/
Автор: Папкович П.Ф.
Теги: физика сопротивление материалов механика сплошных сред теория упругости
Год: 1939
Текст
п.ф; папкович
УПРУГОСТИ
е в о 9 о и н з
S939
П. Ф. ПАПКОВИЧ
Проф. Военно-Морской Академии им. К. Е. Ворошилова
и Ленинградского Кораблестроительного Института
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Утверждено ГУУЗом НКСП в качестве учебника
для кораблестроительных втузов НКСП
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
ЛЕНИНГРАД 1939 МОСКВА
i Книга эта утверждена в качестве учебника
для кораблестроительных втузов, но по характеру
своего содержания может служить посзоием по
теории упругости для студентов и других техни-
технических учебных заведений, где этот предмет
проходится, а также аспирантов тех втузов, где
он не читается.
Особенностью книги является сделанная в ней
попытка изложить все задачи теории упругости
не разрозненно, а в свете общих решений основ-
основной системы дифереициальиых уравнений этой
дисциплины.
В конце каждой главы приведен ряд вопро-
вопросов, самостоятельное получение ответов на кото-
которые может облегчить читателю усвоение курса.
Книга предполагает у читателя знакомство с
теоретической механикой и математикой в
объеме нормальных втузовских программ.
ПРЕДИСЛОВИЕ
По сравнению с первым, литографским, изданием настояще-
настоящего курса, вышедшим в свет в 1929 г., настоящее издание в
корне переработано. В качестве основного учебного пособия по
курсу теории упругости для студентов Ленинградского Корабле-
Кораблестроительного Института и слушателей Военно-Морской Академии
им. тов. К. Е. Ворошилова, книга эта включ'ает в себя все вопро-
вопросы, входящие в программу курсов, читаемых в упомянутых
учебных заведениях для студентов, специализирующихся по
судовому корпусостроению.
Автор не счел возможным ограничиться в данном курсе изло-
изложением исключительно только тех лишь вопросов, прохождение
которых является в ЛКИ и ВМА обязательным. Изложение в
основном учебном пособии ряда вопросов, прохождение кото-
которых не обязательно, не может считаться большим недостатком
этого пособия. Наоборот, оно должно облегчить студенту его
первые шаги по самостоятельному изучению необязательного
материала и приучить его разыскивать в читаемой книге те
вопросы, которые для него представляют наибольший интерес.
Отчасти потому, что курсы ВМА и ЛКИ несколько различны,
отчасти для того, чтобы не лишать студента возможности вы-
выполнить упомянутую только-что работу самостоятельно, мате-
материал обязательный не выделен каким-либо особым шрифтом из
остального содержания настоящей книги.
Особенностями настоящего курса, отличающими его от дру-
других имеющихся курсов и оправдывающими, по мнению автора,
его издание, являются следующие.
1. Некоторые общие положения теории упругости изложены
в нем более четко и выпукло, чем то сделано в других курсах,
предназначенных для технических втузов. Большое внимание
уделено в частности вопросу об общих решениях теории упру-
упругости. Автору казалось, что показ того, каким образом решение
всех рассматриваемых задач может быть получено из общего
решения однородных уравнений Ламе, в основном принадлежа-
принадлежащего Буссинеку и Г. Д. Гродскому и лишь частично дополнен-
дополненного автором, может дать читателю определенную концепцию в
вопросе о роли этого рода общих решений. Этому вопросу уде-
уделено поэтому в курсе особое внимание.
2. Курс снабжен довольно большим количеством примеров
и задач, решение которых может быть выполнено студентом
3
самостоятельно. Имеющийся у автора опыт преподавания пока-
показывает, что приведение этого материала в курсе должно оказать
большую помощь не только студентам, изучающим этот предмет
впервые, но и начинающим преподавателям, которые могут
затрудняться в выборе тем для самостоятельных работ студентов.
3. В курсе частично можно найти относительно новый материал.
Особенностью курса, конечно ни в какой мере не являющейся
доводом в пользу его издания, является крайне ограниченное
число ссылок на литературу. Этот пробел допущен в данном
курсе сознательно. В настоящее время на русском языке имеются
курсы С. П. Тимошенко и А. Лява, где эта сторона вопроса
освещена отлично.
Автор ограничился в данном курсе самым минимальным ко-
количеством ссылок на литературу.
Курс этот вообще не претендует на то, ЧКрбы заменить
какую бы то ни было книгу, имеющуюся на русском языке.
Изучение всякой науки должно итти концентрично. Автор ре-
рекомендует своим слушателям смотреть на курс лекций, ими
Слушаемых, как на первый концентр сведений по теории упру-
упругости, на остальное же содержание данного курса — как на
материал, входящий во второй концентр. Лицам, которые хотят
углубить свои познания еще более, рекомендуется обратиться сна-
сначала к классическим курсам по теории упругости, а затем по
отдельным уже вопросам к подлинным работам, указанным в
упомянутых выше источниках. Автор надеется, что лица, полу-
получившие начальное знакомство с предметом по данному курсу,
окажутся подготовленными к самостоятельному чтению реко-
рекомендуемой ниже литературы, если она им понадобится.
Несмотря на то, что объем данного курса уже сейчас зна-
значительно превышает намеченные ранее для него лимиты, автору
не удалось коснуться в нем ряда весьма интересных задач, часть
которых освещена к тому же в имеющихся пособиях менее
подробно, чем то желательно. Автор предполагает изложить
эти вопросы со временем во второй части курса, но вынужден
воздержаться от этого до тех пор, пока учебные заведения, в
которых он преподает, не будут вполне обеспечены им учебни-
учебниками. В этом втором томе предполагается изложить такие
вопросы, как применение криволинейных изотермических коор-
координат к плоской и пространственной задачам упругости; общий
случай деформации призм; расчет толстых плит; изгиб и кру-
кручение непризмагических тел; систематический обзор решений,
относящихся к тепловой и динамической задачам теории упру-
упругости; основы теории деформаций не бесконечно малых и т. п.
Автор считает необходимым отметить помощь, оказанную
ему при издании настоящей книги кандидатом технических наук
инженером В. В. Давыдовым и аспирантом ЛКИ инженером
В. П. Белкиным.
ВСТУПЛЕНИЕ
Как и теория сопротивления материалов, математическая
теория упругости ставит своею основною целью определение
тех внутренних усилий, которые возникают в упругом теле
под действием приложенных к нему внешних сил. Ставя себе
задачу, на первый взгляд общую, эти две науки пользуются
однако для ее разрешения различными методами и в сущности
ставят себе даже разные цели.
Теория сопротивления материалов стремится дать в руки
инженера хотя бы и не вполне точные, но зато простые расчет-
расчетные формулы, позволяющие во всяком практическом вопросе
принять достаточно осторожное решение. Дисциплина эта при-
принуждена поэтому схематизировать до крайних пределов иногда
весьма сложные явления и вводить для решения почти каждой
практической задачи свои более или менее обоснованные, но не
вполне доказанные рабочие гипотезы, степень точности которых
остается в сущности неизвестной.
В отличие от этого математическая теория упругости ставит
своею целью получить возможно более строгое решение хотя бы
части тех вопросов которые в области изучения усилий, вызы-
вызываемых в упругом теле внешними силами, могут возникнуть
перед инженером, а также решать такие вопросы, которые не
могут быть решены элементарно.
Отказываясь от ряда рабочих гипотез теории сопротивления
материалов и ставя себе отчасти даже целью проверку и оценку
степени точности этих гипотез, теория упругости не может,
конечно, обойтись сама без своей основной рабочей гипотезы.
Такой ее основной рабочей гипотезой является понятие об
идеально упругом теле, применительно к которому и
строит все свои выводы эта наука. Тело это является абстра-
абстрагированной от живой действительности моделью тех тел, из
которых возводятся современные инженерные сооружения, и,
как такая модель, должно быть наделено нами мысленно всеми
свойствами, которые являются основными и общими свойствами
тех реальных тел, на которые предполагаем мы распространить
наши выводы.
Чем полнее и ближе охватят реальную действительность
свойства, приписываемые исследуемой нами модели, тем ценнее
будут наши выводы, тем лучше будут они согласовываться
с действительностью, тем глубже охватят они сущность рас-
сматриваемого явления и тем шире может оказаться область
их применения.
Наделить исследуемую модель всеми свойствами реальных
тел, однако, мы не можем, так как различные тела обладают
не вполне одинаковыми свойствами. Нам приходится при вы-
выборе свойств, приписываемых нашей основной модели, отли-
отличать главное от второстепенного. В определенной обстановке
мы можем рассматривать некоторые из свойств реальных тел
как свойства главные, некоторые—как свойства второстепен-
второстепенные. Но обстановка меняется, и модель, абстрагированная однажды
от живой действительности, может постепенно перестать отра-
отражать нам некоторые такие стороны явления, которыми в одной
обстановке можно было и не интересоваться, но которым в
другой обстановке мы должны уделять уже исключительное
внимание.
Тогда приходится менять нашу основную модель, наделяя
ее новыми свойствами. Обычно всякая такая замена основной
модели новою рассматривается как появление в данной области
знания, наряду с классической наукой, новой науки, отражаю-
отражающей новые стороны явления. Этой, общей всему естествозна-
естествознанию, участи не избегла и теория упругости, несмотря на всю
свою относительную молодость1, и сейчас наметились уже
совершенно отчетливо новые течения в этой науке, наделяющие
основную подлежащую исследованию модель деформируемого
твердого тела несколько иными свойствами, чем то делается
в классической теории упругости. Поэтому, характеризуя ту
модель идеально упругого тела, с которой мы будем во всем
дальнейшем оперировать, мы постараемся охарактеризовать в
самых общих чертах и те тенденции к видоизменению этой
модели, которые уже наметились в относительно новых разде-
разделах теория упругости.
Классическая теория упругости предполагает прежде всего,
что идеально упругое тело, с которым она оперирует, является
телом вполне упругим, т. е. после удаления приложенных
к телу внешних сил всегда возвращающимся в одно и то же
исходное состояние, именуемое обычно естественным
состоянием тела. Допущением этим исключаются из рассмо-
рассмотрения все так называемые остаточные деформации тела,
и круг вопросов, подлежащих исследованию, сужается в весьма
значительной мере. Поскольку, однако, при проектировании
реальных сооружений мы стремимся избегать появления у них
остаточных деформаций и располагаем материалами, позволяю-
позволяющими при умеренных нагрузках удовлетворить этому условию,
это сужение круга исследования не лишает его еще практи-
практического интереса.
В понятие о полной упругости исследуемого тела,
помимо способности тела возвращаться в исходное состояние,
г Первой работой по теории упругости принято считать мемуар Навье
„Sur les lois de Г&щШЬге et du mouvement des corns solldes elastiques", представ-
представленный им Парижской Академии Наук 14 мая 1821 г.
теория упругости вкладывает еще и другое содержание: пред-
предполагается, что идеально упругое тело, возвращаясь
в свое естественное состояние, возвращает пол-
полностью всю работу, затраченную на его деформа-
ци ю.
Этим свойством, также если и не в полной, то в весьма
значительной мере, обладают очень многие строительные мате-
материалы, притом именно те металлы, которые в практическом
отношении представляют наибольший интерес.
Более или менее полной упругостью реальные тела обла-
обладают, однако, лишь при умеренных нагрузках. Поэтому если
теория упругости еще и позволяет судить р тех напряжениях,
которые возникают в теле в его рабочем состоянии, то она
совершенно уже не способна дать нам представление о той
нагрузке тела, при которой наступает его разрушение, так как
разрушению всякого реального тела обычно предшествует появ-
появление тех или иных остаточных деформаций.
Изучением поведения тела при больших нагрузках, вызы-
вызывающих у него появление пластических деформаций, занята
теория пластических деформаций, в настоящее время разви-
развивающаяся параллельно с теорией упругости, как дальнейшая
стадия исследования вопроса.
Вторым основным свойством, обычно приписываемым в
теории упругости идеально упругому телу, является линей-
линейность зависимости между нагрузкой тела и его деформацией.
Этим свойством главнейшие современные строительные мате-
материалы обладают при умеренных нагрузках в достаточно большой
степени. Наделяя идеально упругое тело этим свойством, или,
как часто принято выражаться, считая идеально упругое тело
подчиненным закону Гука, мы хотя и сужаем круг иссле-
исследуемых вопросов, но не больше, чем при наделении идеально
упругого тела свойством полной упругости.
В качестве третьего основного свойства мы будем наделять
в теории упругости исследуемое тело однородностью, под
которой принято подразумевать, что во всех своих точках
тело под действием одних и тех же напряжений деформируется
одинаково. Этим свойством также обладают такие материалы,
как, например нецементованная сталь.
Обычно в теории упругости идеально упругому телу при-
приписывают в качестве четвертого основного свойства еще и
изотропность, под которым принято подразумевать неза-
независимость связи между деформациями каждого элемента тела
и приложенными к нему усилиями от направления действующих
на этот элемент усилий. Наиболее интересные в техническом
отношении тела имеют аморфную структуру и обладают этим
свойством. Примером тела, не обладающим изотропностью,
являются цельные кристаллы.
Если бы мы хотели распространить выводы наших исследо-
исследований и на кристаллы, то нам пришлось бы исключить изотроп-
изотропность из числа основных свойств идеально упругого тела. Это
иногда и делается, и теория деформации анизотропных те4
считается входящей в классическую теорию упругости в качестве
одного из ее разделов.
В нашем курсе мы не будем касаться теории деформации
анизотропных тел, так как большинство строительных мате-
материалов, из которых строятся современные инженерные соору-
сооружения, можно принимать за тела изотропные.
Идеально упругому телу приписывают далее в теории упру-
упругости относительную жесткость, подразумевая под та-
таковой, что отдельные точки тела под действием приложенной
к нему внешней нагрузки получают перемещения, лишь весьма
малые по сравнению с размерами тела. Основывается это допу-
допущение на том, что даже у таких материалов, как лучшая сталь, до-
допускаемое относительное удлинение не превосходит 0,1 —0,2%.
Поэтому если все размеры тела являются величинами одного
порядка, то перемещениями отдельных точек тела можно по
сравнению со всеми размерами тела пренебречь. Допущение
это вносит весьма существенные упрощения в систему основ-
основных уравнений теории упругости, так как отказ от него заста-
заставил бы отказаться от линейности системы основных уравнений
теории упругости. Оно, однако, совершенно исключает из рас-
рассмотрения классической теории упругости все вопросы устой-'
чивости деформации. Поэтому за последнее время участились
попытки освободить теорию упругости от этого весьма су-
существенного ограничения общности ее выводов, но попытки
эти приводят к такому усложнению теории, что в начальном
курсе теории упругости, каковым является настоящий, останав-
останавливаться на их рассмотрении невозможно.
Шестым свойством, приписываемым в теории упругости
рассматриваемому телу, является сплошность, т. е. способ-
способность заполнять весь объем, занимаемый материалом тела, без
всяких пустот. С точки зрения физики твердого тела эта наша
абстракция является едва ли не наиболее рискованной и уязви-
уязвимой изо всех тех, к которым мы прибегаем в теории упругости
в настоящее время, чтобы сделать исследование себе посиль-
посильным. Самый факт деформируемости упругого тела свидетель-
свидетельствует о том, что тело это состоит из множества мельчайших
частиц, удер» иваемых какими-то внутренними силами в естест-
естественном состоянии тела на неизменном друг от друга расстоянии,
при деформации же тела перемещающихся друг по отношению
к другу.
Изучение законов молекулярной физики не доведено, несмотря
на всю давность этого рода попыток, в настоящее время до
такого совершенства, чтобы на них можно было построить
теорию упругости. Нам на помощь приходит, однако, та самая
многочисленность частиц, из которой слагается упругое тело,
которая как-раз служит основным препятствием для возможности
изучения индивидуального сцепления этих частиц друг с другом.
Частиц этих во всяком теле настолько много, что у нас
нет ни практической возможности, ни практической необходи-
8
мости индивидуального рассмотрения сил сцепления каждой
частицы тела со всеми ее окружающими: нам достаточно рас-
рассмотреть среднюю величину изменений во взаимодействии всех
частиц, лежащих по одну сторону какого-либо ограниченного
разреза, мысленно проведенного в теле, со всеми частицами,
лежащими по другую сторону этого разреза. Следуя Коши, мы
так и поступаем до сих пор в теории упругости и принимаем,
что мы можем разбить мысленно исследуемое тело на беско-
бесконечное множество элементарных объемов, внутри каждого из
которых, как бы мал он ни был, будет заключаться все же
множество материальных частиц, взаимодействующих с внеш-
внешней по отношению к этому элементарному объему средой.
Мы характеризуем сцепление каждого такого элементарного
объема с соседними среднею величиною усилия, передаваемого
через каждое мысленно проведенное в теле сечение от всех
частиц тела, лежащих по одну сторону этого сечения, частицам,
лежащим по другую его сторону.
Так как изменение расстояния между центрами каждых
двух смежных бесконечно малых объемов тела должно быть
у тела, не получающего разрывов, малым по сравнению с исход-
исходной величиною этого расстояния, то мы можем при указанных
выше условиях, интересуясь опять-таки лишь средними пере-
перемещениями частиц, заключенных в отдельных элементарных
параллелепипедах тела, считать эти перемещения не-
непрерывными функциями от координат. В таком имен-
именно смысле мы и будем подразумевать свойство сплошности,
которым мы наделяем мысленно рассматриваемое нами идеальна
упругое тело.
Наконец, последним основным допущением теории упругости
является допущение о применимости всех законов статики и
динамики твердого тела к равновесию и соответственно движению-
всякой частицы рассматриваемого тела, как бы мала она ни
была.
Метод, которым пользуется теория упругости для решения
своей основной задачи, состоит в следующем.
Все формулированные выше основные допущения перево-
переводятся на язык математических формул. К полученной таким
образом системе уравнений применяется затем математический
аппарат. Если ту или иную задачу удается решить, не прибе-
прибегая ни к каким новым рабочим гипотезам, то решение при-
признается строгим. Упрощения получаются вообще не за
счет принятия каких-либо новых рабочих гипотез, а лишь
за счет ограничения круга вопросов, подлежащих рассмотре-
рассмотрению, а также за счет предугадывания части решения. Все пред-
предположения, делаемые для последней цели, носят, однако, ха-
характер не положений, принимаемых за истину, а положений,
проверяемых в процессе дальнейшего решения задачи и отбра-
отбрасываемых, если они не согласуются с системой основных урав-
уравнений теории упругости или не приводят к решению постав-
поставленной задачи.
При изложении материала будем придерживаться следующего
плана. Первые четыре главы будут посвящены изложению
общих основ теории упругости, причем в главе I будут изло-
изложены основные положения статики упругого тела, в главе II —
кинематика упругого тела, в главе III — физические основы
теории упругости и в главе IV — схемы решения задач теории
упругости. В дальнейших главах будут рассмотрены приложения
теории упругости к различным частным задачам.
ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 1. Основные определения и обозначения
Следует различать две категории внешних сил, которые мо-
могут действовать на упругое тело: 1) силы объемные т. е. при-
приложенные ко всем точкам объема занятого телом, и 2) силы по-
поверхностные, приложенные к поверхности тела.
Примерами объемных сил являются сила тяжести, центро-
центробежные силы, развивающиеся в теле при его вращении, сила
магнитного тяготения, если тело находится под действием соот-
соответствующего поля, и т. п. Силы эти по тому или иному закону
распределяются по всему объему тела. Вектор объемной силы
будем характеризовать величиной силы, приходящейся на едини-
единицу объема т-^а возле данной точки. Проекции его на коор-
координатные оси ох, оу, о2, будем обозначать через X, V, Z.
Величины X, Y и Z являются вообще некоторыми функци-
функциями от координат и в задачах теории упругости обычно бывают
заданными функциями от х, у и г. Величина объемной силы,
приходящейся на бесконечно малый элементарный параллеле-
параллелепипед, заключающий в себе данную точку, имеет своими проек-
проекциями на координатные оси величины
Xdxdydz в направлении оси ох
Ydxdydz . „ „ оу
Zdxdydz „ „ „ oz
Помимо сил объемных, к телу могут быть приложены, как
сказано, силы поверхностные. Таковыми являются всевозмож-
всевозможные нагрузки, являющиеся результатом воздействия на данное
тело других тел, с ним соприкасающихся. По поверхности тела
силы эти могут быть распределены различным образом. Вели-
Величину их принято относить к единице площади поверхности тела
возле данной его точки. К тому, как обозначаются эти силы,
нам удобнее будет вернуться цосле рассмотрения возникающих
в теле внутренних сил упругости.
Предположим, что на данное тело действует система взаимно
уравновешивающихся объемных и поверхностных сил, под дей-
действием которых рассматриваемое тело находится в состоянии
покоя. Отсечем мысленно какую-либо часть рассматриваемого
тела. Отсеченная часть должна находиться в равновесии, для
11
чего, однако, необходимо вообще существование каких-то уси-
усилий в проведенном нами мыслевно сечении тела. Усилия эти
принято называть силами упругости. Интенсивность этих уси-
усилий принято характеризовать напряжением в теле.
В простейшем случае равномерного растяжения призмати-
призматического стержня напряжение есть величина силы, приходящейся
на единицу площади поперечного сечения стержня. Если Р есть
величина силы, растягивающей стержень, а <»—площадь его попе-
р
речного сечения, то — есть напряжение в этом сечении стержня.
В общем случае неравномерного распределения напряжений
делением усилия, передаваемого через определенное сечение
тела, на величину площади этого сечения мы получаем вектор,
именуемый средним напряжением в данном сечении.
Если мы подсчитаем этим способом значения средних на-
напряжений для различных частей рассматриваемого сечения, то в
случае неравномерного распределения напряжений мы получим
для каждой части сечения свое значение среднего напряжения.
Представим себе теперь в рассматриваемом сечении какую-
либо точку и опишем вокруг этой точки в плоскости рассмат-
рассматриваемого сечения какую-либо фигуру.
Пусть площадь этой фигуры есть <», а величина силы, пере-
передаваемой через нее, есть Р. Тогда отношение Р: ш будет по
сказанному выше средним напряжением в рассматриваемой ча-
части рассматриваемого сечения тела. Если мы будем постепенно
сужать площадь фигуры, описанной в рассматриваемом сечении
тела вокруг данной точки, то величина среднего напряжения
будет изменяться, стремясь при уменьшении площади <о к не-
некоторому пределу. Предел этот принято называть напряже-
напряжением в рассматриваемой точке данного сечения тела.
Внешние силы, приложенные к поверхности тела и распре-
распределенное по ней, можно охарактеризовать величиной напряжений,
действующих в различных точках его поверхности. Чтобы на-
напряжения эти могли нам представить усилия, приложенные к
телу, не только по их величине, но и по направлению, напря-
напряжения принято считать векторами, направленными так же, как
направлено то усилие, которое характеризуется данным напря-
напряжением. Для того, чтобы напряжениями, действующими в раз-
различных точках поверхности тела, могли быть охарактеризованы
именно внешние силы, прикладываемые к данному телу извне,
а не равные им, но противоположно направленные реактивные
воздействия самого тела на внешнюю среду, принято для полу-
получения среднего напряжения в той или иной площадке тела де-
делить на площадь этой площадки то усилие, которое прикла-
прикладывается через эту площадку к рассматриваемой части тела
извне.
§ 2. Обозначение напряжений
Напряжение, как всякий вектор в пространстве, может быть
охарактеризовано тремя его составляющими. Так как в раз-
различных точках тела напряжения вообще могут быть различны,
12
то эти три составляющие напряжения должны быть вообще
какими-то функциями от координат х, у, z.
Если бы напряжение было бы для всех площадок, проведен-
проведенных через данную точку, одинаковым, то все три составляющие
напряжения можно было бы считать зависящими лишь от ко-
координат х, у и z рассматриваемой точки. Как правило, однако,
напряжения в различных площадках, проходящих через данную
точку, получаются различными. Поэтому, говоря о напряжениях
в какой-либо точке тела, мало задать точку тела, а надо еще
указать, к какой из площадок, проходящих через данную точку
тела, относится то напряжение, о котором идет речь в данном
частном случае. Направление площадки может быть охаракте-
охарактеризовано направлением ее внешней нормали v. В обозначение
напряжений полезно поэтому ввести так или иначе знак этой
нормали, чтобы из самого обозначения напряжения было видно,
'к какой площадке, проходящей через заданную точку тела,
относится рассматриваемое напряжение или рассматриваемая
его составляющая. Будем во всем дальнейшем выписывать
этот знак в виде индекса внизу справа от основной буквы, ко-
которой мы будем обозначать напряжение.
В качестве таких основных букв мы будем пользоваться бук-
буквой X, если речь идет о проекции напряжения на ось ox; Y,
если желательно отметить, что речь идет о проекции напряже-
напряжения на ось оу и Z, если напряжение проектируется на ось oz.
Равнодействующей всех этих трех составляющих напряжения
в данной точке дадаюй площадки, т. е. полному напряжению в
данной точке данной площадки, будет присвоена в качестве
такой основной буквы буква F. В соответствии со сказанным,
следовательно, /\ будет полным напряжением в площадке, внеш-
внешняя нормаль к которой есть v;
Хч будет проекцией напряжения на ось ох
причем вообще все эти величины будут некоторыми функциями
от координат х, у, z той точки, к которой относится данное
напряжение.
Направление полного напряжения (рис. 1) может вообще не
совпадать с направлением нормали к той площадке, в которой
напряжение действует.
Его можно спроектировать вэобще как на нормаль к площад-
площадке v, так и на плоскость самой площадки. Первую из этих двух
проекций (рис. 2) условимся называть нормальным напря-
напряжением в рассматриваемой точке да-нной площадки и обозна-
обозначать через М», вторую будем называть скалывающим на-
лряжением в данной точке данной площадки и обозначать
чергз Ту, .
На рис. 3, наряду с /\ и его нормальной и касательной со-
составляющими изображены также и три его составляющие Xv ,
Уч и Zv , направленные соответственно по осям ох, оу и oz.
13
Так как мы предполагаем оси х, у, z взаимно перпендику-
перпендикулярными, то между величинами /% , М,, У,, Л,, К, и Z, дол-
должны существовать зависимости
Р,
B)
=^ cos
Рис. 1.
Рис. 2.
Обратимся к напряжениям, действующим в площадках, пер-
перпендикулярных к осям координат. Прилагая к ним установлен-
установленное выше правило обозначе-
обозначения напряжений, мы должны
считать, что Fx есть полное
напряжение в площадке, пер-
перпендикулярной к оси ох,
Хх его проекция иа ось ох
YJ.
X
оу
ог
Рис. 3.
Из трех этих составляющих
. напряжения, составляющая Хх
есть, очевидно, составляющая нормальная, так что
iV.x = Хх,
две же остальные, т. е. Yx и Zx суть^две составляющие скалы-
скалывающего напряжения Тх, причем очевидно
Соответствующие напряжения в площадках, перпендикуляр-
перпендикулярных к оси оу, суть Fy, Xy, Yv, ZB. Из них Yy есть напряжение
нормальное, Ху же и Z,-две составляющие скалывающего на-
напряжения. Точно так же Fz, Xz, Yz и Zz суть соответственно пол-
полное и три составляющих напряжения, действующего в площадке,,
перпендикулярной к оси ог.
Девять составляющих напряжения
Хх, Ху, Х-,
Yx, Yy, Yx,
14
действующих в площадках, перпендикулярных к координатным
осям, носят наименование девяти компонентов или девяти со-
составляющих напряжения в данной точке. Мы увидим несколько-
ниже, что напряженное состояние в точке вполне ими опреде-
определяется. Зная компоненты напряжения, можно найти величину и
направление полного напряжения в данной точке для любой;
площадки, проходящей через нее. Поэтому основную задачу
теории упругости, т. е. задачу о разыскании напряжений, воз-
возникающих в данном теле под действием заданной совокупности
внешних сил, можно считать практически решенной, когда эти
девять составляющих напряжения будут для всякой точки тела.
определены как функции от координат х, у, z.
Чтобы понятие о напряжениях было вполне уточнено, нам1
необходимо еще остановиться на правиле знаков для всех на-
напряжений, перечисленных выше.
Напряжения X*, Y-, hZ,, действующие в площадке, внеш-
внешняя нормаль к которой есть v, естественно, считать положитель-
положительными, когда они направлены в сторону положительных направ-
направлений осей ох, оу и oz, и отрицательными при обратном иэс
направлении.
В отношении девяти компонентов напряжения
Хх, Xv, Xz,
Y Y Y
1 Xj 'j! 1 Z)
7 7 7
указанное только-что правило было бы неудобно, так как, при-
приняв его, мы не могли бы по знаку нормальных напряжений Хх,
Yy, Zz судить непосредственно о том, растягивается ли тело в
данной точке по соответствующему направлению или же сжи-
сжимается.
Напряжения Хх, Ув и Z, принято считать положительными
при растяжении по соответствующим направлениям и отрица-
отрицательными при сжатии.
Представим себе наше тело рассеченным какой-либо площад-
площадкой, перпендикулярной к оси ох. Если в этой площадке напря-
напряжение Хх положительно, то при принятом выше правиле зна-
знаков оно должно в площадке, нормаль к которой направлена в
сторону положительного направления оси ох, считаться совпа-
совпадающим с этим именно направлением. В площадке, внешняя нор-
нормаль к которой совпадает с отрицательным направлением оси
ох, напряжение Хх, если оно положительно, будет при этом
совпадать с отрицательным направлением оси ох (рис. 4).
Таким образом высказанное выше правило знаков для нор-
нормальных напряжений Хх, Yy и Zz равносильно следующему.
В площадках, внешняя нормаль к которым направлена в сто-
сторону положительного направления одной из координатных осей,
нормальные напряжения Хх, Yy и Zz считаются положительными,.,
если они совпадают по направлению с положительными же на-
направлениями соответствующих координатных осей. В площад-
площадках, внешняя нормаль к которым направлена в сторону отри-
15-
дательного направления одной из координатных осей, нормаль-
нормальные направления положительны, если они направлены в сто-
Рис. 4.
рону отрицательных направлений соответствующих осей.
Правило это естественно распространить также и на со-
соответствующие ска-
р лывающие напряже-
напряжения. Распространив
его на них, мы при-
приходим к следующе-
следующему правилу знаков
для всех девяти
основных компонен-
компонентов напряжения: все
три составляющие
напряжения, дейст-
действующего в какой-ли-
какой-либо площадке, внеш-
внешняя нормаль к ко-
которой совпадает с
положитель-
положительным направлением
одной из координат-
координатных осей, считают-
считаются положитель-
положительными, если они
направлены в сторо-
сторону положитель-
положительных направлений соответствующих координатных осей.
Все три составляющие напряжения, действующего в какой-
либо площадке, внешняя нормаль к которой направлена в сто-
сторону отрицательного направления одной из координатных
осей, считаются положительными, если они направлены
в сторону отрицательных направлений соответствующих
трех координатных осей.
Правило это можно формулировать и так: за девять компо-
компонентов напряжения принимаются девять составляющих напряже-
напряжения в площадках, внешние нормали к которым направлены
в сторону положительных направлений координатных
осей.
16
Рис 5.
На рис. 5 стрелками указаны те направления всех девяти
компонентов напряжения, которые согласно приведенному пра-
правилу должны считаться положительными.
Выбранное выше правило знаков позволяет не различать
так называемые „правые" и „левые" координатные системы.
Как то видно будет из дальнейшего, мы вообще в теории
упругости нигде не будем различать этих систем.
§ 3. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра
Как было уже отмечено, в каждой точке тела можно про-
провести бесчисленное множество площадок, в каждой из которых
будет существовать свое напряжение, вполне определенное по
величине и по направлению, коль скоро совокупность сил, при-
приложенных к телу, нам задана. Посмотрим, нельзя ли все эти
напряжения выразить через совокупнэсть тех девяти напряже-
напряжений, которые мы
условились выше
нззывать компонен-
компонентами напряжения в
данной точке.
Для этой цели
вырежем из тела
элементарный тет-
тетраэдр с бесконечно
малыми ребрами, из
граней которого три
параллельны пло-
плоскостям координат-
координатных осей, а четвер-
четвертая перпендикуляр
на к направлению v.
Напряжения
XXX **
fL yZ Yz, Рнс 6.
zx, zB> zz.
будем предполагать известными. На рис. 6 все они направлены
так, как они должны быть направлены, будучи положительными.
К наклонной грани приложены напряжения X,, У,, Z, , ко-
которые мы условились считать положительными, когда они на-
направлены в сторону положительных осей ох, оу и ог.
Если ребра рассматриваемого нами тетраэдра бесконечно ма-
малы, то площади его граней будут малыми вт< рого порядка,
объем же его —малэй величиной третьего порядка. О брасы-
вая при составлении уравнений равновесия малые третьего по-
порядка и обозначая через
S — площадь грани тетраэдра, нормальной к v
Sx — . , » „ox
Sy — .. » , , оу
5„ — „ . „ „ „ oz
а. Ф. ггапкович. Теория упругости—436—2
17
мы можем, проектируя на координатные оси все действующие
на рассматриваемый тетраэдр усилия, получить следующие три
уравнения его равновесия:
•3^\v O^Ajc OyvYy O2vY2 = U,
Определяя из этих уравнений величины X., , Y-, и Z, и прини-
принимая во внимание известные из аналитической геометрии соотно-
соотношения
Sx: S = cos {х, v),
5В:5 = cos (у, v),
52:5 = cos (z, v),
не трудно видеть, что X., , Y., и Z, связаны с девятью компонен-
компонентами напряжения зависимостями
X, = Хх cos (х, v) + Хц cos (_у, 0 + Xz cos (z, v),
Гч = Yx cos (jc, v) + Yv cos (^, vj + Yz cos Гг, v), D)
Z, = Zj; cos {x, >) + ZH cos (y, v) + Z2 cos (z, v).
Зависимости эти носят наименование уравнений равнове-
равновесия элементарного тетраэдра и позволяют легко опре-
определить напряжение для любой площадки, проведенной через лю-
любую такую точку, для которой девять компонентов напряжения'
предварительно найдены. Уравнения эти могут служить также
для изучения напряженного состояния во всякой отдельной точке
тела.
С другой стороны, выписав уравнения D) для площадок, из
которых слагается поверхность исследуемого тела, мы можем
получить зависимости, связывающие основные девять компонентов
напряжения Хх, Хд>... Zz с внешними силами на поверхности тела.
Если последние известны, а напряжения Хх, ХУ)... Zz надо опре-
определить, то уравнения D) являются граничными условиями, ко-
которым искомые компоненты напряжения должны удовлетворять
на4поверхности тела.
§ 4. Уменьшение числа компонентов напряжения до шести
Покажем, что из девяти компонентов напряжения, входящих
в правую часть равенства D), только шесть могут быть рассмат-
рассматриваемы как величины независимые, так что для определения
напряжения в любой площадке, проведенной через заданную
точку, нужно для этой точки знать не девять, а всего лишь
шесть компонентов напряжения^Цля этого представим себе около
данной точки элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy
и dz и рассмотрим составляющие главного момента всех сил,
18
действующих на этот параллелепипед. Условия равновесия этого
параллелепипеда в отношении всех возможных его вращений нам
будет достаточно составить с точностью до малых величин тре-
третьего порядка малости, так как малыми низшего порядка попарно
тождественно не уравновешивающимися в этих уравнениях будут
величины именно этого порядка. '^с)то позволяет нам, с одной
стороны, оставить вовсе без рассмотрения моменты всех объем-
объемных сил, с другой стороны, пренебречь также и разностями ча-
частных значений напряжений Хх, XVt... Zz на противоположных
гранях рассматриваемого параллелепипеда.
При этих условиях параллелепипед можно считать загружен-
загруженным только напряжениями, изображенными на рис. 5. Взяв от-
относительно оси ох момент цсех усилий, даваемых этими напря-
напряжениями, можно видеть, что момент этот будет равен нулю
тогда и только тогда, если мы положим
Yz = Zy.
Действительно, напряжения Хх, Ху и Xz, как напразленные вдоль
оси ох, момента относительно этой оси вообще не дают. Моменты
относительно оси ох усилий Yxdy dz, действующих на правую
и левую грани параллелепипеда, взаимно уравновешиваются, рав-
равно как и моменты усилий Yydx dz, а также Zzdxdy. Усилие
Yzdxdy, действующее на нижнюю грань, момента относительно
оси ох не дает, равно как и усилие Zydxdz, действующее на
заднюю грань параллелепипеда. Остаются, следовательно, мо-
моменты усилия Zydx dz, действующего на переднюю грань, и
Yzdxdy, действующего на верхнюю грань параллелепипеда.
Момент первого из них есть
ZB dx dy dz,
второго же
- Yz dx dy dz.
Чтобы оба эти момента взаимно уравновешивались, необходимо
и достаточно положить
Zy dx dy dz — Yz dx dy dz = 0,
откуда непосредственно и следует равенство
YZ = ZV.
Аналогичным образом, взяв моменты относительно осей оу и oz,
можно получить и два остальные уравнения группы:
Zg = Y7, E)
xz = zx.
Уравнения E) составляют первую группу уравнений равновесия
элементарного параллелепипеда. Остальные три условия равнове-
равновесия, относящиеся к уравновешиванию самих сил, а не их моментов,
19
и приводящие к основным диференциальным уравнениям равно-
равновесия, будут рассмотрены ниже.
Как показывают уравнения E), из девяти основных компонен-
компонентов напряжения три попарно равны трем другим. Этим число ос-
основных независимых компонентов напряжения уменьшается до
шести.
Следует отметить также следующее обстоятельство. При вы-
выводе равенства E) мы не делали никаких ограничений относи-
относительно того, как ориентированы в пространстве оси ох, оу и oz.
Если бы мы вместо компонентов напряжения для осей ох, оу
и oz рассмотрели таким же образом соответствующие напряже-
напряжения для каких-либо трех иных взаимно перпендикулярных ко-
координатных осей, то мы без труда получили бы равенства, ана-
аналогичные равенствам E), и для компонентов напряжения, соот-
соответствующих этим новым осям.
Отсюда вытекает весьма важное следствие: на всяких двух
взаимно перпендикулярных гранях скалывающие
напряжения, нал ра в ленные перпендикулярно к об-
общему pe6pyj9TH,x граней, всегда взаимно равный
направлены оба одновременно либо к этому
ребру, либожеотнего.
§ 5. Общее выражение для нормального напряжения в площадке,
j любым образом ориентированной
Формулы D), дающие нам общее выражение для трех состав-
составляющих напряжения, действующего в площадке, ориентирован-
ориентированной в пространстве любым образом, можно, пользуясь обозна-
обозначениями
/ =- cos (х, v); m = cos (у, v); tt = cos (z, v), (a)
переписать так:
X, = ХК1 + Х„т + Xzti,
Г, = YJ'+ Y,m + Yxti, F)
Z-, = Zxl -j- ZgtTl -\- Z.tl.
Желая для рассматриваемой площадки найти нормальное на-
напряжение N-, , достаточно спроектировать на ось v каждую из ве-
величин X* , К, и Z, и сложить затем все эти три проекции. Этим
путем можно получить
Nv = XJ* + Ygtn* + Zz/t2 +'2Xglm + 2Yzmn + 2Zxnl, F)
что и является искомым общим выражением для нормального
напряжения в площадке, любым образом ориентированной.
§ 6. Преобразование компонентов напряжения при повороте осей
Подобно тому, как мы получили только что общее выраже-
выражение для нормального напряжения в любой площадке, проходя-
проходящей через данную точку, можно получить и общие выражения
20
для преобразования компонентов напряжения при повороте ко-
координатных осей. Пусть для
осей ох, оу и oz компоненты
напряжения известны, требуется
же в той же точке тела найти
компоненты напряжения для не-
некоторых трех других взаимно
перпендикулярных осей ок', оу'
и oz', направляющие косинусы
которых даны таблицей.
Три нормальных напряжения для осей ох', оу' и oz' можно
получить непосредственно с помощью формулы F), дающей
X1
У1
г1
X
к
¦ 13
/.
У
тх
тг
т3
z
"i
>h
п3
Х'х. = XJ\ + YBm* + Zzn\ + 2X\Jl1m1
2Zxti1l1,
Y'y. = Xxl\ + Yvm\ + Zzti\ + 2Xgl2m2 + 2 Yzm2n2 + 2ZxnJ2, G)
Z'z. = XJ\
2Xyl3m3 + 2Yzm3n3
Для того чтобы найти скалывающее напряжение Х'^„ достаточ-
достаточно, разыскав сначала с помощью формулы D) все три проекции
на оси ox, ov и oz напряжения, действующего в площадке, пер-
перпендикулярной к оси оу', спроектировать затем это напряжение
на ось ох', с помощью зависимости
Х'у = Ху1г + Yymx + Zynx. (a)
Согласно формул D), однако,
Ху, =
У у = YJ% +
Xzti2,
+ Yzn%,
Zy, = ZJ2 + Zym2 + Zzti2.
Это по подстановке в (а) дает
Х'у. = XJ.-L /2 + У9тгт2 + Zznxn2 + ^{Ктг + тА) +
+ Y-im-sib + «i»»a) + Zx(n1l2 + /Л).
Совершенно так же выводятся и два остальные равенства
группы
Х'у = Хх1г12 + Ygm1m2 + Zznxn^ + Хд A^ + »?Л) +
Y'z. = Xj2la
Yz
Z'x,
Zztt2n3
+Zztt3n1
(nj.z + l2n3);
Ц^ + malj
(na\ +lant).
(8)
21
§ 7. Поверхность нормальных напряжений (поверхность Коши)
Формулой F) можно воспользоваться для получения поверх-
поверхности, наглядно изображающей величину нормальных напряже-
напряжений во всевозможных площадках, проходящих через данную точку.
Для построения этой поверхности Коши, который ввел в
теорию упругости как само понятие о напряжении, так и боль-
большинство зависимостей настоящей главы, предложил откладывать
по направлениям нормалей к различным площадкам, проходящим
через данную точку, величину
обратно пропорциональную кор-
корню квадратному из абсолютной
величины нормального напряже-
напряжения в этой площадке.
Пусть (рис. 7)
cos(\,y)
Рис. 7..
I =
cos(v, z)
суть координаты конца построенного указанным образом вектора1.
Определяя /, т, п из только-что написанных выражений,
можно получить
т
= т) V ± N.t.
что по подстановке в выражение F) и сокращении на N-, дает
+ ZJ? + 2Х,? т) + 2 YM + 2Z?l,= ±\. (9)
Здесь знак + соответствует тем площадкам, в которых нор-
нормальное напряжение больше нуля, а — тем, где N4 отрицательно.
Как видно из формулы (9), концы вектора, построенного выше-
вышеуказанным способом, располагаются на некоторой поверхности
второго порядка, имеющей своим центром начало координат. Из
аналитической геометрии известно, что всякая такая поверх-
поверхность может быть путем надлежащего поворота координатных
осей приведена к главным осям, причем при этом повороте ко-
координатных осей члены, заключающие произведения перемен-
переменных, в уравнении поверхности пропадают. Как видно из (9) для
этого, однако, необходимо, чтобы все три скалывающие напря-
1 Подразумевается, что знак -f- в этих равенствах ставится перед
iVv > 0 и — если N,t < 0.
если
22
жения, соответствующие этим трем главным осям, были равны
нулю. Поэтому самый факт возможности преобразования поверх-
поверхности Коши к главным осям, свидетельствует о том, что во
всякой точке тела всегда существуют такие три взаимно пер-
перпендикулярные плошадки, в которых скалывающих напряжений
нет. Эти три площадки носят наименование площадок главных
напряжений, а действующие в них нормальные кд-ъряжения -
главных напряжений. Пересечениями площадок главных
напряжений определяется триэдр главных осей напряженного
состояния в рассматриваемой точке.
1 § 8. Эллипсоид Ламе
Представим себе, что оси ох, оу и ог совмещены нами с глав-
главными осями напряженного состояния в данной точке, так что
V V 7 С\
Лу = I 2 = ?*х — "•
Тогда три проекции полного напряжения
площадке, определяемой направляю-
направляющими косинусами
cos (x, v) = /, cos (у, v) = m,
F, , действующего в
будут
cos (z, v) = n,
x.,=xxi,
V, = Vym,
(a)
Рис
При вращении оси •> конец вектора,
составляющие которого суть % = Х.,;
t\=Y; и С = Z, , опишет некоторую
поверхность. Чтобы найти уравнение этой поверхности, опре-
определим /, т и п из (а). Это даст нам (рис. 8)
— У ' т— V • — 7 • \У>
лх ry ^z
Так как, однако, оси ох, оу и oz взаимно перпендикулярны, то
между величинами /, т и п должна существовать зависимость
/2 + /«2 + /г2 = 1. (в)
Подставив сюда I, т а п из (б), заключаем, что концы вектора
полных напряжений располагаются на поверхности, уравнение
которой есть
?+? + ?=!¦ (Ю)
Поверхность эта, как видно, из ее уравнения, есть эллипсоид. Ее
принято называть эллипсоидом напряжений или эллип-
эллипсоидом Ламе, по имени автора, ее впервые обнаружившего.
23
Главный интерес, -который для нас представляет эта поверх"
ность, заключается в том, что рассмотрение ее свойств позво
ляет нам установить, что одно из трех главных напряжений в
данной точке является наибольшим из полных напряжений,
действующих во всевозможных площадках, проходящих через
данную точку, другое же — наименьшим из таковых. Это
свойство главных напряжений вытекает непосредственно из тогб,
что главные напряжения являются полуосями эллипсоида Ламе,
у всякого же эллипсоида одна из полуосей соответствует наи-
наибольшему расстоянию от центра до поверхности, другая же наи-
наименьшему из таких расстояний.
Зная главные напряжения в какой-либо точке, можно очень
легко найти и наибольшее из скалывающих напряжений, дейст-
действующих во всевозможных площадках, проходящих через эту
точку, как это будет показано в следующем параграфе.
§ 9. Разыскание наибольшего из скалывающих напряжений,
действующих в площадках, проходящих через данную точку
Допустим, что оси ох, оу и oz совмещены с направлениями
трех главных напряжений, так что
Хх — Fit Yy = F2, Z, = F9
суть три главных напряжения в данной точке.
Составим общее выражение для квадрата скалывающего на-
напряжения Т., , действующего в проходящей через эту точку пло-
площадке, перпендикулярной к произвольному направлению v.
Пусть попрежнему направляющие косинусы направления v
суть /, от и га.
В силу равенства A) и B) должно быть
р = F* - Л/* = X* + Y* + Z*~ Л/J.
Но при выбранном направлении координатных осей согласно D) и F)
Y., = Yym,
Z, = Zzn
так что
Л = XI Р + YI т? + 2\ п* - (Хх Р +Yum* + Zz га2J.
Попробуем теперь, варьируя величины /, т и п, распоря-
распорядиться ими так, чтобы 7* обратилось в максимум. Так как ве-
величины /, т и га, как три направляющие косинуса в декартовой
системе координат, должны быть связаны единственным условием
/а + те2 + и2 = 1.
24
то мы можем одну из величин /, т и п исключить из найденного-
выражения для Т* и рассматривать после этого две оставшиеся
величины, как переменные независимые.
Исключив с помощью равенства
величину и*, мы, очевидно, будем имет*ь-
72 = Z\ + {XI - Z\) /2 ~r(Vy~ ZD m» - [Zt + (Хх - Zz) /2 л
+ (Ye-Zz)m*\*.
Для определения тех направлений, которые обращают T2t в мак-
максимум, диференцируем найденное 7* по /, m и приравниваем
результат нулю. Получаем два уравнения
21 {(XI - Z2) - 2 [Zz + (Хх - Zt) /2 + (Гу - Zz) m2] (Xx - Zz)\ = 0,
2m \(Y* -Z\)-2 [Zz + (XX-ZX)P +{Yg- Zz)m*} (YB-ZJ\ = 0,
допускающие, так как обе фигурные скобки в общем случае-
приравнять нулю одновременно нельзя, только три решения:
а) /=те = 0;
б) l = 0;Yl-Zl-2[Zz+(Xx-Zt)P + (YB~ZI)m*\(Yu-Zz) = 0*
B)m = 0;Xl-Z*z-2[Zz + {Xx- Zz) I* + (Yg-Zz) m*\ (Xs - Zz) =0.
Из этих трех решений решение (а) для нас интереса не пред-
представляет, так как, положив / = m = 0, мы из равенства
получаем
п = ± 1,
т. е. приходим к направлению одного из главных напряжений,
которому соответствует не максимум величины 7Jt, а ее мини-
минимум, равный притом нулю. Остается рассмотреть решения (б)
и (в).
Решая совместно оба уравнения (б), можно после сокраще-
сокращения на (Yy — Zz) видеть, что этому решению соответствуют на-
направления
1 = 0,
= ± ]/ ~
для которых
К„ — Z
I , - ± 2 - ±
25
Подобным же образом из решения (в; можно получить вто-
вторую пару направлений, для которых Tw достигает своего анали-
аналитического максимума. Направляющие косинусы этих направле-
направлений определяются .условиями
т = 0, /» = ±; и2=|,
а соответствующее им У» есть
Т =
— 2 — 2
Наконец, исключив внача-
вначале из общего выражения
для Р с помощью зависи-
зависимости I2-\-m?-\-п? — \ не ве-
величину п, а величину/ или т,
мы, повторяя те же рассуж-
рассуждения, могли бы получить и
третью пару направлений нор-
нормали v, обращающих Г2 в от-
относительный максимум; этим
направлениям соответствуют
Г, = +
.— Y..
= +
- 2
Мы видим таким образом, что
Т., достигает своих аналити-
аналитических максимумов, когда нор-
нормаль к площадке принимает
одно из трех направлений,
указанных в нижеследующей
таблице.
(а)
1 ~
/п2 =
п —
1
2
1
т
0
/ = 0
1
т — —
2
(в)
/2 '
' ~ 2
/и = 0
1
л2=т
Рис. 9.
Площадки эти проходят через одно из главных направлений
в данной точке и биссектируют два других, как показано на
рис. 9.
26
Соответствующие им максимумы скалывающего напряжения
определяются выражениями:
у I P1 'г
(И)
у , гз —
и равны полуразностям главных напряжений, направления кото-
которых данная площадка биссектирует. Как видно из формул A1)
наибольшее скалывающее напряжение в каждой
точке тела равно полуразности наибольшего и наи-
наименьшего из главных напряжений, действующих в
этой точке.
Таким образом наибольшее скалывающее напряжение легко
определяется, если главные направления в точке предварительно
найдены. Укажем теперь общий способ нахождения главных на-
напряжений по заданным компонентам напряжения в точке.
§ 10. Определение величины и направления главных
напряженки
Допустим, что для какой-либо точки тела мы так или иначе
нашли значение всех шести компонентов напряжения Хх, Ytt, Zz,
Ху, Yz и Zx, причем оказалось, что хотя бы одно из скалывающих
напряжений Ху, Yz или Zx нулю не равно. Очевидно, направления
главных напряжений в этой точке не совпадают с осями ох,
оу и oz.
Спрашивается, как следует повернуть в данной точке коорди-
координатную систему, чтобы координатные оси совпадали с направле-
направлениями главных напряжений и чему эти главные напряжения
в рассматриваемой точке равны.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, допустим, что F
есть величина одного из главных напряжений, a I, m и п — на-
направляющие косинусы нормали к площадке, в которой оно дей-
действует. Так как в площадках, в которых действуют главные
напряжения, скалывающих напряжении нет, то главное напря-
напряжение совпадает по направлению с направлением нормали к пло-
площадке, в которой оно действует. Его проекции на координатные
оси поэтому, суть
X, = F-1,
Y., =F-m,
Z, = F-n.
Согласно равенствам D), однако, должно быть
Хч = XJ + Хут + Хгп,
Kv = YJ + Yym + Yzn,
Zv = ZJ + Zy/ra + Zzn.
27
Главные напряжения F и соответствующие им направляющие
косинусы /, т и п должны поэтому удовлетворять уравнениям
Fl = XJ + Xvm + Xzn,
Fm = Yxl + УуШ + Yzn,
Fn =Zxl 4- Zytn -f Zzti,
или, что то же, уравнениям
(Хх — F) I 4- Л^/га + 2жя = О,
X,jl + (Ytl — F)m+Yzn = O, A2)
ZK/. + Yzm + (ZZ — F)n = 0.
Входящие сюда величины I, m w n, удовлетворяя уравнению
не могут быть одновременно все равны нулю.
Система A2) дает для I, m и п решение, отличное от нуля,
только в том случае, если ее определитель равен нулю. Поэтому
главные напряжения должны удовлетворять уравнению
-0 A3)
Развернув определитель A3) по правилу Сарруса, мо^но
видеть, что полученное уравнение равносильно уравнению
(^« — F)
Yx\
zx
; Кг
(Zt-F)
(Хх- F)(Yg ~F)(Z..-F) + 2XgYzZs- (Хх - F) Y\- (Yu -
или, что то же,
F3 - /=•* (Хх +YU + Zz) + F(XxYg + YUZZ + ZZXX -Х^-У^- Z§-
- <XX YUZ._ + 2XV Y:ZX - Xs Y\ - YVZ2X - ZXX$) = 0. A4)
Три корня этого уравнения Flt F2 и ^з дают нам значения
трех главных напряжений.
Найдя их, следует для нахождения направлений каждого из
главных напряжений, подставить Ft поочередно во все три урав-
уравнения A2) и найти из последних отношения
'i' mi i
— = Я,- И — = bi,
т щ
соответствующие рассматриваемому Ft, после чего для нахож-
нахождения косинуса угла, составляемого Ft с осью oz, исключить /;
и т{ из уравнения
28
Это дает
Два остальные направляющие косинуса этого главного направ-
направления найдутся из равенств /г = «*«,•; те, = л,й,-.
Указанным выше образом можно легко разыскать все три
главных напряжения, равно как и их направления.
Из уравнения A4), служившего нам для определения вели-
величины главных напряжений, можно сделать некоторые дальнейшие
выводы, которые хотя и не нужны нам непосредственно для на-
нахождения корней этого уравнения, но будут полезны в будущем.
Мы им"еем здесь в виду известные соотношения между корнями
и коэфициентами кубического уравнения.
Известно, что уравнение A4), если его корни суть Fl7 F2 и F3,
может быть заменено уравнением
каковое, будучи развернуто, обращается в
Так как уравнение это должно быть эквивалентно уравнению
A4), то все его коэфициенты должны быть равны соответствую-
соответствующим коэфициентам уравнения (Л), что возможно, однако, лишь
в том случае, если имеют место равенства
+ F2F3 + ВД = XXYV + YgZz + ZzXx-X2y -Y\-Z*s, A5)
= XxYgZz 4- 2XyYzZx - XXY\ - YVZ\ - Z.X\.
Если мы, не меняя напряженного состояния в рассматривае-
рассматриваемой точке, т. е. не меняя величины и направления трех глав-
главных напряжений, станем поворачивать в этой точке коорди-
координатные оси ох, оу, и oz, вычисляя для всевозможных новых поло-
положений этих осей значения соответствующих им компонентов
напряжения Хх, YB, Zz, Xg, Yz и Zx по формулам § 6, то все
эти шесть компонентов напряжения будут в зависимости от ори-
ориентировки осей ох, оу и oz меняться, но составленные из них
суммы вида
Хх + Y, + Zz,
XxYy + YBZZ + ZtXx-X>y- Y\ - Zl
XXYOZZ + 2XtJYzZx - XXY\ - YVZ\ - ZZX\
будут, в силу A5), оставаться неизменными.
Из трех инвариант A5) мы воспользуемся в своем месте ниже
двумя первыми.
29
§11. Диференциальные уравнения равновесия
Выше в § 4 мы уже использовали три уравнения равновесия
элементарного параллелепипеда, а именно три уравнения мо-
моментов. Выведем теперь три остальных уравнения равновесия
этого параллелепипеда. Для этого рассмотрим (рис. 10) сначала
все силы, действующие на рассматриваемый нами параллелепи-
параллелепипед в направлении оси ох.
Х.т
Рис. 10.
Объемная сила дает нам в этом направлении составляющую
Xdxdydz.
Если составляющие поверхностных сил вычислить с точно-
точностью до малых третьего порядка, то нужно будет признать, что
в направлении оси ох
(v дХх \ , _,
на правую грань действует усилие + \ХХ + -г— dx J ay dz
на левую
на переднюю
на заднюю
на верхнюю
на нижнюю
— Xxdv
— Xydxdz
X, dx dy.
30
Все эти усилия в сумме должны уравновешиваться, для чего
они должны удовлетворять уравнению
(хх + д-?* dxjdy dz —Xx dy dz+(xv + Щ? dyj dx dz—Xv dx dz+
* + ^F dz) dx dy~ X-~
В последнем уравнении все малые второго порядка взаимно
сокращаются, а все остающиеся после этого сокращения члены
Делятся на dxdy dz. Выполнив эти упрощения, нетрудно видеть,
если тело находится в равновесии, то во всякой его точке
дХх , дХи . dXz . v n
Подобным же образом, проектируя все усилия, приложенные
к рассматриваемому параллелепипеду на оси оу и ог, можно по-
получить и два остальные уравнения системы
<Mx _j_ ^У i dxz. _J_ У — П )
дл:" "•" ду + "да + л
йл: + ду + dz ^ r ' .
dZx , dZu . dZz .у n J
T7 + ~dy~ + -dT + z-~v' )
A6)
являющейся системой искомых диференциальных уравнений рав-
равновесия рассматриваемого параллелепипеда.
Уравнения A6), как и уравнения D), выведены Коши и входят
в число основных диференциальных уравнений теории упр угости
§ 12. Статическая неопределимость основной задачи
теории упругости
Для решения задачи о разыскании напряжений, возникающих
в теле под действием заданных сил, мы должны найти такую
совокупность функций Хх, Yy, Zz, Х,„ Yz, Zx, которые во всех
точках, занятых телом, удовлетворяли бы уравнениям A6); на
поверхности же тела уравнениям D).
Возникает вопрос, допускает ли эта система уравнений одно-
однозначное решение. Ясно, что ответ на вопрос этот может быть дан
лишь отрицательный.
Действительно, диференциальных уравнений A6) мы имеем
всего три, неизвестных же функций входит в эти уравнения
шесть. Можно поэтому подобрать бесчисленное множество са-
самых разнообразных решений уравнений A6), в которые войдет
достаточное число произвольных постоянных, дающих возмож-
возможность удовлетворять граничным условиям D).
31
Рис. 11.
Следует поэтому признать, что либо условий статики недо-
недостаточно для решения основной прямой задачи теории упру-
упругости, либо же нами использованы пока еще не все условия
равновесия рассматриваемого нами упругого тела. Последнее
допущение, однако, легко исключается. Действительно, вся-
всякое упругое тело можно поделить тремя системами беско-
бесконечного множества взаимно перпендикулярных плоскостей на
элементы, которые будут иметь форму либо элементарных па-
параллелепипедов, либо же элементарных тетраэдров, в сечении
доказанных на рис. 11. Первые будут располом ены внутри тела,
вторые возле его поверхности. Из рас-
рассмотрения уравнений равновесия всех па-
параллелепипедов мы получили диферен-
циальные зависимости, которые налагают
условия статики на распределение напря-
напряжений внутри тела. Рассмотрение равно-
равновесия элементарных тетраэдров, примы-
примыкающих к поверхности тела, дало нам
систему граничных условий, которым ком-
компоненты напряжения должны удовлетво-
удовлетворять на поверхности тела. Если этих урав-
уравнений нехватает для однозначности опре-
определения напряжений, то следует при-
признать, что условий статики недостаточно
.для нахождения напряжений, возникающих в упругом теле под
влиянием заданной совокупности внешних сил. Этого, однако,
и следовало ожидать.
Действительно, под влиянием напряжений, возникающих в
теле, всякий элемент тела должен деформироваться. Чтобы тело
после этой деформации оставалось сплошным, все элементы
должны деформироваться в согласии друг с другом, а не как
попало. Это обстоятельство не может быть учтено условиями
статики и открывает нам путь для тех дальнейших рассуждений,
с помощью которых мы можем получить систему уравнений,
раскрывающих статическую неопределимость основной задачи
теории упругости: для нахождения этих уравнений надо обра-
обратиться к рассмотрению тех деформаций, которые упругое
тело получает под действием напряжений, в нем возникающих.
Геометрическая теория этих деформаций будет нами рас-
рассмотрена в главе II, связь же между деформациями и напряже-
напряжениями в главе III. Раньше чем перейти к рассмотрению этих
последних вопросов, мы должны здесь сделать, однако, еще
одно замечание, касающееся уравнений A6).
Уравнения A6) выведены из условий статики. Если бы тело
находилось в состоянии движения, то в число объемных
сил, учитываемых членами X, Y и Z, следовало бы по началу
Даламбера включить также силы инерции.
При этой оговорке основные уравнения равновесия прило-
зиимы и к исследованию вопросов динамики, которыми мы в
данном курсе, однако, заниматься не будем.
32
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
Задача 1. В некоторой точке тела
Хх= 500am, Zz = — 300am Кг = — 750 am
Yg = 0 „ Х„ = 500 , Zx = 800 .
Найти для площадки, нормаль к которой характеризуется направляющими
косинусами
вающее Тч
Ответ.
/ = т; т =
и нормальное
ATV = 1068
Kv = — 282
= 2 '
am
п =
Z, =
Я, =
V'
— Г88
1120
напряжения
am Nw =
7\ =
: полное
265 am
1090 .
скалы-
Задача 2. Дано Хх = 500 am; Кя=0; Z- = — 300 am; Хв = — 500 am,
Yz = — 750 am; Zx = + 800 am. Найтн компоненты напряжений для осей ох'\
оу' н oz', считая, что ось oz' совпадает с отрицательным направлевнем оси oz,
а осн ох' и оу' получаются путем поворачивания осей ojc и оу на угол 30°
вокруг оси oz (рис. 12).
Рис. 13.
Решение. Составляем табличку направляющих косинусов для новых осей
\= 0,865, mi = 0,500, /ц = 0,
/3=— 0,500, т2 = 0,865, щ = 0,
По формулам G) н (8) получаем
X', = 807 am X'. = 34 am,
л у
yj,. = —307 „ К2' = 1050 -
Zz,^— 300 . Z,. = 317 .
Задача 3. Определить полное, нормальное и скалывающее напря-
напряжения в плоскости ABC, проходящей (как показано на рнс. 13) через
трн вершины куба, считая, что к граням куба приложены напряжения
^=500, Уц = —500, Zz = 750 am, являющиеся главными напряжениями
в данной то1 ке.
П.Ф. Папкович, Теория упругости—43'—3 33
Ответ.
X, = ^~am F.t = 1000 \/ ~ am,
500
jVv = 250
750
Т., = 540
Задача 4. Доказать положение, формулированное в последней фразе
§ 4 с помощью рассуждений § 6.
Решение. Если направляющие косинусы двух взаимно перпендикулярных
направлений ох' н оу' даются таблицей
то напряжения X , и Yх. можно най-
найти с помощью зависимостей
Х'у, = Ху
Y'x. = Хх.
+
Yx. m2
Zy
Ъх, п
х'
У'
X
к
и
У 1 •
i
тг
тг
«2
Подставив в этн формулы компо-
компоненты полного напряжения в площад-
площадках, перпендикулярных к осям ох' и
оу', можно видеть, что
К- = К- ¦
Задача 5. С помощью зависимостей § 6 вывести формулы A5).
Решение. Пусть три взаимно перпендикулярные оси ох, оу и ог состав-
составляют с осями главных напряжений Fu
F2 и F3 углы, косинусы которых даются
таблицей
На основании уравненнй G) должна
быть
X
У
г
F,
IB,
/«3
«1
n»
Откуда непосредственно следует
Xx + Yn + Zz = Ft + F2 + F%,
так как осн ох, оу и ог предполагаются взаимно перпендикулярными. Подоб-
Подобным же образом можно вывести н остальные две зависимости группы A5).
Задача 6. Пусть оси ох, оу, oz суть осн главных напряжений, причем
Хх = Fa Yy => /\>; Zz = F3 Нй
правляющие косинусы нормали к которой суть
у у у р р
y => /\>; Zz = F3. Найти скалывающее напряжение в площадке, на-
на't
1
1
Y *
Ответ.
T-, = -o-
34
Задача 7. В некоторой точке тела равны нулю напряжения Хх, Yy и А'{/.
Три же остальные компонента напряжения от нуля отличны. Найти компо-
компоненты напряжений для осей ох', оу' н ог', считая, что ось ог' совпадает с
осью ог, ось ох параллельна равнодействующей напряжений Xz и Yz\ ось же
оу' перпендикулярна к осям ох' и ог' и направлена, как показано на рис. 14.
Решение. По условиям задачи
*z Yz
V'xl
Y.
У Xl + Yl
г—, т, =
УХ, + Yl
¦=, л2=0,
/и3 =0,
и на основании формул § 6
у'.. = о,
>;. = <>.
zl, = z.
Задача 8. Для напряженного состоя-
состояния, указанного в задаче 7, найти глав-
главные напряжения.
Решение. Составляем уравнение A4)
, 1
2
г,
X, X
Рис. 14.
Корни его суть
/4 = 0,
Задача 9. Найтн главные напряжения, если дано
хх = Ръ Уу = />2, Ху =q, Y.=ZX=ZZ= 0.
Решение. Составляем уравнение A4). Имеем
F3- F2 (Рг+Р2) + F (Plp2 - q2) = 0.
Корни этого уравнения суть
35
Задача 10. Дано
Хх = 500, Yy = 0, Zz = — 300,
Ху =500, Кг = — 750, Zx = 800 em.
Найтн главные н наибольшие скалывающие напряжения.
Решение. Составляя уравнение A4), имеем
F3 — 200 F* - 1,602 • 10» F + 0,806 • 109 = 0.
Вводя обозначение
.F = 1000 R,
получаем для R уравнение с более удобными для вычисления коэфнцнентамк
R3 — 0,200 R* — 1,602 R + 0,806 = 0.
Подстановкой
R = S + ~j-= S + 0,0667
освобождаемся от члена, заключающего в себе квадрат неизвестной. Получаем
S3 — 1,615 S + 0,700 = 0.
Для того чтобы найтн корень этого уравнения с помощью обыкновенной
логарнфмнческой лннейки, делаем еще одну подстановку, полагая
S = /l,615 T = 1,270 Т.
Получаем для Т уравнение
Т*—Т+ 0,342 =0,
одни нз корней которого близок к 0,70. Уточняя величину этого корня с по-
помощью логарифмической лннейки, видим, что его можно считать равным
Тх = 0,730.
Соответствующие найденному Тх значения величин S1 и R1 суть
Sx = 1,270 • 0,730 = 0,926,
Rt = 0,926 + 0,067 = 0.993.
Понижая степень основного уравнения для R путем деления его левой части
на R — /?х = R—.0,293, приходим к уравнению
К2 + 0,793/? — 0,815 = 0,
корни которого суть
R2 = 0,588,
R3 =- 1,380.
Таким образом, в рассматриваемом случае
Fx =• 1000 X 0,993 = 993 am,
F% =» 588 am,
F3 = - 1380 am
и, следовательно,
lT , 993+ 1380 itiil- „
36
Задача 11. Исследовать форму поверхности Коши для напряженного
состояния, рассмотренного в предыдущей задаче.
Решение. Уравнение поверхности Кошн после преобразования его к глав-
главным осям обращается в рассматриваемом случае в
^1 F% F3
Так как в рассматриваемом случае
Pi > 0, ^ > 0.
588 1380
< 0,
то сечения поверхности Кошн плоскостями С = const суть эллипсы, сечения же
ее плоскостями 5 = 0 н т) « 0 состоят из двух гипербол.
Поверхность Коши состоит поэтому в рассматриваемом случае из двупо-
двуполого гиперболоида и вписанного в него гиперболоида однополого, общей
осью которых является ось главного напряжения Р3. Из этих двух гипербо-
гиперболоидов в рассматриваемом случае однополый является поверхностью поло-
положительных нормальных напряжений, двуполый же соответствует отрицатель-
отрицательным значениям М, . Асимптотический конус, уравнение которого есть
993
1
388
993 ^ 388 1380 '
1380
является геометрическим местом нормалей всех тех площадок, в которых
нормальные напряжения равны нулю.
Задача 12. Найти главные напряжения для случая, когда
. = 1000 am
= —500 „
= 500 .
Xy = — 750 am,
Y. = 250 „
Zv = — 500 P
Задача 13. Для напряженного состояния, рассмотренного в задаче 7,
разыскать направления главных напряжений, выяснив в частности вопрос о
том, как ориентированы эти направления по отношению к осям ох', оу' и ог'.
Задача 14. Найти уравнение поверхности скалывающих напряжений, т. е.
поверхности, на которой располагаются концы раднус-векторов, направление
которых совпадает с направлениями нор-
нормалей к площадкам, величина же про-
порцнон льна величине скалывающего
напряжения Tv , действующего в данной
плащадке (рнс. 15.)
Решение. Стронм вектор, составляю-
составляющие которого суть
6 =
Т.
Т
т.,
T.
где k = некоторый произвольный коэфици-
ент пропоргиональностн, величиной кото-
оого мы распорядимся далее. Определив
из этих уравнений /, m и п, будем иметь
V
m
П — :
Рнс. 15.
Это по исключении /, т н л нз общего выражения для квадрата скалы-
скалывающего напряжения
F% л» —
37
пли, что-то же, из
T"' = (F\ 1г + F%m- 4- F\ я2) (F- 4- от2 4- я2) — (FJ2 4- Р2т* 4- ^зJ
приводит нас к уравнению
Но в силу основного определения того вектора, который мы условились
строить
правая же часть уравнения (а) приводится к виду
(Ff >* + F\ т;2 4- Fi«) (?2 4-1 + V) — (Ft ?2 + F, ^ 4- F3 С2J =
= (/=! - -FaJ ?2 V 4- (/=", - ^аJ V :2 + (^ - /=¦ХУ- с2 ?«.
(Ь)
Это позволяет написать вме-
вместо (а)
(F — F \2
Рис. 16.
Уравнение это было получено и
исследовано Г. В. Колосовым и яв-
является обобщением построения, ра-
ранее данного для плоской задачи
А. М. Драгомнровым. Картонная
модель поверхности Колосова изо-
изображена на рис. 16 Вся эта поверх-
поверхность в целом состоит из 12 груше-
грушевидных полостей, оси которых
совпадают с направлениями тех пло-
площадок, которым соответствуют наи-
наибольшие касательные напряжения.
X
J
Рис. 17.
На рис. 17 показан общин характер следов этой поверхности на различных
координатных плоскостях.
38
Задача 15. Круглый вал скручивается двумя противоположно направ-
направленными моментами, приложенными к его торцовым сечениям. Выписать ус-
условия отсутствия напряжений на боковой (цилиндрической) поверхности его
и проверить, удовлетворяет ли этим условиям то распределение напряжений
в скрученном валу, которое известно нам из теории сопротивления мате-
материалов.
Задача 16. Выяснить, при каких объемных силах может получиться в
рассматриваемом теле напряженное состояние, указанное в задаче 15.
Задача 17. Выяснить, какие усилия объемные и поверхностные надо
приложить к призматическому стержню квадратного сечения для того, чтобы
в нем возникло напряженное состояние, указанное в задаче 15.
Задача 18. Прямоугольный призматический стержень сечеиием ах Ь см-
подвешен вертикально и находится под действием собственного веса. Вы-
Выяснить, чему равны все три составляющие объемной силы. Выписать граничные
условия, которым должно решение удовлетворять на боковых гранях этого
стержня, а также на его нижней торцовой грани, если к этим граням никакой
внешней нагрузки не приложено.
Задача 19. Прямоугольный брус, описанный в предыдущей задаче, при-
приведен усилиями, приложенными к его крайним поперечным сечениям, в со-
состояние чистого изгиба. Допустив, что в нем возникает при этом то самое
напряженное состоявие, которое нам известно из теории сопротивления мате-
материалов, проверить, удовлетворяет ли это напряженное состояние: 1) условию
отсутствия объемных сил и 2) условию отсутствия внешней нагрузки на бо-
боковой поверхности стержня.
Задача 20. Вертикальная стенка прямоугольного поперечного сечения,
указанная иа рис. 18, нагружеиа одиосторонним гидростатическим давлением
до уровня, показанного на этом рисунке.
Рис. 18.
! ! t! НТТТН1Н Н t M !!
Рис. 19.
Выписать граничные условия, которым напряжения в ней должны удов-
удовлетворять на гранях ОА, АВ и ОС.
Задача 21. Цилиндрический сосуд, изображенный на рис. 19, загружен
собствевным весом, давлением налитой в него воды и силой поддержания,
равномерно распределенной по его нижнему основанию. Считая плотность
воды равную v, плотность же материала, из которого сосуд сделан, равною -\г,
выписать граничные условия, которым должно удовлетворять напряженное
состояние на всех поверхностях, ограничивающих рассматри аемое тело.
Задача 22. Цилиндрический брус произвольного поперечного сечеиня
находится в состоянии чистого изгиба. Считая ось oz совпадающей с геомет-
геометрическим местом центров тяжести бруса, а оси ох и оу совпадающими с глав-
главными осями инерции его левого торцового сечеиия (рис. 20), допустить, что
в брусе возникли лишь напряжения
_ М
= ~Е1 х-
39
где М, Е и / — константы, н проверить, совместимо ли это напряженное со-
состояние с отсутствием внешней нагрузки на боковой поверхности стержня, а
равно и отсутствием объемных сил.
Рис. 20.
Задача 23. Призматический брус, длиною /, свободно лежит на двух
опорах, по плоскости которых его давление распределяется равномерно.
Длина каждой опоры (рис. 21) есть а.
Bpvc нагружен только собственным весом и реакциями опор. Высота его
поперечного сечения есть h, ширина Ь.
Iliii
tf
litM
Hi
Ш
ПИНИИ
lilltlHIIli
tt
- r
1-2а-
Рнс. 21.
—=-' а
Выписать граничные условия, которым напряжения в нем должны удовле-
удовлетворить.
Задача 24. Выписать граничные
условия для клинообразной плотины,
изображевной на рис. 22.
Задача 25. С помощью § 6 выра-
выразить компоненты Хх , Yy , Zz ,' Ху , YZj
Zx через компоненты напряжений, соот-
соответствующих цилиндрической системе
координат г, г, 8, считая (рис.23), что
Рис. 22.
Рнс. 23.
Rr — нормальное напряжение в площадках, перпендикулярных к радиусу-
вектору;
Z% —нормальное напряжение в площадках, перпендикулярных к оси z.
40
вв—нормальное напряжение в мернднанальных сеченнях, проходя шик
через ось ог н радиус-вектор г;
в;—скалывающее напряжение в площадке, перпендикулярной к оси ог,.
направленное по касательной к окружности г = const в направлении
увеличения угла в;
R. —скалывающее напряжение в той же площадке, направленное вдоль.
радиуса-вектора г;
Zr — скалывающее напряжение в площадке, перпендикулярной к радиусу-
вектору г и направленное по оси г;
НГ—скалывающее напряжение в той же площадке, направленное по ка-
касательной к окружности г = const в сторону увеличения угла в;
Zg — скалывающее напряжение в меридианальном сечении, внешняя нор-
нормаль к которому направлена в сторону возрастания угла |с, направ-
направленное вдоль оси z;
R§ — скалывающее напряжение в том же сечении, ио направленное вдоль.
радиуса-вектора г.
Задача 25а. С помощью зависимостей § б выразить компоненты напря-
напряжения /?г, в9 , Zz, /?9 , 6Z, ZT, соответствующие цилиндрической системе ко-
координат, через компоненты напряжений Хх, Yg, Zz, Xg, Yz, Zx соответствую-
соответствующие системе координат прямоугольной, доказав при этом в частности равен-
равенства
Rb = ftr, Zr = Rz, 6z= Zlt _
Задача 26. Считая, что Z, R и Q суть составляющие объемной силы в.
направлении Z, г и rd соответственно, путем рассмотрения условий равно-
равновесия элементарного цилиндрического сегмента, образованного двумя попе-
поперечными сечениями, соответствующими двум бесконечно близким значениям
Рис. 24.
координаты г, двумя цилиндрическими поверхностями радиусов л н г + dr к,
двумя мериднанальными сечениями, определяемыми углами И и h -f- d • (см.
рис. 24), выписать условия равновесия этого сегмента в цилиндрической;
системе координат.
Ответ.
UtX I J'/Tfl *' IX /X _ —¦ "ft I
Г г 1 F^ ^ i 2 1 Г 4-/?=0'
()/• r dh дг г
dr
dr
r
1
r
1
дч
дв6
di
dZu
дч
дг
0?
<? = о,
(J8>
Задача 27. Вывести только-что выписанную систему уравнений равно-
зесия из уравнений A6) путем подстановки в последние выражений для напря-
напряжений XX,Y . , ,ZX найденных в задаче 25 и последующей замены про-
производных по х, у и г производными но г, 0 и г.
Задача 28. Проследить, во что обращается система уравнений задачи 26
з случае плоского напряженного состояния, характеризуемого тем, что в пло-
площадках, перпендикулярных к оси г, напряже-
напряжений не возникает, все же остальные напря-
напряжения от z не зависят.
Задача 29. Вывести для плоского на-
напряженного состояния уравнения равновесия
в криволинейных иаостатических координа-
координатах Ламе.
Примечание. Ламе предложил назы-
называть нзостатами кривые, касательные
всеми своими точками к направлению одного
нз главных напряжений в данной точке.
Вообще изостатические линии образуют
в теле три семейства поверхностей, пересе-
пересекающихся под прямыми углами. В частном
случае плоского напряженного состояния
одно из этил семейств обращается в систему
взаимно параллельных плоскостей, два же
остальные — в цилиндрические поверхности,
нормальные к этим плоскостям.
Вид уравнений изостатических поверхно-
поверхностей зависит от рода напряженного состоя-
состояния, которое мы создаем в теле. Поэтому
ранее чем воспользоваться для исследова-
исследования того или иного напряженного состояния
уравнениями равновесия в изостатических
координатах, необходимо бывает определить
для данного напряженного состояния сами
эти координаты. Это затрудняет практиче-
практическое использование изостатических коорди-
координат при решении общей задачи теории упругости. Мы увидим, однако, ни-
ниже случаи, когда нахождение изостат Ламе будет легко. В этих случаях урав-
уравнения равновесия, выписанные в этих именно координатах, могут представить
большой интерес.
Решение. Пусть sx есть длина, измеряемая вдоль изостат, вдоль кото-
которых направлено напряжение Fu a s2—длина, измеряемая вдоль главного на-
напряжения F.,: рх и р„ (рнс. 25) — радиусы кривизны этих изостат соответ-
соответственно.
Выделим двумя парами бесконечно близких изостат элемент плоскости
ABCD и рассмотрим условия его равновесия.
Обозначив через St проекцию объемной силы на направление dSx, через
S2 же проекцию ее на направление ds,, нетрудно видеть, что искомый эле-
элемент поверхности будет и равновесии, если будут удовлетворены уравнения
Рис. 25.
=0,
dF,
ds.
A9)
Это и суть искомые уравнения равновесия в криволинейных изостатн-
ческнх координатах.
Задача 30. Составить уравнения равновесия в изостатических криво-
криволинейных координатах для общего слу«ая пространственного напряженного
состояния, пользуясь следующими обозначениями:
st — длина, отсчитываемая вдоль /-ой изостаты, т. е. нзостаты. совпадающей
по направлению с главным напряжением о..
42
j — радиус кривизны г-ой изостаты в плоскости, перпендикулярной к у'-ой
нзостате, положительный, если для перемещения из рассматриваемой
точки г-ой изостаты к центру ее кривизны следует пройти некоторый
путь в направлении уменьшения длины sk (рис. 26);
Si — проекция объемной силы на направление ds,.
//У
Рис. 26.
Ответ. Проектируя все усилия, действующие на элемент тела, выделен-
выделенный тремя парами бесконечно близких изостатических поверхностей, можно
получить следующую систему уравнений:
Л7 "г" ~"п + ~7 rij = О, I
°*1 Р2,Я Ря,2
+ So = О,
B0)
05s Fi,2 Р2д ' -ч J
Уравнения B0), равно как и уравнения A9), были получены Ламе.
Если бы мы положили в уравнениях 20) сг3 = 0 и приравняли p8l2HPs,i
бесконечности, то мы должны, казалось бы, из первых двух уравнений груп-
группы B0) получить оба уравнения группы A9). На самом.деле этого ?не полу-
чается, так как члены
входят в соответствующие два урав-
уравнения с различными знаками.
Причина этого отличия кроется в том, что при выводе формул A9) и B0)
Для радиусов кривизны р(.;- и р( были приняты различные правила знаков.
Задача 31. Показать, что в случае плоского напряженного состояния,
когда с3= 0, а р3]2 и р3 ] равны бесконечности, третье из уравнений B0)
может быть отбрасываемо.
Задача 32. Разыскать изостаты для круглого вала, скручиваемого мо-
моментом, вызывающим в валу напряжения
Xz = - zGy, Yz = G-.x,
где г и G—константы.
Ответ. Одно семей-ствр изостат состоит из всевозможных прямых, пере-
пересекающих ось ог под прямым углом; два других—семейства винтовых лиинй
на поверхностях цилиндров г = const, наклоненных под углами +45° к обра-
образующим цилиндра.
43
ГЛАВА II
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
§ 1. Понятие о составляющих перемещения
Условимся во всем дальнейшем отличать отдельные точки
тела по тем значениям их декартовых координат х, у, z, кото-
которые соответствуют естественному (не деформированному) состо-
состоянию тела. Когда тело деформируется, каждая его точка вообще
проходит некоторый путь. Вектор, имеющий своим началом
исходное положение точки (соответствующее естественному со-
состоянию тела), а концом положение, в которое точка приходит
после нагрузки тела,—назовем перемещением данной точки.
Перемещение всякой точки тела, как всякий вектор, может
быть вполне определено тремя его проекциями на оси ох, оу
и oz. Условимся эти три проекции вектора перемещения обозна-
обозначать знаками и, v и w и называть составляющими (перемеще-
(перемещения) или просто тремя перемещениями рассматриваемой точки.
Величины и, -у, и та являются вообще некоторыми функциями
от х, у и z и в силу предполагаемой сплошности упругого тела
должны во всем объеме тела быть непрерывными функциями
от х, у и z.
§ 2. Линейная деформация по заданному направлению
Представим себе в исследуемом теле две точки А а В, ле-
лежащие на заданном направлении в бесконечной близости друг
от друга. Пусть dr есть расстояние между этими точками, а /,
тип — направляющие косинусы направления г. Тогда
dх = Idr, |
\ (a)
dz = n dr, |
будут тремя проекциями отрезка dr на координатные оси ох,
оу и oz.
Допустим, что вследствие деформации исследуемого тела
точка А перешла (рис. 27) в некоторое положение Л', а точка В
в положение В'.
44
По сказанному в предыдущем параграфе три проекции век-
вектора АА' суть и, v ¦ и w. Три проекции вектора ВВ' должны
вообще несколько отличаться от
перемещений точки А. -Разлагая
их в ряд по степеням da. и от-
отбрасывая малТле высших поряд-
порядков, мы можем принять, что три
(проекции вектора ВВ' суть
, ди ,
х, т Рис. 27.
Как видно из рис. 27, коор-
координаты четырех интересующих
нас точек А, В, А' и В' могут быть заимствованы из следующей
таблицы:
Точка
А
А'
В
В1
X
X
х + dx -
X
4- "
4- dx
~br
Координаты
У
У + v
У + dy
У + dy + v + ?Ldr
or
z
z
z + dz -
z
4- w
+ dz
dw
dr
Благодаря деформации тела расстояние между точками А'
и В' не будет, вообще говоря, равно расстоянию между А и В.
Относительное приращение этого расстояния, определяемое
отношением
A'B'—AB
AB '
0)
мы будем называть линейной деформацией в точке А
по направлению ' г или относительным удлине-
удлинением в точке А по направлению г
Пользуясь приведенною выше таблицею координат точек А,
В, А' и В', легко видеть, что
АВ =
(ayJ + (dzf=dr/lz+.m2+n2 = dr,
А'В' = ]/\dX+ d»7dr)\ (dy+ *Ldrf+ (dz+
45
Подставив эти результаты в формулу A), можно после сокра-
сокращения на dr получить
(i+* у -
Но при перемещении вдоль вектора г
~^г = cos (у, г) = т,
%- = cos (z, г) = п.
Поэтому
Полученное выражение можно несколько упростить. С одной
стороны, в нем
с другой же стороны, в пределах упругих деформаций величина
еГ1. для таких материалов, как сталь и железо, не превышает не-
„ ди dv
скольких тысячных. Это показывает, что величины -g-, -5— H
dw
-~г- по сравнению с единицей весьма малы, так что их вторыми
и высшими степенями можно пренебречь.
Делая эти упрощения, можно полученному выражению при-
придать следующий вид:
д7+т^+п й-)+1-1.
Входящий в это выражение радикал можно развернуть по би-
биному Ньютона. Отбрасывая при этом малые второго и высших
порядков, получаем
, ди . dv dw
или, что то же,
*„=?• B)
Здесь
[j = lu + mv + nw C)
есть, очевидно, проекция перемещения на вектор г. Формула B)
показывает, что л и не иная деформация по направле-
направлению г равна частной производной от проекции
перемещения на это направление, взятой по ко-
координате, измеряемой вдоль направления г.
46
Прилагая это правило в частности к линейным деформациям.
в направлении координатных осей, можно видеть, что линейные
деформации в направлении ох, оу и oz соответственно суть
с~~ дх'
dv i
'~ 57' \
dy
dw
D)-
3. Угол сдвига между двумя взаимно перпендикулярными
направлениями
Углом сдвига в данной точке между двумя взаимно перпен-
перпендикулярными направлениями гг и г2, проходящими через эту
точку, называется уменьшение угла между прикрепленными к
телу прямыми, первоначально совпадавшими с отрезками йгг и
йгг. Мы будем угол сдвига между направлением гг и г2 обозна-
обозначать знаком епГг и называть
деформацией сдвига
или отн осительным
сдвигом между этими на-
направлениями в данной точке.
Покажем, что если рх и
р2 суть соответственно про-
проекции перемещения на на-
наностью до малых первого
порядка малости
Обратимся для этого к
рис. 28.
Пусть А есть некото-
некоторая точка рассматриваемо-
рассматриваемого тела В и С — две бес-
бесконечно близкие к ней точ-
точX
1
1
1
-i
i
A
MHO
—
/
/
у
far
т
Г
л__—4& г—
Рис. 28.
перпендикулярных
/ 'л
г
орффА
направле-
ниях гх и г
2.
х 2
Пусть далее проекции перемещения точки А на направления
ri и ft суть рх и р2. Перемещения точки В тогда будут
перемещения же точки С
И О»"
47"
Как видно из рис. 28.
еГ1г, = «1 + *„. (а)
иричем
dp! д?!
. , dp2 . dp» dr..
, 0>i * дг, др.,
r* or, r* drj
По малости углов ах и a2 их тангенсы можно принять за
сами углы. Подставив же
а = —
др,
в выражение (а), мы придем к формуле E), которую мы и дол-
должны были доказать.
При выводе формулы E), мы пренебрегли перемещениями
всех рассматриваемых точек, перпендикулярными к плоскости
рис. 28. Нетрудно видеть, что мы действительно имеем право
этими перемещениями пренебрегать.
В самом деле, мы поставили себе целью найти изменение
угла между прямыми, соединяющими точки А, В и С, с точ-
точностью до малых первого порядка. Учет перемещений, перпен-
перпендикулярных к плоскости, изменяет все стороны треугольника
ABC, а следовательно, и угол ВАС на малые величины второго
порядка малости, каковыми мы пренебрегаем. Таким образом,
с точностью до малых величин первого порядка формула E)
дает нам действительно искомый угол сдвига между направле-
направлениями гх и г2 в точке А.
Формулой E) можно воспользоваться в частности для разы-
разыскания углов сдвига между координатными осями ох, оу и oz.
Очевидно
du . dv
ехя~ду~~1~~дх~'
dv , dw
dw . да
F)
§ 4. Понятие о компонентах деформации. Формулы преобразования
их при повороте осей
Формулы D) и F) связывают три составляющих перемещения
¦с тремя линейными деформациями е^, еУ1/ и ezz, соответствую-
соответствующими направлениям, параллельным осям ох, оу и oz, и тремя
48
углами сдвига exv, eUz и е^ между этими направлениями. Шесть
деформаций ехх, ет, ezz, еху, evz и е^ носят наименование компо-
компонентов деформации в данной точке.
Зная для какой-либо точки тела эти шесть компонентов
деформации, можно определить для этой точки линейную де-
деформацию по любому заданному направлению, а также угол
сдвига между любыми двумя заданными взаимно перпендику-
перпендикулярными направлениями.
Чтобы доказать первое, обратимся к формуле B) § 2. При-
Приняв во внимание, что по правилу диференцирования сложных
функций
д() = д( )дх д()ду д( ) dz _
дг дх дг ду дг ' dz дг
дг
дх дг ду дг ' dz дг
дх
ду
дг
легко видеть, что'
vw
откуда следует
1тёх
:xy -г mnegz + nle^. G)
Допустим теперь, что rx и r2 — два взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направления, определяемых: первое направляющими коси-
косинусами 4, тх, пх, а второе 1г, тл2, я2. Приняв во внимание, что
проекции перемещения на направления гх и г2 связаны с «, v и
w зависимостями
Рз =
можно из формулы E) вывести
n2w,
2nxti2ezz
(8)
Формулы G) и (8) могут быть использованы в частности и для
преобразования компонентов де-
деформации к новым осям. Пусть
компоненты деформации для
осей ох, оу и oz известны, тре-
требуется же найти их для осей
ох', оу' и oz', составляющих
с осями ох, оу и oz углы, коси-
косинусы которых даются таблицею:
ГГ. Ф. Папкович, теория упругости—436—4 49
х'
у'
Z'
X
к
и
и
У
щ
т2
z
nt
п2
"з
Для нахождения линейных деформаций, соответствующих
осям ох', оу' и oz', может служить формула G), из которой
следует
ех,х. ==
т\е
\ет
т\е
ду
п\е„
n\ezz
l1miexg
l2maexg
mxtixegz
m2n2egz
ez-z- = Црхх + т\ет + n\ezz + l3m3exg + m3n3eVz -
Для нахождения же новых компонентов сдвига можно вос-
воспользоваться формулой (8), из которой следует
ех-у =
ey.z. =
2т1т2едд + 2n1naezz
egz
2т2т3ет
A2т3+т213) ехд
2тат1еуд+ 2п3пгег
A0)
+ {тгпг + щт^ egz + (я34 + 13пх) ezx.
Мы видим таким образом, что шесть компонентов деформа-
деформации, определяемых равенствами D) и F), вполне определяют
собою деформацию тела в данной точке.
§ 5. Связь между перемещениями и деформациями.
Уравнения Коши
Как мы видели выше в § 2 и 3, компоненты деформации
связаны с компонентами перемещения и, v, и w зависимостями
ezz=-
du
~dx~
dv
dy
dw
~dz
D)
du
dv
dz
dv
~dx~
dw
dw du
F)
Эти уравнения, устанавливающие связь между перемеще-
перемещениями и деформациями, были получены Коши. Поэтому их часто
называют также уравнениями или' диференциальными зависи-
зависимостями Коши.
§ 6. Поверхность деформаций
Отложим по направлению вектора г отрезок, длина которого
обратно пропорциональна корню квадратному из абсолютной
величины линейной деформации е„, и посмотрим, по какой
поверхности будет перемещаться конец этого вектора, если мы
направление вектора г будем менять, не меняя деформации
50
$ в данной точке. Координаты конца упомянутого выше
вектора обозначим через S, f\ и С, направляющие же косинусы
вектора г — через I, m и п. По условию
/± 'г,
где k есть некоторая константа. Из только что написанных
равенств следует
I = ~Г * if + е • 1П = — 1П г/"_|_ z> • П = -т- Ст/ -I- Р
Подставив полученные выражения для /, т и п в выражение G),
можно по сокращении на еГТ получить
ej? + eggr? + ezj? + ехд*-ц + еУЛ + е^ Ц = ± k\ A1)
Уравнением этим определяется некоторая поверхность, центр
которой лежит в начале координат. Надлежащим поворотом
координатных осей ее можно преобразовать к главным осям.
Если мы совместим оси ох, оу и oz с этими ее осями, то члены,
содержащие Ь\, rf, и СЕ, в уравнении A1) пропадут, что может,
однако, случиться лишь тогда, если для этих трех осей все
компоненты сдвига равны нулю.
Отсюда заключаем, что какова бы ни была деформа-
деформация в рассматриваемой точке, через эту точку
всегда можно провести такие три взаимно перпен-
перпендикулярных направления, для которых всетри ком-
компонента сдвига будут равны нулю.
Направления эти называются направлениями главных
деформаций, а соответствующие им линейные деформации—
главными деформациями в данной точке. Главные де-
деформации обратно пропорциональны квадратам полуосей по-
поверхности деформаций и определяют собою поэтому относи-
относительные extrema, линейной деформации в данной точке. Этим
свойством главных деформаций можно пользоваться при разы-
разыскании главных деформаций.
§ 7. Нахождение главных дефор ций по заданным компонентам
По сказанному выше направления главных деформаций обра-
обращают линейную деформацию, определяемую формулой G), в от-
относительные extrema. Воспользуемся этим свойством направлений
главных деформаций для разыскания этих направлений.
Так как величины /, m и п, входящие в G), связаны между
собою зависимостью
/¦ + /я" + я«=1, (а)
51
то для разыскания экстремальных значений величины егт исполь-
используем схему Лагранжа.
Следуя этой схеме, помножим равенство (а) на некоторую
неопределенную постоянную е и вычтем результат этого умно-
умножения из равенства G). Получаемое этим путем равенство
е„ — е =/
m2em+n2ezz+lmexy
— е{12
т2
диференцируем по I, т и п, считая е) константой. Подобрав е
так, чтобы все три производные величины егг^е можно было
бы одновременно обратить в нуль, рассмотрим -направления,
удовлетворяющие условиям
61
д(егг-е)
dm
д(егг-е)
дп
= 1{ехх — е) 1+ехдШ+е^п = О,
= exvl+2 (egv - е) m+egzti = 0,
= ezxl+eszm+2 {ezz — e)n = 0.
A2)
Направления эти обращают величину err — e в относительные
extrema, а так как величина е предполагается здесь от /, ш и я
независящей, то одновременно с етт — е обращается в свои от-
относительные extrema и величина е„.
Направление главных деформаций, обращающее етт в отно-
относительные extrema, должны поэтому удовлетворять уравне-
уравнениям A2). Последние, однако, дают решение, отличное от нуля
только в том случае, если их определитель равен нулю. Опре-
Определив эти три корня из уравнения
exy;
^zx't
&ХУ> &ZXJ
2{е„-е); egz;
= 0
A3)
можно их подставить поочередно в уравнения A2) и найти из
последних соотношения 1:п и m :n, удовлетворяющие уравне-
уравнениям A2). После этого, с помощью (а), легко найти три соот-
соответствующие значения величины п и умножением найденных nt
на предварительно найденные значения соответствующих отно-
отношений 1:пи т:п — определить соответствующие / н т.
Нам остается показать, что три корня уравнения A3) равны
по величине искомым трем главным деформациям.
Для этого допустим, что е{ есть один из корней уравне-
уравнения A3), так что уравнения
2 (<?** — et) li-\-emml + е^щ = 0,
exglt + 2 (еду—е() mt + euztit = 0,
J ezz — e{) nt = 0
A2')
52
¦допускают для lt, mt и nt решение, отличное от нуля. Чтобы
вскрыть физический смысл величины еи помножим первое из
ётих уравнений A2') на U, второе на ти третье на щ и сложим
затем их все три вместе. Это даст
2eJ?. + 1етт\ + 2еггп\ + 2еяя11т1 + 2eyzminl+2ezxnili = 2eh
что, будучи сопоставлено с G), позволяет заключить, что et
есть не что иное, как линейная деформация, соответствующая
направлению lu mt, щ. Но относительно последнего уже дока-
доказано, что оно совпадает с направлением одной из главных де-
деформаций в данной точке. По определению главных деформа-
деформаций ei должно быть, следовательно, равно соответствующей
главной деформации.
Подводя итог всему сказанному, заключаем, что три глав-
главных деформации определяются в каждой точке тела тремя
корнями уравнения A3), а соответствующие им направляющие
косинусы — уравнениями A2').
§ 8. Понятие об относительном приращении объема
Из уравнения A3) легко видеть, что сумма трех линейных
деформаций е^, ет и ezz во всякой точке тела равна сумме трех
главных деформаций в этой точке.
Остановимся на физическом смысле величины
б = е„с + ет + ezz = ег + е2 + е3. A4)
Для этого выделим в теле мысленно параллелепипед, ребра
которого совпадают с направлениями главных деформаций, и
рассмотрим изменение объема этого параллелепипеда.
В естественном состоянии тела объем этот есть
V = dxdy dz.
После деформации его ребра будут иметь длину .
[l+ejdx; (l+e2)dy; (l+eB)dz,
объем же его будет равен величине
Vi = A + <?i) (I + еа) A + е3) dx dy dz.
Относительное приращение его объема определяется поэтому
зависимостью
что по малости величин et равносильно равенству
Равенство это показывает, что величина, обозначенная
нами через 6, есть относительное увеличение объ-
объема тела в данной точке.
53
С помощью равенств D) можно выражению A4) придать вид
fi du.dv.dw
откуда следует, что относительное увеличение объема тела во
всякой его точке определяется дивергенцией вектора переме-
перемещения в этой точке.1
§ 9. Условия совместимости деформаций (диференциальные
зависимости Сен-Венана)
Шесть компонентов деформации е^. еди, егг, е^, egz и е^,
как. видно из равенств D) и F), определяются частными произ-
производными всего лишь трех независимых функций и, v и w.
Естественно поэтому ожидать, что величины е^, едд, ezz, exy,
?gz и #zx не могут быть задаваемы, как шесть совершенно про-
произвольных функций от координат х, у и г. Между ними дол-
должны существовать какие-то внутренние зависимости. Устано-
Установить эти зависимости нетрудно, надо только принять во внима-
внимание, что в силу сплошности тела перемещения и, v и w дол-
должны являться непрерывными функциями от координат.
Действительно, продиференцировав первое из уравнений D)
два раза по у, а второе два раза по х и сложив полученные,
результаты, можно видеть, что
^ 4- - = ^-
ду* ~"~ дх* дхду '
Это и есть одна из зависимостей, которые мы имеем в виду
получить. Две другие такие же
ду* дудг '
д^ "т" дгг дгдх
выводятся аналогичным путем.
Для того чтобы получить вторую группу диференциальных
зависимостей, связывающих компоненты деформации друг с
другом, определим с помощью равенств F) величину
дх \ дх "+¦ ду "•" дг
Нетрудно видеть, что
дх \ дх ~т~ ду ~т~ дг / дх \ ду'дг
1 Дивергенцией вектора А называется сумма трех частных производных
от проекций этого вектора на координатные оси, т. е.
dlvA=-^ + ^L+^.
дх ду dz
54
откуда следует
-
дх
ду
oz
дудг
Аналогичным путем можно вывести еще две зависимости,
получаемые из только-что найденной круговой перестановкой
букв.
Шесть диференциальных зависимостей
dz*
^v2
+
дх*
ду2
Л,2
д%еху
дхду'
~~ dydz'
dx
дх
6^ 4-^ =
ду ' dz )
ду \ дх ду ' дг
— о aagtftf
~ду~ ~дТ/ ~
A6)
а*
выведены Барре де Сен-Венаном и играют в теории упругости
очень важную роль.
Будучи необходимым следствием нашего допущения о непре-
непрерывности перемещений, они являются теми дополнительными
уравнениями, которыми в теории упругости раскрывается ста-
статическая неопределимость исследуемого упругого тела. Их часто
называют диференциальными зависимостями Сен-
Вен ан а или же условиями совместимости деформаций. Они
являются следствием сплошности тела и необходимыми усло-
условиями этой сплошности, Можно ли считать их достаточными
условиями сплошности, будет выяснено ниже (см. § 11).
§ 10. Понятие о вихре вектора перемещения
Для того чтобы выяснить, являются ли условия Сен-Венана
достаточными условиями сплошности, нам следовало бы обра-
обратиться к вопросу об интегрируемости уравнений -Коши, т. е. си-
системы D) и F).
Полезно, однако, ввести ранее в рассмотрение понятие о
вихре вектора перемещения.
Согласно тому, как это вообще принято в анализе, мы бу-
будем называть вихрем вектора перемещения
вектор
V =i« +jv + kw
curl V = i сож + j шв + k coz,
A8)
три составляющие которого определяются зависимостями
dw dv
х ду dz '
ди dw c
в dz dx '
dv ди
со, = -з з— ,
z дх ду
Составляющие вихря перемещения дают нам представление
о среднем вращении элемента тела в рассматриваемой точке.
Действительно, если (рис. 28) сумма углов -?- и -^-
ди , dv
дх
дает нам уменьшение первоначально прямого угла между на-
направлениями, бывшими в рассматриваемой точке тела до де-
деформации параллельными ох и оу, то разность тех же величин
dv ди
dx ду -™*
дает нам удвоенный угол поворота биссектрисы этих двух на-
направлений вокруг оси oz.
Если оы мы знали в каждой точке тела не только величины
всех компонентов деформации, но еще и три составляющих
вихря вектора перемещения сож, шв и coz, то мы могли бы все
девять частных производных функций и, v и w определить по
м улам
ди _ dv 1 , , , dw I , ,
дх ~ ***' ох - 2 ^х» т ш*'' dx - 2 ^«
dU '- Х (Р т Y — — Р ¦ dW - * (Р
dy —ТКху z'' dy —ew> dy ~ 2 ^ ш
ди 1 / , \ dv 1 , . dw
A9)
и найти затем функции и, v и да по общему правилу разыскания
функций, полный диференциал которых нам известен.
Есть, однако, все основания думать, что для нахождения
перемещений и, v и w вполне достаточно знать во всех точках
тела лишь шесть компонентов деформации е^, em,...e-a..
Действительно, мы видели уже в § 4, что, зная для всех
точек какого-либо тела шесть компонентов деформации е^,
egy>'-'^zx, мы можем для всякой точки тела вычислить его
удлинение по любому направлению, а следовательно, и измене-
изменение расстояния между любыми точками тела. Чтобы знать при
этих условиях перемещения всех точек тела, нам необходимо
знать, очевидно, дополнительно еще лишь поступательное пе-
перемещение какой-либо точки тела и вращение элемента тела,
совпадающего с этой точкой. Что это действительно так и есть,
56
будет показано в следующем параграфе. Ранее чем это дока-
зать^^полезно, однако, отметить следующее обстоятельство.
"Если для разыскания перемещений нет необходимости за-
задавать в каждой точке тела, наряду со всеми шестью компо-
компонентами деформации тела, еще и все^три составляющие вектора
curl V, то, очевидно, между составляющими последнего, с
одной стороны, и компонентами деформации, с другой, дол-
должны существовать некоторые внутренние зависимости. Так
как существование этих зависимостей не может налагать-
никаких ограничений на вращение всего тела, как целого, тог
очевидно, эти зависимости не могут быть алгебраическими.
Надо поэтому полагать, что между величинами о>х, °>у и «4,
с одной стороны, и компонентами деформации, с другой, дол-
должны существовать зависимости диференциальные.
Найти эти зависимости можно путем простого исключения
величин и, v и w из равенств A9) с помощью равенств D) и
F). Это даст, как легко видеть,
dx
ду
дг
dy
ТГ
~д~Г
~ду~
дг'
dmz
~дх~
ду
= 2 *н_
= 2 ~dz ~
деху
~ дг
= if ~S
аеж„ г
~dT'
IF'
"dT'
' "df'
, aexx
' dy '
B0).
дг
d^:
dx
ду
dy
Равенства B0) показывают, что компоненты вектора curlV мо-
могут быть разысканы, если компоненты деформации во всех точ-
точках тела известны.
§ 11. Условия интегрируемости уравнений Коши
Сказанное в предыдущем параграфе позволяет наметить
следующий путь интегрирования уравнений Коши, или, что тоже,
разыскания перемещений по заданным деформациям:
57
а) с помощью равенств B0) находятся все частные произ-
производные составляющих вихря вектора перемещения;
б) путем интегрирования находятся сами составляющие век-
вектора curlV, т. е. функции шж, <од и wz;
в) по формулам A9) разыскиваются'все частные производные
трех искомых перемещений;
г) интегрированием находятся все три искомые перемеще-
перемещения и, v, w.
При разыскании величин <ох, шв и wz по их производным при-
приходится разыскивать функции по их полному диференциалу.
Точно так же и последующее затем разыскание перемещений
и, v и w с помощью равенств A9) сводится опять-таки к разы-
разысканию функций по их полному диференциалу.
В интегрируемости уравнений A9) сомневаться не прихо-
приходится, так как величины шх, со,, и wz определяются нами по за-
заданным вхх, ет, егг, ехд, egz и егх с помощью уравнений B0), а
последние выведены из условия, чтобы в выражения D) и F),
.а равно и в выражения B0) для шж, о>д и wz входили частные
производные одних и тех же трех функций и, v и w. Остается,
таким образом, выяснить интегрируемы ли уравнения B0).
Из анализа нам известно, что уравнения
Ox
да>
ду
дч>
Т7
= А(х,
= С(х,
У,
у,
г)
интегрируемы тогда и только тогда, если между функциями
А, В и С существуют зависимости
ЗА _ дВ_ ш <№_ _ дС_щ ^С__ дА_ \
~ду~ ~~ Ох ' дг ~ ду ' дх ~ dz №'
Прилагая это требование к равенствам B0), можно видеть,
что система B0) будет интегрируема, если во всех точках тела
•будут удовлетворены условия
dydz дхду дхдг
_ „
_ 9 _^f
dydz дг* ~ z ду*
дхду дхдг dydz
в чем нетрудно узнать 5-е, 2-е и 6-е из условий Сен-Венана.
Подобным же образом можно легко убедиться и в том, что
остальные две группы уравнений B0) будут также интегри-
интегрируемы, если условия Сен-Венана соблюдены. Условия Сен-Ве-
Сен-Венана являются, таким образом, необходимыми и достаточными
58
условиями интегрируемости уравнений B0), а следовательно,
и уравнений Коти.
Их можно принимать за необходимые и достаточные усло-
условия сплошности тела, если тело ограничено областью одно-
связною, т. е. областью, в пределах которой всякая замкнутая
линия может путем непрерывной деформации быть уменьшена
до размеров точки.
Действительно, из анализа мы знаем, что если функции
А(х, у, z), В(х, у, z) и С(х, у, z) удовлетворяют „условиям
интегрируемости" (а), то интеграл
/(Л dx -
равен нулю, при всяком полном обходе любого замкнутого
пути, который путем непрерывной деформации может быть
уменьшен до размеров точки.
Если исследуемая область односвязна, то всякую замкнутую
кривую в ней можно уменьшить путем непрерывной деформа-
деформации до нуля. Поэтому в односвязной области соблюдение усло-
условий (а) гарантирует однозначность величины интеграла
/(Л dx + В dy + С dz),
взятого в этой области по любому пути между двумя фикси-
фиксированными точками этой области.
Если исследуемая область неодносвязна, то в ней можно
провести некоторые такие замкнутые кривые, которые путем
непрерывной деформации нельзя уменьшить до размеров точки.
При интегрировании по таким замкнутым кривым интеграл
f(Adx + Bdy + Cdz)
может получать конечные приращения при всяком полном
обходе рассматриваемой замкнутой кривой, т. е. быть неодно-
неоднозначным, несмотря на соблюдение во всей рассматриваемой
неодносвязной области условий интегрируемости (а).
Перемещения и, v и w должны быть в пределах любого
сплошного тела однозначны. Поэтому, если тело ограни-
ограничено неодносвязной областью, то соблюдение
условий Сен-Венана вообще еще не гарантирует
сплошности тела в этой области. В дополнение к
условиям Сен-Венана нужно в случае, если тело ограничено
областью неодносвязной, подчинить деформацию еще усло-
условиям однозначности результата интегрирования уравнений Коши
при обходе каждого из тех путей, которые пересекают раз-
разрезы, превращающие область, занятую телом, в область одно-
связную. Нетрудно убедиться при этом в том, что результат
интегрирования по всем контурам, пересекающим данный раз-
разрез, будет однозначен, если он будет однозначен в отношении
одного какого-либо замкнутого контура, пересекающего рас-
рассматриваемый разрез.
59
Таким образом, если тело ограничено односвязной об-
областью, то условия Сен-Венана являются необходимыми и
достаточными условиями сплошности тела, если же тело
ограничено неодносвязной областью, то условия Сен-Ве-
Сен-Венана являются необходимыми и достаточными условиями инте-
интегрируемости уравнений Коши и лишь необходимыми, но
недостаточными условиями однозначности перемещений,
а следовательно, и сплошности тела.
Аналитическим выражением условия однозначности переме-
перемещений является требование, чтобы при всяком полном обходе
любого контура, проведенного в теле, было:
Здесь через го () ds обозначены интегралы, взятые по замкну-
замкнутому контуру при полном его обходе.
Поясним сказанное следующим простым примером, из кото-
которого будет видна физическая сторона дела.
Допустим, что в некотором бесконечно длинном цилиндре,
сечение которого показано на рис. 29 -и имеющем полость произ-
произвольного очертания, создана такая деформация, при которой ни
одна точка тела не имеет перемещений, направленных вдоль оси
^цилиндра, все же остальные переме-
перемещения не зависят от координаты, из-
измеряемой вдоль этой оси. Такая де-
деформация называется плоской. Пусть
в частности ось ог направлена вдоль
оси цилиндра и-, следовательно,
w = О, и = и{х, у), v = v (х, у).
Представим себе, что мы выреза-
вырезали в этом цилиндре бесконечно тон-
Рис. 29. кий канал АоАг, ?<А> превращаю-
превращающий рассматриваемый цилиндр в те-
тело, ограниченное односвязной областью. Допустим, что в пре-
пределах всего объема, занятого веществом тела, условия Сен-
Венана соблюдены, но неизвестно, удовлетворены ли они вну-
внутри контура, ограничивающего внутреннюю полость цилиндра.
Если мы выберем точки Мо и Мх так, чтобы они лежали друг
против друга на противоположных берегах канала A0Alt B0Bt
и соединим их произвольной кривой, не пересекающей границ
тела, то мы можем утверждать, что величины интегралов
II С f^x ^фх ^юх \
х 1ти, \ х\м0 J \ дх ' дх ^ ' дг J' 'а'
60
I ШУ \Ml
• Afi
не будут зависеть от того, вдоль какой из бесконечного мно-
множества кривых, не пересекающих границ тела и соединяющих
точки Мг и Мо, будут эти интегралы взяты.
Разность частных значений величин сож, шв и wz в точках М±
и Мо будет, таким образом, при соблюдении условий Сен-Венана
совершенно определенной величиной. Если вырезанный нами мы-
мысленно канал действительно существует в теле, т. е. если тело
ограничено односвязной областью, то шж, шв и wz могут иметь
в точках Мг и Мо, лежащих на противоположных сторонах ка-
канала A0Ay BOBV различные значения. Если в теле канала
А0А1В0В1 нет, то для сплошности тела необходимо дополнитель-
дополнительное условие: функции шх, шд и wz, равно как и и, v и w, должны
в точках Мх и Мо иметь одни и те же значения.
Интегралы (а), (б) и (в) должны, следовательно, обращаться
у рассматриваемого тела, ограниченного двухсвязной областью,
в нуль. Этого, однако, условия Сен-Венана нам не гарантируют,
что совершенно естественно, так как у цилиндра односвязного,
имеющего канал A^AyBJBy, внешняя нагрузка может быть при-
приложена как в виде объемных сил и усилий, распределенных
и по внутреннему и по наружному контуру цилиндра, так равно
и в виде усилий, приложенных по кромкам канала. В соответ-
соответствии с этим и перемещения точек, лежащих друг против дру-
друга на противоположных сторонах этого канала, могут быть раз-
различны. У цилиндра двухсвязного мы можем распоряжаться, как
внешними усилиями, лишь объемными силами и силами, прило-
приложенными к обоим контурам цилиндра; силами же, возникающими
в его сечении по каналу AqA^qB^ мы распоряжаться по про-
произволу не можем; они являются силами внутренними и приоб-
приобретают себе в теле автоматически такие значения, чтобы пере-
перемещения тела в противолежащих точках канала А^ВоВу были
одинаковы.
Цилиндр односвязный, имеющий канал A0AtBJBt, таким
образом, богаче как возможными перемещениями, так и вызы-
вызывающими их нагрузками. Условия Сен-Венана гарантируют его
сплошность.
Цилиндр двухсвязный лишен части из этих возможных пе-
перемещений и в соответствии с этим, и число возможных вари-
вариантов распределения в нем усилий является меньшим. Условий
Сен-Венана недостаточно для обеспечения его сплошности.
Если поэтому при исследовании какого-либо из тел, ограни-
ограниченных двухсвязной областью, мы найдем несколько различных
вариантов таких распределений напряжений и деформаций, ко-
которые удовлетворяют как всем условиям статики, так и всем
61
условиям Сен-Венана, то мы должны будем выяснить, какой
из всех этих вариантов напряженного состояния обеспечивает
рассматриваемому телу однозначность перемещений. Все осталь-
остальные варианты придется считать отпадающими. Они соответствуют
таким распределениям напряжений и деформаций, которые воз-
возможны у соответствующих односвязных тел и невозможны
у рассматриваемого неодносвязного тела.
Об этом обстоятельстве надо всегда помнить при разыскании
напряженного состояния тел, ограниченных неодносвязной об-
областью.
В литературе имеются примеры решений, оказавшихся оши-
ошибочными исключительно лишь потому, что это обстоятельство-
забывалось.
§ 12. Формулы Чезаро
После сделанных предварительных замечаний вернемся к ин-
интегрированию уравнений D) и F).
. Как видно из первой группы уравнений A9), перемещение
их в точке Мх может быть связано с перемещением и0 точки Мо
зависимостью
= «о + f exxdx+ -2 (еху — coz) dy + ~ (е^ + шв) dz\,
мгм„
где интеграл берется между точками Мо и Мх по любому пути,
не пересекающему границ тела. Полученное равенство равно-
равносильно следующему
f
M
f ~ exzdz)+ j ~ (u4dz — <»z
i Mo M, Ma
Рассмотрим сначала второй из интегралов, сюда входящих.
Очевидно,
I (шв dz — ш, dy) = f К d(yx — y) — <»gd (zt — z%
лОио' мгм„
где xv yt и zx суть значения, принимаемые координатами х, у
и г в точке Mv Интегрируя по частям правую часть этого вы-
выражения, можно видеть, что
J (шд dz — coz dy) = со° (zt — z0) — co° (yt — y0) +
м1 м„
+ j [(Zi — Z) do>y - {yx - y) dmt],
где со°, со0 и со° суть частные значения соответствующих функ-
функций в точке Мо. Но
д<о„ ди>„ дш
do>g = ~»dX+-d:°dy+^dz
62
так что, согласно B0)
j {о>д dz — <oz dy) = шу (zx — z0) — <»° Oi —Уо) +
ЛГ, Мо
Подставив все это в найденное выше выражение для иъ по-
получаем
«1 = «о + \ ф°у (Zi - Zo) -1 ш" (Уг ~ Уо) +
где
Щ
Подобным же образом можно вывести и остальные два вы-
выражения системы
f (Uxdx+Ugdy+Uzdz),
М
f
М1М.
(Vxdx+Vgdy+Vzdz),
B2>
Здесь Ux, Ug и i7z определяются выражением B1), а Кж, I'g и V^
точно так же, как и Wx, Wg и W- выражениями, получаемыми
из B1) круговой перестановкой букв х, у и г.
В формулы B1), выведенные Чезаро, в качестве постоянных
интегрирования входит шесть величин: три перемещения и0, fo.
63
и w0 точки Мо и три составляющих вихря вектора перемещения,
соответствующие той же точке. Распоряжаясь этими шестью
постоянными интегрирования, мы можем к перемещениям рас-
рассматриваемого тела, вызываемым его деформацией, прибавлять
любые его перемещения, как твердого целого.
§ 13. Определение постоянных интегрирования, входящих' в общий
интеграл уравнений Коши
В большинстве случаев при решении задач теории упругости
нас не интересуют перемещения, получаемые рассматриваемым
телом, как твердым целым: достаточно бывает выяснить относи-
относительные смещения различных его точек друг относительно друга.
В этих случаях удобно бывает распорядиться постоянными
интегрирования так, чтобы координатные оси ох, оу и oz были
прикреплены к какой-нибудь точке тела. Всего проще мы можем
этого достигнуть, положив в точке Мо предыдущего параграфа
все три составляющие перемещения, а равно и вихря его век-
вектора равными нулю, т. е. приняв ,
О О О С\
х Шу г
При этом выборе постоянных интегрирования в точке Мо
будут устранены перемещения тела относительно координатной
системы, а равно и средние вращения элемента тела, совпадаю-
совпадающего с этой точкой.
При решении некоторых задач бывает иногда удобнее не-
несколько иным образом закрепить к телу координатные оси.
Удобно, например, иногда бывает подобрать постоянные ин-
интегрирования так, чтобы:
1) точка Мо, координаты которой суть xo,yonzo, была к телу
прикреплена;
2) некоторая другая точка тела, скажем М2, лежащая в бес-
бесконечной близости к точке Мо на направлении, параллельном
оси oz, не могла покинуть оси oz^
3) было бы устранено вращение тела, как целого, вокруг
оси oz, что может быть достигнуто, если принять, что некоторая
третья точка М3, лежащая в бесконечной близости от точки Мо
на оси, параллельной ох, не может иметь перемещений, перпен-
перпендикулярных к плоскости xoz.
Для того чтобы всего этого достигнуть, следует положить
в точке Мо
и кроме того подобрать в этой точке значения величин «?, о>о
и оH так, чтобы в ней было
ди п dv n dv n
Как показывают равенства A9), для этого последнего доста-
достаточно сделать
где ё^х, euz и епх суть компоненты сдвигов, соответствующие
точке Мо.
Само собою разумеется, что если тело лежит на точечных
опорах, перемещения которых являются заданными, и деформа-
деформация тела совместима с теми перемещениями тела, которые име-
имеют его опорные точки, то можно подбирать постоянные интегри-
интегрирования и0, v0, w0, <o°, <о° «)° так, чтобы опорные точки тела по-
получали перемещения, равные соответствующим перемещениям
опорной конструкции.
Пусть, например, тело имеет три опоры, дающих статически
определимые реакции. Пусть одна из этих опор, расположенная
в точке Мо, устраняет все перемещения точки Мо; вторая, рас-
расположенная в точке Мъ устраняет лишь перемещения, перпен-
перпендикулярные к направлению М0Мг\ третья же, расположенная
в точке М2, устраняет лишь перемещения, нормальные к плос-
плоскости М0МхМ.2 (ясно, что реакции таких опор будут статически
определимы). Допустив начало координат расположенным в точке
Мо, примем, что точки Мх х1 = у1 = 0; гхф0, а у точки М2 х2 = 0,
у2Ф0, 22ф 0. Мы должны в этом случае подобрать постоянные
интегрирования в общем интеграле для и, v и w так, чтобы было
и = v = w = 0 при х= у --¦ z = 0;
и = v = 0 „ х = у = 0; z = гх;
и = 0 „ х = 0; у = у2; z = z2.
Тогда перемещения всех точек тела, устраняемые опорами его»
будут действительно равны нулю. Примеры различных закреп-
лений можно было бы разнообразить до бесконечности. В этом,
однако, нет никакой необходимости, так как все наиболее типич-
типичные случаи граничных условий, которым удобно подчинять ве-
величины и0, v0, w0, w?, ш^, со^' нами уже рассмотрены. В каждой
частной задаче надо их лишь выбрать более или менее удачно,
стремясь к тому, чтобы картина перемещений, свойственных телу,
как телу упругому, не затемнялась перемещениями его, как
твердого целого, так как последние не представляют при изуче-
изучении изменений формы тела интереса.
§ 14. Другой способ нахождения перемещений по заданным
деформациям
Формулы Чезаро обладают тем преимуществом, что в них не
входят кратные интегралы и совершенно ясно число независимых
постоянных интегрирования. Но подинтегральные функции в них
П. Ф. Папковнч, Теория упругости—4 36—5 fig
выражаются довольно громоздко. Поэтому для практического ис-
использования оии иногда не представляют преимуществ перед не-
непосредственным использованием той схемы интегрирования урав-
уравнений Коши, которые намечены были в общих чертах в начале
§ 11. Проинтегрировать уравнения Коша можно также путем не-
ди ди ди dv dv dv
посредственного нахождения производных ,^>5у'5г'д-с'<Эу'дг'
W' <Г ' Tz ^ез пРе'дваРительнОГО определения функций <*>х, wg и«>г.
В самом деле, если бы производные ,—, ^- и -з- были нам из-
известны, то перемещение и в точке М мы могли бы найти по за-
заданному перемещению и„ в точке Мо с помощью зависимости
Г (ди , . ди , . ди
"= J(dX + dy +
где интеграл может быть взят между точками Л10 и М по лю-
любому пути, не пересекающему границ исследуемого тела.
Если компоненты деформации нам известны, как некоторые
, ди ди ди
заданные функции от х, у и z, то из производных д~ > з~ и з~ нам
непосредственно известна только ^. Производные т- и ^ нам
неизвестны, но из уравнений Коши мы можем разыскать все три
частные производные каждой из них по х, у и z.
Так, в частности
ди \ дехх
( = !э_ш
ду \ду J . ду дх
dz\dy) 2 V дх "г ду "т" дг J "
B3)
Если условия Сен-Венана соблюдены, то уравнения B3J усло-
условиям интегрируемости удовлетворяют и в точке М, определяе-
определяемой координатами х, у и z
ди (ди\ Г Г д (ди\ , д (ди\ , д , ди\ ,
Ту = {<ГуH + J Ы(Гу) dx + ду {ду) *У + Ъ (Гу) dz\ '
ММ
где (rj?\ есть частное значение функции ^ в точке Мо, а кри-
криволинейный интеграл может быть взят по любому пути, соеди-
соединяющему точки Мо и Ж и не пересекающему границ тела.
В приведенной только что формуле криволинейный интеграл
от Мо до М мы будем в большинстве случаев брать по лома-
ломаной линии, отдельные участки которой параллельны координат-
координатным осям, а именно сначала проходить по направлению, парал-
параллельному оси Oz, потом по направлению, параллельному оси Оу
и, наконец, Ох.
66
Выбирая этот или какой-либо иной путь, следует, однако,
всегда помнить, что в области, где условия интегрируемости со-
соблюдены, путь, по которому ведется интегрирование, может быть
выбран произвольно. В пределах исследуемого тела эти условия
соблюдены, и интегрирование можно вести по любому пути. Вы-
Выходя, при взятии криволинейного интеграла от Мо до М, из об-
области исследуемого тела, надо предварительно убедиться, что
условия сплошности соблюдены и вне области, занятой телом.
При этой оговорке, выбирая путь интегрирования по указан-
указанной выше ломаной линии, можно будет написать
ди /ди\ . Г д ди ,
Ul+J dx
X, J/o
г
_l_ I dz
J idz ду J
Za Х=Х„
V=*Va
Подобным же образом можно получить из уравнений Коши
dx\dz J дг '
dy\dz)~~~2\ дх ^ ду ^ dz J' Uu >
dz V dz / дг дл:
и, следовательно,
д , ди \ , , д /ди\ . . д
J
м.м
Разыскав таким образом ^ и -д и зная, что
ди
д
можно с помощью формулы
дх — вхх'
/
найти и само и.
В выражение для и войдут, очевидно, три произвольных по-
постоянных:
Подобным же образом можно разыскать v и w. При этом
dv ,
однако, V- можно будет уже определить непосредственно из урав-
уравнений Коши, дающих для ^т-
dv ди
67
и только ^ придется находить интегрированием по его полному
диференциалу.
В общее выражение для v, таким образом, войдет уже всего
две новых постоянных интегрирования
(dv
*«и U
dv\
/О
Для определения w можно воспользоваться непосредственно
тем, что
dw _ ди
dx
dw
Ту
dw
dz
"-x
— euz —
= ezz-
dz '
dv
dz'
В общий интеграл для w войдет уже только одна новая по-
постоянная интегрирования w0. Общее число постоянных интегри-
интегрирования, входящих в общие интегралы для и, v и w, будет, та-
таким образом, шесть. Их все можно разыскать из условий при-
прикрепления координатной системы к телу, как то уже отмечено
было в § 13.
Этот путь интегрирования уравнений Коши часто является
более простым и наглядным, и мы по преимуществу будем поль-
пользоваться им.
§ 15. Выражения для компонентов конечной деформации
В соответствии со сказанным во введении, мы предполагали
во всем предшествующем, что благодаря весьма большой жест-
жесткости рассматриваемого упругого тела все компоненты дефор-
деформации настолько малы, что при вычислении их величинами
порядка их квадратов можно пренебречь. Только ценою этого
допущения нам удалось добиться линейности всех основных
зависимостей теории деформаций. Допущение о бесконечной
малости исследуемой деформации вносит огромные упрощения
во все зависимости теории упругости, но имеет и свою отри-
отрицательную сторону. Вследствие искусственного сужения круга
исследуемых вопросов, все выводы теории упругости, основан-
основанные на этом допущении, становятся неприменимыми к исследо-
исследованию устойчивости деформаций под действием конечных на-
нагрузок. Хотя мы нигде не будем в нашем курсе теории упру-
упругости пользоваться более точными зависимостями теории де-
деформации, чем приведенные выше, тем не менее они нам пона-
понадобятся в некоторых местах курса строительной механики,
опирающегося на курс теории упругости. Уместно поэтому их
привести здесь вместе с кратким их выводом.
68
Пусть х, у, z — координаты некоторой точки тела (то-
(точки А) в недеформированном состоянии
тела;
х -)- dx; у-\- dy; z -\- dz — координаты бесконечно близкой к А
точки В, соответствующие недеформи-
рованному состоянию тела;
и, v, w — перемещения точки А;
и + du,v-\-dv,w -\-dw~ „ „В;
dr—расстояние между точками А и В в не-
недеформированном состоянии тела;
rf>>—расстояние между ними после деформа-
деформации.
Очевидно
(dlf = (dx + duf + (dy + dvJ + {dz + dwJ.
Но с точностью до малых первого порядка
, du , , du , , du ,_
dv
dw
dv
dw
dw
Поэтому
где
= A + 'ijd;* + A + ijdy* +
+ 2Тжу dx dy + 2Tyz dy dz +
Tyz
„ ди I ди у . , dv
Ох \ дх J V d v
"fro =
drz . ди ди
dy "*" d.r ' d*
du
do
fa) dz' +
dz dx,
dx
)"• I
dv dv
¦" d.« dy ' dx dy
dv dw
ITz ~гЦу
ди du
dw dw
Ж ~ду'
dv dv . dw dw
B4)
B5)
dw du . du du . di> dv dw dw .
iS ? ' ft 21 ft% ft Y ft 2. ft Jf ft Z ft It
Из рассмотрения выражения B4) нетрудно видеть, что ли-
линейные деформации е^, еиу и егг связаны с *\хх, Ъч и Tf« зависи-
зависимостями
B6)
69
косинусы же углов сдвига между элементами, совпадающими
до деформации тела с элементами dx, dy и dz, выражаются
через fa,,, fy* и
B7)
Если мы пренебрежем в B5), B6) и B7) малыми второго
порядка и положим
cos Ьхд — еху; cos 8BZ = ецг; cos 8^ = e^,
то придем к зависимостям § 4. В некоторых задачах строитель-
строительной механики корабля нам потребуется, однако, более точные
формулы, чем формулы D) и F) § 4.
§ 16. Заключительные замечания
В настоящей главе мы получили следующие важные резуль-
результаты.
Была установлена связь между компонентами деформации
вхх, eyv, ezz, вхд, ещ, ezx и компонентами перемещения и, v, w.
Уравнения D) и F), выражающие эту связь, принадлежат к
числу основных диференциальных зависимостей теории упру-
упругости.
Было установлено, что шесть компонентов деформации
^xx^gg,---Szx вполне определяют собою деформацию тела в данной
точке, позволяя находить величину линейной деформации, а
также деформации сдвига для осей, направленных в данной
точке любым образом.
Было установлено, что подобно трем главным напряже-
напряжениям в каждой точке тела существуют всегда три главных
деформации, и был указан общий метод разыскания таковых
по заданным значениям компонентов деформации.
Был выяснен физический смысл инварианты
9 = fxx + eyv + ezz.
Было установлено, что шесть компонентов деформации
не могут быть заданы, как шесть произвольных функций от х,
у и г. Они связаны между собою диференциальными зависи-
зависимостями Сен-Венана A6). Эти последние опять-таки принадле-
принадлежат к числу основных зависимостей теории упругости, являясь
той группой основных уравнений, которая служит для раскры-
раскрытия статической неопределимости упругого тела.
Было показано, что если компоненты деформации удов-
удовлетворяют условиям Сен-Венана, то интегрированием уравнений
Коши D) и F) можно разыскать перемещения для всех точек тела.
70
Схема интегрирования уравнений Коши была рассмотрена
подробно. Установлено, что интегрирование этих уравнений
сводится к разысканию шести функций по их полному дифе-
ренциалу, причем в общей интеграл для и, v и w входит
шесть произвольных постоянных.
Выяснено, что эти шесть постоянных интегрирования
определяются шестью компонентами перемещения рассматри-
рассматриваемого тела, как твердого целого, разобраны типичные гра-
граничные условия, из которых эти постоянные интегрирования
могут быть определены.
¦При интегрировании уравнений Коши выяснился физиче-
физический смысл условий Сен-Венана. Оказалось, что если исследуе-
исследуемое тело ограничено областью односвязною, то условия Сен-
Венана являются необходимыми и достаточными условиями
сплошности тела. Если же тело ограничено областью неодно-
связною, то условия Сен-Венана, будучи необходимыми усло-
условиями, оказываются, как правило, недостаточными условиями
сплошности тела. Они дают возможность проинтегрировать
уравнение Коши, но не обеспечивают однозначности результата
этого интегрирования, если тело ограничено областью неодно-
связной. Поэтому при исследовании равновесия тел неодно-
связных, мало удовлетворить всем уравнениям равновесия, всем
граничным условиям и всем условиям Сен-Венана. Необходимо
проверить, какое из всех напряженных состояний, всем этим
условиям удовлетворяющее,., отличается еще тем свойством,
что перемещения, ему соответствующие, являются однознач-
однозначными функциями от х, у и z.
Все напряженные состояния, которые этому последнему
условию не удовлетворяют, могли бы возникнуть в исследуе-
исследуемом теле, если бы мы его с помощью каких-либо надрезов
превратили в тело, ограниченное односвязной областью и со-
соответствующим образом бы при этом загрузили эти надрезы
внешними силами. Они не могут, однако, возникнуть в рас-
рассматриваемом теле, поскольку оно остается ограниченным не-
односвязной областью. Только с этой оговоркой можно условия
Сен-Венана отождествить с условиями сплошности тела.
Те величины, которые мы рассматривали в главе I, остаются
пока никак не связанными со всеми величинами, рассмотрен-
рассмотренными нами в главе II. Нам нужен какой-то мостик, связываю-
связывающий их. Этот мостик дается связью между напряжениями и де-
деформациями, рассмотрению которой и будет посвящена глава III.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 11
Задача 1. Развернуть уравнение A3) и получить в частности общие
выражения для: а) произведения всех трех главных деформаций н б) стммы
всех трех нх произведений попарно.
Ответ.
Л - ехх еш + %« ezz + «„ exx - Т ( «» + 4 + е1х) ¦
«„„ «„ + e.z е^ ( е^ + е\. + е\х)
евв егг + i ( еху V е*х ~ ехх е\г ~ ет elx ~ егг е1у) •
71
Задача 2. Выяснить, не равны лн некоторые из компонентов деформа-
деформации нулю в случае плоской деформации, когда w = 0; м= и(х,у); v — v(x,y),
и ие вносит ли это некоторых упрощений в уравнение A3), определяющее
собою величины главных деформаций?
Нельзя ли в этом частном случае установить в частности, как ориенти-
ориентированы все трн главные деформации по отношению к плоскости дго_у?
Ответ. Одни нз корней уравнения A3) равен нулю, два других опре-
определяются квадратным уравнением
Одна из трех главных деформаций совпадает с осью oz, две других
лежат в плоскости хоу.
Задача 3. В некоторой точке тела
ехх = 0,001; ещ = — 0,0005; ezz = 0,0005;
ехд= 0,003; egz = 0,001; ezx 0,0008,
Определить главные деформации н ориентировку их по отношению к осям ох
оу и ог.
Задача 4. Проверить, что иаправленне трех главных деформаций, най-
найденных прн решении задачи 3, действительно взаимно перпендикулярны.
Задача 5. Пользуясь формулами § 4, проверить, что компоненты сдви-
сдвигов, соответствующие направлениям главных деформаций, найденным при
решении задачи 3, действительно равны нулю.
Задача 6. Вывести формулу (8), дающую общее выражение для е
it'
Задача7. Вывести все шесть условий Сен-Венана A6).
Задача 8- Убедиться в правильности формул A9).
Задача 9. Вывести все диференцнальные' зависимости B0).
Задача 10. Убедиться, что систему B0) можно проинтегрировать, если
диференциальные зависимости Сен-Венана удовлетворены.
Задача 11. Выписать выражения для всех величин, входящих в фор-
формулу Чезаро, н убедиться в правильности этих выражений, повторяя рас-
рассуждения § 12.
Задача 12. Выяснить, как следует распорядиться величинами <о^,<и^ и
«в® , чтобы в точке, где х = у = 2 = 0, помимо условий ц = v = w = 0, был бы '
соблюден один нз следующих вариантов закрепления координатных осей
du dv ди
а) 17 ~ Ж ~ду~ ~ °'
блди _ ЕЕ- - А11 _ о
б) ~дТ ~ dz - дх - °'
в)
г)
д)
с)
du
ду
ди
ду
dv
дх ~~
ди
дх
dw
ду
dw
ду
dw
дх
dw
dx
dw
dx
du
dz
dv
dz
dw
~ dy
= 0,
= o,
= 0,
— u.
Выявить, какой физический смысл имеет задание каждого из этих ва-
вариантов граничных условий.
72
Задача 13. Выяснить, являются ли одно связными следующие тела:
а) куб с высверленным в нем сквозным отверстием;
б) тор;
в) полая сфера;
г) полый эллипсоид;
д) цилиндрический стакан с плоским днищем.
Задача 14. Вывести для v и w выражения, аналогичные выражениям
B3) и B3').
Задача 15. Убедиться в том, что уравнения B3) н B3'), а также анало-
аналогичные им, выведенные прн решении задачи 14, действительно могут быть
проинтегрированы, если условия Сен-Венана удовлетворены.
Задача 16. Прямоугольный параллелепипед, ребра которого равны 0,4,
0,2 и 0,3 см, обратился при деформации в параллелепипед, соответствую-
соответствующие размеры которого суть 0,4004; 0,1995 и
0,2996 см. Считая его деформацию равномер-
равномерной, определить линейную деформацию его
в направлениях: а) его диагонали б) диаго-
диагоналей каждой из его граней.
Задача 17. Прямоугольная призма,
сечение которой изображено на рис. 30,
перекосилась так, что ее сечение обрати-
обратилось в параллелограм, размеры которого ука-
указаны на том же чертеже. Считая деформа-
цию этой прнзмы равномерной и плоской,
определить:
а) линейные дефоригацнн в направлениях Рис. 30.
каждой из диагоналей поперечного сечения
прнзмы;
б) компоненты скалывающих деформаций для обеих систем трех взаимно
перпендикулярных осей, образованных осью призмы, одной из диагоналей ее
поперечного сечения и общим перпендикуляром к только-что названным
двум направлениям;
в) главные деформации для рассматриваемой призмы и их ориентировку
по отношению к ее ребрам.
Задача 18. В некоторой точке тела оказалось
0,0004см
Определить для этой точки тела величины линейной деформации по произ-
произвольному- направлению, величину всех трех главных деформаций и ориенти-
ориентировку их по отношению к координатным осям.
Задача 19. Линейные деформации катетов равнобедренного прямоуголь-
прямоугольного треугольника суть обе elt а линейная деформация его гипотенузы есть е2.
Считая деформацию треугольника равномерной, определить, пользуясь фор-
формулами § 2, 3 и 5:
а) деформацию сдвига между катетами треугольника;
б) линейную деформацию по направлению, перпендикулярному к его
гипотенузе;
в) деформацию сдвига между направлениями гипотенузы треугольника и
перпендикуля ом к ней.
Задача 20. Для некоторой точки тела все три главных деформации
оказались равными друг другу. Пользуясь формулами §4, определить дефор-
деформацию сдвига для произвольных двух взаимно перпендикулярных осей,
проходящих через данную точку.
Задача 21. Квадратная призма получила равномерную, плоскую дефор-
деформацию, в которой одна диагональ поперечного селения призмы получила
линейную деформацию +е, другая же деформаиню—е. Определить с по-
помощью формул § 2, 3 и 4:
а) линейные деформации обеих сторон призмы;
б) угол сдвига между ними.
Задача 22. Призма, поперечное сечение которой есть прямоугольник
с отношением сторон 1 :2, получила равномерную плоскую деформацию, при
которой относительное удлинение одной из диагоналей ее поперечного се-
73
чения оказалось равным ех, другое—е21 угол между диагоналями не изме-
изменился.
а) Найти компоненты деформаций для осей; вз которых одна ось совпа-
совпадает с однон из диагоналей поперечного сечения призмы, другая же перпен-
перпендикулярна этой диагонали;
б) найти компоненты деформаций для осей, совпадающих со сторонами
поперечного сечеиия призмы.
Задача 23. Для деформации, симметричной относительно начала коор-
координат, найти все ее компоненты.
Ответ. Если деформация симметрична относительно начала координат, то
перемещение во всякой точке тела есть фуикция только от расстояния дан-
данной точки от начала координат г и направ-
направлена по радиусу-вектору, соединяющему на-
начало координат с данной точкой. Обозна-
Обозначив это перемещение через в, будем иметь
(рис. 31)
и = — х.
г
V = i- V
г'
W ¦¦
о
где р есть функция только от г, а
Рис. 31.
Обозначив — через
R, а через R', можно нз уравнений Коши получить
XI)
R + 2- -R'-r
B8)
Задача 24. По найденным в задаче 23 компонентам деформации найти
деформацию по направлению радиуса-вектора г, соединяющего данную точку
с началом координат, н выяснить, нельзя ли тот же результат получить без
предварительного вычисления всех шести компонентов деформации, найден-
найденных в задаче 23, и если можно, то как?
Ответ.
дг "
е =
Задача 25. Для деформации, рассмотренной в предыдущих двух зада-
задачах, найти величину линейной деформации в точке А в направлении гх, пер-
перпендикулярном к радиусу-вектору г, соединяющему точку А с началом ко-
координат, и выяснить, нельзя ли этот результат получить также непосред-
непосредственно, т. е. ие прибегая к предварительному определению всех шести ком-
компонентов деформации, найденных в задаче 23.
Ответ.
Задач а 26. Для деформации, симметричной относительно начала коор-
координат, иайги угловую деформацию (угол сдвига) между направлениями: сов-
74
падающим с направлением радиуса-вектора г, проведенного к данной точке
нз начала координат, и перпендикуляром гх к этому направлению.
Ответ.
е--- = 0.
Задача 27. Для общего случая деформации, симметричной относительно
оси oz, найтн все ее компоненты, соответствующие декартовой системе ко-
координат.
Решение. Обозначим через р проекцию перемещения на плоскость хоу и
через w проекцию его на ось oz. В силу симметрии рассматриваемой дефор-
деформации относительно осн oz, мы должны считать р и w функциями только
от г н z, где
причем р направлено по направлению радиуса-вектора, соединяющего начало
координат с данной точкой (рис. 32)
В рассматриваемом случае поэтому
и = -?- х = Rx,
v = — у = Ry,
где
w=w(r, z),
R = -?¦ = R (r, z).
Из уравнений Коши следует
У
X
\
Т
У
Рис. 32.
ху dR_.
г дг '
№
— У
dR
дш у .
дг г ' !
B9)
е„_ =
dw
;
dR
дг
dw х
~~дг~7
\
Задача 28. Для деформации, симметричной относительно оси oz н пло-
плоской, найтн все компоненты деформации, соответствующие декартовой си-
системе координат.
Решение. В рассматриваемом случае имеем
u = Rx,
v - Ry,
и/ = 0,
где
#
/?(/•).
Поэтому
= /?н
= 0;
,**
h-
. t.
г
R';
-R';
egz ~ 0;
е — 0
C0)
75
Задача 29. Дане
.-(»-¦?)*
w = Cz,
где А, В и С константы, а г2 = ла + _уа; найти компоненты деформации,
соответствующие осям ох, оу и oz.
Ответ.
В 2Вх*
Задача 30. В общем случае
мещения в плоскостях,
Рис. 33.
плоской деформации, w — 0, а пере-
перпендик}глярных к оси ог, от координаты г не
зависят, и заданы в полярных координа-
координатах, причем A ис. 33) перемещение в направ-
направлении радиуса-вектора г есть 5, перемещения же в
направлении к нему перпендикулярном и направ-
направленном в сторону возрастания угла 6, есть t\. Выра-
Выразить компоненты деформации, соответствующие
декартовой системе координат, через производ-
производные ? и т) по х и у.
Решение. Имеем (рис. 33)
и = S cos 9 — к) sin 9,
v — Ssin 9 + к) cos 8
и следовательно,
eXIJ— -т- (? sin
= еОг =
i + i] cos 6) 4- -г- E cos в — к) sin i
. =0.
Задача 31. Выразить для дефор-
деформации, рассмотренной в задаче 30, ком-
компоненты деформаций е^, еж ... е2Х
через производные перемещений ? и\
по г и В.
Решение. Для направлений dr, rdb,
dx и dy имеем следующую таблицу
направляющих косинусов:
76
dr
г 48
1
dx
COS J
— sin fl
dy
siii U
cos<J
показывающую, что
L.U.,Iie +Усове.
ду дг rdti
Поэтому, на основании иайдениого в задаче 30,
е = д^ cos* 9 — 4^ sin 6 cos 9 — 4т; si" 0 cos 9 +
xx дг of т оо
+ -^ sn.s 9 + — sii.» 9 + ^- sin 6 cos 9;
r on f т
em= fr si"s 6 + wsi"9 cos 6 + msin 9 cos 6 +
+ — cos2 5 +— cos2 8 — ^- sin 0 cos 0;
— ~ 2 siti 9 cos 6 — — 2 sin 8 cos 8 + -1 (sii.s й — cos» 6).
г о т г
Задача 32. Выразить, при условиях предыдущих двух задач, компоненты
деформаций егг, ещ, ezz, ел, е^г, егг для осей, совпадающих по направлению
с направлениями dr, rdb и dz, через производные (• и к) по г и г.
Решение. Нз основании сказанного в § 4, имеем
егг = ехх cosS ' ~^ еии sil'S " ^" ежо sin ® cos 9'
е9Ч= «ях sii.« 9 + еии cos2 9 - ежи sin 6 cos в,
егН = — е^ 2 sin 6 cos 9 + еии 2 sin 9 cos 8 + еЖ!; (coss 9 — sin2 9),
Подставляя сюда выражения для е^., е , е найденные в предыдущей за-
задаче, получаем
дЧ I
^ гд^ дг г '
Задача 33. Выяснить физический смысл отдельных членов, входящих
•в правые части равенств, приведенных в решении задачи 32.
Ответ. Член -х—, входящий в выражение для егг, никаких пояснений
де требует, так как, обозначив величину, которую мы обозначили в задаче 31
через ?, буквою р, которой мы пользовались в § 2, мы получили бы первое
из равенств C1) непосредственно из формулы B) § 2. Член -—¦ имеет анало-
аналогичное происхождение. Им учитываются удлинения, получаемые телом в на-
77
правлении rd6 вследствие неодииаковости перемещения отдельных точек тела
в этом направлении. Член— учитывает удлинение тела в напрвлении rrfO,
происходящее вследствие радиального перемещения его отдельных точек,
Если бы элемент г db получив бы только радиальное перемещение ?, не по-
получая иикаких перемвщеиий в направлении, перпендикулярном к г, то длина
его из г di превратилась бы в (r + S)d6. Этому соответствует удлинение
(г+;)о — rrf> = к что и уЧИТЫвается вторым членом второго из оа-
rdt) т г г
веиств C1).
Чтобы представить себе физический смысл отдельных членов, входящих
в третью из формул C1), следует рассмотреть рис. 34, на котором показаны
перемещения всех четырех вершин эле-
элемента тела, выделенного окружностями
радиусов г и r+dr и прямыми Ь и
е+<*ч.
Как видно нз этого рисунка, угол
сдвига
где
erh = Р — а + 1Г.
_5_
дг '
Рис. 34. ' rdb '
Таким образом, отдельные члены третьего из равенств C1) суть как раз
углы, изображенные на рис. C4).
р р ()
Задача 34. Вывести для компонентов деформации ег
ezz,
ezr, соответствующих цилиндрическим координатам г, О, г, общие выраже-
выражения, связывающие их с перемещениями: радиальным ?, тангенциальным -ц и
аксиальным С для общего случая, когда S, к) и С являются любыми функциями
от цилиндрических координат г, 6
и z (рис. 35).
Ответ.
-
дг
дг
1 0Е |
Ч .
C2)
гд
+
Рис. 35.
Задача 35. Вывести общие выражения для компонентов деформации
егг еШ, • • • ехг для общего случая неплоскон деформации, симметричной
относительно оси ог.
78
Ответ.
е"=~дг' e=r== ~dz + ~~дг '
C3)
Задача 36. Для общего случая плоской деформации, когда С = 0, а
5 и т) любые функции от г и ft, вывести условие, аналогичное первому из
условий Сеи-Веиаиа.
Ответ. Исключив Е и i\ из уравнений C1), видим, что егг, e9i и е^ дол-
должны удовлетворять условию.
_2_
\ . , /_# # 2_\ . _
C4>
Задача 37. Проверить, удовлетворят ли условиям Сеи-Веиана компо-
компоненты деформации ехх, egg, ezz, eXJj, eyz, егЯ) если их задать, как произвольные
линейные функции от х, у и г.
Ответ. Компоненты деформации, соответствующие декартовым осям,
могут быть любыми линейными функциями декартовых координат.
Задача 38. При растяжении призматического стержня собственным
весом в нем может быть создана деформация, характеризуемая компонентами
е =-Н-
« Ь '
где |,о и Е—константы (вес единицы объема, пуассоиово отношение и мо-
модуль Юнга^.
Проверить, удовлетворяют ли компоненты деформации, заданные этими
равенствами, условиями интегрируемости, и разыскать перемещения, пред-
предполагая, что: а) начало координат прикреплено к телу; б) точка тела, опреде-
определяемая координатами х=у=0, г = dz, остается на оси z; в) точка тела,
определяемая координатами у = г — 0, х = dx, остается в плоскости xoz.
Предварительно выяснить, в каком из поперечных сечений следует считать
расположенным начало координат и направлена ли ось г вверх или вниз.
Ответ. Начало координат расположено в нижнем (свободном) сечении,
так как при z = 0 все компоненты деформации равны нулю. Ось ог направ-
направлена вверх.
Интегрируя уравнения Коши методом § 15 и опредечяя затем постоян-
постоянные интегрирования из условий
ди dv dw
V = W =
МОЖНО ПОЛУЧИТЬ
ц = v = w = -— = —— = ^— = 0 при х = у = г = О,
dz dz ддс '
rJ" JfZ.
79
Задача 39. Исследовать, какому изменению формы тела соответствуют
перемещения, найденные в задаче 33.
Ответ. Точки, лежащие иа осн oz, перемещаются лишь вдоль этой оси,
так что ось эта остается прямой. Плоскости, до де-
деформации проходившие через эту ось, остаются пло-
плоскостями. Прямые до деформации, бывшие параллель-
параллельными оси ог, наклоняются к этой оси иа углы, про-
пропорциональные отстоянию от оси oz, но остаются пря-
прямыми. Поперечные сечеиия z = const, бывшие до де-
деформации тела плоскими, обращаются в параболоиды
вращения, определяемые уравнением
i i
W = С
W = С + ^~
- (X* + у*).
X
Общий внд бруска после деформации изображен иа
рис. 36, иа котором пунктиром показаны прямые,
параллельные до деформации оси ог, а сплошными
линиями иедеформироваииая форма тела.
Параболоиды вращения, в которые обращаются
поперечные сечения, нормальны к прямым, иа которых
располагаются точки, лежавшие до деформации иа
прямых, параллельных оси стержня ог.
Задача 40. При кручении круглого вала, ось
которого совпадает с осью ог, компоненты деформа-
ИИИ ехх' е„„, ¦ •
Рис. 36.
ехх — еуу ~ ехх ~~
ezx = —
¦¦о,
где т—константа (угол закручивания на единицу длины). Выяснить, воз-
возможна ли такая деформация с точки зрения условий Сен-Веиаиа, и опреде-
определить перемещения и, v и и/, считая, что в начале координат и = v = w = 0,
л также, что точка оси oz, бесконечно близкая к началу координат, не сходит
¦с этой оси, а точка оси ох, бесконечно близкая к началу координат, не имеет
перемещений вдоль оси оу.
Ответ.
и = — tyz,
v = ¦: хг,
да = 0.
Задача 41. Выяснить, какому изменению формы тела соответствуют
перемещения, полученные в предыдущей задаче.
Ответ. Поперечные сечеиия вала остаются плоскими. Расстояния между
ними не меняются. Каждое поперечное сечеиие поворачивается вокруг осн oz
как целое. Углы этого поворота пропорциональны отстоянию, данного сечеиия
от сечеиия, где z = 0.
Задача 42. При чистом изгибе призматического стержня
р ; р ^^ X.
ехх Lm Ei л'
ezz~ El ¦*'
El '
где -jjT- = R константа (радиус кривизны нейтральной осн). Проверить, удов-
удовлетворяет ли эта деформация условиям Сеи-Веиаиа и определить перемеще-
перемещения и, v, w, прикрепив координатные оси к телу, как в предыдущей задаче.
80
Ответ.
= 1_
w- R xz.
Задача 43. Выяснить, какому изменению формы тела соответствуют пе-
перемещения, найденные в предыдущей задаче.
Рис. 37.
х
Рис. 38.
Ответ. Поперечные сечения, перпендикулярные к оси oz, остаются пло-
плоскими и нормальными к нейтральной оси стержня, обращающейся .в параболу
и =
2R '
при малых прогибах близкую к дуге круга радиуса R. Плоскости х = const
обращаются в поверхности, имеющие форму желобка, продольная кривизна
которых есть -к-, поперечная же =-. Если в каком-либо поперечном [се-
чении выделить прямоугольник, стороны которого параллельны осям ох и оу,
то у этого прямоугольника стороны у = const остаются прямыми, но пово-
поворачиваются, стороны же х = const обращаются в дуги параболы, нормальные
к сторонам у = const.
В области, где х > 0, продольные фибры стержня укорачиваются, и он
получает поперечное расширение, в области, где х < 0, они удлиняются, и
в поперечном направлении стержень сжимается. Общий внд элемента, выде-
выделенного нз тела плоскостями х = + а; у = ± Ь, изображен на рис. 37. Дефор-
Деформация поперечных сеченнй этого элемента видна из рис. 38.
Задача 44. При всестороннем равномерном сжатии
ехд = V = ezx
определить перемещения, соответствующие этой деформации, и выяснить ее
общий характер.
Ответ.
U = — а~Х,
V = — iy,
W = —HZ.
Деформация симметрична относительно начала координат. Уменьшение
радиусов различных сфер, имеющих своим центром начало координат, про-
пропорционально их радиусам.
П . Ф. Папкович, Теория упругости—436—6 81
Задача 45. Определить перемещения, если задано:
1 дч> 1 й»
zx~ ~G ~ду ' >>z~ ~ U дх '
где <р есть некоторая функция от х и у, удовлетворяющая уравнению
—^ + -® = — 2 G - = const
(ниже в главе о кручении призматических стержней будет показано, что
такая деформация имеет место у стержней, поперечное сечение которых
отлично от круга).
Ответ. Интегрируя уравнения Коши методом § 15, можно при надле-
надлежащем выборе условий закрепления, получить
и = — т yz,
v = х xz,
1
W = X ХУ + -рг-
Задача 46. При кручении призматического стержня, поперечные се-
чеиия которого ограничены эллипсом,
jf 2 у2
как показано будет ниже, деформации определяются так:
ехх ~ еуу ~ ezz ~~ ехц ~~ U-
Проверить, что эти деформации удовлетворяют условиям Сен-Венана и опре-
определить перемещения стержня.
Ответ. При надлежащем закреплении к телу координатной системы
можно получить
и = — т yz,
v = т ;cz, '
Как показывают эти формулы, компоненты деформации, указанные в усло-
условиях настоящей задачи, действительно относятся к задаче о кручении стер-
стержня. Поперечные сечения последнего не остаются вообще плоскими. Только
в случае, когда эллипс, ограничивающий площадь поперечного сечения стер-
стержня, обращается в круг, w выходит равным нулю.
Задача 47. При изгибе призматического стержня, поперечные сечения
которого ограничены эллипсом,
82
ка(с показано будет ниже в соответствующем месте главы об изгибе стержней
компоненты деформации могут быть выражены так:
р р р
схх вв ху '
e.,= -
1 Гд»
evi G дх '
где Q — нагрузка, приложенная к свободному концу стержня;
/ — момент инерции площади поперечного сечения стержня;
Е — модуль Юнга;
/—длина стержня;
О —модуль сдвига;
f(y) и f(x,y) — функции, определяемые зависимостями
2/
9 = ¦
Определить перемещения ц, V, и и;, считая, что при х = у = г = О
du df df .
и — v = w = —— = ^— = ^— = 0.
dz dz дх
Предварительно проверить, что заданные компоненты деформации действи-
действительно удовлетворяют условиям интегрируемости уравнений Коши.
За да ча 48. Решить аналогичную задачу для стержня круглого, зная,
что при изгибе его силой, приложенной к его свободному концу, компоненты
деформации выражаются так:
Q
- 9- 1 + 2°
ev* 4G/T+V*r-y>
1"де а — радиус контура поперечного сечения.
3 а д а ч а 49. Даио
вв
в:си = ~ ЫГду '
р z= е = р =0
z: — bz zx "'
где в = в (а:, у)
83
Выяснить, может ли функция tf> считаться произвольной Функцией"!©? * И У
или же условия Сен-Венана налагают на нее некоторые ограничения И какие
именно?
Ответ. Функция <р должна удовлетворять уравнению
Задача 50. Дано
Е
_L
Е
_ 2A+а) д*<?
*У Е дхду '
Определить, какому уравнению должна быть подчинена функция со =<?(х,у).
Ответ. Функция tp должна удовлетворять уравнению
dx4 ^ dxady8 д^4
ГЛАВА III
СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЕМ И ДЕФОРМАЦИЕЙ
§ 1. Понятие о законе Гуна
Для решения основной задачи теории упругости необходимо
к зависимостям, полученным выше, прибавить еще зависимости
связывающие компоненты напряжения с компонентами дефор-
деформации. Зависимость эта берется в теории упругости из опыта
в виде так называемого обобщенного закона Гука, сущность
которого состоит в допущении, что в каждой точке тела ком-
компоненты деформации е^, ет, ezz, еху, еуг и ест связаны с компо-
компонентами напряжения Хх, Yg, Zz, Xv, Yz, Zx линейной зависи-
зависимостью вида
*y ==
*z ==
"Г
"Г
-г
I
"Г
"Ь
-f-
ZZ T~
zi "T *
zz"r
zz "Г
-f-
I
-\-
"Г"
eyz -f- С з
55^yz "Г
0)
где величины Су, если тело однородно, суть константы, зави-
зависящие от материала упругого тела. Постоянные эти называются
упруг им и постоянными. Для всякого материала величина
их должна быть установлена опытом.
Естественно задать себе вопрос: в праве ли мы предполагать,
что все эти упругие постоянные являются у всякого упругого
тела величинами независимыми или же между ними всегда су-
существуют некоторые зависимости.
Мы знаем из опыта, что большинство упругих тел перестает
следовать закону Гука обычно либо при тех же нагрузках,
когда оно перестает быть упругим, либо даже при нагрузках
несколько меньших. Можно поэтому поставить себе вопрос:
не налагает ли сама упругость тела некоторых ограничений на
число независимых упругих постоянных в общем выражении
закона Гука. Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к рас-
рассмотрению работы, затрачиваемой на деформацию тела.
85
§ 2. Связь между работой внешних сил и работой внутренних
сил упругости
Посмотрим прежде всего, что дает нам общий принцип
сохранения энертии.
При деформации всякого тела энергия подводится к нему
частично в виде механической работы, совершаемой над телом
внешними силами, частично же в форме тепловой энергии,
электрических зарядов и т. д.
Если обозначитъ через 8/? приращение работы внешних сил,
действующих на тело, а через 8Q—механический эквивалент энер-
энергии, подводимой к телу в форме, отличной от механической
работы, совершаемой над телом внешними силами, то полное
количество энергии, подводимой к телу при рассматриваемом
изменении его деформированного состояния, будет
. 8/? + 8Q.
Это количество энергии должно быть воспринято телом
частично в форме увеличения его кинетической энергии Т,
частично же в форме увеличения его потенциальной энергии V.
В силу закона сохранения энергии при всякой деформации
тела должно быть
Q
Для нахождения потенциальной энергии тела нам достаточ-
достаточно рассмотреть процесс статической его деформации, когда
все скорости всех точек тела бесконечно малы и когда, следо-
следовательно,
8Г=0.
При всяком таком процессе должно поэтому быть
Как отмечено уже было выше во введении, мы имеем в ви-
виду прилагать выводы теории упругости лишь к таким материа-
материалам, которые являются относительно жесткими, т. е.
весьма трудно поддающимися механической деформации. При
деформации таких материалов обычно 8Q пренебрежимо мало,
по сравнению с 8/?. В этих условиях закон сохранения энергии
обращается уже в более простое равенство
8/? = W, B)
показывающее, что у тел, отличающихся относительной
жесткостью, потенциальная энергия тела определяется ме-
механической ра б о той, затраченной внешними силами на
преодоление сопротивления тела. При этих условиях энергия
накапливаемая телом, должна быть во всех точках тела функ-
функцией только от деформации тела в данной точке и вполне
определяться ее шестью компонентами.
Условимся в дальнейшем обозначать через W удельную ра-
работу деформации, или, что то же, потенциальную энергию еди-
86
вицы объема тела в данной его точке. Между потенциальной
энергией всего тела V и величиной W должна, по определению.,
существовать зависимость
V = fffWdxdydz, C)
где интегрирование распространяется на весь объем, занятый
материалом тела.
Как отмечено выше, у тел относительно жестких потен-
потенциальная энергия!единицы объема должна вполне определяться
шестью компонентами деформации тела в данной точке. Огра-
Ограничиваясь во всем дальнейшем рассмотрением только таких
лишь тел, будем предполагать, что
W = Wie^, еш ezi, exy, eyz, ея), D)
причем при всяком малом изменении формы всякого бесконечно
малого элементарного параллелепипеда с размерами dx, dy и
dz, выделенного мысленно из тела, приращение его потенциаль-
потенциальной энергии
E)
равно приращению 3/? механической работы внешних сил, дей-
действующих на этот параллелепипед.
§ 3. Общее выражение для работы внешних сил, действующих на
элементарный параллелепипед, вырезанный из тела
Рассмотрим элементарный параллелепипед, грани которого
параллельны координатным плоскостям. Внешними силами, на
него действующими, буцут: а) объемная сила, составляющие
которой суть Xdx dy dz, Ydxdy dz, Zdxdydz, и б) совокупность
усилий, прилагаемых к его граням силами сцепления с осталь-
остальными элементами тела, характеризуемая напряжениями, дейст-
действующими на отдельных гранях рассматриваемого параллелепи-
параллелепипеда. При этом напряжения (рис. 10) могут на противоположных
гранях параллелепипеда вообще несколько отличаться.
Допустим, что параллелепипед, находящийся под действием
приложенных к нему сил в равновесии, получил под влиянием
каких-то факторов, безразлично каких, дополнительные переме-
перемещения Ьи, 8г>, lw, в различных его точках вообще различные.
Подсчитаем работу всех действующих на параллелепипед сил,
производимую при этом изменении его формы.
Займемся сначала работой сил, действующих в направлении
оси ох. Ограничиваясь при ее вычислении рассмотрением малых
третьего порядка, можем считать (рис. 10), что на рассматри-
рассматриваемый параллелепипед действуют в направлении оси ох усилия,
полная величина которых, перемещение и работа показаны в
следующей таблице.
87
Величина усилия
.(*.
Xdx dy dz
дХг \
+ -j-5 dx dy d2
dx )
— Xxdydz
дх„ ^
— Xjlz dx
dX, \
+ ^fdz)dxdy
— Xzdxdy
Переме-
Перемещение
Ьи
bu+d^dx
dx
Ьи
bu + pdy
dy
Ьи
bu + ^dz
dz
Ьи
(X*+
Работа
Xbudxdy dz
дХх*Л( дЬи \
-Jx-dx){}u+d7dx)dydz
— Xxbu dy dz
— X^udzdx
dXzdz\(b,, + dburiAdxdy
dz az)\bu+ dz dz}axay
— Xz Ьи dx dy
Суммируя работу всех этих сил, нетрудно видеть, что она
есть
Подобным же образом можно убедиться, что работа усилий,
действующих на рассматриваемый параллелепипед в направле-
направлении оу, есть
dYx dYu dYz\ ^ , v dbv . v dbv ,
работа же усилий, параллельных оси oz,
dZx dZu ^
^
Приращение работы всех сил 3/? должно быть равно сумме
работ 3/?я, 8/?у, 8/?z, только что подсчитанных. Поэтому
fe +
rj)+Y>
dbu у dbv
fdbv , dbw\ , r, /dow
dbu\l , , ,
дГ)\dx аУ dz-
88
Если рассматриваемый параллелепипед находится в равно-
равновесии, то все скобки, входящие в полученное выражение мно-
множителями к 8и, bv и 8те>, равны нулю. Остающиеся члены этого
равенства заключают производные приращений функций u,v и w.
'учитывая, что
Можно заменить полученное выше выражение для bR таким:
du i vzdv i v * dw _l v я (du i dv
dx-+v»°dy- + Zz al +Xy Vdy~ + ^
dv dw \ . r,
+) +z
Мы видели, однако, выше [см. равенства D) и F) главы II],
что
du _
dx xx>
dv
dy ~ e™>
dw
~dz~ - e"'
du
dy
dv
dz '
dw
dx"
, dv
. dw
*~d~y
*~~dz
Поэтому полученному выражению для работы внешних сил,
действующих на рассматриваемый элементарный параллелепи-
параллелепипед, можно придать также вид
bR = (Х^вж + Yybem + Zzbezz + ХвЪеху + Yzbem +
+Zxbezx) dx dy dz. F)
§ 4. Общее выражение для приращения удельной работы
деформации и некоторые непосредственные следствия из него
Сопоставляя выражение F) с равенством E), выведенным
выше, можно видеть, что при всяком малом изменении формы
элементарного параллелепипеда приращение потенциальной
энергии единицы объема связано с приращением компонентов
деформации этого тела зависимостью
8 W = ХхЬехх + Yvbevv + Zzbezz + Xgoexg + Yzoe!lz + Z^e^. G)
Некоторые следствия из равенства G) имеют непосредствен-
непосредственное отношение к числу независимых упругих постоянных, вхо-
входящих в общее выражение закона Гука A).
Действительно, зависимость G) выведена нами для таких
тел, потенциальная энергия единицы объема которых [см. ра-
равенство D)] вполне определяется во всякой точке тела шестью
компонентами деформации, соответствующими этой точке.
89
¦У всякого такого тела должно быть
Сопоставляя это равенство с равенством G), заключаем, что
у тел достаточно жестких
U W у UW
dW
и'
де
VZ
де,.
(8)
Допустим теперь, что рассматриваемое нами тело является
телом не только идеально упругим и притом относительно
жестким, но и телом, следующим обобщенному закону Гука.
Мы должны будем тогда допустить, что между потенциальной
энергией единицы объема тела и компонентами деформации
его
eyy,...ezx существуют зависимости
~Т
~Т ^13^« "Г
dW
""ни
dezz
dW
<*xv
dW
-f- C25eyz -\-
~T *-ib&yz "T
de
C53ezz
C6sezz
(9)
Зависимости эти могут существовать одновременно тогда
и только тогда, если упругие постоянные С,-, обладают свойст-
свойствами взаимности
Си = Сн. A0)
Условиями A0) число независимых упругих постоянных в
общем выражении для закона Гука уменьшается с 36 до 21.
§ 5. Общее выражение для удельной работы деформации тела,
следующего обобщенному закону Гука, и некоторые свойства этого
выражения
Условия A0) позволяют найти интеграл уравнений (9) с точ-
точностью до постоянного неопределенного слагаемого. Условив-
Условившись потенциальную энергию тела считать равною нулю, когда
90
все компоненты деформации равны нулю, можно эту постоян-
постоянную слагаемую считать равною нулю. Интегрирование уравне-
уравнений (9) в этом случае дает
& уу~Т ^2i^zz^yy~T^2t^xy^yu ~Т~ С- ч
C3iexvezx+CsielJzezz+Cs6ezxezz
1
A1)
УКак видно из A1), потенциальная энергия единицы объема
тела, следующего обобщенному закону Гука, есть однородная
целая алгебраическая функция 2-й степени от шести компонен-
компонентов деформации. Как таковая, она отличается некоторыми свой-
свойствами. Рассмотрим их.
Свойство 1. Умножив первое из уравнений группы (9) на
в», второе на ет, третье на ezz и т. д., и затем сложим их, все.
Приняв во внимание равенства A0) и A1), будем иметь
dW dW d]V dW_ dW_ dW _
aig e» + oeyy evy+ ^ ezz + ^ exy + ^-eVz +^ezx-
+ Yven + ZLezz + Xyexy + Yzevz + Zxezx = 2W. A2)
Из этого свойства потенциальной энергии рассматриваемых
т"ел вытекает непосредственно теорема Клапейрона (см. ниже
§ 2 главы XIV).
Свойство 2. Рассмотрим два различных напряженных со-
состояния одного и того же тела. Пусть компоненты напряжения
и деформации для первого из них суть
К, Yr...Z'x и exxi e'vyt...e'zx
Для второго же соответственно суть,
Для первого из этих напряженных состояний будем иметь
К = Сие'хх + Cae'm + C13e'zz + Сие'ху + Сие'уг + Cue'z
= Сиехх + Caem + C13ezz + Сиеху + Сиеуг + Cuezx>
2ie'xy + C2beyz + C26e'zx
Z'x =
91
для второго же
К = Сие'хх + С12е'уу + C13e'zz + Сие'ху + С1ъе'уг + C16ezx>
К = Спе'„ + С22е"уу + C23e'zz + Смеху + C2,e'yz + C26e'zx
К = CeiC + C62e'yy + CV;z + Cuexy + Cne'ys + Cue'^
В обеих группах этих уравнений упругие постоянные С,;.
одинаковы, так как оба напряженных состояния предполагаются
относящимися к одному и тому же телу.
Умножив первое из уравнений первой группы на ехх, второе
на вуу и т. д.; а уравнения второй группы первое на е'хх, вто-
второе на е'уу, третье на ezz и т. д. и затем сложив их все, легко
видеть, что
К <х + У у e'w + Z'z ezz + Х'у еху + Y'z e'yz + Z'x ezx =
=к <*+к ew+z: <*+x'Av+y: еш+z: <
: <*.
Равенство это показывает, что для всяких двух напряжен-
напряженных состояний, могущих возникнуть в определенной точке тела,
следующего обобщенному закону Гука, сумма произведений
компонентов одного напряженного состояния на компоненты
деформации второго всегда взаимно равны.
Это положение потребуется нам (далее в § 3 главы XIV) для
доказательства так называемой теоремы Бетти, или начала
взаимности.
Свойство 3. В предыдущем мы нашли [см. формулу A1)]
потенциальную энергию единицы объема тела как функцию
от шести компонентов деформации. Решив уравнения A) отно-
относительно вхх, еуу, .¦¦ezx, можно каждый из компонентов дефор-
деформации представить как функцию ото всех компонентов напря-
напряжения. Подставив полученные таким образом выражения в A1),
можно выразить W через все компоненты напряжения.
Нетрудно показать, что если тело следует обобщенному закону
Гука, то частная производная W по каждому из компонентов
напряжения есть соответствующий компонент деформации.
Для доказательства этого нет необходимости проделывать
все выкладки, описанные только что. Достаточно найти инте-
интересующие нас производные по общему правилу нахождения про-
производных неявных функций.
Допустим, например, что мы желаем разыскать -^-. Мы зна-
знаем, что
dW dW де д\У де„„ dW де„
92
Частные производные W по компонентам деформации для
тела, следующего закону Гука, определяются равенствами (9).
Принимая это во внимание, видим
\де
U ие« + Сиет + C13ezz + Смезд + С15е,г + C16ez ) ^
zx )
де
)
)де
. щ.
цвхх + С52еиу + Cb3ezz + Cbiexy + Сььеш + Cbeezx
Сй2е
й2ет
\ dezx
взер + С64ехи + Свьеуг + Сййе„х Jщ-.
Собирая воедино члены, заключающие в виде множителей
опоеделенные компоненты деформации, и одновременно пере-
переставляя у Сц индексы, что возможно в силу A0), находим
Sf+C^ ) гп
Для вычисления входящих сюда скобок возьмем частные
производные по Хх от равенств A). Очевидно скобка, на которую
в только-что полученном равенстве умножается ет равна еди-
единице, все же остальные скобки полученного только-что равен-
равенства равны нулю. Таким образом,
дХх —
93
Определив подобным же образом частные производные по-
потенциальной энергии единицы объема тела по остальным ком-
компонентам напряжения легко видеть, что 'если тело следует за-
закону Гука, то
dW dW _ I
dW _ dW _ .
ду;— euv> дУ'х~ yz' I A4)
dW dW
dZz zz' dZx zx'
Равенства эти понадобятся нам в дальнейшем (см. § 5 гл. XIV)
для доказательств начала виртуальных изменений
напряженного состояния.
§ 6. Закон Гука для изотропного тела
Общая зависимость между напряжениями и деформациями
для тела, следующего закону Гука [см. равенства (9) и A0)], за-
заключает в себе 21 упругую постоянную. Она слишком сложна
для того, чтобы на основании ее можно было получить решение
многих частных задач, представляющих для нас практический
интерес.
На помощь нам приходит то обстоятельство, что материалы,
представляющие для нас наибольший интерес, такие, как железо,
сталь, алюминий и т. д., имеют более или менее аморфное
строение, так что связь между напряжениями и деформациями
у них не зависит от ориентировки осей деформации по отно-
отношению к телу. Тела, у которых связь между напряжениями и
деформациями не меняется ни при каких поворотах осей
главных деформаций, называются изотропными. Приписав
исследуемому упругому телу изотропность, мы можем умень-
уменьшить число независимых упругих постоянных в общем выраже-
выражении закона Гука с двадцати одной до двух. Убедиться в этом
можно, следуя Киргофу, следующим простым путем.
Если бы рассматриваемое тело было однородно и следовало
закону Гука, но не было бы изотропно, то, как показывает ра-
равенство D), потенциальная энергия единицы объема тела W
была бы вообще некоторой функцией ото всех шести компо-
компонентов деформации вхх, ет..., ezx. При этом она была бы
функцией алгебраической, целой, однородной, 2-й степени.
Так как деформации в свою очередь, путем решения уравне-
уравнений A), могут быть выражены как некоторые линейные функции
ото всех шести компонентов напряжения, то мы можем считать,
что у тел, следующих закону Гука, потенциальная энергия еди-
единицы объема W есть однородная, целая, алгебраическая функция
2-й степени от всех шести компонентов напряжения. Последние
зависят, однако, как от величины трех главных напряжений в
данной точке, так и от ориентировки их направлений в этой
точке по отношению к телу.
94*
у тел изотропных связь между напряжениями и деформациями
не зависит от ориентировки осей главных напряжений. У этого
пода тел потенциальная энергия единицы объема должна быть,
следовательно, функцией только от величины главных напря-
напряжений, притом, очевидно, функцией однородной, целой,2-й сте-
степени и симметричной, т. е. такой, чтобы величина ее не
менялась при перемене мест отдельных аргументов, от которых
функция эта зависит.
Мы пришли, таким образом, к заключению, что у всякого
изотропного тела потенциальная энергия единицы объема есть
однородная, целая, алгебраическая, симметричная функ-
функция 2-й степени от трех главных напряжений Flt
F% и Fs.
Всякая такая функция от Flt F2 и F3 может быть предста-
представлена в виде равенства
F3f
F2F3+
где А и В упругие постоянные. Подставляя сюда [(см. формулы
A5) главы I]
/?i+/72 + Fa = Xx+Ye + Zt,
ВД + V3 + F3F, = XXY, + YyZz + ZZXX -X\-Y\~Z^
видим, что для изотроцного тела в самом общем виде W выра-
выражается так:
W=A(XX+YB
В (XxYg + YgZz
(a)
Это вместе с формулами A4) показывает, что для изотроп-
изотропного тела
е„ = 2А (Хх +Yg + Zx) + B(YV + Zz),
е„ = 2Л (Хх+ Y, + ZZ) + B (Zz + Xx),
ezz = 2A (Xx+ Yy + ZZ) + B(Xx + Yg),
exy =—IB Xy,
evz = -2B Yz,
ezx = -2BZx.
Положив в этих равенствах
(б)
95
мы можем придать им вид
exx = ±(Xx-aYg-aZz),
eyy=\{Yy~°Zz-°Xx),
1
~ аХх
Yv),
A5)
еху = 77 У
Q * Z
В этом виде закон Гука обычно в настоящее время и выпи-
выписывается для изотропного тела.
Из упругих постоянных, входящих в A5), Е называется мо-
модулем Юнга (модулем продольной упругости); G —модулем
сдвига (модулем поперечной упругости); о — пуассоновым отно-
отношением.
Как показывают формулы (б), величины Е, G и о не являются
независимыми. Между ними существует' связь,
В формулах A5) компоненты деформации выражены через
компоненты напряжения. Иногда бывает полезно иметь обрат-
обратную зависимость, т. е. иметь Хх, Yy,...Zx, выраженными через
•вхх, €уу> ¦ • • &ZX-
Чтобы получить этот вид закона Гука для изотропного тела,
достаточно решить уравнения A5) относительно Хх, Yy, ... Zx.
Это дает
^6), ¦
A7)
G вщ,,
Gevz,
Здесь через 6 обозначена сумма трех линейных деформаций
A8)
¦96
Ламе выписывал равенства A7) так:
v= \>-еху,
A9)
Здесь
стями
и [х две упругие постоянные, определяемые зависимо-
зависимо2Ga _ ?a
1 — 2a ~ A +a) A—2a)'
2A+aI
B0)
Постоянные X и ц называются постоянными Ламе. Во
многих сочинениях по теории упругости закон Гука до сих пор
выписывается в форме A9). В дальнейшем мы будем пользо-
пользоваться этим законом исключительно лишь в форме A5) или A7).
Заметим попутно, что, как то видно из A5), между суммой
трех линейных деформаций 6 и суммой трех нормальных на-
напряжений
® = XX + YV + ZZ B1)
существует зависимость
1—2а
0.
B2)
Поэтому величина _ 2g может быть названа модулем
объемного расширения.
§ 7. Потенциальная энергия единицы объема изотропного тела
Формулы, выведенные в предыдущем параграфе, позволяют
выразить потенциальную энергию единицы объема изотропного
тела как в функции от компонентов напряжения Хх, Yg,...,Zx,
так и в функции от компонентов деформации е^, ет е2Х.
Чтобы выразить W в функции от Хх, Yy,..., Zx, можно восполь-
Збваться непосредственно формулой (а) предыдущего параграфа.
Подставив в нее вместо А и В их выражения из равенства
{б) § 6, можно видеть, что
B3)
97
-XxYu-YyZz~ZzXx)
Ф. Папкович, Теория упругости—436—7
или, что то же,
W= — X2 + Y2 + Z2 — 2з (XxYy + YyZz+ ZZXX) +
2с х у z
B4)
Чтобы выразить W через компоненты деформации, можно
было бы заменить в равенстве B4) все компоненты напряжения
их выражениями через компоненты деформации. Тот же резуль-
результат можно, однако, получить проще. Для этого достаточно
проинтегрировать уравнения (8), предварительно подставив в них
Хх, Yy, . .,ZX из A7). Это дает
B5)
Если бы мы воспользовались для той же цели не равен-
равенствами (8) и A7), а равенствами (8) и A9), то получили бы
. B6)
С помощью одной из только что найденных зависимостей
нетрудно подсчитать потенциальную энергию единицы объема
для всякой точки тела, для которой компоненты напряжения
или компоненты деформации найдены. Зная же И^для всех точек
тела, можно найти потенциальную энергию и всего тела. Для
этого достаточно вычислить величину
V = JJJWdxdydz,
где интеграл, как уже отмечено в § 2, следует взять по всему
объему тела.
§ 8. О пределах возможных значений упругих постоянных
Е, G и a
Так как всякое упругое тело всегда стремится вернуться в
свое естественное, недеформированное состояние (иначе это со-
состояние тела не было бы устойчиво), то его удельная работа
деформации W не может принимать отрицательных значений.
Условие
W>0
налагает на область возможных значений постоянных Е, G и о
некоторые ограничения, которые и следует выяснить.
Чтобы достигнуть этой цели, попробуем преобразовать общее
выражение для W
W=A(F1 + F2 + F3f + BiF.F, + F2F3
найденное выше в § 6, к виду
98
Для этого достаточно, очевидно, приравнять в обоих этих
только-что написанных выражениях коэфициенты при (F\ -\- F% -f-
+ Ff) и при (F^ -f- F2F3 + ^3^i)- Делая это и учитывая фор-
формулы (б) § 6, получаем для нахождения а' и Ъ два уравнения:
U. -f- ^.U П. Тур >
Отсюда
b=
и,следовательно,
Если бы величина -.--- или —~ сделалась отрицательной,
то, распоряжаясь надлежащим образом величинами Fx, F2 и F3,
МЫ могли бы заставить W переменить знак, поэтому у всякого
существующего в природе тела должно быть
1—2а
B8)
же приняв
Этими двумя неравенствами можно удовлетворить, либо
Положив
Е>0,
1 - 2з > О,
1+ =>>0,
Е<0,
1 - 2о < С,
1 + з < 0.
Первое из этих решений требует, чтобы Е было положи-
положительным, а з лежало в пределах
— 1 < а < 0,5.
Второму из этих решений
Е<0,
0,5<а<-1
99
удовлетворять нельзя. Таким образом, условиями устойчивости
естественного состояния тела налагаются на Е и о только сле-
следующие ограничения:
Е>0> 1 B9)
-К а < 0,5.) {Щ
Из этих неравенств вытекает, что
G > 0. C0)
Хотя, как показывают неравенства B9), условиями устойчи-
устойчивости недеформированного состояния тела и не исключаются
некоторые отрицательные значения пуассонова отношения, тем
не менее у всех известных тел о, как показывает опыт, явля-
является положительным и лежит в пределах 0 < о < 0,5. Для ста-
стали, в частности, о близко к 0,30.
§ 9. Понятие об удельной работе изменения объема и удельной
работе изменения формы
Как видно из равенства B2), величина в = t\ -\- F2 -\- Fa, вхо-
входящая в первый член общего выражения для удельной работы
деформации
+ Чг К77* - ^J + (^ - ЪУ + (^ - ^iJJ
пропорциональна относительному увеличению объема 6. Это
дало повод назвать величину
wo = Lw*(Fi + F2 + Ft)t, C1)
составляющую первый член правой части равенства B7), удель-
удельной работой изменения объема.
В противовес этому второй член правой части равенства
B7), т. е. величину
Ч FJ* + (F* - W + iF*~ ^)*Ь C2)
часто называют удельной работой изменения формы,
так как величина W$ обращается в нуль, когда форма тела не
получает иных изменений, кроме связанных с изменением его
объема.
Это, довольно условное, деление удельной работы дефор-
деформации на части, зависящую от изменения объема и зависящую
от изменения формы, оказалось очень удобным, с точки зрения
современных так называемых энергетических теорий прочности.
Как отмечено было во введении, все выводы теории упру-
упругости относятся к идеально упругому телу, каковому боль-
большинство строительных материалов можно уподоблять лишь при
100
умеренной нагрузке. К материалам, достигшим предела текуче-
текучести, выводы теории упругости без существенной их корректировки
применять нельзя. Для оценки области применения всех постро-
построений теории упругости весьма важно поэтому иметь критерий
tforo, когда собственно материал перестает быть вполне упру-
упругим. Ответ на этот вопрос дают так называемые гипотезы проч-
прочности.
§ 10. Понятие о важнейших гипотезах прочности
Не входя в подробное обоснование гипотез прочности, в раз-
различное время выдвигавшихся в качестве критериев для оценки
степени опасности напряженного состояния упругого тела, оха-
охарактеризуем вкратце лишь сущность важнейших из них.
Гипотеза наибольших нормальных напряжений
предполагает, что о степени опасности напряженного состоя-
состояния и в частности также о моменте начала текучести можно
судить по величине наибольшего нормального напряжения (наи-
(наибольшего по абсолютной величине главного напряжения). S на-
настоящее время гипотеза эта, называемая иногда гипотезой Га-
Галилея— Рэнкина, считается опытом не подтверждающейся.
Гипотеза наибольших скалывающих напряже-
напряжений предполагает, что о степени опасности напряженного со-
состояния, равно как и о моменте потери материалом упругости,
можно судить по величине наибольшего скалывающего напря-
напряжения (наибольшей полуразности главных напряжений) Гипотеза
эта впервые выдвинутая Кулоном, является одной из тех,
которые в настоящее время считаются наиболее обоснованными.
Гипотеза наибольших линейных деформаций
(наибольших „приведенных" напряжений), выдвинутая впервые
Мариоттом, была весьма популярной в те времена, когда наи-
наиболее важным строительным материалом был чугун. Одним из
главных доводов в пользу этой гипотезы было то, что гипо-
гипотеза эта объясняла до некоторой степени механические качества
чугуна, как материала, хорошо сопротивляющегося сжатию и
Плохо — растяжению. В первоначальном своем виде гипотеза
эта предполагала, что расчет должен вестись по наибольшему
относительному удлинению материала, а не по абсолют-
абсолютной величине наибольшей линейной деформации, как это
впоследствии предложил считать Грасгоф, когда техника стала
интересоваться, по преимуществу, сталью.
В настоящее время после опытов Геста считается, что для
таких материалов, как сталь, гипотеза Кулона дает лучшее
представление о моменте перехода материала в пластическое
состояние, чем гипотеза Мариотта-Грасгофа.
Своеобразное обобщение гипотезы скалывающих напряжений
Кулона было предложено Мором. Целью его было получить
гипотезу прочности, одинаково применимую к таким материа-
материалам, как сталь, которые одинаково хорошо сопротивляются
растяжению и сжатию, и в то же время и к материалам таким,
101
как чугун, которые выдерживают значительно большие сжима-
сжимающие напряжения, чем растягивающие. В основе гипотезы Мора
лежит допущение, что напряжение становится опасным, когда
наибольшая полуразность главных напряжений ста-
становится равной некоторой функции от полусум-
полусуммы их.
Для материалов хрупких, как чугун и некоторые породы
минералов, эта гипотеза дает очень хорошее объяснение опыта.
В отношении таких материалов, как мягкая строительная сталь,
она дает результаты, совпадающие с даваемыми гипотезой
Кулона.
В противовес этим так называемым классическим гипотезам
прочности в сравнительно новое время различными авторами
были выдвинуты гипотезы прочности, основывающиеся на рас-
рассмотрении удельной работы деформации и потому называемые
энергетическими.
Гипотеза Бельтрами, к сторонникам которой впослед-
впоследствии примкнул Хей, предполагала, что за меру опасности на-
напряженного состояния можно принять величину удельной ра-
работы деформации W. Гипотеза эта так же, как и гипотеза
Мариотта-Грасгофа, а равно и гипотеза наибольших нормальных
напряжений, не могла объяснить замечательной способности
многих тел противостоять огромной величины всестороннему
сжатию и даже упрочняться под действием такового.
Чтобы примирить гипотезу Бельтрами с результатами наблю-
наблюдений над действием всестороннего равномерного сжатия, Губер
предложил, ведя расчет по удельной работе деформаций, удер-
удерживать в выражении B7) для W первый член правой части
лишь в том случае, если
^i + F2 + F* > 0.
Несколько позже Мизес и независимо от него Генки пред-
предложили для таких материалов, как мягкие сорта стали, прини-
принимать критерием прочности величину удельной работы измене-
изменения формы, т. е. величину №ф [см. равенство C2)]. Гипотеза
эта с. точки зрения предсказания момента начала текучести дает
результаты, весьма близкие к гипотезе Кулона, и в настоящее
время имеет почти столько же сторонников, как и гипотеза
Кулона.
В совсем недавнее время Шлейхер предложил в области
энергетических гипотез прочности обобщение, аналогичное
тому, которое в свое время в отношении гипотезы Кулона
было сделано Мором. По Шлейхеру материал достигает опас-
опасного состояния, когда удельная работа изменения формы 1Рф
достигает величины, являющейся некоторой функцией от /?1 +
+ ^2 + ^з- С помощью этого обобщения гипотезы Бельтрами и
Губера, Шлейхеру удалось ее распространить на материалы,
отличающиеся различным сопротивлением растяжению и сжа-
сжатию. Для мягких сортов стали гипотеза Шлейхера дает те же ре-
результаты, что и гипотеза Мизеса-Генки.
102
В настоящее время можно считать установленным, что к та-
таким материалам, как мягкая сталь, всего лучше применимы ги-
гипотезы Кулона и Мизеса-Генки. Обе эти гипотезы дают для
мягких сортов стали очень хорошее представление как о мо-
моменте начала текучести материала, так и о достижении нагруз-
нагрузкой предела выносливости. Так как все экспериментальные
'данные всегда отличаются некоторой пестротою, а гипотезы
'Кулона и Мизеса дают результаты, довольно близкие друг к
*ДРУГУ> то> вероятно, еще очень не скоро можно будет сделать
Окончательный выбор между обеими этими гипотезами. В на-
настоящее время с точки зрения предсказания момента достиже-
достижения материалом предела текучести вполне допустимо пользо-
пользоваться той из них, которая в данной частной задаче ведет к
более простым выкладкам.
Не приводя расчетных формул для всех перечисленных вы-
выше гипотез, приводим их лишь для четырех важнейших.
Согласно гипотезе наибольших нормальных напряжений
должно быть
|/ч1<Я, C3)
где Z7! — наибольшее по абсолютной величине из главных на-
напряжений, R — допустимое напряжение при простом растяжении.
Согласно гипотезе наибольших скалываюших напряжений
должно быть
fo — FJiKR, C4)
где R— допускаемое напряжение при простом растяжении,
Fx—большее (в алгебраическом смысле) из трех главных
напряжений,
F3 — меньшее (в алгебраическом смысле) из трех главных
напряжений.
Согласно гипотезе наибольших линейных деформаций дол-
окно быть
\F1 — aF2 — a/^lmax < Я, C5)
где Ft — главные напряжения,
R— допускаемое напряжение при простом растяжении.
Согласно гипотезе Мизеса должно быть
с/ч-/*.)¦+(/=;-/^+(/=¦.,-/^^я1, :' C6)
где Ft — главные напряжения,
R — допускаемое напряжение при простом растяжении.
По сказанному выше, при расчете сооружений из мягких
сортов стали лучше всего пользоваться формулами C4) или C6),
причем той из них, которая приводит к более простым выкладкам.
Если решение задачи доведено до числового конца, то часто
проверка прочности по формуле C4) проще, чем по формуле
C6). При решении задачи в общем виде пользование формулой
C6) освобождает от необходимости исследовать, какое из глав-
главных напряжений является наибольшим, какое наименьшим. При
Решении задачи в общем виде иногда поэтому формула C6)
приводит к более, простым выкладкам, чем формула C6).
103
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Задача 1. Дать подробный вывод формулы A1).
Задача 2. Дать подробный вывод формулы A2).
Задача 3. Дать подробный вывод одной нз формул группы A4), для
которой такзвого в § 5 не дано.
Задача 4. Дать подробный вывод формул B3), B4), B5) и B6).
Задача 5. Для плоской деформации, в которой w = 0, а и и v от z не
зависят, установить зависимость между Хх, Уу и Zx, считая рассматриваемое
тело изотропным.
Ответ.
а дача 6. Для плоской деформации, упомянутой в задаче 5, установить
имость между Хх, Y и Ху, с одной стороны, и е^, еуу и еху—с другой.
З
зависимость J я
Исследуемое тело изотропно
Ответ.
*-1
1 .
C7)
_2A-К»,)
ехв Ех »'.
где
^ = 7^; °> = —* C8)
Задача 7. Плоская пластина изгибается по цилиндрической поверхно-
поверхности, причем в направлении образующих этой поверхности перемещения пла-
пластины равны нулю; в площадках же, параллельных срединной плоскости
пластины, напряжений нет. Определить зависимость между удлинением пла-
пластины в направлении, нормальном как в толщине пластины, так и к выше-
вышеуказанным образующим, с одной стороны, и нормальными напряжениями по
этому направлению — с другой. Материал пластины изотропен.
Решение. Направим ось oz так, чтобы она была направлена по толщине
пластины, ось же оу— по направлению образующих той цилиндрической по-
поверхности, по которой пластина гнется. По условию имеем
и, следовательно,
Поэтому, на основании закона Гука, должно быть
так что
1 — 1
х
По условиям задачи кроме того
и, следовательно,
104
Задача 8. В некотором теле
и = т_уг,
v — — t.vz,
w = w(x,y),
где т некоторая константа. Определить напряжение, возникающее в теле,
считая исследуемое тело изотропным.
X =Y = Z = X = О
х У — z у —
,. ^ / дшЛ
Задача 9. Ось oz направлена вдоль осн призматического стержня; оси
ох и оу совпадают с главными центральными осями его поперечного сече-
сечения. Материал стержня изотропен. В стержне создано состояние чистого из-
изгиба, причем
Z - М х
Zx-—jx
где М — изгибающий момент, a J—момент инерции площади поперечного
сечения относительно осн оу. Определить потенциальную энергию единицы
длины стержня.
Решение. Обозначив через Уг искомую потенциальную энергию единицы
длины, имеем
V^JJ Wdxdy,
где интегрирование распространяется на всю площадь поперечного сечения.
В данном случае, согласно формуле B4)
и, следовательно,
Задача 10. Круглый вал радиуса а получил деформацию, при 'которой
и = tvz,
v = — zxz,
w — 0.
Длина вала /. Материал изотропен. Определить потенциальную энергию
вала.
Решение. Из условий задачи следует
ехх = еээ = ezz = ехд = 0.
е = — тх
У-
Поэтому, согласно формуле B5),
1 Gx2
105
V =ff fwdx dy dz=^- GtVp/,
и, следовательно,
где
¦есть полярный момент инерции площади поперечного сечения вала.
Задача 11. В призматическом стержне создана деформация, отличаю-
отличающаяся тем, что
ехх = еду ~ егг = ехи ~ °'
еу* U ~дх'
ezx ~~ (J ~ду'
где 9 — некоторые функции от д; и у. Определить потенциальную энергию
стержня.
Ответ.
где интегрирование должно быть распространено на всю площадь попереч-
«ого сечения стержня.
Задача 12. Составить общее выражение для потенциальной энергии
прямоугольной пластины, ограниченной плоскостями
х = 0, х = а,
у = о, у =Ь,
h h
Z
считая, что перемещения и и v ее отдельных точек заданы равенствами
и = - z —-,
dw
v = — z -—,
где w — есть некоторая функция только от д; и у. Напряжения Xz, Yz, и Zz
равны нулю. Материал пластины изотропен.
Решение. Имеем, согласно формуле B5),
x + el + e\z + r—-; ft2 + -о-(е]у, + Kz + e
По условиям задачи
106
(Следовательно,
e»=- —
1 _з
+
Подставив все это в вышеприведенное выражение для W, можно после
Некоторых преобразований видеть, что в рассматриваемом случае
следовательно,
,/ -
О О
dy.
Задача 13. Предполагая, что тело изотропно, выписать зависимость
между компонентами напряжений /?г вв, Zz, /?e, вг и Zr и компонентами
Деформаций егг, евв, ея е,.в, е9г> егг, соответствующими полярной системе коор-
координат.
'ч Ответ.
«ее
1
E
C9)
Задача 14. Определить величину постоянных Ламе для стали, у ко-
которой
Е = 2,15- 10е am,
з =0,3.
Задача 15. Определить соотношение между допускаемым нормальным
при простом растяжении напряжением /? и допустимым скалывающим напря-
напряжением для чистого сдвига Т с точки зрения гипотез Галилея-Рэнкииа,
Кулона; Мариотта-Грасгофа и Мизеса -Генки.
Ответ. В случае чистого сдвига, когда
107
главные напряжения F. определяются зависимостями
Поэтому по Галнлею-Рэнкнну
по Марнотту-Грасгофу
по Мнзесу-Генки
по Кулону
/•'з =
r =
т -
Т —
— 1.
R,
R
1 + °
1 п
(а)
(б)
(в)
(г)
Задача 16. Для плоского напря-
напряженного состояния, отличающегося тем,
что
построить кривые, изображающие те
комбинации /=i и F2, которые представ-
представляются равноопаснымн с точки зрения
гипотез Галнлея-Рэнкина, Мариотта-
Грасгофа, Мнзееа-Генки н Кулона.
Ответ. По Галнлею-Гэнкнну такой
кривой является квадрат, ограничен-
ограниченный прямыми
по Кулону это шестиугольник ABCDEF
Рис. 39- (рис. 39), по Мнзесу-Генкн это эллипс
ABCDEF, по Грасгофу—ромб.
Задача 17. Определить расчетные нормальные напряжения, соответ-
соответствующие гипотезе Кулона для следующих шести напряженных состояний:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
F1 = 1500 am
F1 = 1500
Fj = _ 1500 ,
Ft = — 1500 „
/=i = 1500
F, = 1500 „ ;
; F2 =
F2 =
F =
F2 =
F2 =
1000 am;
— 1000 „
— 1000 »
+ 1000 „
-1000 ,
1000 „ ;
F3 = 0;
/=¦„=0;
F*3 = 0;
F = +
^. = -
500
500
Ответ. Для напряженного состояния (а) Л = 1500 ат; для (б) Л =
= 2500 ат; для (в) Л = 1500 ат; для (г) R = 2500 а/и; для (д) R = 2500 ат;
для (е) R = 2000 ат.
Задача 18. Для напряженных состояний, упомянутых в условиях за-
задачи 17, определить расчетные нормальные напряжения по гипотезам Галнлея-
Рэнкнна, Мнзеса-Генкн и Марнотта-Грасгофа н сопоставить их с соответ-
соответствующими гипотезе Кулона.
Задача 19. Выразить через компоненты напряжения
критерий прочности, даваемый гипотезой Мнзеса-Генки.
Ответ.
У 7
1в ^-
(а)
где — R допускаемоз напряжение при простом растяжении.
108
Задача 20. Выразить через компоненты напряження Хх, Уу н Ху крите-
критерии прочности, даваемые гипотезами Галнлея-Рэнкнна, Кулона, Грасгофа и
Мизеса-Генкн для напряженного состояния, отличающегося тем, что
Ответ: 1) по гипотезе Галнлея-Рэнкнна
2) по Кулону
3) по Грасгофу
A-а)
4) по Мнзесу-Генкн
?, <Я;
1 +а
(a)
(б)
(в)
(г)
ГЛАВА IV
СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Понятие о прямой и обратной постановках общей задачи
теории упругости. Две основных схемы решения прямой задачи
теории упругости
Зависимостью между напряжениями и деформациями, рас-
рассмотренною в предыдущей главе, замыкается система основных
уравнений теории упругости. Перечислим отдельные группы
этой системы.
Из рассмотрения равновесия элементарного параллелепипеда
мы получили в главе I три основных диференциальных уравне-
уравнения, связывающих во всех точках тела компоненты напряжения;
с составляющими объемной силы. Уравнения эти в декартовой
системе координат выписываются так:
дХ„ ОХ
~ ду ~i~ dz
0>
дх п ду ~ д
dZx dZg dz
dx ' ду d
На поверхности, ограничивающей исследуемое тело, шесть
компонентов напряжения связаны с напряжениями, приложен-
приложенными к телу через эту поверхность извне. Эта связь дается
тремя уравнениями равновесия элементарного тетраэдра
\г V / I V »« I V *i
Лч — ЛхС -р ЛуПЪ -\- yizfly
Yt = YJL + Ygtn + Yzti,
Zv = Zxl -\- Zgtn -\- Zzti,
где /, т и n направляющие косинусы внешней нормали к пло-
площадке, в которой действует рассматриваемое напряжение.
Как отмечено было уже в главе I, уравнений этих недоста-
недостаточно для нахождения напряжений, возникающих в теле под
действием заданных внешних сил. Всякое упругое тело, с точки,
зрения статики, является статически неопределимой системой.
ПО
Статическая неопределимость упругого тела раскрывается
шестью диференциальными зависимостями Сен-Венана:
д*е
ни
е
ху
дс
ду*
euv
dz*
dx*
dx
1 dx*
1 dy*
dz*
^ dy ^
dz
dx
d*e
dy
d*e
dz
1
dy'
dz'
t
ал'
dy dz
f
ду \ дх
dy
dz
dzdx '
C)
dz \ d<
dy dz J \.dx dy
в которые входят, однако, не компоненты напряжения, а ком-
компоненты деформации. Последние связаны с напряжениями за-
законом Гука, который для изотропного тела может быть вы-
выписан как в форме равенств
ехх —
_г 2A+о)
_ 2A + о)
Е
Zx,
так и в форме равенств
ХХ = 2О
Z, = 20
п^ в},
где
6 = ехх + еиц 4- ««.
Условия Сен-Венана являются необходимыми и достаточ-
достаточными условиями интегрируемости системы уравнений, связы-
связывающих перемещения с деформациями. Эта система уравнений
выписывается так:
dx'
dv .
'dw
= 'dz
du . dv
r~ Jy~~T~W''
dfJ ,dw
dz * dy
dw
~dx
du_
'dz '
111
Если тело ограничено односвязной областью, а деформации
удовлетворяют условиям Сен-Венана C), то результат интегри-
интегрирования уравнений G) однозначен. Если тело ограничено не-
односвязной областью, то не для всякого напряженного со-
состояния, удовлетворяющего условиям Сен-Венана, результат
интегрирования уравнений G) оказывается однозначным. Из
всех напряженных состояний, удовлетворяющих всем уравне-
уравнениям A) — D) следует в таком случае разыскать такое, которое
после интегрирования уравнений G) дает для и, v, w решение
однозначное.
' xv
Х.У Z
U, V, У)
Рис. 40.
Общая схема основных зависимостей теории упругости мо-
может быть иллюстрирована на рис. 40, на котором различными
прямоугольниками обозначены отдельные группы величин, свя-
связанных основными уравнениями теории упругости, а в кружеч-
кружечках, принадлежащих к стрелкам, соединяющим отдельные
группы неизвестных, показаны нумера основных групп этих
уравнений.
Все задачи теории упругости основываются на решении
приведенных систем уравнений. В настоящее время принято
различать две основные постановки основной задачи теории
упругости: а) постановку задачи прямую, б) постановку задачи
обратную.
При прямой постановке задачи задаются все внешние силы,
приложенные к телу, требуется же определить напряжения,
деформации и перемещения, вызываемые в теле этими силами.
Решение этой задачи требует интегрирования системы уравне-
уравнений A) - G).
112
При обратной постановке задачи 'задаются jih6o перемеще-
перемещения, либо напряжения, либо деформации, требуется же опре-
определить все остальные величины, входящие в систему основных
зависимостей теории упругости, 'в том числе и силы, вызываю-
вызывающие в теле данное напряженное состояние. Эта задача решается
без всяких затруднений. .Особенно просто решается она, если
заданы перемещения, требуется же определить все остальное.
В этом случае деформации можно разыскать из зависимостей
G) простым диференцированием. Зависимости Сен-Венана C)
будут при этом всегда удовлетворены/Для разыскания напря-
напряжений можно будет воспользоваться алгебраическими линей-
линейными зависимостями E) и F). Напряжения на поверхности най-
найдутся после этого из алгебраических же уравнений B), для
нахождения объемных сил можно будет воспользоваться урав-
уравнением A), что опять-таки потребует лишь диференцирования
заданных функций.
V Несколько сложнее решается обратная задача теории упру-
упругости, если заданными являются либо деформации, либо напря-
напряжения и требуется найти все остальное. В этом случае для
разыскания перемещений приходится интегрировать уравнения
Коши G), что, однако, как показано было в главе II, особых
затруднений не представляет и всегда может быть приведено .
к взятию некоторых квадратур.
" Если бы мы могли исчерпать все возможные варианты зада-
задания величин и, v и w, то мы могли бы для каждого из этих
вариантов установить соответствующую ему нагрузку тела и
¦определить тот из вариантов, который соответствует заданной
нагрузке. Надобность решения прямой задачи теории упругости
в таком случае отпала бы. Но исчерпать все возможные ва-
варианты задания трех произвольных функций внутри заданной,
хотя бы и весьма ограниченной, области, к сожалению, не-
невозможно.
' Этот путь решения прямой задачи теории упругости поэто-
поэтому отпадает. Практически же приходится обычно решать в
теории упругости именно задачу прямую, а не обратную.
Общего метода решения прямой задачи теории упругости
до сих пор не получено, но найден ряд весьма важных частных
решений, получаемых путем ограничения общности исследова-
исследования. При решении некоторых из таких частных задач бывает
удобно за основные неизвестные принимать компоненты напря-
напряжения, так как они проще связаны с нагрузкой тела, чем
какая-либо иная группа неизвестных, входящих в систему основ-
основных уравнений теории упругости. При решении других задач
бывает удобно принимать за основные неизвестные перемеще-
перемещения, так как этих неизвестных меньше (всего три, а не шесть).
В: соответствии с этим различают две основных схемы решения
прямой задачи теории упругости. В одной из них, раньше
всех других неизвестных, разыскивают шесть компонентов
напряжения. При использовании другой начинают решение за-
задачи с разысканием перемещений. Первую из этих схем мы
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—8 113
будем, следуя установившейся терминологии, называть не-
непосредственным определением напряжений, вто-
вторую же непосредственным определением переме-
перемещений.
Рассмотрим обе эти схемы подробнее.
§ 2. Непосредственное определение напряжений.
Уравнения Бельтраии-Майчела
Для того чтобы упростить решение прямой задачи теории
упругости методом непосредственного определения напряжений,
полезно исключить из системы основных уравнений теории
упругости все переменные, кроме шести компонентов напря-
напряжения, разыскиваемых в первую очередь. Для этого необходимо
выразить условия интегрируемости уравнений Коши не через
компоненты деформации, как это сделано в условиях Сен-Венана,
а через компоненты напряжения. Это преобразование было для
случая отсутствия объемных сил выполнено Бельтрами и затем
распространено на случай, когда объемные силы нулю не равны,
Майчелом.
Полученные этими двумя авторами уравнения принято поэтому
называть уравнениями Бельтрами-Майчела. Покажем, как они
выводятся.
Как сказано, целью нашей сейчас является замена в урав-
уравнениях Сен-Венана всех шести компонентов деформации соответ-
соответствующими компонентами напряжений. Возьмем поэтому одно
из уравнений Сен-Венана, например первое, и подставим в него
компоненты деформаций, выраженные через компоненты
напряжения равенствами D). Это дает, после диференцирования,
сокращения на -^- и некоторой группировки членов
ду2 "'"ах2 V дх2 "t" ду2 "•" cu2 ~*~ ду2
Для упрощения найденного уравнения воспользуемся, следуя
Бельтрами, диференциальными уравнениями равновесия A).
Продиференцировав первое из них по х, второе по у и третье
по z, вычтем после этого третье уравнение равновесия из
суммы двух остальных. Это дает
дх2 "г ду2 dz2 "+" дх "•" ду ' dz дх ду ' ^°>
Исключив с помощью (б) величину 2 ^—-^ из (а), получаем
114
дХ d
^ y 7 ~ дх ~~ ду
Для упрощения этого выражения прибавим к его левой
части величину
^ 3 ^ »
очевидно равную нулю, и, приняв во внимание, что
Xx+Yy + Zz = & (8)
воспользуемся обозначением
V2 () = з~г() + я~г( ) + тт ( )• (9)
Это позволяет придать равенству (в) вид
к левой части полученного равенства прибавим
отчего оно, очевидно, нарушено не будет. Сделав это, примем
вновь во внимание обозначение (8). Получаем вместо (г)
(д)
Если бы мы проделали аналогичные преобразования над
вторым и третьим из условий Сен-Венана, то получили бы
V» - A + °) vr, - g? = о + •) (If-g-а
Равенства (д), (д') и (a"j показывают, что
Вычтем теперь из равенства (е) выражение (д). Это дает
, дщ \+а dZ дХ dY\ n л fdZ дХ дУ
Чему после простых преобразований можно придать вид
, ! дЩ 2dZ ° (дХ I dY I dZ
115
Аналогичным путем можно получить и два другие равенства
группы:
дх
ду l — a\dx~i~dy~tdz
^L /"Mi ^,
^ L_
dz Х—
A0')
составляющей первую группу уравнений Бельтрами-Майчела.
Обратимся к выводу другой группы этих уравнений, для
чего подставим в четвертое из условий Сен-Венана, т. е. в
dydz~ дх
дх "•" ду
вместо ехх, egz, e~x и еЖ!; их выражения из D).
Это дает
? Vdydz 3dydz advdz)
Лг2 "Г
дх
Из второго и третьего уравнений группы A) можно однако
видеть, что
д*Х,
?
дх dz
дх ду
dydz
дг2 dz '
d*Zz dZ
' dy dz dy '
2
что по подставке в (ж) и сокращении на g- дает
dY dZ
Принимая во внимание обозначения (8) и (9), можно пере-
переписать последнее равенство, однако, и так:
- "¦" 1 4- о ду dz
Совершенно так же выводятся и остальные два равенства
группы:
^2 Y
V х
+ 1
' 1
' 1
1
+
1
+
1
4-
д28
о дх ду
а ду dz
а дгдх
~ (dj-+
(dY +
\dz +
\dx "*~
dY\
дх I '
dZ\
dy) '
dX\
dz) ¦
A0")
116
Найденные шесть уравнений
dx \-Лдх
ду \ - а\дх ~1~ ду ~i~ dz
V2*
v2r
z 1-а \дх "Г ду
дХ дУ\
+)
а ду дг
\dz 1~ dyj '
A0)
выведены из диференциальных зависимостей Сен-Венана и могут
при непосредственном разыскании напряжений их заменить.
Особенно простой вид принимают уравнения A0) в том слу-
случае, когда объемные силы отсутствуют. В этом случае правая
часть уравнений A0) обращается в нуль и сами эти уравнения
обращаются в следующие:
Г+~с
V
V
-t-
бЩ -Г)
ду2 - и,
dz2 - и,-
дх ду
(И)
В таком виде они и были вначале получены Бельтрами.
Обращаясь к общей схеме решения основной прямой задачи
теории упругости методом непосредственного определения
напряжений, можно наметить следующую последовательность
действий, связанных с решением этой задачи этим методом.
Надо сначала разыскать шесть неизвестных функций Хх, Ye,
Zz, Xy, Yz и Zx из девяти диференциальных уравнений A) и A0j,
подчинив их на поверхности тела граничным условиям B).
После этого придется разыскать все деформации с помощью
закона Гука, что ни с каким интегрированием никаких уравне-
уравнений не связано, и путем интегрирования уравнений Коши разы-
разыскать все перемещения. Последнее, как мы видели в главе II,
особых затруднений не представляет.
117
Самая трудная часть задачи связана с совершением первой
из упомянутых операций — нахождением такого решения трех
диференциальных уравнений равновесия A) и шести диферен-
циальных уравнений Бёльтрами-Майчела, которое удовлетворяет
на границах тела условиям B). Общего метода ее решения до
сих пор не выработано. *
Имеются лишь отдельные частные решения для отдельных
частных случаев нагрузки различных тел. Имеющееся общее
решение уравнений A) и (iO) (о нем смотри ниже) заключает
в себе произвольные функции, общего и притом достаточно
удобного метода, определения которых из граничных условий
задачи пока не имеется.
§ 3. Полуобратный метод Сен-Венана
Упомянутые в предыдущем параграфе отдельные частные
решения получаются в теории упругости не путем введения
каких-либо новых дополнительных гипотез, как то делается при
решении почти всякой конкретной задачи в теории сопротив-
сопротивления материалов, а путем ограничения общности исследова-
исследования. Большую пользу в этом направлении оказывает так назы-
называемый полуобратный метод Сен-Венана./ .Сущность этого
метода заключается в следующем: желая найти напряжения,
возникающие в определенном теле при определенной его
нагрузке, стараются некоторую часть этого решения предуга-
предугадать, допустив, например, что те или иные компоненты напря-
напряжения в условиях этой задачи либо будут равны нулю, либо же
будут определенными функциями от х, у и z.
Этим путем общность решения несколько сужается, но,
конечно, всегда имеется риск, чго сделанное предположение
либо окажется вообще несовместимым с системой основных
уравнений теории упругости,. либо же будет несовместимо
с той именно задачей/, которую предпотагается решить. Сделав
то или иное предположение, приходится прежде всего выяснить,
не противоречит ли это предположение вообще системе основ-
основных уравнений теории упругости.
Если окажется, что такое противоречие имеет место, то
сделанное предположение отбрасывают. Если же сделанное
допущение совместимо с системой основных уравнений теории
упругости, то смотрят, какие упрощения вносит оно в задачу
интегрирования системы этих уравнений и может ли быть
решение этих уравнений, общность которого сделанными пред-
предположениями, конечно, сильно сужена, подчинено все тем
условиям, которым должно удовлетворять напряженное состо-
состояние рассматриваемого тела.
Метод этот, конечно, несовершенен. Он не дает никакой
гарантии того, что мы сумеем, пользуясь им, решить постав-
поставленную задачу. Метод этот позволил, однако, найти уже ряд
частных решений, представляющих большой практический инте-
интерес. Число таких решений к тому же все время увеличивается.
118
§4. Непосредственное определение перемещений. Уравнения Ламе
Попробуем теперь выяснить, к решению каких собственно
уравнений сводится основная прямая задача теории упругости,
если мы за основные неизвестные примем не шесть компонентов
напряжения, как то было сделано нами в § 2 и 3, а три пере-
перемещения и, v и w.
При этом методе решения задачи полезно очевидно, ввести
в основные диференциальные уравнения равновесия A) искомые
перемещения вместо входящих в эти уравнения компонентов
напряжения.
Это можно сделать с помощью закона Гука и уравнений
Коши.
Действительно, подставив E) в первое из уравнений A)
и учитывая G), можно видеть, что
г дх2 "т" 1 — 2о дх "•" ду2 ^~ дх ду "•" дг2 ^ дх dz ~ ~G '
НО
дх2 "•" д/ "•" dza ~ V "'
а
(?л2 "¦" dc dy '
дх ду ' dxjdz дх '
Поэтому написанное только-что уравнение эквивалентно
уравнению
2 1 д8 X
1 — 2з дх G
Аналогичным путем получаются и два остальные уравнения
труппы:
Z
_
A2)
где 6 определяется равенством F).
Уравнения A2) были найдены Ламе. Как видно из них, три
перемещения и, i\ w связаны с тремя составляющими объемной
силы весьма простою зависимостью.
Зависимость эту можно записать еще проще, приняв неко-
некоторые обозначения векторного анализа.
В самом деле, пусть
V = i и + j v + kw A3)
есть искомый вектор перемещения, а
A4)
119
есть заданный вектор объемной силы. Вспомнив, что дивер-
дивергенцией вектора, обозначаемой знаком div ( ), называется сумма
трех частных производных трех составляющих вектора По трем
соответствующим координатам, мы можем, прежде всего, видеть,
что 6 есть не что иное, как дивергенция вектора V
6 = divV. A5)
Припомним далее, что градиентом скаляра <р называется
вектор, составляющие которого равны частным производным <р
по х, у и z соответственно, так что
eradT = ig + jg + kg. A6)
Попробуем, помножив первое из уравнений A2) на i, второе
Haj, третье на к, сложить их затем все вместе. Это даст нам
или, что то же,
Но б есть дивергенция вектора V. Поэтому найденное уравне-
уравнение можно переписать и так:
4 --g-. A7)
Уравнение A7) эквивалентно всем трем уравнениям группы A2)
и может быть принятым за векториальное изображение трех
уравнений равновесия, найденных Ламе.
§ 5. Общий интеграл уравнений Ламе, найденный Буссинеком
Уравнение A7) имеет почти очевидное общее решение,,
которое и получим. Для этой цели обратим внимание на сле-
следующее обстоятельство. Если только уравнение A7) допускает
общее решение, т. е. может быть решено, каков бы ни был
заданный вектор F, то всякий заданный вектор F можно пред-
представить, как результат выполнения над некоторым другим век-
вектором V диференциальной операции вида
гДе 1 _2а есть некоторая константа, принимающая для различ-
различных материалов различные значения.
120
Но раз это так, то и сам искомый вектор V может быть
всегда найден в форме
V = v2 W + С grad div W, (a)
где W есть некоторый новый неизвестный вектор, который мы
назовем вектором вспомогательным, а С—некоторая конечная
константа, которой можно распоряжаться произвольно, однако-
так, чтобы ни div V ни curl V не оказались равны нулю, неза-
независимо от того, чему равен вектор W. Так как, согласно (а)
div V = div V2 W + С div grad div W,
div grad ( ) = ?( ) + ?<)+? ( )= V2( ),
то в силу (а)
div V = div V2 W + С div V2 W = A + C) div V2 W.
Таким образом div V обращается в нуль, независимо от того,,
каков вектор W, лишь в том случае, если в формуле (а)
С = — 1.
Чтобы curl V не был равен нулю независимо от того, чему
равен вектор W, достаточно положить в (а) Сфоо.
Условившись считать в (а)
Сф — 1 и Сфоэ,
можно принимать (а) за наиболее общее выражение для V. При-
Принимая это во внимание, подставим (а) в A7).' Легко видеть, что
уравнение A7) будет удовлетворено, если W удовлетворяет
уравнению
V2 V2 W + С V2 grad div W + jtz^ erad dlv V2 W +
+ Г=Т° grad div grad div W=—-q .
Известно, однако, что
V2grad ( ) = grad V2 ( ),
div V2 ( ) = V2 div ( ),
div grad ( ) = v2 ( ).
Последние три члена левой части только-что получен-
полученного уравнения заключают в себе поэтому общий множитель
grad V2div W.
Соединив все эти три члена, видим, что найденное для W
уравнение есть
V2 V2 W + (г~ + С+ ^J grad V2div W = - -J .
121
Распорядимся постоянной С так, чтобы в этом уравнении
скобка обратилась в нуль. Для этого достаточно положить
2U-«)'
что не противоречит условию Сф со и С=? —1, так как
О < а < 0,5.
Положив
1
С=-;
2 A - а) '
будем иметь для W уравнение
VaV2W=-^-, A8)
причем зависимость между искомым вектором V и вспомога-
вспомогательным W будет даваться равенством
На основании сказанного выше следует признать, что если
уравнение A7) имеет вообще общее решение, то последнее
может быть найдено в форме A9), где W удовлетворяет урав-
уравнению A8).
Подразумевая в A9) под W общий интеграл уравнения A8),
мы можем принимать выражение (i9) за общее решение урав-
уравнений Ламе. Это решение уравнений Ламе, правда, без указаний
на то, что оно является вполне общим решением этих уравне-
уравнений, было найдено Буссинеком.
§ 6. Исследование решения Буссинека
Мы видели в предыдущем параграфе, что общий интеграл
уравнений Ламе можно найти в форме равенства A9), где W
есть некоторый вспомогательный вектор, являющийся общим
интегралом уравнения A8).
Самые элементарные соображения показывают, что если
под W мы будем подразумевать действительно общий интеграл
уравнения A8), то в состав вектора W будут входить некоторые
такие составляющие, которые не оказывают никакого влияния
на искомый вектор V и являются, следовательно, совершенно
лишними в выражении A9). Убедиться в этом можно хотя бы так.
Мы знаем, что заданием одних лишь объемных сил вектор
перемещения V вполне не определяется.
Для того чтобы задача о разыскании перемещений всех
точек тела была вполне определенной, надо знать помимо
вектора объемной силы F также либо перемещения, либо напря-
напряжения на границах тела. Это показывает, что уравнением A7)
122
искомый вектор V не определяется вполне:варьируя граничные
условия, мы можем получить бесчисленное множество различ-
различных аналитических выражений для V, которые все будут удов-
удовлетворять уравнению A7). Уравнение A9), если его рассматри-
рассматривать, как уравнение относительно W, вполне аналогично урав-
уравнению A7) и отличается от последнего лишь иным значением
константы перед grad div W, которая как в уравнении A7j, так
в уравнении A9) может к тому же менять свои значения.
Ясно, что если вектор перемещения V не определяется вполне
заданием во всех точках тела вектора объемной силы F, то и
вспомогательный вектор W не определяется вполне заданием
в той же области вектора V: вектор W, чтобы он был вполне
определен, следует подчинить не только уравнению A9), но
и совершенно определенным граничным условиям на поверх-
поверхностях, например условию, чтобы все его три составляющие
принимали на границах тела заданные значения. Варьируя эти
значения, мы можем получать все новые и новые решения для
W, нисколько не меняя значений V, определяемых равенством
A9). Таким образом, нет никаких сомнений в том, что равен-
равенство A9) может дать вполне общее решение для искомого
вектора перемещения V, даже в том случае, если мы под W
будем в нем подразумевать не наиболее общее решение урав-
уравнения A8), а некоторое, достаточно общее, его решение.
Чтобы разобраться в том, какая часть общего решения
уравнения A8) должна быть в составе W сохранена и что в нем
может быть отброшено, займемся несколько более подробным
исследованием решения уравнения A8).
Уравнение A8) есть уравнение линейное относительно неиз-
неизвестного вектора W. Его общий интеграл можно, следовательно,
составить из любого частного решения этого уравнения и
общего интеграла соответствующего однородного уравнения.
Пусть Wo есть какое-нибудь частное решение уравнения A8),
удовлетворяющее условиям непрерывности во всей рассматри-
рассматриваемой области как самой искомой функции, так и всех ее
производных до третьего порядка включительно, a Wx есть общий
интеграл уравнения
V2V2Wi = 0) B0)
также удовлетворяющий условию непрерывности как самого
W, так и всех его производных вплоть до упомянутого порядка.
Мы можем принять тогда за общий интеграл уравнения A8)
что дает по подстановке в равенство A9)
V = V0+V1( B1)
123
где
o = V2 Wo - -^A— grad div Wo B2)
есть некоторое частное решение полных уравнений Ламе, оче-
очевидно непрерывное как по отношению к самому вектору, так
и по отношению ко всем первым производным всех трех его
составляющих, а
Vi = V2Wx - -jjjpr^j- ?rad div Wi W)
соответствующий общий интеграл однородных уравнений Ламе.
Распоряжаясь вектором Wb мы должны заставить рейение B1)
подчиниться требуемым условиям на поверхности те.ла.
Обратимся теперь к уравнению B0), которым определяется
вектор Wx. Обозначив через В лапласиан искомого вектора Wj
т. е. положив
V2 W,, = В, (б)
мы удовлетворим уравнению B0), очевидно, лишь в том случае,
если допустим, что вектор В удовлетворяет уравнению
V2 В = 0. (в)
Мы получим самое общее решение для вектора Wlt если
к любому частному * решению уравнения (б) прибавим общий
интеграл соответствующего однородного уравнения, т. е. положим
W,, = А + С, (г)
где вектор А есть любое частное решение уравнения
V2 А = В, (д)
а под вектором С надо разуметь самое общее решение урав-
уравнения
V2 С = 0. (е)
Подставим теперь (г) в B2'). Это дает
V1 = v2A+v2C- y^z^j- grad (div A + div С),
где А удовлетворяет уравнению (д), а
С уравнению (е).
Поэтому, обозначив через <j» дивергенцию вектора А, а че-
через ~y 0о дивергенцию вектора С, мы можем видеть, что самое
1 Удовлетворяющему, конечно, всем условиям непрерывности в исследу-
исследуемой области, о^которых мы не будем в дальнейшем постоянно повторять.
124
общее выражение для вектора Ух есть
YuW grad (Ф , 2
i = В - 2A-») grad W + 4" 0о)
где
1
= div А,-у 0О = div
. Взяв лапласиан от (з) нетрудно, однако, видеть, что скаляры
<!• и 0О должны удовлетворять уравнениям
V2 ф =
= div V2 A = div В, (и)
V20o=2diW2C=O. (к)
При этом по сделанному выше определению векторов А и С,
под 0о следует подразумевать самое общее и в должной мере
непрерывное выражение функции, удовлетворяющей уравнению
Лапласа (к), а под ф любое частное, в должной степени непре-
'рывное решение уравнения (и).
Под вектором В по его определению мы должны в равен-
равенствах (ж) и (и) подразумевать одно и то же самое общее и в
должной мере непрерывное решение векториального уравнения
V2B = 0,
так что
B=T01+j 02 + k03) (л)
где 0,- — три самые общие выражения функции, подчиненной
во всей исследуемой области только уравнению Лапласа
¦ V2 0i = 0 B4)
и условию непрерывности до первых производных включительно.
Условимся в дальнейшем знак„0;" читать 1-ая гармониче-
гармоническая функция.
' Возвращаясь к функции ф легко видеть, что в силу (и) и
(л) ф может быть любым в должной степени непрерывным ча-
частным решением уравнения
60 60„ 60.
Нетрудно, однако, видеть, что таковым является в частности
^ . (н)
Действительно, взяв от обеих частей равенства (н) лапла-
лапласиан, получим
d^ + 2^ + 2 д-§), (о)
125
где, в силу B4), все три первые члена скобки в правой части
исчезают. Отбросив их, нетрудно узнать в равенстве (о) равен-
равенство (м). Таким образом, <{*, определяемое равенством (н), дей-
действительно является одним из решений уравнения (м), при этом
в той же мере непрерывным, как и сами функции 0,-, входящие
в (л) и (н).
Мы можем, таким образом, для ф принять равенство (н) или
что то же,
Ф = 4-(В-Я), * (п)
где знаком R обозначен вектор
R = i х + jу + k z, B5)
который может быт назван вектором положения точки.
Сказанное позволяет найденному для \г выражению (ж) при-
придать следующий вид:
Vi = В - Ж=^) g^d (В • R+ 0О). B6)
Равенством B6) дается, как мы то видели выше, общий
интеграл однородных уравнений, получаемых из уравнений Ламе
путем отбрасывания свободного члена их, пропорционального F.
' {Число произвольных функций, входящих в общий интеграл
однородных уравнений Ламе, нами таким образом уменьшено
с трех бигармонических функций (трех составляющих бигар-
монического вектора Wx), входивших в B2'), до четырех гармо-
гармонических функций 01( 02, |2з и 0О, входящих в равенство B6).
Из этих четырех гармонических функций три являются со-
составляющими произвольного гармонического вектора В,четвер-
В,четвертой же является функция 0О, оставшаяся в выражении B6) от
вектора С
Возникает, однако, вопрос, не является ли эта четвертая
гармоническая функция 0О в решении B6) лишней, как лишним
уже оказался почти полностью сам вектор С, от которого 0О
'осталось в выражении B6). Чтобы ответить на этот вопрос,
достаточно выяснить, может ли градиент всякой гармонической
функции 0О быть представлен в форме равенства
grad 0О = 4 A - о) В — grad (В • R) (р)
или же существуют такие гармонические функции, градиент
которых в форме (р) выразить через гармонический вектор В
нельзя.
Если окажется, что таких функций нет, то нужно будет
признать функцию 0О в решении B6) лишней.
Если окажется, что такие функции существуют, то только
их и нужно будет подразумевать под 0О в решении B6).
126
Чтобы выяснить, существуют ли действительно такие гар-
гармонические функции, градиент которых нельзя представить
через гармонический вектор В в форме равенства (р;, допустим,
что равенство (р) имеет место, и попытаемся найти В по за-
заданному 0О, где вектор В сам может быть рассматриваем, как
градиент некоторого неизвестного скаляра &
В =grad&. (c>
Подставив (с) в (р), будем иметь'
grad 0O = grad [4A — о)&— R. grad &],
чему можно удовлетворить, полагая
4A—о)»- R-grad&= 0О.
Введя обозначение
г = /T*+y* + z*, (т)
можно уравнению, только-что полученному, придать вид 1
а)&-г^ = 0о. (У)
. Таким образом, вопрос о том, нужно ли для общности реше-
решения B5) сохранить в нем функцию 0„, сводится к вопросу,
можно ли удовлетворить уравнению (у), какова бы ни была функ-
функция 0О, считая & гармонической же функцией.
Чтобы ответить на этот вопрос, допустим, что функции 0О и
$ разложены в ряды вида
(ф)
где ак — постоянная, k — может принимать всевозможные целые
значения, a Yk (а, [3) — такие функции от сферических углов а
1 Величина R • grad 9 может быть представлена так:
а& а& а* а» дг а» дг
R- grad » = * -37 +>-iy +г-^=х1Г-^-+^1г-^г +
a» dz
' dz дг
или, принимая во внимание, что
дг х дг у дг г
дх ~~ г ' ду ~~ г и dz ~ r '
можно написать
R.grad»= -^г -г-^
откуда и следует (у).
127
¦и р, что произведения вида rk Yk (а, C) удовлетворяют каждое
порознь уравнению Лапласа. Известно, что всякую гармониче-
гармоническую функцию в ряд этого вида в пределах заданной конечной
области разложить можно. Подставив (ф) в (у), можно видеть,
•что равенство (у) будет удовлетворено, если мы положим
ак =
4A — о) — к'
Если ни одно из целых чисел k не равно величине 4 A — а), то
только-что написанное равенство дает для всех ак решения
конечные. Если 4A—а) равно одному из целых чисел k, то
при соответствующем k множитель ак в ^ф) будет обращаться
в бесконечность. Это показывает, что соответствующий член
ряда для Ь в форме (ф) представить нельзя.
У всех реальных тел а лежит всегда в пределах
0<а<0,5.
Поэтому 4A — а) не выходит вообще из пределов
2<4A —а)<4,
и единственный случай, когда 4A — а) может оказаться числом
целым, есть случай
о = 0,25.
При этом значении а
4A-а) =3,
И, ПОЛОЖИВ
00= r3Y3 («,$),
мы не можем найти такой конечной во всем теле гармонической
•функции &, которая позволяла бы нам представить 0О в форме
равенства (у).
Все изложенное выше позволяет заключить, что если о ^0,25,
то функция 0О в решении B6) является лишней, с точки зрения
общности решения. Если же а = 0,25, то под 0О следует под-
подразумевать гармоническую функцию вида
Для упрощения разыскания функций 0t можно, конечно,
придавать функции 0О в равенстве B6) и более общие значения,
но сделав это, надо помнить, что мы сохранили в правой части
решения B6) больше функций, чем то нам необходимо для
того, чтобы функции 0,- определялись при заданном V одно-
однозначно. С этим особенно важно считаться тогда, когда задачу
предполагается решить путем разложения искомых функций
01, 02, 0з и 0о в бесконечные ряды, коэфициенты которых
определяются методом уравнивания коэфициентов при отдель-
отдельных фундаментальных функциях.
128
Ни для одного упругого тела ни одна из упругих постоян-
постоянных не может быть определена совершенно точно. Поэтому
всегда можно считать а хоть немного отличающимся от 0,25, а
при этих условиях за общий интеграл однородных уравнений
Ламе можно принимать
Vi = B-4(l1_g)grad(B • R), B7)
где
V2B =0.'
Подводя итог всему сказанному, видим, что общий инте-
интеграл уравнений Ламе можно записать в форме равенства
V = Vo + V1;
где Vo есть частное решение полного уравнения A7), выража-
выражаемое через любое частное непрерывное до третьих производ-
производных решение векториального уравнения
VaVaW0 = --? A8)
равенством
V0=V2W0-2Trir^- graddivW0, B2)
aVj есть общий интеграл однородных уравнений, получающих-
получающихся из уравнений Ламе при F = 0.
Этот общий интеграл однородных уравнений Ламе может
быть при а ф 0,25 выписан в форме равенства
^CB-R), B7)
где В— самое общее выражение гармонического вектора, т. е.
вектора
В = i0i + J02 + k03, (л)
все три составляющие которого, удовлетворяя уравнению Ла-
Лапласа
V20; = O, B4)
и непрерывны до своих первых производных включительно, а
R = ix+jy+kz B5)
есть вектор положения точки.
Если а = 0,25, то вместо B7) следует полагать
V1=B-4(]1_g) grad (В ¦ R + 0О) , B6)
где
0о = г3Уз(а> Р)
есть самое общее выражение гармонической функции размер-
размерности k = 3.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—4 36—9 129
Для упрощения решения в отдельных частных случаях мож-
можно, как сказано, подразумевать под 0О любую гармоническую
функцию, независимо от того, соблюдено ли равенство о = 0,25
или нет. Нужно, однако, помнить, что сохранение этой функции в
решении B6) может быть полезно для облегчения нахождения трех
составляющих вектора В из граничных условий задачи, но не
является необходимым для общности решения Ч
Решение B1), B2) и B6) является по сказанному выше одной
из возможных форм написания общего интеграла уравнений
Ламе. Оно обладает симметрией относительно всех координат.
В некоторых отдельных частных задачах симметрии этой не тре-
требуется, и решение может быть основано на ином выборе фун-
функции <|> в равенстве B3), чем даваемое формулой (н).
§ 7. Развернутый вид общего интеграла уравнений Ламе
Для сокращения выкладок предыдущего параграфа мы поль-
пользовались в нем некоторыми обозначениями векторного анализа.
Чтобы сделать более наглядным результат, полученный § 6,
выпишем выражения для всех трех составляющих вектора в
развернутом виде.
Пусть а0, v0, w0 три составляющих вектора уо;
Щ, Vi, и>\ . . . Vt;
Фь "Ps. Ф* • • • . Wo;
0i, 02. 0з » . В.
На основании B1), B2) и B6) можно написать
и = ио+ иъ
w = wo-\- wx.
B8)
Величинами и0, v0, w0 дается частное решение полных урав-
уравнений Ламе.
Величины эти определяются, согласно B2), зависимостями
«о =
2A
2A
-a)
1
-a)
1
дх
дф0
ду
—а) дг
B9)
1 Мы затрудняемся кому-либо приписать решение, даваемое равенствами
B1), B2), B6). Путем совершенно иных рассуждений, притом не в векториаль-
векториальной форме, первоначально с пропуском функции 0О и во всяком случае без
сделанной выше оговорки о роли функции 0О, оно было выведено еще в 1928 г.
в одной неопубликованной до 1932 г. работе проф. Г. Д. Гродского.
Впервые опубликовано оно, повндимому, было в наших заметках 1932 г.
и несколько позже в 1934 г. в Германии Нейбером. Поскольку в основном
оно получено былэ Г. Д. Гродским, его правильнее всего называть решением
Гродского.
130
где <J>lf ф2, фз СУТЬ любые (непрерывные до третьих своих про-
производных включительно) решения уравнений
2 2 = __*
V Т1 Q >
C0)
Через «1( Uj, ze^ входит в решение B8) общий интеграл
однородных уравнений, соответствующих уравнениям Ламе.
Величины ии юъ w1 определяются равенствами
=02
(* 01
02
^1=03- 4A-о) -^-
0о)>
0о),
C1)
4A-а)
где 0,- суть общие интегралы уравнений
V2 0t = 0, C2)
непрерывные до своих первых производных включительно.
Относительно 0О следует помнить сказанное в конце § 6.
Выражения B9) и C0) позволяют учесть действие приложен-
приложенных к телу объемных сил. Выражения C1) и C2) позволяют
подчинить все решения граничным условиям на поверхности
тела.
Если объемная сила имеет потенциал, т. е. если все три ее
проекции X, Y и Z могут быть приняты за три производные
по х, у и z соответственно от одной и той же функции Ф,
именуемой потенциалом объемных сил, то решение B9) и C0)
можно несколько упростить. Действительно, положив
х =
дх
Y =
дф
C3)
можно на основании C0) принимать за ^ц ^г и ^з в этом слу-
случае три производные по х, у и z от одной и той же функции У-,
удовлетворяющей уравнению
VVX—~. (а)
131
Но если
1 дА 1 дХ i дХ /*ч
ф1 = -д7; ф! = -фг; Ф8 = -ЗГ, (б)
то согласно C0)
^o=V2*, (в)
и согласно B9)
«о =
— а) дх '
1 — 2з <%
\ 2A — а) ~5]Г '
C4;
"О" 2A-a) <fe '
где в силу (а) и (в) <Ь0 есть любое частное решение уравнения
V2% = ~~, C5)
непрерывное до своих вторых производных.
Мы видим, таким образом, что если объемные силы имеют
потенциал, то частное решение, учитывающее влияние этих
сил, можно составить с помощью любого частного достаточно-
непрерывного решения уравнения C5).
В том частном случае, когда объемных сил к телу вовсе не
приложено, общий интеграл уравнений Ламе получает даль-
дальнейшее упрощение, так как в этом случае, очевидно, можно
в равенствах B8) полагать
Учет объемных сил требует вообще разыскания лишь част-
частных решений уравнений C0) или C5) и поэтому представляет
собою задачу сравнительно весьма простую. Гораздо труднее
удовлетворить граничным условиям на поверхности тела. К
рассмотрению этих условий и обратимся.
§ 8. Граничные условия, которым три перемещения тела должны
удовлетворять на поверхности
Можно себе представить три разных типа граничных усло-
условий, которым решение должно быть подчинено на поверхности
тела. Простейший вид имеют граничные условия в случае,
когда на поверхности тела заданы перемещения и, v и w. В
этом случае произвольные гармонические функции 0г в гра-
граничных условиях почти разделены. Действительно, найдя в
этом случае так или иначе частное решение уравнений Ламе
и0, v0 и w0 и зная для всех точек поверхности тела и, v и w,
мы можем легко определить с помощью равенств B8) вели-
величины uv vx и wx для всех точек поверхности.
132
Для определения гармонических функций 0* мы будем
иметь в этом случае уравнения
02-
1
= V - Vo,
03 -
(* 01 + У 02
03
C6)
4A —а) дг
которым и нужно будет удовлетворить во всех точках наруж-
наружной поверхности тела.
В том случае, когда по сказанному в предыдущем параграфе
можно функцию 0О, входящую в скобки равенства C6), счи-
считать равною нулю, возможно наметить следующий путь после-
последовательных приближений, ведущий к разысканию функций
0i» 02 и 0з из граничных условий C6).
Переписав равенства C6) в форме зависимостей
01 = « - Ио + , м!_„ч 7ГГ С* 01 +У02 + * 0в).
4 A-о)
02 = v - v0 + —J—-. .^jL (х 01 + у 02 + г 03);
1
C6')
0з = w - w0 + 4 A1 в) -^ (¦* 0i + у 02 + г 03),
поенебрежем вначале последними членами правой части ра-
равенств C6') и подчиним 01; 0'2 и 0з тем условиям, которым
должны на поверхности тела удовлетворять величины и — и0,
v — v0, w — Wq.
Так как значения последних на всей поверхности тела по
сказанному выше можно считать заданными, то для получения
указанного первого приближения придется три раза решить
задачу о разыскании гармонической функции, принимающей на
границах исследуемой области заданные значения, т. е. решить
три раза так называемую задачу Дирихле. Найденные таким
образом значения функций (обозначим их через 0\, 0°, 0°)
можно будет подставить в правую часть уравнений C6') и по-
посмотреть, какие поправки к граничным условиям для функций
0,- это даст.
После этого, нужно будет посмотреть, какие поправки надо
придать к самим функциям 0lt 02 и 03, чтобы эти поправки
приняли на границах рассматриваемой области те значения, ко-
которые на них принимает вектор, составляющими которого
являются величины
4A—а) дх
133
или, что то же, век тор
grad(^70f-)-
Пусть эти поправки суть 0[, 0\, 0's. Подставив найденные
0i в правую часть равенств C6'), можно будет после этого
посмотреть, какие новые поправки в граничные условия это
вносит, и затем, путем решения соответствующих задач Ди-
Дирихле определить к гармоничным функциям 0Ъ 02, 03 новые
поправки, принимающие на границах тела те же значения, что
и соответствующие составляющие вектора
4A-а)
и т. д. Если этЬт процесс окажется сходящимся, то за иско-
искомые 01( 02, 0зЛможно будет принять
02=02+02+ 02+- ••
03 = 0? + 08+08 +•••
Можно предполагать, что указанный процесс будет всегда
сходящимся. Действительно, в то время как вихрь и дивер-
дивергенция вектора
являющегося поправкой ?-го приближения, могут быть какими
угодно, вихрь вектора
grad (— — 1,
& \ 4A-а) /'
4A-а)
граничными значениями которого определяются дальнейшие к
решению поправки, не имея вовсе вихря (так как curl grad ( )=0)
отличается в 2A — о) раз меньшей дивергенцией, чем вектор
Величина же 2A — о), как мы то уже видели, всегда больше
единицы. Таким образом, вектор, заставляющий нас после по-
получения какого-либо приближения переходить к приближению
следующему, всегда значительно „беднее" того вектора, с по-
помощью которого мы добиваемся в рассматриваемом приближе-
приближении удовлетворения граничных условий как в отношении ди-
дивергенции, так и подавно в отношении своего вихря.
Надо поэтому полагать, что вносимые им нарушения гра-
граничных условий всегда будут меньше того нарушения, которое
исправлено в рассматриваемом приближении, а процесс после-
134
довательных приближений, намеченный выше, будет всегда
процессом сходящимся. Соображения, изложенные выше, ко-
конечно, ни в какой мере не претендуют на то, чтобы быть до-
доказательством возможности решения прямой задачи теории
упругости, когда на поверхности тела заданы перемещения.
Строгие доказательства разрешимости этой проблемы были
даны Корном и Лихтенштейном и изложены вкратце в недавно
вышедшем русском переводе статьи Треффца „Математическая
теория упругости", к этому переводу и можно отослать инте-
интересующихся этими доказательствами. Целью приведенных выше
рассуждений было лишь показать, с какого, примерно, порядка
трудностями связано вообще решение основной задачи теории
упругости в случае, когда на границах тела заданы перемеще-
перемещения. Намеченный здесь путь решения этой задачи, во всяком
случае, не более сложен чем тот, которым шел Корн. Он тре-
требует многократного решения задачи Дирихле, что, хотя и воз-
возможно, но само по себе не легко.
В таком состоянии находится вопрос о решении основной
задачи теории упругости в том случае, когда на границах тела
заданы перемещения. Граничные условия получаются значи-
значительно более сложными в тех случаях, когда на границах тела
заданы не перемещения, а, как обычно, напряжения. Желая-
выяснить, каким условиям должны удовлетворять на границах
тела искомые перемещения в этом случае, мы должны ввести
и, v и w в уравнение B) вместо компонентов напряжения Хх,
Yy,...Zx. Воспользовавшись для этого равенствами E), получим,
очевидно,
V п Г 2j «/I»/ ди . (ди . dv \ lew ди \ "I
Л, = U \ г- Ot -f- 2i -; f- ( -г f- -г— ) ГП + I -r \- -г— I tl ,
Ll — 2a ' дх ' ч dy ' dx I ' \ dx ' dz J J'
r, _ o[^m+^ + (^ + f) .+ (*- + ?) i].
Равенства эти, как нетрудно видеть, равносильны зависи-
зависимостям
Но
а сумма /и-f mv-\- nw есть, очевидно, не что иное, как проек-
проекция перемещения на нормаль v. Обозначив эту проекцию,
135
через р, т. е. приняв
/и + mv + two = р,
можно придать найденным выражениям для Х^, Kv и Z, вид
J,
if. 4-—-I--^-1 >
дч ^ дч ^ dx
= G
= G
2а
1 — 2a ' дч
2a ft dz
+?+?!¦} <37>
Ясно, что в этих граничных условиях произвольные гармо-
гармонические функции 0i, входящие в иъ vx и wlt еще менее раз-
разделяются, чем в граничных условиях C6'). Поэтому решение
прямой общей задачи теории упругости в этом случае еще бо-
более затруднительно, чем когда на поверхности тела заданы
перемещения. Во многих случаях можно, однако, встретиться
и с еще более сложными типами граничных условий. Это тот
случай, когда в одних точках тела заданы напряжения, а в дру-
других перемещения. Этот случай, именуемый случаем смешанных
граничных условий, объединяет собою оба частных случая, рас-
рассмотренные выше.
Совершенно ясно, что в случае смешанных граничных усло-
условий нахождение произвольных гармонических функций, входя-
входящих в общий интеграл уравнений Ламе, должно представлять
еще большие математические трудности, чем в обоих случаях,
рассмотренных выше. Трудностям, связанным с разысканием
трех произвольных гармонических функций 0,-, из граничных
условий задачи, следует приписать то, что прямая задача тео-
теории упругости в ее общем виде до сих пор не решена. Вслед-
Вследствие этих же именно трудностей нам и приходится до сих
пор довольствоваться в теории упругости лишь получением
отдельных частных решений для отдельных частных задач, решае-
решаемых в большинстве случаев полуобратным методом Сен-Венана.
§ 9. Общее выражение для шести компонентов напряжения
Общее решение уравнений Ламе, рассмотренное нами в
предыдущих параграфах, должно быть, конечно, одновременно
и общим интегралом системы уравнений § 2. Чтобы составить
общий интеграл этих последних, т. е. уравнений A) и A0),
достаточно подставить решение § 7 в E). Нетрудно видеть,
что результат этой подстановки может быть приведен к виду
Л-х = Л-х "Т Х-х , Ху = Ху "Г Ху , j
Yy=Y'y+Y'y, YZ = Y'Z+Y"Z, I C8)
2г = Zz + Zz, Zx = Z'z = Zx ,
136
Здесь через Хх, Yy...Z'v обозначено частное решение неукоро-
неукороченных уравнений A) и A0), получающееся путем подстановки
в E) вместо и, <v, w функций и0, <у0 и w0, даваемых равен-
равенствами B9). Этой частью решения учитывается влияние объ-
объемных сил. Через.А^,}^.. .Z"x входит в решение общий интеграл
однородных уравнений, соответствующих уравнениям A) и A0).
Распоряжаясь им, мы и должны подчинить компонетны напря-
напряжения Хх, Yy..., Zx C8) всем граничным условиям.
Упомянутое частное решение X', Y',...Z'X кожет быть вы-
выписано так:
1
Yy=2G
Xv =2G
2 A - a)
2A—<
I д
?0
2 V \ ду + дх ) 2A—о) дждуу
у, = 20 [},. (*¦
2A—a) dydzj'
1 d2 Ф„1
2 A — а)
C9)
где ф4 даются частными решениями системы C0).
Что же касается общего интеграла однородных уравнений
теории упругости, т. е. величин Х"х, Y"y,...Z"x, то, как легко ви-
видеть из C1) и E),
2G
602 | ^03
1
ду 4A— а) ду дг
(X 0!+ V 02 + Z03+0o)
¦]¦
*¦
[т
L D0>
где 01; 02, 0з и 0О — произвольные гармонические функции,
подбираемые из граничных условий (о функции 0О следует
помнить сказанное в конце § 6).
Заметим, что вместо того, чтобы расчленять общее реше-
решение основных диференциальных уравнений теории упругости
137
на две части, как то нами только что сделано, мы могли бы
принять, что общий интеграл этих уравнений дается просто
выражениями C9).
При этом, однако, под tyls <]>2. ty3 мы должны были бы подра-
подразумевать не частные решения уравнений C0), а их общие инте-
.гралы. Функции <]>f заключали бы при этом в себе, как то уже
выяснено в § 7, ряд таких функций, которые никакого влия-
влияния на напряжения Хх, Yy,...Zx не оказывают, и определялись
бы при этом граничными условиями, конечно, неоднозначно.
'Получаемое таким образом решение найдено было иным путем
Б. Г. Галеркиным.
В том частном случае, когда объемные силы имеют потен-
потенциал, частное решение C9) несколько упрощается. Действи-
Действительно, мы уже видели выше в § 7, что в этом случае
0^
где 4 есть частное решение уравнения
У2^ = Ф, C5')
а Ф есть потенциал объемной силы.
Подставив C4') в C9), мы получим для этого случая сле-
следующий вид частного решения, учитывающего влияние объем-
объемных сил:
у 1 — 40 О'У
Лу~ T^Vdxdy'
У _ _ 1 —
1_а
7' = — '2
х
D1)
1—адгдх'
где <]> определяется равенством C5').
Это решение остается, конечно, частным решением уравне-
уравнений A) и A0) даже в том случае, если бы мы условились под-
подразумевать в нем под <]> не любое частное решение уравнений
C5'), а общий интеграл последнего.
§ 10. Влияние неравномерности нагрева тела. Уравнения
Дюгамеля-Неймана
До сих пор мы предполагали, что исследуемое нами тело
во всех своих точках имеет одну и ту же температуру.
Обратимся теперь к рассмотрению более общего случая,
когда тело нагрето неравномерно.
138
Будем при этом предполагать, что нагрев тела не слишком
¦велик и поэтому не изменяет механических качеств материала.
Благодаря неравномерности нагрева в теле возникают неко-
некоторые дополнительные так называемые тепловые напряжения.
Чтобы их определить, допустим, что рассматриваемое тело
рассечено нами мысленно на ряд элементарных параллелепипедов,
настолько малых, что каждый из них можно считать нагретым
равномерно. Ограничиваясь рассмотрением тел изотропных, мы
можем допустить, что если бы каждый из этих параллелепипедов
.мог деформироваться самостоятельно, то его деформация ха-
характеризовалась бы компонентами
= <xt, exy = 0,
еуу
= a.t,
eyz
= 0,
(а)
ezz = it, ezx = 0,
где а —коэфициент линейного теплового расширения.
Деформацию, определяемую равенствами (а), будем называть
чисто тепловою.
Тело можно нагреть так, что из его отдельных элементар-
элементарных параллелепипедов, деформированных вышеуказанным обра-
образом, никакого сплошного целого собрать будет нельзя без по-
появления в теле дополнительных упругих деформаций ехх,
еУу,... ezx, связанных с возникающими в теле напряжениями
Хх, Yy, ... Zx законом Гука
Ху = Gexy,
Yz = Ge'yz,
Zx = Gezx,
F)
где
в = exx + eyy + ezz. (в)
Условию сплошности тела будут при этом удовлетворять
конечно, не чисто тепловые деформации ехх, еуу, ... ezx и не
вызываемые их появлением тепловые упругие дефор-
деформации е'хх, e'yy,...e'zx, а их сумма
е„ = е'тг 4- е*х, ех„ = ех„ А- ех
ху
еху,
— &уу г
@yz — Gyz "T"
ezz,
= ezx + ezx.
139
Эти полные деформации и будут связаны с перемещениями
и, v и w уравнениями Коши G)
du
dx
dv
^Г
dw
ezx —
dy ' dx '
dv dw
'dz + ~dy~'
dw , du
Определив из (г) величины е'хх, е'уу,... ezx и исключив из
полученных выражений е'хх, е'т, . . . e'zx с помощью (а), а е^
вуу, ¦•¦ezx с помощью G), видим, что в случае неравномерного
нагрева
<•' ди at, exy=^
dx
dv
Р = *1_,
dv
dw
dx~
dx '
dw
' dz'
(Д)
что по подставке в (б) дает ту связь между перемещениями и
напряжениями
r-
D2)
которая и должна иметь место в случае неравномерности на»
грева изотропного упругого тела. Исключив с помощью D2)
напряжения из уравнений равновесия A), мы вместо уравнений
Ламе получим следующие:
+
=2sЖ
1
db_
1 — 2G dy
Л
G l
Z ,
+
-2.
2=
«)
5
dx
'I
D3)
140
Уравнения D3), выведенные впервые, повидимому, Нейманом,
опубликованные же впервые Дюгамелем (будем их называть
уравнениями Дюгамеля-Неймана), можно заменить векториаль-
векториальным уравнением
V2V + ^ grad div V= - ^ + г\х+? grad (а*). D4)
Сравнивая D4) с A7), заключаем, что неравномерность нагрева
тела равносильна (если этот нагрев тела не столь велик, чтобы
отражаться на механических качествах материала) добавлению
к объемным силам, фактически на тело действующим, некото-
некоторой фиктивной объемной силы, пропорциональной градиенту
температуры.
Не следует при этом упускать из виду дополнительных
членов в выражениях D2), связывающих напряжения с переме-
перемещениями. Благодаря этим то именно членам и появляются в
уравнениях Ламе упомянутые фиктивные объемные силы.
Поэтому правильнее было бы сказать, что неравномерность
нагрева вызывает появление дополнительных членов, пропор-
пропорциональных температуре в уравнениях D2j, заменяющих при
неравномерном нагреве закон Гука, и фиктивной силы, про-
пропорциональной градиенту температуры в уравнениях Ламе.
§11. Общий интеграл уравнений Дюгамеля-Неймана
Благодаря появлению в результате неравномерного нагрева
указанных выше дополнительных членов как в уравнениях D2),
так и в уравнении D4), получается некоторое дополнительное
слагаемое и в общем интеграле вектора перемещения V. По-
Последний в случае неравномерного нагрева будет выражаться,
очевидно, уже не равенством B1) § 6, а равенством
V = Vo+ \г+ V2, D5)
где Vo и Vx имеют смысл тот же, что и в § 6, а членом Va
учитывается появление в уравнениях Ламе дополнительного
члена, зависящего от at.
Следуя схеме § 6, естественно искать V2 в форме равенства
V2 = V2 W2 - ^Ь^- grad div W2, (a)
где W2 есть частное решение уравнения
v2 v2w2 = ^1~г
Таким частным решением является
если х есть решение уравнения
141
Подставив (в) в (а), получаем, однако,
V2 = grad V2x - -2A!_в) grad divgrad z =
Как показывает равенство (д), для нахождения искомого'
вектора У2нам нет необходимости находить обязательно W2.
Достаточно разыскать V2x- Пусть
v2X = i_J-ш- (е)
Тогда, на основании сказанного выше [см. в частности равен-
равенство (г)] можно будет под ш подразумевать любое частное, не-
непрерывное до своих вторых производных, решение уравнения
V2co = a^, D6)
равенство же (д) примет вид
или же, что то же,
D7)
Неравномерность нагрева всякого изотропного следующего
закону Гука тела, не нарушающая механических качеств мате-
материала, может, следовательно, быть учтена добавлением к об-
общему выражению для вектора перемещения, найденному в § 6
дополнительного вектора Va= i м2 + j v2 + k«>2, слагающие кото-
которого согласно D7) можно считать определяемыми равенствами
и, =
— адх '
¦а ду'
z дч>
~^~дг'
D8)
Здесь ш есть достаточно непрерывное (см. выше) частное ре-
решение уравнения D6).
В развернутом виде общий интеграл уравнений Дюгамеля-
Неймана, в случае неравномерного нагрева, выписывается таким
образом не в форме равенств B8), а в форме
и = и0 + «! + на,
w
D9)
142
где и2 V2 и W2 определяются равенствами D8), а все прочие
величины имеют тот же смысл, что и в B8).
Дополнительные слагаемые, получающиеся в результате
неравномерного нагрева, как в равенствах D2), так и в равен-
равенствах D9), обусловливают появление некоторых дополнительных.
членов и в общем интеграле для компонентов напряжения.
В случае неравномерного нагрева тела общий интеграл для»
компонентов напряжения принимает вид
Хх — Хх 4- Хх-\- Хх , Ху — Ху 4- Ху-{- Ху,
Yy = Y'v+ Y'y+ Yy YZ=Y'Z + К + Y'l,
Zz — Z-z + Z-z + Zz, Zx = Zx-\- Zx -\-Zx,
E0>
где величины Xx, Yy,...Zx, а также А^, Y"y,...Z"x имеют со-
совершенно тот же смысл, что и в равенствах C9) и D0) § 9, а
членами А"*, Yy,...Z'x учитываются дополнительные напряже-
напряжения в результате неравномерности нагрева. Для этих дополни-
дополнительных членов, как показывает простая подстановка выраже-
выражений D8) в D2), можно получить следующее общее выражение
ОП Р + ° ^ Л " A + g) V7 2m 1
= 2G \ + V2<»
I — 2s) A — a)
1 — 2s
1 —
?>2а)
1 —
или, принимая во внимание, что в силу D6)
Лх Т^П \dW + Ш
д2а> \
7"
~ 1 — г (dl2^ ~"~ dy2
? d2a>
^' =
E1)
— a dzdx '
143
Как уже отмечено, под ш следует подразумевать в равенст-
равенствах E1) любое непрерывное до своих вторых производных част-
частное решение уравнения D6).
Результат этот был получен впервые, повидимому, Борхар-
том.
12. Заключительные замечания
Подведем итог основным положениям настоящей главы.
Мы рассмотрели в настоящей главе структуру системы основ-
основных уравнений теории упругости. При этом было отмечено,
что наиболее просто решается так называемая обратная задача
теории упругости, решение которой может потребовать в каж-
каждом случае интегрирования лишь уравнений Коши G), что, как
уже отмечено выше в главе И, особых затруднений не пред-
представляет.
Решение прямой задачи теории упругости приводится, на-
наоборот, к интегрированию довольно сложной системы диферен-*
циальных зависимостей и может быть производимо либо мето-
методом непосредственного определения напряжений, либо же
методом непосредственного определения перемещений.
Первый из этих двух методов требует совместного нахож-
нахождения шести неизвестных функций Хх, Yy, ... Zx из девяти дифе-
ренциальных уравнений, а именно трех диференциальных урав-
уравнений равновесия A) и шести диференциальных зависимостей
Бельтрами-Майчела. В этом случае, однако, в первую очередь
разыскивается интеграл, задачи ,,мене«е, высокого порядка, чем
• в случае непосредственного разыскания перемещений, и если
на поверхности тела заданы напряжения, то граничные условия
на поверхности тела получаются довольно простыми.
Вторая из двух упомянутых схем (схема непосредственного
определения перемещений) требует интегрирования несколько
более простой системы диференциальных уравнений, а именно
интегрирования лишь трех уравнений Ламе.
. Общий интеграл этих уравнений может быть представлен
в форме равенств
V =
¦)•
1 д (di/^ д<Ь2 д<Ь3 \
'2A — з) дг \ дх * ду ' дг )
2 A — и) ду \ дх ~ ду ~ дг
д<Ь
B9)
где под tyi следует подразумевать общие интегралы уравнений
t _ _ х ,
'х (J
а
z
C0)
144
в которых функции разделены. В этом отношении уравнения
C0), которыми определяются функции <]*i# проще даже уравне-
уравнений Ламе, но порядок уравнений C0) в два раза выше порядка
уравнений Ламе. Разыскание трех функций <j»,- практически рав-
равносильно поэтому разысканию интеграла в два раза более вы-
высокого порядка, чем даже тот, каковым являются три соста-
составляющих перемещения.
В некоторых задачах совместное разыскание шести функций
Хх, Yy,..., Zx из девяти соответствующих диференциальных
уравнений может оказаться более простой задачей, чем не-
непосредственное разыскание трех перемещений и, v и w, хотя
и определяемых более простой системой диференциальиых
уравнений, но -зато являющихся интегралом более высокого
порядка.
Детальное исследование решения Буссинека, даваемое ра-
равенствами B9) и C0), показывает, что для получения общего
интеграла для вектора перемещений, а следовательно, и шести
компонентов напряжения, нет необходимости разыскивать не-
непременно общие интегралы уравнений C0), а достаточно
к любому в должной степени непрерывному частному решению,
даваемому равенствами C0) и B9), прибавить решение типа
C1)
где 0V 02 и 0з ТРИ независимых общих интеграла уравнения
Лапласа.
а 0О должно быть удерживаемо в C1) только при з = 0,25
причем в этом случае под 0О следует подразумевать наиболее
общее решение уравнения
V20O = O,
являющееся однородной функцией третьей степени относи-
относительно л, у и г.
Три функции 0; независимы в том смысле, что они в ди-
диференциальных уравнениях, их определяющих, разделяются.
Функции эти являются интегралами уравнения Лапласа, по-
порядок которого совпадает с порядком уравнений Ламе и со-
составляют в задаче теории упругости интеграл того же порядка,
что и три перемещения и, v и w.
С напряжениями на поверхности Хч, Fv и Zv неизвестные
перемещения и, v и w связаны равенствами C7), а три функции 0,-
равенствами C8), C9) и D0). Таким образом, в граничных усло-
условиях на поверхности тела функции 0; не разделены.
П. Ф. Папкови1!, Теория упругости—436—10 [45
Граничные условия, связывающие функции 0, с напряже-
напряжениями на поверхности тела, значительно сложнее алгебраиче-
алгебраических равенств B), связывающих напряжения на поверхности
тела с компонентами деформации. Это обстоятельство является
одной из причин, по которым непосредственное интегрирование
уравнений A) и условий Бельтрами-Майчела,A0) может быть
в отдельных частных задачах удобнее разыскания трех функ-
функций 0j или трех составляющих вектора перемещения и, 13 ц. w.
Вообще задача о разыскании трех гармонических функций 0,-
из тех условий, которым они должны удовлетворять на по-
поверхности тела, является в настоящее время основным камнем
преткновения, лежащим на пути получения полного решения
общей прямой задачи теории упругости.
Неравномерность нагрева тела, если она jh§ нарушает его
однородности, имеет своим последствием появление в общем
интеграле диференциальных уравнений теории упругости допол-
дополнительных легко вычисляемых членов, рассмотренных в § 11.
Учет неравномерности нагрева поэтому не труднее учета влия-
влияния объемных сил. Если для какого-либо тела контурная за-
задача теории упругости может быть решена, то для этого тела
нетрудно учесть как влияние каких угодно объемных сил, так
и влияние неравномерности нагрева. Все дополнительные члены,
учитывающие влияние объемных сил, а равно и неравномер-
неравномерности нагрева, нужно, конечно, прибавлять к общему интегралу
до определения входящих в него произвольных функций и
постоянных, а не после того, как они найдены. Поэтому до-
добавление к силам, распределенным по поверхности тела, сил
объемных, а равно и изменение нагрева тела требует каждый
раз нового решения-контурной задачи теории упругости, т. е.
определения из граничных условий всех произвольных функций
и постоянных, входящих в общий интеграл основных уравнений
теории упругости.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Задача 1. Дать подробный вывод формул C9), связывающих компо-
компоненты напряжений Хх, Y'y> ... Zx с функциями Буссинека ф,-.
Задача 2. Дать подробный вывод формул D0), связывающих в случае
отсутствия объемных сил компоненты напряжений Хх, Yv, ... Zx с гармони-
гармоническими функциями 0Г.
Задача 3. Дать подробный вывод формул D1), связывающих част-
частное решение для компонентов напряжения Хх, Y , . .. Zx с потенциалом
объемной силы Ф.
Задача 4. Проверить, что решение C9) действительно удовлетворяет
уравнениям равновесия элементарного параллелепипеда, а также условиям
Бельтра ми-Майчел а.
Задача 5. Проверить, что решение D0) действительно соответствует
случаю, когда Х= Y = Z=Q, т. е. удовлетворяет в этом случае как уравне-
уравнениям равновесия, так н условиям Бельтра мн-Майчела.
Задача 6. Дать подробный вывод уравнений Дюгэмеля-Нейманг.
Задача 7. Получить зависимость, связывающую непосредствеиио на-
напряжения Хч, X, и Z.t с тремя функциями Б>ссинека.
146
Ответ. Из равенств B) и C9) можно получить
v ду 1 — о ти/ 1—з 0у 0v '
E2)
где
E3)
Задача 8. Вывести из формул E2) н E3) формулы C9), дающие связь
между шестью компонентами напряжения и функцнямн Буссииека 4^.
Задача 9. Получить зависимость, связывающую, в случае отсутствня
объемных сил, напряжения A"v, Y4 и Z,t иепосредствеиио с гармоническими
функциями 0t.
Ответ. Из равенств C7) следует
Х„ =
где
00,
00,
д0,
1
02 '
0v =
0 =
2A
2A
2A
10
х 0
и
— т)
— 3)
3
-3)
+т
1+У
-/V2
-nV
0И
0 -^
Я Г*1
-П0з,
(-2 03
2A
2A
2A
+ 0
1
— а
1
— 3
1
—- 3
I
„1
03
) 0JC0V
02
1 0>- 0V
) 02 0V
0
0j
.0
E4)
E5)
Задача 10. Вывести из формул E4) и E5) формулы D0), связывающие
в случае отсутствия объемных сил, шесть компоиеитов напряжения Хх, Уу, ... Zx
с гармоническими функциями 0V
Задача 11- Выяснить, какие дополнительные члены прибавляются к об-
общим выражениям для X.,, Уч hZ, функцией ш, учитывающей неравномер-
неравномерность нагрева тела.
Решение. По аналогии с выводом формул C7), заключаем
где
р = hi
nw.
147
Подставив сюда
где
получаем
w =
-о ду'
— о dz '
V2") = at,
1—и V
Vя• _ ?
д2ш \
— /а/ ) ,
— та/ j,
дх дч
D8)
D6)
E6)'
[ —,о v ду dv
Z' = T=V {~дТдТ ~ mt) •
Задача 12. Вывести из выражений E6) формулы E1).
Задача 13. Принимая за ф4 частные решения уравнении
X Y Z
G ' '' G G '
составить для напряжений на поверхности ЛС,, Уч, Z., общие выражения
аналогичные выражениям E0) дляДкомпонентов напряжения.
Ответ.
к -г с.
где X,t , Y,t , Z,, определяются равенствахш E2) и E3),
К . К , К , , E4) и E5),
<", К", <' . . E6) и E7).
Задача 14. Кори дал доказательство существования решения основных
уравнений теории упругости, исходя из следующего общего решения урав-
уравнений Ламе, относящегося к случаю отсутствия объемных сил
E7)
1 — 2з \ ду
w =
Здесь 0| три общих интеграла уравнений Лапласа a /t три частных реше
ния уравнений
0| р
ния уравнений
_ д02 d0z
V /д "" dz ~ ду '
E8)
Решением этим до Кориа пользовался во многих частных задачах Ламе.
Вывести из этого решения Ламе решение Буссннека.
Решение. Допустив, что V, U и В суть векторы, определяемые тем, что
V = i и + j v +k w,
B= 101+j 02 + k03,
можно равенствам E7) и E8) придать вид
У = В+Т-Ц: curl U, E7')
у*и=— curl В, E8')
где curl U и curl В — внхрн векторов U и В, определяемые тем, что
— ¦ (if-1- ?¦) +1 №- #)+k (&- f)¦
В силу определения вектора U можно положить, что
U =curl P, (б)
где Р — некоторый вектор, связанный, согласно E7') с V и'В зависимостями
V = В + ¦: =- curl curl P (в)
1 ~~* Л&
V* curl Р = — curl В, (г)
причем под Р, по определению U, нет необходимости подразумевать об-
общее решение уравнения (г).
Положив
V2 Р = — В (д)
и приняв во внимание, что
curl curl ( ) = grad div ( ) — V2 ( ),
нетрудно видеть, что (в) равносильно равенству
V = Bi-f , Х » ?rad dlv P — —i—- V2 Р =
1 — 2я 1 — 2с
vr-^-_l<l?L.!Lv!!P. (e)
Положим в (е)
-"r-~2?p=w. . W
тогда будем иметь вместо (е)
V =•' V2 W — , ' grad div W,
149
в чем нетрудно узнать решение Буссинека, ,так как в силу определе-
определения В, а также равенств (д) и (ж) В есть общий интеграл уравнения V» В = О,
a W подчинен исключительно лишь уравнению
vv2 w = о,
как то и должно быть в решении Буссинека, если объемных сил нет.
Задача 15. Вывести решение Ламе из решения Буссннека.
Решение. По Буссинеку в случае отсутствия объемных сил
V = V2 W —57Г Г 8rad div W>
где
V2V2 W=0.
Воспользовавшись зависимостью
grad div ( ) = curl curl ( ) + V2 ( ) (a)
можно этому решению придать вид
V = — V2 Р + , * о curl curl Р, F)
где Р определяется зависимостью
Р~ 2A-в) W' (B)
и, очевидно, должен также удовлетворять уравнению
V2V2 Р = 0. (г)
Обозначив теперь
V2 Р = - В. (д)
видим, что
V = В + ' : curl curl Р, (е)
где В удовлетворяет уравнению
V2B=0. (ж)
В силу (д), однако, должно быть
V2 curl Р = curl v2 Р = — curl В. (з)
Поэтому, введя обозначения
(и)
будем иметь
где в силу (з) и (и)
уг и = — curl В. (л)
В равенствах (к) и (л) нетрудно узнать уравнения E7') и E8'), т. е. ре-
решение Ламе. Остается лишь показать, что в (к) можно подразумевать под U
любое частное решение уравнения (л), если В общий интеграл уравнения (ж).
Это следует из того, что общность решения (б) не зависит от того, ка-
какое бы частное решение уравнения (д) мы ии приняли за вектор Р.
Задача 16. Лихтенштейн в своем доказательстве существования реше-
решения основных уравнении теории упругости исходил из того, что в случае
150
отсутствия объемных сил функции
ХО . уЬ Z»
"+2A—2а)' U+2(l—2з)' W+ 2A—2ч;
должны удовлетворять уравнению Лапласа. Доказать это положение.
Решение. В случае отсутствия объемных сил, уравнения Ламе прини-
принимают вид равенств
Отсюда следует, что в, связанное с и, с и ш» зависимостью
du dv dw
удовлетворяет уравнению
V2) = 0.
Принимая это во внимание, можно видеть, что первое из уравнений Ламе
равносильно уравнению
чем и доказывается одно из равенств, подлежащих выводу.
Прочие два следуют из двух остальных уравнений Ламе.
Задача 17. Выяснить общую зависнмость, связывающую вихрь и ди-
дивергенцию вектора перемещения с вихрем и дивергенцией вектора объемной
силы.
Решение. Из уравнения Ламе
следует
V2 curl V = — -t- curl F,
F0)
Задача 18. Показать, что в случае отсутствия объемных сил curl curl V
можно принимать за градиент некоторого скаляра.
Решение. В случае отсутствия объемных сил уравнения Ламе обраща-
обращаются в векторальное уравнение
V2 V + ' grad div V = 0,
которому, пользуясь тождеством
grad div ( ) = curl curl ( ) + V2( )
можно придать вид
curl curl V =—г s— grad div V.
1 — 2l
Задача 19. Показать, что в общий интеграл однородных уравнений
Ламе можно, следуя Дюпону, ввести три гармонических функции <•, <г, и с3,
принимая: ,
151
а) функцию В равной дивергенции искомого вектора перемещения
0 = divV;
б) функцию % — тому гармоническому скаляру, с точностью до градиента
которого определяется curl V своим уравнением
curl curl V = 2A ~g) grad ';
в) функцию #fi — тому гармоническому скаляру, с точностью до градиента
которого определяется вектор V своими вихрем и дивергенцией.
Решение. Принимая во внимание тождество
curl curl ( ) = grad;div( ) — V2 ( ), (а)
нетрудно видеть, что и случае отсутствия объемных сил уравнение Ламе
можно выписать в форме равенства
curl curl V = ЩХ ~g) grad div V. (б)
Положив
0 = divV, (в)
в силу (б) будет иметь
V2 9 = 0. (г)
Примем 0 за общий интеграл уравнения (г). Тогда будем иметь для
определения V уравнения
curl curl V = 2[A_^^ grad 0 (д )
"и
divV = 0. 1в)
Вводя обозначения
U = curl V, (e)
получаем для определения U уравнения
curl U = ¦2,(!_~88) grad 'I (ж)
и
div U = 0, (з)
вытекающие из (д) и тождества
div curl ( ) = 0. (и)
Чтобы разыскать U, положим
U = curl К + grad э5 (к)
где К и з требуется разыскать, и подставим (к) в (ж) н (з). Принимая во
внимание (а), (и), а также тождество
curl grad ( )=0, (л)
нетрудно видеть, что в силу (ж) и (з) должно быть
152
grad div К - V2K= 21П_Г2Г) grad "' (м)
V2 « = 0. н)
В силу (л) достаточно определить К с точностью до градиента любого.
гармонического скаляра как слагаемого. Поэтому можно принять
div К = 0, (о>
тогда вместо (м) будем для определения К иметь уравнение
Приняв за К любое достаточно непрерывное частное решение уравне-
уравнения (п), одиовремеиио удовлетворяющее условию (о) (такое решение всегда. _
можно найти, так как в силу (п) и (г)
V2 div К = - Щ1^- div grad О = - Щ^ V2 9 = о) ,
I — 2а 1 — 2з J
можем считать К известным. Что касается <f, входящего в равенство (к), то-
в силу (и) можно принять
? = ?i. (P>
где ъх—общий интеграл уравнения (и). После этого, для нахождения V
будем иметь в силу (е), (к) и (р) уравнения
curl V = curl К + grad cpI( (с)
div V = в, (в>
для решения которых примем
V = curl L + grad « (т>>
Подставив (т) в (с) и (в), нетрудно видеть, что L и ю должны удовле-
удовлетворять уравнениям
curl curl L = grad div L — V2 L = curl К + grad ej. y).
div grad m = V2<» = 0. (ф).
Так как L достаточно знать с точностью до слагаемого в виде градиента
любого скаляра, то можно принять за L любое частное достаточно непрерыв-
непрерывное решение уравнения
V2L = — curl К — grad-5b (ц>
одиовремеиио удовлетворяющее условию
div L = 0. . (ч>
Для определения <д мы получили уравнение (ф), в силу которого можем
принимать
ю = 9, -)- ®з
де у3 — общий интеграл уравнения
V2 ?я = О, (Ш:>
»2 — любое частное достаточно непрерывное решение уравнения
V2?, = fl. (щ)
Сказанное лишний раз доказывает, что в общий интеграл однородных урав-
уравнений Ламе действительно входят лишь три гармонических фуикиии и,
?i и «3.
153,
Решения, определяемые каждой из трех гармонических функций Дюпона,
«отличаются совершенно определенной векториальной структурой вектора пе-
.ремещення V. Действительно, функцией ер, вводится в состав вектора V.
вектор, не имеющий нн дивергенции, ни вихря, функцией <fx в состав V
вводится вектор, имеющий вихрь, но не имеющий дивергенции. Наконец,
функцией 6 в состав V вводится вектор, у которого и дивергенция и вихрь
ютличны от нуля. С точки зрения анализа векторнальной структуры общего
интеграла уравнений Ламе решение Дюпона имеет известные преимущества,
но произвольные гармонические функции t и f, вводятся в него не ийпо-
¦средствеино, как в решении Гродского, а в правые части уравнений Пуассона
(п) и (щ). Это существенный недостаток решения Дюпона, не исключающий
однако, возможности его использования в отдельных частных случаях. По-
•следнее, однако, не ново: предложенный Дюпоном путь введения в рассмот-
рассмотрение трех гармонических функций был в ряде задач использован еще Ламе.
Задача 20. Получить из решения
"V - в - 7(Т~7) grad(B • R + 0O) B6)
все три решения, определяемые в решении Дюпона (см. задачу 19) функ-
функциями 6, срх и фа.
Ответ. Чтобы получить решение, определяемое функцией <ра, достаточно
положить в решении B6)
В = 0,
00 = ?3-
Чтобы получить решение, соответствующее функции ер1( достаточно положить
•в ,B6)
div В = 0,
Решение, соответствующее у Дюпона функции 8, получается из B6),
если принять
Задача 21. Максвел показал, что в случае отсутствия объемных снл
уравнениям равновесия параллелепипеда можно ^удовлетворить, полагая
F1)
* dx* + dy* ' * ~
дх* ' dy' ' х дхду- )
Убедившись в том, что равенства F1) уравнениям равновесия действи-
действительно удовлетворяют, иайти условия, налагаемые на функции <о. сплош-
сплошностью тела.
Ответ. Из уравнений Бельтрамн вытекают для максвеловских функций »(
-следующие зависимости;
а54
Задача 22. Показать, чго решение Максвела F1), F2) можно получить
исходя из следующего общего выражения для перемещеняй:
Id
F3)
Решение получается путем подстановки и, v и w из равенства F3)
е связь между перемещениями и напряжениями.
Задача 23. Вывести нз решения Максвела F1), F3) решение B6).
Ответ. Для вывода решения B6) из решения Максвела достаточно по-
положить в решении F3)
ди>1
ди>. .
где
и затем принять
"G
G
Задача 24. Нейбер доказывал присутствие лишних функций в ре-
решении
УВ (BR + 0)
где
следующей подстановкой
Vs В = О,
Vs 0о = О,
R= i.<+ )y + kz,
155
где o)j—четыре произвольных гармонических функции. Проследить это до-
доказательство.
Ответ. Подстановка в общее выражение для V функции ш( вместо функ-
функции 0{ приводит к следующим выражениям для и, о и ш:
" = -» - 4A-8) W (jf0
v = и>°-~ 4(rW 37{xu>1 + у<°2 + с°о)'
0>о)-
В иих функция ю3 не входит.
Задача 25. С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям § 6,
показать, что общее решение однородных уравнений Ламе можно выписать
в форме равенства
где А общее выражение вектора, удовлетворяющее уравнению
V2A=»0,
а Фо любое частное решение уравнения
Доказательство непосредственно следует из формул (ж) н (м) § б, если
положить
Ф = гФ„,
и отбросить функции 0О, как лишнюю в формуле (ж) упомянутого пара-
параграфа. Это решение дано, повиднмому, Буссинеком. Оио в частности очень
удобно при решении задачи о деформации толстых плит:
Задача 26. Показать, что общий интеграл однородных уравнений Ламе
можно написать в виде равенства
? ^H' F4)
где Н — общий интеграл уравнения
V2'.H =0,
Это решение однородных уравнений Ламе предложено Черрути.
Решение. Решение Черрути непосредственно выводится из решения за-
задачи 25, если в последнем положить
*=?
и принять во внимание, что уравнение для Фо при этих обозначениях обра-
обращается в уравнение
^¦У-" divA1--2<1-8) ^divH,
dz S — 4s S — 4o oz
так что за искомое частное решение для Фо можно принять
Ф„ =-ML=J>- div н.
3 —4о
156
Задача 27. Выразить зависимость между перемещениями и объемными
силами через цилиндрические координаты.
Решение. Подставив в общее выражение закона Гука для изотропного
тела
= 2G
где
величины егг, ещ, ... ezr из выражений
(a)
F)
г«- ~~ dr '
гдЭ "
ezz = Ъг'
e6z
rdb dr
д^_+ д:
dz гдв
dr
dz '
(в)
полученных при решении задачи 33 главы 11, можно выписать связь между
перемещениями и напряжениями в цилиндрических Коордииатах так:
в =2G
-г, = 2G
г
д;
1 — 2о
\ dr r гд\>
Здесь
_
дг
(Д)
Этот результат можно подставить в уравнения равновесия, выведенные
при решении задачи 2,6 главы 1. Подстановка эта после некоторых преобра-
преобразований приводит к системе уравнений
1 д8^
1 — 2з "дг
1
1 — 2с гдэ
1 д()
1
2 ^_
г2 dJ
г2 дв
_Z^
G'
G '
G'
где
F5)
F6)
a /?, Q и ^ — проекции объемной силы на направления dr, rd') и Лг соотве!
ственно.
157
Задача 28. Вывести из равенства (г) задачи 27, для случая отсутствия
объемных сил, следующую группу зависимостей:
= р,
+ 1 +v
dr
(—)
V72 7
V r
F7)
где
заменяющих при решении задачи в цилиндрических координатах уравнения
Бельтрами.
Задача 29. Выяснить, какой вид принимают уравнения F5) в случае,
когда деформация завнснт только от г и z и, следовательно, симметрична
относительно оси ог.
Ответ. В случае, если ? и С не зависят от 8, а т) = 0, ураннения F5)
обращаются в уравнения
r* 0#)*+ drdz\~ G'
drdz
V C + 1 - 2= L dz \dr + r ) - + dzi I 7T-
Задача 30. Выяснить, нельзя лн с помощью подстановки
F8)
_9A1_J [-.jL (¦*¦+J.)/t
F9)
получить решение системы F8), аналогичное решению Буссинека.
Ответ. Подстановка F9) разделяет переменные в уравнениях F8). По-
Последние принимают в результате этой подстановки вид
G0)
Результат этот является обобщением соответствующего результата, по-
лучеииого для случая, когда объемных сил нет, Б. Г. Галеркиным.
Получеииое решение, аналогично решению Буссинека и заключает, как и
решение Буссинека, в себе некоторые функции, которые хотя и входят в /»
и Д, но иа ? и С не влияют.
158
Задача 31. Вывести результат, полученный в задаче 30, из общего ин-
интеграла уравнений Ламе, данного Буссннеком.
Решение. По Буссииеку.
' ду
ду + dz >
w = \/*Уъ
2 A — -) д
где ф,- удовлетворяют уравнению
(J
Если деформация симметрична относительно ог, то
X = R (а> г) cos С, и = ? (г, г) cos 6, 5 = и cos в -f i» sin ti,,i
Y = R(r, г) sin в, v = « (г, г) sin 6, yj = 0, '
(в).
для чего достаточно положить в решении Буссинека
X
= /i('-, 2)cosG=/,
= Л^» z) sin 6 =/!-
r)
Легко видеть, что из уравнений (б) и (г) непосредствеиио следуют
нения G0), а из (а), (в) и (г) равенства F9).
Рассмотренный только-что вывод уравнений F9) и G0) значительно
проще предыдущего.
Задача 32. Исходя из решения B8), рассмотренного в § 6, вывести
общие выражения для перемещений ? и С, для деформации, симметричной]
относительно оси ог и имеющей место в случае отсутствия объемных сил.
Решение. Чтобы из общего решения однородных уравнений Ламе
д
U = 0. :-
V = 02 —
w = 0. .-
4 A —
'¦ С
получить наиболее обшее решение, относящееся к деформации, симметрич-
симметричной относительно оси ог, достаточно положить в нем
0, = <зх cos 0 = о,,
у
02 =»! sin 0 = -— вь
02 = <?2.
0. = ?.,
где »г — функции только от г и г.
159»
Приняв это, будем иметь
¦и на основании (а) получим
т, = — и sin 6 + v cos 8 = 0. [
w = 4l - 4Tl
(г)
По сказанному в § 6 функции 0; должны удовлетворять уравнению
Лапласа
Поэтому », и »» должны удовлетворять уравнению
1 д [ д' \ ^г!;
'' г дг \ дг Ч дг2
функция же «Pj (л, г) уравнениям
¦что может иметь место лишь в том случае, если
Дальнейшие подробности об этой задаче — в главе XII
Задача 33. Получить из решения B8) соответствующее решение в ци-
цилиндрических координатах для общего случая, когда ?, rj и С нулю не равны.
Решение. Полагаем в равенствах B8)
0i = 0t(r, 0, г)
и выражаем ?, т) и С через и, v n w.
Имеем
$ = и cos 6 4- f sin 8 = 0j cos i' +
+ 0, sin 0 — - -- ¦--— -^ (л 0! cos '¦ -r r 02 sin 6 + z 03 -r 0O),
Y] = — li Sin 0 -f- VCOS ;< = — 0i SHi 'l +
II 60
-г 0, cos 6 — -.-/. -г- ~ {г 0i cos ~r 0, sui !) -г z 03.+ 0„),
С = W = 0з— "
1
(l—o) дг
или, вводя обозначения
<?i = 01 cos6 +02 sin 8,
«г = — 0i sin 6 + 0oCOS b'
?з = 0з»
~o = 0ot
1 d
-rr- (*" 01 COS & + Л 02 Sin 0 + 2 0з + 0»)
4A-a)
где (p3 и tfe удовлетворяют уравнению
G3)
a cpi и tp2 получаются из двух функций 0t и 02, удовлетворяющих уравне-
уравнению G3), с помощью зависимостей G1).
Задача 34. Выяснить, к каким выражениям для напряжений /?г, в^
Zz, fy, вг и Zr приводит решение, рассмотренное в задаче 33.
П Ф. Пашювич, Теория упругости—436—11
ГЛАВА V
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Понятие о задачах, именуемых в теории упругости
простейшими
Далеко не во всякой задаче теории упругости приходится
в равной мере использовать все те сравнительно сложные ре-
решения, которые в общем виде были рассмотрены нами в пре-
предыдущей главе. Есть, в частности, несколько задач, решаемых
совершенно элементарно. Это те несколько задач, в которых
напряжение, а следовательно, и деформации являются линей-
линейными функциями от координат. В этих задачах условия Сен-Ве-
нана и заменяющие их условия Бельтрами-Майчела удовлетво-
удовлетворяются тождественно, как бы мы ни распоряжались постоян-
постоянными, входящими в выражение для компонентов напря-
напряжения.
Задачи эти частично были уже нами рассмотрены в упражнении
к главе II, и мы возвращаемся здесь к ним исключительно для
того, чтобы рассмотреть их несколько более систематично.
К числу этих простейших задач относятся задачи:.
1) о всестороннем равномерном давлении,
2) о растяжении призматического стержня собственным ве-
весом,
3) о кручении круглых валов постоянного диаметра,
4) о чистом изгибе призматических стержней,
5) о простом растяжении призматических стержней.
Всего проще решаются эти задачи полуобратным методом,
т. е. практически путем проверки тех элементарных решений,
которые нам в отношении этих задач известны из сопротивле-
сопротивления материалов.
§ 2. Всестороннее равномерное давление
Допустим, что тело, не имеющее внутренних пустот, под-
подвержено со всех сторон равномерному внешнему давлению р.
Естественно ожидать, что в этом случае все точки тела будут
напряжены одинаково и при том одинаково во всех направле-
направлениях.
162
Попробуем проверить, не будут ли в этом случае все ком-
компоненты напряжения определяться равенствами
Ху— Yz = Zx= 0.
Из условий равновесия элементарного параллелепипеда ви-
видим, что рассматриваемое напряженное состояние может иметь
место лишь при условии отсутствия объемных сил.. На основа-
основании уравнений равновесия элементарного тетраэдра видим, что
в рассматриваемом случае три составляющие напряжения, дей-
действующего в площадках, нормальных к произвольной оси v, во
всякой точке тела определятся равенствами
Хч =—pcos(x, v),
Y, =— /»cos(y,v),
Z» = —pcos(z, v).
Следовательно, во всякой площадке, проходящей через лю-
любую точку тела, полное напряжение есть
F.,=—p
и направлено по нормали к площадке. Это по условию и должно
иметь место и на наружной поверхности тела. Таким образом,
рассматриваемое напряженное состояние действительно полу-
получается в теле, нагруженном равномерным всесторонним внеш-
внешним давлением. Эллипсоид напряжения обращается в рассмат-
рассматриваемом случае в шар, причем всякие три взаимно перпенди-
перпендикулярных направления можно принять во всякой точке тела
за направление трех главных напряжений. Скалывающих напря-
напряжений при этом ни в одной площадке тела не получается.
Компоненты деформации определяются зависимостями
ехх = ет = е„ = — -J- A — 2а),
Интегрирование уравнений Коши дает при граничных усло-
условиях
„ = ^, = ^ = ^ = ^ = ^^0
дг дг ду
В точке
x=y=z=0
следующие выражения для и, v и w:
Все точки тела перемещаются, как видим, по направлению
радиуса-вектора, соединяющего их с началом координат. Пере-
Перемещение это пропорционально расстоянию данной точки от на-
начала координат и симметрично относительно последнего.
§ 3. Растяжение призматического стержня под действием
собственного веса
Допустим, что призматический стержень длиной / подвешен
вертикально" за свой верхний конец и что кроме его веса к нему
приложена лишь реакция верхней его опоры, распределенная
равномерно по поперечному сечению стержня. Допустим далее,
что вес единицы объема этого тела есть f. Посмотрим, не удо-
удовлетворим ли мы всем условиям задачи, положив, что во всех
точках тела имеет место только растяжение вдоль оси стержня,
за каковую примем ось oz, направив ее вверх. Так как по усло-
условию задачи
X = Y = О, Z = — т,
то диференциальные уравнения равновесия элементарного па-
параллелепипеда будут удовлетворены, если мы положим
Хх = Yu =*ZX = Xy=Yz = 0; Zz = ^z-\- const. (a)
Если мы расположим начало координат в нижнем попереч-
поперечном сечении стержня, то из условия отсутствия нагрузки на ниж-
нижнем торце стержня получим для Zz граничное условие
Zz = 0 при 2 = 0.
Удовлетворить этому условию можно, полагая константу,
входящую в равенство (а), равною нулю.
Посмотрим, будет ли боковая поверхность стержня свободна
от напряжений. Так как во всех точках этой поверхности нор-
нормаль к наружной поверхности тела направлена перпендикулярно
к оси oz, то из уравнений равновесия элементарного тетраэдра
будет следовать, что для всех точек боковой поверхности
Хч = Y, = Z, = 0,
как то и требуется условиями задачи.
В верхнем поперечном сечении отлично от нуля лишь напря-
напряжение
распределенное по площади поперечного сечения стержня
равномерно, что также вполне соответствует условиям задачи.
Так как единственный отличный от нуля компонент напря-
напряжения Zz есть в рассматриваемом случае линейная функция от
координат, то условия Сен-Венана удовлетворены.
Найденное напряженное состояние удовлетворяет таким об-
образом всем основным уравнениям теории упругости и всем ус-
условиям задачи.
164
Соответствующие шесть компонентов деформации находим
с помощью закона Гука, в силу которого в рассматриваемом
случае должно быть
р —^ z
р — а — о — П
Интегрируя уравнения Коши методом § 15 главы II и пола-
полагая для определенности прикрепления координатных осей к телу
—?-?-5-0
получаем
Равенства эти показывают, что благодаря поперечному сжа-
сжатию все продольные фибры стержня, т. е. геометрические места
точек, определяемых уравнениями
х = const = х0,
у = const = у0,
наклоняются к оси oz пропорционально их отстояния от этой
оси
Вследствие отсутствия в поперечных сечениях стержня сдви-
сдвигов его поперечные сечения вынуждены оставаться нормаль-
нормальными ко всем упомянутым продольным фибрам и превращаются
поэтому в параболоиды вращения. Это относится и к верхнему
поперечному сечению. Поэтому если бы мы это верхнее попе-
поперечное сечение прикрепили бы к какой-либо абсолютно неде-
формируемой конструкции, которая не допускала бы указанного
выше искажения этого поперечного сечения, то в рассматрива-
рассматриваемом теле не получилось бы рассматриваемого простейшего на-
напряженного состояния.
§ 4. Кручение круглого вала постоянного диаметра
Нам известно из теории сопротивления материалов, что при
кручении круглого вала, диаметр которого по всей его длине
одинаков, в поперечном сечении вала возникают лишь скалыва-
скалывающие напряжения, нормальные к радиусу-вектору, соединяю-
165
ще-му данную точку с осью вала, и притом пропорциональные
Отстоянию данной,-точки,от этой оси. Попробуем выяснить, сов-
совместимо ли это напряженное состояние со всеми основными
уравнениями теории упругости и если оно совместимо, то дей-
действительно ли кручение круглых валов происходит так, как то
нам известно из теории сопротивления материалов. Для этого
допустим, что ось oz совмещена с геометрическим местом цен-
центров тяжести всех поперечных сечений вала и а есть радиус
этих всех поперечных сечений.
Мы предположили, что
Хх — Уд = Zz = Хд = О,
Yt=-kx,
где к — некоторая константа.
Выясним прежде всего, не получается ли в этом напряжен-
напряженном состоянии каких-либо напряжений на боковой поверхности
тела, где их, по условию задачи, быть не должно.
Пусть
х = a cos б,
у — a sin б
координаты какой-либо точки наружной поверхности вала. Оче-
Очевидно, что косинусы углов, составляемых в этой точке нормалью v,
к боковой поверхности вала с осями координат суть
/ = cos (х, v) = cos 6,
т = cos (у, v) = sin б,
п = cos (z, v) = 0.
Поэтому из условий равновесия элементарного тетраэдра в этой
точке вала должно следовать
X, = Хх1+ХдШ + Хгп = 0,
К = Yxl + Ygtn +Y2« = 0,
Z, == Zx I -}- Zy m -f Zz n = ky cos 9 — kx sin 0=0-
Таким образом, рассматриваемое напряженное состояние (а)
совместимо с отсутствием нагрузки на боковой поверхности вала.
Посмотрим теперь, какие объемные силы нужно приложить
к телу, чтобы создать указанное напряженное состояние. Из
уравнений равновесия элементарного параллелепипеда получаем
A'=r=Z = 0.
Рассмотрим равнодействующую усилий, действующих в каж-
каждом поперечном сечении вала. Проекция этой равнодействую-
равнодействующей на ось ох есть
1 66
н равна нулю, так как ось oz мы совместили с геометрическим
.местом центров тяжести поперечных сечений. То же можно ска-
сказать и относительно проекции рассматриваемой равнодейству-
равнодействующей на ось оу.
Напряжения Zz предположены равными нулю и никакой рав-
равнодействующей дать не могут. Таким образом все три проекции
равнодействующей напряжений в каждом поперечном сечении
стержня равны нулю.
Обращаемся к главному моменту этих усилий. Ясно, что
его проекции на оси ох и оу равны нулю, так как они могли
бы получиться только в результате наличия напряжений Zz,
каковые мы считаем равными нулю. Скручивающий момент М
можно вычислить по формуле
М = ffXzydxdy- f/Yzxdxdy,
что, по подстановке напряжений Xz и Yz, дает
М = ffk(x*+y*)dxdy = kJp,
где Ур = ~2~ есть полярный момент инерции поперечного сече-
сечения вала.
Таким образом, в каждом поперечном сечении вала действует
лишь скручивающий момент.
Резюмируя все сказанное, заключаем, что если мы не при-
приложим к круглому валу постоянного сечения никаких иных сил,
кроме двух скручивающих моментов М, и притом распределим
оба эти момента по площади поперечного сечения торцовых
сечений вала по закону
Zx = ky, Yz = —kx,
то во всех поперечных сечениях вала напряжения будут оди-
одинаковы и будут определяться равенствами (а). Решение этой
задачи, даваемое нам теорией сопротивления материалов, таким
образом подтверждается, но лишь при условии, что скручива-
скручивающие моменты будут приложены к валу именно так, как ука-
указано выше. Если бы мы распределили их по площади попе-
поперечного сечения как-нибудь иначе или же приложили эти мо-
моменты не к поперечным сечениям вала, а к каким-либо участкам
его боковой поверхности, то распределение напряжений в валу
не было бы уже столь простым.
Обращаясь к разысканию перемещений рассматриваемого
нами вала, находим, на основании закона Гука,
с — р — р — О
е __ о
k
р - v"
cb'2 G
= иу.
167
Деформации эти условиям Сен-Венана удовлетворяют. Соот-
Соответствующие им перемещения можно разыскать общим приемом
§ 15 главы II. Выполняя это и определяя постоянные интегри-
интегрирования из условий
u = v = Wa=*j = du = du = Q при х = у = z = О,
получаем
k
и = j-yz,
v = — ~zx,
w = 0.
Проекция перемещения на радиус-вектор, соединяющий каж-
каждую точку вала с осью oz, есть
х , у k k „
«Т + ^7 = 77 хУг -Т,ХУ2 = °>
проекция же его на перпендикуляр к этому радиусу-вектору
Это показывает, что при кручении круглого вала попереч-
поперечные его сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются каждое
целиком на угол ^ вокруг оси oz.
Картина перемещений в рассматриваемом элементарном слу-
случае нагрузки вала получается, таким образом, в точности тою,
какая нам известна из теории сопротивления материалов.
Не следует, однако, забывать, что эта картина перемещений
получается при совершенно определенном способе приложения
скручивающих моментов к валу.
§ 5. Чистый изгиб призматических стержней
Если к концам призматического стержня приложить два вза-
взаимно уравнивающихся изгибающих момента, то в стержне
возникнет деформация, именуемая чистым изгибом. Совме-
Совместим ось oz с геометрическим местом центров тяжести попе-
поперечных сечений стержня и предположим, что изгиб происходит
в плоскости xoz. Тогда, согласно теории сопротивления мате-
материалов, нужно будет ожидать, что из шести компонентов на-
напряжения пять, а именно Хх, Yg, Xy, Yz и Zx будут равны нулю,
а единственно отличный от нуля шестой компонент напряжения
Zj будет связан с кривизной стержня „ зависимостью
Посмотрим, совместимо ли это напряженное состояние с ос-
основными уравнениями теории упругости. Для этого допустим,
168
что в теле действительно создано напряженное состояние такое,
лг- Rx, j
где R — некоторая константа, и выясним, какими внешними си-
силами может оно быть вызвано.
Уравнения равновесия элементарного параллелепипеда пока-
показывают, -что напряженное состояние (а) может иметь место лишь
в случае отсутствия объемных сил.
Из уравнений равновесия элементарного тетраэдра следует,
что на боковой поверхности стержня, где cos (Z, v) = 0,
X, = Y, = Z, = О
никаких внешних сил не приложено.
В торцевых сечениях, где
COS (Z, v) = 1,
действуют только напряжения Zz, равнодействующая которых
может в самом общем виде быть приведена к направленной
вдоль оси стержня силе Pz и двум моментам Мх и Мд, стремя-
стремящимся изогнуть рассматриваемый стержень в плоскости xoz и
yoz соответственно.
Будем считать эти моменты положительными, когда та
часть стержня, где г меньше, прилагает к той его части,
где z больше, усилия, стремящиеся эту последнюю часть по-
повернуть в направлении, переводящем ось ох кратчайшим путем
в положение, занимаемое осью оу; ось оу — в положение, за-
занимаемое осью oz и ось gz — в положение, занимаемое осью ох.
Тогда составляющие главного момента всех сил, действую-
действующих в поперечном сечении стержня, будут
Mx=-ffZxydxdy,\
М,.= ffZzxdxdy.\ f6)
Что же касается силы Р„ то
Pz = f/Zzdxdy. (в)
В приведенных формулах интегрирование распространяется
на всю площадь поперечного сечения стержня.
Подставив (а) в (б) и (в), можно видеть, что
М
х = — jj xydx dy = ^
Ps=>-~ffxdxdy=O,
169
так как по условию ось oz проходит через центры тяжести по-
поперечных сечений стержня.
Если оси ох и оу не только центральные, но и главные оси
инерции поперечных сечений стержня, то
и Мх также обращается в нуль. Равнодействующая напряжений
Zz при этих условиях сводится к одной лишь паре
Такие пары действуют в каждом поперечном сечении стержня
и в частности в его крайних (торцевых) поперечных сечениях.
Таким образом, чтобы вызвать в теле деформацию, при которой
компоненты напряжения определяются равенствами (а), нужно
приложить к торцевым сечениям стержня две взаимно уравно-
уравновешивающихся пары, стремящиеся повернуть соответствующие
сечения относительно оси оу. Распределить эти пары по пло-
площади сечения следует, однако, не как-нибудь, а в соответствии
с выражением (а). Если мы к обоим торцевым сечениям стержня
приложим две пары той же величины, но распределим их по
площади этих сечений не по закону
7 Ех
**- — -щ>
то в рассматриваемом призматическом стержне мы не будем
иметь той элементарной деформации, которую мы здесь рас-
рассматриваем.
Возвратимся к рассмотрению этой элементарной деформации.
Так как компоненты напряжений, соответствующие линейным
функциям координат, условиям Бельтрами удовлетворяют, то
уравнения Коши могут быть в рассматриваемом случае проин-
проинтегрированы. Посмотрим, какие перемещения получают отдель-
отдельные точки стержня при чистом изгибе. Для этого найдем сна-
сначала все шесть компонентов деформации.
В силу закона Гука и равенств (а)
вхх
ezz
еху
egz
ezx
du
= dx
dv
• = Ty
dw
dz
du
~ dy
dv
~ dz
dw
~ dx
OX
~ R
од:
= Л
-udv
' dx
. dw
^Ty
du
"г" dz
s
~~ EIy
M
= ЕГд
X
R
= 0,
= 0,
= 0.
x,
x,
Mg
E1u
170
Интегрируя эти уравнения методом § 15 главы II, получаем
М "
°Ми
ма
f
Для определения произвольных постоянных допустим, что
координатные оси закреплены к телу так, что
dz dz ду y J
•Это дает
a = b = с = аг = a2 = bx = 0,
jj, следовательно
M
![2 (
Общий характер изменения фигуры тела, определяемого этими
перемещениями, рассмотрен выше в задаче 43 главы II.
§ 6. Простое растяжение призматического стержня
К числу тех же элементарных задач, которые мы рассмат-
рассматриваем в настоящей главе, относится также задача о простом
растяжении призматического стержня.
Если мы к торцам призматического стержня приложим рас-
растягивающие усилия, равномерно распределенные по площади
этих сечений, то, считая ось ог направленной вдоль стержня,
можно будет принять, что во всех точках стержня действуют
напряжения
у . V V V 7 П Л
Лх — 1у — Лу — I z = С.х — U, I
¦7 1 ( (а)
Zz = р = const. '
Убедиться в этом можно, подставив (а) последовательно во
все уравнения равновесия, как мы то уже видели выше в от-
отношении других задач.
171
Условиям интегрируемости уравнений Коши напряженное
состояние (а), конечно, удовлетворяет..Интегрируя эти уравне-
уравнения, можно получить для рассматриваемого стержня
4 Так как напряженное состояние (а) удовлетворяет отсут-
отсутствию объемных сил, то, увеличивая в каком-либо решении
уравнений теории упругости какой-либо из компонентов нор-
нормального напряжения на постоянную величину, мы не изменим
объемных сил, приложенных к телу.
Это обстоятельство полезно заметить, так как в некото-
некоторых случаях нам будет полезно им пользоваться при решении
иных, более сложных, задач.
Рассмотренная простейшая деформация получается в теле,
конечно, лишь в том случае, если растягивающее стержень
усилие распределено по площади его торцевых сечений рав-
равномерно. Если мы приложим к стержню то же растягиваю-
растягивающее усилие, но распределим последнее по площади сечений
стержня неравномерно, то картина возникающих в теле напря-
напряжений будет значительно сложнее.
ГЛАВА VI
ЗАДАЧА О НАПРЯЖЕНИЯХ В ТОЛСТОЙ ТРУБЕ И ЕЙ
РОДСТВЕННЫЕ
§ 1. Напряжения в трубе, находящейся под действием
равномерного внешнего и внутреннего давления
Под именем задачи Ламе известна задача о распределении
напряжений в средней части длинной толстостенной трубы,
находящейся под действием равномерного внешнего или внут-
внутреннего давления.
Если мы подвергнем длинную цилиндрическую трубу одно-
одновременному действию некоторого давления ра, равномерно рас-
распределенного по всей ее внутренней поверхности, и давления рь,
равномерно распределенного по всей наружной поверхности
цилиндра, то в части этой трубы, достаточно удаленной от ее
крышек, перемещения, а следовательно, и напряжения и де-
деформации будут зависеть от координаты измеряемой вдоль оси
трубы лишь постольку, поскольку вся эта труба в целом вдоль
этой оси равномерно вытянута. В части трубы, достаточно
удаленной от концов, должна таким образом иметь место пло-
плоская деформация, притом, очевидно, симметричная относительно
оси трубы. На эту деформацию может накладываться равномер-
равномерное растяжение вдоль оси трубы. Все перемещения должны
быть в этой части трубы функциями исключительно от коор-
координаты г, измеряемой вдоль радиуса-вектора, соединяющего
данную точку трубы с осью трубы. Рассматриваемая задача
принадлежит таким образом к числу одноразмерных задач. Это
делает ее особенно простою. Наиболее просто может быть
решена эта задача методом непосредственного определения
перемещений. Мы попытаемся ее решить, исходя из того общего
решения уравнений Ламе, которое было изложено в § 7 главы IV.
Так как в рассматриваемом случае объемных сил к телу не
приложено, то за общее решение уравнений Ламе можно принять
« = 01-47Т11оIГ(* 01+^0»+ 2 08 + 0о), |
^i + z03 + 0o), v (a)
173
где 0i удовлетворяют уравнению Лапласа
V20, = O.
Поскольку w в рассматриваемом случае получается лишь
в результате равномерного вытягивания трубы вдоль оси oz,
мы должны подобрать функции 0, так, чтобы было
w = az + b,
(б)
где а и b — некоторые константы.
Перемещения и и v должны в рассматриваемой задаче от z
не зависеть; для того же чтобы деформация трубы была сим-
симметрична относительно оси oz, необходимо, очевидно, добиться
того, чтобы было
(в)
где р (г) есть радиальное перемещение рассматриваемой точки
трубы.
Попробуем удовлетворить условиям (б) и (в), доложив
(г)
0з =
Подсгавив (б), (в) и (г) в (а), будем иметь
У
(д)
ГГЗ 1ST
Входящие сюда функции <р (г) и <р3 (г) не могут быть произволь-
произвольными функциями гиг, ибо, как сказано выше, 0,-, Определяе-
Определяемые равенствами (г), должны удовлетворять уравнению Лапласа.
Уравнение
ПРИ <Рз, зависящем лишь от координаты z, очевидно, равносильно
уравнению
174
Его самое общее решение поэтому есть
ср3 (г) = Cz + D.
Подставляя его в последнее из уравнений (д), получим
w = az + Ь,
где
4A
—.1.
— a)J
(е)
Обратимся к выражениям для и и v, даваемым равенствами
(г) и (д).
Так как
д , ч д( ) дг д{ ) х
дх V ' дг ' дл: дг г '
ТО
и, следовательно,
Подобным же образом легко видеть, что и
Положив
(ж)
можно привести полученные для и н v выражения к виду (в).
При сделанном выборе функций 0г общее решение уравнений
теории упругости (а) дает нам таким образом для и, v и w ре-
решение того самого вида, который мы и имели в виду получить.
Обратимся к разысканию функции ?(/•), входящей в выраже-
выражение (ж). По сказанному выше, она должна быть подобрана так,
чтобы функции
0i =-7? И.
удовлетворяли уравнению
V20j = 0.
Введя в рассмотрение угол 6, определяемый тем, что
п X
cos 9 = — ,
sin6=^,
(г)
(з)
175
видим, что условие (з) будет соблюдено, если мы подберем<р(г)
так, чтобы удовлетворены были уравнения
V* feW cos в] =0,|
Но оператор Лапласа
можно выразить через производные по г, 6 и z так:
у2( ) =—j-( ) -| —( j-)— -(- ) -J ( )( A)
в чем легко убедиться, развертывая производные по х и у по
общему правилу диференцирования сложных функций.
Принимая во внимание A) видим, что равенства (з') равно-
равносильны равенствам
[V (г) + у ?'(г) - JL f (г) cos 6 = О,
JsinO =0,
каковые будут удовлетворены оба, если положим
или, что то же,
{у И (')]'}'= 0. (и')
Интегрируя (и'), получаем
[го (/-)]'= Аг,
гу{г)=^Агй + В, (к)
где А и В — константы.
Зная общий интеграл для функции <р(/"), можно легко полу-
получить общее выражение и для искомого радиального перемеще-
перемещения р.
Для этого достаточно подставить (к) в (ж). Это дает
— 1 — 2g a 4- —
и, следовательно,
v- У--'А -?) B)
176
где для простоты письма введено обозначение
А - х~ъ Л
А1 — 4A_а)Л-
(л)
Равенства B), совместно с ранее найденным выражением для w,
w = as + b, C)
дают нам общий интеграл для всех трех перемещений приме-
применительно к рассматриваемой задаче.
Для определения всех входящих в него произвольных по-
постоянных нужно обратиться к граничным условиям задачи. Для
этого предварительно полезно составить общие выражения для
всех компонентов деформации и напряжения. Первые могут
быть получены непосредственно из уравнений Коши.
Подставляя в последние и, v и w из B) и C), находим
ет = Аг
e7Z = a,
evz = О,
гЧ'
48
(м)
и, следовательно,
ezz =
а,
что по подстановке в равенства, являющиеся выражением за-
закона Гука, дает
Х,= -4GB^,
zx - о.
Для простоты письма введем обозначение
М = 2GS,
Л/ =0 [2а
Х +а)\.
Ф. Папковнч, Теория упругости— «в—12
(п)
J77
Тогда найденные выражения для Хх, Yg,...Zx примут вид
v г , М (. 2х*\ 1
(P)
Rr
И
где L, М и N— некоторые, пока неизвестные, константы.
Зная Хх, Yg,...Zx, мы можем найти напряжения в площад-
площадках: 1) нормальных к радиусу-вектору, соединяющему данную
точку с осью трубы, 2) нормальных к оси oz и 3) проходящих
через ось трубы.
Обозначив через
нормальное напряжение в площадках, перпендикулярных
радиусу-вектору, соединяющему данную точку с осью трубы;
нормальное напряжение в площадках, проходящих через ось
трубы;
Z2 нормальное напряжение в площадках, перпендикулярных к
оси трубы,
мы могли бы разыскать эти напряжения с помощью общих за-
зависимостей, выведенных в главе I для преобразования компо-
компонентов напряжения при повороте координатных осей.
В рассматриваемом случае, благодаря симметрии напряжен-
напряженного состояния относительно оси oz, величины /?г, ве и Zz дол-
должны быть независимы от угла 6. Чтобы найти эти напряжения
достаточно разыскать их для какого-нибудь частного значения
угла 6.
Сделаем это для 0 = 0. На этой оси
х = г cos Ь = г,
у = г sin 9 =0,
Хх = Rr,
У, = ве .
(с)
Поэтому в силу (р)
178
Для определения постоянных F, М и Л/ воспользуемся тем,
что по условиям задачи давление на внутренней поверхности
трубы, где г = а, есть ра, давление же на внешней ее поверх-
поверхности, где r=b, есть рь.
Тогда граничные условия на боковой поверхности трубы
выпишутся так:
Rr= — Ра при г = а,
Rr = ~pb „ r=b.
Определяя постоянные L и М из граничных условий
L~ii=Pb,
вытекающих из D) и (т), будем иметь
б2 — а*
М =
так что в силу D) будет
(У)
— а2
(р — а*) г3 '
Zs =
В равенствах (о) только постоянная N остается пока не-
неопределенною. Для определения ее нам надо знать усилия, ра-
растягивающие трубу. В этом отношении следует различать слу-
случаи, когда:
а) труба крышек ие имеет и, следовательно, Zz = О,
б) труба на концах закрыта крышками, на которые давят те
же давления, что и на соответствующие поверхности трубы.
В этом последнем случае
(ф)
"z 6" — а3 ¦
В обоих случаях Zz лежит в пределах
дли
/?r>Zz>60, f
(х)
«ели только величины (раа2 — pbb2) и (ра — ръ) одного знака.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением только этого
случая.
179
Исходя из четвертой формулы группы (р), нетрудно пока-
показать, что в площадках, в которых действуют нормальные нап-
напряжения 7?г, ве и Zz, скалывающие напряжения отсутствуют.
Напряжения Rr, ве и Zz, найдегные выше, являются таким обра-
образом, в рассматриваемой задаче главными напряжениями, при-"
чем в силу условий (х) напряжение Zz является по своей вели-
величине всегда средним между Rr и ве .
Наибольшее скалывающее напряжение в каждой точке трубы
определяется поэтому полуразностью величин Нг и ве и, как
видно из формул E), обращается в максимум при г = а.
Поэтому, ведя расчет по наибольшим скалывающим напря-
напряжениям, мы должны за расчетную формулу при расчете тол-
толстостенных труб принять
eg(
_etgf_(paPt)g
I max — 2 ~ Ь* — п*~~' { '
Формула эта показывает, что сколько бы мы ни увеличивали
внешний радиус трзбы, мы можем уменьшить наибольшее ска-
скалывающее напряжение в ней не больше, чем до величины
Ра — Рь- Объясняется это тем, что, как видно из формул E),
внешние слои трубы при большой ее толщине почти не вос-
воспринимают на себя внутреннего давления.
Подводя итоги всему сказанному, можно констатировать
следующее:
1. Главными напряжениями в толстостенной трубе, подвер-
подверженной равномерному давлению, являются напряжения Rr, S»
и Zz, определяемые формулами
вв =
и либо формулою
Z, 0,
если у трубы крышек нет, либо же формулою
E)
G')
если концы ее закрыты крышками.
2. Напряжение Zt имеет значение промежуточное между Rr
и ве , если (ра —Рь) н (раай — pifb*) одного знака. В этом случае
наибольшие скалывающие напряжения в трубе определяются
полуразностью
и достигают своего наибольшего значения на внутренней по-
поверхности трубы, где
J шах max — у2 о» " • К°>
180
3. Три составляющие перемещения и, v и w можно найти с
помощью формул B) и C), если принять во внимание зависи-
зависимости между постоянными, входящими в эти формулы с одной
стороны, и постоянными, входящими в формулы D), E) и G),
с другой. Радиальное перемещение можно найти, впрочем, так-
также с помощью зависимости
jr = em = g- (в« - oZz - aRr), (8)
полученной выше при решении задачи 25 главы II.
§ 2. Задача о расчете скрепленной трубы
В предыдущем параграфе, при рассмотрении формулы F)
было отмечено, что сколько бы мы ни увеличивали толщину
трубы, мы не можем при заданном внутреннем на нее давлении
уменьшить расчетное напряжение в ней больше, чем до опре-
определенного предела. Чтобы достигнуть дальнейшего уменьшения
напряжения в трубе, приходится прибегать к искусственному
скреплению труб. Для этой цели трубу делают не сплошною,
а состоящей из двух труб, насаживаемых в горячем виде одна
на другую. Этим путем удается несколько увеличить напряже-
напряжение в наружных, мало напряженных слоях трубы и тем несколько
разгрузить ее внутреннюю, наиболее сильно напряженную, часть.
Чтобы выяснить, чего можно этим путем достигнуть, рас-
рассчитаем трубу* состоящую из внутренней трубы, находящейся
под действием внутреннего давления, и т рубы наружной, на-
надетой на первую в горячем виде. Постараемся при этом опре-
определить:
а) наивыгоднейшее соотношение между внутренним радиусом
трубы а, внешним радиусом внешней трубы Ь и радиусом их
поверхности соприкосновения с;
¦ б) расчетное напряжение для наивыгоднейшего соотношения
величин a, b и с при наивыгоднейшей величине начального на-
натяжения труб;
в) величину этого наивыгоднейшего начального натяжения;
г) разность диаметров труб до насадки, обеспечивающую
требуемый натяг.
Условимся вести весь расчет по наибольшим скалывающим
напряжениям.
Пусть давление на внешней поверхности внешней трубы
есть рь, на внутренней ра, давление же на поверхности сопри-
соприкосновения обеих труб в их рабочем состоянии рс.
Наибольшее скалывающее напряжение во внутренней трубе
Cl'max — —ПГ?»С
уменьшается с увеличением рс. Наибольшее скалывающее на-
напряжение в трубе внешней
IT) - р'~рьи*
\ J 2'max — ?2 С2 и
с увеличением рс увеличивается.
181
Наивыгоднейшее значение величины рс определяется поэто-
поэтому зависимостью
( ' i)max = ( / 2-"Пах,
или, что то' же, равенством
откуда
с2 Ь2
+
Рс =
При этом значении давления рс обе трубы напряжены на
своей внутренней поверхности одинаково, причем расчетные
напряжения в обеих трубах суть
( / i)max = ( / 2)max = с2 fl2 j-ПГ^Г- (а)
» +
Варьируя величину с, мы можем придавать расчетному ска-
скалывающему напряжению, определяемому формулой (а), различ-
различные значения. Наивыгоднейшим значением будет то, при кото-
котором G\jmax — G)max достигает минимума. Это имеет место при
том значении с, при котором знаменатель формулы (а)
С2 _ tf fit _ С2 ^ Д2 С2
~?2 ' *2 — l ^ ~ fi
достигает своего максимума.
Это последнее имеет место при
с = /Ш (9)
При этом значении с расчетное скалывающее напряжение опре-
определяется формулой
если начальный натяг труб подобран так, чтобы в рабочем
состоянии трубы было
аЬ Ъ*__
ра аЬ -а*_ РЪЬ*-аЬ _Ра+ Рь ,, ,ч
" аГ~ ' fca ~ 2 '
Таким образом, на часть тех вопросов, которые мы себе
поставили выше, ответ нами уже получен: наивыгоднейшее зна-
значение с определяется зависимостью (9); начальный натяг надо
подобрать так, чтобы в рабочем состоянии давление труб друг
на друга было равно величине рс, определяемой равенством A1).
182
При выполнении этого условия расчетное напряжение в трубе
уменьшается с
соответствующего случаю трубы сплошной, до
26
т. е. -+-fc
Для полного решения задачи, которую мы себе поставили,
нам остается определить ту разность начальных диаметров обеих
труб, которая обеспечивает им в рабочем состоянии требуемый
натяг.
Если бы мы насадили обе трубы друг на друга без началь-
начального натяга, то давление р'с на радиусе с было бы в рабочем
состоянии трубы равно величине
„' = _ I/? I _ - _ Р°рЬ , (РаРь)
Рс ' \Кг\ т = Yab ~ ft2 —я2 '"(б2— a?)ab
Нам нужно путем начального натяга поднять это давление
до величины
где рс определяется формулой A1).
Для этого давления труб друг на друга в нерабочем состоя-
состоянии трубы р'с должно быть нами сделано равным величине
п.^_ _ . _ Ра + Pb , Раа2~РьЬ2 _ (PgPb)
Рс—Рс Рс— Y "т" б2 —а3 б2 —а2
_(Pg-Pb)(b~a)
~ 2(Ь+а) ¦
Теперь уже нам нетрудно найти и ту разность диаметров
обеих труб, которая обеспечивает им после насадки друг на
друга этот начальный натяг. Допустим, что до насадки труб
друг на Друга внешний диаметр внутренней трубы есть с -\-Ь,
внутренний же диаметр внешней трубы есть с. Пусть радиаль-
радиальное перемещение внутренней трубы от нагрузки ее давлением
Р°с есть рх, у внешней же трубы соответствующее радиальное
перемещение есть р2.
После насадки труб друг на друга их радиусы {с + 8 -f-pj) и
{с + Ра) должны быть друг другу равны. Отсюда следует, что
Но изменение радиусов трубы определяется, как мы видели
в § 1, вообще формулою
183
что при Zz = 0 дает
р = i (в. - о/гг),
или, принимая во внимание равенства E),
Прилагая эту формулу к определению перемещения рх на на-
наружной поверхности внутренней трубы, надо положить в A3)
Ра = 0, Рь~Р°с и заменить величины bur величиною c = \fab.
Чтобы найти р2, надо в A3j положить ра= р°, рь = 0 и кроме
того заменить а и г величиною с = |ЛхЬ. Это дает
Ь2
и, следовательно,
0 = ?2 - Pi = ~Ё-С j^r
Подставив сюда вместо Рс найденное для него выше зна-
значение A2), получаем окончательно для необходимой разности
начальных диаметров труб выражение
ja-Pb). A4)
Таким образом, чтобы обеспечить скрепленной трубе в ее
рабочем состоянии наиболее благоприятное распределение нап-
напряжений, следует внешний радиус внутренней трубы сделать
большим внутреннего радиуса внешней трубы на величину о,
определяемую формулой A4), и после этого, нагрев внешнюю
трубу, надеть ее на трубу внутреннюю. После охлаждения
внешней трубы между обеими трубами возникает такой натяг,
что в рабочем состоянии трубы расчетное напряжение в ней
будет уменьшено до величины, даваемой формулой A0).
§ 3. Тепловые напряжения в толстостенной симметрично
нагретой трубе
Допустим, что труба, рассмотренная в предыдущих двух пара-
параграфах, нагрета так, что температура на ее внутренней поверх-
поверхности есть ra, на внешней же tb. Пусть тепловое состояние
трубы есть состояние установившееся. Попробуем разыскать
тепловые напряжения в трубе.
Согласно сказанному в § 11 главы IV, для учета неравномер-
неравномерности нагрева тела достаточно к общему интегралу уравнений
184
Ламе, соответствующему случаю, когда тело нагрето равномерно,,
прибавить напряжения, определяемые формулами E1) главы IV,
где <о есть любое частное достаточно непрерывное решение
уравнения
а—коэфициент линейного теплового расширения,
t — температура.
Чтобы воспользоваться этим решением, мы должны прежде
-всего разыскать для всех точек трубы температуру t.
Так как мы рассматриваем лишь участок трубы, достаточно уда-
удаленный от ее концов, температура же обеих поверхностей трубы
считается нами постоянною, то мы можем считать температуру
трубы функцией только от г. Помимо этого температура t
могла бы зависеть еще от времени. Но мы ограничиваемся рас-
рассмотрением случая, когда тепловое состояние трубы стацио-
стационарно. Тогда t будет функцией только от г.
В основу рассуждений, связанных с разысканием этой функ-
функции, положим гипотезу, по которой количество тепла, проте-
протекающее в теле через какой-либо его слой, пропорционально
поверхности этого слоя, тепловому напору, коэфициенту внут-
внутренней теплопроводности и обратно пропорционально толщине
слоя. Рассмотрим кольцевой слой, внутренний радиус которого
есть г, наружный же г -\- dr. Допустим, что температура на его
внутренней поверхности t, на варужной же t-\-dt. Количество
тепла, проникающее через него в единицу времени, по сказан-
сказанному выше, должно определяться зависимостью
4 dr '
где / — длина рассматриваемого участка трубы.
Вследствие предполагаемой стационарности теплового со-
состояния q должно быть во всех концентрических слоях трубы
одинаково. Обозначив буквой К постоянную
к_ я
^ k2nl'
можно выписанному диференциальному уравнению придать вид
Интегрируя, получаем
t~ta = K\n^-.
Величину К здесь следует определить из условия
t — 4 при г — Ь.
Сделав это, мы после некоторых простых преобразований
будем иметь
+ H, - (a)
185
где
к= tb~t
ml
I (б)
Л =
In A
a
Обращаемся к разысканию функции ш. Мы знаем, что за о>
можно принять любое, достаточно непрерывное, решение урав-
уравнения
где и /С и // — постоянные. Ясно, что в данном случае такое
решение можно получить, приняв ш независящим от 9 и г. Тогда
выписанное для ш уравнение несколько упростится и примет
вид
rfr2 ' г йг г dr\ dr I '
Интегрируя, получаем
где Л и 5 — постоянные интегрирования, которые при разыс-
разыскании для со частного решения можно положить равными нулю.
Можно поэтому принять
<O = aK-J(lnr— l) +4H-J. (В)
Обратившись к формулам E1) главы IV, позволяющим выпи-
выписать то частное решение уравнений Дюгамеля-Неймана, кото-
которыми учитывается неравномерность нагрева тела, нетрудно ви-
видеть, что в силу (в)
^1пг)л + тх,
и, следовательно,
186
— = 0
д2и> аКху
~дхду
дудг~ дГдх
что по подстановке в E1) главы IV даст
? — —
z
E
ЕаИ-
2A-а)'
2A-=)'
Г" = Z^' = 0.
Этому соответствуют в цилиндрических координатах напря-
напряжения
которые и надо сложить с напряжениями
П" = I _ М
в"*'= L 4- —
(г)
(д)
даваемыми формулами D) § 1, чтобы получить полные напря-
напряжения в рассматриваемой неравномерно нагретой трубе.
Делая это, получаем
2A-о)
2УИ
, , г _ М
(е)
187
где Lx и Л^ — некоторые новые, пока неопределенные, константы.
Определив Lt и М из граничных условий
будем иметь
, _ ЕаК ft'ln» —a'lna
(Ж)
и, следовательно,
2A— В) б»— в2
6 г а262
б2 In — + a* In -- - -—- In
(з)
Для определения постоянной Л^ нам нужно знать продоль-
продольную силу, растягивающую рассматриваемую трубу. Ограничи-
Ограничиваясь рассмотрением случая, когда эта сила равна нулю, можем
определить Nt из условия
(к)
что дает
и, следовательно,
1 — 0
б2 — «2
Величины /?r, Zj и в9, как монотонные функции от г, достигают
своих наибольших значений на одной из границ рассматривае-
рассматриваемой области, т. е. или при г = а или при r=b. Как видно, од-
однако, из формул (з), (и) и (м) на одной из этих границ
№)-. = 0; (е9 )„ = (Z,Wa =
иа другой же
(/?r;itafc = 0; (в, )r b =
188
(н)
1п А - 1) .
Подставляя в (н) величину К из формулы (б) видим, что в
наиболее напряженных точках трубы главные напряжения опре-
определяются зависимостями
th— t) . 26* l
= 0; Вь ^ZX= -2yb-if (TiZTt~^T\ при г = а;
A5)
Если толщина трубы достаточно велика, то Ь : а достаточно
велико, и формулы A5) позволяют легко подсчитать наиболь-
наибольшие напряжения в трубе. Если ае b близко к а, то формулы A5)
обращаются в малые разности весьма близких больших чисел.
При — близких к единице удобнее поэтому вместо формул
A5) пользоваться формулами
A6)
при г =
где
h — b — a
Формулы A6) получаются из A5) путем удержания в их разло-
разложениях в ряды Тейлора первых членов соответствующих рядов.
Как показывают формулы A6), напряжения на внутренней по-
поверхности трубы несколько выше, чем на наружной, и получа-
получаются тем большими, чем больше соотношение —. Они полу-
получаются вообще весьма значительными, достигая, например, в
стальной трубе, у которой b : а ¦= 2, величин порядка 200J am
уже при ta ~ tb, близких к 100°С.
§ 4. Напряжения в полом валу, быстро вращающемся вокруг
своей оси
Допустим, что для трубы, вращающейся вокруг своей оси с
постоянной скоростью, требуется найти напряжения, вызывае-
вызываемые действием центробежной силы. Ограничимся, как и в пре-
предыдущих параграфах, исследованием напряжений лишь в средней,
достаточно удаленной от концов, части трубы, где деформацию
можно считать плоскою.
Поставленную задачу можно решить, присоединив к общему
интегралу соответствующих уравнений, найденному в § 1 [см.
189
Подставляя в (н) величину К из формулы (б) видим, что в
наиболее напряженных точках трубы главные напряжения опре-
определяются зависимостями
th— t.,\ . 26* l
= 0; Вь ^ZX= -2yb-if (TiZTt~^T\ при г = а;
A5)
Если толщина трубы достаточно велика, то Ь : а достаточно
велико, и формулы A5) позволяют легко подсчитать наиболь-
наибольшие напряжения в трубе. Если ае b близко к а, то формулы A5)
обращаются в малые разности весьма близких больших чисел.
При — близких к единице удобнее поэтому вместо формул
A5) пользоваться формулами
A6)
при г =
где
/г = ъ — а
Формулы A6) получаются из A5) путем удержания в их разло-
разложениях в ряды Тейлора первых членов соответствующих рядов.
Как показывают формулы A6), напряжения на внутренней по-
поверхности трубы несколько выше, чем на наружной, и получа-
получаются тем большими, чем больше соотношение —. Они полу-
получаются вообще весьма значительными, достигая, например, в
стальной трубе, у которой b : а ¦= 2, величин порядка 200J am
уже при ta ~ tb, близких к 100°С.
§ 4. Напряжения в полом валу, быстро вращающемся вокруг
своей оси
Допустим, что для трубы, вращающейся вокруг своей оси с
постоянной скоростью, требуется найти напряжения, вызывае-
вызываемые действием центробежной силы. Ограничимся, как и в пре-
предыдущих параграфах, исследованием напряжений лишь в средней,
достаточно удаленной от концов, части трубы, где деформацию
можно считать плоскою.
Поставленную задачу можно решить, присоединив к общему
интегралу соответствующих уравнений, найденному в § 1 [см.
189
формулы D)], частное решение уравнений Ламе, учитывающее
действие объемной силы.
В рассматриваемом случае составляющие объемной силы
суть
Х = -*х, Y = l*y, Z = 0, (a)
где 1 — вес единицы объема материала,
g —ускорение силы тяжести и
w — угловая скорость вращения трубы вокруг оси o.z.
Эта объемная сила имеет потенциал. Полагая
где
(в)
мы можем равенства (а) переписать так:
Л г '
ду '
дФ
дг '
По сказанному в § 9 главы IV мы можем составить частное
решение диференциальиых уравнений теории упругости, учиты-
учитывающее действие объемной силы с помощью равенств D1)
главы IV,
*;=-
у =
v" _ _ 1
*~
1 —о
1 — и
|
ф
|
1 —о ду 6z
— о дг дх '
где '1»0 есть любое частное решение уравнения
\72du = Ф. (е)
В рассматриваемом частном случае уравнение (е) обращается
в уравнение
/ d2 , 1 d \ , \ d
d\ I d f d^\ _
190 .
Общий интеграл его есть
А 1п г + в-
(з)
Так как нам для составления искомого частного решения
уравнений теории упругости достаточно знать лишь любое
частное решение уравнения (ж), то мы можем положить в (з)
величины А я В равными нулю. Сделав это, будем иметь
,1.
32
и, следовательно
дГду
й2 ~~ ду dz дгЪ'х ~ '
что по подстановке в (д) дает
V' 1 — 2о 1 ¦ , 2
Т/ __ Ь (f"^
1 -а 2
— и 2
(и)
(к)
(л)
Найденное частное решение дает для компонентов Rr,
Zz ,... Zr следующие выражения:
3 -_2ч J_
1 — V 8
Z-= -
1—5 8
i 1
8~
'
(м
1 —
Я'„ = И'. = Z'r = 0
Чтобы составить для Rr, в9 ,... Zr общий интеграл, мы дол-
должны прибавить к частному решению (м) общий интеграл соот-
соответствующих однородных уравнений. Последний дается в рас-
рассматриваемой задаче равенствами D) § 1.
191
Складывая оба эти решения, получаем
D 3-2а 1 , 2 , ,_? I
Кг— JUTT + г2'
|
/? = 6г = ZT = 0. )
Если к поверхности рассматриваемого полого вала никаких
внешних усилий не приложено, то должно быть
Rr — 0 х.^и г = а и г = ft (о)
и кроме того
zr = 0. (п)
Из условия (п) следует
и, следовательно,
Zz = j-^-o — (я2 -\- b2 —
Для нахождения L и М развертываем и решаем уравне-
уравнения (о). Это дает
у О ?3 К / су
1 = -1=7 Т-(а
1-о 8
что по подстановке в (н) дает
(с)
, 2A -2о) kr*
". - 'vr -г -, _;~ 4- r, + ,_e g-
Равенствами (р) и (т) определяются в рассматриваемом случае
все три главные напряжения для всех точек вала. В частности
на внутренней его поверхности
Я _ ! — 2з ka* , 3 —2з kb*
^Г\_ *b2 ^ A7)
192
на наружной же
/?г=0,
3— 2а
^7 X
пЬг
при г=
A8J
В этих формулах, равно как и в более общих выражениях
(р) и (т)> П°Д ^ следует подразумевать величину
и в случае плоского напряженного состояния следует з заме-
заменить на
а
31 =
31 =
Задачи, рассмотренные нами для цилиндрической трубы,
могут быть легко решены н для полой сферы. При этом сле-
следует иметь в виду, что деформация полой сферы при равно-
равномерной ее нагрузке должна быть симметричной относительно
центра сферы, так что
где радиальное перемещение р есть функция только от
Подробное решение некоторых задач, относящихся к дефор-
деформации сферы, дано ниже (см. задачи 8, 9 и 11 настоящей главы).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
Задача 1. В случае, если деформация симметрична относительно оси oz
и перемещения и и v не зависят от z,
и = х R (г),
v =yR(r), (a)
w = w (г).
Получить решение задачи Ламе, изложенное в § 1, путем непосредствен-
непосредственной подстановки (а) в уравнения Ламе.
Задача 2. Получить тем же приемом, что и в задаче 1, решение § 3
для тепловых напряжений в трубе.
Задача 3. Получить тем же приемом, что в задаче 1, решение § 4 для
напряжений в быстро вращающемся круглом валу.
Задача 4. Труба, внутренний диаметр которой равен 40 см, а наруж-
наружный 60 см, загружена внутренним давлением в 500 am. Считая трубу по
концам закрытою, построить эпюры, изображающие Rr и 99 в функции от г,
а равно и аналогичную эпюру для наибольшего скалывающего напряже-
в R
ния
П. Ф. Папкович. Теория упругости—436—13
JQ3
Задача 5. Труба, внутренний радиус которой а есть 10 см, а наруж-
наружный радиус Ь = 25 см, находится в состоянии стационарного неравномерного
нагрева, причем температура на внутренней поверхности трубы на 150°
больше, чем на поверхности наружной.
Построить для напряженнй RT, в9, Zz н Tmal эпюры, изображающие эти
величины в функциях от г.
Задача 6. Построить аналогичные эпюры для вращающегося круглого
вала, у которого а = 15 см, Ь — 25 см.; <о = 1000 радиан в секунду; -j =
= 7,85 г/см3.
Задача 7. Из формул § 4 получить решение для круглого вала, диа-
диаметр внутренней полости которого бесконечно мал, и сравнить это решение
с решением для вала сплошного.
Ответ. Для вала, внутренний диаметр которого бесконечно мал, из фор-
формул (т) и (р) § 4 следует, что при всяком конечном значении г
1 — о
1—2» kr*
1—а 4'
1 —а 4
¦21*).
(a)
Для вала сплошного вместо граничных условий (о) § 4 решение должно
быть подчинено условиям
р = 0 при г = 0,
Rr — 0 при
г = 0, 1
г=Ь. |
(б)
Определив в формулах (н) § 4 постоянные произвольные из граничных
условий (б), мы придем к тем же зависимостям (а).
Таким образом при всяком конечном г решение § 4, соответствующее
случаю а = 0, совпадает с решением для вала сплошного. Наличие беско-
бесконечно малой полости у оси ог вызывает некоторое изменение напряженного
состояния лишь в бесконечно малом объеме, окружающем эту полость.
Задача 8. Найти напряжение в полой сфере, подвергающейся одно-
одновременному действию внутреннего давления ра и наружного р6, считая вели-
величины ра и рь постоянными.
Решение. Чтобы деформация сферы при указанной нагрузке была сим-
симметрична относительно ее центра, достаточно в общем решении C1) главы IV
положить
0! — Х9 (Г),
где
Это дает
и = X'.; —
0з = «? (г),
= хг + у* + г2.
1
(а)
4A—в)
х
г '
p7*+ 2np) ^'
= ^ - 4A_g) (?'*• + 2 rf) -—,
1
F)
194
Функции 0t должны удовлетворять уравнению Лапласа, для чего необ-
необходимо подчинить ?(/•) уравнению
общий интеграл которого есть
<Р* + у?' = О,
(г)
где Л и В—постоянные интегрирования.
После этого компоненты деформации, соответствующие полярным коор-
координатам, етт и вщ найдутся с помощью равенств
е -
др
соответствующне же им компоненты напряжений Rf и 8в из уравнений
1
" wy- (Л "
с. г
Прн этом будет
(е)
где Ai н В1 — некоторые новые постоянные, пока неизвестные.
Определив Аг п Вг — из условий
можно получить
(ft3 — а3) г3 '
—а3
A9)
Максимальное скалывающее напряжение определяется в этом напряженном
состоянии зависимостью
^Я 3 и>а
Т - ^Яг _
тах 2 4 ~(?~— а') г3
и достигает своего максимума на вн\тренней поверхности сферы, где г — а.
Здесь
max шах ^ ^з аз
Задача 9. Найтн тепловые напряжения в полой сфере, нагретой сим-
симметрично относительно ее центра, считая тепловое состояние сферы стаци-
стационарным.
Решение. Температура сферы t должна удовлетворять в рассматриваемом
случае уравнению
4ЯГ2
q = А-^г dt = const (a)
195
и, следовательно, может быть выражена зависимостью
t =
Ь —a
6— д г '
(б)
где ta значение t на внутренней поверхности сферы,
t. . „ „ внешней „ ,
Функция а>, удовлетворяющая уравнению
может быть в рассматриваемом случае приниматься равной
где
АГ =
tbb—taa
Ь — а
-ab.
(в)
(г)
(Д)
Для компонентов напряжения Хх, Y™,\... Z™, которыми учитывается не-
неоднородность основных уравнений теории упругости, вызываемая неравно-
неравномерностью нагрева тела, найденное ш дает
ЕаК
2(l
аК (\ I х*) '
-e) V+ г*) г'
_ ЕаК ху
У ~ 2A—а) г»
(е)
или в полярных координатах
ЕаК 1
1—и г '
т _ ЕаК 1 (
9 "" 2A-0)' Т"# '
(Ж)
Прибавляя к этим напряжениям напряжения, даваемые равенствами (ж)
предыдущей задачи, и определяя постоянные интегрирования At и Bt из
условий
|Л| 0
можно получить для компонентов напряжения Rr и в9:
ЕаК
р
г
а
в
1—
Ь3 — д3 (й3 — д3) г3 J'
_ ?а/С Г 1 ft* — Д2 1 F — д) агЬг ~\ I
~~ 1 —а" [^7 ~~ б3 —а3 + ^2~ (ft3 — Д3) г3 | ' '
для скалывающих же напряжений Т —
ЕаК Гр (ft — а)д*6* 1 1
2A-a) L (О'~а3)г3 г\
196
B2)
B3)
Расчетное скалывающее напряжение Т достигает своего максимума при
г =» а, где
ЕаК Г '(Ь-а)Р 1 1
Тта*=2(,_0) [3 F,_Л,)Л -|. B4)
В формулах B2), B3) и B4) /С определяется равенством (д).
Задача 10. Найти тепловые напряжения в средней части длинной
трубы, у которой температура наружной поверхности tb равна нулю, темпе-
температура же внутренней поверхности ta меняется в функции от времени т по
закону
ta = t°as\um, (a)
где/д и я— константы. Процесс тепловых колебаний, установившийся во
всех точках трубы t меняется по закону
t=fi (r) sin ят + /2 (г) cos лт. (б)
Коэфициент внутренней теплопроводности материала есть к- Коэфициент
теплоемкости его есть с. Силами инерции колебательного перемещения от-
отдельных точек трубы можно пренебречь.
Решение. Прежде всего следует определить функции ft(r) и }^(г), чтобы
распределение температуры было известно для всякого момента времени.
Для этого допустим, что dq есть количество тепла, проникающее в еди-
единицу времени в элементарный кольцевой слой, ограниченный радиусами г н
r + dr н длиною I.
Через внутреннюю поверхность этого слоя из него внутрь трубы проте-
протекает в единицу времени
единиц тепла.
Через наружную поверхность в него поступает в то же время
Я + dq = *2*/ (г + dr) ( дду + ??- dr)
единиц тепла. Всего, следовательно, в него поступает в единицу времени
через обе этн поверхности
единиц тепла.
Если это тепло расходуется на нагревание этого слоя, то производная
его температуры по времени -=—¦ может быть связана с dfl зависимостью
dq = c2w/ -^- dr. (г)
.Уравнивая выражения (в) и (г), получаем для t уравнение
/25)
дт Т~Г dFV dry
Если t есть периодическая функция от т вида (б), то в силу B5) функ-
функции Л (г) и /2 (г) удовлетворяют уравнениям
K-i-
-*«--§-
(д)
197
или, что то-же, уравнению
k V
очевидно равносильному уравнению
где / есть знак мнимости.
Уравнение B6) решается в цилиндрических функциях комплексного аргу-
аргумента (см. например Я. Н. Шпнльреин. Таблицы специальных функций, ч. I,
стр. 48). Его общий интеграл может быть выписан в форме равенства
Л (г) = Ак Re Io (ar VT) + Вк Im /0 (or ]/" 7) +
-v Ск ReN0 (ar VT) + Пк ImNo (<"" VT), B7)
где Ak< Bk, Ck "h D1; — постоянные [интегрирования а = I/ —г-, а
Relv(ar V i ) — реальная часть Бесселевой функции нулевого порядка аргу-
аргумента аг V j_\ Im 'о {яг V 1 ) мнимая часть той же функции, a ReN0 (ar VT) и
Itn N0(ar У i )—соответственно реальная и мнимая части цилиндрической
функции Неймана аргумента ar V i ¦
Для функций Re /0 (аг ]/ Т); Im I0{arVT)\ ReN0(ar VT) и ImN0{ar VT)
составлены таблицы (см. например таблицы стр. 101 и 102 упомянутого выше
справочника Я. Н. Шпильрейн).
Восемь постоянных интегрирования Ак, Вк, Ск и Dk связаны между со-
собою четырьмя зависимостями, вытекающими из уравнений (д). Поэтому из
них только четыре могут быть принятыми за независимые.
Для определения этих четырех оставшихся произвольных постоянных
надо обратиться к граничным условиям задачи, каковыми в рассматриваемом
случае являются
А (а) = С М«)=0,
Л(*) = о, /,(*) = а
Определив все постоянные интегрирования, входящие в B7), можно /г(г)
н А{г)> а следовательно [см. равенства (б)], и t считать известными.
После этого <о найдется из уравнения
1 d i da>\
-J— Г ) = at,
г dr \ dr j
дальнейшее же решение задачи будет соответствовать схеме § 3.
Очевидно, чем быстрее процесс тепловых колебаний, т. е. чем больше я,
тем меньшая толща трубы захватывается тепловыми напряжениями.
Задача П. Найти тепловые напряжения в полой сфере, у которой
температура наружной поверхности неизменна, температура же внутренней
поверхности меняется по закону
t=t°asinrrz, (a)
причем процесс тепловых колебаний можно считать установившимся.
Решение. Решение этой задачи, так же как и предыдущей, сводится к на-
нахождению температуры t", как функции от т и от г.
Считая, что
Р =Л (г) sin m +f2(r) cos /к,
198
можно* повторяя рассуждения предыдущей задачи, убедиться в том, что фуик-
дии /г(г) и /г(г) связаны между собою уравнениями
(б)
—=•* у К И
и должны, следовательно, удовлетворять уравнению
r8 dr V dr) k
¦ _L А- (г* АЛ + 2L «
ir* dr V dr)+ k
Чтобы были удовлетворены н граничные условия, вытекающие из усло-
условий задачи, надо четыре постоянные интегрирования, входящие в /j (r), опре-
определить из уравнений
h («) = С,
к (Ь) = О,
Дальнейший ход задачи сходен с задачей 10.
Задача 12. Найти тепловые напряжения в круглом сплошном валу,
радиусом г, нагретом равномерно до температуры t° и затем помещенном
в-среду, температура которой равна нулю, пренебрегая тепловым сопроти-
сопротивлением на поверхности вала.
( Решение. Задача сводится, как н предыдущая, к нахождению темпера-
температуры вала t, как функции он и г. Температура вала t должна все время
удовлетворять в пределах всего вала, т. е. прн г< а днференцнальному урав-
уравнению (см. задачу 10)
{) (а)
(б)
на наружной же поверхности — граничному условию
По условиям задачи в начальный момент, когда т = 0, должно при всяком
г, меньшем чем а, быть
t = t°. (в)
Искомое t можно разыскать, следуя методе Пуассона, в форме ряда
(г)
где Хк(г) функция только от г,
УкЬ) . ш » времени х.
Попробуем распорядиться функциями Хк (г) н Yk (т) так, чтобы каждый
Член ряда (г) удовлетворял уравнению (а) н граничному условию (б). Для
Этого надо принять
*к (а) = 0 (Д)
н кроме того
199
Последнее может, однако, иметь место только в том случае, если одно-
одновременно будет
КЮ = ->»к-*-ГкЮ (е)
где тк — некоторые константы, которые мы будем считать положительными,
чтобы функции Yk(t) были убывающими функциями от т
Общий интеграл уравнения (ж), как известно, выражается через цилинд-
цилиндрические функции (см. Я. Н. Шпильрейн, ч. I, стр. 48).
При тк положительном можно считать, что
Хк (г) = Ак10{Утк г) + ВкН0(Уйк г)
где Ак и Вк — постоянные, пока неопределенные.
I0(V^k г)—функции Бесселя нулевого порядка,
N0(Vmkr) „ Неймана „ „
Функции Неймана обращаются при г = 0 в бесконечность и в решение
для вала сплошного входить не могут. Поэтому в рассматриваемой задаче
можно принять
(У)
или, отбрасывая постоянную Ак, которую можно всегда включить в состав
Yk(x), можно считать что:
Xk(r) = I0(Vmkr). (з)
_Чтобы (з) удовлетворяли условию (д), достаточно определить величины
У mi; ¦ а из уравнения
Io(Vmka) = 0, (н)
последовательные корни которого (см. Шпильрейн, стр. 147) суть
У~тх а= 2,4048 = р.1; 4
У т2 а ^ 5,5201 = р2, > (к)
Утя а = 8,6537 = (j.s.'
Можно поэтому принять
тк = 7Г* •
что дает
" ¦ B8)
Нам остается удовлетворить начальному условию, (в) для чего доста-
достаточно подобрать константы Ак так, чтобы в начальный момент было
200
Этого всегда можво достигвуть, ибо, как известно, в пределах
О < .г < а
можно всякую фувкцию от г разложить в ряд вида B9).
Разложение задаввой фувкцви t (r) в ряд вида B9) основывается ва том'
замечательвом свойстве Бесселевых фувкций реальвого аргумевта, что ивте-
ивтегралы вида
г а
i~7f <f = 0 C0)'
обращаются в вуль, если i*fc и jin два развых корвя ураввенвя (и). Поэтому
коэфициевты Ак в ряду B9) можво находить с помощью выражевий
C0-
Ивтегралы, входящие в числитель этого выражевия, могут быть всегда
вычислены. Для частвого случая, когда t° от г ве зависит, они могут быть-
найдены в справочвиках. Ивтегралы, входящие в звамеватель, вычислевы в
имеются в справочвиках. Поэтому определевие коэфициентов Ак особых
затрудневий ве представляет.
Разыскавши все Л,,, можво с помощью формулы B8) определить t ^функции
от т для всякого х. После этого фувкция со, входящая в формулы E1) главы IV,
найдется как любое частвое решевие уравнения
rf. <32)
Дальвейший ход решевия задачи сходен с решевием задачи 10 и позво-
позволяет найти вапряжевия в валу при всяком т.
Для цримера рекомевдуется довести решение задачи до конца, для част-
частвого случая, когда а = 10 см; t0 = 100 ° С; а = 0,000011 V °С; k =55 кал/м3 час °С;
С =-0,115 кал/кг °С; т =2 сек.
Коэфициевты о, А и с, приведевные только-что, отвосятся к стали.
ГЛАВА VII
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Постановка задачи, основные уравнения
В настоящей главе мы будем, по преимуществу, заниматься
задачей о кручении призматических стержней. Задача эта в той
ее постановке, которая была дана С. Венаном, легко решается
как методом непосредственного определения напряжений, так
и с помощью общего решения § 5 и 7 главы IV. В обоих слу-
случаях задача решается полуобратным методом С. Венана.
Покажем сначала, каким образом решение С. Венана может
быть получено из общего решения § 5 и 7 главы IV.
В § 4 главы V была рассмотрена задача о кручении стержней
круглых. Совмещая ось oz с осью вала, мы видели, что при
кручении круглого вала двумя моментами, приложенными к его
концам, компонентами напряжений, отличными от нуля, явля-
являются только напряжения Xz и Yz, т. е. обе составляющие ска-
скалывающего напряжения, действующего в поперечных сечениях
вала. Перемещения и, v и w при этом определялись зависи-
зависимостями
и = — туг,
v = zzx, (а)
w = 0,
где х есть некоторая константа.
Можно предположить, что при кручении призматического
стержня, поперечное сечение которого ограничено контуром,
отличным от круга, перемещения и и v определяются теми же
зависимостями (а).
Если мы, однако, сохраним и третью из зависимостей (а),
то мы придем, очевидно, к тому самому распределению скалы-
скалывающих напряжений Xz и Yz, которые имеют место у круглых
стержней. Равнодействующая этих напряжений будет во всех
точках стержня перпендикулярна к радиусу-вектору, соединяю-
соединяющему данную точку с осью вала, и будет пересекать контур
стержня, если этот контур не есть круг.
По сказанному в § 4 главы I боковая поверхность стержня
¦будет при этом загружена скалывающими напряжениями, на-
направленными вдоль ее образующих.
202
Посмотрим, нельзя ли боковую поверхность рассматри-
рассматриваемого стержня освободить от напряжений, к ней прило-
приложенных, приняв
и = — zyz
v = zzx,
¦ I
A)
Тогда будет
w =w(x, y).i
у y —7 V П
B)
и, распоряжаясь функцией w, можно будет изменять напряже-
напряжения Хг и Yz, причем оба эти компонента напряжения будут
функциями только от х и у.
Как было показано в § 7 главы IV, в случае отсутствия
объемных сил перемещения и, v и w определяются в самом
общем виде равенствами
"¦ =
w = 0,—
0о),
0о),
(б)
где функции 0j удовлетворяют уравнению
V20t = 0.
(в)
Легко видеть, что функции —zyz kzzx, которым мы желаем
уравнять и и v, уравнению Лапласа удовлетворяют.
Посмотрим, нельзя ли получить из (б) уравнение вида A),
полагая
0.—Ч* I (г)
X.)
0а = ZZX.
Подставив (г) в (б), будем иметь
1 д
и = — zyz —
4A-о) дх
1 д
(Z03 + 0О),
(zZz + 0о)-
|
(Д)
203
Для того, чтобы это решение совпало с A), нужно добиться
того, чтобы функция
не зависела от г, с другой же стороны, чтобы
20з+ 00
не зависело от х и у. Этого мы можем достигнуть, положив
08 = 0з(•«. У)> 0о = —203; (е)
что возможно, так как если 03 от z не зависит и удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа, то и функция
0о= -г03
уравнению Лапласа удовлетворяет.
Приняв (е), будем иметь
и — — туг.
V = 1ZX,
w = 0з {х, у),
как того и требуют равенства A). Таким образом, с точки зре-
зрения общего решения уравнений Ламе, функция w подчинена
единственному ограничению, а именно w должна удовлетворять
уравнению Лапласа
S72w = 0, C)
так как этому уравнению подчинена функция 03{х, у).
Посмотрим теперь, можем ли мы, считая функцию w под-
подчиненной условию C), добиться того, чтобы равнодействующая
напряжений Xz и Yz, определяемых равенствами B), не пересе-
пересекала контура поперечного сечения рассматриваемого стержня
или, что то же, чтобы боковая поверхность этого стержня
была от напряжений Z, свободна.
Для этой цели воспользуемся тем, что если функция w
удовлетворяет уравнению Лапласа, то всегда должна существо-
существовать некоторая другая функция, назовем ее х> такая, что
dw __ _дх_
Ш ~ ду~'
dw
(ж)
также, очевидно, уравнению Лапласа удовлетворяющая.
Подставив (ж) в B), видим, что равенствам B) можно при
7ТЯТК RIITT
дать вид
xz=p-
Yz= ~ ~дх~
204
где tp определяется зависимостью
--?-(*•+.V1)} (з)
и в силу C) и (ж) удовлетворяет уравнению Пуассона
V2* = - 2Gx, E)
в чем можно убедиться путем нахождения лапласиана функ-
функции ip, определяемой равенством (з).
Посмотрим теперь, какое ограничение налагает на функцию <р
требование, чтобы боковая поверхность стержня была свобод-
свободна от нагрузки, и совместимы ли эти ограничения с уравне-
уравнением E).
Для этого обращаемся к уравнениям равновесия элементар-
элементарного тэтраэдра
= Я*cos(*, >) + Xycos(y, v) + .Y2cos(z, vj, .
= Yxcos(x, v) -f Yy cos (y, v) -f Yz cos (г, v), (и;
Z, = Zx cos (A, v) -)- Zy cos (_y, v) -)- Z, cos (г, V),
J
У всех площадок, составляющих боковую поверхность приз-
призматического стержня
cos(z, V) = 0.
В решении B),рассматриваемом нами,
Хх = Yv = Zz = Ху = 0.
Поэтому, как показывают равенства (и), на боковой поверх-
поверхности призмы условия
X, = Y, = О,
удовлетворяются, не налагая никаких ограничений на функцию «р.
Чтобы на ней было еще и
Z, = 0,
необходимо распорядиться функцией tp так, чтобы во всех точ-
точках контура поперечного сечения стержня было
Xz cos (л:, v) -f Y4 cos {у, >) = 0. (к)
Но
Xz cos {x, v) -f Yz cos {y, v)
есть не что иное, как проекция равнодействующей напряжений
Xz и Yz на нормаль к контуру. Чтобы посмотреть, какие огра-
ограничения налагает условие (к) на функцию <р, выясним, какая
зависимость существует между проекцией упомянутой равно-
равнодействующей напряжений Xz и Y. на нормаль v и функцией <ь.
Заодно найдем и общее выражение для проекции той же рав-
равнодействующей на касательную к контуру, так как это выра-
выражение нам понадобится в дальнейшем.
205
Пусть (рис. 42) Т есть равнодействующая напряжений Хг и
Yz и нам требуется найти проекцию Т на нормаль к контуру
Tcos(T, v) и проекцию Т на касательную к контуру rcosG", s),
X
У
J cos (Ту)
7cos(T,S)
Рис. 42.
считая направление последней положительным, если оно сов-
совпадает с направлением кратчайшего обхода контура от поло-
положительного направления оси ох к положительному направлению
оси оу.
Имеем
Т cos (T, v) = Хг cos (л:, v) + Yz cos (у, v) =
да
да , ч дФ ,.
= ^TCOS(^, v)— ^COS(y, v),
Г cos (Г, s) = Xz cos (x, s) -\- Yz cos (y, s) =
= §- cos (дс, s) - |J cos (y, s).
Но из рис. 43 видно, что
COS (X, vj = ij-, COS (.у, v) = — ^-,
(л)
Прэтому
cos (дс, *)=-¦?, cosO;, s) = ^--
dy ds
(м)
dx
Чтобы на контуре было
Tcos{T, v) = 0,
206
достаточно поэтому положить
W=° F)
во всех точках контура.
Равенство F) показывает, что на каждом контуре, ограни-
ограничивающем поперечное сечение рассматриваемого стержня, зна-
значение функции (р должно быть постоянно. Это не значит, ко-
конечно, того, что функция ср не может принимать на различных
контурах, ограничивающих поперечное сечение, если таковых
имеется несколько, различные значения: она должна оставаться
постоянной на каждом отдельном контуре, ограничивающем
сечение стержня. Зная те условия, которым должна быть
подчинена функция ср на контуре, вернемся к вопросу о том,
можно ли ее подчинить одновременно уравнению E) и этим
условиям, т. е. можно ли решить рассматриваемую задачу при
принятых основных предположениях.
Мы уже видели [см. равенство (з)], что <р можно всегда,
считать равной сумме двух функций: некоторой гармонической,
функции Gx и функции —G -^-(х2 -\- у2).
Чтобы на каком-либо контуре функция «р. удовлетворяющая
уравнению E), принимала заданнае значение
tp = а — const,
достаточно распорядиться гармонической функцией У. так,„
чтобы во всех точках этого контура она принимала значения,
даваемые равенством
Gx = fl + G*^±A (о)
Таким образом, вопрос о разыскании функции <р, удовлетво-
удовлетворяющей всем условиям рассматриваемой задачи, сводится к
разысканию некоторой такой гармонической функции, которая,
принимает на контуре заданные значения, т. е. к задаче, извест-
известной в математической физике под именем задачи Дирихле.
Известно, что эта последняя задача разрешима. Поэтому найти
такую функцию ip, которая, удовлетворяя уравнению E), удов-
удовлетворяет также и условию F) на контуре сечения, можно при
всяком очертании стержня, а это свидетельствует о том, что
те упрощающие задачу допущения, при которых мы пытались
решить задачу о кручении призматического стержня, с задачей
этой совместимы.
Все сказанное позволяет наметить следующий общий путь
решения задачи о кручении призматических стержней.
Из диференциального уравнения
Vaf = - 2Gz E)-
находится функция tp, удовлетворяющая на каждом из контуров,
ограничивающих поперечное сечение, условиям
<р = const,
207
но могущая на разных контурах принимать различные значения.
Функцию эту в задаче о кручении призматических стержней
принято называть „функцией напряжения".
После того, как „функция напряжения" найдена, оба отлич-
отличные от нуля компонента напряжения определяются с помощью
зависимостей
ду
у . ° ¦ ,
D)
Если требуется найти проекцию скалывающего напряжения,
действующего в какой-либо точке поперечного сечения на нор-
нормаль, и касательную к какому-либо контуру, проходящему че-
через эту точку, то это может быть сделано (рис. 4'д) с помощью
зависимостей
rcosG\ v) = -?-,
dv
Если требуется разыскать перемещение всех точек стержня
то это может быть сделано с помощью формул
и = — ~:yz,
V = ZZX,
w = w(x, у),
A)
где только функция w подлежит определению. Связь w с функ-
функцией напряжения <р определяется равенствами D) и B), из кото-
которых следует
дх = 'У-Г-G
ду'
дю zx
О дх
G)
Уравнения G), в силу условия E), которому подчинена функ-
функция у, всегда интегрируются и определяют собою перемещение
w с точностью до постоянного слагаемого. Константу, остаю-
остающуюся в общем интеграле уравнений G) произвольной, можно
всегда определить из условия прикрепления координатной
системы к телу. Как показывают равенства A), постоянная т
является не чем иным, как углом закручивания стержня на
единицу длины.
Осевое перемещение w удовлетворяет уравнению Лапласа
= 0.
(а)
208
Величина скручивающего момента М в основные зависи-
зависимости теории кручения призматических стержней, выведенные
выше, не входит, и даже вообще ни из каких зависимостей,
приведенных выше, кроме уравнений A) .непосредственно не
видно, что все они относятся именно к задаче о кручении
стержня. Чтобы доказать, что рассматриваемое решение дает
нам решение задачи именно о кручении призматических стерж-
стержней, надо показать, что рассматриваемое напряженное состояние
вызывается только двумя скручивающими парами, приложен-
приложенными к торцовым поперечным сечениям стержня.
Докажем это. Боковая поверхность стержня от всякой внеш-
внешней нагрузки е рассматриваемом решении свободна, так как
функцию <р мы подчинили условию ~ = 0 на контуре. Что най-
найденное решение соответствует случаю отсутствия объемных
сил, видно из того, что оно получено из общего интеграла
однородных уравнений Ламе. Остается показать, что равно-
равнодействующая напряжений, приложенных к поперечному сечению
стержня, приводится к одной лишь скручивающей паре и найти
величину этой пары. Это мы сделаем в следующем параграфе.
§ 2. Зависимость между скручивающим моментом и функцией
напряжения
Покажем, что в случае если в стержне имеет место напря-
напряженное состояние, рассмотренное в § 1, то все три проекции глав-
главного вектора всех сил, действующих в любом поперечном сечении
стержня, равны нулю. Относительно проекции на ось oz это
положение в доказательстве не нуждается, так как напряжение
Zz, которое единственно может дать, в качестве своей равно-
равнодействующей, усилие, направленное по
оси, вообще равно нулю. Проекция рас-
рассматриваемой равнодействующей на ось
ох выражается интегралом
= fxz dx dy=f^ dx dy,
(a)
х=хг
Рис. 44.
где интегрирование распространяется
на всю площадь поперечного сечения,
занятую материалом стержня.
Нетрудно видеть, что в силу тех
условий, которым должна удовлетво-
удовлетворять функция * на контуре, Рх всегда обращается в нуль,
независимо от того, ограничено ли поперечное сечение стержня
контуром односвязным или же многосвязным. Покажем это на
примере двухсвязного контура, изображенного на рис. 44.
Пусть на внешнем из контуров, ограничивающих поперечное
сечение стержня <р = у0, на внутреннем же <р = у1ш
Выполним в (а) интегрирование по у.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—14 209
Так как интеграл
I
ду
взятый при каком-либо частном значении аргумента х, между
двумя заданными значениями у, есть не что иное, как разность
частных значений функции tp в точках, определяемых верхними
и нижними пределами интегрирования по у, то применительно
к случаю, изображенному на рис. 44, результат этого интегри-
интегрирования должен тождественно обращаться в нуль при всяком х.
Действительно, если х лежит в пределах
х3 или х4 < х < х2,
то интеграл
если же х лежит в пределах внутренней полости, то
С до , . п
-г-5- пу = tyi •—• Фп + Фп — Ф1 — "•
ду J T1 ти *и '-1
Таким образом, каков бы ни был контур поперечного сече-
сечения стержня, интеграл
входящий в общее выражение для Рх, ранен нулю при всяком х,
чем обращается в нуль и сама величина Рх.
Совершенно так же можно показать, что у главного вектора
всех сил, действующих в поперечных сечениях стержня, нулю
равна также и проекция на ось оу. Все три проекции главного
вектора этих сил равны таким образом нулю.
Обратимся к разысканию главного момента всех рассматри-
рассматриваемых сил. Совершенно ясно, что моментов относительно осей
ох и оу напряжения Xz и Yz дать не могут.
Остается разыскать момент относительно оси oz, иными
словами, момент, скручивающий рассматриваемый стержень.
Обозначим этот момент через М. Выделим в области попе-
поперечного сечения стержня бесконечно малый элемент dx dy и
найдем момент dM усилий Xzdxdy и Yz dx dy, на него действу-
действующих.
Пусть внешняя нормаль к рассматриваемому поперечному
сечению направлена в сторону положительного направления
оси oz. Тогда усилия Xzdxdyn Yzdxdy, создаваемые напряже-
напряжениями Xz и Yz, будут, если последние положительны, направ-
направлены, как показано на рис. 45.
Их момент относительно оси oz есть
dM = хY^x dy — уXzdx dy. (б)
210
Интегрируя все такие элементарные моменты, получим
M = ff{xYz-yXz dxdy, (в)
где интегрирование распространяется на всю площадь попереч-
поперечного сечения, занятую материалом стержня.
Вычислим входящий в правую часть этого выражения инте-
интеграл.
Для общности предположим, что сечение стержня опреде-
определяется трехсвязным контуром, изображенным на рис. 46, причем
на наружном контуре tp = <ро,*на контуре, ограничивающем левую
х
dxdy
Рис. 46.
внутреннюю полость, <? = ip
правую полость <р = <ра.
Рассмотрим сначала интеграл
на контуре, ограничивающем
f/Yzxdxdy.
Заменив в нем Yz его выражением из D), можно видеть, что
JS-dxdy=- fdyf^-xdx,
но
(г)
В формуле (г) пределы интегрирования получаются различ-
различными в зависимости от того, пересекает ли прямая у = const
при том значении у, при котором вычисляется интеграл (г)
какой-либо из внутренних контуров, или же нет.
Если прямая у = const, как приведенная на рис. 46 внизу,
внутренних контуров не пересекает, то при этом значении у
интеграл должен быть взят от х = xt до х — х2 и, следовательно,
есть
dx =
-¦*>)—/?dx
хх
211
Если прямая у = const, вдоль которой ведется интегрирова-
интегрирование, как например, прямая, проведенная на рис. 46 вверху, пе-
пересекает оба внутренних контура, то при этом значении у
и, следовательно,
"И"х dx = ~
Xt Xs Хг
— f ydx — I ydx— Г»dx. (e)
^ ^ X
Принимая во внимание (д) и (е), можно видеть, что
Yz x dx dy =ffydxdy + ^J (xt — x3) dy + y2 j (xe — x&) —
где пределы интегрирования по у определяются крайними зна.
чениями координаты у для соответствующего контура, а двои,
ной интеграл ffydxdy берется по всей площади сечения,
занятой материалом стержня. При этих условиях
Fo = I (х2 — Xi) dy должно быть площадью наружного
* контура;
F1 = | (Хц— Х3)йу „ » площадью левого
•^ внутреннего контура;
Ръ = Г ('в — -fs) dy . » площадью правого
внутреннего контура;
так что для рассматриваемого трехсвязного контура
Yz х dx dy = / J<p Л« dy + ?1 Fx + 4.2F2 - cp0F0. (ж)
Совершенно так же можно убедиться и в том, что
-// Xz ydx dy =jf <?dxdy + ^F\ + <p, F2 — <j>0F0. (з)
У рассматриваемого трехсвязного контура скручивающий момент
М связан, следовательно, с функцией if зависимостью
М = 2 {//ч> dx d^ + (р^ + <p2F2 — ®0F0 }, (и)
где, как сказано, двойной интеграл от <р берется по всей пло-
площади поперечного сечения, занятой материалом стержня.
212
Если бы мы рассмотрели какой-либо контур, имеющий какое
угодно число внутренних полостей, то совершенно подобным
же образом мы могли бы показать, что для него
= 2
* dx
(8)
где интеграл от <р следует также брать по всей площади сече-
сечения, занятой материалом стержня, суммирование же
по i следует распространять на все внутренние контуры, при-
принимая за Fo площадь наружного контура, за F,- площадь каж-
каждого внутреннего контура, а за <р* частное значение <р на г-ом
контуре.
Рис. 47.
Формулой (8) дается связь между функцией напряжения <р
и скручивающим моментом М для самого общего случая, когда
рассматриваемый стержень имеет любое число внутренних по-
полостей. Она допускает очень простое геометрическое истол-
истолкование. Представим себе (рис. 47), что возле каждой
точки поперечного сечения мы отложили по оси oz в извест-
известном условном масштабе соответствующее значение функции tp.
Ясно, что интеграл// wdxdy, взятый по площади, указанной
выше, будет объемом кольцевого пространства, окружающего'
все цилиндры, соответствующие внутренним полостям между
плоскостью <р = 0 и поверхностью, изображающей функцию <р.
Произведение частного значения функции <р на каком-либо из
внутренних контуров <р,- на площадь Ff этого контура будет,
очевидно, объемом цилиндра, ограниченного плоскостями <р = О
и ip = <ft и цилиндрической поверхностью, нормальной к этим
плоскостям, построенной на контуре соответствующей внутрен-
внутренней полости стержня. Сумма
будет при этих условиях, очевидно, объемом всего пространства,
заключающегося между плоскостью <р = 0, цилиндром, проходя-
проходящим через очертание наружного контура стержня, поверхностью,
изображающею функцию напряжений <р и плоскостями <р = ?,-,
проходящими через линии ее пересечения с цилиндрическими
поверхностями, соответствующими внутренним контурам стерж-
стержня. Объем этот на рис. 47 отштрихован, причем объем, соот-
213
вететвующий интегралу J'fy dxdy, показан штриховкой верти-
вертикальной, объем же, соответствующий произведениям ^/^ —
штриховкой косой.
Как показывает формула (8), скручивающий момент М равен
удвоенному объему той части пространства, изображенного в
сечении на рис. 47, которая лежит выше плоскости <р = <р0, со-
соответствующей значению функции <р на внешнем контуре рас-
рассматриваемого стержня.
Таким образом, скручивающий момент М равен
удвоенному объему холмика, ограниченного по-
поверхностью, изображающею функцию напряже-
напряжений и плоскостями <р = const, соответствующими
тем частным значениям функции <р, которые она
принимает на всех отдельных контурах, ограни-
ограничивающих поперечное сечение стержня.
Положение это является одним из основных положений
рассматриваемой теории кручения призматических стержней.
§ 3. Другой вывод основных зависимостей § 1
В начале § 1 было отмечено, что задача о кручении приз-
призматических- стержней может быть легко решена как с помощью
использования общего решения § 5 и 7 главы IV, так и с по-
помощью метода непосредственного определения напряжений.
В предыдущих двух параграфах мы вывели основные зависи-
зависимости теории кручения призматических стержней с помощью
первого из упомянутых методов. Покажем теперь, как их можно
получить с помощью t метода непосредственного определения
напряжений.
В качестве исходного допущения примем, что из всех шести
компонентов напряжения при кручении всякого призматиче-
призматического стержня только два, а именно Xz и F2 отличны от нуля.
Приняв, что Хх= Yy = Zz = 'Xy = 0, мы из уравнений равно-
равновесия элементарного параллелепипеда
дх ~ ду "•" dz ' '
дх ' ду ' дг ' '
Ж^ ду ^ dz "г - - »
можем легко заключить, что на рассматриваемое тело никаких
объемных сил действовать не будет, если мы положим
дХ. dY,
(б)
: _ I — Г)
dz ~ dz '
дХ. д Y,
дх * ду
214
Чтобы удовлетворить первому из этих условий, достаточно
принять, что Хг и Yz от z не зависят. Из второго же следует
дх ду'
ему можно удовлетворить, полагая
У _ ду
Л'~~ ду'
у <^Р
Iz~ ~дх~'
D)
где ч> — некоторая, пока неизвестная, функция.
Равенства D) выводятся, таким образом, рассматриваемым
методом в высшей степени просто.
С точки зрения уравнений равновесия (а) функция tp могла
бы быть какой угодно. Не следует, однако, забывать, что
искомая деформация должна удовлетворять еще условиям
сплошности. Последние, в случае отсутствия объемных сил,
даются шестью диференциальными уравнениями Бельтрами
см. § 2 главы IV)
0 = 0,
X72Z*
' 1
1
1
' 1
+ *
+ *
+ о
1
1
+ »
ду2
дг*
д2
ду dz
dz дх
0 = 0,
0 = 0,
0=0,
(в)
где
В рассматриваемом случае первые четыре из шести уравне-
уравнений (в) удовлетворяются тождественно, в силу допущения
ХХ = Yg = ZZ = Xу = 0
и не налагают на функцию tp никаких ограничений; два же
последние из уравнений (в) обращаются в
V2
^ = 0, \
(, = о, I
(д)
215
что по подстановке Xz и Yt из D) дает
¦к ^ - °-
(е)
и, следовательно,
V2(f = const. (ж)
Обозначив константу, входящую в (ж), через — 2Gx, мы по-
получим для (р уравнение
V2<f> = — 2Gx,
в котором нетрудно узнать уравнение E) § 1.
Для того чтобы боковая поверхность стержня от внешней
нагрузки была свободна, необходимо подчинить на всей боковой
поверхности стержня функцию <р условиям
dtp дер п
~дГ~ ду ~и>
для чего достаточно положить <р = const на контуре попереч-
поперечного сечения.
Дальнейшее решение задачи во всем сходно с изложенным
в § 1 и 2, с тем лишь отличием, что равенства A) и G), в от-
отличие от того, как они были выведены в § 1, могут быть выве-
выведены при решении задачи методом непосредственного разыска-
разыскания напряжений лишь путем интегрирования уравнений Коши.
Таким образом, путь, принятый нами для получения основ-
основных зависимостей теории кручения в § 1, привел к несколько
более искусственной схеме разыскания зависимостей D) и E),
но зато позволил нам получить равенства A) и G) без интегри-
интегрирования уравнений Коши.
§ 4. Теорема о циркуляции напряжения
После отступления, сделанного в § 3, вернемся к рассмо-
рассмотрению дальнейших общих положений теории кручения приз-
призматических стержней.
Рассмотрим условие однозначности осевого перемещения w.
Мы видели выше [см. формулы G) и D)], что в пределах тела
dw , 1 d« Xz
~дх ~ХУ+ ~~G~ty -ХУ+ ~G~'
ду G дх ' G
Поэтому условие однозначности
216
будет соблюдено на всяком контуре, лежащем полностью в
пределах поперечного сечения тела, если на всяком таком кон-
контуре будет
или, что то же, если на нем будет соблюдено условие
(a)
Для нахождения интеграла J x ~ ds обратимся к рис. 48.
Пусть контур, изображенный на этом рисунке, есть тот, для
<--- У-А
Л х
х-х,
которого требуется найти только что упомянутый интеграл. При
обходе этого контура в направлении стрелки на участке / между
точками, соответствующими максимальному и минимальному зна-
значениям координаты у,
На участка же //
Поэтому
ду_
ds
ds — dy.
x^-ds = -f {Xl-xJdy = F,
V = A
где F есть площадь, ограниченная рассматриваемым контуром.
Подобным же образом (рис. 49) можно видеть, что
Поэтому равенство (а) равносильно условию
Т cos {T, s) ds = 2 GxF.
(б)
217
Условимся называть циркуляцией скалывающего напря-
напряжения по какому-либо замкнутому контуру, проведенному в
области поперечного сечения, интеграл
J = § Г cos (T, s)ds, (9)
т. е. интеграл от проекции скалывающего напряжения Т на
касательную к контуру, взятый по всему периметру этого кон-
контура в направлении кратчайшего (как на рис. 48 и 49) вращения
от положительного направления оси ох к положительному на-
направлению оси оу.
Тогда формулу (б) можно будет переписать так:
y = 2GxF. A0)
Равенство A0) позволяет формулировать следующее поло-
положение.
Для всякого замкнутого контура, лежащего в
пределах поперечного сечения стержня и не пе-
пересекающего границ его, циркуляция скалываю-
скалывающего напряжения / равна площади, ограниченной
этим контуром, умноженной на 2 Gx.
Теорема эта по смыслу вышеприведенного ее вывода явля-
является необходимым условием однозначности результата нахож-
нахождения перемещений w по заданному выражению функции на-
напряжений w и относится как к контурам, не охватывающим
каких-либо внутренних в теле полостей, так и к контурам,такие
полости охватывающим.
Значение, которое для определения функции напряжений <р
имеет эта теорема, можно видеть всего нагляднее из аналогий
Прандтля, к рассмотрению которой и обращаемся.
§ 5. Аналогия Прандтля
Очень наглядное представление о картине распределения
скалывающих напряжений в поперечных сечениях, скручивае-
скручиваемого стержня дает подмеченная Прандтлем полная аналогия
между диференциальным уравнением и граничными условиями,
определяющими в задаче о кручении функцию напряжения <р и
соответствующими зависимостями для поверхности провисания
идеально гибкой мембраны, равномерно натянутой и загружен-
загруженной равномерной поперечной нагрузкой.
Покажем, что задача о нахождении упругой поверхности
только-что упомянутой мембраны и задача о разыскании функ-
функции напряжения ip в задаче о кручении являются действительно
одной и той же математической задачей. Для этого выведем
диференциальное уравнение равновесия упомянутой мембраны.
Пусть q есть поперечная нагрузка, приходящаяся на каждую
единицу площади мембраны; р — растягивающее усилие, при-
приходящееся в каждом сечении мембраны на единицу его шири-
ширины; w—перемещение мембраны в направлении оси oz, перпен-
218
дикулярной к плоскости ее контура. Выделим двумя парами
бесконечно близких прямых х и х + dx, а также у и у + ау из
этой мембраны элемент и рассмотрим условия равновесия его,
учитывая его искривление, соответствующее нагрузке q. При
этом будем считать, что начальное натяжение мембраны р рав-
равномерно и настолько велико, что под действием нагрузки q
оно практически нигде не изменяется. Нагрузку q будем счи-
считать настолько малой, что высшими степенями таких величин,
как
dw dw
-j^- и -j- можно
по сравнению с их первыми степенями
пренебрегать.
В сечениях, перпендику-
перпендикулярных к оси ох, на рассма-
рассматриваемый элемент мембраны
действуют усилия р dy. Оба
эти усилия направлены под
некоторыми углами к оси oz.
Проекции их направлены одна
в сторону положительного
направления оси oz, другая —
в обратную сторону. Если
d2w
-г-у>0 то один из этих углов
как видно из рис. 50, есть
dw „ dw , d^w , r,
-т—, второй -г—Ь тт dx. По-
OX f)JC ft X
этому оба эти усилия вместе
дают в направлении оси oz
составляющую
pdy
В сечениях, перпендику- Рис- 50-
лярных к оси оу, действуют
силы натяжения pdx, дающие в направлении оси oz, состав-
составляющую
в чем нетрудно убедиться, построив (рис. 50) соответствующие
их проекции на плоскость yoz.
Кроме этих сил на рассматриваемый элемент тела действует
поперечная нагрузка мембраны qdxdy, направленная под весьма
малым углом к оси oz, и проектирующаяся на эту ось с
точностью до малых второго порядка в натуральную вели-
величину.
Мембрана будет в равновесии, если сумма всех рассмотрен-
рассмотренных усилий будет равна нулю, т. е. если будет
219
Отсюда следует уравнение
в котором правая часть будет константой, если р и q не за-
зависят от х и у. Мы можем всегда подобрать константы р и q
так, чтобы было
тогда уравнение A1) для w в точности совпадет с уравнением
E), определяющим в задаче о кручении функцию <р.
Если контур скручиваемого стержня односвязен, то един-
единственное граничное условие, которому должно удовлетворять
Ч>, дается требованием, чтобы <? было постоянным на контуре.
То же самое условие мы будем иметь и на контуре рассмот-
рассмотренной мембраны, если мы ее натянем на контур плоский,,
имеющий то же очертание, что и контур стержня, кручение
которого нас интересует.
Таким образом, если контур стержня односвязен, то мы
всегда можем так устроить мембрану, чтобы ее упругая по-
поверхность в некотором условном масштабе изображала нам
функцию to. Эта то аналогия и была открыта Прандтлем.
Она может быть использована для экспериментального
определения функции ip, как о том будет сказано ниже в
главе XIII.
Если мы натянем равномерно мембрану на плоский контур,
подобный контуру стержня, кручение которого мы желаем
исследовать, и нагрузив эту мембрану равномерно, затем засе-
засечем ее плоскостями w = const, то мы получим на поверхности
мембраны ряд горизонталей. Этим горизонталям в задаче
о кручении будут соответствовать линии <с = const, т. е. линии,
которые всеми своими точками будут касательны к направле-
направлению скалывающих напряжений в соответствующей точке попе-
поперечного сечения стержня.
Уклон мембраны в направлении, перпендикулярном к гори-
горизонталям, может нам дать в задаче о кручении величину
— ~ = Tcos(T, ds) т. е. проекцию скалывающего напряжения
на касательную к горизонтали. Проекция эта является, одна-
однако, не чем иным, как самим искомым скалывающим напряже-
напряжением Т.
Уклон мембраны в направлении, перпендикулярном к гори-
горизонтали, является наибольшим уклоном в данной точке и про-
пропорционален густоте горизонталей возле этой точки. Таким
образом, по величине наибольшего угла уклона мембраны, или,
что то же, по густоте горизонталей возле данной точки, можно
судить о величине наибольшего скалывающего напряжения
в любой точке поперечного сечения скрученного стержня.
Наконец, объем холмика, заключающегося между по-
поверхностью мембраны и плоскостью ее основания, как то видно
220
из формулы (8), должен быть пропорционален величине скручи-
скручивающего момента.
Теорема о циркуляции скалывающих напряжений, может
быть также переведена на язык аналогии Прандтля. Для того,
чтобы перевести ее на этот язык, посмотрим какая физическая
величина соответствует в задаче о провисании мембраны Прандтля,
циркуляции скалывающего напряжения У и какая теорема
могла бы быть высказана в отношении мембраны Прандтля на
основании теоремы о циркуляции, доказанной в § 4.
Заменив в равенстве (а) § 4 величину <р величиной w, мы
вместо циркуляции скалывающего напряжения получили бы
величину
'--*?*.
т. е. величину, пропорциональную интегралу от уклона мембра-
мембраны в направлении, нормальном к контуру.
Помножив интеграл
dw ,
as
f
на величину равномерного натяжения мембраны р, мы получим,
очевидно, проекцию на ось oz равнодействующей усилия на-
натяжения мембраны в сечении ее по рассматриваемому замкну-
замкнутому контуру.
Теорема о циркуляции § 4, выражаемая равенством A0),
если в ней заменить 2Gi на —, а / на /, обратится в условие
— Ф -г— as= — • F,
Р
что можно переписать также в форме равенства
%-ds = O, A2)
показывающего, что полная нагрузка мембраны в направлении
оси oz, приходящаяся на площадку, заключающуюся внутри
любого замкнутого контура, уравновешивается натяжением мем-
мембраны в сечении ее по этому контуру.
Для мембраны, натянутой на односвязный контур, условие
это является лишь повторением одного из условий равновесия
мембраны и потому интереса не представляет.
Совершенно другое значение приобретает это равенство в
отношении контуров многосвязных.
Мы можем для призматических стержней, ограниченных мно-
многосвязными контурами, изобразить функцию напряжений <р по-
поверхностью равномерно нагруженной мембраны, натянутой рав-
равномерно на ряд плоских контуров, параллельных друг к другу.
Но мы должны при этом помимо основного уравнения
221
и условия, чтобы w было на каждом из этих контуров постоянно,
подчинить прогибь между w на каждом из этих внутренних
контуров еще равенствам
т. е. условию, чтобы вертикальная нагрузка qF, приходящаяся
на плоскость каждого отдельного внутреннего контура, уравно-
уравновешивалась натяжением мембраны на рассматриваемом контуре.
Выходит, таким образом, что мембрана Прандтля только в том
случае будет давать нам функцию напряжения для многосвязных
контуров, если мы на протяжении каждого из этих контуров
прикрепим к этой
мембране плоские
диски, невесомые,
могущие переме-
перемещаться лишь себе
параллельно (рис.
51), и загрузим эти
диски той же по-
поперечной нагрузкой
Рис.51. q, что и-сама мем-
мембрана. При этих ус-
условиях натяжением пластины р и нагрузкой на нее q упругая
поверхность мембраны определится, конечно, вполне.
Пока-же нагрузки на площадь каждого внутренннего контура
мы не зададим, поверхность привисания мембраны будет неоп-
неопределенной. Это, однако, и понятно.
Мы видели в § 3, что из основных уравнений равновесия
вместе с уравнениями Бельтрами, мы получаем для опроделе-
ния функции напряжения только уравнение
аналогичное уравнению равновесия гибкой равномерно натяну-
натянутой мембраны, и требование, чтебы (р было постоянно на каждом
из контуров, ограничивающих поперечное сечение стержня. Ка-
Какой, однако, именно константе должна быть равна величина <р на
каждом из этих контуров, из уравнений равновесия вместе с урав-
уравнениями Бельтрами заключить невозможно. Мы могли бы менять
совершенно произвольно значения функции напряжения на каж •
дом из этих контуров, не нарушая нисколько ни уравнений
равновесия, ни условий Бельтрами или, что то же, условий
Сен-Венана. Как показывают, однако, рассуждения изложенные
выше, только те комбинации всех постоянных значений, при-
принимаемые функцией <р на различных контурах, приводят к од-
однозначности осевых перемещений стержня, которые удовлет-
удовлетворяют условию
у= b — ds = 2Gt.F A0')
222
для всякого контура, проведенного в плоскости поперечного
сечения, хотя бы этот контур и окружал отдельные полости
внутри стержня.
Таким образом, задача о кручении многосвязных контуров
дает нам один из примеров сказанному в главе II в отношении
условий Сен-Венана: соблюдение этих условий необходимо для
сплошности тела, но если тело заполняет многосвязную область,
соблюдение их не обеспечивает еще вполне однозначности пе-
перемещений. В случае кручения многосвязных профилей кроме
соблюдения условий Бельтрами необходимо еще соблюдение
условия A0') для всякого контура, не пересекающего границ
тела. В частности равенство A0') должно быть справедливо
в отношении всех контуров, ограничивающих отдельные полости
внутри тела.
§ 6. Решение для стержня эллиптического
В случае, когда поперечное сечение стержня определяется
эллипсом
v2 ,,2
д2 ~Г Ь2 1,
задача о нахождении функции <р решается особенно просто.
Действительно, положив
где А — константа, мы будем иметь
ср = 0
на контуре. Кроме того, во всех точках внутри контура будет
Vs? = 2А (-!¦ + -!-) = const,
и, распорядившись постоянной А должным образом, можно
будет удовлетворить уравнению
V2<f = -2Gx. E)
Сделав это, будем иметь
(a)
и, согласно D)
Ъх
Из этих формул легко видеть, что наибольших своих зна-
значений напряжения Xz и Yz достигают на контуре сечения. При
этом, если
а> Ъ,
223.
то наибольшего своего значения скалывающее напряжение
достигает при х = 0; у = ± Ъ, т.е. на концах малой оси
эллипса.
Этим точкам соответствует
(Г)тах = (*г)тах = ± 2G х -f^, (в)
в то время как на концах большой оси
7-=(Ух)твх=±2Ох-^5, (г)
что при а>Ь всегда меньше величины, определяемой равен-
равенством (в).
Одной из весьма важных характеристик профиля является
жесткость его по отношению к кручению, под ка-
каковою принято подразумевать коэфициент С пропорциональ-
пропорциональности в формуле
М = Сх, A3)
где М — скручивающий момент, а т — угол закручивания на
единицу длины.
Чтобы вычислить С для эллиптического стержня, достаточно
подставить выражение (а) в формулу (8) в рассматриваемом
частном случае, обращающуюся в
M = 2ffydxdy. (д)
Это дает
где интегрирование распространяется на всю площадь попереч-
поперечного сечения стержня.
Легко, однако, видеть, что взятый по площади эллипса
интеграл
Поэтому в рассматриваемом случае
• , ,-, izasb3
М =&¦* + »'
и, следовательно,
Таким образом, для эллиптического стержня жесткость при
кручении С определяется формулой (ж), которую можно пере-
переписать также в форме равенства
224
C=G . (Kab)i ^G^j, (з)
где F есть площадь эллипса, а /р полярный момент инер-
инерции ее.
Второй основной характеристикой всякого профиля в отно-
отношении его сопротивляемости кручению является коэфициент W
в формуле
м
•» max = *Г > A4)
который может быть назван моментом сопротивления профиля
при кручении. Исключив из формул (в) и (е) величину х, можно
видеть, что для эллипса
W=*f. (и)
Таким образом, расчетными формулами при кручении эллип-
эллиптических стержней являются
М = Ст, A3)
A4)
Т — М
' max — ш >
= G«
nab3
A5)
A6)
При этом формула A5) может быть заменена также прибли-
приближенной зависимостью
полученной, как и все результаты настоящего параграфа, Сен-
Венаном, который заметил, что с довольно хорошей точностью
формула A7) применена не только к эллипсу, но и ко многим
односвязным профилям.
Формулу A7) поэтому принимают
иногда за приближенное выра-
выражение для жесткости по отношению
к кручению для всякого односвязногр
профиля.
Перемещение w, если его разы-
разыскать из уравнений G), для эллипти-
эллиптического стержня оказалось бы соот- Рис. 52.
ветствующим равенству
w==—х^-^лу. A8)
Как видно из A8), у эллиптического стержня поперечные се-
сечения не остаются при кручении плоскими, а обращаются в
поверхности, горизонталями которых являются равнобокие ги-
гиперболы, имеющие асимптотами оси ох и оу. Некоторые из этих
гипербол изображены на рис. 52.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—15 225
Из полученного решения можно легко получить известное
из теории сопротивления материалов решение для круглого
вала. Для этого достаточно положить Ъ = а.
§ 7. Решение для прямоугольного сечения
с конечным отношением сторон
Для того чтобы получить решение задачи о кручении приз-
призматического стержня прямоугольного сечения, достаточно
(рис. 53) разыскать функцию <р из условий,
что
\2<р = —2Gt, (a)
Г
а , а
t'2
L
X
всюду внутри контура и
щ = 0 при х.= ±у и у=±-у.
(б)
Рис. 53.
Некоторое представление о виде функ-
функции <р, удовлетворяющей этим условиям,
дает нам аналогия Прандтля.
Так как провисание равномерно натяну-
натянутой на прямоугольник и равномерно нагру-
нагруженной мембраны должно быть симметрично относительно обеих
осей этого прямоугольника, то функция <р должна быть четной
как относительно х, так и относительно у. Воспользуемся сна-
сначала тем, что <р должна быть четной функцией относительно х.
Это дает нам основание искать ее в виде ряда
<р = 2Л (у) cos ~г ¦
(в)
Чтобы при л= ± — ряд этот давал ш = 0, достаточно со-
сохранить в нем лишь члены с k нечетными. Нетрудно видеть,
что, пропустив в (в) члены с k четными, мы не нарушим
общности решения, так как в ряд вида
1,3,5,...
ак cos
ккх
можно, в пределах от л = — ~ до х= + у, разложить всякую
четную функцию от д:, удовлетворяющую условиям Дирихле.
Полагаем поэтому
1,3,5,.
?= S/^(v)cos^. (г)
ft
Чтобы этот ряд удовлетворял условию
= 0
ПРИ у=±_
226
достаточно функции fk{y), входящие в него, подчинить условию
Чтобы, наконец, удовлетворить, в пределах всего поперечного
сечения стержня, уравнению (а), достаточно подставить (г) в
(а) и, разложив предварительно правую часть этого уравнения
в ряд Фурье вида
1,3,5,.
к
уравнять в обеих частях получающегося уравнения члены с
косинусами любой определенной кратности.
Выполнив это, мы, очевидно, получим для определения
функций /fc(y) уравнения
/*<У)-{-тJЫу)=Аь (ж)
где значения постоянных Ак должны быть заимствованы, как
то сказано выше, из (е).
Чтобы определить из уравнения (е) все постоянные Ак, до-
статочно умножить все это уравнение на cos "^dx и затем
проинтегрировать обе его части по х в пределах от х = —~
i a
до х = + ~2 •
Так как
all
кпх пхх j n 1_ /
cos —cos—-ал; = 0 при кфп
/
cos cos
— п/2
/,ккх , а
COS*~dX=^
— а/2
то указанные операции дают
а Л h-jr v 1 Ьтс
fc— = —2Gx| cos — dx — —2Gx-—- 2 sin-7s-,
2. J a ftjc j.
-a/2
откуда следует
Ak= - — (-1)^\ C)
Постоянные Afc, входящие в правую часть уравнения (ж),
таким образом, определены. Граничные условия для всех функ-
функций Д (у) также нами уже разысканы [см. равенства (д)].
Мы можем поэтому обратиться к разысканию всех функций
Л (у).
227
Так как уравнение (ж) есть уравнение линейное, то его
общий интеграл можно составить, прибавив к его любому
частному решению общий интеграл соответствующего одно-
однородного уравнения.
Частное решение уравнения (ж) можно получить, положив
/* (У) = Вк = const.
Очевидно, при этом следует принять Вк равными
Для составления общего интеграла однородного уравнения,
соответствующего уравнению (ж), составляем для последнего
характеристическое уравнение; для этого полагаем
Л 00 = **.
что будет удовлетворять уравнению
)VtO') = o, (и)
если мы определим s из уравнения:
MS)'-•>•
Отсюда следует
s = ± —.
За общий интеграл уравнения (ж) можно поэтому принять
где Ск и Dk— постоянные интегрирования, которые могут быть
определены из уравнений
т) = -(*«) ^ + Cfcch-__ + D*sh_-=0,
Очевидно
Dk = 0,
Л
к
и, следовательно,
fk (у) = °^-" 1ИЛ (ch -- — ch ™
sv' (^я)8 h^nb \ 2я а
228
что дает для <р
jl,8,5... ft~1 1.3,5... gjTL1 ch kny
? == з~ I / р C0S / bifc COS ~~
Известно, однако, что
1,Я,5... ft—1
V (_l) 2 knx
2- —» COS — =
2- »COS — = 32 ! ~ 4 U
Поэтому выражение (л) можно заменить следующим:
1,3,5...
* 2а
Ряд, входящий в правую часть полученного выражения,
сходится при всяком у, лежащем в пределах —-j <У< -? , и
притом тем лучше, чем меньше у по абсолютной величине.
Хуже всего он сходится при у = + -~ , когда он превращается
в ряд (м), обращая tp в нуль, как то и должно быть на кон-
ь ch?
туре. При значениях у, отличных от + -=-, дроби ~. убывают
с увеличением k тем быстрее, чем меньше у и чем больше отно-
отношение —.
Поэтому ряд этот сходится вообще хорошо, причем его
сходимость улучшается с увеличением отношения —. Отсюда
следует, что для упрощения числовых подсчетов выгодно на-
направлять оси ох и оу так, чтобы было b>а. При этих усло-
условиях ряд, входящий в (н), сходится очень хорошо, и выражение
(н) весьма удобно для числовых подсчетов.
Воспользуемся формулой (н) для определения жесткости С
и момента сопротивления W для рассматриваемого профиля.
Для этого подставим tp из (н) в формулу
Ж = 2 ffydxdy,
вытекающую для данного частного случая из равенства (8). По
выполнении соответствующих интегрирований будем иметь
М = 1 G,a>b- 5- G,a .'fj"JL th g, (o)
1 Убедиться в этом можно, разложив правую часть в ряд Фурье.
229
откуда непосредственно следует, что для прямоугольного про-
профиля жесткость при кручении С может быть находима с по-
помощью равенства
1,3,5...
k
Ряд, входящий в это выражение, сходится при k больших,
1,3,5...
как V)-.y> и, следовательно, может быть всегда легко найден
к
с требуемой степенью точности. При увеличении отношения
— второй член правой части в формуле A9) убывает по срав-
сравнению с первым и в пределе при Ъ: а = оо формула A9) дает
C=\Ga?b. B0)
Вообще же С можно выразить для прямоугольного профиля
равенством
C=Ga3bKlt B1)
где К\ есть некоторая функция от отношения b : а и опреде-
определяется зависимостью
„ _ 1 L 192 a lfi!J- 1 .. knb\ ,_x
Обращаясь к разысканию наибольших скалывающих напря-
напряжений, нужно прежде всего установить место, где их можно
в профиле ожидать. По аналогии Прандтля скалывающее
напряжение достигает своего максимума там, где достигает
своего максимума уклон мембраны Прандтля. Совершенно
ясно, что последнее должно быть по середине длинных сто-
сторон опорного контура. При Ъ > а это будут точки
Определив для этой точки Yz с помощью формул D) и (л),
легко видеть, что у прямоугольного профиля
k chisr
Или, что то же,
Tm.iX = G-a К, (с)
где величина
1,3,5...
а-=1 L v J ! (г\
2a
230
и зависит толькоот отношения Ь: а. Ряд, входящий в (т), схо-
сходится при всяком b : а, большем, чем 1, весьма быстро и очень
удобен для вычислений. Для нахиждения момента сопротивле-
сопротивления, т. е. коэфициента W в формуле
т — м
J max — -щ-
достаточно исключить т из выражений (с), A3) и B1). Это дает
W = а'Ь -у,- =
B2)
где
В пределе при Ь\а, достаточно большом, К\ стремится к
пределу /(*! = 1 /3, а К к пределу К= 1-
Следовательно, при Ь:а, достаточно большом, формула B2)
дает
W=^a2b. B3)
В нижеследующей таблице собрано несколько частных зна-
значений функций К, Ki и К2, входящих в основные расчетные
формулы B1), B2) и (с), полученные в настоящем параграфе.
Таблица
числовых значений величин К, Кг н К«
b.a
К
Ki
Кг
1
0,6753
0,1406
0,2082
1,2
0,7587
0,1661
0,2165
1,4
0,8228
0,1869
0,2272
1,6
0,8695
0,2037
0,2345
1,8
0,9044
0,2174
0,2405
2,0
0,9301
0,2287
0,2455
b: a
К
Кг
Кг
2,5
0,9681
0,2494
0,2575
3,0
0,9855
0,2633
0,2670
4,0
0,9970
0,2808
0,2815
5,0
0,9994
0,2914
0,2915
10
1,0000
0,3128
0,3123
оо
1,0000
0,3333
0,3333
231
§ 8. Иные профиля, для которых ф может быть найдено в форме
рядов
Подобно прямоугольнику, для многих сечений решение мо-
может быть получено путем разложения функции напряжений <р
в бесконечные ряды. Так решается, в частности, задача о кру-
кручении стержней, форма поперечного сечения которых есть кру-
круговой сектор (рис. 54), кольцевой сектор (рис. 55) или образо-
образовано отрезками софокусных эллипсов и гипербол (рис. 56).
Рис. 54.
Рис. 55.
Рис. 56.
Первое из этих сечений было рассмотрено еще Сен-Венаном,
который установил, что для сечения, изображенного на рис. 54,
жесткость при кручении определяется выражением
Нижеследующая таблица дает значение фигурных скобок,
входящих в это выражение.
а
«==(<"*)
я
т
0,0181
7[
У
0,0349
7[
т
0,0825
2
0,148
0,298'
371
2
0,528
5те
0,686
2я—0
0,823
Скалывающее напряжение
возле середины криволинейной
части контура дано для этого
профиля в нижеследующей таб-
таблице.
Наибольшее скалывающее
напряжение возле прямолинейных сторон опорного контура
приведено в таблице.
а
Tx:{Gta)
7С
"з"
0,452
2л
3
0,622
те
0.719
При
232
а
Г,: (От а)
7[
т
0,420
2те
3
0,652
7[
0,849
напряжения возле вершины равны бесконечности.
» „ „ нулю.
Очень интересен полученный Сен-Венаном результат для
круга с очень малым секториальным вырезом. У этого профиля
напряжения в центре равны со, величина же жесткости при кру-
кручении определяется равенством
С = 0,823 Ga\
в то время как для круглого стержня без выреза
С = J Ga\
Дальнейшие подробности о кручении профилей в форме
кругового сектора и сегмента можно найти в работах Гринхилла3,
Динника2 и Лява3.
Профиля, ограниченные двумя парами отрезков софокусных
эллипсов и гипербол, рассмотрены были еще Сен-Венаном,
более же подробно Файлоном4.
Эти профиля интересны в том отношении, что являются
примером случая, когда наибольшие напряжения получаются не
в наиболее близких к центру точках контура: у них иногда
точка наибольшего напряжения лежит на отрезках гипербол, но
не на оси симметрии профиля.
§ 9. Приближенное решение для профилей, составленных
из прямоугольных полос
Цифры, приведенные в таблице предыдущего параграфа, по-
показывают, что если отношение сторон прямоугольной полосы Ь:а
достигает величины порядка 5 и более, то с точностью, вполне
достаточной для обычных практических вычислений, можно при-
принимать при расчете прямоугольной полосы на
кручение
± B0)
B4)
^ . B3) рис57.
Формулами этими пользуются для приближенного расчета
односвязных профилей, составленных из прямоугольных полос.
Как это может быть сделано, покажем на примере двутаврового
профиля, изображенного на рис. 57.
Допустим, что на контур, изображенный на этом рисунке,
мы натянули равномерно мембрану, загруженную равномерно
распределенной поперечной нагрузкой. Если отдельные полосы,
iQreenhiil, Mess, of Math., vol. 9, p. 35, 1879.
2 A. H. Динник, Изв. Доиск. Полит. Инст. Новочеркасск, т. 1—2, стр.309.
3Love- limpe, Lehrbuch der Elasticitat, S. 371, 1907.
* Filon, Philos. Trans. Royal. Soc. A. Series, vol. 193, p. 309, 1900.
233
из которых этот профиль составлен, достаточно широки, то
провисание мембраны на большей части длины каждой из этих
полос будет приблизительно таким же, как и у бесконечно
широкой полосы той же толщины. Поэтому, если мы пренеб-
пренебрежем местными напряжениями, концентрирующимися в местах,
где соприкаются друг с другом несколько полос, из которых
профиль составлен, то к расчету каждой полосы можно будет
применять формулы B0), B3), B4).
Угол закручивания х у всех полос, входящих в состав про-
профиля, должен быть одинаков. Скручивающий момент, действую-
действующий в каждой, скажем i-ой, полосе Mt должен быть пропор-
пропорционален жесткости Ct этой полосы. Так как сумма всех таких
моментов должна быть равна моменту М, скручивающему весь
профиль, то между этим моментом и углом закручивания т
должна существовать зависимость
М = ?Ж; = т?Сь (а)
откуда следует, что жесткость всего профиля С равна сумме
жесткостей всех отдельных полос, из которых профиль составлен
Определив С по формуле B5), можно затем наибольшее
напряжение посредине длины каждой из полос, входящих в со-
состав профиля, подсчитать по формуле
(б)
где at есть толщина рассматриваемой полосы. Наибольшее из
этих напряжений будет иметь место в полосе, наиболее тол-
толстой, и будет определяться формулой
B6)
которая, если из нее исключить с помощью (а) величину т, дает
т _ MG\at\max _ 3M I'M max , ,
' max — у г — V аГ7 • *• '
t ' f al bt
Формула эта показывает, что, пренебрегая местными напря-
напряжениями в местах сопряжения отдельных полос, можно для
профилей рассматриваемого типа принимать
w = iv<r^-> f27)
J \at max
где at есть толщина г-ой полосы, a bt — ее ширина. Формулами
B5) и B7) обычно и пользуются при расчете профилей типа
двутавровых.
234
Пользуясь полученными результатами, не следует забывать
того, что выведенными формулами не учитываются местные
перенапряжения материала в районе сопряжения отдельных
полос. У материалов пластичных эти перенапряжения ограни-
ограничены пределом текучести материала, и с ними практически
можно при нагрузках, величины своей системати-
систематически не меняющих, не считаться. У материалов
хрупких игнорировать их нельзя. Подробнее о них
будет сказано в своем месте ниже.
Как показывает аналогия Прандтля, формулы B5),
B6) и B7) должны быть применимы не только для
приближенного расчета про"филей, составленных из
вытянутых прямоугольных полос, но также и для
приближенного расчета кривых профилей, вроде
изображенных на рис. 58, если длина и радиус кривизны этих
профилей достаточно велики по сравнению с толщиной профиля.
При расчете таких профилей под Ь{ следует подразумевать
длину периметра, под at толщину каждой отдельной кривой
или прямой полосы, входящей в состав профиля.
Рис. 58.
§ 10. Приближенный расчет тонкостенных трубчатых профилей
Тонкостенные замкнутые профиля могут быть разделены по
своему типу на следующие два основных класса: профиля
двусвязные, подобные изображениям на рис. 59 слева, и про-
профиля более чем двусвязные, примеры которых изображены на
том же рисунке справа. Профи-
Профиля первого ив этих двух типов
мы будем называть „трубчаты-
„трубчатыми" и рассмотрим сначала их.
Если толщина трубчатого
профиля мала по сравнению с
остальными размерами попереч-
поперечного сечения, то имеется пол-
полное основание думать, что по-
поверхность провисания мембраны,
изображающей в рассматривае-
рассматриваемом случае функцию <f, будет
очень близка к конической по-
поверхности, соединяющей оба
контура. Поэтому в каждом се-
Рис 59. чении трубы, нормальном к его
контуру, о величине скалываю-
скалывающего напряжения можно прибли-
приблизительно судить по среднему уклону мембраны в данном месте,
каковой может быть получен путем деления разности частных
значений, принимаемых функцией <f на обоих контурах трубы,
на толщину трубы в данном месте. Считая, что <fx есть значе-
значение функции <р на внутреннем контуре и полагая, что на внеш-
235
нем контуре у = 0 можно определять скалывающее напряже-
напряжение Т по формуле
1 = Т •
Как видно из этой зависимости, скалывающее напряжение Т
достигает своего максимума там, где толщина трубы t обра-
щается в минимум. В этих местах сечения
Т =
'min
Связь между .»х и скручивающим момен-
моментом М можно определить с помощью зави-
зависимости (8), дающей в рассматриваемом
случае
М = 2 (/ ftp dx dy -f te^) = 2Ff1} F)
где Z7 есть площадь контура, делящего толщину трубы попо-
пополам. Контур этот на рис. 60 показан пунктиром. Из выраже-
выражений (а) и (б) можно исключить <fv Это приводит к зависимости
ТтЯХ = 2^Г ' (В)
показывающей, что для рассматриваемых профилей момент
сопротивления W определяется равенством
B8)
Чтобы найти жесткость рассматриваемого трубчатого про-
профиля, достаточно определить циркуляцию скалывающего на-
напряжения для контура, делящего толщину трубы пополам.
Во всех точках этого контура
Т = ^±-
t
и направлено по касательной к контуру. Поэтому искомую цир-
циркуляцию У можно вычислять с помощью формулы
^, (г)
где s отсчитывается вдоль периметра этого контура от любой
его фиксированной точки, интеграл же распространяется на весь
периметр контура.
По теореме о циркуляции § 4 должно быть
J = 2GxF, (д)
поэтому между ^ и - должна существовать зависимость
IT
236
тт'.
IT
исключив из которой tpi с помощью равенства (б), можно ви-
видеть, что для трубчатого тонкостенного профиля
Отсюда следует, что жесткость по отношению к кручению для
тонкостенных трубчатых профилей может быть вычисляема
по формуле
§ 11. Расчет тонкостенных многосвязных профилей
Расчет тонкостенных многосвязных профилей мог бы быть
произведен совершенно так же, как и профилей, рассмотрен-
рассмотренных в предыдущем параграфе, если бы соотношение частных
значении, которые функция напряжений принимает на всех
внутренних контурах, было известно. Это соотношение, как
было отмечено уже выше в § 4, может быть в каждом частном
случае установлено с помощью теоремы о циркуляции скалы-
скалывающих напряжений, для чего последнюю нужно применить
к каждому внутреннему контуру сечения порознь. Так как при
этом некоторые участки контура приходится проходить при
взятии циркуляции для одного из внутренних контуров в одну
сторону, при взятии же ее для других контуров в другую сто-
сторону, то при составлении уравнений, даваемых теоремой о цир-
циркуляции, следует особое внимание обращать на направление
напряжений на каждом отдельном участке контура.
Мы видели выше в § 1, что если мы условимся обходить
контур в направлении того вращения, с помощью которого
положительное направление оси ох может быть кратчайшим
путем приведено к положению, занимаемому положительным
направлением оси оу, то проекция напряжения на касательную
к контуру, направленную из данной точки в сторону этого об-
обхода, будет равна производной функции <р по внешней нор-
нормали, взятой с отрицательным знаком
Т cos (Т, ds) = -%.
Иными словами, проекция скалывающего напряжения на каса-
касательную к контуру, направленная в сторону положительного
обхода контура, равна производной от функции <f по внутрен-
внутренней нормали к контуру.
Если поэтому в какой-либо точке контура толщина сечения
настолько мала, что за величину скалывающего напряжения
можно, во всем разрезе, перпендикулярном к контуру, прини-
принимать среднее из его значений в данном разрезе, то для получения
составляющей напряжения, направленной в сторону положи-
положительного обхода контура, надо из значения функции напряже-
237
жения на внутреннем контуре вычесть значение ее на на-
наружном контуре и эту разность поделить на толщину материала
стержня в данном месте.
Это правило знаков, если его строго придерживаться,
устраняет всякие ошибки при составлении уравнений, да-
F.
Г,
В
О
F
ваемых теоремой о циркуляции § 4.
В остальном общий порядок расчета
многосвязных тонкостенных профилей
покоится на тех же основаниях, что и
профилей двусвязных, рассмотренных в
предыдущем параграфе.
Покажем общий порядок этого ра-
расчета на примере четырехсвязного кон-
контура, изображенного на рис. 61.
Допустим, что tpx есть неизвестное
пока значение функции напряжения $
на верхнем внутреннем контуре, <Рг —
значение ее на контуре среднем, <р8 —
значение ее на контуре нижнем, a Flt F2 и F3 — площади, огра-
ограниченные кривыми, окружающими эти контуры и проходящими
по середине толщины материала стержня, как указано на рис. 61
пунктирными линиями.
Величину скручивающего момента можно для данного про-
профиля получить с помощью формулы (8), дающей при «оо == О
М = 2/yh + 2/yf, + 2/^8 = 25/ty. (a)
Рнс. 61.
Соотношение между величинами -f,- в формуле (а) нам пока
неизвестно, связь их с углом закручивания т пока тоже не уста-
установлена. Установить эту связь можно с помощью теоремы
о циркуляции напряжения, составив даваемые этой теоремой
уравнения отдельно для каждого из тех трех отдельных кон-
контуров, площади которых нами обозначены соответственно че-
через Fv F2 и F3. При составлении этих уравнений мы по малости
толщины материала стержня можем считать напряжение Т про-
проектирующимся на касательную к контуру в натуральную вели-
величину. Обходя все контуры в одну и ту же сторону, а именно
в сторону того вращения, при котором ось ох переходить кратчай-
кратчайшим путем в положение, занимаемое осью оу, и помня указан-
указанное выше правило знаков для Т, можем легко видеть, что для
контура 1 циркуляция Ух есть
J
ABC
для контура же 2
ds
ds Г ds
j
DC
ABCD-
Г
]
DC
ds
CD
DF
ds
CDFE
fds
-ъ] — -
CD
FE
ds
f
КС
ds
FE
238
и, наконец, для контура 3
т
Г ds
= J ?8-r
FHGE
EF
ds
—
EFHG
ds
EF
причем все интегралы, входящие в эти равенства множителями
к различным tfi, положительны, так как их подъинтегральные
функции положительны, а во всех интегралах ds > 0.
Обозначив буквами Kt интегралы
,. г ds
К1 = ф —г-, взятый по контуру 1
и- ? ds 9
Л2 — Ш -J-, я . я ^
^8 — Ф ~Гу . » » О
к fds
1'2= J ~Г>
перемычке между 1 и 2 контуром
можно приведенным выше выражениям для У,- придать сле-
следующий вид:
i, 2
(б)
где величины /С,- и /Ci,/легко вычисляются по имеющемуся чер-
чертежу поперечного сечения исследуемого стержня.
Выразив для всех интересующих нас контуров циркуляции
касательных напряжений в функции от неизвестных <р;, можем
обратиться к теореме о циркуляции § 4, в силу которой дол-
должно быть
= Л =
Решая уравнение (в) относительно всех <ff, можно все их
выразить в долях от 2G^FU представив результат в форме
равенств
(г)
где а; — некоторые определенные отвлеченные числа, так как
и интегралы К все выражаются в числах отвлеченных.
Формулами (г) устанавливается то соотношение между вели-
величинами <рг и углом закручивания т, которое вместе с равен-
равенством (а) позволяет найти жесткость стержня С. Действительно,
239
.подставив (г) в (а), можно видеть, что
откуда следует, что в рассматриваемом случае
Равенства (д) и (г) позволяют, однако, установить и непо-
непосредственную связь между величинами yt и моментом М. Дей-
Действительно, в силу (д) и (г)
ср3 =
Л1.
(е)
Определив все tp,-, надо для нахождения наибольшего скалы-
скалывающего напряжения Ттлх подсчитать значения всех максиму-
максимумов Т для всех участков профиля и выбрать наибольший из этих
максимумов.
Пусть
t± есть минимальная из толщин сечеиия иа участке ABC
t, „ „ „ „ „ участках ?>? и ?С
'з » . » » участке ^ЯОЯ
г, ., — минимальное значение / иа участке CD
Чя • . t , , EF.
Тогда максимальное скалывающее напряжение определяется
•большей из величин
~ ?1 . -г f-> . -г- фз
1 — <) -"г — /> -"з — ~г~ >
т4
ь 2 —
' 2, Я =
— ?2 I
'3 *1,2 ^2, 3
Расчет, изложенный в настоящем параграфе, может быть
использован в строительной механике корабля, например для
расчета на кручение корпусов многопалубных судов. Как и
расчет, изложенный в предыдущем параграфе, он является рас-
расчетом приближенным и дает представление лишь о средних
по толщине значениях величин Г для каждого отдельного разреза
контура. Если контуры, ограничивающие сечения, достаточно
плавны и радиусы кривизны их всюду достаточно велики по
сравнению с толщиной сечения, то эти средние по толщине
течения значения напряжения дают хорошее представление
о напряженности материала рассчитываемого стержня. В местах
резких изменений кривизны контура могут получаться допол-
дополнительные местные напряжения материала, изложенным расчетом
не учитываемые.
240
§ 12. Решение основного уравнения задачи о кручении
призматических стержней с помощью применения функций
комплексного переменного
В § 1 было показано, что решение задачи о кручении приз-
призматических стержней может быть сведено к разысканию одной
из трех функций от х и >: функции напряжения <р, осевого пе-
перемещения w или сопряженной с w функции х- Из этих трех
функций <р должна во всей области, занятой материалом стер-
стержня, удовлетворять уравнению
V2? = - 2Gx, E)
.На границах же поперечного сечения условию
если же сечение ограничено контуром многосвязным, то на
каждом внутреннем контуре должно еще быть:
A0')
Осевое перемещение w, связанное с <р зависимостями
дх ~ у ^ О ду
дт __ I д<?
. -г . . G)
ду
должно во всей области, занятой материалом стержня, удовле-
удовлетворять уравнению
V2o> = 0, C)
на границах же поперечного сечения быть подчинено зависи-
зависимостям, вытекающим из G) и F).
На каждом из контуров, ограничивающих поперечное сече-
сечение стержня, w должно удовлетворять условию
tv)-xcos0,,v)], C1)
где v—направление внешней нормали к контуру.
Наконец, функция х> сопряженная с w и связанная с w и <р
зависимостями
dw дх
~дх JU'
*-„*. C2)
оу ох '
О. Ф. Папкович, Теория упругости—436—16 241
должна, удовлетворяя во всей области, занятой телом, уравне-
уравнению Лапласа
V2x = 0, C4)
быть подчинена на границах тела условию
или, что то же,
Х = 1(*2+У) + С„ C5)
где Ct — постоянные, вообще различные на всех контурах,, ко-
которыми ограничено сечение стержня.
Из постоянных С,- только одна является произвольною, все же
остальные должны находиться из условий A0'), дающих для х
ds + ~G У Ж ds
или, принимая во внимание A0'), (м) § 1, а также соображе-
соображения § 4
l^Lds = 2iF— 2iF = 0. C6)
До сих пор мы решали все рассмотренные частные задачи
методом непосредственного разыскания функции <р. Можно,
однако, вместо <р сначала находить w или % с тем, чтобы уже
потом находить <р из уравнений C2) или C3). Это позволяет
использовать для решения задачи о кручении призматических
стержней теорию функции комплексного переменного.
Действительно, и функция w и сопряженная с w функция х
должны удовлетворить уравнению Лапласа, которому, как из-
известно, удовлетворяют как реальная, так и мнимая части всякой
аналитической, т. е. имеющей во всех точках производ-
производную, функции комплексного переменного.
В самом деле, пусть
z = х + iy,
a F(z) — некоторая аналитическая функция от z.
Положив
F(z) = F(x + iy) = Fx (х, у) + iF2 (x, у),
где Ft (x, у) — функции реальные, будем иметь
ay v ' ay ' ay
Умножив первое из этих уравнений на i и сличив его затем
со вторым, можно видеть, что
дх ду
dFi=_dF?
ду дх
C7)
ду дх' j
242
откуда следует, что функции Ft и F2 удовлетворяют уравнению
Лапласа
V2F2 = О,
причем между ними существует та самая зависимость, которая
должна существовать между w и х в силу равенств C2). Мы
можем поэтому принять, что
X = F2 (х, у), \
где Ft(x, у) и F2{x, у) суть соответственно реальная и мнимая
части некоторой аналитической функции комплексного пере-
переменного, т. е. положить
w + ix = F(x + iy) = F(z), C9)
где F(z) есть упомянутая, пока неизвестная, аналитическая
функция.
Решение задачи о кручении призматического стержня
заданного очертания сводится, таким образом, к разысканию
некоторой такой функции F{z), чтоэы на контуре поперечного
сечения стержня функции w и х> определяемые равенством C9),
удовлетворяли: функция w условиям C1), функция же х усло-
условиям C5; и C6).
На возможность решения задачи о кручении стержней этим
методом обратил внимание еще Сен-Венан, использовавший этот
прием для решения задачи о кручении ряда профилей4.
В частности, Сен-Венан показал, что полагая
F(z) = Azs,
где А — некоторая константа, можно легко решить задачу
о кручении равнобокой трехгранной призмы (см. ниже § 13).
Выбирая F{z) в виде алгебраического полинома четвертой
степени, Сен-Венан получил решение задачи о кручении- для
различных криволинейных четырехугольников вида, изображен-
изображенного на рис. 62. Выбирая F(z) в виде полинома восьмой сте-
243
пени, он получил решение для контура, напоминающего по
своей форме мальтийский крест (рис. 63).
Как показано было Сен-Венаном, приближенная формула A7),
выведенная им из решения, относящегося к стержням эллипти-
эллиптическим, дает довольно хорошее приближение для жесткости
всех контуров, только-что упомянутых.
Еще более общие решения можно получить, разложив функ-
функцию F(z) в бесконечный ряд вида
где & —всевозможные целые числа от k — 0 до & = оо, и пере-
переходя к полярным координатам.
Действительно, положив
X = Г COS 6,
у = rsin6
и подставив
z = г cos 6 -f irsin6 (б)
в (а), и отделяя вещественную часть от мнимой, можно видеть,
что как сумма ^Акгкcoskb, так и сумма ^Вкгкsinkb, обе удо-
к к
влетворяют уравнению Лапласа. Это позволяет принять
Gx=2/*(a*cosft9 + &ksinfte)f (в)
к
что по подстановке в C3) дает
<р = — Gt^-+ ^^(^ cos № + bk sin A9). (г)
к = о
Постоянными ак и Ьк здесь следует распорядиться так, что-
чтобы на контуре поперечного сечения стержня <р было постоян-
постоянным. В тех случаях, когда контур односвязен и, располагая
начало координат на контуре или внутри его, можно предста-
представить уравнение контура в форме ряда
(д)
где ак и рь — некоторые известные константы, можно наметить
общий путь разыскания постоянных ак и Ьк в равенстве (г).
Разберем сначала случай, когда уравнение контура можно
представить в форме (д), расположив точку г = 0 на контуре.
Так как ^ достаточно определить с точностью до постоянного
слагаемого, то можно принять а0 = 0 и подобрать постоянные
ак и Ьк так, чтобы при г, определяемом равенством (д), <р,
определяемое равенством (г), обращалось в нуль.
Подставив (д) в (г) и выражая различные степени cos&9 и
sin?9 и произведения этих величин через косинусы и синусы
244
кратных дуг, можно составить путем приравнивания нулю коэ-
фициентов у cos/8 и sin/6 столько уравнений, сколько тре-
требуется определить неизвестных коэфициентов ак и Ьк в ряде
(г). Способ этот приводит к весьма громоздким выкладкам, но
дает возможность довести решение задачи до конца.
Несколько сложнее решение в том случае, если контур
таков, что уравнение его можно привести к виду (д), располо-
расположив начало координат лишь где-то внутри контура, а не на
самом контуре. В этом случае, приняв <р равным нулю в начале
координат, нельзя уже считать <р равным нулю на контуре. Зна-
Значение, принимаемое в этом случае функцией <р на контуре,
нужно ввести в число основных неизвестных констант, для
определения которых, помимо уравнений, получаемых путем
уравнивания нулю коэфициентов при cos/6 и sin/6 в равенстве,
получаемом путем подстановки (д) в (г), нужно будет восполь-
воспользоваться еще уравнением, даваемым теоремой о циркуляции
скалывающего напряжения. В этом случае решение сопряжено
с выкладками еще более громоздкими.
Иногда довести задачу до конца удается значительно проще
методом конформных отображений. Изложение этого послед-
последнего приема завело бы нас слишком далеко, и мы от него
воздерживаемся, отсылая интересующихся этим вопросом к кни-
книге проф. Н. И. Мусхелишвили, в которой метод конформных
отображений изложен весьма обстоятельно и притом примени-
применительно не только к решению задачи о кручении стержней одно-
однородных, но и к задаче о кручении стержней, внутренние цилин-
цилиндрические полости которых заполнены материалом, имеющим
иные механические качества, чем материал основного стержня.
Из числа отдельных частных задач,- решенных этим методом,
заслуживает особого упоминания задача о кручении круглого
вала, имеющего цилиндрическую круглую же, но не концен-
концентричную с осью вала полость, заполненную другим материалом.
Для этого случая проф. Н. И. Мусхелишвили получено реше-
решение, которое в частном случае, когда у материала, заполняю-
заполняющего внутреннюю полость, модуль Юнга равен нулю, обра-
обращается в решение, найденное ранее Макдональдомг и затем
Вайнелем2. Частный случай, рассмотренный Вайнелем, будет
разобран ниже в § 14.
Кеттер, Треффц и Дассен использовали метод конформных
отображений для выяснения весьма интересного вопроса о тех
местных напряжениях, которые концентрируются у катаных
профилей в местах сопряжения отдельных полос, из которых
составлен профиль. Главнейшие результаты, полученные ими,
будут п шведены ниже в § 15.
Путем применения функций комплексного переменного до-
доказано3 весьма важное обшее положение: „В тех особенных
точках контура, где у него имеются углы, скалывающие напря-
1 Н. М. Mac Donald, Cambridge Phil. Soc. Proc vol. 8, p. 62 — 68, 1893.
2 E. Weinel, Ingenieur Archiv, Bd. Ill, S. 67 — 75, 1932.
8 См. по этому поводу Prescott, Applied Elasticity, § 114.
245
жения равны нулю, если рассматриваемый угол есть выступаю-
выступающий, и бесконечно велики, если в рассматриваемом месте угол
вдается внутрь контура поперечного сечения".
Конечно, этот результат нельзя понимать буквально. При
выводе его предполагалось, что материал следует закону Гука.
Оно было бы поэтому вполне справедливо, если бы материал
следовал этому закону при нагрузках любой величины. Известно,
однако, что всякие реальные тела, не исключая самых хрупких,
способны получать до разрушения деформации, не следующие
закону Гука. Когда напряжения достигают некоторого предела,
деформации увеличиваются заметно при относительно весьма
малом увеличении вызывающих их напряжений. Благодаря это-
этому местные напряжения в районе входящих внутрь профиля
резких углов, сглаживаются и остаются на самом деле, вопреки
отмеченному выше положению, конечными. ,
Если материал пластичен, а нагрузка стержня неизменна, то
на местные его перенапряжения можно не обращать внимания.
Если нагрузка во времени изменяется, то местные перенапря-
перенапряжения в районе входящих внутрь контура углов могут привести
стержень со временем к разрушению даже при весьма умерен-
умеренных нагрузках.
Для разыскания величины этих местных перенапряжений
аппарата теории упругости, однако, уже не достаточно, так
как величина этих местных напряжений зависит от того, в ка-
какой мере отклоняется материал при больших нагрузках от
закона Гука.
Некоторые элементарные соображения по этому поводу изло-
изложены будут ниже в § 15.
§ 13. Кручение равнобокой трехгранной призмы
Как отмечено было выше в § 12, решение задачи о круче-
кручении равнобокой трехгранной призмы можно получить, приняв
в формуле C4)
F(z) = Az3 ~ А (х 4- iyf, (a)
что дает
w = А (л:3 — Ъху%
(б)
и в силу C3)
<р = AG (Зх2у — у3) —^- (л2 -|- у2). (в)
Положив в этой формуле
будем иметь
(г)
где а есть некоторая константа.
246
При
a
T
<р, определяемое равенством (г), обращается* в константу
От 4 о
<Р а
Приравняв ср, определяемое равенством (г), константе (д),
получим уравнение одного из тех контуров, на которых ф,
определяемое формулой (г), имеет постоянное значение. Оче-
Очевидно, уравнение этого контура есть
+ ?а* = 0, (е)
причем по сказанному выше следует ожидать, что левая часть
этого уравнения заключает в себе множитель (у + -|Л
Выделяя этот множитель, нетрудно убедиться в том, что
уравнение (е) эквивалентно уравнению
-~а~-/гх)=О, (ж)
которым определяются три прямых, изображенных на рис. 64,
ограничивающих сечение равносторонней трехгранной призмы,
высота сечения которой есть а.
Таким образом, для упомянутой
трехгранной призмы ф определяется ра-
равенством (г). Зная для этого контура <р,
нетрудно вычертить любое число го-
горизонталей к поверхности, изображаю-
изображающей функцию <f, и найти, следовательно,
величину и направление скалывающего
напряжения в любой точке профиля.
Наибольшего своего значения ска-
скалывающее напряжение Т достигает по
середине каждой из трех сторон контура призмы, где, как не-
нетрудно видеть,
Т = Гшах = 0,5Gia. (з)
Скручивающий момент, если его вычислить для рассматри-
рассматриваемого профиля по формуле (8), оказывается связанным с х
зависимостью
М = СЧ, (и)
где
С = 0,6 G/p, D0)
а /р есть полярный момент инерции сечения.
Как видно из формул (з) и (и>, момент сопротивления при
кручении W выражается для рассматриваемого профиля равен-
равенством
247
Формулы D0) и D1) могут служить для расчета рассматри-
рассматриваемого профиля на кручение.
Осевое перемещение w определяется при кручении трех-
трехгранной призмы зависимостью
-х3) D2)
и обращается в нуль, если
л: = 0
или
х=
т. е. на всех трех перпендикулярах,
опущенных из вершин треугольника,
ограничивающего поперечное сечение,
на стороны этого треугольника. Линиями w = const являются
в рассматриваемом случае алгебраические кривые третьего
порядка, общий характер которых изображен на рис. 65.
§ 14. Круглый вал, ослабленный круглой неконцентричной
полостью
При сверлении круглых валов внутренняя полость оказыва-
оказывается часто, благодаря деформации сверла, неконцентричной с
его наружной поверхностью. Вопрос о влиянии этой неконцен-
неконцентричности на величину напряжений, возникающих в валу, имеет
поэтому большое прикладное значение.
Задача о кручении валов, сечение которых ограничено дву-
двумя неконцентричными окружностями, допускает точное реше-
решение в биполярных координатах, применяемых в этой
задаче впервые, повидимому, Макдональдом1. Впоследствии
этой задачей занимались А. и Л. Феппль2, решавшие эту задачу
заново, и Е. Вайнель3, который довел ее решение до расчетных
графиков, исправив попутно некоторые погрешности в выклад-
выкладках более ранней работы Макдональда.
Ввиду большого практического значения этой задачи мы
рассмотрим ее решение подробно, причем будем в основном
следовать выкладкам Вайнеля.
1. Биполярные координаты. Допустим, что а и ^ —
криволинейные координаты на плоскости, связанные с декарто-
декартовыми координатами х и у тем, что
• С = а
. = 1п ¦
(a)
1 H. M. Mac Donald, Cambridge Phil. Soc. Proc, vol. 8. p. 62—68, 1893.
2 См. А. и Л. Фёппль „Сила и деформация*, ч. 2, § 71.
8 Е. Weinel, Ingenieur Archiv, Bd. HI, S. 67 — 75, 1932.
248
где z = x-\-iy, a i — знак мнимости, и рассмотрим, какие ли-
линии соответствуют на плоскости х, у уравнениям а = const и
tp = const.
Для этого введем в рассмотрение (рис. 66) полярные коор-
координаты рх, Ьх с полюсом в точке z = -f ~ и р2, 62 с полюсом.
а
в точке z = — у.
Положив в (а)
z — -9- = рх (cos 6Х -+- i sin б!) = рге' \
2 + Y = Pa (cos 02 + i sin 8a) =
будем иметь вместо (а)
? 61-62) (r)
№,
(б)
(в)
' Ра
и, следовательно,
Р2
(д)
(е)
Как видно из (е), уравнениям *
<р = const соответствуют (рис. 67)
окружности, проходящие через рис 66.
точки z = + -g-, причем всю пло-
плоскость л:, j> можно покрыть кривыми а» = const (рис. 68), счи-
считая <р лежащим в пределах
— it < (ь < it.
Рис. 67.
У
Рис. 68.
Для того, чтобы при этом ни через одну точку плоскости
х, у, кроме полюсов, не проходило больше одной кривой
249
<p = const, достаточно принять <в положительным в той полуплос-
полуплоскости х, у, где у положительно, и отрицательным в той части
плоскости х, у, где у отрицательно.
При этом способе нумерации кривых <р == const кривой (рис.
68) <р = 0 будут соответствовать участки оси ох вне отрезка,
соединяющего полюсы А и В друг с другом; кривым <р = + «—
участок оси ох между полюсами А и В; кривым <р = + ~ —
окружность, построенная на отрезке АВ, как на диаметре';
промежуточным же значениям <р — окружности промежуточных
радиусов.
Все кривые <р = const проходят, как сказано, через точки
z = ±-j, являющиеся в этом смысле двумя полюсами рас-
рассматриваемого семейства криволинейных координат. Отсюда
происходит название этой системы координат.
Кривые а = const, как видно из (д), отличаются тем, что на
всякой такой отдельной кривой величина рх:р2, а, следовательно,
и величины
•== 6
(ж)
имеют свое постоянное значение. Нетрудно видеть, что уравне-
уравнением (ж) определяются окружности
(рис. 69)
,2
2sho
(з)
с центрами в точках z = ^ cth a
и радиусами
Рис. 69.
Окружности эти не концентрич-
ны: при вариации параметра а
варьируются одновременно и положение их центра и величина
их радиуса.
Радиус окружности а = — оо бесконечно мал. Окружность
эта сливается с точкой г = у. С увеличением а от а = — оо
до о=0 радиус окружности а = const пестепенно возрастает,
центры же этих окружностей все более и более отодвигаются
от начала координат по направлению к х — оо. Центр окруж-
окружности а = 0 лежит в бесконечности, радиус кривизны их беско-
бесконечно велик. Эта окружность сливается с осью оу.
По мере дальнейшего возрастания а в пределах от а = 0 до
а = -\- оо, радиус окружности а = const все время убывает, цен-
центры же окружностей перемещаются по отрицательной оси ох
250
из точки х=~ оо, соответствующей случаю <х = 0 к точке х =
=— ~, соответствующей случаю а = + °°. Радиус окружно-
окружностей а = const при этом постепенно убывает от г=оо при <х =
= 0 до г = 0 при а = оо. Окружность а = -|- оо сливается с точ-
„ а
КОЙ Z — 2~.
Таким образом, при — оо > а > 0 окружности а =¦ const ле-
лежат в области положительных значений координаты х, при а
же, лежащем в пределах 0<а<оо, в области отрицательных
значений координаты х Кривые а > 0 окружают полюс z =
= —-^, кривые же <х<0 полюс z = ¦=-.
В дальнейшем мы будем интересоваться лишь той частью
плоскости х, у, где х положительно и где, следовательно,
а < 0 и, пользуясь обозначением
а = In X,
(к)
отличать окружности а = const друг от друга не по значению
величины а, а по значению величины X, соответствующей дан-
данной окружности. Очевидно, что в полупло-
полуплоскости, где х > 0, величина X лежит в пре-
пределах
причем окружность X = 0 совпадает с полю-
полюсом z = у . По мере увеличения X радиусы
окружности Х = const возрастают, а центры
удаляются от оси оу. При X = 1 окруж-
окружность X= const сливается с осью оу.
Желая (рис. 70) сделать две неконцент-
неконцентрические и непересекающиеся окружности
радиусов г = г0 и г = гх, центры которых удалены друг от друга
на величину е, принадлежащими к семейству окружностей
X = const, где 0<Х<1, мы должны положить
Рис. 70.
Г° 2 |sh ao\
2 |shotx|
\ *0
l
Л.х
е = -f [etna, - cth aj = а
(л)
откуда следует
я = т Л{гг - г0? - е2] [(г, + rof - е\
D3)
251
_1_
Хг
2roe
D4)
Зная (рис. 70) внешний радиус вала г1У внутренний радиус
вала г0 и эксцентриситет расточки вала е, мы можем всегда с
помощью D3) и D4) определить параметры Хо и Хх той биполярной
системы координат, при которой уравнением внешнего контура
сечения вала будет
Х = ХХ,
а уравнением внутренней его границы
X = Хо.
Чтобы после этого выразить х и у через X и <р соответству-
соответствующие найденной системе биполярных координат, надо подста-
подставить (к) в (а) и определив из (а) 2, отделить в нем реальную
часть от мнимой. Делая это, получим
= e
I n X ¦}- if
(м)
и, следовательно,
Ш X + if
e
lnX-Hcp
e — 1
j3 X cos <f> + 1 + IX sin о
2 X cos 'f — 1 + Л sui <p '
так что
y = -
X3 — 21 cos <p
X sin tf
1L
2"'
a.
(н)
1 + X2 — 2 cos ?
При выводе только-что полученных выражений мы предпо-
предполагали, что начало координат совпадает со серединой отрезка
между полюсами биполярной системы координат. Для упроще-
упрощения некоторых дальнейших выкладок полезно перенести начало
координат в тот полюс биполярной системы координат, кото-
который лежит вне исследуемого сечения.
Сделав это, т. е. перенеся начало координат в полюс, соответ-
соответствующий X = оо (рис. 71), будем иметь следующую связь между
252
х и у, с одной стороны, и X и tp, с другой:
1-Xcos?
1 + X2 — 2Х cos <(>'
D5)
X sin ер v '
:У=«,'+Х2-2Хсо1?
Во всех дальнейших выкладках настоящего параграфа будем
предполагать начало координат расположенным как на рис. 71
<
к
Г 2
а
т
<0 11
^-^ / / Чч *^ 1
Рис. 71.
и будем, следовательно, считать, что хну выражаются череэ
X и <р с помэщью зависимостей D5). Формулы D3) и D4) оста-
останутся при этом, конечно, в силе.
2. Постановка задачи о кручении круглого вала,
ослабленного неконцентричной круглой поло-
полостью. Мы видели выше в § 1, что задача о разыскании напря-
напряжений в призматическом стержне сводится к разысканию функ-
функции напряжения <р, удовлетворяющей уравнению
V2* = — 2Gi
внутри области, занятой материалом стержня, при условии
<р = const
253
на каждом из контуров, ограничивающих его поперечное се-
сечение.
Полагая
(а)
сводим задачу к нахождению такой функции ф, которая, удов-
удовлетворяя во всей области, занятой материалом стержня, урав-
уравнению
У2ф = 0, (б)
удовлетворяла бы условию
^ф = const (в)
на каждом из отдельных контуров, ограничивающих сечение
стержня.
Выше, в п. 1 было показано, что введение в рассмотрение
биполярных координат позволяет у круглого вала с неконцен-
неконцентричной круглой ослабленной полостью привести уравнение
внешнего контура поперечного сечения вала к виду
Х = ХХ,
внутреннего же к виду
х = х0.
Поэтому решение задачи о кручении этого вала в биполяр-
биполярных координатах сводится к разысканию такой функции от X.
и <р, которая, удовлетворяя уравнению (б), дает
д;2 _L у2 1
ф 2~ = 0 при X = \
х+У
4» — —2 = С° ПРИ Х = Хо»
где с0 — некоторая неизвестная постоянная, определяемая с по-
помощью теоремы о циркуляции скалывающего напряжения.
Мы подобрали, однако, в п. 1 [см. формулы D5)] зависимости
между X и <р так, что
Поэтому условия (г) равносильны условиям
1 а2
, , ,Т5—- Ь^о при Х = Х0,
4 1+ >п-
и
- —^ при Х =
2 1 +X?2>s?
(е)
Этим задача о разыскании функции напряжений у сводится
к разысканию такой функции ф(Х, <р), которая при X и <р, лежащих
в пределах Хо < X < Хх; — и < у < тс, удовлетворяет уравнению(б),.а
при X = Хо и X = Хх граничным условиям (е).
254
Для разыскания функции ф из этих условий нам нужно вы-
выразить уравнение (б) через производные по X и <р. Воспользу-
Воспользуемся для этой цели следующими простыми соображениями.
Известно, что как реальная, так и мнимая часть всякой ана-
аналитической функции комплексного переменного z = х -f- iy удов-
удовлетворяет уравнению Лапласа1 и что всякая функция, удовле-
удовлетворяющая уравнению Лапласа может быть рассматриваема как
реальная часть некоторой аналитической функции от z = х + iy-
Мы можем в силу (б) считать искомое ф реальной частью
некоторой аналитической функции F(z). Но в силу (а) г, а сле-
следовательно, и F(z), является аналитической функцией от С =
=<х + Щ- Поэтому ф может быть рассматриваема как реальная
часть некоторой аналитической функции от С = а + i<f> и должна,
следовательно, удовлетворять уравнению
В силу (к), однако,
и уравнение (ж) эквивалентно уравнению
да ~ dl
О/ Ч
(з>
Таким образом, вопрос о разыскании функции ф для инте-
интересующего нас вала сводится к нахождению такого решения
уравнения (з), которое удовлетворяет граничным условиям (е).
3. Определение функции ф. В силу сказанного в п. 2
искомое ф должно быть периодической функцией от <р. Гра-
Граничные же условия (ej позволяют считать ф ч е т н о й функцией
от <р. Интересующую нас функцию ф можно поэтому искать в
форме ряда
п — оо
ф = ^ Z.n(X) cos ntp, (a)
п =0
где в силу (з) п. 2 функции Ln(k) должны удовлетворять урав-
уравнениям
l) = O. (б),
За общий интеграл уравнения (б) можно принимать
при я = 0,
(в)
Ln(X) = Апк" + Впк~» при п ф 0, |
что по подстановке в (а) дает
п=оо
ф= Ао + Во lQg х+ S (Л^Х "+ В*1~П)cos
1 См. § 12 выше.
25S
Если нам удастся определить в этом выражении постоянные ин-
интегрирования Ап и Вп из граничных условий (е) п. 2 или, что
то же, из условий
<К=х. =^0 + Во log \+П;?(Ап1 + 0я>.-«) cos щ =
п=1
?
0>
log Хх+ ? (Лп>« + ВяХ-«) cos «cp =
п=1
(Д)
2 1 + Xf — 2ХХ cos <p
то задача будет решена.
Разлагая правую часть равенства (д) в ряд Фурье, можно
путем уравнивания коэфициентов при cos/tcp получить для Ап и
Вп уравнения
2л
log Х
да Г 1
= 4^ J T+-)J^
2Х0 cos f
2n
с»
1-А
Г
cos па
»2 '
*1
(е)
применяя же к ф, определяемому равенствами (г) и (а), теорему
о циркуляции, нетрудно видеть, что Во должно быть равно нулю.
Полагая
получаем из (е) . _ i a2
(ж)
255
Этим заканчивается разыскание функции ф, а следова-
следовательно, и ср.
4. Определение жесткости при кручении. Для
определения постоянной С в формуле
М
т. е. жесткости при кручении, достаточно подставить ср, найден-
найденное в п. 3, в формулу
М = 2
В рассматриваемом случае
?о =0,
в границах же сечения X и ср меняются в пределах
— Т1<?<ТС
Хо< X < X,.
Поэтому у рассматриваемого профиля
Х,+т.
и, следовательно,
С = GJ, D6)
где
d
У =5
Выполняя интегрирование и преобразуя затем результат,
Вайнель привел это выражение к виду
п=0
где (рис. 71)
г е \
(д)
дальнейшие же Rn вычисляются с помощью зависимости
Дге = A-^ + Р2)Дп~1-Р2Дп-2. (е)
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—17 257
Если бы эксцентриситет вала е был равен нулю, то было бы
Поэтому отношение
J • 2" \ Г1 ~~
показывает, какую долю от жесткости
центрично, составляет жесткость вала,
0,2
\
-
¦
—-
0,5
0,64
0,7
0,8'
^=0,9
(ж)
вала, расточенного кон-
имеющего при тех же
гг и г0 заданный экс-
эксцентриситет. Вайнель
подсчитал значения
отношения (ж).
Полученные им ре-
результаты представле-
представлены графиком (рис. 72),
где упомянутое отно-
отношение -/:-j( r\ — г4, J
дано в функции от от-
отношений
О 02
0,8
10
1.0
г __ ±
- 1-р
(з)
5. Скалывающие
напряжения. Обо-
Обозначив через Т\ проек-
проекцию скалывающего напряжения на касательную к контуру
X = const, а через Тч проекцию скалывающего напряжения на
касательную к контуру ср = const, можно обе эти проекции ска-
скалывающего напряжения вычислить посредством зависимости
[см. равенства (н) § 1]
совмещая при вычислении Т\ направление v с направлением
внешней нормали к контуру X = const, а при вычислении Т9 на-
направление v с направлением внешней нормали к контуру «р =
= const.
Этим путем можно получить
п = -
¦=-^(!
•2Xcoscpj 1
!-2Хс08<р)тг,(*-
258
что после подстановки ty, найденного в п. 3, и выполнения ди-
ференцирований дает
Д (Х-cost)
l+X2_2Xcos?
х
n=l
a sin
+'(i+x«-2Xcos<p)x
2X COS CD )
X
X 2 «(-^n^n + ^~") sin « cp.
(б)
Наибольших напряжений можно ожидать в месте наиболь-
наибольшего сближения обоих контуров сечения, т. е. при ср = + тс,
где 7^ = 0, а
и притом либо на наружном, либо же на внутреннем контуре
сечения.
Вайнель подсчитал величину 7\ как для X = Х„, так и для
Оказалось, что на внутреннем контуре в точке <р = + тс скалы-
скалывающее напряжение можем быть вычислено с помощью зависи-
зависимости
п=оо
?)) D8)
n=0
где
а все дальнейшие Sn определяются формулой
5» = A — if + Р2) Sn-i -
на наружном же контуре при ср = + тс
П
п-0
где
7,= 1; Тх=1—-ч" —-чр,
а все дальнейшие Тп суть
D9)
E0)
E1)
E2)
E3у
259
Формулы D8), E1), D6) и D7) позволяют связать максимальное
скалывающее напряжение на внутреннем контуре 7\„, а равно и
максимальное скалывающее напряжение 71, на внешнем кон-
контуре вала непосредственно с величиною скручивающего момента.
Если бы рассматриваемый вал был ограничен двумя концен-
концентрическими окружностями радиусов г0 и гъ то скалывающие на-
напряжения на его внутренней и внешней поверхности определя-
определялись бы зависимостями
Мгп
(г)
При С равном нулю, напряжения Ти и 7\, оказываются боль-
большими даваемых формулами (г).
Как видно из D8), E1), D6) и D7) при ^фО
т Мг0 г,
=)"
E4)
где Д'о и К\ некоторые функции от величины р и С, определяе-
определяемых равенствами (з).
Функциональная зависимость, связывающая К(, и Кг с р и С,
видна из рис. 73 и 74, заимствованных из вышеупомянутой
статьи Вайнеля.
Диаграммами (рис. 73 и 74) можно пользоваться для опре-
определения напряжений в эксцентрично расточенном призматиче-
призматическом валу. Как видно из этих диаграмм, при малых значениях С
наибольшей величины достигают напряжения на внешней по-
поверхности вала, при больших же эк центриситетах наиболь-
наибольшими, а след вательно, и расчетными оказываются максималь-
максимальные напряжения на внутренней поверхности вала. Наиболее
напряженные точки переходят с внешней поверхности вала на
его внутреннюю поверхность при С, близком к 0,5 что, было от-
отмечено еще Макдональдом.
§ 15. Иные методы решения задачи о кручении призматических
стержней и решения, полученные с помощью их
Те методы решения задачи о кручении призматических стерж-
стержней, которые были изложены выше, не являются единствен-
единственными, с помощью которых может быть получено решение этой
задачи.
260
1,0 0,9 0,8 0,7
I/
///
/
/
/
0,6
0.5
0,4
0,3
6,1
0
1,0 0
Рис. 74.
0.5
1.0
261
Диференциальные уравнения Лапласа и Пуассона, к интегри-
интегрированию которых задача эта приводится, допускают численное
приближенное интегрирование. Численным методам интегриро-
интегрирования этих уравнений в настоящее время посвящен уже ряд
работ. Сводку различных вычислительных приемов, для этого
предложенных, можно найти в статье Runge и Willers'a в „Enzy-
clopoedie der Mathem. Wissenschaften", Bd. II, C-2. Из более позд-
поздних статей по этому вопросу заслуживает внимания статья
проф. Гершгорина в Zeitschrift fur Angew. Math, und Mech.,
Bd. 10, а также книга Ш. Е. Микеладзе „Численные методы
интегрирования диференциальных уравнений в частных произ-
производных", изданная в 1936 г. Академией наук СССР.
К числу вычислительных методов решения основной задачи
о кручении следует также отнести методы приближенного ее
решения, предложенные Тимошенко и Треффцем.
Метод Тимощенко основывается на применении одного из
основных вариационных начал теории упругости. Метод Треффца
является весьма интересным видоизменением метода Ритца—
Тимошенко. Вычислительные методы этого рода будут изложены
далее в главе XIV.
Аналогия Прандтля, рассмотренная выше в § 5, намечает
весьма интересные пути экспериментального решения основно-
основного уравнения теории кручения
призматических стержней. Путь
этот уже использован рядом ав-
р торов. Предложенная ими аппа-
аппаратура будет в основных чертах
в
В I рассмотрена нами в главе XIII.
Мы не имеем здесь возможности
перечислять подробно все реше-
¦ ис" ' ния, полученные для различных
частных случаев различными
методами, а упомянем лишь о главнейших из этих решений,
притом лишь в самых общих чертах.
Кёттером, Треффцем и Дассеном1 рассмотрен очень важный
вопрос о местных напряжениях, концентрирующихся у профи-
профилей углового сечения в местах сопряжения обеих полос, из ко-
которых профиль составлен. В частности ими исследован вопрос
о величине напряжения в вершине входящего угла. Если в этой
точке профиль имеет излом (рис. 75), то теоретические напря-
напряжения в ней, как уже отмечено в § 11, бесконечно велики. По
мере увеличения радиуса закругления напряжения в вершине
быстро падают. В случае, если радиус закругления (рис. 76; не велик
7'
max —
1 F. KOtter Berl. Berichte, Bd. 2, S. 935, 1908.
E. Treffz, Math. Annalen, Bd. 82, S. 97, 1921.
E. Treffz, Z. A. M M., Bd 2, S. 263, 1922.
Dassen, Z. A. M. M., Bd. 3. S, 258, 1923.
262
в случае же, если он достаточно велик, то почти вне зависимости
от о
T
Лармор*1 исследовал влияние небольших внутренних цилиндри-
цилиндрических полостей в круглом валу (рис. 77).
Если диаметр внутренней полости весьма мал по сравне-
сравнению с диаметром самого вала, то по Лармору напряжение в
точках пересечения внутреннего контура с общим диаметром ВВ
Рис. 77.
Рис. 78.
Рис. 79.
обоих контуров вала получается приблизительно в 2 раза боль-
большим, чем если бы внутренней полости у вала не было. В точ-
точках пересечения внутренней полости с направлением АА, пер-
перпендикулярным к ВВ, скалывающее напряжение оказывается
равно нулю.
Исследовано также влияние небольших внутренних полостей
эллиптического вида (рис. 78). Если размеры этой полости
достаточно малы, то благодаря наличию такой полости в
круглом валу напряжения возле нее увеличиваются в (l + ¦—J
раз.
Большой интерес представляют решение, учитывающие вли-
влияние шпоночных канавок различного сечения. В случае, если
канавки имеют резкие входящие углы, напряжение в районе
этих углов, как уже то было отмечено, получаются теоретиче-
теоретически бесконечно большими. Лармор исследовал случай шпонки
полукруглого сечения. Если радиус шпонки мал по сравнению
с радиусом вала, то наибольшие напряжения возле шпоноч-
шпоночной канавки оказываются близкими к удвоенным, по сравнению
с тем, что имело бы место в случае отсутствия шпонки.
Несколько весьма интересных частных результатов, относя-
относящихся к шпонкам более обычного сечения приводит в своей
книге „Прикладная теория упругости" С. П. Тимошенко. Полу-
Полученные им результаты относятся к полому валу (рис. 79) следу-
следующих размеров:
внешний диаметр 254 мм ширина шпоики 60 мм
внутренний . 148 „ радиус закругления
глубина шпоики 25 , входящего угла р „
1 J. Larmor, Phil. Mag., vol. 33, p. 76, 1892.
263
Шпонка увеличивает напряжения в валу в k раз, где k есть
функция от р, даваемая таблицей.
р
k
2,5
5,4
5,0
3,4
7,5
2,7
10
2,3
12,5
2,1
15
2,0
18
Хотя отмеченные напряжения имеют резко выраженный
местный характер, пренебрегать ими при знакопеременных
нагрузках, однако, нельзя.
Рис. 80.
Квест х, наблюдая с помощью сконструированного им спе-
специального прибора поверхность мыльных пленок, натянутых
на различного типа контуры, исследовал экспериментально
вопрос о кручении различных профилей, изображенных на
рис. 80, а именно круглого вала со шпонкой-канавкой, вклад-
вкладного типа по DIN 141; вала с двумя клиновидными шпонками
по DIN 268; четырехшпоночного вала по DIN 2223; спирального
сверла, пушечного сверла. Все профили были диаметром
120 мм. Радиус закругления входящего угла у шпоночных ка-
канавок варьировался.
1 Н. Quest, Ingenieur Archiv, Bd. 4, S. 510, 1933.
264
Благодаря наличию шпонки наибольшие скалывающие на-
напряжения в k раз превышают напряжения, которые имели бы
место при том же угле закручивания у того же вала, но без
шпонки. Зависимость числа k от радиуса закругления для каж-
каждого типа шпонки представлена графически под каждым сече-
сечением.
Если шпонка обыкновенная прямоугольная, то уже при
Р = 1 мм, k = 1,7 и при дальнейшем увеличении р k может быть
у'меньшено лишь очень немного. Жесткость профиля этого
типа примерно на 5°/0 меньше, чем вала, шпонкой не ослаблен-
ослабленного.
У вала с двумя тангенциальными шпонками коэфициент кон-
концентрации напряжений k уменьшается до k = 2 лишь при р =2мм.
Шпонки этого типа уменьшают жесткость профиля, примерно,
на 18%.
Для вала с четырьмя шпонками зависимость между величи-
величиною k в формуле
Tmix = k
где гх есть радиус вала по полям нареза (на рис. 80 гх = 96 мм),
и радиусом закругления шпоночного угла показана внизу под
соответствующим профилем. При р = 2 мм k = 2. Жесткость
профиля ослабляется шпонками этого типа приблизительно на
24°/0.
Для спирального сверла Квест получил следующие зависи-
зависимости:
Fmax = 0,68 Gxr,
С = 0,0101 Gd\
где г и d—внешний радиус и диаметр сверла.
Для пушечного сверла оказалось
Ттах = 0,87
С = 0,0156
Несколько наблюдений сделано Квестом относительно
катаных профилей. В частности, для двутаврового профиля
№ 20 по германскому сортаменту по Квесту
Ттаах = 2,4 Gid,
где d есть толщина стенки профиля. Этого своего значения
скалывающие напряжения достигают в переходе от полки к
стенке.
Для углового железа 100 X 65 х 11 Квест получил
Гшах = 1,6 Gid,
где d — толщина сечения.
265
Несколько результатов опубликовано Квестом также для
полых толстостенных труб прямоугольного се-
сечения.
Для профиля, состоящего из двух окружно-
окружностей одинакового радиуса(рис. 81) теоретическое
решение было получено Вебером1. Позднее Кранц2
получил для того же случая экспериментальное
решение с помощью электродинамической анало-
аналогии (см. ниже § 6 главы XIII;.
Оба решения, хорошо совпали.
§16. Экспериментальные работы по поверке основных результатов
теории кручения призматических стержней
Изложенная выше теория кручения призматических стерж-
стержней подвергалась неоднократно экспериментальной поверке на
металлических моделях. Не имея возможности перечислить все
произведенные в этом отношении опыты, мы упомянем здесь
лишь о главнейших из них.
Баушингер испытал 13 пар стержней круглых и квадратных,
одинакового поперечника в целях определения их относитель-
относительной жесткости. Для отдельных пар относительная жесткость
этих профилей колебалась в пределах от 0,623 до 0,747 и ока-
оказалась в среднем равною 0,696, в то время как теория Сен-
Венана дает для нее 0,6984.
Баушингером была также определена и сопоставлена с вы-
вычисленной жесткость при кручении различных профилей.
Результаты этих опытов были следующие.
Профиль
Наблюдено
Вычислено
Круг
1
1
Эллипс
b: а = 2
1,24
1,25
Квадрат
1,20
1,13
Прямо-
Прямоугольник
Ь : а = 2
1,47
1,392
Прямо-
Прямоугольник
Ь:а = 4
2,41
2,267
Весьма интересны опыты А. Феппля. Он испытывал различ-
различные катаные профили и сравнивал их жесткость при кручении
¦с вычисленной по формуле
Оказалось, что эта формула нуждается во введении в иее
некоторого поправочного коэфициента, зависящего от типа
профиля. Правильнее принимать
1 С. Weber, Forschungshaft, 249, S. 31.
2 Н. Cranz, Ing. Archiv, Bd. IV, S. 306, 1933.
266
причем коэфициент т( колеблется у различных профилей по опы-
опытам Феппля в пределах:
у 11 уголков от 0,86 до 1,08
, 7 швеллеров „ 0,98 „ 1,25
. 2 зетов . 1,13 , 1,20
, 7 тавров , 0,92 . 1,25
„ 5 двутавров „ 1,16 , 1,44
„ 5 широкопоясковых
двутавров „ 1,20 , 1,47
Более подробные данные и ссылки на литературу можно
найти по этому вопросу в недавно вышедшей в русском пере-
переводе статье Геккелера „Статика упругого тела".
§ 17. Упруго-пластичное кручение призматических стержней по
Надаю
Выше, при рассмотрении вопроса о местных напряжениях,
возле входящих углов поперечного сечения было уже упомя-
упомянуто, что по достижении этими напряжениями предела теку-
текучести их дальнейший рост либо резко замедляется, либо вовсе
прекращается. Материал переходит в этих точках в пластиче-
пластическое состояние и деформируется без заметного дальнейшего
роста соответствующих напряжений.
Допустив, что материал следует закону Гука вплоть до пре-
предела текучести, после же этого деформируется без всякого
дальнейшего роста напряжений, Надай обрисовал весьма ясно
картину того, как распределяются напряжения в поперечном
сечении скручиваемого стержня после частичного перехода
материала стержня в пластическое состояние. Надай основы-
основывался на гипотезе прочности Кулона, согласно которой материал
переходит из упругого состояния в пластичное, когда его наи-
наибольшие скалывающие напряжения достигают некоторой вели-
величины.
Мы видели выше, что'при кручении стержней скалывающее
напряжение в каждой точке поперечного сечения пропорцио-
пропорционально уклону мембраны, изображающей функцию напряжений.
При кручении пластичном, когда во всем поперечном сечении
стержня материал достиг предела текучести, уклон мембраны
должен быть во всех точках поперечного сечения постоянен.
Мембрану эту можно, следовательно, заменить в этих условиях
поверхностью песчаного холмика, насыпанного на площадь по-
поперечного сечения стержня так, чтобы во всех точках этого
холмика уклон его поверхности был равен углу естественного
откоса насыпанного материала.
Если мы будем скручивать вал круглого поперечного сече-
сечения, то при вполне пластичном кручении, т. е. когда напряже-
напряжения во всем сечении стержня достигли предела текучести,
функция напряжений <р изобразится, очевидно, правильным
конусом, представленным на рис. 82.
Для сечения квадратного песчаный холмик приобретает
форму правильной пирамиды, изображенной на рис. 83.
267
Для стержня прямоугольного она приобретает форму крыши
(рис. 84), все скаты которой наклонены к горизонту одинаково.
Вообще, желая для какого-либо контура построить поверх-
поверхность песчаного холмика, изображающего функцию напряжений <р,
\
\
/Л'//[!:'!|Ц\\\\
A Z
Рис. 82.
Нис. 83.
когда весь материал стержня течет, мы должны провести во
всех точках контура к нему нормали и затем поворотом всех
этих нормалей вокруг точки пересече-
пересечения их с контуром поперечного сечения
наклонить их все к плоскости этого кон-
контура одинаково. Геометрическое место
положений, которые при этом примут
все нормали к контуру, и даст нам иско-
искомую поверхность песчаного холмика.
На рис. 85 представлена также по-
поверхность для контура, состоящего из
двух пересекающихся окружностей. Ойа
состоит из двух конусов, пересекаю-
пересекающихся по линии ABC. У одного из
них вершина лежит над основанием
L,-^±~===~=,ld±
Рис. 84.
Рис. 85.
холмика, у другого же—под ним. Проекция каждой из этих вершин
на плоскость.основания холмика совпадает с центрами тех двух
окружностей, которыми ограничены площади поперечного
268
сучения стержня. Отстояние вершин этих конусов от плоскости
основания исследуемого холмика пропорционально радиусу
соответствующей окружности. Каждая из горизонталей рас-
рассматриваемого холмика состоит из дуг двух окружностей, из
которых одна кверху расширяется, другая сужается.
Поверхностью песчаного холмика функция напряжений изо-
изображается тогда, когда весь материал стержня течет, т. е.
когда деформация стержня становится вполне пластичной.
Удвоенный объем этого песчаного холмика дает нам представ-
представление о том предельном скручивающем моменте, который стер-
стержень может воспринять, если величина наибольших скалываю-
скалывающих напряжений ограничена в стержне пределом текучести
его материала.
Посмотрим, как меняет свой вид поверхность, изображаю-
изображающая функцию напряжений при постоянном увеличении скру-
скручивающего момента.
Если скручивающий момент достаточно мал, а сечение резких
входящих углов не имеет, то ни в одной из точек поперечного
сечения стержня напряжения не достигают предела текучести
материала. Функция напряжений изображается в этих условиях
поверхностью равномерно натянутой мембраны, прогиб кото-
которой при постепенном увеличении угла закручивания постепенно
растет.
При некотором значении скручивающего момента наибольшее
напряжение в стержне достигает предела текучести. При этой
нагрузке мембрана Прандтля касается поверхности песчаного
холмика Надая. Сначала это имеет место лишь в одной точке.
При дальнейшем росте нагрузки область, в которой напряже-
напряжение достигает предела текучести, постепенно расширяется.
Мембрана Прандтля поэтому постепенно прилипает к поверх-
поверхности песчаного холмика Надая все большей и большей частью
своей полной поверхности. Наконец, при некоторой нагрузке
мембрана Прандтля прижимается к холмику Надая всей своей
ловерхностью. При этой нагрузке напряжения во всем сечении
стержня достигают предела текучести.
Мы могли бы наблюдать вышеописанное постепенное ви-
видоизменение формы поверхности, изображающей функцию на-
напряжений if, если бы мы изготовили поверхность Надая из
какого-либо твердого прозрачного материала и, затянув ее
основание резиновой пленкой, натянутой достаточно сильно
и равномерно, увеличивали бы постепенно нагрузку на эту
пленку. Постепенно все большая часть мембраны прижима-
прижималась бы к поверхности постоянного уклона Надая, причем,
очевидно, всего позже будут затянуты резиновой пленкой самые
глубокие части этой последней поверхности, т. е. части ее,
примыкающие к линиям, где поверхность Надая претерпевает
излом. В точках, соответствующих этим линиям, напряжения
материала должны достигать поэтому предела текучести в са-
самую последнюю очередь. Специально поставленными опытами
Надай показал, что это на самом деле так и есть.
269
Опыты эти были поставлены следующим образом. Из призма-
призматического стержня, подвергнутого предварительно действию
достаточно большого скручивающего момента, вырезалась часть
Рис. 86.
двумя сечениями, нормальными к его оси. Сечения эти после
надлежащей их полировки подвергались протравке таким соста-
составом, при котором точки, где кристаллическая структура образца
270
подверглась наибольшим остаточным деформациям, темнеют.
На поверхности шлифа получался ряд темных пятен, которые
при постепенном увеличении угла предварительного закручивания
Рис.- 86.
стержня постепенно захватывали все большую и большую часть
площади поперечного сечения стержня. Весьма знаменательно
было при этом то, что в тех точках поперечного сечения, где
271
по Надаю напряжения должны достигать пластического состоя-
состояния в последнюю очередь, на шлифе неизменно получатся
светлые полосы, свидетельствующие о том, что в этих местах
материал остаточных деформаций не получил. Рис. 86 дает об
этом наглядное представление.
На рис. 86 параллельно с фотографиями нескольких шлифов,
опубликованных Надаем, приведены рядом рисунки, показыва-
показывающие те точки поперечного сечения стержня, над которыми
располагаются при данном очертании его поперечного сечения
изломы поверхности песчаного холмика. Совпадение соответ-
соответствующих линий обеих фигур, относящихся к каждому от-
отдельному поперечному сечению, выявляется весьма отчетливо и
свидетельствует о том, что вышеизложенная весьма простая
и наглядная приближенная теория Надая основана на правиль-
правильных предпосылках.
§ 18. Кручение круглых валов переменного
диаметра. Решение Майчела
До сих пор мы занимались исключительно кручением приз-
призматических стержней. Перейдем теперь к весьма важному
вопросу о кручении круглых валов переменного диаметра.
Попробуем применить к решению этой задачи полуобратный
метод Сен-Венана.
Мы видели в § 4 главы V, что при кручении круглого вала
постоянного сечения его поперечные сечения остаются плоскими,
причем аксиальные перемещения отдельных точек вала равны
нулю. Перемещения радиальные, т. е. направленные по радиусу-
вектору, соединяющему данную точку с осью вала, при этом также
отсутствуют. Перемещения всех точек круглого вала постоян-
постоянного сечения направлены (при условии надлежащей его загруз-
загрузки) перпендикулярно к плоскостям, проходящим через данную
точку и ось вала, и пропорциональны отстоянию от оси вра-
вращения. Посмотрим нельзя ли получить решение задачи о
кручении круглого непризматического вала, допустив, что
в нем отлично от нуля также лишь перемещение, направленное
перпендикулярно к плоскости, соединяющей данную точку вала
с его осью. Будем, однако, считать, что это единственное
отличное от нуля перемещение есть некоторая функция как
от отстояния г от оси oz, так и от координаты г, измеряемой вдоль
¦оси вала.
Совместив ось oz с осью вала, примем что (рис. 87 а)
и = — р — = — р sin 9,
v = Р f = pcosO,
E5)
272
де р есть тангенциальное перемещение рассматриваемой точки,
являющееся некоторой функцией как от г, так и от г.
Чтобы из общего решения однородных уравнений Ламе
(см. § 7 главы IV)
0О),
ГГ^ Tz
1 +У
5o), \ (a)
0о)
а)
Рис. 87.
получить решение вида E5), достаточно положить в равенствах (а)
02 = Р у = ?
03= 00 = 0,
где
r, z).
(б)
(в)
Известно .однако, что функции 0,- в общем решении урав-
уравнений Ламе (а) должны удовлетворять уравнению Лапласа
У8 0i = 0.
Поэтому функция р, входящая в равенство E5), и (а) должна
быть подобрана так, чтобы было
II. Ф. Папкович, Теория упругости—436—18
273
где
V2( ) =
) , д*( )
JL dL)
r dr
Это будет иметь место, если р удовлетворяет уравнению
\ д
г дг
E6)
Посмотрим, к каким значениям компонентов напряжения
приводит нас решение E5), E6). Для этого найдем предвари-
предварительно компоненты деформации. Согласно уравнений Коши
перемещениям E5) соответствуют деформации
- _ ху (
- 7 \
_ 1 Л
г Ч
= -l> (?!?__.!
r2
= 0,
Л"
r
\dr r
dp
dz '
p,
г х
(г)
г d2 •
Обозначив через егг линейную деформацию в направлении
радиуса-вектора г, через ет же линейную деформацию в направ-
направлении, перпендикулярном к г и г, и принимая во внимание, что
благодаря независимости р от 6 обе эти деформации должны
быть независимы от этого аргумента, можно видеть, что
е„ = е.
¦=г; у=0 ">
= 0.
уу I х=г\ у=0
Таким образом, все три линейные деформации егг, ет и ezz,
соответствующие цилиндрической системе координат, а следо-
следовательно, и все три соответствующие этим направлениям нор-
нормальных напряжения Rr, ^e и Zz равны в рассматриваемом
напряженном состоянии нулю во всех точках тела.
Обращаясь к разысканию компонентов сдвига, соответствую-
соответствующих направлениям г, rdb и z, можно на основании (г) видеть, что
е —
= д?
1 dz
, = 0.
г)'
dz\r
274
Отсюда следует, что соответствующие этим направлениям
скалывающие напряжения суть
Zr = 0.
(д)
Таким образом, из всех шести компонентов напряжения Rr,
Йе, Zr, Rb, 0Z и Zr только два скалывающие напряжения, дей-
действующих в меридианальных сечениях рассматриваемого вала,
отличны при рассматриваемой деформации от нуля. Эти два
скалывающие напряжения связаны равенствами (д) с частными
производными функции —, которая в силу E6) должна удовлет-
удовлетворять уравнению
показывающему, что величины г5 ^ (-М и — г3 -^ (~\ можно
рассматривать как частные производные по г и г от одной и
той же функции. Обозначив эту функцию через— -^ <?, можем
написать
дг
1^?
G dz
*:- (*¦) = i
(ж)
Функция ю, конечно, не может быть произвольной. Исклю-
Исключив из (ж) величину—, можно видеть, что if должно удовлет-
удовлетворять уравнению
дг \г3 дг*) dz \r3 dz '1 ^ '
Исследуемое решение дает, таким образом, для компонентов
напряжения, соответствующих цилиндрической системе коор-
координат
Rr = Не = Zz = /?2 = 0,
dz '
\ да
E8)
где ip удовлетворяет уравнению E7).
Граничные условия, которым функция ip должна удовлетво-
удовлетворять на поверхности тела, должны определяться напряжениями,
приложенными к поверхности тела.
275
Если боковая поверхность вала от внешней нагрузки сво-
свободна, то равнодействующая напряжений #е и Ze, действующих
в меридианальных сечениях вала, должна не пересекать кон-
контура боковой поверхности вала. Между напряжениями Rb и Zo
и производными — и — [s измеряется вдоль периметра мери-
OS OS
ди анального сечения вала (рис. 876)] должно существовать поэтому
соотношение
что в силу E8) равносильно условию
дф dz
dzds ' drbs~dl~°- ^59)
Таким образом, если боковая поверхность рассматриваемого
вала от внешней нагрузки свободна, то функция <р должна оста-
оставаться на всей этой боковой поверхности вала постоянной.
Уравнением E7) и граничным условием
tp = const E9')
функция <р не определяется вполне. Чтобы функция if была
вполне определена, надо задать для нее некоторые граничные
условия еще на обоих торцевых сечениях вала.
В обоих этих сечениях нам должны быть известны напря-
напряжения Й„. Так как последние связаны с -^ зависимостью
2=г2н--> F0)
то мы можем в обоих торцевых сечениях вала предполагать
производную г- известною. Интегрированием по г мы можем,
следовательно, определить в каждом из этих сечений и саму
функцию tp. Последняя определяется из F0) с точностью до
постоянного произвольного слагаемого, на напряжения в иссле-
исследуемом теле, как видно из формул E8), не влияющего. Отбро-
Отбросив это слагаемое, мы можем для обоих торцевых сечений вала
определить (р по формуле
" xZHdr, FC)
позволяющей, очевидно, разыскать и то значение функции <s,
которое <р должна принимать на боковой поверхности вала,
свободной от напряжений.
Уравнением E8) и граничными условиями E9') F0') функция
напряжения tp определяется вполне. Разыскав <р, можем затем
искомые напряжения Rb и Zfl определить по формулам E8).
Решение это было иным путем найдено Майчелом. Путем
надлежащих изменений граничных условий оно может быть
276
применено не только к задаче о разыскании напряжений, возни-
возникающих в круглом валу переменного сечения, боковая поверх-
поверхность которого от напряжений свободна, но также и к задаче
о кручении любого тела враще-
вращения, если нагрузка последнего со-
состоит исключительно из скалываю-
скалывающих напряжений, стремящихся
вращать это тело вокруг его
оси, и не зависящих от цилинд-
цилиндрической координаты 0, отсчи-
отсчитываемой вокруг этой оси.
Действительно, пусть (рис. 88)
скалывающее напряжение, прило-
приложенное в какой-либо точке боко-
боковой поверхности тела по направле-
направлению, нормальному к плоскости rz,
проходящей через эту точку, и
не зависящее от Н, есть Т. Соот-
Соответствующее напряжение, равное напряжению Т, должно,
очевидно, действовать в плоскости упомянутого только-что
сечения 9 = const и должно быть направлено нормально к кон-
контуру этой поверхности. Проектируя напряжения Rb и Z9 на на-
направление нормали v к этому контуру, можно видеть, что по
сказанному в каждой точке контура должно быть
dz
дг _ т
что, однако, в силу E8) равносильно условию
d<s dz
dz ' ds
d<? dr
dr ds
ds
F1)
Интегрируя F1) по периметру меридианального сечения от
точки А, пересечения его с осью oz можно найти <р для каждой
точки контура сечения. Очевидно, можно полагать
Tds.
F1')
Сумма всех элементарных моментов rTr.rds, вращающих тело
вокруг оси oz, должна быть для всего тела равна нулю.
Поэтому обойдя весь периметр меридианального сечения, мы
должны притти в точке, откуда начато интегрирование, к ис-
исходному значению функции <о, т. е. получить
<ь = 0.
Равенством F1') значение функции <р определяется для всех
точек контура меридианального сечения рассматриваемого тела.
Значениями <р на контуре вместе с уравнением E7) функция у
определяется вполне.
277
Таким образом, вопрос о расчете всякого тела вращения на
действие скручивающих это тело усилий, приложенных к нему
симметрично относительно его оси, сводится по Майчелу
к нахождению такого решения уравнения E7), которое прини-
принимает на границах меридианального сечения тела значения, опре-
определяемые равенством FГ).
§ 19. Аналогия Якобсена
Сопоставляя равенства E8) с равенствами (д) § 18, можно
видеть, что
_ 1 dtp __
г2 dv дз J
где функция Ь = -у- удовлетворяет уравнению
F2)
F3)
Рис. 89.
Уравнению этому удовлетворяет1 потенциал стационарного
электрического поля, устанавливающегося в тонкой однородной
пластине, толщина которой t определяется (рис. 89) законом
t = kr\
где k константа.
Нетрудно показать, что во всех точках меридианального
сечения скрученного тела вращения скалывающее напряжение
направлено нормально к изопотенциальным линиям стационарного
электрического поля, изображающего функцию ф.
Действительно, пусть s — какое-либо направление в плоско-
плоскости г, z. Проекция на это направление равнодействующей Тн
напряжений RH и Zlt, очевидно, есть
1 См. ниже § 6 главы XIII.
278
ак что в силу F2)
Т„8) = г%ш + г?- = r?. F4)
Поэтому, если при перемещении вдоль направления s функ-
функция б своей величины не изменяет, то
cos(Te>s) = 0
и, следовательно, Т направлено нормально к s. Линиями, при
перемещении вдоль которых 6 не меняется, являются изопо-
тенциальные линии того стационарного электрического поля,
которое изображает нам функцию 6. Поэтому из условия, что
cos (Ге, s) = 0 при -^ = 0, непосредственно следует высказанное
выше положение о нормальности изопотенциальных линий упо-
упомянутого только что поля и скалывающего напряжения Тг
В тех местах, где к боковой поверхности тела скалывающих
напряжений не приложено, контур меридианального сечения
тела должен быть одной из линий тока электрического поля,
изображающего функцию <Ъ, входящую в F2). По симметрии
ось вращения должна быть также одной из линий тока.
Можно поэтому формулировать следующие положения.
1. Функцию ty, входящую в равенства F2), можно изобразить
потенциалом электрического поля, устанавливающегося в одно-
однородной тонкой пластине, толщина которой пропорциональна
кубу отстояния от оси oz.
2. Во всех точках меридианального сечения скрученного
тела вращения скалывающие напряжения направлены перпен-
перпендикулярно к изопотенциальным линиям упомянутого электри-
электрического поля.
3. Во всех тех точках контура,, где к телу внешних усилий
не приложено, линии тока упомянутого электрического поля
не пересекают контура. Последний является, следовательно,
во всех таких местах одной из линий тока этого поля.
4. По симметрии ось вращения тела должна быть также
одной из линий тока.
5. Там, где на поверхности тела к нему приложены скалы-
скалывающие напряжения, изопотенциальные линии вышеуказанного
электрического поля не нормальны к контуру продольного.
сечения тела и производная 6 по нормали к контуру v связана
с напряжением Тй зависимостью
^ = -^7f/cos(r9,v). F5)
Вышесказанные положения показывают, что изучить скалы-
скалывающее напряжение в круглом валу переменного сечения можно
следующим образом: надо взять пластину, толщина которой t
во всех ее точках пропорциональна кубу ординаты, измеряемой
вдоль ширины полосы, и вырезать из этой пластины фигуру,
279
соответствующую контуру продольного сечения рассматривае-
рассматриваемого вала, притом так, чтобы прямая, где t — 0, совпадала
с осью продольного сечения исследуемого тела. После этого
следует оба конца изготовленной таким образом пластины при-
присоединить к двум шинам, наэлектризованным различно. В этой
полосе будет создан ток, одна из линий которого совпадает
с осью исследуемого сечения, другая же—с его контуром.
Измерив в различных точках этой полосы потенциал элек-
электрического поля, в ней установившегося, можно построить для
исследуемой полосы сетку изопотенциальных линий и нормаль-
нормальных к ним линий тока.
Во всех точках продольного сечения исследуемого тела
скалывающее напряжение Г9 будет направлено по касательной
к линии тока, проходящей через данную точку. Величина этого
напряжения будет определяться зависимостью
где s измеряется вдоль соответствующей линии тока. Th будет,
следовательно, пропорционально густоте изопотенциальных
линий в данной точке.
Этот способ решения рассматриваемой задачи был предложен
Якобсеяом. Он может быть применим не только к изучению
кручения круглых валов переменного диаметра, но вообще
к исследованию кручения тела вращения произвольной формы
при условии, конечно, что на контуре соответствующей полосы
напряжение электрического поля будет установлено в соответ-
соответствии с формулою F4).
§ 20. Имеющиеся частные решения в области кручения тел
вращения
В области задачи, рассмотренной нами в предыдущих двух
параграфах, различными авторами к настоящему времени полу-
получен уже ряд частных решений, относящихся к телам различных
очертаний. Часть этих решений является решениями строгими,
другие получены путем численного приближенного интегриро-
интегрирования уравнения F3), и, наконец, ряд решений получен экспе-
экспериментально путем применения аналогии § 19. Перечень этих
работ можно найти на стр. 233 — 234 третьего тома энциклопе-
энциклопедии Handbuch fiir Physikalische und Technische Physik. Довольно
полный обзор их, доведенный до 1922 г., дает статья Пёшля
в Z. A. M. M., Bd. 2, S. 137-147, 1922.
Некоторые дальнейшие подробности вопроса можно найти
в книге „Сила и деформация" А. и Л. Феппль (см. § 76) и
работах Р. Зонтага1, В. Арндта2 и Виллерса 3.
1Z. A M. M., Bd. 9, S. 1—22, 1929.
2 W. Arndt, «Die Torsion von Wellen mit axensymmetrischen Bohrungen und
Hohlraymen", Gottingen, 1916.
3 Zeitschrift fur Math, und Physik, Bd. 55, S. 225, 1907.
280
Не вдаваясь здесь в подробный перечень имеющихся реше-
решений, отметим лишь представляющие наибольший практический
интерес.
Положив
F6)
получим на основании F2)
Я, = -3CGr2(z2 + r2)~M
Линиями <|* = const являются в рассматриваемом случае окруж-
окружности типа г2 -)- г2 = const. Скалывающее напряжение Тц , состав-
составляющими которого в плоскости меридианальных сечений яв-
являются напряжения /?е и Л, направлено, следовательно, во
всех точках этого сечения к началу координат. Решение F6),
найденное А. Феппль, относится к кручению усеченного конуса,
образующие которого проходят через начало координат.
Так как <]> связано с перемещением р нормальным к меридиа-
нальным" сечениям этого конуса [см. формулы (д), F2) и E8)]
зависимостью
то лучи, проведенные в плоскости поперечного сечения из на-
начала координат к разным точкам поверхности рассматриваемого
тела, при кручении последнего искривляются.
Связь между постоянной С в решении F6) и величиной
скручивающего момента может быть найдена из условия
Zhr2dr, F7)
о
где интегрирование должно быть распространено на все те
значения г, в которых эта величина меняется в рассматривае-
рассматриваемом сечении вала (при данном z).
Для круглого вала постоянного сечения, скручивание кото-
которого создается приложенными к его торцам усилиями, являю-
являющимися произвольной функцией от г, функция ф может
быть найдена в форме ряда
Ф = S № И sina«z + Нь (r) cos
к
где ак — реальные или мнимые константы, Fu{г) и Ик{г)—неко-
Ик{г)—некоторые функции от г.
Решением этим занимались Кри, Файлон и Тимпе1. Оно
ХС. Chree, Trans. Cambridge Phil. Soc, p. .225 — 269, 1885. L. A. Filon, Phil.
Trans. Royal. Soc London, A Series,' vol. 198, p. 147—235, 1902. A. Timpe, Math.
Annalen, Bd. 71, S. 480, 1911.
281
позволяет также исследовать кручение круглого цилиндра,
скручиваемого усилиями, приложенными не к торцам, а к бо-
боковой поверхности вблизи торцов.
Имеются также достаточно простые решения для кручения:
параболоида вращения, эллипсоида вращения и однополого
гиперболоида вращения. Последнее ре-
решение, полученное Меланом1, интерес-
интересно тем, что дает в известной мере пред-
представление о величине напряжений в
шейках относительна, глубоких заточек
на теле круглого скрученного вала.
В сечении по шейк скрученного гипер-
гиперболоида вращения
где А есть некоторая константа, а с
(рис. 90) есть половина расстояния меж-
между фокусами гиперболы, ограничиваю-
рис до щей поперечное сечение рассматривае-
рассматриваемого гиперболоида вращения.
Чем ближе фокус этой гиперболы к поверхности вала, тем
больше |вг|шах и тем больше отличается зависимость 6Z— /(r) от
линейной, имеющей место у правильного цилиндра. Выражение
для скручивающего момента можно и в этом случае получить
путем интегрирования вели-
величины г2 8г по всей площади
поперечного сечения стержня.
Из результатов, получен-
полученных экспериментально с по-
помощью аналогии Якобсена,
наибольшего внимания заслу-
заслуживает решение, относящееся рис Э1
к влиянию радиуса закругле-
закругления при переходе от одного сечения вала к другому (рис. 91).
Если D есть больший из диаметров вала в месте сопряжения,
d — меньший из них, ар — радиус закругления в месте сопря-
сопряжений, то возле выточки наибольшее скалывающее напряжение
определяется не формулою
W '
где W = -— и есть момент сопротивления вала меньшего диа-
диаметра, а формулою
^ <_ м
JE. Melan, Technische Blatter. Prag. 1920-
282
где k есть коэфициент концентрации напряжений, определяемый
в функции от -j и -~ кривыми рис. 92.
В заключение приведенного краткого обзора следует упомя-
упомянуть об одном неверном решении задачи о коучении тел враще-
вращения. П. Дюпон1 сделал довольно интересную попытку привести
2,0
in
12
\
—
i
i
Щ
////
/
7
у*
/\
1
2-?=0,025
i,2 14
2,0 2.2
D
d
Рис. 92.
решение задачи о кручении тела вращения к вопросу о разы-
разыскании потенциала вихря вектора перемещения и показал в част-
частности, что этот потенциал удовлетворяет в упомянутой задаче
уравнению Лапласа. При написании граничных условий, связы-
связывающих на поверхности тела этот потенциал с приложенными
к телу внешними усилиями, Дюпон по недосмотру пропустил
некоторые члены. Предложенная им форма решения задачи
оказалась поэтому неверной. Об этой ошибке не стоило бы
упоминать, если бы она не была сделана на страницах бюллете-
бюллетеней французского общества корабельных инженеров, довольно
популярных среди наших кораблестроителей.
§ 21. Кручение призматических стержней, торцевые
сечения которых остаются плоскими
Согласно теории Сен-Венана только у круглых валов попе-
поперечные сечения остаются при кручении плоскими. Если бы мы,
путем прикрепления концов вала к абсолютно недеформируемым
плитам, устранили в торцевых сечениях скручиваемого стержня
аксиальные перемещения w, не изменяя величины ни главного
вектора, ни главного момента усилий, приложенных к каждому
из этих сечений, то возле концов стержня в нем возникло бы
напряженное состояние, значительно более сложное, чем со-
соответствующее теории Сен-Венана, и только по мере удаления
гР. Dupont Bulletins de Г Association Technique Maritime et Aeronautique,
№ 35 p. 325, 1931.
283
от концов стержня, напряжения в нем все более и более при-
приближались бы к соответствующим теории Сен-Венана.
Вопрос о величине и характере тех местных напряжений, ко-
которые возникают вблизи торцевых сечений скрученного стер»ня,
если последние вынуждаются оставаться плоскими, был рас-
рассмотрен А. Фепплем применительно к стержням эллиптического
сечения и С. П. Тимошенко применительно к стержням прямо-
прямоугольным и двутавровым. Полученные ими для упомянутых
стержней приближенные решения изложены вкратце в соответ-
соответствующих параграфах курса „Теория упругости" С. П. Тимо-
Тимошенко и книги „Сила и деформация" А. и Л. Фепплей.
Более строгое решение для стержня произвольного очерта-
очертания можно вывести из общего решения уравнений Ламе, рас-<
смотренного в § 5 и 7 главы IV. Не имея возможности разобрать
здесь этот вопрос подробно, наметим в общих чертах один из
возможных путей решения задачи.
Чтобы устранить в торцевых сечениях призматического
стержня аксиальные перемещения w, не меняя ни величины
перемещений и и v в этих сечениях, ни величины напряже-
напряжений на боковой поверхности стержня, надо прибавить к на-
напряженному состоянию, соответствующему Сен-Венановой тео-
теории кручения призматических стержней, некоторое такое, при
котором в торцевых сечениях стержня было бы
w = — w (х, у), J
F9)
w ( ) J
на боковой же поверхности стержня, где v направление внеш-
внешней нормали к этой поверхности, все три составляющие напря-
напряжения были бы равны нулю:
G0)
При этом, согласно сказанному в § 1, функция w (х, у) должна
считаться удовлетворяющей диференциальному уравнению
r?2w = o G1)
и граничному условию
Xz cos (*, v) + Yz cos (у, v) =
__n(dw dx.dw ду ду йп_п
или, что то же, условию
dw д(л2 + у2)
Tv X ds '
где s измеряется по касательной к контуру, как указано в § 1.
Решение указанного только что типа можно получить из
неоднократно использованного уже нами общего решения од-
284
яородиых уравнений Ламе.
" = 01 - 4A-») Ш
4A L
(см. § 7 гл. IV). Положив в последнем
0з = <S^*lPk(*, JO*
0о).
0о),
(а)
00= 01=02=0,
(б)
(в)
будем иметь
W =
G3)
так что в сечении, где 2 = 0, будет
а = v — 0,
3 — 4а с
G4)
При этом в силу условия V203 = 0 ф у н к ц и и (ft {х, у) нуж-
нужно будет подчинить уравнению
V2 <Pt (x, у) = — а|<р* {х, у), G5)
которым определяются формы главных колеба-
колебаний бесконечно гибкой, равномерно натянутой
однородной мембраны.
Если мы подчиним функции <fk (x, у) помимо уравнения G5)
еще условию, чтобы все Чк(х, у) обращались в нуль на неко-
некотором контуре Q, охватывающем контур поперечного сечеиия
рассматриваемого стержня ш, то функции эти будут, как из-
известно из общей теорий малых колебаний, обладать замеча-
замечательным свойством ортогональности, аналитически выражаю-
выражающемся в том, что при интегрировании по всей площади внутри
контура, иа котором функции <tk(x, у) удовлетворяют условию
'ik(x,y) = 0, G6)
285
будет иметь место
fn{x,y)<tn(x,y)dQ = O G7)
о
при всяком к, не равном п.
Отмеченное только-что свойство форм <{к(х,у) главных сво-
свободных колебаний рассматриваемой нами мембраны позволяет
разложить в пределах контура 2 всякую заданную функцию
в ряды вида G4).
Действительно, умножив обе части равенства G4) на ук(х, у)
и проинтегрировав затем результат по всему контуру Q, на
котором равенства G6) имеют место, будем иметь в силу G7)
Jw<pn(x,y)dQ
4 — 4а ^,77>ч
]
а
Все коэфициенты ряда G3) можно таким образом вычислить,
если в пределах контура Q функция w известна.
Формулой G4) можно, однако, пользоваться и в тех слу-
случаях, если w нам задано в пределах не контура Й, а некото-
некоторого меньшего, чем 2, контура ш. Задавая w в пределах кольца
между Й и ш произвольно, мы должны, однако, помнить, что
получаемое нами решение может оказаться вне контура ш не
непрерывным, так что пользоваться им можно будет лишь в пре-
пределах контура ш, включая и точки самого этого контура, но не
вне контура со.
Приняв за контур со контур поперечного сечения рассматри-
рассматриваемого стержня, можем с помощью решения G3) уничтожить
осевые перемещеная w в любом из торцевых сечений стержня.
Если рассматриваемый стержень достаточно длинен, то на про-
противоположном конце его w при этом не изменяется. На боко-
боковой поверхности стержня при этом, однако, появятся неко-
некоторые напряжения, которые на ней, если она от нагрузки
свободна, быть не должны.
Решение, позволяющее снять с боковой поверхности беско-
бесконечно длинного стержня нагрузку, приложенную возле торца,
совпадающего с началом координат, можно получить из реше-
решения (а), полагая в последнем
0г = JA (а) * (а, х,у) Sin
и
03 = 1 В (а) ф (а, X, у) Sin o.Z do.,
о
со
0о = Г С (я) х (а, X, у) Sin o.z da,
о
где А(л), В(о.) и С(а) — произвольные функции от а.
286
При этом выборе функций 0,- будем иметь
ОО
и = I А (а)'* (а, х, у) Sin az do. —
о
(оо
X JA{a) ф (а, Х,у) Sin az tfa +
о
оо
; I В (aL (a, x,y) sin az da.-\-
(a)x((L,x,y)sinzzda);
oo
V = I 5 (a) <Ji (а, л:, у) sin az rfa —
о
(oo
x )А(а)ч (a, x, y) sin аг da +
о
1 d
оо
-\-у j В (a) <L (а, л:, у) sin az rfa
JC (а)х (а, л;, у) sin az rfa |;
sin
оо
у I B(a.)<b(a,x,y)
оо
G8)
что удовлетворяет условиям при z =
й = 0,
Добавляя решение G8) к сумме решений типа, полученного Сен-
Венаноми типа G3), мы не искажаем, следовательно, величины
1 Предполагается, что при z = 0 и и v сстаются непрерывными. В про-
противном случае за значения и и v в сечении 2=0 надо принять их значения
в непосредственной близости к этому сечеиию, и решение усложняется.
287
перемещений и и v на рассматриваемом торце стержня, но изменя-
изменяем величину аксиального перемещения w в этом его сечении. По
этому, освобождая боковую поверхность стержня от напряжений
с помощью решения G8), мы нарушаем условие w — 0 при z = О,
и нам надо вновь воспользоваться решением G3) для уничто-
уничтожения w при z = О, затем вновь освободить боковую поверх-
поверхность от напряжений с помощью решений G8) и т. д.
Процесс этот, если он окажется сходящимся, можно
заменить совместным разысканием функции Чк(х,у), &{*)> В(а)>
С(<х), у (л, х,у), ф(а, х,у) и у (а, х,у) из условия, чтобы сумма ре-
решения G3) и G8) удовлетворяла граничным условиям F9) и G0).
Функции (р(а,х,у), ф(а, х,у) и х(^,х,у) должны при этом удов-
удовлетворять уравнениям
я
G9)
V2 х («, х, у) - а2у. (а, х, у) = 0,
непосредственно вытекающим из условий
V20i= V202 = V20O = O.
Нетрудно видеть, что уравнением G9) определяется уп-
упругая поверхность бесконечно гибкой, равно-
равномерно натянутой мембраны, лежащей на сплош-
сплошном упругом основании, восстанавливающая ре-
реакция которого в каждой точке мембраны пропор-
пропорциональна прогиби мембраны в данной точке.
Так как в уравнениях G9) свободных членов нет, то чтобы
представить функции (р(а, х, у), А(а, х,у) и i(a.,x,y) поверхностью
упомянутой мембраны, надо, не прикладывая к этой мембране
никакой иной поперечной нагрузки кроме реакции упомянутого
основания, распорядиться должным образом контурными зна-
значениями функций у{л,х,у), <Ь(а,х,у) и уЛл,х,у), т. е. натянуть
рассматриваемые мембраны на соответствующим образом по-
подобранные неплоские контуры, имеющие в плане очертание
сечения рассматриваемого стержня.
Если стержень имеет конечную длину /, то вместо решения
G3) можно пользоваться решением, вытекающим из (а), если
в последнем положить вместо (б) и (в)
0 ( = 2 <Pt {х, у) {Аы ch akz + Bki sh <xkz}, (80)
к
где Чк(,х,У) имеют тот же смысл, что и в решении G3), вместо
же решения G8), решением, получаемым из (а) путем принятия
0i = ^i(k,x,y)sin~, (81)
к
где 4>; (k, х,у) — произвольные функции, удовлетворяющие урав-
уравнению
<h (k, х, у) - (*;)% (k, х, у) = 0, (82)
288
провисания гибкой, равномерно натянутой мембраны, лежащей
на сплошном упругом основании надлежащим образом подоб-
подобранной равномерной жесткости.
Изложенным методом можно получить, хотя и весьма гро-
громоздкое, но зато вполне строгое и общее решение задачи о
кручении призматического стержня произвольного поперечного
сечения, если торцевые сечения его вынуждены оставаться
плоскими.
В декартовых координатах всего проще должны решаться
при этом задачи для стержней прямоугольного сечения. При
иных формах сечения может оказаться полезным введение кри-
криволинейных координат подобранных так, чтобы уравнение бо-
боковой поверхности стержня выражалось в этих координатах
всего проще. От более подробного рассмотрения этого реше-
решения мы вынуждены здесь воздержаться.
Отметим лишь, что поскольку решение рассмотренного
в настоящем параграфе типа позволяют варьировать напряже-
напряжения на боковой поверхности призматических стержней, они
должны давать нам возможность исследовать кручение этих
стержней под действием любой совокупности усилий, прило-
приложенных к стержню возле его концов и в частности исследо-
исследовать его в случае, когда скручивающие моменты создаются
усилиями, приложенными к боковой поверхности, а не к торцам
цилиндра произвольного сечения.
Заслуживают внимания те два обобщения аналогии Праидтля,
которые отмечались выше. Они должны играть важную роль в за-
задаче о деформации призм, произвольным образом нагруженных.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Задача 1. Показать, что если у призматического стержня, ось которого
совпадает с осью oz, компоненты напряжения, отличные от нуля, могут быть
представлены равенствами
д
v — д®-
-~~дх'
причем на контуре поперечного сечения стержня-г^ = 0, то равнодействующие
внутренних усилий, действующих в поперечном сечении стержня, в направле-
направлении оси оу равны нулю
Задача 2. Доказать, что в напряженном состоянии, указанном в преды-
предыдущей задаче, интеграл
JjXzydxdy,
распространенный на всю площадь поперечного сечення стержня, связан с функ-
функцией напряжения о зависимостью
. ydxdy = Fo :"o- ? Ft <?i — jf ? dx dy,
П. <*>. Иапкович, Теория упругости—436—19 289
где f0—площадь внешнего контура сечения стержня,
сг>„—значение функции напряжения на этом контуре,
F- — площадь/-ого внутреннего контура поперечного сечения,
<5>(. — значение функции напряжения на i-ou внутреннем контуре.
Задача 3. Вывести формулу (е) § 6.
Задача 4. Вывести для эллиптического стержня формулу A8)^§ 6_из
уравнений G) § 1.
Задача 5. Выяснить, во сколько раз преувеличнли бы.мы для эллипти-
эллиптического стержня, у которого а:Ь =5, жесткость при кручении, если бы вместо
правильной формулы для С мы вычислили бы эту величину по аналогии
с круглым валом по формуле
Ответ. Приблизительно в 27 раз.
Задача 6. Выяснить, во сколько раз преувеличили бы мы для стержня,
указанного в условиях задачи 5, момент сопротивления при кручении, если
бы по аналогии со стержнем круглым мы вместо правильного для W выра-
выражения воспользовались, для этой величины равенством
Ответ. В 5,2 раза.
Задача 7. Проверить на выдержку цифры таблиц § 7.
Задача 8. Вывести формулы B0), 23), B4) § 9 не из решения, получен-
полученного в § 7, а непосредственно из основных зависимостей Сен-Венановой тео-
теории кручения, принимая в последних у=у(х).
Задача 9 Основываясь на зависимости (н) § 7, составить выражение
для аксиального перемещения w у прямоугольного профиля.
Задача 10. Основываясь на формулах § 9 и 10, подсчитать для профи-
профилей, изображенных на рис. 93, моменты сопротивления W и жесткость при
ч
lib:r
1
Рис. 93.
кручении С и выяснить, какой из этих профилей прочнее и во сколько раз.
Ответ. Для первого из этих профилей С больше, чем для второго, при-
приблизительно в 200 раз.
Моменты сопротивления этих профилей относятся, как 24:1.
Задача 11 Основываясь на решении § 6, построить эпюры, показываю-
показывающие величину и направление скалывающих напряжений, действующих на обоих
диаметрах скрученного стержня, сечеиие которого есть эллипс с отношением
полуосей Ь : а = 2.
Задача 12. Основываясь на решении § 7, построить такие же эпюры,
как в задаче 11, для стержней, сечеиие которых есть прямоугольник с отно-
отношением сторон Ь : а = 1. Ь:а = 2 или Ь:а = 3.
Задача 13. Определить жесткость при кручении и момент сопротив-
сопротивления для руля обтекаемой формы, сечение которого изображено на рис. 94,
считая толщину его стенок во всех местах одинаковой.
290
Пооядок решения Площадь поперечного сечения вычисляем по несколь-
нескольким равноотстоящим ординатам. Длину периметра снимаем непосредственно
с чертежа. После этого заканчиваем расчет по формулам § 10.
Задача 14. Рассчитать иа кру-
кручение 4-связный профиль, изобра-
изображенный иа рис. 95.
Решение. Согласно рис. 95
А = 1300 X 240 = 3,12- 10е
F,= 130) X 600 = 7,80- Ю5
F3= 1300X90 = 1,17-10*
12
ibJJO
2.45
-
I
i
Ш
t
10W0-
9
il
1500,
\
1300
Shoo
13080-
i
•900
13000
1620,
, 13000
12
13000
+ ¦
13000
10
= 4070,
= 3130,
= 1450,
_ 13000 + 1800 13000
Кз~ 12 + 9
Поэтому уравнения (в) § 11 в рассматриваемом случае выписываются так:
3130?! — 1620?2 = 0,40 • 2G т F2,
— 1620?! + 4070?2— 1450?3 = 2G т F2,
— 1450?, + 2720?3 = 0,15 • 2G т F2.
Решение этих уравнений дает
с, = 4,04 • 10~4 • 2G т F2; ?2 = 5,32 • Ю~4 • 2G т F2; ?3 = 3,48 • 10~4 • 2G tF2
и, следовательно,
М = 2 • 2G т F2 {4,04 F, + 5,32 f * + 3,48F3} • 10~4.
Отсюда
С = \GF\ {4,04 • 0,4 + 5,32 + 3,48 • 0,15} = 25,8 QF\ ¦ 10~4.
Наибольшее напряжение в верхнем внешнем контуре
T' = X=W=4i°4'10-2GtF2'
в среднем внешнем контуре
Г2 = ^Р- = —¦ =¦ 4,44 • 10" • 2G т F2,
О2 1,4
291
в нижнем внешнем контуре
Т8 = ¦!*- = Т3о = 2>90 • Х0~4 • 2G i: ^
в верхней перемычке
61,2
0,8
в нижней перемычке
Таким образом, для рассматриваемого профиля
Тшах = 4,44 • 10~" .2GxF2 = 4,44 • 10 2G F2
и, следовательно, для него можно принять
Л_
25.8GFI
где Fz должно быть выражено в см*.
Задача 15. Сравнить в отношении сопротивления кручению профиль,
изображенный на рис. 95, с профилем, полученным из него путем удаления
внутренних перемычек.
Задача 16. Выяснить, какое влияние на сопротивление кручению оказы-
оказывает у профиля, изсбраженного на рис. 96, удале-
удаление его диагональных перемычек.
Ответ. Если толщина внешнего контура всю-
всюду одинакова, то диагональная перемычка никакого
влияния ни на С ни на W не имеет.
Задача 17. Вывести для трехгранной равно-
бокой призмы формулы (з), D0), D1) и D2) § 12.
Задача 18. Построить для трехгранной рав-
равносторонней призмы эпюр, изображающий величину
и направление скалывающих напряжений, дейст-
действующих в различных точках одной из трех
— с »-i высот треугольника, ограничивающего поперечное
Рис. 96. сечение этой призмы.
Задача 19. Составить для стержня эллипти-
эллиптического очертания уравнение геометрических мест тех точек поперечного
сечения, для которых
Тг =
Y* = const.
Задача 20. Найти кривые Т = const для стержня, поперечное сечеиие
которого есть равносторонний треугольник.
Зачача 21. Выяснить какой точностью обладает приближенная формула
40/р ¦
если ее применить к призме, поперечное сечение которой есть правильный
треугольник.
Задача 22. Отвгтить на аналогичный вопрос в отношении двутаврового
профиля, изображенного на рис. 93.
Задача 23. Пользуясь указаниями § 17, выяснить, какой предельный
момент может принять иа себя круглый вал, если предел текучести материала,
из которого вал сделан, есть Т.
292
Ответ.
М,
пред '
Задача 24. Найти предельный момент, который при кручении по
Надаю может воспринять профиль квадратный, сторона которого есть в.
О'пвет.
^пред = у Т'
где Т—предел текучести материала.
Задача 25. Найти предельный момент, который может воспринять
при кручении по Надаю профиль прямоугольный, стороны которого суть
а и 2а.
Ответ.
^ 73
где Т— предел текучести материала стержня.
Задача 26. Пользуясь решением ,Фёппля для кручения конического стерж-
стержня проследить в мерндиаиальном сечеиии этого стержня траектории скалы-
скалывающих напряжений и, счнтая (рис. 97) образующие конуса наклоненными к его
осн под углом 45°, постронть эпюр распределения
скалывающих напряжений по плоскости попе-
поперечных сечений стержня.
Ответ. Искомые траектории суть прямые,
исходящие нз вершины конуса. В сечеиин, где
z = гшах = а, скалывающие напряжения вг опре-
определяются зависимостью
А га
6,=.--
где А — константа.
А
"а*
(/•"Чт")'
При различных частных значениях отношения — множитель
принимает в этом выражении следующие значения:
~ = 0; 0,25 ; 0,50 ; 0,75 ; 1,00
k = 0; 0,215; 0,286; 0,246; 0,177
Табличка эта показывает, что при кручении .рассматриваемого стержня на-
напряжения в2 достигают максимума внутри сечения стержня, а не возле по-
поверхности, как у круглого цилиндра.
Задача 27. Пользуясь решением Мелана проследить, как распределены
скалывающие напряжения в дпейке гиперболоида вращения н составить та-
блнчку для коэфициента к в формуле
W = kd?,
где а есть радиус шейкн, a k— коэфициент, зависящий от отношения вели-
величины а к половине фокусного расстояния гиперболы, которой очерчен иссле-
исследуемый гиперболоид.
293
Задача 28. С помощью решения E7)'и E8) § 18"исследовать возле на-
начала координат напряженное состояние круглого бесконечно длинного вала,
загруженного скалывающими напряжениями вг, равномерно распределенными
иа участке боковой поверхности вала, находящемся между сечением 2 = — а
и z =» + а.
Указание. Искомое решение можно, основываясь иа зависимостях § 18,
иайти в форме интеграла
/ Л (a) A2 Sin а 2 I2(iar)da,
где /2 ( ) — Бесселева функция второго порядка, а А (а) — произвольная функ-
функция параметра а, которой надо распорядиться так, чтобы иа боковой поверх-
поверхности напряжение 6Z (см. формулу 58) принимало заданное значение.
Задача 29 Исследовать, какие напряжения на боковой поверхности
призмы соответствуют каждой из функции (§ 21)
у)
Задача 30. Исследовать решения § 21 применительно к призматическому
стержню прямоугольного сечения.
Задача 31. Для эллиптического стержня постоянного сечения, скручива-
скручиваемого в соответствии с теорией Сен-Веиаиа, иайти осевые перемещения
w (рис. 52).
Задача 32. Основываясь иа зависимостях § 18, исследовать кручение
бесконечно длинного круглого вала, у которого скручивающий момент созда-
создается в торцевых сечениях напряжениями б являющимися произвольной функ-
функцией от г.
Указание. Искомое решение (см. Ляв № 226 В) можно получить, прини-
принимая для функции <р § 18
<? = _L г* + У Akr* e~ak г /2 (ак г),
к
где ак — корни уравнения
h ("*, а) = 0,
а в —внешний радиус вала.
ГЛАВА VIII
ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Основные зависимости Сен-Венановой теории изгиба
призматических консольных балок
Совместим оси ох и оу с главными осями инерции площади
заделанного сечения призматического стержня и допустим, что
к свободному концу его приложена в направлении ох перере-
перерезывающая сила Q. Длину стержня примем равной / (рис. 98).
Тогда в поперечном сечении рас-
рассматриваемого стержня, опреде-
определяемом координатой z, будет дей-
действовать изгибающий момент
М = Q (/ — г). (а)
Следуя полуобратному методу уг
Сен-Венана, допустим, что у рас- рис. ge.
сматриваемого стержня под дей-
действием изгибающего момента (а) из трех компонентов нор-
нормальных напряжений Хх, Уу и Zz только напряжение Zz полу-
получается отличным от нуля,^ напряжения же Хх и Уц равны во
всех точках стержня нулю
Хх = Ув = 0. (б)
Пробуя предугадать возможно большую часть решения,
примем на время, что напряжение Zz связано с изгибающим
моментом М и моментом инерции / площади поперечного се-
сечения относительно оси оу зависимостью
у М 0A —z) , ч
Z, = — — х = у—{—- х, (в)
вытекающей, как известно из курса сопротивления материалов,
из гипотезы плоских сечений. Если нам удастся в предполо-
предположении (б) и (в) получить для стержня, изображенного на рис. 98,
решение, не противоречащее всей совокупности основных зави-
зависимостей теории упругости, мы это решение подвергнем де-
детальному изучению, если же нам такого решения получить не
удастся, нужно будет искать необходимое нам решение как-то
иначе.
295
Если бы мы приняли допущения (б) и (в), то согласно закону
Гука, должны были бы получить
QU — Z)
~-—7 - 4- а
— Е
OU — z)
El
X.
Согласно уравнениям Коши при этом было бы
ди . о U — z) ^
ду
"dz"
»(/-z)
El
М
х.
Попробуем, продолжая угадывать часть решения, распоря-
распорядиться гармоническими функциями 0t в общем решении одно-
однородных уравнений Ламе
l—з) дх
1 д
(Д)
= 0з —
1
так, чтобы равенства (г) имели место.
Нетрудно видеть, что приняв для функций 0,-
01= 03= 00 = 0,
02 = Аху
5. = О, J
(е)
где Л и Б —некоторые константы, мы не нарушим условия
гармоничности функций 0(, и получим для и, v и да частное
решение вида
и, = —
(ж)
296
удовлетворяющее не условиям (г), а условиям
"г- = 0. I
дх I
и*.
(з)
Распоряжаясь в этом решении постоянными А и В, мы мо-
можем привести второе из равенств (з) к виду, тождественному
со вторым из условий (г). Условия, даваемые равенствами (г)
для функций и и 1), при этом соблюдены не будут.
Чтобы удовлетворить последнему из равенств (г) попро-
попробуем сделать функцию 03 отличной от нуля.
Нетрудно видеть, что положив
01 = 02 = 00 = 0,
03^Cxz-\- D(z°- —
(и)
мы, не нарушив условия гармоничности функций 0,- аля и, v
и w, получим на основании (д) частное решение вида1
4A-
'2 = + 2 TT^^j"Dxyz'
(к)
удовлетворяющее опять-таки не условиям (г), а условиям
ду
~dz~
2—2=
2 — 2-
(Л)
Прибавляя к решению (е) решение (и) и распоряжаясь дол-
должным образом постоянными А, В, С и D, можно, очевидно,
удовлетворить одновременно как второму, так и третьему из
условий (г). Сумма решений (е) и (и) будет, однако, удовлетво-
удовлетворять условию
и2)
дх
= 0,
а не первому из условий (г).
297
Чтобы удовлетворить и этому последнему условию, сделаем
отличной от нуля функцию 0!, которую до сих пор мы пола-
полагали равною нулю.
Положив
02 = 03 = 00 = 0,
(м)
где К и L — некоторые константы, мы, очевидно, не нарушим
гармоничности функций 0; и придем для и, v и w к частному
решению вида
*--??-*/.
(н)
удовлетворяющему вместо условий (г) условиям
ди, 1 — 4- ,,,
ду 2A — j) v^
Складывая решения (е), (и) и (н), т. е. принимая
01 = К (л2 —у2) -j- /.z (л2 — j/2),
02 = Аху -f- Bzxy, ¦
(о)
(п)
и распоряжаясь должным образом постоянными А, В, С, D, К
и L, мы можем, очевидно, получить для и, v и w решение,
удовлетворяющее всем трем условиям (г). С этой точки зрения
допущения, сделанные нами при выводе условий (г), совместимы
с основными зависимостями теории упругости. Убедившись
в этом, продолжаем решение.
Пока мы считали функцию 0О равною нулю. Мы можем рас-
распорядиться этой функцией так, чтобы возможно более упро-
упростить выражение для суммы
входящей в выражение (д). Попробуем с помощью 0О исклю-
исключить из выражения
л 0Х + у 02 + г 0з + 0о = Ал3 — Кху* +
+ Lzx3 - Lzxy"- + Axy2 + ВхуЧ +
298
+ Cxz* + Dxz3 — Dxy*z + 0O =
= Kx3 + (A - К) хуг + (В — Z> — ?) x>2-• +
+ Слг2 + D-хг3 + fx3z + 0O
все члены кроме заключающих в себе множители xz2 и xz3.
Для этого достаточно положить
(p)
(B-D-L)(-xy2z+ -*-)+L(~x3z + xz3), '
что, очевидно, удовлетворяет условию гармоничности функции 0О.
При таком выборе функции 0О будем иметь
х 0Х + у 02 + z 0з + 0о = ЗАГХ22 + (А — /Qxz2 + Cxz* +
+ -1 (fi — D — Z) xz3 + Dxz3 +
или, что то же,
Разыскав функции 0,- и х 0г +_y 02 + z 03 + 0O, подставим
их в (д). Это дает
и = (Л" + Z>) (л2 - У) - jTIi-7; | (А + С + 2К) z* +
г» = {А + Вг) xy, | (т)
w = [Сг + D (г2 - j;2)] х - ^±-- [(А + С + 2К) 2xz +
+ (B + 2D + 2L)-x- г2]
и, следовательно,
j
^ = (А + Вг) х,
^ \ (У)
)
299
Равенства (у) будут тождественны равенствам (г), если мы
положим
2L
A =z-
2Ё1'
El
' ti
C~.
2D-.
Ql
ьг
2(l — i) v n
Из последних двух уравнений следует
г— 2Ql
О
А + С + 2К
2 — 2а
В + 2D + 2L
_
El
El ¦
Подставляя все это в выражения (т), находим для трех ком-
компонентов перемещения следующее частное решение уравнений
Ламе, удовлетворяющее всем условиям (г):
1) = а
2EI
Ojl — z)
El
-У2) +
Q
El
Г/22 2»"]
L 2 ~~6_|'
(Ф)
Найденное решение для и, v и w является по смыслу сде-
сделанного вывода одним из тех частных решений уравнений Ламе,
которые совместимы с допущениями, формулированными нами
в виде равенств (б) и (в), но, конечно, не единственным таким
решением. Оно приводит к совершенно определенным выраже-
выражениям для скалывающих напряжений. Последние определяются
в этом решении равенствами
У — —
2Е1
— v2
У
El
(д)
300
и, если контур стержня произволен, как правило, сопряжены
с появлением некоторых скалывающих напряжений на боковой
поверхности стержня.
Чтобы снять эти напряжения с боковой поверхности рас-
рассматриваемого стержня, можно, как мы то уже делали в задаче
о кручении, прибавить к функции 03 произвольную гармониче-
гармоническую функцию от х и у (пусть эта функция есть ф (х, у), а к 0О —
функцию — гЦх, у), которая, очевидно, будет гармонической,
если ty{x, у) — функция гармоническая.
Если одновременно мы прибавим к 0Х член — т yz, а к 02
член + tzx, что, очевидно, также не нарушает условия гармо-
гармоничности функций 0;, то получим вместо (ф) решение
и = - -.yz + -L
¦^ + ы
w = — ^7 /z — -_- + j;1 , x + ф(л;, j;).
A)
По сказанному в предыдущей главе, мы имеем возможность,
распоряжаясь в этом решении A) функцией <|>, варьировать
напряжения иа боковой поверхности стержня и в частности
добиваться их отсутствия на этой поверхности; варьируя же
константу т мы можем менять величииу скручивающего момента,
что в задаче об изгибе равносильно переносу линии действия
перерезывающей силы.
Решение A) можно, следовательно, положить в основу даль-
дальнейших рассуждений. Оно приводит к следующим выражениям
для компонентов напряжения:
Лх = 1 д = Лп = О,
*
¦^'
B)
где, как и в равенствах A), <|) есть функция от л; и у, удовле-
удовлетворяющая уравнению
V2<l>=0. C)
Выражения A), B) и C) являются основными в Сеи-Венаио-
вой теории изгиба призматических стержней. В отличие от пер-
первоисточника зависимости эти выведены нами из общего инте-
интеграла уравнений Ламе.
301
§ 2. Исследование выражений для компонентов напряжений,
полученных в § 1
Как видно из равенств B), компоненты скалывающих напря-
напряжений являются в рассматриваемой задаче функциями только
от х и у, притом не произвольными двумя функциями от х и у,
а выражающимися некоторым определенным образом через одну
произвольную гармоническую функцию <j>. Исключив из двух пос-
последних уравнений группы B) функцию ф с помощью зависимости
C), легко видеть, что в рассматриваемой задаче
дХх dY. Qx
Хх
Ту = Т
чего и следовало ожидать на основании третьего из уравнений
равновесия элементарного параллелепипеда, имея в виду, что
в рассматриваемой задаче
X = Y = Z = О,
Допустив, что в задаче об изгибе, как и в задаче о круче-
кручении
где f—некоторая, пока неизвестная, функция от х и у, будем
на основании D) и (а) иметь
дХ_ <Э2-а Qx
~дх = dxlfy Г' (В)
чему можно удовлетворить, полагая
v дч> Ox-
где f(y) — произвольная функция от одного лишь у.
Если функция /(у) так или иначе выбрана, то функция <f,
вводимая равенствами D) и E), определяет своими производ-
производными напряжения Xz и Yz.
Функцию (р поэтому принято называть в этой задаче функ-
функцией напряжения.
Как видно из B), D) и E) функции (риф связаны зависимостями
4A
d<p /~дф ^ a ¦ О , О
302
показывающими, что в рассматриваемой задаче функция ш должна
удовлетворять уравнению
Для получения граничных условий для функции ср необхо-
необходимо обратиться к рассмотрению напряжений на боковой по-
поверхности рассматриваемого стержня. Если к последней ника-
никаких напряжений не приложено, то на контуре поперечного се-
сечения должно быть
X, = П = Z, = 0, G)
где v—направление нормали к контуру.
Условия G), если их развернуть с помощью уравнений рав-
равновесия элементарного тетраэдра, требуют, чтобы было
Хх cos {х, v) 4- Xs cos (у, v) 4- Xz cos (z, v) = 0,
ysccos(jr,-v) + Yvcos(y, v)+ Kzcos(z, v) = 0, | (e>
Zx COS {X, v) + Zy COS (y, v) -f Z- COS (Z, v) = 0. j
Из этих условий первые два (имея в виду, что на боковой
поверхности призматического стержня cos (г, v) = 0) удо-
удовлетворяются выражениями B) тождественно. Последнему иа
уравнений (е) рассматриваемое напряженное состояние будет
удовлетворять, если мы положим
Xz cos (x, v) 4- К, cos {у, >) = 0. (ж)
Подставим в это уравнение Xz и У- из D) и E) и примем
во внимание, что направляющие косинусы нормали v выража-
выражаются через производные х и v no s, отсчитываемому по каса-
касательной к контуру в сторону кратчайшего поворота оси ох
в положение, занимаемое осью оу, с помощью зависимостей
cos (л;, v) = 4- -s-,
cos (у, v) = —з- ,
\sг ; fis >
уже известных нам из § I главы VII. Ясно, что напряжения на
боковой поверхности рассматриваемого стержня будут отсут-
отсутствовать, только в том случае, если мы положим на контуре
поперечного сечения
ду ds ^ дх ds \ 2/ Jyy>) ds ~U
или, что то же, если мы подчиним на контуре <р условию
С-*2 ,, л ду
303-
Функция /00 в уравнении F) и граничном условии (8) по
смыслу сделанного вывода совершенно произвольна.
Ею можно распоряжаться как угодно, стремясь к макси-
максимальному упрощению граничного условия (8).
Если поперечное сечение стержня ограничено односвязной
областью, контур которой симметричен относительно оси оу,
то, распоряжаясь функцией f(y) так, чтобы во всех точках
контура, где -g— ф 0, было
% 0, (9)
можно привести граничное условие (8) к виду
4 = о- 0°)
В тех случаях, когда контур поперечного сечения стержня
неодносвязен, мы можем распорядиться функцией f(y) по про-
произволу лишь на одном из отдельных контуров поперечного
сечения. Удовлетворив условию (9) на одном из этих контуров,
мы не можем уже распорядиться функцией f(y) на других и,
как правило, на этих других контурах уравнение (9) удовлет-
удовлетворено не будет.
В тех случаях, когда контур, ограничивающий поперечное
сечение стержня, не односвязен или хотя и односвязен, но не
симметричен относительно оси оу, сохранение в решении функ-
функции f(y) не дает поэтому особых упрощений граничного усло-
условия для <р. В этом случае можно положить f(y) равной нулю.
Задача об изгибе призматического стержня силой приложен-
приложенной к контуру, сводится таким образом, как и задача о кру-
кручении, к разысканию некоторой функции напряжения. Послед-
Последняя удовлетворяет в задаче об изгибе уравнению F) и гранич-
граничному условию (8).
Если контур поперечного сечения стержня односвязен, а
функция f(y) так или иначе определена, то уравнением F)
и граничным условием (8) функция <р определяется с точностью
до произвольного постоянного слагаемого, не имеющего ника-
никакого влияния на величину напряжений X, и Yz, как то видно
из D) и E).
Можно поэтому считать, что если сечение исследуемого
стержня ограничено односвязной областью, то функция напря-
напряжений if определяется уравнением F) и граничным условием (8)
вполне.
Если поперечное сечение стержня ограничено областью не-
одиосвязной, то в дополнение к условиям (8), которые должны
быть соблюдены на каждом отдельном контуре, ограничиваю-
ограничивающем сечение стержня, необходимо подчинить функцию у еще
некоторым дополнительным условиям, вытекающим из одно-
однозначности перемещений и, следовательно, из условия однознач-
однозначности функции ф, входящей, как видно из A), в состав анали-
304
тического выражения для аксиального перемещения w. Эти
дополнительные условия будут нами подробно рассмотрены
ниже в § 4.
Зависимости D), E), F) и (8), являющиеся основными ре-
результатами настоящего параграфа, были в Сен-Венановой тео-
теории изгиба получены другим методом С. П. Тимошенко1.
§ 3. Другой вывод основных зависимостей предыдущих двух
параграфов
В предыдущих двух параграфах основные зависимости Сен-
Венановой теории изгиба были выведены, исходя из общего
решения однородных уравнений Ламе. Это дало нам возмож-
возможность получить, правда, путем рассуждений, которые могут
показаться искусственными, сразу выражение для перемеще-
перемещений и, V и w, соответствующих этой задаче. Все полученные
выше зависимости можно вывести, однако, и методом непо-
непосредственного определения напряжений. Так как этот послед-
последний путь их получения может представляться более естествен-
естественным в данной задаче, то мы его и рассмотрим раньше, чем
перейти к дальнейшему анализу решения, полученного выше.
Будем в основном придерживаться при этом схемы решения,
предложенной С. П. Тимошенко. *
Предположим, что невесомый призматический стержень, за-
закрепленный в плоскости хоу, изгибается усилиями, приложен-
приложенными к его свободному концу. Пусть усилия эти (рис. 93) ста-
статически эквивалентны силе Q, направленной вдоль одной из
главных осей инерции площади поперечного сечения стержня,
за каковую при^м ось ох. Пусть на боковую поверхность
стержня никаких напряжений не действует. Допустим также,
что объемных сил нет.
Для разыскания напряжений воспользуемся полуобратным
методом Сен-Венана, при этом будем в первую очередь искать
компоненты напряжения.
В задаче о чистом изгибе стержня (см. § 5 главы V) един-
единственным напряжением, отличным от нуля, было напряжение Z-.
Оно определялось зависимостью
Zz = -^--x, (a)
где М — изгибающий момент, а / — момент инерции площади
поперечного сечения стержня. Допустим, что зависимость (а)
имеет место и в задаче об изгибе стержня силою, приложен-
приложенною к его свободному концу, когда
2)
1 Тимошенко С. П., Применение функций напряжения к исследованию
изгиба и кручения призматических стержней. Сборник Инст. Инж. Пут Со-
общ. 1917 г.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—20 305
и когда, следовательно, напряжение Zz не может быть един-
единственным, отличным от нуля. Так как в плоскостях, перпен-
перпендикулярных оси oz, действует усилие Q, направленное парал-
параллельно оси ох, то, очевидно, напряжение Xz следует также
считать неравным нулю. Чтобы скалывающие напряжения X,
не пересекали контура поперечного сечения, к ним, вероятно,
будет полезно, как и в задаче о кручении, прибавить напря-
напряжения Yz. Попробуем поэтому решить задачу об изгибе рас-
рассматриваемого стержня в предположении, что отличными от
нуля являются лишь напряжения Xz, Yz и Z-, действующие
в плоскости поперечного сечения стержня, причем нормальное
напряжение Zz определяется формулою
= _О(/-г)
¦?': j л, ^d ;
напряжения же Xz и Yz должны быть подобраны так, чтобы
боковая поверхность стержня была от нагрузки свободна. Если
при этих допущениях нам удастся удовлетворить всем основ-
основным уравнениям теории упругости и полученное их решение
действительно будет соответствовать рассматриваемой нагрузке
стержня, то можно будет признать, что основные наши допу-
допущения соответствуют задаче, решить которую мы ставим себе
целью. В противном случае мы вынуждены будем признать, что
основные допущения наши выбраны нами неудачно, и их нужно
будет тогда заменить какими-то другими.
Обращаясь к основным уравнениям теории упругости, вос-
воспользуемся прежде всего уравнениями равновесия элементар-
элементарного параллелепипеда
дХх оХ дХ„
дх ' ду~~ ' дГ ' ~ '
^_ i у. !_ *_ I у __ п \ tfi\
dZ^ dZ,, dZ
* J » a L 4-7=0
dx ~ dy ~ dz ^ ^ , '
При сделанных допущениях
X = Y = Z = 0,
Xy = Xx = Yy = 0
первые два из уравнений (б) обращаются в равенства
дХг
dz ~tj
которым мы удовлетворим, положив что Xz и Yz от 2 не зави-
зависят. Третье из основных диференциальных уравнений равнове-
306
сия обращается в силу (в) в
dXz дУ. __ Qx
~дГ + ~дТ = Т
Если мы примем, что
iz— дх>
то в силу (д) будем иметь
где <f есть некоторая неизвестная функция от х и у, которую
мы условимся называть функцией напряжения, a f(y)
есть произвольна^**функция только от у, которой мы попыта-
попытаемся распорядиться должным образом в целях упрощения даль-
дальнейшего решения задачи.
Выражение (е) и (ж) удовлетворяют основным диференци-
альным уравнениям равновесия. Кроме них решение должно
быть подчинено еще условиям сплошности. Выписав последние
в форме уравнений Бельтрами, будем иметь
где
в = А, + Уу + Z=. (и)
В силу наших основных допущений (а') и (в) из шести урав-
уравнений (з) первые четыре удовлетворяются тождественно, не
налагая на у и /(>) каких-либо ограничений. Чтобы были удов-
удовлетворены и оставшиеся два уравнения группы (з), необходимо
положить
(к)
для чего достаточно подчинить функцию if уравнению
где - есть некоторая^неопределенная константа, варьируя кото-
которую мы можем варьировать величину скручивающего момента
или, что то же, перемещать линию действия перерезывающей
силы Q в плоскости поперечного сечения стержня.
307
Обращаясь к граничным условиям на боковой поверхности
тела, видим (см. § 2), что на ней напряжения X, Y, и Zv будут
все равны нулю, если мы подчиним на контуре поперечного
сечения функцию <р граничному условию
Таким образом, метод непосредственного определения на-
напряжений позволяет нам почти без всяких выкладок прийти
к заключению, что в призматическом стержне, загруженном си-
силой Q, приложенной к свободному концу стержня, компоненты
напряжения определяются зависимостями
E)
дх '
где <р — функция напряжений, определяемая диференциальным
уравнением
V2<P = -1^r7^-y-/'(y)-2Gr . F)
и граничными условиями на контурах поперечного сечения
Это совпадает с основными результатами § 2. Если бы мы,
однако, поставили себе целью разыскать перемещения, соот-
соответствующие только-что найденному напряженному состоянию,
то нам пришлось бы с помощью закона Гука и равенств B'),
D) и E) составить выражения для всех шести компонентов
деформации и, подставив эти выражения в уравнения Коши
[см. формулы D) и F) § 5 главы II], проинтегрировать уравне-
уравнения Коши с помощью одного из общих способов интегрирова-
интегрирования этих уравнений. Это потребовало бы выкладок, хотя может
быть и несколько более шаблонных, чем вышеприведенные вы-
выкладки § 1, но, пожалуй, не менее канительных.
В результате этих выкладок должны получиться формулы A)
§ 1, которые нами были получены непосредственно. Убедиться
в этом рекомендуется в порядке упражнения.
§ 4. Теорема о циркуляции скалывающего напряжения
Условием (8) функция <р на каждом из контуров, ограничи-
ограничивающих поперечное сечение стержня, определяется с точностью
до постоянного слагаемого. Если контур односвязен, то назван-
308
ная постоянная получается в решении всего одна, может быть вы-
выбрана произвольно и из решения выпадает. Если контур не одно-
связен, то на каждом из отдельных контуров, ограничивающих
поперечное сечение стержня, постоянные эти получаются во-
вообще различными, причем только одна из них может быть
выбрана произвольно, все же остальные должны быть найдены,
как и в задаче о кручении стержней, из условия однозначности
перемещений. Чтобы установить дополнительные зависимости,
налагаемые на функцию напряжений этими условиями, обратимся
к связи между компонентами напряжения Xz и К, и функцией
$ (х,у), входящей в последнее из выражений A). Из рассмотре-
рассмотрения третьей из формул A)§ 1 видно, что w может быть однозначно
лишь в том случае, если однозначна функция ф.
Как видно из формул B) § 1, ^ связано с Хх и Yx диферен-
циальными зависимостями
О ... , Q ... < C)
Поэтому •}) оказывается однозначной функцией от х и у, если
при интегрировании по всякому замкнутому контуру, не пере-
пересекающему границ поперечного сечения стержня, криволиней-
криволинейный интеграл
-p xy
]dy
равный интегралу
будет равен нулю. Для этого, однако, необходимо, чтобы при
интегрировании по всякому такому контуру имело место ра-
равенство
-2
(б)
Из интегралов, входящих в это выражение, мы уже усло-
условились (см. § 4 главы VII) интеграл
J = §(Х2dx + Yzdy) = § Tcos (T, ds)ds (в)
309
называть циркуляцией скалывающего напряжения;
относительно же остальных можно показать, что
t (x dy —у dx) = 2 Gzff dx dy = 2 GzF, (г)
где F — площадь, ограниченная контуром, для которого вычи-
вычисляется У;
§(y*dx — 2 xy dy) = - 4 Jfy dxdy=-4S, (д)
где S — статический момент относительно оси ох площади кон-
контура, для которого вычисляется циркуляция /.
Наконец,
§ (/ dx + 2xy dy) = 0. (е)
Таким образом, уравнение (б) эквивалентно равенству
T^v-9-S, A1
показывающему, что при интегрировании по всякому замкнуто
му контуру, не пересекающему границ поперечного сечения
стержня, циркуляция скалывающего напряжения
J равна площади, заключающейсявнутриэтогокон-
тура F, умноженной на 2 G-c, где и — угол закручива-
закручивания стержня, и затем уменьшенной на величину
произведения -j—J- j- S, где S — статический момент
площади F относительно оси ох, т. е. той из главных
осей поперечного сечения стержня, параллельно которой на-
направлена перерезывающая сила Q.
Положение это является формулировкой теоремы о цирку-
циркуляции скалывающих напряжений применительно к изгибу приз-
призматических стержней, нагруженных на конце сосредоточенной
силой. По смыслу его вывода оно должно быть справедливо по
отношению ко всякому замкнутому контуру, проведенному в
плоскости поперечного сечения стержня, хотя бы контур этот
и охватывал какие-либо внутренние полости тела.
Применив формулу A1) поочередно к каждому из внутрен-
внутренних контуров, ограничивающих поперечное сечение стержня,
мы можем в случае стержня, ограниченного многосвязной
областью, составить ровно столько уравнений для определения
постоянных, с точностью до которых определяется равенством
(8) функция напряжения <р на каждом из внутренних контуров
сечения, сколько.этих постоянных нам требуется определить.
Равенствами A1), выписанными для каждого из внутренних
контуров поперечного сечения, и даются те дополнительные
упомянутые в конце § 2 условия, которые при изгибе стержней,
310
ограниченных многосвязной областью, вытекают из однознач-
однозначности аксиального перемещения w. О направлении, в котором
должен производиться обход контура при вычислении циркуля-
циркуляции скалывающего напряжения см. § 4 главы VII.
§ 5. Дальнейшие исследования напряженного состояния, найденного
в § 2 и 3
Мы не рассмотрели до сих пор главного вектора и главного
момента всех внутренних сил, действующих в поперечном се-
сечении стержня, напряженного согласно выражениям § 2 и 3.
Главный вектор этих усилий может быть охарактеризован
тремя его проекциями Qx, Qg и 0х на оси ох, оу и oz. Главный
же момент этих усилий тремя его проекциями Мх, М,, и Мг.
Очевидно, величины эти определяются интегралами
dxdy
?„— | / Yzdxdy = — / j J—dxdy,
Л" О
-j- (I -~z)x dx dy,
1 (a)
Mx = fjZ:у dxdy = — ff-Q- (l — z)xydxdy,
= Jj
t" (/~~z">x*dxdy>
zx — Xty) dxdy,
I
распространенными по всей площади сечения стержня.
Из этих величин скручивающий момент Мг должен, оче-
очевидно, меняться в зависимости от изменения параметра х, ко-
которым определяется степень закручивания стержня, и вообще
нулю не равен;
AfB=-Q(/-z>; (б)
так как по определению величины /
I = ff**dxdy, (в)
и, наконец,
Мх = 0, (г)
так как оси ох и оу определены нами как главные оси инерции
площади поперечного сечения стержня, то
ffxydxdy = O. (д)
Проекция равнодействующей внутренних сил на ось oz
должна быть равна нулю
0= = 0, (е)
311
так как мы предположили, что оси ох и оу суть главные цен-
центральные оси поперечного сечения стержня и, следовательно,
ffx dx dy = 0. (Ж)
Величины Qx и Qy должны при этих условиях быть равны,
по теореме Шведлера1, Qx производной от Му по г, т. е. ве-
величине
Q, = ^AfB=Q, (з)
Qu производной от Мх по г, т. е. нулю, ибо благодаря ра-
равенству (г)
Результаты (з) и (и) можно, очевидно, доказать и непосред-
непосредственно путем рассмотрения интегралов, входящих в первые
два из равенств (а). Мы на этом не останавливаемся, так как
результат этого интегрирования, если бы мы его произвели, из
изложенного ясен и так.
Все вышеизложенное позволяет утверждать, что напряжен-
напряженное состояние, определяемое совокупностью компонентов напря-
напряжения, выраженных равенствами B'), D) и E) и формулами F)
и (8), возникает в призматическом стержне действительно
при совместном на него действии скручивающего момента Mz
и перерезывающей силы Ц, приложенной к свободному концу
стержня и направленной параллельно оси ох, являющейся одной
из главных осей инерции площади его поперечного сечения.
Соответствующие этим напряжениям перемещения стержня,
определяемые равенствами A), относятся к только что назван-
названной нагрузке стержня.
§ 6. Понятие об изгибе без скручивания и о центре изгиба
Выше было отмечено, что распоряжаясь постоянной т в
уравнении F), мы фактически прикладываем к стержню на-
нагрузку, соответствующую Сен-Венанову кручению стержня.
Распоряжаясь этой постоянной, мы можем менять величину
скручивающего момента и, следовательно, переносить в пло-
плоскости поперечного сечения стержня линию действия перере-
перерезывающей силы Q. Формулы A) показывают, что при т, не
равном нулю, координатные плоскости xoz и yoz перестают в
результате деформации стержня оставаться нескрученными.
Чтобы координатные плоскости xoz и yoz не скручивались, не-
необходимо сделать т равным нулю.
Деформацию стержня, определяемую равенствами A), B'),
D), E), F) и (8) в частном случае, когда т = 0 и когда,
1 Все элементы тела удовлетворяют условиям равновесия; объемных снл
нет; к боковой поверхности сил не приложено; Мх и Му определяются ра-
равенствами (б) и (г).
312
следовательно, координатные плоскости xoz и yoz остаются
нескрученными и после приложения нагрузки, назовем изги-
изгибом без скручивания.
В случае изгиба без скручивания т, а следовательно, и отно-
отношение MZ:Q имеют некоторое совершенно определенное зна-
значение и, следовательно, линия действия перерезывающей силы
проходит в плоскости поперечного сечения стержня на неко-
некотором для данного профиля, совершенно определенном, рассто-
расстоянии от оси ох.
Пусть (рис. 99) при изгибе без скручивания в плоскости
xoz линия действия перерезывающей силы совпадает с линией
а — а, при изгибе же без скручивания, но
в плоскости yoz (оси ох и оу предполага-
предполагаются главными центральными осями пло-
площади поперечного сечения) с линией b —b.
Пересечением- линий а—ас линией
b — b определяется в плоскости попереч-
поперечного сечения стержня точка, через кото-
которую проходит перерезываюшая сила, в
какой бы плоскости мы ни изгибали стер-
стержень, если только изгиб не сопровож-
сопровождается скручиванием стержня. Точку
эту можно назвать центром изгиба
или центром жесткости поперечного сече-
сечения стержня; она совпадает с центром тяжести площади попереч-
поперечного сечения стержня не у всякого профиля. У некоторых про-
профилей она лежит даже вне габаритов поперечного сечения
стержня. Имеются, однако, некоторые такие профиля, у кото-
которых центр жесткости совпадает с центром тяжести площади
поперечного сечения. К числу таких профилей относятся про-
профиля двояко симметричные, т. е. такие, для которых оси ох
и оу обе являются осями симметрии поперечного сечения.
Покажем, что у профилей двояко симметричных центр
жесткости действительно совпадает с центром тяжести пло-
площади поперечного сечения. Для этого допустим, что ось ох
есть одна из осей симметрии поперечного сечения стержня
и покажем, что при изгибе в плдскости xoz скручивающий
момент Mz получается равным нулю, если т равно нулю.
Если ось ох есть ось симметрии стержня, то согласно гра-
граничному условию (8) функция <р должна на контуре менять
знак при изменении знака координаты у; следовательно, на
контуре <р должна быть нечетной функцией от у. При и, рав-
равном нулю, уравнению F) можно удовлетворить, считая <р нечет-
нечетной функцией от у. Таким образом, если ох есть ось симметрии
поперечного сечения, то при и = 0 функция <р может считаться
нечетной функцией от у. При этих условиях, однако, подин-
тегральная функция в выражении
313
должна быть нечетной функцией координаты у и при инте-
интегрировании по у в симметричных пределах интеграл от нее
должен быть равен нулю. Это показывает, что если ох есть
ось симметрии поперечного сечения стержня, то при х = 0 мо-
момент Мх = 0 и, следовательно, линия действия перерезывающей
силы при изгибе в плоскости xoz совпадает с осью ох.
Подобным образом можно показать, что если оу ось сим-
симметрии поперечного сечения стержня, то при изгибе без скру-
скручивания в плоскости уог линия действия перерезывающей
силы совпадает с осью оу и что, следовательно, у дво-
двояко симметричных профилей центр изгиба сов-
совпадает с центром тяжести поперечного сечения
стержня.
Некоторые профили довольно хорошо сопротивляются изги-
изгибу, если он происходит без скручивания, и очень плохо сопро-
сопротивляются скручиванию. Примером таких профилей могут слу-
служить односвязные профиля, составленные из тонких прямо-
прямоугольных полос. При исследовании их изгиба надо особое
внимание уделять положению их центра жесткости, так как
даже небольшое несовпадение этой точки с линией действия
перерезывающей силы может у этих профилей быть сопряжено
с весьма значительным ростом скалывающих напряжений. Поло-
Положение центра жесткости профиля нужно поэтому у этих про-
профилей включать в число основных характеристик профиля.
Изгиб без кручения для этих профилей будет рассмотрен ниже
в § 10.
Тонкие двусвязные и многосвязные профиля сопротивляются
скручиванию вообще не плохо. Поэтому при отклонении у
таких профилей плоскости действия перерезывающей силы от
прохождения через центр жесткости скалывающие напря-
напряжения растут вообще не так быстро, как у профилей одно-
связных.
Однако при исследовании изгиба даже этих профилей сле-
следует помнить, что скалывающие напряжения в профиле зависят
не только от величины перерезывающей силы, но и от положения
ее плоскости действия. Получив для определенного профиля то
или иное решение задачи о- распределении скалывающих напря-
напряжений при изгибе, надо поэтому всегда обращать внимание на
то, к какому положению линии действия перерезывающей силы
относится полученное решение. Желательно, конечно, не до-
довольствуясь получением решения для того или иного случай-
случайного положения этой плоскости, доводить, если возможно,
задачу об исследовании изгиба профиля до конца, т. е. до
определения центра жесткости профиля и тех напряжений,
которые в нем возникают при изгибе без скручивания.
Для определения координат центра жесткости может, как
сказано, служить формула A2). Для того чтобы ею воспользо-
воспользоваться, надо иметь для данного профиля общее выражение для
компонентов скалывающих напряжений, соответствующих слу-
случаю т = 0.
314
Если для рассматриваемого профиля имеется решение дифе-
ренциального уравнения
F')
то составить с помощью него требуемые выражения для Xz и
Yz нетрудно. Если точного решения уравнения F') для данного
профиля не имеется, то разыскать решение, соответствующее
случаю t=0, можно с помощью теоремы о циркуляции каса-
касательного напряжения. Мы видели выше, что при изгибе вообще
должно быть
$ Тcos (Г, ds) ds= - ~ 5- S + 2GxF,
где 5 — взятый относительно оси ох статический момент пло-
площади, заключенной внутри контура, для которого циркуляция
вычисляется, a F есть величина этой площади. Если начало
координат совмещено с центром тяжести профиля, то при
х — О, изгиб будет происходить без кручения. При этом должно
быть, однако,
Этой последней формулой можно пользоваться при прибли-
приближенном решении задачи об изгибе тонкостенных двух и много-
многосвязных профилей для нахождения того распределения ска-
скалывающих напряжений, которое имеет место при изгибе без
кручения.
Общий порядок ее использования применительно к расчету
профилей двусвязных будет рассмотрен ниже в § 11.
§ 7. Аналогия с провисанием мембраны
Как то было показано выше, задача об изгибе призматичес-
призматического стержня силой, приложенной к свободному контуру, сво-
сводится к разысканию скалывающих напряжений Xz и Yz, связан-
связанных с функцией напряжения ф зависимостями
»-.--?¦ <¦>
Входящая в эти выражения функция у должна внутри обла-
области, занятой материалом стержня, удовлетворять уравнению
v2 ? = 1тт т-у ~f (у) -2Gz' F)
а контуре же поперечного сечения условию
315
С. П. Тимошенко, которым предложены в Сен-Венановой
задаче об изгибе зависимости D), E), F) и (8), отметил, что
функция (р, определяемая уравнением F), может быть предста-
представлена поверхностью гибкой, равномерно натянутой мембраны, на
которую действует поперечная нагрузка, пропорциональная пра-
правой части уравнения F).
Если контур, ограничивающий сечеиие рассматриваемого
стержня таков, что, распоряжаясь функцией f(y) можно зависи-
зависимость (8) представить в форме равенства
ds U>
то мембрану, изображающую функцию ср, надо натянуть на
плоский контур, имеющий форму поперечного сечения стержня.
Если контур таков, что ни при каком выборе функции /(у)
нельзя зависимости (8) привести к виду
то нужно мембрану, изображающую функцию <р, натянуть нз
некоторый неплоский контур, возвышение которого в каждой
точке над плоскостью хоу должно быть определено из усло-
условия (8).
Аналогия эта, отмеченная С. П. Тимошенко, не приводит,
однако, в задаче об изгибе к столь красивым зависимостям
между углами уклона мембраны, изображающей функцию <р, н
величиною и направлением скалывающего напряжения, как те,
которые в задаче о кручении были отмечены Прандтлем. Про-
Происходит это потому, что, как видно из равенств D) и E), только
напряжение Yz полностью определяется углом уклона мем-
мембраны по направлению х = const, проходящему через данную
точку, у напряжения же Xz только некоторая часть пропорцио-
пропорциональна производной -~.
Если мы напишем вместо E)
Xz = X'z + Xz, E')
где
то равнодействующая напряжений Хг и Yz будет связана с про-
провисанием мембраны С. П. Тимошенко совершенно так же, как
в аналогии Прандтля. Напряжения же Х'г будут независимы от
4> и будут налагаться на напряжения, определяемые провиса-
провисанием мембраны Тимошенко.
Как видно из E"'), эти дополнительные, не зависящие от (р,
напряжения связаны, при всяком постоянном у, с координатой х
316
параболическим законом, причем если профиль симметричен
относительно оси ох и функция f(y) подобрана так, чтобы на
контуре величина -?-~/(У) обращалась в нуль, то параболы,
изображающие напряжения X"z в функции от х, проходят при
любом частном значении координат у через границы контура.
В этом случае различные параболы, изображающие Х~ в функ-
функции от х при различных частных значениях
координат у принимают вид, изображенный
на рис. 100.
Если профиль таков, что ни при каком
выборе функции /(у) нельзя на всей той
части контура, где _уФ const, обратить вели-
чину \f— f(v) в нуль и функция/(у) при-
принимается за постоянную, то напряжения X"z
изображаются при всякому в функции от х
одной и той же параболой вида
Рис. 100.
Xz = ~— const
и вообще не обращаются на контуре поперечного сечения в
нуль.
В этом случае мембрана Тимошенко должна быть натяги-
натягиваема на неплоский контур, притом такой, чтобы равнодейству-
равнодействующая напряжений Хг, Xz и Yz была у контура направлена
всюду по касательной к контуру. Аналитически это приводит
к граничному условию (8), которым и определяются значения,
принимаемые в этом случае функцией у на контуре.
§ 8. Эллиптическое сечение
Переходя к рассмотрению отдельных частных случаев, рас-
рассмотрим сначала тот, когда контур поперечного сечения стержня
ограничен эллипсом
5+^-1 = 0. (а)
В этом случае функцию f(y) можно подобрать так, чтобы
на контуре было
(б)
(в)
(г)
317
Для этого достаточно, очевидно, принять
что обращает граничное условие (8) в условие,
т. е. требует, чтобы при х и у, удовлетворяющих уравнению
(а), было
<р = COnst. (д)
Положив на контуре
"Р = 0, (е)
будем иметь для определения функции напряжения уравнение
F) к граничное условие (е). Желая исследовать изгиб без
скручивания, полагаем в уравнении F)
т = 0 (ж)
и выписываем уравнение F) в форме равенства
аЧ
C)
Нетрудно видеть, что функцию, удовлетворяющую внутри
эллиптического контура уравнению (з) и граничному условию
(е) на контуре, можно разыскать в форме
где А — некоторая постоянная. Определив А из уравнения (з),
будем иметь
т 2/ V 1 + « ' ь21 „ft2 + 3 а2
Зная f(y) и <р, находим с помощью D) и E)
о в2
V а2 б2
A4)
A5)
о Iй2
Ой2 Т+Т ' 1j^ v2
7" ^1~^'
Напряжение X. достигает своего максимума в одной из точек
оси оу, где л;=0 и где, следовательно,
Оа2
а2
. i —р u v
1 +3|г
о а2
г2 Т+Т ' ~Р~ у!
И)
318
Как видно из (и) \Хг\х=о должно достигать своего наиболь-
наибольшего значения либо в центре профиля, где
о а2
1 —
1 +
либо же на концах нейтральной оси, где
(к)
Ь2
Так как з всегда меньше, чем 0,5, то
1 +5 ^ 3 -
При этих условиях, однако, дробь
1
вообще лежащая в пределах между
а 1
и -г-, может счи-
-г ^ о
таться меньшею, чем -=-.
Это показывает, что в центре профиля напряжения X,
удовлетворяют неравенству
в конце же нейтральной оси неравенству
i v i ^ Оа2
\лх\х=-- 0 <. ^ГГ •
у = Ь й1
Таким образом напряжение Xz достигает своего максималь-
максимального значения в центре профиля, где
у —
у+7
а2
A6)
Напряжение Yt достигает максимума там, где обращается в
максимум произведение ху. Нетрудно видеть, что это послед-
последнее имеет место на контуре поперечного сечения, притом в
такой точке этого контура, где х:у= ± \а:Ь\, т. е. в точках
пересечения эллипса, ограничивающего сечение контура, с диа-
диагоналями описанного вокруг него прямоугольника (рис. 101).
319
В этих точках
Q
2/
1 +
&2
A7)
Из сопоставления формул A6) и A7) ясно, что
а а2
\Х.\т„ а 1 , „ а2 '
1 +
и так как всегда
Г + 2?-
Т+с
то, очевидно, всегда
Рис. 101. „ ь
(Л)
(м)
(н)
Как видно из этих неравенств, у эллиптических стержней,
изгибаемых на ребро
| ' »| шах <! |^;| max,
у эллиптических же стержней, изгибаемых плашмя (случай
когда Ь^>а), может оказаться
I 'z\ max > |-^г| max.
По мере увеличения отношения Ь:а, т. е. отношения ши-
ширины профиля к его высоте, отношение |Кг|Шах^ l^zlmax растет,
и при достаточно большом значении Ь-.а составляющая скалы-
скалывающего напряжения, перпендикулярная к направлению пере-
перерезывающей силы, может оказаться во много раз большею, чем
составляющая скалывающего напряжения, параллельная плос-
плоскости изгиба.
Интересно проследить, какой вид имеют в плоскости попе-
поперечного сечения стержня траектории скалывающего
напряжения, т.е. линии, во всех своих точках, касающиеся
направления равнодействующей напряжений Xz и Yz в этих
точках. Линии эти определяются диференциальным уравнением
dy
X.
т
или, принимая во внимание A4) и A5),
1
dx_
dy
XV
Ь-
1
¦»>-
.9-^-
уг
(о)
(п)
320
Положив
l
а2
(р)
можно придать этому уравнению вид
sdt = ~ {[s — a.(l — s)] + at}ds (с)
или, что то же,
sdt-\-atds = —s ds + аA — s)ds. (т)
Уравнение это имеет интегрирующий множитель. Действи-
Действительно, умножив его на sa—1, можно придать ему вид
d [t.s«] = — (а + l)s*rfs + as*-1 ds =d[— s^1 + sa], (y)
откуда видно, что искомые траектории определяются кривыми
ts* = s«~ s'+i + С, (ф)
где С — некоторая константа.
Сократив полученное уравнение на sa и приняв во внимание
связь между s, l и декартовыми координатами х, у, нетрудно
видеть, что в декартовых координатах
уравнения искомых траекторий выписы-
выписываются так:
JC2
а*
V2
где
k — — а =
2а
(ц)
Положив в уравнении (х) у = 0, мы
получим из него независимо от значе-
значения параметра С
л2 = а2.
Это показывает (рис. 102), что все
исследуемые траектории скалывающих напряжений проходят
через точки х = ± а и _у=0.
Значению С=0 соответствует эллипс, которым определя-
определяется граница поперечного сечения рассматриваемого стержня.
Кривая С = оо сливается с вертикальным диаметром эллипса.
Построив траектории скалывающих напряжений для эллип-
Л. Ф. Папкович, Теория упругости—436—21 321
тических стержней с различным отношением а:Ь, легко ви-
видеть, что траектории эти наклонены к оси ох тем больше, чем
меньше а:Ъ, т. е. чем шире профиль.
В цилиндрических поверхностях, границами которых явля-
являются отдельные траектории касательных напряжений, никаких
напряжений не действует. Поэтому если бы мы выделили двумя
такими цилиндрическими поверхностями из стержня какую-либо
его часть, то картина распределения напряжений в стержне
не изменилась бы. Взяв за одну из этих поверхностей боковую
поверхность эллиптического
стержня, а за другую цилин-
цилиндрическую поверхность, про-
проходящую через одну из кри-
кривых семейства (х), для кото-
которой параметр С достаточно
мал, мы можем получить стер-
стержень, поперечное сечение ко-
которого будет иметь вид лун-
лунки, изображенной на рис. 103.
При изгибе такого стерж-
стержня силою Q, приложенной к
свободному концу в напра-
направлении хорды, соединяющей
концы рассматриваемой лун-
лунки, скалывающие напряжения
будут в поперечных сечениях
направлены, как показано на
рис. 103.
В своей совокупности эти скалывающие напряжения соста-
составляют как бы „поток напряжений", руслом которого являются
границы поперечного сечения стержня. Если мы выделим такой
стержень из эллипса, у которого отношение горизонтальной
полуоси к вертикальной велико, то русло этого потока будет
отличаться очень резко от прямой, соединяющей его концы.
На значительной части этого потока скалывающие напрял-ения
могут при этом оказаться почти горизонтальными, хотя, скла-
складываясь, все эти напряжения и дают силу, направленную верти-
вертикально.
Результат этот следует отметить, так как он потребуется
нам в дальнейшем для выяснения картины распределения ска-
скалывающих напряжений в некоторых иных сечениях.
Не останавливаясь на дальнейших деталях вопроса об изгибе
эллиптических стер» ней, в частности и на вопросе о разыска-
разыскании перемещения w, легко находимого с помощью формул
A) § 1 и (а) § 4, отметим лишь, что при изгибе эллиптического
стержня силою, приложенною к свободному концу, поперечные
сечения стержня не остаются плоскими. Таким образом Сен-
Венанова теория изгиба не подтверждает нам гипотезы плоских
сечений. Гипотезу линейности распределения нормальных на-
напряжений по высоте стержня она подтверждает.
322
Рис. 103.
§ 9. Прямоугольное сечение
Пусть (рис. 104) контур поперечного сечения стержня есть
прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь. Начнем решение задачи
для него с разыскания функции f(y). ¦
В данном случае на вертикальных сто-
сторонах контура
ds
У
поэтому, чтобы на всем контуре можно
было принимать
ds '
достаточно положить _
/ы-^2 (я-\ Г
/W--27- 00
Так как рассматриваемый контур одно-
связен, то частное значение функции <р на
выбрать произвольно. Примем, что
(р = 0, если х=±аиу=±Ь. (б)
Ограничиваясь рассмотрением изгиба без скручивания, пола-
полагаем в уравнении F) величину х равною нулю. Принимая во
внимание (а), видим, что у рассматриваемого профиля tp должно
удовлетворять уравнению
(в)
Рис. 104.
контуре можно
1 + 5
Решение уравнения (в), удовлетворяющее условиям (б), можно
разыскать в форме ряда
к=оо
г. (г>
Ь~\
где функции /
ному условию
должны быть, очевидно, подчинены гранич-
граничfk(±a)f*0. (д)
Чтобы разыскать диференциальные уравнения, которым дол-
должны удовлетворять функции /Дл), подставим ряд (г) в (в). Это
даст нам уравнение
(е)
(ж)
323
sin ^ = Л-Л У-
Разложим в (е) правую часть в ряд вида
°
- О
О
Коэфициенты Вк могут быть здесь определены с помощью об-
общего правила разложения заданной функции в ряд Фурье, что
даст
I
+ь
Bk==T
-ь
26
(з)
Подставив (ж) и (з) в (е) видим, что уравнение (е) будет
удовлетворено, если мы положим
\*—1
(и)
Полученное линейное диференциальное уравнение дает воз-
возможность разыскать все fk(x). Его общий интеграл, как не-
нетрудно видеть, есть
f i \ " О 2b3 , i
/W = (l
-^j, (к)
где постоянные Cfc и Dk должны быть определены из гранич-
граничных условий (б), дающих
1тг) ¦ W
С помощью выражений (к) и (л) можно видеть, что для рас-
рассматриваемого сечения
ft=oo I _«. ККХ
1+а
(-1/
ft3
ch-
ch
kr.a
sm-/.
(M)
Ho
в чем нетрудно убедиться, разлагая правую часть этого урав-
уравнения в ряд. Поэтому можно Принять, что при изгибе прямо-
прямоугольного профиля
g Q 2ft3
1 + О / 7t3
ft=oo
12 U3 6/ Z A»
ch
Я
Найденное выражение для tp приводит в рассматриваемом
случае к следующим общим выражениям для Xz и Yz.
324
,. 4h —
Ы2! »
С помощью найденных зависимостей можно оценить, приме-
применительно к стержням прямоугольного сечения, степень точности
тех приближенных формул, которыми мы обычно пользуемся
в строительной механике для вычисления скалывающих напря-
напряжений в изогнутых стержнях прямоугольного сечения. Эти
приближенные формулы выводятся из гипотезы Журавского,
предполагающей, что при изгибе стержня силою, приложенною
к его свободному концу, в поперечных сечениях стержня воз-
возникают только напряжения, параллельные плоскости изгиба.
Напряжения эти Журавский считал независящими от коорди-
координаты у, измеряемой перпендикулярно к плоскости изгиба. Гипо-
Гипотеза Журавского приводит, как известно, для напряжений X.
и Yz к формулам
*'-'¦»• B1)
Yz = 0, |
где 3 есть толщина профиля на той высоте, где желательно
определить^, а S—вычисленный относительно нейтральной
оси статический момент части профиля, отсекаемой от него
прямою, проведенною через рассматриваемую точку параллель-
параллельно оси оу.
Применительно к стержням прямоугольным гипотеза Журав-
Журавского дает в частности
У _ О а* — х*
Yz = 0.
Сравнивая эти выражения с найденным выше точным реше-
решением A9) и B0), можно видеть, что приближенным решением
(н) учитывается лишь первый член формулы A9). Всеми осталь-
остальными членами правой части равенства A9), а также всей правой
частью равенства B0) выражаются те поправки к приближенным
зависимостям (н), которые обычно при решении задачи об изги-
изгибе принято в строительной механике игнорировать. Сравнивая
величину этих поправочных членов с величиною максимального
напряжения, определяемого приближенными формулами (н),
можно видеть, что эти поправки являются по сравнению с пер-
первым членом выражения A9) величинами порядка (—] .
325
Поэтому если сечение рассматриваемого стержня есть пря-
прямоугольник, сторона которого, лежащая в плоскости изгиба,
велика по сравнению со стороною, к ней перпендикулярною, то
поправки к приближенным зависимостям (н), даваемые точным
решением A9) и B0), очень невелики. Если же, наоборот, при
изгибе в вертикальной плоскости ширина рассматриваемого
профиля велика по сравнению с его высотой, то величина по-
поправочных членов, входящих в точное решение, но не учиты-
учитываемых обычным приближенным решением, может оказаться
во много раз превосходящею те напряжения, которые нам дают
приближенные формулы (н). В этих случаях, однако, у балок,
более или менее длинных, напряжения Z, получаются обычно
настолько большими по сравнению с Хг и Yz, что ошибка в
определении обеих составляющих скалывающего напряжения,
делаемая при п )льзовании формулами (н), на величине наиболь-
наибольшего главного лапряжения почти не отражается.
В этом отношении теорию Сен-Венана можно считать более
или менее подтверждающей основные выводы общепринятой
в строительной механике приближенной теории. Обычно эту
приближенную теорию приходится применять к профилям, у ко-
которых высота сечения, измеряемая в плоскости изгиба, довольно
велика по сравнению с его шириною. А для таких профилей,
как то мы видели только что, теория Сен-Венана больших по-
поправок не дает.
Располагая общими выражениями для скалывающих напря-
напряжений Xz и Vz, даваемыми формулами A9) и B0), мы можем
построить траектории скалывающих напряжений и для балок
прямоугольного сечения. Для сечений этого рода траектории
эти определяются диференциальным уравнением
dx - Х> (о)
настолько сложным, что интегрировать его в общем виде за-
затруднительно. Формула (о) дает, однако, возможность легко
находить эти кривые методами приближенного интегрирования,
переходя от точки к точке. Кривые, получаемые в результате
такого интегрирования, должны иметь вид, близкий к изобра-
изображенному на рис. 105. Контур поперечного сечения, а равно и
диаметр его, лежащий в плоскости изгиба, должны принадле-
принадлежать, конечно, к числу траекторий скалывающих напряжений.
Если мы проведем внутри исследуемого прямоугольного
стержня цилиндрические поверхности, поперечное сечение кото-
которых совпадает с траекториями скалывающих напряжений, то на
этих поверхностях в теле мы никаких напряжений иметь не
будем. Каждая часть стержня, выделенная двумя такими ци-
цилиндрическими сечениями* гнется независимо от всех других
таких же частей. Если мы возьмем (рис. 106) прямоугольник,
сильно вытянутый в направлении оси оу, и построим для этого
сечения одну из траекторий скалывающих напряжений, не слиш-
326
ком удаленную от границ поперечного сечения стержня, то мы
получим сечение, по виду похожее на сечение швеллера. При
изгибе стержня, контур которого счерчен линией, изображен-
изображенной на рис. 106, силою, лежащей в плоскости ох, скалывающие
напряжения в нем будут всюду параллельны контуру.
Рис. 106 дает нам общее представление о том, как распре-
распределяются при изгибе профилей коробчатого сечения скалываю-
скалывающие напряжения, вызываемые действием силы, направленной
! ' /'
.I*
11
-r t-t f
II , 1
I'll
\ \
1 V
¦ \
У
I
, I
1 !
, i
_T—j. _. .— .
1 '
! '
У
С
\Х
Рис. 105.
Рис. 106.
вдоль стенки профиля. Напряжения эти составляют как бы
поток, руслом которого является поперечное сечение стержня,
В стенке профиля скалывающие напряжения направлены вдоль
стенки; в полках они направлены вдоль полок. Равнодействую-
Равнодействующая их направлена вдоль стенки, хотя на отдельных участках
профиля горизонтальная составляющая может во много раз
превосходить вертикальную его составляющую.
Решения для эллипса и прямоугольника, изложенные в § 8
и 9, были получены Сен-Венаном.
§ 10. Приближенный расчет односвязных профилей, составленных
из тонких прямоугольных полос
Для изгиба столь употребительных в технике профилей, как
всевозможные балки таврового, двутаврового, углового, зето-
зетового и швеллерного сечения, теория упругости до сих пор не
имеет точных решений. Соображения конца предыдущего пара-
параграфа позволяют, однако, наметить для них приближенный
способ расчета, который позволяет довольно верно оценить
величину скалывающих напряжений, действующих в плос-
плоскости поперечного сечения профиля, если только исключить
из рассмотрения местные перенапряжения материала в районе
сопряжения тех отдельных полос, из которых составлен про-
профиль.
Так как скалывающие напряжения в поперечном сечении
профиля не могут пересечь контура поперечного сечения, то
327
6
они на обеих продольных кромках каждой полосы, входящей
в состав сечения, должны быть направлены параллельно ширине
этой полосы. Если толщина каждой полосы мала по сравнению
с ее шириною, то во всех местах, достаточно удаленных от
места сопряжения отдельных полос друг с
другом, нет оснований считать скалывающие
напряжения сколько-нибудь неравномерно
распределенными по толщине полосы. Что-
Чтобы составить себе представление о средней
величине их в каждом сечении, нормальном
к продольным кромкам полосы, достаточно
предположить, что вычисляемое напряжение
не зависит от координаты, измеряемой в на-
направлении такого сечения. Это позволяет
интересоваться в поясках двутавровой бал-
балки, изображенной на рис. 107, только напря-
напряжениями Yz, в стенке же только напряже-
напряжениями Хг, считая при этом первые в каж-
каждом отдельном месте пояска независящими
от координаты х, вторые же—независящими
от у. Для определения среднего по толщине профиля значения
величины вычисляемых напряжений можно при этих условиях
пользоваться третьим из диференциальных уравнений равнове-
равновесия элементарного параллелепипеда
дХ dY 6Z
~5x ~* dy ^ dz ~ '
пропуская в нем тот или другой из его первых двух членов,
смотря по тому, которая из составляющих скалывающего напря-
напряжения равна в данном месте профиля нулю.
Применяя этот метод расчета в частности к определению
величины напряжений Yz в поясках профиля, изображенного на
рис. 107 между точками 1 и 2, а также 4 и 5, можно считать,
что напряжения эти определяются диференциальным уравнением
5
' X
Рис. 107.
д У.
ду
dZz'
~dz~
и граничным условием
Yz = 0 при у = ~а
и, следовательно, суть
(а)
Совершенно так же для участков поясков между точками
2 и 3, а также 5 и 6 можно из того же диференциального урав-
уравнения и граничного условия
Yz = 0 при у = a
328
получить
Несколько сложнее разыскание напряжений в стенке про-
профиля: ни в одном сечении последней величина напряжений Xz
непосредственно не задана, и ее надо найти хотя бы для одно-
одного какого-либо сечения стенки.
Попробуем разыскать ее для места соединения стенки с
верхним пояском. Для этого выделим из верхнего пояска эле-
элемент длиною dz и спроектируем на ось oz все усилия, при-
приложенные к этому элементу. Приравняв сумму их нулю, можно
получить
\X\b-dz + ff(^- dz) dx dy = О,
где двойной интеграл берется по всей площади сечения верх-
верхнего пояска, а через \Хг\0 обозначено искомое напряжение в
стенке возле верхнего пояска.
Из только что написанного уравнения следует
зная же |Хг|0, можно для нахождения величины Хг во всех
остальных местах стенки воспользоваться уравнением
дХ, dZz
+ °
дающим
Х
/dZ
-w
—Л/2 —Л/2
Если рассматриваемый профиль изгибается в плоскости xoz,
то для нахождения искомых напряжений с помощью формул
(а), (б) и (в) остается подставить в них
х.
Этим путем можно.в частности получить (рис. 107):
а) для напряжений |KZ|X в верхнем пояске между точками /
и 2
б) для напряжений \YJZ в том же пояске между точками 2
и 3
у
329
в) для напряжений Х- в стенке профиля
f
-ft/2
г) для напряжений \YZ\3 в нижнем пояске между точками
3 и 4
Ш1 = f
д) для напряжений |Уг|4 в нижнем пояске между точками
4 и 5
где под S{ следует понимать вычисленные относительно оси оу
статические моменты той части соответствующего пояска, ко-,
торая отсекается (рис. 108) от профиля вер-
<? IvK^fvf <? тикалью, проведенной через место, для ко-
торого определяется искомое Yz, a S есть
вычисленный относительно той же оси ста-
статический момент части профиля, располо-
расположенной выше того горизонтального сечения
Jf стенки, которому соответствует искомое
напряжение Xz.
Так как величины Sx, S3 я S отрицатель-
отрицательны, a S2 и S4 положительны, то напряжения
Yz и Xz направлены при Q положительном
в различных частях профиля так, как то по-
показано на рис. 108. Они образуют поток
напряжений, сливающийся воедино в точке
Рис 108 ^ и вновь раздваивающийся в точке 4.
Вообще скалывающие напряжения, возни-
возникающие в двутавровой балке при изгибе
ее силой, параллельной стенке, можно находить с помощью
следующего правила.
1. Скалывающие напряжения представляют в своей совокуп-
совокупности поток напряжений, руслом которого является поперечное
сечение профиля. ¦
2. Величина их Т в заданной точке профиля может быть
находима с помощью формулы
T=-f-S, B1')
где Q— перерезывающая сила, / — момент инерции всего по-
поперечного сечения профиля, вычисленный относительно главной
центральной оси, перпендикулярной к Q; а — толщина профиля
в точке, для которой вычисляется напряжение, наконец, S—аб-
330
У
"X
Рис. 109.
солютная величина вычисленного относительно нейтральной оси
статического момента каждой из тех двух частей профиля, на
которые он в данной точке может быть кратчайшим путем рас-
рассечен.
3. В стенке профиля напряжения направлены в сторону
действия перерезывающей силы.
Путем аналогичных рассуждений можно найти картину ска-
скалывающих напряжений, имеющих место в поперечных сечениях
двутавровой балки, изгибаемой в плоскости ее /юясков. Не-
Нетрудно видеть, что формула B1) остается справедливой и в
этом случае, причем в ней попрежнему S и I
вычисляются относительно нейтральной оси
профиля, проходящей при изгибе двутавро-
двутавровой балки в плоскости поясков, очевидно, че-
через середину толщины ее стенки, а а есть по-
прежнему минимальная толщина профиля в том
его месте, где определяется напряжение. Ска-
лываюшие напряжения, однако, при изгибе в
плоскости поясков получаются более или ме-
менее заметными лишь в обоих поясках двутав-
двутавровой балки и составляют в них два парал-
параллельных потока напряжений, изображенных на
рис. 109.
Формула B1) применима вообще ко всяким односвязным
профилям, составленным из тонких полос. Для того чтобы
установить направление напряжения, ею
даваемого, достаточно помнить, что
скалывающие напряжения образуют в
своей совокупности потоки, имеющие
своим руслом сечение профиля, при-
причем в частях профиля, параллельных
перерезывающей силе, напряжения на-
направлены в сторону последней.
На рис. ПО такие потоки представ-
представлены для двух профилей: таврового и
коробчатого, при этом в верхней части
фигуры изображены картины напряже-
напряжений, возникающих при изгибе профиля
в плоскости его стенки, а в нижней
части фигуры — соответствующих изги-
изгибу в плоскости поясков.
Вышеизложенный приближенный ме-
метод расчета тонких односвязных профилей, составленных из
тонких полос, представляет собою развитие метода Журав-
ского, но в отношении определения картины напряжений
в поясках профиля был впервые предложен, повидимому,
Губером1.
J.
Рис. 110.
1 См. В Foppl, Zura 70 Geburtstag. Beitrage zur technlchen Mechanik und
technischen Physik, § 25, 1924.
331
При расчете на изгиб односвязных профилей, составленных
из тонких прямоугольных полос, необходимо, как то отмечено
выше в § 6, обращать особое внимание ИЗ^величину скручи-
скручивающего момента, которому соответствует найденное напряжен-
напряженное состояние, или, что то же, на положение линии действия
перерезывающей силы.
Определить величину скручивающего момента, соответствую-
соответствующего найденному состоянию, можно всегда с помощью послед-
последней из формул (а) § 5, найти же соот-
соответствующий этому напряженному со-
состоянию угол закручивания с помощью
формулы A1) § 4. Последнюю следует
применить при этом к контуру, ограни-
ограничивающему поперечное сечение стержня.
В примере, который мы рассмотрели
выше, мы могли не определять ни ве-
~У личины Mz, ни величины х, так как бла-
благодаря симметрии профиля относитель-
относительно оси ох величины эти для найден-
найденного напряженного состояния можно
было считать равными нулю. Если бы,
однако, расчету подлежал профиль, не
симметричный относительно оси ох, то
определить для найденного его напря-
напряженного состояния величины Mz и х
было бы необходимо.
В качестве такого несимметричного
профиля рассмотрим швеллер, изображенный на рис. 111. При-
Приняв, что при изгибе этого швеллера в плоскости его стенки
нормальные напряжения в нем распределяются по закону
Рис. 111.
<?(/-*)
j
Л,
B')
можно с помощью формулы B1) притти к эпюру скалывающих
напряжений, изображенному на рис. 111. Скручивающий момент
Mz мы получим, взяв момент равнодействующей всех скалы-
скалывающих напряжений относительно оси oz. Очевидно, он не
будет равен нулю.
Величину х можно определить с помощью формулы
9
Tcos(Г, ds)ds -= — -?- 9 S+2G-.F,
/ 1 ~f~ Q J
(И)
в которой 5 должно быть равно нулю, если ось ох проходит
через центр тяжести сечения профиля, а циркуляция скалываю-
скалывающего напряжения равна нулю, если напряжения распределены
по толщине стенки поясков равномерно. Отсюда заключаем,
что для напряженного состояния, удовлетворяющего этому
последнему условию, х = 0 и, следовательно, оно соответствует
изгибу без кручения.
332
§ 11. Приближенный расчет тонких многосвязных контуров
Пусть дан многосвязный пустотелый трубчатый профиль,
аналогичный изображенному на рис. 112.
Если толщина всех стенок профиля всюду достаточно мала,
то величина напряжений, возникающих в профиле при изгибе,
может быть охарактеризована значением напряжения среднего
по толщине профиля в данном месте. Если бы мы, проведя
Ш
\10/
f
¦HI
о,
,;l Ф
„L.
K
i л
T
¦и
¦y
D 'в
— а
x
Рис. 112.
в профиле несколько разрезов, превратили его в профиль одно-
связный, то мы могли бы скалывающие напряжения в нем выра-
выразить через напряжения, действующие в упомянутых разрезах.
Для этого достаточно было бы повторить рассуждения, анало-
аналогичные использованным в § 10.
Напряжения в вышеупомянутых разрезах, превращающие
контур поперечного сечения профиля в контур односвязный,
остаются при этом неопределенными и должны быть разысканы,
как и в соответствующей задаче о кручении аналогичных кон-
контуров, с помощью теоремы о циркуляции скалывающего напря-
напряжения, выражаемой в задаче об изгибе, как было показано
выше в § 4, равенством
Тcos (T,ds)ds = 2G-F— -4- ~S.
(И)
Здесь S есть статический момент площади, ограниченной
контуром, для которого вычисляется циркуляция скалывающих
напряжений, взятый относительно главной центральной оси
инерции профиля, параллельной силе Q, a F— величина площади,
ограниченной этим контуром.
Равенств типа A1) можно написать по одному для каждого
из тех контуров, которые надо в исследуемом сечении разре-
разрезать, чтобы превратить контур поперечного сечения стержня в
333
контур односвязный; этих равенств должно быть поэтому доста-
достаточно для того, чтобы разыскать величину скалывающих напря-
напряжений, действующих во всех только-что упомяну.э*8Тх разрезах. Не-
Неизвестную х, можно при этом полагать равною нулю. При этом
следует, однако, определить, исходя из величины скручивающе-
скручивающего момента Mz, положение линии действия силы Q, соот-
соответствующее изгибу без скручивания. Общий порядок расчета
лучше всего можно видеть из частного примера. В качестве
такового рассмотрим расчет профиля, изображенного на рис. 112.
Для того чтобы превратить профиль, изображенный на этом
рисунке, в односвязный, его достаточно рассечь по линиям
/—/, 11 — //, III—III. Благодаря тому, что этот профиль сим-
симметричен относительно оси ох, можно считать, что при изгибе
его без скручивания скалывающее напряжение в сечении /—/
будет равно нулю; в сечениях же // — // и ///—ill будут по
величине одинаковы.
Примем напряжение в сечениях П—II и ///—/// за основ-
основную неизвестную и обозначим ее через То. Для разыскания То
воспользуемся теоремой о циркуляции, выражаемой равенством
A1). Чтобы развернуть последнее, выразим скалывающее на-
напряжение Т в различных точках контура через неизвестную
70. Это можно сделать, используя условия статики.
Для определения напряжения Г в сечении Л — Л рассмотрим
условие равновесия элемента, лежащего между сечениями / — /
и Л—Л с одной стороны и двумя бесконечно близкими попе-
поперечными по отношению к оси стержня с другой. Считая ска-
скалывающие напряжения в сечении / — / равными нулю, получаем
для определения Та
Та % dz + // ( ^ dz) dx dy = О,
где двойной интеграл должен быть распространен на всю пло-
площадь поперечного сечения стержня, лежащую между разрезами
/ — /и А— Л. Так как
_ Q(l-Z)
^г ¦— j • л>
, то из только что написанного уравнения следует
Та = — TsJ s'.a j
где Si,а есть вычисленный относительно оси оу статический
момент площади сечения, лежащей между разрезами / — /и
А —А.
Для определения напряжений Тв в сечении В —В нам сле-
следует уже рассмотреть равновесие элемента, лежащего между
сечениями /—/, В — В и II —П. Как нетрудно видеть, уравне-
уравнение равновесия его есть
TBKdz+ Too1dz + JJ (~±-
334
где интегрирование распространяется на всю площадь попе-
поперечного сечения между разрезами /—/, 11 — 11 и В— В.
Из только-что написанного уравнения можно видеть, что
Tb = ~Toy jjj- «S/, в, и,
где Si,B,ii есть вычисленный относительно оси оу статический
момент той части сечения профиля, которая лежит между сече-
ииями /— /, II — II и В —В.
Совершенно таким же образом для напряжений в сечении
по правой стенке профиля и по его нижнему пояску можно
получить
Тс = Т± S
где Sr,c и S/,?> суть статические моменты относительно оси оу,
вычисленные для частей профиля между сечениями/ —1,11 — //
и С — С и /—', // — // и D — D соответственно.
Подобным же образом можно видеть, что в сечении Е— Е
по правой внутренней стенке должны иметь место напряжения
Те = То jg- Sri,E,
где Sn,E есть статический момент относительно оси оу, вычис-
вычисленный для той части правой внутренней стенки профиля,
которая лежит между сечениями //—// и Е — Е; а напряжения
в нижнем пояске в сечении F — F суть
m Q Q
здесь Sr,F есть статический момент относительно оси оу всей
той части правой половины профиля, которая лежит между
сечениями /— ' и F—F.
Для того чтобы найти напряжение То, оставшееся пока
неизвестным, рассмотрим циркуляцию скалывающего напряже-
напряжения для контура, окружающего правую внутреннюю полость
трубы. Пользуясь равенством A1) и обходя контур в направлении
кратчайшего вращения от оси ох к оси оу, т. е против часовой
стрелки, будем для определения То иметь уравнение
$ Г cos (Т, ds) = — j^-a О. S,
где S есть статический момент площади, заключающийся внутри
контура, для которого вычисляется циркуляция скалывающего
напряжения, взятый относительно оси ох.
Определив из этого уравнения То, можно подставить его
значение в выписанные выше выражения для Та, Тв,... Tf, после
335
чего задачу об определении скалывающих напряжений можно
будет для рассматриваемого профиля считать ^конченной.
Благодаря симметрии относительно оси ох, момент Mz будет
для данного профиля при т, равном нулю, равен нулю.
Изложенное решение проливает некоторый свет на вопрос
о распределении скалывающих напряжений в бортах и про-
продольных переборках корабля при его общем изгибе. Оно пока-
показывает, что если бы судно не имело достаточно большого
числа поперечных переборок, уравнивающих в ряде поперечных
сечений корабля прогибь бортов прогиби продольных пере-
переборок, то скалывающие напряжения в продольных переборках
и бортах судна получались бы на одной и той же высоте про-
профиля вообще различными. Поперечные переборки и вообще
поперечный набор судна, если он достаточно жесток, уравни-
уравнивают во всех поперечных сечениях корабля перемещения от-
отдельных его стенок, а, следовательно, и скалывающие напряже-
напряжения в этих стенках.
Задаче о том, как распределяются под действием перерезы-
перерезывающей силы скалывающие напряжения в поперечном сечении
корабля, посвящено несколько работ профессора Суйехиро,
подходившего, впрочем, к этой задаче довольно элементарно.
Как видно из вышеизложенного, вопрос о распределении
напряжений в отдельных стенках поперечных сечений, не будь
у корабля поперечного набора, решался бы довольно просто.
Необходимость учета влияния поперечного набора затрудняет
в большинстве случаев получение более или менее строгих
решений рассматриваемой задачи. В самом грубом прибли-
приближении можно принимать, что поперечный набор полностью
выравнивает вертикальные перемещения отдельных продоль-
продольных стенок корабля и что, следовательно, перерезывающая
сила распределяется между отдельными продольными стен-
стенками эквивалентно бруса у реальных кораблей пропорци-
пропорционально жесткостям этих стенок по отноше-
отношению ксдвигу, а не в соответствии с теми рассуждениями,
которые изложены в начале настоящего параграфа примени-
применительно к случаю отсутствия у рассматриваемого трубчатого
многосвязного профиля поперечного набора.
§ 12. Некоторые общие замечания, касающиеся
задачи Сен-Венана. Постулат Сен-Венана
Задача о кручении и изгибе призматических стержней, в той
ее постановке, которая изложена выше, была впервые решена
Сен-Венаном. Решение Сен-Венана приводит для скалывающих
напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения
стержня, к выражениям, в которые координата z, измеряемая
вдоль оси стержня, не входит. При этом для всякого профиля
оно приводит к совершенно определенному закону распределе-
распределения скалывающих напряжений по плоскости поперечного сече-
сечения стержня. Полученное решение может поэтому быть точным
336
решением задачи только в том случае, если внешние усилия,
приложенные к торцевым сечениям профиля, будут по площади
этих сечений распределены не как-нибудь, а по тому именно
закону, который дает теория Сен-Венана для стержня данного
очертания.
Если скручивающий момент или перерезывающая сила будут
распределены по площади поперечного сечения как-нибудь иначе,
чем то дает теория Сен-Венана, то напряжения Xz и Y. будут
зависеть от координаты z и решение Сен-Венана, если подхо-
подходить к вопросу строго, будет неприменимо. Это, казалось бы,-
должно в значительной мере обесценивать полученные резуль-
результаты.
Сен-Венан caw обратил внимание на эту сторону вопроса,
но он указал и на те обстоятельства, которые позволяют его
решением пользоваться и во многих из тех случаев, в которых
оно не является строгим.
Система взаимно уравновешивающихся сил, прило-
приложенных к ограниченному району тела, составляющему
малую часть его общего объема, вызывает в районе прило-
приложения этих сил напряжения, которые, конечно, не могут в рав-
равной мере захватывать всего объема тела. Напряжения эти кон-
концентрируются в районе непосредственной нагрузки тела рас-
рассматриваемой системою сил и сравнительно быстро убывают
по мере удаления от этого района. В точках, достаточно уда-
удаленных от этих районов, влияние упомянутых взаимно уравно-
уравновешенных сил должно быть пренебрежимо мало.
Положение это в общем виде пока не доказано. Правильность
его не подлежит, однако, никакому сомнению. Оно было впервые
формулировано Сен-Венаном, смотревшим на него, как на апри-
априорный принцип. Оно носит поэтому наименование принципа
или постулата Сен-Венана.
На основании этого постулата решение Сен-Венана может
быть распространено и на такие случаи кручения и изгиба
призматических стержней, когда приложенные к концам стержня
усилия, распределены по площади крайних поперечных сече-
сечений его не по тому закону, который для стержня данного
очертания дается решением Сен-Венана, а как-либо иначе. Дей-
Действительно, мы можем всегда представить себе вместо нагрузки,
фактически приложенной к концам стержня, некоторую такую
нагрузку, которая в каждом поперечном сечении дает ту же
равнодействующую, но распространена по площади поперечного
сечения стержня в строгом соответствии с решением Сен-Ве-
Сен-Венана. Разность этой последней нагрузки и нагрузки, фактически
приложенной к телу, должна быть системой сил, взаимно уравно-
уравновешивающихся в каждом из крайних поперечных сечений
стержня. По принципу Сен-Венана такие усилия должны вызы-
вызывать местные напряжения, концентрирующиеся возле концов
стержня, но не захватывающие всего стержня.
Если стержень достаточно длинен, то на достаточном удале-
удалении от его концов влияние каждой из этих местных нагрузок
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—22 337
тела должно прекращаться. Поэтому в точках, достаточно уда-
удаленных от концов стержня, истинная картина распределения
в теле напряжений должна быть достаточно близка к даваемой
теорией Сен-Венана. Это позволяет выводы йен-Венана распро-
распространять, пренебрегая местными напряжениями возле концов
стержня, также и на тот случай, когда усилия, приложенные
к концам, распределены по площади крайних поперечных сече-
сечений стержня, как угодно. Величины местных напряжений, кото-
которыми мы при этом вынуждены пренебрегать, мы как правило,
не знаем. В некоторых случаях узнать их, однако, оказывается
возможным. К числу таких случаев относится ряд решений,
полученных в так называемой плоской задаче теории упругости.
Некоторые из них будут рассмотрены в следующих главах. Ни
одно из таких решений не противоречит принципу Сен-Венана.
Последним поэтому часто пользуются для того, чтобы распро-
распространить решение Сен-Венана на кручение и на изгиб стержней,
к которым нагрузка приложена не только в крайних поперечных
сечениях, а вообще к каким угодно точкам стержня. Рас-
Распространяя решение Сен-Венана на эти случаи, мы, конечно,
делаем известные ошибки, не дооценивая местных напряжений,,
концентрирующихся в этих случаях уже не только в районе край-
крайних поперечных сечений стержня, а вообще в районе каждой
отдельной силы, к телу приложенной. В частности, например,
решение Сен-Венана, будучи приложено к задаче об изгибе
стержня собственным весом, должно дать нам какую-то по-
погрешность во всех точках тела.
Вопрос об изгибе призматических стержней собственным
весом в настоящее время уже довольно хорошо разобран. Многа
сделано в этом отношении Майчелом, показавшим, что, считая
все компоненты напряжения некоторыми алгебраическими поли-
полиномами второй степени от z, коэфициенты которых являются
функциями от х и у, можно для призматического стержня
задачу об изгибе собственным весом привести, каково бы ни
было очертание поперечного сечения стержня, к решению неко-
некоторой плоской задачи. Доведенные до конца решения имеются
для стержня круглого и эллиптического. Первое можно найти
в главе XVI Теории упругости Лява, где изложена достаточно
подробно и общая теория Майчела. Второе было получено»
А. М. Хлытчиевым.
Соображения, изложенные в § 21 главы VII, позволяют
получить точное решение для изгиба призматического стержня,
загруженного любым образом. Несколько таких решений, при-
применительно к стержню круглого сечения, было получено Пох-
гаммером, рассмотревшим как тот случай, когда поперечная
нагрузка стержня создается нормальными усилиями, приложен-
приложенными к боковой поверхности, так и случай, когда она создается
скалывающими напряжениями на этой поверхности.
Ни одним из имеющихся точных решений задачи об изгибе
постулат Сен-Венана не опровергнут. К приближенным реше-
решениям, основанным на использовании постулата Сен-Венана и
338
полученного им решения для балки консольной, имеющиеся
точные решения дают поправки, величина которых по сравне-
сравнению с основными напряжениями, даваемыми элементарной теорией
изгиба, является малою того порядка, каким по сравнению
с единицей является отношение поперечных размеров балки
к ее длине.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VIII
Задача 1. Показать, что граничным условием (8) функция напряжения
определяется на контуре сечения однозначно.
Задача 2. Показать, что решение для эллиптического стержня, приве-
приведенное в § 8, удовлетворяет условию
Задача 3. Показать, что решение § 8 применимо к изгибу стержня,
сечение которого есть полуэллипс, изображенный на рис. 113.
Рис. 113.
Рис. 114.
Подсчитать соответствующее этому решению положение линии действия
перерезывающей силы.
Задача 4. Для эллипса с отношением полуосей Ь:а — 2 определить
траекторию скалывающих напряжений, проходящую через точку х = 0; у =
= 0,95 6, и, вычертив эту траекторию, подсчитать с помощью решения § 8
величину равнодействующей скалывающих напряжений Х^ и Yz для несколь-
нескольких точек контура, ограниченного (рис. 114) этой траекторией и контуром
эллипса.
Определить для стержня, сечеиие которого ограничено лункой, изобра-
изображенной на рис. 114, соотношение между М, и Q и положение его центра
жесткости.
Задача 5. Задачу 4 решить для лунки, образованной эллипсом с от-
отношением Ь:а = 2 и траекторией скалывающих напряжений, проходящей
через точку х = 0, у = 1,05 Ъ.
Задача 6- Основываясь на решении §8, определить для эллиптичес-
эллиптического сечения точку, в которой скалывающее напряжение
достигает своего максимума.
Задача 7. Основываясь на решении § 8, получить решение задачи об
изгибе для стержня, сечение которого есть круг радиуса г, вычертить для
339
этого стержня траектории скалывающих напряжений, проходящие через
точки:
а) х=0; у =0,25 г
б) х =0; у = 0,50 г
в) х = 0; у = 0,75 г
и построить эпюр распределения скалывающих напряжений X, по ширине
полуоси х — 0.
Задача 8. Основываясь на решении § 8, вывести формулы для переме-
перемещений и, v и w для эллиптического профиля, если условия закрепления ко-
координатных осей заданы равенствами
и = v = w = 0,
<);t dz дх '
при je =_у = г = 0
и найти с помощью этих выражений геометрическое место точек, занимаемых
после деформации различными точками оси oz.
Задача 9. Задачу 8 решить применительно к стержню круглого се-
сечения.
Задача 10. Основываясь на решении § 9, определить методом числен-
численного интегрирования для стержня, сечение которого есть квадрат, траекторию
скалывающего напряжения, проходящую через точку х — 0; у =0,95 Ь.
Задача 11. Для стержня, сечение которого (рис. 115) ограничено кои-
туром квадрата и кривой, найденной при решении задачи 10, определить
с помощью решения § 9 положение центра жесткости.
Рис. 116.
Задача 12. Основываясь на решении § 9, иайти перемещения и, v и w
для стержня прямоугольного сечеиия.
Задача 13. Для профилей, изображенных на рис. 116, подобрать функ-
функцию f(y) так, чтобы на контуре можно было подчинить функцию <р условию
OS
Задача 14. Основываясь на том, что траектории скалывающих напря-
напряжений, определяются при изгибе уравнением
их
dy
X.
'Г
340
показать, что все эти траектории должны удовлетворять при изгибе стержня
любого очертания уравнению
ds
\ 21
Задача 15- Основываясь на решении § 9, получить общие выражения
для о, w, X. и К, для стержня квадратного сечения, изгибаемого силой Q
направленной параллельно одной из диагоналей сече-
сечения стержня (рис. 117).
Указание. Требуемый результат может быть полу-
получен всего проще путем сложения функций напряже-
напряжения, соответствующих изгибу силой — в плос-
плоскости хог и силой той же величины в плоскости уог.
Задача 16. Получить решение задачи об изгибе
в плоскости хог силою Q, приложенною к свобод-
свободному концу стержня, контур сечения которого опре-
определяется уравнением
1
X
У
Рис. 117.
— 1
Указание. Для этого профиля
и <р может быть найдено в форме
где А— некоторая постоянная.
Задача 17. Получить решение задачи об изгибе силою, приложенной
в плоскости хог к свободному концу стержня, профиль которого опреде-
определяется двумя прямыми у = const и гиперболою
Указание. Для этого профиля
Q_
\cfi (I + i) + 'У2]
¦: =0.
Профиль этот, рассмотренный, как и профиль задачи 16, Грасгофом, замеча-
замечателен в том отношении, что для него траекториями скалывающих напряже-
напряжений являются прямые, параллельные оси ох.
Задача 18. Показать, что если при изгибе в плоскости хог центр тя-
тяжести профиля не лежит на оси ох, то функция напряжения, связанная
с компонентами напряжения зависимостями D) и E), должна удовлетворять,
как и в случае, рассмотренном в § 1—3, граничным условиям (8), вместо же
уравнения F) уравнению
1 Q —f'(\
1 -{- о / '
где у0—координата центра тяжести профиля. Только при таком написании
уравнения для <р величина т будет равна нулю при изгибе без кручения.
341
Задача 19. Д. Ю. Пановым показано1, что для профиля, изображен-
изображенного на рис. 118 и определяемого уравнением
a J а \ а I '
функция напряжения ер может быть разыскана в форме
'-^{ф"-* 4 (*-¦)"}(?
где г, — некоторая константа.
Определить значение константы т, и
„( выяснить, относится ли это решение
'S к изгибу без кручения.
Решение. Для рассматриваемого
профиля следует принять
X
Тогда граничное условие для ер будет
Рис. 118. даваться равенством
при
Для этого профиля координата центра тяжести сечения при выбранном по-
положении оси ох определяется условием
_Vo_= Ъ_
а 7 '
и функция ер должна удовлетворять, на основании условий задачи 18, урав-
уравнению
где ерез а обозначена величина
2G-.I
а = ¦
Qa '
Чтобы ер, определяемое выражением, приведенным в условиях разбираемой
задачи, удовлетворяло этому уравнению, необходимо положить
ft а 3
а= — ¦
4 Т+= 7 ' 12 ft L 1+*-/
Таким образом, рассматриваемое решение соответствует углу закручивания -
_ Оа Г 2 ft + 1 /р. 1 - 3s \ _ ft g 3_"|
" 2G/ | 12 ft V +i У 4 1 + - 7 J"
1 См. ДАН, т. III, стр. 1«0, 1834.
342
Задача 20. Как то указывает Д. Ю. Панов для стержня, рассмотрен-
рассмотренного в предыдущей задаче, жесткость при кручении определяется завися-
¦МОСТЬЮ
3465
Определить для этого стержня положение центра жесткости.
Ответ. Чтобы устранить кручение профиля, соответствующее решению
приведенному в предыдущей задаче, надо приложить к профилю в дополне-
дополнение к моменту М,, соответствующему упомянутому решению, дополнительный
момент Шх, вызывающий у этого профиля угол закручивания — т, где -.—
величина, найденная при решении задачи 19.
Отстояние у центра жесткости от начала координат (рис 118) может
оыть определено после этого по формуле
_
По Д. Ю. Панову должно быть
- 19
13 <2
78 ^6A3
35 + 51 г
ТТ(ТЗ~+ \\k)(\+~i)
Зада,ча 21. Оснсвыв;ясь на данных, приведенных в решении задачи 19
исследовать картину распределения напряжений X, и У. для той нагрузки
профиля, к которой относится это решение.
Задача 22. Для решения, рассмотренного в задаче 19, иайти аксиальное
перемещение w
Задача 23. При изгибе стержня квадратного сечения силой О прило-
приложенной к его свободному концу, в его поперечных сечениях согласно реше-
решению § 9, возникают напряжения, общий характер траекторий которых изо-
изображен на рис. 119. С другой стороны, в каждой половине стержня двойной
Q « Q
1
ч
L
ширины, загруженного силой 2Q, согласно тому же решению § 9 траектории
скалывающих напряжений должны иметь вид, изображенный на рис. 120.
При этом никаких усилий взаимодействия в плоскости соприкосновения
соеих половин стержня не возникает.
Выяснить, не противоречит ли принципу Сен-Венана отмеченная возмож-
возможность возникновения во всем теле стержня двух разных напряженных состо-
состоянии под действием одной и той же перерезывающей силы.
343
Ответ. Если мы расположим начало координат в центре сечения рас-
рассматриваемого стержня, то в случае напряженного состояния, $арактеризуе-
мого рис. 119, функция 'г будет удовлетворять уравнению
в случае же напряженного состояния, соответствующего рис. 120, уравнению
V г 1i_ 7 -У ^ 1 i - /
Вчпервом случае М. = 0 и координатные плоскости стержня не скручи-
скручиваются, во вторэм М, ^tO, и изгиб сопровождается кручением профиля.
Совершенно естественно, что две разныг нагрузки стержня, носящие об-
общий (не местный) характер, вызывают во всем стержне два разных напря-
напряженных состояния.
¦ Задача 24. Выяснить, какой величины скручивающий момент надо
приложить к стержню квадратного сечения для того, чтобы в нем под дей-
действием перерезывающей силы Q возникло напряженное состояние, характе-
характеризуемое рис. 120 (см. условия задачи 23), и на каком расстоянии от центра!
профиля у проходит при этом линия действия силы Q.
Рис. 121.
Задача 25. Для изгиба толстостенной круглой трубы (рис. 121) К. Ве-
бер1 получил решение в форме равенств
Х-==Ъх~~Ту'
,, дФ , дУ
У = 1 ,
где
ф= 2т[—5"/--jj
4 Д2 + У- }'
' С. Weber, Z. A. M. M., Ed. 4, S. 3S4, 1924.
344
Ч"
Я
2/
Xs-
- — (а2
а — внутренний, b — наружный радиусы сечения.
Проверить, удовлетворяет ли это решение теореме о циркуляции и гра-
граничным условиям, проследить общий характер траекторий скалывающих,
напряжений; развернуть выражения для скалывающих напряжений и опреде-
определить в частности скалывающие напряжения на горизонтальном диаметре.
Ответ. Скалывающие напряжения на горизонтальном диаметре, где у = О
определяются формулой
Y. [у.» = -g- [- х»
+ 3 (а2 +
8/
Зх2 — (а2 + б2)
В частности у внутреннего контура
362 + а2-
Iv-o = ("
а b a\Q
1 + а" ~а2 + Й2~У IF
у внешнего же
За2 + б
о2 + ;,2
где Я—площадь поперечного сечения стержня.
У внутреннего контура напряжения | У„\у=0 больше, чем у наружного.
Если а бесконечно мало по сравнению с Ь, то напряжения у внешнего
контура не зависят от наличия отверстия, возле же самого отверстия они
вдвое больше, чем в случае отсутствия такового.
Задача 26. Для пустотелой трубы с отношением а:й=0,5 вычислить
по точкам, опираясь на решение задачи 25, несколько траек-
траекторий скалывающих напряжений.
Задача 27. Определить при какой нагрузке профиля,
изображенного на рис. 122, получаются в этом профиле те
же напряжения, что и возникающие в профиле рис. 121
в условиях задачи 26.
Ответ. Равнодействующая скалывающих напряжений
должна проходить через точку
-а)
В пределе, когда b = а,
ft4 —я*
Рис. 122.
Линия действия перерезывающей силы лежит в этом случае вне габарита
поперечного сечения стержня.
Задача 28. Для профилей, изображенных на рис. 123, определить при
изгибе в плоскости хог картину распределения скалывающих напряжений и
345
положение центра жесткости. Определить, кроме того, во сколько раз уве-
увеличивается наибольшее скалывающее напряжение в профиле, если мы заставим
перерезывающую силу пройти через ц. т. площади сечения вместо центра
жесткости профиля.
200x12
10'
л
х
Рис. 123.
Задача 29. Для тонкостенного трубчатого профиля, изображенного на
рис. 124, изгибаемого в вертикальной плоскости, построить эпюр скалываю-
скалывающих напряжений, считая, что профиль изгибается без скручивания.
Задача 30. Считая, что профиль, изображенный на рнс. 124, изгибается
в горизонтальной плоскости, определить положение его центра жесткости.
I-
/
/
/
л
г"
У
х
Рис. 124.
Построить для него эпюр скалывающих напряжений, считая, что:
а) равнодействующая скалывающих напряжений проходит через центр
тяжести сечення;
б) равнодействующая скалывающих напряжений проходит через центр
жесткости.
Задача 31. Для тонкостенного многосвязного профиля, изображенного
на рис. 125, определить положение центра жесткости и построить эпюры ска-
скалывающих напряжений в предположении, что:
а) профиль изгибается в вертикальной плоскости и равнодействующая
скалывающих напряжений Qt лежит в плоскости его симметрии;
б) что он гнется в горизонтальной плоскости и Q проходит через центр
жесткости;
в) что он гнется в горизонтальной плоскости и Q проходит через центр
тяжести сечения стержня.
346
Рис. 125.
Рис. 126.
347
Задача 32. Задачу, аналогичную задаче 31, решить применительно
к одному из профилей, изображенному на рис. 126.
Рис. 127.
Задача 33. Задачу, аналогичную задаче 31, решить применительно
к профилям, изображенным на рис. 127.
ГЛАВА IX
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 1. Основные зависимости задачи о плоской деформации
Под именем плоской задачи в теории упругости известна
совокупность двух весьма родственных задач, а именно задачи
о плоской деформации и задачи о плоском напря-
напряженном состоянии.
Плоская деформация имеет место в средней части весьма
длинных призматических тел, нагруженных усилиями, одинако-
одинаковыми во всех сечениях тела и притом нормальными к оси тела.
Плоское напряженное состояние наблюдается в весьма тонких
пластинах, нагруженных усилиями, лежащими в плоскости пла-
пластинки.
В математическом отношении задачи о плоской деформации
и плоском напряженном состоянии почти тождественны и при-
приводятся к решению одного и того же диференциального урав-
уравнения при сходных граничных условиях.
Рассмотрим сначала основные зависимости задачи о плос-
плоской деформации.
Если достаточно длинный призматический стержень мы
загрузим только усилиями, нормальными к его оси, притом
по всей его длине одинаковыми, то на достаточно большом
расстоянии от его концов все его поперечные сечения будут,
оставаясь плоскими, деформироваться одинаково. Совместив
ось стержня с осью oz, можно будет, следовательно, принимать,
что вдали от концов стержня
и = и(х,у), |
v = v{x,у), j (а)
)
Деформацию, отличающуюся тем, что и и v не зависят от z,
a w от х и у, условимся называть обобщенной плоской
деформацией.
Ограничимся пока рассмотрением случая, когда объемных
сил к телу не приложено. В этом случае, как мы видели выше
349
в главе IV, вообще
и = 0i тт
« = 02 — -Х,
да = 0з —
1
4A — а) ду
1 д
4 A — з) дг
0о))
0о),
0O),
(б)
где
Мы получим из этого общего решения однородных уравне-
уравнений Ламе решение, соответствующее наиболее общему случаю
деформации, удовлетворяющей условиям (а), если положим
У),
)
02 = 0а
0з= 0з
0о
(в)
Тогда будем иметь
и =
w =
+ и2>
a,
где йх, г»! и wx будут зависеть только от z, а н2, t»2, w2 только
от х я у.
Нетрудно видеть, что определив щ, vt и Wi вышеуказанным
образом, мы получили бы
0
0з
-^ [0 0з
0о
Здесь 03(z) и 0Q(z), как функции одного аргумента, удовле-
удовлетворяющие уравнению Лапласа, должны почитаться линейными
функциями от z, так что эта часть решения в своем наиболее
общем виде дается равенствами
их = vx = О,
Этому соответствует равномерное удлинение в направлении
оси oz, которое добавить и учесть можно всегда без каких-либо-
принципиальных затруднений.
Сосредоточим поэтому в дальнейшем все наше внимание
на той части даваемого равенствами (б) и (в) решения, которое
350
зависит от х и у и не зависит от z. Очевидно,
^2=02-^
щ = о,
где 0,— три функции от
Лапласа
(е)
и j», удовлетворяющие уравнению
я 0* = О. A)
Деформацию тела, определяемую равенствами (е) и A) усло-
условимся называть плоскою. Ограничиваясь рассмотрением во
всем дальнейшем только той лишь части решения (б) и (в),
которая не зависит от z и которая определяется равенствами (е)
и соответствует, следовательно плоской деформации,
будем во всем дальнейшем в формулах (е) индекс 2 при функ-
функциях и, v и w опускать.
Таким образом в наиболее общем случае плоской деформации
4A
B)
" - *>2 4A-а) ду v ~
w = О,
где 0,- — три функции от л: и у, удовлетворяющие уравнению A).
§ 2. Функция Эри
Рассмотрим напряжения, соответствующие наиболее общему
случаю плоской деформации. Мы видели выше в главе III, что
Хх = 2G \ехх+ ^ б] ; Х9 = Gexy;
Yy = 2G [е„+ г^Тв в] ; Г2 = GeB,;
Zz = 2 G [ezz + j-^ в] ; Zx = Gezx.
В рассматриваемом случае, в силу B)
С |Щ
_д__
ду
1
4A-0)
и, следовательно,
О =
дх
1 \
д0г
ду
351
Нетрудно, однако видеть, что
и что, следовательно, в случае плоской деформации
(а)
02 + 0О)
и
0о)},
(б)
Х.= Г2 = 0.
Чтобы упростить полученные выражения, обратим внимание
на то, что в силу (а)
дл: 2 V дх ду
1/
2 {
дх + ду
1 ( d0j д0.2\
~ 2 \ дх д_у )
j дх ) + " V <)х + ду ) 2
602 = J
ду 2 V д><
Это позволяет вместо (б) написать
ду
¦= 20 [т
х = г. = о.
C)
352
Дальнейшее упрощение полученных общих выражений для
компонентов напряжения можно получить, основываясь на том,
что поскольку все функции 0( удовлетворяют уравнению
V2 01 = 0, то величины
дх ду ' ду дх ду ~ дх
можно выразить все через частные производные одной и той же
функции «о, удовлетворяющей уравнению
D)
положив
V2<" = О,
1 (д0! д 0г\ _ 1
2 V дх
ду J 4A — а) ду* '
1 (д02 d0t\ __J д*_
2 V ду дх ) 4A—о) д^ '
) =~ 4 1-о) дхдуШ'
2 { ду ~г~ дх
Приняв E) и обозначив через <р величину
2Q
E)
F)
получим вместо C)
¦ ду3'
"д1*>
G)
что совпадает с решением, найденным Эри.
Функцию if, связанную в плоской задаче с компонентами
напряжения зависимостями G), принято называть в этой за-
задаче функцией Эри или функцией напряжения. Как
видно из F), D) и (а;, функция Эри удовлетворяет уравнению
^ = ТП^Г У3 (Х
а, следовательно, и уравнению
V2V2<p = 0. (9)
Необходимость подчинения функции Эри уравнению (9) была
отмечена впервые Максвелом.
Равенствами A), B), F), G) и (9> даются основные зависи-
зависимости задачи о плоской деформации. Мы предпочли их полу
чить изложенным выше несколько необычным путем, так как
это позволило нам попутно с получением решения Эри, дава-
даваемого равенствами G> и (9), получить общие выражения для
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—23 253
перемещений и и v, а также решение C), отличное от реше-
решения Эри.
Заметим, что в некоторых случаях решение C), из которого
мы вывели решение Эри, может оказаться не менее удобным,
для практического использования, чем это последнее.
От решения Эри решение C) отличается тем, что в нем
компоненты напряжения выражены через производные не одной
бигармонической функции <р, а трех гармонических функций.
Может поэтому показаться, что решение C) сложнее решения
Эри. На самом деле это, однако, не так, так как решение C)
избавляет нас от необходимости рассмотрения общего интеграла
бигармонического уравнения, выражающегося, как известно,
через гармонические функции. Кроме того в решении C) ком-
компоненты напряжения выражаются через те самые гармонические
функции 0t, которые входят и в выражение перемещений B).
Поэтому для практического использования решение C) иногда
даже удобнее решения Эри.
§ 3. О числе произвольных гармонических функций, входящих
в общий интеграл плоской задачи
В решение B), C) входят три неизвестных гармонических
функции 0,-. В решение Эри входит одна бигармоническая фун-
функция (р, выражающаяся, как видно из F), через четыре гармо-
гармонических функции 0,- и <а, из которых три являются произволь-
произвольными. Уместно поставить вопрос, все ли эти гармонические
функции необходимо оставить в решении плоской задачи для
сохранения этим решением его общности.
Всякую бигармоническую функцию, а, следовательно, и
функцию Эри можно представить в форме любого из следующих
трех равенств:
<Р = хъ. + <Ро.
<р0>
где (р; — функции, удовлетворяющие уравнению
Va<Pi = 0, (a)
/¦а = лаН-у2, (б)
причем 90 во всех строчках имеет, конечно, различные значения.
Покажем это. Для этого допустим, что функция <р нам из-
известна, а следовательно, известен и ее лапласиан, являющийся,
очевидно, функцией гармонической.
Взяв лапласиан от обеих частей первого из равенств A0),
будем иметь
V2(^1H-"f0) = 2^ = v2f = ^ (в)
где х п0 сказанному только-что известно и удовлетворяет
уравнению
V2x = 0. (г)
354
Поэтому интегрированием уравнения
можно всегда разыскать такую функцию <f>i> которая, удовле-
удовлетворяя уравнению (д), будет удовлетворять также уравнению (а).
Разыскав <ilt можем после этого непосредственно из равенства
<Р = *<h + f0 (e)
разыскать и <р0. Таким образом, если <р есть заданная бигармо-
ническая функция — ее всегда можно представить в форме пер-
первого из равенств A0).
Аналогичным образом можно легко убедиться и в том, что
любую бигармоническую функцию можно всегда представить
как в форме второго, так и в форме третьего из равенств A0).
В частности, если бы мы желали <р представить в форме
<p=3"Pa-f То, (ж)
нам нужно было бы определить юа как тот интеграл уравнения
0Фо 1 *—7л I / \
_^ = ту»<р = тх, (з)
который удовлетворяет уравнению (а), а (р0 найти по формуле
<Ро = (Р — УЪ- (и)
Если же мы пожелали бы представить <р в форме
Т = г\з + То, ' (к)
то нам нужно было бы разыскать ср3, как такой интеграл урав-
уравнения
*i(rb) = v*t=x, (л)
который удовлетворяет уравнению (а)* и затем разыскать (р0
из (к) с помощью простого вычитания.
Таким образом, можно указать совершенно определенную
последовательность действий, позволяющую выразить всякую
бигармоническую функцию в форме любого из трех равенств A0).
Это показывает, что в общий интеграл бигармонического урав-
уравнения входит всего лишь две произвольных гармонических
функции. При этих условиях сохранение в решении B) и C)
всех трех гармонических функций является отнюдь не необхо-
необходимым с точки зрения общности этого решения: мы можем,
не нарушая общности этого решения, положить в нем по же-
желанию либо функцию 0i, либо функцию 0а равной нулю, и
решение это останется общим. Нужно лишь под оставшимися
в нем двумя гармоническими функциями подразумевать общие
интегралы уравнения Лапласа.
1 Найти такой интеграл можно, так как, очевидно, х. определяемое равен-
равенством (l.), удовлетворяет уравнению V2X = 0.
355
§ 4. Общий метод разыскания перемещений, соответствующих
заданному выражению функции Эри
Сказанное в предыдущем параграфе позволяет наметить
весьма простой и общий путь разыскания перемещений и и «у,
Соответствующих заданному выражению для функции Эри tp.
Допустим, что функция <р нам известна. Представив ее с по-
помощью операций, рассмотренных в предыдущем параграфе
в форме равенства
«P = *?i + <Ро (а)
или
?=J«P«+«Po»
(б)
мы можем с помощью F) легко разыскать все три гармони-
гармонические функции 01, входящие в решение B), а, следовательно,
разыскать и перемещения и и г».
Допустим, например, что мы привели функцию Эри <р к виду
<Р = Xl?i + fo- (a)
Сопоставив это равенство с равенством F), видим, что можно
принять
20
2G
4A -а)
(В)
причем согласно определению функции си за нее следует при-
принять любой такой интеграл уравнений
1 д2 1 (д 0а д0Л
4A —а) дх2 Ш~ 2\ ду дх )'
4 A — а) ~df~ ш ~ ~2{~дх~ ду~)'
1 д*_ 1_ (д 0! д_0А
4A — а)дхду Ш~ 2 V ду + д^У'
который удовлетворяет уравнению
V2<" = 0.
E')
D)
Определив из (в) 0г, 02 и 0О + <". можно с помощью E')
разыскать со, после чего простым вычитанием найти 0О. Таким
образом, если ^ приведено к виду (а), то определить функции
01. 02 и 00) входящие в формулы B), нетрудно.
Если бы мы вместо того чтобы привести <р к виду (а), при-
привели эту функцию с помощью операций, рассмотренных в пре-
предыдущем параграфе, к виду
? = УЪ + ?о> (б)
356
то могли бы принять
20
4A2-а) 0* = Ъ, (Г)
20 :
71^@°+ <») = <Ро.
и, определив <» из E'), найти затем 0О. После этого все три
функции 0,-, входящие в <2), а, следовательно, и перемещения
и и v можно было бы считать известными.
Таким образом любое решение, даваемое функцией Эри,
можно привести к виду B) и C) как полагая 0Х равным нулю,
02 же не равным нулю, так и наоборот, полагая что 02 = 0,
0
1
Этим подтверждается сказанное в конце предыдущего па-
параграфа.
§ 5. Решение Лява
Вместо того чтобы полагать одну из функций 0,-, входящих
в B) и C), равною нулю, мы можем подчинить их условию
взаимной сопряженности с помощью зависимостей Коши-Римана
C01 _ d0j Л
дх ~ ду '
\ (И)
ду дх ' )
Приняв последнее, будем на основании E'), иметь
апс* ~ ~дуг ~~ дхду ~~ '
что дает возможность положить
@ = 0,
и, следовательно,
4= 471^-7, .(-«01 +У02 + 0о). A2)
Таким образом подчинение функций 0t в решении B) и C)
условию сопряженности A1) позволяет связь между функциями
0( и функцией Эри, даваемую вообще равенством F), заменить
более простою зависимостью A2).
Нетрудно видеть, что всякую бигармоническую функцию
можно всегда привести к виду A2), где 0г и 0а связаны между
собою зависимостями A1).
Действительно, полагая
<t = xp + yq + r, (a)
357
где <р известно, а р, q и г неизвестны и предполагаются свя-
связанными посредством зависимостей
(б)
где
др
дх
др
ду
др
дх
др
ду
[асно
= ду
= —
р
dq
dy'
dq
dx
(а) до
= P,
dx~W'
4 v t>
A3)
A4)
a Q — функция сопряженная с Р посредством зависимостей
dP dQ
dx ~ dy'
A5)
dy dx'
Разыскавши с помощью зависимостей A3), A4) и A5) сначала Р,
затем Q и, наконец, р и q, можно после этого из (а) иайти
функцию г. После этого для нахождения 0Ь 02 и 03, подчи-
подчиненных условию A1), останется положить
4A—5)
2G_
4A-a)
2G
A6)
и подставить найденные 0,- в B). Этот способ разыскания пе-
перемещений по заданному выражению для <р был предложен
впервые, повидимому, Лявом.
Как показано было в работах Г. В. Колосова и Н. И. Мус-
хелишвили, решение A1) и (lz) может быть непосредственно
использовано для решения плоской задачи с помощью теории
функций комплексного переменного.
Действительно, если две функции 0г и 02 связаны между
собою зависимостями A1), то можно 0г принимать за реальную,
а 02 за мнимую часть некоторой аналитической функции комп-
комплексного переменного
z= х + iy.
Функцию 0О, как функцию, удовлетворяющую уравнению Лап-
Лапласа, можно принять при этом за реальную часть некоторой дру-
другой функции того же аргумента z — x + iy.
358
Таким образом, решение Лява позволяет свести задачу о ра-
разыскании функции Эри и перемещений и и -у к разысканию двух
неизвестных функций комплексного переменного
= г + is = j~~
A7)
На решении B), G), A1), A2) и A7; основан ряд рассуждений
весьма замечательного сочинения „Некоторые задачи теории
упругости" проф. Н. И. Мусхелишвили.
§ 6. Граничные условия, которым подчинена -функция Эри
Допустим, что на границах исследуемой области заданы вне-
внешние силы и посмотри vi, каким граничным условиям должна
быть подчинена в этом случае функция напряжения.
В силу условий равновесия элементарного тетраэдра должно
быть вообще
Хч = Хх cos (х, v) + Хд cos (у, v) + Xz cos {г, v),
Y, = Yxcos{x, v) + Kycos(y, v)+ Yzcos(z, v),
Zv = Zjc cos (x, v) + Zy cos (y, v) + Zz cos (z, v).
В случае плоской деформации,
однако,
Xz = Yz = 0.
Следовательно, на границах тела,
где
cos (z, v) = О,
должно быть в случае плоской де-
деформации
X* = Xs cos (л:, v) + ^Yj,cos(v, v),)
Y4 = Yxcos(x, v)+ Yycosiy, v),
=0.
(a)
— x
Рис. 128.
Чтобы выяснить, какие условия налагаются этими равенствами
на функцию <р, достаточно подставить в них Хх, Yy и Ху из GJ
и выразить cos (л:, v) и cos О, vj через производные х и у по s,
отсчитываемому вдоль периметра рассматриваемого контура.
Условившись (рис. 128) внешний контур обхсдить в сторону
кратчайшего поворота от оси ох к оси оу, а все внутренние
контуры в строну, противоположную этому вращению, можно
считать, что
cos(*, v) = costy, s) = 3? j
cos(j/, v)=— cos (л, s)=——, j
(б)
359
что совместно с G) дает по подстановке в (а)
д*^ ?^ | д3» дх д_ д<?\
dy*ds "+" dxdyds~ ds\dy)'
„ д2"» ду д*<р дх д /d<f\
4 д л ду ds d*ads ds \dx)'
Выбрав на рассматриваемом контуре какую-либо точку А и
допустив, что в этой точке контура
Ыс = К dy = L' №
можно путем интегрирования равенств A8) получить для точки В
A9)
(А, В)
(А, В)
дт>
откуда видно, что приращение, полученное функцией т- при
переходе из точки А в точку В контура, равно проекции на ось оу
нагрузки, приложенной к рассматриваемому контуру между этими
двумя точками, соответствующее же приращение функции -?¦
равно проекции той же нагрузки на ось ох.
Определив с помощью A9) значение величин ? и ^ для всех
точек контура, нетрудно найти производные функции <р как по
s, так и по v для всех этих точек. Очевидно,
dtp di> d к . de dy
ds dx ds "¦" dy ds ' |
> (r)
dtp dy дх , до д\> I
ду дх дч ду дч' j
откуда интегрированием по s можно найти
или, принимая во внимание A9),
f\f f
(А, В) (А, В) (А, В)
Формула эта показывает, что с точностью до неопределенного
слагаемого вида М ¦+• Кх + Ly значение функции f определяется
в различных точках контура значением момента внешних сил,
приложенных к контуру между данной точкой и любой фикси-
фиксированной точкой контура. Нужно лишь вычислить его относи-
относительно точки, для которой определяется значение функции <р.
360
Формула B0) позволяет подсчитать по заданным Х^ и У, зна-
значение функции <р для всех точек ковтура, вторая из формул
(г) — значение ее производной по нормали.
Таким образом, если на контуре задана нагрузка тела, та
решение плоской задачи может быть сведено к нахождению
бигармонической функции по задавным на контуре значениям
как ее самой, так и ее производной по нормали к контуру.
То обстоятельство, что вагрузкой, приложенной к телу на кон-
контуре, <$ определяется с точностью до линейного слагаемого вида
M + Kx + Ly
не должно казаться странвым, так как слагаемое это из решения
для компонентов напряжения, даваемого равенствами G), вы-
выпадает.
Если исследуемая область односвязна, то константы К, L
и М можно положить на единственном контуре, ограничиваю-
ограничивающем эту область, равными нулю. Если исследуемая область не-
односвязна, то положив К, L и М равными нулю на каком-либо-
одном из контуров, ограничивающих эту область, например на
наружном, ими нельзя уже будет распоряжаться по произволу
на остальных контурах исследуемой области. Их нужно будет
в этом случае определить для всех контуров кроме тога
единственного, где они выбраны произвольно, из условий одно-
однозначности перемещений.
§ 7. Условия однозначности функции Эри
Соображения, изложенные в предыдущем параграфе, позво-
позволяют разобраться в вопросе о том. всегда ли однозначна функ-
функция Эри. Применив формулы A9) не к определенному лишь
участку какого-либо из отдельных контуров, ограничивающих
исследуемую область, а к избранному какому либо такому кон-
контуру полностью, нетрудно видеть, что при всяком полном обходе
любого такого отдельного контура величины -^ и у получают
приращения
где Rx и Ry— проекции на ось ох и соответственно на ось
оу главного вектора внешних усилий, приложенных к рассмат-
рассматриваемому замкнутому контуру.
Аналогичным образом, как видно из B0), сама функция Эри
получает при всяком полном обходе любого из замкнутых кон-
контуров, ограничивающих исследуемую область, приращение, опре-
определяемое интегралом
//
(А, В) (А, В)
361
¦что, как можно видеть после интегрирования правой части по
частям равносильно условию
ds. (б)
Здесь ха и у0— координаты той точки контура, с которой
начинается и которой кончается рассматриваемый его полный
обход.
Величиною интеграла
М' = &{xY-, — yX*)ds, B2)
входящего в правую часть этого уравнения, определяется мо-
момент всех внешних сил, приложенных к рассматриваемому кон-
контуру, взятый относительно оси oz и стремящийся вызвать
вращение, при котором положительное направление оси ох
кратчайшим путем переходит в положение, занимаемое поло-
положительным направлением оси оу; интегралы же
К„ ds и <? Х-, ds
имеют смысл, поясненный выше [см. равенства B1)]. Поэтому
вместо (б) можно написать
= Mz. B3)
Правой частью формулы B3) определяется, как легко видеть,
момент всех внешних сил, приложенных к контуру, вычислен-
вычисленный относительно точки начала и конца рассматриваемого обхода
этого контура.
Формулы B1) и B3) показывают, что при всяком полном
обходе любого из контуров, ограничивающих исследуемую
область, величины —, т- и f возрастают
— на величину—R
ду - " +Rx
<Р . . MZ=M°Z — x0Ry+y0Rx,
где Rx и Rv — проекции на оси ох и оу равнодействующей
внешних сил, приложенных к данному контуру, a MZ = M°Z~
— x0Ry-{-y0Rx — момент этих сил, взятый относительно точки
начала и конца рассматриваемого обхода, притом положительный,
когда, он стремится вращать исследуемую область в направлении,
кратчайшим путем переводящим ось ох в положение, занимае-
занимаемое осью оу.
Величины tp, у и ¦ -? могут поэтому считаться однозначными
лишь в том случае, если внешние силы, приложенные к телу,
уравновешиваются на всяком отдельном контуре, ограничиваю-
ограничивающем исследуемую область порознь, притом как в отношении их
главного вектора, так и в отношении главного момента.
Если они не уравновешены лишь в отношении их главного
момента, то неоднозначна лишь сама функция <р, если же не
уравновешен их главный вектор, то неоднозначны как сама функ-
функция <р, так и соответствующие ее производные - и Д
ОХ и у
Если исследуемая область односвязна, а объемных сил к телу
не приложено, то внешние силы, приложенные к любой ее
части, должны быть взаимно уравновешены. Поэтому в случае
односвязной области и отсутствии объемных сил <р и обе ее
первые производные должны быть на контуре однозначны.
§ 8. Условия однозначности перемещений
Мы видели в предыдущем параграфе, что функция Эри и
ее производные по х и у должны быть однозначными не всегда,
а лишь на таких контурах, на которых усилия Rx, Ry и Mz
равны нулю. Это показывает, что функции 01; 02 и 0О, свя-
связанные между собою зависимостями
д0\ д02
дХ '"I (»)
1у~ = д'х~'
с функцией же Эри <р и перемещениями и и -у посредством
равенств
01+V
B)
должны быть все однозначными лишь в том частном случае,
если внешние силы на рассматриваемом контуре уравновешены
вполне.
Посмотрим, какие условия налагаются на функции 0t тем,
что на всяком контуре, не пересекающем границ тела, переме-
перемещения и и v должны быть однозначными, в то время как функция у,
определяемая равенством A2), удовлетворяет на нем усло-
условиям
<23'>
36 3
4A-»)
2O
= H
B1')
Из условия однозначности величин и и v следует прежде
всего [см. равенства B) и A2)], что
откуда в силу B1) следует
B4)
Обратимся теперь к равенству B3'), оно требует, чтобы было
откуда, принимая во внимание B4), вытекает
Таким образом, при всяком полном обходе любого контура,
не пересекающего границ исследуемой области, функции 04
должны получать приращения, определяемые формулами
U@i) ds=~2Gl<e>
±
B4)
B5)
364
где х0 и v0 координаты точки начала и конца рассматриваемого
обхода контура.
Выписанными только-что формулами определяются прираще-
приращения, получаемые при всяком полном обходе контура самими
функциями 0{.
Для того чтобы выяснить, какие приращения должны полу-
чать при этом их производные -~ и —--, следует обратиться
к равенствам BГ), в силу которых должно быть
А l'a'\dc- 4
l
is \ dy
или, принимая во внимание B4)
20
П
3 —4j
2Ц '
(>~г) *+* ¦: т *=
Мы удовлетворим этим двум условиям, независимо от поло-
положения точки начала и конца обхода рассматриваемого контура,
если положим
B6)
d0, d0,-
т. е. если мы примем, что из производных -г—- и -х— только про-
д 0о д 0а
изводные ^ и -j— являются неоднозначными.
Нетрудно видеть, что условия B6) совместимы с ранее по-
полученными условиями B4) и B5;.
Приняв, что при всяком полном обходе любого контура,
не пересекающего границ исследуемой области, сами функции
0i получают приращения, определяемые формулами B4) и B5),
365
а их производные по л: и у получают приращения, определяемые
формулами B6), мы, очевидно, удовлетворим условиям однознач-
однозначности перемещений и и v и в то же самое время позволим
функции Эри <f и ее производным по х и у быть на рассматри-
рассматриваемом контуре настолько неоднозначными, насколько того тре-
требуют формулы A8) и совокупность усилий, приложенных к этому
контуру.
Заметим, что:
1) если на каком-либо контуре из усилий M°z, Rx и Rg отли-
отличен от нуля только момент AJ°, то, как видно из B4), B5) и
B6), на рассматриваемом контуре можно считать неоднозначною
« r-« m д 0о д 0о
только функцию 0О, притом только 0о, а не —г— и -г-";
2) если на рассматриваемом контуре отлично от нуля усилие
RXr то, как видно из B4), B6) и B6), на этом контуре неодно-
неоднозначны функции 02, 0, и -J-;
3) если на рассматриваемом контуре отлично от нуля уси-
усилие Ry, то на нем неоднозначны функции 01г 0О и -л °;
ОХ
4) все сказанное в настоящем параграфе предполагает, что
в общем выражении для функции Эри A2) нами удержаны как
01; так и 02, причем функции эти связаны между собою зави-
зависимостями Коши-Римана A1).
§ 9. Теорема Мориса Леви-Майчела
Мы видели выше, что в случае плоской деформации три
основных компонента напряжения, отличных от нуля, связаны
с функцией Эри зависимостями
ду*'
G)
Xg =
гояннь
Диференциальное уравнение
дх ду'
в которые упругие постоянные не входят.
V2V2<p = 0, (9)
которому подчинена функция Эри, также не заключает никаких
упругих постоянных исследуемого вещества. То же справедливо
и по отношению к граничным условиям
—- — = —-Y-,, 1
д'д* A8)
ds ду '' '
366
которым подчинена функция Эри на контурах исследуемой об-
области.
Все это дало повод Морису Леви утверждать, что если
тело изотропно, и на границах его заданы внешние усилия, то
вообще ни сама функция Эри, ни определяемые ею компоненты
напряжения Хх, Yg и Xv от упругих свойств вещества вообще
не зависят. Положение это часто называют теоремой Мориса
Леви. Оно весьма заманчиво, так как позволяет заменять изу-
изучение напряжений в непрозрачных металлических моделях изу-
изучением напряжений в прозрачных изотропных телах, оптически
чувствительных к возникающим в них напряжениям.
Соображения, изложенные в предыдущем параграфе показы-
показывают, однако, что теорема Мориса Леви справедлива далеко не
всегда, а лишь во всех тех случаях, когда внешние усилия,
приложенные к каждому отдельному контуру из числа ограни-
ограничивающих исследуемую область, уравновешиваются в смысле
своего главного вектора на каждом контуре порознь.
Если усилия Rx и Ry для какого-либо контура нулю не равны,
то на этом контуре функции 0О, а также ее производные
и -г-5 получают при каждом полном обходе контура некоторые
приращения, зависящие не только от величины усилий Rx и Rv,
но еще и от величины Пуассонова отношения а, в то время как
функции 0У и 02 получают в этом случае при каждом обходе
контура приращения, не зависящие ото. Благодаря этому напря-
напряжения Хх, Yv и Ху оказываются только в том случае не зави-
зависящими от а, если на всяком отдельном контуре из числа огра-
ограничивающих исследуемую область усилия Rx и Ry оказываются
равными нулю.
В случае, если Rx = Rv = О, а УИ° -ф О, функция 0О, как
отмечено было выше, является единственной неоднозначной из
функций 0i, входящих в решение A2). При каждом обходе
контура она увеличивается на величину
.. га тг>
зависящую правда от а и О, но поскольку в состав функции Эри f
2G
функция 0О входит с множителем -4/.-^г, постоянные а и G из
выражения для <р при М°г нулю не равном выпадают как и в случае,
когда нулю равны все три усилия Rx, Rv и М'г. Таким образом,
неуравновешенность главного момента усилий, приложенных к
отдельным контурам, ограничивающим исследуемую область, не
исключает применимости теоремы Мориса Леви.
Отмеченные выше условия применимости теоремы Мориса
Левн были обнаружены и формулированы Майчелом. Теорему
Мориса Леви можно принимать только с оговоркою Майчела.
Теорему эту можно поэтому называть теоремой Мориса Леви-
Майчела.
367
§ 10. Влияние объемных сил
До сих пор мы рассматривали исключительно тот частный
случай, когда объемных сил к телу не приложено.
Применительно к этому случаю было установлено, что
и =01- 4A!_g) -^
Лх ~ ду"
у _?>
B)
дхду '
G)
где 0,-—три функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа,
<р—бигармоническая функция, определяемая равенством
* = 40-а) (^01+3^02 + 00 + 4 F)
а со—'гармоническая функция, удовлетворяющая уравнениям
1 д2а> I fd 0t д 02"\ 1
4 A —а) дх2 ~~ ~~ ~2 \дх ду~)'
E')
"т" 2 Ч дх ду )'
1 /д0г д0Л
— 2 V йу + их /#
4 A — а)
4A —а) с
Для учета действия объемных сил достаточно к решению,
.даваемому вышеприведенными равенствами, прибавить решение,
даваемое зависимостями
2A-а)
B7)
ду '
где ф,- — любые частные достаточно непрерывные и независящие
от z решения уравнений
2 а _ __Х_ .
°у B8)
V2V2<K. = — -7Г- )
"о"
368
Частному решению B7) соответствуют напряжения
Лж —^U|2V ^дл. ^ -f 2(l-s) dyUdjc+
y-^u[2V Vdy дх) + 2A— а) длЧдл:+ ду )}'
) 4
дх) + 2A— а)
- 20
2A-
ду
ду)]'
B9)
которые и надо для учета действий объемных сил прибавить
к напряжениям, даваемым равенствами G) до разыскания
функций 0,- из граничных условий задачи.
В частном случае, когда объемные силы имеют потенциал и
дф
можно частное решение уравнений B8) искать в форме
C0)
C1)
где фо— любое достаточно непрерывное решение уравнения
V2V2<b=--J- (a)
В этом случае частное решение B7) упрощается, принимая вид
1 — 2а д у™ ,
и =
2 —
C2)
_ 1 — 2а д „. j
где Ч7,,'—любое достаточно непрерывное частное решение урав-
уравнения
C3)
Формулы B9) обращаются при этом в зависимости
У ГсЬ _и on !
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—24
C4)
369
Таким образом, для учета действия объемных сил, имеющих
потенциал, достаточно прибавить к решению, даваемому равен-
равенствами B) и G) вместо частного решения B7), B9) частное ре-
решение C2), C4), C3), C0).
§ 11. Влияние неравномерности нагрева
Мы видели выше, что решения уравнений Дюгамеля-Неймана,
учитывающие неравномерность нагрева тела, допускают частное
решение
1 + и до>
и =
V =
1 — i дх'
1 + j д«>
1-е ду '
w = -
1— a ~dZ~'
(а)
где ш — любое достаточно непрерывное частное решение урав-
уравнения
V2w = at. (б)
Поэтому для учета влияния неравномерности нагрева, надо
к общему интегралу уравнений Ламе прибавить перемещения,
даваемые равенствами (а) и (б). К общему интегралу для ком-
компонентов напряжения при этом прибавляются следующие допол-
дополнительные члены:
1-е \ду*
Е i д3и>
7 —
l—o
(в)
A" = -
H~ 1
1 — и дх ду
(r)
— 1 — a dz д с
В случае плоской деформации должно быть
t = t{x, у),
со = ш (х, у),
(д)
и следовательно выписанное выше частное решение, учитываю-
учитывающее неравномерность нагрева, обращается в следующее:
370
и =
1 + и д<о
1 -t- о ди
ду '
C5)
W= О,
,
У
'и = ~
1 — аду '
=¦ Хх + Yy,
= rz = о.
C6)
Здесь о) любое достаточно непрерывное решение уравнения
V'w = ar. C7)
Для учета неравномерности нагрева тела следует прибавить
решение C5), C6), C7) к общему интегралу плоской задачи,
соответствующему случаю, когда тело нагрето равномерно до
определения всех входящих в последний произвольных функций
и постоянных.
Упомянутый только что общий интеграл в случае отсутствия
объемных сил дается формулами § 1 — 9, в случае же наличия
объемных сил—суммою решений, рассмотренных в § 1 — 9 и 10.
§ 12. Задача о плоском напряженном состоянии
Мы условились выше в § 1 называть плоским напряжен-
напряженным состоянием то напряженное состояние, которое уста-
устанавливается в весьма тонкой плоской пластинке, находящейся
под действием сил, лежащих в ее срединной плоскости. Обра-
Обратимся к более подробному рассмотрению этого напряженного
состояния. Расположим оси ох и оу в срединной плоскости
пластинки. Обозначим толщину пластинки через h. Тогда пло-
плоскости
z= ± 0,5/г (а)
будут ограничивать пластинку в направлении оси oz. Будем
толщину пластинки h считать весьма малою по сравнению с про-
прочими ее размерами. Обе плоскости пластинки, определяемые
уравнениями (а), будем считать от нагрузки свободными. В соот-
соответствии с этим примем, что
Xz = Yz = Zz = 0 (б)
при
z=± 0,5/z.
371
По малости толщины пластинки примем, что напряжения Xz>
Yz и Zz, обращающиеся в нуль на обеих границах пластинки,
всюду внутри тела весьма малы по сравнению с остальными
тремя компонентами напряжения. Примем поэтому, что вообще
(в)
Напряженное состояние, удовлетворяющее условиям (в), будем
называть плоским. Полагая в основу его изучения приближен-
приближенные зависимости (в), мы не можем, конечно, претендовать на
получение точных решений. Ограничимся поэтому при разыска-
разыскании величин Хх, Yy и Ху нахождением их значений, осреднен-
ных по толщине пластинки, т. е. величин
+0,5ft \
1 / Xxdz,
-0,5ft
Хх —
+0,5ft
j
+
j Yu dz,
06ft
j
-0,6ft
-J-0,5ft
Х„ = \ J XgdZ.
—O,6ft
(r)
Величины эти будут по самому своему определению от z не
зависеть, что, конечно, должно упростить их разыскание.
При сделанных предположениях обратимся к основным ди-
ференциальным уравнениям равновесия
дх
дх
дх
ду
ду
ду
f + ^ + * = 0f
dz.
dz
dz
+ Г = 0, }
(Д)
Совершив надо всеми их членами операцию осреднения по тол-
+0,5ft
1 Г
щине -г I ( ) dz, будем, принимая во внимание (г), иметь
-0,5ft
дх
дх
ду
~дГ
д2„
(е)
372
где через X, Y и Z обозначены осредненные по толщине пла-
пластинки значения компонентов объемной силы.
В силу основных допущений, сделанных выше, должно быть
2 = 0,
а
2Ж 35 0, Zy =? 0,
так что из уравнений (е) последнее удовлетворяется тождест-
тождественно с той степенью точности, с которой вообще решается'
рассматриваемая задача. Удовлетворить, следовательно, остается
лишь уравнениям
дХ„
f * 0
дХх
дх
я.
дх
ду
д?„
~~
(е')
Для преобразования последних введем в рассмотрение ком-
компоненты деформации, осредненные по толщине пластинки, т. е.
величины
-J-0,5ft
—0,5ft
+0,5ft
О.БЛ
— и J
—О.БЛ
+0,5ft
/
-o,u
+ 0,;
-о __L Г
'yz ~ ft J
\
, dz;
-0,6ft
+0,6ft
X
—0,5ft
+0,5ft
/
—0,6ft
/
—0,5ft
(ж)
)
Чтобы установить связь между е^, еш,.. .ezx и величинами Хх,
Y,i и Ха, входящими в (е'), воспользуемся законом Гука
C)
_1_
— 3 ^ у),
_1^
а
1
Совершив над всеми членами равенств (з) операцию осреднения
по толщине, будем, принимая во внимание (в), иметь
373
evv — -?
Откуда следует
tyi = ezx = 0.
(и)
где через з0 обозначена величина, связанная с Пуассоновым
отношением зависимостями
0 чена в
отношением зависимостями
C8)
Подставив (и) в (е'), введем в рассмотрение осредненные
значения перемещений и и v, определяемые зависимостями
+0.5Л
-0,5Л
+0,5ft
5 = 4 /
-0,5ft
Перемещения эти связаны с eM%em и ещ в силу уравнений Коши
равенствами
e**~~di
Нетрудно видеть, что из (е') следует
1-2а0дл:
где
1 — 2а„
Y_
(м)
C9)
374
D0)
Уравнения C9), D0) отличаются от уравнений Ламе лишь
тем, что в них входят вместо истинных значений величин к и v
их значения, осредненные по толщине пластинки и вместо
истинного значения Пуассонова отношения а его приведенное
значение, определяемое равенствами C8). Поэтому, повторяя
в отношении величин и, v, Хх, Y,} и Хд все рассуждения § 1 —10,
можно видеть, что к плоскому напряженному состоянию можно
применять все зависимости, найденные выше в § 1 —10 приме-
применительно к плоской деформации, при условии замены в них
величин и, v, Xx, Yg и Хд величинами и, v, Xx, Yg и Хд; вели-
величины же а величиною а0.
Кроме того, вместо равенств
имеющих место в случае плоской деформации, надо в случае
плоского напряженного состояния полагать, как отмечено выше,
В случае неравномерного нагрева надо зависимости (з) заме-
заменить зависимостями
ди
1
= ly~a-t=T{Yv ~
дх — G »'
(н)
из которых следует
д"
(о)
где
1 +ч„
+ 2о *' }
1 /^.
- 0,5ft
D2)
Подставив Хх, Yg и ^fy из (о) в (е'), нетрудно после соот-
соответствующей перегруппировки членов видеть, что в случае
375
плоского напряженного состояния уравнения Дюгамеля-Неймана
принимают вид уравнений
^*Т. i 1 ^_ * , 2A+в0) д . 7,
V ^+l-2oody G+ l-2a0 ду^0^
Уравнения (о) и (п) отличаются от соответствующих урав-
уравнений, относящихся к задаче о плоской деформации, лишь тем,
что в них вместо и, v, Xx, Yv, Ху, X, Y и t входят значения
этих величин, осредненные по толщине пластины, вместо a
величина а0, вместо же а величина а0.
Поэтому для учета влияния неравномерности нагрева в случае
плоского напряженного состояния может служить частное
решение C5), C6) и C7) §11, в котором, в случае плоского
напряженного состояния, следует лишь заменить все искомые
величины, равно как и t, их значениями, осредненными по
толщине пластины, величины же а, Е и а на а0, Ео и а0, где
?-0 = 2(l+a0)G. D3)
§ 13. Сводка основных полученных результатов
Для большей наглядности сопоставим основные зависимости
обоих основных вариантов плоской задачи.
В случае отсутствия объемных сил и равномерного нагрева
в задаче о плоской деформации в задаче о плоском напряжен-
дхду Y>
w = 0,
«= 01-
+ ^02 + 0о)|
^2 4A—5) ду
+ ^02+0о),
376
ном состоянии
хх= ^i1
дх2'
д2
zz = o,
Yz = Xz = 0,
+0,5ft
| те»| =
—0,5ft
ah
U-01~4(\-3o)dx~
+ ^02+0о),
^=02-
4A —с
0o),
B)
— 2G
V— 4(l—0)
0о
2G
+ 00 + Ч
72у2(р = О,
дх*
д*и>
дх ду'
сщг— 2G
е - 1
д01
дх*
ду2
ду
д0
* Г/ 1 ч f? ^
1 з?
"G^
При этом граничные условия даются равенствами
д
ds
у _ ^ / дф \
Г
f
/?„
2G
ds \ dy
1 Формулы B4) — B6) предполагают, что -—
следовательно, <о = 0.
дх
га "
д02. д01
ду ' ду
F)
1 E)
C8)
A8)
B6')»
B4') 1
B6*I
B4"I
'B6I
и,
дх
377
4A-с)
2G
2G
4A—с
2G
3-4go
.B5)
Наличие объемных сил добавляет к общему интегралу пере-
перемещений и напряжений дополнительные члены, даваемые равен-
равенствами
н =
2A-а) дх
2A—а)
( дфх дфл
\ х ~Т~~ду~)>
'
2 A — g) ду* V
2<1 —5)
2A — 3)
ду
ду /J'
G
и = У2^—
2A- о0) дх \дх ' ду Г
v = у
1 д /дфг дфЛ
2A—ч„) dj/ Vdx "^ дуУ'
2A-Oo)dxdj/V
v2v2%=-4>
у1
V V Y2 — /^ >
в случае же если объемные силы имеют потенциал,
У _ дФ
л ~ д'
у _ дФ
Г - ду>
378
дх '
-J> дФ
Y
B7)
B9)
B8)
C0)
„ _ LtL2^»
11 ~~ 2 — 2o дх '
V ~ 2 2s
2 —2о ду '
!=_|Ф + 201
2 — 2адхду'
2 — 2;„
2 — 2о0 ду '
C2)
C4)
где
G'
V2«F0=-^.
C3)
Наконец, неравномерность нагрева тела добавляет к общему
интегралу для перемещений и напряжений следующие допол-
дополнительные члены:
1 + а дт
U = , -;—
1 — а дх.
V
Y
•
Уу
" '¦
7-
1
1
1
l
l
а дм
а d_v
?
— а
— с
?
— с
Е
д2»
д_уг>
д2»
дл:2'
д2»
длгд>-
У2<«
1 — 0
где
и —
1 + с0 до)
1 -
1 - а0 дл:2 '
Е„ д*т_
1 —jo
Здесь
а
2A +ao)G.
C5)
C6)
C7)
D2)
D3)
функцию <о, входящую в равенства, учитывающие неравномерность
нагрева, не следует смешивать с <», входящей в формулы F) и E).
379
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
Задача 1. Следуя, указаниям §3, представить бигармоиическую фуикцию
<Р = ^'-Рз + <fo, (а>
в форме равенства
<? = Х'Л + <Pz. б
где tpi и ?2 — также функции гармонические.
Решение. Беря лапласиан от обеих частей равенства (а), находим
V2? =4-|г(г<р,).
Уравнивая его лапласиану (б), находим
2^ = 4^), (в)
где, как нетрудно видеть, функция
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Можем поэтому всегда подобрать такой интеграл уравнения (в), что он
удовлетворит уравнению
V2<Pi = 0.
Приняв »! за такой интеграл уравнения (в), найдем <р2 посредством зави-
зависимости
<р2 = <р — XV1 = Г2Ю3 + <Ро — *«Pi, (г>
причем найденное таким образом <?а, очевидно, удовлетворит уравнению
Задача 2. Представить бигармоническую функцию
<? = г2'? з + <р0. (а)
где ю3 и <р0 — функции гармонические в виде
<Р = -*<Р1 + У?2 + '-Pi, (б)
где <ръ <р2 и ю4 удовлетворяют уравнению Лапласа, причем ^ и <р2 связаны
между собою зависимостями Коши-Римаиа.
Решение 1. Следуя указаниям § 5, определяем
Затем, зиая <р3, c помощью соотношений
дО _дР х
дх ду' I
A5)
находим фуикцию Q.
После этого посредством решения уравнений
дх ~ ду
ду ~~ дх
380
находим <р! и t?2 и посредством формулы
«>« = ^ <fз + То"— -*?i —
определяем <р4.
Решение 2. Положив
Ь — — J
(г)
где ф и <о — две произвольные функции, мы, очевидно, не нарушим ра-
равенства (а).
Подчиним функции фиш условиям
V2« = О,
V2 « = 0, .
Тогда функции
до>
до) до)
"дх + У~ду '
(е)
будут гармоническими.
Если функция <р3 задана, то зависимостями (д) функция i определяется
с точностью до постоянного слагаемого. Определив <Ь, можно распорядиться
функцией ш так, чтобы было
дх ~~ ду'
Для этого достаточно, как видно из (е), определить функцию <о из ус-
условий
dtp, дф д2т дч, д<1/ дгч>
^ + Хй У = ^ + У^ + Х
дх ^ дх df
т "¦" ду у ду дх ду " дх
чему мы, в силу (д), удовлетворим, полагая
ш = 0.
Таким образом для решения поставленной задачи достаточно принять
<?2 = УЪ +
ft ~ To,
(ж)
381
где ф—функция, связанная с <р3 посредством зависимостей Коши-Рнмаиа
д^рз = _д_Ф_
дх ду'
Приняв <р3 за реальную часть некоторой функции комплексного перемен-
переменного, мы можем в силу (з) принять ф за мнимую часть той же функции.
Задача 3. Зная, что в полярных координатах на плоскости
разыскать какую-либо такую гармоническую функцию, которая при всяком
обходе окружности г = const, возрастает на величину А, где А — некоторая
константа.
, Ответ. Такой функцией является
Ф-ЙГ- <45)
в чем можно убедиться диференцированием.
Задача 4. Определить функцию У., сопряженную с функцией ф задачи 3,
посредством зависимостей
дфдХ
дх
дф
ду"
Оу
дУ.
дх
Л In r
Ответ.
A In r
& D6)
Задача 5. Определить какую-либо гармоническую функцию 0О § 8 для
того случая, когда усилия, передаваемые через каждую окружность г = const,
на каждой такой окружности уравновешиваются с точностью до мо-
момента М®, стремящегося повернуть рассматриваемую окружность вокруг
ОСИ 02.
Ответ.
D7>
Задача 6. Определить гармонические функции 0t и 02 § 8 для того
частного случая, когда через каждую окружность г = const передается уси-
усилие R направленное вдоль оси оу.
Ответ. Чтобы равенства B4) и B6) могли иметь место, можно в этом
случае положить
где 0° и 0* — гармонические однозначные функции г н 0.
Задача 7. Основываясь на формулах § 8, определить функции 0t и 02
для того частного случая, когда через все окружносги г = const передается
усилие Rx, направленное вдоль оси ох.
382
Ответ.
Rx In r
0* = 2%i + 0^
где 0j и 02 имеют смысл, указанный в решении задачи 7.
Задача 8. Определить гармоническую функцию 0О, удовлетворяющую
условиям B6), B5) § 8 для того случая, когда через все окружности г = const
передается, помимо скручивающего момента М°г, усилие, составляющие ко-
которого по направлению ох и оу соответственно суть Rx и R .
Решение. Так как 0 есть функция гармоническая, a In r есть функция
с нею сопряженная посредством зависимостей
д In г дЬ
дх ду'
д In г дЬ
ду дх '
то функции
xlnr — yti,
а также
xb +y In r
должны по сказанному в решении 2 задачи 2 удовлетворять уравнению
Лапласа.
Положив
~2G 2^(х
где 0JJ — однозначная гармоническая функция г и 0, мы получим искомую
гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям B6) и B5) § 8.
Задача 9. Для случая, когда каждая окружность г = const загружена
извне усилиями Rx> R^ и М°, подобрать какие-либо выражения для всех трех
функций 0. § 8.
Ответ.
2л «v
где 0Х — однозначные гармонические функции от г и в.
Задача 10. Проверить, что решение задачи 9 действительно удовлет-
удовлетворяет условию однозначности перемещений и и V.
383
Решение. Если 0. определены, как в ответе задачи 9, то в силу B)
xlnr + R«y 1п
тде и0 однозначная функция от г и 8. Следовательно, и есть функция одио-
зиачвая. То же относится и к функции V.
Задача 11. Наметить общий путь решения задачи о разыскании напря-
напряжений, вызываемых в круглом диске, стоящем иа гладкой плоскости, его
-собственным весом.
Решение. Направим ось ох через центр диска вертикально вниз, а ось оу
•через центр диска горизонтально.
Осредиеииая объемная сила
Х=Х< Y=Q
имеет в этом случае потенциал
Ф = -\х.
Для учета ее действия могут служить формулы C2), C3), C4). Уравне-
Уравнение C3) принимает в рассматриваемом случае вид
2 ф -\х
и допускает частное решение вида
0 8G Г 8G
8G Г 8G
где г2 = х2 -f у2-
Определив с помощью формул C4) напряжения, соответствующие этому
частному решению уравнений Ламе, можно определить затем нагрузку кро-
кромки диска, соответствующую найденному его напряженному состоянию, и
после этого с помощью общего интеграла однородных уравнений Ламе сиять
эту нагрузку со всех незагруженных точек периметра диска.
Задача 12. Наметить способ разыскания тепловых напряжений, возни-
возникающих в тонкой квадратной пластинке, когда она до половины своей вы-
высоты погружена в жидкость, температура которой отлична от температуры
среды, окружающей верхнюю половину пластинки.
Решение. Допустим, что tt — температура жидкости, a kt—коэфициеит
теплопередачи от жидкости к иижией половине пластинки, t2 же и k2— со-
соответствующие величины для среды, окружающей верхнюю половину плас-
пластинки. Приняв, что t есть температура пластинки в точке х, у, а с — коэфи-
коэфициеит внутренней теплопроводности пластинки, получим для определения t
в нижней половине пластинки уравнение
. . . t — К) = 0 при х > 0, (а)
в верхней же
су2 Г+ k2(? — t2) = 0 при jc<0. (б)
Пренебрегая по малости толщины пластинки количеством тепла, пере-
передающимся от нее во внешнюю среду через кромки пластинки, можно гра-
граничные условия выписать в форме равенств
д7
— =0 при х = ± а, (в)
dt
jy = 0 при
384
Если tx и ta от у не зависят, то мы удовлетворим граничным усло-
условиям (в) и (г) и уравнениям (а) и (б), положив
"?=<(•»), (Д)
где t (л) подчинено уравнениям
t" (х) -\—- t(x) = — tx при х > 0, 1
* к (е)
<" (дс) 4- *(¦*) = — ^2 при х < О I
с с ' J
*' (л:) = 0 при х = — я, 1
> (ж)
Г(.) = 0 при х = 4- а. )
Определив t из этих условий, можем принять за о> — любое частное
решение уравнения
">" (*) = «о t (х),
непрерывное до своих первых производных. После этого частное решение
неоднородных уравнений Дюгаме я-Неймаиа, соответствующее рассматри-
рассматриваемому иагреву пластинки, найдется с помощью выражений C5) — C6).
Если это решение не удовлетворит условиям отсутствия нагрузки иа
а , а
кромках х = ± ~^~> У = ± о") то соответствующую ему нагрузку этих кро-
мок можно будет сиять с помощью решения B), F), G), (9).
Задача 13. Выяснить, следует ли для круглого ролика, собственный
вес которого уравновешивается реакцией гладкой плоскости, считать функ-
функцию Эри неодиосвязною.
Ответ. Учтя влияние собственного веса с помощью решения Буссииека,
мы можем задачу о нахождении функции Эри свести к решению контурной
задачи для круглого диска, загруженного усилиями, уравновешивающимися иа
его границе. При этих условиях функция Эри должна быть однозначною.
П. Ф> Папкович, теория упругости—436—25
ГЛАВА X
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ
§ 1. Решение Менаже
Некоторые частные случаи деформации прямоугольной поло-
полосы можно, как то показал Менаже, исследовать, принимая
за функцию Эри алгебраические полиномы различных степеней.
Ограничиваясь рассмотрением того лишь случая, когда тело
нагрето равномерно и объемными силами не загружено, можно
[см. формулы G) главы IX] полагать, что
у. d2t> \
Хх~Ту»
A)
_дЧ_ I
~дх ду' I
где <( — функция, подчиненная уравнению
V2V2(P = O. B)
Рассмотрим, какие решения можно получить, приняв за <р
полином той или иной степени.
Случай 1. Если мы примем, что
Ч = Ъ = ~т а^2 + Ь»ХУ + 4" С*У*> С3)
то константы а2, 1г2 и с2 можно будет считать независимыми. При
этом будет
Ху = — Ь2,
Таким образом, для прямоугольной полосы, ограниченной
двумя прямыми х — const и двумя прямыми у = const, рассмат-
рассматриваемое решение приводит к однородной деформации. При
этом постоянной с2 соответствует простое растяжение
386
в направлении оси ох, постоянной &8- чистый сдвиг и по-
постоянной аа — простое растяжение в направлении оси оу.
Сл у ч аи 2. Приняв
У"
можно также считать константы а3, Ь3, с3 и d3 независимыми.
При этом выборе функции у
Хх = с3х -f d3y,
Ху= — Ь3х — с3у,
ь
Уд =
в)
»
>
«— -^ -!_
7
1
t
t ,,
5;
. , , м t t 1 Т 1
' ' • ' ' 1 1 11 Г
-х
*
со
со
1 I « 4 »
w
н
¦I ¦
и
hi
14-
t-t-
t .
{
Рис. 129.
Варьируя в этом решении значения постоянных а3,...с?3, можно
для полосы, изображенной на рис. 129, получить следующие
частные случаи нагрузки:
а) чистый изгиб усилиями, приложенными к кромкам л: = 0 и
х = /; для этого надо положить й3ф0; аэ= Ь3 = ся = 0;
б) изгиб и растяжение усилиями, приложенными к кромкам
У = ± с; для этого надо принять а3т/- С; b3 = C — d3 = 0;
в) нагрузку, при которой кромки х = 0 п х = 1 загружены
напряжениями
Хх= 0, \
= - с3у,
при л: =
387
кромки же у = ± с напряжениями
при у = с,
'„=0, )
У»
и
Ху = със,
при у =~с;
г) нагрузку, при которой кромки х = const загружены напря-
напряжениями
Ух=0,\
при х = /;
кромки же у — const напряжениями
У „ = йаС,
н 3 ' ' при j/=
Х )
В случае в) надо принять с3ф0, в случае г) Ь3ф0, все же
остальные постоянные положить равными нулю.
Комбинируя решения, соответствующие постоянным а2 и Ь3,
можно одну из кромок у = + с освободить от нагрузки нормаль-
нормальными напряжениями. Скалывающие напряжения Ху будут при
этом на обеих этих кромках линейными функциями от х.
Случай 3. Положив
мы должны в силу B) считать постоянные а4, bit... et связан-
связанными между собою зависимостью
ei=—2ci~ai.
В этом случае
+ ct (х2 - 2>2) + rf4 ху,
у __А. х2 9 г xv -* \>г
Из частных решений, заключающихся в только-что полученном
решении, наиболее простым является соответствующее случаю
д?4 фО, а4 = bi = ci = 0.
388
В этом частном случае (рис. 130)
у _ ^1V
л-„ =
¦Ч*-\
прну = ±с.
*
1
i Q
Рис. 130.
Рис. 131.
Комбинируя решения, соответствующие постоянным Ь2 и dA,
можно получить (рис. 131) решение для консольной полосы,
загруженной перерезывающей силой, приложенной к свободному
концу.
Действительно, положив
будем иметь
Поэтому, приняв
26,
будем иметь на кромках у — + с
Yy = Хд = 0,
вообще же
389
Желая достигнуть того, чтобы у свободного конца полосы,
как и во всех ее поперечных сечениях, было
+
мы должны положить
ъ - -1- Q
Приняв это и замечая, что величина
/— 2 3
может быть принятой за момент инерции поперечного сечения
полосы, отнесенный к единице ее толщины, можно написанные
только-что выражения для компонентов напряжения писать так:
Oxi
I '
V VX
л>= .-
Уц = о, F)
у - _ С*. ( 1 — у* >
в чем нетрудно узнать решение, даваемое для этого случая
нагрузки бесконечно тонкой полосы как элементарной те< рией
изгиба, так и теорией Сен-Венана, изложенной в главе VIII.
Если бы мы предположили, что толшина рассматриваемой нами
полосы не бесконечно мала, а, наоборот, бесконечно велика, то
решение, даваемое нам плоской задачей, не изменилось бы.
Решение же, даваемое Сен-Венановой теорией изгиба, стало
бы, как мы то видели в главе VIII, значительно более сложным,
и напряжение Хв перестало бы быть в нем компонентом скалы-
скалывающего напряжения, единственно отличным от нуля.
Существование для изгиба одной, и той же полосы двух
различных решений может на первый взгляд показаться стран-
странным. Мы не увидим в этом, однако, ничего странного, если
обратим внимание на то, что для бесконечно широкой полосы,
изгибаемой плашмя, решение Сен-Венана и решение плоской
задачи приводят к различным значениям напряжений Zz: в ре-
решении Сен-Венана Zz равно нулю, в плоской же задаче Zz^~0,
причем главный момент внешних усилий, приложенных к гра-
граням призмы г = const в решении Сен-Венана не уравновешен,
в то время как в решении, даваемом плоской задачей, он равен
нулю.
Случай 4. Положив
390
мы должны в силу B) принять, что
еь=— 2сб — За6,
* _ JL ъ — 2- d
h= — з °ь з ^
В этом решении компоненты напряжения выражаются уже
полиномами третьей степени, при этом в случае, если
г« — Т
Комбинируя решения, соответствующие константам а2, d3, b3
н db, можно получить решение для изгиба свободно
I 1 11 1 1 1 Н 1 М I 1 1
I -¦»-
У
Рис. 132.
опертой полосы, загруженной равномерно распре-
распределенной нагрузкой (рис. 132).
Действительно, приняв
будем иметь
Если мы положим в только-что полученном решении
то на продольных кромках полосы, где у = + с, будет
391
Положив после этого
2
а2— "g" ь° '
будем иметь
Yy — О при у — + с.
Таким образом, рассматриваемое решение позволяет нам
полностью освободить кромку у = -f- с от нагрузки.
Приняв после всего этого еще
d = 3__q_
и положив
-1-с3
~ 3 '
получим окончательно
(8)
В нашем распоряжении остается еще постоянная d0, распо-
распоряжаясь которой мы можем заставить изгибающий момент
обратиться в нуль как при х — ¦+- /, так и при х = — Л
Для этого достаточно принять
d3 = ~~2TV^~~~5;m
Тогда будем иметь
Хх=?\Р-х*)у + -L- D j,8_ 2 ^ л (8,}
Если бы мы пропустили в только-что полученном выра-
выражении его второй член, то получили бы для полосы, изо-
изображенной на рис. 132, то самое выражение для напряже-
напряжений Хх, которым мы пользуемся обычно в строительной меха-
механике. Таким образом второй член написанного только-что вы-
выражения для Хх является тем поправочным членом, которым
точное решение для рассматриваемой полосы отличается от
общеупотребительного приближенного решения. Если длина
полосы 2/ велика по сравнению с высотою полосы 2с, то упо-
упомянутый только-что поправочный член мал по сравнению с ре-
результатом, полученным с помощью общеупотребительной эле-
элементарной расчетной формулы. Если однако с :1 не мало, то
392
выражение для напряжения Хх, даваемое элементарной теорией
изгиба, перестает быть точным, и его погрешность можеть быть
оценена с помощью более точного решения (8). Последнее инте-
интересно, впрочем, еще и в том отношении, что позволяет учесть,
чему равны у полосы, изображаемой на рис. 132, напряжения Yg,
принимаемые в элементарной тео-
теории изгиба равными нулю.
Изгиб консольной поло-
полосы, загруженной равно-
равномерно распределенной на-
нагрузкой (рис. 133). Мы подо-
подобрали выше в решении (8) постоян-
постоянную d3 так, чтобы изгибающий мо-
момент
ими
+
У
M=f yXxdy
Ptfc. 133.
обращался в нуль при х — + I. Если бы мы подчинили эту по-
постоянную условию
М — f yXxdy = 0 при х = О,
то получили бы решение для консольной полосы, загруженной
(рис. 133) нагрузкой q, равномерно распределенной вдоль верх-
верхней кромки. При этом было бы
2/
2,, . _!_ „3 __
су
У
л
__ Я (Г2
(9)
В решении этом напряжения Хд оказываются в точности со-
соответствующими элементарной теории изгиба. Напряжения Хх
— даваемых элементарной теорией поправочным
отличаются
членом
от
Член этот мал по сравнению с величиною Кх, если только с
мало по сравнению с /. Напряжения Уу, принимаемые в эле-
элементарной теории равными нулю, оказываются у консольной
балки совершенно такими же, как и у балки, свободно опертой
на две опоры (рис. 132).
В сечении полосы, совпадающем с ее свободным концом,
скалывающие напряжения Хд отсутствуют. В полученном нами
решении нормальные напряжения Хх в сечении х = 0 вообще
нулю не равны. Нулю равен лишь их главный вектор и момент.
393
-с
¦У
Точное решение для балки, к свободному концу которой вовсе
не приложено никакой нагрузки, должно отличаться поэтому от
найденного нами решения (9). Последнее может применяться
к расчету балок, свободный конец которых никакими напряже-
напряжениями, хотя бы взаимно уравнове-
уравновешивающимися, не загружен, лишь за
счет принципа Сен-Венана, т. е. це-
ценою пренебрежения местными напря-
напряжениями в районе нагрузки, вполне
уравновешиваемой в пределах малой
части исследуемого тела.
• Консольная балка, загру-
загруженная на верхней кромкегид-
ростатнческим давлением.
Приняв за q> алгебраический неоднород-
неоднородный полином шестой степени, можно
методом, использованным выше, почучить картину распределения
напряжений в консольной балке, загруженной как на рис. 134.
Принимая, что при у ——с
Рис. 134.
можно, проделав
этой балки
Yy = — kx,
соответствующие выкладки, получить для
У = ?fe*2 (с2 — v2)
¦™И — 8с2 *¦ У '
+¦?''«¦).
С4 _ yiS _j_ ?_ J, C2 ^2 _у)
A0)
Решение это удовлетворяет, как нетрудно видеть, гранич-
граничным условиям
Хх = 0 при х = 0,
Кв=— kx „ у=— с,
но не удовлетпоряет условию отсутствия в сечении х = 0 ска-
скалывающих напряжений Xw. Равнодействующие последних равны
нулю. Пол>ченное решение удовлетворяет, таким образом, гра-
граничному условию на свобо tHOM конце балки не вполне точно.
Распространять его на расчет балок, один конец которых со-
совершенно свободен от нагрузки, можно поэтому лишь за счет
пренебрежения местными напряжениями, подходящими под дей-
действие принципа Сен-Венана.
Свободноопертая полоса, находящаяся под дей-
действием собственного веса. Если изгнб балки происходит
394
под действием ее собственного веса (рис. 135) и ч —
вес ее материала, то составляющими объемной силы являются
Сила эта имеет потенциал
ф = ~V-
Ее действие может быть, следовательно, учтено с помощью
введения в рассмотрение
функции Ч?о> определяе-
определяемой уравнением
ф
V72 Ш
G
I _-
Рис. 135.
Уравнение это допускает
частное решение
^° = 6~ ~G '
позволяющее по подстановке в равенство C4) главы IX видеть,
что действие объемных сил может быть учтено в данном слу-
случае путем добавления к решению Эри следующего частного
решения неукороченных уравнений плоского напряженного со-
состояния
Для полосы, изображенной на рис. 135, можно, следова-
следовательно, принимать
d2
дх*'
дхду '
где <р — функция Эри.
Для того чтобы удовлетворить условию отсутствия нагрузки
на кромках у = ± с, надо для рассматриваемой полосы, как и
для полосы, изображенной на рис. 132, принять
(С =
Это дает
ъ-г\
ку = -ху+-:
a2,
395
Подобрав постоянные а2, b3, d3 и db из граничных условий
Ха =- О при у = ± с,
К9=0 „ у = ±с,
fyXtdy^O „ л =+/,
¦будем иметь
5У '
что по подстановке в A1) дает
A1')
В решении этом напряжения Хи ничем не отличаются от
даваемых элементарной теорией изгиба. Поправками к элемен-
элементарной теории изгиба являются второй член в выражении для
Хх и полностью выражение цля Yg.
Решение для консольной балки, находящейся под дей-
действием собственного веса, можно также получить из решения
A1). Положив в A1)
Ху = Уу = 0 при у = + с
будем иметь
jyXxdy = 0 при х = 0,
Сопоставляя AГ) и A1"), видим, что для консольной балки
поправочные члены к элементарной теории изгиба, учитываю-
учитывающие действие объемной силы Y = i, ничем не отличаются от
соответствующих поправочных членов для балки, свободно
опертой концами на две опоры.
Влияние этих поправочных членов относительно невелико,
если только длина полосы достаточно велика по сравнению с ее
высотою.
396
§ 2. Упругие линии балок, рассмотренных в § 1
Основываясь на решении Менаже, мы определили выше
в § 1 картину распределения напряжений для ряда частных
случаев нагрузки прямоугольной полосы. Перейдем теперь к
определению перемещений, соответствующих найденным напря-
напряженным состояниям. Воспользуемся для этого методом, изло-
изложенным в § 4 главы IX.
Случай чистого изгиба. Мы видели выше в § 1, что
при чистом изгибе прямоугольной полосы усилиями, приложен-
приложенными к кромкам х — const, функцию Эри можно считать опре-
определяющейся зависимостью
« = -^ V3
т 3-2У '
где d3— коэфициент пропорциональности между напряжением
Хх и координатой у, очевидно связанный с изгибающим момен-
моментом М и моментом инерции площади поперечного сечения по-
полосы / зависимостью
иа — J •
Можно поэтому принять, что в рассматриваемом случае
__ М у3
У~ /3-2
и, следовательно, согласно формуле 6 главы IX
* 0х+у 02+0о+ » = - -*Ц}/~ -?-.
Попробуем разыскать функции 0t, полагая 02 равным нулю.
Для этого возьмем лапласиан от только-что написанного ра-
равенства. Получаем
откуда следует, что за 0Х можно принять
_ A — с)М
Для определения функции <о обращаемся к равенствам E)
главы IX. Из них следует, что в рассматриваемом случае
d^u) = 2A — с)'М
дх2 GI У'
дЧ> = 2 (L — оJ М
dy2 ~ G1 У'
д2<« _ 2A —оJ М
дх ду GI
Можем поэтому принять
GJ У\Л 3 >
397
и, следовательно,
Л 01 + У 02 Ч
Для нахождения перемещений и и v нам остается лишь
подставить найденные выражения для 0Х и л 0г -\-у 02+ 0о
в формулы B) главы IX. Это, если ввести обозначения
Е -
1 — о*:
A2)
приведет для компонентов перемещения к выражениям
м
и = — ъ-. ¦ ху,
V —
м
A3)
Полученный результат относится к случаю плоской дефор-
деформации.
В случае плоского напряженного состояния следует, как
в том можно легко убедиться, заменить в формулах A3) вели-
величины Ех и ах величинами Е и а.
Найденные перемещения удовлетворяют некоторым совер-
совершенно определенным условиям закрепления координатных осей.
Если бы решение нужно было подчинить иным граничным усло-
условиям, то достигнуть этого можно было бы прибавив к переме-
перемещениям и и v соответствующим образом подобранные переме-
перемещения, исследуемой полосы, как неизменяемого целого.
Аналогичным образом можно разыскать переме иения и и v
для консольной полосы, загруженной силой Q на
свободном конце (рис. 131).
Прикрепив координатные оси к телу так, чтобы в точке
у =0; х = / было
==v = q и
i?. = о,
ду '
можно легко убедиться, что в случае плоского напряженного
состояния полосы и и 1) выражаются формулами
и
QJJ2 — х?)
2EI
у-ш
6UI
A4)
Как видно из этих выражений, поперечные сечения
полосы при этой ее нагрузке не оста ютея плоскими.
В частности в месте заделки (при х = I)
оОу*
6EI
6GI
398
Полученное решение можно поэтому считать решением точ-
точным лишь в том случае, когда условия заделки полосы допу-
допускают отмеченное только-что искажение ее поперечного сечения.
Поперечное перемещение v слагается в этом случае из трех
слагаемых. Из них первое
Q [л3 , I3 РкЛ
«i= яг т+т—г
El I. 6
удовлетворяет диференциальному уравнению элементарной тео-
теории изгиба
и является по своей величине у балки более или менее длин-
длинной основной частью функции v.
Вторым слагаемым
учитывается влияние взаимного смещения отдельных фибр рас-
рассматриваемой полосы, происходящее вследствие явлена попе-
поперечного сжатия. Это слагаемое обращается в нуль на нейтраль-
нейтральной оси полосы.
Наконец, третье слагаемое
учитывает влияние перекосов поперечных сечений, вызываемых
действием перерезывающей силы, ибо, как нетрудно видеть, про-
изводная —г1- есть не что иное, как частное значение величины
е.ху, соответствующее точкам, лежицим hi нейтратьной оси. Пе-
Перемещения v3 именуют в строительной механике обычно пере-
перемещениями от сдвигов под действием перерезы-
перерезывающей силы.
Суммарное смещение центра тяжести загруженного конца
балки, как видно из A4) определяется величиною
3?/ т 2G/
в которой первым член м правой части учитывается перемеще-
перемещение от удлинения и уко^чения продольных фибр бачки, т. е.
так называемое перемещение от изгиба, вторым же перемеще-
перемещение, являющееся результатом наклонения поперечных сече-
сечений стержня к его оси, т. е. смещение от действия перерезы-
перерезывающей силы.
Если высота балки 2с мата по сравнению с ее длиною /, то
перемещения от изгиба во много раз превосходят перемещения
от действия перерезь вающей силы. Часто поэтому последними
в практических расчетах пренебрегают.
399
Для свободно опертой обоими концами полосы,
равномерно загруженной нормальными силами,
приложенными к верхней кромке (рис. 132) переме-
перемещения и и v, если их определить методом, указанным выше,
получаются следующими:
(ту3 ~
2EI
2?/ll2
- wi (т + т)
conbt
A5)
Из трех "слагаемых, входящих в состав полного перемеще-
перемещения z>, перемещение
имеет своим происхождением укорочение и сжатие продольных
фибр полосы. Оно связано с изгибающим моментом М зависи-
зависимостью
El -—i- = — -^-^— = М
и является тем самым перемещением, которое учитывается эле-
элементарной теорией изгиба прямых стержней.
Второе слагаемое
_ Я (У* <-гУг | 2 з |
обращается в нуль на нейтральной оси балки и объясняется
частично влиянием напряжен! й Уу, игн< рируемых элементарной
теорией изгиба, частично же влиянием поперечного сжатия
материала.
Наличие в составе v слагаемого
объясняется влиянием сдвигов,
зывающей силы. Производная
вызываемых действием перере-
перереdV-*L — _ 11_ [А- _и — I с2
dx El I 5 ' 2 J
400
пропорциональна как величине перерезывающей силы в каждом
отдельном сечении балки qx, так и деформации сдвига ехд на
оси стержня
201 '
Величина -р- в этом случае нагрузки балки, однако, лишь
пропорциональна, но не равна величине еху\у=0, в то вре-
время как в случае загрузки балки силою, приложенною к сво-
свободному концу, величины -^- и \еxy\y==w как то отмечено было
выше, были равны друг другу.
Коэфициент пропорциональности между ——- и
ах
перерезывающей силой зависит, таким образом,
от рода нагрузки полосы и не может быть включен
в число постоянных характеристик поперечного
сечения балки. Обстоятельство это сильно осложняло бы
нахождение упругой линии балок, если бы нам не приходило
на помощь то обстоятельство, что у балок, длина которых по
сравнению с высотою достаточно велика, перемещение v3, равно
как и v2, малы по сравнению с vv
Формулы A4) и A5) относятся к случаю плоского напряжен-
напряженного состояния. В случае плоской деформации надо в них ве-
величины ? и а заменить величинами Ег и аг.
§ 3. Некоторые простейшие случаи неравномерного нагрева
прямоугольной полосы
Комбинируя основные результаты § 11 главы IX с реше-
решениями § 1 настоящей главы, можно изучать картину распреде-
распределения тепловых напряжений в неравномерно нагретой прямо-
прямоугольной полосе. Особенно просто решается этот вопрос в тех
случаях, когда температура t является функцией одной лишь
какой-либо из координат хну.
Рассмотрим случай, когда
В этом случае функцию ш § 11 главы IX можно считать также
функцией одного лишь у и уравнение C7) главы IX заменить
уравнением
позволяющим принять, что
У У
= ffatdy*.
со
о о
Принимая это во внимание, можно на основании сказанного
в § 11 главы IX в случае отсутствия объемных сил принимать
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—26 ДП1
за самые общие выражения для компонентов напряжения рас-
рассматриваемой неравномерно нагретой полосы
Eat
1 — a ' дуг
' дуг'
дхду'
A6)
если полоса находится в состоянии плоской деформации и
A6')
1-о„
если имеет место плоское напряженное состояние.
Если мы положим <р равным нулю, то в обоих случаях
обе полки полосы, параллельные оси ох, будут от нагрузки
свободны, полки же х = const будут загружены лишь нормаль-
нормальными напряжениями. Снять с этих последних полок напряже-
напряжения Хх может оказаться в некоторых случаях затруднительным.
Нетрудно, однако, уравновесить главный вектор и главный мо-
момент внешних сил, приложенных к каждой из этих кромок. Для
этого следует принять
что в случае плоского напряженного состояния дает вместо A6')
Подобрав постоянные с2 и dz из условий
4-е
I:
402
будем иметь
и, следовательно,
= A'j, - 0.
A7)
В решении этом, как сказано, t может быть любой функцией
от у. Оно не удовлетворяет условию
Хх = 0 при х = 0 и л = /,
а лишь условиям
+с
sdy = 0 и
По принципу Сен-Венана можно полученное только что ре-
решение считать применимым к средней части прямоугольной по-
полосы, если только длина полосы достаточно велика по сравне-
сравнению с ее шириною.
Рассмотрим несколько частных случаев неравномерного на-
нагрева, в котором t является функцией только лишь от у.
Случай 1. Полоса нагрета так, что t есть линейная функ-
функция от у.
В этом случае никаких напряжений в полосе не возникает,
ибо, как видно из A7), Xx=Yg = Х„ = 0.
Случай 2. Верхняя часть пластины нагрета до одной тем-
температуры, нижняя до другой.
Случай этот может представиться в том случае, если рас-
рассматриваемая полоса погружена частично в одну, частично
в другую среду, каждая из которых имеет свою температуру,
при условии, что коэфициент теплопередачи от обеих сред к
рассчитываемой полосе бесконечно велик.
Допустим (рис. 136), что
t = tt пр и — с < у < а,
t=t% при а < у < -f с,
что можно записать одной строкой
403
если условиться удерживать члены правее знака ||„ лишь при
у, ббльшем чем а.
В этом случае
—с
Л
c2~a2
Рис. 136.
и на основании A7)
лх —
3ci~a*v I с~й
4 c2 c i--^-
A8)
Yv = Xg = 0.
Эпюр распределения напряжений Л^ по высоте полосы, со-
соответствующий этой зависимости, изображен на рис. 136 справа.
Там, где точки ступенчатой линии, изображающей величину
J^" t, лежат левее наклонной прямой, от которой ведется от-
отсчет величины Хх, имеет место растяжение, где они лежат пра-
правее этой прямой — сжатие.
Случай 3. Верхняя половина тонкой пластинки погружена
в одну среду, нижняя в другую, температуры которых различны.
Коэфициент теплопередачи от обеих этих сред к пластинке со-
соизмерим с коэфициентом ее внутренней теплопроводности и
одинаков.
Допустим, что часть пластинки, где у > 0, погружена в среду,
температура которой есть t2, часть же, где у < 0, в среду, тем-
мература которой есть tx. Пусть коэфициент внутренней тепло-
теплопроводности пластинки есть k, коэфициенты же теплопередачи
к внешним средам суть Хх при у < 0 и Х2 при у > 0.
Обозначив через q количество тепла, протекающее через
единицу ширины сечения х = const от той части пластинки,
где у больше, к той, где у меньше, толщину же пластинки
через h, можно написать
= —kh
EL
dy-
(а)
404
С другой стороны,
dq_
dy
! — г) при у:
i — 0 при у
(б)
Исключая величину q из уравнений (а) и (б), нетрудно видеть,
что при у < 0, t определяется диференциальным уравнением
dy* kh V1
при .у большем нуля — уравнением
dy kh ^
(в)
(r)
Граничные условия, которым должно удовлетворять решение,
даются в рассматриваемом случае уравнениями
(Д)
dy
dt
dy
= 0 при у
y=+0
dt
dy
= — c,
y=-o,
| = 0 при у=+с.
Определив температуру t из диференциальных уравнений
(в) и (г) и граничных условий (д), можно затем напряжения Хх
в полосе разыскать с помощью формул A7).
В частном случае, если Хх = Х2 = X, решение упрощается, так
как диференциальные уравнения (в) и (г) можно оба заменить
одним уравнением
—
kh
—
kh
Общий интеграл этого уравнения дается равенством
t = tx 4- A ch у ^ (y-\-c) + Bsh Уш (У + °) +
+ \(t,~t1) + Ccbl/'fj-y + Dshl/'l)-y\.
Первое из граничных условий (д) требует, чтобы было
Из второго следует
Из третьего
D=0.
405
Поэтому можно принять, что
.(y + c) + \l(ta~tl)(l-cb}/'%[y). (ж)
Для определения неизвестной А в нашем распоряжении на-
находится еще нами неиспользованное четвертое из граничных
условий (д). Развертывая его, замечаем, что А должно быть
найдено из условия
откуда следует, что
Д = (t, — tj) lT= C)
2 chl/ **
kh
и, следовательно.
ch I/ —O + c).
2ch
l/2X
V kh
Чтобы найти напряжения, соответствующие найденному на-
нагреву полосы, достаточно подставить найденное t в формулу A7).
Случай 4. Плоский слой, толщиною 2с, нагретый предва-
предварительно до температуры tlt погружен в среду, температура
которой есть t0> и поставлен в условия, допускающие появле-
появление в нем лишь плоской деформации.
Допустим, что коэфициент внутренней теплопроводности
материала есть k; коэфициент теплопередачи от слоя к внеш-
внешней среде X, удельная теплоемкость а.
Для определения температуры как функции от координаты
у имеем диференциальное уравнение1
k — = а —, (и)
где начальные условия
t = const = tx при х = 0 (к)
1 Если обозначим через q количество тепла, протекающее через единицу
ширины сечеиия у = const в единицу времени, то будет
4 ау
В случае нестационарного режима величина q в различиых слоях разлнчна и
д-3-= —а —
ду дт'
Исключение из этих двух уравнеиий величины q и дает иам уравнение (и).
Аналогичным путем легко выводятся и условия (л).
406
и граничные условия
%==^^t~to) при У = ~ с>
У=+с>
(л)
где х—время.
Общий интеграл уравнения (и) можно разыскать в форме
ряд
(м)
где Sn(y) и Тп{х)— некоторые, пока неизвестные, функции от
у и х соответственно, которые мы подберем так, чтобы каждый
член ряда (м) удовлетворял как уравнению (и), так и граничным
условиям (л).
Первого мы достигнем, положив
(н)
где рп — некоторые пока неопределенные параметры.
Второе требует, чтобы было
n{у) = ^S
'n(у) = —
при у = — с,
при у = + с,
Со)
и налагает некоторые ограничения на возможные значения ве-
величины \>ъ.
Чтобы установить характер этих ограничений, составим об-
общий интеграл для Sn(y) и подставим его в граничные условия
(о). Очевидно, наиболее общим выражением для функции Sn(y)
является
где Ап и Вп — некоторые константы.
В рассматриваемом частном случае можно ожидать, что тем-
температура t будет четной функцией от у. Попробуем поэтому
удовлетворить общим уравнениям (о), приняв
Подставив только что полученное выражение для Sn[y) в ра-
равенства (о), видим, что они оба будут удовлетворены, если мы
примем
40
что приводит для Ап к решению, отличному от нуля, лишь при
условии, что |j.n является одним из корней уравнения
^т = т^- (р)
Корни этого уравнения легко находятся с помощью графи-
графического построения рис. 137. Разыскав величины |л„ можем, счи-
считать все функции Sn(y) известными с точностью до неопреде-
неопределенного множителя Ап. Положив
An =1Д
Рис. 137.
будем вместо (п) иметь
SnO0 = cos-|r, (с)
причем функции Sn{y) будут уже вполне определены. Для на-
нахождения функции Тп (х) получаем из (н)
гДе ?л@) — некоторые пока неопределенные константы, являю-
являющиеся начальными значениями функции 7"п(т), a vn — постоянные»
определяемые равенством
а \2с
и потому известные, коль скоро ц„ предварительно определены.
Для разыскания начальных значений функции Тп (х) можем
в силу (м) и (к) написать
;@), (Ф)
408
откуда видно, что для разыскания интересующих нас величин
Г„@) надо функцию ^ — ?0, заданную в пределах от у = — с до
у = + с, разложить в ряд по функциям Sn(y), определяемым ра-
равенством
и уравнением (р), т. е. в ряд несколько более общего вида, чем
обычный ряд Фурье, содержащий косинусы кратных дуг.
Разложения заданных функций в такие ряды производятся
с помощью того самого приема, который служит для нахожде-
нахождения коэфициентов обычных рядов Фурье. Докажем это, для чего
рассмотрим интеграл
Первое из уравнений (н) позволяет видеть, что
i Sn(y)Sk(y)dy = f S'n(y)Sk(y)dy =
—с ¦ —с
+ с +с
'n (у) Sk (у) - Sn(y)S'k (у) \+fSn (y)Sl (у) dy =
—с —с
= | S» (y)Sk (у) -Sn (y)Sk (у) - (g) J Sn (y)Sk (Я dy
и, следовательно
S'n(y)Sk(y)~Sn(y)Sk(y)\ .
—с
В силу граничных условий (о) правая часть только что по-
полученного равенства равна нулю. Это показывает, что функции
Sn(y) обладают замечательным свойством взаимной ортогональ-
ортогональности
j Sk(y)Sn(y)dy = 0 при кфп. (ц)
—с
Им то и можно непосредственно воспользоваться для нахожде-
нахождения величин Т„@) по заданному tx —10. Действительно, умно-
умножив обе части равенства (ф) на какую-либо определенную из
Функций Sn(j0, например на Sk(y), проинтегрируем его по у
в пределах от —с до + с; это даст
?Тп@)j Sn(у)Sk(y)dy= /(Д-10)Sk(у)dy
n —с —с
409
или, принимая во внимание (ц),
+«
П@) = ^с . (ч)
J S\{y)dy
—с
Здесь правая часть может считаться величиной известной, если
tx — tQ задано, а функции Sk(y) предварительно найдены.
Определив величины Тп{0) с помощью равенства (ч), будем
на основании (м), (с) и (т) иметь
^e-v, A9)
где* величины vn определяются равенствами (у) и, равно как и
все прочие величины, входящие в правую часть, известны.
Равенство A9) позволяет подсчитать t для любой точки рас-
рассчитываемого слоя в любой момент времени. После этого напря-
напряжения Хх и Zz, являющиеся единственно отличными от нуля,
найдутся из зависимостей
B0)
{см. равенства A7) настоящей главы, а также равенства B9) и
<36) главы IX].
Случай 5. Плоская стенка толщиной 2с, находящаяся в
условиях плоской деформации, разделяет две среды, из которых
у одной температура постоянна, у другой же меняется по гар-
гармоническому закону.
Тепловой режим стенки является установившимся в том
смысле, что температура всех точек стенок является периоди-
периодической функцией от времени.
Допустим, что
п — угловая частота периодических колебаний температуры
стенок;
X — коэфициент теплопередачи от поверхности стенки к внешней
среде;
к — коэфициент внутренней теплопроводности материала стенки;
а—коэфициент его теплоемкости;
?0 — температура той среды, которая соприкасается со стенкой
по поверхности у = — с;
t = -^~2~- + -^~2~--cos их— т.емпература той среды, которая гра-
ничит со стенкой при у = -\-с;
время.
410
Как и в предыдущем примере, в этом случае температура
стенки должна удовлетворять уравнению
дЧ _ ji_ dt_ .
ду2 ~ к дх " Iй'
Граничные условия выписываются в рассматриваемом случае,
однако, так:
dt
при у = — с,
cos га х j при у= +с.
(ш)
Имея в виду, что по 'условиям задачи тепловой режим
исследуемой стенки является установивщимся колебательным
режимом, можем принять, что в данном случае
S(y) cos га х -\- R (у) sin га х,
B1)
где S(y) и R (у) — некоторые пока неизвестные функции от у.
Для нахождения последних получаем из (и) систему дифе-
ренциальных уравнений
(Щ)
показывающую, что как R(y), так и S(y) должны удовлетворять
уравнениям
(э)
из (ш)—систему граничных к ним условий
при j = — с,
2k
при j = с.
(ю)
411
Из (э) видно, что в общий интеграл для S(y) входит че-
четыре произвольных постоянных. Те же четыре произвольных
постоянных должны, как видно из (щ), входить и в общий
интеграл для R(y). Четырех независимых произвольных посто-
постоянных, входящих в общий интеграл для S(y) и R(y), должно
быть достаточно для возможности подчинения этих двух функ-
функций четырем граничным условиям (ю). Определив эти четыре
постоянных из этих четырех условии, будем знать как S (у),
так и R(y), а следовательно [см. равенство B1)] и t.
После этого отличные от нуля компоненты напряжения най-
найдутся из формул B0). Таким образом, в этом случае, как и во
всех остальных, разобранных в настоящем параграфе, задача об
определении тепловых напряжений сводится в сущности к ре-
решению тепловой лишь задачи, так как дальнейшее нахождение
напряжений сводится к весьма простым интегрированиям и
суммированиям, указанным равенствами A7).
§ 4. Решения Рибьера и Файлона
Как показано было выше в § 1, задаваясь для функции Эри
алгебраическими полиномами различных степеней, можно полу-
получить решения для ряда различных загрузок прямоугольной по-
полосы. Чем сложнее, однако, нагрузка, тем более громоздкими
становятся выкладки, сопряженные с получением соответству-
соответствующего решения этим методом. Недостатком его является также
и то, что нагрузка полосы оказывается при пользовании им
представленной алгебраическими полиномами различных степе-
степеней, в форме каковых можно представить, однако, далеко не
всякую нагрузку полосы. От этих недостатков решения, рас-
рассматриваемого в § 1, в значительной мере свободно решение
Рибьера1. Последний предложил искать функцию Эри в форме
ряда вида
B2)
где х отсчитывается вдоль полосы, принимая на ее концах зна-
значения о и /, а функции fn{y) подбираются так, чтобы каждый
член ряда B2) удовлетворял уравнению
V2V2tp = 0. B)
Рассмотрим это решение несколько подробнее.
Мы получим решение вида B2), если в формуле F) главы
IX положим
1 Ribiere, Comptes Rendus, Paris, 1898.
412
2G
4A—о)"
2G
4A-a)
'\
B3)
20
IT^-0o =
4A -a)
л=1
и, следовательно [см. формулы E) главы IX],
2G
л=1
л=оо
2G
в(^"г8Ш—» ' а)
2G ^ = _2A —a)
4A-
что позволяет принимать
2Q
cos
ППХ
п=1
4A-а)
(О = У I J
ппх
— cos'-^, B4)
так как в силу условий, налагаемых на Rn(y) уравнением
Vs 02 = 0,
выражение B4) будет удовлетворять не только первому, но и
остальным двум из уравнений (а).
Подставив B3) и B4) в F) главы IX, будем иметь для функ-
функции Эри следующее решение вида B2):
n(y)l-Sn(y)-2(l-c)R'n(y)(JLy] cos^, B5)
<Р=
для перемещений же. и и v [см. равенства B) главы IX]
B6)
413
где в силу уравнения, которому должны удовлетворять функ-
функции 0i, функции Rn(y) и Sn(y) должны считаться подчинен-
подчиненными уравнениям
B7)
и могут, следовательно, в самом общем виде быть выражены
равенствами
Rn (у) = 0,-п. —г ch —— 4- Ьп —г sh —г-,
B8)
Через каждую из функций Rn(y) и Sn(y) в функцию Эри,
определяемую равенством B5), входит по две постоянных интегри-
интегрирования, распоряжаясь которыми, мы можем каждую из функций
подчинить на кромках полосы, где у = const, четырем гранич-
граничным условиям. Этого достаточно для того, чтобы заставить
напряжения Yy и Ху принять с точностью до неопределенного
постоянного слагаемого на обеих этих кромках заданные зна-
значения. Таким образом, рассматриваемое решение позволяет
прикладывать к обеим продольным кромкам полосы почти про-
произвольную внешнюю нагрузку. На поперечных кромках полосы
(где х — 0 и х — 1) мы в решении Рибьера нагрузкой распоря-
распоряжаться не можем. На обеих этих кромках в решении этом
B9)
Таким образом в решении Рибьера торцевые сечения полосы
находятся в тех условиях, которым подчинены опорные сечения
многопролетных балок, загруженных симметрично по отноше-
отношению ко всем своим опорам.
Заменив в решении Рибьера cos ^ на sin^, мы придем
к другому решению, в котором нагрузка продольных кромок
полосы будет также представлена рядами Фурье. В отличие от
решения Рибьера в этом решении, предложенном Файлоном и неза-
независимо от него и почти одновременно Белзецким^на поперечных
1 См. L. М. Q. Fllon. Philos. Trans. Royal Soc. of London A. Series 1903, Vol.
201 p. 64—155, а также Белзецкий, Известия Собрания Инженеров' Путей
Сообщения, стр. 195, 1905 г.
414
кромках полосы т. е. на кромках, где х = 0 и х = /, имеют
место зависимости
Yxd=0,
<у = О,
ифО.
C0)
В таких условиях находятся опорные сечения полосы, концы
которых присоединены к абсолютно гибким, но абсолютно не
растяжимым тонким пластинкам, совершенно устраняющим в
опорных сечениях полосы перемещение v, но вовсе не стесня-
стесняющим свободы перемещения в опорных сечениях в направлении
оси ох.
Таким образом, решение Рибьера соответствует
заделке концов полосы по симметрии нагрузки,,
в решении же Файлона концы полосы нахо-
находятся в условиях свободного подвеса, совершенно
не допускающего в этих сечениях перемещений v, но абсо-
абсолютно не стесняющего свободы перемещений в отношении и.
§ 5. Иная форма основных зависимостей, относящихся
к решению Рибьера
Рассмотрим ряды, через которые выражаются в решениях
Рибьера и Файлона
нагрузка продольных уу=-°-50
кромок полосы, а рав-
равно и ее перемещения.
Будем во всем даль- з><
нейшем (рис. 138) счи-
считать рассматриваемую
полосу ограниченной
прямыми х = 0; х = I
и у = + 0,5 Ь. рис. 138.
Подставив <f из B2)
в равенство G) главы IX, будем, что соответствует решению»
Рибьера, иметь
гтх.
/ \ Г lib Л,
(у) cos -у-,
\
п=\
=2^—/»(у)sin
(а)
415
Выражения эти приводят для Yy и Х„ на кромках у = ± 0,5 Ь
к таким рядам, через которые можно в интервале 0 < х < /
представить всякую такую функцию Yv, среднее значение кото-
которой равно в этом интервале нулю.
Равным образом и Хх выражается в только-что выписанном
решении таким рядом, среднее значение которого в рассматри-
рассматриваемом интервале равно нулю.
Чтобы иметь возможность варьирования по желанию, сред-
ния значения как напряжения Yy, так и Хх можно принять за <р
вместо B2)
C1)
Это «дает для компонентов напряжения
2/яООcos ~г'
Я = 1
П=оо
Я=1
я=оо
\1 Ля
cos
C2)
и позволяет приложить к кромкам у— +0,5 6 любую нагрузку,
удовлетворяющую условию уравновешенности нормальных уси-
усилий, приложенных к обеим этим кромкам вместе. Это послед-
последнее ограничение является естественным следствием отсутствия
напряжений Yx в сечениях х = 0 и х — /.
В частности, если нагрузка продольных кромок полосы за-
задана условиями
при ^=
У =-0,5 ft,
У = — 0,5 6,
C3)
где л (л), /?2(л), qx(x) и ^2(л) —любые функции, удовлетворя-
удовлетворяющие помимо условий Дирихле еще условию
I- i
Jp1(x)dx = J p2(x)dx,
C4)
416
то следует полагать в C2)
i i
= Y /л (•*) dx = \ jp2 U) dx,
О О
fn (+ 0,5 b) = — -^ Jp! (л) cos ^ rfx,
0
/„ (+ 0,5 b) =
(x) sin ^
C5)
чему удовлетворить можно, так как , число постоянных произ-
произвольных, входящих в/„(у), для того достаточно.
В случае плоской деформации решение C2) приводит
[см. равенство A2)] для и и v к выражениям
и =
(
- B Ф вх)/» СУ)] cos Ю _ fll х + b2,
в чем нетрудно убедиться, разыскав перемещения и и v с по-
помощью любого из общих приемов, позволяющих находить пе-
перемещения но заданным деформациям.
Условившись считать
M = <y==W=0 при х=у=0,
можно полагать
аг= ^ = 62 = 0.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—27 417
и =
Равенства (б) в этом случае упрощаются, принимая вид
(C-<hA)x + П^[~/п (у) + h n^fn (у)] sin »=* I,
л=1
Я=оо
v = -ЕГ \<А -
C6)
В случае плоского напряженного состояния их
следует заменить равенствами
} C7)
п=1
л=1
что же касается функций /п(у), то по сказанному в § 4 можно
принимать в самом общем случае, что
C8)
§ 6. Аналогичные зависимости из области решения Файлона
Положив, как в § 4, что
будем иметь
= — 2 \
Ля V
п <у ^ sin Т •
\' w у м лях
в= — Л -г/я (У) cos -p.
(а)
(б)
В форме ряда типа (б) можно представить только такую
функцию Ха, средняя величина которой на каждой отдельной
из кромок у = const равна нулю. Чтобы иметь возможность
418
варьировать по желанию величину интеграла fXg dy на продоль-
продольных кромках полосы, следует принять
(ЗГ)
л=1
Тогда вместо (б) будем иметь
V
^ \
ПКХ
C2')
что можно принять за самое общее решение для полосы, концы
которой находятся в условиях свободного подвеса, рассмотрен-
рассмотренного в § 4.
Чтобы нагрузка продольных кромок такой полосы соответст-
соответствовала равенствам C3) § 5, необходимо постоянной В и функ-
функциями /„(у) распорядиться так, чтобы было
U (+0,56) = -.
/„(-0,56) = -
/«(+ 0,56) = - А/?1 (л) cos ^
sin
/„(-0,56) = - ~fqa(x)cos ^d*,
C5')
чего добиться, распоряжаясь постоянными, входящими в общее
выражение C8) для функций /п(у), возможно. Компонентам напря-
напряжения C2') соответствуют в случае плоской деформации
419
перемещения, определяемые равенствами
1
«1 —Л 00 I
cos
а1)/;( v)] sin ««
} C6')
В случае плоского напряженного состояния по-
последние равенства заменяются следующими:
лях Ду
cos -? + тг»
C7')
sin л-г;
§ 7. Применение решений Рибьера и Файлона к изгибу
трубчатых балок прямоугольного сечения
Решения Рибьера и Файлона могут быть использованы при
исследовании вопроса об изгибе профилей, составленных из пря-
прямоугольных полос и в частности пустотелых трубчатых балок
прямоугольного сечения. Выше,
в главе VIII, изгиб таких балок
был рассмотрен в предположе-
предположении, что балки эти загружены
лишь силою, приложенною к
свободному концу балки, и при-
притом лишь в предположении, если
силы эти по сечению свободного
конца балки распределены неко-
некоторым, совершенно определен-
определенным для всякой балки, образом.
При этой некоторой совершен-
совершенно определенной нагрузке балки
нормальные напряжения распре-
распределялись в ней по ширине ее
поясков равномерно. Из этого,
однако, отнюдь не следует, что нормальные напряжения должны
распределяться равномерно по ширине сечения и при всяком
ином способе.загрузки балки. На основании некоторых элемен-
элементарных соображений можно даже утверждать обратное.
Действительно, пусть пустотелая трубчатая балка (рис. 139;
загружена вертикальными усилиями, приложенными к ее стен-
стенкам.
420
Рис. 139.
Если бы пояски балки были отделены от ее стенок
вертикальными разрезами, то пояски балки не удлинялись
бы, соприкасающиеся же с поясками кромки стенок были бы
возле одного пояска удлинены, возле же другого укорочены.
Пояски скользили бы, следова-
следовательно, вдоль стенок балки.
Кромки стенок были бы при
этом, конечно, искривлены в
вертикальной плоскости. Вслед-
Вследствие большой жесткости стенок
в отношении изгиба в их собст-
собственной плоскости это искрив-
искривление было бы весьма мало, и
пояски балки, обладающие при
изгибе их в вертикальной плоскости совершенно ничтожною
жесткостью, могли бы совершенно свободно следовать за искрив-
искривлением стенок, не изменяя практически вертикальной нагрузки
стенок. Имела бы место следовательно картина, изображенная
грубо на рис. 140.
Рис. 140.
Рис. 141.
Чтобы пояски балки не скользили вдоль стенок, как на
рис. 140, мы должны приложить к ним в сечениях, которыми
мы их отделили мысленно от стенок, скалывающие напряжения,
подобранные так, чтобы на всем протяжении балки удлинения
соприкасающихся кромок были у поясков балки и ее стенок
друг другу равны. Соответствующие противоположные напря-
напряжения будут при этом, конечно, приложены и к стенкам балки
ее поясками (рис. 141).
Если под влиянием скалывающих напряжений, приложенных к
кромкам поясков, у этих последних возникнет тенденция к изгибу
в горизонтальной плоскости (перпендикулярной к плоскости сте-
стенок), то, вследствие того, что ширина поясков всегда довольно
421
велика по сравнению с толщиною стенок, это искривление
поясков будет сравнительно невелико, и стенки будут за ним
следовать, почти не изменяя нагрузки поясков.
Таким образом, приближенно можно принять, что при на-
нагрузке балки, соответствующей рис. 139, стенки балки будут
загружены на своих кромках 'заданными нормальными напряже-
напряжениями и кроме того некоторыми статически неопределимыми
скалывающими напряжениями, пояски же—лишь соответствую-
соответствующими скалывающими напряжениями, причем статически неопре-
неопределимые реакции стенок балки и ее поясков будут направлены
практически горизонтально. Упомянутая статическая неопреде-
неопределимость нагрузки стенок и поясков раскрывается уравниванием
удлинений продольных кромок стенок и поясков на всем протя-
протяжении балки. Как пояски, так и стенки балки находятся при
этом в условиях плоского напряженного состояния.
Картина, только-что нами рассмотренная, является, конечно,
приближенною. Но если ширина поясков велика по сравнению
с толщиной стенок профиля, а высота стенок велика по сравне-
сравнению с толщиною его поясков, то эта приближенная картина
работы отдельных элементов профиля должна быть недалека от
истины.
Если длина поясков велика по сравнению с их шириною, то
имеются все основания полагать, что различные продольные
фибры каждого пояска будут напряжены более или менее оди-
одинаково. Но если ширина поясков будет недостаточно мала по
сравнению с их длиною, то надо полагать, что продольные во-
волокна поясков, ближайшие к месту нагрузки пояска, т. е. к про-
продольным кромкам пояска, будут напряжены больше, чем волокна,
расположенные вдали от этих кромок. Гипотеза равномерности
распределения нормальных напряжений по ширине пояска, под-
подтвердившаяся при загрузке балки, рассмотренной в главе VIII,
должна при этих условиях оказаться неверной.
Насколько далека она от истины, можно приблизительно
выяснить, приняв, что стенки балки, равно как и ее пояски,
находятся в условиях плоского напряженного состояния и нагру-
нагружены, как указано выше. Если концы балки находятся в усло-
условиях свободного подвеса, то распределение напряжений как в
стенках профиля, так и в поясках, может быть найдено с помощью
решения Файлона, если же концы балки заделаны по симмет-
симметрии, то с помощью решения Рибьера.
Общая схема расчета при этом может быть такою:
1) составляются общие выражения для удлинений продольных
кромок стенок и поясков под действием приложенных к ним
скалывающих напряжений;
2) находятся удлинения продольных кромок стенок под дейст-
действием приложенных к ним нормальных напряжений;
3) в предположении, что скалывающие напряжения, приложен-
приложенные к продольным кромкам стенок и поясков, неизвестны,
составляются общие выражения для удлинений загружаемых
кромок всех полос, входящих в состав профиля;
422
4) приравниванием друг другу удлинений соприкасающихся
кромок различных полос составляются .уравнения для опреде-
определения неизвестных усилий взаимодействия этих полос;
5) решением этих уравнений находятся скалывающие напря-
напряжения на продольных кромках всех поясков й стенок, после
чего нагрузка каждой такой полосы уже становится вполне опре-
определенною;
6) исследуется распределение напряжений во всех поясках и
стенках профиля.
Так как в решениях Рибьера и Файлона нагрузки и удли-
удлинения продольных кромок прямоугольной полосы выражаются
тригонометрическими рядами, то все неизвестные усилия взаи-
взаимодействия полос друг с другом, удобно искать в форме рядов
Фурье. Коэфициенты этих рядов, соответствующие различным
значениям множителя п при -у разделяются, как нетрудно ви-
видеть, в системе уравнений, раскрывающей статическую неопреде"
лимость профиля. Поэтому систем уравнений с особо большим
числом неизвестных вообще решать при этом не приходится, и
все решение получается сравнительно простым. Расчет может
быть сильно упрощен путем составления раз на всегда ряда го-
готовых решений для наиболее характерных нагрузок прямо-
прямоугольной полосы. Такого рода решения приводятся ниже в § 8 и 9
и заимствованы из нашего доклада, читанного в Ленинградском
военно-морском научном обществе осенью 1923 г.
§ 8. Решение для полосы, симметрично загруженной
скалывающими напряжениями
Рассмотрим полосу, продольные кромки которой загружены
лишь скалывающими напряжениями, притом такими, что нагрузка
полосы симметрична относительно продольной оси полосы
(см. ниже рис. 143), так что
Xy = q(K) при у = +0,5Ь,
Xv=-q{x), у=-0,ЪЬ, (а)
Yg = 0 „ y=±0,5b.
Концы полосы будем считать находящимися в условиях за-
заделки по симметрии, так что к полосе применимо решение
Рибьера. Параллельно будем вести выкладки для полосы, сво-
свободно подвешенной, к которой применимо решение Файлона.
Мы видели выше в § 5, что в решении Рибьера напряжения
Хш получаются разложенными в ряды Фурье по синусам кратных
дуг, в решении же Файлона — по косинусам тех же аргумен-
аргументов —j-. Для того., чтобы применить к рассматриваемой полосе
одно из этих решений, мы должны представить нагрузку Я{х)
423
в решении Рибьера в форме ряда | в решении Файлона в форме
ряда
2
п=1
для чего достаточно принять
In ='-f J Я (*) sin -у- dx, (B)
cos
^, (б')
п=1
где
^x, (в')
= ±fq(x)dx, г)
при этом при нагрузке полосы, симметричной по отношению к
сечению х — -^, будем иметь
5 = 0.
Сопоставляя полученную нагрузку полосы [см. равенства (а)
и (б)] с общими ее выражениями, соответствующими решениям
Рибьера и Файлона (см. формулы] C2) и C2')], нетрудно ви-
видеть, что граничные условия будут в рассматриваемом случае
соблюдены, если мы примем в обоих рассматриваемых решениях
/„(+0,56) = 0,
fn(-0,5b) = 0,
(А)
Чтобы подчинить общий интеграл для /„(у) [см. формулы C8)]
этим граничным условиям достаточно сохранить в нем лишь
четные функции от у, т. е. принять вместо C8)
(е)
При этом условия (д) будут соблюдены, если Ап и Dn будут
найдены из уравнений
Ап sh ип + Dn (sh и„ + ип ch м,г) = ^—J fn,
!
где принято
C9)
424
Из (ж) следует
*/ sh2«n + 2Mn'
(з)
ch un
так что при рассматриваемой нагрузке полосы
„ „ wn sh un ch —~- — —p- sh —=— ch «„.
/ /I1t\ x / \ г) * ^ *
( ~~T ) /n ( V) ^= '—' ^[n ~™ ^ ~ '
\ I I ' sh 2un + 2un
пку nny nny I
(ып sh un — ch ггп) sh —f- r ch —¦—- ch м„ I ^„ч
™ f (v) = — 2t — - - ' M '
•' " sh2i/n + 2i/re
. nicy nicy nity
(ии sh м,г ¦— 2 ch un) ch —p -f- sh —^- ch un
sh 2ии + 2u?l
и, следовательно, в решении Рибьера
п=со У Л|У "У
B ch и„ — uvi sh и„) ch - - + — sh —j~ ch un
^cs
cos
:Th^r^;
n=l
n^ nicy . nny .
fsh—chare
COS
jL sh 2ии + 2un
n~°° / t. t. ч ^ nicy , nnv , nicy
v^ (ch i/n — «n sh и„) sh —f- + —f- ch —j- ch и„
III ^, П1СХ
Sin
Хд = > 2^„ — Sin — ,
( I $h 2ып + 2un '
n=l
в решении же Файлона
T!S? /о u t. ч i. ПКУ , П1Су ППу
¦^i B ch un — un sh Ии) ch -~ + -~ sh -~ ch un
Xx = Lj 2"'n — ~—~ : sin ~^'
. . nicy mcy , nicv ,
r» = / 2fn sin -г-, \ (л)
LJ sh2u + 2u l
№=1
t. \ i пкУ , ""У t. nicy
i — un sh un) sh —p- H r- ch —^ ch un
r> I I I nicr
2t« cos —,—.
425
Здесь ип определяются равенствами C9), а fn равенствами
(в) и (в').
Из рассмотрения полученного решения явствует, что оно
действительно удовлетворяет на продольных кромках полосы
всем поставленным условиям. По сказанному в § 7 мы можем
воспользоваться им для оценки того, насколько равномерно рас-
распределяются нормальные напряжения Хх по ширине поясков
пустотелых балок прямоугольного сечения.
§ 9. Понятие об эквивалентной ширине и редукционном
коэфициенте пояска
Мы видели выше в § 8, что напряжения Хх распределяются
по ширине пояска трубчатой балки, изображенной на рис. 139,
неравномерно. Возле загруженных кромок пояска они в решении
Рибьера выражаются рядом
п=оо
i Xx y=0,5 ь = У 4тп . о " cos -у , (а)
?l sh 2ип + 2ип '
а в решении Файлона рядом
ch un
' sh 2un +2un i
n=l
посредине же ширины пояска в решении Рибьера
п=оо
I v | VI п 2 ch ип — ип sh un тех .
I Xs\y=0 = \ 2-in — — COS-p, (В)
^ sh 2un + 2un l
n=l
в решении же Файлона
i х ' VI г... 2 ch Un — un sh «„ „.„ лпл:
Как видно из последних двух выражений, напряжения посредине
ширины пояска могут оказаться не только значительно меньшими,
чем возле загруженных кромок пояска, но при достаточно боль-
большой ширине пояска даже имеющими знак, противоположный
знаку максимального напряжения в пояске,
Уместен поэтому вопрос, какая же доля полной ширины по-
пояска может считаться фактически работающей.
Ответить на этот вопрос можно следующим образом.
Допустим,' что s есть ширина такой полосы, которая, напря-
напрягаясь по всей своей ширине одинаково, под действием того же
суммарного усилия, что и действующее в рассматриваемом нами
пояске, удлиняется так же, как удлиняются при этой нагрузке
пояска его загруженные кромки. Ширину этой полосы будем
называть эквивалентной или полезной шириной полосы.
426
Из самого определения этой величины вытекает, что
+ 0,56
S | Ее^ | „акс = J Xxdy (д)
и, следовательно,
—0,5*
где
среди
D0)
D1)
Величину ф, определяемую равенствами D0) и D1), условимся
называть редукционным коэфициентом рассматривае-
рассматриваемого пояска. Коэфициент этот показывает, какую долю от фак-
фактической ширины пояска составляет его полезная ширина.
У пояска балки, изображенной на рис. 139,
Е-@хх \ макс = | ¦Лх \ макс — ] "j | y=J;0,5i-
Поэтому для поясков балок этого типа
, _ \ХХ 1 среди
D1')
и, так как для этих поясков, согласно (а) и (б),
в решении Рибьера | в решении Файлона
Л( I макс ==
П+ОО
пкх
71=1
среди =
4 0,5*
«4 fxsdy = \ _
—0,5b n=l
то можно принимать, что в
71 — ОЭ
=+2
4 ch2
-
n
sin
40,5*
среди
—0,5*
71=ЗО
2 VI I . ппх , ч
41 -7nsm—, (ж)
решении Рибьера
П *
пкх
4 ch2 un
"'sh:
п=1
2ып
пкх
где
S1H
лях
Ь /. пк '"""* •/
в решении же Файлона
Sin
пкх
71=1
«71
, (з)
4 ch2
n=l
l"sh2Mn+2%O'11 /
^n= — ~jq(x)cos^dx. (и)
о
421
Как видно из найденных выражений для ty, редукционный коэфи-
циент пояска есть вообще некоторая довольно сложная функция от;с.
Только в том частном случае, если нагрузки продольных кромок
пояска заданы так, что в ее разложении в ряд Фурье все члены
кроме одного я-го пропадают, величина Ь перестает быть функ-
функцией от х. В этом случае
в решении Рибьера
, _ sh2ип + 2ип
4:inch2un '
q(x)= ~{nS\n~ .
в решении Файлона
^ = sh 2un + 2и
4unch2un
если
ЛЯХ
*)=—TnCOS-j-.
(к)
(л)
0,63 !,0L 1,57
1,18-
¦¦ML
woJB/.
¦Щ
/
1
0J.8
0p2
^-*-—
'0,59
0,78
--<
0,85
1.57
№
Ш
ВД
ПЕ?± - I*
при n=Z
Рис. 142.
С увеличением фактической ширины пояска b аргумент ип,
определяемый формулою
«*=1йг. C9)
возрастает, редукционный же коэфициент 0, определяемый фор-
формулою (к), неопределенно убывает.
Полезная ширина пояска s стремится при этом, однако, к не-
некоторому конечному пределу, так как при ип =<х>
2ип
D2)
Насколько быстро приближается при увеличении b полезная
ширина пояска s к своему пределу, даваемому формулой D2),
видно из следующей таблицы и построенного по ней графика
(рис. 142).
428
«п.
ля
при
при
л =
л =
1
2
0
1,00
0,00
GO
ОО
i
1
1
1
0,5
0,85
0,85*
3,14
6,28
1,0
0,59
1,18
1,57
314
2,0
0,28
1,10
0,78
1,57
1
0,17
1,02
0,52
1,04
5,0
0,10 '
1,00
0,31
0,63
оо
0
1,00
0
0
Как видно из этого графика, при
I :Ь > пк,
редукционный коэфициент
(м)
(н)
l:b < п~, (о)
то полезная ширина сечения s близка к своему пределу, соот-
соответствующему Un = оо ,
s=l. (п)
пи v '
если же
Какую погрешность дают эти приближенные зависимости,
можно всегда оценить с помощью формул (з) и (и). Для этого,
однако: необходимо предварительно разыскать д(х) способом,
изложенным в предыдущем параграфе. Зависимости, облегчаю-
облегчающие эту последнюю операцию, собраны в § 10. Пример их
использования дан в § 11.
§ 10. Решения для основных случаев загрузки прямоугольной
полосы
В параграфе 8 мы рассмотрели подробно случай 1, т. е.
случай симметричной загрузки продольных кромок полосы ска-
скалывающими напряжениями. Случай этот (рис. 143) соответствует
граничным условиям
Yv = 0, Х„ = q (x), при у= + 0,56,
Yg = 0, Ху = — q (х), при у = — 0,5Ь.
Введя обозначения
ПК
п%Ь
—-
429
D ch un — 2un sh нта) ch
sh (any) ch цп
ч
У>
2un ch (any) sh Ип — 2any sh (o^y) ch un
~ sh2«n+2«n '
(any) Ch ып + [2 Ch un — 2un sh Un] sh'
Рис. 143 (см. случай 1).
Рис. 144 (см. случай 2).
можно полученные результаты переписать
при заделке концов по симме-
симметрии (случай Рибьера) так:
х = 51 ТА 0„, J/) cos (anx),
п=1
n=oo
где ",'п — коэфициенты разложе-
разложения q(x) в ряд вида
п=1
при свободно подвешенных
концах (случай Файлона)
так:
2
n=l
Tn?i(an, У) sin (а„д:),
cos
где Хп—коэфициенты разложе-
разложения функции q (x) в ряд вида
При этом способе загрузки продольных кромок полосы ре-
редукционный коэфициент ф определяется:
в решении Рибьера зависимо-
зависимостью
У Tn—cos (у.пх)
1
п—1
в решении Файлона формулой
и
I 4ch мп
2а
cos (з.пх)
n + 2un
430
С помощью рассуждений, аналогичных таковым § 8, можно
получить решения для ряда других случаев загрузки прямо-
прямоугольной полосы.
В случае 2, когда продольные кромки полосы загружены
скалывающими напряжениями антиси чметрично
У„ = 0; Х„ = q (х) при у = + 0,5ft,
(рис. 144) получается
в решении Рибьера
п=оо
А"ж = ?тА(а«»У)соз
п=1
i'9=2j"f»C?2^an.3;)COS
П=00
Х9 = S ТпХг С0^. V) Sin
п=1
где Yn— коэфициенты ряда
в решении Файлона
п= оо
^ = StAK. y)sin|
Л=1
п=оо
п=1
, У) Sin
cos
где Yn — коэфициенты ряда
п=оо
q (х) = 5 — 2 Т» cos (о„-»с).
п=1
Dsh ия - 2и„ ch и„) sh (аяу) + 2oimy ch (а^у) sh Цд
( "' У'
,У) =
2ип Ch Mm sh (any) — 2any ch (<^jf) sh un
Bsh«w-2«,ch u
У
У
-д_ "Г*
Рис. 145 (см. случай 3). Рис. 146 (см. случай 4).
В случае 3, когда продольные кромки полосы (рис. 145)
загружены нориальчыяи напряжениями симметрично по отно-
отношению к продольной оси полосы, так что
Уд = V И; Ху = 0 при у = ±0,5*,
431
можно
Рибьера
хх = с
получить
11= со
4- >)8А(ап
п =1
11=00
из решения
,y)cos(anA:),
решение
п=оо
п=1
п—оо
(«„, _V) sin К*),
у = А + 2°п«з(ат.У) cos
л=оо
у = 2 й*/.з(«л> .У) sin
где оп и Л —коэфициенты ряда
sin
где 3„ — коэфициенты ряда
П 1
•а
Bsh ы — 2ы ch и ) ch (a v) + 2<*,,y sh (а у) sh и„
fK (an, у) = ~-—2-— ~
Bsh ип + 2ип ch uj rh (a,^) — 2anv sh («nv) sh un
апу ch (anv) sh un - 2uw ch un sh (an v)
В случае 4, когда (рис. 146) продольные кромки полосы
загружены нормальними напряжениями антисимметрично и
У„ = р (х); Ху = 0 при у = + 0,5ft,
К,;= —/>(*); A"B = 0 при\у= — 0,5Ь
из решения Рибьера следует
cos
п 1
Sin
где .о„ — коэфициенты ряда
из решения Файлона полу-
получается
П— со
Хх = 2 5А К, У) sin (о„х),
п=1
sln
n=l
^. =— 2 ?JrCli (*ш У) cos (а„
П=1
где 3„ — коэфициенты ряда
432
64 К, -У) =
?« K, JO =
Bch un — 2ып sh ua) sh (any
sh2«n-
BchMn +2unshMn)sh(ani
sh2«n-
2any sh (апУ) ch un — 2un sh
sh2«n-2«n
[И
+05,6
—0,56
2"»
2"n
«n ch (?
_y ch (an^) ch un
гу ch (n^y) ch un
В этом решении
а, следовательно,
Для случая 5 односторонней загрузки полосы скалываю-
скалывающими напряжениями (рис. 147), когда
Yy — 0; Xy — q (х) при у = + 0,5&,
Гн = ^н = 0 при _у = - 0,56,
Рис. 147 (см. случай 5).
Рис. 148 (см. случай б).
можно получить решение, складывая решения, относящиеся к
случаям 1 и 2. При этом
решение Рибьера дает
х* = ? ТА К. У) cos (<vc),
sin
п=1
где Хп — коэфициенты ряда
из решения Файлона сле-
следует:
» = S VPsK
где ifn-
q(x)=
2 TnXs К. У) cos (<v
коэфициенты ряда
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—28
433
«ре К, у) = -j [*»'**, у) + *«(«». з1)].
Хе («п. J0 = [Хз К. >0 + Х4 К> У)] •
Решения, приведенные выше, могут быть непосредственно
приложены к расчету ряда профилей.
В частности решение, соответствующее случаю 1, представля-
представляет, как ум-е было отмечено в §8, интерес в связи с исследованием
Напряжений в поясках прямоугольных трубчатых балок (рис. 139),
если их нагрузка симметрична относительно диаметральной
плоскости профиля.
Решение, соответствующее случаю 2, представляет интерес
в связи с определением напряжений в стенках различных про-
профилей, если напряжения в последних антисимметричны отно-
относительно нейтральной оси профиля. Если к верхнему и ниж-
нижнему пояскам стенки скалывающие напряжения приложены не
антисимметрично и не симметрично, то для учета напряжений
в этих поясках приходитси комбинировать решения, относящи-
относящиеся к случаям 1 и 2.
Решение, соответствующее случаю 5, представляет интерес
в связи с нахождением напряжений в поясках профилей угло-
углового, зетового и швеллерного сечения, а равно и для нахож-
нахождения напряжений в стенках профилей углового и таврового.
Решение случая 6 может быть использовано для иссле-
исследования напряжений в стенках изогнутых угольников и
тавров.
Решением случаев 3 и 4 полезно пользоваться при исследо-
исследовании напряжений в стенках всевозможных профилей.
Есть, однако, некоторые такие профили, непосредственное
применение к которым решений, приведенных выше, может быть
неудобно. К числу таких профилей относятся многостенные про-
профили типа набора двойного дна (рис. 1^9), профиль, присоеди-
присоединенный к обшивке перекрытия с обеих сторон поочередно
(рис. 150), и балки таврового и двутаврового сечеиия
(рис. 161).
Если нагрузка двутавра симметрична относительно его диа-
диаметральной плоскости, то кромки его поясков, соприкасающиеся
со стенкой, не могут иметь перемещений, перпендикулярных к
плоскости стенки. У обеих половин каждого из поясков двутав-
двутавра одна из кромок свободна от внешней нагрузки, вторая же
загружена скалывающими напряжениями, прилагаемыми к ней
стенкой профиля и некоторыми нормальными напряжениями,
устраняющими возможность искривления этой кромки пояска в
плоскости его наибольшей жесткости.
435
В сходных условиях находятся часто и профили, изображен-
изображенные на рис. 149 и 150. В частности, если нагрузка многостен-
многостенного профиля рис. 149 симметрична Относительно всех его сте-
стенок, то между каждыми двумя такими стенками поясок должен
считаться загруженным скалывающими напряжениями, прило-
приложенными к нему симметрично относительно его продольной
оси, и некоторыми нормальными напряжениями, устраняющими
возможность искривлений его наружных кромок в плоскости
наибольшей жесткости пояска, участки же обшивки перекрытия,
Рис. 149.
Рис. 151.
т
т
1
1
Рис. 150.
подкрепленного как на рис. 150, могут между двумя смежными
профилями считаться прямоугольными полосками, нагруженными
скалывающими напряжениями, антисимметричными относительно
продольной' оси полосы, и некоторыми нормальными напряже-
напряжениями, устраняющими искривление нагруженных кромок в плос-
плоскости обшивки.
Для исследования напряжений в поясках балок, только-что
упомянутых, можно подготовить специальные решения, отлича-
отличающиеся от решений 1,2 и 5, рассмотренных выше заменой на
загруженной кромке условия 1^ = 0 условием т-=0. Ниже при-
приводятся решения для этих трех случаев нагрузки полосы.
Случай 7. Продольные кромки полосы искривляться не
мо<ут и загружены скалывающими напряжениями, приложен-
приложенными по отношению к продольной оси полосы симметрично.
Граничные условия в этом случае нагрузки могут быть выпи-
выписаны так:
Xg = q(x); g=0 при у =+0,5 Ь,
*« = -<?(*); g = 0 при у =-0,5b.
436
При этих граничных усло-
условиях согласно решению Ри-
Рибьера должно быть
Из решения Файлона
следует
Я = 1
я = oo
Я= 1
я = оо
Я=1
= 2 тАК,;
Я = 1 '
= 2 1fn4'7(an.J')sin(anjc),
п = 1
я = оо
— 2 TfnZ7K.y)cos|
где
= 2 Тп*7 К» У) cos (лпх) + С-аА,
— коэфициенты ряда где
Я = оо
= 2 4»sin
п= 1
П = 1
П = оо
= SifiAK^sinKjc).
я= 1
,—коэфициенты ряда
я= 1
+ ¦
1 -Ь
sh (any)
ch« ch(a у) chfon
71 "^ 4- 2 ¦
sh»n_
sh«..
2 sh«n
1 — a sh (a v)
2 shg~
71 I
ch (n
ch«nsh(anj>) Sh (а„у
&7 («п. .У) = 67 (an, .у) — о?7 Со,,, у).
Если кромки продольной полосы не только не могут искри-
|яяться, но не могут вообще смещаться в направлении оси оу,
То в решении Рибьера должно быть принято А = оС и для ре-
редукционного коэфициента <]> из формулы
граничных
а следует
я = оо
с+ 2 •
п =
ф
условиях
1
оо
\Еех
Ри-
>
среди
xl макс
при
лона
Ф
граничных условиях Фа?
Л = оО
>, y — sin (anx)
Л = 1 П
Л = оО •
2 т„»» («„)«»(«„«)
437
где
Случай 8. Продольные кромки полосы не искривляются
и загружены скалывающими напряжения чи, приложенными
к полосе антисим четрично по отношению к ее продольной оси.
Граничные услоэия в этом случае суть
dv
Им соответствует
в решении Рибьера
I; -57 = 0 при у= ±0,56.
в решении Файлона
п—оо
71=1
П=оо
„ у) COS (OnX),
Yy = ? TnTsK. J') cos (о„л),
n, у) sin (лпх),
n. >*) cos (anx),
n=l
где 7„ — коэфициенты ряда
= ^ — ? "MCs («n.3») COS
^ V) Tn»s («», У) sin Kx),
n -1
где -[диВ — коэфициенты ряда
n=)
Функции 68 @^, y),
здесь равенствами
1 — a sh («nV)
8 V*n» У) — 2 chlTT
. У) и
определяются
"„-У ch (апУ) ch «n
— «n sh «n sh (o^
-° sh(g"v)
i
T
l+o any sh (ony) ch «n — «n sh «„ ch (an>-) + ch u'n ch (a
1—a Ch(o V)
ch2u
»8 K. J) = 98 K, J») — =?8 («n, J»)-
438
Ввиду наличия на продольных кромках полосы нормальных
напряжений Yv редукционный козфициент ф в этом случае должен
быть определен по формуле
I X I
, I ¦"¦х |средн .
Т I Pa I '
что дает
в случае Рибьера
71=оо
где
I 7l=oo
n=l
»8(«n) = »8K,0,56) = [2-
при граничных условиях Фай-
лона
П ОО
V v J_ gin (ax \
1 п
п=1
n=l
(l-c
th
A+°)'
Случай 9. Одка кромка полосы от нагрузки свободна,
другая искривляться не может и загружена скалывающими
напряжениями.
Совмещая в отличие от того, как то было принято ранее,
ось ох с незагруженной кромкой полосы, можно граничные
условия в этом случае выписать так:
xv = Уу — О ПРИ У = Оу
Xy=q(x); -^ = 0 при у = Ь.
При этих граничных условиях
решение Рибьера дает решение Файлона дает
Хх = У Тп^9 («п, У) COS (ОяДС),
71=1
п=оо
Yu = ? 7гг?»(а„, У) cos (anjc),
n=oo
п=1
71= ОО
71 = 1
где 7„ — коэфициенты ряда
7l=OO
Xx = ? Т„е9 (a,,, j>) sin (anx),
71=1
У у =
71 = 1
7l=OO
B=— ? TnX9 («n, У) cos (anx),
n -1
n=oo
Eexx= ? -j,,», (<*„, ,y) sin (anJC),
n=l
где чп— коэфициенты ряда
71= ОО
<7(*)= ?'TnCos(anjc),
71=1
439
Вспомогательные функции, входящие в эти выражения опре-
определяются равенствами
п, у) =
• 2sh 2и„
l+o sh(any) — any ch(an
n
^ ( 2ch 2«„ [ап у sh (а„у) - 2ch (а„у)]
sh 2ия]},
ch
{2s
— 2ch2unanysh((tny)},
~s
— {2ch2an
— 2sh2un*nysh(«ny)},
»9 (on. У) = еэ (ап, У) — aT» К. У),
из которых видно, что редукционный коэфициент
в рассматриваемом случае может быть находим
в решении Рибьера с помощью
формулы
где
при граничных условиях Фай-
лона с помощью формулы
П=1 1
2
п—1
Приведенные выражения позволяют без труда вычислить ве-
величину напряжений Хх, Хд и Yg в любой прямоугольной полосе,
если нагрузка ее продольных кромок известна. Для определения
440
нагрузки отдельных полос, входящих в состав различного типа
профилей, полезно иметь частные значения всех вспомогатель-
вспомогательных функций б,(Оп,^), ?i(«n, У>> Х.К.Я и в,-Га„, v), соответствую-
соответствующие тем значениям координаты у, которые соответствуют загру-
загруженным кромкам полосы. Ниже приводится таблица значения
всех этих функций на продольных кромках полосы
4 ch» и„
Tl(an, + 0,5ft) = О,
XiK, ±0,5ft)=±l
4sh*«
8,@», ±0,56)=±62(«n)=±
(are, + 0,5ft) = 0,
K- ± 0,5ft) =1,
sh2ttn-2«n'
= 63(«n) =
9s К, ± 0,5ft) = 1,
XsK, ± 0,5ft) = 0,
64K,± 0,5ft) =±64
9iK ± 0,5ft) = + 1,
X4K, + 0,5ft) = 0,
* sh Аи — 4ц
65(an, +0,5ft) = 6()^
_ 2 sh 2(/ — 4и„ ch
e5 (*., - o,5ft) = e5 (un) = ii
<РьК, ± 0,5ft) = 0,
Z3 K, + 0,5ft) = 1, x« К, — 0,5&) = 0,
66 (а„. - 0,5ft) = Г. (ir.) = - ^
«Pe («n, + 0,5ft) = 1, ?, (a,(, — 0,5ft) = 0,
. + 0,5ft) = 0,
7 ' "n> - ~2~ ih"an 2~ sh^ '
- " ch an , 1 + о "„
,± 0,5ft) = T7K)=- 2 sI^
441
ХтК» ±0,56)= ± 1,
2 sh2 un
к, + 0.5&) = + е8 («„) = ± [L+_? ш «„
К. ± 0.5&) = ± % (и„) = + [!-~ - th un +
(в«±0,5&) = 1,
»8 («n, ± 0.5&) = ± 08 (и„) = ± [ B -(
К, о) = "ё, (я.) - "''itiTC* сЬ
К. * = »,<«..) = 4
stl "«•
§ 11. Пример использования решения Файлона
применительно к расчетной схеме § 7
Допустим, что многостенный профиль, изображенный на
рис. 152, загружен в вертикальном направлении напряжениями р,
приложенными к верхней кромке каждой из его стенок и рас-
распределенными вдоль оси профиля равномерно. Допустим, что
концы профиля находятся в состоянии свободного подвеса, так
что к расчету всех полос, входящих в его состав, применимо
решение Файлона. Примем, что число стенок профиля
настолько велико, что продольные кромки поясков можно счи-
считать в горизонтальном направлении не искривляющимися, так
что к пояскам профиля применимо решение случая 7 преды-
предыдущего параграфа.
Рассмотрим взаимодействие какой-либо стенки профиля
с поясками, подходящими к ней слева (рис. 153). Примем оси оу
направленными, у поясков вправо, у стенки вверх. Будем при
442
этом считать у равным нулю у поясков посредине их ширины
(точки А и В рис. 152 и 153), у стенки же посредине ее высоты.
Разложив заданную нагрузку стенок в ряд Фурье, можно
считать, что
л=оо
„sin—j-, при у — -f-0,5b, (a)
я=1
Рис. 152.
Рис. 153.
где
8„ = 0, при га = 2, 4, 6, 8...
р и -- ¦ я _ 1 ч *; 7
ft — 1, О, Of У ...
= 0 при у = — 0,5 Ь.
(б)
(в)
(г)
Если бы пояски балки были от ее стенок отсечены, то
удлинение продольных кромок стенки, согласно сказанному
в § 10 (см. случай 6), было бы
1,3, 6...
К \ f [в, («„) - а] + [в4 (Ип) - а]} sin (а„л), при.у = +0,5fr,
л
1, 3, 5...
где
[e4(«n) — 3]jsin апх),пряу = — 0,5b
—
2/ •
Допустим, что в результате взаимодействия поясков и стеиок
профиля на продольных кромках стенок возникают напряжения
1,3,5... )
Ху
у (Тя + "О cos (ая.дс), при у = 0,5 Ь,
= — 0,5 ft.
443
Под действием этих напряжений продольные кромки стенок
получают дополнительные удлинения
1,3,5...
1
1, S, 5...
ч = — \ "rhfn'M^O — tn®t(uJ]sin (anx)> при _у = —0,5 &
(см. случай 1 и 2 § 10), так что полное удлинение верхней
кромки стенки обратится в
1, 3, 5...
I я tr. i tl \ 1 | , я гл * ч ¦! Тл л / \
(е)
нижней же в
1,3,5...
+ ^92(«n)jsin(anJC). (ж)
Эти удлинения продольных кромок стенок должны быть
равны удлинениям продольных кромок соответствующих поясков.
Усилия, прикладываемые поясками к стенке, должны урав-
уравновешиваться реакциями стенок на пояски, поэтому, принимая
кромки стенок загруженными скалывающими напряжениями (д),
мы должны считать, что на продольных кромках верхнего
пояска будет
1,3,5...
на продольных же кромках нижнего пояска
1,8,5...
(' + Ocs(vc)- (и)
Пояски по условиям задачи должны считаться подходящими
под случай 7 § 10. Поэтому при вышеуказанной загрузке их
444
продольных кромок удлинение загруженных кромок верхнего
пояска должно быть
1, 3,5...
Ее>* = i X i(т; + ^] &7 (";) sin {л"х}> (к)
у нижнего же
1, ?, 5...
Еехх == j \ -? (тя ~~ Тп) ^7 (UJ sin (лпх)>
п
где
Ураввивая (е) с (к), а (ж) с (л), получаем для определения
неизвестных -(п и -{п
[6 (J ] + ^6 (") =] 6 (") t 6 W
и
-г" №. («„) - «1 - V 1е4(«я) - «1 - т ^ ^ ^ Т ^ W =
-откуда следует
¦ 8з ("я ) — а 4р
8 . . < nit . . 8
о7 *7 («я» 61 ("я ) + тгг
. (М)
тя — бя s - г~ — ~ пи Т~ е~ Г" • \н>
Зная коэфициенты ~(п и ^, можем подсчитать с помощью (д)
'напряжения Ху на продольных кромках стенок профиля для
всякого х и, если надо, построить эпюры для усилий взаимо-
взаимодействия поясков и стенок профиля. Все вычисление легко
укладывается в табличную форму.
Для примера ниже приводится весь расчет для частнога
•случая, когда
^ = их = 0,3; J = «I = 0,6; t = 8; о = 0,3.
445
X
OJ
s
5Г
s
с
>-
о
о
» e
3
— CM
а
m
о
ж
0J
S
В"
m
>cocoto ©см оо-
5 см о> t~ см со со:
О О О — CM CM СМ (
о"о"о"о"о"о"о''о'
юююг-^оооооооб
¦*" of см"см"см"см" см'см"
— 3 t~oooo ооооао
ооооооо oooooooo
> Tf to to to to to
О О1О1 J_ _ .
CMOCMTi-St
I I
o—«ototoc
co^coct
со o> ю — c~ со о
o"o"—"cm"cm"co"co"
— СОЮ Г~СТ>— CO
m
о
s
sr
tq s
§-1
3 О
s
X
s
B"
2
CQ
oi»- oioo
^in_Ti^—_o>_Ol,00 00
— Ti-'co'co cm" cm" of cm"
— OOlCMOICO —Q
-t-KlDOOOO
o"co"cm"cm"cm"cm"cm"cm"
CMOOTftOtOtOtOtO
cm".
mtotogioco —
т!0ЮО100С~С~
"""
??§82838
to 00 О CM_Ti"_tO_00,,
o"—" со*" ю" to" c-^
о" о"—Гсм"см"со"со"
— CO Ю t~Ol — CO
446
Таблица В
Вычисление коэфицнентов рядов (д)
л
2 V"'"" W ' nic
1
2,940
3,060
3
0,827
0,873
5
0,542
0,271
7
0,496
0,144
9
0,490
0,050
11
0,482
0,026
13
0,484
0,008
оо
0,488
0,000
Как видно из таблицы В, скалывающие напряжения опреде-
определяются в данном случае на верхней кромке стенки рядом
cos
0,496 „7м . 0,490
COS-
0,827 3icje , 0,542 5кх ,
•^3-cos— + -5-cos — +
ых + o!mcosiux ,
/
11
15, 17, 19...
, 0,484 13ях , п лоо V 1
+ ^3—cos—-{—Н 0,488 > "n"cos
п
или, если выделить и просуммировать ряд
1, S, 5, 7
1 .
своим пределом -j- при х < 0,5/ и —j при х >0,51у
то выражением
Ш = . 05* = -Г ±0,382 + 2,452 cos Ц-+ 0,113 cos Щ- +
+ 0,011 cos ^у- + 0,001 cos ^Е] , (о)
ТДе верхний знак у первого члена в скобках следует брать при
х < 0,5 /, а нижний при х > 0,5 /.
' Совершенно так же можно по данным таблицы В заключить,
что в рассматриваемом случае на нижней кромке стенки
о,5 ь = Ч [ 3>060 cos Т + °'291 cos 3JT + °'054 cos ^T
+ 0,021 cos ^ + 0,005 cos ~^ + 0,002 cos ~ + 0,001 cos l^f]. (п)
На рис. 154а приведены эпюры для \Ху\у = ±06Ь , подсчитанных
по формулам (о) и (nj. Напряжения эти интересно сопоставить
447
¦со скалывающими напряжениями, соответствующими элементар-
элементарной формуле теории сопротивления материалов
OS
' у = ± 0,5ft
(Р)
в которой Q есть перерезывающая сила, I — момент инерции
площади поперечного сечения балки, S — статический момент
каждого из его поясков, вычисленный относительно нейтраль-
нейтральной оси сечения, 8 — толщина стенки.
В рассматриваемом случае
и если t пренебрежимо мало по сравнению с h, то
(М>
я
8 = t; b = 2h,
ггак что согласно (р)
= ± 0,5ft
1_
2h
-8
= 2,44р
Как видно из формул (о) и (и),наибольшее значение скалыва-
скалывающих напряжений,
действующих в ме-
месте соприкоснове-
соприкосновения стенки профи-
профиля с его поясками,
получается на са-
самом деле несколь-
несколько меньшим, чем то
нам дает элементар-
элементарная формула 'р). Это
уменьшение их наи-
наибольшей величины
является естествен-
естественным следствием не-
неравномерности рас-
Рис. 154а. пределения напря-
напряжений по ширине по-
поясков, уменьшающей долю участия поясков в работе всего про-
профиля.
Выясним, чему равны значения редукционного коэфициентаф
в рассматриваемом случае.
448
Мы видели выше (см. случай 7 § 10), что у поясков рас-
рассматриваемого типа
1 пкх
—— sin —j—
и *¦
П=во
2,
(с)
где Tfn — кбэфициенты разложения в ряд Фурье, скалывающего
напряжения, приложенного к нагруженным кромкам поясков,
по косинусам кратных дуг.
В рассматриваемом случае у верхнего пояска
у нижнего же
Тп = wt( ~ f« + "О = т(- т» + О»
где "in и t"n приведены в табл. А, Б и В. Принимая во внимание
цифры табл. В и отбрасывая множитель -т —, входящий в фор-
формулы (с) во все члены как числителя, -так и знаменателя, легко
видеть, что в рассматриваемом случае у верхнего пояска
у нижнего же
где
о 2,940 . кх . 0,827 . Зкх . 0,542 . 5пх .
si = "oXsin —+ Т^т-з"8111 — +готт8Ш -Г +
, 0,496 . Inx . 0,490 . 91сдс . 0,482 . 11 яде ,
+ 4XTsm "Г +5A^sm -Г + адТТ1 smT- +
15, 17, 19,...
, 0,484 . 13*.* , 0,488 V 1 . пкх
+ 8Ш + L sm
<-> плг\ r. nn ¦ KX i 0,827 , ^o ¦ Зялс , 0,542, -,, . 5ялс
= 2,940 • 2,02 sm — + -^—1,68 sin — + -^ 1,71 sin —
^6. 1,74 sin 7-^+ 1,76
7 I- L
15, 17, 19,...
0,484 .
Л8
га
1, 3,5,...,
= 1,76-0,488 ^ ljsin "t1 +5,060 sin -^ + 0,177 sin—- +
П
+ 0,016 sin ^p + 0,002 sin ^ + ...,
П. Ф. Папнович. Теория упругости—436—29 449
где
1, 3, 5
1 . ПКХ It
п I 4 '
3,060 . пх , 0,873 . Зпх 0,271 . 5кх
~CMTsm~r + i,8-3 sin Т +з,о-5 sm /
0,144 . 7ic« 0,050 . 9пх
S, = 3,060 • 2,02 sin Ц- + ^ 1,68 sin 3-^ + ^- 1,74 sin ^
+ 1,76 [°f4 sin ^ + °f-° sin 9f + »
sin
Формулы эти дают для среднего сечения верхнего пояска
,, _ 4,900 — 0,153 + 0,036 — 0,017 + 0,010 — 0,007 + 0,005 — 0,004 _ „ RfiR
V~ 0,675 + 5,060 — 0,177 + 0,016 — 0,002 — U,»D»,
для среднего же сечения нижнего пояска
, _ 5,100 — 0,161 + 0,018 — 0,005 + 0,001
6,180 — 0,490 + 0,094 — 0,034 + 0,010 — 0,004 + 0,001
= 0,861.
Если бы мы вместо того чтобы вычислять ^ точно, определили
бы его приближенное значение, удерживая в тригонометрических
рядах для St одни лишь первые их члены, то мы получили бы
для 'Ь значение
ф = 0,825,
у
!
-г ¦
да—
1
.—\
¦
Рис. 1546.
от х не зависящее. На самом деле ф у обоих поясков являются
некоторыми функциями от а: и могут быть для всякого частного
значения х легко вычислены совершенно так же, как то нами
сделано выше для х = 0,5/.
Не приводя соответствующих простых выкладок, приведем
лишь окончательный результат этого вычисления. Его дает нам
рис. 1546, на котором тонкой кривой показана в функции от х
величина ширины эквивалентной полосы sx= /ty для верхнего
пояска, условным пунктиром—аналогичная величина s2 = bty для
450
нижнего пояска, а горизонтальной прямою —то частное значе-
значение приближенного выражения для <Ь
которое имеет место при / :Ь = со. Как видно из найденных выше
цифр в рассматриваемом случае ^ довольно заметно отличаются
от единицы. Можно поэтому предполагать, что наибольшие нор-
нормальные напряжения в профиле будут отличны в рассматривае-
рассматриваемом случае от их величины, даваемой элементарной формулой
В рассматриваемом случае при х = 0,5/
в то время как по сказанному уже выше
Поэтому согласно (т), должно было бы быть
что
при Ь = 2/г, * = 8 и А = М дает
12 , __
1з" = 1>57 Р'
ИИтах - Р 8 • 2 • 0,36 1з
Между тем, при изложенном более строгом подходе к ре-
решению вопроса мы получили бы для наибольших напряжений
в верхнем пояске
1, 3, 5...,
l**L.x =2Т Ц ^-(T;+LH7K)sin^, (у)
п
для наибольших напряжений в нижнем пояске
1, S, 5...,
"(—Тя + Тя)^(«„Jsin-p, (ф)
для напряжений в верхней кромке стенки
1, 3,5,...,
451
+
+
- s
+
- e
(O 00 O.0^-*,<O,00 О,
i— СОЮ О
а для напряжений
кромке стенки
1, 8, 5
в нижней
, (ч)
причем напряжения в прилегаю-
прилегающих кромках станки и поясков,
благодаря влиянию поперечного
сжатия, были бы несколько от-
отличны друг от друга.
В приводимой таблице коэ-
фициенты рядов [у) и (ф) под-
8 2/7 а
считаны в долях от -=--— = -^-.
Как показывает эта таблица,
ряд (({«) для напряжений в ниж-
нижнем пояске сходится чрезвы-
чрезвычайно быстро, для усиления же
сходимости ряда (у; для напря-
напряжений в верхнем пояске из него
полезно выделить ряд
,4 V \ sin
ппх
имеющий своим пределом на всем
протяжении рассматриваемого
пояска
0,4^- =0,1 те = 0,314.
Принимая это во внимание,
нетрудно видеть, что ряд (у) в
развернутом виде может быть
выписан так:
+ 3,73 sin ~ + 0,31 sin
+ 0,05 sin ^ + 0,01 sin
452
ряд же (<р) дает для противоположного пояска
|ЛУ»«ж = ¦?[4.29sin ^ +0,73sin
+ 0,04 sin ~ + 0,02 sin X-~ + 0,001 sin j
Для середины пролета, где х = 0,5/ формулы эти дают в
верхнем пояске
\Хх\аг, = 3-^-р = 1,21/?',
в нижнем же
|Хя!ша][ = ^р= 1,17р.
Подобным же образом по формулам (ц) и (ч) можно под-
подсчитать и наибольшие нормальные напряжения в стенках про-
профиля.
Примечание. В примере, рассмотренном нами только что концы балки
.предполагались находящимися в граничных условиях Файлона. Если бы
они были поставлены в граничные условия, к которым применимо решение
Рибьера, то общий порядок расчета был бы во всем тем же, за исключением
лишь того, что помимо разыскания величины скалывающих напряжений, пе-
передающихся от стенок балки ее пояскам, нам нужно было бы разыскать еще
среднее растяжение поясков, налагающееся в этом случае на упомянутую
только что основную их нагрузку. Разыскание этого среднего растяжения
поясков требует некоторых специфических рассуждений, которые покажем на
примере балки, изображенной на рис. 155,а.
Допустим, что балка трубчатого сечения, рассмотренная нами в предыду-
предыдущем примере, поставлена в граничные условия Рибьера, причем обе ее стенки
загружены нормальными напряжениями — р, равномерно распределенными
вдоль ее верхней кромки. Пусть при этом опорные реакции, уравновешива-
уравновешивающие эту нагрузку балки, приложены к нижним кромкам их стенок и рас-
распределены равномерно вдоль участков длины а, примыкающих непосредствен-
непосредственно к концам балки.
Нагрузку каждой из стенок балки нормальными напряжениями можно при
этих условиях считать слагающейся из:
а) равномерного сжатия (рис. 155,5),
б) нормальных напряжений, распределенных вдоль нижней кромки балки
в' соответствии с рис. 155,в.
Нагрузка, изображенная на рис. 155,в, может быть учтена рядами, входя-
входящими в решение Рибьера. Нагрузка, изображенная на рис. 155,6 вызывает в
стенках балки равномерное сжатие, при котором единственно отличным от
нуля компонентом напряжения является
Под действием этого сжатия стенки балки получают равномерное удли-
удлинение в направлении оси ох
хх ? г-
Удлинения этого нельзя снять с продольных кромок стенки с помощью
рядов, входящих в решение Рибьера, так как даваемые этими рядами для ejge
выражения удовлетворяют условию
г
>„. их = 0.
/
453
Чтобы уравнять среднее удлинение стенки среднему удлинению поясков
балки приходится допустить, как то показано на рис. 155,2, что пояски про-
профиля находятся в' состоянии некоторого равномерного растяжения, а стенки
* в состоянии некоторого рав-
уР номерного сжатия.
Пусть растяжение поясков
р |\ определяется тем, что
гптп
а-!
iiiiiiuiiiiiilniiiiiumra
*M!:Mft!!MMtti;iitti[THT!- у^-р
а сжатие стенок тем, что в
них
хх=-с>.
Напряжения эти надо по-
подобрать так, чтобы удлинение
поясков
С
было равно суммарному удли-
удлинению стенок
С и
« +
a-i
-х
с другой же стороны, так,
чтобы среднее осевое усилие
во всем профиле было равно
заданной его величине.
Если это усилие равно
нулю и
Ь—ширина поясков балкн,
t —толщина поясков балки,
h — высота стенки балки,
8 — толщина стенки балки,
то величины С и С должны
быть найдены из уравнений
V 1—J
F3
*—
— X
Рис. 155.
Ь
-W=—-fT+-p-P
2ЫС— 2ВС = 0.
Определив С из этих
уравнений, мы найдем то сред-
среднее растяжение поясков бал-
балки, иа которое налагаются на-
напряжения, вызываемые в по-
пояске скалывающими напряже-
напряжениями, передаваемыми ему
стеиками профиля.
\, 1 \^КЛ UU IVIIJ 111/ v*j* ¦¦-» *mw
Возможности существования в пояске этого среднего напряжения ие сле-
следует забывать при определении редукционного коэфициента и приведенной
ширины поясков балки, поставленных в граничные условия Рибьера.
§ 12. Приближенные значения редукционного коэфициента поясков
балок различного типа
В § 10 было отмечено, что редукционный коэфициент поясков
пустотелых трубчатых профилей, изображенных на рис. 156,
можно определить в случае применимости решения
454
Рибьера по формуле
4/1=
Файлона по формуле
2
п= t
I cos
= 1
1 лях
•л = оо (а)
Snttx
n = 1
Рис. 156.
-Й-&-
Рис. 157.
Рис. 158.
У поясков профилей многостенных, изображенных на рис. 157
в решении Рибьера он есть в решении Файлона же
п=1
sin
n=l
(б)
n=l
Для поясков тавровых и двутавровых балок, изображенных
на рис. 158
мы нашли из решения Рибьера из решения же Файлона
(в)
2 ^
In
Si
ttn
nnx
n ~r
n=l
Для поясков швеллеров, зетов и уголков (рис. 159) нами
было найдено
из решения Рибьера из решения Файлона
п—оо
1 чп 1
2>
ляле
1 . ПКХ
п=1
(г)
n=l
Наконец, для обшивки переборок, стойки которых располо-
расположены поочередно с разных сторон перекрытия (рис. 160)
455
в решении Рибьера было
из решения Файлона
следовало
n=oo
n=l
s>f-¦¦ i
n=l
(д)
-5=6-¦
т
т
Рис. 159.
Рис. 160.
В этих формулах следует под и„ подразумевать величину,
определяемую формулой
«» = -^Г, C9)
измеряя fc в каждом частном случае, как показано на рис. 156—
160. При этом следует помнить, что полезная ширина пояска
(ширина эквивалентной, равномерно напряженной полосы)s свя-
связана во всех рассмотренных случаях с указанной на рис. 356—
160 полной шириной пояска В формулою
s = ф|А ' D0)
Как уже было отмечено выше, полезная, или эквива-
эквивалентная, ширина пояска s является вообще некоторой
функцией от х, зависящей притом не только от типа профиля
но и от вида приложенной к нему нагрузки. Только в исклю-
исключительных случаях, когда в ряду коэфициентов ^п один какой-
либо оказывается весьма- большим по сравнению со всеми
остальными, редукционные коэфициенты ф{ перестают зависеть
от х.
В этом частном случае формулы для ф,- упрощаются, прини-
принимая вид
для профиля рис. 156, (а')
\ п)
1
В»ЧВ»)
1
157,
158,
(б')
(в')
456
'2«n4"n) *
159,
160.
Если при заданной ширине пояска мы будем беспредельно
увеличивать его длину /, то редукционные коэфициенты, опре-
определяемые формулами (а') — (д'), будут стремиться
tbx к пределу 1
к „ ,. 0,25
Фв „ „ со
Цифры эти легко осмыслить. Действительно, если мы загру-
загрузим обе кромки весьма узкой полосы скалывающими напряже-
напряжениями, причем добьемся того, чтобы нагрузка полос была сим-
симметричною относительно ее продольной оси, то напряжения во
всех поперечных сечениях полосы будут, естественно, распре-
распределяться тем равномернее, чем длиннее полоса и чем равно-
равномернее ее нагрузка. Поэтому нет ничего странного в том, что фж
при увеличении I до бесконечности стремится к единице.
У поясков, входящих в состав многостенных профилей, типа,
изображенного на рис. 157, продольные кромки должны оста-
оставаться прямыми, причем поперечные перемещения на этих кром-
кромках являются вообще устраненными. Благодаря действию появ-
появляющихся на продольных кромках полосы нормальных напря-
напряжений, приближающихся при /=со к Yg = зХх, продольное
удлинение полосы оказывается равным не ехх = -^-Хх, а е^ =
= -~-{Хх— <зКв) = -тг— Хх. Полоса становится как бы жестче, что
и учитывается тем, что ее редукционный коэфициент повышается
с 1 Д° i_g2 = 1,10, как то уже и отмечено выше.
У каждой половины поясков балок таврового и двутаврового
сечения загружена скалывающими напряжениями лишь одна
продольная кромка, но изгиб этой кромки в плоскости пояска
устранен. Нет поэтому ничего странного в том, что при увели-
увеличении длины пояска нормальные напряжения распределяются по
ширине пояска все равномернее и ф7 стремится к 1, как и у
поясков типа рис. 156.
Редукционный коэфициент ф5 относится к пояскам, растяги-
растягиваемым скалывающими усилиями, приложенными к одной из их
продольных кромок. Такие пояски, находящиеся в состоянии
эксцентричной нагрузки, должны, конечно, изгибаться в своей
собственной плоскости. При увеличении длины полосы по сравне-
сравнению с ее шириною, формулы элементарной теории изгиба дол-
должны становиться все более и более применимыми к этому изги-
изгибу пояска. Согласно элементарной теории изгиба в отношении,
нормальных напряжений у загруженной кромки полосы должно
быть
— Р + ~йг = Р + *~~2}^~ б = 4р,
457
где р есть среднее растягивающее напряжение в рассматривае
мом месте. Продольные кромки полосы должны, таким образом,
« этом случае удлиняться в четыре раза больше, чем при рав-
равномерной нагрузке полосы Естественно, что ее редукционный
коэфициент обращается в 'пределе при / бесконечно большом
в 0,25.
Что у профилей, изображенных на рис. 160, ф8 при увеличе-
увеличении / должно в пределе обращаться в бесконечность, также
¦совершенно ясно. Действительно, участок обшивки переборки
между двумя стойками надо считать загруженным скалывающи-
скалывающими напряжениями антисимметрично. Антисимметричность этой
нагрузки должна была бы вызвать изгиб пояска в плоскости его
наибольшей жесткости, но этот изгиб устранен связью с сосед-
соседними такими же поясками, стремящимися выгнуться навстречу.
И^-за отсутствия в полосе изгиба нормальные напряжения в ней
должны с увеличением / приближаться к их средней величине,
а эта средняя величина равна нулю, так как скалывающие на-
напряжения, приложенные к обеим кромкам полосы, всюду равны
по величине, направлены же в противоположные стороны. Есте-
Естественно, что в подобных условиях полоса, несмотря на то, что ее
кромки загружены, деформироваться не может, что и приводит
к бесконечно большим значениям ее редукционного коэфици-
ента.
Обратимся к другому предельному случаю, а именно тому,
когда b велико по сравнению с /. В этом случае
И„=оо
я tyt неопределенно убывают, причем
, 1
1
- 0,352
Г
Аип 1 — 0,35*
V» — 2ип 1 — 0,352 = 2un -
Это показывает, что при беспредельном увеличении ширины
поясков их полезная ширина s стремится у пустотелых трубча-
.тых профилей типа рис. 156 к
у многостенных профилей типа рис. 157 к
,, 1,14/
458
у тавров и двутавров типа рис. 158 к
у швеллеров, зетов и уголков типа рис. 159 к
у обшивки переборок типа рис. 160 к
„ _ и.,. _ 1-14/
т. е- к пределу, составляющему во всех случаях некоторую
долю не от ширины, а от длины пояска. Доля эта зависит
не только от типа профиля, но еще и от п, т. е. номера доми-
доминирующего члена ряда, изображающего нагрузку балки.
Если мы ограничимся рассмотрением лишь тех случаев,
когда нагрузка балки приблизительно симметрична относительно
середины длины балки и притом распределена по длине балки
более или менее плавно, достигая своей наибольшей величины
возле середины балки, то в решении Рибьера доминирующим
членом придется считать член, соответствующий я = 2, а в
решении Файлона член, у которого п = 1.
Можно поэтому в самом грубом приближении принимать за
максимальный предел полезной ширины поясков балок различ-
различного типа цифры, даваемые следующей таблицей.
Тип профиля
Трубчатые прямоугольные сечення рис. 156
Многостеиные профили рнс. 157
Двутавровые и тавровые балкн рис. 158
Уголки, зеты, швеллеры рнс. 159
Обшнвкн переборок типа рнс. 160
Характер устройства опор
балок
концы заде-
заделаны по
симметрии
*тах = °>16'
5шах=0,Ш
*шах=0,Ш
*шах=0,08/
*т„ = 0,18/
концы сво-
свободно под-
подвешены
W=°.32/
*тах=°.3<Н
*max = °>36f
W = °.16/
Яшах = °,36 f
Как видно на этой таблицы, максимальное значение
йолезной ширины поясков и всех балок кроме швеллеров,
?етов и уголков близки к одной трети их неподпертого
пролета, если концы балки свободно подвешены, и одной
Шестой полной длины неподпертого пролета, если
концы балки заделаны по симметрии, у швеллеров же, зетов
й уголков максимальное значение приведенной ширины
вдвое меньше.
459
В нижеследующей таблице приведены значения редукцион-
редукционного коэфициента О и полезной ширины пояска s, вычисленные
для ряда частных значений ип по упрощенным формулам (а') —
(д'). Как видно из этой таблицы, полезная ширина поясков достига-
достигает с увеличением Ъ своего максимального значения довольно быстро
и почти у всех профилей уже при таких значениях аргумента
ип, при которых редукционный коэфициент ф еще очень близко
к тому максимальному значению своему, которое он принимает
для данного профиля при b = 0.
Таблица реду кци онных к оэфициенто в и полезных ширин
поясков для балок различного типа
Тип
профиля
ип
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
1 1
1,000
0,855
0,591
0 392
0,276
0,176
0,126
0,100
0,000
Ь !*-
1
' пп
0,000
0,855
1,182
1,175
1,105
1,023
1,004
1,000
1,000
"Г
->1 2Ъ
1,000
0,534
0,274
0,186
0,142
0,095
0,071
0 057
0,000
1-<—
о •
' ПП
0,000
1,068
1,100
1,118
1,132
1,136
1,138
1,138
1,138
1 1
1,100
0,892
0,591
0,403
0,255
0 191
0,143
0,114
0,000
1
'пп
0,000
0,892
1,182
1,204
1,182
1,142
1,140
1,140
1,140
-*\ъ
0,250
0,234
0,196
0,155
0,123
0,083
0,062
0,050
0,000
L
i
s:—
пп
0,000
0,232
0,393
0,467
0,492
0,500
0,500
0,500
0,500
Значения
ь
при
п = X
со
3,14
1,57
1,05
0 78
0,52
0,39
0,31
0
»-*
оо
6,28
3,14
2,10
1,57
1,04
0,78
0,63
0
В частности у всех профилей, кроме швеллеров, зетов и
угольников полезная ширина пояска уже при ип = 0,5 принимает
значение, близкое к ее предельному значению, соответствующему
ип= со . Редукционный же коэфициент ф • при ип = 0,5 еще
очень близок к единице.
Это дает возможность при решении задачи в самом грубом
приближении принимать за полезную ширину поясков таких
балок, как изображенные на рис. 156, 157 и 158, либо факти-
фактическую ширину пояска, либо максимальное значение полезной
ширины, соответствующее случаю b — оо , смотря по тому, какая
из этих двух величин меньше. Если мы еще примем во внимание
сказанное выше о приближенном значении smax, то придем
к заключению: за полезную ширину поясков балок, изображен-
изображенных на рис. 156, 157 и 158, можно принимать у балок свободно
подвешенных либо фактическую ширину пояска, либо одну
треть неподпертого пролета балки, смотря по тому, какая из
этих величин меньше, а у балок, заделанных по симметрии —
либо фактическую ширину поясков, либо одну шестую неподпер-
неподпертого пролета балки, смотря опять-таки по тому, что меньше.
460
Отражение этого правила можно встретить в некоторых
нормах для расчета железобетонных сооружений. В судостроении
этим правилом приходится иногда пользоваться для решения
вопроса о том, какая часть палубы участвует в изгибе карленг-
сов, ее подкрепляющих; какую часть обшивки переборок можно
считать работающей в составе тех или иных рамных ее стоек
или какую часть днищевой и бортовой обшивки следует вво-
вводить в состав рамных флор и шпангоутов, а также кильсонов.
Пользуясь этим правилом, не следует, конечно, забывать того,
что правило это является весьма грубым и для вывода его нам
понадобилось сделать целый ряд допущений, которые могут
далеко не всегда быть удовлетворены. Им следует поэтому
пользоваться с осторожностью, уточняя в сомнительных случаях
результат с помощью тех вычислительных приемов, которые
были подробно иллюстрированы примером §11.
Балки швеллерного, углового и зетового профиля, судя
по тому, что сказано о них выше, резко отличаются от всех
остальных рассмотренных профилей: полезная ширина их поясков
не превышает одной четверти фактической ширины
пояска, будучи притом у балок, свободно подвешенных,
всегда меньше одной шестой, а у балок, заделанных по
симметрии, меныне одной двенадцатой неподпертого
пролета балки. Приведенные соображения, казалось бы,
совершенно опровергают общепринятый метод расчета швеллеров
на изгиб и показывают, что несимметричные профили типа
швеллеров и зетов на самом деле являются значительно менее
выгодными профилями, чем то принято о них думать. К этим
заключениям, однако, нужно относиться с большою осторож-
осторожностью, так как при выводе их нами недоучтен, вернее, даже
вовсе не учтен, ряд обстоятельств.
Главнейшая неточность всех наших изложенных выше сообра-
соображений заключается в полном игнорировании сопротивления кру-
кручению этих профилей. Нетрудно убедиться в том, что швел-
швеллеры при том роде их нагрузки, который мы рассматривали,
должны име,ть тенденцию не только гнуться, но и скручиваться.
Их жесткостью по отношению к кручению мы в наших выклад-
выкладках пренебрегли. Обстоятельство это может сильно исказить
Полученные результаты.
Далее в судостроении коробки, не скрепленные с пластинами
того или иного перекрытия, какие мы до сих пор только и
рассматривали, встречаются лишь в исключительных случаях.
В своей тенденции к скручиванию швеллеры судового набора
Встречают почти всегда известное противодействие со стороны
Тех пластин перекрытия, которые должны изгибаться, следуя за
кручением профиля, с ними скрепленного. Влияние этого обстоя-
обстоятельства во многих случаях может оказаться даже большим,
Чем влияние сопротивления самого профиля его скручивания.
Оно в наших расчетах также вовсе не учтено, но может во
многих случаях значительно уменьшить имеющуюся у профиля
тенденцию к скручиванию.
461
Нужно отметить, что применительно к изгибу изолированных
швеллеров нами в настоящей главе, а также главе VIII рассмот-
рассмотрены два разных подхода к решению задачи. Оба решения:
решение настоящей главы и главы VIII, сходны лишь в том
отношении, что оба они показывают, что если мы загрузим
балки швеллерного сечения усилиями, стремящимися изогнуть
ее в плоскости ее стенок и притом лежащими в плоскости этой
стенки, то у коробки этой будет иметься тенденция не только
к изгибу, но и к скручиванию. (С точки зрения главы VIII,
нагрузка швеллера не будет проходить при этом через центр
изгиба). В этом оба рассмотренных решения сходятся. Но они
расходятся в трактовке вопроса о том, что происходит с короб-
коробкой в результате имеющейся у нее тенденции к скручи-
скручиванию.-
В главе VIII было принято, что профиль сопротивляется
пЪвороту отдельных своих сечений друг относительно друга,
работая на скручивание. При том подходе к вопросу, который
принят был в последних параграфах настоящей главы, мы счи-
считали, что по обоим концам балка имеет опоры, устраняющие
поворот ее крайних поперечных сечений вокруг оси балки и,
решая задачу о сопротивлении этого профиля изгибу в плоскости
его стенки, мы вовсе не учитывали способности его отдельных по-
полос сопротивляться скручиванию:скручивающие моменты должны
были при этом поглощаться изгибом поясков профиля в плоскости
их наибольшей жесткости, что нами и обнаружено. Оба рас-
рассмотренных решения, однако, не верны, так как одно из них
(решение настоящего параграфа) не учитывает способности
профиля противостоять скручиванию, второе же (решение
главы VIII) жесткости поясков профиля в отношении изгиба
в своей собственной плоскости.
Правильное решение может быть получено только при учете
обеих сторон явления, но пока еще не является столь строгим,
чтобы его уместно было излагать в курсе теории упругости.
Так как подробное рассмотрение всего этого вопроса в целом
выходит далеко из пределов того, что мы можем себе позво-
позволить в рамках этого курса, то мы предполагае'м вернуться
к этому вопросу в курсе строительной механики корабля.
Здесь отметим лишь, что уже делались некоторые попытки
к экспериментальному разрешению этого вопроса. Такие опыты
были выполнены в частности в Германии Бахом 1. Не имея воз-
возможности излагать здесь результатов этих опытов, отсылаем
интересующихся этим вопросом к первоисточнику.
В заключение необходимо сделать еще одну оговорку. Реше-
Решения Рибьера и Файлона, которыми мы широко пользовались
в изложенном анализе распределения напряжений в изогнутых
балках, составленных из тонких прямоугольных полос, удовлетво-
удовлетворяют некоторым совершенно определенным граничным условиям,,
которые нами выше были названы условиями „свободного под-
1 Z. V. D. I., 1909 г., стр. 1790, и 1910 г., стр. 382.
462
веса" и „заделки по симметрии". Все наши выводы можно'
поэтому считать правильными лишь постольку, поскольку концы
балки поставлены именно в эти условия.
Если бы мы поставили своей целью получить решения, сво-
свободные от этих ограничений, то нам пришлось бы прибегнуть
к выкладкам, значительно более сложным и громоздким, так как.
вместо частных решений Рибьера и Файлона нам пришлось бы
оперировать с общим интегралом для функции Эри для прямо-
прямоугольной полосы, который можно выписать не в виде равенства
л = оо
cos ~г +2* ?п ^sin ~<~ *
включающем в себя и решение Рибьера и решение Файлона,
а в виде суммы
Я = О Л = 1
k = оо k = оо
fe=O k=1
где функции /п{У), Чп(у),, Рк{х) и Фк{х) должны быть подобраны
так, чтобы каждый член!всех рядов, входящих в у, удовлетво-
удовлетворял порознь уравнению V2V2f = 0.
Для этого функции friy), <qn{y), Fk(x) и Фк(х) должны быть
подчинены уравнениям четвертого порядка типа
Общие интегралы этих уравнений выписываются без труда,
но определять все постоянные интегрирования, входящие в эти
общие интегралы, приходится из общей системы бесконечного
множества уравнений, в которые входят все неизвестные.1 Уравне-
Уравнения эти разрешимы, но даже для изолированной полосы их реше-
решение связано с большими чисто арифметическими трудностями.
Тем более затруднительно должно быть доведение до числового
конца всех выкладок, связанных с расчетом того или иного
профиля, в состав которого входит несколько прямоугольных
полос, между собою взаимодействующих. Некоторые упрощен-
упрощенные приемы приближенного решения задач этого рода будут
рассмотрены в главе XIV.
1 Иной более простой путь решения задачи предложен ниже в § 14 на-
настоящей главы.
463
Из задач, решаемых относительно просто примерно тем же
методом, что и рассмотренный нами в последнем параграфе, следует
упомянуть задачу о расчете полосы или балки бесконечно длин-
длинной, нагруженной усилиями, сосредоточенными в ограниченном
районе балки.
Решение это легко выводится из решения Файлона. Вхо-
Входящие в последнее ряды Фурье превращаются при этсм в инте-
интегралы Фурье, но общий ход решения, изложенный выше, сохра-
сохраняется. Практическую ценность решений этого рода отметили
впервые Карман1 и Рейсснер2.
Ввиду того, что решение Кармана и Рейсснера относительно
не сложно и может найти себе большое применение в вопросе
об исследовании местных напряжений в районе отдельных сосре-
сосредоточенных нагрузок, мы рассмотрим его в следующем параграфе.
§ 13. Решение для бесконечно длинной полосы
Расположим начало координат посредине бесконечно длин-
длинной полосы и примем
+ оо + оо
и. = I Fx(ay) cos (ax)da+j F^(ay) sin (ax)da. D3)
— OO CO
Мы можем принять D3), если подчиним функции Ft(ay) уравнению
F? (оу) — 2а2 F\ (ay) + а^ (ay) = 0 D4)
(через ( )' здесь обозначены производные по у), так как тогда
<р, определяемое равенством D3), будет удовлетворять уравнению
которому подчинена функция Эри.
Подставив D3) в выражения G) главы IX, будем иметь
- со -| оо
Хх= J F[ (ay) cos (ax) da -f- J F\ (ay) sin (ax) da, .
OO —OO
— CO -J- OO
Yy = — j aiF1 {ay) cos (ax) da — j a?F2 (ay) sin (ax) da,
—со —со
-{•CO -[-OO
Xy = J y.F[ (ay) sin (a*) da — j aF'2 (ay) cos (ax) da.
Компоненты напряжения будут таким образом выражены в этом
случае через интегралы Фурье.
1 v. Kdrman, Abhandlungen der Aerodyn. Hochschule Aachen., Bd. 7 S. 3, 1927.
Seewald, ibidem. S. 11.
2 Reissner, Z. A. M. M., S. 359 — 369, 1935.
464
Желая подчинить полученное решение граничным условиям
У и = Pi (•*) при у = + 0,5Ь,
: уу1+°<?. <зз)
мы должны функции /^(ау) и F2(a.y) определить помимо урав-
уравнения D4) из граничных условий
Pi
f
(X) = - j *?FX (^) cos (ax) do.- j aV, (y) Sin (ajc) da,
+00
/
+00
+ +
P* W = - / ^1 (- у ) COS (ax) da - J" a2F2 (- ^) sin (ax) da,
— CO
-foo
D6)
а/^ f -Л sin (ах) da — I а/7^ (-»-) COS (ax) da,
—оо ¦ —со
+ СО -f-OO
?2 (*) = Г Я^1 ( ~ V • Sln (аЛ) ^ — / ^2 (~ у) C0S (аЛ0 ^а»
Этого мы достигнем, вспомнив известное тождество Фурье1
-|-co -J-°°
D7)
—00 —со
или, что то же,
-г со -foo
/(X) = 1 J COS (ax) da J/(X) COS (aX) d). +
—оо —с<
+ОО +СО
~fsin (ax) da J/(X) Sin (aX) dX.
D8)
Из простого сопоставления формул D6) с формулою D8) видно,
что равенства D6) будут иметь место, если мы зададим величины
i
+Y) и ^ii—ir) посредством интегралов
1 См. например Поссе „Курс дифереициального н интегрального исчис-
исчисления", форм. Via, стр. 624, 1903.
Л. Ф. Папкович, Теория упругости—436—30
465
-foo
D) =
От)=
—оо
/
A
C0S
) C°S
+ОО
4) = - -йГ,т/ ft W Sin (
—СО
+оо
+
"г") = - i / ^ (>•) cos (aX) Л.
D9)
Разыскав с помощью D9) граничные значения функций
и /^ ( ±-5-J, можно сами эти функции найти как такиз
интегралы уравнения D4), которые удовлетворяют граничным
условиям D9).
Достигнуть этого нетрудно, так как уравнение D4) имеет
своим общим интегралом выражение
Ft (о-У) = At ch (ay) + Bt sh (осу) + С,- осу ch (а.у) + Д ay sh («у), E0)
и все, сказанное в § 10 относительно разыскания функций, вхо-
входящих fn (у) в решение Рибьера, применимо непосредственно
и к разысканию функций Fj(a.y).
§14. Примеры использования решения предыдущего параграфа
Покажем на нескольких примерах, каким образом можно ис-
использовать основные результаты § 13 при решении отдельных
частных задач.
Пример 1. Пусть требуется (рис 161) разыскать местные
напряжения в бесконечно длинной полосе шириною Ь, загру-
загруженной на кромках у= + 0,5 b сжимающими напряжениями
Уу=-Р, (а)
466
распределенными равномерно на участке
— а<х<а. (б)
По симметрии нагрузки мы в праве в этом случае полагать,
что
7
.X
У
Рис. 161.
и, следовательно,
+ОО
ср = f F1(ay)cos(ax)da.,
—оо
где в силу D9) должно быть
(в)
cos
(г)
Граничные условия эти подходят под случай 3 § 10, и
мы можем принять
Fi (аУ) = -Р~* sin (aa) ?з (а>У)>
где
2 sh~2~ + ~2~ch~2 ch^~2aysh^sh~Т
?3(а, у) = -± J
sh (aft) + аб
По подстановке в формулы D5) это дает
+ОО
v Р Г sin (aa) . . . .
XX=TJ —— 98 (a, 3;) cos (a*) afa,
—00
+00
,, » Г sin (aa) . . . . ,
Yg = — ~^J —^-^ cp3 (a, 3;) cos (ад;) da,
—00
+00
^^-X3(a,3')sin(aA;)afa,
(Д)
(е)
(ж)
467
где
2 [ehf- - f- ch -J] ch (ay) + lay sh (ay) sh -^
6з(а' У) = — sh (ab) + ab '
2 ау ch ay sh -g a6ch -_- sh a_y
Zs(a» У) = sh (ab) + ab
(з)
Интегралы, входящие в формулы (ж), легко вычисляются,
особенно при значениях у, не равных величине ±0,56, так как
при значениях .у, отличных от ±0,56, функции Ьа(л,у), ср3(а, у)
и Xs(a> У) с увеличением а довольно быстро убывают.
При у = ±0,5Ь
cp3(a, +0,5ft) = 1,
sh (aft) — ab
Хз(а, ±0,56)-0,
и так как Уи нам при этих значениях аргумента известно, то вычис-
вычислению подлежит лишь величина Хх, в которую входит интеграл
J
i
ab
COS(M)rfa.
При достаточно больших значениях а множитель
sh (ab) — ab
sh (ab) + ab
в подинтегральном выражении этого интеграла становится сколь
угодно близок к 1. Поэтому интеграл этот можно представить
как сумму двух интегралов
7
J
cos (ax) da = 2 f-^^ 4nfe^ cos (ax) do. +
v ' J a sh (aft) + ab ч 7
0
A *
где Л есть то частное значение величины а, начиная с которого
дробь
sh (ab) — аб
sh (ab) + ab
может быть практически принятой равною единице. Из этих
двух интегралов интеграл J ...da, как берущийся в конечных
о
пределах, может быть вычислен с помощью любого правила
468
численного вычисления квадратур; интеграл же
2 rsiii(oa)cos(ax) ^
А
может быть в свою очередь представлен, как разность двух ин-
интегралов
J
А
sin (ад) cos (ox)
a
__ Г
J
А
Л (*+а)
sin а (х + а)
«)- 7
Л (
Г
J
А
sin а (х — а) ^ _
a
7
(ж—а)
А (*+а) А (ж—а)
со
где 5^ (и) = I s'n" а?и — так называемый интегральный синус, для
U
которого составлены таблицы1.
Пример 2. Рассмотрим напряжения в бесконечно длинной
полосе, шириною Ь, загруженной согласно рис. 162.
¦ X
¦ а -».
Рис. 162.
В этом случае решение должно удовлетворять условиям
Yy = —p при jy=-fO,5b и —а<х<а
Yy = —p при у = —0,5Ь и а<\х\<2а
Y9 = 0 на обеих кромках у = const вне ука-
указанных выше пределов
Х9 = 0 при у = ± 0,5ft
(а)
1 См., например, Шпильрейи, Таблицы специальных функций, ч. I, стр.11
469
Как и в примере 1, можно, очевидно, принимать в этом
случае
? = J Fi («У) cos (аде) da.. (б)
—оо
Для определения Fx(ay) на основании D9) и (а) получаем
^ (- Т") = ^Гз [sin f«2a) - sin (aa)],
или, что то же,
sinBaa) sinBaa) — 2sin
p I ab\ p Г sin Baa) . sin Baa)— 2 sin (aa)
1 V 2~) ~7ta3 [ 2 ' 2
Сопоставляя эти граничные условия с теми, которым удо-
удовлетворяли в § 10 функции cpg(a, у) и ср4 (а, у), нетрудно видеть,
что в рассматриваемом случае
Fx («У) = tb Sin Baa^ <?* (а>У>- '^&&р2^ 9i (а, у).
Дальнейшее решение сводится к подстановке найденного »
в выражения G) главы IX, что никаких затруднений, особенно
если пользоваться результатами § 10, не представляет.
Пример 3. Поставим себе теперь целью определить полез-
полезную ширину для половины пояска бесконечно длинной двутав-
двутавровой балки в предположении, что поясок этот шириною b
загружен скалывающими напряжениями д(х) симметрично по
отношению к сечению х = 0.
По условиям задачи нам нужно подобрать для плоской задачи
решение, удозлетзоряющее следующим граничным условиям:
Ys = Xs = 0 при. у = 0,
dv \ ПРИ У = Ъ,
причем по симметрии нагрузки относительно сечения х = 0 можно
принимать
ср = f Fx (сну) cos (a.x) da,
—СО
470
что дает для напряжений Xv
+ °9
Хи = / a.F[(ay) sin (ax) da.
—оо
Желая добиться того, чтобы было
¦Кц = q (x) при у = Ъ,
мы должны подчинить функцию F1(ay) услозию
+ оо
q(x) = f aF[ (ab) sin (ax) da.
—oo
Откуда [см. разенстзо D9)] следует, что
Так как рассматриваемый случай нагрузки полосы подходит
под случай (9) § 10, то на оснозании расчетных зависимостей
§ 10 можно полагать
+г 1
а, у) da I q (X) sin (аХ) d\ ,
+ООГ- +00
4oop
+OO
°2д ^э (а> y)d<* I Я (K) sin I
CO
Для редукционного коэфициента рассматриваемой полосы по"
лучаем при этих условиях
+ 0
^ («. *) d« / ? W sin (ох) л
~оо -*
Найдя <|j, можем полезную ширину полосы определить по
формуле
471
Пример 4. Пусть требуется найти напряжения в бесконечно
длинной балке таврового сечения, загруженной, как на рис. 163,
Совместив в стенке ось ох с осью стенки, в обеих же поло-
половинах пояска с их свободными кромками, направим оси оу и в
стенке и в обеих половинах пояска к линии соприкосновения
Г
i
U- a -
a
an
-P
* I -
/
It
(, — в-
a
i
Рис. 163.
стенки с пояском. Будем считать обе половины пояска работа-
работающими в условиях случая 9 § 10 и загруженными на кромках
прилегающих к стенке скалывающими напряжениями
^ = -j?W. (а)
где q (x) — некоторая, пока неизвестная, функция от х. Стенка
будет при этом загружена на верхней кромке нормальными
напряжениями
Yv = — р при —а < х < а
(б)
(в)
х<1 + а. (г)
Представим эту нагрузку продольных кромок всех полос, из
которых состоит рассматриваемый нами профиль, в форме инте-
интегралов Фурье. Пусть
и скалывающими напряжениями
Хи = Я (х)>
на нижней же лишь нормальными напряжениями
YB = -p при — (/4-а)<л;< — / и 1<х<
) do,
(д)
где F'1(ay)— некоторая, пока неизвестная, функция от (оу), опре-
определяемая тем, что
(е)
472
Тогда можно будет считать, что к загруженным кромкам обеих
половин пояска приложены скалывающие напряжения
(ж)
¦ Х„ = — ? q (х) = - д- у а/*; (^) sin (аде) da.
Верхняя кромка стенки будет загружена скалывающим на-
напряжением
^) cos
+ СО
Xv — q (x) = f а/7' [%гЛ sin (ах) из.,
— оо
и нормальным напряжением
у»= || -р-
— а
где
cos (ал) of/. = ?- sin (aa),
нижняя же лишь нормальными напряжениями
(з)
(и)
(к)
— I i
I a
+ ОО
= —\ *2Fi.(—%j-
(л)
где
I -I- a
Можно поэтому считать, что нормальная нагрузка продоль-
продольных кромок стенки профиля складывается из симметричной на-
нагрузки
Ч - ± а=-/ ! [Л (т)+^ (- т
2 — оо
cos
и антисимметричной нагрузки
+ СО
14- ±4- = +/ -*1Л (т) - ^ I" т)] cos(«*)!/«. (о)
2 — со
на основании сказанного в § 10 можем при этих условиях счи-
считать, что удлинение верхней кромки стенки определяется в дан-
473
ном случае зависимостью
П
+П [F- IT.) - ^ (- т
+ 0О
удлинение же загруженных кромок обеих половин пояска зави-
зависимостью
(ax) da. (p)
уравнивая (п) и (р), находим для неизвестной функции a.F[ \jn~j
+f [4t)-'.(-t
Определив функции a2^i(V) и a2jPi(~%") с помощью (к) и (м),
можем с помощью (с) найти неизвестные /^'Л^г-]. Этим закан-
чивается раскрытие статической неопределимости профиля. Даль-
Дальнейший расчет производится, как в примерах 1—3.
§15. Случаи, когда разыскание тепловых напряжений может быть
произведено с помощью решений Рибьера и Файлона
Мы видели выше в § 11 главы IX, что за общий интеграл
тепловых напряжений в неравномерно нагретой пластине, нахо-
находящейся в условиях плоского 'напряженного состояния, можно
в случае отсутствия объемных сил принимать
х«- дх-ду\?
E1)
где <р есть общий интеграл уравнения
V2V2f = О,
474
a 2 любое частное решение уравнения
V22 = ч*.
С перемещениями и и v функции <р и 2 связаны вообще за-
зависимостями
E2)
где /» и ^ — две любые функции, удовлетворяющие уравнению
Лапласа и условию
а о) — гармоническая функция, удовлетворяющая условиям
д2ш
дх*
— 9 Л al/ дР Л. дС>\
Если полоса устроена так, что при х = 0 и х =
я ^ 0 и = О
E3)
.то для такой полосы функции ср и 2 можно разыскать в форме
рядов вида
cos
cos
E4)
где ш„ (з/) — любые частные решения уравнения
E5)
fn (у)—общий интеграл уравнения
/v
/v (у) - 2 (^ )V;
475
a tn(y) — коэфициенты разложения температуры t в ряд вида
Приняв для й и со только эти приведенные выражения, будем
иметь для компонентов напряжения
!(Г
cos
sin
'
J
E8)
что, очевидно, удовлетворяет на концах полосы граничным усло-
условиям E3). Очевидно также, что число постоянных интегрирова-
интегрирования, входящих в общий интеграл для функции /„ (у), достаточно
для того, чтобы подчинить каждую из функций fn (у) двум раз-
различным граничным условиям на каждой из кромок у = const и
в частности условию отсутствия напряжений Yv и Ху на обеих
этих кромках.
Если полоса устроена так, что на ее концах, т. е. при х = О
и х = I должно быть
Х'Ф° *-°| E9)
то, представив температуру t в форме
(y) in
F0)
можно для 2 и ф принять
sin
F1)
причем <оп (у) и /„ (у) должны будут быть по-прежнему разысканы
из уравнений
<»"п (У) - (-J-J <«„ (У) - «о 4 (У) F2)
/^(У)-2(^JЛ(У) + (^L/«(у) = 0. F3)
476
В этом случае для Хх, Yy и Хд будем иметь
cos
Распоряжаясь функциями /„ (у), также можно и в этом случае
освободить кромки у = const от внешней нагрузки.
Таким образом, если торцевые кромки полосы находятся в
граничных условиях Рибьера, а тепловое поле удовлетворяет
на этих кромках условию
дх U'
то задача о разыскании тепловых напряжений в полосе допу-
допускает решение, аналогичное решению Рибьера.
Если условия заделки полосы совпадают с условиями Белзец-
кого, а тепловое поле удовлетворяет на торцевых кромках
полосы условию
* = 0,
то разыскание тепловых напряжений в полосе допускает реше-
решение в форме рядов, аналогичных входящим в решение Файлона.
Заслуживает особого упоминания случай, когда температура
полосы удовлетворяет уравнению
В этом случае функция Q должна удовлетворять уравнению
и если исследуемая область односвязна, то функцию ср можно
подобрать так, чтобы во всех точках полосы было
При таком выборе функции напряжений будет в силу E1)
v
Это показывает, что если исследуемая область односвязна, а
нагрев ее материала удовлетворяет уравнению
477
то неравномерность нагрева тела может не сопровождаться по-
появлением в теле напряжений, хотя вследствие неравномерности
нагрева тело и деформируется.
Если исследуемая область неодносвязна, то может случиться,
что, положив
<Р =
мы не сумеем обеспечить условий однозначности перемещений и
и V. Поэтому в телах, ограниченных неодносвязной областью,
тепловые напряжения могут возникнуть и в том случае, если
температура t удовлетворяет в этой области уравнению
Примером этому могут служить тепловые напряжения, воз-
возникающие в цилиндрической трубе при стационарном ее тепло-
тепловом состоянии.
§ 16. Тепловые напряжения в бесконечно длинной полосе
Задача о разыскании тепловых напряжений в бесконечна
длинной полосе, неравномерно нагретой в конечной области
вдали от концов полосы, допускает весьма простое решение
в интегралах Фурье, во многом сходное с решениями § 13 и 14.
Представив температуру t такой полосы в форме равенства
t— J h(аУ)cos(ах) dа + j t2(яу)sin (ax)da, F5)
¦—оо
можно функцию 2 для этой полосы искать в форме зависимости
+ОО +ОО
2= J <o1(a.y)cos {ах) da. + j u>2(ay)s'm(a.x)dci., F6)
-—оо —оо
функцию же напряжений в виде суммы
+ОО +О0
у= f Fx {а.у) cos (a. x)dn -f f F2(a.y)sin(a.x)da. F7)
—ОО —00
При этом, если температура t является заданной функцией
от х и у, то разыскание функций tx(%y) и t2(ay) сводится к вы-
вычислению интегралов
1 Г
t\ (<* У) = -^7 I * ОУ) COS
~°° F8)
к^У) =^Г /^(X-V)sin(a:
478
после чего функции ^(ау) и ш3(ау) могут быть найдены как
любые частные интегралы уравнений
<°i (аУ) — °? «>! (а.у) = a0 tx (ay), \
\ F9)
Ш1 (.ЛУ) a2 Ш2 fa У) = *0^2 (a J')» J
вытекающих непосредственно из условия
Функции Fi(<xy) должны быть подобраны при этом так, чтобы
<р удовлетворяло уравнению
для чего, как и в § 13, надо принимать за Ft(ay) два независи-
независимых общих интеграла уравнения D4) [см. также равенство E0)].
Подстановкою найденных Q и «р в E1) можно получить
I [
Хх =
+0О
(лу) - ,-#-
sin (a x)dx,.
cos (a x) rf a •-
/
+
/ *2 [Z7. (* J») - ^ ^ (* J')] sin (a jc) rf a,
—oo
-j-oa
/
—oo
-f-oo
j
1(а^)] sin
G0)
что удовлетворит отсутствию нагрузки на кромках у = + 0,5 ft,
если мы примем
Z7! (± 0,5 a ft) — jA- Ш1 (+ 0,5 a ft) = 0,
(+ 0,5 a ft) - y~^2 (+ 0,5 a ft) = 0,
G1 >
47»
Определивши функции Ft (ay) из их общего интеграла E0) и
граничных условий G1), будем знать все величины, от которых
зависят [см. равенства G0)] компоненты напряжения Хх, Yg и Ху.
Поэтому вычислив интегралы, входящие в G0),„можем найти
значения этих компонентов для любой точки тела.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ X
Задача 1, Методом, указанным в § 1, вывести равенства (9) н A0).
Задача 2. Методом, указанным в § 2, разыскать перемещения и н v для
консольной полосы, загруженной силой Q на свободном конце [см. формулы
A4) ].
Задача 3. Решить задачу 2 применительно к полосе, свободно опертой
и находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки [см.
формулы A5) ].
Задача 4. Для чистого изгиба прямоугольной полосы вывести формулы
A3$, приведя функцию напряжения не к виду <р = хч)х + ф0) а к виду
Задача 5. Методом § 2 разыскать перемещения и и v для консольной
балки, загруженной на верхней кромке равномерно распределенной нагруз-
нагрузкой q.
Задача 6. Разыскать перемещения и и v для свободно опертой балки,
находящейся под действием собственного веса.
Задача 7. Решить задачу 6 применительно к консольной балке, находя-
,щейся под действием собственного веса.
Задача 8. Для стальной полосы (? = 2- 10е кг/си2; а =-0,3; а = 0,0000111/0 С
шириной 6 = 6000 мм, температура нижней половины которой на 30сС превы-
превышает температуру верхней половины, построить эпюр распределения напря-
напряжений Хх и Zz,
Задача 9. Принимая для стали E=2-10s кг/см*; о = 0,3; а = 0,000011V°C
коэфициент внутренней теплопроводности k = 50 б. кал1м°С; коэфициент тепло-
теплопередачи от металла к воде Х1 = 100 б.кал/м2 °С; то же от металла к воздуху
Х2 = 20 б.кал/м2 °С, определить, основываясь на выкладках случая 3 § 3 эпюр
распределения тепловых напряжений в пластине шириной 1000 мм, 5000 мм
и 10 000 мм в предположении, что в воду погружена нижняя половина
полосы н что разность температуры воды и воздуха равна 40°С.
Задача 10. Построить для нескольких различных моментов времени эпюры
тепловых напряжений для стальной стенкн толщиной 1000мм принимая
Е = 2-106 кг/см3; о = 0,3; а = 0,0000111/0С; k = 50 6.кал/м°С; теплоемкость
с = 0,125 б.кал1кг°С; X = 100 6. кал/м*°С; начальная температура стенки 100°С;
температура окружающей среды равна нулю.
Задача 11. Решить задачу случая 5 § 3, считая, что одна сторона плоской
стенкн толщиною 30 мм соприкасается с водою, температура которой равна
•0°С, другая же с газом, температура которого колеблется в пределах от
+100° до 4- 300° С, по гармоническому закону при 600 циклах в минуту.
Коэфициент теплопередачи от металла к воздуху 10 б. кал\мг° С, от воздуха
к воде 100 б.кал/мг°С, остальные условия те же, что в задаче 10.
Задача 12. Повторяя рассуждения § 8, проверить расчетные формулы,
относящиеся к одному из случаев § 10.
Задача 13. Вывести основные расчетные зависимости для случая 9 § 10
расположив начало координат на загруженной кромке полосы.
Задача 14. На основании решения задачи 13 определить предел, к кото-
которому стремится полезная ширина s полосы двутавровой балки при безгра-
безграничном увеличении его фактической ширины Ь.
Задача 15. Задачу § 11 решить применительно к балке трубчатого сече-
сечения при следующих данных: толщина поясков t = 20 мм; толщина стенок
6 = 8 мм; длина балки I =3000 мм; ширина поясков 6=800 мм; высота про-
профиля h = 1200 мм. Профиль находится в граничных условиях Файлона.
Задача 16. Задачу 15 решить применительно к двутавру со следующими
элементами: толщина t = 12 мм, толщина стенки 3=8 мм, ширина поясков
480
300 мм, высота стенки 300 мм, длина балки 1000 мм. Профиль находится
to граничных условиях Файлона.
Задача 17. Для пояска пустотелой трубчатой балкн, загруженного скалы-
скалывающими напряжениями
Хд = ± [у — •*] ?о при у = ± 0,56
и находящегося в граничных условиях Файлона, построить по точкам
эпюр полезной ширины, принимая, что 1:Ь = А.
Задача 18. Задачу 17 решить применительно к пояску балкн двутавро-
"вого сечения, у которой 1:2Ь = 3.
Задача 19- Задачу 18 решить применительно к пояску многостенного
профиля типа набора двойного дна, принимая что у этого профиля
l:b= 3,5.
Задача 20. Решить задачи 17, 18 н 19 в предположении, что поясок
загружен скалывающими напряжениями, распределенными вдоль его загру-
загруженных кромок по одному из следующих законов (рис. 164).
Задача 21. Считая концы полосы находящимися в граничных условиях,
к "которым применимо решение Файлона, а нагрузку верхней кромки
полосы соответствующей одному из эпюров рнс. 165, определить для этой
полосы при каком-либо частном значении отношения l:b:
а) эпюр распределения напряжений Хх по высоте среднего сечення балкн;
б) эпюр удлинения продольных кромок;
в) эпюр распределения скалывающих напряжений по высоте опорных
сечений.
Задача 22. Решить одну из задач B1) в отношении какого-либо частного
профиля типа рнс. 156—160, считая концы балки находящимися в граничных
условиях Файлона.
Задача 23. Решить задачу 21 в отношении прямоугольной полосы,
находящейся в граничных условиях Рибьера, считая, что нагрузка, приложен-
приложенная к верхней кромке полосы, согласно одному из эпюров рис. 165, уравно-
уравновешивается реакциями нижней кромки полосы, распределенными вдоль этой
последней по одному из эпюров рис. 166.
Зада ча 24. Для бесконечно длинной прямоугольной полосы, находящейся
под действием местного сжатия, изображенного на одном из эпюров рис 167,
определить напряжения, считая а определенной долей от Ь, например, приняв
а = 26; а = Ь или а = 0,5ft.
^Задача 25. Задачу 24 решить применительно к одному из профилей,
изображенных на рис. 156—160, считая нагрузку рис. 167 приложенной
непосредственно к стенкам профиля.
Задача 26. Для бесконечно длинной полосы, не несущей никакой нагрузки,
найти тепловые напряжения в предположении, что для этой полосы
t = <?(x)f(v)-t0,
причем функции <?(х) и f(y) определяются одной из комбинаций эпюров,
изображенных на рис. 168 и 169-
3 а дача 27. Задачу 26 решить применительно к одному из профилей,
изображенных на рис. 156—160, считая, что пояски профиля по всей своей
ширине имеют ту же температуру, что н кромки стенки, прикасающиеся
к данному пояск>.
Задача 28. Решить задачу 24 применительно к нагрузке полосы, изобра-
изображенной на одном из эпюров рис. 170.
Задача 29. Задачу 28 решить применительно к одному из профилей,
изображенных на рис. 156—160.
Задача 30. Задачу 9 решить применительно к одному из профилей,
изображенных на рис. 156—160, считая его длину бесконечно большой
и принимая, что верхняя половина его высоты омывается воздухом с темпе-
температурой t — 60е С, нижняя же водою с t — 20е С.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—31 481
Задача 31. Получать решение плоской задачи для прямоугольной по-
полосы, у которой кромки у — ±Ь от нагрузки свободны, кромки же х = 0
И ». V
VM
;... с ——J
Рис. 164,
'ft
Z-0
~ Синусом
а - б":
u-.';..'i
Рис. 166.
Парабола
т--а
г i
I
Синусоида-^
J
1 t
i
4
ПаоэЬола^
n
i ;
t
til
a-
nr
a
a
i;
j
а
lr
a
-a
се
-
V к
-
Рис. 165.
и х = / загружены как угодно,
приняв для ^ выражение
<?^^lXl(x)Yi(y), (а)
где Уг О») функции, удовлетвори-
ющне уравнениям
-) У/(У) = 0, F)
' Рис. 168.
в которых щ являются некоторыми постоянными, н граничным условиям
482
(в)
Указание. Пользуясь указаниями § 6 гл. IX, а также некоторыми реше-
решениями § 1 настоящей главы, можно свести решение данной задачи к нахожде-
нахождению такого решения уравнения V2V3<P = 0, которое удовлетворяло бы граничным
условиям
<р = -^ = 0 при у = ± Ь;
Ч = ^i (УУ, "^ = Gi (у) при л: = 0 и
'¦Р = F*. (у); -fa=G* (У) ПРИ х = а,
Рис. 169.
где /?,-(j') и О;(у) некоторые заданные функции от у, удовлетворяющие условиям
Fi(y) = F'i(y) = Gi<y) = G'i(y)*=0 приу = ±Ь (д)
Подставив ряд (а) в основное диференциальное уравнение задачи V2V2(P=0,
получаем для определения функций Л,- (х) уравнение
W y* (v) + Mi W yi СУ) + Хг (х) Y-T (у) ) - 0, (е)
aj
x—l-a
' х
Синусоида
х'-а _ Х'1
0 ' х-1-а
Синусоиды —-"x!_ ]X
хн+а
1
— Г
I 1
X—l 1 X
: i
( 1
--o ! xfi
, L .„!
"Сипусоидз
Рис. 170.
из которого можно вывести систему уравнений, /-ое из коих есть
^^1 / ум? I „\ А I о Y ( v\ Л 1 v / „ч ^> \ ___ л
/_\ I ^» \ ) if i" ^^ # V"*") " If "i -Л * л"*^) ^ tf I — *-^"
Здесь через Л,-у, В,-7- и Су обозначены интегралы
—ft
(ж)
• (з)
483
Для самих функций К; {у) можно получить при i четном
cos («*-?-)] : [cosm;]— 1,
где
при t же нечетном
Щ = -у- (и)
К, (>) = [sin (и, -]!)] : [sin «Л - и, -г,
где ыг корни уравнения
Щ = tg Щ. ц (к)
В системе (ж) фуикции А"; (л), соответствующие индексам i разной четности
разделяются. Система уравнений (ж), соответствующая нагрузке симметричной
относительно оси имеет вид
2 ? XT (*> + *Г <*> ~ 2 ("у-)Ч" <*> + (iff Xi(X) = °-
Ее общий интеграл дается равенствами
2
где 5^ корни уравнения
^ V it у L\ « /
i
или что то же, уравнения
sit, Bskb) = — 2skb. (о)
Уравнение (о) имеет только комплексные кории вида
2skb = ± о.к ± ipfc (п)
причем реальные части этих корней лежат в пределах
it<aa<l,5it; 3re<a4<3,5re; 5я < as < 5,5я и т. д. (Р)
Подстановка ряда (м) в ряд (а) дает для нагрузки симметричной относи-
относительно оси ох
? = 2^Wfe(y> (с)
и являются функциями комплексиыми.
Решение (с) совместно с неравенствами (р) показывает, что местные напря-
напряжения от усилий, приложенных к торцевым кромкам данной полосы, уже иа
расстоянии одного поперечинка полосы уменьшаются примерно в 25 раз по
сравнению с их величиною на загруженной кромке.
Таким образом рассматриваемое решение позволяет дать
числовую оценку справедливости принципа Сеи-Веиана
даже без предварительного нахождения постоянных а^ в ряду (с).
Если нагрузка полосы антисимметрична относительно оси ох, то решение
для (р также может быть найдено в форме ряда типа (с), все члены которого
удовлетворяют и уравнению V3V2<P = 0 и условиям на кромках у = ± Ь, но
в этом случае фуикции F^y) имеют соответствующее иное выражеиие, а числа Sk
удовлетворяют уравнению sin Bsfe6) = + 2s^6, также имеющему лишь ком-
комплексные кории.
При условии предварительного табулирования функций F^iy) и выпол-
выполнения раз навсегда некоторых вычислений, имеющих целью облегчить разы-
разыскание коэфиииеитов ряда (с) рассмотренное решение может весьма облегчить
решение общей задачи для полосы, любым образом загруженной. Аналогичные
приемы могут быть использованы при решении задач § 22 гл. XI и § 7 гл. XII.
Дальнейшие подробности этого вопроса будут изложены в отдельной
статье, которую предполагается издать в сборнике .Прикладная математика
и механика".
A)
ГЛАВА XI
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ
§ 1. Основные зависимости
До сих пор мы рассматривали плоскую задачу исключи-
исключительно лишь в декартовых координатах. Преобразуем теперь
основные зависимости этой задачи к полярным координатам
г и 9, определяемым тем, что
x = rcos9,
у = г sin 9.
Пусть
/?г — нормальное напряжение в площадках, перпендикуляр-
перпендикулярных к радиусу-вектору г, соединяющему данную точку
с началом координат;
6е — нормальное напряжение в площадках, проходящих
через этот радиус-вектор;
#9 = вг — скалывающие напряжения в этих двух площадках,
направленные: в площадке, внешняя нормаль к кото-
которой совпадает с направлением dr, в сторону увели-
увеличения угла 9, а в площадке, внешняя нормаль к ко-
которой совпадаете гdb — в сторону увеличения вели-
величины г.
Имея в виду, что направляющие косинусы направлений dr
и г db даются таблицей
dr
rdb
X
cos 6
— sin 4
У
sin 6
ces в
z
0
0
нетрудно на основании зависимостей G) и (8) § 6 главы 1 ви-
видеть, что
/?г = Хх cos2 9 + Yy sin2 6 + 2 Ху sin 9 cos 9,
©о = Хх sin2 6 + У у cos2 б — 2 Ху sin 9 cos 9,
/?е = вг = (Г„ — Л1*) cos 6 sin 6 + Ху (cos29 — sin2 9).
485
Если мы выразим в этих равенствах Хх, Yv и Xv через функ-
функцию Эри <р [см. равенства G) § 1 главы IX], а затем заменим в
полученных выражениях производные от <р по х и у через про-
производные той же функции по г и в, то будем иметь
1 <>"?
г дг
_ д2<р
вв — ^г >
*в - «г - дг[ г М )>
B)
Подобным же образом можно из уравнений
ди
е** =" дх '
dv
ди
ди_
дх
получить связь между компонентами деформаций егт, еьь и erfl и
перемещениями S и т|, соответствующими полярной системе
координат. Если мы совместим ? с направлением dr, a tj с на-
направлением г db, то, как нетрудно видеть, будем иметь
е" ~ дг '
еьь = — + — ~щ
р — У. а? I, fo
'9 г д8 ~Г" dr
Эти величины в случае плоской
быть связаны с напряжениями /?г, ве
е„ = ^ A — з)/?г — <
—
C)
I
деформации должны
и /?я зависимостями
D)
или, что то же [см. равенства A2) главы X],
_L[.
2A
D')
486
в случае же плоского напряженного состояния
[см. равенства C8) гл. IX] — зависимостями
E)
— 2G [ — а
?,й — ~7Т
или, что то же,
E')
2A+«)
Функция Эри должна при этом, как и в главах IX и X, удов-
удовлетворять уравнению
a2
или, что то же, уравнению
J
_
F)
Последнее можно, приняв во внимание независимость <р от z, пе-
переписать так:
) 0 ^6>
Функция Эри, как то было уже отмечено в главе IX, одно-
однозначна не всегда. Соответствующие ей выражения для и и v,
а также для напряжений Rr, Rb и 09 должны быть, однако, одно-
однозначны в пределах всего исследуемого тела.
§ 2. Случай, когда компоненты напряжения не зависят от 9
Имея в виду подробно рассмотреть общий случай деформа-
деформации кругового кольца, начнем с анализа того частного случая,
Когда напряжения Rr, 09 и Rb от угловой координаты 9 не за-
зависят. Посмотрим, к каким случаям нагрузки кольца можем мы
притти, если примем, что <р есть функция только от г
Чтобы (а) удовлетворяло уравнению F'), необходимо подчи-
подчинить функцию /0 (г) уравнению
г й
& _±.± d)(d2 J-1 d\ffr\ -О
487
или, что то же, уравнению
(r|V
rdrVdrlrdrV dr
общим интегралом которого является выражение
(б)
Диференцируя, нетрудно видеть, что найденное выражение
для /0 (Г) приводит к следующим выражениям для компонентов
напряжения:
/?г = Л0B1пг+ 1) + 2#0Н
-1\
(г)
Как видно из этих выражений, постоянная Do из общего вы-
выражения для компонентов напряжения выпадает, так что 'полу-
'полученное решение заключает в себе всего лишь три постоянные
интегрирования, варьируя значения
которых, можно изменять нагруз-
нагрузку кругового кольца. Замечательно
также, что все три независимые
частные решения, соответствую-
соответствующие постоянным интегрирования
Ао, Во и Со, удовлетворяют усло-
условию /?е = ©г=0 и не позволяют,
следовательно, загружать круговое
кольцо скалывающими напряже-
напряжениями.
В этом последнем результате
мы не должны видеть ничего
странного, так как, загрузив коль-
кольцо скалывающими напряжения-
напряжениями, согласно рис. 171, мы в случае #е = вг = const обязаны
считать главный момент усилий, приложенных к каждому от-
отдельному контуру кольца, отличным от нуля, а, следовательно,
функцию <р — функцией неоднозначной. На основании сказанного
в § 7 главы IX надо полагать, что к решению, в котором на-
напряжение #е = Вг не равно нулю и не зависит от 9, мы можем
притти, полагая
? = А 9. (д)
Это можно принять, так как выбранное таким образом <р
удовлетворяет уравнению
V2<? = 0,
а, следовательно, и уравнению
Рис. 171.
488
Приняв (д), будем иметь
Rr = е9 = о,
-A-1 I
(е)
как мы того и ожидали. Можно поэтому полагать, что наиболее
общее решение, в котором компоненты напряжения суть функ-
функции одного лишь г, мы получим, принимая
+ 50г2+С01пг, G).
что дает для компонентов напряжения
-1-,
г2 "
Найденное решение заключает в себе три независимых част-
частных решения, с помощью которых мы можем варьировать вели-
величину нормального напряжения /?г на обеих окружностях, огра-
ограничивающих исследуемую область.
На основании сказанного в главе IX следует поэтому пред-
предположить, что не все решения, даваемые равенствами (в) и (г),
приводят к однозначности перемещений. Это так и есть, так
как, подставив (г) в E) и затем E) в C), можно легко убедиться
в том, что напряжениям (г) соответствуют в случае плоского-
напряженного состояния перемещения
так что решение, соответствующее постоянной Ао,
тельно к замкнутому круговому
кольцу должно быть отброшено,
как не удовлетворяющее условию
однозначности тангенциального пе-
перемещения Tj.
Если бы мы рассматривали де-
деформацию не замкнутого кольца,
а лишь его определенной части
(рис. 172), то решение, соответст-
соответствующее постоянной Ао, можно бы-
было бы в формулах G) и (8) удер-
удержать.
примени-
примениРис. 172.
Мы увидим ниже в § 9, что при чистом изгибе части кругового
489
кольца в решении надо удержать все три постоянные Ао, Во и Го.
Решение, полученное нами в настоящем параграфе, позво-
позволяет исследовать деформацию трубы, находящейся под дейст-
действием равномерного внутреннего давления, чистый изгиб части
кругового кольца и кручение круглого диска в его собственной
плоскости. Вопросы эти будут рассмотрены ниже в § 6, 7 и 8.
§ 3. Случай, когда компоненты напряжения являются функциями
вида/(г) cos в или /(г) sin в.
Разобрав случай, когда компоненты напряжения от 9 не за-
зависят, посмотрим, к каким случаям загрузки кругового кольца
можно притти, полагая
<p=/1(r)sin(9+e), (a)
где е— произвольная константа.
Чтобы (а) удовлетворяло уравнению
W2? =0,
необходимо положить в нем
, 1 d i\'<f , l d l_
+ ~F dr~7?){d7?+ r dr ~ r*
или, что то же,
Нетрудно видеть, что уравнение это имеет своим общим |ин-
тегралом
Л И = А^ + Bxr In г + Cxr + Dx -у, (в)
что по подстановке в (г) дает
/?г= B^1r+^--^1-)sin(9 + E),
в = FA1r4--^- + ^-)sin(9 + s), (Г)
/?в =- BA,r + Ь, - 2Ol)cos(9 + з).
Постоянная Сх из этих выражений выпала, что совершенно
естественно, так как постоянной этой добавляется к <р член
вида
Cxr sin F+ е),
т. е., как в том убедиться, некоторая линейная функция от
х и у. .
Особенностью полученного решения (г) является то обстоя-
обстоятельство, что это решение дает возможность исследовать лишь
490
такие нагрузки кругового кольца, при которых усилия, прило-
приложенные к каждому отдельному контуру, ограничивающему иссле-
исследуемую область, уравновешиваются в отношении своего главного
вектора на каждом таком контуре порознь.
Если главный вектор усилий, приложенных к каждому отдель-
отдельному контуру, не уравновешен, то в состав функции <р должны,
как то отмечено в главе IX, входить члены вида
<р = ВЪг cos (9 + в), (д)
что, как в том легко убедиться, уравнению
V2V2<P=Q
удовлетворяет.
Подставляя (д) в B), нетрудно видеть, что решению (д) со-
соответствует
2^?), (e)
Rb =0.
Поэтому, приняв
мы получим для компонентов напряжения решение
Яг = BАхг + А - ^-) sin (9 + s)- ^ sin (9 + е),
(Ю)
Я. =- BАхг + А _ ^l) CoS(в + г),
которое уже может удовлетворить условию неуравновешенности
главного вектора усилий, приложенных к каждой из отдельных
окружностей г = const.
Рассмотрим, в какой мере независимы константы Ах, Въ Diy,
Вне, входящие в выражение A0). По сказанному выше кон-
константы А1г Въ Dx и В ничем не связаны сей при всяком част-
частном значении ё являются произвольными. Поэтому, варьируя
величину е, мы в праве менять величины Аъ Въ их и В вне
зависимости от е. В частности, если бы нам понадобилось полу-
получить для кольца решение, в котором напряжения Rr, вв и Яй
были бы функциями вида
Rr; ©е ; Яе = <h (r) sin 9 + <р2 (г) cos 6, (ж)
то мы могли бы получить такое решение из A0), сложив реше-
решения, относящиеся к случаям г = 0 и .« = -^-, при этом константы
А1г Въ Dt и В в решении, относящемся к е =0, мы могли бы
считать вообще иными, чем в решении, относящемся к г = -у.
491
К решению требуемого вида (ж) мы придем, следовательно,
положив
A^ + B^lnr + Dj^ —
\[ rs + By r In r + ?>i-)r) cos 9 + Я'г9 Sin 6. (9')
Это дает
RT= BAxr + ~- — ~^~) sinb— Щ-sinЬ +
2D
^- + -^-j cos 9,
2D'.
A0')
=/»8 sin
cose,
В решение A0') входит восемь постоянных интегрирования
каждой из которых соответствует свое независимое частное ре-
решение плоской задачи. Казалось бы, что этих восьми независи-
независимых частных решения нам должно только хватить для воз-
возможности варьировать по произволу восемь коэфициентов р% и q%
в граничных условиях
(з)
являющихся наиболее общим типом граничных условий для всех
напряженных состояний вида A0'). Не следует, однако, забывать
того, что в граничных условиях (з) не все восемь постоянных
интегрирования можно считать независимыми.
Мы уже отметили выше, что в решении рассматриваемого
нами сейчас типа главный вектор усилий, приложенных к каждой
отдельной окружности вида г = const, вообще нулю не равен.
Так как благодаря предполагаемому отсутствию объемных сил
главный вектор усилий, приложенных к окружности г = а, если
он нулю не равен, может уравновешиваться лишь главным век-
492
тором усилий, приложенных к окружности г — Ь, то восемь кон-
констант pt и <7j, входящих в граничные условия (з), должны быть
связаны между собою двумя
условиями статики (рис. 173)
r=ft db
f [(tfrcos9 — 9rsi
о
= / l(Rr cos 6 — 9Г sin 6)
о
J [(Rr sin 9 + 9r cos 9) r]r=
0
2 it
J.(k)
Рис. 173,
Поскольку, однако, все восемь независимых частных решения
плоской задачи, входящих в A0'), условиям (и) и (к) удовлетво-
удовлетворяют, приходится два ограничения, налагаемые на возможные
значения констант соответствующие у кругового кольца этим
решениям, искать в каких-то иных условиях, принципиально
отличных от условий статики. Естественно, конечно, обратиться
при этом к условиям однозначности перемещений % и -ц.
Рассмотрим частный случай, когда
At = Вх = Dx = В = 0.
В этом случае вместо A0') будем иметь
в[ ю\\ . 2В'
/ В. 2D,\ 2B
Rr = {2А[г + тх - -pjlj cos6 + — cos9,
A0')
что по подстановке в равенства
еп =?-(#г — овв) = - [A - з0) /?г - а0в,],
2A +а> „ 1 _,
(л)
493
дает для определения компонентов перемещения, соответствую-
соответствующих плоскому напряженному состоянию, уравнения
да 1
+
2D'
1
Отсюда видно, что напряженному состоянию A0"j соответствуют
перемещения
+ B[[(l — 2o0)lnrcos9 +
+ 2 A — з0) Fsin9 — 7
+ 2В' [A - з0) In r cos в + ^—^ (9 sin 9 - cos 9)]} ,
*) = 2^{^; E- 4з0) г2 sin9 + В[[Л -2зо)A -In r) sin 9 +
(н)
+ 2A — о0)9 cos 9 + -~ sin 9 —
— 2В' [A — з0) In r sin 9 + о0 sin 9 — ^—~- 9 cos 9] 1 .
Полученные \ и -ц будут однозначны лишь в том случае, если
мы положим в (н)
что дает в случае плоского напряженного состояния круго-
кругового кольца вместо A0")
/ , 3 - 2», в[ 2D[\
Rr = [2 А, г - т—&- т--рг) cos 9,
В,
A2)
494
С помощью аналогичных рассуждений можно видеть также,
что у замкнутого кругового кольца постоянные Вх и В
в решении A0) должны быть.также связаны в случае плоского-
напряженного состояния зависимостью
2ao) + fi1B-2ao) = O. (И')
Это дает для замкнутого кругового кольца в случае А[ = В'х =
= Пх = В' = 0 вместо A0')
sin
В решения A2) и A2') входит всего лишь шесть постоянных
интегрирования, как то и должно быть в наиболее общем случае
такой деформации кругового кольца, при которой все компоненты
напряжения являются функциями вида ifi(f) sin 6 -j-1^2 (r) cos 6.
Для части кругового кольца ограничения A1) и A1') отпадают.
Поэтому в случае деформации части кругового кольца можно,
пользоваться зависимостями A0'), * считая в них все восемь
постоянных интегрирования независимыми.
В случае плоской деформации надо в найденных зависимостях
величины Ео и а0 заменить величинами Е и о.
Различные приложения решения, рассмотренного в настоящем
параграфе, будут нами рассмотрены ниже в § 9 и 10.
§ 4. Случай, когда компоненты напряжения являются функциями
вида Д (г) sin (*б + е), где 0 ф k ф 1
Зная на основании сказанного в § 3 главы IX, что общий
интеграл бигармонического уравнения можно представить в форме
«Р = г2ш1 + ш2, (а)
где <и,- — общие интегралы уравнения Лапласа, попробуем разыс-
разыскать щ в виде
^ = fktt(r) Sin (kB+e). (б>
Функция fki{r) должна быть подчинена, очевидно, уравнению.
^и,М) + Ми, (г)-?Л.,(г)=0. (в).
Чтобы решить это уравнение, попробуем принять
Л» = г*. (г)
Это удовлетворит уравнению (в), если мы примем
s= + к.
49S
Таким образом, функции гк и г являются двумя частными
интегралами уравнения (в), и за общий интеграл последнего
можно принять
k k
\ (Д)
Это позволяет полагать, что функция
?=/fe(r)sin(?6+c) (e)
¦будет удовлетворять уравнению
•если мы примем
Л (г) = Akr* + Bk r~k + Ск rk^ + Dk Гк^\ (ж)
Тогда
<р =[Akrk + Bkr-k + Ckrk+* + Dkr-k+2]Sin(kb + i), A3)
я, следовательно
- (ft -2) (ft + 1) Ckrk - (ft - 1) (ft + 2) Dfc/--fe] sin (ft9 + г),
+ (ft + 2) (ft + 1) Cfc / + (ft — 2) (ft — 1) Dk r~k] sin (ft9 + s),
A4)
+ ft (ft + 1) Cfe rk - ft (ft - 1) Dk r~k] cos (ft9 + e). J
Этим напряжениям соответствуют в случае плоского напря-
напряженного состояния перемещения
I = ^ [- ftA& /-1 + ftS,c r-^1 + (- ft + 2 - 4a0) С* гк+1
+ (ft + 2 - 4^0) Dfc r"fe+1] sin (ftG + e),
1
7i = =^ ^Л^-1 + kBk r~k~l + (k + 4 - 4a0) Cfc r*+1 +
+ (ft _ 4 + 4a0) Dfc r-fe+1] cos (ft9 + e).
Таким образом, все частные решения, заключающиеся в A3),
удовлетворяют условиям однозначности перемещений. Сохраняя
в решении A3) все эти независимые частные решения, мы можем
определить постоянные интегрирования, входящие в это реше-
решение, из граничных условий
496
C)
в которых постоянные р,- и qi являются независимыми в том
смысле, что их числовые величины можно задавать все совер-
совершенно произвольно.
Решение, рассмотренное нами только-что, будет для замкну-
замкнутого кольца однозначным, если мы условимся считать числа k
целыми, отличными от нуля и единицы.
В случае плоской деформации надо а0 заменить в полученном
решении величиною а.
Относительно независимости постоянных Ак, Вк, Ск и Dk от е
надо помнить сказанное в предыдущем параграфе: при всяком е
можно все Ак, Вк, Ск и Dk варьировать совершенно произвольно.
Если рассматривается деформация не замкнутого кольца, а
,какой-либо лишь его части, ограниченной двумя значениями 6,
лежащими в пределах 0 < 9 < 2я, требование, чтобы числа И
были числами целыми, отпадает.
Решения, рассмотренные нами только-что, могут, как это
будет видно из сказанного далее, быть использованы как при
рассмотрении общего случая деформации замкнутого кольца,
находящегося под действием произвольной нагрузки, так и при
исследовании некоторых случаев нагрузки клина, ограниченного
двумя дучами 9 = const.
§ 5. Общий интеграл бигармонического уравнения для замкнутого
кругового кольца
Подводя итог всему сказанному в предшествующих трех
параграфах, следует признать, что в самом общем случае дефор-
деформации замкнутого кругового кольца, находящегося в условии
плоского напряженного состояния, функцию Эри можно пред-
представить равенством
С
1r3 + B1r\nr + D1 --] sin 9 - -?—?i Вг rb cos 9
\А[ г3 + h\ r In г + D[ у] cos 9 - -^=|а„_^. r9 sin 9
*^o
V [Ak rk + Bk r~k + Ck rk+* + Dk r~k+i] sin В
k=2
\' [Akrk + К r~k + C'k rk+i + Dkr~k+i] cos kb.
mm
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—32 497
A6)
Для незамкнутого кольца к решениям, даваемым выражением
A6), следует добавить еще решения, даваемые выражением
<р = A0r2 In г + Brb cos Ъ + B'rB sin 6. A6')
Применительно к части кругового кольца можно кроме того
суммирование по k в выражении A6) распространить не только
на целые, но вообще на всевозможные значения величины k.
В случае плоской деформации надо в равенстве A6) вели-
величину а0 заменить величиною а.
Выражения для компонентов напряжения и компонентов пе-
перемещения, соответствующие равенству A6), легко выписыва-
выписываются на основании сказанного в § 2—4. Не приводя здесь их
развернутых выражений, обратимся к рассмотрению различных
частных случаев деформации кругового кольца.
Решение, даваемое формулами A6) и A6'), было получено
Майчелом.
§ 6. Кручение кольца в его собственной плоскости
Едва ли не к самому простому случаю деформации кругового
кольца придем мы, если примем
При этом выборе функции tp единственным отличным от нуля
компонентом напряжений будет
причем, благодаря отличию этого скалывающего напряжения
от нуля, к каждой окружности г = const будет приложен один
и тот же скручивающий момент
Таким образом, при кручении кольца в его собственной
плоскости единственно отличный от нуля компонент напряжения
0Г связан со скручивающим моментом зависимостью
§ 7. Толстая труба под действием равномерного внутреннего
и внешнего давления
В этом случае решение должно быть подчинено следующим
граничным условиям:
Кг = — Ра ПрИ Г =
498
Г=а' \ (а)
—рь при r=b, J
и для щ можно принять на основании сказанного в § 2
<р = В0г2 + С01п г.
Это дает для компонентов напряжения
*\Г 4Dn -f- Oq —Г ,
= 2В0 —
(б)
или, после подчинения решения граничным условиям, (а)
б2 — а2
(б2 — а?) г* '
A8)
к чему иным методом мы уже пришли в главе VI.
§ 8. Чистый изгиб части кругового кольца
Одним из первых решений, полученных в плоской задаче,
было предложенное X. Ф. Головиным решение для чистого из-
изгиба части кругового кольца.
Для получения этого решения нам на
основании сказанного в § 2 достаточно
принять
<р = Д,/-21 п г + Во г2 + Со 1 п г,
(а)
что приводит нас к напряжениям, опре-
определяемым равенствами (г) § 2.
Желая освободить (рис. 174) криволи-
криволинейные кромки исследуемого тела от на-
нагрузки, мы должны подчинить решение граничным условиям
Рис. 174.
= Л0[21п Ъ + 1] + 2В0
C0-i- = 0.
(б)
(в)
Чтобы равнодействующая напряжений 0е , приложенных к
сечениям 6 = const, приводилась к изгибающему моменту М, не-
необходимо подчинить рассматриваемое решение дополнительным
условиям
/бе dr = 0
(г)
499
(Д)
из которых первое, как в этом легко убедиться, является след-
следствием уже выписанных ранее 'условий |flr|r=fl= | /?ri,=6 = 0.
Так как вообще
то условие (д) может быть заменено условием
ь ь ь ь ь
- Ч
С ^2tP A
J dr* ~
а
В рассматриваемом
силу условий (б) и
с
: а
idr=
а
случае
<в> .
дг
= 0.
Поэтому условие (д) равносильно в данном частном случае
условию
|:р| =A0[b2\nb — a2\na] + BQ[b2-a2\+C0[lnb-\na] = M. (e)
а
Определив постоянные Ло, Во и Со из граничных условий (б),
(в) и (е), будем иметь
р —4Л1\
09 =0
a*b*.
где
A9)
B0)
Решение это, полученное X. Ф. Головиным независимо от
Майчела, было опубликовано автором лишь на русском языке
и поэтому было вновь найдено сначала Рибьером, затем Пранд-
тлем и Тимпе.
Оно показывает, что при чистом изгибе кругового кольца
помимо напряжения 0е, которое очевидно, не может быть
в этом случае равно нулю, отличным от нуля является еще на-
напряжение RT, неравенство которого нулю менее очевидно. При-
500
веденное выше решение Головина интересно в том отношении,
что оно позволяет оценить степень точности приближенной
теории изгиба части кругового кольца, предложенной Винкле-
ром и Грасгофом и основанной помимо гипотезы плоских се-
сечений еще на допущении, что напряжение Rr пренебрежимо
мало.
Элементарная теория изгиба части кругового кольца приво-
приводит, как известно, к гиперболическому закону распределения
напряжений 0е по высоте сечения. Решение Головина этого за-
закона, как видно из изложенного выше, не подтверждает. Однако
численная величина поправки, даваемой точным решением Го-
Головина к приближенному значению величины максимального
нормального Напряжения, даваемой теорией Винклера-Грасгофа,
не превышает 1% даже для колец столь большой кривизны как
те, у которых Ъ = За. С уменьшением отношения Ъ :а относи-
относительная величина поправки этой уменьшается. Таким образом
решение Головина не подтверждает в точности теории Винк-
Винклера-Грасгофа, но и не обесценивает последней, как прибли-
приближенной теории, пригодной для практических расчетов стержней,
кривизна которых не слишком велика.
§ 9. Изгиб части кругового кольца силою, приложенною
к свободному концу
X. Ф. Головиным, которым было дано решение для чистого
изгиба части кругового кольца, получено также и решение за-
задачи об изгибе кольца силою, приложенной к свободному концу.
Чтобы получить это решение, воспользуемся формулами (г)
§ 3. Желая освободить криволинейные кромки кольца от на-
нагрузки, мы должны положить
что будет иметь место, если мы подчиним постоянные Аъ Вх
и Dx условиям
2А* + ?—^ = 0,1
В ID (б)
Если мы в дополнение к (б) положим еще в решении (г) § 3
е = 0, то будем иметь при 9 = 0
ее=о,
и надлежащим выбором значения той постоянной интегрирова-
интегрирования, которая является единственной, пока еще не найденной,
можно будет заставить интеграл
501
принять заданное значение Р. Тогда рассматриваемая нами часть
кругового кольца (рис. 175) окажется загруженной силой Р,
приложенной к сечению 9 = 0 и направленной к центру кольца.
Определив постоянные интегри-
Р рования А1г Вг и Сг из граничных
е"° условий (б) и (в), будем иметь
а2
а2 + б2
sin6>
Рис. 175.
где
B1)
B2)
Числовые подсчеты показывают, что полученное только-что
решение довольно хорошо подтверждает элементарную теорию
изгиба кривых брусьев, данную Винклером и Грасгофом, хотя
и приводит к результату, несколько иному, чем эта последняя.
Приняв в решении (г) § 3.
¦к
? = ~2
и определив постоянные Alt Вх и Dx из уравнений (б) и условия
ь
' 991 dr = 0, (г)
9 '9=0 v
а
нетрудно получить
г—с —А
в. =
-!?]«»., B3)
где попрежнему S определяется фор- Рис- 176.
мулой B2).
Это напряженное состояние относится к нагрузке рассмат-
рассматриваемой части кольца, изображенной на рис. 176. Плечо с силы
Р, вызывающей изгиб, определяется в рассматриваемом решении
из условия
ь
rdr, (д)
1=0
причем, как в том легко убедиться путем вычисления соответ-
соответствующих квадратур,
пЬ{Ъ — а)
С —
! ГF2 — а2
- (а» + б2) In —
502
Рассматриваемое решение X. Ф. Головина, как и приведенное
выше его решение, относящееся к чистому изгибу части кру-
кругового кольца, позволяет определить соответствующие данному
напряженному состоянию кольца перемещения его отдельных
точек. Подробные подсчеты показывают, что если только высота
кольца b — а достаточно мала по сравнению с внутренним ради-
радиусом кольца, а длина периметра кольца достаточно велика, то
упругая линия кольца может быть с достаточной точностью най-
найдена с помощью элементарной теории изгиба кривых брусьев.
Погрешность последней всегда можно оценить с помощью реше-
решения, изложенного выше.
§ 10. Действие силы, приложенной к точке внутри неограниченной
плоскости
Допустим, что в безграничной плоскости сделан малый круг-
круглый вырез, ограниченный окружностью г = а, и что к этому
вырезу приложены нормальные и скалывающие напряжения,
равнодействующей которых явля-
является сила Р, направленная вдоль
оси 6 = 0 (рис. 177). По сказан-
сказанному в § 3 для учета действия
такой нагрузки необходимо удер-
удержать в решении § 3 член, в ко-
который входит множителем вели-
величина rOsinO, а так как, удержав
в решении один лишь этот член,
мы не получаем для ^ и т] ре-
решения однозначного, то для по-
получения интересующего нас ре-
решения необходимо удержать по крайней мере все те члены ра-
равенства A6) § 5, в которые входит множителем коэфициент Вх.
Положив
Рис. 177.
r In r cos 6 —т—
* = *[
мы [см. формулы A1) и A2) § 3] получим для напряжений
(а)
в'.
(б)
5 03
для перемещений же
^Я; [ 1 - 2а0 -
irsini
sin 9.
(в)
На периметре выреза нагрузка будет при этом складываться
из нормальных напряжений
Т—2г0 а
и скалывающих напряжений
(г)
(Д)
Проектируя эту нагрузку на оси 9 = 0 и 9 = -^-, нетрудно ви-
видеть, что равнодействующая усилий, приложенных к поверхности
выреза, имеет составляющую лишь по направлении оси 9 = 0,
причем составляющая эта будет равна Р, если мы положим
jf[| er| r^a sin 9- | RT \r=a cos 9 ] adb = P.
(e)
Подставив сюда \Rr\r=a и |вг'г=а из (г) и (д), получаем для
определения константы Вх уравнение
^ Bi cos2 6 + Bi si 9)db = р'
откуда следует
Подставив (з) в (б), приходим к следующей зависимости между
силой Р и напряжениями, вызываемыми ею в безграничной пла-
пластине, находящейся в состоянии плоского напряженного
состояния
4ic 1 — о„ г
P 1—2зо.1
sin 9.
B5)
504
Под действием этих напряжений упомянутая только-что пла-
пластина получит перемещения
3 —4а0
B6>
При выводе формул B5) и B6) сила Р была отнесена к еди-
единице толщины пластины. Чтобы распространить полученные ре-
результаты на плоское поле, находящееся в состоянии плоской де-
деформации, надо в формулах B5) и B6) заменить величину
на величину з.
Попробуем разобраться в физическом смысле выражений B6).
Для этого подставим сначала з0 из (и) в B6). Как легко видеть,
это позволяет написать для случая плоского напряженного со-
состояния
1 — Р
или, что то же,
20 ,- i-^гг Ш г | sin <
где
Перемещения (л) не зависят от г и во всех точках исследу-
исследуемой области направлены перпендикулярно к радиусу-вектору,
соединяющему данную точку с началом координат. Если бы у
тела были только эти перемещения, то все его точки, лежащие
на любой окружности, имеющей своим центром начало коорди-
координат, лишь скользили бы вдоль этих окружностей, не покидая их.
При этом перемещения всякой точки по направлению касатель-
касательной к соответствующей окружности были бы равны проекции на
направление этого перемещения некоторого постоянного отрезка
Р 1 +а
2G 4п '
направленного вдоль линии действия силы Р.
50S
Чтобы разобраться в характере перемещений ?2 и -ц2, спро-
спроектируем соответствующее им суммарное перемещение на оси
ох и оу. Очевидно,
р о -
и = E2cos6 — ifja sin в = — 2q
v = — ?а sin 6 — Tj2 cos 6 = 0.
4л ' (н)
Таким образом в этой системе перемещений все точки тела
перемещаются лишь в направлении линии действия силы Р. При
этом все точки, отстоящие от начала координат на одну и ту
же величину, проходят в направлении линии действия силы Р
один и тот же путь, пропорциональный логарифму расстояния
данной точки от начала координат.
"Общую картину перемещений, имеющих место у тела, можно
себе представить так: все точки тела, лежащие на какой-либо
окружности, имеющей центром начало координат, получают
вместе с каждой такой окружностью переносное движение, пропор-
пропорциональное In г в направлении линии действия силы Р и, кроме
того, перемещаются по касательным к этим окружностям, при-
причем упомянутое только-что относительное по отношению к этим
окружностям перемещение пропорционально синусу угла 6 и не
зависит от г.
При том закреплении координатных осей, которое соответ-
соответствует формулам (л), (м) и (н), ни одна точка оси 6 = 0, совпа-
совпадающей с линией действия силы Р, не имеет перемещений, пер-
перпендикулярных к этой оси; из отдельных же окружностей, кон-
концентрических с началом координат, перемещений в направлении
оси 6=0 или, что то же, оси х, не имеет та, радиус которой
равен единице. Прибавив к перемещениям, определяемым фор-
формулами (л), (м) и (н) соответствующее поступательное переме-
перемещение вдоль оси х всей исследуемой области, можно закре-
закрепить на месте центр любой из окружностей, концентрических
с началом координат. В частности неподвижным останется центр
окружности радиуса А, если мы прибавим к перемещениям,
определяемым функциями (л;, (м) и (ну, перемещение
Р 3 — а, . , »
UlnA (°>
Тогда на основании первой из формул (н) будем иметь
Р 3 — с,
и перемещение центра выреза, к которому приложена сила Р,
будет
Формула (р) показывает, что перемещение центра того выреза,
на который действует сила Р, увеличивается беспредельно как
506
при а конечном и А бесконечно большом, так и при А конечном,
но а бесконечно малом.
Формулы B6') и дальнейшие относятся в этом параграфе, как
отмечено было выше, к случаю плоского напряженного со-
состояния. В случае плоской деформации в них надо а за-
заменить на
1 1 - а •
Решение, изложенное в настоящем параграфе, было получено
Майчелом довольно давно. Несмотря на то, что оно приведено
было Лявом еще во втором издании его курса математической
теории упругости, некоторые ложные решения, которым соответ-
соответствуют перемещения неоднозначные, проникли в русскую тех-
техническую литературу последних лет. В частности такие решения
можно найти в соответствующем месте Курса теории упругости
С. П. Тимошенко изд. 1914 г., в Курсе теории упругости проф.
М. М. Филоненко-Бородича и в статье Ю. А. Шиманского, по-
помещенной в бюллетене НТК УВМС, № 2 1929 г.
§ 11. Влияние круглого отверстия на напряжения в плоском
равномерно растянутом бесконечном поле
Представим себе бесконечную плоскость, равномерно растя-
растянутую в направлении оси ох. В такой пластине
Хх = const = p (а)
есть единственный компонент напряжения, отличный от нуля.
Представим себе, что в этой плоскости сделан круглый вырез
радиуса а с центром в начале координат. Поставим себе целью
разыскать изменение, вносимые этим вырезом в напряженное со-
состояние исследуемой области.
Если бы в исследуемой плоскости выреза не было, то во всех
ее точках действовали бы напряжения
Rr = Хх cos2 6 = ~ р 1 + cos 26),
е9 = Хх sin26 = 1р A - cos 29), [ (б)
вг = -X,sin6cos6 = --!/>sin26. ]
В частности поверхность выреза была бы при этом загружена
напряжениями
#r = 4-p(l
1 \ (в)
ег=— у/7 sin 26 I
Это напряженное состояние назовем напряженным состоянием /.
Желая снять с поверхности выреза усилия (в), мы должны
приложить к ней напряжения, равные и противоположные этим
507
усилиям, т. е. напряжения
, = * р sin 28,
(г)
не изменяя, однако, нагрузки исследуемой области в бесконеч-
бесконечности. Нам нужно, следовательно, разыскать такое напряженное
состояние (назовем его напряженным состоянием //), которое бы
удовлетворяло граничным условиям
= — 2"РA + cos 26), при г = а,
~/>sin26,
= вг = 0, приг=оо.
(Д)
Тогда, сложив напряжения, соответствующие нагрузкам / и //,
мы пришли бы к напряженному состоянию, которое имеет место
в безграничном поле, ослабленном вырезом исследуемой формы.
Нагрузку кольцевого слоя, определяемую граничными усло-
условиями (д), можно рассматривать как совокупность двух нагрузок:
1) нагрузки
Яг= — -кр, при г= а, |
0Г = О, " . - [
Rr = вг = 0, при г = со, )
2) нагрузки, определяемой тем, что
(е)
Rr = — -j p cos 26,
вг = у/? sin 29,
Rr = er = о,
при г= а,
при г = оо.
(ж)
Напряженное состояние, вызываемое в исследуемом теле на-
нагрузкой (е), назовем напряженным состоянием Па. Разыскать его
можно с помощью зависимостей § 7, положив в последних
Ь = оо,
C)
508
чему [см. формулы A8)] соответствует
D _ ! я2
"Г — ~2 Р ,-2 '
R* = 9Г = 0. |
Напряженное состойние, соответствующее нагрузке (ж), назо-
назовем напряженным состоянием 116. Чтобы разыскать его нам,
надо обратиться к тем членам общего решения для <р [см. фор-
формулы A6) § 5], которые заключают в себе множитель cos 26.
Исследуем поэтому решение, соответствующее случаю, когда
<? = [а; г* + в; гг + с; г* + d;] cos 26. (Н)
Напряжения, соответствующие в этом решении константам А^
и С,, не стремятся при г = со к нулю. Поэтому напряженному со-
состоянию Нб-должно соответствовать
* = [B'2r~2 +D;]cos26. (к)
В этом напряженном состоянии, следовательно, [см. фор-
формулы A4) § 4] должно быть
#, = — [6 Вг r~4 + 4D; r~2] cos 26,
69 = 6 В'2 Г* cos 29,
#ej= - [6 S2' r~4 - 2D; r~2j sin 26.
(л)
Мы подчиним1[ полученное только-что решение граничным
условиям (ж), положив
Л
)
Тогда будем иметь вместо (л)
Складывая напряжения, соответствующие напряженным состоя-
состояниям /, Па и //б [см. формулы (б), (и) и (н)], видим, что в рас-
509
сматриваемом нами плоском поле, ослабленном круглым вы-
вырезом,
Де = - -j p (l - 3-^- + 2 ~)
sin 26.
B7)
Решение это было найдено Киршем.
Исследуя его, видим, что при всяком заданном г напряжения
©е достигают своего максимума там, где
вательно,
+ -^ и где, следо-
следо(о)
а.)
о;
Рис. 178.
Н MlM t f
л
1 IT
Напряжения, определяемые формулою (о), быстро убывают по
мере увеличения г (рис. 178, а) и достигают граничного максимума
при наименьшем значении г, т. е. при г = а. В точках г = а,
= ±1
(п)
График рис. 1786, дает наглядное представление о распреде-
распределении напряжений 0в по ширине диаметрального сечения, пер-
перпендикулярного направлению растяжения поля. В диаметральном
сечении, совпадающем с направлением растяжения
бе =
(Р)
510
сматриваемом нами плоском поле, ослабленном круглым вы-
вырезом,
Де = - -j p (l - 3-^- + 2 ~)
sin 26.
B7)
Решение это было найдено Киршем.
Исследуя его, видим, что при всяком заданном г напряжения
©е достигают своего максимума там, где
вательно,
+ -^ и где, следо-
следо(о)
а.)
о;
Рис. 178.
Н MlM t f
л
1 IT
Напряжения, определяемые формулою (о), быстро убывают по
мере увеличения г (рис. 178, а) и достигают граничного максимума
при наименьшем значении г, т. е. при г = а. В точках г = а,
= ±1
(п)
График рис. 1786, дает наглядное представление о распреде-
распределении напряжений 0в по ширине диаметрального сечения, пер-
перпендикулярного направлению растяжения поля. В диаметральном
сечении, совпадающем с направлением растяжения
бе =
(Р)
510
также убывают с увеличением г, достигая своего максимума
в9 =—р
при г= а.
Как видно из всего изложенного, влияние круглого отверстия
на напряжения в безграничном поле, ослабленном круглым выре-
вырезом, носит резко выраженный местный характер, причем макси-
максимальное местное напряжение у поверхности выреза в три раза
превышает среднее напряжение во всем поле.
Подсчитав с помощью формул B7) напряжения, соответству-
соответствующие растяжению в каком-либо определенном направлении, можно
путем суммирования напряжений, вызываемых растяжением тела
в разных направлениях, подсчитать местные напряжения возле
круглого выреза во всех тех случаях, когда в бесконечности тело
напряжено равномерно.
В частности если в бесконечности исследуемое тело на-
находится в состоянии чистого сдвига и, следовательно, Хх =
= — Yv = р при г = со, то, как видно из B7)
cos 29 ]-
или, что то же,
в9 =-р (l+3-^)cos26. B8)
В этом случае на поверхности выреза напряжения 0е меня-
меняются от •
09 = - - 4 р при 9 = 0 и 6 == тт. (с)
до
99 = + 4р при 6 = ± -|- . (т)
Если в бесконечности поле растянуто в обоих на-
направлениях одинаково, т. е., если
Xx=Yy=p, при г=оо,
то согласно B7)
или после упрощения
е9 = P(i+-?-). B9)
В этом случае
I* U = 2р. (у)
311
§ 12. Круглое кольцо, сжимаемое двумя взаимно противоположными
усилиями
Решение § 5 позволяет исследовать напряженное состояние
в кольце, любым образом нагруженном. Рассмотрим в качестве
примера кольцо, загруженное, как на рис. 179.
В этом случае решение должно быть подчинено следующим
граничным условиям:
/?г = 0, при r = as
0Г = 0, при г = а,
ег = 0, при г=Ъ,
(a)
(б)
(в)
|
, = — 2^-, При! тс — а< 6 <тг +
I г=Ь,
|а < 6 < к — а,
к -f а <
(Г)
Разложив нагрузку на внешнем крае кольца в ряд Фурье,
можно видеть, что в рассматри-
рассматриваемом случае граничные усло-
условия (г) можно переписать так:
0,2,4,6..
sin?a
ka
COS,
при г = Ъ.
(Д)
Мы подчиним решение 16 § 5
вышеприведенным граничным
условиям, если положим в нем
отличными от нуля только вели-
величины Во, Со и Ak, В'к, C'k, D'k, со-
соответствующие четным значе-
значениям параметра k, и свяжем эти
величины между собой зависи-
зависимостями
2 Во + Со J- = 0,
а*—
512
l)A'k Ьк-2 - к (к + 1) В'к
' — (k+l)(k~2)C'kb*-
P sink a
n ka
k(k- \)A'k a*- k (k + 1) B'k a~*-2+
-k(k—l)D»a-k = O,
ak-
~k(k-l)D'k b~kk=Q.
Определив из этих уравнений все неизвестные постоянные
интегрирования, входящие в равенство
2, 4, 6, 8..
? = В0г2 + Со In г + У (A'k rk+ B'kr~k + C'krk+2+D'kr~ k +2) cos kb,
можно затем разыскать напряжения Rr, 0е и вг с помощью за-
зависимостей (8) § 2 и A4) § 4.
§ 13. Сжатие клина силою, приложенною к его вершине
Выше в § 3 было показано, что положив
ср = Brb sin 6, (а)
мы приходим к напряженному состоянию,
в котором
=0,
(б)
Это напряженное состояние отличается
тем, что все плоскости 6 = const при нем
от напряжений свободны. Оно должно
иметь место в частности в клине (рис. 180),
сжатом силою Р, приложенною к его вер-
вершине/если мы распределим возле вершины
клина напряжения Rr по поверхности ци-
цилиндра малого радиуса а в соответствии
с этим решением.
Пусть 2я есть центральный угол рас-
рассматриваемого клина. Чтобы каждая единица толщины клина
была загружена в направлении оси 6 = 0 силой Р, следует по-
положить
= Р. (в)
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—33 513
Определив постоянную В из этого условия, получим
Р
26= -
я +
sin 2a
Это позволяет принять, что при нагрузке клина, изображен-
изображенного на рис. 180, в нем возникают напряжения
Rr=-
е„ =о,
R» =0.
a + —77- sin 2a
— cos1
C0)
Решение это может почитаться точным, если на цилиндриче-
цилиндрической поверхности г=а, где к Клину приложена сила Р, а- равно
и возле основания клина напряжения Rr распределены по закону,
соответствующему этому решению.
§ 14. Изгиб клина силою, приложенною к его вершине
Заменив в решении предыдущего параграфа cos 6 на |sin 6,
что, как то было показано в § 3, не нарушает условий, которым
подчинена функция да, будем иметь
(а)
Нетрудно видеть, что если напря-
напряжения определяются формулами (а),
то равнодействующая напряжений, при-
приложенных к цилиндрической поверх-
поверхности радиуса г = const, не имеет со-
составляющей в направлении оси 6 = 0, в
направлении же, перпендикулярном этой
оси, ее составляющая будет равна Р,
если мы положим (рис. 181)
+«
— f RTr sin 6d6 = p. F)
—ос
Определив постоянную В из этого
условия, будем иметь
25 =
а — -TJ- sin 2а
(В)
514
и, следовательно,
Rr = f j- sin 6,
o,
Решение это удовлетворяет отсутствию нагрузки на гранях
клина 6 = const.
В сечениях г = const в рассматриваемом напряженном состо-
состоянии действуют только напряжения R}. Равнодействующая по-
последних всегда проходит через начало координат. Так как мы
подчинили наше решение условию, что эта равнодействующая
равна Р и направлена вдоль луча 6= -^ , то следует признать,
что полученное решение относится к изгибу клина силой, при-
приложенной к его вершине. Решение это, равно как и решение
предыдущего параграфа, получено Майчелом.
§ 15. Изгиб клина парою, приложенною к его вершине
Мы видели выше в § 3, что положив
? = А 6, (а)
мы приходим к напряженному состоянию, в котором
Rr = ее = о,
(б)
Этому соответствует кручение диска в его собственной пло-
плоскости. Будучи применено к клину, ограниченному плоскостями
0 = + а, решение это не удовлетворяет условию отсутствия
скалывающих напряжений на плоских гранях клина.
Решение, удовлетворяющее при 0 = const условиям
ве =0, |
„ const I (в/
можно, как следует из § 4, получить, положив
Поэтому приняв
ср = Л6 + D2 sin 2 6, (г)
мы должны, следовательно, получить решение, которое можно
будет подчинить на кромках клина 6 = const условию отсутствия
как нормальных, так и скалывающих напряжений.
515
Действительно, если ср определяется равенством (г), то, как
то было показано в § 2 и 4,
И ПОЛОЖИВ
/?r = — 4D2r"sin26,
ве =0,
Яв = -jS- + 2D2r-2cos26,
А — —Д" cos 2а,
(Д)
где К — некоторая константа, мы будем иметь
==А [cos 26 — cos2a].
(е;
При этом, очевидно, напряжение /?е бyдet обращаться в нуль на
гранях клина б = ± а,' как то нам и требуется, если эти грани
от нагрузки освобождены.
Нетрудно видеть, что полученное решение удовлетворяет
условиям равенства нулю главного вектора усилий, действующих
в любом сечении клина поверхностью г = const
/ [Rr cos 6 - er sin 6] rdb =0,
—a
f [Rr sin 6 + er cos 6] r db=0.
(ж)
Главный момент этих усилий будет равен заданной величине
М, если мы подберем в (е) постоянную К так, чтобы было
J rR/ db = К [sin 2a — 2a cos 2a] = M.
(з)
Определив постоянную К из этого уравнения, будем иметь
2 М sin 28
"г г2 (sin 2а — 2а cos 2a)"'
06 =0,
М (cos 29 — cos 2а)
Яе =
г2 (sin 2a — 2a cos 2a)'
C2)
чем и определяются напряжения, возникающие в клине под
действием изгибающего момента, приложенного к его вершине
516
(рис. 182). Решение это, предложенное Инглисом, можно считать
точным решением поставленной задачи, если к основанию и вер-
вершине клина напряжения приложены так именно, как то дают
нам формулы C2). Если возле вершины
клина напряжения распределены как-
либо иначе, решение это можно по прин-
принципу Сен-Венана применить лишь к час-
частям клина, достаточно удаленным от
его вершины.
§ 16. Клин, одна грань которого
загружена равномерно распределенными
нормальными к ней усилиями
Пусть (рис. 183) та грань клина, где
в = а, от внешней нагрузки свободна,
грань же, где 9 =0, загружена равно-
равномерно распределенной нормальной на-
нагрузкой
0е =-р. (а) •
Чтобы получить из общего решения § 5 решение, удовлетво-
удовлетворяющее граничным условиям
ве = Rd = 0, при 6 = а, »
0е =— р при 6 = 0, (б)
Ro = 0, при 6 = 0, J
необходимо удержать в этом общем решении
лишь все те члены, которые для 0е и /?е дают
выражения, не зависящие от г.
Таковыми являются члены
B0r2; A,r2sin26 и Air* cos 29.
Кроме того уравнению
V2V2<f = 0
удовлетворяет из таких членов еще выражение
ср = Dr2 6. (в)
Присваивая постоянным интегрирования иные обозначения,
попробуем принять
<р = Ar2 + Br2 sin 26 + Cr2 cos 26 + Dr2 9. (г)
Это дает для компонентов напряжения
—>
t
\
ho
Рис;
\
V
\
8
183.
+ 25sin28 + 2Сcos20-f-2?>9,
25 cos 29+ 2С sin 29.
517
Подчинив это решение граничным условиям (б), будем иметь
j-i / sin a .
+ Р
cos а.
~1Г
\ C3)
где
К— а COS а — sin а.
Решение это было получено Морисом Леви.
§ 17. Клин под действием гидростатического давления
C4)
Пусть клин, ограниченный плоскостями 6 = 0 и 6 = а, загру-
загружен (рис. 184) так, что
= 0, при 9 = 0 и 6 = а,
= 0, , 9 = а,
= — тг, „ 6 = 0.
(а)
Попробуем найти для этого случая на-
нагрузки клина решение, сохраняя в формуле
A6) § 5 все те члены, которые пропорцио-
пропорциональны г3. Несколько изменяя обозначения
постоянных интегрирования, примем
<р = Ar3 cos 6 + Br3 sin 6 + Cr> cos 36 + Dr3 sin 36.
Тогда для компонентов напряжения будем иметь
Rr — 2Ar cos 6 -f- 2Br sin 6 — 6Cr cos 36 4- 6Dr sin 36,
©в = 6Ar cos 6 4. 6Br sin 6 4. QCr cos 36 4- 6Dr sin 36,
Ro = 2Ar sin 6 — 2Br cos 6 + QCr sin 36 — 6Dr cos 36,
что удовлетворит граничным условиям (а), если мы примем
6 А + 6С = — т,
— 2S —6D = 0,
A cos а 4- В sin а + С cos За + D sin За = 0,
A sin а — 5 cos а 4- ЗС sin За — 3D cos За = 0.
518
(б)
(в)
Подставив в эти уравнения числовую величину угла а, можно
путем численного решения этих уравнений разыскать величины
А, В, С и D и, подставив эти величины в равенства (д), полу-
получить выражения для Rr, ве и Rd при заданном частном значе-
значении угла а.
Подобным образом можно решить задачу вообще во всех
случаях, когда напряжения на гранях клина заданы в виде
алгебраических целых полиномов от г.
§ 18. Давление на полуплоскость
Частным случаем задачи, рассмотренной в § 13, является
задача о напряжениях, вызываемых в бесконечной полупло-
полуплоскости сосредоточенной силой Р, приложенной к какой-либо
точке прямой, ограничивающей эту полуплоскость. Клин, рас-
рассмотренный нами в § 13, превращается в такую полуплоскость
(рис. 185), если мы в решении § 13 примем а = -^.
х
Рис. 185.
При этом частном значении величины а решение § 13 обра-
обращается в
е„ = #9 = о,
C5)
чему соответствуют в случае плоского напряженного состояния
перемещения [см. формулы (н) § 3]
2Р
- а0) In г cos 6 — 1—^-(Ь sin 6 - cos в)],
- а0) in rsin е + aosin e-
е cos е],
C6)
519
обращающиеся при г = 0 в бесконечность, если только сила Р
не бесконечно мала или если вокруг начала координат не сде-
сделано в полуплоскости выреза (рис. 186) конечного, хотя бы
и малого радиуса, к каковому вырезу и приложена сила Р
в виде напряжений Rr, распределенных по поверхности этого
выреза в соответствии с формулами C5).
Если такого выреза вокруг начала координат в исследуемой
полуплоскости не сделано, то решение C5) — C6) может слу-
служить не для учета влияния силы конечной величины, сосредо-
сосредоточенной в точке г = 0, а лишь для учета влияния отдельных
бесконечно малых усилий, из которых слагается непрерывная
нагрузка этой полуплоскости. Суммирование влияний таких
отдельных бесконечно малых усилий облегчается, если фор-
формулы C5) преобразовать к декартовой системе координат.
^ Если это преобразование выполнить с помощью общего
приема преобразования компонентов напряжения к новым осям,
то окажется, что
Хх = Rr cos2 6 = — -^ 1 cos3 6,
Yy = Rr sin2 6 = — -=?- у sin2 6 cos 6,
=/?r sine cose =——-sine cos2 e
It Г
или, что то же,
2P 1
Xx= — — cos4 6,
Yg = — — — sin2 6 cos2 6, } C7)
xy = — ~^ sine cos3 e.
Если мы представим себе, что исследуемая полуплоскость
загружена нагрузкой р(у), распределенной по некоторому опре-
определенному закону вдоль прямой х = 0, то влияние каждого
отдельного элемента этой нагрузки р{у) можно будет учесть
с помощью формул C7), если в последних принять Р= p(y)dy.
Влияние всей рассматриваемой распределенной нагрузки можно
поэтому учесть с помощью выражений (рис. 187)
C8)
где интегрирование должно быть распространено на весь загру-
загруженный участок оси у.
520
Памятуя о сделанных выше оговорках, при которых реше-
решение C5) можно считать точным, остановимся несколько по-
подробнее на рассмотрении напряженного состояния, даваемого
этими формулами. Так как в напряженном состоянии этом Rr
является единственным компонентом напряжения, отличным от
Рис. 187.
нуля, то при действии на полуплоскость отдельной сосредото-
сосредоточенной силы, приложенной в начале координат, равнонапряжен-
ными будут те точки полуплоскости, где
Rr = const = — А.
(а)
Уравнение геометрических мест таких точек выписывается
в силу C5) поэтому так:
2Я 1 ,
— yCOSl
= — А
или, что то же,
г»"-4?
Здесь А величина напряжения Rr, соответствующая данному
геометрическому месту равнонапряженных точек.
Нетрудно видеть, что уравнением
«?1 1 (в)
определяется окружность радиуса -у, проходящая через начала
координат с центром на оси ох. Несколько таких окружностей
изображено на рис. 188. Как видно из сопоставления формулы
(а) с формулами (б) и (в), между диа1метром каждой такой
окружности и величиною напряжения RT, соответствующего
этой окружности, существует зависимость
2Р
cos 9
C9)
521
доказывающая, что чем меньше диаметр окружности, опреде-
определяемой уравнением C9), тем
больше напряжен на этой окруж-
окружности материал.
Решение настоящего пара-
параграфа, равно как и соответст-
соответствующие этому решению окруж-
окружности равнонапря-женных точек,
было найдено Фламаном.
Формулы C8), вытекающие из
решения Фламана, позволяют
исследовать напряженное со-
состояние полуплоскости, загру-
загруженной на границе произвольной
нормальной нагрузкой. Исходя
из формул § 14, можно, следуя
Буссинеку, получить аналогич-
аналогичное решение для полуплоскости,
загруженной на своем краю нагрузкой, любым образом направ-
направленной.
§ 19. Сжатие круглого диска двумя взаимно уравновешиваемыми
силами
Решение предыдущего параграфа может быть применено
к исследованию напряжений, возникающих в круг'лом диске при
сжатии его несколькими взаимно
уравновешиваемыми сосредоточенны-
сосредоточенными усилиями. Задача эта, как то бы-
было отмечено выше в § 12, допускает
решение в форме тригонометриче-
тригонометрических рядов. Применение к этой за-
задаче решения § 18 позволяет по-
получить решение в замкнутой
форме.
Ниже в § 21 мы рассмотрим общий
случай, когда на диск действует про-
произвольная система взаимно уравно-
уравновешенных усилий, здесь же займем-
займемся пока простейшим случаем сжатия
диска двумя силами.
Допустим (рис. 189), что А есть
полюс, из которого исходит радиаль-
радиальное сжатие, вызывающее в исследуемом теле 'напряжения
— -j- cos blt
= Ri% = о.
(a)
.522
а В есть другой такой же полюс, из которого в противополож-
противоположном направлении распространяются напряжения
2Р 1
©26,= Яй, = 0.
(б)
Допустим, что обе только-что упомянутые системы 'напря-
'напряжений существуют в теле одновременно и что на их совокуп-
совокупность налагается равномерное всестороннее растяжение, в ко-
котором
#lri = ©18i = #2га ~ ^2Га — Р' (В)
Посмотрим, какие напряжения получаются в этом сложном
напряженном состоянии в точке С на окружности ABC, прохо-
проходящей через оба полюса А и В, упомянутые выше, и произ-
произвольно выбранную точку С.
Пусть О — центр только-что упомянутой окружности, г — ее
радиус, а 6 — полярная угловая координата точки С.
Если бы в теле имели место лишь напряжения, опреде-
определяемые формулами (а), то в точке С напряжения Rr, ©е и 9Г,
соответствующие полярной системе координат гиб, можно
было бы вычислить по формулам
R'r = cos 6X cos2ax,
2P 1
©e = cos 6X sin2 a.1 ,
2P 1
©r = • cos 6, sin ax cos a
(г)
Если бы в исследуемом теле имели место только напряжен-
напряженные системы (б), то Rr, бе и 0Г в точке С определялись бы за-
зависимостями
2Р 1 *
Rr= - — cos62cos2a2)
Tt /о
©е = — cos 62 sin2 a, ,
IP 1
©r = cos 62 sin a2 cos a2.
(Д)
Наконец, если бы исследуемое тело находилось под дей-
действием одного лишь всестороннего растяжения р, в точке С,
как и во всех прочих точках тела, было бы
Rr = р,
©в = А \
©г=0.)
(e)
523
При одновременном действии всех трех только-что рассмот-
рассмотренных нагрузок должно, очевидно, быть
2РГ 1 11
Rr = P [— cos 6j cos2 ai -f — cos 62 cos2 a2j ,
ее =p—t[t[ cos 6i sin2 ai + 77cos 6з si 4 ¦
2РГ 1 11
вг = —cos 6j sin aicosaj — --cos 62 sin a2 cos я2 .
(ж)
Из рис. 189, однако, видно, что
«г + % = ^,
«2 + е1 = 4
и что, следовательно,
cos ax = sin 62; COS a2 =
sin a.! = cos 62; sin a2
в то время как
гг = D cos aj = D sin 92,
a2 = sin ех; I
а2 = cos 61, (
"I
г2 = D cos Og = D sin 6
ружности ABC.
следует
op i ^
f = p~7^- [cos9Xsin62 +sine,cosG2] = j
(a)
(и)
где D — диаметр окружности AflC.
Из (ж), (з) н (н) следует
- » 2P J_
2P
sin ea
cos 6a cos3 6t
sin 6,
= p — ~ -5- ctg OlCtg 92 sin (9, + 62),
8r= — ?f-L [cos Oj cosO, — cos 62 cos 6J
= 0.
D0)
Таким образом, окружность круга ABC свободна от скалы-
скалывающих напряжений вг и может быть принята за одну из изостат
рассматриваемого напряженного состояния, а так как точка С
выбрана нами совершенно произвольно и окружность ABC
является произвольной окружностью, проходящей через оба
полюса рассматриваемого напряженного состояния, то прихо-
приходится признать, что всякая окружность, проходящая через два
полюса рассматриваемого напряженного состояния, является
одной из изостат этого напряженного состояния.
Вспомнив сказанное в § 13 главы VII о биполярной системе
координат, можно констатировать, следовательно, что в рас-
рассматриваемом нами напряженном состояние изостатами являются
524
окружности 9Л -f- ва = const и взаимно ортогональные с ними
окружности р2: рх = const, соответствующие биполярной системе
координаты, фокусы которой совмещены с точками А и В.
Обращаясь к рассмотрению величины напряжения, даваемого
первой из формул D0), видим, что на всякой отдельной окруж-
окружности ABC, проходящей через точки А та. В, величина sin (^ -f- 62),
а следовательно, и величина
являются при заданном Р константами. Таким образом, напря-
напряжение Rr на всей окружности ABC за исключением точек А
и В имеет одну и ту же величину, так что, распорядившись
должным образом величиною всестороннего растяжения р, мы
можем одну из окружностей, проходящих через точки А и В,
освободить на всем протяжении этой окружности, кроме то-
точек А и В, не только от скалывающих напряжений, от кото-
которых всякая такая окружность вообще свободна, но и от нор-
нормальных напряжений Rr.
Поэтому при надлежащем выборе постоянной р напряженное
состояние D0) становится относящимся действительно к случаю
сжатия круглого диска ABC двумя взаимно уравновешивающи-
уравновешивающимися силами Р, приложенными к его периметру в точках А
и В. То значение величины р, при которой окружность ABC
оказывается во всех своих точках кроме А и В свободной от
нагрузки, определяется формулою
§ 20. Дальнейшее исследование напряженного состояния,
найденного в предыдущем параграфе
В предыдущем параграфе уже было отмечено, что изостаты
напряженного состояния, вызы-
вызываемого у круглого диска сжа-
сжатием его двумя взаимно уравно-
уравновешивающимися усилиями, при-
приложенными к двум любым точ-
точкам его периметра, совпадают
(рис. 190) с окружностями р2 :р1=
= const и Qj -f- в2 = const бипо-
биполярной системы координат,
имеющей своими полюсами точ-
точки приложения этих двух сил.
Для этого напряженного со-
состояния, однако, легко находятся
аналитически не только изо-
изостаты, т. е. линии во всех своих Рис. 190.
точках касательные к одному
из главных напряжений в данной точке, но и так называемые
525
изохромы, т. е. линии равной величины наибольшего скалы-
скалывающего напряжения, и изопахики, т. е. линии, на каждой
из которых сумма обоих главных напряжений постоянна.
Мы получим для рассматриваемого напряженного состоя-
состояния уравнение его из ох ром, приравняв разность напряжений
Rr—ве постоянной величине. Очевидно, уравнения эти будут
иметь вид
ОР 1
R' - 0е = Т 7Г tct§6* ct§ 6* - ^ sln & + ^ *=
2Р
или, что то же,
D Sin t, sin в2
4-60 008F1+ 82)
— к я
D sin b,sin f)a ~k' D1)
Уравнение изопахик получается, если мы приравняем
сумму напряжений Rr+&e постоянной величине, и имеет в рас-
рассматриваемом случае вид
?> 4- й — 2 2Psin Fг + 62) cos (Вг — 62) _ 2 _ Р_
где
О о!« /fi I ft \ «ло /ft _ fi \
D2)
^ 2 sin F, + 63) cos
1 sin 0, Sin й2 '
и является константой для каждой изопахики.
Чтобы представить себе кривые D1) и D2) более наглядно,
полезно заменить в их уравнениях координаты 6^ 62 и D декар-
декартовыми координатны-
координатными точками.
Совместив (рис. 191)
начало координат со
срединой отрезка меж-
между точками приложе-
приложения к диску обеих
сил Р, нетрудно ви-
видеть из чертежа,
а — х '
_ У
а+х
и, следовательно,
а— х
У
2ау
а2 — х2
откуда
sin
sin
4 ау (а2 — х2 — у2)
526
Подставив все это в D1), видим, что изохромами являются
в данном случае кривые
/9 9 9\9 \ A 9 9 ^ / 9 9 9\
(a2 — x-2 — .y2J + 4 a2 jy2 = -?- (a2 — л2 — jr),
где по сказанному выше
r — ^D
D1')
(а)
С помощью аналогичных рассуждений можно уравнение изо-
пахик D2) преобразовать так:
2sinFt
I, — 63) _ sla2bt + sin 2^2 _
_ _
2 (sin pt cos в! + sinfl cos 62) 2Г ^(в —¦«) , у(а+х) "I
или, что то же,
а + х
где
(a-x)\+y*^ (a+x)»+y* 2 '
Ш =
D2')
Как видно из D1'j и D2') изохромами, а равно и изопахикам»
рассматриваемого напряженного состояния являются два семей-
семейства алгебраических кривых четвертого порядка.
Изостэты для V- круглого
диска.сжатого пи диаметру
Рис. 192.
диска.сжвтоголодиэиетру
Рис. 193.
Изоклины для % круглого
диска, сасатого по диаметр/-
Рис. 194.
На рис. 192 для диска, сжатого двумя силами, приложенными!
к концам одного из его диаметров, показан ряд изо с тат. На
рис. 193 для того же диска приведено несколько изо х ром, по-
построенных с помощью уравнений D Г).
На рис. 194 показано несколько изоклин для того же
диска, т. е. кривых, являющихся геометрическими местами тех
точек, где направления главных напряжений одинаковы.
В виде упражнения рекомендуется построить для того же
напряженного состояния несколько изопахик, определяемых
уравнением D2').
Ъ2Т
§ 21. Диск, загруженный по периметру произвольной
совокупностью сосредоточенных сил
Решение, изложенное выше в § 19 и 20, может быть распро-
распространено на случай действия любого числа взаимно уравнове-
уравновешенных сил, приложенных к отдельным точкам круглого диска.
Пусть Pi есть одна из сил, приложенных к окружности диска, а
б!'' и 6s?—угловые координаты произвольной точки окружности
диска, отсчитываемые от линии действия силы Р„ как показано
на рис. 195. Если бы из точки при-
приложения силы Pi распространялось
лишь радиальное сжатие типа (а)
с § 19, то в точке С на.контуре диска
действовали бы, как то было уже
отмечено в § 19, напряжения: нор-
нормальное
ri
и скалывающее
пр j
Рис. 195. @г = — V7« COS б!0 Sin б? COS 6i° (б)
1
или, принимая во внимание, что
r^Dsrf, (в)
где D — диаметр рассматриваемого диска,
+ e(,'4 + sinf e'*>-i
2Pt cos 6f sin
Pt sin
D
D
2Pt cos bf cos 6^
Pt cosF«+ b^
D
-lJ. (г)
Если к диску приложено несколько сил, направленных как
угодно, и каждая из них вызывает в диске напряженное состо-
состояние указанного только-что типа, то в результате их суммар-
суммарного влияния в рассматриваемой точке окружности диска будут
действовать напряжения
(Д)
Но
(е)
так как сумма эта пропорциональна (рис. 196) моменту всех
сил, приложенных к диску, вычисленному относительно центра
528
диска; момент же этот должен быть в случае, если все силы,
действующие на диск, взаимно уравновешены, равен нулю.
Точно так же можно убедиться и в том, что в случае равно-
равновесия всех приложенных к
диску сил, должно быть
(ж)
2 Л cos (С - 9i°) = О,
Рис. 196.
так как сила, нормальная со-
составляющая которой в точ-
точке С есть
Pi sin (bf — bT),
а тангенциальная со-
составляющая
PIcos(9Bi)-9(/))
•есть сила (рнс. 197),
равная н параллель-
параллельная, но противополож-
противоположно направленная силе
Р(, а геометрическая
сумма всех этих снл
равна в случае равно- рис. 197.
весня диска нулю.
Принимая во внимание (е) и (ж), видим, что равенства (д)
эквивалентны равенствам
(з)
Но на контуре круглого диска sin (9^ + Ъ^) есть для всякой
силы Pj, к диску приложенной, величина, не зависящая от положе-
положения точки С (рис. 195). Напряжение Rr на контуре диска, опре-
определяемое равенством (з), есть, следовательно, величина посто-
постоянная. Наложив на совокупность радиальных сжатий, вызывае-
вызываемых в диске действием каждой отдельной силы, равномерное
всестороннее растяжение
(и)
мы освободим, следовательно, весь контур диска, за исключе-
исключением точек приложения сил Р,-, от нагрузки.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—31 529
Напряжения в любой точке диска, загружённого, как на
рис. 198,. рядом сосредоточенных
сил, можно вычислить поэтому пу-
путем суммирования простых ра-
радиальных сжатий, вызываемых в
этой точке каждой отдельной из
сил Pi, и равномерного всесторон-
всестороннего растяжения, определяемого
формулой (и). Величину каждого
из этих сжатий можно определять
при этом по формуле
2Pt 1
Рис. 198. 'п~ * Г, '• W
Su.
Решение это, как и решение § 19, было получено Герцем.
§ 22. Общее решение плоской задачи для части кругового кольца,
а также клина конечных размеров
Мы видели выше, что решение A6) § 5 может быть исполь-
использовано для разыскания напряжений в круговом кольце при про-
произвольной его нагрузке, а также при
решении некоторых частных задач
для клина.
Его можно применить к части
кругового кольца, ограниченной, как
на рис. 199, двумя дугами окружно-
окружностей г = const и двумя радиальными
лучами 9 = const. При этом, однако,
полезно придать параметрам к в фор-
формулах A6) значения, определяемые
формулой
D3)
6=0.-
, 2л
k = -- Я,
Рис. 199.
где л —числа целые. При этих условиях будем вместо A6) § 5
иметь
2п
л=1
D'n
2) sin Ц- п*. D4)
л=1
В развернутых выражениях для компонентов напряжения Rr,
?в и Rb, соответствующих этому выражению для <р, напряжения
эти оказываются [см. равенства A4) § 4] выраженными через
530
тригонометрические ряды вида
где
~
D5)
D6)
и меняется от & = 0 до & = 2гс. Таким образом напряжения Rr,
ве, Rb оказываются при этом разложенными в ряды Фурье общего
вида, коэфициентами которых являются некоторые функции от
г, содержащие каждая четыре независимых постоянных интегри-
интегрирования.
Решение типа A6) позволяет, следовательно, распоряжать-
распоряжаться по произволу напряжениями Rr, 0е и 0Г на кромках
г = const, но не содержит в себе таких постоянных интегрирова-
интегрирования, распоряжаясь которыми мы могли бы менять по произволу
нагрузку на кромках 6 = const. Подчинив на кромках г — const
решение заданным граничным условиям, мы перестаем распола-
располагать какими-либо постоянными интегрирования, с помощью кото-
которых можно было бы варьировать нагрузку на кромках 6 = const.
Решения A6) и D4) поэтому нельзя считать общими реше-
решениями плоской задачи в полярных координатах, как это иногда
делают. Решение A6) в частности является общим лишь для
кругового замкнутого кольца и не может считаться таковым ни
для части кругового кольца, изображенной на рис. 199, ни для
клина, так как оно не содержит в своем составе таких функ-
функций, варьируя которые можно было бы менять по произволу
нагрузку на плоских гранях клина или части кругового кольца.
Чтобы получить решение, позволяющее распоряжаться по
произволу нагрузкой не только на криволинейных, но и на пря-
прямых кромках этого кольца, надо в правой части равенства D4)
удержать помимо реальных значений параметра п, еще соответ-
соответствующим образом подобранные мнимые его значения.
Заметим, что, приняв в формуле
У = 2 (Л* г*+ вк r~k+ Ck rk+2+ Dk r~k+i) cos kb -+
k
+ 2 (A* rk+ B'k r-*+ C'k rk- 2+ D'k r~*+2) sin к 6
k
k мнимым, мы придем к решению вида
<р = ^ [Ат cos imb -\- A'm sin imb +
(а)
+ Cm-i cos {itn - 2) 9 + Cm_2 sin (im - 2) 9] elmlar +
sin
cos im® + +
4- /)m_2 cos (im - 2) 9 + ?)m_2 sin (im — 2, 6] e~iMnr
F)
531
или, что то же,
т Ш Щ I
+ dmsh(m + 2i)B]cos(m\n-j)+ \
} (в)
где
+bmshmQ ( )
+ 2i)b]sin(tn\n^ ,
_ k_
i
суть числа реальные1. Этими реальными числами всегда можно
распорядиться так, чтобы.в полученном только-что ряду <р было
4 х Выражение (в) можно вывести непосредственно из основного диферен-
циального уравнения плоской задачи. Действительно функция
где а — константа, имеющая ту же размерность, что н г, будет удовлетворять
уравнению F) § 1 настоящей главы, если мы подчиним /(в) условию
д2
где через F(b) обозначена величина, связанная с f(H) зависимостью
+ Т 7F + -F Ъ?) И9> Ы J e
т) J=0'
Развертывая уравнение (Р), можно видеть, что оно будет удовлетворено
если мы подчиним функцию F(ti) уравнению
F" (в) + (im — 2J ^(в) = F" (в) — (т + 21) F(в) = 0. (В)
Обозначив производную по в через D, можно равенства (?) и (8) перепи-
перепиь в символической форме так:
Обозначив производную по в
сать в символической форме так:
(В')
Исключая из этих двух равенств функцию F(b), получаем для/F) урав-
уравнение:
(D +m)(D~ m) [D + (т + 2i)] [D-(m + 2/)] /(в) = 0,
частными решениями которого, очевидно, являются функции
gm9; e— тв. e(m + 2r)9. g_(m + 2i)e.
Таким образом за общий интеграл для /(в) можно принимать
\ («)
/(в) = а„Гет* + Ъте-тЬ + ст е<т+ 2<>е + dme
а за наиболее общее выражение для <р вида (а)
<Р = [ат е"» + Ьт е-™* + ст е<т + 2'> Ч dm е
Аналогичным путем, разыскивая <р в форме
(г \—mi
"Г)
532
можно получить
<р = [Ат е"» + Ьт в—« + Ст *<—«> « + Dm e~ <«°
Складывая частные решения вида (к)) и (в), получаем для
<Р = 2 [в ет6 + &т е~т6 + ст е(т+ 2/> 6 + rf е-С»+20 в
т.
+ 2 [/1т ет6 + Ят е~тЬ + Ст е<т-2;) 6 + Dm e~ <m~2'N
m
где через р обозначена величина
р = In —, (х)
что и совпадает по существу с равенством (в) текста.
Освобождаясь от мнимости и вводя новые произвольные постоянные,
можно выражение (i) заменить следующим
<Р = S [gm cos mp + hm sin mp + A^cos (mp + 26) + lm sin (mp + 28)] e™\ +
m
cos mp + Hm sin mp + fCm cos (mp. - 24) 4 Im sin (mp - 24)] e~m\ (X)
Но
cos (mp + 26) = cos mp cos 26 — sin mp sin 29,
cos (mp — 26) = cos mp cos 26.+ sin mp sin 2tt,
sin (mp + 26) = cos mp sin 26 + sin mp cos 28,
sin (mp — 24) = — cos mp sin 29 + sin mp cos 26,
поэтому вместо (X) можно написать
<р -- ^EilSmem" + Gm e~mf> + (km emf> + Km e~mH) cos 28 +
m
+ (lm emH - Lm e-mH) sin 26] cos mp +
m
+ (/m em6 + Lme~mh) cos 26] sin mp (,»)
или, придавая постоянным ат, Ьт Cm, Dm новый смысл
w = ij[fltn c^ m® ~l~ ^m s^ m® "I" (c c^ m® 4" ^ s^ m®) cos 2® "I"
m
+ (Dm ch m6 + Cm sh m6) sin 28] cos mp +
+ 2 [Am ch m9 + Sm sh mfi ~ (dm ch w9 + cm sh m ) sin 2^ +
m
+ (Cm ch m6 + ?>m sh w6) cos 26] sin mp.
533
разложено в ряд по Cos и sin дуг кратных от некоторого аргу-
аргумента, меняющегося в пределах исследуемой области от 0 до 2т.
Нетрудно видеть, что если нас интересует значение г, лежащее в
пределах а < г <6, то мы достигнем только-что указанной цели,
положив
m=4s- (о
In —
а
где s — числа целые. Тогда вместо (в) будем иметь
¦ 2i) 9 --f- j
" J D7)
где p — постоянная, определяемая условием
P = -^г D8)
In — >
a
a ij) — отвлеченный аргумент, определяемый формулой
ln^
Ф=21г—?-, D9)
In —
и меняющийся, как то нам и требуется, в пределах от ф = 0 до
ф = 2ic.
Разыскав с помощью общих зависимостей § 1 компоненты
напряжения, соответствующие выражению D7), мы увидим, что
Rr, 09 и /?е будут представлены рядами вида
Rr; 09 ; /?9 = ?/* (9)cos 5 6 + ? ^sF) sins «!>,
где/s@) и /^F)— функции только от угла 6, заключающие в
себе по четыре произвольных постоянных каждая, а*- отвле-
отвлеченный аргумент, являющийся функцией только от г и меняю-
меняющийся в пределах от ф = 0 до ф = 2тс.
Решение, полученного только-что типа, позволяет по произ-
произволу распоряжаться нагрузкой прямых кромок части кругового
кольца, изображенной на рис. 198.
Таким образом, за общий интеграл плоской задачи для упо-
упомянутой только-что области можно принимать
534
4> = Л6 + Д,г2 In г+ Я0г2 + С0 In r +
+ S [Лпг- + ВпГ*" + Спг'п + 2 + Dnr~tn - 2] cos
sin
ch (sp
ds sh (s$+ Щ 8] cos s di -h
*ch s^8 + 6*sh s^6 + c'sch
s
где
+ d's sh (s? + 2/) 6] sin s ф,
E0)
Jn —
a
D9)
a ft и s — всевозможные целые числа.
Распоряжаясь в этом решении произвольными постоянными
Ап, Вп,...С'п, D'n, мы можем по произволу варьировать напряже-
напряжения Rr и 0Г по кромке г = const возле их среднего для данной
кромки значения, распоряжаясь же as, bs,...c's и d's варьировать
таким же образом напряжения 08 и Re на кромках б = const и,
наконец, распоряжаясь постоянными А, Ао, Во и Со, варьировать по
произволу средние значения нагрузки на всех отдельных кром-
кромках фигуры, изображенной на рис. 199. Конечно, мы можем при
этом прикладывать к кромкам этой фигуры лишь такие нагрузки,
которые удовлетворяют условиям уравновешенности совокупно-
совокупности всех усилий, приложенных к данному телу.
Решение E0) можно принимать за общее решение плоской
задачи для упомянутой только-что области. Нужно, однако,
иметь в виду, что, желая подчинить наше решение произволь-
произвольным граничным условиям, мы сталкиваемся в общем случае с
чрезвычайно сложной в арифметическом отношении задачей о
нахождении из граничных условий задачи всех постоянных инте-
интегрирования, входящих в E0). Задача эта в каждом отдельном
частном случае принципиально разрешима, но требует столь
громоздких и сложных арифметических действий, что ни одного
его частного решения, требующего выполнения всех этих вычи-
вычислений, пока для исследуемой области, повидимому, еще не по-
получено.
535
§ 23. Задача о бесконечном клине, произвольным образом
нагруженном у вершины
Если задача о равновесии части кругового кольца решается,
как то было указано в предыдущем параграфе, в общем случае
лишь путем разыскания бесконечного множества постоянных
интегрирования из общей системы линейных алгебраических
уравнений, то задача о деформации замкнутого кругового кольца
сводится, как то было отмечено выше в § 12, к решению мно-
множества систем алгебраических ' уравне-
уравнений, в каждую из которых, входит, од-
однако, всего лишь четыре неизвестные.
Наличие у замкнутого кругового кольца
всего лишь двух загруженных кромок
неизмеримо упрощает получение для
него решения по сравнению с общим
случаем задачи о деформации части это-
этого кольца.
Другим телом, имеющим также всего
лишь две загруженных кромки и потому
допускающим столь же простое реше-
решение, как круговое кольцо, является бес-
бесконечный клин, загруженный усилиями, распределенными по то-
тому или иному закону на конечном участке длины его прямых
кромок в области конечных значений координаты г (рис. 200).
Для этого тела в решении, даваемом равенствами E0), до-
достаточно сохранить лишь те члены, которые заключают в себе
косинусы и синусы аргумента sty, зависящего от г. Для такого
клина In— = оо и следовательно, при всяком увеличении пара-
параметра s на единицу величина
т~^-^1 (а)
а
получает бесконечно малое приращение, так что суммирование
по s может быть заменено интегрированием по т. Это позволяет
положить для бесконечных размеров клина вместо E0)
у = J [a (m) ch mb + Ь (т) sh тЪ + с (т) ch {т + 2j) б -j-
о
+ d (т) sh (m -j- 2г) б] cos тр dm +
[Л (т) chmb + B (m) sh mb -fc, С (т) ch {т + 21) б +
о
-f- D (m) sh (т + 21) б] sin mpdm,
где р — отвлеченный аргумент, определяемый зависимостью
E2)
53)
536
a a — константа, имеющая размерность длины, распоряжаться
величиной которой мы можем как угодно.
Распорядившись величиною а так, чтобы наиболее интерес-
интересные значения г лежали в области значений р, близких к нулю,
можно подставить <р в общие выражения для компонентов на-
напряжения, даваемые равенствами B) § 1.
Если мы это выполним, то окажется, что Rr, 08 и R§ будут
представлены интегралами Фурье типа
), b(m), c(m), d(m); б; тЦ cos mp dm +
— оо
+ оо
+ f F[A{m), B{tn), C(m), D(m); б; тЩ sinm?dm,
¦— оо
где F[a(m), b(m), c(m), d(m); б, тЬ] будет линейным полино-
полиномом от неизвестных функций а(т), Ь(т), с(т) и d(m) с коэфи-
циентами, являющимися функциями от 6 и тЬ.
Зная на кромках б = — б0 и б = +б0 напряжения бе и Re,
можно их представить сначала как функции от р и затем в фор-
форме суммы интегралов вида
+ ОО
+
("О cos (mp) dm +jf g2 (m) sin (mp)dm,
гДе ^("О и gz(m)—заданные функции от т.
После этого неизвестные функции а(т), Ь(т),.. .С(т) и D(ni)
найдутся путем решения двух систем линейных алгебраических
уравнений, заключающих в себе каждая четыре неизве-
неизвестных.
Этим определение функции <р для рассматриваемого клина за-
заканчивается, и дальнейшее вычисление напряжений RT, вв и
Rb сводится к вычислению числовых значений некоторых вполне
уже определенных интегралов Фурье, совершенно подобно тому,
с чем мы уже имели дело в задаче о деформации бесконечно
длинной прямоугольной полосы, рассмотренной в § 13 и 14
главы X.
Изложенное только-что решение задачи о деформации бес-
бесконечных размеров клина по существу совпадает с весьма изящ-
изящным решением, полученным В. А. Абрамовым. Оно может
представить практический интерес в связи с теоретическим изу-
изучением вопроса о ломке льда ледоколами, если мы представим
себе ледяной покров имеющим возле носовой оконечности ле-
ледокола форму клина, у которого у > -г. В настоящем парагра-
параграфе мы придали решению В. А. Абрамова несколько иную форму,
чем в оригинальной работе автора, чтобы сократить объем при-
применения аппарата функций комплексного переменного до воз-
возможного минимума.
537
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XI
Задача 1. Убедиться в справедливости формул (ж) § 2.
Задача 2. Разыскать перемещения 5 и ц, соответствующие случаю
«р=Ав.
Задача 3. Убедиться в правильности формул (н) § 3.
Задача 4. Убедиться в правильности формул A5) § 4.
Задача 5. Разыскать перемещения ? и i], соответствующие решениям
Головина § 8 и сравнить при определенных частных значениях а : Ь и втах
упругие линии с соответствующими элементарной теории.
Задача 6. Решить задачу 5 применительно к решениям § 9.
Задача 7. Основываясь на решении Головина § 8, построить для
какого-либо определенного кривого бруса эпюр распределения напряжений
Rr и вв по высоте профиля.
Задача 8. Основываясь на решении Головина § 9, построить такие же
эпюры для случаев изгиба части кругового кольца силою, приложенной
к свободному концу, указанные на рис. 175 и 176.
Задача 9. Вывести формулы B6) § 10.
Задача 10. Построить эпюры, изображающие напряжения Rr , вв ига в
функции от г и Ч для напряженного состояния § 11 (задача Кирша).
Задача 11. Разыскать напряжения, возникающие в круговом кольце под
действием одной из нагрузок, изображенных на рис. 201.
по'
Рис. 201.
Задача 12. Построить изохромы и изостаты для напряженного состояния,
рассмотренного в § 13.
Задача 13. Решить задачу 12 применительно к напряженному состоянию
§ 14 или 15.
Задача 14. Для клина, рассмотренного в § 13, 14 или 15 исследовать
закон распределения напряжений Хх, Yv и Ху по высоте поперечного сече-
сечения, т. е- как функции от у.
538
Задача 15. Для клина, рассмотренного в § 13, 14 или 15 найти переме-
перемещения ? и -г).
Задача 16. Для напряженного состояния, указанного в задаче 15, найти
перемещения и и v.
Задача 17. Для напряженного состояния § 18 (задача Фламана) найти
перемещения ? т], и и v.
Задача 18. Построить с помощью уравнений D2') сетку изопахик для
напряженного состояния § 20.
CLI
0ГРМ
6)
Z)
6i
6?-pin
Рис. 202.
Задача 19- Методом § 21 подсчитать напряжения в нескольких точках
круглого диска, загруженного тремя или четырьмя заданными взаимно уравно-
уравновешенными сосредоточенными силами.
Задача 20. Основываясь на решении § 23, получить развернутые выра-
выражения для компонентов напряжения.
Задача 21. Основываясь на решении задачи 20, получить решение для
случаев нагрузки клина, изображенных на рис. 202.
ГЛАВА XII
ЗАДАЧА О ДЕФОРМАЦИИ, ИМЕЮЩЕЙ ОСЬ СИММЕТРИИ
§ 1. Основные зависимости
Задача о деформации, имеющей ось симметрии, имеет много
общего с плоской задачей теории упругости. Ее основные зави-
зависимости могут быть получены методом, использованным выше
в § 1 главы IX для получения аналогичных зависимостей плос-
плоской задачи.
Так как учет объемных сил всегда может быть произведен
путем прибавления к общему решению однородных уравнений
некоторого частного решения соответствующих полных уравне-
уравнений, мы остановимся здесь на рассмотрении лишь общего решения
однородной задачи.
Допустим, что рассматриваемое тело есть тело вращения,
осью которого является ось oz. Допустим далее, что нагрузка
этого тела состоит исключительно из усилий, приложенных к
поверхности тела, причем ось oz является также осью симметрии
нагрузки, приложенной к телу. Деформация тела должна быть
при этих условиях симмметричной относительно оси oz.
В самом общем случае такой деформации должно быть
и = р (г, z) cos 0, |
V = р (г, 2) Sin 0, | A)
w = w (г, z),
где г, 6 и z — цилиндрические координаты точки, а р (г, z) и
w(r, z) — соответственно радиальное и аксиальное перемещения ее.
Мы получим из общего решения однородных уравнений Ламе
решение вида A), если положим в формулах C1) § 7 главы IV
0i = ?i(r» z)cos6, 0* = ?i (/>.#, \
02 = <Pi (г, *) sin 9,
где в силу условий C2) § 7 главы IV функции ф,(г, z) удовле-
удовлетворяют уравнениям
(^I = o, C)
V2?2 = 0, V2?0 = 0. D)
540
Выражая оператор Лапласа
Г72, \-*Li ) + .?( \ + -*L( \
через производные по г, 9 и z и принимая во внимание, что
функции <?i(r, z) от 0 не зависят, нетрудно видеть, что уравнение
C) и D) могут быть в развернутом виде выписаны так:
О, C')
-— (г — ) -\—— = i
г дг\ дг ) dz2
D')
Г дГУ дГ ) + dz* ~U-
Равенства B) после подстановки их в выражение C1) § 7
главы IV дают для компонентов перемещения р ида зависимости
та 4A— o)dzv T1 ' T2 ' 70" '
которыми и выражаются компоненты радиального и аксиального
перемещения в общем случае однородной деформации, симмет-
симметричной относительно оси ог.
Так как перемещения р и w связаны с компонентами дефор-
деформации етг, ей, ezz и еГ2 зависимостями
е" = Jr '
р
р •— *Е
"* dz'
_ dp . ды>
а деформации эти могут быть связаны с компонентами напряже-
напряжений Rr, ве, Zz и Rz законом Гука
в9 =2G eM + rArftl,
|_ ев -г ! _ 2о j
Rz = Gerz,
где
541
то компонентам перемещения р и w, определяемым равенствами E),
соответствуют следующие общие выражения для компонентов на-
напряжения, отличных в рассматриваемой задаче от нуля:
»»1 ^ дЪ 1 (д2 1
дг дг ' 2A—о)
~"д7 Г +2Tl—o)V
d/- + dz 2A- a)drdz4'
F)
где
Z = r?i + г?2 + ?o- G)
Формулами E), F) и G) в задаче о деформации, симметричной
относительно оси oz, компоненты перемещения р и да, равно как
и компоненты напряжения Rr, в„, Zz и /?., выражаются через функ-
функции ®,-, удовлетворяющие уравнениям C') и D').
§ 2. Дальнейшее преобразование решения предыдущего
параграфа
*В решение, даваемое уравнениями E), F), G) § 1 входит одна
функция, удовлетворяющая уравнению C), и две функции, удов-
удовлетворяющие уравнению D'), чего более чем достаточно для того,
чтобы решение это могло приниматься за общее решение рас-
рассматриваемой задачи. Чтобы исключить из этого решения функ-
функции, лишние с точки зрения его общности, попробуем исклю-
исключить из состава решения, даваемого функциями фх и % все то,
что может быть выражено через функцию ср0.
Посредством функции ш0 в состав вектора перемещения вво-
вводятся составляющие вида
4 A-3I7
1 д1»
°
причем в силу уравнения, которому подчинена функция f0
г дгу v дг'и-
Чтобы функции ^ и аа вводили в состав вектора перемещения
что-либо существенно отличное от функций )х и Х2, подчиним
ср и ф зависимости
рх и ф2 зависимости
542
Условию этому функции <Pi и <рг подчинить можно, если
только одновременно мы подчиним их также условию
~дГ
~дг
(9)
Действительно, исключив из уравнений (8) и (9) функцию а>2,
мы получаем для cpi уравнение C'), исключив же из этих двух
равенств срк мы приходим для ш2 к уравнению D').
Таким образом диференциальные зависимости (8), (9) не только
совместимы с теми уравнениями, которыми по своему опреде-
определению подчинены функции cpi и <р2, но даже являются в сущно-
сущности лишь иной формой написания этих уравнений.
Приняв, что <Pi и ?2 связаны между собою диференциальными
зависимостями (8) и (9), будем иметь однако,
~г d~r~~dz" ~ ~дг '
dz
¦f = o,
дг + дг — U>
что позволяет придать равенствам F) следующий, более про-
простой, вид
7 -
A0)
1
2A—а) дгдг ¦
где
Выражения A0) несколько проще выражений F), но справед-
справедливы, как видно из их вывода, лишь при условии, что ^ и %
взаимно сопряжены посредством диференциальных зависимостей
(8), (9).
§ 3. Аналогия с плоской задачей
Решение, полученное в предыдущих двух параграфах для за-
задачи о деформации, имеющей ось симметрии, вполне аналогично
тому решению плоской задачи, которое было получено Эри и
543
Лявом, и в пределе, когда г стремится к бесконечности, перехо-
переходит в это последнее.
Действительно, при г, стремящемся к бесконечности, функ-
функции <?i обращаются в гармонические функции от г и z, функция
же х становится бигармонической функцией от этих переменных.
Диференциальные зависимости (8), (9), посредством которых со-
сопряжены функции <Pi и <р2, обращаются в условия Коши — Римана,
с помощью которых они сопряжены друг с другом в плоской
задаче [см. равенства A1) § 5 главы IX], равенства же A0), если
не считать иных обозначений, обращаются в равенства G) § 2
главы IX.
Рассмотренная нами выше форма общего решения задачи о
деформации, имеющей ось симметрии, не является единственно
известной формой написания этого решения. Иные формы тако-
такового были предложены Майчелом1, Лявом2, Б. Г. Галеркиным3,
Г. Д. Гродским4, К. Маргеррм5, Кри6 и С. Вебером7. Взаим-
Взаимная связь всех этих решений рассмотрена нами в статье, печа-
печатаемой в сборниках „Прикладная математика и механика. Новая
серия".
Аналогия рассматриваемой задачи с задачей плоской видна из
решения, приведенного выше, наиболее явственно.
§ 4. Электродинамическая аналогия
Рассмотрим несколько подробнее то уравнение D'), которому
в задаче о деформации, имеющей ось симметрии, должны удовле-
удовлетворять функции ср2 и <Ро-
Нетрудно видеть, что уравнению этому удовлетворяет потен-
? циал всякого стационарного электриче-
электрического поля, могущего иметь место в од-
однородной тонкой пластинке, толщина
которой есть линейная функция отстоя-
отстояния от оси oz, если источники и стоки
этого поля расположены вне его границ.
Действительно, пусть (рис. 203) abed—
элементарный прямоугольник, выделен-
выделенный из клиновидной пластинки двумя
парами взаимно ортогональных сечений;
Рис.203. t — толщина пластинки, k — коэфициент
омического сопротивления среды, а <» —
потенциал электрического поля в рассматриваемой пластинке.
а
с
b
i
"«3
1
d
.—ar —
1 H. Michell, Proc. London Math. Soc, vol. 31, p. 144, 1900.
2 А. Ляв, Математическая теория упругости. Рз'сский перевод, §188,
1935 г.
3 Б. Г. Галеркин, Доклады Академии Наук СССР, 1931, № 10, стр. 281.
4 Г. Д. Гродский, Известия Академии Наук СССР, 1935, стр. 1537.
5 К. Marguerre, Ing. Archiv. Bd. 4, S. 322, 1933. Bd. 2, S. Ill, 1931 и ZAMM
Bd. 13, S. 467, 1932.
« С Chree, Trans. Phil. Soc. Cambridge, vol. 14, p. 250,1889.
i С Weber, ZAMM, Bd. 5, S. 467, 1925.
544
Подсчитаем количество электричества, подтекающего к этому
элементу поля в единицу времени через его отдельные кромки
Через кромку а — b в него проникает
кулонов в секунду.
Через кромку с — d
TTzdr
кулонов в секунду.
Таким образом, через кромки а — b и с — d вместе к нему
подтекает
д , t до>
dz\ k с
кулонов в секунду.
Подобным же образом можно видеть, что через кромки а — с
и b — d вместе к нему подтекает
drdz
7
единиц электричества в секунду.
Если исследуемое поле стационарно и внутри рассматривае-
рассматриваемого элемента поля нет ни источников ни стоков, то суммарное
количество электричества, подтекающего в единицу времени к
этому элементу, должно быть равно нулю и, следовательно, по-
потенциал поля ш должен удовлетворять уравнению
д / t дш\ . д ( t дш \ л
Тг\Т д~г) + дг \k дг ) "
Если пластинка однородна, то k = const и может быть в по-
полученном уравнении опущено. Если пластинка имеет форму
клина и
t = /гаг,
где /га — константа, то полученное уравнение обращается в урав-
уравнение
очевидно тождественное уравнению D').
При безграничном увеличении г уравнение A1) обращается в
уравнение Лапласа
? + ? = 0, A2)
которому удовлетворяет потенциал стационарного электрического
поля в однородной пластинке постоянной толщины.
Таким образом, если в плоской задаче функции <р2 и % могут
считаться функциями потенциала некоторых стационарных элек-
электрических полей, установившихся в пластинке постоянной
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—35 545
толщины, то в задаче о деформации, симметричной относительно
оси, за них надо принимать две функции потенциала в пла-
пластинке клиновидной.
Функцией <Pi> сопряженной с <р2 посредством зависимостей (8) и
(9), является функция тока, соответствующая полю, потенциал
которого есть ср2.
Отмеченное в настоящем параграфе позволяет надеяться, что
электродинамическая аналогия окажется столь же мощным экс-
экспериментальным средством решения задачи о деформации, имею-
имеющей ось симметрии, как и плоской задачи теории упругости.
§ 5. Решение для цилиндра, боковая поверхность которого
загружена произвольным образом
Мы видели выше в главе IX, что в плоской задаче иногда
бывает полезно связать функции <f1 и <р2 друг с другом посред-
посредством "условий взаимной сопряженности, но что прямой необхо-
необходимости подчинять эти две функции условиям этой сопряжен-
сопряженности во многих случаях нет. В частности решение Рибьера и
Файлона получаются в плоской задаче путем простого отбра-
отбрасывания в общем выражении для i? функции ®2. То же имеет
место и в задаче деформации цилиндра, загруженного симме-
симметрически по отношению к его оси. Желая в задаче о дефор-
деформации, имеющей ось симметрии, получить решение, позволяю-
позволяющее любым образом загружать его боковые поверхности, мы
можем отбросить в решении E), F), G), A0) функцию <?2 и раз-
разложить функции (рх и % в ряды вида
A3)
2
к я
где функции fk (r), gk (r), hk (r) и lk (r) должны быть подобраны так,
что бы каждый член ряда удовлетворял уравнению C') или D')
соответственно.
Нетрудно видеть, что в силу C') функции Д(г) и gk(r) дол-
должны быть подчинены уравнению
(t)'/.M-o, (.4)
общий интеграл которого можно составить из двух цилиндри-
цилиндрических функций мнимого аргумента первого порядка1.
Подобным же образом нетрудно убедиться, что функции hk(r)
и К (г) должны удовлетворять уравнению
1 Все используемые в данной главе свойства цилиндрических функций
можно найти в справочнике Шпильрейна „Таблицы специальных функций",
ч. II 1936 г., где для соответствующих функций приведены и таблицы.
546
общий интеграл которого можно составить из двух цилиндри-
цилиндрических функций, мнимого же аргумента, но нулевого порядка.
Если мы сохраним в решении A3) лишь члены, зависящие
от cos —г-, то на боковых поверхностях цилиндра, где г = а и
r—b, напряжения Rr будут разложены в тригонометрические
ряды по косинусам кратных дуг, напряжение же Rz = Zr — в
ряды, заключающие синусы кратных дуг, причем число посто-
постоянных интегрирования, входящих в общий интеграл уравне-
уравнений A4) и A5), является достаточным для того, чтобы на боко-
боковой поверхности напряжения Rr и Rz могли быть сделаны рав-
равными любым функциям от z, удовлетворяющим условиям разло-
разложимости в ряд Фурье.
Сохранив в решении A3) лишь члены, зависящие от sin — ,
мы получим решение, позволяющее при г —а и г=Ъ разла-
разлагать Rr в ряды по синусам, a Rz — по косинусам кратных дуг.
Оба решения, заключащиеся в решении A3), позволяют за-
загружать боковую поверхность цилиндра как угодно, но будучи
подчинены определенным граничным условиям приг=аиг = й,
не содержат уже в своем составе каких-либо постоянных, по-
позволяющих по произволу распоряжаться нагрузкою на торцевых
плоскостях цилиндра, где z = О или z = /.
§ 6. Решение для цилиндра, произвольным образом загруженного
на торцах
Чтобы получить из E), F), G) решение, позволяющее про-
произвольно распоряжаться величинами Zz и Rz на торцах цилин-
цилиндра, т. е. на плоскостях z = 0 и z — I, достаточно положить
в этих формулах
к
Bk sh akz]
+ ? Wo(hr) [ak ch %z + bk sh
S ch ak2 + Dk sh a.kz] +
ch *kZ + dk sh a.kz],
(]6)
где ocjj и §к — некоторые реальные константы.
Функции <р2 и (р0, определяемые равенством A6), будут удов-
удовлетворять уравнению D'), если мы примем, что lo(akz) и N(fa)
удовлетворяют уравнению Бесселя
JL А.
г йг
A7)
547
общий интеграл которого, как известно, может быть составлен
из линейной суммы функции Бесселя нулевого порядка, обычно
обозначаемой знаком /0( ) и функции Неймана того же по-
порядка, обозначаемой знаком Л^о( ).
Таким образом, приняв, что в равенствах A6) /0(лкг) — цилин-
цилиндрическая функция Бесселя порядка нуль от аргумента лкг, а
Л/0(а*г) — цилиндрическая функция Неймана того же порядка
аргумента a.kr, можно считать <р,-, определяемые равенствами A6),
удовлетворяющими уравнению D') и поэтому при подстановке
в формулы E), F) и G) дающими нам некоторое решение за-
задачи о деформации цилиндра, симметричной относительно оси oz.
Принимая во внимание известное свойство цилиндрических
функций
W <о (V)
d
dr
=aftr/0(a/?r),
A8)
где /х( ) и N1( ) — цилиндрические функции первого порядка,
нетрудно видеть, что, подставив A6) в F), мы получим при вся-
всяком z постоянном величины Z, и Rz разложенными в ряды вида
A9)
где Pft(z), Qk(z) — функции от z, линейно зависящие от Ак, Вк,
Ск и Ой, а рк(?) и qk(z) — такие же функции от z же, линейно
зависящие от пк, Ьк, ск и dk.
Цилиндрические функции 1р(лкг) и Np(akr) обладают, как
известно, тем замечательным свойством, что
z) N, G.кг),
_ *nrlp (a.kr) lp-i (anr) — akrlp (anr) Ip-X (a.kr)
548
a2 aa
jrNp(akr)Np(znr)dr =
о
_ anrJVp (akr) Np-i
(arer) Np^ (atr)
*l~ *l
B0)
Поэтому, подобрав константы лк так, чтобы они удовлетворяли
уравнению
/0(ака) = 0, B1)
мы одновременно удовлетворим условиям
и-
frI0(*kr)r0(anr)dr=Q
B2)
а выбрав их так, чтобы было
мы добьемся одновременного существования зависимостей
а
frN1(akr)N1(»nr)dr = O.
B3)
B4)
B5)
B6)
Если параметры лк определены из уравнения B1), то, отбро-
отбросив в решении A9) часть, зависящую от функций iV0(akr) и
N1(nkr), мы будем иметь
B7)
и если при каком-либо частном значении z функции Zz, Rz будут
нам в пределах круга радиуса а известны, то на основании B2)
и B3) можно будет соответствующие этому z значения функций
Pfc(z) и Qft(z) определить с помощью выражений
0
и
J Rs
J rl\
B8)
549
Зная Zz и Rz на торцах цилиндра, мы можем, определив па-
параметр <xfc из уравнения B1), разыскать с помощью зависимостей
B8) значения величин Pk(z) и Qk(z) для частных значений z = О
и 2 = / и, воспользовавшись зависимостями, связывающими ве-
величины Рк@), Рк{1), Ок@) и Qk(l) с Ак, Вк, Ск и Dk, получить
систему четырех алгебраических уравнений для Ак, Вк, Ск и Dk,
соответствующих каждому отдельному частному значению пара-
параметра k.
Таким образом, полагая в A6) величины ак, Ък, ск и dk рав-
равными нулю и определяя ак из уравнения B1), мы получаем
решения, позволяющие приложить к торцам цилиндра, внешний
радиус которого есть а, любую нагрузку, симметричную отно-
относительно оси oz.
С помощью аналогичных рассуждений можно убедиться также
и в том, что, полагая в A6) все Ак, Вк, Ск и Dk равными нулю
и подчиняя величины <xfc уравнению B4), мы получаем второе
решение, независимое от ранее рассмотренного первого, позво-
позволяющее также распоряжаться по произволу нагрузкой на тор-
торцах цилиндра.
Таким образом, формула A6) дает нам в сущности два неза-
независимых решения задачи о деформации цилиндра, произвольно
загруженного на торцах. Оба эти решения удовлетворяют на
боковой поверхности цилиндра каждое своим граничным усло-
условиям, распоряжаться которыми мы в каждом из этих двух ре-
решений не можем.
В этом отношении решения настоящего и предыдущего пара-
параграфов совершенно аналогичны решениям Рибьера и Файлона
в плоской задаче. Интересно, что они были получены Кри еще
до появления в литературе решения Рибьера.
§ 7. Решение, позволяющее произвольно распоряжаться нагрузкой
как на боковой поверхности, так и на торцах цилиндра
Допустив в рассматриваемом цилиндре одновременное суще-
существование и тех напряжений, которые рассмотрены были нами
в § 5 настоящей главы, и тех, которые соответствуют решению
предыдущего параграфа, мы получаем решение, позволяющее
прозвольно распоряжаться как нагрузкой на боковой поверхно-
поверхности, так и нагрузкой на торцах цилиндра. Практически исполь-
использование этого решения затрудняется лишь громоздкостью тех
вычислений, которые связаны с определением коэфициентом всех
входящих в это решение рядов. Система алгебраических урав-
уравнений, связывающих коэфициенты этих рядов с нагрузкой на
поверхности тела, не распадается в этом общем случае на от-
отдельные системы отдельных групп уравнений с конечным чис-
числом неизвестных в каждой.
В каждое из этих уравнений в общем случае входят либо
четыре коэфициента рядов, рассмотренных нами в § 5, и все
коэфициенты рядов, входящих в решение § 6, либо же четыре
коэфициента решения § 6 и все коэфициенты решения § 5.
550
Благодаря этому разыскание всех неизвестных коэфициентов
этих рядов сопряжено в общем случае с чрезвычайно громозд-
громоздкими и утомительными выкладками, основную часть которых
приходится при решении каждой частной задачи проделывать
заново.
§ 8. Решение для бесконечно длинного цилиндра, загруженного
возле середины
Для бесконечно длинного цилиндра, загруженного возле се-
середины, ряды Фурье, входящие в равенства A3), вырождаются
в интегралы Фурье вида
<p! = /Л (a) /0 (iar) cos az rfa -\-
b
oo
+ J В (a)Hlu (iar) cos аг da-f-
0
oo
-[- J a (a) /0 (гаг) sin az rfa -\-
o
oo
4- / b (a) M1} (гаг) sin аг da
о
oo
ф0 = j С (а) /0 (гаг) cos az da 4-
6
oo
4- / D (a) H^ (iar) cos аг da +
о
oo
4- J С (а) /0 (гаг) Sin аг rfa -(-
о
oo
+ /rf(a)M1)(*V)sinazrfa,
B9)
C0)
где H$^(ia.r) — цилиндрическая функция Ганкеля мнимого аргу-
аргумента, нулевого порядка.
Подставив B9), C0) в выражение F), G), мы приходим к ре-
решению, в котором при г = const напряжения RT и Rs выража-
выражаются интегралами Фурье.
Представив напряжения на внешней и внутренней поверхно-
поверхности цилиндра в форме таких интегралов, нетрудно составить для
неизвестных функций Л (а), В (а) и т. д. систему линейных урав-
551
нений, из которых все эти неизвестные функции можно разы-
разыскать.
Частные случаи решений этого вида исследовали Август и
Людвиг Фёппль1.
§ 9. Решение для бесконечной пластины конечной толщины,
загруженной на конечном участке возле середины пластины
Пусть z = ± ~y уравнения обеих плоскостей, ограничиваю-
ограничивающих пластину бесконечных размеров.
В случае, когда нагрузка пластины, симметричная относи-
относительно оси oz, состоит из системы взаимно уравновешенных уси-
усилий, приложенных к пластине в пределах цилиндра конечного
радиуса, можно, считая что пластина в центре выреза не имеет,
полагать
<p2 = J /0 (ar) [aA (a) ch аг + %C (a) sh аг] da,
о
CO
% = f 4 (w) [Я («) ch аг + D (a) sh аг] da.
о
Подстановка этих выражений в равенства F) и G) дает
оо
Zz = Gf/0 (ar){ а2 [Л (a) sh аг + C(a)ch аг] -
C1)
2 A _ г,)' И (а) (а*) ch аг + С (а) (аг) sh аг +
+ В (a) ch аг + D (a) sh аг] } da,
Rz =
— а2
аг + С(а) sh аг]
C2)
+ 2A!_g) [A (a) ch аг + С(а) sh аг +
+ А (а) (яг) sh аг + С (а) (аг) ch аг +
+ 5(а) sh аг + D (a) ch аг] ] da.
Чтобы разыскать для определенного частного случая нагрузки
рассматриваемой плиты функции А (а), В (а), С (а) и ?>(<*), надо
представить заданные на обеих поверхностях пластины напря-
напряжения
1 См. А. и Л. Фёппль, Сила и деформация, том II, § 85 и 86, 1936.
552
в форме интегралов вида
ОО
C3)
и уравнять величины C3) соответствующим напряжениям, да-
даваемым формулами C2). Этим путем можно получить для нахож-
нахождения функций А (а), В (а), С (а) и D(a) четыре линейных алгеб-
алгебраических уравнения с четырьмя неизвестными.
Функции /^(<х), входящие в правые части этих уравнений,
находятся с помощью общих правил преобразования заданных
функций к виду C3).
§ 10. Иные решения
Из иных решений, на которых здесь мы не имеем возмож-
возможности остановиться, следует прежде всего упомянуть о сле-
следующих.
Буссинеком была решена задача о влиянии сосредоточенной
силы на тело неограниченной протяженности, ограниченное плос-
плоскостью.
Саутсвел и Гудье получили решение для местных напряже-
напряжений в районе малой шаровой полости при растяжении, а Лар-
мор — для местных напряжений возле такой же полости, но для
случая, когда основной деформацией тела является чистый
сдвиг.
Файлон получил при некоторых упрощающих предположениях
решение для сжатого цилиндра, зажатого между шероховатыми
плоскостями.
Кельвин исследовал действие силы, приложенной к точке
внутри тела.
Ряд решений получен для изгиба круглой пластинки при
симметричной нагрузке.
Имеются решения для напряжения в быстро вращающихся
дисках, учитывающие зависимость величины напряжения от коор-
координаты, измеряемой нормально к боковой поверхности пластины.
Основные результаты этих исследований изложены в курсах
С. П. Тимошенко и Лява, где можно найти и ссылки на соответ-
соответствующие первоисточники.
553-
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ XII
Задача 1. Найти напряжения в круглом бесконечно длинном валу диа-
диаметра й, участок которого длиною I загружен равномерно распределенными
по наружной поверхности вала нормальными напряжениями.
Задача 2. Решить задачу 1 в предположении, что вал полый, причем
внутренний диаметр вала есть d0.
Задача 3. Выяснить^ какую нагрузку надо приложить к поверхности
круглого цилиндра, чтобы создать в нем напряженное состояние, соответствую-
соответствующее каждому отдельному члену рядов, входящих в решение § 5, и найти
искривление образующих, а также торцевых сечений, соответствующее этой
нагрузке.
Задача 4. Основываясь на зависимостях § 5, найти напряженное состоя-
состояние в круглом цилиндре радиуса а и длиной 21, нагруженного на боковой
поверхности по закону
Rr = —р sin -у-.
и исследовать, какую форму приобретают его торцы и боковая пове рхность
под действием этой иагр\зки.
Задача 5. Решить задачу 4, предполагая, что цилиндр имеет виутреинюю,
свободную от нагрузки, полость радиуса Ь.
Задача 6. Решить задачу 4 ияи 5 в предположении, что иа наружной
поверхности цилиндра радиуса а и длиной 21
R.-0-
Задача 7. Основываясь hi зависимостях § 6, построить эпюр напряже-
напряжений и перемещений иа боковой поверхности круглого цилиндра; ради-
радиуса а, торцы которого загружены по закону
е /0—функция Бесселя нулевого порядка.
Задача 8. Решить задачу 7, предполагая, что
Задача 9. Решить задачу 7 в предположении, что
| Rz\ z =
Задача 10. Решить задачу 7, предполагая, что
ГЛАВА XIII
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАПЛАСА
И ПУАССОНА
§ 1. Общие замечания
Выше уже было отмечено, что диференциальному уравнению
Пуассона
V2? = const = - 2G- A)
и граничному условию
Ф = const B)
на контуре, которым в задаче о кручении призматических стерж-
стержней удовлетворяет функция напряжений, удовлетворяет также
упругая поверхность бесконечно гибкой равномерно натянутой и
равномерно загруженной мембраны.
Аналогия эта, отмеченная впервые Прандтлем, использована
рядом авторов для экспериментального определения функции
напряжений в задаче о кручении.
В задаче об изгибе призматического стержня силою, прило-
приложенною к свободному концу, функция напряжений подчинена
также уравнению Пуассона, но с несколько более сложным сво-
свободным членом
при несколько более сложном граничном условии
на контуре.
Уравнение это также допускает решение методом физических
аналогий, что также уже использовано для экспериментального
решения задачи об изгибе призматических стержней.
Аналогия Якобсена (см. § 17 главы VII) позволяет задачу о
кручении круглых валов переменного сечения свести к исследо-
исследованию некоторого стационарного электрического поля.
Плоская задача теории упругости имеет для своего решения
весьма мощное средство в виде так называемого оптическо-
оптического метода исследования напряжений, основывающегося на
555
явлениях двойного лучепреломления. В настоящее время этот
метод уже очень хорошо разработан и широко используется.
Он, однако, является не единственным методом, который мо-
может быть использован для решения основного диференциального
уравнения плоской задачи: в общий интеграл этого уравнения
входят функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, а урав-
уравнению Лапласа удовлетворяет стационарное электрическое поле.
Электродинамическая аналогия может быть поэтому использована
также и для решения плоской задачи теории упругости.
Задача о деформации, имеющей ось симметрии, как то отме-
отмечено было в § 4 главы XII, может быть решена с помощью этой
же аналогии.
Таким образом, ряд основ.ных задач теории упругости допу-
допускает их экспериментальное решение методом физических ана-
аналогий. ¦¦ В настоящей главе мы рассмотрим основные эксперимен-
экспериментальные способы решения задач теории упругости, основанные
на использовании этих аналогий.
§ 2. Применение мыльной пленки к решению задач о кручении
призматических стержней
Равномерно нагруженная мембрана удовлетворяет диферен-
циальному уравнению' A), если она: 1) натянута равномерно;
2) имеет бесконечно малую жесткость по отношению к изгибу,
и 3) имеет настолько малую прогибь w, что величины (~Y и
\ ОХ /
\jtyj пренебрежимо
малы по сравнению с
единицей.
Всем этим условиям
всего лучше удовлет-
удовлетворяет мыльная плен-
пленка, достаточно слабо
нагруженная. Естест-
Естественно поэтому, что
мыльная пленка и ис-
использована рядом авто-
авторов для решения ди-
... ференциального урав-
уравнения A) при граничном условии B).
Первыми исследованиями в этом направлении были работы
1 риффитса и Тайлора1. Значительно усовершенствованы затем
эти методы были в работах Пиккара2.
* А- A. Griffith and G. L. Taylor, Proc. Inst. Mech. Eng., p. 755, 1917.
A. A. Griffith and G. L. Tavlor, Technical Report of the Advisory Committee
for Aeronautics, vol. 3, p. 920, 938, 950, 1917— 1918.
1924 A> Grifflth> PrOc- of the l Intern- Congress for Appl. Mech. Delft, p. 39,
ma I L: Pi"ard ,et L- Baes, Comptes Rendues du II Congress Internationale de
Mechamque Apphquee, Zurich, p. 195. 1926.
L. Piccard et Jonner, Stodola's Festschrift, S. 489, 1929.
556
Рис. 204.
Прибор, которым пользовались Гриффите и Тайлор, изобра-
изображен схематически на рис. 204, на котором:
1 — гладкий аллюминиевый или медный лист с вырезом, геометрически по-
подобным исследуемому профилю;
а — натянутая на этот лист мыльная пленка;
2—сосуд, давление в котором может быть несколько повышено по сравне-
сравнению с атмосферным;
3— рамка с плоской поверхностью для поддержания стекла 4;
4— зеркальное стекло с монтированным в нем игольчатым микрометром,
свободно скользящее по рамке 3;
6 — втулка микрометра;
6 — гайка для ее крепления к стеклу 4;
7 — головка микрометрического винта, перемещающаяся вместе с ним и
снабженная шкалой для отсчета ее углов поворота;
8 — острие этого винта, ввинчиваемого во втулку 5;
9 — пишущее острие микрометра;
10 — стол для установки прибора;
И— стойка на нем;
И—шарнир для крепления откидной планки;
13 — откидная планка;
14 — бумага для фиксирования координат микрометра.
С помощью этого прибора можно вычерчивать горизонтали
к исследуемой мембране по отдельным их точкам, причем это
делается следующим порядком.
Натянув на лист 1 мыльную пленку, прикрывают этот лист
рамкой 3 и стеклом 4 и поднимают несколько давление в. сосуде 2.
Мыльная пленка от этого выпучивается.
После этого, выдвинув микрометр на нужное положение и
откинув планку 13, перемещают его в одно из положений, в кото-
которых его острие коснется пленки а. Когда такое положение най-
найдено, опускают планку 13 и прижимают бумагу 14 к пишущему
острию микрометра. После этого, подняв планку 13, перемещают
микрометр в другую точку той же горизонтали и фиксируют ее
положение на бумаге 14 и т. д. Когда достаточное число точек
исследуемой горизонтали получено, вычерчивают эту горизон-
горизонталь.
Основным затруднением при работе с этим прибором является
трудность сохранения постоянного давления в сосуде /, а, сле-
следовательно, и постоянного прогиба мембраны.
Получив достаточное количество горизонталей, можно опре-
определить уклон мембраны в каждой точке, по этим данным опреде-
определить величину скалывающего напряжения, получающегося в дан-
данной точке профиля при его кручении. Это требует, однако, весьма
кропотливой работы и не гарантирует большой точности резуль-
результата, так как графическое построение касательной к кривой,
заданной отдельными точками, точно выполнено быть не может.
Гриффите и Тайлор поэтому определяли непосредственно угол
наклона мембраны в различных точках ее контура. Делалось это
с помощью оптической трубы (рис. 205), закрепленной на шта-
штативе, позволяющем отсчитывать угол наклонения зрительной оси
этой трубы по отношению к горизонту.
Угол наибольшего наклона мембраны в сечении, соответствую-
соответствующем данному азимуту, определялся при этом по минимальному
557
из тбх углов, при котором луч света, идущий из трубы на плен-
пленку, отражает его обратно в том же направлении.
Этот способ измерения углов наклона мембраны имел тот
недостаток, что позволял определять лишь наибольшие углы
уклона в данном сече-
сечении и требовал, кроме
того, много времени.
Оптическая схема
Гриффитса и Тайлора
не дает возможности
непосредственного по-
построения кривых рав-
равного напряжения, т. е.
геометрических мест
тех точек сечения скру-
скрученного стержня, в ко-
Рис. 205. торых скалывающие
напряжения одинако-
одинаковы. При решении задачи кручения с помощью мыльной пленки
кривыми этими являются геометрические места тех точек мыльной
пленки, где угол наибольшего уклона пленки одинаков.
Для возможности непосредственного наблюдения этих кривых
Пиккар дал два видоизме-
видоизменения оптической схемы
Гриффитса и Тайлора. Одна
из них, более ранняя, была
им совместно с Бэсом до-
доложена II Международному
конгрессу по прикладной ме-
механике 1926 г., вторая, бо-
более поздняя, опубликована
совместно с Жоннэ в юби-
юбилейном сборнике в честь
Стодоля 1929 г.
О первой из этих схем
дает представление рис. 206.
На нем О есть источник
света, лучи которого фоку-
фокусируются линзой А в центр
точечной диафрагмы В, на-
находящейся в фокусе лин-
линзы С. Из последней они вы-
выходят в виде параллельного
пучка лучей, падающих на Рис. 206.
мыльную пленку D, от ко-
которой и отражаются в различных направлениях. При этом точ-
точка Е, в которой внешняя нормаль к пленке D является биссек-
биссектрисой оптических направлений труб ABC и FGH, отражает свет
в трубу FGH, в которой он фокусируется линзой F на точеч-
точечной диафрагме G и через последнюю попадает на фотопленку Н.
558
По положению изображения точки Е на пленке Н можно
судить о том, в какой точке мембраны нормаль к мыльной плен-
пленке D направлена под углом а к оси трубы FGH.
Чтобы получить на пленке Н изображение всех таких точек,
надо, не меняя угла взаимного наклона труб ABC и FGH заста-
заставить трубу ABC пройти последовательно через все образующие
конуса, имеющего своей осью ось трубы FGH, а углом раство-
растворения заданный постоянный угол. Если это сделано, то на,
пленке Н получится
изображения одной 9
из „линий равного
напряжения". Меняя
угол растворения ко-
конуса, по которому
перемещается ось
трубы ABC, Пиккар
получал различные
„кривые равного на-
напряжения".
Способ этот кро-
кропотлив и требует
длительного поддер-
поддержания у мембраны,
изображающей фун-
функцию <р, постоянно-
постоянного прогиба. Поэто-
Поэтому Пиккар в работе
1929 г. его оставил
и заменил схемой
рис. 207.
На этой схеме А есть плоская пластинка, на которой нари*
сован ряд концентрических кругов; В — линза, фокус которой
совмещен с центром пластинки А; С — плоскопараллельная стек-
стеклянная пластинка, обе поверхности которой засеребрены так, что
они половину падающих на С лучей отражают, половину пропу-
пропускают; D — мыльная пленка; Е — горизонтальная линза, фокусит
рующая все подходящие к ней снизу лучи в центр точечной,
диафрагмы F; G — матовое стекло или фотопластинка.
Этот прибор действует так.
Если мыльная пленка прогиби не имеет, то она отражает
вверх только лучи, падающие на нее сверху вертикально, т. е.
лучи от центрального темного круга пластинки А. Изображение
пленки оказывается на стекле G поэтому сплошь темным.
Когда мыльная пленка получает прогибь, то разные ее точки
отражают вверх лучи, падающие на нее сверху под различными
углами, т. е. лучи от разных концентрических кругов пластинки А.
Изображение мыльной пленки на стекле G оказывается при
этом состоящим из ряда линий, попеременно светлых и темных,
каждой из которых соответствует свой угол наклона оси трубы
EF к мыльной пленке D. Все эти линии являются поэтому лини-
569
Рис. 207.
ями равных скалывающих напряжений в поперечном сечении
скрученного стержня.
Описываемое устройство позволяет очень быстро получить
Для исследуемого поля сразу всю систему линий равных скалы-
скалывающих напряжений.
Установки Пиккара, описанные выше, являются в настоящее
время наиболее совершенными из установок, использующих для
решения уравнения A) мыльную пленку или мениск жидкости.
Их следует считать таковыми и после опубликования работы
Квеста 3, который сделал, повидимому, независимо от Пиккара,
Рис. 208.
Ряё. 209.
попытку усовершенствовать метод Гриффитса и Тайлора в смысле
упрощения разыскания углов уклона мыльной пленки в каждой
данной ее точке.
Установка Квеста изображена схематически на рис. 208.
Как видно из этого рисунка, оптическая часть установки Кве-
Квеста состоит из лампы, отбрасывающей через вертикальную опти-
оптическую трубу узкий параллельный пучок лучей на желаемую
точку исследуемой мыльной пленки. Этот световой пучок отра-
отражается от этой пленки в зависимости от ее уклона в данной
точке под тем или иным углом по отношению к вертикали. Угол
этот может быть отсчитан непосредственно по шкале, подводимой
для этого к отраженному лучу путем вращения вокруг оптической
оси трубы. Как видно из этой схемы, установка Квеста не пред-
представляет каких-либо существенных преимуществ по сравнению
с первой моделью установки Пиккара (рис. 206), от которой она
отличается лишь обратным направлением движения светового луча.
Установку, весьма близкую ко второй модели Пиккара (рис. 207),
предложил В. И. Блох2. Схема последней приведена на рис. 209.
Как видно из этого рисунка, в этой схеме горизонтальный щит А
1936.
560
1 Н. Quest, Ing. Archlv, Bd IV, S. 510, 1933.
2 В. И. Блох, Доклад Конференции по оптическому методу, Ленинград
хлортолцсл
¦Овствор сер-
серной кислоты
с накрашенными на нем концентрическими кругами расположен
непосредственно над мыльной пленкой С, перед фотоаппаратом В,
объектив которого составляет центральный круг щита А. Уста-
Установка эта проще соответствующей установки Пиккара. Ее недо-
недостатком является то, что щит в ней трудно сделать диапозитивным
с освещением сверху. Последнее желательно для уменьшения
времени экспозиции снимка и используется в приборе Пиккара,
изображенном на рис. 207.
Для нахождения горизонтальной поверхности, изображающей
функцию напряжений в задаче о кручении, Пиккар и Жоннэ
заменили мыльную
пленку мениском не-
смачивающей поверх-
поверхность сосуда жидкости,
пользуясь в остальном
для построения этих
горизонталей методом,
близким к методу Гриф- Рис.210,
фитса и Тайлора.
.. Схема их прибора изображена на рис. 210. Исследуемый
мениск получается в этом приборе на поверхности раздела двух
жидкостей приблизительно одинакового удельного веса.
В качестве верхней жидкости был использован хлортолуол,
отличающийся отсутствием электропроводности и не входящий
в химическое взаимодействие с воздухом. В качестве нижней был
использован слабый раствор серной кислоты, примерно того же
удельного веса A,08).
Микрометр А был снабжен на нижнем конце тонким плати-
платиновым острием толщиною 0,002 мм. Момент, когда это острие
касалось мениска, обнаруживался замыканием тока в цепи, один
конец которой был соединен с микрометром А, второй же с
подкисленной водой под мениском. В цепь эту последовательно
были включены источник переменного тока DV, 50~), наушники
и некоторая емкость. Последняя была включена в цепь для уст-
устранения возможности появления в этой цепи постоянного тока,
вызывающего электролиз и приводящего к появлению на поверх-
поверхности мениска пузырьков.
Установка эта, по сравнению с установками, использующими
мыльную пленку, имеет то преимущество, что поверхность ме-
мениска является поверхностью значительно менее чувствительной
к случайным влияниям, чем мыльная пленка, на которую 'большое
влияние оказывают ничтожные колебания температуры и баро-
барометрического давления.
Описываемый способ получения горизонталей к поверхности,
изображающей функцию напряжений, требует как и способ Гриф-
фитса, довольно длительных и кропотливых манипуляций с по-
поверхностью исследуемого мениска. Заслуживает поэтому быть
отмеченным предложение Тиля1, получающего все данные для
1 A. Thiel, Ing. Archiv, Bd. V, S. 417, 1934.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—36
561
построения горизонталей мыльной пленки фотографическим путем.
В установке Тиля исследуемая мыльная пленка освещается
снизу рассеянным светом и фотографируется сверху с помощью
стереоаппарата. Чтобы на снимке отдельные точки пленки были
видны, на нее осторожно насыпается ликоподий, отдельные зер-
зернышки которого и оказываются заснятыми на снимке в виде
отдельных точек.
Полученный снимок исследуется в стереопланиграфе, т. е.
приборе, позволяющем по взаимному расположению изображений
отдельных точек на обеих половинах стереоснимка судить об их
отстоянии от плоскости снимка. Определив с помощью этого
аппарата уровни, на которых лежат отдельные зернышки лико-
ликоподия, насыпанного на исследуемую мыльную пленку, можно
затем, путем графических построений, вычертить теоретический
чертеж поверхности пленки.
Этот способ получения горизонталей не менее кропотлив, чем
способ Гриффитса или Пиккара, но имеет то преимущество, что
при работе по способу Тиля вся кропотливая работа по обработке
полученных данных производится уже после того, как все исхо-
исходные данные для этой обработки документально зафиксированы,
самый же процесс получения этих данных крайне прост и тре-
требует минимального количества времени.
§ 3. Применение мыльной пленки к решению задачи об изгибе
Способ мыльной пленки был применен к исследованию задачи
об изгибе сначала Венингом Мейнезом г, а затем Гриффитсом и
Таилором.
При решении задачи об изгибе способом мыльной пленки
приходится считаться с невозможностью практического осуще-
осуществления на опыте той нагрузки на мыльную пленку, которая
соответствует правой части уравнения C). Поэтому решение не-
неоднородного уравнения C) сводят к решению соответствующего
ему однородного уравнения
V2? = 0. E)
Для этого достаточно положить
и, следовательно,
/W = тЬ ж у2 - су- F>
Тогда задача об интегрировании уравнения C) при граничном
условии D) обращается в задачу об интегрировании уравнения
E) при граничном условии
LO/ 1 i I O /
H 1 -j- o| J.1
ds '
1 Vening Melnesz, De Ingenleur, p. 108, 1910.
562
где 5 отсчитывается по контуру поперечного сечения. Интегри-
Интегрируя G) по s, можно граничное условие G) заменить условием,
чтобы на контуре ? обращалось в
? = -jrj x2 dy - ^ ^ + С i- + const. (8)
Чтобы поверхность мыльной пленки удовлетворяла уравнению
E) при граничном условии (8), достаточно натянуть ее без вся-
всякого бокового на нее давления на контур, имеющий в плане вид
контура, ограничивающего поперечное сечение рассматриваемого
стержня, но не плоский, а имеющий рельеф, соответствующий
формуле (8). Такой контур можно изготовить из медного листа,
должным образом изогнутого и вырезанного.
Определив функцию <р с помощью указанным образом натя-
натянутой мыльной пленки, можно для определения напряжений вос-
воспользоваться формулами
У до Qx2 о Qy2 .-,
оу 2/ ' 1 + в 2/
?1
(9)
В последние входят производные от <р по х и у, т. е. уклоны
мыльной пленки в направлении сечений, параллельных осям ох
и оу. Эти уклоны могут быть непосредственно зафиксированы на
фотоснимке, получаемом с помощью установки Блоха, если в ней
на щите А концентрические окружности заменить сеткой прямых,
параллельных осям ох и оу.
Метод, рассмотренный только что, применим и к решению за-
задачи о кручении. Действительно, решение уравнения A) можно
выписать в форме равенства
где <рх должно быть подчинено уравнению Лапласа
и граничному условию
<h-§V + .v") = const A1)
на контуре.
Этот способ решения задачи о кручении призматических стерж-
стержней особых преимуществ, однако, не представляет.
§ 4. Применение мыльной пленки к исследованию кручения и изгиба
неодносвязных профилей
При исследовании кручения неодносвязных профилей значе-
значение функций напряжения, как то было показано в главе VII,
может быть задано лишь на одном каком-либо из контуров,
ограничивающих сечение стержня, например на внешнем кон-
контуре. Значения, принимаемые ей на всех остальных контурах,
подлежат определению из условия уравновешенности усилий,
563
приложенных к каждому отдельному контуру, а именно из усло-
условия, чтобы нагрузка на площадь каждого внутреннего контура
уравновешивалась натяжениями мембраны Прандтля, приложен-
приложенными к этому контуру.
Так как равнодействующая усилий, приложенных к каждому
отдельному контуру мембраной Прандтля, должна быть линей-
линейной функцией от аксиальных перемещений всех внутренних кон-
контуров мембраны, то для аксиальных перемещений всех этих кон-
контуров мембраны Прандтля условия уравновешенности усилий,
приложенных к каждому отдельному контуру, дают систему л и-
нейных алгебраических уравнений, коэфициенты которых могут
быть найдены экспериментально следующим образом.
Устанавливают сначала все контуры мыльной пленки в одной
плоскости и, нагрузив эту пленку поперечной нагрузкой, фикси-
фиксируют одним из методов, рассмотренных выше, упругую поверх-
поверхность мембраны и усилия, приложенные при этих условиях к каж-
каждому отдельному контуру ее.
После этого, сняв с мембраны нагрузку, дают одному из ее
внутренних контуров поступательное перемещение, нормальное
к плоскости этого контура, и определяют коэфициенты влияния
этого перемещения на величину усилий, приложенных мембраной
к каждому отдельному контуру.
Дав некоторые фиксированные перемещения поочередно всем
внутренним контурам мембраны, составляют общее выражение
для усилий, действующих на каждый отдельный контур в функ-
функции от поперечной на мембрану нагрузки и от аксиальных пере-
перемещений ее отдельных контуров.
Система полученных уравнений является линейною относи-
относительно искомых аксиальных перемещений всех внутренних кон-
контуров мембраны. Разыскав все эти перемещения, дают всем внут-
внутренним контурам эти именно перемещения и, приложив к пленке
поперечную нагрузку, проверяют, достаточно ли точно удовлет-
удовлетворяются условия уравновешенности каждого отдельного контура.
Если эти условия соблюдены, то фиксируют форму пленки, со-
соответствующую ее нагруженному состоянию. Дальнейшая обра-
обработка решения ничем не отличается от той, к которой сводится
задача в случае односвязных контуров. Аналогичным путем мо-
может быть решена также и задача об изгибе многосвязных контуров.
Наметить на основании сказанного в главе VIII общий путь ее ре-
решения рекомендуется в порядке упражнения. Рассмотренный путь
решения задачи для многосвязных контуров был дан Гриффитсом.
§ 5. Применение резиновых мембран к решению уравнения Пуассона
Копф и Вебер,1 а также Бьецено и Кох2 применяли для по-
получения мембраны Прандтля резину.
Резиновые мембраны по сравнению с мыльной пленкой имеют
при экспериментальном решении уравнения Пуассона то преиму-
1 Е. Kopf und E. Weber, Z. V. D. I., Bd. 78, S. 913, 1938.
2 С. В. Biezeno und J. J. Koch, Ingenieur Archiv, Bd. IV, S. 384, 1933.
564
щество, что их поверхность является значительно более стойкой
и удобной для длительных обмеров. Они могут быть загружены
давлением не только равномерным, но и гидростатическим, ме-
меняющимся по линейному закону. Резиновые мембраны могут
дать решение уравнений A) и C), однако, лишь в случае, если
их натяжение будет во время опыта в достаточной мере равно-
равномерно. Затруднения, связанные с достижением должной равно-
равномерности натяжения резиновой мембраны во время опыта, могут
быть лишь частично преодолены увеличением начального натя-
натяжения мембраны.
При применении к решению уравнений A) и C) резиновой
мембраны последняя сначала распрямляется без натяжения. В этом
состоянии мембраны на ней вычерчивается круг, который затем
после установки мембраны в надлежащую рамку растягивается
в желательной мере. Правильность формы этого круга в растя-
растянутом состоянии гарантирует равномерность начального натяже-
натяжения мембраны. Нагрузка, прикладываемая к мембране во время
опыта, должна быть столь умеренной, чтобы не изменять более
или менее значительно начального ее натяжения.
Подробности, касающиеся этого способа решения уравнений
Пуассона, можно найти в работах упомянутых авторов.
§ 6. Применение электродинамической аналогии к решению задачи
об изгибе и кручении призматических стержней
Потенциал ш стационарного электрического поля в тонкой
пластинке постоянной толщины удовлетворяет уравнению
V2« = 0. . A2)
Поэтому стационарное электрическое поле может быть
использовано для экспериментального решения уравнения Лапласа
по заданным на контуре значениям искомой функции. Задача
об изгибе, а равно и кручении призматических стержней,
как было доказано выше в § 3, может быть приведена как
раз к разысканию некоторой функции, удовлетворяющей внутри
контура уравнению Лапласа, на контуре же принимающей задан-
заданные значения.
Поэтому решение задачи о кручении и изгибе призматических
стержней может быть получено экспериментально путем иссле-
исследования потенциала стационарного электрического поля в плоской
пластинке заданной конфигурации.
Эта возможность использована в работах Бьецено и Коха
и Кранца1.
Бьецено и Кох использовали для поставленной цели металли-
металлические пластинки и постоянный ток. Кранц заменил металличес-
металлическую пластинку (чтобы избежать возможных неравномерностей ее
электропроводности) налитой в особую ванну жидкостью и заме-
заменил постоянный ток переменным, чтобы иметь возможность опе-
1 Н. Cranz, Jngenieur Archiv, Bd. IV, S. 506, 1933.
565
Рис. 211.
рировать с ббльшими потенциалами поля. 'В остальном обе эти
работы по принципу сходны.
Принцип этот иллюстрируется рис. 211, на котором 1—2—3—
4—плоский проводник достаточно большого электрического сопро-
сопротивления (из манганина, константана или слоя электропроводящей
жидкости); Е— источник тока; В — одна из точек подвода тока
к исследуемому плоскому проводнику; Л —другая такая точка;
D — точка касания острия эле-
электрического щупа; V — вольт-
вольтметр; аЪ и cd— реостаты сопро-
сопротивления.
Работает эта схема так.
Сначала отнимают острие щу-
щупа D от проводника и присоеди-
присоединяют намертво один полюс сети
к одной из точек исследуемого
проводника (точка В). После это-
этого несколько иных точек иссле-
дуемого проводника (точек А)
присоединяют к цепи через соот-
соответствующие регулировочные
реостаты а—Ь и, варьируя сопро-
сопротивление этих реостатов, последовательными приближениями доби-
добиваются того, чтобы потенциалы в различных точках заданного
контура (измеряемые прикосновением щупа D и регулировкой
сопротивления в цепи этого щупа, приводящей показания вольт-
вольтметра V, в него включенного, к нулю) приняли значения, воз-
возможно более близкие к тем, которые искомая функция должна
принимать на контуре в соответствующей задаче теории упругости.
Когда это достигнуто, щуп D прикладывают поочередно
к различным точкам исследуемого поля, и, приведя показания
вольтметра каждый раз к нулю, определяют по реостату с—d
потенциал в этой точке. По полученным данным вычерчиваются
изопотенциальные линии и линии тока.
Дальнейшая обработка результатов наблюдения производится,
как в § 3.
Способ этот находит себе за последнее время в различных
технических вопросах широкое применение. У нас, в Союзе, он
был широко использован академиком Н. Н. Павловским1 в вопросе
об изучении движения фильтрационных вод под гидротехни-
гидротехническими сооружениями. Движение это определяется уравнением
Лапласа. Установки Н. Н. Павловского имеются в настоящее
время в ряде наших научно-исследовательских организаций. Они
могут быть использованы в решении рассмотренных выше задач
теории упругости, а равно и для определения напряжений
в круглых валах переменного сечения с помощью аналогии
Якобсена, рассмотренной выше в § 17 главы VII.
1 Н. Н. Павловский, Теория движения грунтовых вод под гидротехни-
гидротехническими сооружениями, Ленинград, 1922.
566
И. МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ
§ 7. Нахождение разности главных напряжений оптическим путем
Решение плоской задачи может быть получено аналитически
далеко не во всех случаях. Мы совершенно не располагали бы
во многих случаях решениями этой задачи, если бы нам на помощь
не пришел так называемый оптический метод, представляющий
в настоящее время уже весьма мощное средство для изучения
плоского напряженного состояния.
Основные уравнения плоской задачи
дх ' ду ' '
дх ' ду ~~
в случае, если объемные силы отсутствуют, обращаются в урав-
уравнения
17 + 1#==0
дх "Г" ~ду~ ~
которым, как мы то видели выше, можно удовлетворить, положив
х v у
Лх ~ ду^' гу — дх*' лу — Шду '
где функция <р удовлетворяет уравнению
V2V2=? = 0. A5)
В уравнения A3) и A5) упругие постоянные материала, пред-
пологаемого изотропным, не входят. Это дает возможность пред-
предположить, что плоское напряженное состояние не должно зави-
зависеть от упругих свойств материала, лишь бы он был изотропен
и следовал закону Гука и что картина напряжения, наблюдаемая
в одной изотропной упругой среде, может быть перенесена и на
другую такую среду.
Предположение это было высказано Морисом Леви. Оно пред-
предполагает, конечно, что на контуре заданы не перемещения, а
напряжения.
Впоследствии Майчел, исследуя этот вопрос более подробно,
установил некоторые ограничивающие условия, при которых
положение о независимости напряжения от упругих свойств
среды (так называемую теорему Мориса Леви) можно считать
справедливым (см. выше § 9 главы IX).
Теорема Мориса Леви даже после этого дополнительного
ограничения области ее применяемости весьма важна в том
отношении, что она дает возможность исследовать распределение
напряжений не обязательно в стали, меди или алюминии,
567
а в любом изотропном и следующем закону Гука теле, и пере-
переносить результаты этого исследования на другие тела. Можно
в частности пользоваться для изучения этой картины телами
прозрачными, такими как стекло, целлулоид, бакелит, фенолит
и т. п. Исследование прозрачных моделей получило большое
распространение потому, что при просвечивании прозрачных
моделей поляризованным светом некоторые прозрачные тела
оказывают на этот свет воздействие, зависящее от величины
и рода напряжений, имеющих место в теле.
В основном это воздействие сводится к следующему. Луч,
поляризованный в какой-либо плоскости, падая на плоское
напряженное тело, перпендикулярно к поверхности этого тела,
разделяется в каждой точке на два луча, плоскость каждого из
которых определяется направлением основного луча и направ-
направлением одного из главных напряжений в рассматриваемой точке.
Оба Эти луча проходят через тело с различной скоростью и при
выходе имеют некоторую разность фаз.
Непосредственно, однако, они еще не интерферируют, так
как их плоскости взаимно перпендикулярны. Для того, чтобы их
сделать когерентными, т. е. способными интерферировать, их
надо предварительно привести к общей плоскости. Это делается
в анализаторе, устанавливаемом позади испытуемого тела.
После выхода из анализатора оба упомянутые выше луча
интерферируют. Если модель освещается светом монохромати-
монохроматическим, то интерференция эта сказывается на силе результирую-
результирующего светового луча. Если модель освещается светом немоно-
немонохроматическим, лучи света разной частоты интерферируют в раз-
различной мере, и результирующий луч меняет свою окраску.
Изменение цвета результирующего луча является, таким образом,
гфункцией от разности главных напряжений той среды, через
которую наш поляризованный луч был пропущен.
Если напряженное состояние в разных точках среды, через
которую луч прошел, различно, то окраска лучей, прошедших
через различные точки модели, будет после выхода из анализа-
анализатора также различною1. Модель, освещенная немонохроматическим
поляризованным светом, представится нам покрытой разноцвет-
разноцветными полосами. Каждая полоса, имеющая определенный цвет,
является геометрическим местом точек, в которых разность
главных напряжений одинакова. Так как, однако, разность глав-
главных напряжений равна в каждой точке удвоенному значению
наибольшего скалывающего напряжения, то каждая линия опре-
определенного цвета (такие линии называются изохромами) есть
геометрическое место точек, в которых величина наибольшего
скалывающего напряжения одинакова. Зная цвет каждой изо-
хромы, мы можем судить на основании предварительной нагрузки
эталонных моделей о величине наибольшего скалывающего
1 Если модель осветить монохроматическим светом, то она представится
нам покрытой полосами одного цвета, отличающимися друг от друга только
силой освещенности; на ней яркие и темные полосы будут чередоваться.
568
напряжения, которому соответствует эта изохрома. Как ориен-
ориентированы площадки, в которых действуют эти напряжения, мы
на основании одной лишь картины изохром сказать ничего не
можем. Косвенные показания в отношении этой их ориентировки
мы, однако, в нашей картине можем иметь.
Действительно, осветив нашу модель светом, поляризованным
в некоторой плоскости, мы можем столкнуться с тем обстоятель-
обстоятельством, что в некоторых точках плоскость поляризации совпадет
с плоскостью одного из главных напряжений. В этих точках луч
пройдет через напряженную среду, не раздваиваясь на два луча,
и при выходе из напряженной модели будет поляризован в своей
первоначальной плоскости.
Если мы теперь установим анализатор так, чтобы он лучей,
поляризованных в этой плоскости, не пропускал, то мы луча
этого не увидим. Обычно поляризатор и анализатор так и уста-
устанавливают, ибо только при такой установке анализатора можно
достигнуть отчетливости изохром, и, следовательно, только они
обеспечивают равную силу света обоим интерферирующим лучам.
Поэтому все те точки модели, где одно из главных напряжений
совпадает с плоскостью поляризации света, ее освещающего,
должны нам представиться темными.
Геометрические места точек, в которых направления главных
напряжений одинаковы, называются изоклинами. Пропустив
через нашу модель свет, поляризованный в некоторой плоскости,
и поставив анализатор так, чтобы он не пропускал лучей, поляри-
поляризованных в этой именно плоскости, мы увидим темною ту изоклину,
в которой направление главных напряжений совпадает с плос-
плоскостью поляризации освещающего ее света или ей перпендику-
перпендикулярно. Поворачивая нашу модель по отношению к плоскости
поляризации прибора или, наоборот, вращая площадь поляризации
света, мы можем увидеть разные изоклины; они будут нам
представляться каждый раз темными полосами.
Таким образом, при той постановке опыта, которая описана
выше (модель устанавливается непосредственно между поляри-
поляризатором и анализатором), мы должны видеть смешанную картину:
на и з о х р о м ы, соответствующие каждая некоторому значению
наибольшего скалывающего напряжения и имеющие каждая
свой цвет, налагаются пересекающие их темные линии—изо-
линии—изоклины.
При поворачивании модели относительно прибора изохромы
остаются по отношению к модели на своих местах; изоклины же
меняют свою форму и перемещаются по модели.
Можно вовсе освободиться от изоклин. Для этого надо либо
быстро вращать прибор вокруг модели (способ этот непрактичен),
либо заставить плоскость поляризации света в приборе вращаться.
Последнее достигается установкой по обеим сторонам модели
тонких слюдяных пластин с надлежаще подобранным направле-
. нием оптической оси и толщиной. Этот способ применяется часто.
Установка слюдяных пластин освобождает изображение модели
от изоклин, позволяя наблюдать картину чистых изохром.
569
Таким образом, величина наибольших скалывающих напря-
напряжений в каждой точке, а, следовательно, и разность главных
напряжений в ней может быть определена непосредственно по
окраске проходящего через эту точку модели луча.
В качестве поляризаторов и анализаторов можно пользоваться
различными устройствами, из них наиболее известны николевы
призмы и зеркала. Первые дают более отчетливую картину
изохром, но небольшое поле зрения, так что с помощью их
трудно получить одновременно снимок со всей модели.
Зеркальные установки состоят из зеркал, устанавливаемых
под таким углом к направлению падающего на них света, чтобы
отражаемый ими свет был поляризован в максимальной степени.
Они дают большое рабочее поле до 600X600 мм, но менее
отчетливую картину в.каждой точке. Вследствие этого зеркаль-
зеркальные установки преимущественно служат для качественного
анализа» картины в целом, установки же с николевыми призмами —
для точных количественных промеров.
Для зеркал лучше всего употреблять гладко полированное,
совершенно черное стекло (марблит), так как оно в большей
мере обеспечивает поглощение всех неполяризованных лучей.
Сказанное выше относится к нахождению разности главных
напряжений. Разыскав ее, надо для полного представления о
величине главных напряжений определить дополнительно либо
одно из них, либо их сумму. Обычно определяют их сумму. Для
этого в настоящее время мы располагаем несколькими способами,
а именно:
а) оптико-механическим способом;
б) методом интегрирования по изохромам;
в) способом Фавра; в этом последнем способе, впрочем, опре-
определяется не сумма и разность главных напряжений в каждой
точке, а непосредственно каждое из главных напряжений по-
порознь; поэтому способ этот стоит несколько особняком от осталь-
остальных;
г) способ Ден-Гартога.
§ 8. Оптико-механический метод нахождения суммы
главных напряжений
В оптико-механическом способе главные напряжения Fx и Fz
в каждой точке определяются по разности их
определяемой изохромой, проходящей через эту точку, и по их
сумме
измеряемой по поперечному сжатию модели в данной точке.
Так как нормальное напряжение в площадках, перпендику-
перпендикулярных толщине модели, на поверхности модели равно нулю,
внутри же модели приблизительно равно нулю, то поперечное
570
по закону Гука должно
быть пропорционально сумме главных напряжений Ft и Fz:
ezz = ?"(¦* 1 ~Ь 'г)-
Измерив его, мы можем найти {F1 + F2) по формуле
^1 + ^2=- ~^- A6)
Для измерения деформации ezz сконструированы экстенсометры
различных систем. Наиболее известными из них являются при-
приборы Менаже, Хейманса и Кокера.
В приборе Менаже для наблюдения поперечных деформаций
испытуемых моделей использован принцип интерференции света:
деформация модели вызывает смещение двух стеклянных пла-
пластинок, расположенных настолько близко друг к другу, чтобы
между ними можно было видеть Ньютоновы кольца. Изменение
расстояния между этими пластинками вызывает смещение этих
колец, по которому и определяется деформация модели.
На том же принципе основано действие прибора, построен-
построенного перед войною для механической лаборатории б. Политех-
Политехнического института фирмой Фюсс в Берлине, по проекту про-
профессора С. И. Дружинина. Эта установка отличается такою
компактностью, что может быть монтирована на моделях, уста-
установленных на любом разрывном прессе, включая и пресс Гагарина.
Установка эта не дает общей картины изохром, она предназна-
предназначена для количественных промеров напряжений в модели от
точки к точке.
Для наблюдения разности главных напряжений в той или
иной точке модели в этой установке на избранную точку направ-
направляется луч поляризованного света от николевой призмы.
Анализатором служит другая николева призма, монтированная
так, чтобы их можно было поворачивать обе одновременно.
Для измерения суммы главных напряжений поляризационная
часть установки снимается, и вместо нее на модель надевается
экстенсометр, действующий примерно по тому же принципу, что
и в установке Менаже.
По отзыву проф. С. И. Дружинина прибор был очень недорог
и портативен. Он работал удовлетворительно, но, как первая
модель, нуждался в некоторых небольших видоизменениях в части
устройства экстенсометра. Последний был, однако, настолько
чувствителен, что позволял работать на стеклянных моделях.
Прибор Хейманса описан в № 11 „Американской техники" за
1926 г. Он грубее и позволяет работать только на таких мате-
материалах, как целлулоид.
В приборе Кокера, изготовляемом лондонской фирмой Адам
Хильгер, особенно замечательна конструкция экстенсометра. По-
Последний сконструирован так, что изменения толщины модели
вызывают поворот специального зеркальца, на которое направ-
направляется луч света от особой лампочки. Этот луч зеркальцем от-
571
ражается на вращающийся светочувствительный барабан, так что
изменения толщины модели могут быть записаны автоматически.
Для выверки цены делений этой записи прибор снабжен тари-
ровочным винтом. Он очень удобен и получил большое распро-
распространение во многих странах.
Ряд экспериментальных работ проф. Кокера, относящихся
к судовым конструкциям, можно найти, между прочим, в раз-
различных томах Transactions of the Institution of Naval Architects.
Поляризационная часть установки Кокера более обычна. Для
наблюдения картины изохром он пользуется в качестве поляри-
поляризаторов и анализаторов николевыми призмами, не дающими боль-
большого поля зрения. Последний недостаток присущ вообще поля-
поляризационным установкам, работающим от никелевых призм. По-
Поэтому особенно интересно видоизменение конструкции этих
установок, данное недавно в Японии профессором Туци.
В этой установке между источником света и испытуемой
моделью, помимо поляризатора, устанавливаются две линзы:
первая расширяет пучок света, выходящий из поляризатора, до
диаметра 135 мм и направляет его на модель; вторая сужает
его вновь, направляя в объектив фотоаппарата, в котором мон-
монтирован анализатор. Этим путем Туци удалось достигнуть не-
необычайной отчетливости снимков при довольно большом поле
зрения аппарата (d = 130 мм).
Работы Туци интересны также и еще в двух отношениях:
во-первых, он работает с очень интересным материалом — фено-
литом, соединяющим в себе высокие механические качества
с очень повышенной оптической чувствительностью; опублико-
опубликованные Туци картины изохром замечательны своей отчетливостью;
особенностью его метода является способ определения числа
изохром, прошедших при нагрузке модели через данную точку.
Туци использует для этого киноаппарат, светосила которого по-
позволяет делать до 30 снимков в секунду.
§ 9. Нахождение суммы главных напряжений методом
интегрирования
Метот интегрирования с помощью изохром и изоклин известен
также в нескольких вариантах.
Можно, например, задачу решать в декартовых координатах.
Действительно, мы знаем, что напряжения Хх, Хц и Yy в случае
отсутствия объемных сил должны удовлетворять уравнениям
+-8—0
дх ^ ду ~~ и .
A3)
дх ^ ду ~ и
Располагая картиной изоклин и изохром, мы располагаем для
интегрирования этих уравнений в каждой точке тела значениями
абсолютной величины разности главных напряжений \ Fx — F2\ и
572
направлениями обоих главных напряжений. Пользуясь этими
данными, мы можем найти для всех точек тела величины Х„ и
Действительно, пусть главные напряжения Fj_ и F% направлены
по отношению к осям ох и оу, как показано на рис. 212
У
-х
Рис. 212.
Предположив, что Fx> F2 и построив для напряженного со-
состояния в рассматриваемой точке круг Мора (рис 212), находим
*н=-^Цг^ sin 26, I
Хх- Yy = (F1-F2)cos2Ь,\
что после подстановки в A3) позволяет написать
i-^) cos 26],
A7)
дх
ду
ду
дх
A8)
Если сделанное предположение о знаке разности Ft — F2 пра-
правильно, то уравнение A8) должно быть интегрируемо и, следова-
следовательно, во всех точках тела должно быть
- F*)cos
A9)
. В этом случае интегрированием уравнений A8) можно опре-
определить Yy с точностью до постоянного неизвестного слагаемого,
определяемого из граничных условий.
После того как Yy найдено, Хх находится из уравнений A7).
У способа этого есть тот недостаток, что для проверки ра-
равенств A8) он требует двукратного диференцирования кривых,
полученных из опыта. Такое диференцирование всегда сопряжено
573
с большими погрешностями. Поэтому убедиться, что условие A8)
выполнено, практически почти невозможно.
Чтобы обойти это затруднение, ведут интегрирование не в де-
декартовых координатах, а в криволинейных координатах, совпа-
совпадающих с изостатами.
Уравнения равновесия упругого тела в изостатических криво-
криволинейных координатах были выведены еще Ламе.
В обозначениях задачи 30 главы I они выписываются (рис. 26)
так:
dF.z
ds,
B0)
Поэтому при перемещении по изостате, вдоль которой отсчиты-
вается sv
^i = -^*i- B1)
При перемещении же по изостате, вдоль которой отсчитывается s2,
"Г2 — ~ aS2- {^^f
Допустим, что в криволинейном четырехугольнике рис. 26
точки Л и С (рис. 213)
лежат на одной и той
же изоклине, так что
в точках Л и С направ-
направления напряжений оди-
одинаковы. Тогда, как
видно из рис. 213, при
переходе из Л в С с
точностью до малых
первого порядка долж-
должно быть
Изоклина
^+^ = 0 B3)
и, следовательно,
Рис. 213.
Обозначив через <р угол, составляемый касательной к изо-
изостате sx с каким-либо неподвижным по отношению к модели
направлением ох, видим, что
ds2
574
Поэтому заменою в B1) и B2) dsx и ds2 на d<? можно формулам
B1) и B2) придать вид
или, принимая во внимание B4),
^i = (^i-^)ctg^rf<p, | B5>
Зная Fx для какой-либо точки, лежащей на изостате, направлен-
направленной в этой точке параллельно Fls можно с помощью первого
из равенств B5), путем интегрирования вдоль изостаты, опреде-
определить Fx для всех точек рассматриваемой изостаты. Точно так же
для того, чтобы найти с помощью второй из формул B5) главное
напряжение F2 для какой-либо точки изостаты, вдоль которой
отсчитывается s2, достаточно знать F2 для одной какой-либо
точки этой изостаты.
Обычно Fx и F2 на контуре бывают известны, и формулы B5)
дают возможность определить Fx и F2 для всей исследуемой
области.
Этот метод определения величин Fx и F2 был предложен Фай-
лоном. Он не требует двукратного диференцирования, связан-
связанного с поверкой формулы A9). Результаты, даваемые им, не
могут отличаться, впрочем, особой точностью, так как измерение
углов tp и ф возможно по чертежу лишь приближенное.
Способ Файлона уступает в точности способу оптико-механи-
оптико-механическому. Его главное достоинство состоит в том, что он требует
наиболее простой аппаратуры и в частности позволяет обойтись
без экстенсометров, служащих для измерения поперечного сжа-
сжатия моделей.
При определении величин Fx и F% методом Файлона посту-
поступают так.
Получают с помощью оптического метода систему изоклин
для данного напряженного состояния. Зная их, по углу наклона
изостат в каждой данной точке строят сами изостаты. Когда их
сетка на чертеже нанесена, промеряют при движении вдоль каж-
каждой изостаты углы ф и dy и с помощью формул B5) интегриро-
интегрированием вдоль изостат определяют Fx и F2, идя от каких-либо
точек контура, где Fx и F2 известны.
Способ этот, как видим, требует довольно кропотливой работы.
§ 10. Определение главных напряжений способом Фавра
Самым точным из методов, известных в настоящее время,
является метод Фавра, разработанный автором его на основании
теории поляризации, данной Нейманом.
Согласно этой теории не только относительная разность хода
тех двух лучей, на которые разделяется поляризованный луч при
проходе через напряженную среду, пропорциональна разности
575
главных напряжений в этой точке, но и абсолютное изменение
длины хода каждого из этих лучей есть линейная функция обоих
этих напряжений.
Если мы назовем величиной ).х разность хода луча, поляри-
поляризованного в плоскости, совпадающей с напряжением/7!, Х2— раз-
разность хода луча, параллельного F2, то по Нейману
Измерив порознь ).х и J, мы можем, следовательно, судить
непосредственно о величине, как Flt так и Г2.г
Эти измерения Фавр выполняет с помощью интерферометра
Модечь
Экран
Схематически его установка изображена на рис. 214, где
она показана в плане.
На этом рисунке А и D — зеркала, засеребренные наполовину.
Они устроены так, что пропускают сквозь себя около половины
лучей, а другую половину отражают. В и С — зеркала, засереб-
засеребренные полностью. Они отражают почти полностью все лучи, на
них падающие.
Луч света от источника Е пропускается через николеву приз-
призму F и падает на зеркало А. Этим последним зеркалом он раздво-
яется. Часть его проходит через испытуемую модель и затем
через зеркало D. Другая проходит путь ABCD. В зеркале D оба
луча соединяются и интерферируют.
Опыт ведется следующим образом. Сначала между точками А
и D устанавливается испытуемая модель в ее естественном, не-
деформированном состоянии. Компенсатор, установленный между
точками А и В, подбирается так, чтобы лучи, сходящиеся в
точку D, интерферировали на полную силу света.
Устанавливается анализатор Н, плоскость поляризации кото-
которого повернута под прямым углом к соответствующей плоскости
поляризатора.
1 Теория Неймана не противоречит тому, что мы принимали выше в §7,
а только дополняет сказанное там. Действительно, вычтя равенства B6) друг
из друга, мы получим
Х1 — Х2 = (а - Ь) (F, - /=•„),
¦что и предполагалось в § 7.
576
Луч ABCD затемняется, и модель загружается. Поворачива-
Поворачиванием вместе и поляризатора и анализатора находят направления
главных напряжений Fx и Fa.
Поляризатор F устанавливается в плоскости напряжения Fx.
Экран, служивший для затемнения луча ABCD, снимается. На-
Наблюдается разность хода ).х. Поляризатор и анализатор устанав-
устанавливаются в плоскости F2. Определяется Х2.
Для большего удобства наблюдения интерференции лучей,
сходящихся в точке D, одно из зеркал В или С поворачивает-
поворачивается на малый угол так, чтобы лучи, выходящие из точки D, были
наклонены под очень небольшим углом.
Оба луча улавливаются на экране L. На этом экране полу-
получаются вертикальные интерференционные полосы, смещающиеся
в бок при нагрузке модели. Разность хода \ и \2 наблюдается
по этому смещению интерференционных полос.
Когда \ и \2 найдены, то для определения Ft и F2 имеются
два уравнения B6). Кроме того, мы можем определить непосред-
непосредственно разность Fx и F2 по изохромам, как в § 7. Таким обра-
образом, для определения двух величин мы располагаем в этом спо-
способе тремя уравнениями, одно из которых является контрольным.
Фавр обрабатывает результаты наблюдений по способу наимень-
наименьших квадратов. Результаты, полученные им для некоторых
силовых полей, хорошо изученных теоретически, оказались точ-
точными до долей процента.
Метод Фавра является в настоящее время самым совершен-
совершенным из методов оптического изучения плоского напряженного
состояния, но требует наиболее сложной аппаратуры.
§ 11. Определение главных напряжений по методу Ден-Гартога
В самое последнее времях очень интересный новый прием
определения Fx + F2 был предложен Ден-Гартогом.
Прием этот основан на том, что сумма Fx-\- F^ в случае отсут-
отсутствия объемных сил должна удовлетворять гармоническому урав-
уравнению
в чем легко убедиться, приняв во внимание основные зависи-
зависимости плоской задачи A4) и A5), а также известное равенство
Для определения граничных условий мы имеем во всех точ-
точках исследуемого поля картину изохром, позволяющую считать
величину Ft — F2 известною также и на контуре.
Если на контуре скалывающие напряжения отсутствуют, то
во всех точках контура одно из главных напряжений направлено
нормально к контуру и является заданным, второе направлено
1 Z. A. M. M., S. 156, 1931.
Ing. Archiv, 1933.
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—37 577
по касательной к контуру и неизвестно. Таким образом, во всех
точках контура нам известна разность Fx — Fa и одна из величин
Ft или F%, так что найти вторую, а также их сумму не состав'
ляет вообще труда. Когда Fx -\- F2 указанным способом для всех
точек контура найдено, задача о разыскании величины Ft -f- F2
для всего исследуемого поля сводится к нахождению такого
интеграла уравнения
V4/4+ /=•,) = о,
который бы принимал во всех точках контура заданные значения.
Так как уравнению V2( ) = 0 удовлетворяет поверхность рав-
равномерно натянутой не нагруженной мембраны, а также потен-
потенциал стационарного электрического поля, то получить экспери-
экспериментально (F14-F2) можно с помощью мыльной пленки (см. выше
§ 3), а равно и электродинамической аналогии.
Пользуясь этим методом, следует помнить, что при выводе
основного уравнения A5) было сделано допущение, что материал
изотропен и следует закону Гука. Поэтому способ Ден-Гартога
применим к исследованию только тех силовых полей, в которых
напряжения нигде не превышают предела пропорциональности.
Впрочем, вообще применимость оптического метода к полям, не
следующим закону Гука, еще не обоснована достаточно хорошо.
При исследовании силовых полей, в которых материал сле-
следует закону Гука, способ Ден-Гартога сводит более сложную
задачу интегрирования бигармонического уравнения
к значительно более простой в аналитическом отношении задаче
об интегрировании уравнения гармонического
методы экспериментального решения которой хорошо разрабо-
разработаны.
§ 12. Применение электродинамической аналогии к плоской задаче
Выше в главе IX было показано, что функция Эри, связан-
связанная в плоской задаче с компонентами напряжений зависимостя-
зависимостями A4), может быть выражена через три гармонических функции
0t с помощью равенства
0о, B7)
причем, не нарушая общности решения, можно в B7) либо от-
отбросить одну из трех функций 0*, либо же связать 0i и 02
друг с другом посредством зависимостей Коши-Римана
дх ~ ду ' } B8)
ду ~ dx
578
}
I
Потенциал u> стационарного электрического поля в проводни-
проводнике постоянной толщины удовлетворяет, как известно, уравнению
Лапласа. Поэтому в равенстве B7) под функциями 0,- можно
подразуметь три соответствующих функции потенциала стацио-
стационарного электрического поля в исследуемой области или же две
функции потенциала ш и сопряженную с одной из них посредст-
посредством зависимостей
дх
~ду
ду'
функцию тока ф.
При решении плоской задачи этим методом весь вопрос сво-
сводится к разысканию тех именно стационарных электрических
полей, потенциалы которых по подстановке их в равенство B7)
и A4) дают в плоской задаче решение, удовлетворяющее постав-
поставленным краевым условиям. Прд разыскании этих стационарных
электрических полей могут быть полезны следующие соображе-
соображения.
Всякое стационарное электрическое поле вполне определяется
значениями его потенциала на границах исследуемой области.
Поэтому задача о разыскании нужных нам стационарных электри-
электрических полей может быть сведена к разысканию краевых значе-
значений их потенциала. Разыскание же этих последних можно вести
так.
Функции 0о и 0Х должны быть на контуре периодическими
функциями от s и могут, следовательно, быть каждая представ-
представлена на контуре некоторым тригонометрическим рядом.
Пусть на контуре
о = 2. {
0о = 2. {°к cos
>.-2(<
_, V ( kns
0! = 2,- (сь cos т
kns
B9)
где / — длина периметра всего рассматриваемого контура.
Заставив функции 0,- поочередно принять на контуре значе-
значения, соответствующие каждому отдельному члену рядов B9),
можно с помощью электродинамической аналогии определить
соответствующие им значения функции Эри во всех точках ис-
исследуемой области и по ним соответствующие им функции afc(s),
P*(s), u-(s) и h(s) в выражениях
C0)
579
= S [Ck U (s) + dk h (s)],
Если на контуре должно быть (см. § 6 гл. IX)
& = /.(*).)
где /x(s) и /2(s) — заданные функции от s, то постоянные ак, Ьк>
ск и dk, входящие в B9), надо определить из уравнений
Ъ [Ск Tfc (s) + dk Ьк (s)] = /2 (s), J
для чего, вообще говоря, достаточно решить систему алгебраи-
алгебраических линейных уравнений, получающихся из C2), путем умно-
умножения каждого из уравнений поочередно на cos-|^ и sin -^
с последующим интегрированием результата по s в пределах
всего периметра рассматриваемой области.
После того как ак, Ьк, ск и dk указанным образом найдены,
достаточно подсчитать 0О и 0Х для всех точек контура с по-
помощью формул B9) и затем разыскать с помощью электродина-
электродинамической аналогии 0О и 0г для всей исследуемой области.
После этого для определения компонентов напряжений останется
воспользоваться равенствами B7) и A4).
Методом электродинамической аналогии принципиально воз-
возможно решить всякую плоскую задачу, если только на контуре
(р и -Д могут быть представлены в форме тригонометрических
рядов от s. Основное затруднение, стоящее на пути практиче-
практического использования этого метода заключается в трудности опре-
определения Хх, Yy и Ху по у, заданному графически. Зная ?, мы
находим Хх, Yy и Ху с помощью формул A4) путем двукратных
диференцирований; диференцирование же функций, не имеющих
аналитического выражения, тем более двукратное, выполнено
более или менее точно быть не может.
Если бы мы сумели получить решение плоской задачи, в ко-
котором компоненты напряжений выражались бы не производными,
а интегралами от функции напряжения, то область применения
электродинамической аналогии для решения плоской задачи была
бы резко расширена, так как этим было бы устранено основное
затруднение, связанное с практическим использованием этого
метода в названной задаче.
Такое решение получить можно. Действительно, приняв
C3)
580
о о
где Ф — произвольная функция от х и у, а /,• — произвольные же
функции от х или у соответственно, мы, * очевидно, удовлетво-
удовлетворяем уравнениям равновесия A3).
Чтобы полученное решение удовлетворяло еще условию
V'2№+^) = 0, A5)
вытекающему в плоской задаче из условий сплошности тела, мы
должны подчинить функцию Ф уравнению
2Ф+/ЯПdx2+//S &+к о)+#*>=°- C4)
Диференцируя это последнее уравнение два раза по х, а за-
затем два раза по _v, видим, что функций Ф может ему удовле-
удовлетворять лишь в том случае, если она удовлетворяет уравнению
=а C5)
Таким образом по смыслу сделанного вывода функция Ф,
входящая в решение C3), должна удовлетворять тому же бигар-
моническому уравнению, что и функция Эри. Но если функцию
Эри достаточно подчинить уравнению
v2v2? = o,
чтобы удовлетворить условию
то функцию Ф в решении C3) надо подчинить не только бигар-
моническому уравнению C5), но еще некоторым дополнительным
таким условиям, чтобы она удовлетворяла помимо уравнения C5),
еще и уравнению C4).
На подробном рассмотрении этих условий останавливаться
здесь мы не можем.
§ 13. Составление приближенных выражений для функции Эри
по данным оптического метода
Как то явствует из сказанного выше в § 7, оптический метод
позволяет определить для всей исследуемой области, в том чи-
числе и для точек, лежащих на ее границе, направление обоих
главных напряжений и их разность.
Пусть Fj и F2- два пока порознь неизвестные главные на-
напряжения в какой-либо из точек контура, в которой напряжения
X., и У, известны. Пусть (рис. 215) а есть угол, на который по
отношению к осям главных напряжений наклонены оси ох и оу
в рассматриваемой точке контура.
Уравнения равновесия элементарного тетраэдра позволяют
заключить, что в этой точке напряжения X., и Y^ связаны с^и
F2 зависимостями
Х-, = Fi_ cos а -{- F2 sin а, i ,„ „.
Y, = — Fx sin а -(- F2 cos a J
581
или, что то же, равенствами
к, =
1
;а — sin a],
"i + ^2) (cos а ~ sIn а) ~ Ci ~ Рг) (cos а + sin а)]>
C7)
позволяющими найти сумму главных напряжений, если для рас-
рассматриваемой точки контура
Fx — F2 и а найдены.
Данные оптического метода
позволяют как-раз определить
Fx — F2 и а для всех точек
контура, а, следовательно, най-
найти для всех этих точек значе-
значение суммы главных напряже-
напряжений, т. е. величины Fx + F2.
Мы видели, однако, выше
[см. формулы A4) и A5)], что
сумма главных напряжений
удовлетворяет внутри конту-
'• ра, занятого телом, уравнению
Рис- 215- Лапласа
V2(^i + /72) = 0. A5)
Припоминая, что функция, удовлетворяющая уравнению Лап-
Лапласа, вполне определяется ее. значениями на контуре, можем
считать, что сумма Fj_ + F2 может быть найдена, коль скоро ее
значения на контуре известны. Ден-Гартог предложил исполь-
использовать для нахождения величины Fx + F2 внутри исследуемой
области по значениям, принимаемым этой величиною на контуре,
способ мыльной пленки. Можно, однако, вместо эксперимен-
экспериментального определения функции Z^+Z^ 'составить приближенное
аналитическое выражение для этой функции. Для этого можно
использовать любой способ приближенного решения задачи Ди-
Дирихле, т. е. задачи о нахождении гармонической функции, при-
принимающей на контуре заданные значения.
Одним из наиболее удобных является следующий.
Известно, что всякую функцию гармоническую внутри кон-
контура S, а, следовательно, и функцию Fi + F2= W(x, у) можно
представить в форме интеграла
W{x, y) =
C8)
где интеграл берется по всему контуру S, p(s) некоторая пока
неопределенная функция от положения точки ца контуре, т. е.
от координаты s (рис. 216), измеряемой вдоль периметра иссле-
исследуемого контура, а?е — углы, под которыми видны элементы пе-
периметра контура ds из точки Р(х, у), которой соответствует зна-
значение величины W{x, у).
582
В теории логарифмического потенциала доказывается, что
функция W(x, у), определяемая равенством C8), удовлетворяет
уравнению
Va IF (я, у) = 0
внутри исследуемого контура, на контуре же обращается в за-
заданную функцию от s, скажем f(s), если p(s) подобрано так,
что на контуре
C)|г *> = */(*)¦ C9)
Разбив контур S, ограничивающий исследуемую область на
ряд участков, можно, следуя Н. М. Крылову и А. Н. Боголю-
Боголюбову, принять за основные не-
неизвестные значения функции
}*(s) в средине каждого из этих
участков и, выразив через эти
основные неизвестные интегра-
интегралы, входящие в левую часть
равенства C9), составить с по-
помощью этого равенства столь-
столько алгебраических линейных
уравнений относительно не-
неизвестных p. (s), сколько их
требуется определить. Решив
полученную систему уравне-
уравнений относительно [* (sj, [* (s2)
и т. д., мы будем знать для
p(s) ряд частных значений и сможем по ним подобрать прибли-
приближенное аналитическое выражение для p.(s). Подставив найден-
найденное выражение для p(s) в формулу C8), мы будем иметь при-
приближенное выражение для функции W{x, у) = Fx-\- Fa, удовле-
удовлетворяющей уравнению Лапласа внутри исследуемой области, на
границе же принимающей заданное значение.
Этот путь приближенного решения задачи Дирихле был ука-
указан Н. М. Крыловым и А. Н. Боголюбовым. Идея использования
его для нахождения суммы главных напряжений по данным оп-
оптического метода принадлежит П. Ф. Миклухину.
Развивая эту методу, можно применить ее не только для
нахождения суммы главных напряжений Fx -\- F2 связанной в пло-
плоской задаче с функцией Эри зависимостью
Рис. 216.
V2? = /Ч + Fv
D0)
но и вообще для разыскания функции Эри по данным оптиче-
оптического метода.
Действительно, если сумма Fx + F2 нам известна, то тем самым
нам известен лапласиан функции <р. Приняв
0О,
D1)
583
мы будем иметь
• дх к '
Уравнивая V2?, даваемые равенствами D0) и D2), заключаем, что
дх
и, следовательно,
+/00, D3)
где f(y) должно быть подобрано так, чтобы 0Х удовлетворяло
уравнению Лапласа.
Подставляя найденное 0Х в D1) заключаем, что коль скоро
сумма /\ + F2 найдена, то можно за <р принимать
FJdx+0o + х /(у), D4
где 0о — некоторая пока неопределенная функция от л; и у,
удовлетворяющая уравнению Лапласа.
Мы видели выше в § 6 главы IX, что если нагрузка на кон-
контуре известна, то значение функции ср можно вычислить для всех
точек контура.
Равенство D4) позволяет поэтому разыскать граничные зна-
значения функции 0О, а по ним методом, который был описан выше
применительно к разысканию функции Fx -+¦ F2 = V2?, опреде-
определить и самую функцию 0О.
Пусть 0о(«) — те значения, которые в функции от s должна
принимать функция 0О на контуре исследуемой области.
Определив функции v(s) из уравнения
ttv (s) + f v(a)-g <fo = *0О (s), D5)
s
можно по сказанному выше принимать, что внутри исследуемой
области
fs)?ds. D6)
При этом способе приближенного нахождения функции Эри
по данным оптического метода нам необходимо с помощью оп-
оптического метода разыскать значение величины Fx — F2 и а, а по
ним величины Ft -\- F2 лишь для точек, лежащих на границе
исследуемой области.
584
Если бы мы, вовсе не располагая данными оптического ме-
метода, приняли для функции Эри
х
<р = j xfdxf^s) ^ds+f vE) -g- ds, D7),
о S S
то мы должны были бы разыскать функции jj.(s) и v(s) из двух
совокупных интегральных уравнений, вытекающих из граничных
условий на контуре исследуемой области.
При наличии данных оптического метода задача весьма силь-
сильно упрощается, так как данные эти дают возможность опреде-
определять функции p(s) и v(s), каждую из своего притом относительно
простого интегрального уравнения.
Этот способ обработки данных оптического метода заслужи-
заслуживает во всяком случае не меньшего внимания, чем способ инте-
интегрирования по изостатам, изложенный выше в § 9.
ГЛАВА XIV
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Общее выражение для работы внешних сил
Для доказательства некоторых общих положений теории упру-
упругости нам понадобится одна форма общего выражения для
работы внешних сил, к рассмотрению которой и перейдем.
Допустим, что Хе, Ye, Ze — составляющие различных внеш-
внешних сил, приложенных к упругому телу, точки которого под
влиянием каких-то причин (каких именно, пока не рассматри-
рассматриваем) получают некоторые произвольные перемещения и, v, и w,
и подсчитаем работу сил Хе, Ye, Ze на упомянутых только-что
перемещениях и, v и w.
Для этого нам надо, очевидно, подсчитать величину
где суммирование распространяется на все внешние силы, к телу
приложенные.
Мы знаем, что внешние силы, приложенные к упругому телу,
можно подразделить на силы объемные и силы, приложенные
к поверхности тела.
На всякий элементарный параллелепипед размерами dx, dy
и dz внутри тела вообще может действовать объемная сила, со-
составляющие которой
Xdxdydz, Ydxdydz и Zdxdydz
производят на перемещениях и, v и w работу
(Хи +Yv + Zw) dx dy dz.
Поэтому работа всей совокупности объемных сил, приложен-
приложенных к телу, производимая на рассматриваемых перемещениях их
точек приложения, выражается интегралом
fff(Xu + Yv + Zw) dx dy dz,
взятым по всему объему, заполненному материалом тела.
586
На каждый элемент поверхности тела может действовать сила,
составляющие которой суть
X, dS, К, dS и Z, dS,
где dS — площадь рассматриваемого элемента поверхности тела,
а -ЛГ,, У-, и Z-, — напряжения на поверхности тела в районе
этого элемента. На рассматриваемых перемещениях u, v и w
силы эти совершают работу
Сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных
к поверхности тела, выражается поэтому интегралом
, u + YvV + Z,w) dS,
взятым по всей поверхности тела.
Искомая работа всех внешних сил, действующих на тело,
может быть, следовательно, представлена зависимостью
? {Хеч + Yev + Zew) = fjf (Xu + Yv + Zw) dx dy dz +
+ //(*, и + У„ v + Z, w) dS. A)
Преобразуем выражение A), для чего прибавим к его правой
части величину
очевидно тождественно равную нулю. При этом примем, что
/ = //{[Хх cos (ус, v) + Ху cos (у, v) + Xz cos (z, v)]«+;
4- [Yx cos (x, v) 4- Yy cos (y, v) 4- Yz cos (z, v)] v + B)
4- [Zx cos (x, v) 4- Z» cos (y, v) 4- Zz cos {z, v)]
где Л"ж, Yy,... Zx — компоненты некоторого напряженного со-
состояния, не обязательно соответствующего нагрузке Хе, Ye, Ze
или перемещениям м, v и w, т. е. компоненты некоторого на-
напряженного состояния, пока совершенно произвольного.
Преобразуем правую часть выражения B), приняв во вни-
внимание, что
cos (x, v) dS = dy dz,
cos (у, v)dS = dzdx,
cos (z, v) dS = dx dy
и что распространенные на всю поверхность тела интегралы
ffydxdy,
ffydydz,
j jvdzdx
587
должны быть соответственно равны распространенным на весь
объем тела интегралам
IIШdxdydz'
fff% dxdydz,
Это позволяет величину /, определяемую равенством B), вы-
выразить также так:
(**« + Y*v + Z^°) + 1$ (X»u + *> + Z^> +
+ A {xzu + Yzv + Zzw) dx dy dz, C)
где интегрирование распространяется на весь объем тела.
Прибавив к правой части равенства A) величину C) и вычтя
из результата тождественно ей равную правую часть равенства B),
получаем вместо A) равенство
% + Yev + Zew) =
~ U {^ ~ Хх cos (¦*•v^ ~ ^cos (?'') ~~ ^z cos (z> v^u "^
+ [Y-, — Yx cos (x, v) — Yv cos (у, v) — Yz cos (z, v)] v +
+ [Z, — Zx cos (x, v) — Zg cos (y, v) — Zz cos (z, v)] w} dS +
В этом выражении по смыслу сделанного вывода внешние
силы X, Y, Z, Хч, Yi и Z,, перемещения и, v и w, а также
напряжения Хх, Yg>... Zx могут соответствовать трем разным
произвольным напряженным состояниям тела.
Введем теперь в рассмотренные компоненты деформации em,
епу-^2х, соответствующие некоторому четвертому произволь-
произвольному напряженному состоянию рассматриваемого тела.
Прибавив к правой части равенства D) величину
ад + У^+ Zxezx] dx dy dz -
II *» + Y*ev- + Z*e*J dx аУ dz
588
тождественно равную нулю, мы, очевидно, не нарушим этого
равенства. Это позволяет переписать равенство D) так:
= ff{[X4 — Хх cos (л, v) — Ху cos (у, v) — Хг cos (г, v)] и +
+ [П - Кх cos (х, v) - Yg cos C/, v) - Yz cos (г, v)] г» +
+ [Z — Zx cos (x, v) — Ztf cos (y, v) — Zr cos (г, v)]
+
-)]*»*
-•-)]*»**
+ Yyeyg + Z.ezz + Ar{,ext, + Гге„г + Zx^rx] dx dy dz. E)
Равенством E) и дается то выражение для работы внешних
сил, вывести которое мы ставили себе целью.
В нем работа внешних сил, соответствующих одному произ-
произвольно выбранному напряженному состоянию, производимая на
перемещениях, соответствующих другому произвольному напря-
напряженному состоянию, связана несколько искусственным образом
с компонентами напряжения некоторого третьего и компонен-
компонентами деформации некоторого четвертого произвольного напря-
напряженного состояния.
Полученная зависимость, представляющаяся на первый взгляд
весьма искусственной, на самом деле очень удобна как для до-
доказательства ряда общих теорем теории упругости, так и для
оценки значения этих теорем в ряду остальных основных зави-
зависимостей теории упругости.
Все те общие теоремы теории упругости, которые мы имели
в виду здесь рассмотреть, можно вывести непосредственно из
равенства E). Для этого нужно лишь привести четыре напря-
напряженных состояния, являющихся в формуле E) произвольными
напряженными состояниями, каждый раз в определенное соот-
соответствие друг с другом.
§ 2. Теорема Клапейрона
Допустим что в формуле E) внешние силы X, Y, Z и Х-, ,
Уч, Z, равно как и перемещения и, v и w, а также деформа-
деформации вхх, eyy,...ezx и напряжения Хх, Yy,...Zx соответствуют все
одному и тому же напряженному состоянию.
589
Тогда в силу уравнений равновесия всех элементарных па-
параллелепипедов и всех элементарных тетраэдров, на которые тело
можно мысленно рассечь, а равно и в силу зависимостей между
компонентами перемещения и компонентами деформации, давае-
даваемыми уравнениями Коши, в правой части равенства E) все
интегралы кроме последнего обратятся в нуль, и равенство E)
примет вид
+ Zzezz + Xuexg + Yzeyz + Zxezx) dx dy dz. F)
В § E) главы III было, однако, показано, что если тело
следует закону Гука, то
+ Zzezz + Хдех„ + Yzevz + Z^ = 2 W,
где W есть потенциальная энергия единицы объема тела. Эта
позволяет считать, что если только рассматриваемое
тело следует закону Гука, то работа внешних сил,
производимая на перемещениях, им статически
соответствующих, связана с потенциальной энергией тела
зависимостью
Yev + Zew) = 2/// Wdx dy dz = 2V, G
т. е. равна удвоенной потенциальной энергии тела
в напряженном состоянии, статически соответствующем действию
рассматриваемых внешних сил.
Это положение носит наименование теоремы Клапейрона и
иногда весьма упрощает разыскание потенциальной энергии тела.
Мы будем им пользоваться при решении некоторых задач строи-
строительной механики корабля.
§ 3. Начало взаимности
Пусть Х'е, У'е и Z'e и Х"е, Y"e и Z"e — две разных нагрузки тела
и пусть первой из этих нагрузок соответствуют объемные силы
X, Г, Z,
напряжения на поверхности
к к, z:,
компоненты напряжений
Лх> ry>---Zx>
компоненты деформаций
вхх> еуу> • ¦ • ezx
и перемещения
и', v', w',
590
все же соответствующие величины второго напряженного состоя-
состояния суть X", У, Z', XI, Г;, Z':- X'x, Y'y,...Z-x-e'xx, ёуу,.. .ezx, и",
-Vя, W".
Подсчитаем сумму работ усилий Х'е, Y'e, Z'e, производимых на
перемещениях-и", v", w", и сравним ее с суммой работ усилий X"
Y"e, Z"e, производимых на перемещениях и', v' и w'.
Для вычисления работы
у + уу + zy)
воспользуемся формулой E), подразумевая в ней под и, v и w
перемещения и", v" и w"; подиях, ет,.. .ezX — компоненты де-
деформации, кинематически соответствующие перемещениям и", v"
и w*', т. е. связанные с и", v" и w" уравнениями Коши, а под Хх,
Yg,...Zx — компоненты напряжений Х'х, Y' ...Z'x, статически со-
соответствующие нагрузке Х'е, Y'e, Z'e.
При этих допущениях формула E) дает
=Икк Кх+к eiy+z;««+ху е"ХУ+к e:*+zxx) <** ъ **,
где суммирование распространяется на все внешние силы, входя-
входящие в состав первой из рассматриваемых нагрузок тела, а интег-
интегрирование распространяется на весь объем тела.
Аналогичным образом для работы усилий Х"е, Y"e, Z"e, состав-
составляющих вторую нагрузку тела, производимой на перемещениях,
соответствующих равновесию под действием нагрузки Х'е, Y'e, Z'e>
находим
? у + Yy + Z'eW) =
= Iff (K<
Выше, в § 5 главы III было, однако, доказано, что если только
тело следует закону Гука, то для всяких двух напряженных со-
состояний
Принимая это во внимание, видим, что если рассматри-
рассматриваемое тело следует закону Гука, то суммы работ
сил, составляющих одну нагрузку тела, произ-
производимых на перемещениях, статически соответ-
соответствующих другой нагрузке тела, всегда связаны
условием
2 (Х'е U" +KV + Z'e W") = g (Xe U' + Ye V + Ze W% (8)
т. е. взаимно равны.
591
Положение это, высказанное применительно к упругому телу
Бетти, носит в теории упругости и в строительной механике
наименование теоремы Бетти или начала взаимности.
Оно имеет особо важное применение в строительной механике,
где в частности позволяет свести построение линий влияния
к разысканию соответствующих упругих линий.
§ 4. Начало возможных перемещений
Предположим, что и, v и w — перемещения, соответствующие
действию объемных сил X, Y, Z и поверхностных сил Хч, Y4, Zv, a
ом, 8<у и bw — некоторые бесконечно малые их приращения, во-
вообще различные в различных точках тела и совместимые с усло-
условиями закрепления тела к внешнему пространству. Подсчитаем
с помощью формулы E) работу внешних сил, производимую на
перемещениях 8м, 8г> и bw.
Для этого заменим в этой формуле и, v и w на 8м, 8г> и bw,
а е^ ет, ... ezx кинематически им соответствующими прираще-
приращениями компонентов деформации S^, Ьеуу, ... §е2Х. Напряжения Хх,
Ys, ... Zx примем при этом статически соответствующими силами
X, Y, Z, Хч, Y4, Zv, т. е. связанными с нагрузкой тела уравне-
уравнениями равновесия. Тогда из равенств E) будет следовать
(ХМ + Yebv + Zebw) =
e^ + Y9ben + ... + ZJ>ezx) dx dy dz.
-///¦
Если исследуемое тело является настолько жестким, что его
потенциальная энергия зависит исключительно от компонентов
напряжения или компонентов деформации, то, как мы то уже
видели в главе III, можно принять
ХхЬехх + Y4bew +...+ Zxbezx = 8 W,
где W— потенциальная энергия единицы объема. Принимая это
во внимание, видим, что если только исследуемое тело
является достаточно жестким для того, чтобы по-
потенциальную энергию его можно было считать
функцией одних лишь компонентов деформации
или компонентов напряжения, то при всяком ма-
малом возможном отклонении тела от положения рав-
равновесия под действием нагрузки Ае, Ye, Ze работа
всех внешних сил связана с изменением потенциальной энер-
энергии тела зависимостью
и + Yjto + Zebw) = 8 fjj W dx dy dz = IV (9)
и, следовательно, равна приращению потенциальной
энергии тела.
Положением этим формулируется применительно к телам,
рассматриваемым в теории упругости, начало возможных
перемещений.
592
Начало это, как наиболее общее начало статики, может за-
заменить собою в теории упругости все уравнения равновесия.
Убедиться в этом можно следующим путем. Допустим, что
при всяком малом отклонении тела от некоторого напряженного
состояния сумма работ всех действующих на него внешних сил
Хе, Ye и Г1е равна приращению потенциальной энергии тела, так
что
? (ХМ + Yebv + Zebw) = bV =
= /// (Х>« + Yvbem + ... + ZJ>ezx) dx dy dz. (9)
Если это так, то в выражении
? (ХМ + Yebv + Zebw) =
= //{[Xv - Хх cos (x, v) - Xg cos (y, v) - Xr|cos (z, v)] 8« +
+ [Г, - Уж cos (л, v) - Yg cos (y, v) - Yz cos B, v)] bv +
+ [Zv — Zx cos (л, v) — Zy cos (y, v) — Zz cos (z, v)] 8w} dS +
+ fff[XJ>exx + Yvbem + ZZ8^« + X^^ + УГ8^2 -f ZX8^J dx dydz
все интегралы, заключающие в виде множителей величины 8и,
8г> и 8ге>, равны нулю, при всякой малой вариации величин
Ьи, 8<у и %w, а последнее возможно лишь в том случае, если между
X, К, Z, X , К, и 2 и Хх, Yy, ... Zx существуют зависимости
Хх cos (x, v) + Хн cos (у, v) + X, cos (г, v) = Х,„
т.-е. если то напряженное состояние, при всяком малом отклоне-
отклонении, от которого условие (9) соблюдено, статически соответствует
равновесию под действием данной нагрузки.
Таким образом, начало возможных перемещений не только
вытекает в теории упругости из уравнений равновесия тела, но
и является положением, могущим в теории упругости заменить
собою все уравнения равновесия.
Как показал Треффц, из него можно в частности вывести все
уравнения равновесия, относящиеся к любой системе криволи-
криволинейных координат.
П . Ф. Папкович, Теория упругости—436—38 593
Это совершенно естественно, так как начало возможных пе-
перемещений есть наиболее общее начало статики.
Совершенно естественным является и то, что начало возмож-
возможных перемещений, как наиболее общее начало статики, приме-
применимо к задаче об определении равновесного состояния упругого
тела независимо от того, удовлетворяет ли последнее закону
FyKa или же нет.
Некоторые приложения, которые начало возможных переме-
перемещений может иметь в теории упругости, будут рассмотрены
ниже.
§ 5. Начало виртуальных изменений напряженного состояния
Допустим, что действию некоторой совокупности внешних
сил в рассматриваемом упругом теле соответствуют напряжения
Хх* Yy, ... Zx, перемещения и, v и w, деформации е^, ет ... ezX.
Величины и, v и w, с одной стороны, и е^, ет, ... ezz, с дру-
другой, должны при этом быть связаны уравнениями Коши
ди ди . д»
е** ~ ~дх' вх«~ ду + 7iJ;
dv _ dv , dw
*zz ~ дг ' ezx ~~ дх ^ dz ¦
Назовем виртуальными изменениями напряжен-
напряженного состояния все такие его изменения, при которых при-
приращения внешних сил ЬХ, 8У, bZ и S-A^, 8^, 8ZV связаны с при-
приращениями компонентов напряжения ЬХХ, §YX, ... §ZX уравнениями
статики, т. е. все такие, при которых во всех точках внутри
тела имеют место равенства
A0)
в точках же наружной поверхности условия
оХх cos (x, v) +8 Ху cos (у, v) + bXz cos (z, v) = ЬХ.,,
bYx cos (x, v) +8 Yy cos (j/, v) + bYz cos B, v) = ЗУ„, j A1)
SZx cos (jc, v) +8 Zff cos (y, v) 4- 8ZZ cos (г, v) = 8Z.(. j
Подсчитаем с помощью равенства E) работу, производимую
приращениями внешних сил ЬХ, 8К, 8Z; ЬХч, 8Kv и 8Zv на задан-
заданных перемещениях их точек приложения.
594
Для этого заменим в равенстве E) величины Хе, Уе и Ze ве-
величинами оХе, оУе и 8Ze; величины же Хх, Yg, ... Zx величи-
величинами ЬХХ, oYy, ... 8ZX, связанными с 8*, 8К, 82; 8Xv, 8/v и 8ZV
равенствами A0) и A1).
Будем при этом предполагать, что в правой части равенств E)
деформации ?*х, ет, ¦ ¦• ezx кинематически соответствуют переме-
перемещениям и, v и w. Очевидно, из E) будет при этих условиях следовать
*?)[uoXe + v&Ye + wbZe] =
етъХх + emoYy + ezzoZz +
+ еХуЬХу + eyzb Yz -\- e^Zx\ dx dy dz.
Выше в § 5 главы III было, однако, показано, что если тело
следует закону Гука, то при всяком малом изменении напряжен-
напряженного состояния
вххЬХх -\- eygoYg -\- ezzbZz -\- ехуЬХу + evJ>Yz + e^bZx = 8 W,
где W—потенциальная энергия единицы объема тела. Поэтому
при всяком виртуальном изменении напряжен-
напряженного состояния тела сумма работ приращений всех
внешних сил 8Хе, 8Ye и 8Ze, производимых на переме-
перемещениях, статически этим силам соответствующих,
связана с приращением потенциальной энергии тела 3V зависи-
зависимостью
[иоХе + vo Ye + wbZe] = 8 V A2)
и, следовательно, равна приращению потенциальной
энергии тела.
Положением этим формулируется начало виртуального
изменения напряженного состояния упругоготела,
следующего закону Гука.
К телам, не следующим закону Гука, начало виртуальных
изменений напряженного состояния по смыслу его вывода не
применимо.
Чтобы выявить значение этого начала среди основных зави-
зависимостей теории упругости, заменим в равенстве E) внешние
силы и компоненты напряжения их приращениями и выпишем
получающееся этим путем уравнение в развернутом виде. Оче-
Очевидно, это даст
^ - оХх cos (x, v) - ЬХУ cos (у, v) - 8^r cos (г, v)] и +
+ [8 К - 8 Yx cos (x, v) - 3 Yy cos (y, v) - 8Kr cos (г, v)] v +
+ [8Zv - IZX cos (a;, v) - 8ZU cos (y, v) - 8Zr cos (z, v)] w} dS +
дЪХ„
595
(a)
Если при этих условиях зависимость
* 8*. + ?»» 8 ^У + е„ bZz +
+ ехи 8^и + eyz 8Уг + ея 8ZJ ^л: rfj/ ^г = 8К
имеет место при всяком виртуальном изменении напряженного
состояния, т. е. при всех таких 8А"Ж, 8КУ, ... bZx, которые удов-
удовлетворяют равенствам A0) и A1), то следует признать, что все
скобки, с которыми величины ЬХХ, bYv, ... 8ZX входят в третий
интеграл правой части равенства (а), обращаются в нуль.
Это показывает, что напряженное состояние, которое при всех
виртуальных изменениях напряженного состояния удовлетворяет
уравнению A2), отличается от всех других виртуальных напря-
напряженных состояний тем, что соответствующие деформации удов-
удовлетворяют всем уравнениям Коши, являющимися непосредствен-
непосредственным следствием условий сплошности тела.
Таким образом, начало виртуальных изменений напряженного
состояния не только вытекает из условий сплошности, формули-
формулируемых уравнениями Коши, но и может их все заменить.
В той же мере, в которой начало возможных перемещений выра-
выражает в вариационной форме все условия статики, начало вир-
виртуальных изменений напряженного состояния выражает в вариаци-
вариационной же форме условия сплошности, формулируемые уравнениями
Коши. Оно является поэтому, не менее важным вариационным
началом теории упругости, чем начало возможных перемещений.
В качестве непосредственного его следствия из него выте-
вытекают теоремы Кастильяно и начало наименьшей ра-
работы, имеющие весьма важные применения в строительной
механике.
§ 6. Теорема Кастильяно
Допустим, что изо всех сил, приложенных к рассматривае-
рассматриваемому упругому телу, перемещения опорных точек которого равны
нулю, меняет свою величину только одна сила, приложенная
596
к некоторой определенной точке тела в направлении г, направ-
направляющие косинусы которого суть /, т и п. Пусть сила эта есть Р,
виртуальное же изменение ее есть ЬР. Тогда виртуальные изменения
ее проекций на оси ох, оу и oz будут соответственно
1ЬР, тЪР и пЪР.
Пусть и, v и w — перемещения точки приложения силы Р.
Так как мы приняли, что изо всех сил, приложенных к рас-
рассматриваемому упругому телу, меняет свою величину единственно
сила Р, перемещения которой и, v и w отличны от нуля, то по
началу виртуальных изменений напряженного состояния [см. фор-
формулу A2)] при рассматриваемых нами изменениях напряженного
состояния тела должно быть
{ul + vm + wri) ЬР = bV.
Отсюда следует, что
дУ
дР
= ul + vm -f wn.
Но по данному выше определению величин I, m я п вели-
величины эти являются направляющими косинусами силы Р.
Поэтому сумма ul + vm + wn является проекцией перемеще-
перемещения точки приложения силы Р на направление действия этой
силы. Обозначив эту проекцию, как в соответствующем месте
главы III, через р, будем иметь
дР=Р, A3)
что можно прочесть так:
Частная производная от потенциальной энергии
упругого тела, взятая по величине любой из при-
приложенных к этому телу внешних сил, равна проек-
проекции перемещения точки приложения этой силы на
направление ее действия.
Положение это известно в строительной механике под именем
теоремы Кастильяно. Оно выведено из начала виртуальных
изменений напряженного состояния и поэтому применимо лишь
к телам, следующим закону Гука. При выводе его мы предпо-
предполагали, что перемещения всех опорных точек тела равны нулю.
Если бы на тело действовала не одна сила, а какая-то комбина-
комбинация сил и величины Xt — a,/7, Yt = fcF, Zt = ^tF были бы проек-
проекциями на координатной оси, а и,-, vt и Wt перемещениями точки
приложения i-oii из этих сил, то согласно равенству A2) можно
было бы написать
(a)
597
Откуда следовало бы, что
Сумма
2 («*ai + «iP* + wm) = /. F)
распространенная на все силы, входящие в состав рассматривае-
рассматриваемой сложной нагрузки, характеризуемой величиною F, носит
наименование обобщенного перемещения, соответ-
соответствующего обобщенной силе F. По своему определению
обобщенное перемещение / есть коэфициент пропорциональности
между величиною F, характеризующей рассматриваемую сложную
нагрузку системы, и работой, производимой этой нагрузкой при
переходе рассматриваемого упругого тела из его естественного
состояния в состояние, соответствующее нагрузке F.
Из полученных только-что равенств (а) и (б) вытекает, что
%-/¦ (">
Таким образом, при терминологии, оговоренной выше, час-
частная производная потенциальной энергии, взятая
по любой обобщенной силе, равна обобщенному
перемещению, соответствующему равновесию рас-
рассматриваемого тела под действием нагрузки, ха-
характеризуемой величиною этой обобщенной силы.
Положение это является наиболее общей формулировкой
теоремы Кастильяно и имеет весьма важные приложения в строи-
строительной механике.
§ 7. Начало наименьшей работы
Рассмотрим все такие напряженные состояния тела, при ко-
которых приложенные к нему внешние силы либо вовсе не ме-
меняются, либо же, если и меняются, то лишь так, что обобщенные
перемещения, соответствующие им, остаются равными нулю.
В первом случае
We = 8re = 8Ze = O A5)
и, следовательно, в силу A2)
81/ = ? (аЬХе + voYe + wbZe) = 0.
Во втором случае в обозначениях предыдущего параграфа
В обоих рассматриваемых случаях, следовательно, должно
быть
8V = 0. A7)
Отсюда следует, что потенциальная энергия тела дос-
достигает своих относительных экстр|ема во всех тех
случаях, когда приложенные к телу внешние силы
598
либо вовсе не изменяют своей величины, либо же
соответствуют изменениям таких лишь нагрузок
тела, обобщенные перемещения которых равны
нулю.
Исследованием знака второй производной величины V можно
убедиться, что при отклонении от устойчивого равновесия тела,
потенциальная энергия возрастает. Поэтому упомянутые толь-
ко-что относительные экстрема должны соответствовать
относительным минимумам, а не максимумам потенциальной
энергии тела, и подчеркнутое выше предложение может быть
формулировано также в форме двух следующих положений:
1. Изо всех напряженных состояний тела, статически соот-
соответствующих заданной внешней нагрузке тела, условиям сплош-
сплошности удовлетворяет только то единственное, которое обращает
потенциальную энергию деформации тела в относительный ми-
минимум.
2. Все статически неопределимые усилия, соответствующие
которым перемещения равны нулю, могут быть определены из
условия, что их величина обращает потенциальную энергию тела
в относительный минимум.
Из этих двух формулировок начала наименьшей ра-
работы первая будет заключать в себе вторую, если мы усло-
условимся относить нагрузки исследуемого тела, которым соответст-
соответствуют обобщенные перемещения, равные нулю, к категории
внутренних сил, действующих в упругой системе, состоящей из
совокупности рассматриваемого упругого тела и внешней неде-
формируемой среды.
Начало наименьшей работы имеет важные приложения в строи-
строительной механике и может быть использовано также для прибли-
приближенного решения отдельных задач теории упругости.
§ 8. Схема решения основной контурной задачи теории упругости
с помощью начала наименьшей работы
Рассмотрим общую схему решения основной контурной задачи
теории упругости, основанную на использовании начала наимень-
наименьшей работы.
Допустим, что на поверхности тела заданы напряжения X,t, Y,t
и Z;. Желая разыскать соответствующие этой нагрузке тела напря-
напряжения, необходимо разыскать сначала какое-нибудь частное ре-
решение уравнений равновесия
A8)
дх ' ду ' дг ' ' ~"' ' Ч '
599
dZx dZy dZz
удовлетворяющее на поверхности тела граничным условиям
YJ + Yym + Yzn = Kv,
Zxl + Zytn + Zzn = Zv.
A9)
Пусть это решение есть Х&\ Y&\ ...
Если напряжения Х^°\ Y(°)y ... Z(v0) удовлетворят случайно
всем условиям сплошности тела, то найденное частное решение
системы A8), A9) и будет искомым решением задачи. Если со-
совокупность функций Х<М, К<°), ... ZW не удовлетворяет условиям
сплошности тела, то для нахождения истинного решения4задачи
с помощью начала наименьшей работы надо разыскать ряд таких
решений уравнений:
д
дх
дл:
д t
дХ{
Лг t J,. Т i, ",
1
dY,,
у
ду
¦f = 0,
dz
A8')
которые удовлетворяют на поверхности тела граничным усло-
условиям
XJ + Хут + Ххп = 0, •]
A9')
ZJ + Zytn + Zzti = 0.
Пусть такими решениями являются
XW, Y(j\ Z(J\ Xf, KW, ZW где/= 1,2,3, ... п.
Тогда, положив
А
»
B0)
600
де At— некоторые пока неопределенные константы, мы путем ва-
вариации значений этих величин Л,- получим возможность изменять
напряженное состояние тела, не нарушая условий равновесия
A8), A9). Все напряженные состояния, таким образом получае-
мые, будут, следовательно, виртуальными и все они будут
удовлетворять условиям неизменности величины внешних сил
ЬХе = We = SZ9 = 0. A5)
Если мы распространим в B0) суммирование по (i) на все
линейно независимые напряженные состояния, удовлетворяющие
условиям A8') и A9'), то среди них будет по крайней мере одно,
удовлетворяющее помимо всех условий равновесия еще и всем
уравнениям Коши, притом если исследуемая область будет од-
носвязна, то таких напряженных состояний будет только одно.
По началу наименьшей работы это единственное напряженное
состояние можно разыскать из условия, чтобы при всяком малом
изменении параметров Л,- потенциальная энергия тела V прира-
приращений не получила.
Поэтому, подставив B0) в общее выражение для потенци-
потенциальной энергии системы
2 A + о) {XI + Y\ + Z$] dx dy dz, B1}
найденное нами в главе III, можно ту комбинацию параметров Л,-,
при которой условия сплошности будут соблюдены, разыскать
из системы уравнений
^- = 0 при i=\, 2, 3, ..., B2)
которых можно, очевидно, выписать столько, сколько неизвест-
неизвестных At будет нами сохранено в решении B0).
Так как получение этим методом точных решений задачи тре-
требует вообще сохранения в решении B0) бесконечного множества
членов, то разыскание таковых этим методом требует вообще
решения системы бесконечного множества уравнений с беско-
бесконечно большим числом неизвестных и может быть выполнено
лишь в том или ином приближении, т. е. с сохранением в ре-
решении B0) того или иного конечного числа членов ряда. Сте-
Степень точности получаемых этим путем приближенных реше-
решений зависит от того, насколько удачно выбраны из всего мно-
множества частных решений, соответствующих различным At, те не-
несколько, которые удержаны в рядах B0). В некоторых случаях
задача теории упругости решается этим путем сравнительно
просто и достаточно точно.
601
§ 9. Задача о кручении призматических стержней как пример
задач, решаемых с помощью расчетной схемы § 8
Мы видели выше в главе VII, что задача о кручении приз-
призматических стержней сводится к разысканию функции напряже-
напряжений <р, связанной с компонентами напряжения Xz и Yz зависи-
зависимостями
*' = -%' B3)
причем выражения B3) могут быть выведены непосредственно
из диференциальных уравнений равновесия A8), если в них по-
положить, как то принимается в задаче о кручении, Xx=Yg =
- Zz = XB = X = F = Z = 0.
С точки зрения уравнений равновесия функция напряжений
<f подчинена в задаче о кручении призматических стержней
единственно лишь условию, чтобы на контуре <р было постоянным.
Диференциальное уравнение, которому подчинена функция <р,
вытекает в задаче о кручении призматических стержней не из
условий статики, а из диференциальных условий сплошности тела
и может быть, следовательно, заменено вариационным уравнением,
вытекающим из начала виртуальных изменений напряженного
состояния. При этом так как закон распределения напряжений
Хг и Yz по площади концевых сечений стержня нам a priori не
известен и должен быть для каждого отдельного вида попереч-
поперечных сечений стержня найден особо, то воспользоваться для на-
нахождения функции ср непосредственно схемой § 8, вытекающей
из начала наименьшей работы, в данном случае нельзя, а надо
воспользоваться более общим, чем начало наименьшей работы,
началом виртуальных изменений напряженного состояния.
Действительно, подчинив функцию <р условию, чтобы на кон-
контуре поперечного сечения было
мы удовлетворим условию отсутствия напряжений X, , Fv и Zv
на всей боковой поверхности стержня и будем, как бы мы ни
варьировали функцию у, иметь на всей боковой поверхности
стержня
ЬХ„ =8 Y., =8Z, =0.
При составлении уравнения A2) нам нужно будет при этих
условиях распространить суммирование в левой части этого
уравнения лишь на приращение всех тех усилий, которые при-
приложены к торцевым сечениям стержня.
Так как в задаче о кручении, как мы то видели в главе VII,
и = xyz
V = — -CZX
602
¦ 1 B4)
то в сечении, где z = 0, перемещения «иг» равны нулю и сум-
суммирование в левой части равенства A2) остается распространить
лишь на усилия
Xzdxdy и Yzdxdy,
приложенные ко всем элементам того второго из торцевых сече-
сечений, где
z = l
и где, следовательно,
и = tyl,
v = —zxl.
Принимая это во внимание, видим, что в рассматриваемом
случае при всякой вариации функции ср должно быть
JJ
) dxdy = W =
Подставляя в это уравнение Xz и Yz из B3), получаем для
определения <р вместо A2)
¦ "/Л* S+" ?]*¦*-
или, что то же,
В силу, однако, граничного условия
? = 0,
которому подчинена функция <pj на контуре поперечного сеченця
стержня, должно быть
и, следовательно, полученное только-что для определения <р ва-
вариационное уравнение B5) равносильно уравнению
которым мы и можем воспользоваться для определения функции
9 вместо диференциального уравнения
V2<p = - 2Gx, B7)
которым мы пользовались в главе VII.
Желая определить функцию <р из вариационного уравне-
уравнения B6) и граничного условия <р = 0 на контуре, нам надо со-
603
ставить самое общее выражение для функции <р, удовлетворяю-
удовлетворяющее только-что упомянутому граничному условию, и, выразив
затем величину
5 -//[(?)'+ (fcI-***]** <28>
через все неопределенные константы, входящие б это общее вы-
выражение для <р, разыскать затем все эти константы из системы
линейных уравнений, получаемых путем приравнивания нулю
частных производных функции S по всем этим постоянным.
Пусть
F\x, у) = 0
есть уравнение того контура, на котором в данном частном слу-
случае должно быть
Тогда нужное нам наиболее общее~выражениедля <р найдется
в форме выражения
= Р(х, у) [а0 + агх -f Ьгу + о2а
с3ху* + day»+...], B9)
где at, bi, Ci и т. д. — некоторые произвольные, пока неизвестные
константы. Подставив B9) в B8), можно представить S как функ-
функцию ото всех этих констант и затем найти последние из системы
уравнений
#=0, '
dS -п
# = 0.
C0)
непосредственно следующей из вариационного уравнения B6).
§ 10. Частные примеры
Пример 1. Для стержня, поперечное сечение которого имеет
форму квадрата со сторонами 2а, можно, располагая начало ко-
координат в центре профиля, выразить уравнение контура посред-
посредством равенства
У )
и, следовательно, принять
<р = (л» - а*) (у* - &2) S] ? актхкут,
k m
причем, очевидно, по симметрии сечения в двойной сумме, вхо-
входящей в это выражение, достаточно удержать лишь четные зна-
значения кит.
604
Положив для первого приближения
нетрудно, как показал С. П. Тимошенко, получить из уравнения
dS= 0
дав ~
Для а0
— _ JL9i
Этому соответствует приближенное выражение жесткости
при кручении
С = 0,1388 BаL G,
что отличается от точного решения, полученного Сен-Венаном
С = 0,1406 BаL G
не более чем на 1,5%.
Положив для второго приближения
можно, как показал также С. П. Тимошенко, путем совместного
решения уравнений
получить для а0 и
°~ 8 277 а2 '
— _ Ё. А 35 9l
fll ~ 8 Т 277 "a* '
Это решение дает для С
С = 0,1404 BaL G,
что отличается от точного решения всего лишь на 0,15%.
В величине наибольшего скалывающего напряжения эти при-
приближенные решения дают ошибку значительно большую. В ча-
частности приведенное выше более точное решение, соответству-
соответствующее случаю, когда нулю не равны как а0, так и аъ дает в Ттга
ошибку порядка 4%.
Пример 2. Для круглого вала радиуса а, ослабленного
полукруглой шпонкой радиуса р, уравнение контура можно вы-
выписать в полярных координатах г и в в форме равенства
(г — р)(г — 2a cos 6) = 0.
605
Поэтому для if можно у этого профиля принять
tp = (г — р) (г — 2а cos 6) [а0 4- а01 cos 6 4- ам cos 26 4- • • • +
4- г-1 (а10 4- Оц cos Ь 4- «i2 cos 29 4- а13 cos 36 4- • • •) +
+ r-2(a20 + a2lcos6 4-a22cos29 4-a23cos39 4- ...) +
+ г~" (изо + a»icos6 4- a32cos 26 4- амcos 36 4- ...)],
причем для первого приближения удержать лишь член, пропор-
пропорциональный а0, для второго члены с а0 [и
а01, для третьего а0, [а01 и а10 и т. д.
Пример 3. Для сечения, изображенного
на рис. 217, уравнение контура в декартовых
координатах выписывается так:
Следовательно, можно принять
<Р = О*2 4- У2 - а2) О2 - Ь2) [а0 4- аху2 + а2х2 +
ис. 217. причем для первого приближения надо удер-
удержать в решении а0, для второго а0 4- (ЧУ*г
для третьего ай + п-^у2 -{- а2х2 и т. д.
Рекомендуется в порядке упражнения получить этим методом
приближенные решения для одного из указанных выше про-
профилей.
§ 11. Применение методы § 8 к плоской задаче
Мы видели выше в главе IX, что в случае отсутствия объ-
объемных сил решение задачи о плоском напряженном состоянии
может быть сведено к разысканию функции Эри, связанной
с осредненными компонентами напряжения Хх, Yy и Ху зави-
зависимостями
C1)
Зависимости эти вытекают непосредственно из диференци-
альных уравнений статики. Поэтому, варьируя в пределах ис-
исследуемой области функцию <р, мы можем получать с помощью
зависимостей B8) самые разнообразные напряженные состояния,
на которые все можно смотреть, как на напряженные состояния:
виртуальные с точки зрения диференциальных уравнений
равновесия.
606
Еслииа границах исследуемой области заданы
напряжения, то мы должны так варьировать функцию <р, чтобы
иа границах этой области напряжения
X =(-*-??)
C2)
ds \дх )
сохраняли заданные значения. Если мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением только таких вариаций функции ф, которые совместимы
с граничными условиями C2), то на границах исследуемой об-
области при всякой вариации функции tp будет
C3)
8 Г, = О,
и так как отнесенная к единице толщииы пластины работа при-
ращеиий внешних сил
производимая на перемещениях, статически соответствующих этим
силам, определяется в рассматриваемом случае интегралом
где интегрирование распространяется иа весь контур исследуе-
исследуемой области, то вследствие C3) будет
+ wiZe) = § (и8Х + vb ?4)ds = 0.
Истинное выражение для функции 9 можно при этих усло-
условиях разыскать с помощью начала наименьшей работы как удов-
удовлетворяющее условию
bV = 0. A7>
Чтобы воспользоваться последиим, необходимо предварительно-
выразить потенциальную эиергию едииицы толщииы исследуемой
пластинки V через функцию tp, для чего достаточно подставить-
C1) в равенство
+ Yl+ Zl )] dx dy,
вытекающее непосредственно из выражения B4) главы III.
Принимая во внимание, что в случае плоского напряженного*
состояния
Xz = Yz = 2г = 0,
607
нетрудно видеть, что искомое выражение для V есть
Таким образом, нахождение функции <р по заданным на кон-
контуре значениям напряжений X, и Y-, с помощью начала наи-
наименьшей работы требует следующей последовательности дей-
действий.
Сначала находится какое-нибудь выражение для tp, удовлет-
удовлетворяющее граничным условиям C2). Пусть это есть уо(х,у). За-
Затем находится ряд таких выражений для у, которые удовлетво-
удовлетворяют граничным условиям
()=(
ds \дх) ds \ду
Пусть это суть <tt(x,y), у2(х,у),... yt(x,y).
Приняв
Ч = %А,ъ{х,У), С35)
где А{ — константы, мы будем иметь для <р выражение, которое
при всякой вариации параметров At будет удовлетворять гранич-
граничным условиям C3), и для нахождения значений At, соответству-
соответствующих данной нагрузке пластинки, достаточно подставить C5)
в C4) и затем решить систему уравнений
^- = 0 при i= 1,2,3,...л." C6)
Если исследуемая область односвязна, то согласно теореме
Мориса Леви ф должно не зависеть от пуассонова отношения а
и для упрощения вычислений V можно в C4), не нарушая об-
общности исследования, положить з равным нулю. Эта схема ре-
решения плоской задачи была использована С. П. Тимошенко.
Если на границах исследуемой области заданы
перемещения, то нахождение функции tp с помощью рас-
рассматриваемой методы не требует подчинения решения граничным
условиям C2), так как напряжения X, и У\ в этом случае на
границах исследуемой области сами подлежат разысканию.
Поэтому решение задачи в случае, когда на границах обла-
области заданы «и v, оказывается даже несколько более простым,
чем в случае, когда заданы Х-, и W
Для нахождения функции <? по заданным на контуре значениям
и и v можно принять
Ч = ЪА1Ч,(х,у), C7)
<608
где функции <ti(x,y) составляют любую такую совокупность функ
ций от л и у, через которую можно в пределах исследуемой
области выразить всякую функцию от х и у.
Варьируя значения величин Аь мы будем в этом случае варьи-
варьировать одновременно как величину V, определяемую равенством
C4), так и значения величин Хч и Fv, определяемых равенст-
равенствами C2). Для нахождения функции ф в этих условиях необхо-
необходимо воспользоваться уже не началом наименьшей работы, а на-
началом виртуальных изменений напряженного состояния, требую-
требующим, чтобы при всякой вариации функции <е было
8 У = ?(« S Хе + V Ь Ye + W 3 Ze) =
C8)
ds \ду), V ds\dx
Таким образом, в случае если на контуре исследуемой области
заданы перемещения и и v, функция напряжений tp может быть
находима из условий экстремальности интеграла
где двойной интеграл распространяется на площадь всей иссле-
исследуемой области, а криволинейный интеграл Ф( )ds берется по
всему контуру этой области.
Чтобы найти <р из этих условий, можно положить
Ч = 2>Щъ(*,У), D0)
где <р,- (х, у) — любая такая совокупность функций от х и у, через
которую можно в форме D0) представить в исследуемой области
любую функцию от этих переменных, а а; — некоторые неизвест-
неизвестные константы.
Подставив D0) в C9) и приведя результат этой подстановки
к виду
где Atj и Bi — некоторые определенные числа, величина которых
зависит от того, как выбраны нами функции <?i(x> У)> можно до-
добиться экстремальности интеграла /, определив все а,- из системы
линейных уравнений.
?- = ^Ati щ - Bt = 0 при i = 1, 2, 3... D2)
П. Ф. Папкович, Теория упругости—436—39 609
При надлежащем выборе фундаментальных функций ft(x,у)
иногда удается получить этим путем сравнительно простые при-
приближенные решения задачи. Получение этим путем точных ре-
решений требует вообще удержания в ряду D0) бесконечно боль-
большого числа членов ряда и в соответствии с этим решения системы
бесконечного множества уравнений, в которых все переменные
связаны.
Если на границах исследуемой области заданы
частично напряжения, частично перемещения, то
для определения функции if с помощью рассматриваемой методы
надо прежде всего найти для функции у некоторое такое част-
частное выражение %(х,у), которое удовлетворило бы граничным
условиям
ds dy
D3)
d *f,(x,y) _
ds дх
во всех точках контура, где заданы напряжения Xv и Y-,, и за-
затем разыскать достаточное количество таких различных функций
<?i(x,y)> которые удовлетворяли бы в упомянутых только что
точках контура условиям
D4)
д с
ds
d с
Hi (х,
ду
У)
У)
ds дх и
и были бы подобраны так, чтобы в пределах исследуемой об-
области в форме ряда
можно было бы представить всякую заданную функцию от х и у.
Неизвестные постоянные at определятся после этого из усло-
условий экстремальности интеграла C9), в котором, очевидно, инте-
интегрирование по s достаточно будет в этих условиях распростра-
распространять лишь на всю ту часть контура, где заданы не Хч и У„ а пе-
перемещения « и v и где, следовательно, функции <fi(x,y) не
подчинены условиям D4).
§ 12. Примеры использования расчетных схем § 11
Пример 1. Допустим, что для прямоугольной полосы, огра-
ограниченной прямыми х = ± а, у = ± Ь, требуется найти компоненты
напряжения для того частного случая, когда нагрузка этой по-
полосы состоит исключительно из напряжений Хх, приложенных
610
к кромкам х — ± а, причем на этих двух кромках
где р есть некоторая константа.
В этом случае решение должно удовлетворить на кромках
полосы граничным условиям
b% У | при х — + а,
что дает для функции Эри
ду* И1
= 0,
дх ду
при х = ± а,
= 0,
дх ду
при у = + Ъ.
Мы удовлетворим этим условиям, если положим
_Р_ 2 Г. у*П
Можно поэтому принять
i
где
(а)
(б)
a <fi(x,у) — всевозможные функции, удовлетворяющие граничным
условиям
Ьл*ш V = IVм, = 0» при л = + а,
i (•«,3') _ ^2Т( (-г, У)
дх2 их <)у
= 0, при1 у = + Ь.
611
Следуя С. П. Тимошенко, примем
. У) = (**-**) (У*-
(в)
Так как все виртуальные изменения напряженного состояния,
даваемые нам рядом (а), подчинены нами условию неизменности
внешней нагрузки исследуемой пластины, то постоянные at можно
определить с помощью начала наименьшей работы. Для этого
достаточно подставить (а) в C4) и затем определить неизвестные
а? из уравнений
^-0, при 1 = 1,2,3,... (г)
При этом для упрощения решения в формуле C4) можно по-
полагать о = 0, так как исследуемая область в рассматриваемом
случае односвязна.
Если мы для первого приближения положим в (а) все at кроме
ах равными нулю, то из условия
будет следовать
а, =
Г64 256 JP 64 &М
L 7 + 49 а2 + 7 a* J
и для квадратной пластины будет
<*! = -?¦ 0,04253,
что дает для компонентов напряжения
(Д)
(е)
X, —
Если для получения более высокого приближения мы удер-
удержали бы в ряду (а) как av так иаги а3, то получили бы для
612
нахождения этих неизвестных, на основании (г), следующую си-
систему уравнений:
[64 , 256 ft» ,64 6*-| [61 64
64 ft»
64 ftf
2 _
64 . 64 ft*
[192 256 ^ 192 6^1 „
аЧТ4ТУ + 49-11 a2 ^ 49 я4 J
64 fr*
49-11 а2
64 b6
49-11
[64 , 64 6* [ 64 64 b* 2
a449+77^J + a2Ll9TIT + 49-11 "?_; a
4. я Г192 *i 4. -^ *i 4- -192-
"г|.49 я2 "г 49-11 я* т 143-7
Для квадратной пластинки эти уравнения дают
ai= 0,04040-?,
а2 = а3 = 0,01174-^-.
Для пластинки с отношением сторон а: Ь = 2 получается
aa = 0,07983 J^; fl2 = 0,1250 ^; a3 = 0,01826 "
Подсчитав с помощью этих результатов напряжения Хх для
различных сечений пластинки,
0,2 Q4 с,В_ 0,8
р
ОА
Сб
параллельных оси оу, можно
видеть, что напряжения Хх по
мере приближения к этой по-
последней оси выравниваются,
притом тем быстрее, чем боль-
больше отношение а:Ь.
На рис. 218, заимствован-
заимствованном нами из курса С. П. Тимо-
Тимошенко, по оси абсцисс отло-
отложены значения отношения
Хх:р, в функции от отноше-
отношения у.Ь, отложенного по оси
ординат. Кривая / показывает
закон, по которому распреде-
распределены напряжения Хх на кром-
кромках х = ± а. Кривой Я даются
для квадратной пластины вели-
величины отношения Хх:р для се-
сечения, совпадающего с осью оу,
вычисленные.по данным первого приближения, т. е. первой из
формул (е). Кривая /// дает для того же сечения той же квад-
613
I
i
1
—4
I
Ш
\
j
1
ft/
A
1
\
1,
/
—
f
T
—
У.Ь
Рис. 218.
ратной пластины значения величины Хх.р, вычисленные путем
удержания в ряду членов как с аъ так и с а2 и а3. Наконец,
пунктирной кривой изображены значения величины Хх, соот-
соответствующие среднему сечению пластинки, размеры которой ха-
характеризуются отношением a: b = 2.
Пример 2. Если мы загрузим торцевые кромки полосы
нормальными напряжениями, распределяемыми по высоте сече-
сечения, по закону кубической параболы, то нам придется определить
функцию Эри из граничных условий
Х* = й$ = АУ3> ПРИ ¦* = ± «>
Y,j = g =0, при у = ± Ь,
д*!> _ л при х = + а
х«=~~ д!Гд~у~ ' или у = ± Ь.
Удовлетворяющую этим условиям функцик} <р можно найти
в форме выражения
- я2J(V2
+ аъх*у
Удерживая в этом решении коэфициент аь а2, а, и а4, Гудьер
нашел для квадратной пластинки следующее выражение для нап-
напряжений Хх:
Хх = 0 = 2Ла3 [-L г;3 _. A _ Pf [0,08392Eг,з _ Зг,) +
4- 0,004108 B1уE - 20rj3 + 3^)] - I2 A - S2J [0,07308 E^ _ з-ц) +
4-0,04179 B1т,5 - 20тK 4-3>))]},
где
Как показывает это выражение, в сечении, соответствующем
середине длины пластинки, напряжение Хх распределяется по
закону, сравнительно мало отличающемуся от линейного закона,
соответствующего чистому изгибу под действием момента соот-
соответствующей величины.
Пример 3. В главе X мы видели, что если решение для
полосы, „свободно подвешенной", получается сравнительно просто,
то получение аналогичных решений для полосы, концы которой
свободны от нагрузки как нормальными, так и скалывающими
напряжениями, требует вообще весьма громоздких выкладок. Ин-
Интересно поэтому выяснить, нельзя ли расчетную схему настоя-
настоящего параграфа применить к решению этой задачи. Рассмотрим
этот вопрос применительно к тому частному случаю, когда у
614
полосы, ограниченной сечениями х = + а и у = + Ь, нагрузка
состоит из скалывающих напряжений
Ху = я sin n~,
на кромке _у = + b и напряжений
у = — ?sin д
на кромке _v = — 6.
В этом случае функция <р должна удовлетворять граничным
условиям
**? v п \
-— = _AV ^ \J. I
дуг х ,
f при д: = + а,
при ji1 = + Ь.
дхду "»
Всем этим условиям можно удовлетворить, полагая
х2 - а2J 0>2 - б2J fay + аъухг + а3у
Витруальные изменения напряженного состояния исследуемой
пластинки, получающиеся путем вариации в написанном только-
что для <р выражении коэфициентов аи удовлетворяют условиям
неизменности внешних сил, приложенных к пластинке. Значения
неизвестных а,- могут быть, следовательно, определены из урав-
уравнений
-g- = 0, при 1=\, 2, 3,...
которых можно составить столько, сколько различных неиз-
неизвестных я,- будет нами удержано в приведенном только-что вы-
выражении для tp.
Рекомендуется этим путем определить картину распределения
напряжений для пластинки, вышеуказанным образом нагруженной,
задавшись каким-либо частным значением отношения а:Ь.
§ 13. Вариационная схема решения общей задачи теории
упругости, основанная на использовании начала возможных
перемещений
До сих пор мы рассматривали вариационные схемы, основан-
основанные на применении начала виртуальных изменений на-
напряженного состояния. Перейдем теперь к рассмотрению
вариационных схем, основанных на применении начала воз-
615
можных перемещений. Рассмотрим сразу наиболее общий
случай, когда в одних точках исследуемого тела заданными
являются перемещения и, v и w, в других же — действующие на тело
внешние силы.
Пусть ио(х, у, z), vo(x, у, г) и wo(x, у, г) — три функции,
принимающие заданные значения во всех тех точках, где пере-
перемещения и, v и w заданы, а щ(х, у, z), vt(x, у, г), и wtlx,y,z) —
всевозможные такие функции, которые обращаются в нуль во
всех этих точках. Тогда, как бы мы ни варьировали постоянные
a,-, bt и ci в рядах
и =ho(jc, у, г) + ^ахщ{х, у, z),
i
v =v0 (х, у, z) + ? btvt (x, у, z),
i
w = wo(x, у, z) + y,CiWt(x, у, z),
D5)
перемещения a, v и w будут сохранять заданные свои значения
во всех тех точках, где по условиям задачи они заданы. Всякой
комбинации частных значений параметров щ, bi и ct будет со-
соответствовать некоторое перемещение всех точек тела, возможное
с точки зрения наложенных на тело кинематических связей. Если
мы подберем при этом совокупность функций щ{х, у, z),
Vi (х, у, z), Wi (x, у, z) так, чтобы всякому возможному от-
отклонению тела от положения равновесия соответствовала своя
определенная комбинация частных значений параметров а,-,
bi и си то на совокупность этих параметров а,-, &,- и ct можно
будет смотреть как на совокупность обобщенных координат
рассматриваемого упругого тела и значения этих координат,
соответствующие любой заданной нагрузке тела, можно будет
определять с помощью начала возможных перемещений.
Действительно, как мы то видели в § 4, положение тела, при
всяком малом отклонении от которого, работа внешних сил
равна приращению потенциальной энергии тела, является поло-
положением равновесия. Этим признаком равновесия и можно восполь-
воспользоваться для нахождения положения равновесия системы.
Если на тело действуют и объемные и поверхностные силы,
то работа внешних сил может быть вычислена как сумма
+ //
D6)
+ Ybv + Z.bw)dS,
где тройной интеграл должен быть распространен на все те точки
внутри тела, а поверхностный на все те точки поверхности
616
тела, которые при вариации параметров at, bt и ct не остаются
неподвижными, т. е. на все те точки тела, где заданы не пере-
перемещения, а приложенные к телу силы.
Чтобы найти приращение работы внешних сил, соответ-
соответствующее какой-либо вариации параметров аь Ьи си достаточно,
очевидно, подставить в выражение D6) величины Ьи, 8i/ и bw из
равенств
Ьи = и0 (х, у, z) +2И«- (*> У> z)Sfl>>
i
bv = vo(x, у, z) + *%vt (x, у, z)bbi,
i
bw = w0 (x, y, z) + ? Щ (x, y, z) oct,
i
являющихся прямым следствием равенств D5). Результат этой
подстановки можно, очевидно, привести к виду
? Wu + Yebv + Zebw) = ? (AM + Btbbi + CM), D7)
i
где константы Аи Bi и Q вполне определяются работой, произ-
производимой приложенными к телу силами на перемещениях и,- (х, у, z),
vt (х, у, z) и wt (х, у, z).
Чтобы подсчитать приращение потенциальной энергии тела,
соответствующее той или иной малой вариации частных значе-
значений параметров а,-, &,- и сь достаточно, очевидно, подставить
в общее выражение для потенциальной энергии тела
)"+ Ш + г
найденное нами в главе III, функции и, v и w из D5). Вычис-
Вычислив соответствующие интегралы, можно привести результат этой
подстановки к виду
V = V(ah Ьи ct),
т. е. представить потенциальную энергию тела, как явную функ-
функцию от выбранных нами координатных параметров щ, bi и ct.
Очевидно, что при этом V будет алгебраическим полиномом вто-
второй степени от этих параметров.
Приращение потенциальной энергии, соответствующее той или
иной комбинации малых приращений параметров at, b( и ct, мо-
может быть после этого подсчитано с помощью формулы
где величины ^-, -^-, -^- будут, очевидно, линейными
111
функциями от этих параметров.
617
Так как по началу возможных перемещений в положении
равновесия суммы D7) и D9) должны быть равны при всякой
вариации параметров at, bt, cu то положение равновесия тела
можно разыскать из уравнений
dV -А
Щ = fi" E°)
dV г
где А(, Bt и С,-— величины определены, как указано выше.
Уравнения E0) являются системой линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных а,-, bu ct и могут быть ре-
решены при сохранении в рядах D5) любого конечного числа чле-
членов. С увеличением количества членов ряда вычислительная ра-
работа возрастают очень быстро. Поэтому этот метод решения за-
задач теории упругости, известный под именем метода Ритца,
приводит к сравнительно простым решениям лишь тех задач,
для которых можно на основании тех или иных соображений на-
наметить некоторую совокупность сравнительно малого числа от-
отдельных возможных перемещений, являющихся при данной на-
нагрузке системы единственными, заметно отличающимися от нуля.
Какую из двух рассмотренных нами вариационных схем: ме-
методу ли Ритца, основанную на начале возможных перемещений,
или же ее видоизменение, основанное на начале виртуальных
изменений напряженного состояния, следует предпочесть при ре-
решении той или иной частной задачи — зависит в основном от
того, что легче подметить: совокупность ли возможных переме-
перемещений или же совокупность виртуальных изменений напряжен-
напряженного состояния, наиболее характерных для данной частной за-
задачи.
§ 14. Применение начала возможных перемещений к решению
задачи об изгибе призматического стержня
Мы видели выше в главе VIII, что решение задачи об изгибе
стержней силою, приложенною к его свободному концу, приво-
приводится к разысканию функции напряжения <р из диференциаль-
ного уравнения
^ K- E1)
и граничного условия
дп> гОх2 г, ч~| ду
на контуре. С помощью рассуждений, аналогичных изложенным вы-
выше в §9, можно разыскание функции напряжений из уравнения E1)
618
заменить вариационной схемой, основанной на начале виртуаль-
виртуальных изменений напряженного состояния. В рассматриваемом слу-
случае к соответствующему вариационному уравнению мы можем
притти, однако, более просто, если воспользуемся аналогией ре-
решаемой задачи с задачей о нахождении равновесия мембраны и к
этой последней задаче применим начало возможных перемеще-
перемещений.
Мы видели выше в § 7 главы VIII, что диференциальному
уравнению E1) удовлетворит прогиб w равномерно натянутой
мембраны, если мы подберем отношение поперечной нагрузки
мембраны q к ее натяжению р так, чтобы было
-Т = ттт-?о'-/'О0 + *- E3)
Чтобы прогиб мембраны удовлетворяла и граничному усло-
условию E2), надо придать рассматриваемой мембране в направлении,
перпендикулярном к первоначальной ее плоскости, перемещение
*. E4>
где интегрирование ведется вдоль контура от любой его опре-
определенной точки.
Чтобы разыскать прогибы этой мембраны не из диференци-
ального уравнения
и граничного условия E4), а из этого граничного условия и на-
начала возможных перемещений, нам надо составить общее выра-
выражение для потенциальной энергии мембраны V и силовой функ-
функции ее внешней нагрузки U.
Нетрудно видеть, что если от изменения прогиба мембраны
ее натяжение р не меняется, то увеличение потенциальной энер-
энергии мембраны, получающееся в результате ее прогиба, опреде-
определяется формулой
1 (dw V
так как -= \ j^-j есть относительное удлинение всякого ее эле-
1 /dw \2
мента в направлении оси ox, a у (-г-) —такое же ее удлине-
удлинение в направлении оси оу.
Силовая функция внешних сил определяется суммой работ
элементарных усилий q dx dy, производимой на перемещениях да.
Следовательно,
U = [С qw dx dy.
По началу возможных перемещений положение равновесия
мембраны должно отличаться от всех прочих ее положений тем,
что при всяком малом от него отклонении приращение работы
619
внешних сил %U равно приращению потенциальной энергии си-
системы bV
или, что то же,
b(V — U) = 3 Г / j-^- (j^) + (^") " qw\dx dy — 0. E5)
Таким образом, прогиб мембраны w, соответствующий задан-
заданной ее нагрузке, может быть определен из условия экстремаль-
экстремальности интеграла
'= 4-7; +{-?) \-qw\dxdy. E6)
Допустим, что wQ (х, у) — некоторое отклонение мембраны,
удовлетворяющее на контуре условию E4), а т((х,у) где /= 1,
2, 3,..., всевозможные отклонения мембраны, удовлетворяющие
на контуре мембраны условиям
Тогда любое отклонение мембраны можно будет разыскать
в форме равенства
1SD = 1Юй {х,у\ -j- 5j Я г Wt (Xt у), E7)
i
где at — некоторые пока неопределенные константы. Подберем
совокупность функций wt(x,y) так, чтобы всякое заданное откло-
отклонение мембраны определялось некоторой определенной совокуп-
совокупностью значений параметров а(. Тогда на них можно будет смо-
смотреть как на обобщенные координаты системы и искать их из
системы уравнений
-^- = 0, при г = 1, 2, 3... E8)
или, принимая во внимание E3) и E6), из системы'
i = l, 2, 3...
очевидно линейной относительно всех неизвестных at.
§ 15. Метода Треффца
В методе Ритца, которой мы пользовались в § 9 и § 14 для
разыскания функции напряжений, разрешающей задачу об изгибе
и кручении призматических стержней, решение искалось нами
в форме ряда, отдельные члены которого удовлетворяли всем
граничным условиям задачи, в то время как весь ряд в целом
должен был быть точным решением задачи и как таковое удов-
удовлетворять ее основному диференциальному уравнению.
620
Треффцем предложено интересное видоизменение методы Ритца,
в которой отдельные члены ряда, в отличие от методы Ритца,
подчиняются не граничным условиям задачи, а ее основному
уравнению, а весь ряд в целом подчиняется условию, чтобы он
с возможно большей точностью давал искомую функцию.
Во многих случаях это видоизменение методы Ритца бывает
более удобным для нахождения решения задачи, так как во многих
случаях бывает легче подобрать такую совокупность функций, в ряд
по которым можно в исследуемой области разложить любую за-
заданную функцию, если функция эта подчинена основному урав-
уравнению, а не граничным условиям задачи.
Покажем, каким образом решается с помощью методы Треф-
фца задача, рассмотренная нами в предыдущем параграфе.
Пусть требуется найти функцию <р, удовлетворяющую дифе-
ренциальному уравнению E1) и граничному условию E2).
С помощью подстановки
<Р = *о(*,У) + Х, F0)
где Чо(х>У) -~ любое частное решение уравнения E1), а х — пока
неизвестная функция, удовлетворяющая уравнению
Vax = 0, F1)
можно свести рассматриваемую задачу к задаче о нахождении
функции <р, принимающей на контуре исследуемой области за-
заданные значения.
Пусть для определенности на контуре должно быть
Z = X(S), F2)
где s отсчитывается вдоль периметра контура от его определен-
определенной какой-нибудь точки.
Следуя методе Ритца, мы должны были бы принять
Х = Хо(х,У) + %ат(х,у), F3)
i
где Хо(*>.У) — любая функция, удовлетворяющая граничному ус-
условию F2), a Xt(x> У) при i — \, 2, 3...—любая совокупность
функций, удовлетворяющих на контуре условию
1 = 0, F4)
и подобранная так, чтобы всякому заданному / соответствовала
своя определенная совокупность параметров щ. Коэфициенты а;
нужно будет при этом по сказанному в предыдущем параграфе
искать из условия минимальности интеграла
(!)+(I)8]
или, что то же,
fj F5')
621
где через (grad xJ обозначено скалярное произведение вектора
gradx самого на себя.
Это приводит для нахождения коэфициентрв а,- к' системе
уравнений
^=0 г=1, 2, 3, ... F6)
Следуя методе Треффца, мы должны искать / в форме ряда
¦/. = ЪсЫх,У), F7)
i
где ']>{ (х, у) — функции, удовлетворяющие диференциальному
уравнению
V2 'г1; {х, у) — 0 F8)
и подобранные так, чтобы всякому заданному х соответствовала
своя определенная комбинация числовых значений параметров ct.
Подбирать параметры с,- Треффц предлагает из условия, чтобы
интеграл от скалярного квадрата градиента ошибки и-го прибли-
приближения, т. е. интеграл
Р = // [grad (х - In)? dx dy, F9)
где интегрирование распространяется на площадь всей исследуе-
исследуемой области, обращался в минимум; через х обозначено здесь
точное значение функции х, а через Хп —ее приближенное зна-
значение, получающееся при удержании в ряду F7) п первых чле-
членов ряда.
Это приводит для определения ct к системе линейных урав-
уравнений
^=0, i=l, 2, 3... G0)
которых, как и в методе Ритца, можно написать столько же,
сколько постоянных с{ нами сохранено в ряду F7).
Следуя ' Треффцу, можно легко показать, что эта система
уравнений равносильна системе
-ds = 0, i= I, 2, 3... л G1)
где интегрирование распространяется на весь контур исследуемой
области, a v есть направление внешней нормали к этому контуру.
Действительно в силу F9) уравнение G0) может быть в раз-
развернутом виде выписано так:
Т iff grad (z - /*)grad
Тс =
= 2 f f grad (z - x») grad <b( (x, y) dx dy. (a)
622
Но по теореме Гаусса
fj grad (x - Xn) grad <J»f (л;, у) dx dy =
= §(Х- In) ~ ds - ff(x - xn)V
или, принимая во внимание F8),
ff grad (x - Xn) grad ty (л, .у) rfjc flfy = § (x - Xn) ^ ds. F)
Подставив (б) в (а) и затем (а) в G0), видим, что действительно
система G0) эквивалентна системе
-X™)l7<fe = 0 G1')
очевидно совпадающей с G1) по определению того, что нами
обозначено через уп. Таким образом в методе Треффца коэфици-
енты Ct ряда F7) приходится искать действительно из системы
уравнений G1).
Треффцем отмечено весьма любопытное свойство предложен-
предложенной им методы: в отличие от методы Ритца, никогда не приво-
приводящей к преуменьшенным значениям интеграла F5), метода Треф-
Треффца, если подставим решение, даваемое ею в правую часть выра-
выражения F5), дает значения этого интеграла, никогда не преувели-
преувеличенные. Поэтому вычислив сначала значение интеграла F5), со-
соответствующее тому или иному приближению методы Ритца, а
затем значение того же интеграла, соответствующее какому-либо
приближению методы Треффца, мы тем самым определим два
предела, между которыми должна заключатся его величина, со-
соответствующая точному выражению для у.
Чтобы доказать это положение, обозначим через Хп сначала
л-е приближение методы Ритца, а через <р — ошибку этого при-
приближения, т. е. функцию от х vi у, являющуюся разностью между
истинным значением функции у и ее приближенным выражением уп
? = Z-Xn. G2)
Подставив уп из G2) в выражение
Vn = ff(gradynfdxdy,
будем иметь
= // (grad xJ dx dy + ff (grad <pJ dx dy +
+ 2 ff grad x grad <f> dx dy.
623
Но по теореме Гаусса
// grad x grad <f> dx dy = $ <p ^ ds — ff <s
где оба интеграла в правой части равны нулю, так как по опре-
определению функции f она обращается на контуре в нуль, по опре-
определению же функции х
Принимая это во внимание, видим, что всегда
Vn = // (grad xnJ dx dy = // (grad yfdx dy +
G3)
чем и доказывается, что любое приближение для интеграла V,
даваемое методой Ритца, никогда не может быть меньше истин-
истинного значения.
Допустим теперь, что х„ есть я-е приближение методы Треф-
Треффца, а <р попрежнему определяется формулой G2). Тогда, под-
подсчитав истинное значение интеграла V, будем иметь
V = ff grad xJ dx dy = ff [grad («p + ln))dx dy=
= ff (grad ьJ dx dy + ff (grad if dx dy +
+ //grad Xn grad cp dx dy.
По теореме Гаусса, однако,
// grad х„ grad <p dк dy = $ <р -^ rfs — //<? V\ndx dy,
где по определению функций Хп
X« = О,
а
что также обращается в нуль в силу уравнений GГ), которыми
определяются в методе Треффца постоянные ct.
Таким образом, между значением интеграла V, соответствую-
соответствующим точному значению функции х> и значением его Vn, соответ-
соответствующим л-ому приближению методы Треффца, всегда суще-
существует зависимость
V = Va +// (grad cpJ dxdy, G4)
из которой следует, что Vn никогда не может быть больше, чем V.
624
Подсчитав в том или ином приближении величины Vn и Vn,
всегда можно поэтому утверждать, что истинное значение инте-
интеграла V лежит в пределах
V'n<V<Vn, G5)
чем и доказывается упомянутая выше особенность решения
Треффца.
Заслуживает упоминание и еще одна небезинтересная особен-
особенность решения Треффца. Так как функции tyt(x,y) в ряду F7)
подчинены, как и х уравнению Лапласа
V2x= Va->,(*> y) = 0,
то разность между точным значением х и любым его прибли-
приближенным, найденным с помощью методы Треффца,
? = X — Хл
должна удовлетворять уравнению Лапласа и достигать, как
всякая гармоническая функция, своих максимальных зна-
значений на контуре, а не внутри исследуемой области. Вы-
Выяснив, следовательно, с какой степенью точности удовлетворяет
то или иное приближение методы Треффца граничному условию
F2), можно, следовательно, судить о степени точности, с которой
найдено х вообще.
§ 16. Пример использования методы Треффца
Каких результатов можно достигнуть путем удачного комби-
комбинирования методы Ритца с методой Треффца, покажем на следу-
следующем простом примере, заимствованном нами у Треффца.
Пусть требуется определить жесткость при кручении для
стержня квадратного сечения, контур которого определяется
уравнением
(х2—аа)(уа —аа) = 0.
Следуя С. П. Тимошенко, мы получили уже для искомой
жесткости этого профиля в качестве второго приближения методы
Ритца
С = 0,1404
Применим теперь к решению этой задачи методу Треффца,
приняв в качестве частного решения уравнения
V2? = -2Gt,
решение
за фхС*, у) же функцию
ЪКХ> У) — 4
очевидно удовлетворяющую уравнению F8).
П. Ф. Папковпч, Теория упругости—436—40 625
В этом приближении будет,
Определив аг из уравнения
будем иметь
а*
следовательно,
i + ^^-GaV
[см. уравнения
-6л»у-+3^)]^
7
= 36'
+ У4)]-
G1)]
что дает для крутящего момента М
^76 2Gt 6
JVl — 135 4^ п ¦
Отсюда следует, что в этом приближении методы Треффца
п 4 • 76 п , Ga*
С = -og ua* =
135 ~ 0,4446*
Истинное значение величино С должны, следовательно, лежать
в пределах
Ga* , п . Go*
0,4452 ^ ^ ^ 0,4446'
настолько уже узких, что вряд ли может быть надобность в даль-
дальнейшем их уточнении.
Для величины наибольшего напряжения оба рассмотренные
только-что решения дают, конечно, выражения, значительно менее
точные, чем для жесткости по отношению к кручению С.
§ 17. Вариационные методы разложения в ряды по частным
решениям однородных уравнений теории упругости
Разложение искомого решения в ряды по частным решениям
диференциальных уравнений равновесия является едва ли не ста-
старейшим классическим приемом решения граничных задач теории
упругости. Мы пользовались им в плоской задаче, как в задаче
о равновесии прямоугольной полосы, так и в задаче о равнове-
равновесии кольца и клина. Рассмотрим здесь в общем виде вариацион-
вариационную схему разыскания коэфициентов разложения искомого ре-
решения в такие ряды. При этом ограничимся рассмотрением случая,
когда объемных сил к телу не приложено, так как действие
объемных сил, если его учесть с помощью решения Буссинека
(§ 5 главы IV), сводит общую задачу теории упругости к реше-
решению ее контурной задачи.
Предположим сначала, что на поверхности тела заданы на-
напряжения Х-,, Y,, Zv . Разлагая в решении однородных диферен-
диференциальных уравнений Ламе, рассмотренном нами в § 7 главы IV,
гармонические функции 0, в ряды по соответствующим образом
подобранным частным решениям уравнения Лапласа, мы всегда
626
можем представить перемещения и, v и w в форме рядов
,У,г), G6)
W=
каждым из коэфициентов которых определится некоторое воз-
возможное отклонение тела, притом отклонение, совместимое с ус-
условием отсутствия объемных сил. Решение постановленной задачи
теории упругости сводится при этих условиях к нахождению
такой комбинации неизвестных параметров аи при которой на-
напряжения X,, Fv и Z*, принимали бы на поверхности тела задан-
заданные значения.
Разыскав сначала с помощью уравнений Коши деформации,
соответствующие перемещениям G6), а затем с помощью закона
Гука соответствующие этим деформациям напряжения, можно,
воспользовавшись уравнениями равновесия элементарного тетра-
тетраэдра, разыскать на боковой поверхности напряжения Ж, Y-, и Z,,
соответствующие каждому члену ряда G6).
Допустим, что, полагая
и = Щ {х, у, г),
w = w,(x,y,s),
мы получаем на поверхности тела
Z — Z(i)
Тогда, приняв G6), мы будем иметь
, \
G7)
где функции X', Y', и Z' будут для всех точек боковой поверх-
поверхности известны, если функции и( (х, у, z), vt (х, у, z) и wt (х, у, z)
нами выбраны. Решение поставленной задачи будет при этом
дано той комбинацией параметров at, при которой правая часть
выражений G7) получит во всех точках поверхности тела значе-
значения, определяемые заданными X,, Y, и Zv.
6 27
Для разыскания этой комбинации параметров а( можно вос-
воспользоваться методой Ритца. Тогда нам придется как признаком
равновесия воспользоватся уравнением
2 (Хе iu + Ye bv + Ze Щ = IV, (9)
даваемым началом возможных перемещений.
В рассматриваемом случае внешними силами, приложенными
к телу, являются только напряжения Хч, Fv и Zv на его поверх-
поверхности. Поэтому при всякой вариации параметров at должно быть
и + Yebv + геЩ = ff (Xv ш -^ У„ 8г> Н* Z,lw) dS, G8)
где интегрирование распространяется на всю поверхность тела.
Приращение потенциальной энергии тела V, соответствующее
рассматриваемому его виртуальному перемещению, можно вычи-
вычислить с помощью соответствующего общего выражения V через
компоненты деформации. Имея, однако, в виду, что перемещениям
и, v и w, определяемым формулами G6), соответствуют на боко-
боковой поверхности тела напряжения
можно для вычисления приращения потенциальной энергии тела
воспользоваться тем же началом возможных перемещений и на-
написать
// S aiХ^)Ьи + B
, G9)
i
где интегрирование распространяется на всю поверхность тела.
Подставив G8) и G9) в (9), получим в качестве признака рав-
равновесия вариационное уравнение
Я{[
Ьи
+ [Zv - 2 at Zv°] bw \ dS = 0, (80)
• J
где интегрирование должно быть распространено на всю боко-
боковую поверхность тела.
Совершенно ясно, что если при всякой вариации параметров
ai уравнение (80) не нарушается, то во всех точках боковой по-
поверхности тела уравнения G7) удовлетворены.
628
Дадим параметру at бесконечно малое приращение. Тогда и,
и w получат приращения
bw = Wt (x, у, z) Ьаи
и (80) будет удовлетворено, если мы положим
- 2 «f*v(Ol«' С*. У, z) + [УЧ
2
+ [z. - 2 atZ?] wt (х> у> z))dS = о-
Уравнений (81) можно, очевидно, написать столько, сколько
неизвестных at требуется определить. Остановившись на том или
ином числе членов рядов G6), мы можем все неизвестные найти
из системы уравнения (81). Вместо начала возможных переме-
перемещений можно, конечно, определить постоянные at и из условия,
чтобы при сохранении в решении G6) избранного числа членов
ряда квадратичная ошибка в удовлетворении граничных условий
F=jfw* - 2 а'х'0]2 + [у. - 2 a*Y?F +
i t
+ [Z4-'%atZ<p]*}dS (82)
i
была наименьшею. Тогда мы получим для определения а{ си-
систему уравнений
= 0, (83)
i
которая так же, как и (81), будет, очевидно, линейной относи-
относительно всех неизвестных а(. Какой из этих двух систем проще
воспользоваться, зависит от того, какие из квадратур проще
взять: квадратуры ли, входящие в (81) или же входящие в (83).
Если на поверхности тела заданы перемещения,
то решение G6) нужно будет подчинить граничным условиям,
чтобы на поверхности тела правые части равенств G6) прини-
принимали заданные значения. Если условие это будет соблюдено не
вполне точно, то за квадратичную ошибку решения можно будет
принимать распространяемый на всю поверхность тела интеграл
ф = /Л" - 2 а'«< (*> У' 2Я2 + [« - 2 a*vt (*' у> 2I2 +
(¦*> У' гI2) dS>
629
где под и, v и w следует подразумевать те значения функции
и, v и w, которые они по условиям задачи должны принять на
поверхности.
Чтобы квадратичная погрешность решения была минимальной,
надо ai определить из системы уравнений
Щ = If {[U ~ ? "'"*{Х' У' Z)] Ui (X> У-2) +
+ [V - ? OfVt (X, у, z)] vl(X, y, Z) +
i
+ [w - 2 a,wt (x, y, z)] wt (x, y, z)} dS = 0, (85)
i
при i = \, 2, 3, ...
Вместо требования, чтобы квадратичная ошибка была мини-
минимальной, можно, конечно, определить коэфициенты ai рядов G6)
из вариационного уравнения, даваемого началом виртуальных
изменений напряженного состояния
2 + wbZe) = W. A2)
В рассматриваемом случае, благодаря отсутствию объемных
сил
) dS, (86)
где интеграл берется по всей поверхности тела, а вариации ве-
величин Xv, Vv и Zv, соответствующие рассматриваемой вариации
параметров а(, могут быть найдены с помощью равенств G7).
Для нахождения &V, входящего в правую часть равенства A2),
можно воспользоваться как общими выражениями для V, при-
приведенными в главе III, так и тем же самым началом виртуальных
изменений напряженного состояния, в силу которого должно
быть
+ [ ? atvt (х, у, z)] ЗКЧ + [2 «jw, (х, у, г)] 3Z, } dS. (87)
Подставив (86) и (87) в A2), получим для определения неиз-
неизвестных at вариационные уравнения
[« - ]>>¦«¦ (х, У, z)] 8XV + [v- 2а,«,(л, у, z)] 8K, +
i i
+ [w - § atwi (x, у, г)] bZ} dS - 0, (88)
i
630
эквивалентные в силу G7) системе
[" - S fl'"< (*• У> z)] *1г> + ^ - S «i1^*. У, «)] К(« +
+ [то - 2 aiW' С*» J'' 2I zi°) <*5 = °> (89)
где интегралы берутся по всей поверхности тела.
По желанию мы можем избрать для определения коэфи-
циентов я,- либо систему (85), либо же систему (89), смотря по
тому, какие интегралы вычисляются проще.
Вместо уравнений (81) и (83) мы могли бы, конечно, восполь-
воспользоваться системою
i i
k}dS = 0, (90)
где Uk, Vk и Wk — любая такая совокупность функций отх,у, z,
что в форме
и = ^сгик (х, у, z),
v =^аУк (х, у, г),
i
x,y,z) (91)
можно представить на поверхности тела любые три заданных
функции. Вместо же систем (85) и (89) можно было бы восполь-
воспользоваться системой
[« - S fl'"<] tf* + [« - 2 fl^J у к +
+ [w - 2 * w<] Wk} dS = 0. (92)
i
Если бы мы это сделали, то .пришли бы к методе, предло-
предложенной для решения некоторых задач строительной механики
Бьецено и Кохом. При условии надлежащего выбора функций
Uk, Vk и Wk система (90) должна быть в пределе эквивалентной
как системе (81), так и системе (83), а система (92) — как си-
системе (85), так и системе (89). При сохранении в ряду конечного
числа членов системы (90) и (92) дают, однако, часто значительно
худшие апроксимации, чем системы (81) и (83) или (85), (89) при
сохранении того же числа членов ряда. Поэтому заменять си-
системы (81), (83) и (85), (89) иными системами типа (90) и (92) можно
при приближенном решении задачи лишь с большою осторож-
осторожностью.
При выборе частных решений ut(x,y, z), vt(x, у, z), wt (x, у, z)
обычно стремятся к тому, чтобы неизвестные at разделялись в
631
системе уравнений, которыми постоянные эти определяются, если не
полностью, то хотя бы настолько, чтобы система этих уравнений
распалась на множество групп, в каждую из которых входит
конечное число неизвестных.
Если этого удается достигнуть, то говорят, что выбранная
система частных решений ортогональна по отношению к дан-
данной задаче. Разыскание таких систем взаимно ортогональных
решений требует, однако, введения в рассмотрение особых
в каждом случае криволинейных координат, специально подо-
подобранных применительно к телу данной формы. Прием этот нашел
себе в теории упругости по почину Ламе чрезвычайно важные
применения.
Рассмотрение его выходит далеко из рамок данного курса.
Мы вынуждены поэтому для ознакомления с ним отослать же-
желающих к классическим курсам теории упругости и в первую
очередь к курсам Ламе и Лява.
С применением этого приема к плоской задаче теории упру-
упругости можно ознакомиться всего лучше по курсам Кокера и
Файлона, где он использован в комбинации главным образом
с методой Фурье и Н. И. Мусхелишвили, где он использован
главным образом в связи с применением к плоской задаче теории
упругости, теории функций комплексного переменного.
Исследуемая область может оказаться, однако, такою, что
подобрать для нее систему частных решений уравнений теории
упругости, хотя бы частично ортогональных по отношению к гра-
граничным условиям задачи, будет слишком затруднительно. В этих
случаях лучшим методом решения задачи приходится признать
получение приближенных решений с помощью одного из прямых
методов вариационного исчисления, рассмотренных нами в дан-
данном параграфе.
Наличие в нашем распоряжении общих решений однородных
уравнений Ламе, рассмотренных нами в главе IV, приобретает
в этих случаях особое значение, так как им в весьма значитель-
значительной мере упрощается разыскание таких совокупностей частных
решений однородных диференциальных уравнений теории упру-
упругости, которые могут быть использованы в качестве фундамен-
фундаментальных функций ut(x, у, z), Vi(x, у, z) и wi(x, у, г) в ря-
рядах G6).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основные русские пособия по математической
теории упругости
1. С. П. Тимошенко, Теория упругости, изд. 1937 г.
2. А. и Л. Фёйппль, Сила и деформация, т. 1 и 2, изд. 1933 и 1936 г.
3. А. Ляв, Математическая теория упругости.
4. Е. Треффц, Математическая теория упругости, ч. I, изд. 1932 г.
5. Ф. С. Ясинский, Собрание сочинений, т. III. Теория упругости. 1904 г.
6. И. Евневич, Руководство по изучению сопротивления строительных
материалов с присоединением общих начал теории упругости, 1868 г.
Плоская задача
1. Н. И. Мусхелишвили, Некоторые задачи теории упругости, второе из-
издание, 1937 г.
2. Э. Кокер и Л. Файлои, Оптический метод исследования напряже-
напряжений, 1936 г.
3. Г. В. Колосов, Применение комплексной переменной к теории упру-
упругости, 1935 г.
Учебники для высших технических учебных заведений
1. С. В. Серенсен, Основы технической теории упругости, 1934 г.
2. М. М. Филоненко-Бородич, Основы теории упругости, 1932 г.
Основная иностранная литература
1. Navier L. M. H., Resume des legons, Resistance des corps solides, partie I
3 ed., 1864, с примечаниями С. Венана.
2. Lame M. G., Legons sur la theorie mathematique de l'elasticite des corps
solides, 1866.
3. Clebsch A., Theorie de l'elasticite des corps solides. Traduite par Barre de
Saint-Venant et Flamant, 1883.
4. Thompson and Tait., Treatise on natural philosophy, 1879—1883.
5. Castllliano, Theorie de l'equilibre des systemes elastiques et ses applica-
application, 1879.
6. Neumann F., Vorlesungen fiber die Theorie der Elastizitat, 1885.
7. Boussinesq, Theorie des potentialles et ses applications... 1885.
8. Mathteu E., Theorie de l'elasticite des corps solides, 1890.
9. Poincare H., Lecons sur la theorie de l'elasticite, 1892.
10. Cesaro, Introduzione alia theoria matematlca dell'elasticita, 1894.
11. Duhem P., Recherches sur l'elasticite, 1906.
633
12. Marcolongo, STheoria matematica deH'eqnilibrio dei corpi elastic!, 1904.
13. Burgatti P., Theoria matematica dell' elasticita, 1931. j
14. Enzyclopoedie der Mathematlschen Wissenschaften, Bd. IV, 1907—1914.
15. Handbuch der Phusik. Bd. VI, 1928.
16. Handbuch der Physlkalischen und Technischen jMechanik, Bd. Ill, 1927.
17. Wyss Th., Die Kraftfelder In festen elastischen Korpern, 1926.
18. Neuber H., Kerbspannungslehre, 1937.
19. Todhunter and Pearson K., A history of the theory of elasticity and of
strength ofraatherials, 2 vols, 1886—1893.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Вступление 5
Глава I
Теория напряжений
I 1. Основные определения и обозначения 11
| 2. Обозначение напряжений 12
3. Уравнения равновесия элементарного тетраэдра 17
s 4. Уменьшение числа компонентов напряжения до шести -18
§ 5. Общее выражение для нормального напряженяя в площадке, лю-
любым образом ориентированной 20
§ 6. Преобразование компонентов напряжения при повороте осей . . 20
§ 7. Поверхиость нормальных напряжений (поверхность Коши) .... 22
§ 8. Эллипсоид Ламе 23
§ 9. Разыскание наибольшего из скалывающих напряжений, действую-
действующих в площадках, проходящих через данную точку 24
§ 10. Определение величины я направления главных напряжений ... 27
§ 11. Дифереициальные уравнения равновесия 30
§ 12. Статическая неопределимость основной задачи теории упругости
Упражнения . . . . • 31
Глава II
Геометрическая теория деформаций
§ 1. Понятие о составляющих перемещения * . . 44
§ 2. Линейная деформация по заданному направлению 44
§ 3. Угол сдвига между двумя взаимно перпендикулярными направле-
направлениями 47
§ 4. Понятие о компонентах деформации. Формулы преобразования их
при повороте осей 48
§ 5. Связь между перемещениями и деформациями. Уравнения Коши 50
§ 6. Поверхность деформаций 50
§ 7. Нахождение главных деформаций по заданным компонентам ... 51
§ 8. Понятие об относительном приращении объема 53
§ 9. Условия совместимости деформаций (диференциальные зависи-
зависимости Сен-Венана) 54
§ 10. Понятие о вихре вектора перемещения 55
§ 11. Условия интегрируемости уравнений Коши 57
§ 12. Формулы Чезаро 62
§ 13. Определение постоянных интегрирования, входящих в общий ин-
интеграл уравнений Коши 64
§ 14. Другой способ нахождения перемещений по заданным деформациям 65
§ 15. Выражения для компонентов конечной деформации 68
§ 16. Заключительные замечания , 70
Упражнения 7'
635
Глава UI
Связь между напряжением и деформацией
§ 1. Понятие о законе Гука 85
§ 2. Связь между работой внешних сил и работой внутренних сил
упругости 86
§ 3. Общее выражение для работы внешних сил, действующих на эле-
элементарный параллелепипед, вырезанный из тела 87
§ 4. Общее выражение для приращения удельной работы деформации
и некоторые непосредственные следствия из него 89
§ 5. Общее выражение для удельной работы деформации тела, следу-
следующего обобщенному закону Гука, и некоторые свойства этого
выражения 90
§ б. Закон Гука для изотропного тела 94
§ 7. Потенциальная энергия единицы объема изотропного тела .... 97
§ 8. О пределах возможных значений постоянных Е, G и а 98
§ 9. Понятие об удельной работе изменения объема и удельной работе
изменения формы 100
§ 10. Приятие о важнейших гипотезах прочности 101
Упражнения * 104
Глава IV
Схемы решения задач теории упругости
§ 1. Понятие о прямой и обратной постановках общей задачи теории
упругости. Две основных схемы решения прямой задачи теории
упругости ПО
§ 2. Непосредственное определение напряжений. Уравнения Бельтра-
§ ми — Майчела • • 114
§ 3. Полуобратный метод Сен-Венана . • . 118
§ 4. Непосредственное определение перемещений. Уравнения Ламе . . 119
§ 5. Общий интеграл уравнений Ламе, найденный Буссинеком .... 120
§ 6. Исследование решения Буссинека 122
§ 7. Развернутый вид общего интеграла уравнений Ламе 130
§ 8. Граничные условия, которым три перемещения тела должны удов-
удовлетворять на поверхности 132
§ 9. Общее выражение для шести компонентов напряжения 136
§ 10. Влияние неравномерности нагрева тела. Уравнения Дюгамеля —
Неймана ........... . 138
§ 11. Общий интеграл уравнений Дюгамеля—Неймава 141
§ 12. Заключительные замечания 144
Упражнения 146
'Глава V
Простейшие задачи теории упругости
§ 1. Понятие о задачах, именуемых в теории упругости простейшими 162
§ 2. Всестороннее равномерное давление 162
§ 3. Растяжение призматического стержня под действием собственного
веса 164
§ 4. Кручение круглого вала постоянного диаметра 165
§ 5. Чистый изгиб призматических стержней 168
§ 6. Простое растяжение призматического стержня 171
Глава VI
Задача о толстой трубе и ей родственные
§ 1. Напряжения в трубе, находящейся под действием равномерного
внешнего и внутреннего давления 173
§ 2. Задача о расчете скрепленной трубы 181
636
§ 3. Тепловые напряжения в толстостенной симметрично нагретой трубе 184
§ 4. Напряжения в полом валу, быстро вращающемся вокруг своей
оси 189
Упражнения 193
Глава VII
Кручение стержней
§ 1. Постановка задачи, основные уравнения 202
§ 2. Зависимость между скручивающим моментом и функцией напря-
напряжения 209
§ 3. Другой вывод основных зависимостей § 1 214
§ 4. Теорема о циркуляции напряжения 216
§ 5. Аналогия Прандтля 218
§ 6. Решение для стержня эллиптического 223
§ 7. Решение для прямоугольного сечения с конечным отношением
сторон 226
§ 8. Иные профиля, для которых <р может быть найдено в форме рядов 232
§ 9. Приближенное решение для профилей, составленных из прямо-
прямоугольных полос 233
§ 10. Приближенный расчет тонкостенных трубчатых профилей .... 235
§ 11. Расчет тонкостенных многосвязных профилей 237
§ 12. Решение основного уравнения задачи о кручений призматических
стержней с помощью применения функций комплексного перемен-
ного 241
§ 13. Кручение равнобокой трехгранной призмы 246
§ 14. Круглый вал, ослабленный круглой неконцентричной полостью 248
§ 15. Иные методы решения задачи о крученнн призматических стер-
стержней и решения, полученные с помощью нх 260
§ 16. Экспериментальные работы по поверке основных результатов те-
теории кручения призматическик стержней Сен-Веаана 266
§ 17. Упруго-пластичное крученне призматических стержней по Надаю 267
§ 18. Кручение круглых валов переменного диаметра. Решение Майпела ' 272
§ 19. Аналогия Якобсена 278
§ 20. Имеющиеся частные решения и области кручения тел вращения 280
§ 21. Кручение призматических стержней, торцевые сечения которых
остаются плоскими 283
", Упражнения • 289
Глава V1I1
Изгиб призматических стержней
§ 1. Основные зависимости Сен-Венановой теории изгиба призматичес-
призматических консольных балок 295
§ 2. Исследование выражений для компонентов напряжений получен-
полученных в § 1 302
§ 3. Другой вывод основных зависимостей предыдущих двух пара-
параграфов . 305
§ 4. Теорема о циркуляции скалывающего напряжения ¦ . 308
§ 5. Дальнейшие исседования напряженного состояния, найденного в
§ 2 и 3 311
§ 6. Понятие об изгибе без скручивания и о центре изгиба 312
§ 7. Аналогия с провисанием мембраны 315
§ 8. Эллиптическое сеченне 317
§ 9. Прямоугольное сечение 323
§ 10. Приближенный расчет односвязных профилей, составленных нз
тонких прямоугольных полос 327
§ 11. Приближенный расчет* тонких многосвязных контуров 333
§ 12. Некоторые общие замечания, касающиеся задачи Сен-Венана. По-
Постулат Сен-Венана 336
Упражнения 339
637
Глава IX
Плоская задача. Общие положения
§ 1. Основные зависимости задали о плоской деформации 349
§ 2. Функция Эри . . 351
§ 3. О числе произвольных гармонических функций, входящих в общий
интеграл плоской задачи 354
§ 4. Общий метод разыскания перемещений, соответствующих задан-
заданному выражению функции Эри 356
§ 5. Решение Лява . . . 357
§ 6. Граничные условия, которым подчинена функция Эри 359
§ 7. Условия однозначности функции Эри 361
§ 8. Условия однозначности перемещений 363
§ 9. Теорема Мориса Леви-Майчела •. . 366
§ 10. Влияние объемных сил 368
§ 11. Влияние неравномерности нагрева 370
§ 12. Задача о плоском напряженном состоянии 371
§ 13. Сводка основных полученных результатов . 376
Упражнения 380
Глава X
Плоская задача в декартовых координатах
§ 1. Решение Менаже 386
§ 2. Упругие линии балок, рассмотренных в § 1 397
§ 3. Некоторые простейшие случаи неравномерного нагрева прямо-
прямоугольной полосы 401
§ 4. Решения Рибьера и Файлона 412
§ 5. Иная форма основных зависимостей, относящихся к решениям
Рибьера 415
§ 6. Аналогичные зависимости из области решения Файлона .... 418
§ 7. Применение решений Рибьера и Фанлоиа к изгибу трубчатых
балок прямоугольного сечения 420
§ 8. Решение для полосы, симметрично загруженной скалывающими на-
напряжениями 423
§ 9. Понятие об эквивалентной ширине и редукционном коэфициенте
пояска 426
§ 10. Решение для основных случаев загрузки прямоугольной полосы . 429
§ 11. Пример использования решения Файлоиа применительно к рас-
расчетной схеме §7 • • 442:
§ 12. Приближенные значения редукционного коэфиииента поясков
балок различного типа 454-
§ 13. Решение для бесконечно длинной полосы . 464
§ 14. Примеры использования решения предыдущего параграфа .... 466
§ 15. Случаи, когда разыскание тепловых напряжений может быть про-
произведено с помощью решений Рибьера и Файлона 474
3 16. Тепловые напряжения в бесконечно длинной полосе 478
Упражнения 480
Глава XI
Плоская задача в полярных координатах
§ 1. Основные зависимости 485
§ 2. Случай, когда компоненты напряжения не зависят от 6 487
§ 3. Случай, когда компоненты напряжения являются функциями вида
/ (г) cost) или /(r)sin6 . 490
§ 4. Случай, когда компоненты напряжения являются функциями вида
Д (г) sin (kb + е), где kqtO и 1 495-
§ 5. Общий интеграл бигармонического уравнения для замкнутого
кругового кольца 49?
638
§ 6. Кручеине кольца в его собственной плоскости , 498
§ 7. Толстая труба под действием равномерного внутреннего и ниеш-
иего давления . . . . • 498
§ 8. Чистый изгиб части кругового кольца 499'
§ 9. Изгиб части кругового кольца силою, приложенною к его свобод-
свободному концу . . • . • • • 501'
§ 10. Действие силы, приложенной к точке внутри неограниченной
плоскости 503-
§ 11. Влияние круглого отверстия иа напряжения в плоском равно-
равномерно растянутом бесконечном поле 507
| 12. Круглое кольио, сжимаемое двумя взаимно противоположными
усилиями 512
§ 13. Сжатие клина силою, приложенною к его вершине • : • 513;
§ 14. Изгиб клина силою, приложенною к его вершине .... .... 514
§ 15. Изгиб клина парою, приложенною к его вершине 515
§ 16. Клин, одна грань которого загружена равномерно распределенными,
нормальными к ней усилиями • 517
§ 17. Клин под действием гидростатического давления 518
§ 18. Давление на полуплоскость 519
§ 19. Сжатие круглого диска двумя взаимно уравновешиваемыми силами 522
§ 20. Дальнейшее исследование напряженного состояния, найденного в
предыдущем параграфе 525
§ 21. Диск, загруженный по периметру произвольной совокупностью
сосредоточенных сил 528
§ 22. Общее решение плоской задачи для части кругового кольца,
а также клина конечных размеров 530'
§ 23. Задача о бесконечном клине, произвольным образом нагруженном
у вершины • 536-
Упражнения 538-
fyaea XII
Задача о деформации, имеющей ось симметрии
"§ 1. Основные зависимости 540'
§ 2. Дальнейшее преобразование решения предыдущего параграфа . . 542
§ 3, Аналогия с плоской задачей 543
§ 4. Электродинамическая аналогия • 544
§ 5. Решение для цилиндра, боковая поверхность которого загружена
произвольным образом . . . • 546-
§ 6. Решение для цилиндра, произвольным образом загруженного на
торцах 547
§ 7. Решение, позволяющее произвольно распоряжаться нагрузкой как
' на боковой поверхности, так и на торцах цилиндра • 550
§ 8. Решение для бесконечно длинного цилиндра, загруженного возле
середины '• • 551
§ 9. Решение для бесконечной пластинки конечной толщины, загру-
загруженной на конечном участке возле середины пластины 552
§ 10. Иные решение 553
Упражнения 554
Глава XIII
Экспериментальные методы решения задач теории
упругости
I. Экспериментальные способы решения уравнений Лапласа и Пуассона
§ 1. Общие замечания 555
§ 2. Применение мыльной пленки к решению задач о кручении при-
призматических стержней 556
§ 3- Применение мыльной пленки к решению задачи об изгибе .... 562
639'
-§ 4. Применение мыльной пленки к исследованию кручеиия и изгиба
иеодносвязных профилей 563
§ 5. Применение резиновых мембран к решению уравнения Пуассона . 584
§ 6. Применение электродинамической аналогии к решению задачи об
изгибе и кручении призматических стержней 565
//. Методы экспериментального решения плоской задачи
§ 7. Нахождение разности главных напряжений оптическим путем. . . 567,
§ 8. Оптико-механический метод нахождения суммы главных напря-
напряжений 570
§ 9. Нахождение суммы главных напряжений методом интегрирования 572
S 10. Определение главных напряжений способом Фавра 575
§ 11. Определение главных напряжений по методу Ден-Гартога .... 577
§ 12. Применение электродинамической аналогии к плоской задаче . . . 578
§ 13- Составление приближенных выражений для функции Эри по дан-
данным оптического метода • 581
Глава XIV
Общие теоремы и вариационные методы решения
задач теории упругости
§ 1. Общее выражение для работы внешних сил 586
§ 2. Теорема Клапейрона • . . ¦ 589
§ 3. Начало взаимности • • 590
§ 4. Начало возможных перемещений 592
S 5. Начало виртуальных изменений напряженного состояния 594
§ 6. Теорема Кастильяно 596
§ 7. Начало наименьшей работы • , . • 598
§ 8. Схема решения основной контурной задачи теории упругости с
помощью начала наименьшей работы • • . . . 599
§ 9. Задача о кручении призматических стержней, как пример задач,
решаемых с помощью расчетной схемы § 8 • 602
§ 10. Частные примеры ...........'. 604
§11. Применение методы § 8 к плоской задаче 606
§ 12. Примеры использования расчетных схем § 11 610
§ 13. Вариационная схема решения общей задачи теории упругости,
основанной на использовании начала возможных перемещений 615
§ 14 Применение начала возможных перемещений к решению задачи
об изгибе призматического стержня I . . 618
§ 15. Метода Треффца • 620
¦§ 16. Пример использования методы Треффца 625
§ 17. Вариационные методы разложения в ряды по частным решениям
однородных уравнений теории упругости 626
Рекомендуемая основная литература 633
Отв. редактор Д. П. Сковов Техн. редактор А. И. Конторович
•Сдаио в производство 27/Н 1939 г. Подписано к печати 16/VIII 1939 г.
Учетио-авторск. лист. 42,5.' Печ. лист. 40. Формат бумаги 60 X 92/1в.
Бум. лист. 20. Тираж 6000. Индекс СС-5-2. Леноблгорлит № 3299. Зак. № 436.
Типография Оборонгиза. Киев, Крещатик, 42
Стр.
130
203
205
225
227
232
232
246
268
341
419
448
460
463
549
551
593
Строка
18 св.
8 сн.
И сн.
16 св.
8 сн.
13 сн.
3 си.
12 сн.
9 сн.
14 си.
6 св.
22 сн.
В
2 сн.
2 сн.
9 сн.
ЗАМЕЧЕННЫЕ
Напечатано
вектора в
уравнение
+ У*
яви»
2
1
к*
0,420
C4)
также
A + ") +
я = оо
-.?»
и (и)
таблице в столбце для
§ 14
л
ОПЕЧАТКИ
Следует читать
вектора перемещения в
решение
+у*
каЬ*
2
а
kit
(Go*)
0,490
C9)
такая
(!+•) + «y'J
Я"«ОО
и(п)
ф, вместо 0,255 читать 0,295
задаче 3
В формулах B9) вместо /0 и Н^ читать /j и //}')
отклонении, от которого
отклонении от которого
Зак. № 436