Л. НУТЮРА
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
ПЕРЕВОДЪ
СЪ ПРИБАВЛЕНІЯМИ
ПРОФ. И. СЛЕШИНСКАГО
ОДЕССА
190 9
ОДЕССН.
Тип. Лкціонерн. Ю.-Р. О-ва Печатнаго Дѣла, Пушкинская, № 18.
1909.
Предисловіе переводчика.
По математической логикѣ на русскомъ языкѣ,
насколько мнѣ извѣстно, имѣются двѣ книги: „О спо-
собахъ рѣшенія логическихъ равенствъ и объ обратномъ
способѣ математической логики" Порѣцкаго (1884 г.)
и „Логическое исчисленіе* Волкова (1888 г.). Первая
изъ этихъ' книгъ содержитъ самостоятельныя изслѣдо-
ванія, которыми ея авторъ (3 х. 1846 — іо.ѵш. 1907) по-
полнилъ изслѣдованія Шрёдера. Вторая—представляетъ
краткое изложеніе логики Шрёдера съ дополненіями
Порѣцкаго. Алгебра логики Кутюрй (Ь. Соиіигаі. Ь’АІ-
^ёЬге. сіе Іа Іо^ідие. 1905) содержитъ тотъ же мате-
ріалъ, но развиваетъ его, какъ сочиненіе болѣе позд-
нее. нѣсколько шире и послѣдовательнѣе. Черезъ всю
книгу проведена двоякая интерпретація формулъ (отвѣ-
чающая логикѣ классовъ и логикѣ предложеній); въ
концѣ приведены формулы, относящіяся исключительно
къ логикѣ предложеній. Изложеніе довольно простое
и ясное (за исключеніемъ начала книги). Въ виду этихъ
обстоятельствъ, переводъ ея является, быть можетъ, не
лишнимъ.
• Не всегда соглашаясь съ авторомъ относительно
постановки вопросовъ и способа доказательствъ, я не
счелъ,, однако, возможнымъ вносить въ текстъ какія-
либо измѣненія или дополненія. Взамѣнъ этого я позво-
лилъ себѣ присоединить къ переводу два приложенія.
Первое изъ нихъ написано по моей просьбѣ С. О. Ша-
туновскимъ и [представляетъ изложеніе принадлежа-
IV
щихъ ему взглядовъ на трудный и неразработанный
еще ^вопросъ о чисто формальномъ обоснованіи логики
предложеній. Во второмъ приложеніи я предлагаю болѣе
полныя доказательства нѣсколькихъ начальныхъ пред-
ложеній. Пополненіе дальнѣйшихъ доказательствъ мо-
жетъ быть сдѣлано подобнымъ же образомъ.
Считаю пріятнымъ долгомъ выразить здѣсь В. А.
Циммерману и С. О. Шатуновскому искреннюю благо-
дарность за чтеніе корректурныхъ листовъ, и послѣд-
нему, сверхъ того, за составленіе приложенія, которое
для многихъ читателей сдѣлаетъ содержаніе книгщболѣе
понятнымъ.
-31. ш. 1909;
Одесса.
I. СОІЛІІРАТ
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
Алгебра логики.
1.	В в е д е н і е.
Основаніе алгебрѣ логики положилъ Джорджъ Буль
(Стеог^е Вооі, 1815—1864), развилъ же и усовершенство-
валъ ее Эрнстъ Шрёдеръ (Егпзі ЗсЬгбсіег 1841—1902).
Основные законы этого исчисленія были изобрѣтены съ
цѣлью дать выраженіе основныхъ началъ разсужденія,
„законовъ мышленія"; но съ чисто формальной точки
зрѣнія, которая свойственна математикѣ, можно раз-
сматривать это исчисленіе, какъ алгебру, основанную
на нѣкоторыхъ произвольно установленныхъ нача-
лахъ. Отвѣчаетъ ли это исчисленіе,—и, если отвѣчаетъ,
то въ какой мѣрѣ, — дѣйствительнымъ операціямъ
мышленія и можетъ ли оно служить, такъ сказать, пе-
реводомъ разсужденія или же з амѣнять его—это во-
просъ философскій, котораго мы не будемъ здѣсь раз-
сматривать.- Формальное значеніе этого исчисленія и
интересъ его для математика нисколько не зависитъ
отъ интерпретацій, какія ему даются, и отъ приложеній
его къ задачамъ логики. Мы будемъ, во всякомъ слу-
чаѣ, излагать его какъ алгебру, а не какъ логику.
2.	Двѣ интерпретаціи логическаго исчисленія.
Здѣсь представляется особенно интересное обстоя-
тельство: эта алгебра допускаетъ въ самой логикѣ
двѣ различныхъ, почти параллельныхъ интерпретаціи,
въ зависимости отъ того, выражаютъ ли буквы понятія,
Алгебра логики.
1
или предложенія. Можно, конечно, вмѣстѣ съ Булемъ и
Шрёдеромъ, свести эти двѣ интерпретаціи къ одной,
разсматривая съ одной стороны понятія, съ другой
стороны—предложенія, какъ вещи, отвѣчающія ансамб-
лямъ или классамъ: понятіемъ опредѣляется ансамбль
предметовъ, къ которымъ оно относится (въ логикѣ
называютъ его объемомъ понятія); предложеніемъ опре-
дѣляется ансамбль случаевъ, или моментовъ времени,
для которыхъ оно вѣрно (его также, по аналогіи, можно
назвать объемомъ послѣдняго), и тогда исчисленіе
понятій и исчисленіе предложеній сводятся къ одному
исчисленію классовъ, или, какъ говорилъ Лейбницъ,—
къ теоріи цѣлаго и части, содержащаго и содер-
жимаго.
Однако, въ дѣйствительности, исчисленіе понятій и
исчисленіе предложеній представляютъ, какъ увидимъ,
нѣкоторыя различія, препятствующія ихъ отождествле-
нію съ формальной точки зрѣнія и, слѣдовательно, пре-
пятствующія сведенію ихъ къ одному „исчисленію клас-
совъ". Въ дѣйствительности получается три различ-
ныхъ исчисленія или, въ той части, гдѣ они совпада-
ютъ, три различныхъ интерпретаціи одного исчисленія.
Какъ бы тамъ ни было, читатель не долженъ забы-
вать, что логическое значеніе и дедуктивная связь фор-
мулъ нисколько не зависятъ отъ интерпретацій; что-
бы облегчить для него это необходимое отвлеченіе, мы
позаботились снабдить всѣ интерпретаціонныя фразы
знаками „И. П.“ (интерпретація съ помощью понятій)
и „И. Пр." (интерпретація съ помощью предложеній).
Эти интерпретаціи будутъ служить лишь для того,
чтобы сдѣлать формулы понятными, сообщить имъ
большую ясность и очевидность, но онѣ не будутъ
служить ни въ какомъ случаѣ для доказательства; и
можно эти интерпретаціи отбросить безъ вреда для
логической строгости системы.
Съ цѣлью не предустанавливать никакой интер-
претаціи, мы скажемъ, что буквы выражаютъ термины*.
3
эти термины могутъ быть, смотря по обстоятельствамъ,
понятіями или предложеніями.
3.	Отношеніе включенія.
Алгебра логики, какъ всякая дедуктивная теорія,
можетъ быть обоснована при помощи различныхъ си-
стемъ началъ *); мы выберемъ ту изъ нихъ, которая
наиболѣе приближается къ изложенію Шрёдера и къ
обычной логической интерпретаціи.
Основное отнбшеніе, разсматриваемое въ этомъ
исчисленіи, есть отношеніе двоичное (о двухъ терми-
нахъ), называемое включеніемъ (для классовъ), подчи-
неніемъ (для понятій), или выводомъ (для предложеній). Мы
выбираемъ первое изъ этихъ названій, какъ безразлич-
ное по отношенію къ двумъ логическимъ интерпрета-
ціямъ; мы будемъ выражать это отношеніе знакомъ <,
потому что оно обладаетъ свойствами, формально ана-
логичными свойствамъ математическаго отношенія <
(меньше), или, точнѣе, отношенія между прочимъ,—
отсутствіемъ свойства симметричности. Въ виду этой
аналогіи Шрёдеръ изображалъ это отношеніе знакомъ
=^, котораго мы не будемъ употреблять, въ виду того,
что онъ является составнымъ, между тѣмъ какъ отно-
шеніе включенія есть отношеніе простое.
Въ системѣ началъ, которую мы избираемъ, это
отношеніе принимается, какъ понятіе простое и, слѣ-
довательно, не опредѣляемое. Слѣдующія разъясненія,
не преслѣдуя цѣлей опредѣленія, предназначены лишь
для того, чтобы указать смыслъ разсматриваемаго отно-
шенія въ каждой изъ двухъ интерпретацій.
И. П. : Отношеніе а < Ь, гдѣ а и Ъ означаютъ по-
нятія, выражаетъ, что понятіе а подчинено понятію Ь, т. е.
представляетъ одинъ изъ видовъ по отношенію къ роду
Ъ. Съ точки зрѣнія объема оно означаетъ, что классъ а
9 См. Нипііп^іоп, 8еіз оЕ іпсіерепсіепі розШІаіез Еог Ше
АІ^еЬга оГ Ьо§іс, ар. Тгапзасііопз оЕ іЬе Атегісап Майіетаіісаі
8осіеіу 1. V. 1904, 288—309.
1*
4
содержится въ классѣ Ъ, или составляетъ часть его; или,
короче, что „всякое а есть й". Съ точки зрѣнія содержа-
нія оно означаетъ, что понятіе Ь содержится въ поня-
тіи а, или составляетъ часть его, и что, слѣдовательно,
изъ признаковъ а вытекаютъ признаки Ь. Примѣръ: „ка-
ждый человѣкъ смертенъ"; „человѣкъ заключаетъ въ
себѣ смертный"; „кто говоритъ—человѣкъ, говоритъ—
смертный"; или просто: „человѣкъ, значитъ—смертный"»
И. Пр. : Отношеніе а < Ь, гдѣ а и Ь означаютъ
предложенія, выражаетъ, что предложеніе а заключаетъ
или имѣетъ своимъ слѣдствіемъ предложеніе Ь. Это
выражаютъ часто условнымъ сужденіемъ: „если вѣрно
а, то вѣрно 6", или „изъ а слѣдуетъ 6"; или, проще:
„а, слѣдовательно й". Отсюда видимъ, что въ обѣихъ
интерпретаціяхъ отношеніе < можно перевести, при-
близительно, словомъ слѣдовательно.
Примѣчаніе. При всякой интерпретаціи терминовъ
а и Ь отношеніе	представляетъ предложеніе»
Поэтому, если члены отношенія <, въ свою очередь,
представляютъ (оба или одинъ изъ нихъ) подобныя от-
ношенія, то разсматриваемое отношеніе можетъ быть
понимаемо лишь въ смыслѣ интерпретаціи предложе-
ній, т. е. можетъ означать лишь выводъ.
Называютъ предложеніе первичнымъ, если оно
представляетъ отношеніе, котораго члены суть простые
термины (буквы); вторичнымъ, —еспк члены суть пер-
вичныя предложенія, и т. д.
Отсюда видно, что интерпретація съ помощью
предложеній болѣе однородна, чѣмъ интерпретація съ
помощью понятій, потому что она одна позволяетъ да-
вать связкѣ < одинъ и тотъ же смыслъ въ предложе-
ніяхъ первичныхъ и вторичныхъ.
4.	Опредѣленіе равенства.
Существуетъ еще другая связка, которую можно
опредѣлить съ помощью первой: это связка = (равняет-
ся). По опредѣленію имѣемъ
а = Ъ
5
всякій разъ, когда вмѣстѣ
а < Ь, Ь а,
и только въ такомъ случаѣ; иначе говоря, отношеніе
„а — Ь“ равносильно двумъ совмѣстнымъ отношеніямъ
„а<6,“ „6<а“.
Смыслъ связки == въ двухъ интерпретаціяхъ уста-
навливается ея формальнымъ опредѣленіемъ:
И. П. : а — Ъ означаетъ, что „всякое а есть Ъ и
всякое Ь есть аи\ иначе говоря, что классы а и Ъ совпа-
даютъ, тождественны1).
И. Пр. : а—Ь означаетъ, что изъ а слѣдуетъ Ь и
изъ Ь слѣдуетъ а\ иначе говоря, что предложенія а и
Ъ эквивалентны, т. е. вмѣстѣ вѣрны или вмѣстѣ ложны2).
‘ Примѣчаніе. Отношеніе равенства симметрично въ
силу самого опредѣленія: а — Ь равносильно Ь = а. Но
отношеніе включенія несимметрично: а < Ъ не равно-
сильно Ъ < а и не содержитъ его. Можно условиться
разсматривать запись а > 6, какъ равносильную Ь < а*,
но мы предпочитаемъ, для большей ясности, сохранить
за связкой одинъ и тотъ же смыслъ во всѣхъ случа-
яхъ. Только на словахъ мы можемъ включеніе „а < Ь“
передавать то какъ „а содержится въ 6", то какъ „д
содержитъ а“.
Чтобы не предустанавливать никакой интерпрета-
ціи, мы назовемъ первый членъ этого отношенія преды-
дущимъ, а второй послѣдующимъ,
И. П. : Предыдущій есть подлежащее, а послѣдую-
щій—сказуемое общаго утвердительнаго предложенія.
И. Пр. : Предыдущій есть посылка, или причина,
а послѣдующій — слѣдствіе. Когда выводъ передается,
х) Это не значитъ, что понятія а и Ь имѣютъ тотъ же
смыслъ. Примѣры: „треугольникъ" и „трехстороннихъ*, „равно-
угольный треугольникъ* и „равносторонній треугольникъ“.
Это не значитъ, что они имѣютъ тотъ же смыслъ. При-
мѣръ: „треугольникъ АВС имѣетъ двѣ равныхъ стороны* и
„треугольникъ АВС имѣетъ два равныхъ угла".
__6_
какъ гипотетическое (или условное) сужденіе, то пре-
дыдущій называется гипотезой (или условіемъ), а послѣ-
дующій тезисомъ.
Когда намъ нужно будетъ доказать равенство, мы
будемъ чаще всего разлагать его на два взаимно-об-
ратныхъ включенія, которыя будемъ доказывать отдѣль-
но. Иногда дѣлаютъ такое разложеніе равенства и въ
тѣхъ случаяхъ, когда оно является даннымъ {посылкой).
Если части равенства суть предложенія, оно раз-
лагается на два вывода; если одинъ изъ нихъ пред-
ставляетъ теорему, то другой будетъ обратной теоремой.
Такимъ образомъ, всякій разъ, когда теорема имѣетъ
обратную, она даетъ мѣсто логическому равенству. Про-
стая теорема даетъ мѣсто выводу, предыдущій кото-
раго есть гипотеза, а послѣдующій—тезисъ теоремы.
Часто называютъ гипотезу достаточнымъ усло-
віемъ для тезиса, а тезисъ необходимымъ условіемъ для
гипотезы: дѣйствительно, достаточно, чтобы гипотеза
была вѣрна, для того, чтобы былъ вѣренъ тезисъ;
вмѣстѣ съ тѣмъ необходимо, чтобы тезисъ былъ вѣренъ,
если вѣрна гипотеза. Когда теорема имѣетъ обратную,
то говорятъ, что гипотеза ея есть условіе, необходимое,
и достаточное для тезиса: это значитъ, что гипотеза
служитъ вмѣстѣ и причиной и слѣдствіемъ тезиса.
5.	Принципъ тождества.
Первый принципъ, или аксіома, алгебры логики
это принципъ тождества, который выражаютъ такъ:
(I)	а < а
при всякомъ а.
И. П. : „Всякое а есть а“, т. е. всякій классъ за-
ключается въ самомъ себѣ.
И. Пр. : „изъ а слѣдуетъ а“, т. е. изъ каждаго
предложенія слѣдуетъ это самое предложеніе. Такова
первоначальная формула принципа тождества; изъ нея
можно вывести, съ помощью опредѣленія равенства,
7
другую формулу, которую часто, совершенно напрасно,
принимаютъ за выраженіе принципа тождества: при
всякомъ а
а —- а.
Дѣйствительно, изъ того, что
67	67, а б/,
слѣдуетъ непосредственно, что
а = а.
И. П. : Классъ а тождественъ самъ съ собою.
И. Пр. : Предложеніе а эквивалентно себѣ самому.
6.	Принципъ силлогизма.
Второй принципъ алгебры логики—это принципъ
силлогизма^ который выражается такъ
(П)	(а<Ь) (Ъ<с)<(а<с).
И. П. : „Если всякое а есть и всякое Ь есть с,
то всякое а есть си. Это принципъ категорическаго сил-
логизма.
И. Пр. : „Если изъ а слѣдуетъ й, и изъ Ь слѣ-
дуетъ с, то изъ а слѣдуетъ Это принципъ гипоте-
тическаго силлогизма.
Мы видимъ, что въ вышеприведенной формулѣ глав-
ная связка всегда имѣетъ смыслъ вывода, потому что
формула эта представляетъ предложеніе вторичное.
Въ силу опредѣленія равенства, изъ принципа
силлогизма вытекаютъ слѣдующія формулы!):
(а < Ъ) (Ь = с) < (а < с),
(а = Ь) (Ь<.с)< (а<с),
(а = Ь) (Ь = с) < (д — с).
Заключеніе представляетъ равенство лишь въ томъ
случаѣ, когда обѣ посылки суть равенства. •
\ Строго говоря, эти формулы предполагаютъ законы умно-
женія, которые будутъ установлены ниже; но мы нашли нуж-
нымъ привести ихъ здѣсь, для сближенія ихъ съ принципомъ
силлогизма, изъ котораго онѣ получаются.
8
Предыдущія формулы можно обобщить такъ:
(я < і) (і бг) {с < сГ) < (а < б/),
(а = Ь) (Ь — с) (с — сГ)<і(а = (I).
Это двѣ главныя формы сорита; можно еще приду-
мать много другихъ комбинацій. Заключеніе въ формѣ
равенства получается лишь въ томъ случаѣ, когда всѣ
посылки суть равенства; это замѣчаніе имѣетъ важное
практическое значеніе. Въ ряду выводовъ должно обра-
щать особое вниманіе на то, дѣлается ли переходъ отъ
одного предложенія къ другому на основаніи эквива-
лентности, или только вывода. Эквивалентность край-
нихъ предложеній имѣетъ мѣсто лишь въ случаѣ, когда
всѣ промежуточные переходы сдѣланы на основаніи
эквивалентности; въ случаѣ же противоположномъ, если
въ цѣпи заключеній есть хоть одинъ простой выводъ,
отношеніе крайнихъ предложеній представляетъ также
лишь простой выводъ.
7.	Умноженіе и сложеніе.
Въ алгебрѣ логики разсматриваются три дѣй-
ствія: логическое умноженіе, логическое сложеніе и
отрицаніе. Первыя два суть дѣйствія двоичныя, т. е.
соединенія двухъ терминовъ, дающія въ результатѣ тре-
тій терминъ (отличный отъ каждаго изъ нихъ или
нѣтъ). Существованіе логическаго произведенія и логиче-
ской суммы двухъ терминовъ должно быть предметомъ
двухъ постулатовъ, потому что для существованія вещи
не достаточно ея опредѣленія. Вотъ какъ можно фор-
мулировать эти два постулата.
III.	Для каждыхъ двухъ терминовъ а и Ь суще-
ствуетъ такой терминъ />, что
р<а, р<Ъ,
и что для всякаго термина х, для котораго
х < б/, х < Ъ,
будетъ также
9
IV.	Для каждыхъ двухъ терминовъ а и Ь суще-
ствуетъ такой терминъ 5, что
а < 5, Ъ < 5,
и что для всякаго термина я, для котораго
а<^Х) Ь <х,
буяргь также
5 < х.
Легко доказать, что термины р и 5, опредѣляемые
этими условіями, единственны, послѣ чего можно опре-
дѣлить произведеніе аЪ и сумму а 4» />, соотвѣтственно,
какъ термины р и 5.
И. П. : і° Произведеніе двухъ классовъ есть
классъ, содержащійся въ каждомъ изъ нихъ, и при
томъ содержащій каждый (другой) классъ, который со-
держится въ каждомъ изъ нихъ;
2° Сумма двухъ классовъ а и Ь есть классъ 5,
который содержитъ каждый изъ нихъ ,и притомъ со-
держится въ каждомъ (другомъ) классѣ, который со-
держитъ каждый изъ нихъ.
Употребляя слова меньше и больше въ смыслѣ
метафорическомъ, на который наводитъ аналогія отно-
шенія < съ отношеніемъ математическаго неравенства,
можно сказать: произведеніе двухъ классовъ есть наи-
большій классъ, содержащійся въ каждомъ изъ нихъ;
сумма двухъ классовъ есть наименьшій классъ, который
содержитъ оба класса1). Поэтому, произведеніе двухъ
классовъ есть общая ихъ часть (совокупность общихъ
элементовъ), а сумма двухъ классовъ есть совокупность
всѣхъ элементовъ, которые принадлежатъ, по крайней
мѣрѣ, одному изъ нихъ.
Въ силу иной аналогіи, Дедекиндъ обозначаетъ логиче-
скую сумму и логическое произведеніе тѣми-же знаками, что
общее наименьшее кратное и общаго наибольшаго дѣлителя, т. е.
2Я (а, Ь) и ® (а, Ь). (\Ѵаз зіпб ипб лѵаз зоііеп біе 2аЫеп п° 8 и
17, 1887); и Георгъ Канторъ обозначалъ ихъ первоначальна
тѣми же именами (МаіЬешайзсЬе Аппаіеп, Ь XVII, 1880).
10 •
И. Пр. : і° Произведеніе двухъ предложеній есть
предложеніе, изъ котораго вытекаетъ каждое изъ дан-
ныхъ и которое притомъ само вытекаетъ изъ каждаго
предложенія, изъ котораго вытекаютъ оба данныя.
2° Сумма двухъ предложеній есть предложеніе,
которое вытекаетъ изъ каждаго изъ нихъ, и изъ ко-
тораго, въ свою очередь, вытекаетъ каждое предложе-
ніе, вытекающее изъ данныхъ.
Можно поэтому сказать, что произведеніе двухъ
предложеній есть самая слабая изъ ихъ общихъ при-
чинъ, а сумма ихъ есть самое сильное общее слѣд-
ствіе ихъ, понимая при этомъ слабое и сильное въ
томъ смыслѣ, что каждое предложеніе, изъ котораго
вытекаетъ другое, является болѣе сильнымъ, а это дру-
гое болѣе слабымъ. Легко замѣтить, что произведеніе
двухъ предложеній заключается въ совмѣстномъ утвер-
жденіи'. „а и Ь вѣрны", или, просто: „а и Ь“, и что сумма
ихъ заключается въ альтернативномъ утвержденіи: „а
или Ь вѣрно", или, просто „а или Ь“.
Примѣчаніе. Опредѣленное такимъ образомъ ло-
гическое сложеніе не дизъюнктно, т. е. оно не предпо-
лагаетъ, что слагаемыя не имѣютъ общихъ элементовъ.
8.	Принципы упрощенія и составленія.
Изъ двухъ предыдущихъ опредѣленій, или, вѣрнѣе,
изъ постулатовъ, которые имъ предшествуютъ, непо-
средственно вытекаютъ слѣдующія формулы:
(і)	аЪ<іау аЬ<^Ь,
(2)	(х<^) (х<&) < (ж<^);
(з)	а<^а-\-Ъ)	Ь<^а-\-Ь,
(4)	(*<*) (К*) <
Формулы (і) и (3) извѣстны подъ именемъ прин-
ципа упрощенія} дѣйствительно, онѣ позволяютъ упро-
щать посылки разсужденія путемъ вывода болѣе сла-
быхъ предложеній: именно,—сомножителя изъ произ-
11
веденія или суммы (альтернативы) изъ предложенія,
служащаго ея слагаемымъ.
Формулы (э) и (4) называются принципомъ соста-
вленія, потому-что позволяютъ соединять (составлять)
два включенія съ общимъ предыдущимъ или съ общимъ
послѣдующимъ.
Въ первомъ случаѣ получаемъ произведеніе по-
слѣдующихъ; во второмъ — сумму предыдущихъ. Фор-
мулы принципа составленія могутъ быть преобразо-
ваны въ равенства съ помощью принциповъ силло-
гизма и упрощенія. Въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ:
і(> (Силл).	(х<^аЬ)	(аЪ<а) < (х<а),
(Силл).	(х<д$)	(аЪ<іЪ) < (х</>);
слѣдовательно
(Сост.)	(х<^аЬ)	< (х<^а) (х<^Ь).
2° (Силл.)	(а-уь^х} < (л<х),
(Силл.)	< (і<х);
слѣдовательно,
(Сост.) (а-\-Ь<іх) < (а<^х) (Ь<Сх).
Если сопоставить эти новыя формулы съ преды-
дущими, которыя оказываются обратными по отноше-
нію къ нимъ, то можно написать
(х<й) = (х<» (х<^),
(а-\-Ь<^х) = (а<^х) (і<х).
Итакъ: сказать, что х содержится въ аЬ, все равно,
что сказать, что х содержится въ а и въ 6; и сказать,
что х содержитъ а-\- Ь, все равно, что сказать, что х
содержитъ а и Ь.
9.	Законы тавтологіи и поглощенія.
Опредѣленіе логической суммы и логическаго про-
извёденія не содержитъ никакого указанія порядка
слагаемыхъ или сомножителей. Поэтому очевидно, что
логическое сложеніе и логическое умноженіе обладаютъ
12
свойствами перемѣстительнымъ и сочетательнымъ, ко-
торыя выражаются формулами
аЬ — Ъа	а-\-Ь = Ъ + а
(аЪ) с = а {Ьс\	(а + Ь) + с = а + (Ь + с). '
Эти дѣйствія обладаютъ, сверхъ того, особеннымъ
свойствомъ, которое выражается закономъ тавтологіи
а = аа} | а — а-\~а.
Доказательство:
і° (Упрощ.)	аа<іау
(Сост.) (а < а) (а<^а) = {а < аа),
откуда, въ силу опредѣленія равенства,
(аа<^а) (а<аа) = (а = аа).
Подобнымъ образомъ:
2° (Упрощ.)	а<а-\-а,
(Сост.) (а<^а)
откуда
(а<а-\-а)	+	~ (л = « + «).
Изъ этого закона слѣдуетъ, что сумма или про-
изведеніе какого угодно числа равныхъ (тождествен-
ныхъ) терминовъ равняется одному изъ нихъ. Поэтому
въ алгебрѣ логики нѣтъ ни кратныхъ, ни степеней,
что представляетъ огромное упрощеніе по сравненію
съ числовой алгеброй. Логическое сложеніе и логиче-
ское умноженіе обладаютъ еще однимъ замѣчательнымъ
свойствомъ, которое также служитъ для значительнаго
упрощенія вычисленій; оно выражается закономъ по-
глощенія'.
а-\-аЪ = а, | а (а-\-Ъ) = а.
Доказательство'.
і° (Сост.)	(аО) (д$О) < (а-\-аЬ<іа),
(Упрощ.)	а < а -|- аЪ,
х откуда, по опредѣленію равенства:
(а-\-аЪ <а) (а<^а-\-аЬ) = (а-{-аЬ = а).
13
Также:
2° (Сост.) {а < а) (а < а -|- Ь) < [а < а(а -|- #)],
(Упрощ.)	а (л-|-^) <«,
откуда
[а<а(а-}-1>)] [а(аЬ)<а] = [л(л4-і) = а].
Итакъ, терминъ (а) поглощаетъ слагаемое (аЬ),
содержащее его въ качествѣ сомножителя, или же—мно-
жителя (а -|- Ь), въ которомъ онъ служитъ слагаемымъ.
10.	Теоремы умноженія и сложенія..
Мы можемъ теперь установить двѣ теоремы о со-
единеніи включеній и равенствъ съ помощью сложенія
и умноженія.
(Теор. I) (а<6) < (ас<^с), | (д<6) < (а-\-с<Д>-\-с).
Доказательство:
і° (Упрощ.)	ас<^с,
(Силл.)	(ас<а) (а<Д>) < (ас<Ъ\
(Сост.)	(ас<Д>) (ас<с) < (ас <^Ьс).
2° (Упрощ.)	с<^Ь-\-с,
(Силл.) (а<Ь) (Ь<^Ь-\-с) < (я<і-|-с),
(Сост.) (а<^Ь-\-с~) (с<СЬ-\-с) < (а + с<Ъс).
Эта теорема легко распространяется на случай
равенства:
(а = Ь) (ас — Ъс), | {а = Ь) < {а -|- с - Ь + с).
(Теор. II) (д<2>) (с<«7) < (ас<ДД),
(а<^Ь) (с<(і) < (а-\-с<іЬ-\-(і).
Доказательство:
і° (Силл.)	(ас<а) (а<іѴ) < (ас<іЪ\
(Силл.)	(ас < с) (с < й() < (ас < <7),
(Сост.)	(ас<СД>) (ас<^сІ) < (ас<^Ьс?).
2° (Силл.) (а<Д>) (Ь<^Ь-]-<і) < (а<^Ь-}-(і),
(Силл.)	(с<(1) (Н•<ЪдГ) •< (с<С,ъ\-сІ),
(Сост.)	(а<іЪ-\-<1) (с<Ь-\-(і) <
14
Эта теорема легко распространяется на тотъ слу-
чай, когда одно изъ включеній замѣнено равенствомъ:
(а=Ъ)	< (ас<М),
(а = Ь) (с<сІ) < (а -|- с < Ъ -(- </).
Въ случаѣ, когда оба включенія замѣнены равен-
ствами, въ результатѣ получится равенство:
(а — Ъ) (с=ф < (ас-=ІД)
(а=Д) (с—сі) < (а-\-с=Ь-\-<і)
Итакъ, можно почленно складывать, а также пере-
множать два (или нѣсколько) включеній или равенствъ.
Результатъ будетъ равенствомъ лишь въ томъ случаѣ,
когда всѣ соединяемыя предложенія суть равенства.
11.	Первая формула преобразованія включеній
въ равенства.
Теперь можно доказать важную формулу, позво-
ляющую преобразовать включеніе въ равенство или
обратно:
(л<&) = (« = «&), (д<*) = (а + Ъ = Ъ)
Доказательство'.
і° (д<^) < (а = аЬ), (а<С.І>) <
Въ самомъ дѣлѣ,
(Сост.) (а<^а) {а<^Ь) < (а<^аЬ\
(а<Ь) (&<А) < (а + Ь<Ь).
Съ другой стороны, имѣемъ
(Упрощ.)	Ъ<а-\-Ь,
(Опр.=)	(й<й&) (аЬ<а) = (а—аЬ\
(а+Ь<Ь) (Ь<а-\-Ь) = (а+Ъ=Ь);
2°	(а—аЬ) (а<СЬ), (а-\-Ь—Ь) < {а<Д}^
Въ самомъ дѣлѣ,
(а-аЪ) (аЪ<Ь) < (а<Ь).
{а<^а-\-Ь) (а-\-Ъ ==Ъ) <; (а<Ь).
15
Примѣчаніе. Если принять за основное (неопредѣ-
ляемое) понятіе отношеніе равенства, то можно опре-
дѣлить отношеніе включенія посредствомъ одной изъ
предыдущихъ формулъ *).
Тогда можно доказать принципъ силлогизма * 2).
Изъ предыдущихъ формулъ вытекаетъ интересное
слѣдствіе:
{а — Ѵ) — (аЬ = а-}~Ь).
Въ самомъ дѣлѣ,
і°	(а = Ь} = (а < і) <1 (^ < а),
(а < Ь) = (а — аі), (Ь а) = (а + Ь = а),
(Силл.) (а = аЬ) (а-\~Ь = а) < (аЪ = а-\-Ъ).
2°	(аЬ = а-\~Ь) < (а-\-Ь <аЬ\
(Сост.) (а-|-^<аі) = {а<аЬ) (Ь<іаЬ\
(а<аЬ) (аЪ<а) = (а = аЬ} = (а<^Ъ\
(Ь <аЬ) (аЬ <^Ь) = (Ь = аЪ) = (Ь < а\
Слѣдовательно
(аЪ = а -|- V) < (а < Ъ) (Ь <1, а) — (а — V).
12.	Законъ распредѣлительный.
Принципы, установленные раньше, позволяютъ до-
казать обратный распредѣлительный законъ какъ для
4) См. Нипйп§іоп, ор. сіі., § і.
2) Вотъ это доказательство: по опредѣленію, имѣемъ
= {а—аЬ)
(Ь<^с) = (Ь=Ьс}.
Подставимъ вмѣсто Ь въ первое равенство его значеніе
изъ второго:
а=аЬс
Подставимъ вмѣсто а равное ему аЬ'
аЬ=аЬс.
Это равенство эквивалентно включенію
аЬ<^с.
Подставимъ обратно а вмѣсто аЬ'. получимъ
а<^с.	ч. и т д.
16
умноженія по отношенію къ сложенію, такъ и для сло-
женія по отношенію къ умноженію
ас-\-Ъс	аЬ + с <(^4-г)
Доказательство:	у
і°	(а<а-\-Ь) [ас +
(Ь<іа-\-Ъ) < [Ьс
откуда составленіе даетъ:
[ас + \Ъс <(я4“і)г] < [ас-}~Ъс <(л4“^М-
2°	(аЬ <а}	(аЬ-+*с <^ + ^),
(аЬ < Ъ) < (аЪ 4~ с < Ь 4“ с)
откуда, составленіе даетъ:
(аЬ-\-с<а-^с) (аЬ-\-с<Ъ-}~с) < [^+^<(^4“^)
Но тѣ же принципы недостаточны для доказа-
тельства прямого распредѣлительнаго закона
(а 4~Ь)с ас 4~ Ъс9 (а —|— с) (р-^с}<С^аЪ-^-с,
и мы вынуждены постулировать одну изъ этихъ фор-
мулъ, или какую-нибудь болѣе простую формулу, изъ
которой онѣ могутъ быть выведены. Для большаго
удобства мы постулируемъ формулу:
(V)	{а Ъ)с <С ас 4“ Ъс.
Она въ соединеніи съ обратной формулой даетъ
равенство:
{а -ф- Ѵ)с = ас 4“ Ъс,
которое мы назовемъ просто распредѣлительнымъ за-
кономъ. Изъ него выводимъ непосредственно слѣдую-
щую формулу:
(я4“^) (с-\- сі)= ас-^-Ъс-^-асІ-^-ЪсІ,
и, затѣмъ вторую формулу распредѣлительнаго закона:
(л4-г) (Ъ 4” ^)-== аЪ 4- с,
ибо
(а4-г) (^4~^)— аЪ-^-ас-^-Ъс-^ с,
1
17
но, въ силу закона поглощенія,
ас-\-Ъс-\-с = с.
Изъ этой второй формулы вытекаетъ приведенное
выше включеніе:
(Ъ + с)< аЪ + с,
которое, такимъ образомъ, доказано.
Слѣдствіе. Имѣемъ, равенство:
аЪ-\- ас-\-Ъс=^а-\-Ъ) (я + 0 (Ъ-\-с).
Въ самомъ дѣлѣ,
= (а-\-Ьс) (Ь-ф-с)— аЬ ас-\~Ъс.
Замѣтимъ, что части этого равенства получаются
одна изъ другой перестановкой знаковъ умноженія и
сложенія (ср. п° 14).
13.	Опредѣленіе 0 и 1.
Обратимся теперь къ опредѣленію и къ введенію
въ логическое исчисленіе двухъ частныхъ терминовъ,
обозначаемыхъ нами чрезъ о и і въ виду формаль-
ныхъ аналогій, которыя они представляютъ съ ариѳ-
метическимъ нулемъ и единицей. Эти два термина фор-
мально опредѣляются слѣдующими двумя принципами,
утверждающими или. постулирующими ихъ существо-
ваніе:
VI.	Существуетъ терминъ о такой, что для вся-
каго термина х
о<Сх.
VII.	Существуетъ терминъ і такой, что для вся-
каго термина х
х < і.
Можно доказать, что каждый изъ опредѣленныхъ
такимъ образомъ терминовъ единственъ, т. е. что,
если другой терминъ обладаетъ тѣмъ же свойствомъ,
то онъ равенъ (тождественъ) первому.
Двѣ интерпретаціи этихъ терминовъ даютъ мѣ-
сто парадоксамъ, которыхъ мы не будемъ выяснять
Алгебра логпки.	2
18
здѣсь, и которые будутъ оправданы дальнѣйшей тео-
ріей *).
И. II. : о означаетъ классъ, содержащійся въ
каждомъ классѣ; это, слѣдовательно, нулевой, или пу-
стой классъ, который не содержитъ никакого элемен-
та (Ничто), і означаетъ классъ, содержащій всѣ классы;
это совокупность всѣхъ элементовъ, которые въ нихъ
содержатся. Это то, что называется (по Булю) міромъ
рѣчи, или, просто: Все.
И. Пр. : о означаетъ предложеніе, изъ котораго
вытекаетъ всякое предложеніе: это ложъ, или абсурдъ
(потому что изъ него вытекаютъ, какъ извѣстно, всѣ
пары противорѣчивыхъ предложеній), і означаетъ
предложеніе, вытекающее изъ всякаго предложенія: это
истина (потому что изъ лжи можетъ слѣдовать истина,
тогда какъ изъ истины слѣдуетъ только истина). По
опредѣленію, имѣемъ слѣдующія включенія:
о <о, о < і, і і,
изъ которыхъ первое и послѣднее вытекаютъ, впро-
чемъ, изъ принципа тождества. Важно замѣтить второе:
И. П. : нулевой классъ содержится въ классѣ Все* 2);
И. Пр. : Изъ ложнаго слѣдуетъ вѣрное.
Какъ слѣдствіе опредѣленій о и і, имѣемъ ра-
венства:
(а < о) = (а — о), (і < а) = (а і),
потому что, съ другой стороны, для всякаго термина а,
о<а, а<і.
Принципъ составленія даетъ мѣсто двумъ такимъ
слѣдствіямъ:
(а = о) (і = о) = (а-|-“^ = о).
(а = і) (Ь = і) = (аЬ = і).
х) Ср. сочиненіе того же автора „Мапиеі сіе Ьо§ізНдиеи, СЬ.
і, § 8 (Аісап, 1905).
2) Слѣдуетъ избѣгать чтенія/,.Ничто есть Все“.
19
Итакъ, можно соединить два равенства съ о во
второй части, складывая первыя части, и два равен-
ства съ і во второй части, перемножая первыя части.
Обратно: сказать, что сумма есть о, это значитъ
сказать, что каждое слагаемое есть нуль; сказать, что
произведеніе равно і, это значитъ сказать, что каж-
дый изъ сомножителей равенъ і.
Имѣемъ также:
(а-|-^ = о) < (а = о),
(аЬ = і) < (а — і),
и болѣе общія формулы (на основаніи принципа сил-
логизма):
(а<і) (й = о) < (а = о),
(а < і) (а — і) < (і = і).
Замѣтимъ, что пока изъ равенствъ аЬ = о,
а -ф- Ь — 1 нельзя еще вывести никакого заключенія. Въ
самомъ дѣлѣ, въ И. П. первое означаетъ, что часть, об-
щая классамъ а и 6, сводится къ нулю, откуда никакъ
не слѣдуетъ, что одинъ или другой изъ этихъ классовъ
суть нули; второе означаетъ, что эти два класса вмѣ-
стѣ составляютъ Все; откуда никакъ не слѣдуетъ, что
одинъ или другой изъ нихъ представляетъ Все.
Можно доказать слѣдующія формулы, составляю-
щія правила исчисленія для о и і:
^Хо=іо, а +1 — і,
бг—|—о = бг, лХі=л.
Въ самомъ, дѣлѣ,
(о<а) — (о=о/й) = (а-|~о = а),
(а<і) — (а = аХі) = (а-]-і = і).
Итакъ, прибавить о къ какому-либо термину или
же умножить терминъ на і значитъ оставить его безъ
измѣненія. Это свойство выражаютъ, говоря, что о есть
модулъ сложенія, а і—модуль умноженія. Напротивъ,
произведеніе какого-либо термина на о есть о, а сумма
его и і есть і.
20
Эти формулы оправдываютъ интерпретацію, дан-
ную разсматриваемымъ двумъ терминамъ:
И. П. : Общая часть какого-либо класса съ клас-
сомъ нулевымъ есть классъ нулевой; сумма какого
либо класса съ классомъ Все есть классъ Все. Сумма
нулевого класса съ какимъ-либо классомъ есть этотъ
послѣдній классъ; общая часть класса Все и какого-
либо класса есть этотъ послѣдній классъ.
И. Пр. : Одновременное утвержденіе какого-либо
предложенія съ предложеніемъ ложнымъ равносильно
этому послѣднему (т. е. ложно); тогда какъ альтерна-
тивное ихъ утвержденіе равносильно первому. Одно-
временное утвержденіе какого-либо предложенія вмѣстѣ
съ предложеніемъ истиннымъ равносильно первому,
тогда какъ альтернативное утвержденіе равносильно
послѣднему (т. е. вѣрно).
Примѣчаніе. Если принять четыре предыдущія фор-
мулы, какъ истины (въ виду очевидности, какую даетъ
имъ двойная интерпретація), то можно вывести пара-
доксальныя формулы
о О, х<і,
на основаніи доказанныхъ выше равенствъ
(а = аЬ) —	= {а + Ъ — Ь).
14.	Законъ двойственности.
Можно констатировать, что существуетъ совер-
шенная симметрія между формулами, относящимися къ
умноженію, и формулами, относящимися къ сложенію.
Отъ однихъ можно перейти къ другимъ, замѣняя
знаки сложенія знаками умноженія и наоборотъ, при
чемъ должны быть замѣнены другъ другомъ термины
о и і и измѣнено направленіе знака < (или перестав-
лены части включенія). Эта симметрія, или какъ гово-
рятъ, двойственность, такъ какъ она имѣетъ мѣсто для
принциповъ и опредѣленій, должна имѣть мѣсто также
21
для всѣхъ формулъ, которыя изъ нихъ выводятся, по-
скольку не введенъ какой-нибудь нарушающій ее прин-
ципъ или опредѣленіе. Поэтому изъ одной вѣрной фор-
мулы можно вывести другую вѣрную формулу, преоб-
разуя ее съ помощью двойственности, т. е. по выше-
указанному правилу. Въ этомъ состоитъ законъ двой-
ственности'. практически онъ позволяетъ дѣлать эконо-
мію одного доказательства на каждыя два. Важно
замѣтить, что этотъ законъ вытекаетъ изъ самыхъ
опредѣленій сложенія и умноженія (формулы которыхъ
двойственно коррелятивны), но не вытекаетъ, какъ это
часто думаютъ, изъ законовъ отрицанія, которыхъ мы
еще не указали. Эти законы, какъ сейчасъ увидимъ,
обладаютъ тѣмъ же свойствомъ, и такимъ образомъ
двойственность сохраняется; но они не обосновываютъ
ея, и двойственность существовала бы даже въ томъ
случаѣ, если бы совершенно не было введено понятіе
объ отрицаніи. Напримѣръ, равенство (п° 12)
аЬ-\-ас-{-Ъс—(а-}-Ѵ) (^ + ^) (Ъ с)
отвѣчаетъ самому себѣ въ силу двойственности, ибо
части его переходятъ одна въ другую съ помощью
двойственности.
Важно замѣтить, что законъ двойственности при-
мѣняется лишь къ предложеніямъ первичнымъ', такъ
называютъ тѣ предложенія, которыя содержатъ олну
лишь связку « или —).
Вторичными называютъ предложенія, которыхъ
двѣ части (соединенныя связкой < или =) суть пред-
ложенія первичныя и т. д. Напримѣръ, принципъ то-
ждества, принципъ упрощенія суть предложенія первич-
ныя; принципъ силлогизма, принципъ составленія суть
предложенія вторичныя.
15.	Опредѣленіе отрицанія.
Введеніе терминовъ о и і позволяетъ намъ опре-
дѣлить отрицаніе*, это дѣйствіе „единичное", преобра-
22
зовывающее одинъ элементъ въ другой, который на-
зывается его отрицаніемъ1). Отрицаніе а называется
не-а и пишется а'2). Его формальное опредѣленіе со-
держитъ слѣдующій постулатъ существованія:
VIII. Для всякаго термина а существуетъ такой
терминъ а', что
аа' — о, а-\- а' = і.
Можно доказать, что, если такой терминъ суще-
ствуетъ, то онъ единственъ,—при помощи слѣдующей
леммы:
если
ас = Ъс, а-\-с = Ъ~\-с}
то
а — Ь.
Доказательство. Умножимъ обѣ части второй по-
сылки на а\
а -|- ас = аЪ ас.
Умножимъ ихъ на Ъ\
аЪ-\-Ъс = Ъ -\-Ьс.
Въ силу первой посылки,
аЬ ас — аЬ ф Ъс}
*) Такимъ образомъ, одно и то же слово означаетъ и дѣй-
ствіе и результатъ, что представляетъ эквивокапію. Слѣдовало
бы результатъ обозначить инымъ именемъ напр. „отрицатель-
ный*. Нѣкоторые авторы употребляютъ названіе „дополнитель-
ный или дополненіе*, классическая логика употребляла (въ осо-
бенности для предложеній) терминъ „противорѣчивый*.
а) Мы употребляемъ здѣсь обозначеніе Мас СоІГя; Зсйгббег
обозначалъ не-а чрезъ а{, что препятствовало употребленію ука-
зателей при буквахъ и заставляло ставить ихъ на мѣстѣ пока-
зателей. Обозначеніе а9 имѣетъ преимущество не исключать ни
указателей, ни даже показателей. Что касается обозначенія а,
употребляемаго многими авторами, то оно неудобно въ типо-
графскомъ отношеніи. Если отрицаніе относится къ предложенію,
написанному въ явной формѣ (со связкой), то его прилагаютъ
къ связкѣ « или =), перечеркивая ее вертикально (<^ или ф).
23
Слѣдовательно,
а -|- ас — Ь -р Ьс,
что, въ силу закона поглощенія, сводится къ
а — Ь.
Примѣчаніе. Это доказательство основано на пря-
момъ распредѣлительномъ законѣ; нельзя поэтому до-
казывать его посредствомъ отрицанія, не дѣлая лож-
наго круга (по крайней мѣрѣ, въ принятой нами си-
стемѣ принциповъ).
Установивъ эту лемму, предположимъ, что тер-
минъ а имѣетъ два отрицанія, и пусть будутъ
а'ъ два термина, изъ которыхъ каждый въ отдѣльности
удовлетворяетъ условіямъ опредѣленія. Докажемъ, что
они равны между собой. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ,
по условію
лл\ = о, =
аа‘= о, а а >> = і,
то, слѣдовательно,
аа\ = аа\ а-\- а\=а-\-а'ъ
откуда, по предыдущей леммѣ, заключаемъ, что
а і —— а 2*
Мы можемъ говорить теперь объ отрицаніи тер-
мина, какъ о терминѣ единственномъ и вполнѣ опре-
дѣленномъ.
Однозначность дѣйствія отрицанія можетъ быть
выражена слѣдующимъ образомъ:
если
а — Ъ,
то
а' = Ъ*.
Это предложеніе позволяетъ, въ вычисленіяхъ,
„отрицать" обѣ части равенства.
16.	Принципы противорѣчія и исключеннаго средняго.
По опредѣленію, терминъ и его отрицаніе удовле-
творяютъ двумъ равенствамъ
асі — о, а-\-а' = і,
24
выражающимъ соотвѣтственно принципъ противорѣчія
и принципъ исключеннаго средняго !).
И. П. : і° Классы а и а' не имѣютъ общей части;
иначе говоря, никакой элементъ не есть вмѣстѣ а и не-я.
2° Классы а и а9 составляютъ вмѣстѣ Все; иначе
говоря, всякій элементъ есть или а, или не-я.
И. Пр. : і° Совмѣстное утвержденіе предложеній
а и не-« ложно; иначе говоря, эти два предложенія не
могутъ быть вмѣстѣ истинны.
2° Альтернативное утвержденіе предложеній а и
не-я вѣрно; иначе говоря, одно изъ этихъ предложеній
необходимо вѣрно.
Два предложенія, изъ которыхъ одно есть отрица-
ніе другого, называются противорѣчивыми', мы видимъ,
что они не могутъ быть ни вмѣстѣ вѣрны, ни вмѣстѣ
ложны. Если одно вѣрно, другое ложно; если одно
ложно, другое вѣрно.
Это согласно съ тѣмъ фактомъ, что термины о и і
представляютъ отрицаніе другъ друга; въ самомъ дѣлѣ,
О/і=О, О—]-І = I.
Мы говоримъ, вообще, что два термина противо-
рѣчивы, если одинъ есть отрицаніе другого.
17.	Законъ двойного отрицанія.
Указанная взаимность является общей: если тер-
минъ Ь есть отрицаніе а, то терминъ а есть отрицаніе Ь.
*) По справедливому замѣчанію Мгз. ЬаЛсі Ггапкііп (Ваісі-
•в)іп, Рісііопагу оЕ РЫІозорку апсі РзусЬоІо^у, агі. Ьалѵз оЕ ТІіои^Ы)
принципа противорѣчія недостаточно для опредѣленія проти-
ворѣчащихъ терминовъ; нужно прибавить къ нему принципъ
исключеннаго средняго, который заслуживалъ бы вполнѣ этого
имени. Поэтому Мгз. Ьас14 Ргапкііп предлагаетъ называть ихъ
соотвѣтственно: принципъ исключенія и принципъ исчерпыванія:
въ силу перваго два противорѣчивыхъ термина исключаютъ
(другъ друга), въ силу второго они являются исчерпывающими
( міръ рѣчи).
25
Въ самомъ дѣлѣ, оба факта выражаются тѣми же фор-
мулами :
аЬ = о, а-\-Ь = ту
и, совершенно такъ же, какъ онѣ опредѣляютъ Ъ одно-
значно въ функціи отъ а, онѣ опредѣляютъ и а одно-
значно въ функціи отъ Ъ. Это зависитъ отъ симметрич-
ности отношеній, т. е. отъ перемѣстительности умно-
женія и сложенія. Эта взаимность выражается закономъ
двойного отрицанія
(л'У = а,
который можетъ быть формально доказанъ такъ: а! у
по условію, есть отрицаніе а\ слѣдовательно
аа' = о, а-\-а9 = і.
Съ другой стороны, пусть а” будетъ отрицаніемъ
а'; имѣемъ также
а а" = о, а' -|- а" — і
Но, въ силу предыдущей леммы, эти четыре ра-
венства влекутъ за собой слѣдующее:
а = а"	ч. и я*, д.
Этотъ законъ можно выразить слѣдующимъ обра-
зомъ:	ч
Если Ъ = агу то а = Ь\ и обратно (въ силу сим-
метріи).
Это предложеніе позволяетъ въ вычисленіяхъ
переносить отрицаніе съ одной части равенства на
другую.
Законъ двойного отрицанія позволяетъ также за-
ключать о равенствѣ двухъ терминовъ на основаніи
равенства ихъ отрицаній:
Если а9 = Ь'у то также а =
т. е. этотъ законъ позволяетъ также отбрасывать отри-
цаніе въ обѣихъ частяхъ равенства.
Формулы характеризующія отрицаніе въ соеди-
неніи съ основными свойствами о и і позволяютъ за-
мѣтить, что каждое произведеніе, которое содержитъ
26
два противорѣчивыхъ сомножителя, равняется нулю, а
каждая сумма, которая содержитъ два противорѣчи-
выхъ слагаемыхъ, равняется единицѣ.
Въ частности, имѣемъ слѣдующія формулы:
‘а — аЪ-\-аЬ\
которыя доказываются — при помощи распредѣлитель-
наго закона—слѣдующимъ образомъ:
а — а X і =	+ V) = аЬ + аЬ'
а '==- а —]— о = а “I- ЬЬ ~==- (л —Ь} (а —|— Ь).
Эти формулы служатъ основаніемъ метода раз-
ложенія, который мы изложимъ дальше (п° зі и слѣд.).
18.	Вторая формула преобразованія включеній
въ равенства.
Мы можемъ теперь установить два очень важныхъ
соотношенія, устанавливающихъ эквивалентность между
включеніемъ и равенствомъ:
= (дУ = о), (л<&) = (а'-\-Ь = і).
Доказательство. і° Умножимъ обѣ части вклю-
ченія а<Ъ на Ь'\ получимъ:
— (аЬ'<6) — (аЬ'=о).
2° Обратно, извѣстно, что
а = аЬ аЬ'.
Если аЪ' — о, то
а = аЬ 4" о = аЬ.
Съ другой стороны: і° Прибавивъ а' къ двумъ
частямъ включенія я < й, получимъ
(а'а <а'-\-Ъ} = (і<л'4“^) = (а'-[-Ь = і);
2°. Извѣстно, что
Ь = +	(а’ + Ь).
Если с! + Ъ = і, то
Ь = (а + Ь) X і = я Ъ.
27
Предыдущія формулы позволяютъ преобразовы-
вать включеніе въ такое равенство, котораго вторая
часть, по желанію, будетъ о или і. Можно также вся-
кое равенство преобразовать въ равенство указаннаго
вида при помощи слѣдующихъ формулъ:
(а = Ь) — (аЬ' -ф- а’Ь — о), (а = Ь) = [(а -|-У) («' -|-Ь) = і)].
Доказательство.
(а=Ь)—(а<^Ь') (Ь<іа)=(аЬ'=о) (а'Ь=о)=(аЪ'-\-аЪ==о),
(а=/»)=(а<^)(/><а)=(а'-)-/>=і)(а+^'=і)=[(а-|-/’’)(а'+й)=і].
Имѣемъ еще двѣ формулы:
(а — Ь') = [(а-]-/>) (а'= о], (а = V) — (аЪ -|- а'Ь' = і),
которыя можно вывести изъ предыдущихъ, выполняя
указанныя умноженія (или указанныя сложенія) при по-
средствѣ распредѣлительнаго закона.
19.	Законъ противопоставленія.
Теперь можно доказать законъ противопоставленія'.
Доказательство. Въ силу предыдущихъ формулъ:
{а < Ь) = (аѴ — о) = {Ъ' < а').
Закону противопоставленія можно придать еще
слѣдующую форму:
(а <У) = (Ъ<а),
которая предполагаетъ законъ двойного отрицанія.
Она можетъ быть выражена словами такъ: „Можно
переставить члены включенія, при условіи замѣны
каждаго изъ нихъ его отрицаніемъ".
И. П. : „Если всякое а есть Ь, то всякое не-^
есть не-а, и обратно".
И. Пр. : „Если изъ а слѣдуетъ Ь, то изъ не-й слѣ-
дуетъ не-а, и обратно"; иначе говоря: „Если вѣрно а,
то вѣрно Ь“, равносильно: „Если ложно Ь, то ложно а“.
28	’
Эта эквивалентность есть принципъ разсужденій
отъ противнаго (см. гипотетическія заключенія шосіиз
іоііепз, п° 58).
20.	Постулатъ существованія.
Теперь мы формулируемъ послѣднюю аксіому,	।
которую назовемъ постулатомъ существованія'.	1
IX.	і<о,
откуда тотчасъ слѣдуетъ:
I фо.
Въ И. П. эта аксіома означаетъ, что міръ рѣчи
не есть нуль, т. е. что онъ содержитъ нѣкоторые
элементы, или по крайней мѣрѣ, одинъ элементъ.
Если’ онъ содержитъ только одинъ элементъ, то воз-
можны лишь два класса: і и о. Но и въ этомъ слу-
чаѣ они будутъ различны, и аксіома будетъ спра-
ведлива.
Въ И. Пр. эта аксіома означаетъ, что истина и
ложь различны; она въ этомъ случаѣ обладаетъ ха-
рактеромъ очевидности и необходимости. Предложеніе
противное і=о представляетъ поэтому типъ абсурда
(предложенія формально ложнаго), тогда какъ предло-
женія о=о, і=і суть типы тождества (предложенія
формально вѣрнаго). Поэтому можемъ написать:
(і = о)=о, (о = о) = (і = і)=і.
Вообще всякое равенство формы	;
X = X	Я
равносильно одному	изъ типовъ тождества, потому	|
что, если сведемъ вторую часть къ о или і, то	і
найдемъ:	1
(хх -|- хх = о) = (о = о), (хх-рх'х = і) = (і = і).	1
Напротивъ того,	всякое равенство	формы	?
х = х’
□
29
равносильно типу абсурда, потому что такимъ же об-
разомъ найдемъ:
(хх4-х'х' = о) = (і=о), (хх'4-хх* = і) = (о=і).
21.	Разложенія 0 и 1.
До сихъ поръ мы встрѣчали такія лишь формулы,
которыя прямо выражаютъ обыкновенные способы
разсужденія и потому являются непосредственно оче-
видными.
Мы обращаемся теперь къ изложенію теорій и
методовъ, удаляющихся отъ обычныхъ способовъ мы-
шленія и составляющихъ спеціально алгебру логики,
въ смыслѣ метода формальнаго и, такъ сказать, автома-
тическаго, безусловно общаго и несомнѣнно достовѣр-
наго, притомъ замѣняющаго разсужденіе вычисленіемъ.
Основной пріемъ этого метода есть разложеніе.
Если даны термины а, Ь, сг.. въ какомъ либо конеч-
номъ количествѣ, то можно разложить о и і по отно-
шенію къ этимъ терминамъ (и ихъ отрицаніямъ) при
посредствѣ слѣдующихъ формулъ, вытекающихъ изъ
распредѣлительнаго закона:
о = аа\
о — ааг~\-ЪЪ'=(а^Ъ)	(я'4-і) (а’ 4~^)»
о = аа, ЧгЬЪ’ + сс =(а-т-Ь-\-с)	(л-|-
+ И («'+^ + <0,
і = а 4~ а'
і = (а Ц- а') (Ь 4“ #') = аЪ аЪ'. 4“ а'Ь 4" а'Ъ‘>
і = (#4~я')	(^4“ с ) — аЬс 4" аЪс’ -\-аЪ'с-\-аЪ’с',
4“ а'Ьс-\-а’Ьс -\-а'Ь’с-\-а’Ь'с',
и т. д. Вообще, для всякаго числа и простыхъ терми-
миновъ о разлагается на произведеніе 2П сомножите-
лей, а і на сумму зп слагаемыхъ. Сомножителями нуля
являются всѣ сочетанія, получаемыя при цомощи сло-
женія, а слагаемыми единицы—всѣ сочетанія, получае-
мыя при помощи умноженія изъ п данныхъ терминовъ
и ихъ отрицаній, причемъ каждое сочетаніе содержитъ
п различныхъ терминовъ и не содержитъ никогда вмѣ-
стѣ термина и его отрицанія.
Слагаемыя разложенія і представляютъ то, что
Буль называлъ конституентами (міра рѣчи). Можно,
вмѣстѣ съ Порѣцкимъ, назвать ихъ минимальной си-
стемой рѣчи, потому что это суть наименьшіе классы,
на которые раздѣляется міръ рѣчи, еслй считаться
лишь съ п данными терминами; подобнымъ образомъ,
сомножителей нуля назовемъ максимальной системой
рѣчи, потому что это наибольшіе классы, которые
можно опредѣлить въ мірѣ рѣчи съ помощью данныхъ
п терминовъ.
22.	Свойства конституентовъ.
Конституенты, или минимальная система рѣчи,
обладаютъ двумя характерными свойствами противорѣ-
чивыхъ терминовъ (обобщеніемъ которыхъ они являют-
ся): они взаимно исключаются, т. е. произведеніе двухъ
какихъ-либо изъ нихъ равняется нулю; и являются со-
вмѣстно исчерпывающими, т. е. сумма всѣхъ ихъ „исчер-
пываетъ" міръ рѣчи. Послѣднее свойство является оче-
виднымъ въ силу предыдущихъ формулъ; первое же вы-
текаетъ изъ того факта, что два конституента разнятся
„знакомъ", по крайней мѣрѣ, одного изъ тѣхъ терминовъ,
которые фигурируютъ въ качествѣ сомножителей, т. е.
одинъ изъ нихъ содержитъ въ качествѣ сомножителя
этотъ терминъ, а другой—его отрицаніе. Этого доста-
точно, какъ извѣстно, для того, чтобы произведеніе
было нулемъ.
Максимальная система рѣчи обладаетъ аналогич-
ными и коррелятивными свойствами: произведеніе всѣхъ
ея элементовъ равняется, какъ мы видѣли, о; сумма же
двухъ какихъ-либо изъ нихъ равна і, въ виду того, что
они разнятся знакомъ, по крайней мѣрѣ, одного изъ тѣхъ
терминовъ, которые входятъ въ нихъ, какъ слагаемыя.
31
Ради простоты мы ограничимся, вмѣстѣ съ Бу-
лемъ и Шрёдеромъ, изученіемъ конституентовъ, или
минимальной системы рѣчи, т. е. разложеній і, и предо-
ставимъ читателю найти и доказать соотвѣтственныя
теоремы, касающіяся максимальной системы рѣчи, или
разложеній о.
23.	Логическія функціи.
Мы называемъ логической функціей каждый тер-
минъ, имѣющій сложное выраженіе, т. е. выраженіе,
составленное изъ буквъ, означающихъ простые тер-
мины, и изъ знаковъ трехъ логическихъ операцій х).
Логическую функцію можно разсматривать или какъ
функцію всѣхъ терминовъ рѣчи, или какъ функцію
только нѣкоторыхъ изъ нихъ, тѣхъ, которые считаются
неизвѣстными или перемѣнными (и обозначаются, въ
этомъ случаѣ, буквами х, у, #). Функцію перемѣн-
ныхъ или неизвѣстныхъ х,^, а обозначаютъ символомъ
/(х, у, з) или другими подобными, какъ въ обыкновен-
ной алгебрѣ. Логическую функцію можно разсматри-
вать, какъ функцію какихъ угодно терминовъ рѣчи,
независимо отъ того, входятъ ли они въ ея выраженіе,
или нѣтъ.
24.	Законъ разложенія.
Пусть теперь требуется разложить функцію /(х)
по отношенію къ х; допустимъ, что задача рѣшена, и
пусть искомое разложеніе будетъ
ах -р Ъх'.
Имѣемъ, по условію,
/(х) — ах-}-Ьх'
х) Въ этой алгебрѣ логическая функція аналогична цѣлой
функціи обыкновенной алгебры, съ той лишь разницей, что не
встрѣчается иныхъ степеней кромѣ первой.
32
для всевозможныхъ значеній х. Положимъ х = і, и, слѣ-
довательно» х' = о; получимъ
/(І) = б7.
Положивъ, затѣмъ, х=о и х'=і, получимъ
Эти два равенства опредѣляютъ коэффиціенты
разложенія а и Ь\ оно напишется, поэтому, такъ:
/(х)=/(і)х+/(о)х,
гдѣ/(і),/(о) представляютъ то, во что обращается функ-
ція /(х), когда мы полагаемъ соотвѣтственно х=і,х=о.
Слѣдствіе. Если умножить обѣ части предыду-
щихъ равенствъ послѣдовательно на х и х', то полу-
чаются слѣдующія пары равенствъ (Мас СоІІ)\
*/(*) =	*7 (*) = Ьх\
х/(х) = х/(і), х/(х) = х/(о).
Пусть требуется теперь разложить функцію двухъ
(или болѣе) перемѣнныхъ по отношенію къ двумъ
перемѣннымъ х, у. Разложивъ /(х, у) сначала по отно-
шенію къ х, получимъ
/(х, у) =Ді, ^)х4-/(о, у)х'.
Разложивъ затѣмъ вторую часть по отношенію
къ у, будемъ имѣть
Дх,у>=Ді, і)ху-НДі, о)х/+/(о, і)х>+/(о, о)ху.
Этотъ результатъ симметриченъ по отношенію къ
двумъ перемѣннымъ и потому не зависитъ отъ по-
рядка, въ которомъ выполняется разложеніе по каждой
изъ нихъ.
Такимъ же образомъ можно послѣдовательно полу-
чить разложеніе функціи 3, 4.... перемѣнныхъ.
Общій законъ этихъ разложеній таковъ:
Для разложенія функціи по отношенію къ п пе-
ремѣннымъ составляемъ всѣ конституенты этихъ п
перемѣнныхъ и умножаемъ каждый изъ нихъ на зна-
33
ченіе, которое принимаетъ функція, когда въ ней
положимъ равнымъ і каждый простой сомножитель
взятаго конституента Сили, что то же, положимъ рав-
нымъ нулю тѣ сомножители, которыхъ отрицанія вхо-
дятъ въ этотъ конституентъ).
Въ случаѣ, когда перемѣнная, по которой разла-
гаемъ,— напримѣръ у — не входитъ явно въ функцію
[какъ въ /(х), напримѣръ], имѣемъ по общему правилу:
/(*) ==/(*).? 4~/(*) У-
Въ частности, если а—терминъ постоянный (неза-
висящій отъ перемѣнныхъ, по которымъ разлагаютъ)
послѣдовательными его разложеніями будутъ:
а = ах 4~ ах,
а = аху + аху' -ф- аху + аху,
а — аху 2 -ф- ахуг’ -ф- аху'2 -ф- аху'2' 4 - ах'у2
-}-аху29 4е ах"у92-У аху'2' 9-	и т. ц.
Можно, впрочемъ, получить эти формулы непо-
средственно, умножая на а обѣ части каждаго разло-
женія, представляющаго і.
Слѣдствіе.—1°. Имѣемъ равенство:
(а-\-х') (Ъ-\-х) = ах-\-Ъх -\-аЪ = ах^~Ъх'.
Дѣйствительно, если выполнимъ дѣйствія, то най-
демъ :
ах-ф- Ъх9 -\-аЪх’\-аЪх = (а 4- аЪ) х4~ (Ь-\-аѴ) х'—ах-\-Ъх.
<2?. Имѣемъ равенство:
'	ах -ф- Ъх 4“ с = (а -ф- с) х 4~ (Ь 4~ с) х'.
Дѣйствительно, если разложимъ терминъ с по
отношенію къ х, то найдемъ:
ах-\- Ъх\ 4~ сх 4* сх9 = (а 4~ с) х -ф- (Ь 4~ х9
Итакъ, когда функція содержитъ члены, не зави-
сящіе отъ х (сумму которыхъ изображаетъ ^), то можно * *
Эти формулы выражаютъ методъ дихотомической клас-
сификаціи.
Алгебра логики.
3
34
свести ее къ формѣ разложенія ах-\-Ъх\ прибавляя с
какъ къ коэффиціенту х, такъ и къ коэффиціенту х'.
Поэтому всегда можно предполагать, что функція при-
ведена къ этой формѣ.
Практически разложеніе выполняется съ помощью
умноженія каждаго члена, который не содержитъ нѣ-
которой буквы,—напримѣръ х — на (х4~^г) и разло-
женія произведенія на основаніи распредѣлительнаго
закона. Потомъ нужно подобные члены, если имѣются,
свести къ одному.
25.	Формулы Де-Моргана.
Въ каждомъ разложеніи, представляющемъ і, сумма
какого-либо числа конституентовъ есть отрицаніе суммы
всѣхъ остальныхъ.
Дѣйствительно, сумма этихъ двухъ суммъ, по
условію, равна і, а ихъ произведеніе равно о, потому
что произведеніе двухъ различныхъ конституентовъ
равно о.
Изъ этого предложенія можно вывести формулы
Де-Моргана:
(а-\-Ьу = а'Ъ', (аЬ)’ = а'
Доказательство. Разложимъ сумму
а —{— Ь = аЬ —|— аЪ' —|— аЬ —}— а Ь = аЬ —|— аЬ' —|— а Ь.
Но разложеніе і по отношенію къ а и Ь содер-
житъ три члена этого разложенія и, кромѣ нихъ, чет-
вертый а'Ъ'. Этотъ послѣдній членъ представляетъ по-
этому отрицаніе суммы трехъ остальныхъ.
Вторую формулу можно доказать или коррелятив-
нымъ разсужденіемъ (разсматривая разложеніе о на
множители), или замѣчая, что разложеніе (а'-[-Ъ')
а'Ъ 4~ аЪ' + а'Ъ'
разнится отъ разложенія, представляющаго і? только
слагаемымъ аЬ.
35
Ясно, какимъ образомъ могутъ быть обобщены
формулы Де-Моргана; такъ, напримѣръ, для суммы трехъ
терминовъ будемъ имѣть:
а -ф- Ъ -ф- с = а Ьс -ф- аЬс'-\- аЬ'с -ф- аЬ'с'-\- а'Ъс -ф- а'Ъс’-\- а’Ъ'с.
Это разложеніе отличается отъ разложенія, пред-
ставляющаго і, только членомъ а'Ъ'с'] такимъ образомъ
получаются формулы:
(я-|-і-ф-с)' = а'Ъ’с\	-\-с\
представляющія обобщенія формулъ Де-Моргана.
Формулы Де-Моргана очень часто употребляются
въ вычисленіяхъ, потому что онѣ позволяютъ выпол-
нятъ отрицаніе суммы или произведенія, перенося его
на простые термины: отрицаніе суммы есть произведе-
ніе отрицаній слагаемыхъ; отрицаніе произведенія есть
сумма отрицаній сомножителей.
Эти формулы позволяютъ также переходить отъ
первичнаго предложенія къ предложенію, отвѣчающему
ему въ силу двойственности, и доказывать ихъ экви-
валентность. Для этого достаточно примѣнить къ дан-
ному предложенію законъ противопоставленія, затѣмъ
выполнитъ отрицаніе обѣихъ частей.
Примгьръ:
аЬ-\-ас-\-Ъс =	{Ь-[-с).
Доказательство:
(аЬ-^-ас-^-ЬсУ = [(а-ф-&) (а-ф^) {Ь -ф- <;)]',
{аЪ)' {асу {ЬсУ = {а -ф- Ьу -|- {а -ф-^ У +
{а'-\-Ь') (я'-ф-г)	= л'У-ф-^'-ф-^г'.
Такъ, какъ простые термины а, с произвольны
то можно отбросить значки, послѣ чего получится
вновь данная формула.
Итакъ, формулы Де-Моргана доставляютъ средство
нахожденія или доказательства формулы коррелятивной
съ данной, но, какъ сказано выше (п° 14), онѣ не слу-
жатъ основаніемъ этой коррелятивности.
з*
36
26.	Дизъюнктныя суммы.
Посредствомъ разложенія можно преобразовать
всякую сумму въ дизъюнктную, т. е. такую, въ которой
произведеніе каждыхъ двухъ слагаемыхъ равно нулю.
Дѣйствительно, пусть	будетъ суммой, отно-
сительно которой неизвѣстно, дизъюнктны ли ея сла-
гаемыя; такъ что слѣдуетъ предполагать, что они не
дизъюнктны. Разложеніе даетъ:
а-^Ъ-\-с = аЪс’\-аЪс-\-аѴс-\- аѴс1-\-а'Ъс-^аЪс-\-сіѴс.
Четыре первые члена этого разложенія составля-
ютъ разложеніе а по отношенію къ Ъ и с\ два слѣдую-
щіе представляютъ разложеніе а'Ъ по отношенію къ с.
Поэтому предыдущая сумма сводится къ суммѣ
а -|- а'Ъ	а'Ъ'с,
и члены этой послѣдней дизъюнктны, какъ и члены
предыдущей, что можно обнаружить провѣркой. Это
способъ общій и очевидный: для перечисленія, безъ
повторенія, всѣхъ а, всѣхъ Ъ, всѣхъ очевидно»,
достаточно перечислить всѣ а, потомъ всѣ Ъ, которыя
не суть а, потомъ всѣ с, которыя не суть ни а, ни Ь, и т. д.
Видимъ, что получаемое такимъ образомъ выра-
женіе не симметрично, потому что оно зависитъ отъ
порядка первоначальныхъ слагаемыхъ; такимъ образомъ,,
эта же сумма можетъ быть написана такъ:
Ь -|- аі'4“ а'Ъ'с, с 4~ а?4~ а'Ъс',...
Обратно, для упрощенія выраженія суммы можно
въ каждомъ изъ слагаемыхъ (расположенныхъ въ подхо-
дящемъ порядкѣ) отбросить сомножителей, предста-
вляющихъ отрицанія каждаго изъ предыдущихъ слагае-
мыхъ. Такимъ образомъ можно найти для суммы сим-
метричное выраженіе.
Такъ, напримѣръ, будемъ имѣть:
' а-\- а!Ъ — ЬаЪ* — а-\~Ъ.
1
37
27.	Свойства разложеннымъ функцій.
Практическая полезность разложеній въ алгебрѣ
логики основана на слѣдующемъ свойствѣ разложен-
ныхъ функцій:
Сумма или произведеніе двухъ разложенныхъ по
отношенію къ однѣмъ и тѣмъ же буквамъ функцій
получаются просто путемъ сложенія или умноженія
коэффиціентовъ; отрицаніе разложенной функціи полу-
чается просто путемъ отрицанія коэффиціентовъ ея
разложенія.
Мы докажемъ эти предложенія въ случаѣ двухъ
перемѣнныхъ; доказательство будетъ, очевидно, общимъ.
Пусть разложенныя функціи будутъ
яхяу -|- Ъхху' + с^х'у 4~*Л*У,
ХУ + ХУ' + С2 Х'У + ^2Х'У -
і° Утверждаю, что сумма ихъ есть
(«і + а2) ху +	-|- Ь2) ху'+ + с2)	(о\ + </2) х'у'.
Это вытекаетъ непосредственно изъ распредѣли-
тельнаго закона.
2° Утверждаю, что произведеніе ихъ есть
ахагху	ху'-^- ^1^2 Х’У + ^1^2 Х'у ' -
Дѣйствительно, если выполнимъ умноженіе по
общему правилу (прилагая распредѣлительный законъ),
то произведенія членовъ съ различными конституентами
будутъ всѣ равны о; останутся поэтому лишь произве-
денія членовъ съ одинаковыми конституентами, и такъ
какъ (въ .силу закона тавтологіи) произведеніе консти-
туента на самого себя равно этому же конституенту,
то нужно будетъ лишь перемножить коэффиціенты.
3° Наконецъ, утверждаю, что отрицаніе
аху 4- Ьху'-\- сх'у 4“ Лх'у'
есть
я'ху 4- Ь'ху'-\- с'х'у + сі'х'у'
38
Для доказательства достаточно провѣрить, что
произведеніе этихъ двухъ функцій равно нулю, а сумма
ихъ равна і. Дѣйствительно, имѣемъ:
(аху -ф Ъху’-^- сх’у -ф- сіх’у’) (а’ху -ф Ъ’ху’-\- с’х’у 4“ сі’х’у’)
— (аа’ху -ф- ЪЪ’ху’-\- сс’х’у -|- сісі'х’у’)
— (о.ху -ф- о.ху’ -|- о.х’у	о.х’у’) = о\
(аху -ф- Ъху’-\- сх’у + &х’у’) + (а’ху + Ъ’ху’-\- с’х’у + Н’х’у’)
= [(« + «') ху 4- (Ъ + Ь') ху’-\-(с + с’) х'у + (^+ ^') х’у’]
= (т.ху + 1.ху’ 4- І.х'у 4“ І.^У) = I
Частный случай. Имѣемъ равенства:
(аЪ-\-а’Ъ’)’ — аЬ’-\-а’Ь,
(аЪ’-\-а’Ъ)’ = аЪ-\-а’Ъ’,
которыя можно доказать многими другими способами,
—напримѣръ, замѣчая, что обѣ суммы (аЪ 4“ а’Ъ9) и
(аЪ’ -\-а’Ъ) составляютъ вмѣстѣ разложеніе, представляю-
щее і; или выполняя отрицаніе (аЪ-\-а’Ъ9)* съ помощью
формулъ Де-Моргана.
Изъ этихъ равенствъ можно вывести слѣдующее:
(аЪ’-\- а’Ъ = о) — (аЪ -ф- а’Ъ’= і),
что можно, впрочемъ, получить, замѣчая, что (п° і8)
(а = Ъ) = (^'-ф а’Ъ — о) = [(я 4- Ъ’) (а’ 4~ V) = і],
и выполняя умноженіе, указанное въ послѣднемъ вы-
раженіи.
ЗЛеорема. Имѣютъ мѣсто слѣдующія равенства х):
(а = Ъс’ 4- Ъ’с) = (Ъ — ас’-\- а’с) = (с = аЪ’ 4“ а’Ъ').
Въ самомъ дѣлѣ, сводя въ первомъ равенствѣ
вторую часть къ о, получимъ:
а (Ъс -ф Ь’с’) 4"4 (^4“ Ъ’с) = о,
аЪс-^аЪ’с’-\-а’Ъс’-]-а’Ъ’с ~ о.
Видимъ, что первая часть этого равенства симме-
трична относительно терминовъ а, с. Отсюда заклю-
’) Віапіеу }еѵоп§, Риге Ьо^іс, 1864, р. 6і.
39
чаемъ, что, если выполнить то же. преобразованіе надъ
двумя другими равенствами, отличающимися отъ пер-
ваго только перестановкой буквъ, то результатъ бу-
детъ тотъ же, а это и доказываетъ предложеніе.
Слѣдствіе. Если имѣемъ вмѣстѣ три включенія
а	с} Ъ^.ас'-^а'с, с^аЪ’-^аЧ),
то справедливы также обратныя включенія и, слѣдова-
тельно, соотвѣтственно, равенства
а = Ъс'-\-Ѵс, Ъ = ас'-\~а'су с = аЬ'-\-а'Ь.
Дѣйствительно, если преобразуемъ данныя вклю-
ченія въ равенства, то найдемъ:
аЬс 4- аЪ'с'= о, аЬс + а'Ьс'~ о, аЬс + а'Ъ'с= о,
откуда, соединяя эти равенства въ одно, имѣемъ:
аЬс + аЬ'с'-\г а'Ъс'Д- а'Ь’с = о.
Но это равенство равносильно, какъ мы только
что видѣли, каждому изъ трехъ доказываемыхъ ра-
венствъ.
28.	Границы функціи.
Говорятъ, что терминъ х содержится между двумя
данными терминами а и если онъ заключаетъ одинъ
изъ этихъ терминовъ и заключается въ другомъ, т. е.,
если, напримѣръ,
а х, х Ь,
что сокращенно пишется такъ:
а < х < Ъ.
Эта' формула называется двойнымъ включеніемъ.
Въ случаѣ, когда терминъ х—перемѣнный и заключается
между двумя постоянными а и й, эти постоянные тер-
мины называются границами перемѣннаго.
Первая граница (содержащаяся въ х) будетъ ниж-
ней границей, вторая (которая содержитъ х) будетъ
верхней границей.
40
Ліеорема Разложенная функція содержится между
суммою и произведеніемъ своихъ коэффиціентовъ.
Докажемъ сначала теорему для функцій одной
перемѣнной:
ах-\-Ъх*.
Имѣемъ, съ одной стороны,
(аЬ <С а) <С (аЪх < ах),
(аЪ < і) < (аЪх' < Ъх').
Слѣдовательно,
аЬх -|- аЪх'^С ах + Ьх\
или
аЪ < ах 4- Ьх'.
Съ другой стороны,
< |/гу < (я + #) я],
Слѣдовательно,
ах-]- Ъх'< (^4-і) (х + х),
или
ах + іх'< а 4~ Ь.
Въ результатѣ получаемъ
аЬ < ах 4- Ъх < а-\-Ь	ч. и т. д.
Примѣчанія.—1°. То же самое двойное включеніе
можно представить въ слѣдующей формѣ *):
ДЯ </(х) <Да\
Въ самомъ дѣлѣ,
/(#) = аа 4“ Ьа'= а 4-
/(і) = ^4-^'= аЪ.
Но эта форма, свойственная уравненію съ одной
неизвѣстной, не можетъ быть, повидимому, обобщена,
между тѣмъ какъ предыдущая допускаетъ обобщеніе.
*) Еи^еп Мйііег, Аиз сіег А1§еЬга сіег Ео^ік, АіЧ. П.
41
Дѣйствительно, легко замѣтить, что предыдущее дока-
зательство является общимъ. Каково бы ни было число
п перемѣнныхъ (а, слѣдовательно, число 2П конституен-
товъ), совершенно такимъ же образомъ можетъ быть
доказано, что функція содержитъ произведеніе коэффи-
ціентовъ и содержится въ ихъ суммѣ. Теорема поэтому
является общей.
2°. Эта теорема предполагаетъ, что всѣ консти-
туенты имѣются въ разложеніи, такъ что, слѣдовательно,
тѣ, которыхъ въ дѣйствительности въ разложеніи нѣтъ,
предполагаются входящими въ него съ коэффиціентомъ
о. Въ этомъ случаѣ, произведеніе всѣхъ коэффиціентовъ,
очевидно, равно нулю. Также въ случаѣ, когда одинъ
коэффиціентъ имѣетъ величину і, сумма всѣхъ коэффи-
ціентовъ равна і.
Дальше (п° 38) будетъ доказано, что функція мо-
жетъ достигать своихъ границъ, и, что, слѣдовательно,
онѣ суть крайнія ея значенія. Пока мы знаемъ только,
что функція всегда заключается между ними.
29.	Формула Порѣцкаго 1).
Имѣетъ мѣсто равенство
(х = ах 4- Ъх') = (Ь < х < а).
Доказательство', Умножимъ сначала обѣ части
даннаго равенства на х; получимъ:
х = ах,
что, какъ знаемъ, равносильно включенію
х < а.
Умножимъ, затѣмъ, обѣ части на х'; получимъ:
о = іх',
что, какъ знаемъ, равносильно включенію
&<х.
*) Порѣцкій. О способахъ рѣшенія логическихъ равенствъ.
Казань. 1884. (Извѣстія физико-мат. общ. въ Казани, т. II).
42
Въ результатѣ имѣемъ:
(х = ах-\- Ьх') < (Ь < х < а).
Обратно, имѣемъ:
(Ь<^х<^а) < (х — ах + Ьх').
Въ самомъ дѣлѣ,
(х < а) = (х = ах),
(Ъ < х)(Ьх'— о).
Сложивъ почленно эти два равенства, получимъ
(х = ах) (о = Ьх') < (х~ах-\- Ъх').
Слѣдовательно,
(Ъ х < а) < (х = ах + Ъх').
Требуемое равенство, такимъ образомъ, доказано.
30.	Теорема Шрёдера 9-
Равенство
г
ах -р Ъх'= о
означаетъ, что х содержится между а' и Ь.
Доказательство:
(ах + Ъх'= о) = (ах = о) (Ьх'= о),
(ах = о) = (х < а'),
(Ьх' = о) = (Ь < х).
Слѣдовательно,
(ах-^Ьх'— о) = (Ь < х< а').
Сопоставляя эту теорему съ формулой Порѣцкаго,
получаемъ непосредственно равенство:
(ах Ъх'— о) = (х = а'х -|- Ъх'\
которое можно доказать и прямо, сводя формулу По-
рѣцкаго къ равенству съ нулемъ во второй части:
Вскгдсіег, Орегаііопзкгеіз (іез Ьо^іккаікиіз, ТЬёогёте 20,
1877.
43
(х = а'х -|- Ъх') = [х (ах 4“ Ь'х') 4* х' (а'х 4“ &ѵ') = о]
— (ах-\-Ъх'= о).
Если разсматривать данное равенство, какъ урав-
неніе, въ которомъ х — неизвѣстное, то формула По-
рѣцкаго будетъ представлять его рѣшеніе.
Двойное включеніе
Ъ < х < а1
дастъ, по принципу силлогизма,
Ь<а'.
Это—слѣдствіе даннаго равенства; оно не зависитъ
отъ х. Его называютъ результатомъ исключенія х изъ
даннаго уравненія. Оно равносильно равенству
аЪ — ъ.
Поэтому имѣемъ слѣдующее включеніе
(ах 4- Ъх'~ о) < (аЬ = о).
Если принять во вниманіе это слѣдствіе, то можно
упростить рѣшеніе; дѣйствительно,
(аЬ — о) = (Ъ = а'Ъ).
Слѣдовательно,	*
х = а'х 4~ Ъх'— а'х 4" а'Ъх
= а'Ьх 4“ а'Ъ'х 4- а'Ьх' = а'Ъ 4- а'Ъ'х
= Ъ 4~ а'Ъ'х = Ъ 4“ а'х.
Эта форма рѣшенія наиболѣе согласна съ обычнымъ
пониманіемъ: такъ какъ х содержитъ Ъ и содержится
въ а', то естественно, что х равняется суммѣ Ъ и части
а' (именно части, общей а' и х). Рѣшеніе это является
вообще — неопредѣленнымъ (между границами а' и Ъ\
оно будетъ опредѣленнымъ лишь въ случаѣ, когда
границы совпадаютъ, т. е.
а' = Ъ,
потому что тогда
х = Ъ 4~а'х —-Ъ-\~Ьх — Ъ = а'.
44
И дѣйствительно, уравненіе принимаетъ тогда
видъ
(ах-\-ах —6) — (а'— х)
и равносильно двойному включенію
(а9<^х<^а') — (х = а'). .
31.	Результатъ исключенія.
Если аЪ не нуль, то уравненіе невозможно (всегда
ложно), потому что оно допускаетъ ложное слѣдствіе.
Поэтому Шрёдеръ разсматривалъ результатъ
исключенія, какъ условіе уравненія. Не слѣдуетъ, однако,
впадать въ ошибку вслѣдствіе двузначности этого
слова; результатъ исключенія не есть причина уравне-
нія, онъ есть лишь слѣдствіе; онъ не является усло-
віемъ достаточнымъ, а лишь необходимымъ.
Можно прійти къ тому же заключенію, замѣчая,
что аЬ представляетъ нижнюю границу функціи ах-]- Ьх >
и что, поэтому, функція не можетъ обращаться въ
нуль, если эта граница не о:
(аЬ < ах + Ьх9) (ах-\-Ьх9= о) < (аЬ = о).
Результатъ исключенія можно представить въ
другихъ равнозначущихъ ‘ формахъ: напримѣръ, если
уравненіе написать въ формѣ
(я + О (і + х) = о,
то результатъ исключенія
аЬ = о
получается устраненіемъ неизвѣстной (отбрасываніемъ
терминовъ х и х'). Уравненіе можно написать еще такъ:
а’х-\-Ь'х — і,
а результатъ исключенія слѣдующимъ образомъ:
45
Здѣсь результатъ исключенія также получается
просто устраненіемъ неизвѣстнаго 1).
Примѣчаніе. Если въ уравненіе
ах ф Ъх' = о
подставить вмѣсто неизвѣстной х значеніе ея изъ
уравненія
х = я'х-ф Ьх, х = ах Ь'х'}
то получится:
(аЬх ф аЪх' — о) = (аЬ = о),
т. е. результатъ исключенія х, который, какъ мы ви-
дѣли, есть слѣдствіе самого уравненія. Такимъ образомъ
убѣждаемся, что значеніе х дѣйствительно удовлетво-
ряетъ этому уравненію. Поэтому можно (вмѣстѣ съ
Ѵоі&І’омъ) опредѣлить рѣшеніе уравненія, какъ зна-
ченіе, которое, будучи подставлено вмѣсто х въ уравне-
ніе, обращаетъ его въ результатъ исключенія х.
Частный случай. Въ случаѣ, когда уравненіе со-
держитъ членъ, независящій отъ х, т. е. имѣетъ видъ
ах 4» Ъх'-\- с = о,
4)	Это—методъ исключенія Мізз Ьасісі и МйсІіеПе’я. Но это
правило, при своей кажущейся простотѣ, вводитъ въ заблужде-
ніе, такъ какъ его нельзя прилагать къ тому же уравненію, .
написанному въ одной изъ формъ:
ах -|- Ъх* — о, (а* ф *) ф х) = і.
Въ случаѣ не-равенствъ, оно, какъ увидимъ (п° 54), при-
ложимо къ формамъ
ахфбх'фо, (а*-\-х*) (6'фх)фі,
но не приложимо къ эквивалентнымъ формамъ
(а ф х') (Ь ф х) ф о, а*х ф Ъ*х ф і.
Слѣдовательно, оно не имѣетъ удобства мнемоническаго-
правила, которое ему приписываютъ, такъ какъ для правильнаго
его употребленія нужно помнить, къ какимъ формамъ оно при-
ложимо.
46
оно равносильно уравненію
(а 4-^) х 4- {Ъ + с) х'= о,
и результатомъ исключенія служитъ
(^4-0 = аЪ-\-с — о
Отсюда выводимъ такое практическое правило:
для полученія результата исключенія х въ этомъ случаѣ
достаточно приравнять нулю произведеніе коэффиціен-
товъ х и х', къ которому прибавленъ членъ, независящій
ОТЪ X.
32.	Случай неопредѣленности.
Результатъ исключенія
аЪ = о
отвѣчаетъ случаю возможности уравненія, равенство же
а-\- Ъ — ъ
отвѣчаетъ случаю абсолютной неопредѣленности. Въ
самомъ дѣлѣ, въ этомъ послѣднемъ случаѣ, оба коэффи-
ціента уравненія равны нулю (а = о), (Ъ = о), уравненіе
сводится къ тождеству (о = о) и потому „тождественно"
удовлетворяется при всякомъ значеніи х; оно нисколько
не опредѣляетъ х, потому что двойное включеніе
і<х<а'
обращается тогда въ
о<х< т,
что нисколько не ограничиваетъ перемѣнности х. Въ
этомъ случаѣ говорятъ, что уравненіе неопредѣленно.
Можно прійти къ тому же заключенію, замѣчая,
что а-\-Ь представляетъ верхнюю границу функціи
ах-\-Ъх' и, что, если эта граница равна о, функція и
подавно равна о для всякаго значенія х:
(ах-\-Ьх'<іа-^Ъ) (а-\~Ь = о)<(ах-\-Ьх'= о).
47
Частный случай, — Когда уравненіе содержитъ
членъ, независящій отъ х,
ах + Ъх1	с = о,
условіе абсолютной неопредѣленности принимаетъ видъ
# Н” 4~ с :===‘ о*
Дѣйствительно,
ах + іх'4“ с = {а + с) х -|- (Ъ 4“ с)х',
(а -р с) 4~ 4" с) — я 4~ "I" с = о,
33.	Суммы и произведенія функцій.
Важно ввести теперь одно обозначеніе, заимство-
ванное изъ математики и очень удобное въ алгебрѣ
логики. Пусть выраженіе содержитъ перемѣнную / (х);
предположимъ, что совокупность значеній, которыя
можетъ принимать х, вполнѣ опредѣлена; совокупность
значеній, которыя вслѣдствіе этого принимаетъ / (х),
будетъ также вполнѣ опредѣленной. Сумму ихъ будемъ
обозначать чрезъ / (х), а ихъ произведеніе—чрезъ
X
п / (х). Мы сказали, что это—новое обозначеніе; но
X
это не новое понятіе, потому что здѣсь просто идея
суммы и произведенія, примѣняется къ значеніямъ
функціи.
Когда обозначенія и ] [ прилагаются къ пред-
ложеніямъ, онѣ принимаютъ любопытный смыслъ:
П№) = °]
X
означаетъ, что / (х) = о справедливо для всѣхъ значе-
ній х, а
2 №)=<>]
X
означаетъ, что / (х) = о справедливо для нѣкоторыхъ
значеній х. Дѣйствительно, для того, чтобы произве-
48
деніе равнялось і (т. е. было вѣрно), нужно, чтобы
каждый сомножитель равнялся і (т. е. былъ вѣренъ);
а для того, чтобы сумма была равна і (т. е. была бы
вѣрна), достаточно, чтобы одно изъ слагаемыхъ было
равно і (т. е. было вѣрно).
Такимъ образомъ получаемъ способъ переводить
общія и частныя предложенія, относящіяся къ перемѣн-
нымъ, т. е. имѣющія форму: „для всякаго х такое-то
предложеніе вѣрно", „для нѣкотораго х такое-то пред-
ложеніе вѣрно", и т. д.
Напримѣръ, равенство
(а = Ь) = {ас — Ьс) {а -|- с = Ь 4~ с)
заключаетъ въ себѣ нѣчто парадоксальное, потому
что во второй части имѣетъ терминъ (с), котораго нѣтъ,
въ первой. Дѣло въ томъ, что это равенство не зави-
ситъ отъ с; такъ что его можно написать слѣдующимъ,
образомъ (разсматривая с, какд> перемѣнное х):
УУ [(« = Ь) = {ах — Ьх) {а + х — Ь -|- х)],
X
или, такъ какъ первая часть не зависитъ отъ х,
(а = [{ах=Ьх} (а4-х==#4~х)]-
X
Вообще, когда предложеніе содержитъ перемѣн-
ный терминъ, необходимо строго отличать случаи,,
когда оно вѣрно для всѣхъ значеній перемѣнной, отъ.
случаевъ, когда оно вѣрно для нѣкоторыхъ только
значеній перемѣнной *)• Для этого именно и служатъ,
символы и 2*
Такъ, если говоримъ, что уравненіе
ах-^*Ьх'= о,
г) Подобно тому, какъ въ математикѣ различаютъ тожде-
ства и уравненія^ съ той разницей, что уравненіе можетъ не
удовлетворяться никакимъ значеніемъ перемѣнной.
49
напримѣръ, возможно, то утверждаемъ, что ему удо-
влетворяетъ нѣкоторое значеніе х, т. е.
2 (ах 4- Ьх'— о),
-V
и, такъ какъ необходимымъ и достаточнымъ условіемъ
этого является вѣрность результата исключенія (аЬ = о),
то должно написать
2 (ах + Ъх’= о) ~ (аЬ = о),
между тѣмъ какъ имѣется лишь включеніе
{ах &х'= о) < (аЪ = о).
Напротивъ того, для того, чтобы уравненіе удо-
влетворялось для всякаго значенія х, необходимымъ и
достаточнымъ является условіе
а 4~ Ь = о.
Доказательство.—1°. Условіе достаточно; потому
что, если
(а 4- Ъ — о) = (а — о) (Ь = о),
то, очевидно,
ах-\-Ъх = о,
при всякомъ х, т. е.
(ах-\-Ьх--о).
X
г0. Условіе необходимо; такъ какъ, если
(ах 4“ Ъх = о),
X
то уравненіе справедливо въ частности для значенія
х = а, т. е. имѣемъ:
а-\-Ь — о.
Такимъ образомъ, равенство
| [ (ах + Ъх’— о) = (а -]- Ъ — о)
Алгебра логики.
50'
доказано *). Въ этомъ случаѣ уравненіе сводится къ
тождеству. первая часть его тождественно равна нулю.
34.	Выраженіе включенія при посредствѣ индетерми-
наты.
Предыдущее обозначеніе является неизбѣжнымъ
во всѣхъ почти случаяхъ, гдѣ въ одной части равен-
ства фигурируютъ перемѣнныя или неопредѣленныя,
не встрѣчающіяся въ другой. Напримѣръ, нѣкоторые
авторы пишутъ слѣдующія два равенства:
{а < Ь) = (а =- Ъи) —	=
гдѣ г/, ѵ суть двѣ „индетерминаты". Каждое изъ двухъ
равенствъ имѣетъ слѣдствіемъ включеніе (а < Ь\ въ чемъ
можно убѣдиться, исключая изъ этихъ равенствъ соот-
вѣтственно и и ѵ:
і° \а (#'-|~ и') 4“ а'Ъи — о]	1(^'4“ а и 4” аи'~ о].
Результатъ исключенія будетъ
[(^'4> а'Ь) я — о] — (аЬ'=- о) = {а < і).
2° [(я + г’)	а’Ьѵ’~ о] [Ь'ѵ 4“ (ай'4-	ѵ'= о].
Результатъ исключенія будетъ слѣдующій
[У (^'4- аІ>) — о] — (аЬ’~ о) = (а <Ь).
Но нельзя сказать, что и обратно, изъ включенія
вытекаютъ оба равенства для всякихъ значеній и и
и, дѣйствительно, ограничиваются доказательствомъ,
что это имѣетъ мѣсто лишь для нѣкоторыхъ значеній
и и 2/, именно для частныхъ значеній
и --а, Ь — ѵ]
въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ:
(а = аЬ) — (а < Ь) — (а 4~ Ь— Ъ).
Но изъ того, что заключеніе (а, слѣдовательно,
и равенство) вѣрно для нѣкоторыхъ значеній индетер-
*) Еи^сп Мйііег, Іос. сіі.
51
минатъ, нельзя заключать, что оно вѣрно для всякихъ;
именно, оно не вѣрно для частныхъ значеній
и=1, г? = о,
потому что тогда каждое изъ равенствъ (а = Ъи) и
= обращается въ (а = й), которое, очевидно,
выходитъ за предѣлы даннаго включенія (л < Ь) х).
Можно поэтому написать лишь слѣдующія равен-
ства:
(д < Ь) =2 {а — Ьи)	(д 4- V = ьу,
’• и	ѵ
три же слѣдующія выраженія
(« < ЪУ	1Т (« = Ьи), 1У (а 4- ѵ = V) 2)
гі	ѵ
не эквивалентны между собою.
35.	Выраженіе двойного включенія при посредствѣ
индетерминаты.
Ліеорема: двойное включеніе
Ь<І,х<^ а
*) Также, если положить
и = о, ѵ = і.
то получатся равенства
(а = о)., (Ь = і),
еще болѣе выводящія за предѣлы даннаго включенія.
2) На основаніи замѣчанія, сдѣланнаго въ предыдущей вы-
носкѣ, имѣемъ, очевидно,
(а = Ьи) = (а = Ь = о), (а ѵ = Ь) = (а — Ь — і),
гі	ѵ
потому что равенства со знакомъ I I должны быть справедлив ы
такъ же и для значеній	1
и = о, и = т и ѵ = о. ѵ — і.
Если желательно знать, въ какихъ предѣлахъ могутъ измѣ-
52
равносильно равенству
х = /іи + Ьи*
соединенному съ условіемъ (Ь < а), при чемъ и является
терминомъ совершенно неопредѣленнымъ.
Доказательство.
Развернувъ разсматриваемое равенство, получимъ
х(а'иЪ'и')4“% (аи 4* Ъи) = о,
(а'х4~ ах} гі 4~	4“	и'— °-
Исключая и, находимъ:
а!Ь'х-\-аЪх' ='о.
Это уравненіе равносильно двойному включенію
аЬ х < а 4* Ь.
Но, по условію, имѣемъ
(Ъ < а) = (аЬ — Ь} = (а 4~ Ь = а).
няться индетерминаты и и то достаточно разрѣшить въ отно-
шеніи ихъ уравненія
(а < 6) = (а = ди), (а < Ь) = (а -|- ѵ = Ъ),
или
аЪ' = а’ди	аУ -|- аи’, аЬ1 = аЬ1 -|- Ъ’ѵ 4- а’Ъѵ1,
или, наконецъ,
а’Ъи 4- ади' = о, и*д*ѵ 4- а'Ьѵ1 = о,
откуда (по формулѣ, которая будетъ доказана ниже) находимъ-
рѣшенія:
и = ад-\-гѵ (а-(- Ъ'\ ѵ = аЪ 4-ге (« + 6),
или же просто
и — ад-\- юд’, ѵ = а'д-[- гѵа,
гдѣ оі остается совершенно неопредѣленнымъ. Эти рѣшенія
можно найти просто на основаніи здраваго смысла, задавши лишь,
себѣ вопросъ: на какой терминъ нужно умножить ЪЛ чтобы полу-
чить а?—На терминъ, содержащій аЬ и какую угодно часть не—
Ь. Какой терминъ должно прибавить къ а, чтобы получить д?—
Терминъ, который содержитъ а'д и какую угодно часть а. Словомъ,.
и можетъ измѣняться между аЬ и а д\ ѵ между а'Ъ и а 4- Ь.
53
Слѣдовательно, двойное включеніе сводится къ
Ъ <іх < а.
Итакъ, при всякомъ и, разсматриваемое равенство
влечетъ за собою двойное включеніе. Обратно, двойное
включеніе влечетъ равенство; каково бы ни было х\
потому что оно равносильно
ах -|- Ьх' — о,
такъ что равенство упрощается и сводится къ
ах’и-\~Ь'хи’ — о.
Отсюда всегда можно получить значеніе и въ
функціи х, потому что результатъ исключенія (аЬ'хх' — о)
является тождествомъ. Рѣшеніемъ служитъ двойное
включеніе
Ъ'х < и < а' -р х.
Примѣчаніе.—Этотъ результатъ, который показы-
ваетъ, что и заключается между опредѣленными грани-
цами, не противорѣчитъ предыдущему утвержденію,
что и совершенно неопредѣленно. Дѣйствительно, по-
слѣднее предполагаетъ х какимъ угодно, лишь бы
выполнялось двойное включеніе; между тѣмъ какъ,
выражая и въ функціи х, мы предполагаемъ, что х
имѣетъ опредѣленное значеніе; и именно, въ отношеніи
къ этому частному значенію х, и имѣетъ границы 1).
Для полной опредѣленности и необходимо и до-
статочно, чтобы
'	Ь'х = а' -\-х,
т. е.
Ъ'хах' Д- (Ь 4“ х') (а* Д- х) — о,
или
Ьх 4- а'х = о.
9 Впрочемъ, если въ нижнюю границу г/, подставить вмѣ-
сто х, его нижнюю границу д, то она обратится въ ЬЫ = о; и
если въ верхнюю границу и, подставить вмѣсто х, его верхнюю
границу, то она обратится въ а-уа1 = і.
54
Но уже по условію
а9х Ьх — о.
Соединяя эти два равенства, находимъ:
{а9 + Ь = о) — (а = і) (Ъ — о).
Это тотъ случай, когда значеніе х остается совер-
шенно неопредѣленнымъ, потому что заключается между
границами о и і.
Въ этомъ случаѣ имѣемъ:
и Ь'х ~ а 4“ х = х.
Для того, чтобы значеніе и было совершенно не-
опредѣленнымъ, необходимо и достаточно, чтобы было»
одновременно
Ух = о,	—і,
или
Ѵх-\-ах = о,
т. е.
а <іх < Ь.
Но уже по условію
Ь < х < а.
Отсюда заключаемъ, что
Ь = х = а.
Это — случай, когда значеніе х является вполнѣ
опредѣленнымъ.
36. Рѣшеніе уравненія съ одной неизвѣстной.
Рѣшеніе' уравненія
ах Ьх9 = о
можно представить въ видѣ
х = а* и + Ъи\
гдѣ и индетермината, — подъ условіемъ, что оказы-
вается вѣрнымъ результатъ исключенія.
55
Дѣйствительно, только что доказано, что изъ
этого равенства вытекаетъ слѣдующее:
аЪ'х -|- а'Ъх' = о,
которое равносильно двойному включенію
а'Ь <Сх < а'-\-Ъ.
Но, по условію:
(аЪ = о) — (а'Ъ = Ъ) = (а' -\-Ъ — а').
Поэтому' предложенное рѣшеніе имѣетъ слѣд-
ствіемъ, при этомъ условіи, двойное включеніе
і <х<а',
которое равносильно4 данному уравненію.
Примѣчаніе, При томъ же условіи
(аЪ = о) = (/> < л'),
можно дать рѣшенію болѣе простыя, хотя менѣе сим-
метричныя формы:
х = Ь-\-а'х — а'(Ъ-\-и).
Дѣйствительно,
і° имѣемъ тождество:
Ъ — Ъи -\-Ьи'.
Но
(Ъ < а') < (Ьи < а'и).
Слѣдовательно,
(х = Ъи' + а’и) = (х = Ъ -ф- а'и).
2? Докажемъ затѣмъ формулу
х = а'Ъа’и.
Такъ какъ
а'Ъ = Ъ,
то:
х — Ъ-^-а'и^
что приводитъ къ предыдущей формѣ.
Можно то же рѣшеніе представить еще въ такой
формѣ:
х = а'Ъ + и (аЪ + аЪг)у
56
^которая вытекаетъ изъ уравненія, написаннаго въ вцдѣ
аЪ9х-\-а'Ъх’ = о,
—на основаніи замѣчанія, что
а' 4~ Ь = аЪ 4“ а'Ь -ф-
и что
иа'Ь а'Ь.
Но эта послѣдняя форма содержитъ безполезное
усложненіе, потому что, по условію,
аЪ = о.
Поэтому остается
х а*Ь + иа'Ь\
что равносильно
х — Ь 4- иа',
потому что
аЬ = а9 = аЪ 4-а’Ь9.
Какую бы форму ни придать рѣшенію, пара-
метръ и остается совершенно неопредѣленнымъ, т. е
можетъ принимать всевозможныя значенія, со включе-
ніемъ о и і; въ самомъ дѣлѣ, при г/=-о имѣемъ
х —
а при и — і
х — а! >
Это крайнія значенія х.
Отсюда понятно, что х будетъ опредѣленнымъ въ
частномъ случаѣ, когда а' =Ь, и что онъ будетъ, на-
противъ того, совершенно неопредѣленнымъ въ част-
номъ случаѣ, когда
&’=о, а’=т (или а=о).
Въ результатѣ, формула,
х — а'и -\~Ъи'
замѣняетъ „ограниченную44 перемѣнную х (содержа-
щуюся между границами а9 и Ь) „неограниченной" пере-
мѣнной и (которая можетъ принимать всевозможныя
значенія, со включеніемъ о и і).
_57^
Примѣчаніе х). Формула рѣшенія
х = а'х + Ьх',1
конечно, эквивалентна данному уравненію, но ему не
эквивалентно рѣшеніе
х = аи-\-Ьи'
въ функціи индетерминаты и. Дѣйствительно, развер-
нувъ это рѣшеніе, найдемъ:
аЬ'х 4- а'Ьх' 4~ аЬ (хи 4- х'и') 4” ^Ь' (хи 4" х'и) = о,
а сравнивая это уравненіе съ развернутымъ уравне-
ніемъ
аЬ + аЬ'х -|- а'Ьх! =- о,
видимъ, что уравненіе это содержитъ, сверхъ рѣшенія,
равенство
аЬ (хи' 4" х'и) = о
и ему до этого рѣшенія недостаетъ равенства 7
а'Ь' (хи' 4- х'и) = о.
Впрочемъ, оба эти выраженія обращаются въ о при
‘	и = х,
что приводитъ къ формулѣ
х — а'х-\-Ьх'.
На основаніи этого замѣчанія Порѣцкій заключаетъ,
что рѣшеніе уравненія не составляетъ, вообще,, ни слѣд-
ствія ни причины его. Оно является причиной уравненія
въ частномъ случаѣ, когда
аЬ = о,
и слѣдствіемъ—его въ томъ частномъ случаѣ, когда
(а'Ь' = о) (а 4“ Ь — і).
Но если
аЪ — ъ
Рогеізку. 8ері. Іоіз.. СИ XXXIII еі XXXIV
58
не имѣетъ мѣста, то уравненіе неразрѣшимо, и фор-
мула рѣшенія не имѣетъ смысла, чѣмъ и объясняется
предыдущій парадоксъ.
Если одновременно
аЬ = о, а-\-Ь = т,
то рѣшеніе является вмѣстѣ и слѣдствіемъ, и причиной,
т* е. будетъ эквивалентно уравненію.-Дѣйствительно, въ
этомъ случаѣ (а = Ь), уравненіе является опредѣлен-
нымъ и имѣетъ одно лишь рѣшеніе
х ~ а9 — Ъ.
Итакъ, всякій разъ, когда уравненіе разрѣшимо,
рѣшеніе его представляетъ собою одну изъ его при-
чинъ; и задача, на самомъ дѣлѣ, заключается въ на-
хожденіи значенія х, которое удовлетворяетъ уравненію,
т. е. служитъ его причиной.
Въ результатѣ имѣемъ равенство:
(ах -|- Ъх9 о) = (аЬ — о) (х = а и 4“
и
содержащее слѣдующія включенія:
(ах + Ьх9 = о) < (аЬ = о),
(ах + Ъх9 = о) < 2 = а и 4" ^)’
и
(аЬ == о)^, (х = а9и Ьи9) < (ах -|- Ьх9 = о).
и
37. Исключеніе нѣсколькимъ неизвѣстнымъ.
Разсмотримъ теперь уравненіе съ нѣсколькими
неизвѣстными и предположимъ, что оно приведено къ
нормальному виду, т. е. первая часть его разложена по
отношенію къ неизвѣстнымъ, а вторая равняется нулю.
Займемся сначала задачей исключенія. Можно исклю-
чить неизвѣстныя или послѣдовательно, или сразу.
Возьмемъ, напримѣръ, уравненіе съ 3-мя неизвѣст-
ными :
(і)	ср (х,у, я) = аху г 4" Ъху%9 4" сху з 4" Лху9^9
4~/х> 4“	4“ кх9у9з 4" кху% = о.
59
Можно изъ него исключить а, разсматривая этотъ
терминъ, какъ единственное неизвѣстное, и получить
результатъ исключенія
(аху + сху + /ху -|~ кх’у') (Ъху + гіху'	4”
или
(2)	аЬху -|- ссіху’ -\-/&х'у -р ккх'у’ — о.
Если уравненіе (і) возможно, то уравненіе (2)
также возможно, т. е. удовлетворяется нѣкоторыми
значеніями х и у. Можно поэтому исключить изъ него
уу разсматривая этотъ терминъ, какъ единственное не-
извѣстное, и получить результатъ исключенія
(аЪх ) (сс^х “Ь Мгх') = о,
или
(3)	аЪссІх -[-/^ккх — о.
Если уравненіе (і) возможно, то уравненіе (3)
также возможно, т. е. удовлетворяется нѣкоторыми
значеніями х. Можно поэтому исключить изъ него х и
получить окончательный результатъ исключенія
' аЪсск^кк = о,
представляющій слѣдствіе уравненія (і), независящее
отъ неизвѣстныхъ. Вслѣдствіе симметріи, представляется
очевиднымъ, что тотъ же результатъ получился бы при
исключеніи неизвѣстныхъ въ другомъ порядкѣ. Впро-
чемъ, этотъ результатъ можно было предвидѣть, потому
что (п° 28)
аЬс&^кк (р (х,у, з),
и, слѣдовательно, у (х,у, з) можетъ обратиться въ нуль
лишь при условіи, что произведеніе коэффиціентовъ
этой функціи есть нуль:
[<рСѵ,у, я) = о] < (аЪссІ/§кк = о).
Поэтому можно исключить всѣ неизвѣстныя также
сразу, приравнивая нулю произведеніе коэффиціентовъ
функціи, разложенной по отношенію ко всѣмъ этимъ
неизвѣстнымъ.
60
Можно также исключить сразу только нѣкоторыя
изъ неизвѣстныхъ: для этого достаточно разложить
первую часть по отношенію къ этимъ неизвѣстнымъ
и приравнять нулю произведеніе коэффиціентовъ этого
разложенія. Это произведеніе будетъ (вообще) содер-
жать другія неизвѣстныя. Такъ, результатъ исключенія
одного какъ мы видѣли, есть
аЬху -ф- ссіху' -}-/&х'у -|- ккху' — о,	4
а результатомъ исключенія у и # служитъ
аЪсЛ х-\-/^ккх' = о
Эти частные результаты можно получить при по-
мощи слѣдующаго практическаго правила: составляемъ
конституенты, относящіеся къ удерживаемымъ неиз-
вѣстнымъ, въ качествѣ коэффиціента беремъ для каж-
даго • изъ нихъ произведеніе коэффиціентовъ тѣхъ
конституентовъ общаго разложенія, которые содержатъ
сомножителемъ данный конституентъ и приравниваемъ
сумму нулю. •
38.	Теорема о значеніямъ функціи.
Всѣ значенія, какія можетъ принимать функція
сколькихъ угодно перемѣнныхъ
даются формулой
аЪс...к 4- и (а 4- Ь с 4-. •. + к),
гдѣ и остается совершенно неопредѣленнымъ, и гдѣ а,
Ь9 с, ...к суть коэффиціенты разложенія ф
Доказательство. — Достаточно доказать, что въ
равенствѣ
ф(хуу} 2) • • •) — аЪс... к 4” и (а 4- 4“ с 4~ • • *	)
и можетъ принимать всевозможныя значенія, т. е. что
это равенство, разсматриваемое, какъ уравненіе съ
неизвѣстной и, является неопредѣленнымъ.
61
Можно сначала, ради однородности, представить
вторую часть въ видѣ
и'аЬс...к^и(а^Ь с-\-...-\-к\
потому что
аЪс...к — иаЪс...ки'аЬс...к
и
исіЬс... к и (а 4~ Ь 4~ с -|-... 4- /?).
Сведемъ вторую часть къ о (предполагая 3 пере-
мѣнныхъ х, у. з):
(ахуз + Ьху%* -р сху'з	+ кх'у'з)
X [иа’Ъ'с' ...к' -\-и‘ (а' -\-Ь' -р с* 4” ••• + ^')]
4“ (а'хуз -|“ Ь'хуя’ 4“ с'ху'% 4“ • • • 4" к'х'у'я''}
X \и (я 4“Ь 4- с 4~ .. • + к) 4“ и'аЬс.. .к] = о,
или проще
и (а 4- Ь 4“ с 4-... 4~ к) (а'хуз -\-Ь'хуз 4“ с'ху'з 4”- • • 4" к'х'у'я’)
-[-и' (а 4”^4“г< 4~---4""^) (аху% 4- Ьхуз -\-...-\-кху’з'} = о.
Если исключимъ всѣ перемѣнныя х, у, з,..., удер-,
жавъ индетерминату г/, то найдемъ результатъ исклю-
ченія:
и (а 4- ь 4- с 4~ • • • + к) сі'Ь'с... к'
4” и' (& 4- 4~* с 4~ • • • 4~ &)	.. к= о.
Но коэффиціенты при и и и' тождественно равны
нулю; отсюда слѣдуетъ, что и является совершенно
неопредѣленнымъ, что и требовалось доказать *).
Изъ этой теоремы вытекаетъ то очень важное слѣд-
ствіе, что можно преобразовать функцію сколькихъ
угодно перемѣнныхъ въ функцію одной перемѣнной,
не уменьшая и не измѣняя ея „перемѣнности".
Слѣдствіе. — Функція какого-либо числа перемѣн-
ныхъ можетъ сдѣлаться равной каждой изъ своихъ гра-
ницъ.
Дѣйствительно, представивъ эту функцію въ экви-
валентной формѣ
аЬс... к 4~ // 4~ 4- 4“ • • • “Н
1)	МкИекеасІ. ІІпіѵегзаІ АІ^еЬга, С I, § 33 (4).
.	62
’---- I
видимъ, что она станетъ равной своему тіпітшп’у
(аЪс... к) при и=о, и—своему тахітшп’у (я-ф-Ъ-ф-с ..-ф к}
при и — і.
Можно, впрочемъ, провѣрить это предложеніе на
первоначальной формѣ функціи, давая перемѣннымъ
подходящія значенія.
Итакъ, функція можетъ принимать всѣ значенія,
содержащіяся между двумя ея границами, со включе-
ніемъ этихъ границъ. Поэтому она остается совер-
шенно неопредѣленной въ случаѣ, когда одновременно
аЪс.../? = о, а-\- Ь -ф-с-ф-...	— і,
или
аЪс... ^ = о = а'Ь'с ...к9.
39.	Условія невозможности и неопредѣленности.
Предыдущая теорема позволяетъ найти условія
невозможности и неопредѣленности уравненія съ нѣ-
сколькими неизвѣстными. Пусть / (я, у, ^...^предста-
вляетъ разложенную первую часть уравненія, а, Ь,
с,... ,к — ея коэффиціенты. Необходимое и достаточное
условіе возможности уравненія будетъ
аЬс... к = о.
Въ самомъ дѣлѣ, і° если для нѣкоторыхъ значе-
ній неизвѣстныхъ / обращается въ нуль, то необхо-
димо, чтобы нижняя граница ея аЪс.. .к была нулемъ;
2° если аЪс ...к есть нуль, то /можетъ сдѣлаться равной
этой границѣ и, слѣдовательно, обратиться въ нуль
для нѣкоторыхъ значеній неизвѣстныхъ.
Необходимое и достаточное условіе того, чтобы
уравненіе было неопредѣленнымъ (представляло тож-
дество), есть
а -р Ь -ф- с -ф-... -ф- к = о.
Дѣйствительно, і° если я-ф-і + ^-ф“---“І“^ есть
нуль, то,такъ какъ это выраженіе представляетъ верхнюю
границу / то эта функція будетъ всегда необходимо
нулемъ; 2° если / есть нуль при всѣхъ значеніяхъ неиз-
63
вѣстныхъ, то выраженіе «4’&4~гН“---“Ь^ будетъ равно
нулю, потому что оно' является однимъ изъ значеній /.
Такимъ образомъ, въ результатѣ, имѣемъ два
равенства.
2 у, *,...) = ° ] = (аЬс... к = о),
ТТѴ (*’?> «> • • •) = °] = («+^ 4- с+... 4-^ = о)
Равенство аЬс... к = о есть, какъ знаемъ, резуль-
татъ исключенія всѣхъ неизвѣстныхъ; это— слѣдствіе,
которое можно вывести изъ уравненія (предполагая его
удовлетвореннымъ) независимо отъ всѣхъ неизвѣстныхъ.
40.	Рѣшеніе уравненій со многими неизвѣстными.
Посмотримъ теперь, какъ можетъ быть рѣшено
уравненіе относительно нѣсколькихъ неизвѣстныхъ и
ограничимся при этомъ случаемъ двухъ неизвѣстныхъ
аху 4" ^ХУ' 4" СХУ +‘ ^ХУ ~
Рѣшимъ его сначала относительно х:
х = (а'у 4~ Ь'у')х 4" (СУ 4“ ^У')х'-
Результатъ исключенія х будетъ
асу 4* Ьсіу’ = о.
Если данное уравненіе является вѣрнымъ, то и
этотъ результатъ исключенія вѣренъ. Но онъ предста-
вляетъ уравненіе, содержащее только у;разрѣшимъ его:
= +
Можно было бы сначала исключить у, потомъ х
получилось бы рѣшеніе
у — (а'х 4- с'х) у 4- (Ьх 4- (Іх')у'
и содержащее х уравненіе
аЬх-\-ссІх' = о,
имѣющее слѣдующее рѣшеніе
х = (а’ 4- Ь') х 4" ссіх'.
64
Видимъ, что рѣшеніе уравненія съ двумя неизвѣст-
ными несимметрично относительно этихъ неизвѣстныхъ
соотвѣтственно порядку, въ которомъ производимъ
исключеніе послѣднихъ, получаемъ рѣшеніе: I
х —	Ъ'у') х + (су 4- <іу’)У
 у — Ѵ+с^у + Му,
ИЛИ
х = (а' -|- Ъ') х + ссіх,
у ~ (а'х -}- с'х')у + (Ьх -|- (іх')у'.
Если во вторыхъ частяхъ термины х, у замѣнимъ
индетерминатами и, ѵ> то одна изъ неизвѣстныхъ бу-
детъ зависѣть отъ одной лишь индетерминаты, тогда
какъ другая — отъ двухъ. Можно получить рѣшеніе
симметричное, соединяя формулы
х = (а' + Ь'} и ~|“ ссіи',
у = (а + с')ѵ -\-Ь Лѵ',
но индетерминаты и и ѵ не будутъ болѣе независи-
мыми одна отъ другой. Дѣйствительно, внося эти рѣ-
шенія въ данное уравненіе, обратимъ его въ слѣдующее
аЪссі + аЪ'с'иѵ а!Ъ&' иѵ' -ф- а'ссі'и'ѵ	Ъ'с'сіи'ѵ' — о,
или же, такъ какъ, по условію, результатъ исключенія
аЪссІ—ъ является вѣрнымъ, то — въ уравненіе
аЬ'с'иѵ + а'ЪЛ'иѵ а'ссГи'ѵ ф- Ъ'с'сіи'ѵ' ~ о.
Послѣднее есть „условное уравненіе", которому
должны удовлетворять индетерминаты и и я; оно всегда
можетъ быть удовлетворено, потому что получающійся
для него результатъ исключенія
аЪ'с. а'ЪсГ. ассі'. Ъ'с'сі = аа'. ЬЬ'. сс'. М' = о,
представляетъ тождество; однако, ему будетъ удовле-
творять не всякая пара значеній и и ѵ. Можно, тѣмъ
не менѣе, найти общія симметричныя рѣшенія, т. е.
симметричныя рѣшенія, въ которыхъ неизвѣстныя
являются выраженными въ функціи нѣсколькихъ неза-
65
висимыхъ индетерминать. Этой задачей занимались Шрё-
деръ и), Уайтгедъ (ДѴЬйеЬеасІ)* 2) и Джонсонъ (}оЬпзоп) 3).
Это изслѣдованіе представляетъ интересъ лишь
чисто техническій; потому что, съ практической точки
зрѣнія, требуется либо исключить одно или нѣсколько
неизвѣстныхъ (или даже всѣ), либо ( рѣшить уравненіе
относительно одной изъ неизвѣстныхъ. Въ первомъ
• случаѣ первую часть уравненія разлагаемъ по отноше-
нію къ исключаемымъ неизвѣстнымъ и приравниваемъ
нулю произведеніе коэффиціентовъ. Во второмъ случаѣ
разлагаемъ эту часть по отношенію къ неизвѣстной, кото-
рую желаемъ опредѣлить, и прилагаемъ формулу рѣшенія
уравненія съ одной неизвѣстной. Если желаемъ имѣть
рѣшеніе въ функціи нѣкоторыхъ неизвѣстныхъ, или въ
функціи только извѣстныхъ терминовъ, то предвари-
тельно до рѣшенія, исключаемъ остальныя неизвѣстныя
(или всѣ неизвѣстныя).
41.	Задача Буля.
Наиболѣе общая задача алгебры логики, по Булю,
есть слѣдующая 4 *).
Дано уравненіе (которое предполагается возмож-
нымъ)
/	(х, у, 2,...) = О,
и, съ другой стороны, выраженіе нѣкотораго термина і
въ функціи перемѣнныхъ, содержащихся въ предыду-
щемъ уравненіи,
/ =	(х, у, 2,...);
опредѣлить выраженіе і въ функціи постоянныхъ, со-
держащихся въ / и у.
*) АІ^еЬга дег Ьо^ік, 1. I., п° 24.
2) Ѵпіѵегзаі А1§еЬга, I. I, п05 35—37.
8иг Іа Ікёогіе дез ѳ^аіііёз 1о§ідиез, ар. ВіЪІіоЛёдие ди Соп-
§гёз тіегпаііопаі сіе РЫІозорЬіе, 1. III, р. 185 (Рагіз, А. Соііп, 1901).
•) Ьалѵз оГ ТІіои^Ы:, СЬар. IX, п° 8.
Алгебра логики.
5
66
Предположимъ, что /и <р разложены по отношенію
къ перемѣннымъ я, у, з,...; назовемъ черезъ А > А * А > • • •
ихъ конституенты
/(х,у, 2,...) = А^1 + В/24-С^з-|-...,
4>(х> у, г,...} = арі-[-Ърі + ср3
Приведемъ къ нулю вторую часть уравненія, вы-
ражающаго /:
(йр' С(р = о)
= [(а'Рі + Ь'р2 + с'р3 + ...) і -|- (ар, 4- Ъръ + сръ +.. .)/'= о]
Соединимъ два уравненія въ одно и разложимъ
послѣднее относительно /:
[ (А СІ}р , (В -|“ Ь'}р 2 4~	4* • • • И
+[(А4-й)^14-(В4-^24-(С4-^з4-...]/' = о.
Таково уравненіе, которое даетъ искомое выраженіе
для і. Исключая /, наводимъ
А/і 4-В/>24- С/>з4- ... = о,
какъ и можно было ожидать. Если, напротивъ того,
желательно исключить х, у, я, ... (т. е. конституенты
А> •••), то представивъ уравненіе въ формѣ
(А 4~ д//4~^О^і4— (в4-	) Рі~\~ (С 4~ с' і 4- <*ЭА4- * • •= о,
получимъ результатъ исключенія
(А 4~ л і -ф- д/') (В 4“ ѵ і 4~	(С 4- с' і 4- г/7)...= о
—уравненіе, содержащее лишь неизвѣстную I и постоян-
ныя данной задачи (коэффиціенты / и <р). Отсюда вы-
ведемъ выраженіе і въ функціи этихъ постоянныхъ.
Разложимъ первую часть этого уравненія:
(А4-л')(В4-Ю(С+<0. • • ХЖА4-Д) (В-Н) (С4-Д)... х/'=о
Рѣшеніе будетъ
/=(А+а) (В4-^)(С4-г)...4-и(А'д4-в^4-С'с4-...).
Результатъ исключенія оправдывается въ силу
67
предположенія, потому что онъ есть
АВС ... = о,
т. е. представляетъ результатъ исключенія для даннаго
уравненія
/(*, у, г, ...)=о.
Можно видѣть, какимъ образомъ это уравненіе
вліяетъ на ограниченіе перемѣнности /. Если бы / опре-
дѣлялось исключительно функціей <р, то оно было бы
опредѣлено двойнымъ включеніемъ
аЪс... <С і а Ь —с ....
Теперь же, когда принимается во вниманіе условіе
/= о, і будетъ опредѣлено двойнымъ включеніемъ
(А + ^)(В + і)(С + г)...</<(А^ + В'і + С^ + ...) 1).
Нижняя граница могла лишь увеличиться, верхняя
лишь уменьшиться, потому что
^...<(А + ^)(В + І)(С + ^)...
и
А'я —|— В7> -|- С' с... <С (і	Ъ —|—	?
Границы не измѣняются, если А = В = С — ... = о,
т. е. если уравненіе /= о сводится къ тождеству; что
очевидно, а ргіогі.
42.	Методъ Порѣцкаго.
Методъ Буля и Шрёдера, который мы до сихъ
поръ излагали, подсказанъ, очевидно, примѣромъ обык-
новенной алгебры. Онъ сводится къ двумъ пріемамъ,
которые аналогичны алгебраическимъ: рѣшенію уравне-
ній относительно неизвѣстныхъ и исключенію неизвѣст-
ныхъ. Изъ этихъ двухъ пріемовъ, второй гораздо
важнѣе, съ точки зрѣнія логики, и Буль даже разсма-
тривалъ дедукцію, какъ состоящую, въ сущности, въ
исключеніи среднихъ терминовъ. Такое пониманіе, слиш-
комъ узкое, было внушено ему примѣромъ силло-
гизма, гдѣ, дѣйствительно, заключеніе получается съ
г) ѴѴкііекеасІ, Цпіѵеіъаі АІ^еЪга, р. 63.
5*
68
помощью исключенія средняго термина, — силлогизма,
который долго разсматривался (напрасно), какъ един-
ственный типъ посредственнаго вывода ,). Какъ бы то
ни было, Буль и Шрёдеръ преувеличивали аналогію
алгебры логики съ обыкновенной алгеброй. Въ логикѣ
различіе терминовъ извѣстныхъ и неизвѣстныхъ явля-
ется искусственнымъ и почти безполезнымъ: всѣ
термины, въ сущности, извѣстны, и рѣчь идетъ только
о томъ, чтобы изъ данныхъ между ними отношеній
вывести новыя отношенія (т. е. отношенія неизвѣстныя
или неявно извѣстныя). Такова цѣль метола Порѣцкаго,
къ изложенію котораго мы теперь обращаемся. Этотъ
методъ можетъ быть выраженъ въ трехъ законахъ:
законѣ формъ, законѣ слѣдствій, законѣ причинъ.
43.	Законъ формъ.
Законъ формъ отвѣчаетъ слѣдующей задачѣ:
Дано какое-либо равенство, найти для какого-либо
термина (простого или сложнаго) опредѣленіе, равносиль-
ное этому равенству. Иначе говоря, рѣчь идетъ о нахож-
деніи всѣхъ формъ, эквивалентныхъ этому равенству, и
получаемыхъ тогда, когда желаютъ, чтобы первой частью
служилъ какой-либо терминъ.
Мы знаемъ, что всякое равенство можно привести
къ такому виду, что во второй части его будетъ о или і,
т. е. что оно будетъ имѣть одну изъ двухъ эквивалент-
ныхъ формъ
М = о, Ы' = і.
Функцію X Порѣцкій называетъ логическимъ ну-
лемъ даннаго равенства; №—его логическая единица * 2).
*) Дѣйствительно, основная формула исключенія
(ах + Ьх1 = о)< (аЬ = о)
есть, какъ видимъ, не что иное, какъ другая форма и слѣдствіе
принципа силлогизма
(Ь < х < а1} < (Ь < а1)
2) Ихъ называютъ „логическими* съ цѣлью отличить ихъ
отъ нуля и единицы тождественныхъ, т. е. съ цѣлью выразить,
что эти два термина равны соотвѣтственно о и і лишь въ силу
условій задачи.
I
69
Пусть будетъ И какой-либо терминъ; утверждаю,
что опредѣленіе II
эквивалентно данному равенству. Дѣйствительно, оно
эквивалентно, какъ знаемъ, равенству
(ГШ + Ш' = о) = (М = о).
Напомнимъ смыслъ опредѣленія
Оно означаетъ, что терминъ II содержится въ № и
содержитъ Ы. Это и понятно, потому что, по условію,
X равно о и № равно 1. Можно поэтому выразить
законъ формъ слѣдующимъ образомъ:
Для полученія всѣхъ формъ, эквивалентныхъ дан-
ному равенству, достаточно выразить, что всякій тер-
минъ содержитъ логическій нуль этого равенства и
содержится въ его логической единицѣ.
Число формъ даннаго равенства безгранично, по-
тому что всякій терминъ даетъ мѣсто одной формѣ и
притомъ формѣ, отличной отъ остальныхъ, такъ какъ
она имѣетъ иной первый членъ. Но, если ограничиться
міромъ рѣчи, опредѣленнымъ п простыми терминами,
то число формъ станетъ конечнымъ и опредѣленнымъ.
Дѣйствительно, въ этомъ ограниченномъ мірѣ имѣется
2Л конституентовъ; а всѣ термины, подлежащіе разсмо-
трѣнію и опредѣленію въ этомъ мірѣ, суть суммы нѣ-
которыхъ изъ этихъ конституентовъ. Число ихъ такимъ
образомъ равно числу сочетаній, какія можно составить
съ помощью 2 конституентовъ, т. е. равно 2 (со
включеніемъ о, какъ комбинаціи о конституентовъ, и і,
какъ комбинаціи всѣхъ конституентовъ). Это будетъ
также число различныхъ формъ какого-либо равенства
въ этомъ мірѣ.
70
44.	Законъ слѣдствій.
Переходимъ къ закону слѣдствій. Обобщая мысль
Буля, который считалъ дедукцію состоящей въ исклю-
ченіи среднихъ терминовъ, Порѣцкій считаетъ ее со-
стоящей въ исключеніи свѣдѣній. Вотъ какъ разъясня-
ется и оправдывается эта мысль.
Каждая задача, которой данныя выражаются ло-
гическими равенствами или включеніями, можетъ быть
приведена къ одному логическому равенству съ по-
мощью формулы 1)-
(А = о) (В = о) (С = о)... = (А + В + С ... = о).
Въ этомъ логическомъ равенствѣ, содержащемъ
всѣ данныя задачи, разлагаемъ первую часть по отно-
шенію ко всѣмъ входящимъ въ нее простымъ терми-
намъ (не по отношенію къ Неизвѣстнымъ). Пусть
п означаетъ число простыхъ терминовъ; число консти-
туентовъ разложенія і равно 2”. Пусть т (5^ 2") будетъ
число тѣхъ изъ нихъ, которые встрѣчаются въ первой
части равенства. Мы получимъ всевозможныя слѣдствія
этого равенства (въ разсматриваемомъ мірѣ п терми-
новъ), составляя съ помощью сложенія всѣ комбинаціи
этихъ т конституентовъ и приравнивая ихъ нулю,—въ
силу формулы
(АЧ-В= о)<(А = о).
Мы видимъ, что для перехода отъ равенства къ
одному изъ его слѣдствій достаточно отбросить въ первой
его части нѣкоторые конституенты, которые отвѣчаютъ
столькимъ же элементарнымъ равенствамъ (со второй
частью, равной нулю), т. е столькимъ же даннымъ
задачи. Это выражаютъ, говоря, что исключаются свѣ-
дѣнія.
1) Мы употребляемъ большія буквы для обозначенія слож-
ныхъ терминовъ (логическихъ функцій), въ противоположность
простымъ терминамъ, обозначаемымъ малыми буквами (а, Ь, с,...).
71
Число слѣдствій, которыя можно извлечь изъ ра-
венства (въ мірѣ п терминовъ, по отношенію къ которымъ
оно разложено), равно числу комбинацій при посредствѣ
сложенія, которыя можно образовать при помощи т
конституентовъ, т. е. равно ът. Это число заключаетъ
комбинацію о конституентовъ, которая даетъ мѣсто
тождеству о = о, и комбинацію т конституентовъ, ко-
торая воспроизводитъ данное равенство.
Приложимъ этотъ методъ къ уравненію съ одной
неизвѣстной
ах 4* Ьх‘ = о.
Произведемъ разложеніе по отношенію къ тремъ
терминамъ а, і, ж:
(аЬх -|- аЬ'х -|- аЬх’ 4“ &'Ъх' = о)
,	— [ аЬ (х + г') + аЪ'х -}- а'Ьх’ ~ о ]
= {аЬ = о) (аЬ'х = о) (а'Ъх* == о).
Такимъ образомъ находимъ, съ одной стороны,
результатъ исключенія аЪ = о; съ другой стороны,—два
равенства, которыя преобразуются во включенія
х < а* 4- Ъ, а'Ъ < х.
Но, въ силу результата исключенія, который экви-
валентенъ включенію Ь<^а\ имѣемъ:
#'+# = 0', а’Ъ = Ъ.
Поэтому разсматриваемое слѣдствіе сводится къ
двойному включенію
х < а', Ъ <С х,
т. е. къ извѣстному рѣшенію.
Приложимъ тотъ же методъ къ посылкамъ силло-
гизма
(а	с).
Сведемъ ихъ къ одному равенству
(д < і) = (аЬ' — о), (Ъ < с) — (Ъс' — о), (аЬ' 4“ Ъс' — о)7
и найдемъ всѣ слѣдствія.
72
Произведемъ разложенія по отношенію къ тремъ
терминамъ а, Ъ, с:
аЪс'	аЪ'с’І-^- а'Ъс' = о.
Слѣдствій этого равенства, содержащаго четыре
конституента, будетъ іб (21), именно:
і°	(аі/ = о) = (а& <с);
2°	{аЪ'с = о) = {ас < Ъ);
3°	(дУсг = о) = (д<^Н-с);
4°	{а'Ъс'= о) = {Ъ <а-\-с)',
5° {аЬс'-\-аЪ'с — о) = {а<^Ъс-^-Ъ’с')\
6° {аЬс' Ц- аЪ’с' = о) = {ас' = о) = («•<<;).
Это — традиціонное заключеніе силлогизма1).
7° {аЬс' 4- а'Ъс' — о) — {Ъс' = о) — {Ъ < с).|
Это — вторая посылка.
8°	{аЪ'с 4- аЪ'с' = о) = {аЪ' = о) = (а < Ъ).
Это — первая посылка.
9°	{аЪ'са'Ъс' — о) = {ас<^Ъ <а-|-с);
ю° {аЪ'с' 4“ а'Ъс' = о) = {аЪ‘ 4- а'Ъ < с);
и0 {аЬс' 4“ аЪ'с4~ аЪ'с' = о) ~ (аЪ' 4“ ас' = о) = {а < Ъс)',
12°	{аЬс’ 4~ аЪ'с 4- а'Ъс' = о) = {аЪ'с 4~ Ъс' — о)
= {ас<Ъ<с)',
130 {аЬс' 4- аЪ'с' 4~ а'Ъс' = о) = {ас' 4- Ъс' = о)
= (я4-і<с);
140	{аЪ'с 4~ аЪ'с' 4~ а'Ъс' = о) = {аН 4~ а'Ъс' — о)
= {а <; Ъ <; а 4~ с).
*) Замѣтимъ, что это (вмѣстѣ съ крайними слѣдствіями)
является единственнымъ слѣдствіемъ, не зависящимъ отъ Ь\ оно
представляетъ, такимъ образомъ, результатъ исключенія этого
средняго термина.
73
Два послѣднія слѣдствія (150 и іб°) суть тѣ, кото-
рыя получаются при комбинаціи либо о конституентовъ,
либо всѣхъ конституентовъ; первое есть тождество
о = о,
подтверждающее то парадоксальное предложеніе, что
истина (тождество) вытекаетъ изъ всякаго предложенія
(представляетъ его слѣдствіе): второе есть данное равен-
ство, которое, дѣйствительно, является, на основаніи
принципа тождества, своимъ собственнымъ слѣдствіемъ.
Эти два слѣдствія могутъ быть названы крайними
слѣдствіями даннаго равенства. Если желательно ихъ
исключить, то нужно сказать, что число собственныхъ
слѣдствій равенства о т конституентахъ есть 2™ — 2
45.	Законъ причинъ.
Методъ нахожденія слѣдствій даннаго равенства
подсказываетъ непосредственно методъ нахожденія его
причинъ, т. е. предложеній, которыхъ слѣдствіемъ оно
является. Такъ какъ отъ причины переходимъ къ
слѣдствію, исключая свѣдѣнія, т. е. отбрасывая консти-
туенты, то, обратно, мы перейдемъ отъ слѣдствія къ
причинѣ, присоединяя свѣдѣнія, т. е. прибавляя кон-
ституенты къ данному равенству. Число конституентовъ,
которые можно къ нему прибавить, т. е. такихъ, кото-
рые въ него не входятъ, есть 2?—т. Мы получимъ все-
возможныя причины (въ мірѣ п разсматриваемыхъ тер-
миновъ), составляя всѣ получаемыя при посредствѣ сло-
женія комбинаціи этихъ конституентовъ и прибавляя ихъ
къ первой части равенства, въ силу общей формулы
(А + В = о) < (А = о),
которая означаетъ, что равенство (А = о) имѣетъ своей
причиной равенство (А + В = о), при всякомъ В. Число
полученныхъ такимъ образомъ причинъ будетъ равно
числу названныхъ комбинацій, т. е.
—т.
4
74	х
Приложимъ этотъ методъ къ разысканію причинъ
посылокъ силлогизма
{а < Ь) (Ь < с),
которыя равносильны, какъ мы видѣли, разложенному
равенству
аЬс' 4“ аЬ'с 4- аЪ'с’ -|- а'Ъс* ~ о.
Изъ восьми (23) конституентовъ міра трехъ тер-
миновъ это равенство содержитъ четыре; четыре
остальные суть
аЬс, а'Ьс, а’Ъ'с, аЬ'с'.
Число . всѣхъ комбинацій — іб (24); таково же
число искомыхъ причинъ; эти причины суть:
і0	(аЬс аЬс '	аЬ'с' 4~ а’Ьс* = о)
= {а 4- Ъс — о) = (я = о) (Ъ < с);
2° (аЪс14" аЬ'с + аЬ’с9 4“ а'Ъс 4- гіЪс' = о)
— (аЬс'-^-аЬ* 4- а'Ь — 6) = (аЬ <^с}(а = Ъ)]
3° (аЬс' 4“ аЬ9с 4“ аЪ’с'4“ а'Ьс' + а'Ь'с = о)
= (Ъс’4“ Ъ'с + аЪ'с' = о) = (Ь — с)(а <^Ъ 4“с)\
4° (аЬс'4- аЪ'с 4“ аЪ'с' 4“ а'Ъс' 4- а'Ъ'с' = о)
= (с 4“аЪ‘ — о) — (/ — і) (а < &);
5°	(аЪс + аЪс' 4~ аЪ'с 4- аЪ'с' 4~ а'Ъс 4“ а'Ъс' = о)
= {а 4- Ь — о) — (а — о) (Ъ — о);
6°	(аЬс 4- аЪс* + аѴс 4“ йЬ'с' 4~ сСЬс' 4- й'Ѵс = о)
= (а 4" Ъс1 4“ Ъ'с — о) = — о) (Ь = с);
7° (аЪс 4- аЬс' -р аЪ'с 4- аЬ'с' +	4~ я'іѴ = о)
= (д+? = о) = (« = о)(с^ і) ’);
1) Замѣтимъ, что это—единственная причина, не зависящая
отъ Ъ\ дѣйствительно, Ъ можетъ быть въ этомь случаѣ произ-
вольнымъ, будучи всегда терминомъ, содержащимъ а и содержа-
щимся въ с. Сравнить съ причиной 5, не зависящей отъ с, и съ
причиной то, не зависящей отъ а.
75
8°	(аЬс9 + аЬ9с + аЬ'с' + а'Ъс-}- а'Ъс' 4- АЬ'с = о)
= (ас9 -|- ас Н“ аЪ'с 4"а'Ъс9 — о)
= (а — с) (ас < Ь	а 4- с) — (а = Ь — с);
9}	(аЬс' + аЬ9с + аЬ9с9 + а'Ьс 4- а'Ьс' 4“ а'Ъ'с9 = о)
= (с9 4- аЬ9 4- а9Ь = о) = (с —-1) (а = Ъ);
ю° (аЪс9 4~ аЬ'с 4“ аЪ9с 4~ а'Ъс' 4- а'Ь'с 4" а'Ѵс = о)
= (Ъ' 4“ с9 = о) = (Ь = с = і).
Прежде, чѣмъ итти дальше, замѣтимъ, что при-
равнять нулю нѣкоторую сумму конституентовъ значитъ
приравнять единицѣ сумму остальныхъ конституентовъ.
Такимъ образомъ, вмѣсто изслѣдованія суммъ семи
конституентовъ, которыя получимъ, отбрасывая одинъ
изъ чётырехъ недостающихъ конституентовъ, можно
изслѣдовать равенства, которыя мы получаемъ, при-
равнивая каждый изъ этихъ конституентовъ і:
11°	(а'Ъ'с' = і) = (л 4“ + с = о) = (а = Ь = с — о);
12°	(а'Ъ'с = і) = (а 4“ Ь 4- с9 ~ о) = (а = Ь — о) (с = і);
130	(а'Ьс — і) _ (я4“^'4- с' — о) — (а~о)(Ъ — с~ту,
14°	(аЪс — і)	=	(а — Ь — с — і).
Слѣдуетъ замѣтить четыре послѣднія причины,
основанныя на включеніи
о< і.
Двѣ послѣднія причины (150 и іб°), суть тѣ, ко-
торыя получаемъ, либо прибавляя всѣ недостающіе
констйтуенты, либо не прибавляя ни одного. Въ первомъ
случаѣ,* такъ какъ сумма всѣхъ конституентовъ равна і,
получаемъ
і = о, .
т. е. абсурдъ, чѣмъ подтверждается то парадоксальное
предложеніе, что ложное (абсурдъ) имѣетъ слѣд-
ствіемъ всякое предложеніе (являясь его причиной);, во
второмъ случаѣ, приходимъ просто къ данному равен-
ству, которое является, такимъ образомъ, одной изъ
76
своихъ причинъ (въ силу принципа тождества). Если
не считать этихъ двухъ крайнихъ причинъ, то, число
собственныхъ причинъ будетъ
Ш — 2.
46.	Формы слѣдствій и причинъ.
Можно приложить законъ формъ къ слѣдствіямъ
и причинамъ даннаго равенства и получить такимъ
образомъ для каждой изъ нихъ всевозможныя формы.
Такъ какъ всякое равенство равносильно одной изъ
двухъ формъ
Х = о, Х' = і,
то каждое изъ его слѣдствій имѣетъ форму *).
XX —о или Х'4“Х' = і,
и каждая изъ его причинъ — форму
Х + Х = о,	или Х'Х'-^і.
Въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ слѣдующія формальныя
включенія
(X + X = о) < (X = о) < (XX = о),
(Х'Х' = і) < (X' = і) < (X' + X' = і).
‘) Въ п° 44 мы сказали, что слѣдствіе можно получить,
взявши часть конституентовъ первой части И, но не путемъ
умноженія на нѣкоторый терминъ X. Однако легко видѣть, что
это сводится къ тому же. Дѣйствительно, предположимъ, что X
(какъ и Ы) разложено по отношенію къ п терминамъ рѣчи. Оно
будетъ состоять изъ нѣкотораго числа конституентовъ. Для
умноженія Ы на X достаточно перемножить ихъ конституенты
попарно. Но произведеніе двухъ тождественныхъ конституентовъ
равняется каждому изъ нихъ, а произведеніе двухъ различныхъ
конституентовъ равняется нулю. Поэтому произведеніе Ы на
X сведется къ суммѣ конституентовъ, общихъ Ы и X, которая
естественно, содержится въ М. Итакъ, умножить М на какой-
нибудь терминъ значитъ то же самое, что взять часть его кон-
ституентовъ (или всѣ, или ни одного).
11
Если приложить законъ формъ, то формула слѣд-
ствій обратится въ
1} = (К' + Х')Ѵ + МХѴ',
а формула причинъ въ
1} = М'ХТІ + (М + Х)ІІ',
или, общѣе, принимая во вниманіе, что X и X суть
термины неопредѣленные и, слѣдовательно, не являются
неизбѣжно отрицаніемъ одинъ другого, формула слѣд-
ствій будетъ имѣть видъ
1} = (Х'4Х)Ѵ + МУѴ',
а формула причинъ будетъ
И = М'ХѴ + (Х + У)Ѵ'.
Первая выражаетъ, что II содержится въ (ІГ-ф-Х)
и содержитъ МУ; дѣйствительно, это слѣдуетъ а /от-
ііоті изъ предположенія, что 1} содержится въ 14' и
содержитъ 14.
Вторая формула означаетъ, что И содержится въ
14Х и содержитъ Ы -}-У; дѣйствительно, отсюда слѣдуетъ
а фогііогі, что II содержится въ 14' и содержитъ 14.
Можно выразить это правило словами, если усло-
виться называть подклассомъ каждый классъ, содер-
жащійся въ другомъ, и надклассомъ — каждый классъ,
содержащій въ себѣ другой. Тогда можно сказать: для
полученія всѣхъ слѣдствій'равенства (представленнаго
въ формѣ 1} = 14ТІ +141}') достаточно замѣнить его
логическую единицу 14' всѣми ея надклассами, а его
логическій нуль 14 всѣми его подклассами. Обратно,
для полученія всѣхъ причинъ того же равенства, до-
статочно замѣнить его логическую единицу всѣми ея
подклассами^ его логическій нуль всѣми его надклассами.
47.	Примѣръ: задача Венна (Ѵепп).
Члены правленія финансоваго общества суть или
владѣльцы облигацій, или владѣльцы акцій (но не
78
то и другое вмѣстѣ). Всѣ владѣльцы облигацій явля-
ются членами правленія. Что отсюда можно заключитъ?
Пусть а будетъ совокупность членовъ совѣта, Ь
совокупность владѣльцевъ облигацій, с—акцій. Данныя
задачи выражаются такъ:
а<СЪс'-^-Ѵ с,	Ъ < а.
Сведемъ ихъ къ одному разложенному равенству
а (Ъс + Ъ'с’) = о, а'Ъ = о
(т)	аЪс 4- аЪ'с' 4~ а'Ъс 4~ а’Ъс' = о.
Это равенство содержитъ 4 конституента и равно-
сильно слѣдующему, содержащему другіе четыре:
(2)	аЪс' 4~ аЪ’с + а! Ъ’с 4" а’Ъ’с’ = і.
Это равенство можно представить въ столькихъ
различныхъ формахъ, сколько есть классовъ въ мірѣ
трехъ терминовъ а, Ъ, с. Примѣры:
і°	а = аЪс’ + аЪ’с 4~ а'Ъс	а’Ъс',
т. е.
Ъ <С а <іЪс'-[-Ъ'с\
о?	Ъ = аЪс’ аЪ'с’ = ас]
3°	с — аЪ'с + а!Ъ’с -|- аЪ'с 4" гіЪс’,
т. е.
аЪ’ -у- а’Ъ <с< Ъ'.
Эти рѣшенія можно впрочемъ получить, разрѣшая
уравненіе (і) относительно л, Ъ, или с.
Затѣмъ, можно вывести изъ равенства (і) іб слѣд-
ствій :
і°	аЬс — о;
2°	(аЪ’с’ — о) ~ (я<^4“^);
3°	(а’Ъс = о) = (Ъс < а);
4°	(а'Ъс9 = о) = (Ъ <С а 4- с);
5°	(аЪс + аЪ'с = о) = (а < Ъс’ 4" Ъ'с) [і-ая посылка];
6°	(аЪс 4- а’Ъс = о) = (Ъс = о);
79
7°	{аЪс + а'Ъс'= о) = < ас + а'с);
8°	{аЪ'с'	+	а'Ьс = о) = {Ъс < а Ъ + с);
9°	{аЬ'с'	+	а'Ьс'= о) = {аЪ' -|- а'Ъ < с);
ю° {а'Ъс -4- а'Ъс'= о) = {а'Ъ = о) [2-я посылка];
іі° {аЪс аЪ'с' -|~ а'Ъс = о) = {Ьс + аЬ'с' — о);
12° {аЪс -]- аЬ'с 4" а'Ьс = о);
130 {аЬс	а!Ъс -|- а'Ьс'= о) = {Ьс + а'Ъс') = о;
14° {аЬ'с' -|- сІЬс + а'Ьс'= о).
Два послѣднихъ слѣдствія суть, какъ извѣстно,
тождество (о —о) и само равенство (і). Отмѣтимъ между
предыдущими слѣдствіями 6-ое: й^ = о, результатъ
исключенія <2, и ю-е {а'Ь — о\ результатъ исключенія с.
Что касается результата исключенія />, то онъ пред-
ставляетъ тождество
[(а'-|-<;) ас' = о] — (о = о).
Наконецъ, можно вывести изъ равенства (і), или
изъ эквивалентнаго ему равенства (2), іб причинъ:
1°		{аЬс' = і) = (а = і) {Ь — і) (с = о);
2°		{аЬ'с = і) = (а = і) {Ь — о) {с = і);
3°		{а'Ь'с = і) = {а — о) {Ь = о) {с - і);
4°		{а'Ь'с' = і) — (а = о) {Ь = о) {с = о);
5°	{аЬс' -	аЬ'с = і) = {а = і) {Ь'= с)‘,
6°	{аЪс' -	а'Ь'с — і) = {а — Ь—с')]
7°	{аЬс' -	{- а'Ь’с — і) = {с = о) {а = Ь);
8°	{аЪ'с -	а'Ь'с — і) = {Ь — о) {с = і);
9°	{аЬ'с-	\-а'Ь'^— і) = (^»=о) {а = с);
ІО°	{а'Ь'с-\-а'Ь'с'= і) = {а = о) {Ъ = о);	
іі°	{аЬс' аЬ'с-	|- а'Ь'с = і) = {Ь = с') {с' < а);
12°	{аЬс' -(- аЬ'с-\- а'Ь'с'= і) = {Ьс = о) {а — Ь с);	
13°	{аЬс'-\-а'Ъ'с-\	- аЬ'с'— = {ас — о) {а — Ь)\
І4°	{аЬ'с-\-а'Ъ'с-\	г гіЬ’с'=; і) = {Ъ = о) (а < с).
80
Двѣ послѣднія причины суть, какъ извѣстно, само
равенство (і) и абсурдъ (і=о). Видимъ, что причина,
не зависящая отъ а, есть 8-ая: (6 = 6) (с=т), причи-
ной, независящей отъ с, является ю-ая (а = 6) (6 = 6).
Причинъ въ собственномъ смыслѣ, не зависящихъ отъ
нѣтъ. Наиболѣе естественной причиной, которую уга-
дываемъ сразу, просто на основаніи здраваго смысла,
является іэ-ая:
(Ъс — о) (а = Ъ-\-с).
Но другія причины точно такъ же возможны, напри-
мѣръ, 9-ая (Ъ = ъ)(а = с), 7-ая: (^ = о) (а = Ъ) или 13-ая:
(ас = 6) (а = Ъ).
Мы видимъ, что этотъ методъ даетъ полное пере-
численіе всѣхъ возможныхъ случаевъ. Онъ соединяетъ,
въ частности, среди формъ равенства, рѣшенія, кото-
рыя можно получить изъ него по отношенію къ той
или другой „неизвѣстной", а среди слѣдствій, вытекаю-
щихъ изъ равенства, результаты исключенія того или
другого термина.
48.	Геометрическія здемы Венна.
Методъ Порѣцкаго можно разсматривать, какъ
усовершенствованіе методовъ Стэнли Джевонса и
Венна. Обратно, эти послѣдніе методы даютъ геомет-
рическую и механическую его иллюстрацію. Дѣйстви-
тельно, методъ Венна выражается геометрическими
схемами, изображающими всѣ конституенты такимъ
образомъ, что нужно лишь устранить (затѣняя) тѣ,
которые, въ силу данныхъ задачи, обращаются въ нуль,
чтобы получить результатъ. Напримѣръ, міръ трехъ
терминовъ я,- Ъ, с, изображаемый безграничной плос-
костью, раздѣляется тремя простыми замкнутыми кон-
турами на восемь областей, изображающихъ восемь
конституентовъ (фиг. і).
81
Для геометрической передачи данныхъ задачи Венна
нужно устранить области аЬс^аЪ'с^ а'Ъс и а'Ъс'\ останутся
такимъ образомъ области аЬс\ аЪ'с, а'Ъ'с и а'Ъ’с', которыя
Фиг. I.
составятъ міръ, относящійся къ задачѣ, что Порѣцкій
называетъ ея логической единицей (фиг. 2). Тогда каждый
классъ будетъ заключаться въ этомъ мірѣ, что дастъ
для каждаго класса выраженіе, вытекающее изъ дан-
ныхъ задачи. Такимъ образомъ при одномъ взглядѣ на
фигуру можно замѣтить, что область Ъс не существуетъ
(устранена); что область Ъ сводится къ ^'(слѣдовательно,
Фиг. 2
къ аЪ)\ что всякое а есть Ь или с и т. д. Однако, этотъ
схематизмъ, въ качествѣ метода рѣшенія логическихъ
задачъ, имѣетъ серьезныя неудобства: онъ не указываетъ,
Алгебра логики.
6
.82
•/
какимъ образомъ данныя выражаются обращеніемъ въ
нуль нѣкоторыхъ конституентовъ и не указываетъ также,
какъ нужно соединять остальные конституенты для полу-
ченія искомыхъ слѣдствій. Върезультатѣонъ изображаетъ
лишь одинъ изъ этаповъ разсужденія, именно уравненіе
задачи; онъ не освобождаетъ ни отъ предшествующихъ
этаповъ, т. е. отъ „составленія уравненія" задачи и
преобразованія посылокъ, ни отъ послѣдующихъ, т. е.
отъ комбинацій, приводящихъ къ различнымъ слѣд-
ствіямъ. Такимъ образомъ онъ приноситъ мало пользы,
въ виду того, что конституенты такъ же хорошо изобра-
жаются алгебраическими символами, какъ и областями
плоскости, при чемъ въ этомъ видѣ съ ними легче
обращаться.
49.	Логическая машина Джевонса.
Чтобы сдѣлать свои схемы болѣе удобными, Веннъ
придумалъ механическую комбинацію, при посредствѣ
которой опускались и исчезали области плоскости, под-
лежащія устраненію. Но болѣе совершенный механизмъ
изобрѣтенъ Джевонсомъ: это въ нѣкоторомъ родѣ
логическое піанино. Клавіатура этого инструмента со-
стоитъ изъ клавишей, обозначающихъ различные про-
стые термины (я, Ъ, с, ихъ отрицанія и знаки -|- и =.
Приборъ имѣетъ, сверхъ того, доску, гдѣ на подвижныхъ
табличкахъ написаны всѣ комбинаціи простыхъ тер-
миновъ и ихъ отрицаній, т. е. всѣ конституенты міра
рѣчи. Вмѣсто того, чтобы писать равенства, передаю-
щія посылки, ихъ „разыгриваютъ" на клавіатурѣ, какъ
на клавишахъ пишущей машины; результатомъ этого
является устраненіе съ доски конституентовъ, обра-
щающихся въ о въ силу посылокъ. Когда „разыграны"
всѣ посылки, доска содержитъ лишь конституенты, ко-
торыхъ сумма равна і, т. е. составляетъ міръ задачи
(ея логическую единицу). Этотъ механическій методъ
имѣетъ передъ геометрическимъ методомъ Венна то
преимущество, что выполняетъ автоматически „соста-
83
ставленіе уравненія" (нужно, впрочемъ, предварительно
передать посылки въ формѣ равенствъ); но онъ не
указываетъ дѣйствій, которыя нужно выполнить для
полученія слѣдствій, вытекающихъ изъ данныхъ, напи-
санныхъ на доскѣ.
50.	Таблица слѣдствій.
Лучше, однако, чѣмъ этими геометрическими и
механическими пріемами, методъ Порѣцкаго иллюстри-
руется при помощи построенія таблицы, которая позво-
ляетъ читать непосредственно всѣ слѣдствія и всѣ
причины даннаго равенства (эта таблица относится къ
данному равенству, и всякое равенство даетъ мѣсто
иной таблицѣ). Каждая таблица содержитъ 2“ классовъ,
которые можно опредѣлять и различать въ мірѣ рѣчи
о п терминахъ. Извѣстно, что равенство состоитъ въ
обращеніи въ нуль опредѣленнаго числа этихъ классовъ,
именно тѣхъ, которыхъ конституенты заключаются среди
конституентовъ его логическаго нуля И. Пусть т есть
число ихъ; число всѣхъ подклассовъ Ы есть 2т; это и
будетъ число классовъ міра, которые обращаются въ
нуль въ силу разсматриваемаго равенства. Расположимъ
ихъ въ колонну, начинающуюся классомъ о и оканчи-
вающуюся классомъ Ы (два крайніе класса). Съ другой
стороны, если данъ какой-либо классъ, можно приба-
вить къ нему всякій изъ предыдущихъ классовъ, не
измѣняя его значенія, потому что, по условію, они
равны нулю (въ разсматриваемой задачѣ). Поэтому каж-
дый классъ равенъ, въ силу данныхъ задачи, 2Ш клас-
самъ (со включеніемъ его самого). Совокупность 2”
классовъ рѣчи распадается, такимъ образомъ, на 2”~"г
рядовъ по 2"’ классовъ, причемъ каждый рядъ состоитъ
изъ суммъ нѣкотораго класса и 2Ш классовъ первой
колонны (подклассовъ М). Можно поэтому расположить
2™ суммъ въ слѣдующихъ колоннахъ такъ, чтобы по
горизонталямъ онѣ отвѣчали тѣмъ классамъ первой
колонны, отъ которыхъ происходятъ. Возьмемъ для
84
примѣра очень простое равенство а = 6, эквивалентное
равенству
аЪ' + а'Ъ = о.
Логическій нуль (X) будетъ здѣсь аЬ'-\-а'Ь; онъ
содержитъ два конституента и, слѣдовательно, четыре
подкласса: р, аѴ, а'Ь и аЬ’-\-а'Ъ. Они составятъ первую
колонну. Остальные классы рѣчи суть аЬ, а'Ь', аЬ а’Ь' и
тѣ, которые получаются путемъ прибавленія къ каждому
изъ нихъ четырехъ классовъ первой колонны. Такимъ
образомъ получается слѣдующая таблица:
о	аЬ	а'Ь'
аЪ’	а	Ъ'
а'Ъ	Ъ	а’
аЪ’-\-а'Ъ а-\-Ъ а’-\-Ъ'
аЪ а'Ъ'
а-\-Ъ'
а' —|- Ъ
і
По построенію каждый классъ этой таблицы
представляетъ сумму тѣхъ классовъ, которые находятся
въ началѣ его строки и въ началѣ его колонны; онъ
равенъ, въ силу данныхъ задачи, каждому изъ тѣхъ,
которые находятся въ той же колоннѣ. Такимъ обра-
зомъ получаемъ 64 различныхъ слѣдствій для всякаго*
равенства въ мірѣ рѣчи 2 буквъ; онѣ содержатъ іб
тождествъ (которыя получаются приравниваніемъ каж*
даго класса себѣ самому) и іб формъ даннаго равенства,,
которыя получаемъ, приравнивая классы, отвѣчающіе въ
каждой строкѣ, классамъ, о которыхъ извѣстно, что они
равны, именно
о = аЪ' а'Ъ, аЬ = а-\-Ь, а'Ъ'~ а'-\-Ъ', аЪ-\- а'Ъ' = і;
а = Ъ, Ъ' = а', аЪ' = а'Ъ, а-\-Ъ' = а' -\-Ъ^
Каждое изъ этихъ 8 равенствъ считается за два,.,
сообразно съ тѣмъ, что оно можетъ быть разсматри-
ваемо какъ опредѣленіе одного или другого изъ его
членовъ.
51.	Таблица причинъ.
Эта же таблица можетъ служить для изображенія
всѣхъ причинъ того же равенства, въ силу слѣдующей
теоремы:
85
Если слѣдствія равенства X — о выражены въ
формѣ опредѣленій какого-либо класса II, то причины
этого равенства выводятся изъ слѣдствій противопо-
ложнаго равенства X—і, представленныхъ въ той же
формѣ, посредствомъ замѣны 1} черезъ ЕГ въ одной изъ
двухъ частей.
Дѣйствительно, мы знаемъ, что слѣдствія равенства
К = о имѣютъ форму
Ѵ = (Х' + Х)Ѵ + ХУЩ
а причины того же равенства имѣютъ форму
и=М'ХѴ + (М4-У)і}'.
Но, если замѣнимъ II черезъ 17' въ одной изъ
частей этой послѣдней формулы, то она*обратится въ
Н = (М + Х')Ѵ+Х'УѴ,
при чемъ значки буквъ X и У можно отбросйть, по-
тому что эти буквы изображаютъ два неопредѣленные
класса. А тогда получимъ формулу слѣдствій равенства
X'—-о или Х= і.
Доказавъ эту теорему, построимъ, напримѣръ,
таблицу причинъ равенства а — Ъ\ это будетъ таблица
слѣдствій противоположнаго равенства а — Ъ'\ потому
что первое равносильно
аЪ' а'Ъ = о,
а второе равносильно
(аЪ -|- а'Ъ' = о) = (аЪ' ф- а'Ъ = і).
о аЪ' а'Ъ аЪ' -(- а'Ъ
аЪ	а	Ъ	а-\-Ъ
а'Ъ'	Ъ'	а'	а'-\-Ъ'
аЪ + а'Ъ'	а-[-Ъ'	а'-\-Ъ	і
Для вывода изъ этой таблицы, вмѣсто слѣдствій
равенства а — Ъ', причинъ противоположнаго равенства
а — Ъ, достаточно приравнять отрицаніе каждаго класса
каждому изъ классовъ, находящихся въ той же колоннѣ.
86
Примѣры:
а'-(-/>'= о, а' -\-Ь' = а'Ь', а'-\-Ь’ = аЪ-\-а’Ъ'\
а -\-Ь = а, а'-\-Ъ=Ь', а -}-Ъ — а
Среди '64 причинъ разсматриваемаго равенства
находится іб абсурдовъ (получаемыхъ приравниваніемъ
каждаго класса таблицы его отрицанію), и іб формъ
равенства (естественно, тѣ же самыя, что и въ таблицѣ
слѣдствій: дѣйствительно, два эквивалентныя равенства
представляютъ одно по отношенію къ другому и при-
чину и слѣдствіе).
Замѣтимъ, что таблица причинъ отличается отъ
таблицы слѣдствій лишь тѣмъ, что является симмет-
ричной съ ней относительно главной діагонали (о, і);
можно поэтому отождествить ихъ, подъ условіемъ за-
мѣны въ предыдущемъ выраженіи слова колонна уловомъ
строка. Дѣйствительно, такъ какъ правило слѣдствій
относится только къ классамъ той же колонны, то можно
расположить въ каждой колоннѣ классы по строкамъ
такъ, что правило причинъ будетъ оправдываться для
классовъ одной строки.
Замѣтимъ, сверхъ того, что, на основаніи способа
построенія, принятаго для этой таблицы, классы, пред-
ставляющіе отрицаніе одинъ другого, занимаютъ мѣста
симметричныя по отношенію къ центру таблицы. Для
этого слѣдуетъ помѣстить въ первой строкѣ подклассы
класса № (логической единицы даннаго равенства, или
логическаго нуля противоположнаго равенства) въ на-
туральномъ порядкѣ отъ о до №, потомъ помѣстить
въ каждый квадратъ сумму классовъ, стоящихъ въ
началѣ его строки и его колонны.
Тогда можно оба правила соединить въ слѣдующее
практическое выраженіе:
Для полученія всѣхъ слѣдствій даннаго равенства
(къ которому относится таблица), достаточно прирав-
нять каждый классъ всѣмъ классамъ той же колонны; а
для полученія всѣхъ его причинъ, достаточно прирав-
Л_7_.
нять каждый классъ всѣмъ классамъ строки, содержа-
щей симметричный съ нимъ классъ.
Очевидно, что таблица, относящаяся къ равенству
М = о, можетъ служить также для противоположнаго
равенства Ы == і, подъ условіемъ перестановки словъ
строка и колонна въ предыдущемъ выраженіи.
Само собой разумѣется, что построеніе таблицы,
относящейся къданномуравенству.полезноиудобно лишь
въ томъ случаѣ, когда желаемъ перечислить полностью
слѣдствія или причины этого равенства; Если ищутъ
просто частное слѣдствіе или частную причину, отно-
сящуюся къ тому или другому классу рѣчи, то упо-
требляютъ одну изъ формулъ, приведенныхъ выше.
52.	Число возможнымъ утвержденій.
Если разсматривать логическія функціи и уравне-
нія, предполагая ихъ разложенными по отношенію ко
всѣмъ буквамъ, то можно найти число различныхъ
утвержденій или задачъ, которыя могутъ быть соста-
влены относительно п простыхъ терминовъ. Дѣйстви-
тельно, всѣ функціи, разложенныя такимъ образомъ,
могутъ содержать конституенты лишь съ коэффиціен-
тами і и о (въ, этомъ второмъ случаѣ онѣ ихъ на
самомъ дѣлѣ не содержатъ). Онѣ суть поэтому комби-
націи этихъ конституентовъ, получаемыя сложеніемъ;
и такъ какъ число конституентовъ равно 2я, то число
возможныхъ функцій будетъ 22". Изъ нихъ слѣдуетъ
исключить функцію, въ которой отсутствуютъ всѣ кон-
ституенты, равную тождественно нулю; останется 22”— і
возможныхъ уравненій (255 для п = 3). Но эти уравне-
нія, въ свою очередь, могутъ комбинироваться съ
помощью логическаго сложенія, т. е. альтернативно;
число ихъ комбинацій будетъ такимъ образомъ равно
22’-1—і, при чемъ опять исключается нулевая комби-
нація. Таково число возможныхъ утвержденій относи-
тельно и терминовъ. Для п -- 2 это число уже равно
88
32767 х). Нужно еще замѣтить, что въ этомъ вычисленіи
предполагаются лишь общія посылки, какъ это будетъ
-объяснено въ слѣдующемъ нумерѣ.
53.	Частныя предложенія.
Мы разсматривали до сихъ поръ исключительно
предложенія съ утвердительной связкой (включенія
или равенства), которыя отвѣчаютъ общимъ предложе-
ніямъ классической логики * 2). Оставалось бы изучить
предложенія съ отрицательной связкой (не-включенія
или не-равепства), которыя выражаютъ частныя пред-
ложенія 3); но исчисленіе предложеній съ отрицательной
связкой вытекаетъ изъ извѣстныхъ уже законовъ, а
именно изъ формулъ Де-Моргана и закона противопо-
ставленія. Мы перечислимъ главныя формулы, получае-
мыя такимъ образомъ.
Принципъ составленія даетъ слѣдующія формулы:
(с < аЪ) = (с < а) + (с < і),
(« + Ь < с) =: {а < с} 4- (Ъ < с),
*) (7. Реапо, Саісоіо ^еошеігісо (1888), р. X. — Зсіггбйег, А1-
§еЪга сіег Ьо§ік, і. II, р. 144—148.
2) Дѣйствительно, общее утвердительное предложеніе:
„Всякое а есть Ьи выражается формулами
(а < д) = (а = ад) = (ад' = о) = (а' ф 6 = і), •*
а общее отрицательное*. „ Никакое а не есть Ь “ — формулами
(а < Р) = (а = аР) = (аЬ = о) = (а'~І~ Ь' = і).
3) Дѣйствительно, частное утвердительное предложеніе:
„Нѣкоторыя а суть 6“, будучи отрицаніемъ общаго отрицатель-
наго, выражается формулами
(а -а. д') = (а ф ад') = (ад ф о) = (а' ф д' ф і),
а частное отрицательное предложеніе: „Нѣкоторыя а не суть
будучи отрицаніемъ общаго утвердительнаго, выражается фор-
мулами
(а Д д) = (а ф ад) = (ад' ф о) = (а ф д ф і).
89
откуда, въ частности,
(аЬ ф і) = ф і) -|- (Ъ ф і),	/
(дф/>фо) = (дфо)ф(^4=°)-
Отсюда получаются слѣдующіе важные выводы:
(д ф О) < (Д ф Й ф о),
(д ф і) < (й* ф I)-
Изъ принципа силлогизма выводимъ, въ силу за-
кона перестановки:
{а Ъ) (а ф о)< (Ь ф о),
(д</>) (^фіХ(дфі).
Формулы преобразованія включеній и равенствъ
даютъ соотвѣтственныя формулы преобразованія не-
включеній и не-равенствъ:
(я ф Ь) = (аЪ‘ фо) = (я' ф Ъ ф і),
(а ф Ь) — (аЪ' ф а'Ь ф о) = (аЬ ф а'Ъ' ф і).
54.	Рѣшеніе не-уравненія съ одной неизвѣстной.
Разсмотримъ условное не-равенство (не-уравненіе)
съ одной неизвѣстной
ах ф Ьх1 ф о.
Извѣстно, что первая часть его содержится въ суммѣ
его коэффиціентовъ
ах ф Ъх' <С а ф Ь.
Отсюда заключаемъ, что, если это не-уравненіе
удовлетворяется, то имѣетъ мѣсто не-равенство
ф і ф о.
Это—необходимое условіе разрѣшимости не-ура-
вненія, и вмѣстѣ результатъ исключенія неизвѣстной х.
Дѣйствительно, такъ какъ
ДД^ (ах ф Ъх — о) = (а ф Ъ = о),
90
то (въ силу противопоставленія) и
(ах-\~Ьх' ф о) — (а ф- Ь ф о).
Также изъ равенства
(ах Ф &х' — о) = (аЪ — о)
X
можно вывести равенство
2^ (<?хф Ьх’ -|- о) = (аЬ Ф о),
X
которое означаетъ, что необходимымъ и достаточнымъ
условіемъ для того, чтобы не-уравненіе всегда было
вѣрно, является
(аЬ ф о).
Дѣйствительно, извѣстно, что, въ этомъ случаѣ, ура-
вненіе
(ах ф- Ъх' — о)
невозможно (всегда невѣрно).
Такъ какъ затѣмъ имѣемъ равенство
(ах ф- Ьх = о) — (х = а'х ф- Ьх'\
то будетъ также
(ах ф- Ьх' фо) — (х ф а'х ф- Ьх'),
Посмотримъ, что означаетъ рѣшеніе:
(ах ф- Ьх фо) — (ах ф о) ф- (Ьх ф о) = (х ф а') ф- (Ь ф х).
„Либо х не заключается въ а’,либо — не заключаетъ Ь“
Это — отрицаніе двойного включенія
і <хфа'.
Совершенно такъ, какъ произведеніе нѣсколькихъ
равенствъ сводится къ одному равенству, сумма (аль-
тернатива) нѣсколькихъ не-равенствъ сводится къ
одному не-равенству. Но мы не знаемъ приведенія нѣ-
сколькихъ альтернативныхъ равенствъ или нѣсколькихъ
совмѣстныхъ не-равенствъ къ одному.
91
55.	Система, состоящая изъ уравненія и не-уравненія.
/
Мы ограничимся изученіемъ случая совмѣстныхъ
равенства и не-равенства. Пусть, напримѣръ, имѣются
двѣ посылки:
(ах 4- Ъх1 — о) (сх ф сіх ф о)-
Для того, чтобы первая посылка (уравненіе) могла
быть удовлетворена, нужно, чтобы оправдывался ре-
зультатъ исключенія
аЪ = о.
Рѣшеніе этого уравненія будетъ
х ~ а'х ф Ъх.
Внесемъ это выраженіе (равносильное уравненію)
въ не-уравненіе; получимъ не-уравненіе:
(а'с х-\- (Ьс ф Ь'сі) х' ф о.
Результатъ исключенія (условіе его разрѣшимо-
сти) будетъ
(а'с -\~асІ-\-ЪсЬ'сі ф о) = [(л'ф^)с Ч” (а "Ь ^) Ф °]-
что, если принять во вниманіе результатъ исключенія
равенства
(аЬ = о) = (а' ф Ъ — а') = (а-{-Ь' — Ь')>
сводится къ
а'с-{-Ь'сі ф о.
Можно притти къ тому же результату, замѣчая,
что .равенство равносильно двумъ включеніямъ
(х < а') (х' < Ь'),
и умножая обѣ части каждаго изъ нихъ на одинъ и
тотъ же терминъ:
(сх < а'с) (сіх < Ь'сі) < (сх ф сіх < а'с ф Ъ'Л)
(сх ф сіх' ф о) < (а'с ф Ь'сі ф о).
92
Изъ этого результата исключенія вытекаетъ ре-
зультатъ исключенія отдѣльно взятого не-равенства
с ф сі ф о,
такъ что съ послѣднимъ нѣтъ надобности считаться.
Поэтому достаточно къ нему присоединить результатъ
исключенія равенства, чтобы имѣть полный результатъ
исключенія данной системы
(аЪ = о) (а с-[-Ъ'сІ ф о).
Рѣшеніе преобразованнаго не-равенства (обнимаю-
щее, такимъ образомъ, рѣшеніе равенства) будетъ:
х ф (а'с ф асГ) х ф (Ъс ф Ъ’сі) х*.
56.	Спеціальныя формулы исчисленія предложеній.
Всѣ разсмотрѣнныя до сихъ поръ формулы имѣютъ
силу для предложеній точно такъ же, какъ для понятій.
Теперь перейдемъ къ выводу ряда формулъ, которыя
имѣютъ силу только для предложеній, потому что всѣ
онѣ вытекаютъ изъ спеціальной аксіомы исчисленія
предложеній, которую можно назвать принципомъ утвер-
жденія. Эта аксіома есть
X.	—
И. Пр.: Сказать, что предложеніе а вѣрно, значитъ
утверждать самое предложеніе. Иными словами, утвер-
ждать предложеніе, это значитъ утверждать справедли-
вость этого предложенія ф
Слѣдствіе:
сі = (а’ = і) _ (а = о).
И. Пр.: Отрицаніе предложенія а равносильно
утвержденію, что это предложеніе ложно.
*) Непосредственно видимъ, что эта формула не допускаетъ
И П.: потому что, если а—понятіе, то (а = і) есть предложеніе,
и такимъ образомъ получилось бы логическое равенство (тожде-
ство) между понятіемъ и предложеніемъ, что нелѣпо.
93
Мы имѣли уже, въ силу аксіомы IX (п° 20),
(а = і)(а = о) = о.
„Невозможно, чтобы предложеніе было вмѣстѣ и вѣр-
нымъ и ложнымъ", потому что
(Силл.) (а = і) (а = о)<(і — о) = о.
Но теперь, въ силу аксіомы X, имѣемъ
(а = і) ф- (а == о) ~ а ф а! = і.
„Всякое предложеніе либо вѣрно, либо ложно".
Соединяя эти предложенія, замѣчаемъ непосредственно,
что предложенія (а = і) и (а — о) противорѣчивы, т. е.
(а ф і) = (а = о), (п ф о) = (а = і).
Что касается вычисленій, то аксіома X позволяетъ
сводить къ первой части всякое равенство, котораго
вторая часть равна і, и преобразовывать не-равенства
въ равенства. Само собою разумѣется, что эти равен-
ства и не-равенства должны имѣть, въ качествѣ чле-
новъ, предложенія. Во всякомъ случаѣ всѣ формулы
этой главы имѣютъ силу также для классовъ въ томъ
частномъ случаѣ, когда міръ рѣчи содержитъ одинъ
лишь элементъ: потому что тогда нѣтъ другихъ клас-
совъ, кромѣ о и і. Словомъ, спеціальное исчисленіе
предложеній равносильно исчисленію классовъ въ томъ
случаѣ, когда послѣдніе могутъ имѣть лишь два зна-
ченія, о и і.
57.	Эквивалентность между включеніемъ и альтерна-
тивой.
Основное равенство
(а < Ь) = {а* -ф Ъ = і)
даетъ мѣсто, при посредствѣ аксіомы X, слѣдующему
равенству:
(я<О)==(а'ф-6),
94
которое является не менѣе основнымъ въ исчисленіи
предложеній. Сказать, что изъ а слѣдуетъ значитъ
утверждать „не-а или Ь“, а-, е. „а ложно или Ь вѣрно".
Это» равенство часто употребляется въ обыденной рѣчи.
Слѣдствіе. Для всякаго равенства имѣемъ
(а = Ъ) = аЬ -|- а9Ь’.
Доказательство:
(а = Ъ) — (а < Ъ) (Ь < а) — (а9 Л* Ъ) (Ь' Ц- а) = аЪ + а'Ь'.
„Утверждать, что два предложенія равны (эквива-
лентны), значитъ утверждать, что оба вѣрны, или оба
ложны".
Основное равенство, только что доказанное, имѣ-
етъ важныя слѣдствія, которыя мы теперь перечислимъ.
Во-первыхъ, оно позволяетъ сводить предложенія
вторичныя, третичныя и т. д. къ предложеніямъ пер-
вичнымъ, или даже къ суммамъ (альтернативамъ) пред-
ложеній элементарныхъ. Дѣйствительно, оно позволяетъ
отбросить связку всякаго предложенія и, слѣдовательно,
понизить порядокъ его сложности. Выводъ (А<В),
гдѣ А и В изображаютъ предложенія болѣе или менѣе
сложныя, сводится къ суммѣ А'4~В, куда входятъ
лишь внутреннія связки А и В, т. е. предложенія низ-
шаго порядка. Точно также, равенство (А = В) сводится
къ суммѣ (АВ А'В'), имѣющей порядокъ низшій.
Извѣстно, что принципъ составленія позволяетъ
„составлять" нѣсколько совмѣстныхъ включеній или
равенствъ; но нельзя „составлять" нѣсколькихъ аль-
тернативныхъ включеній или равенствъ, или же, по
крайней мѣрѣ, результатъ не будетъ эквивалентенъ ихъ
альтернативѣ: онъ будетъ лишь слѣдствіемъ. Словомъ,
имѣемъ только выводы
(а < <0 4" <^с) •< (аЪ < с).
(с < а) + (с < V) < (с < а + Ь),
95
которые, въ частномъ случаѣ, когда 'полагаемъ соот-
вѣтственно с = о, г—і, обращаются въ
(а = о) {Ь = о)< (аЬ = о).
(а=і) + (^ = і)<(« + ^ = і)-
Въ исчисленіи классовъ обратные выводы не
имѣютъ силы; въ самомъ дѣлѣ, изъ того, что классъ
аЬ есть нуль, нельзя заключить, что одинъ изъ классовъ
а или 6, есть нуль (они оба могутъ не быть нулями и
не имѣть притомъ общихъ элементовъ); и изъ того,
что сумма (а-|-і) равна і, нельзя заключить, что а
или Ъ равно і (эти классы вмѣстѣ могутъ содержать
всѣ элементы міра безъ того, чтобы одинъ изъ нихъ,
взятый въ отдѣльности, содержалъ всѣ). Но эти обрат-
ные выводы справедливы въ исчисленіи предложеній
(аЬ << с)С (а <С с) 4- (Ь •< с),
(с < а + Ъ) < (с < а) + (с < Ѵ)‘,
потому что они получаются изъ доказаннаго выше ра-
венства, или, скорѣе, изъ него можно вывести соот-
вѣтственныя равенства, дающія ихъ какъ слѣдствія,
(і)	с) = (а < с) + (Ь < с),
(2)	(г < а + Ъ) = (г < а) + (г< і).
Доказательство:
і°	(аЪ <с) = а' 4- У 4* с,
(а < с) 4- (Ь < с) = (а' 4~ с) 4" (У 4“ с) — я' 4" Ь* 4- с]
2°	(с < а 4~ Ь) '-= с' 4~ а 4“
(с а) 4“ (с Ъ) = (сг 4“ а) 4- (Д 4” == с’ 4~а 4”
Въ частномъ случаѣ, когда полагаемъ соотвѣт-
ственно = о, г=і, находимъ:
(3)	= о) = (а = о) 4- (Ь = о),
(4)	(б?4-і і) = (а = і) + (Ъ = і).
И. Пр.: (і). Сказать, что изъ двухъ предложеній,
взятыхъ вмѣстѣ, вытекаетъ третье, все равно, что
сказать, что изъ одного изъ нихъ вытекаетъ третье.
96
(2)	Сказать/ что изъ предложенія вытекаетъ аль-
тернатива двухъ другихъ, это значитъ сказать, что изъ
него слѣдуетъ одно изъ нихъ.
(3)	Сказать, что два предложенія, взятыя вмѣстѣ,
ложны, значитъ сказать, что одно изъ нихъ ложно.
(4)	Сказать, что альтернатива двухъ предложеній
вѣрна, значитъ сказать, что одно изъ нихъ вѣрно.
Отмѣтимъ парадоксальный характеръ трехъ пер-
выхъ предложеній въ противоположность очевидности
послѣдняго. Эти парадоксы объясняются, съ одной
стороны, спеціальной аксіомой, которая утверждаетъ,
что каждое предложеніе вѣрно или ложно; съ другой
стороны, тѣмъ, что изъ ложнаго слѣдуетъ вѣрное и
что только ложное не слѣдуетъ изъ вѣрнаго. Напри-
мѣръ, въ первомъ предложеніи, если двѣ посылки
вѣрны, то изъ каждой изъ нихъ вытекаетъ слѣдствіе;
и если одна изъ нихъ ложна, то изъ нея вытекаетъ
слѣдствіе (вѣрное или ложное). Во второмъ предложе-
ніи—если альтернатива вѣрна, одинъ изъ ея членовъ
долженъ быть вѣренъ и, слѣдовательно, будетъ выте-
кать, какъ и альтернатива, изъ посылки (вѣрной или
ложной). Наконецъ, въ третьемъ предложеніи — произ-
веденіе двухъ предложеній можетъ быть ложнымъ лишь
въ томъ случаѣ, когда одно изъ нихъ ложно, потому
что, если бы оба были вѣрны, то и произведеніе ихъ
было бы вѣрно (равно і).
58.	Законъ внесенія и вынесенія.
Основное равенство' (а < Ь) = а' -р Ь имѣетъ еще
много другихъ важныхъ слѣдствій. Одно изъ наиболѣе
важныхъ — законъ внесенія и вынесенія, который выра-
жается слѣдующей формулой:
[а < (Ь < г)] = (аЬ < с).
Сказать, что, если вѣрно а, то изъ Ь слѣдуетъ с,
все равно, что сказать, что изъ а и Ь слѣдуетъ с“.
97
Это равенство содержитъ два обратныхъ вывода:
если дѣлаемъ заключеніе отъ первой части ко второй,
то вносимъ въ выводъ (6 < с) гипотезу или условіе а\
если же заключаемъ отъ второй части къ первой, то,
напротивъ того, выносимъ изъ вывода (аЬ < с) гипотезу а.
Доказательство:
[я < (Ъ < с) ] = а' 4- (Ь < с) — а' Ъ' 4“ с.
{аЬ 6?) = (аЬ) 4“ с = а 4*^ 4“	•
Слѣдствія.—1°. Имѣемъ, очевидно, равенство
[л < (Ъ < г)] = \Ь < (а < г)],
потому что обѣ части, въ силу перемѣстительнаго
закона умноженія, равны (аЬ<^с).
2°. Имѣемъ также
[й<(б7<Й)] = (д <й),
потому что, по закону внесенія и вынесенія
[а < (а < і)] — (аа < />) = (а < Ь).
Если приложимъ законъ внесенія къ слѣдующимъ
двумъ формуламъ, изъ которыхъ первая вытекаетъ
изъ принципа тождества, а вторая выражаетъ прин-
ципъ противопоставленія,
(а<Ь) <(«<&),	(а<Ъ)<(Ь‘ <а'\
то получимъ двѣ формулы
(а < Ь ) а < Ъ,	(л < #) #' < а',
представляющія два типа условнаго вывода: „Если изъ а
слѣдуетъ и если а вѣрно, то Ъ вѣрно" (тоНиз ропепз)\
„Если изъ а слѣдуетъ и Ь ложно, то а ложно" (то-
сіиз іоііекз).
Примѣчаніе. — Эти двѣ формулы можно было бы
вывести прямо, съ помощью принципа утвержденія,
изъ слѣдующихъ формулъ
Алгеьрл логики.	7
98
(а < Ь) (а = і) < (Ь = і), '
(а < Ь) (Ь = о) < (а — о\
которыя не зависятъ отъ закона внесенія и вытекаютъ
изъ принципа силлогизма.
Изъ того же основного равенства можно вывести
нѣсколько парадоксальныхъ формулъ:
„Если а вѣрно, то а слѣдуетъ изъ всякаго предло-
женія Ь] если а ложно, то изъ а слѣдуетъ всякое пред-
ложеніе Ьи. Это согласно съ извѣстными свойствами о и і.
2°	а<[(а<Ь)<Ь],	а'<[(і<а)<^'].
„Если а вѣрно, тогда изъ того, что „изъ а слѣ-
дуетъ Ьа вытекаетъ Ь\ если а ложно, тогда изъ того,
что „изъ Ь слѣдуетъ а“ вытекаетъ не-^“.
Эти двѣ формулы представляютъ другія формы
условнаго вывода (шосіиз ропепз и шосіиз Іоііепз).
3°	[^<Ь)<а] = а. Ч [(і<а)<а'] = а'.
„Сказать, что, если изъ а слѣдуетъ і, то а вѣрно,
это все равно, что утверждать а] сказать, что, если
изъ Ь слѣдуетъ а, то а ложно, все равно, что отри-
цать а“.
Доказательство :
[(а	<а] ~ [а' АД <а) == аЪ’а = а.
[(і < а) <а') — (Ь' а < а) ~ а'Ь	а' — а.
Въ формулахъ і° и 30, гдѣ Ь произвольно, можно
было бы ввести знакъ , по отношенію къ Ъ. Въ
слѣдующей формулѣ употребленіе этого знака является
необходимымъ
4°	ГТ |[Л <	=аЬ.
’) Эта формула есть принципъ редукціи Киззеіі'я: ТЬе ргіп-
сіріез оГ таіЬетаіісз, і. 1, р. 17 (СатЬгіс1§е, Ыпіѵегзйу Ргезз, 1903).'
99
Доказательство:
| [а < (Ь < х } = {[а' 4- (Ъ < х) ] < х}
= [(а' 4~ х) < х ] = аЬх' -\-х = аЬ-\- х-
Мы должны теперь составить произведеніе | | (аЪ-\-х),
X
въ которомъ х можетъ принимать всѣ значенія, со
включеніемъ о и і. Но, очевидно, что частью общей
всѣмъ терминамъ вида (аЬА-х) можетъ быть только
аЪ. Дѣйствительно: і° аЪ содержится во всѣхъ сум-
махъ (аЬ-{-х\ слѣдовательно и въ ихъ общей части;
2° общая часть всѣхъ суммъ
(аЬ + х)
должна содержаться въ (аЪ-}-о\ т. е. въ аЬ. Итакъ, эта
общая часть равна аЪ х), что доказываетъ теорему.
59.	Приведеніе не-равенствъ къ равенствамъ.
ч Какъ сказано выше, принципъ утвержденія позво-
ляетъ сводить не-равенства къ равенствамъ посред-
ствомъ слѣдующихъ формулъ:
(а ф о) = (а = і), (а ф і) = (а = о).
(а ф Ъ) = (а = і')-
Дѣйствительно,
(а ф Ь) = (аѴ -ф а'Ъ ф о) = (аЪ' -ф а'Ъ = і) = (а = Ъ').
Поэтому имѣемъ парадоксальную формулу
(а ф Ъ) = (а — Ъ').
Это разсужденіе представляется общимъ и изъ него
можно вывести формулу
Ц(«+х) = «,
X
откуда получается соотвѣтственная формула
пх = а
100
Это представляется понятнымъ, потому что, каково
бы ни было предложеніе і, всегда либо оно будетъ
вѣрно, а его отрицаніе ложно; либо само предложеніе
будетъ ложно, а его отрицаніе вѣрно. Но, каково бы
ни было предложеніе л, оно либо вѣрно, либо ложно;
поэтому оно должно быть равно либо Ь, либо Ъ'. Итакъ
отрицать равенство (предложеній), значитъ утверждать
„противоположное* равенство.
Отсюда слѣдуетъ, что въ исчисленіи предложеній
нѣтъ надобности разсматривать не-равенства, что зна-
чительно упрощаетъ теорію и практику. Далѣе, по-
добно тому, какъ можно „составлять" альтернатив-
ныя равенства, можно также „составлять" совокупныя
не-равенства, потому что онѣ сводятся къ равенствамъ.
Дѣйствительно, изъ выше доказанныхъ (п° 57) формулъ
(аЬ = о) — (а = о) -|- (I’ = о),
(а^Ъ^ і) = (а = і)-|-(^ = і)
выводимъ посредствомъ противопоставленія
(а ф о) (р ф о) = (аЬ ф о),
(лф і)(^ф і) = (а-рф і).
Эти двѣ формулы, впрочемъ, эквивалентны, по
только что сказанному; извѣстнымъ формуламъ
- (а = і) (р = і) = (аЬ ~ і),
{а = о) (Ъ = о) = (а -ф Ь = о).
Поэтому въ исчисленіи предложеній, можно раз-
рѣшать всякія системы совмѣстныхъ равенствъ и не-
равенствъ и всякія системы альтернативныхъ равенствъ
и не-равенствъ, что представляется невозможнымъ въ
исчисленіи классовъ. Для этого достаточно прилагать
лишь слѣдующее правило:
Свести сначала всѣ включенія къ равенствамъ и
не-включенія къ не-равенствамъ; затѣмъ привести
вторыя части равенствъ къ і, а не-равенствъ къ о, и
преобразовать эти послѣднія въ равенства съ і во
второй части; наконецъ отбросить вторыя части, рав-
ныя і и знаки = , т. е. перемножить первыя части со-
101
вмѣстныхъ равенствъ и сложить первыя части альтер-
нативныхъ равенствъ, сохраняя скобки.
60.	Заключеніе.
Предыдущее изложеніе далеко не исчерпываетъ
предмета; оно не претендуетъ на то, чтобы быть полнымъ
трактатомъ алгебры логики, но имѣетъ цѣлью лишь
познакомить съ основаніями и элементарными теоріями
этой науки. Алгебра логики есть алгориѳмъ, имѣющій свои
законы; она нѣкоторыми своими сторонами очень сходна
съ обыкновенной алгеброй, другими — значительно отъ
нея отличается: въ ней нѣтъ, напримѣръ, различія сте-
пеней; законы тавтологіи и поглощенія вводятъ въ нее
большія упрощенія и устраняютъ численные коэффи-
ціенты. Это — формальное исчисленіе, дающее мѣсто
всякаго рода теоріямъ и задачамъ и способное разви-
ваться почти безпредѣльно. Но въ то же время это—
замкнутая система, и важно показать, что она далеко
не обнимаетъ всей логики. Это, собственно говоря,
лишь алгебра классической логики; какъ эта послѣд-
няя, она остается заключенной въ области, устано-
вленной Аристотелемъ, т. е. въ области отношеній
включенія понятій, и отношеній вывода предложеній.
Правда, классическая логика (если даже оставить въ
сторонѣ ошибки и многословіе) была гораздо уже,
чѣмъ алгебра логики; она почти совершенно заклю-
чалась въ теоріи силлогизма, границы которой ка-
жутся теперь очень тѣсными и очень искусственными.
Тѣмъ не менѣе, алгебра логики разсматриваетъ, хотя
значительно полнѣе и общѣе, лишь задачи того же.
порядка; она, въ сущности, ничто иное, какъ теорія
многообразій, разсматриваемыхъ въ ихъ отношеніяхъ
включенія и тождества. Но логика должна изучать
много другихъ видовъ понятій, кромѣ родовыхъ (по-
нятій классовъ) и много другихъ отношеній, кромѣ
отношенія включенія (подчиненія) для этихъ понятій.
102
Она должна, словомъ, развиться въ логику отношеній, ко-
торую предвидѣлъ Лейбницъ,основаніе которой положили
Пирсъ (Реігсе) и Шрёдеръ, и которую Пеано и Рэссель
(Киззеіі), какъ кажется, установили окончательно на
прочномъ основаніи. Но въ то время, какъ классиче-
ская логика и алгебра логики почти безполезны для
математики, въ логикѣ отношеній математика находитъ,
напротивъ того, свои основныя понятія и принципы;
настоящая логика математики есть логика отношеній.
Алгебра логики отличается отъ чистой логики, какъ
особая математическая теорія, потому что она основана
на принципахъ, которые мы постулировали неявно и
которые не способны выражаться алгебраически или
символически, потому что они служатъ основаніемъ
всякаго символизма и всякаго исчисленія 1). Можно
поэтому сказать, что алгебра логики есть математиче-
ская логика по своей формѣ и по своему методу; но
не слѣдуетъ принимать ее за логику математики.
х) Принципъ дедукціи и принципъ подстановки. См. наше
сочиненіе Мапиеі де Ьо^ізіідие, СЬар. I, § 2 еі 3, и Ьез Ргіпсірез
дез МаЙіётаіідиез, • СЪар. I, А.
КОНЕЦЪ.
БЦБДЮГРДФіЯ 1).
Сеог^е Вооіе. ТЬе шаіЬетаіісаІ апаіувіз о( Ьо^іс
(СатЬгісІ^е апб Ьопсіоп, 1847).
— Ап іпѵезіі^аііоп о( Ше Ьалѵз оі ТЬои^йі: (Ьоп-
сіоп апсі СатЬгісІ^е, 1854).
Ж. Зіапіеу ]еѵоп§. Риге Ьо^іс (Ьопсіоп, 1864).
— Оп Ше тесЬапісаІ регіогтапсе оі Іо&ісаі іпіе-
гепсе (РЫІозорЬісаІ Тгапзасііопз, 1870).
Егпзі Зскгдйег. Ьег ОрегаНопзкгеіз сіез Ьо^іккаІ-
,киІ8 (Ьеіргі^, ТеиЬпег, 1877).
— АІ^еЬга <іег- Ьо&ік, і. I (1890), і. II (1891), I. III:
Ьо^ік сіег Кеіаііѵе (1895) (Ьеіргі^, ТеиЬпег) 2).
АІ. Мас/агіапе. Ргіпсіріез о( Ле Аі^еЬга о( Ьо^іс,
лѵііЬ ехатріез (ЕсііпЬиг^Ь, 1879).
Оокп Ѵепп. ЗутЬоІіс Ьо^іс, іое изд., 1881, 2ое изд.,
1894 (Ьопсіоп, Мастіііап) 3).
Зіибіез іп Ьо^іс Ьу тетЬегз о! Йіе }оЬпз Норкіпз
Ыпіѵегзііу (Возіоп, 1883), именно: Мгз ЬаМ-ГгапкІіп,
Мііскеіі и Реігсе.
ІѴкііекеай. А Тгеаіізе оп ипіѵегзаі АІ^еЬга, ѵоі. I
(СатЬгісІ^е, Ьпіѵегзку Ргезз, 1898).
*) Этотъ списокъ содержитъ лишь работы, относящіяся
къ системѣ Буля и Шрёдера, изложенной въ этомъ сочиненіи.
2) Еи^еп Мйііег готовитъ публикацію дополненій къ II и III
томамъ этого сочиненія по бумагамъ, оставленнымъ Шрёдеромъ.
3) Сочиненіе очень цѣнное въ историческомъ и библіогра-
фическомъ отношеніи.
104
—	Метоіг оп іііе АІ^ёЬга оі зутЬоІіс Ьо^іс і Ате-
гісап ]оигпа1 оГ МаіЬетаіісз, і. XXIII, 1901).
Еи§еп Мйііег. ІІеЬег біе АІ^еЬга бег Ьо^ік: I. Віе
Сгипбіа^еп без СеЬіеіекаІкиІз; II. Ваз Еіітіпаііопзрго-
Ыет ипб біе Зуііо^ізіік; приложенія къ программамъ
гимназіи въ ТаиЬегЬізсЬоІзЬеіт, 1900, 1901 (Ьеіргі^
ТеиЬпег).
]окп8оп. 8иг Іа іііёогіе сіез о^аійёз Іо^іциез (ВіЫіо-
Йіёцие би Соп^гёз, бе РЫІозорІііе, і. III; Рагіз, А. Со-
Ііп, 1901).
Ріаіоп Ротеі&у. 8ері Іоіз Гопбатепіаіез бе Іа Шёо-
гіе без ё^аікёз Іо^іциез (Кагап, 1899).
—	^ие1^ие8 Іоіз иііёгіеигез бе Іа Йіёогіе без ё^аіі-
іёз Іо^ідиез (Кагап, 1902).
—	Ехрозё ёіётепіаіге бе Іа Йіёогіе без ё^аійез
Іо^іциез а беих іегтез (Кеѵие бё МёіарЬузідие еі бе
Могаіе, 1. VIII, 1900).
—	ТЬёогіе без ё^аіііёз Іо^іциез а ігоіз іегтез
(ВіЫіобіёдие би Соп^гёз бе РйіІозорЬіе, I. III; Рагіз,
А. Соііп, 1901).
—	Тііёогіе без поп-ѳ^аіііёз Іо^іциез (Кагап, 1904).
Нипііп^іоп. 8е1з о( іпберепбепі розіиіаіез (ог Йіе
АІ^еЬга о( Ьо^іс (Тгапзасііопз о( біе Атегісап МаіЬе-
таіісаі Зосіеіу, I. V, 1904).
--4—*-<'
СИМВОЛЫ и СОКРАЩЕНІЯ.
И. П. Интерпретація съ помощью понятій (см. п° 2).
И. Пр. Интерпретація съ помощью предложеній (см.п0 2).
< И. П.: содержится въ; И. Пр.: слѣдуетъ (см.
п° з).
= Равняется (см. п° 4).
+ Знакъ логическаго сложенія (см. п° 7).
X или . или () (). Знакъ логическаго умноженія
(см. п° 7).
а' пие-а“\ отрицаніе а (см. п° 15).
Отрицаніе знака < (см. п° 15, примѣчаніе).
4= Отрицаніе знака = (см. п° 15, примѣчаніе).
о	И. П.: нулевой классъ; И. Пр.: ложь (см. п° 13).
і	И. Пр.: классъ всего; И. Пр.: истина (см. п° 13).
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Стр
1.	Введеніе.......................................... Г
2.	Двѣ интерпретаціи логическаго исчисленія	....	і
3.	Отношеніе включенія .............................. 3
4.	Опредѣленіе равенства............................. 4
5.	Принципъ тождества................................ 6
6.	Принципъ силлогизма............................... 7
7.	Опредѣленіе умноженія и сложенія.................. 8
8.	Принципы упрощенія и составленія................. го
Законы тавтологіи и поглощенія......................и
10.	Теоремы умноженія и сложенія....................... 13
11.	Первая формула преобразованія включеній въ	равенства 14
12.	Законъ распредѣлительный .......................... 15
43.	Опредѣленіе о и і..................................17
14.	Законъ двойственности...............................20
15.	Опредѣленіе отрицанія...............................21
16.	Принципы противорѣчія и исключеннаго	средняго	. .	23
17.	Законъ двойного отрицанія...........................24
18.	Вторая формула преобразованія включеній въ	равенства 26
19.	Законъ противопоставленія...........................27
20.	Постулатъ существованія.............................28
21.	Разложенія о и і.................................. 29
22.	Свойства конституентовъ............................30
23.	Логическія функціи..................................З1
24.	Законъ разложенія ..................................Зт
25.	Формулы Де-Моргана..................................34
26.	Дизъюнктныя суммы...................................36
27.	Свойства разложенныхъ функцій	.......	37
28.	Границы функціи.....................................39
29.	Формула Порѣцкаго.................................. 41
30.	Теорема Шрёдера.....................................42
31.	Результатъ исключенія	. ,.....................44
32.	Случай неопредѣленности.............................46
33.	Суммы и произведенія функцій........................47
34.	Выраженіе включенія при посредствѣ	индетерминаты	50
107
35.	Выраженіе двойного включенія при посредствѣ инде-
терминаты.............................................. 51
36.	Рѣшеніе уравненія съ одной неизвѣстной при посред-
ствѣ индетерминаты.................................  .	54
37.	Исключеніе изъ уравненія съ нѣсколькими неизвѣст-
ными	...........................................58
38.	Теорема	о значеніяхъ	функціи	 ................6о
39.	Условія	невозможности и неопредѣленности ....	62
40.	Рѣшеніе	уравненій со	многими	неизвѣстными ...	63
41.	Задача Буля............................................65
42.	Методъ Порѣцкаго.......................................67
43.	Законъ формъ...........................................68
44.	Законъ слѣдствій...................................... 70
45.	Законъ причинъ .	 73
46.	Приложеніе закона формъ къ слѣдствіямъ и причинамъ	76
47.	Примѣръ: задача Венна..................................77
48.	Геометрическія схемы Венна.............................8о
49.	Логическая машина Джевонса.............................82
50.	Таблица слѣдствій................*.....................83
51.	Таблица причинъ.....................................   84
52.	Число возможныхъ утвержденій о п терминахъ ...	87
53.	Частныя предложенія....................................88
54.	Рѣшеніе не-уравненія съ одной неизвѣстной ...	89
55.	'	Система, состоящая изъ уравненія и не-уравненія . .	91
4 56.	Спеціальныя формулы исчисленія предложеній ...	92
57.	Эквивалентность между выводомъ и альтернативой .	93
58.	Законъ внесенія и вынесенія............................96
59.	Приведеніе не-равенствъ къ равенствамъ.................99
60.	Заключеніе.............................................юі
Библіографія.........................................103
Символы и сокращенія..............................’	105
КОНЕЦЪ ОГЛАВЛЕНІЯ.
Приложеніе 1-е.
Мнѣ кажется, что содержаніе книги Кутюра ста-
нетъ доступнымъ болѣе обширному кругу читателей,
если рѣзко подчеркнуть нѣкоторыя положенія, прини-
маемыя, на мой взглядъ, авторомъ неявно или не
вполнѣ явно.
Въ книгѣ разсматривается система символовъ,
которые на всемъ протяженіи изслѣдованія лишены
какого бы то ни было реальнаго содержанія, кромѣ
того содержанія, которое имъ присуще, какъ таковымъ
(т. е. это суть рисунки, буквы или иные знаки). Правда,
уже на первыхъ страницахъ книги символамъ дается
опредѣленное толкованіе, т. е. въ нихъ вкладывается
содержаніе, котораго они на протяженіи всего изслѣ-
дованія могли бы и не.имѣть безъ ущерба для всего
изслѣдованія, а именно указывается, что подъ раз-
сматриваемымъ символомъ можно разумѣть или классъ
вещей (понятіе), или предложеніе; но это дѣлается
потому, во-первыхъ, что такія толкованія облегчаютъ
обзоръ и запоминаніе связей, условно ‘устанавливае-
мыхъ между символами, и потому, во-вторыхъ, что въ
концѣ-концовъ, по установленіи и выводѣ формулъ,
подъ символами дѣйствительно будутъ разумѣться либо
понятія, либо предложенія, ибо строится логическое^
а не какое-либо другое исчисленіе. Однако, всѣ из-
слѣдованія должны вестись независимо отъ какого бы
то ни было толкованія символовъ на основаніи согла-
шеній, которыя, если угодно, могутъ быть разсматри-
II
ваемы, какъ опредѣленія разсматриваемыхъ символовъ
или образуемаго ими класса. Мы укажемъ здѣсь на
слѣдующія соглашенія:
I.	Если а и Ъ суть два символа, принадлежащіе къ
разсматриваемымъ, то и символы аЪ и а-\-Ь принадле-
жатъ къ разсматриваемымъ. Символъ аЪ называется
произведеніемъ множителей апЬ, а символъ а 4“ Ъ суммой
слагаемыхъ а и Ъ.
Не слѣдуетъ смѣшивать эти понятія о суммѣ и
произведеніи съ обычными.
II.	Если хоть одинъ изъ символовъ аЪ или
принадлежитъ къ разсматриваемымъ, то и каждый изъ
символовъ а и Ь принадлежитъ къ разсматриваемымъ.
III.	Если а и Ъ суть разсматриваемые символы, то
къ разсматриваемымъ символамъ могутъ принадлежать
и символы	а = Ь. Но одинъ или каждый изъ
этихъ двухъ символовъ можетъ и не принадлежать
къ разсматриваемымъ, хотя бы каждый изъ символовъ
а и Ь принадлежалъ къ нимъ.
Каждый изъ символовъ а<^Ъ и а = Ь называется
предложеніемъ, при чемъ а называется подлежащимъ,
Ъ — сказуемымъ. Знаки <С и = называются связками.
(Не слѣдуетъ смѣшивать этихъ опредѣленій предложенія,
подлежащаго и сказуемаго съ обычными). Въ виду
сказаннаго, предложеніе также можетъ быть символомъ,
принадлежащимъ къ числу разсматриваемыхъ.
IV.	Произведенія, суммы и предложенія сами мо-
гутъ быть множителями, слагаемыми, подлежащими или
сказуемыми. Если они при этомъ не обозначены одною
только буквой, то ихъ заключаютъ въ скобки. Такъ,
напримѣръ, произведеніе двухъ предложеній а<^Ь и
Ъ<с напишется въ видѣ {а<іЬ) (Ь <^с). Если этотъ
символъ служитъ подлежащимъ предложенія со сказуе-
мымъ а<с и связкой <, то пишутъ:
(0*<*)(*<<))<(я
III
Слѣдуетъ обратить особое вниманіе на слѣдующёе
соглашеніе:
V.	Если предложеніе а<Ь (или а = Ь) принадле-
житъ къ разсматриваемымъ и а само есть предложеніе,
которое также принадлежитъ къ разсматриваемымъ, то
сказуемое Ь есть также предложеніе, и притомъ при-
надлежащее къ числу разсматриваемыхъ.
Основныя (недоказуемыя) предложенія.
VI.	Нѣкоторыя предложенія, по условію, принад-
лежатъ къ числу разсматриваемыхъ, если только ихъ
подлежащее есть разсматриваемый символъ. Таковы,
напримѣръ, предложенія:
а < а,
^а<Ъ)(Ъ<с)}<(а<с\
Предложенія, которыя по условію принадлежатъ
къ разсматриваемымъ всякій разъ, когда ихъ подлежа-
щее есть символъ, принадлежащій къ разсматриваемымъ,
называются основными (недоказуемыми).
Доказательство предложенія.
VII.	Допустимъ, что даны нѣкоторые символы,
принадлежащіе къ разсматриваемымъ, въ томъ числѣ
и предложенія. Будемъ называть эти символы симво-
лами р. Положимъ, что А и В суть предложенія, что
А<С.В (или А = В) есть основное предложеніе. Допу-
стимъ, далѣе, что по замѣнѣ въ подлежащемъ А и
сказуемомъ В нѣкоторыхъ символовъ, входящихъ въ
составъ А и В, нѣкоторыми изъ символовъ р мы по-
лучаемъ предложеніе АХ<^ВХ (или Ах — В^ въ кото-
ромъ символъ Аг самъ оказывается однимъ изъ симво-
ловъ р. Тогда, по опредѣленію основного предложенія,
предложеніе АХ<С,ВХ (или Л1 = 51) принадлежитъ къ
числу разсматриваемыхъ, а потому, въ силу соглашенія
(V), и предложеніе Вх принадлежитъ къ разсматривае-
мымъ. Говорятъ тогда, что предложенія	и Вг
доказаны. По пріобщеніи этихъ предложеній къ симво-
ламъ р мы получимъ систему символовъ ри которыя
принадлежатъ къ разсматриваемымъ. При помощи си-
стемы рі и какого-либо изъ основныхъ предложеній
можно иногда опять придти къ нѣкоторому предложе-
нію, которое должно быть причислено къ разсматри-
ваемымъ и т. д.
Доказать предложеніе М—значитъ показать при
помощи указанныхъ пріемовъ, что предложеніе М при-
надлежитъ къ числу разсматриваемыхъ (принимается,
вѣрно).
Приложеніе 2-е.
Книга Кутюра, несмотря на всѣ ея достоинства,
содержитъ, какъ и всякое почти сочиненіе, кое-какія
неясности, которыя могутъ затруднить читателя, не-
знакомаго съ предметомъ. Наибольшая неясность, на
мой взглядъ, содержится въ указаніяхъ автора, отно-
сящихся къ выводу послѣднихъ трехъ формулъ стра-
ницы 7-0Й (въ подлинникѣ — страницы 9-0Й). Въ виду
этого я позволю себѣ привести здѣсь болѣе полное
доказательство формулъ, помѣщенныхъ на первыхъ
семи страницахъ. Относительно способа выраженія
предложеній замѣтимъ, что вмѣсто (р д) < г, гдѣ />, г
—предложенія, мы пишемъ р < г, если только предложе-
ніе д доказано раньше (см., напр.» стр. и).
Примемъ безъ доказательства слѣдующія предло-
женія :
і.
о,.	< Ь} (Ъ	г),
3-	((«< Ь) (Ъ< а))<(а = Ъ\

4-
5-
6.
7-
8.
(а — Ь)<, (Ь < а),
(аЬ) < а,
№)<!>,
((л < Ъ) (а < с)) < (а < (Ьс)),
*) Кромѣ того, становясь на точку зрѣнія Кутюра, мы не
пишемъ, какъ это дѣлаетъ Пеано, условій, содержащихъ указа-
нія значеній употребляемыхъ буквъ.
VI
Изъ этихъ предложеній гое представляетъ собой ~	|
предложеніе (I) стр. 6, 2-ое ~ предложеніе (II) стр. 7,	*
предложенія 3 — 5 отвѣчаютъ тому опредѣленію ра-
венства, которое авторъ даетъ на словахъ на стр. 5;
предложенія же 6 - 8 суть слѣдствія опредѣленія умно-
женія (даннаго на стр. 8), которыя приводятся авторомъ	{
на стр. іо (формулы (і) и (2)). Эти послѣднія предло-
женія авторъ и имѣетъ въ виду въ подстрочномъ при-
мѣчаніи на стр. 7.
На основаніи этихъ предложеній, принятыхъ безъ
доказательства, мы докажемъ нѣкоторыя другія предло-
женія (предложенія 9—14). При этомъ мы будемъ от-
дѣлять доказываемое предложеніе отъ его доказатель-
ства знакомъ —• —; нумерами, помѣщенными въ видѣ
подстрочныхъ указателей, будемъ обозначать тѣ изъ
принятыхъ нами безъ доказательства предложеній, ко-
торыя примѣняемъ; въ скобкахъ [ ], предшествующихъ
такому нумеру, будемъ указывать замѣну буквъ, кото-
рую нужно сдѣлать въ -примѣняемомъ предложеніи.
Нумера въ скобкахъ ( ) служатъ для сокращеннаго
обозначенія предложеній, получаемыхъ во время дока-
зательства. Для каждаго изъ предложеній 9 —14 мы
приведемъ, какъ доказательство, такъ и сокращенную
запись его.
9.	а=^а
і)	а<а	(т)
1
й<а (2)
1
((і)(2))<(Л = Я)
I
РН з
2)	((я < а) (а < а)) <^(а = а)
1 1
[ф] 3
*
I
VII
Сокращенную запись можно читать такъ: для того,
чтобы принять предложеніе а = а, достаточно (на осно-
ваніи предложенія 3, въ которомъ Ь замѣнено черезъ а)
принять предложенія «<«ид<а, которыя приняты
нами подъ нумеромъ і. Подобнымъ же образомъ чи-
таются сокращенныя записи доказательствъ слѣдую-
щихъ двухъ предложеній.
іо.	(а = ЪХ((а<Ъ)
і)
(а = Ь) < (а < Ь)
I
4
(Д = *)< (6 < а)
I
(і)
(2)
((I) (2)) < ((« = Ь) < ((«<*) (6 < «)))
[«, Ь, с | (а — Ъ), (а < Ь), (Ь < а) ] 8
(д = Ь) •< ((д<Ь) (Ъ<а))
2)
{{а=Ь) < (д<*)) ((д=*) <(*<д) )<( (д=*)<( (а<Ъ) (Ь<а)))
I	I
4	5
[а, Ъ, с | (а — Ъ), (а < Ь), (Ь < а)] 8
II.	(д = &) = ((Д<&) (&<д))
і)	=	(Ь<а))	(і)
іо
(а<Ь)(Ь<а))<(а = Ь)	(2)
I
3
((і) (2)) < ((д	= ((д <Ь) {Ь < а)))
[в, Ъ |\а = ь), ((а < Ь) (Ь < а))] 3
(д = Ь) = ((Д < Ь) (Ъ < а))
VIII
2)
(•((а = ^)<((Д<^)(/><Я)))((Л<й)(й<й))<(й = і))) —
I	I
ІО	_______з
-<{{а = Ь} = {{а<Ь}{Ъ<а))}
I
[а, Ьі(а = Ь), ((а < Ь) <Ь < а))] 3
12.	((й<^) (^ = С))<(«<4)
I)	((«</’) (^ = ^))<(й</’)	(і)
[а Ъ, | (а < 6), (6 — с) ] 6
,	=	(2)
,	I
[а, Ъ I (а < Ь), (Ъ — с)] у
(Ь = с) < (Ъ < с)	(з)
[а, Ъ, | Ъ, с] /|
((2) (з)) <(((«<Ъ) (Ъ = Г)) < (Ъ < с))
[л,?>, с | ((а < Ь) (Ь = С)), (6=с), (Ь<С)] 2
• ((а<^) (^ = с))<(й<с)	(4)
((і) (4)) < (((а < Ъ) (Ь = с)) < ((а < Ь) {Ъ < с))>
-------!
[а, Ь, с | ((а < Ь) (Ь=с)), (а < Ъ), (Ь < с)] 8
((«</-) (^ = г))<((й</>)(Х^))	(5)
((«<і)(^<с))<,(л<г)	(6)
2
((5)(6))<(((й<^)(^=^))<(й<^)>
[а, 6, с | ((а < Ь) (Ь=с)),((а < Ъ) (Ь< с)),Га < с) ] 2
((а<і) (^ = с))<(д<с)
IX
2)	(\а<Ъ)(Ь <с))<(а<с)
((й<$) (* = <;)) <- I I 2
I
[а, Ъ | (а < Ъ), (& — с)] 6	і
(Ь = с)<-
^(а<Ъ) (Ь = с}} < ------ ;
I	;
[а, Ь | (а < Ъ), (Ь < с)] 7	[а, Ь | Ь, с] 4
Замѣтивъ, что предложеніе 12 будетъ доказано,
если покажемъ, что для принятія а <^с достаточно при-
нять (а = с), можемъ сокращенную запись читать
слѣдующимъ образомъ. Для принятія а < с достаточно
Л (на основаніи 2) принять (а <Ь)(Ь <с). Для принятія
а<Ь достаточно (на основаніи 6, гдѣ замѣнено а черезъ
а<іЪ и Ъ черезъ Ъ — с)) принять (а<Ь) (Ь — с). Далѣе,
для принятія Ь < с достаточно (на основаніи 4, гдѣ а
замѣнено черезъ Ь, а Ъ — черезъ с) принять Ь = с. Для
принятія же Ъ = с достаточно (на основаніи 7, въ кото-
ромъ а замѣнено черезъ а<^Ь и Ь—черезъ Ъ = с\ при-
нять (а<СЪ) (Ь = с).
Сравненіе сокращенной записи съ полной пока-
зываетъ, что въ первой опущены ссылки, во-первыхъ,
на предложеніе 8-ое въ томъ мѣстѣ, гдѣ говоримъ о
принятіи каждаго изъ двухъ сомножителей, — (л</>) и
вмѣсто того, чтобы говорить о принятіи произ-
веденія, и, во-вторыхъ, ссылки на 2 (т. е. на силлогизмъ)
въ тѣхъ случаяхъ, когда переходимъ отъ принятія до-
казываемаго къ принятію предложеній, не непосред-
ственно къ нему примыкающихъ. Въ полной записи
пропускамъ отвѣчаютъ строки безъ нумера въ скоб-
кахъ, при переходѣ отъ которыхъ къ слѣдующимъ
строкамъ происходитъ отбрасываніе условія (тосіиз
ропепз). (Ср. стр. III п. VII).
Подобнымъ же образомъ читаются сокращенныя
записи доказательствъ слѣдующихъ двухъ предложеній.
іЗ-
{{а = Ь) (Ь < с)) < {а < с)
і)	((а = Ъ) (#<с))<(л = Ь)	(і)
[а, Ь | (а = Ь), (Ь < с)] 6	|
(а = Ь)<(а<Ъ)	(2)
4	*
((і)(2))<((л = ^)(Х^)Х(а<і)	'	і
1	Ч
[«> Ь, с | ((а = Ъ) (Ъ < с)), (а=Ь), (а < Ь)] 2	1
(О* = *)(*< *))<(*<*)	(3)
((л = Ж*<<3)<(*<^)	(4)
[а, Ъ | (а — &), (Ъ < с)] 7
((3) (4)) < (((« = Ь) (Ъ < г)) < ((я < Ъ) (Ь< с)))
і________:___,
[«, Ь, с ( ((а = 6) (Ь < е)), (а < Ь), (Ь < с)} 8
((а = $)(Х<ОХ((Х *)(*<*))	(5)
((Х*)(*<<ОХ(ХО	• (6)
I
2
((5) (6)) < (((« = Ь~) (Ъ < с)) < (а < с})
[а, &, с | ((а = Ь)(Ъ < е)), ((а < Ь)(Ь<е)), (а < с)] 2
((л = і)(^<г))<(а<С)
2)
(л < Ь) (Ъ < с) < (а<с)
I I ।
(д = ^)<-1	2
((Й = ^)(Х^))<—1
[а Ь, (а — Ь), (Ь < с)] 6
((я = Ж*О))<—
[а, Ъ | (а = Ъ), (Ь с)] у
XI
14-	((д = ^) (/> = <;))< (а = с)
{{а — Ь) (Ь — с))<(л = &)	(і)
[а, &| (а=Ъ), (Ь = с) ] 6
((« = *) (Ъ — с)) < (Ь = с) (2)
[а. Ъ | (а — Ь), (6 = с)] у
(Ь = с) < (Ъ < с)	(з)
*	[ а Ъ, | &, с ]
((2)(3))<(((й = ^)^ = ^))<(^<^))
[а, Ь, с | ((а= Ь) (Ь — с)), (Ь = с), (6 < с)] Р
((в = *)0МХ(К4	(4)
((і)(4)) < (((« = Ь)\Ь = с)) <((а = Ь) (Ь <с)))
(
[а, Ъ, с ((а = Ъ) (Ъ — с)), (а = Ъ), (Ь < с) ] 8
((Л = ^)(^ = С))<((Й = І)(^<С))	(5)
((а = і)(і<с))<(й<С)	(6)
I
іЗ
((5) (6)) <(((л=^)(і=с))<(й<с))
[а, Ь, с|((а=&)(6=с)),((а=г>)(6 < с)),(а< с)] 2
((й = і)(і = с)Х(Д<с)	(7)
^а = Ь){Ъ = с))<(Ь = С} (8)
[а, Ъ | (а = Ь), (Ъ = с) ] 7
(Ь — с)<. (с < Ь)	(9)
[а,б|о,е] 5
XII
((8) (9)) <(((« = Ъ) {Ь = с)) < (X і))
[а,Ь, с ; ((а = Ъ) (Ь — с)), (Ь^ с), (с < Ь)] 2
((л = &) (й = с)Х(Х^)	(іо)
({а — Ь) (/> = ^)) <; (^ = і) [а, Ь | (а — Ь), (Ь = с)] 6	(II)
{а — V) < (Ъ < а) 5	(12)
(ІІ)(І2)<(((Д^&)(^ [а, Ь, с і ((а = Ь) (Ь — с)), (а = Ъ), (6 < а;] 2	= <3)<(Х«))
((л = ^)(і = с))<(А<д)	(13)
((ю) ((і3)) < (((а = *) (/> = с)) < ((с <Ь} (Ь < «)))
!----------------1
[а, Ъ, о | ((а = Ь) (6= с)), (с < Ъ), (Ь < «)] 8
((л = >)(і.-=г))<((Кі)(К«))	(і4)
((с<Ь) (й<л))<(с<«)	(15)
[а с, | с, а] 2
((і4) (і5)) < (((а = Ъ) {Ь=сУ)<(с < «))
[а, Ь, с | ((«=Ь)(Ь=с)),(с <Ь).(Ь<а),(с<а)] 2
((Д = *)(Хс))<(Х«) (іб)
((7) (іб)) < ((.(« = А) (* = с)) < ((« < с) (X «)))
I
|а, Ь, с | ((а =-- Ъ')(Ъ ~~ с)). (а <; с), (с < а)] 8
((л = &)(^ = г)Х((д<г)(с<л))	(17)
((л<с) (с<а))<(« = с)	(18)
[ф]з -
хш
((17) (і8))<(((« = ^) (& = с)) <(л = с))
[а, Ь,с ! (а—Ь) (Ь—с\ (а<с) (с<а), (а—с)] 2
((д = ^) (й = с)) <(« = с)

2)
((д<с)(г<л))<
((й=і)(^<г))<—'	! I
((Д=*)(*=С))<—I	I	і
[а, г> (а=&), (6з=с)] 6	|	!
(Ь=с)<	1	:
{а = Ъ){Ь=с)<----!	1	I
{а, ь । (а=г>)5(6=с)] 7 [« Ь11>, с] 4	I
(а = с)
((^<0)^<Л))<~
с))<- I
[а,б|(а=Ь), (Ь=с)] 7 [а,б|к, е] 5 .
,(а = Ь) <-
((« = 6) (& = .))<-----------'
I .	5
.[«, Ъ | (а = Ьи (Ь — с)] 6
Въ заключеніе замѣтимъ, что изъ доказанныхъ
здѣсь предложеній—9-ое есть первое предложеніе стра-
ницы 7-0Й, предложенія іо и и содержатся въ словес-
номъ выраженіи опредѣленія равенства на стр. 5;
предложенія 12 —14 суть три послѣднія предложенія
страницы 7.

МИТЕЗЦСЪ
Книгоиздательство научныхъ и попу-
лярно научныхъ сочиненій изъ обла~
ети Физико-математическихъ наукъ.
Вышли въ свѣтъ слѣдующія изданія:
ЛАНУРЪ, П. и АППЕЛЬ, Я. Историческая физика. Пер. съ нѣм. подъ ред.
„Вѣсти. Опытн. Физики и Элементарн. Матем.“ Въ 2-хъ том.
большого формата, 875 стр. Съ 799 рис. и 6 отдѣльными табл. 1908
Ц. Р. 7. 50 к.
Изъ отзывовъ объ „Исторической физикѣ".
„Нельзя не привѣтствовать этого интереснаго изданія... Книга читается легко;
содержитъ весьма удачно, подобранный матеріалъ и обильно снабжена хорошо
выполненными рисунками. Переводъ никакихъ замѣчаній не вызываетъ*...
Проф. О. Хвольсонъ. М. Н. Пр.
„Въ изложеніи историческія свѣдѣнія по какому-либо вопросу очень удачно
переплетаются съ новѣйшими: мѣстами даются примѣры и вопросы для
упражненія. Русскій переводъ книги производитъ хорошее впечатлѣніе...
мѣсто книги—во всякой благоустроенной учительской и ученической библіо-
текѣ. Своеобразная прелесть историческаго изложенія, думается мнѣ, можетъ
способствовать возбужденію интереса къ физикѣ въ тѣхъ учащихся, у ко-
торыхъ преобладаетъ склонность ко всему „историческому" и которымъ
нерѣдко физика представляется предметомъ чуждымъ и труднымъ. Кромѣ
того, „Историческая физика" можетъ доставить очень пригодное чтеніе
взрослымъ, которые полагали бы возобновить и освѣтить забытыя или плохо
усвоенныя свѣдѣнія по физикѣ. Нечего и говорить, что для преподаванія
физики она доставляетъ превосходный матеріалъ, и что она можетъ быть
даваема для чтенія, при содѣйствіи преподавателя, въ руки учащихся".
Педагогическій сборникъ.	Н. Дрентельнъ.
„Разсказы изъ жизни главнѣйшихъ двигателей наукъ подводятъ начинаю-
щаго читателя къ пониманію великости научной работы и помогаютъ при-
близиться къ истинному смыслу ея результатовъ, такъ какъ заставляютъ
слѣдить за ихъ возникновеніемъ. Книга издается тщательно и украшена
многочисленными иллюстраціями". В. К. Л.Вопросы Физики.
АРРЕНІУСЪ. СВ. проф. Физика неба. Перев. съ нѣм. подъ ред. прив.-доц.
А Р. Орбинскаго. VIII—1-250 стр. 8°. 66 черн. и 2 цвѣтн. рис. въ тек-
стѣ.. Черная и спектральная таблицы. 1905.	Ц Р. 2 —
Научность содержанія, ясность и простота изложенія и превосходный пере-
водъ соперничаютъ другъ съ другомъ.	Русская Мысль.
А БРАГАМЪ, Г. проф. Сборникъ элементарныхъ опытовъ по физикѣ. Пе-
рев. съ франц. подъ ред. прив.-доц. Б. П. Вейнберга.
Часть I: Работы въ мастерской — Геометрія и механика — Теплота —
ХѴІ-|-272 стр. 8”. Свыше 300 рис. 2-е изд, 1909.	Ц. 1 р. 50 к.
Систематически составленный сводъ наиболѣе удачныхъ, типичныхъ и поу-
чительныхъ опытовъ.	Вѣстникъ и Библіотека Самообразованія.
Часть II: Звукъ—Свѣтъ—Электричество—Магнетизмъ—434 -|- ЬХХѴ
стр. 8'. Свыше 400 рисунковъ. 1906.	Ц. Р. 2. 75 к.
Мы надѣемся, что разбираемый трудъ станетъ настольной книгой каждой
физической лабораторіи въ Россіи.Русская Мысль.
УСПѢХИ ФИЗИКИ. Сборникъ статей, подъ ред. *Віьстн. Опытной Фи-
зики и Элементарной Математики" 2-е изданіе.. ѴІ-|-157 стр. 8°.
41 рис. и 2 таблицы. 1907.	Ц. 75 к.
Нужно надѣяться, что послѣднее...послужитъ къ широкому распространенію
этой чрезвычайно интересной книги.	Русская Мысль.
АУЭРБАХЪ, Ф. проф. Царица міра и ея тѣнь. Общедоступное изложеніе
основаній ученія объ энергіи и энтропіи. Пер. съ нѣм. 3-е изданіе
ѴП1+56 стр. 8°. 1908.	Ц. 40 к.
Слѣдуетъ признать брошюру Ауэрбаха чрезвычайно интересной.
Жѵрн. М. Н. Пр. Проф О. Хвольсонъ.
НЬЮКОМЪ, С. проф. Астрономія для всѣхъ. Перев. съ англ, подъ редакц.
прив.-доц. А. Р. Орбинскаго. ХХ1Ѵ-(-286 стр. 8'. Съ портр. автора,
64 рис. и 1 табл. 1905.	Ц. Р. 1. 50 к.
И вполнѣ научно, и совершенно доступно, и изящно написанная книга.. пе-
реведена и издана очень хорошо.	Вѣстникъ Воспитанія.
ВЕВЕРЪ, Г. и ВЕЛЫПТЕЙНЪ, I. проф. Энциклопедія элементарной ал-
гебры. Т. I. Перев. съ нѣм. подъ ред. и съ примѣч. прив-доц. В. Ф.
Кагана. XIV—1-623 стр. 8°. Съ 38 чертеж. 1907.	Ц. Р. 3. 50 к.
Вы все время видите передъ собой мастера своего дѣла, который съ лю-
бовью показываетъ великія творенія человѣческой мысли, извѣстныя ему до
тончайшихъ подробностей.Педагогическій Сборникъ.
ДЕДЕКИНДЪ, Р. проф. Непрерывность и ирраціональныя числа. Перев.
съ нѣм. съ примѣч. прив.-доц С. О. Шатуновскаго; съ присоедине-
ніемъ его статьи: Доказательство существованія трансцендентныхъ
чиселъ. 2-е изд 40 стр. 8\ 1909.	Ц. 40 к
Небольшой по объему, но, такъ сказать, законодательный по содержанію
трудъ...Русская Школа.
ПЕРРИ, ДЖ. проф. Вращающійся волчекъ Публичная лекція. Пер съ англ.
ѴШ4-95 стр. 8°.* Съ 63 рис. 2-е изд. 1908	Ц. 60 к.
Книжка, воочію показывающая, какъ люди истиннаго знанія, не цѣховой
только науки, умѣютъ распоряжаться научнымъ матеріаломъ при его попу-
ляризаціи. Русская Школа.____________________С. Щохоръ Троцкій.
ТТТЕЙДЪ, К. Химическіе опыты для юношества. Перев. съ нѣмецк подъ
Ш ред. лаборант. Е. С. Ельчанинова. ІІ-|-192 стран. 8°. Съ 79 рисун-
ками. 1907.	Ц Р. 1. 20 к.
Превосходная книга, какой намъ давно не хватало. Всюду въ книгѣ сохра-
няешь благотворное чувство, что находишься въ совершенно надежныхъ
рукахъ.. серьезной наукѣ въ болѣе легкой формѣ.
Аеіізскгі/і /йг Еекгтіііеііюезеп ипсі райа^о^ізске Ыіега/иг.
‘ЯЭИХЕРТЪ, Э. проф Введеніе въ геодезію. Перев. съ нѣмецк 80 стр. 16°.
" Съ 14 рисунк 1907.	Ц. 35 к.
Излагаетъ основы низшей геодезіи, имѣя въ виду пользованіе ею въ школѣ
въ качествѣ практическаго пособія... Изложеніе очень сжато, но полно и
послѣдовательно.Вопросы Физики.
ШМИДЪ, Б. проф, Философская хрестоматія. Перев. съ нѣмецк. Ю. А.
Говсѣева подъ редакц. и съ предисл. проф. Н. Н Ланге. VI—|—171
стр. 8°. 1907.	Ц. Р. 1. —
... для человѣка, занятаго самообразованіемъ и немного знакомаго съ фило-
софіей и наукой, она (книга) даетъ разнообрази, и интересн. матеріалъ.
Вопросы философіи и психологіи.
фРОМГОЛЬТЪ, С. Игры со спичками. Задачи и развлеченія. Пер. съ нѣм*
*	146 стр 16’. Свыше 250 рис. и черт. 1907.Ц. 50 к*
ВЕТГЭМЪ, В проф. Современное развитіе физики. Пер. съ англійск. подъ
ред. прив.-доц. Б. П. Вейнберга и А. Р. Орбинскаго. Съ приложе-
ніемъ рѣчи А. Бальфура'. Нѣсколько мыслей о новой теоріи ве-
щества". ѴІІІ-|—319 стран. 8‘. Съ 5 портретами, 6 таблицами и 33 ри-
сунками.	Ц- Р. -2. —
Старается представить въ стройной и глубокой системѣ всѣ явленія физи-
ческаго опыта и рисуетъ читателю дѣйствительно захватывающую картину
грандіозныхъ завоеваній человѣческаго генія.	Современный міръ.
ѴШИНСКІЙ, Н. проф. Лекціи по бактеріологіи. ѴШ-|-135 стр. 8‘. Съ 34
ѵ черными и цвѣтными рисунками. 1908.	Ц. Р, 1. 50 к.
РИГИ, А. проф/ Современная теорія физическихъ явленій (іоны, элек
троны, радіоактивность). Пер. съ 111 (1907) итальянск. изданія. ХІІ-|-166
стр. 8°. Съ 21 рис. 1908.	Ц. Р. 1.—
Книгу Риги можно смѣло рекомендовать образованному человѣку, какъ луч-
шее имѣющееся у насъ изложеніе новѣйшихъ взглядовъ на обширную об-
ласть физическихъ явленій.___________________Педагогическій Сборникъ.
КЛОССОВСКІЙ, А. проф. Физическая жизнь нашей планеты на основа-
' ніи современныхъ воззрѣній. 46 стран.' 8°. 2-е изданіе, испр. и до-
поли. 1908.	ІД. 40 к.
Рѣдко можно встрѣтить изложеніе, въ которомъ въ такой степени соединя-
лась бы высокая научная эрудиція съ картинностью и увлекательностью рѣчи.
________________________________________Педагогическій Сборникъ._____
АРРЕНІУСЪ, СВ. проф. Образованіе міровъ. Пер. съ нѣм. подъ ред. проф.
7(. Д Покровскаго. 208 стр. 8\ Съ 60 рис. 1908 ІД. Р. 1 75 к.
Книга чрезвычайно интересна и богата содержаніемъ.
Педагогическій Сборникъ.
КАГАНЪ, В. прив.-доц. Задача обоснованія геометріи въ современной
постановкѣ. Рѣчь, произнесенная при защитѣ диссертаціи на степень
магистра чистой математики. 35 стр 8°. Съ 11 чертеж. 1908. ІД. 35 к.
ЦИММЕРМАНЪ, В. проф. Объемъ шара, шарового сегмента и шарового
4 слоя 34 стр. 16°. Съ 6 черт. 1908.	Ц. 25 к.
РИГИ, А проф. Электрическая природа матеріи. Вступительная лекція.
_____Пер. съ итальянскаго. 28 стр. 8°. 1908.__________________ІД 30 к.
ЛЕМАНЪ. 0. проф. Жидкіе кристаллы и теоріи жизни. Пер. съ нѣмецк.
П. В. Дазанецкаго. ІѴ-{-43 стр. 8". Съ 30 рис. 1908.____ІД. 40 к.
ГЕЙБЕРГЪ, I. проф. Новое сочиненіе Архимеда. Посланіе Архимеда къ Эрато
сѳену о нѣкоторыхъ вопросахъ механики. Пер съ нѣм. подъ ред. и съ пре-
дисл прив.-доц И. Ю. Тимченко. ХѴ-|-27 стр. 8°. Съ 15’рис. 1909. ІД. 40 к.
ВЕЙНБЕРГЪ, Б. П. прив.-доц. Снѣгъ, иней, градъ, ледъ и ледники.
_____IV—[-127 стр. 8°. Съ 138 рис. и 2 фототип. табл. 1909.___ІД 1 р.
КОВАЛЕВСКІЙ, Г. проф Введеніе въ исчисленіе безконечно-малыхъ.
Перев. съ нѣмецкаго подъ редакц. и съ прим. прив.-доц. С. О. Ша-
_____туновскаго. VIII-1-140 стр. 8°. Съ 18 черт. 1909._____ІД Р, 1. —
ТОПМСОНЪ, СИЛЬВАНУСЪ, проф. Добываніе свѣта. Общедоступная лекція
для рабочихъ, прочит. на собраніи Британск. Ассоціаціи. 1906. Перев.
хъ англ. ѴПІ4-88 стр. 16°. Съ 28 рис. 1909.________________ІД 50 к.
СЛАБИ, А, проф. Резонансъ и затуханіе электрическихъ волнъ. Пер. съ
, нѣм. подъ ред. „Вѣстн. Опыт. Физ. и Элемент. Матем.и. 42 стр.
_____8°. Съ 36 рис.__________________________'________________Ц. 40 к.
(ПН АЙ ДЕРЪ. проф. Картина міра въ свѣтѣ современнаго естествознанія»
V Перев. съ нѣм. подъ ред проф. В. В. Завьялова. VIII—рі 93 стр. 8°. Съ
16 отд. портретами. 1909.__________________________Ц. Р. 1 50 к. *
РАМЗАЙ, В проф. Благородные и радіоактивные газы. Пер. подъ ред.
„Віъстн. Оп. Физ. и Эл. Мат.№ 37 стр. 16°. Съ 16 рис. 1909. Ц. 25 к.
БРУНИ, К. проф Твердые растворы. Пер. съ итал подъ ред. „Віъстн. Оп.
Физ. и Эл. Мат.и 37 стр. 16°. 1909.	Ц. 25 к.
БОЛЛЪ, Р. С. проф. Вѣка и приливы. Пер. съ англ, подъ ред. прив.-доц.
А. Р. Орбинскаго. 104 стр. 8°. Съ 4 рис. и 1 табл. 1909. Ц. 75 к.
СЛАБИ, А. проф. Безпроволочный телефонъ. Пер съ нѣм. подъ ред. „Віъстн.
Оп. Физ. и Эл. Маиг “ 28 стр. 8°. Съ 23 рис. 1909.	Щ. 30 к»
ВЕБЕРЪ и ВЕЛЫПТЕЙНЪ, проф. Энциклопедія элементарной геометріи.
Томъ II, книга I. Основанія геометріи. Пер. съ нѣм. подъ ред. и съ
примѣч. прив.-доц. В. Ф. Дагана. ѴІП-|-366 стр. 8°. Съ 144 черт. и 6
рис. 1909.	Ц- Р. 3.
Печатаются и готовятся къ печати:
РОУ, СУНДАРА. Геометрическія упражнен. съ кускомъ бумаги. Пере-
водъ съ англійскаго.
Т/ЭДЖОРИ. Ф проф. Исторія элементарной математики съ нѣкоторыми
** указаніями для препод. Перев. съ англійскаго подъ ред. и съ примѣч.
прив.-доц. И. Ю. Тимченко.
ШОМСОНЪ, ДЖ. ДЖ. проф. Корпускулярная теорія вещества. Перев. съ
* англ, подъ ред. „В. Оп Ф. и Эл. Мат “_______________________
ѴЛОССОВСКІЙ, А. проф Основы метеорологіи (учебникъ). Около 35 пе-
** чатныхъ листовъ (см. ниже).
ТРЕЛЬСЪ-ЛУНДЪ. Небо и міровоззрѣніе въ круговоротѣ временъ Пер.
съ нѣмецкаго.
АДЛЕРЪ, А. Теорія геометрическихъ построеній. Перев съ нѣмецкаго
А подъ ред. прив.-доц С О. Шатуновскаго.
ПОРЕНЦЪ, проф. Учебникъ физики. Переводъ съ нѣмецкаго. Два тома.
Около 60 печатныхъ листовъ. См. ниже.
ПУАНКАРЕ, Г. проф. Наука и Методъ. Пер съ французск. подъ редакц.
** прив-доц. І. Нагана,
КЛЕЙНЪ, Ф. проф. Лекціи по элементарной математикѣ для учителей.
Пер. съ нѣм подъ ред прив -дэц. В Кагана
V ОБА ЛЕВСКІЙ Г, проф. Курсъ дифференціальнаго и интегральнаго ис-
»> численій. Пер. съ нѣм. подъ ред. прив.-доц С [Патуновскаго,
Л*ОВЕЛЛЬ, П. Обитаемость Марса. Пер. съ англ. Со мног рис.
РАМЗАЙ. Введеніе въ физическую химію. Перев. съ англ, подъ ред. проф.
ГІ. Г. Меликова,
Имѣется на складѣ:
ТТИНДЕНМАНЪ, Ф. проф. Форма и спектръ атомовъ. Рѣчь ректора Мюн.
ѵ* хенскаго университета. 25 стр. 16°. 1907.	Ц. 20 к-
МУЛЬТОНЪ. Ф. проф. Эволюція солнечной системы. Перев. съ англійск.
Ш ІѴ+82 стр. 16° Съ 12 рис. 1908	Ц.,50 к.
Изложеніе гипотезы образованія солнечной системы изъ спиральной туман-
ности съ попутной критикой космогонической теоріи Лапласа.______
ЕФРЕМОВЪ. Д. кандид. матем. наукъ. Новая геометрія треугольника.
3344-ХІП стр. 8°. 1902	Ц. Р. 2- -
ВѢСТНИКЪ
= Опытной Физики и Элементарной Математики =
Выходитъ 24 раза въ годъ отд. вып., не менѣе 24 стр. каждый
подъ ред, пр,-доц. ]$• Кагаха,
Подп. цѣна съ пер. за годъ 6 р., за ’/» года 3 р. Учащіе въ низшихъ
училищахъ и всѣ учащіеся платятъ за годъ 4 р.. за года 2 р.
Пробный номеръ безплатно.
Адр.- Одесса. Въ редакцію „Вѣстника Опытной Физики и Элементарной
Математики “.
Проф. Г. Н. ЛОРЕНЦЪ
УЧЕБНИКЪ ФИЗИКИ
Разрѣшенный авторомъ переводъ съ нѣмецкаго
подъ редакціей Проф. Н. П. Кастерина.
Два большихъ тома, около 55 печатныхъ листовъ, большого формата
Съ 493 рисунками.
Изъ предисловія автора къ нѣмецкому изданію : „Эта книга соста-
вилась изъ моихъ лекцій въ здѣшнемъ (Лейденскомъ) университетѣ.... Я пред-
полагалъ, что читатель слушаетъ лекціи,сопровождаемыя опытами, и по возмож-
ности, принимаетъ участіе въ практическихъ занятіяхъ. Этимъ и объясняется,
что описанію приборовъ и методовъ наблюденія отведено лишь немного мѣста
Почти вовсе не касался я также историческаго развитія физики и ея практи-
ческихъ приложеній ; я опустилъ все это, думая, что каждый можетъ найти
эти свѣдѣнія въ какой нибудь болѣе значительной по объему книгѣ, служащей
справочникомъ4’.
„Конечно, настоящая книга едвали дастъ что-нибудь новое. Но въ нѣкото-
рыхъ отдѣлахъ изложеніе достаточно отличается отъ того, какого придержи-
ваются другіе учебники этого рода, чтобы оправдать появленіе въ переводѣ,
хотя въ Германіи есть много превосходныхъ руководствъ*.
Содержаніе перваго тома: Математическое введеніе —I. Движеніе и
силы — П. Работа и энергія — Ш Твердыя тѣла неизмѣнной формы. — IV.
Равновѣсіе и движеніе жидкостей и газовъ. — V. Свойства газовъ.— VI. Тер-
модинамика -- VII Свойства твердыхъ тѣлъ. — VIII. Свойства жидкостей и
газовъ. —* Предметный и именной указатели.
Содержаніе второго тома: IX. Колебательное движеніе тѣлъ. — X.
Распространеніе колебаній. — XI. Отраженіе и преломленіе свѣта. — XII. При-
рода свѣта. — XIII. Поляризованный свѣтъ. — XIV. Электростатика. — XV.
Электрическіе токи. — XVI. Дѣйствія магнитнаго поля. — XVII. Электрическія
колебанія. — Распространеніе электромагнитныхъ возмущеній. — XVIII. Явле-
нія. могущія быть объясненными на основаніи теоріи электроновъ. — Задачи
—Таблицы—Предметный и именной указатель.
Изъ ОТЗЫВОВЪ: „Переводъ этой книги..., несмотря на чрезвычайную
конкурренцію^ не представляется излишнимъ не только потому, что книга
принадлежитъ перу такого выдающагося физика, какъ Лоренцъ, но прежде
всего потому, что она существенно отличается отъ другихъ учебниковъ и
цѣлью и выполненіемъ. Изложеніе необычайно ясно и просто и заставляетъ
усиленно рекомендовать книгу всѣмъ, кто требуетъ отъ опытной физики бо-
лѣе, чѣмъ только описанія опытовъ*.
ѢеіЫаІІег зи сіеп Аппаіеп сіег Ркузік,
„Книга чрезвычайно интересна и поучительна для преподавателей этого
предмета или его частей и для студентовъ".
}оигпаІ о/ Ркузісаі Скетізігу.
Первый томъ (свыше 20 печатныхъ листовъ) выйдетъ въ
свѣтъ въ срединѣ 1909 года. —
Печатается и выйдетъ въ свѣтъ въ половинѣ 1909 г.:
Заму». проф. А. В. КЛОССОВСКІЙ
ОСНОВЫ МЕТЕОРОЛОГІИ
Около 35 печатныхъ листовъ. Со многими рисунками.
СОДЕРЖАНІЕ.
I.	Статическая метеорологія. Введеніе — Распространеніе
и составъ атмосферы. — Физическія свойства атмосферы — Вода
въ атмосферѣ. — Непрерывная водная оболочка (океаны), ея
распространеніе и свойства. — Солнечное лучеиспусканіе. — Рас-
ходъ тепла. — Тепловое состояніе земной коры въ самыхъ верх-
нихъ ея слояхъ. — Тепловое состояніе земного ядра. — Тепловыя
условія океановъ. — Тепловое состояніе низшихъ слоевъ земной
атмосферы. — Давленіе воздуха. — Образованіе гидрометеоровъ.
—Температура и давленіе въ болѣе высокихъ слояхъ атмосферы-
—Аномальныя отклоненія.
II.	Динамическая метеорологія. Основы динамики атмо-
сферы. — Анемометрія. — Воздушныя теченія на земной поверх-
ности. Общая циркуляція атмосферы. — Циклоны и антицикло-
ны.— Основы предсказанія погоды. — Динамика океановъ. Мор-
скія теченія. Волны. Приливы и отливы. Метеорологическая
оптика.
III.	Земной магнетизмъ и Атмосферное электричество.
Земные токи. Полярныя сіянія.— Методы и успѣхи метеорологіи.
Задачи метеорологіи въ ближайшемъ будущемъ.—Литературныя
указанія.
Выписывающіе
изъ склада изданій
„МНТЕЗИСЬ"
(Одесса, Новосель-
ская, 66)
на сумму 5 руб. и
больше, за пере-
сылку не платятъ.
Каталогъ по требо-
ванію безплатно.
ОТДѢЛЕНІЕ СКЛАДА ДЛЯ МОСКВЫ:
книжный магазинъ „Образованіе"
ДІоскба, Кузнецкій мостъ, 11.