Б. Н. ЖЕМОЧКИН, М. С. БЕРНШТЕЙН,
С. Н. НИКИФОРОВ, Д. П. ПАЩЕВСКИЙ,
В. Ф. ТОЧИСКИЙ
КУРС
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ ПРОФ. Б. Н. ЖЕМОЧКИНА
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
ЧАСТЬ III
МОСКВА— 1 959

Проф. Б. Н. ЖЕМОЧКИН,
доц. Д. П. ПАЩЕВСКИЙ
СТАТИКА
СООРУЖЕНИЙ
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
Допущено
Министерством высшего образования СССР
в качестве учебника для архитектурных высших
учебных заведений и факультетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ
И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ

Книга представляет собой третью часть курса, состоящего из 1) <гТео¬
ретической механики», 2) «Сопротивления материалов» и 3) «Статики со¬
оружений».
В «Статике сооружений» изучается воздействие внешних сил на соору¬
жения; определяются усилия и деформации, возникающие в сооружениях
под влиянием этих воздействий.
В книге приводятся соображения практического характера и разбира¬
ются вопросы о выборе наиболее целесообразных приемов расчета для от¬
дельных классов сооружений.
Изложение принципов расчета сооружений сопровождается примера¬
ми, иллюстрирующими применение теории; для лучшего усвоения предмета
в конце каждой главы помещены задачи.
В ряде разделов приведены приближенные способы расчета, которые
могут быть использованы при предварительном подборе сечений или при
эскизном проектировании.
Книга является учебником для архитектурных вузов и факультетов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий курс, выпускаемый вторым изданием, предназначен для
студентов вузов и факультетов архитектурной специальности.
Курс состоит из трех частей: «Теоретической механики», «Сопро¬
тивления материалов» и «Статики сооружений». Включение в состав
учебника части, посвященной теоретической механике, объясняется
тем, что в вузах и на факультетах архитектурной специальности эта
дисциплина не является самостоятельной, а рассматривается как вспо¬
могательная при изучении сопротивления материалов и статики соору¬
жений.
Будущим архитекторам по роду деятельности ме всегда нужно
будет заниматься непосредственным проектированием и расчетом кон¬
струкций. Однако им безусловно придется выбирать конструктивные
схемы и устанавливать общие размеры сооружений и их элементов.
Поэтому в курсе наряду с изложением основ теории расчета много вни¬
мания уделено приближенным способам расчета, пригодным для пред¬
варительного определения размеров при эскизном проектировании
сооружений.
Курс отвечает требованиям учебной программы и удельному объ¬
ему данной дисциплины в общем плане.
Отдельные части курса составлены: «Теоретическая механика» —
до*ц. В. Ф. Точиским и доц. М. С. Бернштейном, «Сопротивление мате¬
риалов»— проф. С. Н. Никифоровым, «Статика сооружений» — главы
I—IV — доц. Д. П. Пащевским, остальные главы — проф. Б. Н. Же-
мочкиным. Общая редакция курса принадлежит проф. Б. Н. Жемоч-
кину.

ВВЕДЕНИЕ
Одна из основных задач, разрешаемых строителями при проекти¬
ровании и возведении сооружений, состоит в том, чтобы обеспечить
прочность и долговечность последних.
Известны -многие памятники архитектуры, пережившие тысячелетия
и сохранившие достаточную прочность. Древние строители стремились
придать своим сооружениям большие запасы прочности, устраивая их
с излишне толстыми стенами, чересчур массивными колоннами и стол¬
бами. К сожалению, почти не сохранилось сведений, как они определя¬
ли размеры элементов сооружений.
Старинные сооружения в конструктивном отношении не отличались
большим разнообразием. При возведении нового сооружения строите¬
ли копировали старые, оправдавшие себя конструктивные формы. Если
вновь примененная конструкция, существенно отличаясь от выполнен¬
ных ранее, оказывалась прочной и долговечной, то ее принимали за об¬
разец для последующего строительства. Доброкачественность построек,
таким образом, проверялась на опыте самой жизнью. В этих усло¬
виях конструктивные изменения могли внедряться очень медленно.
При современном уровне развития техники и большом разнообра¬
зии применяемых типов сооружений строитель уже не может основы¬
вать свою деятельность на таком экспериментировании, продолжитель¬
ность которого исчислялась бы годами и даже веками, как это было в
древности. Теперь необходимо строить быстро, прочно и эко¬
номно. Поэтому в настоящее время существенное значение прихо¬
дится придавать расчету сооружений на прочность.
При проектировании сооружений необходимо определять внешние
силы, которым они будут подвергаться, выяснять законы распределения
внутренних сил в различных частях сооружений и, наконец, подбирать
размеры элементов сооружений так, чтобы сооружения во всех своих
частях были прочны и вместе с тем не содержали бы излишних запа¬
сов 'прочности. Современные постройки стали рассчитывать не только на
прочность, но и на устойчивость.
Методы расчета сооружений изучаются строительной меха¬
никой в широком смысле этих слов. Она состоит из нескольких дис¬
циплин:
а)	теоретической механики;
б)	сопротивления материалов;
в)	статики сооружений или теории расчета сооружений, являющей¬
ся собственно строительной механикой в узком смысле;
г)	теории упругости и теории пластичности.
Теоретическая механика занимается вопросами равно¬
весия и движения твердых тел.
б

Сопротивление материалов основывается на данных
теоретической механики, но учитывает физические свойства строитель¬
ных материалов. В этой дисциплине освещаются вопросы прочности и
устойчивости элементов сооружений, изучается действие сил на основ¬
ной элемент («а брус или стержень), определяются внутренние силы и
деформации.
Статика сооружений или строительная механика в узком
смысле изучает действие сил на целые системы, состоящие из брусьев
или стержней, занимается их прочностью и устойчивостью.
В теории упругости рассматриваются или те же вопросы,
что и в сопротивлении материалов, но более углубленно, или задачи,
которые неразрешимы элементарными методами сопротивления мате¬
риалов. Методами теории упругости можно оценивать степень точности
решений, полученных в сопротивлении материалов. Отличительной осо¬
бенностью теории упругости является сильно развитый математический
аппарат.
Теория пластичности изучает работу элементов конструк¬
ций в пластическом состоянии.
Теория упругости, а также теория пластичности в настоящий курс
не входят.
Преследуя практические цели, строительная механика для упро¬
щения методов расчета не затрагивает вопрос о внутреннем строении
вещества. Но все же, имея дело с реальными материалами, она не
может не учитывать их физических свойств. Таким образом, строитель¬
ная механика связана с физикой. С другой стороны, исследуя вопро¬
сы расчета сооружений, строительная механика непосредственно
примыкает к инженерным дисциплинам и подготавливает к их изу¬
чению.
Строительная механика, тесно связанная с практической жизнью,
должна строить свои выводы на эксперименте. Эти выводы должны за¬
тем проверяться опять-таки экспериментальным путем. Поэтому давно
уже принимались меры к постановке экспериментов для изучения
свойств строительных материалов. С середины XIX в. появились хорошо
оборудованные лаборатории, снабженные машинами для испыта¬
ния материалов. Задачи современных лабораторий значительно расши¬
рились. В лабораториях не ограничиваются только определением меха¬
нической прочности материалов, но изучают влияние температуры, пе¬
риодического действия нагрузок, изменение деформаций во времени
и т. д. В последнее время оказалось возможным испытывать в лабора¬
ториях модели целых сооружений. Для решения поставленных прак¬
тической жизнью задач лаборатории должны иметь не только мощные
машины, но и чрезвычайно чувствительные приборы, позволяющие на¬
блюдать весьма малые деформации.
Только в тесном единении теории и эксперимента — залог дальней¬
шего успешного развития строительной механики.
* * *
«Статика сооружений» по своим методам исследования и по объ¬
ектам изучения тесно связана с «Сопротивлением материалов». Раньше
она вообще изучалась совместно с «Сопротивлением материалов», бу¬
дучи одним из разделов общего курса «Строительной механики», и вы¬
делилась в самостоятельную дисциплину только в нынешнем столетии
в связи с накоплением обширного материала.
7

Развйтие теории, расчета сооружений всегда было связано с разви¬
тием техники. Теория стремилась давать ответы на те вопросы, -которые
выдвигала практическая жизнь, правда, иногда с большим запозда¬
нием.
Исследователи XVIII в. еще изучали обыкновенную однопролетную
балку. Расчет неразрезной балки при помощи уравнения трех момен¬
тов был дан Клапейроном (1799—1864) только в 1857 г-
Арки и своды принадлежат к числу очень древних конструкций.
Но вопрос о расчете арок возник только в самом конце XVII в. (Дела-
гир). На протяжении 150 лет появилось много теорий их расчета, но
все они оказывались несостоятельными, вероятно, потому, что авторы
интересовались только предельным состоянием, причем наделяли ма¬
териал арки не присущими ему свойствами.
Здесь нельзя не упомянуть об одном исключении. В 1773 г. гениаль¬
ным русским ученым и изобретателем И. П. Кулибиным (1735—1818)
был спроектирован деревянный арочный мост через Неву пролетом
300 м. Если бы мост был построен, он представлял бы грандиознейшее
сооружение той эпохи. Однако проект остался неосуществленным, и
была выполнена в 7ю натуральной величины лишь модель, которая вы¬
держала испытание на нагрузку.
Рассчитывая арку, Кулибин интересовался ее работой в рабочем
состоянии, причем недостаток теории, бывшей в зачаточном
состоянии, он восполнял многочисленными опытами, что не догадыва¬
лись делать его предшественники.
Расчет арки как упругого тела был сделан Брессом (1822 —
1883) в 1854 г.
Развернувшееся в начале XIX в. строительство железных дорог
поставило на очередь вопрос о расчете ферм. Первый правильный рас¬
чет фермы (системы Гау) был сделан известным строителем мостов
Д. И. Журавским (1821—1891) в 1845 г. После этого теория расчета
статически определимых ферм стала быстро развиваться благодаря ра¬
ботам Шведлера, Кульмана, Риттера и др- В той же области работал
проф. Ф. С. Ясинский (1856—1899), которому принадлежит заслуга
выяснения работы сжатых раскосов.
Теория расчета статически неопределимых ферм была разработана
Максвеллом (1831 —1879) в 1864 г. Им же был предложен графический
способ, который впоследствии, после работы Кремоны, получил широ¬
кое распространение.
Говоря о расчете ферм, нельзя не вспомнить о деятельности проф.
Н. А. Белелюбского (1845—1922). На б. Николаевской (ныне Октябрь¬
ской) железной дороге при замене деревянных мостов металлическими
по его проектам было осуществлено до 70 мостов. Много нового в дело
расчета ферм было внесено проф. Л. Д. Проскуряковым (1858—1926).
При проектировании моста через Енисей он предложил совершенно но¬
вые конструкции, которые впоследствии стали применяться как в Рос¬
сии, так и за границей.
Бурное развитие железобетонного строительства в конце XIX в. и
особенно в XX в. заставило исследователей заняться расчетом стати¬
чески неопределимых систем — рам. С момента нахождения Максвел¬
лом способа определения перемещений, который позже в более общей
форме был предложен Мором (1835—1918) (формула Мора—Максвел¬
ла), уже были созданы предпосылки для расчета рам способом сил, но
только в 20-х годах нынешнего столетия удалось разработать практи¬
чески приемлемые способы расчета. Большое развитие получил способ
&

деформаций (зачатки которого имелись еще у Мора). Над вопросом
расчета рам работал целый ряд исследователей как в СССР, так и за
рубежом.
В связи с необходимостью проектирования зданий больших разме¬
ров получили широкое распространение «пространственные фермы и
различного вида оболочки.
В 20-х годах нынешнего столетия появились цилиндрические обо¬
лочки балочного типа. Первоначально был разработан способ расчета
их в предположении отсутствия изгибающих моментов. Но впоследствии
было установлено значительное влияние изгиба, в связи с чем пришлось
разработать моментную теорию. В настоящее время применяются обо¬
лочки самых разнообразных форм.
Большие успехи были достигнуты >в области динамики сооружений.

ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. ЗАДАЧИ СТАТИКИ СООРУЖЕНИЙ
В сопротивлении материалов изучаются элементарные воздействия
внешних сил на отдельные брусья или стержни (растяжение, сжатие,
изгиб, кручение) и комбинации этих воздействий, (сложное сопротивле¬
ние). Воздействия же внешних сил на целые системы, составленные из
многих брусьев или стержней, изучаются в статике сооружений.
Статика сооружений ставит своими задачами:
а)	определение усилий и деформаций, возникающих в сооруже¬
ниях, под влиянием внешних воздействий;
б)	установление законов образования сооружений;
в)	изучение сооружений для возможности получения рациональ¬
ных и экономически целесообразных систем.
Успешное разрешение этих задач требует умения делать расчет
сооружений. Не следует думать, что статика сооружений включа¬
ет набор рецептов для расчета самых разнообразных сооружений и что
для каждого сооружения существует свой способ расчета. Все расчеты
сооружений основываются на очень немногих принципах, но соображе¬
ния практического характера заставляют, исходя из этих принципов,
разрабатывать для различных классов сооружений наиболее удобные
приемы расчета, позволяющие быстрее и проще получать окончатель¬
ные результаты.
Статика, сооружений служит базой для последующих дисциплин,
имеющих дело с инженерными конструкциями. При изучении их исполь¬
зуются данные, даваемые статикой сооружений.
В дальнейшем слово «сооружение» мы будем часто заменять сло¬
вом система. Понятие «система» более узкое, чем понятие «сооруже¬
ние», так как в одно и то же сооружение может входить несколько си¬
стем.
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ СООРУЖЕНИИ
При расчете сооружений в целях упрощения имеют дело не с са¬
мими сооружениями, а с их расчетными схемами.
Расчетная схема сооружения представляет собой как бы
упрощенное изображение действительного сооружения.
Выбор расчетной схемы является весьма важным и ответственным
процессом. Надо стараться всегда выбирать такую схему, которая,
максимально облегчая расчет, вместе с тем по условиям ее работы
возможно ближе подходила бы к действительному сооружению.
10

Расчетными схемами мы пользовались и раньше, в предыдущих
разделах курса. Так, например, при определении изгибающих моментов
в балке или при определении ее прогибов действительная балка заменя¬
лась ее расчетной схемой в виде прямой, изображающей ось балки. Вме¬
сто реальных опор балки в расчетных схемах принимались условные
опорные стержни.
Аналогично этому мы будем и в дальнейшем при расчете, напри¬
мер, какой-либо фермы (рис, 1 ,а) заменять последнюю расчетной схе¬
мой (рис. 1,6), в которой вместо действительных брусьев, образующих
ферму, покажем только оси их, а жесткие узлы заменим для упрощения
шарнирными.
Прежде чем перейти к изучению способов расчета различных соору¬
жений, целесообразно их разбить на отдельные классы, объединяя по
некоторым общим и характерным признакам. При классификации
сооружений будем оперировать с их расчетными схемами.
Классифицировать сооружения можно по различным признакам.
а)	Плоские и пространственные сооружения
Если оси всех элементов, входящих в состав сооружения, лежат
в одной плоскости и в той же плоскости действует нагрузка, то такое
сооружение называется плоским. Если же оси элементов не распо¬
лагаются в одной плоскости или нагрузка действует не в плоскости со¬
оружения, то оно называется пространственным.
Большинство пространственных систем в целях упрощения расчета
расчленяют на ряд плоских систем. Такое расчленение не всегда воз¬
можно, поэтому некоторые сооружения приходится рассматривать и
изучать как пространственные. Здесь мы будем изучать преимуществен¬
но плоские, а не пространственные системы.
б)	Стержневые, тонкостенные и массивные сооружения
Под стержневым сооружением .подра1зумевается соору¬
жение, состоящее из стержней (или брусьев), т. е. таких элементов, два
измерения которых значительно меньше третьего.
Если у элементов сооружения один размер (толщина) много мень¬
ше двух других, то сооружение, составленное из таких элементов, на¬
зывается или складкой, если в состав его входят пластинки,
ограниченные плоскостями, или оболочкой, если оно состоит из
элементов, ограниченных криволинейными поверхностями.
Под массивными подразумеваются такие сооружения, у кото¬
рых все три измерения примерно одного порядка, .например подпорные
стены, плотины, фундаменты.
И

в)	Статически определимые и статически неопределимые сооружения
По методам расчета все сооружения могут быть разделены на ста¬
тически определимые и статически неопредели¬
мые. Для расчета первых достаточно только уравнений статики.
Вторые для определения усилий требуют составления дополнительных
уравнений, включающих факторы, характеризующие упругие свойства
материала.
Различие между статически определимыми и статически неопре¬
делимыми системами уже освещалось выше во II части курса («Сопро¬
тивление материалов»).
§ 3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ СООРУЖЕНИЙ
^	а) Балки
Простейшим	сооружением	является однопролетная балка
(рис. 2,а), подробно изученная в «Сопротивлении материалов».
«0	6)		 г)
^	X	X	%,
W WWWW
Рис. 2
Для перекрытия нескольких смежных пролетов применение ряда
однопролетных балок (рис. 2,6) нецелесообразно и может оправды¬
ваться лишь свойствами материала или затруднительностью перехода
к более совершенной системе (например, в случае применения дере¬
вянных балок).
Целесообразнее добиться уменьшения величин изгибающих момен¬
тов путем замены однопролетных балок одной целой неразрезной
многопролетной балкой (рис. 2,в). Как известно, такая балка стати¬
чески неопределима.
Можно уменьшить изгибающие моменты, оставляя систему стати¬
чески определимой, но расположив шарниры в пролетах (рис. 2,г).
б) Арки
Для перекрытия больших пролетов балки неудобны, так как они
должны иметь сечения значительных размеров и, следовательно, боль¬
шой собственный вес. В таких случаях переходят к аркам. Под
аркой подразумевается система, состоящая из одного криволиней¬
ного элемента или двух, соединенных шарниром. Арки работают
преимущественно на продольные усилия, моменты в них меньше, чем.
12

в балках тех же (пролетов, а следовательно, меньше и поперечные
сечения.
Арки могут быть трехшарнирными (рис. 3,а), двухшарнирными
(рис. 3,6) и бесшарнирными (рис. 3,в). Две последние системы отно¬
сятся к статически неопреде¬
лимым.
в) Балочные фермы
Арки не всегда можно
применить для перекрытия
больших пролетов, так как
они требуют устройства
мощных опор и вызывают
довольно сложное произ¬
водство работ. Но есть и
другой путь развития балки
при переходе к большим
пролетам1.
Основным недостатком
балки прямоугольного сече¬
ния является то, что мате¬
риал ее используется пол¬
ностью только в крайних
волокнах (рис. 4,а). В точ¬
ках, близких к нейтральной
оси, нормальные напряжения невелики, и материал здесь в значительной
степени является мертвым грузом.
Логическим шагом -в развитии балки является размещение главной
массы материала как можно дальше %от нейтральной оси (рис. 4,6).
Таким образом появляется
балка двутаврового профиля.
Но и в такой балке мате¬
риал стенки еще недонапря-
жен, что сказывается особенно
неблагоприятно при больших
пролетах.
Улучшить положение мож¬
но при помощи устройства вы¬
резов в стенке (рис. 4,в). Но
тогда естественно перейти к
системе, составленной из от¬
дельных стержней, связанных
между собой в узлах и работа¬
ющих на продольные усилия
(рис. 4,г). При этом получает¬
ся уже качественно новая си¬
стема— фер м а.
Материал в фермах ис¬
пользуется гораздо лучше, чем
в балках; поэтому фермы
можно применять для перекрытий значительных пролетов.
1 Мы здесь имеем в виду, конечно, только логическое, -но :не историческое раз¬
витие.
S)
Рис. 5
dX
6)
ш
7^7
'!■«!,HU I.Llia—g=HH -андд——
#'
*)
~U~LnU~U~LT
г)
7
Рис. 4
13

Класс ферм очень обширен; они получили большое распространение
как в дереве, так и в металле, а в последнее время и в сборном желе¬
зобетоне.
В зависимости от назначения, материала, пролетов и т. д. фермы
имеют различное очертание. Приведенные на рис. 5,а фермы называ¬
ются балочными, на рис. 5,6 — консольно-балочными.
г)	Арочные и висячие фермы
Аналогично тому как от балки моэрю перейти к арке, так и от
балочной фермы можно перейти к арочной ферме, соединяющей
в себе свойства и фермы и арки (рис. 6,а и б). К арочным фермам при¬
мыкают висячие (рис. 6;в).
В процессе развития висячей фермы появляется цепная ферма,
состоящая в основном из цепи, к которой подвешена ферма жесткости
(рис. 6,г). Цепные фермы применяют в мостах для перекрытия самых
больших пролетов.
Фермы могут быть как статически определимыми, так и статически
неопределимыми.
д)	Рамы
В однопролетной балке, свободно опирающейся на стойки, сделан¬
ные из того же материала (рис. 7,а), можно значительно уменьшить
изгибающие моменты, если балку и стойки соединить в одно целое
(рис. 7,6). Тогда свободно лежащая балка начнет работать, как балка
с частично защемленными концами; моменты в пролете станут меньше,
но возникнут моменты в стойках.
Такая система называется рамой. Схемы рам чрезвычайно раз¬
нообразны (рис. 7,в—е). Встречаются рамы однопролетные, многопро¬
летные, одноярусные (одноэтажные) и многоярусные (многоэтажные).
Рамы могут комбинироваться и с арками.
Как правило, рамы являются системами статически неопредели¬
мыми.
14

a) LjzfrTX/гУ
ir
—f
В)
V i Г i-
777777,	ЛУШ t? 77. Ъ7. W, Ш
W7- Ш
Рис. 7
е)	Пространственные системы
К пространственным системам (т. е. к таким, которые не могут быть
расчленены для расчета на плоские) относятся: плита, опертая по
Рис. 8
контуру (рис. 8,а), пространственная ферма (рис. 8,6),
пространственная рама (рис. 8,в), цилиндрический
свод (рис. 8,г), крестовый свод (рис. 8,5), сомкнутый
15

свод (рис. 8,е), цилиндрический свод-оболочка балоч¬
ного типа (рис. 8,ас), складка (рис. 8,з), купол (рис. 8,а).
Только пространственные Фермы могут быть статически определи¬
мыми, все остальные системы статически неопределимы.
ж)	Подпорные стены
Подпорн.ые стены пред¬
назначены для поддержания грун¬
та или какого-либо сыпучего тела
(рис. 9).
§ 4. НАГРУЗКИ
В «Сопротивлении материалов»
рассматривались распределен¬
ные и сосредоточенные на¬
грузки.
Кроме того, в главе о расчете неразрезных балок было выяснено,
что нагрузки могут быть постоянными (например, собственный
вес сооружения) и временными (например, вес людей, вес обору¬
дования, вес товаров, давление ветра, снега). Дополнительно укажем,
что нагрузки разделяются еще на неподвижные и подвижные
(например поезд, автомобиль), -которые могут менять место своего рас¬
положения.
По характеру своего действия на сооружение нагрузки бывают
статические и динамические.
Статические нагрузки — такие нагрузки, которые возраста¬
ют постепенно до достижения своей окончательной расчетной ве¬
личины.
К динамическим нагрузкам относятся ударные, вне¬
запно приложенные и повторно-периодические. При¬
меры ударной нагрузки: удар бабы копра по свае при ее забивке,
падение какого-либо тела на перекрытие. Примером внезапно при¬
ложенной нагрузки, т. е. такой, которая действует на сооружение
сразу полной своей величиной, может быть давление колеса автомоби¬
ля, входящего на мост. Повторно-периодические нагрузки
действуют на сооружение, повторяясь по некоторому периодическому
закону. Так нагружают сооружение стоящие на нем различные маши¬
ны, моторы, находящиеся в работе.
Кроме нагрузок, представляющих силовые факторы, сооружение
может подвергаться и другим воздействиям, например действию тем¬
пературы, усадке материала, может получать осадку или пе¬
ремещение опор.
Рис. 9

ГЛАВА II.
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ
ПЛОСКИХ СИСТЕМ
§ 5. ИЗМЕНЯЕМЫЕ И НЕИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ.
СТЕПЕНЬ СВОБОДЫ
Каждое сооружение под влиянием внешних воздействий деформи¬
руется и, следовательно, изменяет свою форму. Так, в ферме сжатые
стержни под иагрузкой укорачиваются, растянутые удлиняются; фер-
~Х
Рис. 10
Рис. 11
ма получает прогиб, ее очертание изменяется. Это изменение, на прак¬
тике очень небольшое, обусловлено исключительно деформацией входя¬
щих в ферму стержней.
Но можно представить себе систему, способную изменять форму
в целом даже при бесконечно малых нагрузках без изменения размеров
стержней. В качестве примера приведем шарнирный четырехугольник
(рис. 10,а) и однопролетную балку, имеющую в пролете шарнир (рис.
11,а). Подобные системы называются геометрически изменяе¬
мыми (или просто изменяемыми). Если четырехугольник рескрепить
диагональным стержнем (рис. 10,6) или в балке уничтожить шарнир
(рис. 11,6), то эти системы обратятся в геометрически неизме¬
няемые.
Понятно, что в строительстве могут применяться только системы
геометрически неизменяемые. Наоборот, в машинах, представляющих
комбинации движущихся частей, должны быть изменяемые системы.
В дальнейшем в целях упрощения мы будем часто прибегать к по¬
нятию о дисках. Под диско м понимается такая часть системы, гео¬
метрическая неизменяемость которой уже установлена. Ферма, приве¬
денная на рис. 12, может рассматриваться как два диска, соединенных
шарниром а и стержнем Ьс.
Само собой понятно, что каждый брус или стержень можно рас¬
сматривать как диск, и, обратно, каждый диск можно рассматривать
2 Б. Н. Жемочкнн
17

как стержень. Диском является также земля (если считать ее жестким
недеформирующимся массивом) или вообще неизменяемое основание
сооружения.
Перед расчетом любого сооружения необходимо сначала проверить,
не изменяемо ли оно; в противном случае расчет теряет всякий смысл.
Если система изменяема, то вся она или отдельные ее части имеют
некоторую свободу перемещений. Чтобы лишить систему этой свободы,
надо поставить дополнительные связи; число таких связей зависит от
степени свободы системы.
Степенью свободы какого-либо тела называется число гео¬
метрических параметров, .которые могут независимо друг от друга из¬
меняться при движении этого тела.
Точка имеет в плоскости степень свободы, равную двум, так как
ее положение определяется двумя координатами. У стержня или бруса
в плоскости степень свободы равна трем, так как он может переме¬
щаться поступательно, причем положение любой его точки А опре-
меляется двумя координатами, и, кроме того, может поворачиваться
(рис. 13). Диск также имеет степень свободы, равную трем.
У	'
Установим, как определить степень свободы для целой системы,
составленной из ряда дисков, соединенных между собой шарнирами
(рис. 14) и связанных с землей опорными стержнями.
Каждый диск, взятый отдельно, имеет степень свободы, равную
трем. Для всей же системы, пока диски не связаны между собой,
степень свободы равна утроенному числу дисков. Шарнир, связываю¬
щий два диска, уничтожает двукратную степень свободы. В самом
деле, два диска до постановки шарнира имеют степень свободы 3+
+3=6. После соединения их шарниром диски смогут перемещаться
только совместно; положение шарнира определится двумя координа¬
тами. Вместе с тем каждый диок получит возможность независимого
поворота около шарнира. Следовательно, степень свободы будет рав-
на 2+2=4, т. е. на 2 меньше.
Таким образом, после того ка;к диски будут последовательно соеди¬
нены шарнирами, степень свободы системы станет равной утроенному
числу дисков минус удвоенное число шарниров. Кроме того, каждый
опорный стержень уменьшит степень свободы на единицу.
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
18

Обозначая через
W — степень свободы системы,
Д — число дисков,
Ш — число шарниров, соединяющих диски,
С п — число опорных стержней,
можем написать на основании приведенных рассуждений:
V/ = ЗД — 2Ш — Соп.
(1)
Если для данной системы W > 0, система изменяема; если №=0,
система неизменяема; если же W < О, то система также неизменяема,
но заключает избыточные, не нужные для неизменяемости стержни
(или диски) и относится к числу статически неопределимых. Такие
стержни часто называют л и шн him и, хотя этот термин не совсем
точен.
б)
Рис. 15
Рис. 16
Для системы, приведенной на рис. 14:
Д = 3;
Ш = 2 (шарниры, служащие для прикрепления опорных стержней, в счет не
входят);
С оп = 4.
Получаем:
Г=3-3 —2-2 — 4= 1 > 0;
система изменяема и имеет степень свободы, равную единице.
Для системы, приведенной на рис. 15,а:
Д = 3;
Ш = 3 (нижние шарниры учитываем, так как они не только прикрепляют опор¬
ные стержни, но и соединяют между собой диски):
Соп = 3.
Следовательно:
W = 3 3 — 2*3 — 3 =0;
система неизменяема.
Наконец, для системы, приведенной на рис. 15,6:
■Д= 1;
Ш = 0;
Соп — 4
«7=3-1 — 20 — 4 = — 1.
Система неизменяема и имеет один лишний стержень.
При выводе формулы (1) предполагалось, что каждый шарнир со¬
единяет два диска; только в этом случае шарнир уничтожает двукрат¬
ную степень свободы. Такие шарниры называются простыми или
д-вухзвенными.
2*
19

Если шарнир соединяет три диска (рис. 16), то он понижает сте¬
пень свободы «а 4. Такой шарнир называется сложным. Его мож¬
но рассматривать как два простых шарнира, имеющих общую ось.
Вообще, если шарнир соединяет п дисков, то он может быть заме¬
нен (п—1) простыми шарнирами. Число шарниров, полученное таким
подсчетом для всей системы, и. нужно вводить в формулу (1).
Иоследуем систему, приведенную на рис. 17.
Число дисков здесь Д = 7.
Шарниры 1 и 4, соединяющие по два диска (опорные стержни не считаем за дис¬
ки), являются -простыми. Остальные шарниры сложные, причем 2 и 3 эквивалент¬
ны каждый (3—1) = 2 простым шарнирам, а 5 эквивалентен (4—1) =3 простым шар¬
нирам.
2	3	Таким	образом,	число	простых	шарниров:
Ш= 1 + 2 + 2+ 1 + 3 = 9.
Число опорных стержней Соп = 3.
Получим:
W= 3-7 —2-9-3 = 0.
Система неизменяема.
Иногда приходится говорить об изменяемости системы, не имею¬
щей опорных стержней и не связанной с землей. Степень свободы
такой системы слагается из степени изменяемости, характери¬
зующей взаимные перемещения точек системы, и степени подвиж¬
ности всей системы в целом. Эта последняя, очевидно, равна 3.
Поэтому степень изменяемости:
1/= з = зд — 2Ш — 3.
(2)
Если К=0, то система неизменяема, но может перемещаться в
плоскости.
§ 6. АНАЛИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
В каждой неизменяемой системе степень свободы должна быть
равна нулю (или <0), т. е. должно соблюдаться условие, вытекаю¬
щее из формулы (1):
ЗД- 2Ш - Соп < 0.	(3) /Г	V 0	°-т
УЛГ///ЛЯ&	УЯг///.
Соблюдение такого усло¬
вия совершенно необходи- л 	в CD
м о, но еще недостаточно.
В самом деле, могут быть та¬
кие системы, в которых число	Рис	18
дисков, шарниров и опорных
стержней удовлетворяет фор¬
муле (3), но системы все же изменяемы. Так, например, балки, изо¬
браженные на рис. 18, имеют одинаковое число дисков Д— 3, оди¬
наковое число шарниров Ш=2 и одинаковое число опорных стержней
Сqh =б, причем
3-3 — 2-2 — 5 = 0.
Но в то время как первая балка (рис. 18,а) неизменяема, вторая
{рис. 18,6) изменяема ввиду того, что шарнир С может свободно пере¬
мещаться вверх или вниз.
20

Следовательно, далеко не безразлично, как расположить шарниры.
Следует, сделав проверку по формуле (3), проанализировать структуру
системы, посмотреть, как она образована, как соединяются между собой
отдельные диски.
Легко видеть, что если система состоит из двух дисков, то для
того, чтобы она была неизменяемой, эти диски следует соединить
		с
■5»
4-J
шарниром и стержнем (рис. 19, а); можно также соединить диски
тремя стержнями (рис. 19,6), так как два стержня всегда эквивалентны
условному шарниру в точке их взаимного пересечения. Здесь нахо-
а)
С
>
>—с
>
Li
3—<
Рис. 21
дится так называемый мгновенный центр вращения дисков
(одного относительно другого).
Три диска должны быть соединены тремя шарнирами или соответ¬
ствующим числом эквивалентных стержней (рис. 20, а и б).
Анализируя с этой точки зрения балку, приведенную на рис. 18,6,
замечаем следующее. Диск АВ соединен с землей четырьмя стержнями,
таким образом, он образует с ней неизменяемую систему — один диск.
Этот диск соединен с другим диском CD двумя стержнями (стержнем ВС
и опорным). Между тем для неизменяемости нужно было три стержня.
Значит, одного стержня не хватает, в то время как в левой части бал¬
ки АВ один из опорных стержней лишний.
Устанавливая, как должны соединяться между собою диски, еле'
дует учитывать, что в случае двух дисков шарнир не должен нахо¬
диться на направлении оси соединяющего стержня (рис. 21,а); три сое¬
диняющих стержня не должны пересекаться в одной точке (рис. 21, б)
?»

или быть параллельными между собой (рис. 21,в). В случае трех
дисков шарниры (действительные или условные) не должны лежать
на одной прямой и не должны совпадать (рис. 22).
’ I
»г—X—
Рис. 22
Рис. 23
Пренебрегая этими условиями, рискуем получить мгновенно
изменяемую систему.
о)
Предположим, что имеем систему, приведенную на рис. 23,а. Если
рассматривать землю, как диск, то система состоит из трех дисков,
соединенных между собой тремя шарнира¬
ми (пара пересекающихся опорных стерж¬
ней эквивалентна одному шарниру). Следо¬
вательно, система неизменяема. Будем по¬
нижать средний шарнир (рис. 23, б). Си¬
стема останется неизменяемой.
Наконец, сделаем так, что опорные
шарниры и средний шарнир окажутся на
одной прямой (рис. 23, в). Тогда система
станет изменяемой, так как средний тар¬
тар получит возможность перемещаться вверх и вниз. Она называется
мгновенно изменяемой, так как ее изменяемость продолжает¬
ся как бы одно мгновение— когда все шарниры располагаются точно на
одной прямой. После ничтожно малого перемещения среднего шарнира
22

шарниры уже не будут на одной прямой, и система опять станет неизме¬
няемой.
Если диск присоединен к земле (или к другому диску) параллель¬
ными стержнями одинаковой длины (рис. 24,а), система изменяемая,
так как она допускает конечное перемещение. Если стержни разной
длины (рис. 24, б), система мгновенно изменяемая, так как при беско¬
нечно малом перемещении стержни перестают быть параллельными.
Соединяя сооружение с землей тремя стержнями, пересекающимися в
одной точке, получим систему мгновенно изменяемую (рис. 24,в).
Проверим геометрическую неизменяемость системы, приведенной
на рис. 25, по формуле (3).
Здесь:
Л- 2;
Ш= 1;
С0п = 4;
W = ЪД — 2Ш—Соп = 3* 2 — 2 • 1 — 4 = 0.
Обратим теперь внимание на структуру системы. Вместе с землей
она состоит из трех дисков, соединенных между собой шарниром 2 и
четырьмя стержнями, эквивалентными условным шарнирам 1 и 3. Если
точки 1, 2 и 3 лежат на одной прямой, система мгновенно изменяема;
в противном случае она неизменяема.
Не только изменяемые системы, но и по своей структуре близкие
к ним не должны применяться в сооружениях. Усилия в стержнях
гаких систем могут быть очень большими. В этом легко убедиться,
если предположить, что система рис. 23,6 несет нагрузку, приложен¬
ную к среднему шарниру.
Для определения усилий нагдузку придется разложить на два на¬
правления по осям стержней. Чем ближе к прямой линия, соединяющая
крайние шарниры, тем больше усилия.
§ 7. ЗАДАЧИ
1.	Выяснить, изменяемы или неизменяемы системы, ^приведенные на рис. 26, а—е.
2.	Доказать, что системы рис. 26, ж—л мгновенно изменяемые.

ГЛАВА III
МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ
БАЛКИ
§ 8. ТИПЫ БАЛОК
Для лерекрытия нескольких смежных пролетов применяют или не¬
разрезные, или многопролетные статически определимые балки с шар¬
нирами. И в тех, и в других изгибающие моменты в общем меньше, чем
в системе однопролетных самостоятельных балок.
Из статически определимых балок в практике нашли применение
балки двух типов.
—г
6)
Ж Г Т Xе Г X
Рис. 27
Один тип (рис. 27,а) характерен чередованием основных двухкон¬
сольных балок с подвесными короткими балками, опирающимися на
консоли.	Бесшарнирные
пролеты чередуются с про¬
летами, имеющими по два
шарнира.
В другом типе (рис.
27,6)	применяются однопро¬
летные	одноконсольные
балки; каждая последующая опирается на консоль предыду¬
щей. Во всех пролетах, кроме одного, располагается по одному шар¬
ниру.
Возможны и смешанные системы.
Вое эти балки статически определимы. В добавление к трем урав¬
нениям статики, относящимся к какой-либо балке в целом, можно
составить еще столько уравнений, сколько имеется шарниров. Момент
всех сил, расположенных с одной стороны шарнира, относительно
этого последнего равен нулю.
I х
25

Для расчета каждой многопролетной балки нужно определять уси¬
лия во всех опорных стержнях; следовательно, общее число уравнений
должно равняться числу опорных стержней Соп :
Соп = 3 + Я/,
а потому требуемое число шарниров:
Ш=С0П- 3.	(4)
Шарниры следует располагать так, чтобы балка была неизменяе¬
мой. Расположение шарниров по рис. 28 недопустимо, так как воз¬
можно перемещение, указанное пунктиром.
В общем, анализ структуры балки следует делать приемами, изло¬
женными в главе II.
§ 9. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
Для успешного проведения расчета следует совершенно ясно пред¬
ставлять себе, какие элементы балки являются основными и какие вто¬
ростепенными, опирающимися на эти основные. Перед расчетом полезно
изобразить схему взаимодействия элементов балки.
а)
к л
л ■■		 У	V
Б
1
' у О I и.у-о» ' U с^'	" ь
з&я	тт	тян.	-vkr,
А
I
А
Ж
I—О———ъ
6)
А
V7T77/,
Рис. 29
Б
На рис- 29 приведены схемы некоторых балок и схемы взаимодей¬
ствия (или, иначе, поэтажные схемы) их элементов.
При вычерчивании схем .приходится добавлять опорные стержни,
чтобы оставить системы статически определимыми и неизменяемыми.
Расчет нужно начинать всегда с второстепенных элементов.
:26

В одних случаях (рис. 29,а) они представляют однопролетные балки,
свободно опирающиеся на опоры—концы консолей. Следовательно, нет
никаких затруднений рассчитать их — определить опорные реакции,
построить эпюры изгибающих моменто-в и поперечных сил.
После этого следует перейти к -основным элементам. К нагрузкам,
действующим непосредственно на эти элементы, необходимо добавить
давления, которые передаются от второстепенных элементов.
Сделав весь расчет, можем объединить эпюры на одном чертеже.
В других случаях сначала приходится рассчитывать крайний эле¬
мент (рис. 29,6), затем элемент, его поддерживающий, далее следую¬
щий и постепенно дойти до основной балки.
Пример. Рассчитать балку, относящуюся к числу смешанных, с заделкой на пра¬
вом конце. Размеры балки и нагрузки показаны на рис. 30,а.
Решение. Начертим схему взаимодействия (рис. 30,6). Из нее сразу видно, что
первой следует рассчитать второстепенную -балку CD. Усилия в ней не зависят
от нагрузок других элементов, в то время как сама она влияет н,а эти элементы.
Опорные реакции балки CD равны:
c=D=_t=2r.
Эпюра моментов имеет вид треугольника со средней ординатой:
4-4
— =4 тм (рис. 30, в).
Переходим к балке ABC, добавив к нагрузкам, действующим на нее, давление
в точке С от балки CD. Это давление, равное 2 г, направлено вниз (рис. 30,г).
Левая опорная реакция определится из условия равенства нулю моментов
относительной правой опоры В (2М5 = 0):
.	2.10+1,5.8*4-4.25-2.3	в	„р
А = 			=6,75 т.
8
Для нахождения отравой опорной реакции В приравняем нулю сумму моментов
относительно опоры А. Получим В = 13,25 т.
Строим эпюру моментов. Опорные моменты равны:
МА = —2*2 = — 4 тм\ Мв = — 4-2 — 2*3 = — 14 тм.
Момент в середине пролета:
4
Мщ = 6,75-4—2-6 — 1,5*4. — = +3 тм.
Переходим к элементу DEF (рис. 30,д). В точке D, кроме непосредственно
действующей силы 8 т, приложим еще опорное давление от балки CD, равное 2 т.
Построив эпюру моментов, переходим к последнему элементу—« консоли FG
(рис. 30,е). Соединим все полученные эпюры в одну общую (рис. 30,ж).
Поскольку опорные реакции нам известны, построение эпюры поперечных сил не
представит никаких затруднений (рис. 30,з).
У левого конца поперечная сила Q = — 2 т. До точки А эпюра Q ограничена
горизонтальной прямой; поперечная сила отрицательная, т,ак как равнодействующая
левых сил направлена вниз. В точке А учитываем опорную реакцию А. Справа
от опоры:
Q = —2 + 6,75 = +4,75 г.
Далее идет наклонная прямая до опоры В. Подобным образом делаем все по¬
строение.
27

“>t
2m^	1,5	т/м
щш
Mm Чт
2”-\
5 m	5 m
г2м4-2м-{ 3y2n
■f m
i
в ГС
-8 м-
s)
-3m—-u Чм —«и Jm i-
_2ь	2£
-5m-
4 m A
г-2м-1
e) c/~—У
^/nr--—		4 ?
1,5 ю/м
2mh—4"	-*2m
sm 5m
0)
г~2м
DJJF.
b	5m-
Ю
!6m
4 m
Чт
Зт
1
18
Эпшра м
ю
^щцтрцр»-
а
ж Ilk	^ifli
7ДИЩ1Г
с а

Отметим зависимости между нагрузкой, эпюрой М и эпюрой Q, в
основном известные из «Сопротивления материалов».
а)	В эпюре моментов переломы находятся там, где приложены
сосредоточенные силы. Направления переломов соответствуют
направлениям сил. Если сила направлена вниз, то и острие перелома
направлено вниз. Если сила направлена вверх (на опоре), острие пере¬
лома также направлено вверх.
б)	В пределах расположения равномерно распределен¬
ной нагрузки эпюра М ограничена параболой.
в)	В тех местах, где приложены сосредоточенные силы,
эпюра Q имеет скачки, равные этим силам. Если перемещаться по
балке слева направо, то силам, направленным вниз, соответствуют
скачки вниз; силам, направленным вверх, соответствуют скачки вверх.
Между сосредоточенными силами эпюра Q ограничена горизонталь¬
ными прямыми.
г)	В пределах «расположения равномерно распределен¬
ной нагрузки эпюра Q ограничена наклонной прямой.
д)	Поперечная сила равна производной момента или геомет¬
рически равна тангенсу угла наклона линии, ограничивающей
эпюру М.
е)	Где эпюра М нисходящая (если перемещаться слева напра¬
во), Q имеет знак плюс; где эпюра М восходящая, у Q знак
минус.
§ 10. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
Для многопролетных балок, так же как и для однопролетных, мо¬
менты, поперечные силы и опорные реакции могут быть найдены гра¬
фически при помощи построения веревочного многоугольника. Посколь¬
ку вопрос о графическом способе уже был освещен в «Сопротивлении
материалов», здесь необходимо указать только некоторые особенности
проведения замыкающих.
Рассчитаем балку, изображенную на рис. 31,а.
Построим силовой многоугольник, откладывая силы в каком-либо
масштабе (рис. 31,6). Выберем полюс; проведем лучи и им параллель¬
ные на чертеже балки (на поле сил); в результате получим веревоч¬
ный многоугольник (рис. 31,в).
Начинать замыкающую следует со второстепенного элемента. Та¬
ковым является балка EF.
Снесем ее опоры Е и F на веревочный многоугольник и соединим
полученные точки ей /. Проведем в силовом многоугольнике линию,
параллельную ef\ она отсечет опорные реакции:	левую реакцию Е
между лучами 5—6 и е/и правую F — между лучами ef и <*>.
Перейдем к консольной балке CDE. На конец консоли Е дей¬
ствует сила, равная опорной реакции балки EF, но направленная вниз.
Если бы балки EF не было, а на конец консоли Е действовала эта
сила, то последним лучом -справа от нее была бы в веревочном мно¬
гоугольнике линия ef. Известно, что для проведения замыкающей при
расчете консоли надо продолжить крайний луч до опоры.
Поэтому продолжаем линию е/до точки d. Ордината между лучом
5—6 и точкой d даст величину момента на опоре D. Рассуждая подоб¬
ным же образом дальше, видим, что от d следует вести прямую через с
под шарниром до точки Ь.
29

Наконец, продолжим крайний левый луч, подходящий к силе Рь
до опоры А и соединим точки а и 6.
Чтобы перейти от веревочного многоугольника к эпюре момен¬
тов, необходимо установить масштаб для измерения ординат, заклю¬
чающихся между замыкающей и .веревочным многоугольником. Изме¬
ренные в этом масштабе ординаты сразу дадут моменты.
Вспомним, что
М = уН.
(5)
Если, например, масштаб чертежа балки 1 100, а полюсное рас¬
стояние Н равно 5 ту то масштаб эпюры моментов будет: в 1 см — 5 тм.
При расположении полюса в многоугольнике сил справа ординаты
веревочного многоугольника, идущие от замыкающей вниз, дадут по¬
ложительные моменты, а вверх — отрицательные.
Рис. 31
В целях удобства пользования лучше вычертить эпюру М от гори¬
зонтальной оси—спрямить эпюру (рис. 31,г).
При переносе ординат их следует измерять по вертикалям.
Для построения эпюры Q нужно предварительно найти опорные
реакции, для чего провести в силовом многоугольнике лучи, парал¬
лельные отдельным участкам замыкающей.
У левого конца балки поперечная сила равна Р\ и откладывается
вниз. До опоры А пойдет горизонтальная прямая. Далее нужно учесть
опорную реакцию А. Рекомендуется не добавлять величину А к ор¬
динате горизонтального участка эпюры Q, а отложить от оси разность
А и Рь взятую непосредственно из силового многоугольника.
зо

Заметим, что поперечная сила всегда равна в силовом многоуголь¬
нике отрезку между соответствующим лучом и линией, параллельной
замыкающей.
Проводя горизонтальную прямую линию до силы Р2у в следующем
участке непосредственно отложим ординату, равную разности А и сил
Р1 и Р2 (рис. 31,(5). При таком построении не нарастают погрешности
и не возникает никакой невязки.
Изложенный способ построения эпюры М неудобен тем, что орди¬
наты эпюры получаются в очень мелком масштабе. Для увеличения
Рис. 32
его надо взять меньше полюсное расстояние Н. Но тогда крайние лучи
веревочного многоугольника пойдут очень круто.
Поэтому при графическом расчете многопролетных статически
определимых бало-к лучше делать построение от нескольких полюсов.
В этом случае для каждого пролета (или для группы пролетов) при¬
нимаем отдельный полюс, но при одном и том же .полюсном
расстоянии. Таким образом, получаем самостоятельные веревочные
многоугольники. Границами их обязательно должны быть опоры.
Для балки, приведенной на рис. 31, можно построить три вере¬
вочных многоугольника от трех полюсов с границами у опор В и D
млн два веревочных многоугольника с границей у опоры В или D. Вы¬
бор числа полюсов исключительно зависит от соображений об удобстве
расположения чертежа.
3!

На рис. 32 показан графический расчет .балки, (разобранной в предыдущем па¬
раграфе.
Равномерно распределенная нагрузка заменена четырьмя сосредоточенными сила¬
ми; для (построения взято три полюса.
Последний правый луч первого участка продолжаем только до опоры В. Из полу¬
ченной точки ведем первый луч следующего участка. Этот участок кончается у опо¬
ры Е; отсюда идет первый луч третьего участка. Таким образом, у веревочного много¬
угольника получаются переломы на anoipax.
Проведение замыкающей начинаем с второстепенного участка CD. Сносим опо¬
ры его С и D\ соединяем полученные точки с и d и продолжаем прямую до точек
b	и	е.	Продолжаем	крайний	левый	луч	до	точки	а и соединяем а	и Ь. От точки е
ведем	прямую	через	/	(здесь	шарнир,	а	потому	М	= 0) до заделки.
Дальнейшее решение выполняем тем же путем, как изложено выше.
§ 11. УЗЛОВАЯ НАГРУЗКА
На практике встречаются случаи, когда нагрузка на балку пере¬
дается не непосредственно в любой точке, а в определенных местах,
в узлах. Это бывает тогда, когда на главные балки опираются по¬
перечные балки, а на них уже лежит настил,.воспринимающий нагруз¬
ку (рис. 33).
При аналитическом расчете главной балки с узловой передачей на¬
грузки (рис. 34,а) сначала распределяем нагрузку в пределах каждой
балками) на	узлы, т.	е. на
поперечные	балки; в	даль¬
нейшем ведем расчет обыч¬
ным порядком, но уже на
нагрузки, приложенные в
узлах.
При графическом
решении строим веревочный
многоугольник для данной
нагрузки так, как если бы
она была приложена непос¬
редственно к балке, не обра¬
щая внимания на узлы (рис.
34,6). Затем сносим по вер¬
тикалям узлы на веревоч¬
ный многоугольник и соеди¬
няем полученные точки -пря¬
мыми. Получаем как бы но¬
вый .веревочный многоуголь¬
ник, но для нагрузок, пере¬
дающихся через узлы. По¬
сле этого сносим на этот
веревочный многоугольник
шарниры и опоры и прово¬
дим замыкающую.
Правильность построе¬
ния легко доказать. В уз¬
лах моменты нами опреде¬
ляются совершенно верно
независимо от того, имеет
ли место узловая или непо¬
средственная передача нагрузки, между узлами же эпюра моментов
должна быть прямолинейной, так как нагрузка только в узлах.
Во избежание ошибок отметим, что очень важно сначала сне¬
сти узлы, а потом проводить замыкающую.
панели (расстояние между поперечными
а)
'I I X' I I I I i_
	X ж
•)
Лг—,ir-l-r "i—,
Рис. 34
-32

§12. понятие о линиях влияния
До сих пор мы занимались расчетом на неподвижную заданную
нагрузку. Между тем сооружения часто подвергаются действию под¬
вижных нагрузок. Например, мост приходится рассчитывать на нагруз¬
ку движущимся поездом, автомобилем, движущейся толпой людей,
подкрановые балки — на нагрузку перемещающимся краном и т. п.
Очевидно, что величины возникающих в сооружении усилий долж¬
ны зависеть от положения нагрузки.
Чем ближе к опоре А однопролетной балки находится некоторый
груз Р (рис. 35), тем больше здесь опорная реакция и, наоборот, при
ip
Р-\
«Я
I
1
I Р
I
*5Г
-(1-х) -
i' к
в
1
Линия
блияпия
Й
Рис. 35
Рис. 36
удалении груза она уменьшается. В любом сечении балки моменты
и поперечные -силы также изменяются при движении нагрузки.
Большую помощь при расчете сооружений на подвижную нагрузку
могут оказать особые графики, в которых абсциссы соответствуют по¬
ложениям груза, а ординаты непосредственно дают величины интересу¬
ющих нас усилий.
Чтобы можно было пользоваться такими графиками при любых
нагрузках, их строят обычно для нагрузки Р=\.
График, выражающий закон изменения того или
иного усилия (опорной реакции, изгибающего момента, поперечной
силы в заданном сечении балки) в зависимости от положения
на балке подвижного груза Р=»1, носит название
линии влияния (инфлюентной линии).
Как увидим далее, линии влияния позволяют исследовать соору¬
жение на действие любых сосредоточенных и сплошных нагрузок — не
только подвижных, но и неподвижных.
§ 13. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ для ОДНОПРОЛЕТНЫХ БАЛОК
Разберем сначала простейшую задачу о построении линий влияния
опорных реакций, а затем перейдем к моментам и поперечным силам.
3 Б. Н. Жемочкнн
ЗЭ

а)	Линии влияния опорных реакций
Предположим, что имеем однопролетную балку (рис. 36). Найдем
величину левой опорной реакции А при действии одного груза Р=1.
Если груз расположен на расстоянии х от левой опоры, то опор¬
ная реакция:
1 (1—х)	1—X
(6)
Изобразим графически это уравнение, или, иначе, построим график,
ординаты которого дадут величину А при заданном расстоянии х. На¬
писанное нами уравнение первой степени; следовательно, построение
состоит в проведении прямой:
для х=0
для х=1
А = J—L = 0.
I
Отложим в точке с абсциссой х=0, т. е. у левой опоры, ординату,
равную единице, в каком-либо произвольном масштабе и соединим пря¬
мой ее верхнюю точку с точкой, находящейся под правой опорой (х=1).
В результате получим линию влияния левой опорной
реакции. Ее можно использовать для определения реакции при лю¬
бом положении единичного груза. Где бы груз ни стоял, достаточно из¬
мерить ординату под грузом в том
же масштабе, в каком отложена
единица на левой опоре. Эта орди¬
ната будет равна искомой опорной
реакции.
Для построения линии вли¬
яния правой опорной ре¬
акции необходимо отложить на
правой опоре ординату, равную еди¬
нице, и соединить ее конец с ну¬
левой ординатой, находящейся у
левой опоры.
Ординаты линий влияния опор¬
ных реакций выражаются отвле
ченными мерами.
Обе	линии	влияния	построены	для груза, равного единице. Если
груз не	равен	единице,	то,	найдя	опорную реакцию от Р=< 1, умно¬
жим ее затем на величину груза.
При нескольких грузах, стоящих на балке, необходимо найти опор¬
ные реакции от каждого груза в отдельности и затем сложить их.
Предположим, что дана ;балка (рис. 37), нагруженная тремя (Грузами. Требуется
найти левую опорную реакцию.
Построим линию влияния левой опорной реакции. Для этого отложим под левой
опорой ординату, равную единице, и проведем прямую к точке, находящейся под пра¬
вой опорой.
Для нахождения интересующей нас левой опорной реакции необходимо каждый
груз помножить на ординату под этим грузом и результаты сложить.
Рис. 37
34

Ординаты линии -влияния в местях расположения грузов для данного простого-
“римера легко найти из подобия треугольников.
Получим:
А = 8-0,75 + 6-0,50 + 8-0,125 = Юг.
б)	Линия влияния изгибающего момента
Предположим, что нужно найти момент в сечении балки С на рас¬
стоянии а от левой опоры (рис. 38) и b — от правой.
Если груз расположен справа от заданного сечения (рис. 38,а),
то момент в этом сечении равен опорной реакции А, умноженной на рас¬
стояние а:
М = Аа.	(7)
Имея линию влияния левой опорной реакции А, нетрудно найти мо¬
мент в сечении С. Для этого следует ординату линии влияния А под
■рузом умножить на величину а. Чтобы не делать каждый раз такого
умножения, удобно отложить у левой опоры не единицу, а отрезок а .и
провести прямую через нулевую ординату у правой опоры (рис. 38,в).
Тогда получим линию влияния не опорной реакции Л, а изгибающего
момента в сечении С. Ордината, измеренная под единичным грузом,
даст нам непосредственно величину момента в том масштабе, в каком
отложена ордината а на опоре.
Но это еще не вся линия влияния, а только правая ветвь.
Она действительна от правого конца балки до сечения С, т. е. когда
груз справа от С.
Если же груз расположен слева от сечения (рис. 38,6), то момент
з этом сечении:
М = ВЬ.	(8)
Для построения левой ветви необходимо отложить у правой
злоры отрезок b и соединить с нулевой ординатой у левой опоры. Теперь
получим полную линию влияния изгибающего мо¬
мента в сечении С (заштрихована на рисунке).
На основании подобия треуголь¬
ников легко доказать, что точка пере¬
сечения обеих ветвей линии влияния
Ci находится под сечением С.
Поэтому для построения линии
злияния момента в каком-либо сече-
наи следует отложить у левой
эпоры ординату, равную
расстоянию а от опоры до
сечения, и соединить с ну¬
левой ординатой у правой
опоры; затем снести на на¬
черченную прямую данное
сечение и соединить с ну¬
левой ординатой у левой
опор ы.
Если сечение, для которого стро¬
ится линия влияния, расположено бли¬
же к правой опоре, целесообразнее
этложить у правой опоры ординату b
ж провести прямую к левой опоре, за¬
тем снести сечение и соединить с нуле-
зой ординатой у правой опоры.
Рис. 38
35

Ординаты линии влияния момента откладываются в линейных ме¬
рах— в метрах. Умножая их на величины грузов в тоннах, будем полу¬
чать моменты в тоннометрах.
Заметим, что линия влияния момента в сечении С дает возможность
находить момент только в этом сечении. Для определения момента в
другом сечении следует построить но-вую линию влияния.
Линия влияния в пределах пролета несколько напоминает эпюру
моментов от сосредоточенной силы. Но это сходство только внешнее,
между эпюрой моментов и линией влияния момента имеется существен¬
ная и глубокая принципиальная разница: эпюра моментов поз¬
воляет находить момент в любом сечении, но от
определенной нагрузки; линия влияния позволяет
находить момент в определенном сечении, но от
любой нагрузки.
в)	Линия влияния поперечной силы
Построим теперь линию влияния поперечной силы (рис. 39) в ка¬
ком-либо сечении С.
Если груз находится справа от сечения, то
Q = A.	(9)
Следовательно,	линия влияния левой	опорной	реакции будет	вместе
с тем	правой	ветвью	линии влияния	Q,	действительной	в	преде¬
лах от правого конца балки до сечения С.
Если груз находится слева от сечения:
Q = —В.	(10)
%
Поэтому для левой ветви линии влияния следует построить
линию влияния правой опорной реакции, но изменить знак на обрат¬
ный, т. е. отложить ординату вниз.
Левая ветвь действительна от ле¬
вой опоры до сечения, правая — от
сечения до правой опоры. На рис. 39
линия влияния заштрихована.
Итак, чтобы построить линию вли¬
яния поперечной силы, следует отло¬
жить у левой опоры ордина¬
ту, равную единице, соеди¬
нить с нулевой ординатой у
правой опоры; затем прове¬
сти параллельную прямую
через нулевую ординату у ле¬
вой опоры и снести сечение.
Ординаты линии влияния попе¬
речной силы — в отвлеченных мерах.
г)	Линии влияния для консольных балок
Построение линий влияния не усложняется, если балка имеет кон¬
соли (рис. 40,а).
Выведенная выше формула (6) для опорной реакции
/
36

юхраняет «силу и для того 'случая, когда груз находится на консоли.
Очевидно, что построение линии влияния левой опорной реакции
эетанется прежним: так же нужно отложить на левой опоре ординату,
равную единице, и провести прямую к точке под правой опорой. Но те¬
перь прямую надо продолжить до концов консолей (рис. 40,6).
В пределах правой консоли
:*рдинаты отрицательные. И дей¬
ствительно, когда груз поместит¬
ся на этой консоли, опорная
реакция А будет направлена
вниз.
Линию влияния момента по¬
строим так же, к$к и раньше, но
тезую и правую ветви продолжим
до концов консолей (рис. 40,в).
Здесь ординаты будут иметь знак
минус; когда груз перейдет на
■сонсоль, моменты в пролете ста¬
нут отрицательными.
Аналогично при построении
линии влияния поперечной силы
необходимо продолжить левую и
правую ветви до концов консолей
•рис. 40,г).
д)	Линии влияния момента и поперечной силы
в сечениях, находящихся на консолях
Приведенные выше правила построения линий влияния действи¬
тельны только для сечений в пределах пролета. К построению линий
влияния усилий в сечениях, находящихся на консолях (рис. 41), сле¬
дует подойти по-иному.
Линия влияния момен¬
та в сечении С на консоли
будет только в пределах от С
до конца консоли. Очевидно,
что, если груз находится слева
от С, в этом сечении не возни¬
кает никакого момента, а по¬
тому все ординаты слева от С
равны нулю.
Если груз как раз в сече¬
нии С, момент равен также ну¬
лю. Только когда груз распо¬
ложится справа от сечения,
появится момент и, оставаясь
отрицательным, будет по мере
продвижения груза вправо
увеличиваться по абсолютной величине. Наибольшего значения момент
постигнет, когда груз дойдет до конца консоли и будет равен:
М= — 1-с = — с.	(11)
Поэтому под точкой D отложим вниз ординату, равную с, и соеди¬
ним с нулевой ординатой под сечением.
Линия влияния поперечной силы в сечении С также будет
только в пределах от сечения до конца консоли. Когда груз слева
«
ЛЙ.Й
*)
,С t
?Г | J
..1	^Шшгпггт^
3
L
1
1
1
1 4
$
г<й1Г11в
•црг
^ 1"
Рис. 40
37

от сечения, поперечная сила 'в сечении равна нулю. Когда груз окажет¬
ся справа, поперечная сила станет равной +1. Следовательно, линия
влияния поперечной силы будет ограничена горизонтальной прямой с
ординатой, равной +1.
Аналогично строится линия влияния поперечной силы в сечении Е
на левой консоли, но ординаты ее должны быть равны —1.
§ 14. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ для МНОГОПРОЛЕТНЫХ
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Построение линий влияния для многопролетных балок основывает¬
ся на тех же данных, которые получены при исследовании однопролет¬
ных балок.
Прежде всего надлежит хорошо разобраться в схеме взаимодей¬
ствия элементов. Если строится линия влияния усилия во второсте¬
пенном элементе, то она не отличается от линии влияния усилия
лЛВ
л.б. I
Рис. 42
в однопролетной балке и располагается только в пределах элемента.
Если же имеем дело с основным элементом, то сначала строим линию
влияния, не обращая внимания на второстепенные, опирающиеся на
него элементы, а затем учитываем их воздействие.
Проследим построение линий влияния на примере (рис. 42).
38

Линию влияния опорной реакции В построим, как для однопролет-
ной балки, откладывая у опоры В ординату, равную единице, и прово¬
дя прямую до концов консолей. Наибольшее значение опорной реакции
В будет, когда груз встанет на конец консоли. Здесь — наибольшая
ордината. Когда груз перейдет на второстепенный элемент, давление
на конец консоли начнет уменьшаться, следовательно, начнет умень¬
шаться и опорная реакция В. Она станет равной нулю, когда груз дой¬
дет до второго шарнира и будет уже целиком передаваться на сле¬
дующий основной элемент. Поэтому от -наибольшей ординаты под
первым шарниром проведем прямую на нулевую ординату под вто-
рым шарниром. Далее все ординаты будут равны нулю, так как при
продвижении груза -вправо опорная реакция В не возникнет.
I I I
I 1	1
> 1
• S s 1
WgnW|iimu^ *	1—
Рис. 43
Линии влияния М| и Qi (в сечении 1 второстепенной балки) ни¬
чем не отличаются от линий влияния до соответствующей однопролет¬
ной балки.
Линию влияния момента в сечении 2 строим сначала как для одно¬
пролетной балки. Продолжаем обе ветви до концов консолей. Далее
ведем прямые к нулевым ординатам у соседних шарниров, так как по
мере приближения к ним груза момент в сечении 2 будет уменьшаться.
Рассуждая аналогично, построим линии влияния М3 и Q3.
При узловой передаче нагрузки (рис. 43) сначала строим линию
влияния, например Мс, как при непосредственной передаче. Затем
сносим на линию влияния узлы и соединяем полученные точки пря¬
мыми.
В данном случае левая ветвь действительна только до узла т, так
как при расположении груза в пределах панели тп одна его состав¬
ляющая, передающая на правый узел п, окажется уже справа от сече¬
ния. Равным образом и правая ветвь действительна только до узла п.
Нетрудно доказать, что ординаты в пределах панели тп должны ме¬
няться по закону прямой линии.
Аналогичные рассуждения применимы и к панелям, расположен¬
ным около шарниров и опор.
В заключение отметим, что линии влияния совершенно не зави¬
сят от нагрузки. Их очертание не, находится ни в какой связи
с вопросом о том, какая нагрузка действует на балку, где она распо¬
ложена, да и существует ли она вообще.
Линия влияния представляет собой некоторую характеристику бал¬
ки, подобно другим характеристикам: пролету, сечению и т. д.
39

§ 15. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ
ЛИНИЙ влияния
Для построения линий влияния можно применить и кинематическш
способ.
Предположим, что требуется найти опорную реакцию А для бал
ки, к которой приложена нагрузка Р='1 (рис. 44,а).
Отбросим левую опору и заменим ее действие действием опорно!
реакции А. Для того чтобы балка не перемещалась горизонтально, до¬
бавим стержень на правой опоре В. Получим изменяемую систему —
механизм со степенью свободы, равной единице. Силы А, Р и права:,
реакция В должны быть в равновесии, а потому к ним применим п р и н
цип Лагранжа или принцип возможных перемещений
работа системы сил, находящихся в равновесии, на всех возможны*
бесконечно малых перемещениях равна нулю («Теоретическая меха¬
ника») .
Дадим балке какое-либо возможное перемещение. При этом онг;
повернется около точки В и примет положение А'В. Точки приложения
сил А я Р будут иметь перемещения Ьа и Ьр (рис. 44,6). Напишем урав¬
нение работ:
ЛА-1Л = 0.	(12)
Работа силы Р=>\ взята со знаком минус, так как перемещение
точки ее приложения произошло против действия силы.
Из уравнения (12) получим:
А=+	(13;
ьа
Значит, для того чтобы определить реакцию А, следует измерить
перемещение Ър точки приложения силы и разделить его на оа.
Важно отметить, что перемещение Ьа может быть произвольным,
но от него должно зависеть перемещение Ър; отношение перемещений
вполне определенная -величина.
Если груз будет находиться в другом месте, возьмем перемеще¬
ние под грузом и опять разделим на &а. Очевидно, что ординаты эпюры
возможных перемещений пропорциональны величине опорной реакции
40

при различных положениях груза. Эта эпюра является моделью ли¬
нии влияния опорной реакции. Чтобы перейти к самой линии
влияния, надо все ординаты эпюры разделить на Ъа. Перемещения
должны быть бесконечно малыми (при конечных перемещениях изме¬
няется расположение сил), но частное — будет конечной величиной.
На левой опоре получим о = Ьа. Для построения линии влияния
Ьа ,
здесь следует отложить — = 1.
^а
Такой способ построения линии влияния называется кинемати¬
ческим.
Для его осуществления необходимо отбросить связь по на¬
правлению искомой силы и дать полученному ме¬
ханизму возможное перемещение; эпюра возмож¬
ных перемещений будет моделью линии влияния.
Ж
т
Hi!
Рис. 46
Рис. 47
Это правило применимо не только к построению линии влияния
опорной реакции, но и любого усилия (момента, поперечной силы и
т. д.).
Если хотим построить линию влияния изгибающего момента (рис.
45), то отбросим связь, которая препятствует перемещению по направ¬
лению момента, т. е. препятствует взаимному повороту левой и правой
частей. Практически это значит, что нужно поставить в сечении шар-
н и р. Дадим полученному механизму возможное перемещение. Эпюра
возможных перемещений будет моделью линии влияния момента.
Для построения линии влияния поперечной силы (рис. 46) нужно-
отбросить такую авязь, которая препятствует взаимному смещению ле¬
вой и правой части балки. Мы должны представить себе, что балка раз¬
резана и в месте разреза поставлены два параллельных стержня. При
перемещениях эти стержни останутся параллельными, а потому долж¬
ны быть параллельными между собой левая и правая части балки.
Для того чтобы построить линию влияния поперечной силы в пре¬
делах консоли (рис. 47), следует представить себе, что балка разре¬
зана и поставлены два параллельных стержня. Левая часть балки, сое¬
диненная с землей, останется неподвижной, правая же часть переме¬
стится параллельно самой себе. Линия влияния будет иметь вид пря¬
моугольника.
41

% ' i.
О ■■■ 1 V
£ д.
Рис. 49
^^ГПТтгъ^ 		рТГттг^
^ЧЗД
Рис. 50
тп
“7Г—
"TVt;
77. ft О
IllIlK
Рис. 51
42

Кинематический способ построения линий влияния особенно удобен
тем, что позволяет быстро представить себе характер линии влияния,
положения нулевых точек и переломов. С ег-o помощью можно устано¬
вить и масштаб ординат, но за редкими исключениями это сложно;
лучше масштабы и знаки линий влияния устанавливать статическим
способом, как это изложено было в § 13 и 14.
На рис. 48—51 приведены примеры построения линий влияния ки¬
нематическим способом (только характер линий влияния) для много¬
пролетных балок. Напомним, что для опорных реакций следует отбра¬
сывать опорный .вертикальный стержень, для моментов ставить шарнир,
для поперечных аил предполагать такое устройство, чтобы .правые и
левые части балок перемещались, оставаясь параллельными друг другу.
§ 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ ПО ЛИНИЯМ ВЛИЯНИЯ
Допустим, что построена линия влияния какого-либо усилия S (мо¬
мента, поперечной силы и т. д.). На рис. 52 показана часть линии влия¬
ния.
Если к балке приложены сосредоточенные нагрузки, то, как мы уже
знаем, нужно ординату под каждым грузом умножить на величину гру¬
за и результаты сложить.
Таким образом, искомое усилие:
S	= угРг + у2Р2 + УзРз f * • = £ у Р.	(14)
Отрицательные ординаты войдут со знаком минус.
Исследуем теперь балку, к которой приложена равномерно рас¬
пределенная нагрузка (рис. 53). Разобьем нагрузку на ряд элементар¬
ных сосредоточенных грузов, равных q dx.
Каждый такой груз надо умножить на соответствующую ординату:
= q J У dx = mq.	(15)
Таким образом, необходимо площадь, ограниченную ли¬
нией .влияния (площадь влияния) в пределах загружения,
умножить на интенсивность нагрузки.
43

Пример 1. Двухпролетная балка нагружена согласно рис. 54. Требуется вычислить
■при помощи линии влияния величину опорной реакции В.
Решение. Построим линию влияния опорной реакции В и (найдем из подобия тре¬
угольников необходимые для дальнейших расчетов ординаты под грузами, а также
под шарниром.
Площадь линии влияния в (пределах загружения (равномерной нагрузкой:
2-1,5
= 1,5 м.
Опорная реакция:
В = yxPi + у2Р2 + о)<7 = — 0,5* 10+ 0,5-5+ 1,5*1= — 1г.
Знак минус показывает, что (реакция В направлена вниз.
Пр.и помощи линий влияния легко разрешается важный вопрос с
том, где следует расположить на балке временную нагрузку, чтобы
искомое усилие получало наибольшее положительное или наибольшее
отрицательное значен-ие.
Пример 2. Требуется найти наибольший положительный и наибольший (по абсо¬
лютной величине) отрицательный моменты Мтах и AfminB сечении С двухпролетной
балки (рис. 55, а) от «постоянной нагрузки р= 1 т/м и временной нагрузки, распола¬
гающейся самым невыгодным образом и равной q = 2 т/м.
Решение. Построим линию влияния момента в сечении С (рис. 55,6).
Постоянная нагрузка (располагается по всей длине. Момент от нее найдем
умножив всю .площадь, ограниченную линией влияния, с учетам знаков, на интенсив¬
ность нагрузки:
Мв
(	2-1 , 4:1	4*1\	,
(— 2+ 2 — 2 ) ‘ = — 1
Для получения Afmax временную
нагрузку следует расположить толь¬
ко в пределах положительной части
линии влияния (рис. 55,в):
М+? = + “Тр -2 = + 4 тм.
Для получения Мт\п поместим
нагрузку в пределах отрицательной
части линии влияния (рис. 55, г):
М
-Н-т-т)--
Получим:
Aim ах — — 1+ 4 = + 3 ТМ\
Aim in =	1	6	=	7	ТМ	.
Линиями влияния удобно пользоваться, когда имеется система со¬
средоточенных грузов, которые находятся друг от друга на определенны:\
расстояниях и, перемещаясь, могут занять самое 'невыгодное положе¬
ние. Не приводя доказательства, отметим, что в этом случае один и?
сосредоточенных грузов следует расположить в месте перелома линии
влияния. Наиболее просто эта задача решается при треугольной линш;
влияния. Оказывается, что наиболее невыгодное загружение будет тог¬
да, когда суммарные нагрузки на левом и на правом участках линии
влияния будут пропорциональны длинам участков.
Обычно это не может быть достигнуто. Поэтому приходится пред
полагать установку над вершиной линии влияния последовательно раз
44

личных грузов и найти такой груз, чтобы при переходе его через вер¬
шину в левый участок линии влияния здесь был бы избыток нагрузки,
при переходе же в правый участок получился бы недостаток нагрузки,
а избыток был бы справа. Этот груз называется критическим.
Пример 3. Требуется найти наиболее невыгодное положение системы грузов, пока-
завной «а рис. 56, а (колонна автомобилей, стоящих один за другим), для нахождения
момента на расстоянии 10 м от левой опоры балочного моста пролетом 25 м
<рнс. 56,6) и вычислить здесь момент от заданной системы грузов.
а) \~-2м-
1 1
\ +Л 2
1 1
\~^2м
1 1 ■ .
				ц м	4— 2м -*4-> 2м
0
-ггтГГШ
®Пттъ..ц,гг.^т,
для М_
«)
2 т/м
~“Х
для Mmin
2т/м
Рис. 55
Решение. Построим линию влияния момента (рис. 56,в). Пробуем ставить над
зершиной линии влияния .последовательно различные грузы.
Начнем со второго груза слева (очевидно, что .первый груз не даст максимума).
При 'постановке его над вершиной (рис. 56, г) на балке поместится 6 грузов. Общая
нагрузка 21 т. Для того чтобы нагрузка в обоих участках линии влияния была про-
10
порцион а льна длинам участков, надо, чтобы в левом участке нагрузка была гг 21 =
2,Ъ
= 8,4 т. Однако при переходе второго груза влево на левом участке будет 7 г < 8,4 г.
Значит, второй груз еще не является критическим.
Ставим третий груз (рис. 56, д). Теперь на «балке поместится 7 грузов, дающих
10
23 т. Слева должно быть гг 23 = 9,2 т. Но лри переходе третьего груза влево там бу-
2о
лет только 9 г. И этот груз не критический.
Ставим четвертый груз (рис. 56,е). Опять на «балке поместится 7 грузов, так как
первый груз сойдет с пролета, но зато появится восьмой груз. Общая нагрузка 26 т.
10
На левом участке должно быть тг 26 = 10,4 т. Если четвертый груз передвинуть влево,
2,о
то на левом участке будет 12 т> 10,4 т. Если передвинуть вправо, то слева будет
7	т < 10,4 т.
Итак, четвертый груз оказался критическим, обращающим момент в максимум.
Остается найти Almax- Вычислим ординаты атод грузами (из подобия треугольников) и
умножим грузы на ординаты. Получим:
5(1,8+6,0+3,2+0,4)+2 (3,6+4,8+2,0) =77,8 тм.
Если мост имеет две балки, лежащие параллельно одна другой, то на каждую
придется момент вдвое меньше.
45

2т 5т 2т 5т 2т 5т 2т 5т
о)
в)
I— U м - ~j~3 м *+“*■	'	*1	~3м	Ям -•+• 3м —1— U м -»-]
U	Юм	 	и
2т 5т 2т 5т 2т 5т
о ш cm
\ I-
о/// сш ит i.ui jm cm и и
ч и н и
Рис. 56
46

§ 17. ХАРАКТЕРИСТИКА МНОГОПРОЛЕТНЫХ БАЛОК
В многопролетных балках, как уже отмечалось выше, моменты
меньше, чем в последовательно уложенных однопролетных балках той
же общей длины. Следовательно, они экономичнее последних. Кроме
того, ввиду отсутствия стыков на опорах требуются меньшие площади
лля опирания.
По характеру своей работы эти балки приближаются к неразрез¬
ным. Удачным расположением шарниров можно добиться того, что
наибольшие значения пролетных и опорных моментов будут по абсо¬
лютной величине равны между собой.
Для балок с равными пролетами, нагруженных сплошной равно¬
мерной нагрузкой, наиболее выгодно располагать шарниры на 0,15/
ут опор. В таких случаях многопролетные статически определимые бал-
становятся уже экономичнее неразрезных.
Их преимущество перед неразрезными балками состоит еще в том,
тто они как статически определимые совершенно нечувствительны к
:садкам опор и к действию температуры.
Кроме того, нельзя не отметить, что неразрезные балки удобно вы-
юлнять только в монолитном железобетоне. При сборном железобетоне
требуется дополнительная работа по замоноличиванию стыков. Да и при
металлических балках необходимо обеспечить устройство достаточно
хрочных стыков. Деревянные балки вообще очень трудно делать нераз-
зезными (кроме случаев малых пролетов, когда стыки не нужны).
Между тем в статически определимых многопролетных балках
ггыки в местах шарниров осуществляются довольно просто. Правда,
настоящие шарнирные соединения делают только в мостах; в граж¬
дански х же промышленных сооружениях ограничиваются упрощенны¬
ми соединениями.
Указанные преимущества многопролетных статически определимых
~алок позволяют им часто успешно конкурировать с однопролетными
1 иеразрезными балками, особенно в сборных конструкциях. Благо¬
даря своему членению на отдельные элементы они отвечают принци¬
пам сборности и индустриализации процесса стройки.
Сравнивая балки различных типов, можем сделать следующее
заключение.
Для балок с чередующимися основными и второстепенными эле¬
ментами необходимы для половины пролетов элементы длиной, пре¬
вышающей пролеты, что иногда вызывает затруднения. Балки с шар-
хзрами во всех пролетах (кроме одного) в этом отношении удобнее, так
£ах длинный элемент требуется только для одного пролета; в остальных
же пролетах, если они равны между собой, все элементы одинаковые.
С другой стороны, при разрушении какого-либо пролета балки пер¬
вого типа страдает только этот пролет и соседние. При балках же вто-
того типа результаты различны в зависимости от того, какой пролет
?.2?рушается. Разрушение основного пролета вызывает разрушение
зсего перекрытия. Ввиду этого такие балки в дереве по условиям по¬
жарной безопасности для перекрытия цехов не применяются.
На рис. 57 приведен общий вид сборных железобетонных прогонову
трямененных при устройстве кровли промышленного здания.
Здесь балки, имеющие пролеты по 7,00 м и консоли по 1,30 м, чере¬
дуются с короткими вставками по 4,38 м (между основными балками и
вставками оставлены зазоры). Детали сопряжений видны из рисунка.
47

Jg
в
тъ
W'
ъ
1ШШ,
J0-.
700
j
J
Ю0
1
а)
Рис. 57
i—r^fr-X
в)
(—а
а—Н
г)
*~Х—
Рис. 58
48

§ 18. ЗАДАЧИ
1.	Превратить неразрезные балки (рис. 58,а) в шарнирные, статически определи¬
мые различными вариантами.
2.	Для балки рис. 58,6 определить величины и направление опорных реакций, а
также Мс в сечении С от груза Р, стоящего на конце консоли.
3.	На схемах «балок рис. 59,в и г построены веревочные многоугольники. Требуется
провести замыкающие лучи.
*0 X	*' V - у	f
i	' ТШ.	zsfe?
IT-? — <		/	A
^	^ 3 M
_ J '£г C*
Jn—o—-9—A-	*	им*—	n—'	У*	v	1
’TVTT	77Ш	|	Щр,	,	яфя	I
*~2ri		bм 	-i- 3m -I« Зм *4-»- 3m Зм -«4—- Зм ~A
б)	^2м-п
i I С
i—A—*
I
-r-— Ч м —~t~2n—+~2n-~t* 2n-*\
Рис. 59
4.	Определить x — расстояние шарнира от опоры балки (рис. 59,а) — из условия,
чтобы моменты в середине пролета — С и на средней опоре — были равны. Нагрузка
равномерно распределенная.
5.	Для балки рис. 59,6 построить статически и проверить кинематически следующие
линии влияния:
а)	опорных реакций;
б)	изгибающего момента в сечении С2;
в)	поперечных сил в сечениях Си С3, С4.
6.	При помощи линий влияния вычислить для (балки рнс. 59,в:
а) реакцию на средней опоре;
*6) Мс в сечении С;
в)	Qc в сечении С.
Нагрузку принять сплошную, «равномерно распределенную, q = 1 т/м.
4 Б. Н. Жемочкин
49

ГЛАВА IV
ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ
§ 19. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Как уже отмечено выше (стр.-12), арка состоит из одного криволи
нейного элемента или из двух с шарниром в пролете. Отличительно
особенностью арки является то, что даже при вертикальных нагрузка
ее опорные реакции направлены наклонно. Поэтому системы
приведенные *на рис. 60,а и б, отнесем к аркам; систему же, изобра
женную на рис. 60,в, будем считать криволинейной балкой.
Горизонтальная составляющая опорной реакции арки носит назва
ние распора. Таким образом, арки являются распорными си¬
стемами.
Трехшарнирной называется арка, имеющая шар¬
нирно неподвижные опоры и состоящая из двух криво¬
линейных элементов, соединенных в пролете шарни
ром (рис. 61,а).
Система, образованная элементами ломаного очертания (рис. 61,6)
также относится к трехшарнирным аркам, но может считаться и трех¬
шарнирной рамой.
Опоры арок называют пятами. Наиболее высокая точка оси арки,
обычно шарнир, называется ключом или замком арки.
50

Иногда опорные шарниры арки связывают между собой горизон¬
тальным стержнем-затяжкой (рис. 62,а), воспринимающим рас-
пор. В этом случае одна из опор арки должна быть выполнена подвиж¬
ной. Опорные реакции арки с затяжкой при вертикальной нагрузке на*>
правлены вертикально.
Й
Рис. 61
Рис. 62
Рис. 63
В целях создания -необходимых габаритов под арками или над ар¬
ками, а также для устройства подвесных потолков иногда затяжки де¬
лают ломаного очертания — повышенными или пониженными (рис.
62, бив).
Оси арок описывают по дуге окружности, параболе, эллипсу, ко¬
робовой кривой (состоящей из дуг окружностей разных радиусов).
Арки, очерченные по половине окружности, называют полуцир¬
кульными (рис. 63,а). При значительном подъеме средней части по¬
лучается стрельчатая арка, характерная для готического стиля
(рис. 63,6). Если опоры арки расположены на разной высоте, что на
практике встречается довольно редко, Имеем ползучую арку
(рис. 63,в).
4*
51

Основной геометрической характеристикой арки является отноше¬
ние стрелы подъема арки / (рис. 63,г) к пролету, т. е. у Это
отношение колеблется в очень широких пределах: от ^ =1 до у = -^
и даже меньше.
§ 20. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
Разберем сначала общий случай арки с опорами на разных уров¬
нях, а далее перейдем к арке с опорами на одном уровне. Нагрузку
примем вертикальной.
а)	Опорные реакции
Заменим левую опорную реакцию двумя составляющими:	верти¬
кальной V’a и наклонной, направленной по линии, соединяющей опорные
л Л
в
тт^Ьт/,
Рис. 64
шарниры, Н’а (рис. 64,а). Правую реакцию разложим на вертикальную
V’b и наклонную Н'ь.
Для того чтобы найти вертикальную составляющую левой опор¬
ной реакции V’a, приравняем нулю сумму моментов всех сил относи¬
тельно правой опоры В. Получим:
V'al-Pibl-P2b2—- = 0.
Отсюда:
1/' 	*
а ~~	/
52

или короче:
V' = ^	(Иг)
v а I *	х '
где через Мв обозначен момент нагрузок относительно точки В.
Если бы вместо арки была балка с пролетом /, нагруженная той же
нагрузкой (рис. 64,6), то ее левая реакция VQa определилась бы точно
таким же путем.
Следовательно, вертикальная составляющая левой опорной реак*
ции арки не отличается от левой опорной реакции балки того же проле*
та:
V' = V°a.
а	а
(17)
Для нахождения вертикальной составляющей правой опорной реак¬
ции V'b возьмем сумму моментов всех сил относительно левой опоры
и приравняем ее нулю.
Легко убедиться, что
V' = V0
уъ у ь>
(18)
т. е. вертикальная составляющая правой опорной реакции арки равна
правой реакции балки того же пролета и нагруженной той же на*
грузкой.
Найдем наклонную составляющую Н'а
С этой целью используем условие, что сумма моментов *всех сил,
расположенных слева от среднего шарнира С! относительно этого
последнего равна нулю:
У’а ia- pA L - «о - Рг(/. - О• — КГ = 0.
Отсюда:
V’aU-Pi (ta - «1> - Р#а-Ъ) • • •
а -	f
Но числитель представляет изгибающий момент М°с для балки то¬
го же пролета, нагруженной той же нагрузкой, в сечении С под средним
шарниром (рис. 64,6):
V а К	^1 (la ai) ^2 ( 1а Сг) ' ’	=
-V"./.-/>,—щ-
Следовательно:
Mr
"a = ~fГ-	(1Н)
Чтобы найти наклонную составляющую правой опорной реакции
Иь нужно взять момент правых сил относительно среднего шарнира-
При вертикальных нагрузках, очевидно:
к=к-
С наклонными реакциями при аналитическом расчете неудобно
иметь дело. Поэтому разложим силу H'd на горизонтальную и верти¬
кальную составляющие (рис. 64,а).
53

Горизонтальная составляющая левой опорной реакции Нй или
распор:
На = Н'а COS а = cos а.
Но из рис. 64,а видно, что
COS а
Поэтому:
(20)
Итак, для определения распора на левой опоре надо момент
левых сил относительно среднего шарнира, определенный как для
простой балки, разделить на стрелу подъема ар¬
ки. Заметим, что разделить надо не на плечо силы На , а именно па
стрелу, измеряемую по вертикали между средним шарниром и ли-
йией, соединяющей опоры арки.
Чтобы найти распор на правой опоре, следует взять момент пра¬
вых сил. Но при вертикальной нагрузке:
Яа=#6 = //.
Так как мы разложили «наклонную силу На на составляющие, то
полная вертикальная составляющая на левой опоре не может быть
равной V°a. Теперь она равна:
Va = V°a + Hi ga.
(21)
Аналогично:
V =	a.
(22)
Если опоры арки
формулы упрощаются.
на одном уровне, Totga = 0 (рис. 65)
54

При вертикальной нагрузке в этом случае:
(23)
(24)
(25)
Из формул (20) и (25) видно, что чем меньше стрела
подъема арки, тем больше распор при прочих равных
условиях.
После определения опорных реакций трехшарнирной арки можно
найти изгибающий момент в любом сечении К, как сумму моментов
всех сил, действующих слева (или справа) от данного сечения, отно¬
сительно этого последнего (р.ис. 66,а).
Получим:
Мк = Vax~P1(x — a1) — P2(x — a2)-	—	Н(у	+	xtga).
Произведем преобразования:
мк = (V° + tftga)* — Рх{х — ах) — Р2{х — а2)- ■ — Н (у + *tga) =
= [V2 х — Рх (х — aj — Р2 (х — а2) ■ • • ] — Ну.
б)	Изгибающие моменты
Рис. 66
55

Выражение в квадратных скобках представляег собой изгибающш
момент в сечении К для обыкновенной однопролетной балки (рис. 66,6)
Поэтому:
(26
Мк = Ж-Ну.
Та же формула получается и в случае, когда опоры арки на одном
уровне.
Как и в балках, моменты в арках считаются положительными,
если они вызывают растяжение нижних волокон.
На рис. 67 приведен пример по¬
строения эпюры момен¬
тов. Сначала необходимо по¬
строить эпюру М°к (рис. 67,6), т. е.
эпюру для свободно лежащей бал¬
ки; затем эпюру Ну (рис. 67,в), для
чего ординату оси арки в каждой
точке умножить на распор Я, и, на¬
конец, наложив эпюры одну на дру¬
гую, определить разность между ор¬
динатами (рис. 67,г). Для удобства
желательно эпюру спрямить, т. е.
построить ее от горизонтальной
оси (рис. 67,5).
Мы привыкли, что в балке, на¬
груженной сосредоточенными сила¬
ми, эпюра М ограничена прямыми.
В арке же (рис. 67) эпюра момен¬
тов получается криволинейной.
На этом примере можно на-
% глядно убедиться, что изгибаю¬
щие моменты в арке всег¬
да меньше, чем в балке то¬
го же пролета.
в)	Поперечные силы
Поперечной силой, как
известно, называется проекция рав¬
нодействующей всех сил, располо¬
женных с одной стороны поперечно¬
го сечения, на его плоскость. Сечение должно быть проведено перпен¬
дикулярно касательной к оси арки. Поперечная сила считается поло¬
жительной, если проекция равнодействующей левых сил направлена
вверх (наружу от оси).
Для определения Q к в сечении К (рис. 68,а) арки, опоры которой
находятся на одном уровне, проведем касательную Кт к оси арки
и нормаль Кп, лежащую в плоскости сечения.
Проектируя левые силы на нормаль Кп, получим:
QK = Vа cos ср — Рг cos ср — Р2 cos ср		 — Н sin ср =
= (Va — P1 — P2	) cos ср — Н sin ср.
Выражение, стоящее в скобках, равно поперечной силе в сечении
К однопролетной балки (рис. 68,6). Обозначая ее через Q®, напишем:
(27)
Рис. 67
^тгтппггт^
Q = Q° cos <р — Я sin <р.
56

Пример эпюры поперечных сил приведен на рис. 69.
При одинаковых пролетах и нагрузках поперечные силы в ар*
ке меньше, чем в соответствующей балке.
г)	Продольные силы
Продольной, или нормальной, силой называется проекция
равнодействующей всех сил, расположенных с одной стороны попереч-
Лк1	L
Рис. 68
Эпюра Q
А..
щттттттп
Рис. 69
ного сечения, на касательную к оси арки. Принято считать продольную
силу положительной, если она вызывает сжатие.
Проектируя все левые силы на касательную Кт (рис. 68,а), по-
лучим:
NK = Vа sin ср — Рх sin ср — Р2 sin ср — •	+ Н cos © =
= (Va — Рг — Pi—- •) sin ср f Н cos ср.
Но мы уже знаем, что выражение, стоящее в скобках, представляет
собой поперечную силу в балке того же пролета при той же нагрузке, а
потому можно написать:
Nк	Q0^ sin ср -j- Н COS ср.
(28)
Пример эпюры продольных сил приведен на рис. 70.
д)	Кривая давления
Из теории внецентренного сжатия («Сопротивление материалов»)
известно, что действие момента и центральной продольной силы
можно всегда заменить действием продольной силы, приложенной
57

Эпюра N
ГТТТчгт
Рис. 70
Рис. 71
Рис. 72
Рис. 73

внецентренно. При этом расстояние точки приложения этой силы от се¬
редины сечения (или эксцентрицитет) равно:
е =
м
N
(29)
Сделаем где-либо разрез арки, отбросим левую часть и найдем в
рассматриваемом сечении М, Q и N (рис. 71). Вычислим эксцентрицитет
по формуле (29) и отложим его от оси арки. Через полученную точку К
должна проходить внецентренно приложенная продольная сила. Через
эту точку должна также проходить равнодействующая сил N и Q, или,
что то же, равнодействующая всех сил, действующих на арку слева от
сечения.
Проведем ряд поперечных сечений арки (рис. 72) и найдем в каж¬
дом сечении точку приложения равнодействующей. Соединив эти точки,
получим некоторый многоугольник, так называемый многоугольник
равнодействующих или многоугольник давления.
Очевидно, что переломы в многоугольнике должны быть в местах при¬
ложения сосредоточенных внешних сил.
Крайние лучи многоугольника давления должны проходить через
опорные шарниры и указывать направления опорных реакций.
Если к арке приложена распределенная нагрузка, то многоугольник
давления обращается в кривую давления. На практике принято
многоугольник давления при сосредоточенных силах также называть
кривой давления.
Итак, кривая давления соединяет точки приложе¬
ния в каждом сечении равнодействующей всех сил,
расположенных с одной стороны сечения.
Кривая давления наглядно иллюстрирует работу арки. Чем ближе
кривая давления проходит к оси арки, тем более равномерно распреде¬
лены нормальные напряжения в поперечных сечениях.
Нормальные напряжения вычисляются по формулам внецентренного
сжатия («Сопротивление материалов»).
Если для какого-либо сечения известны момент и продольная сила,
то:
Для арки прямоугольного сечения удобнее использовать значение
эксцентрицитета, применяя 'Известную формулу:
равнодействующая проходит в пределах средней трети сечения, напря¬
жения в сечении сжимающие. При е> 4 возникают сжимающие и рас-
6
тягивающие напряжения.
Строительные материалы, применяемые для арок, часто плохо
работают на растяжение (бетон, кирпич). В таких случаях желательно,
59
е)	Определение нормальных напряжений
(31)
Из этой формулы непосредственно следует, что при	т-	е*	когда

чтобы кривая давления на всем протяжении не выходила из пределов
средней трети арки1 (рис. 73).
ж)	Расчет арок с затяжками
Если трехшарнирная арка имеет затяжку (рис. 74), то опорные
реакции арки равны опорным реакциям обыкновенной однопролетной
балки того же пролета.
Для определения усилия в затяжке (или распора) следует провести
разрез через средний шарнир и затяжку и приравнять нулю сумму мо¬
ментов всех сил, действующих с одной стороны шарнира, относительно-
этого последнего.
Усилие в затяжке:
(32>
Дальше арка рассчитывается как обычная трехшарнирная арка без-
затяжки. Точно так же определяются моменты, поперечные и продоль¬
ные силы. При расчете необходимо найти усилия в подвесках, поддер¬
живающих затяжку, и учесть силы, передающиеся от них на арку.
1	По современным СНиП («Строительные нормы и правила») вместо тироверки на¬
пряжений требуется соблюдение условия, чтобы продольная расчетная сила /Урасч
(представляющая сумму сил от .постоянной и временной .нагрузок, умноженных на'
коэффициенты перегрузки) была бы меньше или равна расчетной несущей способности..
Если арка из кладки, то:
( h\
■при малых эксцентрицитетах К <0.45
ттк RF
раеч ^	р	2
,+т
/ h \
-при больших эксцентрицитетах f ^ >0,45 ~1
Мрасч < ттк К?
Здесь т — коэффициент условий работы элемента;
тк — коэффициент »	»	кладки;
R — расчетное сопротивление кладки сжатию;
F — площадь поперечного сечения.
60

§ 21. ПРИМЕР РАСЧЕТА АРКИ
Трехшарнирная арка (рис. 75) пролетом /=16 м со стрелой подъема/=4 м име¬
ет очертание оси по параболе. Уравнение оси:
4/
Нагрузка распределена равномерно на левой половине пролета; ее интенсивность
<7=1 т/м. Требуется найти опорные реакции и М, Q и N в сечении на расстоянии
jc=4 м от левой опоры.
Решение. Опорные реакции по формулам (23) и (24):
1-8-12 „
V„=— ,6,;
1-8-4
V,	16 =^т-
Распор по формуле (25):
<	6-8—1-8-4	.
—;—-4г-
Если находить распор по правым силам, то результат тот же:
2-8
Н= — = 4 г.
4
Для вычисления М, Q и N в заданном сечении найдем ординату оси арки и тан¬
генс угла наклона касательной к оси:
У =-у7 *(/ — *)= -^7 4(16	4)	=3м,
ё? dx I \ I }	16	I	16/
Соответственно:
ср = 26°34';
sin ср = 0,447;
cos у = 0,894.
61

По формуле (26) изгибающий момент:
Мк = М^—Ну=(6*4— 1 *4-2) —4*3 = + 4 тм.
Для сечения на расстоянии 4 м от правой опоры мы получили бы:
М = 2-4 — 4*3 = — 4 тм.
Поперечная сила в сечении х = 4 м по формуле (27):
Q/C— Q^cosf-H sin 9 = (6— 1-4) • 0,894 — 4*0,447 = 0.
Продольная сила по формуле (28):
NK= Q°K sin « + Н cos ф = (6 — 1-4)*0,447 +4-0,894 = 4,47 г.
Рис. 76
Для построения эпюр М,
Q и N пришлось бы сделать
аналогичные вычисления
для ряда сечений. Эпюры
приведены на рис. 76.
Обращает на себя вни¬
мание, что эпюра М обрат¬
но симметрична относитель¬
но середины, т. е. имеет г
симметрично расположен
ных точках одинаковые ор
динаты, но разных знаков
Отсюда следует, что ес¬
ли загрузить равномерно
распределенной нагрузкой
весь пролет арки, то М,	<\
также и Q во всех сечениях
будут равны нулю.
Это не случайно. Как
общее правило, при дей¬
ствии на параболиче¬
скую арку сплошной
равномерной нагруз¬
ки по всему пролет)
изгибающие момен
ты и поперечные силы
во всех сечениях рав¬
ны нулю.
Кривая давления в этом
случае совпадает с осью ар¬
ки, и ео всех сечениях воз¬
никают только равномерные
сжимающие напряжения.
Распор в такой арке на основании формулы (25):
(33)
ПО
Следовательно, в случае нагрузки, равномерно распределенной
всему пролету, наиболее целесообразно параболическое очертание арки
62

Такая нагрузка или близкая к ней встречается довольно часто. Поэтому
параболические арки нашли широкое применение на практике, в частно¬
сти в перекрытиях больших пролетов.
§ 22. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
Аналитический способ представляет некоторые затруднения, если
опоры арки расположены на разных уровнях, и особенно, если к арке
приложены наклонные силы.
В этом отношении графический способ имеет преимущество. Кроме
того, графически легко получить кривую давления. При вертикальных
же нагрузках ее можно использовать для построения эпюры моментов.
а)	Опорные реакции
Если к арке приложена только одна сила (рис. 77) в левой час¬
ти, то правая опорная реакция должна быть направлена по линии
СВ и проходить через средний шарнир. В противном случае момент
правых сил относительно шарнира не был равен нулю.
Условия равновесия требуют, чтобы три силы Ra> Rb и Р пере¬
секались в одной точке. Поэтому, продолжая прямую СВ до силы
Р и соединяя полученную точку с
левой опорой, найдем направление
левой реакции Ra-
Величины реакций определим
из силового треугольника, в котором
от концов силы Р надо провести ли¬
нии, параллельные найденным на¬
правлениям реакций.
Аналогично можно найти опор¬
ные реакции, когда нагрузка прило¬
жена к правой части арки.
Предположим теперь, что к ар¬
ке приложено несколько сил (рис.
78). Если -имеется распределенная
нагрузка, заменим ее сосредоточен¬
ными силами.
Сначала найдем равнодействующие сил приложенных к левой
и правой частям арки. Для этого построим силовой многоугольник.
Выбрав произвольные полюсы О\ и Ог, проведем лучи и построим ве¬
ревочные многоугольники (показаны 'пунктиром). Они дадут нам воз¬
можность заменить данные нагрузки равнодействующими: Ра — в левой
части и Рь — в правой.
При определении реакций используем принцип независимости дей¬
ствия сил. Найдем сначала реакции R'a и R'b только от нагрузки левой
части, предполагая правую часть незагруженной. Проведем прямую
через В и С до пересечения с силой Ра\ полученную точку соединим с
А. Начерченные линии дадут направления опорных реакций. Их вели¬
чины определятся из силового многоугольника проведением параллель¬
ных прямых.
Аналогично найдем реакции R”a и R”b от нагрузки только правой
части.
63

Далее в силовом многоугольнике построим параллелограмм на си¬
лах Rb и R*a и сложим силу R'a с R”a и силу R'b с R'b. В резуль¬
тате получим полные опорные реакции от нагрузки всей арки Ra и Rb.
\ /
б)	Построение кривой давления
Предположим, что опорные реакции для данной арки уже опреде¬
лены (рис. 79).
Принимая точку пересечения реакций Ra и Rb в силовом много¬
угольнике за полюс О, построим на чертеже арки веревочный много¬
угольник, проводя первый луЗ через опору А. Этот веревочный мно¬
гоугольник будет многоугольником давления или кривой давления.
Рис. 79
Действительно, луч 1—2 представляет равнодействующую сил Ra
и Р\, луч 2—3— равнодействующую сил Ra, Р\ и Р2 и т. д.
Таким образом, лучи веревочного многоугольника на чертеже арки
непосредственно указывают, через какие точки проходят равнодей¬
ствующие левых *сил, а также направления равнодействующих.
64

Если построение выполнено правильно, то кривая давления, нача¬
тая от точки А, обязательно должна пройти через средний шарнир С
и правый шарнир В.
в)	Поперечные и продольные силы
Лучи силового многоугольника, измеренные в том масштабе, в ко¬
тором этот многоугольник построен, непосредственно дают величины
равнодействующих в каждом сечении.
Но для получения поперечных и продольных сил не¬
обходимо равнодействующие разложить на соответствующие два на¬
правления.
Предположим, например, что нужно найти Q и N в сечении К
(рис. 79). Луч силового многоугольника, параллельный лучу веревочно¬
го многоугольника, проходящего через сечение К, представляет в мас¬
штабе сил равнодействующую левых сил в сечении К.
Проведем через точку К касательную и нормаль к оси арки. Из
концов соответствующего луча силового многоугольника проведем ли¬
нии, им параллельные. Получим Q и JV. ‘
г)	Кривая давления в случае вертикальной нагрузки
В частном случае вертикальной нагрузки построение выполняется
так же (рис. 80).
Полюсное расстояние, очевидно, равно горизонтальной проекции
опорных реакций, т. е. распору Н.
Веревочный многоугольник можно рассматривать как эпюру мо¬
ментов однопролетной балки, причем ординаты ее (ут +уп)> отсчитывае¬
мые от линии АВ, следует для получения моментов множить на Н:
Ml -- (Ут + Уп) Н.
По формуле (26) при принятых здесь обозначениях:
Мк = М°к - Ыут = (ут + у п)Н — Нут.
5 Б. Н. Жемочкин
65

Сокращая, находим:
Мк=УпН-
(34)
Таким образом, отрезки ординат между осью арки и кривой дав¬
ления, умноженные на величину распора, дают изгибающие моменты в
сечениях.
Следовательно, кривую давления можно использовать для постро¬
ения эпюры моментов.
§ 23. линии влияния
Для построения линий влияния усилий в арках воспользуемся разобранными
выше способами построения линий влияния для балок (§ 13).
В дальнейшем предполагается, что опоры арок на одном уровне.
а)	Линии влияния вертикальных составляющих опорных реакций
Из формул (23) и (24)
и ^=V*°
Рис. 81
следует, что линии влияния верти¬
кальных составляющих опорных
реакций трехшарнирной арки в
точности такие же, как и линии
влияния опорных реакций одно¬
пролетной балки (рис. 81,а и б).
б)	Линия влияния распора
По формуле (25).
М°с
~
Если
шарнир в середине пролета, то эта ордината:
I
Поэтому для построения ли¬
нии влияния распора следует по¬
строить линию влияния момента
простой балки в сечении С на рас¬
стоянии 1а от левой опоры и раз¬
делить на стрелу /.
Если бы мы строили линию
влияния момента в балке, то отло¬
жили бы на левой опоре расстоя¬
ние 1а> теперь же нужно отложить
~ Проведем прямую к точке,
расположенной под правой опо¬
рой, снесем шарнир С и соеди¬
ним с точкой под левой опорой.
Получим линию влияния рас¬
пора Н (рис. 81,в).
Ее ордината под шарниром
равна:
lg\b
If ■
4/
в)	Линия влияния изгибающего момента
Из формулы (26)
Мк = М%-Ну,
66

следует, что линия влияния изгибающего момента может быть получена как разность
двух линий влияния: линии влияния момента в сечении К как для простой балки
и линии влияния распора Я, умноженной на ординату у.
На рис. 82,а и б построены линии влияния М°к и Ну. ГХутем наложения их друг
на друга получена искомая линия влияния Мк (рис. 82,в), ординаты которой затем
отложены от горизонтальной оси (рис. 82,г).
Отметим, что правая ветвь линии влияния (между сечением К и шарниром С)
отсекает на левой опоре ординату а. Поэтому, если бы можно было как-нибудь найти
нулевую точку линии влияния, то построение упростилось бы и не пришлось бы при¬
бегать к наложению двух линий влияния.
Эта нулевая точка лежит под точкой О пересечения прямых ВС и АК. Дейст¬
вительно, если груз станет над точкой О, то левая реакция пройдет через К на оси
арки и момент в сечении будет равен нулю. Следовательно, под точкой О в линий
влияния должна быть нулевая ордината.
Итак, для построения линии влияния изгибающего момента найдем сначала поло-,
жение нулевой точки, для чего продолжим прямые АК и ВС до их взаимного пересече¬
ния в точке О и снесем точку О на ось линии влияния.
Далее отложим на левой опоре ординату а и проведем прямую /С'О'С' через нулевую
точку до среднего шарнира. Отсюда проведем прямую к правой опоре. Снесем на линию
влияния сечение К и соединим с левой опорой.
Мы искали нулевую точку между сечением К и средним шарциром С. Но может
случиться, что прямые АК и ВС пересекутся справа от шарнира С. Построение в прин¬
ципе останется таким же, но нулевая точка будет мнимой. Все ординаты линии влия¬
ния М будут одного знака.
67

г) Линия влияния поперечной силы
На основании формулы (27):
QK = Q°K cos <р — Н sin ср
заключаем, что линия влияния поперечной силы может быть построена как разность
двух линий влияния: линии влияния поперечной силы однопролетной балки с ордина¬
тами, умноженными на cos<p, и линии влияния распора с ординатами, умноженными на
sin <р (рис. 83,а, б и в). На рис. 83,г начерчена окончательная линия влияния, ординаты
которой отложены от горизонтальной оси.
И здесь можно использовать нулевую точку.
С этой целью проводим в точке К касательную к оси и ей параллельную через
левую опору А до пересечения с прямой ВС. Снесем полученную точку О на горизон¬
тальную ось линии влияния. Здесь должна быть нулевая ордината. Действительно,
при расположении груза над точкой О левая реакция пройдет перпендикулярно се¬
чению К и поперечная сила в сечении Q=0.
Отложим под левой опорой ординату cos'f, .проведем прямую К'О'С' через нулевую
точку до среднего шарнира. От С' проведем прямую к правой опоре. От левой опоры
проведем линию, параллельную К'О'С', и снесем сечение /С.
§ 24. ХАРАКТЕРИСТИКА ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК.
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
Отличительным свойством арок является наличие распора, переда¬
ющегося на нижележащую конструкцию. Поэтому арки требуют более
массивных опор, чем балки (рис. 84,а и б). Арки с затяжками (рис. 84,в)
могут иметь менее массивные опоры: иногда их опирают на отдельные
столбы или колонны, так как распор каждой арки погашается затяжкой.
Если арки перекрывают несколько пролетов, так что их распоры
частично уравновешиваются (рис. 84,г), то промежуточные опоры
также могут быть сделаны более легкими.
На величине распора сильно сказывается стрела подъема: подъеми¬
стые арки (в частности, полуциркульные и готические) нуждаются в
менее массивных опорах, чем пологие.
Влияние распора отражается на архитектуре стен в зданиях, пере¬
крытых арками. Стены в местах расположения пят арок снабжаются
специальными выступами — контрфорсами и пилястрами.
68

Строительный материал в арках используется более экономно,
чем в балках. Основная задача при устройстве арок состоит в том,
чтобы заставить материал работать преимущественно на сжатие, а не
на изгиб. Поэтому арочные конструкции всегда отличаются сравни¬
тельно большой легкостью, даже при перекрытиях больших пролетов.
Рис. 85
Область применения трехшарнирных арок чрезвычайно обширна
как в зданиях, так и в инженерных сооружениях.
На рис. 85 приведен пример перекрытия с трехшарнирными арками.
§ 25. ЗАДАЧИ
1.	Для арки рис. 86,а, очерченной по параболе:
а)	найти вертикальные реакции и распор на левой и правой опорах;
б)	вычислить в сечении под силой (правее) М, Q и N;
в)	определить, как изменяется Н и М, если стрела подъема уменьшится вдвое.
Указание. Силу Р = 10 т целесообразно разложить на вертикальную и горизон¬
тальную составляющие.
2.	Построить кривые давления для системы арок (рис. 86,6).
3.	Определить графически усилия в затяжке ,и подвесках полуциркульной а-рки
(рис. 86,в).

ГЛАВА V
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛОЧНЫЕ ФЕРМЫ
Фермой называется стержневая система, оста¬
ющаяся геометрически неизменяемой, если в ней
все жесткие узлы заменить шарнирными.
В расчетах предполагается, что стержни ферм соединены между
собой шарнирами (рис. 87) и притом идеальными, т. е. до¬
пускающими взаимный поворот соединяемых ими стержней без трения.
Очень редко, но встречаются металлические фермы, в которых соеди¬
нения стержней действительно осуществляются шарнирами. Но эти
шарниры далеки от идеальных, так как в них возникают большие силы
трения. В огромном же большинстве случаев узлы металлических ферм
устраиваются жесткими с заклепочными или сварными соеди¬
нениями (см. «Сопротивление материалов»). Таким образом,
расчетные схемы ферм сильно отличаются от действительных со¬
оружений.
Можно рассчитывать фермы и с учетом жесткости узлов. Но подоб¬
ные расчеты чрезвычайно сложны, поэтому на практике к ним не при¬
бегают и фермы рассчитывают, исходя из предположения об идеальных
шарнирах. Исследования показывают, что дополнительные напряжения,
вызываемые жесткостью узлов, в современных фермах с длинными и
гибкими стержнями невелики и составляют всего несколько процентов
от основных напряжений.
Узлы деревянных ферм также предполагают шарнирными.
Нагрузки всегда считают приложенными в узлах ферм. На каж¬
дый стержень фермы усилия передаются через шарниры по его концам.
Условия равновесия требуют, чтобы эти усилия были направлены по пря¬
мой, соединяющей шарниры, поэтому стержни ферм работают только на
продольные усилия (растяжение или сжатие).
§ 26. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Рис. 87
Рис. 88
70

Если нагрузки приложены в промежуточных точках стержней ферм,
как это бывает в стропилах, то все-таки нагрузки распределяют на смеж¬
ные узлы, а по окончании расчета ферм учитывают дополнительно изгиб
стержней, несущих нагрузку.
Стержни ферм, за очень редкими исключениями, делаются прямо¬
линейными. Так как усилие, приложенное к стержню, направлено по
линии, соединяющей шарниры, то криволинейный стержень подвер¬
гался бы изгибу (рис. 88).
Pact*ось
Стержни, ограничивающие контур фермы сверху, образуют в сово¬
купности верхний п о яс, снизу — н и-ж я и й пояс (рис. 89,а).
Внутренние стержни образуют решетку, вертикальные стержни ко¬
торой носят название стоек, наклонные — раскосов. Расстояние
d между соседними узлами пояса называется длиной панели.
По очертанию поясов различают фермы с параллельными
поясами (рис. 89,6),с криволинейными (одним или обоими)
поясами (рис. 89,в) и треугольные фермы (рис. 89,г). В
фермах с криволинейными поясами только узлы лежат на какой-либо
кривой, самые же стержни прямые. Фермы с криволинейными поясами
бывают параболическими, эллиптическими, круговыми.
По системе решетки фермы называются раскосными, если
раскосы чередуются со стойками (рис. 90,а); с треугольной ре¬
шеткой (рис. 90,6); полураскосными (рис. 90,в); многорас¬
косными (рис. 90,г) и многорешетчатыми (рис. 90,д).
71

§ 27. ПРОВЕРКА НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ ФЕРМ
Каждая ферма должна быть системой геометрически неизменяемой.
В этом следует убедиться перед расчетом.
Проверка неизменяемости может быть сделана по правилам, изло¬
женным в главе II. Однако приведенная там формула (1), определяю¬
щая степень свободы:
W = ЪД — 2Ш — Соп
в применении к фермам не совсем удобна ввиду обычно большого
числа стержней, принимаемых за диски, и затруднительности подсчета
шарниров (в формулу входит Ш — число простых шарниров, в фер¬
мах же — преимущественно сложные шарниры).
Лучше формулу видоизменить.
Введем обозначения:
Сф — число стержней фермы;
У — число узлов фермы;
Соп — число опорных стержней.
Очевидно, что число дисков Д равно Сф. Каждый стержень имеет
по концам два шарнира, а всего шарниров 2Сф. При соединении в ка¬
ком-либо узле п стержней число простых шарниров в этом узле должно
быть не п, а (п—1). Таким образом, каждый узел уменьшает число
шарниров на единицу. Поэтому общее число простых шарниров:
Ш = 2СФ — У.
Подставляя значения Д и Щ в формулу (1), получим:
W = ЗСФ — 2 (2СФ - У) - Соп	(35)
или:	*
W = 2У — Сф — Соп.
Для неизменяемой и статически определимой системы №=0,
а потому:
Сф + Соп = 2У
Обозначая общее число стержней, включая и опорные, через
С, можем написать:
С = 2У
(36)
При пользовании этой формулой не приходится определять, сколько
в каждом узле простых шарниров; через У обозначено число узлов не¬
зависимо от числа стержней, сходящихся в каждом узле.
Если ферма рассматривается без связи с землей, то сте¬
пень ее изменяемости по формуле (2):
У = ЗД-2Ш-3.
Для неизменяемой и статически определимой системы V = 0, а потому:
ЪД — 2Ш— 3 = ЗСФ — 2(2СФ — У) — 3 =.- 0.
Отсюда:
Сф = 2У — 3.	(37)
72

Если при подсчете числа стержней и узлов по формулам (36) и (37)
окажется, что С<2У или СФ<2У—3, то система изменяема (рис. 91,а);
если С=2У или СФ = 2У—3, система неизменяема и статически опреде¬
лима (рис. 91,6); если С>2У или Сф >2У—3, система неизменяема и
статически неопределима (рис. 91,в).
Впредь будем считать фермами только неизменяемые системы. Из¬
меняемые системы не могут применяться как фермы.
В § 6 мы уже убедились, что подсчет числа элементов является
необходимым, но он еще недостаточен. Система может
удовлетворять условию (36) или (37), но оказаться изменяемой (рис.92).
Рис. 92
Рис. 93
проанализировать систему
Следовательно, необходимо
с точки зрения ее структуры.
При таком анализе будем иногда рассматривать ферму без связи
с землей, отбрасывая опорные стержни, но только в том случае, когда
их число равно трем. Понятно, что неизменяемая система, прикреплен¬
ная к земле тремя опорными стержнями, непараллельными и не пересе¬
кающимися в одной точке, представляет вместе с землей также неиз¬
меняемую систему.
Наибольшее практическое значение имеют следующие два способа
анализа структуры.
Если в основу фермы положен треугольник и ферма образована
присоединением каждого узла при помощи двух стержней, система не¬
изменяема. На практике при анализе лучше идти обратным путем: по¬
степенно отбрасывать от данной системы один за другим узлы с двумя
прикрепляющими их стержнями. Убедившись, что в конце этой операции
останется треугольник (или вообще неизменяемая система), сделаем
заключение, что и заданная система неизменяема.
Например, в ферме, приведенной на рис. 93, число стержней
Сф=37, число узлов У=20. Условие (37) удовлетворяется:
37 = 2-20 — 3.
Переходим к анализу структуры. Отбрасываем последовательно
узлы 1, 2, 3,... Дойдя до середины, делаем то же, начиная справа.
73

В результате получаем заштрихованный на рисунке треугольник. Сле¬
довательно, система неизменяемая.
Иногда этот прием не удается применить. В ферме, приведенной
на рис. 94, для которой условие (37) удовлетворяется, можно отбросить
только нижние стержни.
Тогда воспользуемся другим приемом: посмотрим, нельзя ли части
фермы рассматривать как диски, и установим, как эти диски соеди¬
нены между собой. Если выделить из фермы заштрихованные части,
то легко убедиться, что в отдельности они представляют неизменяемые
системы, а потому могут приниматься за диски. Но тогда получим два
диска, соединенных шарниром а и стержнем Ьс; поэтому рассматривае¬
мая ферма является неизменяемой системой.
а	а
\ 1 /
Т	v
шт?	ТЯЯ	Ь
Рис. 95	Рис. 96
Напомним, что в неизменяемых системах два диска должны быть
соединены шарниром и стержнем или тремя непараллельными и не
пересекающимися в одной точке стержнями. Три диска должны быть
соединены тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, или .эк¬
вивалентными стержнями.
Предположим, что иадо исследовать ферму, изображенную на рис. 95. Здесь
С= 12, У—6. Уравнение (36) удовлетворяется:
12 = 2*6.
Отбрасывать стержни нельзя, так как нет ни одного узла, к которому подходили
бы два стержня. Тогда ищем в этой ферме диски. Они на рисунке заштрихованы. Отде¬
лим ферму от опор; это мы можем сделать, так как опорных стержней 3; следовательно,
если система неизменяема, то и после отделения от опор она останется неизменяемой
(но подвижной).
Очевидно, что мы имеем здесь два диска, соединенных тремя стержнями. Систе¬
ма неизменяема.
Система, изображенная на рис. 96 (в точке С стержни не соединены) имеет
Сф = 9, У = 6.
По формуле (37):
9 = 2-6 — 3.
Стержень 1—2 можно рассматривать как диск, другим диском будет стержень
3—4 и третьим — 5—6.
Диски 1—2 и 3—4 ооединены двумя стержнями или, иначе, шарниром в точке а.
Диски 3—4 и 5—6 тоже соединены двумя стержнями или шарниром Ъ. Наконец, дис¬
ки 1—2 и 5—6 — двумя стержнями, пересекающимися в с. Но все три шарнира на
одной прямой— система мгновенно изменяемая.
В ферме рис. 97 условие (36) удовлетворяется. Обратим внимание на ее струк¬
туру. Часть АВ неизменяемая, часть CD — также; они могут рассматриваться как диски.
74

Часть АВ соединена с землей тремя стержнями и образует с ней один общий диск.
Этот диск соединен с диском CD тремя стержнями. Система неизменяема.
Помимо изложенных, существуют и другие способы анализа струк¬
туры. Так, иногда применяют способ нулевых нагрузок.
Если при отсутствии внешней нагрузки в стержнях какой-либо
системы с минимально необходимым числом стержней возможны от¬
личные от нуля усилия (или отличные от нуля опорные реакции), то
такая система мгновенно изменяемая. Практически следует задаться ве¬
личиной усилия в каком-либо стержне (или величиной опорной реак¬
ции) и проверить, нельзя ли, исходя из условий равновесия, найти уси¬
лия во всех стержнях.
Если же можно доказать, что при нулевой нагрузке усилия во всех
стержнях (и опорные реакции) равны нулю, то такая система неизме¬
няемая.
§ 28. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
Расчет фермы следует начинать с определения опорных ре¬
акций.
Рис. 98
Напомним известные из «Теоретической механики» и «Сопротив¬
ления материалов» приемы определения опорных реакций на примере
стропильной фермы (рис. 98).
Наклонную нагрузку целесообразно заменить составляющими Рх
и Руу причем:
Рх = Рг COS а;
Ру = Рг sin а.
В данном случае левая опорная реакция направлена наклонно.
Определим отдельно вертикальную и горизонтальную ее составляющие.
Для нахождения первой приравняем нулю сумму моментов всех сил,
приложенных к ферме, относительно правой опоры В:
М + Pxh — РуЬг — Р2Ь2...= 0.
75

Отсюда
л	— Рх Ь+РуЬ1+Р2Ь2 -	Мв
А =	-	= _.
Горизонтальная составляющая Н определится из уравнения проек¬
ций всех сил на горизонтальную ось:
Н + рх = 0.
Это дает:
Н = — Рх = — Pi cos а.
Знак минус указывает, что направление Н следует изменить на об¬
ратное (пунктирная стрелка на рисунке).
Приравнивая нулю сумму моментов относительно левой опоры, най¬
дем правую реакцию В:
—	Bl + Pxh + Руаг + Р2а2... =0,
откуда:
д /Vz-f-Pyai+P2a2— МА
Можно сделать проверку, спроектировав силы на вертикальную ось:
Для определения усилий в стержнях фермы применяют м е-
тод разрезов. Желательно так вести вычисления, чтобы усилие
в каждом стержне определялось независимо от усилий в других стерж¬
нях, что избавляет от нарастания погрешностей и увеличивает точность
расчета.
Поэтому следует придерживаться такого порядка:
а)	мысленно разрезать ферму, причем разрез должен проходить,
вообще говоря, не больше чем через три стержня, в том числе и через
стержень, в котором требуется определить усилие;
б)	отбросить левую или правую часть фермы (удобнее отбрасывать
ту часть фермы, где приложено больше нагрузок);
в)	заменить действие отброшенной части фермы действием неиз¬
вестных усилий, направленных по разрезанным стержням; при этом
усилия всегда предполагаются растягивающими;
г)	составить такое уравнение статики, чтобы только искомое усилие
входило в него как неизвестное;
д)	решить уравнение и найти это усилие; если результат будет со
знаком плюс, то стержень растянут, если со знаком минус, то стержень
сжат.
Усилия обычно принято обозначать:
О	— в стержне верхнего пояса,
U — в стержне нижнего пояса,
D — в раскосе,
V — в стойке,
с индексами, указывающими номера панелей (t/2, Dz, V3,...).
Пусть для фермы, изображенной на рис. 99,а, требуется найти уси¬
лия Ог, С/з, D2, D3, V2 и V4. Опорные реакции будем предполагать уже
найденными.
76

Усилие 02
Проведем разрез I—/ через стержень с усилием Ог и через два дру*
гих стержня. Отбросим правую часть фермы и заменим ее действие
действием неизвестных усилий 02, V2 и Uз, предполагая их растягива¬
ющими (рис. 99,6).
Уравнение равновесия нужно составить так, чтобы в него вошло
усилие Ог, но не вошли V2 и U%. Очевидно, что для этого следует взять
момент всех сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно
узла 2, играющего в данном случае роль моментной точки.
Эта точка всегда находится на пересечении
двух остальных разрезанных стержней.
Рис. 99
Получим:
02г2 -f- A2d —	= 0.
Отсюда:
q _ —A 2d+P2d
2	r2
В данном случае Ог отрицательно, а потому стержень сжат.
77

Усилие U3
Для нахождения t/g воспользуемся тем же разрезом I—I (рис. 99,6) _
Но теперь моментная точка будет на пересечении Ог и Vi в узле 2'
Уравнение:
- Uah + АЫ — Р£ + Hh = 0;
,, _ A2d—P2d4-Hh
U3	-	.
Стержень растянут.
Усилие V%
Моментную точку К следует взять на пересечении Ог и С/» за пре¬
делами фермы.
Уравнение:
— V2 (а + 2d) — Аа-\- Р2(а + d) = 0.
17 -Aa+Pt(gj-d)
2	a+2d
Усилие D2
Необходимо провести новый разрез II—II (рис. 99,а) так, чтобы
он прошел через раскос D% и два других стержня, и отбросить правую
часть фермы (рис. 99,в).
Моментная точка опять будет в К на пересечении 02 и U2.
Уравнение:
D2rk — Аа + Р2 (а + d) = 0;
£) _ Аа — Р2 (а Ч~ d)
2	тк
Усилие D3
Проведем теперь разрез III—III (рис. 99,а) и отбросим правую
часть фермы (рис. 99,г). Изложенный выше способ уже неприменим:
моментную точку следует искать на пересечении Ог и t/з, а между тем
эти усилия параллельны друг другу, и моментная точка должна быть
бесконечно удаленной.
Поэтому составляем уравнение равновесия другого вида: проекти¬
руем все силы, приложенные к оставшейся части фермы, на ось, пер¬
пендикулярную стержням поясов, в данном случае — на вертикальную.
Получим:
-	D3 cos а + А — Р2 = 0;
£>3 = ^.
COS а
Усилие У4
Провести разрез фермы так, чтобы он прошел через стойку \U и
еще через два стержня, никак не удается: разрезаются четыре стержня.
Остается провести разрез IV—IV (рис. 99,а), начинающийся и кон¬
чающийся с одной и той же стороны фермы, другими словами, выре¬
зать узел 4 (рис. 99,<5).
78

Для того чтобы в уравнение не вошли усилия I/4 и Us, необходимо1
спроектировать силы, действующие на узел 4, на вертикальную ось:
П-Я4 = 0;
VA~P*.
Если бы к узлу 4 не была приложена нагрузка Р4, усилие Vt рав¬
нялось бы нулю.
В разобранном примере представлены наиболее характерные слу¬
чаи определения усилий в стержнях фермы. Сделаем несколько до¬
полнительных замечаний.
Не всегда удается составить уравнение, в которое входит одно
неизвестное- Так, для определения усилия в средней стойке фермы,,
приведенной на рис. 100,а, необходимо вырезать верхний узел и спроек¬
тировать приложенные к нему силы на вертикальную ось (рис. 100,6)
—	V3 — 03 cos а — 04 cos а — Р = 0.
а)	6)	V
у\-	“г%~~
Рис* 101	Рис.	102
Отсюда:
V3~ — Оз cos а — 04 cos а — Р.
Очевидно, что Vз можно найти лишь после того, как будут най¬
дены Оз и О4 (вследствие симметрии 0з=04).
Выше мы поставили условие, что разрезать следует не более трех
стержней. Однако бывают случаи, когда разрез можно провести и более
чем через три стержня. Так, например, для нахождения Ог (рис. 101)
нет затруднений в проведении разреза через четыре стержня, так как
три из них пересекаются в моментной точке /С.
Можно разрезать более трех стержней и тогда, когда усилия в не¬
которых стержнях уже определены.
Иногда приходится прибегать к довольно сложным разрезам.
Некоторые стержни в фермах при заданной нагрузке не рабо¬
тают, и усилия в них равны нулю. Желательно перед расчетом оты¬
скать подобные стержни и тем самым упростить нахождение усилий
в остальных стержнях.
79■

Полезно отметить некоторые признаки неработающих, нулевых
стержней, которые легко установить элементарным путем, вырезая узлы
и проектируя силы на соответствующую ось.
Если в узле сходятся два стержня, а нагрузки в этом узле нет
(рис. 102,а) то, оба стержня не работают.
Если в узле сходятся три стержня, причем два стержня лежат на
одной прямой и нагрузки в узле нет (рис. 102,6), то отдельно
направленный (одиночный) стержень (Л^) не работает.
Если в узле сходятся два стержня и нагрузка- направлена по одно¬
му из стержней (рис. 102,в), другой стержень не работает.
Применим установленные признаки к анализу фермы, приведенной
на рис. 103,а.
Вырезая узел 1, убеждаемся, что усилия в обоих стержнях, под¬
ходящих к нему, Nx_2 =^a-i = 0.
Вырезая узлы 6 и 7, видим, что в отдельно направленных стержнях
^2—6 = N3_7 = 0.
Но если N2_6 =0, то для узла 2 в отдельно направленном стерж-
не А1А_2 =0.
Так как из четырех стержней, сходящихся в узле 2, три не рабо¬
тают, то и в четвертом стержне усилие N2_3=0.
Таким образом, из всей фермы на данную нагрузку работают толь¬
ко стержни, показанные на рис. 103,6.
§ 29. ПРИМЕР РАСЧЕТА ФЕРМЫ
Требуется найти усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 104; необхо¬
димые для расчета плечи усилий указаны на рисунке (они легко находятся из подо¬
бия треугольников).
Решение.
Опорные реакции:
А = В = 1,5 т.
Усилие 0\.
Проведем разрез /—/ и отбросим правую часть фермы. Моментную точку возь¬
мем в узле 4. Предполагая усилие 0\ растягивающим, составим «уравнение:
Oi-1,2+1,5-2 = 0;
Стержень оказался сжатым.
«0

Усилие 02<
Проведем разрез II—II. Моментная точка будет в узле 5.
02-2,4 + 1,5-4- 1-2 = 0;
1,5-4— 1-2
02 = —
2,4
= — 1,667:
Стержень сжат.
Усилия U1 и U2.
Вырезая узел 4, видим, что эти усилия равны между собой. Можно найти Ui,
разлагая опорную реакцию на два направления, или же U2 при помощи разреза I—I.
Выберем последнее. Моментная точка в узле 1.
—1/2-1,5 + 1,5-2 = 0;
1,5-2
-+!г'
Рис, 104
Усилие V\.
Из равновесия узла 4:
Vi = 0.
Усилие D2.
Воспользуемся разрезом II—II. Моментная точка на левой опоре А .
ZV2,4+ 1-2 = 0;
1-2
D2 ~ —	^	=	—	0,833 т.
Раскос сжат.
Усилие V2.
Вырежем узел 2 и спроектируем силы на вертикальную ось:
— V2 — 02 cos а — 03 COS а — 1 =0;
v2 = — (02 + Оз) cos а — 1 = — (- 1,667 —1.667)-	—	1	=	+	1г-
5
Можем сделать проверку, вырезая узел 5 и проектируя усилия на вертикальную
V2 + D2 COS а + Ds COS а = 0;
+ 1 +(—0,833 — 0,833) — = 0.
5
Получается тождество.
6 Б. Н. Жемочкин
81

Результаты вычислений сведем в таблицу.
Усилия
Усили
Я В /Л
растяжение
сжатие
Ог
2,5
Ог
—
1,667
Ui
2
—
иг
2
—
V1
0
0
V2
1
—
D2
0,833
§ 30. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА
а)	Определение опорных реакций
Графически опорные реакции‘для балочной фермы определяются
так же, как и для простой балки.
В -случае вертикальной нагрузки (рис. 105,а) строим силовой и
веревочный многоугольники при произвольном полюсе. Сносим на ве¬
ревочный многоугольник опоры А и В и проводим замыкающую. Луч
82

силового многоугольника, параллельный замыкающей, отсечет искомые
опорные реакции Ra и Re.
При наклонной нагрузке (рис. 105, б) луч веревочного многоуголь¬
ника, подходящий к наклонной опорной реакции, должен быть обяза¬
тельно проведен через неподвижную опору.
На рис. 105,6 неподвижная опора слеза, поэтому первый луч прой¬
дет через точку А. Снесем по вертикали точку В и проведем замыкаю¬
щую. В силовом многоугольнике проведем из конечной точки С верти¬
каль до пересечения в D с лучом, параллельным замыкающей, и соеди¬
ним D с Е. Найдем опорные реакции Ra = ED и Rb=CD. Правильность
построения подтверждается тем, что оба многоугольника получаются
замкнутыми.
Рис. 106
Для стропильной фермы обычно легко установить положение рав¬
нодействующей нагрузки; тогда построение упрощается (рис. 106) и по¬
требуется провести только два луча и замыкающую.
Если позволяет чертеж, можно непосредственно уравновесить рав¬
нодействующую нагрузок двумя опорными реакциями, из которых одна
вертикальная (на рис. 106 показано пунктиром).
Построение основано на том, что три силы, находя¬
щиеся в равновесии, должны пересекаться в од¬
ной точке.
Найдя опорные реакции графически, полезно сделать затем про¬
верку аналитическим путем, так как от правильности нахождения опор¬
ных реакций зависит точность дальнейшего построения.
б)	Определение усилий в стержнях
Графический способ состоит в разложении силы на два направле¬
ния, или, точнее, в уравновешивании силы двумя другими, заданными
по направлениям.
Предположим, что опорные реакции фермы, приведенной на рис.
107,а, уже определены.
6*
83

Вырежем опорный узел А и построим силовой многоугольник для
сил, в нем сходящихся. Проведя линии, параллельные верхнему и ниж¬
нему поясам, найдем неизвестные усилия в стержнях 0\ и U\ (рис.
107,6). В верхнем поясе будет сжатие, в нижнем — растяжение.
Вырежем затем узел 1 (рис. 107,в). На этот узел действует задан¬
ная сила Р2 и только что найденное усилие 0\. Построим силовой
многоугольник, для чего из на¬
чала силы Р2 проведем парал¬
лельную Оь и отложим вели¬
чину усилия 0\. Из конца си¬
лы Р2 проведем параллельную
02 и из начала силы 0{ парал¬
лельную Dx до их пересечения;
в результате найдем усилия 02
и D\. Направления усилий лег¬
ко установить из чертежа.
Переходим к следующему
узлу 2. Вновь строим силовой
многоугольник. Так постепен¬
но, обходя узлы, найдем уси¬
лия во всех стержнях фермы.
Последовательность выреза-
ния узлов определяется тем,
что в каждом узле должно быть
не более ДЕух неизвестных уси¬
лий.
Очевидно, придется сде¬
лать столько построений, сколь¬
ко имеется узлов. Решение по¬
лучается сложным и не исклю¬
чающим возможность ошибок.
Поэтому на практике применя¬
ют построение взаимной диа¬
граммы у с. и л ий (называе¬
мой диаграммой Максвелла — Кремона). Усилия при этом также
определяются при помощи силовых многоугольников, ню все многоуголь¬
ники помещаются на одном чертеже. Построение ведется в определен¬
ном порядке.
в)	Построение диаграммы усилий
Сначала необходимо найти опорные реакции.
Характерным в диаграмме является обозначение внешних сил и уси¬
лий в стержнях.
Часть плоскости между двумя соседними внешними силами на схе¬
ме фермы (рис. 108,а) называется з о н о й или полем. Обозна¬
чим зоны буквами а, Ь, с,... или цифрами, обходя контур фермы по
часовой стрелке. Благодаря этому мы избавимся от необходимости вво¬
дить обозначения для внешних сил Рь Р2,... или для опорных реакций
А, В. Все силы будут обозначаться двумя буквами (или цифрами) соот¬
ветственно смежным зонам. Так, первую внешнюю силу обозначим
а—6, а вторую силу Ь—с, левую опорную реакцию i—а и т. д.
При этом, называя буквы, всегда будем обходить контур фермы п о
часовой стрелке.
Построим силовой многоугольник и поставим на нем те же буквы
(рис. 108,6). Буква, которую мы называем первой, должна стоять
Рис. 107
84

в начале силы, вторая — в конце у стрелки. Поэтому, читая силы в си¬
ловом многоугольнике, мы скажем а—Ь, а не b—a/f—g, а не g—/.
Занумеруем далее все внутренние зоны. В отличие от внешних
эти зоны на рисунке обозначим цифрами. Усилие в каждом стержне
будем обозначать двумя цифрами или буквами по смежным зонам.
Так, усилие в первой панели нижнего пояса обозначим не С/ь а /—1
или 1—/; усилие в раскосе третьей панели — не D3, а 4—5 или 5—4
и т. д. Если в силовом многоугольнике мы найдем точки 7, 2, 3,...,
соответствующие внутренним зонам, то легко можем получить усилие
в любом стержне.
Построение начнем с левого опорного узла А. Для определения
усилий b—1 и /—1 проведем в силовом многоугольнике из b линию, na¬
ff
раллельную b—1, и из i — параллельную i—1 (рис. 108,6). На пере¬
сечении получим точку 1 и измерим усилия b—1 и i—1 в. масштабе
силового многоугольника.
Силы, приложенные к узлу Л, т. е. i—a, а—6, Ъ—1 и 1—i, должны
быть в равновесии. Обходя узел по часовой стрелке, мы по¬
следовательно встречаем зоны i, а, b, 1, и Следовательно, силовой мно¬
гоугольник, построенный для узла Л, т. е. iabli, должен быть замкну¬
тым. Обойдем этот силовой многоугольник по точкам /, а, b, 1, i, поста¬
вим по ходу стрелки, которые укажут направления сил. Сила b—1 на¬
правлена вниз и влево, т. е. к узлу, и соответствует сжатию. Сила 1—i
направлена вправо, т. е. от узла, и соответствует растяжению. Сейчас же
на чертеже фермы нанесем у узла А стрелки, указывающие направле¬
ния усилий.
В диаграмме принято указывать стрелками действие стерж¬
ней на узлы: если стрелка к узлу, — сжатие; если от узла, — рас¬
тяжение.
Перенесем стрелки на противоположные концы стержней к узлам
I	и II, указывая опять действие стержней на узлы.
Переходим к узлу I. Чтобы найти усилия 1—2 и i—2 (i—1 уже из¬
вестно), надо в силовом многоугольнике провести из точки 1 прямую
1—2 и из точки i прямую i—2. Оказывается, что точки 1 и 2 совпадают-
Расстояние между ними равно нулю, следовательно, и усилие 1—2 рав¬
но нулю. Усилие же i—2 равно i—1.
«б

Отметив это усилие стрелками у узлов / и III, перейдем к узлу II.
Проведем на силовом многоугольнике с—5 из точки с и 2—3 из точки 2.
Получим точку 3. Обойдем узел II по часовой стрелке. Последова¬
тельно встретим зоны 2, У, 6, с, 3, 2. По этим же точкам обходим сило¬
вой многоугольник и ставим стрелки. Определив величины усилий с—3
и 3—2 и их направления, поставим стрелки на чертеже фермы у
узла II.
Перенесем их на противоположные концы стержней и исследуем
затем узел III. Подобным же образом обойдем зсе узлы фермы.
о
Каждому узлу фермы будет соответствовать
свой замкнутый силовой многоугольник; каждой
же зоне фермы будет
соответствовать точка
в силовом многоуголь¬
нике.
Сделав все построение и
найдя последнюю точку 10, мы
должны получить в силовом
многоугольнике линию 10—g
параллельной верхнему поясу
фермы.
На практике вследствие
нарастания погрешностей всегда получается некоторая невязка, которую
следует «разогнать» — увязать. Удобнее начать построение слева и, дой¬
дя до середины, найти точку 6> потом сделать построение управа и опять
найти ту же точку, после чего уничтожить невязку.
На рис. 109 приведено построение диаграммы для случая наклон¬
ной нагрузки. Как видим, точки 6, 7, 3, 9, 10 совпадают. Это значит
что усилия 6—7, 7—8, 8—9 и 9—10 равны нулю:
Обычно одна и та же ферма рассчитывается на различные нагруз¬
ки (собственный вес, вес снега, давление ветра слева, давление вет¬
ра справа), и в результате для каждого стержня определяются макси¬
мальное и минимальное усилия. В этих случаях для всех диаграмм сле¬
дует установить одинаковую нумерацию зон. Так и сде¬
лано на рис. 109. Очевидно, на силовом многоугольнике точки e, f, g, h
должны совпадать.
При построении диаграммы для фермы Пол он со (рис. 110)
должно встретиться затруднение в узлах К и L, так как здесь придется
$б

разлагать силу не на два, а на три направления, что невозможно. По¬
этому необходимо сначала найти аналитически усилие в затяжке N. Это
усилие следует приложить к ферме, как внешнюю нагрузку, и далее
делать построение обычным порядком.
Диаграмма чрезвычайно удобна для расчета стропильных ферм и
на практике применяется очень часто, так как избавляет от утоми¬
тельных вычислений, связанных с аналитическим способом.
§ 31. линии влияния
При расчете фермы на подвижную нагрузку целесообразно приме¬
нить линии влияния.
Линией влияния какого-либо усилия в ферме называется график,
показывающий закон изменения этого усилия в зави¬
симости от положения единичного груза. Легко ус¬
тановить, что ординаты линий влияния усилий должны быть выражены
в отвлеченных мерах, так как, умножая грузы в тоннах на ординаты под
ними, мы должны получать усилия в тоннах же.
Предположим, что требуется построить линии влияния для фермы,
приведенной на рис. 111,а. Эти линии влияния строятся, конечно, для
вертикальных нагрузок.
а) Линии влияния опорных реакций
Известно, что опорные реакции в балочной ферме определяются
так же, как для однопролетной балки. Поэтому линии влияния этих
реакций не отличаются от линий влияния опорных реакций балки.
б)	Линия влияния усилия 02
Для того чтобы определить это усилие, следует провести разрез
/—/ (рис. 111,6), взять моментную точку на пересечении двух остальных
разрезанных стержней в К\ и составить уравнение, выражающее условие,
что момент всех сил, приложенных к левой части фермы, равен нулю.
Где бы ни располагалась нагрузка, уравнение будет:
<Vi + Мк, = 0.
Отсюда:
О.—^	(38)
Если бы была построена линия влияния момента относительно
точки К\ для балки того же пролета, что и ферма, то можно было бы,
пользуясь ею, получить величину момента при любом положении груза,
а разделив момент на плечо гь найти и усилие 02. Ясно, что линия
влияния 02 должна отличаться от линии влияния Мк только тем, что
ее ординаты в г\ раз меньше.
Для построения линии влияния Мк следовало бы отложить под
левой опорой а\. Теперь же отложим — , проведем прямую к точке под
ri
правой опорой, снесем К\ и соединим с точкой под левой опорой. В ре¬
зультате получим линию влияния усилия 02. На всем ее протяжении
ординаты будут отрицательны, что видно из формулы (38). Вообще в
балочной ферме от нагрузки, направленной вниз, верхний пояс сжат.
87

Рис. Ill
Я8

Проведением правой и левой ветвей линии влияния, как правило,
построение не заканчивается. Нагрузка на ферму всегда узловая, поэто¬
му надо на линию влияния снести узлы и между ними провести прямые.
В данном случае сноска узлов ничего не меняет.
в)	Линия влияния усилия и2
Воспользуемся тем же разрезом I—I. Моментной точкой теперь
будет точка Кг- Отбрасывая правую часть фермы, составим уравнение:
	U2^2 + Млга = 0.
Отсюда:
м
U2 = +	(39)
^2
Из формулы (39) следует, что линия влияния U2 получится из ли¬
нии влияния Мк^, если все ее ординаты разделить на г2.
Поэтому отложим у левой опоры — проведем прямую к правой
“ Г2
опоре, снесем точку Кг и соединим с левой опорой. Ординаты линии
влияния будут положительными. Перенос узлов на линии влияния не
отразится.
г)	Линия влияния усилия D2
Разрез /—/ используем снова. Моментной точкой будет Кг — за
пределами фермы на пересечении Ог и U2.
Уравнение:
D2r з + Мк3 = 0.
D2= —	(40)
Г 3
Опять поступим так же, как и раньше. Отложим у левой опоры —
гз
проведем прямую к точке под правой опорой, снесем /Сз и соединим с
точкой под левой опорой. Точка Къ находится за пределами пролета,
сносить ее нужно на продолжение правой ветви.
Затем снесем узлы. Правая ветвь действительна только от правой
опоры до узла К\9 т. е. до правого узла разрезанной панели. Действи¬
тельно, если груз перейдет в эту панель, то одна его составляющая
окажется уже слева от разреза, между тем правой ветвью можно поль¬
зоваться только, если груз справа от разреза.
Аналогично устанавливаем, что левая ветвь действительна от ле¬
вой опоры до левого узла разрезанной панели. Таким образом, следует
сносить на линию влияния левый и правый узлы разрезанной панели.
После переноса узлов соединим полученные точки прямой.
Формула (40) не дает указания о знаке, так как момент сил, при¬
ложенных к левой части фермы, относительно точки Кг может быть
и положительным, и отрицательным. Надо пойти другим путем. Оче¬
видно, что достаточно установить знак хотя бы для одной ординаты-
Предположим, что груз стоит где-либо справа от разреза. Отбро¬
сим правую часть фермы и рассмотрим условия равновесия левой
(рис. 111,6). Из внешних сил к ней приложена только опорная реак¬
ция, которая стремится в<ращать эту часть фермы относительно мо-
89

ментной точки против часовой стрелки. Поэтому усилия в разрезанных
стержнях должны для равновесия давать момент по часовой стрелке.
Но моменты усилий 02 и U2 относительно точки Кг равны нулю. Отсюда
следует, что D2 должно быть направлено вправо и вниз и соответство¬
вать растяжению стержня.
Итак, когда груз справа, раскос растянут. Следовательно, под гру¬
зом ордината положительная. Правая часть линии влияния имеет знак
плюс, левая — минус.
д)	Линия влияния усилия V\
Проведем разрез II—II. Моментная точка опять в Кг- У левой
опоры отложим теперь — В остальном построение подобно предыду-
Г4
щему. При переносе узлов учтем, что правая ветвь действительна от
правой опоры до правого узла разрезанной (второй) панели; левая —
от левой опоры до левого узла. Если бы нагрузка на ферму была при¬
ложена в верхних узлах, то правая вехвь была бы действительна до
правого узла первой панели, так как он находится справа от разреза.
Вообще устанавливаем правило:	надо	сносить	узлы
разрезанной панели того пояса, к которому при¬
ложена нагрузка: правый узел — на правую ветвь,
левый — на левую.
Знаки устанавливаем тем же приемом, что и в предыдущем случае.
е)	Линия влияния усилия Dz
Проведем разрез III—III. Моментная точка бесконечно удалена,
поэтому составим уравнение проекций на вертикальную ось:
Aucos а + Q = 0.
D3 =	Я-	(41)
COS а
Линию влияния />з получим из линии влияния поперечной силы
делением всех ординат на cosa.
Отложим у левой опоры 	, проведем прямую к правой опоре
COS а
и ей параллельную от левой опоры. Снесем узлы и установим знаки.
ж)	Линия влияния усилия V3
Для нахождения усилия Уз надо вырезать узел 3 (разрез IV—IV).
Если груз будет стоять в узле 3, усилие V3 = 1; под узлом 3 отложим
ординату, равную единице. Груз, находящийся слева от узла 2 или
справа от узла 4, не вызывает усилия в стойке. Поэтому под узлом 2
и левее, а также под узлом 4 и правее все ординаты равны нулю. Меж¬
ду узлами 2 и 3 и между узлами 3 и 4 проведем прямые.
Линия влияния будет иметь вид треугольника, захватывающего
только две панели.
Разберем еще построение линий влияния усилий в стержнях консоли кон¬
сольно-балочной фермы (рис. 112).
Линия ВЛИЯНИЯ усилия U1
Проведем разрез /—I. Моментная точка — К\. Если груз стоит слева от
узла 0, стержень U\ не работает. Усилие в нем появится, когда груз будет справа от
узла 0. Отбросим левую часть и рассмотрим условия равновесия правой.
90

Уравнение:
Ui r1 + MKt = 0.
Uy-
М„
Момент относительно точки К\ изменяется по закону прямой, имеющей нулевую
ординату под К\. При расположении груза на конце консоли момент от единичного
„ Cl
груза равен 1 . С\. Поэтому отложим у конца консоли ординату — и проведем прямую
/ Л
Рис. 112
через точку под узлом К\. На всем протяжении линии влияния ординаты будут отри¬
цательными. Перенос узлов в данном случае не изменит линии влияния.
Линия влияния усилия V\
Проведем разрез II—II и отбросим левую часть фермы. Моментная точка
будет /С2.
Уравнение:
-	Vs + Al,f-0.
Момент изменяется по закону прямой, имеющей нулевую ординату под /С2. Если
груз станет на конце консоли, то Мка =—1 • с2. Поэтому отложим на конце консоли
зниз — и проведем прямую через точку на оси, находящуюся под /С2. Затем снесем
Г 2
узлы разрезанной панели нижнего пояса (так как нагрузка приложена к нижнему
поясу). Правый узел надо снести на проведенную прямую; левый узел — на ось, так
как при положении груза в узле /, а также левее, стержень не работает.
9>

Все ординаты будут отрицательными. В самом деле, если груз стоит где-либо
на консоли, то он стремится повернуть вырезанную часть фермы относительно К2 про¬
тив часовой стрелки. Следовательно, надо приложить усилие V\ так, чтобы оно вра¬
щало по часовой стрелке, т. е. вверх; такое направление соответствует сжатию.
Линия влияния усилия Dz строится аналогично.
Умея строить линии влияния усилий в стержнях балочной фермы и в стержнях
консоли консольно-балочной фермы, а также линии влияния »усилий для многопролет¬
ных балок, можем решать и более сложные задачи. На рис. ИЗ построено несколько
линий влияния для более сложной консольно-балочной фермы.
Определение усилий по линиям влияния выполняется
уже известными нам приемами. Если нагрузка сосредоточенная, еле-
» I
л4«гт
£
*
I	N
-J	а.
*4V
ПППин
! ' ' !
1 I I
1 » !
1 1
1 1
i ! !
Рис. 113
дует умножить величины грузов «а длины ординат под .ними с учетом
знаков и результаты сложить. Если нагрузка равномерно распределен¬
ная, нужно площадь, ограниченную линией влияния в пределах загру-
жения, умножить на интенсивность нагрузки.
В том случае, когда задана ©ременная равномерно распределенная
нагрузка, необходимо для получения максимального усилия распола¬
гать ее <на положительных участках линии влияния, а для минимального
на отрицательных.
§ 32. АНАЛИЗ БАЛОЧНЫХ ФЕРМ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ
Для того чтобы иметь возможность в каждом частном случае удачно
выбрать тип фермы, необходимо ознакомиться в общих чертах с харак¬
теристиками ферм, установить влияние очертания поясов и системы ре¬
шетки на усилия и выяснить условия, при которых целесообразно приме¬
нение того или иного типа.
С этой целью произведем сравнительный анализ наиболее характер¬
ных балочных ферм: спараллельны мл поясами, п а^а боли-
ческой и треугольной.	\
\
92

Для облегчения анализа на рис. 114 приведено построение несколь¬
ких линий влияния усилий 'в стержнях таких ферм1. Для этих ферм при¬
нято одинаковое отношение пролета к высоте	Все	линии влияния
построены в одном и том же масштабе.
2,63
Рис. 114
Рассматривая линии влияния и сравнивая их между собой, можем
сделать некоторые выводы о знаках и о величине усилий.
а)	Знаки усилий
Если нагрузка вертикальная и направлена сверху вниз, то ниж¬
ние пояса ферм растянуты, верхние сжаты. Здесь пол¬
ная аналогия с простой балкой, в которой нижние волокна растянуты,
верхние сжаты.
Предполагая последовательную установку груза в различных узлах,
убеждаемся, что в фермах параболических и с параллельными поясами
раскосы, нисходящие к грузу, растянуты, а восхо¬
дящие сжаты. Так, например, если груз стоит в узле 4 фермы с
параллельными поясами, то раскосы в 1-й, 2-^rZ^~S:1Ьи 6-й панелях
растянуты, раскос в 4-й панели сжат.
1 Линии влияния построены в целях упрощения чертежа только для нижних поя¬
сов. Для верхних поясов линии влияния в общем будут иметь примерно такой же вид,
но ординаты их будут отрицательными.
93

Это правило сохраняет силу для всех ферм, находящихся по очер¬
танию поясов между фермой с параллельными поясами и треугольной.
Последняя ферма является границей: если груз справа от раскоса, на¬
ходящегося в левой половине, раскос не работает; если груз слева, рас¬
кос, как и в других фермах, сжат.
В стойках знаки усилий противоположны знакам усилии
в раскосах.
При загружении всего пролета равномерной нагрузкой в ферме спа-
раллельными поясами и вообще во всех фермах, находящихся по
очертанию поясов между нею и пара¬
болической, нисходящие к сере¬
дине п.ролета раскосы растя¬
нуты. Если изменить направление
раскосов и сделать их восходящими к
середине, то при полном загружении
они будут сжаты.
В параболической ферме по¬
ложительные и отрицательные пло¬
щади, ограниченные линиями влияния раскосов равны
между собой, а потому при полном загружении пролета равномерной
нагрузкой раскосы не работают.
В треугольной ферме и во всех фермах, находящихся между
нею и параболической, картина обратная: нисходящие к середи¬
не раскосы сжаты.
Если в треугольной ферме изменить направления раскосов (рис.
115), то при полном загружении равномерной нагрузкой они будут рас¬
тянуты.
В металлических фермах выгодно делать сжатые элементы коротки¬
ми, чтобы уменьшить влияние продольного изгиба. В простейших дере¬
вянных фермах из бревен или брусьев лучше иметь короткие растянутые
элементы (так как они состоят из металлических тяжей); для сжатых
элементов продольный изгиб не опасен ввиду их больших сечений.
Поэтому для металлических треугольных ферм больше под¬
ходят восходящие раскосы (рис. 115), а для деревянных —
нисходящие. При проектировании деревянных ферм из досок вопрос
о направлении раскосов особого значения не имеет.
б)	Величины усилий
Усилия в поясах существенно зависят от отношения длины пролета
фермы к ее высоте. У си л и я в поясах более высокой фермы
меньше, чем низкой, при одном и том же пролете.
Сравнивая площади линий влияния в различных фермах на рис. 114,
можно отметить следующее.
В ферме с параллельными поясами усилия в -поясах больше
в средних панелях и меньше в крайних. В решетке (раскосах и стойках)
усилия, наоборот, больше в крайних панелях.
В параболической ферме площади лйний влияния усилий в
прямолинейном поясе равны между собой. Поэтому при загружении
всего пролета равномерной нагрузкой усилия вЬ всех панелях прямоли¬
нейного пояса одинаковы. В параболическом поясе усилия немного воз¬
растают к опорам. В этом случае, как уже отмечено, раскосы не рабо¬
тают. Стойки же работают только на местные нагрузки (если нагрузка
по нижнему поясу). Вообще при полном загружении параболи¬
94

ческой фермы равномерной нагрузкой она ведет себя как арка
с затяжкой, а в такой арке, как мы знаем, кривая давления совпадает с
осью арки, т. е. с верхним поясом. Конечно, при других нагрузках рас¬
пределение усилий должно быть иным, но все же характерным для пара¬
болической фермы остается приблизительное равенство усилий в разных
панелях поясов и 'незначительность усилий в (решетке.
В треугольной ферме пояса больше работают в крайних пане¬
лях и меньше в средних. В решетке усилия больше в средних панелях.
Величины усилий в стержнях отражаются на размерах йх сече¬
ний и IB конечном итоге — на количестве материала, необхо¬
димого для изготовления элементов ферм.
Сделанные нами замечания наглядно подтверждаются эпюрами
материала, приведенными в нижней части рис. 114. Здесь ширина
каждой заштрихованной полосы дает в определенном масштабе теоре¬
тическую площадь сечения соответствующего стержня.
в)	Пределы применимости ферм различных типов
На основании сделанного анализа можно в общих чертах судить о
применимости различных ферм в различных условиях.
Недостатком ферм с параллельными поясами является край¬
няя неравномерность в отношении величины усилий. Это заставляет ме¬
нять сечения поясов в каждой панели и делать стыки в каждом узле.
При проектировании возникают затруднения в центрировании узлов
ввиду большой разницы сечений в смежных панелях. Кроме того, в край¬
них панелях на элементы решетки затрачивается излишний материал.
По этим причинам фермы с параллельныш^тюясами целесообразно
применять только при небольших пролетахУкогда вопросы экономии
материала отходят на задний план, и можцо пояса (а иногда и решет¬
ку) выполнять из стержней одинаковых сечений без стыков в узлах.
Такие фермы пригодны, например, для кранов и подкрановых
балок промышленных цехов пролетом примерно до 10—15 м (рис. 116;
здесь в целях экономии высоты помещения в крайних панелях крановой
95

mm
Рис. 118
фермы стержни нижнего пояса сделаны наклонными), для всевозмож¬
ных соединительных галерей между корпусами и т. п.
В мостах фермы с па¬
раллельными поясами нахо¬
дят применение при проле¬
тах до 40—50 м главным
образом из-за удобства рас¬
положения поперечных свя¬
зей.
Для больших пролетов
выгоднее фермы парабо¬
лические или близ¬
кие к ним по очертанию.
Материал в них распреде¬
ляется наиболее целесооб¬
разно. Сечения поясов поч¬
ти одинаковы, решетка
очень легкая.
Некоторым недостатком
параболических ферм явля¬
ется то, что они требуют
стыков параболического по¬
яса в каждом узле. Этот не>
достаток легко устраняет¬
ся в полигональных
фермах (рис. 117), в кото¬
рых только некоторые из узлов лежат на кривой ('параболе или другой
кривой), а остальные — на прямых участках. Таким образом, стыки
приходится делать только в узлах с пе¬
реломами. По характеру своей работы
полигональные фермы мало отличаются
от параболических.
Параболические и полигональные
фермы нашли применение в мостах про¬
летом примерно до 100—150 м ив качест¬
ве стропильных в зданиях большой шири¬
ны: в промышленных цехах, рынках, вок¬
залах и т. п. (рис. 118).
В треугольных фермах мате¬
риал распределяется, наиболее неэконо¬
мичным образом. Кроме того, возникают
затруднения при конструировании опор¬
ных узлов, так как пояса пересекаются
здесь под острым углом, усилия же в них
значительные. Поэтому конструктивно
более целесообразны фермы с опорными
стойками (рис. 119, на котором изобра¬
жена сборная ферма из железобетонны
элементов с предварительным напряре¬
нием).
Треугольные фермы по необходимости приходится применять
только для стропил, когда выбор очертания фермы диктуется характе¬
ром крыши, представляющей две плоскости. При больших пролетах
можно крыши устраивать с переломами; в этих случаях обычно пере¬
ходят к параболическим и полигональным фермам.
•' <•; " .* V '•> |
шшт
- J. -л
Рис. 119
96

о
—J
Рис. 120
Рис. 121
т2т/н
Рис. 123

§ 33. ЗАДАЧИ
1.	Найти аналитически и графически опорные реакции для ферм рис. 120, а и б.
2.	Для ферм рис. 121,а и б построить диаграммы усилий.
3.	Определить аналитически усилия в стержнях, отмеченных крестиками, ферм
рис. 122,а и б.
4.	Отметить неработающие стержни в фермах рис. 122,в и г.
5.	Построить линии влияния усилий в стержнях, отмеченных крестиками, ферм
рис. 123,а и б.
6.	Вычислить при помощи линии влияния максимальные и минимальные значения
усилий от временной подвижной нагрузки в стержнях, отмеченных крестиками, фер¬
мы рис. 123, вв

Г Л А В А VI
ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРОЧНЫЕ ФЕРМЫ
§ 34. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Как уже отмечалось, если сплошные диски трехшарнирной арки
заменим фермами, то получим трехшарнирную арочную фер¬
му (рис. 124,а).
Термин «трехшарнирная»
принят условно, так как шар¬
ниров в ферме, конечно, не три,
а гораздо больше. Этим наз¬
ванием только подчеркивается,
что по характеру своей рабо¬
ты ферма подобна трехшар¬
нирной арке; подразумеваются
те три шарнира, которые пред¬
определяют такой характер, а
именно опорные шарниры и
средний шарнир в пролете.
Трехшарнирная арочная
ферма, как и арка, является
распорной системой; ее
опорные реакции при верти¬
кальной нагрузке наклонны.
Соединяя в себе свойства
арок и ферм, трехшарнирные
арочные фермы пригодны для
перекрытия больших
пролетов, причем отлича¬
ются легкостью и изяществом.
Поэтому они имеют самое ши¬
рокое применение как в мос-
тостроительстве, так и для пе¬
рекрытия зданий.
В целях облегчения опор¬
ных конструкций, если позво¬
ляют габариты, трехшарнир¬
ные арочные фермы устраива¬
ют иногда с затяжками.
В мостах проезжая часть
располагается или сверху фер¬
мы (рис. 124,6), или снизу
(рис. 124,в).	'	Рис. 124
99

Рис. 125
Рис. 126

В гражданских сооружениях верхний пояс решают кри¬
волинейным или ломаным, что упрощает устройство кровли (рис.
124,г).
Как правило, стержни арочных ферм делают прямыми и только
узлы располагают на кривой. В исключительных случаях криволиней¬
ные пояса состоят из криволинейных же стержней. Такое решение
встречается в фермах некоторых городских мостов, где оно вызывается
архитектурными требованиями, и в некоторых деревянных стропильных
фермах, где оно удобно по конструктивным соображениям.
На рис. 125 показан трехшарнирный арочный мост. На рис. 126 —
трехшарнирная арочная ферма перекрытия физкультурного зала в Мос¬
ковском архитектурном институте.
§ 35. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОЧНЫХ ФЕРМ
а)	Аналитический способ расчета
Сначала найдем опорные реакции/Для определения вертикальной
составляющей левой опорной реакции Vа (рис. 127) следует взять мо¬
мент всех внешних сил относительно правой опоры, а для определения
вертикальной составляющей правой опорной реакции — относительно
левой опоры.
Таким образом:
Va = ^~;	(42)
мА
Vb = -f--	(43)
Распор, как и в трехшарнирной арке:
м°
Н ~ — .	(44)
Для определения усилия положим 03, сделаем разрез /—/. возь¬
мем моментную точку К\ на пересечении двух остальных разрезанных
стержней и составим уравнение, выражающее условие, что момент efcex
101

сил, действующих на левую часть фермы, относительно моментной точки,
равен нулю. При этом обратим внимание, что момент силы Vа и левых
нагрузок представляет не что иное, как момент для простой балки; мы
обозначим его через М0К :
+ 03гх Н-Ма-, — Нух = 0.
Отсюда:
Mi-Hyr
03=			-.	(45)
Г1
Следовательно, усилие 03 определяется, так же как для балочной
фермы, делением момента относительно моментной точки на плечо уси¬
лия. Но момент надо брать не для балки, а для трехшарнирной арки с
учетом распора.
Для определения усилия D3 воспользуемся тем же разрезом. Мо¬
ментная точка будет /Сг-
Уравнение:
Отсюда:
— Dzr2 +	— Ну2 = 0.
м°к —Ну о
D3 = —£	—.	(46)
Под М*к подразумевается момент	от Vа	и нагрузок, расположен¬
ных	слева от разреза (а не слева	от К2)	относительно	моментной
точки.
Если пояса параллельны между собой, то для определения усилия
в раскосе необходимо спроектировать	силы,	действующие	слева от
разреза, на ось, перпендикулярную поясам.
б)	Графический способ расчета
Расчет следует начинать с нахождения опорных реакций, что вы¬
полняется совершенно так же, как и для трехшарнирной арки. Эти
реакции мы приложим к нижним узлам, после чего построим обычную
диаграмму усилий.	,2
На рис. 128 приведен пример построения диаграм¬
мы для несложной фермы.

Если ферма имеет затяжку, то усилие в ней определяется анали¬
тически из уравнения равновесия относительно среднего шарнира
Н =
(47)
Приложив это усилие к нижним узлам, можно приступить к по¬
строению диаграммы.
в)	Линии влияния
На основании формул (42) —
(44)	заключаем, что линия влия¬
ния вертикальных составляющих
опорных реакций и распора для
трехшарнирной арочной фермы не
должны отличаться от соответст¬
вующих линий влияния для арки.
Анализируя далее формулы
(45)—(46),	видим, что линии вли¬
яния усилий в стержнях трехшар¬
нирной арочной фермы можно по-.
лучить из линий влияния момен¬
тов в трехшарнирной арке, если
все ординаты линий влияния раз¬
делить на плечи усилий. В отдель¬
ных случаях при параллельных
поясах могут быть использованы
линии влияния поперечных сил*
На рис. 129 приведено по¬
строение некоторых линий влия¬
ния для трехшарнирной арочной
фермы‘ /
При построении линии влия- л<'*гв
ния усилия U5 следует принять
моментную точку Ки отстоящую
по горизонтали на расстояние а\
от левой опоры; плечо усилия
равно гь
Воспользуемся нулевой точ¬
кой. Проведем прямую АК\ через
левую опору и моментную точку
до пересечения в 0\ с прямой ВС.
Снесем 0\ на ось линии влияния
и проведем прямую к вершине
• ai	.	лШ	£
				. м	а	г

ординаты, равной-
под левой
опорой. Эта прямая будет правой
ветвью линии влияния. Снесем на
нее моментную точку и построим
левую ветвь. Снесем на правою
ветвь средний шарнир и соединим
с точкой на оси под правой опо¬
рой.
При построений линии влия¬
ния усилия в раскосе Ds момент¬
ная точка будет /Сг. Так как пря¬
мые АК2 и ВС пересекаются спра¬
ва от среднего шарнира, нулевая
точ1ка должна быть мнимой. Она
нужна только для построения, но
при постановке груза над нуле¬
вой точкой усилие не будет равно
нулю.
Снесем 02 на ось линии
"М т:
Рис. 129
влияния и проведем правую ветвь на вершину опорной ординаты —. На продолжение
Г 2
правой ветви снесем моментную точку К2 и приведем левую ветвь. От среднего шарни-
103

ра до правой опоры линия влияния будет ограничена прямой. Останется снести на ли
нию влияния узлы разрезанной панели того пояса, к которому приложена нагрузка.
Знаки ординат линии влияния D$ установим путем таких рассуждений.
Предположим, что груз расположен где-либо в правой части фермы. Тогда левая
опорная реакция будет направлена по линии АС и будет вращать левую часть фермы
(от опоры до разреза) относительно Кч. по часовой стрелке. Значит, надо так прило¬
жить усилие D5, чтобы оно вращало левую часть фермы против часовой стрелки. Оче¬
видно, его следует направить влево и вниз. Поэтому заключаем, что, когда груз рас¬
положен справа, раскос сжат; в правой части линии влияния ординаты отрицательные.
§ 36. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Система, состоящая из двух ферм, соединенных в середине пролета шарниром,
и шарнирной арки, относится к числу комбинированных. Арка может располагаться над
фермами, которые к ней подвешены (рис 130,а), или под ними (рис. 130,в).
Расчет комбинированных систем имеет много общего с расчетом трехшарнирных
арочных ферм.
Вырезая часть арки в той или другой системе (рис. 130,аив), можем заметить,
что горизонтальная проекция усилий во всех стержнях одной и той же арки одинакова,
независимо от положения нагрузки. В обеих системах стержни арок сжаты.
104

В комбинированной системе, показанной на рис. 130,а, при вертикальной нагрузке
опорные реакции направлены вертикально и определяются так же, как для обыкновен¬
ной однопролетной балки.
Горизонтальную проекцию Н усилий в стержнях арки найдем, сделав разрез
I—I и отбросив правую часть. Разложим в точке С' усилие разрезанного стержня
арки на вертикальную и горизонтальную (равную Н) составляющие, учитывая, что
этот стержень сжат. Напишем уравнение, выражающее условие, что момент всех сил,
приложенных к левой части относительно шарнира С, равен нулю. При этом момент
левой опорной реакции и нагрузок слева от разреза обозначим через Mq , так как он
равен изгибающему моменту однопролетной балки. Получим:
—н/+м°с = 0.
Отсюда:
/7=-^.	(48)
Так как результат положительный, уберкдаемся, что действительно в арке возни¬
кают усилия того знака, как мы предполагали, т. е. сжимающие.
Рассчитывая комбинированную систему рис. 130,в, продолжим крайние стержни
арки до пересечения с вертикалями, проходящими через опоры А и В. Направления
опорных реакций арки должны совпадать с направлениями ее крайних сжатых
стержней.
Заменим опорную реакцию на левой опоре составляющими V а и Н.
Составив (уравнение равенства нулю моментов относительно точки В\ можем
найти сумму вертикальных реакций арки Vа и фермы V а
(v'a + v'a)i-MB= о,
откуда:
Уа-У'а+К-'-Г'	(49)
Таким образом, суммарные вертикальные реакции определяются так же, как и
для балки.	%
Проведем теперь разрез I—I (рис. 130,в) и возьмем сумму моментов всех сил»
расположенных слева от разреза, относительно С.
Усилие разрезанного стержня арки разложим в точке С' на вертикальную и го¬
ризонтальную составляющие. Момент опорной реакции Vа = Vа + ^а и нагрузок
слева от разреза обозначим через так как это изгибающий момент однопролетной
балки. Получим:
Нг — Н(/+г) + М°с = 0.
Отсюда:
м°г
H =	(50>
Из формул (48) и (50) видно, что горизонтальные проекции усилий
в стержнях арки комбинированно* системы определяются совершенно аналогич¬
но распору трехшарнк /ой арки или трехшарнирной арочной фермы.
После определения Я можно отдельно получить вертикальную составляющую
опорной реакции арки (рис. 130,в):
Va = H tge.	(51)
где а —угол наклона крайнего стержня арки к горизонту.
Следовательно:
V"a=Va-V'a = Va-H tga.	(52)
Усилия в подвесках системы, приведенной на рис. 130,а, и в стойках системы
рис. 130,в можно определить, вырезая узлы арки и проектируя усилия на вертикаль¬
ную ось.
105

Ют
I	I	i
W-2" -'-2* —4»-?*ч
\-	в»	A
106

В первом случае (рис. 130,6):
52	sin <р2 — S3 sin <р3 — Л/'г = 0,
«ли:
Я	Я
	sin <р2 —	sin — ЛГ2 = 0,
COS <f2	coscpз
откуда:
N2 = H (tg ч>2 —tg <рз).
Во втором случае (рис. 130,г)
53	sin 9з — S4 sin <р4 4~ N3 = 0,	(53)
или:
Я	Я
	sin <Рз —	sin ср4 + А^з = 0;
cos ср3	cos ср4
Мз = — Н (tg Ъ — tg ср4).	(54)
Покажем, как определяются усилия в стержнях. Для каждого достаточно найти
усилие Us фермы рис. 130,в.
Проведем разрез Я—//. Моментную точку возьмем в К\. Усилие разрезанного
стержня арки разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие в точке
/<1 под моментной точкой К\. Приравняем нулю сумму моментов всех сил, прило¬
женных слева от разреза, относительно К\. При этом момент опорной реакции Vа —
= Уа^~^а и нагрузок, равный изгибающему моменту однопролетной балки, обозна¬
чим
Получим:
Отсюда:
-	Ush+M°Kl + Hv-H(y+v) = 0.
Ml —Ну
Us = —\	-	(55)
н
Для определения усилия в раскосе при параллельных поясах возьмем проекцию
сил на вертикальную ось.
Таким образом, очевидно, что определение усилий в стержнях фермы
комбинированной системы аналогично определению усилий в стержнях
трехшарнирной арочной фермы.
§ 37. ЗАДАЧИ
1.	Определить аналитически и графически вертикальные составляющие реакций
.и распор в трехшарнирной арочной ферме рис. 131,а.
2.	Определить аналитически усилия в отмеченных стержнях фермы рис. 131,6.
3.	Построить диаграмму усилий для фермы рис. 131,в.

ГЛАВ А VII
ВИСЯЧИЕ И ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
§ 38. ВИСЯЧИЕ ФЕРМЫ
Стержни поясов арочных/ферм работают преимущественно на ежа*
тие, и при подборе их сечений приходится учитывать возможность про¬
дольного изгиба. Сжатые стержни должны быть больших сечений, чем
растянутые такими же силами. Поэтому в целях экономии желательно
иметь вместо сжатых растянутые стержни. Это достигается в ви¬
сячих системах.
Пример висячей системы приведен «а рис. 132. Она представляет
собой не что иное, как опрокинутую трехшарнирную арочную ферму, и
отличается от последней тем, что распор (горизонтальная реакция) на¬
правлен не внутрь, а, наоборот, — наружу. Проезжая часть, состоящая из
ряда шарнирно соединенных балок, подвешена к арочной ферме. Опора¬
ми ферм служат массивные пилоны.
Если такая система применяется для моста, то в пилонах между
двумя параллельными фермами должен быть оставлен проезд.
Расчет приведенной на рисунке висячей системы может быть выпол¬
нен как трехшарнирной арочной фермы.
Пилоны, подвергаясь значительным горизонтальным силам, должны
быть достаточно мощными. Для уменьшения объема пилонов применяют
оттяжки. Это выполнено в системе, приведенной на рис. 133.
Здесь арочная ферма заменена обратной аркой в виде цепи, фермы
же перенесены вниз и связаны с проезжей частью.
108

Рис. 133

В результате получается комбинированная система, совершенно аналогичная си¬
стеме, приведенной раньше на рис. 130,в; однако здесь вся схема перевернута.
Усилия в стержнях цепи имеют одинаковую горизонтальную проекцию, равную
распору Н.
Для определения опорных реакций следует разложить усилия в крайних стерж¬
нях цепи на горизонтальные и вертикальные составляющие в точках А' и В'
Из условия равенства нулю моментов относительно точки Вг получим:
Mr
va = va + va=—.
(56)
Для определения распора проведем разрез I—/, разложим усилие S5 в точке С' и
возьмем сумму моментов относительно узла С:
Hz—H(z+f)+M°c = 0.
Отсюда:
Н =
/
н
му
Усилие в цепи положим S*:
S4 =
COS <р4	/ COS<p4
Линия влияния S4, приведенная на рис. 133, имеет вид треугольника.
(57)
(58)
Для определения усилия £/з следует провести разрез II—II, взять моментную
точку в /Ci и составить уравнение равновесия, разложив предварительно S2 в точке К[!
-Ush + M°Ki + Hv-Н (у + v) = 0.
• Отсюда:
мк — Ну
U3 =	(59)
h
Для построения линии влияния усилия £/з, как видно из формулы (59), следует
построить сначала линию влияния момента простой балки, у которой ординаты раз-
у
делены на h, и линию влияния распора Н с ординатами, умноженными на *т , а затем
h
наложить одну линию влияния на друпую. Построение упрощается применением ну¬
левой точки, которая лежит на пересечении прямых Л'/С' и С'В'.
На рис. 133 приведено построение и линии влияния усилия в раскосе D4. Здесь
нулевая точка мнимая.
Как видим, линии влияния для данной фермы имеют много общего с линиями
влияния для трехшарнирной арочной фермы.
Особенностью приведенной системы является то, что наиболее на¬
груженная часть — цепь — работает исключительно на растяжение. Это
ПО

позволяет лучше использовать материал. Сжатые элементы — пилоны—
расположены на берегу, их вес не передается на пролетное строение.
Поэтому висячие системы вообще отличаются относительно малым
собственным весом и находят широкое применение в цепных
мостах больших пролетов. В них верхняя обратная арка пред¬
ставляет или цепь с шарнирами в узлах, или же стальной канат из боль¬
шого числа (нескольких тысяч) проволок.
Иногда к цепи подвешивают не ферму, а балку, называемую бал¬
кой жесткости (рис. 134).
Рис. 135
Если в такой балке уничтожить средний шарнир, система станет
статически неопределимой.
Как пример системы, состоящей из цепи и балки жёсткости, при¬
ведем Крымский мост в Москве через р. Москву (рис. 135).
§ 39, ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
В разобранных выше системах все же имеются стержни, работаю¬
щие на сжатие. Естественно, возникает вопрос, нельзя ли спроектировать
ферму, в которой решительно все стержни растянуты. Такому условию
удовлетворяет вантовая ферма. В этой ферме только проезжая
часть, состоящая из балочек небольшого пролета, работает на изгиб;
стержни же самой фермы растянуты и делаются из гибких стальных тро¬
сов с высоким пределом прочности.
Вантовые фермы отличаются очень небольшим собственным весом.
Простейшая вантовая ферма приведена на рис. 136,а. В каком бы
узле ее проезжей части ни находился груз, всегда работает только пара
тросов.
В целях лучшего распределения материала обычно применяют си¬
стемы, в которых работает одновременно несколько стержней.
Ill

Такая ферма приведена на рис. 136,6.
Анализируя ее работу, найдем, что не во всех стержнях возникают
только растягивающие усилия при любом положении груза.
В стержне А — 4 при нахождении груза под узлом 4 возникает растягивающее
Р1
усилие, равное “ В этом можно убедиться, если вырезать узел 4 ,и взять момент
приложенных к нему сил относительно точки В. Поэтому средняя ордината линии
влияния усилия в стержне А—4 должна быть Если груз будет находиться под
точкой пересечения линий А — 3 и 4 — Bt то в стержне А — 4 усилие станет равным
нулю, здесь будет нулевая точка линии влияния. Если груз расположится под уз¬
лом 3 или левее, то стержень 3—4
будет растянут. Разлагая усилие
в нем на направления А—4 и
4—Bt убедимся, что стержень А—4
будет сжат.
Таким образом, линия влия¬
ния усилия А-—4 имеет и положи¬
тельную, и отрицательную части.
Поскольку тросы не могут рабо¬
тать на сжатие, нужно давать та-
Рис. 137.	кое	очертание	ферме,	чтобы не
только положительная площадь
каждой линии влияния была больше отрицательной, но чтобы расстягивающее
усилие от постоянной нагрузки было больше сжимающего
112

усилия от временной. Тогда все тросы при самом невыгодном расположении
нагрузки будут растянуты,
Несмотря на преимущества вантовых ферм, они не нашли особенно
широкого применения для мостов больших пролетов, вероятно, вследст¬
вие малой жесткости, но зато часто применяются для пешеходных мо¬
стиков. Есть случаи применения вантовых ферм для перекрытия широ¬
ких зданий, в частности ангаров (рис. 137).
На рис. 138 приведен вантовый мост через Волгу у Сталинградской
ГЭС. К четырем вантовым фермам прикреплены 8 поперечных рам, кото-
Рис. 138
рые несут тросы канатной дороги для передачи строительных материа¬
лов с правого берега на левый, а также тросы пешеходного мостика.
Пролет моста 874 м.
S Б. Н. Жемочкин

ГЛАВА VIII
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
§ 40. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ
До сих пор мы определяли усилия в элементах различных систем,
имея в виду расчет их на прочность. Но в отдельных случаях приходится
учитывать и жесткость, так как необходимо следить за тем, чтобы при
эксплуатационных нагрузках сооружения не имели бы значительных
деформаций, превышающих указанные нормами.
Поэтому нам следует теперь перейти к вопросу о деформациях,
установить способы определения перемещений (упругих) в различных
системах. Без знания этих способов нельзя в дальнейшем рассчитывать
и статически неопределимые системы.
В «Сопротивлении материалов» мы уже познакомились со способами
нахождения прогибов и углов наклона для балок. Но эти способы не¬
применимы для сложных систем. Вот почему необходимо теперь изучить
вопрос более углубленно.
Напомним сначала известное из «Теоретической механики» опреде¬
ление работы сил.
Предположим, что к точке А некоторого тела приложена сила S
(рис. 139,а). Если под влиянием каких-либо причин (например, вслед¬
ствие деформации тела) точка А переместится в положение А\ то сила S
совершит работу, равную произведению величины силы на проекцию пу¬
ти, взятую на направление силы:
Т =S-AA" = S-AA'cos*.
114

Проекцию отрезка пути на направление силы будем называть п е -
ремещением по направлению силы и обозначать буквой 8. Таким
образом, р а б о т а силы равна произведению величины
силы на перемещение по ее направлению:
T = Sb.
Заметим, что 8 — не полное перемещение, а только проекция
полного перемещения на направление силы.
Отсюда, между прочим, следует, что, если тело, на которое дейст¬
вует сила тяжести, переместить горизонтально, то сила тяжести не
совершит никакой работы, так как проекция перемещения на направ¬
ление силы будет равна нулю.
Предположим теперь, что к телу приложена пара сил (рис. 139,6),
При любом линейном перемещении момент пары не совершит работы.
При повороте же тела около какой-либо точки на угол ? работа момента
пары будет равна произведению величины момента на угол поворота:
Т = Мер.
В дальнейших выводах примем обозначение для любого силового
фактора 5, а для перемещения — обозначение 8. Поэтому во всех
случаях:
Т = S8.	(60)
Под S будем подразумевать силу, момент, интенсивность нагрузки,
наконец, группу сил, называемую обобщенной силой. Перемещение же
8 может быть линейным перемещением, углом поворота, площадью, ог¬
раниченной упругой кривой в пределах загружения равномерной на¬
грузкой, обобщенным перемещением.
Какова бы ни была размерность S, произведение S8 всегда выра¬
жается в единицах работы (тм, кгм, кгем). Если, например, 5 — сила,
выраженная в килограммах, то 8 — перемещение, выраженное в линей¬
ных единицах; если 5 — момент, то 8 отвлеченное число.
Применение универсальной формулы (60) позволит в дальнейшем
упростить выводы.
Обычно на каждую систему действует несколько сил, перемещений
же может быть бесконечное количество; поэтому для различия между
ними следует установить определенные обозначения.
Принято у 8 ставить два индекса; первый из них указывает н а-
правление или место перемещения, а второй — причину, вызвав¬
шую перемещение.
Так, в общем случае перемещение по направлению силы Sk от дей¬
ствия силы S; обозначают через bkl. При этом работа силы Sk\
T = Sk\,	(61)
Далее мы будем ставить те индексы, которые в каждом отдельном
случае более удобны. Например, для перемещения по направлению вер¬
тикальной силы V от действия горизонтальной силы Я придется принять
обозначение
Перемещение по направлению силы Хх от действия силы Х% равно В12
(не принято писать
Если перемещение по направлению силы Sk вызвано действием тем:
пературы, то обозначим его через \t-
Приняв такие обозначения, легко сможем разобраться во всем мно-,
гообразии перемещений любой системы.
8*
,116

До сих пор мы считали, что работа силы выражается произведением
величины силы на ее перемещение. Однако это не всегда так. Если пере¬
мещение по направлению какой-либо силы происходит вследствие де¬
формации, вызванной этой же силой, то работа должна быть меньше.
Дело в том, что каждую статически действующую силу мы должны
считать возрастающей постепенно от нуля до своего расчетного
значения. Если приложить силу мгновенно, то ее действие окажется не
статическим, а динамическим, вызывающим колебание упругой си¬
стемы. Таких случаев мы не будем рассматривать.
Предположим, что к балке приложена статически действующая си¬
ла, возрастающая от нуля до значения Sk (рис. 140,а). Балка получит
при этом прогиб по направлению силы — bkk
Построим график зависимости между величиной силы и прогибом
bkk (рис. 140,6). По оси абсцисс будем откладывать величину прогиба,
а по оси ординат — величину силы.
Вначале сила равна н>лю, прогиб также равен нулю. По мере уве¬
личения силы будет увеличиваться и прогиб. Мы считаем, что все явле¬
ние происходит в пределах упругости и материал балки подчиняется
закону Гука; легко видеть, что зависимость между силой и прогибом
должна изобразиться прямой линией, как и в том графике, который
чертится при изучении растяжения до предела пропорциональности.
Пусть сила Sk, возрастая, дошла до некоторого промежуточного
значения ab\ прогиб при этом будет ОЬ. Дадим силе бесконечно малое
приращение,—прогиб получит также приращение ЬЬ'.Сила аб, переме¬
стившись на величину ЬЬ\ совершит работу ab-bb' Графически эта ра¬
бота изобразится площадью прямоугольника, заштрихованного на
рисунке,—аа'Ь'Ъ. Дадим новое приращение силе; опять получим работу,
равную площади нового прямоугольника.
Легко видеть, что, когда сила достигнет величины Sky ее работа
будет равна площади всего треугольника ОАВ, т. е.:
Таким образом, если деформация вызвана силой, возрастающей по¬
степенно от нуля, то работа этой силы равна половине произведе¬
ния конечного значения силы на перемещение. Мы взяли
сейчас простейший случай изгиба балки, но, очевидно, наши рассуждения
приложимы к любому случаю деформации в любой упругой системе и
от каких угодно сил (моментов, группы сил, распределенной нагрузки),
если только они действуют статически и возрастают от нуля.
Рис. 140
ji __ Skhk
(62)
2
116

Но, если к системе уже была приложена некоторая сила, а затем
стала действовать другая сила, то работа первой силы (так как эта сила
не меняется) должна быть равна полному произведению величи¬
ны силы на перемещение без двойки в знаменателе.
Для того чтобы не усложнять выводов, будем в нижеследующих
параграфах иметь в виду работу какой-либо силы не на перемещении,
вызванном этой же силой, а на перемещении, вызванном дру-
гой силой (другим силовым фактором). Тогда будет справедливой
формула (61).
Пользуясь выражениями для работы сил, докажем имеющую большое значение
теорему о взаимности работ. В целях упрощения проведем вывод на простей¬
шем случае изгиба балки.
Предположим, что на некоторую балку начала действовать сила Sft (рис. 141,а).
Прогиб тю направлению силы Sft 'будет равен bkk. Работа же силы Sft, как возрастаю¬
щей от нуля:
т skbkk
Tl=~2~'
Пусть теперь к 'балке будет приложена новая сила Si. По ее направлению ‘поя¬
вится добавочный к прежнему 'прогиб Ъц. Работа силы S*:
Т.-Ф-.
Но одновременно и сила Sft 'переместится на величину &ftt*. Так как при новой
деформации она не будет меняться по величине, то ее работа:
Т3 = Skbki.
Полная работа сил Sk и Si'.
S$kk Sfilt
т = тг + т2 + т3 = -^+	+
Изменим порядок приложения сил. Приложим сначала силу St, а затем силу Sk-
Их работа будет:
S {Ьц	Sk^kh
т=	+sfiik.
Работа сил должна быть одинаковой в том и .другом случае и не 'может зависеть
от порядка приложения сил.
Поэтому получим равенство:
S$kk I Sfiii r> * Sibii Shbbk
+ 4r + skhi= -Y~ + -y1 + Sib{k.
После сокращения:
Sk°ki — Sfiik.
(63)
Смысл этого выражения станет более понятным, если мы сделаем так.
Рассмотрим отдельно действие сил 5ft я Si. Случай, когда к балке приложена'
сила Sft, назовем 1-м состоянием (рис. 141,б), а случай, когда приложена сила Si —
2-м состоянием (рис. 141,в). Сила 1-го состояния Sk вызывает по направлению силы
2-го состояния Si прогиб fyft; он зависит только от 5ft; сила же 2-го состояния 5/ вы¬
зывает ,по направлению силы 1-го состояния 5ft прогиб &fti .
Формула (63) показывает нам, что работа силы 1-го состояния на
перемещении, вызванном силой 2-г о состояния, равна работе
силы 2-го состояния на перемещении, вызванном силой 1-го
состояния.
Теорема эта справедлива не только для балки, но и для любой упругой системы.
Под 5ft и 5 можно подразумевать не отдельные силы, но также и группы любых уси¬
лий. Силы 5ft и Si могут иметь разную размерность, но работа их всегда будет
выражаться в мерах работы (тш, кгм, кгсм).
117

Если силы Sk и Si численно равны между собой (или равны единице), то :
4i = hk-
(64)
В этом состоит теорема о взаимности перемещений (теорема
Максвелла). •
Сделанная нами оговорка, что силы
^	(или вообще усилия) численно равны
. i	между собой, предусматривает случай, ког-
I	да силы имеют разную размерность.
X /	А	X	я
he состояние
t-e состояние
f)
2-е состояние
?-е состояние
±
Рис. 141
Рис. 142
*5тм
Предположим, что в 1-м состоянии сила 5^ = 5 г (рис. 142), а во 2-м состоянии
момент Si =5 тм. Тогда -перемещение в 1-м состоянии .по (направлению силы 2-го со¬
стояния — bfo , т. е. угол поворота в отвлеченных мерах, будет численно равно -переме¬
щению во 2-м состоянии по направлению силы 1-го состояния—Ъм, т. е. -прогибу, но
выраженному в метрах (например, =0,003 и =0,003 м).
%
§ 41. РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ
В предыдущем изложении мы имели дело с работой внешних
сил, приложенных к сооружению. Однако при деформации любого со¬
оружения совершают работу не только внешние, но и внутренние
силы.
Разберем сначала случай растяжения (или сжатия). Предполо¬
жим, что на ферму действует нагрузка Sk (рис. 143,а). Она может со¬
стоять из одной силы, но может представлять и группу сил.
Исследуем какой-либо стержень фермы, например вторую панель
нижнего пояса (рис. 143,6). К стержню по концам будут приложены си¬
лы Nk. Под влиянием их стержень деформируется; эта деформация нас
не интересует; мы рассматриваем стержень уже после происшедшей де¬
формации.
Разрежем стержень на бесконечно малые элементы длиной ds
(рис. 143,в). К каждому элементу по плоскостям разреза будут при¬
ложены некоторые силы, измеряемые напряжениями ok. Для рассмат¬
риваемых бесконечно малых элементов эти силы являются внешни-
м и; они уравновешиваются с равными им, но направленными обратно
реактивными силами упругости или пружинности, которые препятствуют
деформациям элементов (показаны на рис. 143,в пунктиром). Такие силы
мы должны считать внутренними. Очевидно, что внутренние силы
какого-либо элемента являются внешними для соседних и обратно.
Конечно, на всем протяжении стержня (если сн постоянного сечения)
внутренние силы одинаковы.
:118

Мы остановились подробно на вопросе о том, какие силы считать
внутренними и какие внешними, потому что в дальнейшем нам при¬
дется устанавливать знак работы.
Предположим теперь, что на ферму стала действовать новая нагруз¬
ка S, (или группа сил). Рассматриваемый стержень будет дополни¬
тельно растянут силой Nt и получит удлинение Дгз; каждый же бес¬
конечно малый элемент — удлинение Д( ds.
h
S)
((■
Ми мй
ч	^ ' \v
-1- /-
J \ J/
' Х\''
Рис. 143
Рис. 144
Найдем, чему»равна работа W внутренних сил, вызванных нагруз¬
кой Sk, на перемещениях, вызванных нагрузкой St.
Для бесконечно малого элемента дифференциал работы:
dW = —	= — Nk&,ds.	I
I
Знак минус объясняется тем, что при допол¬
нительном удлинении элемента внутренние силы
или силы упругости переместятся против сво¬
его действия и совершат отрицательную ра¬
боту.
Можно так приложить силу St, что стержень
получит не удлинение, а укорочение. Тогда рабо¬
та внутренних сил будет положительной, но уд¬
линение ds следует считать отрицательным, а
потому формула останется действительной и для
этого случая.
Работа внутренних сил на протяжении всего стержня равна:
W = — J Nk\ds.	(65)
Для фермы в целом нужно взять сумму интегралов. Все интегра¬
лы определенные и берутся в пределах от узла до узла; мы не пи¬
шем пределов лишь для сокращения письма.
Перейдем к изгибу. Предположим, что к балке приложена на¬
грузка Sk (рис. 144,а).
119

Выделим из балки элемент длиной ds. Будем рассматривать этот
элемент после деформации от нагрузки Sk, когда сечения уже получили
взаимный поворот (рис. 144,6). На элемент действуют моменты Mk\ они
должны рассматриваться как внешние для данного элемента. Внутрен¬
ние силы дадут моменты обратного направления (показаны пунктиром).
Приложим теперь к балке новую нагрузку St. Сечения получат до¬
полнительный угол поворота; обозначим его через	Принимаем
обозначение не dy , а именно	так	как	угол поворота был уже
раньше до действия нагрузки Slf кроме того, и балка может быть кри¬
волинейной; Afdcp будет приращением угла rfcp (рис. 144,6).
Работа внутренних сил для элемента ds равна:
—М*Д^<р.
Работа внутренних сил для всей балки равна:
W = — j М*Д.^ср.	(66)
Интегрировать нужно в пределах от 0 до /.
При изгибе возникают поперечные силы. По аналогии без
вывода напишем, что работа внутренних сил в этом случае
W = - j Т-	(67)
Здесь через	обозначено	приращение	угла сдвига.
Рассмотрим теперь такую систему, в которой возникают продоль¬
ные силы, моменты и поперечные силы (рис. 145).
Работа внутренних сил для всей системы:
w = - Е [	+ jXv? + j QaMt J •	(68)
Интегралы должны быть взяты в пределах каждого элемента от
узла до узла. Суммирование распространяется на все элементы данной
системы.
Напомним, что у нас все время идет речь о работе внутренних
сил, вызванных нагрузкой Sk, на перемещениях,
вызванных нагрузкой St[чтобы не нужно было применять
формулу (62)].
§ 42. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ РАБОТОЙ
ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СИЛ
Предположим, что имеем простейший случай, когда стержень рас¬
тягивается силой Sk (рис. 146). Эту силу будем считать равномерно
распределенной по концам. Пусть на стержень стала действовать новая
нагрузка 5, и стержень удлинился на A. s.
Как мы только что установили [формула (65)], работа внутренних
сил, вызванных нагрузкой Sk, на перемещениях, вызванных нагрузкой
St: равна:
№ = — j Nkbtds.
В данном случае Nk на всем протяжении стержня одинаково и
равно Sk, а потому:
W = — J N/Atds = —Nk j A ,ds = — Sk J Д4s = — Sk^s.
120

Но такую же точно работу, однако положительную, совершит и внешняя
сила Sk, которая переместится на ту же величину A;s.
На основании этого заключаем, что работа внешних сил
равна работе внутренних сил, взятой с обратным
знаком, т. е.
Г- — W.
(69)
Можно рассуждать и так.
Мы должны суммировать работу внутренних сил всех бесконечно
малых элементов. Но сумма не зависит от порядка слагаемых. Поэтому
мы имеем право суммировать внутреннюю работу не по бесконечно
малым элементам, а по сечениям. В каждом сечении (например, а и Ь)
Рис. 146
действуют внутренние силы двух смежных элементов, они направлены
в разные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому при дефор¬
мации работа внутренних сил, приложенных к смежным элементам в
каждом сечении, равна нулю.
Так будет на всем протяжении стержня. На конце же стержня внут¬
ренние силы уравновешиваются не с внутренними силами, а с внешними.
Насколько переместятся внешние силы, имеющие равнодействующую
Sfc, настолько же переместятся и внутренние силы, им равные. Посколь¬
ку они переместятся против своего действия, их работа будет отрица¬
тельной. Опять приходим к формуле (69).
Рассуждая так, мы совсем не хотим сказать, что работа внутрен¬
них сил в пределах самого стержня равна нулю. Работа, конечно, бу¬
дет: ведь как близко ни расположены сечения, расстояния между ними
при деформации изменяются, а также изменяются и объемы бесконечно
малых элементов; мы просто применили более удобный способ сумми¬
рования.
Полученная зависимость справедлива не только для растянутого
стержня, но для любой, самой сложной системы.
Аналогичными приемами нетрудно установить связь между работой
внешних и внутренних сил для случая бруса, нагруженного моментами
по концам.
Вообще, если к балке приложена некоторая нагрузка Sk, то в любых
двух частицах внутри балки в месте их контакта возникают взаимно
уравновешивающиеся внутренние силы. При деформации такие силы не
совершат никакой работы. Но в месте приложения нагрузки внутренние
силы уравновешиваются не с внутренними, а с внешними; насколько пе¬
реместятся внешние силы, настолько переместятся и внутренние, но про¬
тив своего действия. И здесь справедлива формула (69).
Выведенная нами формула (69) выражает общий закон.
Эту формулу можно переписать иначе:
Т + W = 0.	(70)
121

Здесь имеет место частный случай приложения принципа Л а-
т р а н ж а, который в применении к упругим телам гласит: работа
сил, внешних и внутренних, находящихся в равно¬
весии, на всех возможных бесконечно малых пе¬
ремещениях равна нулю.
Правильность формул (69) и (70) устанавливается также и на
^основании закона сохранения энергии.
Мы уже знаем, чему равна работа внешних и внутренних сил в
отдельности. Подставляя в формулу (69) значение Т из формулы (61)
и значение W из формулы (68) и учитывая, что внешних сил может
быть несколько, а потому следует взять в общем случае сумму работ,
получим:
2 ЗДи = £ [ J	ds + J Mk\d? + j Qk\td-г ]
(71)
Еще раз обратим внимание, что мы все время говорим не о полной
работе внешних сил Sk или же о работе внутренних сил, вызванных
нагрузкой Sk, а только о чаттичной работе на переме¬
щениях, вызванных нагрузкой S t.
Эта частичная работа носит название возможной или вир¬
туальной работы.
§ 43. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Предположим, что к упругому телу приложена только одна вне¬
шняя сила S* = l. Тогда формула (71) примет вид
1
^ki = 2 [ j Nk^ids + j М*А^ср -f j Qk^id^ J.
Для продольных сил, моментов и поперечных_ сил, вызванных
единичной силой Sk, примем обозначения Nkt Mky Qk.
Поэтому:
2*г = 2 [J Nk\ds + j MAd? + j Q*vT j •
(72)
Таким образом, исходя из уравнения работ, мы получили формулу
(Мора — Максвелла), при помощи которой можно находить пе¬
ремещения.
Перемещение Ък1, определяемое этой формулой, зависит
только от нагрузки Sh но совершенно не зависит, да и никак
не может зависеть, от нагрузки Sk. Первый индекс указывает направле¬
ние перемещения, а второй индекс обозначает, что причиной переме¬
щения является нагрузка St.
Перемещение Ьк1 будет тем же самым, когда нагрузка Sk вообще
отсутствует. Однако продольные силы, моменты и поперечные силы,
соответствующие единичной силе S* = l, войдут в формулу (72).
Для пользования формулой (72) следует по направлению
искомого перемещения приложить единичную ф_и к-
тивную силу^ найти от нее продольные силы Nkt моменты Mk и
поперечные силы Qk в любом сечении и их значения подставить в подын¬
тегральные выражения. При этом Nk, Mk, Qk должны быть текущими,
выраженными через расстояние от начала координат, как функции
этого расстояния. Вычислив интегралы, найдем интересующее нас пе¬
ремещение.
'122

Формула (72) пригодна и в том случае, когда внешним фактором,
вызывающим перемещение, является не сила Slt а действие температу¬
ры, осадка опор и т. п. Если разыскивается перемещение от действия
температуры, следует индекс i изменить на t:
j Nkbtds 4- j* Mkbtdy +- j
(73)
Следовательно, формула (72) оказывается общей, применимой во
всех случаях внешних воздействий.
Если, однако, внешнее воздействие представляет силовой фактор,
то находить деформации для подстановки в подынтегральные выраже¬
ния довольно затруднительно. Поэтому для силового воздействия S,
лучше формулу преобразовать.
Величина htds не что иное, как удлинение элемента длиной ds от
продольной силы Nt. Из «Сопротивления материалов» известно, что
Д^5==М5
•	EF
Далее, вспомним, что элементарный угол поворота при изгибе выра¬
жается следующим образом:
dy 	 ds_
р
М ds
El
В нашем случае надо взять не d<p, a
Mjds
El
Точно так же:
д d-\ = k.
1 ‘ GF
Здесь k — некоторый коэффициент, зависящий от формы попереч¬
ного сечения, так как касательные напряжения распределяются по се-
32
чению неравномерно. Для круглого сечения k— —, для прямоугольно-
27
го — £= -г •
5
Подставляя значения деформаций в общую формулу (72), получим:
(74)
’ QkQt ds
OF aS.
Такова формула для определения перемещений от силовых факторов.
Посмотрим теперь, какой вид принимает общая формула в от¬
дельных частных случаях.
В балках и вообще в системах, состоящих из
прямолинейных брусьев, которые работают преи¬
мущественно на изгиб (в рамах), обычно пренебре¬
гают деформациями от продольных и поперечных сил. Поэтому в фор¬
муле (74) остается только один член, зависящий от моментов. Так как
чаще всего брусья прямолинейные, то вместо ds можно написать dx.
Тогда:
(75)
123

При расчете брусьев на действие температуры следует ис¬
ходить из формулы (73). При этом допустимо пренебрегать деформацией
от сдвига, но нельзя пренебречь продольной деформацией. Следователь¬
но, формула (73) примет вид:
Найдем значения температурных деформаций.
Пусть брус нагрет внизу на tH1 а вверху — на tB (рис. 147). Обычно
считают изменение температуры внутри элемента по закону прямой, по¬
этому принимают, что сечения остаются при деформации плоскими, но
перемещающимися.
Удлинение нижнего волокна:
A udx = atHdxy
где а— коэффициент линейного температурного расширения.
Удлинение верхнего волокна:
Г
■с
L
^'dx
I
I
V
i
Sadx = a tBdx.
Среднее удлинение (по оси):
^	_	дtHdx+atBdx _ г (/„+*,
N
I	I	й	Лх
u-rfx —4
Рис. 147
dx.
Элементарный угол поворота:
Л А..	ДНdx—bKdx
Vf=	j	,
где h — высота сечения. Таким образом,
\td<? =
atHdx—atBdx
dx.
Подставляя найденные значения в формулу (73), получим:
dx
(76)
Если температура, как это обычно и бывает, не меняется от узла к
узлу, можно вынести tH и /в за знаки интегралов.
Для криволинейных стержней (для арок) выве¬
денные формулы сохраняют свою силу, но вместо dx следует подстав¬
лять ds и интегрирование вести по длине стержней.
Однако формулы не могут быть использованы для брусьев большой
кривизны, радиус кривизны которых меньше примерно пятикратной вы¬
соты сечения; впрочем, такие брусья в строительной практике почти не
встречаются.
Для пологих арок можно принимать ds=dx.
В фермах действуют только продольные усилия. Поэтому в
формуле (74) остается один первый член:
NkNj
-У-
EF
dx.
В пределах каждого стержня фермы не меняется ни усилие, ни по¬
перечное сечение, поэтому эти величины можно вынести за знаки ин¬
тегралов:	_
124

Но определенный интеграл от dx есть длина стержня /. Получим:
Таким образом, при определении перемещений в ферме надо сос¬
тавить выражения NkNi I для каждого стержня в отдельности и взять
[EF
их сумму.
В случае действия на ферму изменения температуры, поль¬
зуясь формулой (73), определим перемещение:
8« = £ j Nk\dx.
Удлинение элемента:
Дtdx «= atdx.
Вынося постоянные за знак интеграла и производя интегрирование,
получим:
=	(78)
Сделаем сводку выведенных нами формул.
Для балок и систем, состоящих из брусьев, которые работают пре¬
имущественно на изгиб (для рам):
(79)
(80)
%
Для арок — те же формулы, но с заменой dx через ds.
Для ферм:
(81)
(82)
В заключение настоящего параграфа дадим общее понятие о потенциальной
энергия.
Основная формула (69), выражающая равенство работ внешних и внутренних
сил, справедлива и в том случае, когда силы Sfe, а 'равно и внутренние силы, вызван¬
ные нагрузкой Sfc, совершают работу на перемещениях, вызванных этими же силами.
Здесь также
Т = — W.
Работа, которую совершают внешние силы, вдет на увеличение потенци¬
альной энергии упругой системы. Если удалить внешнюю нагрузку, то деформи¬
рованная упругая система вернется к 'прежнему состоянию и совершит как (раз ту ра¬
боту, которая была потрачена на ее деформацию. Скрытая «потенциальная энергия
перейдет в кинетическую.
Конечно, 'Предполагается, что деформации происходят в пределах упругости и
строго соответствуют закону Гука. В противном случае мы не сможем получить от
упругой системы, возвращающейся в первоначальное состояние, всего того количества
энергии, которое было ей сообщено при деформации. Часть энергии перейдет в тепло¬
вую, электрическую, израсходуется на изменение структуры материала и т. д. и будет*
таким образом, для нас потеряна.
125

Приращение потенциальной энергии упругой системы должно равняться работе»
потраченной на деформацию, а поэтому, обозначая «приращение потенциальной энергии
через U, можем написать:
U = T=—W.	(83)
Мы говорим только о приращении потенциальной энергии, полное же количество
потенциальной энергии в любой системе всегда останется неизвестным, так как неиз¬
вестно такое состояние физических тел, при котором потенциальная энергия равна ну*
лю. На практике, однако, величину U обычно называют для упрощения потенциальной
энергией, а не приращением энергии, хотя это и не точно.
Нетрудно вывести и формулу для величины потенциальной энергии.
Если внешние силы Sk действуют статически, то вызванные ими внутренние
силы возрастают от нуля, а потому выражение работы внутренних сил должно иметь
в знаменателе 2. Вместо формулы (68) напишем:
N^kds' | j MkAkd<? | j QftAferff j _
[ J 2£F	.12El	J 2GF J
В формуле можно опустить индекс k, так как под 5 k подразумеваются все силы,
действующие на систему; других сил нет.
Учитывая формулу (83), получим:
(84>
Выражение для потенциальной энергии (можно использовать и для определения
перемещений, выведя, правда, довольно сложным путем прежнюю формулу (74).
§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
И КРИВОЛИНЕЙНЫХ БРУСЬЯХ
Покажем на примерах, как пользоваться вышеприведенными фор¬
мулами.
Пример 1. Пусть к консоли, в середине ее длины, приложена сила Р
(рис. 148,а) и требуется найти угол поворота на конце <р.
Решение. Воспользуемся формулой (79):
? = »« = £
Под Mi следует подразумевать момент от внешней нагрузки, которая вызывает
перемещение, т. е. от Р\ это будет 1-е состояние нагрузки (5;).
Примам начало координат в точке приложения силы. Момент на расстоянии х
равен (рис. 148,6):
Mt = — Рх.
Но в формулу входит еще момент от единичной фиктивной силы, приложенной
по направлению искомого перемещения, т. е. от S k= 1. Мы ищем угол поворота, по¬
этому приложим на конце £о направлению этого угла единичный момент (рис. 148,в),
это будет 2-е состояние (S*). В этом состоянии для любого сечения момент равен
Мк=- 1.
Подставим найденные значения Mf и М^в формулу. Интеграл для правой части
консоли равен 0 (так как здесь Mi =0). Следовательно, придется проинтегрировать в
пределах от 0 и до //2.
Получим:
h 2	//2 1/2
Р
«-S
N2
2 EF
ds +
f
М2	г	у2
ds+ k \		~ ds
2 El
2 GF

Пример 2. Изменим условия задачи. Предположим, что на конце консоли прило¬
жен момент т и мы осотим найти прогиб в середине (рис. 149,а).
Решение. Рассмотрим вновь два состояния (рис. 149,6 и в). В первом из них дей¬
ствует на конце момент т\ для любого сечения:
Mi = — т.
Во 2-м состоянии надо приложить единичную фиктивную силу по направлению ис¬
комого перемещения Sk= 1. Изгибающий момент на расстоянии х от начала коорди¬
нат, которое примем в середине консоли:
М* = — 1-х.
Подставим в формулу:
II2	//2
Р (—1-*)(—т) т С т/2
/=SH EI ах-1Г)хах=Ш-
о	о
Сравнивая этот результат с тем, который был получен в (предыдущем 'примере,,
убеждаемся, что, если численно Рит равны между собой, то угол поворота на кон¬
це консоли от силы Р, приложенной в середине, должен быть численно равен прогибу
в середине, консоли от момента т, (приложенного на конце. Конечно, размерность <р и /
должна быть различной.
Это равенство сохранится и тогда, когда и сила Р и момент т равны единице.
Очевидно, что при единичных силах Sk и S,:
Отсюда заключаем, что, как общее правило:
(85)
В этом состоит теорема о взаимности перемещений,
доказанная выше другим путем (стр. 118).
127

= 1 вызывает по направлению силы
как и единичная сила St = 1 по на-
Итак, единичная сила Sk-
тючно такое же перемещение,
правлению силы Sk.
Повторяем, что перемещения должны быть взаимно равны числен¬
но, но могут иметь разную размерность.
На основании этой теоремы можно менять порядок индексов у
единичных перемещений.
Пример 3. Требуется найти прогиб
в середине балки, нагруженной равно¬
мерной нагрузкой (рис. 150,а).
Решение. Опять рассмотрим два
о)
состояния (рис. 150, б и в): одно при
действии заданной нагрузки и другое
о)
/Я
6)
при действии единичной фиктивной силы, приложенной в середине балки, т. е. по на¬
правлению искомого перемещения. Для левой половины пролета примем начало коор¬
динат на левой опоре, для правой — на правой опоре. Очевидно, что в данном случае
ввиду симметрии вместо двух интегралов достаточно взять один интеграл от 0 до 1/2 и
удвоить его.
Моменты равны:
Mi =
qx (I —х)
Прогиб:
2
_ \х
Mk= —
qxji—x)
EI
dx =— \ x*(t-x)dx =
Z/2	Z/2
-2-§rJ'<“-^«-ш[\т -т1]_
=	JL\	=
2EI ^24	64/
5?/*
384£/
328

Результат известен нам из «Сопротивления материалов».
Пример 4. Криволинейный брус нагружен равномерной нагрузкой q\ требуется
найти перемещение подвижной опоры в горизонтальном направлении (рис. 151,а).
Ось бруса очерчена на параболе, ее уравнение:
4	f
у
Брус предполагается достаточно пологим и, следовательно, вместо интегрирова¬
ния по оси бруса можно интегрировать по оси х, т. е. принять ds = dx.
Решение. После первых трех примеров уже нет необходимости строго придер¬
живаться обозначений 5 и Sim
Принимая для горизонтальной силы обозначение Я, будем искать перемещение bjjq.
Единичную фиктивную силу Н = 1 следует приложить горизонтально по направ¬
лению этого перемещения (рис. 151,в).
Моменты равны:
от нагрузки
дх(1 — х)
Щ- 2
от единичной фиктивной силы
Искомое перемещение:
I
Мн = \-у.
Мн Mq
Hq 1 El	El
i i
= ш§ух«-х)ах = ш№х{1-х)х(1-х)ах=
I	I
Jjc *(l—x)*dx = -|^|(/2*2 —2/*3+*4)d* =
2qf
2 qf
l*EI
0
I
l2EI
l2x3 2lx*
3 “ 4	+	5
2qj_
I2 El
/_P_	/*	JM _ qPf_
[ 3	2	5 / — 15£/'
f MkMidx
§ 45. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА	ПРИ	ПОМОЩИ ЭПЮР
В случае (прямолинейных элементов постоянного сечения, когда хо¬
тя бы одна из эпюр ограничена прямой линией, можно значительно
упростить интегрирование, применяя перемножение эпюр1.
Предположим, что для какого-нибудь элемента построены эпюры
Mt и Afft, причем одна из эпюр, например Мк, прямолинейная (рис.
152). Продолжим линию, ограничивающую прямолинейную эпюру, до
пересечения с осью абсцисс в точке О. Примем здесь начало координат.
Момент в любом сечении:
Mk -- xtga.
Тогда интеграл, определяющий перемещение:
hi = J ^г~ dx =	J * ^ aMidx = 17 j xMtdx.
1	Способ предложен А. Верещагиным.
Б. Н. Жемочкин	129

Ho Mtdx — элементарная площадка эпюры Mt; умножив ее на х, по¬
лучим момент этой площадки относительно начала координат. Интег¬
рал же будет равен моменту всей площади эпюры. Обозначая площадь
через <*>,, напишем:
Ь« = 1Г“‘Х°-
Легко видеть, что tga*0 есть не что иное, как ордината yk в эпюре
Mk под центром тяжести эпюры М ь.
Следовательно:
dx
ml -f
ц.т.
^. (86)
Рис. 152
Итак, для нахождения перемещения достаточно
площадь одной эпюры умножить на ординату против
ее центра тяжести, но взятую из другой эпюры,
и разделить на жесткость.
Ординату можно брать, как это следует из вывода формулы (86),
только из прямолинейной эпюры.
Если обе эпюры прямолинейные (рис. 153), безразлично, из какой
эпюры взять площадь и из какой — ординату, Таким образом, можно
найти	или	<*>лу,;	результаты	будут	одинаковы:
= 0Wi•
При перемножении трапеций нет надобности находить их центры
тяжести (рис. 154,а). Следует разбить трапецию на прямоугольник и
треугольник или на два треугольника и перемножить их отдельно:
Sal , Ы
= ~^Уа + — Уь-
Величины ординат уа и уь, находящихся на расстояниях — от кон-
3
цов эпюры, легко определить. Очевидно:
130

Если прямолинейные эпюры двузначны (рис. 154,6), то их можно
рассматривать как трапеции с одним отрицательным основанием и по^
ступать по предыдущему. Необходимо только учитывать знаки. На
эпюрах моментов ставить знаки вообще нет необходи¬
мости; важно лишь помнить, что, если эпюра и ордината против ее
центра тяжести в другой эпюре расположены с одной и той же стороны
оси элемента, результат должен быть положительным, если с разных
сторон — отрицательным.
Верхнюю эпюру на рис. 154,6 заменим двумя треугольниками; один
из них с ординатой а построен вверх от оси, другой с ординатой b —
вниз. Очевидно, что, если наложить эти треугольники друг на друга,
получим заданную эпюру.
Перемножение эпюр дает:
Ординаты уа и уь равны:
с учетом знаков у с и d.
Нетрудно перемножить довольно сложные эпюры, например пара¬
болическую на прямолинейную (рис. 155). Параболическую эпюру за¬
меним двумя треугольниками с ординатами по концам а и b и парабо-
2
лой со средней ординатой с. Зная, что площадь параболы равна “у 1с,
получим:
Заметим еще раз, что ординаты можно брать только из прямо¬
линейной эпюры. Поэтому, если обе эпюры криволинейные, их пе¬
ремножить вообще нельзя. Если одна из эпюр ломаная (рис. 156), эпю¬
ры нужно разбить на ряд участков и сделать перемножение для каж¬
дого участка отдельно.
Таким образом, для эпюр, изображенных на рис. 156, получим
6)
Рис. 154
+ <*>2У2 + ^зУз-
9*
131

Рис. 157

Нижняя из двух эпюр, приведенных на рис. 157, также относится
к числу ломаных. Эпюры надо разбить на два участка и сделать пере¬
множение только для левого участка:
(й*у.
Для облегчения расчетов на рис. 158 приведены некоторые типич¬
ные случаи эпюр с указанием положений центров тяжести и величин
площадей.
Пример 1. В качестве примера, на котором можно проиллюстрировать перемно¬
жение эпюр, возьмем пример 3 предыдущего параграфа. Требуется определить прогиб
в середине пролета балки, нагруженной равномерной нагрузкой (рис. 159,а).
Р
о)
I
7
V&7.
Решение. Эпюра от нагрузки имеет параболическое очертание (рис. 159,6);
эпюра от единичной силы — треугольная (рис. 159,в). Эта вторая эпюра является ло¬
маной. Необходимо разбить эпюры на два участка и перемножить в отдельности.
Получим:
f=2(±.±.<m)(±.l\± _
J ^ 3	2	8	J	\32 ]EI	384EI
Пример 2. В середине пролета однопролетной свободно лежащей балки находится
груз Р (рис. 160). Найти -прогиб иод грузом.
Решение. Построим две эпюры: от нагрузки Р и от единичной фиктивной силы,
приложенной в середине пролета. Эпюры имеют одинаковый вид, разница лишь в ве¬
личине ординат. Так как обе эпюры ломаные, необходимо разбить их на два
участка и умножить отдельно. Очевидно, вследствие симметрии достаточно произвести
умножение для одной половины и удвоить результат. Прогиб равен:
Р/ /	1	I	1	Р/з
f~ 4 ‘ 2 ' 2 ' 6 ' EI ~ 48EI '
Пример 3. Разберем теперь более сложный случай. К ломаному брусу приложе¬
на горизонтальная сила Н= 3 г (рис. 161). Требуется найти перемещение точки А в
вертикальном направлении.
Решение. Построим две эпюры: одну от заданной горизонтальной силы Я = 3 г,
другую от единичной фиктивной силы V = 1, ириложенной по направлению искомого
перемещения, т. е. вертикально.
133

При построении эпюры от нагрузки учтем, что в пределах правой стойки внизу
М =	0;	по	мере продвижения	кверху момент увеличивается и в узле В равен 2*3 =
= 6	тм,	Эпюру	в	виде	треугольника построим оправа, т. е., как всегда, от растянутого
волокна.
Далее в пределах горизонтального элемента до уз¬
ла С момент остается постоянным и равным 6 тм. Рас¬
тянуто верхнее волокно, эпюру строим сверху. В левой
стойке по мере понижения плечо силы Н уменьшается,
уменьшается и момент. В точке D плечо силы, а следо¬
вательно, и момент равны 0. Ниже момент увеличивает¬
ся, но меняет знак. Внизу М = 12 тм, растянуто правое
волокно.
Единичную фиктивную силу нужно считать равной
отвлеченной единице. В правой стойке момент равен
нулю. В узле С — 4 м\ растянуто нижнее волокно; эпю¬
ра отложена вниз. В пределах левой стойки момент до
заделки остается постоянным.
Перемножим эпюры. По правой стойке получим
нуль. По горизонтальному элементу площадь верхней
эпюры равна 4 • 6 тм2\ ордината под ее центром тяжести
в нижней* эпюре 2 м\ знак должен быть минус, так как
одна эпюра отложена кверху, а другая — вниз.
По левой стойке в нижней эпюре имеем площадь,
равную 4*6 ж2; ордината под ее центром тяжести в
верхней эпюре — 3 тм. Знак будет плюс.
Итак:
а
Рис. 161
JVH •
4-6-2	4-6-3
+ 2 EI
EI
12
’ EI
Знак минус указывает, что перемещение Ьун направ-
ymf	лено	против	действия	силы	V, т. е. не вверх, как мы
предполагали, а вниз. Мы принимали размеры в мет¬
рах, а нагрузку в тоннах; жесткость EI надо брать в
тм2 (т/м2-мА). Результат будет в метрах.
Напомним еще раз, что перемножение эпюр приме¬
нимо только к прямолинейным элементам посто¬
янного сечения.
-Ю
о)
±
§ 46. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ОТ ДЕЙСТВИЯ
ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Для того чтобы показать, как применяется формула (80) (стр.
разберем простой пример.
Предположим, что балка .пролетом 5 м с высотой сечения h — 0,5 м (рис.
подвергается неравномерному нагреву: ниж¬
нее волокно нагревается на 40р, верхнее —
охлаждается на 10Р. Коэффициент темпе¬
ратурного расширения а =0,00001. Опреде¬
лить прогиб в середине.
Единичная фиктивная сила должна
быть приложена в середине пролета балки
(рлс. 162,6); эпюра моментов треугольная
15
с наибольшей ординатой у • “ ^ «1,25 ж.
В данном случае продольной силы NK
нет; в формуле (80) остается только вто¬
рой член.
Так как температура не меняется по
длине балки и сечение балки постоянно.
125),
162, а)
-5 м
можно
i34
Рт1)
вынести за знак интеграла.

Тогда формула (80) примет вид:
4t
-mi
Mkdx.
Интеграл представляет не что иное, как площадь эпюры Af*. Она равна:
5-1,25
= 3,125 л».
Прогиб в середине:
/40+10\
f=bki=0,00001	j3,125 = 0,003м = 3мм.
§ 47. ЗАМЕЧАНИЯ К ПОСТРОЕНИЮ ЭПЮР
В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ
В дальнейшем нам придется строить эпюры изгибающих моментов
для статически определимых систем, представляющих ломаные брусья.
Ввиду часто возникающих затруднений считаем полезным сделать не¬
сколько общих замечаний.
I
I
I
О
У////Л
п
Рис. 164
Эпюры принято строить со стороны растянутых волокон.
Построение удобнее всегда начинать со свободного конца
ломаного бруса.
Предположим, что дана система, состоящая из трех элементов
(рис. 163). Вычисляя моменты в сечениях этой системы, удобнее учи-
тывать силы, расположенные с той стороны, где находится свободный
конец. До точки С будем учитывать только левую силу Р. Правее
точки С придется принимать во внимание и распределенную нагрузку.
Будем находить абсолютные величины моментов. Получим:
МА =0; Мв = 2-4 = 8 тм; Мс= 2-4 = 8тм;
MD = 2*4+ 4^3 - = 26 тм; МЕ = 2*2+	■ = 22 тм.
Отложим эти моменты на перпендикулярах к осям элементов со
.стороны растянутых волокон.
Иногда к свободному концу бьтает приложена пара сил с моментом.
135

Следует раз навсегда усвоить, какова форма изгиба элемента от дейст¬
вия этого момента, чтобы судить о том, какое именно волокно растя¬
нуто (рис. 164). Можно для наглядности .представить себе, что к концу
элемента 'прикреплена поперечина, на которую действует пара сил.
Сразу видно, от какого волокна поперечина стремится оторваться (здесь
будет растяжение) и к какому стремится прижаться (здесь будет
сжатие).
Достаточно установить положение растянутого волокна у свобод¬
ного конца системы, представлять же себе деформации всей системы
нет необходимости.
В узлах бруса должно быть
равновесие; следовательно, момен¬
ты у какого-либо узла в вертикаль'
ном элементе и в горизонтальном
одинаковы (конечно, при условии,
что в этом узле не приложен внеш¬
ний момент). При этом если в вер¬
тикальном элементе ордината эпю¬
ры была отложена наружу контура,
то и в горизонтальном ордината от¬
кладывается наружу.
Если у ломаного бруса нет
свободного конца и опорные стер¬
жни расположены в разных ме¬
стах, следует (прежде всего найти
опорные реакции, начиная с
той, которая определяется проще.
После отбрасывания опорных стер¬
жней и замены их действия силами
дальнейшее построение эпюры вы¬
полняется так же, как и при нали¬
чии свободного конца. Часто мож¬
но даже не определять опорных
реакций, а ограничиться только
указанием их направления.
Предположим, например, что
имеем систему, приведенную на
рис. 165,а.
Очевидно, горизонталь¬
ная реакция 'приложена толь¬
ко на левой опоре и равна 10 т.
Эта реакция вместе с нагрузкой дает
момент, вращающий систему по
часовой стрелке. Значит, верти¬
кальные реакции должны
представлять пару, вращающую
в обратную сторону.
Начиная построение эпюры с
левого конца, видим, что в левом
верхнем узле момент равен 40 гж, растянуто внутреннее волокно. Даль¬
ше для эпюры в горизонтальном элементе пришлось бы учитывать две
силы. Чтобы этого избежать, переходим к построению с правого конца.
Эпюра по горизонтальному элементу должна быть треугольной. Условие
равновесия требует, чтобы в горизонтальном и вертикальном элементах
у левого узла моменты были одинаковы и равны 40 тм.
136

Построим эпюру для системы, изображенной на рис. 165,6. Сна¬
чала найдем горизонтальную реакцию на средней опоре, для чего возь¬
мем проекцию сил на горизонтальную ось. Вместе с нагрузкой эта ре¬
акция представит пару, которую следует уравновесить парой верти¬
кальных реакций. Затем приступим к построению эпюры. В среднем
узле должно быть равновесие; ордината эпюры по вертикальному эле¬
менту в два раза больше ординаты по горизонтальному элементу.
Если дана трехшарнирная система (рис. 165,б), то сначала опреде¬
лим вертикальные реакции. Чтобы найти левую вертикальную реакцию,
следует взять момент всех сил относительно правой опоры. Очевидно,
4то реакция должна быть направлена вниз. Правая реакция будет на¬
правлена вверх.
Затем найдем реакции, направленные по линии опорных шарниров.
Из теории трехшарнирных арок известно, что для этого необходимо
Чт	;
X
I
г—
♦
Зт
X
tr~ 1
•Г» -7
И -
V
®
—
-Ч
4
Зт
JL|
и
i
3
©
И
3
0
l ;
/■
Рис. 166
приравнять нулю момент всех сил, действующих с одной стороны, от¬
носительно среднего шарнира. Удобнее находить сначала правую на¬
клонную реакцию: справа меньше сил.
Правая вертикальная реакция дает момент относительно среднего
шарнира против часовой стрелки; значит, правая наклонная реакция
должна вращать правую часть по часовой стрелке. Убедившись, что
она направлена снаружи внутрь, сейчас же покажем левую наклонную
реакцию, ее уравновешивающую.
Эпюру моментов сначала построим по левому вертикальному эле¬
менту до верхнего узла. Затем перейдем к правому элементу. Найдя мо¬
мент в правом верхнем узле, проведем прямую через средний шарнир, так
как очевидно, что ввиду отсутствия нагрузки по горизонтальному эле¬
менту эпюра здесь не должна иметь переломов, в среднем же шарнире
момент равен нулю. В левом верхнем узле моменты в горизонтальном и
вертикальном элементах должны уравновешиваться с внешним моментом.
Под поперечной силой Q в сечении подразумевается
сумма проекций всех сил, приложенных с одной стороны сечения, на
137

плоскость этого сечения. Эпюру Q удобнее строить после того, как
будет вычерчена эпюра М. Следует помнить, что в любом сечении Q
равна тангенсу угла наклона линии, ограничивающей эпюру М. На
эпюрах Q обязательно следует ставить знаки.
Продольной силой N в сечении называется сумма проек¬
ций всех сил, расположенных с одной стороны сечения, на продольную
ось элемента (для криволинейных брусьев на касательную к оси в рас¬
сматриваемом сечении). Для построения эпюры N следует последова¬
тельно вырезать узлы, начиная с того, в котором сходятся только два
элемента.
Если поперечные силы, приложенные к каждому узлу, известны, то
продольные силы определятся из уравнений проекций на оси. Обычно
в рамах считают положительными сжимающие продольные силы и от¬
рицательными растягивающие.
На рис. 166 приведен пример построения эпюр М, Q и N.
§ 48. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМАХ
Перемещения в фермах определяются по формуле (81) (стр. 125):
NkNi
EF
I
Вычисления удобно располагать в табличной форме, что покажем на
разборе простого численного примера.
Предположим, что ферма имеет размеры, указанные на рис. 167,а, и нагружена
в верхнем узле силой Р = 10 т. Требуется найти прогиб фермы, или, иначе, вертикаль¬
ное -перемещение узла D.
Единичную фиктивную силу необходимо приложить в узле D и направить вниз
(рис. 167,6).
Составим таблицу, в которой «поместим сначала геометрические данные, затем
усилия от единичной фиктивной силы и от внешней нагрузки. В правом столбце паме-
NkNP
стим результаты вычислений выр-ажений		 /. Модуль упругости Е =
F
— 2 100 000 кг/см2 одинаков для всех стержней, его .можно пропустить и ввести потом.
Определение усилий в стержнях фермы не представляет затруднений, и на этом
вопросе не останавливаемся.
Прогиб:
241 478
f=bkp=2AOOm =0'П сж=1’1
Иногда приходится определять не прогиб в вертикальном направлении, а другие
перемещения. Покажем, как нужно тогда выбирать единичные фиктивные силы.
Для опредеЛения линейного перемещения узла по любому направлению следует
приложить фиктивную силу Sk = 1 по этому направлению (рис. 168,а).
138

№
стержней
Длина
1 в см
Площадь
сечения
F в см2
Nk
Np i
в кг
Nk Np
F
I
+
—
+ 1
+ 1
i
А-С
283
20
0,707
7071
70 739
В-С
283
20
0,707
7071
70 739
A—D
200
10
0,5
5 000
50 000
B-D
200
ю
0,5
5 000
50 000
С—D
200
10
1
0
0
у Nk NP l=s + 24l 478
LU p
Чтобы найти изменение расстояния между узлами, например 2 «и 4, надо .прило¬
жить две единичные силы, направленные в противоположные стороны (рис. 1РЯ,б).
При определении угла поворота (в радианах) кагого-либо стержня (например,
3—5) следует приложить к узлам по его концам перпендикулярно стержню две равные
и противоположно направленные силы, которые создавали 'бы пару с моментом т =
= 1. Беличйна каждой силы равна — (рис. il68,e).
Наконец, для того чтобы определить изменение угла между двум-я стержнями
(например, 1—2 и 3—4), необходимо приложить две единичные пары с моментами
т= 1, направленные в разные стороны (рис. .168,г).
В заключение отметим, что могут быть -сооружения смешанного типа, в которых
часть элементов работает на изгиб, а часть — на продольные усилия. В таких случаях
при подсчете перемещений приходится вг формуле для перемещений принимать во вни¬
мание два члена.
§ 49. ЗАДАЧИ
1.	Найти прогиб в середине балки, нагруженной двумя равными моментами
(рис. 169,а).
2.	Найти прогиб в середине балки и угол поворота на ее левом конце (рис. 169,6).
3.	Найти перемещение в горизонтальном направлении верхнего правого узла А
ломаного бруса (рис. 170, а).
4.	Найти перемещение среднего шарнира в вертикальном направлении / для трех¬
шарнирной системы, приведенной на рис. 170,б.
5.	Найти перемещение точки А в горизонтальном направлении для системы, приве¬
денной на рис. >171, от неравномерного нагрева .горизонтального элемента (высота се¬
чения элемента 0,5 м). Принять коэффициент температурного расширения а = 0,00001.
6.	Построить эпюры моментов для систем, приведенных на рис. 172 (без вычисле¬
ния ордин.ат).
139

т	т
Г'
а -Ч-
‘
h	I
Рис. 169
-2De
v-ЯГ
Хл
1
1
-бм-
Рис. 171
L
Г~
i
а»
и***
El-C9nst
1
t
«о
8м-
/
5г
1/пм ''оЧ IfiM
f
»	t
I	«О
const
77Я77?
1
t
«О
rT^7>.
-8 m-
Рис. 170

ГЛАВ А IX
ПОНЯТИЕ О СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
СИСТЕМАХ
§ 50. ВИДЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ.
СПОСОБЫ ИХ РАСЧЕТА
Понятие о разнице между статически	определимыми
и статически неопределимыми	системами	было	дано
раньше («Сопротивление материалов», «Статика сооружений» § 2). Те¬
перь предстоит рассмотреть этот вопрос более подробно.
Под статически неопреде¬
лимой подразумевается такая систе- а) о	в	11	'	"V
ма, которая не может быть рассчитана	ш
при помощи уравнений равновесия.
Для ее расчета необходимо учитывать д ■■	■	■	■	■	■ —у
и деформации.	^
Как уже отмечалось, статически не¬
определимые системы характеризуют-	'	п ■ ■■	■ —
ся наличием лишних связей или стерж-	^
ней. Название это условно. Под лишни- г)
мй связями подразумевают связи избы-	| 0	„
точные, ненужные для равновесия си- ^	^
стемы, но они могут быть необходимы
для правильной ее работы. Иногда	рис 173
нельзя их отбросить без ущерба для
прочности конструкции.
Так, например, двухпролетная балка (рис. 173,а) имеет одну лиш¬
нюю связь: или средний опорный стержень, или один из крайних. Если
отбросить ту или иную лишнюю связь (рис. 173,6, виг), балка будет
в равновесии, но конструкция, очевидно, окажется практически непри¬
емлемой, так как при большом пролете или большей длине консоли в
балке возникнут большие изгибающие моменты.
Степенью статической неопределимости системы
называется число лишних связей или стержней. Сте¬
пень статической неопределимости указывает, сколько уравнений, учи¬
тывающих упругие деформации, надо составить в дополнение к уравне¬
ниям статики для возможности расчета системы.
Двухгсролетная балка рис. 173,а имеет четыре опорных стержня;
при расчете необходимо определить четыре реактивных усилия. Меж¬
ду тем можно составить только три нетождественных уравнения ста¬
тики; одного уравнения не хватает. Следовательно, эта система один
раз статически неопределима; для ее расчета нужно использовать еще
одно уравнение деформаций.
141

Приведем примеры наиболее характерных статически неопредели¬
мых систем.
а)	Балки. Статически неопределимыми балками являются не¬
разрезные многопролетные или однопролетные с одним или двумя за-
щемлениями (рис. 174).
б)	Рамы. Рамой (рис. 175,а и б) называется -стержневая система,
стержни которой (обычно прямолинейные, иногда криволинейные)
жестко связаны между собой во всех или в нескольких узлах.
Рис. 174	Рис.	175
Главное отличие рамы от фермы состоит в том, что стержни фермы
работают только на продольные усилия, а элементы рамы работают
преимущественно на изгиб; продольные усилия в них имеют второ¬
степенное значение, причем часто ими вообще пренебрегают.
Горизонтальные или наклонные элементы рамы носят название
ригелей, вертикальные элементы называются стойками. Чаще
всего рамы устраивают с .полной заделкой стоек в фундаменты. Шар¬
ниры на опорах применяют в случаях, когда желательно довести опор¬
ные сечения стоек до минимальных (здесь действуют только продоль¬
ные и поперечные силы, моменты же отсутствуют).
в)	Арки. К статически неопределимым аркам (рис. 176) относят¬
ся двухшарнирные (однажды статически неопределимые) и бестариф¬
ные (трижды статически неопределимые). Арми могут быть с затяж¬
ками и без затяжек.
г)	Фермы. Статически неопределимые фермы встречаются или с
лишними стержнями .в контуре фермы, или с лишними опорными свя¬
зями (рис. 177). В первом случае фермы внутренне -статически неоп¬
ределимы, во втором — внешне статически неопределимы. Однако нель¬
зя провести .резкой границы между обоими случаями; ферма, имеющая
лишние опорные связи, может быть обращена в статически определи¬
мую путем отбрасывания внутренних стержней.
Существует несколько способов расчета статически
неопределимых систем. Все они представляют видоизменение
двух основных способов:
142

1)	способа сил; рассчитывая по этому способу, за неизвестные
принимают силовые факторы (реакции, внутренние усилия);
2)	способа деформаций; в качестве неизвестных принимают
некоторые перемещения; определив их, находят затем по ним и все
необходимые усилия.
Кроме того, может применяться смешанный способ, когда
•в уравнениях одновременно фигурируют в качестве неизвестных и си¬
лы, и деформации.
При расчете любой системы всегда нужно выбирать такой способ,
который легче и скорее позволяет получить окончательные результаты.
Возможность выбора способа относится к балкам и рамам. Арки
и фермы практически можно рассчитывать только способом сил.
§ 51. СТЕПЕНЬ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
Степень статической неопределимости системы может быть уста¬
новлена на основании формулы (1) (стр. 19):
№ = ЪД — 2Ш — Соп
или в случае ферм — по формуле (35) (стр. 72):
W=2Y-
' Сф Соп-
Рис. 178
В этих формулах W— степень свободы. Если она получается от¬
рицательной, система статически неопределима. Числовое значение W
указывает степень статической неопре¬
делимости.
При анализе рам и арок следовало
бы применять формулу (1), но она не¬
удобна, особенно если имеются замк¬
нутые контуры. В самом деле, под дис¬
ком (число дисков обозначается через
Д) нужно подразумевать неизменяе¬
мый статически определимый элемент.
Поэтому замкнутый контур нужно счи¬
тать состоящим из простых элементов,
соединенных связями (рис. 178), при¬
чем в сечениях на границе между эле¬
ментами должны предполагаться три
связи, передающие момент, поперечную и продольную силу.
Подсчет числа дисков и шарниров в таких условиях весьма затруд¬
нителен. Поэтому целесообразнее для выяснения степени статической
неопределимости рамы поступать иначе: отбрасывать лишние связи и
превращать систему в 'неизменяемую статически определимую. Такую
систему мы будем в дальнейшем называть основной. Степень ста¬
тической неопределимости равна числу отброшенных связей.
Не мешает заметить, что при обращении да-нной системы в стати¬
чески определимую .каждый разрез эквивалентен отбрасыванию
трех внутренних связей (в этом случае в сечении появляется возмож¬
ность поворота и перемещений вдоль' и поперек оси). Разрез по
шарниру эквивалентен отбрасыванию двух связей (возможность
перемещения в двух направлениях, поворот же возможен и до разреза).
Пост а нов к а шарнира эквивалентна отбрасыванию одной связи
(дается возможность поворота). Разрез стержня, прикрепленно¬
го шарнирно по концам и работающего не на изгиб, а только на горо¬
143

дольную силу, соответствует отбрасыванию одной связи; это относится
к затяжкам арок -или /рам и к стержням ферм.
На рис. 179,а 'изображена статически неопределимая система, ко¬
торая на рис. 179,6 обращена в основную статически определимую.
С этой целью сделан разрез по шарниру (нарушены две связи), разрез
по затяжке (одна связь), то ригелю (три связи) и отброшена одна
опора (три связи). Таким образом, для приведения к основной системе
Рис. 180
пришлось отбросить девять лишних связей. Заданная система девять
раз статически неопределима.
Основную систему можно получать различными способами. На
рис. 179,в и г даны два других варианта. В первом из них основная
система выбрана по типу трехшарнирной арки и во втором — по типу
однопролетной балки.
Приведенная раньше, на рис. 175,а, рама однажды статически не¬
определима; на рис. 175,6 — девять раз статически неопределима (для
обращения ее в статически определимую надо сделать три разреза;
каждый из них эквивалентен отбрасыванию трех связей).
На рис. 180, а и б дан пример приведения к основной системе
статически ■неопределимой фермы. Эта ферма трижды статически
неопределима.
144

§ 52. СВОЙСТВА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Сравнивая статически определимые системы со статически неопре¬
делимыми, можно обнаружить в последних некоторые особенности.
а)	Возможность появления усилий при отсутст¬
вии нагрузки. Усилия могут появиться в результате действия
температуры, усадки материала или осадки опор.
Например, в случае неравномерного нагрева балки с заделанными
концами, положим, вверху — на t\, а внизу — на t2, она будет стре-
а)	$)
Рис. 181
миться изгибаться. Однако вследствие заделки концов деформации ста¬
нут невозможными; в балке возникнут внутренние усилия (рис. 181,а).
Свободно лежащая балка, наоборот, беспрепятственно деформируется,
напряжений в ней нет (рис. 181,6). Аналогичное положение имеет
место при усадке материала.
Рис. 182	Рис.	183
Если одна из опор балки с заделанными концами опустится, балка
изогнется и на опорах появятся моменты (рис. 181,в). В то же время
свободно лежащая балка при осадке опоры только повернется
(рис. 181, г).
б)	Большее по сравнению со статически определимыми систе¬
мами влияние местных нагрузок на все части сооружения.
При нагрузке среднего пролета трехпролетной балки (рис. 182, а)
возникнут усилия и в .крайних пролетах. В статически определимой
балке (рис. 182,6) усилия будут только в среднем пролете, а крайние
пролеты повернутся.
в)	В статически неопределимой системе некото¬
рые из элементов могут быть у далеяы или разрушены, при¬
чем система останется неизменяемой и сможет нести еще нагрузку
Ю Б. Н. Жемочкин
145

(рис. 183). В статически определимой же системе удаление или разру¬
шение любого из элементов вызывает разрушение всей конструкции.
Следует, отметить, что и в статически неопределимой системе не¬
которые связи являются безусловно «необходимыми и не могут быть
удалены без ее разрушения.
Отмеченное здесь свойство статически неопределимых систем чрез¬
вычайно важно .в эксплуатационном отношении.
А 1 X,1 ^
Рис. 184
г)	Усилия в элементах статически неопределимой системы за¬
висят от размеров сечений элементов.
Если в неразрезной балке какой-либо из пролетов сделан более
жестким (рис. 184), то положительные моменты в нем станут больше,
чем в неразрезной балке постоянного сечения, отрицательные на опорах,
наоборот, меньше.
д)	В расчетном отношении особеностью статически неопределимой
системы является необходимость задаваться предваритель¬
но размерами сечений. Поэтому иногда приходится делать
неоднократный расчет статически неопределимой системы, если сече¬
ния, подобранные по найденным усилиям, окажутся не соответствующи¬
ми тем сечениям, которыми задавались.
§ 53. ЗАДАЧИ
1.	Установить степень статической неопределимости рам, приведенных на рис. 185.
V—С о
^77'	V/№
146

2.	Установить степень статической неопределимости арок, (Приведенных на tp-ис; 486.
3.	Установить степень статической неопределимости ферм, приведенных на рис. 167,
Рис. 186
Рис. 187

ГЛАВА X
РАСЧЕТ РАМ СПОСОБОМ СИЛ
§ 54. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Напомним данное выше определение: рамой называется
стержневая система, стержни которой жестко свя¬
заны между собой во всех или в нескольких уз¬
лах.
Рамы выполняются как
в железобетоне, так и в метал¬
ле; дерево применяется реже.
Различают рамы прост¬
ранственные и плос¬
кие. На практике встречают¬
ся преимущественно прост¬
ранственные рамы, и, строго
говоря, почти все рамы явля¬
ются 'пространственными, но
для расчета их расчленяют на
плоские.
Например, система, приве¬
денная на рис. 188 и типичная
для железобетона, состоит из
элементов, расположенных
по различным направлениям,
и из плиты, связанной с этими
элементами в одно жесткое це¬
лое. Эта система всегда расчле¬
няется для расчета на плоские
рамы abcdej a'b'c'd'e f, на вто¬
ростепенные балки 1, 2, 3, 4У...
и на плиты, ими поддерживае¬
мые. Все эти элементы рассчи¬
тываются отдельно один от
другого. К такому расчленению прибегают как в случае сборных, так и в
случае монолитных конструкций.
В некоторых редких случаях пространственная система не может
быть разложена на плоские рамы и должна рассчитываться как прост¬
ранственная.
Здесь мы будем иметь в виду исключительно плоские рамы.
Рамы бывают разнообразными по размерам и по очертанию.
На рис. 189 приведены схемы часто встречающихся рам с гори¬
зонтальными ригелями.
Рис. 188
148

Одноэтажные и многоэтажные рамы (рис. 189, а, б ив) применя¬
ются в фабрично-заводских корпусах, общественных зданиях, складах.
Одноэтажные многопролетные рамы находят применение и в мостах.
Узкие многоэтажные рамы (рис. 189,г) характерны для всякого
рода башен, например для башен элеваторов.
А	 Я-
•)
7%7л	УШ
Рис. 189
г)
Иногда рамы снабжаются затяжками, работающими на растяже¬
ние и воспринимающими распор.
В особую группу следует выделить рамы специального назначения:
рамы трибун, рамы под установки механизмов и пр. По своей форме
они очень своеобразны. На рис. 190 приведена схема набережной, пред¬
ставляющей раму с наклонными стойками, и на рис. 191 — рама трибун
стадиона.
149

В большинстве случаев стойки рам жестко связаны со своими
фундаментами и имеют заделки внизу. Только простые однопролетные
и двухпролетные рамы устраивают иногда с шарнирными опорами.
Конечным итогам расчета рам является построение для них эпюр
.моментов, поперечных и продольных сил и далее под¬
бор сечений элементов.
Однако перед расчетом рамы (как и каждой статически неопреде¬
лимой системы) необходимо предварительно задаться сечениями ее
элементов или хотя бы отношениями моментов инерции, что делается
на основании первоначальных приближенных расчетов и прикидок.
§ 55. ОСНОВЫ РАСЧЕТА РАМ СПОСОБОМ СИЛ.
РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ ОДНАЖДЫ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
Идею расчета рамы проследим сначала на самом простом приме¬
ре. Предположим, что задана, рама, приведенная на рис. 192, с. Эта ра¬
ма имеет четыре опорных стержня. В то же время для определения уси¬
лий в этих стержнях мы располагаем тремя нетождественными урав¬
нениями статики. Следовательно, рама имеет один «лишний» опорный
стержень; она однажды, или, иначе, один раз, статически неопреде¬
лима.
Прежде всего превратим заданную раму в неизменяемую
статически определимую, или, как обычно говорят, выбе¬
рем основную систему. Для этого отбросим один из опорных
стержней, хотя бы горизонтальный стержень на правой опоре В, и тем
самым сделаем опору подвижной (рис. 192,6).
Полученная основная статически определимая система будет ра¬
ботать не так, «ак заданная; поэтому, отбросив стержень, приложим
одновременно в точке В неизвестную пока силу Я (распор). Силы,
заменяющие действие отброшенных стержней, часто называют лишни¬
ми неизвестными.
Направление оставшегося стержня на опоре В можно взять произ¬
вольно, он не должен быть обязательно вертикальным. Но его на¬
правление не может проходить через точку А, так как тогда система
станет изменяемой. Равным образом необязательно и силу Я прини¬
мать горизонтальной, она может быть и наклонной. Однако для удоб¬
ства вычислений желательно оставить стержень вертикальным, а силу
Я принять гаризональной.
В заданной раме в точке В была неподвижная опора, и эта точка
не могла смещаться; теперь нижний конец рамы получил возмож¬
ность горизонтального перемещения.
Для того, чтобы статически определимая система работала совер¬
шенно так же, как и заданная статически неопределимая, очевидно,
нужно подобрать оилу Я такой величины, чтобы при совместном дей¬
ствии внешней нагрузки Р и силы Я точка В не смещалась бы горизон¬
тально (вертикальному смещению препятствует вертикальный стер¬
жень). Это и позволит нам составить недостающее уравнение дефор¬
маций.
Если бы силы Я не было, то под влиянием внешней нагрузки
точка В переместилась бы горизонтально, т. е. по направлению Я на
величину &ЯР.
Правда, можно заранее, сказать, что перемещение будет не по
направлению Я, а против Я. Но гари составлении уравнения это об¬
150

стоятельство значения не имеет: просто мы получим, в результате
подсчетов, перемещение 8ЯР со знаком минус.
Часто для перемещений, вызываемых внешней нагрузкой, в целях
более резкого отличия применяют обозначение А . Так же сделаем
и здесь. Итак, перемещение от нагрузки по направлению Я равно Дяя
(рис. 193,а). Изложенными выше приемами мы можем его определить.*
Удалим теперь внешнюю нагрузку Р и приложим силу Я. Мы не
в состоянии найти перемещение по направлению Я, так как величина
силы Я нам пока еще неизвестна.
Рис. 192	Рис.	193
Поэтому поступим так. Приложим единичную силу Я=1. Под
влиянием этой силы точка В переместится на величину &я//(рис. 193,6).
От действия настоящей силы Я, а не единичной, перемещение
должно быть в Я раз больше, т. е. должно быть равно:
При одновременном действии нагрузки и силы Я перемещение по
направлению силы Я:
^8ЯЯ+ДЯР-
По условию задачи это перемещение должно быть равно нулю.
Получим уравнение:
«V + V-0-	(87)
В этом уравнении неизвестной является сила Я, коэффициент же
уравнения Ьин и свободный член Дя/> представляют вполне определен¬
ные величины.
Из уравнения (87):
Н = — —.	(88)
ьнн
151

Перемещения найдем по известной уже формуле (79) (стр. 125).
Они равны:
нн
HP
мнмр
El
dx.
(89)
(90)
Отметим, что перемещения определяются для статически оп¬
ределимой системы, причем 8ЯЯ — перемещение от единичной
силы и поэтому в формулах (89) и (90) момент ее обозначен через Мн-
В формулы (89) и (90) должны
быть подставлены выражения для
текущих значений моментов; момен¬
ты являются функциями расстояния
от начала координат.
Так как в данном случае элемен¬
ты рамы прямолинейны и имеют по¬
стоянные сечения, то можно осущест-
Б)
м
шя
Рис. 194
Рис. 195
вить интегрирование перемножением эпюр. Эпюры от единичной силы
Я и от внешней нагрузки 'приведены на рис. 194,а и б.
Для того чтобы найти §яя , нужно эпюру от Я=1 (рис. 194,а)
умножить на такую же эпюру, или, другими словами, помножить
самое на себя. Чтобы получить Дяр , надо перемножить эпюры Мн
и Мр
После того как найдем перемещения, подставим их значения в урав¬
нение и решим его. Получим величину неизвестной силы Я.
Далее остается построить окончательную эпюру моментов для
статически определимой системы от суммарного дей¬
ствия сил Р и Я (рис. 194,в). Эта эпюра и будет искомой для заданной
статически неопределимой системы, так как очевидно, что последняя
152

работает совершенно так же, как основная система с приложенной *к ней
силой Я, обеспечивающей неподвижность опоры В.
После построения эпюры моментов (нетрудно построить эпюры по¬
перечных и продольных сил.
При решении задачи мы 'перешли к основной системе, отбросив
опорный стержень на опоре В. Но можно было бы превратить раму в ста¬
тически определимую'и другими способами, например отбросить гори¬
зонтальный стержень на левой опоре (рис. 195,а) или, не отбрасывая
стержней, поместить в ригеле шарнир (рис. 195,6), т. е. нарушить не
внешнюю, а внутреннюю связь. В последнем случае мы получили бы в
качестве основной системы трехшарнирную арку. За лишнее неизвест¬
ное приняли бы пару моментов М, приложенных в шарнире.
Моменты мы нашли бы из условия, что не долЗкно быть взаимного
поворота сечений справа и слева от шарнира, или, другими словами,
из условия, что суммарное перемещение от действия всех сил по на¬
правлению М равняется нулю.
Уравнение будет иметь вид:
§ 56. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРОСТЕЙШЕЙ РАМЫ СПОСОБОМ СИЛ
Рассчитать раму, показанную на рис. 196,а, на равномерную нагрузку по ригелю.
Сечения элементов рамы приведены на рисунке.
Решение. Найдем сначала моменты инерции. Момент инерции стойки:
Ля 	 f34
0,30-0,403
12
: 0,0016 М4.
Момент инерции ригеля:
0,25-0,583
— '
12
= 0,0041 ж4.
Для расчета нужно знать не моменты инер¬
ции /, а жесткости £/. Но жесткости входят
во все формулы для перемещений. Величина
лишней неизвестной силы по формуле (88) оп¬
ределяется как частное от деления двух пе¬
ремещений. Поэтому, если все жесткости уве¬
личить или уменьшить в какое-либо число раз,
то результат не изменится. Усилия вообще за¬
висят не от истинных значений жесткостей, а
только от их отношений. Удобно принять за
единицу некоторую жесткость Е10 и разделить
на нее жесткости всех элементов.
Учитывая, что для железобетона модуль
упругости равен 200 000 кг/см2=2 000 000 т/м2,
примем, например:
£/0 = 2 000 000-0,0008 = 1 600 тм2.
£ /-5
М
< | щ ...
Значение /о взято совершенно произвольно,	Рис.	196
но так, чтобы упростить дальнейшие вычис¬
ления.
Вместо истинных значений жесткостей теперь условно будем иметь
для стойки:
£-0,0016 Л
El 12 — Е134 = ^ Л ЛЛЛО » 2;
для ригеля:
£-0,0008
£-0,0041	„
£/о3=	« 5.
2	£-0,0008
153

Эти условные жесткости и будем учитывать в расчете.
Заметим, что теперь будем получать не истинные значения всех перемещений, а
увеличенное в Е1о раз.
Действуя в том порядке, какой указан в предыдущем параграфе, превратим снж-
чала заданную раму в статически определимую, т. е. выберем основную систему. Для
этого отбросим горизонтальный стержень на правой опоре и заменим его действие
неизвестной пока силой Я (рис. 196,6).
Так как мы отбросили один стержень и приложили одну лишнюю неизвестную си¬
лу, то наша рама однажды статически неопределима. Сила Я должна быть так подоб¬
рана, чтобы узел 4 не омещался, или, другими словами, чтобы суммарное (от действия
-напрузки и силы Я) перемещение по направлению Я равнялось нулю.
6,2У тм
Это условие позволит составить уравнение:
+Дяр = 0-
Через 8////обозначено перемещение по направлению Я от единичной силы Я = 1.
Ют действительной же силы Я перемещение в Я раз больше, т. е. равно НЬ нн. Пере¬
мещение по направлению Я от нагрузки обозначено через Д#я*
Так «как в данной раме элементы прямолинейные и постоянного сечения, приме¬
ним для нахождения перемещений перемножение эпюр. С этой целью построим эпюры
от Я = 1 и от нагрузки (рис. 197).
Величина перемещения Ьнн определится перемножением самой на себя эпюры от
Я = 1. Не забудем учесть жесткости элементов:
ЬНН = + 2 “ 4 ‘ ~ + Ю-6-6 • — = 144.
Размерность не указываем, так как все перемещения выражены в условных ме-
144
.рах (действительное перемещение от Я = 1 т равно л ' =0,09 м =9 см).
1 600
Перемещение &Hq найдем, перемножив эпюры Мц и Мя
Д	•	10-18.75-6-^- = — 150.
3	5
Ордината 6 взята из прямолинейной эпюры. Знак минус объясняется тем, что обе
эпюры построены с разных сторон оси (ригеля.
454

Подставим значения перемещений в уравнение:
Я-144 —150 = 0,
•отсюда:
Размерность Н — в тоннах.
Теперь можно определить моменты во всех сечениях. Умножим ординаты эпюры
Мн на значение Я =1,04 т (рис. 198,а) и сложим с ординатами эпюры от нагрузки.
Достаточно найти моменты только в узлах, а затем от линии узловых моментов
построить параболическую эпюру свободно лежащей балки.
Суммарная эпюра дана на рис. 198,б. Эта эпюра, построенная для статически оп¬
ределимой системы, будет вместе с тем эпюрой для заданной рамы.
Рассмотрим теперь раму дважды статически неопределимую
(рис. 199,а).
Превратим ее сначала в статически определимую или выберем ос¬
новную систему. Теперь необходимо отбросить два опорных стержня, на¬
пример опорные стержни правой опоры.
Действие отброшенных стержней заменим действием двух неиз¬
вестных сил Я и V (рис. 199,6).
Эти силы следует подобрать так, чтобы правый конец рамы не
смещался ни в горизонтальном, ни в вертикальном направлении, т. е.
чтобы суммарные перемещения по направлениям Я и V от совместного
действия внешних нагрузок и неизвестных сил равнялись нулю. Тогда
статически определимая система будет работать точно так же, как и
заданная статически неопределимая.
Перемещение по направлению силы Я слагается из перемещения от
действия силы Я, равного Ньнн (где Ьнн — перемещение по на¬
правлению Я от Я = 1), из перемещения от действия V, т- е. V Ъну
(где Ъну —перемещение по направлению Я от V= 1), и .из перемеще¬
ния от действия нагрузки—Дяя. По условиям задачи такое суммарное-
перемещение равно нулю.
Перемещение по направлению силы V состоит из перемещения от
действия силы Я, т. е. Я&гя, из перемещения от действия V, равного
Vbvv , и из перемещения от действия нагрузки — Дкя Это суммарное
перемещение также равно нулю.
Следовательно, получим два уравнения, из которых найдем Я и V:
§ 57. РАСЧЕТ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ РАМ
м
Рис. 199
^HP ~ 0»
hKh+VKv +\р = 0.
455

Коэффициенты и свободные члены уравнений определим по фор¬
мулам:
-sfm
НИ
Так как стержни прямолинейные, то удобно (применить перемно¬
жение эпюр. Элюры Мн, Му и Мр
правлению Х$ является углом
приведены на рис. 200, а, б ив.
Вычисляя перемещения, бу¬
дем вводить для удобства не же¬
сткости, а только отношения же¬
сткостей, приняв	какую-либо
жесткость за единицу.
После того как найдем неиз¬
вестные силы Я и Vy построим
окончательную суммарную эпюру
моментов от всех сил. Практиче¬
ски удобно поступить так: умно¬
жить ординаты	единичных
эпюр на найденные значения не¬
известных и вновь полученные
эпюры сложить с эпюрой от на¬
грузки (рис. 200,г).
Такого же порядка расчета
будем придерживаться и при рас¬
чете более сложных рам.
Трижды статически неопре¬
делимую раму (рис. 201,а) пре¬
вратим в основную статически оп¬
ределимую (рис. 201,6), отбросив
одну из опор, например правую.
Теперь необходимо прило¬
жить три неизвестных усилия: го¬
ризонтальную силу Я, вертикаль¬
ную V и момент М. Однако при
расчете сложных рам (а иногда и
при расчете однажды статически
неопределимых) обычно неизвест¬
ные обозначают Хи Х2>...> (рис.
201,в).
В данном случае необходи¬
мо, чтобы выполнялись три усло¬
вия, а именно: правый конец ста¬
тически определимой системы не
должен смещаться ни горизон¬
тально, ни вертикально и не дол¬
жен поворачиваться, т. е. суммар¬
ные перемещения но направле¬
ниям Хи Х2 и Хъ должны быть
равны нулю (перемещение по на-
поворота).
156

Уравнения будут иметь вид:
Хг\г + -^12 + Х3813 + Aip = 0;
Х1821 + ^2^22 “Ь ^3^23 ~Ь ^2р = 0;
Xi83I 4" -^2^32 Н" ^3833 "Ь 83Р = 0.
Уравнения такого вида носят названия канонических, т. е. со¬
ставленных по определенному правилу. В их построении легко подме¬
тить некоторые особенности.
Если члены уравнений с одними и теми же неизвестными распо¬
ложить, как это здесь и сделано, один под другим, т. е. Х{ под Х\, Х2
под Х2 и т. д., то у коэффициентов по нисходящей диагонали будут оба
индекса одинаковыми (81Ь 822,...). По обеим сторонам этой диагонали
симметрично расположатся коэффициенты с взаимно переставленными
индексами; напомним, что на основании теоремы о взаимности пере¬
мещений эти коэффициенты взаимно равны (812=821, 813=83b...). Далее
видим, что первые индексы в -каждой строчке будут одинаковыми, вто¬
рые индексы — 1, 2, В то же время в каждом столбце вторые индек¬
сы будут одинаковыми, первые же— 1, 2,
157

Перемещения с парными индексами (8и, 822, ...) называются глав¬
ными, остальные — побочными.
Перемещения можем определить по формулам:
или применить перемножение эпюр (рис. 202).
После решения уравнений умножим каждую единичную эпюру на
найденное значение соответствующего неизвестного и сложим умно¬
женные эпюры, добавив эпюру от нагрузки. Получим суммарную окон¬
чательную эпюру моментов (рис. 203).
Необязательно превращать систему в статически определимую имен¬
но так, как только что было сделано. Вместо того чтобы отбрасывать
опору, можно сделать разрез по ригелю (рис. 204). Каждая из получен¬
ных частей рамы будет статически определимой.
Разрез любого элемента нарушает три внутренние связи, которые
обеспечивают возможность 'передачи продольной силы, поперечной
силы и момента. Следовательно, в разрезе необходимо приложить три
неизвестных усилия Х\, Х2 и Х%. При этом каждое усилие будет по су¬
ществу состоять из двух: одно представит действие правой части рамы
на левую, а другое — действие левой части на правую.
Условия, которые следует выполнить при нахождении неизвестных,
в данном случае таковы:
а)	суммарное перемещение по направлению Xi должно быть равно
нулю, т. е. правая и левая части (рамы не должны взаимно перемещаться
в горизонтальном направлении: не расходиться и не сближаться (хотя
горизонтальное перемещение в месте разреза возможно, но только об¬
щее для левой и правой частей);
Рис. 203
Рис. 204
158

/ /
Mi
Ш7/.
тЗ'Етг
б)	суммарное перемещение по направлению Х2 должно быть равно
нулю, т. е. правая и левая части рамы не должны взаимно перемещать¬
ся в вертикальном направлении (хотя вертикально перемещение в месте
разреза возможно, но только общее для пра¬
вой и левой частей);
в)	суммарное перемещение по направле¬
нию Хз должно быть равно нулю, т. е. не дол¬
жно быть взаимного поворота сечений в месте
разреза (хотя общий поворот правого и лево¬
го сечения в месте разреза возможен).
Эти три условия позволят составить три
уравнения. Легко видеть, что в общем виде
эти уравнения будут точно такими же, как и
написанные выше. Внешний вид уравнений не
зависит от того, какие силы приняты в качест¬
ве неизвестных.
Коэффициенты и свободные члены будут
теперь другими. Они могут быть определены
путем перемножения эпюр (рис. 205).
Неизвестные Хи X2i... не будут равны не¬
известным, найденным в первом варианте ра¬
счета, но окончательная эпюра получится, ко¬
нечно, той же самой.
Подводя итоги, приходим к заключению,
что для расчета любой рамы нужно последо¬
вательно проделать нижеследующее.
1)	Превратить раму в неиз¬
меняемую статически определи¬
мую систему, иначе — выбрать ос¬
новную систему тем или другим спо¬
собом; каждый раз следует стараться выби¬
рать такой вариант основной системы, кото¬
рый позволяет упростить решение.
2)	Приложить к основной си¬
стеме некоторые неизвестные уси¬
лия — лишние неизвестные, пре¬
пятствующие тем перемещениям, которых не
могло быть в заданной раме, но которые ста¬
ли возможными при обращении рамы в ста¬
тически определимую.
3)	Подобрать эти неизвестные
соблюдались требования задачи, а для этого:
а)	составить уравнения, .выражающие условия, что сум¬
марные (от нагрузки и от неизвестных) перемещения по направлению
каждого лишнего неизвестного усилия равны нулю;
б)	вычислить коэффициенты и свободные члены
уравнений как перемещения, пользуясь формулами или применяя пере¬
множение эпюр (перемещения определяются для статически определи¬
мой основной системы);
в)	решив совместно уравнения, найти неизвестные.
4)	Определить моменты в нужных сечениях и построить
окончательную суммарную эпюру моментов, а также эпюры
поперечных и продольных сил статически определимой
основной системы от совместного действия нагрузок и лишних неиз¬
вестных.
Рис. 205
такой величины, чтобы
159

s 58. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ И ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ
Прежде чем перейти к решению «примеров, остановимся немного
на вопросе о построении эпюр поперечных и продольных сил. Так как
с их построением мы уже встречались раньше, то здесь остается сде¬
лать только несколько замечаний и указать некоторые практические
приемы.
9
Ш///.
5
М„
к
'^щщург
А
щщг
“ш
и
Рис. 206
Предположим, что мы уже решили какую-либо раму и для нее по¬
строили суммарную эпюру моментов (рис. 206). Обозначим узловые
моменты так, как указано на рисунке: момент у узла 1 в пролете ригеля
1—2 обозначим Mi2, момент у узла 2 того же пролета ригеля — М2ь мо¬
мент у узла 2 в пролете ригеля 2—3 — М2г и т. д. Аналогично примем
обозначения и поперечных сил.
Начнем построение эпюры Q с ригеля. Выделим пролет 1—2 и бу¬
дем рассматривать его независимо от прочих элементов как однопро¬
летную балку (рис. 207). На эту балку действует равномерно распре¬
деленная нагрузка q и моменты по концам М12 и М2\. Моменты указаны
положительными (вызывающими растяжение нижних волокон), хотя
из эпюры моментов видно, что эти моменты должны быть отрицатель¬
ными. Полезно запомнить, что, когда мы хотим получить решение в об¬
щем виде, надо во избежание ошибок в знаках все величины считать
положительными; учитывать знаки следует потом, при пе¬
реходе к числам.
160

Поперечная сила у левой опоры, равная левой опорной реакции,
определится из условия равенства нулю суммы моментов относительно
правой опоры. Она равна:
Qi2 = ^ = <&-J712- + J7i-.
*12 *12
причем через Q°2 обозначена поперечная сила для свободно лежащей
балки от нагрузки; в данном случае:
по Якг
Чп- 2	•
Аналогичная формула приводилась раньше в «Сопротивлении мате¬
риалов», при изучении неразрезных балок.
Поперечная сила у правой
опоры равна правой опорной реак¬
ции с обратным знаком:
<4,	”	-" м“
Здесь:
Л12
12
I
X
12
Рис. 207.
Подставив значения моментов
с их знаками, найдем Q12 и Q21 и
построим эпюру Q в пределах
элемента 1—2.
Далее перейдем к следующе¬
му пролету 2—3. Опять выделим его из рамы и будем рассматривать
как однопролетную балку с нагрузкой в пролете и с моментами по кон¬
цам. Таким путем можно построить эпюры Q по всем элементам и на¬
чертить полную эпюру.
Изложенный способ связан, однако, с некоторым риском сделать
ошибки в знаках. Поэтому укажем и другой прием.
Напомним, что поперечная сила есть производная момента:
<? =
dM
dx
наклона
Геометрически поперечная сила представляет тангенс угла
линии, ограничивающей эпюру М:
Q = tga.
Если бы пролет 1—2 представлял собой свободно лежащую балку
без нагрузки моментами по концам, то поперечная сила на левой опоре
была бы:
% = -^1г-.
Таков был бы и тангенс угла наклона линии, ограничивающей эпю¬
ру М свободно лежащей балки.
Но в данном случае парабола в эпюре М построена не от горизон¬
тальной, а от наклонной линии узловых моментов. Значит, необходимо
в QJ2 ввести поправку на угол наклона линии узловых моментов. Раз¬
ность абсолютных величин моментов Мц и М12, деленная на пролет, оп¬
ределит величину тангенса этого угла. Поправку следует отнять от
11 Б. Н. Жемочкин
161

Q\2 , так как в раме касательная к эпюре М в узле 1 идет более полого,
чем в эпюре М свободно лежащей балки; эпюра как бы повернута про¬
тив часовой стрелки. Если бы М2\ был по абсолютной величине меньше
чем М\2> то поправку, наоборот, пришлось бы прибавить.
Итак:
q __		l^2il IM12I qo 	IM21I —1^12!
^12	12	/12
В этой формуле предполагаются абсолютные величины моментов;
их можно взять непосредственно из чертежа.
У правого узла поперечная сила по абсолютной величине равна
правой опорной реакции. Поправку на узловые моменты теперь следует
прибавить к опорной реакции, так как касательная к эпюре М идет
круче, чем в свободно лежащей балке.
Найдя абсолютные величины поперечных сил у узлов, установим
знаки, помня, что, если эпюра .моментов восходящая, то попереч¬
ная сила отрицательная; если эпюра моментов нисходящая,
поперечная сила положительная. У левого узла эпюра моментов
нисходящая, следовательно, поперечная сила будет положительной.
У правого узла эпюра моментов восходящая, поэтому перед выраже¬
нием поперечной силы поставим знак минус:
|До , \Mn\-\M12\l_QQ	\М21\-\М12\'
l\2 J 21 ll2
Q21 = —
В следующем пролете по абсолютной величине |Л/23| > |М32|; эпюра
свободно лежащей балки как бы повернута по часовой стрелке. Слева
эпюра М идет круче, чем в свободно лежащей балке, а справа положе.
Поэтому при нахождении абсолютной величины поперечной силы Q23
следует поправку на моменты приложить к опорной реакции свободно
лежащей балки, а для Q32 вычесть из опорной реакции. Определив аб¬
солютные величины поперечных сил, установим знаки. Слева эпюра М
нисходящая, а потому возьмем Q23 с плюсом; справа эпюра М восхо¬
дящая, и для Q32 надо принять знак минус.
Получим:
q __	1^2з1	IM32I qo ^ |Мгз1 \М32\ в
^23	^28
Q == 	 Г ДО 	 1^2з1 IM32II _ QQ IM23I IM32I
L	^23 J 32	^23
Зная поперечные силы по концам пролетов, построим эпюру Q и в
пролетах.
Покончив с ригелем, перейдем к вычислению поперечных сил по
стойкам.
По стойке 1—4 эпюра М ограничена прямой, следовательно, по¬
перечная сила должна быть постоянной. Она равна тангенсу угла на¬
клона линии, ограничивающей эпюру М. По абсолютной величине
IQuI = IQ41I = *-.
*14
Если смотреть на стойку 1—4 справа, то эпюра М восходящая1
(от 4 к 1)\ если смотреть слева, эпюра М также восходящая (от 1 к 4).
1 Это станет ясным, если повернуть рисунок так, чтобы стойка 1—4 приняла го*
ризонтальное положение,
162

Следовательно, здесь поперечная сила отрицательная; знак Q не зави-<
сит от того, с какой стороны мы смотрим на стойку. Но от положения
точки зрения условного наблюдения зависит, в какую сторону откла¬
дывать ординаты эпюры Q. Если смотреть на стойку справа, то отри¬
цательные ординаты надо откладывать вниз, т. е. вправо. Если смотреть
слева, то отрицательные ординаты надо откладывать опять вниз, т. е.
влево.
Так как неудобно на эпюрах указывать место условного наблюда¬
теля, то нужно принять за правило обязательно ставить на1
эпюрах Q знаки; откладывать же ординаты эпюры Q по стойкам
можно вправо или влево — безразлично.
В средней стойке:
|Q25| = |Q52| = Hki±JM
‘*5
Так как эпюра М «исходящая, поперечная сила положительная.
В правой стойке по тем же соображениям поперечная сила поло¬
жительная:
IQshsI -=*|Qes| =
*86
Найдя поперечные силы, построим всю эпюру Q (рис. 208).
Такой способ построения эпюр Q представляет в первое время
некоторые затруднения, но с практической точки зрения он имеет боль¬
шие преимущества, так как поперечные силы определяются непосред¬
ственно по эпюре моментов, не приходится думать о знаках, не нужно
прибегать к каким-либо формулам, все данные получаются наглядно
из чертежа. В результате вероятность ошибок невелика.
Для 'нахождения продольных сил следуеть вырезать последо¬
вательно узлы, начиная с того, в котором сходятся только два элемента.
Вырежем узел 1 (р>ис. 209). На него передается от ригеля попереч¬
ная сила Q12 и от стойки Qh. Чтобы не делать ошибок в направлениях
поперечных сил, полезно запомнить правило:	положительная
поперечная сила должна быть направлена так, чтобы вращала
узел по часовой стрелке, отрицательная — против
часовой стрелки.
Поперечная сила Q12 положительная, ее следует направить по ча¬
совой стрелке, т. е. вниз. Поперечная сила Qu отрицательная — напра¬
вим ее против часовой стрелки, т. е. вправо.
Кроме поперечных сил, на узел действуют продольные силы; N12 и
Nu. Проектируя силы на горизонтальную ось, найдем, что Nx2 сжимаю¬
щая сила, равная:
^12 = Ql4*
Если спроектировать силы на вертикальную ось, то:
^14 = Ql2*
Далее вырежем узел 2. К нему приложены поперечные силы и уже
найденная продольная сила М12. Из условий равновесия найдем Л^э
и N25.
В узле 3 остается сделать только проверку:
^23 = Фзб*
При построении эпюры N отложим ординаты перпендикулярно осям
элементов (рис. 210,а).
11
163

ШГГГГтт^ 2
!» ,
1
И!
1® ®\
■®\
> и
Рис. 208
' \
в,г
-
*1»
Рис. 209
32
Рис. 210

В какую сторону откладывать ординаты — совершенно Аезрязлйчно.
Можно откладывать ординаты и в обе стороны от осей (рис. 210,6).
Но во всяком случае необходимо ставить на эпюреЛ^знаки,
При расчете рам принимают обычно за положительные сжимающие
продольные силы.
§ 59. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ РАМ
Пример 1. Рассчитать двухпролетную раму, нагруженную в левом пролете по ри*
гелю равномерно распределенной нагрузкой (рис. 211,а). Жесткости (в условных еди¬
ницах) указаны на рисунке. Данная рама дважды статически неопределима.
Решение. Для получения основной системы отбросим среднюю стойку (в которой
ввиду наличия шарниров могут возникать только продольные усилия) и правый гори¬
зонтальный опорный стержень.
Заменим действие отброшенных связей действием неизвестных сил Н н V
(рис. 211,6).
Уравнения наттишем, исходя из условий, что суммарные «перемещения по направо
лениям Я и V равны нулю:
и//^+д/у<7 в°;
НЪ у У!	у у *4" Д Уд = 0 .
Переходя к вычислению перемещений, построим единичные эпюры для основной!
статически определимой системы от Я = 1 и от V = 1, а также эпюру от нагрузку
(рис. 212,а, бив).
Перемещения будут равны:
6*6 1 1
*нн = + 2*— ‘4 ’ Y +24*6 6 у = + 360;
24 6 „	1
—- -6 • —= + 144;
2	3	^
126
2
24-1С8
1
уу =+2 •	2	*4*	3	=	+	86;
нд
bVq	2-
2
12108
. 1	2	1
4	- —	— • 12-54-3. —- — 2160,
w.	..А...	О
165

6
6
в)
Рис. 212
Рис. 213

Подставим найденные значения в уравнения:
36Э//+ 144К —3 456 = 0;
144// + 96 V — 2160 = 0.
После упрощения уравнений и их решения получим:
Н = + 1,5 т;
У = + 20,25 г.
Умножим единичные эпюры на значения неизвестных (рис. 213) и сложим с эпю¬
рой от нагрузки. Достаточно найти только . узловые моменты, а затем от линии узло¬
вых моментов построить параболическую эпюру для свободно лежащей балки 1—2.
Суммарная эпюра моментов приведена на рис. 214,а.
22,50
Далее вычислим поперечные силы:
Л 3-12	22,5	— 9
Qi2=—	~2	+16,87 г;
ГЗ-12	22,5 — 91
<?»=-[— + —^ j =-19,13 г;
22.5 — 9
Q23 = +
12
1,13 Т;
9
O41 = — g — — 1,50 г;
Qes = + —= + 1,50 г.
Эпюры Q и N приведены на рис. 214,6 и в.
IG7

Пример 2. Рассчитать однопролетную раму на вертикальную равномерно распре¬
деленную нагрузку по ригелю и горизонтальную сосредоточенную силу в левом верх¬
нем узле (рис. 215,а). Эта рама трижды статически неопределима.
Решение. Основную систему для решения можно выбрать, отбросив одну из
опор (рис. 215,6),
1,5 т
£1-3
> 2, Ч т/м
£ 1*2
1
г
VO
J
■ 9 м
Рис. 215
Отбро&Гм, например, (правую опору я приложим здесь три неизвестных усилия:
горизонтальную силу Х\, вертикальную Х2 и момент Х3. Легко убедиться, однако, что
такое решение будет слишком сложным. В самом деле, все единичные эпюры (рис. 216)
таковы, что, перемножая их, нигде не получим нуля; ни одно из побочных перемеще¬
нии не обратится в нуль.
Между тем здесь можно применить более удачное решение, если воспользовав¬
шись тем, что рама симметричная, принять для ее решения симметричную статически
определимую систему.
Для этого следует разрезать ригель в середине и приложить три неизвестных
усилия Х\, Х2 и X*—продольную силу, поперечную силу и момент. При этом каждое
усилие будет состоять из двух: одно из них представит действие правой части на ле¬
вую, а другое — действие левой части на правую (рис. 217).
Составим три уравнения: одно уравне¬
ние выразит условие, что суммарное пере¬
мещение по направлению Х\ равно нулю
(т. е. что нет взаимного перемещения сече¬
ния в разрезе в горизонтальном направле¬
нии), другое — что суммарное перемещение
по направлению Х2 равно нулю (нет взаим¬
ного смешения сечении в вертикальном на¬
правлении) и, наконец, третье. — что сум¬
марное перемещение по направлению Х&
равно нулю (нет взаимного поворота сече¬
ний).
Уравнения будут иметь вид:
+ Ла$12 “г *з*!з + &\р = 0;
X 1^21 + X2^22 Ч" ^3^23 4“ ^2Р =
^1*31 + -^2^32 4" ^3^33 + Азр = 0.
mum пмп
S
х.
W777y
Рис. 217
168

Построим единичные эпюры и эпюру; от нагрузки _(рис. 218). Вычисляя перемеще¬
ния, видим, что при умножении эпюры Afi на эпюру М2 получается нуль, а следова¬
тельно, blt =0. В самом деле, умножение левых и правых частей дает результаты
одинаковые, но с разными знаками. Заметим, что эюра Мх симметрична относительно
вертикальной оси, эпюра же М2 — обратно-симметрична. Обратно симметричной (по¬
лярно-симметричной, косо-симметричной) мы называем такую эпюру, которая при из¬
менении знака в одной половине превращается в симметричную. Перемножение
симметричной элюры на обратно - симметричную всегда дает
нуль.
Очевидно, что:
&12 = %1 ™ fcjS = &32 “ 0.
Тогда система уравнений упростится и примет вид:
ХАг	+Xsbls + Alp = 0;
Х2&22	+ &2р =
ХАг	+ Х9Ьп +	=	0.
Удачным выбором основной системы мы не только добились уменьшения числам
коэффициентов, но, кроме того, систему из трех совместно решаемых уравнений разби¬
ли на две самостоятельные системы: в одну входят первое и третье уравнения с неиз¬
вестными Х\ и Аз, а другая состоит только из одного уравнения с неизвестными Х2*.
которое, таким образом, может быть определено независимо от других неизвестных.
Вычислим перемещения:
6-6	1
»и- + 2-у-4-у = + 72;
6	6	1
*13 = — 2 • — • 1 • —	18;
84,«=+2-6-4,5-4,5.4-+2.	•3-4",=	+	141,75;
3
6-6 1 6-6 1
Д.,	2 . у . 24,3*— - — • 6 . у	491.4;
Д гР	у-4,5. у--60.75;
Д„ = + 2-6.24.3-1-у + у-1 • у + у -24,3-9-1-у= +183.6.
Эпюру от нагрузки по левой стойке мы разбили на прямоугольник и треугольник;
при вычислении Д^ перемножили сначала прямоугольники по стойкам с эпюрой М», а»
затем с той же эпюрой треугольник: при вычислении У4*™ только треугольник, такл
как остальная часть эпюры Мр при умножении на М2 дает нуль.
Подставим перемещения в уравнения:
72ЛГ1 — 18Х8 —491,4 = 0;
141,75Х2 —60,75 = 0;
— 18Х1 + 9Л, + 183,6-0.
Решив уравнения, получим:
Х\ = + 3,45 т;
= +0,429 г;
*,« — 13.50 тм.
1691

/ I
ay77
Рис. 219
8,87 _
g.g7|V
12,73
ниr
i
Л7
JU
2,83
7t97£
12,73
Ю.37
L95\
6)
©
^^Тт^чцЩ1Щ^5
11,23 !
©
©	i!5
7.J7,
И
m
y?	t77ZT/
Рис. 220
11,23

Умножим единичные эпюры <на значения неизвестных (рис. 219). В эпюре Ms .при¬
дется отложить ординаты в обратную сторону по сравнению с единичной эпюрой Л1»,
так как момент Ха отрицательный.
Сложим эти эпюры с эпюрой от нагрузки. Получим суммарную эпюру моментов,
приведенную на рис. 220,а.
На рис. 220,6 и в приведены эпюры Q и N.
§ 60. ПРОВЕРКА ПРАВИЛЬНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР
После построения окончательной суммарной эпюры моментов необ¬
ходимо сделать проверку правильности этого построения.
Прежде всего следует удостовериться в том, что узлы рамы нахо¬
дятся в равновесии, следовательно, сумма моментов в любом узле
равна «улю.
Ограничиваться такой проверкой, конечно, нельзя, так как она
представляет лишь контроль суммирования эпюр и отнюдь не под¬
тверждает правильности решения задачи в целом.
Гораздо важнее убедиться в соблюдении тех условий, которые яв¬
ляются «сходными при составлении уравнений деформаций.
Например, рассчитывая рамы в примере 1 предыдущего параграфа
(см. рис. 211), мы ставили условие, что суммарное перемещение по на¬
правлению силы V равно нулю.
Получив окончательную эпюру моментов (см. рис. 214,а), можем
считать, что она построена для статически определимой основной систе¬
мы (см. рис. 211,6), к которой приложены найденные силы Я и V и на¬
грузка.
Проверим, не смещается ли в такой системе средний узел 2 в вер¬
тикальном направлении. Очевидно, что для этого следует приложить
единичную фиктивную силу по направлению искомого перемещения
(т. е. вертикально) и вычислить:
В этой формуле под Мр подразумевается момент от всех сил, при¬
ложенных к основной системе, включая силы_Я и V, другими словами,
Мр — момент, взятый из эпюры рис. 214,a. Mv—момент от силы V=\.
Вместо вычисления интеграла можно применить перемножение
эпюр; именно суммарную эпюру моментов (см. рис. 214,а) умножить на
единичную эпюру от К = 1 (см. рис. 212,6).
Для умножения разобьем суммарную эпюру в первом пролете ри¬
геля на два треугольника и параболу, во втором пролете — на два
треугольника. Не забудем учитывать жесткости элементов. Получим:
.2.-L+	.4.-L	_	±	. 12-54-3- — +
2	3	2	3	3	3
+ 22,|-12 .4._L + 9_12.2..L=r 36 + 180 — 432+ 180 + 36 =0.
Таким образом, действительно средний узел ае смещается в верти¬
кальном направлении; одно из исходных условий выполнено. Для про¬
верки другого условия (перемещение по направлению Я равно нулю)
следует уможить суммарную эпюру (см. рис. 214,а) на единичную эпю¬
ру от Н—\ (см. рис. 212,а). Опять получим нуль.
171

Делаем общее заключение: при умножении окончатель¬
ной суммарной эпюры моментов на любую единич¬
ную эпюру (с учетом жесткостей) должен получаться в
результате нуль или то перемещение, которое в данной раме
должно иметь место (например, в раме с затяжкой, если для расчета
она была отброшена, перемещение опоры равно удлинению затяжки).
Практически обычно получается не нуль, а достаточно малая ве¬
личина в зависимости от точности расчета. Величину ошибки в про¬
центах можем получить, разделив результат на сумму абсолютных ве¬
личин слагаемых. Если бы, например, в разобранном примере мы полу¬
чили не нуль, а, положим, 2, то ошибка была бы:
=	=	0,0023	=	0,23	«/о.
36+ 180 + 432+ 180 + 36	864
На практике невязка до 1% я даже до 2% вполне допустима.
Умножать окончательную эпюру можно не только на ту единич¬
ную, которая была взята для расчета, но на любую единичную эпюру,
которая только относится к данной раме.
В примере 2 можно было бы взять основную систему не по рис. 217,
а по рис. 215, поэтому проверка будет сделана, если умножить оконча¬
тельную эпюру (см. рис. 220,а) на любую эпюру рис. 216.
Для того чтобы проверить расчет рамы, нужно сделать столько
умножений, сколько раз рама статически неопре¬
делима. Получая каждый раз нуль (в пределах точности расчета),
придем к заключению, что рама решена правильно, если, конечно, верно
построены единичные эпюры. Поэтому надежнее применять не те еди¬
ничные эпюры, которые служили для расчета, а какие-либо иные, при¬
чем среди них не должно быть тождественных.
При проверке правильности построения эпюры Q следует убе¬
диться, что во всех сечениях Q = tgat, где а—угол наклона линии, огра¬
ничивающей эпюру М. Отчасти можно использовать и уравнение равно¬
весия: так, сумма поперечных сил в стойках должна
быть равна горизонтальной проекции нагрузки.
Эпюра N проверяется исследованием условий равновесия попе¬
речных и продольных сил. Сумма продольных сил в стойках должна
быть равна вертикальной проекции нагрузки.
При расчете каждой рамы очень важно вести все вычисления самым
тщательным образом и организовать непрерывный контроль вычисле¬
ний. Для проверки полезно повторять вычисления.
Решив уравнения, следует подставить значения неизвестных обя¬
зательно во все уравнения и проверить, удовлетворяются
ли они.
После окончания расчета рекомендуется проверить равновесие всей
системы, учитывая реакции опор и внешнюю нагрузку.
§ 61. УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА РАМ.
ПРИМЕНЕНИЕ ЖЕСТКИХ КОНСОЛЕЙ
Расчет каждой рамы всегда требует выполнения некоторой вычис¬
лительной работы.
Чем больше эта работа, тем больше вероятность ошибок. Вычисле¬
ния должны вестись с максимальной точностью, особенно при реше¬
нии уравнений, так как ошибка в вычислениях на несколько процен¬
тов может вызвать ошибку в окончательных результатах на десятки
процентов, а иногда совершенно исказить эти результаты.
172

Поэтому вопрос об удачном выборе основной системы представляет¬
ся очень важным; при удачно выбранной системе сокращается вычис¬
лительная работа и упрощается решение-
Основную систему всегда следует выбирать так, чтобы возмож¬
но больше побочных перемещений обращалось в
нуль, чтобы возможно больше было взаимно нулевых единичных эпюр,
т. е. эпюр, которые при перемножении дают нуль. Понятно, что только
побочные перемещения типа Ьк1 могут обращаться в нуль, главные же
перемещения типа bkk, являющиеся интегралами квадратов, никогда в
нуль не обращаются.
Особенно желательно добиваться расчленения совместно решае¬
мой системы уравнений на самостоятельные системы.
В примере 2 § 59 мы уже видели, что расчет симметричной рамы
значительно упрощается, если выбирать симметричную основную систе¬
му- Тогда единичные эпюры будут или симметричными, или обратно¬
симметричными; при перемножении симметричных эпюр на обратно¬
симметричные получатся нули. В результате система совместно решае¬
мых уравнений распадется на две самостоятельные системы; в одну из
них войдут только симметричные 'неизвестные, в другую — обратно-сим¬
метричные.
Поэтому, как общее правило, для симметричной рамы
следует обязательно выбирать основную систему
с и м м ет'р и ч н о й.
Можно получать взаимно нулевые эпюры и в 'несимметричной раме.
Исследуем раму, изображенную на рис. 221,а. При расчете такой
рамы естественно принять основную систему, отбросив правую опору
и заменив ее действие двумя силами Xt и Хг (-рис. 221,6).
Уравнения будут такими:
Xi*u + ^2®i2 + Д1р= 0;
Хх821 + Х2§22 + ^2р = 0.
Необязахельно, однако, принимать неизвестные силы вертикальной
и горизонтальной. Неподвижность правой опоры может быть обеспече¬
на, если для неизвестных сил принять наклонные направления. Пусть
Xi будет горизонтальной силой, а Хг наклонной, пересекающей стойку
на трети высоты (рис. 221,в).
Но в таком случае единичные эпюры (рис._222) окажутся взаимно
нулевыми, так ка« умножение площади эпюры М, на нулевую ординату
из эпюры Mz даст нуль, следовательно, &х2=0.
Уравнения деформаций получат вид:
*Ах + ^ip = 0;
-^2^22 Н* ^2р ~ 0-
Система уравнений распалась на два самостоятельно решаемых
уравнения.
Иногда могут принести существенную помощь ж.есткие кон¬
соли.
Допустим, что при расчете трижды статически неопределимой рамы
(рис. 223) мы сделали разрез в середине ригеля и приложили здесь
продольную силу Xi и поперечную — Хг. Добавим к раме справа и сле¬
ва от разреза бесконечно жесткие консоли и к концам их на трети вы¬
соты стойки приложим третью неизвестную силу Х3 (рис. 224,а). Такая
сила вполне заменит момент в разрезе, ее действие эквивалентно дей¬
ствию в разрезе момента и некоторой продольной силы.
179

Очевидно, что силы Хи Х2 и Х3 всегда можно подобрать такой ве¬
личины, чтобы жесткие консоли были прижаты друг к другу на всем
своем протяжении. Но тогда рама с разрезом должна деформировать¬
ся так же, как и рама без разреза (рис. 224,6); перемещения (взаимные
смещения сечений) по направлению неизвестных будут равны нулю.
Рис. 222
Рис. 221
Рис. 223
Выгода применения жестких консолей видна из рассмотрения рис.
225, на котором приведены единичные эпюры. Эпюры в пределах консо¬
лей не чертим, так как все равно при перемножении этих эпюр получим
нуль (в знаменателе Е1= со).
Эпюра М2 обратно-симметрична, эпюры же Мх и М3 симметричны;
при умножении эпюры М2 на Mi и М3 результаты будут равны нулю.
Эпюры /И] и М3 также взаимно нулевые, так как против центра тяжести
эпюры Mi приходится нулевая ордината в эпюре М3.
В данном случае все побочные перемещения обратятся в нуль.
Уравнения будут:
*Ai + ^p = 0;
Х2822 + Д2р = 0;
•^3^83 "Ь ^3р — 0.
т

Система уравнений распалась на три самостоятельных уравнения.
Жесткие консоли «применимы
и в несимметричных рамах. Для
рамы, изображенной на рис. 226,а,
выберем такую основную систему.
Сделаем разрез в левом верхнем
а)
ZZZ7,
Рис. 224
Рис. 225
узле и приложим здесь силы .Xj и Х2 (рис. 226,6). У разреза добавим
жесткие консоли и к концам их приложим две силы Хъ с таким расче¬
том, чтобы их направления проходили через сечение ригеля, находя¬
щегося на расстоянии 1/3 от правой заделки, и через сечение стойки
на трети ее высоты.
Все единичные эпюры окажутся взаимно нулевыми (рис. 227).
Само собой понятно, что те упрощения, о которых сказано в на¬
стоящем параграфе, предполагают наличие некоторых навыков у рас¬
считывающего раму. Имея такие навыки, можно выполнить расчет
любой рамы с минимальной затратой труда и времени.
В заключение отметим, что некоторое упрощение вычислений может
быть достигнуто, если при построении эпюр принимать не единич¬
ные силы.
Предположим, что дана какая-либо рама (рис. 228,а). В единич¬
ной эпюре (рис. 228,6) .верхняя ордината будет равна 4,36. Изменится
ли что-нибудь, если вместо силы Я, равной единице, мы приложим ка¬
кую-либо другую силу, например равную 2? Легко видеть, что в таком
случае перемещение Ънн увеличится в 4 раза, а перемещение Дир — в
2	раза. Сила Я, найденная в результате решения уравнения, окажется
в 2 раза меньше. Но, когда мы умножим единичную эпюру с ордината¬
ми, в 2 раза большими, на найденное значение Я, в 2 раза меньшее дей¬
ствительного, то результат останется тот же самый; без изменения бу¬
дет и окончательная эпюра М.
175»

II
Рис. 228
Рис. 229

Значит,-сила Я при построении единичной эпюры может быть при¬
нята не равной единице, а какой угодно. Желательно приложить такую
силу, чтобы ординаты эпюры выражались удобными числами. Напри¬
мер, хорошо иметь вверху ординаты не 4,36 , а 6 (рис. 229), что позволит
упростить вычисление перемещений. Чему будет равна при этом сила
Н — нам совершенно безразлично. Но, конечно, она не представит дей¬
ствительной величины распора и явится условной силой.
Отсюда заключаем, что на единичных эпюрах можно
писать для упрощения вычислений любые ординаты, но орди¬
наты в пределах казкдой отдельной эпюры должны быть увязаны между
собой.
Можно пойти дальше для упрощения вычислений: при построении
отдельных эпюр (единичных и от нагрузки) для одной и той же рамы
принимать различные основные системы. Окончательная сум¬
марная эпюра от этого не изменится.
§ 62. ГРУППОВЫЕ НЕИЗВЕСТНЫЕ
При расчете сложной симметричной рамы основную систему обя¬
зательно следует выбирать симметричной. Но этого мало. Легко видеть,
что, если в раме, приведенной на рис. 230,а, мы отбросим опорные
стержни и приложим вместо них неизвестные силы, то эпюры не будут
взаимно нулевыми (рис. 230,6 и в).
Поэтому примем за неизвестное Xt не одну силу, а одновременно
две, приложенные симметрично (рис. 231,а). За Х2 примем две силы,
расположенные обратно-симметрично: одну силу, направленную вверх,
другую — вниз.
Таким образом, левая вертикальная реакция будет равна сумме1
сил (Xi+^2). правая — их разности.
Неизвестные, состоящие из двух или из большего числа сил, будем
называть групповыми неизвестными.
Заметим, что на рис. 231 показаны не четыре неизвестных силы, а
только две.
К понятию о групповых силах можно прийти также, если исследо¬
вать алгебраические преобразования, состоящие в замене неизвестных.
С групповыми силами мы, собственно, встречались и раньше, но не
обращали на это внимания. Действительно, на рис. 217, 224 и 226 пока¬
заны в сущности групповые силы, так как каждая неизвестная сила со¬
стоит из двух.
Выгода применения групповых сил очевидна. Если начертим еди-1
личные эпюры (рис. 231,6 и в),' то заметим, что одна эпюра будет сим-i
метричной, а другая — обратно-симметричной. Перемещение их даст
нуль и перемещение 812= 0. Получим два самостоятельных уравнения.
Под групповым перемещением будем подразумевать сум¬
му перемещений по направлениям сил, составляю¬
щих группу. Так, например, 8и представит сумму перемещений по
направлениям правой силы X, и левой силы Xi от действия обеих сил.
Для более сложной симметричной рамы (рис. 232,а) опять выбе¬
рем основную систему симметричной и приложим групповые неизвест¬
ные (рис. 232,6). Группу X] составим из двух горизонтальных симмет¬
ричных сил; Х2—из двух горизонтальных обратно-симметричных (на¬
правленных в одну сторону); Х3 — из двух вертикальных симметричных
сил (направленных кверху), Х4 — из двух вертикальных обратно-сим¬
метричных сил (одна вверх, другая вниз).
12 Б. Н. Жемочкин
177

а)
6)
б)
'Ш57,
*}
Рис. 230
Рис. 231
Х9

Все единичные эпюры получим исключительно или симметричными,
или обратно-симметричными (рис- 233). Симметричные эпюры будут
взаимно нулевыми с обратно-симметричными-
И
Очевидно:
*12	*14	“	*23	=	*34 = 0.
Вместо четырех совместно решаемых уравнений:
*1*11 + *2*12 + *3*13 + *4*14 + ^1 р = 0'»
ХгЪ21 + *2*22 + *3*23 + *4*24 + &2р = 0*»
*1*31 + *2*32 + *3*33 + *4*34 + ^3р = О*,
*1*41 4“ *2°42 4" *3°43 4“ *4°44 4“ ^4р = 0
получим две самостоятельные системы уравнений. В одну систему вой¬
дут только симметричные неизвестные, в другую — только обратно-сим¬
метричные:
*i*u “Ь *з*1з “Ь ^ip =
*1*31 “Ь *з*зз 4“ Азр = 0;
*2*22 4- *4*24 4“ Ь2р = 0;
*2*42 4" *4*44 4“ ^4р = 0
Разница в количестве вычислительной работы в том и другом слу¬
чае очень велика.
После того как решим уравнения и найдем неизвестные, умножим
каждую эпюру на значение соответствующего неизвестного и сложим
вновь построенные эпюры с эпюрой от нагрузки.
12*
179

§ 63. ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ ПРИ ПОМОЩИ
ГРУППОВЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ
Требуется рассчитать трехпролетную раму (рис. 234,а) на равномерно распреде¬
ленную нагрузку в двух пролетах.
Решение. Превратим раму в статически определимую основную систему, отбросив
крайние. опары и приняв вместо заделок на средних anopaix шарнирные опоры
<рис. 234,6).
Приложим групповые /неизвестные. Нег.рупповой будет только сила Х\.
I
Я
Рис. 234
Единичные эпюры и эпюра от нагрузки приведены на рис. 236. В единичных эпю¬
рах написаны произвольные ординаты, чтобы «по возможности избежать дробей. Наибо¬
лее часто среди ординат встречается цифра 6, как очень удобная (число 6 кратно 2 и 3).
Из рисунков непосредственно видно, что одни эпюры симметричные, другие обрат¬
но-симметричные.
Следовательно:
&13 = ^15 = ^23 = ^25 ~ ^34 = &45 = 0.
Система из пяти уравнений распадается на две самостоятельные системы. В олну
войдут только симметричные неизвестные:
-^1^11 “Ь ^2^12 “Ь <^4^14 + ^lq = 0;
^1^21 + *2^22 + *4^24 + ^2*7 = 0;
Xlhl + *2*42 + ХА4 + в О'
В другую войдут только обратно-симметричные:
Х3&33 + Х5й35 + Д3 q = 0;
+ ^5^55 Н“ Дб<7 = 0.
180

Вычисляем перемещения обычным путем, причем эпюру от нагрузки разложим
на треугольники и параболы. В результате получим:
6-9	1	1
5ц = 2*	*4*	^	^	+16-6-6--^- = + 288;
6-9	1	1
^12 — 2* ~т~ *3*	-f 16-6-3-—— = + 180;
2	1,5	4
fi14 = — 16-6-6-“ = — 144;
Ь22 = 2-3*9-3--—- +16-3*3*	= + 144,
1.5	4
Ъ2А = — 1б-6-3-^- = — 72;
12*6	1 _	1
и44
= 2-— -4. — +16-6-6.- = + 240;
1	-3*8	1
&33=2-3.9.3. — +2. — .2.— = + 120;
3-8	1
*»—2Т'4'Т—24;
-4-J-+2' у - + 144;
4„.(iip_f,6.«).e	-|	=	+	704;
4„_!<l±«,.-L =+28e;
/144-12	2	\	1	/144-16	2	\
Д., — (-2-4-3-36.12.3) Т- (—- Т-64.16)х
Хб- — = — 1 568;
4
, 144-12 .	2		\	1	144-16	Л	1
^ 2
Подставим в' уравнения*
Д5л = — (—	4-—.36-12-3 •—— —	*2	= — 1440.
ъд \ 2	3	/	3	2	4
288Хх + 180Х2 — 144Х4 +	704 = 0;
180^ + 144X2— 72Х4 +	352 = 0;
—144Xj — 72Х2 + 240Х4 — 1 568 = 0;
120Х3 —24Х5+	288	=	0;
—	24Х3 + 144ХГ) — 1 440 = 0.
Решив уравнения, найдем;
+2,145; Х4 = +7,391;
Х2 = — 1,430; Х5 = +9,931.
Х3 = — 0,414;
Умножая единичные эпюры на значения неизвестных, получим эпюры, изображен¬
ные на рис. 236.
182

Сложим эти эпюры и добавим эпюру от лагрузки. Достаточно найти только орди¬
наты в узлах, а затем к линиям узловых моментов добавить эпюры от нагрузки для
свободно лежащих балок. Окончательная суммарная эпюра 'моментов приведена на
4 Ча/
А
V PI w
К — А
%
ТШТТПТПТТТТГГГ,—
ш
6)
8,66
у,53 3.0SJ
17,1,0 И
?*" X
т
© W
Г Г» IT 1 1 1 14 1 1 ! 1 1 Г 1 ! ITI 1 11
/5,34
d
о)
: m
; 0 п.ьо
,1.43 ®
: 143
в
©
X
\
3274
/5,87
У
33=
/Л
Рис. 237
рис. 237,а. В целях ее проверки можем умножать ее на единичные эпюры. Каждый раз
будем получать нуль.
Имея эпюру Му построим эпюры Q и N (рис. 237,6 и в).
§ 64. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НАГРУЗОК
При расчете симметричных рам иногда применяют разложение
нагрузки на симметричную и обратно-симметричную. Этим дости¬
гается только упрощение вычислений, но степень статической неопреде¬
лимости рамы не снижается, рав¬
ным образом не обращаются в нуль
коэффициенты.
Покажем, как выполняется та¬
кое разложение.
Предположим, что к симмет¬
ричной раме приложена несиммет¬
ричная нагрузка (рис. 238).
Вместо силы Р приложим две
Р
силы, — располагая их симметрич¬
но (рис. 239,а), а затем такие же
силы но расположенные обрат¬
но-симметрично (рис. 239,6).
у/////.
у/Ма
Рис. 238
183

а)
\!
/
_
<
-IE
1 j
тт
Рис. 241
Рис. 240

Нагрузку q\ заменим нагрузками-^ приложенными симметрично
(рис. 239,а), и нагрузками ^ (Рис* 239,6), из которых левая действу¬
ет в том же направлении, а правая в обратном. Аналогично поступим
и с нагрузкой q2.
Очевидно, что, если сложить симметричную и обратно-симметрич¬
ную составляющие нагрузок, то получим заданную нагрузку.
Вычертив для основной системы отдельно эпюры от симметричной
и обратно-симметричной составляющих, убедимся, что при умножении
симметричных единичных эпюр на эпюру от
обратно-симметричной нагрузки получим
нуль. Точно так же получим нуль при умно¬
жении обратно-симметричных единичных
эпюр на эпюру от симметричной нагрузки.
Поэтому при вычислении перемещений от на¬
грузки приходится учитывать.только какую-
нибудь одну составляющую нагрузки: или
симметричную, или обратно-симметричную-
Рассчитывая раму, приведенную на рис.
240,а, выберем основную систему, отбросив
на каждой опоре по одному опорному стерж¬
ню (рис. 240,6). Нагрузку разложим на сим¬
метричную и обратно-симметричную и вы¬
чертим эпюры от них отдельно. Неизвестные
Х\ и Х2 -примем групповые. Эпюры приведе¬
ны на рис. 241.
Когда будем вычислять перемещения от
нагрузки, то умножим эпюры от Х\ и Хъ на
симметричную эпюру Р\ а эпюру от Х2 —
на обратно-симметричную эпюру Р"
Эти действия проще, чем умножение на одну общую эпюру от на¬
грузки.
Нетрудно убедиться, что если к раме вообще приложена только*
симметричная нагрузка, то все обратно-симметрич¬
ные неизвестные равны нулю. Если, наоборот, нагрузка только
обратно-симметричная, то все симметричные неизвест¬
ные равны нулю.
Разберем такой пример. Предположим, что к раме приложена на¬
грузка в виде сосредоточенной силы в верхнем узле (рис. 242,а). Раз¬
ложим эту нагрузку на симметричную и обратно-симметричную*
(рис. 242,6 и в). Видим, что симметричная -составляющая не дает ника¬
ких моментов (если пренебрегать продольными деформациями) и отра¬
жается исключительно на продольных силах. Значит, для решения нуж¬
но учесть только обратно-симметричную составляющую.
Если при выборе основной системы сделать разрез в середине ри¬
геля, то можно сразу сказать, что от обратно-симметричной нагрузки
симметричные неизвестные (продольная сила и момент) в разрезе рав¬
ны нулю. Неизвестной останется поперечная сила, решать придется
только одно уравнение.
Если же мы не применим разложения нагрузки, то вынуждены бу¬
дем составить и решить три уравнения, причем одно из неизвестных най-
р
дем равным нулю (момент в середине ригеля), а другое равным — (про¬
дольная сила в ригеле).
а)
Рис. 242
185*

Во избежание излишней работы следует разложить нагрузку обя¬
зательно до обращения рамы в статически опреде¬
лимую.
§ 65. РАСЧЕТ РАМ НА ДЕЙСТВИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
При расчете рамы на действие изменения температуры придержи¬
ваемся следующего порядка.
Превращаем данную раму (рис. 243,а) в статически опреде¬
лимую, т. е. выбираем основную систему. В местах отброшенных свя¬
зей прикладываем неизвестные силы (рис. 243,6).
Далее подвергаем статически определимую систему действию
температуры.
а)	^	6)	Х1	При совместном дейст-
~ '	“““	вии температуры и лишних
неизвестных суммарные
перемещения по направле¬
ниям неизвестных должны
быть равны нулю:
ХгЬп -f Х2512 “Ь \t =
Xx82i + Х2&22 + ^2/ = 0.
Ут.и уравнения отличаются от встречавшихся раньше тем, что вме¬
сто перемещений от нагрузок в них входят, как -свободные члены, пере¬
мещения от действия температуры. Температуру .нужно от¬
считывать от той температуры, которая была в момент постройки рамы.
Особенность расчета рам на действие температуры заключается
только в определении температурных перемещений; в остальном задача
решается так же, как и в случае действия нагрузок.
Для перемещений от действия температуры мы уже вывели ранее
формулу (80) (стр. 125):
Здесь_/„ — температура нагрева нижних волокон и tB —верхних,
причем Mk считался положительным. Сейчас такое условие нам ,не нуж¬
но. Если более -нагреты те волокна, которые растягиваются от действия
момента Mk (т. е. если деформации одного знака), то подынтегральное
выражение нужно считать положительным. Если же, наоборот, более на¬
греты волокна, сжатые от действия момента, — подынтегральное выра¬
жение отрицательно.
Поэтому нет надобности писать (^н—^в); можно заменить:
—*в.
где A t — разность температур крайних волокон.
Введем также обозначение:
J.
~ 2 ’
где t—средняя температура нагрева данного элемента.
При расчете рам обычно считают положительными сжимающие
продольные силы; поэтому в первом интеграле следует изменить знак.
Так как продольные силы от узла к узлу не меняются, Nk можно вы¬
нести за знак -интеграла.
Ъ77/.
Рис. 243
186

Наконец, учтем, что >в расчете все перемещения принимаются уве¬
личенными в Е10 раз, причем Е10 — жесткость, принятая за единицу.
Следовательно, и температурные деформации следует увеличивать в
Е10 раз.
Таким образом, формулу для температурных перемещений в рамах
удобнее представить в следующем виде:
а)
а* = « 2 [- Nk J tdx+ j Mk EI0
-10°	n
(91)
J*■ -w32м -
+30 £M
EM5
у/Л/л
+30° X. T	\x,
+30°
16m
12m •
! -i
Рис. 244
6 2
® г
Т'Т
«
1
д
гл
■л
_ 1
-/6м
£Г
e
©
hm°-$
-12»
Рис. 245
Если в пределах от узла до узла температура постоянная и сечение
не изменяется, то:
АУ/ + у j AVx ] EI0.	(92)
Но \Mkdx — площадь эпюры моментов Мк; обозначим ее через ш*.
Тогда окончательно:
л* = « Е [- лу/ + О), М. ] £/0.	(93)
Пример.	Рассчитать раму, решенную в § 63 (стр. 180) на	неравномерный	нагрев
ригеля: вверху на	—10°, внизу на +30° и стоек на +30° (рис.	224,а).	Воспользуемся
теми данными, которые были получены в § 63.
Рама «предполагается железобетонной; коэффициент линейного температурного
расширения а =0,00001. Высота сечений ригеля: в крайних пролетах h =100 см, в
среднем — h= 110 см. Жесткость, принятая за единицу, £70 = 20 000 тм2.
187

Решение. Основную систему примем такую же, как и в § 63. Так как деформация
рамы симметричная» то обратно-симметричные неизвестные Х3 и X5 равны нулю. Оста-
ются только симметричные неизвестные (рис. 244,6).
Построим эпюры единичных про¬
дольных сил и моментов, взяв эпю¬
ры последних из § 63 (рис. 245).
Единичные перемещения были оп¬
ределены:
Ьп = + 288;
^12 ■ + 180;
&1А = —144;
522 = + 144;
= -72;
&44 = + 240.
В единичных эпюрах были принять»
произвольные ординаты.
Найдем теперь «по формуле (93) перемещения от действия температуры. При этом.
+ 30° — 10°
учтем, что средняя температура нагрева ригеля t—		—:— = +10°; средняя тем
пература нагрева стоек / =+30°; разность температур для ригеля Д t= _|_30°— (—10°)=;
=40°;
hlt — о ,00001
Д2/ = 0,00001
Д4/ = 0,00001
[-i
[+2-0,
10-16 — 16-6
40
1,10
• 20000 = —719,5;
20 000 = — 349,1;
5-30-9 + 2
12-6	40
+16-6-
40
1,10
2 1,00
20 000= + 1 328,2.
Составим уравнения:
288Хх + 180Х2— 144Х4 —719,5 = 0;
180*! + 144Х2 — 72Л:4 — 349,1 = 0;
—	144Xi — 72Х2 + 240Л:4 + 1328,2 = 0.
Решив уравнения, получим:
*! = — 0,457;
Х2 = +0,107;
Х4 = —5,776.
Умножим единичные эпюры на значения неизвестных и сложим их. Окончательная
эпюра моментов приведена на рис. 246.
Если в целях проверки »будем умножать эту эпюру на единичные эпюры, то полу¬
чим не нуль, а температурные перемещения с обратными знаками.
По эпюре М нетрудно построить эпюру Q и эпюру N.
§ 66. РАСЧЕТ РАМ НА ОСАДКУ ОПОР
Расчет рам на осадку опор имеет много общего с расчетом на дей¬
ствие температуры. Коэффициенты уравнений остаются теми же са¬
мыми, что и при расчете на нагрузку или на действие температуры,
свободными же членами являются перемещения, вызванные оса дко й.
Проследим приемы расчета на примере.
188

Пример. Рама, приведенная на рис. 247,а, деформируется вследствие осадки пра¬
вой опоры в вертикальном направлении на величину/=• 0,5 см. Требуется рассчитать
раму и построить эпюру моментов, вызванных осадкой. Жесткость, принятая за еди¬
ницу, £70=30 000 тм2.
Решение. Превратим раму в статически определимую, отбросив правую опору.
Приложим здесь две неизвестные силы Х\ и Х2 (рис. 247,6). Внешняя нагрузка отсут¬
ствует. Под влиянием этих сил правый конец ригеля должен переместиться вертикаль¬
но на величину/.
Следовательно, можно составить уравнения, исходя из условий, что суммарное
(от действия Х\ и Х2) перемещение по направлению Х\ равно нулю, а по направлению
Х2 равно—/ (осадка происходит по направлению, противоположному действию си¬
лы Хг, поэтому у/ знак минус). Так как все перемещения в наших подсчетах увеличе¬
ны в Е10 раз, то во столько же раз надо увеличить и осадку.
Итак, уравнения:
+ ^2^12 —
ры
*^1^21 4“ ^2^22 — —
На рис. 248 показаны единичные эпю-
Ординаты их взяты произвольными.
Вычислим перемещения:
8п = Т'2'Т= + 18:
3-6	1
$12 = — -3-— = + 27;
1
&22 = 3-6-3 • Y +
зло 2 JL _
2 ' 2 “
= +69.
Необходимо сделать следующее замечан-ие.
Когда мы ведем расчет на действие температуры, то эпюры с про¬
извольными ординатами используем для вычисления и коэффициентов
и свободных членов уравнений. Поэтому, принимая произвольные орди¬
наты, мы получаем совершенно правильные результаты.
Здесь дело обстоит иначе.
При расчете на осадку свободные члены являются заданными;
их не приходится определять перемножением эпюр. Ввиду этого, при¬
нимая произвольные ординаты эпюр, мы рискуем сделать ошибку. Не¬
обходимо или строить эпюры от сил, действительно равных единице, или.
189

наоборот, соответствующим образом изменить свободные члены. Их надо
изменить .во столько раз, во сколько изменены ординаты единичных
эпюр тех неизвестных, по направлениям которых заданы перемещения.
В нашем «случае перемещение задано по направлению Х2. Ординаты единичной
3
эпюры неизвестного составляют — ординат эпюры, построенной от Х2='\. Поэтому
3
свободный член второго уравнения — осадку — следует умножить также на ~ То,
что для эпюры Х\ мы приняли произвольные ординаты, на свободном члене не отра¬
зится.
Уравнения будут:
18Хх + 27Л:2 = 0 ;
27*! + 69Х2 = — 0,005-30 OOO.-77- = — 45.
10
Решение уравнений дает:
Хг= + 2,368;
Х2 = — 1,579.
Умножим единичные эпюры на значения неизвестных и сложим. Получим оконча¬
тельную суммарную эпюру, вызванную осадкой (рис. 249).
Рамы вообще очень чувствительны к осадке опор. Но в однопролетных рамах с
шарнирными опорами осадка опор в вертикальном направлении усилий не вызывает.
§ 67. ЗАДАЧИ
1.	Выбрать основные системы для рам, приведенных на рис. 250. Построить еди¬
ничные эпюры.
2.	Рассчитать рамы, приведенные на рис. 251. Начертить суммарные эпюры М,
Q и N.
3.	Рассчитать раму, приведенную
на рис. 252, на действие температуры.
Принять:	модуль	упругости Е =
= 200 000 кг/см2, коэффициент темпера¬
турного расширения « = 0,00001.
4.	Показать (без расчета) характер
суммарных эпюр М для рам, приведен¬
ных на рис. 253.
5.	Показать (без расчета) характер
суммарной эпюры М для рамы, при¬
веденной на рис. 254,а. Показать, как
изменится эпюра, если увеличить жест¬
кость правой стойки.
6.	Показать (без расчета) характер
суммарной эпюры М для рамы, приве¬
денной на рис. 254,6 от осадки правой
опоры в вертикальном направлении без
поворота.
a
Рис. 250
6 m
Рис. 251
190

Рис. 252
~\tZ 	J
ШЯ7.
VZTZ.	Z7777.
^77%
Рис. 253
я
п
*>/////■
I
Рис. 254

ГЛАВ А XI
РАСЧЕТ РАМ СПОСОБОМ ДЕФОРМАЦИЙ
§ 68. ОСНОВЫ РАСЧЕТА РАМ СПОСОБОМ ДЕФОРМАЦИЙ
Рассчитывая раму способом сил, за 'неизвестные принимают
сил ы; рассчитывая ж-е раму способом деформаций (или, иначе,
способом перемещений), за неизвестные принимают деформации:
углы поворота узлов и их смещения.
Чтобы понять идею способа, разберем следующий простой пример.
Рама, изображенная на рис- 255,а, трижды статически неопреде¬
лима. Несмотря ни на какие упрощения, мы должны были бы для ее
расчета составить и решить три уравнения. Бели же же рассчитывать
эту раму способом деформаций, то придется искать только одно неиз¬
вестное: угол поворота узла 1. Определив его, можем вычислить
затем моменты и построить эпюру моментов.
В способе деформаций, как и в способе сил, расчет нужно начинать
с выбора основной системы.
В способе сил выбирается статически определимая основная си¬
стема, поскольку она хорошо изучена и легко может быть рассчитана.
В способе же деформаций принимается статически неопределимая ос¬
новная система, состоящая из ряда однопролетных балок с заделанны¬
ми концами, т. е. также система, хорошо изученная.
Для перехода к основной системе добавим в узле 1 дополни¬
тельное закрепление, препятствующее повороту этого узла (рис. 255,6).
Если приложить к раме нагрузку Р, то в этом закреплении возникнет
некоторый реактивный момент. Назовем его Rip. В действительной раме
узел не имеет закрепления и внешний момент к нему не приложен.
Дадим поворот узлу на некоторый уголерх. При этом реактивный
момент изменится. Нам нужно так подобрать угол поворота, чтобы соб¬
людалось условие задачи, а именно чтобы в добавленном закреплении
реактивный момент стал равным нулю.
Обозначим реактивный момент^ возникающий в закреплении от уг¬
ла поворота на единицу при отсутствии нагрузки, через гп (рис. 256).
От угла поворота, равного не единице, а <рь реактивный момент
будет:
?i •г а-
От совместного действия нагрузки и угла поворота реактивный мо¬
мент:
?iru + Rip-
Этот суммарный реактивный момент по условию должен быть равен
нулю.
192

Рис. 257
Рис. 260

Получим уравнение:
¥iru + #iP=0.	(94)
Из этого уравнения найдем срх.
Единичная эпюра моментов от -поворота узла 1 на единицу пока¬
зана на рис. 257,а. Сумма ее ординат в узле равна реактивному моменту
в закреплении — гп.
Эпюра моментов от нагрузки, если узел 1 лишен возможности
’7" 1
/
/
/
/
/
/
/
/
2W, $#7/.
Ш1
~У
I
I
поворота, представляет обычную эпюру для балки с заделанными кон¬
цами (рис. 257,6). Левая ордината эпюры — Rlp.
После того как решим уравнение (94) и найдем угол поворота срь
умножим все ординаты единичной эпюры на найденное значение <?i и
сложим с эпюрой от нагрузки. Получим окончательную суммарную
эпюру моментов для заданной рамы (рис. 258).
При расчете рамы способом деформаций приходится находить
столько неизвестных углов 'поворота, сколько рама имеет узлов
(не считая опорных).
В раме, изображенной на рис. 259,а, число неизвестных углов пово¬
рота равно единице (?i)> в рамах рис. 259,6 и в число неизвестных
равно трем (срь ср2 и ср3).
Если узлы рам могут «е только поворачиваться, но еще и сме¬
щаться (рис. 260), то, кроме углов поворота, следует принять за не-
194

известное и смещение. Обычно мы пренебрегаем продольными де¬
формациями элементов и считаем длину каждого элемента неизменяю-
щейся; поэтому в раме рис. 260 мы должны принять, что все узлы ри¬
геля могут смещаться на одну и ту же величину, неизвестное смещение
8 будет только» одно.
В сложной раме может быть не одно, а несколько н е з а в и с и м ы х
смещений. Их число легко найдем, если поставим во всех узлах ра¬
мы шарниры и подсчитаем, сколько степеней свободы имеет полученная
изменяемая система. Число степеней свободы будет равно числу не¬
зависимых смещений. Этот прием основан на
том, что как бы ни изгибались элементы ра¬
мы, расстояние между узлами по концам лю¬
бого прямолинейного элемента (или длина
так называемой хорды) остается неизменным.
Система с шарнирами в узлах состоит как бы
из хорд элементов.
Для определения числа степеней свободы
надо узнать, сколько связей превращают ус¬
ловную изменяемую систему в неизменяемую.
В раме, изображенной на рис. 261,а, число
независимых смещений равно единице, в раме
рис. 261,6 — двум, в раме рис. 261,в — четырем
(в шарнирной системе надо добавить четыре
связи, чтобы сделать ее неизменяемой).
Нетрудно подсчитать общее число неизвестных в любой раме. Так,
в раме, показанной на рис. 262, число углов поворота — семь, число
смещений — три; всего неизвестных 7+3=10.
Для расчета рам способом деформаций необходимо уметь находить
реактивные усилия в добавленных узловых закреплениях от нагруз¬
ки, от углов поворота (когда поворачивается один узел, другие
же неподвижны) и от смещений. Достаточно вывести формулы толь¬
ко для одного элемента — для балки. При выводе формул нам придется
установить некоторые правила знаков для моментов и реакций. Реко¬
мендуется вначале придерживаться этих правил.
Рис. 262
§ 69. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В УЗЛАХ
Примем за положительные углы поворота, направленные по часо¬
вой стрелке. Продолжительными смещениями будем считать такие, ког¬
да элемент, у которого смещаются узлы, поворачивается по часо¬
вой стрелке. В соответствии с этим сле¬
дует считать реактивные моменты по¬
ложительными, если они направлены
по часовой стрелке, а реакции поло¬
жительными, если образуемая ими
пара также направлена по часовой
стрелке.
а)	Реакции от поворота
узла. Предположим, что левая опо¬
ра балки с заделанными концами
(рис. 263) получила поворот на едини¬
цу. Само собой понятно, что мы гово¬
рим о повороте на единицу только условно — для удобства вычислений,
на самом же деле повернуть конец балки на 1 радиан, т. е. на 57°
нельзя.
Рис. 263
13*
195

Считая реактивные моменты Ма и М6 положительными, направим
их по часовой стрелке.
Освободимся от опорных закреплений и перейдем к балке, свобод¬
но лежащей на опорах, к которой приложены моменты Ма и Мь
(рис. 264). Найдем углы поворота аир. Затем приравняем первый угол
поворота единице, а второй — нулю. Составим таким образом два урав¬
нения, из которых определим искомые реактивные моменты.
Углы поворота можно находить
обычным приемом, применяя пе¬
ремножение эпюр. Но проще приме¬
нить графоаналитический способ,
ОС
I
изученный в «Сопротивлении материалов». По этому -способу углы по¬
ворота равны поперечным силам от фиктивной моментной
нагрузки, деленным на жесткость EI.
Получим:
Mai . JL . J
3
а =
EI
—	. — = 1-
3	EI
вJL	J_. _L = о
2	-3	El	2	3	El
После преобразований:
Из уравнений:
Введем обозначение:
погонной жесткостью.
Окончательно:
2Ма-Мь = 6^~ ;
-Ма + 2 Мь = 0.
Е1
М= 4
7
Mb = 2Е.
EI
1
1
оэф
фици
ма
= 4/;
Mh
= 2 i.
(95)
(96)
Эпюра моментов показана на рис. 265. По эпюре моментов нетрудно
установить поперечные силы и опорные реакции. Левая реакция будет
196

направлена вниз, правая — вверх. Так как образуемая ими пара на¬
правлена против часовой стрелки, реакции нужно считать отрицатель¬
ными. Поэтому:
К
А = В = — —
1
(97)
6) и
* Г
гО
61
Т
v
121
Г
Рис. 267
Если в одном из узлов шарнир (рис. 266,а), поступим аналогич¬
ным образом, но составим только одно уравнение (рис. 266,6):
2	3	EI
откуда:
Ма = 3-^-
или:
Ma = 3L
Эпюра моментов приведена на р^ис. 266,в.
Опорные реакции:
А = в = — iL.
(98)
(99)
б)	Реакции от смещения. Предположим, что правый узел
балки с заделанными концами сместился на величину 8= 1 (рис. 267,а)'
или левый конец поднялся на 8=1, причем узлы не повернулись.
197

Перейдем опять к свободно лежащей балке (рис. 267,6), к которой
приложены моменты Ма и Мь. Для того чтобы не было поворота узлов,
углы между касательными к изогнутой оси и хордой Должны быть
а	1
равны: а=р=	.
Следовательно:
а =
Р»
MJ
2
MJ
Mbl
El
El
2
Mbl
_1__
3
2
El
Уравнения получат вид:
2	Ma-Mb =
-Ma + 2МЬ =
Отсюда:
2 3
El
6 El
6 i
/2
I ’
6El __
6/
/2
I
l
I
(100)
Эпюра моментов приведена на ри-с. 267,г.
Опорные реакции:
(101)
Обратим внимание на то, что А и В на рис. 265 представляют реак¬
тивные усилия от единичного угла поворота. Моменты же на рис. 267,г—
реактивные моменты по- направлению углов поворота от единичного
тт	6/
смещения. И те, и другие одинаковы и равны	-
Таким образом, равные численно деформации вызывают
равные численно реакции. Здесь имеет приложение теорема о
взаимности реакций, аналогичная теореме о взаимности перемещений.
Если в одном из углов шарнир (рис. 268,а), ограничимся одним
уравнением (рис. 268,6):
El
Отсюда:
«л	3/
М. =	.
“	I
(102)
198

Опорные реакции:
Л = s= + ii.
(103)
Эпюра моментов приведена на рис. 268,г.
®) Реакции от нагрузки. В том случае, когда на балку с
заделанными концами действует равномерно распределен¬
ная нагрузка <7 (рис. 269), опорные моменты, как известно, равны
ч— При этом левый реактивный момент направлен против часовой
стрелки, т. е. против положительного угла поворота, следовательно, его
нужно считать отрицательным. Правый реактивный момент будет 'поло¬
жительным.
*Г\"'
Г*
*)
i
а
"1
_1
4
I
-м
Моменты равны:
Ма =
12 ’
Мь =
12
(104)
А = — В = 3L.
(105)
/
К
Правую опорную реакцию мы сочли отрицательной, так как если
балка получит поворот по часовой стрелке, то смещение узла В будет
против действия силы В. Эту реакцию надо считать отрицательной и
потому, что она стремится вращать балку против часовой стрелки.
Поскольку способы определения реактивных усилий для различ¬
ным образом загруженных балок с заделанными концами подробно
рассмотрены в «Сопротивлении материалов», мы на них не останавли¬
ваемся. Для удобства расчетов приводим таблицу реактивных уси¬
лий.
199

N«
Схема
Эпюры моментоб
Реантидные
моменты
Опорные
реакции
1
'Л * Г
г- ^\2i
ма~+ Hi
я= -Ц-
Вт- &
д* > *5
4i
Mb*+Zi
2
£>"в/ JT
Ма * + 3i
л*,
3LС
«-f
О
ил
I't т,
М — —
ма~ Т
М —
ь~ Т
I* :
J
1 \|Т
0
м
J. г—^
Маш~ Т*
«i-v.
Т
а 1
В-+ $
5
М9 =*^Г
в* -lL
2
6
А*
в" в
Ят* J4l
B.-j9i
я\ iB
	,
7
J
<\а r
мо*~ ТГ
мья*^
я p
я\ kB
3
в
<\а1
т n
*6
1 'а /Л
* a *
\ Ат?
*k hB
м /(/
в~7&Р
§ 70. РАСЧЕТ РАМ С НЕСМЕЩАЮЩИМИСЯ УЗЛАМИ
Предположим, что нужно рассчитать раму, приведенную на
рис. 270,а.
В качестве неизвестных примем углы поворота узлов 2 и 3— ср1т
?2 И ср3.
Перейдем к основной системе, добавив в узлах дополнительные за¬
крепления и лишив их тем самым возможности поворота (рис. 270,6).
В этих закреплениях (связях) возникнут от нагрузки реактивные мо¬
менты.
Начнем теперь вращать узлы; реактивные моменты будут изменять¬
ся. Подберем такие углы поворота, чтобы реактивные моменты стали
равными нулю. Тогда наша система с добавленными связями будет ра¬
ботать так же, как и заданная рама.
Напишем в виде уравнений условия, что суммарные (от нагрузки
и от углов поворота) реактивные моменты равны нулю.
От поворота на единицу узла 1 в закреплении этого узла возникнет
момент ги, а от поворота на <pi—реактивный момент у\гп. От пово¬
рота на единицу узла 2 в закреплении узла 1 возникнет момент ri2, а от
поворота на ср2— ?2^12- От нагрузки в закреплении узла 1 возникнет
момент R\p .
200

V777Z
Нужно, чтобы сумма указанных моментов равнялась нулю. Это ус¬
ловие даст первое уравнение.
Напишем затем условие, что сумма реактивных моментов в закреп¬
лении узла 2 равна нулю; проделаем то же самое и для узла 3.
Получим такую систему к а-
нонических уравнений:
Wn + ?2ri2 + ?3Г13 + Rip = 0;
fir П. + fir22 + far23 + #2р = 0;
fyTsi + f2rS2 + Тзгзз + Rzp = 0.
Определим коэффициенты и
свободные члены уравнений.
Сообщим поворот только одно¬
му узлу 1 на единицу; в других уз¬
лах ввиду их закрепления поворотов
не будет (рис. 271,а).
Эпюру моментов построим на
основании данных предыдущего па¬
раграфа. У узла 1 моменты будут:
в ригеле—4^2, в стойке — 4iis; у уз¬
ла 2—момент 2il2. Погонные жестко¬
сти выписаны с индексами, указыва¬
ющими номера узлов по концам. Так
как узел 2 закреплен, изгиб в пре¬
делах пролета 2—3 невозможен, а потому в узле 3 момент не возник¬
нет.
Повернем затем на единицу узел 2 (рис. 271,6). Эпюра моментов
появится в пределах первых двух пролетов ригеля и второй стойки.
Наконец, дадим поворот узлу 3 (рис. 271,в).
в)
v/уЛ?
Рис. 270
п
*)
\
6
7
V////A
W7Z/.
7Ш7/,
*>/////■
7
УУ//УЛ
Рис. 271
201

•Поскольку моменты в элементах рамы у каждого узла должны
уравновешиваться с внешним моментом (реактивным моментом в за¬
креплении), нетрудно найти все реактивные моменты.
Из рис. 271,а:
гп = 4/12 + 4/15 = 4 (/12 4* /15);
r2j = 2/12;
Гэг = 0.
Из рис. 271,6:
ru == r2i = 2/12;
г22 = 4 (/12 + /2з + «2б);
^32 = 2^23.
Из рис. 271,в:
>13 = “0;
^23 = >*32 = 2^23»
г33 = 4 (/23 + ^*34 + *37)-
Если начертим эпюру от нагрузки* рассматривая каждый , пролет
ригеля как балку с заделанными концами, можем найти свободные
члены уравнений, являющиеся реактивными моментами в узлах от на¬
грузки (рис. 272). В каждом узле реактивный момент определится как
разность моментов от загрузки обоих пролетов ригеля справа и слева.
Особенное внимание следует обращать на знаки реактивных моментов.
Подставим коэффициенты и свободные члены в уравнения и раз¬
решим их.
Определив углы поворота <р , умножим каждую единичную эпюру
на значение соответствующего неизвестного и результаты сложим меж¬
ду собой, добавив эпюру от нагрузки. Получим окончательную суммар¬
ную эпюру моментов (рис. 273).
Проверка правильности построения окончательной эпюры очень
проста: достаточно убедиться, что моменты в каждом узле уравно¬
вешиваются, так как при составлении уравнений мы исходили имен¬
но из этих условий.
Решая задачу, мы приняли за положительные углы поворота по
часовой стрелке. Сделано так для удобства, но это совершенно необя¬
зательно: можно было любые направления углов поворота прини¬
мать за положительные. При расчете симметричных рам иногда удобно
принимать в качестве неизвестных групповые углы поворота, причем
входящие в одну группу углы поворота могут иметь противоположные
направления.
202

Подводя итоги, заключаем, что для расчета рамы способом дефор¬
маций нужно проделать следующее.
1.	Выбрать основную систему, добавив дополнительные
связи.
2.	Сообщить узлам неизвестные пока углы поворота.
3. Подобрать эти углы поворота такими, чтобы со¬
блюдались условия задачи, для чего:
а)	составить уравнения, выражающие условия, что сум¬
марные (от нагрузки и от углов поворота) реактивные моменты в до¬
бавленных связях равны нулю;
б)	вычислить коэффициенты и свободные члены
уравнений;
-в) решить уравнения и н-айти углы поворота.
4. Определить моменты и построить эпюру момен¬
тов, а также эпюры поперечных и продольных сил.
Как видим, несмотря на разницу между способом сил и способом
деформаций, в них все же много общего. То, что говорилось выше о по¬
рядке расчета рам способом сил (стр. 159), может быть применено и к
способу деформаций, но слова «перемещения», «деформации» должны
быть заменены словами «усилия» или «силы» и обратно.
Действительно, выбирая основную систему в способе сил, мы от¬
брасывали связи и давали свободу перемещений; теперь же мы добав¬
ляем связи и предоставляем свободу возникновения усилий. Там мы при¬
кладывали неизвестные силы; здесь же сообщаем неизвестные дефор¬
мации (углы поворота). Там мы исходили из условий, что суммарные
перемещения равны нулю; здесь же —что суммарные реактивные уси¬
лия равны нулю и т. д.
§ 71. РАСЧЕТ РАМ СО СМЕЩАЮЩИМИСЯ УЗЛАМИ
Исследуем теперь более сложный случай рамы с узлами, которые
могут смещаться (рис. 274,а).
Выберем основную систему. Для
этого опять поместим в узлах допол¬
нительные закрепления (рис. 274,6).
Они должны препятствовать толь¬
ко поворотам узлов, но не сме¬
щениям. При вертикальных стойках
их нужно предполагать выполненными,
как показано на рис. 275. При наклон¬
ных же стойках связи необходимо из¬
менить так, чтобы они не препятство¬
вали перемещениям узлов в наклонном
направлении. Кроме того, добавим в
узле 1 опорный стержень А, лишаю¬
щий узлы возможности смещаться.
За неизвестные примем углы по¬
ворота ?!, срг и ср3 и смещение узлов
в горизонтальном направлении 8. Бу¬
дем считать 8 положительным, если
узлы переместятся вправо, так что
стойки (вернее — их хорды) повер¬
нутся по часовой стрелке.
Как и раньше, составим канонические уравнения. Но теперь в пер¬
вом уравнении добавим реактивный момент 8 • г1а , возникающий в
закреплении узла 1 от смещения. Во втором и третьем уравнениях до¬
бавим соответственно — 8 r2fl и 8 г3а.
Рис. 274
203

Уравнений будет четыре, так как придется составить еще уравне¬
ние, выражающее условие, что суммарное реактивное усилие в добав¬
ленном опорном стержне равно нулю.
В уравнениях опустим члены, содержащие гп, так
как из предыдущего известно, что они равны нулю.
Получим:
Рис. 275
?irii + «РЛа	+	Ка	+	Rip = О
?1Г21 4" ?2Г22 + ?3?23 + ^Г2а + %2р = О
?2Г32 4" 9зГ33 4" °ГЗа 4" Кзр — О
9iral 4- 'Маг + Ыл + Ка + #ар = 0.
Сообщим последовательно поворот одному узлу 1 (рис. 276,а), да¬
лее узлу 2 (рис. 276,6) и узлу 3 (рис. 276,в). Затем сместим узлы на
21 ч >i>
2i„
2i,
-
Ш2
/'б£« /Лб^г
j	j	lis
•У/Wf'	WS///
Рис. 276
204

S	= 1 при условии, чтобы одновременно не было поворота узлов
(рис. 276,г). Наконец, построим эпюру моментов от нагрузки (рис. 277).
Имея единичные эпюры, найдем все реактивные усилия; в том чис¬
ле усилия в добавленном опорном стержне. Эти усилия, положитель¬
ны, если направлены вправо (в направлении положительного 8), что
увязывается с таблицей на стр. 200 (элементы АВ теперь будут стойка¬
ми рамы). Можно также по эпюрам моментов находить в добавленном
стержне усилия, приравнивая их поперечным силам вверху стоек.
Из рис. 276,а:
Гп = 4 (*„ + i14);
^21 —
fal = —
Из рис. 276,6:
6*14
/ !4
=* 2iv
>*22 = ^ (**12 Н” *23 4“ **2з)»
Г 32 == 2/$>
Га2= —
*23»
6/2->
Из рис. 276,в:
Из рис. 276,г:
25
>*23 = Г32 — 2/23;
>*зз = 4(/2з + >зб)»
	 6/8Г)
' аЗ — f
6/] 4
>*la = >*al=— 7“
* 14
Г2а — Гл2
^23
6/о,
	 у _ 	 оо •
'За — ' аВ	t	э
/зб
12iu , 12«25 , 12<зц _ , 9 V 1
*« = -7- + 7- + -Т-- 12Zj~F
‘14	*2К	‘3fi	*
14	‘25	‘36
Реактивные усилия от нагрузки найдем как опорные моменты в бал¬
ках с заделанными концами, причем для узла 2 придется взять раз¬
ность моментов слева и справа (рис.
277). В добавленном горизонтальном
опорном стержне возникнет реактивное
усилие только от горизонтальной силы
Ро.
Rap — Ро-
Вообще усилие Rap равно проек¬
ции нагрузки на горизонтальную ось.
Если горизонтальная нагрузка прило¬
жена к какой-либо стойке, усилие Rap
равно опорной реакции стойки, для че¬
го надо рассматривать стойку как бал¬
ку с заделанными концами.
Подставим коэффициенты и сво¬
бодные члены в уравнения и решим их. Умножим единичные эпюры на
найденные значения неизвестных и сложим с эпюрой от нагрузки. Полу¬
чим окончательную суммарную эпюру моментов.
205

Для проверки ее необходимо убедиться, что узлы находятся в р а в-
н о веси и. Возможна еще проверка: сумма поперечных сил внизу
стоек равна проекции нагрузки на горизонтальную ось.
В таком же порядке рассчитывается рама с двумя независимы¬
ми смещениями (рис. 278, а). В основной системе необходимо до¬
бавить два стержня, препятствующих смещениям (рис. 278,6). Неиз¬
вестные будут— <рь ср2, Тз, ?4, и Реактивные усилия опреде¬
ляются так же, как и в раме с одним смещением.
Необходимо в данном случае обратить внимание на одну деталь. Когда дадим
смещение нижним узлам на &a=il, -следует считать переместившимися и верхние узлы
на .1, чтобы деформировались исключительно нижние стойки.
Таким образом, под Ьа нужно понимать одновременное смещение верхних и ниж¬
них узлов, т. е. групповое смещение. Но тогда вместо реактивного усилия в одном
Я
г*
£.
#/
/ »»
I
I
!/>
I
ТТ9
Рис. 279
— Iй г
V V V
' /' 2
5 с
з ч
5 «Ц
* -4,
6i,y
PL
т»
г
гш
Рис. 280
нижнем добавленном стержне нужно учитывать групповое усилие сразу в обоих стерж¬
нях А и В (рис. 279). Смещение же а также соответствующее ему усилие в верхнем
стержне — не групповые.
Очевидно, что Ъа —смещение узлов 3 и 4 относительно узлов 5 и 6\	—смеще¬
ние узлов 1 и 2 относительно узлов 3 и 4.
Реактивные усилия равны:
 	6*35	#			6*46	^	12j35	12*46
гз а —	, f	r to =	,	*>	гаа	=	0	о
Хотя усилие гаа групповое, но в его величину войдет только усилие в нижнем стерж
не, в верхнем стержне усилие равно нулю.
206

Само собой понятно, что, как видно из рис. 279:
г1а — Гч а = 0 •
Точно так же:
Га1 = гач — ^г
ввиду того что повороты узлов 1 и 2 вызывают в стержнях А и В равные и взаимно
противоположные усилия, а потому групповые усилия равны нулю.
Давая смещение верхним узлам, будем считать нижние узлы неподвижными
(рис. 280):
6*ig	б/24	6/13
?2 Ь '
Г4Ь = —
6*24
^24
6**24
/24 ’
Гзь =
12*13 ,
12*24
~~ /2
43
/2
24
/l3
Реакция же гаь = гьа— 0, так как усилие в стержне А нужно считать как группо¬
вое, т. е. учитывать сумму усилий в стержнях А и В. Но усилия в них равны и взаим¬
но противоположны, т. е. их сумма равна нулю.
Канонические уравнения для данной рамы:
<Pi/n + Ы12 + Wi3	+ hrib + RiP= 0;
<?ir2i +	W22	+	<?4Г24	+ ЪЬГ2Ь + R2p = 0;
4ir3i	+ Тз^зз + ?4^34 + ^агза	+ ^br3b + %зр =
<p2f42 + Тз^з + Т4Г44+ ^аг 4а	+ ^ЬГьЬ + %4р = 0;
Чзгаз “1“ ?4га4 + Ъагаа	+ Rap — 0;
9lrbl + <?2rb2 + С?3Г&3+ ?4Г&4	+ ^ЬГЬЬ + Rbp— 0.
Заметим, что уравнения в способе деформаций по существу являются уравнения¬
ми равновесия (см. стр. 202). Коэффициенты и свободные члены их удобно получать
непосредственно из эпюр единичных и от нагрузки. Два последних уравнения из числа
только что приведенных также представляют уравнения равновесия: сумма поперечных
сил в разрезе по стойкам какого-либо этажа (от углов поворота, от смещений и от на¬
грузки, если она приложена к стойкам) равна горизонтальной проекции нагрузки выше
разреза. Поперечные силы легко находятся по эпюрам моментов.
§ 72. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА РАМ СПОСОБОМ ДЕФОРМАЦИЙ
Пример 1. Рассчитать раму, изображенную на рис. 281,а. Коэффициенты жестко-
EI
помещены на рисунке в кружках. Конечно,
сти или погонные жесткости, равные ■
здесь даны не .истинные погонные
жесткости, а только их отношения.
Решение. Рама имеет несмещаю-
щиеся узлы. За неизвестные примем
углы поворота узлов /, 2 и 3> т. е.
?i. Ъ и Ъ-
Добавив закрепления в узлах,
примем основную систему по рис.
281,6.
Составим канонические уравне¬
ния:
11	+ ?2Г 12 + ?3Г 13 + Rip = 0;
<Р1Г21 + W22 + Ъ?23 + Rip = 0;
ПГ31 + ЪГ32 + <РзГзз + #з/>=0.
Дадим узлам последовательно по¬
вороты на углы, равные единице, и
начертим соответствующие эпюры
(рис. 282). Мы уже знаем, что эпю¬
ры будут распространяться только на
элементы, сходящиеся в данном узле,
причем ближайшие к узлу ординаты
равны учетверенным погонным жест-
/
a, J
immtliim 1 ir
'
^ 2 т/м
0 v
©
2
©
т 1“ ■
* ©
	— п
©
V,
-6м -
'1
г
-Юм-

костям, а у противоположных узлов — удвоенным погонным жесткостям. Начертим
также эпюру от внешней нагрузки, рассматривая каждый элемент как балку с заделан¬
ными концами.
Непосредственно из рис. 282 определим реактивные усилия:
Гц = 8 + 8 + 4 = 20; г21	= 4;	г31 = 0;
ri2 = r2i = 4;	/*22	== 8 -f- 8 -f- 4 = 20; ^32 = ^»
Г1з = Гз1 = 0;	/-23	= 4;	/зз = 8 +	12 = 20,
Rip = — 0;	R2p	= + 6;	R$p = — 10.
Подставим коэффициенты и свободные члены в уравнения:
^	20срх + 4ср2 —
к
2
□
л
* 0
33
,/
№	г—i
1	ш
Рис. 282
6	= 0;
4'fi + 20ср2 + 4ср3 + б = 0;
4^2 + 20<р3—10 = 0.
Решив уравнения, получим:
?i = +0,4;
<р 2 = — 0,5;
<р з = +0,6.
Ьг
и 1.6
д?
0.8
Кб
□
Умножим единичные эпюры на значения неизвестных (рис. 283) и сложим вновь
полученные эпюры с эпюрой от нагрузки.
На рис. 284,а приведена окончательная эпюра моментов. Как видим, равновесие
в узлах соблюдается, следовательно, рама решена верно.
На рис. 284,6 и в даны эпюры поперечных и продольных сил.
Пример 2. Рассчитать раму, изображенную на рис. 285,а.
Решение. Данная рама имеет смещающиеся узлы. За неизвестные примем углы
поворота узлов 1 и 2, т. е. <pi и ср2 и смещение узлов Ь,
208

13,6
[4 Б. Н. Жемочкин
209

Основную систему выберем по рис. 285,6, поместив закрепления в узлах 1 и 2
(препятствующие только поворотам узлов) и горизонтальный стержень А в узле /у
препятствующий смещению узлов.
Канонические уравнения в данном случае:
41? 11 + 12 + + #1р =
4lr 21 + ?2Г 22 + ^г2а + %2р = О*,
Vl^al + <?2га2 Л-^Гаа-1" Rap — 0.
Построим единичные эпюры от углов поворота, от смещения Ь=\ и от нагрузки
(рис. 286). Обратим внимание на то, что в правом крайнем узле помещается шарнир, а
потому в единичной эпюре М2 в последнем пролете у узла 2 ордината равна утроенной
погонной жесткости. В эпюре от нагрузки Мр в последнем пролете у узла 2 ордината
равна
О
Реактивные усилия:
гп= 12 + 8 = 20;
г 12 = 6;
6-2
г1а = -Т = -2;
/■21 = 6;
Г22 = 12 +4 + 12 = 28;
6‘1
На	= — 2;
Га1 = ^1а = — 2;
га2~г2а — — 2;
12*2 . 12-1
гаа —
б2
3* - + 2:
Rip = + 5 — 16 = — 11;
R2р = 16 — 2 = + 14;
Rap = -4---7r = - 5.
210

Подставим в уравнения:
20^+ 6ср2 — 25— 11 = 0;
6<pi + 28ср2 — 25 -[“ 14 = 0;
—2срх— 2*2 + 2*— 5 = 0.
Решив их, найдем:
<Pi = + и
ср2 == —0,5;
b = + 3.
/6
Умножим единичные эпюры на значения неизвестных (рис. 287) и сложим их с
эпюрой от нагрузки. На рис. 288,а дана окончательная эпюра моментов, на рис. 288,6 —
эпюра поперечных и на рис. 288,в — продольных сил.
§ 73. ПОНЯТИЕ О КОМБИНИРОВАННОМ
И СМЕШАННОМ СПОСОБАХ РАСЧЕТА
При расчете симметричных рам иногда бывает удобно применить
не способ сил или способ деформаций в чистом виде, а комбинировать
их, применяя для одного вида нагрузки способ сил, а для другого — спо¬
соб деформаций. В таких случаях говорят, что рама рассчитывается
комбинированным способом.
Предположим, что надо рассчитать раму, приведенную на рис.
289,а.
14*
211

Нагрузку, приложенную к раме, можно всегда разложить на сим¬
метричную и обратно-симметричную.
Выбирая основную систему для способа сил, разрежем ригели и
отбросим крайние опоры (рис. 289,6).
В каждом разрезе будет два симметричных неизвестных усилия —
продольная сила и момент—и одно
четыре, но, кроме того, четыре
восемь.
обратно-симметричное — попереч¬
ная сила.
По направлениям отбро¬
шенных стержней приложим
симметричную и обратно-сим¬
метричную группы.
Если нагрузка симметрич¬
ная, то будет всего девять неиз¬
вестных, если обратно-симмет¬
ричная — пять.
Рассчитывая ту же раму
способом деформаций, примем
за неизвестные углы поворота
узлов и смещения. При симмет¬
ричной нагрузке левые и пра¬
вые углы поворота одинаковы,
но обратны по знаку, смещения
равны нулю. В этом случае не¬
известных четыре.
При обратно-симметрич¬
ной нагрузке левые и правые
углы поворота одинаковы по
величине и по знаку; неизвест¬
ных углов поворота будет
смещения. Всего неизвестных
212

Выпишем в табличку требуемое число уравнений:
Нагрузка
Способ СИЛ
Способ дефор¬
маций
Симметричная ...
Обратно-симметричная ....
9
5
4
8
Очевидно, данную раму удобнее всего
рованным способом: для симметричной
применить способ деформаций,
а для обратно-симметричной —
способ сил.
Смешанным называ¬
ют такой способ, когда в одних
и тех же уравнениях одновре¬
менно встречаются в качестве
неизвестных усилия и дефор¬
мации.
Рассчитаем, например, ра¬
му, изображенную на рис.
290,а. Если ее считать способом
сил, потребуется восемь урав¬
нений, если способом деформа¬
ций—семь; и тот, и другой спо¬
собы мало пригодны.
Левая часть рамы отно¬
сится к числу таких систем,
когда удобно применить спо¬
соб сил, для правой же части
более уместен способ деформа¬
ций. Поэтому и воспользуемся
смешанным способом; он по¬
требует всего четыре уравне¬
ния.
Основную систему примем
по рис. 290,6. Отбросим опор¬
ные стержни на левой опоре и
приложим неизвестные силы
Х\ и Аг. Добавим закрепления
в узлах 3 и 4 и примем за неиз¬
вестные углы поворота узлов
ср3 и <р4.
Первые два уравнения вы¬
разят условия, что перемеще¬
ния по направлениям Х\ и Хч
равны нулю; вторые два урав¬
нения — что реакции в узлах
3	и 4 равны нулю.
Уравнения будут:
XAl + ^2812 + <Р3813
^1821 "Ь ^2822 +
"Ь X2^32 “f" ЪГ33 Н“ ср4>*34
4V*43 4“ <Р4>44
рассчитывать к о м би н
составляющей нагрузки
\
И
V/Y///
23
ЯЗВ
Рис. 291
+ Д1 р — 0;
+ а2р — 0;
+ Язр — 0;
+ Rip = 0.
\ □
-с
213

Единичные эпюры приведены на рис. 291.
Перемещения 813 и 823 от поворота узла 3 на единицу определим
из геометрических соображений.
Реакции г31 и г32 найдем как моменты, возникающие в закрепле¬
нии узла 3 от единичных сил Хх и Х2:
Очевидно:
818 =-1-Л;
§23 =+ 1-/.
^31 = + 1 • А;
Г32 ==	1	*	/•
Как видим, соблюдается взаимность коэффициентов, но
^13 в —г31;
823 =	г 39.
Поэтому, чтобы придать уравнениям симметричную форму, следует
или в двух первых, или в двух последних уравнениях изменить знаки на
обратные.
Нахождение остальных коэффициентов не представляет никаких за¬
труднений и делается обычными способами.
Когда решим уравнения, умножим единичные эпюры на значения
неизвестных и сложим их, добавив эпюру от нагрузки.
§ 74. ЗАДАЧИ
1. Левая опора балки с заделанными концами (рис. 292,а) повернулась на 0,1°-
Построить эпюру моментов и найти опорные реакции.
Рис. 292	Рис.	293	Рис.	291
214
Рис. 295

Указание. Модуль упругости Е = 2 • 106 кг!см2. Угол следует выразить в радианах;
Расчет удобно вести в тоннах и метрах.
2.	Левый конец той же балки опустился на 1 см (рис. 292,6) без поворота. По¬
строить эпюру моментов и найти опорные реакции.
3.	Определить число неизвестных при расчете по способу деформаций для рамы,
изображенной на рис. 293.
4.	Рассчитать раму (рис. 294) и построить эпюру моментов.
Указание. Расчет нужно начинать с определения коэффициентов жесткости. На
рисунке указаны моменты инерции.	,
5.	Показать без вычислений характер окончательных эпюр моментов для рам,
приведенных на рис. 295.

ГЛАВ А XII
ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА РАМ
§ 75. ПОНЯТИЕ О ПРИБЛИЖЕННЫХ СПОСОБАХ РАСЧЕТА РАМ
Способы расчета рам; изложенные в главах X и XI, мы называем
«точными». Такое название очень условно. В действительности эти спо¬
собы могут быть точными только математически, но не в состоянии
дать безошибочную картину работы сооружения. Они правильны лишь
постольку, поскольку правильны их основные предпосылки, а в этом
приходится сомневаться.
Так например, мы считаем, что материал рам подчиняется закону
Гука; между тем этого на самом деле нет; особенно велики отступ¬
ления от него для бетона, модуль упругости которого зависит от напря¬
жений и колеблется в очень широких пределах. Кроме того, мы не обра¬
щаем внимания на работу бетона во времени, не учитываем влияния
усадки, не вводим в расчет пластических деформаций. Рас¬
пределение напряжений в сечениях принимаем по закону плоскости,
что не совсем правильно. При расчетах обычных конструкций пренебре¬
гаем деформациями от поперечных и продольных сил.
Наконец, схема, выбираемая для расчета, всегда отличается от схемы
действительного сооружения.
Ввиду этого, приступая к расчету рамы, следует уже с самого на¬
чала примириться с тем, что в расчете будут некоторые неточности.
Все способы являются той или другой мере приближенными. Но, если
мы не выполняем, да и не умеем выполнять абсолютно точного расчета
рам, можем все же с некоторой достоверностью оценить величины до¬
пускаемых погрешностей. Так как погрешности, вообще говоря, незна¬
чительны, применяемые способы расчета вполне прием ле-
м ы. Неизбежные ошибки компенсируются введением в расчеты коэф¬
фициентов запаса.
В настоящей главе идет речь о других приближенных способах,
т. е. таких, в которых делаются дальнейшие упрощения.
В отличие от них рассмотренные выше способы назовем условно
«точным и».
Рассчитывая различные рамы, мы можем легко убедиться, что иног¬
да труд, затраченный на уточнение расчета, не оправдывается полу¬
чаемыми результатами. Так, например, определяя усилия в каком-ни¬
будь пролете рамы, мы учитываем обычно все нагрузки, в том числе
и нагрузки в отдаленных пролетах, а между тем очевидно, что они
отражаются на этих усилиях очень мало. В многоэтажных рамах
изгиб стоек нижнего этажа почти не зависит от нагрузок (вертикаль¬
ных) верхних этажей. Поэтому при раочетах на практике допустимо
пренебрегать рядом факторов, влияние которых невелико.
216

Далее, в большинстве случаев точные способы расчета, которые
мы изучили, довольно сложны, между тем часто требуется получить
только приблизительные размеры сечений элементов, без уточнения
их, особенно при эскизном проектировании.
Кроме того, для расчета статически неопределимых систем необхо¬
димо знать заранее размеры сечений элементов. Но подобрать сечения
можно только после определения усилий. Чтобы избежать повторения
большой вычислительной работы, желательно предварительно выбрать
сечения на основании какого-либо простого, но приближенного расче¬
та, а затем уточнить их после окончательного точною расчета.
Все эти соображения оправдывают необходимость разработки таких
приближенных способов расчета, которые при условии
пренебрежения мало влияющими факторами позволяли бы сделать
расчет с наименьшей затратой труда и времени.
Приближенные способы применялись и раньше. Когда появились
первые рамы (около 1900 г.), не существовало еще хорошо разработан¬
ной теории расчета. В распоряжении проектировавших был только
один способ расчета — способ сил, да и то применявшийся в очень слож¬
ной и неудобной форме. Им можно было рассчитывать исключительно
простые рамы, для сложных он был непригоден. Естественно, что
точного способа избегали и пользовались приближенными приемами.
Например, изгиба стоек от вертикальных нагрузок совершенно не учи¬
тывали; ригели рам считали как балки. Но, применяя приближенные
способы, шли ощупью; никогда нельзя было сказать, насколько пра¬
вильны или ошибочны те предположения, которые делались для расче¬
та. Применение приближенных способов было вынужденным ввиду
•отсутствия точных способов.
Сейчас мы вновь возвращаемся к приближенным способам, но
применяем их сознательно на новой основе. Применяем именно пото¬
му, что знаем точные способы и зна'ем, насколько те или иные факторы
влияют на окончательные результаты. Таким образом, новые прибли¬
женные способы отнюдь не копируют старых.
Дать исчерпывающие данные по всем приближенным способам
нельзя. Каждый проектировщик должен сам уметь внести в расчет
необходимые упрощения и наметить способ расчета, по возможности
наиболее простой, но дающий результаты, соответствующие в макси¬
мальной степени действительной работе конструкции. Конечно, для
успеха дела необходимо хорошее знание точных способов.
В настоящей главе излагаются только некоторые из способов. При¬
нимая их за основу, можно в каждом отдельном случае вносить те или
другие изменения.
Рассмотрим отдельно расчет рам на вертикальную и горизонталь¬
ную нагрузки.
Наиболее простые и грубые способы расчета на вертикальную
нагрузку пригодны для предварительной прикидки
сечений или в случае проектирования н ео т в е тств е иных со¬
оружений. Правда, применяя их, надо все же задаваться отноше¬
ниями жесткостей элементов, хотя бы на основании данных практики.
Впрочем, способы столь просты, что неудачно взятые сеченйя легко из¬
менить, проделав вновь расчет, что может быть сделано очень быстро.
Другие способы из числа приближенных являются болеее точными.
Ими пользуются для дальнейшего уточнения сечений перед
окончательным точным расчетом. Однако такой окончатель¬
ный расчет является лишним, и можно ограничиться приближенным
способом не только в случае неответственных сооружений, но даже и
217

ответственных с равными или почти равными пролетами, с высо¬
тами этажей, мало отличающимися друг от друга, и при нагрузках,
приблизительно одинаковых >в различных пролетах или этажах.
в}
A
Ч л
,‘IH
11
296
Рис. 297
§ 76. ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА ОДНОЭТАЖНЫХ
(ОДНОЯРУСНЫХ) РАМ НА ВЕРТИКАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Наиболее простой способ расчета любых рам состоит в том, что ри¬
гели рам рассматриваются как однопролетные свободно лежащие
балки, причем найденный при таких усло¬
виях наибольший момент умножается на
коэффициент, принимаемый в зависимости
от жесткостей элементов от 0,5 до 0,8.
Конечно, такой прием пригоден только
для самой грубой предварительной при¬
кидки. В ряде случаев можно дать более
определенные данные.
Для однопролетной одно¬
этажной рамы со стойками, заделан¬
ными внизу (рис. 296,а), можно принять
две расчетные схемы: в виде однопролет¬
ной свободно лежащей балки (рис. 296,6)
и схему в виде балки с заделкой на опорах, нагруженной той же на¬
грузкой (рис. 296,в).
Наибольший момент в ригеле рамы равен:
М = oAf° •	(106)
max	max >	v	/
моменты в узлах (по абсолютной величине):
Чи.-РА..	<107)
где М°тах —наибольший момент для свободно лежащей балки от за¬
данной нагрузки (рис. 296,6);
Mmin — момент в заделке той же балки, но с заделанными концами
(рис. 296,в).
.Коэффициенты <* и ft зависят от отношения погонных жесткостей
(коэффициентов жесткости) ригеля и стоек:
Ч	_ hh
ih Ihl ’
218

Для рамы с шарнирным закреплением стоек (рис. 297) рас¬
четные схемы остаются теми же.
Моменты равны:
^«,-«*4»:	<108>
(109)
Коэффициенты а, и Рг приведены в следующей таблице.
*//*Л
а
Pi
02
>4
0,8
0.3
0,3
2
0,7
0,5
0,4
<1
0,6
0,7
0,6
Для промежуточных значений коэффициенты а, ^ и (32 могут опре¬
деляться по интерполяции, но, учитывая приближенность способов, мож¬
но принимать и ближайшие цифры.
а)
I II 11
77777/
777777/
/к"— /к
е)
1
-I
о/top.
IX	Л
Рис. 298
Для многопролетной одноэтажной рамы (рис. 298,а)
можно принять расчетную схему в виде неразрезной балки (рис. 298,6)
без учета связи со стойками и в предположении свободного опирания
на опоры. Расчет по такой схеме даст моменты в ригеле.
Значения моментов вверху средних стоек определятся по формуле:
M = 7iMonop-	(110)
Вверху крайних стоек:
м = ъКп0Р	(in)
Здесь Мопор — момент на соответствующей опоре неразрезной бал¬
ки; М'0пор — момент *в заделке «крайнего пролета 'ригеля, если рассматри¬
вать его как балку с заделанными концами (рис. 298,в).
Коэффициенты Ti и Тг> как и раньше, зависят от отношений погонных
жесткостей ригеля и стоек.	Они даны в таблице.
*//
Ti
Та
>4
0,10
0,20
<1
0,20
0,33
219

После того «ак будут найдены моменты вверху крайних стоек, можно
внести поправку « эпюру моментов по ригелю, приняв на его концах мо¬
менты равными не нулю, а моментам вверху крайних стоек, для чего
приподнять (или, вернее, повернуть) эпюру .моментов в крайних проле¬
тах. Это уменьшит несколько наибольшие моменты.
Пример. Рассчитать приближенным способом раму, изображенную на рис. 299,а.
Решение.
Расчетную схему примем по рис. 299,6.
Составим уравнения трех моментов для неразрезной балки («Сопротивление ма¬
териалов») :
*)
0,8 т/м
/-5
1=2
Ч
7-5
1=2
5
Ш7
2
1-3
1-5
f=3
I
5:
7
6)
— *1
0
... тт..
\
1—	6м-
X
1
—	8м —
А2
1
	-+-	8м —
к
1
—ч
Шх (6 + 8) + М2-8 =
0,8-63	0,8-88
“	4	“	4	;
Afx-8 + 2М2 (8 + 8) =
0,8-83	0,8-83
4	4
Решив уравнения, получим:
Мг = — 3,63 тм\
М2 = — 5,49 тм.
Если рассчитать крайние
пролеты ригеля как балки с за¬
деланными концами (рис. 300),
то
Рис. 299
М0 = -
Мг = -
0.8-62
12
0,8-82
12
= — 2Атм\
= — 4,27 тм.
Определим теперь моменты в стойках. Для крайней левой стойки отношение по¬
гонных жесткостей:
_5_
б
01 __
*04
= Й = 2-Ь
6-2
Так как в таблице на стр. 219 нет такого отношения погонных жесткостей, найдем
коэффициенты 7 интерполированием1.
Итак:	g	-	-	Р	gj	f;
/q зз	q 20)
T2=0,33_ ’(*-!) •(2Л-1)=0’28-	vn
Момент вверху стойки:
М04= 0,28*2,4 = 0,67 тм.
Рис. 300
Для стойки 1—5 отношение средней погонной жесткости ригеля слева и справа
к погонной жесткости стойки:
*01 + *12
2
—+ —
6 8
= 1,8.
1 Поскольку расчет приближенный, можно было бы даже не интерполировать»
а принять в таблице ближайшие цифры.
220

Коэффициент:
Tfi
Момент вверху стойки:
Для стойки 2—6:
71 = 0,20;
М26 = 0,20-5,49 - 1,10 тм.
Наконец, для стойки 3—7:
5
5
72 в 0,33;
М37 = 0,33-4,27= 1,41 тм.
Моменты внизу стоек в 2 раза меньше (при отсутствии горизонтальных смещений
узлов рамы).
По этим данным начертим
эпюру моментов (рис. 301). В
крайних узлах примем момен¬
ты равными не нулю, как по¬
лучается из расчета неразрез¬
ной балки, а равными момен¬
там в верхних узлах крайних
стоек.
В какую сторону отклады¬
вать моменты по средним стой¬
кам, не имеет особого значе¬
ния; здесь надо считаться с
тем, нагрузка какого (левого
или правого) пролета ригеля больше влияет на изгиб стойки. Нас не должно удивлять,
что в узлах нет равновесия; ведь способ, примененный нами, приближенный.
§ 77. ПРОСТЕЙШИЙ СПОСОБ РАСЧЕТА МНОГОЭТАЖНЫХ
(МНОГОЯРУСНЫХ) РАМ НА ВЕРТИКАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
В многоэтажных рамах можно ригели так же рассчитывать,
как неразрезные балки (рис. 302), свободно опирающиеся на опоры.
В крайних пролетах следует учесть моменты от жесткой связи ригелей
со стойками.
Вычисляя моменты в стойках, нельзя пользоваться коэффициента¬
ми, приведенными в предыдущем параграфе, так как моменты опреде¬
ляются ими слишком грубо. Уточним несколько способ определения мо¬
ментов в стойках.
Вырежем из рамы какой-нибудь узел, например С, и предположим,
что противоположные концы всех элементов, сходящихся в узле, задела¬
ны (рис. 303,а). Обозначим погонные жесткости элементов согласно
рис. 303,а.
л (0,20 — 0,10) ,
= 0,20—	(4—1)		 (1.8 — 1) = 0,17.
Л*и-0.17-3.63 =0,62 тм.
Hz
**26
J5_
8
_3_
5
= 1,0;
221

Рассчитаем оба пролета ригеля, примыкающие к узлу С, как одно¬
пролетные балки с заделанными концами, и определим моменты
у узла С (рис. 303,6). Пусть это будут Мсв и MCD ; их разность
ДМ = Мсв — MCD'	(112)
Рис. 302
Тогда, как это легко найти, применяя способ деформаций, моменты
в стойках у узла С (т. е. моменты МСЕ и МСР) по абсолютной величине
будут равны:
мя = мСЕ = т±-
<0
в
D
С &
© 1
Q
6)
F
м„ = мСР=т±.
(ИЗ)
i inning
Здесь под Е/ подразу¬
мевается сумма погонных
жесткостей элементов, схо¬
дящихся в узле С.
Чтобы получить наи¬
большие моменты в стойках,
следует добиваться наиболь¬
шей разности моментов в
ригеле слева и справа —
А М. Поэтому для расчета
стоек временную нагрузку
надо располагать только б
большем из этих пролетов.
При вычерчивании эпю¬
ры моментов может возник¬
нуть вопрос о том, с какой
стороны должны быть отло¬
жены ординаты по стойкам.
Нужно руководствоваться
тем, в каком пролете ригеля
момент больше, если по предыдущему рассматривать каждый пролет как
балку с заделанными концами. Так, если момент в левом пролете
больше (рис. 303,6), то в верхней стойке у узла С момент следует отло¬
жить влево, в нижней — вправо. У противоположных концов стоек мо¬
менты вдвое меньше и имеют обратные знаки (рис. 304).
Рис. 303
222

При расчете многоэтажной рамы моменты в стойках будут получать¬
ся дважды: от нагрузки верхнего и от нагрузки нижнего ригеля. Их сле¬
дует сложить. Конечно, равновесия в узлах не получится, так как ригели
рассчитываются независимо, как неразрезные 'балки.
Рассмотренный узел вырезан из сере¬
дины рамы; к нему подходят средние стойки.
Для крайних стоек формулы (113)
также остаются в силе.
Вместо ДМ для крайних стоек необхо¬
димо взять момент в заделке ригеля, если
рассматривать его как однопролетную балку
с заделанными концами (рис. 305). Обозна-
а ь
.'S'
■чщдц^1
А
и
'м.
А
Рис. 305
чив момент через М'аЬ, найдем абсолютные величины моментов в стой¬
ках у узла А. В верхней стойке:
Мв = М'аЬ±	(114)
В нижней стойке:
М.-М’а±.	(115)
Момент в ригеле у узла А не будет равен нулю, как получается при
расчете неразрезной балки, он не будет также равен и М'аЬ. Мы найдем
его из того условия, что он уравновешивается с моментами Мв и Мн.
По абсолютной величине:
ОВД
Определив .момент на «конце ригеля, изменим соответствующим об¬
разом линию опорных моментов в крайнем пролете ригеля, рассчитанно¬
го как неразрезная балка, и тем самым уменьшим положительные мо¬
менты в этом пролете (аналогично тому, как сделано в примере преды¬
дущего параграфа).
Разобранный здесь способ пригоден при предварительном
подборе сечений и при проектировании неответственных
сооружений.
223

Пример. Определить моменты в элементах, сходящихся в узле 1 рамы, показанной
на рис. 306.
Решение. Момент в заделке однопролетной балки, заменяющей крайний пролет
ригеля:
Получим:
в верхней стойке:
0,6-82
12 		= — 3,20 тм.
1
g
Mis = 3,20* —	 	—	=	0,45	тм;
и 2, 1
т+т+т
в нижнеи стоике:
2_
Мц = 3,20 • -	^	— = 1,07 тм-,
~Г+ Т+ "б~
в ригеле:
6	5
М12 = 3,20 •—	 	— =0,45 + 1,07= 1,52 тм.
5,2	1
т+т+ т
Приведенный расчет дает нам момент в ригеле только в узле 1. В остальных уз¬
лах моменты могут быть определены из расчета ригеля, как неразрезной балки.
§ 78. БОЛЕЕ ТОЧНЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА РАМ
НА ВЕРТИКАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Применяя этот способ, исходим из того, что нагрузка .по ригелю
одного этажа мало влияет на усилия в ригелях других этажей.
Многоэтажную раму (рис. 307,а) расчленим по 'высоте на ряд более
простых рам (рис. 307,6).
Каждая такая рама включает один ригель и подходящие к нему
сверху и снизу стойки, противоположные концы которых являются заде¬
ланными.
224

Расчет полученных ра.м проведем независимо друг от друга. Момен¬
ты 'в ригелях будем рассматривать как окончательные. Каждая же стой¬
ка войдет одновременно в две рамы, поэтому моменты в стойках после
расчета двух соседних рам придется сложить. Понятно, что равновесия
в узлах не Ьудет.
Рамы такого вида, как на рис. 307, удобнее всего считать по спо¬
собу деформаций, (пренебрегая горизонтальными смещениями узлов
(8 =0).
а)
'//?/?>
///А
7/Л/>
W7Z
Рис. 307
,у//лс
c/s/Я
7Я77?.
У///А
-Юм- -t-
-Qm -
Рис. 308
Предполагая в условных рамах заделку стоек по концам, мы отсту¬
паем от действительного положения, так как. стойки заделаны упруго.
Чтобы до некоторой степени компенсировать неточность этих предполо¬
жений, лучше вводить в уравнения пониженные жесткости стоек, умно¬
жая действительные жесткости на некоторый коэффициент, равный при¬
мерно 0,9. При построении эпюр моментов по стойкам в этом случае
нужно считать, что моменты в заделках противоположных концов стоек
меньше моментов у концов стоек, прилегающих «к ригелям, не в 2 раза
(как должно быть при жесткой заделке), а в 3 раза.
Способ разложения рам на более простые поэтажные можно при¬
менять и для ответственных сооружений.
Пример. Рассчитать раму, приведенную на рис. 308,а. Погонные жесткости эле¬
ментов указаны в кружках.
Решение. Расчленим раму на две (рис. 308,6) и рассчитаем их отдельно по способу
деформаций, полагая смещения & = 0.
Для верхней рамы единичные эпюры и эпюра от нагрузки приведены на рис. 309,а.
Жесткости стоек взяты с коэффициентом 0,9.
15 Б. Н. Жемочкин
225

д. 9
1,0 1,0 уji?
шк \
чиппш^1'
12,5
9 kZ 7 yfjj
^.HlJUlliF j
J#s J
'Л6 jtel
25
.2 7
3.7
Рис. 311
Рис. 310

Уравнения способа деформаций будут:
<р! (12 + 3,6) + ср2-6	—	5	= 0;
Ф!*6	+ ср2(12 +	10	+ 7,2) + ср3 5 + 5 -	7,2 = 0;
ср2*5	+ срд (10 + 3,6) +	7,2 = 0.
Решив уравнения, найдем:
Т! = + 0,276; <р2 = + 0,117; ср3 = -0,572.
Умножая единичные эпюры на значения неизвестных и складывая, получим эпюру
для верхней рамы по рис. 309,6.
Рассчитаем теперь нижнюю раму. Единичные эпюры приведены на рис. 310,а.
Для нижних стоек коэффициент 0,9 вводить не нужно, так как эти стойки внизу заде¬
ланы.
Уравнения:
ср4 (20 + 8 + 3,6) + ср5 -10	—8,33	=0;
<Р4*Ю	+ ср5 (16 +	12	+ 20 + 7,2)+ ср6 8 +	8,33 —	12 =	0;
Тб-8	+ Тб (8 + 16	+ 3,6) +	12 =	0.
Их решение дает:
Т4 = + 0,235; ср5 = +0,091; Тб = -0,461.
Эпюра моментов для этой рамы приведена на рис. 310,5.
Складывая эпюры рис. 309,6 и 310Д получим полную эпюру для рамы (рис. 311).,
§ 79. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА РАМ
НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ НАГРУЗКУ
Нагрузка от ветра всегда считается приложенной в узлах рамы, хотя
бы она и была распределена по стойкам. Точно так же считаются прило¬
женными в узлах и сейсмические силы, если рама рассчитывается на них.
Рис. 312	Рис. 313
Изучая различные эпюры моментов в рамах от горизонтальных сил,
можно отметить, как характерную особенность, что нулевые точки эпюр
находятся приблизительно в серединах высот стоек в каждом этаже
(рис. 312). Это (позволяет при разработке приближенного способа расчета
принять, что в серединах высот стоек моменты равны нулю и здесь дей¬
ствуют только поперечные силы. При таком предположении поперечные
силы можно определить из условий равновесия. Получив поперечные си¬
лы, найдем и моменты.
15*
227

Проведем разрез через середины высот стоек какого-либо этажа
(рис. 313) и спроектируем силы, приложенные к отрезанной верхней
части рамы на горизонтальную ось.
Получим уравнение:
ViQ = '£W.	(117)
Здесь EQ — сумма поперечных сил в разрезе, аЕ W—сумма гори¬
зонтальных проекций нагрузок выше разреза
Для случая, приведенного на рис. 313, напишем:
Qi + Q2 + Q3= 1Fii+ Wm.
Зная, чему равна сумма поперечных
сил в разрезе, найдем и самые попереч¬
ные силы, распределив их пропорцио¬
нально погонным жесткостям стоек. Та¬
ким образом:
И Т. Д.
Через St обозначена сумма погонных жесткостей стоек, через кото¬
рые проведен разрез в пределах одного этажа.
Последовательно проведем разрезы по всем этажам и найдем попе¬
речные силы во всех стойках.
После этого, умножая поперечные силы на половины высот стоек,
определим моменты вверху и внизу стоек (рис. 314,а):
Для самого нижнего этажа лучше считать нулевую точку эпюры,
находящейся не в середине высоты, а на высоте двух третей. Таким
образом, момент внизу нижней стойки равен (рис. 314,6):
A4H = Q-f-A;
вверху стойки:
Мв = Q —.
в 3
После того как эпюра моментов но стойкам будет построена, най¬
дем моменты в ригелях, исходя из условий равновесия.
Момент на крайней опоре ригеля равен сумме моментов в примы¬
кающих стойках. Для средних опор ригеля сумму моментов в примы¬
кающих х соответствующему узлу стойках (вверху и внизу узла) рас¬
пределим пропорционально погонным жесткостям левого и .правого про¬
летов ригеля.
Изложенный здесь способ применим .при расчете ответственных со¬
оружений; результаты его уточнять не нужно. Исключения представ¬
ляют случаи высоких и узких сооружений, для которых ветровая на¬
грузка является основной. В этих случаях необходимо вслед за прибли¬
женным проделать более точный расчет.
228

Пример. Рассчитать раму, приведенную на рис. 315,а. В кружках указаны погон¬
ные жесткости.
Решение. Проведем разрезы через середины стоек, а в нижнем этаже на две
трети высоты стоек (рис. 315,6).
В верхнем этаже:
Qi4 + O25 + Озв = 0,5 т\
2
Qi4=0,5	~	,	0	=0,2 т\
0,5т
а)
fjm
f,2m
Ф
Ф
©
©
©
-Юм-
Во втором этаже:
В нижнем этаже:
015-0.5
Qse= 0,5
(!)
©' ©
2+2+1
2
2 + 2+1
1
2 + 2 + 1
-3
= 0,2 г;
= 0,1 т.
© ©
'О
t
'//М’Л	V/fy/A
5:
40
I
0,5m 1 —
2
3
t,fm
Ч
6
~*~QS8
12 т
с
7
^
8
9
Ю
//
12
'>2т
УЯ///
Рис. 315
(?47+О58+(?в9=М+0,5=1,6г;
3
047 = 1.6-
058= 1.6-
0б9 =1.6*
3 + 3 + 2
3
3 + 3 + 2
2
3 + 3 + 2
= 0,6 т;
= 0,6 т\
= 0,4 т.
07,Ю+ 08,11 + 09.12= 1.2 + 1,1 +0,5 = 2,8 т\
(?7.ю=2.8-5 + 5 + 4= 1,0 т-;
5
08,11—2,8'
0э,12 = 2,8
5+5 + 4'
4
1.0 т;
= 0,8 т.
5 + 5 + 4
Определим теперь моменты в стойках:
5	5
Мц = М41 = O14	=	0,2-2,5 = 0,5 гл<;	=	Мбз	=	Ом	=	0,1*2,5 = 0,2 г ж;
М25= М52 = O25	0,2-3	=	0,6	тм;
0
Л^47 = Л^74 = 047	=	0,6	*3=1,8	ТМ\
229

^58 = М85 = Q58 — = 1,8 тм;
^8Л1~^з,11 о =2,0 7'^;
Л^бэ = ^96 == 0б9 2 =1»2гл<;
^11.8= 08.И“6=4,ОгЛ1;
^7,ю — ^7,10 ^ — 2,0 тм;
м10,7 = <?7.10 у ■ 6=4,0 глг,
^г.э^Оэлг 0 *6 = 3,2 7\и.
Перейдем к ригелям. В верхнем ригеле у крайних опор моменты равны моментам
в стойках. В узле 2 момент в стойке М25 распределим на левый и правый пролеты
пропорционально их жесткостям. Аналогично поступим и с нижними ригелями.
М12 = Ми ='0,5 тм;
Afee *= Aloi
3+5
3 + 5
= 0,2 тм\
= 0,4 тм;
М5в = (^52 + М58) с , 0 =1,5 7,л«;
5 + 0
Мв5 = Л463 + УИб9 = 0,2 + 1,2=1,4 глг,
^78 =	+	^7,10	“	1	»8	+	2,0	=	3,8тм\
М32 = М36 = 0,2>л*;
^87 " (^85	^8,	и)	5	g	—	1,5гЛ£;
М*5 = м41 + М47 = 0,5 + 1,8 = 2,3 тм; Mg9 = (Mg5 + М6Л1) —— = 2,3 гл;
и ~Т“ о
м54 = (М52 + Af58)	=	0,9	гл;	M9g	=	Л*96	+	М9>12	=	1,2 +1,6 = 2,8 тм.
Эпюра моментов приведена на рис. 316.
230

§ 80. ОБЩИЙ ПОРЯДОК РАСЧЕТА РАМ.
ВЫБОР СПОСОБА РАСЧЕТА
Перед расчетом рамы необходимо предварительно определить на¬
грузки, приложенные к раме, рассматривая отдельно временную и
постоянную нагрузки (собственный вес рамы может быть взят пока лишь
приблизительно), и установить расчетную схему рамы. При этом
приходится вводить ряд упрощений. Укажем некоторые из них.
Если основная достаточно жесткая рама имеет боковую легкую
пристройку из более тонких элементов (рис. 317,а), то такое сооружение
можно для расчета расчленить: сначала рассчитать пристройку отдельно,
предполагая полную заделку ее ригеля в основной раме, а затем рассчи¬
тать основную раму, передав на нее момент и вертикальную, а в отдель¬
ных случаях и горизонтальную нагрузку от пристройки (рис. 317,6).
Ломаные и наклонные ригели рам при уклоне не -более 1/8 можно
заменять горизонтальными (рис. 318).
В однопролетных рамах с шарнирными опорами стойки обычно де¬
лают переменного сечения, придавая наклон внутренней или наружной
поверхности стоек (рис. 319). Тем не менее оои стоек можно принимать
для расчета не наклонными, а вертикальными.
Если «ераз'резная балка или рама имеет почти равные пролеты,
то для расчета можно их принять в точности равными, увеличивая мень¬
шие и уменьшая большие пролеты до 5%.
Если на ригель рамы действует несколько (примерно больше пяти)
одинаковых сосредоточенных грузов, расположенных на равных расстоя¬
ниях, то их можно заменить равномерно распределенной нагрузкой.
Если к ригелю рамы приложены большие сосредоточенные грузы и
небольшая равномерно распределенная нагрузка (момент от которой не
превышает 10% момента, вызываемого сосредоточенными грузами в ри¬
геле при расчете его как свободно лежащую однопролетную балку), то
равномерно распределенную нагрузку можно учитывать соответствую¬
щим увеличением сосредоточенных грузов.
Если сосредоточенные грузы, приложенные к ригелю, почти равны
между собой, можно заменить их в точности равными, изменяя величи¬
231

ну до 5%. При неравных расстояниях между грузами можно их передви¬
гать до 0,05 от пролета ригеля.
Само собой шонятно, что упомянутое изменение размеров делается
только для расчета; конструировать рамы или балки следует по действи¬
тельным длинам пролетов или положению грузов.
а)
’7^7	г7#77>.
Рис. 321
'/////,	'777Z
VZ7/	7л7?.
а)
4777*
У777>
6)
Рис. 322
Необходимо отметить, что не рекомендуется менять и размеры про¬
летов и .положение грузов, если то и другое ведет одновременно к увели¬
чению или уменьшению расчетных усилий.
Указанные здесь упрощения относятся не только -к приближенному,
но и к точному расчету рам. В случае применения приближенного спосо¬
ба можно идти дальше в смысле изменения размеров и превысить приве¬
денные только что цифры.
Когда схема рамы установлена, следует задаться сечениями элемен¬
тов или .произвольно, или на основании данных, взятых из опыта расчета
аналогичных рам, и найти соотношения моментов инерции.
После этого можно сделать самый грубый приближенный
расчет (§ 76 и 77), учитывая временную и постоянную нагрузки, при¬
чем первую считать приложенной полностью ко всем элементам рамы.
Определив наибольшие моменты, подобрать сечения, пользуясь табли¬
232

цами и различными приближенными формулами. Если получится рас¬
хождение с сечениями, взятыми предварительно, так, что отношения
жесткостей больше чем в 1,5 раза будут отличаться от тех, которыми за¬
давались, необходимо повторить расчет, опять-таки приближенным спо¬
собом. При удовлетворительном результате, если рассчитывается неот¬
ветственное сооружение или размеры нужны только для первона¬
чального эскиза, на этом можно остановиться.
При проектировании ответственного сооружения, когда тре¬
буется получить данные для конструирования, на проделанный расчет
нужно смотреть лишь как на предварительный, для получения понятия
о размерах сечений элементов, и перейти к окончательному, более точ¬
ному, расчету. Для рамы с пролетами, приблизительно равными между
собой, и с высотами этажей^также примерно равными, можно применить
способ, изложенный в § 78, для других'же рам необходимо провести рас¬
чет по способу сил или деформаций.
И в том, и другом случае для ответственных сооружений нельзя
ограничиться одним расположением временной нагрузки; необходимо
предусмотреть различные комбинации. Следовательно, окончательный
расчет необходимо сделать <в различных вариантах, загружая временной
нагрузкой попеременно тот или другой пролет.
В результате расчета будет получена объемлющая эпюра
моментов (рис. 320), напоминающая эпюру, которая строится для не¬
разрезной балки («Сопротивление материалов»).
Таким образом, задача в действительности оказывается гораздо бо¬
лее сложной, чем, может быть, это представлялось вначале, при изуче¬
нии способов расчета рам. Окончательный, точный расчет рамы
по способу сил или деформаций всегда требует затраты значительного
количества труда и времени. Поэтому очень многое зависят от удачного
выбора способа расчета и от выбора основной системы.
Несложную раму (рис. 321,а), если узлы ее могут смещаться,
следует решать способом сил, используя, когда есть возможность,
симметрию рамы при выборе основной системы (рис. 321,6). Но, если
смещения узлов исключаются, целесообразнее применить способ дефор¬
маций.
Способ сил имеет преимущество при расчете рам с криволинейными
ригелями ([рис. 322,а) или таких рам, которые обладают при расчете
по способу деформаций большим числом независимых смещений узлов
(рис. 322,6).
Наоборот, при отсутствии симметрии .в раме (рис. 323,а) или в слу¬
чае сложных рам (многопролетных и многоэтажных) (рис. 323,6)
способ деформаций получает все преимущества. Чем сложнее ра¬
ма, тем больше оснований переходить к способу деформаций. Раму, изо¬
браженную на рис. 323,6, практически вообще нельзя рассчитывать спо¬
собом сил — это была бы чрезвычайно сложная задача.
Иногда симметричные рамы бывает выгодно решать комбиниро¬
ванным способом, применяя для симметричной нагрузки (а всякую на¬
грузку можно всегда разложить на симметричную и обратно-симметрич¬
ную) способ деформаций, а для обратно-симметричной нагрузки—способ
сил.

ГЛАВА XIII
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ АРКИ
§ 81. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Статически неопределимые ар<ки, как и трехшарнирные, работают
в основном не на изгиб, а на продольные сжимающие усилия. Это по¬
зволяет более выгодно использовать строительный материал, а также
Рис. 324
применять материал, хорошо работающий на сжатие, но плохо сопро¬
тивляющийся растяжению: кирпич, камень, бетон.
Двухшарнирные арки встречаются преимущественно в пере¬
крытиях и мостовых конструкциях больших пролетов, когда может быть
оправдано устройство шарнирных опор. На рис. 324 показан пример .пе¬
рекрытия стадиона, на рис. 325 — двухшарнирный арочный мост (Б. Ка¬
менный мост в Москве).
Такие арки целесообразно применять и в случае опасения осадки
опор. Они нечувствительны к вертикальной осадке, но для них вредно
возможное горизонтальное смещение (для трехшарнирных арок и это
смещение не опасно).
Двухшарнирные арки появились лишь в XIX столетии, между тем
как бесшарнирные арки, более простые в конструктивном отноше¬
нии, были известны еще в древности. До настоящего времени сохрани-
234

Рис. 325
шшш
Рис. 327
Рис. 328

лись некоторые древнеримские мосты арочной конструкции, перекры¬
вающие сравнительно большие пролеты.
Область применения бесшарнирных арок очень обширна. На рис. 326
показаны различные виды арок в гражданском строительстве для пере¬
крытия проемов в стенах. Плоская перемычка (рис. 327) по характеру
своей работы приближается к арке, которая условно может быть впи¬
сана в нее (показана пунктиром).
Иногда арки устраивают с затяжками для .того, чтобы не передавать
распор на нижележащую конструкцию.
На рис. 328 показана железобетонная арка Большого театра
в Москве, поддерживающая брандмауэрную стену над занавесом.
§ 82. РАСЧЕТ ДВУХШАРНИРНЫХ АРОК
Для расчета двухшарнирной арки (рис. 329,а) прежде всего превра¬
тим ее в статически определимую (выберем основную систему)•
Отбросим, например, горизонтальный опорный стержень (рис. 329,6) и
заменим его действие неизвестной силой Я (часто неизвестную силу
обозначают через X). Эта сила является распором арки1.
Далее напишем уравнение, выражающее условие, что суммарное
перемещение по направлению Я равно нулю. Уравнение будет иметь та¬
кой же вид, как и для однажды статически неопределимой рамы:
+	(118)
Здесь —перемещение по направлению Я от единичной силы и
ДЯр —.перемещение по направлению Я от нагрузки.
Перемещения следует определять по формулам:
s»«=jwas:	(Ш>
О»)
В редких случаях при пологих арках приходится учитывать и влия¬
ние продольных сил. Модуль упругости Е можно в расчеты не вводить;
в уравнении он сократится. -
Так как арка представляет собой криволинейный брус, то здесь
нельзя применять перемножение эпюр; интегрирование следует выпол-
1 В качестве основной системы может быть применена также трехшарнириая арка.
236

нять .по длине арки. Как видно из ряс. 330, момент от единичной силы
равен:
Ми = — 1 -у.
Поэтому, если отбросить Е:
1 (121)
(122)
Удобнее вводить в расчет не истинные значения моментов инерции,
а отношения их к моменту инерции в замке /<>.
В этом случае за перемещения Ънн и ЬНр примем не истинные пере¬
мещения, а условные, увеличенные в Е10 раз.
Тогда:
(123)
(124)
Если ось арки задается каким-либо уравнением, то при вычислении
8ЯЯ нужно взять один интеграл в пределах от одной опоры до другой.
При 'вычислении &Нр может .потребоваться суммирование интегралов по
отдельным участкам.
Легко убедиться, что вычисление перемещений связано с некоторыми
затруднениями. В самом деле, для интегрирования необходимо заменить
ds через dx:
ds
COS
где <р—угол наклона касательной к оси арки (рис. 330); cos <р можно
определить, зная tg<p а последний найти как производную ^. Обычно
в результате получаются неинтегрируемые выражения.
В отдельных частных случаях интегрирование бывает осуществи¬
мым.
Так, если сечение арки переменное и меняется, увеличиваясь от зам¬
ка к лятам, по закону
г Iq	/1
/ =	,	так	что	—	=
COScp	/0 COS<f
то
НН ■
1
dx
COS ср
= ( y2dx\
COS<p
уМр dx
COS <p
1
= — ( yMpdx.
(125)
(126)
COS cp
Выражения (121) и (122) поддаются интегрированию и тогда, когда
арка очерчена по дуге окружности или состоит из нескольких дуг и
237

В дальнейшем вычисление моментов, поперечных и про¬
дольных сил уже не .представляет затруднений и делается точно
так же, как и для трехшарнирных арок.
Изгибающий момент в любом сечении (рис. 332):
Мх = Мх — Ну;	(133)
поперечная сила:
Qx = Q°xcos<f — Hsinr,	(134)
продольная сила:
Nx = sin <р + Я cos <р.	(135)
ЧИП
Mill
Рис. 334
Для арок, выполняемых в кирпиче, бетоне и т. п., желательно по¬
строить кривую давления.
При аналитическом решении следует определить для ряда сечений
эксцентрицитеты и наметить точки пересечения равнодействующих сил,
расположенных с одной стороны, с этими сечениями, а затем соединить
полученные точки.
Для построения кривой давления можно применить и графический
прием. Но сначала необходимо определить из уравнения (118) распор Я.
Многоугольник давления (в пределе — кривая давления) строится,
как веревочный (рис. 333). Полюсное расстояние силового многоуголь¬
ника равно распору Я, первый и последние лучи представляют опорные
реакции Ra и Rb. Конечно, веревочный многоугольник, начатый от одной
опоры, должен обязательно проходить через другую опору.
При расчете арки с затяжкой (рис. 334,а) основную систему
получим, разрезая затяжку и прилагая в месте разреза неизвестную
силу Я (рис. 334,6).
239

Уравнение будет таким, же, как и для арки без затяжки:
™НН “Ь ^Нр =
Однако при вычислении Ьни следует учесть и деформацию затяжки.
Поэтому перемещения:
Здесь через Е3 обозначен модуль упругости материала затяжки, а
через F — площадь ее сечения.
В остальном решение аналогично изложенному выше. Также можно
заменить ds через dx, применить суммирование 'вместо интегрирования
и т. п.
Бесшарнирная арка трижды статически неопределима. Для обраще¬
ния несимметричной арки (рис. 335,а) в статически определи¬
мую отбросим одну из опор и заменим ее действие горизонтальной силой
Х\, вертикальной — Х2 и моментом — Х3 (рис. 335,6).
Если арка симметричная (рис. 336,а), то и основную систему
следует выбирать симметричную. Для этого или нужно включить в арку
три шарнира, или, что удобнее, разрезать ее в середине (рис. 336,6).
(136)
(137)
§ 83. РАСЧЕТ БЕСШАРНИРНЫХ АРОК
Рис. 335
Рис. 336
Составим систему канонических уравнений:
*Ai + ^2^12 + ХА. + Д1 р —
+ -^2^22 + ^3^23 + ^2р = 0‘,
XAl 4" -^2^32 Ч" «3	^3р = 0.
240

В разрезе приложим неизвестные: продольную силу Х\9 попереч¬
ную Х2 и момент Хъ. Так как сила Х2 обратно-симметричная, неизвестные
же Х\ и Xz симметричные, то:
а потому система уравнений распадется на две независимые системы;
в первую систему, состоящую из двух уравнений, войдут неизвестные Х\
и Аз; во вторую, состоящую только из одного уравнения, войдет Х2:
В вычислениях можно не учитывать модуля упругости Е. Таким об-
Не следует запоминать эти формулы: при других направлениях осей
координат и знаки будут другие.
Как и при расчете двухшарнирных арок, можно для пологой арки
ds принять равным dx. В случае, когда момент инерции изменяется по
закону:
612 — ^21 — ^23 — ^32 — О,
X Ai + Х3813 + Д1р = 0;
*2*22 + А2„ = 0;
+ *з&зз + Д3р = 0.
Перемещения для симметричной арки найдем по формулам:
если направить ось х влево, а ось у вниз (рис. 336,6), то
Мг= + 1 -у;
М2= + 1-х;
М3= + 1.
(138)
разом:
(139)
Вместо I удобно брать только отношение
I
COS <р
16 Б. Н. Жемочкин
241

переход от ds к dx делается путем преобразования, поскольку
dx
ds  	cos ср   dx
~~~	iо	~ аГ’
COS ср
Если получаются выражения, интегрирование которых затрудни¬
тельно, можно вместо интегрирования применить суммирование.
С этой целью арка разбивается на клинья одинаковой длины As.
Предполагая арку постоянной ширины и опуская As, напишем:
=	4-S£-
V 1
°33- 2j^T»
Здесь вместо / = ^ в формулы подставлены только А3.
Конечно, вычисления при суммировании следует вести в табличной
форме.
Определив тем или другим способом перемещения, подставим их в
уравнения и решим последние.
После этого легко найти моменты, поперечные и продольные силы.
Изгибающий момент:
Мх = Мр + Хуу + Х2х + Х8.	(140)
Поперечная сила:
Qx = J] Р cos ср — Хг sin ср — Х2 cos ср.	(141)
Продольная сила:
Nx = Я sin ср + Xjcos ср — X2sin ср.	(142)
В эти формулы входят нагрузки, расположенные между сечением,
в котором определяются МХУ Qx и Nx, и разрезом в середине арки.
Для построения кривой давления нужно найти точки приложе¬
ния равнодействующих в сечениях или применить графический способ
242

(рис. 337), определив предварительно неизвестные Ль Х2 и Xz. Построе¬
ние лучше начинать с середины и вести в обе стороны. Необходимо сна¬
чала найти точку, через которую проходит равнодействующая в месте
разреза, и ее направление (равнодействующая слагается из силЛ'1 и Х2>
хл
ее эксцентрицитет е = — .
XJ
Построение дает собственно многоугольник давления (многоуголь¬
ник равнодействующих). Кривая давления должна получиться в преде¬
ле, если нагрузка распределенная. Однако на практике многоугольник
давления обычно называют кривой давления.
При выбранной нами основной системе приходится все же разрешать совместно
два уравнения. Но иногда принимают такую основную систему, при которой получается
три самостоятельных уравнения, в каждое из них входит только по одному неизвест¬
ному.
Для того, чтобы перейти к этой системе, надо добавить в месте 'разреза жесткие
консоли и приложить неизвестные силы к их концам (рис. 3S8). Удобно принять на¬
чало координат О в той точке, к которой подходят концы консолей. Тогда единичные
моменты будут выражаться прежними формулами (138):
Mi = + у;
М2 = + jc;
М3 = + 1.
Но для приведения системы уравнений к виду:
Х1811 + Д1/, = 0;
Х2&22 + &2р = 0;
*3*33	~	®
нужно так выбрать положение точки О, чтобы соблюдалось условие:
'Mi м3
I
■ ds = 0
-j-ds = 0.
Если обозначим вертикальное расстояние до какого-либо сечения от прежней го¬
ризонтальной оси I через у 1, то:
У=У{—Уо>
где уо — расстояние между старой осью / и новой //.
Получим условие
У1 — У0
I
ds = 0.
16*
243

Разобьем на два интеграла:
Отсюда:
(143)
Напомним, что входящая в формулу величина у\ представляет ординату в старой
системе координат.
Новое начало координат О, отстоящее от верхней точки арки на расстояние уо,
носит название упругого центра тяжести. Расчет начинают с определения
его положения.
§ 84. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА АРОК
Пример 1. Рассчитать двухшарнирную арку параболического очертания, нагружен¬
ную равномерно распределенной нагрузкой на половине пролета (рис. 339,а). Арка
имеет постоянное сечение. Уравнение оси арки, отнесенное к началу координат на опоре:
а) п н 1 П'ОТЧ
4/
у = T*v-X)-
I
т
штпппеГ
*4'
Решение. Превратим арку в статически определимую, отбросив правый горизон¬
тальный опорный стержень и заменив его действие силой Я (распором) (рис. 339,6).
Напишем уравнение, выражающее условие, что суммарное перемещение по на¬
правлению Я равно нулю:
НЬНН + Дя<7 = °-
Для определения перемещений рассмотрим отдельно случаи действия единичной
силы Я и нагрузки (рис. 340,а и б).
Так как арка постоянного сечения и достаточно пологая, то можно принять ds =
= dx, а следовательно, применить формулы (,127) и (128):
ьнн= J yidx'<
Д H9 = -$yMgdx.
244

Вычислим перемещение Ьнн
ънн= {№rxV-x) =^F~+	=
О	о
Для вычисления kHq придется сложить два интеграла: один для левой половины
от 0 до //з и другой для правой от 0 до //2 (принимая начало координат на правой
опоре), так как на этих участках моменты выражаются различно.
Опорные реакции:
1L JL,
2	4	3
А =			Tgl;
3L lL
R 2 ‘ 4	3L
В= I = 8 •
Выражение для момента от нагрузки в левой половине:
3	qx2
Mi = Yqlx~~’’
в правой:
Mq = fx.
Таким образом:
//2 li2
у^хах =
О	О
//2 1,2
= —х(/—х) (т<,1х-Вг)ах-№х{1~х) irxdx =
о	о
1/2	Ц 2
=	[ j" x(l — x) {^Ylx—	rfxч—Гх(/—х)х dx) =
О	о
о	о
//2 Ц2
4/V7	“
/2
" о
/2х»
7
/JC4
4 +
£LU
1 1 1хв
8
3 “
8
10 Г
8 3
0
1
7
1
, 1 +
1
1
3-8
~ 8
4* 16
320
8-3*8
8-4-16
qtl3
' 30
Подставим в уравнение:
нт чп* п
н is _“зо"=0-
Отсюда:
„	Я1%

Теперь определим моменты. В левой части:
Мх =М°Х — Ну = — qix-
qxz
ql2	4f	gx
		Lx(l-x) = — (l — 2x).
16/ /2 ' 8 v '
В правой части:
Эпюра моментов приведена, на рис. 341. Эта эпюра обратно-симметричная.
Попробуем теперь загрузить равномерно распределенной нагрузкой весь про¬
лет. Без особых вычислений видно, что теперь распор будет в 2 раза больше, т. е.
8/
При сложении двух эпюр получим
для всех точек моменты равными нулю.
В этом случае во всех сечениях появят¬
ся только продольные силы, на изгиб
арка работать не будет.
ч‘‘
nmrfuii
Рис. 341
Вспомним, что такие же результаты были получены и для трехшарнирной арки.
Так как при полном загружении арка не изгибается, то опорные сечения не пово¬
рачиваются.1 Если уничтожим шарниры и заменим их заделкой, то в работе арки ничто
не изменится. Следовательно, и в бесшарнирной арке не возникают изгибающие мо¬
менты.
Поэтому приходим к заключению, что во всех сечениях любой параболиче¬
ской арки (трехшарнирной, двухшарнирной и бесшарнирной) при полном за¬
гружении пролета равномерно распределенной нагрузкой моменты
равны нулю. Кривая давления совпадает с осью арки, но только при
условии, что не учитываются продольные деформации*
Пример 2. Рассчитать двухшарнирную арку примера 1 в предположении устрой¬
ства затяжки (рис. 342,а). Эта арка статически определима в отношении опорных реак¬
ций.
Решение. Примем основную систему, разрешав затяжку и приложив в разрезе уси¬
лие Н (рис. 342,6).
Теперь при вычислении Ьнн следует учесть деформацию затяжки. Модуль упруго¬
сти затяжки обозначим через Е3.
Получим, согласно формуле (136) (стр. 240):
МИ EaF J El E3F 15EI
сил.
246
1 Такой результат получается, если пренебречь деформациями от продольных

Перемещение &Hq останется таким же, как и в предыдущем примере, но -необходи¬
мо добавить в знаменателе жесткость:
qjt*
Подставим в уравнение:
Н
Отсюда:
30 El
30 El
= 0.
Н =-
qtl3
30 El
I 8J4_
ql>
E3F	15 El
30 El
— 	+16/
/ E3F t
Моменты в любом, сечении:
Мх=Мйх-Ну._
Эпюра моментов имеет примерно вид, показанный на рис. 343.
Проанализируем полученные результаты.
С увеличением жесткости затяжки распор увеличивается. Когда жесткость затяж¬
ки станет E3F = оо, распор примет значение такое же, как и в арке без затяжки. Под¬
вижная опора при бесконечно жесткой затяжке
смещаться не будет.
С уменьшением жесткости затяжки распор
уменьшается. Если E3F=0, то Н=0. В этом слу¬
чае арка будет работать, как балка. Следователь¬
но, чем меньше жесткость затяж¬
ки, тем больше положительные
моменты в арке.
При полном загружении параболической арки
с затяжкой равномерно распределенной нагрузкой
моменты в арке не равны нулю и увеличиваются
с уменьшением жесткости затяжки.
Ввиду этого часто напряжения в затяжке не доводят до предельных; проекти¬
руют затяжку умышленно увеличенного сечения с тем, чтобы уменьшить моменты в ар¬
ке и улучшить ее работу.
Пример 3. Рассчитать бесшарнирную арку, поддерживающую кирпичную стену
(рис. 344,а). Высота сечения арки 0,77 м (3 кирпича), толщина стены 0,51 м (2 кирпича).
Вес кирпичной кладки 1,6 т/мъ. Арка очерчена по коробовой кривой двумя радиусами.
Решение. Разрежем арку в замке и приложим неизвестную продольную силу Х\
и момент Х2 (рис. 344,6). Ввиду симметрии поперечная сила будет равна нулю. Поэто¬
му придется составить только два уравнения:
Рис. 343
^1^11 "Ь ^2^12 ”1“ А
1 р*
:0;
-Х1&21 + Х2§22 + ^2\р = 0.
Перемещения должны вычисляться по формулам
' Xf2
Г м\
®11= J EI ^
,
2 — j Е1
m
622 “Ji7 ds:
Гм*
1/7 “J Е
4, = .f
. ds;
M2MP
ds.
При вычислении перемещений достаточно ограничиться одной половиной арки,
Для всей арки пришлось бы все величины перемещений удвоить.
В целях упрощения применим здесь суммирование. Для этого разобьем полуарку
на 6 клиньев одинаковой длины по оси As = 0,94 м (рис. 345).
Так как As и EI постоянные величины, их можно при суммировании не учи¬
тывать.
247

Тогда:
8ц = Е М\,
®22 = S ~Мп>
Д„= S МгМр1
Дар = 2 луир.
Направим ось х-ов влево и ось у-ов вниз (рис. 344,6).
Очевидно:
Л*1 = + у,
М2 = + 1.
ч
т
I
0,5/л»
Поэтому:
hi = Е*/2;	V = Т>уМр;
^12 = Е#;	Д2/7 =
^22= Е1;
На рис. 345 показаны равнодействующие нагрузок, приходящихся на каждый
клин.
Например, для клина 3—4:
вес кладки 2,70-0,51-0,82*1,6 = 1,81 т
вес клина 0,94«0,51-0,77*1,6 = 0,60 т
Всего 2,41 т
241

Необходимые данные поместим в таблицу. Под Мр будем подразумевать моменты
в каждом сечении от нагрузки, приложенной в пределах между этим сечением и
разрезом в замке.
Например, для шва 3:
М3 = —(2,70—2,41) 2,21 — (2,70—1,47) 2,06— (2,70-0,49) 1,96= — 7,51 •тм;
здесь 2,70 — абсцисса середины шва 3 (рис. 345).
№
X
У
Уа
У
1
мр
У мр
швов
в м
в м
(Sn)
(М
(М
<*2р)
(Д1 р)
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0,94
0,08
0,01
0,08
1
— 0,88
— 0,07
2
1,85
0,33
0,11
0,33
1
— 3,45
— 1,14
3
2,70
0,72
0,52
0,72
1
— 7,51
— 5,41
4
3,45
1,29
1,66
1,29
1
—12,64
-16,31
5
4,02
2,04
4,16
2,04
1
—17,66
—36,03
6
4,38
2,91
8,47
2,91
1
—21,45
—62,42
2 =
10,26
5,84
6
—52,61
—87,79
Суммирование, обозначенное в нижней строке таблицы знаком 2, выполнено по
формуле Симпсона:
12о + 4 (zx + z3 + 2Ъ) + 2 (z2 + *i) + гб] •
249

По этой формуле цифры, приведенные в строках с нечетными номерами, берутся
с коэффициентом 4, четные — с коэффициентом 2, крайние — без коэффициента.
Итак:
Ьп= 10,26;
В12 = 5,84;
^22 = 6;
Д1/7 = — 87,79;
52,61.
Л2р '■
Найденные значения перемещений подставим в уравнения:
10,26*! + 5,84Х2 — 87,79 = 0;
5,84X1-f6X2 —52,61 =0.
Из уравнений получим:
Х1 = 7,99 г;
Х2 = 0,99 тм.
Проверим напряжения в замке, предполагая работу арки в упругой стадии.
Эксцентрицитет:
М 0,99 Л 4
£ =	— =	——	= 0,12 Л<-
N	7,99
Напряжения (обычно напряжения	сжатия	кладки считаются	положительными):
NS	Ье\	7,99	/	6 0,12\
" - Т ('*	ТГ	(' *	w) -20’30	1	°’И5,;
ашах = 39,3 т/м2 = 3,9кг/см2;
amin = 1,3 т/м2 = 0,1 кг/см2.
На рис. 346,а построена кривая давления. Построение начато от середины арки,
где точка приложения равнодействующей уже известна.
Кривая давления выходит из средней трети в пяте. Разлагая реакцию на попереч¬
ную и продольную силы (рис. 346,6) найдем Л/'б = 14,61 т\ эксцентрицитет на опоре
е = 0,19 м.
250

Напряжения:1
I I I I I ! I
tl
0.77*0,51 \	0,77 /	v
omax = 92,3 т/м2 = 9,2 кг!cm1;
°min = — 17,9 г/ж2 = — 1,8 кг/см2.1
§ 85. ПРИБЛИЖЕННЫЕ СПОСОБЫ РАСЧЕТА АРОК
Из предыдущего видно, что расчет двухшарнирной или бесшарнир¬
ной арки представляет довольно сложную задачу и сопряжен с длинны¬
ми и утомительными вычислениями. При этом может случиться, что се¬
чение арки, полученное в ре¬
зультате расчета, будет сильно
отличаться от того, которым
задавались вначале. Тогда не
останется ничего другого, как,
исходя из полученных данных,
вновь проделать весь громозд¬
кий расчет. Понятно, что целе¬
сообразнее было бы в целях
экономии времени первона¬
чально рассчитать арку каким-
либо упрощенным способом.
Часто требуется опреде¬
лить размеры арки вообще только приблизительно для эскизного проек¬
та, когда уточнение размеров совершенно излишне.
Поэтому на практике наряду с точными (условно) способами рас¬
чета нашли применение и приближенные. Они пригодны для грубой при¬
кидки сечений при эскизном проектировании или для предварительного
подбора сечений перед окончательным точным расчетом. Для неответ¬
ственных сооружений или для кирпичных и бетонных арок небольших
пролетов (до 5—6 м, а иногда и больше) точный расчет вообще ненужен
и можно ограничиться приближенным решением.
а)	Аналитический способ расчета
Он основан на допущении, что распор в двухшарнирной или бесшар¬
нирной арке равен распору трехшарнирной арки.
В соответствии с этим распор (рис. 347):
(144)
*	Проверим сечение ото СНиП.
Для коэффициента лерегрузки примем значение 1,2. Предположим, что кирпич
h
марки 75 и раствор марки 25. Тогда R= \\ кг/см2. Учитывая, что е >0,45— и прини
мая коэффициенты т = тк= 1, получим:
14610.1,2< 1-1.11 -77
17,53 <27,45.
Таким образом, прочность обеспечена.
251

где MQC — момент в замке С, определенный для однопролетной балки;
/—стрела подъема арки.
Вертикальные составляющие опорных реакций Vа и Vъ определя¬
ются, как для балки.
Полная опорная реакция на левой опоре:
(145)
Приближенно можно принять продольную силу в опорном сечении
равной полной* опорной реакции Rat хотя в действительности реакция
Ra не всегда перпендикулярна опорному сечению.
При определении напряжений следует предполагать, что кривая дав¬
ления проходит по границе средней трети, а потому напряжения вдвое
больше, чем при равномерном их распределении.
0.51м
Если продольная сила в каком-либо сечении равна N, то
2N_
F
(146)
Пример. Подобрать сечение кирпичной арки (рис. 348) при допускаемом напря¬
жении [а! = Ю* кг/см2 = 100 т/м2. Нагрузка от веса стены средней высотой (включая и
арку) 5 м. Объемный вес кладки— 1,6 т/мг.
Решение. Нагрузка, если считать ее равномерно распределенной, равна:
qr = 0,51'5'1,6 = 4,1 т/м.
Распор:
4,1-82
Н= —г—г— = 10,9 г.
8-3
Вертикальные составляющие опорных реакций:
4,1*8
V = -1-— = 16,4г.
252

Полные опорные реакции:
R=V 16.42 + 10,92 = 19,7г.
Требуемая площадь сечения на опоре:
2R 2-19.7 Л ,
f“M -15Г-°-жл
Принимаем сечение 0,51 *0,77=0,393 м2. Таким образом, высота арки — 3 кирпича.
Мы вводили в расчет пролет арки по внутренней поверхности. Между тем нужно
было брать его до оси. Зная сечение арки, можно ввести поправку в размеры и несколь¬
ко уточнить расчет, но особой нужды в этом нет.
б)	Графический способ расчета
Здесь небесполезно припомнить, какими путями шла мысль иссле¬
дователей, когда только появилась необходимость в расчете арок.
Исходя из того, что обычно при разрушении арок раскрывается шов
внизу в середине пролета и вверху примерно в четвертях пролета (рис.
349), первоначально в XVIII столетии предполагали, что равнодействую¬
щие в сечениях проходят через точки
В и С.	С
Позднее было обращено внима¬
ние на то, что равнодействующие не
могут приближаться к границе сече¬
ния, так как при этом должны были
бы получаться бесконечно большие на¬
пряжения. Поэтому делались попы г-	Рис. 349
ки определить наиболее вероятное по¬
ложение кривой давления (понятие
о	которой появилось в XIX столетии) внутри арки.
Так, был разработан во второй половине XIX столетия графический
способ расчета, который мы здесь и изложим.
Применяя этот способ, предполагают, что в замке арки кривая дав¬
ления проходит в верхней части сечения на границе средней трети;
в каком-либо другом месте — в нижней части сечения опять на границе
средней трети.
Задача о проведении кривой давления, удовлетворяющей этим усло¬
виям, остается еще неопределенной; поэтому из всех возможных кривых
давления выбирают ту, которой соответствует наибольший распор.
Необходимо отметить, что приводимый здесь способ не имеет под
собой твердой научной базы и, с точки зрения современной теории, явля¬
ется несостоятельным; положение кривой давления можно найти
только после расчета арки, как статически неопределимой системы.
Тем не менее во многих случаях удается все же построить кривую
давления, близкую к той, какая получается при точном расчете. Во вся¬
ком случае этот способ можно принять как приближенный.
Неоспоримым достоинством такого способа является его исключи¬
тельная простота. Этим объясняется, что научно не обоснованный при¬
ближенный способ находит применение и в настоящее время, несмотря
на возможность делать точный (но более сложный) расчет.
Разберем применение способа только для симметричной арки, когда
достаточно вычертить одну половину ее. Однако аналогичные приемы
применимы и при несимметричной арке или при несимметричной нагруз-
253

ке, для чего нужно сделать для обеих половин арки два самостоятель¬
ных расчета.
Итак, предположим, что на левую половину арки (рис. 350,а) дейст¬
вует некоторая указанная на рисунке нагрузка. Разобьем арку на ряд
клиньев и определим приложенные к ним силы. Примем, что кривая дав¬
ления проходит в замке через верхнюю границу средней трети (точка С).
Построим веревочный многоугольник с произвольным полюсным рас¬
стоянием и с первым (правым) лучом, направленным горизонтально.
Этот веревочный многоугольник еще не будет многоугольником дав¬
ления, так как пока соблюдено только условие, что он проходит через
точку С.
Предположим теперь, что крайний луч проходит через точку А на
границе средней трети в опорном сечении. Его направление сейчас же
можно указать. Последний луч тпа первоначального веревочного мно¬
гоугольника и последний луч Аа нового многоугольника должны пересе¬
каться в точке а, так как через нее проходит равнодействующая нагру¬
зок (напомним, что равнодействующая всегда проходит через точку пе¬
ресечения крайних лучей веревочного многоугольника).
Найдя направление последнего луча Аа, проведем параллельную
ему линию в силовом многоугольнике. Вычерчивать новый веревочный
многоугольник пока не нужно. Достаточно найти отрезок первого (гори¬
зонтального) луча, так как он определит величину распора.
Предположим теперь, что кривая давления проходит через В —
нижнюю границу средней трети предпоследнего сечения. Направление
соответствующего луча ВЬ должно пройти через точку 6, получающуюся
в пересечении предпоследнего луча первоначального веревочного много¬
угольника nb с горизонтальным лучом. Проводим параллельную лучу
ВЬ линию на силовом многоугольнике. Найдем новую величину распора.
Аналогично поступим и с другими сечениями. Тогда в силовом мно¬
гоугольнике (рис. 350,6) получим целый ряд отрезков, дающих величины
распора при разных положениях кривой давления.
254

Выберем отрезок, соответствующий наибольшему значению рас¬
пора, и, приняв точку О в его конце за полюс, построим окончательный
веревочный многоугольник, который и будет многоугольником давления
(а в пределе при увеличении числа клиньев он превратится в кривую
давления). На практике этот многоугольник называют кривой дав¬
ления.
На рис. 350,а кривая давления построена для ясности внизу от¬
дельно.
После построения можно найти напряжения во всех сечениях.
На рис. 351 приведен пример графического расчета арки. Нагрузка слагается из
веса стены, возведенной на арке, и веса самой арки. Для расчета полуарка разбита на
6	клиньев.
Сделав построение, видим, что наибольший распор получается в том случае, когда
кривая давления проходит через нижнюю границу средней трети в сечении 4. При этом
Н = 17,3 т. Принимая его за полюсное расстояние, построим кривую давления.
Оказывается, что наиболее опасным является сечение 5, где кривая давления про¬
ходит почти на границе средней трети, продольная же сила здесь больше, чем в се¬
чении 4.
Разлагая равнодействующую в этом сечении R$ (луч веревочного многоугольника)
на продольную и поперечную силы, найдем продольную силу N$ = 28,5 т. Эксцентри¬
цитет, измеренный на рисунке, е^ 8,5 см. Пята арки (сечение 6) находится в более
благоприятных условиях, чем сечение 5, так как здесь кривая давления проходит
вблизи середины.
Напряжение в замке арки (сечение 0):
a = 6|r0J7 = 88'lr/A,2==8l8'K/C^-
255

В сечении 5:
28,5	/	6*0,085	\
° = о'Ж?? (1 + —^5i—) = 145Л т1м2 " 14'5^^3-
Для арки принятого сечения требуется кирпичная кладка с допускаемым напря¬
жением не менее 14 кг!см2*.
Обратим внимание на одно обстоятельство. С ним приходится иног¬
да встречаться при графическом решении в случае арки, круто
поднимающейся от опоры, и притом когда для
построения приняты тонкие клинья.
Крайние лучи веревочного многоугольника
(многоугольника равнодействующих) для арки,
изображенной на рис. 352, выходят за пределы
пяты арки.
Через пяту арки должна проходить опорная
реакция. Поэтому продолжим луч ab до точки Ь'
сечения /. Далее, через сечение II должна
пройти равнодействующая опорной реакции
и крайней левой силы, приложенной к крайнему
клину. Эта равнодействующая направлена по
лучу Ьс.
Продолжим Ьс до точки d сечения II. По¬
ступим так же и дальше.
Соединив точки Ь\ с\ получим много¬
угольник давления.
Таким образом, оказывается, что много¬
угольник равнодействующих и многоуголь¬
ник (в пределе кривая) давления ни одно
и то же.
Кривая давления является геометрическим
местом точек пересечения равнодействующих со
швами, но она не всегда указывает направления
этих равнодействующих (ср. с кривой давления
в подпорной стене, стр. 326).
С подобными случаями можно иногда
встретиться при расчете двух- и трехшарнирных
арок.
§ 86. ЗАДАЧИ
1.	Рассчитать двухшарнирную параболическую арку постоянного сечения, нагру¬
женную сосредоточенной силой в середине пролета (рис. 353,а). Построить эпюру М.
Уравнение оси арки:
4/
*	Проверим сечение по СНиП.
Коэффициент перегрузки примем 1,2.
h
Предположим, что кирпич марки 100 и раствор марки 50. Так как е < 0,45 —, то:
28 500-1,2 <
Ы-15*77 -51
1 +
2-8,5
51
или:
256
34,2 < 44,2

2. Подобрать приближенным способом сечения железобетонной арки в замке й в
пяте (рис. 353,6). Допускаемое напряжение принять условно [а] =40 кг/см2.
ттттш

Г Л А В А XIV
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
§ 87. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Как известно, к статически неопределимым относятся фермы, имею¬
щие «лишние» стержни. В таких фермах в соответствии с изложенным
выше должно быть:
т. е. общее число стержней, влючая и опорные, должно быть больше уд¬
военного числа узлов.
Если речь идет о внутренней статической неопределимости фермы
и она рассматривается без связи с землей, то на основании фор¬
мулы (37):
Пределы применимости статически неопределимых ферм довольно
ограничены. Иногда их применение диктуется соображениями о наибо¬
лее удобном устройстве опор.
Примеры статически неопределимых ферм приведены на рис. 354.
Независимо от того, является ли ферма внешне или внутренне ста¬
тически неопределимой, порядок расчета остается один и тот же.
Проследим его на примере простой однажды статически неопредели¬
мой фермы (рис. 355,а).
Превратим ферму в статически определимую (выберем основную
систему), для чего разрежем «лишний» стержень и приложим в раз¬
резе неизвестное усилие Хх (рис. 355,6) Если ферма внешне статически
неопределимая, можно или разрезать стержень в самой ферме или от¬
бросить опорный стержень.
С>2У,
Рис. 354
Сф > 2У— 3.
258

Затем напишем уравнение, выражающее условие, что суммарное
перемещение по направлению усилия Xi равно нулю, т. е. что в месте
разреза сечения не расходятся и не сближаются. Это суммарное пере¬
мещение зависит от силы Xi и от внешней нагрузки.
Перемещение, вызываемое единичной силой Х\ = 1, равно 8ц, а пе¬
ремещение от силы Xi должно быть в Х\ раз больше. Перемещение от
нагрузки— Д,,. Получим уравнение:
*Аг + \, = 0.	(147)
Перемещения найдем по выведенной ранее формуле (81) (стр. 125).
Так как все стержни фермы выполнены из одного материала и вели¬
чина модуля упругости Е входит во все перемещения, то можно его при
расчете не принимать во внимание. Необязательно также вводить истин¬
ные площади сечений; достаточно ограничиться их отношениями.
В данном случае:
У NrNt	у'TV?
= jLi —~— 1=	— г,
(148)
* _ V n,np
р — — —р— I-
(149)
В этих формулах:	—	усилие	в	каком-либо стержне основной си¬
стемы от силы Xi = 1; Np — усилие в этом же стержне от нагрузки.
Следовательно, необходимо рассмотреть отдельно случай, когда к
основной системе приложена в месте разреза единичная сила. (рис.
355,в) и когда на основную систему действует внешняя нагрузка, а сила
Xi отсутствует (рис. 355,г).
Определив усилия в каждом стержне статически определимой фер-
N2,
для
мы в том и другом случае, вычислим выражения -11 и
F	F
каждого стержня, а затем просуммируем их по всем стержням.
Таким образом, найдем перемещения 8Л и Д1/7 Подставим их в
уравнение (147) и решим его.
17*
259

После того как Xt станет известно, нетрудно найти окончательные
усилия в любом стержне заданной статически неопредел и*
мой фермы как сумму усилий в основной системе от Xt и от на¬
грузки:
Вычисления удобно вести в табличной форме.
§ 88. РАСЧЕТ ШПРЕНГЕЛЬНЫХ БАЛОК
(150)
Иногда балку, несущую большую нагрузку, усиляют добавочной стержневой
конструкцией (рис. 356,а).
а)
S)
11
Рис. 356
Эта комбинированная система, в которой один элемент работает на изгиб,
а остальные на продольные усилия, является статически неопределимой.
Для перехода к основной системе разрежем нижний стержень и приложим неиз¬
вестную силу Х\ (рис. 356,6).
Уравнение будет обычного вида:
1 \
[Щ\
<2
Вычислить перемещения
формулам:
придется по
fAMfr
'Р~ J EI dx'
(151)
(152)
Формула (152) состоит только из
внешняя нагрузка не вызывает усилий в стержнях основной системы.
Для определения моментов и усилий
необходимо рассмотреть случаи, когда дей¬
ствует только сила Xi=l (рис. 357,а) и
когда действует только нагрузка
(рис. 357,6).
В формуле (151) второй член относит¬
ся к балке, так как в стержнях моментов
не может быть; первый член относится
только к стержням. Правда, от единичной
силы возникает продольное усилие и в бал¬
ке, но влияние его на деформацию балки
столь мало по сравнению с влиянием изги¬
ба, что им можно пренебречь,
одного члена, относящегося к балке, так как
260

Усилия в стержнях от Xi = 1 определяются без затруднений. Для вычисленйя 1
—	/ желательно составить небольшую таблицу.
EF
Вычисление интегралов, как всегда, заменяем перемножением эпюр. Одна эпюра
относится к усилиям, передающимся на балку и вызванным A'i = ,l (рис. 358,а), дру¬
гая— к внешней нагрузке (рис. 358,6).
§ 89. ЗАДАЧИ
1.Выбрать	основные системы для ферм, приведенных на рис. 359.
2.	Определить усилия в стержнях фермы, приведенной на рис. 360. Площади се¬
чений всех стержней одинаковые.
Рис. 360

ГЛАВА XV
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
§ 90. ПОНЯТИЕ О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМАХ
До сих пор рассматривались плоские системы, характеризующиеся
тем, что оси элементов каждой системы и действующие на нее силы ле¬
жат в одной плоскости. Если какое-либо из этих условий не соблюдено,
то система является пространственной.
Обычно для расчета пространственные системы расчленяются на
плоские системы, причем связи между ними не учитываются.
Такое расчленение хотя упрощает задачу, но приводит к некоторым
неточностям. Как показывают исследования, эти неточности в большин¬
стве случаев невелики и при практических расчетах ими можно прене¬
бречь.
Но, однако, некоторые из систем не удается расчленить на плоские
и их приходится рассчитывать, как пространственные. К числу таких
систем относятся пространственные фермы и рамы, а также своды, купо¬
ла и т. п., состоящие из элементов, у которых два размера намного
превышают третий — толщину. Несмотря на довольно сложные теорети¬
ческие обоснования их расчета, в ряде случаев возможны упрощения.
Настоящая глава и посвящена вопросу о расчете подобных систем.
Ввиду того что тема эта чрезвычайно обширна, мы ограничимся
только основными понятиями, причем особенное внимание уделим при¬
ближенным способам расчета. Применяя такие способы, мы часто будем
расчет пространственных систем опять-таки заменять расчетом плоских
систем.
§ 91. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СВОДЫ
Цилиндрический свод представляет собой оболочку, опирающуюся
на две параллельные стены или балки (рис. 361,а и б).
262

Двумя плоскостями, перпендикулярными продольной оси свода, вы¬
режем полосу шириной, равной единице (рис. 362), и будем ее рассмат¬
ривать независимо от остальной части свода. Таким образом, расчет
свода сведем к расчету арки.
Эта арка может быть трехшарнирной , двухшарнирной или бесшар¬
нирной. В огромном большинстве случаев она будет бесшарнирной с
заделкой в пятах. Только в тех случаях, когда на полную заделку рас¬
считывать нельзя, как например, в случае, приведенном на рис. 361,6,
лучше принимать ее двухшарнирной.
Расчет статически неопределимых
арок, двухшарнирных и бесшарнирных,
был изложен в главе XIII, поэтому
здесь на нем не останавливаемся.
Само собой понятно, что при пред¬
варительном подборе сечения свода
можно пользоваться приближенными
приемами, которые были разобраны
выше в применении к аркам.
Так, применяя аналитический спо¬
соб, найдем, что распор свода равен:
(153)
где М°с — момент в замке свода от действия нагрузки на вырезанную
полосу, определенный как для простой балки;
/—стрела подъема свода.
При равномерно распределенной вертикальной нагрузке интенсив¬
ностью q на единицу площади:
// =
дЫ2
8/
(154)
Напряжение в замке:
где 8 — толщина свода.
Ширину 6, как сказано, удобнее принимать равной единице.
Таким же путем можно определить напряжения и в пятах (гл. XIII,
§ 85).
§ 92. КРЕСТОВЫЕ СВОДЫ
Крестовый свод получается путем взаимного пересечения двух (или
нескольких) цилиндрических сводов (рис. 363). Из них как бы удаляют
части, называемые лотками, и оставляют распалубки. Крестовый
свод опирается только на четыре колонны или пилона по углам.
Важной несущей частью конструкции являются диагональные под*
пружные арки, на которые опираются распалубки сводов. Эти арки
могут выступать внутрь помещения, образуя гурты (нервюры),
архитектурно обработанные (рис. 364,а), или располагаться выше; в
последнем случае они имеют треугольное очертание (рис- 364,6). Первое
263

решение обычно имеет место при больших пролетах, второе — при
малых.
Пилоны по углам помещения, воспринимающие распор диагональ¬
ных арок, должны быть достаточно мощными, на их устойчивость и
прочность должно быть обращено самое серьезное внимание.
Если крестовые своды перекрывают ряд смежных помещений, то
распоры частично взаимно погашаются, и вместо массивных пилонов
можно ограничиться относительно тонкими колоннами.
Ряд преимуществ, присущих крестовым сводам перед другими пере¬
крытиями, обеспечил им широкое распространение в зодчестве всех ве¬
ков, начиная с римских построек. Крестовые своды, выполненные в
железобетоне, отличаются особенной легкостью и имеют толщину по¬
рядка 5—10 см. Их следует рассчитывать, как оболочки. Приводимый
же далее способ расчета для них мало пригоден: он слишком груб. Но
его можно применять в случае сводов из кирпича, бетона и т. п., с чем
иногда приходится встречаться при проверке прочности существующих
конструкций.
Распалубки крестового свода приближенно могут рассчитываться,
как цилиндрические своды. Каждую распалубку делят вертикальными
плоскостями на ряд элементарных арок, пролеты которых уменьшаются
в середине помещения (рис. 365). Нет особенной надобности рассчиты¬
вать их точным способом; к этим аркам вполне применим графический
способ, изложенный в § 85.
Рис. 363
Рис. 364
Рис. 365
Рис. 366
264

Достаточно рассчитать только крайнюю с наибольшим пролетом
арку, находящуюся в наиболее невыгодных условиях. Но опорные реак¬
ции (вертикальные и горизонтальные) надо найти для всех элементар¬
ных арок, так как они необходимы для расчета диагональной арки. По¬
следняя несет нагрузку от элементарных арок двух перпендикулярных
направлений. Поэтому вертикальные давления элементарных арок сле¬
дует сложить алгебраически, горизонтальные же или распоры — геомет¬
рически (рис. 366). При квадратном помещении, перекрываемом сво¬
дом, придется, очевидно, умножать распоры на У 2. Равнодействую¬
щие распоров должны распола¬
гаться в плоскости диагональной
арки. Если в особо сложных слу¬
чаях так не получается, то все же
надо учитывать только проекции
равнодействующих на плоскость
арки.
Диагональная арка нагруже-'
на вертикальными и горизонталь¬
ными силами. Применяя и для нее
графический способ расчета, целесообразно заменить эти силы наклон¬
ными равнодействующими (рис. 367).
После расчета диагональных арок рассчитываются их опоры —
пилоны.
На рис. 368 приведен пример графического расчета кирпичного крестового свода.
Здесь разобран случай, когда перекрывается только одно помещение, а потому по уг¬
лам его стоят массивные пилоны.
Диагональные подпружные арки выступают кверху и имеют сечения у пят, близ¬
кие к треугольным (в расчете они приняты треугольными); к замку свода сечения пере¬
ходят почти в прямоугольные.
Так как расчет элементарных арок (шириной по 0,75 м) представляет мало инте¬
реса, приведены только кривые давления.
На рисунках диагональной арки показаны пунктиром границы ядра сечения («Со¬
противление материалов»). В треугольной пяте они находятся на расстоя¬
ниях 74 и 7г высоты сечения от верхнего края. В замковом сечении, как прямоуголь¬
ном,— на 7з и 2/з высоты (средняя треть). В остальных сечениях занимают промежу¬
точные положения. Для ясности кривая давления в диагональной арке вычерчена
отдельно.
Опорное давление диагональной арки-разложено на поперечную и продольную
силы. Последняя оказалась равной N =8,4 г. Ее эксцентрицитет, т. е. расстояние от
центра тяжести пятового сечения, равен е = 0,07 м.
Проверим напряжения в пяте.
Изгибающий момент:
М = М?= 8,4-0,07 = 0.59*™.
Площадь треугольного поперечного сечения:
„	Ыг	0,80-0,55 Л
Р=~2			°'22мК
Момент инерции треугольного сечения:
r	bhз	0.80-0,553
'-1Г	55	°’Ш7'Л
Напряжение в верхнем сжатом волокне:
N	М	h 8.4	0,59	0.55
5гааХ=	F +	I	*Т= 0^22	0/0037	* ~3~=
=	38,2	+	29,2	=	67,4	т/м2	= 6,7 кг/см1.
Ж

Графический расчет крестового свода
Нагрузка 0,6 т/мг поверхности сдода
\
Рис. 368
266

В нижнем растянутом волокне:
N	М2
°min= — ~~Г • "V" h = 38,2 — 58,5 = — 20,3 т/м2 = — 2,0 кг/см2,
г	13
Перейдем к расчету пилона. На него (в нижнем сечении) действуют следую¬
щие силы:
собственный вес — '1,852 . 5,20. 1,6 = 28,5 г;
нагрузка от других конструк¬
ций — 5 г,	/
вертикальная нагрузка от диаго-	/
нальной арки — 6,1 г;	/
горизонтальная -нагрузка от той	/	^
же арки — 6,3 т\	j
вертикальные нагрузки1 от боко¬
вых частей сводов — по 3,3 т\
горизонтальные нагрузки от них
же — по 2,1 т.
Две последние силы дают равно¬
действующую, направленную по ди¬
агонали и равную 2,1 -у 2 = 3,0 т.
Нагрузки и необходимые раз¬
меры указаны на рис. 369.
Проверим сначала устойчи¬
вость на опрокидывание
пилона около крайней наружной
точки основания ити около оси АА.
Опрокидывающий момент от¬
носительно оси А А:
Monv = (6,3 + 3,0)5,2 — 6,1*2,54 —
—	2-3,3 1,94 = 20,1 тм.
Удерживающий момент:
Муд = (28,5 +5)1,31 = 43,9 гж.
Коэффициент .устойчивости на
опрокидывание (понятие о коэффи¬
циенте устойчивости дано в «Тео¬
ретической механике»).
МуД 43,9
k =
А10пр 20,1
Таким образом, устойчивость пи¬
лона обеспечена.
Определим напряжения от не¬
равномерного сжатия в основании,
предполагая работу тшлона в уп¬
ругой стадии.
Вертикальная равнодействую¬
щая всех сил:
jV = 28,5 + 5 + 6,1 +2-3,3 = 46,2 т.
Момент всех сил относительно
оси А А :
МА — А1уд — Л^опр = 43,9 —
—	20,1 = 23,8 тм.
Расстояние равнодействующей от оси АА:
'0 06
Рис. 369
23,8
Эксцентрицитет:
с = —ту— = 77~7, =0,50 м.
N 46,2
в = 1,31 —0,50 = 0,81
1 На рж. 368 определение этих нагрузок не 'приведено.
267

Момент всех сил относительно центра тяжести:
М = М? = 46,2-0,81 =37,4тм..
Площадь сечения:
1,85а = 3,42 м2.
Момент инерции квадрата относительно диагонали такой же, как и относительно
оси, параллельной его стороне и проходящей через центр тяжести:
1,854
/=—1— = 0,98лИ.
Напряжения:
ашах = 13,5 +50,0 = 63,5 т/м2 = 6,4/сг/сл<2;
amin = 13,5—50,0 = — 36,5 т/м2 = — 3,7кг/см2.
Напряжение растяжения больше допускаемого. Следовало бы увеличить сечение
пилона. Однако, если сделать расчет в предположении раскрытия шва, то в сечении бу¬
дет только сжатие у наружного края, причем наибольшее напряжение:
ашах = 13,9 кг/см2,
что при хорошей кладке допустимо1.
§ 93. СОМКНУТЫЕ СВОДЫ
Сомкнутый свод также получается при пересечении двух (или не¬
скольких) цилиндрических сводов, но здесь используются не распа¬
лубки, а лотки сводов (рис. 370). В отличие от крестового сомк¬
нутый свод требует опирания по всему контуру.
Так как нагрузка на опоры распределяется довольно равномерно,
то в сомкнутых сводах отпадает необходимость в устройстве подпруж-
ных арок, во всяком случае в перекрытиях прямоугольных помещений
небольших размеров.
Если разрезать свод двумя системами вертикальных плоскостей, то
получатся перекрещивающиеся полуарки с прямолинейными вставками
(рис. 371) между ними.
1	Если проверить сечение по СНиП, то при марках кирпича 75 и .раствора 25, по¬
лучим
55,4 < 112,9.
268

Расчетная схема довольно простая. Каждая выделенная полуарка
неполного пролета уравновешивается с ей противоположной; усилие
сжатия передается через горизонтальный элемент, вырезанный из пер*
пендикулярного свода. Поскольку это усилие направлено перпендику-
Рис. 372
Рис. 373
лярно боковым поверхностям арок другого направления, оно не отра¬
жается на их работе.
Полуарки можно рассчитывать графическим способом (рис. 372).
Направление усилия между полуаркой и условным горизонтальным
элементом нуждо считать горизонтальным (так как иначе не будет
равновесия) и приложенным на границе средней трети сечения в замке.
Построение ведется обычным порядком (стр. 254).
269

В действительности это усилие может быть наклонным и вызывать
изгиб горизонтального элемента. Учитывая приближенность расчета,
этим можно пренебречь.
Рис. 374
Рис. 375
На практике встречаются более сложные конструкции. Если в сред¬
нюю часть сомкнутого свода включить плоскость, образуется так назы¬
ваемый зеркальный свод (рис. 373, Останкинский музей в Москве).
Возможны комбинации сводов различных типов. На рис. 374 показан
цилиндрический свод с распалубками (тот же музей).
На рис. 375 приведен сложный сомкнутый купол «перекрытия рынка
вЛейпциге. Указанный выше упрощенный способ расчета к нему уже
неприменим.
270

§ 94. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ
Цилиндрический свод-оболочка балочного типа ограничен цилин¬
дрическими поверхностями и опирается на жесткие диафрагмы по кон¬
цам (рис. 376). Оболочка может поддерживаться четырьмя колоннами.
Рис. 376
Наиболее употребительные размеры железобетонных оболочек: ши¬
рина 10—20 Mj длина 20—30 м. Диафрагмы делают или сплошными
(рис. 376,а), или в виде арок с затяжками и подвесками (рис. 376,6).
По длинным сторонам устраивают вертикальные или горизонталь¬
ные бортовые элементы (рис.
377). Их нельзя рассматри¬
вать как балки, поддержи¬
вающие оболочку, они пред¬
ставляют собой часть попе¬
речного сечения оболочки и
необходимы для укладки ар¬
матуры, так как по краям
оболочки возникают значи¬
тельные горизонтальные силы; кроме того, бортовые элементы увеличи¬
вают жесткость системы.
Для перекрытия больших помещений применяют несколько парал¬
лельных, связанных в одно целое оболочек (рис. 378 и 379).
Своды-оболочки являются сравнительно новыми конструкциями; по¬
явление их связано с успехами железобетонного строительства.
В СССР оболочки впервые былл применены в 1929 г. вМосквена
автобазе б. Наркомпочтеля. Их размеры — 9,2X19 м2 при толщине 6 см
271

(рис. 379). Одновременно были применены оболочки размерами
10X20 м2 в покрытиях Харьковского почтамта при толщине так¬
же 6 см.
В настоящее время своды-оболочки нашли широкое применение в
строительстве благодаря их легкости и экономичности.
Их выполняют не только в железобетоне, но и (довольно редко) в
дереве.
Рис. 379
Особенностью сводов-оболочек является то, что нормальные напря¬
жения распределяются относительно равномерно по толщине сечения.
Поэтому в первых расчетах 20-х годов предполагалось, что усилия,
действующие в оболочке, совпадают с ее срединной поверхностью. Так
появилась безмоментная теория расчета. Впоследствии, в 30-х
годах, вопрос был 'подвергнут более подробному изучению с точки зре-
ния моментной теории1.
__ **1_
1
Г
Оказалось, что оболочки рабо¬
тают и на изгиб, так что рас¬
пределение напряжений не¬
сколько иное.
Не останавливаясь на из¬
ложении той или другой тео¬
рии, укажем, что для предва¬
рительных расчетов можно
применить упрощенный
способ, состоящий в том, что оболочка рассчитывается в продольном
.направлении на изгиб., как обыкновенная балка криволинейного попе¬
речного сечения (рис. 380).
Напряжения вверху, если рассматривать оболочку, как выполнен¬
ную из однородного материала:
Рис. 380
°i =
м
- -л;
1 Разработка теории была сделана советскими исследователями (В. 3. Власовым,
А. А. Гвоздевым, П. JI. Пастернаком и др.).
272

внизу:
, М
°2	Ь ~ У2*
Моменты инерции (или моменты сопротивления) могут быть най¬
дены при любом очертании оболочки графическим способом.
Приведем формулы для случая дуги окружности (рис. 381) с цен¬
тральным углом 2 фо без учета бортовых элементов.
	J
У =0.363*
1
и-0,637 R
J?
Рис. 381
Расстояние от центра тяжести до верха:
Расстояние от центра тяжести до низа (до хорды):
' sin ф0
y2 = R
Фо
Момент инерции:
+
2ф0]«-
Для полуокружности
(рис. 382):
уг = R (\ —	=	0,363#;
1	П	1
т
п sin 90°	~	пг>пг>
у2 = R 	= 0,637/?;
ТЕ
Т
I	= 0,2976Я38.
Следовательно, для полуокружности моменты сопротивления
Wx = 0,819/?2S;
W% - 0,467/?28.
Пример. Предположим, что надо рассчитать полуциркульную железобетонную
оболочку шириной 10 м при стреле подъема 5 м ,(радиус 5 м) и длиной 20 м (рис. 383).
Толщина оболочки 6 см. Нагрузка равномерно распределена по поверхности оболочки
и равна 300 кг/м2.
Решение. Нагрузку на единицу длины оболочки получим, если умножим
300 кг/м2 на ширину оболочки по дуге полуокружности nR:
д = 300-3,14-5 = 4 710 кг/м = 4,71 т/м.
18 Б. Н. Жемочкин
273

Наибольший изгибающий момент:
с/12	4,71	-202
Мщах = — = 			= 235,5 тм.
о	о
Моменты сопротивления сечения оболочки:
Wx = 0,819-52.0,06= 1,23 ж3;
W2 = 0,467-52-0,06 = 0,70 мъ
Напряжение сжатия вверху:
М 235,5
ai = — “ = — ~Г~23~ = — 191 Т^м2 = — 19 кг/см2.
Внизу, напряжение растяжения, которое должно быть воспринято арматурой:
М 235,5
32 = + щ = “оТто- = 337 т/м~= 34 кг/смК
Рис. 384
Конечно, на полученные данные нужно смотреть как на первое самое грубое при¬
ближение. Далее их можно уточнить, рассчитывая железобетонное сечение с учетом
арматуры.
На практике встречаются иногда оболочки двоякой кривизны с
изогнутой продольной осью. Такие оболочки представляют своды вол¬
нистого очертания. Как пример приведем эллинг для дирижаблей
(рис. 384).
§ 95. СКЛАДКИ
Складками называют конструкции, составленные из пластин или
плит, соединенных под различными углами. Такой конструкцией, напри¬
мер, является перекрытие, состоящее из плит, наклоненных попере¬
менно в ту и другую сторону (рис. 385).
Под нагрузкой такая складка должна (Прогибаться. Но, как видно
из рис. 386, прогиб среднего сечения, когда опоры остаются на преж¬
них уровнях, должен вызывать изгиб каждой составляющей плиты не
только в направлении, перпендикулярном ее плоскости, но и изгиб в
этой плоскости. Между тем такому изгибу плита сопротивляется в го¬
раздо большей степени: ее жесткость в плоскости очень велика, как бал¬
ки, имеющей высоту, равную ширине плиты.
274

Это обусловливает большую жесткость всего перекрытия и позво¬
ляет придавать плитам складок небольшую толщину.
Однако складки, по характеру своей работы имея много общего со
сводами-оболочками, подвергаются большему изгибу в 'попереч¬
ном направлении. Поэтому по расходу материала складки уступают
сводам-оболочкам, но имеют преимущества перед ними в отношении
производства работ.
На рис. 388 показаны складки, примененные на Днепровском
алюминиевом комбинате. При ширине складок 8,27 м и длине
24,01 м они имеют толщину всего 7 см.
Расчет складки можно вести приближенно, как балки соответству¬
ющего сечения (рис. 389) с пролетом, равным длине складки. В верхних
волокнах возникают сжимающие напряжения, если рассматривать
складку как выполненную из. однородного материала:
м.
°1=,_
в нижних — растягивающие:
I м
а2 = Н	•
w.
Моменты сопротивления и моменты инерции вычисляются обычным
путем.
Найдем необходимые данные для складки, приведенной на рис. 389.
Площадь сечения одной волны:
F=b&+ ЬА + 2 — К
Sin а
Статический момент относительно оси а—а:
S. — b-fiih -f-
Расстояние до центра тяжести:
5 = &АЛ4-2-^-83
sin а 2
,9
18*
275

[Рис. 387
Рис. 388

Соответственно:
Ух — h — у2.
Момент инерции относительно оси а—а:
1аа = Ь№2 + 2-^-^.
sin а 3
Собственными моментами инерции горизонтальных частей прене¬
брегаем.
Момент инерции относительно оси, проходящей через центр тя¬
жести:
Моменты сопротивления:
Wx= ^;
У\
и?2=^.
Уг
Рис. 390
Пример. Рассчитать складку, размеры которой указаны на рис. 390.
Пролет / = 25 м; нагрузка 400 кг/м2.
Решение.
Площадь сечения:
F = 2*0,09 + 2-0,08 + 2
Статический момент относительно оси а—а:
3
sin 45е
*0,07 = 0,934 л2.
5 = 2*0,09-3+2.
sin 45"' ®'07 ' "j- ” 1
Положение центра тяжести определится расстояниями:
S 1,431

Момент инерции относительно оси а—а:
1аа=2-0,09-32+2.	= 3,402л4,
sin 45	3
Момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести:
Аю = laa—F У2 = 3,402 — 0,934 • 1,53^ = 1,216 м*.
Моменты сопротивления:
Wi = 'т4т-==°.827^3;	W2=	=	0,795 ж3.
1,47
1,53
Наибольший изгибающий момент
0,4-10*252
М =
= 312,5 тм.
Напряжения:
вверху:
312,5
0,827
внизу:
312,5
0,795
= — 378 т/м2 — — 37,8 кг/см2;
= + 393 т/м2 = + 39,3 кг/см2.
о;
S! IX
Растягивающие напряжения должны быть
восприняты арматурой.
Кроме расчета складки в продоль¬
ном направлении, необходимо сделать
расчет и в поперечном. Каждая плита
опирается на соседние плиты по реб¬
рам, и все плиты связаны между со¬
бой. Следовательно, расчет нужно
делать для неразрезной балки, вытяги¬
вая как бы складку в горизонтальном
направлении (рис. 391). При этом из
нагрузок на наклонные плиты следует учитывать только составляющие
нагрузок, перпендикулярные плоскостям плит.
Некоторым видоизменением складок являются шатровые по¬
крытия, состоящие из плит, связанных в одно целое (рис. 392,а).
Для расчета вырезают из покрытия полосу, выпрямляют ее в гори¬
зонтальном направлении и рассчитывают, как неразрезную балку. На¬
грузку при этом распределяют на полосы двух направлений.
Рис. 392
278

Рис. 393

Различные варианты шатровых покрытий показаны в плане ча
рис. 392,6. Эти покрытия могут иметь опоры не по всему контуру, а
только по углам. Такой тип применяется в промышленных цехах боль¬
шой площади; перекрытие состоит из ряда ячеек, опирающихся на ко¬
лонны. Расчет подобных перекрытий более сложен.
§ 96. КУПОЛА
Купола сферического очертания применялись еще в древности и
выполнялись из кирпича, камня и гончарных изделий. Известен купол
Пантеона в Риме, имевший пролет 43,2 м (рис. 393). Совре¬
менные железобетонные купола даже при больших пролетах имеют
Рис. 395
очень малую толщину. Купол планетария в Москве (рис.
394) при пролете 28 м имеет толщину в середине 6 см, к опорам тол¬
щина конструктивно увеличена до 12 см.
На рис. 395 показан купол театра в Новосибирске (во вре¬
мя постройки). Внутренний диаметр купола 60 ж, толщина купола всего
8 см.
Небольшая толщина куполов объясняется тем, что в них возника¬
ют напряжения, распределяющиеся почти равномерно по толщине купо¬
лов; изгибающие моменты очень малы. В дальнейшем мы и будем счи¬
тать, что усилия в куполе совпадают с его срединной поверхностью и
вызывают равномерное сжатие или растяжение.
Разберем аналитический и графический способы расчета.
а) Аналитический способ расчета
В какой-либо точке купола А (рис. 396) возникают меридиональ¬
ные усилия N и кольцевые S, направленные горизонтально. Если купол
представляет поверхность вращения и несет нагрузку, симметричную
относительно вертикальной оси, то вследствие симметрии в нем не воз¬
никает касательных усилий.
Усилия /V и S примем положительными, если они вызывают сжа¬
тие, и будем считать их действующими на единицу длины дуги кутто-
280

ла. Для получения в дальнейшем напряжений придется делить их на
толщину 8 Таким образом, нормальное напряжение в меридиональ¬
ном направлении:
N
°N =
нормальное напряжение в кольцевом направлении:
5
	 	 *
5	5
Разрежем купол горизонтальной плоскостью и исследуем условия
равновесия его верхней части. Меридиональное сечение этой части по¬
казано на рис. 397.
Рис. 396
111111111
Внешняя нагрузка, приходящаяся на верхнюю часть купола, — Р
должна уравновешиваться с меридиональными силами N, распределен¬
ными по всей длине окружности в горизонтальном разрезе, равной
2тгг, где г — радиус круга.
Проектируя силы на вертикальную ось, напишем уравнение рав¬
новесия:
N-sin ср - 2тгг = Я<р.
Отсюда меридиональное усилие:
(156)
Горизонтальная проекция усилия N:
Н = yVcoscp = ^—£	cosep =.	,	(157)
т 2nr sin ср т	2пг
Сделаем еще один горизонтальный разрез, выделив таким образом
кольцо шириной ds (рис. 398).
К верхнему краю кольца приложена наклонная равномерно рас¬
пределенная нагрузка интенсивностью N. Ее проекция на горизонталь¬
ную плоскость H=N coscp
К нижнему краю приложена наклонная нагрузка N+dN, так как
усилие N получает приращение. Ее горизонтальная проекция равна:
H+dH.
281

В результате кольцо оказывается сжатым равномерно распределен¬
ной нагрузкой, равной разности горизонтальных сил внизу и вверху,
т. е. нагрузкой H + dH—H=dH (рис. 399).
Чтобы найти сжимающее усилие в кольце, надо dH умножить на г.
Но это усилие будет приходиться на кольцо шириной ds. Кольцевое же
усилие S считается на е д и н и цу ширины. Следовательно, для
получения S надо результат еще разделить на ds. Таким образом:
S = —	(158)
ds	у
Учитывая формулу (157), получим1:
1	d(P? ctg 9)
2	~r	ds
s =
или:
(.159)
в Я
Для частного случая, когда купол представляет шаровую по¬
верхность (рис, 400) и нагружен равномерно распределен¬
ной нагрузкой q на горизонтальную проекцию, формулы
можно упростить.
В этом случае:
Р? = qnr2 = q*R2 sin2cp;
ds = Rdy\
d(P^ ctg )
ds
d(P9 ctg?)
Rd<p
= q*R
d(sin89 ctg <p)
dcp
= qnR cos 2cp.
Поэтому меридиональное усилие:
p
2izr sin cp
tzR2 sin2 cp
4 2tzR sin2 cp
или:
N =
(160)
1	При дифференцировании г принято постоянным. Более строгий, но более слож¬
ный вывод дает тот же 'результат.
282

Меридиональное усилие — постоянное во всех точках купола.
Кольцевое усилие:
или:
S	= — cos 2ср.
2	т
(161)
В верхней части купола кольцевое усилие сжимающее, притом наи¬
большее вверху купола (ср = 0), ниже оно уменьшается. При ср =45°
кольцевое усилие равно нулю, далее становится отрицательным, т. е.
растягивающим. Таким образом, на высоте 0,707 R от центра кривиз¬
ны, что соответствует ср =45°, находится точка перехода.
В куполах, поверхность которых не является поверхностью шара,
также наблюдается уменьшение книзу сжимающих кольцевых усилий
и переход к растягивающим, но точка перехода находится на другой
высоте.
На опору купола передается paGnop, для восприятия которого не¬
обходимо опорное кольцо. Примем его радиус равным rk.
Усилие растяжения в опорном кольце (рис. 401) равно:
Обозначив полную нагрузку на купол через Р, определим по фор¬
муле (157) усилие в опорном кольце:
Рис. 401
Рис. 402
U = Hkrk.
283

или:
ц = Р ctg п
2tz
(162)
Через yk обозначена половина центрального угла для опоры.
В полушаровом куполе (когда 9^ = 90°) меридиональ¬
ное усилие на опоре направлено вертикально, его горизонтальная про¬
екция Hk равна нулю, т. е. на опору не передается никаких горизон¬
тальных усилий, а следовательно, нет надобности в устройстве опор¬
ного кольца. Это свидетельствует о выгоде применения куполов полу¬
циркульных и очерченных по эллипсу или по коробовой кривой с вер¬
тикальной касательной у опор (рис. 402).
б)	Графический способ расчета
Наметим на разрезе купола ряд точек (рис. 403) 0, 1, 2,... и про¬
ведем через них горизонтальные сечения; пусть радиусы окружностей
111 ж 11
в сечениях — гь г2,... Расстояния между точками /, 2,... обозначим
через As; они необязательно должны быть равны между собой, но их
удобнее принять равными.
Обозначим нагрузки, приходящиеся: на средний круг радиуса Г\ —
через Рои на кольцо с верхним радиусом Г\ и нижним г2 — через Р\2
и т. д.
При равн омерно распределенной нагрузке следует
для получения Р умножать интенсивность нагрузки на площади колец:
Р = qF.
Площади колец для того случая, когда нагрузка задается на еди¬
ницу поверхности купола, следует принимать равными:
^As.
где через гн обозначен нижний радиус и через гв — верхний соответ¬
ствующего кольца.
284

Если нагрузка задана на единицу горизонтальной
проекции, то:
F = K(r2tt — rl).
Отложим полученные силы Р по вертикали и начертим на сило¬
вом многоугольнике горизонтальные линии.
Проведем в точке 1 касательную к поверхности купола и в сило¬
вом многоугольнике параллельную ей прямую из точки 0 до пересе¬
чения с горизонталью, проходящей через конец силы Ли-
Точно так же проведем касательную в точке 2 ив силовом много¬
угольнике. ей параллельную через точку 0 до пересечения с горизон¬
талью, проходящую через конец силы Рц.
Поступим аналогично и дальше.
В целях повышения точности построения лучше проводить линии,
не параллельные касательным, а перпендикулярные радиусам кривизны.
Наклонные линии в силовом многоугольнике дадут в том масшта¬
бе, в каком он построен, величины" меридиональных усилий, однако при¬
ходящихся не на единицу длины, а на соответствующие окружности,
т. е. N=N '2ъг. Для того чтобы получить N, надо N разделить на 2 яг:
Tf ^
Горизонтальные проекции этих усилий будут равны Я= — Н
2 яг
принято называть полными распорами. Разности полных рас¬
поров в двух смежных сечениях равны А Я, а на единицу длины, АЯ—
А Н п
= —. Они нужны для определения кольцевых усилии, которые на ос-
27ГГ
новании формулы (158) равны:
Д Н
^  A Hr  2тег  ДЯ
As	As 2nAs
Для того чтобы можно было определять усилия в любом месте, а
не только в точках 1, 2,..., полезно соединить (полученные вершины
прямоугольников плавной кривой, так называемой «кривой рас¬
поров». Там, где эта кривая касается вертикали и отклоняется в об¬
ратную сторону ( А Я становятся отрицательными), находится точка
перехода, ниже которой кольцевые усилия растягивающие.
Непогашенный распор внизу Нк должен быть передан на опорное
кольцо. Усилие в последнем:
7 / Н k		 Н k
2nrk k 2к
Так как для определения усилий приходится все отрезки прямых,
взятых по рисунку, делить на 2^ , то целесообразнее при вычислении
нагрузок принимать площади колец условно уменьшенными в 2 тс раз.
Тогда в случае нагрузки, заданной на единицу поверхности:
Он + Гв) До»
2
(163)
285

в случае нагрузки, заданной на единицу горизонтальной проекции:
2 2
ги—ги
(164)
Нагрузки, а следовательно, и отрезки Л/" на рисунке будут уменьшены
в 2 тс раз. Меридиональные усилия:
Рис. 404
286

Кольцевые усилия:
s = ^.
As
Усилие в опорном кольце:
Ц = нк.
(166)
(167)
Пример. На рис. 404. приведен графический расчет купола. Купол ^очерчен по ко^
робовой кривой двумя радиусами. Нагрузка предполагается равномерно распределен¬
ной и равной 0,5 т на 1 м2 поверхности купола. Площади подсчитаны по формуле (163).
Наибольшее меридиональное усилие оказалось равным 2,28 т/м. Если допустить
напряжение на сжатие 20 кг/см2, то требуемая толщина купола всего
2 280
100-20
Очевидно, что конструктивно придется взять больше, особенно потому, что внизу
купола возникает растяжение и здесь должна быть уложена арматура по соответствую¬
щему расчету.
Усилие в опорном кольце оказалось равным 3,29 т.
§ 97. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
Пространственными фермами называются такие шарнирно-стерж¬
невые системы, у которых оси стержней не лежат в одной плоскости.
Соединения стержней в пространственных фермах предполагаются
при помощи шаровых шарниров, дающих возможность стержням
вращаться во все стороны. Шарниры принимаются идеальными,
т. е. работающими без трения. Хотя такое представление о шарнирах
далеко от действительности, потому что узлы делают жесткими, но
ошибка в окончательных результатах невелика, поэтому на практике
и придерживаются рабочей гипотезы об идеальности шарниров.
Нагрузки на фермы предполагаются приложенными в узлах.
а)	Опоры пространственных ферм. Признаки геометрической
неизменяемости
Опоры могут быть трех видов.
Неподвижную шаровую опору можно представить себе
как шар, входящий в сферические углубления в опорной части фермы
и в опорной подушке (рис. 405,а). Такая опора позволяет ферме толь¬
ко вращаться вокруг центра шарнира (вращаться около трех осей),
но не позволяет перемещаться ни в каком направлении; дает, таким
образом, степень свободы, равную 3. Схематически опора может быть
представлена тремя опорными стержнями.
Другой вид опоры — подвижная цилиндрическая
(рис. 405,6). Она позволяет ферме вращаться около центра шарового
шарнира и вместе с тем перемещаться по одному направлению; степень
свободы такой опорной -связи равна 4. Схематически опора может быть
представлена двумя опорными стержнями.
Наконец, возможна подвижная шаровая опора (рис.
405,в) в виде шара, свободно катящегося между опорной частью фермы
и опорной подушкой. Такая опора дает возможность ферме вращаться
около центра шарнира и перемещаться в горизонтальном направлении;
лишает только возможности перемещаться в вертикальном направле¬
нии (вообще —перпендикулярно плоскости опорной подушки); ей соот-
287

ветствует степень свободы, равная 5. Схематически опора может быть
представлена одним опорным стержнем.
Для прикрепления неизменяемой пространственной системы к зем¬
ле необходимо не менее шести опорных стержней, ввиду того что такая
система имеет в пространстве степень свободы, равную 6. Например,
можно поставить одну неподвижную ша¬
ровую опору, одну подвижную цилиндри¬
ческую и одну подвижную шаровую
(рис. 406).
Установим необходимую связь меж¬
ду числом стержней и числом
узлов пространственной фермы для
достижения ее неизменяемости.
Каждый узел может иметь в про¬
странстве степень свободы, равную 3.
Если число узлов У, то, пока они не свя¬
заны между собой стержнями, степень
свободы равна ЗУ. Каждый стержень,
как в самой ферме, так и опорный, уни¬
чтожает одну степень свободы. Если обо¬
значить число стержней фермы через Сф#
а число опорных стержней через Соп, то
степень свободы W должна быть равна:
\
\
Рис. 405
w= ЗУ —Сф —с(
(168)
В неизменяемой системе W=0, а потому между числом стержней и
числом узлов должна быть зависимость:
Сф + Соп = ЗУ.
Обозначив через С = Сф+С0п общее число стержней, включая и
опорные, получим:
С = ЗУ	(169)
Если в системе соблюдается это условие, то она неизменяемая и
статически определимая. Если С<ЗУ система изменяемая. Если С>ЗУ,—
неизменяемая и статически неопределимая.
Иногда бывает удобно рассматривать ферму независимо от земли
без опорных стержней. Тогда нас должна интересовать не степень сво¬
боды, а степень геометрической изменяемости.
Отделяя систему от опор, мы даем ей степень подвижности, равную
6	(в пространстве возможно движение по трем направлениям и пово¬
роты около трех осей). Поэтому, обозначив степень изменяемости
через V, будем иметь степень свободы V+6. Применяя формулу (168),
получим:
V	+ 6 = ЗУ — Сф.
Здесь Соп отпадает, так как нет опорных стержней. Отсюда:
V	= ЗУ — Сф —6.	(170)
Для неизменяемой системы V = 0, а потому:
(171)
СА = ЗУ-6.
288

Итак, при исследования системы без опорных стержней следует
применять формулу (171), если же система связана с землей,— форму¬
лу (169).
Предположим, например, что имеем ферму, показанную на рис. 407/
Поскольку она не связана с землей, воспользуемся формулой (171).
Число стержней Сф=17, число узлов, У =8. Получим:
17 < 3*8 — 6,
т. е. система изменяемая — ей не хватает одного стержня. Чтобы сде¬
лать ее неизменяемой, достаточно поставить диагональ в верхнем осно¬
вании.
Для фермы, приведенной на рис. 408, необходимо применить фор¬
мулу (169). Число стержней (вместе с опорными) С=24, число узлов
У = 8:
24 = 3-8.
Условие удовлетворяется; система
неизменяемая и статически опреде¬
лимая.
В качестве пространственных
ферм могут применяться только неиз¬
меняемые системы.
Как и в плоских фермах, условия
(169) и (171) являются совершен¬
но необходимыми, но для полно¬
го анализа они еще недостаточны.
Необходимо обратить внимание и на
расположение стержней, чтобы выяс¬
нить, не является ли система мгновен¬
но изменяемой или подвижной, спосо¬
бами, аналогичными применяемым
для плоских ферм.
Так например, если пространст¬
венная ферма образована последо¬
вательным добавлением к элементарному треугольнику пространствен¬
ных шарниров, каждый из которых прикрепляется тремя стержнями, не
лежащими в одной плоскости, то такая ферма неизменяема и статически
определима.
Иногда можно применить способ нулевых нагрузок. Если при нуле¬
вой нагрузке усилия во всех стержнях системы с минимально необходи¬
мым числом стержней равны нулю, то она неизменяема.
19 Б. Н. Жемочкин
289

б)	Расчет пространственных ферм
способом вырезания узлов
Способ	этот	состоит .в	том, что из фермы последовательно вырезают
узлы и	находят	усилия в	стержнях, сходящихся в каждом узле, непо¬
средственным разложением силы (или системы сил, действующих на
узел) на три направления.
Это разложение может быть выполнено так, как указано в «Теоре¬
тической механике», причем очень удобен приведенный там графический
способ.
Полезно предварительно, отметить, что если в каком-нибудь узле
сходятся три стержня, но нагрузки <в этом узле нет, то усилия во всех
трех стержнях равны нулю.
Если к узлу приложена нагрузка и в узле сходит¬
ся несколько стержней, но все стержни, кроме одного,
лежат в	одной плоскости (рис. 409), то усилие в таком
отдельно направленном стержне легко может быть
найдбно. С этой целью внешнюю силу Р и усилие в
стержне 1 достаточно спроектировать на ось, перпен¬
дикулярную плоскости, проведенной через стержни 2,
3, 4У 5.
Если к такому узлу нагрузка не приложена, то
усилие в отдельно направленном стержне равно нулю.
Усилия в остальных стержнях, если число их больше
двух, нельзя определить, пользуясь одними лишь
Рис. 409	условиями	равновесия данного узла.
Приведенные соображения значительно облегча¬
ют расчет пространственной фермы.
Приступая к решению задачи, следует прежде всего установить,
в каких именно стержнях усилия равны нулю. Для этого разыскиваем
незагруженные узлы с тремя сходящимися стержнями, а также узлы,
где имеются отдельно направленные стержни. Исключив из рассмотре¬
ния все неработающие стержни, стараемся найти нагруженный узел, в
котором сходятся три стержня, не лежащие в одной плоскости.
Находим усилия в этих стержнях разложением нагрузки на три
направления.
Затем переходим к другому узлу, в котором может быть, сходятся
больше чем три стержня, но неизвестных усилий только три. Вырезаем
такой узел и опять разлагаем действующие на него силы на три на¬
правления.
Аналогично поступаем и дальше.
Покажем применение этого способа на следующем примере. Задана .простран¬
ственная ферма в виде купола (рис. 410,а и б). Она изображена состоящей только из
двух ярусов, хотя их может быть несколько. Боковые грани фермы представляют
трапеции с диагональными стержнями. Все шесть опор — неподвижные шаровые.
Нагрузку примем из одной силы, приложенной в узле 1.
Сначала обнаруживаем стержни с нулевыми усилиями.
Стержень а — b является для узла а отдельно направленным (ввиду того что
стержни а — 2, а — 5 и а — 6 лежат в одной плоскости). Так как в узле а нагрузки
нет, то усилие в стержне а — Ъ равно нулю. Но в таком же положении находятся и ос¬
тальные стержни верхнего пояса, кроме стержня 1 — 2, так как в узле 1 приложена
нагрузка. Отбрасывая их, убеждаемся, что усилия в стержнях а — 5 и а — 6 также
равны нулю. То же будет и с другими стержнями второго яруса, кроме стержней, бли¬
жайших к узлу 1. Переходя к нижнему ярусу, видим, что в стержне е—/ как в от¬
дельно направленном, усилие равно нулю.
Работающими стержнями будут только стержни, показанные сплошными линия¬
ми на рис. 411.
2Р0

р
б)
Рис. 410

Разлагая силу Р на три направления, найдем усилия в стержнях 1 — 2, 1 — 4 и
/—3. В узле 2 сходятся три стержня, находящиеся в одной плоскости; усилие 1—2 уже
найдено, определим усилия в стер¬
жнях 2—4 и 2—5.
Затем рассмотрим узел 8.
Здесь надо усилие 1—3 разложить
на три направления. Последова¬
тельно вырезаем и исследуем узлы
4,	5 и 6. После всего переходим
к определению усилий в опорных
стержнях, или, иначе, определяем
опорные реакции.
Если к ферме приложено не¬
сколько нагрузок, то найдем уси¬
лия от каждой нагрузки в от¬
дельности, а затем сложим их.
в)	Расчет пространственных
ферм
способом разложения
на плоские фермы
Этот способ может при¬
меняться тогда, когда про¬
странственная ферма состо¬
ит из плоских неизменяемых статически определимых ферм.
Предположим, например, что нужно рассчитать ферму, показан¬
ную на рис. 412. Подобные пирами¬
дальные фермы встречаются иногда
в конструкциях водонапорных ба¬
шен, градирен, опор подвесных до¬
рог, кранов и т. п.
Пусть нагрузка Р приложена в
узле А.
Исключая неработающие стер¬
жни по тем же признакам, как и
выше, видим, что в сущности рабо¬
тают только стержни, заключенные
в гранях ABCD и AEFD.
Разложим силу Р на три на¬
правления: 5, Т и V.
Сила S, лежащая в плоскости
ABCD, вызывает усилия только в
стержнях плоской фермы ABCD;
сила Т — в стержнях фермы AEFD.
Сила же V вызывает усилие сжатия
только в ребре AD.
Рассчитаем отдельно получен¬
ные плоские фермы (рис. 413).
Ребро AD принадлежит одно¬
временно обеим фермам. Усилия в
нем придется 'Сложить и, кроме того, добавить уоилие от действующей
вдоль него силы V.
Рис. 412
§ 98. ПРИМЕР РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФЕРМЫ
Требуется найти усилия в стержнях пространственной фермы в виде купола, не¬
сущей равномерно распределенную нагрузку 0,6 т на \/м2 горизонтальной проекции
292

в	AS	Т	й	Е
Рис. 413
Рис. 414
■б,89м-

(рис. 414). В данном случае имеем число стержней вместе с опорными равным 96.
Число узлов — 32. Таким образом, условие (169) удовлетворяется.
Решение. Прежде всего необходимо найти узловые нагрузки. Найдем, например,
нагрузку, приходящуюся на узел 2 меридионального сечения фермы (рис. 415,а). Гру¬
зовая площадь для восьми узлов на этом уровне будет равна разности площади вось¬
миугольника на уровне середины стержня 23 и восьмиугольника на уровне середины
стержня 12.
Площадь восьмиугольника, выраженная через радиус описанного круга, равна:
F = 4 sin 45°г2 = 2,82844г2.
Радиусы описанных кругов восьмиугольников определим как средние между ра¬
диусами восьмиугольников на уровнях узлов 2 и 5, а затем 1 и 2.
На один узел 2 придется нагрузка:
8,15+ 5,32 у* /5,32+ 1,85 \*
Р,Ч,82М4[(«±^Н 2
Аналогично найдем нагрузки и на другие узлы.
0,6=6,90 г.
Поскольку выше мы установили как определяются усилия в стержнях фермы от
нагрузки в одном из узлов, можем найти усилия и от загружения всех узлов. Однако
в данном случае, ввиду того что нагрузка осесимметричная, возможно значительное
упрощение.
Прежде всего легко убедиться что во всех раскосах усилия равны нулю. В самом
деле, если сделать разрез фермы горизонтальной плоскостью и спроектировать усилия
разрезанных стержней на эту плоскость, то увидим, что проекции усилий в раскосах бу¬
дут давать относительно центра моменты, которые ничем не уравновешены.
Таким образом, усилия возникнут только в наклонных стержнях, расположенных
по меридиану, и в стержнях, лежащих в горизонтальных плоскостях. «Первые из этих
усилий будем по аналогии с куполами называть меридиональными и обозначать Nu,
JV23, ..., вторые будем называть кольцевыми и обозначать Si, S2,
Исследуем последовательно равновесие узлов 1, 2, 3 к 4 (рис. 415,а).
Будем проектировать приложенные к каждому узлу силы на вертикальную ось
(предполагая усилия N растягивающими). Найдя меридиональное усилие в каком-либо
узле, спроектируем силы, приложенные в этом узле, на горизонтальную ось и опреде¬
лим А Я — равнодействующую сил S в смежных горизонтальных стержнях. При этом
за положительное будем считать направление А Я слева направо (т. е. внутрь фермы).
Такому направлению соответствуют растягивающие силы S. Затем разложим силу АЯ
на направления S (рис. 415,6).
294

Узел 1
Уравнение равновесия:
— W12sin 20° — Р1==0.
Отсюда:
Р	2	73
Nu = ~ sin20° =	0,34202	=_7>98т-
Проекция на горизонтальную ось:
7,98 cos 20° +	=	0.
Следовательно:
Д#х = — 7,98 cos 20° = — 7,98-0,93969 = — 7,50 г.
Знак минус показывает, что сила A#i направлена влево, а потому кольцевые
усилия сжимающие.
Разлагая силу A#i на направления Si, получим:
2 Si cos 67,5° = А#!
или:
_ АЯХ	—7,50 	 on
1	~2cos67,5°“" 2-0,38268 ““ ’8 Т’
Узел 2
Уравнение:
+ N12 sin 20° — N23 sin 40° — P2 = 0.
Отсюда:
, ^i2sin 20° — P2 —7,98-0,34202 — 6,90
N23= +	. лпо	" = 	- n	— = -14,98r.
sin 40	0,64279
(Можно также найти N23 из условия:
— N2 3 sin 40* — Рх — Р2 = 0).
Далее:
— 7,98 cos 20° + 14,98 cos 40° + Д#2 = 0;
Ш2 = 7,98 - 0,93969 — 14,98 - 0,76604 = — 3,98 г;
5	_	-3,98 __
2	2cos67,5°	2-0,38268
Узел 3
N23 sin 40° — W34 sin 60° — Р3 = 0;
N23 sin 40° — P3	—14,98-0,64279 — 7,85	0
84 - sin 60°	"	0,86603	r;
—	14,98 cos 40° + 20,18 cos 60° + ДH 3 = 0;
&ff»= 14,98-0,76604 — 20,18-0,5 = + 1 ,39r.
Aff3	+1.39	.	„
Ss _2cos 67,5° ~ 2-0,38268-+ ’8 T'
Здесь кольцевые усилия уже растягивающие.
Узел 4
Здесь нужно найти только силы, приложенные к опорному шарниру.
Вертикальное давление:
R = 3,74 + 20,18 sin 60° = 3,74 + 20,18-0,86603 = 21,22 г.
(Проверка: 2,73 + 6,90 + 7,85 + 3,74 - 21,22 т.)
Горизонтальное давление — распор:
#4 = 20,18 cos60° =20,18-0,5 = 10,09 г.
295

Если бы узлы 4 были связаны горизонтальными стержнями, образующими опорное
кольцо, то усилия в них были бы (равны:
+10,09
4 2-0,38268 *"+‘ ’ Т'
В случае устройства опорного кольца число опорных стержней должно быть на
8 меньше и равно 16; опоры пришлось бы сделать подвижными цилиндрическими.
Для расчета данной фермы очень просто применить и графический способ. Он при¬
веден на рис. 416 и не требует пояснений. Как видим, графический способ имеет много
общего с разобранным выше графическим способом расчета куполов. На рисунке
за положительные усилия приняты сжимающие (как и в куполах).

Г Л А В А XVI
ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ
§ 99. ПОНЯТИЕ О СЫПУЧЕМ ТЕЛЕ
Назначение подпорных стен — удерживать засыпанный за них
грунт (р.ис. 417) или вообще сыпучее тело: уголь, камень, зерно, це¬
мент и т. д.
Сыпучим телом называют совокупность твердых од¬
нородных частиц, более или менее округленной формы, очень
малых по сравнению с общими размерами всего
сыпучего тела.
Для расчета подпорной стены и определения ее размеров необхо¬
димо знать давление сыпучего тела на ограждающую его поверхность.
Эта задача является чрезвычайно неопределенной, заключает бес¬
численное количество неизвестных и до сих пор точного решения не
имеет. Поэтому при расчете подпорных стен приходится прибегать
к ряду упрощений.
Наиболее важным упрощением, к которому прибегают чаще всего,
является рабочая гипотеза об идеальном сыпучем теле.
Под идеальным сыпучим телом подразумевают сыпучее
тело, между частицами которого нет никакого сцепления.
Такое тело по своим физическим свойствам занимает промежуточ¬
ное положение между твердым и жидким телом. От твердого тела оно
отличается тем, что не 'может сопротивляться растяжению. С другой
стороны, между частицами сыпучего тела существуют силы трения, и оно
сопротивляется сдвигающим силам, что отличает его от жидкого тела.
Однако сыпучее тело принимает форму сосуда (или закрома), в кото¬
рый оно помещено, таким образом, имеет в этом отношении сходство с
жидкостью.
Грунты, с которыми приходится иметь дело в строительной практи¬
ке, сильно отличаются от сыпучих тел.
Если промежутки между частицами грунта заполнены водой, то
свободные поверхности этой воды (на границе с воздухом) ограничива¬
ются вогнутыми менисками (рис. 418). Появляющиеся здесь поверх¬
ностные силы притягивают одну частицу к другой, вызывают как бы
прилипание частиц. Чем меньше промежутки между частицами, тем
больше поверхностное натяжение, и тем больше силы, притягивающие
одну частицу к другой.
Это явление носит название сцепления. Оно особенно велико для
глины, которая состоит из мельчайших чешуйчатообразных частиц.
При высыхании глины влага все еще остается в самых малых порах и
обусловливает сцепление. Вместе с тем частиды глины настолько сбли-
297

жаются, что между ними возникают молекулярные силы. В результате
высушенная глина имеет большую механическую .прочность.
Во влажном песке, состоящем из относительно крупных частиц,
сцепление невелико. Но только сухой однородный песок достаточно
близко подходит к идеальному сыпучему телу.
Наличие сил сцепления должно отражаться на величине того дав¬
ления, которое испытывает подпорная стена со стороны грунта.
Кроме того, давление грунта на .подпорную стену в значительной
степени зависит от способа засыпки, от степени трамбования. Как пока¬
зывают опыты >и теоретические .исследования, давление меняется со
временем.
Рис. 417
Рис. 418
Однако, несмотря на то, что грунты отличаются от сыпучих тел, они
все же в расчетах рассматриваются, как идеальные сыпучие те¬
ла с учетом соответствующих физи¬
ческих характеристик.
Одной из физических характери¬
стик сыпучего тела является его объ¬
емный вес, т.	е. вес единицы объема
(обычно — вес	1 мъ). Нужно разли¬
чать объемный вес и удельный вес.
Например, удельный вес тех пород, из
которых образуется песок, порядка 2,4—2,6, между тем объемный вес
песка не 2 400—2 600 кг/м3, а только 1600—1 800 кг!мъ ввиду наличия
пустот.
При погружении сыпучего тела в воду оно теряет в своем весе не
1 000 кг/мг, а меньше, опять-таки из-за пустот, так как вода вытесняется
только плотной частью сыпучего тела, его жестким скелетом. Если песок
весит	в	воздухе	1 700	кг!мъ	и	имеет 40% пустот,	то его вес в воде
1	700— (1—0,4) 1	000 =	1	100	кг!м\
Другая важная физическая характеристика сыпучего тела — угол
е ст е с тв енного откоса, т. е. тот предельный угол, который полу¬
чает поверхность сыпучего тела, насыпанного свободно в виде вала или
кучи (рис. 419). Этот угол принято обозначать через <р. Угол естествен¬
ного откоса является вместе с тем углом трения сыпучего тела по по¬
верхности сыпучего же тела («Теоретическая механика»). Коэффициент
трения равен тангенсу угла естественного откоса:
/=tg<p.
Каждое сыпучее тело характеризуется определенным углом естест¬
венного откоса.
Для расчетов собственно нужен не угол естественного откоса, а
угол внутреннего трения. Дело в том, что углы трения между
частицами внутри сыпучего тела и на его поверхности различны. Вслед¬
Рис. 419
298

ствие затруднительности определения угла внутреннего трения обычно
принимают его равным углу естественного откоса, хотя это и не совсем
точно.
Трение между частицами сыпучего тела и поддерживающей его
подпорной стеной всегда меньше, чем между частицами самого сыпучего
тела. Угол этого трения, обозначаемый через <р в расчетах принимают:
Приводим данные об объемных весах и углах естественного откоса
для некоторых сыпучих тел.
Сыпучее тело
Объемный вес 7 в т/*«з
Угол естественного
откоса ср в град.
Песок сухой .
1,5-1,7
30—35
„ влажный
.1,7—1,8
40
мокрый
2
25
Глина сухая
7
со
40—45
мокрая
1,9
20—25
Гравий .
1,8-1,85
40—45
Пшеница
0,8
30—35
§ 100. ТЕОРИЯ КУЛОНА
Существуют различные теории для определения давления сыпучего
тела на ограждающую его поверхность. Все они дают результаты, более
или менее расходящиеся с данными опыта. Иначе и быть не может: сы¬
пучее тело, 'в частности
грунт, всегда бывает неод¬
нородным; трение и сцепле¬
ние в его различных точках
различны.
Вот почему до настоя¬
щего времени практическое
применение имеет только
простая, но, как и прочие,
приближенная теория Ку¬
лона, предложенная им
еще в 1776 г.
Учитывая то, что давле¬
ние сыпучего тела нужно уз¬
навать, преследуя определенную цель, (Именно расчет подпорной стены,
Кулон отказался от определения давления ъ любой момент времени
-и предложил определять давление только при начинающемся разруше¬
нии в (момент предельного равновесия, т. е. в тот момент,
когда подпорная стена начинает сдвигаться, «о ее перемещение еще
бесконечо мало (рис. 420),
Часть сыпучего тела должна при этом следовать за стеной, спол¬
зать (вниз по некоторой поверхности. Следовательно, образуется сдвига¬
ющаяся вниз так называемая призма обрушения или призма
скольжения в виде клина.
Поверхность, по которой сползает призма, вообще криволинейная,
но близкая к плоскости; на практике принимают ее за плоскость. Она
Рис. 420
299

называется плоскостью обрушения или плоскостью сколь¬
жения.
В начальный момент движения пути всех частиц, находящихся в
.призме обрушения, параллельны между собой, (все частицы перемеща¬
ются на равные расстояния. Поэтому при решении задачи можно рас¬
сматривать призму обрушения, как одно (целое твердое тело,
хотя она и состоит из большого количества частиц, ничем между собой,
кроме трения, не связанных.
Плоскость обрушения наклонена к горизонту под углом большим,
чем угол естественного откоса сыпучего тела. Если бы этот угол рав¬
нялся углу естественного откоса, то вследствие трения призма вообще
не могла бы сдвигаться.
Н
Однако так обстоит дело только до тех пор, пока перемещение
подпорной стены бесконечно мало. Если же стена под давлением сы¬
пучего тела отодвинется на заметное расстояние и призма обрушения
опустится значительно вниз, то, во-первых, призма обрушения дефор¬
мируется, а во-вторых, остальная масса сыпучего тела, оставшаяся не¬
подвижной, уже не сохранит равновесия, будучи ограничена крутой
плоскостью. Неизбежно образование новой призмы обрушения, сколь¬
зящей по -более пологой плоскости, затем третьей призмы и т. д., пока
сыпучее тело не станет ограниченным плоскостью естественного откоса.
Предположим, что в момент предельного равновесия начинает сдви¬
гаться призма обрушения, имеющая сечение АВН (рис. 421) по пло¬
скости, образующей с горизонтом какой-то угол 6 .
Вес призмы обрушения можно найти, умножив площадь фигуры
АВН на объемный вес f и на размер призмы, перпендикулярный пло¬
скости чертежа. Этот размер обычно принимают равным единице.
Итак, вес призмы обрушения:
О = у X пл. АВН X 1.
На призму обрушения со стороны остальной части грунта действует
реактивная сила R. Ввиду того что при движении возникает по плоско¬
сти обрушения сила трения, реакция R должна быть отклонена от нор¬
мали навстречу движению на угол трения частиц сыпучего тела, т. е.
на угол естественного откоса <р.
300

Со стороны стены к призме обрушения приложена реактивная сила
Е, которая должна быть отклонена от нормали навстречу движению
(призма обрушения, сдвигаясь по наклонной плоскости, одновременно
опускается вниз) на угол трения сыпучего тела о кладку стены ср0.
Очевидно, что давление сыпучего тела на подпорную стену равно
реактивной силе Е, но направлено в противоположную сторону. Это
давление называется распором сыпучего тела. Нашей задачей и
является определение силы Е.
Силы G, R и Е должны пересекаться в одной точке и находиться в
равновесии.
Отложив в каком-либо масштабе по вертикали вес призмы G, про¬
ведем из концов его линии, параллельные R и Е. Получим силовой тре¬
угольник, одна из сторон которого будет равна интересующей нас
силе Е.
Из рис. 421 легко установить, что сила R образует с вертикалью
угол ( 0 — ср), а сила Е — угол ф =90°— е — ср0.
Третий угол в силовом треугольнике равен:
[180° — ф — (9 — «р)].
Поэтому:
Е	sin	(9	—	у)
G	sin [180° — ф — (0 — 9)]
Отсюда:
Е=0	а'п|(*-'р)	,	.	(172)
sin (t]/ + 0 — <р)
Итак, если бы был известен угол 6 , то представлялось бы возмож¬
ным определить реакцию подпорной стены или равное ей давление на
подпорную стену — распор Е.
Но угол 6 пока неизвестен — плоскость обрушения может быть
наклонена к горизонту под самыми различными углами.
Кулон предложил из всех возможных углов наклона выбрать
тот, при котором давление Е оказывается наибольшим. Для этого,
очевидно, следует задаваться самыми различными углами 0 , строить
соответствующие силовые треугольники, находить из них силы Е и
остановиться »а наибольшем значении Е.
301

Оказывается, что нет надобности строить отдельные силовые треугольники, по¬
строение может быть сделано на одном чертеже.
Проведем через точку В линию ВС под углом естественного откоса к горизонту
(рис. 422).
Проведем также прямую BD под углом ( <р-4-<р0 ) к ограждающей сыпучее тело
поверхности. Линия BD называется основной (ориентирующая линия, базис). Она
имеет чрезвычайно большое значение для всех последующих построений. Угол между
основной линией BD и линией естественного откоса ВС равен
90° + <р — е — (ср + ср0) = 90° — е — ср0 = ф.
Если провести линию MN параллельно основной, то в треугольнике BMN один
угол будет равен (0—<р ), а другой ф. Этот треугольник подобен силовому треугольни¬
ку (рис. 421).
Рис. 423
Следовательно, отложив отрезок BN, равный в каком-либо масштабе весу призмы
сбрушения G, и проведя из N линию, параллельную основной, получим отрезок MN,
равный давлению сыпучего тела Е. Конечно, измерять его нужно в том же масштабе,
в каком отложено G.
На этом основано следующее построение.
Проведем линию ВС под углом естественного откоса <р и основную линию BD
(рис. 423).
Зададимся положением следа плоскости обрушения ВНи найдем вес сползающёй
призмы G1 и отложим по линии естественного откоса отрезок Впи равный в каком-либо
масштабе Gь Проведем т\П\ параллельно основной до пересечения со следом плоско¬
сти обрушения ВН\. Тогда, как мы знаем, отрезок т\П\ представит величину силы Е,
если призма сыпучего тела будет сползать по плоскости ВН\.
Повторим то же построение для ряда плоскостей обрушения, следы которых—BH2l
BHZi ... Полученные точки mi, /п2, тз соединим плавной кривой.
Проведя касательную к этой кривой параллельно линии естественного откоса,
найдем наибольшую ординату кривой тпкоторая и представит искомую величину рас¬
пора, т. е. Еmax- Линия ВН определит положение плоскости обрушения.
Изложенный способ применим при любом очертании верхней поверхности сы¬
пучего тела, но лишь тогда, когда ограждающая поверхность представляет плоскость.
Если подпорная стена имеет с задней стороны переломы, применяют прием, изложен¬
ный ниже, в § 105.
302

§ 101. ТЕОРЕМЫ РЕБХАНА
Докажем необходимые для дальнейшего изложения две теоремы
Р е б х а н а.
Проведем линию под углом естественного откоса ср и так называ¬
емую основную линию (рис. 424) под углом (<р + ср0) к поверхно¬
сти, ограждающей сыпучее тело.
Зададимся положением плоскости обрушения; предположим, что
ВН — след этой плоскости.
Проведем HG параллельно основной линии.
Зависимость между давлением сыпучего тела на ограждающую поверхность Е и
весом призмы обрушения G была уже выше установлена формулой (172):
sin (0 — ср)
sin (ф + 0 — ср)
Нужно найти такой угол 0 , при котором Е приобретает наибольшее значение.
dE
Очевидно, следует взять производную — и приравнять ее нулю.
du
При дифференцировании следует помнить, что G есть функция 0.
Получим:
dJL
dQ
sin (6 — ср)
dG
sin (ф -f 0 — cp)
+ G1»
sin (0 — cp)
. sin (Ф + 0 — cp)
или:
dG
sin (0 — cp)
rf0 sin(^ + 0 — cp)
cos (0—cp) sin (ф -1-0—cp) — cos (Ф+0—<p) sin (0—cp)
Сделаем преобразования:
dG sin(0—cp)
db
sin (ф + 0 — cp)
dG sin (0 — cp)
sin2 (ф + 0 — cp)
sin [(ф + 6 — cp) — (0-
sin2(^ + 0 — cp)
sin ф
= 0.
db sin (ф + 0— cp)
sin2 (Ф + 0 — cp)
•?))
= o.
= 0;
Отсюда:
G= — —
db
sin (0 — cp)-sin (ф + 0 — cp)
sin ф
(173)
303

Из рис. 424 видно, что:
1
dG = — — tBHW.
Поэтому:
dG 1
dT =-Т7
Знак минус взят потому, что при увеличении 0 вес G уменьшается; следователь-
dG
но, производная — отрицательная.
Далее учтем, что вес G равен:
G = 7 х пл.АВН.
Кроме того, в треугольнике BHG:
ЖГ _ sin [180° — ф — (0 — ср)] _ sin (ф + 0 — ср)
sin ф	~	этф
Подставим найденные значения'в формулу (il73):
7 X пл .АВН = -~‘ 7ВЯ2 sin (0—ср)	чВО-ВН sin (0 — ср) = 7 х пл.BHG.
2	ВН 2
Таким образом, оказывается, что
пл. АВН = пл. BHG.	(174)
Следовательно, если ВН представляет след плоскости обрушения,
при которой Е получает максимальное значение, то фигура АВН
равновелика треугольнику BHG.
В этом состоит первая теорема Ребхана.
Принимая за центр точку G, сделаем засечку радиусом HG на ли¬
нии естественного откоса в точке /.
Треугольники BHG и IHG имеют общую высоту, поэтому их площади относятся,
как основания:
пл. ihg Tg 7ю
U31.BHG PQ QQ
Но, если ВН — след плоскости обрушения, когда Е имеет максимальное значение,
то по первой теореме Ребхана:
пл .АВН = пл .BHG.
Кроме того:
7ю _ JL
BG G 9
где Е имеет максимальное значение.
Поэтому:
пл. IHG Е	Е
пл. АВН G 7 X пл .АВН *
Отсюда:
£ = 7Хпл./#а	(175)
Итак, по (в то рой теореме Ребхана: давление сыпучего те¬
ла на ограждающую поверхность равно площади треуголь¬
ника IHG (треугольника Ребхана), умноженной на объем¬
ный вес.
Из изложенного видно, что для определения давления сыпучего
тела надо решить по существу чисто геометричеокую задачу: так про-
304

вести линию ВНУ представляющую след плоскости обрушения, чтобы
фигура АВН была равновелика треугольнику BHG. Тогда давление оп¬
ределится по формуле (175). Решить задачу можно путем последова¬
тельных проб.
§ 102. ПОСТРОЕНИЕ ПОНСЕЛЕ
Всего проще получается решение для того случая, когда верхняя
поверхность сыпучего тела представляет плоскость. Здесь можно
применить построение Пон сел е.
Допустим, что мьг определили положение плоскости обрушения, ко¬
торому соответствует наибольшее значение давления сыпучего тела.
След этой плоскости дан линией ВН (рис. 425).
Проведем линию под углом естественного откоса ВС и основную
линию BD. Проведем также вспомогательную линию АЕ параллельно
основной. Если принятое решение верно, то, проводя HG параллельно
основной линии, мы должны на основании теоремы Р е б х а н а полу¬
чить треугольники АВН и BHG равновеликими.
Но в равновеликих треугольниках, имеющих общее основание, высоты h должны
быть равны между собой. Отсюда вытекает, что:
AK = HG.
KG \\АН ^	то	четыРехУГ0ЛЬНИК	AHKG	является	параллелограммом	и
Из подобия треугольников ВНС и BKG следует:
'ВС _ ~ВН
~BG ВТ
Кроме того, из подобия треугольников BHG и ВКЕ лолучим:
~ВН _ ~BG
Ж" ТПГ
20 Б. Н. Жемочкин	305

Следовательно:
БС~ _ ТЮ
ТЮ ~ВЕ
или:
7ю2= вс-be.
Таким образом, BG геометрически с р е д н е-п р о п о р ц и о н а л ь-
н а я между ВС и BE.
Известно, что хорда есть средне-пропорциональная между диамет¬
ром и прилегающим отрезком. Если в точке Е восставить перпенди¬
куляр EF до пересечения_с полуокружностью, построенной на ВС, как
на диаметре, то хорда BF=BG будет средне-пропорциональной между
ВС и BE.
На основании этого выполняем построение следующим
образом (рис. 426)1.
а)	Проводим линию ВС под углом естественного откоса к гори¬
зонту до пересечения с поверхностью сьипучего тела.
б)	На отрезке ВС, как на диаметре, строим полуокружность.
в)	Проводим основную линию BD под углом (<р+?о) к ограждаю¬
щей поверхности.
г)	Проводим из верхней точки А прямую, параллельную основной,
до пересечения с линией естественного откоса в точке Е.
д)	Восстанавливаем в Е перепендикуляр до пересечения с полу¬
окружностью в точке F.
е)	Радиусом BF делаем засечку на линии естественного откоса в
точке G.
ж)	Из G проводим прямую, параллельную основной, до пересечения
с поверхностью сыпучего тела в точке Я.
1	Точки, встречающиеся отри построении, обозначены последовательно буквами
по алфавиту. Последовательность действий указана стрелками.
306

Рис. 429

з)	Соединяем Н с В; это будет след плоскости обрушения.
и)	Радиусом GH делаем засечку на линии естественного откоса
в точке /.
к) Находим площадь треугольника IHG. Эта площадь, умножен¬
ная на объемный вес, даст давление сыпучего тела или распор:
(176)
Е = 7 X пa.IHG.
Пример 1. Найти давление грунта на подпорную стену высотой 5 м (рис. 427).
Угол между задней поверхностью стены и вертикалью равен 10°. Верхняя поверхность
грунта горизонтальна.
Физические характеристики грунта:
объемный вес f = 1,8 т/м3;
угол естественного откоса <р =» ЗО3;
угол трения грунта по стене <ро=’ 16°.
Решение. Построение П о н с е л е выполнено на рис. 427. Размеры треугольника
Р е б х а н а оказались равными: основание 3,32 м, высота 3,02 м.
Давление грунта — распор:
И
,	3,32-3,02	л ,
= 1,8-	г	= 9,0 т/м.
Давление получается в тоннах на 1 пог. м
стены по ее длине, перпендикулярной плоско¬
сти рисунка.
Пример 2. Найти давление сыпучего тела
для случая, когда его поверхность наклонена к
горизонту под углом естественного откоса
(рис. 428).
Как видим, точка пересечения линии есте¬
ственного откоса с поверхностью удалена на
бесконечно большое расстояние. Построение
Понселе сделать нельзя. Однако треуголь¬
ник Р е б х а н а можно построить в любом
месте между двумя параллельными прямыми;
где бы ни сделать построение, размеры тре¬
угольника Р е б х а н а останутся одинаковыми.
Плоскость обрушения совпадает с плоскостью, проведенной под углом естествен¬
ного откоса. Вес призмы обрушения бесконечно велик, но давление имеет конечную ве¬
личину, так как сила трения по плоскости обрушения бесконечно велика.
Пример 3. Найти давление сыпучего тела для случая, приведенного на
рис. 429.
Линия АЕУ проведенная из верхней точки А параллельно основной, пересекается
с линией естественного откоса выше поверхности сыпучего тела.
Так как построение Понселе состоит в нахождении средне-пропорциональной,
то оно применимо и здесь, но полуокружность нужно строить не на ВС, а на BE. Тре¬
угольники АВН и BHG равновелики.
Иногда основная линия может оказаться параллельной поверхности сыпучего те¬
ла (рис. 430). Применяя построение Понселе, пришлось бы найти точку Н на пере¬
сечении двух совпадающих линий. Очевидно, это невозможно. Но теорема Р е б х а н а
остается в силе. Для получения точки Н надо разделить АС пополам.
§ 103. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПО ВЫСОТЕ.
ЭПЮРА НАПРЯЖЕНИЙ
До сих пор мы не интересовались, на какой высоте ограждающей
поверхности приложен -распор, как распределяется давление по высоте,
какова интенсивность давления в каждой точке. Сейчас можем осве¬
тить и эти вопросы.
Сделаем построения Понселе и найдем распоры для всей высоты
ограждающей поверхности АВ2 и для части высоты АВХ (рис. 431).
Легко видеть, что в том и другом случае длины всех линий будут
пропорциональны высотам или расстояниям от верха стены А. Площади
308

треугольников Ребхана будут пропорциональны квадратам высот*
Значит, и полные давления пропорциональны квадратам вы¬
сот.
Если построим эпюру полных
давлений, у которой ординаты бу¬
дут соответствовать давлениям на
вышележащую часть стены (ор¬
дината у\ соответствует давле¬
нию на часть АВ\), получим квад¬
ратную параболу.
Интенсивность нагрузки най¬
дем, как приращение полных дав¬
лений, а для этого нужно взять
производную. Давление выра¬
жается функцией второй степени
от расстояния; производная этой
функции первой степени.
Следовательно, интенсивность
нагрузки меняется пропор¬
ционально высоте.
Аналогично и в балках: если
эпюра поперечных сил ограниче¬
на квадратной параболой, то ин¬
тенсивность нагрузки меняется по
закону прямой.
В самой верхней точке А ин¬
тенсивность нагрузки равна нулю.
Отсюда следует, , что эпюра на¬
грузки должна иметь вид тре¬
угольника с наибольшей орди¬
натой внизу (рис. 432). Эпюру на¬
грузки на практике часто называ¬
ют эпюрой напряжений.
Ее изображают иногда в виде
треугольника, построенного у
ограждающей поверхности с ор¬
динатами, перпендикулярными к
ней (рис. 432,а), или, что делается
г
Рис. 432
309

очень редко, с наклонными ординатами под углом ср0 к нормалям
(рис. 432,6).
Такое изображение наглядно, но неудобно, так как у ограждающей
поверхности приходится выполнять построение П он селе для нахожде¬
ния распора Е, без чего нельзя построить и эпюру.
Поэтому обычно эпюру напряжений выносят в сторону, ординаты
откладывают горизонтально от вертикальной оси (рис. 432,в).
Нижняя ордината эпюры в этом случае определится из условия,
что площадь эпюры равна распору Е (предварительно найденному):
4h — р
~~Е'
откуда:
Ординаты эпюры выражаются в кг/м2 или т/м2 и дают нагрузку на
единицу площади вертикальной проекции ограждающей
поверхности.
Равнодействующая нагрузки должна проходить через центр тяжести
эпюры, она образует с нормалью /к ограждающей поверхности угол <р0'
Из рис. 432 видно, что равнодействующая нагрузки — распор Е — при-
р.
чожена на высоте — > т. е. против центра тяжести треугольника.
3
В том случае, когда эпюру напряжений изображают, как указано на
рис. 432,а и б, нижняя ордината:
2 Е
<7=7-	(178)
Здесь ординаты эпюры дают нагрузку на единицу площади ог¬
раждающей поверхности.
§ 104. ВЛИЯНИЕ НАГРУЗКИ,
РАСПОЛОЖЕННОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Предположим, что к поверхности сыпучего тела приложена равно¬
мерно распределенная нагрузка интенсивностью р в т/м2 или кг/м2 гори¬
зонтальной проекции (рис. 433).
Напряжения в сыпучем теле и давление на ограждающую поверх¬
ность не зависят от того, какая именно нагрузка приложена: слои камня
или грунта, мешки с каким-либо грузом и т. д.; имеет значение лишь
интенсивность нагрузки.
Поэтому если нагрузку снять и заменить ее эквивалентным слоем
сыпучего тела, который имеет вес, равный данной нагрузке, то ничто
в пределах сыпучего тела измениться не может.
Очевидно, что толщина эквивалентного слоя:
(179)
Для поддержания эквивалентного слоя придется ограждающую
поверхность .поднять выше до точки А’. При этом получим стену, за
которой находится сыпучее тело, высотой не h, как задано, a (A -i- ho).
310

Давление на нее найдем при помощи построения Понселе; эпюра на¬
пряжений изобразится треугольником с высотой (h+h0).
После этого (вновь заменим эквивалентный слой сыпучего тела той
нагрузкой, которая была задана. В сыпучем теле опять ничто не изме¬
нится. Эпюра (в нижней части останется той же самой. Но верхняя добав¬
ленная часть стены уже не нужна. В ее пределах эпюру придется отбро¬
сить.
Таким образом, оказывается, что при нагрузке на поверхности сы¬
пучего тела эпюра напряжений имеет вид трапеции; боковые стороны
ее пересекаются в точке, отстоящей на hQ от верхнего края ограждаю¬
щей поверхности.
Можно решать задачу и иначе. Выполнив построение Понселе
для стены высотой Л, построить треугольную эпюру напряжений и затем
увеличить ее ординаты, проводя параллельную наклонную линию, пере¬
секающуюся с вертикальной линией на Л0 выше ограждающей поверх¬
ности (рис. 433).
§ 105. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ. ЛОМАНОЕ ОЧЕРТАНИЕ
ОГРАЖДАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ.
СЛОИСТОЕ СТРОЕНИЕ СЫПУЧЕГО ТЕЛА
На практике может встретиться случай, когда ограждающая сыпу¬
чее тело поверхность имеет ломаное очертание (рис. 434). Применим тог¬
да следующее приближенное решение.
Выполним сначала обычным порядком построение для верхней ча¬
сти АВХ. Измерим площадь верхнего треугольника Ребхана, умно¬
жим ее на г и найдем распор для верхней части Е{. Эпюра напряжений
будет треугольником ab\b\.
Затем продолжим нижнюю часть ограждающей поверхности В\В2
до (поверхности сыпучего тела. Сделаем новое построение для фиктивной
стены А'В2.
В
Рис. 433
311

Новая эпюра изобразится треугольником а'Ьф\. Но эта эпюра дей¬
ствительна только в нижней части, так как в верхней части ограждаю¬
щая поверхность идет по линии АВи а не А'В{ и эпюра напряжений для
этой части уже построена. Поэтому отбросим треугольник a'b\b .
Окончательно эпюра будет состоять из треугольника ab\b\ и тра¬
пеции	•	Против	точки перелома В\ должен 'быть уступ, здесь
напряжения резко меняются: на наклонную плоскость (обращенную в
сторону от сыпучего тела) давление больше, чем на вертикальную.
Если бы ограждающая поверхность имела очертание согласно
рис. 435, то уступ был бы не влево, а вправо.
Иногда сыпучее тело, поддерживаемое подпорной стеной, имеет
слоистое строение; например, до некоторой глубины залегает гли¬
на, а ниже пеоок.
Рис. 434
Находим сначала распор для верхнего слоя и строим эпюру напря¬
жений. После этого заменяем верхний слой эквивалентным слоем сыпу¬
чего тела, находящегося в нижней части. Строим теперь эпюру для всей
высоты и отбрасываем верхнюю часть, поскольку для нее эпюра уже
построена.
Если углы естественного откоса для верхнего и нижнего слоев оди¬
наковы и эти слои различаются только объемным весом, эпюра напря¬
жений будет иметь перелом без уступа (рис. 436,а). Очевидно, что орди¬
ната эпюры на границе слоев одна и та же, будем ли мы исходить из
действительной высоты h и из объемного веса 7, верхнего слоя, или из
эквивалентной высоты h0 и объемного веса тп нижнего слоя.
Если углы естественного откоса разные, в эпюре должен быть уступ
(рис. 436,6 и в).
Различные физические характеристики сыпучего тела в разных слоях
могут быть следствием насыщения его водой (рис. 437).
312

S)
6)
Рис. 436

В этом случае вновь выполняем построение, как указано выше. Объ¬
емный вес сыпучего тела ниже уровня воды следует принимать умень¬
шенным из-за погружения в воду. К нижней части эпюры необходимо
еще добавить треугольную эпюру от гидростатического давления.
§ 106. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ
СЫПУЧЕГО ТЕЛА
Разберем частный случай, при котором:
а)	ограждающая поверхность представляет вертикальную плос¬
кость;
б)	поверхность сыпучего тела горизонтальна;
в)	угол трения сыпучего тела по подпорной стене ср0=н0 (идеально
гладкая поверхность).
Выполнив для этого случая построение Понселе (рис. 438), ви¬
дим, что основная линия перпендикулярна к линии естественного откоса.
Поэтому АЕ 1_ ВС и HG _L ВС. Треугольники АВН и BHG прямо¬
угольные и имеют общую гипотенузу. По теореме Ребхана они должны
быть равновеликими. Поэтому заключаем, что они не только равновели¬
ки, но и равны между собой, ввиду чего AH=HG.
д	н	с
Рис. 438
314

Распор:
Е = 7 X nn.IHG = 7 X —- HQ2 = — 7ЛЯ2.
2	2
Но из треугольника ЛБЯ:
Поэтому:
£ = -i-T/i2tg2^
Обычно эту формулу пишут так:
90°- у
)■
E = y^2tg2 (45°--2-).
(180)
2	Е
Нижняя ордината эпюры напряжений, равная — :
Я = T^tg2 (45°	2-).
(181)
Формула (181) удобнее, чем
(180). Первая формула пригодна
только в случае треугольной эпюры,
вторую же можно применять как
для случая нагрузки, приложенной
на поверхности сыпучего тела, так и
для слоистого сыпучего тела; нужно
лишь выбирать соответствующее h.
Следует подчеркнуть особую
важность выведенных формул.
Построение Пон селе прихо¬
дится применять сравнительно редко; наиболее употребительны
формулы (180) и (181).
Их применяют и в тех случаях, когда <р0 Ф 0, так как, приняв ср0 =0,
мы получаем некоторый запас. Ввиду простоты расчета формулами
пользуются даже и тогда, когда ограждающая сыпучее тело поверхность
не вертикальна (но не слишком отличается от вертикальной).
Пример 1. Найти распор и построить эпюру напряжений для подпорной стены
высотой /г =*4 м при f = 1,6 т/м3; ср =40°; <Ро = 0 (рис. 439).
Решение. Получим по формуле (180):
Е = -у 7А2	-	-у)	=	4"	•1 ’6'4*02	(45°	“	Т“)	“
= Y .1,6-4,02tg*25°= у • 1,6-4,02-0,4б632=2,78 т/м.
Нижняя ордината эпюры напряжений по формуле (181):
Й — tg2 ^45° —	=	1,6-4,0-0,46632= 1,39 г/jh2.
4.0
Распор, как равнодействующая нагрузки на стену, приложен на высоте — =
= 1,33 м.
315

h0 =—=	==	2,5 м.
Пример 2. Определить распор и построить эпюру напряжений для подпорной сте¬
ны высотой /г = 6 м (рис. 440); к =*1,8 т/ж3; ср==30°; ср0= 0. На поверхности сыпучего
тела равномерно распределенная нагрузка р = 4,5 г/лс2.
Решение. Найдем толщину эквивалентного слоя:
_ id?
7 1,88
Для определения ординаты q\ следует взйть по формуле ('181) высоту h=h0=2,5M,
а для ординаты q2— высоту Л=»(6+(2,5)=8,5 м.
Получим:
(30° \	1
45° — — J = 1,8-2,5 tg* 30» = 1,8• 2.5• — = 1,50 г/м2;
?2 = 1,8-8,5 tg= 30°= 1.8-8,5-^- = 5,10г/лег.
О
Давление на стену (или распор) равно площади эпюры:
1,50 -J- 5,10
Е = 			-6,0=19,8 т/м.
Равнодействующая давления приложена против центра тяжести трапеции на вы¬
соте 2,45 м\ направлена горизонтально (90=0).
30°	1
Не мешает запомнить, что tg2 (45°— —) =tg23CP=* -г Угол естественного отко-
2.	о
са <р=30° встречается на практике очень часто. При таком угле естественного откоса
давление сыпучего тела составляет гидростатического давления (от жидкости ве:
о
COM f ).
§ 107. ПАССИВНОЕ ДАВЛЕНИЕ —ОТПОР СЫПУЧЕГО ТЕЛА
То давление сыпучего тела на ограждающую поверхность, о котором
говорится во всех предыдущих параграфах, носит название активно¬
го давления «ли распора. Это есть реально существую¬
щее давление сыпучего тела на поддерживающую его подпорную
стену.
Но есть и другой вид давления — пассивное давление, или
отпор. Отпор — реактивная сила, которая может появлять¬
ся при известных условиях.
Поясним разницу между активным и пассивным давлением на про¬
стом примере. Предположим, что на наклонной плоскости лежит неко¬
торое тело (рис. 441). Угол наклона плоскости к горизонту больше угла
трения между телом и плоскостью. Следовательно, тело, предоставлен¬
ное самому себе, должно скользить вниз.
Чтобы удержать тело в равновесии, необходимо приложить к нему
некоторую внешнюю силу. Эта сила меньше, чем наклонная составляю¬
щая веса, так как существует сила трения, препятствующая сдвигу и на¬
правленная в ту же сторону, что и внешняя удерживающая сила.
Для того же чтобы сдвинуть тело по наклонной плоскости вверх, не¬
обходимо приложить большую силу, потому что трение будет действо¬
вать в обратную сторону и препятствовать сдвигу.
Сила, требующаяся для удержания тела, аналогична активному дав¬
лению сыпучего тела; сила же, необходимая для его сдвига, аналогична
пассивному давлению.
Если сыпучее тело давит на подпорную стену силой Е, то для соб¬
людения равновесия следует приложить внешнюю силу, как раз равную
Е. Если же увеличить внешнюю силу, равновесие не нарушится, но со
стороны сыпучего тела возникнет теперь реакция, большая, чем Е. При
316

г
Г
с>
<cf
1
I
I
I
I
I \
5=W.8 т/м
“1
I
Г
§
<\Г
I
1
(/-5, Ют/м2
Рис. 440
77У1	pg"
Рис. 441
Рис. 443
о*

дальнейшем увеличении внешней силы соответственно будет увеличи¬
ваться и реакция. Наконец, наступит момент, когда сыпучее тело ока¬
жется не в состоянии противиться внешнему давлению. Произойдет сдвиг
некоторой призмы, выделенной из сыпучего тела (рис. 442).
Т акая призма называется призмой выпирания или при з -
мой отпора; плоскость же, по которой она движется, — плоской
стью выпирания.
Пассивным давлением, или отпором, называется
предельное возможное сопротивление сыпучего
;тела производимому на него давлению (передающемуся
через подпорную стену). С ним приходится встречаться при расчете
фундаментов сооружений, когда устойчивость фундаментов обусловли¬
вается сопротивлением грунта 'выпиранию.
При выпирании сыпучего тела силы трения принимают направле¬
ния, противоположные тем, какие они имеют при обрушении. Если там
они препятствуют сдвигу призмы обрушения и уменьшают рас-
пор Е, то здесь они опять препятствуют сдвигу призмы выпирания и
увеличивают отпор Q.
Величину отпора можно найти графически построением Понселе.
Так как явление отпора отличается от явления распора тем, что силы
трения меняют направления на противоположные и, следовательно, уг¬
лы <р0 и У меняют знаки, то нет надобности приводить новое доказатель¬
ство. Можно выполнить построение, аналогичное приведенному на
рис. 426, но углы ср0 и у отложить в обратные стороны.
Проведем линию под углом естественного откоса <р (рис. 443), от¬
кладывая этот угол вниз, до пересечения с продолжением поверхности
сыпучего тела в точке С.
Далее проведем основную линию BD под углом (?+?о) к ограж¬
дающей поверхности, теперь уже вправо, т. е. в сторону сыпучего тела.
На ВС, как на диаметре, построим полуокружность.
Из А проведем АЕ параллельно основной линии.
В точке Е восставим перпендикуляр EF.
Радиусом BF сделаем засечку в точке G на линии естественного
откоса. Из G проведем GH параллельно основной.
Радиусом GH сделаем засечку в точке /.
Площадь треугольника GHI, умножения на объемный вес, даст
величину отпора:
Линия ВН будет следом плоскости выпирания.
Конечно, и в данном случае соблюдается теорема Р е б х а н а; тре-
урольники АВН и BHG равновелики.
При отсутствии нагрузки на поверхности сыпучего тела эпюра на¬
пряжений отпора будет треугольной. Ее нижняя ордината:
Формулы для частного случая вертикальнойгладкой стены
(<ро=|0) при горизонтальной поверхности сыпучего тела можно
получить непосредственно из формул (180) и (181), изменив знак у ср
Q = у X пл.GHI.
(182)
Отпор:
(184)
318

Нижняя ордината эпюры отпора:
<7 = ТА tg2 ^45°+-*-).
(185)
Отпор всегда больше распора. Для вертикальной гладкой стены,
когда поверхность сыпучего тела горизонтальна, отношение:
0.
Е
^2)_=Ч	/,у	JL
-f) *■(«--*) 1 2
— fA2 tg2( 45
При угле естественного откоса 9= 30°.
-2- = tg460 ^ З2 = 9
Е
т. е. отпор в 9 раз больше распора.
Разница между отпором и распором увеличивается с увеличением
ср. Наоборот, при уменьшении ср отпор по своей величине приближается
к распору. В пределе для жидкости, когда ср=0, отпор уже не отличает¬
ся от распора.
§ 108. РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Каждая подпорная стена, поддерживающая сыпучее тело, в част¬
ности грунт, в состоянии выполнять хорошо свое назначение, если она
достаточно ус т о й ч и в а.
Неудачно запроектиро¬
ванная стена может поте
рять устойчивость или вслед¬
ствие опрокидывания
около нижнего наружного
ребра А (рис. 444,а) или
вследствие сдвига (сколь¬
жения) по основанию (рис.
444,6).
Степень безопасности
подпорной стены в отноше¬
нии потери ею устойчивости
измеряется коэффициентами устойчивости. Коэффициент
устойчивости, вообще говоря, показывает, во сколько раз должны увели¬
читься активные, приложенные к подпорной стене силы, чтобы произо¬
шло разрушение. Другими словами, коэффициент устойчивости пред¬
ставляет отношение величины активныхсил, при которых происходит
разрушение, к величине активных сил, имеющихся в дейст¬
вительности.
В связи с тем что потеря устойчивости может происходить или пу¬
тем опрокидывания, или путем сдвига, различают коэффициент устой¬
чивости на опрокидывание и коэффициент устойчивости на
сдвиг. Чем больше эти коэффициенты, тем стена устойчивее; во вся¬
ком случае они должны превышать единицу. Подпорная стена, у кото¬
рой какой-либо из коэффициентов устойчивости равен единице, должна
рассматриваться как неустойчивая: достаточно увеличения внешней на¬
грузки на бесконечно малую величину, чтобы произошло разрушение.
319

При проектировании подпорной стены обычно приходится идти пу-
тем последовательных проб. Задаются профилем стены и проверяют
устойчивость. Если результаты неудовлетворительны, изменяют про¬
филь и вновь делают расчет.
а)	Нагрузки на подпорную стену
Для определения коэффициентов устойчивости необходимо устано¬
вить все нагрузки, действующие на подпорную стену.
К таким нагрузкам прежде всего относится собственный вес стены.
При сложном профиле приходится разбивать поперечное сечение на
отдельные части (рис. 445). Вес
каждой части Gi, G2, ..., найдем,
умножив ее площадь в плоскости
рисунка на объемный вес клад¬
ки Ткл Длина стены в направле¬
нии, перпендикулярном рисунку,
обычно принимается равной еди¬
нице.
Силы G выражаются в т/м
или кг/м. Они приложены в цент¬
рах тяжести соответствующих
частей поперечного сечения стены. Если эти части имеют вид трапеций,
то центры тяжести их можно найти графически. Для этого на продолже¬
нии верхнего основания отложим нижнее основание, а на продолжении
нижнего, с противоположной стороны, — верхнее (рис, 446). Полученные
точки соединим прямой; разделим верхнее и нижнее основания пополам
и проведем срединную линию. Центр тяжести определится пересечением
двух проведенных прямых.
На подпорную стену, кроме того, действует распор от поддерживае¬
мого ею грунта. Применяя в более сложных случаях (при наклонной
задней поверхности стены) построение Понселе, а в простых случа¬
ях аналитический способ, найдем ординаты эпюры напряжений
грунта и построим эту эпюру.
320

Равнодействующие давлений, .приходящихся на каждый участок
подпорной стены, приложены в центрах тяжести соответствующих
участков эпюры. Перенесем эти центры тяжести по горизонталям к зад¬
ней .поверхности подпорной стены и укажем направления сил Е\у £2,
£3,..., проведя их под углом ср0 к нормалям.
JK противоположной стороне фундамента стены приложен еще от¬
пор Q (рис. 445).
При проверке устойчивости стены на опрокидывание отпор никогда
не учитывают, да и влияние его может быть очень невелико.
При расчете на сдвиг по основанию влияние отпора больше; иногда
его .принимают >во внимание, но только в неответственных сооружениях.
Для появления отпора необходимо, чтобы стена уже сдвинулась, хотя бы
и немного, а такой сдвиг для ответственных сооружений недопустим.
Рис. 447
Однако распор, приходящийся на фундамент с наружной стороны,
является реально действующей силой и его всегда можно учитывать.
Так как эпюры распора слева и справа фундамента ограничены прямы¬
ми, проведенными под одним и тем же углом, то часто отбрасывают
взаимно уравновешивающиеся части эпюр. Тогда не учитывают отдель¬
но распора с внешней стороны, а эпюру распора с внутренней стороны
срезают в пределах фундамента по вертикали (рис. 447).
Установив все нагрузки, приложенные к подпорной стене, можно
перейти к вычислению коэффициентов устойчивости.
б)	Коэффициент устойчивости на опрокидывание
Подпорной стене грозит опасность опрокидывания тогда, когда
опрокидывающие активные силы возрастут настолько, что их момент
относительно наружного ребра станет равным моменту удерживаю¬
щих сил.
Ввиду этого практически коэффициентом устойчивости на опроки¬
дывание называют отношение момента удерживающих
сил к моменту опрокидывающих сил:
и 	 ^уд
^опо
'опр м.
ОПр
(186)
Удерживающими силами являются веса G отдельных участков
стены, опрокидывающими — давления грунта.
Плечи всех сил можно при сложном профиле стены измерить по
чертежу, при простом — вычислить.
Для профиля стены, изображенного на рис. 445, получим:
£		 Муд = filgl 4~ @2^2 + Gsgs
0пр~ М0ПР £Vx + Е2е2 + Е3е3
21 Б. Н. Жемочкин
321

Если направление силы Е3 лроходит н<иже ребра Л, то момент этой
силы следует взять со знаком минус.
За допускаемый коэффициент устойчивости принимается обычно
1,5. Поэтому должно соблюдаться условие
*опР> 1,5.	(187)
В целях экономии нежелательно .все же «принимать k0пр много
больше 1,5.
Иногда проверяют также устойчивость на опрокидывание около
ребра В только верхней части стены без фундамента (рис. 445).
Понятно, что в этом случае в выражение для коэффициента устой¬
чивости не войдут силы G3 и £3; плечи сил будут другими.
в)	Коэффициент устойчивости на сдвиг
Коэффициент устойчивости на сдвиг должен указывать, во сколько
раз должны увеличиться активные силы, чтобы произошел сдвиг. Прак¬
тически коэффициент устойчивости на сдвиг равен отношению сум¬
мы удерживающих сил к сумме сдвигающих сил:
Ь —
*сдв— —
—•* С П в
(188)
Удерживающей силой является сила трения по подошве, вызванная
весом подпорной стены, а также отпор (вернее — его горизонтальная
составляющая, вертикальная же уменьшает силу трения), если он во¬
обще учитывается.
К сдвигающим силам относятся давления грунта. Но к каждому
участку стены приложены наклонные силы £, имеющие горизонталь¬
ные составляющие Е сова и вертикальные Е sina. Последние увеличи¬
вают силу трения но подошве. Однако их никак нельзя считать удержи¬
вающими силами — это силы активные, и вызываемую ими силу трения
нужно просто вычитать из сдвигающих сил.
Как общее правило, при определении каких-либо коэффициентов
устойчивости в числителе следует помещать только пассивные
силы, в знаменателе только активные; но при этом — учи¬
тывать знаки.
Обозначая коэффициент трения по основанию через f, для профиля
стены по рис. 445 получим
и ___ Щ, __
сдв~" YP ~
сдв
	(Gi + £g+ °s)f+ Q cos ft — Qsin р./
(Ег cos а1 + Е2 cos a2 + Ez cos a3) — (Ex sin аг + E2 sin a2	+ E3 sin a3)/	*
или проще:
k ™f+Qcos?-Qsin?.f
сдв HE COS a — YE sin a-/	4	7
В тех случаях,	когда строится кривая давления,	выражения,	вхо¬
дящие в последнюю формулу, можно взять непосредственно из
силового многоугольника (стр. 326).
' Если эпюра напряжений грунта имеет срезку в .пределах фундамен¬
та (рис. 447) и желательно учесть отпор, то под Q в последней формуле
следует понимать только разность между отпором и распором с внеш¬
ней стороны.
322

При проектировании подпорных стен за допускаемый kw прини¬
мают 1,3—1,5:
*сдв> 1,3—1,5.	(190,
Меньшим коэффициентом 1,3 довольствуются обычно тогда, когд*
не учитывается отпор, так как в этом случае расчет заключает некою
рый скрытый запас.
Стремясь к тому, чтобы оба коэффициента
устойчивости &0Пр и ^сДв были не меньше допускае¬
мых, мы иногда можем получить, что один из коэф¬
фициентов равен допускаемому, а другой много
больше.
Коэффициент трения по основанию/ бывает по¬
рядка 0,6—0,7, опускаясь до 0,3 в случае, когда сте¬
на расположена на мокрой глине.
В заключение отметим, что если подпорная сте¬
на проектируется с уступами с задней стороны
(рис. 448), то к удерживающим силам следует от¬
нести вес грунта на уступах. Влияние веса грунта,
расположенного на обрезе фундамента, обычно
столь незначительно, что им можно пренебречь.
Пример 1. Определить коэффициенты устойчивости на опрокидывание около пь
ружного ребра и на сдвиг по основанию (без учета отпора) подпорной стены, изобр»
женной на рис. 449.
Стена предполагается кирпичной (размеры несколько округлены); 7кл= 1,7 т(**
Тгр —1,5 т/мъ (насыпной грунт); ср =40°; сРо=0*
Коэффициент трения по основанию/=0,7.
Решение. Заменим временную нагрузку эквивалентным слоем грунта. Его высота
h0 = ^ = 0,67 м.
Найдем ординаты эпюры напряжений.
Вверху*
ft = 1,5*0,67 tg2
/	40°	\
(45-—) =
1,5-0,67*0,46632 =а 0,22 т/м*;
внизу
q2 = 1,5 (2,00 + 0,67) 0,4663* = 0,87 т/м*.
В пределах фундамента эпюра срезана.
При вычислении коэффициентов устойчивости к удерживающим силам отнесе»
вес грунта на уступе стены; вес грунта на обрезе фундамента учитывать не будем.
Определяя момент удерживающих сил, разделим профиль стены на три части.
Точно так же для определения момента опрокидывающих сил разделим на то®
части эпюру напряжений.
Момент удерживающих сил:
Муд=* (0,50*2,00-0,40 + 0,50-1,00*0,90 + 1,30-1,00-0,65) 1,7 +
+ 0,50*1,00-1,5-0,90 == 3,56 тм/м.
Момент опрокидывающих сил:
0,65*2,00
Мопр = 0,22.2,00-2,00+ -1—	* 1,67 + 0,87-1,00*0,50 ~ 2,40 тм/м.
Коэффициент устойчивости на опрокидывание:
£опр =
Сумма удерживающих сил:
ЕРуд= [(0,50-2,00 + 0,50.1,00+ 1,30-1,00). 1,7 + 0,50-1,00-1,5]-0,7 = 3, 86г/а.
21*
323

Сумма сдвигающих сил:
0,87 + 0,22
У Р -
*СДВ
2,00 + 0,87-1,00 — 1,96 т/м.
Коэффициент устойчивости на сдвиг:
уд
3,86
КСДВ ХРсдв 1.96	1,97‘
Пример 2. Определить коэффициенты устойчивости на опрокидывание около на¬
ружного ребра и на сдвиг по основанию (без учета отпора) для подпорной стены, изо¬
браженной на рис. 450:
7кл = 2,2 г/ж3 (бетон); 7гР = 1,8 т/м3 (влажный песок);
<р = 35°; ср0 = 10°;	/ = 0,6.
Решение. Здесь необходимо применить построение П о н с е л е. Предположим, что
это построение сделано и эпюра напряжений уже построена.
Давления на каждый участок стены:
1,50-1,50
Ег =			= 1,13 т/м;
2,00	+ 0,80
Е2 = ——-—1—2,50 = 3,50 т/м;
£з = 2,00-1,00 = 2,00 т/м.
Они приложены против центров тяжести соответствующих участков эпюры и об¬
разуют с нормалями углы <р0='10°.
Углы наклона сил Е к горизонту:
а1 = 38°; sin а1 = 0,616; С05ах = 0,788;
а2 = а« = 10°*» sin аа = 0,174; cosa2 = 0,985.
Собственный вес подпорной стены:
С?! = 3,09 т/м;
Ог = 7,89 т/м;
G% = 3,96 т/м.
324

Плечи сил возьмем непосредственно ,из рис. 450. Получим:
Муд = 3.09-0,81 + 7,89-0,96 + 3,96-0,90 » 13,64 тм/м;
Мопр = 1,13*2,32 + 3,50-1,72 + 2,00-0,16 = 8,96 тм/м\
13,64
^ОПр— '
8,96
= 1,52;
		1,50 w/м1
—	-=\0'80 т/м*
2,00т/м9
2,00 т/м?
0,90м—*
■ —1г80м
Рис. 450
2	Руд = (3,09 + 7,89 + 3,96) 0,6 = 8,96 г/л;
2	Рсдв = (1,13-0,788 + 3,50-0,985 + 2,00-0,985)—
—	(1,13-0,616 + 3,50-0,174 + 2,00-0,174) 0,6 = 5,32 т/м\
8,£6
*сдв_5,32 = 1,68-
§ 109. РАСЧЕТ ПОДПОРНЫХ СТЕН НА ПРОЧНОСТЬ.
КРИВАЯ ДАВЛЕНИЯ
При проектировании подпорной стены должна быть обеспечена не
только ее устойчивость, но и прочность материала. Напряжения во
всех швах -кладки и давление на грунт не должны превосходить допу¬
скаемых.
Для того чтобы проверить напряжения в каком-либо шве или в по¬
дошве, надо знать точку пересечения с этим швом равнодействующей
всех вышерасположенных сил и величину вертикальной проекции рав¬
нодействующей (нормальную или продольную силу).
Предположим, что необходимо найти положение равнодействующей
в подошве подпорной стены (рис. 451).
Обозначим вертикальную проекцию всех действующих на стену
сил через N; это будет нормальная сила в подошве.
325

Момент всех сил относительно точки А:
Так как:
М МуД ^^опр*
М = cN,
rot
с =
м_
N
(191)
Установив, где приложена равнодейству¬
ющая, можно определить напряжения.
Если найдем положения точек, через ко¬
торые проходят равнодействующие во всех
горизонтальных швах, и соединим их плавной
кривой, то получим кривую давления.
Итак, кривая давления — линия, с о-
единяющая точки пересечения с
горизонтальными швами равно¬
действующих всех вышеприло
женных сил.
Кривая давления позволяет судить о ра¬
боте всей подпорной стены и выявить наибо¬
лее напряженные швы.
Обычно на практике для построения кри¬
вой давления применяют графический способ.
Он не дает кривой, а только многоуголь¬
ник давления; кривая могла бы быть получена в пределе. Практи¬
чески этот многоугольник все же называют кривой давления.
Рис. 452

Предположим, что все силы, действующие на подпорную стену,
известны (рис. 452). Построим силовой многоугольник.
Сложим силы G1 и Яь действующие выше шва 1. Их равнодейству¬
ющая Ri лересечет шов 1 в точке I.
Переходя к шву 2, сложим сначала силу Ri с силой Яг; через точ¬
ку их пересечения проведем прямую, параллельную равнодействую¬
щей трех сил Gi, Я1 и Яг, т. е. R'2 Затем добавим
силу дг. Получим равнодействующую всех четы¬
рех сил выше шва 2—R2. Можно поступить и
иначе: сложить сначала R\ с G2 и затем доба¬
вить Яг.
Складывая силу R2 последовательно с Я3 и
Оз, получим равнодействующую в шве 3—R3.
Наконец, найдем R4.
Соединяя точки пересечения равнодействую¬
щих со швами /, II, III и IV, построим кривую
давления. Вверху она пройдет через середину
ширины стены, так как вес самого верхнего бес¬
конечно тонкого слоя приложен в середине, дав¬
ление же на него со стороны грунта равно нулю.
Кривая давления в подпорной стене указы¬
вает только точки приложения равнодействую¬
щих в швах, но не дает направлений рав»
нодействующих. Вспомним, что в арке кривая
давления в большинстве случаев указывает и на¬
правления.
Напряжения (если расчет ведется в
упругой стадии) определяются по известной
формуле внецентренного сжатия:
(192)
где
Рис. 453
е — эксцентрицитет, т. е. расстояние от се¬
редины горизонтального сечения до точ¬
ки, где проходит равнодействующая в шве;
Ь—ширина стены (или высота сечения).
Размер сечения, перпендикулярный плоскости рисунка, равен еди¬
нице.
Нормальную силу <в каждом шве можно .получить непосредственно
из силового многоугольника, как проекцию всех приложенных выше
шва сил. На рис. 452 указана нормальная сила W3.
Если кривая давления не выходит из пределов средней трети се¬
чения (е< ~) , напряжения только сжимающие (рис. 453,а); если
выходит (е> ^ ), возникают и растягивающие напряжения (рис. 153,6).
6
Небольшое растягивающее напряжение для кладки на растворе до¬
пустимо.
В грунте, однако, не может быть растягивающих напряжений. По¬
этому, если кривая давления выходит из пределов средней трети подош¬
вы, эпюра напряжений будет треугольной (рис. 453,в).
Исходя из того условия, что напряжения должны уравновешиваться
с силой N, найдем, что ширина эпюры равна тройному расстоянию си¬
лы N от края.
327

Наибольшая ордината
Давление на грунт не должно превосходить допускаемого; для
грунтов среднего качества (песок, суглинок): 2—2,5 кг/см2.
Силовой многоугольник при построении кривой давления позво¬
ляет легко находить величины SO, Е Е sin а и Е Е cos а f необходимые
для вычисления коэффициента устойчивости на сдвиг.
При построении кривой да-вления нельзя учитывать отпора, даже
если он вводится в вычисление &сдз , так как эта сила не реально дей¬
ствующая, а 'могущая .появиться лишь ери некоторых обстоятельствах'
Пример. Построить кривую давления для примера 1 предыдущего параграфа
(рис. 454).
Решение. Имея эпюру напряжений грунта, нетрудно найти силы Е, действующие
на каждый участок стены, и их положения.
Необходимо учитывать и вес грунта на уступе G2. Поэтому к равнодействующей в
шве /, т. е. Ru добавим силу Е2, а затем G<£ и наконец G2. Получим равнодействую¬
щую в шве 2—R2. Добавляя к R2 силу £з и далее G3, найдем R3 (рис. 454,6).
Проверим напряжения.
В шве 2 эксцентрицитет, определенный по рис. 454,а, равен 0,27 ли Нормальная
сила No = 3,30 т/м, ширина сечения 1,00 м.
Напряжения:
атах = + 8,6 т/м2 = + 0,86 кг/см2\
amin — — 2,0 т/м2 = —0,2кг/см2.
Давление на грунт в подошве найдем по формуле (193), так как здесь кривая
давления выходит из пределов средней трети.
Расстояние кривой давления от края равно 0,21 м. Пользуясь данными примера
на стр. 326, его легко можно было бы определить и аналитически. В самом деле:
М 3,56 — 2,40

Давление ва грунт по формуле (193):
2-5,51
зшах= 3 0'~ = 17,5 г/ж2 = 1,8 кг!см2.
§ 110. ТИПЫ ПРОФИЛЕЙ ПОДПОРНЫХ СТЕН
На практике встречаются подпорные стены разнообразных про¬
филей.
Профили, изображенные на рис. 455,а и б, позволяют наиболее
экономичным образом использовать материал, так как кривая давле¬
ния .проходит близко к серединам сечений. Первый из них принадлежит
к числу сравнительно старых и неудобен в производстве работ.
Рис. 455
Чаще выполняют подпорные стены с почти вертикальной гранью по
наружной стороне (рис. 455,в, гид). Строго вертикальной плоскостью
подпорную стену ограничивают редко, так как она производит впечат¬
ление наклонившейся. Обычно наружная грань устраивается с укло¬
ном к вертикали в 1/10—1/20.
С задней стороны подпорная стена ограничивается наклонными
плоскостями или делаются уступы. Последние предпочтительнее, так
как упрощается производство работ.
Не мешает заметить, что отношение ширины подпорной стены внизу
к ее высоте при слабых грунтах, преимущественно пропитанных водой,
примерно равно 1/2. При грунтах среднего качества, это отношение при¬
мерно 1/3. При плотных грунтах оно доходит до 1/4.
Ширина стены поверху принимается 0,5—1 м. Обрезы фундамен¬
тов делаются шириной примерно 0,1—0,2 м. Глубина заложения фунда¬
ментов в большинстве случаев определяется условиями промерзания
грунта.
Особое положение занимают железобетонные подпорные стены.
Их устойчивость обеспечивается не весом стен, а весом грунта на ниж¬
них плитах (рис. 455,е) или на нескольких плитах по высоте
(рис. 455,э/е).
329

Такие стены имеют вертикальные поперечные перегородки «а рас¬
стояниях около 2 м, связывающие горизонтальные и вертикальные
плиты.
Иногда подпорные стены небольшой высоты выполняют в виде за¬
бора из свай, забитых в грунт, или из столбов (рис. 455,з). Если они
располагаются не 'вплотную, а с промежутками, то за отдельные сваи
или столбы закладывают доски, пластины (рис. 455,и), а в железобе¬
тонных конструкциях — железобетонные плиты. Приемы расчета по¬
добных стен отличаются от изложенных выше.
К числу подпорных стен относятся стены подвалов в зданиях
(рис. 455,я). Так как они обычно имеют вверху опору, образованную
перекрытием, то проверять их на опрокидывание не приходится. Но по¬
верку на сдвиг следует делать. Особенное 'внимание необходимо обра¬
щать на прочность. Стена подвала работает по существу как верти¬
кальная балка, нагруженная горизонтальной нагрузкой от давления
грунта. В результате изгиба появляются растягивающие напряжения в
вертикальном направлении со стороны подвала. Если они не погаша¬
ются напряжениями сжатия от вертикальных сил («в зданиях малой
этажности), то наличие их может оказаться опасным. В таких случаях
приходится увеличивать толщину стены.
§ 111. ЗАДАЧИ
1.	Найти при помощи построения Понселе давления на подпорные стены
(рис. 456,а). (Сравнить результаты. Принять:
7	= 1,7 г/ж»; ср = 35°; <р0 = 10°.
2. Найти при помощи построения Понселе давление на подпорную стену
(рис. 456,6) для случаев:
1)	7=1,8 т/мэ\ ср = 25°; ср0 =	;
2)	7=1,8 т/м*\	?	=	40°;	ср0	=	-у
330

3.	Определить коэффициент устойчивости на опрокидывание подпорной стены око-
ребра А (рис. 457) для следующих данных:
р-3 т/м г С
Ъсл = 2,2 т/м3; 7гР = 1,7 r/ж3; <р = 30°; <р0 = 0.
4.	Для трех вариантов подпорной стены
(рис. 458) подобрать ширину а так, чтобы
коэффициенты устойчивости на опрокидывание
около ребра А равнялись 1,6, и сравнить объ¬
емы кладки. Учесть вес грунта на уступах.
Принять:
7кл = 1,7 т/м3; тгР =1,6 т/м3; <р = 35°; ср0 = 0.
5.	Найти коэффициенты устойчивости
подпорной стены (рис. 459) на опрокидывание
около наружного (ребра фундамента и на сдвиг
по основанию (без учета отпора).
Принять: 7КЛ = 2,2 т/м3; тгр =1.5 т/м3; <р = 30°; <р0 = 0; коэффициент трения
по основанию /=0,6.

ОГЛАВЛ ЕН ИЕ
Предисловие			5
Введение 	:		6,
Глава I. ‘Общие сведения
§	1.	Задачи статики сооружений		10*
§	2.	Классификация расчетных схем сооружений		10
§	3.	Примеры расчетных схем сооружений		12
§	4.	Нагрузки 		16.
Глава II. Исследование неизменяемости плоских систем
§	5.	Изменяемые и неизменяемые системы.	Степень свободы		17
§	6.	Анализ геометрической структуры		20
§ 7. Задачи	а 24
Глава III. Многопролетные статически определимые балки
§ 8. Типы балок	25
§ 9. Аналитический способ расчета		26
§ 10. Графический способ расчета	29
§ 11. Узловая нагрузка		32
§ 12. Понятие о линиях влияния		33
§ 13. Линии влияния для однопролетных балок	33
§ 14. Линии влияния для многопролетных статически определимых балок ...	38
§ 15. Кинематический опособ построения линий	влияния	40
§ 16. Определение усилий по лициям влияния		43
§ 17. Характеристика многопролетных балок	47
§ 18. Задачи 		49
Глава IV. Трехшарнирные арки
§ 19. Общие сведения	50*
§ 20. Аналитический способ расчета		52
§ 21. Пример расчета арки		61
•	§ 22. Графический способ расчета		63
§ 23. Линии влияния		66
§ 24. Характеристика трехшарнирных арок. Примеры применения	‘	68
§ 25. Задачи		 . .				69
Глава V. Статически определимые балочные фермы
§ 26. Общие сведения			70
§ 27. Поверка неизменяемости ферм	72
§ 28. Аналитический способ расчета 		75
§ 29- Пример расчета фермы		80
§ 30. Графический способ расчета		82
§ 31. Линии влияния			87
§ 32. Анализ балочных ферм различных типов	92
§ 33. Задачи		98
Глава VI. Трехшарнирные арочные фермы
§ 34. Общие сведения		99
§ 35. Расчет трехшарнирных арочных ферм	101
§ 36. Комбинированные системы	104
§ 37. Задачи			107
332

Глава VII. Висячие и вантовые фермы
§ 38. Висячие ферГмы
108
§ 39. Вантовые фермы	* ■ * « Ш
Глава VIII. Определение перемещении в упругих системах
§ 40. Общие сведения. Работа внешних сил		 J J4
§ 41. Работа внутренних сил	*	{1°
§ 42. Зависимость между работой внешних и внутренних сил
§ 43. Общая формула для определения перемещений		 * Ш
§ 44. Определение перемещений в статически определимых прямолинейных
и криволинейных брусьях	*26
§ 45. .Вычисление интеграла I ^kMicIx помощи ЭПЮр	129
J Е\
§ 46. Определение перемещений от действия изменения температуры'	134
§ 47. Замечания к построению эпюр в статически определимых системах .	.	.	135
§ 48. Определение перемещений в статически определимых фермах	138
§ 49. Задачи	139
Глава IX. Понятие о статически неопределимых системах
§ 50. Виды статически неопределимых систем. Способы их расчета	141
§ 51. Степень статической неопределимости	143
§ 52. Свойства статически неопределимых систем	145
§ 53. Задачи	146
Глава X. Расчет рам способом сил
§ 54. Общие сведения	148
§ 55. Основы расчета рам способом сил. Расчет простейших однажды статиче¬
ски неопределимых рам	:	150
§ 56. Пример расчета простейшей рамы способом сил	163
§ 57. Расчет более сложных рам	155
§ 58. Построение эпюр поперечных и продольных сил	160
§ 59. Примеры расчета более сложных рам	165
§ 60. Проверка правильности построения эпюр	171
§ 61. Упрощения расчета рам. Применение жестких консолей	172
§ 62. Групповые неизвестные	177
§ 63. Пример расчета рамы при помощи групповых неизвестных	180
§ (64. (Преобразование нагрузок	183
§ 65.	Расчет	рам	на действие температуры	186
§ 66.	Расчет	рам	на осадку опор	188
§ 67. Задачи	: :	190
Глава XI. Расчет рам способом деформаций
§ 68. Основы расчета рам способом деформаций	192
§ 69. Определение реакций в узлах	195
§ 70.	Расчет	рам	с несмещающимися узлами	200
§ 71.	Расчет	рам	со смещающимися узлами	203
§ 72. Примеры расчета рам способом деформаций	207
§ 73. Понятие о комбинированном и смешанном способах расчета	211
§ 74. Задачи	214
Глава XII. Приближенные способы расчета рам
§ 75. Понятие о приближенных способах расчета рам	216
§ 76. Простейшие способы расчета одноэтажных (одноярусных) рам на верти¬
кальную нагрузку
§ 77. Простейший способ расчета многоэтажных (многоярусных) рам на
вертикальную нагрузку
§ 78. Более точный способ расчета рам на вертикальную нагрузку .	. .
§ 79. Приближенный способ расчета рам на горизонтальную нагрузку .
§ 80. Общий порядок расчета рам. Выбор способа расчета
218
221
224
227
231
Глава XIII. Статически неопределимые арки
§81. Общие сведения	234
§ 82. (Расчет двухшарнирных арок	236
333

§	83.	Расчет бесшарнирных арок	240
§	84.	Примеры расчета арок		 .	244
§	85..	Приближенные способы расчета арок			251
§	86,	Задачи 	»	256
Глава XIV. Статически неопределимые фермы
§	87.	Расчет статически неопределимых ферм . 		258
§	88.	Расчет шпренгельных балок		 .	260
§	89.	Задачи .	.			261
Глава XV. Пространственные системы
§	90.	Понятие о пространственных системах . 		262
§	91.	Цилиндрические своды			262
§ 92. Крестовые своды .				 , ,	263
§	93.	Сомкнутые своды		 ,	268
§	94.	Цилиндрические своды-оболочки	271
§	95.	Складки	274
§	96.	Купола 	280
§	97.	Пространственные фермы	287
§	98.	Пример расчета пространственной фермы	292
Глава XVI. Подпорные стены
§	99.	Понятие о сыпучем теле 		297
§	100.	Теория Кулона .			299
§	101.	Теоремы Ребхана	303
§	102.	Построение Понселе	, , , 305
§	103.	Распределение давления по высоте. Эпюра напряжений	308
§	104.	Влияние нагрузки, расположенной на поверхности сыпучего тела . . . 310
§	105.	Частные случаи. Ломаное очертание ограждающей поверхности. Слоистое
строение сыпучего тела	* ...	311
§	106.	Формулы для определения	давления	сыпучего	тела	. 		314
§	107.	Пассивное давление — отпор сыпучего	тела	316
§	108.	Расчет- подпорных стен на	устдйчивость	319
§	109.	Расчет подпорных стен на	прочность.	Кривая	давления	325
§ 110. Типы профилей подпорных стен	329
§ 111. Задачи .				 , . 330

КУРС СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Издание второе
Б. Н. Жемочкин, Д. П. Пащевский
‘ ЧАСТЫП
СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ
* * *
Госстоойиздат
Москва, Третьяковский проезд, д. 1
*	* •
Редактор издательства Г. Н. Вилков
Художник Е. Б. Гордиенко
Технический редактор Я. И. Рудакова
Сдано в набор 27/III 1959 г. Подписано к печати 8/IX 1959 г.
Т10115 Бумага 70x108 Vie =10,5 бум. л.—28,77 печ. л. (23,5уч.-изд. л.)
Тираж 12000 экз. Изд. № 1—3059 Зак. № 842
Цена 8 р. 25 к. + переплет № 7—1 р. 50 к.
Типография № 1 Государственного издательства литературы
по строительству, архитектуре и строительным материалам,
г. Владимир

ОПЕЧАТКИ
is
52
Строка
Напечатано
Следует читать
19
5 сверху
£оп
28
рис. 30
У балки FG должно быть е)
72
24 сверху
(35) должно быть опущено на 2 строки
77
рис. 99,а
В панели III должно быть £/3
рис. 99,б
Плечо усилия 02 должно быть г2; длина второй панели
должна быть d
рис. 99,г
Усилие в раскосе — D3, угол между направлением раскоса
и вертикалью — а
83
2 сверху
Ra Й RB j
I Ra И Rb
88
рис. 111
Д,
Ордината у линии влияния Оа должна быть —
Гг
105
22 сверху
к
к
109
рис. 133
Около точки в середине арк:
н должно быть С', а не ОС'
127
10 снизу
середине, консоли
середине консоли
135
рис. 163
Высота должна быть 4 м
У нижней стрелки должно быть -у—
*35
139
рис. 168,6
157
4 сверху
6ЗР 1
1 Д3Р
170
рис. 220
В левом верхнем утлу должно быть 10,37
183
рис. 237,а
Вверху должно быть 47 40
193
рис. 257,а
Вверху у стрелки должно быть гц
195
17 снизу
Продолжительными |
Положительными
208
рис. 283
В эпюре | 3 | ордината должна быть 7,2
210
рис. 286
В эпюре ]~р\ у стрелки слева должно быть RaP, а не Rag
218
1 снизу
Ч_
ih
Jl
h
226
рис. 311
Вверху должна быть ордината 2,1
рис. 310
У третьей эпюры сверху должно быть справа 4*0,9*1 =»3,6;
Ы22
у четвертой эпюры сверху должно быть справа —12
259
299
7 сверху
7 снизу
бесконечо
Д1 р
бесконечно
312
1 сверху
а’Ь2Ь[
а'Ь2Ь2
312
рис. 434
Справа должно быть Ь\ а не
328
14 снизу
1