Кг и К%; положение массы

§ 145]
КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
633
Кя
Рис. 411.
тх определяется координатой уг (рис. 411). Наоборот, закрепив массу
т1 в положении, например, уг = О, мы получим систему с одной сте-
степенью свободы, состоящую из массы т2 и пружин /Сг и К3; положение
массы т2 определяется координатой у2 (рис. 412). Когда положения
обеих масс могут изменяться, то сила, действующая со стороны пру-
пружины Кг на одну из масс, зависит от положения не только этой, но
и другой массы; это и значит, что обе колебательные системы с одной
степенью свободы каждая оказы-
оказываются связанными между собой
посредством элемента, входящего
в обе эти системы.
После того как выбраны те две
координаты, при помощи которых
будет определяться положение ис-
исходной системы с двумя степенями
свободы, описанная операция поочередного закрепления одной из
двух координат однозначно определяет две системы с одной степенью
свободы каждая, которые вместе (будучи связаны между собой) дают
исходную систему. Эти две системы с одной степенью свободы, рас-
рассматриваемые каждая в отдельности, т. е. как не связанная с другой,
называются парциальными системами для данной исходной системы
с двумя степенями свободы. После выделения парциальных систем
нужно уже известными методами определить характер собственных
колебаний, свойственных каждой из парциальных систем. Затем,
чтобы определить характер коле-
колебаний в исходной системе с двумя
степенями свободы, надо устано-
установить, как влияет связь между пар-
парциальными системами на их коле-
колебания.
Из сказанного ясно, что если вы-
выбрать какие-либо другие координа-
координаты для определения состояния данной исходной системы, то и парциаль-
парциальные системы для этой исходной системы окажутся другими. Поста-
Постановка и содержание указанной выше задачи останутся прежними;
однако, поскольку одни и те же движения в разных системах координат
описываются различно, результаты рассмотрения этой задачи при
переходе от одних координат исходной системы к другим, вообще
говоря, изменяются. Между тем выбрать координаты исходной системы
всегда можно по-разному. Однако, если мы будем выбирать коорди-
координаты исходной системы по-разному, но придерживаясь указанного
выше метода выбора координат парциальных систем, то, несмотря на
этот произвол, мы сможем однозначно установить некоторые зависи-
зависимости между характером парциальных колебаний и колебаний в си-
системе с двумя степенями свободы. Позднее мы еще вернемся к вопросу
о том, какое значение имеет выбор координат исходной системы и как
Рис. 412.

634 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ XVIII
можно иначе выбрать координаты, а сейчас рассмотрим поставленную
задачу при выбранных ранее координатах исходной системы (уг и у2).
Мы ограничимся при этом только качественным рассмотрением (впро-
(впрочем, из этого рассмотрения нетрудно будет установить способ коли-
количественного расчета задачи).
Итак, нам нужно определить характер собственных колебаний
двух парциальных систем: 1) масса ти удерживаемая пружинами
Кх и /(г (масса т2 закреплена жестко), 2) масса т2 с пружинами /Сг и Кв
(масса тг закреплена жестко), а затем требуется установить, как
меняется характер этих колебаний вследствие того, что обе массы
связаны пружиной К*-
Но прежде введем некоторые упрощающие предположения. Поло-
Положим, что в состоянии равновесия пружины Ki, Кг и Кз так сильно
растянуты, что наибольшие возмож-
возможные растяжения, обусловленные
смещением масс т1 и т2, малы по
сравнению с растяжением пружин
в состоянии равновесия. Тогда
можно считать, что при колебаниях
413. растяжение всех пружин, а значит,
и действующие с их стороны на
массы тх и т2 силы не изменяются по величине, а изменяют только
свое направление (которое совпадает с осью пружин). Но так как
в силу сделанного предположения углы а1у а2, а3 (рис. 413) между
осью х и осями пружин малы, то составляющая сил пружин вдоль
направлений смещения масс у пропорциональна этому смещению.
Если растяжения пружин не выходят за пределы применимости
закона Гука, то собственные колебания каждой из парциальных систем
будут гармоническими, так же как колебания пружинного маятника,
рассмотренного в § 136. Угловые частоты рассматриваемых парциаль-
парциальных систем легко определить: первая парциальная частота сс^ =
= YKlmx у вторая щ = Ук21т2, где/гх и k2 — коэффициенты упру-
упругости пружин.
Для дальнейшего упрощения будем пока считать, что обе массы
тг и т2 равны и все три пружины /Ci, Кг и Кз одинаковы, т. е. что обе
парциальные системы идентичны, а значит, частоты их собственных
колебаний совпадают. Когда обе массы не закреплены, то две одина-
одинаковые системы оказываются связанными между собой. Связь между
ними обусловлена тем, что движение каждой из масс изменяет угол а2
между осью х и осью пружины /С2, поэтому и сила, с которой пружина
К2 действует на одну из масс, зависит от положения другой массы.
Выясним, какой характер имеют собственные колебания в связан-
связанных системах. Чтобы возбудить собственные колебания в системе,
изображенной на рис. 410, нужно дать какие-то начальные отклонения
обеим массам тг и т2. Эти начальные отклонения могут быть различны
и соответственно различными будут и растяжения пружин. Рассмотрим

§ 145] КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ 63Г
сначала два специальных случая, когда обеим массам сообщены одина-
одинаковые отклонения в одну и ту же сторону (рис. 414) и в разные стороны
(рис. 415). В первом случае длина средней пружины не изменяется
и вообще эта пружина не будет сообщать обеим массам никакого
ускорения; на обе массы будут действовать только все время направ-
направленные под одинаковым углом ах = а3 пружины Ki и Кз- Поэтому
ускорения обеих масс будут одина-
одинаковы и последние будут все время
двигаться одинаково: обе массы бу-
будут совершать колебания в одной
и той же фазе и с одинаковой ча-
частотой и амплитудой. Рис 4J4
Как легко убедиться, эта ча-
частота будет меньше одинаковой пар-
парциальной частоты обеих систем. Действительно, при парциальных
колебаниях, когда одна из масс закреплена, пружина Къ поворачи-
поворачивается, растягивается и сообщает ускорение колеблющейся массе;
между тем при колебаниях обеих масс в одной фазе пружина Кг вообще
не играет роли. Следовательно, при колебаниях обеих масс в одной
фазе восстанавливающая сила, действующая на каждую массу, меньше,
чем при парциальных колебаниях (при той же величине отклонения),
а значит, частота синфазных коле-
1 т* нг и у/ баний системы ниже парциальной
^ 3 — V/- частоты.
,„ Если обеим массам сообщены
г одинаковые начальные отклонения
¦ в разные стороны (рис. 415), то на
каждую из масс действуют не только
расположенные под одинаковым углом пружины К\ и /С3, но и пру-
пружина Кг- Силы, действующие на каждую массу, будут не такие, как
в первом случае, но для обеих масс они опять одинаковы. Поэтому
и ускорения будут одинаковы; массы будут двигаться так, что не
только вначале, но и в любой момент их отклонения равны по вели-
величине и противоположны по знаку. Обе массы будут совершать гар-
гармонические колебания одной и той же частоты, но противоположные
по фазе.
Частота противофазных колебаний выше парциальной частоты
обеих связанных систем. Действительно, в этом случае составляющая
силы натяжения пружины /С2 в направлении оси у в каждый момент
больше, чем в случае, когда одна из масс закреплена. Поэтому восста-
восстанавливающая сила больше и частота колебаний выше.
Таким образом, при специальном выборе начальных отклонений
мы можем заставить обе массы совершать одинаковые гармонические
колебания с одной из двух различных частот. Одна из этих частот
лежит ниже общей парциальной частоты связанных систем (синфаз-
(синфазные колебания), а другая —выше (противофазные колебания). Эти

636 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
частоты носят название нормальных частот или частот связи; гармо-
гармонические колебания, соответствующие этим частотам, называются
нормальными колебаниями. Как мы виде-
видели, системе с двумя степенями свободы
свойственны два парциальных колеба-
колебания с разными частотами.
Соответствующим выбором начальных
.--' условий можно возбудить в обеих свя-
связанных системах, либо то, либо другое
^- .о о. ^-^ нормальное колебание. В общем же слу-
* " * чае при произвольном выборе начальных
условий в каждой из связанных систем
возникают сразу оба нормальных ко-
-' \—1 ~^ лебания, т. е. два гармонических коле-
\ ^'' бания с различными частотами. Дейст-
*' вительно, любые начальные отклонения
Рис- 416- мы можем рассматривать как суперпози-
суперпозицию двух начальных отклонений: одного,
при котором обе массы отклонены одинаково в одну сторону, и другого,
при котором обе массы одинаково отклонены в противоположные сто-
стороны. Это видно из того, что два любых числа аи b можно предста-
представить как сумму и разность пары чисел: т
= c — d,
a)
I
В качестве примера на рис. 416, а 6) -~^——I 1— ^-»
приведены произвольные начальные от-
клонения а и b масс тг и т2, которые --vK
можно представить в виде суммы двух 6) т"'"*^ ^ . --^
начальных отклонений: одного (с), оди- ^С^*"*""
накового для обеих масс (рис. 416, б), т*
и другого (rf), противоположного для
обеих масс (рис. 416, в). Поэтому при про- Рис- 417-
извольном начальном отклонении воз-
возникнут сразу оба нормальных колебания, соответствующих обоим
типам начальных условий. Так как оба нормальных колебания имеют
разные частоты, то в результате их одновременного существования
в системе возникнут биения. Амплитуда колебаний при биениях будет
достигать максимального значения, равного сумме амплитуд пар-
парциальных колебаний, и минимального значения, равного их разности.
В частном случае, когда только одной из масс сообщено начальное
отклонение (рис. 417, а), его также можно представить в виде суммы
двух начальных отклонений, как это показано на рис. 417, бив,
причем величина обоих этих отклонений одна и та же. Значит, в этом

§ 145] КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ 637
случае будут возбуждены два нормальных колебания одинаковых
амплитуд.
Как мы уже знаем, в результате сложения двух гармонических
колебаний с одинаковыми амплитудами и разными частотами полу-
получаются биения, в которых амплитуда колебаний изменяется периоди-
периодически от некоторого максимума до нуля. Амплитуда колебаний откло-
отклоненной вначале массы постепенно уменьшается, пока эта масса совсем
не остановится. В это же время будет возрастать амплитуда колебаний
второй массы (которая вначале не была отклонена). После того как
первая масса остановится, снова начнется постепенное нарастание
амплитуд колебаний этой массы и уменьшение амплитуд колебаний
второй массы. Дальше вся эта картина будет повторяться.
С точки зрения энергии здесь дело обстоит следующим образом.
В начальный момент энергией обладает только первая парциальная
система, масса которой тг отклонена в начальный момент. При коле-
колебаниях этой массы потен-
потенциальная энергия пружин Ki
и Ка переходит в кинетиче-
кинетическую энергию массы тг. Но
вначале, пока масса т2 по-
покоится, вся энергия связан- Рис- 418-
ных систем сосредоточена в
первой парциальной системе. Однако, действуя через пружину /С2,
первая масса постепенно начинает раскачивать вторую. При этом ам-
амплитуда колебаний первой массы убывает, а второй —возрастает;
энергия постепенно переходит от первой парциальной системы ко вто-
второй. Раскачивание массы т2 прекратится только тогда, когда масса тх
остановится, т.е. вся энергия полностью перейдет ко второй парциаль-
парциальной системе. После этого масса т2 начнет раскачивать массу т1 —
энергия начнет снова возвращаться к первой парциальной системе.
Благодаря наличию связи между системами происходит «перекачка»
энергии от одной системы к другой и обратно.
Частота биений и скорость перекачки энергии зависят от того, как
быстро изменяется сдвиг фаз между движениями двух масс, т. е.
насколько отличаются друг от друга частоты нормальных колебаний.
Чем больше их разность, тем больше скорость изменения сдвига фаз,
т. е. частота биений, и тем быстрее происходит перекачка энергии
{полная перекачка энергии происходит за полпериода биений). Чтобы
выяснить, от чего зависит разность частот нормальных колебаний,
вернемся к нашей первой модели (рис. 410).
Будем уменьшать жесткость пружины К2, не изменяя жесткости
пружин Кг и Кз1)- По мере того как пружина /С2 становится мягче,
растяжение ее (в положении равновесия), а значит, и расстояние
г) При этом, если мы будем по-прежнему пользоваться координатами уг и у2,
дарциальные системы останутся одинаковыми.

638 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
между массами т1 и т2 будет возрастать (рис. 418). Вследствие этого
угол а2 между осью пружины К и осью к (при заданных отклонениях
масс тг и т2) будет уменьшаться, а значит, параллельные оси у состав-
составляющие сил, действующих со стороны пружины /B на массы тг и т2,
также будут уменьшаться. Но именно этими составляющими обуслов-
обусловлено, как мы убедились выше, отличие частоты противофазных коле-
колебаний от частоты синфазных и отличие этих двух частот от общей
частоты двух парциальных систем. Чем мягче пружина, т. е. чем
слабее связь между двумя системами с одной степенью свободы, тем
ближе друг к другу (и к общей парциальной частоте) частоты двух
нормальных колебаний, тем медленнее частота биений, которыми сопро-
сопровождаются собственные колебания в двух связанных системах и тем
медленнее происходит перекачка энергии.
В рассматриваемом случае, когда парциальные системы одина-
одинаковы, их парциальные частоты совпадают и по мере ослабления связи
нормальные частоты сколь угодно приближаются друг к другу, а
значит, биения могут быть сколь угодно медленными. С другой сто-
стороны, если амплитуды обоих нормальных колебаний одинаковы, то
амплитуда колебаний каждой массы будет по очереди периодически
падать до нуля независимо от того, насколько слаба связь между
системами с одной степенью свободы. Следовательно, при сколь
угодно слабой связи должна происходить полная «перекачка» энергии
из одной системы в другую и обратно. Но так как при очень слабой
связи период биений очень велик, а энергия полностью переходит
из одной системы в другую за полпериода биений, то «перекачка»
энергии будет происходить очень медленно. Если потери энергии
в связанных системах велики, то колебания в них могут успеть пол-
полностью затухнуть за время меньшее, чем полпериода биений. Тогда
биения наблюдаться не будут. Напомним, что все сказанное относится
к случаю, когда обе парциальные системы одинаковы. Случай неоди-
неодинаковых парциальных систем рассмотрен в следующем параграфе.
§ 146. Неодинаковые парциальные системы.
Резонанс в связанных системах
Прежде всего обратим внимание на следующее обстоятельство. Так как выбор
координат связанных систем однозначно определяет способ их разбиения на парци-
парциальные, утверждение, что парциальные системы одинаковы, не может иметь «абсо-
«абсолютного» характера — парциальные системы могут оказаться неодинаковыми при
выборе новых координат для определения состояния связанных систем. С другой сто-
стороны, при переходе к этим новым координатам нормальные частоты не должны изме-
изменяться, поскольку они являются «абсолютными» физическими характеристиками свя-
связанных систем, не зависящими от выбора систем координат.
Следовательно, при переходе к новым координатам, при котором одинаковые
парциальные системы становятся неодинаковыми, нормальные частоты не должны
изменяться. Чтобы проследить за тем, как это происходит, рассмотрим переход от
одинаковых к неодинаковым парциальным системам на примере тех же связанных
систем, которые были исследованы в предыдущем параграфе.

§ 146] НЕОДИНАКОВЫЕ ПАРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 639
От координат исходной системы ух и у2, которыми мы прежде пользовались, пе-
перейти к новым координатам можно различными путями. Простейший из них — вы-
выбрать в качестве новых координат (или одной из них) линейную комбинацию старых
координат. Например, можно, оставив неизменной старую координату уи вместо
координаты у2 ввести новую координату у3= у2 — ух. Тогда для определения пар-
парциальных систем мы должны положить поочередно у3 = 0 и уг = 0.
Чтобы получить первую парциальную систему, для которой ys = 0, т. е. у2~ ух,
нашу модель следовало бы снабдить приспособлением, которое обеспечивало бы оди-
одинаковые (в любой момент времени) отклонения масс т1 и т2 от оси х. Впрочем, как
мы уже знаем, специального приспособления не потребуется, если только в началь-
начальный момент обе массы имеют одинаковые отклонения, так как при таких начальных
условиях возникнут синфазные колебания и отклонения обеих масс все время будут
равны.
Таким образом, исходная система с двумя степенями свободы, но с тем ограни-
ограничением, что она может совершать только синфазные колебания (и поэтому ее поло-
положение определяется заданием одной координаты), и будет представлять собой первую
парциальную систему для исходной системы, описываемой координатами ух и у3.
Соответственно частота первой парциальной системы будет совпадать с частотой син-
синфазных колебаний исходной системы, т. е. с более медленной из ее нормальных ча-
частот. Вторая парциальная система, получающаяся при новых координатах ух и у3,
когда уг = 0, т. е. у3 = у2, будет совпадать со второй парциальной системой при ста-
старых координатах, и значит, частота ее будет выше более медленной и ниже более
быстрой из нормальных частот исходной системы.
В качестве второй новой координаты мы могли бы вместо у3 = у2 — ух ввести
#4 = Уг + Уг (Ух ~ отклонение массы тх от оси х — по-прежнему'служит первой ко-
координатой). Тогда первую парциальную систему мы получим, положив #4 = 0, т. е.
у2 = —уг. Для реализации такой парциальной системы следовало бы исходную си-
систему снабдить приспособлением, которое обеспечивало бы в каждый момент одина-
одинаковые по величине, но противоположные по направлению отклонения масс тг и т2,
т. е. допускало бы существование в системе только противофазных колебаний. Ис-
Исходная система, описываемая координатами ух и уА> при таком ограничении и будет
представлять собой первую парциальную систему. Соответственно первая парциаль-
парциальная частота будет совпадать с частотой противофазных колебаний, т. е. с более бы-
быстрой из нормальных частот. Вторая парциальная система и в этом случае будет сов-
совпадать с второй парциальной системой в первом случае, и частота ее будет выше более
медленной и ниже более быстрой из нормальных частот исходной системы.
Проанализировав все три случая, нетрудно убедиться, что во всех случаях нор-
нормальные частоты лежат по обе стороны интервала, ограниченного парциальными
частотами, и хотя могут лежать на границах интервала, но не могут лежать внутри
него. Действительно, в первом случае (одинаковых парциальных систем) нормальные
частоты лежат одна выше, а другая ниже «интервала» (который в этом случае равен
нулю), во втором и третьем одна из нормальных частот лежит вне интервала, а дру-
другая — на границе его (совпадает с одной из парциальных частот).
Такое важное соотношение (правда, только качественное, а не количественное)
между парциальными и нормальными частотами, обнаруженное нами на трех част-
частных примерах выбора различных координат исходной системы, а значит и различных
парциальных систем, справедливо во всех случаях, когда парциальные системы опре-
определяются тем способом, которым мы все время пользуемся. Как бы ни были выбраны
координаты исходной системы, если мы определяем парциальные системы, поочеред-
поочередно полагая равной нулю ту и другую координату, то низшая из нормальных частот
не может быть больше низшей из парциальных, а высшая из нормальных частот не
может быть меньше высшей из парциальных частот, которыми обладают определен-
определенные указанным выше способом парциальные системы.
Заменим теперь обе старые координаты новыми: у3 = у2 — ух и у4 = у2 + yv
Тогда мы получим первую парциальную систему, полагая у3 = 0, т. е. у2 = ух,
и вторую парциальную систему, полагая #4 = 0, т. е. у2 = —ух. Следовательно, пер-
первую парциальную систему будет представлять исходная система с тем ограничением,

640 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVHT
что в ней могут происходить только синфазные колебания, а вторую парциальную
систему — исходная система с тем ограничением, что в ней могут происходить толь-
только противофазные колебания; при этом нормальные частоты совпадают с парциаль-
парциальными. Это особый случай, отличающийся от всех других тем, что переход от двух пар-
парциальных систем к двум связанным системам не сопровождается изменением частот
колебаний. Во всех других случаях (в частности, в рассмотренных выше) при пере-
переходе от парциальных систем к связанным происходит изменение частот колебаний
вследствие того, что этот переход сопровождается возникновением связи, которая
отсутствовала между парциальными системами.
Так, полагая выше поочередно либо уг = 0, либо у2 = 0, мы получили парциаль-
парциальные системы (не связанные между собой); полагая затем у1 ф 0 и у2 Ф 0, мы полу-
получили две системы, связанные через пружину /С2. Выбрав в качестве координат исход-
исходной системы у3 и #4 и полагая поочередно либо у3 = 0, либо у± = 0, мы получили пар-
парциальные системы, в каждой из которых уже действует связь между массами тх
и т2 через пружину /С2, и полагая затем ys Ф 0, у± Ф 0, мы никаких новых связей
между парциальными системами не вводили. В этом особом случае исходную систему
можно рассматривать как две парциальные системы, не связанные между собой, по-
поэтому переход от парциальных систем к исходной не связан с изменением частот.
К этому специальному случаю мы пришли, так выбрав координаты исходной си-
системы, что колебания парциальных систем (определяемых поочередным приравни-
приравниванием нулю этих координат) оказались тождественными нормальным колебаниям
системы. Так выбранные координаты называются нормальными координатами.
Введя эти нормальные координаты, мы определяем парциальные системы и находим
парциальные, а значит, и нормальные частоты (поскольку те и другие совпадают ме-
между собой). Применяя нормальные координаты, мы как будто избавляемся от необ-
необходимости рассматривать колебания в двух связанных системах с одной степенью
свободы каждая, так как парциальные системы — это системы с одной степенью
свободы каждая, не связанные между собой. Однако в действительности это
не так.
Нормальные координаты всегда представляют собой некую линейную комбина-
комбинацию «естественных координат», например, линейную комбинацию уг и у2 рассматри-
рассматриваемой конкретной задачи. Но только в простейшем случае, когда массы равны, а пру-
пружины одинаковы, коэффициенты при ух и у2 в этих линейных комбинациях могут быть
равны только либо +1, либо —I. Поэтому легко было «угадать» эти линейные комби
нации и найти нормальные координаты.
Во всех же более сложных случаях, когда коэффициенты при ух и у2 в ликейных
комбинациях, выражающих нормальные координаты, могут быть отличны от 1, для
того чтобы найти выражения нормальных координат, нужно предварительно опре-
определить значения этих коэффициентов. А для этого нужно решить уравнения, описы-
описывающие колебания в двух связанных системах. Таким образом, применение нормаль-
нормальных координат не облегчает решения задачи о колебаниях в связанных системах
(поскольку для нахождения нормальных координат предварительно необходимо эту
задачу решить); но после того, как эта задача решена, с помощью нормальных коор-
координат исходную систему можно формально представить в виде двух систем с одной
степенью свободы каждая, не связанных между собой, и к колебаниям в этих систе-
системах применять результаты теории колебаний систем с одной степенью свободы.
Откажемся теперь от сделанного выше упрощающего предположения о том,
что массы т1 и т2 равны и пружины fCi, Кг и Кз одинаковы. Тогда парциальные си-
системы, получающиеся при yt = 0 или у2 — 0, уже не будут одинаковы, и поэтому не-
некоторые выводы, сделанные выше, необходимо пересмотреть. Для упрощения даль-
дальнейших рассуждений мы предположим, что только массы mlf m2 различны, а пружи-
пружины К1у К2, Кз по-прежнему одинаковы (этого предположения достаточно для того,
чтобы парциальные системы, а значит, и парциальные частоты оказались различными).
Утверждение, что низшая из нормальных частот не может быть больше низшей из
парциальных, а высшая из нормальных не может быть меньше высшей из парциаль-
парциальных, остается справедливым и в случае неодинаковых парциальных систем; убедить-
убедиться в этом можно было бы при помощи рассуждений, аналогичных тем, которые были

§ 146]
НЕОДИНАКОВЫЕ ПАРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
641
использованы выше для доказательства того же утверждения в случае тождественных
парциальных систем, но эти рассуждения выглядели бы гораздо сложнее.
Мы не будем приводить самих рассуждений, а рассмотрим только, как изменятся
выводы из упомянутого утверждения, если парциальные системы оказываются не
тождественными, а различными. При очень слабой связи между парциальными си-
системами низшая нормальная частота будет очень близка к низшей парциальной, а
высшая нормальная очень близка к высшей парциальной; если парциальные частоты
существенно различны, то и нормальные частоты также будут существенно различны.
(Напомним, что в случае одинаковых парциальных частот при очень слабой связи
нормальные частоты практически совпадают.) Поэтому даже при очень слабой связи
между парциальными системами, обладающими существенно различными парциаль-
парциальными частотами, период биений, обусловленных наличием в системе двух нормаль-
нормальных колебаний, должен быть мал. Но тогда при слабой связи за короткое время (за
один полупериод биений) из одной системы с одной степенью свободы в другую не
может перейти сколько-нибудь заметное количество энергии (за следующий полупе-
полупериод биений это малое количество энергии возвратится в первую систему).
Следовательно, при существенно различных парциальных частотах начальная
энергия, сообщенная одной из систем с одной степенью свободы, почти целиком оста-
остается в этой системе и только очень малая
доля ее «перекачивается» во вторую систе-
систему и обратно; биения будут очень неглу-
неглубокими. А это значит, что только в той
системе, которой сообщена начальная
энергия, возникнут колебания и частота
этих колебаний будет близка к парциаль-
парциальной частоте этой системы. (Этим случай
двух существенно различных парциаль-
парциальных частот в корне отличается от случая
равных парциальных частот, когда даже
при очень слабой связи энергия полно-
полностью «перекачивается» из одной системы
в другую и обратно.)
По мере роста связи между двумя си-
системами с разными парциальными частотами
нормальные частоты расходятся все больше и больше и поэтому период биений умень-
уменьшается. Однако с ростом связи растет количество энергии, «перекачиваемой» из од-
одной системы в другую за один период колебаний; в случае сильной связи даже в си-
системе с существенно различными парциальными частотами могут возникать биения.
При действии внешней силы на связанные системы также наблюдаются явления
резонанса. Как и в системе с одной степенью свободы, резонанс наступает всякий раз,
когда гармоническая внешняя сила совпадает по частоте с одним из тех гармонических
колебаний, которые способна совершать сама система. А так как две связанные си-
системы могут совершать колебания с каждой из нормальных частот, то и резонанс
наступает в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия совпа-
совпадает с одной из двух нормальных частот щ и со2 системы. Если резонанс в систе-
системе достаточно острый (т. е. затухание системы мало), то резонанс на каждой из нор-
нормальных частот наблюдается отдельно. Поэтому при малом затухании и достаточно
медленном изменении частоты внешней силы резонанс наблюдается дважды — при
совпадении с каждой из нормальных частот связанной системы. Резонансная кривая
имеет двугорбый характер (рис. 419). Таким образом, если мы свяжем два резонатора,
то они будут отзываться не на те парциальные частоты, которыми обладает каждый
из них в отдельности, а на две другие частоты, одна из которых лежит выше более
высокой, а другая — ниже более низкой из парциальных частот резонаторов. Это
«расщепление» частоты связанных резонаторов тем более заметно, чем сильнее связь
между ними.
Только в одном специальном случае возникают особые явления при совпадении
частоты внешнего воздействия с парциальной частотой одной из связанных систем
Рис. 419.
21 С. Э. Хайкин

642
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIIT
(а не с одной из нормальных частот). Это происходит в том случае, если обе связанные
системы обладают различными парциальными частотами ео1 и со2 и внешняя сила с
частотой о)! действует только на систему, обладающую парциальной частотой со2.
Тогда в этой системе, на которую действует внешняя сила, колебания будут очень
слабыми. Наоборот, во второй системе, на которую внешняя сила непосредственно
не действует, но парциальная частота которой совпадает с частотой внешней силы,
возникнут сильные колебания.
Продемонстрировать этот случай можно при помощи следующей установки
(рис. 420). На упругой пластинке Кг укреплена масса т, подобранная таким образом,
что парциальная частота этого резонатора заметно отличается от удвоенной г) ча-
частоты технического переменного тока. Однако, несмотря на несовпадение частот,
под действием сильного электромагнита, питаемого переменным током пластинка
Kl все же совершает заметные вынужденные колебания. Но если на этой пластинке
укрепить другую /С2, парциальная частота которой точно равна удвоенной частоте
переменного тока, то эта вторая пластинка будет очень сильно раскачиваться
(рис. 420, б), а колебания пластинки К\ заметно ослабеют. Если эту вторую пластин-
пластинку («успокоитель») К2 задержать рукой так, чтобы она не смогла колебаться, то снова
начинает сильно раскачиваться пластинка Ki (рис. 420, в).
х) Как уже указывалось, частота изменения силы притяжения, с которой
действует электромагнит на якорь, вдвое больше частоты питающего электромаг-
электромагнит тока.

§ 147] КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ 643
Причина «успокоения» пластинки Ki состоит в гом, что вторая пластинка, со-
совершающая сильные вынужденные колебания, действует на первую с силой, которая
по амплитуде почти равна, а по фазе почти противоположна внешней силе. Реакция
второй пластинки на первую почти компенсирует действие на первую внешней
силы. Вместе с тем, так как при этом пластинка К\ почти неподвижна, то резонанс для
пластинки /С2 наступает именно на ее парциальной частоте, а не на одной из нормаль-
нормальных частот. Это явление широко используется в различного рода успокоителях для
устранения вредных вибраций машин, уменьшения качки корабля и т. д. Для этой
последней цели внутри корпуса корабля помещаются большие цистерны, наполнен-
наполненные водой и соединенные между собой трубами (так называемые цистерны Фрама).
При качке корабля происходят колебания уровня воды в цистернах, и эта колеба-
колебательная система играет роль успокоителя.
§ 147, Колебания замкнутых систем
Среди рассмотренных выше колебательных систем ни одна не
являлась замкнутой, поскольку в этих системах нити или пружины,
прикрепленные к колеблющимся телам, другими своими концами
были закреплены в неподвижных точках, либо сами колеблющиеся
упругие тела были закреплены в неподвижных точках. В таком случае
на колеблющееся тело со стороны этих закреплений действуют внеш-
внешние силы, вследствие чего колебательная система не является замк-
замкнутой. Но легко себе представить такие колебательные системы,
в которых колеблющиеся тела действуют друг на друга с упругими
силами, но никакие другие силы извне на колеблющиеся тела системы
не действуют и, следовательно, колебательная система является
замкнутой.
Простейшим примером такой замкнутой колебательной системы
может служить пара одинаковых шаров, связанных между собой
пружиной. Если мы, например, положим эти шары на гладкое стекло,
сблизим их так, чтобы соединяющая их пружина сжалась, а затем
сразу освободим их, то шары будут совершать колебания —сбли-
—сближаться и удаляться друг от друга. Так как шары представляют собой
замкнутую системух), то общий импульс системы при колебаниях
должен оставаться неизменным. А так как шары в начальный момент
покоились, то дальше они должны двигаться так, чтобы их общий
импульс оставался равным нулю. Простейшее движение, которое
удовлетворяет такому условию, —это движение шаров по прямой,
соединяющей их центры тяжести, со скоростями, равными по вели-
величине и противоположными по направлению. При этом центр тяжести
системы будет покоиться в неподвижной точке, лежащей на одина-
одинаковом расстоянии от центров обоих шаров.
Однако, так как пружина, связывающая шары, может изгибаться,
то могут возникнуть более сложные движения, также удовлетворяю-
удовлетворяющие условию постоянства импульса, а также и момента импульса
(который в замкнутой системе также должен сохраняться). Чтобы
г) Силами трения между шарами и стеклом можно пренебречь.
21*

644 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 1ГЛ. XVIT1
исключить эти более сложные движения, достаточно, просверлив по
диаметрам шаров каналы, соединить их жестким стержнем, вдоль
которого шары могут скользить без трения (рис. 421). Такая система
отличается от рассмотренных в § 96 гантелей только тем, что расстоя-
расстояние между шарами гантели может уменьшаться и увеличиваться.
Так как при этом между шарами возникают упругие силы, то эту
систему можно назвать упругой гантелью. В упругой гантели возмо-
возможен только один тип движений, при котором соблюдаются законы
сохранения как импульса, так и момента импульса, — это колебания
шаров вдоль стержня с равными по величине и противоположными
по направлению скоростями, при которых центр тяжести О двух
шаров остается в покое, или, иначе говоря, противофазные колебания.
Поскольку оба шара колеблются так, что остаются на одинаковом рас-
расстоянии от точки О, то положение шаров однозначно определяется
заданием только одной величины — расстояния обоих
шаров от точки О. Таким образом, упругая гантель, до тех
пор пока она является замкнутой системой, ведет себя как
колебательная система с одной степенью свободы в том
смысле, что в упругой гантели может происходить только
одно гармоническое колебание—противофазное (в системе
с двумя степенями свободы, как мы видели в § 145, могут
О происходить два типа гармонических колебаний —синфаз-
т ные и противофазные) .
Частоту этого противофазного колебания мы можем
Рис. 421. определить так же, как и частоту «пружинного маятни-
маятника», учитывая, однако, что при колебаниях двух шаров
упругой гантели деформация пружины оказывается вдвое больше, чем
у пружинного маятника: при смещении каждого из шаров на Дл;
деформация пружины изменяется на 2Длг, и если коэффициент уп-
упругости пружины равен /г, то сила, действующая со стороны пру-
пружины на каждый из шаров, равна 2&Длг. По аналогии с формулой
для угловой частоты пружинного маятника, угловая частота проти-
противофазных колебаний упругой гантели
где т —масса каждого из шаров упругой гантели. Амплитуда коле-
колебаний, возникающих в упругой гантели, как и во всех случаях воз-
возникновения свободных колебаний, определяется начальными усло-
условиями.
Чтобы определить начальные условия, существующие при воз-
возникновении колебаний в упругой гантели, нужно рассмотреть какой-
либо конкретный случай возбуждения колебаний. Мы рассмотрим
случай упругого соударения свободного шара массы т с одним из
шаров упругой гантели. Для упрощения положим, что удар не только
является центральным, но и происходит вдоль направления оси упру-
упругой гантели (рис. 422), и, наконец, положим, что относительная ско-

§ 1471 КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ 645
рость соударяющихся шаров невелика, так что за то короткое время,
в течение которого происходит соударение шаров, расстояние между
шарами упругой гантели не успевает заметно измениться. Если до
удара упругая гантель находится в недеформированном состоянии,
то и в течение всего времени соударения замет-
заметные деформации не успеют возникнуть и соударе-
соударение шаров будет происходить как центральный
удар двух свободных шаров одинаковой массы
(поскольку масса ударяющего шара также рав- 8
на т). °\%
Как было показано, при таких условиях со-
ударяющиеся шары обмениваются скоростями. Та-
Таким образом, первый шар гантели (нижний на
рис. 422) приобретает скорость v21 = vl9 где vx —
скорость свободного шара до удара. Второй шар
гантели (верхний на рис. 422) во время соударе-
ния останется в покое, так как, пока длится со- Рис 422.
ударение, пружина, по нашему предположению,
остается недеформированной. Только после того как вследствие движе-
движения первого шара появится заметная деформация пружины, второй
шар гантели придет в движение. Так как соударение шаров к этому
времени уже закончилось, то упругая гантель дальше должна вести
себя как замкнутая система с начальными условиями v2\ = vly tJ2 = 0.
При этом общий импульс упругой гантели в начальный момент, а
значит и во время всего дальнейшего движения шаров гантели, дол-
должен быть равен N = mvx. А так как общий импульс системы тел
где >] rtii —общая масса системы тел, a vt —скорость центра масс
системы, то, обозначив скорость центра масс упругой гантели после
удара через v2, получим:
2 или v2^=v1/2.
Зная скорость каждого из шаров гантели после удара и скорость
центра тяжести упругой гантели, легко найти скорость v\ которой
обладает каждый из шаров .гантели относительно ее центра тяжести
после удара:
^2i = Щ\ - Щ = Ц/2, Щ2 = щ.2 — щ = — vJ2.
Таким образом, после соударения оба шара гантели движутся
относительно центра тяжести гантели навстречу друг другу с равными
по величине, но противоположными по направлению скоростями.
Но, конечно, эти скорости непостоянны. Действительно, как только
начинается движение шаров гантели, пружина между ними начинает
сжиматься и возникшая при этом сила упругости уменьшает скорости
шаров. Таким образом, найденная нами начальная скорость шаров
vJ2 есть вместе с тем и та наибольшая скорость, с которой шары дви-

646 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVTI7
жутся к центру тяжести; наибольшая скорость, с которой начинают
двигаться шары гантели в момент возникновения колебаний, —зто
и есть амплитуда скорости колеблющихся шаров гантели. Следова-
Следовательно, амплитуда скорости
vo = vt/2.
Легко убедиться, что найденные нами скорости движения шаров
гантели удовлетворяют закону сохранения импульса: так как скорости
колебаний шаров относительно центра тяжести гантели противопо-
противоположны по направлению, то общий импульс колеблющихся шаров равен
нулю. Но, кроме того, центр тяжести шаров движется поступательно
с постоянной скоростью vxl2. Постоянный импульс, связанный с этим
поступательным движением, как легко видеть, равен тому импульсу,
который приобрела гантель в начальный момент в результате удара
отдельного шара.
Для рассматриваемых колебаний должен соблюдаться также и
закон сохранения энергии, поскольку гантель представляет собой
замкнутую систему, в которой действует только упругая сила пру-
пружины. Так как удар свободного шара мы считали абсолютно упру-
упругим, а в результате удара свободный шар остановился, то значит,
свою кинетическую энергию шар передал гантели. Следовательно,
полная энергия гантели после удара должна быть равна
A8.2)
С другой стороны, кинетическая энергия поступательного движения
гантели должна быть равна
(:ГК)ПОСТ - \ - 2т (i-v±j = \mv\. A8.3)
Но энергия, которой обладает колеблющаяся гантель, конечно, не
исчерпывается только энергией ее поступательного движения. Как
мы видели (§ 137), при гармонических колебаниях происходит переход
потенциальной энергии в кинетическую, так что с колебаниями в си-
системе связано определенное количество энергии. Эту энергию мы
должны учесть, подсчитывая полную энергию колеблющейся гантели.
Проще всего ее подсчитать для того момента, когда скорость колебаний
достигает наибольшего значения. Так как в этот момент скорость каж-
каждого шара гантели равна г\/2, то кинетическая энергия обоих шаров
в этот момент равна
Ясно, что через полпериода колебаний эта кинетическая энергия
шаров превратится в потенциальную энергию сжатой пружины.
Сопоставляя выражения A8.2), A8.3) и A8.4), мы убедимся, что
полная энергия 1\ которую гантель получила при ударе свободного
шара, равна сумме той кинетической энергии, которая связана с посту-

§ 147] КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ 647
пательным движением гантели, и той колебательной энергии, которая
связана с колебаниями шаров гантели. То обстоятельство, что полная
энергия, полученная гантелью при ударе, распределилась поровну на
поступательную и колебательную, является результатом специального
выбора начальных условий; при другом выборе начальных условий
могло бы оказаться, что энергия делится не поровну.
В рассмотренном случае, когда соударение свободного шара и шара
упругой гантели происходит вдоль оси гантели, помимо колебаний
шаров гантели может возникнуть только поступательное движение
гантели вдоль направления ее оси. Но в общем случае соударения
шаров, происходящего не вдоль оси гантели, а под углом к ней, в ре-
результате удара (так как после удара гантель становится замкнутой
системой) может возникнуть вращение гантели вокруг одной из сво-
свободных осей. Как было показано (§ 99), у гантели, как у всякого твер-
твердого тела, могут существовать три свободные оси: две оси, проходя-
проходящие через центр тяжести перпендикулярно к оси гантели и перпенди-
перпендикулярно друг к другу, и третья ось, совпадающая с осью гантели.
Однако если мы, так же как при рассмотрении удара твердых молекул,
будем считать, что поверхности шаров абсолютно гладкие и, значит,
ни при каком направлении удара не могут возникнуть тангенциальные
силы (т. е. силы трения), то мы должны, как и в § 96, прийти к выводу,
что при соударении гантели с шаром вращение гантели вокруг ее оси
возникнуть не может. Поскольку возможно вращение упругой гантели
вокруг только двух взаимно перпендикулярных осей, упругая гантель
обладает двумя вращательными степенями свободы. Помимо того, как
и всякое тело, упругая гантель обладает тремя поступательными сте-
степенями свободы. Как было показано (§ 96), жесткая гантель обладает
также тремя поступательными и двумя вращательными, т. е. всего
пятью, степенями свободы. Что же касается упругой гантели, то,
как мы убедились, упругой гантели свойственно еще одно движение —
противофазные колебания шаров, положение которых однозначно
задается расстоянием одного из шаров до центра тяжести гантели. Это
значит, что помимо пяти указанных выше степеней свободы упругая
гантель обладает еще одной, шестой, степенью свободы.
Легко понять, почему у упругой гантели появилась лишняя сте-
степень свободы по сравнению с жесткой гантелью. В жесткой гантели
расстояние между шарами не может изменяться; в упругой гантели
расстояние между шарами может изменяться и появляется еще одна
степень свободы. Однако эта степень свободы не допускает любых
движений шаров гантели, так как координата, определяющая поло-
положение шаров гантели относительно центра тяжести, может изменяться
не по произвольному, а только по вполне определенному (гармони-
(гармоническому) закону. Значит, эта последняя степень свободы является
«ограниченной степенью свободы». Поскольку эта степень свободы
допускает только колебательные движения, она называется «колеба-
«колебательной степенью свободы».

648 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ XVIII
По сравнению с поступательными и вращательными степенями
свободы колебательная степень свободы обладает еще одной особен-
особенностью. В то время как поступательное и вращательное движения
не связаны между собой в том смысле, что при изменении скорости
поступательного движения гантели угловая скорость вращательного
движения гантели может остаться неизменной, скорости колебатель-
колебательного и вращательного движения связаны между собой, так как при
всяких движениях упругой гантели должны соблюдаться закон сохра-
сохранения импульса и закон сохранения момента импульса. Но так как
при колебаниях шаров гантели момент инерции гантели из*меняется,
то при вращении гантели угловая скорость этого вращения должна
изменяться таким образом, чтобы момент импульса оставался неиз-
неизменным, т. е. когда шары удаляются друг от друга и от центра тяжести,
угловая скорость вращения должна уменьшаться, а когда* шары при-
приближаются к центру тяжести — угловая скорость должна возрастать.
Твердые тела, рассмотренные в § 96, могут служить моделями со-
соударяющихся молекул только до тех пор, пока можно считать, что
соударения этих молекул не вызывают изменения формы молекул.
Если же скорости движения молекул так велики» что соударения
вызывают деформацию молекул, то твердые гантели не могут служить
моделями этих молекул, так как не дают возможности учесть дефор-
деформации молекул и оценить те последствия, к которым эти деформации
приводят. Чтобы учесть деформации молекул, нужно, очевидно,
пользоваться моделями молекул, способными деформироваться. В ка-
качестве первого шага в этом направлении может служить упругая
гантель. Она позволила нам определить характер одного из тех типов
упругих колебаний, которые возникают при определенной деформа-
деформации молекулы. Но совершенно ясно, что в реальной молекуле не суще-
существует никаких «жестких стержней», подобных стержню в упругой
гантели. Все силы, удерживающие атомы в молекуле в определенных
положениях, являются упругими силами, и поэтому при соударении
молекул могут возникать не только те колебания, которые мы обна-
обнаружили в упругой гантели, но и другие типы колебаний. Детальное
рассмотрение всех этих типов колебаний потребовало бы много места.
Поэтому мы ограничимся описанием только некоторых простейших
типов колебаний молекул, характер которых может быть определен
при помощи простых соображений, и при этом ограничимся только
одной моделью молекулы, именно трехатомной «линейной» молекулы,
в которой все три атома в недеформированной молекуле лежат на
одной прямой и на равном расстоянии друг от друга (рис. 423). Прежде
всего определим число типов колебаний, которые могут происходить
в такой молекуле. Общее число степеней свободы системы, состоящей
из п атомов, если эти атомы не связаны жестко между собой, равно Зд
(так как каждый атом обладает тремя степенями свободы). Но если
атомы связаны между собой упругими силами, то часть этих степеней
свободы превращается в колебательные степени свободы. А так как

§ 147] КОЛРВ^НИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ 649
«линейная молекула», как мы убедились, обладает, кроме того, пятью
неколебательными степенями свободы (тремя поступательными и двумя
вращательными1)), то общее число колебательных степеней свободы
в рассматриваемой молекуле должно быть равно Ъп — 5; таким обра-
образом, у трехатомной линейной молекулы должны быть четыре колеба-
колебательных степени свободы.
Одно из колебаний, свойственных двухатомной линейной молекуле,
мы уже рассматривали, — это противофазное колебание. Очевидно,
такие же колебания могут происходить и в трехатомной молекуле
(рис. 423, а), если средний атом покоится, а крайние колеблются в про-
тивофазе (закон сохранения импульса будет соблюден). Но в трехатом-
а) б)
Рис. 423.
т
ной «линейной молекуле» возможны синфазные колебания двух край-
крайних атомов с одинаковой амплитудой, если при этом средний атом
также колеблется, но его смещение в каждый момент противоположно
смещению двух крайних (рис. 423, б). Иначе говоря, если крайние
атомы колеблются синфазно, а средний атом по отношению к ним про-
тивофазно, и если при этом амплитуда колебаний среднего атома
вдвое больше, чем каждого из крайних, то, как легко видеть, центр
тяжести молекулы будет оставаться неподвижным, т. е. закон сохра-
сохранения импульса будет соблюден. Ясно, что период этих колебаний
будет отличен от периода противофазных колебаний при покоящемся
среднем атоме. Различие периодов обусловлено тем, что величины
сил, возникающих при смещении двух крайних атомов в этих двух
типах колебаний, по-разному зависят от величин смещений.
Итак, мы нашли два различных типа колебаний, которые могут
возникать в трехатомной «линейной молекуле». Однако число колеба-
колебательных степеней свободы в такой молекуле, как было показано, равно
не двум, а четырем, следовательно, мы обнаружили еще не все коле-
колебания, свойственные трехатомной «линейной молекуле». Дело в том,
что мы рассматривали только такие колебания, при которых все три
атома остаются на оси молекулы, т. е. колебания не нарушают «линей-
«линейности» молекулы. Однако вполне возможно допустить существование
в трехатомной молекуле таких колебаний, при которых «линейность»
молекулы будет нарушена. Такие колебания могли бы возникнуть
в том случае, когда в результате соударения молекул один или два
атома смещаются в сторону от молекулы. Конечно, такие нарушающие
*) Эти степени свободы не являются колебательными потому, что при посту-
поступательном движении и при вращении молекулы деформации ее не происходят и коле-
колебания не возникают.

650 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ XVITI
«линейность» молекулы колебания атомов могут происходить только
в том случае, если они не нарушают закона сохранения импульса.
Такие колебания, нарушающие «линейность» молекулы, но не
изменяющие импульса молекулы, действительно возможны. Если
крайние атомы будут синфазно с одинаковой амплитудой отклоняться
в одну сторону от оси молекулы, а средний атом в то же время будет
отклоняться в противоположную сторону, т. е. двигаться в противо-
фазе, но с вдвое большей амплитудой (рис. 423, е), то, как легко
видеть, центр тяжести молекулы будет оставаться неподвижным и
закон сохранения импульса молекулы будет соблюден. Ясно, что в этом
случае зависимость сил, действующих на атомы, от величин смещений
атомов будет совершенно иная, чем в первых двух рассмотренных
типах колебаний, и, значит, период этих нарушающих «линейность»
молекулы колебаний будет иной.
Колебания всех трех атомов в последнем рассмотренном случае
должны происходить в одной и той же плоскости, проходящей через
ось молекулы (иначе центр тяжести молекулы не будет оставаться
неподвижным) Но положение этой плоскости может быть любым.
Ясно, что период этих колебаний будет одинаковым при любом поло-
положении плоскости, в которой происходят колебания.
Таким образом, мы обнаружили множество колебаний одинакового
типа и периода. Между тем у нас остались незаполненными только
две колебательные степени свободы. Как согласовать между собой
эти как будто противоречащие друг другу результаты? Дело в том,
что колебательной степенью свободы мы называем такую степень сво-
свободы, с которой связано одно независимое колебание определенной
формы и частоты. Это значит, что характер колебания, связанного
с данной колебательной степенью свободы, никак не зависит от того,
происходит ли другое такое же колебание, связанное с другой сте-
степенью свободы. Рассмотренные нами колебания, вызывающие нару-
нарушение «линейности» молекулы, будут независимы в указанном выше
смысле, только если два таких колебания происходят в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях (так как только при этом условии сме-
смещения двух атомов от оси молекулы будут происходить независимо).
Таким образом, мы обнаружили два независимых колебания, вызываю-
вызывающие нарушение «линейности» молекул, которые как раз занимают
два места, оставшиеся незаполненными из общего числа колебатель-
колебательных степеней свободы.
§ 148. Колебания в сплошных телах
Мы переходим к рассмотрению таких колебаний сплошных тел,
когда не все тело колеблется как целое, а отдельные части тел совер-
совершают различные колебания. В этом случае существенную роль играют
деформации колеблющихся тел и упругие силы, возникающие при
этих деформациях.

$ 148] КОЛЕБАНИЯ В СПЛОШНЫХ ТЕЛАХ 651
Наиболее наглядным примером таких колебаний могут служить
колебания, совершаемые упругим стержнем или натянутой струной.
Если отдельные элементы упругого тела по каким-либо причинам
движутся различно, то это приводит к деформациям тела. Эти дефор-
деформации и являются причиной возникно- к к
вения тех сил, которые вызывают ус- к ^^^^гп^^
корения отдельных частей колеблю- \$$*^* *
щегося тела. а'
Рассмотренная выше картина ко-
колебаний в связанных системах имеет
некоторые общие черты с картиной 6)
колебаний в сплошных телах. Ко- k'v^" к
лебания отдельных элементов упру- н 3 *
гого сплошного тела при известных ^ (/gS^^Vv^ K3Jf ^~*^ л
условиях можно уподобить колеба- Г
ниям парциальных систем в связан-
связанной системе. Но число отдельных эле-
элементов сплошного тела сколь угодно Рис. 424.
велико. Поэтому, чтобы приблизить-
приблизиться к картине колебаний в связанной системе, нужно представить се-
себе, что в модели связанной системы, изображенной на рис. 410, число
отдельных масс и число пружин становится все больше и больше. В
случае трех масс мы получим три связанные системы, которые обла-
обладают тремя различными нормальными частотами. Каждое из нор-
нормальных колебаний в отдельности можно возбудить, задав соответ-
соответствующие начальные отклонения всех трех масс. На рис. 424 изо-
изображены эти три типа начальных отклонений, соответствующие трем
различным нормальным колебаниям связанной системы.
В первом случае (рис. 424, а) начальные отклонения всех трех масс подобраны
так, что результирующие силы, действующие на них со стороны пружин, пропорцио-
пропорциональны смещениям этих масс. Можно рассчитать величину отклонений, при которых
соблюдается это требование. Если начальные отклонения будут подобраны так, что
силы будут пропорциональны начальным смещениям, то и ускорения, и достигнутые
скорости все время будут пропорциональны смещениям. Все три массы будут двигать-
двигаться, сохраняя свое взаимное расположение, и будут совершать одно гармоническое
колебание с одной и той же частотой. Это будет первое нормальное колебание системы.
При начальных смещениях, изображенных на рис. 424, б, возникнет второе нор-
нормальное колебание (масса га2 при этом колебании все время остается в покое). Нако-
Наконец, если начальные отклонения, изображенные на рис. 424, в, подобрать так, чтобы
результирующие силы были пропорциональны смещениям, то и в этом случае все
три массы будут совершать одно и то же гармоническое колебание. Зто и будет третье
нормальное колебание системы. Такими же рассуждениями, как и для двух масс,
можно убедиться, что первому типу начальных смещений соответствует нормальное
колебание наименьшей частоты, а третьему — наибольшей.
Для четырех масс мы получим четыре нормальных колебания,
соответствующих четырем типам начальных смещений, и т. д. При
беспредельном увеличении числа масс будет беспредельно возрастать
и число нормальных колебаний системы. Увеличивая беспредельно

652 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
число масс, мы в конце концов подойдем как угодно близко к сплош-
сплошной системе. Большое число малых масс, связанных между собой
пружинами, должно обладать такими же свойствами, как и сплош-
сплошное тело, в котором возбуждаются колебания аналогичного ти-
типа (это справедливо при некоторых ограничениях, указанных
ниже).
Все, что мы можем сказать относительно колебаний большого
числа масс, связанных пружинами, в равной мере относится и к коле-
колебаниям стержня или струны. Стержень и струна обладают множеством
нормальных частот. Подобно тому как частоты нормальных колебаний
системы, состоящей из отдельных масс, зависят от числа и величин
этих масс и упругости пружин, нормальные частоты сплошной системы
зависят от размеров сплошного тела, его плотности и упругости.
В стержне упругие свойства определяются упругостью самого мате-
материала. При поперечных колебаниях струны зависимость возникающей
силы от величины отклонения определяется натяжением струны.
Поэтому для данного стержня нормальные частоты имеют определен-
определенные фиксированные значения.
Так же как в системе, состоящей из отдельных масс, выбором соот-
соответствующих начальных условий в стержне можно возбудить то или
иное из свойственных ему нормальных колебаний. При произвольном
выборе начальных условий в стержне сразу возбуждаются в той или
иной степени все нормальные колебания, которыми обладает эта
система. Всякое колебание стержня, возникающее в результате началь-
начального толчка, представляет собой суперпозицию тех или иных нормаль-
нормальных колебаний. В системе, состоящей из отдельных масс, возникнове-
возникновение тех или иных нормальных колебаний определяется характером
начальных отклонений всех масс. Точно так же в струне возникают
различные нормальные колебания в зависимости от характера началь-
начального отклонения струны. Оттягивая струну в различных точках, мы
будем возбуждать в ней, вообще говоря, различные нормальные коле-
колебания. Поэтому и характер звука, издаваемого струной, будет, вообще
говоря, различным.
В системе, состоящей из трех тел, второе из нормальных колеба-
колебаний таково (рис. 421, б), что при этом колебании масса т2 все время
остается в покое. Точно так же и в сплошной системе каждому из
нормальных колебаний соответствуют определенные точки, которые
при этом колебании остаются в покое. Эти точки называются узло-
узловыми точками данного нормального колебания. Расположение узло-
узловых точек для различных типов нормальных колебаний также можно
выяснить на основании аналогии с системой, состоящей из отдельных
масс. В системе, состоящей из трех масс, при первом нормальном
колебании с наиболее низкой частотой (рис. 424, а) остаются в покое
только крайние точки, в которых закреплены пружины, эти точки
и являются узловыми точками соответствующего нормального коле-
колебания струны. При втором нормальном колебании, соответствующем

§ 148] КОЛЕБАНИЯ В СПЛОШНЫХ ТЕЛАХ' 653
более высокой частоте (рис. 424, б), кроме крайних точек в покое
будет оставаться и масса т2. В струне при соответствующем нормаль-
нормальном колебании не только две крайние точки, но и средняя точка будут
являться узловыми точками. Наконец, при третьем нормальном коле-
колебании, соответствующем наиболее высокой частоте (рис. 424, в), не
только две крайние точки, но и две точки, лежащие между массами
тл и /л2 и /л2 и т3у будут оставаться в покое. В струне этому нормаль-
нормальному колебанию будут соответствовать четыре узловые точки (две по
краям и две в средней части струны), расположенные так, что они
делят струну на три равные части. Вообще, чем выше частота нормаль-
нормального колебания, тем больше узловых точек соответствует этому нор-
нормальному колебанию. При переходе к каждому следующему нормаль-
нормальному колебанию число узловых точек струны увеличивается на еди-
единицу, причем эти узловые точки располагаются так, что они все время
делят струну на равные части.
Первое нормальное колебание, соответствующее наиболее низкой
частоте и двум узловым точкам (на концах струны), является основным
тоном собственных колебаний струны. Все остальные нормальные
колебания, соответствующие более высоким частотам, являются обер-
обертонами собственных колебаний струны.
В зависимости от характера начальных отклонений в системе
возбуждаются те или иные обертоны колебаний. Так, например,
чтобы в системе, состоящей из трех масс, возбудить то нормальное
колебание, при котором средняя масса т% остается в покое, нужно
дать начальное отклонение массам тх и т3. Мы не возбудим этого
нормального колебания, если оттянем только массу /л2. Точно так
же, оттянув струну в какой-либо точке, мы не возбудим в ней
тех нормальных колебаний, для которых эта точка является
узловой.
Картину возникновения различных нормальных колебаний при разных началь-
начальных отклонениях можно продемонстрировать на слабо натянутой резиновой трубке.
Такая «струна» обладает сравнительно малой упругостью, поэтому амплитуды ее ко-
колебаний могут быть велики и хорошо видны. Если оттянуть струну в средней точке
(рис. 425), то мы сильнее всего возбудим в "ней нормальное колебание наименьшей
частоты (основной тон), для которого узловыми являются только крайние точки.
Если оттянуть две половины струны симметрично в противоположные стороны, то
мы возбудим в пей сильнее всего то нормальное колебание, для которого средняя
точка является узловой. При этом колебания струны будут происходить с большей
частотой.
Конечно, колебания струны вследствие сопротивления воздуха и внутреннего
трения в резине постепенно затухают. При этом не только уменьшается амплитуда
колебаний струны, но изменяется и форма колебаний. Это объясняется тем, что, оття-
оттягивая струну в одной точке, мы возбуждаем в ней не одно нормальное колебание,
а ряд нормальных колебаний (все, для которых эта точка не является узловой). Но
частоты этих колебаний различны и затухают эти колебания с разной скоростью —
тем быстрее, чем выше частота колебаний. Поэтому и изменяется форма колебаний;
к концу в струне остается только одно нормальное колебание, соответствующее наи-
наиболее низкой частоте, и колеблющаяся струна принимает форму синусоиды (рис. 425).
Отдельные точки струны колеблются с одной и той же частотой, но с разными ам-
амплитудами, причем эти амплитуды распределяются по закону синуса.

654
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIIT
Амплитуды каждого из нормальных колебаний струны распре-
распределяются вдоль струны по закону синуса. Узловые точки — это точки,
в которых этот синус обращается в нуль. Для основного тона на всей
длине струны укладывается только один полупериод синуса (одна
«полуволна»). Для обертонов распределение амплитуд таково, что на
длине струны укладываются две, три и т. д., вообще целое число полу-
полуволн.
Все сказанное о колебаниях струн при известных условиях спра-
справедливо и для продольных колебаний упругого стержня. Если оба
конца стержня закреплены, то они находятся в таких же условиях,
to
"~"-"'-~*'ГЛ^*"*
Рис, 425,
как и концы струны. Поэтому к такому закрепленному стержню
относится все, что было сказано относительно струны. Если концы
стержня не закреплены или закреплен только один его конец, то
картина получается уже не такой, как для струны. Мы ее рассмотрим
позднее с несколько иной точки зрения.
Синусоидальное распределение амплитуд нормальных колебаний
является весьма распространенным, но все же не общим законом рас-
распределения амплитуд в сплошных системах. Чтобы распределение
амплитуд нормальных колебаний было синусоидально, прежде всего
необходимо, чтобы сплошная система была однородна, т. е. ее плот-
плотность и упругость во всех точках были одни и те же. Если, например,
мы нарушим однородность резиновой струны, насадив на нее три свин-
свинцовых грузика, то при колебаниях струна до самого конца будет
сохранять форму ломаной линии (рис. 426 и 427), а не приближаться
(как в случае однородной струны) к синусоидальной форме. Вследствие
неоднородности распределение амплитуд нормального колебания ста-
становится несинусоидальным.

§ 148]
КОЛЕБАНИЯ В СПЛОШНЫХ ТЕЛАХ
655
Рис. 426.
Рис. 427.

656
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
Распределение амплитуд нормального колебания может оказаться несинусои-
несинусоидальным и в однородных сплошных системах, если упругие силы, действующие ме-
между отдельными элементами сплошной системы, не пропорциональны величине от-
относительного смещения соседних элементов, а зависят от деформаций каким-либо
более сложным образом. Например, при поперечных колебаниях упругого стержня
возникают деформации изгиба. Упругие силы зависят от величины изгиба, который
через элементарные деформации сжатия и растяжения выражается некоторым слож-
сложным образом. Поэтому распределение амплитуд колебаний изгиба упругого стержня
оказывается несинусоидальным (рис. 428, а). Но и в этом случае каждому нормаль-
нормальному колебанию соответствует определенное расположение узловых точек. Изогнув
упругую пластинку так, как указано на рис. 428, б. мы возбудим в ней нормальное
колебание, для которого узловыми точками являются точки А и В.
Колебания камертона (рис. 429) представляют собой также колебания изгиба
упругого стержня, но при этом, в отличие от только что рассмотренного случая, сам
стержень изогнут и оба конца его свобод-
свободны. При-ударе в камертоне возбуждается
колебание в основном топе, и распределе-
распределение амплитуд колебаний вдоль каждой
ножки камертона получается примерно
таким же, как вдоль стержня на рис.
428, а. При этом обе ножки камертона
движутся в каждый момент в противопо-
противоположные стороны (одновременные положе-
положения иожек указаны на рис. 429 одинако-
одинаковыми буквами), так что вследствие сим-
симметрии ножек общий импульс камертона
остается все время равным нулю. Поэто-
Поэтому камертон представляет собой замкну-
замкнутую колебательную систему, подобную
рассмотренным б предыдущем параграфе,
и закреплять камертон не нужно. Между
тем для того, чтобы прямой стержень со-
совершал колебания изгиба, такие, как на
Рис. 428. Рис. 429. рис. 428, а, его конец должен быть жест-
жестко закреплен. В самом деле, при коле-
колебаниях количество движения стержня
все время быстро меняется и со стороны стержня на тиски, в которых он закреплен,
действуют переменные силы, достигающие значительной величины. Именно для того,
чтобы можно было не заботиться о закреплении камертона, а просто держать в ру-
руках, ему придают U-образную форму х).
В общих чертах такая же картина, как в струне, будет наблюдаться и при коле-
колебаниях упругих пластинок или пленок. Если упругую пленку, например тонкий
лист металла, натянуть на рамку, то такая мембрана будет обладать также бесконеч-
бесконечным числом нормальных колебаний. Частоты этих колебаний зависят от размеров
и массы мембраны и ее натяжения. Но каждому нормальному колебанию соответстзуют
уже не отдельные узловые точки, а целые узловые линии, которые при данном коле-
колебании остаются в покое. Такие же узловые линии существуют и при колебаниях упру-
упругой пластинки. Обнаружить узловые линии колеблющейся пластинки молено следую-
следующим образом. Если на металлическую пластинку насыпать слой мелкого песка и за-
затем возбуждать в ней колебания, проводя по краю пластинки смычком, то песок
*) В действительности условия закрепления стебля камертона, на котором ук-
укреплены его ножки, играют известную роль. Это связано с тем, что ввиду конечной
толщины ножек камертона в средней точке, где прикрепляется стебель, узел колеба-
колебаний не образуется. Поэтому в стебле также возбуждаются упругие колебания, кото-
которые передаются дальше подставке, на которой стебель установлен, или руке, в кото-
которой он зажат. Это вносит некоторое добавочное затухание в колебания камертона.

§ Н8]
КОЛЕБАНИЯ В СПЛОШНЫХ ТЕЛАХ
657
будет ссыпаться с колеблющихся частей пластинки и скопляться в узловых линиях.
Полученные таким образом картины распределения узловых линий, так называемые
фигуры Хладны, для некоторых типов колебаний пластинок изображены на рис. 430.
Рассмотренные нами типы колебаний представляют собой различные случаи
собственных колебаний сплошных систем. Вследствие наличия трения эти колебания
всегда будут затухающими. В сплошных системах, так же как и в системе с одной сте-
степенью свободы, можно создать условия, при которых те или иные из нормальных ко-
колебаний системы поддерживаются за счет постороннего источника энергии. Из этого
источника колеблющаяся система пополняет потери энергии. В этом случае мы полу-
получим автоколебания в сплошной системе. Типичным примером таких автоколеба-
автоколебаний является возбуждение струны смычком. Потери энергии пополняются за счет
работы силы трения, действующей между смычком и струной. В рояле и в щипковых
музыкальных инструментах (балалайка, гитара) происходят затухающие собствен-
собственные колебания струны. В смычковых инструментах (скрипка, виолончель) происхо-
происходят автоколебания, т. е. незатухающие колебания. Этим, главным образом, и объяс-
объясняется различие в звучании щипковых и смычковых инструментов.
Рис. 430.
Если на сплошную колебательную систему действует переменная
внешняя сила, то она вызывает вынужденные колебания в системе.
При этом наблюдаются явления резонанса. Так же как и в системе
с одной степенью свободы, в сплошных системах в момент возникно-
возникновения внешней силы возбуждаются собственные колебания, которые
постепенно затухают. Для установления явления резонанса необхо-
необходимо известное время, тем большее, чем меньше затухание собственных
колебаний в системе.
Резонанс в сплошных системах будет наблюдаться, когда частота
гармонического внешнего воздействия совпадает с частотой одного
из нормальных колебаний сплошной системы. Тогда возникнут силь-
сильные вынужденные колебания сплошной системы, характер которых
будет примерно такой же, как и у нормального колебания, совпадаю-
совпадающего с частотой внешнего воздействия. Узловые точки, соответствую-
соответствующие этому нормальному колебанию, остаются в покое при вынужден-
вынужденных колебаниях. Поэтому, если внешняя сила приложена к узловой
точке данного нормального колебания, то она не будет совершать
работы (точка приложения силы не перемещается) и не будет увели-
увеличивать энергии колебаний сплошной системы. Колебания не будут
нарастать, и явление резонанса не наступит.

658
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ XVIIT
Чтобы в сплошной системе наблюдалось явление резонанса, необхо-
необходимо не только чтобы частота гармонической внешней силы совпадала
с одной из нормальных частот
системы, но чтобы эта внешняя
сила была приложена достаточ-
достаточно далеко от узловой точки дан-
данного нормального колебания.
Демонстрацией явления резонанса
в сплошных системах может служить
следующий опыт. На общем основании
(легком столике) укреплены мотор с
эксцентрично насаженной небольшой
массой и длинная стальная пластин-
пластинка, зажатая в тиски (рис. 431). При
вращении мотора неуравновешенная
масса вызывает колебания стола, кото-
которые действуют на пластинку. Изменяя
число оборотов мотора, можно достиг-
достигнуть того, что частота колебаний бу-
будет совпадать с основным тоном коле-
колебаний пластинки — будет наблюдаться
резонанс. Увеличивая число оборотов
мотора, можно достичь того, что частота
внешней силы окажется равной частоте
Рис. 431. одного из обертонов колебаний пла-
пластинки. При этом снова будет наблю-
наблюдаться резонанс. Распределение ампли-
амплитуд вынужденных колебаний будет совпадать с распределением, соответствующим
тому нормальному колебанию, для которого имеет место резонанс. Кроме зажатого
нижнего конца на пластинке появится еще одна или несколько узловых точек.
§ 149. Нормальные колебания упругого стержня
Возникновение нормальных колебаний в результате начального
отклонения системы было рассмотрено в § 148 на примере струны.
При этом были высказаны качественные соображения о характере
нормальных колебаний в сплошных телах. Сейчас мы обратимся к рас-
рассмотрению колебаний в упругом стержне. В результате этого анализа
во многих случаях можно б^гдет получить не только качественные, но
для простейших колебательных систем и количественные данные
о нормальных колебаниях в сплошной системе. Эта возможность
связана с тем, что всякие собственные колебания, возникающие
в сплошной системе (как и в связанных системах с конечным числом
степеней свободы), представляют собой суперпозицию тех или иных
нормальных колебаний, свойственных данной системе. Поэтому гар-
гармониками спектра тех собственных колебаний, которые могут возник-
возникнуть в какой-либо сплошной системе, должны являться нормальные
колебания, свойственные данной системе. Изучить спектры собствен-
собственных колебаний какой-либо достаточно простой колебательной системы
можно элементарными методами; зная же эти спектры, можно опре-

«§ 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 659
делить частоты и распределение амплитуд всех нормальных колебаний
данной сплошной системы.
С этой целью рассмотрим продольные собственные колебания,
возникающие в однородном упругом стержне длиной I (рис. 432).
Положим, что концы стержня свободны и на один из его торцов (для
определенности — левый) в результате удара в момент / = 0 начинает
действовать кратковременная сила Д направленная вдоль оси х вправо
(мы не будем учитывать движения стержня как целого). Как было
х-0 s-l
Рис. 432.
показано в § 113, эта сила вызовет возникновение продольного импульса
деформации, который будет распространяться как целое (без измене-
изменения формы) по стержню вправо со скоростью
и = ]/Щ A8.5)
где Е — модуль упругости, ар — плотность материала стержня. До-
Достигнув за время 7\/2 = //и = / "Ур/Е правого конца стержня, импульс
деформации при отражении от свободного конца изменит свой харак-
характер — из сжатия превратится в растяжение и, распространяясь по
стержню влево, за время 7\/2 достигнет левого конца стержня.
Так как при отражении от левого конца стержня (также свобод-
свободного) импульс растяжения снова превратится в импульс сжатия,
то через время 7\ после удара характер деформации в стержне будет
такой же, как и в момент удара. Наряду с импульсом деформации
по стержню распространяется с той же скоростью и импульс скоро-
скоростей *), причем, как было показано в § 113, этот последний отражается
от свободных концов стержня без изменения знака скорости. Поэтому
через время 7\ после удара характер не только деформации, но и
скоростей будет таким же, как в момент удара. Если потерями энергии
при распространении импульсов в стержне и отражении от его концов
можно пренебречь, то через время Тг должны повторяться не только
характер деформации и скоростей, но и их величины.
Таким образом, в результате однократного удара в стержне воз-
возникнет периодический процесс: в каждом сечении стержня будут
периодически появляться и исчезать деформации и скорости, причем
во всех сечениях стержня будут происходить одинаковые изменения
деформаций и скоростей, но в разных сечениях они будут происходить
х) Напомним еще раз, что скорость частиц стержня в импульсе не следует сме-
смешивать со скоростью v распространения импульса. Этот вопрос был подробно рас-
рассмотрен в § 113.

660 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ XVIII
в разное время; однако во всех сечениях эти изменения будут повто-
повторяться через одинаковые промежутки времени 7\. Иначе говоря, в
стержне возникают продольные упругие колебания с периодом 7\, опре-
определяемым свойствами стержня (на величину периода могут влиять так-
также условия на концах стержня; пример этого будет приведен ниже).
Если удар по торцу стержня очень кратковременный, т. е. про-
продолжительность действия силы х <^ 7\, удар можно считать мгно-
мгновенным (происходящим в момент / = 0). Проследим при помощи
схематических графиков за перемещением импульсов вдоль стержня
и их отражением от концов стержня.
Будем считать, что ширина слоя стержня, в котором в данный
момент существуют деформации и скорости, исчезающе мала по срав-
I нению с длиной стержня. В
—*~ таком случае можно не рас-
г— 1 сматривать вопрос о форме
Ll^ 1 импульсов и изображать их
на графиках «не имеющими
j...^ ширины», т. е. в виде отрез-
| L ков линий, длина которых
1 ~«Н t=77=/ характеризует некую среднюю
^ величину деформации или
скорости в импульсе, а на-
направление отрезка — «знак»
t=§=Jj Деформации или скорости в
импульсе. Вертикальными от-
l""^ резками, расположенными над
Рис 433. стержнем, мы будем обозна-
обозначать сжатия, а расположен-
расположенными под стержнем — растя-
растяжения; горизонтальные стрелки над и под стержнем будут изобра-
изображать скорости частиц в соответствующем импульсе деформаций,
направление стрелки совпадает с направлением скорости. Наконец,
стрелка, расположенная на осевой линии стержня, будет изображать
направление, в котором распространяется импульс. Таким способом
на рис. 433 даны схемы процесса распространения импульса в три
последовательных момента времени, указанные справа на рисунке;
в моменты t = 7\/2 и t = 7\ изображены одновременно и падающий,
и отраженный импульсы: первый — штриховыми, второй — сплош-
сплошными стрелками.
Графики рис. 433 дают представление о деформациях и скоростях,
возникающих на концах стержня. Чтобы получить представление
о деформациях и скоростях, возникающих в различных сечениях
стержня, лежащих на расстоянии х от его левого края, можно по-
построить графики, на которых будут указаны моменты прохождения
через сечение х импульсов деформации (на одном графике) и импульсов
скоростей (на другом). Так, на рис. 434, а изображена последователь-

§ 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 661
ность во времени импульсов деформаций для среднего сечения стержня
(х = 1/2). В этом случае возникшая при ударе в момент / = 0 у левого-
конца стержня деформация сжатия пройдет- середину стержня в момент
/ = 7\/4, затем в момент t = 37\/4 она снова пройдет в обратном
направлении середину стержня, отразившись от правого конца и
превратившись при этом в растяжение, и, наконец, в момент / =
= 57\/4 деформация еще раз пройдет среднее сечение, отразившись
от левого конца и снова превратившись в сжатие, и т. д.
Последовательность во времени импульсов скоростей, также для
среднего сечения стержня (рис. 434, б), отличается от последователь-
последовательности импульсов деформации (рис. 434, а) тем, что все импульсы ско-
скоростей направлены одинаково вправо. (Напомним, что в сжатии,
возникшем после удара,
импульс скорости направ- е
лен в ту же сторону, куда • I (x-j)
распространяется импульс, I Ц-
а при отражении импульса &) ? ^ ¦—
скоростей от свободного it ~t \
конца стержня знак им-
импульса скоростей не изме-
изменяется.) Таким образом, в
одном и том же сечении
стержня законы изменения
деформаций и скоростей
различаются между собой.
С другой стороны, раз-
различной оказывается фор- Рис# 434>
ма одних и тех же коле-
колебаний (колебаний деформации или колебаний скоростей) в различ-
различных сечениях стержня. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим после-
последовательность во времени импульсов скоростей для двух различных
сечений стержня, например крайнего левого (х — 0) и сечения, лежа-
лежащего на расстоянии х = НА от левого края стержня. Импульсы ско-
скоростей, как уже было показано, все лежат выше оси времени. Для
крайнего левого сечения первый импульс скоростей появится в мо-
момент удара (/ = 0), второй — в момент Tl7 третий — в момент 27\
и т. д. (рис. 435, а). Через сечение, лежащее на расстоянии х = //4
от левого конца, импульс скоростей первый раз пройдет в момент
/ = 7\/8, второй раз (после отражения от правого конца) — в момент
/ = 77\/8 и третий раз (после второго отражения от левого конца) —
в момент t = 97\/8, после чего последовательность импульсов будет
повторяться (рис. 435, б). Рассмотрение всех графиков показывает,
что в каждом сечении стержня картина появления деформаций и
скоростей повторяется через одно и то же время 7\.
Таким образом, для разных сечений стержня получается различ-
различное взаимное расположение импульсов при одном и том же периоде
б)
V
\
1
Ъ
Т
II
2
1
1
/ OIl

€62 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
колебаний, т. е. различная форма колебаний. Ясно, что по мере пере-
перемещения рассматриваемого сечения стержня в ту или другую сторону
от положения х = //4 последовательность импульсов, изображенная
на рис. 435, б, непрерывно изменяется, приближаясь к изображенной
на рис. 435, а при уменьшении х до 0 и к изображенной на рис. 434, б
при увеличении х до 1/2.
Все эти колебания, имеющие разную форму в разных сечениях,
обладают той общей чертой, что они все резко отличаются от синусои-
синусоидальных. Поэтому при разложении в спектр все они дадут большое
число гармонических обертонов х). Так как период колебаний во всех
А
Рис. 435.
сечениях стержня один и тот же, Т± = 2l/v, то спектры колебаний
во всех сечениях содержат гармонические обертоны, угловые частоты
которых должны быть кратными угловой частоте основного тона:
2я пи я -» / Е
Следовательно, во всех сечениях стержня угловая частота каждой
гармоники спектра колебаний одна и та же и равна
nkv nk -ш ГЕ
где k = I, 2, 3, ... — номер гармоники.
Амплитуды этих гармоник зависят (как уже указывалось в § 142)
от формы колебаний, которая, как мы только что убедились, с одной
стороны, для деформаций и скоростей, а с другой стороны, для разных
сечений стержня оказывается различной. Вследствие этого амплитуды
гармоник изменяются вдоль стержня, причем для скоростей и дефор-
деформаций и для разных номеров гармоник изменяются по-разному. Однако
для рассматриваемого случая однородного стержня и других подоб-
х) Поскольку эти колебания мы представляем себе состоящими из отдельных
«мгновенных выбросов», их спектр теоретически содержит бесконечное число гармо-
гармоник. Однако в действительности деформации и скорости в каждом сечении стержня
изменяются не скачком, а непрерывно (хотя и быстро), вследствие чего спектр прак-
практически содержит только ограниченное число гармоник не слишком больших
номеров.

§ 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 663
ных ему однородных систем изменения амплитуд всех гармоник вдоль
стержня происходят только по синусоидальному или косинусоидаль-
ному закону. Мы убедились в этом при наблюдении колебаний струны,
которая также представляет собой однородную систему. В дальнейшем
мы убедимся в этом при рассмотрении других случаев колебаний
однородных сплошных систем. Почему распределение амплитуд гар-
гармоник вдоль стержня (или подобных ему однородных систем) должно
быть обязательно синусоидальным или косинусоидальным, будет
выяснено позднее (в § 155). Сейчас же мы воспользуемся тем, что закон
распределения амплитуд вдоль стержня нам заранее известен, чтобы
найти распределение амплитуд в отдельных конкретных случаях.
Итак, нам известно, что функция, выражающая зависимость
амплитуды скоростей или деформаций от величины х (расстояния от
левого конца стержня), может быть либо синусом, либо косинусом.
Так как аргументом синуса или косинуса должна быть величина без-
безразмерная, а независимая переменная х имеет размерность длины, то
в аргумент синуса или косинуса должно входить отношение х к не-
некоему параметру, имеющему размерность длины; конечно, при этом
отношении может стоять какой-либо безразмерный множитель. Найти
аргумент этой функции распределения для отдельных конкретных
случаев можно, исходя из следующих соображений.
Прежде всего, поскольку оба конца стержня находятся в одина-
одинаковых условиях (оба свободны), то в случае полной симметрии изме-
изменения деформаций и скоростей на обоих концах стержня должны
протекать во времени совершенно одинаково. Поэтому амплитуды
гармоник на обоих концах стержня должны быть одинаковы. Следова-
Следовательно, функция распределения амплитуд должна быть такой, чтобы
ее значения при х — 0 и х = / были одинаковы. Это требование будет
выполнено, если при изменении х от 0 до / аргумент синуса или коси-
косинуса изменяется на пзх, где п — любое целое число; а для этого аргу-
аргументом должно служить выражение
^ A8.8)
где ф0 — постоянная величина, значение которой определяется зна-
значениями амплитуд данной гармоники на концах стержня. Однако
для определения ф0 нужно рассмотреть картину отражения от концов
стержня более детально, чем это сделано выше, а именно, учесть
конечную ширину участков стержня, в которых локализованы дефор-
деформации и скорости.
При отражении эти участки накладываются друг на другаг);
если знак импульса при отражении не меняется, то на конце стержня
х) Картина наложения падающего и отраженного импульсов станет более наг-
наглядной, если вместо импульсов, «не имеющих ширины», мы будем рассматривать
импульсы конечной ширины. Тогда отражение импульса от конца стержня длится
некоторый конечный промежуток времени, и, например, к середине этого проме-

664
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVHT
получается наибольшая амплитуда, если же знак меняется, то ампли-
амплитуда падает до нуля. В рассматриваемом случае стержня со свободными
концами, как следует из сказанного, импульсы скоростей на концах
будут иметь наибольшую величину по сравнению с импульсами во
всех других сечениях (так как скорости, отражаясь, не изменяют на-
направления), а импульсы деформаций на концах будут обращаться
в нуль (так как деформации при отражении меняют свой характер —
из сжатия превращаются в растяжение и наоборот). Поэтому и ампли-
амплитуды всех гармоник скоростей на концах стержня должны достигать
максимума, а амплитуды всех гармоник деформаций на концах стержня
должны падать до нуля. Эти требования будут выполнены, если ампли-
амплитуды скоростей распределяются
по косинусу, а амплитуды дефор-
деформаций — по синусу и в выражении
A8.8) ф0 = 0.
Таким образом, распределения
амплитуд скоростей определяются
выражением
cos (nnx/l), A8.9)
а амплитуд деформаций — выраже-
выражением
sin (nnx/l). A8.10)
Распределения амплитуд дефор-
деформаций и скоростей (для значений
я = I, 2, 3) изображены соответственно на рис. 436, а и б (цифры
означают номера гармоник). Расстояние, на котором укладывается
полный период функции распределения (т. е. расстояние, на котором
аргумент функции распределения изменяется на 2л), называется
длиной волны. Как видно из рис. 436, на длине стержня укладывается
п(К„'2) длин волн, где Хп — длина волны, соответствующая данному
значению п. Понятие длины волны в дальнейшем (§ 153) будет развито
и дополнено. При этом выяснится, что k в A8.7) и п в A8.9) и A8.10) —
это не любые целые числа, а одни и те же целые числа, т. е. что п = k.
Это равенство нам понадобится уже сейчас, чтобы установить, какой
гармонике какая функция распределения соответствует.
Сопоставив выражения
Хп = 21/п, где п=1, 2, 3, ..., A8.11)
и
щ = 1юг = пки/1, где k=ly 2, 3, ..., A8.12)
при k = п мы обнаружим, что случаю k = п = 1 соответствует длина
волны Хх = 2/ и угловая частота % = nv/l (первая гармоника),
Рис. 436.
ж\тка времени первая половина импульса уже успевает отразиться и наклады-
накладывается на вторую половину импульса, граница которой только достигла конца

§ 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 665
случаю k = п = 2 — длина волны К2 = I и угловая частота со2 =
= 2nv/l (вторая гармоника), и т. д. Это означает, что на длине
стержня укладывается k полуволн k-й гармоники.
После того как найдено распределение амплитуд различных гар-
гармоник скоростей и деформаций вдоль стержня, можно конкретными
примерами пояснить высказанное выше общее соображение о том,
что амплитуды гармоник в разных сечениях стержня оказываются
различными вследствие того, что форма колебаний в этих сечениях
различна. Сопоставим для этого амплитуды гармоник скоростей и
деформаций в среднем сечении стержня с формой колебаний в среднем
сечении. Последовательность импульсов скоростей в среднем сечении
стержня (рис. 434, б) такова, что вся картина повторяется через про-
промежутки времени 7\/2, т. е. в этом сечении период колебаний вдвое
короче, чем в других сечениях, и соответственно угловая частота
(наинизшей гармоники) со' = 2^, где о^ — угловая частота наиниз-
наинизшей гармоники в других сечениях.
Более высокие гармоники будут иметь угловые частоты, кратные
наинизшей угловой частоте со' = 2ы19 следовательно, угловые частоты
гармоник в среднем сечении стержня
<oi = 2fao1? где k=l9 2, 3, ... A8.13)
Из сравнения со спектром в других сечениях A8.12) видно, что
в среднем сечении отсутствуют все нечетные гармоники, т. е. ампли-
амплитуды нечетных гармоник в среднем сечении должны обращаться
в нуль. И действительно, найденное нами распределение амплитуд
скоростей (рис. 436, б) таково, что амплитуды скоростей для всех
нечетных гармоник обращаются в нуль.
Проведем теперь аналогичное рассмотрение для амплитуд дефор-
деформаций в среднем сечении. Последовательность импульсов деформаций
в среднем сечении (рис. 434, а) такова, что картина повторяется через
промежуток времени 7\, а не 7\/2, как в предыдущем случае, и следо-
следовательно, нечетные гармоники не должны обращаться в нуль, но зато
в среднем сечении стержня должны обращаться в нуль четные гар-
гармоники амплитуд деформаций. В самом деле, форма колебаний дефор-
деформации в среднем сечении стержня такова, что одинаковые по величине
импульсы деформаций чередующегося знака расположены на равных
расстояниях друг от друга (рис. 434, а).
Очевидно, такая форма колебаний может получиться только в том
случае, если значения всех гармоник спектра этих колебаний точно
повторяются в те моменты времени, когда возникают импульсы одного
знака, и повторяются по величине, но противоположны по знаку в те
моменты времени, когда возникают импульсы обратного знака. Но, как
видно из рис. 437, этому требованию удовлетворяют только нечетные
гармоники (на рис. 437 сплошной линией изображены первая и третья
гармоники) и не удовлетворяют четные гармоники (на рисунке пунк-
пунктиром изображена вторая гармоника).

666 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
Следовательно, в среднем сечении стержня четные гармоники
деформации должны отсутствовать. И действительно, в найденном
нами распределении амплитуд деформаций (рис. 436, а) амплитуды
четных гармоник в среднем сечении обращаются в нуль. Подобным
же образом мы могли бы проследить связь между формой колебаний
и амплитудой гармоник в других сечениях стержня. Мы обнаружили
бы, что, например, в сечениях стержня, делящих его на три равные
части, форма колебаний скорости такова, что амплитуды скорости
третьей гармоники и всех кратных ей должны обращаться в нуль.
После того как найдены частоты и распределение амплитуд ско-
скоростей и деформаций всех гармоник, нам остается определить сдвиг
Рис. 437.
фаз между колебаниями скорости и деформации для каждой гармо-
гармоники. Это можно сделать при помощи следующих простых рассужде-
рассуждений. Скорости и деформации в различных сечениях стержня обуслов-
обусловлены тем, что эти сечения смещаются в направлении вдоль стержня
(вследствие чего возникают скорости) и при этом расположенные
близко одно к другому сечения смещаются на разную величину (вслед-
(вследствие чего возникают деформации). Так как скорость есть производная
от смещения по времени, то если одна из этих величин меняется по
гармоническому закону, то и другая должна меняться по гармониче-
гармоническому закону.
Положим, что для k-й гармоники смещение сечения, находящегося
на расстоянии х от начала стержня,
A8.14)
где Ak (x) — меняющаяся вдоль стержня амплитуда смещения для
k-и гармоники, а со& — угловая частота k-й гармоники (начало от-
отсчета времени мы всегда можем выбрать так, чтобы смещение про-
происходило по закону синуса). Скорость wk элемента стержня, обуслов-
обусловленная той же гармоникой, есть производная по времени от смещения
этого элемента, и следовательно,
wk = Ak{x)(ukzos<ukt. A8.15)
Что касается деформации, то, не определяя, как она выражается через
смещение (это будет сделано в § 153), можно утверждать, что она
должна совпадать по фазе со смещением. Ведь ясно, что в те моменты,
когда смещения во всех точках стержня равны нулю (sin coft/ проходит
через нуль), деформации также должны быть равны нулю, т. е. они
также происходят по закону si

§ 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 667
На основании сказанного, учитывая найденные выше выраже-
выражения A8.12) и A8.13) для угловых частот, можно написать для всех
гармоник мгновенные значения скоростей wk и деформаций ek:
^kt, A8.16)
= К0Л sin ^p sinco^, A8.17)
где k = 1, 2, ..., п; Wok и Yok — амплитуды соответственно скорости
и деформации в тех точках стержня, в которых эти амплитуды дости-
достигают наибольших значений.
Суперпозиция части или всех гармонических колебаний, описы-
описываемых выражениями A8.16) и A8.17), охватывает все те собственные
колебания, которые могут возникнуть в стержне со свободными кон-
концами. Кратковременное внешнее воздействие, обладающее очень ши-
широким спектром частот, способно возбудить практически все нормаль-
нормальные колебания, свойственные системе. Число этих нормальных колеба-
колебаний теоретически бесконечно велико (поскольку k может быть любым),
но практически оно, конечно, ограничено хотя бы вследствие того,
что воздействие имеет конечную продолжительность и поэтому не
может возбудить сколь угодно быстрых колебаний.
Точки, в которых амплитуда скорости того или иного нормаль-
нормального колебания обращается в нуль, — это уже знакомые нам узло-
узловые точки, или, точнее, узлы скоростей данного нормального колеба-
колебания. Точки, в которых амплитуда деформаций того или иного нормаль-
нормального колебания обращается в нуль, называются узлами деформаций
данного нормального колебания. Точки же, в которых амплитуда
скоростей или деформаций того или иного нормального колебания
достигает максимума, называются пучностями соответственно ско-
скоростей или деформаций данного нормального колебания.
Из распределения амплитуд скоростей и деформаций, приведен-
приведенного на рис. 436, нетрудно усмотреть, что для каждой данной гармо-
гармоники узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций и, наобо-
наоборот, пучности деформаций — с узлами скоростей, а также что узлы
и пучности скоростей (или узлы и пучности деформаций) располо-
расположены в чередующемся порядке на расстоянии Kk/4 друг от друга,
где %k — длина волны, соответствующая данной гармонике.
Характер нормальных колебаний стержня зависит не только
от свойств стержня, но и от условий на его концах. Выше был рас-
рассмотрен случай, когда оба конца стержня свободны, т. е. находятся
в одинаковых условиях. Рассмотрим теперь другой случай, когда оба
конца стержня находятся также в одинаковых условиях, но не сво-
свободны, а оба закреплены неподвижно г).
*) Считать, что концы стержня закреплены неподвижно, можно в том случае,
когда жесткость закрепления гораздо больше жесткости самого стержня. Этот пре-

668 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
Как было показано в § 113, при отражении от закрепленных концов
в импульсе скоростей направление скорости изменяется на обратное,
а в импульсе деформаций характер деформации остается неизменным.
Положим для определенности, что на левый конец стержня через
закрепление действует кратковременная сила, направленная вправо и
создающая импульс сжатия.
Этот импульс деформаций и сопутствующий ему импульс скоро-
скоростей будут распространяться по стержню с такой же скоростью, как
и в стержне со свободными концами. Однако в отношении поведения
при отражении от закрепленного конца импульс деформации и импульс
скорости меняются ролями по сравнению с тем, как они ведут себя
при отражении от свободного конца. Чтобы от рассмотренной выше
картины колебаний в стержне со свободными концами перейти к кар-
картине колебаний в стержне с закрепленными концами, нужно в этой
картине поменять местами импульсы скоростей и импульсы дефор-
деформаций х).
При этом частоты всех нормальных колебаний, очевидно, останутся
неизменными, но распределения амплитуды скоростей и деформаций
для каждого из нормальных колебаний поменяются местами, т. е.
для стержня с закрепленными концами рис. 436, б дает распределение
амплитуд деформаций, а рис. 436, а — распределение амплитуд ско-
скоростей, рис. 434, б дает последовательность импульсов деформаций для
среднего сечения стержня, и т. д. В частности, как и должно быть,
на закрепленных концах стержня образуются узлы скоростей и пуч-
пучности деформаций. Все же остальное, сказанное выше о расположении
узлов и пучностей, остается в силе.
В случае, если концы стержня находятся в разных условиях
(один конец закреплен, а другой свободен), то не только распределе-
распределение амплитуд, но и частоты нормальных колебаний отличаются от
таковых для того же стержня со свободными концами. Вследствие
того, что условия отражения от двух концов стержня различны,
время, через которое повторяется вся картина распространения им-
импульса по стержню, окажется вдвое больше, чем в случае стержня
с одинаковыми условиями на концах. Чтобы убедиться в этом, рас-
рассмотрим стержень длины /, правый конец которого закреплен, а левый
свободен (рис. 438) и на левый конец в момент t = О действует кратко-
кратковременный удар, создающий импульс сжатия (рис. 438, а). Дойдя до
закрепленного конца, импульс сжатия отразится 2), не изменяя «знака»
дельный случай мы и будем рассматривать. Если жесткость стержня сравнима с
жесткостью закрепления, то задача значительно усложняется, так как концы стержня
уже нельзя считать неподвижными.
1) Строго говоря, нужно поменять местами все рассуждения, касающиеся им-
импульсов скоростей и импульсов деформаций, но, проведя эти рассуждения, нетрудно
убедиться, что меняются местами результаты полученные для скоростей и для де-
деформаций.
2) Чтобы не усложнять рисунка, мы здесь, в отличие от рис. 433, изображаем
только отраженные импульсы.

3 149] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ 669
(рис. 438, б), и вернется к левому концу в виде сжатия же; но при
отражении от свободного конца сжатие превратится в растяжение
(рис. 438, в)у т. е. за время, в течение которого импульс один раз про-
прошел по стержню туда и обратно, картина не повторится. Только после
того, как импульс растяжений пройдет еще раз по стержню туда и,
отразившись от закрепленного конца (рис. 438, г), вернется обратно
и после второго отражения от левого конца превратится из растяже-
растяжения в сжатие (рис. 438, <3), картина, возникшая в момент удара, пол-
полностью повторится. Точно так же и для импульса скоростей, который
меняет знак при отражении от правого конца и не меняет знака при
отражении от левого, картина повторится только после того, как
импульс дважды пройдет по стержню туда и обратно. Следователь-
Следовательно, период возникших колебаний
71 = 4//а = 4Г|/р7? A8.18) . Y/
а) —»* ш~0
(где I — длина стержня и v — ско- к
рость распространения импульса)
в два раза больше, чем лш такого
же стержня с обоими свободными °'
или обоими закрепленными конца-
концами. Соответственно угловые часто-
частоты всех гармоник спектра возник- 6)
ших колебаний _
A8.19)
г)
где k — номер гармоники, будут
в два раза ниже угловых частот
тех же номеров гармоник для стерж- i—- 1 ?= и
ня с одинаковыми условиями на Ф I § °
КОНтЦтаХ* „ Рис. 438,
Что касается распределении ам-
амплитуд скоростей и деформаций
для всех гармоник, то они будут отличаться от обоих рассмотренных
выше случаев вследствие отсутствия симметрии относительно сред-
среднего сечения стержня. В стержне с одним свободным, а другим закреп-
закрепленным концом возможны только такие распределения, при которых
на одном конце образуется узел, а на другом — пучность (для дефор-
деформаций на свободном конце — узел, на закрепленном — пучность;
для скоростей, наоборот, на свободном — пучность, на закреплен-
закрепленном — узел). Это условие будет выполнено только в том случае,
если на длине стержня укладывается нечетное число четвертей волны,
т. е. длины волн, соответствующие разным гармоникам, удовлетворяют
соотношению
/ = /г^, или ** = ^, A8.20)
где k = 1, 3, 5, ..., 2п + 1 (п — любое целое число).

670 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. ХУИГ
Распределение амплитуд скоростей для трех гармоник (k = 1, 3, 5)
приведено на рис. 439, б, амплитуд деформаций для тех же трех гар-
гармоник — на рис. 439, в. Как видно из этих рисунков, все то, что было
выше сказано о взаимном расположении узлов и пучностей, справед-
справедливо и в этом случае.
Отсутствие четных гармоник в спектре колебаний стержня с одним
закрепленным, а другим свободным концом, как уже указывалось,
должно быть связано с оп-
I 1 ределенной формой этих
' ¦ ь колебаний. В справедливо-
справедливости этого утверждения мож-
можно еще раз убедиться, рас-
рассмотрев форму колебаний
на свободном и закреплен-
закрепленном концах стержня. По-
Последовательность импуль-
импульсов скоростей для свобод-
свободного конца стержня изо-
изображена на рис. 439, г, а
t-it. I последовательность им-
т
t -о
• - • ^ *—~i *=0 пульсов деформаций для
0 закрепленного конца стерж-
. ня — на рис. 439, д (на
i L^t l=l обоих графиках t = 0 со-
t-§ ответствует моменту уда-
удара). Но при такой форме
колебаний, когда знакопе-
знакопеременные импульсы одинаковой величины следуют через равные про-
промежутки времени, как было показано выше (при помощи соображе-
соображений, для пояснения которых служит рис. 437), четные гармоники
действительно должны отсутствовать. Итак, для стержня с одним
свободным и одним закрепленным концом нормальные колебания для
скоростей wk и деформаций гк могут быть записаны в виде
Рис. 439.
= Wok COS — COS (ukt,
A8.21)
knx
A8.22)
где k = 2n + 1 — номер гармоники, х — расстояние от свободного
конца стержня, Wok и Yok — наибольшие значения амплитуд ско-
скоростей и деформаций (т. е. значения в пучностях скоростей и дефор-
деформаций соответственно).

§ 150] НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 671
§ 150. Нормальные колебания струны
Так же как были определены нормальные частоты колебаний стержня, определя-
определяются нормальные частоты поперечных колебаний натянутой струны. Так как оба
конца струны закреплены, то условия отражения поперечного импульса от обоих
концов будут одинаковы. Как и для стержня с обоими закрепленными (или обоими
свободными) концами, основной тон струны будет иметь угловую частоту о^ = nv/l,
где I — длина струны, av — скорость распространения поперечного импульса вдоль
струны. Обертоны струны будут иметь угловые частоты со^ = knv/l, где к — любое
целое число. Для нахождения нормальных частот струны нужно знать скорость
распространения импульса по струне.
Для одного специального типа поперечного импульса легко найти скорость рас-
распространения импульса по струне. Представим себе, что натянутая струна продер-
продернута через трубку, согнутую в виде кольца (рис. 440), и протягивается сквозь эту
Рис. 440. Рис. 141.
трубку со скоростью v. Определим давление струны на стенки трубки. Обозначим на-
натяжение струны, т. е. силу, с которой любой элемент струны действует на соседний,
через S, радиус кольца — через г, а массу единицы длины струны (линейную плот-
плотность струны) — через р. Каждый элемент струны, находящийся внутри трубки,
движется по окружности радиуса г с линейной скоростью v. Значит, на элемент стру-
струны длиной А/ должны действовать силы, сообщающие этому элементу центростреми-
центростремительное ускорение v2/r, т. е. должны действовать внешние силы, сумма которых есть
[ = pA/ityr.
Внешние силы — это, с одной стороны, /х — равнодействующая сил натяжения со-
соседних элементов струны 5, ас другой — давление стенок трубки /2. Следовательно
/ = /х + /2, или /2 = / — /i- Силы натяжения, действующие со стороны соседних эле-
элементов струны, как видно из рис. 441, дают равнодействующую /lt направленную к
центру, причем
fx = 2S sin а.
Но так как 2 sin a czzAl/r, то
fa = 5А//Г.
Если мы подберем v так, что / = /х, то f2 = 0 и необходимое центростремитель-
центростремительное ускорение элемент струны А/ будет получать за счет натяжений, действующих
со стороны соседних элементов, и давление движущейся струны на стенки трубки
будет отсутствовать. Следовательно, при / = /х или а2 = S/p трубка перестанет иг-
играть роль, и мы можем ее «распилить» вдоль и удалить. «Барашек» будет оставаться
на месте, если струна движется со скоростью v ~ ]AS/p. Это значит, что свободный
барашек бежит по струне со скоростью v = V^S/p. При этом радиус барашка не игра-
играет роли. Более того, и специальная форма барашка, которую мы выбрали, не играет

672 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XV1I1
роли — она только упрощает расчеты. Всякий барашек любой формы будет двигаться
по струне со скоростью v = )/S/p. Но эти барашки и представляют собой поперечные
импульсы, распространяющиеся по струне.
Следовательно, скорость распространения поперечного импульса по струне равна
v = ysjp. A8.23)
Она зависит от натяжения струны и ее «линейной плотности», т. е. массы единицы
длины струны.
Так как угловые частоты нормальных колебаний струны <ok = knv/lt то для обер-
обертона струны номера k имеем:
В рассмотренном случае обертоны струны (а также продольных колебаний стер-
стержня) оказались гармоническими. Это обусловлено упомянутым в § 146 обстоятель-
обстоятельством — пропорциональностью между смещениями и возникающими силами — и од-
однородностью сплошной системы: плотность и упругие свойства струны во всех точках
одни и те же. Поэтому и скорость распространения импульса вдоль всей струны одна
и та же. Импульс отражается только от второго конца струны.
Если свойства тела не одинаковы по всей длине, то картина будет совсем иная.
Пусть, например, плотность струны или стержня в какой-то точке Л резко изменя-
изменяется. Скорость распространения импульса в обеих частях струны будет различна,
и импульс, вызванный первым ударом, частично отразится в точке Л, а частично прой-
пройдет во вторую часть струны и отразится от ее конца. На обратном пути также произой-
произойдет частичное отражение, и к началу струны вернется уже не такой импульс, который
возник при ударе. Помимо этого, в струне будут распространяться и частично отра-
отраженные импульсы, которые будут возвращаться к концам струны не в те моменты,
когда к ним возвращается прошедший импульс (так как эти импульсы проходят раз-
разные пути). Собственные колебания не будут периодическими. А это и значит, что
нормальные колебания, из которых состоит всякое собственное колебание, не будут
кратными основному тону (сумма колебаний с кратными частотами всегда дала бы
периодический процесс). Нарушение однородности сплошной системы делает негар-
негармоническими обертоны системы.
Легко видеть, что гармоничность обертонов системы тесно связана с равномер-
равномерным распределением узловых точек вдоль системы. Действительно, например, для
второго обертона (второго нормального колебания) однородной струны, кроме двух
узловых точек на концах струны, появляется еще узловая точка в середине струны.
Эту узловую точку можно закрепить; мы этим не нарушим второго нормального ко-
колебания струны, которое при этом превращается в первое нормальное колебание
(основной тон) для каждой из двух половин струны. Но основной тон для половины
струны должен быть ровно вдвое выше основного тона для всей струны. Поэтому
второй обертон для всей струны должен быть ровно вдвое выше ее основного тона,
т. е. должен быть гармоническим. Гармоничность обертонов как раз связана с тем,
что узловые точки делят однородную колеблющуюся систему на равные части.
§ 151. Поляризация поперечных колебаний
Прикрепив струну к ножке камертона с электромагнитным возбуждением
(рис. 442, а), можно возбуждать в струне поперечные колебания; каждая точка ко-
колеблющейся струны движется в плоскости xyt перпендикулярной к струне. Но в
плоскости ху каждая точка струны может совершать криволинейное движение. Так
же как и в случае одной материальной точки, колеблющейся в плоскости ху, каждая
точка струны может двигаться так, что одновременно будут изменяться ее координаты
х и у. Движение каждой точки струны можно рассматривать как результат сложения

151]
ПОЛЯРИЗАЦИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ
673
двух колебаний, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, и при-
применять представления, развитые в § 144. Так как для струны все направления в пло-
плоскости ху равноправны, то частота колебаний струны по обоим направлениям будет
одна и та же. Поэтому каждая точка струны будет описывать в плоскости ху некоторый
эллипс, отношение осей которого и их ориентировка зависят от сдвига фаз между
колебаниями по осям х и у. Поскольку при этом сдвиг фаз между колебаниями в нап-
направлениях х и у во всех точках струны один и тот же и не изменяется со временем,
то вся струна в целом при колебаниях описывает фигуру, по форме напоминаю-
напоминающую веретено (рис. 442, б). Сечения этой фигуры представляют собой эллипсы.
Такие колебания носят название поляризованных по эллипсу. В круглой струне очень
часто возбуждаются такие эллиптически-поляризованные колебания. Только приняв
специальные меры, можно достичь того, чтобы каждая точка струны при колебаниях
двигалась по одной прямой в плоскости ху. Например, если струну пропустить сквозь
тонкую щель (рис. 442, в), то при возбуждении в струне колебаний все точки струны
будут двигаться по прямым, параллельным щели. Движение всех точек струны
Рис. 442.
будет происходить в одной плоскости, в которой лежат струна и щель. Такие колеба-
колебания называются плоско-поляризованными.
Если упругие свойства колеблющегося тела в двух направлениях х и у не одина-
одинаковы, то и частоты колебаний в этих двух направлениях будут различны и сдвиг
фаз между обоими колебаниями все время будет изменяться. Эллипсы, описываемые
точками колеблющегося тела, будут все время деформироваться: превращаться в
прямую, снова превращаться в деформирующийся эллипс и т. д. Сдвиг фаз между ко-
колебаниями в направлениях х и у не остается постоянным, а все время меняется; ко-
колебания являются неполяризованными.
Такие неполяризованные колебания можно продемонстрировать при помощи
упругих стержней прямоугольного сечения. Если сечение стержня немного отлича-
отличается от квадратного, то упругие свойства стержня в двух направлениях немного
различны и конец стержня при колебаниях описывает все время деформирующийся
эллипс.
Если сечение стержня подобрано так, что частоты колебаний в обоих направле-
направлениях находятся приблизительно в простом целочисленном отношении, то конец ко-
колеблющегося стержня вычерчивает соответствующую этому соотношению фигуру
Лиссажу. Однако вследствие не вполне точного целочисленного отношения между
частотами фигура эта все время деформируется.
Ясно, что весь вопрос о поляризации колебаний имеет смысл только в случае
поперечных колебаний. Для продольных колебаний, при которых направление ко-
колебаний всегда совпадает с направлением распространения импульса, явление по-
поляризации колебаний вообще отсутствует.
22 С. Э. Хайкин

674 КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. XVIII
§ 152. Параметрическое возбуждение колебаний
Мы рассматривали выше случай возбуждения вынужденных колебаний, при ко-
которых внешнее воздействие непосредственно вызывает движение колеблющегося
тела или отдельных его точек. Однако колебания могут возникать и в том случае,
когда внешнее воздействие не вызывает непосредственно движения системы, а лишь
периодически изменяет свойства колебательной системы. Когда внешнее воздействие
сводится к изменению свойств системы, то оно изменяет какой-либо из параметров,
характеризующих свойства системы. Такие воздействия называются параметриче-
параметрическими. Например, параметрическое воздействие на струну можно осуществить, при-
прикрепив конец струны к ножке камертона, которая колеблется вдоль струны (рис. 443).
При этом, несмотря на то, что ножка камертона не будет сообщать никаких попереч-
поперечных движений точкам струны, а будет лишь периодически изменять ее натяжение,
Рис. 443.
при известных условиях в струне все же возникнут сильные поперечные колебания
(«опыт Мельде»)" В этих случаях говорят о параметрическом возбуждении колебаний.
Для того чтобы выяснить сущность явления параметрического возбуждения
колебаний, вернемся к простейшему случаю колебаний маятника. Одним из парамет-
параметров маятника, характеризующим свойства маятника как колебательной системы,
является длина маятника. Параметрическое воздействие на маятник мы можем осу-
осуществить, периодически изменяя его длину, т. е. втягивая и выпуская нить, на кото-
которой висит маятник. Представим себе, что маятник уже совершает малые колебания
и мы втягиваем нить всякий раз, когда маятник проходит через среднее положение,
и настолько же выпускаем нить всякий раз, когда маятник проходит через крайние
положения.
Втягивая нигь, мы совершаем положительную работу, т. е. увеличиваем энер-
энергию колебаний маятника. Наоборот, отпуская нить, мы совершаем отрицательную
работу, т. е. отбираем энергию у маятника. Однако энергия, которую мы сообщаем
маятнику, притягивая его в среднем положении, и отбираем, отпуская маятник в
крайних положениях, будет различна. Действительно, при колебаниях маятника
натяжение нити в среднем положении больше, чем в крайних (так как в среднем по-
положении нить не только уравновешивает силу тяжести, но и сообщает маятнику цен-
центростремительное ускорение, а в крайних положениях нить только уравновешивает

§ 152] ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ 675
действующую вдоль нее составляющую силы тяжести). Поэтому положительная
работа, совершаемая при втягивании нити в среднем положении, больше отрица-
отрицательной работы, совершаемой при выпускании нити в крайних положениях. Энер-
Энергия, сообщаемая маятнику, больше энергии, получаемой от него обратно. И если
этот избыток энергии, сообщаемый маятнику за каждый период колебаний, больше,
чем потери энергии в самом маятнике, то колебания маятника должны нарастать.
Мы можем, следовательно, раскачивать маятник при помощи параметрического
воздействия,если это воздействие происходит с надлежащей частотой и в надлежащей
фазе. В частности, частота воздействия в рассматриваемом случае должна быть вдвое
больше частоты собственных колебаний маятника (так как полупериоду колебаний
маятника соответствует полный период изменений его длины).
Классическим примером такого параметрического возбуждения колебаний яв-
является раскачивание на качелях. Приседая в крайних положениях и выпрямляясь
в среднем положении, человек, находящийся на качелях, изменяет момент инерции
качелей (т. е. изменяет параметр системы) с частотой, вдвое большей, чем собствен-
собственная частота системы. Выпрямляясь в среднем положении, качающийся человек со-
совершает положительную работу; приседая в крайних положениях, он совершает мень-
меньшую отрицательную работу, и поэтому энергия колебаний с каждым периодом воз-
возрастает.
Для параметрического возбуждения колебаний принципиально необходимо,
чтобы система уже совершала малые колебания. Однако вследствие неизбежных слу-
случайных толчков во всякой системе существуют малые собственные колебания. И если
параметрическое воздействие происходит с надлежащей частотой, то эти малые коле-
колебания начинают нарастать (необходимое для этого соотношение фаз устанавливается
само собой). Так как явление параметрического возбуждения наблюдается только
при известных соотношениях между частотой внешнего воздействия и частотой соб-
собственных колебаний системы, то в этом отношении оно сходно с явлением резонанса.
Поэтому его часто называют параметрическим резонансом.
Параметрическое возбуждение колебаний происходит и в упомянутом выше
случае периодического изменения натяжения струны, прикрепленной к ножке ка-
камертона (рис. 443). Если частота колебаний камертона вдвое больше частоты основ-
основного тона колебаний струны, то в струне возбуждается колебание, которому соответ-
соответствуют два узла на концах струны (рис. 443, а). Если уменьшать натяжение струны,
то частота колебаний камертона оказывается вдвое больше второго обертона, затем
третьего и т. д. В струне возбуждаются колебания соответственно с узловой точкой
посередине струны (рис. 443, б), с двумя узловыми точками (рис. 443, в) и т. д.

ГЛАВА XIX
ВОЛНЫ
§ 153. Бегущие волны
Ранее мы рассматривали движения, которые возникают в сплош-
сплошном теле под действием одного или нескольких кратковременных
импульсов. Теперь рассмотрим случай, когда какой-либо точке сплош-
сплошного тела сообщен не отдельный импульс, а периодическое движение.
Переход к этому случаю можно представить себе следующим образом.
Пусть возмущающее внешнее воздействие на некоторую точку
сплошного тела имеет характер одинаковых коротких импульсов,
повторяющихся через равные промежутки времени. Каждый импульс
будет распространяться в теле с некоторой скоростью, определяемой
свойствами тела и не зависящей от воздействия на тело других им-
импульсов, поскольку эти другие импульсы не изменяют свойства тела
(как выяснится в дальнейшем, это условие означает, что деформации
тела должны быть малыми). В результате каждая точка тела будет
совершать движения, определяемые последовательностью распростра-
распространяющихся в теле импульсов. Эти движения будут повторяться через
одинаковые промежутки времени, равные промежуткам между дей-
действием возмущающих импульсов.
Будем теперь уменьшать промежутки времени между возмущаю-
возмущающими импульсами до величины, равной длительности отдельного
импульса. Так же как и каждый отдельный импульс, это возмущение
будет распространяться в теле с некоторой скоростью, вызывая теперь
уже практически непрерывное периодическое движение каждой точки
около ее положения равновесия. Очевидно, что после достаточно дли-
длительного действия такого периодического возмущения все точки тела
станут совершать периодические движения с частотой, равной частоте
возмущающего воздействия.
При этом вследствие потерь энергии в теле амплитуды колебаний
отдельных точек тела будут постепенно убывать по мере удаления
от точки, которая приводится возмущением в колебательное движение.
Эту картину распространения колебаний вдоль сплошного тела можно
продемонстрировать на мягкой и длинной пружине, лежащей на
стекле. Если один конец пружины привести в колебательное движе-

§ 153] БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ 677
ние, то хорошо видно, как это движение распространяется вдоль пру-
пружины, постепенно затухая (рис. 444). Такие движения принадлежат
к классу волновых движений или волн.
В достаточно длинной пружине волны успевают затухнуть, не
дойдя до другого ее конца, который остается в покое. Поэтому, если
мы возьмем достаточно длинное тело, в котором волны затухают,
не достигнув его конца, то
дальнейшее увеличение дли-
длины тела не изменит характе-
характера явлений в той части тела,
в которой волны еще не ус-
успевают затухнуть. Поэтому
мы можем рассматривать, на- рис. 444,
пример, «бесконечно длинный»
стержень или «бесконечно длинную» струну, ограниченные только
с одной стороны. При этом, однако, если мы ограничимся неболь-
небольшим участком этого «бесконечно длинного» стержня, то можно прене-
пренебречь тем затуханием колебаний, которое происходит на этом уча-
участке (если оно невелико). Таким образом мы приходим к представ-
представлению о «бесконечно длинном» стержне, не обладающем затуханием.
С этого идеализированного случая мы и начнем наше рассмотре-
рассмотрение. Пусть конец стержня совершает гармоническое движение по
закону
Ъо = Хо sin со/
в направлении длины стержня. Это движение, так же как и отдельный
продольный импульс, будет передаваться по стержню от слоя к слою.
По стержню побежит продольная упругая волна. Точка стержня,
находящаяся на расстоянии к от начала, будет совершать такое же
движение; однако в этом движении она будет отставать на время,
потребное для распространения волны на расстояние х. Это время
равно x/v9 где v — скорость распространения волны вдоль стержня.
Точка, находящаяся на расстоянии х, будет иметь в момент t такое
же смещение, какое начальная точка имела на время x/v раньше, т. е.
в момент / — x/v. Таким образом, точка, находящаяся на расстоя-
расстоянии х от начала стержня, будет двигаться по закону
A9.1)
или, так как со = 2п/Т (где Т — период колебаний), то
A9.2)
Это выражение представляет собой уравнение волны смещений,
распространяющейся со скоростью v в направлении возрастающих
значений х. Разные точки имеют в один и тот же момент времени t,

678 волны [гл. хтх
вообще говоря, различные смещения. Но если мы возьмем на стержне
ряд точек, находящихся на расстоянии vT друг от друга, то аргу-
аргументы синуса в выражении смещения для этих точек будут отличаться
на 2зт и поэтому сами смещения будут одинаковы. Любой ряд точек,
находящихся на расстоянии vT друг от друга, будет в каждый момент
иметь одно и то же смещение. Это расстояние есть длина волны
k=vT. A9.3)
Как видно из этого выражения для X, длина волны равна тому
пути, который проходит волна за один период колебаний.
'Амплитуда колебаний всех точек стержня в нашем случае одна
и та же, но фаза колебаний различных точек различна. Для двух
точек, находящихся на расстоянии хг друг от друга, фазы колебаний,
как видно из A9.2), сдвинуты на 2пх1/'к. На расстоянии X при фикси-
фиксированном / аргумент функции A9.2), т. е. фаза колебаний, изменяется
на величину 2зт. Если принять это соотношение для фаз за определе-
определение длины волны, то оно формально совпадает с тем определением
длины волны, которое было дано в § 149. Но там и здесь одно и то же
определение волны применяется к разным явлениям. Из дальнейшего
станет ясной связь между этими явлениями (§ 154).
Наблюдая все время какую-либо фиксированную точку стержня,
мы обнаружим, что она совершает гармонические колебания. Если же
мы будем двигаться вдоль стержня со скоростью о, то вообще не обна-
обнаружим никаких колебаний. Все сечения стержня, против которых
мы будем находиться в каждый момент, будут в этот момент иметь
одно и то же смещение.
Такое гармоническое движение отдельных сечений стержня, рас-
распространяющееся вдоль стержня с некоторой определенной ско-
скоростью, называется гармонической бегущей волной. Смещение в гармо-
гармонической бегущей волне является гармонической функцией аргумента
t — x/v, т. е. как во времени для фиксированной точки в простран-
пространстве, так и в пространстве для фиксированного момента времени сме-
смещение изменяется по закону синуса или косинуса г).
Рассмотрим теперь, как распределяются в такой бегущей по
стержню упругой волне скорости и деформации. Прежде всего, если
Смещение какой-либо точки стержня изменяется по закону
то скорость этой точки
1) Следует подчеркнуть, что приведенные определения длины волны имеют
в биду именно гармоническую волну.

153]
БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ
679
Скорость от точки к точке меняется по тому же закону, что и смеще-
смещение, но смещение и скорости сдвинуты друг относительно друга по
фазе на п/2. Скорость данной точки стержня достигает максимума,
когда смещение этой точки падает до нуля. Представим себе для ка-
какого-то момента времени распределения смещений и скоростей волны
в стержне. Если мы отметим сечения 1 и Г, которые имеют в данный
момент наибольшее смещение (рис. 445, а), то в этот же момент наи-
наибольшую скорость имеют сечения 2 и 2\ находящиеся на расстоянии
Х/4 от мест наибольшего смещения (смещения указаны вертикаль-
вертикальными штриховыми линиями, скорости — горизонтальными стрел-
стрелками). Можно сказать, что волна скоростей сдвинута относительно
волны смещений по времени на
Т/4, а в пространстве — на Х/4.
Чтобы выяснить характер
распределения деформаций в бе-
бегущей волне, нужно принять во
внимание, что величина дефор-
деформации сжатия стержня, вызван-
вызванной колебаниями, зависит не от
абсолютных величин смещения
1 ; i i
i i
IlliiiiilUfei!
i i
1 |
/ г i
!!!!!
— -*-
iiiiii!
?' i
| /
i
I
1
1
f 2
- Напрабление бегущей бапны
Рис. 445.
соседних сечений стержня, а от
того, как быстро изменяется
смещение от сечения к сече-
сечению. Там, где смещение наи-
наибольшее (в сечениях /, Г)у стержень вообще не деформирован. Наобо-
Наоборот, в сечениях 2, 2\ где смещение проходит через нуль, деформация
оказывается наибольшей. Максимумы деформаций в бегущей волне
совпадают с минимумами смещений, т. е. с максимумами скоростей.
Чтобы пояснить эту картину, представим себе, что мы нанесли
на боковой поверхности стержня линии на равном расстоянии друг
от друга. Деформации стержня вызовут изменения расстояний между
этими линиями. На рис. 445, б таким способом изображено мгновенное
распределение деформаций стержня, соответствующее тому же мо-
моменту времени, для которого на рис. 445, а приведено распределение
смещений (конечно, смещения и деформации на этих рисунках пре-
преувеличены).
Для того чтобы найти распределение деформаций в бегущей волне,
выделим слой стержня толщиной Дх. Пусть продольные смещения
границ этого слоя соответственно равны ^ и 12; это значит, что тол-
толщина слоя изменилась на Д? = go — |le Относительное изменение
толщины слоя, т. е. растяжение, равно 8 = Д|/Д*. или для беско-
бесконечно тонких слоев е = д%/дх.
Если смещение от точки к точке изменяется по закону A9.4), то
деформация в точке х в момент t будет
A9.6)
дх

680 волны [гл. xix
Волна деформаций (положительная деформация соответствует рас-
растяжению) сдвинута относительно волны смещений также на V4,
но в другую сторону, чем волна скоростей. Следовательно, волна
скоростей и волна деформаций сдвинуты на Л/2. Другими словами,
волна деформаций противоположна по фазе волне скоростей. Слои
стержня, которые в данный момент имеют положительную скорость
(т. е. движутся в направлении +%), в этот же момент имеют отрица-
отрицательную деформацию, т. е. оказываются сжатыми. В тот момент,
когда изменяется знак скорости слоя, изменяется и знак деформации;
она становится положительной. Слои, движущиеся в направлении —х9
оказываются растянутыми (напомним, что мы рассматриваем волну,
распространяющуюся в направлении +х).
При распространении упругой волны распространяются волна
скоростей, несущая с собой кинетическую энергию, и волна дефор-
деформаций, несущая с собой потенциальную энергию. Происходит перенос
энергии так же, как при распространении отдельного импульса.
Течение энергии в определенном направлении происходит так же,
как и в случае одного импульса. Деформированные элементы стержня
движутся и при этом передают свою потенциальную и кинетическую
энергию следующим элементам стержня. Энергия течет по стержню
с той же скоростью, с какой распространяется волна. Но, как мы
видели при движении сжатого упругого тела, энергия течет в направле-
направлении движения тела; наоборот, при движении растянутого тела энер-
энергия течет в направлении, противоположном движению тела. Поэтому,
хотя направление движения слоев стержня дважды изменяется за
период, но вместе с тем меняется и знак деформации, так что энергия
все время течет в направлении +х, т. е. в направлении распростра-
распространения бегущей волны.
При распространении бегущей волны энергия постепенно рас-
рассеивается вследствие внутреннего трения в теле. Но если трение
невелико, то рассеянием энергии на расстоянии немногих длин волн
можно пренебречь и на этом расстоянии рассматривать процесс как
незатухающую бегущую волну. Вместе с тем, если на длине стержня
укладывается очень большое число волн, то бегущая волна успеет
полностью затухнуть, и другой конец стержня не будет играть роли.
Таким образом, результаты, полученные нами для бесконечно длин-
длинного стержня, не обладающего затуханием, применимы к тем случаям,
когда затухание бегущих волн на расстоянии одной длины волны
очень мало, но на всей длине стержня укладывается очень большое
число волн. Если же при малом затухании на всей длине стержня
укладывается небольшое число длин волн, то бегущая волна достигает
другого конца стержня, почти не затухая. Второй конец стержня в этом
случае играет существенную роль и изменяет всю картину. Возникают
новые явления, которые мы рассмотрим в следующем параграфе.
Все сказанное относительно бегущих волн в стержне можно пере-
перенести на случай распространения бегущих волн в струне. Представим

§ 153]
БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ
681
себе очень длинную натянутую струну, ближний конец которой мы
приводим в гармоническое колебание по закону
?0 = Хо sin co?
в направлении, перпендикулярном к струне. Смещения ?0 начальной
точки струны будут передаваться следующим точкам, от них — к сле-
следующим и т. д. Вдоль струны побегут поперечные волны, причем
скорость распространения этих волн будет такая же, как для одиноч-
одиночного импульса.
Картину распространения бегущей волны по струне можно наглядно предста-
представить себе следующим образом. Вообразим трубку, изогнутую в виде синусоиды
с амплитудой XQ и расстоянием между максимумами А = vt, где v — скорость рас-
распространения импульса вдоль струны, а Т — период тех колебаний, которые совер-
совершает конец струны. Продернем стру-
струну в эту трубку и затем будем дви-
двигать трубку вдоль по струне со
скоростью v. Движение тех точек i
струны, которые находятся внутри j
/
/' 2' t
- Направление бегущей болны
Рис. 446.
дх
ру р ур
трубки, будет точно таким, как и
при распространении по струне бе-
бегущей волны.
С помощью этой модели легко
представить себе мгновенное рас-
распределение смещений и скоростей в бегущей волне. Оно изображено на рис. 446
(скорости указаны стрелками). Волна скоростей сдвинута относительно волны сме-
смещений на а/4. Выражения A9.4) и A9.5), как и для стержня, описывают бегущие
с вдоль струны волну смещений и волну
скоростей.
Эти волны для струны имеют такой
же характер, как и для стержня, разница
лишь в направлении смещений и скоро-
скоростей. Волна же деформаций имеет в стру-
струне иной характер, чем в стержне.
В струне при малых амплитудах ко-
колебаний можно считать, что величина катя-
жения остается постоянной и никаких из-
изменений в деформации материала струны
при колебаниях не происходит. Происхо-
Происходят только изменения направления, в кото-
котором силы натяжения действуют на дан-
данный элемент струны со стороны соседних.
Составляющая этих натяжений в направлении, перпендикулярном к струне, играет
роль восстанавливающей силы для отдельного элемента струны. При распро-
распространении волн в струне возникновение сил обусловлено изменением направления
отдельных элементов струны, и эти изменения направлений играют такую же роль,
какую играют деформации материала в случае волн в стержне. Поэтому волна дефор-
деформации для струны характеризуется углом, который образует тот или иной элемент
струны с направлением покоящейся струны. А этот угол, как видно из рис. 447,
определяется значением д^/дх для рассматриваемого элемента струны, и выражение
A9.6), так же как и в случае стержня, изображает бегущие вдоль струны
волны деформаций.
О расположении в струне волны деформаций по отношению к волне смещений
и волне скоростей можно повторить все то, что было сказано для стержня. Действи-
Действительно, деформация (угол с направлением х) равна нулю в точках наибольшего
Рис. 447.

682 волны [гл xix
смещения / и /'. т. е. волна деформаций сдвинута на %/4 по отношению к волне сме-
смещений. Таким образом, кинематическая картина для бегущих волн смещения, скоро-
скорости и деформации в случае стержня и струны получается одна и та же. Но с точки
зрения течения энергии картина в струне оказывается более сложной, и мы не будем
се рассматривать. Все, что сказано было выше, а также будет сказано дальше отно-
относительно течения энергии, относится к продольным волнам в стержне и к анало-
аналогичным случаям (например, волнам в воздухе), но не к струне.
Мы предполагали, что скорость распространения бегущей волны совпадает со
скоростью распространения отдельного импульса. Основанием для этого предполо-
предположения служило то обстоятельство, что в рассматриваемых простейших случаях про-
продольных колебаний стержня и колебаний струны скорость распространения импуль-
импульса не зависит от формы и характера импульса и для импульсов любого типа оказы-
оказывается одной и той же. Поэтому мы могли считать, что скорость распространения
бегущей волны, которая представляет собой одну из разновидностей импульса, совпа-
совпадает со скоростью импульса. Однако это справедливо не всегда. В некоторых случаях
скорость распространения бегущей волны не совпадает со скоростью импульса.
Поэтому, вообще говоря, следует различать скорость распространения импульса
и скорость распространения гармонической волны. Эту последнюю называют
фазовой скоростью; с этой скоростью движется фаза распространяющегося ко-
колебания.
Фазовая скорость не только может отличаться от скорости импульса, но может
быть различной для колебаний различной частоты. Эти оба обстоятельства тесно свя-
связаны между собой. Скорость распространения импульса оказывается отличной от фа-
фазовой скорости именно потому, что сама фазовая скорость зависит от частоты колеба-
колебаний. Зависимость фазовой скорости от частоты колебаний называется дисперсией.
При наличии дисперсии скорость отдельного импульса не совпадает с фазовой ско-
скоростью (различной для различных частот). Но в рассматриваемых нами простейших
случаях дисперсия отсутствует, и поэтому фазовая скорость совпадает со скоростью
импульса. В дальнейшем мы встретимся со случаем, когда имеет место дисперсия
волн (§ 159).
§ 154. Стоячие волны
Когда бегущая гармоническая волна достигает другого конца
стержня (или струны), то там происходит отражение волны, так
же как и в случае отдельного импульса. Отраженная гармониче-
гармоническая волна распространяется в обратном направлении, и движение
каждого сечения стержня (или точки струны) можно рассматривать
как результат сложения двух волн — падающей и отраженной. Если
при распространении и отражении волны не происходит их затухания,
то обе волны — падающая и отраженная — будут иметь одинаковые
амплитуды. Но фазы обеих волн в какой-либо точке к будут, вообще
говоря, различны. Сдвиг фаз обусловлен, с одной стороны, тем, что
отраженная волна проходит путь от точки х до конца стержня и
обратно, с другой стороны, тем, что при отражении волны от границы
тела, вообще говоря, может происходить изменение фазы волны.
В частности, в случае отражения от закрепленного конца стержня
волна смещений отражается с поворотом фазы на п (так же, как
импульс смещений отражается от закрепленного конца стержня с изме-
изменением знака смещения); в случае же свободного конца стержня волна
смещения отражается без изменения фазы. Падающая волна проходит
от начала стержня до точки х путь х, и выражение для смещения в

§ 154] СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 683
падающей волне имеет вид
где со = 2п/Т — угловая частота волны. Отраженная волна прохо-
проходит от начала стержня до конца и обратно до точки х путь 2/—х
(где / — длина стержня), и выражение для отраженной волны имеет вид
A9.7)
(знак минус учитывает изменение фазы на л при отражении от закреп-
закрепленного конца). Результирующее смещение каждого сечения стержня
-—)-sin<о \t— l v
или
A9.8)
Каждое сечение стержня колеблется по гармоническому закону.
Разные сечения колеблются в одной и той же фазе, но с различной
амплитудой:
X=2Xosin©'-=i. A9.9)
Амплитуда колебаний изменяется от точки к точке по закону синуса.
В точках, для которых аргумент синуса обращается в нуль, амплитуда
колебаний падает до нуля. Эти точки все время остаются в покое.
Это — уже знакомые нам узлы смещений. Прежде всего таким узлом
смещений является закрепленный конец стержня (х = I). Следующие
узлы смещений лежат на расстоянии хг друг от друга. Это расстояние
определяется из условия ш^/и = я, или
хх = з-ш/со = vT /2 = к/2,
т. е. узлы смещений отстоят на расстоянии полуволны друг от друга.
В середине между узлами смещений лежат точки, в которых ампли-
амплитуда X достигает максимума, эти точки называются пучностями
смещений. Между двумя узлами фаза смещений всех сечений стержня
одна и та же: при переходе через узел фаза смещений сразу меняется
на я. Амплитуда смещений между двумя узлами изменяется от нуля
до максимума и снова до нуля. Колебания с таким распределением
амплитуд и фаз называются стоячей волной.
Чтобы изобразить распределение амплитуд стоячей волны смеще-
смещений вдоль стержня, будем откладывать амплитуды смещения, соот-
соответствующие каждому сечению стержня, в перпендикулярном к
стержню направлении (хотя сами смещения происходят в рассматри-
рассматриваемом случае вдоль стержня). Построенная таким способом графи-

684
волны
[ГЛ XIX
ческая картина распределения амплитуд смещений вдоль стержня
для одного из возможных случаев изображена на рис. 448, а. Напом-
Напомним, что синусоида на этом рисунке изображает распределение ампли-
амплитуд смещений вдоль стержня. Точки 1 и /', в которых синусоида про-
проходит через нуль, соответствуют узлам смещений, точки 2 и 2\ в ко-
которых она проходит через максимум, — пучностям смещений. На
закрепленном конце стержня, как мы убедились, должен получиться
узел смещений.
Что касается левого конца стержня, то ему, по предположению,
сообщается гармоническое движение с заданной амплитудой, частотой
и фазой. В стержне установится стоячая волна смещений с такой
амплитудой в пучности, что амплитуда смещений на левом конце
стержня будет равна амплитуде колебаний, заданных этому концу
стержня. Отсюда следует, что, чем ближе лежит узел образовавшейся
стоячей волны к левому
концу стержня, тем больше
амплитуда стоячей волны
в пучности при заданной
амплитуде смещений левого
конца стержня. Иначе го-
говоря, для того чтобы ам-
амплитуда стоячей волны в
пучности была велика, нуж-
нужно, чтобы около левого кон-
конца стержня лежал узел
Т
а)
/
2 12 12
Рис. 448.
смещений. Так как на вто-
втором закрепленном конце стержня обязательно должен получиться
узел смещений, то условие получения стоячей волны с большой ам-
амплитудой сводится к тому, что на обоих концах стержня должны по-
получиться узлы смещений. Для этого по длине стержня должно ук-
укладываться целое число полуволн.
Если это условие соблюдено точно, то, как следует из наших рас-
рассуждений, амплитуда стоячей волны в пучности должна возрасти
до бесконечности, так как только волна с бесконечно большой ампли-
амплитудой в пучности может дать конечную амплитуду на бесконечно малом
расстоянии от узла. Однако к такому результату мы пришли только
потому, что не учитывали затухания при распространении волн
в стержне. Как мы увидим ниже, затухание приводит к тому, что и
в точке, где образуется узел стоячей волны, амплитуда смещений все
же не падает до нуля. Поэтому, если задать смещения с конечной
амплитудой концу стержня, на котором должен установиться узел
волны смещений, то амплитуда в пучности волны будет хотя и боль-
большой, но все же конечной; она будет тем больше, чем меньше зату-
затухание волн в стержне.
Чтобы амплитуда стоячих волн была наибольшей, нужно подо-
подобрать такие условия, при которых по длине стержня укладывается

^ 1541 СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 685
целое число полуволн. Для данного стержня это сводится к выбору
частоты тех колебаний, которые задаются концу стержня. Эта частота
должна быть такой, чтобы соответствующая ей длина волны в стержне
удовлетворяла указанному условию. Следовательно, стоячие волны
с большой амплитудой можно возбудить в стержне только при опре-
определенных частотах внешнего воздействия. Связь этого обстоятельства
с явлением резонанса будет выяснена в следующем параграфе.
Картины образования бегущих и стоячих волн совершенно раз-
различны. Однако если мы в обоих случаях будем наблюдать движение
только какого-либо одного сечения стержня, то мы не отличим стоячей
волны от бегущей. В обоих случаях отдельное сечение стержня колеб-
колеблется по гармоническому закону (кроме узловых точек в случае стоячей
волны). Различие между бегущей и стоячей волнами мы обнаружим,
только если в каждом случае сравним движение двух разных сечений
стержня. В случае бегущей волны разные сечения стержня колеблются
с одинаковой амплитудой, но в различных фазах. В случае же стоячей
волны разные сечения стержня колеблются в одинаковой фазе, но с раз-
различными амплитудами.
Бегущая волна скоростей отражается от закрепленного конца
стержня также с поворотом фазы на л (аналогично тому, как при
отражении отдельного импульса от закрепленного конца стержня
скорость изменяет знак). Соотношение между фазами падающей
и отраженной волн скоростей получается такое же, как и для волны
смещений. Поэтому узлы скоростей в стоячей волне образуются в тех
же точках, что и узлы смещений. Это и понятно: в узле смещений сече-
сечение стержня все время остается в покое, следовательно, и скорость
в этом сечении все время равна нулю. Ясно также, что пучности ско-
скоростей лежат в тех же точках, что и пучности смещений.
Что касается бегущей волны деформаций, то при отражении от
закрепленного конца стержня она не изменяет фазы (так же, как
не изменяется знак деформации для отдельного импульса). Соотно-
Соотношение между фазами падающей и отраженной волн для деформаций
будет не таким, как для смещений и скоростей, вследствие чего узлы
деформаций получатся не в тех местах, где узлы смещений. Можно
было бы, складывая падающую и отраженную волны деформаций,
как это было сделано для волны смещений, найти места узлов и пуч-
пучностей деформаций. Но и без этих расчетов можно сказать, что на
закрепленном конце стержня должна получиться пучность деформа-
деформации, так как в этом месте падающая и отраженная волны деформаций
совпадают по фазе.
Таким образом, пучности деформаций совпадают с узлами ско-
скоростей и, очевидно, узлы деформаций — с пучностями скоростей.
На рис. 448, б изображено распределение амплитуд деформаций для
того же случая, для которого на рис. 448, а изображено распределение
амплитуд смещений и амплитуд скоростей. Что касается сдвигов во
времени между мгновенными значениями смещения, скорости и дефор-

686 волны [rjr xix
мации (т. е. сдвигов фаз между колебаниями этих величин), то они
останутся такими же, как и в бегущей волне. Скорость будет во вре-
времени сдвинута относительно смещения на Т/4, а деформация будет
сдвинута во времени на Т/4 относительно скорости.
Так как энергия течет только в том случае, когда происходит дви-
движение деформированного тела, то ни через узлы смещений, где сече-
сечения стержня неподвижны, ни через узлы деформаций, где сечения
стержня никогда не деформированы, не происходит течения энергии.
Энергия, которой обладает участок стержня длиной в Л/4, заключен-
заключенный между узлом смещений и узлом деформаций, остается навсегда
в этом участке. Происходит лишь превращение заключенной в этом
участке энергии из кинетической в потенциальную и обратно (ско-
(скорость и деформация сдвинуты по фазе на я/2). Полный переход энер-
энергии из кинетической в потенциальную и обратно происходит дважды
за период. В стоячей волне, в отличие от бегущей волны, не происходит
течения энергии. Этого, впрочем, и следовало ожидать: мы получили
стоячую волну как результат сложения двух бегущих волн равной
амплитуды, распространяющихся в противоположные стороны. Обе
бегущие волны несут с собой одинаковую энергию в противоположных
направлениях. Поэтому результирующая стоячая волна не переносит
энергии.
Совершенно так же, как и образование стоячих волн в стержне,
происходит образование поперечных стоячих волн в струне. Если
одному из концов натянутой струны сообщать колебательное движе-
движение в поперечном направлении, например, прикрепив его к ножке
камертона (рис. 442), то по струне будет распространяться поперечная
бегущая волна. От другого закрепленного конца струны она будет
отражаться так же, как отражается продольная волна от конца стержня:
фаза волны смещения при отражении будет изменяться на я. Поэтому
картина распределения узлов и пучностей по струне будет совершенно
такая же, как и рассмотренная картина для стержня с закрепленными
концами. Все сказанное выше справедливо и для струны, за исключе-
исключением представлений о течении и распределении энергии; эту картину,
как указывалось, со стержня на струну распространять нельзя.
Для стержня, один конец которого совершает заданное гармони-
гармоническое движение, в отличие от натянутой струны, может встретиться
и другой случай, когда второй конец стержня не закреплен. Условия
отражения падающей волны будут иными — соответственно изме-
изменится распределение узлов и пучностей стоячих волн. При отражении
от свободного конца волна смещений и волна скоростей отражаются
без изменения фазы, а волна деформаций изменяет фазу на п. (Так же,
как в случае отражения отдельного импульса от свободного конца,
и по тем же причинам, не изменяется знак смещения и скорости и
изменяется знак деформации.) Если в падающей волне смещение
меняется по закону

§ 154]
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ
687
то в отраженной без изменения фазы оно описывается уравнением
и результирующее смещение будет
или
A9.10)
6}
1 1
1 ^-—~~! --..
1—^^ •
Г^*N»
*¦ ^^""^
1 1 ^^*
1
T
¦*»— 1 -——
1
1
1
1
--— л. -—
1
1
1
" ^^
— 1
1
1
i
i
~~—' .
;
i
\
!
1
1
1
1
1
Рис. 449.
Амплитуда распределяется по закону косинуса (а не синуса, как
в случае закрепленного конца) и при к = /, т. е. на свободном конце,
достигает максимума. Таким образом, на свободном конце стержня
стоячие волны образуют пучность смещений и скоростей и узел дефор-
деформаций (волна деформации отражается с изменением 'фазы на я).
В остальном распределение
узлов и пучностей полу- НК , 1
чается такое же, как в слу-
случае закрепленного конца:
узлы и пучности чередуют-
чередуются и лежат на расстояниях
Л/4 друг от друга.
Условиеполучения стоя-
стоячих волн наибольшей ам-
амплитуды можно получить
из тех же соображений, что
и в случае стержня с за-
закрепленным вторым концом. У левого конца стержня, движение
которого задано, должен лежать узел смещений образующейся стоя-
стоячей волны (рис. 449). Но на свободном конце стержня образуется пуч-
пучность смещений. Оба эти условия будут соблюдены, если на длине
стержня уложится нечетное число четвертей волн.
Распределение амплитуд смещений в одном из случаев, возможных
для стержня со свободным концом, изображено на рис. 449, а (по-
прежнему U Г — узлы, 2, 2' — пучности); распределение амплитуд
деформаций для этого же случая приведено на рис. 449, б B, 2' —
узлы, 1, Г — пучности).
Отражение бегущих упругих волн происходит не только от вполне
свободного или жестко закрепленного конца тела, но и от всякой
границы, у которой изменяются свойства сплошного тела — его
упругость или плотность. При этом происходит частичное отражение
падающей волны, которое является причиной возникновения стоячих
волн. Поэтому при наличии достаточно резких нарушений однород-
однородности системы распространение бегущей волны в системе неизбежно
связано с возникновением стоячих волн.

688 волны Livi. xix
§ 155. Колебания сплошных систем как наложение
бегущих и стоячих волн
Рассмотренные в предыдущем параграфе случаи возникновения в стержне стоя-
стоячих волн значительной амплитуды при заданном гармоническом движении одного
из концов стержня представляют собой не что иное, как явление резонанса в сплош-
сплошной системе. Чтобы вызвать гармоническое движение конца стержня, на этот конец
должна действовать гармоническая внешняя сила. Как мы убедились, если бы поте-
потери энергии в стержне отсутствовали, то при определенных значениях частоты этой
внешней силы амплитуда стоячих волн в стержне возрастала бы до бесконечности.
Вследствие потерь энергии при распространении волны в стержне (а иногда и при от-
отражении от его концов) амплитуда стоячей волны будет иметь конечную величину,
и тем меньшую, чем больше потери энергии в стержне.
Вся эта картина характерна именно для явления резонанса, который должен на-
наступать всякий раз, когда частота гармонической внешней силы совпадает с одной
из нормальных частот колебательной системы. И действительно, сопоставив, с одной
стороны, условия, определяющие частоты внешней силы, при которых амплитуды
стоячих волн в стержне достигают максимального значения, а с другой — условия,
определяющие частоты нормальных колебаний стержня (§ 149), мы позднее убедимся,
что те и другие условия совпадают.
Сейчас мы рассмотрим явление резонанса в упругом стержне с энергетической
точки зрения.
Как и в случае колебательной системы с одной или несколькими степенями сво-
свободы, вынужденные колебания в сплошной системе нарастают и поддерживаются
за счет работы, совершаемой внешней силой. Резонанс наступает тогда, когда работа,
совершаемая внешней силой за период, достигает максимума. Поскольку внешняя
сила изменяется по гармоническому закону, то и движение конца стержня происхо-
происходит по гармоническому закону. Если f = Fm sin со/ есть внешняя сила, a v =
= Vm sin (Ш + ф) — скорость движения конца стержня, то fv есть мощность, раз-
развиваемая силой f, a A = jj fvdt — работа, совершаемая силой f за период Т. Подстав-
Подставляя приведенные выше выражения для f и v в этот интеграл и произведя простые пре-
преобразования и интегрирование, получим:
A = 4JPmVmT<x*<p. A9 Л1)
Для того чтобы эта работа достигла максимума, прежде всего, как и в случае
системы с одной степенью свободы, должно быть cos ф = 1, т. е. угол сдвига фаз ф
должен быть равен нулю, что действительно имеет место при резонансе. Далее, не-
необходимо, чтобы произведение амплитуд силы и скорости также достигло максимума.
В системе с одной степенью свободы это условие выполняется «автоматически»,
так как при заданной внешней силе амплитуда скорости достигает максимума также
при резонансе. Но в сплошной системе амплитуды смещений и скоростей в разных
точках системы, вообще говоря, различны. Если на систему действует гармоническая
внешняя сила заданной амплитуды, то произведение амплитуд внешней силы и ско-
скорости достигает максимума там, где максимальна амплитуда скорости, т. е. в пуч-
пучности скоростей. Следовательно, наиболее сильный резонанс будет наблюдаться в
том случае, когда заданная внешняя сила приложена в том месте, где при колебаниях
образуется пучность скорости. Если же заданная внешняя сила приложена в узле
скоростей, где амплитуда скорости равна нулю, то, как уже указывалось в § 148,
работа внешней силы также будет равна нулю, и резонанс наблюдаться не будет.
Приведенные выше соображения относятся к тому простому случаю, когда внеш-
внешнюю силу, действующую на конец стержня, можно считать заданной, т. е. считать,
что она не зависит от характера движения конца стержня. Но это предположение
справедливо только при определенных условиях. Чтобы выяснить, каковы должны
быть эти условия, рассмотрим механизм, который на конец стержня может действо-

§ 155] КОЛЕБАНИЯ СПЛОШНЫХ СИСТЕМ 689
вать с заданной внешней силой, меняющейся по гармоническому закону. Предста-
Представим себе, что конец А рычага этого механизма совершает гармоническое движение
вдоль оси стержня х с заданной амплитудой Хо (рис. 450). Если мы свяжем конец ры-
рычага А с концом стержня В при помощи какой-либо упругой связи С, то эта связь
будет действовать на конец стержня В с некоторой силой, меняющейся по гармони-
гармоническому закону. Величина этой силы зависит, вообще говоря, не только от Хо, но
и от величины смещения конца стержня В; ведь величина силы зависит от упругих
свойств связи С и от величины ее деформации, которая определяется движением обоих
концов связи А и В.
Однако в том случае, когда жесткость связи гораздо меньше жесткости стержня,
можно считать, что движется только конец А связи, а конец В практически покоится
(мы всегда можем настолько уменьшить жесткость связи С, чтобы смещением точки В
можно было пренебречь по сравнению со смещением точки А). Тогда практически
сила, действующая со стороны связи С на конец стержня В, не зависит от движения
этого конца. Б этом случае силу, действующую на конец стержня В, можно считать
заданной, так как она определяется только положением конца рычага А7 движение
Рис. 450.
которого известно, и упругостью связи С, также известной. Таким образом, силу мож-
можно считать заданной в предельном случае, когда жесткость связи С очень мала по
сравнению с жесткостью стержня. \
Так же просто поддается рассмотрению другой предельный случай, когда жест-
жесткость связи С очень велика по сравнению с жесткостью стержня. Тогда конец стер-
стержня В должен двигаться так же, как и конец рычага А (деформацией очень жесткой
связи можно пренебречь). Следовательно, в этом случае можно считать заданным дви-
движение конца стержня В, как мы это делачи в § 154. Конечно, это допущение справед-
справедливо лишь при условии, что не только связь С достаточно жесткая, но и что весь ме-
механизм достаточно жесткий, так что характер движения конца рычага А не изменя-
изменяется под влиянием того, что конец рычага А жестко связан с концом стержня В.
Для того чтобы вызвать заданное движение конца стержня, механизм должен
развивать большую силу, равную той упругой силе, которая возникает в крайнем
слое стержня, прилегающем к концу В, когда этот конец совершает заданное дви-
движение *).
Сила, развиваемая механизмом в этом случае, как и в предыдущем, совершает
работу, за счет которой нарастают и поддерживаются колебания в стержне. Но так
как в этом случае задано движение конца стержня, а значит, и амплитуда его скоро-
*) Рассмотренные случаи, когда жесткость связи, через которую действует внеш-
внешняя сила, либо гораздо меньше, либо гораздо больше жесткости стержня, позволяют
считать заданными соответственно либо внешнюю силу, либо движение конца стержня.
Если же жесткость связи и жесткость стержня сравнимы между собой и задачу нельзя
отнести ни к тому, ни к другому из рассмотренных предельный случаев, то не могут
быть заданы ни сила, действующая на стержень, ни движение конца стержня. Б этом
случае приходится рассматривать взаимодействие стержня и приводящего его в ко-
колебание механизма, вследствие чего задача очень усложняется. Для того чтобы осу-
осуществить случай заданного движения конца жесткого сплошного стержня, потребо-
потребовался бы очень жесткий механизм, приводящий в движение конец стержня. Но с
помощью камертона на струне случай заданного движения легко может быть реали-
реализован (рис. 442).
23 С. Э. Хайкин

690 волны [гл. xix
сти, то механизм совершает наибольшую работу за период в том случае, когда он
развивает наибольшую силу, т. е. когда он приводит в движение то сечение стержня,
в котором возникают наибольшие упругие силы; это то сечение;, в котором лежит пуч-
пучность деформации. Следовательно, при заданном движении конца стержня наиболее
сильный резонанс должен наблюдаться в том случае, когда условия таковы, что на
этом конце образуется пучность деформации (и узел смещений). Наоборот, если при
заданном движении конца стержня на этом конце должны возникнуть узел деформа-
деформаций и пучность смещений, то резонанс не наступит (так как сила, которую должен
будет развивать механизм, а вместе с тем и работа этой силы будут очень малы). Та-
Таким образом, условия возникновения резонанса, полученные нами из энергетиче-
энергетических соображений, совпадают с теми условиями, при которых, как показано (§ 154),
амплитуда стоячей волны в стержне получается наибольшей.
Работа внешней силы идет на создание и поддержание энергии упругих колеба-
колебаний стержня, т. е. потенциальной энергии упругой деформации и кинетической энер-
энергии движения элементов стержня. Так как колебания происходят во всем стержне,
то энергия, возникающая на одном конце стержня за счет работы внешней силы,
должна распространяться по стержню, чтобы поддерживать во всем стержне колеба-
колебания, которые сопровождаются потерями энергии. Только предполагая, что при рас-
распространении и отражении волны потерь энергии не происходит, мы пришли к вы-
выведу, что падающая и отраженная волны имеют одинаковую амплитуду и несут
с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях; в результате наложе-
наложения этих двух волн энергия не должна течь по стержню, во всяком случае после то-
того, как стоячая волна в стержне уже установилась (при установлении стоячей волны
картина течения энергии получается более сложной, и мы не будем ее рассматривать).
Действительно, когда падающая и отраженная волны имеют одинаковую ампли-
амплитуду, то в узлах деформаций и скоростей амплитуды стоячей волны деформаций и ско-
скоростей соответственно обращаются в нуль. Но энергия может течь по стержню толь-
только в тех участках, где и деформация и скорость отличны от нуля. Следовательно, ни
через сечения, в которых расположены узлы деформации, ни через сечения, в которых
расположены узлы скоростей, энергия течь не может.
При наличии в стержне только одной стоячей волны, когда амплитуды в узлах
смещений и скоростей падают до нуля, энергия может перемещаться только в преде-
пределах участка, ограниченного двумя соседними узлами смещений и скоростей (которые,
как мы знаем, расположены на расстоянии Х/4 друг от друга). Энергия, заключен-
заключенная в этом участке, периодически превращается из потенциальной в кинетическую
и обратно.
При этих превращениях энергия перемещается и в пространстве: когда вся энер-
энергия превратилась в потенциальную, то преобладающая часть ее сосредоточена вблизи
пучности деформаций (так как плотность потенциальной энергии пропорциональна
квадрату деформаций); когда через четверть периода вся энергия превращается в ки-
кинетическую, то преобладающая часть ее оказывается сосредоточенной вблизи пуч-
пучности скоростей (так как плотность кинетической энергии пропорциональна квадра-
квадрату скоростей частиц). Таким образом, в течение четверти периода преобладающая
часть энергии перемещается от одной пучности к другой, т. е. на расстояние порядка
четверти длины волны: но если энергия перемещается на расстояние порядка ?i/4
за время 774, то скорость перемещения энергии i^ i^X/T. Значит, скорости переме-
перемещения энергии в пределах участка стержня длиной V4, в котором она заключена,
имеют тот же порядок величины, что и скорости распространения по стержню бе-
бегущей волны и течения энергии в этой волне.
Как же изменится рассмотренная картина, если учесть, что при распространении
волны в стержне происходят потери энергии? Вследствие этих потерь амплитуды как
падающей, так и отраженной волн убывают по мере распространения: пада-
падающей — от начала стержня к его концу 1)t а отраженной — от конца к началу.
х) Для краткости мы будем называть началом стержня тот его конец, на кото-
который действует внешняя сила и у которого возникает падающая волна, а концом
стержня — другой его конец, у которого происходит отражение падающей волны.

§ 155] КОЛЕБАНИЯ СПЛОШНЫХ СИСТЕМ 691
Так как амплитуды падающей и отраженной волн в этом случае зависят от х (рас-
(расстояния от начала стержня), то мы их будем обозначать соответственно через Xi (х)
и Х2 (*), причем Хг > Х2 и Хг есть убывающая, аХ2 — возрастающая функция х.
Когда амплитуды двух волн, распространяющихся в противоположных направле-
направлениях, везде одинаковы, то амплитуды стоячей волны в пучностях, как мы видели,
равны удвоенной амплитуде двух волн и одинаковы во всех пучностях. Если же две
волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, имеют разные ам-
амплитуды Хг{х) и Х%(х), то волну большей амплитуды Хг можно разбить на две
составляющие, с амплитудами Х2(х) и Хг (х) — Х2(л:).
Первая из этих составляющих вместе со второй волной амплитуды Х2 (х) образу-
образует стоячую волну с амплитудами в пучностях, равными 2Х2 (х). Второй составляю-
составляющей, распространяющейся от начала стержня к концу его, не соответствует никакая
волна, распространяющаяся в обратном направлении, и следовательно, вторая со-
составляющая с амплитудой Хх (я) — Х2 (х) есть просто бегущая волна с амплитудой,
убывающей с ростом х (так как Хх — убывающая, а Х2 —возрастающая функция х)\
в частности, у начала стержня (х = 0) амплитуда этой бегущей волны равна Хг @) —
— Х2 @), а у конца стержня (я = /) Хг (/) — Х2 (Q = 0, если потерями энергии при
отражении можно пренебречь. Эта бегущая волна несет с собой энергию, возникаю-
возникающую у начала стержня за счет работы внешней силы; распространяясь по стержню,
эта энергия расходуется на потери, происходящие при колебаниях во всех участ-
участках стержня (поэтому бегущая волна по мере распространения затухает).
Что касается стоячей волны с амплитудами 2Х2 (х) в пучностях, то эти амплиту-
амплитуды возрастают с ростом х (Х2 — возрастающая функция х) от 2Х2 @) у начала стер-
стержня до 2Xi(/) =2X2 (/) у конца стержня (напомним, что потерями энергии при отра-
отражении от конца стержня мы пренебрегаем). Если потери энергии в стержне или дли-
длина стержня столь значительны, что отраженная волна затухает, не достигнув начала
стержня, т. е. Х2 (л;) обращается в нуль при х >- 0, то у начала стержня стоячая
волна вовсе будет отсутствовать и возникнет только ближе к концу стержня. Это и
есть уже упоминавшийся случай, когда явления, происходящие у конца стержня
(отражение волны), никак не сказываются на явлениях, происходящих в начале
стержня, и начальный участок стержня можно рассматривать как участок бесконеч-
бесконечно длинного стержня, по которому распространяется только бегущая волна.
Присутствие в стержне помимо стоячей также и бегущей волны (существование
которой, как мы убедились, обусловлено потерями энергии в стержне) приводит
к тому, что в тех местах, где образовались узлы стоячей волны (либо смещений и ско-
скоростей, либо деформаций), амплитуды соответственно смещений и скоростей или де-
деформаций оказываются отличными от нуля, так как на стоячую волну налагается бе-
бегущая волна, амплитуды смещений, скоростей и деформаций которой нигде не об-
обращаются в нуль. При этем чем больше потери энергии в' стержне, тем меньше ампли-
амплитуда Х2 (л;) и тем больше амплитуда бегущей волны Хг {х) — Х2 (х) во всех точках
стержня, и в частности во всех узлах стоячей волны, в том числе в начале стержня
(где хотя и образуется узел смещений и скоростей стоячей волны, но где результирую-
результирующие амплитуды смещений и скоростей не равны нулю, а имеют тем большие значения,
чем больше потери энергии в системе). Этот вывод подтверждает справедливость тех
представлений, из которых мы исходили выше при обсуждении вопроса о величине
амплитуды стоячих волн в пучности для случая стержня, один конец которого со-
совершает заданное движение.
Вернемся теперь к вопросу о тех соотношениях между нормальными частотами
стержня и частотами внешней силы, при которых амплитуды стоячей волны в стержне
достигают наибольшей величины.
При сопоставлении этих частот необходимо иметь в виду, что граничное условие
для неподвижно закрепленного конца стержня представляет собой частный случай
граничного условия для конца стержня, совершающего заданное гармоническое дви-
движение. Это видно уже из того, что от второго граничного условия можно перейти к пер-
первому, положив амплитуду гармонического движения равной нулю. Вместе с тем, как
мы видели, и при том и при другом граничном условии на конце стержня образуется
узел смещений и скоростей и пучность деформаций. Значитд стерженц у которого
23*

692 волны [гл xix
один конец закреплен неподвижно, а другой совершает заданное движение, явля-
является аналогом стержня с двумя закрепленными неподвижно концами, а стержень,
у которого один конец свободен, а другой совершает заданное движение, — анало-
аналогом стержня с одним свободным и одним неподвижно закрепленным концом. По со-
соображениям такого же характера, как приведенные выше, конец стержня, на кото-
который действует заданная сила, нужно считать аналогом свободного конца.
Учтя все сказанное, мы можем констатировать, что частоты нормальных колеба-
колебаний стержня и частоты действующей на стержень внешней силы, при которых ампли-
амплитуды стоячих волн в пучностях достигают максимума, при аналогичных краевых
условиях совпадают: при одинаковых краевых условиях на обоих концах стержня
на длине стержня должно укладываться целое число полуволн, а при разных крае-
краевых условиях на обоих концах стержня — нечетное число четвертей волн.
Итак, мы убедились, что возникновение в стержне под действием гармонической
внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление
резонанса: внешняя сила поддерживает сильные вынужденные колебания, частота
и распределение амплитуд которых очень близки к частоте и распределению амплитуд
одного из нормальных колебаний стержня. Роль внешней силы сводится при этом
лишь к компенсации потерь энергии в стержне. Представим себе, что после установ-
установления стоячей волны потери энергии в стержне начинают уменьшаться, но вместе
с тем мы уменьшаем амплитуду внешней силы (или заданного движения) так, чтобы
амплитуда стоячей волны оставалась неизменной. В пределе, когда потери энергии
в системе совсем прекратятся и амплитуда внешней силы обратится в нуль, в стержне
останется стоячая волна, совершенно идентичная с соответствующим нормальным
колебанием стержня. Таким образом, свойственные сплошной системе без потерь нор-
нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать
в этой системе.
Этот вывод позволяет обосновать то положение, которым мы пользовались без
доказательства при рассмотрении нормальных колебаний в сплошной системе.
Именно, в § 149 мы полагали, что распределение амплитуд нормальных колебаний
должно быть либо синусоидальным, либо косинусоидальным; теперь мы можем это
положение считать обоснованным, поскольку мы убедились (в § 154), что распреде-
распределение амплитуд стоячих волн действительно является синусоидальным или косинусо-
косинусоидальным, а значит, таким же оно должно быть для нормальных колебаний.
Как мы убедились, под действием внешней силы в случае резонанса в системе
возбуждаются стоячие волны, по характеру распределения амплитуд близкие к тому
из нормальных колебаний системы, частота которого совпадает с частотой внешнего
воздействия. В других случаях возбуждения интенсивных колебаний в сплошной
системе дело обстоит аналогичным образом. Так, в случае параметрического возбуж-
возбуждения колебаний (§ 152) интенсивные колебания возникают, когда частота колеба-
колебаний ножки камертона вдвое больше одного из нор*мальных колебаний струны, и рас-
распределение амплитуд колебаний будет такое же, как для соответствующего нормаль-
нормального колебания струны: на струне укладывается «половина синусоиды», «целая
синусоида», «полторы синусоиды» и т. д.
Так же обстоит дело и в случае возбуждения автоколебаний в сплошной системе.
Рассуждая упрощенно, можно считать, что механизм, обусловливающий возникно-
возникновение автоколебаний в системе, компенсируя потери энергии в системе, поддерживает
нормальные колебания этой системы. Например, в смычковых музыкальных инстру-
инструментах (скрипка и др.) характеристика силы трения между смычком и струной та-
такова, что часть работы, совершаемой этой силой, идет на пополнение потерь энергии,
происходящих при колебаниях струны1). При автоколебаниях в большинстве слу-
случаев возбуждается колебание, частота которого близка к основному тону системы;
однако в некоторых специальных случаях возможно возникновение автоколебаний,
близких к одному из обертонов системы.
г) Аналогично тому, как это происходит с грузом2 удерживаемым пружиной на
движущейся ленте (§ 139).

§ 156] СПЛОШНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 693
Если затухание собственных колебаний в системе мало, то механизм, поддержи-
поддерживающий автоколебания, подводит к системе за период энергию, составляющую лишь
малую долю всей энергии, которой обладает колеблющаяся система. Поэтому он
очень мало изменяет характер поддерживаемых колебаний; автоколебания как по
частоте, так и по распределению амплитуд оказываются близкими к нормальным ко-
колебаниям системы. Например, при игре на скрипке обычно основной тон колебаний
таков, что для него вдоль свободной части струны — от пальца, прижимающего ее
к грифу, до подставки — укладывается половина длины волны. Частота колебаний
скрипичной струны, возбуждаемой смычкОхМ, совпадает с частотой собственных ко-
колебаний, которые получаются, если эту струну оттянуть, а затем отпустить.
Во всех рассмотренных случаях энергия, необходимая для возбуждения и под-
поддержания колебаний в сплошной системе, подводится к одному определенному участ-
участку системы; потери же энергии происходят во всей системе. Поэтому наряду со стоя-
стоячими волнами в системе принципиально должны существовать и бегущие волны (хотя
при малых потерях амплитуда этих последних мала по сравнению с амплитудой стоя-
стоячих волн).
§ 156. Сплошные и дискретные колебательные системы
Выше нами был качественно прослежен переход от дискретных
колебательных систем к сплошным системам. Обратимся теперь к более
детальному обоснованию возможности такого перехода и получим
некоторые количественные оценки.
Поскольку всякие тела состоят из атомов, мы должны были бы
в соответствии со сказанным в § 105 изучить при рассмотрении коле-
колебаний всякого тела колебания всех атомов, образующих это тело.
При этом всякое тело обладало бы конечным числом степеней свободы,
равным произведению числа атомов, из которых состоит тело, на число
степеней свободы, которым обладает отдельный атом.
Но когда при колебаниях тела достаточно большое число атомов,
заключенных в малом элементе объема, движется одинаково, можно
рассматривать движение такого элемента объема как целого, не учи-
учитывая того, что он состоит из атомов. Вместе с тем и свойства тела —
его плотность и упругость (которые вследствие атомной структуры
должны резко изменяться от точки к точке) — внутри малого элемента
объема следует считать постоянными, имеющими некоторые средние
по элементу объема значения (конечно, если тело неоднородно, то от
элемента к элементу свойства его могут постепенно изменяться).
Так от дискретной системы с большим, но конечным числом степеней
свободы мы переходим к сплошной колебательной системе с бесконечно
большим числом степеней свободы.
В простейших случаях, например в однородной и «одномерной» х)
сплошной колебательной системе, рассмотрение нормальных колеба-
колебаний, вынужденных колебаний и резонанса не представляет трудностей
(мы убедились в этом при рассмотрении продольных колебаний
стержня). Однако полученные при этом результаты нельзя безогово-
1) То есть такой системе, положение каждого элемента которой определяется
заданием только одной координаты.

694 волны [гл. xix
рочно распространять на дискретные системы, поскольку, рассматри-
рассматривая сплошную систему, мы пренебрегли неоднородностями, обуслов-
обусловленными атомной структурой стержня. Чтобы выяснить вопрос о том,
в какой мере атомная структура может повлиять на характер нормаль-
нормальных колебаний, рассмотрим нормальные колебания одномерной ди-
дискретной системы, представляющей собой цепочку из п (п ^> 1) оди-
одинаковых масс т, связанных между собой одинаковыми подчиняющи-
подчиняющимися закону Гука пружинами с коэффициентом упругости а (моделью
этой системы может служить прибор, изображенный на рис. 269).
Массы т соответствуют массам атомов «одномерной кристаллической
решетки», а пружины — силам взаимодействия между атомами. Сме-
Смещения масс происходят вдоль цепочки.
Найдя нормальные колебания этой одномерной решетки и со-
сопоставив их с нормальными колебаниями сплошного стержня (§ 149),
мы сможем судить о том, как влияет атомная структура на характер
нормальных колебаний. Конечно, при этом сопоставлении мы должны
рассматривать: 1) один и тот же тип колебаний, 2) одни и те же раз-
размеры (длину /), упругие свойства и плотности дискретной модели и
стержня и 3) идентичные краевые условия.
Чтобы обеспечить условие A), мы будем рассматривать в обоих
случаях продольные колебания. Чтобы обеспечить условие B), будем
полагать, что линейная плотность сплошного стержня, т. е. его масса,
приходящаяся на единицу длины,
A9.12)
где р — плотность материала стержня, q — его поперечное сечение,
а — расстояние между массами т в дискретной модели в отсутствие
деформаций; кроме того, будем полагать, что модуль упругости
стержня Е связан с коэффициентом упругости пружины а соотно-
соотношением
Eq = aa9 A9.13)
так как Eq есть упругая сила, которая возникла бы в стержне при
растяжении его вдвое, а <ш — упругая сила, которая возникла бы
при растяжении дискретной модели вдвое. Наконец, чтобы обеспе-
обеспечить условие C), мы введем два дополнительных груза с номерами
s = 0HS = n+l и положим, что й = 0и уп+1 = 0, где ys — про-
продольное смещение s-ro груза, что соответсгвует стержню с непо-
неподвижно закрепленными концами. Тогда длина одномерной решетки
I = (п + 1) а, а расстояние от начала решетки до s-ro груза равно sa.
Каждый груз дискретной модели совершает движение под дей-
действием двух прикрепленных к нему пружин. Считая смещения масс
положительными, когда они направлены вправо (аналогично тому,
как мы это делали для стержня), и учитывая, чго сила, с которой
действует пружина, концы которой прикреплены к s-му и (s + 1)-му
грузам, есть а (у5+1 — ys), для s-ro груза из ьюрого закона Ньютона

§ 156] СПЛОШНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 695
получим:
m^f = a^+i-ys)~(ys-ys-i)b где s=l, 2, ..., п. A9.14)
При п -> оо характер нормальных колебаний дискретной модели
должен все больше и больше приближаться к характеру колебаний
сплошного стержня. Поэтому мы должны ожидать, что смещения гру-
грузов описываются выражениями, аналогичными выражениям, описы-
описывающим смещения слоев стержня с закрепленными концами, т. е.
можем воспользоваться результатами § 149 г):
to = A* sin-^ sin ю^ A9.15)
где s — номер груза, k — номер нормального колебания и Ak sin s^. —
амплитуда смещения s-ro груза для ft-ro нормального колебания.
Выражение аргумента в синусоидальном распределении амплитуд
нормальных колебаний выбрано так, чтобы для s = О и s — п + 1
для всех гармоник #0 и #л+1 обращались в нуль. При п = оо это рас-
распределение амплитуд совпадает с распределением для стержня с за-
закрепленными концами. Для п конечного, т. е. для дискретной мо-
модели, полагаем, что амплитуды грузов тоже распределены по закону
синуса, но, конечно, это распределение уже не непрерывное, а дискрет-
дискретное: ys имеют смысл только для отдельных дискретных значений аргу-
аргумента skn/(n + 1), соответствующих целым значениям s. Чтобы про-
проверить правильность нашего предположения, подставим выраже-
выражение A9.15) в уравнения движения грузов A9.14). Нетрудно убедиться,
что при этой подстановке A9.14) обращается в тождество, если
(ok = 2y ^sin 2(n+l) Для всех k=lt 2, ..., п. A9.16)
Таким образом, рассматриваемой дискретной системе, обладаю-
обладающей п степенями свободы, свойственны п нормальных колебаний,
угловые частоты которых определяются выражением A9.16), т. е.
не являются кратными наинизшей угловой частоте о)х первого нор-
нормального колебания (в отличие от нормальных частот сплошного
стержня). Но пока k <^ п, т. е. в области низких частот,
A9.17)
Эти частоты равны свойственным сплошному стержню нормаль-
нормальным частотам соответствующих номеров, если средние плотность и
1; Пользуясь, например, выражением A8.17), нужно учитывать, что оно от-
относится к деформациям стержня со свободными концами, а здесь нужно написать
выражение для смещения стержня с закрепленными концами; кроме того, надо
произвести замену х— sl/(n 4-1).

696 волны Ггл. xix
упругость дискретной модели совпадают с плотностью и упругостью
сплошного стержня. Действительно, из условий этого совпадения
и из A9.12) и A9.13) следует, что
\ПЩ> = аУа/т, A9.18)
откуда видно, что A9.17) тождественно с A8.7), так как а = II(п + 1).
Вместе с тем, как следует из A9.15), значения амплитуд смещений
для отдельных грузов совпадают со значениями амплитуд смещений
для тех сечений стержня, для которых
Следовательно, лежащие в области низких частот (для которых
k <^ п) нормальные колебания дискретной и сплошной систем совпа-
совпадают по частоте и имеют одинаковое распределение амплитуд. По мере
увеличения k частоты дискретной и сплошной систем постепенно
расходятся: у дискретной системы спектр обрывается на частоте
— (при k — n**> 1),
частоты же гармоник спектра сплошной системы неограниченно
возрастают при k -» со. Так как для k-vo нормального колебания
вдоль стержня или дискретной системы укладывается k полуволн,
т. е. k = 2//А*, а, с другой стороны (при п ^> 1) п = На, то условие
k <;-п можно заменить другим: Xk/2 ^> а; иначе говоря, нормальные
колебания дискретной системы и сплошного стержня совпадают по
частоте и распределению амплитуд, пока длины волн, соответствую-
соответствующих этим нормальным колебаниям, велики по сравнению с расстоя-
расстоянием а между соседними грузами.
Если мы рассматриваем эту дискретную систему как модель одно-
одномерной кристаллической решетки, то а есть расстояние между атомами
решетки, т. е. величина порядка 1-10"8 см. При скорости распростра-
распространения упругих волн в стержне и^5-105 см/сек длине волны Я =
= 1 «КГ8 см соответствует частота колебаний v= . ' _8 = 5- 1013 гц.
Но даже для самых быстрых упругих колебаний, с которыми прихо-
приходится иметь дело в ультраакустике (см. § 170), v гораздо меньше
5-1013гц; отсюда видно, что атомная структура тел никак не должна
сказываться на изучаемых в механике упругих колебаниях этих тел.
Поэтому в механике все тела, несмотря на их атомную структуру,
можно рассматривать как сплошные.
Пренебрегать атомной структурой твердого тела нельзя при
рассмотрении теплового движения в нем. Тепловое движение атомов
кристаллической решетки представляет собой быстрые нерегулярные
колебания атомов около положений равновесия. При этом смежные
атомы могут колебаться с различными амплитудами и фазами и часто
могут двигаться навстречу друг другу. А это значит, что в спектре

§ 156] СПЛОШНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 697
тепловых колебаний должны быть сильно представлены гармониче-
гармонические составляющие, которым соответствуют длины волн порядка
расстояний между атомами (если бы в спектре присутствовали только
колебания с гораздо большими длинами волн, то смежные атомы совер-
совершали бы одинаковые движения). Чтобы найти частоты и распределе-
распределение амплитуд этих гармонических составляющих, кристалл нужно
рассматривать не как сплошное тело, а как дискретную систему.
Мы убедились, что неоднородность кристаллической решетки
(атомы, обладающие массой, разделены промежутками, в которых
масс нет, но действуют упругие силы) играет принципиальную роль,
когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной упругой волны.
Если же на длине волны укладывается много неоднородностей и
смежные атомы совершают одинаковое движение, то тело можно
рассматривать как сплошное, обладающее надлежащим образом
усредненными свойствами; наличие неоднородностей, малых по сравне-
сравнению с длиной волны, не влияет на характер нормальных колебаний.
Такой же критерий (соотношение между размером неоднородно-
неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неодно-
неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обуслов-
обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макро-
макроскопически неоднородно, например, «упругий стержень» составлен из
сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных
и алюминиевых цилиндров х), то для нормальных, колебаний, соот-
соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту
одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный,
обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете
же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой
цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При нали-
наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем
настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые про-
простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень
плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами.
Однако, как это часто бывает, задача снова упрощается при пере-
переходе к другому предельному случаю — к очень сильным неоднород-
ностям. Представим себе, что в рассмотренном «составном стержне»
алюминий мы заменяем материалом, плотность и жесткость которого
настолько меньше, чем у латуни, что массой «бывшего алюминиевого»
цилиндра можно пренебречь по сравнению с массой латунного, а жест-
жесткость латунного цилиндра можно считать бесконечно большой по
сравнению с жесткостью «бывшего алюминиевого». Мы пришли к слу-
случаю предельной неоднородности: участки системы, в которых нахо-
находятся «бывшие алюминиевые» цилиндры, обладают упругостью, но не
обладают массой, а участки, в которых находятся латунные, обла-
х) Алюминий имеет несколько меньший модуль упругости Е и существенно мень-
меньшую плотность р? чем латунь.

698 волны [гл хтх
дают массой, но не обладают упругостью (являются совершенно
жесткими). Именно такой предельной неоднородностью обладает рас-
рассматриваемая нами дискретная система: грузы — латунные цилиндры,
пружины — «бывшие алюминиевые» цилиндры. Но для этой дискрет-
дискретной системы мы уже решили задачу о нормальных колебаниях. То же
решение будет описывать нормальные колебания в составном стержне,
и тем точнее, чем больше приближается к предельной неоднородность
стержня.
Обобщая результаты рассмотрения приведенного выше примера,
можно сказать следующее. Все тепа построены из атомов и пред-
представляют собой дискретные системы. В задачах механики неодно-
неоднородности, обусловленные атомной структурой, не играют роли, и
поэтому все тела можно рассматривать как сплошные. Однако для
макроскопически неоднородных сплошных систем решение задач
о колебаниях связано с большими, иногда непреодолимыми труд-
трудностями. Но при очень сильных неоднородностях сплошную систему
часто можно считать предельно неоднородной, т. е. заменить ее ди-
дискретной системой с конечным числом степеней свободы и тем са-
самым существенно упростить решение задач о колебаниях в такой
системе.
Для того чтобы выяснить, при каких условиях такая замена воз-
возможна, а также чем определяется число степеней свободы той дискрет-
дискретной системы, которой может быть заменена данная сплошная неодно-
неоднородная система, нужно проследить, как изменяется характер нормаль-
нормальных колебаний этой дискретной системы при изменении числа ее
степеней свободы.
Конечно, само изменение числа степеней свободы может происхо-
происходить только скачком, поскольку число степеней свободы — это целое
число; однако изменение свойств системы, в частности характера
нормальных колебаний, при переходе от- системы с одним числом
степеней свободы к системе с другим числом степеней свободы может
происходить непрерывно.
Такой непрерывный переход, например от системы с п степенями
свободы к системе с /г/2 степенями свободы (/г — четное), можно мыс-
мысленно осуществить следующим образом. В нашей дискретной системе
будем отделять от одних грузов (положим, с нечетными номерами)
малые доли, имеющие массу Am, и переносить Их на грузы с четными
номерами. Повторяя эту операцию переноса достаточно большое
число раз, мы достигнем того, что массы нечетных грузов обратятся
в нуль, массы четных станут равными 2т, а расстояния между ними —
равными 2а. Этой системе с /г/2 степенями свободы свойственны п'2
нормальных колебаний с угловыми частотами, определяемыми выра-
выражением
** где k=l, 2, ..., %. A9.19)

§ 156] СПЛОШНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 699
Коэффициент упругости пружин новой системы а' = а/2, так
как пружины стали вдвое длиннее, и поэтому при прежнем абсолют-
абсолютном растяжении деформация пружин, а значит, и упругая сила вдвое
меньше; с другой стороны, масса каждого груза новой системы т' = 2т.
Подставляя в A9.19) эти значения а' и т', мы найдем приближенное
выражение для k <^ п, при п^> 1, совпадающее с тем, которое было
получено выше для исходной системы с п степенями свободы A9.17).
Таким образом, при переходе от системы с п степенями свободы
к системе с /г/2 степенями свободы /г/2 нормальных колебаний исче-
исчезают, а среди /г/2 оставшихся нормальных колебаний группа низко-
низкочастотных колебаний (для которых k «^ /г/2) сохраняет примерно те
же значения частот, как и в системе с /г степенями свободы.
Чтобы проследить за тем, как исчезают л/2 нормальных колеба-
колебаний, представим себе, что мы прервали операцию по переносу эле-
элементов массы Am с нечетных гру-
грузов на четные, когда эта операция
б
СС' /77'
еще не завершена, но близка к за-
вершению, т. е. когда массы четных &) %
грузов близки к 2т, а массы не- ^
четных очень малы по сравнению
с 2т. Колебания нечетных грузов
не могут вызвать заметное движе-
движение четных, вследствие того что мас-
массы первых очень малы по сравне-
сравнению с массами вторых (между тем
со стороны одних на другие дей- Рис 451
ствуют одинаковые силы). Но ког-
когда четные грузы неподвижны, каж-
каждый нечетный груз движется так, как если бы концы пружин были
закреплены неподвижно. Частота колебаний каждого груза при этом
тем выше, чем меньше масса груза; в результате очень значительного
уменьшения масс нечетных грузов частоты /г/2 колебаний, свойствен-
свойственных этим /г, 2 грузам, уходят в область очень высоких частот.
Если мы возобновим операцию переноса элементов массы Am,
то частоты этих /г/2 колебаний будут беспредельно возрастать, а когда
массы нечетных грузов обратятся в нуль, все эти /г/2 частот обратятся
в бесконечность. Мы видим теперь, куда исчезают /г/2 колебаний при
переходе дискретной системы с /г степенями свободы к системе с /г/2
степенями свободы: частоты этих исчезающих колебаний «уходят
в бесконечность». Если /г = 2Р, где р — целое число, то, переходя
таким же образом от системы с /г/2 степенями свободы к системе с п/4
степенями свободы, затем к системе с /г/8 степенями свободы и т. д.,
мы дойдем до системы с одной степенью свободы (рис. 451, а),которой
свойственно одно нормальное колебание; из /г нормальных колебаний,
которые были свойственны исходной системе с /г степенями свободы,
п — 1 исчезли — их частоты обратились в бесконечность.

700 волны [гл. xix
От системы с п степенями свободы мы могли бы совершить переход
в направлении увеличения числа степеней свободы, например к си-
системе с 2/г степенями свободы, перенося малые доли грузов в точки
пружин, лежащие посередине между соседними грузами (когда мы
перенесем первый раз малые доли грузов в эти точки, сразу появятся
п новых нормальных колебаний с очень высокими частотами). Повто-
Повторив эту операцию достаточно большое число раз, мы получили бы
систему с 2/г одинаковыми грузами, каждый массы т/2, расположен-
расположенными на расстоянии а/2 друг от друга. При этом из бесконечности
приходят частоты п новых нормальных колебаний и общее число нор-
нормальных колебаний становится равным 2/г. Таким же способом от си-
системы с 2/г степенями свободы можно- перейти к системе с 4/г степе-
степенями свободы и т. д., т. е. как угодно приблизиться к сплошной
системе, обладающей бесконечно большим числом нормальных ко-
колебаний. Частоты всех этих новых нормальных колебаний (кроме
тех п нормальных колебаний, которые были свойственны исходной
системе с п степенями свободы) пришли из бесконечности.
Вернемся теперь к вопросу о том, что происходит с частотами тех
нормальных колебаний, которые не исчезают при уменьшении числа
степеней свободы системы. Как уже было показано при рассмотрении
перехода от системы с п степенями свободы к системе с /г/2 степенями
свободы, частоты нормальных колебаний, для которых k <^ /г/2, сохра-
сохраняют примерно те же значения, какие они имели в системе с /г степе-
степенями свободы. Но если после /?-кратного повторения операций пере-
переноса мы приходим к системе с п/2р степенями свободы и /г/2р равно
одной или нескольким единицам, то ни для каких значений k условие
k <^ /г/2р не выполняется. Следовательно, уже нельзя утверждать,
что частоты колебаний, соответствующих малым /г, остаются при-
примерно такими же, как в системе с /г степенями свободы. Однако, как
будет показано, даже в том случае, когда от системы с п степенями
свободы (п ^> 1) мы путем р-кратного переноса элементов масс пере-
переходим к системе с одной степенью свободы (п/2р = 1), частота того
единственного нормального колебания, которое сохранилось в этой
системе при переходе от системы с п степенями свободы, испытывает
лишь незначительное изменение.
Угловую частоту паинизшего нормального колебания системы
с п степенями свободы (п ^ 1) найдем, подставив k = 1 в A9.17):
соя^— Л/ —. С другой стороны, угловая частота единственного
IX Y 111
нормального колебания системы с одной степенью свободы может
быть найдена из A9.16) путем подстановки k = 1 и п = 1:
где т — масса единственного груза системы, а а —упругость каж-
каждой из двух пружин, прикрепленных к грузу. Так как при избранном

§ 156] СПЛОШНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 701
нами способе преобразования системы с п степенями свободы в систему
с одной степенью свободы т' = пт (все грузы соединены вместе) и
а' = 2а/п (каждая из двух пружин стала в п/2 раз длиннее каждой
из п пружин), то со' = ~ |/ —.
Из сравнения выражений для со и <о' видно, что при переходе от
системы с п степенями свободы к системе с одной степенью свободы
частота единственного неисчезнувшего нормального колебания умень-
уменьшилась примерно на 1/3.
Следует иметь в виду, что примененный нами способ преобразова-
преобразования системы с п степенями свободы в систему с одной степенью сво-
свободы не является единственно возможным. Мы могли бы выбрать,
например, такой способ преобразования, при котором по окончании
переноса элементов масс Am массы всех трех грузов, свободного
(k — 1) и двух закрепленных (k — О и k = 2), оказались бы одинако-
одинаковыми. Тогда свободный груз имел бы массу т' = пт/3 и угловая
частота со' его колебаний возросла бы в 1,7 раза, т. е. превышала бы
частоту со примерно на 1О?о.
Интересно отметить, что не только частота единственного неисчез-
неисчезнувшего нормального колебания, но и распределение амплитуд этого
колебания не очень отличается от распределения амплитуд наиниз-
наинизшего нормального колебания исходной системы с п степенями сво-
свободы. В исходной системе с п степенями свободы амплитуды смещений
распределены по закону синуса, причем на длине системы уклады-
укладывается половина длины волны наинизшего нормального колебания;
в системе же с одной степенью свободы амплитуды отклонений точек
пружин по мере удаления от закрепленных концов пружин растут по
линейному закону, и если предположить, что размеры груза очень
малы по сравнению с длиной самих пружин, то амплитуды смещений
распределены по «закону треугольника» (рис. 451, бI).
Можно сказать, что в системе с одной степенью свободы также
устанавливается стоячая волна с узлами смещений на закрепленных
концах пружин и с пучностью смещений в средней точке, т. е. с таким
же расположением узлов и пучностей, как у наинизшего нормаль-
нормального колебания исходной системы с п степенями свободы, но отличным
от синусоидального распределением амплитуд.
Вместе с превращениями энергии из потенциальной в кинетиче-
кинетическую и обратно в системе с одной степенью свободы будут происходить
и перемещения энергии: когда груз проходит через среднюю точку и
обладает наибольшей скоростью, вся энергия колебаний сосредоточена
в виде кинетической энергии в самом грузе; когда груз движется
к одному из крайних положений, энергия превращается из кинетиче-
г) Напомним, что вдоль оси у мы откладываем смещения точек пружин и груза,
происходящие вдоль оси х, так что истинные смещения не располагаются «по тре-
треугольнику».

702 волны Ггл xix
ской в потенциальную и перетекает от груза к пружинам. И так как
период колебаний системы с одной степенью свободы близок к периоду
нормального колебания наинизшей частоты исходной системы с п
степенями свободы, а расстояние между закрепленным концом пру-
пружины и грузом близко к половине длины системы с п степенями сво-
свободы, все происходит примерно так же, как и в сплошной системе,
на длине которой укладывается половина стоячей волны, т. е. ско-
скорость перемещения энергии в системе оказывается такого же порядка,
как и вдоль исходной системы с п степенями свободы.
Теперь мы можем ответить на поставленные выше вопросы.
Поскольку атомная структура тел никак не сказывается на характере
их упругих колебаний, всякую механическую колебательную систему
можно рассматривать как сплошную; спектр нормальных колебаний
этой системы содержит бесконечно большое число частот, расположен-
расположенных в области, ограниченной со стороны низких частот и не ограни-
ограниченной со стороны высоких частот. В однородной системе все нормаль-
нормальные частоты кратны наинизшей нормальной частоте, и следовательно,
на шкале частот все они располагаются на одинаковом расстоянии друг
от друга 2). Если же система неоднородна, то частоты нормальных
колебаний оказываются не кратными наинизшей нормальной частоте;
расстояния между отдельными нормальными частотами на шкале
частот могут оказаться существенно различными. При сильной неодно-
неоднородности часто оказывается, что весь спектр нормальных колебаний
распадается на две области: первая — область низких частот, в кото-
которой расположено небольшое число нормальных частот, вторая —
область очень высоких частот, нижняя граница которой лежит очень
далеко от верхней границы первой области; в этой второй области
расположены все остальные нормальные частоты системы, число кото-
которых бесконечно велико.
Так именно будет выглядеть, например, спектр нормальных коле-
колебаний цепочки из п грузов, связанных пружинами (рис. 269), если
рассматривать эту цепочку как неоднородную сплошную систему
(пользуясь ею как моделью сплошной системы, например, для демон-
демонстрации распространения импульса в упругом теле в § 113, мы не
учитывали неоднородности этой системы). Всякая пружина обладает
массой, а всякий груз обладает упругостью; поэтому грузы, связанные
пружинами, в действительности представляют собой не дискретную,
а сплошную систему, все элементы которой обладают как массой, так
и упругостью. Но в области низких частот для этой сплошной системы
мы получили бы такой же спектр нормальных колебаний, какой имела
бы эта система, рассматриваемая как дискретная.
х) В простейшем случае, когда в спектре присутствуют все номера нормальных
колебаний, расстояние между частотами равно наинизшей нормальной частоте;
если же амплитуды некоторых нормальных колебаний обращаются в нуль, то раз-
разница в частотах двух смежных нормальных колебаний может быть больше, чем наи-
наинизшая нормальная частота.

§ 156] СПЛОШНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 703
Из всего сказанного ясно, что физическая природа колебаний,
которые происходят в системах, рассматриваемых как дискретные,
принципиально ничем не отличается от природы колебаний в систе-
системах, рассматриваемых как сплошные. Поэтому и механизм возникно-
возникновения колебаний в сплошных и дискретных системах должен быть один
и тот же. Сопоставляя картину возникновения собственных колебаний
в сплошном стержне и в колебательной системе с одной степенью сво-
свободы, можно проследить, как один и тот же механизм возникновения
собственных колебаний видоизменяется при переходе от сплошного
стержня к системе с одной степенью свободы.
В стержне кратковременный начальный импульс все время дви-
движется как целое, без изменения формы. В системе с одной степенью
свободы такой кратковременный импульс не может распространяться
без искажения формы, так как под действием пружины груз большой
массы только постепенно набирает скорость, т. е. импульс размы-
размывается. Поэтому в системе с одной степенью свободы, где импульс
не может двигаться как одно целое, представление о движении энер-
энергии становится мало наглядным, а понятие скорости движения энер-
энергии — не вполне определенным. Но, как показано выше, физическая
картина качественно остается прежней; собственные колебания в си-
системе с одной степенью свободы сопровождаются перемещением энер-
энергии в пределах колебательной системы, и эти перемещения происходят
со скоростями того же порядка, как в стержне, имеющем длину,
массу и упругость, соответствующие свойствам рассматриваемой си-
системы с одной степенью свободы.
Становится совершенно очевидным, что единую физическую кар-
картину колебаний в различных колебательных системах можно получить,
только рассматривая колебательные системы как сплошные, како-
каковыми и являются в действительности все колебательные системы.
Собственные колебания в однородных сплошных колебательных
системах возникают в результате того, что начальный импульс рас-
распространяется как целое по системе и отражается от ее концов.
В неоднородных сплошных системах из-за неоднородности импульс
размывается и картина очень усложняется. Заменяя реальную неодно-
неоднородную сплошную систему воображаемой дискретной системой с ко-
конечным числом степеней свободы, часто можно избавиться от необхо-
необходимости рассматривать сложную задачу о распространении импульса
и движении энергии в системе; но такая замена не может ршчего доба-
добавить к физической картине колебаний в сплошной системе.
Дело здесь обстоит примерно так же, как при замене реального
деформируемого тела воображаемым абсолютно жестким: эта замена
может нас избавить от некоторых расчетов, но не может дополнить
физической картины рассматриваемого явления. Точно так же пере-
переход от сплошной колебательной системы к дискретной, т. е. замена
реальных тел, имеющих массу и упругость, либо абсолютно жесткими
грузами, либо не имеющими массы пружинами, может упростить реше-

704 волны [гл. xix
ние задачи, но не может дополнить или углубить физическую картину.
Наоборот, такая замена реальной системы воображаемой моделью
может только затемнить некоторые стороны той физической картины,
к которой мы пришли, рассматривая реальную систему. Именно это
происходит при замене сплошной системы дискретной: мы теряем из
виду всю картину движения энергии в колебательной системе с конеч-
конечной скоростью, которой определяется период колебаний в системе.
Понятно, почему в дискретной системе невозможно проследить
за картиной движения энергии: дискретная система состоит либо из
абсолютно жестких тел (Е = оо), либо из упругих тел, не обладающих
массой (р = 0); но и в тех и в других скорость течения энергии должна
была бы быть бесконечно большой. Поэтому, когда мы хотим просле-
проследить за движением энергии в колебательных системах, мы должны
рассматривать их как сплошные. Количественное рассмотрение сплош-
сплошных неоднородных систем часто оказывается трудным или вообще
невозможным. Но природа колебаний во всех случаях остается такой
же, как и в сплошном однородном стержне. В реальной системе, в ко-
которой энергия распространяется с конечной скоростью без больших
потерь и отражается от границ системы, всякий толчок вызывает коле-
колебания. Поэтому колебания и представляют собой столь широко рас-
распространенное явление.
§ 157. Волны в сплошной среде
Мы рассмотрели выше картину распространения бегущих волн
в стержне и струне. В системах такого типа распространение волн
могло происходить только по одному определенному направлению.
Вообще же в упругой сплошной среде, например в упругом теле боль-
больших размеров, в воде или в воздухе, волны могут распространяться по
всем направлениям. При этом картина распространения волн прин-
принципиально остается прежней, однако возникает ряд новых вопросов,
на которых мы сейчас и остановимся.
Прежде всего, при распространении во всех направлениях волна,
вообще говоря, захватывает все большие и большие области простран-
пространства. Поэтому энергия, которую несет с собой волна, занимает все
большие и большие объемы, и при распространении волны плотность
энергии убывает; а это связано с соответствующим уменьшением ам-
амплитуды распространяющейся волны. Таким образом, даже в отсутст-
отсутствие потерь в среде происходит уменьшение амплитуды волны при
распространении. Только в специальном случае распространения так
называемой плоской волны в среде амплитуда волны остается постоян-
постоянной.
Такую плоскую волну в среде мы получим, если поместим в упру-
упругую среду большую пластину, колеблющуюся в направлении нормали
к пластине. Все точки среды, прилегающие к пластине, совершают
колебания с одинаковыми амплитудой и фазой. Эти колебания будут

§ 157] ВОЛНЫ Б СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 705
распространяться в виде волн в направлении, нормальном к пластине.
Все точки среды, лежащие на любой плоскости, параллельной пла-
пластине, совершают колебания в одной и той же фазе. Эти плоскости,
параллельные пластине, представляют собой поверхности равной фазы,
или волновые поверхности. Энергия волны, заключенная между двумя
поверхностями равной фазы, распространяется вместе с волной, за-
занимая все время один и тот же объем. Поэтому плотность энергии
в плоской волне остается неизменной, а следовательно, остается неиз-
неизменной и амплитуда волны. Уравнение плоской волны имеет вид
= Л:о sin© (*-¦?),
где х — расстояние точки от пластины (источника волн), а у — ско-
скорость распространения волн. Плоскую волну, строго говоря', нельзя
осуществить в неограниченной сплошной среде. Только на ограничен-
ограниченных расстояниях от источника можно получить в сплошной среде
картину, близкую к распространению плоской волны, т. е. волны,
амплитуда которой не изменяется с расстоянием.
Для того чтобы выяснить, как изменяется амплитуда волны при
распространении, можно воспользоваться связью между амплитудой
волны и плотностью энергии. Эта связь легко может быть установ-
установлена. Так как плотность энергии упругой деформации пропорцио-
пропорциональна квадрату деформации, а плотность кинетической энергии
пропорциональна квадрату скорости, то плотность энергии, кото-
которую несет с собой волна, пропорциональна квадрату амплитуды
волны (амплитуды смещений и амплитуды скоростей волны пропор-
пропорциональны друг другу). Поэтому, зная, как изменяется плотность
энергии волны, мы сразу сможем сказать, как изменяется ее ампли-
амплитуда.
Рассмотрим волну, распространяющуюся из одной точки по всем
направлениям в однородном пространстве, т. е. с одинаковой скоро-
скоростью. Фаза волны в точке, находящейся на некотором расстоянии от
источника, будет связана с фазой волны у источника так же, как и
в случае волны, распространяющейся по одному направлению. Если
у источника волны колебания среды происходят по закону
то в точке, находящейся на расстоянии г от источника, колебания будут
происходить по закону
^r = Xosiv\(x)(t —
Во всех точках, находящихся на одинаковых расстояниях от
источника, фаза волны в каждый момент будет одна и та же. Всякая
шаровая поверхность, центр которой совпадает с источником волны,

706 волны [гл. хтх
является волновой поверхностью. Плоский участок волновой поверх-
поверхности называется фронтом волны.
Выберем какие-либо две близкие поверхности равной фазы, отстоя-
отстоящие на определенном расстоянии друг от друга, и будем следить за
энергией волны, заключенной между этими поверхностями. Эта энер-
энергия будет двигаться вместе с волной и, следовательно, будет все время
занимать объем шарового слоя неизменной толщины, заключенного
между поверхностями равной фазы. Этот объем при распространении
волны растет как г2, и значит, плотность энергии волны убывает как
1/г2. А так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды волны,
то амплитуда волны будет убывать как 1/г. Следовательно, если ампли-
амплитуда волны на расстоянии от источника, равном единице, есть Xl9 то
на расстоянии г от источника она будет равна Xj.fr, т. е. колебания на
расстоянии г будут происходить по закону
A9.20)
Это — уравнение шаровой волны. Шаровую волну возбуждал бы,
например, однородный пульсирующий шар, помещенный в упругой
среде. Всем прилегающим частицам среды пульсирующий шар будет
сообщать одинаковое колебательное движение в радиальных на-
направлениях, которое и будет распространяться в среде в виде шаровой
волны.
На практике редко приходится иметь дело е такими источниками волн, как пуль-
пульсирующий шар. Однако и тела более сложной формы, колеблющиеся более сложным
образом, создают в окружающей среде волны, которые на достаточно большом рас-
расстоянии от источника в некоторой ограниченной области пространства можно счи-
считать подобными шаровым в смысле закона убывания амплитуды с расстоянием от
источника, т. е. колеблющееся тело можно рассматривать как точечный источник.
Если волны от точечного источника распространяются во все стороны только
в тонком слое, ограниченном двумя параллельными плоскостями, то в этом слое по-
поверхностями равной фазы будут служить цилиндры малой высоты, центры которых
совпадают с источником. Вдали от источника можно считать, что энергия волны, за-
заключенная между двумя поверхностями равной фазы (двумя коаксиальными цилинд-
цилиндрами), будет двигаться вместе с этими поверхностями. Объем, заключенный между
ними, будет расти как г; следовательно, плотность энергии будет убывать как 1/г,
а амплитуда волны будет убывать как l/Уг. Уравнение волны вдали от источника
будет иметь вид
6 «A: sin© (*--), A9.21)
у г \ v I
где Хх — амплитуда волны на расстоянии от источника, равном единице. Такая волна
носит название круговой волны.
Если очень большое число источников волн, расположенных на одной прямой
близко один от другого, создает волны одинаковой амплитуды и фазы, то во всех пло-
плоскостях, перпендикулярных к этой прямой, будут распространяться круговые волны
также одинаковой амплитуды и фазы. Поверхностями равной фазы будут служить
бесконечные коаксиальные цилиндры, на осях которых лежат источники волны. Та-
Такая волна называется цилиндрической. Уравнение цилиндрической волны имеет та-
такой же вид, как и уравнение круговой волны A9.21), и справедливо для любой плос-
косги, перпендикулярной к прямой, на которой лежат источники волн.

158]
ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
707
§ 158. Волны на поверхности жидкости
Все сказанное относительно различных типов волн относится в оди-
одинаковой мере как к продольным, так и к поперечным волнам в сплош-
сплошной среде. Нужно лишь иметь в виду, что поперечные волны могут
возникать только в упругих твердых телах. В жидкостях и газах
могут возникать только продольные упругие волны. Но на по-
поверхности жидкости или границе двух жидкостей могут возникать
волны, по своему характеру близкие к поперечным волнам в упругих
телах.
Возникновение волн на поверхности жидкости обусловлено не
упругими силами в жидкости, а силой тяжести. Если в какой-либо
точке поверхность жидкости будет нару-
нарушена (например, в воду упадет капля),
то по поверхности жидкости будут рас-
распространяться круговые импульсы. При
этом отдельные частицы жидкости дви-
движутся не только в вертикальном направ-
направлении (они описывают примерно круго-
круговые траектории), и распространяющийся
импульс не является, строго говоря,
поперечным- Но если отвлечься от дви-
движения отдельных частиц жидкости и
рассматривать только движение поверх-
поверхности жидкости, то мы получим карти-
картину распространения поперечного им-
импульса. При распространении этого им-
импульса сила тяжести играет такую же
роль, какую играют упругие силы, возникающие при распростране-
распространении поперечного импульса в упругом твердом теле.
Если импульсы в какой-либо точке повторяются периодически,
то на поверхности жидкости распространяются круговые волны.
Все точки, находящиеся на одной и той же окружности, колеблются
в одинаковой фазе. Расстояние между двумя окружностями, в которых
фаза колебаний отличается на 2зх (например, между двумя горбами),
представляет собой длину волны. Как и прежде, Я = vTy где v — ско-
скорость распространения волны, а Т — период, с которым повторяются
импульсы.
Эту картину возникновения круговых волн можно продемонстрировать в ванне,
наполненной водой (для демонстрации дно ванны обычно делают из стекла и прое-
проецируют картину на экран). Если к вибратору, приводимому в движение электромаг-
электромагнитом (питаемым переменным током), прикрепить шарик и расположить его у поверх-
поверхности жидкости, то от шарика по поверхности жидкости будут распространяться
круговые волны (рис. 452). Амплитуда этих волн будет постепенно убывать с расстоя-
расстоянием (как это и должно быть для круговой волны).
На поверхности жидкости можно получить и плоские волны, если в качестве
источника волн вместо шарика взять колеблющуюся палочку (рис. 453). В этом
Рис. 452.

708 волны [гл хтх
случае точки, находящиеся на одной и той же прямой, параллельной источнику, коле-
колеблются в одной и той же фазе; горбы волн располагаются параллельно палочке.
Амплитуда колебаний почти не убывает с расстоянием, как это и должно быть для
плоской волны. (Небольшое уменьшение амплитуды обусловлено затуханием
волн.)
Скорость распространения волн по поверхности жидкости, как и в случае упру-
упругих волн, зависит от величины сил, возникающих при отклонении от положения рав-
равновесия. Но сила тяжести, которая в рассматриваемом случае играет роль восста-
восстанавливающей силы, зависит от смещений частиц не так, как упругие силы, возникаю-
возникающие в случае упругих волн. Поэтому оказывается, что скорость распространения волн
по поверхности жидкости зависит от длины волны (от частоты колебаний источника
волн), т. е. наблюдается дисперсия волн. Скорость распространения увеличивается
с увеличением длины волны.
Однако это справедливо только в случае, когда слой жидкости, на поверхности
которого возникают волны, достаточно глубок — не менее нескольких длин волн.
Для тонких слоев жидкости скорость распространения воли зависит уже только от
глубины слоя (она уменьшается с уменьшением глубины слоя) и не зависит от длины
волны, т. е. дисперсия отсутствует. Поэтому наблюдать дисперсию волн на поверх-
поверхности можно только в достаточно глубоких сосудах. Явление дисперсии можно на-
наблюдать при возникновении короткого цуга волн
на поверхности жидкости (например, при паде-
падении камня в воду). В таком цуге содержатся вол-
волны разной длины, и хорошо видно, как более
длинные волны опережают короткие, остающие-
остающиеся позади.
Из этого обстоятельства вытекает важное
следствие. В случае дисперсии короткий цуг
волн, или отдельный импульс, не сохраняет своей
формы при распространении. Дисперсия приво-
приводит к тому, что короткий цуг волн, или им-
импульс, расплывается. Поэтому самое понятие
скорости импульса становится не вполне опре-
определенным. Его заменяют понятием групповой
скорости, которая представляет собой скорость
движения «центра тяжести» цуга волн.
Так же как быстро движущееся тело (пу-
Рис. 453. ля) 'возбуждает ударную волну в окружающем
газе (§ i34), тело, быстро движущееся по по-
поверхности жидкости, возбуждает волны на по-
поверхности жидкости. «Быстро» и в том и в другом случае означает, что ско-
скорость тела должна быть больше скорости распространения импульса в среде.
Поскольку волны по поверхности жидкости распространяются с сравнительно не-
небольшой скоростью (порядка нескольких метров в секунду), то при достаточно бы-
быстром движении судно поднимает такую «носовую» волну на поверхности воды. Ана-
Аналогично ударной волне в воздухе, волна эта, расходящаяся от носа судна, имеет
форму клина, тем более острого, чем быстрее движется судно. На создание этих волн
тратится часть работы сил, движущих судно (возникает волновое сопротивление).
Для уменьшения этого сопротивления судам придают специальную форму и очерта-
очертания (острый нос). Эта же цель достигается в глиссерах тем, что судно не разрезает
поверхность воды, а почти скользит по ней.
В случае очень коротких волн, когда радиус кривизны поверхности достаточно
мал, кроме силы тяжести начинают играть заметную роль и силы поверхностного
натяжения. Они становятся преобладающими для волн достаточно малой длины, на-
например в случае воды для волн короче 1 см. В этом случае роль восстанавливающей
силы практически играют только силы поверхностного натяжения. Поэтому корот-
короткие волны на поверхности жидкости называют капиллярными волнами. Скорость рас-
распространения капиллярных волн существенно зависит от свойств жидкости (плот-

§ 159] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН 709
ности и величины поверхностного натяжения). Она зависит также и от длины волны,
т. е. для капиллярных волн имеет место дисперсия. Однако характер этой зависимо-
зависимости иной, чем в случае волн, обусловленных силой тяжесш: скорость распростране-
распространения капиллярных "волн увеличивается с уменьшением длины волны.
§ 159. Интерференция волн
В результате сложения двух бегущих волн одинаковой частоты,
распространяющихся в противоположные стороны, возникают, как
мы видели, стоячие волны. В сплошной среде при сложении волн,
распространяющихся в различных направлениях, также возникают
аналогичные явления. Однако в сплошной среде вся картина может
быть гораздо более сложной, так как скла-
складываться могут волны, распространяющие-
распространяющиеся не только в двух противоположных
направлениях, но и под углом друг к дру-
другу. Явления, возникающие при сложении
воли одинаковой частоты, носят общее наз-
название ишперференции волн.
Рассмотренная нами картина возникно-
возникновения стоячих волн в стержне представляет
собой простейший случай интерференции.
К такой же картине приводит и сложение
двух плоских волн, распространяющихся
в сплошной среде в противоположных на-
направлениях. Если, например, плоская вол-
волна падает нормально на отражающую стен- Рис. 454.
ку, то в результате сложения падающей
и отраженной волн получается система стоячих волн, узлы и пучно-
пучности которых лежат на плоскостях, параллельных отражающей стенке.
Расстояние между двумя плоскостями узлов или двумя плоскостями
пучностей по-прежнему равно половине длины волны. На отражаю-
отражающей стенке образуется пучность или узел в зависимости от условий
отражения.
Картину образования стоячих воли можно продемонстрировать при помощи
волн на поверхности воды. Пользуясь палочкой, прикрепленной к вибратору, мож-
можно получить плоские волны (рис. 453). Поместив на пути распространения волн плос-
плоскую стенку (свинцовый экран), можно получить стоячие волны во всем пространстве
между вибратором и экраном. В остальной части пространства будут распростра-
распространяться бегущие волны.
Иная интерференционная картина получается в тех случаях, когда две плоские
волны распространяются не в противоположные стороны, а под углом друг к другу.
Например, при частичном отражении плоской волны от экрана, поставленного под
углом к направлению движения волны (рис. 454), перед экраном получаются стоя-
стоячие волны с пучностями и узлами, расположенными на пересечении фронтов пада-
падающей и отраженной волн.
Рассмотрим теперь картину интерференции в однородной среде
двух круговых волн, распространяющихся от двух различных источ-

710 волны [гл. хтх
ников. Пусть два источника О1 и 02 (рис. 455) создают круговые волны
одинаковой частоты и одинаковой фазы. Вследствие того, что обе волны
проходят от источников, вообще говоря, различные расстояния, они
будут приходить в одну и ту же точку, например точку а, с разными
фазами, причем сдвиг фаз будет равен 2nd,"kt где d = dx — d2 —
«разность хода», т. е. в рассматриваемом случае (когда волны везде.
распространяются с одинаковой скоростью) просто разность расстоя-
расстояний от данной точки до обоих источников. В точки, находящиеся на
одинаковом расстоянии от обоих источников, обе волны будут при-
приходить в одинаковой фазе и поэтому будут складываться и усиливать
друг друга. Амплитуда результирующей волны во всех этих точках
будет наибольшая. То же самое будет получаться во всех точках,
в которых фаза обеих волн отличается на 2я, 4л и т. д. Следовательно,
во всякой точке, расстояние от которой до обоих источников отличается
на целое число длин волн, амплитуда результиру-
результирующей волны будет наибольшая. Геометрическим
местом точек, разность расстояний от которых
до обоих источников есть величина постоянная,
являются гиперболы, фокусы которых совпадают
с источниками (рис. 456). Точки, в которых ам-
амплитуда результирующей волны достигает мак-
максимума, лежат на таких гиперболах (на рис.
456 изображены жирными линиями).
С другой стороны, в точках, к которым обе
волны придут со сдвигом фаз в нечетное число
тс, т. е. в противоположных фазах, обе волны
ослабляют друг друга и амплитуда результи-
Рис 455. рующей волны будет минимальной. Это будет
иметь место в точках, для которых расстояние
от обоих источников отличается на нечетное число полуволн. Следо-
Следовательно, точки, в которых амплитуда результирующей волны падает
до минимума, также лежат на гиперболах, расположенных между
гиперболами максимумов (на рис. 456 изображены тонкими линиями).
В результате получится интерференционная картина, содержащая ряд
максимумов и минимумов, чередующихся между собой. Эта картина
может быть получена на поверхности воды в результате интерференции
двух круговых волн, возбуждаемых двумя шариками, укрепленными
на одном вибраторе (рис. 457).
Если в точки, в которых фазы обеих волн противоположны, обе
волны приходят примерно с одинаковой амплитудой, то результирую-
результирующая амплитуда практически равна нулю. Но амплитуда круговой
волны убывает с расстоянием; поэтому в случае равных амплитуд волн
у источников минимумы амплитуд будут спадать до нуля только при
том условии, что разность расстояний до источников мала по сравне-
сравнению со всем расстоянием. Во всех областях, где это условие не соблю-
соблюдается, минимумы уже не спадают до нуля. Вместе с тем и максимумы

159]
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН
711
будут тем менее заметны, чем больше отличаются по амплитуде обе
волны, пришедшие в данную точку. Поэтому отчетливая интерферен-
интерференционная картина будет наблюдаться только вблизи прямой, проходя-
проходящей посередине между источниками. При удалении от этой прямой ин-
интерференционная картина становится все менее и менее резкой. Отчет-
Отчетливо видны только средний максимум и несколько соседних с ним мак-
максимумов и минимумов.
Рассмотренная нами картина бyдet наблюдаться, если оба источ-
источника создают волны одинаковой частоты и с постоянным сдвигом
фаз у источников. Для упрощения мы считали этот сдвиг равным
нулю, но это несущественно, важно лишь, чтобы он был постоянным.
Только при этом условии каждой точке пространства соответствует
вполне определенный и постоянный сдвиг фаз между обеими при-
пришедшими волнами. Если сдвиг фаз между источниками не будет оста-
оставаться постоянным, то с изменением сдвига фаз будет изменяться и
вся картина. Когда сдвиг фаз между волнами в каждой точке проходит
через все значения от 0 до зх, положения максимумов и минимумов

712
волны
[ГЛ. XIX
смещаются в пространстве настолько, что максимумы и минимумы
будут меняться местами. Если к тому же сдвиг фаз изменяется быстро,
то вся картина размывается и даже кратковременно интерференцион-
интерференционную картину наблюдать не удастся.
Таким образом, от двух источников можно наблюдать неподвиж-
неподвижную интерференционную картину только при условии, что сдвиг
фаз между ними длительно остается постоянным. Для этого, как мы
убедились, не только частоты волн, излучаемых обоими источниками,
должны совпадать, но не должно происходить никаких изменений
в разности фаз волн, приходящих в каждую точку от обоих источни-
источников. Источники, удовлетворяющие этим условиям, называются коге-
когерентными. Обеспечить когерентность
двух источников можно различными
способами. Наиболее простым способом
является получение двух волн от одно-
одного и того же источника. Все рассмот-
рассмотренные ранее случаи интерференции па-
падающих и отраженных воли относились
к этому случаю: когерентность обеспе-
обеспечивалась тем, что падающая и отра-
отраженная волны происходят от одного ис-
источника. Для того чтобы получить ин-
интерференцию волн, исходящих от двух
различных источников, должны быть
приняты специальные меры, обеспечи-
обеспечивающие когерентность этих источников;
например, для обеспечения когерент-
когерентности двух источников, дающих картину интерференции, изображен-
изображенную на рис. 457, оба шарика, служащие источниками круговых волн,
укреплены на одном вибраторе.
Картина интерференции от двух точечных источников изменяется
при изменении расстояния между источниками Ох и О2 (рис. 456).
Так как для любых двух соседних максимумов или минимумов раз-
разность хода от двух источников должна различаться на X, то расстоя-
расстояние между двумя соседними максимумами (или минимумами), отсчи-
отсчитанное вдоль прямой ОгО2, должно быть равно Х/2. Значит, по мере
уменьшения ОХО2 число максимумов (и минимумов) в интерференцион-
интерференционной картине уменьшается. Когда ОгО2 станет меньше X, но больше V2,
вся интерференционная картина будет содержать только один мак-
максимум — прямую, на которой разность хода равна нулю (так как нигде
в пространстве сдвиг фаз не может быть равен 2fcrt, где целое число
k =? 0), и два минимума, расположенных на гиперболах. Наконец,
когда расстояние ОгО2 станет меньше Х/2, исчезнут и эти два минимума
(так как нигде в пространстве сдвиг фаз между волнами не может до-
достичь п). При дальнейшем уменьшении ОХО2 амплитуды результирую-
результирующей волны все меньше и меньше будут изменяться от точки к точке
Рис. 457.

§ 160]
ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
713
при изменении направления в котором лежит эта точка (в любую точку
пространства волны от источников Оу и О2 будут приходить почти в оди-
одинаковых фазах), т. е. картина будет все больше и больше прибли-
приближаться к той, которую дает один точечный источник.
§ 160. Принцип Гюйгенса
Рассмотрим теперь картину, которую дает длинный ряд когерент-
когерентных точечных источников, расположенных на одной прямой доста-
достаточно близко друг к другу. Каждый из источников дает круговые волны,
и все эти волны интерферируют между собой.В результате получится
картина, характер которой можно устано-
установить при помощи следующих соображений.
В образовании интерференционной кар*
тины в каждой точке существенную роль
играют только источники, лежащие на та-
таких расстояниях до рассматриваемой точ-
точки, которые не очень сильно отличаются
друг от друга. Поэтому, пока мы будем
рассматривать точки, лежащие на прямой,
параллельной той, на которой расположе-
расположены источники, и не слишком близкие к
крайним источникам, то для них резуль-
результат интерференции должен быть один и тот
же (так как они одинаково расположены по
отношению к источникам, участвующим в
образовании интерференционной картины). Следовательно, амплитуда
и фаза волны во всех точках, расположенных на прямой, параллель-
параллельной источникам, должны быть одни и те же. Поэтому в результате
интерференции мы получим в средней части такую же картину, как
и в случае плоской волны. Только вблизи источников появятся интер-
интерференционные максимумы и минимумы (рис. 458). Вдали от источни-
источников полученная картина будет примерно такой же, какую дает пло-
плоский вибратор (рис. 453).
Всегда можно заменить любой источник волн системой когерент-
когерентных точечных источников, которые в результате интерференции вдали
дадут ту же картину, что и данный источник. Эта возможность замены
любого источника системой точечных источников, интерферирующих
между собой, подсказывает идею важного принципа, применяемого
при рассмотрении вопросов распространения волн. Всякую волну мы
можем в любом месте «остановить» и заменить ее системой воображаемых
точечных источников (элементарных источников). Дальнейшее рас-
распространение волны можно рассматривать как результат интерферен-
интерференции волн, создаваемых этими элементарными точечными источниками.
При этом амплитуда и фаза волн, создаваемых всеми элементарными
источниками, определяются амплитудой и фазой приходящей волны
Рис. 458.

714
волны
[ГЛ XIX
Рис. 459.
в той точке, в которой расположен данный источник. Этот принцип,
так называемый принцип Гюйгенса — Френеля, широко применяется
для рассмотрения вопросов распространения волн.
Применяя принцип Гюйгенса — Френеля, нужно учитывать интер-
интерференцию волн, создаваемых всеми элементарными источниками.
Эта сложная задача весьма упрощается в тех случаях, когда падающая
волна ничем не ограничена, т. е. когда не приходится рассматривать
«краев» падающей волны. Тогда
можно пользоваться теми же рас-
рассуждениями, которыми мы поль-
пользовались при нахождении интерфе-
интерференционной картины от ряда близ-
близко расположенных точечных источ-
источников. Амплитуда волны в точках
а и Ъ (рис. 459), расположенных
одинаково по отношению ко всем
элементарным источникам, будет
одинакова, и никаких интерференционных максимумов и минимумов
наблюдаться не будет. Фазы же результирующей волны в точках аи b
сдвинуты по отношению к фазам ближайших к ним элементарных
источников Л и В на одинаковую величину. Это видно из того, что
точки а и Ъ расположены совершенно одинаково относительно бли-
ближайших к ним элементарных источников Л и В.
Отсюда вытекает способ нахождения поверхности равной фазы
результирующей волны. Нужно найти точки, в которых ближайшие
к ним элементарные источники соз-
создают элементарные волны одинаковой
фазы. Эти точки лежат на волновой
поверхности результирующей волны.
Такое построение для случая круго-
круговой волны приведено на рис. 460. Аи
Л2, ... — элементарные точечные ис-
источники на поверхности приходящей
волны. Эти источники, колеблющиеся
в одинаковой фазе (так как фаза приходящей волны во всех точках Al9
Л2, ... одна и та же), создают элементарные круговые волны, которые
изображены на рисунке дугами. При одинаковых расстояниях АгаЛ>
Л2а2, ... фаза всех этих элементарных волн в точках alf a2, ... в каждый
момент будет одна и та же. Поэтому и фаза результирующей волны
в точках al9 a29 ... будет одна и та же. Следовательно, поверхность,
касающаяся всех поверхностей элементарных волн в точках al9 a2, ...,
и представляет собой волновую поверхность результирующей волны.
Мы получили совершенно очевидный результат, что круговая
волна и дальше распространяется в виде круговой. Но этот пример
поясняет применение принципа Гюйгенса — Френеля для случаев,
когда не приходится принимать во внимание «краев» волны. Как
Рис. 460.

§ 160]
ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА
715
видно, способ построения результирующей волны сводится тогда
к следующему: расположив элементарные источники на поверхности
приходящей волны, нужно построить элементарные волны, соответ-
соответствующие одной и той же фазе. Огибающая этих элементарных волн
одинаковой фазы и будет представлять собой волновую поверхность
Рис. 461.
результирующей волны. В таком именно виде этот принцип и был
впервые сформулирован Гюйгенсом. Позднее Френель указал на
необходимость принимать во внимание интерференцию элементарных
волн. Но если падающие волны ничем не ограничены, то картина
интерференции не дает ничего нового по сравнению с принципом Гюй-
Гюйгенса в его первой формулировке. Толь-
Только «края» волны дают новые явления,
не охватываемые принципом Гюйгенса.
На этих явлениях мы коротко остано-
остановимся ниже.
Применим принцип Гюйгенса к задаче о
преломлении волн. Положим, что плоская волка
падает под некоторым углом на границу двух
сред, в которых скорости распространения волн
vi и V2 различны (рис. 461); их относится к
нижней среде, v2 — к верхней, и vx > v2. По
принципу Гюйгенса заменим волну, приходящую
на границу раздела из первой среды, элементар-
элементарными источниками, амплитуды которых одина-
одинаковы. Но падающая волна, для которой поверх-
поверхности равной фазы параллельны плоскости АВ,
приходит в разной фазе в различные точки на
границе раздела. Поэтому и элементарные ис-
источники на поверхности раздела должны иметь различную фазу — они должны
быть сдвинуты по фазе друг относительно друга так же, как сдвинута фаза приходя-
щей волны в разных точках. Элементарные волны, создаваемые во второй среде
этими источниками, будут иметь одинаковую фазу па различном расстоянии от ис-
источников. Если мы изобразим элементарные волны, соответствующие одной и той
же фазе, то радиусы их будут различны. Поверхность результирующей волны во
второй среде есть огибающая всех элементарных волн, соответствующих одной и
той же фазе, т. е. плоскость А'В\
Рис. 462.

716
волны
[ГЛ. XIX
Так как скорость распространения волн в обеих средах различна, то б! ф d
и А'В' не будет параллельна А В, произойдет преломление волн. Отношение 6! к d
равно отношению скоростей распространения волн в двух средах: d'Id — v2/vt.
Отсюда может быть получен закон преломления волн. Он аналогичен закону прелом-
преломления света.
Картину преломления волн можно показать на волнах, распространяющихся по
поверхности жидкости, воспользовавшись тем, что скорость распространения этих
волн в мелких сосудах зависит от глубины сосуда и уменьшается с уменьшением
глубины. Если на дно ванны, в которой вибратор возбуждает плоские волны, поло-
положить толстое стекло, уменьшив тем глубину слоя воды, то у границы стекла будет
происходить преломление волн. Придав стеклу форму линзы, можно наблюдать дей-
действие на волны «собирательной линзы» (рис. 462). Поскольку законы преломления
волн здесь такие же, как и в оптике, то и результаты получаются аналогичными.
§ 161. Дифракция волн
Если распространяющаяся волна встречает на пути какие-либо
препятствия или неоднородности конечных размеров, то возникают
явления, которые носят общее название дифракции. С точки зрения
принципа Гюйгенса — Френеля явления
дифракции представляют собой резуль-
результат влияния «краев» волн, которые мы
до сих пор не принимали во внимание.
При конечных размерах препятствий и
неоднородностей вместо бесконечных вол-
волновых поверхностей приходится рассмат-
рассматривать «куски» волновых поверхностей;
применение принципа Гюйгенса — Фре-
Френеля к этому случаю легко позволяет
качественно объяснить дифракционные
явления.
Рассмотрим, например, картину рас-
распространения плоской волны, на пути
которой находится плоский экран с от-
отверстием небольшого размера (рис. 463).
По принципу Гюйгенса — Френеля мы
должны волну, пришедшую к отверстию,''заменить элементарными то-
точечными источниками, колеблющимися в одинаковой фазе. Если отвер-
отверстие мало по сравнению с длиной волны, то все эти источники находят-
находятся на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны. Они, как и
в случае двух близких точечных источников, не дадут интерференцион-
интерференционной картины, и дадут примерно такой же результат, как один точечный
источник, помещенный в отверстии. За отверстием образуется круговая
волна (рис. 463). При увеличении размеров отверстия картина будет
приближаться к той, которую дают вдали много источников, распо-
расположенных близко друг от друга на одной прямой. Отверстие, размеры
которого велики по сравнению с длиной волны, пропускает плоскую
волну, почти не изменяя ее характера. (Только по краям вырезанного
участка плоской волны будет наблюдаться искривление фронта золны.)
Рис. 463.

§ 161] ДИФРАКЦИЯ ВОЛН 717
Таким же образом можно рассмотреть и обратную картину — прохождение вол-
волны мимо экрана конечных размеров. В этом случае элементарные источники нужно
поместить на всей поверхности плоской волны, кроме точек, закрытых экраном. По
обе стороны от экрана пройдут «куски» плоских волн. На «краях» этих волн, так же
как и в случае широкой щели, будут наблюдаться искривления фронта волны. По-
Поэтому волны будут отчасти проникать в область, закрытую экраном. Пока размеры
экрана велики, волны все же не проникнут в среднюю часть области, закрытой экра-
экраном. При уменьшении размеров экрана проникающие за него волны захватывают
все большую и большую часть области, закрытой экраном. Когда размеры экрана
становятся малыми по сравнению с длиной волны, волны захватывают всю область,
закрытую экраном, как будто экран вообще отсутствует. Экран, малый по сравнению
с длиной волны, вообще не является для этих волн экраном. Поэтому, например, мол,
который должен служить экраном для морских волн, приходится" делать больших
размеров. При малых размерах мола морские волны свободно проникали бы в
огражденное молом пространство.
При рассмотрении вопросов распространения волн очень удобным
и наглядным является представление о луче. Лучом называют линию,
касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением рас-
распространения волны в этой точке. Так, в случае распространения
плоской волны в однородной среде лучами являются прямые, нор-
нормальные к фронту волны- При преломлении волн на границе двух сред
направление лучей изменяется. В неоднородной среде, свойства кото-
которой в разных местах различны, фронт волны может постепенно повора-
поворачиваться по мере распространения, и тогда лучи будут представлять
собой некоторые кривые. Только для плоской волны в однородной
среде направление лучей в разных участках волны будет одно и то же;
в других случаях оно для разных участков волны, вообще говоря,
различно.
Вырезая мысленно из поверхности волны отдельные куски и рас-
рассматривая луч, соответствующий данному «куску волны» (т. е. направ-
направление, в котором этот «кусок волны» распространяется), мы можем
получить представление о распространении волн. Однако только такие
«куски волн», которые можно считать «кусками плоских волн», рас-
распространяются как целое в одном направлении. Например, отдельные
части «куска шаровой волны» распространяются в различных напра-
направлениях, и до тех пор, пока размеры «куска шаровой волны» сравнимы
с ее радиусом кривизны, распространение этого куска шаровой волны
нельзя описать одним лучом. Следовательно, только в случае таких
«кусков волн», которые мы вправе рассматривать как плоские
(т. е. таких площадок, для которых амплитуда и фаза волны во всех
точках одни и те же), можно рассмотрение «куска волны» заменить
рассмотрением одного луча.
Казалось бы, что, выбирая «куски волн» достаточно малыми, мы
всегда сможем достичь этого. Однако в действительности это не так.
В самом деле, если размеры «куска волны» сравнимы с длиной волны,
то даже если бы его можно было считать куском плоской волны, он
не будет распространяться весь в одном направлении. В этом мы убе-
убедились, рассматривая прохождение плоской волны через узкую щель.

718 волны [гл. xix
Щель вырезает «кусок плоской волны», но если ее ширина сравнима
с длиной волны, то после щели этот «кусок плоской волны» распро-
распространяется во все стороны, а вовсе не в одном направлении (рис. 463).
Поэтому представление о лучах применимо только в тех случаях,
когда всякий кусок волны, размеры которого велики по сравнению
с длиной волны, можно считать «куском плоской волны». Если на вол-
волновой поверхности есть такие места, в которых амплитуда или фаза
волны на расстоянии порядка длины волны сколько-нибудь заметно
изменяются, представление о лучах оказывается неприменимым. Так
именно обстояло дело в рассмотренных выше явлениях дифракции.
Например, вблизи края экрана, где амплитуда волны резко изменяется,
картину распространения волны нельзя описать при помощи лучей.
В однородной среде лучи представляют собой прямые, и следова-
тельно* если представление о лучах применимо, мы должны получить
картину прямолинейного распространения волн, образования геомет-
геометрической тени и т. д. В рассмотренных же явлениях этой картины не
получалось именно потому, что создавались условия, при которых на
отдельных участках волновой поверхности амплитуда волны заметно
изменяется на расстоянии длины волны и представление о луче оказы-
оказывается неприменимым. Отклонения от прямолинейного распростра-
распространения волн, обусловленные этими причинами, и называются явлением
дифракции.
Дифракционные явления свойственны всяким волновым процес-
процессам; в частности, они наблюдаются и при распространении световых
волн. Однако, так как длина световых волн очень мала (порядка
10~4 см), то препятствия даже малых, в обычном смысле, размеров все
еще велики по сравнению с длиной световой волны. Поэтому-тЬ в оп-
оптике так широко можно применять представление о луче и пользо-
пользоваться законами геометрической оптики.
§ 162. Гармонические и негармонические волны
В заключение остановимся на вопросе о форме волн и о том особом
месте, которое среди всевозможных по форме волн занимают гармони-
гармонические волны. Прежде всего, при рассмотрении картины распростра-
распространения бегущей волны в стержне мы пришли к выводу, что если на конец
стержня действует гармоническая внешняя сила, заставляющая конец
стержня совершать гармоническое движение, то и волна, бегущая
по стержню, является гармонической. Этот вывод являлся непосред-
непосредственным следствием того, что всякие упругие импульсы, независимо
от их формы, распространяются по стержню с одинаковой скоростью
и не изменяя своей формы. Правда, это последнее утверждение спра-
справедливо только при известных условиях, которые были оговорены
в § 113, но эги условия часто соблюдаются как в стержнях, так и во
многих других ynpyinx телах и средах, как твердых, так и жидких
или газообразных. Тогда, если источник, возбуждающий волны, со-

§ 162] ГАРМОНИЧЕСКИЕ И НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 719
вершает гармонические колебания, то в большинстве случаев возникаю-
возникающие волны также оказываются гармоническими.
Уже по одному этому гармонические волны должны занимать среди
всех других форм волн особое место в соответствии с тем особым ме-
местом, которое среди всех других форм колебаний занимают гармони-
гармонические колебания. Особое положение гармонических колебаний, как
указывалось, обусловлено тем, что они обладают такой «устойчивостью
формы», которой не обладают никакие другие колебания. Но гармони-
гармонические волны независимо от «устойчивости формы» гармонических ко-
колебаний обладают некоторой «собственной устойчивостью формы»,
которой не обладают негармонические волны.
Эта «собственная устойчивость формы» гармонических волн сказы-
сказывается в ряде рассмотренных нами явлений: в явлениях дисперсии,
интерференции, дифракции всякие волны, отличающиеся по форме от
гармонических, испытывают те или иные искажения формы, и только
гармонические волны сохраняют свою форму неизменной. Искажения
формы негармонических волн во всех этих явлениях возникают, а
в случае гармонических волн искажение формы волны не происходит,
потому что количественные характеристики явления существенно
зависят от длины волны.
Так, например, явление дисперсии, как уже упоминалось, состоит
в том, что скорость распространения гармонических волн зависит от
длины волны (но при распространении гармоническая волна не изме-
изменяет своей формы). Если источник возбуждает негармоническую волну,
то ее можно разложить в спектр гармонических волн. Наглядно пред-
представить себе этот спектр можно следующим образом. Разложим в
спектр негармоническое колебание источника, создающего рассматри-
рассматриваемую негармоническую волну, т. е. представим это негармоническое
колебание как сумму гармонических колебаний с определенными ча-
частотами, амплитудами и фазами. Каждое из этих гармонических коле-
колебаний возбуждает в окружающем пространстве гармоническую волну.
Все гармонические волны, возбуждаемые отдельными гармоническими
колебаниями, и представляют собой спектр гармонических волн, со-
составляющих исходную негармоническую волну. Как и в случае спектра
колебаний, частоты гармонических волн определяются частотой исход-
исходной негармонической волны, а амплитуды и фазы гармонических волн
определяются формой исходной негармонической волны.
Если бы все эти гармонические волны распространялись с одина-
одинаковой скоростью независимо от длины волны, т. е. отсутствовала дис-
дисперсия (положим, что отсутствует и поглощение), то соотношения
между амплитудами и фазами различных гармонических волн спектра
не изменялись бы при распространении волн. А это значит, что исход-
исходная негармоническая волна не изменяла бы своей формы. Но при
наличии дисперсии скорость составляющих гармонических волн раз-
разной длины оказывается различной, и вследствие этого соотношения
между фазами разных гармонических составляющих изменяются по

720 волны Ггл. xix
мере распространения волн, а вместе с тем все время изменяется форма
исходной негармонической волны. Таким образом, любая отличная от
гармонической форма волны оказывается «неустойчивой» при наличии
дисперсии.
«Неустойчивой» оказывается негармоническая форма волны и при
наличии поглощения, если это поглощение зависит от длины волны.
В таком случае составляющие гармонические волны разной длины
по-разному поглощаются при распространении, и соотношения между
амплитудами различных составляющих изменяются, т. е. изменяется
форма исходной негармонической волны. Если поглощение растет
с укорочением длины волны (как это обычно бывает в случае упругих
волн), то по мере распространения составляющие спектра негармони-
негармонической волны затухают тем раньше, чем короче волна, и волна по форме
все больше и больше приближается к гармонической волне, являю-
являющейся первой гармоникой исходной негармонической волны.
Несколько иначе проявляется «неустойчивость» формы негармо-
негармонической волны при интерференции волн. При интерференции гармо-
гармонических воли в пространстве появляются чередующиеся максимумы
и минимумы (положение которых зависит от длины волны), но форма
волны во всем пространстве остается гармонической (мы в этом убе-
убедились непосредственно при рассмотрении простейшего случая интер-
интерференции — образования стоячих волн). При интерференции негар-
негармонических волн (конечно, форма обеих интерферирующих волн в ка-
каждой точке должна быть одна и та же, иначе не будет соблюдено усло-
условие когерентности) максимумы и минимумы для составляющих гар-
гармонических волн разной длины расположатся в разных местах; вслед-
вследствие этого соотношения между амплитудами составляющих гармони-
гармонических волн в результирующей волне окажутся различными для
разных точек пространства и, вообще говоря, существенно иными, чем
в исходной негармонической волне, а значит, исказится форма исход-
исходной негармонической волны.
Примерно так же происходят искажения формы негармонических
волн при дифракции. Распределение амплитуд в дифрагированной
волне существенно зависит от длины волны (например, при дифрак-
дифракции волны, проходящей через малое отверстие, распределение ампли-
амплитуд дифрагированной волны зависит от отношения диаметра отвер-
отверстия к длине волны). Вследствие этого соотношение между амплиту-
амплитудами гармонических составляющих в дифрагированной волне оказы-
оказывается не таким, как в падающей волне; форма всякой негармониче-
негармонической волны искажается при дифракции.
В приведенных примерах «устойчивость формы» гармонических
волн выступает еще более резко, чем «устойчивость формы» гармони-
гармонических колебаний. Еще в большей степени, чем гармонические колеба-
колебания при рассмотрении колебательных явлений, гармонические волны
при рассмотрении волновых явлений играют исключительно важную
роль.

ГЛАВА XX
АКУСТИКА
§ 163. Звуковые волны
Особенно важное место среди всех типов упругих волн занимают
звуковые волны. Человеческое ухо воспринимает в виде звуковых
ощущений колебания, лежащие в пределах примерно от 20 до 20 000 ко-
колебаний в секунду. Эти колебания обычно достигают уха в виде упру-
упругих волн, распространяющихся в воздухе. Поэтому звуковыми волнами
обычно называют упругие волны в воздухе, частоты которых лежат
в указанных выше пределах.
Звуковая волна представляет собой последовательные сжатия и
разрежения воздуха, распространяющиеся со скоростью, зависящей
от свойств воздуха. В звуковой волне, как и в случае отдельного им-
импульса, сжатия и разрежения происходят столь быстро, что обмен
теплом не успевает происходить и процесс протекает адиабатически
(см. § 134). Поэтому для скорости распространения звуковых волн
малой амплитуды получается такое же выражение, как и для скорости
отдельного слабого импульса сжатия:
с=у У~, B0.1)
где р и р — среднее давление и средняя плотность воздуха.
Наиболее удобный метод определения скорости звуковых волн
основан на измерении длины стоячих звуковых волн (см. ниже, § 167).
Эти измерения дали результаты, согласные с формулой B0.1), и пока-
показали, что скорость звуковых волн разной длины в воздухе одна и та
же, т. е. что для звуковых волн в воздухе дисперсия отсутствует.
Вместе с тем эти измерения подтвердили, что фазовая скорость звуко-
звуковых воли совпадает со скоростью распространения отдельного про-
продольного импульса. (Оба эти результата, как уже указывалось в § 153,
тесно связаны между собой.) Скорость звука в воздухе при темпера-
температуре 0° равна (как и скорость отдельного импульса) 334 м/сек. Таким
образом, частотам от 20 до 20 000 гц, составляющим пределы звуко-
звукового диапазона, соответствуют звуковые волны в воздухе длиной при-
примерно от 15 м до 15 мм.
24 С. Э. Хайкич

722 акустика [гл. хх
Звуковая волна, как и всякая упругая волна, представляет собой
волны смещений, скоростей и деформаций, связанные между собой
и распространяющиеся вместе в среде. В гармонической звуковой
волне в каждой точке смещения, скорости и деформации (сжатия)
меняются по синусоидальному закону. Вместе с тем в каждой точке
происходят изменения давления, обусловленные изменением степени
сжатия газа. Изменения давления, вызванные звуковой волной,
накладываются на то среднее давление, которое существует в газе
(в случае свободной атмосферы — атмосферное давление). Эти изме-
изменения давления называют избыточным звуковым давлением или просто
звуковым давлением. Единицей звукового давления служит бар —
давление в 1 дн/см2. Бар составляет, следовательно, около 10~6 атмо-
атмосферного давления г).
Установим связь между звуковыми давлениями и скоростями ча-
частиц в звуковой волне. Ограничимся для простоты случаем плоской
волны (впрочем, основные наши выводы будут справедливы и для
других типов волн). Пусть плоская волна возбуждается бесконечной
пластинкой, колеблющейся в направлении х по закону
? —Хо sin со?.
Врлна распространяется также в направлении х со скоростью с\ сме-
смещение частиц, лежащих в каждой плоскости, нормальной к этому
направлению, происходит по закону | = Xosinco(^ — х/с). Тогда,
как было показано в § 153, относительное изменение толщины слоя,
лежащего между двумя бесконечно близкими плоскостями, есть
B0.2)
Этому изменению расстояния соответствует такое же относительное
изменение объема слоя, заключенного между двумя плоскостями.
Если относительное сжатие газа, т. е. относительное уменьшение
объема —AV7V, обозначить через tj, то
(!) <20-3>
С другой стороны, скорость частицы
o; = ^ = X0w cos®(*-?). B0.4)
Сопоставляя два последних выражения, получим связь между
сжатием и скоростью частиц в звуковой волне:
w = cx\. B0.5)
1) В метеорологии название «бар» применяется для обозначения величины нор-
нормального атмосферного давления и давление атмосферы измеряется в миллибарах.
Не следует смешивать «бар», применяемый в акустике, с «баром» метеорологии.

§ 163J ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 723
Относительное сжатие г\ — —AV/V есть вместе с тем относительное
увеличение плотности газа в объеме, т. е.
Применяя соотношение A6.25) между изменением плотности и изме-
изменением давления при адиабатическом процессе, получим:
Ар = уГЩ. B0-6)
Подставляя сюда г\ из выражения B0.5), получим соотношение между
скоростью частиц и звуковым давлением:
W B0.7)
(так как с = Vyp/p).
Громким звукам соответствуют звуковые давления в сотни бар.
Следовательно, даже громким звукам в атмосфере соответствуют
очень малые относительные изменения давлений (Ар/р< 0,001).
Такого же порядка будут значения т|, соответствующие громким зву-
звукам (так как у близко к единице), а значит, как следует из B0.5),
скорости частиц в звуковой волне очень малы по сравнению со скоро-
скоростью звука: даже для громких звуков они менее 10 см/сек.
Как видно из B0.6), ур представляет собой коэффициент пропор-
пропорциональности между избыточным давлением и вызванным им умень-
уменьшением объема. Величину у, = ур принято в акустике называть моду-
модулем сжатия. Применяя эту величину, можно упростить запись соот-
соотношений B0.1), B0.6) и B0.7):
B0.8)
B0.9)
B0.10)
Звуковая волна несет с собой потенциальную энергию — энергию
упругой деформации газа и кинетическую энергию движущихся
частиц газа. Подсчитаем потенциальную энергию, заключенную в
элементе объема, ограниченном двумя стенками площади S, находя-
находящимися на расстоянии Ах 1). Если относительное сжатие в слое есть г),
то по B0.9) сила, действующая на стенку площади S, есть SAp =
= Snr\. При изменении относительного сжатия на d\\ стенка переме-
перемещается на Ax-dY], и при этом совершается работа
х) Нам известно выражение для плотности энергии упругой деформации в твер-
твердом теле. Так же должна выражаться и плотность энергии упругой деформации в
газе. Но, так как мы для газа применяем несколько иные обозначения, мы повторим
этот несложный расчет снова.
24*

724 АКУСТИКА [ГЛ. XX
Чтобы подсчитать работу, затраченную на изменение относительного
сжатия от 0 до rj, нужно проинтегрировать dA в этих пределах. Этот
интеграл
п
U = SAxx ^ ridri^SAx^
б
и выражает энергию упругой деформации в объеме SAx. Следовательно,
плотность энергии упругой деформации
ии = щУ2. B0.11)
С другой стороны, кинетическая энергия этого же объема SAx есть
я плотность кинетической энергии
uT=pv2/2. B0.12)
Но в каждой точке волны соблюдается соотношение B0.5) между
с, о/ и т|. Подставляя в него значение с из B0.8) и сопоставляя с B0.11)
и B0.12), убеждаемся, что пи = ит, т. е. плотность потенциальной
и кинетической энергии в каждой точке звуковой волны одна и та же.
Звуковая волна несет с собой одинаковые величины потенциальной
и кинетической энергии, так что как та, так и другая энергия соста-
составляет половину полной энергии волны. Энергия, которую несет с собой
звуковая волна, распространяется вместе с волной и течет все время
в том направлении, в котором распространяется волна. Это видно из
того, что, как следует из выражений B0.3) и B0.4), сжатие и скорость
частиц в волне совпадают по фазе. Когда какой-либо элемент объема
сжат, то он вместе с тем движется в сторону положительных значений х,
т. е. в направлении распространения волны. В этом же направлении
течет и энергия. В тот момент, когда знак деформации меняется, сжа-
сжатие превращается в разрежение — изменяется и направление скорости,
а энергия продолжает течь в прежнем направлении.
Энергия эта в разных сечениях волны различна, так как различны
сжатия и скорости. Для характеристики действия звуковых волн во
многих случаях удобно пользоваться средней энергией, которую
несет с собой звуковая волна. Для определения средней энергии
нужно подсчитать энергию, содержащуюся в слое, заключенном между
стенками, отстоящими на расстоянии длины волны Я друг от друга.
Разделив всю эту энергию на объем слоя, получим среднюю плотность
энергии, которую несет с собой звуковая волна. Так как ит = uUy то
плотность всей энергии звуковой волны

§ 163] звуковые волны 725
т] в звуковой волне меняется от точки к точке по закону
где цт— амплитуда относительного сжатия. В слое сечения S и тол-
толщины X содержится энергия
w
Средняя плотность энергии в звуковой волне
Так как соотношение B0.9) справедливо для всяких мгновенных
значений Ар и tj, то оно справедливо и для амплитудных значений и,
следовательно,
B0.13)
где Apw — амплитуда звукового давления.
Поток звуковой энергии, который падает за единицу времени
на единицу площади, нормальной к направлению распространения
волны, характеризует интенсивность звуковой волны. За единицу
времени на эту площадь упадет вся энергия, заключенная в столбе
с основанием, равным единице, и высотой, равной с. Следовательно,
интенсивность звука
или (так как с2 = к/р)
1=?-^г- <20-14)
Интенсивность звука в системе CGS измеряется в эрг!см2 -сек.
Громкому звуку, для которого, например, Арт = 200 бар, соответ-
соответствует интенсивность около 5-Ю2 эрг/см2-сек. Для наиболее слабых
звуков, которые еще способно воспринимать ухо человека, Арт ^
» 1 • 10~4 бар и интенсивность звука составляет около 10~10 эрг/см2 -сек.
Если считать, что площадь уха составляет 10 см2, то к нему подводится
при этом мощность в 10~9 эрг/сек, т. е.10~16 вт.
Определение интенсивности звука или амплитуды звуковой волны
может быть произведено по величине тех механических сил, с кото-

726 АКУСТИКА [ГЛ. XX
рыми звуковая волна действует на то или иное тело. Однако даже гром-
громкие звуки соответствуют сравнительно небольшим силам. Так как это
давление быстро изменяется, то для непосредственного его измерения
нужен был бы прибор, который успевает следить за изменением силы.
Между тем, как неоднократно указывалось, быстрые механические
приборы никогда не могут быть сделаны чувствительными. Поэтому
непосредственное измерение переменного давления звуковой волны
затруднительно, и для измерения амплитуды звуковой волны поль-
пользуются косвенными методами.
Среди механических приборов, служащих для этой цели, наиболее важным яв-
является так называемый диск Рэлея — легкий диск небольших размеров, подвешенный
вертикально на тонкой нити. На диск, помещенный под углом к направлению зву-
звуковой волны (рис. 464), так же как и в случае постоянного потока (§ 131), действуют
аэродинамические силы, стремящиеся поставить его перпендикулярно к скорости
потока, т. е. в случае звуковой волны — перпендикулярно к направлению скорости
движения частиц в волне (перпендикулярно к направлению распространения вол-
волны). Хотя скорости частиц быстро меняют не только величину, но и знак, момент
аэродинамических сил, действующих на диск, не-
независимо от знака потока направлен все время
в одну и ту же сторону и поэтому в среднем за
период он отличен от нуля. Этот момент пропор-
пропорционален квадрату амплитуды скорости частиц
в звуковой волне. Определяя величину вращаю-
вращающего момента по углу поворота диска, можно
судить об амплитуде скорости частиц и, следо-
^_ вательно, о звуковом давлении и интенсивности
звуковой волны.
Рис. 464. Если длина измеряемой звуковой волны
велика по сравнению с размерами диска, то
можно считать, что диск находится в однородном потоке, и тогда удается под-
подсчитать теоретически момент сил, действующих на диск. При этом измерения момен-
момента дают прямо абсолютную величину амплитуды скорости частиц в звуковой волне,
т. е. диск Рэлея позволяет производить абсолютные измерения амплитуд в звуковой
волне. Однако диск Рэлея сравнительно мало чувствителен — он дает заметные от-
отклонения лишь при звуковом давлении в волне по крайней мере в несколько бар (зву-
(звуки средней громкости). Кроме того, он обладает и другими недостатками. Вследствие
этого большое значение в акустике приобрели косвенные методы измерения амплитуд
волны — при помощи более чувствительных индикаторов, например накаленной про-
проволочки, охлаждаемой движением воздуха в звуковой волне, и т. д. Для того чтобы
эти приборы давали абсолютную величину амплитуды давления или скорости в зву-
звуковой волне, они должны быть предварительно прокалиброваны (например, путем
сравнения с диском Рэлея).
Диск Рэлея и накаленная проволочка хотя и позволяют обнаруживать звуко-
звуковые волны и измерять их амплитуду, однако не воспроизводят тех колебаний дав-
давления и скорости, которые происходят в звуковой волне, т. е. не являются приемни-
приемниками звуковых колебаний. В качестве приемников звуковых колебаний обычно при-
применяют различного типа микрофоны, позволяющие превратить звуковые колебания
в соответствующие колебания электрического напряжения или силы тока (для по-
последующего усиления, передачи по проводам к телефону и т. д.). Наиболее распро-
распространенным типом микрофона является угольный, в котором электрическое сопро-
сопротивление угольного порошка изменяется под действием давления звуковой волны.
Эти изменения сопротивления следуют за колебаниями давления в звуковой волне
и вызывают соответствующие изменения силы тока в цепи микрофона. Существуют
также и другие типы микрофонов; все они так или иначе отзываются на колебания

§ 164] ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ 727
давления или скорости в звуковой волне и превращают эти колебания в электри-
электрические.
Чрезвычайно чувствительным приемником звуковых колебаний является чело-
человеческое ухо. Как уже указывалось выше, нормальное человеческое ухо начинает
воспринимать звуки при давлении звуковой волны порядка 10~4 бар. Этой наиболь.
шей чувствительностью ухо человека обладает при частотах около 3500 гц. К звукам
большей и меньшей частоты ухо оказывается менее чувствительным. В сторону
низких частот чувствительность человеческого уха быстро уменьшается, и самый
низкий тон, соответствующий частоте около 20 гц, ухо начинает различать, только
когда давление звуковой волны достигает примерно 1 бара; в сторону высоких ча-
частот чувствительность уха медленно падает вплоть до частот порядка 15 000—20 000 гц.
В этой области лежит предел, выше которого человеческое ухо вообще перестает
воспринимать звуки (для разных людей этот предел несколько различен). Очень боль-
большие звуковые давления вызывают в ухе человека болезненные ощущения. Для очень
низких частот (порядка 50 гц) эти болезненные ощущения наступают при звуковых
давлениях в несколько сот бар. На частотах порядка 3500 гц болезненные ощущения
возникают только при давлениях порядка 1000 бар. Таким образом, ухо человека
может приспосабливаться к изменениям амплитуды звуковых волн вЮ7 раз; при этом
количество звуковой энергии, попадающей в ухо, изменяется в 1014 раз.
§ 164. Звуковые волны большой амплитуды
Рассмотренная в предыдущем параграфе картина распространения
звуковых волн является приближенной, поскольку, во-первых, выра-
выражения B0.1) и B0.6) были получены из соотношения A6.25), справед-
справедливого только при очень малых относительных сжатиях, и, во-вторых,
скорость частиц газа в волне предполагалась исчезающе малой по
сравнению со скоростью распространения звуковых волн. Существенно,
однако, не то, что это рассмотрение, как и всякое приближенное рас-
рассмотрение, дает лишь приблизительно правильный результат. В этом
приближенном рассмотрении есть принципиальный недостаток, кото-
который связан с тем, что в разных участках звуковой волны величина
сжатия и скорость движения частиц весьма различны. В тех местах,
где смещение частиц максимальное, сжатие и скорость частиц падают
до нуля, а в тех местах, где смещение частиц равно нулю, сжатие и
скорость частиц достигают максимальных значений.
Те допущения, на которых основано все рассмотрение, для разных
участков звуковой волны являются разной степенью приближения.
Этот принципиально важный факт приближенное рассмотрение
не учитывает, и поэтому оно не в состоянии учесть и тех последствий,
которые этот факт может за собой повлечь. Очевидно, такое сомнение
не могло возникнуть, когда это же приближенное рассмотрение при-
применялось к одному импульсу сжатия, в котором сжатия и скорости
частиц во всех участках импульса примерно одинаковы. Но в случае
звуковой волны необходимо выяснить, к каким последствиям приводит
то, что для различных участков волны с разной степенью точности
соблюдаются предположения о малости сжатия и скорости частиц.
Что касается предположения о малости сжатия, то мы уже рас-
рассматривали (§134), к чему приводит несоблюдение этого предположения;

728 АКУСТИКА [ГЛ. XX
с увеличением степени сжатия скорость распространения этого
сжатия увеличивается. Посмотрим, к каким последствиям приводит
несоблюдение предположения о пренебрежимо малой скорости дви-
движения частиц газа. Для выяснения этого вопроса представим себе,
что две звуковые волны существенно различной длины распростра-
распространяются в пространстве в одном и том же направлении. Тогда на уча-
участке, где сжатия и скорости частиц газа, обусловленные более длин-
длинной волной, имеют максимальное значение, умещается несколько длин
более коротких волн. Эти более короткие волны распростра-
распространяются со скоростью с относительно газа. Но сам газ обладает в этой
области некоторой скоростью движения, созданного более длинной
волной. Если эта скорость w направлена в ту же сторону, в какую рас-
распространяется более короткая волна, то скорость распространения
более короткой волны относительно земли будет равна с + w.
Очевидно, такой же эффект должен существовать и в каждой зву-
звуковой волне в отдельности. Те участки волны, в которых скорость
частиц газа направлена в сторону распространения волны, должны
распространяться с большей скоростью, чем участки, в которых ско-
скорость частиц направлена в противоположную сторону. Это различие
в скоростях распространения отдельных участков волны должно быть
тем более заметно, чем больше амплитуда скорости частиц в волне.
Как вытекает непосредственно из соотношения B0.5), наибольшую
положительную (т. е. направленную в сторону распространения
волны) скорость w частицы газа имеют в тех областях, где наибольшего
положительного значения достигает относительное сжатие газа т],
т. е. где газ сильнее всего сжат. Таким образом, несоблюдение обоих
предположений, на которых основано приближенное рассмотрение,
приводит к одинаковым последствиям: увеличивается скорость рас-
распространения тех участков волны, в которых сжатие газа наибольшее,
по сравнению с теми участками, в которых сжатие газа мало. Прибли-
Приближенная теория в силу самого характера сделанных допущений «не за-
замечает» этого. Между тем принципиально всегда должно существовать
это различие в скоростях распространения различных участков зву-
звуковой волны, тем более заметное, чем больше амплитуда волны.
Вследствие того, что участки звуковой волны с наибольшим сжа-
сжатием движутся быстрее участков с наименьшим сжатием, форма зву-
звуковой волны должна все время изменяться при распространении
(рис. 465). Горбы (области наибольшего сжатия) будут догонять ле-
лежащие перед ними впадины (области наименьшего сжатия), и передний
склон каждого горба по мере распространения волны вправо становится
все более и более крутым (рис. 465, б), приближаясь к отвесному
(рис. 465, в). Но отвесный склон горба означал бы (так как давления
и скорости частиц газа впереди склона и позади него различны), что
на отЕесном склоне происходит скачок давлений и скоростей частиц
газа, т. е. в месте каждого максимума давлений в звуковой волне
должна была бы образоваться ударная волна.

§ 165] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В АТМОСФЕРЕ 729
В действительности этого, конечно, не произойдет, так как по мере
увеличения крутизны переднего склона горба, т. е. увеличения гра-
градиентов давлений и скоростей, возрастают потери энергии за счет
теплопроводности и вязкости. Эти потери препятствуют образованию
очень больших градиентов давлений и скоростей и ликвидируют тен-
тенденцию к превращению звуковой волны в ударную.
Однако тенденция к изменению формы у звуковой волны сохра-
сохраняется, и выражена она тем сильнее, чем больше амплитуда волны.
Отличие формы волны от гармонической означает, что наряду с основ-
основной гармонической волной существуют и
обертоны. Следовательно, в гармонической
волне в силу рассмотренных причин долж- о)
ны возникать обертоны, амплитуда которых
по мере распространения волны должна
возрастать. Этот эффект также сильно ос-
ослабляется поглощением энергии, которое $
обычно тем сильнее, чем короче волна. Од-
Однако в некоторых специальных условиях
эффект образования обертонов при распро-
распространении гармонической волны может иг- б)
рать заметную роль.
При распространении звуковых волн
большой амплитуды может возникнуть еще Рис* 4б5*
ряд специфических явлений, связанных с
тем, что при больших амплитудах нельзя пренебрегать изменением
плотности газа в волне по сравнению со средней его плотностью и
скоростью частиц газа в волне по сравнению со скоростью распростра-
распространения волны. Раздел акустики, в котором изучаются подобные явле-
явления (для чего необходимо учитывать сжатие газа и скорость частиц
газа в волне), называют нелинейной акустикой.
§ !65. Распространение звука в атмосфере
При распространении звука в атмосфере на значительные расстояния суще-
существенную роль играет поглощение звука — часть энергии звуковой волны превра-
превращается в тепло. Эти потери энергии пропорциональны полной энергии волны, т. е.
на каждой единице длины пути распространения рассеивается одна и та же относи-
относительная доля всей энергии волны. Вследствие этого амплитуда звуковой волны по
мере распространения убывает по показательному закону, и уравнение A9.20) при-
принимает вид
где а — показатель затухания амплитуды волны.
На расстоянии, равном единице, амплитуда волны убываег в еа раз. При этом
энергия волны, пропорциональная квадрату амплитуды, убывает в е2а раз. Поэтому
уменьшение интенсивности звука, обусловленное поглощением звуковой энергии,
характеризуется показателем 2а.

730 акустика [гл. хх
Так как относительное влияние сил вязкости определяется кинематической вяз-
вязкостью v = [х/р, где [х — коэффициент вязкости и р — плотность среды (см. § 125),
то показатель затухания а оказывается пропорциональным v (при прочих равных
условиях). Этим, например, объясняется то, что в воде, кинематическая вязкость ко-
которой меньше, чем воздуха, звуковые волны распространяются с меньшим затуха-
затуханием, чем в воздухе, даже при наиболее благоприятных условиях — во вполне спо-
спокойной атмосфере. Нерегулярные движения воздуха, которые всегда происходят в сво-
свободной атмосфере (турбулентность атмосферы), вызывают значительное увеличение
затухания волн.
Потери энергии вследствие вязкости, а значит, и показатель затухания а пропор-
пропорциональны квадрату градиента скорости. Но при данной амплитуде волны градиент
скорости обратно пропорционален длине волны, так как те же изменения скорости
частиц в волне соответствуют тем меньшим расстояниям, чем короче волна. Поэтому
показатель затухания а оказывается обратно пропорциональным квадрату длины
волны или прямо пропорциональным квадрату частоты звука. Звуки высокого тона
поглощаются в атмосфере гораздо сильнее, чем низкие тона. Если в атмосфере воз-
возникает звук, содержащий как низкие, так и высокие тона, то гораздо дальше распро-
распространяются низкие тона этого звука; высокие тона затухают на гораздо меньшем
расстоянии.
В большинстве случаев звуки распространяются в виде шаровой (вообще «рас-
«расходящейся») волны, и поэтому уменьшение амплитуд обусловливается как поглоще-
поглощением, так и рассеянием энергии. При рас-
распространении длинных звуковых волн, для
которых поглощение в атмосфере мало,
преобладающую роль играет рассеяние
энергии. Для коротких звуковых волн
становится заметным поглощение энергии,
и в случае наиболее коротких звуковых
волн оно играет преобладающую роль.
На характер распространения звука в
Рис. 466. свободной атмосфере существенно влияет
неоднородность атмосферы — различия в
температуре воздуха, направлении и ско-
скорости ветра и т. д. Температура воздуха, как уже указывалось, влияет на скорость
звука: с понижением температуры скорость звука уменьшается. С высотой темпера-
температура воздуха понижается (вплоть до высот в 7—8 км), и поэтому скорость звука в
верхних слоях меньше, чем в нижних. Вследствие этого звуковые волны, исходящие
от источника, находящегося у земли, постепенно преломляются по мере проникнове-
проникновения в более высокие слои атмосферы — звуковые лучи искривляются, подымаясь
от земли кверху (рис. 466). Это вызывает ослабление слышимости и образование
«звуковой тени» у поверхности земли. Изменение направления и скорости ветра с вы-
высотой также вызывает искривление звуковых лучей. При наличии ветра скорость
звука в воздухе складывается со скоростью самих воздушных масс, и если эта послед-
последняя изменяется с высотой по величине и направлению, то и направление распростра-
распространения звука может измениться. Оба эти обстоятельства — изменение температуры
и скорости ветра с высотой — иногда приводят к тому, что «звуковые лучи» сначала
поднимаются в верхние слои атмосферы и затем снова опускаются к земле — звук,
неслышный в областях, более близких к источнику («зоны молчания»), становится
снова слышным в более далеких областях («зоны аномальной слышимости»).
Помимо регулярных изменений температуры воздуха и скорости ветра с высотой
в свободной атмосфере часто встречаются нерегулярные неоднородности — резкие
изменения температуры или скорости в отдельных местах. Эти неоднородности, влияя
на ход звуковых лучей, могут привести к резким нерегулярным изменениям слыши-
слышимости отточки к точке и во времени. Наконец, при распространении звука в атмосфере
существенную роль могут играть отражения звуковых волн от различных препятст-
препятствий — от гор (эхо), от поверхности земли или воды (при наклонном распространении
звуковой волны) и т. д. Все эти обстоятельства очень усложняют картину распро-

§ 166] БИНАУРАЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ. ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА 731
странения звука в свободной атмосфере. С ними приходится считаться в тех
случаях, когда возникает задача определения положения источника звука, находя-
находящегося на значительном расстоянии. Эта задача является одной из основных задач
артиллерийской звукометрической разведки, занимающейся определением положе-
положения стреляющих орудий по наблюдению за звуком выстрела. Несколько звуко-
звукометрических станций, расположенных в разных точках, фиксируют момент прихода
звука одного и того же выстрела. По промежуткам времени между этими моментами
определяются разности расстояний от орудия до соответствующей пары звукометри-
звукометрических станций. Зная эти разности для двух пар станций и положение этих станций,
можно определить положение стреляющего орудия. Однако при этом предполагается,
что звук приходит от орудия к звукометрической станции по кратчайшему пути.
Поэтому все указанные выше причины, вызывающие искривление звуковых
лучей в атмосфере, очень затрудняют работу артиллерийской звукометрической
разведки.
§ 166. Бинауральный эффект. Эффект Допплера
Способность ориентироваться по звуку, т. е. определять направление, в кото-
котором находится источник звука, обусловлена главным образом одновременным воздей-
воздействием звуковой волны на оба уха 1). Разность фаз, с которой проходящая волна воз-
воздействует на оба уха, и является тем физическим фактором, которым различаются
волны, приходящие по различным направлениям. Лишь в том случае, когда источ-
источник звука находится прямо впереди или позади человека, звуковая волна достигает
обоих ушей в одной и той же фазе. При всяком другом положении источника волна
будет достигать обоих ушей с разной фачяой. Это и дает возможность определять поло-
положение источника звука. Интересно отметить, что высота расположения источника
звука над землей не имеет значения для сдвига фаз между волнами, действующими
на оба уха (при нормальном, вертикальном положении человека). И действительно,
человек в гораздо меньшей степени обладает способностью определять угол возвы-
возвышения источника над горизонтом, чем положение той вертикальной плоскости, в ко-
которой лежит источник. Влияние сдвига фаз волны, действующей на оба уха, называ-
называется бинауральиым эффектом.
Движение источника звука, сопровождающееся изменением расстояния от ис-
источника до приемника, приводит к изменению частоты принимаемого звука. Это свя-
связано с тем, что скорость распространения звуковой волны в среде не зависит от ско-
скорости движения источника. Поэтому, если источник звука движется от приемника
со скоростью v см/сек, то за единицу времени мимо приемника пройдут не все макси-
максимумы и минимумы волны, излученные за это время источником, а только часть их:
приемник отметит меньшее число колебаний, чем создает источник. Убедиться в этом
можно при помощи следующего элементарного расчета. Пусть источник в начале се-
секунды находился на расстоянии с см от приемника, причем с см/сек — скорость звука
в среде. Тогда через секунду он будет находиться на расстоянии (с+ v) см. На этом
расстоянии уложатся все / максимумов, которые за одну секунду созданы излуча-
излучателем (/ — частота колебаний излучателя). Но за одну секунду до приемника дой-
дойдут не все максимумы, а только часть их, расположенная на расстоянии с см.
Следовательно, приемник отметит меньшую частоту f, причем f'/f = с/ (с + v),
откуда
f Г l + v/c •
x) Вследствие дифракции звуковые волны огибают препятствия, размеры ко-
которых не очень велики по сравнению с длиной звуковой волны, в частности голову
человека. В том случае, когда источник звука находится сбоку от человека, например
справа, звуковые волны благодаря дифракции достигают все же и левого уха.

732 акустика Сгл хх
Если источник приближается к приемнику, то
1— о/с '
Если движется не источник, а приемник звука, происходит качественно такое
же изменение частоты, но в количественном отношении результат будет несколько
иной. Если приемник движется к источнику со скоростью и, то за одну секунду он
пройдет не мимо /, а мимо большего числа максимумов /", причем /"// = (v + с) /с,
откуда
Если приемник удаляется от источника, то он отметит меньшую частоту
'¦='('-!)¦
Это изменение частоты при движении источника или приемника есть продоль-
продольный эффект Допплера (о котором упоминалось в § 62). Эффект Допплера вызывает,
например, изменение высоты тона паровозного гудка при быстром движении паро-
паровоза. Считая в обоих случаях v положительным, когда расстояние увеличивается,
мы можем написать:
Если vie << 1, то
и в первом приближении эффект Допплера в обоих случаях (движения источника
и движения приемника) оказывается одинаковым. Однако если не ограничиваться
первым приближением, то эффект Допплера в случаях движения источника к прием-
приемнику и приемника к источнику оказывается различным *).
Это, конечно, ни в какой мере не противоречит принципу относительности. Дело
в том, что в рассматриваемых случаях кроме источника и приемника играет роль
среда, в которой распространяется звук. Движение источника к приемнику и прием-
приемника к источнику дает разные результаты именно потому, что в первом случае источ-
источник движется в среде, а приемник покоится относительно среды, во втором случае
источник покоится относительно среды, а приемник движется в ней. Это, конечно,
разные опыты, и поэтому естественно, что они дают разные результаты.
В том случае, когда источник или приемник движется не по прямой, их соеди-
соединяющей, эффект Допплера определяется не полной скоростью движения, а ее состав-
составляющей в направлении этой прямой.
§ 167. Звуковые волны в трубах
Стенки, ограничивающие объем воздуха, существенно влияют на
характер звуковых колебаний в этом объеме. Мы рассмотрим некоторые
наиболее важные случаи звуковых колебаний в объемах.
Начнем с распространения звуковой волны в трубе, диаметр кото-
которой меньше длины волны, но все же не слишком тонкой и обладающей
1) В современной технике нередко скорость источника или приемника отнюдь
не мала по сравнению со скоростью звука (например, скорость самолетов), и тогда
эффект Допплера в обоих случаях даже приблизительно нельзя считать одинаковым.

§ 167] ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ТРУБАХ 733
гладкими стенками. При этих условиях стенки не вносят заметного
затухания; их роль сводится лишь к тому, чтобы обеспечить распро-
распространение колебаний в одном направлении — вдоль трубы. Если в один
из концов трубы вставлен поршень, совершающий гармонические
колебания, то по столбу воздуха, заключенному внутри трубы, рас-
распространяется звуковая волна, которая по своему характеру совер-
совершенно аналогична плоской волне в свободном воздухе. Труба делает
возможным существование «куска плоской волны», размеры которого
меньше длины волны (в отсутствие стенок такой «кусок плоской волны»
превратился бы в расходящийся в результате дифракции). Если вто-
второй конец трубы закрыт твердой стенкой, то звуковая волна будет
отражаться от этой стенки, причем фаза волны деформаций останется
прежней, а фаза волны скоростей изменится на я (скорость изменяет
знак на обратный). Все будет происходить так же, как и в случае
стержня с закрепленным концом. В трубе установятся стоячие зву-
звуковые волны, причем на закрытом конце трубы образуются пучность
деформаций и узел скоростей.
На открытом конце трубы также будет происходить отражение
звуковой волны, но с изменением фазы деформации на п — сжатие
будет превращаться в разрежение, и наоборот. Действительно, когда
сжатие в падающей волне подходит к отверстию трубы, частицы воз-
воздуха имеют скорость, направленную в ту сторону, в которую распро-
распространяется волна, т. е. из трубы наружу. Но снаружи эти частицы
уже не вызовут такого сжатия, какое существовало в падающей волне.
Так как снаружи трубы давление воздуха может выравниваться во
всех направлениях, то сжатие будет гораздо меньше, чем в волне,
распространяющейся внутри трубы. Поэтому частицы воздуха, вы-
вышедшие из трубы, к тому моменту, когда их остановит давление лежа-
лежащего впереди слоя воздуха, сместятся дальше, чем смещаются частицы
внутри трубы, и на конце трубы возникнет разрежение. Точно так же,
когда разрежение подходит к концу трубы, в трубу устремляются
частицы воздуха из слоя, имеющего сечение большее, чем сечение
трубы. Эти частицы, приобретя скорость за счет разности давлений,
не только скомпенсируют разрежение в конце трубы, но и создадут
в нем сжатие. Таким образом, в обоих случаях фаза деформаций изме-
изменяется на я. Так как скорости частиц при этом не меняют знака, то
энергия начнет течь в обратном направлении, а это и значит, что у
открытого конца трубы будет происходить отражение падающей
волны.
Этот механизм отражения звуковых волн от открытого конца
трубы аналогичен отражению от свободного конца стержня (§ 154).
Но в случае стержня происходит полное отражение падающей волны,
в случае же трубы звуковая волна отчасти выходит наружу; открытый
конец трубы является источником шаровых волн в окружающем воз-
воздухе. Легко видеть, что отражение звуковой волны у открытого конца
трубы будет тем менее заметно, чем больше диаметр трубы. В самом

734 АКУСТИКА [ГЛ. XX
деле, причиной отражения является выравнивание давлений в воз-
воздухе, прилегающем к открытому концу трубы. Но так как выравни-
выравнивание давлений происходит со скоростью звука, то в выравнивании
давлений будут участвовать только области, отстоящие от краев
трубы на расстоянии, малом по сравнению с длиной волны. (Вырав-
(Выравнивание давлений играет заметную роль лишь в том случае, когда оно
может происходить за промежуток времени, малый по сравнению
с периодом звуковых колебаний.) Поэтому, если диаметр трубы мал
по сравнению с длиной волны, то области, участвующие в выравнива-
выравнивании давлений, имеют размеры, сравнимые с диаметром трубы, и вы-
выравнивание давлений играет заметную роль. Если же диаметр трубы
превосходит длину волны, то области, участвующие в выравнивании
давлений, малы по сравнению с диаметром отверстия трубы и вырав-
выравнивание давлений перестает играть роль — отражение от открытого
конца трубы становится все менее и менее заметным. Но пока диаметр
трубы мал по сравнению с длиной волны, от открытого конца трубы
происходит почти полное отражение звуковых волн и в трубе уста-
устанавливаются стоячие волны. При этом на открытом конце трубы обра-
образуются узел деформаций и пучность скоростей.
Вследствие отражения звуковых волн у концов трубы столб воз-
воздуха, заключенный в трубе конечной длины и диаметра, малого по
сравнению с длиной волны, как и стержень, представляет собой «одно-
«одномерную» колебательную систему, обладающую определенными нор-
нормальными колебаниями — основным тоном и гармоническими оберто-
обертонами. Частоты этих колебаний и распределение их амплитуд вдоль
трубы, а также возникновение резонанса при вынужденных коле-
колебаниях определяются совершенно теми же условиями, что и в
случае стержня, причем закрытый конец трубы аналогичен за-
закрепленному концу стержня, а открытый конец трубы — свободному
(§ 154).
Для наблюдения картины распределения амплитуд стоячих волн в трубах можно
пользоваться свойствами газового пламени. Слабое газовое пламя, зажженное у уз-
узкого отверстия в стенке трубы, увеличивается в местах, где образуются пучности
стоячей волны. Пропуская через трубу с большим числом малых отверстий светиль-
светильный газ и возбуждая в ней стоячие волны при помощи звучащего громкоговорителя
(рис. 467), можно наблюдать распределение амплитуд вдоль трубы. В трубе, у от-
открытого конца которой помещен громкоговоритель, а другой конец закрыт, резонанс
будет наблюдаться всякий раз, когда вдоль трубы укладывается нечетное число чет-
четвертей волны. Изменяя частоту тока, питающего громкоговоритель, можно возбудить
стоячие волны разной длины.
Измерение длины стоячей волны в трубах представляет собой один из наиболее
удобных способов измерения фазовой скорости звуковых волн в воздухе или других
газах. Расстояние между двумя пучностями равно половине длины волны %. Зная
период возбуждаемых колебаний Т, из соотношения К = сТ находят скорость звука.
При точных измерениях необходимо, конечно, применять более точные методы опре-
определения положения пучностей, а также учитывать влияние стенок трубы на скорость
распространения звуковых волн.
В столбе воздуха, заключенном в трубе, можно возбуждать не только вынужден-
вынужденные колебания, но и автоколебания. Колебания, возбуждаемые в органных трубах

§ 168] АКУСТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ 735
и других духовых инструментах, представляют собой именно автоколебания. По-
Постоянный ток воздуха, продуваемый через клапан трубы, возбуждает в трубе автоко-
автоколебания, которые по частоте и характеру распределения амплитуд обычно близки
к собственным колебаниям столба воздуха, заключенного в трубе. В трубе, закрытой
с обеих сторон, возникают колебания основного тона, для которых вдоль трубы укла-
укладывается одна полуволна. В трубе, открытой с одной стороны, возникают колебания
основного тона, для которых вдоль трубы укладывается четверть волны.
2500 гц
-л
3500 гц
Л
щтшттттятш&шш^тшшшй^шяйттшютткящ^уваяшг ч
4500 гц
--fff><i[)OPftnnn ц ti ft л п и» ft fin» нллОРОлдллА!} п
Рис. 467,
В случае, когда диаметр трубы очень мал, силы вязкости играют существенную
роль. Вследствие этого при распространении в трубе волна быстро затухает — аку-
акустическая энергия превращается в тепло: тонкие трубы поглощают подводимую к ним
акустическую энергию. Этим объясняется сильное поглощение звука пористыми
материалами. Поры действуют, как тонкие трубы: они поглощают падающую на них
акустическую энергию; поэтому стенки, изготовленные из пористого материала, по-
поглощают звук.
§ 168. Акустические резонаторы
Одной из задач прикладной акустики является выделение гармо-
гармонических составляющих из сложных (негармонических) звуковых
колебаний. Такая задача возникает при конструировании ряда аку-
акустических приборов, например приемников звука, когда хотят сделать
их более чувствительными к колебаниям одной частоты по сравнению
с другими (выделение «полезного сигнала» из всей массы звуков),
и т. д. Специальный интерес представляет гармонический анализ зву-
звуков, т. е. определение амплитуд гармонических составляющих, со-
содержащихся в том или ином звуке, при рассмотрении вопроса о вос-
восприятии звуков человеком. Ухо человека снабжено множеством резо-

736 АКУСТИКА [ГЛ. XX
наторов (так называемый кортиев орган), которые и позволяют
человеку различать высоту звука, т. е. частоту основного тона звуко-
звуковых колебаний, и его тембр («окраску»), т. е. содержание обертонов
в этом звуке.
Роль акустического резонатора может играть всякий объем воздуха,
ограниченный стенками и обладающий поэтому собственными часто-
частотами колебаний, например кусок трубы конечной длины. Однако
такой кусок трубы обладает множеством нормальных колебаний
и поэтому будет резонировать на множество гармонических колеба-
колебаний. Удобнее, конечно, применять такие резонаторы, которые отзы-
отзываются на одну определенную частоту внешнего гармонического воз-
воздействия. Такими свойствами обладают, например, сосуды шаровой
формы с горлом (рис. 468) — так называемые резона-
торы Гельмгольца.
Резонаторы Гельмгольца стоят в таком же отно-
отношении к трубам, как механическая колебательная
система с одной степенью свободы (груз на пружи-
пружине) к однородной сплошной системе (стержню). Как
уже указывалось (§ 156), груз на пружине можно
рассматривать как предельный случай неоднородной
Рис/ 468. сплошной системы. Точно так же и резонатор Гельм-
Гельмгольца можно рассматривать как предельный слу-
случай трубы переменного сечения. Обертоны такой сплошной системы
вследствие ее неоднородности не гармоничны и лежат далеко от основ-
основного тона. Основной же тон резонатора, как и в случае груза на пру-
пружине, можно определить, рассматривая его как систему, в которой
масса и упругость сосредоточены в разных местах.
Так как диаметр горла резонатора мал, то при колебаниях ско-
скорость воздуха в нем гораздо больше, чем в сосуде; поэтому роль ко-
колеблющейся массы играет главным образом масса воздуха в горле.
С другой стороны, так как объем воздуха в горле гораздо меньше,
чем в сосуде, то абсолютными изменениями объема воздуха в горле при
колебаниях можно пренебречь и считать, что весь этот объем колеб-
колеблется как целое, изменяется же только объем воздуха в сосуде и воз-
воздух играет роль пружины. Иначе говоря, воздух в горле можно заме-
заменить поршнем массы т = pSl, где S — сечение, / — длина горла и
р — плотность воздуха. Объем V резонатора можно заменить некото-
некоторой пружиной, упругость которой определим следующим образом.
Из соотношения B0.6), связывающего сжатие ц с изменением давле-
давления, получаем:
А AV SAx
где Ах — смещение «поршня» в горле. Сила, действующая на «пор-
«поршень»,

§ 168] АКУСТИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ 737
пропорциональна смещению поршня, т. е. объем воздуха в сосуде
действует как пружина с коэффициентом упругости
k=S2yp/V.
Угловая частота колебаний массы т, удерживаемой пружиной с коэф-
коэффициентом упругости k, как известно, есть
Подставляя в это выражение найденные значения k и т, получим:
или, так как
u=:cVS/Vi' B0.15)
Изменяя размеры сосуда и горла, можно получить резонаторы с
собственными частотами, охватывающими весь диапазон звуковых
частот.
Из выражения B0.15) можно определить длину волны, соответст-
соответствующую собственной частоте резонатора. Так как X = с Bя/а>), то
B0.16)
Для резонатора, у которого диаметр горла равен его длине, а длина
горла в несколько раз меньше диаметра сосуда, длина звуковой волны,
соответствующей данному резонатору, оказывается в 10—15 раз
больше диаметра сосуда, т. е. размеры резонатора значительно меньше,
чем длина волны.
Резонатор Гельмгольца выделяет из всех действующих на него гармонических
колебаний то колебание, частота которого совпадает с собственной частотой резона-
резонатора. Индикатор (нагретая проволочка, чувствительное газовое пламя и т. д.), по-
помещенный в горле резонатора или в специальном отростке, расположенном против
горла, позволяет судить об амплитуде колебаний резонатора. Располагая большим
набором резонаторов, частоты которых лежат достаточно близко друг к Другу,
можно определить амплитуды различных гармонических составляющих того или
иного звука, т. е. произвести гармонический анализ звуков.
Чистые музыкальные тона представляют собой колебания, близкие к периоди-
периодическим, и они дают, следовательно, большую амплитуду основного тона и некото-
некоторое число гармонических составляющих, амплитуды которых обычно убывают по
мере увеличения номера гармоники. Распределение амплитуд этих гармонических
составляющих для звуков, создаваемых различными музыкальными инструментами,
различно. Эти различия, как указывалось, и определяют, главным образом, раз-
различный тембр звуков. Содержание гармоник определяется не только свойствами ко-
колебательной системы, являющейся источником звука, но и способом возбуждения
колебаний. Поэтому, например, тона, получающиеся при возбуждении струны
смычком и «щипком», имеют разный тембр.

738
АКУСТИКА
[ГЛ. XX
Гласные звуки человеческой речи также представляют собой колебания, близкие
к периодическим и поэтому содержащие, помимо основного тона, гармонические обер-
обертоны. Однако распределение этих обертонов гораздо сложнее, чем в чистых
музыкальных тонах. На рис. 469 приведен отрезок записи формы колебаний (т. е.
Ю
Рис. 469.
отрезок графика изменения звукового давления со временем) для» гласной «а», про-
произнесенной низким мужским голосом, а на рис. 470 — амплитуды гармонических
составляющих («частотный спектр») этого же звука.
Согласные звуки человеческой речи представляют
собой колебания, уже весьма далекие от перио-
периодических; поэтому их спектр весьма сложен и со-
содержит негармонические обертоны.
§ 169. Источники звука
Источником звука является всякое тело,
колеблющееся с частотой, лежащей в пре-
пределах звукового диапазона, и возбуждаю-
возбуждающее в окружающей упругой среде (обыч-
(обычно в воздухе) звуковые волны. Этот про-
процесс возбуждения волн в окружающей среде
носит название излучения волн. Различные
тела в разной степени обладают способно-
способноН бй
)И
1000 2000 ЗОООги
Частота
Рис. 470.
р
стью излучать звуковые волны. Например, колеблющийся камертон сам
по себе излучает очень слабо. Это объясняется малыми размерами
ножек камертона и характером их колебаний. Как и в случае отдель-
отдельного импульса (§ 134), колеблющаяся ножка камертона вызывает сжа-
сжатие воздуха с одной стороны и в то же время разрежение — с другой.
Вследствие того, что выравнивание давления в воздухе происходит
со скоростью звука, эти сжатия и разрежения в сильной степени ком-
компенсируют друг друга. Вместо того, чтобы возбуждать упругую
волну в окружающем воздухе, колеблющаяся ножка камертона
лишь «перекачивает» прилегающие к ней слои воздуха с одной сто-
стороны на другую. Звуковые волны возбуждаются только постольку,
поскольку это перекачивание происходит не полностью.
Помимо этой причины, камертон плохо излучает звук еще и
потому, что ножки его при колебаниях всегда движутся в противо-
противоположные стороны, т. е. колеблются в противофазе. Поэтому и
волны, излучаемые обеими ножками, противоположны по фазе и

§ 169] ИСТОЧНИКИ ЗВУКА 739
не усиливают, а ослабляют друг друга. Камертон излучает лишь по-
постольку, поскольку излучения каждой из его ножек не вполне ком-
компенсируют друг друга. Если преградить путь звуковым волнам, из-
излучаемым одной из ножек камертона, надев на эту ножку картонную
трубу (рис. 471), то звук усиливается, так как волны, создаваемые
одной из его ножек, уже не ослабляются противоположными по фазе
волнами от другой ножки.
Вредная роль непосредственного выравнивания давления между
сжатиями и разрежениями, возникающими около колеблющегося
тела, сказывается во всех случаях излучения звука. Оно не происхо-
происходило бы, если бы за время, малое по сравнению с периодом колебаний,
импульс сжатия, выравнивающий давление, не успевал
обежать вокруг колеблющегося тела. Но за период Т
импульс пробегает путь сТ = Я, т. е. как раз путь,
равный длине звуковой волны, возбуждаемой телом. По-
Поэтому колеблющееся тело будет хорошо излучать только
в том случае, когда размеры его по крайней мере срав-
сравнимы с длиной излучаемой волны.
Однако соблюсти это требование было бы трудно —
излучатели оказывались бы чересчур громоздкими, и
для того, чтобы усилить излучение, применяют иные
методы. Камертон, например, устанавливается на ре-
зонаторный ящик. Вследствие механической связи
стенок ящика со стеблем камертона возникают ко- рис 471.
лебания столба воздуха в ящике, а этот последний из-
излучает колебания в окружающий воздух. При этом, так как ящик
с одной стороны закрыт и размеры его значительны, устраняется
эффект выравнивания давлений и излучение оказывается гораздо
более сильным. Нечто подобное происходит и в струнных музыкаль-
музыкальных инструментах, где корпус инструмента играет роль резонатор-
ного ящика.
В некоторых источниках звука применяются другие методы борьбы с выравни-
выравниванием давлений. Например, в обычных громкоговорителях мембрана имеет размеры,
которые сравнимы с длиной волны только для достаточно высоких звуковых частот
(порядка 1000 гц)у для низких же частот (порядка 100 гц) размеры мембраны малы
по сравнению с длиной волны, и вследствие выравнивания давлений громкоговори-
громкоговоритель очень слабо излучал бы низкие тона. Для устранения этого дефекта мембрана
помещается в вырезе большой отражательной доски, которая препятствует вырав-
выравниванию давлений и для низких частот.
Возбуждение волн колеблющимся телом связано с излучением
энергии в окружающую среду. В источниках звука потери энергии
на излучение могут быть очень значительны (чем больше эти потери,
i€M эффективнее действует излучатель); потери на излучение обус-
обусловливают сильное затухание собственных колебаний излучателя.
Влияние этих потерь легко обнаружить на камертоне. Камертон
без резонансного ящика звучит гораздо слабее, чем с ящиком, но

740 АКУСТИКА [ГЛ. XX
зато затухание звука при наличии ящика происходит гораздо
быстрее.
В простейшем случае, когда источником звука является колеблю-
колеблющаяся пластина, размеры которой велики по сравнению с длиной
возбуждаемой волны, нетрудно подсчитать мощность, затрачиваемую
пластиной на создание звуковых волн. При больших размерах пла-
пластины можно считать, что она создает плоскую волну и звуковое дав-
давление Ар у всей поверхности пластины одно и то же (дифракция не
играет существенной роли). Если смещение пластины происходит по
закону
? = Хо sin о/,
то ? есть вместе с тем смещение частиц в возбуждаемой волне при
х = 0, т. е. непосредственно около пластины. Поэтому соотношение
между давлением Ар в звуковой волне и скоростью w пластины будет
такое же, как и между давлением и скоростью частиц в самой звуковой
волне B0.7):
Ap=pwc. B0.17)
На пластину площади S действует со стороны звуковой волны
сила
F=SAp.
За время dt пластина пройдет путь d? = wdt и совершит работу
Следовательно, мощность, затрачиваемая пластиной на создание зву-
звуковых волн,
p = ^ = SApw. B0.18)
Пользуясь соотношением B0.17) между Ар и с, можно выразить
мощность следующим образом:
Р = Spew2 - ^?>L. B0 Л 9)
Принимая во внимание, что Ар и w меняются по гармоническому
закону и их средние значения за период соответственно равны (АртJ/2
и Wm/2 (где Арт и wm — амплитуды давления и скорости), получим
среднюю мощность, отдаваемую пластиной за период колебаний:
Р W% S (AP)8
Этот вывод справедлив только для пластины, размеры которой
велики по сравнению с длиной возбуждаемой ею волны. При этом

§ 169] ИСТОЧНИКИ ЗВУКА 741
условии можно пренебречь явлениями дифракции непосредственно
у пластины н считать, что возле нее возникает плоская волна. Однако,
так как пластина имеет конечные размеры, то возбуждаемая ею волна
представляет собой не бесконечную плоскую волну, а лишь «кусок
плоской волны». Вследствие дифракции на краях «куска волны»
волны постепенно расходятся, и это расхождение по мере удаления
от пластины будет все более и более заметно. Энергия, излучаемая
пластиной, постепенно рассеивается в пространстве, амплитуда волны
по мере удаления от источника падает, и тем больше, чем сильнее
расходится волна (это расхождение тем сильнее, чем длиннее волна).
Вдали от пластины звуковая энергия распространяется как бы внутри
некоторого конуса с очень размытыми границами. При данной длине
волны телесный угол при вершине этого конуса обратно пропорцио-
пропорционален площади пластины, и наоборот, при данных размерах пластины
этот угол прямо пропорционален квадрату длины волны.
Очевидно, что чем меньше угол конуса, т. е. чем уже пучок звуковых волн, созда-
создаваемых пластиной, тем медленнее падает амплитуда звуковой волны в направлении
нормали к пластине. Поэтому во многих случаях (например, чтобы «озвучить»
длинную, но узкую площадь) выгодно применять источники звука, дающие узкий
пучок волн, т. е. направленные источники звука. Для этого потребовались бы пла-
пластины, например мембраны громкоговорителей, размеры которых больше длины зву-
звуковой волны. Однако даже для средних звуковых частот (волны длиной 20—30 см)
это условие выполнить невозможно. Мембраны сами по себе практически не могут
дать направленного излучения звуковых волн. Более того, так как мембраны
практически приемлемых размеров" оказываются много меньше длины волн для
длинных звуковых волн, то на низких частотах явление дифракции играет замет-
заметную роль уже в непосредственной близости к мембране. Даже вблизи мембраны
создаваемые ею волны существенно отличаются от плоских. Поэтому приведенный
выше расчет мощности, излучаемой пластиной, в этом случае неприменим.
Излучаемая мощность падает по мере приближения длины волны к поперечным
размерам пластины 1). Когда радиус мембраны мал по сравнению с длиной волны,
излучаемая мощность оказывается пропорциональной квадрату отношения радиуса
мембраны к длине волны, т. е. очень быстро падает по мере увеличения длины волны.
Таким образом, мембраны практически приемлемых размеров не могут дать сколько-
нибудь резкой направленности для средних длин волн звукового диапазона и вообще
плохо излучают длинные звуковые волны.
Чтобы повысить излучение мембраны и придать ему направленность, применя-
применяются рупоры, т. е. трубы, сечение которых постепенно увеличивается. Рупор устра-
устраняет явление дифракции на краях «куска плоской волны», создаваемой "мембраной,
так что звуковая волна подходит к устью рупора все еще в виде «куска плоской волны»,
но гораздо больших, чем у мембраны, поперечных размеров. Если поперечные раз-
размеры устья рупора порядка длины волны, то отражение волн у устья, как и у отвер-
отверстия широкой трубы (см. § 167), будет мало. Звуковые волны будут выходить из устья
рупора, и вся картина будет примерно такая, как если бы устье рупора было закрыто
колеблющейся пластиной. Рупор как бы заменяет истинную мембрану малых разме-
размеров мембраной больших размеров (равных поперечным размерам устья рупора).
Вследствие этого увеличивается излучение длинных звуковых волн и обеспечивается
большая или меньшая направленность излучения. Конечно, при этом направлен
*) Это уменьшение излучаемой мощности обусловлено явлениями дифракции
впереди пластины, а не эффектом выравнивания давлений, который может быть
устранен применением упомянутых выше отражательных экранов.

742 АКУСТИКА [ГЛ. XX
«ость излучения получается резкой только для волн, длина которых меньше попе-
поперечного размера устья рупора.
Применение рупора позволяет также повысить мощность, отдаваемую мембраной
(увеличить «акустическую отдачу» мембраны). Средняя мощность, излучаемая мембра-
мембраной при данных ее размерах и амплитуде колебаний, может быть увеличена за счет
увеличения давления в звуковой волне, создаваемой мембраной (так как отдача мощ-
мощности обусловлена работой мембраны против силы давления, действующей на нее со
стороны звуковой волны). Если поместить мембрану в камеру с отверстием, размеры
которого меньше размеров мембраны, то переменное давление, создаваемое в камере
колеблющейся мембраной, будет выше, чем в отсутствие камеры, и мощность, излу-
излучаемая мембраной через отверстие в камере, будет выше. Однако это достигается за
<:чет уменьшения поперечных размеров «куска плоской волны» с вытекающими отсюда
вредными последствиями — ухудшением направленности. Но применение рупора
с узким горлом позволяет устранить эти последствия. Поэтому в громкоговорителях
обычно применяют предрупорные камеры и горло рупора делают меньших размеров,
чем мембрана (рис. 472).
Интенсивность звука, создаваемого тем или иным источником, зависит не толь-
только от свойств источника, но и от свойств помещения, в котором источник находится.
Если стены помещения сильно отражают падающие на них звуковые волны, то в по-
помещениях могут происходить такие же явления, как и в трубах, но вся картина го-
гораздо более сложна вследствие того, что распространение падающих и отраженных
волн может происходить по всем трем направлениям, а не по одному, как это проис-
происходило в трубах. При этом должна была бы возникнуть сложная система стоячих
волн. Однако, так как обычно стены помещения не представляют собой правильных
плоскостей (имеют выступы, карнизы и т. д.), в помещениях находятся различные
предметы, также отражающие звук, и, кроме того, могут происходить многократные
отражения, то узлы и пучности стоячих волн, образующиеся при отдельных отраже-
отражениях, оказываются сдвинутыми друг относитель-
относительно друга. Изменения амплитуд от точки к точ-
точке, характерные для стоячих волн, усредняют-
усредняются, и фактически отчетливых стоячих волн в
помещениях обычно не наблюдается. Отражения
дают звуковые колебания, интенсивность кото-
которых во всех точках помещения примерно оди-
Лредрупорная
яажра
накова. Поэтому в помещениях с отражающими
стенами наряду со звуком, идущим прямо от ис-
Рис 472 точника, в каждую точку со всех сторон прихо-
приходят отраженные звуки. Эти последние носят
название диффузного (рассеянного) звука. Влия-
Влияние помещения на характер звучания в нем («акустика помещения») определяется
именно существованием этого диффузного звука.
Так как диффузный звук имеет примерно одинаковую интенсивность во всех точ-
точках помещения, а прямой звук убывает по мере удаления от источника, то диффуз-
диффузный звук вблизи источника играет меньшую роль, чем вдали от него. Вследствие этого
уменьшение громкости звука по мере удаления от источника происходит медленнее,
чем на открытом воздухе (или в помещении, стены которого полностью поглощают
падающие на него звуки). Чтобы обеспечить одну и ту же интенсивность звука, в за-
закрытом помещении требуется меньшая мощность источника звука, чем на открытом
воздухе, и притом тем меньшая, чем сильнее отражается звук от стен помещения.
С этой точки зрения казалось бы выгодным делать стены помещений возможно
лучше отражающими звуки.
Однако, если стены почти полностью отражают звуки, то в образовании диф-
диффузного отражения заметную роль играют многократные отражения от стен (так
как при сильно отражающих стенах интенсивность звука после второго или
третьего отражения еще почти такая же, как после первого отражения). Но
после каждого из этих многократных отражений звук приходит в данную точку
позже предшествующего отражения, и чем больше отражений происходит при

§ 170]
УЛЬТРАЗВУКИ
743
Рис. 473.
образовании диффузного звука, тем больше времени требуется для того, чтобы он до-
достиг полной интенсивности. С другой стороны, после того, как источник звука за-
замолчал, диффузный звук исчезнет не сразу, так как в течение некоторого времени
будут приходить звуки от стен, испытавшие многократное отражение. Диффузный
звук, а значит и полное звучание, в помещении устанавливается и прекращается не
сразу, а постепенно. Это явление носит название реверберации звука. Время, по-
потребное на то, чтобы звучание в помещении практически исчезло, называют време-
временем реверберации.
На рис. 473-приведен график установления и прекращения звучания в закрытом
помещении. По оси абсцисс отложено время, по оси ординат — средняя плотность
энергии звуковых волн; т — время реверберации.
Закон установления и прекращения звука в по-
помещении совершенно аналогичен закону установ-
установления и прекращения вынужденных колебаний во
всякой колебательной системег). Это понятно:
ведь рассмотренная картина есть, в сущности,
установление или прекращение вынужденных
колебаний в колебательной системе, которую
представляет собой объем воздуха, ограниченный
отражающими звук стенами.
Из сказанного выше ясно, что, чем сильнее
отражение звука от стен помещения, тем больше
время реверберации. Поэтому, хотя сильное от-
отражение от стен выгодно с точки зрения повы-
повышения громкости звука (или уменьшения пот-
потребной мощности источника), но оно обуслов-
обусловливает большое время реверберации. Помещение оказывается слишком гулким,
отчетливость речи уменьшается, качество звучания музыки ухудшается. С дру-
другой стороны, при очень слабом отражении от стен время реверберации мало
и качество звучания приближается к тому, которое получается на открытом воз-
воздухе. Но при этом требуется большая мощность источников звука или при той
же мощности уменьшается обеспечиваемая ими площадь. С точки зрения качества
звучания музыки очень слабое отражение от стен также нецелесообразно — музыка
звучит глухо. Чтобы обеспечить наилучшую «акустику помещения», подбирают для
него время реверберации, наиболее благоприятное с точки зрения той цели, для ко-
которой служит помещение. Уменьшение времени реверберации достигается примене-
применением звукопоглощающих материалов, покрывающих большую или меньшую часть
пола, потолка и стен (портьеры, ковры, щиты из пористых материалов и т. д.).
§ 170. Ультразвуки
Как указывалось, вдали от излучателя невозможно получить узкий, нерасходя-
щийся пучок волн, поперечные размеры которого сравнимы с длиной волны. Между
тем как с точки зрения использования звуковой энергии (передачи звуковых сигна-
сигналов на большие расстояния), так и для решения ряда специальных задач иногда не-
необходимо получать возможно более узкие пучки звуковых волн. Осуществить это
можно, только применяя достаточно короткие акустические волны, лежащие за верх-
верхней границей слышимости уха человека. Такие ультразвуковые волны, или ультра-
ультразвуки, не только позволяют решить указанную важную задачу прикладной аку-
акустики, но представляют интерес и с других точек зрения. Все сказанное выше об
акустических волнах и акустических приборах остается в общем справедливым и для
ультразвуков, но малые длины волн и соответственно высокие частоты колебаний
придают особые черты всей этой области явлений.
х) Так как звук затухает по показательному закону, то время реверберации опре-
определяется условно, поскольку полностью звук затухает лишь при t = оо.

744 АКУСТИКА Г ГЛ. XX
Прежде всего, излучатели звуковых волн, применяемые в области акустических
частот, оказываются мало пригодными для излучения ультразвука. Основное за-
затруднение заключается в том, что ускорения мембраны, излучающей ультразвуки,
должны быть очень велики, так как амплитуда ускорений пропорциональна квадра-
квадрату частоты (при заданной амплитуде смещений). Для того чтобы мембрана, имеющая
не слишком малую массу, совершала вынужденные колебания высокой частоты и до-
достаточной амплитуды, потребовались бы огромные силы. Помимо этого возникает
ряд других трудностей, с которыми не удалось бы справиться, сохранив в ультра-
акустйческих излучателях принцип обычного громкоговорителя.
Все эти трудности отпадают при использовании так называемых пьезоэлектри-
пьезоэлектрических излучателей.
Некоторые кристаллы (кварц, турмалин, сегнетова соль и др.) дают пьезоэлек-
пьезоэлектрический эффект: под действием упругой деформации на поверхности кристалла по-
появляются электрические заряды (прямой пьезоэффект); и наоборот, под действием
электрического поля они испытывают упругие деформации — сжимаются или растя-
растягиваются в зависимости от направления поля (обратный пьезоэффект). Поэтому,
если пластинку, вырезанную из пьезоэлектрического кристалла, поместить между
обкладками конденсатора, к которому подводится переменное электрическое напря-
напряжение, то в пластинке будут возникать переменные упругие деформации, т. е. бу-
будут происходить вынужденные механические колебания. Но сама пластинка, как
л всякое упругое тело, обладает собственными частотами колебаний, зависящими от
Деформации Скорости
Рис. 474.
размеров пластинки и свойств материала. Если подобрать частоту внешней силы (пе-
(переменного электрического поля) так, чтобы она совпала с одной из собственных ча-
частот упругих колебаний пластинки, то наступит резонанс — амплитуда выну-
вынужденных колебаний достигнет больших значений.
Упругие свойства пьезоэлектрических кристаллов таковы, что из них можно
делать пластинки, обладающие очень высокими собственными частотами колеба-
колебаний — вплоть до десятков мегагерц. Например, в кварцевой пластинке могут возни-
возникать продольные упругие волны в направлении ее толщины. Так как поверхности
пластинки свободны, на них должны получаться пучности скоростей и узлы деформа-
деформаций и на толщине пластинки должно укладываться целое число полуволн. Поэтому
частота основного тона этих колебаний / определится из условия, что на толщине
пластинки уложится одна полуволна (рис. 474). Следовательно, длина упругой
волны в пластинке %ь — 2d, а так какЯ^ = c/f, где с — скорость распространения
упругих волн в кварце, то
Скорость распространения упругих волн в кварце по разным направлениям несколь-
несколько различна (ввиду анизотропии — различия упругих свойств в разных направ-
направлениях), но близка к 5500 м/сек. Поэтому, например^ для пластинки толщиной в 5 мм
частота собственных упругих колебаний составит около 550 000 гц. Вырезая пластин-
пластинки разной толщины, можно получить различные частоты собственных колебаний.
В пластинке могут происходить упругие колебания других типов (продольные
колебания по другим направлениям, колебания изгиба и т. д.), но в ультра-
ультраакустике обычно пользуются только рассмотренным выше типом колебаний —
продольными колебаниями по толщине пластинки.

УЛЬТРАЗВУКИ
745
пластинка
УШ/л'Л'
Рис. 475.
Если поместить пластинку между обкладками конденсатора, питаемого пере-
переменным напряжением (рис. 475), то в ней можно возбудить вынужденные упругие
колебания этого типа. При совпадении частоты внешней силы с собственной частотой
пластинки наступит резонанс и амплитуда вынужденных колебаний достигнет мак-
максимума (она может достигать величины 10~4 см). Прикладывая достаточно большие
электрические напряжения, легко было бы получить и большие амплитуды, но при
этом деформации в пластинке превосходят допусти-
допустимые пределы и она может разрушиться.
Колеблющаяся таким образом пластинка воз-
возбуждает ультразвуковые волны в окружающей сре-
среде г) — воздухе, воде. Так как скорость звука в
среде — не только в воздухе, но и в воде — в не-
несколько раз меньше, чем в кварце, то длина возбуж-
возбуждаемой в среде волны будет соответственно меньше,
чем в кварце, т. е. в несколько раз меньше, чем 2d.
Поэтому, если длина и ширина пластинки хотя бы
в несколько раз больше ее толщины, то поперечные
размеры пластинки значительно превышают длину волны, возбуждаемой ею в сре-
среде. Таким образом легко реализуется случай пластинки, размеры которой велики
по сравнению с длиной возбуждаемой волны. К пьезоэлектрическим излучателям
этого типа применимо все то, что было сказано выше о пластинке, размеры которой
велики по сравнению с длиной волны. Излучаемый пластинкой пучок ультразвуко-
ультразвуковых волн будет очень мало расходиться, т. е. поперечные размеры этого пучка по
мере удаления от пластины будут медленно увеличиваться.
Уменьшение амплитуды волны с расстоянием, обусловленное рассеянием энер-
энергии, будет происходить очень медленно. Но зато поглощение ультразвуков, обуслов-
обусловленное вязкостью среды, будет велико, так как оно пропорционально квадрату ча-
частоты колебаний (§ 165). Поэтому в случае ультразвуков преобладающую роль игра-
играет обычно не рассеяние энергии в пространстве, а поглощение ее средой. С этой
точки зрения вода является более благоприятной для распространения ультразву-
ультразвуков средой, чем воздух, так как вследствие мень-
меньшей кинематической вязкости вода меньше по-
поглощает звуковые волны, чем воздух. Поэтому
основное практическое применение ультразвуки
нашли в гидроакустике.
Применению ультразвуков в воде благо-
благоприятствует еще одно обстоятельство. Как мы
видели (§ 169), средняя мощность, излучаемая
колеблющейся пластинкой, при данной ампли-
амплитуде ее скорости пропорциональна рс. А для
воды рс в несколько тысяч раз больше, чем для
воздуха, так что ультраакустический излучатель
при прочих равных условиях излучает в воде
гораздо лучше, чем в воздухе. Пьезокварцевые
излучатели в воде могут излучать очень зна-
значительную мощность. Так, кварцевая пластин-
пластинка, колеблющаяся с амплитудой смещения
10*~4 см и угловой частотой а) = 3-105, имеет амплитуду скорости wm = 20 см/сек.
Так как для воды с ^1500 м/сек— 1,5-10б см/сек, то пластинка в 1 см2 излу-
излучает при этом мощность 7 вт. В воздухе при тех же условиях пластинка излуча-
излучала бы около 2 милливатт.
В качестве приемников ультразвуков применяются пьезоэлектрические пла-
пластинки такой же толщины, как и пластинка излучателя, волны которого должны быть
Излучатель
Рис. 476.
х) Чтобы обкладка конденсатора не мешала излучению, одну из обкладок за-
заменяют тонким слоем металла, нанесенным на поверхность самой пластинки.

746 АКУСТИКА [ГЛ. XX
обнаружены. Под действием колебаний давления в волне приемная пластинка со-
совершает вынужденные колебания. Одинаковая толщина пластинок обеспечивает
резонанс в приемной пластинке. Упругие колебания пластинки вызывают появле-
появление переменных зарядов на пластинке (прямой пьезоэффект) и переменного напря-
напряжения на конденсаторе, между обкладками которого она помещена. Это переменное
напряжение усиливается затем в усилителе и обнаруживается при помощи того или
иного индикатора.
Ультразвуки впервые были практически применены в эхолоте для измерения
глубины моря. В дне судна помещаются ультразвуковой излучатель, посылающий
короткие цуги колебаний длительностью около 0,001 се/с, и приемник ультразвуков
(рис. 476). Отражаясь от дна моря, ультразвуки через некоторое время достигают
приемника. По промежутку времени, прошедшему между отправлением сигнала и его
возвращением, зная скорость распространения ультразвука, определяют расстояние
до дна моря.
В дальнейшем этот же метод был применен для обнаружения препятствий на
пути судна (например, айсбергов), обнаружения подводных лодок (так называемая
гидролокация) и т. д. Ультразвуки применяются также для подводной сигнализации,
связи между подводными лодками и т. д. Ультраакустические приборы занимают
большое место в оборудовании современных подводных лодок, а также надводных
кораблей.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 602
Альтиметр 513
Анизотропное тело 475
Атаки угол 545, 555, 557, 569
Атвуда машина 406
Аэростат 513
Барометрическая формула 513
Бера закон 378
Бернулли уравнение 525, 528, 539
Биения 613, 637
Бинауральный эффект 731
Брадлея метод измерения скорости све-
света 242
Вектор 38
— скорости линейной 40
угловой 53
— ускорения линейного 42
углового 53
Векторное произведение 55
Вертолет 577
Весы 416
— в движущемся лифте 177
Винт воздушный 566
Волны бегущие 676
— в сплошной среде 704
— гармонические 678
—, дисперсия 682, 708
—, дифракция 716
—, длина 664, 678
— звуковые 721
в трубах 733
, давление 722
, излучение 738
—, интенсивность 725
—, интерференция 709
— капиллярные 708
— когерентные 712
— круговые 706
— на поверхности жидкости 707
— плоские 704
—, поверхности равной фазы 705
Волны, преломление 715
—, скорость групповая 708
—, — фазовая 682
— стоячие 683
—, течение энергии 680, 686
— ударные 583
— упругие 680
—, фронт 706
— цилиндрические 706
— шаровые 706
Волчок 454
Вращение самоцентрирующегося вала
439
—, устойчивость 437
Времени и пространства единство 244 „
277, 280
— преобразование 275
Вязкость жидкости 498, 534
, коэффициент 535
— кинематическая 540
— твердого тела 467
Галилея преобразования координат 227,
236
— принцип относительности 120, 224,
232
Гармонические волны 678
— колебания 588, 619
Гельмгольца резонатор 736
Гироскоп 450
—, применения 456
Гистерезис упругого тела 479
Гравиметрическая разведка 411
Гравитационная постоянная 316
Гюйгенса — Френеля принцип 714
Давление 500, 505
— барометрическое 513
Двигатели реактивные 576
Движение абсолютное 57
— жидкости в сосуде 514
— колебательное 587
— Меркурия 327

748
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Движение относительное 57
— переносное 57
— планет 313, 323
— реактивное 529
— самодвижущихся экипажей 432
— спутников 323, 328
— тела вращательное 51
в поле магнитном 212
тяготения 319
электрическом 206
поступательное 51
при больших скоростях 93, 235,
252
сложное 56
, центр тяжести 400
—, устойчивость 368
Дефект массы 140, 150
Деформации анизотропных тел 475
— в волне 679
— возникновение 162
— динамические 170
— изотропных тел 475
— и тяготение 182
— объемные 464
— остаточные 466
— относительные 463
— при вращении 164
— статические 170
Динамический напор 527
Длина движущейся линейки 272
Добротность резонатора 614
Допплера эффект для звука 732
поперечный 264
Единицы измерения абсолютные 18, 21
основные 24
системы СИ 23
физических величин 18
Жуковского скамья 423
Закон аддитивности масс 144
— сохранения импульса 107, 233, 529
массы 144, 150
момента импульса 305,- 308, 421,
529
энергии 143, 150, 233, 308, 379
, инвариантность 294
Законы физические 26
, инвариантность 293
Застоя явление 203
Звука бинауральный эффект 731
— волны 721
в трубах 733
Звука давление 722
— Допплера эффект 732
— интенсивность 725
— источники 738
— распространение в атмосфере 729
— реверберация 742
— рупоры 741
— скорость в газе 580, 723
в твердом теле 744, 745
— тембр 736
Измерение физических величин 15
Изотропные тела 475
Импульс системы 108
— тела 94, 402
, сохранение 107
Импульса распространение в газе 578
— — в стержне 659
в упругом теле 482, 491
по струне 672
Инвариантность физических законов 293
Инерции центр 402
Инерция тела 85
Интервал, инвариант 280
Интерференция волн 709
Кавендиша опыт 318
Карданов подвес 440
Качение катушки 430
Качения трение 431
Качество крыла самолета 560, 569
Квазистационарности условие 483
Кеплера законы тяготения 313
Когерентные источники 712
— колебания 591
Колебания амплитуда 590
—, биения 613
— в сплошных телах 650
— вынужденные 604
— гармонические 588
, сложение 593
— груза на пружине 84, 588
—, добротность 614
— замкнутых систем 643
— затухающие 596, 599, 614
— когерентные 591
— модулированные 619
, воспроиззедение 621, 625
— молекул 648
— негармонические 616, 620
— нормальные 636
—, обертон, основной тон 653
—, параметрическое возбуждение 674
— парциальные 633
— период 590

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
749
Колебания поляризованные 672
— при включении силы 167
— связанных систем 633
—, сдвиг фаз 591
— собственные 594
— спектр 617, 619, 621
— установившиеся 605
— фаза 590
— форма 590, 620
— частота 590
Координаты нормальные 640
—, преобразование Галилея 227, 236,
276
—, — Лорентца 276
— центра масс 401
Кор полиса сила инерции 369, 378
— ускорение 345, 348, 369
Красное смещение 386
Кулона закон сил трения 199
Лиссажу фигуры 631
Лорентца преобразование 276
— сила 77, 82, 228
Луч волны 717
— света, искривление в поле тяжести
385
Магнуса эффект 563
Майкельсона опыт 247
Максвелла маятник 419
Масса 93
—, дефект 140, 150
— гравитационная 315
— Земли 318
— инертная 93, 176, 315
и тяжелая 384
— и энергия 139
— покоя 149
Массы центр 401
Маятник гироскопический 453
— Максвелла 419
— математический 303, 588
— оборотный 410
— физический 408
— Фуко 115, 377
Меркурия движение 327, 386
Мещерского уравнение 533
Момент гироскопический 449
— импульса 298, 446
, сохранение 305, 308
— инерции 404
— силы 296, 435
Моментов уравнение 299, 444
Мощность 158
Начальные условия 44
при колебаниях 595
Невесомость 355
Нутация 451
Ньютона законы движения 64, 332
, второй 95
, —, инвариантность 294
, — при больших скоростях 100
, первый 71
, третий 106
Ньютона тяготения закон 315
теория 384
Обтекание крыла 554
— тел 545, 549
Одновременность 271
Оси инерции тела 437
Ось вращения мгновенная 59
свободная 435
Отвердения принцип 499
Относительности принцип Галилея 120,
224, 232
общий 381
— теория 224, 239
Падение в вязкой среде 197
Парциальные системы 633, 638
Пито трубка 528
Плавание тел 507, 519
Планет движение 313, 323
Поверхностное натяжение 518
Пограничный слой 547
Поле 73
— магнитное 212
—, напряженность 77
—, преобразование 231, 289
— сил инерции 383
— тяготения 319
Потенциал 127
Поток стационарный 521
Прецессия 445
Приливы 393
Принцип относительности Галилея 120,
224, 232
и законы сохранения 233
Пространство и время 244, 277, 280
Пуазейля формула 539
Пуассона коэффициент 464, 475
Пьезоэлектрический эффект 743
Работа силы 122
по замкнутому пути 128
Равновесие 133
— тела твердого 412

750
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Равновесие тела упругого 480
—, устойчивость 367
Размерности правило 27
Размерность физических величин 24
Ракета 532
Реакция струи 531
Резонанс 607, 611
— акустический 735
— в связанных системах 641
— в сплошной системе 688
—, добротность 614
— параметрический 675
—, ширина кривой 614
Рейнольдса число 540
Рёмера метод измерения скорости света
241
Рэлея диск 726
Самолет 567
—, качество 569
Световой луч, искривление полем тяго-
тяготения 385
Связи абсолютно жесткие 171
Сжатия модуль 476, 502, 723
Сжимаемости коэффициент жидкости,
газа 502
твердого тела 476
Сила 71
— веса 187
— в космическом корабле 355
— внешняя 108, 379
— внутренняя 107, 109
—, измерение 72
— инерции 170, 336, 342
во вращающихся системах отсчета
364
Кориолиса 369
, фиктивность 392
центробежная 366
— Лорентца 77, 82, 228
—, момент 297
— поверхностного натяжения 51Ь
— подъемная аэродинамическая 543, 556
и циркуляция 567
аэростатическая 513
гидростатическая 507, 516
— поля 73
, преобразование 293
—, работа 122
— результирующая 413
— сопротивления среды 193
— тока 80
—, точка приложения 412
— трения 192
— упругая 72, 169
— центробежная 166
Сила центростремительная 167
Система замкнутая 107, 379
— линейная 615
— отсчета 31, 64, 332
земная 65, 116
инерциальная 114, 336
Коперника 64
неинерциальная 336, 379
неподвижная 65
— — Птолемея 64
— связанная 631
— с двумя степенями свободы 628
Скорость волн групповая 708
фазовая 682
, дисперсия 682
— звука 723, 744
— космическая вторая 331
первая 329
— линейная 40
— света 37, 241
, измерение, метод Брадлея 242
, —, — Рёмера 241
как предельная скорость 106, '2ИЪ
, независимость от скорости источ-
источника 245
— угловая 46
Смачивание 518
Событий одновременность 32
Сопротивление волновое 585
— давления 549
— лобовое 542
— трения 547
Спектр колебаний 617
модулированных 619
Спутников движение 323, 328
Степени свободы 50, 427
колебательные 648
Суперпозиции принцип для деформаций
471
для колебаний 615, 629
Текучесть материала 467
Тела абсолютно твердые 328
упругие 466
— отсчета 21
вторичные 113
— — первичные 113
Течение, вихревая дорожка 552
— ламинарное 553
— турбулентное 553
—, циркуляция 564
Ток жидкости, линии 520
У трубки 522
Точность измерений и расчетов 17
Траутона и Нобля опыт 291
Трение 192

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
751
Трение внутреннее 476
— жидкое 196
—, законы Кулона 199
— качения 431
— покоя 198
— скольжения 200
Тяготение 175
—, гравитационная постоянная 316
—, закон Ньютона 315
—, законы Кеплера 313
— и деформации 182
—, искривление луча света 385
—, теория Эйнштейна 384, 389
Тяжести сил измерение 409
фиктивность 392
— центр 401
Хладни фигуры 657
Хрупкость 467
Центр инерции, масс, тяжести 401, 402
, движение 400
Частота колебаний 590
— звука 721
Часы 20
— движущиеся, замедление хода 259
—, синхронизация 266
Штейнера теорема 406
Удар молекул 428
— неупругий 148, 237
— нецентральный 147, 155
— твердых тел 424
— упругий 152, 294
— центральный 146, 153
Ультразвук 743
—, излучение 745
Упругость абсолютная 466
—, гистерезис 479
—, закон Гука 467
—, модуль 469, 475
—, напряжение 469
—, предел 466
Ускорение 41
— в движущихся системах отсчета
343
— кориолисово 345, 348
— линейное 42
— нормальное 44
— относительное 345
— переносное 345
— тангенциальное 44
— угловое 47
— центростремительное 46
Ускорители частиц линейные 209
циклические 217, 310
Эйнштейн, понятие одновременности
272
—, принцип эквивалентности 384
—, теория относительности 239
—, — тяготения 384, 389
Эквивалентность сил инерции и тяготе-
тяготения (принцип) 183, 384, 387
— массы и энергии 139
Энергия в волне 680, 686
— взаимная 130
—, закон сохранения 143, 150, 233, 308.
379
—, , инвариантность 294
— и масса 139
— кинетическая 137, 138, 420
вращающегося тела 404
—, конвекция 493
— потенциальная 129
в поле тяготения 321
— системы 142
—, течение в упругом теле 492
— упругой деформации 476
Эталон 15, 18
— сила 74
— физической величины 15
Этвеша опыт 382
Эхолот 745
Фуко опыт (маятник) 115, 377, 391 Юнга модуль 469

Семен Эммануилович Хайкин
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
М., 1971 г. 752 стр. с илл.
Редактор В. А. Григорова.
Техн. редактор С. Я. Шкляр.
Корректор Г. С. Смоликова.
Сдано в набор 17/VIH 1970 г. Подписано к печати
29/1 1971 г. Бумага 60X90Vie. Физ. печ. л. 47.
Услосн. печ. л. 47. Уч.-изд. л. 55,31, Тираж
49 000 экз. Т-02155. Цена книги 2 р. 04 к. Заказ
№ 1337.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физнко-математнческой литературы.
Москва В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Главполнграфпрома Комитета по
печати при Совете Министров СССР, г. Ленин-
Ленинград, Гатчинская ул., 26.