Э . Г V Р с л

КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА

том

I
часть 1ьгаля
COURS DE LA FACULTfi DES SCIENCES DE PARIS'.

COURS

D’ANALYSE MATHEMATIQUE

PAR

EDOUARD GOURSAT

Membre de L’lnstitut
Professeur A la Faculte
des Sciences de Paris

CINQUIEME EDITION

TOME I

DER1VEES ET DIFFERENT1ELLES

INTEGRALES DEFINES
DEVELOPPEMENTS EN SERIES
APPLICATIONS GEOMETRIQUES

GAUTHIE R-VILLARS

PARIS
Э. Г У Р С А

КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА

ТОМ. ПЕРВЫЙ

ЧАСТЬ I

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФЕРЕНЦИ АЛЫ.
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
проф. А. И. НЕКРАСОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО

ВНОВЬ ПРОСМОТРЕН И ПЕРЕРАБОТАН
НО ПЯТОМУ ФРАНЦУЗСКОМУ ИЗДАНИЮ
ПРОФ. В. В. СТЕПАНОВЫМ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ

ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

М О С К В. А 1 9 3 3 ЛЕНИНГРАД
Т 21 5 2

Редакционная работа по згой книге проведена С. А. Каменецким. Издание оформлено
О. Н. Персиянановой. Корректуру д ржала М. X. Яковлееа. Наблюдал за выпуском В. П. Морев

Рукопись сдана в производство 3 фезраля, листы одписаны к печати 14 сентября 1933 года,
кип а вышла в свет в сентябре 19-3 г», в количестве 1U 00) экзем )ляров на бума! е формата 62Х94*/ь
Печатных знаков в листе 67 0с0. листов 23, заказ 956. ГТТИ № 19, Уполномоченный Главлита
№ В-05645.

(-я чиоографин OiHia РСФСР „Образцовая*. Москва, Валовая 24
Книга Э. Гурса „Курс математического анализа" уже приобрела у рус-
ских читателей заслуженную' известность и признание. По объему это
руководство является одним из наиболее полных в современной миро-
вой математической литературе; в то же время излагаемые факты вы-
браны не по принципу энциклоиедичности; выбор проникнут одной руко-
водящей мыслью — дать необходимый материал, на котором основывается
разработка наиболее важных проблем современной науки. Книга уже
принесла большую пользу нашей университетской учащейся молодежи
как пособие для углубления обычного курса анализа и для самообразо-
вания; можно смело сказать, что опа много способствовала повышению
уровня нашей математической культуры. Прежние переводы сделаны —
гом I с первого и второго французских изданий, том II — со второго издания.
За прошедшее с тех пор время автор подверг первый том своего курса
значительной переработке, а во втором введены большие дополнения
Основной целью его было поставить новые издания на с >временныи
уровень развития математической мысли; достаточно указать, что за
последние десятилетия основные понятия теории функций действитель-
ного переменного стали необходимым средством для обоснования ана-
лиза; дополнения касаются ряда вопросов, разработанных в последние
десятилетия и настолько важных, что они должны найти свое место
в учебнике; наряду с этим в изложение диференциальной геометрии
систематически введены гауссовы к юрдинаты. Естественно, редактор
поставил своей целью дать эти новые факты и идеи в переводе. С дру-,
гой стороны, Гурса исключил в новых изданиях ряд „элементарных"‘
вопросов, как, например, систематическую теорию неопределенных ин-
тегралов, которые во Франции отнесены к курсу средней школы. Имея
в виду' нашего советского читателя, редактор не мог согласиться с та-
кими сокращениями. П >этому большая часть материалов старых изданий,
пропущенная автором в последующем, все же включена в настоящий
перевод. Для удобства читателя нумерация параграфов согласована с
последними (том I, изд. 5-?, том II, изд. 5-е) французскими изданиями.
В основу настоящего издания положен прекрасно сделанный А. И. Не-
красовым и тщательно проредактированный покойным Б. К. Млодзеев-
ским текст первых русских изданий. Переводы добавлений сделаны для
I тома Ю. Ф. Морошкиным (аналитические главы) и Н. В. Ефимовым
(теория поверхностей), для II тома С. Ф. Морошкиным (1-й полутом)
н Ю. А. Романской (2-й полутом).

В заключение считаю своим долгом приветствовать решение ГТТИ
дать советскому читателю все три тома ценного труда Э. Гурса в русском
переводе; мы вправе надеяться, что появление этого издания будет и
дальше способствовать повышению уровня математической культуры
широких кругов читателей этой книги.

Л’. Степанов.
Москва, 1932 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ.

Глава I.

ВВЕДЕНИЕ.

Стр.

I.	Пределы. Множества............................................. 13

1.	Пределы.................................................. —

2.	Сечения в области действительных чисел................... —

3.	Ограниченные множества.................................. 15

4.	Наибольший из пределов.................................. 16

5.	Сходящиеся последовательности........................... 18

II.	Функции. Общие понятия........................................ 20

6.	Определения.............................................. —

7.	Непрерывность..........................................  21

8.	Свойство непрерывных функций............................ 22

9.	Разрывные функции....................................    25

10.	Монотонные функции..................................... 27

11.	Функции с ограниченным изменением...................... 28

12.	Функции многих переменных ............................. 31

13.	Непрерывные кривые..................................... 34

Упражнения.............................................. 36

Глав a II.

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФЕРЕИЦИАЛЫ.

I.. Определения. Общие свойства . . .............................. 37

14.	Производные...........................................   —

15.	Производные высших порядков............................ 39

16.	Теорема Ролля............................................—

17.	Формула конечных	приращений............................ 40

18.	Формула Тейлора........................................ 42

19.	Частные производные.................................... 46

20.	Плоскость, касательная к поверхности................... 49

21.	Переход от разностей к производным..................... 50

11. Диференциальное обозначение................................... 52

22.	Дифереициалы ........................................... —

23.	Полные дифереициалы.................................... 54

24.	Высшие дифереициалы сложной функции.................... 56

25.	Диференциал произведения............................... 58

26.	Однородные функции • .................................. 59

27.	Формула Тейлора для функций многих	переменных.......... 62

III.	Функции, определенные как пределы..........................   65

28.	Способ определения новых функций........................ —

29.	Равномерная сходимость................................. 67

30.	Равномерно сходящиеся- ряды............................ 69

31.	Непрерывная функция, не имеющая	производной............ 72

Упражнения.............................................. 74
Глава 111.

НЬЯВНЫЬ ФУНКЦИИ MAKI ИМУМ И МИНИМУМ ЗА VII НА ПЕРЕМЕННЫХ
Стр.

1 Неявные функции......................................... •	-78

32.	Исследование частною случая .	. .	............ —

33.	Вычисление корня последовательными приближениями ...	80

33.	Производные от неявных функций......................... •	84

35.	Приложение к поверхностям................................  88

36.	Высшие производные .	................................86

37.	Частные производные .	............... ....	.88

38.	Совокупные уравнения ....................... ...	.91

39	Вычисление производных.....................................93

40	Обращение функций...................... .	...........9 >

41.	Касательная к кривой в пространстве ...	.................—

11 Особые точки. Максимумы и минимумы................................ 97

42.	Особые точки . .	............................ • —

43	Конические точки поверхности .	.	•	Ю0

44	Максимумы и минимумы функций одною переменного .	102

45.	Функции двух переменных	.	ЮЗ

46.	Исследование сомнительного случая .	.	105

47.	Функции трех переменных............................. ....	109

48.	Расстояние точки от поверхности	. .	Ш

49.	Максимум и минимум неявных функции . .	.	112

50.	Общие замечания об абсолютных максимумах и минимумах ИЗ
51. Максимальное значение одного определителя................. ИЗ

111 Функциональные определители.......................... 	• . Hf

52 Основное свойство	...

IV Замена переменных . .	. .	...	.	123

53.	Общие замечания	•	“

54.	Задача 1 . .	.	.	..... 124

55.	Приложения	. .	.	. •	• 125

5	> Задача 11 . . .	.	.	•	...	• 128

57.	Преобразование плоских кривых............................ 129

58.	Преобразование прикосновения ....	...	.	130

59.	Томографические преобразования .	.	•	.... 132

60.	Задача III .. .	....	.133

61.	Другой способ решения ......	. .	136

62	Задача IV .... .	. .	• 139

63.	Преобразование Лежандра ...	.	

64.	Преобразование Ампера ...	.	.... 14!

65	Уравнение потенциала в криволинейных координатах .... 14Z
Упражнения .	....	.................. • 14S

Глава IV.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

I Различные mi годы квадратуры............ ....................151

66.	Квадратура параболы.................. .	• •	—

67	Общий метод	. .	.	.152

68	Начальные функции .	... 154

П Определенные интегралы. Геометрические понятия, с ними связанные . 15ь

69	Суммы Sms....	.	........ ~_

70	Теорема Дарбу ....	....	.15/

71.	Интегрируемые функции .	.	• 158

72.	Определенные интегралы ...

73	Формула среднего значения .	•	 Ю2

74	Вторая формула среднего значения . .	. 16<.
Стр

75.	Переход к первообразным	функциям.............................165

76.	Указатели....................................................168

77.	Площадь плоской области......................................170

78.	Вычисление площади плоской области.................•	. . 172

79.	Длина дуги кривой..............................• . . . • 175

80.	Направляющие косинусы..........................• • . . . 179

81.	Изменение отрезка прямой.......................................—

82.	1еоремы Гревса и Шаля...................„....................180

III.	Замена	переменных. Интегрирование по частям.......................181

83.	Замена переменных............................................. —

84.	Интегрирование по	частям.....................................183

85.	Формула Тейлора..............................................185

85bis. Трансцендентность, числа е ...............................186

86.	Полиномы Лежандра..............................'.............187

IV.	Распространение понятия об интеграле. Криволинейные интегралы . . . 184

87.	Один из пределов обращается в бесконечность................... —

88.	Применение второй теоремы о среднем..........................191

89.	Подннтегральная функция обращается в бесконечность ...	194

90.	Функция Г (а)................................................197

91.	Криволине 1ные интегралы.....................................198

92.	Приложение к площади замкнутой кривой........................200

93.	Значение интеграла	х dy — у dx.............................202

V. Диференцировапие и интегрирование под знаком интеграла..............203

94.	Диференцировапие под знаком интеграла....................

95.	Интегрирование под знаком интеграла..........................205

96.	Равномерно сходящиеся интегралы..............................207

Упражнения...................................................211

Глава V.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

I.	Неопределенные интегралы............................................215

97.	Интегрирование рациональных функций. Общий	способ	....	—

98.	Уникурсальные кривые ........................................227

99.	Алгебраически-логарифмические интегралы................230

100.	Приведение интегралов эллиптических и ульграэллнптических	.	232

101.	Случай алгебраической интеграции......................237

102.	Эллиптические интегралы...............................238

102а.	Псевдоэллиптические интегралы......................... —

103.	Интегрирование трансцендентных функций. Интегрирование ра-

циональных функций от sin х и cos х.......................243

11.	Приближенное вычисление определенных интегралов....................252

104.	Общие основания ............................................. —

105.	Интерполирование............................................254

106.	Метод Гаусса................................................256

106а.	Планиметр Амслера..........................................258

107.	Интегрирование рядов........................................260

111.	Разные	методы.....................................................264

108.	Приложение формул днференцирования и интегрирования под
знаком интеграла ............................................ —

109.	Вычисление !g (1— 2а cos х + а2) dx .•............ 267

и

ПО. Приближенное значение 1g Г (л -}- 1). . .....................268

Упражнения...................................................270
Стр.

Г л ал а VI.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

I.	Двойные интегралы. Способ вычисления. Формула Грина...............274

111.	Суммы S и .? для функции двух переменных................... —

112.	Двойные интегралы.........................................276

113.	Вычисление двойного интеграла.............................278

114.	Случай произвольной области...............................281

115.	Аналогия с простыми интегралами...........................284

116.	Формула Грииа.............................................287

TI. Замена переменных. Площадь поверхности...........................288

117.	Предварительная формула...................:................ —

118.	Замена переменных. Первый способ..........................290

119.	Примеры . .	. .	 292

120.	Замена переменных. Второй способ..........................293

121.	Объемы....................................................296

122.	Вычисление объемов........................................298

123.	Объем, ограниченный линейчатой поверхностью...............299

124.	Площадь кривой поверхности................................300

125.	Элемент поверхности.......................................303

126.	Задача Вивиани............................................305

III. Расширение понятия двойного интеграла. Интегралы по поверхности . . 306

127.	Двойные интегралы по неограниченной	области................ —

128.	Функция В(р, q)...........................................309

129.	Интегралы от неограниченных функций.......................310

130.	Функциональное уравнение Абеля............................312

131.	Поверхностные интегралы..................................31,3

132.	Формула Стокса............................................315

133.	Применение поверхностных интегралов	к	вычислению объемов . 317

Упражнения..................................................318

Глава VII.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛОВ.

1. Кратные интегралы. Замена переменных..............................321

134.	Тройные интегралы.......................................... —

135.	Способы вычисления........................................322

136.	Формула Остроградского (Грина)............................326

137.	Соотношение между двумя элементами поверхности............327

138.	Замена переменных. Первый способ..........................328

139.	Замена переменных. Второй способ..........................330

140.	Элемент объема............................................332

141.	Эллиптические координаты..................................335

142.	Интегралы Дирихле......................................  336

143.	Кратные интегралы........................................337

11.	Интегрирование полных диференциалов........................  .	. 340

144.	Общий метод................................................ —

х' ,у

145.	Исследование интеграла	\Р dx Y Q	Ау....................343

146.	Периоды..................................................345

147.	Обобщение предыдущих	результатов........................348

Упражнения................................................349

ДОПОЛНЕНИЕ

О формулах диферепцирования определенных	ишшра.юв.................351
ГЛАВА I.

ВВЕДЕНИЕ.

Постепенным обобщением мы переходим в арифметике от чисел на-
туральных к числам дробным, к нулю и к числам относительным (по-
ложительным и отрицательным). Но уже операция извлечения корня
приводит к введению нового рода чисел, чисел иррациональных. К этим
новым числам мы приходим также, применяя числа к измерению кон-
кретных величин. Если мы имеем, например, две соизмеримых длины А
и В, то мерою В по отношению к А, или отношением В к А, назы-
т

вается число — , представляющее частное чисел т и п, показывающих
содержание общей меры в длинах В и А. Если А и В несоизмеримы,
то их отношение не может быть представлено целым или дробным чис-
лом и является числом другого рода — иррациональным. Хотя несоиз-
В

меримое отношение — не равно никакому рациональному числу, но
существует бесчисленное множество рациональных чисел, сколь угодно
, В

близких к — ; чтобы получить такое число, достаточно заменить В ка-
ким-нибудь отрезком С, отличающимся от В менее чем на любой сколь
угодно малый отрезок 5, но соизмеримым с А. На этом основан спо-
соб приближенного вычисления иррациональных чисел, как отношений
Между несоизмеримыми величинами, излагаемый в элементарной геометрии.

Иррациональные числа можно также определить чисто арифмети-
вески, не прибегая к рассмотрению отношений между конкретными вели-
чинами. Мы изложим здесь метод Дедекинда (Dedekind).

Пусть мы каким-нибудь способом разбили все рациональные числа
а два класса А и В, обладающие тем свойством, что каждое число а
класса А менее каждого числа b класса В. Будем говорить, что мь
ким установили в области рациональных чисел некоторое сечение. При
ком могут представиться три случая.

1.	Среди чисел класса А есть некоторое число L, боль'иее всех
остальных чисел того же класса.

2.	Среди чисел класса В есть некоторое число L, меньшее всех
остальных чисел того же класса.

3.	В классе А нет ни одного числа, большего всех остальных чи
сел того же класса, и в классе В нет ни одного числа, меньшего всех
остальных чисел того же класса.
В первых двух случаях очевидно, что наше разбиение рациональ-
ных чисел на два класса вполне определяет число L, обладающее тем

свойством, что всякое число, меньшее L, принадлежит к классу А,
а всякое число, большее L, принадлежит к классу В. Такое число назы-
вается иногда само сечением и обозначается символом (А, В). В третьем

случае не существует рационального числа, обладающего предыдущими
свойствами, но мы будем принимать, что и в этом случае наше разби-
ение определяет некоторое иррациональное число L, большее всех чи-
сел класса А и меньшее всех чисел класса В. Это число L определяется,
таким образом, арифметически как некоторое сечение.

Докажем, что каждому числу, данному как отношение двух вели-

чин, соответствует некоторое определенное сечение,
изображать по правилам аналитической геометрии

точкою х' некоторой прямой так, чтобы отношение

Для этого будем

каждое число х

Ох'

ОК'

где ОК-

единица меры, равнялось х. Пусть нам дано число L. Тогда соответ-
ствующая точка U на прямой распределит все рациональные точки па
два класса А', В', причем к А' мы отнесем все рациональные точки а',
лежащие влево от L', а к классу В’ — все точки Ь', лежащие вправо
от L'; если точка L’ сама рациональна, то мы отнесем ее безразлично
к классу А' или к классу В'. Очевидно, что при этом координата каж-
дой точки а' будет меньше координаты каждой точки Ь', и мы получим
некоторое сечение, определяющее данное отношение L.

Докажем, обратно, что каждому данному сечению (А, В} соответ-
ствует отношение некоторых двух отрезков. Пусть нам дано сече-
ние (А, В). Рассмотрим все рациональные числа а, принадлежащие
к классу А, и все рациональные числа Ь, принадлежащие к классу В,
и нанесем на прямой все точки а', Ь’, координаты которых суть рацио-
нальные числа а, Ь. Так как из самого определения сечения следует,
что каждое число а меньше каждого числа Ь, то все точки а' будут
лежать по одну и ту же сторону относительно всех точек Ь'; например,
при обычном способе изображения все точки а' будут лежать левее
всех точек Ь'. Распределим теперь все точки прямой на два класса Д',
В' следующим образом. К классу А' отнесем все точки а' и все точки,
лежащие между точками а', а к классу —все остальные точки пря-
мой. При дальнейшем доказательстве мы будем пользоваться тем свой-
ством, что точки прямой образуют на ней непрерывный ряд. Это свойство
выражается различным образом. Мы выразим его в следующей форме:

Если все точки прямой распределены на два кваа а таким обра-
зом, что между каждыми двумя точками одного и того же класса
находятся только точки того же класса, то всегда существует
одна и только одна пограничная точка, т. е. такая точка, что
каждые две точки, между которыми она лежит, принадлежат

к различным классам.

Очевидно, что предыдущее распределение точек прямой на классы А',
В1 обладает свойством, требуемым этой аксиомой. Поэтому здесь су-
ществует такая пограничная точка L’; пусть ей соответствует число L.
Если это число рационально, то оно принадлежит или к классу А, или
к классу В, и мы имеем а L <б.Ь, или а L  ' Ь; если же число /. --
иррациональное, то мы имеем a<^L<^b. Таким образом число I.,

определенное как

отношение

ОС
ок '

может быть также определено и как

сечение (Л, В). Отсюда следует, что сечения определяют все непрерыв-
ное множество действительных чисел.

I. ПРЕДЕЛЫ. МНОЖЕСТВА

1.	Пределы. Говорят, что переменное х имеет пределом постоянное
число а, или стремится к а, когда абсолютная величина разности х—а,
начиная с некоторого момента, становится и остается меньше всякого
наперед заданного положительного числа. Когда а~0, переменное х
называют бесконечно малым. Выражения: „х имеет пределом число а“
и „разность х—а бесконечно мала“, очевидно, равнозначны. Чтобы
показать, что переменное х стремится к пределу а, разность х—а
часто разбивают на некоторое число частей, например на три, и дока-
зывают, что абсолютная величина каждой из этих частей с некоторого

момента остается

меньше,

чем -

причем

-произвольное положи-

тельное число.

Этот способ доказательства, который мы часто будем применять,
иногда называют методом доказательства с помощью г (г-доказа-
тельство).

Пользуясь неправильным, но удобным способом выражения, говорят
также иногда, что переменное х имеет предел -|- оо или —сю, или
стремится к 4-оо . Выражение: „х имеет предел, например 4-оо “, озна-
чает, что переменное х с некоторого момента становится и остается
большим всякого наперед заданного положительного числа Л, а не то, что
разность (-(-оо —х) стремится к нулю, что не имело бы никакого смысла.

Подобным же образом часто говорят, что какая-либо переменная
по форме или по положению геометрическая фигура имеет своим пре-
делом данную неизменную фигуру. Если в каждом частном случае
желают немного уточнить это выражение, приходится измерять с по-
мощью одного или нескольких переменных параметров расхождение
неизменной и подвижной фигуры, и предшествующее выражение озна-
чает в точности, что эти переменные при определенных условиях
стремятся к нулю. Возьмем, например, две соседние точки М и /И' на
кривой С. Говорят, что хорда ТИТИ' имеет предельным положением
касательную МТ в точке М, когда точка М’ неограниченно прибли-
жается к точке М по кривой С. Так как обе прямые ММ' и МТ пере-
секаются в неподвижной точке М, естественно принять за меру их рас-
хождения острый угол а, образуемый обеими прямыми, и высказанное
утверждение, на языке анализа, означает, что угол а станет меньше данного
произвольно выбранного угла е, в предположении, что расстояние ММ'
само будет меньше другой подходящим образом определенной длины р.

2.	Сечения в области действительных чисел. Предположим теперь,
что множество всех чисел, как рациональных, так и иррациональных,
р;нбнто на два класса А и В, обладающих следующими свойствами:
1)	Всякое положительное или отрицательное число принадлежит
к одному из двух классов.

2)	Любое число класса А меньше любого числа класса В.

Очевидиц, что оба класса содержат бесчисленное множество как
рациональных, так н иррациональных чисел. Покажем, что всегда су-
ществует число L, обладающее следующими двумя свойствами:

1)	Всякое число, меньшее L, принадлежит к классу А.

2)	Всякое число, большее L, принадлежит к классу В.

Это число L называется и в этом случае сечением и, как мы увидим,
будет или рациональным, или иррациональным. Существование числа I,
есть следствие самого понятия иррационального числа, как мы его ввели
выше. В самом деле, рассмотрим в обоих классах А и В только рацио-
нальные числа. При этом множество всех рациональных чисел разо-
бьется на два класса (а) и (jj), обладающих следующими свойствами:
1) всякое рациональное число принадлежит к одному из двух клас-
сов-, 2) любое рациональное число класса (а) меньше любого рациональ-
ного числа класса ($). Здесь могут представиться три случая.

р

1)	В классе (а) может существовать рациональное часло — , боль-

Р
шее всех рациональных чисел того же класса. Тогда это число

и будет числом L. В самом деле, всякое число, меньшее , приналле-

<7

жит к классу А. Всякое число /?, большее ~, принадлежи г к классу В.
Это очевидно, если h рационально; если же b иррационально, то мы
возьмем число г, заключающееся между — и Ь. Это рациональное чи-
' <7

ело г принадлежит к классу В\ следовательно, принадлежиi к классу В
и число Ь.

2)	В классе ([}) может существовать рациональное число , мень-

шее всех рациональных чисел того жг класса. Как и в первом слу-
р’

чае, можно доказать, что число —, будет числом L.

Q

3)	Наконец, может быть, что в классе (а) нет ни одного рациональ-
ного числа, большего всех остальных рациональных чисел того же
класса, и в классе (fi) нет ни одного рационального числа, меньшего
всех остальных рациональных чисел того же класса. Тогда такое раз-
биение рациональных чисел на два класса (а) и (fi) определяет, по
предыдущему, некоторое иррациональное число т, большее всех рацио-
нальных чисел класса (а) и меньшее всех рациональных чисел класса (fi).
В этом случае числом L будет именно это число т. В самом деле,
всякое рациональное число, меньшее т. будет принадлежать к классу А,
и всякое рациональное число, большее т, будет принадлежать к клас-
су В. Возьмем теперь какое-нибудь иррациональное число т'-'т, и
пусть будет К рациональное число, заключающееся между т' и «г;
гак как К принадлежит к классу А, то будет принадлежать к классу Л
и число т’. Точно так же можно было бы доказать, что всякое ирра-
циональное число, большее т, принадлежит к классу В.

Самое сечение L может принадлежать как к классу А, так и
к классу В. Так, в первом случае оно принадлежит к классу А, во
втором — к классу В, а в третьем оно может принадлежать или
к классу А, или к классу В. Мы видим здесь, что сечение, произве-
денное в множестве всех как рациональных, так и иррациональных чи-
сел, не дает никаких новых чисел.

Это понятие сечения встречается в большом числе вполне элемен-
тарных вопросов. Рассмотрим, например, ряд, общий член которого
есть «“Iх; если отнести к классу А все числа у., для которых этот ряд
расходится, а к классу В все числа р, для которых ряд сходится, то
получается разделение всех чисел на два класса, очевидно, удовлетворя-
ющее всем поставленным условиям. Здесь мы имеем L — 1, и это число
L принадлежит к классу А.

3. Ограниченные множества. Мы уже несколько раз употребляли
слово множество. Понятие множества принадлежит к числу тех, кото-
рые, повидимому, бесполезно определять иначе, как с помощью приме-
ров. Всякая совокупность предметов в конечном или бесконечном числе
составляет множество: таковы множество целых чисел, множество рацио-
нальных чисел, множество прямых, лежащих в плоскости, и г. д. Мы
займемся здесь лишь числовыми множествами. Говорят, что числовое
множество Е ограничено сверху, если существует число а, большее
всех чисел этого множества; ясно, что, если существует одно такое
число, таковых найдется бесконечное множество, и всякое число,
об гадающее указанным свойством, называется верхней границей чисел
множества Е. Таким же образом множество Е называется ограничен-
ным снизу, если существует число Ь, меньшее всех чисел множества £:
' всякое число, обладающее этим свойством, есть нижняя граница
. чисел этого множества. Множество, ограниченное сверху и снизу, на-
зывается ограниченным. Множество всех положительных чисел ограни-
чено снизу; множество всех отрицательных чисел, заключенных ме-
жду 0 и — 1, ограничено и сверху и снизу; множество всех положитель-
ных и отрицательных чисел не является ограниченным ни сверху, ни
снизу.

Пусть Е — числовое множество, ограниченное сверху. По отноше-
нию к множеству Е можно разбить все числа, как положительные, так
и отрицательные, па два класса: А и В. Мы скажем, что число х при-
надлежит классу А, если существует одно или несколько чисел множе-
ства Е, больших х, и что оно принадлежит классу В, если нет ни од-
ного числа множества Е, превосходящего х. Очевидно, раз множество Е
ограничено сверху, то найдутся числа обоих классов и всякое число
класса А меньше всякого числа класса В. Пусть М — число, разграни-
чивающее оба эти класса. Это число М обладает следующими двумя
свойствами:

1)	Нет ни одного числа множества Е, Превосходящего М.

2)	Каково бы ни было положительное число е, всегда найдется
число, принадлежащее множеству Е, большее, чем М — е.
В самом деле, предположим, что существует в Е число



большее М. Число М

которое

также превосходит /И, принадле-

жало бы классу А; но это невозможно. С другой стороны, если е есть
какое-нибудь положительное число, число М — е принадлежит классу А,
следовательно, существует в множестве Е, по меньшей мере, одно чис-
ло, превосходящее М — е.

Число М, определенное указанным способом, называется точной
верхней границей или просто верхней границей множества Е. Это чис-
ло Л1 может само принадлежать Е; это всегда так и будет, если множе-
ство составлено из и чисел (где п конечно). Но если Е содержит бес-

конечно много чисел, верхняя граница не входит непременно в состав
множества. Рассмотрим, например, множество рациональных чисел,
квадрат которых не превосходит 2; верхней границей будет иррацио-
нальное число |Л2, которое не принадлежит множеству. Наоборот, мно-
жество как рациональных, так и иррациональных чисел, квадрат кото-
рых не превосходит 2, также имеет верхнюю границу |Z2, но это
число уже входит в состав множества. Заметим еще, что, если М не при-
надлежит множеству Е, всегда найдется бесконечно много чисел Е, пре-
восходящих М — г, сколь бы мало ни было г. В самом деле, если бы
их существовало лишь' конечное число, наибольшее из них было бы
верхней границей Е.

Таким же образом показывают, что если множество Е ограничено снизу,
существует число т, обладающее следующими двумя свойствами:

1)	Ни одно из чисел множества Е не меньше т.

2)	Если дано положительное число е, всегда найдется число мно-
жества Е, меньшее, чем т-\-е.

Это число т называется нижней границей множества.

Ясно, что не может существовать более одного числа, обладающего
двумя свойствами, характеризующими т\ то же самое справедливо и
ио отношению к М.

4.	Наибольший из пределов. Пусть будет Е некоторое ограничен-
ное множество, содержащее бесконечное количество чисел. По отноше-
нию к этому множеству мы можем разбить все как положительные, так
и отрицательные числа на два класса А' и Ь’ следующим образом. Мы
будем говорить, что число х принадлежит к классу А', если суще-
ствует бесконечно много чисел множества Е, больших числа х. В про-
тивном случае мы будем говорить, что число х принадлежит к классу
В'. Так как множество Е — ограниченное и состоит из бесконечного
множества чисел, то очевидно, что существуют числа обоих классов,
и что любое число класса А' меньше любого числа к :асса В'. Пусть
будет А число, разделяющее оба класса Af и В'; следуя Коша, это
число называется наибольшим из пределов множества Е. Пусть будет
= произвольное положительное число; по самому определению числа А
очевидно, что число А -|- е принадлежит к классу В', и число А — г к
классу А'. Следовательно, всегда есть бесконечно много чисел множества Е,
и А 4 с, тогда как есть только конечное число чисел (или ни одною)
больших Л —е.

Это число А связано с одним важным вопросом. Для простоты из-
ложения будем изображать каждое число а точкою с абсциссою а на
прямой х’х, и обозначим одною и тою же буквою как точку оси, так
и ее абсциссу. Таким образом всякому множеству Е чисел соответствует
множество точек на прямой, или линейное множество. Точки ограни
ценного множества расположены все на отрезке оси конечной длины.
Пусть дано линейное множество Е; если вблизи некоторой точки I этого
множества находится бесконечно много точек множества, или, точнее,
если существует бесконечно много точек множества, расположенных
между I — г и Z —е, где е — произвольное положительное число, то
точка / называется предельною точкою или точкою сгущения.

Всякое ограниченное линейное множество, содержащее бесконечно
много точек, имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Точка с абсциссой А, которую мы только что определили, есть, оче-
видно, предельная точка множества Е, и мы видим, что всякое ограни-
ченное линейн. е множество, содержащее бесконечно много точек,
имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Это частный случай более общего предложения, называемого прин-
ципом Больцано (Bolzano), согласно которому всякое ограниченное
множество, содержащее бесконечно много точек в пространстве любого
-числа измерений, имеет, по крайней мере, одну точку накопления, т. е.
такую точку, чго всегда существует бесконечно много точек множества Е,
удаленных от нее на расстояние, меньшее числа е, как бы мало это
последнее ни было. Доказательство, данное для линейного множества,
может быль распрлстранено и на общий случай. Я его здесь намечу
для плоского множества.

Пусть Е — некоторое бесконечное множество точек плоскости с коор-
динатами, заключенными между двумя постоянными числами А и В. Если
•(х, у) суть координаты точки этого множества, то числа х и у обра-
зуют два линейных ограниченных множества Ех, Ev. Если одно из
этих множеств, например Ех, состоит из конечно о числа различных
значений, то в множестве Е найдется бесконечно много точек с одной
я той же абсциссой, которые, следовательно, образуют линейное мно-
жещво, имеющее предельную точку. Если Ех и Еу содержат бесконечно
много точек, то пусть X будет наибольший из пределов Е ; тогда, со-
гласно самому о .ределению этого числа, найдется бесконечно много
точек Е, абсциссы которых заключены между X—е и X £, как бы
мало ни было е. Точки прямой х = Х также могут быть разделены на
два класса; мы будем говорить, что точка этой прямой с ординатой у
принадлежит к первому классу, если найдется бесконечно много точек Е,
ординаты которых превосходят у, а абсциссы заключены между X—г
"и X-1- г, каково бы ни было е, и что она принадлежит ко второму
классу, если для е достаточно малого существует лишь самое боль-
шее конечное число точек Е с ординатою, превосходящею у, и абсциссою,
заключенною между X—г и	Пусть Y—число, разграничиваю-

щее эти два класса; если есть какое-нибудь положительное число и е—
другое положительное число, достаточно малое, то всегда найдется бес-
конечно много точек Е, коих ордината заключена между Y — и
а абсцисса—ме кду X— г п X f-г. Очевидно, что эго будет справед-
ливо, каковы бы ни были положительные числа г, гн и следовательно,
(А', У) есть точка накопления мнокества Е.

Множество, состоящее из предельных точек некоторого множества Е,
называется производным множеством и обозначается Е’.

5.	Сходящиеся последовательности. Рассмотрим бесконечную после-
довательность чисел

s0,	$2, ... , sn, ... ,	(1)

каждое из которых занимает определенное место; эта последовательность
называется сходящейся, если sn стремится к некоторому пределу 5 при
безграничном возрастании п. Всякая последовательность, которая не
является сходящейся, называется расходящейся-, это может быть в слу-
чае, кэгда \sn\, начиная с некоторого момента, остается больше всякого
наперед заданного числа, иди если s„ не стремится ни к какому пре-
делу, хтгя бы его абсолютная ветчина и не возрастала безгранично.

Последовательность называется возрастающей, если + ]—s
каково бы ни было п. Она называется убывающей, если, при любом п,
5„ + i — sn^°-

Всякая возрастающая последовательность с ограниченным общим
членом есть сходящаяся.

В самом деле, числа последовательности (1) образуют в этом случае
ограниченное множество (£). Пусть будет М верхняя граница этого мн ,~
жества; если е есть произвольно заданное положительное число, то най-
дется число sm последовательи jcth (1), большее М— г. Для всякого
значения п, превосходящего т, будет sn~^=sm, и следовательно,
М—- '' sn-:gz /и. Таким образом разность М — sn будет меньше е, если
пут; другими словами, sn имеет пределом М, когда п неограниченно
возрастает. Таким же образом доказывают, что всякая убывающая
последовательность, общий член которой остается больше некоторого
постоянного числа, сходится *.

Общий критерий сходимости последовательности легкт выводится
из рассмотрения наибольшего из пределов.

Для сходимости последовательности * необходимо и достаточно,
чтобы всякому положительному числу е можно было поставить
в соответствие число п такое, чтобы разность s ,— sn по абсо-
лютной величине оказалась меньше е, каково бы ни было целое
положительное число р.

Это условие необходимо. В самом деле, если sn имеет пределом 5’,
когда п неограниченно возрастает, можно найти число п, достаточно
б >льшое, так что все разности S—. . . , 5—У.,,,, .. . будут
по абсолютной величине меньше, чем — . Следовательно, каково бы ни

* То же рассуждение позволяет показать, что в более общем случае перемен-
ное х, которое никогда не убяв^ет и остается меньшим постоянного числа, стре-
мится к пределу, и что имеет предел переменное х, которое, никогда не возрастая,
остается большим постоянного числа.
было р, абсолютная величина sn+p— sn будет меньше, чем 2-%=s-

Это условие и д .статочно. В самом деле, пусть е есть произвольное
положительное число. По предположению, существует такое целое
число л, что sn+p — sn будет по абсолютной величине меньше г, каково
бы ни было р. Тогда все члены последовательности (1), начиная
с $г, будут заключены между sn — г и .$п -гг; найдется, следовательно,
лишь конечное число членов этой последовательности, которые не
будут заключены в интервале (sn — г, sn + г). Отсюда вытекает, что
наибольший из пределов этого множества 5 не может быть ни меньше:
чем s— г, ни больше, чем	Тогда | sn — SjsCe, и из тождества,

Sn+P — 5= (W — -М + (sn - 5)

заключаем, что sn + p — S по абсолютной величине остается меньше 2г,
каково бы ни было р. При этом г — произвольное положительное
число, следовательно, sn имеет пределом S.

Если последовательность (1) содержит лишь k различных чисел, то
для сходимости этой последовательности, очевидно, необходимо, чтобы,
начиная с некоторого номера, все члены были равны между собой.
Этот особый случай входит, следовательно, в общее правило.

Пусть дана какая-нибудь бесконечная последовательность, общий
член которой есть говорят, что ряд

Ы0 + Н1 + • • • "I ' ип + • • •	(2)

сходящийся, если последовательность, образоранная суммами членов
этого ряда,

«О = ы0> «Г— «О +	• • • ’ Э, — Ы0 Ч~ + • • • + ип1 • • •

сходится. Пусть 5 есть предел этой последовательности, т. е. предел,
к которому стремится сумма sn, когда п неограниченно возрастает;
5 называется суммой упомянутого ряда, и эту зависимость выражают
равенством:

+ СО

s= и0 U1  ; -... + ип. ; -... = у щ.

;=0

Ряд, который не сходится, называется расходящимся.

Исследование вопроса о сходимости или расходимости какого-либо
ряда сводится, как видно, к исследованию того, является ли последо-
вательность, образованная суммами s0,	^2, . . . , сходящейся или

расходящейся. Обратно, чтобы узнать, сходится ли какая-либо беско-
нечная последовательность

S0’ Sl> S2’ • • • >
достаточно исследовать ряд:

V'H'1’': - 5оН~ (52 — *i) + ••• +(«„ — «„_]) -г •• • -

так как сумма первых (л-j- 1) членов этого ряда, очевидно, равна
общему члену предыдущей последовательности. Это замечание часто
имеет применение.
Критерий сходимос1и беек щечной последовательности, будучи при-
менен к рядам, дает общее условие сходимости Коши (Cauchy). Для
сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы всякому положи-
тельному числу е соответствовало такое целое положительное чис-
ло п, чтобы сумма любого числа членов, начиная с и Г была по
абсолютной величине меньше г.

В самом деле, разность sn + p — sn равна сумме р последовательных
членов ряда (2), начиная с мя+1. Таким же образом теорема о возра-
стающих последовательностях, примененная к рядам, приводит к сле-
дующему предложению, весьма полезному в теории рядов.

Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и
достаточно, чтобы все суммы sn были меньше некоторого постоян-
ного числа.

Примечание. Рксмотрим последовательность (1), сходящуюся или рас-
ходящуюся, члены которой образуют ограниченное множество Е. Всегиа можно,
и притом бесконечно многими способами, выделить из этой последователь-
ности сходящуюся подпоследовательность. В самом деле, пусть S — какая-
нибудь предельная точка линейного множества Ь. Рассмотрим убывающую
последовательность положительных чисел г0,	... ,	... , где е„ стремится

1 V

к нулю вместе с —. Каждому числу е„ этой последовательности мы можем
поставить в соответствие такое число s' последовательности, рассмотренной ра-
нее, что [S' — s ' | будет меньше, чем и чем |S'— s' |. Мы получаем, таким
образом, некоторую новую последовательность:

которая содержится в первой и сходится к пределу S'.

Если ряд (2) сходится, то очевидно, что всякая подпоследователь-
ность последовательности (1) также будет сходящейся и будет иметь
тот же предел.

Ясно также, что рассуждение применимо не только к точкам линей-
ного множества, но может быть распространено на любое ограниченное
точечное множество. Пусть, например, Е—какое-нибудь ограниченное
множество точек плоскости, а М — предельная точка этого множества.
Можно бесконечно многими способами выделить из Е последователь-
ность точек Аг, А2, . .. , Ап, . . . так, чтобы расстояние МАп стремилось

1
к нулю вместе с —.

Наименование наибольший из пределов для числа Л (§ 4) легко
оправдывается; в линейном ограниченном множестве нельзя найти схо-
дящейся числовой последовательности, имеющей пределом Л h (h 0),
ибо в этом множестве найдется лишь конечное число чисел, превосхо-
, , h
дящих — .

II.	ФУНКЦИИ. ОБЩИЕ понятия.

6.	Определения. Современное определение слова функция принадле-
жит Коши и Риману. Переменное у называется функциею х, y = fn),
если каждому значению х соответствует некоторое значение у. Пусть
будут а и b постоянные числа (а<^Ь\, если всякому числу х, заклю-
чающемуся между а и Ь, соответствует некоторое число у, то говорят,
что функция f(x) определена в промежутке (а, Ь). Разность b — а
называется амплитудою промежутка, числа а и b — пределами или гра-
ницами. Относительно чисел а и b можно сделать несколько допущений.
Мы можем рассматривать эти числа как принадлежащие к промежутку
(а, 7), который в этом случае называется замкнутым. Можно также
рассматривать одно из этих чисел или оба, как не принадлежащие
к промежутку (а, Ь); тогда промежуток (а, Ь) называется открытым *.
Например, совокупность значений х, удовлетворяющих условиям	1,

образует замкнутый промежуток; напротив, взяв совокупность значений х,
удовлетворяющих условиям 0<Сх<Щ или 0 х s;; 1, мы получим
открытый промежуток.

Пусть будет (£) совокупность значений функции /(х), определенной
в промежутке (а, Ь); если это множество (£) ограниченное, то функ-
ция /(х) называется ограниченною в промежутке (или на отрезке) (а, Ь).
Верхняя и нижняя границы множества (£), Л1 и т называются также
верхними и нижними границами функции f(x); разность Д =	— т

называется колебанием функции в промежутке (на отрезке) (<z, b).

По поводу этих определений можно сделать несколько замечаний.
Для того чтобы функция была ограничена на отрезке (а, Л), недоста-
точно, чтобы она принимала конечное значение для каждого значения х.
Так, функция /(х), следующим образом определенная между 0 и 1
(см. § 30):

/(0) = 0,/(х) = — при х>0,

имеет конечное значение для каждого значения х, и, однако, она не
является ограниченной в том смысле, который мы приписываем этому

слову, так как f(x)'y>A, если взять 0 <^х<^ - . Далее, функция, огра-
74

ниченная на сегменте (а, Ь), может принимать значения, сколь угодно
мало отличающиеся от верхней границы М или от нижней границы т,
но она не должна непременно достигать этих именно значений. На-
пример, функция /(х), определенная на сегменте (0, 1) условиями:

/(0) = 0, /(х) = 1—х при 0<xsgl,

Имеет верхней границей ЛТ=1, но никогда не достигает этого значения-

7.	Непрерывность. Современное определение непрерывности равным
бразом принадлежит Коши **.

Пусть y—f(x) есть функция, определенная (а, Ь); возьмем в этом

* В литературе часто замкнутый промежуток, т. е. множество значений х,
удовлетворяющих неравенствам flsgxss:^, называется отрезком или сегментом;
рткрытый промежуток, т. е. множество значений х, удовлетворяющих неравенст-
вам а < х < Ь, называется промежутком или интервалом. У Э. Гурса в тех слу-
Еаях, где это различение не имеет значения, указанная терминология не везде
Трого выдержана.	(Ред.)

** Для математиков, современных Ньютону и Лейбницу, функция была не-
прерывной, если можно было выразить ее посредством символов тех операций,
«оторые обычно рассматривались, каковы операции арифметические, логарифми-
ческие и тригонометрические. Этот род непрерывности, довольно плохо опре-
деленной, известен под именем эйлеровой непрерывности.
интервале значение х0 и соседнее с ним значение xQ -ф- h, заключенное
в том же интервале. Если разность f(x0-\h)—f(xn) стремится к нулю,
когда абсолютная величина h стремится к нулю, то функция f(x)
называется непрерывной при значении хд. На основании определе-
ния предела можно также сказать, что функция f(x) непрерывна
при х —х0, если произвольному положительному числу е, как бы
мало оно ни было, можно поставить в соответствие другое поло-
жительное число т], такое, что

|/(х04-Л)— /(х0)1<е

для всякого значения h, меньшего ц по абсолютному значению. Мы
будем говорить, что функция /(х) непрерывна на отрезке (а, Ь), если
она непрерывна при каждом значении х на этом отрезке и если раз-
ности f(a Д-h)—Да), f(b— h)—f(b) имеют пределом нуль, когда раз-
ность h стремится к нулю, оставаясь положительной.

В элементарных курсах высшей математики доказывается, что много-
члены, рациональные функции, функции показательная, логарифмическая,
тригонометрические и обратные круговые функции непрерывны при
всех значениях переменного, кроме некоторых особых, при которых
эти функции перестают быть непрерывными. Из определения непрерыв-
ной функции следует также, что сумма или произведение произволь-
ного числа непрерывных функций есть также функция непрерывная. То
же самое относится к частному двух непрерывных функций, за исключе-
нием тех значений переменного, которые обращают знаменатель в нуль.
Следует заметить, что частное двух непрерывных функций может быть
функцией разрывной для какого-либо из корней знаменателя, оставаясь,
1Т	| sin х I

однако, ограниченной. Например, частное —-— стремится к + 1. смот-
ря по тому, стремится ли х к нулю по положительным или по отри-
цательным значениям.

Пусть даны в плоскости координатные оси Ох и Оу и непрерывная
линия С, толщиной которой пренебрегают; если параллель к Оу встре-
чает эту линию С не более чем в одной точке, то ордината у точки М
линии С есть непрерывная функция абсциссы той же точки М. Пусть
y~f(x) — эта непрерывная функция; говорят, что кривая С представ-
ляет функцию f(x). Но следует заметить, что не всякая непрерывная
функция допускает такое графическое представление. В самом деле, до-
казано, что существуют непрерывные функции, имеющие бесконечное
множество максимумов и минимумов в каждом интервале. Но мы, оче-
видно, не можем вообразить непрерывную линию, имеющую бесконечно
много колебаний между всякими двумя сколь угодно близкими ордина-
тами.

Это показывает, что графическое представление, являясь прекрас-
ным средством изыскания свойств непрерывных функций, не может,
однако, служить для строгого доказательства этих свойств.

8.	Свойства непрерывных функций. Основываясь единственно на
определении непрерывности, установим некоторое число теорем о не-
прерывных функциях, на которые в дальнейшем постоянно придется
ссылаться.
Пусть/(х)— функция, непрерывная на отрезке (а, Ь); если х— про-
извольное неизменное число на этом отрезке, то, на основании опреде-
ления непрерывности, всякому положительному числу £ можно поставить
в соответствие другое положительное число 0, такое, что

\f(x-\~h)—f(x) \ <; е, когда | h |	0,

в предположении, что число x-\-h принадлежит отрезку (а, Ь).

Очевидно, что существует бесконечно много положительных чисел,
удовлетворяющих этому условию; обозначим через 0 (х, г) верхнюю
границу этих чисел 0.

Таким образом каждому значению х на отрезке (а, Ь) при опреде-
ленном значении £ соответствует положительное число 0(х, £).

Теорема А. Нижняя грлница чисел 0 (х, е) есть число положи-
тельное.

Достаточно, очевидно, показать, что эта нижняя граница не может
быть нулем. В самом деле, допустим, что эта нижняя граница есть нуль;
так как эта граница не достигается ни при одном значении х, то на
-отрезке (а, Ь) найдется бесконечно много различных точек х,, х'2, ... ,
х , ... таких, что 0(х' е) стремится к нулю вместе с —. Множе-
"	«	.	п

ство Е этих точек х’п, будучи ограниченным, имеет, по крайней мере,
одну предельную точку )., которая также принадлежит отрезку (а, Ь).
Так как функция /(х) непрерывна при х = л, то найдется такое поло-
жительное число k, что

1/0.4-Л)—/(Х)|<у , когда \h\<^k.

Пусть х' — произвольное число в промежутке
/, k k\
y' + r •

принадлежащем отрезку [а, Ь\, легко убедиться в том, что число 0(х', е)
&

по меньшей мере равно — . В самом деле, если положительное число h

меньше, чем

| х’ h —	| xr — k| <k,

Л)-/().) |

g	£

y, l/(V)-/().) i<y,

и следовательно,

жутке

|/(х'-|-Л)—/(хМ<Сг- Следовательно, в
& \

-- найдется лишь конечное число точек

<тва Е, и то предположение, что нижняя граница чисел 0(х,

проме-

множе-

£) равна

нулю, привело нас к противоречию. Эта нижняя граница есть, следо-
вательно, положительное число т;, и теорему можно формулировать
«еще следующим образом:
Если х' и х' суть два произвольных числа в отрезке (а, Ь), то вся-
кому положительному числу е можно поставить в соответствие
другое положительное число т;, пикое, что ]/(х')—всякий
раз, как I л' аг" | <^ 7).

Это свойство выражают также, говоря, что функция f(x) равномерно
непрерывна па отрезке {а, Ь).

Следствие. Пусть число т] определено, как было сказано; если
разность 1 х' — х" | меньше, чем рг\, то ясно, что будет выполнено
также и неравенство 1/(3.’) — f(x")\<^ps. Отсюда следует, что всякая
функция, непрерывная в отрезье (а, Ь), ограничена в этом отрезке.

Теорема В. Функция f(x), непрерывная в отр’зке (а, Ь), прини-
мает по к айней мере один роз любое значение, заключенное ме-
жду f(a) и f(b), при значении х, содержащемся между а и Ь.

Возьмем сначала частный случай. Предположим, что /(а) и /(/>)
имеют противоположные знаки, например f(a) < 0, a f(b)f> 0. Покажем,
что найдется по меньшей мере одно значение х, заключенное между а
и Ь, для которого /(х)=0. В самом деле, fix) отрицательно вблизи а
и положительно вблизи Ь; рассмотрим множество значений х, при ко-
торых функция /(х) положительна; пусть к есть нижняя граница этого мно-
жества	На основании определения нижней границы /(X—h)

отрицательно или равно нулю при всяком положительном значении Л;
следовательно, f(f), которое является пределом f(\—h), тоже отрица-
тельно или нуль. С другой стороны, не может быть /(},)-< 0. В самом
деле, допустим, что /(Х) =— т, где т есть положительное число. Так как
функция f(x) непрерывна при х = X, то можно найти такое число 7),
что |/(х)—flff<fm когда |х— X ] < rt; но тогда функция f(x) была
бы отрицательна при значениях х, заключенных между X и к—|— т], и к
не было бы нижней границей значений х, при которых функция поло-
жительна. Следовательно, /(Xi= 0.

Пусть будет теперь N число, заключенное между /(а) и f(b\. Непре-
рывная функция tc(_r)=/(x)— N принимает при х = а и при х=Ь
значения противоположных знаков. Следовательно, на основании только
что рассмотренного частного случая, она обращается в нуль по мень-
шей мере при одном значении х, заключенном в интервале (а, Ь).

Теорема С. Всякая функция, непрерывная в отрезке (а, Ь), по
меньшей мере однажды достигает как своей верхн й, так и нижней
границы.

Прежде всего, всякая непрерывная функция, оставаясь конечной,
как уже было показано, имеет верхнюю границу М и нижнюю гра-
ницу т. Покажем, например, что f)x) = M по меньшей мере при
одном значении х в отрезке («, Ь).

В самом деле, если бы функция fix) не принимала значения Л1 ни
при каком значении х, принадлежащем отрезку (а, Ь), то она имела
бы бесконечно много различных значений, превосходящих М— е, сколь
бы мало ни было е (§ 3). Тогда в отрезке (а, Ь) нашлась бы последо-
ва!ельность различных между собою точек л1; х2, ... , хп, таких,
что /(xj стремится к М, когда п неограниченно возрастает. Из этой
последовательности можно было бы выделить сходящуюся подпосле-
довательность л', х',...., х', . ., имеющую пределом X, когда ri
неограниченно возрастает. Так как функция / непрерывна при х~'к, го-
ми имели бы, следовательно: /(л) = Lm/fx^) = ЛК

Сопоставляя эту теорему с предыдущей, мы заключаем, что функция,
непрерывная в отрезке (а, Ь), принимает по меньшей мере однажды
любое значение, заключенное между ее верхней и нижней границами.
Равным образом теорема А может быть выражена так: если дана функ-
ция, непрерывная в отрезке (а, Ь), то можно найти достаточно
малое число Тр так что колебание функции в любом частичном
интерьал’, длина которого меньше rj, будет меньше любово произвольно-
выбранного положительного числа. В самом деле, колебание непрерыв-
ней функции равно разности значений /(х) при двух частных зна
чениях переменного.

Примечание. Во всех наших рассуждениях речь идет об отрезк • {а, I).
?то условие существенно. Например, функция /(х) = 1 —х, определенная в от-
крыт) м промежутке (0<хг£:1), не содержащем конца х = 0 непрерывна при
любом значении х в этом промежутке. Верхней границей будет М = 1, и /(г)
не достигает этого значения.

9.	Разрывные функции. Пусть будет y=f(x) функция, определенная
в отрезке (а, Ь). Если эта функция не непрерывна при значении х0,
заключенном между а и Ь, то точка х0 называется точкой разрыва.
По крайней мере, одно из двух чисел /(х0-|-е),/(х0 — е) (мы пред-
полагаем, что е > 0) не стремится к /(л0), когда г стремится к нулю.
Говорят, что х0 есть точка разрыва первого рода, если как /(х0-|-г),
так и /(х0—г) имеют предел, когда г стремится к пулю; эти пределы
обозначаются через /(хо-|-О) и /(х0—0) соответственно. Если оба
эти предела /(х0 + 0) и /(х0— 0) равны между собой, то х0 может
быть точкой разрыва лишь тогда, когда это предельное значение отлич-
но от /(х0); в этом случае достаточно было бы изменить значение
функции в точке л0, чтобы разрывность была устранена. Н) если два
числа /(хо-|-О) и/(х0 - 0) различны, то, каково бы ни было значе-
ние /(х0), точка х0 непременно будет точкой разрыва. Точка разрыва
первого рода называется правильной, если

; (3>

заметим, что это равенство справедливо для любой точки, где функция
непрерывна. В дальнейшем (§ 30) будут приведены примеры функций,
представленных с помощью рядов, которые имеют точки разрыва этого
рода.

Пусть j=/(x)—функция, имеющая в интерва-е (а, Ь) не более
чем конечное число точек разрыва, причем все они первого рода, и
лишь конечное число максимумов и минимумов. Кривая, представленная
уравнением y—f(x), состоит из нескольких непрерывных линий, не
соединенных друг с другом, каковы AC, CD, L’B (черт. 1); значения у,
соответствующие абсциссам с и d точе< разрыва, могут быть взяты про-
изв )льнэ. Если эти точки разрыва правильные, то середины отрезков СС,
DD’ должны рассматриваться как точки, принадлежащие изображающей

., ,,	,	I Sin XI

крив >и. Упомянутая выше функция у =-------- была бы представлена
двумя непрерывными линиями, примыкающими соответственно к двум
точкам оси Оу, ординаты которых суть 1 и — 1.

Если х,, есть точка разрыва второго рода, то, по крайней мере, одно
из чисел /(х0-]-=), f(xQ—е) не стремится ни к какому пределу, когда
положительное число г стремится к нулю. Если, например, /(х0-1- е)
не имццт предела, то здесь придется различать два возможных случая:
когда f(x0 -1- г) неограниченно возрастает по абсолютной величине или
когда это не имеет места.

Рассмотрим функцию f(x], определенную аналитически, например
посредством конечного числа элементарных символов; эта функция
вообще есть функция непрерывная, но может случиться, что при не-
которых значениях переменного она перестает быть определенной.

sin х

Возьмем, например, функцию f(x)=---------, которая непрерывна при

всяком значении х-ДО; этот символ не имеет никакого смысла при х=0.

чению х, теряет всякий смысл,

Но, когда х стремится к нулю, f(x)
имеет пределом единицу, и есте-
ственно положить /(0) = 1.

Наоборот, возьмем функцию
f(x)^=------ , непрерывную при

всяком значении х0 переменного х,
отличном от а. Операция, которую
нужно произвести для получения
значения у, соответствующего зна-

когда переменному дают значение а;

но мы замечаем, что, когда х имеет значение, весьма близкое к а, у
по абсолютной величине весьма велико, будучи положительно, если х~у> а,
и отрицательно, если х<^о. Когда разность х—а все более и более
уменьшается, абсолютная величина у неограниченно возрастает, стано-
вясь, наконец, больше любого наперед заданного числа. Этот факт
выражают кратко, говоря, что функция -------- бесконечна при х~а.

Очевидно, что восстановить непрерывность при х = а не представляется
возможным, какое бы значение мы ни согласились принять для /(а).

Возьмем еще функцию _y = sin--. Когда х стремится к нулю,

1

— неограниченно возрастает, и у не стремится ни к какому пределу,

оставаясь все время заключенным между — 1 и —1; уравнение sin — = А,
где предполагается, что । А | <f 1, всегда имеет бесконечно много корней,
заключенных между 0 и г, как бы маю ни было г. Какое бы значение
ни было принято для у при х — 0, функция у разрывна при х = 0,
и мы имеем в этой точке существенный разрыв.

В приведенных примерах непосредственно видно, как изменяется
функция вблизи точки разрыва. Но это не всегда бывает так. Предпо-
ложим для определенности, что функция F(x) определена своим аналп-
тическим выражением дня всякого значения х, большего некоторого
постоянного чи(:ла а, и пусть требуется узнать, стремится ли F(x) к
пределу при приближении х к -f-oo. Если аналитическое выраже-
ние F(x) не позволяет узнать это непосредственно, то в большинстве слу-
чаев можно решить вопрос, воспользовавшись следующим предлложением;

Для того чтобы при приближении х к -J- оо функции F(x) стре-
милась к некоторому поеделу, необходимо и достаточно, чтобы
разность F(p)—-F(q) стремилась к нулю, когда оба числа р и q
неограниченно возрастают независимо друг от друга.

Выражаясь точнее, чтобы функция F(x) имела предел, необходимо
и достаточно, чтобы всякому положительному числу г можно было по-
ставить в соответствие такое число А, что абсолютная величина раз-
ности F(p)— F(q) будет меньше е, когда каждое из чисел р, q больше
или равно А.

Это условие необходимо. Если F(x) стремится к пределу L, то
найдется число А такое, что при всяком значении х А абсолютная

з

величина разности F{x)—L меньше $  Следовательно, если р и q суть
произвольные числа, превосходящие А, абсолютная величина разности
F(p)—F(q) будет меньше е.

Это условней достаточно. В самом деле, рассмотрим последователь-
ность

F{a), F(a -ф- 1), ... , F(a -ф- ri), ... ,

где п — целое положительное число. Эта последовательность — сходя-
щаяся, так как, каково бы ни было положительное число k, абсолютная
величина разности F(a -ф- п -ф- 1г) — F(aA~ri) будет меньше г, если а -ф- п
больше А (§ 5). Следовательно, F(a-\-ri) имеет предел L, когда целое
число п неограниченно возрастает. Рассмотрим теперь какое-нибудь
число х, и пусть п есть такое целое положительное число, что
Xri- а4-«>х — 1; мы имеем:

F(x) — L = F(x) — F(a-]-ri) + [F(a -ф- n) — А];

при неограниченном возрастании х, а -ф п также возрастает неограни-
ченно, и обе разности, входящие в правую часть предыдущего равенства,
стремятся к нулю; следовательно, F(x) имеет пределом L.

Точно так же можно было бы доказать, что, для того чтобы
функция F(x) стремилась к пределу, когда х стремится к а, оста-
ваясь, например, больше а, необходимо и достаточно, чтобы разность
F(p)—F(q) имела пределом нуль, когда оба числа р и q, оставаясь
большими а, независимо друг от друга стремятся к а.

10.	Монотонные функции. Функция /(х), определенная в проме-
жутке (а, Ь), называется монотонною в этом промежутке, если произ-
ведение

(х2 —Xj)[/(x2)—/(xj]

сохраняет постоянно один и тот же знак для всяких двух чисел и
х9, принадлежащих к рассматриваемому промежутку. Функция назы-
вается возрастающею, если при всяких значениях хг и х2 это произ-
ведение положительно или равно нулю; если же при всяких значениях хг
и х> это произведение отрицательно или равно нулю, то функция на-
лы в а ется убыпа юще ю.

Если х.^-Ху, то для возрастающей функции разность /(х2)—
положительна или равна нулю, а для убывающей функции — отрицатель-
на или равна нулю. Если монотонная функция имеет одно и то же зна-
чение, как при х = хл , так И при х—х2, то она сохраняет то же
самое значение во всем промежутке (хг х2). Монотонная функция может
иметь в промежутке (а, Ь) любое число точек прерывности, но все эти
точки прерывности будут первого рода. Рассмотрим, например, возра-
стающую функцию, и пусть будет х0 точка прерывности. Когда е, оста-
ваясь положительным, стремится к нулю, то f(x0 — е) не может убывать,
("верх того, постоянно f(x0—Следовательно, f(xQ — г) имеет
предел/(х0— 0) (§ 1). Точно также можно доказать,что f(x0 -(- е) имеет
предел f{xQ 4- 0). Так как, кроме того, всегда имеем /(х0 — г) -С f(x0 г),
то отсюда следует, что /(х0—0) -с;/(х0Ч- 0). Если f (х0— О)=/(хо-}-О),
тотем самым f(x0)=f(x0—0), и в точке х0 функция непрерывна. Но
если f(x0 — 0)‘ меньше f(x0 -[- 0), то f(x0) может быть равно какому
угодно числу, заключающемуся между f(x0—0) и

Примечание. Иногда полезно различать функцию возрастающую ог функ-
ции постоянно возрастающей. Так мы назовем функцию У(х), если при х2 > vt
имеем также У(х2) > /(х4), причем знак равенства (=) исключается. Так же опре-
деляется функция постоянно убывающая.

11.	Функции с ограниченным изменением. Пусть будет У(х) функция,
ограниченная на отрезке (а, Р, где*а < Ь. Разобьем этот отрезок на частичные про-
межутки возрастающими числами х4, х2..x„_j,

Xg =— а ху 'У х<%	-. • 4 хп^{ <С ху, == Ь,

и положим

» = |У(х4)—У(а) | + 1/(х2)—/(xjl + ... + |/(&)— У(х„_4) | .

Таким образом каждому разбиению рассматриваемого отрезка будет соответ-
ствовать такое число wSsO. Число v называется изменением функции f (х) для
отрезка (а, Ь). Если множество чисел v, соответствующих всем возможным раз-
биениям отрезка (а, Ь), есть ограниченное множество, то функция у(х) называется
функциею с ограниченным изменением на отрезке (а, Ь). Верхняя граница V
чисел v называется полным изменением функции f (х) на этом промежутке.
Введение этого важного класса функций принадлежит Жордану.

Очевидно, что всякая монотонная функция есть функция с ограниченным
изменением, так как здесь все разности /(ху)—y(xz_j) имеют одинаковы! знак.
Из определения функции с ограниченным изменением следует также, что сумма
двух функций с ограниченным изменением есть также функция с ограниченным,
изменением. Если /(х) есть функция с ограниченным изменением в промежутке
(а, L), то она будет таковою во всяком промежутке (а1; заключающемся в пер-
вом, и, в частности, в промежутке (а, х), где х есть произвольное число, заклю-
чающееся между а и Ь.

Пусть будет р сумма тех из разностей f (ху)—/(xz_4), которые положитель-
ны, а (— п) будет сумма отрицательных разностей. Очевидно,

v = р + п, f (b) - / (а) — р — п,
и следовательно,

v = 2p+f(a) — f(b), v = 2n+f(h)—f(a).

Если функция у (х) — с ограниченным изменением в промежутке (а, Ь), то числа р
и «, соответствующие всевозможным разбиениям этого промежутка, очевидно,
образуют также два ограниченных миожест. а. Пусть будут Р и W верхние гра-
лицы этих множеств; числа Р и N называются полным положительным и пол-
ным отрицательным вменением функции на отрезке (а, Ь). На основании
предыдущего, между числами V, Р, N существуют соотношения:

V = 2°-H/(a) —/(Л-), V = 2V+/(ft) -/(7).

Обозначим через Ц(х), Р (х), N (х) вышеуказанные полные изменения функции
/ (х) на отрезке (а, х), где х закночается между а и Ь. Функции V (х), W (л),
Р (х), по самому их определению,—.необходимо функции возрастающие; в самом
деле, очевидно, что при возрастании х функции Р (х) и N (х) не могут убывать.
Между функциями / (х), V (х), Р (х), :V (х) при всяком х всегда существуют два
соотношения:

V(х) = 2Р (х) + f (а) -/ (г), I/ (х) = 2W (х) + /(х) - f (а),
откуда

f(x) = /(a) Д-Р(л) — W (х).

Так как обе функции / (а) + Р (х) и N (х) — возрастающие, то отсюда следует,
что всякая функция с ограниченным изменением есть разность двух возра-
стающих функций. Это свойство можно было бы принять за определение функ-
ций с ограниченным изменением: в самом деле, разность двух возрастающих
функций равна сумме возрастающей и убывающей функций, т. е. сумме двух
функций с ограниченным изменением. Следовательно, эта сумма есть функция
с ограниченным изменением.

Если к обеим возрастающим функциям Р (х), /V (х) мы прибавим какую-нибудь
возрастающую функцию у (х), то получим новые функции Pi (г), AL (х), также
возрастающие, и их разность будет равна разности первоначальных функций Р (х)
и N (х). Таким образом всякую функцию с ограниченным изменением можно
представить бесконечно разнообразно как разность двух возрастающих функций.
Так как всякая монотонная функция имеет точки прерывности toibko первого
рода, то то же имеет место и по отношению к сумме двух монотонных функций;
следовательно, всякая функция / (х) с ограниченным изменением имеет точки
прерывности только первого рода.

Как пример функции с неограниченным изменением рассмотрим функцию

, .1

/(г) — sin — ,

принимая f (0) = 0. Легко видеть, что полное изменение этой функции в проме-
жутке, заключающемся между значениями, обратными числам Т и п~ .рав-
но 2л. Следовательно, в промежутке (о, эта функция — с безграничным
изменением, но следует также и из того, что для этой функции х = 0 есть
точка прерывности второго рода.

Рассмотрим теперь, в частности, функцию f (х) с ограниченным изменением
в промежутке (а, Ь), непрерывную в этом промежутке *. Разобьем промежу-
ток (а, Ь) на части точками деления х,, х.>, ... , хп_ь и пусть будет v изменение
функции в рассматриваемом промежутке, соответс вующее такому разбиению.

Если число п неограниченно возрастает таким обраюм, что наибольшее
значение }. разностей X/— xt_t стремится к нулю, то число v имеет преде-
лом полное изменение V.

Доказательство этой теоремы основывается на следующем замечании. Пред-
положим, что каждый из промежутков (а, л,), (хь х2), ... разбит на более мелкие
промежутки новыми точками деления, и пусть будет

а, У1, Ун, ... , yk-i, х1; ук + 1, ... , yt_t, х.>, у1 + 1, .... b

* Всякая непрерывная функция не есть непременно функция с ограничен-
ным изменением. Так, непрерывная функция Вейерштрасса, приведенная в § 31,
с неограниченным изменением во ьсяком промежутке, функциях sin-—-вблизи
начала координат.
iKuiy'iiiiiiiiiiHCH нонвя последонптелыюсть. Обозначим через v' число, апало1ичнсе Ь,
для -ион) шитого разбиения. Мы, очевидно, имеем:

|/(.Г|)—/(«) I- -/(Л-0 I +	Н/(Л)—/(а) I.

l/Uj) -/(xt) \-' |/(х2) — / (Л-i) I +	+ |/(Л-н) —

и слсл()11атсл|.ио, v-С

11усн> будет V верхняя граница чисел г/, и г — некоторое положительное
число. Но самому определению числа V, существует такая последователь^ сть
нозрасгакнцнх чисел

а < а{ < о2 < ... < ар_{ < Ь,

чи> число vllt определяемое равенством:

г'о — I/ (а1) —/ (а) I + I / (аа) — f (ai) I + •   +1/(0 — / (ар-? I ,

будет больше V—Пусть будет к положительное число, меньшее всех раз-
ностей а,—а, а2—ар_1. Рассмотрим какое-нибудь разбиение про-
межутка (а, Ь) на частичные промежутки, меньшие X, возрастающими числами a, rt,
х.>, ... , x„_t, К и пусть будет v соответствующее изменение функции. Распо-
ложим теперь все числа xt и в возрастающем порядке; мы получим новое
разбиение промежутка (<т, А), последующее к двум первым, и, на основании
предыдущего замечания, соответствующее этому новому разбиению изменение
функции г/ будет не меньше Vg и г.

Найдем верхний предел разности v' — v. Мы можем перейти от разбиения,
которое дает v, к разбиению, которое лает v', разбивая точками at, а2, а3, ... ,
Яр. । те промежутки (х;_4, хф, внутри которых содержится какая-нибудь из этих
точек ак, причем очевидно, что в каждом из промежутков (х;-1, хг) может заклю-
чаться не более одной точки ak. Полное число промежутков (jy _(, _г;), которые
можно будет разбить таким образом, самое большее равно р—I. Мы имеем:

ъ’ — v= v [ | / (x/i — f(ak | 4- |—/(*';_t)|—//(xz) — /(xz_J)| ],

причем знак суммы распространяется на веете промежутки (х;_], хД внутри ко-
торых содержится одна из точек ak. Пусть будет ю наибольшее значение коле-
бания функции /(X) в каждом из частичных промежутков (а, х,), (Х[, х2\ ...
Очевидно, что разность

I /(+) — /(afe) I + I /(+) — /№-1)1 — 1/(+) — /(-*7-1) I

не может быть больше, чем 2», н следовательно, разность v' — v не может быть
больше, чем 2(р — 1)ю. Так как функция f(x) непрерывна, то можно найти такое
положительное число щ чтобы во всяком частичном промежутке с амплитудою,

g

меньшею тн колебание функции /(х) было меньше	; следовательно, если

наибольшее значение разностей х{ -- at, х2 — х,, ... , Ь — xn_t будет меньше т;,
то мы будем иметь v1 — 17 < р" Сверх того, мы можем представить разность
V — v в виде:

V— v — V — Vjj 4- (t>' — v) — (v' — vg),

н следовательно, получим V—г/<е. Так как v не может больше V, то отсюда
следует, что V имеет пределом V.

Пользуясь этою теоремою, можно доказать, что функция V(x). представля-
ющая полное изменение функции f (х) в промежутке (а, х), есть непрерывная
функция от х.

Пусть будет х(| значение переменного х, заключающееся между а и Ь, и
1,у,,у2,	, Уп , х0 — некоторая последовательность возрастающих чисел. V (х0)

есть предел изменения V.

v = !/(+)—/(a) I + 1/Ы —/СУ1) I + • •  + I /(+) —/СУч-i) I + !/(+) —/(Ул) /
Сумма всех членов, кроме последнего, не может быть больше V (уя); следовательно,
она не больше V' (х,— 0), так как V (х) есть возрастающая функция. Таким об-
ра ом мы имеем:

v < V (х0 - 0) + | f (х0) —/ (у„) [.

Так как функция/(.г) непрерывна, то разность / (х0)—f (уп) стремится к нулю
вместе с |х0—у„ ]; следовательно, предел V (хв) изменения v не может быть
больше И (хи — 0), а так как функция К(х) возрастающая, то необходимо

I' Ц'о) =V(xa~ 0).

Чтобы доказать, что точно так же V (х0) — V(xo-f-0), положим

b — х - у. \\(у)= V (Ь) — V (л);

!/,(>) представляет полное изменение функции f (Ь—у) в промежутке (0, у). На
основании предыдущего имеем:

(Уо)(Уо — 0)>

и следовательно, V (х0) — Vх (х0	0).

Гак как функции И(х) и /(х) непрерывны, то будут также непрерывными
и функции

р (Х)	W(x)~/И, N _= v<x')~ f (*) Н/(а)

Следовательно, всякая непрерывная функция с ограниченным изменением
есть lamocmb двух непрерывных возрастающих функций.

Пример. Если непрерывная функция /(х) имеет в некотором проме-
жутке (а, Ь) только конечное число максимумов и минимумов, то очевидно,
что опа будет в этом промежутке функциею с oi рапиченпым изменением. Рас-
смотрим, ^например, функцию /(х), возрастающую от а до а,, затем убывающую
от о{ до а2, и снова возрастающую от а2 до Ь. Возьмем две функции /4 (х), /2 (х),
определенные следующим образом:

1)	в промежутке (а, а^: .’11л) - =/(х),/2 (х)С;

2)	в промежутке (г.1т а2): Л (х) =/(<7,), 72<х)=/('f) —/(х);

щ в ппомржчткр (a /,V /М-О =/(г) —/(й2)

о) в промежутке (а2, Ь). \f.i(x)^f(al)—f(a^.

Ясно, что обе функции /4 (х) и /2 (х) непрерывны и возрастают во всем
промежутке (а, Ь), и их разность равна /(х). Точно так же можно было бы
поступить для разложения f (х) на разность двух непрерывных возрастающих
функций и при любом числе максимумов и минимумов в промежутке (а, I).

Вообще, пусть будет / (х) такая функция, что мы можем разбить проме-
жуток (а, 6) на р частичных промежуток, в каждом из которых функция будет
монотонною; кроме того, предположим, что функция f (х) имеет только конечное
число точек прерывности, и притом правильных. С помощью предыдущего
приема можно представить эту функцию f (х) как разность двух возрастающих
функций, имеющих только правильные точки прерывности.

12.	Функции многих переменных. Говорят, что w есть функция
переменных х, у, z, . .. , t, если всякой системе значений х, у, z, . . . . t
соответствует значение ш. Предположим для определенности, что w
есть функция двух независимых переменных х и у, и примем х, у за
координаты точки на плоскости. Всякой системе значений х и у соот-
ветствует точка /И, и обратно. Если всякой точке Л1, взятой в какой-
либо части плоскости, соотвёктвует значение и, то говорят, что
функция (0=/(х, у) определена в этой части, которую называют вообще
областью.

Область А может быть образована частью плоскости, заключенной
внутри замкнутого контура С, но она может быть ограничена и
несколькими замкнутыми контурами, — внешним С и одним или не-
сколькими внутренними С, С", . . . Контуры С, С1, С, . . . образуют
границу этой области; мы будем предполагать, вообще, что границы
составляют часть области, т. е. что в каждой точке контура С, напри-
мер, функция ю имеет определенное значение. В этом случае область
называется замкнутой. Область называется связной, если любые две
точки ее могут быть соединены ломаной линией, целиком лежащей в этой
области. .

Функция ю =f(x, у) ограничена в области А, если множество зна-
чений ю для всех точек этой области есть множество ограниченное.
Верхняя и нижняя грани 1Ы М, т и колебание функции определяются
в точности так, как мы это делали выше (§ 6).

Пусть (х0, _у0)— координаты точки 2И0, взятой в этой части плоско-
сти. Говорят, что функция f(x, у) непрерывна при системе значе-
ний х0, у0, если всякому положительному числу г можно поставить
в соответствие другое положительное число т|, такое, что

|/(х0-|-Л, y0-[-k)— f(x0, Jo)|<>,

при единственном условии, что | h |	7) и k\ <^т(.

Определение непрерывности можно интерпретировать следующим
образом. Представим себе, что в плоскости х ,у построен квадрат
с центром в Ма и со стороной, равной 2т|, причем стороны его парал-
лельны осям координат; точка Л1' с координатами (x0-f-A, у0-[-й) на-
ходится внутри этого квадрата при условии, что | h | <С т(, | k 7). Ска-
зать, что функция непрерывна при х~х0, у=у0, это все равно, как
если бы мы сказали, что можно взять сторону этого квадрата достаточно
малой, чтобы разность значений функции в точке Л10 и в любой другой
точке этого квадрата была по абсолютной величине меньше г. Оче-
видно, что этот квадрат можно было бы заменить кругом с центром
в точке (г0, _у0), так как, если предшествующее условие выполнено для
всех точек, расположенных внутри квадрата, оно будет удовлетворено
также и для всех точек внутри вписанного круга. Обратно, если это
условие выполняется для всех точек, находящихся внутри круга, то
оно будет иметь место и для всех точек, внутренних по отношению
к квадрату, вписанному в этот круг. Мы могли бы, следовательно,
определить непрерывность, говоря, что можно поставить положительные
числа е и г] в соответствие такого рода, что неравенство ]/h‘ k2
втечет за собой неравенство:

|/(*о + й> -Уо + А)~	М;| О

Точно так же говорят, что функция f(x, у) непрерывна в точке т
границы, если значение ю в соседней точке т' области А стремится
к значению ю в т, когда расстояние пип' стремится к нулю.

Функция f(x, у), непрерывная в каждой точке внутри области А
и в каждой точке ее границы, называется непрерывной в А. Для
функций, непрерывных в области А, ограниченной замкнутым конту-
ром С, можно высказать теоремы, совершенно аналогичные тем, кото-
рые были доказаны выше (§ 8).
Пусть г — определенное положительное число; каждой точке (х, у)
области А соответствует положительное число 0 (х, у, г), которое
можно определить как верхнюю границу чисел 0, таких, что

'/(х',у’)~/(х, у) ]<г

всякий раз, как расстояние между точками (х, у), (х',у') меньше 0.
Применяя доказательство, приведенное в § 8, мы убеждаемся в том,
что когда точка (х, у) описывает замкнутую область, нижняя
граница чисел 0 (х, у, е) не может быть равной нулю.

Эта нижняя граница есть, таким образом, положительное число тр
и следовательно, всякому положительному числу г можно поставить
в соответствие такое оругое положительное число 7), что

\f(x', У)—f(x, у) |< с,
лишь бы расстояние между точками (х, у), (х',у'), взятыми в А
или на контуре С, было меньше т(. Другими словами, функция двух
переменных, непрерывная в ограниченной области и на контуре,
равномерно непрерывна.

Из предшествующего предложения выводят, как выше в § 8, что
всякая функция, непрерывная в области А, необходимо ограничена в
этой области. Рассуждение § 8 позволяет показать таким же образом,
что f(x, у) принимает по меньшей мере однажды каждое из значе-
ний Мит внутри или на контуре области. Пусть будет а точка,
для которой (0 — т, и b — точка, для которой ы = М. Соединим а
u b ломаной линией, целиком лежащей внутри С. Когда точка (х, \)
описывает эгу линию, то и есть непрерывная функция длины ломаной,
считая эту длину от точки а до точки (х, у); следовательно, она про-
ходит по меньшей мере однажды через каждое значение ;д, заключенное
между т и М (§ 8). Так как между точками а и b можно провести
бесконечное множество ломаных линий, то мы видим, что функция /(х, у)
принимает значение ц, заключенное между т и М для бесконечного
множества точек внутри контура С.

Ясно, что непрерывная функция двух переменных х, у непрерывна
Я по отношению к каждому из этих переменных в отдельности, но
обратное заключение не всегда справедливо.

2ху

Возьмем, например, функцию f(x, у), равную	, когда, по

х“

крайней мере, одно из значений х, у отлично от нуля, и поло-
жим /(О, 0) = (). Функция, определенная указанным образом, есть не-
прерывная функция переменного х, когда у остается постоянным, п
наоборот. Однако она не является непрерывной функцией двух пере-
менных х и у для системы значений х=у = 0, так как, если
точка (х, у) стремится к началу координат, оставаясь на прямой у -тх,
.	,.	2т

функция /(х, у) имеет пределом	и этот предел изменяется вме-

сте с т. В этом примере было бы, очевидно, невозможно так изменить
Лначеиие /(0, 0), чтобы функция сделалась непрерывной в начале ко-
XV
ординат. Дело обстоит иначе для функции f(x, у), равной ------------,

I X2 4- у-
когда х- ’ _у2 отлично от нуля; если положить, кроме того, /(О, 0)=0,
то функция, так определенная, будет непрерывна при х== у ~-0, так-
как абсолютная величина f(x,y) меньше | х [.

Все эти соображения распространяются без затруднений на функции
произвольного числа независимых переменных.

13.	Непрерывные кривые. В предшествующих рассуждениях мы до-
пустили, что замкнутая кривая С разбивает плоскость на две области —
внутреннюю область Dl и внешнюю Dr, так что невозможно соединить
какую-нибудь точку из Dt с какой-нибудь точкой De ломаной линией,
которая не имела бы общих точек с С. Это свойство вполне соответ-
ствует интуитивному представлению о кривой, как оно дается в геометрии,
и его легко установить для кривых, определенных геометрическим
свойством, например для эллипса.

Но чтобы иметь возможность рассуждать точно, необходимо заме-
нить это несколько неопределенное представление, заимствованное из
геометрии, чис.то аналитическим опредетением.

Пусть будут f(t), (р (t), ф (t) непрерывные функции переменно! " t:
множество точек, координаты которых определяются формулами:

= У= У (0> =

составляют непрерывную кривую Г. Предположим, что непрерывные
функции /(<), <р (t), ф (/) имеют период и, т. е. что при всяком t
имеют место равенства:

со) —/(/), ? 4-(0)	ф (t <о) = ф (Z);

в этом случае достаточно изменять t в любом промежутке (а, а +
с амплитудою ю, чтобы получить все точки кривой Г; такая кривая Г
называется замкнутою кривою. Очевидно, что мы можем предполо-
жить <о положительным; кроме того, предположим, что и есть наи-
меньшее положительное число, удовлетворяющее трем предыдущим ра-
венствам. Если при двух различных значениях t', t" мы имеем одновременно

/(*') --f(f),	=	Ф(/') = ФЮ,

и иритом разность Е— t" ne есть кратное числа w, то соответствующая
точка кривой Г называется ее двойною точкою. Если же нельзя найти
никаких двух таких значений t', удовлетворяющих предыдущим соот-
ношениям, так чтобы I' — t" не было кратным числа и, то кривая Г не
имеет двойной точки. Таким же образом определяются и кратные точки
высшей кратности. Кривые, не имеющие кратных точек, называются
простыми кривыми или кривыми Жордана. Чтобы применить эти
определения к плоским кривым, достаточно положить ф(/)--- 0.

Жордан впервые доказал (см. его „Cours d’Analyse"), что замкнутая
простая плоская кривая С разделяет плоскость на две области, внеш-
нюю и внутреннюю, причем всякие две точки одной и той же области
могут быть соединены ломаною линиею, не пересекающею кривой С
тогда как всякая непрерывная линия, соединяющая точку внутренней
области с точкою внешней области, необходимо пересекает кри-
вую С.
Рассуждение лишь подтверждает здесь геометрическую интуицию, но
не нужно думать, что это всегда бывает так. Пеано показал это, дав
чрезвычайно любопытный пример плоской кривой, обладающей следую-
щим замечательным свойством: при изменении параметра t точка, коор-
динаты которой суть х~J(t), у - последовательно совпадает со
всеми точками внутри некоторого квадрата -.

Мы привели этот результат лишь для того, чтобы показать, насколько
аналитическое определение кривой сложнее обычного определения.
В дальнейшем мы большею частью будем заниматься лишь кривыми, удо-
влетворяющими следующим условиям, которые оправдываются для обыч-
но рассматриваемых контуров. Пусть х	у и (/) суть уравнения,

определяющие кривую С, и пусть (а, Ь) — интервал, в котором нужно
изменять t, чтобы получить все точки этой кривой. Мы предположим,
что можно разбить (а, Ь) на конечное число частичных интервалов,
в каждом из которых каждая из функций /, возрастает, или убывает,
или остается постоянной. Если, например, функция x—f(t) возрастает
в интервале (а, $), то, на основании понятия об обратной функции,
можно отсюда выразить t как непрерывную функцию от х, и соответ-
ствующая дуга представится уравнением вида у--G (х). Точно так же,
если функция (Z) возрастает или убывает в частичном интервале, то
соответствующая дуга представляется уравнением вида х -Н(у').

Все кривые, о которых мы будем говорить в дальнейшем, составлены
из некоторого числа дуг этого рода, соединенных своими концами.
Рассмотрим, в частности, замкнутый контур С, не имеющий двойных
точек, и возьмем точки кривой С, где х имеет максимум или минимум
(включая точки отрезков прямых, параллельных Оу. если контур С та-
ковые содержит).

Пусть х7 , х,, . . . , х— абсциссы этих точек, расположенные в воз-
растающем порядке. Любая параллель х—а к оси Оу при а, заклю-
ченном в одном из интервалов (xz_, , х,), встречает С в четном числе
точек с ординатами (у} , у,, .. . , у2 ); yh есть непрерывная функция
<рл(х) в интервале (xz , xz). Мы предположим, что

'^<'*2<Чз	• <^₽-1<''Р2р-

Любая точка полосы, ограниченной прямыми х = х,, x — xjt заклю-
ченная между кривыми	,у.,~~	, есть внутренняя по отношению

к контуру С; наоборот, всякая точка этой полосы, содержащаяся меж-
ду кривыми у2 — (р„ и _у3 = 'р3, есть внешняя по отношению к конту-
ру С, и т. д.

Продолжая эти рассуждения, мы убеждаемся в том, что область,
внутренняя по отношению к контуру С, может быть разбита на конеч-
ное число частичных областей, каждая из которых ограничена двумя
параллелями х—а, х--Ь к оси Оу и двумя кривыми у = <р, (х'),у = сс2 (х),
где и <р., суть функции, непрерывные в интервале (а, Ь).

* Peano, Sur une courbe qui remplit une aire plane (Mail:. Annalen, t. XXXVI).
См. также Hilbert (Ibid, t. XXXVIII).
УПРАЖНЕНИЯ.

1.	Произведение двух функций с ограниченным изменением есть также
функция с ограниченным изменением.

2.	Если f(x) есть функция с ограниченным изменением, то это будет иметь
место и для | / (х) |.

3.	Чтобы функция была с ограниченным изменением, необходимо и доста-
точно, чтобы сумма колебаний в каждом частичном интервале оставалась конечной.

4.	Если функция / (х, у) равномерно непрерывна по отношению к каждому
из переменных в некоторой области, то она непрерывна относительно обоих
переменных вместе в этой области.
ГЛАВА II.

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФЕРЕНЦИАЛЫ.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ СВОЙСТВА.

14. Производные. Пусть будет /(х) непрерывная функция от х; Рас-
смотрим отношение

/(Х-|-А) —/(X)

/г

Будем, оставляя х постоянным, неограниченно уменьшать абсолютную
величину h; числитель и знаменатель этого отношения будут стремиться
к нулю; если самое отношение стремится при этом к пределу, то этот
предел называется производною от функции /(г). Производная обыкно-
венно обозначается через у' или, по обозначению Лагранжа (Lagrange),
через /(х).

С аналитическим понятием производной тесно связано важное геоме-
трическое понятие. Пусть будет f(x) функция, непрерывная в проме-
жутке (а, Ь). Рассмотрим на плоскости точку с координатами (х, у}.
При изменении х от а до b эта точка описывает дугу кривой АМВ,
графически представляющую ход функции f(x) в промежутке (а, Ь).
Возьмем на этой дуге две соседние точки М и М' с абсциссами х и
x-\-h. Угловой коэфициент прямой ММ' равен

/(х-1- /г) —/(х) .

h

когда h стремится к нулю, точка М' неопределенно приближается к
точке М, и если функция /(д) имеет производную, то угловой коэфи-
циент ирямой ММ' стремится к пределу у'. Таким образом прямая ММ'
стремится к некоторому предельному положению МТ, называемому
касательною к кривой-, на основании предыдущего, уравнение этой ка-
сательной будет

У—У=У'(Х~ х),

где X и У—текущие координаты.

Распространим этот вывод на кривые двойной кривизны. Пуоь
будут

x=f{t), y=-4(t}, г-=ф(/)	(I)

выражения координат любой точки какой-нибудь кривой двойной кри-
визны в функции переменного параметра t. Возьмем на этой кривой
две точки М и М', соответствующие двум значениям параметра t и
-\-h; уравнения хорды ММ' будут:

=	______ ^-ф(/)________

/(/-f/z)—/(/) <р (/-J--/г) — (/) ’	/г) — ф (Ц ’

Разделив делителей этих отношений на h и приближая затем h
к нулю, мы найдем, что хорда ММ' стремится к предельному положе-
нию, которое представится уравнениями:

X — Y-	— ф (/)

*'('Г 'У (0 ’ ’

предполагая, разумеется, что три функции f(t). <р (/) и ф (/) имеют про-
изводные. Таким образом определение касательной к кривой приводится
аналитически к вычислению производных.

Всякая функция, имеющая производную, необходимо непрерывна,
но обратное положение не всегда справедливо. Нетрудно привести при-
меры непрерывных функций, не имеющих производной при известных
частных значениях переменного. Такова функция у = х sin — при х=0.
Если х стремится к нулю, у также стремится к нулю, и функция не-

V	1

прерывна, но отношение - —sin—, как мы уже видели, не стремится
ни к какому пределу.

Пусть будет, далее, у х ; эта функция непрерывна при всяком
значении х и равна нулю при х —0; но, если х стремится к нулю,
t

У

отношение — -—х неопределенно возрастает. Для краткости мы
будем говорить, что здесь производная бесконечна при х - 0: кривая,
изображающая ход функции, касается оси у в начале координат.

1

е 1	У

Функция у = х--------- равна нулю при х -.0; но отношение х

1	4- е

стремится к двум различным пределам, смотря по тому, приближается
ли х к нулю, оставаясь положительным или оставаясь отрицательным.

I

Если х положительно и очень мачо, то ел положительно и очень ве*
у

лико; отношение - стремится к единице. Напротив, если х отрнца-

1

тельно и очень мало по абсолютной величине, то с -v очень близко
к нулю, и отношение - имеет пределом нуль. 1акнм образом произ-
водная имеет два различных значения в зависимости от того, каким
образом х приближается к нулю; кривая, изображающая ход функции,
имеет в начале координат угловую точку.
Из этих примеров видно, что легко составить функции, не имею-
щие производных при некоторых частных значениях переменного. Ме-
жду тем, изобретатели исчисления бесконечно-малых и их последователи
никогда не сомневались в том, что непрерывная функция, вообще,
имеет производную. Было даже несколько попыток доказательств,
правда, недостаточных, пока Вейерштрасс (Weierstrass) не разрешил
вопроса, дав примеры непрерывных функций, которые не имеют про-
изводных ни при каких значениях переменного Так как эти функции
до сих пор не получили никакого применения, то мы ими заниматься
не будем. В дальнейшем, когда мы будем говорить, что функция /(х)
имеет производную в промежутке (а, Ь), то при отсутствии особых
указаний это будет всегда означать, что эта функция имеет единствен-
ную и конечную производную при каждом значении переменного х,
заключающемся между а и Ь.

15.	Производные высших порядков. Производная от/(х) есть, вообще,
сама некоторая функция от х, /'(х); если в свою очередь f (х) имеет
производную, то эта новая функция называется второю производною
от /(х) и обозначается символом у” или /"(х). Третья производная у1"
или (х) определяется подобным же образом, как производная от
второй производной и т. д. Вообще, л-я производная или/(">(х)
есть производная от производной (п—1)-го порядка. Может случиться,
что, составляя таким образом высшие производные, мы никогда не дой-
дем до функции, не имеющей производной. В этом случае мы можем пред-
ставить себе, что этот ряд действий продолжается до бесконечности,
и мы получаем бесконечный ряд последовательных производных от функ-
ции /(х). Таким бесконечным рядом производных обладают все функции,
имеющие до сих пор какое-нибудь практическое значение.

Приведенное выше обозначение производной принадлежит Лагранжу.
Чтобы представить производную л-го порядка, иногда употребляют
также символ Коши (Cauchy): Dry или D„f(x). Ниже мы познакомимся
с обозначением Лейбница (Leibniz).

16.	Теорема Ролля. Применение производных к изучению уравнений
основывается на следующем предложении, известном иод названием тео-
ремы Ролля (Rolle).

Пусть будут а и b два корня уравнения f(x)~ 0. Если функ-
ция f(x) непрерывна и имеет производную в промежутке (а, Ь), то
уравнение f'(x) = O имеет по крайней мере один корень, заключаю-
щийся между а и Ь.

В самом деле, функция /(х). по предположению, равна нулю
при х~а и при х = Ь. Если она постоянно равна нулю в проме-
жутке (а, Ь), то и ее производная также будет постоянно равна нулю
в этом промежутке, и теорема очевидна. Если же функция /(х) не
равна постоянно нулю, то она будет иметь положительные или отри-
цательные значения. Предположим, например, что функция /(х) имеет
положительные значения; тогда она непременно имеет наибольшее зна-

|г Доклад, читанный в Берлинской академии наук 18 июля 1872 г. Друг не
примеры можно найти в мемуаре Дарбу (Darboux) о прерывных функциях
(Annales de С Ecole Normale Superieuie, том IV, 2-я серия). Пример Вейерштрасса
приведен далее (глава IX).
ченне А при некотором значении х = х^, заключающемся в проме-
жутке (а, Ь) (§ 3, теорема II). Отношение

f(xA-4- h)—f(x^
h

где Л^>0, будет необходимо или отрицательно, или равно нулю;
поэтому предел этого отношения, т. е. f (х,), не может быть поло-
жительным числом, и следовательно, /'(хДеДО. Точно так же, рассма-
тривая/’(х,) как предел отношения

/(х, —/?)—/(х,)
— /г

где й^>0, мы увидим, что /'('х])Д-0. Сравнение этих двух результаюв
доказывает, что необходимо /' (х,) = 0.

17.	Формула конечных приращений. Из теоремы Ролля легко может
быть выведена важная формула конечных приращений.

Пусть будет f(x) непрерывная функция, имеющая производную
в промежутке (а, Ь)’, тогда

f,(b)-f(a) = (b-a)f (с),	(!')

где с есть число, заключающееся между а и Ь.

Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим вторую функцию tp(x),
обладающую теми же свойствами, как и первая функция, т. е. непре-
рывную и имеющую производную в промежутке (а, Ь). Введем вспомо-
гательную функцию

ф (х) --= A f(x) В® (х) С,

\3SA,B, С суть постоянные, и определим эти постоянные таким образом,
чтобы функция ф (х) обращалась в нуль при х — а и при х— Ь. Не-
обходимые и достаточные условия этого будут:

А/(а) + By (a) -f- С = 0, Af(b) 4- By (Ь) 4~ С = 0;

мы удовлетворим этим условиям, положив

— ф (b), B=f(b)—f(a), C—f{a)y(b)—f(b)y(a).

Определенная таким образом функция ф (х) непрерывна и имеет
производную в промежутке (а, Ь). Так как при х = а н при х = Ь эта
функция ф (х) обращается в нуль, то ее производная ф’ (х) = Af (х) -4-
-4-By'(х) должна быть равна нулю при некотором значении с, заклю-
чающемся между а и д. Отсюда, заменяя А и В пх значениями, мы
приходим к соотношению вида:

[? (Ь) — (? (а) ]/ (с) = \ f(b} — f(a) ]	(с);

разделив на и' (с) [ (Ь) — у (а)], получаем:

/Ф) —Г (Д) =/’ (О

у{Ь)— у (a) у (с) '
Полагая в этом соотношении у(х) = х, мы получаем равенство (1').
Обратим внимание на то, что при этом доказательстве мы не предпо-
лагали, что производная f (х) непрерывна и что она существует на
концах, при х =а, х = Ь.

Из формулы конечных приращений следует, что, если производ-
ная f (х) равна нулю в промежутке (а, Ь), то функция /(х) сохраняет
в этом промежутке постоянное значение; в самом деле, приложив эту
формулу к двум значениям х, и х2, принадлежащим промежутку {а, Ь).
мы приходим к соотношению /(х3) = /(х2). Отсюда, далее, следует,
что разность двух функций, имеющих одну и ту же производную, по-
стоянна; очевидно, справедливо и обратное предложение. Если извест-
на функция F(x), имеющая производною данную функцию /(>), то
мы получим все другие функции, имеющие туже самую производную,
прибавляя произвольное постоянное к функции F(x) *.

Формула (1') допускает простое геометрическое истолкование. В са-
мом деле, рассмотрим кривую АМВ, изображающую ход функции /(х)
в промежутке (а, Ь);	---~^£есть 'угловой коэфициент хорды АВ,

a f (с) есть угловой коэфициент касательной в точке С, причем абсцисса
этой точки равна с. Формула (1) показывает, что на дуге АМВ суще-
ствует точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Предположим, что производная /'(х) непрерывна; если мы будем
приближать а и b к общему пределу х0 по какому-нибудь закону, то
и число с, заключающееся между а и Ь, будет также стремиться к х,р-
формула (Г) показывает, что отношение

/(*)-/(<*)
b — а

имеет пределом f (х0). Геометрически это значит следующее. Рассмотрим

* Нельзя применять эту теорему, не обращая внимания на все заключаю-
щиеся в ней условия. Пусть, например, / (х) и ? (х) — две непрерывные функции,
имеющие производные /'(х) и <р'(х) в промежутке (а, Ь). Если между этими
четырьмя функциями существует соотношение /'(х) ® (х)— /(х)	(х)- -0, то

мы выведем из формулы конечных приращений, что произтодная от функции * ,

/'(х)® (х) — f (х) ® ' (х)	f

т. е. —- --v ’—в-х—-—— , равна нулю, и следовательно, отношение- - в про-
межутке (а, Ь) постоянно. Но это заключение вполне законно только в том слу-
чае, если ® (х) не обращается в пуль в промежутке (а, Ь). В самом деле, пред-
положим, что ® (х) вместе с производною ®'(х) обращаются в нуль при значении <,
заключающемся между а и Ь. Пусть функция f (х) равна (х) в промежутке
.между а и с и равна С2<р (х) между а и Ь, где С\ и С2 — два различных посто-
янных количества. Ясно, что/(х) непрерывна п имеет производную в проме-
жутке (а, Ь) и что, кроме того,

/'(х)®(х)—/(х)¥'(х)^-0

при всяком значении х, заключающемся в этом лромежутье. Однако функ-
ция — равна в промежутке {а, Ь) и равна С., в промежутке (с, Ь). Нетрудно
дать этому примеру геометрическое истолкование.
на кривой у f(x) точку М с абсциссою х0 н две точки А и В с абс-
циссами а и Ь. Отношение ------------ равно угловому коэфициенту

хорды АВ, тогда как /' (х0) представляет угловой коэфициент касатель-
ной в точке М. Из предыдущего видно, что когда две точки А и В
беспредельно приближаются к точке Л4 по какому угодно закону, то
секущая АВ всегда имеет пределом касательную в точке М.

Этого, вообще, не будет, если производная f (х) разрывна. Напри-
2

мер, если мы возьмем на кривой у- х'л две точки, бесконечно близ-
кие к началу координат и лежащие по разные стороны от осн Оу, то
на чертеже ясно видно, что направление прямой, соединяющей эти две
точки, остается совершенно неопределенным, когда обе эти точки при-
ближаются к началу координат.

Вот еще одно следствие из формулы (V), которое нам часто пона-
добится в дальнейшем. Предположим, что производная f (х) ограничена
в интервале (а, Ь) так, что для всякого значения х, заключенного меж-
ду а и Ь, имеем: \f(x)\<C_K, причем положительное число К не зави-
сит от х. Отсюда следует, что для любых двух чисел х, , х, интерва-
ла (а, Ь) всегда имеет место неравенство:

|/(х2)-/(х])|<К|х,,-х]).

Мы будем сокращенно называть условие, выражаемое этим неравен-
ством, условием Липшица-, здесь К означает определенное число, х, и
х„—-любые числа, принадлежащие некоторому интервалу.

Уравнение (2) иногда называется обобщенною формулой конечных
приращений. Из нее можно легко вывести теорему Лопиталя (L’Hopital),
позволяющую находить пределы неопределенных выражений. Предполо-
жим, что прих--а мы имеем /(а) = 0, •pl'a) 0. Заменяя в формуле (V)
b через х, получим:

/(*) __ /'

&(•*) ~ v'W

при х = а мы имеем /(a)—0,	(а)

где Х[ заключается между а и х. Это уравнение показывает, что если
f (*)

--0 и если отношение —----стре-

<р' (х)

мится к некоторому пределу, когда х стремится к а, то отноше-
f(x)	л

ние — -—у стремится к тому же самому пределу.

18.	Формула Тейлора. Из алгебры известно, что если /(х) есть це-
лый многочлен л-й степени, то, каковы бы ин были числа а и h, мы
всегда имеем:

h	h-	hn

f{aA-h}=f(a)-^	/'(a) 4-... 4-—-----/<«>(«); (3)

1	\ ' A	1 * £ . , , П

разложение (3) конечно, так как все производные, начиная с (л 4- 1)-й,
равны нулю. Если бы мы захотели приложить эту формулу не к мно-
гочлену, а к какой-нибудь другой функции /(х), то мы получили бы
по второй части неограниченное число членов. Чтобы узнать, какое
шаченне мы должны приписать полученному таким образом разложе-
нию, найдем предварительно выражение разности:

h	h~

предполагая только, чго функция f(x) вместе со своими п первыми
производными f (х), f" (х), . . . , /(я) (х) непрерывна прн изменении х от
а до а 4- й, и что /(л) (х) имеет производную 'И(х) в том же про-
межутке. Предполагая, что числа а и h имеют определенные значения,
положим

h	h-

f(a-\-h) • f(a) ' -/(<0ф — f" (a) , ...

,	(4)

h"	hi'

f 1-2 ... n '	1-2 . . . n-p ’

где p есть какое-нибудь целое положительное число. Определив чи-
сло Р прн помощи последнего равенства, рассмотрим вспомогательную
•функцию

j,(x)=f(a-\-h} — /(х) - - h Xf'(x) — -a^ h X}f(x}—...
1	1 • z

(a -ф h — x)" . (a -4- h — x)p
—	— -—4_________-P

12... n J '	\‘2...np '

Jleiiro видеть, 4io

0, -4 (a -A) —0.

причем первое равенство вытекает нз формулы (4), определяющей чис-
ло Р. Из сделанных относительно /(х) допущений следует, что 'р (х)
имеет производную в промежутке (a,a-\-h); следовательно, по теореме
Ролля, уравнение ср'(%)==() должно иметь корень а + Ой, заключенный
в том же промежутке, где 0 обозначает положительное число, заключаю-
щееся между нулем н единицею Вычислив ср'(х), после приведений,
найдем:

(а х h — к}? ~1

4'(Х) = '—фР—(И h-xY'-P^f" 3 (Х)|.

Первый множитель ыфй— Аф’3 не может обратиться в нуль при
.значении х, отличном от (афй): поэтому необходимо, чтобы

/> = й"-',+ 1 (1 —6)" /'+1/1'' 11 (аф Ой), 0<(| '1.

Заменив в формуле (4) Р полученным значением, находим:

(я ; й)=/(а)ф ,-/'(«)ф ,%/"(") 4-4-,	(5)

1 1'^

Г ЧС

/;« 3 (1 _	1

ф,	л-’ц^фой)
Мы будем называть эту формулу (5) общею формулою Тейлора (Tay-
lor); последний член R называется остаточным членом. Этот остаточ-
ный член зависит от целого положительного числа р, которое мы оста-
вили неопределенным. Обыкновенно для этого числа р берут два зна-
чения: р — п -4- 1 или р=1. Полагая р = п-\-1, мы найдем выражение
остаточного члена, данное Лагранжей’.

полагая же р — 1, получим:

г г { 1-----------fi

(6)

этот вид остаточного члена принадлежит Коши. Понятно, что число 9.
вообще, не имеет одного и того же значения в обеих формулах оста-
точного члена. Предполагая /(л+3)(х) непрерывною при х=а, мы мо-
жем также написать:



/?

1-2 ... (/z-ф-1)

(7)

где е бесконечно мало одновременно с h.

Рассмотрим остаточный член в форме, данной Лагранжей. Если
в общей формуле (5) мы будем последовательно полагать zz - 2, п- 3,
п ~4, ... , то будем получать различные формулы, которые при бес-
конечно малых значениях 1г будут давать значения, все более и более
близкие к f(a-\-h). Так, при и-—2 мы имеем:

h

- f(a) -|~ -- /' (а) -ф- уу/' (а 4"

эта формула показывает, что разнос,ь

h
t(a-4-h)—f(a) — ~f(a)

есть бесконечно-малое второго порядка. Далее, разность

/г	/г2

f{a -f- h) — f(a) ~ — f (a) —	(a)

есть бесконечно-малое третьего порядка, и, вообще,
h	hn

f (а + h) — f (a) — у f (a) — ... — —fW (a)

есть бесконечно-малое («-|- 1)-го порядка относительно h. Но чтобы
иметь точное представление о приближении, которое мы получим, пре-
небрегая членом /?п, необходимо иметь верхний предел этого остаточ-
ного члена. Если мы обозначим через М верхний предел абсолютной
величинывблизи х~а. например, между а—т; и a -J- rt, то,
нрн | h | очевидно, будем иметь:

|/?	/И.

" " 1.2 ... (л /- I)

Пример 1. Применим формулу (7) к функции / (х) - - In (1х>, где знак In

обозначает неперов логарифм, полагая а = 0, п -- 1, х ,> — 1; мы находим.

1п(1+х»^х-2-тг^т-2;

если мы в этой формуле заменим х обратной величиной целого числа п, то по-
лучим’

-.ле — положительный множитель, меньший единицы.

Мы заключаем отсюда, что ряд, общий член которого есть

сходится, так как общий член меньше, чем - .

2pt

Сумма п первых членов этого ряда равна

I г ~<у + • • • + --1п («+1) - \ — In п	|)

следовательно, разность — In п стремится к конечному пределу, когда п не-
ограниченно возрастает. Этот предел есть эйлерова постоянная С, значение ко-
торой, вычисленное с 20 десятичными знаками, С- -0,57721566490153286060.

Пример 2. Уравнения касательной к кривой, представленной формулами (1).
обращаются в тождества, если все три производные f (i), е' (/), <!/ (t) обращаются
в нуль при t _ То. Чтобы устранить это затруднение, вспомним рассуждение,
которое мы применили для нахождения уравнений касательной. Пусть будет М'
точка кривой С, соседняя с точкой М, а h — соответствующее значение па-
раметра; уравнения хорды ММ' суть:

—/(4>)___Е ~ » (<о)	Z — Ь (tn)

№ + Л)—/(<#)’ ?(<ОтЛ)	ИМ-Л) — т-(4) ’

Для большей общности мы предположим, что все производные порядка ниже
р(р~> 1) функций f(t), у (<), НО обращаются в нуль при но что. по край-
ней мере, одна из производных порядка р, например ftp) (10), отлична от нуля.
Деля все знаменатели предшествующих выражений па hp и применяя общую
формулу (7), мы можем переписать эти уравнения так:

X — f (0) _ У (М _________ Z — с|> (10)

/<» (f0) -h г ~ ? (Р)~(t0) + г' ~ Гр) (f0) ч- г" ’
где с, с" — бесконечно малы. Если теперь заставить h стремиться к пулю, то
эп( уравнения в пределе примут вид:

-Г-Ж) г-»(м _z-Ш)

ftp)

и ne представляют более никакой неопределенности.

Точки кривой С, где это обстоятельство имеет место, суть, вообще; особые
точки, в которых кривая представляет какую-либо особенность формы. Так, плос-
кая кривая, даваемая уравнениями x—t-, у=^13, проходит через начало коорди-
rfx dy п

нат, н мы имеем в этой точке — =	—0. Кривая имеет в начале координат

dt dt

точку во сврата первого рода с касательной, совпадающей с осью х.
19.	Частные производные. Дадим в непрерывной функции f(x,y) ка-
кое-нибудь посюяппое значение одному из переменных, например пе-
ременному у. Мы получим функцию только одного независимого пере-
менного х; обозначим производную от этой функции, если только эта
производная существует, через /'v (х, у), или о>^ . Подобным же образом
обозначим через в>'у или /' (х, у) производную от функции f(x, у).
в которой .г рассматривается как постоянное, а у как независимое
переменное; t\(x, у} и f (х, у) называются частными производными
ot функции f(x, у). Эти частные производные, в свою очередь, являются
вообще функциями переменных х, у; если мы вновь возьмем от них
частные производные, го получим четыре частных производных второго
порядка j" j"vx ,	. Подобным же образом определяются част-

ные производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще,
если нам дана функция некоторого числа независимых переменных
w f(x. у, z, , t), то мы получим частную производную /7-го по-
рядка от этой функции, если возьмем от нее последовательно п про-
изводных по любым из входящих в нее независимых переменных
.г, у, л, t. Мы докажем, что конечный результат не будет зависеть
от того, в каком порядке мы будем брать эти производные.

Докажем предварительно следующую лемму:

Пусть будет ы=^/(х. у) функция двух независимых переменных
х и у»; мы имеем f” —- f'yx, если только эти частные производные не-
прерывны.

Рассмотрим выражение

U /(х4~Лх. у 4- Ду) — /(х, у ф- Ay) — /(x-j-Ax, y)+f(x, у),
где х, у, Ах, Ау имеют определенные значения. Мы можем представить
выражение U в двух различных видах. Обозначим через ъ вспомога-
тельное переменное н положим:

'Д (v)	/(x-f-Ax. г») — /(х. v).

Тогда

? (V 4- Ау) — (У)-

Приложив к функции !fi (v) формулу конечных приращений, находим:

U Ay<p'v(y 4~ Ау), О J) 1.

Заменим ее значением:

и - ±У U'v (•* + -i-v- v 4- 9 Ay) - f'v (х. у -г 0 Ду) |.

Приложим формулу конечных приращений к функции f (и, у 6 Ду),
принимая в ней и за независимое переменное. Мы будем иметь новое
выражение для U-

U Ах Ay/''t (х 4~ (>г Ах, у -f- 0 Лу), О О' I.
Это выражение для U симметрично относительно х,у, Дх и Ду; поэтому,
переменив роль переменных х и у, мы получили бы:

и= Ху Xxf'y (х -н о; Ах. у + 0, Ху),

где множители 0’ положительны и меньше единицы. Приравняем
между собою эти два значения U, разделив их предварительно на ДхАу;

t"xv(х4- о;дх, у н- Oj Ху) f"YX(х -1, 0'Дх, у-ео дУ).

По предположению, производные f" и j"y непрерывны: поэтому прн
приближении Дх и Ху к нулю обе части предыдущего равенства будут
стремиться соответственно к f" и и мы получим то равенство, ко-
торое требовалось доказать.

Следует заметить, что это доказательство не содержи! никаких пред-
положений относительно других частных производных второго по-
рядка и ; оно остается справедливым также и в том случае,
если t(x,y) зависит еще от других независимых переменных. Число
этих независимых переменных может быть каким угодно, так как при
образовании частных производных f" f" мы должны обращаться с этими
переменными как с постоянными.

Пусть будет теперь о> = /(х, у, z. . . . , t) функция произвольного
числа независимых переменных, и пусть будет й частная производная
л-го порядка от этой функции. Эта производная получилась после п
последовательных дериваций (взятий производной) по определенным пе-
ременным. Выполним теперь п дериваций по тем же независимым пе-
ременным, изменив только порядок этих дериваций. Всякая такая пере-
мена в порядке дериваций, приводящих к У, может быть достигнута
рядом перестановок между двумя последовательными деривациями; но
мы уже доказали, что такие перестановки не влияют на окончательный
результат; следовательно, не может измениться результат и от всей рас-
сматриваемой перемены*’. Отсюда следует, чго частная производная
я-го порядка будет обозначена с полною определенностью, если будет
указано число дериваций относительно каждого из независимых пере-
менных. Таким образом частные производные л-го порядка от функции
трех независимых переменных <о /(х, у, z) могут быть изображены
следующим образом:

Л/ущ- (х> илн D"PyW f	У’ z>’

l ie р  <7 г п. Как то, гак и другое обозначение представляет со-
бою результат, который получится, если мы возьмем последовательно р
раз частные производные относительно х, q раз—относительно у и г
раз — относительно z, причем все эти операции мы можем выполнить

* Например, чтобы докатать равенство частных провзвозных
f xyz\f zyx

от функции /(х, у, z), мы составим ряд равенств-

f v.-г f xzy	f zxy f sva ‘

(Ped. I
в произвольном порядке. Функция <о=/(х.у, z) имеет всего три par
пых частных ирон {водных первого порядка f'x, fy, fz, шесть разных
частных производных второго порядка /ф, /ф, /ф, f"xv, fyz, f'[, и т. д.
Вообще, функция от р независимых переменных имеет столько частных
производных я-го порядка, сколько различных членов существует в одно-
родном многочлене порядка п с р переменными, т. е. на основании
тории соединений,

(д-j- U (« -г 2)  . (П -р — 1)

1-2	2) (р-1)

Для функций многих независимых переменных также можно вывеси
формулы, аналогичные формуле конечных приращений. Рассмотрим для
определенности функцию f(x, у) двух независимых переменных х и у
и возьмем разность /(х-'-й, _у-|-й)—f(x, у); мы можем представить
эту разность в виде.

f(x ф- h, у ф k) — f(x, у) = (|/(х h, у ф- k) —f(x, у й)]
4-[/(х, у -~k)— f(X, j)].

Применяя формулу конечных приращений к каждой из разностей, стоя-
щих в правой части, получим:

f(x-\-h, у э- k)—f(x, y)^hf2(x y-\-k)-\-kfy(x,y-\-(fk), (8)

1,де 0 и О' заключаются между нулем и единицею.

Эта формула остается верною, будут ли производные fr и f непре-
рывны или прерывны. Если эти производные fx, f непрерывны, то
можно вывести формулу, подобную предыдущей, но содержащую только
одно неопределенное число 0. Чтобы получить эту новую формулу, рас-
смотрим вспомогательную функцию <р (t) —f(x ф- Ы, y-\-kt), где х, у,
h, k имеют определенные значения, a t есть вспомогательное перемен-
ное. Применяя к этой функции ср (/) формулу конечных приращений,
имеем:

ср(1) —ср(О) ^ср'(О), 0 <0<1.

Но ср (t) есть сложная функция от t, и ее производная <&' (/) равна
,hfr{x-{-ht, у -j- kt) -ф- kfv(x ф- ht, у ф- kt)-, следовательно, предыдущая
формула может быть представлена в виде:

/(х -ф- й, у 4- k) —f(x, у) = hf'x (х ф- Ой, у ф- Ой) ф- kf'y (x-j-Ой, у ф-0й), (9)

ИЛИ

/ (х ф- й, у ф- й) —/(х, у) = й [Д (х, у) -|- г] ф- й \f’y (х, у) 4 г'], (10)
ие г и г’ стремятся к нулю вместе с й и й. Это выражение разности
f(x-\-h, у 4- й)—/(х, у) часто оказывается полезным; из него полу-
чается правило нахождения производной от сложной функции.

Примечание. Чтобы представить приращение/ в виде (10), недостаточно
шествования частных производных функции /(х, у). Рассмотрим, например,
функцию
ко1да х и у не равны одновременно, пулю, и равную нулю при х=у—0. Эта
функция непрерывна даже в начале координат, и частные производные/,., f
имеют конечные значения для всякой системы значений х и у. В частности,
4(х,0) = 0, 4 (0,3-) = 0,

1ак как функция / (х, у) равна нулю на каждой из осей координат. Формула (10)
неприменима к этой функции при х = у = 0, так как она дала бы

/ (Л, k) = Нг + k

(И)

где гиг' — Сесконечпо-малые вместе

лучим: /(Н, Н)

— —т= , а не Н.с, где т,

12

с Н н k. Но, если
бесконечно мало

положить Н -- k, мы по-

20.	Плоскость, касательная к поверхности. Мы видели, что первая
производная от функции одного переменного дает касательную к кри-
вой; точно так же частные производные от функции двух независимых
переменных входят в уравнение касательной плоскости к поверхности.
Пусть будет

z=F(x, у)	(12)

уравнение поверхности S. Мы предположим, что функция F непре-
рывна и имеет непрерывные частные производные в точке (х0, _у0) плос-
кости ху; пусть этой точке соответствует значение zQ для z и, следо-
вательно, точка /Ио (х0, _у0, z0) поверхности б’. Рассмотрим какую-нибудь
кривую С, расположенную на поверхности 5 и проходящую через
точку Л70. Пусть будут

у=у((), z = b(t)	(13)

координаты точки этой кривой, выраженные в функции переменного
параметра t; f(t), ф((), ф (/) суть три непрерывные функции параметра t,
принимающие при значении tQ параметра t значения х0, у(), z0. Каса-
тельная к кривой-»С в точке Л10 определяется уравнениями (§ 14):

*о . У — Уо __Z — z0
f'(t)	<?'(') Ф'Ю ’	( ;

Так как кривая С расположена [на поверхности 6*, то мы имеем соот-
ношение'

= F [/((),<?(()],

которое должно удовлетворяться прн всяком значении t. Таким образом
обе части этого равенства должны быть тождественны между собою.
Составим производную от второй части как от сложной функции и по-
ложим t =~- t0. Мы найдем:

Ф'Р’у-	(16)

Исключив из уравнений (14) и (15) /(/0), ф'(/0), ф'(/0), получим:

Z-Z0^(X-x0)F'^(Y-yx)F’y.	(16)

Это уравнение представляет плоскость, составляющую геометрическое
место касательных ко всем кривым, расположенным на поверхности S
и проходящим через точку /Ио. Эта плоскость называется касательною
плоскостью к поверхности.

21.	Переход от разностей к производным. Мы определяли высшие произ-
водные последовательно, выводя производную /г-го порядка из производных
щ—1)-го порядка. Естественно возникает вопрос, нельзя ли непосредственно
определить производную n-го порядка как предел некоторого отношения, не пе-
реходя постепенно от производных порядка ниже п к производной л-го порядка.
Мы уже решили это утвердительно для f (§ 19), так как приведенное там рас-
суждение доказывает, что / есть предел дроби

/ (х 4- Дх, у 4- Ду) — f (х + Дх, у) — f (х, у 4- Ду) -д- / (х, у)
ДхДу

когда Дх и Ду оба стремятся к нулю. Таким же образом легко показать, что f есть
предел отношения

/(х + Л, 4- /г.2) — / (х — /г,) — f (х + /'>) - / (х)

когда hi и hi стремятся оба к нулю.

В самом деле, положив
fi (х) = / (х 4-	— f (х),

можно представить предыдущее отношение в виде:

Л + Л2) - fi (X) (х 4- 0/г2)
------- ---------=-------------- 0 < 9 < 1,

h^i

или, иначе:

/ (х +	4- 9Л.2)— f (х -]- 9/гг) =	+	+ о < 6' < 1.

Отсюда видно, что предел этого отношения есть производная второю по-
рядка f х,, если только эта производная непрерывна.

Перейдем теперь к общему случаю. Пусть будет для определенности

“ -/(х, у, z)

функция трех независимых переменных. Положим

Д* ю — / (х 4- Л, у, г) — f (х, у, г),
®~/(x-, У + Л г) —/(х, у, г),
Д' = / (х, у, z 4- /) — / (х, у, г);

Д>, Д*и, Д'ч> суть первые разности от и. Если мы будем рассматривать h
k, I как дашые постоянные количества, то эти три первые разности будут сами
функциями от х, у, z, от которых можно взять в свою очередь разности, соответ-
ствующие приращениям /гь /г(, 1{ переменных; таким образом получаются вторые
разности Д''1® Д*,">, Д^« Д* со, ... Эют процесс может быть продолжен до беско-
нечности; каждая разность л-го порядка определится как первая разн ;сть от не-
которой разности (п — 1)-го порядка. Так как порядок каждых двух из предыду-
щих операций может быть заменен обратным, то достаточно будет указать
последовательные приращения, даваемые каждому переменному. Разность я-го
порядка представится символом следующего вида:

Д'"’ ы =. Д^ ДЛ?. . .	_ А*,;Аб _ _ A/ry (v
где р г <7 + r—п, и приращения ht, klt lt могут быть равны или не равны. Эта
разность может быть выражена посредством частной производной л-го порядка;
она равна произведению:

hfa... hpl^ ... kgli ... lrX

xf\^r (x+ejк..	, у p e; +... + *'qkq, z н; к+• • •+< ir)>

где все 0, заключены между нулем и единицею. Эта формула уже была нами вы-
ведена для первых и вторых разностей. Чтобы доказать, что она верна при вся-
ком п, допустим, что она верна для разности (л— 1)-го порядка, и пусть

?(х, у, г)=,А^... а^а^...а^дА... a'v;

мы имеем, по предположению:

f (х, у, z) = h2 ... hp	.. kq lv ... /г/%-4 (x + у h, 4 ... P (ip hp , у 4- ..

Но рассматриваемая л-я разность равна <р (х /гь у, г) — <р (х, у, г), и достаточно
приложить еще раз формулу конечных приращений к этой рашости, чтобы полу-
чить ту формулу, которую мы хотели доказать.

Обратно, частная производная есть предел отношения

Д*ДЛ/  •  А*рА*‘... AjM... а: /

XX х у У й " 4
. . . hp-^ k-i   kq li -.lr

koi да все приращения /г, k, I стремятся к нулю.

Интересно заметить, что это ощ еделение частных производных высшего по-
рядка иногда шире обычного определения. Рассмотрим, например, функцию

<о—/(-V, у) —<р(х) -НО),

где функции <р (х) и ф (у) не имеют производных. Функция ш также не имеет
частных производных первого порядка; тем более для нее не может быть речи
о частных производных второго порядка. Однако, если бы мы приняли новое опре-
деление частных производных, то нахождение f привелось бы к разысканию
предела отношения

/(х И, у4 А) —/(х + /г, у) - /(л, у r k) + f(x, у)
hk	'

равного	•

У (х 4 /г) 4 И У 4- А) - у (х 4 6) — ф (» — У (л) - И у + fe) г У (*) 4 Ф (У)
hk

Числитель этого отношения всегда равен нулю, поэтому предел отношения также
равен нулю, и мы находим:

4 о

* Аналогичные замечания можно сделать и для функции одного перемен-
ною. Например, функция

/ (х) = х» cos -

имеет производную

/' (с) - Зх2 cos — 4 х sin --,

но f'(x} не имеет производной при х — 0. Между тем отношение

/(2а)-2/(а) 4/(0)

а2

о 1	<>	1

или оа cos — 2а cos - , имеет пределом нуль, когда а стремится к нулю.
II. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ.

Диферепциальное обозначение, первое по времени из всех обозна-
чений, употребляемых в анализе, принадлежит Лейбницу. В этом обо-
значении нет необходимости, однако оно имеет преимущество вслед-
ствие большей симметричности формул и большей общности; эти
преимущества особенно ценны прн изучении функций многих перемен-
ных. Идея этого обозначения вытекает из рассмотрения бесконечно-
малых.

22. Диференциалы. Пусть у ---/(х) будет непрерывная функция, имею-
щая ироизводную f (х); дадим переменному х приращение Дх и обо-
значим через Ду соответствующее приращение у. По самому определе-
нию производной имеем'

где г стремится к нулю одновременно с Дх; если мы примем Дх за
главное бесконечно-малое, то Ду тоже будет бесконечно-малым, глав-
ная часть которого равна /’(х) Дх. Эту главную часть называют дифе-
ренциалом у и изображают ее символом dy:

*	JC ]	[^>Г(х)Дх.

1 Вели функция /(х) равна х, то предыдущая
____формула обращается в dx - Дх; поэтому для
N большей симметричности пишут: ]

______	z	dy?= f ;(x) dx

"В Р Q	'	'

с тем условием, чтобы приращение dx независи-

Черт. 2. мого переменного рассматривалось как постоянное
количество, впрочем, вполне произвольное.

Рассмотрим на кривой С (черт. ’ 2), представляемой уравнением
y=f(x), две точки с абсциссами х и ху-dx. Из треугольника MTN
имеем:

NT= MN tg TMN= dx f (x);

NT представляет диференциал dy, тогда как Ду равно NM'. Из чер-
тежа видно, что при неограниченном приближении точки М' к точке М
часть М'Т делается бесконечно малою относительно NT.

Диференциалы высших порядков определяются последовательно один
за другим так же, как и высшие производные. Так, диференциал от
диференциала первого порядка называется диференциала м. второго по-
рядка, причем dx всегда рассматривается как постоянное количество;
диференциал второго порядка обозначается через d2y.

d2y = d (dy) = [f (х) dx] dx—f (x) dx-.

Точно так же для диференциала третьего порядка напишем:

d'y = d (d2y) = [/"' (х) dx2} dx =fn (x) c?x3
и т. д. Вообще, диференциал и-го порядка, который определяется как
диференциал от дифереицнала (п—1)-го порядка, имеет выражение:

dny —	(х) dx'1.

Обратно, можно выразить производные /'(х), /" (х), . ..,/(")(х), ...
с помощью диференциалов, и мы получаем, таким образом, новые обо-
значения для производных:

Каждой формуле для вычисления производной соответствует формула
Для вычисления диференциала. Остановимся на случае функции от функ-
ции. Пусть будет y=f(u), где и есть функция независимого перемен-
ного х; мы имеем:

X ==/'(") “ц

умножая обе част на с/х, получаем:

j ' dx - ] ' (и) и\ dx,
т. е

dy—f (и) du.

Таким образом формула для dy имеет такой вид, как если бы и было
не функцией от х, а независимым переменным. Это одно из преиму-
ществ диференциального обозначения. Изображая производную от у
относительно х, мы имели две различных формулы:

Ух=/(и)их

в зависимости от того, дано ли у непосредственно в функции х или у
зависит от х при посредстве другой функции и.

Напротив, при диференциальном обозначении одна и та же формула
применима к обоим случаям.

Если у=/(и, v, w) есть сложная функция, то мы имеем:

или, по умножении на rfx:

=/’„ du 4-/; dv +fw dw.

Подобным же образ >м

(и \ v du — и dv
— I =------й—— •

V I	V2

Те же самые правила позволят нам вычислить дпференциалы высших
порядков. Пусть, например, надо найти днференциалы высших поряд-
ков функции от функции /(и); мы уже имели

dy =]' (и) du.
При вычислении d2y следует заметить, что du не должно быть при-
нимаемо за постоянное, так как и не есть независимое переменное.
Таким образом мы должны будем вычислить диференциал от сложной функ-
ции f (и) du, где и и du будут двумя посредствующими функциями;
это дает:

d2y = /" (и) du2 4-/' («) а2и.

Чтобы вычислить d3y, нужно рассматривать d2y как сложную функ-
цию с тремя посредствующими функциями и, du, d2u; мы найдем:

d2y =	(и) du3 -ф- 3/" («) du d2u +/ («) d3u

и т. д. Следует заметить, что формулы, дающие диференциалы d2y,
сРу,..., вследствие присутствия членов с d2u, d3u, ... будут иметь
не тот вид, какой они имели бы, если бы и было независимым переменным.

Частные производные от функции многих независимых переменных
обозначаются таким же образом. Так, частная производная л-го по-
рядка от f(x, у, z), изображавшаяся, по Лагранжу, через 7гг, по
Лейбницу, изобразится через - Jq^-r  Для функций многих перемен-
ных это обозначение—чисто символическое и отнюдь не представляет
дроби, как это имело место для функции одного переменного. Буква d
для изображения частной производной от функции многих переменных
введена Якоби (Jacobi). До него употребляли букву d.

23.	Полные диференциалы. Пусть будет <о=/(х, у, z) функция грех
независимых переменных х, у, z; полным д и ф е р е н ц и а л о м dia
называется следующее выражение:

dw — — dx\- ~ dv 4----dz,

dX dy iz

где dx, dy, dz — три произвольных постоянных приращения, данные ие-
d/ d/ д/ ,
зависимым переменным х, у, z. Три произведения — dx, — dy, — dz
называются частными диференциалами.

Полный диференциал второго порядка есть полный диференциал от
полного диференциала первого порядка, причем приращения dx, dy, dz
остаются постоянными и всегда одними и теми же, когда мы переходим
от одного диференциала к следующему. Таким образом

/ 7 х drfco , . drfco , , drfco ,
я-w = d (d<o) - — — dx-]—- -dy-]—— dz

или, раскрывая,

„ РУ .	|	<’”/ J ,	\ ,	, / AV v I .7 I W J \ J ,

"‘=\^dX + M,d>’ + rxii‘l‘:) dX+\^iydXV^d>’ + »^ I -v4

-1' (Д- dx E # * +	- £ * +•	+%” +

\ dx dz ЪуЪг 1 dz-’ / dx2 1 d_y- &z~

-2 —dxdy -1-2 dxdz-\-2 ** ? dy dz.

' dxdy/ J 1 dxd2- 1 djd^ J
Если в правой части мы заменим d2/ через d/2, то будем иметь в рас-

крытом виде квадрат от

У , । У । V ,

- ах ф- — dy ф- — dz; поэтому мы
dx о_У oZ

можем на-

писать символическое равенство’

р/ , , У , , d/ , М2>
d2(o = — dx -4- — dy - ~ dz\

\dx ^dj 1 Ъг )

причем должно после возведения в квадрат везде вместо d/2 поста-
вить d2/. Это правило общее; если мы назовем полным диференциалом
п-го порядка полный диференциал от полного диференциала (п-—1)-го
порядка, то при всяком п мы будем иметь символическое равенство’
d^^ldx^dy + ^dz\n\

\Ус Ъу Ъг )

где после возведения в степень d/" должно быть заменено через yf.
Мы видели, что это правило верно при п— 1, п=-2, и потому доста-
точно показать, что если оно будет верно для ал(о, то оно будет также
верно и для d'! + I(i>.

Допустив этот закон для dn<a, мы будем иметь
\nf

— ’УД -------------- dxp dy4 dzr,

Р‘1Г дХ!> ду'1 dZr '

где p-\-q — r=n. Коэфициенл А равен коэфициешу при dxp dy‘> dzr
в n-й степени трехчлена

(dx ф- dy-A- dz)n,

л е.

1 2 ... п
д __	______

рчг 1 -2 ... р 1  2 . . . q  1 • 2 . . . г

Из предыдущей формулы мы выведем:

^ + 1(0=2Л

У'

pv УсР+Чучу?

у T 1 f

dxP T1 dy‘< dzr -!--—-y-— dxi’dy'i +1 dzr --

УсРЪуч^У:г

1 ^xP^yUz'

dxP dy4 dzr+l .

Заменив теперь d" 1 f через d/"+1, мы можем написать правую часть
символически в виде’

V А ------------dxP dy<> dzr f dx 4- X dy -ф dz

P’rdxP\vUzr y \ ix ' Ъу y 1 дд /

или

— dx 4- — dy	— dz

dX dj'	d.Z

df , , d/ , \

-- dy -- — dz .
d_y л 1 dz /

Таким образом мы будем иметь, при сохранении прежних условий,

СИМ-

в одическое

равенство:

ц', + 1 со =

d/7 , ,	. I d/7

ф-с/хф-ф- dy^-^-dz
dx d_y da-

(Л + ])
Примечание. Предположим, что мы получили каким-нибудь образом вы-
ражение полного дифереициала rf<o:

dm = Р dx + Q dy -J- R dz,	117)

где P, Q, R суть функции от x, у, z. Так как, по определению,
dw	3<o	d<o

dm ~ — dx А----dy 4----dz,

dx	dy	dz

то отсюда мы имеем соотношение:

по dx, dy, dz суть, по условию, какие угодно постоянные. Поэтому должно быть
отдельно

=	=	^-.R.	(18)

dx vy dz

Таким образом уравнение (17) равносильно трем отдельным соотношениям (18)
и дает вам все три частных производных первого порядка. Вообще, если мы
нашли каким-либо образом полный диференциад я-го порядка

d"m — ^,Cp<!r dxP dy4 dzr,
то коэфициенты Cpqr будут равны частным производным n-го порядка от w.
умножентым на некоторые определенные числовые множители. Таким образом
мы сразу получим все частные производные одного и того же порядка. Ниже мы
встретим приложение этого замечания.

24. Высшие диферевциалы сложвой функции. Пусть будет

ш = F(u, v, w)

сложная функция, где w, v, w суть функции независимых переменных
x,y,z,t; напишем выражения частных производных первого порядка:
dw_________________________dF du	.	dFdv	dF dw

dX	dU dx	'	dv dX	dw dx

dti> _dFdU dFdV dF dW

dy	du dy	'	dv dy	'	dw dy '

dw___dFdU	dFdv	।	dF dW

dZ	du dZ	'	dV dZ	'	dW dZ

dw	dF dU	dFdv	dF dW

dt	dU dt	'	du dt	I” dw dt

Умножая эти четыре уравнения соответственно на dx, dy, dz, dt и скла-
дывая, получим в левой части:

dW

dx

dW
dV

dw

dZ

dw
dt

dF	dF dF ,

i. e. dw, тогда как коэфициенты при —, — , - - отдут
du dv	dw

ственно равны du, dv, dw; отсюда

dro = — du 4- — dv -I- dw.
du dv dw

соотвег-

(19)
Таким образом выражение полного диференциала первого порядка от
сложной функции будет иметь тот же вид, как если бы посред-
ствующие функции были независимыми переменными. В этом состоит
одно из главных преимуществ диференциального обозначения: соотно-
шение (19) не зависит ни от числа, ни от выбора независимых пере-
менных, и оно равносильно стольким различным соотношениям, сколько
в него входит независимых переменных.

Чтобы вычислить d2w, мы приложим правило, только что установ-
ленное для dw, заметив при этом, что в правую часть формулы (19)
входят шесть посредствующих функций и, v, w, du. dv, dw.

Поэтому имеем:

м d2F .	J , I 'FF Я Я	Я" I

d2io — —— du2 4- — du dv + x du dw 4- — d-u -4-
dzz2 ЪиЪо	&idw ' du '

, ^F Я Я |	я •> I ^F Я ( 1 dF Я2 I

-г----- dudv 4-	dv2 -4- — - dvdw 4- — d2v 4-

dudn	du3 <)VdW	dv

I ^F я я , ^F я я I ^F я 9 ,
4- —— dudw 4- -;--dvdw-+~-—v dw- 4- , - d-w,

1 dndW	dvdW	dW“	dw

или, сделав приведение и пользуясь прежним символическим обозначением

„	(М-	,4?	. ,dF , \(3) . ,db	, dh

d2m — — du -J- — dv 4L - dw 1	4_'c_	d-и -p— d-v 4~ t— d2w

I du <d' *dw I Ъи dv dw

Эта формула сложнее, чем в юм случае, когда и, v, w были неза-
висимыми переменными, так как в нее входят члены с d2u, d2v, a2w,
которые исчезают, если и, v, w обращаются в независимые переменные.
Чтобы получить d3w, нужно снова приложить то же самое правило
к d2u>, заметив, что d2u> зависит от девяти посредствующих функций
и, v, w, du, dv, dw, (Ри, (Pv, d2w и т. д. Общее выражение этих дифе-
ренциалов становится все более и более сложным: d"(o есть целая функ-
ция от du, dv, dw, d2u, ... , dnu, dnv, dnw, и члены, содержащие dnu,
dnv, dnw, равны

— dnu 4- - - d'lv	- dnw.

du dv	dW

Если в d"w мы заменим и, v, w, du, dv, dw, ... их выражениями через
независимые переменные, то dnu> сделается целым многочленом от dx,
dy, dz, ..коэфициенты которого будут равны (см. примечание к § 23)
частным производным zz-ro порядка от w, умноженным на некоторые
числовые мн >жители. Таким образом мы сразу получаем все частные
производные zz-ro порядка.

Положим, например, что нам нужно вычислить частные производ-
ные первого и второго порядка от сложной функции w=/(zz), где и-
есть функция двух независимых переменных ti = w(x,y). Если мы бу-
дем вычислять эти производные отдельно, то сначала найдем две част-
ных произвтдных первого порядка:

d(0	dW dzz dw  dw dzz	(20)

dX	d« dX ’ dy	dZZ dV
если 01 этих уравнений мы возьмем производные ио х и по у, то по-
лучим только три различных соотношения, которые дадут производные
второю порядка'

32w	32(О /ди \2	3(1> д2и  Зу2 \Зх / ' ди Зх2	
дх2		
d2W	32(О ди ди . 3(0 д2и 		—1— 	 	 Зи2 3 V Зу ди дхду	
дХ ду		
32(О	32(о /ди V Зю д2и .	
3J'3	ди2 \3у / Зм йу2	

(21)

второе из соотношений (21) получается от диференцирования первого
из уравнений (20) по у или второго по х. При помощи полных дифе-
ренциалов эти пять соотношений (20) и (21) могут быть заменены

только двумя

. Зю ,
rfw — — du,
ди
32ю , „ , Зю „
я-(о = ——- du- Л- с- й-м;
ди1 ди

I
I

)

(22)

если заменить в этих двух формулах

du

д-и J 9 ! « З'Д , , . Зм-, „
рез - - dx2 4- 2 —— dx dy 4- — dy2, то
Зх2	дхду	ду-

ди . ,3м,
через —dx-}- — dy, d-u че-

дх йу

коэфициенты при dx и dy

в первой формуле дадут нам частные производные первого порядка от (о,
а коэфициенты при dx2, 2dxdy, dy2 во второй дадут в свою очередь

частные производные второго порядка от (о.

25.	Дифереициал произведения Формула, дающая полный диферен-
циал /г-го порядка от сложной функции, значительно упрощается в не-
которых случаях, часто встречающихся на практике. Пусть, например,
нужно найти полный дифереициал л-го порядка от произведения двух
множителей w = uv. Для первых значений п мы имеем:

dw -=vdii и dv, d2w — vd2u \-2dv du и d2v, . .. ;

по самому закону образования этих диференциалов видно, что мы бу-
дем вообще иметь.

dnw = v dnu -J- Cj dv dn~'lu-}- C2 d2v dn~2u	. .-j- и dnv,

где Cj , C, , . . . — целые положительные числа. Можно было бы пока-
зать последовательно, что эти коэфициенты тождественны с коэфициен-
тами разложения (а-}-Ь)п; но это можно сделать более изящным спо-
собом, пользуясь следующим приемом, применимым ко множеству
вопросов подобного рода. Заметим, что числа , С2 , . .. , С, . .. не
зависят от свойств функций и и v; поэтому достаточно определить эти
числа для какого-нибудь одного частного вида этих функций. Возьмем
для этого и = ех, v = ey, где х и у—независимые переменные; мы бу-
дем иметь:

а>~е'с+У, du — e^y^dx dy), , . . , d"ia = eXi y (dxdy)",
du = ex dx,	d-u = ex dx2, . . .

dv~eydy,	d2v = ey dy2, . ..

Общая формула после разделения на сх + у обращается в

(dx -j- dy)n -= - dxn -{- Cj dy dxn~1C.2 dy2 dxn~~ ' ... -j dy".

Так как dx и dy произвольны, то мы должны иметь:

г ___ «	_«(« — !)	_ п (п — 1). ..(п — р-'у 1)

Ч— j , Ч— ] 2	С -	-- Ь2 - 7р- —	.....

и следовательно, общая формула имеет вид:

dn(uv) - v d'bi -'- ^ dv/Fv d" 2u \ ... ~ u d''v. (23)

Эта формула приложима при всяком числе независимых переменных;
в частном случае, если и и v будут функциями только одного перемен-
ного х, то, разделив (23) на dx". мы получим выражение производной
п-го порядка от произведения двух множителей.

Ф >рмулы, аналогичные формуле (23), существуют и для любого
числа множителей.

Их можно вывести таким же способом.

Формула для d'liu упрощается также в том случае, если посредствую-
щие функции и, v, w будут целыми линейными функциями независи-
мых. перемени!,lx х, у, z.

и = ах by -J- cz -]-f,
v -- а'х tdv ц- dz
w — а”х-У~ ь"уc"z ~\-f",

где коэфициенгы а, а', а, Ь, Ь',... постоянны. Мы имеем:

du = а dx ' b dy с dz,
du —a! dx-*rb' dy-\-c'dz,
dw - - a" dx b" dy c'dz.

и все диференцналы d"u, d"v, d"w при н'у 1 равны нулю. В этом слу-
чае формула для (7"w будет такою же, как если бы и, v, w были неза-
висимыми переменными:

IdF	dF	ДЕ	\<П|

d"io — I — du -I- — dv -!----d-w |

\ du	dv	dw	I

26.	Однородные функции. Функция ср (х, у, z) называется однород-
ною функциею m-й степени, если имеет место тождество:

ср (Av, ty, tz) -tm-i)(x, у, z).
Примем на время, что переменные х, у, z имеют определенные зна-
чения, и будем рассматривать t как единственное независимое пере-
менное; полагая

и = /х, v~ty, w — tz,
мы можем представить предыдущую формулу в виде:

lf(«, v, w) =tmy (х, у, z).

Приравняем между собою диференциалы и-го порядка от обеих
частей этого равенства. Замечая, что и, v, w суть линейные функции
от t н что

du = xdt, dj=yd‘, dw = zdt,

мы получим на основании замечания в конце § 25 и после сокращения
на общий множитель dtn'.

(х -—-г у “ -\-z	~ т (т — 1) ... (т — п 4- 1) tm~n if (х, у, z).

\ dzz df dw/ -	1	т

Если теперь мы положим /=1, то и, v, w обратятся в х, у, z, и
любой член раскрытой левой части последнего равенства

d"i₽

А	——г— x?y4zr

pv duPdtfdnf у
обратится в

Таким образом мы придем к символическому равенству:

/ d<₽ , dip df \

Г dx ' У dj +	= т(т — 1)...(от —«+ l)ip(x, у, z),

которое при 1 переходит в известную формулу:

№f(x, у, ф-х-^-Ьу- + г —.

Различные обозначения. Мы имели три различных обозначе-
ния для частных производных различных порядков от функции многих
переменных: обозначения Лейбница, Лагранжа и Коши. Общий недоста-
ток этих обозначений — их сложность, особенно заметная при сколько-
нибудь значительных вычйслениях. Поэтому были придуманы различные
более сокращенные обозначения. Одно из наиболее употребительных
обозначений для частных производных первого и второго порядков от
функции двух переменных принадлежит Монжу (Monge): если z есть
функция двух переменных х и _v, то полагают

_ d2	d2	<)4	___ d22	__ d4

? dX ’ dy ’ dx2 ’ 5	dx dy ’ dy2

тогда полные диференциалы dz н d2z выразятся следующим образом:
dz = pdx -|- q dy,

d2z — r dx2 -f- 2s dx dy -}-t dy2.
В настоящее время входит в употребление также следующее обозна-
чение. Если z есть функция какого нибудь числа п независимых пере-
менных хг, х2, ... , хп , то полагают

4~ а2 “г' - •	у

Pwi ’ ' ’ ’л дХ’1 )Х’‘. . . ЙХ’" ’

12	п

причем некоторые из указателей , а.,, .. . , ап могут быть и нулями.

Приложения. Пусть будет у ~ f (х) уравнение плоской кривой С, отне-
сен той к прямоугольным осям координат (черт. 2а). Касательная в точке М (х, у)
к этой кривой будет иметь уравнение:

Y-y~ = y\(X-x\

Нормаль, т. е. перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания,
будет иметь угловой коэфициент —,; следовательно, уравнение нормали будет:

(Г - У) У'+ (*£->) -0.

Пусть будет Р основание ординаты, Т и N — точки пересечения оси х с ка-
сательною и с нормалью; длина / N называется под-
нормалью, РТ есть подкасательная. MN — нормаль
и МТ — касательная.

Из уравнения нормали мы находим для абсциссы
точки N значение х -|- уу', что показывает, что под-
нормаль равна ± уу'. Если условимся принимать за
поднормаль длину PN, взятую с ее знаком, т. е. брать
знак -f- или —, смотря по тому, совпадает ли направ-
ление от Р к N с положительным или с отрицатель-
ным направлением оси х, то поднормаль будет равна
уу’, как бы ни была расположена кривая С относи-
тельно осей координат. Точно так же подкасательная

РТ равна — ~ .

Что касается длин MN н МТ, то из прямоугольных треугольников МРХ
м МРТ имеем:

MN = Vmp2 + Р№ -=•- у /1 +/S,

МТ = V МР‘2 -f- РТ2 — >/1 у'2

У

Мы можем искать кривые, для которых между этими четырьмя длинами
имели бы место заданные соотношения. Поищем, например, все кривые, у кото-
рых поднормаль постоянна и равна данной длине а; это приводит к разысканию
всех функций у =/(<)> удовлетворяющих условию уу' = а. Первая часть этого

У2

равенства есть производная от % , а вторая — от ах, поэтому эти две функции
могут разниться только па постоянное, и мы получаем:

уй = lax -|- С

— уравнение параболы, имеющей ось главною осью. Точно так же, если мы бу-
дем искать кривые, у которых постоянна подкасательная, то придем к уравнению;

Z —1-
У а ’

отсюда

1пу — — 4-In С, или у — Сеа
a	J
— уравнение трансцендентной кривой, у которой ось х-ов служит асимптотою.
Чтобы найти кривые с постоянною нормалью, мы должны рассмотреть уравне-
ние у j/1 + у'2 — а; его чокио представить в виде:

)/в2—J2

Левая часть есть [производная от — }, a'Z—у*, и потому мы находим:

— |/«2—У2 -х + С
пли

(.г + С)-	== а-,

— уравнение окружности с радиусом а и с центром на оси Ох.

Кривые с постоянною касательною суть трансцендентные кривые, и мы п\
изучим позднее.

Пусть будут, далее,	Y--1~ (») уравнения двух кривых, а М и ЛГ —

две соответствующие т >чки этих кривых, имеющие одну и ту же абсциссу х.

Для того чтобы поднормали к обеим кривым в соответствующих точках имели
одну и ту же длину, необходимо и достаточно, чтобы

гг' = ±уУ,

откуда /2 — ± у2 4- С; двойной знак происходит здесь оттого, что поднормали
могут быть направлены или в одну сторону или в противоположные. Предыдущим
соотношениям можно удовлетворить, положив:

А'2	а /?2у2

v2—2 (a2-.m г2--—,

откуда получается простой способ построения нормалей к эллипсу и гиперболе.

27. Формула Тейлора для функций многих переменных. Пусть будет
<о=/(х, у, z) функция трех переменных; будем искать разложение
/(х-)-й, у k, z + /) по степеням h, k, I, соединяя в одну группу
члены одной и той же степени. Коши приводит эту задачу к преды-
дущей следующим искусственным приемом. Дадим х, у, z, h, k, I по-
стоянные значения и положим

ф(0 =f(x-\-ht, у -rkt,

где t — вспомогательное переменное.

Функция ср (/) зависит только от одного независимого переменного /;
если мы приложим к ней общую формулу Тейлора с остаточным чле-
ном, то найдем:

<? (/) <р (0)	~ ф' (0) 4- ф" (0) 4-...

.. ,-|--—-----a<«)(0)-l------—-------(М"  ])(0/),	(24)

1-2.../Z'	1 ' ! 1-2...(/г4-1)?	1 ’’	1 ’

где ф(0), ф’ (0), ... ,	(0) представляют значения функции <р(/) и ее

производных при t - 0, а ф(л+1)(0/) - значение («4-1)-й производной
при значении 0/, причем 9 заключается между нулем и единицею. Но
мы м >жем рассматривать <р(/) как сложную функцию от t, 'f(t) — f(u, v, w),
причем посредствующие функции

u=x-\-ht, v=y-\~kf, w = z It

будут линейными функциями от t. По § 25 выражение диференциала
/тг-го порядка, dmy, будет такое же, как если бы и, v, w были неза-
висимыми переменными; таким образом мы ноле чаем символическое
равенство:

/	df df \("б	/ <V

d,nq = ( du -I--------dv-- — dw |	-. dtm\ —

\dtl dv ‘ dw )	\ du

, df , df
h ------k------— I

dv dw

h iii, разде ihb на dtm:



dv

При t = 0, u, v, w обращаются соответственно в x, у, z; пользуясь
прежним символическим обозначением, мы предс|авим предыдущее ра-
венство при t~0 в виде:

‘	' \dX ' dy ' dZ )

Точно так же будем иметь:

^(«+^(0/)=^(У-h_|-	k-\-	/У"'1'.

'	\ дх 1 dy ' dz I

причем в последней формуле после разложения х, _у, с
соотвекгвенно заменены через

должны бьиь

Х-+ИШ, у -рбй/,



Пола1ая теперь в формуле (24) /=1, получим:

/(х4-Л, y-\-k, z-\-l)=f(x, у,	h-

\ О Л

1

1-2..

д/

\

/	(25)



Ос га точный член /? имеет выражение:

1=______1____+

•'	1 -2...(«+ I) P-V 1 <v ' I

причем после раскрытия символа х, у, z должны быть заменены через

х [ (И, y-\-^k, z	0/.

Формула (25) вполне аналогична общей формуле (5). Если при дан-
ных значениях х, у, z, h, k, I остаточный член стремится к нулю при
неограниченном возрастании п, то мы будем иметь разложение в ряд
функции f(x-\-h, у 4- k,	причем все члены этого ряда будут

однородными многочленами по h, k, I. Но вообще, по выражению
тля /?„ очень трудно определить, когда этот остаточный член стре-
мится к нулю.

Из формулы (25) можно вывести такие же следствия, какие в случае
одного независимого переменного мы получили из формулы (5). Напри-
мер, пусть будет z=f(x, j) уравнение поверхности 5. Если вблизи
точки (х0, у0) функция f(x, у) непрерывна вместе со своими частными
пр >изводними до некоторого порядка, то по формуле (18) найдем’

/(.V,, 4- h. yQ -1- k) ==f(xQ, у0) Ч- (Л_Ч- /г) Ч~



+ •



1 • 2 \ йх„

•Ограничиваясь в прав )й части сначала двумя первыми членами, потом
тремя и т. д., мы получим уравнение плоскости, затем уравнение пара-
болоида и т. д.; вблизи точки (х0, у0) все эти поверхности гудут очень
мало различаться от рассматриваемой поверхности Эта плоскость
будет не что иное, как касательная плоскость; точно так же из всех
параболоидов, представляемых уравнением вида

z =,Ах2 -1- 2Вху'-\- Су2 -4 2Dx?4- 2ЕУ + /?-

этот параболоид вблизи точки (х0, _у0) будет^ наиболее приближаться
к поверхности S.

Формулою (25) пользуются также при разыскании предельных зна-
чений функций, принимающих неопределенный вид. Пусть будут f(x, у),
(х, у) две функции, которые при х = а, у = Ь одновременно обра-
щаются в нуль, но остаются непрерывными вместе со своими частными
производными до некоторого порядка вблизи этой точки х-=а, у=Ь.
Найдем предел, к которому стремится частное

Ч(х, У)’

когда х и у стремятся соответственно к а и Ь. Предположим сначала,
iif iif й'р	й р

что четыре производных первого порядка , —, —, — не равны
йа	ЪЬ	йт	ЛЬ

• одновременно нулю. Мы можем написать:

причем е, s', f, , ej стремятся к нулю вместе с h и k. Если точка (х, у)
 стремится к (а, Ь), то h и k стремятся к нулю; предположим, что
k

отношение — стремится при этом к пределу а, т. е. что точка (х, у)

• описывает кривую, имеющую в точке (а, Ь) определенную касательную.
Разделив оба члена предыдущего отношения на h\

найдем, что дробь

/(.г, У)

---имеет пределом
tp (к, у)

ff_
да
йср
да

й/
дь
йср
db

Мы видим, чго предел этой дроби, вообще, зависит от а, т. е. от того,
каким образом переменные х и у приближаются к своим пределам
а и Ь. Этот предел не будет зависеть от а только в том случае, если

df ду	df ду _ 0

да db	дЬ да

чею, вообще, не будет.

df	df	ду	df

Если при х — а, у~Ь все производные , —, — , —е равны
да	db	да	db

нулю, то, взяв в формуле (18) члены второго порядка, получим:

/(a-|-/z. b-f-k}
щ (а -ф- h, b -|- k)

|де з, г', г", З] , г' , г'—бесконечно малые количества.

k

Обозначая

попрежнему предел отношения — - через

а,

найдем, что

предел рассматриваемой дроби будет:

й2/	. d2f „

да дЬ дЬ2

Й2? ! о й24>
да2 да db

эт<>1 предел, вообще, не зависит oi а.

III. ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КАК ПРЕДЕЛЫ.

28.	Способ определения новых функций. Функции, изучаемые в эле-
ментарном анализе, суть функции рациональные и иррациональные, по-
казательная функция и логарифм, функции круговые и их обратные
и те, которые получаются их комбинациями. Все эти функции имеют
производные любого порядка, которые вычисляются с помощью известных
правил. Можно определить бесконечно много новых функций посред-
ством перехода к пределу.

Пусть будет f,fx) функция переменного х, определенная в интервале
(а, Ь), зависящая, кроме того, от целого положительного числа п. Да-
дим х определенное, но произвольное значение в интервале (а, Ь); если
соответствующее значение fn(x) стремится к пределу при неограничен-
ном возрастании п, то эго предельное значение, вообще изменяющееся
вместе с значением, приписанным х, само есть функция от х, которую
мы обозначим через F(x), и мы напишем:

или, проще:

F(x)~- lim fn(x),
п = со

F(x) = lim/„(x).

Важно заметить, чго функция fn(x) может быть непрерывной функцией
от х, каково бы ни было п, между тем как предел F(x) не обладает
этим свойством. Возьмем, например, /ч (х) = х1, полагая 0 л 1. Эт0
функция непрерывна в отрезке (0,1), каково бы ни было п; если п
неограниченно возрастает, то мы имеем limx'£ = 0, когда х </ 1-
н limx’!=1, если х = 1. Таким образом предельная функция /?(л‘>
разрывна при х — 1.

Возьмем еще

1	л/1

предел F(x) равен -j-1 при х<И, он равен —1 для х > 1 и нулю
при х=1. Точно так же предел (1-|~х-’)“" равен нулю, если х отлично
от нуля, и равен единице при х --0.

Пусть /„(х)— непрерывная функция, имеющая пределом непрерывную
функцию F(x). Еслн/Дх) имеет производную /^(х). то из равенства

lim/n (х) = F(x)

еще нельзя заключить, что также

lim/; (х)]= F' (х).

Пусть, например, / (х)= I/ х2 -1—-, предел Fix) равен ,х .
Производная f'n(x) равна нулю, каково бы ни было п, при х—0, в то
время как Fix) не имеет производной при этом значении х. Точно
,	, . sin пх

так же функция fn(x) ——— имеет пределом л(х) = 0; производная
F' (х) тоже равна нулю, между гем как f' (х) -= cos пх не имеет пре-
дела, когда п неограниченно возрастает. Если воспользоваться геометри-
ческим представлением, то эти свойства предельной функции в обоих
примерах станут совершенно очевидными *.

* Пусть fn (х) — [cos (ml пх)]-’2, где т есть определенное положительное целое
число. Мы имеем (х) = lim/„ (г) — 1, если произведение ml х есть целое число
АГ, и (х) ---0, если это произведение не является целым числом. Все точки
дг

.V = СУТЬ точки разрыва для fw(x). Предел ут (х) есть функция Дирихле:

Ф (х) — lim { lim [cos (ml пх)]2«},

m= co n= co

которая равна единице при рациональном значении х и пулю при х иррацио-
нальном.
29.	Равномерная сходимость. Пусть fn(x)— функция, стремящаяся
в интервале {а, Ь) к пределу F(x), когда п неограниченно возрастает.
Разность дп (х) = F(x) — fn (х) стремится к нулю вместе с--; мы будем
говорить, что fn(x) стремится равномерно или сходится равномерно
к Е{х), если любому положительному числу г можно поставить в со-
ответствие такое целое число /V, что для всякого значения п, равного
или большего N, выполняется неравенство:

Kwi <£>

причем это неравенство должно иметь место для всех значений х
в интервале (а, Ь).

Условие, что число N не зависит от х, а зависит только от г,
существенно в этом определении. Для каждого значения х в интервале
(а, Ь) наверное найдется такое целое число , что | оп (х) | будет
меньше е, если /г?э=ЛА;но ничто не убеждает нас a piiori в том, что по-
добное число N, сколь большим мы бы его ни предположили, может
удовлетворить этому условию для всех рассматриваемых значений х.
Чтобы убедиться, что это не всегда так, достаточно взять какую-либо
из функций, приведенных выше, например функцию х'1. Если мы пред-
положим 0<.гг'1, то разность 5,г (х) по абсолютной величине
равна хп. Чтобы	стремилось к нулю равномерно, необхо-

димо существование такого целого числа N, чао, каково бы ни было
положительное число г, неравенство хп <Г = было бы выполнено для
всех значений х и п, удовлетворяющих условиям 0<^х<^1, п 5-= А'.
Мы должны были бы иметь, в частности, xN<F е и, следовательно,
t

- N

х <г для всех

положительных значений х, меньших единицы; ио.

как бы велико ни было А/, если мы предположим е<^1, найдутся числа,

1

заключенные между e'v и единицей. Точно так же функция

1 — х°

Тц-х"

стремится равномерно к единице, когда х заключено между нулем и
единицей, так как разность 3„(х) больше, чем х".

Рассмотрим еще выражение:

fn(x)=nxe п'\

предел которого при бесконечно большом п есть F(x) = 0. Это выра-
жение не стремится равномерно к нулю ни в каком отрезке, заклю-
чающем значение нуль, например в отрезке (0,1). В самом деле, оно
|/ п	1	„ ,

равно----при х——следовательно, во всяком отрезке Ц),й),

е	J п

сколь бы мало ни было положительное число h, оно может принимать
значения, которые неограниченно возрастают вместе с п.

Следующие предложения разъясняют важность этого определения
равномерной сходим тел и.

А.	Если непрерывная функция fn{x) стремится равномерно к пре-
делу F(x) в некотором интервале, то предельная функция F(x) есть
также функция непрерывная в этом интервале.
Пусть будут х и хh два значения переменного в рассматриваемом
интервале (а, Ь); из равенств:

4 =/„ (-V) 4- (-4, F(x + /z) =fn(X-f-h) — Zn(x-\-h)

мы посредством вычитания находим:

Л(х 4- h) — F(x) = [fn (x 4- h) —fn (x)] 4- on (X -|- h) — 5„ (x).

Так как fn(x) стремится равномерно к F (х), то можно взять п до-
статочно большим, чтобы абсолютная величина 5„(х) была меньше на-
перед заданного положительного числа е, каково бы ни было значение х
в интервале (а, Ь). Выбрав указанным образом число п, мы можем,
так как функция fn(x) непрерывна, найти другое положительное число т(
такое, что неравенство	влечет за собой неравенство:

14(^4-Л)— /„(х)|<е,

где х н x-\-h суть значения, заключенные в интервале (а, Ь). Разность
F{x-\-h') — F(х) есть сумма трех членов, по абсолютной величине
меньших е. Следовательно, мы имеем и подавно:

|Л(х + /г)-Л(х)|<Зг

при условии | h | <^т(; так как г — произвольное положительное число,
то F(x) есть непрерывная функция в интервале (а, Ь).

В.	Если непрерывная функция fn (х) имеет пределом F (х) и если
производная f (v) стремится равномерно к некоторой функции Ф(х),
то эта функция Ф (х) есть производная функции F(x).

Положим для краткости /„^(х)—Д(х)=Дх, где п и р—два целых
положительных числа. Мы покажем сначала, что можно выбрать п до-
статочно большим, чтобы, каково бы ни было р, абсолютная вели-
чина Д'х была меньше заданного положительного числа г при всяком
значении х в интервале (а, Ь). В самом деле, мы имеем:

*(-4=4 U-4 —м = гф (-4 ~fn (-41 — [ф(4 —Л.+р ;

так как fn(x) равномерно стремится к Ф(х), найдется такое целое по-
ложительное число N, что для n'F? N абсолютная величина разности

Ф (х)—fn (х) будет меньше во всем интервале. То же можно ска--
зать и об абсолютной величине разности Ф(х)—Д4_р(-4, каково бы
ни было положительное число р, и, следовательно, абсолютная вели-
чина Д' (х) будет меньше е во всем интервале (а, Ь).

Выбрав целое положительное число п так, чтобы предшествующее
условие было удовлетворено, мы можем, далее, написать, обозначая
через х и x-\-k два произвольных значения в интервале (а, Ь):

fn±P<x 4- —А+4-4 =/4х 4-4 — Л(-4 4- Д (* +	д (-4,

или, применяя формулу среднего значения к разности Д(х-'-/г) — А (-4:

tn+p (х 4- 4 —fn -z44 = А +4 —Л (-4 4- (х 4-°4 (° < < 1 )•
Предположим, что число п в этом соотношении остается постоян-
ным, а число р неограниченно возрастает; тогда левая часть имеет
пределом F(x-\~h)— F(x). Что касается члена Д'(х-|-9/г), то абсолют-
ная величина его предела не может превзойти е, так как число п взято
нами соответствующим образом. Мы получим, следовательно, разде-
лив на tv.

F(x-\-h)—F(x} = f„(x-\-h)—fn(x)

где абсолютная величина \ {х, h) не превосходит г; отсюда

F{x + h) — F(x)
h

Ф (x) = I	AW

-HAW-Ф WWW h}.
g

Абсолютная величина разности f'n(x)— Ф(х) меньше — и, следова-
тельно, меньше г. С другой стороны, так как f'n(x) есть производ-
ная /,;(х), можно найти такое положительное число 7], что

ACW)-AW

h

при условии | h | <ZTi< причем х еси> определенное значение в интер-
вале (а, Ь). Таким образом мы будем иметь для всех этих значений /г:

I 3(
п	I

и, следовательно, Fix'} имеет своей производной Ф(х).

30.	Равномерно сходящиеся ряды. На основании замечания, приве-
денного выше (§ 5), предел сходящейся последовательности может быть
определен как сумма некоторого сходящегося ряда, и обратно. Следо-
вательно, определение функции F(x) как предела последовательности
функций fn(x), когда п неограниченно возрастает, равносильно опреде-
лению ее как суммы сходящегося ряда. В самом деле, соотношение
F(x) = lim/й (х) эквивалентно равенству

FW (х)	[/2 (х)-Ь (х)] +. . •+ [/„(х)	(х)] -ф. .. , (27)

которое выражает, что ряд, стоящий в правой части, сходится и имее!
суммой F(x). Обратно, если дан сходящийся ряд:

"о W + «1 W +• • • + «,, WW.. • >	(28>

то сумма F(х) этого ряда есть предел суммы

A W = “o + М1 Н" • • •+ ип’

когда п неограниченно возрастает. Посредством функций fn (х), приве-
денных выше, можно, следовательно, построить ряды с непрерывными
членами, суммы которых будут разрывными функциями. Например, ряд

X-J-X (х— 1) +. .хл (х—1)-|-...,	(29)
сходящийся в интервале (0,1), представляет функцию, разрывную при
х = 1. Точно так же ряд:

,	1—х	/1—х2	1-х\	/1— хп	1—ха~4 ,

х ~	п \ Г+х п — 1 ф-л"-!

имеет правильный разрыв при значении х= 1. В самом деле,

F(1 -j-0) = — 1, Г(1— 0) = 1, Л(1) = 0.

('.умма ряда

+	д	4-	I	(31)

1 4-х2 ^(i4-х2)2 1	r(i-px2)« '	' ’	' '

общий член которого может быть представлен гак

1 1
(1	х2)»-1	(1 4- х¥ ’

представляет разрыв другого рода, так как его сумма равна нулю при
х~ 0 и равна единице прн всяком другом значении х.

Ряд

х 4х(1 - X2) 4,..Ц-х(1 —л2)«4...

сходится в интервале (—1, -|-1). Сумма равна нулю при х = 0 и

1

равна - при х, отличном от нуля.

Разность между суммой F (х) сходящегося ряда (28) и суммой
Sn (х) /г4‘1 первых членов этого ряда равна сумме Rn(x) ряда, ко-
торый мы получаем, отбрасывая эти члены:

Rn (*) = и„ и (*) ! - «,1+2 (4 + • • •	(32>

Ряд называется равномерно сходящимся в интервале (а, Ь), если
сумма S (х) равномерно стремится к F(х) в этом интервале, т. е. если
любому положительному числу е можно поставить в соответствие такое
целое число /V, что для всякого значения N абсолютная величина
R„(x) остается меньше е во всем интервале (й, Ь). Теорема А при-
водит тогда к следующему предложению:

Сумма ряда, равномерно сходящегося в интервале {а, Ь), члены
которого суть непрерывные функции переменного в этом интервале,
сам г есть функция непрерывная .

В самом деле, сумма Sn(x) произвольного числа членов ряда есть
функция непрерывная, если все эгн члены непрерывны.

Теорема В в применении к рядам приводит также к новому пред-
ложению.

Если ряд с непрерывными членами сходится в интервале (а, Ь) и
если ряд, образованный производными членов первого ряда, равномерно

Высказанное условие только достаточно. Arzela дал условие, необходи-
мое и достат чипе для того, чтобы ряд с непрерывными членами представлял
непрерывную функцию (см. Е. Borel, Lemons snr les fonctions de variables
icelles, crp. 42).
сходится в этом интервале, то сумма второго ряда представляет
производную суммы первого ряда.

В самом деле, пусть F(x.) и Ф (х)— суммы двух рядов:

Л(х) = «о(х) + «, (*) + •.	,

Ф (х) = — и'й (х) + (X) + . . . 4- и'п (х) 4- ...

Сумма п 4 1 первых членов второго ряда равна производной суммы
Sn(x) первых «4~1 членов первого ряда. Мы имеем, следовательно:

F(х) = lim 5Я (х), Ф (х) — lim Sn (х);

но, по предположению, S’ (х) стремится равномерно к Ф(х), так как
второй ряд сходится равномерно. Мы имеем, следовательно, на осно-
вании теоремы В:

Ф(х)==/7'(х).

Из этих предложений видна важность равномерно сходящихся рядов.
Следующее правило, часто применяемое, позволяет во многих случаях
узнать, обладает ли ряд этим свойством. Пусть будет

и0(х)4-«1 (х)4-. ..4-и„(х)4-...	(зз)

ря ( с переменными членами: пусть, с другой стороны,

vo4"	• •	(34>

есть сходящийся ряд, члены которого суть постоянные положительные
числа. Если для всех значений а в интервале {а, Ь) имеет место нера-
венство \ип\-=^. v , каково бы ни было п, то первый ряд (33) равно-
мерно сходится в этом интервале. В самом деле, ясно, что при лю-
бом значении х в интервале

, (х) 4 »„ (4 4-. . . < и +	.

где R обозначает сумму ряда, который мы получаем, отбрасывая п-\~ I
первых членов ряда (34). Так как этот ряд (34) сходится, то можно
найти число N достаточно большое, чтобы R' было меньше г, когда
n^N. Следовательно, мы будем иметь также для этих значений и
/?„(х)1 4= в,) псем рассматриваемом интервале.

Например, если иА , v2, ...,v , сохраняют прежний смысл, ряд
г'()	4 sin х 4" • • 4- vn sin (их) ..

равномерно сходшся ио всяком интервале.

Примечание. Иногда равномерную сходимость ряда определяют несколько
иначе. Ряд называют равномерно сходящимся в интервале (а, Ь), если любому
положительному числу е можно поставить в соответствие таю е целое число п,
что сумма произвольного числа членов, начиная с ип-. । (л),

"л+ i W + •  •+ Ппер 4),
оказывается по абсолютной величине меньше е, каковы бы ни были положи-
тельное число р и значение х в интервале. Нетрудно показать эквивалентность
72

обоих определений. Предположим сначала, что ряд сходится равномерно в силу
определения, данного выше, и пусть п — такое положительное число, что абсо-
лютные величины всех остатков /?„(х), /?п+1(х), ... , R,l+p (х) меньше ~ во всем
интервале (а, Ъ).' Ясно, что абсолютная величина суммы

(-*) 4- • *4 ип+р (х)"-~ ^п+р W Rn

будет меньше е в том же интервале. Обратно, предположим, что абсолютная- ве-
личина суммы ия + 1 (х) +• - •+ ип+р(х) меньше во всем интервале, каково бы
пн было р; абсолютная величина суммы

up + i (•*)+••• + up + q W

будет меньше е, каково бы ни было положительное число q, если р.>п. Отсюда
мы заключаем, предполагая, что число q неограниченно возрастает, в то время
как р остается постоянным, что абсолютная величина Rp (х) меньше е в интер-
вале (а, Ь), если только p^in, Следовательно, ряд сходится равномерно в первом
смысле этого слова.

31.	Непрерывная функция, не имеющая производной. В заключение
этой главы мы приведем данный Вейерштрассом пример непрерывной
функции, не имеющей производной ни при каком значении переменного.
Пусть будет b постоянное положительное число, меньшее единицы,
и а — целое нечетное число. Рассмотрим функцию F(x), равную сумме
сходящегося бесконечного ряда:

ОО

Ffx) --- yV^cos^nx).	,35)

п = 0

Так как этот ряд — равномерно сходящийся во всяком промежутке,
то функция F(x) непрерывна при всяком значении х. Если произведе-
ние ab меньше единицы, то все сказанное о ряде (78) можно распро-
странить и на ряд, составленный из производных от членов первого
ряда; следовательно, функция F(x) имеет производную, которая будет
сама непрерывной функцией. Напротив, мы покажем, что если произве-
дение ab будет больше некоторого предела, то F(x) не будет иметь
производной.

Обозначим через т какое-нибудь целое число н положим

т — 1

Srn	У] bn {cos [а"тг (х 4- й)] — cos (аппх)},

п=0
оо

Rm	bn {cos [аптг (х 4 й)] — cos (аптгх)}.

п—т

То1да

I	(00)

Применяя к функции cos(arerrx) формулу конечных приращений, мы
найдем, что абсолютная величина разности

cos [а"п (х 4- й)] — cos (а^пх)
меньше па” | h |. Следовательно, абсолютная величина Sm будет меньше-

'т — I

ambm — 1
ab— 1

>1=0

1, тем более, меньше п—--------, если ab^> I. Будем искать теперь ниж-

ab — 1

тий предел абсолютной величины R , дав приращению h некоторое-
частное значение. Мы можем представить атх в виде’



где ит—некоторое целое число

и \ заключается между

Положим

h

е_—

т__ т

ат

где ет равно -4- 1. Так как J — Л то ясно, что h имеет знак, одн-

3

наковый со знаком о , и по абсолютной величине меньше —
m	2ат

Прн таком выборе числа h имеем при т:

апп (х -]- А) = ап~таттг (х -]- А) = ап^тп: (am -j- em).

Гак как а — число нечетное, и е .,.	Ч- I, то произведение

где п~^> т, одинаковой четности с ат —J— 1, и следовательно,

cos [аптг(хА)] -(—

Точно так же имеем:

cos (я”п.г) = cos (ап~татпх) — cos [«"-"'и (ит ;m) | —

— cos (an-'"amn) cos (ап~т^тп).

Так как число ап~тлт одинаковой четности с ат, то

cos (а"тгх) — (— 1 )’»> cos (ап~т^тп).

Следовательно, мы получаем:

ОО

(-- 1 Vm+1 VI

--- 2j^[1 4-cos(a'‘~m;„Xl-

п — т
Так как все члены этого ряда положительны, то сумма этого ряда
больше пери >го члена, следовательно, больше Ьт, так как	заклю-

чается между-------- и 4-у, Таким образом мы имеем:

пли, принимая во внимание, что h<Ty-~,
‘	2ат

2
Кн|>у (W".

Предположим, что

2

~ (ah)m

тг (аЬуп

ab — 1 ’

тля чего числа а и b т >лжны удовлетворять неравенству:

(37

Тогда соотношение (36) показывает, что

Т(х4-й)-Т(х)|
-------

,	. Зтт

аЬ __ 1 _

3	ah —• 1

Будем теперь давать целому числу т. все большие значения. При
не тграниченном возрастании т правая часть последнего неравенства
неограниченно возрастает, и вместе с тем h стремится к нулю. Следо-
вательно, как бы ни мало было число е, всегда можно найти такое
приращение h, меньшее г по абсолютной величине, чтобы абсолютная

F(x-]-h) — Fix) „
в .личина -------т----!— оыча оолыпе всякого заранее данного числа.

h

Таким образом, если соотношение (37) удовлетворено, то функция F(x)
не имеет произведи>й ни при каком значении переменного х.

УПРАЖНЕНИЯ.

1.	Пусть будет o -=f\u>) уравнение плоской кривой в полярных координатах.
Проведем через полюс О прямую, перпендикулярную к радиусу-вектору ОМ и
пересекающуюся с касательною МТ и нормалью MN. Требуется выразить раз-
личные линии ОТ, ON, MN, МТ в функции от f (®) и f (®)

Каковы будут кривые, для которых одна из этих линий постоянна?

2.	Пусть будут у’=/(т). z —<р(х) уравнения кривой двойной кривизны Г;
пусть N будет точка, в которой нормальная плоскость в точке М, т. е, плоскость,
перпендикулярная к касательной прямой в этой точке, встречает ось z, и Р — осно-
вание перпендикуляра, опущенного из точки М на Oi. Каковы те кривые, для
которых одна из линий PN или MN постоянна?

Отве г. Эти кривые расположены на параболоидах вращения пли па сферах.

3	Определить целый многочлен седьмой степени /(х) по х, зная, что f (г) L 1
телится на (х—I)"1, а /(х> — 1 па (x-f-l)’1- Обобщить вопрос.

4.	Пусть будут Р и Q два целых мпоыэчлена по х, для которых

1 — pi - Q ]/х^. |
Тогда, обозначая через п. целое число, будем иметь
с1Р _______________________________ ndx

]7 I — Ра ~ / 1 ~ X*'

Ответ. Диференнпруя соотношение

1 - Ра = <?2 (1 - л-2).	(а)

находим:

2РР' Q [ ’<?' (I - л-2) - 2(?л1;	ф)

соотношение (а) показывает, что Q первое с Р, а (Ь) — что Р' делится на Q.
5. Пусть будет Р (х) многочлен четвертой степени, имеющий простые корни.

и г - р — рациональная функция от /, удовлетворяющая соотношению

^q4!) i/77i7f’’

р
1де Р, (с) есть мноючлеи четвертой степени, и - рациональная функция.

Показать, что функция удовлетворяет соотношению вида
dx k dt

г та ' Ута ’

где k — постоянное количество.	[Якоби.)

Ответ. Следует обратить внимание на то, чк> все корни уравнения

*Р^у)=0, которые не обращают в нуль Р, (/), должны обращать в нуль вы-
ражение UV'— W, а следовательно, и .

6. Производная п-го порядка функции от функции у	тс и есть

функция независимого переменного .г. выразится в виде-

2 Д"{и} *-- 1ДТ?l',i<"»•	С>'

I |е
_d’4il! k d'Pp-i k('i — 1) . dniP -'2
к ' dx" 1 U dv '	1-2	" dv"

d^ii	(b)

... r (--(4- • 1, 2, . .., n].

Заметим сначала, чи> выражение производной /r-ю порядка будет вида (а),
причем коэфициенты И],Д_,....Д„ не зависят от вида функции <р(«). Чтобы

получить эти коэфициенты, достаточно положить последовательно

® (п) и, у (и) - и-.f (//) — и1

и peumib полученные уравнения относительно коэфициентов Л,, <42, ..., 4,(;
отсюда получаются значения (Ь).

Производная /г-го порядка от f (х-) имеет выражение

Ф ( v2)

—(2.V)"lj>f '\f2| /ЦП - 1 ) (^2 СЧ|''-'2<р'"-Г I .

... -и.	-1> ((Ш)

[де число р изменяется от пуля до наибольшего целою числа, заключающею я
,-а 2 ’ и ¥^(л"2) обозначает производную порядка / относительно хг_
Приложение к функциям г-'’, .ncsin с, an to *.
8.	Если мы положим x.cosn, то получим:

dm-\ 1— х2 2	1-3-5... (2т — 1 .

dxm-*	'	'	т

[Олинд Родриг (Olinde Rodrigues)]

9.	Полином Лежандра (Legendn):

1 dn

Хч ~ 2Л-64.ТTn ZF	~ 1 >

удовлетворяет диференциальному уравнению:

(1~л2)^-2х& + л(я

вывести отсюда юэфициенты этого полинома.

’	10. Четыре функции

у,— sin (narcsinx), у3 — sin (zrarccosx),
ya = cos (n arc sin x), yt — cos (n arc cos x)

удовлетворяют диференциальному уравнению

(1 — x2) у" — xy' 4“ ll-V -- 0.

Вывести отсюда разложения этих функций в тех случаях, когда они приво»
дятся к многочленам.

И. Доказать формулу

2

di 1	1 \	рх

~ х«-’г?х I — (-1)"
dxn \	/	' хх+1

[Альфан (Halphen).]

Г2. Всякая функция г--х? (“г) + Ф каковы бы ни были функции «
и удовлетворяет соотношению

гх2 4- 2sxy + ty2 = 0.

13.	Функция z — х<р (х + у) +уф (х 4* у), каковы бы пн были функции <р, Г,
удовлетворяет соотношению

г — 2s + t — 0.

14.	Функция z— f\x |-<р(у)], каковы бы ни были функции f и ?, удовле-
творяет соотношению

Л-S = qr.

15.	Функция Z — х«ср 4-У-ЛФ ( 5^)’ каковы ®Ы НИ были функции е и 1,
удовлетворяет соотношению

гл'З + 2sxy + ty1 -f- рх + qу rfiz.

16.	Функция

у =- IX — <г( I (х) 4- I X — а2! <?2 (х) 4- ... 4- х — ап 1	(л),

где ft (х),	(х), ..., f„ (х), а также и производные <Р] (х),?2 (х), ..., <р;1 (г) суть

функции непрерывные имеет производную, прерывную при значениях

а2< • • •• ап-
17.	Найти соотношение между производными первого и второго порядков
но xl,xi,x3 от функции z=/(x1,u), где и ср (х2, х3), количества x1(x2,xs суть
три независимых переменных, а /А|,“) и ср (х2,х3) — две произвольные функции

18.	Пусть будет f (х) какая-нибудь функция от х и /'(х) ее производная.

I	£

Положив и- [/' (v) ]	2, v —fix) [f (х) ] Л будем иметь:

1 (Чи 1 rf-v
и dx- v dx2'

19.	Производная я-ю порядка функции от функции и = ср(у), где у-—Ф(х),
имеет вид:

причем знак £ должен быть распространен на все решения в целых и положи-
тельных числах уравнения i -|- 2/ — 3h + ... + Ik-- п, а р равно

' +} + • • • + к.

}Фаа де Бруно (Faa de Bruno), Quarterly Journal of Mathematics, т. I, стр. 359.]
ГЛАВА lil

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. МАКСИМУМ И МИНИМУМ.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ.

I.	НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ.

32.	Исследование частного случая. Часто приходится рассматривал,
функции, которые не даются в виде явных выражений, но которые
определяются нерешенными уравнениями. Мы начнем с изучения одной
функции, определенной одним уравнением, предполагая для определен-
ности, что имеется два независимых переменных.

Пусть F(x,y,z)— функция переменных x,y,z, удовлетворяющая
следующим условиям: 1) она непрерывна и имеет непрерывную част-
ную производную F' в окрестности системы значений х0, у0, z0;
2) F(x0, у0, z0) равна нулю, в то время как F'(xc, у„, z0) отлична
от нуля. При этих условиях уравнение

F(x, у, z) 0	(1)

имеет один и только один корень, который стремится к z0, когда
х и у стремятся соответственно к х0 и _у0.

Так как функции F и F’ непрерывны в окрестности значений
аго,_Уо, -S'o, 10 м°жно найти три положительных числа а, Ь, с, достаточно
малых, чтобы эти функции были непрерывны в области D, определенной
неравенствами:

1-Г— Х01^Ц,	—к—

и F' сохраняла в этой области один и тот же знак, например остава-
лась положительной. Тогда функция переменного z, которую мы полу-
чаем, давая х и у определенные значения, заключенные в только что
указанных пределах, возрастает при возрастании z от z„— с до z0-j-r.
В частности, функция F(x0, у0, z) есть возрастающая функция в этом
интервале; так как она равна нулю при z^za, то она положительна
между z0 и z0-j-c и отрицательна между z0 — с и z0,TaK что, если h—
произвольное положительное число, меньшее с, имеем

F(Wo> г'о+л)>°-
А(х0, z0 — Й)<0.

Но функции /-(х, у, z0-\-h), F<x,y,z0—И) переменных х и у не-
прерывны при х = х0, у = у0 и не обращаются в нуль при этой си-
с теме значений х и у. Следовательно, можно найти 1акое положительное
чисто rt, не превосходящее меньшего из двух чисел а и Ь, что функции

f(x, у, z0-\-h), F(x,y,z0 — h)

сохраняют каждая свой знак, когда разности х -х0, у—_у0 но абсо-
лютной величине меньше 7). Следовательно, для всякой системы зна-
чений х и у, удовлетворяющей условиям

Л' -х„ :'7], |,v — J'ol С
мы будем иметь также

F(x, у, h) > 0, F(x, у, :t) — h} ' 0.

Уравнение (1)4 в котором переменным х и у даются значения, за-
ключенные в вышеуказанных пределах, и в котором z есть неизвестное,
имеет, следовательно, но меньшей мере, один корень, содержащийся
между — h и z0-\-h. Оно не может иметь их несколько, так как
функция F(x,y,z) переменного z возрастает в этом интервале. Так как
число h может быть взято сколь угодно малым, то высказанная теорема
доказана.

Пусть /г и т] - система двух положительных чисел, удовлетворяющих
условиям, которые только что были определены. Корень уравнения (1).

существование которого мы толь-
ко что показали, определен вну-
три квадрата R, имеющего центр
в точке	с координатами

(х, , у0), со сторонами, параллель-
ными осям координат (предпола-
। аемым прямоугольными), причем
длина стороны равна 2гр Пусть
.с,, j/j — координаты другой точки
7Uj, взятой внутри этого квадрата;
из приведенного доказательства
следует, что уравнение F (ху, у7,
z) = 0 имеет один и только один
корень z, заключенный между
zn — /г и z0 -ф- //, поскольку (х,,

>], Дт) положительно. Таким обра-

юм предшествующее рассуждение применимо также к точке , у •
когда х и у стремятся соответственно к х3 и _yv уравнение (1) имеет
один п только один корень, который стремится к д,. Этот корень
необходимо содержится между —h и z, -ф- h, и, следовательно, со-
впадает с первым. Таким образом рассмотренный корень непрерывен
во всякой точке внутри квадрата R.

Так как рассматриваемый нами корень определен только внутри
области R, то мы имеем, таким образом, только одни элемент неявной
функции. Чтобы определить эту функцию вне области R, мы будем по-
с 'едовательно поступать следующим образом. П\ сть (черт. 3) будет L
непрерывный путь, выходящий из точки (co,_yj и кончающийся в точ-
ке (X, У), лежащей вне области R. Предположим, что переменные х
и у изменяются одновременно таким образом, что точка с координа-
гами (х, у) описывает путь L. Если мы выйдем из точки (х0,_у0) со
значением z0 для неизвестного г, то мы будем иметь вполне определен-
ное значение для этого корня до тех пор, пока не выйдем из области /?.
Пусть будет AfjfXj.jj) точка этого пути, находящаяся внутри /?, и
пусть будет Zj соответствующее значение для z; условия основной тео-
ремы удовлетворятся при х = хл, y=ylt z = zlt и следовательно,
существует другая область R1 с центром в точке А!,, внутри которой
будет вполне определен корень, обращающийся в z2 при х- = х1, y=yv
У этой новой области будут вообще точки, лежащие вне R; взяв
опять на пути L другую точку Л13, расположенную вне R и внутри /?р
мы можем снова повторить то же самое построение и получим новую
область R2, внутри которой корень уравнения (1) будет вполне опре-
деленным, и т. д. Этот процесс мы можем продолжать до тех пор, пока
не придем к системе значений для х, у, г, при которой Е2- 0. Огра-
ничимся здесь только этими общими указаниями; в следующих главах
мы будем иметь случай подробнее остановиться на этого рода вопросах.

33.	Вычисление корня последовательными приближениями *. Пусть
•будет f(x,y,z) непрерывная функция, имеющая непрерывную производную
f,(x, у, г) ' вблизи системы значений (v0, у0, г0). Если эта функция f (х, у, z)
и ее производная f при этой системе значений равны нулю, то уравнение
г -- г0 + f (х, у, z)	(2)

имеет один и только один корень z -“(А, у), стремящийся к z0, когда х
и у стремятся соответственно к х0 и у0, и вблизи этой системы зна-
чений функция f есть непрерывная функция переменных х и у.

Так как функции f (х, у, z) и f'z (х, у, г) равны нулю при х = х0,у-— у„,
z = z0 и непрерывны вблизи этой системы значений, то мы можем выбрать три
1акнх положительных числа а, Ь, с, чтобы функции f(x, у, г) и /2(г, у, г) были
непрерывны в области D, определяемой условиями'

х0 — a sS х < х0 J- а, уа — b < у «л у0 -'г b, za сб гб z0 с

и чтобы, кроме тосо, в области D было'

\f'z (х, у, z) | < к,

|де К есть какое-нибудь положительное число, меньшее единицы. Условию (2)
всегда можно удовлетворить соответствующим выбором чисел а, Ь, с, так как
непрерывная функция /г равна нулю при х хи, y-'V(l, z —zfl.

Для решения уравнения (1) мы применим метод последовательных прибли-
жений. Положим последовательно:

Э--E/(x,.v, z0), z., z0 f-/(x, у, zt), ...,
и, вообще,

zn -~z<>+f (x,y,zH_i) (n^~ 1,2, ,,.,oc).	(3)

Докажем, что если разности х — х0, у—у0 будут достаточно малы, то все раз-
ности zn — z0 по абсолютной величине будут оставаться меньшими с, и следо-
вательно, предыдущая последовательность операций может быть продолжена
неограниченно. Пусть будет z какое-нибудь число, заключающееся между га — с
п z0 -|- с; мы можем написать:

f (х, у, z) = f (х, y,z^+f (х, у, z)—f (х, у, г0),

* Гурса, Snr la theorie des fonctions implicites (Bulletin de la Societe
mathematiquc, т. XXXI, 1903).
и следовательно, применяя формулу среднего значения и принимая в соображе-
ние условие (2), получим:

I / (*, У- z) | < I / (х, у, z0) | 4- К | z — г01.	(4)

Возьмем теперь такое положительное число Л, чтобы оно было не больше мень-
шего из чисел а, b и чтобы абсолютная величина функции f(x,y,zt)} была
меньше (1—К) с, когда точка (х,у) остается в области D', определяемой
условиями:

х0 — h , х , х0 4- h, yn~hsZysS-ya + h.

Из неравенства (4) следует, что будет также

I / (*• у, z) | < (1 — К) с 4- Кс — с.

Таким же образом последовательно можно убедиться, что если точка (х, у) остается
в области [>', то абсолютные величины всех разностей

Za , Z,, Zo, • • •, Z п Zq , • > 

будут меньше с. Следовательно, мы получаем неограниченную последовательность
функций

zi(x,y),z.i(x,y),...,zn(x,y),

определяемых рекуррентным законом (3), которые все непрерывны в области D'
и заключаются между — с и z9 4- с. Докажем, что при неограниченном возпа-
ипании п функция гп(х,у) стремится к некоторому пределу. В самом деле,
из соотношений

Zn = za+f<x,y,zn_^, zn_l = za+f(x,y,zn^i),
принимая во внимание условие (2), следует:

\^n-zn~i\<K\zn_l z„_2|,
и следовательно,

I zn -zn_{ \ <	— z01 Kn~l

Таким образом ряд

za + (2« — 2o) 4~ (2-> — zi) + • • • + (z« — zn-i) + • • •	(5)

— равномерно сходящийся в области D' и имеет суммою некоторую функцию
Z(i,y). непрерывную в этой области. Эта функция Z удовлетворяет уравне-
нию (1), так как при неограниченном возрастании п уравнение (3) обращается
в пределе в

2'=2o+/U-T-2').	(6)

Сверх того, при х~ хй, у = у§ все функции zt, z.,, ... обращаются в z„, и сле-
довательно, мы будем иметь Z (х0, у0) = г0; таким образом функция Z (х, у)
удовлетворяет всем требуемым условиям.

Z (х, у) есть единственный корень, удовлетворяющий этим условиям.
Точнее, когда точка (х, у) заключается в области D', уравнение (1) не имеет
никакого другого корня, кроме Z, заключающегося между z0 — с и za 4- с. В са-
мом деле, пусть будет Z2 такой корень; из соотношений

+/(•*> У, Z,), zn — z0 + f (x, у, zn_,)
получаем:

Zi — z^-f^.y, Z^—f^y, z„_,),
и следовательно,

\Zl-zn\<K\Zi-zn_, |.

Отсюда будем иметь:

\Zl^zn\<K'‘~^Zl-zl\-

Следовательно, при неограниченном возрастании п разность Z,—zn стремится
к нулю, таким образом Z4 тождественно с Z. Приведенное здесь доказательство
не только позволяет убедиться в существовании корня Z(х,у), по и дает способ
его вычислить. Так как абсолютная величина разности z{ — z0 меньше (1—К) с,
то абсолютная величина разности zn — zn_^ будет меньше (1—К)сКп~1- Отсюда
следует, что, ограничивая ряд (5) членом (zn — zn_,), мы допустим погрешность,
абсолютная величина которой меньше с/С".

От этно частного случая легко перейти к общей теореме § 3?.

Обозначим (х„, Vo, z0) через /и; по предположению, т отлично or нхля,
и уравнение (1) равносильно уравнению:

z = г0 Ц- | z - z№ -	(х, у, г)

но эю уравнение имеет вид уравнения (2), в котором

/ (х, у, z) z zs- Г (х, у, z).

Таким образом теорема доказана, и очевидно, что рассуждение не зависит от
числа независимых переменных.

Перейдем теперь к изучению систем неявных функций, определяемых
совместными уравнениями. Пусть будут

/Цх,, ...,х„; ук, ...,ур), .... fp(xt..хп\ уь ...,Ур)

р функций пр переменных xt, yk, непрерывных и имеющих непрерывные
частные производные — вблизи системы значений х1-х^ук = у^. Если,
дУк

кроме того, р функции /. и у2 частных производных --- равны нулю при этой

системе значении, то р уравнении

= У? +/,, У2 -	+ /2....ур - - у" + fp

имеют одну и только одну систему решений'.

У^Мх,.^, ...,хп), ...,yp = ’fp(xi,xi, ...,х„),	' *

стремящихся к значениям у®, у^,, ....у^, когда х{, х2, ...,хп стремятся
соответственно к х®, х2, . ..,х*’; и эти решения суть непрерывные функции
вблизи этой системы значений х^, хР, ..., х^.

Рассмотрим для определенности два уравнения с двумя независимыми пере-
менными х, у и двумя функциями и, V и предположим х0-_у0 u(j = vl)--<>.
Последнему условию всегда можно удовлетворить, заменяя х. у, и, v соответственно
через з0 фх, у0 -у у, иа 4- и, v0 i- v. Toi да уравнения (10) будут иметь вид:

u = f(x,y, u,v), v — if (с, у; и, v),	(В)

.. .	с

причем при х —у = и = г/--0 функции	равны нулю и

йц <>v йц <) '

непрерывны вблизи эюй системы значений. Пусть будут а, Ь, с такие положи-
тельные числа, чтобы шесть предыдущих функций были непрерывны в области D,
определяемой условиями:

I х I < а, | у К Ь, | и | , с, | v | , с,

п чтобы, кроме того, в этой области было.

Г-'кс

OV

(С)

где К -какое-нибудь положительное число, меньшее Составим, подобно
предыдущему, две последовательности функций:

А = / (х, У, 0, 04, f! — if (х, у; 0, 0),

«2 f (-с у; а . а) . щ ? (*, у; и । ,v ।),
и вообще,

un- = f(x, У, “п-l. Vn-t), г-„ = <р(х, у; ип_{, г	(D)

Если абсолютные величины количеств	будут меньшее, то, применяя

формулу среднего значения к разностям ип— ul,vn -v{ и принимая во внима-
ние условия (12), получим:

I ип ! < I f (Л'- У’ °. О! | + 2Лс, | vn | < | <р (с, у, 0, 0); + ЧКс.

Выберем теперь такое положительное число h, чтобы оно было не больше мень-
шего из двух чисел а и b и чтобы абсолютные величины функций f (х, у, 0,0)
и а (х, у, 0, 0) были меньше (1—2/<)с, koi да абсолютные величины переменных х
и у не превосходят h. Если точка (х, у) остается в области D', определенной
таким образом, то последовательно мож. о убедиться, что все функции и,, бу-
дут непрерывны и по абсолютной величине будут оставаться меньше с.

Докажем, что при неограниченном возрастании час а п функции ип и vn
стремятся к некоторым пределам U(x,y) и V (х, у). В самом деле, рассмо-
трим два ряда:

111 + («2 — н|) +  • • + (ип ип-ч -у	/рч

»»+ (^2—^1) +-••• + (vn~vn~l) +

Из соотношений (13) получаем:

"«	-/Ц, У. "n-i’t'n-z)-

и следовательно, на основании условий (12),

I ип~ an-i \ <K\un_l — un^i I + К\ vn_{ — г’„_а |.

Очевидно, что такое же неравенство существует для \ vn rn_|l. Обозначая че-
рез Нп наибольшее из чисел \ип— un_t | и | vn - vn_^ , имеем:

Мп<2КНп^,
и следовательно,

Нп < ^Ку-'Н, <" (2К)«-* (1 - 2Я) с.

Отсюда следует, что оба ряда (Е) — равномерно сходящиеся в области D'
и представляют две функции U (х, у) и V (х, у), непрерывные в этой области.
Эти функции U и V удовлетворяют уравнениям (В), так как при неограничен-
ном возрастании числа п соо1ношеиия (D) в пределе обращаются в

О ^~f(x,y, U, V), V —<р(х,у, U, V).

Как и выше, можно было бы доказать, что U и V- едино венные корпи
уравнений (В), удовлетворяющие требуемым условиям.

Рассмотрим, наконец, систему самою общею нида:

Fl(xl,xi....х„; ylty.>, ...,ур)	0, Fs=0, .... Fp^-0.	(Е)

Предположим, что функции !\........Fp непрерывны и имеют непрерыв-

ные частные производные —' вблизи системы значений х®,..., хл,у®,...,
yk

при которых F, - 0, F2 --0, ..., Fp = 0, и что функциональней определитель
д D(F^.:.,Fp}

' F> 6т,№, • ••, Ур)

при значениях л ° y°k не равен нулю. При этих условиях уравнения (F)
им; ют одну и только одну систему решений'.

•••.*„), ,УР— fp^i, •xnY

где <р1г <ро, ..ур—непрерывные функции переменных х1,...,хП, стремящиеся
соответственно к у®,...,у^, когда переменные х1,х2,...,ха стремятся
Для упрощения изложения заменим х( через х® Д- xt и yk через -|- ук

так чтобы все начальные значения x®,y®k были равны нулю. Обозначим через а

йГ,
значение производной jy при этих

7*

начальных значениях. По предположению,

определитель

йи а12 . .. а1р

<• 21 д22  • • aip

api ар2 • •• арр

отличен от нуля. Очевидно, что система уравнений (F) равносильна следующей
системе:

«и V1 +	№	+ • •  + aip Ур = У1 +  • • + atp Ур -  Fi =" 4 • ]

аИ -V2 К °22 У-2 + • • • + aip 1 р - °21 У1 + • •  + а2р Ур — Fi 4> I

ар1 1'1 + ар1 У> + • • • + арр Ур = ар1У1 4-  •  + арр Ур — Fp-^ifp, |

где при лу- :0. vft = 0 функции и их частные производные равны нулю. Ре-
шая систему (G) относительно у,, у2, ..., ур, что возможно, так как А не равно
нулю, мы придем к системе вида (А).

34.	Производные от неявных функций. Возвратимся к области R и
к корню z = tp(x, у) уравнения (1), который в этой области будет не-
прерывной функцией двух переменных х и у. Эта функция имеет част-
ные производные первого порядка. В самом деле, оставим у постоянным
и дадим х приращение Дх, вследствие чего для z получим приращение Az.

По предыдущему имеем:

F {х -|- A v, у, z 4- Az) — F(x, у, z) —

— AxF'x (х Ц- ВДх, у, z 4* Az) -j- AzF'z (х, у, z 4- O'Az) --0.

Отсюда

Дг F'x (х 4- 6Ах, У, z 4- Az) ,

Дх	F'z (х, у, z 4- 0'Аг)

когда Дх стремится к нулю, Az стремится также к нулю, так как z
есть непрерывная функция от х. Таким образом правая часть послед-
него равенства стремится к пределу, и z имеет частную производ-
ную по х:

ах F' ’

Z

Точно так же мы будем иметь:
йг___________________________________

(8)

Примечание. Если степень уравнения F — 0 относительно z равна т,
та это уравнение определяет т функций от переменных х и у. Частные произ-
водные ^5, будут точно так же иметь т значений для каждой системы зна-
йх йу
ченнй переменных х и тем не менее, предыдущие формулы дают для этих
частных производных вполне определенные выражения, если только в правых
частях мы заменим z значением той из т функций, от которой мы ищем
производную.

Например, уравнение

jc-2 + у2 f z2 — 1 = О

определяет две функции:

+ \/1 — X2 — У2 И — ]/1 —	— У2,

которые непрерывны, если х2 + у2 < 1. Частные производные от первой функции
будут:

— х ______________у

|/1 — х2—у2 '	|/1 —	— yi ’

а частные производные от второй будут иметь обратные знаки. Те же самые
значения мы получим, исходя из формул:

dz  х	dz  у

dx	z	dy	z

и заменяя в них z его двумя значениями.

35.	Приложение к поверхностям. Если мы будем рассматривать х, у, z
как декартовы координаты точки в пространстве, то всякое уравнение

F (х, у, z) — Q	(9)

будет представлять поверхность 5. Пусть будут	координаты

точки А этой поверхности; если функция Л непрерывна вместе со сво-
ими частными производными первого порядка вблизи значений х0, у0, z0,
и если эти частные производные не обращаются одновременно в нуль
для точки А, то поверхность £ имеет в точке А определенную каса-
тельную плоскость. Положим, например, что частная производная F’
не будет равна нулю при х = х0, y = yQ, z — za. Предполагая уравне-
ние поверхности решенным относительно z, мы можем, на основании
общей теоремы, представить его около точки А в виде:

г = <р(х, у),

где функция <р (х, у) непрерывна. Уравнение касательной плоскости
в точке А будет:

„	dZ dZ

Заменим - и их значениями из предыдущих формул; тогда урав-
оХ ду

нение касательной плоскости примет вид:

(\р \	/\р \	I \р \

+ k- (Z-^o) = O. (Ю)

Если бы было Р ) = 0, но (с—7^0, то мы приняли бы у
\ Q	у оД: f,

и z за независимые переменные, а х за их функцию; в этом случае
мы пришли бы к тому же самому уравнению (10), что можно было
предполагать заранее на основании симметрии левой части. Точно
так же можно написать уравнение касательной в точке (х0,_у0) к пло-
ской кривой, представляемой уравнением /^(х, _у) = 0:

+(Г-М^) =°-

\ov/o	\оУ10

Если мы имеем одновременно

р£\	/ЙП _ 0

Ь* 'о-\^У/о~ W/o- ’

го точка А есть особая точка поверхности S; касательные к различ-
ным кривым, расположенным на поверхности и проходящим через
точку А, образуют вообще здесь не плоскость, а конус. Этот случай
мы рассмотрим впоследствии (глава III).

При доказательстве основной теоремы о неявных функциях мы пред-
полагали, что производная Fz не равна нулю. Геометрически ясно видно,

/ ^F\

почему это условие необходимо. В самом деле, если мы имеем ( — ) = О

I'dF <

и I — 7^0, то касательная плоскость к поверхности 5 параллельна
\дх 'о

оси г, и прямая, параллельная оси z и проходящая вблизи прямой
х=х„,у=у(1, встречает поверхность, вообще, в двух точках, лежа-
щих около точки прикосновения. Таким образом уравнение (9) имеет
здесь два корня, которые оба стремятся к г(1, когда х и у стремятся
соответственно к х0 и _у0.

Например, если мы пересечем сферу x2-\-y2Fz2— 1=0 прямою
v 0, х= \ -+-г, то мы будем иметь два значения для z, стремящихся
к нулю вместе с г, —действительных, если г отрицательно, и мнимых,
если е положительно.

36.	Высшие производные. В формулах для производных первого
порядка

<)2	Зг F?

<1 х f-'z' <)J' F'z

можно рассматривать правые части как сложные функции, в которых z
служит посредствующею функциею. Таким образом можно было бы
вычислять в ясшие производные постепенно, прилагая правило диферен-
цирования сложных функций. При этом существование этих высших
производных зависит от существования частных производных различных
порядков от функции Л(г, у, z).

Эти производные можно получить более пртстым способом, приме-
няя следующее предложение:

Если несколько функций независимого переменного уд влетворяют
соотношению F=0, то их производные будут удовлетворять соот-
ношению, которое получится, если приравнять нулю производную,
взятую от левой части F как от сложной функции В самом деле,
если функция F обращается тождественно в нуль, когда заменим
в ней переменные, от которых она зависит, функциями независимого
переменного, то будет тождественно равна нулю и производная от
функции F. Эта теорема остается верною и в том случае, когда фун-
кции, связанные соотношением F= 0, зависят от многих независимых
переменных.

Предположим теперь, что нам нужно вычислить высшие производные
от неявной функции у одного независимого переменного х, определенной
соотношением:

Л(<,у) = 0.

Мы находим последовательно:

ЙЛ
ЙХ
й2л

йх3

йУу==(

-2^

ЙХЙУ "

з <)!Л

ЙХ2Й_У

йг-'йу^

Q	>2 I ч

3----, у J -4- 3 -

йхйу2 йхйу

Й^Л
йу3

Й2Л

йу2

йу

Отсюда можно постепенно определить у', у", у'", . . .

Пример. Если даиа функция у —/(х), то можно, обратно, рассматривать у
как независимое переменное, а х как неявную функцию от у, определенную
уравнением у=/(х). Если при значении х0, для которого у0 /(хф производ-
ная /'(х) не равна нулю, то, по основной теореме, существует единственная
функция от у, удовлетворяющая соотношению y=f (х) и принимающая при у = у$
значение х0; эта функция носит название функции обратной относительно /(х).
Чтобы вычислить производные различных порядков ху, ху2, ху3, ... от этой
функции, достаточно ее несколько раз продиференцировать, рассматривая у как
независимое переменное. Это дает:

1	— / (х)х^

О — f" (х) ( х^ + f (х) ху2у

О (х) ( хуУ + 3/" (х) х'уху2 + f' (х) ху3,
откуда

-	_2_	__ /"W	-31Г (х)р-Г (x)f'" (х)

-’'Т(х)’ V f/' (x) Р’	[У'(х)]з

Следует заметить, что эта система формул не меняется, когда переставляют ху,
и /'(х), х3, и f"(x), Ху'з и (х), .... так как связь между двумя функциями
у—/(х) и х -<р(у), очевидно, взаимная.

Чтобы дать приложение этих формул, найдем все функции У-~/(х), удовле-
творяющие соотношению

>У" —Зу"2—0.

Приняв у за независимое переменное, а х за функцию, мы дадим предыдущему
уравнению вид:

Ху,' —. 0.

Но единственными функциями, для которых производная третьего порядка равна
нулю, будут многочлены не выше второй степени. Поэтому мы имеем для х
выражение следующего вида:

х С\у‘1 -+- С.3у -|- С$,
где Q, — три произвольных постоянных. Решая это уравнение относи-
тельно у, мы заключаем, что все функции, удовлетворяющие заданному усло-
вию, содержатся в формуле

у — а± \/bx + с,

где а, Ь, с — три произвольные постоянные. Это уравнение представляет параболу,
главная ось которой параллельна оси х.

37.	Частные производные. Рассмотрим теперь неявную функцию двух
переменных, определяемую уравнением:

F(x, у, z) = 0.

(И)

Как мы уже знаем, частные производные первого порядка определятся
из соотношений:

г>_л	о ул йдф?

dx ' dz dx ’ dy ' dzdy

(12)

Чтобы получить частные производные второго порядка, достаточно
вновь продиференцировать оба уравнения (12) относительно х и у;
это даст только три различных соотношения, так как производная
от первого уравнения по у тождественна с производною от второго по х:

УЛ	УЛЙ£ . УЛ/Фг\2

dX2	dxdzdxdz2 \йх/ ^' дгдс2 ’

&F	!	д2Л дг	даЛ дг	даЛ дг de:	dF Уг

йхйу ""Г йхйг ду	dydzdx	dZ2 дх ду ~ dZ дхду	’	Г (13)

УЛ	2 УЛдг	^F pzy	HF^z

ду2'	dydzdy	iz‘- Uy/	dzdy2	’	j

Таким же образом мы можем найти производные третьего и высших
порядков.

Употребление полных диференциалов позволяет и здесь определить
одновременно все частные производные одного и того же порядка.
Для этого достаточно воспользоваться следующею теоремою:

Если несколько функций и, v, w, . .. скольких угодно независимых
переменных х, у, z, ... удовлетворяют соотношению F=0, то пол-
ные дифереициалы удовлетворят соотношению dF=Q, которое полу-
чится, если мы возьмем полный дифереициал от F, принимая все перемен-
ные, on которых зависит F, за переменные независимые. Чтобы доказать
эту теорему, предположим, что мы имеем уравнение F(u, v, w) = 0,
где и, о, w суть функции независимых переменных х,у, z, t. Частные
производные от и, v, w удовлетворяют четырем уравнениям:

д Л ди . д Л dw . дЛ дад
дидх ' дидх ' дет дх ’

дЛдИ.дЛдР ЙЛдИ»
дм <1у дм ду ' дсс ду
дЛдм.дЛдм.дЛдда
0и dz dadz <)wdz

дЛдм дЛд'п дЛ д w
Ъи дг д v dt dw д/
умножая их соответственно на dx, dy, dz, dt и складывая, получим:

d/7 , , д/7 , . д/7 ,	, _	_

— du -----dv 4- -— dw — dr = 0.

du 1 дм dw

Здесь еще раз видно преимущество диференциального обозначения»
так как предыдущее соотношение не зависит ни от выбора, ни от числа
независимых переменных. Чтобы иметь соотношение между диферен-
циалами второго порядка, достаточно приложить основную теорему
к уравнению dF=Q, рассматривая его как уравнение между u,v,w,
du, dv, dw и т. д.; при этом нужно только заменять нулями все дифе-
ренциалы порядка выше первого от тех переменных, которые приняты
за независимые.

Приложим этот способ к вычислению полных диференциалов различ-
ных порядков от неявной функции, определенной уравнением (И),,
причем примем х и у за независимые переменные. Мы имеем:

d/7J ,

— dx 4-dy 4- — dz = 0,

dx ndv'd^

два первых уравнения могут заменить собою пять соотношений (12) и
(13). Из выражения для dz получаются две производных первого по-
рядка, из выражения для d?-z — три производных второго порядка и т. д.
Рассмотрим, например, уравнение

Ах2 А'у2 + A'z2 = 1;

диференцируя его два раза, находим:

Ах dx -)- А'у dy -)- A"z dz = 0,

A dx2 + A' dy2 + A"dz2 -j- A'z d2z=0;

из первого соотношения имеем:

dz = —

Ах dx -(-А'у dy

A"z

и, внося это значение dz во второе, получим:

А (Ах2 A"z2) dx2 4- ZAA'xydxdy -ф- А (А'у2 4- A'z2) dy2
dyz =--------------------------------------------------.

Таким образом, воспользовавшись обозначениями Монжа, мы будем
иметь:

Ах	А'у

Р = ~АА g~~Arz'

А (Ах2A"z2)	_ АА'ху	А (А'у2 4- A"z2)

Г~ A"2z2	’ S~ A"2z3 ’ '	A"2z3
Изложенный метод, очевидно, вполне общий; он применим, каковы бы
ни были число независимых переменных или порядок искомых частных
производных.

Пример. Пусть будет z-=f(x,y) функция двух переменных х и у. При-
мем в последнем соотношении у и 2 за переменные независимые, а х за неявную
функцию этих двух переменных, и i айдем диференциалы первого и второго
порядков dx и d-x. Мы имеем:

dz — — dx -f-- dy\

Зх Зу

га к как мы приняли у и z за независимые переменные, то должно положить
rfiy- - d-’ = 0;

потому, диференцируя вновь последнее соотношение, находим:

0 = У rfx2 -f- 2 dx dy 4-	<7у2 4- ZZ (fix.

3x2 Зх Зу Зу2 Зх

Пользуясь обозначениями Монжа для частных производных первого и второго
порядков от функции / (х, у), мы можем представить предыдущие уравнения
в виде:

dz--р dx 4- q dy,

О:;/' rfx2 4- 2s dx dy + t dy% 4- p d^x;
из первого выводим:
,	dz — qdy

dx—------— - ;

P

внося это выражение dx во второе соотношение, получим:

__	rdz^-\- 2 ips— qr)dy dz-у (q?r—2pqs 4- p4)dyz

Частные производные первого и второго порядков от х, рассматриваемого как
функция переменных z и у, будут иметь следующие выражения:

Зх   1	Зх  q

3z	р Зу	у

32 х _	г З’-х______qr — ps	32х___2pqs — рЧ	— q‘4

3 zi	р'-	Зу 3z р3	Зу2	p'J

Чтобы иметь приложение этих формул, найдем все функции f (х, у), удовлетво-
ряющие уравнению q-r 4- рЧ = 2pqs. Если в соотношении z~/(x, у) мы при-
мем х за функцию независимых переменных у и 2, то предыдущее уравнение
,	<Чх „ „	Зх

обратится в — — 0. Это уравнение показывает, что — не зависит от у; следо-
Зу‘-	Зу

вательно,

где ? (z) — произвольная функция от z. Это новое уравнение может быть пред-
ставлено в виде:

< [*— J'? (?)] --0,
Зу

оно выражает, что х— У? (г) не зависит от у. Поэтому

х У? (?) 4-'Иг),
где ф (z) есть другая произвольная функция от z. Мы получим все искомые
функции z—/(х, у), решая предыдущее уравнение относительно z. Это уравне-
ние представляет поверхность, образованную движением прямой, остающейся
параллельною плоскости ху.

38.	Совокупные уравнения. Мы введем сначала определитель, который
будет играть важную роль в последующем. Пусть Fx, /~2,	, Fn —

система п функций п переменных у, , у2, . .. , уп, которые могут за-
висеть, кроме того, и от других переменных. Определитель, образован-

ный частными производными первого порядка				(14)
Д =	й_6 йу  йу	йу ‘ d/7g йу ‘	' йу   йу	
			й^„	
	*У->	*У2	 ’ йу	

называется якобианом или функциональным определителем п функций
F, F2 , . . . , Fn ио отношению к п переменным у3 , . . . , уп. Принято
обозначать его

О(У] , у.,, . .. , у„) ’

Тогда общая теорема сущес!вования неявных функций формули-
руется следующим образом.

Пусть будет (Е) система п уравнений между п + р переменными
Н, ... , уп,

Fi (х, , xs, . .. , хр; уг, у2, ... , У„) = О	(г == 1,2, . . . , п), (Е)

левые части которых обращающей все в нуль при системе значений
х,=хУ. , .., х — х° , у, =_у?, ... , у =у° .

1	1 ’	’ р р ’ J 1	’ - лг "п

Если функции непрерывны и имеют частные производные первого по-
рядка по переменным yk, непрерывные в окрестност i этой системы

D(F., Е,, ... , Л)

значении, и если якобиан ——---------------------- не равен нулю при

О(уг, у, ... , у„)

х хр ... , уп—ур то существует одна и только одна система
функций

У1 = <р, (X] , х2, ... , хр), ... , уп = у (х3, х2, ... , хр),
удовлетворяющих уравнениям (Е), обращающихся соответственно
в У°,    , У^ при Xj = х'*, . . . , хр = хр и непрерывных в окрестности
этой системы значений.

Так как теорема уже доказана для то достаточно будет пока-
зать, что если она верна для системы п — 1 уравнений с п — 1 неизвест-
ными функциями, то она распространяется и на систему п уравнений с п
неизнещными функциями. По предположению, определитель А, написанный
выше, (ыличен от нуля при значениях х°, j/J; следовательно, его эле-
менты не могут быть все нулями. Мы можем, следовательно, предпо-
ложить, меняя, если это нужно, порядок индексов, что производная

—- | не равна нулю. Тогда, на основании теоремы, доказанной в § 32,
°Уп ' о

уравнение

F„(Xj, х2, ... , хр, , у2, .. , у„) = 0	(15)

определяет функцию

Уп=Лх-> > х^ ... , хр, у,, у2, ... , yn_J	(16)

п.-\- р— 1 переменных х2 , х2 , . . . , хр-, у^, ... , уп_1 , которая равна упп
прих1 = ху, .. , y„_j—и которая непрерывна в окрестности этих
значений. Заменяя уп этой функцией f в первых п— 1 уравнениях си-
стемы (Е), мы получаем новую систему п — 1 уравнений с п — 1 не-
известными у2 , у2 , . . . , у :

0j(Xj, х2, ... , хр, у. , у2, ... , у„_1)=0, ... , Фя_7=0, (17)
где положено:

, ... , хр; у. , . . , у„^)=-- Fi(x1, . . . , хр; у,, ... , у„_, , /);
система, образованная уравнениями (16) и (17), очевидно, эквивалентна
системе (Е). Покажем, что якобиан функций Ф;

а=д(ф1>	«У,)

Щу2, у2,, y„_J

отличен от нуля при х( = х’, ... , уя_]=у^_]. В самом деле, этот
определитель

		й/	й^ f й^ й/	й^	й^ й/
	^У1	йг„ ЙУ,	йу2 Ъ>п йу2		йу„ йу„_!
	ЙЛ2		ЙЛ2 ЙЛ2 й/	^2	|	ЙЛ2 й/
		Ь>п йу2	<*У2 ЙУ« «1у2	^„-1	Ъуп ^Уп-1
		1 ^«-1 V	3^-т 1	V	^„-Т,	<^-т V
	ЙУ1	йу3	ау2 *Уп а''2 	”йЛ-1	Йуя_3

есть сумма 2”-1 опредетитетей; отбрасывая все те, которые равны нулю,
как имеющие пропорциональные элементы двух столбцов, получаем:

г=£’ F^---,	। Vd(^, f2 , . . . , Fn_,}

D(yy, y2, ... , yn_J йу, L) (y, , y2, ... , уп_г)
_i_ V D(Fly F2,..., Fn_.)

” ^3y„_3 D(y., ... , yn_,, yn)'

C

другой стороны, производные-— даются (§37) соотношениями:
ЙУ/

= 0 (i=l 2,..., Л-1).	(18)

^Уп^
Мы можем, следовательно, переписать предшествующее уравнение,

,	^F

помножая обе его части на —", следующим образом:

*УП

. й£„ =	Л2,	, >„.,) ЙЛ„ _	Л2,	, Fn J dFn _

<>У„	£>(У1, У2, ••• - >„-1) *Уп D(yn, у2, ... , Л-i)

_ ^-1) • (19)

D(Vj, у2, ... , >ч_2, у„)^уп_, ’

правая часть полученного соотношения представляет собой разложение А
ло элементам последней строки. Мы имеем, таким образом:

Ф2, ••• , «У,) = D(F,, F2>. , , F„)
дУп О у2,	, уп_1)	D(y3, у2, ... , ул) ’

(20)

.и следовательно, якобиан 3 отличен от нуля при значениях

Х1 = хэ,...,

Так как высказанное предложение справедливо для п—1 уравне-

ний, то уравнения (17) определяют систему функций у3 = <р] , ... ,

>n_] = (pn_i переменных х, , х2, . . . , хр, подставляя которые в функцию

/(х, , х2 , . . , хр, у3 , . . , у„_,), мы получим значение уп .

39.	Вычисление производных Когда функции F. имеют непрерывные

й/7,
частные пр шзводные —- ,
йх;.

го неявные функции, определяемые уравне-

ниями (Е), также имеют частные производные перв>го порядка по пе-

ременным х(.. Возьмем, например, систему двух уравнений:

Fj (х, у, Z, и, v) = 0, F2 (х, у, z, и, ц) = 0.	(21)

Оставляя у и z постоянными, дадим х приращение Дх, и пусть Ди
и До— соответствующие приращения функций и и г». Уравнения (21)
можно переписать так:

Л	I \ I Л	, I 14	I	П

ДхI — - -I— s ) -I— Д//	- —s I —I-	| -- -4- 6 I — О,

\ йх v v ди 1^	\ йг» /

причем г, г', е", г(, т/, т" стремятся к нулю, когда Дх, Ди, Дг» стре-
мятся к нулю. Отсюда мы находим:

Ди

A v

когда Ах стремится к нулю, то Ди, Дг», а следовательно, и г, е'
г{, г/, г/' также стремятся к нулю. Следовательно, отношение имеет
предел, другими словами, и имеет частную производную по перемен-
ному а:

ЙГ,ЙЛ2 ^й^й/^
ЙИ й« Йо	ЙО ЙХ

ЙХ .й^й^ й/^йЛз’
ди ЙО	ЙО ди

Таким же образом можно было бы убедиться в том, что

отноше-

До	йо

ние — стремится к конечному пределу — , который дается аналогии-
Дх	<)х

ной формулой; на практике эти производные находятся из уравнений:

й^] dF-, dU dF1dV	  ЙХ ' du ЙХ ' dv ЙХ	о,
й F2 й F2 й и , d2Fdv	  [й X 'ди ЙХ dv ЙХ	о,

и таким же образом мы найдем частные производные по перемен-
ным у и z.

Последовательные производные вычисляются так же, как в случае
одного уравнения. Следует еще заметить, что, когда имеется несколько
независимых переменных, удобно вычислить полные диференциалы,
чтобы вывести отсюда все частные производные одного и того же по-
рядка. Предположим, например, что мы имеем две функции и и v трех
переменных х, у, z, определенные соотношениями (21); полные дифе-
ренциалы первого порядка du и dv даются уравнениями:

—- dx-\- х 1 dv •+- az -4- du 4- dv — 0,

ЙХ dy ' dz du dv

dF й F2 i dF2 й F J f
4x4--2 dv 4- --2 dz-\- - 2 du 4 - 2 dv — 0.

ЙХ йу/ dz ЙИ dv

Да'ее, мы получим d-и и d-v из уравнений:

(^х+ . .. +	4	4 d*v = 0,

\ ЙХ	dv / du dv

/ЙЛ2,	.	I йл2 , \<2)	, ЙЛ2	.Й42	.

I 2 dx -- . . . -4 dv \ 4- а2и 2 d2v = 0
\ й v	'	1 dv / ди dv

и т. д. В уравнениях, опредетяющих dnu и anv, опредетитечь, состав-
ленный из коэфициентов при этих диференциалах, равен, каково бы

/ Д' р \

ни было л, якобиану ——’ 2 , который, по предпол /жению, отли-
D(u, v)

чен от нуля.
40.	Обращение функций. Пусть будут и,, и2, и3, .,. , ип п функций от «
независимых переменных ху , х2, х3, ... , х„; предположим, что якобиан

D (щ , «3, ... пя)

D (xi, х,, , ... , х„)

не равен тождественно нулю. Тогда п уравнений

«1 —МЧ,	«2='Р-2(П.	, ип = ?„ (г,, х2, ... , хп) (22)

определяют обратно х{, хг, ... , хп в функции и, , и. .... , ип. В самом деле, до-
статочно рассмотреть систему значений х\’, х? , ... , хя, для которой определитель
Якоби не равен нулю; если и“, и^ , ... , «я будут обозначать соответствующие
значения п1, п2....п„,то по основной теореме существует система функций:

- Ф1 (Hi ,  •  .	^2 - Фп («. - • • • • «„)•	- 'h (“1 . «и).

удовлетворяющих соотношениям (22) и принимающих значения х° , х®, . , , ,х^
при = г/*1,//2и®, . . ,ип = и®. Функции '!? называются обратными относи-
тельно функции <р. Нахождение этих функций называется обращением или ин-
версией.

Для вычисления производных от обратных функций достаточно приложить
основные правила. Так, в случае двух функций

и л/(е, у), v f (с, у),

рассматривая обратно и и v как независимые переменные, а х и у как их функ-					
ции, мы из двух соотношении					
du	^J-dx	df  -i - dy, du		d¥  dx	-I dv
	<1х	dy		dx	d v
получим:					
	dtp  du -	/  J dv		® , . of  — - du 4 —dv	
	dv	<1 V		dx	dx
dx -			dy —		
		df ()<p		df dtp	
	df dep				df d?
	d г dy	dy dx		dx dy	йу» dx
Отсюда имеем формулы:					
		dtp			V
dx		dy	dx		dv
du	й(р	d/ df	dv	df <)<p	df dtp ’
	dx dy	dy dx		dx dy	dy d c
					d/
		d r	dv		dx
d/2	df йер	df йер	dv	df dtp	d/ dtp
	dr d у	dv		dx <)y	dy dx

41.	Касательная к кривой в пространстве. Рассмотрим кривую С,
представленную системою двух уравнений:

Пусть будут х0, j'o, z0 координаты точки /Ио этой кривой; пред-
положим, что по крайней мере один из трех определителей Якоби,
dF dF„ 4F. <14 dF.dF2 dFdF dF dF„ )F.iF.
dy d^ dZ dy ’ dz dx dx dz ’ dt dy dy dx
будет отличен от нуля, если заменим в нем х, у, z через х0, у0, z0 .

D(F, , F„)

Для определенности положим, что ~2)(y~~J) НС Ра|,ен НУЛЮ д,,я ко'
ординат точки Мо ; тогда из уравнений (23) можно вывести:

_У=ф(х), z — ty(x),

где ср и ф суть непрерывные функции от х, обращающиеся соответ-
ственно в у0 и z0 при х = х0. В этом случае касательная к кривой С
в точке Мо представится двумя уравнениями:

xQ Y |/q______Z z0

1	— <?' (*o) ~ Ф' (*o) ’

где производные <p'(x) и ф’ (х) определятся из соотношений:

Ei 4- Ei tpf (x) _|_ Ei $1 (x)= o,
dx T <)y Y ' <}z ‘ ' 7

й F2 . S F2 i Й f2

Положим в них x = x0, y=yQ, z --zn
У yQ Z Zq
ответственно через „------и —--------.

X — х0 X — х0
можно представить в виде:

и заменим ср' (х0) и ф' (х0) со-
Тогда уравнения касательной

(тг) +	+	(Z—zo) — O, ]

\°х/о	\дУ/о	\ /о	I .

/йЛ2\	, /йЛ2\	, /<)Л2\	I

I о? )	— х°> ~Н ST ) (Y З'о) “Ь ( I Е — zo) — °'

\	/ о	\ d V / о	\	/ о

или

Х — хо _ ¥~Уо _ _ Z—z0

FEEiEEl Г^Е, ^)1	ГОЕ,^)] '

L D(y,z) Jo I D(z, x) ]0 L D(x,y) Jo

Легко дать геометрическое истолкование полученного результата.
Уравнения (14) представляют соответственно две поверхности и .S’2,
линия пересечения которых есть кривая С; уравнения (24) представляют
две касательные плоскости к этим двум поверхностям в точке /Ио, так
что касательная к кривой С есть прямая пересечения этих двух каса-
тельных плоскостей.

Формулы теряют смысл, когда три написанных выше определителя
Якоби обращаются одновременно в нуль для координат х0 , у(1, z0 . Если
это имеет место, то два уравнения (24) приводятся к одному, и по-
верхности S2 касаются друг друга в точке 2И0. Как мы увидим
ниже, в этом случае линия пересечения этих двух поверхностей сла-
। ается, вообще, из нескольких раздельных ветвей, проходящих через
точку /Ио .
II. ОСОБЫЕ ТОЧКИ. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ.

42.	Особые точки. Если одновременно —= — = 0, то точка (хп,уп)
йх0 йу0	0 ло

есть особая точка кривой, представляемой уравнением F(x, _у) = 0.
Предположим, что три частных производных второго порядка от F не
равны нулю при x = xQ, y=yQ> и что эти производные вместе с про-
изводными третьего порядка непрерывны вблизи точки (х0 , _у0). В этом
случае уравнение кривой С можно представить в виде:

П = F(x, у> = 1|	- х^+2

1 I ,)Е	,	1(3)

+ Г2-з[ЛД<«-*«)+	<25>

u	у	. л Н (О'

причем в производных третьего порядка х и у должны быть заменены

соответственно через х0-]-(1(х — х0) и _у0	0 ( у—_у0). Мы можем пред-

<)2F
положить, что производная не

<41

равна нулю,

так как достаточно

изменить направление осей координат, чтобы притти к этому случаю.
Положив в уравнении (25) у—y0 = t(x — x0) и разделив результат
на (х—х0)2, получим:

Й2Л л‘-/:~	<)3F

+	+	-|-(v-x0)P(.v-x0, /) = 0,	(26)

где Р (х — х0, I) обозначает функцию, которая остается конечною,
когда х стремится к .г(). Пусть будут и t2 два корня уравнения:
^+<-S+'^=0-

Если эти корни действительны, т. е. если

Й2Е_\2^

И <)у3 ’

то уравнение (26) можно также представить в виде:

—	— /,)4-(х — хо)Р=О.

При х = х0 это уравнение’имеет два различных корня t==tj, t = t2.
Если х стремится к xQ, то уравнение имеет два корня, стремящихся
соответственно к 7, и t2; это можно доказать, повторив те рассуждения,
которыми мы пользовались при доказательстве существования неявных
функций. Полагая, например, t = и, мы получим уравнение
между х и и:

п(/3—/2-j-«) + (х — xQ) Q(x, w) —0,	(27)

причем Q(x, и) остается конечным, когда х стремится к х0, а и —
к нулю. Предположим дг,я определенности, что —72)>О, и обозначим
через Л1 верхнюю границу абсолютной величины Q(x, и) и через т—
нижнюю границу количества — /2-|-к ПРИ изменениях х от х0—h
до xu h и и от — h до -f- h, где h есть положительное число, мень-
шее t}—-t2. Пусть будет е положительное число, меньшее h, и т]—дру-
гое положительное число, удовлетворяющее неравенствам:

т] < h,

т

AI®'

Если в уравнении (27) мы дадим переменному х такое значение,,
чтобы | х—х0| было меньше т;, то результаты подстановки —г и
е вместо и получатся с разными знаками; следовательно, это уравне-
ние имеет корень, стремящийся к нулю, когда х стремится к х0, и.
следовательно, уравнение (25) имеет корнем выражение вида:

y=Jo+ (х~ хоЖ + а)>

причем а. бесконечно мало вместе с х—-х0. Это показывает, что через,
точку (х0, у0) проходит ветвь кривой С, касающаяся прямой

У~ Уо~ 4 (* —х0).

Таким же образом мы можем убедиться, что через точку (х0, у0)
проходит другая ветвь кривой, касающаяся прямой у—y0 = t2(x — х0).
Точка Л10 есть двойнач точка с различными, касательными*, и мы
получим уравнение двух касательных в этой двойной точке, приравняв,
нулю совокупность членов второй степени по (х— х0), (у — у0) в урав-
нении (25).

_	/ WF V iPFtfF	Л „

Если ------ ——г <Г 0, то точка (хп , у„) есть двойная изо-

\йхойуо/

лированная точка. Внутри круга достаточно малого радиуса с центром:
в точке Л10 левая часть F (х, у) уравнения обращается в нуль только,
для самой точки Мо. В самом деле, приняв за координаты какой-
нибудь точки (х, у), лежащей вблизи .Т10, выражения
x=x04-pcos<p, у = у0	рsin <р,

получим:

р2р2/7	^2р	^2р	П

F(X’ Л = 2 (Sj * + 2	’ Sl" ’ + S? Si”’ ’ + ,L J ’

причем L имеем конечное значение, когда р стремится к нулю. Пусть,
будет Н верхняя граница абсолютной величины L, когда р остается

* Не может существовать более двух ветвей кривой, проходящих через двой-
ную точку. В самом деле, предположим, что jравнение кривой имеет вид (25),
и коэфициент —- не равен нулю; это условие всегда можно считать выполненным
путем соответствующего выбора осей координат Если бы это уравнение имело
три корня, у(, у2, у3, стремящихся к нулю вместе с х, то уравнение F'y(x, у)=0,
в силу теоремы Голля, имело бы по крайней мере два корпя, также стремящихся
к нулю. Но это уравнение имеет вид Ibx + Icy -|- у (х, у) - -0, причем <р (х, у),
и ?'у(х, у) обращаются в нуль при х = у = 0. Следовательно, это уравнение
имеет <дин и. только один корень, стремящийся к нулю вместе с х (§ 32).
меньшим некоторого положительного числа г. При изменении ф от О
до 2п трехчлен

й2/7	й2/7	й2/7

— cos’ ср -I- 2 -—-— cos <р sin ср -4- —у sin2 со

йх2 т йхой_уо

сохраняет постоянный знак, так как он имеет мнимые корни; пусть
будет т нижняя граница его абсолютной величины. Очевидно, что ни

т

для какой точки, взятой внутри круга радиуса —, коэфициент при р2

не может обратиться в пуль; таким образом внутри этого круга урав-
нение F(x,y)~0 не имеет никакого решения, кроме р —0, т. е.
х=-х0, у=у0.

/ й2/7 V й2Лй2Л

Если -------------= 0, то обе касательные в двойной точке

^йхойуо; йх2 йу2

приходят в совпадение, и в общем случае существуют две ветви кри-
вой, касающиеся одной и той же прямой и образующие точку воз-
врата. Полный разбор этого случая требует очень тонкого исследо-
вания, которое мы выполним ниже. Заметим только, что разнообразие
возможных случаев вида кривой здесь гораздо шире, чем в двух ранее
исследованных случаях, как это видно из следующих примеров.

Кривая у2 = х3 имеет в начале координат точку возврата первого
вида, с двумя ветвями, касающимися осн х и расположенными направо
От Оу по обе стороны касательной. Кривая у2— 2x2y-f-x4—х5— О
имеет в начале координат точку возврата второго вида ; две ветви
кривой, касающиеся оси х, расположены здесь по одну сторону каса-
тельной. В самом деле, уравнение кривой можно представить в виде:

5

у = х2Ч- х1,

и при очень малом х оба значения у имеют один и тот же знак, но
они действительны только в том случае, если х положительно. Кривая

х4 -ф- х2у2 — 6х2у -ф- у2 — О

состоит из двух ветвей, не имеющих никаких особенностей; обе ветви
касаются в начале координат оси х. В самом деле, из этого уравнении
получим:

Зх2 + х2/8 — х2

1 -ф-х2	’

ветви кривой соответствуют двум знакам перед корнем: они не имеют
в начале координат никаких особенностей.

Может также случиться, что кривая состоит из двух сливающихся
ветвей, как, например, кривая, представляемая уравнением

F (х, у) =у2 — 2х2у -ф- х4 = 0;

при передвижении точки (х, у) по плоскости левая часть уравнения
обращается в нуль, не меняя знака.
Наконец, точка (х(),у()) может быть двойною изолированною точкою;
так будет у кривой у2 х4, у4 = 0, у которой начало координат
есть двойная изолированная точка.

43.	Конические точки поверхности Точно так же точка Мд поверх-
ности 5, представляемой уравнением F (х, у, z) = 0, называется особою
точкою этой поверхности, если координаты х0, у0, z0 этой точки об-
ращают в нуль три производных первого порядка:

<4 Ъу0 йг()

В этом случае выведенное выше (§ 35) уравнение касательной пло-
скости обращается в тождество. Если в точке Л4() все. шесть частных
производных второго порядка не будут одновременно равны нулю, то
место касательных ко всем кривым, лежащим на поверхности 6 и про-
ходящим через точку Мо, будет конусом второго порядка. В самом
деле, пусть будут

x=f(t), у = ср(/), ?=$(/)

уравнения кривой С, лежащей на поверхности Так как функцйи /(/),
ср (Z), сЬ (Z) удовлетворяют соотношению F(x, у, z) — 0, то между дифе-
ренциалами первого и второго порядков существуют соотношения:

dxdydz=Q,

йх 1 йу йг

\йх ' йу 1 az J 1 йх 1 йу Й2-

При х = х0, у=у0, z—zg первое соотношение обращается в тожде-
ство, а второе принимает вид:

А2 F	,',2Г	Л2р

й2/7	й2/7	й2/7

!------dx dy 4- 2----------- dydz-\-<l-------dx dz = 0.

йхойуо ' йуойго	йх()Гц,

Мы получим место касательных, исключив dx, dy, dz из этого уравне-
ния и из уравнений касательной

X -*о_____У®.

dx dy dz

это дает уравнение конуса (Г) второго порядка:
й2 F	й2 F	й2 F

(ЛГ-х0)- + йХ(Г-Л)» +	(Z +

+21ГТГ(-¥—'»)<1'-Л) +

дл-0 ду0

Ъ2Р	Ъ2Р

(28)
Прилагая к F(x,y,z) общую формулу Тейлора и продолжая раз-
ложение до членов третьего порядка, мы можем представить уравнение
поверхности 5 в виде:

(Х~+	— ^]l)	’ (29)

1-Z-0 дхо	д_уо f	dZQ	хо-|-0(х — х„)

Уо+Чу—Уо)
zoH-0(z —г0)

причем в производных третьего порядка х0, _у0, z0 должны быть за-
менены через хо-|-0(х—х0), j04- ® (У—Л)>	— zo)- Мы по-

лучим уравнение конуса (Г), взяв в уравнении (29) только члены
второй степени по х — х0, у — у0 , z — z0.

Предположим сначала, что уравнение (28) представляет действи-
тельный конус. Пересечем поверхность 5 и конус (Т) плоскостью Р,
проходящею через две различных образующих G, G' этого конуса.
Чтобы получить уравнение линии пересечения поверхности 5 с этою
плоскостью Р, мы возьмем оси координат так, чтобы плоскость Р сде-

лалась параллельною плоскости ху; тогда для получения уравнения ли-
нии пересечения достаточно положить в уравнении (29) z = z0. Мы
видим, что для этой кривой точка Л40 есть двойная точка с действи-
тельными касательными, и линия пересечения состоит из двух ветвей
кривой, касающихся соответственно двух образующих G, G1. Вблизи'
точки Л40 форма поверхности аналогична форме, которую имеют вблизи
вершины две полости конуса второго порядка; отсюда происходит на-
звание конической точки, которое дают точке Л40.

Если уравнение (28) представляет мнимый конус, то точка Л40 есть
особая изолированная точка поверхности Приняв эту точку за центр,
можно из нее описать сферу настолько малого радиуса, что внутри
этой сферы уравнение F{x, у, z) = Q не будет иметь никакого другого
решения, кроме х = х0, у = у0, z — z0. Действительно, пусть будет М
точка, лежащая вблизи точки Мо, р— расстояние ММ0, а, 0, у — на-
правляющие косинусы прямой /ИЛ10. Если мы положим

х = х0-|-ра, _y=Jo-|-pp, z = z0-{-py,

то F(x,y,z) обратится в

Р2
F(x,y, z) = ^

₽2+... + 2

&F

ау+рЕ

причем множитель L сохраняет конечное значение, когда о стремится
к нулю. Так как уравнение (28) представляет мнимый конус, то много-

член

&F

а2Е
ах0 <u0

не может обратиться в нуль, когда точка a, у описывает сферу
а24-р2Ц_у2=1.
Обозначим через т нижнюю границу абсолютных значений этого много-
члена. Пусть будет, с другой стороны, Н верхний предел абсолютного
значения функции L вблизи точки Мо. Если из точки /Ио мы опишем
т	,

сферу радиусом, меньшим —то ясно, что внутри этой сферы коэфи-
п

циент при р2 в выражении F(x, у, г) не может обратиться в нуль.
Таким образом уравнение

F(x, у, z) = 0

не имеет другого решения, кроме р = 0.

Если уравнение (28) представляет совокупность двух действительных
н различных плоскостей, то через точку Л40 проходят две полости по-
верхности, из которых каждая касается одной из этих плоскостей. Не-
которые поверхности имеют линии, состоящие из двойных точек, в ка-
ждой из которых конус касательных распадается на две плоскости. Та-
кая линия есть двойная линия поверхности, по которой пересекаются
две различных полости поверхности. Например, окружность, предста-
вляемая двумя уравнениями z = Q, x2-(-j/2=l, есть двойная линия
поверхности

г4 2z2 (X2 + у2) —'(Х2 + J/2 — 1 )2 == 0.

Если уравнение (28) представляет совокупность двух мнимых сопря-
женных плоскостей или двойную действительную плоскость, то в каждом
частном случае требуется особое исследование для изучения вида по-
верхности вблизи точки Л40. Подобные исследования встречаются при
изучении наибольших и наименьших значений функций.

44.	Максимумы и минимумы функций одного переменного. Пусть будет
/(х) функция, непрерывная внутри промежутка (а, Ь), и с — точка в этом
промежутке. Функция /(х) имеет максимум или минимум при х = с,
если можно найти такое достаточно малое положительное число т(, чтобы
разность	—/(с), обращающаяся в нуль при h = 0, сохраняла по-

стоянный знак при всех других значениях h, заключающихся между — ц
и 4-Т|. Если эта разность положительна, то значение функции /(х)
при х = с будет меньше, чем при всех значениях х, близких к с; сле-
довательно, /(х) проходит при х — с через минимум. Напротив, если
разность f(c-\-h)—/(с) отрицательна, то При х = с функция имеет
максимум.

Если функция /(х) имеет производную при значении х — с, то эта
производная должна быть рдвна нулю. В самом деле, оба отношения

/(с + Л)-/(с)	f(c-h)—f(c)

h. ’	—h.

имеющие один и тот же предел /' (с), при приближении h. к нулю бу-
дут иметь различные знаки; поэтому их общий предел f (с) должен
быть равен нулю.

Обратно, пусть будэт с корень уравнения /(с.)=0, заключающийся
между а и Ь. Предположим для общности, что первою производною
от /(х), не равною нулю при х = с, будет производная и-го порядка,
и что эта производная непрерывна вблизи значения с. Останавливаясь
на члене n-й степени, мы получим в этом случае по Общей формуле
Тейлора:

hn

f(c + h) —f(c) = —----------fW (c + 6Й),

1 ’ £ , . • n

«ли

hn

Цс + h) -f(c) =	[/(,!) (c) 4- e],

причем e бесконечно мало вместе c h. Пусть будет т) такое положи-
тельное число, чтобы при изменении х от с — rj до с-)-7! абсолютная
величина г была меньше |/(л>(с)| ; при этих значениях х, /(л) (6) 4~ г
будет иметь тот же знак, как и /(я)(с), и следовательно, f(c -f- h)—f(c)
будет иметь знак /гл/:л)(с).

Если п — число нечетное, то мы видим, что эта разность меняет
знак вместе с h: при х—с нет ни максимума, ни минимума. Если п —
•четное, то f(c-\-h)—f(c) как при положительном, так и при отрица-
тельном h имеет знак /W(c): функция имеет минимум, если /<л)(с) по-
ложительно, и максимум, если /(л,(с) отрицательно. Таким образом дтя
того чтобы функция имела при х = с максимум или минимум, необхо-
димо и достаточно, чтобы f(c) было равно нулю и чтобы первая
производная, не обращающаяся в нуль при х = с, была четного
порядка.

Геометрически это значит, что касательная к кривой y=f(x)
в точке А с абсциссою с должна быть параллельна оси Ох, и кроме
того, точка А не должна быть точкою перегиба.

45.	Функции двух переменных. Пусть будет z=f(x, у) функция двух
переменных х, у, непрерывная, когда точка М с координатами (г, у)
остается внутри площади Q, ограниченной контуром С. Эта функция
f(x, у) имеет максимум или минимум в точке (х0, v0) площади S2, если
можно найти такое достаточно малое положительное число »),• чтобы
разность

Д —f(xo + h> Уо + k) ~Дхо’ Л).

обращающаяся в нуль при h = k~ 0, сохраняла постоянный знак при
всех других значениях h и k, меньших г; по абсолютной величине.
Если мы дадим на время переменному у постоянное значение у0, то z
сделается функциею одного переменного х, и, на основании предыду-
щего (§ 44), разность

/(*о + Л- Л)— /(Хо-Л)

может сохранять постоянный знак при малых значениях h только в том

случае,

если

й/

е- равно

йх

нулю' при х = х0,	подобным же обра-

зом мы докажем,

х	У

что эти значения должны также обращать в нуль .
йу

Таким образом те системы значений х, у, которые дают для f{x,y
максимум или минимум, должны быть разыскиваемы среди решений сов-
местных уравнений

^ = 0, ^ = 0.

Зх 3_у

Пусть будет х = х0, у = у0 одно из решений этих двух уравнений.
Мы предположим, что частные производные второго порядка от •, у)
непрерывны вблизи значений л0, _у0 и не равны нулю при х = х0,
v=y0, и что существуют производные третьего порядка. Формула
Тейлора дает:

^=f(x0+h, y0-\-k)~f(x0,y0) =

= А ( h* Г2 + 2hk

+ u?/+k W3)

+ бГзх + Азх/



(30)

о

При значениях h и k, близких к нулю, знак правой части, очевидно,
зависит от зна'ка трехчлена

3х^+2^3хо3уо+ Зу2’

„ inumnu vmrirtaiD, иО исследование знака этого трехчлена будет здесь
играть главную роль.

Для того чтобы при х = х0, у=у0 функция /(х,у) имела макси-
мум или минимум, необходимо и достаточно, чтобы разность Д сохра-
няла постоянный знак, когда точка (x0-\-h, у0 + k) остается внутри
достаточно малого квадрата с центром в точке (х0, ус). Ясно, что раз-
ность Д будет также сохранять постоянный знак, если точка (х0 ч- h,
будет оставаться внутри круга с достаточно малым радиусом
и с центром в (х0, у0), так как можно заменить квадрат вписанным
кругом', и обратно. Пусть будет С круг радиуса г с центром в точке
(х0, у0); мы получим все точки внутри этого круга, положив

A = pcos(p, k — р sin

и изменяя (р от 0 до 2тт, а р от —г до -|~г. Можно было бы даже
ограничиться для р и положительными значениями, но для последую?
щего выгоднее не вводить этого ограничения. Сделав в выражении Д
эту подстановку, найдем:

р2	оз

Д = -у (Л cos2 Ц- 2В cos <р sin <р -J- С sin2 <р) -|- и - L,
£	о

причем

Зх2 Зх0 3j/0	3>2

и L есть функция, остающаяся конечною вблизи точки (х0, _у0)., кото-
рую мы не будем писать в раскрытом виде. Здесь должно различать
несколько случаев в зависимости от знака выражения В2 — АС.
Первый случай. Пусть В2—-ЛС^>0. Уравнение

A cos2 <р 2В sin <f cos <р С sin2 р = О

имеет для tg <р два действительных корня, и левая часть есть разность-
двух квадратов, так что можно написать:

рэ	рз

Д = [a {a cos <р -j- b sin <р)2 — 0 (а' cos <р -f- b' sin <р)2]	~л~ L,

£/	О

где

а>0, ^>0, ab'— Ьа'=^<3.

Если мы дадим углу <р такое значение, чтобы было
a cos <р Ч- b sin <р = 0,

то, при бесконечно малых значениях р, Д будет отрицательно; напро-
тив, если мы возьмем для <р такой угол, чтобы было a! cos <р -|- b' sin <р ~ 0,
то, при бесконечно малых значениях р, Д будет положительно. Таким
образом нельзя найти такого числа г, чтобы разность Д сохраняла по-
стоянный знак при всяком угле <р, если абсолютная величина р будет
меньше г. Функция f{x,y) при х = ха, у—у0 не имеет ни максимума,
ни минимума.

Второй случай. Пусть В2 —ЛС<0. Трехчлен

A cos2 р -|- 2В sin <р cos ср -]— С sin2 <р

не обращается в нуль при изменении ср от 0 до 2тг. Пусть бу-
дет т нижний предел его абсолютной величины; пусть будет также

Н верхний предел функции L в некотором круге с радиусом R и с цен-
тром (х0, _у0). Обозначим через г положительное число, меньшее R и ;

внутри круга радиуса г разность Д будет иметь знак коэфициента»
при р2, т. е. знак А или С. Следовательно, при х = х0, у=у0 функ-
ция f(x, у) будет иметь максимум или минимум.

Таким образом, если в точке х0, у0 мы имеем:

а2/ \2 а2/а2/
axoaj/J ах2 ay2

>0,

то нет ни максимума, ни минимума. Если

2 а2/а2/

27 \

то f(x, у) будет иметь максимум или минимум в зависимости от знака"

а2/ <2 р

производных —g, -4j. Если эти производные отрицательны, то будет ма-

ксимум; если они положительны,—то минимум.

46.	Исследование сомнительного случая. Предыдущее исследование-
не охватывает того случая, когда В2 — ЛС=0. Геометрически ясно,,
в чем состоит трудность задачи в этом особом случае. Пусть будет 5"
поверхность, представляемая уравнением z=f{x, у). Если функция
/(х, у) имеет максимум или минимум в точке (х0, у0), вблизи которой
-функция и ее производные непрерывны, то мы должны иметь:

£-0,

дх0 ау0

отсюда следует, что касательная плоскость к поверхности 5 в точке М°
с координатами (х0, у0, г0) должна быть параллельна плоскости ху. Для
того чтобы эта точка соответствовала максимуму или минимуму, необхо-
димо, кроме того, чтобы вблизи точки Мо поверхность 5 была распо-
ложена вся по одну сторону касательной плоскости; таким образом
вопрос приводится к исследованию положения поверхности относительно
•ее касательной плоскости вблизи точки прикосновения.

Предположим, что мы перенесли начало координат в точку прикос-
новения, и что касательною плоскостью служит плоскость ху; тогда
уравнение поверхности примет виД:

z — ах2 -|- 2Ьху су2 -j- ах3 -|- 3^х2у Зуху2 бу3, (31)

где а, Ь, с—постоянные, и а, 0, у, 6 — функции от х, у, остающиеся
конечными, когда х и у стремятся к нулю. Это уравнение, в сущно-
сти, тождественно с уравнением (25), в котором х0, у0 замен.ны ну-
лями, a h и k — переменными х и у.

Чтобы узнать, расположена ли поверхность 5 вблизи начала коор-
динат вся по одну сторону плоскости ху, необходимо исследовать ли-
нию пересечения этой поверхности плоскостью ху. Но эта линия пе-
ресечения представлена уравнением

ах2 -)- 2Ьху + су2 ах3	0	(32)

и имеет в начале координат двойную точку. Если Ь2 — ас отрица-
тельно, то начало есть двойная изолированная точка (§ 42); в этом случае
уравнение (25) не имеет иного решения, кроме х =у = 0, пока точка (х, у)
остается внутри круга С достаточно малого радиуса г с центром в на-
чале координат. Левая часть этого уравнения при перемещении точки
•(г, у) внутри этого круга сохраняет постоянный знак. Таким образом
все точки поверхности 5, проектирующиеся внутри круга С, за исклю-
чением начала, расположены по одну сторону плоскости ху. В этом
случае /(х, у) имеет максимум или минимум. Часть поверхности 5 вблизи
начала координат аналогична части сферы или эллипсоида.

Если Ь2—ac^>Q, то линия пересечения поверхности 5 с касатель-
ною плоскостью состоит из двух различных ветвей Сг С2 кривой, про-
ходящих через начало; касательные в начале координат к этим двум
ветвям представятся уравнением

ах2	2Ьху -]- су2 = 0. е

Рассмотрим подвижную точку (х, у) вблизи начала координат. Когда
•эта точка пересекает одну из ветвей кривой С2, С2, то левая часть
уравнения (25) меняет, знак, переходя через нуль. Таким образом, если
.каждой области плоскости вблизи начала мы припишем знак левой ча-
сти уравнения (25), то будем иметь распределение знаков, сходное
< изображенным на' черт. 4. Среди точек поверхности, проектирую-
щихся на плоскость ху внутри круга с центром в начале, как бы ни
был мал радиус этого круга, непременно одни точки будут находиться
иад плоскостью ху, а другие — под плоскостью. Относительно своей ка-
сательной плоскости поверхность расположена подобно однополостному
гиперболоиду или гиперболическому параболоиду. Функция f(x, jx) не

имеет в начале координат ни максимума, ни минимума.

В случае №— ас —О линия пересечения поверхности с касательною
плоскостью имеет в начале координат точку возврата; это тот случай,
который мы оставили выше без рассмотрения. Если в этом случае ли-

ния пересечения состоит из двух
различных ветвей, проходящих
через начало, то нет ни макси-
мума, ни минимума, так как по-
верхность опять пересекает свою
касательную плоскость. Но, если
начало координат есть двойная
изолированная точка, или если ли-
ния пересечения состоит из двух
сливающихся ветвей, то f(x, у)
имеет максимум или минимум.

Чтобы узнать, какой из двух
случаев имеет место, необходимо
принимать в соображение значения

Черт. 4.

производных третьего и четвертого

порядков, а иногда даже и значения производных высших порядков. Следующее
исследование, по большей части достаточное в приложениях, относится только
к самому общему случаю. Если Л'2 — zzr=Q, то, продолжая разложение Тейлора
до членов четвертого порядка, мы можем представить уравнение поверхности

в виде:

2 =f (Г, J/) =: А (х sin И — у COS <в)2 + ср3 (х, у) + ± ( х	4- у	Чх .	(33)

\ dx оу/ fly

Предположим для определенности, что А 0. Для того чтобы поверхность 8
вблизи начала координат была расположена вся по одну сторону плоскости ху,
необходимо, чтобы все линии пересечения этой поверхности с плоско-
стями, проходящими через Oz, были расположены вблизи начала с одной и
той же стороны плоскости хОу. Но, если мы пересечем поверхность плоскостью

= xtg

то получим уравнение кривой пересечения, положив в уравнении (33)
х = р cos <р, у = р sin f

(осями служат Oz и след секущей плоскости на хОу\, это дает:

z = Ар2 (cos f sin ш — cos <o sin <p)2 + Kp3 + Lp\

причем К обозначает коэфициент. не здвисящий от р. Если tg <о + tg ср, то, при
•бесконечно малых значениях р, z будет положительно; следовательно, вблизи на-
чала координат все эти сечения будут расположены над плоскостью ху. Пересе-
чем теперь поверхность плоскостью

у-= х tg со;

если соответствующее значение К не равно нулю, то разложение z будет иметь
вид;

д = рЗ (К +1)
и будет менять знак вместе с р. Отсюда следует, что линия пересечения поверх
ности с упомянутою плоскостью имеет в начале координат точку перегиба и пере-
секает плоскость ху; следовательно, функция f(x,y) не имеет в начале коорди-
нат нн максимума, ни минимума. Это будет в том случае, если кривая пересече-
ния поверхности с ее касательною плоскостью представляет точку возврата пер-
вого вида, как, например, у поверхности

л = — х3.

Если для рассматриваемого сечения К=0, то мы продолжим разложение до
членов четвертого порядка и получим для z выражение вида:

л = р* (Ki + s'),

где Kt есть постоянное, выражение которого через производные четвертого порядка
может быть легко получено. Мы предположим, что не равно нулю. При беско-
нечно малых значениях р, z имеет знак Kt- Если Kt отрицательно, то вблизи начала
координат линия пересечения расположена под плоскостью ху; для z опять нет
ни максимума, ни минимума. Это имеет место, например, для поверхности z —
--У2 — х*, линия пересечения которой с плоскостью ху состоит из двух парабол
у ==	х2. Таким образом мы видим, что, если не будет одновременно К=0,

Kt > 0, то продолжать вычисления бесполезно; можн > утверждать, что вблизи
начала координат поверхность пересекает свою касательную плоскость.

Если одновременно К=0, Kj > О, то все кривые сечения поверхности пло-
скостями, проходящими через Oz, будут вблизи начала координат расположены
над плоскостью ху. Но этого еще недостаточно, чтобы можно было утверждать,
что поверхность не пересекает своей касательной плоскости, как это показывает
пример поверхности

2= (У — X2) (У — 2x2),

пересекающей свою касательную плоскость по двум параболам, из которых одна
лежит внутри другой Для того чтобы поверхность не пересекала своей каса-
тельной плоскости, необходимо еще следующее условие: если мы пересечем эту
поверхность произвольным цилиндром, проходящим через Oz, с образующими,
параллельными Oz, то кривая пересечения должна быть расположена над пло-
скостью ху. Пусть будет у —®(х) уравнение следа этого цилиндра на плоскости
ху, причем при х = 0 функция ? (х) равна нулю. Функция F (х) =/[х. f (х)}
должна иметь минимум при х = 0, каков бы ни был вид функции v (х). Для
упрощения вычислений мы предположим, что осн координат выбраны таким об-
разом, что уравнение поверхности имеет вид:

z = Ays + Тз (х, у) + ... ,

где А — положительно. При этой системе осей мы будем иметь для начала коор-
динат:

V=o, V=o, 5£-о, _>£_=0.

Зх0	4у0	dxg	йхо Эу0	dyg

Производные от Д(х) будут иметь следующие выражения:

Д'(х)=^4-^/(х),
дх ду

F"(х)=S + 2 ГТ (х)+ Г2т'2 (х) + Г(х)-
ох2 ох ду ду2	ду

F"' (х) = ~f- 4- 3	/ (х) + 3	?'2 (х) +	(х) +

ох ОХ2 ду	dx dy2	дуЗ

+ 3 ГТ т"(х) + 3	+ Г(х)>

ох ду	оу2	ду
FW (х)	|+ 4	' (х) + 'Jo-У—- т'2 + 4

дх ЙхЗ dy	ЙХ2 (Уу2 dx <У'3

+ 6 —f + 12 т'т" + 6	+

+ 4	+ /4(4/ f'" + 3?"2) + /V (х).

dx ду дуй	ду

При х = у — 0 эти формулы дают:

F' (0) = 0, F" (0) =	[/ (0)]2.

ау
а/

Если <р’ (0) не равно нулю, то функция F (х) при х-0 имеет минимум,
что можно было предвидеть на основании предыдущего исследования. Если же
/ (0) = 0, то

Е'(0) = 0, F"(0) = 0, F"'(0) = ^t
dx (J

EIV (0) = “[ + 6	?" (°) + 3 J—2 К (°)12-

dXy dXy dy0	dy()

Чтобы F (x)

трехчлен второй

d/

имела минимум, —— должно быть равно нулю, и кроме того
дх3

степени по ср" (0)

+ 6	?"(0)1+ 3^ [f" (О)]2

дх£ дХ^Уо	ду‘

должен быть положительным при всяком значении /' (0). Легко показать, что эти
условия не удовлетворяются для только что рассмотренной функции д =
— у2 — Зх2у + 2л4, тогда как они удовлетворяются для функции д = у2-|-х4.
И действительно, эта последняя поверхность вся расположена над плоскостью ху.

Не будем продолжать этого исследования, которое для полной строгости по-
требовало бы очень тонких соображений, поэтому отсылаем читателя, желающе! о
подробнее ознакомиться с этим предметом, к основному мемуару Людвша Шеф-
фера (Ludwig SchefLr), Maihematiscue Annalen, т. XXXV.

47.	Функции трех переменных. Пусть будет u=f(x,y,z) непрерыв-
ная функция трех переменных х, у, z. Эта функция /(х, у, z) имеет ма-
ксимум или минимум при системе значений х0, у0, г0, если можно найти
такое достаточно малое положительное число J], чтобы разность

Д=/(х0-|-й, у0 -|- /г, z0 -ф /)—-/(х0, у, zQ),
обращающаяся в нуль при h= k = l = О, сохраняла постоянный знак
при всех других значениях й, k, I, меньших rj по абсолютной вели-
чине. Если мы предположим, что только одно из трех переменных х, у, z
получило приращение, а два других переменных будем временно рас-
сматривать как постоянные, то найдем попрежнему, что и не может
иметь ни максимума, ни минимума,если одновременно не будет

‘— = 0, -4=0, — = О,

3*0 Эу0 dz0

причем, разумеется, необходимо, чтобы эти производные были непре-
рывны вблизи значений xri, у0, гп. Предположим, что мы нашли систему
решений хг, уп, этих трех совместных уравнений. Пусть будет 2И0
точка пространства с координатами (x0,yf,z0). Функция /имеет ма-
ксимум или минимум, если можно найти такую сферу с центром в /Мг,
чтобы разность /(х,_у, z)—f(x0,yB,z0) сохраняла постоянный знак для
всех точек х, у, z внутри этой сферы, кроме точки /Ио. Представим
координаты какой-нибудь точки, близкой к Л10, через

* = *о + рг, ^=Л4"Р?> z = 2о + PY,

где а, р, у связаны соотношением g.2—j—fl2 —J—y2 = 1, и заменим в раз-
ложении /(х, у, z) по формуле Тейлора разности х—х0, у—ув, z — г0
через pa, pji, ру. Мы получим:

Д = р2 [<р (at, у) + р/-]>

где (р (a, [J, у) обозначает квадратичную форму по а, 0, у, коэфициенты
которой суть производные второго порядка от f(x,y,z), и L — функ-
цию, остающуюся конечною вблизи точки Мв. Устраняя тот частный
случай, когда дискриминант квадратичной формы (or, [J, у) равен нулю,
мы можем представить эту форму в виде суммы квадратов трех раз-
личных линейных функций от а, 0, у, умноженных на постоянные мно-
жители. Таким образом мы будем иметь:

<₽ (а, р, у) = аР2 а'Р'2 + а"№.

Если коэфициенты а, а', а" имеют одинаковые знаки, то квадра-
тичная форма <р (а, р, )) остается по абсолютной величине большею
некоторого минимума, когда точка а, 0, у описывает сферу

a2 + P2 + Y2=1,

и следовательно, Д сохраняет знак коэфициентов а, а', а", если р.
меньше некоторого предела. Таким образом функция f(x,y,z) имеет
максимум или минимум.

Если коэфициенты а, а', а" не имеют одинаковых знаков, то нет ни
максимума, ни минимума. Предположим, например, а>0, <У<^0; возь-
мем для о, [3, у значения, удовлетворяющие соотношениям P' = Q,
P" = Q. Эти значения не обращают в нуль Р, и, при достаточно
малых значениях р, Д будет положительно. Напротив, если мы возьмем
для а, р, у значения, удовлетворяющие соотношениям Р=0, Р"=0,
то, при малых значениях р, Д будет отрицательно.

Изложенный метод исследования остается одним и тем же при вся-
ком числе независимых переменных, и главную роль в нем всегда играет
изучение некоторой квадратичной формы. Можно заметить, что в слу-
чае функции трех независимых переменных u = f(x,y,z) задача при-
водится к изучению характера поверхности вблизи ее особой точки.
В самом деле, рассмотрим поверхность 2, представляемую уравнением:

F(x, у, z)=f(x,y, z)—f(x0,y0, zo) = O.

Эта поверхность, очевидно, проходит через точку Л40 с координатами
(хп, у0, г0), и если функция f(x,y,z) имеет максимум или минимум, то
точка /Ио есть особая точка поверхности 2. Если конус касательных
в Л40— мнимый, то, как мы видели, F(i,y,z) сохраняет постоянный
знак внутри сферы достаточно малого радиуса с центром Мв; следо-
вательно, /(х, у, г) действительно имеет максимум или минимум. Но,
если конус касательных — действительный или распадается на две дей-
ствительных различных плоскости, то существует несколько полостей
поверхности, проходящих через точку /Ис, и F(x, у, г) меняет знак,,
когда точка (х, у, z) при своем движении пересекает одну из этих по-
лостей.

4S. Расстояние точки от поверхности. Пусть требуется найти наибольшие
и наименьшие значения расстояния от данной точки (a, b, i) до поверхности S,.
представляемой уравнением F(x,y,z) — 0. Квадрат этого расстояния

и = cP =±= (х — о)2 + (у — by + (z — с)2

есть функция только двух независимых переменных, например х и у, так как
мы можем рассматривать z как функцию от х и у, определяемую уравнением.
F=0. Если и имеет максимум или минимум для точки (х, у, г) поверхности, to-
для координат этой точки должно быть:

1 За	,	,	,	.	3z	.

- - = (х — о)	+-(z — с)	- = 0,

2 дх	дх

= ( V—о + (г —С)

2 ду	ду

С другой стороны, из уравнения F — 0 имеем:

др др dz _ dF d F dz .
--  -f-  — —  [- -—• — = V,
Зх dz дх ду dz Зу

и предыдущие соотношения обращаются в

х — а__V — b _ z — с

ЗЕ ~ др ~ дР_
Зх dy dz

Эти уравнения показывают, что нормаль к поверхности S в точке (х,у, z)>
проходит через точку (а, Ь, с). Оставляя в стороне особые точки поверхности 8,.
мы видим, таким образом, что искомые точки суть основания нормалей, опущен-
ных из точки (а, Ь, с} на поверхности S. Чтобы решить, действительно ли
одна из этих точек соответствует максимуму или минимуму, мы примем эту
точку за начало координат, а касательную плоскость в этой точке — за плоскость
ху, так что данная точка (a, b, t) будет лежать на оси Oz. Тогда наша функция
примет вид:

а —х2 + у2 + (z —с)2,

где z есть функция от х, у, равная нулю вместе со своими производными пер-
вого порядка при х=у = (). Обозначая через r,s,t частные производные второго
порядка от z, мы будем иметь для начала координат:

32а	32а	32а

— =2(1 —сг),— - = -2ел,	— =2(1 — ct),

Зл2	Зх Зу	Зу2

и задача приводится к исследованию знака многочлена

Д (с) = c2s2 — (1 — cr) (1 — ct) = с2 is2 — гТ) + (г + 1) с — 1.

Вследствие тождества (г-|-t)2 4-4 (л2 — rt) = 4s2 -f- (г—t)2 корни уравнения
Д (с) = 0'всегда действительны. В зависимости от знака з2— rt нам надо будет
различать здесь несколько случаев.

Первый случай. Пусть s2 — rt < 0. Уравнение Д(с) = 0 имеет два корня с2
и с2 с одинаковыми знаками, и мы можем написать Д(с)=(з2— rt) (с — q) (с—с2).
Отметим на оси z две точки А.2 с кординатами q, q; эти две точки располо-
жены по одну сторону от начала, и предполагая г и t положительными, что
всегда возможно сделать, мы найдем, что обе точки лежат на положительной.
части оси Oz. Если данная точка А (0, 0, с) находится вне отрезка AtA2, то
Д (с) отрицательно, и расстояние ОА будет максимум или минимум Чтобы узнать,
какой из двух случаев имеет место, необходимо обратиться к знаку 1 — сг. Этот
коэфициент обращается в нуль только при значении с , заключающемся между q

и с.,, так как А — = — , Но, при с = 0, 1 — сг положительно; следовательно.
\ Г J

1 — сг положительно, если точка А находится по одну сторону с началом отно-
сительно отре.ка А{А2, и расстояние ОА будет минимум. Напротив, ОА будет
максимум, если точка А расположена по другую сторону, чем начало координат,
•относительно отрезка Если точка А находится между точками А, и А2, то
расстояние не будет ни максимум, нн минимум. Случай, когда точка А совпадает
с At или с А2 — сомнительный и требует особого выяснения.

В г.орой случай. Пусть s2 — rt > 0. Из корней q и с2 уравнения Д (с) = 0
один будет положительным, другой — отрицательным, и точки Ait А2 будут рас-
положены на оси Oz по разные стороны от начала координат. Если точка А не
лежит между А{ и А2, то Д(с) положительно, и нет ни максимума, ни минимума.
Если же точка А лежит между и А2, то Д (с) отрицательно, 1—сг положи-
тельно, и следовательно, расстояние ОА будет минимум.

Третий случай. Пусть s'2 _ rt~- 0. Тогда Д (с) = (r-j- t) (с —q). Подобно пре-
дыдущему мы найдем, что расстояние ОА будет минимум, если точка А распо-
ложена । о одну сторону с началом относительно точки А, с координатами
(0, 0, q), и не будет ни максимума, ни минимума, если точка At находится между
точкою А и началом координат.

Точки At и А2 имеют основное значение в изучении кривизны; это — глав-
ные центры кривизны поверхности S в точке О.

4э. Максимум и минимум неявных функций. При изыскании ма-
ксимумов нли минимумов функций многих переменных часто случается,
что эти переменные связаны одним или многими соотношениями. Пусть
будет, например, ш=/(х, у, Z, и) функция четырех переменных х, у, г, и,
которые должны удовлетворять двум соотношениям:

ft (х, у, z, а) = 0, /2 (х, у, z, и) = 0.

Для определенности мы будем рассматривать х и у как два неза-
висимых переменных, a z и и как функции от х и у, определяемые
предыдущими соотношениями. Необходимые условия того, чтобы ш было

максимум или минимум, будут:

У У У йа={)
йх ' йг йх ' йа йх

йг
причем частные производные у- ,
ношений.

йД , й/, йг ! й/з йа_Q

йх ' йг йх 1 йа йх

Ут । Ут	। Ут да  Q

йу ' йг йу ' йа йг

У . д/ йг _^_й/ йа =()
йу йг йу йа йу

йг йа йа

—, — , — определяются из соот-

й/2	(У‘2й£_}_й/2йа^0

йх-! йг йх ' йа йх

д/г । д/3	। д/2	__ Q

й у "Г" йг йу ' йа йу

..	„	йг	йа	йг

Исключая	из этих шести	уравнений	— ,	—,	—,

ЙХ	ЙХ	йу

дим к следующим двум соотношениям:

*>(/./,,/г) _о

D (х, г, а) ’ D (у, г, а)

йа

—, мы прихо-
ду

(34)
Эти уравнения вместе с уравнениями Д — 0, /2 = 0 определяют зна-
чения х, у, Z, и, соответствующие максимуму или минимуму функции о>.
Но уравнения (34) показывают, что можно иайти для ). и р. такие зна-
чения, чтобы было

ЙХ	ЙХ йх	ЙУ	йу	йу	(

ЙС	dz	' Й2	ЙИ	ЙИ	У!	J

Следовательно, условия (34) можно заменить четырьмя уравнениями (35),
рассматривая ) и ц как два вспомогательных неизвестных.

Доказательство общей теоремы очевидно, и мы можем дать следу-
ющее правило:

Если дана функция

f(X1, хг ... , х„)

от п переменных, связанных h различными соотношениями

Ъ = °- ф2 = 0, - - - , о,

то, чтобы найти те значения хг, х2, ... , хп, которые обращают
эту функцию в максимум или минимум, нужно приравнять нулю
частные производные вспомогательной функции

/+ Ч5?! + • • • +

рассматривая \v \, ... , Хл как постоянные.

' 50. Общие замечания об абсолютных максимумах и минимумах. Чтобы
определить абсолютные максимум и минимум непрерывной функции
в определенной области, включая ее границы', нужно иметь в виду не-
которые замечания, в важности которых нетрудно убедиться. Возьмем,
например, функцию одного переменного /(х), определенную в интер-
вале (а, Ь)', она может достигнуть максимального значения или мини-
мального значения во внутренней точке С этого интервала, между тем
как условие обращения в нуль производной не выполняется. Если про-
изводная f'(x) разрывна при х = с, то, если она меняет знак, этого
достаточно, чтобы функция имела максимум или минимум; так,
2

функция у = хЛ имеет минимум при х = 0, между
2

водная — х 6 обращается в бесконечность при этом
U

тем как произ-
значении х. Это

значение распространяется, очевидно, на функции произвольного числа
переменных. Пусть, для определенности, ш =/(х, у) — функция двух
переменных х и у, непрерывная в области D. Ранее данные правила,
позволяющие узнать, соответствует ли внутренняя точка (х0, _у0) этой
области максимуму или минимуму, существенно предполагают, что про-
изводные f до третьего порядка сохраняют конечные значения вблизи
этой точки. Но может случиться, что функция <о достигнет максимума
или минимума во внутренней по отношению к области D точке (х0, _у0),
8 Э. Г у р с а, т. I, ч. 1.
где эти условия уже не будут выполнены, например в точке, в которой
производные fx, f' разрывны*.

Может также случиться, что рассматриваемая функция достигает
максимального или минимального значения в точке, принадлежащей
границе области; к этому случаю общие правила, очевидно, не могут
быть применимы. Допустим, например, что нужно найти кратчайшее
расстояние заданной точки Р с координатами (а, 0) от окружности С
радиуса /?, имеющей центр в начале координат. Беря за независимое
переменное абсциссу х точки М окружности С, имеем:

</2 = р/и‘з = /?2 _|_ а2 — 2ах.

Применение общего правила привело бы к разысканию корней урав-
нения 2а = 0, что является абсурдом. Мы легко можем объяснить этот
результат, если заметим, что по самой природе вопроса переменное х
может изменяться лишь от —R до -(- R. Если а положительно, то d2
имеет минимум при x = R и максимум при х = — R.

Таким образом в каждом частном случае представляется необхо-
димым специальное исследование, относящееся к границе области. Но
это исследование становится бесполезным во всех случаях, когда рас-
сматриваемая область не имеет границ. Мы можем сказать, что вся-
кая замкнутая поверхность является областью двух измерений, не
имеющей границ. Для определенности возьмем сферу радиуса R и
предположим, что прямоугольные координаты точки этой сферы выра-
жены через географические координаты:

х = /?sinOcos ср, у = sin 6 sin ср, z — R cos 6.

* Пусть, например, f— ]/л2 + У2 + ? (х, у), где функция ? непрерывна, так
же как ее частные производные до второго порядка, вблизи начала координат.
Так как частные производные fx,fy разрывны при х=у = 0, то мы не можем
применить общее правило, чтобы узнать, имеет ли f максимум или минимум
в начале координат. Предположим, что в области этой точки

tp = ах + by Н---,

причем члены, которые не написаны, по меиьшей мере второй степени. Если мы
положим, как в § 45. х — р cos и, y = psin<d, то получим:

f=p (I + a cos <о + b sin и) ф-р2Р(р, ш),

где функция Р остается конечной в области начала координат.'

Мы видим, как и в § 45, что, если а2 4- b2 < I, коэфициент при р остается
больше некоторого положительного минимума, и / имеет минимум в начале коор-
динат. Если а2 + Ь2 > 1, то коэфициент при р меняет знак, и функция не имеет
в начале координат ни максимума, ни минимума. Случай, когда а2 + b2 = I, пред-
ставляется неопределенным. Интересный пример представляет задача разыскания
такой точки М плоскости, сумма МА ф МВ ф- МС расстояний которой от трех
точек плоскости была бы наименьшею. Если все углы треугольника АВС
меньше 120°, то точка М есть точка, из которой все три стороны АВ, ВС,
СА видны под углами, равными 120°; если один из углов, например А, больше
120°, то точка М совпадает с точкой А, и в этой точке частные производные
функции разрывны. Нетрудно убедиться в том, что предшествующее правило мо-
жет быть применено, если взять точку А за начало координат^
Всякой функции, которая имеет единственное значение в каждой
точке сферы, соответствует функция о>=/(3, и) двух переменных 0 и а,
имеющая период 2тт по отношению к каждому из этих переменных.

Если эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные произ-
водные при всех значениях У и ш, то ясно, что нары значений 0 и <р,
при которых эта функция имеет максимум или минимум, принадлежат

„ ЙМ л ЙЮ „
к числу решений системы уравнении	’	~

51. Максимальное значение одного определителя. Допустим, что нужно
найти максимум абсолютной величины определителя

Ь,., С, ...

По С-2- • .1-2

(36)

ап ЬП Сп-   1/1

причем известна сумма квадратов элементов каждой строки. Задача сводится
к разысканию максимума или минимума функции А от л2 переменных nz, b:, ct,. .. ,
связанных п соотношениями

at Ч- b] 4- с] +... 4 /? = //z (Z-- 1, 2,..., л),

(37)

где 77z— ;аипые положительные постоянные. Область, определенная указанным
образом, не имеет границ, так как мы можем рассма1ривагь at, b(, е^...,^ Как
координаты точки гиперсферы радиуса |//7,- в пространстве п измерений.

Предположим, чю А разложен по элементам 7-й строки:

А = Дау 4  ВА	 - • 4 44	(й8)

мы должны искать максимум или минимум функции А п переменных at, Ъ{, с{,..., /,,
связанных соотношением (37). Применение способа множителей (§ 49) тотчас же

приводит к условиям:

Д/	bi = _Ji_

Л	Вг	Lt

Пусть ak, Ьк, ск, ...,1к—элементы другой строки А. Мы имеем:

Анк 4- Btbk 4’   • 4- LJk - 0,

и следовательно, на основании соотношений (39)

П/7* 4 4’4 4 • • • 4 44 —

(39)

(40)

если i^bk. Отсюда мы заключаем, что определитель А может иметь максимум
или минимум только в той случае, если это ортогональный определитель.

Если условия (40) удовлетворены, то квадрат А есть определитель, все эле-
менты которого равны нулю, за исключением элементов главной диагонали, ко-
торые соответственно равны //., Н.2, ... , Нп. Мы имеем, следовательно, в этом
случае:

А2 = //(, Hi, ,нп ,

и следовательно, максимум абсолютной величины определителя есть
y/HltH2,...,Hn.

Примечание. В случае, когда п = 3, А представляет объем параллеле-
пипеда построенного на отрезках OAlt ОА2, ОА3, соединяющих начало координат
с точками А^уц , b,, ct), А2(а2, Ь2, с2), А3(ая , Ь3 , с:1). Полученный результат пред-
ставляет собою, следовательно, не что иное, как обобщение следующей теоремы
геометрии: из всех параллелепипедов, построенных на данных трех ребрах,
тот, который имеет наибольший объем, есть прямоугольный.
Так как мы можем придать этому параллелепипеду бесконечно много поло-
жений в пространстве, не изменяя ее вершины О, то мы видим, что максимум,
полученный для А2, есть максимум в широком смысле.

Пусть Д — какой-нибудь определитель порядка я; обозначая через at, bt,...,
элементы Z-й строки, мы, на основании предыдущего, имеем неравенство:

I Д а1 + +  • • +	^2 + • • • + ^2’ •	+ • • • +	(41)

Если абсолютные величины всех элементов Д не превосходят некоторого
положительного числа М, то мы имеем, следовательно, и подавно *

I Д | < уппмп.	(42)

III.	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

52.	Основное свойство. Как мы видели, функциональный опреде-
литель играет важную роль в теории неявных функций. При всех дока-
зательствах мы исходили из предположения, что некоторый определитель
Якоби не равен , нулю. Если даны п функций, зависящие от п незави-
симых переменных, непрерывные и допускающие непрерывные частные
производные первого порядка, то якобиан этих функций обладает свой-
ствами, аналогичными свойствам производной. Например, чтобы функция
одного переменного х обращалась в постоянную, необходимо и доста-
точно, чтобы ее производная была тождественно равна нулю. Вот соот-
ветствующая теорема дли якобиана:

Пусть будут иг, и2,... , ип п функций от п независимых пере-
менных хг, х2,..., хп. Чтобы между этими п функциями сущест-
вовало соотношение "к(иг, и2,. .. , ип) = О, не содержащее переменных
Xj, х2,..., хп, необходимо и достаточно, чтобы функциональный

D(U1,u2,...,un)

определитель ~	~ у был равен тождественно нулю.

, х2, .. . , хп)

1)	Условие необходимо. Рассмотрим для определенности три
функции от трех переменных:

X=f2(x,y,z), Y=f2(x,y,z), Z=f3(x,y,z),	(43)

непрерывные и допускающие непрерывные производные, и допустим,
что якобиан

не равен тождественно нулю. Пусть, властности, (x0,_y0,z0)— система
значений х, у, z, при которой этот определитель отличен от нуля;
пусть XQ, Y0,Z0— соответствующие значения X, Y, Z. Согласно общей
теореме § 38, можно найти такое положительное число h, что каждой
системе значений X, Y, Z, удовлетворяющей условиям

Хо— Л^Х^Х0-]-Л, Yo — Л<У<У04-й, Zo —	(45)

* Эта теорема принадлежит Адамару (Hadamard) (Bulletin des Sciences
mathematiques, 2-я серия, т. XVII, 1893). Доказательство, приведенное в тексте,
принадлежит Виртингеру (Wirtinger) (Ibid., 1908).
соответствует система значений х,у, z, удовлетворяющая уравнениям (43).
Так как в указанной области значения функций Д, /2, /3 могут быть
выбраны произвольно, между этими функциями не может сущест-
ьовать никакого соотношения F(X, Y^Z'j — G.

Примечание. То же рассуждение показывает, что не может суще-
ствовать соотношения между двумя функциями X и У, если три якобиана
£>(Х, Г) D(X, Г) D(X, Г)	„ £

~D(x~y)'' ~D(y z) ’ £)(z x) He Равны НУЛЮ тождественно. Вообще, для того
чтобы п функций «4, и2, ..., ил от п-\-р независимых переменных хь х2, ..., хп+/,
были связаны одним соотношением, необходимо, чтобы все функциональные
определители

Д(»1, <0.  , ап)

D(xai,xat, ..., ха„)

были тождественно равны нулю; здесь указатели otj,	, ... , представляют

любые п чисел из п + р начальных целых чисел.

2)	Условие достаточно. Рассмотрим систему четырех функ-
ций от четырех независимых переменных:

Х=^(х, у, z, t), Y=f2(x,y, z, t), Z — f2 (x, y, z, t), T=k(x,y, z, t),				й  1 1 Г 1	(46)
таких, что определитель	LA			15	
	ЙХ	ЙУ	dZ	dt	
	v2	й/2	^2	д/2	
	й С у3	dy	дг  Уз	(it v3	
	ЙХ	й V	dZ		
				<v4	
	ЙХ	йу	йг	dt	

равен нулю тождественно. Предположим сначала, что один из миноров
s D (А, А, А)

первого порядка, например о = ----ут, не равен тождественно
D (х, у, z)

нулю. В этом случае из трех первых уравнений (46) можно найти, раз-
решая их относительно х, у, z:

х=^(Х, Y, Z\ t), J = (X, Y, Z, t), г=<р3(Х, Y, Z, t), (47)

откуда

Г==Л('Ь- Чг> Тз> О =F(x, 'y, z, t).	(48)

Мы докажем, чго эта функция F не содержит переменного А т. е.
йА п п

что мы имеем тождественно — =0. В самом деле,

О*

=	, У.й-i, , УУ3 , У .	(49)

dt дх й/ dt "Г” dz dt dt
d'-pi й<р2
но частные производные -*1,	,

ы- vt

dtp.

от неявных функций (рр ср2, <р3

даны при помощи трех соотношений:

У f_ У У2 1 Йх it ' iy it	Уз 1 У1	 n  iz it n it
У2 У1 | У2У2 -L- iX it iy it '	У2 Уз 1 Уз	Q  iZ it "I it ’
Уз 1 Уз Уз I ЙХ it ' iy it '	Уз Уз 1 Уз _ 0 iz it "I it

(50)

Соотношения (49) и (50) представляют систему четырех уравнений
й'-Р. йф, Ж йЛ	йГ

относительно —, —, —. Из них легко найти значение — ;
ЙЛ	it	it	it	it

в самом деле, прибавляя к элементам последнего столбца определителя А
элементы первого столбца, умноженные на —элементы второго, умно-
й^2	°*

женные на , и элементы третьего, умноженные на —~ , мы получим,
uZ	QI

в силу соотношения (50), А — 3- — • ^а1< как ° не Равно нулю, необ-
оГ

ходимо, чтобы F не содержало переменного t; следовательно, между
четырьмя функциями X, У, Z, Т существует соотношение вида:

T=F(X, У, Z).

Можно заметить, что между этими четырьмя функциями не сущест-
вует иного соотношения, не зависящего от х, у, z, t. Иначе можно было
бы вывести соотношение между X, У, Z и, следовательно, минор 5 был
бы равен нулю.

Перейдем теперь к случаю, когда все миноры первого порядка опре-
делителя А тождественно равны нулю, но по крайней мере один из
миноров второго порядка, например	\ , не равен нулю тож-

D (х, у)
явственно.

Из двух первых уравнений (46) получаем:

х = (X Y, г, Z), у — <₽2 (X. Y, z, Z),
следовательно:

2 =fs (?1> ?2> t) = F. (X, У, z, t), t=f2 (А; У, z, t).

Докажем, что,

й/7

например, —-4 = 0. Из трех соотношений:
uZ

= Уз Уз	।	Уз	У2	I	Уз

it ix it	'	iy	it	it ’

0 = У	I	У	У 2	I	У1

ЙХ it	'	iy	it	'	it ’

0 __ У2 Уз.	।	У2	4	।	y2

ЙХ it "I	iy	it	'	it '
получаем тем же путем, как в предыдущем рассуждении, соотношение:

D (х, у, t) dt ’
следовательно,

Точно так же найдем:

^ = 0, ^ = 0,	^ = 0.

dZ	dt

Таким образом в этом случае существуют два различных соотноше-
ния между четырьмя функциями X, Y, Z, Г:

Z = FA(X, Г),
T=FJX, Y).

Между X, Y, Z, Т не может существовать никакого третьего соот-
ношения, отличного от этих двух, так как в противном случае мы вы-
D (X У)

вели бы соотношение между Хи Ии должны были бы иметь —-—-—- = 0,
D (х, у)

что противно положению.

Наконец, если бы все миноры второго порядка якобиана

F3, FJ
D (х, у, z, t)

были равны нулю, но четыре функции X, Y, Z, Т не были бы постоян-
ными, то мы увидели бы подобным же образом, что три из этих функ-
ций суть функции четвертой. Приведенное рассуждение, очевидно, имеет
вполне общий характер. Если определитель Якоби для п функций F},
F., . .. , Fn от п независимых переменных хр х2, ... , сп равен нулю,
равно как и все его миноры о п — r-f-1 строках, но по крайней мере
один из миноров о п — г строках отличен от нуля, то существует
г различных соотношений между п функциями, и г из этих функ-
ций могут быть выражены через п — г остальных, причем между этими
последними не существует никакого отношения, не содержащего пере-
менных хр х2, ... , х .

Мы предоставляем читателю доказать следующее предложение, кото-
рое может быть установлено подобным же образом.

Для того чтобы п функций от п-\- р независимых переменных
были свчзаны соотношением, не содержащим этих переменынх, необ-
ходимо и достаточно, чтобы все определители Якоби от этих п
функций относительно п любых из независимых переменных были
тождественно равны нулю. В частности, для того чтобы две функции
F-i (хр х2, . .. , хл) и F2 (Хр х2, ... , хп) были функциями одна дру-
гой, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие частные произ-
^2 х

водные и —- были пропорциональны.
Примечание. Входящие в основную теорему функции Flt F2, ... , Fn мо-
гут зависеть, кроме того, еще и от некоторых переменных у{, у3, ... , уп, отлич-

D (F F F }

ных от х2, ... , х„.Если определитель Якоби	*’——&>. тождественно

£> (хь х2, ... , х„)

равен нулю, то функции Flt F2, ... , Fn связаны одним или несколькими соотно-
шениями, не содержащими переменных хь х9, ... , хп; но остальные переменные
Л, Уа. ••• ,_Ул> вообще, войдут в эти соотношения.

Приложения. Предыдущая теорема весьма важна для анализа. Она
позволяет, например, доказать основное свойство логарифма, не пользуясь его
арифметическим определением. В самом деле, в начале интегрального исчисления
будет доказано, что существует функция, вполне определенная для всех поло-
жительных значений переменного, которая принимает значение нуль при х—1
и производная которой равна --. Пусть будет f (х) эта функция; положим

u = f(x) +f(y), v = xy.

Мы имеем:

Следовательно, существует соотношение вида

f (*) Ц/(У) = ? (*»;

чтобы определить функцию <р, достаточно положить у - I; это дает f (х) = ? (г),
и так как х произвольно, то мы имеем:

fW+f(y)=-f(xy).

Мы видим, каким образом предыдущее определение логарифма могло бы приве-
сти к основным свойствам логарифмов, если бы их открытие не предшествовало
изобретению интегрального исчисления.

Формула для производной функции от функции может также быть
распространена на определитель Якоби. Пусть будет Fp F2, ... , Fn
система п функций от переменных «2, . .. , ил; предположим, что
«2, ... , ип сами суть функции п независимых переменных х3,
х2, .. . , х„. Мы имеем следующую формулу:

D(Fv^2.......Fn) = D(FV Р2, ... , Fn) D(uv u2,..., un)	t

D (xp x2, ... , xn) D (Uj, u2, ... , uj D(xvx2, ... , xn) ’
доказательство которой непосредственно вытекает из правила умноже-
ния определителей и из формулы для производной от сложной функ-
ции. Напишем оба определителя, стоящие во второй части равенства (51):

dF,	dF.	dF,
dWj		
	dF„	dF„
d«j	d//2	

д«, д«2	дия

dxj йх, ''' дх,
д«, д«,	dzz„

‘К 1хп • • • ixn

переставив строки и столбцы второго. Первый элемент произведения
равен

dF, д«,	д«,

д«, дх, "Г” дц, дх.

<}11П
Лип дх,’

dF,

т. е. равен , и то же самое получим для других.
Формула, дающая производную от сложной функции, может быть
распространена на функциональные определители.

Пусть будут, например, X и Y две функции от трех переменных
х, у, z, которые, в свою очередь, являются функциями двух независи-
мых переменных и и v. Мы имеем:

D (X, У) __Р {X, Y} Р(х,у)	Р(Х, У) Р(у, z) Р(Х, У) Р (г, х) .

Р(и, v) Р(х,у) Р (и, v) ' Р (у, z) Р(и, v) ' Р (г, х) P{u,v)

легко доказать и обобщить эту формулу.

Определитель Г'ессе. Пусть будет /(г, у, г) функция трех переменных
.	if df if

х, у, г; функциональный определитель от трех частных производных — , — , —
• дх ду/ dz
называется определителем Гессе (Hesse):

ду д2/ д'У

дх2 д х ду/ дх dz

h _ Sy i2/	*2f

дх dy/ ду/2	dy/dz

д2/	да/	dy

дх dz dy/ dz	дг -

Подобным же образом составляется определитель Гессе для функции от п пере-
менных; роль его аналогична роли производной второго порядка от функции
одного независимого переменного. Мы сейчас покажем, что этот определитель
обладает замечательным свойством инвариантности. Предположим, что над пере-,
менными х, у, z выполнена линейная подстановка:

х = аХ+? Г + Т Z, 1
у — а'Х-\ ^'Y-^y'Z, I
z~a”X + $"Y+f'Z, )

где X, Y, Z - новые переменные, а я, р, у, ... , f" — такие

делитель подстановки

(51а)

। остоянные, что опре-

7

ч'
п

1

отличен от нуля. После этой подстановки функция / (х, у, z) обратится в новую
функцию F(X, Y, Z) от трех переменных X, Y, Z. Пусть будет Н (X, Y, Z) опре-
делитель Гессе для этой новой функции; мы докажем, что если заменим х, у г
в h (г, у, z) их выражениями (51а), то тождественно будем иметь:

Н(Х, Y, Z) №h (г, у, z).

Действительно,

д ftJL 6F о ftF dF

W’ ЙГ’ dZ/ _ w’ dr’ dz/	z)

D {X, Y, Z) ~ D (x, у/, z) ’ D {X, Г, Z) '

rt	d / d/ d /

Приняв на время —, —-, за посредствующие переменные, мы можем еще
дх ду/ dz

написать:

D (bF D (Ч У.\

___\dX ’ дГ ’ dZ/ \дх ’ ду/ ’ dz / D (х, у, z)

~ D (Ч d/ д/\ ’ D (х, у, 2)	’ D (А, Г, Z) '

\дх dy/ dz /
Но из соотношения F (X,Y,Z)=f(x,y,z) находим:

и следовательно,

таким образом

эл_ dx'	Э/ . , d/ „ d/ a — 4- a - - 4“ a ” dx	dy	dz		
йг		Г P	
dr'	dx	dy	di
dF_	Л	+-Л	4-v" 'LL
dz'	dx	dy	dz

/dF ЗЛ dF \
\dx’ dr’ iz)

*f_	й/\

dx Ъу ’ dz )

- a a a	
	= A;
t t’ f”	

= Д2Л.

D (х, у, г)
D (X, Г, Z)

Очевидно, что эта теорема имеет вполне общий характер.

Дадим приложение этого свойства определителя Гессе. Рассмотрим кубиче-
скую бинарную форму:

f (х, у) = ах- + 3bxty Ц- Зсху* + dy--,

где коэфициенты a, h, с, d суть какие-нибудь постоянные количества. Пренебре-
гая числовым множителем 3-2 = 6, имеем:

/г = I а* f	ЬХ Т	I = (ас — *2) xi + W ~ M ХУ + W ~~ c2) У2’

I bx -f- cy, ex Д- dy I	’	4	7

таким образом определитель Гессе есть квадратичная бинарная фогма. Отбросим
сначала тот частный случай, когда определитель Гессе есть точный квадрат;
в общем случае этот определитель можно разложить на произведение двух раз-
личных линейных множителей:

h = (тх + ну) (рх -h qy).

Если мы выполним линейную подстановку

тх + пу = X, рх 4 qy = Г,

то форма / (х, у) обращается в новую форму:

F (X, Г) = АХз 4- 3BXW 4- 3CXY? 4- пуз-

для нее определитель Гессе

//(X, Y)=(AC - №) Х*+ (AD-ВС) XY + (BD — С>) Y*

по только что доказанному свойству инвариантности должен принять вид KXY.
Поэтому коэфициенты А, В, С, D должны удовлетворять двум соотношениям:

В2 —лс=о, BD — С2 = 0.

Отсюда видно, что если один из двух коэфициентов будет отличен от пуля, то
будет отличен и друюй; таким образом в этом случае мы имеем:

А = ~,

F(X, Г) = t (бзхз 4- 3BiCXiY4- ЗВС^ХУ* 4- C3Y3) =	,

£5 С

так что F (X, У), а следовательно, и / (х, >) будет точным кубом. Отбрасывая этот
исключительный случай, мы видим, что В = С = 0, и многочлен F (X, Г) приво-

дится к каноническому виду:

АХз 4. о уз.
Таким образом приведение формы / (х, у) к каноническому виду требует
только решения уравнения второй степени, которое мы получим, приравняв
определитель Гессе нулю. Два множителя, на которые распадается определитель
Гессе, и будут каноническими переменными X, Y.

Если определитель Гессе есть точный квадрат, то подобным же образом мы
найдем, что форма fix, у) может быть приведена к виду АХз + BX$Y; если опре-
делитель Гессе равен тождественно нулю, то f (х, у) есть точный куб:

/ (х, У) = (<*х + ₽у)з.

IV.	ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ.

53.	Общие замечания. Во многих вопросах анализа мы часто встре-
чаемся с необходимостью произвести замену независимых переменных.
В подобных случаях мы должны уметь выражать производные, взятые
по старым переменным, через производные по новым переменным. Мы
уже затронули задачу этого рода при рассмотрении вопроса об инвер-
сии. Для решения общей проблемы не требуется введения новых прин-
ципов. Достаточно применить правила нахождения производных слож-
ных и неявных функций. В тех случаях, когда имеется несколько
независимых переменных, можно значительно упростить вычисления при-
менением полных диференциалов, опираясь при этом на следующие
замечания, которые мы выскажем, предполагая для определенности, что
имеется три независимых переменных х, у, z.

1.	Пусть и, v, w— три независимые (т. е. не связанные никаким
соотношением) функции переменных х, у, г; между их полными дифе-
ренциалами du, dv, dw не может существовать никакого соотношения
вида

). du -]- ji dv -ф- v dw = 0,	(52)

если только коэфициенты X, ji, у не обращаются одновременно в нуль
В самом деле, приравнивая нулю коэфициенты при dx, dy, dz в пред--
шествующем соотношении, мы имеем для определения X, р, у три одно-
родных линейных уравнения, и определитель, составленный из коэфи-

,	, D (и, v, w)

циентов при А, и, V, есть не что иное, как якобиан —---------- .

D (х, у, z)

2.	Пусть со, и, v, w — четыре функции трех независимых' перемен-
D(u, v, w)	..

ных х, у, z, причем & у—не Равен нулю. Мы можем, обратно,
выразить х, у, z в функции и, v, w, подставляя эти значения х, у, z
в выражение со, мы получаем функцию

со = Ф (и, v, w)

трех переменных и, v, w. Если каким бы то ни было способом между
полными диференциалами d<$, du, dv, dw, взятыми по отношению к не-
зависимым переменным х, у, z, получено соотношение вида

da = Р du -ф- Q dv -ф- R dw,
то коэфициенты Р, Q, R соответственно равны частным производным
функции Ф (и, v, w):

ЙИ	dW
В самом деле, мы знаем, что, на основании правила нахождения
полного дпференциала сложной функции (§ 24):

,	<>ф	, эф , аФ

dw — — d’t 4- -— dv 4- — dw,
ди <Гп

и другого линейного соотношения между do), du, dv, dw существовать
не может, так как в противном случае мы получили бы соотношение
вида (52) между du, dv, dw, в котором коэфициенты k, ji, у не были
бы одновременно нулями, что невозможно на основании первого заме-
чания.

Мы применим эти общие принципы при обзоре наиболее часто
встречающихся задач, к которому мы переходим.

54. Задача I. Пусть будет у функция незасисимого переменного х.
Возьмем новое независимое переменное t, связанное с х соотноше-
нием x=y(ty, требуется выразить производные от у относительно х
через t и через высшие производные от у по t.

Пусть будет у =/(х) рассматриваемая функция, и пусть после'за-
мены х через ср (/) эта функция обращается в F(t) =f{'^ (/)]. По пра-
вилу диференцирования функции от функции находим:

откуда

dy

v*-<p’(O~<p'(O •

Полученный результат можно выразить следующим образом: чтобы
получить производную от у относительно х, должно взять произ-
водную от этой функции по t и разделить ее на производную
от х по t.

Прилагая предыдущее правило к полученному выше выражению про-
изводной первого порядка, мы найдем производную второго порядка:

d*y _dt[Vx _£ ср' (/) — у\ср"(/)
dxi ~' <р'(0 ~	[<р'(ОР

Прилагая снова то же самое правило, мы получим производную тре-
тьего порядка:

d „
d'y _ dt
dxs ср' (t) ’

или, выполняя вычисления,

<?У = Ур [?' (ОР - 3£, р' (О ср" (О + ЗХ [ср" (QP - Хер' (О < (О

</<3	[ср' (О]5
Таким же способом мы можем последовательно получить все осталь-
ные производные высших порядков. Вообще, производная л-го порядка
от у по х выразится через ср'(/), ср" (/),..., ср(лЦ/) и через высшие
производные от у по t до порядка п включительно. Предыдущие фор-
мулы можно привести к более симметричному виду. Обозначим через
dx, dy, d2x, d2y, .. . , dax, dny диференциалы от x и у, взятые по пере-
менному t, и через у', у", ... ,_у(л) производные от у по х; предыду-
щие формулы можно тогда привести к виду:

у'

у dx

„___dx а2у — dy d2x

У	dx2 ’

m___d2y dx2 — 3d2у dx dlx -|- 3dy (d?x)2 — dy d2x dx

(53)

dx3

Независимое переменное t, по которому берутся все диференциалы,
стоящие в правых частях предыдущих формул, может быть выбрано
совершенно произвольно; мы переходим от любой производной к сле-
дующей по закону, выражаемому формулою:

v(") = ——-----i .

у	dx

где вторая часть есть частное двух диференциалов.

55. Приложения. Данными в предыдущем параграфе формулами поль-
зуются при изучении плоской кривой, когда координаты точек этой
кривой выражены через вспомогательное переменное t\

x=f(t),  y~y<f).

Для изучения этой кривой вб'изи одной из ее точек необходимо
уметь вычислять значения производных у', у", у'", ... от у по х для
рассматриваемой точки. Но предыдущие формулы дают нам эти произ-
водные, выраженные через производные от функций f(t) и ср (£), так что
нет необходимости находить явное выражение у в функции х, что
иногда практически и невозможно. Первая формула

, _dy____ср' (/)

У ~~dx~~/'(*)

дает угловой коэфициент касательной к кривой; значение у" входит
в важный геометрический элемент, радиус кривизны, который выра-
жается, как мы это увидим дальше, через

з

„ (1 +Л!
Чтобы иметь значение R, когда координаты х и у даны в функции
параметра t, нужно только заменить у' и у” выведенными выше выра-
жениями; таким образом мы получим:

_з

(dx2+dy2)2

| dx d2y — dy d2x |'

Здесь правая часть содержит только производные первого и вто-
рого порядка от х и у по I.

По поводу этого вопроса приводим здесь следующее интересное замечание,
заимствованное нами из„ТгаНс de Calcul difterentiel et integral" Бертрана (Bertrand)
(т. I, стр. 170).

Предположим, что, вычисляя геометрический элемент плоской кривой, коор-
динаты х, у точек которой мы предположим выраженными через параметр t, мы
получили выражение:

F (х, у, dx, d , tPx, d'ly, ... , dnx, dny),
где все дифереициалы взяты относительно t.

Так как, по предположению, этот элемент имеет геометрический смысл, то
его значение не должно зависеть от выбора независимого переменного t. Если
мы примем t = x, то должно положить dx —- dt, d2x = d3x . ...=--dnx = 0, и
предыдущее выражение обращается в

f(x, у, у', у",	, yW).

Это тот результат, который мы получили бы, предполагая с самого начала
что уравнение рассматриваемой кривой имеет виду — Ф (х), т. е. что оно решено
относительно у. Чтобы от этого частного случая снова перейти к общему слу-
чаю, достаточно заменить у, у", у"’, ... их значениями, выведенными из фор-
мул (20). Выполнив эту подстановку в

/ (X, у, у', у", ... , yW),

мы должны снова получить выражение F(x, у, dx, dy, d*x, diy, ... ), от которого
исходили. Если этого не будет, то можно утверждать, что полеченный результат
* „	dx diy -4- dy <fix

неверен *. Например, выражение ------—!---$— не может иметь для плоской

(dx* + dy*) у

кривой никакого геометрического значения, независимого от выбо;а переменного;

х	у"

в самом деле, при х — t это уравнение обращается в --------- и, заменяя

(14-2/2)2-

в нем уг и у" их значениями, выведенными из формул (53), мы не придем
обратно к предыдущему диференциальному выражению.

Формулами (53) также часто пользуются при изучении диферен-
циальных уравнений. Предположим, например, что мы хотим найти все
функции у от одного независимого переменного х, которые удовлетво-
ряют соотношению

° (54)

*То-есть что F (х, у, у', у”, ...) не выражает геометрического элемента кривой.
(Ред.)
О f“ f!
§ 00

где n — постоянное. Возьмем новое независимое переменное /, полагая
x—cos/; мы имеем:

dy

dy ___ dt

dx — sin i ’

. , d-у dy

d2y

sin3 t

и уравнение (54) после подстановки обращается в

d2y ,	„

9-+"-’=°-

Легко найти все функции от t, которые удовлетворяют этому соот-
rfv

ношению; в самом деле, умножая его на 2 — , мы найдем:

a

+2n^y^^d-
dt dt2 ~ y dt

di

—-0;

следовательно, должно бить

где а обозначает произвольное
Таким образом

постоянное.

dv

~7~ — n

dt

У^

или

dy
dt

— n~Q.
у efl—у2

Первая часть есть производная от aicsin-^- —nt\ поэтому эта разность
должна быть равна новой постоянной Ь, и мы имеем:

у — asin(nt 4- t>);

это может быть еще представлено в виде:

у — A sin nt -|- В cos nt.

Переходя к первоначальному переменному х, мы заключаем, что все
функции от х, удовлетворяющие соотношению (54), будут заключаться
в формуле:

у = A sin (п aiccosx) -ф- В cos (п arc cosx),

где А и В обозначают два произвольных постоянных.
58. Задача II. Для всякого соотношения между х и у формулы
преобразования х — f(t, и), y = y(t, и) дают соответствующее соот-
ношение между t и и. Требуется выразить производную от у по х
через t, и и производные от и по t.

Эта задача непосредственно приводится к предыдущей. В самом
деле, предположим, что в формулах преобразования

x—f{t, и), y = y(t,u)

мы заменили и его значением в функции Z; тогда эти формулы дадут
нам первоначальные переменные х и у в функции переменного t. По-
этому достаточно применить здесь общий способ, приняв, однако, х и у
за сложные функции от t, причем переменное и должно играть роль
посредствующей функции. Таким образом мы получим:

dy dy dx  <d ' Эи dt
dx	dt ’ dt	if . if du ’

it i'l dt
далее, найдем:

d2y d tdy\dx

dx2	dt \dx I ' dt ’

или, выполняя вычисления,

ftf,*fdii\ f ^?+2
d2y__ФгЛ/|_Ф-

dx%

du if /du\% । й® /if
iuitdt ~ii$\dt) durfZM \df

\ Г df
iu dt) L^2

Э/ 3 f du\s
jit iu dt)

Вообще, производная /г-го порядка y!,tl выразится через t, и и пронз-
ай й2и dnu

водные at'

Предположим, например, что мы имеем уравнение кривой в поляр-
ных координатах: р=/(ш). Следующие формулы дают прямоугольные
координаты точки (ср, со):

x=pcoso), v=psino).

Пусть будут рг, р", .. . производные от р, взятые относительно со, рас-
сматриваемого как независимое переменное. Из предыдущих формул мы
имеем:

dx = cos со dp — р sin со da>,
dy = sin co dp	p cos co rfw,

d2x = cos co d2.p — 2 sin д dv> dp — p cos <o dw2,
d2y — sin co rf2p 4- 2 cos co dv> dp — p sin co tZ<o2,

и следовательно,

dx2 dy2 = rfp2 4- p2rfo>2,
dx d2y — dy d2x = 2 rfco dp2 — pd<s> d2p p2 duts.
Таким образом приведенное выше выражение для радиуса кривизны
обращается в

А>- 	(Р2+Р'2Р

~р2 + 2р'2-рР"-

57.	Преобразования плоских кривых. Предположим, что при помощи
определенного построения мы поставили в соответствие всякой точке т
плоскости другую точку М той же самой плоскости. Если через (х, _у)
мы обозначим координаты точки т и через (X, Y} — координаты точки М,
то в силу нашего преобразования между этими четырьмя координатами
будут существовать два соотношения вида^

A'^fx, у), F=cp(x,j>).

(56)

Эти формулы определяют точечное преобразование. Мы имеем
в геометрии многочисленные примеры таких преобразований; та-
ковы, например, томографическое преобразование, преобразование
обратными радиусами-векторами (инверсия) и пр. Если точка т
описывает кривую с, то соответствующая точка М. опишет другую
кривую С, свойства которой можно вывести из свойств кривой с
и из свойств употребленного преобразования. Пусть будут у', у", . . .
производные от у по х, a Y', Y", ... — производные от У по X.
Чтобы изучать кривую С, необходимо уметь выразить У', Y", . . .
через х, у, у', у", ... Но это именно та задача, которую мы
только что рассматривали; мы имеем:

dY	у

у1 dx йх ' Уу у

dx	дх ' ду У

IT fv I V , ’\_

 dx\йх 'дуУ) \йх2 . ” ’ /

dx	\йх ' ду У)

и т. д. Мы видим, что Y' зависит только от x,y,tf; поэтому, если мы
приложим преобразование (56) к двум кривым с, сг, касающимся друг
друга в точке (х, j>), то преобразованные кривые С, Сг будут также
касаться одна другой в рассматриваемой точке (X, У). Это замечание
позволяет заменить кривую с всякою другою касающеюся к ней кри-
вою, если дело идет только об отыскании касательной к преобразован-
ной кривой С.

Рассмотрим, например, преобразование, определяемое формулами:

Y= h2x	У — h2y .

X2-)-J»2’	х2_|_^2’
это преобразование есть не что иное, как преобразование обратными
радиусами-векторами или инверсия, с полюсом в начале координат *.
Пусть будет т точка кривой с, /И — соответствующая точка кривой С.
Чтобы найти касательную к этой кривой С в точке М, мы должны вос-
пользоваться тем свойством, что при преобразовании обратными ради-
усами обратная фигура для прямой есть окружность, проходящая через
полюс инверсии.

Если мы заменим кривую с касательною mt, то фигура, обратная
для mt, будет окружность, проходящая через две точки М и О, центр
которой лежит на перпендикуляре Ot, опущенном из начала на mt.
Касательная МТ к этой окружности перпендикулярна к АМ, и углы Mmt
тМТ будут равны, как дополнительные к углу mOt. Таким образом
касательные mt и МТ будут антипараллельны относительно радиуса-
вектора **.

58.	Преобразование прикосновения. Предыдущие преобразования не
будут самыми общими из тех, которые обращают две касающиеся друг
друга кривые в две другие кривые, также касающиеся друг друга.
Предположим, что для всякой точки т кривой с мы находим другую
точку М определенным построением, зависящим не только от положе-
ния самой точки т, но и от направления касательной к кривой с
в- этой точке т. Определяющие это преобразование формулы будут
иметь вид:

X—f{x,y, у'), Y—q(x, у, у').	(57)

Угловой коэфициент У касательной к
преобразованной кривой выразится так:

dY = Ъх^Ъу у ^у’У

~dX ¥+¥y+v;/

йх ' i>y у йу/'у

Черт. 5.	Вообще, Y' зависит от четырех перемен-

ных х, у, у', у"; поэтому, если мы
приложим преобразование (57) к двум кривым, касающимся друг
друга в точке (х, у), то соответствующие кривые С, Cj будут иметь
общую точку (X, Y), йо, вообще, не будут касаться друг друга в этой
точке, если только у" не будет иметь одного и того же значения для
обеих кривых с, сг Чтобы преобразованные кривые С и С, касались
друг друга всегда, кбгда касаются друг друга кривые с и сг, необхо-

* Преобразованием обратными радиусами или инверсией относительно дан-
ного круга радиуса h называется такое преобразование, при котором каждая
точка переходит в другую, лежащую на том же радиусе круга, причем расстоя-
ния г, г{ этих точек от центра круга связаны соотношением rri = h\ Из этого
соотношения видно, что отрезок между этими точками делится гармонически кон-
цами того диаметра круга, на котором они лежат, и потому каждая из двух точек
лежит иа поляре другой точки относительно управляющего круга.	(Ред.)

** Это значит, что mt и МТ образуют с радиусом-вектором От углы, рав-
ные, но лежащие по разные стороны радиуса-вектора.
димо и достаточно, чтобы У1 не зависело от у", т. е. чтобы функ-
ции f(x, у, у') и (х, у, у1) удовлетворяли условию

V VA = pl V VA *
ду' \йх ~ ду/ ду' \йх ' йу /

В этом случае рассматриваемое преобразование называется преобра-
зованием прикосновения. Ясно, что точечное преобразование есть част-
ный случай преобразований прикосновения **.

Рассмотрим, например, преобразование Лежандра, состоящее в том,
что всякой точке (х, у) кривой с соответствует точка М с коорди-
натами

Х=у', У=ху* —у;

из этих формул мы получаем:

откуда ясно видно, что это преобразование есть в самом деле пре-
образование прикосновения. Мы будем также иметь:

у"—.ау,= dx — 1
аХ y"dx у" ’

dX у"2

и т. д. Из предыдущих формул находим:

х—У', у — ХУ'—У, У =

что указывает на взаимность преобразования. Все эти свойства легко
объясняются, если мы заметим, что точка с координатами Х=у',
У=ху'—у есть полюс касательной в точке (х, _у) к кривой с относи-
тельно параболы х2— 2у = 0. Вообще, если мы примем М за нолюс
касательной в точке т к кривой с относительно управляющего кониче-
ского сечения 2, то место точек М есть кривая С, касательная к ко-
торой в точке М есть поляра точки т относительно S. Таким образом
между двумя кривыми с и С устанавливается взаимное соответствие.

* Это условие дает:

йф .	й® ,	й»	йф	,,	й®	,	йф	,	.	й®

+ У	X + Х'У + У,-У

йх	оу ____Оу ___dy’	__dx	йу	ду

й/ , й/ , ~df~ df ’ , “ df df , . й/ „
У +	У У	У	х1	У	+ У’--5'	+ hy

дх	ду	ду	ду	дх	ду	ду

(Ред.)

** Лежандр и Ампер (Ampere) дали многочисленные примеры этих преобра-
зований. Софус Ли (Sophus Lie) в различных работах развил общую теорию,
См., в частности, Geometrie der Beriihrungstransformationen; см. также Я ко б и,
Vorlesungen fiber Dynamik.

Теория преобразований прикосновения изложена также в книге Г у р с a, Le-
fons sur les Equations aux derivees partielies du premier ordre (гл. XI).
Сверх того, если мы заменим кривую с другою кривою cv касающеюся с
в точке т, то и взаимная кривая Q будет касаться кривой Св точке М.

Подэрная кривая. Если из данной точки О, взятой в плоскости кривой с,
мы опустим перпендикуляр ОМ на касательную в точке т к этой кривой, то место
оснований этого перпендикуляра есть' кривая С, которая называется кривою, под-
эрною относительно первой кривой. Легко получить вычислением координаты
точки М и убедиться, что полученное таким образом преобразование есть пре-
образование прикосновения, но проще можно притти к этому следующим образом.

Рассмотрим круг у радиуса R, с центром в О, и возь-
/б	мем на такую точку т{, чтобы Опц-ОМ = №.

[S'	Точка т{ есть полюс касательной mt относительно

------ /	круга у. Таким образом преобразование, приводя-
/	щее от с к слагается из преобразования взаим-

/Г\	иыми полярами и из инверсии. Если точка т опи-

/1 \	7	сывает кривую с, то точка mt, полюс касатель-

Т У—V	ной mt, описывает кривую с(, касающуюся поляры

точки пг относительно круга у, т. е. прямой mfa,
I V ' |	перпендикулярной к От. Касательная МТ к кри-

\	° J	вой С и касательная к кривой с{ образуют

’к У	равные углы с радиусом-вектором От^М', поэтому,

если мы проведем нормаль МА, то углы АМО,
Черт. 6.	АОМ будут равны как дополнения равных углов,

и точка А будет серединою радиуса От. От-
сюда следует, что мы Получим нормаль к подэрной кривой, соединив
точку М с серединою От.

59.	Томографические преобразования. Всякая функция у, удовлетворяющая
уравнению у" = 0, есть линейная функция переменного х, и обратно. Но если
иад переменными х и у мы выполним томографическое преобразование *

__ аХ-\-ЬУ-\-с	__ а’Xb'Yс’
" а"Х-г Ь"У у['' ’ У ~ а"Х-\гЬ',У+с'’ ’

(58)

то прямая линия изменится в прямую линию; поэтому уравнение у"=0 должно
№У

обратиться в —= 0. Чтобы убедиться в этом, мы заметим, что общее гомогра-
аЛ *

фическое преобразование может быть приведено к ряду частных преобразований
более простого вида. Если оба коэфициента а", Ь" не равны нулю, то мы поло-
жим Xi = а"Х -|- Ь"У с”. Так как, кроме того, нельзя сразу иметь ab" — Ьа" = 0,
а'Ь”—Ь'а” = 0 **, то мы положим вместе с тем Е( — а'Х Ь'Ус', предпола-
гая а’Ь"— Ь'а" отличным от нуля. Заменив X, У их значениями в функции от Х{,
Yt, мы можем написать предыдущие формулы в виде:



Мы видим, таким образом, что общее томографическое преобразование может
быть представлено как соединение целого линейного преобразования общего вида:

х = аХ Ъ У + с, у — а'Х 4- Ь'У ф- с',

и частного преобразования:

1 У

х— х ’ у — х-

* Томографическим преобразованием называется такое точечное преобразо-
вание, при котором прямые линии обращаются в прямые. Аналитически такое
преобразование выражается дробными линейными формулами относительно Х~ У
с общим знаменателем.

** В таком случае из обеих формул можно было бы исключить а”Х-\-
т ак что х и у не были бы независимы.	(Ред.)
Выполнив эту последнюю подстановку, мы найдем:
. dyl*r'-r-i
y-di-—XY’
и далее,	,

у" = ^= — XY" (— Х2) = W.

Если мы выполним целое томографическое преобразование, то будем иметь:

,__dy___а’ 4- Ь’ У

У dx а + bY' ’
, dy' {ab' — ba') Г'
y dx (a + bY')3 ’

В обоих случаях уравнение У' = 0 обращается в Y" = 0.

Мы теперь перейдем к рассмотрению функций многих независимых
переменных и для определенности изложим наши рассуждения в приме-
нении к функциям двух переменных.

60. Задача III. Пусть будет ш = /{х, у) функция двух независимых
переменных х, у. Возьмем два новых независимых переменных и, v,
связанных с прежними посредством формул:

х = <р(и, v), y = ty{u, v);	(59)

требуется выразить частные производные от ш относительно пере-
менных х и у через и, v и частные производные от со, взятые отно-
сительно и и V.

Пусть после подстановки х=у{и, v), _у = ф(и, v) функция/(х, у)
обращается в ® = В(и, о). По правилу диференцирования сложных
функций имеем:

Эю___Эю Эф , Эй) Эф

Эи Эх Эи ’ Эу Эи ’

Эш___Эи Эф , Эй) Эф

Эт) Эх Эт> ’Эу Эх» ’

Л)(Ф, ф)

Якобиан ———L не может быть нулем; в самом деле, если бы
D(u, v)

D(v, ф)

было v)= 0* Т° пРонзведенная нами замена переменных не
и^ела бы никакого смысла, так как функции ф и ф зависели бы тогда
одна от другой (§ 52). Поэтому из предыдущих уравнений мы можем
Эш Эш

определить — и — :
Эх Эу

* ]

Эс	Эа	Эи

(

Эу	Эи	Эх) ’ j

где А, В, С, D суть определенные функции от и и v; эти формулы ре-
шают нашу задачу для производных первого порядка. Они показывают,
что для получения производной по х от функции ю надо производ-
ную от ш по и умножить на А, производную от w по v умножить
на В и полученные произведения сложить. Чтобы получить частную
производную по у, должно поступить таким же образом, заменив
только А и В соответственно через С и D. Для вычисления производ-
ных второго порядка достаточно применить к производным первого по-
рядка правила, выраженные предыдущими формулами; так, мы будем
иметь:

й2о>  й /й(о\  й / йш . ^йшХ 

йх2	йх \йх /	йх \ йа '	й1» /

= А > (А* +В»Д) + в 1 +в£Е

йа \ йа ЙП / ЙР \ йа 1 ЙП /

или, выполняя вычисления:

й2(0
йх2

й2(о . й2(о
йа2 ' йа йт>

а у-

й2(1)	й2(0

Точно так же мы получим ------------, —-

J йхйу йу2'

йД й(0
ЙМ ЙМ
ЙД й(о
ЙТ> йа

и последующие производные.

„	й й

При всех диференцированиях достаточно заменить операции -— и —
дХ ду

соответственно операциями

ЛА + Вг-, СЛ
йа йт> да

2_.
~Уи ’

таким образом все сводится к вычислению коэфициентов А, В, С, D.
Пример I. Рассмотрим уравнение

й2<о । й2<в , й2ш _

а — ~|— 2й---------------с — — 0

ЙХ2 йх йу йу2

(61)

с постоянными коэфициентами а, Ь, с. Мы постараемся привести это уравнение
к возможно более простому виду. Заметим прежде всего, что если бы было одновре-
менно а-^=с — 0, то не было бы надобности упрощать это уравнение; поэтому мы
можем предположить, что, например, с не равно нулю. Введем два новых незави-
симых переменных и и v: ~

и = х Т ау,	» = х Т ру,

где аир — два постоянных неопределенных коэфициента. Мы имеем:

йш	йш	дш	йш	йш	, . йш

	=	1	, — = в--[-р - ,
йх------------------------------йа-й»-йу	йа й»

так что в этом случае А = В=1, С—a, D = p. Общий способ дает нам:

Й2<в
й^

Й2<о [ 2 Й2® | Й2(й
йа2 йа йг/ йт/2

Й2ш	Й2 ш	. Й2<в . й2 Ш

—.=в_+(а + р)—- +р_,

^ = а2й_^ , 2ар-^ +Р2^,
йу2 йа2 йа йр Й1>2
и уравнение (61) принимает вид:

(а 4- 26а + <М)	+ 2 [а + b (а 4- р) 4- сар] + {а 4- 26р + ср2) =0.

ай2	ди dv	dr2

Здесь нужно будет различить несколько случаев.

Первый случай. Пусть 62—ас > 0; приняв за а и р оба корня уравнения
а 4- 26г 4* сг2 = 0,
мы приведем наше уравнение к простому 'виду:

-^- = 0.

ди до

Так как последнее уравнение можно представить в виде

то отсюда видно, что должно быть функцией только одного переменного и;
Эи

пусть — —f (и). Обозначим через F (и) функцию от и, производная которой F' (и)
ди

равна f(u); так как производная от ш— F (и) по и равна нулю, то эта разность
не зависит от и, и следовательно, ш =-.F(u) 4- Ф (t<). Обратное предложение оче-
видно. Возвращаясь к переменным х и у, мы заключаем, что все функции <в,
удовлетворяющие уравнению (61), будут вида

<в = F (х 4- ау) 4- Ф (х + ?у),
где функции F н Ф — произвольны. Например, общий интеграл уравнения
д20>	<12а>

--	= й2 -,
ду----------дх2

встречающегося в теории колебания струн, будет:

“=/(« + аУ) 4- ? U — аУ)-

Второй случай. Пусть №~ас = 0. Возьмем а равным двукратному корню
уравнения а 4- 2.br 4- сг~ — 0, и (1 — отличным от а; тогда коэфициент при d - 
ди
будет равен нулю, так как он равен а 4- Ьа 4- р (Ь 4- Са). Таким образом наше
уравнение примет вид: — _ 0. Мы видим, что со должна быть линейною функ-
циею от v, <о = vf (и) 4- ? (и), где функции f(u) и <р (п) — произвольны. Возвра-
щаясь к переменным х и у, мы получим для а> выражение:

“ = (х 4- f (х 4- ау) 4- ? (х 4- ау),
которое можно представить в виде:

<в = [х 4-ау 4- (Р — а) у] (/(х 4-а у) Ц- т (х + ау),
или, иначе:

=уР (X + ау) 4- Ф (х + ау).

Третий случай. Если 62 — ас < 0, то нельзя более приложить предыдущее
преобразование, не вводя мнимых переменных. Но можно определить а и р та-
ким образом, чтобы было:

а 4- 26а га2 — а -|- ’2&р 4- cf2, а 4- 6 (а 4- ?) 4- сар = 0;
это дает:

262 — ас
с2

26
с
я и будут действительны, так как уравнение второй степени

26
с

2 А2— ас
с*~~

корнями которого служат я и имеет действительные корни. Рассматриваемое
дифереициальное уравнение принимает тогда вид:

. й2<о й2а>

Д,<о =---------1------= 0.

dtfi йк2

Это уравнение Д2<о—0, известное под именем уравнения Лапласа (Laplace),
играет основную роль в очень многих вопросах анализа и математической физики.

Пример П. Найдем, какой вид примет предыдущее уравнение, если мы
положим х= р cos р, у — р sin р. Мы имеем:

йш	Эш	йш

	— — cos <р 4_sin р,
др_____________дх	ду

йш	йш	.	, йш

— = - — р sin р 4- — р cos р,
dp	dx	ду

йш йш
или решая эти уравнения относительно — и —,
дх> ду

ди>	йш	sinр йш

— = cos р--------L ,

дх	др	р йр

йш	йш	,	COS ®' йш

— = Sin р--1---------.

Отсюда	а	др р д<р

й2ш	й /	йш	sin р йш\	sin р й /	йш	sin р йш\

-- = COS Р — COS р --------— 1 —	— I COS Р--------- — ) =
йх2	йр \	Й5 р йр/ р йр \	р р йр/

, й2ш , sin2 р й2ш 2 sin р cos р й2ш 2 sin р cos р йш , sin2 р йш
= cos2 р----1---------------------------1---------1----1------ — ;

йр2 р2 йр2	р йр йр р2 йр р йр

Й2Ш
аналогичное выражение мы получим и для —; складывая их, имеем:
йу2

Й2Ш Й2Ш Й2Ш 1 Й2Ш 1 Йш
йх2 йу2 йр2 р2 йр2 р йр

61. Другой способ решения. Предыдущий способ наиболее удо-
бен в том случае, если функция, частные производные которой мы ищем,
будет неизвестна. Но иногда выгоднее пользоваться следующим приемом.

Пусть будет z = f(x, у) функция двух независимых переменных
хну; если мы предположим, что х, у и z выражены через два вспомо-
гательных переменных и и v, то мы будем иметь между полными ди-
ференциалами dx, dy и dz соотношение:

dz = ~dx dy,
дх 'ду

которое равносильно двум соотношениям:

dz_   dfdx^ dfdy
ди дх ди ду ди

dz__dfdx

dv дх du

df ду
dy dV ’
из которых, как и в первом способе, мы выведем — и — в функ-

dz dz

ции и, V, - , <—
йа да

Нэ для вычисления следующих производных мы

будем поступать далее по тому же правилу. Так,

й2/
дХ ду ’

и

мы будем исходить из тождества

Jdf\ < ^7 ,
d — I —	dx -Ч--—— dv,

\ЙХ/	dx2 Гйхйу

которое равносильно двум соотношениям:

\ЙХ /__й2/ ЙХ	й2/ йу

du dx2du	йхйу ди	’

\dxj__d2fdx	й2/ йу

йт» Йх2 dv ЙХ йу Йт ’

причем в левых частях этих равенств производная

,	*7

чтобы вычислить -—
ЙХ2

й/	х

— должна быть за-
йх

dZ dz

менена ее выражением через и, v, — , — . Исходя из тождества

J7
\йу / ЙХЙУ



,	*7	*7 л

мы таким же Образом получим -----и —— ; оба полученных выраже-

йхйу йу2

й2/

ния для -—— должны быть тождественны между собою, что может слу-
оХ о_У

жить поверкою вычисления. Производные высших порядков вычисляются
таким же способом.

Приложение к поверхностям. Предыдущие методы применяют-
ся при изучении поверхностей. Предположим, что координаты точки по-
верхности S’ выражены в функции двух переменных параметров а,
v посредством формул:

х=/(а, т), ,у = <р (и, v),	2 = ф(«, т).	(62)

Мы получим уравнение этой поверхности, исключив переменные и и v
из трех уравнений (62); но мы можем поставить себе задачей непосред-
ственно по самим уравнениям (62) изучать свойства поверхности S,
не производя исключения переменных и, v, которое практически может
оказаться и невозможным. Заметим, прежде всего, что три определи-
теля Якоби

О(/, <р) Р(у, ф) О(/, ф)

D(u,v)' D(u,v)' D(u,v)
не могут быть одновременно нулями, так как в этом случае исключе-
ние и и v привело бы к двум различным соотношениям между х, у, z,
и точка с координатами (х, у, z) описала бы не поверхность, а кривую.
Пусть, например,

W. Ф) 7 Q.

D (и, т) '	’

тогда мы можем предположить, что из первых двух уравнений (62) мы
выразили и и v в функции х, у и, внося их значения в третье уравне-
ние (62), получили уравнение поверхности S, z = F{x, у). Чтобы иссле-
довать эту поверхность вблизи одной из ее точек, необходимо иметь
выражения частных производных р, q, г, s, t, .. . от функции F(x, у)
через параметры и и v. Производные первого порядка р, q получатся
из соотношения:

dz = р dx	q dy,

которое равносильно двум уравнениям:

Ъи ,Ъи~чЪи'

V др (	<63>

позволяющим вычислить р и q. Найдя р и q, мы получим уравнение
касательной плоскости, внося их выражение в уравнение:

Z-2 = p(^-x) + y(K-jr).

Это дает:

{Х- х}	+ (Y-y)D {Z' X>+(Z-z}D= 0	(64)

(	’D(u, тО г y)D{u,v)^(	’ D(u,v) 1 '

Соотношения (63) имеют простое геометрическое значение. Они
показывают, что касательная плоскость проходит через касательные
прямые к двум кривым, расположенным на поверхности эти кривые
получатся, если мы, оставляя v постоянным, будем изменять а, или,
наоборот, оставляя постоянным а, будем изменять v *.

Получив р и q, p=fA(u,v), q= f2(u, v), мы найдем r,s,t из ра-
венств:

dp = г dx s dy,
dq = sdx -j-Z dy,

причем каждое из этих равенств даст два различных соотношения, и т. д.

* К уравнению касательной плоскости можно также притти непосредственно.
Всякая кривая, расположенная на поверхности, определяется соотношением между а
и v; » = II(a), н касательная к этой кривой представится уравнениями:

Х-х _ Г- У _ Z—z

-Л ш м +£ п» -4* IT W'

ди 60	ди 00	ди д0

Исключив отсюда 1Г(н), мы придем к уравнению касательной плоскости (64).
62.	Задача IV. Если

X=f(U,V,'W), JZ —<f (и, v, w), z = ф (и, v, w),	(65)

то для всякого соотношения между переменными х, у, z эти фор-
мулы дают соответствующее соотношение между и, v, id. Требуется
выразить частные производные от z по переменным х, у через и, V, и’
и через частные производные от w по переменным и, v.

Эта задача приводится к задаче, рассмотренной в предыдущем па-
раграфе. В самом деле, положим, что в формулах (65) w заменено
функциею от и и v; тогда мы будем иметь выражения х, у, z через два
параметра и, V, и достаточно применить прежний способ (§ 39), при-
няв /, <р, ф за сложные функции от и, V, причем переменное w рас-
сматривается как посредствующая функция от и, v. Например, для вы-
числения производных первого порядка р, q мы будем иметь два
соотношения:

d<b . deb dw

—— —I— — --J)

Ъи 1 Ъи

йф . йф dw___

dv 'dwdv V

'df'dw'
dw da

d / dw
dw da

и то же самое для следующих производных.

Предыдущую задачу можно выразить геометрически следующим обра-
зом. Для всякой точки пространства т с координатами (х, у, z) можно
определенным построением найти другую соответствующую точку М с ко-
ординатами (X, Y, Z). Если точка т описывает поверхность 5, то точка М
описывает поверхность 2, все свойства которбй требуется вывести из
свойств первой поверхности.

Формулы, определяющие это преобразование, имеют вид:

X =f{x, у, z), Y=w(x, у, z), Д=ф(х, у, г);
пусть будут

z = F(x, у), Z = <P(X, К)

уравнения двух поверхностей 5, 2.

Нам надо выразить частные производные Р, Q, R, S, Т, . . . от
функции Ф (X, Y) через х, у, z и через частные производные р, q, г,
s, t, ... от функции F(х, у). Но это именно та задача, которую мы
только что рассматривали: вся разница только в обозначениях.

Производные первого порядка Р и Q зависят только от х, у, z, р, q,
так что рассматриваемое преобразование преобразует две касательные
друг к другу поверхности также в две касательные. Но, как мы сейчас
увидим на примерах, предыдущие преобразования не будут самыми
общими из тех, которые обладают указанным свойством.

63.	Преобразование Лежандра. Пусть будет z =f{x, _у) уравнение по-
верхности 5. Свяжем каждую точку m(x,y, z) поверхности 5 с соответ-
ствующею точкою М(Х, Y, Z), положив:

X— р, Y=q, Z = рх -f- qy — z\
пусть будет Z = <P(X, Y) уравнение поверхности 2, описанной точ-

кою М. Если мы предположим, что z, р, q заменены через

. V й/
’ йх ’ йу ’

то мы получим выражения трех координат точки М в функции двух

независимых переменных х, у.

Обозначим через Р, Q, R, S, Т частные производные от функ-
ции Ф (X, Y) по X, Y; соотношение

dZ=PdX-\- QdY
дает:

р dx -|- q dy х dp -}-_у dq — dz = Pdp-\- Q dq,
или

x dp у dq = P dp -\- Q dq.

Предположим, что для рассматриваемой поверхности р и q будут
независимы между собою, т. е. что не может быть тождества вида
\dp-\-$dq = 0, в котором бы одновременно не было g = 0. Тогда
«з предыдущего соотношения мы найдем:

Р=х, Q=y.

Чтобы получить /?, А, Т, мы воспользуемся соотношениями:

dP=RdX-]~ SdY,
dQ = SdX -\-TdY,

которые, после замены X, Y, Р, Q их значениями, обращаются в

dx - R (г dx -\- s dy) -(- A (s dx -|-1 dy),
dy — S (rdx-]-s dy) 4- T(s dx -|-1 dy).

Отсюда получим:

/?г+&=1, /?$4-л=о,

Sr-\-Ts = 0, Ss-\-Tt=1,
и следовательно,

=	S=="FT=~r~2-

rt — s2 rt — s2	rt — s2

Из предыдущих формул находим, обратно:

х = Р, y=Q, z=PX-\-QY—Z, р = Х, q Y,
_ Т _ — A	R

r— RT—S2 ’ 5~RT — S2 ’	~~ RT—S2 ‘

Последние формулы показывают, что преобразование Лежандра —
взаимное. Кроме того, это — преобразование прикосновения, так как
X, Y, Z, Р, Q зависят только от х, у, z, р, q. Эти свойства преобразо-
вания. Лежандра будут ясны геометрически, если мы заметим, что пре-
дыдущие формулы определяют преобразование взаимными полярами
относительно параболоида

х24-у2_2г = 0.
Примечание. Выражения /?, S, Т обращаются в бесконечность, если для
всех точек поверхности, описанной точкою пг, существует соотношение rt — s2 = 0.
В этом случае точка М опишет не поверхность, а кривую, так как

D (X, Y)
D(x.y)

D (х, у)

и	D(X,Z) = D(P,px + qy~z) =	= 0

D (х, у)	D (х, у)

Это именно тот случай, который мы выше исключили из рассмотрения.

64.	Преобразование Ампера. Сохраняя обозначения предыдущего параграфа,
положим

X = х, Y—q, Z = qy — z.

Соотношение

dZ = PdX-\-QdY

обращается в

q dy + У dq — dz = Р dx Ц- Q dq,
или в

у dq — p-dx = Р dx \ Q dq.

Таким образом мы имеем:

Р = — р, Q = y,

и, обратно,

х = Х, y-Q, z=QY—Z, р = — Р, q=Y;

отсюда видно, что преобразование Ампера есть преобразование прикосновения и,
кроме того, оио взаимное. Соотношение

dP = RdX + SdY

дает	1

? — г dx — s dy = R dx -f- S (s dx -ф t dy),

t. e.

R 4- Ss — — r, St = ~s,
откуда находим:

s=-±.

Из соотношения dQ = S dX TdY мы также*найдем:

Как приложение этих формул, найдем все функции / (х, у), удовлетворяющие
соотношению rt — s2 = 0. Пусть будет S поверхность, представляемая уравне-
нием z=/(x, у), S — преобразованная поверхность, и Z=<t>(X, У) — уравнение
поверхности S. Из выражения для R имеем:

« = ^=0;

ЙА2

следовательно, Ф должно быть линейною функцией) от X:

Z= (У) + ни-

где <р и | суть произвольные функции от Y. Из последнего уравнения находим:.

р=г(У), c=w+m

и координаты (х, у, z) точки поверхности S выражаются обратно в функции двух
переменных X, Y формулами:

?х = Х, y=^X<f'-,(Y) + Y(Y). z=Y[(X,’(Y)+Y(Y)]-X4(Y)-^Y).

Мы получим уравнение этой поверхности, исключив X, Y, или, что то же са-
мое, исключив переменный параметр а из двух уравнений:

z — ау — х ? (а) — | (а),

0=У — х?’ (а) — ф' (а),
из которых первое представляет подвижную плоскость с параметром а, а второе
получается от диференцирования первого относительно этого параметра. Таким
образом мы получаем развертывающиеся поверхности, которые будут изучены
дальше.

65.	Уравнение потенциала в криволинейных координатах. Вычисления,
нужные при замене переменных, могут быть в большинстве случаев упрощены
различными искусственными приемами. Для примера возьмем уравнение потен-
циала в криволинейных ортогональных координатах *. Пусть будут

F (х, у. z) = р,
Л (х, у, z) = р„
53(х, у, г)=р2

уравнения трех семейств поверхностей, образующих тройную ортогональную сис-
тему, так что две какие-нибудь поверхости, принадлежащие к двум различным
семействам, пересекаются всюду под прямым углом. Решив эти уравнения, мы
получим х, у, z в функции параметров р, р,, р2:

х=? (р. р4, рг). 1
У — fi (р. Pi. Р ), >
2 = (Р- Pi > Ра); )

(66)

р, Pj , pj образуют систему криволинейных ортогональных координат.

Так как поверхности трех предыдущих семейств ортогональны,, то касательные
к линиям пересечения этих поверхностей, взятых попарно, должны образовать
трехгранный угол с тремя прямыми плоскими углами; поэтому должно быть :

Q^=o,	^-^=о,	(67)

3 Эр,	Эр, Эр 2 О Эр Эр2

причем знак S указывает, что должно заменить <р через ip,, потом через и
взять сумму этих трех произведений.

Эти условия ортогональности могут быть еще представлены в таком виде:

Эх Эх Эу Эу dz dz

*Р^+...=0 ^^+...=о.

Эх Эх	Эх Эх '

(68)

Посмотрим, какой вид примет уравнение потенциала

Эх3 Эу2 Эг2

при переменных р, р,, р2, Мы имеем:

Э V Э V Эр Э V Эр ,	Э V Эр2

Эх	Эр Эх	Эр, Эх	Эр2 Эх

далее,

Э2У___Э2У /Эр\2 2 Э2У Эр Эр, ЭУЭ2р

Эх2 Эр., \Эх/ Эр Эр, Эх Эх Эр Эх2

+ W АЛ А 2 АК . ^Р1 .

Эр,2 \Эх/	Эр,Эр2 Эх Эх	Эр, Эх2

+ АЛ 2+ 2 If +

Эр32 \Эх / Эр Эр2 Эх Эх Эр2 Эх2

* Ламе (Lam6), Traite des coordonnees curvilignees. См. также Бертран,
Traite de Calcul differentiel, т. I, стр. 181.
Если мы сложим три аналогичных уравнения, то, вследствие соотношений (68),
Й^У

исчезнут все производные вида ——, и мы получим:
Эрдр,

Й^У Jan	. Й»У , . , й»У . . . Й2У

^+^Л^-Д‘(Р)^+Д‘(Р1)^ + МР2)^ +

+ Д2 (р) ~ (pi) + д»(р2)	.

ор	ср!	ар2

где Ai и Д2 обозначают диференциалъные параметры Ламе:

a.(/)=(F)'+ (г)’+ (г)’ 4'<л=й+г?+гг
\0Х/ \ау/ /	ох2 оу* о г2

Диференциальные параметры первого порядка Ajp), A] (pi), А4 (р2) легко вы-
числить.

Из соотношений (66) иахоДим:

<Le _|_ <^.^4 _|_

ЙрЙх йр(йх йр2йх

^Р + <4 ^Pi fyl <*р2 _ 0>

Йр йх йр4йх йр2йх
й<р.3 йр й<р2 йр, й<₽2 йрз _ 0.
Йр йх йр, йх йр2йх
йе , йе. йе,
умножая эти три уравнения на —	, — и складывая, получим:

йр йр йр

йр
дх

дер
йр

таким же образом

Йр йр
мыа|вычислим — и — и иаидем:
йу Й2

причем знак S означает всегда, что должно заменить ? через <р{, потом через ?2,
и сложить полученные выражения, мы будем иметь:

А‘(Р) = ^> ^=7^- д‘^ = 7Г2-

Выражения Д2(р), Д2 (р{), Д.2 (р2) в функции р, р{, р2 получаются у Ламе путем
довольно утомительных вычислении, которые можно упростить следующим об-
разом. В тождестве (69):

_1_^Y i

+W2ip|

A,(V) =

+ да (?) —H Д2 (Pi) <—h да(рз)
op	opi	op2
положим последовательно IZ--X, V—у, V — z; мы будем иметь три соотно-
шения:

1	+ 1	+ ±	+ д2 (р) L* + д2(Р1)	+ д2 (Рг) й<₽. _ 0,

Н Эр2 Эр| //2 Эр| Эр Эр{ Эр2

+^‘ + ^ + a>Wr + M>.>^-

//Эр2 °Pi ^2"р2	°Р	Эр{	°ч

132<р2	1 й2?2	1 3-2<p2 Эср2 э<р2 э?.2

Т,ГГ + Ъ'Г2	ТТТг+^(p) Т	+д2(р1) —+ а2(Р2) — -	Л),

ЯЙр2 //^Pi	Н2^?2	д?	«'pl °Р-2

’которые остается только Грешить относительно Д2 (р), Д2 (Р1), Д2 (?.) Например
Э<р Эср< Э<р9

умножая их. на —	и складывая, мы получим:

Эр Эр Эр

д W41qH? + 1qL?^ + 1C^-o.

//^ЭрЭр2 //(^ Эр //2 Эр Эр2

Кроме того,

S3 <р Э2<р	1 Э//

Эр Эр2	2 Зр

и, диференцируя первое из соотношений (32) по pt, находим:

S3 ср Э‘2<р  q Э<р Э-ср	1 Э/7,

Эр Эр $	>^Эр4ЭР1 Эр	2 Эр

Таким же образом получим:

S3 ср Э2ср 	1 Э//2

Эр Эр2	2 Эр

и, следовательно,

Д(О1-	1 Э//,	1 Э//(	1 Э//2	1 э г, ( ti \л

2[Р)	2Н* Эр ' '2НН{ зр Эр ~ 2/УЭр[ g VA/ty]’

Положив

мы можем представить>последнюю формулу в виде:

Точно так же найдем:



Д2 (Р<) —

д2(р2) = й2-^- fiog AY
Эр2 \ hhj

Таким образом формула (69) окончательно принимает следующий вид:

+ л?

Эац	] Эзц [	Э2Ц

Эх2	Эу2	Эг2

[Э21/	Э /	й,

ГТ +^~ (1О8ТГ
lap,	dpj \	hh

'2-

э / h \ ЭТ
НЭр ( gM2) Эр
2 [ Э2 V Э /
'-2 ГТ + т- ('°g 
1Эр2 Эр2 \

(70)

:или, короче,

Д21/= h й( h.
Применим эту формулу к полярным координатам. Заменяя р, и о, через О
и ср, мы получим следующие формулы преобразования’

х - = р sin 0 cos <р, у — о sin 0 sin <р, z--:ocosO;

ко)фнц11енты А, А,, А2 примут значения:

h — 1, h< -- - . /г, — —Ц- ,

р	с sin О

и < бщая формула обращаеicя в

<W 1 Й’Д/ ,	1 Й2V , 2 (И/ , сЫ О (И/

_____ф________J _ _ _______ _____J _	’

()?2	р-' <)ОЗ p'2siu20 й?-> 1 ?	р> DO ’

как это легко вывеет к непосредственно.

УПРАЖНЕНИЯ.

1.	Полагая и--х'^-\-у-	z1, и х ф уz, лу 1 уг I гс, имеем тожде-

Г) (и, v, ш>)	....

ствеппо ;-------р 0. Паши соопюшепие между и, w.

D (х, у, z)

Обобщигь эту задачу

2.	Если

Ю

DtjiiL и., ,Л.. , п,,')	______ _!________________

/мц.а;: ...,	~~~	 j, "

(1	•••  -О '

3,	Если положим

х^ - cos <р(,

л2 - sin cos <f2,

Л’з — sin <р( sin «2 C0S f2 ’

хп Sill sill ?_>••• s‘n Tzz - 1 u s bi ’

io будем иметь:

D (.ri, x>, ..x„)	,,	,

— (— 1)« Slll« Sill'/--1 f > SH1"“2	. Slll-f„_ I SHI .

о (ср, , <f2....<f„)

4.	Проверить непосредственным вычислением, чго функция z - /д.г, у), опре-
деляемая двумя уравнениями:

Z аг -фу/(а) -|- ср (а\

о = Х I у]' (э) 4 ср' (а),

где а есть вспомогательное нерешенное, удовлшворяет cooiiionieoiiio rt s- О
при произвольных функциях/(а) и <р (а).

5.	Показать, чго всякая неявная функция z	у), определяемая уравне-

нием вида

У -лер’z) + i (И.
удовлетворяет соотношению

гр- — 2р qs р tp- О

при произвольных функциях <р (z) 11 A (z).

(>. Функция z — /'(*-. _v)> определяемая двумя уравнениями’

zip'(т) |у <р(а)|-, (С | а) ср'(а) у - ср (а),
где а есть bchomoiатсльнос переменное, удовлетворяет соотношению pq.— z при
ирон (вольной функции ® (а).

7.	Функция z !•'(х, у), определяемая двумя уравнениями:

[Z— <рф)Р .¥‘->(1'5	«'->), [z - ® (т)] <?'(т)	п2,

\ довлстпорвет соотношению

/ q

8.	Формула Лагранжа. Пусть будет у неявная функция двух пере-
менных .г н т, определяемая соотношением:

У~* j-X®(y).

и n—f(y) - какая-нибудь функция от у. Мы имеем вообще:

дпи
йх»

й«-1 Г / , йг/ |
.-----( ® (У)п 7 •

да”- 1 I da I

Ответ. Доказательство основывается на двух формулах:

й I г, ,	<*«1	й Г	йп|	ди	ди

/-(«)	=	F(u)-, 7--?(у)--,

dal	йх I	йх I	da I	dx	da

[Лаплас]

где и есть произвольная функция от у, а F (и) — произвольная функция от и;
затем нужно пока(ать, что если формула верна для какого-нибудь значения п,
то опа будет также верна и для значения п Е

При Х---0, у обращается в а, и — в f (а), и производная /г-го порядка от и
но л принимает вид:

-----[у (а)"/' (а)] .
да"'1

9.	Если х ~f(u, v), у = у (и, v), и функции / (и, v), у (и, v) удовлетворяют со-
отношениям

й/ _ йу	df	ду

ди ди	ди	ди

то будем иметь тождественно:

(W ЙМ/ 7ЙМ/ ЙМА г /й/у , y/V2
ди* dv* \ЙХ2 ду* ) |_ \й»7 \ЙР/

— 10. Если функция

У(х, у, z) удовлетворяет уравнению

дх*

d*V д* V п
ду* dz*

то ему удовлетворяет и функция

г у Г* г* г*)

[Кельвин (Lord Kelvin).]
где k — постоянное, а г* — х* -ф у'2 + г'2.

11.	Пусть будут V(x,y, z) и V, (х, у, г) два интеграла уравнения A.,!2 - 0;
функция

U= V (х, у, z) 4- (х‘2 + у* 4- z2) Ц (х, у, z)

удовлетворяет уравнению

ДД2 (7 — 0.

12.	Какой вид принимает уравнение

(х — х3) у" -ф (1 — Зх*)у' — ху - - 0,
если сделать замену независимого переменного х — j/1—Г'2?
- 13. Какой вид примет уравнение

— |	Цу - у--)	]- х-y-z О,

<1 с2 v	Оу

1 ,
если сделать замену переменных г = ни, у-- i

14.	Пусть будет ? (х,, л3....x„; ut, «о, ... , п,у функция 2п независимых

переменных xt,	,  . • , х„ , и.,, ... , ип , однородная, второй с гепепп от,ид и-

телыго переменных tit , и.,, ... , ип . Если положим

О®	0®	®

"-Л>	- Pi.....,	- рп

он ।	он.,	oiitl

и примем pj, р.,, ... , pt, за независимые переменные вместо щ , п,, . . . , ult, fo
функция <р обратится в функцию

'I- бдг1, -х,, .. . , х„; pt, р,. ... , /?„).

Показать, что

dS	№

дхк	At/,

15.	В каждой точке М поверхности S проведена нормаль Л'Л1 к этой по-
верхности; пусть будет N точка пересечения этой нормали с данною плоскостью Р.
Отложим на перпендикуляре к плоскости Р, проведени >м через точку N, длину
Nm- -NM. Найти касательную плоскость к поверхности, описанной точкою ш.

Это преобразование есть преобразование прикосновения. Изучить обратное
преобразование.

16.	Отложим на каждой нормали к поверхности S, считая от ее основания,
постоянную длину /; полученные, таким образом, точки образуют поверхность X
(параллельные поверхности)', найти касательную плоскость к этой поверхности X.

Та же задача для плоской кривой.

17.	Даны поверхность S и точка О; соединим О с какой-нибудь точкою М
поверхности S. Проведем плоскость OMN через радиус O.W и нормаль MN
к поверхности S в точке М; в точке О восставим в плоскости OMN перпенди-
куляр к радиусу ОМ и отлолим па нем длину ОР— ОМ. Точка Р опишет по-
верхность J, которая называется апсидальною относительно первой поверхности S.
Найти касательную плоскость к этой поверхности.

Предыдущее преобразование есть преобразование прикосновения, и связь
между поверхностями S и 1 — взаимна. Если поверхность S представляет эллип-
соид, и точка О находится в его центре, то поверхш сть X есть поверхность волн,

18.	Диференц нальпый инвариант Альфа на (Halphen4. Дифе-
ренциал ьное уравнение

(ЛЦ\^<Ру_ cP-у diydy , цЦ'Ц 0

1^x2) dxr‘	4 (Z.V2 Md dx* ' °	)	°

не меняет вида, если над л и у будет выполнено произвольное томографическое
преобразование (§ 37).

- 19. В выражении

Р dx -ф Q dy 4- R dz,

где P, Q, R суть функции от x, у, z, положим

X f (it, V, W), у = <p (it, V, w\ 2=1 (U, V, W),

где и, v, w — новые переменные. Тогда предыдущее выражение обраннсл в вы-
ражение того же вида:

Pi du Ц- Q, dv Ri dw,
где Pt, Q, , Pt суть функции от и, v, w. Доказать тождество

_ D (х, у, г)

1	D (и, v, w) ’

.Р,	^)+9.(“'-"'Цч «, Ер-'Я

\()UF (Ш /	\ <Ш dW/ \ ov	ди J

20.	Б п и и п с й и ы й к о в а р и а п т. Пус I ь будет	лине иная форма дпфе-

ренцналов

<V~ А>Мд-h Хн/л-2 +

где Xt, X,, ... , ХГ1 — функции п переменных .tj , лд , . . . , хп . Рассмотрим вы-
ражение

//---2 2

/=1 It-1

содержащее две системы диференциалов d, 3, и где

о. JX'AXJ
‘к йу. й.^

Если мы сделаем какую-нибудь замену переменных

> У., • •  . Уп) (' •- 1, 2,  , ”),

io выражение W(1 обр.пится в выражение того же вида:

Ч/ ~ I'WAi Е • • • + ^п^Уп >

тде У, , К2,	, Y„ суть функции у,,у2, •• , У„: пусть будет также

,	ЙГ	DYk

а =--------

lk bk	ъ

и

н' - - 2 2а <*У‘ 
t k tn

После замены в И диференциалов с/ду н 1хк через

й®? ,	. Й®,	й(р/

Т - (0'1 + "Г"- '(1'2 4- • ’ • + .	'Ц'/о

йуц йу2	йу/л

будем иметь тождественно Н И'.

И называется билинейным ковариантом выражения Wrf.

21.	Д и ф е р е н ц и а л ь н ы е параметры Бельтрам и (Beltrami). Дано
выражение

Е dx- 2F dx dy -j- G dy*,

тде E, E, Ci е.у\ъ функции переменных x и у; если мы сделаем замену пере-
менных л ’/(д, v\ y^=<f(u, v), то получим выражение тою же вида:

Et difi + 2Л£ du dv -ф G, dv'*,
i де /\ , Ft, Gt суть функции ел и и v. Пусть будет 6 (г, у) какая-нибудь функция
переменных х, у, обращают тяся в («, v) после такой замены переменных.
Доказать, что

c/s»v,f»P2, Е(*у u*v !fi>W . £, Ay

\йх / йхйу \йу/ \Й7/ Й.Ч ЙУ \йу /

EG —Ft

/о*. г»\

1 й | ЙХ йу

I/ EG Е2 йс \ 1 EG — Е'11

'0« Л

___1 ___ й_ J ' Й.7	‘ йу
I E[Gl — Е^ й/z ' | E[Gl —	<

E^G-E^

/e--e^\

1 й | йу йг I

'EG~~ Ei Й/ \ ] 'EG - Л2/

i  й_| 'Jv_ 22"

22. LII в a p ц ii an. Если мы положим v _
и rt, b, c, d сив какие пнбудв iioc.оянпые, то

rt v )- b	.	4

- , , , i те л ecib функции oi /,
c x - d

x’

1(2

y'

2')

У

i teci, x", i"', у’, у'1, у’" обозначают производные, втятые но переменному t.

25.	Пусть будет и и v две какие-нибудь функции дв>х независимых пере-
менных »' и у. Положим

аи \ bv	с"	а'и [ b'v I с'

~ а"п \ b"v ।	а"и I b"v | c"'

i ic a, 6, i,	, e" - пос юяииые. Политая

, Й i йу йчйу .. blJbV й! Й17
oz, y) ------------; ((/, Vi

й.е йу йу й с	йе йу	йл йу

доканать следующие равенства-

й'А; йу й’у	дп	йД' й'г	ЙП’ЙД

й i- йг йх-	йt	й с2 й v	йд - й

(/;, у)	(.(/, V)

йу й-уй/т	)	/bv й - и	Ьп й-у	\

й г- йу й.г- йу	\й г й е йу	йх й V йу/

(zz, у)	‘

йД’йП__ Й2РЙП	/bV FU	bU biV

йх2йу йх2 йу	хйлйхйу	йхйхйу

'	(ТУ V)	' 

и ana.ioi пчиые равенсгв!, по,и чающиеся от перестановки х и у.

[Герса п Пенлеве (Painleve), Comptes rendu?, 1SS7.]

24.	Пайгн наибольшие н наименьшие значения расстояния отточки до и пи-
кон кривой, до кривой двойной кривизны, между две ия точками двух кривых,
между двумя точками двух поверхностей.

- 25. Точки поверхности S, для которых сумма квадратов расстояний до п
данных точек бсдет наибольшею или наименьшею, суть основания нормалей, оп'.-
щенных па ату поверхность из центра средних расстояний для этих п точек .

Центр средних расстояний есть точка, декартовы координаты которой
равны средним арп [тмстичесним одноименных координат данных точек. (Ред.)
'	26. И s всех четырехугольников с четырьмя данными сторонами тот, который
имеет наибольшую поверхность, может быть вписан в окружность.

Обобщить па п-угольник.

-	27. Найти максимум объема прямоугольного параллелепипеда, вписанного
в эллипсоид.

-	-28. Найти оси центральной кривой второго порядка, рассматривая вершины
как точки, расстояние которых от центра будет наибольшим или наименьшим

-	29. Та же задача для осей центрального сечения эллипсоида.

-	- 30. Найти эллипс с наименьшей площадью, проходящий через три вершины
треугольника, и эллипсоид с наименьшим объемом, проходящий через четыре
вершины тетраэдра.

31.	Найти кратчайшее расстояние между окружностью и прямою в про-
странстве.

32.	Квадрат модуля определителя D с мнимыми элементами не больше, чем
корень квадратный из произведения сумм квадратов модулей элементов каждом
строки. (Адамар.)
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

1. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ КВАДРАТУРЫ.

66. Квадратура параболы. Определение площади плоской кривой есть
одна из задач, решение которой особенно привлекало изобретательность
геометров. Из примеров, оставленных нам древними, особенно заме-
чательна квадратура параболы, данная Архимедом; мы изложим здесь

его метод.

Пусть’требуется определить площадь, заключающуюся между дугою
параболы, АСВ и хордою АВ. Проведем диаметр CD, соединяющий
середину D хорды АВ с точкою С, в которой касательная параллельна
хорде АВ; проведем хорды ВС и АС и возьмем точки Е, Е', в кото-

рых касательные соответственно параллельны
хордам ВС и АС. Прежде всего сравним пло-
щадь треугольника ВЕС с площадью треуголь-
ника АВС. Проведем касательную ЕТ, пересе-
кающую CD в точке Т, диаметр ЕЕ, пересека-
ющий СВ в точке Е, и, наконец, прямые ЕК,
ЕН, параллельные хорде АВ. По основному
свойству параболы ТС=СК; кроме того, СТ =

„„ CH CD

= ЕЕ=КН, и следовательно, сг —.

2	4

Площади треугольников ВСЕ, BDC, имеющих
общее основание ВС, относятся между собою,
как высоты, или как прямые ЕЕ, CD. Следова-

тельно, площадь треугольника ВСЕ равна четверти площади треугольни-
ка BCD, или восьмой части площади S’ треугольника АВС. Площадь тре-
угольника АСЕ' имеет, очевидно, ту же величину. Производя те же дей-
ствия относительно каждой из хорд BE, СЕ, СЕ', Е'А, мы получим четыре

новых треугольника, причем площадь каждого из них будет равна

8

и т. д.; п-я операция приведет к 2” треугольникам, и площадь каждого из
£

них будет равна —. Площадь сегмента параболы, очевидно, равна пре-

делу, к которому стремится сумма площадей всех этих треугольников
при неограниченном возрастании п, т. е. равна сумме геометрической
убывающей прогрессии:

•е i I 5 4-	1 $ I
или -~-.
о

4S

Таким образом мы видим, что искомая площадь

2
равна — пло-

О

щади параллелограма, построенного на АВ и CD.

При всем удивлении перед остроумием этого метода нельзя, однако,
не заметить, что здесь успех зависит исключительно от частного свой-
ства параболы, и что этот прием совершенно не имеет общности. Дру-
гие примеры квадратуры, данные древними, которые мы могли бы при-
нести, только подтвердили бы это замечание; каждая новая кривая
требовала нового приема. Но каков бы ни был этот прием, всегда раз-
бивали данную площадь на элементы, число которых неограниченно
увеличивали, и всегда нужно было искать предел суммы этих частичных
площадей. Не останавливаясь на всех этих частных приемах*, мы прямо
перейдем к общему методу разбиения, который естественным путем при-

ведет нас к интегральному исчисле-
нию.

67. Общий метод. Пусть будет
у = f(x) функция непрерывная, поло-
жительная и возрастающая в интер-
вале (а, Ь); этой функции соответ-
ствует дуга кривой АМВ, располо-
женная выше оси Ох. Поставим себе
задачу вычислить площадь, ограни-
ченную дугой АМВ, двумя ордина-
тами АР, BQ и отрезком PQ (черт.
8). Для этого разобьем отрезок PQ
на некоторое число меньших отрез-

ков промежуточными ючками с абсциссами хг х9, . . . , Хп_у, причем эти
абсциссы возрастают вместе с индексом, и через точки деления проведем
параллели к Оу. Тогда подлежащая вычислению площадь окажется
разбитой на определенное число криволинейных трапеций.

Рассмотрим, например, криволинейную трапецию	mf^

Площадь этой трапеции, очевидно, заключена между площадями г(.
прямоугольника сl_-imlyplcl и R, прямоугольника ctу/ту,. Обозначая
через А подлежащую вычислению площадь, мы имеем, следовательно,

двойное неравенство:



Нетрудно вычислить Хо 11 Ж-

5 = X/==/(«) 4, — «)+/(*№- лт) I

S=^1Rl=f{x1}(xy — а)/(х,)(х2 —xj 4- . . -4-/(6) (b -х,^).

Разность S—5 име$т выражение:

S— s = (x7 — a) [f(x)~/(«)] 4 (х2—Xj)[/(x2)—/(xj] 4- . .

• • • + (^—*„-т) ЕЖ—Ж-l)]-

* В „Traitc" Дюамеля (Duhamel) можно найти большое число примеров опре-
деления площадей, дуг и объемов ио способу древних.
Пусть jj есть наибольшая из разностей хг— а, х2—хг; ясно, что правая
часть увеличится, если мы заменим все эти разности через 7). Следо-
вательно,

S — s<)j[/(x1)— f(a) + f(x2)— /(xj-j- . . . +/(^)—

ИЛИ

S —5<r; [/(6) —/(a)|.

Разность S'— 5 стремится, следовательно, к нулю, когда число п
неограниченно возрастает и притом так, что наибольшая из разностей
Xj — х[у стремится к нулю. При тех же условиях разности S’—А,
А — s и подавно будут стремиться к нулю, и А есть общий предел
двух сумм S и 5. Мы имеем, например:

Л = Нт[(х1 —а)/(а)4 (х2 —|	. ф (b — x„_1)/(x„_J)]. (1)

Рассуждение остается тем же, если функция f(x) убывает в интер-
вале (а, Ь). Если бы функция имела определенное число максимумов
или минимумов в этом интервале, то мы разбили бы весь интервал
на несколько частичных интервалов ординатами точек, где /(х) имеет
максимум или минимум.

Приведем пример, принадлежащий Ферма (Fermat). Пусть требуется
найти площадь, ограниченную кривой у = Ал^, осью х и двумя пря-
мыми х = а, х = Ь (0<^а<С^), причем показатель ;л произволен. Для
этого вставим п—1 средних геометрических между а и Ь\ мы получим
последовательность:

а, а(\	а), а(1 -4 а)2, . . . , а(1 4~а)/г"’- 4

где число а удовлетворяет условию а (1 -ф а)"= Ь\ если числа этой по-
следовательности взять за точки деления, то соответствующие ординаты
получат значения

АаР, АаУ- (1 4* а)'1-, Аа^ (I 4* «)2|Х, • • •,

а площадь р-io прямоугольника будет иметь выражение:

\а (1 4- а)р — а(1 ф а)Р-у\Аа? (1 4-= а (1 ф афр-ЖмР.

Сумма площадей всех этих прямоугольников будет, следовательно, равна

Аа^ а [1 ф (1 4- а)1л+1 ф (1 ф а)8(и+т)	... 4~(1 -фа)<«-1>(^)];

если ц 4-1 нс равно нулю, что мы предположим сначала, то сумма,
стоящая в скобках, равна

(1 4- а)"<|' + ') — 1

“(1 + а)|Л+’—- 1 ’

и, заменяя а 4 ф а}'1 через Ь, мы можем написать предшествующую
сумму так:

A (bt-i '1 — а>л+1)---—-------.

1	’ (1 фаф+] —1

„	(1 4-аф+] — 1

когда а стремится к нулю, отношение ——1—---------- имеет пределом
производную от (1	а)г+1 по а, при а = 0, т. е. р. 4* 1: следовательно,

искомая площадь равна

А (^ +] — aii + I)

Если [1 = —1, то эти вычисления уже не имеют места.

Сумма площадей вписанных прямоугольников равна пАа, и нужно
искать предел произведения /га, где п и а связаны соотношением:

а(1 -]-а)п=Ь.

Отсюда мы находим:

b
па — In- -

а

а _

In (1 -f- а) П а

in (1 4'а) 7

где In обозначает неперов логарифм; когда а стремится к нулю,
(1 4а)7 имеет пределом число е, а произведение па имеет пределом
1п . Искомая площадь равна, следовательно, И In —.

а	а

68.	Начальные функции. Изобретение интегрального исчисления при-
вело вычисление площадей к нахождению функций, имеющих своею

производною данную функцию. Пусть будет y=f(x) уравнение кривой,
отнесенной к двум прямоугольным осям, и пусть функция f(x) не-

обозначать

через 21

прерывна. Рассмотрим пло-
щадь 2(, заключающуюся ме-
жду этою кривою, осью х, не-
подвижною ординатою М0Р0 и
переменною ординатою МР.
Гудем считать эту площадь
функциею абсциссы х перемен-
ной ординаты МР. Эта пло-
щадь' 2( есть, очевидно, непре-
рывная функция от х, если
только функция f(x) сама не-
прерывна. Чтобы охватить все

возможные случаи, условимся
алгебраическую сумму площадей, ограниченных

данною кривою, осью х и прямыми М0Р0, МР, приписывая каждой
из частей, из которых может слагаться эта площадь, знак для
площадей, лежащих направо от М0Р0 и над Ох, знак—для площадей,
лежащих направо от М0Р0 и под Ох. Площадям, расположенным налево

от М0Р0, мы будем давать противоположные знаки. Таким образом,
если МР занимает положение М'Р', то мы будем брать 21 равным
разности двух площадей:

МР0С— М'Р'С;

точно так же, если МР находится в М'Р', то мы будем брать
21 = M'P"D — MaP0D.
Покажем теперь, что непрерывная функция 2(, определенная преды-
дущими условиями, имеет своею производною функцию f(x). Возьмем,
как показано на чертеже, две близкие между собою ординаты MP, NQ
с абсциссами х и х Дх. Приращение площади Д2(, очевидно, заклю-
чается между площадями двух прямоугольников, имеющих общее осно-
вание PQ, а высотами соответственно наибольшую и наименьшую из
ординат дуги MN.

Обозначая эт > ординаты максимум и минимум через Н и й, мы можем
написать:

hXx < Д2( < Н\х,

или,

разделив

на Ах,

Д21

Л <=^ <77. Так
Дх

как функция f(х) непрерывна,

то при приближении Ах к нулю Н и h имеют общий предел МР, или
/(х); следовательно, функция 21 имеет своею производною функцию/(х).
Читатель легко убедится, что этот результат остается без изменения
при всяком положении точки М.

Если нам уже известна одна из начальных функций от- /(х),
т. е. какая-нибудь функция Д(х), имеющая своею производною функцию
/(х), то разность 2(— Д(х), производная которой равна нулю, равна
некоторому постоянному С (§ 8). Чтобы определить это постоянное С,
достаточно заметить, что площадь 91 раина нулю для абсциссы х — а
прямой MQPQ. Поэтому

21 /(л, /Ччи

Предыдущее рассуждение показывает, чго определение площади
приводится к разысканию начальной функции; с другой стороны (и для
нас это второе следствие еще важнее), оно показывает, что всякая
непрерывная функция f (х) есть производная от другой функции.
Таким образом эта основная теорема доказывается здесь при помощи
несколько неопределенного геометрического понятия площади плоской
кривой. Этим доказательством долгое время довольствовались, но
теперь оно не может считаться достаточным. Чтобы поставить инте-
гральное исчисление на прочном основании, необходимо дать этой
теореме чисто аналитическое доказательство, не обращаясь к геометри-
ческому представлению. Предыдущее доказательство приведено здесь не
только вследствие его исторического интереса, но и потому, что оно
дает нам главный аналитический элемент нового доказательства. Дей-
ствительно, в этом последнем главную роль будет играть изучение сумм
вида (1), а также сумм несколько более общего вида. Прежде чем
обратиться к изучению этих сумм, нам необходимо сделать несколько
замечаний относительно общих свойств функций и, в частности, — функ-
ций непрерывных *.

* Из важнейших работ по вопросу о геометрическом значении определен-
ного интеграла следует указать здесь на мемуар Римана (Riemann), Uber die
Darstellbarkeit, einer FunKtion dutch eine trigonometrische Reihe (Werke, 2-е издание,
1892, стр. 239. Французский перевод, Oeuvres de Riemann, traduites par Laugel,
стр. 225), и уже упомянутый нами мемуар Дарбу, Sur les fonctions discontinues
(Annates te I’Ecole Normale superieure, 2-я серия, т. V).
II. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, С НИМИ
СВЯЗАННЫЕ.

69.	Суммы 5 н 5. Пусть будет f(x) ограниченная функция, непре-
рывная или прерывная в промежутке (я, Ь), причем а <4 Ь. Предположим,
что промежуток (а, Ь) разбит на некоторое число частичных более мел-
ких промежутков (а, хг), (х2, х2), ..., (х 3, Ь), причем числа хг х2, ...,
хр-1 образуют возрастающую последовательность. Обозначим через М
и т границы функции /(л) в целом промежутке, через М. и mi—ее
границы в промежутке (xi_1, xt) и положим

5 = ^! (х2—а)4-М,(х2 —Xj) 4- ••• 4- Mp(b — хр_1),

s = m1(x.1—a) 4-w2 (х2 —ха) ф ... тр (Ь — хр_1).

Всякому способу разбиения (а, Ь) на более мелкие промежутки соответ-
ствуют свои суммы S’ и s S. Все суммы S’, очевидно, больше т(Ь — а),
так как все чиста	больше /«; следовательно, эти суммы S’ имеют

нижнюю границу/. Точно также все суммы s меньше М (Ь — а) и, сле-
довательно, имеют верхнюю границу Мы докажем, что /' не может
быть больше I. Для этого, очевидно, достаточно показать, что если
даны два каких-нибудь способа разбиения промежутка (а, Ь), которым
соответствуют суммы S’ и 5, 5’ и s', то:

$<S', s'<S.

Предположим сначала, что каждый из промежутков (a, xj, (хг х.,),.. .
новыми точками деления разбит на более мелкие промежутки, и пусть
будет

а,у,,уг, . ..,ук-Л,хЛ,ук^, .	...,b

%

получившаяся новая последовательность. Такое новое разбиение мы на-
зовем последующим относительно первоначального. Обозначим суммы,
аналогичные S’ и s и относящиеся к этому новому разбиению проме-
жутка (а, Ь}, через 1 и а и сравним S и X, х и а. Сравним, напри-
мер, части двух сумм S’ и S, относящиеся к промежутку (a, xj. Пусть
будут М'г и /raj границы функции f(x) в промежутке (а,уД, М’2 и т'2— ее
границы в промежутке (Д'1,Д'2),	и m'k — границы в промежутке

(Тл-1 - Часть суммы S, происходящая от (о, хД, равна:

М\(уг — а)-\-М’2(у2 — J/J4- ... 4-Л^ (х,—уА_]).

Так как числа М^, М'2,	не могут быть больше Л12, то ясно,

что предыдущая сумма не может быть больше (х} —а). Точно так же
часть суммы S, происходящая от промежутка (хт, х2), не может быль
больше М2 (х2 — Xj), и т. д. Складывая все эти неравенства, мы нахо-
дим 1st; S’, и точно так же мы нашли бы, что а> s.

Рассмотрим теперь два каких-нибудь способа разбиения, которым
соответствуют суммы S’ и s, S' и s'. Рассматривая одновременно точки
деления обоих предыдущих разбиений, мы получим третий способ раз-
биения, который может быть рассматриваем как последующий относи-
тельно каждого из двух первых. Пусть будут 1' и о суммы, относя-
щиеся к этому вспомогательному разбиению. На основании предыдущего
мы имеем неравенства:

2	еС S, s, 2 sC S', а Де s'.

Так как 2 больше а, то отсюда следует, что s'<^S, s<^S'. Таким
образом все суммы S будут больше сумм s, и граница J не может быть
меньше предела J'; следовательно, J J'.

70.	Теорема Дарбу. Пусть будет /(х) какая-нибудь функция от х,
ограниченная в промежутке (а, Ь). Каков бы ни был закон разбиения
промежутка (a, L) на часп и, суммы S и s стремятся соответ-
ственно к J и J', если число частичных промежутков неограниченно
возрастает, так что каждый из этих промежутков стремится
к нулю

Докажем это, например, для сумм S. Предположим, что а Ь, и
что функция /(х) в промежутке (а, Ь) положите'ьна; последнему усло-
вию всегда можно удовлетворить, прибавив к функции f(x) соответствую-
щее постоянное, что равносильно увеличению всех сумм S на постоян-
ное количество. Так как число J есть нижняя граница сумм S, то можно
найти такой частный способ разбиения

а, >с1, х2,	, хр_1, b

для которого сумма S будет меньше J -|-

е

У ’

где г есть произвольное

положительное число. Рассмотрим теперь какое-нибудь разбиение про-
межутка (а, Ь) на промежутки меньшие, чем ц, и найдем верхнюю гра-
ницу соответствующей суммы S'. Возьмем, с одной стороны, промежутки,
не содержащие ни одной из прежних точек деления хг, х2,..., хр1;
применяя рассуждения § 69, мы видим, что они дадут в S' часть, мень-

шую первоначальной суммы S,

г I е

т. е. меньшую J -f- — .

С другой сто-

роны, число промежутков, содержащих какую-нибудь из точек
Xj, х2,... ,хр1, не может быть бо ьше р—1, и, обозначая через М
верхний предел /(х), мы найдем, что эти промежутки дадут в сумме S'
часть, которая не может превзойти (р—1)7Ит]. Следовательно,

£

Таким ооразом достаточно взять г меньшим ——---—

1	2М(р—1)

S была меньше

чтобы сумма

Точно так же можно доказать, что суммы 5 имеют пределом J'. Если
f(x) произвольна, то эти два предела J и J' различны. Для того чтобы
функция была интегрируемою, необходимо и достаточно, чтобы было

J' = J.

Примечание. Если произвольно изменить значение ограниченной функции
в конечном числе точек промежутка, очевидно, что разности S— S', s — s' между
двумя суммами, соответствующими одному и тому же разделению, стремятся к
нулю, когда наибольшая длина интегралов стремится к нулю. Числа J и J' одни
и те же для обеих функций.
71.	Интегрируемые функции. Функция, ограниченная в промежутке
(а, Ь), называется интегрируемою в этом промежутке, если обе
суммы S и s стремятся к общему пределу, когда число частичных про-
межутков неограниченно возрастает таким образом, что каждый из этих

промежутков стремится к нулю.

Для того чтобы функция была интегрируемою в промежутке (а, Ь),
необходимо и достаточно, чтобы для всякого положительного числа е
можно было найти такое соответствующее положительное число т],
чтобы S — s было меньше г, когда все частичные промежутки будут

меньше т].

Это условие необходимо. В самом деле, если S и s имеют общий
предел./, то можно найти настолько малое число тг чтобы |S—/| и

|$ —- /| были

меньше —

если все частичные промежутки будут мень-

ше гр Отсюда, a fortiori, будем
Это условие вместе с тем и

иметь S —s<Te.

достаточное. В самом деле,

мы имеем:

s—/4-/ —/'4-/' —S.

Ни одно из чисел S — /, / — /', /' — 5 не может быть отрицательным;
чтобы их сумма была меньше е, необходимо, чтобы каждое из них
было меньше е. Но /—/' есть определенное число, положительное или
нуль, тогда как е — произвольное положительное число; поэтому необ-
ходимо /' = /. Далее, дтя того чтобы было S — /<^е, I—$<4, когда
все частичные промежутки будут меньше т(, необходимо, чтобы суммы
S и s имели общий предел /.

Всякая непрерывная функция интегрируема. В самом деле, разность
S’— s не превосходит (Ь— а) и, где и обозначает верхний предел коле-
бания f(x) в каждом частичном промежутке. Но всегда можно найти
такое число ц, чтобы во всяком промежутке, меньшем ц, колебание
функции f(x) было меньше любого данного положительного числа (§ 8).

g

Если мы возьмем г, таким образом, чтобы колебание было меньше --,

1	b — а

то разность S — 5 будет меньше е.

Всякая монотонная функция интегрируема. Пусть f(x) — возраста-
ющая функция. Разобьем промежуток (а, Ь) на п частичных промежут-
ков, меньших Т|. Мы можем написать:

— а)+ЖИ*2 — Xj) -+-•••+ (b)(b~

5 =/(а) (Х1 —а) ф /(rj (х2 — xj -|- ... 4-/(xn_1) (b — x„_J.

В самом деле, например, в промежутке (a, xj верхний предел функ-
ции равен /(Xj), а нижний предел равен /(а), и т. д. для других про-
межутков.

Отсюда получаем:

5- 5 = (х2 — а)Г/(х,) —/(а)] + (*2 — *i)[/(z2) ~ Ж)] + • • •

• ••• -Ь [Ж-Ж-г)]-
Все разности, стоящие в правой части, суть положительные числа,
и все разности хг— а,'х2— х2,... меньше гр Спедэвательно,

S —s<T] [/(Xj)—/(а)-Ь/(х2)~/(лИ	+ /(*) —/(-*«—1X1,

т. е.

S—s <Т| [/(£)—/(а)]-

Если мы возьмем

е

то имеем 5—s<^e. Это рассуждение применимо и к функции убывающей.

Пусть будет а,, а2, . . ., ар любая последовательности возрастающих
чисел от а до Ь. Если ограниченная функция f(x) интегрируема в каж-
дом из промежутков (а, ay), (av а2),..., (а , Ь), то она интегрируема
в целом промежутке (а, Ь). В самом деле, если рассмотреть подразде-
ление каждого из интервалов (ар ai+1), такое, чтобы разность S’—s
была для каждого интервала меньше, чем е, то соответствующая раз-
ность для целого промежутка будет меньше рг.

Ограниченная функция /(х), имеющая любое число точек разрыва
внутри промежутка, интегрируема, если можно заключить все эти
разрывы в конечное число интервалов, сумма которых меньше любого
заданного положительного числа. В самом деле, пусть е — любое поло-
жительное число, и пусть Н—верхняя грань [у(х)|; по предположению,
мы можем заключить точки разрыва /(х) в конечное число интервалов,
е

сумма амплитуд которых меньше, чем-—. Доля S’—s, происходящая

от этих интервалов, очевидно, меньше, чем . С другой стороны, так

как функция /(х) непрерывна в оставшихся интервалах, их тоже можно
подразделить на более мелкие частичные интервалы, так что соответ-

В

ствующая часть S’ — т будет меньше — • Следовательно, S’ — s<^e. В част-
ности, ограниченная функция, имеющая в промежутке (а,Ь) лишь
конечное число точек разрыва, интегрируема в этом промежутке.

Из определения также следует непосредственно, что, если функция
/(х) интегрируема, то тем же свойством обладает Cf(x), каково бы ни
было постоянное С. Если (х) и /2 (х)—две интегрируемых функции,
то интегрируема также их сумма (х) -|-/2 (х). В самом деле, пусть
будут 5, 5, S', s', S, а суммы этих трех функций, соответствующих одному
и тому же разбиению промежутка; легко убедиться, что S—	—s-|-

—|—S''— s'. В частности, всякая функция с ограниченным изменением
(§ 11), будучи суммой двух монотонных функций, является интегрируемой.

Докажем еще, что произведение двух интегрируемых функций есть
функция интегрируемая. Предположим сначала, что функции (х)
и /2 (х) положительны; пусть будут Mt, mL, М\, т\, 3RZ, p.i верхние
и нижние грани трех функций (х), /2 (х), /г (х), /2 (х) в промежутке
(xz_r xz); s, S', s', 2, а—соответствующие суммы для некоторого раз-
биения (а, Ь). Очевидно,

9Jlz С M't, pz ml т'.,
следовательно,

9Jtz — [iz Af. — т, nii = M, (M'. —	-J- m\ (Mz — ти(.),

и подавно

S01z — p,'V At (AT. — m'.) 4 Al' (Ml — m,},

где через Al и At' обозначены верхние границы функций (х) и /, (х)
в промежутке (а, Ь). Умножая это неравенство на xz— xzi и складывая
все аналогичные неравенства, получаем:

У — a < At (S' — s') 4- At' (S — 5).

Следовательно, разность 2 — а стремится к нулю.

Если функции /j (х) и /2 (х) имеют любые знаки, к ним всегда можно
прибавить два постоянных Сг и С2, так чтобы (х) -j- , /2 (х) С2
были положительны. Так как произведение

ГЛИ + Q] ГЛИ + с21 =ЛЛ + слЛ + с2Л 4 QC2

интегрируемо, то это справедливо и для Л/2.

Сопоставляя эти различные предложения, мы видим, что если
Л’ Л’•••’Л’ СУТЬ интегРиРУемые функции, то любой целый многочлен
относительно fj,    , fp является также интегрируемой функцией.

72.	Определенные интегралы. Пусть /(х) — интегрируемая функция
в промежутке (а, Ь). Общий предел сумм S и « называется определен-
ным интегралом и изображается символом

ь
/ — \f(x) dx,
а

напоминающим его происхождение:^—есть стилизованная буква 5. По
самому определению I всегда заключен между двумя суммами S и s,
соответствующими любому способу разбиения; если в качестве прибли-
женного значения для I взять какое-нибудь число, заключенное между
S' и 5, то допущенная при этом погрешность меньше разности S — $.

Обратимся к общему случаю. В определении интеграла можно за-
менить суммы Sus более общим выражением. Пусть дано разбиение
промежутка (а, Ь):

а, хг х2, ... , х,_г xz, ... , x„_lt b.

Пусть будут Ej, Е2, ... , Ez, . . . значения переменного х, принад-
лежащие соответственно каждому из этих промежутков, так чго
(х/_1 Ez xz). Сумма:

/(Ej) (Xj — а) 4- /(Е2) (х2 — xj 4 ... 4-/(Е„) (Ь — хп_г) =

^2- М)
i=i

очевидно, заключается между суммами S и s, так как всегда
сз/(Ez) Afz; если функция интегрируема, то эта сумма также имеет
пределом /. В частности, если мы предположим, что Ег Е2, ... , Е„
совпадают соответственно с а, лг , хп^, то получим сумму (1),
рассмотренную выше (§ 67). Произведение /(cj (xz— xz'_a) называется
элементом интеграла.

Из определения интеграла непосредственно вытекает несколько след-
ствий. Мы предполагали а<^Ь. Если мы переместим пределы а и Ь,
го все множители xt— х1У изменят знаки, и сам предел переменит
знак; следовательно,
ь	а

\f(xjdx=—^f(x) dx.
а	b

Из определения интеграла следует также, что

b	с	b

\f(x) dx~ ^/(х) dx -j- ^/(х) dx.

а	а	с

Если с заключается между а и Ь, то это равенство очевидно; если
же, например, b заключается между а и с, то предыдущая формула
также верна, если только функция /(х) интегрируема между а и с,
так как мы можем написать:

с	b	b	b	с

[f(x) dx — [f (л) dx — \ f(x) dx= f(x) dx -J- f(x) dx.

a	a	*r	‘a	0

Если f{x) — A। (x) Ц- В<Ь (x), где А и В — постоянные, то

ь	ь	ь

\f(xj dx — A^ff (x) dx 4~ В ф (x) dx\
a	a	a

такое же равенство будет иметь место и для суммы любого числа функций.

В более общем случае, если с, d, ... , I — любые числа, мы имеем:

bed	b

f{x) dx= (/(х) dx-j- ( /(х) dx 4- .. . -f- \ /(х) dx',
а	а	с	I

это разбиение употребляется для вычисления интеграла, если функ-
ция /(х) имеет точки разрыва или если она имеет различные анали-
тические выражения в разных частях промежутка (а, Ь).

Выражение f(z.t) в формуле (2) можно заменить еще более общим
выражением. Разобьем промежуток (а, Ь) на п частичных промежутков
(a, xj, ... , (xz_p xz), ... , (x„_r b). Для каждого промежутка (х/_1, xz)
возьмем какое-нибудь количество £z под условием, чтобы стремилось
к нулю вместе с длиною (xz — xz i) рассматриваемого промежутка. Мы
будем говорить, что cz стремится равномерно к нулю, если для всякого
положительного числа е можно найти такое, не зависящее от /, поло-
жительное число т(, чтобы при (xt — Xi_y) меньшем 7) было | £z| <Д-
Докажем, что если равномерно стремится к нулю, то сумма
п

1=1 ь.

имеет пределом определенный интеграл \/(х) di. Возьмем число ij на-
а

столько малым, чтобы при условии, что все промежутки (xt— х£_А)
меньше т(, удовлетворялись неравенства:

п	ь

£	—f/(x)dx <£> Ю<£,

/=1	п

и рассмотрим разность

ь

S —/(л) dx —

а



При указанных условиях абсолютная величина правой части послед-
него равенства, очевидно, меньше г -f- е (Ь— а), и мы имеем:

ь

S' — \f(x) dx

а

<О4~£(^— аУ

Таким образом теорема доказана

73.	Формула среднего значения. В дальнейшем мы будем предпола-
гать везде, где не будет сделано особых оговорок, что функции под
знаком интеграла непрерывны.

Пусть будут /(г) и <р(т) две функции, непрерывные в промежутке
(о, Ь), причем между а и b функция <р (х) имеет постоянный знак; для
определенности мы предположим, что	и <р(х)^>0.

Предположим, что промежуток (а, Ь) разбит на более мелкие про-
межутки; пусть будут $2, . . . ,	значения переменного х, при-

надлежащие соответственно к каждому из этих промежутков. Все
числа /($,) будут заключаться между пределами М и т функции /(х)
в промежутке (а, Ь)

т ^f${) < М.

Умножим все эти двойные неравенства на множителей

?(«/) (xi~~ л/_т),

которые, по предположению, все положительны, и сложим. Мы видим,
что сумма	'Р (£/) (xz — xz-i) бу де) заключаться между суммами

(х.— x,_j) и	(xz—xz_3).

Если число частичных промежутков неограниченно возрастает, то
мы имеем в пределе:
b	b	' ь

т \ (р (л) dt	\f(x) и (х) dx	\ <р (х) dx.

а	а	а

* В приложениях чаще всего встречаются определенные интегралы, как пределы
сумм именно вида (3). Поэтому нам часто придется применять это свойство, которое
распространяется и на двойные и тройные интегралы.
Эти неравенства можно заменить равенством:

*	?

\f(xj (х) dx — р. ср (х) dx,	(4)

а	а

где р содержится между т и М. Так как функция f(x) непрерывна,
то она принимает значение р при некотором значении х = £, заклю-
чающемся между а и Ь, и мы^ имеем:

ъ	ь

^f(x)^(x)dx=f(z)\^(x)dx,	(5)

а	а

где £ заключается между а и Ь. Если, в частности, мы предположим
ь

® (х) = 1, то интеграл \ dx, по самому определению, равен b—а, к мы
а

получим:	ь

\f(x)dx-~(b — a)f(.).	(6)

а

74.	Вторая формула среднего значения. Бонне (Bonnet) дал другую
формулу среднего значения, которую он вывел из следующей важной
леммы Абеля (Abel).

Лемма. Пусть будет е0, ер ... , г ряд положительных убыва-
ющих количеств, и и0, иг,..., ир—такое же число произвольных
положительных или отрицательных количеств. Если все суммы
sn — “о-	— ио 4" ui' • • • ’ SP = ио “I- “1 4“ • • • + ир заключаются между

двумя числами А и В, то сумма

£о “о + £1 “1 + • • • + SpUp
заключается между Аг0 и Вгп.

В самом деле, мы можем написать:

иоло> и1=£1	^о’• • • > upz=sp sp-A

следовательно, сумма А будет равна:

£и(£о — £1) + 51(:1 “ ег) Т • • • 4-Sp-i ] — ер) 4“ spsp-

Так как все разности е0 — ер £j — е2, . .. ,	— гр положительны,

то мы получим два предела для г>, заменяя сначала s0, sp sp их
верхним пределом А, а потом их нижним пределом В. Отсюда имеем:

<^4 (-о	?1 + £1 — £2 4~ • • • + ='р-1 - £р + гр) = Аг0>

точно так же получим:

Пусть теперь /(х) и <р (х)— две интегрируемые функции, причем
функция <р(л) положительна и убывает, когда л возрастает от а до Ь.
ь

Интеграл \ f(x)y{x)dx есть предел суммы

1 =f(a) (р (й) (Xj - а) -ф- /(х,) (х2 — х,) -ф .. . ,
которая содержится между двумя суммами:

'=-£^z¥(xi-i)(x,— *4-т) и 7"= ^^(Х^Нл, —Х^,),

I	I

где Mt и mt суть границы f(x) в интервале (xt_v х). При этом разность
1'—1" меньше, чем

¥ (a) S — (xt— XZ_J,

и следовательно, стремится к нулю, так как f(x) интегрируема. Рас-
сматриваемый определенный интеграл есть, следовательно, общий пре-
дел сумм 7' и 7", а следовательно, и суммы /1 = ХН/ ¥ (%z-i) (xi —

I

где pi, — какое угодно число, заключенное между mt и Мс

Выберем эти числа р., так, чтобы

х,

V-i{xl — xl_A) = ^f {х) dx,
что возможно на основании первой теоремы о среднем. Так как
числа ¥(а)> ¥ (х1) • • • положительны и убывают, то из леммы Абеля
следует, что эта последняя сумма 7} содержится между Ау (а) и Ву(а),
где А и В обозначают максимум и минимум интеграла \/(х) dx, ко-
а

гда с изменяется от а до Ь. Так как этот интеграл есть, очевидно, не-
прерывная функция от с, то, переходя к пределу, мы можем написать:

ь	е

^/(X)¥(x)dx=¥(a)((/(x)zZx (<*<£<»•	(7)

а	а

Если функция ¥(•*) убывает, не оставаясь, однако, положительной,
между а и Ь, то можно применять более общую формулу, принадле-
жащую Вейерштрассу. В самом деле, положим' ср (а:) = ф (х);
функция ф (х) положительна и убывает, и мы можем применить фор-
мулу (7), которая дает:

b	Z

7 (х) Ф (X) dx = [ср (а) — <р (/>)] f(x) dx.

а	а

Отсюда мы находим:
ь	ь	е

У/(х)¥ (х) dx = \f(x)y (b) dx-}- [ср (а) — «р (*)] $ /(х) dx,

а	а	а

ИЛИ
b	Zb

j/(x)¥ (х) dx = ¥ (a) \f(x) dx -ф- ¥ (b) /(x) dx.
a	a	5

Аналогичные формулы мы получаем для случая, когда функция ср (х)
возрастает.
75.	Переход к первообразным функциям. Рассмотренные общие тео-
ремы применимы ко всем интегрируемым функциям. В последующих при-
ложениях подлежащая интеграции функция есть чаще всего функция
непрерывная или, в крайнем случае, имеет лишь конечное число раз-
рывов в интервале интеграции. Заметим раз навсегда, что, поскольку
значение интеграла зависит только от природы подинтегральной функ-
b	ь	ь

ции и от пределов, символы ^/(х) dx, \^f(z)dz, f(t)dt, .. . имеют
а	а	а

абсолютно тождественный смысл.

Если мы оставляем один из пределов, например нижний предел аА,
постоянным, а верхний предел рассматриваем как переменный, то инте-
граз есть функция этого предела, и мы напишем:

F(x) = \f(t) dt.

а

Так как функция /(х) ограничена, то очевидно, что F(x) есть непре-
рывная функция от х.

Покажем, что эта функция имеет своею производною функцию /(х).
В самом деле, мы имеем:

л + Л

F(x + A) — F(x) = \f(t)dt,

или, применяя формулу среднего значения (6):

F(x-}-hj-F(x)=hf^,

причем Е заключается между х и х + Л. Если h стремится к нулю, то
/(Е) стремится к пределу /(х); таким образом функция F(x) имеет
своею производною функцию /(х).

Всякая другая функция, имеющая ту же самую производную, полу-
чается через прибавление к F(x) произвольного постоянного С (§ 17).
Отсюда видно, что если функция /(х) имеет одну начальную функ-
цию F(x), то она имеет их бесчисленное множество. Но между всеми
Этими функциями есть одна и притом только одна, которая принимает
при х = а заданное значение у0; это будет функция:

Jo + ^/(O dt-
а

В тех случаях, когда это не может привести к недоразумению, поль-
зуются одною и тою же буквою х как для обозначения верхнего пре-
дела, так и для обозначения переменного интеграции, и пишут ^f(x)dx
х	а

вместо \f(t)dt. Но очевидно, что определенный интеграл зависит только

а
от своих пределов и от подинтегральной функции; какою буквою обо-
значено переменное интеграции, это совершенно безразлично.

Всякая функция, имеющая производною /(х), называется неопреде-
ленным интегралом от /(х) и изображается символом:

\ /(х) dx,
причем пределы не указываются. Согласно предыдущему имеем:

/(х) dx — /(х) dx ф- С.

а

Обратно, если мы нашли каким-нибудь способом функцию F(x),
имеющую производною /(х), то можно написать:

\ /(х) dx = Г (х) -j- С.
а

Чтобы определить постоянное С, достаточно заметить, что при
X — а левая часть последнего равенства равна нулю. Следовательно,
должно взять С——F(a); отсюда имеем основную формулу:

'\f(xjdx=F(x)—F(aj.	(8)

а

Заменив здесь /(х) через F'(x), получим:

F(x) — F(а) Р(х) dx-,

а

прилагая теорему о среднем значении, будем иметь*

F (х) — F(a} = (х — a) F' (s),
причем £ заключается между х и а. Мы здесь вновь получаем формулу
конечного приращения, но этот вывод менее общего характера, чем
первый (§ 17), так как он предполагает непрерывность производной F’ (х).

Основная формула (8) была выведена в предположении, что функция
/(х) непрерывна между а и Ь. Не обратив внимания на это усло-
вие, мы можем притти к парадоксальным заключениям. Так, полагая

из формулы (8) получим:

ь

Г dx_\_______

J X2 а b '
а

Левая часть имеет смысл только в том случае, если а и Ь имеют оди-
наковые знаки, тогда как правая часть имеет определенное значение
и в том случае, когда а и b будут иметь разные знаки. Мы увидим
в дальнейшем, при изучении определенных интегралов, взятых между
мнимыми пределами, в чем состоит объяснение этого парадокса.
Точно так же по формуле (8) имеем:

f’(x) dx f(b)
f(x) И /(a).

Если знаки количеств /(а) и f(b) противоположны, то /(х) обращается
в нуль между а и Ь, и обе части предыдущего равенства не имеют
пока для нас никакого смысла. Впоследствии мы увидим, какое значе-
ние должно приписывать этому равенству.

Формула (8) может быть также не вполне определенною. Так, пола-

ft

= arc tg b — arc tg а.

а

Левая часть имеет вполне определенный смысл, тогда как правая
часть имеет бесконечное множество значений. Для устранения неопре-

деленности положим

Функция F(x) непрерывна во всяком промежутке и обращается в нуль
вместе с х. С другой стороны, обозначим через Arctgx дугу, заклю-

чающуюся между

ту же производную и
тождественны между

2

—. Эти две функции имеют одну и

обращаются в нуль при х —0: следовательно, они
собою, и мы можем написать

= Arc tg b — Arc tg й,

при условии принимать всегда для Arc tg значение,
тг	тг

ЖДУ -- И + у.

Точно так же можно вывести формулу:

заключающееся ме-

- = Arc sin Ь — Arc sin а,
/1 - Х2

где корень взят в его положительном значении, а и b заключаются
между —1 и —|—1, и через Arc sinх обозначена дуга, заключающаяся
тг . тг

между — — и -|-у
Вообще, если первообразная функция F (*) имеет несколько значений, то
нужно выбрать одно из начальных значений F (а) и проследить непрерывное
изменение этого значения при изменении х в одном и том же направлении от
а до Ь. Иногда оказывается более удобным вводить разрывную первообразную функ-
цию, но для этого необходимо сначала обобщить формулу (8). Эта основная формула
была выведена в предположении, что обе функции /(х) и F (х) непрерывны в интер-
вале (а, Ь) и что В каждой точке этого интервала F! (x)= f (х). Теперь мы сде-
лаем несколько более общие предположения. Предположим, что обе функции
F (<) и f (х) удовлетворяют предшествующим условиям, за исключением конечного
числа тачек интервала (а,Ь), которые мы назовем исключительными точками.
Кроме того, мы допустим, что /(х) остается ограниченной, и чтоР(х) имеет в этом
интервале лишь точки разрыва первого рода. Предположим сначала, чтобы ви-
деть, как изменится в этом случае формула (8), что в интервале (а, Ь) имеется
лишь одна исключительная точка с; обозначая через г весьма малое положи-
тельное число, мы можем написать, предполагая, что а < с < Ь:

b	с — е	с+е	Ь

\f(x) dx = f/(x) dx + /(x) f
'a	a	c — s	c f e

или, так как между пи с — г, как и между с -|- s и Ь, нет исключительных точек:

Ь	с-|-в

\ f(x) dx = F(c — z) — F(a)+ j/(x) dx + F (b) —F(c + t).
a	c — e

Когда г стремится к нулю, то \ f (х) dx также стремится к нулю, и мы имеем
с— е
в пределе;

ь

\/(х) dx — F(b) —-F (а) —
а

где через обозначена разность Ffc-fO)—F(c—0), или скачок F(x)
в точке с.

Если в интервале (а, Ь) имеется несколько исключительных точек, то Мэ1
разобьем его на частичные интервалы, каждый из которых содержит не более
одной исключительной точки. Применяя предшествующее рассуждение к каж-
дому из этих частичных интервалов и пользуясь полученными результатами, на-
ходим:

ь

[f(x)dx — F(b) — F(a) — 'S&,,	(91

а

где SA есть сумма скачков F(x) в интервале (п, Ь). Если F(х) непрерывна, то
эта формула (9) приводится к формуле (8); мы видим, следовательно, что фор-
мула (8) применима также и к ограниченной функции /(х), имеющей произволь-
ное конечное число точек разрыва b (а, Ь), если только первообразная функция
непрерывна. Это замечание мы распространим в дальнейшем также и на случай
неограниченной функции.

76.	Указатели. Как указано выше, если начальная функция F(x) имеет
несколько значений, то нужно выбрать одно из ее значений при х—а, F (а)
и следить за непрерывным изменением этого значения при изменении х в одном
и том же направлении от а до Ь. Возьмем, например, интеграл:

ь	ь

г
- dx~

Г Р' Q— PQ

J & + Q1

dx>
Р(х
г ле

/«=5.

и Р, Q — две функции, непрерывные в промежутке (а, Ь) и не обращающиеся
одновременно в нуль. Начальная функция есть arctg/(x). Если Q не обращается
в нуль между а и Ь, то / (х) ие обращается в бесконечность между этими пре-

делами, и Arc tgf(x) заключается между—и -j- Но этого, вообще, не будет,
если уравнение Q = Q имеет кории в промежутке (а, &). Чтобы узнать, каким
образом должно в этом случае изменить общую формулу, введем опять
к к

обозначение Arc tg для дуги, заключающейся между-2' и 2 ~и пРедположим

сначала, что Q обращается в нуль между а и b тол ко один раз при х~с. Мы
можем написать:

Ь	с — е -Ц- er Ь

ГнМх) dx = J = J + J ’

а	а 4 — Ef-J-e'

где г и г'— два очень малых положительных числа. Так как функция f (х) не
обращается в бесконечность ни между а и с — г, ни между с т е’ и Ь, то мы мо-
жем написать:

Ь	с+г'

f	— Arctg/(c-s) - Arctg/(a) + Arctg/(&) —Arc tg/(c f-г') + f •

J 1 i J \x)	J

a	(— e

Здесь может представиться несколько случаев. Предположим для определен-
и jcth, что/ (х) обращается в бесконечность, переходя с + сю на,— со- Тогда/(с — г)
будет положительно и очень велико, А с tg f (с — е) будет очень близок к ’ . /

будет отрицательно и очень велико, Arc tg /(с + s') будет очень близок к —;что

касается интеграла \ , то его абсолютная величина будет очень мала, как в этом

можно убедиться, заменяя под интегралом / (х) через . Переходя к пределу,
получим:

Ьс/Хе) = * + Arc *8 /(*) - Arc tg/ («) •
а

Точно так же можно доказать, что если функция/(х) переходит с —оз
на + оо , то нужно отнять к. В общем случае должно разбить промежуток (а, Ь)
на такие промежутки, чтобы в каждом из них функция / (х) обращалась в бес-
конечность только один раз. Приложив к каждому из этих промежутков прежние
выводы и сложив полученные результаты, найдем:
ь .

fiT mVr = Агс - Arc tg/W +	*')*•

J 1 +}‘ Iх)
а

где К есть число, показывающее, сколько раз функция / (х) обращается в’ бес-
конечность, переходя с + 00 на — сю, а К' есть число, показывающее, сколько
раз/ix) переходит с — сю на + сю. Это число К— К' называется указателем
функции /(х) между а и Ь.
Если f(x) представляет рациональную функцию , то можно вычислить ука-
затель при помощи элементарных действий, даже не зная корней многочлена V.
Мы, очевидно, можем предположить, что многочлен V) взаимно простой с много-
членом V, и что его степень ниже степени V, так как от вычитания многочлена
указатель функции не меняется. Выполним ряд делений, при помощи которых
находят общий наибольший делитель между V и Vf, с тою только разницею,
что каждый раз мы будем менять знак у остатка. Разделим сначала V на Ц;
мы получим частное Qt и остаток—У2. Затем разделим Vt на У2; мы получим
частное Q-, и остаток— V3, и т. д.; наконец, мы придем к постоянному остатку —
Vn Таким образом мы получим ряд равенств:

V = V, Q, - V»,

V(= V20.2- V8,

Vn-1 =	V„+l.

Ряд многочленов:

V, v„ r,..„ pr,	|

vr+1,..., Vn, V„41	7

обладает существенными свойствами ряда Штурма (Sturm): 1) два рядом стоящих
многочлена не могут обращаться в нуль при одном и том же значении х, так как
из этого мы последовательно вывели бы, что при этом значении х должны об-
ращаться в нуль и все другие многочлены и, в частности, постоянное V„4

2)	когда один из промежуточных многочленов V), IV..., обращается в нуль,
то число перемен, представляемое рядом (7), не меняется так как, если 1$ равно
пулю при х = с, то V—! и Иг11 будут иметь при х = с противоположные знаки.
Ит этого следует, что число перемен в ряде (10) может измениться только тогда,
когда х проходит через корень уравнения V — 0. Если при этом переходит
с г со па — оо, то число перемен увеличивается на единицу; напротив, оно

И,

уменьшается на единицу, если переходит с — оо па -f- оо . Таким образом
указатель функции /(.с) равен разности между числами перемен в ряде (10) при
х — и х= а.

77.	Площадь плоской области. Будем называть многоугольною областью
всякую плоскую ограниченную область, границы которой состоят из
конечного числа прямолинейных отрезков; эта область может состоять
из нескольких многоугольников, не имеющих никакой общей точки.
Определение площади такой многоугольной области известно из элемен-
тарной геометрии. Рассмотрим теперь замкнутую простую кривую С,
разделяющую плоскость на две области, внутреннюю область D И внеш-
нюю область. Приписать области D определенную площадь — значит,
в сущности, допустить следующий постулат:

(/) Существует число и притом только одно, больнее всякого
числа, измеряющего площадь любой многоугольной области, содер-
жащейся в D, и меньшее всякого числа, измеряющего площадь любой
многоугольной области, содержащей в себе D.

Существование единственного числа, удовлетворяющего предыдущему
усповию, может быть строго доказано в том случае, когда кривая С
удовлетворяет некоторому весьма общему условию, которое всегда удо-
влетворяется для кривых, которые обыкновенно рассматривают.
Пусть будет Р многоугольная область, содержащая D, р — другая
многоугольная область, содержащаяся в D, А и а — соответствующие
площади этих обеих областей. Ясно, что каковы бы ни были обе много-
угольные площади, мы имеем А >• а. Следовательно, числа А имеют
нижнюю границу 31, и числа а имеют верхнюю границу ЗХ; сверх того,
необходимо 31'	31. Если ЗХ' = 31, то площадь D называется квадрируе-

мою, и число а есть мера площади области D*. Ясно, что это число —
единственное, которое удовлетворяет условию (I).

(//) Д 'Я того чтобы область D была квадрируемою, необходимо и
достаточно, чтобы для всякого положительного числа е можно было
найти такую многоугольную область Р, содержащую D, и такую
другую многоугольную область р, содержащуюся в D, чтобы разность
А — а площадей областей Р и р была меньше г.

По самому определению, условие необходимо. Оно вместе с тем
и достаточно, так как разность А — а не может быть меньше разности
ЗХ— 31'- Отсюда следует, что если область D квадрируемая и имеет
площадь ЗХ, то всегда можно найти такие две многоугольные области
Р и р, одну — содержащую D, а другую — содержащуюся в D, чтобы
разности А—ЗХ, 31 — а были меньше всякого данного положительного
числа е. Предыдущее условие (II) квадрируемости площади D может быть
иначе выражено следующим образом: необходимой достаточно, чтобы
можно было заключить границу С в такую многоугольную область,
площадь которой была бы меньше всякого данного числа. В самом
деле, многоугольная область, содержащая С, есть разность двух много-
угольных областей, одной — содержащей D, а другой — содержащейся в D.

Вообразим, что область D, образованная точками, внутренними к С,
разбита на две аналогичные области Dr / 2; пусть, например, прове-
дена дуга С, лежащая внутри D и соединяющая две точки С. Если
и D2 квадрируемы, то это справедливо и относительно D, причем пло-
щадь D равна сумме площадей DA и D2.

Пусть Рг и рг—-две многоугольные области, одна — заключающая
Dj, другая — заключенная в D, /Ц и аг—соответственно их площади;
пусть Р9 и р2 имеют то же значение для D2; ясно, что многоугольная
область, получаемая соединением и р2, заключена внутри D. Следо-
вательно, аг -|- а2 << ЗХ'. С другой стороны, две области Р1 и Р2 обра-
зуют в совокупности многоугольную область, заключающую D. Так
как они имеют общую часть, то А2 -|- А9 ~^> ЗХ, следовательно,
ЗХ — 31'<С(Л1 — аг)-р (Л2— а2). Так как области ’^ и D2 квадрируемы,
то разности /Ц—аА, А2 — а„ могут быть сделаны сколь угодно малыми.
Следовательно, и двойное неравенство а2 -|~ ач <Z ЗХ <С Л, показы-
вает, что площадь D равна сумме площадей и D2. Обратно, если
D и D, квадрируемы, тоже справедливо относительно [)2, действительно,
так как D и Dr квадрируемы, границы этих областей можно заключить
в многоугольные области, площади которых меньше любого заданного
числа. То же справедливо, следовательно, относительно D,; а так как

* Это определение квадрируемых плоских областей можно распространить на
области, определенные с большею общностью; см. Бер, Lemons sur les theories
gdnerales d’ Analyse, т. I, стр. 148.
£> таким образом, оказывается квадрируемой, то ее площадь равна
разности площадей D и Dr

Рассуждение может быть обобщено. Если область D, граница ко-
торой состоит из любого числа замкнутых кривых, может быть разло-
жена на сумму или разность квадрируемых областей, таких, как только
что рассмотренные, то эта область D квадрируемая, и ее площадь
равна сумме или разности площадей тех областей, из которых она
составлена.

78.	Вычисление площади плоской области. Мы будем рассматривать
лишь плоские области, ограниченные обычно встречающимися замкну-

тыми кривыми. Нетрудно показать, что они квадрируемы.

Возьмем сначала область D, аналогичную той, от которой мы от

правлялись (§ 67), ограниченную дугой АВ, которую параллель к Оу
может встретить не более как в одной точке,

9

О

двумя ординатами АР, BQ и отрезком PQ оси
Ох. Пусть а и b будут абсциссы точек Р и Q
(a<^b),y = f(x)— уравнение дуги АВ, причем
функция /(х) непрерывна и положительна
в интервале (а, Ь). Возьмем возрастающую
последовательность чисел хг, х2, ... ,хп_у,
заключенных между а и Ь, и пусть mt и Mt —

экстремальные значения f(x) в интервале
(x/_1,xz). Рассмотрим два ряда прямоугольни-
ков rt и Z?z, ограниченных с трех сторон

прямыми у — 0, x = xi _ j, x = xt, с четвертой
стороны — прямыми y = /wz, j/ = Afz соответственно. Ясно, что прямо-
угольники rt образуют многоугольную область, содержащуюся в D, а пря-

моугольники Rt— многоугольную область, содержащую D. Площади
этих двух областей суть соответственно:



верхняя граница ^}rz и нижняя граница ^Rt между собою равны.
Следовательно, область D квадрируема, и ее площадь представится опре-

*

деленным интегралом /(х) dx. Этот результат вполне соответствует

а

интуитивному геометрическому определению площади. Заметим, что,
каков бы ни был знак /(х) в интервале (а, Ь), мы можем рассматривать
ь

определенный интеграл \f(x)dx как некоторую площадь, если только

а

мы примем то соглашение, о котором говорили выше (§ 68). Поэтому
мы сохраняем термин квадратура для обозначения вычисления опреде-
ленного интеграла.

Рассмотрим теперь область, ограниченную отрезками АА', ВВ' двух
параллельных прямых и двумя кривыми Атл В, А'т2В', которые рас-
положены между этими прямыми и встречаются с параллелью к этому,
направлению лишь в одной точке, и притом не пересекаются.(Черт. 10).
Выберем за ось Оу прямую, параллельную АА', а за ось Ох — прямую,
перпендикулярную, и притом так, чтобы вся область была расположена
поверх этой оси. На чертеже отрезок ВВ' стягивается в точку В; пусть
у1 = ф1(<), у2~'Ъ2(х)— уравнения дуг АтуВ, Дт2В’.

Область D есть разность двух квадрируемых областей, ограничен-
ных контурами Am^BQPA', A'm2BQPA'; следовательно, она и сама
тоже квадрируема, и ее площадь равна разности^двух интегралов:

*	ь

\ ф2 (х) dx, (х) dx.

а	а

Всякая область, которую можно разбить на несколько областей
того же вида, как только что рассмотренная, будет, следовательно,
квадрируема, и ее площадь выразится алгебраической суммой опреде-
ленных интегралов. Если оси координат не прямоугольны и составляют
угол 6, то определенные интегралы нужно помножить на sin 0.

Иногда бывает удобно пользоваться для вычисления площадей поляр-
ными координатами. Пусть требуется вычислить площадь области, огра-
ниченной прямыми О А, ОВ, составляющими углы ш0 и й с полярной
осью Ох(<о0<^Й), и дугою АМВ, расположенною внутри угла АОВ, и
встречающейся со всякой полупрямой, принадлежащей углу АОВ, лишь в
одной точке. Пусть будет р =/(«>) уравнение этой дуги АМВ в полярных
координатах. Разобьем угол АОВ на некоторое число меньших углов
посредством радиусов-векторов, которые составляют возрастающие углы
<0j, ш2, ... с осью Ох. Пусть будут ОМ,, ОМ-^ —два последовательных
радиуса-вектора, составляющих с Ох углы ®i(<oz+,, а р', р"— минимум
и максимум /(<о) в интервале (o>z, <oi+1). Построим, с одной стороны, рав-
нобедренный треугольник tt, одна из вершин которого совпадает с О,
а две другие находятся на OMt и ОМм на расстоянии pz от О, с дру-
гой стороны—-прямоугольный треугольник Г, одна из вершин кото-
рого попрежнему совпадает с О, другая, соответствующая прямому
углу, получится, если отложить на OMt длину, равную р", а третья
находится иа ОМ1+1. Ясно, что совокупность треугольников образует
многоугольную область, содержащуюся в D, а совокупность треуголь-
ников Т, — другую многоугольную область, содержащую D. Площади
этих двух областей соответственно равны

у J] (?;)2 sin	j —<oz), yjj(p")2tg(wz+1 — ш,)

и имеют своим общим пределом

может быть написана так:

е

p2«Z(i>. Первая из иих, например,

42(р;,2(1 ~	ш')’
где стремится равномерно к нулю вместе с (<о/+1 — Wj). Следовательно,
площадь области D равна определенному интегралу

9

-l—p2du есть элемент площади в полярных координатах. Геометриче-

ское значение его очевидно.

К этому частному случаю легко приводится случай области, огра-
ниченной контуром обычной формы, если рассматривать его как сумму
или разность некоторого числа областей того же вида, как только что
рассмотренная.

Примечание I. Число, измеряющее площадь области, ограниченной зам-
кнутой кривой, было определено как сечение в области положительных чисел.
Из этого определения вытекает ряд свойств, которые также могли бы служить
определениями. Вот одно из них, которое, быть может, ближе подходит к обыч-
ному представлению площади. Пусть С—замкнутая плоская кривая, ограничи-
вающая квадрируемую область D площади 31. Возьмем многоугольную область Р,
содержащую L>, площадь которой меньше 31 4- г, и другую многоугольную об-
ласть р, содержащуюся в D, плошадь которой больше А - г. В таком случае
площадь многоугольной области К, представляющей разность областей Р и р,
будет меньше 2;.'

Эту многоугольную область можно заменить другой многоугольной областью
Ki, заключающей С, с площадью, меньшей 4а, граница L которой Ht имеет ни
одной общей точки с С. В самом деле, ломаную I, ограничивающую К извне,
можно заменить другой ломаной, образованной прямыми, параллельными звеньям
первой и проходящими от них на расстоянии, достаточно малом для того, чтобы
площадь области, заключенной между обеими ломаными, была меньше а; так же
можно поступить и в отношении ломаной ограничивающей К изнутри.

Проведем теперь две системы прямых, параллельных двум взаимно перпен-
дикулярным направлениям и отстоящих друг от друга на расстоянии р. Мы по-
лучим троякого рода квадраты: 1) квадраты внутренние по отношению к D,
все внутренние точки которых принадлежат к £>; 2) квадраты внешние, которые
не имеют с D ни одной общей точки; 3) смешанные квадраты, которые содержат
как точки, принадлежащие D, так и точки, внешние по отношению к D. Нетруд*
но видеть, что сумма площадей смешанных квадратов стремится к нулю,
когда ? неограниченно убывает. В самом деле, пусть 3 есть минимум расстояния
точки контура С от точки ломаной L, ограничивающей область Kt- Если р взято
8

меньшим ~~~7—, то все смешанные квадраты, наверное, принадлежат К{, так как
|/ 2

каждый из них имеет точку, лежащую на контуре С. В таком случае сумма пло-
щадей этих смешанных квадратов будет меньше 4а, а следовательно, она стре-
мится к нулю вместе с р, так как г — произвольное положительное число. Точно
так же мы убеждаемся в том, что сумма площадей внутренних квадратов
имеет пределом площадь области D, когда р неограниченно убывает. В са-
мом деле, эта сумма меньше 3(, но сумма площадей квадратов внутренних и сме-
шанных больше 31; так как сумма площадей смешанных квадратов меньше 4г, то
мы заключаем отсюда, что разность между площадью А области D и суммою пло-
щадей внутренних квадратов меньше 4г.

Примечание И. Рассмотрим, в частности, такую область, какая изобра-
жена на черт. 1 (§ 9), ограниченную контуром

ACC DD' ВВйАйА-,

ордината точки линии ACG'DD’B есть функция fix) абсциссы, имеющая некого-
рое число точек разрыва первого рода. Площадь этой области, очевидно, равна
сумме площадей областей ЛССоЛо, CDD^Cq, D'BBqD0, т. е. сумме интегралов

с	d	b	b

\px)'lxy- \ / (x)dx + \ / (x)dx= \ f (x)dx.	('	О’

и	с	d	а

Если мы заменим ординату 8о'0 переменной ординатой, то определенный

интеграл	f(x]dx будет все же непрерывной функцией х. В точке х,

а

где /(у) непрерывна, мы имеем F'(x)=f(x). Для точки разрыва, например для
точки х = с, мы имеем:

сЧ/

F (с ф /г)— F(c) = J / (х) dx =- hj (c -f- 6/z)	(0<6<1);

С

F (с * h — F (с)

отношение --------------5— имеет пределом f (с + 0) или f(c — 0) в зависи-

мости от того, положительно ли h, или отрицательно. Этот пример ясно пока-
зывает, что, если f (х) есть функция интегрируемая, но не непрерывная, инте-
грал F (х) — J /(х) dx не будет непременно иметь / (х) своею производною.
а

79.	Длина дуги кривой. Пусть будут

z = 'b[t)	(12)

три функции переменного t, непрерывные в интервале (а, Ь), где а<^Ь.
Когда t возрастает от а до Ь, точка с координатами (х, у, z) описы-
вает дугу кривой АВ, замкнутую или нет, которая может иметь неко-
торое число двойных точек. Возьмем между а и b возрастающую по-
следовательность чисел (a = t0 <	< t„_-l < in = b), и пусть

PQ , Pj , . .. , Pn_1 , Pn будут соответствующие точки кривой, причем Ро
совпадает с А, а Рп — с В. Эти точки Ро , Р2, ... , Рп суть последо-
вательные вершины ломаной линии длины L, вписанной в дугу АВ. Ес-
ли число п неограниченно возрастает, и притом так, что все разности
tt — tj_1 стремятся к нулю, то все звенья этой ломаной также стремятся
к нулю. Если длина L стремится при этом к пределу s, то говорят,
что кривая спрямляемая, и предел s есть длина дуги кривой АВ,

Мы покажем, что кривая спрямляема, если функции f(t), <р(/), Ф (/)
имеют производные	<!Л(£), непрерывные в интервале (а, Ь)*.

* Эти условия достаточны, но не необходимы. Условия, необходимые и
достаточные для того, чтобы кривая была спрямляемою, были даны Жорданом:
Оля спрямляемости кривой С необходимо и достаточно, чтобы множество
чисел L, измеряющих периметры ломаных, вписанных в С, было ограничено.

Это условие необходимо. В самом деле, предположим, что L стремится к
пределу S, когда п неограниченно возрастает, в то время как максимум к длины
звеньев ломаной стремится к нулю. Не может существовать ни одной ломаной
вписанной в С, периметр L' которой быт бы больше 5. В самом деле, если бы
существовала хоть одна такая ломаная, то, деля каждый из интервалов на все
уменьшающиеся частичные интервалы, мы получили бы новые ломаные, перимет-
ры которых были бы все больше L', а следовательно, не могли бы стремиться к «..

Условие 0остаточно. Это доказывается рассуждением, совершенно анало-
гичным тому, которое мы уже употребляли дважды (§ 11 и 70). Пусть 5 — верх-
Пусть xz, yt, zt,— координаты вершины а с. — длина стороны
+_j/z; мы имеем:

cz=•/(xz — х~7)2 + (X — ?Z_J2 + (z — Z£_^

или, применяя формулу конечных приращений к xt — х1_1,	:

=(h - +1) / [/(<)]3 + (т++3 + [ф'О3.

где q(, rlt, заключены между Zzi и tr Если интервал (tl l, tt) весьма
мал, то радикал весьма мало отличается от

/[/ -Л3 + [?' (++3 ± [ф' (+J]2;

чтобы найти предел разности, мы можем написать ее так:

___________[/ (£/)—/' J] [/ &) + / (+ + + • • •	
//2 (5,) + <? '2 (^) + ф'2 (Q + //3 (+,) + ¥'2	+ Ф'3 ++ ‘

Мы имеем:

I f (У 1 + 1/ (+i) I < /7+Q+...+ V +.. •,

а следовательно,
	/(gt)+/(+I)
+/'2	+ • • • +1//3 (+:)+••.

ияя граница чисел L; если г — наперед заданное положительное число, то суще-
ствует такая возрастающая последовательность чисел

(а = а0 < at < а2 < ... < ар = Ь),

что периметр Л соответствующей вписанной ломаной превосходит s--Рас-

смотрим какую-нибудь возрастающую последовательность чисел

(а = t0 < tl < t2 < ... < t„_t < ta= b),

которая выбрана так, чтобы все интервалы t/ — были меньше положительного
числа г), которое, в свою очередь, меньше наименьшей из разностей — йп,
а2—alt ...,b — ap_t; пусть L — периметр соответствующей вписанной ломаной.
Мы покажем, что s— L будет меньше е, если только г, достаточно мало.

Для этого представим себе, что числа Zz и ак расположены в возрастающем
порядке, и пусть L' — длина вспомогательной ломаной, полученной этим новым
способом разбиения. Число L' больше или, по меньшей мере, равно А и Л, а

г

•следовательно, превосходит s-.

Мы переходим от ломаной линии длины L к ломаной длины £', заменяя сто-
роны cz, которым соответствует точка ак в интервале (<z_4, Ц, остальными двумя
•сторонами треугольника, имеющего вершинами точки, соответствующие значе-
ниям Zz_ 1, ак, tt переменного t. Число этих сторон не превосходит р—1. Пред-
Так как три функции /' (/),	(t), ф' (t) непрерывны, то любому по-

ложительному числу г можно поставить в соответствие другое положи-
тельное число т; такое, что во всяком интервале, длина которого

меньше колебания функций f (/), ф' (/), ф' (z) оказываются меньше .

О

Мы имеем, следовательно:

=	f (^_1) + '?'2(^1) + Ф'2(^_1) 4- рД

где рг стремится равномерно к нулю вместе с t[—tiv и следова-
тельно, периметр L = ^c{ имеет пределом (§ 72) интеграл

ь

S = \ /pTjTy2 4- ф'2 dt.	(13)

а

Это доказательство распространяется также на случай, когда про-
изводные ср', ф' разрывны в конечном числе точек дуги АВ, что имеет
место, если кривая имеет угловые точки. В этом случае достаточно
было бы разбить дугу АВ на несколько других, для каждой из которых
', ср', ф' были бы непрерывны.

Из формулы (13) следует, что дуга, заключенная между неподвиж-
ною точкой А и переменной точкою М, соответствующею значению t
параметра, есть функция от t, имеющая производною
ds _________________________________________

^ = //'2+ ?'2ТФ'2;

возводя обе части этого равенства в квадрат и умножая на dt2, по-
ЛуЧИМ:	ds2 = dx2-[-dy2 + dz2.	(14)

Эта формула имеет место, каково бы ни было независимое переменное.
Ее легко запомнить в связи с ее геометрическим значением; она выра-
жает, что ds есть диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра ко-
торого равны dx, dy, dz.

положим, что число т| взято достаточно малым для того, чтобы неравенство
if — t" | < 7) влекло за собою неравенство:

------------------------------------------е

/ [/«') -/ Г)р + If (Г) - ? (ПР + u (Г) - ф (ПР <	,

что возможно, так как/, <р, непрерывны; тогда разность L' — L будет меньше , а
так как L' у- S-1-, мы будем иметь также: Г > s— s. Следовательно, число L

имеет пределом 5.

Число L, по меньшей мере, равно каждому из чисел
21xi-x^i, |21л—л-1|> 2Н~г/-> I •

Следовательно, для того чтобы L было ограничено, необходимо, чтобы три функ-
ции / (Z), <р (Z), ф (Z) были с ограниченным изменением. Эти условия достаточны,
так как мы имеем, с другой стороны:

г =^2 h -x‘~i1+21	1 + 2 z‘~ z‘~i I•

Мы можем резюмировать это следующим образом: для спрямляемости кри-
вой необходимо и достаточно, чтобы три функции f(t), ? (Z), <[> (Z) были с
ограниченным изменением.

12 Э. Г ур е а, ". I, ч. t.
Примечание. Прилагая формулу среднего значения к определен-
ному интегралу, представляющему длину дуги ATqATj, концы которой
соответствуют значениям t0, t, параметра t (/j]>^0), мы получим:

s = arc МОМТ = -10) ff2 (9) + <р (0) + фГ2 (6),

где 0 заключается в промежутке (f0, t2). Обозначая через с хорду М0Мг,
мы также имеем:

с2 = [f(Q-f (МР+Еф ('iH О2 + № (^1) - Ф М2-

Прилагая формулу конечных приращений к каждой из разностей
/(f)—/(/q),	, мы можем написать:

с=- h) /РФ

причем числа $, jj, С заключаются в промежутке (t0, /2). Но, на основа-
нии предыдущего, разность обоих корней будет меньше е, если только
колебания функций /'(/), ср' (/), ф' (t) в промежутке (t0, /7) будут
g

меньше —. Таким образом

— с < е (^ — /0)
и, следовательно,

1 — — < L; .

S //'2(0) + <р'2(9) ]-ф'2(9)

При неограниченном уменьшении дуги разность — /г, а вместе
с

с нею и г стремятся к нулю; следовательно, разность 1--------также

стремится к нулю. Таким образом отношение бесконечно малой ду;и
к ее хорде имеет пределом единицу.

Пример. Пусть требуется найти дугу плоской кривой, данной
уравнением в полярных координатах р=/(со). Принимая <о за незави-
симое переменное, мы представим кривую тремя уравнениями х = р cos со,
у = р sin ®, z = 0; отсюда имеем:

ds2 = dx2 -|~ dy2 = (cos <о dp — p sin co cZco)2 -|- (sin и dp p cos co rfco)2,

или, после приведения:

ds2 — dp2 Ц- p2cZco2.

Возьмем, например, кардиоиду, представляемую уравнением:
р = R Ц- R cos и.

Предыдущая формула дает:

ds2= R2dw2 [sin2 и (1 -(- cos со)2] = 4/?2 cos2 rfco2,

при изменении угла, со между 0 и л мы будем иметь:

ds — 2R cos ~ dw,

Ai
а>

4/? sin —

и выражение длины дуги будет:

ш,

и>0

где <оо и <0j—полярные углы,' соответствующие концам дуги. Следова-
тельно,' длина всей кривой равна 8/?.

80.	Направляющие косинусы. При изучении свойств кривой часто бывает
удобно принимать за независимое переменное длину дуги этой кривой.
Выберем на рассматриваемой кривой положительное направление и обо-
значим через s длину дуги АМ, заключающейся между неподвижною
точкою А и произвольною точкою М, со знаком -|- или со знаком —
в зависимости от того, будет ли направление от А до М положи-
тельно или отрицательно. Проведем в какой-нибудь точке Л4'этой дуги
касательную к кривой в направлении возрастания дуг; пусть будут
a, j), у углы, образуемые направлением касательной с положительными
направлениями прямоугольных осей Ox, Оу, Oz. Мы имеем:

cos а__cos р__cos у___1	___-4- 1

dx ~ dy — dz	/dx2-\-dy2 -f dz* ~ ds

Чтобы решить, какой знак здесь должно взять, предположим, что по-
ложительное направление касательной образует с Ох острый угол;

в этом случае х и s одновременно возрастают, и следовательно, должно

взять знак . Если же угол а — тупой,

с возрастанием s, х убывает

dv
’ ds

также

то cos я отрицательно; здесь,
отрицательно, и мы опять

должны взять знак . Следовательно, во

всех случаях имеем:

dx
cos я = —

ds

» аУ

COS 8 = — ,
ds

dz
cos Y= — ,
1 ds

(15}

где dx, dy, dz, ds — дифереициалы, взятые относительно произвольного
независимого переменного.

81.	Изменение отрезка прямой. Пусть будет Af.Wj (черт. 11) прямоли-
нейный отрезок, концы которого описывают две кривые С, Сг Возьмем
на каждой из этих кривых начальную точку
и установим положительное направление.

Пусть будут: s — дуга AM, s1 —дуга А2М2,
причем эти обе дуги берутся с их знаками,
I — длина ММ2, 9 —угол прямой М с по-
ложительным направлением касательной МТ,
Oj — угол, образуемый прямою МгМ с поло-
жительным направлением касательной М^Т^.
Найдем соотношение между 9, 9j и дифе-
ренциалами ds, ds}, dl.

Обозначим через х, у, z, хг, уг, zy

с осями координат.

координаты точек М, Мг; чер?з я, [3, у,
яг ?]> Yi — Углы касательных МТ и М2Тг
Мы имеем:

l? = (X - Ха)2 + (у ~у^ -j- (Z - ztf,
отсюда

Idl = (х — xj {dx — dxj + (у — уг) (dy — dyj-^ (z — ^) (dz — dzj.

Пользуясь формулою (15) и соответствующею формулою для кри-
вой Ср мы можем представить последнее равенство в виде:

/х — х.	у — у, о , Z — Z, \ , |

<// = I —j—1 cos а	~—1 cos р -------—1 cos у j ds -|-

। (xi—х	। У1—У	о । zi —z \ j

+ I cos	cos pj -f- —-— cos \ dsr

X — x, у —у,	z — z.

Ho —-j-. , ——1, —-—5 суть направляющие косинусы прямой МЛТр
следовательно, коэфициент при ds есть: —cos6.

Точно так же коэфициент при dsA есть: —cos6p и мы получим иско-
мое соотношение:

dl = —rfscosfi— rfSjCOsfij,	(16)

которым будем часто пользоваться.

82.	Теоремы Гревса и Шаля. Вот одно из приложений формулы (16). Пусть
будут Е, Е’ два софокусных эллипса (черт. 12). Из точки А1 внешнего
эллипса Е' проведем касательные МА, МВ к эллипсу Е. При. перемещении точ-
ки М по эллипсу Е' разность МА-\-МВ—arc AN В остается постоянною.

Пусть будут s и s' дуги ОА и ОВ, а — дуга О'М, I и I' — длины АМ и
ВМ, 6 — угол касательной МВ с положительным направлением касательной МТ;
на основании фокальных свойств уюл МА с МТ равен я — 6*. Замечая, что АМ

лем (Chasles). Даны софокусиые

совпадает с положительным направлением
касательной в А, и что ВМ противоположно
положительному направлению касательной
в В, мы по формуле (16) имеем:

dl = — ds -f- da cos 0,
dt = ds' — da cos 6;

складывая эти равенства, получаем:

d (14- Г) = d (s' — s).d arc ANB,

откуда следует справедливость предложения,
Это — теорема английского геометра
Гревса (Graves). Таким же образом доказы-
вается следующая теорема, найденная Ша-

эллипс и гипербола, пересекающиеся в точке V;

«ели из точки М, взятой на ветви гиперболы, проходящей через точку N, про-

ведем к эллипсу касательные МА, МВ, то разность дуг NA—NB равна раз-
ности касательных МА — МВ.

HI. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.

Многие из определенных интегралов, которые нельзя получить не-
посредственно, могут быть найдены при помощи двух общих приемов,
которые мы здесь изложим.

* Соединим точку М с двумя фокусами. На основании свойств софокусных
кривых второго порядка касательная МТ одинаково наклонена к обоим радиусам-
векторам; точно так же эти радиусы-векторы образуют равные углы с касатель-
ными МА и МВ. Отсюда следует справедливость теоремы, приведенной в тексте.

(Ред.)
83.	Замена переменных. Если подстановкою х— ср(/) в определен-
ь

ном интеграле j /(х) dx мы заменим переменное х новым независимым
а

переменным t, то получим новый определенный интеграл. Предполо-
жим, что функция <f(/) непрерывна и имеет непрерывную производную
между а и р, и что, при изменении t от а до [J, <р(/) изменяется всегда
в одном и том же направлении от ср(а) = а до ср ($)=£.

Разобьем промежуток (а, на части промежуточными значениями
a, t^, t2, , .. , tn_,, пусть будут a, г2, ... , x„_r Ь соответствую-
щие значения переменного x=y(t). На основании теоремы о конеч-
ных приращениях имеем:

xi xi-i==	) ср' 0/),

причем 9Z заключается между /z_1 и tr Пусть будет Sz = ср (9Z) соответ-
ствующее значение переменного х, заключающееся между х1Х и х,.
Сумма

o)+/(B2)(v2— vj j- ... +/($„) р — хп_ )

имеет пределом данный определенный интеграл. Но эту сумму можно
также представить в виде

/[<Р (*М] ср' (9,) (^ - а) + . .. +/[<р (0z)J ср' (0z) (/z - /Z_J + ...

Отсюда видно, что она имеет пределом новый определенный интеграл

3

J/[cp (0] ср' (0 dt.
а

Таким образом мы получаем равенство:

ь	3

\	(/)](?’(/) dt.	(17>

a	ъ

Формула (17) есть формула замены переменных в определенных инте-
гралах. Мы видим, что новый диференциал под знаком интеграла по-
лучается посредством замены в f(x)dx переменного х и диференциала
dx через <р(/) и tp' (/) dt, причем новыми пределами служат значения t,
соответствующие прежним пределам. При надлежащем выборе функ-
ции ср (/) может случиться, что новый интеграл будет проще первона-
чального, но, впрочем, для этого нельзя дать никаких определенных
правил.

Пример. Пусть а и Ъ — два положительных числа; мы имеем:
ab	а	аЬ

f dx	f dx	f dx

J x	“J	x '	J x	’

1	1	a

полагая в последнем интеграле х = ау> получаем:
ab	ь	ь	"

С dx_ Г dy__ Г dx
и следовательно, мы имеем равенство:

ab а	b

1 1 1

Мы получаем, таким образом, известное основное свойство логарифма
(ср. § 52).

Некоторые из предположений, которые мы делали при выводе фор-
мулы (17), не необходимы. Так, нет необходимости, чтобы при измене-
нии t от а до функция ср (t) изменялась всегда в одном и том же
направлении. Предположим, например, что при возрастании t от а
до Y (Y Функция ср (Z) возрастает от а до с (с^> Ь), а при даль-
нейшем возрастании t от у Д° 'Р (t) убывает от с до Ь. Если функ-
ция /(х) непрерывна в промежутке (а, с), то к каждому из промежут-
ков (а, с), (с, Ь) можно приложить формулу (17); это дает:

сс	X

\ /(х) dx = \/[ср (0] срг (0 dt,

а	а

^/(х)	= \/[ср (Эдер' (И dt-

'с	Т

складывая оба равенства, получим:

*	?

\f(x)dx	(t)]y'(t) dt.

а	а

Напротив, необходимо, чтобы ср (/) была вполне определенною функ-
цией) от t. Если не обратить внимания на это условие, то можно
притти к очевидно неверным выводам. Например, если мы применим
+ 1	3

к интегралу J dx формулу (17), положив x — t‘z, то получим:
— 1

tat,
X

что невозможно, так как второй интеграл равен нулю. Чтобы пра-
вильно применить формулу, необходимо разбить промежуток (—1, ф 1)
на два промежутка (—1, 0), (0, 1). В первом промежутке мы поло-
жим х =—t3 и будем изменять t от 1 до 0; во втором промежутке
мы положим х —р/3 и будем изменять t от 0 до 1. Таким образом
верный результат будет:
Примечание. Заменяя в формуле (17) верхние пределы Ь и р перемен-
ными пределами х и t, получим:

х	t

^f(x)dx.= f/[<p (7)] / (t) dt.
а	а

Из этого равенства следует, что если мы положим x=^(i), то функция F(x).
производная которой есть /(х), обращается в функцию Ф (Z), производная кото-
рой есть У [у (/)] cpf (т). Последний результат непосредственно следует из формулы
производной функции от функции. Таким образом мы можем вообще написать:

=	(01 ?' (t)dt.

Это — формула замены переменного в неопределенных интегралах.

84.	Интегрирование по частям. Пусть будут и и v— функции, не-
прерывные вместе со своими производными и' и v' между а и Ь. Мы
имеем:

d (uv) dv . du
— =u +v t~ ;
dx dx dx

интегрируя обе части этого равенства, получим:
ь	ь	ь

,	[ ’ dv

dx~\ и —dx -+-
J dx
a

Последнее равенство можно еще представить в следующем виде:

ь	ь

и dv = [uv]&—\vdu,	(18)

л	а

причем символ [Л(х)]^ обозначает вообще разность

F(b) ~F(a).

d (uv)
dx

Заменяя предел b переменным пределом х и оставляя а постоянным,
что равносильно переходу от определенных интегралов к неопределен-
ным, мы точно так же будем иметь:

\udv-uv—[vdu.	(19)

Таким образом вычисление интеграла judv приводится к вычислению
интеграла \vdu, который может быть проще первоначального. Пусть,
например, требуется вычислить определенный интеграл

ь

хт log х dx (т -|- 1	0).

а

XmJr^

Полагая ц = 1пх, v =--j—- , по формуле (18) имеем

т —1
Эта формула неприменима, если >и-|-1=0; в этом случае имеем:

ь

С d v Г 1	1

I In х —= (In г)2 .

J * L 2
а

Формулу (18) можно обобщить. Обозначим через и', и", . .. , и(я+1\
v', v", ... , последовательные производные от функций и и v.
Прилагая формулу (18) к интегралам и dv(n\ u'dv<-n~'l\..., мы при-
дем к следующим равенствам:

b	b	ь

\ вг,(я + 1) d v — и (я) __ [и^(я)]& — ( dx,

\i	а	а

b	b	b

\ u'v,n>dx = § иdv(n~r> = \u'v(n~r>\ba— u"v(n~r> dx,
a	a	a

b	b	b

u^v' dx = «О) dv = [dn)v]b — u<n^)v dx.

a	a	a

Умножив эти равенства попеременно на -|“ 1 и — 1 и сложив, по-
лучим:

ь

dx = [uv(n> — u'v^n~^ -|- u,rv^n~2) —	(— l)nu<n)v]b Ц-

a
b

+ (— 1)" + 1 [d^vdx.	(20)

a

Эта формула приводит вычисление интеграла \ иц(л + 1> dс к вычислению
интеграла {u^+Vvdx.

В частности, формулою (20) удобно пользоваться в том случае,
когда под знаком интеграла стоит произведение многочлена и сте-
пени п на производную (п-|-1)-го порядка от известной функции v,
в этом случае мы имеем в(я+1) = 0, и правая часть будет свободна от
знака интеграла.

Пусть, например, требуется вычислить определенный интеграл
ь
je ”•*/(*) dx,
где /(*) есть многочлен п-й степени. Положим u— f(x), v —;
j '	'	J \	!	-( J

выводя ewx множителем, найдем по формуле (20):
ь
а

Тем же способом можно вычислить определенные интегралы:
b	ь

\ cos mxf(x)dx, \ sin mcf(x) dx,
a	a

где f(x)—многочлен.

85.	Формула Тейлора. Заменим в формуле (20) и функциею F(x)r
непрерывною между а и b вместе со своими производными до (и --|-1 )-го
порядка, и положим и = {Ъ — х)п. Мы имеем:

v’ = — n(b — х)л~г, v" = п(п — 1) (Ь — х)п~2, ... ,
vW = (— 1)" 1 -2 ... п, тЯ« + 1) = 0.

Замечая, что при х = Ь функции v, v',	. , ©(«-D обращаются

в нуль, мы получим формулу:

0 = (— 1)" ^!Л(6) — n'.F(a) — п\ F' (а) (Ь — а) —
и!	~1

— 2- F"{a) (b—ay-...—F W (a) (b — а? 4
ь

4- (— l)n+1 F («+И (х) (& — ху dx.
а

Отсюда имеем:

F(b) =F(a) + ^ F" (а) 4 F" (a) + ...
1	I ' £

b
(h__a\n	1 Г

... 4-1	’ /=•(«) (a) + — 1 F<~n+r> (x) (b — x)n dx.

a

Так как при изменении х от а до b множитель (Ь - х)п сохраняет
постоянный знак, то мы можем применить к последнему интегралу фор-
мулу среднего значения; это дает:

ь

j /=(«+4 (х) уь — х}" d с
а

b

= F^ + V (£) (b — x)ndx =
а

1

«4-1

(b — a)4+1 /7',г + ,)($),

где $ заключается между а и Ь. Подставляя это значение в предыду-
щее равенство, мы получим формулу Тейлора с остаточным членом
Лагранжа.
85 bis. Трансцендентность числа е. При помощи формулы (21) можно до-
казать знаменитую теорему, найденную Эрмитом. Число е не может быть кар-
ем никакого алгебраического уравнения с целыми коэфициентами*.

Положив в формуле (21) а = 0, <а = —1, получим:

а;

О

где

F(x^/(x)+/'(*) + ... + 1W);

это соотношение можно представить в виде:

;а

F (b) = eb F (0) — eb<\f(x) е~х dx.	(А)

о

Допустим, что е будет корнем алгебраического уравнения с целыми ^коэфи»
циентами:

с0 + с1е + с1ег + • • • + стет — 0.

Полагая в равенстве (А) последовательно Z> = 0, 1, 2,... , т и складывая полу»
чающиеся формулы, умножив их соответственно на ce, ct, .... ст, получим:

(0) +	(1) 4- ••• + <~mF(rn) +	е'Х	(В)

i = О О

где указатель I принимает только целые значения 0, 1,2....т. До сих пор мно-

гочлен f (х) оставался произвольным; теперь мы покажем, что при соответствую-
щем выборе многочлена f (х) соотношение (В) невозможно.

Возьмем

/ W = (р 2_Д)! хР~ * (х — 1)Р (х — 2)Р ... (х — т)Р,

где р есть простое число, большее ш; многочлен / (х), очевидно, (тр + р — 1)-й
степени, и все коэфициенты высших производных от этого многочлена, начинай
с р-й производной, будут целыми числами, кратными р, так как произведение
всяких р последовательных целых чисел делится на pl. Кроме того, / (х) вместе
со своими р — 1 первыми производными обращается в нуль при х= 1,2.........ш;

отсюда следует, что F (1), F (2), ... , F (т) будут целыми числа\ и, делящимися
на р. Остается вычислить F (0):

F (0) =/ (0)	(0) + ... +/(/>-«) (0) +/(Р) (0) +/(/>+<) (0) + .. .<

Но f (0) =/' (0) = ... =/(?-«) (0) = 0, и, на основании предыдущих соображе-
ний, /W (0), у-Р+й (0), ... , будут целыми числами, кратными р. Чтобы получить
/(/’-й(О), достаточно умножить на (р—1)! коэфициент при хр-ь в/(х). Это дает
± (1-2 ... т)Р. Таким образом сумма ;

Со F (0) + СЛ (1) + • •. + cmF (т)

равна целому числу, делящемуся на р, сложенному с количеством

ztc0(l-2 ... т)Р.

Если мы возьмем для р простое число, большее т и сс, то это последнее коли-
чество не может делиться на р, и первая часть суммы (17) будет целым числом,
отличным от нуля.

* Это доказательство было предложено Давидом Гильбертом (David Hilbert),
положившим в основу своего вывода метод Эрмита.
Мы покажем теперь, что, взяв для р достаточно большое простое число,
можно сделать сумму
т	i

с ft1(х) е~х dx

1=0	о

меньшею всякого данного количества. При изменении х от 0 до i каждый мно-
житель в многочлене f(x) будет меньше т; следовательно,

Ях')\<^~^ттр+р-1>

i	i

| f(x)e~xdx <-—!—I e~xdx<-,—

IJ	I	(р — i )’•	J	(р — 1)’

о	о

Поэтому

I cie‘ J f (*) е~х dx | < М ет = ? (7;)’
I

где Af есть верхний предел суммы | с0 | 4-1 ct |	. + | ст |. При неотраничен-

ном возрастании р функция <р (₽) стремится к нулю как общий член сходяще-
гося ряда, в котором отношение любого члена к предыдущему стремится к нулю.
Таким образом можно найти настолько большое простое число р, что равен-
ство (В) будет невозможно; это доказывает теорему Эрмита.

86.	Полиномы Лежандра. Найдем многочлен л-й степени Рп (х) под усло-
вием, чтобы интеграл

ь

j QPndx,
а

где Q — многочлен степени ниже л-й, был равен нулю при любом виде много-
члена Q. Мы можем рассматривать Рп как л-ю производную от некоторого мно-
гочлена R степени 2л; этот многочлен R не вполне определяется этим условием,
так как, не изменяя его л-й производной, мы можем прибавить к нему произ-
вольный многочлен (л — 1)-й степени. Поэтому мы всегда можем положить
dnR

^>n~'dxn’ И ПРИТОМ ««брать многочлен R под тем условием, чтобы он вместе
со своими л — 1 первыми производными обращался в нуль при х — а. Формула
интегрирования по частям дает:

ь

(22)

J dxn	7	dxn-^'a

а

Но, по предположению,

R (в) = 0, R' (а) = 0.. /?("-	О (а)'=:0,

и, чтобы предыдущий интеграл был равен нулю, необходимо еще условие:

Г Q (й) /?(«-<) (й) — Q' (й)	(й) + ... ±	(й) R (й) == 0. ‘

Так как многочлен (л— 1)-й степени Q — произвольный, то количества Q(b),
Q’ (й), .... 0(я-,1(й) также произвольны, и поэтому должно быть:

7?(й) = 0, /?’(6) = 0,’... , /?(«-<’ (й)=0.~

Отсюда видно, что мн< гочлен R (х) может отличаться от произведения
(х —а)п (х— й)« только постоянным множителем, и Искомый мноючлен Рп будет
иметь вид:

лП

Pn^C~[(,x-0)n{x^b)nV	(23)
Если пределы а н b будут равны — 1 и -|- 1, то многочлены Рп называются
полиномами Лежандра. Выбирая постоянное С согласно с Лежандром, мы по-
ложим:

1

2-476.<2’)

Если, кроме того, примем Хо=1, то получим:

.	3x2 - 1

2	О

Хо=1, A\ = x,

v 5х3 — Зх

Хп есть многочлен л-й степени, в котором все показатели при х будут одина-
ковой четности с показателем п. Из формулы Лейбница для л-й производной от
произведения двух множителей непосредственно следует, что

Х„(1) = 1, Л„(-1) = (-!)«.	(25)

Если «(х) есть какой-нибудь многочлен степени ниже л-й, то на основания
доказанного выше обще о свойства полиномов Лежандра имеем:

-Н1

\ Хп « (х) dx — 0;	(26)

-.1

в частности, если т и л — два неравных целых числа, то всегда

+Д

^XmXndx — 0-	(27)

-1

При помощи последней формулы можно очень просто найти рекур, ентное
cooiношение, связывающее три последовательных многочлена Хп. Прежде всего
заметим, что всякий многочлен л-й степени может быть представлен через Хп,
Xt, ... , Хп в виде линейной функции с постоянными коэфициентами. Следова-
тельно, мы можем положить:

хХп — С(Хпл ( 4- С1Хп СъХп_1 +	.. ,

где Со, С{, С2, ... — постоянные коэфициенты. Чтобы определить, например, С3,
умножим обе части этого равенства на Хп_3 н проинтегрируем между пределами
— 1 и + 1; при этом на основании формул (26) и (27) останется только

+!1

C3j^_.2|dx = 0,

-1

и следовательно, С3 — 0. Таким же образом мы докажем, что С4 = 0, (?3 = 0, ...
Коэфициент С{ также равен нулю, так как произведение хХп не содержит члена
с х«. Наконец, для определения Со и С2 приравняем сначала коэфиц тенты при
хп~>, а потом приравняем обе части равенства при х—1. Таким образом мы по-
лучим рекуррентное соотношение:

(л 1) Хп+1 — (2п -|- 1) хХп + лА'„_1 = 0;	(28)

это соотношение позволяет очень просто находить последовательно многочлены Хп‘
Соотношение (28) показывает, что ряд полиномов

Х6, Xt, Х2,...,Хп	(29)

обладает свойствами ряда Штурма: при непрерывном изменении х от — 1 до
|~ 1 число перемен, представляемых этим рядом, может изменяться только при
переходе х через один из корней уравнения Хп = 0. Но формулы (25) показы-
вают, что pi д (29) представляет л перемен при х = — 1 н не представляет ни
одной перемены при x = -f-l. Следовательно, уравнение Хп — 0 имеет л дейст-
вительных корней, заключающихся между — 1 и 1; это предложение можно
также очень легко вывести из теоремы Ролля.
IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ИНТЕГРАЛЕ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ.

Мы еще расширим понятие определенного интеграла. До сих пор
мы всегда предполагали, что функция ограничена, и что промежуток
интегрирования ограничен. В некоторых случаях можно освободиться
от этих ограничений.

87.	Один из пределов обращается в бесконечность. Пусть будет/(л)
функция от х, ограниченная и интегрируемая во всяком интервале
(а, I), где а—постоянное число, / — любое число, большее а. Инте-
i

грал ^f(x)dr, где 1^>а, имеет конечное значение, как бы / ни было
а

велико; если при неограниченном возрастании / этот интеграл стре-
сс

мится к пределу, то этот предел изображается через \f(x)dx.

а

Если начальная функция от /(х) известна, то легко узнать, имеет
ли данный интеграл предел. Так,

при неограниченном

= Arc tg I;

возрастании/ правая часть имеет

п
предел —,
£

и мы

можем написать:

п

2 '

Точно так же,
нуля, имеем:

предполагая а положительным и ц—1 отличным от

i

Г kdx k / 1

J ~х*~= i — g \iv^
a

1 \

если ц больше единицы, то при неограниченном возрастании / правая
часть стремится к пределу, и мы можем написать:

+ со

( kdx___ k

J xix (ц—
а

Напротив, если ц меньше единицы, то интеграл неограниченно возра-
стает вместе с /. То же самое будет и в том случае, если ц=1, так
как интеграл выражается посредством логарифма.

В общем случае задача заключается в том, чтобы узнать, стремится
ли функция	.
к пределу, когда / неограниченно возрастает. На основании результата,
полученного выше (§ 9), для того чтобы F(l) имела предел, необхо-
димо и достаточно, чтобы разность

I?

Р[Я) — F(P) = \f(*)dx
р

стремилась к нулю, когда оба числа р и q неограниченно возрастают,
и притом независимо одно от другого.

Число а не входит в это условие, что и понятно, так как за ниж-
ний предел интеграта можно взять любое число, большее а. В спра-
ведливости этого условия нетрудно убедиться на только что рассмотрен-
ном примере, где f(x) — kx^'‘.

Если q больше, чем р, то

? р

| \/(x)«fx| ==S \ \f(x)\dx,

Р	? я

и следовательно, интеграл ^f(x)dx имеет предел, если интеграл
а

I

\<\f(x)\dx его имеет, но обратное заключение уже не будет спра-
а
ведливо.

Нетрудно заметить аналогию предшествующего правила с общим
правилом, относящимся к сходимости рядов (§ 5). Как и это послед-
нее, его вообще трудно применить, если функция /(х) произвольна.
Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых частных случаев, ко-
торые часто встречаются, и в которых мы можем установить, стремится
ли интеграл к пределу или нет.

Предположим, что функция f(x) имеет вид х“аф(х) где ф(х)—
функция, которая остается ограниченной, когда х неограниченно воз-
растает. На основании первой теоремы о среднем значении, мы имеем
равенство:

^х~аф (х) dx= Ji 'х~“хх,	(30)

р	р

где р— число, заключенное между верхней границей М и нижней гра-
ницей т функции ф(х) для всех значений х, превосходящих постоян-
ное число А, меньшее чисел р и q.

Эта формула позволяет сделать определенное заключение в следую-
щих двух случаях:

i

1)	Если число а больше единицы, то интеграл \ /(х) dx имеет пре-
а

дел, так как множитель р остается конечным, в то время как фак-
тор ^x~adx стремится к нулю, когда р и q неограниченно возрастают.
2)	Если число а не превосходит единицы, и если Мит имеют
один и тот же знак, то интеграл не имеет предела.

В самом деле, абсолютная величина ji, заключенного между двумя
числами одинакового знака М и т, необходимо остается больше наи-

ч
меньшего из двух чисел | т | и | М |. Что касается множителя \x~ad г,

р

то он неограниченно возрастает вместе с р, если положить, напри-
мер, q=p\

Представляется сомнительным случай, при а 1, когда числа М
и т имеют разные знаки, так как второй множитель произведения (30)
не стремится к нулю, а относительно первого множителя ц мы не мо-

жем высказать никакого утверждения.

Например, интеграл j	имеет предел, так как произведение

о

х2/(х) по абсолютной величине всегда меньше единицы. Но мы из

i

. С sin х
предшествующего ничего не можем заключить об интеграле I -------ах,

о

в самом деле, мы имеем в этом случае а=1, М = 1, т = —1.

Предыдущее правило достаточно во всех тех случаях, когда можно
найти такое положительное число |Х, чтобы произведение x^f(x) при
бесконечном х стремилось к пределу, отличному от нуля. Интеграт
имеет предел, если ц больше единицы, и не имеет предела, если g

меньше или равно единице.

Например, для того чтобы при неограниченном возрастании верх-
него предела интеграл от рациональной дроби имел предел, необхо-
димо и достаточно, чтобы степень знаменателя была больше степени
числителя, по крайней мере, на две единицы. Положим:

/(*)

Р(*)
//?(х) ’

где Ри Q—многочлены р-й и r-й степени; при бесконечном х про-
Г

изведение х2 /(х) имеет предел, отличный от нуля. Чтобы интеграл

имел предел, необходимо и достаточно, чтобы р< — —

88. Применение второй теоремы о среднем. Предшествующее рас-
суждение можно обобщить. Если функция/(х) имеет вид:/(х) = ср(х) ф (х),
где функция ф (х) положительна, а функция (х) остается ограничен-
ной при неограниченном возрастании х, то первая теорема о сред-
нем дает

9	?

^/(x)rfx=g^ ф (x)rfx,
р	р
где —число, остающееся ограниченным, когда р и q неограниченно
i	я

возрастают. Если интеграл ^ф(х)йх имеет предел, т. е. если^ф(х) dx
а	Р

Я

стремится к нулю, то стремится к нулю и \f(x)dx, а следовательно,
р
i

интеграл \f(x)dx также имеет предел.

Я

Вторая формула среднего значения также приводит к новому доста-
точному условию сходимости.

Если функция /(х) имеет вид :р(л«)ф(х), где (р (х)—убывающая по-
ложительная функция, то мы имеем (§ 74):

\ ф(л-)4	=	(/><£<?);	(31)

'р	я

отсюда мы непосредственно выводим следующее предложение:
i

Интеграл (х) ф (х) dx, где <р (х) есть убывающая положительная

а

функция, которая стремится к нулю при неограниченном возраста-
нии х, UMeim предел, если только абсолютная величина инте-

грала ф (х) dx остается меньше некоторого постоянного числа, ка-
р

ковы бы ни были р и q.

Простой пример мы получим, полагая 4(x) = sinx, так как абсо-

лютная величина интеграла \ sin х dx, самое большее, равна 2. Легко
'р

показать непосредственно, что интеграл (х) sin х dx, где (х) — убы-

а

вающая положительная функция, которая стремится к нулю, когда х

неограниченно возрастает, имеет предел, и что сходимость его анало-
гична сходимости знакопеременного ряда.

Допустим для опреде-енности, что а=0, причем произведение
tp(x)sinx остается конечным при х = 0. Кривая у~ (х) sin х имеет
внд синусоиды, которая пересекает ось Ох в точках х = £тг. Таким
образом задача сводится к тому, чтобы исследовать знакоперемен-
ный ряд

ао а1 + а2 ~ аз + • • •	' )”ал + • • • >	(32)

где положено

(Л-Н)г

«л = |	(х) sin х dx | ,

пп
причем ап представляет площадь, ограниченную кривою и отрезком
оси Ос, заключенным между абсциссами ли и (п -1- 1)тг. Полагая
х — jz —|— «тг, мы имеем также:

7-,
ап = <f (|у + лтт) sinJ аУ‘
о

Очевидно, что подинтегральная функция убывает с возрастанием п,
так как <р(х)есть функция убывающая; следовательно, ап+1 ап. С дру-
гой стороны, ап меньше, чем тг<р (шг), и следовательно, стремится
к нулю, когда п неограниченно возрастает. Следовательно, знакопере-
менный ряд (32) сходится. Пусть I — число, заключенное между гт и
(п-|-1)п; мы имеем:

i

tp (х) sin xdx — Sn + ftan (OscQ <( 1),
о

где Sn — сумма первых п членов ряда (32). Когда I неограниченно воз-
растает, то возрастает неограниченно и число п, ап стремится к нулю,
и интеграл имеет пределом сумму S ряда (32). Таким же образом по-
казывают, что интегралы

+ оо	Ч-оо

^sinx2z/x, cos'x2 z/x,
6	6

которые встречаются в теории Дифракции, имеют конечное значение
Кривая j = sin v*, например, имеет волнообразную форму синусоиды,
но волны все более и более сжимаются, так как разность

-f- 1) тг — Уптг

двух последовательных корней уравнения y = sinx2 = 0 стремится
к нулю, когда п неограниченно возрастает. Можно, впрочем, привести
эти интегралы к предшествующему виду, полагая хг—у.

Примечание. По поводу этого последнего примера можно сделать инте-
ресное замечание. Когда х неограниченно возрастает, sinx колеблется от — 1 до
+ 1; следовательно, интеграл может иметь предел, хотя бы подинтегральная функ-
ция и не стремилась к нулю, другими словами, хотя бы кривая y=f(x) и не
приближалась асимптотически к оси Ох. Вот еще пример, где это имеет место,
и где функция f (х) сохраняет, сверх того, постоянный знак. Пусть

/ (%) J sjn2 х ’

эта функция остается положительной, если х положительно, и не стремится
к нулю, так как f(kn) — kz. Чтобы убедиться в том, что интеграл имеет предел,
рассмотрим, как мы это делали выше, ряд

ао 4	-|- ... ап -|- ... ,

где

(п-Н)ч

__ Г xdx

°п J 1 -|- хв sin® х ’

ян
когда х изменяется от ли до (л -|-1) it, х& остается больше, чем л«1с«, и мы имеем:
(Я + l)lt

«я < (« + 0 « J ! + sin2 х 
пл

Первообразная функция имеет вид:

—— 1 _ arc tg (1/1 + 7.вд.в tg д);

у 1 + лМ

при изменении х от т до (л + 1) тс, tg % только однажды обращается в бесконеч-
ность, переходя от -f- *о к — оо; следовательно, интеграл равен (§76) — "

|/J -L п«,;6
и мы имеем:	т '

п (л + 1) it2 п 1

п |/1 -|- л61с3 л'Ьс

Так как ряд 2 л„. таким образом, сходится, то интеграл /(х) dx имеет

О
предел.

Впрочем, почти очевидно, что если /(х) имеет предел, отличный от нуля,
при безграничном возрастании х, то интеграл не может иметь предела. В самом

Ч

деле, мы имеем \ /(х) dx = ц (7— р)\ если f (х) имеет предел Л§0, то ц имеет
р

тот же предел h, и произведение ц (q— р) не может стремиться к нулю.

8?. Подинтегральная функция обращается в бесконечность. Рассмо-
трим сначала следующий частный случай: функция/(х) непрерывна при всех
значениях, заключающихся между а и Ь, а также и при х — Ь, но она
обращается в бесконечность при х — а. Для определенности предполо-
жим а<^Ь. Как бы ни было мало е, интеграл от функции /(х), взятый
между пределами а е (е /> 0) н Ь, всегда имеет конечное значение. Если
при приближении g к нулю этот интеграл стремится к пределу, то
принято изображать этот предел, как это и естественно, через

ь

а

Если для /(х) известна какая-нибудь начальная функция F(x), то
ь

j/(x)rfx = F(6) — F(a-pe),
а 4-е

и достаточно исследовать, стремится ли F(a -1- е) к какому-нибудь пре-
делу при приближении е к нулю. Например, мы имеем:

/ Mdx __ М Г 1___________1 1

) (х—-а/	Ji — 1 I (£ — а)^1 ен-i]



Если

pt > 1, то при приближении s

к нулю член

неограни-

ченно возрастает; напротив, при

, 1

ц<Г 1, можно написать: -------- = е1-н.
и мы видим, что этот член стремится к нулю вместе с е. Следовательно,
в последнем случае определенный интеграл стремится к пределу:

ь

Г Mdx ______M(b — а)1-^

(х — a)v- 1 — у
а

Если ji— 1, то
ъ

Г Мdx . (b — а\
I -----=7И1п I------ I ,

J х— а	\ е /

а-\-г

и правая часть возрастает неограниченно при приближении е к нулю.
Таким образом, чтобы предыдущий определенный интеграл имел предел,
необходимо и достаточно, чтобы у. было меньше единицы.

Кривая, представляемая уравнением

М
У (х — a)i*’

имеет при положительном у асимптотою прямую х — а. Тем не менее,
если jx<1, то площадь, заключающаяся между осью >, неподвижною
ординатою х — b, кривою и ее асимптотою, имеет конечное значение.
В общем случае вопрос сводится к тому, чтобы узнать, стремится ли
функция от е,
ь

F(e) — ^f(x)dx,
«4+

к пределу, когда е стремится к нулю по положительным значениям.
Для этого необходимо и достаточно (§ 9), чтобы разность

а'+6'

F(e) —F(e') = dx

аЦ-е
стремилась к нулю, когда оба положительных числа gut! стре-
мятся к нулю независимо одно от другого.

Отсюда мы выводим те же следствия, что и в § 87; мы их укажем
в общих чертах. Если функция /(х) имеет вид /(х) — а, где а —
положительный показатель, а ф(х) — функция, которая вблизи точки а
заключена между двумя постоянными числами М и /77, то мы имеем:
л-|-У
а 4- е	а г-, £

где у заключено между М и т. Тогда

1)	если а меньше единицы, интеграл имеет предел',

2)	если а 5= 1, и оба числа Мит имеют один и тот же знак,
то интеграл не имеет предела.
Представляется неопределенным случай при а 1, когда М и т

имеют разные знаки.

Всякий раз, как существует такое число а, что произведение
(к — а)а f(x) имеет предел К, отличный от нуля, когда х стремится к а,
для существования предела интеграла необходимо и достаточно,
чтобы а было меньше единицы.

Примеры. Пусть будет /(х)=ту рациональная функция; если а есть
V

/я-кратный корень знаменателя, то произведение (х—a<mf(x) стремится при
х — а к пределу, отличному от нуля. Так как т не менее единицы, то мы видим,

что при приближении е к нулю интеграл ^/(x)dx
а 4- -

С другой стороны, положим:

/(x)=-^L,
Vr (х)

неограниченно возрастает.

где Р и R — два многочлена, и многочлен R (х) не имеет кратных корней. Если л

1

есть корень многочлена R(x), то произведение (х— a)2f(x) имеет предел при
х = а; следовательно, интеграл также имеет предел. Так, например, интеграл

о

Г dx

1/Т—х2

-i+«
л	11

имеет при е = 0 предел — .

1	2

Рассмотрим еще интеграл ^lnxdx. Произведение х 2 1п х имеет пределом
£
нуль; следовательно, начиная с достаточно малого значения переменного х, мы
___________________

имеем in х < Мх 2, где М — произвольно выбранное положительное число. Сле-
довательно, данный интеграл имеет предел.

Все, что здесь было сказано относительно нижнего предела а, мо-
жет быть без изменения отнесено и к верхнему пределу Ь. Если f (х)
при х = Ь обращается в бесконечность, то мы определим интеграл
Ь	Ь -£

J/(x)dx как предел интеграла f(x)dx при е' = 0. Если /(х) обр.а-
а	а

щается в бесконечность при обоих пределах а, Ь, то мы определим
Ъ	Ь — е'

инт еграл^/(х) dx как предел интеграла f(x)dx, когда е и е' неза-
а

висимо одно от другого стремятся к нулю. Пусть будет С какое-нибудь
число, содержащееся между а и Ь\ мы можем написать:

Ь—е'	с	b—z'

/ (х) dx = /(х) dx 4-	/(х) dx,

a-\-z	a-J-E	с

и каждый из интегралов, стоящих в правой части, должен иметь пре-
дел. Наконец, если /(х) обращается в бесконечность при значении с,
ь
заключающемся между а и Ь, то мы определим интеграл J/(x) dx как
а

с—t'	b

сумму пределов интегралов J f(x)dx и J f(x) dx; таким же образом мы
а	с--}-6

поступим, если /(х) имеет между а и b несколько точек прерывности.

Должно заметить, что основная формула (6) § 76, выведенная в предполо-
жении, что между а и b функция /(х) непрерывна, остается верною и в тОм
случае, когда /(х) между этими пределами обращается в бесконечность, если
только начальная функция F ух) остается при этом непрерывною.

Предположим, например, что функция /(х) обращается в бесконечность прн
значении с, заключающемся между а н Ь. Тогда

ь	с—•'	ь

€/(х) dx ~ lim \ / (х) dx -f- lim f / (x) dx.

J	t=0 J

a	a	c + e

Если начальная функция от /(х) есть F (х), то мы можем представить последнее
равенство в виде:

\ f (х) dx = lim F (с— e') — F (a) -f- F (b) — lim F (c -f- e).

J	»'=o	e=O

Так как мы предположили, что функция F (х) непрерывна при х — с, то
Л(с-|-е) и F (с — е') будут иметь одни и тот же предел, н следовательно,
ь

\f{x)dx = F(b)-F(a).
а

Например,

-f-l	£

С^ = (Зх3) + 1 = б.

Дх3

Если между а и b начальная функция F(x) сама обращается в бесконечность,
то формула (6) более не применима, так как в предыдущем нет указаний на то,
какой смысл может иметь в этом случае интеграл.

Рассматривая эти обобщенные интегралы как пределы обыкновенных интегра-
лов, мы можем точно также распространить на них формулы замены переменного
и интегрирования по частям.

90.	Функция Г (а). Определенный интеграл
+оо

Г (а) = ^ x^-te-xdx	(33)

и

имеет определенное значение, если а положительно.

В самом деле, рассмотрим два интеграла

1	I

xa~le~xdx, x^-iе~х dx,
\	1

где е — очень малое положительное число, а I—очень большое положительное
число. Второй интеграл всегда имеет предел, так как при достаточно больших
значениях х мы имеем: ех > х«+», откуда

, -х I
х<-.
Что касается первого интеграла, то при приближении х к нулю произведение
х*-«/(х) имеет пределом единицу. Чтобы интеграл имел предел, необходимо
и достаточно, чтобы 1 —а было меньше единицы, т. е чтобы а было положи-
тельно. Предположим, что условие выполнено; сумма обоих пределов есть функ-
ция Г (а), называемая также эйлеровым интегралом второго рода. Эта функ-
ция обращается в бесконечность, если а стремится к нулю; она имеет положи-
тельное значение при всяком положительном значении а и бесконечно возрастает
вместе с а. Она имеет минимум при х= 1,4616321 .... и ее соответствующее
значение будет 0,8556032 ...

Проинтегрируем по частям формулу (33), предполагая я>), рассматривая
e~xdx как дифереициал от —е~х; получим:

°?

Г (а) - — [ха~ <е~х] + 00(а — 1) \ ха~~е~х dx.
о

Но на пределах-|-оо и 0 произведение Jx®-*^-* равно нулю, так как а> 1;
поэтому

Г(д) = (д — I) Г (а— 1).	(34)

Применяя эту ф>рмулу несколько раз, мы можем привести вычисление функ-
ции Г (я) к случаю, когда аргумент а заключается между 0 и 1. Если а есть це-
лое число, то из формулы (34) легко вывести значение Г (а). Мы имеем.

+ оо

Г (1) = e~xdx — - [<?-*] +°°	1;

о

полагая затем в формуле (26) посл'довательно а ^=2, 3.п, ... , получим:

Г (2) = Г (1) = 1, Г(3) = 2Г(2) = 1-2,

и вообще при п целом положительном,

Г (и) = 1-2.3 ... (п — !)=(« — 1)!	(35)

91.	Криволинейные интегралы. Пусть будет АВ непрерывная дуга
плоской кривой, и Р(х,у)— функция переменных х, у, непрерывная
вдоль АВ (здесь х, у обозначают координаты точки дуги АВ относи-
тельно двух осей, лежащих в ее плоскости). Разобьем дугу АВ на части
точками деления ту, т2, .. .,mt, ... с координатами (х,, j/jl, (х2, у2), ... ,
(xz, _yj, ... н на каждой нз дуг mt возьмем, кроме того, по про-
извольной точке nt с координатами (£р г,^. Рассмотрим сумму:

(хг ~	+ ••• 

-- -+-P(W (*/-*,-!) + ••• >	(36>

распространенную на все частичные промежутки. Если число точек де-
ления неограниченно возрастает так, что каждая из разностей xi — x/ J
стремится к нулю, то предыдущая сумма стремится к некоторому пре-
делу, который называется криволинейным интегралом от Р(х, у), рас-
пространенным на дугу АВ', этот интеграл изображается символом

Р (х, у) dx.

АВ

Чтобы доказать существование этого предела, предположим сначала,
что любая прямая, параллельная Оу, может встретить дугу АВ не бо-
лее чем в одной точке. Пусть будут а и b абсциссы точек А и В,
и у = tp (х) — уравнение кривой АВ; <р (х) есть непрерывная функция
от х в промежутке (а, Ь). Если в Р(х, у) мы заменим у через tp (х),
то полученный результат также будет непрерывною функциею Ф (х) =
= Р[х, <р(х)], и мы будем иметь:

Ги)=р[5р(р(^]==ф(5,).

Таким образом предыдущая сумма может быть представлена в виде:

ф (Sj) — а) 4- Ф (S2) (х2 — X,) 4- . .. 4- Ф (SJ (х, — xz_J 4- .. . ;

следовательно, она имеет пределом обыкновенный определенный ин-
теграл

ь	ь

У Ф (x)dx— P[x,tp(x)] dx;
а

таким образом

Ъ

Р (х, у) dx = j Р [х, <р (х)] dx.

Ар	я

Если прямые, параллельные Оу, могут встречать дугу АВ более
чем в одной точке, то мы разделим эту дугу на несколько таких частей,

из которых каждая может пересе-
каться с прямою, параллельною Оу,
только в одной точке. Пусть, на-
пример, дана дуга кривой A.DB
(черт. 13); пусть будут С и D точки,
для которых абсцисса имеет наи-
большее или наименьшее значение.
Каждая из дуг AC, CD, DB удовле-
творяет предыдущему условию, и мы
можем написать:

Р (х, _у) dx — Р (х, j) dx 4-
acdb	ас

Р(х, у) dxР(х, у) dx.

CD	DB

При этом должно заметить, что при вычислении трех интегралов в пра-
вой части нужно будет в Р(х, у) заменить у тремя различными функ-
циями от переменного х. Криволинейные интегралы )Q(x, y)dy опре-

АВ

деляются таким же образом. Заметим также, что дуга АВ может со-
стоять из частей совершенно различных кривых, например из прямых,
дуг круга и пр.

Из предыдущего видно, что криволинейные интегралы непосред-
ственно приводятся к обыкновенным определенным интегралам, но вве-
дение их оправдывается их полезностью.
В приложениях весьма часто случается, что координаты точки дуги АВ
выражаются в функции переменного параметра

x = y(t), y = ty(t),

причем (р (/), ф (t) вместе со своими производными </ (/), ф' (/) суть не-
прерывные функции от t. Мы будем предполагать, что при изменении t
от а до $ точка (х, у), описывая дугу АВ, перемещается все время
в одном и том же направлении. Разобьем промежуток (а, на более
мелкие промежутки; пусть будут ti_1, tt два последовательных значе-
ния t, которым соответствуют на дуге АВ две точки wZ], тп1 с коор-
динатами (xz_,, y^i), (xlt yj. Мы имеем:

Xi — Xi_ J = (0z) (/,

причем 6Z заключается' между Zz_, и tt. Этому значению 0z соответствует
на дуге ml некоторая точка ($z, 7jz). Таким образом мы имеем:
или, переходя к пределу:

J Р (X, у) dx = ^P (/), ф (/)] у' (0 м.

АВ	(а

Таким же образом мы получим аналогичную формулу для j Q dy и,
складывая обе формулы, найдем:

\Pdx+Qdy = \[P4<(t)+QV(t)}dt-	“(37)

АВ	а

Это—формула замены переменного в криволинейном интеграле. По-
нятно, что если дуга АВ состоит из частей различных кривых, то
функции tp (/) и ф(/) не будут вдоль А В всюду выражаться одинаковым
образом, и мы должны будем прилагать формулу (37) отдельно к каж-
дой из частей дуги АВ.

92.	Приложение к площади замкнутой кривой. Чтобы на примере
показать пользу криволинейных интегралов для получения более общих
высказываний, возвратимся к формуле, дающей площадь области, огра-
ниченной на черт. 10 (§ 78) замкнутою кривою Ат^Вт^А'А. Де^э ин-
ft	ь

теграла ф2 (х) dx и ф1 (х) dx равны соответственно криволинейным

а	а

интегралам j У ^х и ^ydx\z другой стороны, интеграл j ydx равен ну-
А'т,В Ат,В	АА'

лю, и при изменении направления обхода знак интеграла меняется на
обратный.

Если мы условимся считать, что контур С описывается в прямом
направлении, когда наблюдатель, находящийся на плоскости контура
и обходящий этот контур С, имеет ограниченную контуром площадь
по левую сторону (причем оси имеют обычное расположение, как на
черт. 10)*, то мы можем выразить полученный результат следующим
образом: площадь Й, ограниченная замкнутым контуром С, равна:

Й =— у dx,	(38)

с

причем криволинейный интеграл взят вдоль контура С в прямом на-
правлении. Так как последний интеграл не меняется от перемещения
начала координат, то эта формула остается верною при всяком поло-
жении контура С относительно осей координат.	____р

Рассмотрим теперь контур С произвольной

формы. Мы предположим, что проведя ряд пря- у	1	)

мых, соединяющих две точки контура С, можно (	ус

получить такие частные контуры, что прямые,	/

параллельные Оу, будут пересекать каждый из
них только в двух точках. Такова область, огра- /Г
ниченная контуром С на черт. 14; при помощи
поперечных прямых ее можно разбить на три	у ^2	у

части, ограниченные контурами arnba, abndcqa,	у —

cdpc. К каждой из них можно приложить преды-	m

дущую формулу; если мы сложим получающиеся Черт. 14.
результаты, то криволинейные интегралы, взя-

тые дважды по вспомогательным прямым ab и cd, уничтожатся, и мы
найдем, что и в этом случае площадь, ограниченная контуром С, равна
криволинейному интегралу—взятому вдоль С в прямом на-
правлении.

Таким же образом мы докажем, что площадь й равна:

Q=^xdy,	(39>

с

и, соединяя обе формулы, получим:

Й = у1хф/—ydx,	(40)

* J
с

причем интегралы берутся всегда в прямом направлении.
Например, площадь эллипса, представтяемого уравнениями
x~acost, y = bsint,
имеет выражение:
2т.

Й = ту- (cos21 -ф- sin2t) dt = -nab.
о

* Вообще, каково бы ни было расположение осей координат Ох, Оу, гово-
„ *

рят, что контур С описан в прямом направлении, если поворот на угол , при-
водящий в совпадение положительное направление касательной с направлением
внутренней нормали к контуру С, совершается в ту же сторону, что поворот
на приводящий Ох в совпадение с Оу.
П-р имечание Всякий криволинейный интеграл \Р dx Q dy, взятый вдоль
замкнутою контура С в положительном направлении, можно написать в несколько
иной форме, если воспользоваться дугой контура. Пусть а, суть углы п ложитель-
ного направления касательной с осями Ох и Оу (измеряемые от 0 до тс), а'и ' —
углы, составляемые направлением внутренней н >рмали с Ох и Оу. Предполо-
жим, что через точку М контура С проведены две полупрямые Мх', Му', соот-
ветственно параллельные Ох и Оу, поворот, приводящий Мх' к положительному
направлению касательной, заставит Му' совпасть с внутренней нормалью; мы
имеем, следовательно, {!' = a, cos {!' — cos а. Условие перпендикулярности,

COS а COS а' -f- COS ? COS [Г = 0,
дает далее:

cos ₽ — — cos а',

>и следовательно,

dx — cos ids = cos ₽' ds, dy = cos ds — — cos a'ds.

Криволинейный интеграл P dx 4- Q dy примет, следовательно, такой вид:
с

(Р COS {!' — Q COS a') ds,
с

где элемент ds существенно положителен Если контур С имеет угловые точки,
то мы разобьем его на несколько дуг таким образом, чтобы на каждой из них а',
и -₽' были непрерывными функциями л, и сложим интегралы, распространенные
на каждую из этих дуг.

Например, площадь области D представляется любым из двух инте!ралов:

\ х cos a'ds, — \ у cos р'ds,
с	с

и этот результат пе зависит от расположения осей.

93.	Значение интеграла $ Jxdy — ydx. Естественно спросить, что пред-
ставтяет интеграл j" х dy—ydx, взятый" вдоль кривой произвольной формы,
замкнутой или незамкнутой.

Рассмотрим, например, две замкнутые кривые ОАОВО, ApBqCrAsBtCuA, име-
ющие соответственно одну и три двойных точки. Ясно, что каждую из этих кри-

вых мы можем заменить соединением

Черт. 15.

двух замкнутых кривых без двойных
точек. Так, замкнутый контур ОАОВО
равносилен последовательности двух
контуров ОАО, ОВО. Интеграл, взятый
вдоль целого контура, равен площади
петли ОАО без площади петли ОВО.
Точна так же второ i контур можно
заменить двумя замкнутыми кривыми
ApBqCrA и AsBtCuA Следовательно,
интеграл равен сумме площадей пе-
тель ApBsA, BtCqB, АгСиА, сложен-
ной с удвоенною площадью петли

AsBqCuA. Это рассуждение имеет вполне общий характер. Замкнутый контур
с любым числом двойных точек определяет некоторое число частных площадей

а(, ад, ... , ар, вполне им ограниченных. Интеграл, взятый вдоль всего контура,
равен сумме вида:

«Л + /и2о2	-f- трар,
где т{, тг, , тр — целые числа, положительные и ,и отрицательные, опреде-
ляемые по следующему правилу. Пусть даны две смежные площади а, а',
разделенные дугою ab контура С. Вообразим наблюдателя, находящегося на
пложости и о шсывающгго контур в направлении, указанном стрелками,
коэфициент площада, лежащей налево от набл одателя, на единицу больше
коэфицаента площади, лежащей направо. Неограниченной площади, лежащей
вне контура, приписывают коэфициент нуль и затем находят последовательно все
остальные коэфициенты.

Если данная кривая АВ — нез тмкн <тая, то мы поаобриуем ее в замкнутую
кривую, соединяя с началом концы А и В, и затем применим к этому контуру
предыдущее правило, так как интеграл ) xdy— у йх, взятый -вдоль лучей ОА
и ОВ, очевидно, равен нулю.

V. ДИФЕРЕНЦИРЭВАНИЕ И ИНГЕГРИРЭ3 4Н IE ПОД ЗН\КОИ ИНТЕГРАЛА.

91. Диференцированне под знаком интеграла. Весьма часто прихо-
дится рассматривать определенные интегралы, в которых подинтеграль-
ная функция зависит не только от переменного интеграции, но также
от одного или нескольких других переменных, рассматриваемых как
параметры. Пусть будет f(x, а) функция двух переменных х и а, не-
прерывная при изменении х от х, до X и при изменении а между не-
которыми пределами а0, аг Предположим, что а имеет некоторое опре-
деленное значение, заключающееся между а0 и ар и что пределы х0, К
не зависят от а; тогда определенный интеграл

х

/ (г, a) dx

X,

есть функция переменного а. ^Рассмотрим свойства этой функции. Мы
имеем:

х

2+-X2)~f(x, 2}]dX.	(41)

Так как функция /(г, а) непрерывна, то можно взять Да настолькв
малым, чтобы абсолютная величина разности, стоящей под знаком ин-
теграла, была меньше заранее данного положительного числа е. По-
этому приращение ДР (а) будет по абсолютной величине меньше
е | X — х0 | ; отсюга следует, что функция Л(а) непрерывна.

Если f(x, а) имеет производную по переменному а, то

7(х, а-|- Да)— f(x, а) —Да [/Ч(х, а) + е],

причем е стремится к нулю одновременно с Да. Поэтому, разделив обе
части (41) на Да, мы можем написать:

X	X

+	= Сdx + Ldx.

ba	J "	J

х0
Обозначим через 7) верхний предел абсолютных величин е; тогда
последний интеграл будет по абсолютной величине меньше т(]Л — х0|,
и, переходя к пределу, получим:

[х
dF^,-
— = y^x,a)dX.	(42)

xtI

Чтобы это заключение было совершенно строго, необходимо Да
взять настолько малым, чтобы число е было менее любого заданного
числа 7) при всех значениях х, заключающихся между пределами ха
и X. Это, наверное, будет в том случае, если производная (х, а)
сама непрерывна. В самом деле, формула конечных приращений дает:

f(x, а Да) — /(х, а) = Да f’l (х, а -j- 6Да), 0 < 0 < 1,
и следовательно,

е =/' (х, а + ОДа) —(х, а).

Если функциянепрерывна, то, каковы бы ни были х и а, разность е
будет меньше т), если только | Да | будет меньше ^достаточно малого
положительного числа h (см. гл. I, § 12).

Предположим теперь, что пределы X и х0 будут также зависеть от а.
Обозначая через ДА" и Дх0 приращения, соответствующие прираще-
нию Да, мы будем иметь:

;х

Л (а -|- Да) — ^(а) ~ \ Г/ (х, а -ф- Да);—/(х, а)] dx ф-
хо

Х+.АХ	ха + Дл<,

-ф- f(x, а -ф- Да) dx — j/(x, a-}-^2)dx.

X	х0

Прилагая к двум последним интегралам формулу среднего значения
и разделив результат на Да, получим:

х

F(a 4- Да) — Л(а) = Г/(х, а4-Да)—/(г, а) dx
Ла	J	Да

Д	А у*

-ф- -/(А-фОДА, а-J-Да)— ~f (х0 4~ в'Дх0> а-ф Да).

При приближении Да к нулю первый интеграл имеет найденный
выше предел, и, переходя к пределу, получим:

х

ddF.=\f^ (Х> а) dx + dd4^X’ “) -	а)-	(43)

U JL I	U> Л	и иъ

*0

Это — общая формула диференцирования под знаком интеграла.
Так как всякий криволинейный интеграл можно привести к сумме
обыкновенных определенных интегралов, то формула диференцирования
под знаком интеграла распространяется и на эти интегралы. Например,
пусть будет:

F (а) — \ Р (х, у, a) dx -)- Q (х, у, а) dy

АВ

криволинейный интеграл, взятый вдоль дуги АВ, не зависящей от а;
мы имеем:	, ,

(а) = Ря (х, у, а) dx (х, у, a) dy,

АВ

причем при всяком а интеграл берется вдоль одной и той же кривой.

Формулою (43) часто пользуются, чтобы получать значения некото-
рых определенных интегралов, приводя их к другим более простым
интегралам. Например, при а положительном мы имеем:

f dx 1 х

о

Прилагая (п—1) раз формулу (42), получим:

,	.	1, „	,	., Г dx dn~A / 1	 х \

(-1 )-> 1 • 2... (» - 1) j	arc <g .

0

95. Интегрирование под знаком интеграла. Пусть /(х, у)—функ-
ция двух переменных х,у, непрерывная в области Z), определяемой
условиями a^x^b, c^y^d, где a, b, с, d постоянны. Смысл выра-
жения

b d

\dx[f (х, y)dy

'а с

вполне ясен; если х имеет определенное значение, заключенное между
d

а и Ь, то интеграл \f(x, y)dy есть непрерывная функция от х, которую

мы затем интегрируем между пределами а и Ь. В этом выражении
можно переменить порядок интеграции, не изменяя результата.
Другими словами, мы имеем равенство:

b d	d	ь

\dx\f(x, у) dydy\f(x, у) dx,	(44)

ас	с	a

которое представляет собою формулу интегрирования под знаком
интеграла.

Для доказательства оставим а, г, d постоянными и заменим b пе-
ременным f, заключенным между а и Ь\ тогда равенство примет вид:

t d	d t

\d \:\ f(x, у) dy-=\ dy\f(x, у) dx.	(45)

.a	f

a с	c a
Обе части этого равенства суть функции t, которые обращаются
в нуль при / — а; следовательно, достаточно будет убедиться в том,
что их производные по t совпадают. Если мы положим

d	t

^f(x, у dy —F(x), \f(x,y)dx=$(t,y),
Ct	«

то соотношение (45) напишется так:

t	d

\ F (x) dx = Ф (t, y) dy,

a	c

(45')

и мы непосредственно убеждаемся в том, что производные обеих ча-

d	d

стей

по переменному

[йФ
и а/
J О*

dy, равны I f(t, у) dy.

с	с

В предшествующих доказательствах существенно предполагается, что функ-
ции, стоящие под знаком интеграла, непрерывны, и что пределы интеграции ко-
нечны. Если эти условия не выполнены, то выводы мог>т быть совершенно
ивыми, и применение обычных формул (43) и (44) может привести к иллюзор-
ным или даже абсурдным результатам.

Например, мы имеем:

„, , Г adx I . х 11	т .

b

эта функция разрывна при а = 0, и мы имеем:

здесь подинтегральная-функния разрывна в точке х = а = 0. Возьмем также интеграл
+ СО

„ . . Г Sin а г
(’) = J ~~

о

полагая ал — у, получим:

+ СО	ОО

( sin ах , f sin у ,
у—
о	о

причем перед вторым интегралом нужно взять тот же знак, который имеет а,
так как пределы новою интеграла суть 0 и -+со, или 0 и —оо, смотря по тому
положительно ли а или отрицательно. Выше мы видели (§ 88), что интеграл

f sin v .	_

) ---- оу есть положительное число N. Следовательно, рассматриваемый интеграл

о

равен ztN, в зависимости от знака а. Применяя к этому инте!ралу формулу (43),
мы приходим к равенству:	’

+ 00

А' (а) = cos ал dxt

6

правая часть которого не имеет никакого смысла.
Рассмотрим еще функцию / (х, у) =	j.- и применим к ней формулу

(X —г" V )л

(44), беря пределы обеих интеграций равными 0 и 1; мы потучаем, таким обра-
зом, равенство:

1 1
dy = j dy\
о о

х? - у2

(Х2 ± у2)2

X2— V2 ,
(х2 4-у2)2 х‘

(46>

Выполняя одну из интеграций в левой части, находим:

1

С х2 — у2 ___________ Г v 11_____________	1

J (х2 у2)2	|	(х2 Н-	у2) I о	~ 1 + х2	’

о

ТС г-,

и левая часть равенства имеет значение —, Производя интегрирование в об-

ратом порядке, находим, что значение правой части есть —у. Абсурдность
этого результата происходит оттого, что функция /(х, у) разрывнз в точке
х=у = 0, принадлежащей границе области (см. § 130).

98. Равномерно сходящиеся интегралы. Можно,’ однако, применять фор-
мулы (43) и (44) в случаях, более общих, чем те, которые были рас-
смотрены при доказательстве. Пусть f(x, а) — функция переменных
х и а, непрерывная, когда х остается больше некоторого числа а, а а

I

заключено между а0 и а,. Если интеграл \f(x, a)dx стремится к пре-
'а

делу при неограниченном возрастании I, каково бы ни было а, то этот
предел

+ со

F(a) = \f(x,a)dx	(47)

а

есть функция от а, которая не обязана быть непрерывной, как пока-

зывает один из только что приведенных нами примеров.

Мы будем говорить, что интеграл (47) сходится равномерно, если
любому положительному числу е можно поставить в соответствие такое
число L, что

+со

\f(x, a) dx С £,

(48)

i

если только l y^ L, причем это число L—-одно и то же для всех зна-
чений а в интервале (а0, В этом случае функция

а-\-п

$»(a) = (/(x. a)dx,
а

где п есть целое положительное число, стремится равномерно к своему
пределу Р(а}, когда п неограниченно возрастает, и следовательно, Л (а)
есть непрерывная функция от а.
Допустим теперь, что интеграл, полученный 'по обычному правилу
диференцирования под знаком интеграла,



— dx,

(49)

а

имеет смысл и сам сходится равномерно в интервале (а0, а,). Функция

<44-п



а

стремится равномерно к своему пределу Л, (а); мы имеем:

(«)],
ох

каково бы ни было п, если непрерывна. Следовательно, Fy (а) есть

производная от F(a) (§ 29).

Таким образом мы вправе применить к интегралу (47) обычную фор-
мулу диференцирования под знаком интеграла, если только интеграл,
полученный этим способом, сходится равномерно.

Точно так же, если f(x, а) бесконечна при пределе х = а инте-
грации, то мы будем говорить, что интеграл

ь

F(a) = i\f(x, a) dx (а<^Ь)

(50)

сходится равномерно, если любому положительному числу е можно по-
ставить в соответствие другое положительное число т(, не зависящее

от а, такое, что

а’ 4-Л
f(x, а) dx

а

для всех положительных значений h, меньших Tj. Мы можем, далее,
применить к интегралу (50) обычную формулу диференцирования, если
получаемый таким образом интеграл сходится равномерно; доказатель-
ство аналогично предыдущему.

Мы можем также распространить формулу интеграции под знаком
интеграла на случай, когда один из пределов бесконечен. Пусть
f(x, а)—функция двух переменных х и а, непрерывная при х^а,
4-оо

а0 sg а-С ctj. Если интеграл \f(x, a)dx равномерно сходится в интер-
а

.вале (а0, то мы имеем:

+ ОО а	а, + ОО

^dx\f(x, a) da=\ da^f(x, a)dx.	(51)

а	а0	ос0 а
Пусть I—какое угодно число, большее а; на основании общей
формулы (44) имеем:

I	I

\ dx\f(x, a)da = \ da.\f(x, a)dx.	(52)

a a0	a0 a

Когда / неограниченно возрастает, правая часть этого равенства
имеет пределом

<4	4-00

\ da \ f(x, a) dx,

»о а

так как разность этих двух выражений равна

й, 4-00

\ da \ f(x, a) dx

Z

и, следовательно, по абсолютной величине меньше г | а, — а0 |, если только /
превосходит некоторое L. Следовательно, левая часть уравнения (52)
также стремится к пределу, представляемому символом

4-00 at

\ dx \ f(x, a) dot.

'а

Приравнивая оба эти предела, мы и получаем формулу (51).

Приметы. 1. Рассмотрим интеграл

Гос
, . f sin х .

F (a) = I ---------- dx,

0

где a is 0. Этот интеграл сходится равномерно, так как мы можем написать, на
основании второй теоремы о среднем:

ч	=

С sin х . f .

I	—— dx — —j~ I sinxdx,

i	i

где I < $ < q, и следовательно, мы имеем:

-Ноо	
Г sin х ,	2
\ е-*х	dx	—
J	х  i	1

если / больше, чем — , то левая часть этого неравенства будет меньше е, каково бы
ни было а 3= 0. Следовательно, функция F (а) непрерывна при a 3=0.

Интеграл, получаемый посредством диференцирования, равномерно сходится
для всех значений а, превосходящих какое-либо положительное число k. В самом
деле, мы имеем:

4-ос . 4-оо

|e-«sinxdx < \е-«х dx=^— е~^\

J	J	я

I	I
если взять I достаточно большим, чтобы kekl было > —, то абсолютная величина
с

этого интеграла будет меньше е для всех значений а, превосходящих k. Мы
имеем, следовательно:

+оо

и

Г (я) =

неопределенный интеграл берется без затруднений, и мы находим:
е-*х (cos х + a sin х) I +оо —1

1 я- I 0	1 Т"

отсюда

F (я) = С — arc tg о;

постоянное С мы определим, замечая, что определенный интшрал F (я) стре-
мится к нулю, когда а неограниченно возрастает; это условие дает	Итак,

окончательно имеем:

e-i.x iix arctg — .	(53)

о

Эта формула имеет место лишь для положительных значений я, но, как было
замечено, F(я) есть непрерывная функция я, даже при я = 0. Заставляя я стре-
миться к нулю, мы получаем, следовательно, в пределе:

+оо

2. Пусн,

sin X , я
xdx=l-

(54)

/'(«) =

1/“ — х’
о

где функция f(x) непрерывна, так же как /'-(г) в интервале (0, а), и я заключено
в этом интервале. Обычная формула диференцировапия приводит к иллюзорному
результату, так как мы получаем разность двух бесконечностей.Полагая x-nt,
находим:

1

, Г f dt

F (я) - | --- — -— ;

J |/l-4

О

интеграл, полученный диференцированием,

— f(at}^t |/я /'(at)
я

j/1 —4

dt,

равномерно сходится во всем интервале (я0, я,), где я0 и я{ положительны и
меньше а, так как он сравним с интегралом (-	, где М—постоянное чи-

J 1/1 — t

о
ело. Возвращаясь к переменному х, мы имеем, следовательно:

А' (а) = Cf(.x) + 2xf'(x) dx

J 2а l/я — х

о

В качестве приложения поставим себе задачей определить функцию /(х) та-
ким образом, чтобы F(а) не зависело от а. Производная Л'(а) должна быть ну-
лем, что может иметь место лишь в случае, если функция f ix) Д- 2xf' (х) тожде-
ственно равна нулю, по крайней мере, если это выражение не имеет бесконеч-
ного множества нулей вблизи начала координат. Это условие может быть написано

так:

fU) , I =
f (х) г" 2х

откуда

/(xV-

Эта функция дает решение задачи; в самом.деле, мы имеем:

Г С dx

,1 j/x(a — х)
о

как это легко обнаружить посредством подстановки х a sin2 у.

УПРАЖНЕНИЯ.

1. Доказать, что при бесконечном возрастании п сумма -i -|-
имеет пределом In 2.

" ^2/z

^Следует доказать, что эта сумма имеет пределом определенный интеграл

dx 1

1 + x’J

- 2. Найти таким же образом пределы сумм:

п2 4- 1	п'2	2'-

п

л2 + (л—1)2 ’

—===== -|--- - + ... -|-----------------,

|/ц2 — 1	|/П2--22	\/ п2 — (п — 1 )2

п

приводя их к определенным интегралам. Вообще предел суммы 2 ? (А га) ПРИ бес-
I =и

конечном п равен некоторому определенному интегралу, если <р (/, п) есть одно-
родная функция степени — 1 от i и от п.

2

3.	Вывести значение определенного интеграла In (sin х) dx = — yin 2.
о

Можно исходить от тригонометрической формулы:

л . 2"	. (п — 1)л

sin — sin — ... sin ----------------

п п.	п

п

2л-‘
нли воспользоваться равенствами:

2	2

In (sin х) dx — In (cos .tj dx =
b	b

4.	Вывести отсюда значение определенного интеграла

2

j (x—^tgxdx.

1

-гт	(in (1+-*) ,j	j гь

а. Показать, что	—!—- dx —	п2.

I 1 + *2	8

о

{Можно положить Х-— tg ср и разбив полученный интеграл на три части.]
г.

6\ Найти значение определенного интеграла In (1 — 2а cos х + aI 2) dx.

о
[Пуассон (Poisson).]

Разделив промежуток от 0 до г. на п равных частей и применяя известную
тригонометрическую формулу, мы придем к вычислению предела выражения:

А1П Г(а.2Л_1)1
п |а + 1	J

при бесконечно большом п. Если а заключается между - 1 и +- 1, то этот пре-
дел равен нулю; если же а’2 > 1, то он равен it In а2.

fsin х dx

, где а — положительно, ра-
|/ 1 - 2а cos х -р а-

0

2

вен 2, если а < 1, и —, если а > 1.

а

8*. Для того чтобы функция /(х) была интегрируемою в промежутке (а, Ь),
необходимо и достаточно, чтобы всякому положительному числу е соответствовало
такое разбиение промежутка (а, #), чтобы разность S — s соответствующих сумм
была меньше е.

9.	Пусть будут f (х) н <р (х) функции, непрерывные в промежутке (а, 6), и
(а, X), х.,, ... , Ь) — какое-нибудь разбиение этого промежутка. Если мы возьмем
два каких-нибудь значения !-z,t1Zb каждом промежутке (xz_4, xz), то сумма

<р (t|z) (xz — xz_() будет иметь пределом определенный интеграл

ь

/W ? (х) dx.

'а

10.	Пусть будет f (х) функция, непрерывная и положительная в промежутке
ь	ь

{а, Ь). Произведение определенных интегралов f(x)dx,

а
если функция равна постоянному.

И. Пусть будет указатель функции (§76) между хв и xt. Доказать соот-
Ло

ношение:

IXtf(x) Iх' = г,

-‘-o	'	-to f ( у)

Тудг будет минимум,
где е = + 1, если f (xt) > 0, f (xf) <0, и г = — 1, если f (х0) < 0, f (xt) > 0; з _ 0,
если /(х0) и f (xL) будут одинакового знака.

Следует приложить к функциям/(х),-т-р-г последнюю формулу стр. 169.

~—12*. Пусть будут U и V два многочлена n-й и (п — 1)-й степени, первые
V

между собою. Указатель рациональной дроби между пределами — оо и Д-оо

переменного равен разности между числами мнимых корней уравнения UУ-IV,
имеющих положительный коэфициент при z, и между числом этих корней, име-
ющих отрицательный коэфициент при /.

[Эрмит. Bulletin, de la Societe mathematique, т. VII, стр. 128.]

— 13*. Вывести вторую теорему среднего значения при помощи интегрирования

по частям.

Пусть будут f (х) и <р (х) функции, непрерывные в промежутке (а, Ь), причем
первая / (х) постоянно возрастает или постоянно убывает и имеет непрерывную
производную. Полагая

Ф (х) — <Р (х)

а

dx

н интегрируя по частям, находим:

ь	ь

\ / (У) ¥ (х) dx = f (b) Ф (b) —	(x) Ф (x) dx.

a	a

Так как производная f (x) имеет -постоянный знак, то остается приложить к но-
вому интегралу первую формулу среднего значения.

14.	Показать, что при переходе от одной системы прямоугольных осей к дру-
гой системе прямоугольных осей, конгруэнтной с первою, интеграл \ xdy—у dx,
взятый вдоль замкнутого контура, обращается в интеграл такого же вида.

15.	Из формулы:

I cos X х dx - - (sin X b — sin X а)

1 "

а

вывести следующие определенные интегралы

ь	ь

\ х2/’+f sin X х dx, \ х'-Р cos X х dx.
а	а

— 16. Рассмотрим две какие-нибудь плоские кривые С, С; будем считать соот-
ветствующими точки (х, у) (х', У) обеих кривых, в которых касательные па-
раллельны. Точка с координатами х( ;px^-qx’, _У1 = ру + qy', где р и q —
данные постоянные, описывает новую кривую С{. Доказать, что соответствующие
дуги трех кривых связаны соотношением:

— zt ps ± qs’.

•— 17. Доказать, что длины соответственных дуг кривых:

с lx=tf'(t) — f(t)+<e'(t). с, j x' = tf'(I) — f (t) - - (t),

Ъ’=/'«-^'ю + т /ww(o-?(o

равны между собою при всяком, виде функций f (Z) и у {/).

— 18. Проведем из точки М плоскости нормали MPt, ... , МРп к п кривым Ci,
Cit ... , Сп, лежащим в той же плоскости. Пусть будет Zz длина МР,. Место
точек М, для которых между длинами /, существует данное соотношение
F(ll, Р, ... ,ln) = Q, есть некоторая кривая Г. Доказать, что если на каждой

ЬГ

прямой MPi отложим в надлежащем направлении длину, пропорциональную >
то равнодействующая (геометрическая сумма) этих п отрезков даст направление
нормали к кривой Г. Распространить это предложение на поверхности.

19.	Пусть будет С замкнутая кривая. Возьмем на касательной в точке т
к кривой С по обе стороны от точки т два равных отрезка тр и тр', причем
длина тр изменяется по произвольному закону. Доказать, что площади двух
кривых, описанных точками р, р', равны. Случай, когда длина тр постоянна.

20.	Площадь, заключающаяся между замкнутою выпуклою кривою и кривою
параллельною, получающеюся через отложение на нормалях к первой кривой
постоянной длины /, равна ± ъР Д- si, где а — длина замкнутой кривой.

21.	Пусть будет С замкнутая кривая. Геометрическое место точек А, для
которых площадь соответствующей подэрной кривой имеет данное значение, есть
окружность с неподвижным центром.

Следует определить кривую С ее тангенциальным уравнением

x cos Z Д- > sin Г = / (i).

22.	Пусть будет С замкнутая кривая, Q —ее подэрная кривая относительно
точки А, — место основании перпендикуляров, опушенных из точки А на
нормали к С. Между площадями этих трех кривых существует соотношение 31 =

Если з и и будут полярные координаты точки кривой С4, то, на основании
свойств подэрной кривой (§ 36), координаты соответствующей точки кривой Сг
будут р' и в , а координаты соответствующей точки кривой С будут:

г = I' p-i д р'2 и <f = ы Д- arc tg .

?

23.	Если кривая С катится без скольжения по прямой, то всякая точка А, не-
изменно связанная с кривой С, описывает некоторую кривую, называемую р у-
леттою. Доказать, что площадь, заключающаяся между дугою рулетты и основа-
нием, равна удвоенной соответствующей площади подэрной кривой точки А
относительно кривой С. Доказать также, что длина дуги рулетты равна длине
соответствующей дуги подэрной кривой.

[Штейнер (Steiner).]

Чтобы доказать эту теорему аналитически, обозначим через X, ¥ координаты
точки А относительно системы подвижных осей, составленной из касательной и
нормали к кривой С в точке М. Пусть будет s дуга О/И, считаемая от некото-
рой постоянной точки на кривой С, и <о — угол между касательными в точках О
и М. Легко вывести соотношения:

ds + dXz= Ydu>, dY + Xdw^O,

откуда получаются оба предложения.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

I. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

Вычисление определенного интеграла, на основе его определения *,
является, вообще говоря, очень трудной задачей, тогда как, если изве-
стна первообразная функция для /(л), интеграл получается непосред-
ственно для любых пределов.

В этом отделе мы рассмотрим различного рода элементарные функ-
ции, интегралы от которых выражаются при помощи тех же символов.
Под Э'ементарными функциями мы разумеем алгебраические функции,
рациональные и иррациональные, функцию показательную и логариф-
мическую, функции тригонометрические и круговые и все те, которые
получаются от сочетания предыдущих функций в конечном числе. Когда
неопределенный интеграл от функции f(x) не может быть выражен при
помощи этих символов, то этот интеграл представляет новую трансцен-
дентную функцию; изучение свойств этих трансцендентных функций
и их классификация составляют одну из важнейших задач интегрального
исчисления.

97. Интегрирование рациональных функций. Общий способ. Всякая

рациональная функция /(х) представляет сумму целой части Е (х) и

, Р (х)
дроби ——

Q (х)

где многочлен Р(х) первый с Q (х) и его

степень ниже

степени Q(x). Если действительные и мнимые корни уравнения Q(x) = 0
известны, то эта рациональная дробь может быть разложена на сумму
простых дробей, принадлежащих к одному из двух следующих типов:

А
(х—а)"1'

Мх 4- N

[(х-а)2-Н2Г

Простые дроби первого типа происходят от действительных корней,
а второго типа — от сопряженных мнимых. Интеграл от целой части
получается непосредственно. Далее, если т^>1, то

A dx	А

(х— а)т (т—1)(х— а}”1-1’
.	. Adx . , ,

если же т = 1, то \-= А 1п (х — а).

х — а

См. пример § 67 и упражнения 3 и 6 главы IV.
Для краткости мы опускаем постоянное С, которое должно быть при-
бавлено в правой части. Таким образом остается только исследовать
простые дроби, происходящие от мнимых корней знаменателя. Положим
для упрощения

х = а-|-^, dx—^df,
тогда

Г ТИхр-А/ _ 1 £ Ма.N

и мы получаем два рода интегралов:

dt

(Н-Н7' ’

Первый интеграл легко вычислить, заметив, что tdt есть половина
диференциала от	поэтому, если «>1, то мы имеем:

Г tdt _	1	^-2

J (1	—	2(л —1)(1 -Н2)"“т — ~ 2 (« — 1И (х — ар T ’

и если /г=1, то имеем:

tdt _ 1

UH2=='2

(х — а)2 4- ft2

1_

2

Остаются только интегралы вида:

Г dt

Если п -1, то nianemie этого интеграла будет:

( dt , J х — а
I  ---= arc tg t arc tg —;.

J 1 _|_ J2 s	$

Если же n больше единицы, то пользуются формулою приведения, поз-
воляющею свести вычисление предложенного интеграла к вычислению
интеграла такого же вида, но в котором показатель при 1 4-t2 на еди-
ницу меньше. Обозначая рассматриваемый интеграл через 1п, мы можем
представить его в виде:

_ Г dt _ Г1 4- — /2 __ С dt Г z2 dt
я J (14-227—] 71 _д_(<уг — J (17227—i-J

.я	С t2dt

Интегрируем J — - ।по частям, положив:

.	tdt	1

U ’ V (14-/2)«’ V	2(22— 1)(1 7/2)п-Г ’

мы получим:

Г /2 dt	t	,	1 Г dt

J (1	~~ ~ 2(ra—1)(1	" 2(/г—1) J (1	*
Заменив в уравнении для 1п последний интеграл его значением,
найдем:

__2га — 3	.	t

п~ Чп — Ч п-,1 2(я — 1Т:’

Заменяя в этой формуле п через п—1, потом через п—2 и т. д.т
мы придем к интегралу /, = arc tg t.

Возвращаясь затем постепенно к 1п, наконец, получим:

_ (2га — 3) (2га — 5) ... 3-1

п ~ (2п — 2) (2/г — 4) . . . 4 • 2

arc tg t 4 R (t),

где R (t) есть рациональная функция от t, выражение которой было бы
нетрудно получить; заметим только, что знаменателем ее будет (1 4/241
и что степень числителя будет ниже 2га — 2 (см. § 72, стр. 161).

Таким образом интеграл от рациональной дроби слагается из ра-
циональной части и из трансцендентных чтецов одного из следующих
видов:

X __ %

In (х— а), 1п [(х— а)2	arc tg—7j—.

dx

—, — . . Знамена-
x4 — 1

тель имеет два действительных корня -| 1 и —1 и''два мнимых I
и —z. Следовательно, разлагая его на простые дроби, получим:

Пусть, например, требуется вычислить imreipa.'i

1	__ А В

X4 — 1 X — 1 "I X 4 1

Сх + £)

Т+х2"-

Умножая для определения коэфициента А обе части на х— 1 и пола-
гая затем х=1, будем иметь 4 = --; точно так же найдем /7 =---------.

4	4

Теперь мы можем представить предыдущее тождество в виде:

£

4

1

.4 — 1

1 \

X ф 11

Сх4 я

1 4-Х’

1

444

или, после приведения:

- 1	__ Сх 4 D

2(1 4 х2)~ 1 фх2 '

Следовательно, должно взять С —О, D =--------— , н мы можем на-

писать:

1 _ 1 1 1

х4 — 1 “ 4(х— 1) ~ 4 (х -ф 1) ~ 2 (х2 4 Г) ’

откуда
Примечание. Изложенный метод — вполне общий, но он не всегда самый
простой. Иногда можно упростить вычисление соответственными искусственными
приемами. Возьмем, например, интегрл

dx

(^ — 1)«’

Если п ^>1, то можно было бы или разложить подиитегральную функцию на про-
стые дроби, отделяя корни Д- 1 и — 1, или применить формулу приведения, как
для интеграла /„.Но можно получить этот интеграл более изящным способом,
1 Д- z

сделав замену переменного	это дает:

dx

Idz

"(ТЖ)* ’

dx _____ 2

Щ-’ — 1)« — 4«

(1 -

2"

dz.

Разложив (1 — z)2«-2 по формуле бинома, нам нужно будет интегрировать только
одночлены вида Azv, где ц—положительно или отрицательно.

Метод Эрмита. До сих пор мы предполагали, что нодинтегральная
дробь разложена на простые дроби, для чего нужно знать корни зна-
менателя. При помощи следующего метода, принадлежащего Эрмиту,
можно найти алгебраическую часть интеграла и не зная этих корней;
при этом требуется производить только элементарные действия, т. е.

сложения, умножения

Пусть будет

Ж)

и деления многочленов
рациональная дробь,

интеграл которой нужно

найти; мы можем предположить, что ее числитель и знаменатель первые
между собою. На основании теории равных корней, многочлен F(x)
может быль представлен в виде:

Хрр,

где Хл, Х2, . . ., X —многочлены, содержащие только простые линей-
ные множители и не имеющие попарно никаких общих множителей.
Далее, мы можем разложить предложенную функцию на простые дроби
с знаменателями Х{, Х?2, . . ., Х?р,

Ж)_А ,	, А

f(x) А ‘ "'~v хрр

где есть многочлен, первый с Xt. В самом деле, из теории общего
наибольшего делителя известно, что если даны два первые между собой
многочлена X и Y и какой-нибудь многочлен Z, то всегда можно найти
два многочлена А и В, удовлетворяющих тождеству

ВХ^- AY—Z.

Положим

Х=Х^ Y=X?2... Хрр, Z=f(x)-

тогда предыдущее тождество обращается в

ВХу-\- АХ? . . . Xpp^f(x).
Разделив на F(x), найдем:

/(х)^ А В

F(x)

и, на основании предыдущего тождества, ясно, что если многочлен /(л)
будет первым с F(x), то А будет первым с Х1, и В будет первым с

Xf . . . Хр. Продолжая те же самые действия над дробью

В

Х^.Х?

2	р

ft*)

и т. д., мы представим - в требуемом виде.

Таким образом достаточно показать, каким образом можно найти
рациональную часть интеграла вида:

С A dx

J ~?'Г’

где <р (г) есть многочлен, первый со своею производною. На основании
вышеуказанной теоремы, всегда можно найти два других многочлена В
и С, удовлетворяющих тождеству

Bio (х) -|- Со' (х) == А,

и мы можем представить предыдущий интеграл в виде:

Г A dx __ С Д? -!- СЧ' С В dx Сю’ dx

J	J	J ' J (0я

Если п больше единицы, то полагая

“ = с. ”=(„-X-

и интегрируя по частям, будем иметь’

[cfdx==_ С	_ 1 С С<_

J ср" (га—1) ср"-1 1 га—1 J tp"-1 Х'

внося это в предыдущее соотношение, получим:

f A dx _ _ С , С А1 dx

J ср" (га—I)®"-1rJ ср"-1’

где А] обозначает новый многочлен. Если га^>2, то к новому инте-
гралу можно приложить тот же самый способ приведения и т. д. Мы
должны будём остановиться только тогда, когда показатель при ср в зна-
менателе сделается равным единице; мы получим тогда соотношение вида:

С A dx п , . , f ф dx

J ср"	J ср

где R(x} есть рациональная функция от х, а ф—-многочлен, степень
которого всегда можно предположить меньшею степени ср, но который
может и не быть первым с многочленом ср. Для вычисления последнего
интеграла необходимо знать корни многочлена ср, но интегрирование не
введет более никаких рациональных членов. В самом деле, разложение

Ф

дроби — на простые дроби даст только члены вида:
щ

A Mx N

х — а' (х — а}2 -'у С- ’

а интеграл от каждого из них есть трансцендентная функция.

В частности, этот метод позволяет узнать, будет ли интеграл от
данной рациональной функции сам рациональным. Для этого необхо-
димо и достаточно, чтобы, после того как приведение было подвинуто
насколько возможно далеко, все многочлены, аналогичные ф, оказались
равными нулю.

Заметим, что способ, которым мы выше пользовались при приведении инте-
грала 1п, есть в сущности не что иное, как частный случай изложенного здесь,
метода. Возьмем интеграл более общего вида:

- Л - 0, А'-’ - АС -г 0.

(Ах2 + 2В с -р С)«

Мы имеем тождество:

А (Ах2 -Ь 2Вх + С) — (Ах + В]2 -АС — В2,

которое позволяет представить данный интеграл в виде:

dx

(Ах2 + 2Вх -р

А

С?‘~~ АС — В2

Г dx

J (Ах2 +2Bx + C)'‘-i

1

АС — В2

(Ах + В)

(Ах Т В) dx

(Ах2 f 2Bx t~C)n'

Интегрируя последний интеграл ио частям, получим:

Г. I Р)	А' В	_	Ах -Г В

J + ’ (Лл-2*+	ах-~ 2?,Т-1 )'(Лх2“+ 2Вх~+~СуС^ +

, A f dx
+ 2л—2 J (Лх* 7-2 Вл 4 С)«-‘ ’

и предыдущее соотношение обращается в

С dx	Ах А- В	,

J (Ах2 \-2.>х Х Су1 — 2 (л — 1) (АС — В2) (Ах2 4- 2Вх -р С)«~‘ +
2л—3	А Г dx

+ 2л—2 АС—В2 J (Ах2 4 2Вх 4- С)п~1 ’

Продолжая таким же образом, мы придем к интегралу:
i’ dx

J Ах2 4- 2Вх 4- С ’

который выражается через логарифм, если В2 — АС > 0, и через arc tg, если
В* - АС < 0.
Возьмем еще интеграл

(* 5х3 + Зх — 1

J {хл + Зх + 1)'!

Мы имеем тождественно:

5х3 + Зх — 1 = 6л- (х2 + I) — (х» 4- 9х + 1);

отсюда мы можем написать:

[5х3+ 3х- 1 dx._ f6x(x2+l) d f dx

J(x3 + 3x+l)3 J (x3_|_	1)3 x J(X3 + 3x + l)2-

Интегрируя первый интеграл по частям, получим:

f ’ 6 (X2 + 1)	_ — х f dx

J Х(хЗ 4- Зх +1)3	' (Х3 _|_ Зх + 1)2 + J (Х3 Зх + 1)2 ’

и следовательно, будем иметь:

Г 5х3 + Зх — 1	— х

J (хз + Зх + I)3 АХ~ (хз + Зх + "Г)2 ‘

П р и м е ч а н и е. При применении метода Эрмита мы должны решить сле-
дующую задачу. Даны три многочлена А, В, С соответственно т-й, п-й и
p-Й степеней, причем А и В первые между собою: найти Ова других много-
члена и и v, так, чтобы было тождественно Au + Bv — С.

Чтобы найти отвечающие на вопрос многочлены возможно низшей степени,
предположим сначала, что р не больше т + п — 1. Тогда за и и v можно взять
многочлены соответственно (п — 1)-й и (т—1)-й степеней; т + п неизвестных
коэфициептов определятся из системы т + п неоднородных линейных уравнений,
определитель которой не может быть равен нулю; в противном случае можно
было бы найти два многочлена и и v степеней не выше (и—1)-й и (т — 1)-й,
удовлетворяющих тождеству /'« + Bv~ 0, откуда следует, что А и В должны
были бы иметь общего множителя.

Если многочлен С будет степени (т + п) или выше, то мы разделим С на АВ,
так, чтобы получился остаток С не выше (т + п—1)-й степени: С= ABQ-]-C.
Полагая и — BQ ut, мы представим соотношение Au-lBv=C в виде:

Аи{ + Ви = С'
и таким образом придем к предыдущему случаю.

Интегралы j R (х, Дх2 2Вх -j- С) dx. После интегралов от ра-
циональных функций естественно перейти к рассмотрению интегралов
от функций иррациональных. Мы начнем с того случая, когда под зна-
ком интеграла стоит рациональная функция от х и от корня квадрат-
ного из многочлена второй степени. Здесь для уничтожения корня
достаточно простой замены переменного, и мы придем к предыдущему
случаю. Эта замена переменного очевидна, если многочлен под знаком
корня обращается в двучлен первой степени ах-\-Ь. Полагая ax-\-b = t2,
получим:

Г ,	/---- - х „	С /;2 — ь \2tdt .

\ R (х, ]fax	b) dx = \ R I —-— , t 1 ——,

и новая функция под знаком интеграла будет рациональною.

Если многочлен под знаком радикала — второй степени и имеет два
действительных корня а и Ь, то можно написать:

/Д(х — а)(х — Ь) = (х — Ь)~\/ Д^-_-^,
и опять достаточно положить

/ х — а	А а — bt2

А------- = t, или х = —--------- ,

х— b	A — t2’

чтобы иррациональность исчезла.

Если многочлен под знаком радикала имеет мнимые корни, то этот
прием привел бы нас к мнимым символам. Чтобы ближе подойти к су-
ществу вопроса, заметим, что если мы обозначим радикал

У Ах2 -|- 2Вх -f- С

через у, то х
уравнением

и у будут координатами точки кривой, представляемой

.у2 = Ах2 -|- 2Вх -j- С,

(1)

и задача приводится к выражению координат точки кривой второго
порядка через рациональные функции некоторого параметра. Геометри-
чески ясно, что это возможно; в самом деле, если мы проведем через
какую-нибудь точку (а, fl) этой кривой переменную секущую

У — $ = t(x — a),

то ясно, что координаты второй точки пересечения этой секущей с кри-
вою получатся из уравнений первой степени и будут, следовательно,
рациональными функциями от t.

Если трехчлен Ах2 -ф 2Вх-|~ имеет мнимые корни, то коэфициент А
должен быть положительным, так как в противном случае этот трех-
член был бы отрицательным при всех действительных значениях х.
В этом случае коническое сечение (1) есть гипербола, и, пересекая эту
гииерботу прямою, параллельною одной из ее асимптот,

у-х j/Д •/,

мы получим для координат точки пересечения

С— С2	± , г- C—t2

х - ---7=------, у — t~\-y А------=------.

2л\/А — 2В	2/У А — 2В

Если же А отрицательно, то кривая второго порядка есть эллипс,
и трехчлен

Дх24-2Вх-|- С

должен иметь два действительных корня, так как в противном случае
этот трехчлен был бы отрицательным при всех действительных значе-
ниях х. Замена переменного, которая была указана выше, есть та самая,
которую мы получили бы, пересекая кривую подвижною секущею

у = t (х — а}.

Пусть, например, требуется вычислить интеграл

dx

(х2 k) |/42 k
Вспомогательная кривая второго порядка у2 = х2-(- k есть гипербола,
и, пересекая ее прямою, параллельною асимптоте, х y = t, мы полу-
чим для координат точки пересечения выражения:

?)’ А’==/а2Т- k^~2 (Z+ j)’
и затем

dt It2k\ С dx Г 47dt	2

dX==~2\ t2}’ J 7 J (t2-'r k)2	~ t2 k'

Возвращаясь к переменному x, находим:

dx

з

(x27 k)2

причем в правой части должно еще стоять произвольное постоянное.
Вообще, если АС—В6 не равно нулю, то мы имеем:

dx

3

(Ах2 + 2Вх-\-С)2

1	Ах-\-В

АС —В2 /Ах2 7 2Вх^С'

В некоторых случаях проще искать интеграл непосредственно, не унич-
тожая иррациональности. Как пример рассмотрим интеграл

Г dx

J У Ах2 7 2ВхА^С

Если коэфициент А положителен, то можно написать:

j/ A dx	Г	У" A dx

|/ А2х2 7 2ДВхТАС J |/ (Ах 7 В)2-(-де — В2 ’

и, полагая Ах У В — t, получим:

1_

dt

j//2 7 AC — В2 V А

In (/ 7 ]//2 7 АС — В2).

Возвращаясь к переменному х, находим:

dx

)/Ах27 2Вх7С

— In (АхД-В-Н/А /Ах27 2Вх+С).
У А

Если коэфициент при х2 отрицателен, то интеграл можно представить
в виде:

dx	Г V A dx'

У —Ах2-у 2 ВхС ~ J У АС7В2— (Ах —В)2
здесь количество АС -]-В- должно быть положительным, и, полагая

Ах — В = /УAC-f- В2,

мы приходим к интегралу

1

УУ

arc sin t.

Таким образом мы имеем:

dx	1	Ах — В

...----arc sin	— ;

J/ — Ах2 -f- 2Вх С ]/ А УАСуВ2

легко убедиться, что когда х изменяется между двумя корнями трех-
члена, то функция под знаком arc sin изменяется между —1 и -- 1.

В промежуточном случае, когда /1 = 0 и В^=0, интеграл—алге-

браический

dx
у 2Вх-]-С

= — 1/2Вх -4- С.
В

Интегралы вида

Г	dx

J (х—a) j/Ax2-J-28x4~ С

, 1

приводятся к предыдущим подстановкою х — а-у—. В самом деле,
мы имеем:

Г	dx	___ f	dy

' (х — а) У Ах228x4-С — J улА1у2-]-2В1у-]-С1 ’
где

А1=Аа2у2Ва-\-С, В^-Аа'-В, С, = А.

Здесь следует заметить, что интеграл будет алгебраическим, если а бу-
дет корнем трехчлена, стоящего под знаком радикала, и только в этом
случае.

^Рассмотрим еще интеграл j |.'х2	A dx. Интегрирование по частям

дает:

\ у х2 4- A dx ~ х у х2 -ф- А — I	- ;

J	J j/x2-p А

с другой стороны, можно написать:

х2 dx

Ух2 4- А

A dx

Ух2-]- А

]/х2-|- A dx— A In (х4- /х2 4- Д );
из этих двух соотношений получаем:

С	(Ах2-4 +-у In (х + К*2 + Л),

f =1-- 4(х+,/^+7)-
J У х2 -f- А 1	1

Точно так же можно вывести формулы:

— х2 dx — ~ j/a2 — X2 4-	arc sin —,

2	la

x2 dx

a2 — x2

X r—z---------; , a.2	X

----- у a2 — x2 arc sin — .

2	2	CL

(2)

(3)

(4)

(5)

Площадь гиперболы. Предыдущие интегралы встречаются при вычислении
площади сектора эллипса или гиперболы. Возьмем

гиперболу

— — 1

at Ь2

и найдем площадь сегмента АМР, ограниченного
дугою АМ, осью Ох и ординатою МР (черт. 15а).
Эта площадь равна определенному интегралу

т. е., по формуле (2), равна:

14	In (£+^2 а*)].

Но

МР = у=Л ]/х2 — а2,

и произведение

X — х j/*2 — а2

2 а г

представляет площадь треугольника ОМР; отсюда следует, что площадь S сек-
тора ОАМ, заключающегося между дугою АМ, радиусом ОА и радиусом ОМ,
имеет выражение:

„ 1 . /х-р Ух2 —а2\ 1 ,, (х. у\
S=7-ab\n[ —— ------ I = -7Г- ab In I H 4г I •

2	\ а /	2 \а ' b J

Эта формула позволяет выразить координаты х и у точки М гиперболы че-
рез площадь S. В самом деле, из предыдущего уравнения и из уравнения гиперболы

мы имеем:

2S

а ' b ’ а

2$

— — е аЬ
b

и следовательно,

2S

_2S
е аЬ

(25_	_ 23

е°ь — е аЬ
Функции, стоящие в правых частях, носят название -гиперболического синуса
и гиперболического косинуса-,
ех-^е-х	ех — е-х

ch х =----Lj---, sh х =-----,

и мы можем написать:

. 2S t U2S

х = a ch -г, у— J sh , .
ab ' ab

Гиперболические функции обладают свойствами, аналогичными свойствам функ-
ций тригонометрических *; так, мы Имеем:

ch2x— sh2x = 1,
ch (х -f- У) = ch х ch у -f- sh х sh у,
sh (х -f- j/) = sh x ch у -f- sh у ch x.

Точно так же мы нашли бы, что координаты точки эллипса выразятся через
площадь сектора следующими формулами:

2S t . 2S

х — a cos —г, у = b sin —г.
ab	ab

Для круга радиуса, равного единице, и для равносторонней гиперболы с полу-
осью, равною единице, эти формулы обращаются соответственно в

х = cos 2S, у = sin 2S;

х = ch 2S, у = sh 2S.

Гиперболические функции играют ту же роль по отношению к равносторонней
гиперболе, как тригонометрические — по отношению к кругу.

Спрямление параболы. Найдем длину дуги параболы 2ру = Х* между вер-
шиною О и точкою М (черт. 15b). Мы имеем:

Алгебраический член в правой части представляет
длину касательной МТ. В самом деле, известно, что ОТ-- поэтому

4 чрЛ

х*___х2 (х2 + р2)

+ 4 ~	4р2

Соединим точку Т с фокусом F; угол MTF — прямой, и мы имеем:

Отсюда можно вывести следующее любопытное свойство параболы.

* Recueil des formules numeriques Уэля (НоиИ) содержит таблицу логарифмов
этих функций для положительных значений аргумента.
Предположим, что парабола катится без скольжения по оси Ох. Найдем ме-
сто, описываемое фокусом, предполагая, что фокус неизменно связан с параболою.
Если парабола коснется оси Ох в ЛГ, то мы будем иметь ОМ' = аге ОМ; точка Г
перейдет в точку Т', так что будет М'Т' = МТ, и фокус/7 перейдет в точку У7',
которую получим, отложив иа прямой, параллельной Оу, длину T'F' =- TF.
Координаты X, V точки F' будут иметь следующие значения:

X = аге ОМ — МТ= In

Y^TF-=~ ]/х24-р2.

Исключив х из этих двух соотношений, мы получим уравнение места, описывае-
мого фокусом. Из первого уравнения имеем:

2Х

х + \/ х? 4- р2 = ре '' ;

к этому уравнению можно присоединить еще

_2Х

х — j/x4 4- р2 = — ре р ,

так как произведение левых частей равно —р2. Вычитая, получим:

/ 2Х _ 2Х

/х24- р2 = ^	р 4-е р),

и искомое уравнение будет:

/ 2Х	2Х\

Легко построить эту кривую, носящую название цепной линии; по своему
виду она имеет сходство с параболою.

98.	Уникурсальные кривые. Рассмотрим теперь вообще интегралы
от алгебраических функций. Пусть будет

F(x,y) = 0	(6)

уравнение алгебраической кривой, и R(x,y)— рациональная функция
от х и от у. Предположим, что в /?(с, у) мы заменили у одним из кор-
ней уравнения (6); мы получим функцию только одного переменного х,
и интеграл

R (х, у) dx

называется абелевым интегралом, связанным с кривою (6). Если данная
кривая и функция R(x, у) произвольны, то эти интегралы будут
трансцендентными функциями. Но в частном случае, если данная кри-
вая— уникурсальная, т. е. если координаты х, у точек этой кривой
могут быть представлены как рациональные функции переменного па-
раметра t, то абелевы интегралы, связанные с этою кривою, приводятся
непосредственно к интегралам от рациональных функций. В самом деле,
пусть будут

*=/(0> У = Т (0
выражения координат х, у в функции t. Приняв t за новое независимое
переменное, получим:

J R(x, у) dx = J /?[/(/),

и новая функция под знаком интеграла, очевидно, рациональна.

В курсах аналитической геометрии * доказывается, что всякая уни-
(л — 1)(л — 2)
цурсальная кривая л-го порядка имеет --------------- двойных точек

и что, обратно, всякая кривая л-го порядка, имеющая это число двой-
ных точек, будет уникурсальною. Напомним только, каким образом
можно получить выражение координат в функции вспомогательного па-
тт	п	>	(» — 1) (л — 2)

раметра. Пусть дана кривая л-го порядка Сп, имеющая 3 = -------------

двойных точек; через эти 3 двойных точек и через п—3 простых то-
чек кривой Сп проведем пучок кривых (л — 2)-го порядка; эти точки
вполне определят пучок кривых (л — 2)-го порядка, так как

(«-!) («_- 2) ,	_ з = (л-2)(л + 1)

2 “I	2

а для определения кривой (л—2)-го порядка нужны ------------'

А

точек. Пусть будет Р (х, _у) tQ (х, у) = 0 уравнение этого пучка,
где t обозначает произвольный параметр. Каждая кривая пучка пере-
секает кривую Сп в л (л—2) точках; при этом некоторое число этих
точек пересечения не зависит от t, именно, п — 3 выбранных простых
точек и 8 двойных точек, каждая из которых считается за две точки
пересечения. Но

п — 3 ф- 23 — л — 3 -1- (л— 1) (л — 2) = л (л — 2) —1;

таким образом остается только одна точка пересечения, изменяющаяся
вместе с t. Координаты этой точки получатся из двух уравнений пер-
вой степени, коэфициенты которых будут целыми многочленами по t,
и потому эти координаты сами будут рациональными функциями от t.
Можно было бы также воспользоваться пучком кривых (л—1)-го по-
(п — 1) (п — 2)

рядка, проходящих через ---------------- двойных точек и через 2л— 3

простых точек, взятых где угодно на кривой Сп.

г-	<> (л — 1) (п — 2)

Если л = 2, то --------------=0; таким образом всякая кривая

второго порядка, как это уже было указано выше,—уникурсальная.
_	„	(л— 1)(л — 2)	1

Если п=6, то ----------------=1; следовательно, из кривых третьего

порядка уникурсальными будут только те, которые имеют двойную

* См., например, Невенгловский (NiewenglowsKi), Cours de Geometiie
analytique, т. II, стр. 99—114.
точку. Приняв двойную точку за начало координат, мы приведем урав-
нения кривой третьего порядка к виду:

Тз (т, У) + <f2 (*> У) = °>

где <р3 и tp2 — однородные многочлены со степенями, соответствующими
их указателям. Секущая y — tx, проходящая через двойную точку, пе-
ресечет кривую еще только в одной точке, изменяющейся вместе с /;
координаты этой точки будут:

?з(М)’ У Тз(1,0'

Уникурсальная кривая четвертого порядка имеет три двойных точки.
Чтобы получить выражения координат ее точек через параметр, соста-
вим уравнение пучка кривых второго порядка, проходящих через три
двойных точки и через одну простую точку, взятую произвольно
на кривой. Каждая кривая этого пучка пересечет кривую четвертого
порядка только в одной точке, изменяющейся вместе с параметром.
Если, например, мы составим уравнение для абсцисс точек пересечения,
то это уравнение, по освобождении его от множителей, соответствую-
щих уже известным корням, обратится в уравнение первой степени и
определит х в виде рациональной функции параметра; точно также мы
будем поступать для получения координаты у.

Возьмем, например, лемнискату

(№	у2)2 = а2 (х2 — у2),

имеющую одну двойную точку в началэ координат, и, кроме того, две
двойных точки в бесконечно удаленных круговых точках. Окружность

х2	у2 = t (х —у),

проходящая через начало координат и касающаяся в этой точке одной
из ветвей лемнискаты, пересекает эту кривую только в одной точке,
изменяющейся вместе с t. Из двух приведенных уравнений легко
получается:

t2(x — у}2 = а2(х2 — у2);

отсюда, по разделении на х—у, остается:

t2 (х —у) =а2 (х-^-у).

Последнее уравнение представляет прямую, проходящую через начало
координат и пересекающую окружность в точке, отличной от начала,
с координатами

____t, Ч (t2 4- а2)	__аЧ (t2 - а2)

Х	а4 ’ У t4 -f- а4

К этим формулам можно притти еще проще, воспользовавшись следую-
щим приемом, применимым ко всякой уникурсальной кривой четвертого
порядка, одна из двойных точек которой известна. Пересечем лемни-
скату секущею _у = Хх'; она встретит кривую' в двух точках

с коорди-

натами

х

~	1 +Р

у —\х.

1 — >._______________/ а \ “

Под знаком радикала стоит многочлен второй степени, и, чтобы
уничтожить иррациональность, достаточно положить

(§ 105); легко убедиться, что это приведет нас к предыдущим фор-
мулам.

Примечание 1. Если плоская кривая имеет особые точки высшей крат-
ности, то можно доказать, что каждая из иих равносильна некоторому числу
двойных точек. Для того чтобы кривая была уникурсальною, достаточно, чтобы
эти особые точки были равносильны —-----------— двойным точкам. Например,

кривая л-го порядка, имеющая кратную точку (п— 1)-го порядка, будет уникур-
сальною, так как прямая, проходящая через эту кратную точку, пересекает кри-
вую только в одной переменной точке.

Примечание II. Из других интегралов, в которых иррациональность
может быть легко уничтожена, мы укажем еще на следующие:

R [х, (ах -|- Ь)ч ] dx, R (х, у/ах -(- b, |/с х-Г-rf) rfx,

R (х*, х«', х*",.. .(dx,
*>

где R есть рациональная функция, и показатели а, а', а",...—рациональные
числа. В первом интеграле достаточно положить ax(-b- tq. Если во втором
интеграле положим

ах -f- b — t2,

то будем иметь только один квадратный корень из многочлена второй степени,
и достаточно новой замены переменного, чтобы уничтожить эту иррациональ-
ность. Наконец, в третьем интеграле можно положить х = /°, Где D есть целое
число, выбранное таким образом, чтобы все произведения Da, Da’, Da",... были
целыми.

99.	Алгебраически-логарифмические интегралы. Всякий абелев инте-
грал, связанный с уникурсальной кривой, в силу доказанного в преды-
дущем параграфе, является алгебраически-логарифмической функцией,
т. е. разбивается на рациональную функцию от х и у и сумму лога-
рифмов от рациональных функций с постоянными коэфициентами. Когда
кривая (6) не уникурсальная, абелев интеграл, с нею связанный, вообще
говоря, есть трансцендентная функция, которую нельзя выразить только
через логарифмы.

Тем не менее, каково бы ни было соотношение

F(x,j-) = 0,

всегда существует бесчисленное множество рациональных функций R(x,у)
таких, что интеграл /? (х, y)dx будет алгебраически-логарифмическим,
так как производная такой функции всегда есть рациональная функция
от х и у. Но при заданной функции /?(х, у), вообще говоря, очень
трудно узнать, будет ли \R(x, у) dx алгебраически-логарифмической
функцией.
В частности, это будет иметь место, если R(x,y)dx можно приве-
сти к рациональному диференциалу при помощи некоторой алгебраи-
ческой не обязательно рациональной подстановки..

К последнему примеру примыкает класс диференциалов вида:

хт (axn^-b)P dx,

называемых диференциальными биномами. Предположим, что все три
показателя т, п, р — рациональные числа. Если р — число целое, то,
на основании предыдущего, можно посредством замены переменного
x~tD сделать этот дифереициал рациональным. Чтобы получить новые
случаи .интегрируемости, сделаем замену переменного

мы получим:

axn-'\b-t\

dt,

mA 1

if / t — b\ n

xm (ax'1 - - b)Pdx — — I tP \---) dt.

na.)	\ a

Новый интеграл — одинакового вида с первоначальным, но показатель/>
т 1

заменен здесь показателем —!------1; следовательно, интегрирование

т 1 Л

можно будет выполнить, если---!— будет целым числом.

С другой стороны, предыдущий интеграл можно представить в виде;

xm™P(a-^bx-n)Pdx,
«J

и мы видим, что существует новый случай интегрируемости, когда

т-'.-пр^-Х ли —1

п	п

будет целым числом. Таким образом интегрирование можно выполнить
3	т “1“ 1	1 I Л

в том случае, если одно из трех чисел’, р, —---------------р будет

целым. Эти три случая будут единственными, когда при рациональных
т, п, р интеграл выражается при помощи конечного числа элементар-
ных символов.
Для выполнения интегрирования, когда это возможно, удобнее сна-
чала привести интеграл к более простому виду, содержащему только
два показателя. Для этого положим ахп = Ы', мы будем иметь:

1

Ь \« /
— tn,
а /

2

J 1 / Ь \п
ах = — —
п X а /

tn dt,

ЬР I Ь \ п I -
xm (axn 4- b)P dx = — I — |	\ t n

n \ a j

Отвлекаясь от постоянного множителя и полагая

т 1

мы придем к интегралу

+t)P dt,

и случаи интегрируемости будут следующие: одно из трех чисел р, q,
p-\-q должно быть целым.

г

Если р — целое и q = —, то положим t—us. Если q— целое и

р= — , то положим — us. Наконец, если p~'\q—целое, то инте-
грал можно представить в виде:

/ 1 -MV
tP+ч I—j— I dt,

и для уничтожения иррациональности нужно только положить 1 -\-t — tus,
г

если р=— .
s
Возьмем, например, интеграл

х	qx-

,	1	т —1— 1 .	,

здесь /и—1, л = 3, р=—, -------------!---гР~ 1! следовательно, мы имеем

о а

здесь случай интегрируемости. Полагая сначала
к новому интегралу

x3~t, мы придем



и для уничтожения радикала достаточно второй замены переменного
1	1=tu3.

100.	Приведение интегралов эллиптических и ультраэллиптических.
Пусть будет Р(х)—целый многочлен р-й степени, первый со своею про-
изводною. Если степень многочлена Р(х) больше 2, то интеграл

/?[*, l^P(x)] dx,
где Д’ обозначает рациональную функцию от х и от радикала

у = Ур(х),

вообще не может быть выражен при помощи элементарных функций.
Интегралы этого вида, представляющие лишь частный случай ботее
общих абелевых интегралов (§ 108), могут быть разложены на алге-
браическую и логарифмическую части и на некоторое число опреде-
ленного вида интегралов, представляющих новые трансцендентные функ-
ции, которые не могут быть выражены при помощи конечного числа
элементарных символов. Мы изложим здесь это преобразование.

Рациональная функция /?(х, у) представляет частное двух целых
многочленов по х и по у; заменяя четные степени у, например у29,
через [Р(х)]?, а нечетные, например _у2?+1, через у [Р(х)]?, мы видим*
что всегда можно считать числитель и знаменатель дроби выражениями
первой степени относительно у:

в/у. v\_

R(,C'y>-C^Dy '

где А, В, С, D суть целые многочлены по х. Умножая числитель и зна-
менатель на С — Dy и заменяя снова у2 через Р(х), получим:

R(x, y)=FJrK°y.

Таким образом рассматриваемый интеграл распадается на два других;
С Fdx

из них один I ——- есть интеграл от рациональной функции, а дру-
J

I у'"'

гой » dx может быть представлен в виде:

С М dx

J W /Р(х) ’

где М и N—целые многочлены по х. Только этим вторым интегралом1
т.	х м

мы и должны заняться. Рациональная дробь — может быть разложена

на целую часть Е (х) и на сумму дробных членов:

м

Ai , Ai

Ар

ХР'
р

где каждый многочлен Xt—первый со своею производною. Таким
образом нам нужно будет рассмотреть только два вида интегралов-

т

хт dx

УРЙ’

A dx

ХпУ~Р(х)'
Если многочлен Р(х) будет степени р, то все интегралы Ут вы-
ражаются при помощи р—1 первых интегралов Уо, У,, ... , У и
алгебраических количеств.

В самом деле, пусть будет:

Р(х) = аохР аухР~г + • • •

Мы имеем:

=	lW)+^g-

_2/ях”*~1 Р(х)-+-хт Р' (х)

Ч \ Р (х)

здесь числитель есть многочлен (т-\-р — 1)-й степени, имеющий выс-
шим членом (Чтр) айхт*Р~г. Интегрируя обе части предыдущего
равенства, получим-

Чх”УР^ = {Чт^р)айУт+р^ + ... ,

причем ненаписанные члены содержат интегралы У с указателями,
меньшими т-\-р—1. Полагая в этой формуле последовательно т = 0,
1,2,..., мы можем выразить /р_1, Ур, .. . через алгебраическую часть
и через р—1 интегралов Ко, У,,..., У

Относительно интегралов второго вида должно различать два случая
в зависимости от того, будет ли X первым с Р(х) или нет.

1.	Если многочлен X—первый с Р(х), то интеграл Zn приводится
к алгебраическому члену, к сумме интегралов Yk и к новому инте-
гралу

Г Bdx

J X У~Р(х) ’

где В есть многочлен степени низшей, чем X.

Так как многочлен X— первый со своею производною А" и с Р(х),
то Хп будет первым с произведением РХ'. Поэтому всегда можно найти
два многочлена к и g, удовлетворяющих тождеству \г.Х'Р= А;
при этом интеграл распадается на два других:

Г Adx С Idx . Г и УР X'

I --7= = \ —г= + \ —------------dx.

}хпУР(х) j/P(x) J хп

Первая часть есть сумма интеграчов У; второй интеграл при л^>1
можно проинтегрировать по частям, положив

,г-	- 1

это дает:

Г ц y~PX' dx_ — цУр 1___________Г 2|л'Р4-р.Р' dx

J Ха ~(я-1)А?-! л —1 J 2Л’"-Ч/'Р(Г) *’
Новый интеграл—одинакового вида с первоначальным, но только
показатель при X уменьшился на единицу. Продолжая приведение на-
сколько возможно, т. е. пока показатель при X больше единицы, мы
придем к результату вида:

A dx С В dx

Л*7~Р(Т) ~ J X у Р

Cdx ! D |/р
/Р ' А""1

где B,C,D-—три многочлена, причем всегда можно предположить, чт >
степень первого многочлена В ниже степени X.

2.	Предположим, что X и Р имеют общего делителя D, так что
Х = YD, P = SD, и многочлены D, S, У попарно первые между собою.
Можно найти два таких многочлена р, чтобы б у л о А =-'i.Dn
поэтому мы можем написать:

Adx _Г \dx Г pdx

Xnf~PJ YnV Р ‘ J Dny P'

Первый интеграл имеет рассмотренный выше вид, что же касается
интеграла

Г pdx

J М J/p’

где D есть делитель многочлена Р, то он приводится к алгебраиче-
скому члену и к интегралам У.

В самом деле, так как многочлен Dn — первый с произведением D'S.
то можно найти два таких многочлена К, и jut,, чтобы было

kjZ?" —|—	= ц,

и рассматриваемый интеграл можно будет представить в виде:

pdx
Dn j/P

Ydx. Г ,

4- \	- dx.

V Р J Dn У Р

Заменив Р через SD, представим второй из этих интегралов в виде:

и проинтегрируем его по частям, полагая

« = 11,/5, ч =-----------------г.

п —	2

Мы получим:

С pdx _____С dx Р-i ' S	1 С 2ц16'-{_

' DnVP~\ Vp ~ I	2n —1J Ол"1|/р

«----тг / О 1
Мы имеем опять формулу приведения, но здесь благодаря присутствию
1

дробного показателя п— — приведение можно продолжить до того
2/

члена, в котором D будет стоять в знаменателе в первой степени, и
мы приходим к результату вида:

цдх КУР , CHdx
Dn У~Р~ Dn I” J |/ Р ’

где Н и К — два многочлена.

_	„	Г М dx	„

Таким образом всякий интеграл I ----= приводится к алгебраиче-

J NVP

ской части и к сумме интегралов вида:

Г хт dx Г Х} dx

J У~Р ’ J хуГр’

где т не выше /? — 2, многочлен X—первый со своею производною X'

и с многочленом Р, и степень многочлена Хг ниже степени много-

члена X. Это приведение требует только сложения, умножения и

деления многочленов.

Если корни уравнения Х~0 известны, то рациональную дробь
можно разложить на сумму простых дробей вида:

х

А Вх-ус

х — а’ (х — cz)2—]—

где А, В, С—постоянные, и мы

приходим к двум новым типам инте-

гралов:

dx

(х — а) |/ Р(х)

(Bx-\-C)dx

которые можно привести к одному первому, если мы условимся допус-
кать для параметра а также и мнимые значения. Такие интегралы на-
зываются интегралами третьего вида. Интегралами первого вида назы-

ваются интегралы Ym, где т меньше ---------1; интегралы Ym при т

равном или большем -----1

называются интегралами второго вида.

Интегралы первого вида обладают характеристическим свойством, — они
сохраняют конечное значение, когда верхний предел бесконечно возра-
стает или делается равным корню многочлена Р(х)(§ 89—90). Что ка-
сается интегралов второго и третьего’ вида, то приведенное выше раз-
личие между ними не самое существенное. Истинное различие будет
указано впоследствии.

Примечание. До сих пор мы ие делали никакого предположения отно-
сительно степени р многочлена Р (х). Если степень этого многочлена нечетная,
то она всегда может быть увеличена на единицу. В самом деле, пусть многочлен
Р(х) будет (2<?— 1)-й степени

Р (х) = J- А^ч-ъ + ... 4- Aiq_t
Положив х = л+—,
•У

причем а не есть корень многочлена Р (х), получим:

Р(х) = Р(а) + Р' (а)| + ..

P(2?-i)(a)	1 =Pt(y)

(2g—1)! y2?-‘	’

где Р{ (у) обозначает многочлен 2д-й степени. Следовательно,
и всякий интеграл, содержащий рационально х и ]/Р(х), обратится в интеграл
от рациональной функции от у и от j/Pt(y).

Обратно, если под знаком радикала стоит многочлен Р (х) четной степени 2g,
то степень этого многочлена можно понизить на единицу, ес и только известен
один из его корней. Пусть будет, например, а один из корней уравнения

Р (х) = 0; полагая х = а + — , будем иметь:

Р(х)-Р' (а)1+	=

IX) _ W у -р- ... -f-	,

1де Р{(у) есть многочлен (2g — 1)-й степени; отсюда

—	]/Р{ (у)

и новый интеграл будет содержать только одну иррациональность ]/Р{ (у).

101.	Случай алгебраической интеграции. Можно получить окончательную
f М dx

формулу, выражающую всякий интеграл J — более непосредственным пу-
тем, не проходя через все промежуточные вычисления, которые мы делали.
Пусть V-—общий наибольший делитель многочлена N и его производной, W—
общий наибольший делитель многочленов N и Р и, наконец, U — частное от де-
ления N на произведение VW. На основании доказанного в предшествующем

.	„	, "	„	Q }/Р

параграфе рассматриваемый интеграл равен алгебраической части вида —’

„	,.	Г S dx _

сложенной с определенным числом интегралов Y, н с интегралом I -где Q

J U]/P

и S— два многочлена. Так как всякое выражение F (х) ]/Р, где F (х) — некоторый
многочлен, есть сумма интегралов У}, то мы южем написать:

Г М dx = Г Tdx ,QVP. f Sdx
J A|/P J |/P ' VW + J uy/p ’

где степень Q ниже степени VW, а степень S ниже степени U. Все три много-
члена U, V, W получаются посредством рациональных операций; то же можно
сказать и о мноючленах Q, S, Т. В самом деле, приравнивая производные обеих
частей предшествующего равенства и умножая на N \/Р, находим:

M=TN+ Q'PU + у PQU — QP^f- — Qp^ + sVW,

н мы имеем верхний предел степени Т, замечая, что степень TN не превосходит
наивысшей степени всех остальных членов. Получив таким образом верхний пре-
дел степени многочленов Q, S, Т, мы определим их коэфициенты, приравнивая
в обеих частях последнего равенства коэфициенты при одинаковых степенях. Мы
заранее уверены в том, что найденные уравнения совместны, так как это разло-
..	f Тdx	,

жение в смежно. Интеграл J , в свою очередь, может быть разложен на
алгебраическую часть и линейную комбинацию р — 1 интегралов Уо,
Следовательно, мы всегда м жем посредством рациональных операций предста-
вить предложенный инте!рал в форме:

Г М J п, , /н , Г Л dx , f S dx

где степень Tt не превосходит р— 2, степень S ниже степени (J и R (х) обозна-
чает рациональную функцию.

Чтобы интеграл был алгебраической функцией, необходимо и достаточно,
чтобы оба многочлена Т, и S были нулями. Так как всякий интеграл

R (х, ]/Р) dx

может быть разложен на интеграл от рациональной функции и интеграл пред-
шествующего вида, то мы, следовательно, всегда можем посредством рациональ-
ных операций узнать, является ли этот интеграл алгебраической функцией, и
в этом случае получить его в яви ,й форме.

102.	Эллиптические интегралы. Если многочлен Р(х)— второй сте-
пени, то изложенный общий способ приведения позволяет привести ин-
тегрирование рациональной функции от х и от ]/гР(х) к вычислению
интегралов

Г dx Г dx

J Р (х) J (х — a)]f Р (х)

которые мы уже умеем вычислять непосредственно (§ 97).

Простейший после этого случай представляют эллиптические инте-
гралы, когда Р(х)—третьей или четвертой степени; как мы видели
выше, оба эти случая приводятся один к другому. Пусть будет Р(х)
многочлен четвертой степени с действительными коэфициентами, имею-
щий только простые линейные множители. Покажем прежде всего, что
линейною подстановкою с действительными коэфициентами всегда
можно привести Р(х) к многочлену, содержащему только четные степени
переменного.

Пусть будут а, b, с, d — четыре корня уравнения Р(х) = 0. Можно
составить инволюционное соотношение:

Lx’x" 4- М (х' 4- л") 4- дг=о,

(7)

удовлетворяющееся при х' = а, х"=*Ь и при х'=с, х'— d. Для
определения отношений между коэфициентами Z., М, N мы имеем два
соотношения:

L ab 4- М (а 4- Ь} 4- N = 0,
Lcd + M(c-\-d) -|-W = 0,

и мы видим, что можно взять

L = a-\-b—c— d, M=-cd—ab, N—ab(c-\-d) — cd(a-\-b).

Обозначим через а и
корни уравнения

двойные точки предыдущей инволюции, т. е.

Lu2 ф 2M«4- JV=O.
Условие действительности этих корней, именно,

(cd — ab)2 — (a -j- b — с — d) [ad (с -j- d) — cd (а Ц- Z>)] > 0,
после простых преобразований может быть представлено в виде:

(а — с) (а — d)(b — c)(b — d)^>0.	(8)

Всегда можно распределить корни a, b, с, d так, чтобы это усло-
вие было удовлетворено. Если все четыре корня действительны, то
достаточно взять за а и b два больших корня; тогда все четыре мно-
жителя неравенства (8) будут положительными. Если уравнение Р(х) — 0
имеет только два действительных корня, то за а и b мы возьмем эти
два действительных корня, а за с и d — два мнимых сопряженных;
тогда множители а — с, а — d и b—с, b — d будут мнимыми сопря-
женными. Наконец, если все четыре корня мнимые, то мы возьмем
за а и b два мнимых сопряженных корня, а за с и d два других мни-
мых сопряженных; четыре множителя неравенства (8) будут опять
попарно сопряженными. Соответствующие значения коэфициентов L, М,
N будут во всех случаях действительными.

Вводя количества а, мы можем представить соотношение (7)
в виде:

X'-a_LXl-a^0	(Q}

п х — а	₽у — а

Полагая —----=У, или X — - —----р , получим:

Р(х)=^-
( ' Су-1)4’
где Pj (у) есть новый многочлен четвертой степени с действительными
коэфициентами, корнями которого служат

а — а b — а с — a d — a
а — р, ’ b — ’ с — £ ’ d — [J'

На основании формулы (9) эти корни удовлетворяют попарно соотно-
шению y'-j-y" - 0; следовательно, многочлен Рг (у) содержит только
четные степени у.

Если корни a, b, с, d удовлетворяют соотношению a-\-b = c-\-d,
то мы имеем Е = 0, и одна из двойных точек инволюции удаляется

N
в бесконечность. Полагая а =------2ДГ ’ мы представим уравнение (7}>

в виде:

х' — а -ф- х" — а = 0,

и нужно только положить х = а +J, чтобы получить многочлен с чет-
ными степенями у.

Таким образом мы можем во всех случаях предполагать, что
многочлен Р(х) приведен к каноническому виду:
Тогда всякий эллиптический интеграл может быть приведен к алгебраи-
ческой части, к интегралу от рациональной функции, к интегралам

Г	dx	Г_______xdx_______ Г х2 dx

J j/ А0х4 А1х2-|-И2 J j/ Л0х4-|-J /0x4-f- А1х2А-А2

и к интегралам вида:

dr

' (х — а) /Hox4-f-+

Интеграл

X

Г dx

и = \ —=
J А*4 Н~ А*2 + А
Хо

есть эллиптический интеграл первого вида; рассматривая в нем, об-
ратно, х как функцию от и, мы получим эллиптическую функцию.
Второй интеграл подстановкою х2 = « приводится к элементарному
интегралу. Третий интеграл

Г x2dx

J VА*4 А А) х2 А А

есть лежаидров интеграл второго вида. Наконец, мы можем написать:

Г dx	Г х dx . Г dx

\---------г  = \----------г—   А а \-------а- ;

J (х—а)у Р (х} J (х2—а2) ]/ Р(х) J (х2 — а'))/ Р(х)

интеграл

Г	dx

J (х2 + А)/а;л4-|-/.1х2Н-Д2

есть лежандров интеграл третьего вида.

Эллиптические интегралы получили свое название оттого, что
с ними впервые встретились в задаче о спрямлении эллипса. Пусть
будут

х = a cos ср, у — b sin ср

координаты точки эллипса; мы имеем:

ds2 = dx2 dy2= (a2 sin2 ср Z>2cos2 ср) dtp2,

или, полагая а2—Ь2 = е2а2:

ds = a}/ 1 — е2 cos2ср dy.

Интеграл, представляющий длину дуги эллипса, обращается после
подстановки coscp = / в

С 1/1 еЧ2 1 Г 1— еЧ2

s = а \ .	— dt — a\	- dt-,

jyl—t2 J /(1 — /2)(1 — e2t2)
мы видим, что длина дуги эллипса выражается суммою интегралов
первого и второго видов.

Рассмотрим еще лемнискату, представляемую уравнениями

t (Z2 -J- а2)
~ Н + а4

J(/2 —а2)

Z4 а

выполнив вычисления, получим:

2а4

ds2 — dx2 -I- dy2 = ------. dt2.

1	Z4 f- a4

Таким образом длина дуги лемнискаты выражается эллиптическим т-
тегралом первого вида *.

§ 102а. Псевдоэллиптические интегралы. В некоторых случаях интеграл

F [х, j/P (х)] dx,

где Р (х) — многочлен третьей или четвертой степени, может быть выражен при
помощи алгебраической функции и суммы конечного числа логарифмов от алге -
браических функций; такие интегралы называются псевдоэллипп ическими. Вот
довольно общий случай, когда это будет иметь место. Пусть будет

Z.xx" + Al(x' + x".) + W = 0	(К)

инволюционное соотношение, связывающее попарно четыре корня уравнения
четвертой степени Р (х) = 0; если рациональная функция f (х) такова, что
тождественно будет.

,,,( Mx \-N\
/W+У ~ Lx \-М) °’

f/(x)rfx

то интеграл J	— псевдоэллиптическии.

Пусть будут а, р двойные точки инволюции; как было указано выше, соот-
ношение (10) можно представить в виде:

<11)

л Р Л Р

Сделав в интеграле подстановку --— г, получим:

рМ=Р^УУ.

О- у)2 ’	’ (1->)4’

и следовательно,

dx ____(а — р) dy

]/Р(х) ^РДУ)

где Pi (у) — многочлен четвертой степени, содержащий только четные степени
переменного у (§ 102). Что касается рациональной дроби /(х), то она обратится
в рациональную дробь <р (у), для которой f (у) + f (—у) = 0. В самом деле, если
два значеиия х связавы соотношением (11), то соответствующие значения у', v"
переменного у должны удовлетворять соотношению у'ф-у" = 0. Отсюда следует,
что функция f у) будет иметь вид уф (у2), где ф есть рациональная функция
от у2. Следовательно, рассматриваемый интеграл обращается в

f уф (У2) dy

J |/Аоу4 + 14|>2 +

* Это свойство принадлежит целому классу кривых, найденных Серре (Serre!)
Cours de Calcul-differentiel et integral, т. И, стр. 264.

16 !) I’ V n » т I ч 1
и достаточно положить y2 = z, чтобы привести его к элементарному интегралу.
Таким образом теорема доказана, и кроме того, мы имеем вместе с тем и спо-
соб выполнить самое приведение.

Изложенная теорема справедлива и в том случае, когда многочлен Р (х) бу-
дет третьей степени; нужно только принять один из четырех корней этого мно-
гочлена бесконечно большим. Доказательство совершенно одинаково с преды-
дущим.

Если, например, уравнение Р(х) = 0 возвратное, то одним из инволюционных
соотношений, перемещающих корни попарно, будет х'х"х-\. Следовательно
если рациональная функция f (х) такова, что мы имеем тождественно

/«+/(4) =о.

то интеграл

Г / (X) Лх

J j/^w

будет псевдоэллиптическим, и достаточно положить

х — 1	„

------- tzz: V И V* =• Z.

х -h 1 у у

что'ы

привести его к элементарному интегралу.

Предположим еще, что Р (х) есть многочлен третьей степени

Р(х)=х(х-1)(х- -1);

положим а —оо, b = 0, с — 1, d— Существуют три инволюционных соотно-
шения, перемещающих эти корни попарно:

1	, _ 1 — №х"	, _ 1 — х"

№х" ’ Х ~ Р2 (1 — X") ’ Х “ 1 — №х"

Если рациональная функция f (х) удовлетворяет одному из соотношений:

o’/WiXAr^

)=о./М+/(,4-{у=о.

то интеграл

f(x) dx

]/х (1 — х) (1 — №х)

— псевдоэллиптический. Из этого интеграла можно вывести и другие. Например,
полагая х = z2, мы превратим предыдущий интеграл в

Г 2f(zi)dz

J |/(1 - Z2) (1 — k*Z*) '

Отсюда мы заключаем, что если f (г'2) удовлетворяет одному из соотношений:



то новый интеграл будет также псевдоэллиптическим; первый из этих случаев
был уже замечен Эйлером (Euler) *.

* См. литографированный курс Эрмита, 4-е изд., стр. 25—28.
103. Интегрирование трансцендентных функций. Интегрирование ра-
циональных функций от sinx и cosx. Известно, что sinx и cosx выра-

, Х

жаются рационально через tg — = t, и эта замена переменных позво-
ляет привести вычисление интеграла вида

\ R (sin х, cos х) dx

к интегрированию рациональной функции от t. Мы имеем:

x = 2arctgZ, dx —

2t
sin X — -—

1 — t*

cosx— ,

и рассматриваемый интеграл обращается в

1 — Р\

2dt

1

Ф (0 dt,

где Ф(Х) обозначает рациональную функцию. Например,

dx
sin х

и следовательно,

d к
sin х

Интеграл

----приводится к предыдущему подстановкою х =—---
COS X

это дает:

dx
cos х

In

Предыдущий способ имеет то преимущество, что он вполне общий,
но часто можно найти такие замены переменных, которые ведут к цели
гораздо скорее. Так, если функция /?(sinx, cosx) имеет период тг, то
она равна рациональной функции от tg х, F(tgx), и, приняв tgx = £
за новое переменное, получим:

F(t) dt

1 4-t2 '

Пусть, например, требуется вычислить неопределенный интеграл

dx

A cos2 х -ф- В sin х cos х -ф- С sin2 х -ф- D

где А, В, С, D — произвольные постоянные. Функция под знаком инте-
грала имеет период тг, и, полагая tgx = t, получим:

,	1	t „ i2

cos2x = r-r- , sinxcosx^—р— , sin2x =	.	,

I -ф- ti	I —1 -ф- r2
и рассматриваемый интеграл обращается в

С	dt

J АBtCt2D ф-/ф'

Вид начальной функции зависит от характера корней знаменателя.
Предполагая последовательно три из четырех коэфициептов равными
нулю, получим формулы:

f dx	f dt , ,	, Г dx

\—s—~tgx, \ —-----------= In (tgx), l —-—=— ctgx.

J -<> 2 x	J sin x cos x	J sm2x

Если подинтегральная функция имеет вид АД мп x) cos.г или A?(cosx) sinx,
то замена переменного очевидна; в первом случае должно положить
sinx=f, а в> втором cosx=^.

Прежде чем прилагать общий метод, иногда бывает выгоднее упро-
стить подинтсгральную функцию соответствующею заменою перемен-
ного. Рассмотрим, например, интеграл

г_______

j a cos х -ф- b sin х ф- с ’

где а, Ь, с — какие-нибудь постоянные. Определим положительное число р
и угол (р соотношениями:

a=-pcostp, b~ psintp,
о гкуда

г — г',«	а		Ъ

р = у а- 4- о2 , cos д — - —	  , sin ср = —  - — ;

И а2 £>2	J/ а* ф- 6-

следовательно, данный интеграл можно представить в виде'
I dx	С dy

J р cos (х-д) ф- с J р cos у -ф- с ’

где х — q=y. Если мы применим теперь общий метод, полагая
у

tg — t, то предыдущий интеграл обратится в

1 2dt

J р + сф-(с —р)Г2

Вычисление легко можно довести до конца, и мы получим две раз-
личных начальных функции в зависимости от знака выражения

р2 — с2 = а2 ф- Ь2 — с2.

Интеграл

dx

приводится к предыдущему. Положим для краткости, что

и ~ a cos х ф- b sin х ф- с,
и определим три постоянных X, ц, v таким образом, чтобы было тож-
iccTiicii но:

т cos х -L п sin х р = \и р -j- v.

Для этого нужно решить три уравнения:

п - ~kb — <1а,

из которых два первых дают X и g. При
рассматриваемый интеграл обращается в

Г, I du	(

\ --------------dx = \х -4- и. 1п и v '

1 и	1	1

таком выборе постоянных

Пример. Вычислим определенный интеграл

Рассматривая сначала неопределенный интеграл, получим, полагая

последо -

•A-	j	.	~ / х г с*

вательно tn	и £ = и J/ р-- :

dx

1 + е cos х

___________df __	2 Г du

1 + е + (1 — е) £2	]/ 1 - e'i J 1 ф и-

Следовательно, неопределенный интеграл равен:

х

2

При изменении л: от 0 до

возрастает от 0 до фоо, и

arc tg

d 

d г

) 1 + е cos х ’
о

изменяется от 0 до ; поэтому искомый определенный интеграл равен ^ , Г'_-_ .

Формулы приведения. При вычислении некоторых классов интегра-
лов можно также пользоваться формулами приведения. Например, фор-
мула производной от tg"-1x может быть представлена в виде:

d

х) = (п- l)tgn~2x(l -Ltg2x);

отсюда имеем:

tg""1 к
n— I

tg" xdx =

tg"-2x</r.
Здесь показатель при tgx под знаком интеграла уменьшился на две
единицы. Поступая таким же образом далее, мы придем к одному из
двух интегралов:

\dx---x, ^tgxo?x =— In (cosx).

Такая же формула приведения существует и для интегралов ctg" х dx,

С	ctsn ~ 1 X С

I Ctg"x(Zx ---------j------I ctg"~2xo?x.

Рассмотрим более общий интеграл

sin"' х cosnxdx,

где т и п — два каких-нибудь целых положительных или отрицатель-
ных числа. Если одно из этих чисел нечетное, то удобно воспользо-
ваться одною из вышеуказанных замен переменного. Если, например,
п = 2р-\-\, то, полагая sinx = /, мы придем к вычислению инте-
грала —tz)p dt. Поэтому-ограничимся тем случаем, когда т и п
оба четные, т. е. интегралами вида:

/,я п —- \ sin2wx cos2"x dx.

Этот интеграл можно представить в виде:

Im п = ^sin2m~I х cos2" х sin xdx;

рассматривая cos2"x sin xdx как диференциал от	j-Ц cos‘4" + 1 x и ин-

тегрируя по частям, получим:

С()$2Л+1у*	--- 1 С

Im п-~— sin2m-1x yr—J—j------1- ——-j— \ sin2"'~2 xcos2" x (1— sin2x)</x,

'	2 । 1	2 /2- I 1 )

или

sin2'"~1xcos2"+1x . 2m—1

m’n	2(m-}-n)	‘ 2(т-[-п)

Эта формула позволяет уменьшить первый
второго. Если т отрицательно, то, решая
, и заменяя т через 1 —т, получим

показатель т, не уменьшая
уравнение (А) относительно
аналогичную формулу:

sin1~2/"xcos2n + 1x ! 2(п—-zn-'-l)

/-'r’n==	1 — 2т 1 Г—2т ' 1

Такие же формулы мы имеем и для понижения показателя при cosx.

sjn2m + l х COS2"-1X 2zz- 1 J

2(m-\-ri)	*	/z) w-"~1

sin2m+ixcosi-2«x	2 (m 4- 1 — ri)

1 --2n 1	1 — 2zz m-

(C)

(D)
Применяя эти формулы должное число раз, мы можем привести каж-
дое из чисел т и п к нулю. Мы не могли бы довести преобразование
до конца по этим формулам только в том случае, если бы мы пришли
к интегралу п, в котором	0, т. е. к одному из интегралов,

для которых формула приведения была выведена в начале этого па-
раграфа.

Формула Уэллиса. Для приведения интегралов, подобных предыдущим, су-
ществуют также формулы и независящие от того, будут ли т и п четными или
нечетными.

Вычислим, например, определенный интеграл

Г

!,п — sin™ xdx,
о

где т — целое положительное число. Интегрируя по частям, получим:

2	.	2

sin™- 'х sin х dx - — [cos х sin™- '.v]J + (m — 1) j sin™-'- cos2xrfx;

о	о

так как па обоих пределах cosxsin™->x обращается в нуль, то

У

1т =- (m — 1) sin™--x (1 - sin2 л) dx (т — 1) fm).
о

Отсюда имеем рекуррентную формулу:

—(Е)

К

Продолжая таким образом, мы придем при т четном к интегралу /() 7 ту-;I при/zz
нечетном к интегралу Рассмотрим первый случай, m ~ 2р; полагая в фор-
муле (Е) последовательно т = 2, 4, 6, ..., 2р, получим:

Г __ 1 Г Г __ 3 Г	Г ___	1 г

1-2 —-2 ‘в.	h--^2...hp—	Ър-2 ,

умножая почленно все эти равенства, найдем:

_ 1-3-5... (2р — 1) я

'2Р2-4-6. .. 2р 2 ‘

Точно так же будем иметь:

_	2-4-6...2р

2р + 1~ 1.3.5 ... (2р4- 1) ‘

Отсюда можно вывести любопытную формулу, данную Уэллисом (Wallis). Ясно,
что интеграл 1т уменьшается с возрастанием т, так KaKsin™ + *x меньше, чем sin™.t;
поэтому мы имеем:

1?ра 1 <.	< 4p-i-

Заменяя Лр+1,/?р, Iip-i их предыдущими значениями и полагая для краткости
_ 2 2 4 4 2л- -2 2л

hP~ Г 3 ‘ 3 ‘ 5 ‘ ‘ 2р — Г 2р — Г
получим два новых неравенства:

Н > — > Н —~Р—
Р^ 2 Р‘2р-у Г

Таким образом при неограниченном возрастании р отношениеимеет пре-
2НР

л

делом единицу, т. е. число -% есть предел произведения пр при неограниченном
возрастании числа множителей. Закон составления множителей этого произве-
дения очевиден.

Интегралы cos (ах b) cos (а'х Ь') ... dx. Рассмотрим произведе-
ние некоторого числа множителей вида cos (ах Ь), где а и b — постоян-
ные, причем один и тот же множитель может входит в произведение
несколько раз. Формула

cos (и 4- v} , cos(«— ц)
cos и cos v =---------- Ч-----~2----

позволяет заменить произведение двух множителей этого вида суммою
двух косинусов линейных функций от х; следовательно, произведение
из п множителей заменится суммою двух произведений из (п — 1) мно-
жителей. Применяя эту формулу достаточное число раз, мы заменим
данное произведение суммою вида X //cos (Ах -4- В), каждый член ко-
торой интегрируется непосредственно. Если А не равно нулю, то

Г	s>n(/4x4-B)

1 cos (Ах -j- В) dx —----д-------г с >

если же Л = 0, то cos В dx = х cos В С. '

В частности, это преобразование применимо к произведениям вида
cos'” х sin" х,

где т и п—два целых положительных числа. В самом деле, это про-
изведение можно представить в виде:

I тг \
cos'"хcos” I —---х I;

применяя предыдущий прием, мы заменим последнее произведение
суммою синусов и косинусов кра/ных дуг, и интегрирование выполнится
непосредственно.

Пусть, например, требуется вычислить площадь кривой

Положим л = асоо38, _y = Z»sin30; мы получим всю кривую, изменяя 0
от 0 до 2тт.

Формула для площади замкнутой кривой

§1=	—ydx
обращается в этом случае в

2-

?! = sin2 6 cos2 9 d6 ;

о

но

(sin 6 соз 0)" = sin2 26 =-^ (1 — соз 49),

и следовательно, искомая площадь §1 равна:

sin 46 I2”-

__ЗаЬ

Д“Тб~

ЗпаЬ

8

В частности, мы имеем следующие интегралы:

4 -о

j sin2 x dx —	( 1 — cos 2x , x  J 2 dX= 1	sin 2x ,	Г'	
		4	1		
^sin3 x dx —	[ 3 sin x — sin 3x ,	3 cosx	, cos Зх	
		€<* x*  J	4	4	1 12	
sin4x dx =	f3 — 4 cos 2x cos 4x	, 3x dx=~	sin 2x	t sin 4x (
	J	8		4	1	32	1
Jcos2x dx =	f14-cos 2x , x .	sin 2x ,	-c,	
	)	2	' aX~'2 1	4	1		
	( 3 cos x -4- cos 3x , I	1	dx=  J	4	3 sin x  4	'	sin 3x  12	c,
^cos4xdx =	ГЗ -1- 4 cos 2x -{- cos 4x	, 3x	. sin2x	( sin 4x !
	!	8	dX— 8	'	4	]	32	1

Относительно этих формул можно отметить один общий закон.
Интегралы

F(x) — sin"x dx и Ф (х) = \cos" х dx
6	и

при п нечетном — периодические и имеют период 2тг; ести же п—чет-
ное, то при возрастании х на 2гг эти интегралы увеличиваются на по-
стоянное положительное количество. Это свойство можно было предвидеть
заранее; в самом, деле, мы имеем:

2гг	2,’ + х

F (х 2тг) = sin"x dx -f- j sini’xdx,
О	2n

или, вследствие периодичности sinx;

2-T	x	2x

F (x 2n) = sin" x dx -|- sin” x dx — F (x) -f- sin"x dx.

0	o"	0,
2Г;

Если п — четное, то интеграл \sin"x(/x есть, очевидно, положи-
о

тельное количество; если же п — нечетное, то этот интеграл равен
нулю, как это следует из соотношения sin (хтг) =— sinx.

Примечание. Вследствие большого разнообразия преобразований, допу-
скаемых тригонометрическими функциями, последними часто бывает удобно поль-

„	Г dx

зоваться при вычислении интегралов. Так, возвратимся к интегралу I—-$; но-

J(1+a2)2

лагая в нем x = tg<p, мы обратим его в cos<p«Z<p = sin <р 4- С и, возвращаясь к пе-
ременному х, придем к найденной ранее (§ 97) формуле:

f dx _ х

1	2 1/1 4-х2

J(14-x2)2 v

Интегралы R (х) ewxdx. Рассмотрим теперь интегралы вида:

\ R (x)e'axdx,

где /?(х) — рациональная функция от х. Предположим, что мы раз-
ложили функцию R(x), как мы это уже неоднократно делали:

где Е(х), Аа , А2, ...у Ар, А,, .. . , Хр— многочлены, и каждый
многочлен Xi—-первый со своею производною. Данный интеграл будет
равен интегралу (х) emxdx, сложенному с суммою интегралов вида:

Ae">xdx

J Xя ’

Первый интеграл можно вычислить последовательными интегриро-
dx

ваниями по частям (§ 84); что же касается интегралов 1———, то при п
большем единицы к ним можно применить формулу приведения. В са-
мом деле, так как многочлен X—первый со своею производною, то
можно найти два таких многочлена X, ц, чтобы было тождественно
А =ХЛг-|- цА’; отсюда мы получим:

С A e'“xdx С 'i£wxdx , Г рХ'е",х

J хп = J хп~1 ~~J ХП х'

Затем интегрирование по частям дает:

X'dx

и — I Ха~ 3 1 п— 1 1 Хп^1
и, соединяя обе формулы, мы видим, что вычисление рассматриваемого
интеграла приведено к вычислению интеграла того же вида, но в ко-
тором показатель п уменьшен на единицу. Поступая, далее, таким же
образом, мы придем к интегралу:

Г Вешх J

в котором всегда можно предположить, что многочлен В — первый с мно-
гочленом X и что степень многочлена В ниже степени многочлена X.
К полученному интегралу этот способ приведения более не применим;
но если корни уравнения Х=0 известны, то этот интеграл можно при-
вести только к одной новой трансцендентной функции. Предположим
для определенности, что все корни многочлена X действительны; в этом
случае интеграл разлагается на несколько интегралов вида:

Г аеи>х

I-----dx.

J х —а

Отбрасывая постоянный множитель, мы можем привести эки интеграл
посредством подстановок

к одному из двух следующих видов'

du

In и

Последний интеграл

представляет новую трансцендентную функ-

цию, называемую интегральным логарифмом.

Разные интегралы. Рассмотрим еще интегралы

\e"x/(sinx, cosx)</x,

где f—целая функция от sinx и cosx. Каждый член этого интеграла
имеет вид:

\ еахsinm х cosnxdx,

где т и п — целые положительные числа. На основании сделанных выше
замечаний произведение sinmxcosrlx может быть заменено суммой си-
нусов и косинусов кратных дуг, и, таким образом, нам нужно рас-
смотреть только два следующих типа интегралов:

ertxcos bx dx,

eaxsin bxdx.
Интегрируя эти интегралы по частям, получим:

С , , <"JcsinZ>x а Г ,

\ c"xcos bx ах =-------;--------I еах sin bx ах,

J	b J

С , , e°xcos bx . a f

I ear sm bx dx =--------------------1 с cos bx dx.

J	<2 b J

Отсюда имеем:

С , , eax(a cos bx 4- b sin bx) \

I e"xcos bx dx = —5Tg-----------------

I	a2 -4- b2	I

y.	1	>	<12;

I ,	, eax(a sin bx — b cos bx) I

\ eaxsin bx dx-— --------:—----------

J	a2 -j- b2	>

Из интегралов, приводимых к предыдущим, мы укажем еще на сле-
дующие:

^/(lin х) xmdx, ^/(arcsinx) dx,
^/(x)arcsinxrfx, J/(x)arctgxdx,

где f обозначает целую рациональную функцию. Если в двух первых
примем за новое переменное 1пх и arcsinx, а в двух последних при-
меним формулу интегрирования по частям, рассматривая f(x)dx как
дифереициал от некоторого многочлена F(x), то придем к уже рас-
смотренным видам интегралов.

П. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

104.	Общие основания. Если начальная функция от функции f(x}
неизвестна, то прибегают к методам, дающим приближенное значение
определенного интеграла

ь

f(x) dx.

а

Теорема о среднем значении дает две границы, между которыми
заключается этот интеграл; аналогичным приемом можно найти бес-
численное множество других границ. Предположим, что при изменении
х от а до b мы всегда имеем:

ср(х) </(х)< <р (х);

очевидно, что мы будем иметь также1

ь	ь	ь

ср (х) dx <Z ')f(x) dx <C ф (x) dx.

a	a	'a
Если за функции <р (х) и ф(х) мы примем производные от двух из-
вестных функций, то этим способом мы получим два предела, между
которыми заключается значение рассматриваемого интеграла. Возьмем,
например, интеграл

 dx

Мы имеем 1 — х4 = j/” 1 — х2jZ1 4-х2. При изменении х от 0 до 1,
j/ 1 х2 содержится между 1 и j/2; следовательно, искомый интеграл
заключается между двумя интегралами:

+ 1 dx

\ Тт^Т2’

1 V dx
У 2

т. е между и ---------. Но можно найти два более тесных

2	2}/ 2

— —	х2

заметив, что (1 + х2) 2 больше 1---------— , как это видно из

предела,

разложе-

ния (1 —zz) 2 по формуле Тейлора, ограниченной двумя первыми
членами Таким образом интеграл / будет больше

/1 — х2

последний интеграл равен - (см. § 97), и следовательно, / заклю-

Зтт	п

чается между — и - - -
о	2

Ясно, что таким образом получаются только общие указания отно-
сительно точного значения интеграла. Чтобы иметь более близкие зна-
чения, должно разбить промежуток (а, Ь) на более мелкие промежутки
и приложить к каждому из них формулу среднего значения. Предполо-
жим, например, что /(х) от а до b постоянно возрастает. Разобьем
промежуток (а, Ь) на п равных промежутков (Ь— a = nh). По самому
ь

определению интеграла, \f(x}dx заключается между двумя суммами
а

s —h {f(a)	^) + • • •	(п 1)	} >

S = h {f (a -j- h) -ф- f (а 2/г)	... ф- nh) }

Если мы возьмем для значения интеграла полусумму

S-4-s

2

то допущен-

ная погрешность будет, очевидно, меньше, Чем-S' — $ —-- |/(6) —f (“)I•
Значение —~— можно представить в виде:

|/(а)4-/(а-фй)

1	2

/(а + й)+/(а + 2/1) ,

/[« + («

2

1)й] -4-У(а —{— nh}

h

Так как у {f(a -|- ih} + (i -j- 1) h\} представляет площадь тра-
пеции, имеющей высоту h, а основания f(a-]-ih) и f[a (/1) й],
то мы видим, что метод равносилен замене площади кривой y=f(x),
заключающейся между двумя соседними ординатами, площадью прямо-
линейной трапеции, имеющей основаниями эти две ординаты. Этот
способ удобен, когда не требуется большой точности.

С dx

Возьмем, например, интеграл ) — —
для приближенного значения интеграла:

4 \ 2 1 17 ' 5 125 '

. Полагая и = 4, мы получим

= 0,78279 . . . ,

и погрешность будет меньше ^$ = 0,0625. Отсюда мы можем получить
приближенное значение л = 3,1311... , точное до первого десятичного
знака.

Если при возрастании х от а до b функция /(х) не изменяется
в одном и том же направлении, то мы разобьем этот промежуток на
несколько других, для которых это условие удовлетворяется.

105.	Интерполирование. Рассмотрим другой метод вычисления ин-
ft

теграла \f(x)dx. Проведем через п —1 точек Во, Вг, ... , Вп, взятых
а

на кривой y=f(x) между двумя точками с абсциссами а и Ь, пара-
болическую кривую /г-го порядка

у —. <р (х) — а0	а,х	апхп

и примем за приближенное значение искомого интеграла значение
ь

определенного интеграла \ <р(х) dx, которое легко вычислить.
а

Пусть будут (х0, _у0), (х,, j/j), ... , (хп,уп) координаты zz ]-1 то-
чек Во, Вг, .. . , Вп. По формуле интерполирования Лагранжа получим
для многочлена <р(х) выражение:

<р (х) =у0Х0 -rJ'jA’j + VLXt -J- . •. ~\~УпХ„,

где коэфициент Xt при _у.:

х== (х —хР) .,, (х —xZjI)(x —х/+,) ,.. (х — х„)
'  (xz —Хо) ... (xz —хг_1)(х —х/+1) . . . (X/ —х„)’
есть многочлен zz-й степени по х, обращающийся в нуль при данных
значениях х0, х}, ... , хп, кроме х = х, и равный единице при x=xz.
Таким образом мы имеем:

b	i—n	Ь

j ср (х) dx = У \ Х^х.

а	i-О	а

Числа xz имеют вид:

ха = а-\-%(Ь - . а), X, = « + 0, (Ь — а), . . . , хп = a -J- <)п (Ь — а),

где 0о, 0,, ... , 0п суть числа, возрастающие от 0 до 1. Сделав замену
переменного х — а-\-(Ь — a)t, мы получим для приближенного значе-
ния интеграла выражение:

(Ь~а) (К0У0 + К,У1 + ... + КпУ„),	(13)

где

‘ -J (fJ._o0)...((J._6._1)(6z_f)z+1)...(6z_(lzi) •

Если при всяком виде функции /(х) мы будем разбивать промежу-
ток (а, Ь) на более мелкие промежутки, находящиеся всегда в одном
и том же отношении, то числа 60, 07, ... , 0п, а следовательно, и коэфи-
циенты ATZ не будут зависеть от вида функции /(х). После того как
коэфициенты А7 будут вычислены раз навсегда, нам останется только
заменять ... , уп в формуле (13) их значениями.

Если кривая y=f(x), площадь которой требуется определить, дана
графически, то всего удобнее разбивать промежуток (а, Ь) на равные
части, и тогда нужно будет только измерить на этой кривой равно-
отстоящие ординаты. Если мы разбиваем на две части, то должно
положить 0о = О, 0^ = —, 02 = 1; это дает для приближенного значе-
ния интеграла:

/==^^6^(Уо + 4л+л)-

Подобным же образом при zz = 3 имеем:

7 = (Уо + 3Ут + Зу2 + Уз) >

и при лг = 4-:

/= Ь~=^ (?У0 + 32Л + 12Л + З2у3 + 7у4).

Предыдущий метод принадлежит Котсу (Cotes). Метод Симпсона
(Simpson) несколько иной. Предположим, что промежуток (а, Ь) разбит
на 2п равных частей; пусть будут у0, У1, у2, ..., у.)п соответствующие
ординаты в точках деления. Прилагая первую формулу Котса к пло-
щади, заключающейся между двумя ординатами с последовательными
четными указателями, каковы _у0 и _у2, _у2 и у4 и т. д., мы имеем для
искомой площади выражение:

1 - Qn~ ((-Vo 4~ 4У1 +Л) 4“ (Уг + 4Уз + • • • +	-2 Н"

+ 4Л«-1

сделав приведения, получим формулу Симпсона-

I= ’ [л+Ли + 2 (л 4~Л +   • -^гУ^-з) +

+4(л+л-Ь... Ч-Лл-Л-

106.	Метод Гаусса. В методе Гаусса (Gauss) для количеств берутся
другие значения; они получаются из следующих соображений.

Допустим, что можно найти такие многочлены все более и более
высоких степеней, которые в промежутке (я, Ь) все менее и менее
различались бы от функции /(х), которую требуется интегрировать.
Положим, например,

/4) -аофарсф .. .

причем при всех значениях х, заключающихся между а и Ь, остаток
/?2„(х) меньше некоторого определенного числа ел *. Вообще мы не знаем
коэфициентов а;, но, как увидим ниже, эти коэфициенты не войдут
в вычисления. Пусть будут х0, х,,... , х , значения переменного х,
заключающиеся между а и Ь, и пусть будет <р (х) многочлен (п-—1)-й
щепени, принимающий при значениях х0, х,, х2, . .. , хл_, те же зна-
чения, как и функция /(х). Формула интерполирования Лагранжа показы-
вает, что этот многочлен можно представить в виде

2Л - 1

(х) = У атит (х) + R2n (х0) Фо (х) + .. . -ф- R,n (х„ Чу, (х),
т —0

где и Ф/;— многочлены не выше (/г—1)-й степени. Очевидно, что
многочлен ут зависит только от выбранных значений х0, х,, .. , хп_1.
С другой стороны, многочлен ут (х) должен принимать при х = -»0,
х = Хр ... , х = хл_1 те же значения, как и хт. В самом деле, пред-
положим, что все коэфициенты ctz, кроме ит, равны нулю, равно как
и многочлен R2n (х); тогда /(х) обратится в amxm, и <р(х) в ат<рст(х).
Отсюда следует, что разность хт — ®т(х) должна делиться на про-
изведение

Рп (х) = (х — Хо) (X —— X,) ... (X —x„_,),

и при ту::п мы должны иметь хт — Чт(х) = PnQm_n(x), где Qm_n(x)
есть многочлен (/и— л)-й степени; если же т sS п—1, то должно

* На основании теоремы Вейерштрасса, это есть обшее свойство функций,
непрерывных в промежутке (а, Ь] (см. гл. IX, § 197).
быть хт —	(х) — 0. Поэтому погрешность от замены

й	й

^f(x)dx интегралом (х) dx будет равна:
в	а

2n—\b	b

У J К” — (*)] dx + J R2n (X) dx —
/и=0 a	a

n — 1	b

— У	{X)dx.

z=0	a

интеграла

(14)

Члены, зависящие от коэфициентов а0, аг ... , ап_2, тождественно равны
нулю, и мы видим, что погрешность зависит исключительно от коэфи-
циентов ап, ая+1, ... , tz2n_2 и от остатка /?2л(х). Вообще этот оста-
ток R2n очень мал сравнительно с коэфициентами ап,~ап+л, ... , а2л_1;
поэтому можно надеяться получить большую точность, если можно
будет взять х0, х2, ... , хл_1 таким образом, чтобы члены, зависящие
от а , ял+1, -.. , Ягя-р были также равны нулю. Для этого необходимо
и достаточно, чтобы п интегралов

b	b	ь

РА dx, \ Рп Qi dx, . . . , \ PnQn-i dx,

а	а	а

где Qt—многочлен i-й степени, были равны нулю. Выше мы видели
(§ 86), что этим условиям мы можем удовлетворить, взяв

dn

рп^^А~аГ(х~ьг\-	(15)

таким образом нужно только за х0, х,, . . , хл1 взять п корней
уравнения Рл-=0, которые, действительно, все заключаются между а и Ь.

Если а = —1, b — -)- 1, то х0, Xj, ... , хл1 будут корнями много-
члена Лежандра Хл=0; все остальные случаи могут быть приведены
b -ф- а । Ь — а

к этому случаю подстановкою х = — --1---%—t. В „Traite de Calcul

integral Бертрана (стр. 34-2) даны значения этих корней, а также и коэфи-
циенты формулы (13), до п==5 с 7 и 8 десятичными знаками.

Погрешность в методе Гаусса равна:

ь	я -1	ь

\P2n(x}dx— У /?2ц(х^) \ Ф/(л) д!х,	(16)

a	i - j

причем функции Ф, (х) не зависят от функции, интеграл которой
ищется. Чтобы иметь предел погрешности, достаточно знать предел
/?2л (х), т. е. знать, с каким приближением в промежутке (а, Ь} функ-
ция /(х) может быть представлена многочленом (2/г— 1)-й степени,
причем нет надобности знать самый многочлен.

Чтобы найти числовое значение определенного интеграла, можно
также разложить функцию /(х) в ряд и затем интегрировать этот ряд
258 ГЛАВА V. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ § 106-106а
почленно. Впоследствии (гл. VIII) мы увидим, при каких условиях этот
прием допустим и какое приближение он дает.

106а. Планиметр Амслера. Существует много приборов, придуманных для
измерения площадей плоских кривых *. Наиболее остроумный из них — это
планиметр Амслера (Amsler); его теория представляет интересное приложение
свойств криволинейных интегралов.

Рассмотрим прямолинейный стержень, могущий двигаться в некоторой
плоскости; пусть будут 31(, 31а площади замкнутых кривых, описываемые двумя
точками Alt А2 этого стержня, когда, совершив замкнутый путь, он приходит
в свое начальное положение. Пусть будут (х,, _у(), (х2, _у2) прямоугольные коор-
динаты точек At, А2, / — расстояние между этими двумя точками, и в — угол,
образуемый направлением А{А2 с осью Ох. Чтобы представить движение стержня,
нужно предположить, что х,, yt, в суть периодические функции некоторого не-
зависимого переменного t, принимающие прежние значения, когда t изменяется
на Т. Мы имеем х2 — xt + I cos в, j/2 = yt -|- I sin в, и следовательно,

х2 dyi — у% dx2 = х, dyt — yt dx{ + ft dO +
+ £(cos 0 dy{ — sin 0 dxt -|- x{ cos -|- yt sin в dO).

Обозначая через 3t,, 3l2 площади кривых, описанных точками Ait А2, и соблюдая
при вычислении этих площадей указанные выше (§ 93) условия, имеем:

511 = у J-П dyt~ytdxt, 3l2= * J-r2dy2—j/2rfx2;

следовательно, интегрируя обе части предыдущего равенства, получим:

312 = J rfO +	| (cos в dyt — sin в dxt) -ф- j (х, cos в + yt sin в) rfflj ,

где все интегралы взяты между пределами, соответствующими пределам fo и f0 -|- Т
для переменного t. Ясно, что rfO = 2Аг., где К есть целое число, зависящее
от того, как движется прямая. С другой стороны, интегрируя по частям, имеем:

xt cos 0 rfO = xt sin — \ sin в dx{,

\ sin 0 rffj = — yl cos 0 + cos в dyt.
О	XJ

Но при возрастании t от f0 до -f0 + T, xt sin в и yt cos в принимают прежние
значения, и потому мы можем написать:

5(а =	_|_ /fjt/2 _|_у ( (cos a dyt — sin в dx,).

Пусть будет s длина дуги кривой, описываемой точкою А{ (черт. 15с), отсчи-
тываемая от какой-нибудь начальной точки в определенном направлении; обо-
значим через а угол, образуемый с Ох положительным направлением касательной
в конце дуги; тогда

cos в dyt — sin в dxt = (sin a cos в — sin в cos a) ds — sin V ds,

где V—угол между положительным направлением стержня и направлением
касательной, отсчитываемый в ту сторону, как это принято в тригонометрии.
Предыдущую формулу можно еще представить в виде:

312 = 31, + №/-' + sin Vds.	(А)

* Описание этих приборов можно найти в сочинении Абданк-Абакановнч
(Abdank-Abakanowiez), Les int£graphes, la courbe infggrale et ses applications“(1886).
11.VCTI» будет А3 третья точка на прямой на расстоянии /' от А,; для площади
кривой, описываемой точкой А3, мы таким же образом найдем:

З(3 =	-|- Лд / 2 -f- \ sin Е ds.	(В )

Исключая из обеих формул неизвестный интеграл \ s п V ds, мы получим со-
отношение:

Г 312 - /Ж8 = (/' — Г) 31, + Кт. W (I - /'),
которому можно дать вид:

31, (23) + 3(2 (3!) 4- 31, (12) + Кг. (12) (23) (31) = 0,	(С)

где (ik) обозначает расстояние между точками Аъ Ак ri, fe-=l, 2, 3), взятое с со-
ответствующим знаком. Как приложение этой формулы рассмотрим прямую А,А2
длины a -f- Ь, концы которой Л, и Л2 описывают одну и ту же замкнутую вы-
пуклую кривую С; точка Л3, делящая Л,Л2 на два отрезка Л,Л3 = а, Л3Л2 = Ь,
также опишет замкнутую кривую С, которая будет лежать внутри С. В этом
случае мы имеем:

3t2 = 3(„ (12) —a-f-ft, (23)-=— b, (31) = —а, К = 1,

и, разделив формулу (40; на a -f- b, получим:

31, —З13 = ™£.

31, — ?(з представляет площадь, заклдачающуюся между двумя кривыми С, С,
и мы видим, что эта площадь не зависит от формы кривой С. Эта теорема при-
надлежит Гольдичу (Holditch).

Вместо того чтобы исключать из формул (А) и (В) sin V ds, исключим из
них количество 31,; мы получим:

3(3 = 312 + ^(/'2-/2 + Z) \ sin V ds.	(D)

и

Планиметр Амслера представляет приложение этой последней формулы. Пусть
будет AtA^Ag твердый стержень, сочлененный в Л2 с другим стержнем ОЛ2.
Если, оставляя неподвижною точку О, мы будем описывать концом А3, снабжен-
ным штифтом, контур Cj искомой площади, то точка А2 в зависимости от харак-
тера перемещения точки А3 опишет или дугу круга, или целую окружность.

Количества 3(2, К I, I' всегда известны, и, чтобы найти искомую площадь, остается
иайти интеграл sin V ds. Этот интеграл взят вдоль кривой С,, описанной кон-
цом стержня А,.' На этом конце помещен круглый цилиндр с делениями, ось
которого совпадает с осью стержня /(Л3, и который может вращаться вокруг
этой осн.

Рассмотрим бесконечно малое перемещение стержня, переводящее A^Ag
в положение At А2А'3. Пусть будет Q точка пересечения прямых А{А3 и А, А3.
опишем из точки Q, как из центра, дугу круга Л, а и опустим из точки Л] на
Л(Л2 перпендикуляр АгР. Мы можем предположить, что при переходе из пер-
вого положения во второе стержень сначала скользит вдоль самого себя так, что
точка Л( приходит в а. При этом движении цилиндр скользит в плоскости вдоль
образующей, и его вращение равно нулю. Если затем мы повернем стержень
вокруг Q так, чтобы точка а перешла в Лр то вращение цилиндра будет изме-

,	аЛ, Л. Р	!

ряться дугою аЛ]. Но отношения — —. и ---1---г при приближении дуги AtA,

ArP arcAjAj

к нулю стремятся соответственно к 1 и к sin К Поэтому мы можем написать
аЛ1==Д« (sin V-Д- е), где е бесконечно мало вместе с As. Таким образом все вра-
щение цилиндра пропорционально пределу суммы SAs (sin V Д- г), т. е. пропор-
ционально интегралу sin Vds. Поэтому нужно только измерить это вращение
и мы получим искомую площадь.

107. Интегрирование рядов. Пусть будет yj, /2, ... , fn последователь-
ность непрерывных функций, равномерно стремящаяся к f(x) в интер-
вале (а, 6). Мы имеем (§ 29)

/(*)=Л(*) + 5П(Х),

(17)

где абсолютная величина дп(х) остается меньше произвольно выбран-
ного положительного числа е во всем интервале (а, Ь), если только
индекс п	превосходит	или,	по	меньшей	мере,	равен	целому	числу	I'd,

значение	которого	зависит	от	числа	е.	Из	формулы	(17)	мы	находим-

ь	ь	ь

'\f(x)dx=\fn {x}dx-\-\tn(x)dx.	(18)

а	а	а

Ь

Но интеграл \bn{x}dx по абсолютной величине меньше е | b — а|, если
а

только n^sN. Следовательно, этот интеграл стремится к нулю, когда п
неограниченно возрастает, и мы имеем
ь	ь

/(%) dx = lim \fn{x) dx,
a	a

ИЛИ



dx~ lim
n = O0

b

5 fn (X) dx
a

(19)

таким образом мы можем переместить знак интеграла и знак lim х

11 С большей общностью, если интегрируемые функции /л(х), ограниченные
в своей совокупности, т. е. для любого х и п, имеют интегрируемый предел f (х),
то интеграл от fn(x) имеет пределом интеграл от f{x) (Lebesgue, Lefons sur
I’ititegration, etc., стр. 114). Частный случай этой теоремы, когда f и fn непре-
рывны, был уже доказан ранее Осгудом (Osgood) {.American Journal of Ma-
thematics* f 1897).
Если функция fn(x) неравномерно стремится к/(х), то равенство (19)
не всегда справедливо. Возьмем, например,

/я(х)=лхе-л-|;2, а = 0, Ь=1.

Мы имеем здесь /(х) = lim [пхе'пх2] = 0; левая часть формулы (19)
« = оо

равна нулю, между тем, как правая имеет значение

/ 1 \

/ г	\	/ е-лх2\1

Ilm I пхе~пх2 dx | = lim---------I =lim

п-ОО I J	/ п = О©\	/0

\ о	/

1 —

__ 1

~~2‘

2

Применим предшествующую теорему к сумме ряда с непрерывными
членами, равномерно сходящегося в интервале (а, Ь):

/(х) = и0 (х) + ... + ип (х) + ип+1 (х) -|-

(20)

мы имеем:

где Sn(x)
начиная с

7(х) = 3„(х) + ₽п(х),

есть сумма л-!-1 первых членов, a R„(x) — сумма ряда,
мп + 1. Утверждение, что ряд равномерно сходится в интер-

вале (а, Ь), эквивалентно утверждению, что Sn(x) равномерно стремится
к f(x) в этом интервале. Так как Sn есть также непрерывная функция,
то мы, следовательно, имеем:

ь

rb

ь

\f{x) dx - ~- lim \u0(x)dx-\- ... un(x)dx ,

а

л = ОО

(21)

а

ь
равенство, выражающее, что ряд, общий член которого есть \^undx,
Ь	а

сходится и имеет суммой \f(x)dx. Этот результат выражают кратко,
а

говоря, что равномерно сходящийся ряд с непрерывными членами
можно интегрировать почленно.

Точно так же ряд можно диференцировать почленно, если только
ряд из производных сходится равномерно.

Пусть

/(x) = w0(*H-“i (х)+ ... +«„(х)+ ...

ряд, сходящийся в интервале (а, Ь); допустим, что ряд, составленный
из производных, равномерно сходится в том же интервале, и обозна-
чим через (х) сумму этого нового ряда:

щ/дО----	I d_U\ I

(Х)^ дХ Г dx ‘

dlln
dx

Интегрируя почленно между пределами х0 и х, заключенными
между а и Ь, находим:

<f (х) dx = [и0 (х) — «о (*о) 1 + К (х) — «1 (хо)] + • • • ,
г. е.

X

dx=f(x}~ f(x0),
’*0

(22)

соотношение, показывающее, что <р(х) есть производная функции /(х).

„	du,

В этом доказательстве предполагается, что производные суть
ах

функции непрерывные, — предположение, бесполезное при первом дока-
зательстве * (§ 30).

Примеры. 1. Интеграл J — dx ие может быть выражен посредством ко-
нечного числа элементарных функций. Представим его в следующем виде:

Ге* Cdx , Ге*-1.	.	Ге*-1

— dx = lnx+J -^-dx.

Для последнего интеграла можно найти разложение, применимое при всяком
значении переменного х. В самом деле, мы имеем:

X , X*

е* — 1

х«-<

1-2-3 ... п

Как бы велико ни было R, последний ряд — равномерно сходящийся в про-
межутке от — R до Д- R, так как абсолютные значения его членов меньше соот-
ветствующих членов сходящегося ряда

R

Ь2

/?«-<

1-2 ... п

* Теорему 1 § 96, относящуюся к диференцированию под знаком интшрала,
можно также вывести из формулы (51) того же Параграфа. Предположим, что
функции f(x, а) и /а(с, а) непрерывны при х>-а, aa^a^alt что оба интегралг

4 ОО	+ ОО

Д (Д = \ /(х, Д dx и Ф (я)	(х, о) dx

а	а

имеют смысл и, наконец, что последний равномерно, сходится в интервале (а0, аД
Если а заключено между а0 и а(, то мы имеем, на основании формулы (51),

я 4 ОО	4 ОО а

\ du \ 4 (х, и) dx = \ dx j f'u (х, и) dw,
а0 а	а а0

это соотношение может быть написано еще следующим образом

я	4 ОО	+ 00

Ф (п) du = \ f (X, я) dx — ( / (X, я0) dx= Г (а) — Р(ав),

а0	а	а

откуда мы выводим равенство’

/'(а) = Ф(а).
Отсюда следует, что ряд, полученный интегрированием:

. х . 1 х2 ,	,1 хп

Л(х) - 1 , Т + у П2 + • • • + ^ l-z... п + •' •

— сходящийся при всяком х и представляет функцию, производная которой
е* — 1

равна ------.

2. Периметр эллипса, большая ось которого равна 2а, а эксцентриситет е, ра-
вен определенному интегралу (§ 102):

л

2

S = 4а \	1 — е- sin2 ? d?.

о

Так как произведение e2 sin2 ? заключается между 0 и е2 < 1, то корень
|/1 —г2sin2? равен сумме ряда, получающегося по формуле бинома:

]/1 — е2 sin2 ? = 1 — у е2 sin2 ? — ei s*n4 ? — • •

1-3-5 ... (2л — 3)

2-4-6 ... 2п

e'in sin271 ? —

Ряд в правой части — равномерно сходящийся, так как по абсолютным зна-
чениям его члены меньше членов ряда, получающегося из данного ряда при
sin ? = 1. Следовательно, мы можем интегрировать полученный ряд почленно и,
замечая, что (§ 103)

2

sin2™ ? d? ==
о

1-3-5 ... (2л —1)

2-4-6 ... 2л

г

~2’

получим:

2

j/r=^HrTd? = ^{i-l,2 -634^-Aee_...
О

L 2-4-6 ... 2п J '

— 1) а2" — ..

Если эксцентриситет е очень мал, то достаточно взять в правой части неболь-
шое число членов, чтобы получить значение интеграла с большим приближением.

Точно так же можно разложить в ряд интеграл

9

\ j/1 —в2 sin2? d?,
b

каков бы ни был верхний предел ?. Мы приведем здесь еще формулу:

ТС

Г d?

J 1/1 — е2 sin2 ?
о

-Jl-|--a4-f- — г2 + ...-f-

2 |	4	64

L 2-4-6...2л 1 I

дающую разложение лежандровт интеграла первого вида.
Ш. РАЗНЫЕ МЕТОДЫ.

108. Приложение формул днфереицироваиия и интегрирования под
знаком интеграла. Формулы § 94 и 95 часто позволяют нам находить
значения некоторых определенных интегралов, которые мы связываем
при этом с другими, известными нам, определенными интегралами. Мы
имеем, например, если а положительно:

С dx 1 . х х

1------= — Arc tg —- ;

J х2 а у а I а
о

применяя формулу (42) (стр. 204) п— 1 раз подряд, мы находим отсюда:

(— l)n-1l - 2. . .(п — 1) Г ——-=—--(—Arctg

J (х2 Д- а)п dan~1\ya Г а)
о

В этом примере мы могли бы получить значение определенного ин-
теграла непосредственно, вычисляя сначала неопределенный интеграл.
В следующем примере это уже не будет так.

Ниже (гл. VI, § 128) будет выведена формула:

+ оо

О

полагая х ~уКа, где а положительно, находим:

+ ОО

\e-^dy==^~a 2;	(23)

б

нетрудно убедиться в том, что все интегралы, которые мы выводим из
этого последовательными диференцированиями по параметру а, сходятся
равномерно, если только а остается больше постоянного числа /г>0.
Из предыдущей формулы мы выводим, следовательно, значения целого
ряда интегралов:

+ ОО

Г	/й --

I у?е -	~ а 2 ,

о

+ 00

J/д 1 2,
б

(24)

+ ОО

С „	1-3-5...(2л—1) Г-------2-^-

у2ле - v’rfy =--------------' а 2	,
и комбинируя их, мы можем вывести бесконечное множество других.
Мы имеем, например;

+оо	+ оо

: fe-<^cos2Pjrfj=C-“^<y[l—	• •+(—‘ ‘

J	J	L 1 &

6	О

+о©	-4-0©

?е-’Л/у — fе~^dy-\- ...

I	I	1 ’ Z

о	б

+<зо

+(- 1)" f • • •

О

Все эти интегралы только что были нами вычислены, и мы имеем:
+оо	__ _	_ з

Г .	,	1 /~тг	(28)2]/ па 2 .

^-">'cos2^rfy = -2l/	+••

О	_

।	1 )Я	(2Е)гл 1-3-5,, ,(2/г—1) -

"•"Г'	’ 1-2-3...2л 2	2"	~г •••>

или, по приведении:

+оо

j e-’j’cos 2JJy dy —
о

(25)

В других случаях вычисляют сначала производную по параметру о г
того интеграла, который желают найти. Пусть, например, дан интеграл

и

По формуле днференцирования под знаком интеграла находим:

di__ In (1а2) !	xdx

da." 1 +а2	' J (1 +ах)(1 -|-х2) ‘

о

Разлагая на простые дроби, имеем:

х _____________	1	/ х а а \

(1 —Р алс) ( IIat-')	1 —а2 \l-j-x2	1 -(- ах)’

и следовательно,

х dx	In (1	и2)

(14-ах)(1+х2) ~ ~ 2(1+а2)

ЬяЬАгс«а-
Таким образом получаем:

di___ а

di 1 -|- а2

и замечая, что при а = 0 функция I равна нулю, мы можем написать^
а	а

TC^Arctgarfa.

Интегрируя первый интеграл по частям, получим окончательно:

I=-^- Arc tg a In (1 —)— а2).

(26)

Формула интегрирования под знаком интеграла позволяет также
иногда вычислять некоторые интегралы.

Рассмотрим, например, функцию ху. Эта функция непрерывна,
когда х изменяется между 0 и 1, а у-—между двумя положительными
числами а и Ь. Следовательно, по общей формуле (44) (§ 95) имеем:

Но

1	ь	ь	1

dx ху dy = dy j ху dx.

0	а	а	О

1

поэтому правая часть равна:

. dy

) У-Н

С другой стороны, мы имеем:

отсюда получаем:

хь — ха.
1п X

1

Г Xй — ха

,) 1п х

'о

rfx==ln

а-\- 1 / ’

(27)

Вообще пусть

ЙР dQ
условию —• = ,

Ъу ЙХ

будут Р(х, у), Q(x, у) функции, удовлетворяющие
и пусть будут х0 , Хц, _у0 , _у3 — некоторые постоян-
ные. По формуле интегрирования под знаком интеграла имеем:

xt	л	л	х,

С.	Г	fdQ

I ах \ — dy = I dy 1 — dx,
.1	J dy	J	<>X

x,	y«	Уо	x,

т. e.
Xt	yt

$ [P (x, yJ — P (x, y0)] dx — j [Q (Xi ,y) — Q (x0, y)] dy.
Xo	So

Из этой формулы Коши вывел значение многих определенных инте-
гралов.

10)	. Вычисление In (1—2а cos х4~ a2) dx. Вот еще пример, в ко-
о

тором определенный интеграл вычисляется при помощи совершенно
особого приема. Интеграл

P(a) = fln (1 —2а cos х a.2) dx
о

имеет конечное значение, если |а| отлично от единицы. Эта функция
Р(а) обладает следующими свойствами:

1.	F{—а) —Р(а). В самом деле, мы имеем:

Р(—а) --In (1 2а cosx-La2) dx,
b

и, изменяя х на тг •—у, получим:

Р(—a) — \ In (1 — 2а cosy a2) dy — Р(а).
о

2.	F(а5) = 2Л(а). В самом деле, мы можем написать:

2F(a) = F(a) + F(-a),
или

2P(a) = [In (1 — 2а cosx-J- а2) 4- In (1 -L 2а cos х 4- a2)] dx -=
0	it

= In (1 — 2а2 cos 2х 4- a4) dx.
о

Заменяя 2х через у, получим:

2Р(а) =1 In (1 —2а2 cosy 4-а4Иу4~
о
2г.

4-	\ In (1 — 2а2 cosy 4- a4) dy,
полагая в последнем интеграле _у = 2д— г, найдем:

тс

J In (1 — 2а2 cosy 4- а*) dy = § In (1 — 2а2 cos z-|- а*) dz,
n	0

и следовательно,

2F(a) = l Л (а2)+ 4	=

£ £

Из предыдущей формулы последовательно выводим:

^(а)=4 = Т = ---=/а

Если | а | < 1, то при неограниченном увеличении п количество а2” стре-
мится к нулю; вместе с тем стремится к нулю и Ffa2"), так как лога-
рифм под знаком интеграла стремится к нулю. Следовательно, при |а|<1
имеем:

5(а) = 0.

Если же |а|^>1, то, полагая a = -J-, получим:

Р

. С, (,	2cosx 1 \

F(a) = J In (J------р----Ьр )dx=

О
л

=Д In (1 — 2^ cos х ^2) dx — п In ;

J

о

так как | 0 К 1, то остается

F (а) = — п In р2 = п In а2,

Наконец, можно доказать (стр. 212, упр. 6), что F(4- 1) = 0. Следо-
вательно, функция F (а) непрерывна при всех значениях а.

ПО. Приближенное значение 1пГ(л-|-1). Существует также много дру-
гих разнообразных приемов, посредством которых можно получать если ие точ-
ное, то, по крайней мере, приближенное значение определенного интеграла. Мы
приведем здесь один пример. По определению, имеем:

+„00

Г (п + 1) = хпе-х dx.

'о

Функция хпе~х имеет максимум при х~п, и ее наибольшее значение равно
лле~л. При возрастании х от 0 до п функция хпе~х возрастает от 0 до л«е-л(л>0
а, при дальнейшем возрастании х от п до оо, хпе~х убывает от ппе~п до
Функция п*е~пе-Р также возрастает от 0 до ппе~" при возрастании t от — 6о
до 0 и затем убывает от пле~л до 0 при дальнейшем возрастании t от 0 до 4-оо.
Следовательно, сделав замену переменного

хпе~х = ппе~пе—	(28)

мы можем установить соответствие между значениями переменных х и t так,
чтобы, при возрастании t от — оо до -|- оо, х возрастало от 0 до -|- оо.
Нам нужно еще вычислить — . Взяв логарифмические производные от обеих
частей формулы (28), получим:

dx___ 2tx

dt х — п'

С другой стороны, из той же формулы (42) имеем:

f2 ~ х — п — л In

Положим для большей простоты вычислений x = n-\-z и разложим In ( 1 -р —
но формуле Тейлора, ограничиваясь двумя первыми членами; мы получим:

 z

п

z2

t'1 — z — n

причем 0 заключается между

nz*

2 (л -p 9z)2 ’

нулем и единицею. Отсюда найдем последовательно'
"+о = 1]/4,
z г t V 2

— —2/

следовательно, после замены переменного получим:

+ ОО	+ ОО

Г (л -р 1) - - ‘2ппе~п д/ j е— р dt -|- ‘2п"е~п е~ *!(1 — 6) t dt.

— ОО	— ОО

Первый ипгшрал равен:

— ОС	-|-ОО

j e-Pdt =2J e-fidt— |A.
+ OO	0

Второй интеграл нельзя вычислить точно, так как 0 неизвестно, по можно найти
границу этого интеграла. В самом деле, все его элементы отрицательны между —со
и 0 и положительны между 0 и р оо. Сверх тою, по абсолютному значению
о 4-оо	+ оо

каждый из инте: радов J, меньше интеграла^ te—F dt — ~ . Следовательно, мы
- оо о	о

можем написать:

Г (л-р 1) — |/л2л лле-р —(2))

где и заключается между — 1 и -р 1.

Когда п очень велико, “____ очень мало, и если мы примем за приближен-

|/2л

ное значение Г (л -Р 1) выражение

Г (л -р 1) — п"е~п р^лг,

то относительная погрешность будет весьма мала, хотя абсолютная погрешность
может быть и очень ве >ика. Взяв логарифмы от обеих частей формулы (29), по-
лучим:

In Г (л -р l)=(n + y) In я— п In 2г. -ре,	(30)
где, при очень большом п, е очень мало. Пренебрегая е, мы будем иметь так на-
зываемое асимптотическое значение In Г (л'+ 1). Эта формула интересна по-
тому, что опа указывает порядок величины факториала.

УПРАЖНЕНИЯ.

1.	Вычислить неопределенные интегралы от следующих функций:

1	1	х4 — х3—Зх2—х	1	]/1 4- х

(X* + 1)2 ’ X (хЗ + 1)3 ’	(*2 4-1)3	’	1 - ]/х ’

1	14-j/14-X	1	х

1 4-х4-/1 4-хз’ 1 —^1 -+-х	/х4-l/x4-1 + /х(х4-1)’ cos2jc’

п

хе* cos х, —	-, х 4 arc tg х.

|/а 4- л4^2

2. Найти площадь петли декартова листа
хЗ 4- уз — Заху = 0.

3. Вычислить интеграл ydx, где хи у связаны одним из соотношений:

(х2 — а2)2 — ayi (2у 4- За) = 0, у3 (а — х) = х3,
у(х3 + у*)^а{у3-х3). |

4. Вывести формулы:

Г .	„ ,	.	,	., . sin4 х cos пх , „	,

I sin4- * 1 х cos(n 4- 1) х dx= -----р С, j

i“ .	,	. ,	,	sin4 xsin пх , _

I sin" - 1 x sin (n 4-1) x ax =------h C,

Г „ ,	, , ., . cos4 x sin nx , _

j cos4 -1 x cos («4* 1) x dx—--------}- C.

Г „ ,	cos4 x cos nx , _

1 cos4- < x sm (n 4- 1) x dx =-------- 4- C.

[Эйлер.]

5. Вычислить псевдоэллиптические интегралы:

Г (1 4- х2) dx Г (1 — х2) dx

J (1 — X2) J/1 4-X’ ’ J(1 4-x2)]/l 4-x4‘

6. Привести к эллиптическим интегралам интегралы:
_____________________________R (х) dx________________

J ]/a(l 4-x«)4-Zix(l 4-x4)4-cx2(l 4-x2)4-dx3 ’

Г___________R (x) dx__________

J ]/a(l 4- x8) 4- 6x2(1 4-x4) 4- ex4

где /?(х) — рациональная функция.

7. Пусть будут a, b, с, d корни уравнения четвертой степени Р(х)=0 Су-
ществуют три инволюционных соотношения (§ 102):

Ltx" 4- М

(Z-1, 2, 3),
перемещающих эти корни попарно. Если рациональная функция / (х) такова, что
мы имеем тождественно:

з

Г f (х) dx

то интеграл 1  ,-----псевдоэллиптически й (см. Bulletin de la Societt mathe-

J /РИ

matique, т. XV, стр. 1(’6).

8.	Спрямление кривых y — Axv- приводит к интегралам от диференциальных
биномов. Исследовать случаи интегрируемости.

9.	Полагая а > 1, имеем:

+ 1
Г dx _______________ л

J (а —х) j/1 — х2 ]/а2 - 1

Вывести отсюда определенные интегралы:

+1
С x2adx _____1-3-5... (2п — 1)

J /1—х2 — 2-4-6... 2п

10.	Предполагая АС — В2 > 0, имеем:

+оо

Г dx _1-3-5... (2я —3) До-»

J (zix2-t-2ax-f-C)4"2-4-6... (2и — 2) л	'

-оо	(АС — В2)	2

Следует применить формулу приведения § 37.

,, „	„	('	sin2xdx

И. Вычислить определенный интеграл L	2д cos'x 4~ д2 '

о

12.	Вывести формулы:

f	1п (1 +	\ а₽ > 0,

J j/1 — 2ах+ а2 |/1 - 20Х-Ф Р2 ]/а₽	\1— |/а0/

+1

Г	(1 — ах) (I — fix) dx _____ к 2 — ар

J 1 — 2ах + а2) (1 — ‘4х + Р2) ]/1 — х2~~ 2 1 — а0 ’

13.	Обозначая через т и п два целых положительных числа (т < и), имеем:
4-оо

Cxm-idx  я
114-х"	. тт."

J	и sin —

о	п

Здесь следует воспользоваться разложением на элементарные дроби.

14.	Вывести из предыдущей формулы соотношение:

+ оо
fx«-4 dx я

\ -Т-;-= —:------- (0 < а < 1).

1 14-х .«щц ат.	'

о
15.	Полагая 1Р ч --\ t4 (t -\-V}P dt, имеем формулы приведения:

(/’ + <?+ О = t4+l + 1)р +	— С ч>

(р—=	+	(2 + ? —р)/-Р-| i,?,

и две аналогичных формулы для понижения показателя q.

16.	Вывести формулы приведения для интегралов:

г __ р xndx	7 ___dx

" J j/Ax2 + 2/fx + С ’ т J (X — а)« ]/Ах* + 2Вх + С’

1

)х^ dх
—	. Вы-

1/1 -X»

о
1

j' dx j.	j..

—формулу, аналогичную фор
|/1 —х4

U

.муле Уэллиса.

18.	Имеет ли определенный интеграл

+ оо
Г dx

1 1 + х« sin-x
о
конечное значение?

19.	Доказать, что площадь эллиптического сектора, заключающегося между
•фокальною осью и радиусом-вектором, выходящим из фокуса, имеет выражение:

ш

Р? Г rfca

2 J (1 + е cos о>)2 ’
о

где р — обозначает параметр эллипса и е — эксцентриситет. Полагая, по об-
щему способу, tg'Tj —t t	«. получим:

s2t = ab (Arc tg u— e

1 -t- «O'

Показать, что это выражение может быть также представлено в виде:

___ab .

Д = — (<? - е sin <р).

где <р обозначает эксцентрическую аномалию.

20.	Найти такие кривые, для которых длина NT или площадь треугольника
MNT были бы постоянны (см. черт. 3). Построить обе ветви кривой.

— 21. Пусть будет

хгп < f

Ап ~ F4J5----Tn J “ Z^n C0S xz dz‘

о

Вывести рекуррентную формулу:

Л+<=(2«+1)^л-х^'
Вывести отсюда формулы:

Лр = Utp sin х 4- V2p cos x,
AiP + i — Uip + i sin x -p V.lp+I cos x,

i дс U?n , Vip , Utp+I, 14р + 1 — многочлены с целыми коэфициентами, и Uip , (Учр + 1
содержат только четные степени переменного х. Проверив справедливость этого
закона при n—1, затем легко убедиться, при помощи рекуррентной формулы,
что он имеет общий характер.

Воспользовавшись предыдущим выражением для А1р, можно доказать не-
соизмеримость числа г’-. В самом деле, если бы было	, то, заменяя в А,р

п

количество х через — , мы получили бы соотношение вида:

н' = аР Vа 2.4.6 . ~4Т J<1 2 - г^Р C0S Т dZ’

о

1де /У, — целое число. Но такое равенство невозможно, так как при неограни-
ченном возрастании р правая часть стремится к нулю.

22. Доказать формулу:

4- оо

. f ~	. l/я ,

7- j е х dx—' 2
о

[Доказать, что — 2]/.

23 Из предыдущей формулы вывести определенный интеграл
+оо

I е «.

1/’
о	'

4-оо

24. Из соотношения = у [ х~е~~“х dx вывести формулу:
о

ОО	I

1	(	х'г dx

п4	J	ех — 1

п-1	О

'25. Погрешность в методе квадратур Гаусса имеет выражение:

2	I l-2-З...п 12

1.2...2п ' 2л-ф1[ 1-2... (2п—1) I ’

где ; заключается между — 1 и 1.

[Манеион (Mansion) Cumptes rendus 1886.\
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. ФОРМУЛА ГРИНА.

111. Суммы 5и s для функции двух переменных. Пусть будет Д
плоская область, ограниченная контуром Г, который может состоять
из одной замкнутой кривой С или из замкнутой кривой С и из не-
скольких других замкнутых кривых С, С, ... , внутренних по отноше-
нию к С. Представим себе, что эта область А разбита на п частичных об-
ластей а, , а2, ... , ап посредством вспомогательных линий. Это разбие-
ние может быть осуществлено произвольным способом; мы предположим
только, что области at квадрируемы. Пусть <0j , о>2, ... , <ои — площади
этих частичных областей и Ji—площадь области А. Мы имеем, оче-

л

видно, каков бы ни был способ разбиения А, соотношение Й = toz.

1

Пусть будут /(х, у)— функция, ограниченная в области А (включая
сюда контур Г), М и т—верхняя и нижняя границы /(х, у) в этой об-
ласти; и т[—границы функции f(x,y) в частичной области а(.
Рассмотрим две суммы

п	п

1=1	1=1

каждому подразделению области А соответствуют, таким образом, верх-
няя сумма 5 и нижняя сумма 5. Все суммы 5, очевидно, превосходят тй:
следовательно, они имеют нижнюю границу I. Точно так же все суммы .s'
меньше, чем /ИЙ; они имеют, следовательно, верхнюю границу 1'. Мо-
жно было бы доказать, как выше (§ 69), что /'	/, что, впрочем,

вытекает из следующего предложения, совершенно аналогичного пред-
ложению § 70.

Суммы Sus имеют соответственно пределами числа I и ко-
гда п неограниченно возрастает, и притом так, что все области aL
стремятся к нулю во всех своих измерениях.

Для краткости мы будем говорить, что конечная часть плоскости А
меньше I во всех своих измерениях, если можно найти круг диаметра /,
целиком вмещающий внутри себя А. Переменную часть плоскости мы
будем называть бесконечно малой во всех ее измерениях, если можно
найти круг сколь угодно малого радиуса, вмещающий внутри себя эту
часть плоскости. Например, квадрат, сторона которого стремится к нулю,
илн эллипс, обе оси которого стремятся к нулю, бесконечно малы во
всех своих измерениях. Наоборот, прямоугольник, которого одна лишь
сторона стремится к нулю, или эллипс, одна только ось которого стре-
мится к нулю, не являются бесконечно малыми во всех своих измерениях.

Покажем, например, что 6’ имеет пределом I. Мы можем допустить,
что f(x, у) положительна в области А, так как всегда можно найти та-
кое положительное постоянное С, что функция

<р(х, j) = C-|-/(x, j)

окажется положительной в А, и суммы 6' и для функций f и <о,
относящиеся к одному и тому же способу разбиения, будут отличаться
лишь на постоянное СЙ.

Пусть г— произвольное положительное число; так как число / есть
нижняя граница сумм 5, то существует такой способ разбиения обла-
сти А на п частичных областей а], а2 , .,. , ап , что соответствующая
g

сумма 5 окажется меньше, чем /-р^. Обозначим через L множество,
состоящее из контура Г и вспомогательных линий, которые были про-
ведены в А для получения этого частного способа разбиения. Пусть
будут: и,— площадь области а: и у;.— контур этой области. Проведем
внутри области а, замкнутый контур у'., не имеющий ни одной общей
точки с у/, но достаточно близкий к у,, чтобы площадь, заключенная
между обоими контурами yz, у , была меньше , где т)— произволь-
ное положительное число. Представим себе, что то же самое сделано
для всех частичных областей а, , о, , ... , ап , и пусть £' — множество-
проведенных таким образом линий у'. Sia система £' разделяет об-
ласть А на две области А' и А"; А’ состоит из всех областей а'., вну-
тренних по отношению к линиям у'., а А" представляет собой область,
оставшуюся после исключения А'. Если О', Й" обозначают площади
этих двух областей, то мы имеем Й = Й'4~Й" и на основании способа,
которым были выбраны линии у'., разность Й—й' или й" меньше
Линии L и £' не имеют ни одной общей точки; обозначим через
минимум расстояния точки L от точки /,'.

Рассмотрим теперь произвольное разбиение области А на частичные
области, меньшие К во всех измерениях, и пусть S'—соответствующая
верхняя сумма. Часть 5’, происходящая от частичных областей, не
имеющих ни одной общей точки с линией L, очевидно, меньше 5.
С другой стороны, частичные области, которые имеют хоть одну общую
точку с линией £, находятся внутри области А", и происходящая от
них часть суммы 5' меньше /Ит(. Мы имеем, следовательно,

если произвольное число т( взято меньшим

то мы будем иметь

2 Й ’

5'</-|-е,

что и доказывает теорему.
Точно так же можно было бы показать, что л- имеет пределом /'.
Если область А разбита на р частных областей /1, , А2, ... , Ар, то
ясно, что будут иметь место соотношения:

1 = А + • • • + А, I'=А + • • • + Гр,

где /z и /’. суть числа, определенные, как только что было сделано,
и относящиеся к области Аг

11?. Двойные интегралы. Если оба числа / и Г равны между собой,
го функция f(x, у) называется интегрируемой в области А. Общий
предел / сумм ,8' и s называется двогным. интегралом функции f(x, у),
распространенным на область А. Его обозначают х‘

dxdy,

А

часть А плоскости называется областью интеграции.

Непосредственно видно, как и в случае простого ин горала, чю
для то о чтобы функция f(x, у) была интегрируема в А, необходимо
и достаточно, чтобы разность S — s стремилась к нулю, когда
наибольшее измерение частичных областей стремится к нулю. Отсюда
вытекает, что в якая непрерывная функция f(x, у) интегрируема.
В самом деле, предположим, что мы взяли положительное число т;
столь малым, что колебание функции меньше г во всякой части А,
нее измерения которой меньше тр Если все частичные области а, ,
а2, ап меньше г; во всех своих измерениях, то каждая из разно-
стей Л7;.— т, будет меньше е, и разность 5 — s будет меньше eU.

Доказывают, как и выше (§ 71), что сумма или произведение про-
извольного числа интегрируемых функций есть также интегрируемая
функция. Если функция f(x, у) интегрируема в области А, то она
интегрируема во всякой области Д', внутренней ио отношению к/4; если
область А разбита иа несколько частичных областей Л,, Л2,.. , А,
то двойной интеграл, распространенный на всю область А, равен сумме
двойных интегралов, распространенных на области At , А2, ... , А .

Рассмотрим теперь более общий случай, когда функция f(x,y),
ограниченная в области А, имеет в этой области бесконечно много
точек разрыва: мы предположим при этом, что все точки разрыва можно
заключить в некоторой области 8, площадь которой меньше любого
наперед заданного положительного числа. Такая функция интегри-
руема в Л. В самом деле, условие интегрируемости функции f(x, может
быть выражено так: чтобы функция была интегрируема, необходимо
и достаточно, чтобы любому положительному числу s можно было
поставить в соответствие такое разбиение области А на частичные
области, что соответствующая этому разбиению разность S—s
будет меньше е. Это непосредственно следует из того, что раз-
ность 5 — s, по меныпей мере, равна I—Г.

* Иначе обозначают его \\ /(т,у) dm, где dm есть элемент площади,
аналогичное обозначение употребляют для кратных интегралов
Допустим для определенности, что функция f{x,y), ограниченная
в области А, непрерывна во всей этой области, ограниченной замкнутою
кривою С, за исключением точек линии L, разделяющей область В на две
области А' и А' (черт. 16). В области A' f(x, у) совпадает с непрерывной
функцией j\(x, у), а в области А" — с непрерывной функцией f2(x,y).
Относительно значений функции /(х, _у) вдоль линии L мы не делаем
никакого предположения, за Исключением того, что они остаются огра-
ничены. Проведем в А с обеих сторон линии L две бесконечно близкие
линии , 1" так, чтобы площадь, заключенная между I! и А", была

меньше „	где г — заданное положительное число. Эти две

2 (М— т)

линии £1, разделяют А на три области: А', А", А", где А" есть

область, вмещающая L. Представим себе,
что А, А", А" разбиты на меньшие об-
ласти; часть S’ — л', происходящая от А",
меньше - и так как /(х, у) непрерывна
в областях А и А", часть А—s, происхо-

дящая от .4' и

Д", будет также меньше^

при подходящем

выборе способа разбиения.

Мы будем, следовательно, иметь А — х<^е;

так как е есть произвольное положительное число, то, следовательно,
f(x,y) интегрируема в А. Ясно, что этот вывод обладает общностью.

Двойной интеграл по области А равен сумме двойных интегралов
по областям А , А", А'". Если линии L', L' безгранично приближаются
к L, то двойной интеграл по А” стремится к нулю; двойной интеграл
по А есть, следовательно, предел суммы интегралов по областям А
и А" и не зависит от значений функции вдоль линии L. Более общим
образом, если функция f(x, у) интегрируема в области А, то можно,
не изменяя значения интеграла, произвольным образом изменять значе-
ния функции в бесконечном множестве точек, если только она остается
ограниченной и если все эти точки могут быть заключены в области 8
(связной или нет), площадь которой меньше любого заданного положи-
тельного числа. С этим замечанием надлежит сопоставить следующее:
если мы вычисляем I как предел суммы А1, то мы можем пренебречь
в этой сумме теми ее частями, которые происходят от произвольного
числа частичных областей, если только сумма площадей этих областей
стремится к нулю.

Определение двойного интеграла может быть обобщено. Пусть
(£z, r]z) — какая-нибудь точка внутри илина контуре части az; ясно, что
сумма	содержится между обеими суммами А и 5; она

также, следовательно, имеет пределом двойной интеграл, как бы ни
была выбрана точка (Sz, r]z).

Первая теорема о среднем без труда распространяется на двойные
интегралы. Пусть f(x, у), ц>(х,у)—две интегрируемые функции, из
которых одна, (р (х,_у), сохраняет постоянный знак в А; мы предполо-
жим, например, (р(х, _у)^>0.
Если /И и in — границы f(x, у) в области А, то ясно, что мы имеем:
M<f (£/ - Ъ) Ю1>/Сч , *lz) , ’iz) “z> (ч ’ ’iz) Ш1’
складывая все эти неравенства и переходя к пределу, находим:

\ Дх, У)Ч(х, y)dx dy = pSAy(x, y)dx dy,
‘A	A

где ;x заключено между At и tn. Если функция ] (x, у) непрерывна, то
она принимает значение р. в точке (£, тд), внутренней ио отношению
к контуру С, и мы можем написать:

j \ f(x, у) 4> (х, _у) dxdy=f (?, 1)) у (х, y)dx dy,	(2)

.4

А

это и есть формула среднего значения для двойных интегралов. Если,
например, <p(r, j) — 1, то интеграл dxdy, распространенный на часть
плоскости А, очевидно, равен площади Q этой части плоскости, и фор-
мула (1) принимает вид:

v)dxdy	rfi.

(3)

113.	Вычисление двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла
сводится к последовательному вычислению двух простых интегралов.
Возьмем сначала случай, когда область интегрирования есть прямо-
угольник Р, ограниченный прямыми х-—х0, х=~-Х, у=у$, у— У,
где х0<Х, у0<У.

Пусть I(х) - значение двойного интеграла /(х, j/) dxdy, распро-
страненного на часть этого прямоугольника, расположенную слева от
прямой PQ, параллельной оси Оу и проходящей от нее на расстоянии х,

где х заключено между х0 и л.
Этот интеграл / (х) есть, оче-
видно, непрерывная функция х,
обращающаяся в нуль при
х~х0; чтобы найти его про-
изводную /' (х), достаточно
вычислить главную часть при-
ращения /(x-\-h) — I(х). Эта
разность равна значению двой-
ного интеграла, распространен-
ного на бесконечно узкую
полосу прямоугольника, заклю-

ченную между параллелями PQ, P'Q' к оси Оу, расстояния которых от
этой оси суть х и х -f- h. Чтобы иметь его выражение, представим
себе, что эта полоса разделена на малые прямоугольники параллелями к
оси х, у ~=у{ (I =-= 1, 2, ... , п), где число у1 возрастает вместе с индексом.
Применяя формулу среднего значения к каждому из этих малых
прямоугольников, мы имеем:

/(хф-Л)—/(х) = /г[(Л—, ^)Ч-. 	Ъ)+. • - Ь (4)
где (q;., 7]z) суть координаты точки прямоугольника, образованного пря-
мыми PQ, P'Q1 и параллелями у=у(1, у=у1 к оси Ох. С другой
стороны, мы имеем на основании теоремы о среднем для простого ин-
теграла:

л

\ Л*, У) dy = {у, — yz_J / (х, у), у^ < у <yt 

Если мы положим /($z, vjj — /(х, _y'j = ez, то разность

I {х + h) — I (х)
может быть написана так:

h

\f(X, y)dy-\-51 (у. — у0)

-л

+- • •

+ (V/—Л-1) + • • •

Обе точки (Sz, 7jz) и (х, у^ принадлежат одному и тому же частич-
ному прямоугольнику; так как f(x, у) равномерно непрерывна, то мо-
жно взять число h и все разности yt—j>z_1 достаточно малыми для
того, чтобы все абсолютные величины | г11 были меньше произвольно
выбранного положительного числа г, и мы имеем:

гУ

h (х, у) dy-]-t' ,

1де абсолютное значение г' меньше г (К—у0). Отношение

/ -М) — (Х)

h

у

имеет, следовательно, пределом ^/(х, у) dy, когда h стремится к нулю,
То

х у

и таким образом, интеграл I (х) равен dx \f(a, y)dy. В частности,

•<о То

двойной интеграл, распространенный на весь прямоугольник, выра-
жается формулой:

х у

\\^f(x, у) dx dy = ^dx^f(x, у) dy;	(6)

R	Xo To

чтобы найти значение двойного интеграла, нужно сначала проинте-
грировать f(x, .у) между пределами уй и Y, считая х постоянным, а у —
переменным; результат представляет собой функцию одного лишь
переменного х, которую нужно снова интегрировать между преде-
лами х0 и X.

Произведя действие в обратном порядке, т. е. вычисляя сначала
часть суммы S’, происходящую от ряда прямоугольников, заключаю-
щихся между двумя прямыми, параллельными оси Ох, мы нашли бы
таким же образом:

К X

\f(x, у)	dxdy=\ dy ^f(x, у) dx.

R	Уо	*o

Из этих двух формул следует, что

X Y	Y	X

dx \f(x,	у)	dy	=$	dy ^f(x, у) dx.

Jo	J'o *o

Теорема, выражаемая этою формулою, носит название теоремы интегри-
рования под знаком интеграла. При доказательстве существенно предпо-
лагается, что пределы х0, X, уй, Y постоянны, и функция f(x, у) —
непрерывна в области интегрирования.

Пример. Пусть будете - — .. По общей формуле имеем:

х у х

J J dx dy = j dx J dy = J £ (Г* - y2) dx	± (X2 - X2) (Y* - угу

R	-Vo ,Po	xt>

Вообще, если функция f (x, у) есть произведение функции переменного х на
функцию переменного у, то имеем:

,	X	У

? (х) ф.(>) dx dy=\f (х) dx-^ Ф (у) dy,
'R,	л о	у„

причем оба интеграла в правой части совершенно не зависят один от другого.

Из этого замечания Франклин (Franklin) * вывел весьма простое доказатель-
ство одной интересной теоремы Чебышева. Пусть будут <р(х) и <[>(х) функции,
непрерывные в промежутке (а, />), где о й. Двойной интеграл

[<Р (х) - ' ? (У)] [ф (х) — ф (у)] d к dy,

распространенный па квадрат, ограниченный прямыми х — а, х Г, у- а, у- b
равен разности

й	ь	ь

2 (& — а) у (х) ф (х) dx - 2 <р (х) dx • ф (х) dx.
а	аг.

Но все элемешы предыдущего двойного иишграла сохраняют постоянный знак,
если функции <р (х) и ф (х) всюду в промежутке (а, Ь) одновременно возрастают
или убывают; точно так же все элементы этого двойного интеграла сохраняют
постоянный знак и в том случае, если одна из функций всюду возрастает, а
другая — убывает. В первом случае разности <р (х) — <р (у) и ф (х)—ф (у) имеют
всегда одинаковые знаки, а во втором — разнэе.

Следовательно, если всюду в промежутке (а, Ъ) функции ?(х), ф (х) или обе
возрастают, или обе убывают, то мы имеем:

b	b	ь

(Ь — а) \ ? (х) ф(х)dx <р (х) dx- j ф (х) dx.
а	а	а

American Journal of Mathematics, т. VII, стр. 77.
® (х) dx

Если же одна из них возрастает, а другая убывает, то
b	b	ь

(Ь — а) <р (х) <|> (х) dx < ? (х) dx- <|> (х) dx.

'а	а	а

В случае <р (х) = <|> (х) двойной интеграл имеет вполне определенный знак,
так как подинтегральная функция обращается в точный квадрат. В этом случае
мы имеем при всяком виде функции <р (х):

ь

{b — a) \ [<р (х)]2 dx -
а

причем знак равенства имеет место только в том случае, если <р (х) равно посто-
янному.

Отсюда можно вывести решение одной интересной задачи вариационного ис-
числения. Пусть будут Р и Q две данные точки плоскости с координагами {а, А)
и (/>, В). Пусть будет, далее, у — f (х) уравнение линии, соединяющей эти две
точки, причем предполагается, что функция / (х) вместе со своею производ-
ною f (х) непрерывна в промежутке (а, Ь). Требуется найти такую кривую у = /(х),
ь

для которой интетрал \y'-dx был бы минимум. Заменяя в предыдущем нера-
а

венстве <р (х) через у' н замечая, что, по предположению,/(а) - Л и f(b) - В,
имеем:

ь

(Ь — а)^у ’2 dx Z- (В - Л)2.

(В — Л)2

Следовательно, наименьшее значение интеграла равно —, и интеграл
действительно достигает этого значения, если у' равно постоянному, г. е. если
линия, соединяющая рассматриваемые точки, есть прямая линия PQ.

114.	Случай произвольной области. Прежде чем перейти к случаи»
произвольной области интегрирования, мы сначала обобщим формулу (6),
предполагая, что функция /(х, у), оставаясь ограниченной, имеет в пря-
моугольнике ABCD одну или несколько линий разрыва. Предположим
для определенности, что функция /(х, у) разрывна вдоль линии L (или,
но крайней мере, в некоторых частях этой линии), соединяющей точку на AD
с точкою на ВС и представляемой уравнением у— щ (х), где функция <р (х)
непрерывна в интервале (х0,Х). Эта линия L разделяет прямоугольник R
на две части: часть /?, , расположенную ниже L, для которой мы име-
ем /(х, _у)—(х, у),г причем (х, _у) непрерывна в , и часть /?3 , рас-
положенную выше L, для которой

/(-V, y)=/3(-^> У)»

причем /2 (х, у) непрерывна в /?2 . Как уже было замечено выше (§ 112),
/(х,_у) есть функция интегрируемая.

Чтобы найти выражение этого двойного интеграла, достаточно не-
сколько изменить рассуждение предшествующего параграфа. Инте-
грал /(х), определенный, как это только что было сделано, есть
сумма двух двойных интегралов /7 (х), /2 (х), распространенных на части
области налево от параллели PQ к Оу, расположенные соответственно
ниже и выше линии L. Чтобы вычислить (х), обозначим через С наи-
меньшую ординату функции ip(х) в интервале (х,х-|-Л); мы можем
разложить ^(сЦ-А)—на два интеграла:

/1(х + й)-/1(х) = У+/,

где J есть двойной интеграл, распространенный на часть полосы R.
расположенную ниже прямойу — С, a j — интеграл, распространенный на
часть этой полосы вверх от прямой _у = £. Доказывают, как и в пре-
дыдущем параграфе, что

и следовательно,

где т(1 и т(2 бесконечно малы вместе с А. С другой стороны, мы имеем:
|у|<МАЗ,']

где М есть верхний предел а 5 — колебание <р (х) в интервале
’(с, x-j-A). Так как функция^ непрерывна, то отношение —стремится
к н улю вместе с А, и мы имеем;

<? (X)
j\ (-*) = pl (-*. y)dy-
Уо

Производная J”(x) вычисляется таким же образом, и, нола/ая

Г	? (х)	У

p(r, y)dy = \jf1(x,	y)dy,

Vo	Уа	T (X)

мы видим, что значение двойного интеграла

\\/(х, y)dxdy

дается формулой (6). Ясно, что этот м.^тод обладает общнстью, и вы-
вод остается тем же, каково бы ни было число линий разрывов, по-
доб 1ых L, в прямоугольнике ABCD, при условии, что функция fix, у)
остается ограниченной.

Рассмотрим теперь контур, встречаемый параллелью к Оу не более
как в двух точках. Мы всегда можем предположить, что он образован
двумя прямолинейными отрезками АА', ВВ', принадлежащими паралле-
лям х=а. х=Ь к оси Оу (a-fib) и двумя дугами кривых Ат}В,
А'т2В', представляемыми уравнениями у, —	(х), у2 = у2 (х)> Уч Уг

где функции Щ] и непрерывны между а и А, Может, впрочем, слу-
читься, что точки А и А' сливаются также, как В и В'; это имеет
место, например, в том случае, если рассматриваемый контур есть
замкнутая кривая, аналогичная эллипсу. Пусть f(x, у) — функция не-
прерывная в области R, ограниченной этим контуром, и на самом

контуре. Чтобы вычислить двойной интеграл, проведем две параллели

у=у0, у -= У' к оси Ох так, чтобы
область Д’ была целиком располо-
жена между этими двумя параллеля-
ми; пусть будет Т прямоугольник,
ограниченный четырьмя прямыми
х = а, Х--Ь,	у=у0>	у--У

(черт. 18).

Кривые Ат^В, А'пг2Ь' разделяют
прямоугольник Т на три области:
область /?, область Д” ниже Ат,В
и область Д’" выше А'т2В'. Пусть
F(x, У) — вспомогательная функция,
определенная в Т следующим образов
контуре R; 2) F(x, у)—О в R' и R‘

i: 1) F(x, у)=-/(т, у) в R и на
. Очевидно, что

\f(x, у) dxdy- -F\ \ F (х, у) dx dy.

"r	"т

Но формула (6) применима к функции F(x, у), имеющей линии
разрывов Ат^В и А'т^В', и мы находим:
ft г

Fix, у) dx dy -- \ dx ( F(x, у) dy.

Т	a _i0

С другой стороны, на основании самого определения функции
F(х, у), мы имеем:

V	’'?

у) dy~—\f(x, y)dy,
ft	Л

и следовательно,

y)dxdy \dx \f(x, y)dy.	(7)

R	a y{

Первую интеграцию надлежит выполнить, рассматривая х как по-
стоянную, но пределы уу и у2 сами суть функции х и не являются
постоянными.

XV

Прим е]р. Вычислим двойной интеграл от функции взятый внутри чет-
верти круга,-ограниченной осями координат и окружностью:

ХЯ -ф yi — /?£= 0.

Пределами для х служат 3 и R, а при х постоянном у может изменяться
от 0 до ]/R1 — х2. Следовательно, двойной интеграл имеет выражение:

Я Уф -ж*	R	R

f . f XV . С х .	j f X(Ri~ .r-2) J

J dx.) V dy = I 2-a^o dx^\ —^-a----dx-

boo	о

j?4

Последний интеграл легко получить; он равен .
Если область интегрирования ограничена контуром произвольного
вида, то мы разобьем эту область на несколько таких частей, чтобы
прямая, параллельная оси Оу, пересекала контур каждой из этих ча-
стей не более чем в двух точках. Мы могли бы также начать и с ин-
тегрирования по переменному х, разбивая область на такие части,
чтобы прямая, параллельная оси Ох, пересекала контур каждой из
этих частей не более чем в двух точках. Возьмем, например, замкну-
тую выпуклую кривую, расположенную внутри прямоугольника х — аг
x = b, у = с, y = d, стороны которого проходят через те четыре точки
А, В, С, D кривой, в которых х и у имеют наибольшие и наимень-
шие значения*. Пусть будут у1 =	(х), у„ = <р2 (х)—-уравнения дуг

АСВ, ADB-, пусть будут также х1=ф1(у), -v2 = $2(_y)— уравнения
дуг CAD, CBD, причем (х) и щ, (х) непрерывны от а до Ь, а
ф, (у), ф2 (у) непрерывны при изменении у от с до d. Вычисляя двумя
различными способами двойной интеграл от функции f(x, у), непре-
рывной внутри этого контура, и приравнивая между собою оба полу-
чающиеся выражения, найдем:

оу,	d	х,

\dx\f(x, y)dy -—\ dy\f(x, у) dx;	(8)

а у,	с	х,

мы видим, чго в обоих интегралах пределы совершенно различны.
Всякий выпуклый контур дает формулу этого рода. Так, взяв за об-
ласть интегрирования треугольник, ограниченный прямыми у—0, х-
у-- х, мы придем к формуле, данной Лежен-Дирихле (Lejeune-Dirichlet).

а	х	а	а

\ dx \’/(х, у) dy - dy \f(x, у) dx.

О	О	0	у

115.	Аналогия с простыми интегралами. Интеграл

\7(0 dt,
а

рассматриваемый как функция от х, имеет своею производною функцию f{x).
Аналогичная теорема существует для двойных интегралов Пусть будет f(x, у)
функция, непрерывная внутри прямоугольника, ограниченного прямыми х = л,
~ А, у = Ь, у — В {а < A, b В). Двойной интеграл от функции /(х, у), рас-
пространенный на площадь прямоугольника, ограниченного прямыми х = а,
г — X, y = b, y=Y(a<X < А, 6 < Е < В) есть функция координат X, Y пере-
менной вершины; эту функцию мы можем представить в виде:

X У

F (X, Л =7 dx \f (х, у) dx dy.
а b

Пусть будет

У

Ф (х) — \/(х, у) dy.

ь

f Предла1аем читателю сделать чертеж.
Первое диференцирование F (X, У) по X дает:
У

/ (X у) dy,
ь

после вторичного диференцирования по Y будем иметь:

—— :-ИХ, У).

(9)

Самый общий вид функции и (X, У), удовлетворяющей предыдущему усло-
вию (9), очевидно, получится, если мы прибавим к функции F(X, Y) такую
функцию z, вторая производная которой ---- была бы равна нулю. Следова-

йХйУ

тельно, функция и(Х, Y) будет иметь вид (§ 60):

и (X, Y)—\dx \f(x, у) dy 4- <р (X) 4 ф (У),
a "b

(10)

где "р (X) и ф (У)— произвольные функции. Эти функции ? (X) и <р(У) можно
всегда выбрать таким образом, чтобы функция а (X, Y) обращалась при Х--/1
в данную функцию V (У) от Y, а при Y=b—в данную функцию U(X) от X,
причем две последних функции должны быть связаны соотношением (/(ц)-_
--- v (S). В самом деле, полагая в соотношении (10) последовательно X—а,
Y= b, получим два условия:

у(У) -«(4 + !(/), (/(Xk-f(X) М(4;

отсюда получаем:

Ф(У)-- V(Y)~«(«), Ш- ’(*)-?(«), f(X)--U(X)~ V (*) + ?(«)-

и формула (10) обращается в

X У

ч(Х, Y) - dx\f (х, y)dy+ (7(A) 4- V (Y) - V (b\	(11)

« )>

Обратно, если мы найдем каким-нибудь способом функцию и (X, Y), удов-
летворяющую соотношению (9), то, на основании предыдущего, значение двой-
ного интеграла будет равно'

X у

\ dx\f (х, y)dy -и(Х, У) — и (A, b) — и (a, Y)-у и (а, Ь).	(12)

а b

Сделаем теперь друюе предположение, заменяя две стороны прямоу! одышка

дугою АВ (черт. 19) некоторой кривой,
ординаты которой монотонно убывают при
возрастании абсциссы.

Пусть у(х, у) — непрерывная функция
внутри прямоугольника ACBD. Для любой
точки М этого прямоугольника параллели
к осям встречают дугу АВ в двух точках Р
и Q соответственно, и двойной интеграл

F (X, У) =	/ (х, у) dx dy,

PMQ

У

0

распространенный на площадь криволиней-

ного треугольника PMQ, есть непрерывная функция в этом прямоугольнике
Записав этот двойной интеграл в форме (7), легко вывести, что он удовлетворяет
также соотношению (Д. В этом можно убедиться и непосредственно следующим
образом. Придадим X и К приращения h и k. мы перейдем, таким образом, из
точки М в соседнюю точку АГ. Обозначим через (1), (2), (3), (4) двойные интег-
ралы, распространенные на области, отмеченные на чертеже теми же цифрами.

Будем иметь:

F (X + h, К+ k) = (1) + (2) + (3) + (4),

F(X+h, У)-(1) + (3), F (х, Г+ к) = (1) -h (2),
и следовательно,

F(X-\-h, y+k) — F(X, У + k) — F (X + h, У) + F (X, У)

hk

hk '

Отношение в левой части

iF-F
имеет своим пределом

при h и k, стре-

мящихся к нулю (§ 21). С другой стороны, применяя теорему о среднем
к двойному интегралу (4), получим:

(4)=Ай/(А'Д-0/г, r-f-в'А).

Приближая h и k к нулю, получаем как раз формулу (9).

Интеграл F(X, У) уравнения (9) равен нулю вдоль АВ. То же самое спра-
ведливо и относительно его двух частных производных первого порядка; дей-
ствительно, легко усмотреть из чертежа, что если точка М лежит на АВ,
приращению h соответствует бесконечно малое приращение второго порядка
функции F (X, У).

Эта формула аналогична основной формуле (8) (§ 75).

Следующая формула представляет некоторую аналогию с формулою интегри-
рования по частям. Пусть будет А конечная часть плоскости, ограниченная одною
или несколькими кривыми произвольного вида. Функция f (х, у), непрерывная
в А, изменяется в области А между некоторым наименьшим значением vn и
некоторым наибольшим значением V. Проведем линии уровня f (х, у) = v, где v
заключается между &0 и V; предположим, что мы можем найти площадь той
части области А, в которой значение / (х, у) заключается между и &. Эта
площадь есть некоторая функция F (у) от v, возрастающая вместе с v; площадь,
заключающаяся между двумя бесконечно близкими линиями' уровня, будет, оче-
видно, равна F(v-\-Xu)—F( ) — XuF' (и -ф- OAv). Разбив эту площадь на бес-
конечно малые части линиями, соединяющими две соседние линии уровня, мы
можем взять в каждой из этих частей такую точку (;, т,), чтобы было /($, "и) =
— v -ф- 0Д&; тогда сумма элементов двойного интеграла \ Xjdxdy, соответствую
щих области между соседними линиями уровня, будет равна:

(& -|- ОД о) F (v -ф- ОДv) Ап.

Следовательно, двойной-интеграл будет'равен пределу суммы.

2 (v 0Д&) F' (v -ф- ОД») Дтг,

т. е равен'простому, интегралу
к	v

vF' (v) dv -- VF (V) — F (v) du.

Этот метод особенно удобен в том-5случае, 'когда область интегрирования
ограничена двумя линиями уровня'

f(x, у) —»0, f(x, y)=V.

Пусть, например, требуется вычислить двойной интеграл \ j/1+ x'l-Fy'dx dy,
взятый внутри круга х--^-у-~ 1. Полагая v — j/1 + t‘- _|_ у2, мы видим, что
область интегрирования будет ограничена двумя линиями уровня v—1, v= j/2,.
и функция F (v), представляющая площадь круга с радиусом, равным j/»2—I,
будет равна к (&2—1). Следовательно, двойной интеграл равен:

ИГ

2iafidv= I" (2	— 1) *.

О

1

Предыдущая формула легко распространяется на двойной интеграл
j f (х, у) ? (х, у) dx dy,

если мы обозначим через F (у) двойной интеграл \ у (л, у) dx dy, распро-
страненный на часть области интегрирования, ограниченную-кривою v=f(x, у)

116.	Формула Грина. Если функция /(х, у) есть частная производная
по х или по у от некоторой известной функции, то одно из инте-

грирований совершается непосредственно,
одну квадратуру. Это простое замечание
называемой формулою Грина (Green).

Рассмотрим сначала двойной интеграл

и остается выполнить только
приводит к важной формуле,

ЙР , ,
— ах dy, распространен-

ный на часть плоскости, ограниченную контуром С, пересекающимся
с прямыми, параллельными оси Оу, не более чем в двух точках (черт. 18).

Пусть будут А и В те точки контура, в которых х будет максимум
или минимум. Одна из прямых, параллельных оси Оу н проходящих
между линиями Аа и ВЬ, пересечет С в двух точках тг и т2 с орди-
натами и_у2. Интегрируя сначала по у, найдем для двойного интеграла

выражение:

b	у9	b

И	(’йр,	с

\ 1 — ах ау = \ ах\ — ау= \

J J	J	J *У	J

W	а

[P(x,y2) — P(x,y^]dx.

b'	ь

Но интегралы \ Р (х,уу) dx, \ Р (х, у2) dx суп не что иное, как кри-
а	а

волинейные интегралы, взятые соответственно вдоль дуг АтуВ и Ат2В~,
следовательно, мы можем представить предыдущую формулу в виде:

11^^=

(13)

причем криволинейный интеграл берется вдоль контура С в направлении,
указанном стрелками, т. е. в положительном направлении, если оси
координат расположены, как на чертеже. Чтобы распространить эту
формулу на площадь, ограниченную контуром произвольного вида, мы,
как и выше (§ 92), разобьем эту площадь поперечными линиями на
несколько таких частей, чтобы контур каждой из них удовлетворял

* В мемуаре Каталана (Catalan) (I°urntd de Liouville, 1-я серия, т. IV,
стр. 233) можно найти много приложений этого метола.
вышеуказанному условию, и применим предыдущую формулу к каждой
из этих частей.

Таким же образом получается формула:

\ \ —dxdy— » Qrfy,	(14)

J J дх J

с

причем криволинейный интеграл опять берется в прежнем направлении.
Из равенств (13) и (14) находим:

где двойной интеграл распространяется на площадь, ограниченную кон-
туром С. В этом состоит формула Грина; она имеет много весьма
важных приложений. Заметим только, что, полагая Q-—X, Р~—у,
мы получим выведенную выше (§ 92) формулу для выражения площади
замкнутой кривой через криволинейный интеграл.

II. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЪЕМЫ. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ.

До сих пор при вычислении двойного интеграла мы разбивали об-
ласть интегрирования на бесконечно малые прямоугольники прямыми,
параллельными осям координат. Мы предположим теперь, что разбиение
области интегрирования совершается помощью двух семейств кривых
совершенно произвольного вида.

117.	Предварительная формула. Пусть будут и и v координаты точки
относительно системы прямоугольных осей на плоскости, и х, у — ко-
ординаты другой точки относительно другой системы прямоугольных
координат, расположенных таким же образом* в той же плоскости
или в плоскости отличной от первой. Формулы:

x=f(u, v), J’ = <p (и, v)	(16)

устанавливают некоторое соответствие между точками обеих плоскостей.
Предположим: 1) что эти функции /(и, w), tp (и, г>) непрерывны и имеют
непрерывные частные производные, когда точка (и, v) описывает часть Д,
плоскости (и, v), ограниченную контуром С,; 2) что, на основании

формул (16), части Аа плоскости (и, v) соответствует часть А плоско-
сти (л:, у), ограниченная контуром С, и что соответствие между точками

обеих площадей и обоих контуров взаимна однозначное, т. е. каждой

точке области А соответствует только одна точка области А^ , и обрат-

но; 3) что функциональный определитель Д —

£(М)

D (и, v)

не меняет знака

внутри С, , хотя и может обращаться is нуль в некоторых точках об-
ласти А, .

* Две системы прямоугольных осей называются одинаково расположенными,
если переход от положительного направления оси х к положительному направ-
лению оси у совершается в обоих случаях вращением в положительном направ-
лении (например, против часовой стрелки), или в обоих случаях—в отрицатель-
ном направлении.	(Ред.)
Здесь могут представиться два случая. Когда точка (и, v) описывает
контур С, , двигаясь в прямом направлении (§ 94), точка (х, у) будет
описывать контур С, перемещаясь постоянно нли в прямом направлении
или в направлении обратном. В зависимости от этого мы будем гово-
рить, что рассматриваемое соответствие между областями А и А1 —
прямое или обратное.

Площадь й области А плоскости представится интегралом
й = х dy,

причем интеграл берется вдоль контура С в прямом направлении. Сде-
лав замену переменных по формулам (16), получим:

Й —	v) dy (и, v),

где новый интеграл взят вдоль контура С* в прямом направлении, при-
чем должно взять знак -ф- или — в зависимости от того, будет ли со-
ответствие прямым или обратным. Применим к этому новому интегралу
,	п	, ЙФ „

формулу Грина, положив и ~ х, v=y, P—f -t- , Q -Д-. Это дает:

<>Q	.

dU dv	D {U, V) '

поэтому

Й = 4- Udu dv.

J J D (и, v)

Д,

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем значении, по-
лучим:

где ($,?])—координаты точки, лежащей внутри С\ , и . площадь
области Аг плоскости (и, v). Мы видим, что перед правою частью дол-
жно взять знак или — в зависимости от того, будет ли определи-
тель Д сам положительным илн отрицательным. Следовательно, соответ-
ствие будет прямым или обратным в зависимости от того, будет
ли Д положительным или отрицательным.

Формула (17) устанавливает еще одну аналогию между функцио-
нальными определителями и производными. В самом деле, предположим,
что область плоскости неограниченно уменьшается во всех направ-
лениях, так что все ее точки стремятся к предельной точке (и, v). То-
гда и область А будет неограниченно уменьшаться; поэтому отноше-
ние площадей Й, будет иметь пределом абсолютное значение опреде-
лителя Д. Следовательно, подобно тому как производная есть отно-
шение двух линейных элементов, определитель Д есть отношение двух
элементов поверхностных. С этой точки зрения формула (17) имеет
сходств^ с формулою конечных приращений.
Прнмечан и е. Те предположения, которые были сделаны относительно соот-
ветствия между областями А и , не все независимы между собою. Так, для
того, чтобы соответствие было однозначным, необходимо, чтобы определитель А
не менял знака в области Ал плоскости (и, v). В самом деле, предположим, что А
равно нулю вдоль кривой ft, отделяющей ту часть области А,, где А поло-
жительно, от той части, где А отрицательно. Рассмотрим весьма малую дугу
кривой ft и весьма малую часть области At , заключающую внутри себя дугу т1п1',
эта часть разделится дугою ffftft на две области а{ и а'* (черт. 20).

В то время как точка (и, v) описывает площадь а,, в которой А положитель-
но, точка (х, у) опишет площадь а с контуром mnpq, и направления движения
по обоим контурам mlnlplql, mnpq будут или одновременно прямые, или одно-
временно обратные. Когда же точка (и, &) описывает площадь (Г , в которой А

отрицательно, точка (с, у) опишет площадь а’, причем движение по ее конту-
ру nmqr будет совершаться в обратном направлении, если движение по контуру

Черт. 20.

niniqini совершалось в прямом.
Поэтому площадь а' должна от-
части покрывать площадь о; таким
образом всякой точке (х, у) общей
части пгт площадей а и а' будут
соответствовать не одна, а две
точки (u, v), лежащие по разные
стороны линии тлп, .

Положим, например, Х=х,
К = у2; мы имеем Д=2у. Если
точка (х, у) описывает замкнутую
площадь, содержащую отрезок ab
оси Ох, то легко видеть, что точка
(V, Y) будет описывать две пло-
щади, расположенные над осью X

и примыкающие к одному и тому же отрезку АВ этой оси. Лист бумаги, сложен-
ный вдоль прямой линии, дает представление о площади, описываемой точкою (X, Y).

Для того чтобы соответствие было однозначным, недостаточно, чтобы опреде-
литель А сохранял в области At постоянный знак. Возьмем, например, Х=х%—у2,
F=2xy определитель А-.—4 (л‘2 + у2) всегда положителен. Обозначая через (г, 0)
(/?, ш) полярные координаты обеих точек (х, у), (X, У), мы представим предыду-
щие формулы в виде /?-= г2, » = 26, Будем изменять гота до Ь (а < Ь), и &

от 0 до л + а, где а заключается между 0 и у ; точка (/?, и) опишет кольцеоб-

разную полосу, заключающуюся между двумя окружностями с радиусами а2 и &2.
Но каждому значению угла ш, заключающемуся между 0 и 2а, соответствуют два
значения угла 0: одно ft, заключающееся между 0 и а, и другое, 02, заключаю-
щееся между it инфа. Площадь, описываемую точкою (X, Y), можно представить
при помощи плоской бумажной кольцеобразной полосы, концы которой отчасти
находят друг на друга.

118.	Замена переменных. Первый способ. Сохраним предположения
предыдущего параграфа относительно областей А, Аг, а также и форму-
лы (16); пусть будет Г(х, у) функция, непрерывная в области А. Ра-
зобьем область Аг произвольным образом на меньшие области аг ,
а2, ... , ап ; им будет соответствовать разбиение области А на области
Oj, а2, ... , ап. Пусть будут <oz и az площади двух соответствующих
областей at и az; по формуле (17) имеем:

<Bz = az

D (f, у)
О («,., vt)

где ut,	— координаты некоторой точки области <j.i. Этой точке (mz ,

соответствует точка	, vj, yt = tp (ui, области at. Поэтому,
полагая Ф (и, v) = ^[/(zz, г>), (p(zz, tz)], мы можем написать:

S Flx‘  =Sф •“> ’	) °';

отсюда, переходя к пределу, получим:

f J F(r, У)

d < dy = J j F [/(zz, v), (p (zz, zz)]

D(f, <p)

D (zz, v)

du dv.

(18)

Таким образом, чтобы произвести замену переменных в двойном ин-
теграле, должно заменить х и у их значениями в функции новых
переменных и и v, а произведение dк dy — произведением | Д | du dv.
Что же касается новой области инте-

грирования, то мы уже объяснили
выше, как она определяется.

Вообще, чтобы найти пределы,
между которыми должны быть выпол-
нены интегрирования при вычислении
нового двойного интеграла, нет на-
добности строить контур Cj новой
области интегрирования . В самом
деле, будем рассматривать и и v как
систему криволинейных координат.
Если мы дадим в формуле (16) одному
из переменных и, v постоянное зна-
чение и будем изменять другое пе-
ременное, го получим два семейства
кривых и = const, iz=const. Вслед-
ствие предположений, сделанных при
выводе формул (16), через каждую

точку области А проходит одна и	Черт. 21.

только одна кривая каждого из обоих
семейств. Предположим для определенности, что кривая v — const пере-
секает контур С только в двух точках Af1, М2, соответствующих значе-
ниям иу , и2 переменного zz(zz1 < zz2), и что все кривые (zz), пересекающие
контур С, расположены между кривыми г» - a, v = b (а <^Ь) (черт. 2 ).
Тогда, интегрируя сначала по и и оставляя v постоянным, мы должны
будем изменять и от иЛ до и2 (иг и и2 "будут вообще функциями от v)
и затем снова проинтегрировать полученный результат по перемен-
ному v между пределами а и Ь.

Таким образом искомый двойной интеграл будет равен:

Ь и2

[dv^ F[f(u, v), ф (и, г>)] | А | du.
а и{

В сущности, замена переменных приводится к разбиению области
интегрирования на бесконечно малые области двумя семействами кривых
(zz) и (ц). Пусть будет о> площадь криволинейного четырехугольника,
ограниченного кривыми (zz), (u-\-du), (iz), (v-\-dv), где du и dv поло-
жительны; на плоскости (zz, iz) этому четырехугольнику соответствует
прямоугольник со сторонами du и dv. Поэтому, на основании форму-
лы (17), имеем ю — | Д (с, 7)) | du dv, где $ заключается между и и и-j-du,
а к; — между v и v -i~dv. Выражение | Д (и, v) | du dv называется элемен-
том площади в системе координат (и, и). Точное значение о> есть

со = { | Д (и, v) | -1- е} du dv,

где г бесконечно мало вместе с da и dv. Но при вычислении предела
суммы SF(x,y)(i) количеством е можно пренебречь; в самом деле, так
как функция Д (a,v) непрерывна, то можно предположить кривые
(a), (v) настолько близкими, чтобы все количества г были по абсолют-
ному значению меньше всякого заданного положительного числа, и
следовательно, чтобы сумма 2 F(x, у) е dx dy также была по абсолют-
ной величине меньше всякого положительного числа.

119.	Примеры. 1. Полярные координаты. Заменим прямоугольные
координаты полярными. Мы имеем x = pcosco, у = р sin со, и мы полу-
чим все точки плоскости, изменяя р от 0 до -|~ оо и со от 0 до 2п.
Функциональный определитель равен Д —р, так что элемент площади
есть pdcodp, как это можно легко вывести геометрически. Предположим
сначала, что требуется вычислить двойной интеграл, распространенный
на часть плоскости, ограниченную двумя прямыми ОА, ОВ, образую-
щими с Ок углы <i>j, <1>3, и дугою АВ, которая пересекается с полу-
прямою, выходящею из начала не более чем в одной точке. Пусть будет
/? = (р(<1>) уравнение дуги АВ-, так как со заключается между cOj и со2, а
р может изменяться от 0 до R, то двойной интеграл от t(x,y) равен;

«ч к

У dm l/(p cos <•>, р sin со) р dp,
О

В том случае, когда кривая АВ замкнутая и содержит начало коорди-
нат внутри себя, должно положить со, — 0, со2 = 2п. Всякая другая об-
ласть интегрирования может быть разложена на несколько областей,
подобных предыдущей. Предположим, например, что контур С есть
замкнутая выпуклая кривая, оставляющая начало снаружи. Пусть бу-
дут ОА и ОВ касательные, проведенные к этому контуру через начало
координат, И /?,	(со), /?2— ф2 (со) уравнения кривых ANB, АМВ.

При данном значении со, заключающемся между <Dj и со2, р может изме-
няться от R^ до /?2 , и мы получим для двойного интеграла выражение:

dco \ /(р cos ю, р sin со) р dp.

'.о, н,

2. Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных кривых
второго порядка:	,	,

4+ст-1-	<19>

где 1 обозначает произвольный параметр. Через каждую точку плоскости прохо-
дят две кривых этого рода: это будут эллипс и гипербола, так как уравнение (19)
имеет при всяких х и у один корень X, больший &, и один положительный ко-
рень р, меньший с*. Из соотношения (19) и из такого же соотношения, ио в ко-
тором 1 заменено через |х, найдем:

v =	, у =	—с2)(с2—И) (0 |х г ci X).	(2 )

С	с
Во избежание неопределенности мы
сти ху, которая расположена в угле
ствуют однозначно точкам части
плоскости (X, |л), ограниченной пря-
мыми "

). = сг, |х -- 0, |х = А

Когда точка (X, |х) описывает
контур этой области в направле-
нии, указанном стрелками, то, как
видно из формул (20), точка (х, у)
опишет оси Ох, Оу в направлении,
указанном стрелками. Следователь-
но, здесь соответствие — обратное;

О(х,у)
о (*, н)

будем рассматривать только ту часть плоско-
хОу (черт. 22). Точки этой области соответ-

Черт. 22.

этом можно также убедиться, вычислив А:

1 X,— и

4 j/k|X (к — с2) (с2 —|Х)

120.	Замена переменных. Второй способ. Выведем теперь общую
формулу (18) другим приемом, опирающимся исключительно на самый
способ вычисления двойного интеграла. Мы, разумеется, сохраняем при
этом все те предположения, которые были нами сделаны ранее относи-
тельно соответствия можду точками обеих областей Д, /Ц. Заметим
сначала, что если формула верна для двух частных преобразований

x—f{u,v),	zz=/j(m', 1/'),

у = (и, v), v(и', v'),

то она будет верна также и для преобразования, которое получается
от последовательного выполнения обоих предыдущих преобразований;
это следует из известного свойства функциональных определителей (§ 52):

D(x, у)___ D(x,y) D(u,v)

D(u',v') D(u,v)

Точно так же, если формула верна для нескольких областей А, В,
С, ... , L, которым соответствуют области /Ц , Вл, С1? ... , Ьл , то она
будет также верна и для области А В -|- С 4- . .. -[-А. Накрнец, фор-
мула верна, если замена переменных приводится к преобразованию
координат:

х — х0 -|- х' cos а —У sin а, у =_у0-|- х' sin а -\-у' cos а;

мы в этом случае имеем Л=1, и оба предыдущих интеграла равны:

F(x, yjdxdy —
д'

— F (х0 х' cos а —у1 sin а, у0 х' sin а -|-У cos a) a! v1 dy1,

так как они выражают один и тот же объем.

Мы выведем сначала формулу замены переменных для частного
преобразования

х =	,У), _у=У,	(21)
при котором области А соответствует другая область А , заключающаяся
между теми же прямыми	у=^уу, параллельными оси Ох. Пред-

положим, что каждой точке области А соответствует только одна точка
области А', и обратно. Если прямая, параллельная оси Ох, пересекает
контур С области А только в двух точках, то и контур С области А'
будет пересекаться тою же прямою также только в двух точках. Точ-
кам т0 и ту с ординатою у на контуре С соответствуют точки т'о и
от'- на контуре С'. Но здесь могут представиться два случая в зависи-
мости от того, будет ли соответствие прямым или обратным. Чтобы

возрастает вместе с х, точки от0 и отр т'о и т\ расположены, как
дФ

указано на черт. 23, и соответствие прямое. Напротив, если —
Ь	vX

отрицательно, то соответствие—-обратное.

Рассмотрим первый случай. Пусть будут х0,	х'(1, х'{ — абсциссы

точек т0, тг т'о, т'г Применяя к простому интегралу формулу за-
мены переменного, имеем:

х‘. ''

I F(x,y)dx = [(л\ у'), j] dx',
J	J	Vх

х'
ло

где у и у' рассматриваются как	постоянныеГтаким образом получаем:

л	Л	*'

I dy \ F (х, y)dx = I dy' I F [ср (x', У),У] dx'.
J	J	J	J	О V

Уе	3'0	, 1
d'J>

Но в этом случае определитель Якоби А равен —
формулу можно также представить в виде:

и предыдущую

F(x, у) dx dy — Ц Л [</(*', У), У) | А | dx1 dy’.
>Г	д'

Если отрицательно, то формула может быть выведена таким же
образом. Очевидно, что она может быть распространена на область,
ограниченную контуром произвольного вида.

Таким же образом мы докажем, что, полагая

х — х1, у = <Ъ(х',у'),	(22)

мы получим формулу:

\ \ F(x, y)dxdy F[x', Ф (л', У)] | A I dx' dy',
a"	А'

причем точки новой области интегрирования А' взаимно однозначно
соответствуют точкам области А.

Рассмотрим теперь общие формулы преобразования:

*=/(гнЛ).	(23)

Для большей наглядности будем рассматривать (х, у), (хх, _у,) как
координаты двух соответствующих точек т, М} относительно одной и
той же системы осей координат. Пусть будут А, А1 соответствующие
области, ограниченные контурами С, Сг Если мы присоединим к двум
точкам т, М еще вспомогательную точку tri с координатами х'=х1,
у' —у, то эта точка т! опишет вспомогательную область А'; мы пред-
положим сначала, что точки области А' находятся во взаимно одно-
значном соответствии с точками каждой из областей А, Av Между
шестью координатами х, у, xv yv х', у' существуют четыре соотно-
шения :

x=f(xl,yi), y=j\ (XpJi), х' = хр у'=у.

Отсюда прежде всего имеем:

х’— хр У=А (Л'р y'j);	(24)

равенства (24) определяют преобразование вида (22). Далее, из со-
отношения y' — fx (х', _Vj) получаем у2 — п(л', у'), и следовательно,

х =/(х', .nJ = <р (х', У), у ==у.	(25)

Таким образом рассматриваемое преобразование (23) может быть
получено как результат двух частных преобразований (24) и (25).
к которым применима общая формула (18); следовательно, эта формула
применима также и к преобразованию (23).

Примечание. Мы предполагали, что область, описанная точкою т', на-
ходится в однозначном соответствии с каждою из областей А, А,. Мы можем
всегда этого достигнуть. В самом деле, рассмотрим в области А{ линии, кото-
рым в области А соответствуют прямые, параллельные оси Ох. Если прямая,
параллельная оси Оу, пересекает каждую из этих линий только в одной точке.
то ясно, что каждой точке т области А соответствует только одна точка tn'
области А'. Поэтому достаточно разбить площадь А, на достаточно малые части,
чтобы в каждой из них это условие было удовлетворено. Если бы линии об-
ласти А оказались прямыми, параллельными Оу, то предварительно мы выпол-
нили бы над (хр j’j) преобразование координат.

121.	Объемы. Подобно тому, как интуитивное представление площади
плоской кривой приводит к аналитическому понятию об определенном
интеграле (§ 66 - 68), аналитическое выражение, которое мы взяли за
определение двойного интеграла, могло бы быть выведено из интуитив-
ного представления объема, ограниченного цилиндром, плоскостью,
перпендикулярною к его образующим, и частью какой-либо поверхности.
Мы не будем, однако, развивать здесь рассуждение, приведенное
выше (§ 67), и дадим, наоборот, чисто аналитическое определение
объема,' ограниченного замкнутой поверхностью. Пусть будет 2
замкнутая поверхность, которая разделяет все пространство на две
различных области: внутреннюю область D и внешнюю D'- две точки
одной и той же области всегда могут быть соединены ломаной, не
пересекающей поверхности 1', между тем как всякая ломаная, соеди-
няющая точки двух различных областей, имеет, по меньшей мере, одну
общую точку с 2.

Чтобы определить объем такого рода области, мы пойдем тем же
самым путем, которым мы шли для определения площади плоской кри-
вой. Назовем многогранной областью всякую ограниченную область,
граница которой состоит из конечного числа плоских многоугольных
областей, называемых гранями. Всякая многогранная область может
быть получена посредством соединения конечного числа выпуклых
многогранников; объем этой области определяется в элементарной гео-
метрии. Пусть будут Р м р — две многогранные области, из которых
первая содержит D, а вторая сама содержится в D, и пусть Vp и
Vp—соответствующие объемы. Мы имеем всегда VP~J> Vp, и следо-
вательно, числа Vp имеют нижнюю границу V, а числа Vp—верхнюю
границу V; сверх того, мы имеем Vs^V. Если V'=V, то говорят,
что область D имеет определенный объем, и число V принимают за
меру этого объема. Следующие предложения доказываются так же,
как и в случае плоских площадей (§ 77 и 78).

Чтобы область D имела объем, необходимо и достаточно, чтобы,
каково бы ни было положительное число е, можно было найти,
такие две многогранные области Р и р, из коих одна содержит D
а другая сама содержится в D, чтобы разность Vp — Vp была
меньше г.

Если область D может быть разбита на несколько обла-
стей Dy, D2, ... , Dn , объемы которых суть соответственно V, .
У2,. . . ,Vn, то область D имеет объем

Если все пространство разделено на кубы со стороной р посред-
ством плоскостей, параллельных трем взаимно перпендикулярным
плоскостям и равноотстоящих друг от друга, то сумма объемов
кубов, внутренних по отношению к D, имеет пределом объем I/,
§ I21
когда сторона р стремится к нулю, тогда как сумма объемов кубов, име-
ющих одну или несколько общих точек с границей D, стремится
к нулю.

Возьмем сначала область D, ограниченную цилиндром, нормальное
сечение которого представляет собой замкнутую плоскую кривую С, не
имеющую двойных точек, плоскостью Q, перпендикулярною к образую-
щим цилиндра, и частью поверхности S, внутреннею по отношению
к цилиндру, которую любая параллель к образующим цилиндра пере-
секает в одной и только одной точке. Возьмем плоскость Q за пло-
скость ху, а одну из параллелей к образующим цилиндра за ось z;
пусть z =f(x, у) — уравнение поверхности S; f(x, у) есть функция,
непрерывная внутри плоской области d, внутренней по отношению
к кривой С—нормальному сечению цилиндра плоскостью z = 0. Мы
предположим, сверх того, что /(х, _у)	0. Разделим теперь плоскость ху

на квадраты со стороной р посредством прямых, параллельных осям
координат и равноотстоящих друг от друга, и построим затем две
многогранные области Р и р следующим образом. На каждом из тех.
квадратов плоскости ху, которые имеют хотя бы одну общую точку
с С, построим прямую призму, имеющую основанием этот квадрат,
а высотой — верхнюю границу М функции f(x, у); на каждом квадрате,
внутреннем по отношению к С, построим таким же образом прямую
призму, имеющую своим основанием этот квадрат, а высотой—верхнюю
/раницу М( функции /(х, у) в том же квадрате. Ясно, что эти призмы
образуют многогранную область Р, содержащую D. На каждом вну-
треннем квадрате построим также прямую призму, имеющую основанием
этот квадрат, а высотой — нижнюю границу т{ функции f(x,y} в том
же квадрате. Множество этих новых призм представляет собой много-
гранную область, содержащуюся в D. Разность V р — Vр объемов этих
двух многогранных областей меньше, чем /Ит; До>, где ц есть сумма
площадей смешанных квадратов, А— площадь области d, <о—верхняя
граница колебания «функции /(х, _у) в квадрате со стороной р. Но мы
можем взять р столь малым, чтобы каждое из произведений /Ит], Лот
было меньше любого заданного числа г. Область /9 имеет, следовательно,
определенный объем.

Этот объем равен двойному интегралу

V — ЦДх, у) dx dy,
D

так как, каково 'бы ни было р, объем Vp превосходит этот двойной
интеграл, в то время как объем VB остается меньше того же интеграла.

Область, ограниченная замкнутой поверхностью, которая встречается
с параллелью к Oz не более как в двух точках, может рассматри-
ваться как разность двух областей, подобных предшествующей. Объем
ее будет, следовательно, равен разности двух двойных интегралов.
Наконец, всякая область, ограниченная произвольной замкнутой по-
верхностью, которая, однако, встречается лишь в конечном числе точек
с параллелью к Oz, может быть разбита на некоторое число областей,
граница которых встречается с параллелью к Oz не более как в двух
точках. Обьем этой области выразится, следовательно, алгебраической
суммой двойных интегралов.

122.	Вычисление объемов. Рассмотрим, как мы это делали выше, часть
пространства, ограниченную поверхностью S’, расположенною над пло-
скостью хОу, самою этою плоскостью и цилиндром, образующие
которого параллельны оси О.. Предположим, что сечение цилиндра
плоскостью г = 0 есть контур, образованный, как на черт. 18, двумя
прямыми, параллельными оси Оу, и двумя дугами кривых Ат1В, А'т3В'.
Если г=/(х, у) есть уравнение поверхности 5, то объем, ограничен-
ный таким образом, представится интегралом

ft у.

V — \ dx ^/(х, у) dy.
а
ъ

Но интеграл \f(x, y)dy представляет площадь сечения этого объема
а

плоскостью, параллельною плоскости yz; поэтому предыдущую формулу
можно также представить в виде:

ь

V = pUx.	(26)

а

Очевидно, что каждый объем, ограниченный произвольною поверх-
ностью, равен алгебраической сумме некоторого числа объемов, огра-
ниченных так, как было сказано выше. Так, например, для вычисления
объема, ограниченного замкнутою выпуклою поверхностью, мы можем
описать около этой поверхности цилиндр с образующими, параллель-
ными оси Oz, и вычислить разность двух объемов, подобных рассмо-
тренному выше. Таким образом формула (26) применима ко всякому
объему, ограниченному двумя параллельными плоскостями х = а,
x = b(a<^b) и поверхностью произвольного вида, причем 9( .обозначает
площадь сечения этого объема плоскостью, параллельною двум пре-
дыдущим плоскостям. Предположим, что промежуток (а, Ь} разбит на
меньшие промежутки а, xz , х2, . . . , хд-1 , b\ пусть будут ЗХ0 , 3(j , . . . ,
3(z, . . . площади сечений, соответствующих плоскостям х~а,х ~ху, ...

ь

Определенный интеграл \ty.dx есть предел суммы

5I0(Xj —а) 4-8(1 (х2—xJ4- . .. 4-31,._j (xz —xz_j)4- .. .

Геометрический смысл этой суммы очевиден. В самом деле, например,
^(/-т (xt — -*7-1) представляет объем цилиндрического слоя, основанием
которого служит сечение, образованное плоскостью х = х/_1, а высо-
тою— расстояние между двумя соседними плоскостями. Следовательно,
искомый объем есть предел суммы таких бесконечно тонких цилиндри-
ческих слоев, что совершенно согласуется с обычным понятием об объеме.

Если выражение площади 51 в функции от х известно, то искомый
объем получается посредством одной квадратуры. Предположим, напри-
мер, что требуется определить объем, ограниченный поверхностью вра-
щения и двумя плоскостями, перпендикулярными к ее оси. Примем эту
ось за ось О<, и пусть будет z=f(<) уравнение меридиана в плоско-
сти xz', в этом случае сечение объема плоскостью, параллельною пло-
ь

скости yz, есть круг радиуса /(х), и искомый объем равен тЦ |/(х)|27д^
а

Найдем еще обьем части эллипсоида

Л2 V2
— I	1

Я2 И" й2 “Г С2

заключающейся между двумя плоскостями х = х0,х = Х. Сечение эллип-
соида плоскостью, параллельною плоскости х = 0, есть эллипс, полу-
оси которого равны

следовательно, искомый объем равен:

Чтобы иметь обьем всего эллипсоида, достаточно положить х0 =— а,
4

Х — -\-а, что дает — Ttabc.
О

123.	Объем, ограниченный линейчатою поверхностью. Когда площадь 91
есть целая функция второй степени от х, то объем выражается очень просто
через площади В, В' двух крайних сечений, через площадь b среднего сечеиия
и через рсстояиие h между двумя крайними сечениями. Приняв плоскость сред-
него сечения за плоскость у;, имеем:

4 л

(lx2 + 2/лх \-ti)dx it -j \-‘2na\
— a

с другой стороны, мы имеем:

h ~ 2а, b — n, B~la* r 2tna -|- n, B'= la% — 2tna n,
откуда

n -=b, a = A , 2/Щ В + В' — 2b.

Отсюда получаем формулу:

h

V=—[B + B' + bb\.	(27 >

В частности, формула (27) применима к объему, ограниченному двумя параллель-
ными плоскостями и какою-нибудь линейчатою поверхностью. В самом деле, пусть
будут у = ах р, z = bx -\-q уравнения подвижной прямой, где a, b, р, q суть
непрерывные функции переменного параметра t, принимающие опять начальные
значения после Перехода t от f0 к Т. Эта прямая опишет линейчатую поверх-
ность, и площадь сечения этой поверхности плоскостью, параллельною плоско-
сти х = 0, будет иметь выражение 04):

т

21 = (ах + р) (Ь’х + д’} dt,

*0

|де a', b', р’, q' обозначают производные от a, b, р, q по t-, эти производные
могут быть прерывными для конечного числа значений параметра t между и Т,
что будет в том случае, если линейчатая поверхность состоит из частей различ-
ных поверхностей. Последний интеграл можно также представить в виде:

Т	Т	17

=>2 ab’ dt +[х \ pb'} Л+у\ pq' dt-
to	*0	to

интегралы в правой части, очевидно, не зависят от х. Следовательно, к искомому
объему применима формула (27). Можно заметить, что из нее можно получить
выражения большей части объемов, вычисляемых в элементарной геометрии.

124.	Площадь кривой поверхности. Аналитическое определение по-
верхности осуществляется следующим образом. Пусть будут f(u, г/),
ф (и, v), (Ь(и, v) — функции двух переменных и, v, непрерывные, когда
точка с координатами (и, v) остается в области /? плоскости, ограни-
ченной замкнутым контуром L. Когда точка (и, v) описывает область /?,
то геометрическое место точек пространства, прямоугольные координаты
которых суть х = f(u, v), y = if(u, v), z — ф (и, ъ), есть некоторая по-
верхность 5, а кривая Г, соответствующая кривой L плоскости (и, v},
есть контур этой поверхности. Мы будем говорить, что поверхность А
есть правильная, если можно выбрать параметры и и г» так, чтобы
были выполнены следующие условия: 1) точки поверхности А' и обла-
сти ft плоскости (и, v) находятся во взаимно однозначном соответствии,
так же как и точки их контуров Г и £; 2) функции /, ф, ф имеют
частные производные первого порядка, непрерывные в В и на А;
„	D(x,y) D(y,z) D(z,x)

3) якобианы	, —-у—-, ----------не обращаются одновременно

D (и, v) D(u,v) D (и, v}

в нуль ни в одной точке /? или L. Сначала мы будем рассматривать
лишь правильные поверхности или же такие, которые состоят из ко-
нечного числа кусков правильных поверхностей.

В точке М правильной поверхности, соответствующей точке (и, v)
области /?, эта поверхность имеет касательную плоскость, уравнение
которой есть (§ 61J'

А (X— х) 4- В (V — у) -р С (Z — г) = О,
1 де

. zQ(y, z) r,D(z>х) c_D(x,y)
D (и, v) ’	D(u,v)’	D\u,v}’

направляющие косинусы нормали имеют выражения:

-4- А а -4- В	-Г- С

а ~  ..	:	, 8 = 	~~------г , V =: 	. ~ . . . .  ,

/д24-в24-с2	/а24-в2 н-с2 /а24-ь24-с2

причем во всех трех формулах нужно взять один и тот же знак. Этот
двойной знак соответствует двум противоположным направлениям нор-
мали, из коих любое мы можем принять за положительное. Например,
если мы хотим иметь косинус направления, составляющего острый угол
с осью Oz, то мы должны будем взять знак, совпадающий со знаком С.

Если мы заменим и и v функциями параметра t, то точка (х, у, z)
опишет на поверхности 5 некоторую кривую, и квадрат линейного
элемента этой кривой, который мы получаем, возводя в квадрат выра-
жения dx, dv, dz и складывая результаты, выразится формулой:

ds2 = Edu2-\-<2.Fdudv ^Gdv2,	(28)

где положено

/<)х\2	Зх йх	/дх\2

-SSb'-'-sU 

знак S указывает, что нужно заменить х через у, затем через г и
результаты сложить. Эти функции Е, F, О играют важную роль в уче-
нии о поверхностях; если /, tp, ф суть действительные функции, что
мы и предположим, то ясно, что Е, G, LO - F2 положительны.

Коэфициенты А, В, С зависят не только от точки, взятой на
поверхности, но также и от осей координат, между тем как Е, F, О
вовсе не зависят от выбора координатных осей, а зависят только от
поверхности 5 и от взятых нами переменных и и v. Сказанное яв-
ствует из геометрического смысла этих коэфициентов; можно, впрочем,
убедиться в этом и непосредственно, если воспользоваться формулами
преобразования координат. Но эти шесть функций связаны важным
соотношением:

Д2 4, fi2 С2 = ео— F2,S

которое выводится из тождества Лагранжа:

(ab* — Ьа')2 (Ьс' — cb')2 -|- (са' — ас')2 =
= (а2	/>2]+ с2) (а'2 4- Ь'2 4- с'2) — (аа' 4- bb’ + сс')2,

, I и j <)х ‘]У *z

заменяя в нем a, b, с, а', b , с через —,	соответственно.

ди ди dv

Мы выведем еще одну предварительную формулу. Пусть будут г —
часть /?, ограниченная замкнутым контуром с, т—внутренняя точка г,
s — часть <$, соответствующая г, у—контур s, и М — точка 5, соот-
ветствующая т. Предположим, что область г настолько мала, что
параллель к нормали в М может встретить s не более как в одной
точке. Ортогональная проекция этой поверхности s на плоскость, ка-
сательную к поверхности в точке /И, представляет собой плоскую об-
ласть s’, ограниченную замкнутою кривою у’ — проекцией у. Пусть
будут ш — площадь г, а а — площадь s'; найдем сначала выражение
а

отношения —- (ср. § 117). Для этого представим себе, что точка М
выбрана за начало координат, за ось z взята нормаль в М, а за оси х
и у — две какие-нибудь прямые, лежащие в касательной плоскости,
взаимно перпендикулярные и выходящие из М. Если и0, ц0—коорди*
наты точки т в плоскости (и, v), то, поскольку касательная плоскость
в начале координат есть плоскость z—О, мы имеем Ао~Во—О,
а следовательно, C? = E0G0— F?, причем индексом нуль обозначено
значение функции переменных и и v при и — uQ, u = v0. Площадь а
есть площадь, ограниченная кривою у', которую точка (х, >) описывает
в плоскости z — 0, когда точка (и, v) описывает контур с; мы имеем,
следовательно (§ 117), a==w|C(u', v' )|, где и' и v' суть координаты
некоторой точки т' внутри контура с. Функции ]C(u,v)] и }/EG—Е2
равны, как мы только что видели, при ц = и0, v = v0; так как эти
функции непрерывны, то, если область г весьма мата, их «разность
при и = и', v = также весьма мала, и мы имеем:

з = со {/E'G' —	£},

где £', F', G’ суть значения Е, F, Q для координат и', v' точки области г,
а г бесконечно мало одновременно с измерениями этой области г.

Это число г стремится равномерно к нулю одновременно с наибольшим из-
мерением области г. В самом делее мы имеем:

| Е = -------А 2 Аг~-“----	]/Д’2 4- В'2 4- С"2 f- -Ai- В 2 - I < //sin'2 6

1 |C 4-Г A'2 + B’2 + C2	I A'2 + B'2 4-C^< "sln ’

где H есть максимальное значение радикала ]CEG— F~\ a 6 — угол между нор-
малями в двух точках («0, w0) и (и', v') поверхности S. Следовательно, нам доста-
точно будет показать, что острый угол 6 между нормалями в двух соседних точ-
ках .44, М' поверхности S стремится равномерно к нулю вместе с расстоянием ММ'.
Но, какова бы нн была система координат, мы имеем:

e _ {АВ' - ВА'У +(RC'~ СВ'У + (С/г' - АС'У
(Д2 4- в^ 4- а) (4'2 4- вч + С"2)

и правая часть этого равенства есть непрерывная функция четырех переменных
и, v, и', v‘, обращающаяся в нуль при и’ — и, v’ — v. Следовательно, она равно-
мерно стремится к нулю вместе с {и' —tiy 4- (o' — »)2 (§ 8, 12).

Представим себе теперь, что область R плоскости (и, п) разбита
на п частичных областей г, , ...,/• причем область rt ограничена
замкнутой кривой с;, и возьмем внутри г, какую-либо точку

Этой области г1 и кривой су соответствуют на S’ часть поверхности st
и ее контур у,. Пусть Л4,— точка st, соответствующая точке mj; мы
предположим, что все области rz взяты столь малыми, что параллель
к нормали в точке М встречает ss не более как в одной точке *. Про-
екция поверхности st на касательную плоскость в Mt представляет со-
бой плоскую область, площадь которой равна . Когда число п неогра-
ниченно возрастает, и притом так, что все области гг стремятся к нулю
по всем своим измерениям, то сумма этих плоских площадей

 * Этот пункт может быть доказан со всей строгостью (Bulletin de la Societe
mathenati ue, т. XXXVIII, 1910, стр. 139). Мы избежим всяких затруднений, если
назовем площадью проекции s абсолютную величину интеграла \ уdx, взятого
вдоль у/ (ср. § 93).
стремится к пределу, который мы и называем площадью поверхности S.
В самом деле, мы имеем, на основании только что доказанного:

s=x®J/r.G;-fp-|-6/}r

где есть площадь rt, u',v—координаты точки, принадлежащей rt,
а гг—бесконечно мало. Сумма 2л>г-е/ стремится к нулю, так как г1
стремится к нулю равномерно; следовательно, 52 имеет пределом двой-
ной интеграл

А l/'EQ—F2 du dv.	(29)

R

Таково выражение площади поверхности 2? .

125.	Элемент поверхности. Выражение j/±'G— F2 du dv есгь элемент
площади поверхности 2? в системе координат (и, v). Точное выражение
площади малой части поверхности, заключающейся между кривыми (и),
(и 4- du), (v), (v-\-dv), есть (|/EG— F2 -ф- %) dudv, где s бесконечно мало
вместе с du и dv, но, как и выше, нетрудно убедиться, что членом
sdudv можно пренебречь. Это выражение элемента площади можно
легко получить из простых соображений диференциальной геометрии.
В самом деле, если мы примем бесконечно малую часть рассматриваемой

поверхности за параллелограм, построенный в касательной плоскости

к поверхности 2? в точке (u, v), то площадь этой части будет равна

произведению длин двух сторон на синус угла между кривыми (и)

и (v). Далее, если мы примем приращение дуги за диференциал

ds, то, по формуле (29), длины сторон параллелограма
Е du, V@ dv при положительных du и dv. Что касается угла

ду обеими кривыми, то направляющие
дх йу
кривым равны соответственно^—, -—,
йи йи

будут
а меж-
к этим

отсюда

параметры касательных
dZ	ЙХ	йу	dz

—	и	—	,	—	,	—	;

йи	й'п	йг1	dv

имеем’

и следовательно,

sin а =

Veg—f2

* Это определение имеет в своей основе замену бесконечно малой области
поверхности S бесконечно малым куском плоскости, касательной к поверхности
в точке этой области. Казалось 6oi более естественным принять определение,
аналогичное определению длины дуги кривой, т. е. определить площадь S как
предел площади вписанной многогранной поверхности, число граней которой
неограниченно возрастает, а наибольшая длина ребер стремится к нулю. Шварц
(Schwarz) дал простой пример, из которого обнаруживается следующий, на
первый взгляд, парадоксальный факт: плошад > этой многогранной поверхности
не стремится ни к какому пределу, если мы не добавляем некоторого дополни-
тельного условия (см. упражнение 12, стр. 320).
Выполнив умножение, мы придем к прежнему выражению элемента по-
верхности. По поводу формулы для cos а можно заметить, что коэфи-
циент F равен нулю, если оба семейства кривых (и) и (ц) образуют
ортогональную сеть, и притом только в этом случае.

Если поверхность 5 обращается в плоскость, то мы опять приходим
к найденному выше выражению (§ 118). В самом деле, полагая ф (м, ц)=0,
имеем:

Е

и, по правилу возведения

йгйх .

й« Й"У ‘ йи ЙЦ ' I йт> ) ' у I

в квадрат определителя, получим:

F

G

^EG — F*.

Таким образом	EG-—F обращается в |Д

Примеры. 1. Пусть требуется найти площадь той части поверхности S, пред-
ставляемой уравнением z=f(x,y), которая проектируется на плоскость хОу об-

ластью /?, причем в

а/

q =г£- непрерывны,
йу

Е = 1 + р2, F = pq,

этой области

функция f(x, у) и ее

производные

а/
р — — и

ЙХ

интегралом

Принимая х
G = 1 + ?2,

и у за независимые

и искомая площадь

переменные,

представится

получим
двойным

*=у

'r

р‘2 -)- dx dy — J 1
R

(30)

где т обозначает острый угол, образуемый нормалью к поверхности с осью Oz.

2.	Вычислим площадь части поверхности вращения, заключающейся между
двумя параллелями. Примем ось поверхности за ось Oz, и пусть будет г=/(х)
уравнение меридиана в плоскости xOz. Принимая за независимые переменные
полярные координаты р и м проекции какой-нибудь точки поверхности на пло-
скость хОу, имеем для координат этой точки поверхности выражения:

х = р cos о>, у- - р sin z— / (р).

Отсюда

dx2 = </р2 [1 +/'2 (р)] 4- р2 dw2,

£= 1 +/'2 (р), F = 0, G — ?*.

Чтобы получить часть поверхности, заключающуюся между параллелями
•с радиусами р, и р2 (pt < р>), очевидно, нужно изменять р от р( до р2, и <в — от
0 до 2г. Следв вательно, для искомой площади имеем:

Я = \ d?\ р }/1 +/'2 (р) du> = 2д р ]/1 +/'г (?) d?.

Pi о	р,

и нам остается выполнить только одну квадратуру. Обозначая через s дугу ме-
ридиана, находим:

as2 =	dz* — </р2 [1 у /'г (р)];
поэтому предыдущую формулу можно представить в виде:

31= 2ro ds.

Геометрическое истолкование этой формулы очевидно: 2лр ds есть боковая
поверхность усеченного конуса, образующая которого равна ds, а радиус сред-
ней окружности равен р. Рассматривая площадь, заключающуюся между двумя
бесконечно близкими параллелями, как боковую поверхность усеченного конуса,
мы и придем к формуле для 31.

Например, если мы имеем параболоид, образованный вращением параболы
х- = 1р2, то площадь части поверхности этого параболоида, ограниченная парал-
лелью радиуса г, равна:

31 = 2я j Vp'i + р* dp = '2~р [(r2 + р*) г -
'о

126.	Задача Вивиани. Опишем на ра-
диусе OA = R шара как на диаметре
круг С и найдем объем части шара, заклю-
чающейся внутри круглого цилиндра, для
которого круг С служит перпендикулярным
сечением. Примем центр шара за начало
координат. Четверть искомого объема будет
равна двойному интегралу

-Г ~ \ Кл2 — -г- — у- dx dy,

распространенному на половину круга,
описанного на ОА как на диаметре. Перей-
дем к полярным координатам р, а>. Угол ш
может изменяться от 0 до радиус о от 0
до R cos о>, и мы имеем:

2 7?соз<и

j dm	рУR2 — p'!dp

о о

2

‘о

или

2

V 1 I*	РЗ / ;t 9 ‘

Т = “3 1	~ R1 sin3 = 3" \ 2 ~ 3"

о

Вычитая из шара часть, заключающуюся внутри рассматриваемою цилиндра
и внутри другого такого же цилиндра, расположенного симметрично с первым
относительно оси Oz, мы найдем, что объем оставшейся части равен:

4

3

к/?3 —

— — R3

9 к
Площадь 9 части поверхности шара, содержащейся внутри предыдущего
цилиндра, получится из формулы:

9 = 4	У1 + р2 + <?-' dx dy.

Заменяя р и

.г у

q их значениями------— и-----— и переходя к полярным коорди-

натам, находим:

9=4

2 ftcosu)

[л Г .	.

.1	J

о	о

2

4 J — R (К#2—Р*)о cos “ dv,
О

или

9. 4/?-'^ (1 — sin <«)^ш - -4/?2	Q •

О

Вычитая из поверхности всей сферы часть, содержащуюся внутри двух
вышеупомянутых цилиндров, мы получим для остающейся части выражение:

4г/?2-8/?2(д-1).= 8/?2.

III. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. ИНТЕГРАЛЫ ПО
ПОВЕРХНОСТИ.

127. Двойные интегралы по неограниченной области. Пусть f(x, у) —
функция, ограниченная и интегрируемая в любой части плоскости,
внешней по отношению к некоторой замкнутой кривой Г. Двойной
интеграл f(x, у) dx dy, распространенный на область, заключенную
между Г и некоторою другою замкнутою кривою С, внешнею по отноше-
нию к Г, имеет конечное значение. Если этот интеграл имеет предел,
когда кривая С безгранично удаляется во всех направлениях, то этот
предел есть, по определению, двойной интеграл функции f{x, у), рас-
пространенный на часть плоскости, внешнюю по отношению к Г. Мы
говорим, что переменная кривая С безгранично удаляется во всех
направлениях, если, начиная с некоторого момента, эта кривая остается
вне окружности произвольного радиуса /?, описанной из некоторой
неподвижной точки как из центра.

Условие, необходимое и достаточное для существования этого пре-
дела, есть следующее: пусть будут С, С — две произвольные замкнутые
кривые, охватывающие кривую Г, а 5 (С, С) — разность двух двойных
интегралов, распространенных на области, ограниченные кривыми (Г, С)
и (Г, С) соответственно. Необходимо и достаточно, чтобы разность
3(С, С’) стремилась к нулю, когда обе кривые Си С неограниченно
удаляются во всех направлениях и притом независимо друг от друга.

Очевидно, что это условие необходимо. Оно также и достаточно.
В самом деле, рассмотрим последовательность замкнутых кривых
Ср С2, ... , dn, ... , внешних по отношению к Г, охватывающих одна
другую и безгранично удаляющихся во всех направлениях при беспре-
дельном возрастании п. Так как разность о(Сот, Сл) стремится к нулю,
когда оба числа т и п неограниченно возрастают, то двойной инте-
грал, распространенный на область, заключенную между Г и Сп, стре-
мится к пределу I (§ 5). Возьмем теперь другую замкнутую кривую С,
произвольной формы, которая неограниченно удаляется во всех направ-
лениях. Так как разность S(C, Сп), по предположению, стремится
к нулю, то двойной интеграл, распространенный на' область, заклю-
ченную между Г и С, также стремится к I.

Мы предположили для определенности, что область интеграции без-
гранична во всех направлениях, но ясно, что в этом предположении нет
никакой необходимости. Мы можем, например, рассматривать область
интеграции, ограниченную двумя данными прямыми и переменною кри-
вою, которая неограниченно удаляется внутри угла, образованного
этими прямыми. Предшествующие рассуждения применяются без
изменений.

Пример. Рассмотрим функцию / (х, у), имеющую вне
начале координат и с радиусом г вид:

круга с центром в

'Ф (х, у)
(х2-|-у2)а

f (х, у)

причем числитель ф (х, у) всегда содержится между двумя положительными чис-
лами т и М. Примем за кривые С окружности, концентрические с первою.
Двойной интеграл, распространенный на плоское кольцо, заключающееся между
двумя окружностями с радиусами г п R, будет иметь выражение:

2- R

f rfw f ‘t* C()S t0' P Sin ‘°) P ;

J J p2“

0 r

с ледова 1ельио, эют двойной интеграл содержится между двумя интегралами
/? /?

2г.т I , 2пМ ( —

J 1	J р2«— 1

Г	г

При Beoi рапиченпом возрастании R рассматриваемый иптетрал имеет пре-
дел, если 2а—1 > 1, т. е. если а > 1 (§ 90). Напротив, при интеграл не-
ограниченно возрастает вместе с R.

Из необходимого и достаточного условия, полученного вьгге, тот-
час же следует, что двойной интеграл \ \ f(x, у) dx dy имеет предел вся-
кий раз, как его имеет интеграл \ \ [/(х, у) [	</у. Но здесь существует

важное отличие от случая одного независимого переменного. Если
функция/(х, у) сохраняет постоянный знак, например, если она поло-
жительна, то, чтобы узнать, стремится ли интеграл к пределу, доста-
точно рассмотреть последовательность замкнутых кривых Сг С2, .. .
..., Ся, ..., охватывающих одна другую, причем Сп безгранично уда-
ляется при беспредельном возрастании п. Если двойной интеграл
1п — \\/(х, у) dx dy, распространенный на область Rn, заключенную
между Г и С , при неограниченном возрастании п стремится к пре-
делу /, то интеграл распространенный на область /?', заключенную
между Г и замкнутою кривою С произвольной формы, безгранично
удаляющеюся во всех направлениях, стремится к тому же пределу.
В самом деле, контур С заключен между двумя контурами Ст, Ст+п,
которые безгранично удаляются одновременно с С. Мы имеем, следова-
тельно, 1т Г	и таким образом, /' имеет пределом I.

Если функция f(x, у) не имеет постоянного знака, то двойной ин-
теграл, распространенный на любую область, равен разности двух
двойных интегралов с положительными элементами

$ fix, y)dxdy=\^ 4 (х, ф) dx dy — ^/2 (х, у) dx dy,

между тем как

j j I f (X,у) \dx dy = j ^/j (x, у) dx dy -|- j j/2 (x, y) dx dy;

здесь положено /, = /, если />0, и /, — 0, если /<С 0; точно так же
/2 = 0, если />0, и /2 = —f, если /<^0. Тогда, если двойной инте-
грал j j | f(x, _у) | dx dy не имеет предела, то по меньшей мере один из
двойных интегралов ^\\Jydxdy, \\f2dxdy неограниченно возрастает.
Если оба эти интеграла беспредельно возрастают, то их разность
неопределенна В самом деле, применяя те же рассуждения, что и при
исследовании полусходящихся рядов (см. ниже, гл. VIII), доказывают,
что можно так выбрать семейство переменных кривых, что предел
двойного интеграла	у) dx dy оказывается равным любому напе-

ред заданному числу; при этом предполагается, что функция /ограничена.

Приведем пример, предложенный Кэли (Cayley).

Пусть будет /(х, у) = sin (х2 -/.У2); интегрируя сначала внутри квад-
рата со стороною о, мы получим для двойного интеграла выражение:

а а	а	а	а	а

\ dx j sin (х2 - |-_У2) dy = jsinx2 dx- cos_y2rfy Ц-j cos x2dx- jsinj/2 dy.

oo	ob	о	о

При неограниченном возрастании а интегралы в правой части

имеют предел (§ 88). Можно доказать, что этот предел равен

и, таким образом, правая часть имеет пределом тг. Если же мы будем
интегрировать внутри четверти круга с радиусом R, то получим для
двойного интеграла:

2	R

\dm \ р sin р2 rfp =---------— [cos’p2]/ = —[[1 — cos /?2],

б]	б	4

и при неограниченном возрастании R правая часть делается неопреде-
ленною.
128.	Функция В (р, q). Выше мы предполагали, что контур С„ неограниченно
удаляется по всем направлениям; но, очевидно, можно предположить, что уда-
ляется в бесконечность только часть этого контура. Это имеет место в приве-
денном выше примере Кэли, а также и в следующем. Положим

f (ус, у) = 4х2Р~*е — *2—у2,

где р > 0, <7 > 0. Функция f (х, у) непрерывна и положительна в координатном
угле хОу. Интегрируя эту функцию сначала внутри квадрата со стороною а,
образованного осями координат и прямыми х -а, у=а, мы получим для двой-
ного интеграла выражение:

а	а

\ 2х2/’ -1 е — dx • 2_у2? -1 е—У2 dy.
о	о

При неограниченном возрастании а каждый из предыдущих интегралов имеет
предел. В самом деле, если в интеграле, определяющем функцию Г (р) (§ 90),
+оо

Г(/>)= \ tP-i e-‘dt,
о

мы положим t. х'-, то получим;

+ оо

V(p) — \2x^P-ie-x2dx.	(31)

о

Следовательно, искомый двойной интеграл имеет пределом произведение
1’ МГ(?).

Проинтегрируем теперь ту же функцию внутри четверти круга, ограничен-
ной осями координат и окружностью х2 + у1--- R-- Вводя полярные координаты,
мы получим для двойного иптегралаж выражение:

71

/?	7

\а2р2^+'^_ 1 е~ dz- 2 cos2p~1 у sin2?-1 fdf.

б	6

Таким образом, полагая

2

В (/), ^) l 2 cos-P~ltf sin27~i tp <Ztf,	(32)

б

мы найдем, что при неограниченном возрастании R искомый двойной интеграл
имеет пределом

Г (p + q) В (р, q).

Приравняв оба предела, получим соотношение:

Г (Р) Г (<?) — Г (р + q) В (р, q).	(33)

Интеграл В (р, q) называется эйлеровым интегралом первого вида. Пола-
гая sin2<p — t, мы можем представить его в виде:

1

В(р, 9) = ^rt-i(l — t)P~'dt.	(34)

о
Формула (33) приводит вычисление функции В (р, q) к вычислению функ-
ции Г. Например, полагая, P~~q~- -у, получим:

г (л)У=Г(1>$ ~d‘ 'г’

и следовательно, Г	г. Отсюда, по формуле (31), имеем

-ОО	__

}е-х2 Vt—~	.

о	2

Вообще, если q~\ —р и если р заключается между 0 и 1, ю

Г(р)Г(1 - р)^-В(р,

и

Ниже мы увидим, что этот интеграл равен — •

129.	Интегралы от неограниченных функций. Таким же образом мы
определяем двойной интеграл функции f(x, у), которая обращается
в бесконечность в одной точке или вдоль некоторой линии. Для этого
мы, прежде всего, выделяем точку или линию разрыва из области инте-
грирования, окружая их весьма малым контуром или контуром, весьма
близким к линии разрыва, и затем беспредельно уменьшаем область,
внутреннюю по отношению к этому контуру. Например, если вблизи
точки (а, Ь) функция f(x, _у) имеет вид:

/(х, j)

:	Ф (*, У)

где-абсолютное значение ф (х, у) заключено между двумя положитель-
ными числами т и /И, то двойной интеграл /(х, у) по любой области,
не содержащей других точек разрыва кроме точки (а, Ь), имеет конеч-
ное значение, если а меньше единицы, и притом только в этом случае.
Доказательство вполне аналогично тому, которое было дано только
что (в § 127).

Рассмотрим еще функцию /(х, _у), удовлетворяющую следующим
условиям: 1) она непрерывна в области А, определяемой неравенствами
а^х<:Ь, 0 ’хху xxig (х), где g(x) есть функция, непрерывная и поло-
жительная между а и Ь' 2) вблизи линии y g(x) она имеет вид:

7(х, у) =

Ф (*, J)
[£•(*)—

где а — положительный показатель, а числитель остается ограниченным.
Двойной интеграл, распространенный на область 8, ограниченную пря-
мыми х-- а, х = Ь и двумя кривыми у-~ g(x)— е, y=g(x) — rt, где
г и г; положительны и бесконечно малы, имеет выражение

ь	г‘.

[	(	ф [х, g(х) — и\du

J	J	ч'1

а	е

и стремится к нулю, если только а меньше единицы. Двойной интеграл
f(x, у) по области А имеет, следовательно, конечное значение.

Если установлено, что двойной интеграл неограниченной функции
по какой-либо области имеет определенное значение, то для вычисле-
ния этого интеграла можно поступать так же, как и в случае ограни-
ченной функции. Пусть, например, требуется вычислить двойной инте-
грал функции

но области, ограниченной прямыми у—О, у — х, х~ а, причем функ-
ция ф непрерывна в этой области, а а меньше единицы. Этот интеграл
есть предел двойного интеграла

Z' = \ dx \ /(х, у) dy,
/1 о

когда h стремится к нулю. Но мы имеем:
х — h	v

\ f{x, y)dy -\f(x,y)dy — r{(x,y),
i)	о

где rt (х, h) бесконечно мало и стремится равномерно к нулю вместе
с h, когда х заключено в интервале (0, а). Следовательно, мы можем
написать:

ах	а

/'= \ dx\ f(x, у) dy — \ У] (х, h) dx,
АО	Л

и Д имеет пределом выражение:
а х
[= \ dx \f(x, у) dy.
о о

Таким же образом мы нашли бы для I выражение:

/ = dy \J/(x, у) dx.
о у

Следовательно, формула Дирихле (§114) в данном случае имеет место.

Примечание. Если двойной интеграл от неограниченной функции, не
сохраняющей постоянного знака в области /?, не имеет определенного значения
в этой области, то мы можем получить неопределенность, совершенно аналогич-
ную той, о которой мы говорили, исследуя случай неограниченной области.
Допустим для определенности, что мы имеем лишь одну точку разрыва. Если
мы выделим эту точку посредством кривой с, то двойной интеграл, распростра-
ненный на оставшуюся область, может иметь совершенно разные пределы в за-
висимости от вида кривой с. Возьмем, например,

(	,	Д'2 — X2

причем областью интеграции служит прямоугольник /?, ограниченный прямыми
х--0, х = а, д/= О, у = Ь, где а и b положительны. Выделим прежде всего
начало координат, отсекая для этого область, внутреннюю по отношению к пря-
моугольнику, ограниченному осями координат и прямыми x = s, д» = е', где е и
е' — весьма малые положительные числа. Остающаяся область может быть
разбита на три прямоугольника прямыми х = 0, х=е, х — а, д/— 0, j =
v = £. С другой стороны, мы имеем:

У (* = (arctg 
ОХду \ X J

и последовательно применяя формулу (12) к каждому из трех прямоугольников,
мы после некоторых простых преобразований находим:

/ (х, у) dx dy — arc tg — — arc tg — .

R'

Мы видим, что предел этого двойного интеграла изменяется вместе с преде-
лом отношения при е и е', стремящихся к нулю (ср. § 95).

130.	Функциональное уравнение Абеля. Исследование одной задачи меха-
ники привело Абеля (Abel) к следующему уравнению:

да»

где у (х) есть данная функция, непрерывная в интервале (0, а), причем а поло-
жительно, а/(у) — функция, подлежащая определению. Если эта функция непре-
рывна при д = 0, то ясно, что мы должны иметь у(0) = 0. Эго мы и предполо-
жим сначала.

Помножим обе части уравнения (35) на	, где а заключено в интер-

•	у а -- х

вале (0, а), и проинтегрируем обе части нового равенства между пределами О
н а. Мы находим:

Г у (х) dx _ Г dx Г f (у) dy

.] ]/«—х J J j/(a — х) (х — д/) ’
О	0	0

или, применяя формулу Дирихле к двойному интегралу правой части, получаем:

J У.а — Х J J у!у—х)(х—у}
О	Оу

Первую квадратуру мы тотчас же берем, полагая

x=y cos2 у + a sin2 у,
и мы имеем:

г «(х) dx
J Уп — х
О

К f(y)dy.

О

(36>

Обе части этого равенства обращаются в нуль при а - 0; следовательно,
нам достаточно будет написать, что производные их равны.

Производная правой части равна п f (а), производная левой части, которая
была уже нами вычислена (§ 96), имеет выражение

Г т(х)4-2х?’(х)

J	2а/ а — х

и

dx,

или, как нетрудно проверить,

а

(' ср’ (х) dx 1 . . , /-,,

т-/=-у[тМ)/«-х];.

J 1/ а — х -
о

По предположению, у (0) — 0; следовательно,

((«)=![?».	(37).

~ ,1 у а -- х
О

Если ср (0) не равно пулю, то мы можем написать уравнение (35) в эквива-
лентной форме (§ 96):

(Ум-

\ г. ]/ у

f (х) — ® (0) = 1 --у---a dy.

J ух-у

и

Левая часть нового уравнения обращается в нуль прн из формулы (37)
мы находим, заменяя в ней а через у.

1 IW +
~ Lv

(38)

131.	Поверхностные интегралы. Пусть будут S — правильная поверхность,
a F (М) — функция, непрерывным образом изменяющаяся вместе с положением
точки М на этой поверхности. Мы можем повторить без изменений рассуждения
§ 111—112, заменяя части плоскости частями поверхности S. Представим себе,
что мы разбили S на меньшие части х,, &, ... , sn, площади которых соответ-
ственно равны ot,a2, ... , <зп, и возьмем на какую-нибудь точку Л/ Сумма
Е/Л/а; стремится к определенному пределу, когда число п неограниченно воз-
растает, и притом так, что измерения каждой частичной области поверхности
стремятся к пулю. Этот предел называется поверхностным интегралом, распро-
страненным нт поверхность S, н обозначается символом	Если коордн-

s

наты х, у, z точки поверхности S выражены в функции двух параметров и, v
так, что точки S находятся во взаимно однозначном соответствии с точками
области D плоскости (и, v), то F (М) есть непрерывная функция f (и, v) перемен-
ных (и, v) в этой области, и поверхностный интеграл, если применить обозна-
чения § 124, имеет выражение:

\ / (a, v) j/EG — F- du dv.

"D

Во многих вопросах, в которых мы встречаемся с поверхностными интегра-
лами, F (/И) есть линейная функция направляющих косинусов нормали к поверх-
ности. В дальнейшем мы будем предполагать, что эта поверхность имеет две
различные стороны, и что если, например, одна из сторон окрашена в красный
цвет, а другая — в синий, то мы не можем перейти с красной стороны на синюю
по пути, лежащему на поверхности, не пересекая какую-нибудь из кривых,
ограничивающих эту поверхность *. Будем рассматривать S как материальную
поверхность, имеющую некоторую толщину, и возьмем две бесконечно близкие
точки т, т', принадлежащие различным сторонам поверхности. Проведем в точ-
ке т нормаль тп в направлении, не пересекающем поверхность: для краткости
мы будем говорить, что направление, определенное указанным образом, соответ-
ствует данной стороне поверхности. Направление нормали к другой стороне
поверхности в точке т' будет противоположно первому. Например, всякая по-
верхность S, которую параллель к Oz не может встретить в нескольких точках,
имеет, очевидно, две стороны; направления нормали составляют, соответственно,
острый и тупой угол с осью Oz; верхней стороной является та, нормаль к ко-
торой составляет с Oz острый угол.

Пусть будут теперь Р(х, у, z), Q (х у, z), R (х, у, z) три функции, непре-
рывные на S; а, р, у — углы, составляемые с осями координат направлением
нормали, соответствующим определенной стороне поверхности. Поверхностные
интегралы, наиболее часто встречающиеся в приложениях, суть интегралы вида:

(Р cos a -f- Q cos [i R cos'y) da-,	(39)

"s

если мы меняем сторону поверхности, то cos a, cos £, cosy, а следовательно, и
сам интеграл, меняют знак. Допустим опять, что координаты точки поверхности $
выражены в функции двух параметров и, v так, что точки S находятся во вза-
имно однозначном соответствии с точками области D плоскости (и, г>); мы имеем:

cos а _< cos? ' __ cosy _	±1

D (У, z) ~ D (z, x)	D (x, у) ~ -[/EG-- F* ’

D (u, v) D (u, v)	D (u, v)

и предшествующий интеграл принимает вид:

ЛС	dadv> (41)

JJ L D(u, v) ' D (и, v) D(u,v)J	'

D

где следует взять знак -|- или знак — в зависимости от того, на какую сторону'
поверхности распространяется интеграл.

Если поверхность S составлена из нескольких кусков правильных поверхно-
стей, что имеет место, например, в том случае, если эта поверхность имеет
ребра, вдоль которых встречаются две правильных поверхности с различными
касательными плоскостями, то интеграл по поверхности S есть, по определению,
сумма интегралов, распространенных на каждую из этих правильных частей
поверхности. В дальнейшем мы будем проводить рассуждения в предположении,
что S является одной правильной поверхностью, но выводы, полученные ниже,
применимы также и к этому более общему случаю, в чем нетрудно убедиться,
прилагая рассуждения к каждой из правильных частей и складывая найденные
формулы.

* Легко построить поверхность, не удовлетворяющую этому условию. Стоит
только изогнуть прямоугольный лист бумаги ABCD и склеить сторону ВС со
стороной AD так, чтобы точка С совпала с А, а точка В — с D.
Мы приходим к интегралам вида (39), обобщая определение криволинейных
интегралов, если заменить линию поверхностью, а простой интеграл — двойным.
Пусть будет

z = <р (л, у»)

уравнение поверхности S, ограниченной замкнутым контуром Г, причем функ-
ция f (л, у) непрерывна внутри области А плоскости ху, ограниченной замкнутою
кривою С — проекцией контура Г. Пусть, далее, Р (%, у, z)— функция, непрерыв-
ная на этой поверхности S. Двойной интеграл

\ \ Р [ с, у, <? (л, у. ] dx dy,	(42)

’а"

очевидно, аналогичен криволинейному интегралу, и мы могли бы взять это вы-
ражение за определение поверхностного интеграла. Но этот интеграл тотчас же
приводится к поверхностному интегралу уже рассмотренного вида, так как мы
можем написать его следующим образом (§ 132):

\' '\ R (х, у, г) cos у de,

's'

где у есть острый у юл нормали к с осью Oz; следовательно, он совпадает
с поверхностным интегралом, распространенным на верхнюю сторону поверхно-
сти S. Тот же интеграл, по с измененным знаком, представил бы поверхностный
интеграл, распространенный па нижнюю сторону 3. В частности, мы можем
сказать, что обыкновенный двойной интеграл \\fdxdy представляет собой по-
верхностный интеграл, распространенный па верхнюю сторону плоскости ху.

Пользуясь этим замечанием, мы приходим к более краткому обозначению
поверхностного интеграла (39) при помощи формулы:

\ Р dy dz Q dz dx + R dx dy ;

's

(43)

нри этом следует указать сторону поверхности, па которую распространяется
интеграл. Но это обозначение менее отчетливо, чем предыдущие, (39) и (41), к ко-
торым всегда следует возвращаться для действительного вычисления интеграла.

Примечание. Пусть будет V — вектор с компонентами Р, Q, R, имеющий
началом точку М (х, у, г) поверхности; выражение Р cos а -)- Q cos [i -)- Н cos у
представляетсобой алгебраическую величину проекции этого вектора на положи-
тельное направление нормали в М. Следовательно, элемент двойного интеграла (39)
по абсолютной величине равен объему цилиндра, имеющего основанием эле-
мент da поверхности S, а высотой — проекцию вектора V, выходящего из точки
этого элемента, на нормаль кЗв этой точке.

132.	Формула Стокса. Если дана система прямоугольных осей координат Ох,
Оу, Oz, условимся называть прямым направлением вращения направление вра:
щения от Ох к Оу для наблюдателя, расположенного на Oz, у которого ноги
находятся в точке О, а голова в направлении Oz. Если, например, триэдр имеет
расположение, как на черт. 25, где плоскость чертежа есть уОг, а ось Ох напра-
влена вперед, то положительное направление есть вращение справа налево;
но результат, который мы получим, не зависит от расположения осей.

Пусть 3 — правильная двусторонняя поверхность, ограниченная замкнутою
кривой Г. Этот контур Г может быть описан в двух противоположных направле-
ниях; каждому из них мы поставим в соответствие одну сторону поверхности S
при помощи следующего сомашепия. Пусть АВ — малая дуга кривой Г, Р —
точка поверхности S, близкая к этой дуге; проведем в точке Р такое направле-
ние нормали Рп, чтобы для наблюдателя, ноги которого находятся в Р, а голова
в направлении Рп, движение точки, пробегающей дугу АВ, совершалось бы
в прямом направлении.
Упомянутому направлению обхода контура Г мы ставим п соответствие ту
сторону поверхности S, для которой направлением нормали является Рп. На-
пример, если S есть часть поверхности, представляемой уравнением z=«(x, _у),
причем <р (х, у) непрерывна в области, ограниченной контуром С, который яв-
ляется проекцией контура Г поверхности S на плоскость ху, то, когда точка М
описывает контур Г так, что ее проекция т описывает С в прям im направлении,
соответствующей стороной поверхности S является верхняя.

Предположим, что точки поверхности S взаимно однозначно соответствуют
точкам области D плоскости {и, v), ограниченной кривою L. Так как эти вспо-
могательные переменные и, v не входят в окончательный результат, мы можем
предположить, что плоскость (и, v) параллельна плоскости ху, и что оси Ои,
Ov расположены так же, как Ох, Оу.

Когда точка (и, v) описывает контур L в прямом направлении (§ 92, приме-
чание), то точка (х, у, г) описывает контур Г в некотором направлении, которое
мы назовем положительным направлением: этому положительному направлению
обхода Г соответствует определенная сторона поверхности, которую мы тоже
назовем положительной стороной. Направляющие косинусы соответствующего

направления нормали к поверхности вы-
ражаются формулами (40), где перед
]/EG — надо взять знак . Для дока-
зательства достаточно установить, что cosy
D (х, У) п

имеет тот же знак, что	В самом

D (и, v)

деле, рассмотрим точку Р на S и окружа-
ющую эту точку замкнутую кривую X, доста-
точно малую, чтобы параллели к оси Oz
встречали часть 5 поверхности S, ограничен-
ную кривою -К, не более чем в одной точке;
эта поверхность 5 проектируется на пло-
скость ху в малую область У, ограничен-
ную кривою К', которая является проекцией
кривой К. Этой области s поверхности S
соответствует в плоскости (и, v) малая об-
ласть г, ограниченная кривою /. Предполо-
„	,	Л D (х, у)

жим, что в этой области якобиан -=г7——<
D (и, v)
положителен; в таком случае, когда точ-

ка (и, v) описывает в прямом направлении
контур /, точка (х, у, 0) описывает Г также в прямом направлении, а точка (х,у, z)
описывает в положительном направлении контур X. Этому положительному напра-
влению обхода соответствует положительная сторона поверхности 5, которая, со-
гласно только что сделанному замечанию, есть ьерхняя сторона 5. Следовательно,
угол у—острый, точно так же мы м< жем убедиться, что этот угол будет тупым

D (х, у)

для всех точек, в которых якобиан д отрицателен. Итак, для направляю-
щих косинусов нормали к положительной стороне поверхности S мы имеем
формулы:

D (у, z) , ,
COS я da =	du dv,

D (и, v)

. , D (z, х) , ,
cos 3 da = -p-j----------- du dv,

‘ D (u, v)

(44)

cos у da

D (x, y)
du dv.

D (u, v)

Далее, пусть будет \ P (x, y, z) dx криволинейный интеграл, взятый по Г
г
в положительном направлении; его можно заменить криволинейным интегралом

Гр (х, j/, z)	I,

J	(da dv J

!

взятым no L в прямом направлении. Применяя к этому последнему формулу
Грина (§ 116), получаем:

fp^= сг/-Р-1

J	JJ Ida L dt/J	дг/ daj J

г	D

= СГ	Л,*,.

J ) L dz D (и, v) фу D (и, v) ]
D

Последний интеграл, согласно формулам (44), тождественен с инте! ралом
С Г idP	, dP I	f Г дР	дР	. ,

I — cos 8-----cos г I da = I I — dz dx----dxdy,

J J L dz dy	TJ	J 1 dz	d>

5	5

взятым по положительной стороне поверхности .S'. Путем круговой подстановки
х, у, z мы получим две формулы, совершенно сходные с этою:

Q (х, у, z) dy = JJ* dx dy — dy dz,

Т	5

R (х, у, z) dz — J	dy dz — — dz dx',

Г	5

складыва их с первою, получаем общую формулу Стокса:

Р (х, у, z) dx -f- Q (х, у, 2) dy -f- R (x, у, z) dz =
T

Г f RQ dp\ , . , /dp	dQ\	zdP	dP\	. .

=	( ч - T- ]dxtiy+ ------гЧ	dy dz +	(— - —)	dz dx;	(45)

J J \dx dy/	\dy	dz)	\dz	dx)

S

при этом направление обхода контура Г и сторона поверхности, на которой
производится интеграция, соответствуют друг другу в установленном выше
смысле.

133.	Применение поверхностных интегралов к вычислению объемов.
Подобно тому как площадь замкнутой плоской кривой выражается криволиней-
ным интегралом, взятым вдоль этой кривой, объем, ограниченный замкнутою по-
верхностью S, может быть выражен поверхностным интегралом. Рассмотрим
сначала замкнутую поверхность .S, которую каждая параллель к Oz встречает
не более как в двух точках. Точки этой поверхности проектируются на плос-
кость ху внутрь некоторой области А, причем любая точка А представляет со-
бою проекцию двух точек mt и т.2 поверхности .S. Пусть будут z( =/t (х, у),
Xi—ft(x,y) уравнения двух частей S, и S2 поверхности, описанных точ-
ками от, и тп2 соответственно (/1</2)- Искомый объем равен разности двух
двойных интегралов

”	V=\\fi(.x, у) dxdy — \'\Л(х, у) dxdy,

"а

из коих первый есть не что иное, как поверхностный интеграл \\^zdxdy, рас-
пространенный на верхнюю сторону , а второй — интеграл \\zdxdy, взятый
по верхней стороне S(. Разность их равна, следовательно, интегралу z dx dy,
распространенному на всю поверхность S и притом на ту ее сторону, которая
соответствует направлению внешней нормали. Из соображений симметрии мы
можем взять за выражение объема любой из поверхностных интегралов

'\\z(ixdy,	^\xdydz,	\\ydzdx,

's'	's	s'

каждый из которых берется по внешней стороне поверхности, и формула рас-
пространяется на объем, ограниченный произвольною поверхностью <ср. § 92,
примечание).

УПРАЖНЕНИЯ.

~~ 1. Проведем в какой-нибудь точке М цепной линии, представляемой в прямо-
угольных координатах уравнением

У = у (еа + е

касательную, продолжим ее до точки ее встречи Т с осью Ох и будем вращать
фигуру около этой оси. Выразить разность площадей, описанных дугою цепной
линии АМ, где А есть вершина цепной линии, и касательною МТ: 1) в функ-
ции абсциссы точки М\ 2) в функции абсциссы точки Т.

—* 2. Пусть будут Ox, Оу, Oz прямоугольные оси. Рассмотрим линейчатую по-
верхность, образованную по следующему закону: плоскость zOA вращается во-
круг оси Oz; образующая D, лежащая в этой плоскости, наклонена к Oz под
постоянным углом, тангенс которого равен 1, и отсекает на ОА отрезок ОС,
равный 1а8, где а обозначает данную длину, а 0 есть угол между двумя плоско-
стями zOx, zOA.

1)	Вычислить объем, ограниченный линейчатою поверхностью и плоскостями
хОу, zOx, zO'a, причем угол 0 между двумя последними плоскостями мень-
ше 2п.

2)	Вычислить площадь части поверхности, ограниченной плоскостями хОу,
zOx, zOA.

3.	Вычислить объем, ограниченный поверхностью эллиптического парабо-
лоида, представляемого в прямоугольных координатах уравнением

2z__х2 у2

плоскостью ху и поверхностью цилиндра Ь-х- -)- а2у* = а-Ъ-.

— 4. Вычислить площадь криволинейного четырехугольника, ограниченного
четырьмя софокусными кривыми второго порядка

, У8

1 “Г Л— С2

с2 2 с2 4с~ 5с2
соответствующими значениям	параметра л.

О О <Э О

5. Дана кривая, представляемая в прямоугольных координатах уравнением
у = ]/ 2 (sin х — cos х),

п	5ч

причем х изменяется от — до
4	4

Требуется вычислить:

1)	площадь, заключающуюся между, этою кривою и осью Ох;

2)	объем, образованный этою площадью при вращении ее вокруг Ох\
3) поверхность, ограничивающую этот объем.
6. Пусть будут Ох и Оу прямоугольные оси координат, и А и В — точки
иа оси Оу. Вычислить криволинейный интеграл

[? (У) еХ — тУ\ dx + [/ (у) ех — т\ dy,

взятый вдоль пути АМВ, соединяющего точки А и В, имеющего произвольный
вид, но ограничивающего вместе с отрезком АВ площадь АМ.ВА данной вели-
чины S; зсесь т — постоянное, а функция ®(у) и ее производная ®'(у) не-
прерывны.

- 7. Вычисляя двумя различными способамн двойной интеграл

+ ОО + ОО

\	\ е ~ху sin ах dy dx,

i) и

показать, что при а, отличном or нуля, имеем:

г Оо

( sin ах , г,
J — *>- = ?•

О

8. Наиги площадь части поверхности эллипсоида или гиперболоида враще-
ния, заключающуюся между двумя параллельными кругами.

— 9. Поверхность трехосного эллипсоида. Половина всей поверхности- 31
равна двойному интегралу:

взятому внутри эллипса b-х- у а‘2у--= а'2Ь'2. Из способов, предложенных для при-
ведения этого двойного интеграла к эллиптическим интегралам, наиболее про-
стой принадлежит Каталану, этот способ состоит в преобразовании, указанном,
в § 115.’Обозначая через v функцию под знаком двойного интеграла и изменяя v
от 1 до оо, мы найдем, что двойной интеграл равен пределу при бесконеч-
ном I следующей разности:

Это выражение имеет неопределенный вид, но мы можем представить его-
в виде:
я легко видеть, что предел приведенного выше выражения равен:

’— 10. Если из центра эллипсоида с осями 2а, 2Ь, 2с опустим перпендикуляры
•на касательные плоскости к этому эллипсоиду, то площадь подэрной поверхности

Ьс ас ab

равна площади поверхности эллипсоида с полуосями — , -у, -у .

[Вильям Робертс (William Roberts), Journal de Liouville, т. XI,
1-я серия, стр. 81.]

— И. Показать, вычисляя двумя различными способами двойной интеграл от

— у)п f (у),

распространенный на площадь треугольника, ограниченного прямыми
у = х, х = Х, что

X х	х

I dx ( (х —y)nf(y)dy = f (X~^n,+i f^dy-
«'J	«J	П *

Xo Xq	Xq

Вывести отсюда соотношение:

X	X	X	X

\dx j dx ... J f (x) dx - - —-j (x —y)« /(y) ay.

Aq	Xo	Л о	Л'о

Доказать также формулу.

Jx dx j х dx . .. j xdx J/(x) dx =	-(x2 — У2)" / (V) dy,

xo Xq	Xo Aq	Xq

и проверить эти формулы при помощи диференцирования под знаком интеграла.

-—12. Пример Шварца (примечание на стр. 303). Дан круглый цилиндр
с радиусом основания г и высотой /; разделим высоту на т равных частей и
через точки деления проведем плоскости, параллельные плоскостям оснований;
далее, в полученные сечения вписываем правильные выпуклые «-угольники так,
чтобы образующая цилиндра, проходящая через вершину одного из многоуголь-
ников, делила пополам дугу, стягиваемую стороною соседнего многоугольника.
Вершины этих многоугольников являются вершинами вписанной многогранной
поверхности, состоящей из тп равных между собою равнобедренных треуголь-
ников, и площадь этой многогранной поверхности равна

„ к Л / к №

2тпг sin — I/ 4r2 sin л- I Н—» 
п г у 2п J т-

Предел этого выражения при неограниченном увеличении чисел tn и п зави-
сит от предела отношения у,-. Этот предел равен 2r.rh лишь в том случае, когда
его отношение стремится к нулю.
Г Л А В A VII.

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ
ДИФЕРЕНЦИАЛОВ.

I. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ.

134.	Тройные интегралы. При определении тройных интегралов мы
поступаем совершенно аналогично тому, как поступали при определе-
нии двойных интегралов (§111 —112). Здесь следует лишь заменить
области двух измерений областями трех измерений и площадь — объ-
емом. Пусть будет F(x,y, z} ограниченная функция, определенная в огра-
ниченной области пространства D. Представим себе, что эта область
произвольным способом разбита на п частичных областей dy, d2, dn,
объемы которых соответственно равны и,, щ, ..., vn, и обозначим через
М, и верхнюю и нижнюю границы F в области d;. Суммы

п	п

s =	vi

< i	i = \

стремятся соответственно к пределам /, /', когда число п неограничен-
но возрастает, и притом так, что каждая из частичных областей без-
гранично уменьшается во всех своих измерениях, и мы имеем /'==£/.

Функция F(x, у, z) называется интегрируемой в области £), если
мы имеем /’ = /; общий предел сумм S и 5 называется тройным интег-
ралом функции F (х, у, z), распространенным на область D. Его обо-
значают символом:

F (г, у, z) dtdydz',
' D

область D называется областью интеграции. Число / есть также предел
суммы
п

S^^F^t^v,,	(1)

i — 1

где ($z, Q суть координаты какой-либо точки области dt или ее
границы.

Всякая непрерывная функция интегрируема. Это справедливо и в
отношении всякой ограниченной функции, имеющей некоторое число
точек разрыва, если только все эти точки могут быть заключены внут-
ри области, объем которой можно взять меньше любого положитель-
ного числа. Это имеет место, например, в том случае, когда ограни-
ченная функция F (х, у, z) имеет в области D одну или несколько
(правильных) поверхностей разрыва.

Тройные интегралы встречаются в различных вопросах механики, в
частности, при определении массы или центра тяжести твердого
тела. Предположим, что область D заполнена неоднородным вещест-
вом, и пусть ц (х, у, z) есть плотность в точке (х, у, z}, т. е. пре-
дел отношения массы, заключенной в шаре бесконечно малого радиуса,
описанном из точки (х, у, z) как из центра, к объему этого шара.
Если jij и р2 суть соответственно наибольшее и наименьшее значения
р. в области d-, то ясно, что масса, содержащаяся в этой области,
заключена между jfyfy и следовательно, она равна vt ji(;z, fy, Cz),
где точка (sz, fy, £z) надлежащим образом выбрана в dz. Вся масса
равна, следовательно, тройному интегралу р. dx dy dz, взятому по>
области D.

135.	Способы вычисления. Рассмотрим сначала функцию F(x,y,z),
непрерывную в области О, ограниченной двумя плоскостями z — z^, z = Z,
параллельными плоскости z = 0, и цилиндром с образующими, парал-
лельными Oz, сечение которого плоскостью ху есть замкнутая кривая
С, ограничивающая плоскую область А. Предположим, что эта плоская
область А разбита на меньшие области ог а2, ..., ап, площади которых
соответственно равны <о3, ш2, ..., шл, и рассмотрим цилиндры с образую-
щими, параллельными Oz, имеющие основанием области аг, а2, ..., ап.
Мы вычислим сначала, как и в § 113, главную часть тройного инте-
грала, распространенного на малую цилиндрическую область £>z, имею-
щую основанием плоскую область at. Представим себе, что эта область
Dt сама разбита на малые цилиндрические области плоскостями z —zk
(А>=1, 2,... , пг — 1), причем z2, ... , образуют возрастающую
последовательность чисел, заключенных между z0 и Z. Тройной интег-
рал, распространенный на область £);, на основании теоремы о среднем
равен

Г|Д> ^д) (~1 Zo) “Ь ^(-/2’ rii2’ ^2) (г2	zi) ~•• •] ’

где (Zlk, rilk, суть координаты некоторой точки внутри малого цилин-
дра, определенного в Dz плоскостями z = z = zk. С другой сто-
роны, пусть будут (£z, fy) координаты какой-либо точки области az; мы
имеем, на основании теоремы о среднем для простого интеграла:

z

\r(£z, fy, z) dz = F$4, fy, — z0)-J-F(£z, fy, :2)(z2—z,)4-...,
«о

где содержится между zh_A и zk. Следовательно, тройной интеграл,
распространенный на область D;, можно написать еще так:

Г z

^F(az, fy, z) dz-\-e2 (z.~ z0)4-... + ek(zk — ^_а)ф-...
-

где мы полагаем

rdk’ — F(<^, ru> 4" sk’
так как точки (£z, r(z, и ($й, Т]№, принадлежат одному и тому же
частичному цилиндру, то все абсолютные значения (| будут меньше
любого положительного числа е, если измерения области а{ и разности
zk— в свою очередь, меньше другого положительного числа 7),
зависящего только от е. Следовательно, тройной интеграл по цилиндри-
ческой области Dt равен

®/[ \	z) dz-\-pt ,

L z	J

где (;z, rlf) суть координаты какой-либо точки области az, a pz равно-
мерно стремится к нулю вместе с наибольшим измерением этой области.
Искомый тройной интеграл равен, следовательно, пределу суммы
п

у, ф £р Гц) <oz, где мы обозначаем:

i = I
z

Ф (х, у) = \ F (х, у, z) dz.	(2>

Этот предел равен двойному интегралу функции Ф (х, у), распростра-
ненному на область А, и мы имеем:

W F (х, у, z) dx dy dz — Ф (х, у) dx dy =
d	а

= dx dy \ F (г, у, z) dz. (3)
"л	z0

Выше мы видели, что вычисление двойного интеграла, в свою оче-
редь, приводится к квадратурам. Если, например, область D есть па-
раллелепипед, образованный шестью плоскостями х — х0, х=Х,
_у=_у0, у= Y, z = z0, z-Z, то область А есть прямоугольник, и трой-
ной интеграл имеет выражение:

х у

dx dy F (х, у, z) dz.	(4)

-Ч То г»

Смысл этого символа совершенно ясен. Мы выполняем первую ин-
теграцию, рассматривая х и у как постоянные; результат есть функ-
ция двух переменных х и у, которую мы интегрируем затем между
пределами _у0 и Y, считая х постоянным, а у—переменным. Результат
этой второй интеграции зависит уже только от х, и мы снова интег-
рируем его между пределами х0 и X.

Очевидно, что существует столько же способов выполнить вычисле-
ние, сколько имеется перестановок из трех букв, т. е. шесть. Мы мо-
жем, например, написать тройной интеграл так:

z	х	у	z

\ dz dx \F (х, у, z) dy — ^ ф (z) dz,
*«	ха	Уб	zo
обозначая через’К (?) двойной интеграл функции /-'(х,у, г), распро-
страненный на прямоугольник, образованный прямыми х — х0, х-=Х,
_у=_у0, у — - К. К тому же выражению мы пришли бы, разбивая прежде
всего область D на малые параллелепипеды тремя системами плоскостей,
параллельных плоскостям координат, и вычисляя часть Л”, происходящую
от слоя параллелепипедов, заключенного между двумя соседними плос-
костями z = z[_1, z-—z;: при подходящем выборе точек (£,Т|Д) этот
слой дает в составе S' сумму

l^(zi-i)(zi	Л

и рассуждение заканчивается, как и выше.

Формула (3) применима также и к ограниченной функции F(x,y, z),
имеющей в области интеграции одну или несколько поверхностей раз-
рыва. Предположим, например, что функция F разрывна на некоторых
частях двух поверхностей ,S’j и ,S’2, уравнения которых суть:

z = fi (х,у),

(S,)

z^f2 (Х’У)’

(£,)

где и ср,, — две функции, непрерывные в области A (zQ cpj <р2 '' Z).
Эти две поверхности и разбивают область D на три области,
в каждой из которых функция F непрерывна. Для определенности мы
предположим, что

1)	F= Д (х, у, z) между плоскостью = z0 и Ац ;

2)	F=^t2 (x,y, г) между А'] и S2;

3)	F=f3(x,y,z) между 5,, и плоскостью Z--Z;

Каждая из функций Д ,	, /3 предполагается непрерывной в соот-

ветствующей области. Мы имеем возможность применить формулу (3)
к вычислению тройного интеграла, если положим (§ 114):

Z	<е,	Z

F(x, у, z) dz —	(х, У у 2)	(х> У’ z) dz \f3 (х, у, z) dz.

\	ir,	'?»

Это	замечание	позволяет	нам вычислить	тройной	интеграл непре-

рывной функции F(x, v, г) по области D, ограниченной таким же, как
и раньше, цилиндром и двумя поверхностями z, —	(х, у), z„ --

— <р2 (х, у), где (fj и <р2 непрерывны в пределах плоской области А.
Для этого стоит лишь взять две вспомогательных плоскости z z0,
z = Z (z0<cpj <cp2<Z) и вспомогательную функцию F (х, у, z), рав-
ную F(x,y,z) в области D и обращающуюся в нуль вне этой области.

Рассуждение § 114 прилагается без изменений, и тройной интеграл
функции F(x, у, z] по области D равен

<Ра

dx dy \ F(x, у, z) dz.

'a S,

Если контур С области А образован двумя отрезками прямых, па-
раллельных Оу, и двумя дугами кривых уя — ф, (х), у2 - ф2 (х)(ф1<^ф2),
го мы имеем:

ь 'h

\\\F(x, у, z) dx dy dz \ dx\dy \F (x, у, z) dz.	(5)

"Ь	'а Ф, '?i

Пределы и ^9 первой интеграции зависят одновременно от х и
от у, пределы и ф9 зависят только от х, и наконец, а и b
постоянны.

Если область интегрирования D ограничена замкнутой поверхно-
стью которую параллель к какой-либо из осей координат встречает
не более как в двух точках (какова, например, выпуклая поверхность),
то мы можем выполнить квадратуры в любой последовательности, но
пределы будут вообще совершенно разными в зависимости от порядка,
в котором мы производим интегрирование.

Пример. Пусть требуется вычислить тройной интеграл z dx dy dz, рас-
пространенный на часть тара х2у2 + z2 = ~ R2, заключенную в пределах трех-
гранника Oxyz. Если мы интегрируем сначала по переменному z, затем по пере-
менному у и, наконец, ио переменному х, то пределы будут таковы: при по-
стоянных х ну z может изменяться от нуля до R2 х2— у2; при данном х
у может изменяться от нуля до |//?2 — л2; наконец, х изменяется от нуля до R.
Мы имеем, следовательно,

/? I /?2- л2 1 /?2- л2-у2

г dx dy dz = dx dy	г c/z;

б i>	<>

выполняя квадратуры, находим:

I F‘ х'‘ - у‘

zdz = i (R2 — х2 — у2),
'о

т	______

1	(	11	] I к/?5 - X2 1

v )	(R2 — х2 — yydy^ | -2- (R2 -x2)y — 6V-1	- у (R2 — x2) 2 ,

’o	°

и нам остается лишь вычислить определенный интеграл:

Г 3

|	(R2 — х2) 2 dx-

о

при помощи иоде 1ановки %=Rcos® этот интеграл принимает вид:

У

у Ri sin1 ср tfep.
о

Искомый тройной интеграл равен, следовательно, .

Примечание. Вместо того чтобы вычислять сначала сумму элементов,
происходящую от ряда цилиндрических областей, мы могли бы поступить иначе.
Пусть будет D ограниченная область, заключенная между двумя параллельными
плоскостями z = z0, z~ Z; разделим ее сначала на ряд слоев плоскостями г~—
- zL (/--1,2,..., т— 1), где zt, z2, ... , zm_t образуют возрастающую после-
довательность чисел, заключенных между z0 и Z. Разобьем затем каждый из этих
слоев на малые цилиндрические области; рассуждая, как и § 135, мы видим, что
главная часть тройного интеграла, распространенного па слой, содержащийся
между плоскостями z = zz_t, z — z2, имеет значение

(*Z — zz_|)	F (х, у, zz_z) dx dy,

Л-1

где 4z_f есть плоская область, общая области £>£и плоскости z~zl^l. Следо-
вательно, если, мы положим

Ф (z) = $ F (х, у, z) dx dy,

Аг

где Аг есть плоская область, аналогичная только что определенным, то тройной
интеграл будет иметь выражение:

Z

Ф (z) dz.

г»

Чтобы вычислить тройной интеграл, распространенный на произвольную
область D, следует разбить эту область на сумму областей, подобных тем, кото-
рые мы рассматривали, например таких, что прямая, параллельная какому-либо
постоянному направлению, встречает граничную поверхность не более как в двух
точках.

136.	Формула Остроградского (Грина). Для тройных интегралов суще-
ствует формула, вполне сходная с формулой (15) § 116. Рассмотрим сначала зам-
кнутую поверхность S, которая пересекается с каждою прямой, параллельною
•оси Oz, не более чем в двух точках; пусть будет R (х, у, z) функция, непрерыв-
пая вместе со своею производною — внутри этой поверхности. Все точки по-
верхности S проектируются на плоскость ху точками некоторой области А, огра-
ниченной замкнутым контуром С. Всякой точке (х, у) области А соответствуют
две точки поверхности S с координатами z{ = <pj (х. у) и z2 = <р2 (х, у). Таким
образом поверхность S разделится на две части S, и S2; мы предположим,
что zz < z2. Рассмотрим тройной интеграл

распространенный на область, ограниченную замкнутою поверхностью S. Произ-
водя первую интеграцию по z между пределами z( и z2 (§ 135), мы получим
R (х, у, z.2) — R (х, у, zt) и должны затем взять двойной интеграл

[Я (*. У, zi) — R У> zi)l dx dy,

распространенный иа область А. Но двойной интеграл R (х, у, z.2) dx dy есть
не что иное, как интеграл по поверхности (§ 131)

\ R (х, у, z) dx dy,

St

взятый по верхней стороне поверхности S2. Точно так же двойной интеграл от
R (х, у, zt), взятый с обратным знаком, есть интеграл по поверхности

R (х, у, z) dx dy,

's'.
взятый по нижней стороне поверхности Sj. Следовательно, складывая оба инте-
грала, мы можем написать:



JJ R (г, у, z) dx dy,

причем второй интеграл взят по внешней стороне поверхности S.

При помощи известных уже рассуждений эта формула может быть распро-
странена на объем, ограниченный поверхностью произвольного вида.

Перемещая х, у, z, мы получим из последней формулы две аналогичных
формулы:
йР	р f

— dx dy dz . - I t P (x, y, z) dy dz,
dx	J J

— dx dy dz — I f Q (x, y, z) dz dx.

Ь J

S

Складывая эти три формулы, мы приходим к общей формуле Остроград-
ского (Грина) для тройного интеграла:

= Р (х, у, z) dy dz -j- Q (x, у, z) dx dz R (x, y, z) dx dy,
S

где, как и выше, интегралы в правой части берутся по внешней стороне по-
верхности.

Например, полагая Р = х, Q — R — 0 или Q=y, P = R = 0 или R=z,
Р = Q = 0, мы видим, что объем, ограниченный поверхностью S, равен любому
из трех интегралов по поверхностям:

И х dy

dz,

dz dx,
's'1

s

137.	Соотношение между двумя элементами поверхности. Чтобы вывести
формулу замены переменных в тройном интеграле, мы можем применить способ,
совершенно аналогичный способу § 117—11В. Сначала мы выведем предвари-
тельную формулу. Пусть будут

x~f(x',-y';z'),M j/-= <р (х', у', z’), г = Щх’, у',"<г')	-(6)

формулы, определяющие точечное преобразование пространства; х', у', z’ суть
прямоугольные координаты точки т’ по отношению к системе прямоугольных
координат О'х', О'у', O'z', а х, у, z — координаты соответствующей точки т в
прямоугольной системе Ox, Оу, Oz, имеющей тоже расположение осей, что
и первая, так что обе системы можно совместить. Мы предположим: 1) что точка
х, у, z описывает ограниченную область (Е), когда точка х', у', z' описывает
другую ограниченную область (Е'); 2) что точки этих двух областей находятся во
взаимно однозначном соответствии; 3) что функции f, <р, Ф непрерывны и имеют
непрерывные частные производные в

в нуль в (Е').

Соответствие точек обеих областей может быть прямым или обратным.

Пусть будут m‘tx, т t2, m’t3 три линейных элемента, образующих в области

z D (г> У- z) *

(Е ), и что якобиан -, ,—не обращается

(Е') некоторый триэдр; этим линейным элементам соответствуют в области (Ei
линейные элементы mtt, mt., mt3, которые также образуют некоторый триэдр,
ибо якобиан функций /, <р, £ не равен нулю в токе т’ (ср. упражнение 13, § 65).
Если лог фнэдр mtit^ имеет то же расположение осей, что и триэдр
m't} t2 /3> го соответствие, определяемое формулами (6), называется прямым,
в противном случае оно называется обратным. Это определение можно заменить
следующим. Пусть S, S' — две соответствующие друг другу поверхности в об-
ластях Е', каждая из которых имеет две различных стороны, а Г, Г' — замкну-
тые кривые, которыми эти поверхности ограничены. Выберем па этих контурах
два направления обхода, соответствующих друг другу на основании формул (6);
этим направлениям обхода отвечает вполне определенная сторона каждой поверх-
ности, на основании соглашения, принятого в § 132. Если эти две стороны
поверхностей S, S’ также соответствуют друг другу в силу формул (6), го соот-
ветствие, определяемое этими формулами, есть прямое; в противном случае оно
является обратным.

Рассмотрим теперь две стороны поверхностей S, S', соответствующие друг
другу в рассмотренном точечном преобразовании, и пусть будут (л у), («',	у')

углы, образуемые с осями направлениями нормалей к этим сторонам. Пред-
положим, что координаты точек обеих поверхностей S, S' выражены в функции
двух параметров и и v; выше было объяснено, какой смысл мы вкладываем в
выражения: положительное направление на контуре, положительная сторона
поверхности. Если соответствие является прямым, то положительной стороне 5
соответствует положительная сторона S', и на основании формул (44) § 132
и аналогичных формул, относящихся к поверхности S', мы имеем:

D(x,y)	,	, D (х', у')

cos'; da -	---- dudv, cosy da	—— dudv,

1	D (a, v)	D (a, v)

где da и da' суть элементы площадей поверхностей S и S'. Если соответствие
является обратным, то положительной стороне S соответствует отрицательная
сторона S', и во второй формуле cosy' следует заменить через —cosy'. Деля
эти формулы почленно, мы находим:

cos 7 do D (г, у) . Р(х,у’)
cos у'de' ’ D (и, v) ’ D (и, v) ’

где следует взять знакили знак — в зависимости от того, является ли соот-
ветствие прямым или обратным.

Из этого соотношения вспомогательные переменные и и v можно исключить;
в самом деле, мы имеем:

D (х, у) _ D (/, у)	D (х', у')	D (/, у)	D (y’,z‘) D (f, у)	D (z',x'}

D(u,v) D(x',y'). D(u,v)	D(y',z’} D (u, v} ~^D(z',x') D(u,v)

D(x',y')

Так как полученное соотношение однородно относительно якобианов	10

мы можем заменить в нем эти якобианы пропорциональными им косинусами
cost', cos₽', cosy'; мы приходим к следующему соотношению:

cos у da - ± I cos а' F ъ cos +• cos I' I '	')

‘	, \D(y,z’}	D(z’,x) r D(x', у')	1 |	' '

Аналогичные формулы мы имеем для cos a da, cos 3 da, и эти формулы по-
зволяют заменить любой поверхностный интеграл, распространенный на S, интег-
ралом по поверхности S'.

138.	Замена переменных. Первый способ. Пусть будут D, D' — две соот-
ветствующие друг другу области, взятые в областях (£), (£') и ограниченные
замкнутыми поверхностями S,S'. Найдем сначала выражение отношения р-, объ-
емов этих двух областей.
Мы имеем:

И= \ z dx dy - \ z cos у da,	(8)

S	5

iде da есть элемент поверхности S, a 7 угол, составляемый с осью Oz на-
правлением внешней нормали. Формула (7') позволяет заменить поверхностный
интеграл (8) поверхностным интегралом, распространенным на S'. Мы имеем,
таким образом,

И, , , , I , D {f, ср)	, D if, <р)	, D if, <р) 1	,

А (.г', v , z') cos а' —Л т Г cos 0 -=Т,—+ cos /	da,

[ О (у, z')	D(z'.x')	ГИх,у)|

S'

где а', [Г, ч' — углы, составляемые с осями О'У, О'у', O'z' внешнею нормалью к
поверхности S'; при этом мы должны взять перед интегралом знак ’г или знак —
в зависимости от того, является ли соответствие прямым или обратным. Этот
новый интеграл есть не что иное, как поверхностный интеграл (см. § 131, 132
и 137)

[f dy-d/+i gag,. „„

))	z') y 1 T D iz', x)	1 ' Dlx.y}

'.S'

распространенный на внешнюю сторону поверхности S'.

Применим к этому последнему интегралу общую формулу Грина; мы полу-
чаем:

ГГГР Гг Д(/, у) -1 J.LOM
.) J J I Ъх' 1/ D (у', 2') I <)у L 1 о (г', х')

3 г^(М)_-|

<)z'|. D\x', у') ]

\ dx' dy' dz'. (8')

Разверпявая выражение подите)ралыюй функции, мы получаем члены двоя-
О*-®

кого рода; одни из них, как у--1----, содержат производную второю по-

(Lv'dj/ 6z'

рядка, по эти члены, как нетрудно видеть, попарно уничтожаются. Чю касается
членов, содержащих лишь производные первого порядка, то сумма их равна

<><!> D if, <р)_, jty о jf, <р)	. ЙА D (f,jp) _ D if, <p, [>)

<lx' iy', z’j D [Z\ x') ’’’ ()2' D lx', y') D (.t', y’, z"\

Мы имеем, следовательно,

Г ГI ‘ D (f ©

1/ ^= -	КА—Ат ах' <*у' dz *

J ) J D (х, у', z )

Ё'

и наконец, применяя теорему о среднем,

V- нн V-
 ~	0(6, п, 0 ’

•9)

г О if,
зависимости от того, положителен или отрицателен якобиан ,

где г,, С)—координаты некоторой точки области Е’. Из этой формулы мы
прежде всего заключаем, что соответствие является прямым или обратным в

Ф, 0

,У',2
некие 13, § 65), так как V и V существенно положительны, и мы можем пере-

писать формулу (9) следующим образом:

г: (ср. упраж-

V= V

|О (Л <р. Ф) I
|о С, Ъ, Q I

(9')
Эта новая формула (9') совершенно аналогична формуле (17) главы VI, и мы
выводим из нее тот же самый ряд следствий. В частности, мы непосредственно
получаем общую формулу замены переменных в тройных интегралах; для этого
достаточно воспроизвести без изменений метод § 118. Если F (х, у, z) есть функ-
ция, интегрируемая в области Е, то мы имеем:

F(x, у, z) dx dy dz =

(10)

Е	Е’

§ 139. Замена переменных. Второй способ. Формулу (10) можно до-

^казать также следующим

Черт. 26.

способом. Заметим, прежде всего, что если
эта формула доказана для двух или
нескольких частных замен переменных,
то, на основании известных свойств
функционального определителя (§ 52),
она будет также верна для замены пе-
ременных, получающихся от последо-
вательного выполнения всех этих част-
ных замен. Далее, если формула (10)
верна для нескольких областей про-
странства, то она будет также верна
и для области, получающейся от сложе-
ния всех предыдущих областей. После
этого замечания мы докажем сначала,
как и в случае двойного интеграла, что
формула (10) применима ко всякому
преобразованию, при котором заменено
только одно независимое переменное,
например к преобразованию вида:

х — х', у=у', z = ty(x', у', z’). (11)

Предположим, что обе точки М (г, у, z)
и /И'(х', у', z') отнесены к одной и
той же системе осей (черт. 26), и что
каждая прямая, параллельная оси Oz,

пересекает поверхность, ограничивающую область Е, не более, чем
в двух точках. На основании формул (11) этой поверхности соот-
ветствует некоторая другая поверхность Е'. Опишем около обеих по-
верхностей цилиндр, образующие которого параллельны Oz; он пере-
сечется с плоскостью z=0 по некоторой замкнутой кривой С. Каждая
точка т области А, ограниченной контуром С, есть проекция некото-
рых двух точек тл, т2 с координатами zy, z2 первой поверхности и не-
которых двух точек Мр т'2 с координатами z'v z2 второй поверхности.
Выберем обозначения таким образом, чтобы было z, <^z2 и Zj<^z2 .
Подформулам (11) точке тг соответствует или точка , или точка т'2 .
Чтобы различить оба эти случая, достаточно обратить внимание на
йф	„ йф	,

знак —,. Если —, положительно, то z возрастает вместе с г’; тогда
йг' йУ

точке т1 соответствует точка и точке т2-—точка т’2 . Напротив,
ЙФ
еСЛИ й?

отрицательно, то, при возрастании У,

z убывает; следова-

тельно, точке Шу соответствует точка пг', и точке т2— точка tn'v В пер-

вом случае имеем:

z	г'

2	t

J F(x, у, z)dz=\ F[x, у, Ф(х, у, z')\^z,dz';

z	z

i	1

напротив, во втором случае:

z

F(x, у, z)dz = —

Z

Z

У, Ф(*. у, z')Y^dz'.

Z

В обоих случаях мы можем написать:

Z

Z

F(x, у, z) dz =

F [x, у, ф (x, у, г')]

oZ

dz'.

(12)

z

z

Если теперь мы возьмем от обеих частей этого равенства двойные
интегралы, распространенные на область А, то двойной интеграл

г.	г“

Ц dx dy F(x, у, z) dz

A	zL

будет не что иное, как тройной интеграл



F(x, у, z) dxdy dz.

взятый в области Е пространства. Точно так же, заменяя в правой
части равенства (12) х через х', а у через у', мы видим, что двойной
интеграл от правой части равен тройному интегралу от

F[xf, у’, ф (х’, у’, z')]

йФ

& ’

взятому в области Е'. Следовательно, в этом частном случае имеем:

ш
£

F (х, у, z) dx dy dz =

ш

E’

F[x', У, Ф (xr, у, z')J

Ф , , ,
E-, dx dy dz .

D (х, у, z)	йф

Но здесь определитель	—-t—обращается в — ,

D (х7, у , Z )	qZ1

и следовательно,

для замены переменных вида (11) формула (10) доказана.
Общая формула (10) применима также к замене переменных, опре-
деляемой формулами:

х=/(х', У, z'), у = у(х', у', z’), z ~ z',	(13)

где не заменено одно только переменное z. Предположим, что эти
формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между точ-
ками двух областей £, £' пространства; тогда, в частности, будут
однозначно соответствовать друг другу точки сечений /?, получаю-
щихся от пересечения областей Е и Е' одною и тою же плоскостью,
параллельною плоскости z = 0. Поэтому, но формуле замены перемен-
ных в двойном интеграле, будет:

^F(x,y,z)bxdy~

R

F[f(x', у’, z'), ф(х', У, z'), z']

D(f, ?)

D(x\ у')

dx’dy'-, (14)

обе части этого равенства завися: юлько о г переменного z = z'. Интег-
рируя еще раз между теми пределами г, иг,, в которых переменное z
может изменяться в области Е, мы получим формулу:

F (х , у , z\ dxdy dz -
‘ Е

I Д(/Л)
|£»(х',У)

dx' dy’ dz'. (15)

D(x, у, z) D(x,y)

Но в этом случае	= д у у так чт0 формула (10) при-

менима 1акже и к замене переменных вида (13).

Покажем теперь, что всякая имена переменных

x=f(x3 ,у3 , z3), у = $ (х2, у3 , гг), z=6(x3,y3, z3)	(16)

может быть получена последовательным выполнением двух предыдущих
замен. В самом деле, положим х' = х3 , у' — у. , z' — z; тогда последнее
уравнение можно представить в виде г' —ф (а/, у', zj, откуда находим
z3 - тг (х', у', z'). Таким образом формулы (16) могут быть заменены
системою шести уравнений:

х — f\x' , у', тг (V , у', z') ], у = ф |xf, у1, тг (xf, у', z') j, z~z',	(17)

х' -х, ,	г' = ф (Xj , У1 , z3).	(18)

Как мы видели, общая формула (10) применима к каждому из преобра-
вований, определяемых формулами (17) и (18); следовательно, она при-
менима также и к замене переменных (16).

Точно так же легко было бы доказать, что общее преобразование
(16) можно заменить тремя последовательными преобразованиями вида (11)

140. Элемент объема. Перепишем формулы (6), определяющие замену
переменных, заменяя x',y',z' через и , v, w :

x—f(u , v , w), у = ср (и , v , w), z=ty(u,v,w). (19)
Изменяя немного принятое до сих пор истолкование, будем теперь
рассматривать и , v, w как систему криволинейных координат.

Поверхности (и), например, суть поверхности, описанные точкой
(t,y,z) при произвольном изменении v и w, когда и сохраняет посто-
янное значение; поверхности (и) и (w) определяются таким же образом.
Если через каждую точку области Е пространства проходит единствен-
ная поверхность каждого из этих семейств, то они разобьют область Е
на весьма малые шестигранники, аналогичные параллелепипедам, образуе-
мым плоскостями, параллельными координатным. Объем шестигранника,
ограниченного поверхностями {и), (и du), (v), (v -|- dv), (вд), (w -ф dw),
где du, dv, dw положительны, по формуле (19) равен:

£>(/ ф)

D (и, v, ге)

-ф s ' du dv dw,

не г бесконечно мало вместе с du, dv,dw. Членом s du dv dw можно
пренебречь, как мы уже неоднократно указывали (§ 72, 118): произведение

dV

ф)

D (и, v, w)

dudv dw

(20)

называется элементом объема в системе криволинейных координат (и, v, w).

Пусть будет ds2 квадрат линейного элемента в той же самой системе
координат; из формул (9) имеем:

,	<)/ , । <>/ , . <V ,

dx — - du А—- dv -ф - dw,
AU AV AW

, to ,
dy=zFdu 1 •
all

возведя последние равенства в квадрат и сложив, получим:

ds2 — Нг du2 -ф IE, dv2 -ф Ня dw2 -ф 2/д dv dw -ф

-ф 2F, du dw -f 2ф> du dv,	(21)

г те

«, = S('-)2 H.=S('v)1 «, s(- ’

\ / ,	}	(22)

__о to dx _________ Ax Ax	to to j

1 'flu ’	2	<5 ,>u Aw' 3	)

причем знак S всегда показывает, что х должно заменить последователь-

но через _у и через z и взя1ь сумму трех получающихся членов. Формула
для dV может быть получена весьма просто из формулы для ds2; в самом

деле, составляя квадрат определителя

по известному правилу, находим'

to Ay to
to Аи Аи
to йу to
Av Av Av
Ax Av Az
w Aw Aw

H. F, F2
F3 H,2 F,
F2 F, EE

ледовательно, элемент объема равен

J ’ М. du dv dw.
Рассмотрим, в частности, тот весьма важный случай, когда коорди-
натные поверхности (zz), (w), (да) образуют тройную ортогональную сис-
тему, т. е. когда три поверхности, проходящие через какую-нибудь
точку пространства, пересекаются попарно под прямым углом. Тогда ка-
сательные прямые к трем линиям пересечения трех поверхностей, взятых
попарно, образуют прямой трехгранный угол; поэтому необходимо
F] =F2 = /?3 = 0, и эти три условия будут вместе с тем и достаточ-
ными. В этом случае формулы для ds2 и dV принимают следующий
просюй вид:

ds2 — fi^du1 -\-H2dv2 -J- H^dw2, dV =’]/HAH2H^du dv dw.	(23)

Эти формулы легко вывести геометрически. Предположим, что du, dv,
dw очень малы, и будем рассматривать элементарный объем, ограничен-
ный поверхностями (zz), (u-{-du), (w), (v ф-dn), (®), (w-{-dw), как
весьма малый прямоугольный параллелепипед с плоскими гранями. Пре-
небрегая бесконечно-малыми высших порядков, мы найдем, что ребра
этого параллелепипеда будут соответственно равны /-^du, H2dv,
\/~H2dw. Приняв диагональ и объем этого элементарного параллелепи-.
педа за линейный элемент и за элемент объема, мы получим формулы (23)
Точно так же площадь одной из граней НАН2 du dv представляет эле-
мент поверхности (да).

Рассмотрим, например, полярные координаты в пространстве:

х =р sin 9 cos®, у — рsin9sin ср, z = pcos9,	(24)

где р представляет расстояние точки М (х, у, z) от начала координат,
9 — угол, образуемый прямою ОМ с осью Oz, и (р— угол, образуемый
с Ох следом плоскости MOz на плоскости z — О. Чтобы иметь все точки
пространства, достаточно изменять р от 0 до-(-оо, 9 от 0 до тг и (р
от 0 до 2тг. Из формул (24) находим:

ds2 = dp2-|-p2d92-j-p2sin29d<p2,	(25)

и следовательно,

d V= р2 sin 9 dp df) d<f.	(26)

Эти формулы легко получить непосредственно. Три семейства поверх-
ностей (р), (9), (<р) суть ^ответственно: концентрические сферы с цент-
ром в начале координат, круглые конусы с вершиною в начале коорди-
нат, осью которых служит ось Oz, и, наконец, плоскости, проходящие
через Oz. Эти три семейства, очевидно, образуют тройную ортогональ-
ную систему. Измерения элементарного тела, как это легко видеть из
черт. 27, суть dp, pd9, р sin 9 dtp, и мы приходим к формулам
(25) и (26).

Пусть будет /?=/(9,ф) уравнение замкнутой поверхности 5, окру-
жающей начало координат, и пересекающейся с каждою полупрямою,
выходящею из начала координат, не более, чем в одной точке. Чтобы
при помощи переменных р, 9, вычислить тройной интеграл, распро-
страненный на область, ограниченную этою поверхностью 5 должно

изменять р от 0 до/?, О от 0 до п и ® от 0 до 2тс. Например, объем,

ограниченный этою поверхно-
стью 5, равен тройному интегралу:

2л	t У?

V — dy df) \ р2 sin 6 dp;
и	bb

первое интегрирование выполня-

ется непосредственно, и полу-

чается

Г A?3 sin О

J

о

Иногда пользуются также цилиндрическими координатами г, <о, г, где-
х = г cos <о, y = rsin<o. В этом случае мы имеем:

ds2 — dr2 4- г2 </(о2 -|- dz2, dV = г d<n dr dz.

141. Эллиптические координаты. Поверхности, представляемые уравнением

*2 , У2

X — а X — b

(27)

где X — переменный параметр и л > b с > 0, образуют семейство софокусных
поверхностей второго порядка. Через каждую точку пространства проходят три
поверхности этого семейства: эллипсоид, двуполостный гиперболоид и однопо-
лостный гиперболоид, так как уравнение (27) всегда имеет один корень Х(, содер-
жащийся между b и с, один корень Х2, содержащийся между а и Ь, и один ко-
рень Х3, больший а. Эти три корня Х1; )2, Х3 называются эллиптическими коорди-
натами точки, прямоугольные координаты которой суть х, у, z. Каждые две по-
верхности этого семейства ортогональны; в самом деле, заменяя в уравнении (27)
X сначала через Х1; потом через Х2 и вычитая почленно полученные равенства, мы,
по разделении на Х( — Х2, получим соотношение:

X2______________________У*____________._________= 0	(28.

— а) (Х2 — а) (Х| — Ь) (Х2 — Ь) (Х4 с) (Х2 с)

из которого видно, что поверхности (X.) и (Х2) ортогональны.

Чтобы получить наиболее простым способом х, у, z в функции X,,	Х?, за-

метим, что так как Х(, Х2, Х3 суть корни уравнения (27), то должно быть тожде-
ственно:

(X — а) (X — b) (X — с) — х2 (X — b) (X — с) — у2 (X — л) (X — г) — (X — л) (X — Ь) —
- (X — Х1) (X — Х2) (X Х3);

полагая в этом тождестве последовательно Х = л, 1—Ъ, 1=с, получим отсюда:

г> _ (Х3 —л)(л —Х<)(л —Х2)
(Л — Л) (Л — l)
д_(Хз —*0 (Ь; —fr)P —X,)
(л— Ь)(0 — с)

__(Хз — с) (Х-2 — с) (Х< — с)
(а — с)[Ь — с)

(29)
Взяв логарифмические производные, имеем:

.	х	/ d't.i ,	d\„	,
dx	—‘-4-,—+г-*-
2	\ А, — а л2— а J'S — а-

dy-Z (Jd + d‘^ +

У	‘2	'Aj — &^'a2 — b^\3 - bl

,	z	I d'i., , dA.> d\3 \

dz = — ( ---*- + ---—	)

2	U( — c — c — cl

Составив сумму квадратов последних равенств, найдем, что, но основании со-
отношения (28) и ему аналогичных, члены с d\{ d}..,, d^rfAj, d^d^ исчезают. Ко-
эфициент при rf).y будет:

4 | (kj — a)->	(X, — b)*	(A, — c)2 | ’

заменяя x'-, yt, г- их значениями и делая приведение, получим-

«4 _ 1	— Ч) Р-2—м) .

*	4 (Xt — а) (а, — 6) (л( — с) ’

коэфициенты М.2 и М3 при d).| и d'i-3 получатся из Л4( круговою перестановкою.

Тогда элемент объема будет равен I’ AljAl.j/H., d).t d.\ d).3.

142.	Интегралы Днрнхле. Пусть требуется вычислить тройной интеграл

\ хр уч z? (1 — х — у — z)’ dx dy dz,

взятый внутри тетраэдра, ограниченного плоскостями х = 0, у = 0, z = О,
х У — 1- Положим

х -|-_у + z —	y-\~z. ~rh z = ^iZ,

где г,. Z — новые переменные. Эти формулы можно представить иначе в виде:

обратно, мы имеем х — i (1 — т,), у— ;т, (1 — t), z Если х, у, z положительны
и сумма х + у г меньше единицы, то т„ t заключаются между нулем и еди-
ницею. Обратно, если г,, { заключаются между нулем и единицею, то х > О,
у > 0, z > 0 и x-J-ja-I- z<l. Таким образом мы заменили тетраэдр кубом.

Чтобы вычислить функциональный определитель, положим X—Y = ~т„
Z=?r,С, откуда имеем х--Х — У, у-- E—Z. г--= 7.. Но

D (х, у, z)	D lx, у, z) D (X, Y, Z) _„

D (;, п, ?)	D (X, Y, Z) ’ D	ч, О ~

и тройной интеграл после указанной замены переменных обратится в

1	1	I

\dt[ rfr,	(i _T()Pfr(i

0	О	0

Подннтегральная функция представляет произведение функции от ; на функ-
цию от и на функцию от С Следовательно, данный тройной интеграл равен
произведению трех интегралов:

1	1	1

\ Sp+?+r+i(i —	\	yi.-r+t	(i — ъ)раъ.\ г?(1 -

О	о	о
Вводя "функции Г [см. формулы (33), (34) § 128], мы получим для тройного инте-
грала выражение:

Г (/* Н 'Э' Н *'3) 1 (? +П) ' Г (<7 г -р 2) Г (р 1) . Г (г 1) Г ((/ ~р 1).
Г(р-М+'Ч-5 + 4)	* Г (р + q -|- г + 3)	’ Г (</ + г + 2) ’

по сокращении на общих множителей остается

Г(р+1)Г(<7 + 1) Г (г + 1) 1> + 1)
г (р -р 7 + г + « + 4)

143.	Кратные интегралы. Исходя из чисто аналитических выражений, полу-
ченных нами для двойного и тройного интегралов, мы можем распространить
определение кратного интеграла на функции от произвольного числа независимых
переменных. Мы ограничимся здесь только общими указаниями.

Пусть будет xlt х2, ..., хп система п независимых переменных. Для крат-
кости мы будем говорить, что каждая система значений х®, х?,	, х}п этих

переменных представляет некоторую точку в пространстве п измерений. Точно
так же всякое-соотношение F(x„ х2, ..., хл) = 0, в котором левая часть есть
непрерывная функция, представляет поверхность; если F есть многочлен первой
степени, то мы будем говорить, что это уравнение представляет плоскость. Рас-
смотрим совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам
вида:

х2, ..., х„)<0 (Z=l, 2,	(30)

мы будем говорить, что эта совокупность точек образует область D в про-
странстве п измерений. Если для всех точек этой области абсолютная величина
каждой из координат xt не превышает некоторого определенного числа, то мы
будем говорить, что область D находится на конечном расстоянии. Если нера-
венства, '' определяющие область D, имеют следующий вид:

Ху sZ Х( ,	.^2	.cj , . . . , х” -С ,	(31)

то мы'’будем называть эту область призматоидом и будем говорить, что п по-
ложительных чисел х] — х(’ суть измерения этого призматоида. Наконец, мы бу-
дем говорить, что точка области D расположена на границе этой области, если
для координат этой точки по крайней мере одна из функций в формулах (30)
равна нулю.

Пусть будет D конечная область, и f (х^ х2, ... , х„) функция, непрерывная
в этой области. Предположим, что область D разбита на меньшие области плос-
костями, параллельными плоскостям xz —О (Z= 1, 2 ... , п) *. Возьмем один из
призматоидов, ограниченных этими плоскостями и содержащихся внутри области
D; пусть будут Дхь Дх2, ... , Дх„ его измерения, и Е2, ..., координаты
какой-нибудь точки этого призматоида. Если число всех призматоидов, содержа-
щихся внутри области D, неограниченно возрастает так, что все измерения их
стремятся^к пулю, то сумма

-S -=	> • • • > ^я) Д1Да- • • ^хп>	(32)

распространенная на все эти призматоиды, стремится к некоторому пределу I.
Этот предел / называется п-кратным интегралом от функции /(х,, х2, ..., х„),
взятым в области D,

I — \ \ ... \ f (х{, х2, .... хп) dX{ dx2 ... dxn.

Вычисление н-кратного интеграла и здесь приводится к последовательному
вычислению п простых интегралов. Чтобы доказать, что этот закон — общий, до-
статочно показать, что если он верен для (п— 1)-кратного интеграла, то он также

♦ To-есть плоскостями xt — const.

(Ред.У
вереи и для гс-кратиого интеграла. Для этого рассмотрим некоторую точку
области D

(хь х^.....х„).

Если мы временно не будем обращать внимания на переменное х„, то ясно, что
точка IX,, х», ..., х„_,) будет описывать некоторую область D' в пространстве
(п — 1) измерений. Предположим, что область D удовлетворяет следующему усло-
вию' всякой точке (х„ х».....х„_,) внутри области D' соответствуют на гра-

нице области D только две точки с координатами (xlt х2, .... х„_,; х^) и
(х,, х2, .... хя_,; х^), причем координаты х1^ и х'я2) суть функции («—1)
переменных х,, х2, .... х„_,, непрерывные внутри области D’. Если это условие
ие удовлетворено, то мы разобьем D иа такие меньшие области, чтобы это усло-
вие выполнялось для каждой из иих отдельно. Рассмотрим теперь ряд призмато-
идов области D, соответствующих одной и той же точке (х„ х2.............хя_,)

области D'; можно доказать, как мы это уже делали для двойного интеграла (§ 124),
что эти призматоиды дадут в А сумму, равную:

Ах, Ах» ... Ах„_,

\ f (х„ х2, .... хп) dxn + г
п

где | е | может б >.ть сделано менее всякого положительного числа, если только
tee количества Дх, будут достаточно малы. Полагая

Д2>
п

Ф(п, х2......Хл_,)-- \ /(х„ х2, ..., x„)dxn,	(33)

мы видим, что / равно пределу суммы

X Ф (-И, х2......х„_,) Ах, Ах» ... Ах„_,,

т. е. равно (п — 1)-кратному интегралу

/ =Д \ \ .. Д Ф (х,, х2, ..., х„_,) dx, dx2 ... dx„_lt	(34)

t ,		«/

взятому в области D'. Но мы предположили, что высказанное выше предложение
верно для (п—Н)-кратиого интеграла; следовательно, оно имеет общий ха-
рактер.

Мы могли бы рассуждать еще иначе. Рассмотрим совокупность тех то-
чек (х,, х2...... х„), для которых координата хп имеет данное значение.

Точка (х,, х2, ..., хл_,) опишет в пространстве (п — 1) измерений некоторую
область 3, и легко видеть, что п-кратиый интеграл / равен также выражению:

1=	0(x„)rfx„,	(35)

“(*)
п

где 0 (х„) есть (п — 1)-кратиый интеграл j Д ... /dx, ... dxll_l, распростра-
ненный иа область 3.

Каким бы способом мы ни вычисляли интеграл, пределы для различных инте-
граций, которые при этом должны быть выполнены, зависят от свойства области D
и вообще изменяются в зависимости от перемены порядка интеграций. Исклю-
чение составляет только тот случай, когда D есть призматоид, определяемый
условиями:
В этом случае кратный интеграл имеет выражение:
х х х„
5	2	.

dx dx2 ... f dx„ ,

Х°

1	2	" «

и мы можем произвольным образом изменять порядок интеграций, не изменяя
пределов, соответствующих каждому переменному.

Формула замены переменных также распространяется па «-кратные инте-
гралы. Пусть будут:

xt = ft (vi. х'2 , .... х'п) (i — 1, 2, ..., п)	(36)

формулы преобразования, устанавливающие взаимно однозначное соответствие
между областью D', описываемою точкою (x[, х2, .... хг1), и областью D, опи-
сываемою точкою (хь х2, .... хп\ Мы имеем:

Ц \ ••• U(x„
D

Xq, . .. , хп) dx, .. . dxn —-

' \ \ • • • \ ПТ1, fa.fn)

О' "

D(f ,    • ?„)
D (x. .. , x j

dx ( ... dxn .

(37)

Доказательство этой формулы вполне аналогично предыдущим. Укажем здесь

только в общих чертах ход рассуждений.

1.	Если формула (37) верна для двух
верна и для того преобразования, которое
полнения этих двух преобразований.

2.	Всякая замена переменных может
замен переменных следующего вида:

преобразований, то опа будет также
получается от последовательного вы-
быть получена как соединение двух

Х|=х[, х2--х'2.......................... Хп	= fn(X\  х2....х'п)’	(38>

-r1='hсч..........^),.... xn_,z-•£„_!(*;, .... х„'), х„=х;.	(39)

3. Формула (37) применима к замене переменных вида (38); это следует
из выражения (34) для «-кратного интеграла. Точно так же из выражения (35)
для «-кратного интеграла следует, что если мы предположим, что формула (.37)
доказана для («— 1)-кратпых интегралов, то эта формула будет применима такде
и к замене переменных вида (39). Таким образом, переходя последовательно от п
к «+ 1, можно доказать, что формула (37) имеет общий характер.

Предположим, например, что требуется вычислить определенный интеграл

I = \ \ ... \ хр хр . . . х’п (1 — Xj — х2—	— хл)3 dxi dx2 ... dxn,

распространенный па область D, определяемую неравенствами
0-СХ|, ОСл, ...,	-j-х2 + ... + х„ sS 1,

где «], «2, ..., а„, ji — положительные числа.

Сделав замену переменных

X1 + Х2 -|- хп —	х.2	Хл — ;4;2,  • • , Хл -= Ej52 . . . in,

мы заменим область D областью D', определяемою неравенствами
0==S$2sSl, .... OsSE„sSl.

Кроме того, простым вычислением (§ 142) получим:

D (Х£, Х2, • • • > Хл) _1 лп—2

s2, .... Ел)~’1 ’2
Подинтегральная функция принимает вид:

Ь .. + ,п I 2 . £^(1 -?,)? (1 _ ^.... (1 -5^-1,
и искомый интеграл выражается при помощи функции Г:

Гфа( + 1) 1>2 +1),   Г (а„ + 1) Г (?J-£)

г (л + ’2 +   • + % + ? + П 4-1)

II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛОВ.

144. Общий метод. Пусть будут Р(х, у), Q(x, у) функции двух не-
зависимых переменных х и у. Выражение

Р dx Q dy
вообще не представляет полного диференциала от некоторой функции
двух переменных х, у. В самом деле, как известно, уравнение

du = Р dx -I- Q dу	(41)

равносильно двум отдельным уравнениям:

AU гл г , дй ,
й=₽(х->'>-	<42>

Диференцируя первое из уравнений (42) по у, а второе по х, мы ви-
дим, что функция и(х, у) должна удовлетворять двум соотношениям:

<)2и   АР(х,у)	А2и  aQ(x, у)

Ах Ау Ау ’ Ау Ах Ах

Таким образом, для того чтобы существовала функция и(х, V), удовле-
творяющая условию (41), должно быть тождественно:

АР _AQ
А у Ах

Это необходимое условие вместе с тем и достаточно. В самом деле,
существует бесчисленное множество функций и(х, у), частные про-
изводные которых по х равны Р(х, у); все эти функции заключаются
в формуле:

и = \ Р (х, у) dx -ф- У,
д’о

где х0 — произвольное постоянное, а У—произвольная функция пере-
менного у. Чтобы эта функция и(х, у) удовлетворяла уравнению (41),
необходимо и достаточно, чтобы ее частная производная по у была
равна Q(x, у), т. е. чтобы было:

АР. , dY

Уу‘‘-'+л=СЦХ’
Но, па основании условия интегрируемости (43), имеем:

f d v ( <7 dx — Q(x, у) Q (x0, у),
I оу	I uA	t

A)	-Vo

и предыдущее соотношение обращается в

ЙУ

>)

Правая часть зависит только от у; следовательно, существует бес-
численное множество функций Y от у, удовлетворяющих последнему
условию. Все они содержатся в формуле

у

У= j Q(x0, у) dy-\-C,

Уп

где _у0 есть некоторое частное значение переменного у, а С— про-
извольное постоянное. Таким образом существует бесчисленное множе-
ство функций и (х, у), удовлетворяющих уравнению (41); они выра-
жаются формулою:

и : \ Р(х, y)dx-[- Q(x0, у) dy \-С	(44)

•VO	/о

н разшчаюгся между собою только значениями добавочного постоян-
ного С.

Пусть будет, например,

%4-зду п_У — тх .

X2 Ц-_у2 ’ х* Ц“У2 ’

условие (43) удовлетворяется, и, полагая х0 — 0, _у0 = 1, имеем:

•V	у

Г хД-ту	[' dy ,

и =	—Т dx + 1 - - -f- С.

О	'1

Выполнив указанные интегрирования, получим:

1	/	X \х

u = Г1п А2 + т arctg 4-1пу4-с,
z	\	У /а

или, после приведений,

и = In (х2	у/2) -ф- marc tg — -|- С.

Этот метод можно распространить на случай любого числа незави-
симых переменных. Мы рассмотрим только случай трех переменных.
Пусть будут P,Q, R функции от х, у, г; уравнение с полными дифе-
ренциалами

du—P dx-- Qdy-\-Rdz	(45)

равносильно трем уравнениям:

„	,	А*и А2и

Вычисляя двумя различными способами производные ------, ---- ,

Эх Ay Ay Az

А9-и

----, мы получим три необходимых условия:

Эх Az

AP = AQ	AQ_AR Ж^АР^	7

Эу Эх	Az Ау ’ Эх Az

Предположим, что эти условия удовлетворены. На основании пер-
вого условия существует бесчисленное множество функций a(x,y,z),
частные производные которых по х и по у равны соответственно Р
и Q; все эти функции содержатся в формуле:

х.	".

и = Р(х, у, z)dx-\- \ Q(x0, у, z)dy-\-Z,

*0	Л

где Z есть произвольная функция от z. Чтооы производная — была
aZ

равна R, необходимо, сверх того, чтобы было

ЭЦ(х0,у, г)
Az

dZ
dz

вследствие соотношений (47) последнее уравнение обращается в

R (х, у, z) — R (х0, у, z) -|- R (х0, у, г) — R (х0, у0, г) Ц- = R (х, у, г),

ИЛИ

— =/?(х0. у0, Z).

Отсюда мы заключаем, что существует бесчисленное множество
функций и(х, у, г), удовлетворяющих уравнению (45); все они пред-
ставляются формулою:

т	У	г

и = \ Р(х, у,	z) dx	)|'	Q (х0, у, z) dy	\ R	(х0, у0, z) dz 4- С, (48)

Хо	У о

где х0,_у0, z0 — произвольно выбранные числовые значения переменных,
а С—произвольное постоянное.
145.

Исследование интеграла	Р dx	Q dy. Предыдущий вопрос

, У о

можно рассматривать с другой точки зрения, которая позволяет иссле-
довать его глубже и приводит к новым результатам. Пусть будут
Р(х,у) и Q (х, у) функции, непрерывные вместе со своими частными
производными первого порядка в области А, ограниченной одним за-
мкнутым контуром С; эта область А может также охватывать всю плос-
кость, что равносильно предположению, что контур С удален в беско-
нечность. Криволинейный интеграл

Р dx Q dy,

взятый вдоль пути L, расположенного целиком внутри А, зависит
вообще от пути интегрирования. Найдем прежде всего, при каких
условиях этот интеграл зависит только от координат (х0, _у0), (ха, уг)
конечных точек этого пути. Пусть будут М и N две каких-нибудь
точки области А, и L, L'—два пути, соединяющих эти точки и не
пересекающихся между собою; оба эти пути, вместе взятые, образуют
замкнутый контур. Для того чтобы криволинейные интегралы, взятые
вдоль L и вдоль L', были равны, очевидно, необходимо и достаточно,
чтобы интеграл, взятый в определенном направлении вдоль замкнутого
контура, образованного обеими линиями, был равен нулю *. Таким
образом предложенный вопрос равносилен следующему. При каких
условиях криволинейный интеграл

Р dx-\- Qdy,
взятый вдоль какого-нибудь замкнутого контура, расположенного
в области А, будет равен нулю?

Ответ на этот вопрос получается непосредственно из формулы Грина:

Pdx-{- Qdy--—.
'с

где С обозначает какой-нибудь замкнутый контур, расположенный
в области А, а двойной интеграл распространен на область, заклю-
чающуюся внутри контура С. Очевидно, что если производные от функ-
ций Р и Q удовлетворяют соотношению:

dQ дР\ л
-------I dx dy,

ЙХ ду /

ду ЙХ ’

(43')

то криволинейный интеграл, стоящий в левой части, всегда равен

нулю. Это условие вместе с тем и необходимо. В самом деле, предпо-

е л	Ър

ложим, что в области А разность------------не равна тождественно нулю;

й_у йх

так как, по предположению, эта разность есть непрерывная функция,
то всегда можно найти настолько малую область а, чтобы в области а
знак этой функции был постоянен; тогда из формулы (49) очевидно,

Так как этот интеграл равен разности интегралов, взятых по обоим путям

от точки М до точки N.

(Ред.)
что криволинейный интеграл, взятый вдоль контура области а, не мо-
жет быть равен нулю.

Если условия (43') удовлетворяются тождественно, то два пути
L, U, имеющие одни и те же крайние точки /И, N и не пересекаю-
щиеся между этими точками, дадут для криволинейного интеграла одно
и то же значение. То же самое будет и в том случае, если между
/И и N эти пути несколько раз пересекаются, так как достаточно их
сравнить с третьим путем L", не встречающимся с двумя первыми
нигде, кроме точек М и N.

Предположим теперь, что один из концов линии интегрирования
есть постоянная точка (х0,_у0), а другой конец — переменная точка
(х, у) области А. Интеграл

х,у

F(x,y) = Pdx-\-Qdy,.	(50)

х0,уа

взятый вдоль пути произвольного вида, -зависит только от координат
{х, у) переменного конца. Частные производные от функции F(x, у)
суть как раз Р(х, у) и Q(x,y). Например, мы имеем:

Хо + ix, у

F(xAr^x, y) = F(x, _y)-|-	\ P(x,y~)dx;

х"у

в самом деле, мы всегда можем предположить, что сначала идем по
прежнему пути от точки (х0,_у0) к точке (х, у), а потом от точки
(х, у) к точке (х-|-Дх, у) по прямой, параллельной оси Ох, причем
вдоль этой прямой мы имеем dy=zQ. Прилагая формулу среднего зна-
чения, мы можем написать:

Г(х + ^)-Г(х.^ = р|х + 04г ^ (0<0<1);

при приближении Дх к нулю мы получим F —Р. Точно так же мы
убедились бы, что F* =Q. Таким образом криволинейный интеграл
F(x, ^) удовлетворяет уравнению с полными диференциалами (41), и
мы получим общий интеграл этого уравнения, прибавляя к F(x, у)
произвольное постоянное.

Новая формула (50) общее формулы (44), так как в ней путь инте-
грирования остается неопределенным; впрочем, из 'нее легко вывести
формулу (44). Для устранения всяких недоразумений обозначим через
(х0,_у0), (Xjjj'J координаты обоих концов пути интегрирования и
возьмем за путь интегрирования две прямых х = х0, у =уг Вдоль
первой прямой мы имеем х = х0, dx = 0, причем у изменяется от _у()
ДО-У^; вдоль второй прямой _у=_у1, dy = 0, и х изменяется от х0
до Xj. Следовательно, наш интеграл равен:

j Q(x0,y) dyJr^P(x, yjdx;

Уо	*o

эта формула отличается от (44) только обозначениями.
Но иногда бывает выгоднее выбрать другой путь интегрирования.
Предположим, что, полагая х = Щ), у = <р(/) и изменяя t от t0 до tA,
мы заставляем точку (х, у) описывать некоторую кривую, соединяющую
точку (х0,_у0) с точкою (х,,^). Мы имеем:

•Ч.Я	б

Prfx- Q^y ~\[P(x,y)f (t)-}-Q(x,y)<f'(t)]dt,

хо,уа

и остается выполнить только одну квадратуру. Например, если мы бу-
дем перемещаться по прямой, то нужно положить х = х04-^(х1— х0),
у =у0	1	—_у0) и изменять t от 0 до 1.

Обратно, зная какой-нибудь частный интеграл Ф(х, у) уравнения (41),
мы получим из него криволинейный интеграл посредством формулы:

\ Pdx -f- Q dy = Ф (х, _у) — Ф (х0, j0);
^о'.Л

последняя формула аналогична формуле (8) гл. IV.

146.	Периоды. Можно рассматривать и более общие случаи. Заме-
тим прежде всего, что формула Грина применима также к областям.

ограниченным несколькими контурами.
Рассмотрим, например, область А, огра-
ниченную внешним контуром С и двумя
контурами С, С", расположенными внутри
первого (черт. 28). Пусть будут Р и Q
функции, непрерывные вместе со своими
частными производными первого порядка
внутри этой области. (Части плоскости,
содержащиеся внутри контуров О, С,
должно рассматривать как не входящие
в состав области А; мы не делаем никаких
предположений относительно свойств
функций Р и Q в этих обеих областях.)
Соединим контуры С и С" поперечными

Черт. 28.

линиями ab, cd с замкнутым контуром С. Мы получим, таким образом,
замкнутый контур abmcdndcpbaqa, или Г, который может быть описан

непрерывным движением*. Применяя формулу Грина к области, огра-

ниченной этим контуром, мы найдем, что криволинейные интегралы,
происходящие от линий ab и cd, исчезнут, так как каждый из них
берется в двух противоположных направлениях, и у нас останется

Pdx A- Qdy = I 1	dxdy -,

J J \^x Ъу )

в этой формуле криволинейный интеграл берется вдоль всего контура
области А, т. е. вдоль трех контуров С, С, С", в направлении, ука-
занном стрелками, так, чтобы область, ограничиваемая этими конту-
рами, оставалась всегда с левой стороны.

* Поперечные линии ab, cd рассматриваются здесь как двойные, состоящие
из двух бесконечно близких линий.
ZQ дР

Если в области А функции Ри Q удовлетворяют условию — = — ,
то двойной интеграл равен нулю, и мы можем представить полученное

соотношение в виде:

[Pdx-y- Qdy = \Pdx^ Qdy-\- \Pdx-\- Qdy, (51)

C	C'	C"

если мы условимся брать здесь все три криволинейных интеграла в оди-

наковом направлении.

Возвратимся к области А, ограниченной одним контуром С. Пусть

dQ

— и не-

ЙР
будут Р и Q функции, удовлетворяющие соотношению =

прерывные вместе со своими производными в области А всюду за
исключением конечного числа точек, в которых по крайней мере одна

Черт. 29.
ности образуют вместе одну линию,

из функций Р, Q делается раз-
рывною. Для определенности
предположим, что в А находятся
три точки разрыва а, Ь, с. Окру-
жим каждую из этих точек
окружностью весьма малого
радиуса и соединим эти окруж-
ности прорезами с конту-
ром С (черт. 29). Интеграл
*\Pdx-\-Qdy, взятый от неко-
торой постоянной точки (х0, _у0)
до некоторой переменной точки
(х, у) вдоль линии, не пере-
секающей ни одного из проре-
зов, имеет в каждой точке един-
ственное значение, так как кон-
тур С, прорезы и малые окруж-
которую можно описать непрерывным

движением. Обозначим через Р(х, у) значение этого интеграла, взятого
вдоль этого прямого пути от точки /W0(x0,_y0) до точки Л1 (х, у).

Путь, состоящий из прямой, соединяющей точку Л40 с точкою а',
бесконечно близкою к точке а, из малой окружности радиуса аа1
с центром в а и из прямой а'М0, называется петлею. Очевидно, что
криволинейный интеграл \ Рdx Q dy, взятый вдоль петли, приводится
к криволинейному интегралу, взятому только вдоль окружности, окру-
жающей точку о. Если одна из функций Р или Q обращается в точке а
в бесконечность, то последний интеграл вообще не равен нулю, ио он
не зависит от радиуса этой малой окружности; он равен некоторому
постоянному +21, причем двойной знак соответствует двум направле-
ниям обхода по окружности*. Мы обозначим таким же образом че-

* Нетрудно видеть, что постоянное не зависит от радиуса окружности,
окружающей точку а, если только эта окружность достаточно мала. В самом
деле, опишем около точки а две концентрических окружности С, С, настолько
§ 146 II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ ДИФЕРЕНЦИАЛОВ 347
рез +53 и +(£ значения криволинейного интеграла, взятого вдоль
петель, описанных около каждой из особых точек b и с.

Теперь легко видеть, что всякий путь, соединяющий точку 7И0
с точкою М, может быть заменен прямым путем, идущим из точки 7И0
к точке АТ, и рядом петель. Например, путь MamdefM может быть
заменен рядом путей: MQmdM0, ModeMo, /Иое/?Мо, 7И0ЛИ; путь MomdMfl
может быть, в свою очередь, заменен петлею, описанною около особой
точки о; то же будет и с другими путями. Наконец, путь MQfM равно-
силен прямому пути. Это показывает, что, каков бы ни был путь инте-
грирования, значение криволинейного интеграла будет иметь вид:

F(х, у) = F(x, у) -Ь -L425	(52)

где т, п, р — три совершенно произвольных целых числа положитель-
ных или отрицательных. Количества 31, 33, (£ называются периодами
криволинейного интеграла. Таким образом этот интеграл есть функция
от х и у, имеющая бесконечное множество значений, и нам ясно
происхождение этой многозначности.

Примечание. После того как проведены разрезы ai, b$, с-(, функция
F(x, у) будет в области А вполне определенною функциею; но должно заметить,
что в двух бесконечно близких точках, лежащих по разные стороны прореза,
например в т и т', разность F (т)— F (т') имеет конечное значение. В самом
деле, мы имеем:	т т'

Afo т т'

Это равенство можно представить в виде:

т т'	пг

М Н1 + \;
т	А ЛГо т'

но количество бесконечно мало, и у нас остается

т'	F (т) — F (т') — 31.____

Таким образом вдоль всего разреза at разность F (т) — F(m') постоянна н равна ?(.

Пример. Криволинейный интеграл

(х.У)

Г х dy — у dx
) —^+7”
(1.0)

имеет одну критическую точку—начало координат. Чтобы получить соответст-
вующий период, возьмем данный интеграл вдоль окружности -J-у2 = р'А Имеем:
х = р cos и, у — fs'no), х dy — ydx — p-dta,
2-

н период равен \d<i>—'2~. Этот результат легко проверить, так как под знаком
6

у
интеграла стоит полный диференциал от arctg —.

малых, чтобы внутри них не содержалось ни одной из остальных точек прерыв-
ности Ь, с,... Тогда внутри кольцеобразной области, ограниченной этими двумя
окружностями, функции Р и Q будут непрерывны вместе со своими производ-
ными первого порядка; а так как эта область ограничена двумя контурами —
одним внешним и другим внутренним, то, как было показано в начале это: о
параграфа, значение интеграла \Pdx-yQdy на внешнем контуре С равно зна-
чению тог> же интеграла на внутреннем контуре С.	(Ред.)
147.	Обобщение предыдущих результатов. Выводы последних параграфов
могут быть распространены без существенных изменений па криволинейные
интегралы в пространстве

х, у. Z

U =	\ Pdx+Qdy \-Rdz.	(53)

Х0 , У о , ?0

Обозначим через Р, Q, R функции, непрерывные вместе со своими частными
производными первого порядка в области (Е) пространства, ограниченной одною
замкнутою поверхностью S. Найдем сначала, при каких условиях этот криволи-
нейный интетрал зависит только от концов (х0, у0, г0). (х, у, г) пути интегриро-
вания, или, что то же, найдем, в каком случае криволинейный интеграл, взятый
вдоль какой-нибудь замкнутой кривой Г, равен нулю. По формуле Стокса (§ 132
этот криволинейный интеграл равен интегралу по поверхности

dQ	,, ,	й<?\ .	, Р*р й/?\	.

3х— — ) dKdy	L--------I аУ‘1г + (;-----;-) dzdx’

dx dy /	\<)y	/	\dz	dx J

распространенному на какую-нибудь поверхность 2> ограниченную контуром Г
Для того чтобы при всяком контуре Г этот интеграл по поверхности был равен
нулю, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

ЙР_ЙО йр _ ЙР й/?_й^

Йу ЙХ ’ dz йу йх Й2

Если эти условия удовлетворяются, то существует функция U переменных х,у, z,
полный дифереициал которой есть Р dx + Q dy R dz и которая однозначна
в части (Е) проста анства. Чтобы получить значение функции U в какой-нибудь
точке, можно выбрать путь интегрирования совершенно произвольный.

Если функции Р, Q, R удовлетворяют соотношениям (54), но обращаются
в бесконечность во всех точках одной или нескольких линий области (£), то по-
лучаются следствия, аналогичные полученным в § 146. Например, если одна из
функций Р, Q, R обращается в бесконечность во всех точках замкнутой кривой у,
то интеграл U имеет период, равный значению криволинейного интеграла, взя-
Ю1О вдоль замкнутого контура, пересекающего одни и только один раз поверх-
и >сть с, ограниченную кривою у.

Относительно интегралов по поверхности также можно поставить вопрос,
аналогичный разобранному выше для криволинейных интегралов. Пусть будут
А, В, С функции, непрерывные вместе со своими частными производными пер-
вого порядка в части (£) пространства, ограниченной одною замкнутою поверх-
ностью S. Пусть будет 2 какая-нибудь поверхность в части (£), ограниченная
контуром Г произвольного вида. Интеграл по поверхности

/— \ \ A dy dz 4- В dz dx С dx dy	(55)

зависит вообще от самой поверхности 2, а не только от одного контура Г Чтобы
этот интеграл зависел только от ко ыура Г, необходимо, чюбы двойной интеграл,
распространенный на произвольную замкнутую поверхность, взятую внутри Е, был
равен нулю. Условие для этого можно непосредственно вывести из формулы Остро-
градского (§ 136). В самом деле, мы знаем, что предыдущий двойной интеграл, рас-
пространенный на какую-нибудь замкнутую поверхность, равен тройному интегралу
Г ( Г /ЙА , ЙВ , ЙС\ .

Ш(ьЧ+сГ'''’

распространенному на объем, ограниченный этою поверхностью. Для того чтобы
при всяком объеме этот последний интеграл был равен нулю, очевидно, необхо-
димо, чтобы функции А, В, С удовлетворяли соотношению:

ЙХ йу dz

(56)

Условие (55) вместе с тем и достаточно.
Этот результат ле! ко проверить, пользуясь формулою Стокса. В самом деле,
если даны три функции А, В, С, удовлетворяющие соотношению (56), то бесчис-
ленными способами можно найти три такие другие функции Р, Q, R, чтобы было

<з;>
йу дг	йг йх	дх dy

Если эти ур-ния имеют хотя одно решение, то они имеют их бесчисленное мно-
жество, так как они не изменяются при замене Р, Q, R соответственно через
рчЛ <?-Л, *+5Д
дх	ду	д г

где А — произвольная функция от ,v, у, z. Положим /? = 0; из двух первых со-
отношений (57) получим:

z

Р = \ В (х, у, z) tlz 4- ® (х, у), Q = — \ А (х, у, z) dz 4 4 (х, у),
4	4

тле «(х, у) и $ (х, .у) — произвольные функции от х и у. Внося эти значения
в последнее уравнение (57), мы представим его в виде:

ИйА , й5\	, <4	.

+	4 С(х,у , г),

)х йу/ / йх ду
га

или, принимая во внимание условие (56),
йб й<р
------------------------------------ — С(х, у. х0).
йх ду

Таким образом одну из функций <р, ф можно взять произвольно.

Определив таким образом функции Р, Q, R, удовлетворяющие уравнениям (.4),
мы найдем, что, по формуле Стокса, интеграл по поверхности [ будет равен кри-
волинейному интегралу

\ Р dx 4- Q dy -И R dz\

г

следовательно, он зависит только от коцтхра Г.

УПРАЖНЕНИЯ.

I.	Вычислить значение тройного интеграла:

\ \ \ [5 (х —y)i 4- 3az — 4д2] dx dy dz,

распространенного па обьем, определяемый неравенствами
х-’ 4 У2 — йх < 0, х2 4- у2 4 22 — 2д2 < 0.

2.	Вычислить, площадь поверхности, представляемой уравнением:
„ , о . „	«2&2 (х24 у2) Z

х-1 4 4 4 & —--------—,

-	1	О2х2 £2у2

и объем, ограниченный этою поверхностью.

3.	Исследовать свойства функции:

х	Y	7

F(X, У, Z) — \ dx \ dy \ / (х, у, z) dz,

Vo	Уи	4

рассматриваемой как функция от X, У, Z. Распространить на этот случай
выводы § 115.
4.	Найти объем, ограниченный тою частью поверхности, представляемой
уравнением	(х2 + у2 +

которая расположена в трехгранном угле Oxyz.

5.	Привести к простому интегралу кратный интеграл:

Ц' •  • хт‘ • • • хпп F (хт + хг 4“ • • • + axt dX}... dxn,
распространенный на область D, определяемую неравенствами

0sgxb 0^х3, ..., 0 хп, х,-]— х2

(Здесь следует поступать так же, как в § 147.)

6.	Привести к простому интегралу кратный интеграл:

J | ... J х? х? ... x^F	• • • -i (XfJn | dXi dx.2... dx№

распространенный на область D, ограниченную неравенствами:

0^xt, 0<х3, ..., 0^хп, (^)А+-.-+

7.	Вывести формулу:	п

И L .. I dx, dx2 ... dxn = —---,

JJJ J	г(у+1)

где кратный интеграл распространенна область D, определяемую неравенствами
х^4-Х2+ ... +х2„ < 1.

8.	Вывести формулу:	п

7Г	2'.	-J J

( d0 ( F (a cos 0 + b sin 0 cos <р + с sin 6 sin <р) sin 0 d<? = 2я С F (uR) du,

О	О	_______-£ 1

где авЬ, с—произвольные постоянные, и R — ]/й2-(. &2-|_(2. [Пуассон.]

[Здесь следует обратить внимание па то, что предложенный двойной интеграл
представляет интеграл по поверхности, распространенный па сферу х2-|-у2-|-22—1,
п принять за новую плоскость ху плоскость Ьх 4- су + аг =0.]

9.	Пусть будет o^=F('>, <р) уравнение замкнутой поверхности в полярных
координатах. Доказать, что объем, ограниченный этою поверхностью, равен двой-
ному интегралу, распространенному па всю поверхность,

р cos у da,	(а)

где da есть элемент поверхности и '— угол между радиусом-вектором и внеш-
него нормалью.

10.	Рассмотрим эллипсоид, представляемый уравнением:

4- у2 4-	г'2	=: 1

р.2 "Т" р.2 —	— с 2

Будем определять точки его поверхности эллиптическими координатами v и р,
т. е. корнями предыдущего уравнения, в котором р. заменено неизвестным (см. § 141).
Применение формул (§ 133) к объему этого эллипсоида приводит к следующему
соотношению:

ь с	_____________

г г	л= _1^

Применение формулы (а) (упражнение 9) дает также:

Ъ с

U С-—=_________=

J J /(Ы - Р2) (Г2 - р2) (V2 - &2) (С2 - у2)	2

[Ламэ.]
ДОПОЛНЕНИЕ.

О ФОРМУЛАХ ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Классическая формула диференцирования под знаком \ (§ 94) непо-
средственно распространяется на криволинейные, а также и на крат-
ные интегралы, при условии неизменности пути или области интегриро-
вания, если только подинтегральная функция непрерывна и имеет не-
прерывную производную по переменному параметру. Это обобщение
представляет большие трудности, если путь или область интегрирования
сами являются переменными. Мы будем предполагать, что подинтеграль-
ные функции непрерывны в пределах интеграции, так же как и все их
производные, входящие в вычисления.

1.	Криволинейные интегралы. Дуга кривой Г, представляемая урав-
нениями

y = u(t),

где t изменяется от t0 до	называется правильно"’, если функ-

ции /, ср, ф, непрерывные в интервале (/0, /J, имеют производные/'(£),
<р' (/), ф'(О, непрерывные в том же интервале. Обыкновенная кривая
образована из конечного числа правильных дуг, соединенных своими
концами; такая кривая может иметь конечное число угловых точек,
другими словами, для обыкновенной кривой производные /'(/), <р' (/), ф'(0
могут иметь конечное число точек разрыва первого рода между /0 и
Мы будем рассматривать лишь криволинейные интегралы, взятые вдоль,
обыкновенных кривых.

Пусть будут

х — f(t, а.),	—	а), г = ф(/а)

уравнения семейства кривых Г, зависящих от переменного параметра а:
функции /, tp, I, как и все их производные, которые будут входить
в вычисления, предполагаются непрерывными в области изменения а и t.
С другой стороны, пусть будут /0(а) и /3 (а) две непрерывные функции
параметра а, также имеющие непрерызные производные; дуга АВ кри-
вой Г, получаемая при изменении t от t0 до /3, перемещается, дефор-
мируясь непрерывным образом при изменении параметра а. Концы А и В
этой дуги, вообще, также перемещаются и описывают, соответственно,
кривые у0, y3. Координаты этих двух точек (х0, _у0, г0), (ху, уу, z,) суть,
функции параметра а, имеющие выражения:

х0 =f<60, а), М) = Ф (zo, <*), zo = Ф (zo> <*)-

а),	=	^ = Ф(^>а)-
Пусть нам даны три непрерывные функции Р(х, у, z, a), Q(x, у, г, а),
R (х, у, z, а.), имеющие непрерывные частные производные первого по-
рядка; определенный интеграл

/(а) = Р(х, у, z, а) rfx-ф Q (х, у, z, а) dy -|- R (х, у, z, a)dz (1)

АВ

есть функция параметра а; наша задача заключается в том, чтобы вы-
числить производную этой функции. Достаточно, очевидно, произвести
вычисления для интеграла

Ix (а) = \ Р (х, у, z, a) dx,

Ав

р(/> 'f- Ф,
о.

который мы можем заменить обыкновенным определенным интегралом

'ХЮ =

К этому интегралу мы можем применить классическую формулу ди-

ференцирования (§ 94), что дает:

, С/ЙР ЙРУ йРй<р

- КЭа + йхйд +ау йа "Ь йг йа ) dt

+HS‘a+P,-w"г"а* S- р(х"’л'г” °* (Ю

7.	1	'	' 0

интегрируя по частям второй интеграл, получаем:



I Йа \ Йх dt -Г йу dt ' dZ dt ]

и мы имеем, возвращаясь к первоначальному обозначению:

pV“l+PV\“
dt аа' йа /(о

Смысл обинтегрированного члена ясен; в самом деле, производная
dx

сложной функции x0~f(tQ,a.) от параметра а равна:

й/ й^0	й/(/0, а)

dtQda ‘ йа

Обинтегрированный член равен, следовательно, разности:

п /	. dx,	dxf, Г г* /	, dх

Р(хг,уг, Zv а)^ — Р(х0,у0, z0, а)-^=|^Р(х, у, z, а)—J
Выражения производных от интегралов

/„ (a) = \Qdy и /3 (а) = \ R dz

АВ	АВ

находятся таким же образом; можно, впрочем, получить их из 1' (а)
круговой перестановкой букв х, _у, г; складывая эти три производные,
мы получаем, наконец,'для 1'(а) следующее выражение:

. С ЪР	,	3Q	। 3/?	।	Г '1дР	3Q\

Г (а = I —	dx -ф- — dy -ф- — dz -ф-\ I --— ]

' '	,) За	1	За	1 За	J ' йу	Зх/

АВ	АВ

,	С (*Q	зи	J	\	,	Г ря	зр\

+ J 1зТ-<Ж Va

АВ	АВ

dx —

Г	dx	dv	dz"\^

_l Р(х, j, z, а) - +Q(x, j, z, a)-f 4-R(x,y, z, a) -	.	(2)

L	u cz	u a	tz a j #

Для того чтобы перейти к случаю плоской кривой, достаточно -по-
ложить г = ф = 0, и формула принимает вид:

и/ х С Ж , з<э .	(дР	3Q\(3t>	. з/\ .

/ (я) = I с- dx -ф- -— dy -j-	I --— 11	dx — - — dy I -ф-

J 3a 3a	\3.y	3x/'3a	3a / 1

AB

4- [p(x, y, a)^ 4-Q(x,y, a)^l‘.
L	uCt J А»

(3)

Мы напишем эти формулы в несколько ином виде, вводя обозначение,
заимствованное из вариационного исчисления. Если U есть функция пара-
метра а, которая может зависеть и от других переменных, то мы на-
зываем вариацией U и обозначаем через St/ произведение За, т. е.
главную часть приращения, которое получает U, когда мы даем а при-
ращение Sa, причём предполагается, что остальные переменные, от ко-
торых. может зависеть U, сохраняют свои значения. Так, мы имеем:

з/ ч	з/\

Зх = с- оа, <jP=~ оа, ...

За	За

В отношении координат концевых точек А и В необходимо ввести
еще некоторое различие: например, х0=/(/0, а) можно рассматривать
как функцию двух независимых переменных /0 и а, и мы имеем:

_Wo-
и За

Но так как t0 есть функция а, то х0 в действительности есть слож-
ная функция а, и мы положим:

Дх0 =

^0
da.

= РЖ, а) dt0

L 3t0 da

1 3a J

аналогично определяются Д_у0, Дг0, Axp Д_у1; Дгг
Умножая обе части формулы (2) на За, мы получаем выражение
вариации 5/ = /'(а)За:

8/ — J ЬР dx -j- 8 Q dy -j- 3/? dz -|- J Q-9(3_y dx — 3x dy) -|-

AB	AB

, C (iQ	x I Г (*R	. ,	, , s .

+ \ L, —	/ (yzdy — oydz) 4- \ I — — — (oxdz — ozdx) +

J \dZ	dy /	J ' dX dz /

AB	AB

+ [Pbx+Q\y±Rbz]e,	(4)

где положено, например,

[РДх]в = Р(х1,у1, гг,а) Ах: — Р(х0, у0, г0, а) Дх0.

Правая часть формулы (4) содержит три члена: первый интеграл обязан
своим происхождением вариации функций Р, Q, R при изменении а на
бесконечно малую величину За, и мы могли бы получить его непо-
средственно, не обращая внимания на деформацию пути интегрирования.
Член, стоящий вне знака , зависит лишь от бесконечно малых пере-
мещений концов А и В пути интегрирования; мы получили бы этот
член, прибавляя к интегралу, взятому вдоль АВ, два элемента интеграла,
взятые вдоль А'А и В'В, где А' и В' суть концы нового пути интегри-
рования А'В', соответствующего значению а —|—оа параметра. Второй
интеграл, к которому мы еще вернемся, происходит от деформации са-
мого пути интегрирования.

Формулы (2) и (4), которые были выведены нами лишь для правиль-
ной дуги, легко распространяются на случай, когда путь интегрирования
имеет конечное число угловых точек. Если, например, дуга АВ состоит
из двух правильных дуг АС, СВ, соединенных в точке С с координа-
тами х9, у9, z2, то мы можем применить формулу (4) к каждой из дуг
АС, СВ; при сложении обеих формул член P(x2,y2,z9,a)Sx„y-...
исчезает, и формула (4) применима, таким образом, ко всей дуге АВ.
В частности, если интеграл взят вдоль замкнутого контура, то член,
стоящий вне знака \ , исчезает, каково бы ни было число правильных
дуг, из которых состоит этот контур. Отсюда легко можно было бы
вывести условия, необходимые и достаточные для того, чтобы криволи-
нейный интеграл

У Р (х, у, z)dx-)~ Q (х, у, z)dy-CR (х, у, z) dz,
взятый вдоль какой-нибудь кривой Г, соединяющей две точки А и В,
не изменялся, когда мы деформируем эту кривую непрерывным «обра-
зом, оставляя неизменными ее концы (§ 147).

Возвратимся к интегралу, стоящему во второй строке формулы (4)
и происходящему от деформации контура. Положим

л=йс_й^

йг йу ’ йх йг йу йх

и обозначим через а', у' углы, составляемые положительным напра-
влением касательной .к Г с положительными направлениями осей;
исследуемый интеграл есть не что иное,

делителю

как ( Н ds, где Н равно onpei
АВ

ох	iy	iz

L	М	N

cos a' cos cos

Этот определители Н по абсолютной величине равен объему паралле-
лепипеда, построенного на следующих трех векторах: 1) вектор тт',
началом которого служит точка т (х, у, г) кривой Г, а концом —
точка m’(x-\-ix, у 4- iy, z-\- iz) варьированной бесконечно близкой
кривой Г'; 2) вектор т J, имеющий началом точку т, и компонентами
L, М, N {вихревой вектор)-, 3) вектор mt, который мы получаем, от-
кладывая длину, равную единице, на положительном направлении каса-
тельной. Пусть будут V =|//,2_|_уИ2 4-Л/2 длина вихревого вектора,
in — расстояние точки т' от касательной mt, 9 — угол (от 0 до тт)
вихревого вектора с элементом плоскости, проходящей через mt и тт'.
Мы имеем, с точностью до знака:

Н~ Vin sin 6,

и эта формула будет обладать общностью, если мы условимся приписывать
in определенный знак, а именно знак , если триэдр mtm'Z. имеет то же
расположение осей, что и триэдр Oxyz, и знак — в противном случае.

Следовательно, общая формула (4) может быть написана в сокра-
щенной форме:

6/ — iPdx-\- iQdy 4- iRdz-\~ Vin sinftds -|~ [PAx-[- QAy-(- /?	. (5)

Ab

В случае плоской кривой второй интеграл можно написать так:

с [ър sqV . s , с (^р ъо\ . в,.

l I----(oydx—Oxdy)=\l--------------- I (coscrop — cosp'ox)ds,

J ' чУ oX/	J	oX/

AB	-	AB

где а’ и (J' суть углы положительного направления касательной с осями;
in = cos a’ iy— cosfl'Sx представляет проекцию вектора тт’ на напра-

г	I к

вление нормали в т к 1, которое составляет угол — с положитель-
ным направлением касательной (отсчитываемый от Ох к Оу); тогда об-
щая формула для о/ принимает вид:

о/ = \iP dx iQ dy	АхQ А_у] (6)

АВ	АВ

В этих последних формулах часть И, происходящая от деформации
пути интегрирования, зависит лишь от бесконечно малого перемещения
каждой точки т кривой Г в направлении, перпендикулярном к касатель-
ной в т. Этот результат понятен a priori, так как всякое бесконечно)
малое перемещение тт' всегда может быть разложено на касательное
и нормальное перемещения. Часть И, происходящая от касательного
перемещения, равна нулю, так как при этой деформации крившг Г
образуется сама в себя, и каждый элемент интеграла заменяется бесКОп
нечно близким элементом. Ясно, впрочем, что в уравнения, определя-
ющие путь интегрирования, входит некоторый элемент произвола: это
именно — выбор вспомогательного переменного t. Мы можем заменить t
другим переменным т, связанным с t соотношением t п (т, а), так
что t возрастает от t0 до когда т возрастает от т0 до тг При этой
замене выражения Зх, оу, oz изменяются, между тем как /(а), а следо-
вательно, и 81, не зависят от выбора переменного Л С другой стороны,
первый и третий члены о/ сами не зависят от этого выбора, следова-
тельно, то же самое будет иметь место и в отношении того члена 81,
который один только содержит Зх, оу, 8z. Это замечание позволяет вы-
брать произвольно форму соответствия между точкой т (х, у, z) пути АВ
и бесконечно близкою точкой т' (x-f-Sx, _у-|~$У> z~\~^z) соседней кривой Г',
причем, однако, следует обращать внимание на условия непрерывности.
В частности, можно поставить в соответствие точке т кривой Г точку т',
Лежащую в плоскости, нормальной к Г в точке т, или выбрать t так,
чтобы предельные значения t0 и не зависели ’от а; в этом случае
точки обеих дуг АВ и А'В1 находятся во взаимно однозначном соот-
ветствии. Практически нам нет надобности иметь явные выражения функций
x=f(t, a), y =	z = ty(t,a),

которые мы предполагали известными в наших рассуждениях. Если мы
знаем обе бесконечно близкие кривые Г, Г', соответствующие значениям
й и а-|-йа параметра, то нам достаточно будет взять за ox, о_у, 8z та-
кие бесконечно-малые первого порядка по отношению к 8а, чтобы
точке (х, у, z) дуги АВ соответствовала точка (x-j-5x, у -|-о_у, z-j-Sz),
расположенная на Г'.

Примеры. 1. Предположим, что кривая Г представляет собою отрезок
прямой АВ, соединяющий точку А (0, а) с точкою В (а, 0). Мы можем положить
х = t, у = ч — t,	tn = 0,	t. — а,

что дает:	’ ? ’	" ’	*	,

хо = О, _у0 = а, л! = а,	у, = 0,	Зх = 0,	8_у = W,

Дхо = Дуч = 0, Д_у0 = аа, Дл, = аа.

Если мы имеем:

I = Р (х, V, а) dx + Q (х, у, а) dy,

то, следовательно, Ав

ol— f ЗР dx + oQ dy -f- f (3a dx 4- [P (a, 0, a) — Q (0, a,a)] oa,
J '• d_y ox >

AB	AB

или, замечая, что вдоль АВ мы имеем dy - y dx =fy.
a	a

&/ = J(aP-3Q)rfx+ j*	— ^)sarfx + a[P(’, 0, a) — Q (О, а, а)] от.

о	о

Мы могли бы положить также

X—'it, _у=а(1—t), ta = 0, ^ = 1
и получить тот же результат.

2 Если часть пути интегрирования неизменна, то второй интеграл, происхо-
дящий от этой части, равен нулю, так как соответствующее нормальное переме-
щение Зл равно нулю. Рассмотрим, например, замкнутый контур АВМА, состав-
ленный из отрезка АВ оси Ох, идущего от точки А (—г, 0) к точке В (г, 0), и
полуокружности, описанной на АВ как на диаметре над осью, причем этот кон-
ivp обходится в положительном направлении. Пусть будет I (г) интеграл

Р (х, j') dx 4- Q (х, у) dy,

взятый вдоль этого контура. Мы имеем ои = 0 вдоль ИВ, и in =— Sr вдоль ВМА;
следовательно:

rls —— Sr

йр йр

о

2.	Двойные интегралы. Пусть будет

/(а) = \ \ F(x, у, a) dx dy

'd

двойной интеграл, распространенный на область D, ограниченную зам-
кнутою кривою Г, изменяющейся вместе с а и состоящей из конечного
числа правильных дуг. Обозначим через U(x, у, а) функцию, производ-
ная которой по переменному х равна F. Если область D ограничена
одною замкнутою кривою Г, которую каждая параллель к Ох может
встретить не более как в двух точках, — предположение, которое мы
прежде всего сделаем, — то мы можем взять за U (х, у, а) функцию,
однозначную и непрерывную в D. Достаточно будет взять тот иутеграл
уравнения —-=г, который обращается в нуль во всех точках некото-
оХ

рой вспомогательной кривой в области D, пересекающей параллели у = С
лишь в одной точке. Мы имеем, на основании формулы Грина:

7(а)= U (х, у, а) dy,
г

причем интеграл берется в положительном направлении. Вариация 3/
имеет выражение, согласно общей формуле (6):

3/ = I 3 Udy — I (3_у dx — Зх dy),

г

так как кривая замкнута; Зх и Зу обозначают вариации х и у при пере-
ходе от точки (х, у) кривой Г к бесконечно близкой точке (х-|-Зх,
_у -|- 8_у) нового контура. Применяя опять формулу Грина, мы можем
написать первый интеграл так:

1	cUdy = оа I — dy = За 11 dx dy = За l 1 — dx dy,

г	’г	£>	о

и’мы имеем окончательно:

37= 3Fdx dy -j- *\F(3xdy — 3ydx).	(7)

d	г

Применяя рассуждение, которым мы часто пользовались, мы можем
распространить эту формулу на случай, когда контур Г может встре-
чаться с параллелью к Ох более чем в двух точках, а также на слу-
чай, когда область D ограничена несколькими замкнутыми кривыми;
при этом мы должны предположить, что в последнем интеграле весь
контур Г пробегается в положительном направлении. Мы видим, что 3/
составляется из двух членов: двойного интеграла, происходящего от ва-
риации F, и простого интеграла, происходящего от вариации контура.
Пусть будут а", [Г углы, составляемые с осями направлением внешней
нормали; если мы считаем нормальную вариацию ёп положительной
в этом именно направлении, то мы имеем:

5х = 5л cos a", 5y = 5«cos^",

и с другой стороны (§ 92):

dx = — ds cos |J", dy = ds cos a".

Мы имеем, следовательно:

ёх dy — ёу dx = ds ёп,
и криволинейный интеграл, представляющий вариацию I, происходящую
от вариации контура, равен

Fbnds.

г

Этот результат нетрудно истолковать. Предположим, например, Зл>0;
приращение, получаемое I при переходе от области, ограниченной
контуром Г, к области, ограниченной Г', равно двойному интегралу, рас-
пространенному на область, заключенную между Г и Г'. Но так как
измерение ёп этой области бесконечно мало, то двойной интеграл при-
водится к криволинейному интегралу вдоль Г; элемент этого криволи-
нейного интеграла в точности равен Рёпаз, так как ёnds представляет
площадь бесконечно малой области, ограниченной дугою ds контура Г, нор-
малями в обоих концах этой- дуги и соответствующею дугою контура Г'.

3.	Интегралы по поверхности. Пусть будет

1^ = \\А(х,у, z, a) dy dzВ (х, у, z, a) dz dx С (х, у, z, a} dx dy
's

поверхностный интеграл, распространенный на правильную часть поверх-
ности S, которая при изменении параметра а деформируется непрерыв-
ным образом, так же как и контур Г, ограничивающий эту поверх-
ность. Функции Д, В, С предполагаются непрерывными, как и все их
частные производные, входящие в вычисления. За положительную сто-
рону S мы примем ту, по которой берется интеграл; этой стороне со-
ответствует направление обхода контура Г (§ 132), которое мы назовем
положительным направлением. Предположим, что поверхность S опре-
деляется уравнениями:

x—f(u, v, a),	y — q(u,v,a),	г = ф(«, v, а),

которые устанавливают соответствие точек поверхности S с точкам и
области /? плоскости (а, г/), ограниченной замкнутым контуром L, ко-
торый также непрерывным образом деформируется при измененги пара-
метра а. Кроме того, мы предположим, что оси Ou, Ov имеют такое
расположение, при котором положительному направлению на контуре Г
соответствует положительное направление на L (§ 132). Мы всегда мо-
жем сделать это предположение, так как вспомогательные переменные а,
v в окончательный результат не входят.
Поверхностный интеграл /(а) равен двойному интегралу, распростра-
ненному на область R плоскости (и, v) (§ 131):

Z(a)=-

[д (/, <р, ф, а) + B(f, <р, ф, а)

D (Ф, /)

D{u, v)

Для того чтобы найти Г (а), достаточно применить к этому инте-
гралу формулу (7), заменяя в ней хну через и и v соответственно;
при этом следует разделить сначала все члены 57(a) на 5а. Эта производ-
ная составляется из двух частей: двойного интеграла, распространенного
на R, и криволинейного интеграла, взятого вдоль L. Мы займемся сна-
чала двойным интегралом; один из членов этого интеграла, — тот, ко-
торый зависит от С, равен:

С С ! (дСд2 I й_£д1 _1_	I с - Г D ! du dv

J J | \Sx Sa ' Sy Sa iz Sa Sa / v) Sa |_Д (“> v) J 1
/?

остальные два члена получаются из него круговой перестановкой (Д, В, С)

	S/l SS SC

и (/, <р, ф). Собирая члены с — , — , —, мы получаем на первом
о£С	Эй

месте двойной интеграл:

С С	I	1	du dv

) J [ Sa D (a, v) Sa D (u, v) Sa D (a, z>)J

который равен поверхностному интегралу

dy dz -j- — dz dx -j- — dx dy.
о J	oCL

(0

Двойной интеграл

С Г с — ГQ (р)
) J sa |_Д(«,

du dv

можно преобразовать следующим образом. Простые вычисления пока-
зывают, что

L FW. ф)1 а ГД (/, у)1 _	.

Sa )/)(«, v) _ SuL^(a, T/)J	Sw L Д (У M) I ’

формула Грина дает нам, далее (§ 116):

Д(Л <р)1

Д(а, г>)]

Д(Л

Д (a, v)

dv —

ЛС Д (А <р)
Su D (a, v)

du dv,

D (а, и)

CCdCD(f, <р)

U J J S® Д (а, и)

R

du dv.
После этого преобразования в двойном инте!рале остаются следую-
щие члены, содержащие С'.

/ЭС V । ЭС й(р , ЙС йф\ / V ¥ Эу \ ,
\йх йа йу 5а ' йг йа / \ йи iv йг» йи /	‘ ‘ ’

причем те два члена, которые не написаны, получаются
«к	v ж	ЭС

говои перестановкой букв и, v, а. Коэфициенты при и
ЭС	Эх

а коэфициент при — равен
vZ

Э/ D(у, ф) Й£ П(ф,/) . Эф Д(/, а)

Эа D (и, v) ‘ Эа D (и, v) йа D (и, v)'

из первого кру-

ЙС

- равны нулю,

Из симметричности формул следует, что коэфициенты

ЙА

"РИ й^

под

знаком

будут те же самые, а коэфициенты при

ЙА
йу ’

ЭВ
и —

Эу
ЙА
йг ’

ЭВ
йх ’
вый

ЭВ	_	.

— равны нулю. Следовательно, мы получаем в составе / (а) но--
vZ

двойной интеграл
] ^ЙХ + ЙУ iZ !

Э'р Д(ф, Л I Эф D (f, <р) |
йа О (и, ц)'йа D(u, v) J d ’

/?

который равен поверхностному интегралу

Г Г/ЙА . ЙВ , ЙС\ /й/ , , . Э<₽ , , , йф
И I <-+?- +Г- ) [—dydz-^^-dzdx-^-^-
) ] \йх 1 йу 1 йг / \йа	йа 1 йа

(И)

s

Кроме того, мы имеем простой интеграл, полученный в результате произ-
веденной нами интеграции по частям, в котором член, содержащий С, есть
СсГ^^+А^Л.

1	[ D (a, ф) D (а, и) J

L

Наконец, мы имеем простой интеграл, происходящий от вариации
контуров Г и L; пусть будут

и0 = п(/, a),	= а)

координаты точки контура L, выраженные в функции параметра а
и вспомогательного переменного t, определяющего положение точки
на контуре. В составе Г (а) простой интеграл, происходящий от вариа-
ции контура, есть, как мы только что видели [формула (7)],

}| D (и, ц) '	D (и, V) ' D (и, V) ] \ йа	йа	/

L

кладывая эти два простых интеграла, мы видим, что коэфициент при С
под знаком равен

О (a, t>)	‘D(a, и) 1 D{u,v) \ Эа йа /
где вместо и и v следует поставить и0 и v0. Пусть будут (х0, у0, z0)>
координаты точки контура Г, соответствующей точке («0, v0) контура А;
х0, у0, z0 являются сложными функциями от а:

x0=f(u0,v0, a), y0 = v(ua,v0, a), z0 = ф(и0, v0, ау

мы имеем, следовательно:

dx0  й/йи0 , й/йи0 . й/	dya  jkp ^ио !

da	й«0 йа "Г" dv0 йа йа ’	da	й«0 <)а ' '' ’ ’

и коэфициент при С можно написать так:

dya
dy------ dx.

da da

В силу симметрии мы, в конце концов, видим, что криволинейный
интеграл по L, входящий в выражение/'(а),'может быть заменен криво-
линейным интегралом, взятым вдоль Г:

da da

da da

(III}

Складывая все три интеграла (I), (II), (III), мы имеем, наконец'

,,, ,	ГР''’ / I йВ , , . йС

Г (а)	1 1 — dv dz -С dzdx-\-----dx dy -L

И йа йа	йа 1

s’

dz0
da

Й/ , , . Й!₽ , , йф , ,
— dy dz -+- — dz dx -4—-dxdy
йа йа	йа

dzn ,	dx,

---У (j v-	  ь
da	da

da da

(8}

Умножая обе части на Sa, мы получаем выражение S/:

о/-- ; J S/l dy dz -f- SB dzdx -ф SCdxdy -j-
C

. (* (* / dA . йВ йС\	b , , i	,

T I 1-------j-	] (Ox dy dz y- Sy dz dx -ф- oz dx dy) -|-

I 1 \ dx dy oZ )

-j- J A (Av0 dz — kz0 dy) -|- В (Д.г0 dx — Дх0 dz) Ц- C (Ax0 dy — A_y0 dx), (9}
г

где

-Л й-4>	> Й/ .

оЛ = -- oa, ох — оа,
da	da

^x0^--

du0 da 1 ic>0 йа ^йа /
Мы видим, что 8/ составляется из трех членов, из коих первый про-
исходит от вариации функций А, В, С в зависимости от а, второй —
от деформации поверхности 5 и последний-—от деформации контура Г.
Пусть будут X, ц, v углы, составляемые положительным направлением
нормали к S с осями, da— элемент площади; мы можем написать вто-
рой интеграл так:

ГС /ЭД , ЭВ . эсх , , . ,	. ,	. . ,

И \—г л—г г- ) (cos * GX ~г cos М + cos °2) “° ~
1 V \Эх ду ' J

ГГ/Э4	ЭВ	ЭСХ ч ,	....

— I I I <-------И / I	(10}

JJ \Эх	Эу	dz I

S

где 8п есть проекция на положительное направление нормали вектора,
соединяющего точку (х, у, z) поверхности 6’ с точкой (.г —5_г, _у-|-3_у,
z + Sz) бесконечно близкой поверхности S', т. е. нормальное беско-
нечно малое перемещение точки поверхности 5 при деформации.
-Мы видим, как и выше, что второй интеграл зависит лишь от этого
нормального перемещения; -мы можем взять за Зя бесконечно малую
длину отрезка нормали, заключенного между В и S', что эквивалентно
установлению определенной формы соответствия между В и S'.

Что касается простого интеграла, то мы можем интерпретировать
его подобно аналогичному интегралу формулы (4). Пусть будут:
V — длина вектора, имеющего началом точку (х0, у0, z0), а компонен-
тами А, В, С; 6 — угол этого вектора с плоским элементом, определяе-
мым касательною к Г и бесконечно малым перемещением Дх0, Ду0, Дг0
точки (х0, у0, z0) контура Г; 3^ —расстояние точки (х0-Дх0, _у0-)-Ду0,
z0 4- Дг0), от касательной к Г в точке (х0, у0, z0), взятое с соответству-
ющим знаком. Этот простой интеграл можно написать еще так:

\ V sin О b^ds.	(11)

г,

Как и в случае криволинейного интеграла, мы можем установить
между точкой контура Г и бесконечно близкой точкой деформирован-
ного контура Г' соответствие по какому угодно закону.

Предположим, в частности, что точке т (х0, _у0, z0) контура Г мы
ставим в соответствие точку пг' (х0-|- Дх0, у0 -(- Ду0, z0-|- Дг0), располо-
женную в плоскости, нормальной к Г в точке от; тогда мы имеем:

Дх0 — 3^ cos X", Д_у0 — з; cos jjl", Дг0 = 3^ cos v",

где 3^ есть расстояние mm', а, X", ц", >" — углы направления ототг
с осями. Пусть будут, далее, к', jjl', v' углы положительного направления
касательной к Г с осями; интеграл (11) равен также

\ [4(cbs jx"cos7—cos v"cos p.')4-B(cosv" cosX'—cosX"cos7)-]-C. • •]

что можно написать еще так:

(4 coskj ф- В cos jij Ceos Vj) b'nds,
г
где kj, ftp Vj суть углы, образуемые с осями нормалью к полосе S",
описываемой контуром Г, когда параметр а получает приращение Sa.
Но %'nds представляет бесконечно малый элемент площади, описанной
дугой ds контура Г при изменении а на Sa,—элемент, который мы мо-
жем принять за прямоугольник. Предшествующий простой интеграл ра-
вен, следовательно, двойному интегралу

A dy dz -j- В dz dx -|- C dx dy,
's'" -

распространенному на поверхность бесконечно узкой полосы S", при-
чем сторона поверхности, на которую распространяется интегрирова-
ние, определяется соображениями, приведенными выше.

Полученный результат нетрудно истолковать при помощи формулы
Грина. Предположим, что мы переходим от 5 к S', сообщая каждой
точке поверхности S бесконечно малое перемещение Ьп в положитель-
ном направлении нормали. Тогда обе поверхности 5 и 5' и бесконечно
узкая полоса S" ограничивают некоторую область D. Приращение I,
происходящее от деформации S и Г, равно сумме поверхностных инте-
гралов, распространенных на внешнюю сторону' поверхностей 5 и S'.
На основании формулы Грина эта сумма равна тройному интегралу

ГГГ/М . ЙВ , ЙС\ , , ,

। I \ I — "л-"—• 4“ <— I dx dy dz,

J ' J \<)x ~йу Ъг J

'd

распространенному на область D, сложенному с поверхностным инте-
гралом

A dy dz В dz dx С dx dy,
’ "s'”

взятым по внутренней стороне полосы S".

Так как измерение tin области D бесконечно мало, то тройной инте-
грал по этой области приводится к двойному интегралу, распространен-
ному на обтасть 5, элемент которого равен

/й4 . SB . йС \ .

L -К - + Snrfa,
\йх 1 йу/ Ъг /

потому что tin da есть элемент объема бесконечно малого прямого ци-
линдра, заключенного между 5 и S', основанием которого является
элемент поверхности В, имеющий площадь da. Точно так же, так как
одно из измерений поверхности S" бесконечно мало, то двойной инте-
грал, распространенный на эту поверхность, обращается в криволи-
нейный интеграл по Г, элемент которого есть

(A cos Xj -]- В cos jjij С cos vj S'; ds,
так как ti’nds есть площадь элемента поверхности, заключенного между
двумя бесконечно близкими нормалями в концах дуги ds контура Г
и контурами Г, Г'.

Формула (9), как и в § 1, распространяется на любую поверхность,
составленную из конечного числа кусков правильных поверхностей;если
поверхность замкнутая, то криволинейный интеграл исчезает. Результат,
полученный для вариации криволинейного интеграла, можно было бы
точно так же сопоставить с формулой Стокса.

4. Тройные интегралы. Рассмотрим, наконец, тройной интеграл

= F(x, у, z, a)dxdy dz,	02)

' b"

распространенный на область D, ограниченную замкну!ого поверх-
ностью 5, изменяющеюся вместе с параметром а. Мы предположим сна-
чала, что параллель к одной из осей, например к Oz, встречает эгу
поверхность не более как в двух точках. Тогда существует функ-
ция U(x, у, z, а), непрерывная в D и удовлетворяющая соотношению
(см. § 2):

й£7

и мы имеем также’

= U(x,y, z, z)dxdy,	(13>

s'

причем интеграл распространяется на внешнюю сторону поверхности S.
Так как поверхность 5—замкнутая, то, применяя к этому интегралу
общую формулу (8), мы находим:

— dx dy -4- I I — I — dy dz -—- dz dx -4—- dxdy\ ,
йа J J йг \йа йа йа /
s	s

или, умножая на 5а и принимая во внимание соотношение между U и F:
$1 =\\[ $F dxdy dz -\- \\ F(x, у, z, а)(Ъх dydz + oydzdx -\-%zdx iy), (14)
"о	s

где S.v, oy, oz обозначают вариации координат точки (х, у, z) граничной
поверхности 5, и поверхностный интеграл берется по внешней стороне.
Формула, как и выше (§ 2), распространяется на поверхность произволь-
ной формы. Можно также написать двойной интеграл, входящий в вы-
ражение 5/, следующим образом:

F(x, у, z, a) on da,
s

где da есть элемент площади поверхности 5, а on— нормальное беско-
нечно малое перемещение в направлении внешней нормали.

Но indo есть, с точностью до знака, объем бесконечно малого пря-
мого цилиндра, имеющего основание da и высоту on, так что рассма-
триваемый двойной интеграл представляет значение тройного интеграла
Ц \ Fdx dy dz,
распространенного на область, заключенную между двумя бесконечно
близкими поверхностями S и S', причем каждый элемент этого инте-
грала взят с подходящим знаком.
(Цифры обозначают страницы настоящего полутома)

Абелев интеграл 227

Абель (Abel) 163, 227

Абданк-Абаканович (Abdank-Abakano-
wicz) 258

Адамар (Hadamard) 116. 150

Алгебраически-логарифмический и iitci -
рал 230

Альфан (Halphen) 76, 147

Ампер (Ampere) 131, 14]

Амплитуда промежутка 21

Амслер (Amsler) 258

Апсидальная поверхность 147

Архимед 151

Бесконечно-малое 13

Бесконечные значения подипте) ральных
функций 194; — пределов интегра-
лов 189; — функций 26

Бельтрами (Beltrami) 148

Бертран (Bertrana) 126, 142, 257

Бер (Baire) 171

Билинейный ковариант 148

Бинарная кубическая форма 122

Больцапо (Bolzapo) принцип 17

Бонне (Bonnet -I-) 163

Борель (Borel) 70

Вариация 353

Вейерштрасс (Weierstrass). 29, 39

Верхняя граница множества 16,
функции 21

Вивиаии (Viviani) 305

Виртингер (Wirtinger) 116

Внешняя область 34

Внутренняя область 34

Высшие диференциалы 56

Высшие производные 39, 86

Гаусс (Gauss) 214, 256

Гессе (Hesse) 121

Гильберт (Hilbert) 186

Гипербола, ее площадь 225

Гиперболический синус, косинус 225

Главные центры кривизны поверхно-
сти 112

Гольдич (Holditch) 259

Томографическое преобразование 132

Граница верхняя, нижняя множества 15;

— функции 21

Греве (Graves) 180

Грин (Green) 287

Гурса (Е. Goursat) 21, 80, 131, 149

Дарбу (Darboux) 39, 155, 156

Двойная линия 102;

— точка 98

Двойной интеграл 274, 276/306, 357

Дедекинд (Dedekind) 12

Дирихле (Dirichlet) 66, 336

Диференциал 52;

—	первого, второго порядков 52;

—	полный 54;

—	полный сложной функции 56,

—	произведения 58

Диференциальные биномы 231

Диференциальные параметры Бель-
трами 148

—	параметры Ламе 143

Диференциальный инвариант Альфа-
на 147

Диференцирование под знаком интег-
рала 203

Диференцирование определенных интег-
ралов 359.

Длина дуги кривой 175

Дюамель (Duhamel) 152

Жордан (Jordan) 28, 34

Задача Вивиаии 305

Замена переменных 123,288;

—	в двойных интегралах 290;

— в криволинейных интегралах 200,

—	в простых интегралах 180;

—	в тройных интегралах 330

Замкнутая кривая 34;

—	область 32

Замкнутый промежуток 21

Изменение отрезка прямой 179

Изолированная точка 98

Инверсия 129, 130

Интеграл неопределенный 166, 215;

—	определенный 151, 351;

— Эйлеров В(р,<?) 309;

— Эйлеров Г(а) 197

л Полный указатель ко всему курсу анализа Э. Гусева будет дан и конце
Ш-го тома.
Интегралы

1 С

I х dy — у dx 202

^7? (х, ]/+ 2Вх C}dx„. 221

^7? (sin х, cos х) dx 243

\cos (ax -f- &) cos (a'x -{-&')... dx 248

\R (x) e»>x dx 250
ij

Интегралы Абелевы 227;

— двойные 274, 276, 306, 357;

— Дирихле 336;

— кратные 321, 337;

— криволинейные 189, 198, 343, 351;

— от диференциальных биномов 231;

— по поверхности 313, 358;

'— псевдо-эллиптические 241;

—	расширение понятия 1Й9;

—	тройные 321, 364;

—	эллиптические 238;

Интегральный логарифм 251

Интегрирование под знаком интеграла
205, 280

Интегрирование по частям 183;

—	рациональных функций 215;

— рядов 260

— трансцендентных функций 143

Интегрируемые функции 157

Интерполирование 254

— (метод Гаусса) 256

Иррациональное число 11, 12

Кардиоида 178

Касательная плоскость 49. 138

Касательная прямая 37, 95

Каталан (Catalan) 287, 319

Квадратура 151 и др.;

—	гиперболы 225;

—	параболы 151;

—	эллипса 201

Кельвин (Kelvin) 146

Ковариант билинейный 148

Колебание в промежутке 21

Конечная функция 33

Коническая точка 100

Конус касательных 100

Кординаты криволинейные ортогональ-
ные 142;

—	полярные 292;

— эллиптические в пространстве 335;

— эллиптические на плоскости 292

Корни уравнения 39

Косинусы направляющие 300

Котс (Cotes) 256

Коши (Cauchy) 20, 21, 39, 44, 60

Кратные интегралы 321, 337

Кривые двойной кривизны 37, 95;

— Жордана 34;

Кривые замкнутые 34;

—	непрерывные 34;

—	Пеано 35;

—	плоские 37, 61 и др.;

—	подэрные 132;

—	простые 34;

—	спрямляемые 175;

—	уникурсальные 227

Криволинейные интегралы 198, 343, 351

Кэли (Cayley) 308

Лагранж (Lagrange) 37, 60, 146

Ламе (Lame) 142, 351

Лаплас (Laplace) 146

Лебег (Lebesgue) 260

Лежандровы интегралы 263

Лежандр (Legendre) 76, 131, 139, 187,257

Лежен-Дирихле (Lejeune-Dirichlet) 284

Лемниската 229, 241

Лейбниц (Leibnitz) 21, 39, 60

Ли Софус (Sophus Lie) 131

Линейное множество 17

Линейчатая поверхность 299

Линия двойная поверхности 102;

— уровня 286;

— цепная 227

Липшиц (Lipschitz) 42

Логарифм 120;

— интегральный 251

Лопиталь (L’Hopital) 42

Максимум функции 97, 102, 112;

— — абсолютный 113

Мансион (Mansion) 214

Минимум функции 97, 102,112;

---абсолютный 113

Многочлены Лежан'ра 76, 187, 257

Множество 15;

— линейное 17,

—	ограниченное 15;

—	ограниченнее сверху 15;

—	ограниченное снизу 15;

—	производное 18

Монж (Monge) 60

Монотонная функция 27, 158

Наибольший из пределов 16, 20

Направляющие косинусы 300

Начальная функция 155

Невенгловский (Niewenglowski) 228

Неопределенные выражения 42

Неопределенный интеграл 166, 215 и др.

Непрерывная кривая 34

Непрерывная функция 22, 72

Непрерывность 21;

— Эйлерова 21

Несоизмеримость т$ 273

Неявная функция 78

Нижняя граница множества 15;

--- функции 21

Нормаль плоской кривой 61

Ньютон (Newton) 21
Область функции <®1

—	внешняя 34;

—	Внутренняя 34, -

—	замкнутая 32,
— связная 32;

Область интеграции 276

Обратная функция 87, 94

Обращение функции 87, 94

Объем 296

Ограниченная функция 21

Ограниченное множество 15;

—	сверху 15;

—	снизу 15

Однородная функция 59

Определенный интеграл 151 и др.
Определитель Якоби 91, 116,
— Гессе 121

Открытый промежуток 21

Осгуд (Osgood) 260

Особая точка кривой 97;

---поверхности 86, 100

Остаточный член в формуле Тейлора по
Коши 44;

—	— по Лагранжу 44, 185
Остроградский 326

Парабола, ее квадратура 151;

—	спрямление 226

Параболоид 64, 305

Параллельные кривые 213;

—	поверхности 147

Пеано (Peano) 35

Пенлеве (Painleve) 149

Период интеграла 346,
— функции 34

Петля 347

Планиметр Амслера 258

Плоские кривые 37, 61 и др.

Плоскость касательная 49, 138
Площадь гиперболы 225;

—	кривой 170;

—	кривой замкнутой 200;

—	параболы 151;

—	поверхности 300;

—	эллипса 201

Поверхности 49, 85, 137 и др.;

—	апсидальные 147;

—	линейчатые 299;

—	параллельные 147,

—	развертывающиеся 142

Подкасательная 33

Поднормаль 61

Подэрная кривая 132

Полиномы Лежандра 76, 187, 257
Полный диференциал 54;

	сложной функции 56

Полярные координаты 292

Последовательность расходящаяся, схо-
дящаяся 18

Последовательность возрастающая, убы-
вающая 18

Последующее разбиение 156

Постоянная Эйлера 45

Потенциала уравнение в криволинейных
координатах 142

Правильная точка 25

•	— поверхность 300

Предел 13

Предельная точка 17

Предельные значения интегралов 189,
194

Преобразование Ампера 141;

—	томографическое 132;

—	Лежандра 139;

—	обратными радиусами-векторами 129,.
130;

—	прикосновения 130;

—	точечное 129

Приближенное вычисление определенных
инте1ралов 252;

Призматоид 337

Производное множество 18

Производные 37, 68

—	высших порядков 39;

—	от неявной функции 93;

—	частные 46

Промежуток замкнутый 21;

—	открытый 21

Псевдо-эллиптические интегралы 241

Пуассон (Poisson) 350

Равномерная сходимость 24, 67

Равномерно-непрерывная функция 67

Равномерно-сходящийся интеграл 207

Равномерно-сходящийся ряд 69

Радиус кривизны плоской кривой 125

Развертывающиеся поверхности 142

Разложение в ряды 42, 62

Разрыва точка 25

Разности первые, вторые... 50

Разрывная функция 25

Расстояние точки от поверхности 111

Риман (Riemann) 20, 156

Робертс Вильям (William Roberts) 320

Родриг Олинд (Olinde Rodrigues) 76

Ролль-(КоИе) 39

Рулетта 214

Ряды сходящиеся 19, 69, 71;

---Тейлора 42, 62

Связная область 32

Серре (Serret) 241

Сечение 11, 13

Симпсон (Simpson) 256

Спрямление кривой 175

Спрямление лемнискаты 241;

—	параболы 226;

—	эллипса 240

Стокс (Stokes) 317

Сходимость последовательност#'

—	равномерная 67
Тейлор 42, 185

Точка возврата 99;

—	двойная изолированная 34, 98;

Точка двойная изолированная 98;

—	коническая 100;

—	особая 97;

—	правильная 25;

—	предельная 17;

—	разрыва второго рода 26;

—	разрыва первого рода 25;

—	сгущения 17;

— угловая 38

Трансцендентность числа е 186

Тройные интегралы 321, 364

Угловая точка 38

Указатели 168

Уиикурсальная кривая 227

Уравнение Лапласа 136;

— потенциала 142

Уэллис (Wallis) 247

Уэль (Hoiiel) 226

Фаа де-Бруно (Faa de Bruno)- 77

Формула Грина 287;

—	замены переменных в криволиней-
ных интегралах 200;

—	в простых интегралах 180;

—	интерполирования Лагранжа 256,

—	конечных приращений 40;

—	ее обобщение 42;

— ее распространение 62,

—	Котса 256,

—	Лагранжа 146;

—	Лежен-Дирихле 284;

— Остроградского 326;

—	приведения интегралов 216, 232, 245;

—	Родрига 76;

—	Симпсона 256;

—	среднего значения двойного интегра-
ла 281;

—	простого интеграла 162;

—	Стокса 317;

— Тейлора 42, 62, 185;

—- Уэллиса 247

Форма кубическая бинарная 122

Франклин (Franklin) 280

Функциональный определитель 91, 116

Функция 20

Функция Эйлера В (р, q) 309

— Эйлера Г (а) 197;

—	вполне определенная возрастающая 27;

—	постоянно возрастающая 28;

Функция интегрир 157, 321;

—	конечная 33;

—	монотонная 27, 158;’

—	начальная 155;

—	непрерывная многих переменных
31,32;

—	непрерывная одного переменного 21:

—	непрерывная, не имеющая произвол
ной 72;

—	неявная 78;

—	обратная 87, 94;

—	ограниченная 21, 32;

—	однородная 59;

—	разрывная 25;

—	равномерно-непрерывная 24;

—	с ограниченным изменением 28;

—	эллиптическая 240

Центры кривизны поверхности 112

Цепная линия 227

Частные производные 46

Число иррациональное 11; 12 —е186

Шаль (Chasles) 180

Шварц (Schwatz) 303

Шварциан 149

Шеффер (Scheffer) 109

Штейнер (Steiner) 214

Штурм (Sturm) 170

Элемент интеграла 161;

—	линейный 301;

—	объема 333;

—	площади 292;

—	поверхности 303

Эллипсоид, его объем 299;

—	поверхность 319

Эллипс, его дуга 240;

— площадь 201

Эллиптические интегралы 238;

— координаты 292, 335

Эрмит (Hermite) 186, 213

Эйлер (Euler) .242

Эйлерова непрерывность 21;

— постоянная 45

Эйлеров интеграл второго рола 197;

— первого рода 309

Якоби (Jacobi) 54, 75, 131

Якобиан 91, 116

Якобиев определитель 91, 116