Laurent Schwartz

Laurent Schwartz
PROhpSSEt ft A L FCOLE POI YTFCHNIQUE
Théorie
des
distributions
NOUVELLF EDITION, ENTIEBFMFNT CORRIGEE REFOVDIE ET AUGMENTÉE

La théorie des distributions a paru d'abord en deux volumes dans les
Publications de l'Institut de Mathématique de l'Université de Strasbourg
de la collection Actualités scientifiques et industrielles.
Le tome I a été publié en 1950 et a été réédité avec des correclionsen 1957 :
le tome II, publié d'abord en 1951, a été réédité en 1959 et en 1961.
La présente édition, entièrement revue et corrigée par l'auteur, esl auijmenlée
des chapitres VIII et IX,
Nouveau tirage, décembre 1978
ISBN 2 7056 5551 4
(c, HERMANN, PARIS 1966
Tous droits de reproduction, même fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, y compris photographie,
photocopie, microfilm, bande magnétique, disque, ou autre, réservés pour tous pays.
Toute reproduction, même partielle, non expressément autorisée constitue une contrefaçon passible des
peines prévues par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d'auteur.

TABLE
Introduction 3
CHAPITRE I DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES
Sommaire 13
§ 1. Une généralisation de la notion de ponction : la notion de
MESURE 14
Notations 14
Mesures 15
Supports 17
Fonctions et mesures 17
Restriction à un ouvert 19
§ 2. Généralisation de la notion de mesure. Les distributions. .. 20
Doublet 20
L'espace (fD) 21
Partition de l'unité 22
Les distributions 24
Distributions et mesures 25
§ 3. Principe de localisation. Support d'une distribution 26
Distribution nulle dans un ouvert 26
Principe du recollement des morceaux 27
Support d'une distribution 28
§ 4. Distributions positives 28
§ 5. Généralisations diverses 30
Distributions vectorielles 30
Distributions sur une variété indéfiniment différentiable 31
CHAPITRE II DÉRIVATION
Sommaire 33
§ 1. DÉFINITION DE LA DÉRIVÉE 34
Dérivée d'une fonction régulière 34
Dérivée d'une distribution 35

§ 2. Exemples de dérivation. Cas d'une variable (n = 1) 36
Fonctions discontinues. Dérivées successives de la fonction
d'Heaviside Y(x) 36
Dérivées successives d'une fonction régulière par morceaux... 37
Pseudo-fonctions. Parties finies de Hadamard 38
Pseudo-fonctions monômes 41
§ 3. Exemples de dérivation. Cas de plusieurs variables 43
Fonctions discontinues sur une surface 43
Fonctions de la distance 44
Fonctions méromorphes 48
Distances hyperboliques 49
Dérivations sur une variété 51
§ 4. Primitives des distributions. Cas d'une variable 51
Primitives d'une distribution 51
Primitives d'une mesure 53
§ 5. Primitives des distributions. Cas de plusieurs variables 54
Distribution indépendante de x1 55
Recherche des primitives 56
Fonctions ayant pour dérivée une fonction 57
§6. Distributions dont on connaît plusieurs dérivées partielles. 59
Distributions dont les dérivées sont des fonctions continues... 61
CHAPITRE III ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS
STRUCTURE DES DISTRIBUTIONS
Sommaire 63
§ 1. L'espace topologique (2>) 64
La topologie des (DK) 64
La topologie de (D) 65
Rapports entre les topologies des (D^) et la topologie de (D) .. 66
§ 2. Les ensembles bornés dans (D) 68
Topologie d'un dual 68
Ensembles bornés dans (D) 69
Ensembles bornés et ensembles compacts 70
§ 3. L'espace topologique (3)') des distributions 71
Convergence dans (3)') 71
Propriétés de la topologie 71
Ensembles bornés et ensembles compacts dans (3)'); réflexivité 74
Un théorème d'approximation 75
Un critère de convergence 75
§ 4. Définition topologique de la dérivation 77

TABLE V«
Dérivées premières 77
Dérivées d'ordre quelconque 78
Jb'c actions monotones 79
§ 5. La dérivation, opération linéaire continue 80
Continuité de la dérivation 80
Critère de convergence 81
§ 6. Structure locale d'une distribution 82
Distributions et dérivées des fonctions continues 82
Ensembles bornés de distributions 85
Suites convergentes de distributions 86
§ 7. Distributions a support compact 87
Définition de T (9) lorsque 9 a un support quelconque 87
Espaces (6), (£') 88
Dualité entre (6) et (£') 89
Structure d'unp distribution à support compact 90
§ 8. Structure globale d'une distribution 95
§ 9. Supports réguliers 98
§ 10. Structure des distributions dont le support est contenu
dans une sous-variété 100
Distributions à support ponctuel 100
Distributions dont le support est un sous-espace vectoriel de R*. 100
Distributions portées par une sous-variété indéfiniment difïé-
rentiable U* régulièrement plongée dans une variété
indéfiniment diffërentiable V" 102
CHAPITRE IV PRODUITS TENSORIELS DE DISTRIBUTIONS
Sommaire 104
§ 1. Intégrales dépendant d'un paramètre 104
Position du problème 104
Continuité par rapport au paramètre 105
Différentiabilité 105
§ 2. Produit tensoriel d"e 2 distributions 106
§ 3. Unicité, existence, calcul du produit tensoriel 108
Un théorème d'approximation. Unicité du produit tensoriel... 108
Existence et calcul du produit tensoriel 109
§ 4. Propriétés du produit tensoriel 110
Support 110
Continuité 110
Dérivation 112
Un théorème d'approximation * 112

§ 5. Exemples 113
Distributions indépendantes de xl 113
Extension à l'espace d'une distribution définie sur un sous-
espace vectoriel 114
Fonctions d'Heaviside et mesures de Dirac 114
CHAPITRE V MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
Sommaire 116
§ 1. Produit multiplicatif d'une distribution par une ponction
indéfiniment derivable 117
Impossibilité de définir le produit de 2 distributions
quelconques 117
Définition 117
§ 2. Propriétés du produit multiplicatif 118
Support. Ordre 118
Continuité 119
Dérivation 120
Produit tensoriel et produit multiplicatif 120
Produit de plusieurs distributions 120
§ 3. Exemples 121
§ 4. Problème de la division, cas d'une variable (n = 1) 123
Position du problème 123
Division par x 123
Division par x' 125
Division par une fonction H 125
§ 5. Esquisse du problème de la division dans le cas de
plusieurs VARIABLES 126
§ 6. Applications aux équations différentielles et aux dérivées
partielles 128
Définition 128
Équations différentielles 130
Une propriété des solutions des équations aux dérivées
partielles 132
Problème de Cauchy 133
Solution élémentaire 135
Noyau élémentaire 138
Régularité des solutions des systèmes elliptiques 142
CHAPITRE VI PRODUIT DE CONVOLUTION
Sommaire 149
§ t. Définition du produit de convolution usuel 150
Produit de convolution de deux fonctions 150
Convolution d'une fonction et d'une mesure 152
Convolution de deux mesures -.... 152

TABLE IX
§ 2. Produit de convolution de deux distributions sur R* 153
Définition fonctionnelle. Cas de 2 fonctions 153
Cas de 2 distributions 154
Restriction sur les supports 154
Existence et calcul 155
§ 3. Propriétés du produit de convolution 156
Support 156
Continuité 157
Produit de convolution et produit tensoriel 158
Associativité, commutativité 158
Convolution, translation, dérivation 159
Convolution, combinaison de translations 161
Opérations permutant avec les dérivations 162
Polynômes de dérivation 164
§ 4. Régularisation des distributions 165
Définition 165
Continuité 167
Produit scalaire et trace du produit de convolution 167
Formules 169
§5. Produit de convolution dans le cas de supports non compacts. 170
Définition et propriétés 170
Commutativité, associativité 170
Les opérations du calcul symbolique à une variable (n = 1)... 171
Application : dérivation d'ordre non entier 174
Les opérations du calcul symbolique à plusieurs variables 176
§ 6. Application du produit de convolution a l'étude de
l'intégration 180
Application à la recherche des primitives 180
Distributions dont les dérivées premières sont des mesures.... 181
Conditions de Lipschitz 185
Dérivées d'ordre supérieur 188
Problèmes posés 191
§ 7. Application du produit de convolution a l'étude de la
régularité d'unk distribution ou d'une famille de distributions 192
Caractérisation des mesures et des distributions d'ordre fini... 192
Remarques et conséquences 193
Ensembles bornés de distributions 194
Suites convergentes de distributions 197
Application : caractérisation des fonctions analytiques 198
§ 8. Nouveaux espaces de distributions, les (3)^,) 199
Les espaces (DO 199
Les espaces de distributions (Dij 200

Caractérisation des distributions de (3>J„) 201
Remarques 202
Dualité entre (&) et (0>ij 202
Multiplication et convolution dans les (1)'L.) 203
Autre définition des distributions bornées. Extensions 205
§ 9. Distributions presque-périodiques 206
Définition 206
Opérations et propriétés 206
Moyennes et convolution 207
Développement de Fourier 208
§ 10. Application aux équations aux dérivées partielles et aux
équations intégrales 208
Équations de convolution 208
Propriétés générales des solutions des équations de convolution 210
Solution élémentaire 210
Utilisation de la solution élémentaire 211
Potentiels newtoniens. Formule de Poisson 214
Analyticité des solutions des systèmes elliptiques homogènes . 215
Cas particuliers : fonctions harmoniques et holomorphes 216
Inéquations de convolution. Formule de décomposition de
F. Riesz 218
Applications aux fonctions surharmoniques 220
Remarques et généralisations 221
CHAPITRE VII TRANSFORMATION DE FOURIER
Sommaire 223
§ 1. Séries de Fourier 22'«
Distributions sur le tore 224
Série de Fourier 225
Exemples et applications. 1° Séries de Fourier des fonctions
elliptiques 228
2° Équations aux différences finies 228
Distributions sur le tore et distributions périodiques sur R"... 229
§ 2. La transformation de Fourier usuelle dans l'espace a n
DIMENSIONS 231
Transformation de Fourier usuelle 231
Cas des distributions 232
§ 3. L'espace ICJ) des fonctions indéfiniment dérivables a
décroissance rapide sur R" 233
L'espace <$) 233
Interprétation géométrique 235

TABLE XI
§ 4. L'eSPACB If}) DES DISTRIBUTIONS A CROISSANCE LENTE QX5
TEMPÉRÉES 237
If}), dual de $) 237
Interprétation géométrique de if}) 238
Caractérisation des distributions tempérées par leur
croissance 239
Mesures positives tempérées 241
Un théorème de prolongement 243
§ 5. Opérations algébriques dans l'espace (Çf) des distributions
TEMPÉRÉES 243
Les fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente,
l'espace (Ou) 243
Les distributions à décroissance rapide, l'espace (0'0) 244
Remarque importante 244
La multiplication dans If}) 245
La convolution dans ((}) 246
§6. Transformation de Fourier des distributions tempérées 248
Transformation de Fourier et automorphismes de X" et Y"... 251
Remarque 252
§ 7. Exemples 253
Exemple 1 253
Exemple 2. Série et intégrale de Fourier 253
Exemple 3. Transformée de Fourier d'une mesure 254
Exemple 4. Transformation de Kourier dans les (3"0 256
Exemple 5. Fonctions de la distance 257
Exemple 6. Fonctions méromorphes 260
Exemple 7. Transformation de Fourier des Polynômes d'Her-
mite 260
Exemple 8. Distances hyperboliques 263
Exemple 9. Un calcul par intégrations successives 266
§ 8. Propriétés de la transformation de Fourier 268
Produits directs 268
Multiplication et convolution 268
Exemples 270
Distributions à spectre compact. Théorème de Paley-Wiener
généralisé 271
§ 9. Distributions de type positif 274
Fonctions > 0 '. 274
Distributions > 0 '275
Distributions > 0 et mesures > 0 276
Opérations sur les distributions > 0 277
Structure des distributions » 0 279
Exemples 280

§ 10. Applications aux équations aux dérivées partielles et aux
équations intégrales 281
Transformation de Fourier des équations de convolution 282
Équations de convolution homogènes 282
Recherche d'une solution élémentaire 286
Exemple 1. Équations elliptiques 286
Exemple 2. Équations de Laplace itérées 288
Exemple 3. Équation de la chaleur itérée 288
Exemple 4. Équations hyperboliques 290
Exemple 5. Équations intégrales 291
Exemple 6 292
Exemple 7. Théorème de Fredholm 293
Résolution d'équations avec seconds membres tempérés
quelconques 296
Exemple 1 296
Exemple 2 296
Conséquences de la solution du problème de la division 298
CHAPITRE VIII TRANSFORMATION DE LAPLACE
Sommaire 299
§ 1. Produits d'une distribution par des exponentielles 300
§ 2. L'espace de distributions^, (F) associé a un ensemble
convexe NON VIDE r DE S" 303
§3. Transformation de Laplace suRyî (r) 305
Remarques diverses 307
§ 4. Étude de support d'une distribution à partir de sa transformée de
Laplace 308
. CHAPITRE IX COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
Sommaire 312
§ 1. Formes paires et impaires sur une variété indéfiniment diffé-
rentiable '. . 313
Formes ordinaires ou paires 313
Formes impaires ou tordues 315
Formes paires et impaires sur une variété orientée 317
Produits extérieurs de formes 318
Formes sur R" 318
1 mage réciproque d'une forme 320
Co.iomo.ogie des formes C" 321
§ 2. Courants pairs et impairs sur une variété 322
Courants 322
Exemples 323

TABLE
Courants "3s 0 337
Courants pairs et impairs sur une variété orientée 337
Courants et distributions 338
Sections-distributions d'un espace fibre à fibres vectorielles ... 339
§ 3. Opérations élémentaires sur les courants 341
Première opération : produit extérieur d'un courant par une
forme C" 341
Deuxième opération : multiplication intérieure par un champ
C-r de multivecteurs 343
Troisième opération : cobord d'un courant 343
Cobord d'un courant sur une variété V avec bord 350
Quatrième opération : dérivation d'uncourant par une
transformation infinitésimale 351
Théorèmes de de Rham en cohomologie 353
§4. Image directe d'un courant par une application C" 362
Cas de variétés orientées 369
Cas d'un difféomorphisme. Transport de structure 370
§5. Changement de variables. Images réciproques de courants. .. 373
Changements de variables 373
Image directe des formes impaires indéfiniment différentiables. 374
Image réciproque des courants pairs... .■ 374
Propriétés élémentaires de l'image réciproque : transitiviste,
support, multiplication, cobord 375
Cas où 11 est un difféomorphisme local 378
Image réciproque des courants dans le cas d'une application de
rang n de V dans V 390
Applications et exemples 391
§ 6. Transformation de Fourier des courants tempérés sur un
espace vectoriel de dimension finie 396
Index bibliographique 401
i.ndexterminologiqc.e 415
Index des notations 419

INTRODUCTION
1. Il y a plus de 50 ans que l'ingénieur Heaviside (x) introduisit
ses règles de calcul symbolique, dans un mémoire audacieux où des
calculs mathématiques fort peu justifiés sont utilisés pour la solution
de prob'èmes de physique. Ce calcul symbolique, ou opérationnel,
n'a cessé de se développer depuis, et sert de base aux études
théoriques des électriciens. Les ingénieurs l'utilisent systématiquement,
chacun avec sa conception personnelle, avec la conscience plus ou
moins tranquille ; c'est devenu une technique « qui n'est pas rigou^
reuse mais qui réussit bien ». Depuis l'introduction par Dirac (*) de
la fameuse fonction S(x), qui serait nulle partout sauf pour x = o et
&(x)dx = -j- l,les
formules du calcul symbolique sont devenues encore plus
inacceptables pour la rigueur des mathématiciens. Ecrire que la fonction
d'Heaviside Y (x) égale à o pour x < o et à 1 pour x ^> o a pour
dérivée la fonction de Dirac 8 (x) dont la définition même est
mathématiquement contradictoire, et parler des dérivées S' (x), S" (x), ...
de cette fonction dénuée d'existence réelle, c'est dépasser les limites
qui nous sont permises. Comment expliquer le succès de ces
méthodes ? Quand une telle situation contradictoire se présente, U
est bien rare qu'il n'en résulte pas une théorie mathématique
t1) Heaviside [1 ]
(*) Dirac [11

nouvelle qui justifie, sous une forme modifiée, le langage des
physiciens ; il y a même là une source importante de progrès des
mathématiques et de la physique. En fait de nombreuses
justifications du calcul symbolique ont été réalisées ; les principales sont
dues à Carson et van der Pol (1). Mais, si elles sont
mathématiquement parfaitement rigoureuses, elles ne satisfont pas les physiciens,
car ou bien elles passent par la transformation de Laplace, ce qui
modifie complètement la question, ou bien elles éliminent la
fonction 8 et ses dérivées et interdisent des méthodes dont le succès était
incontestable.
2. Nous avons généralisé la notion de fonction, d'abord par celle
de mesure, puis par celle de distribution. S sera une mesure et non
une fonction, 8' une distribution et non une mesure. Il y a d'ailleurs
bien longtemps que les théoriciens du potentiel magnétique utilisent
les doublets ou dipôles, les feuillets ou doubles couches, etc.. ;
mais ce sont là des êtres à part, de définition d'ailleurs douteuse,
sans liaison avec ceux du calcul symbolique des électriciens.
Notre chapitre I donne une définition générale des distributions.
3. Il est ensuite nécessaire d'établir les règles de calcul sur les
distributions de façon à concilier les règles usuelles du calcul
différentiel et celles du calcul symbolique. Et avant tout, il faut
introduire une bonne définition de la dérivée. Il est assez curieux que
cette nouvelle définition ait été peu à peu introduite, tout à fait
indépendamment des considérations précédentes, dans la théorie
des équations aux dérivées partielles. On peut écrire l'expression
générale d'une solution de l'équation aux dérivées partielles
?2U D2U
—-g- — ^-j == o sous la forme U = /(x -f- y) -f- g(x — y) ; mais une
telle fonction U ne peut vérifier l'équation aux dérivées partielles
que si f et g sont deux fois dérivables. Dans le cas contraire, on
peut convenir de dire que U est « solution généralisée » de
l'équation. Des définitions générales de ces solutions généralisées ont été
données par divers auteurs, assez indépendamment les uns des
autres (elles coïncident avec notre définition quand la solution
généralisée est une fonction) : Leray (2) (dans sa thèse, sur les
l1) Carson [1]; van der Pol et Niessb.n [1]
(*) Leray [1], p. 204-209

INTRODUCTION
5
solutions- « turbulentes > des équations aux dérivées partielles),
Hilbert-Courant (*), Bochner (*) (« solutions faibles ») et moi-
même (*). Remarquons qu'on définit ainsi U comme solution géné-
rahsée de —-^ — —y = o sans donner pour cela un sens précis
;>*U 5*U
à —j et à YT • Dans le même ordre d'idées, également à propos
d'équations aux dérivées partielles, Soboleff, Friedrichs et,
récemment, Kryloff (*) ont étudié une « dérivée généralisée » d'une
fonction (l'a définition est identique à la nôtre, mais limitée au cas où
la dérivée généralisée de la fonction est elle-même une fonction).
Notre, chapitre II définit la dérivation des distributions et, ses
propriétés. Nous retrouvons par là d'une façon naturelle les « parties
finies » introduites par M. Hadamard (8) également dans la théorie
des équations aux dérivées partielles : les parties finies des
intégrales divergentes définissent de nouvelles distributions, assez
différentes des couches multiples de la théorie du potentiel.
4: La théorie de la série et de l'intégrale de Fourier a toujours
introduit de grandes difficultés et nécessité un appareil
mathématique important pour mettre au point les questions de convergence,
La série de Fourier a engendré le développement des procédés de
sommation, sans que ceux-ci aboutissent à une solution satisfaisante
puisqu'il faut toujours distinguer entre séries de Fourier et séries
trigonométriques qui ne sont pas des séries de Fourier, Pour
l'intégrale de Fourier, l'introduction des distributions est inévitable, sous
une forme directe ou camouflée. Les méthodes de Bochner, de
Carleman (transformée de Fourier analytique), de Beurling
(transformée de Fourier harmonique) (*) sont très proches des nôtres.
P) Hilbert-Courant [1], p. 469 tome II
j») Bochner [2]; et [3] p. 158-182.
(*) Schwartz [5]. Cet article est juste antérieur aux distributions et est
l'origine même des distributions
(*) Sobolepp [1], [2]; Friedrichs [1]; Kryloff [1]. Certains articles
signalés dans les notes précédentes sont postérieurs aux distributions, mais
les auteurs ignoraient les distributions par suite de la lenteur de l'impression,
des communications internationales, ou de ma publication. Voir aussi les
fonctionnelles de Soboleff [4J
(*) Hadamard [1], p. 184-215
(•) Bochner [1J, p. 110-144; Carleman [1], p. 36-52; Beurling [1],
p. 9-14

b
Les « distributions » de Bochner sont, au fond, définies comme
dérivées de fonctions continues n'ayant pas nécessairement de
dérivée usuelle ; notre théorème XXI du chapitre III exprime justement
qu'une distribution est, localement, une dérivée d'une fonction
continue. Il nous paraît bien préférable d'avoir cette propriété
plutôt comme théorème que comme définition (à cause de
l'indétermination de l'ordre de dérivation et de la fonction continue, surtout
pour plusieurs variables) (1). Notre chapitre VII traite de la
transformation de Fourier des distributions : le résultat ne laisse rien
à désirer au point de vue de la continuité et de la réciprocité des
opérations 9" et S*,
5. Enfin il est un domaine tout différent où les distributions
jouent aussi un rôle. En topologie algébrique, l'homologie d'une
variété différentiable est donnée soit par les « chaînes singulières »,
soit par les formes différentielles, avec d'un côté l'opération « bord »,
de l'autre l'opération « différentielle extérieure ». D'où l'idée
naturelle de faire une synthèse entre ces deux catégories d'êtres. C'est
M. de Rham (*) qui eut l'idée d'introduire les « courants »,
comprenant à la fois comme cas particuliers les chaînes et les formes,
et une opération de dérivation qui était (au signe près
éventuellement) le bord pour une chaîne et la différentielle extérieure pour une
forme. La théorie des courants est simplifiée et perfectionnée par
celle des distributions-formes différentielles sut une variété, qui
englobe aussi les résultats de P. Gillis (*). Une théorie complète des
courants (au sens : distributions-formes différentielles) est exposée
dans un livre récent de de Rham (*), Nous traitons des courants
au chapitre IX de cette nouvelle édition.
6. Notre enumeration des ancêtres ou proches parents des
distributions est certainement incomplète (par exemple les surfaces
généralisées de L, C. Young (8) utilisées en calcul des variations,
les fonctionnelles analytiques de Fantappié (*), les opérateurs de
Mikusinski (*), procèdent d'idées analogues).
f») Les travaux de H. König fl] et S. Silva [1] utilisent à nouveau la
définition de Bochner pour une introduction purement algébrique des distributions.
lx) de Rham [1], p2]~
(») Gillis [1]
(*) de Rham [3]. Voir aussi KoDAiRA-de Rham [1]
(*) Young [1]
(*) Fantappié [1]
C) Mikusinski [1], £2], entre autres

INTRODUCTION
7
Nous voudrions avoir montré par ces exemples que Ta théorie des
distributions n'est pas absolument une « nouveauté
révolutionnaire ». Beaucoup de lecteurs y retrouveront desidées qui leur étaient
familières. Cette théorie englobe, de façon à la fois simple et correcte,
des procédés très hétérogènes et souvent incorrects utilisés dans des
domaines très divers ; c'est une synthèse et une simplification.
Naturellement cette synthèse était entièrement à faire. Il fallait
définir correctement ces êtres nouveaux, les distributions, les
étudier assez systématiquement pour pouvoir leur donner droit de cité
dans l'usage courant. Il y a plus. Dans les exemples que notis avons
donnés, les distributions apparaissent de façon généralement peu
visible dans des raffinements destinés aux spécialistes (et c'est ce
qui fait que les mêmes distributions, utilisées dans des théories
différentes, n'étaient pas reconnues comme identiques parfois par
le même auteur). Nos distributions ont au contraire un caractère
très élémentaire qui leur permet de jouer le rôle de fondement, au
début de chaque théorie. Nous pensons que, du point de vuepédago-
gique, les équations aux dérivées partielles, les potentiels et
fonctions harmoniques, le produit de convolution, la série et l'intégrale
de Fourier, ont avantage à être étudiés par les débutants d'abord
sous l'angle des distributions. En particulier dans les chapitres où
nous traitons de ces questions, bien peu de connaissances préalables
sont exigées. Nous avons d'ailleurs publié un cours de Méthodes
Mathématiques de la Physique de Licence (Schwartz [15]),
contenant un exposé élémentaire des distributions et de leurs
principales propriétés, pour les ingénieurs et physiciens.
7. Cet ouvrage n'est pas un mémoire, c'est un livre, un traité
des distributions. C'est ce qui explique sa longueur. De ce point de
vue il n'est même pas assez long ; bien des propriétés sont énoncées
sans démonstration. Notamment il arrive souvent que beaucoup
de théorèmes se démontrent par des méthodes très analogues, avec
seulement de petites modifications techniques ; la démonstration ne
figure alors qu'une fois, mais bien entendu, si nous laissons au
lecteur le soin de faire les modifications nécessaires, nous n'avons
rien énoncé sans l'avoir, pour nous, complètement démontré. La
démonstration des théorèmes importants est faite dans tous les
détails, celle des théorèmes plus fins et plus secondaires est faite
plus rapidement ; on aboutit parfois ainsi à démontrer en détail ce

8
(fui est facile et à esquisser seulement ce qui est difficile, ce qui est
un peu paradoxal, mais on y gagne une plus grande clarté de l'exposé,
une vue d'ensemble plus aisée. Nous avons de même préféré à
des énoncés de théorème très forts (et par là incompréhensibles) des
énoncés plus simples et moins forts ; les raffinements figurent en
remarque ou dans le cours de la démonstration.
Il y a lieu de signaler que, dans les exemples, nous n'avons pas
explicité les calculs. Certains sont faits dans des ouvrages
classiques (*), d'autres ne sont faits nulle part. Nous aurions dû pour
les faire allonger beaucoup cet ouvrage, alors que les seules
difficultés sont d'ordre technique.
Des sommaires au début de chaque chapitre indiquent les
résultats les plus importants, les autres pouvant être passés en première
lecture ou n'ayant qu'une valeur de document à consulter au
moment de s'en servir.
Les paragraphes et théorèmes sont numérotés par chapitre. Les
formules ont une triple numérotation indiquant successivement le
chapitre, le paragraphe et le numéro de la formule.
8. Toutes les parties d'aspect théorique de ce livre exigent d'assez
bonnes connaissances de topologie générale et d'analyse
fonctionnelle (espaces vectoriels topologiques). Les techniciens pourront
négliger ces questions. Il y a de ce côté une difficulté sérieuse ;
les espaces vectoriels rencontrés ici 11e sont jamais des espaces
de Banach, mais des espaces vectoriels complets, localement con -
vexes, à base dénombrable de voisinages (espaces de Fréchet) ou
même plus compliqués (limites inductives d'espaces de Fréchet), et
les duals de ces espaces.
Nous avons dû souvent utiliser des théorèmes, classiques dans
les espaces de Banach, vrais encore dans ces espaces plus généraux,
mais de démonstration non encore publiée lors de la parution de la
première édition de cet ouvrage. Cette lacune est maintenant
comblée, et nous donnerons toujoursdesreferencesprecises.il y a
aujourd'hui, un grand nombre de livres d'analyse fonctionnelle qui
traitent de ces espaces.
9. Il y a lieu à ce sujet de préciser ici le sens de certaines
expressions. Pour être absolument correct, il faudrait utiliser les filtres
(*) Par exemple dans Watson [1].

INTRODUCTION
9
d'H. Cartan (*) dans toutes les questions de convergence. Pour
ne pas alourdir le texte, nous avons employé le langage « naïf ».
Nous dirons : « des distributions T) convergent vers o », comme
s'il s'agissait d'une suite T) (dépendant du paramètre entier / -et
tendant vers o pour / -*■ oo ), mais on devra comprendre qu'i1. s'agit
d'un filtre convergent quelconque. Au contraire certains théorèmes
seront valables exclusivement pour les suites, alors nous dirons:«si
une suite de distributions T/ converge vers o ». Dans beaucoup de
questions pratiques, les suites (ou du moins les filtres à base bornée
ou dénombrable) seront suffisantes, et les théorèmes seront plus
difficiles à démontrer pour les filtres généraux que pour les suites;
alors nous nous bornons parfois à énoncer le théorème pour des
filtres quelconques et à n'écrire la démonstration que pour les suites.
Nous avons dû introduire, pour les formes bilinéaires, la notion
d'hypocontinuité (2) (chapitre III, théorème XI); la olupart des
formes bilinéaires rencontrées "sont hypocontinues, mais non
continues. Vraisemblablement l'hypocontinuité suffit dans toutes les
applications. C'est pourquoi parfois, lorsqu'il y a en outre
continuité, nous l'avons indiqué dans l'énoncé, mais nous n'avons
montré que l'hypocontinuité, plus simple. D'ailleurs dans un
article de Dieudonné-Schwartz (3) figure le moyen de passer de l'une
à l'autre (Toute application bilinéaire hypocontinue de E x F dans
G est continue, si E, F, G, sont tous les 3 des espaces de Frechet ou
tous les 3 des duals d'espaces de Frechet reflexifs).
10. Nos publications antérieures sur les distributions sont des
resumes (*) contenant, sans aucune démonstration, les principaux
résultats. On peut y ajouter le livre de Halperin (8). D'autre part
des articles de König et e Silva (•) donnent la définition et les
propriétés des distributions par une voie algébrique abstraite.
Il ne nous semble pas utile de donner ici une liste des travaux où
sont utilisées les distributions, mais nous indiquerons ceux qui
étudient les distributions elles-mêmes.
i1) Bourbaki [1], chapitre i, f 2, 6.
(*) Nous appelons maintenant hypocontinuité ce que nous appelions
continuité séparée dans la 1" édition.
(*) Dieudonné-Schwartz [1], p. 96, théorème 9.
(») Schwartz [1], [2], [3].
(*) Halperin [1].
(») König [1], e Silva [1].

10
1° Les courants, ou distributions-formes différentielles, sur une
variété indéfiniment différentiable, sont traités en détail dans un.
livre de de Rham (1), où l'on trouvera en outre une étude dest
variétés différentiables elles-mêmes, et des formes harmoniques sur
les espaces de Riemann ; ils font, dans cette nouvelle édition, l'objet
du chapitre IX.
2° Les distributions sur des groupes localement compacts ont été
étudiées par Riss, puis par Bruhat (2)
3° Le changement de variables dans les distributions a été étudié
par Cugiani et Albertoni, Scarfiello(3) et est traité, dans cette
nouvelle édition, au § 5 du chapitre IX.
4° Au sujet de la multiplication des distributions nous signalerons
une note personnelle montrant son impossibilité dans le cas général
(et même dans toute théorie, éventuellement différente de celle des
distributions, mais où existe une dérivation toujours possible et un
élément S (*)),. et un article de König (5), donnant une
multiplication fondée sur des idées toute différentes. Il apparaît bien
aujourd'hui que l'impossibilité générale de la multiplication est une
des principales difficultés mathématiques de la théorie quantiaue
des champs.
5° La transformée de Laplace des distributions est parue
postérieurement à la première édition; elle a été publiée dans le livre en
hommage à Marcel Riesz (•). Nous remercions l'Université de Lund
d'avoir bien voulu nous autoriser à reproduire cet article sous forme
de chapitre vin de cette nouvelle édition:
6° Les noyaux, ou distributions à deux variables en relation avec
les opérateurs, les produits tensoriels topologiques et les espaces
nucléaires, ont été étudiés par Grothendieck et nous-même (7).
7° Les « fonctions généralisées » de Gelfand et son école sont
des extensions des distributions, utlisées notamment dans les
équations aux dérivées partielles. Plusieurs volumes remarquables leurs
sont consacrés et donnent un exposé très riche de leurs propriétés
en même temps que celles des distributions (8).
("■) de Rham [3]
(») Riss {1] Bruhat [1].
(*) Albertoni-CugianiII] Scarfiello [1].
(*) Schwartz [6].
(*) König [2].
(•) Schwartz [7].

INTRODUCTION
11
8° Les fonctionnelles analytiques de Martineau, (*) les
distributions généralisées de Roumieu (,0) et les ultradistributions de
Sato (n) sont des extensions diverses des distributions ou des
théories parallèles, parues postérieurement à la lre édition, et qui
complètent la liste des développements antérieurs ou comtemporaïns,
donnée aux n° 1,2,3,4,5,6. En outre, de nombreux livres modernes
exposent les distributions soit pour elles-mêmes, soit en vue de
certaines applications (,2).
11. Cette troisième édition est identique à la deuxième, en ce
qui concerne les chapitres II à VII; les chapitres VIII et IX sont
nouveaux.
H Schwartz [7], [9], pflrj, [il]; Grothendieck. [1], [2].
(•) Gelfand-Shilov-Graev-Vilenkin [1],
(*) Martineau [1].
("■•) Roumieu [1].
("J Sato [l]
(u) Sans prétendre être exhaustifs, indiquons, en plus de tous ceux qui ont été
cités dans cette page et les précédentes: Arsac[1], A. Friedman [1], B.Friedman
[1],Courant-Hh.b<kt[1], Edwards [1], Erdelyi [1], [2], Garsoux [1], Horman-
DER [3], LlVERMAN fil, MaRINESCU [1], TREVES [1], YOSIDA [1],

CHAPITRE I
Définition et propriétés générales
des distributions
Sommaire Ce chapitre contient les notations et les définitions essentielles
à la compréhension de la suite.
Une fois introduites des notations à 1 variable dans l'espace à n dimensions,
le § 1 introduit les mesures. Une mesure p était autrefois définie comme une
fonction complètement additive d'ensembles, on la définit aujourd'hui comme
une fonctionnelle (1(9) = jf... f 9 dy., sur l'espace ((?) des fonctions 9
continues nulles en dehors d'ensembles compacts. Cette fonctionnelle doit être
linéaire et continue, en un sens précisé p. 16. L'espace des mesures est le
dual (C) de l'espace {&). On définit le support d'une fonction continue 9 et
d'une mesure p (p. 17), support qui s'étendra aux distributions et permettra
des études purement locales. T.a notion de mesure est une extension de la
notion de fonction (p. 17), car on peut biunivoqoement associer la fonction
1(x) localement sommable à la mesure \x de densité j(x), telle que
|i(9) -ff-ftt*) ?<*) dx.
La mesure de Dirac S (p. 19), introduite en mécanique ondulatoire sous le nom
de fonction de Dirac, n'est pas une fonction.
Le1 § 2 définit les distributions. Si l'on veut définir le « doublet » (p. 20)
on est ameué à lui associer la fonctionnelle Tfo) = 9'(o), ce qui suppose 9
derivable. On est ainsi amené à introduire, à la place de ((?), l'espace (2>)
des fonctions 9 indéfiniment dérivables à support compact, espace dont les
théorèmes 1 et II (p- 22) donnent des propriétés qui seront utilisées
constamment dans la suite (densité de fi1) dans (C) et partition de l'unité) ; une
distribution T est alors (p. 24) une fonctionnelle linéaire T(9) définie pour
96 (l$i) et continue en un sens convenable. L'espace des distributions est le
dual (<!>') de (•£). Une mesure et a fortiori une fonction est une distribution
particulière (théorème 111, p. 25).
Le § 3 étend aux distributions la notion de support (p. 28) et de propriété
locale. Le principe de « recollement des morceaux » (théorème IV, p. 27)
permet le passage du local au global : une distribution connue au voisinage de
chaque point est connue dans son ensemble.
Le § 4 étudie les distributions "> 0, qui sont nécessairement des mesures
(théorème V, p. 29), d'où un critère permettant de prouver que certaines
distributions sont des mesures.
Le § 5 est un peu à part. 11 contient des généralisations qui ne sont qu'esquis-

14
sées et ne seront utilisées dans la suite qu'exceptionnellement, sauf toutefois
le (3°), p. 31, dont il sera parfois fait usage.
§ 1 Une généralisation de la notion de fonction
la notion de mesure •
Notations Nous nous proposons de généraliser la notion
fonction complexe f{xlt x„ ... x„) de n variables réelles xv x^
Xn (3.
Appelons Rn l'espace vectoriel de dimension n dont chaque point
x est défini par les n coordonnées xlt x^ ..., xn-
Nous ferons une fois pour toutes les conventions suivantes :
1° x -J- y est le point de coordonnées xx -j- ylf xt -j- y,, ... xn + yn ;
kx (k nombre réel) est le point de coordonnées kxv /rx„ ... kxn-
2° a"Ç> 0 signifiera xx ^> 0, xt > 0, ... x„ ^ o.
x > g signifiera x — y ^ 0.
3° \x\ désignera la norme euclidienne i/xj + x* + ... + x'n; on
l'appellera aussi r s'il n'y a aucune, ambiguïté. [ x — y ] est la distance
euclidienne des points x et y.
Nous désignerons l'élément d'hypervolume dxx dxt... dx„ par àx.
Nous aurons également besoin de simplifier la notation des
symboles de dérivation partielle des fonctions : p sera un système
d'entiers > 0, )plt p» ... pn\- Nous appellerons P le, "plus grand
des entiers plt p„ ... pn (rang de p), et \p \ la somme pt + Pt+ ...
-*- p„ (ordre de p) ; Dp sera alors le symbole de dérivation partielle
,Pl + Pt+"- + Pn
Dp = .
Nous poserons
3 2>n à» ynn
(I. i ; l)
ix 3x1ïxt...*x„ fcp» ax^a-?... ta£
Bien évidemment, p -j- q est le système d'entiers
Pi + ?» Pt + ?» — Pn + qn ;
p^q signifiept > qx, ... p„ ^ q„. Enfin U y aura lieu d'appeler p !
(*) U est d'usage d'utiliser le symbole / pour la fonction, et le symbole
/(*!, ...xn) pour sa valeur au point [xt, ...xn). Nous écrirons cependant parfois,
lorsqu'aucune confusion ne sera possible, : la fonction f(xt, ...xn), au lieu de
la fonction /

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 15
le nombre px ! p, !... pn ! et x* le nombre x^x? ... x%: Le develowje-
ment de Maclaurin de /fo, x^ ... xn) prend alors la forme simpli-
fléC (I, 1 ; 2) /(*) = 2 D"/(0) "fr •
P.!
Nous poserons aussi C» = C«tC«*... C*» avec C£ = —— — .
* P Pi Pt Pn Pi q.\ (p.— ?{) J
Ces notations ne sont pas très cohérentes, mais elles simplifieront
notablement les écritures dans la suite.
Mesures Une mesure n définie dans R", à valeurs complexes,
est une « fonction complètement additive d'ensembles »; à tout
ensemble borélien (*) borné A de R* (en particulier à tout ensemble
ouvert ou fermé borné) elle fait correspondre un nombre complexe
|i (A), dit mesure de cet ensemble, et possédant la propriété
suivante :
Si A est un ensemble borélien borné, réunion d'une infinité
dénombrable d'ensembles boréliens Ait deux à deux sans point
commun, on a n(A) = 2 t^A.,), la somme du deuxième membre
i
étant absolument convergente. Si alors <p est une fonction
continue complexe sur R", nulle en dehors d'un ensemble compact, la
mesure (t lui fait correspondre un nombre complexe, qui est
l'intégrale:
(I, 1 ;3) n(9> =ff-fRn *4u
Nous désignerons par (<2) (*) l'ensemble de toutes ces fonctions 9. On
peut naturellement définir nC?) pour d'autres fonctions ?
discontinues et pouvant être 5^ 0 dans tout l'espace ; les fonctions 9 pour
lesquelles on peut définir 11(9) par les méthodes de prolongement
classiques sont dites sommables pour la. mesure n.
La famille des fonctions sommables pour la mesure h dépend
naturellement de n ; mais on est sûr que si ? est continue (ou même
borélienne) et nulle en dehors d'un ensemble compact, elle est som-
mable pour toute mesure p.
(*) On appelle tribu borélienne le plus petit ensemble de fonctions qui d'une
part contienne toutes les fonctions continues, qui, d'autre part, ne puisse
contenir une suite convergente de fonctions sans contenir leur limite. Une
fonction est borélienne si elle appartient à la tribu borélienne. Un ensemble est
borélien si sa fonction caractéristique est borélienu*
(*) Les espaces désignés dans les premières éditions de ce livre par (C), (©),
(8)-, (y), etc., ont perdu leurs parenthèses dans l'usage courant et sont de ce fait,
à partir des nouveaux chapitres vm et ix désignés par C, 2>, 6, £? etc.

16
Une' mesure n est dite réelle si la mesure de tout ensemble est
réelle, ou, ce qui revient au même, si n(<p) est réel pour 9 réelle e(t).
Si |i est une mesure complexe quelconque, elle est decomposable
en parties réelle et imaginaire, y. = 1^ -j- iV2, |ix et n2 étant des
mesures réelles définies pour 9 réelle par
(I. 1 ; 4) K-p) = Hi(?) + '>*(?)•
Une mesure n est dite ^> 0 si la mesure de tout ensemble est
réelle ^- 0, ou, ce qui revient au même, si 1^(9) J> 0 pour 9 réelle
^- 0 et e(r). Toute mesure réelle est différence de deux mesures ^ o.
La fonctionnelle n(ç) définie lorsque 9 appartient à (c") possède
les propriétés suivantes :
1° Elle est linéaire :
<\ 1 • 5ï ^l^91 + ?*) "^ ^^ + v&à
K1' l *°) l iL{k<f) = ky(<f>), k nombre complexe.
2° Elle est « continue » au sens suivant :
Si des fonctions continues 9/ sont nulles en dehors d'un ensemble
compact fixe K de R" et convergent uniformément vers 96 (<°), les
|i(ç/) convergent vers 1^(9).
Nous introduirons au chapitre III une topologie sur (c"), telle
que les mesures soient les formes linéaires continues sur l'espace
topologique (C). Comme cette topologie offre certaines
complications, nous nous bornerons ici aux considérations suivantes. Soit
(tfK) l'espace vectoriel des fonctions 9 continues sur R", nulles en
dehors de l'ensemble compact K de R". (6) est la réunion des (c°K)
lorsque K varie. Nous munirons (<°K) de la topologie de la
convergence uniforme : des 9/ e((f.K) convergent vers 0 dans (€K) si elles
convergent vers 0 uniformément sur R". ((DK) est un espace de
Banach, pour la norme || <p|| = Max | <f(x) |. Alors la « continuité»
donnée plus haut revient exactement à dire que la restriction de n à
chaque (CK) est continue. Nous garderons, lorsqu'aucune confusion
ne sera à craindre, la formulation abrégée : n est continue sur (£).
Réciproquement, d'après un célèbre théorème de F. Riesz(x), à
toute forme linéaire continue L(9) sur (C), on peut attacher une
mesure n, bien déterminée et unique, telle que L(9) = 1^(9).
Le théorème de Riesz a pris une importance de plus en plus
grande. Aujourd'hui, il est devenu indispensable de définir une
(l) Voir F. R.Esz [1], et Banach fl], page GO

DEFINITION KT PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 17
mesure y comme forme linéaire continue sur (<S) ; c'est à partir dé
la fonctionnelle n(ç) qu'on retrouvera, quand ce sera nécessaire, la
fonction complètement additive d'ensembles KA), à l'inverse des
anciennes méthodes ; mais le plus souvent ce sera même inutile
et les propriétés de y. sont plus faciles à voir sur |i(?), 96 (6), que
sur |i(A) (*).
Les mesures ^ forment un espace vectoriel (on peut ajouter deux
mesures et multiplier une mesure par un nombre complexe) ; nous
le noterons (d').
Supports On appelle support d'une fonction continue /'sur
R" un ensemble fermé F de R" qui est l'adhérence de l'ensemble
des points xe R" tels que f(x) ^ 0. Un point de F est un point de R*
tel que, dans aucun voisinage de ce point, / ne soit = 0 ; et
réciproquement.
Le complémentaire de F est le plus grand des ensembles ouverts
de R" (la réunion des ensembles ouverts de R") dans lesquels / est
nulle.
Une fonction ?e (f) n'est autre chose qu'une, fonction continue
à support compact.
Si maintenant y. est une mesure sur R", on dit que y, est nulle
dans un ouvert û de R" si |a(?) = 0 toutes les fois que 9 a son
support dans Q. On démontre qu'une mesure nulle dans une famille
d'ouverts est nulle dans leur réunion.
On appelle support d'une mesure y sur R" un ensemble fermé F
de R" (on dira aussi que la mesure y est supportée ou portée par F)
défini comme suit : un point de F est un point de R" tel que dans
aucun voisinage oiii/ert de ce point y ne soit nulle, et
réciproquement.
Le complémentaire de F est le plus grand des ensembles ouverts (la
réunion des ensembles ouverts) dans lesquels y est nulle.
On voit que 1^(9) =■ 0 toutes les fois que le support de y et le
support de 9 sont sans point commun ; il en est même encore
ainsi toutes les fois que 9 s'annule sur le support de y.
Fonctions et mesures En quoi la notion de mesure généralise-
t-elle la notion de fonction ? Faisons jouer, dans R", un rôle spécial
("■' C'est cette méthode qui est employée dans Bourbaki [ 7 ]

18
à une mesure particulière, la mesure de Lebesgue ; nous
désignerons l'élément d'hypervolume par dx ou dx,dxs... dxn.
Soit |i une mesure « absolument continue ». Elle a une « densité »
f(x) = f(xlt xv .... x^, fonction sommable pour la mesure de
Lebesgue sur tout ensemble compact ; pour tout ensemble borélien
borné A on a alors
(I, 1 ; 6) „(A) =ff...j\ f(x)dx =
"fj "'L &Xv ** -• X^dXidx» — dXn
et pour 96 (C)
(I. 1 J 7)
[vb)=ff-fKnm<t(x)dX =
\ ^ff'"Jnn K*1' x» -•' ^M3* x* •-' x«) dxidx% — dxn-
La fonction / n'est pas définie partout, mais seulement presque
partout (sauf sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle).
Inversement à toute fonction /, sommable sur tout compact de
R", on peut sans ambiguïté faire correspondre une mesure n
absolument continue de densité / ; cette mesure est définie par
(1,1; 8) i,(9)=ff...fHnf(x)9(x)dx, 9e(C).
Nous avons ainsi établi une correspondance biunivoque entre le
sous-espace vectoriel de (C) formé des mesures absolument
continues et l'espace vectoriel des « classes » de fonctions sommables sur
tout compact (une classe étant l'ensemble de toutes les fonctions
presque partout égales à une même fonction).
Nous profiterons de cette correspondance pour faire une
identification complète. Nous identifierons, dans la suite, une mesure n
absolument continue à sa densité f. Nous écrirons toujours y- = /, et
indifféremment (1(9) ou f{<f). Cela signifiera que l'on a (I, 1 ; 8).
Une fonction, sommable sur tout compact, et définie à un ensemble
de mesure nulle près, est bien alors un cas particulier d'une mesure.
Remarquons qu'une fonction continue / peut être étudiée de deux
points de vue absolument distincts et qu'il ne faut pas confondre :
d'une part, c'est une fonction au sens usuel du mot, prenant
une valeur définie / (a.) en chaque point x ; elle est ainsi identifiée à
un élément 9 de (ß), si son support est compact ;
d'autre part c'est la densité d'une mesure absolument continuel* ;

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 19
elle est alors définie comme une fonctionnelle !*(?)= /(?)
(formule (I, 1 ; 8)) ; elle est ainsi identifiée à un élément |x de (C).
Avec l'une ou l'autre conception, le support de / dans Rn est le
même.
Nous conviendrons d'appeler 8, mesure de Dirac (*), la mesure
formée d'une masse -"-là l'origine x = 0 de R". Pour 9 e (C),
(I, 1 ; 9) 8(9) = 9(0).
Nous désignerons de même par 8(Xyj la mesure formée d'une
masse -f-1 au point x? de R".
Pourçe(e),
(I, 1 ; 10) 8(^9) = <f(xv).
Il résulte de ce qui précède que 8 est l'exemple le plus simple
d'une mesure qui ne soit pas une fonction. Si les physiciens
tiennent à l'appeler fonction de Dirac c'est pour pouvoir faire sur
elles certaines opérations qui ne sont définies que sur des fonctions
et non sur des mesures (la dérivation par exemple) ; mais justement
nous rendrons toutes ces opérations possibles sur des mesures, et
nous conserverons soigneusement la distinction entre les mesures
qui sont ou ne sont pas des fonctions. Une mesure « singulière »
portée par une courbe ou une surface, avec une densité linéaire ou
superficielle, n'est pas une fonction.
Remarquons bien aussi que la notion de mesure n'est pas à
proprement parler une généralisation de la notion de fonction, mais
seulement une généralisation de la notion de classe de fonctions
sommables sur tout compact. A une fonction d'une variable (n = 1)
telle que l/x ne correspond aucune mesure, car l/x n'est pas som-
mable au voisinage de l'origine x = 0. D'autre part, rappelons que,
considérées comme mesures, 2 fonctions presque partout égales ne
devront jamais être distinguées. Si / et g sont presque partout
égales, nous écrirons / = g. Si, après modification sur un ensemble
de mesure nulle, / devient une fonction continue, ou convexe, ou
harmonique, nous dirons que / est continue, ou convexe, ou
harmonique.
Restriction à un ouvert Tout ce que nous venons de dire
s'étend aux mesures définies sur un ouvert û0 de R".
(*) Cette mesure, appelée usuellement fonction de Dirac, a été introduite
pour les besoins de la Mécanique Ondulatoire. Voir Dirac [ 1 ]

20
Appelons (Cq^ le sous-espace de (£) formé des fonctions <p à
support contenu dans l'ouvert Q0. Une mesure sur Q,, est alors une
forme linéaire sur (Cq) dont la restriction à chaque (Cg), K
compact contenu dans Q0, est continue. L'espace de ces mesures sera
noté (C'n). Les mesures sur û0 possèdent des propriétés
analogues aux mesures sur Rn ; aussi prendrons-nous Û0 = Rn, sans
apporter par là aucune restriction réelle à la généralité de notre
étude. Naturellement une mesure sur Q0 n'est pas, en général,
prolongeable en une mesure sur Rn. Ainsi la fonction l/x (1
variable, n = 1) définit une mesure sur l'ouvert Q0 complémentaire
de l'origine dans R1 ; elle n'est pas prolongeable en une mesure sur
R1, puisque non sommable au voisinage de l'origine. Pour qu'une
mesure sur iî,, soit prolongeable en une mesure sur Rn, il faut et
il suffit que, quel que soit le compact K de Rn, if... /KnQ | dp | soit
fini.
§ 2 Généralisation de la notion de mesure, les
distributions
Il y a longtemps que, dans la théorie du potentiel, les physiciens
emploient des notions plus compliquées que celle de masse : les
« couches multiples » (multipôles, feuillets). Leur considération ne
prend un sens net que si l'on abandonne définitivement la définition
d'une mesure comme fonction d'ensembles pour adopter sa
définition comme fonctionnelle.
Le doublet Qu'est-ce qu'un « doublet », de « moment »
(moment électriaue ou magnétique) -1- 1, placé à l'origine O, sur
la droite réelle (n = 1) ?
C'est la « limite (*) » d'un système de deux masses, -1- 1/e au point
d'abscisse e, et — 1/e à l'origine, lorsque « > 0 tend vers 0. C'est
donc une « limite de mesures », mais ce n'est pas une mesure. Si
on voulait définir un doublet comme mesure-fonction additive
d'ensembles, il y aurait d'insurmontables difficultés : la mesure de
tout intervalle serait nulle, sauf s'il a une extrémité à l'origine,
auquel cas elle serait indéterminée.
Utilisons la définition fonctionnelle de la mesure. Le système
Te des 2 masses est défini par
t1) Il s'agira d'une vraie limite quand nous aurons établi (chapitre m) une
topologie dans l'espace des distributions

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 21
- - » ' ç(t) é'(0) '■'<■>-
(I,2;l) . TXW), = ÇU /". <P6(C)..
On voit alors que, si 9 est derivable, le doublet devra être défini
par un passage à !a limite, e -*■ 0, comme la fonctionnelle
(1,2; 2) T(?) = ?'(0).
Ainsi-la forme unéaire T(?) associée au doublet n'est définie que
sur un sous-espace vectoriel dense dans (C), formé des fonctions 9
dérivables à l'origine ; de plus c'est une forme linéaire « discontinue»,
car, si des <p;(:r) convergent uniformément vers 0, leurs dérivées ç'.(0)
ne convergent pas nécessairement vers 0. Nous sommes donc
amenés à considérer des sous-espaces vectoriels de (C). Pour pouvoir
considérer des « couches-multiples » d'ordre quelconque, nous
serons amenés à ne considérer que des fonctions 9 indéfiniment
dérivables.
L'espace (Û)) Nous appellerons (iD) l'espace vectoriel des
fonctions complexes 9 de n variables réelles, indéfiniment dérivables et
à support compact. Si (3)m) est l'espace vectoriel des fonctions
ayant des dérivées continues jusqu'à l'ordre m inclusivement, et
de support compact, (2)) est l'intersection de tous les (2)m).
Remarquons qu'il est classique, mais non absolument évident,
qu'il existe des fonctions 96 ($) en dehors de la fonction 0. Les
fonctions 9^0, qui ont cependant toutes leurs dérivées successives
nulles à la frontière de leur support, n'ont rien d'élémentaire !
Donnons sur ces fonctions quelques propriétés.
Lemme Quel que soit e > 0, on peut trouver une fonction
>0p.(x)e(3)), dont le support est la boule Be: r < e, qui est >0
pour r < c, et vérifie
(1,2; 3) ff...fpt(x)dx = + l.
Il suffit en effet de prendre la fonction
i 0 pour r J> e
(I, 2 ; 4) ?t(x) = j ± (=*\ r < e
la constante k étant choisie de façon que
(t2:5> "ff-L, «■»•(rETi)«*-1-

22
Théorème I Si K est un compact de R", H un voisinage
compact de K dans Rn, alors tout élément de (CJ est, dans (<3H), limite
d'une suite d'éléments de (â)).
On peut dire, par abus de langage, que (2>) est dense dans (C).
Si en effet 9 e (C), sa « régularisée » (x)
(I, 2 ; 6)
U*Pe =ff- ••/*(5) Pe(* - 5) dÇ
{ =*jf~-f*Cb* *•» - Q Psfe — «k - *„ — O^i ^2 - rf5„
est à support compact contenu dans le voisinage d'ordre e du
support K de 9, et indéfiniment derivable (dérivation immédiate
sous le signe d'intégration), donc dans (2)). De plus, compte tenu
de (I. 2 ; 3) :
(I, 2 ; 7) (9*p^ - 9 =ff-fMZ> — *(*)! Pe(* - 9 «*«•
Comme pe(x — ç) n'est 5^ 0 que pour [ x — ç | < e, et qu'il
existe un nombre i)s > 0, tendant vers 0 avec e (oscillation de 9), tel
que*] x — ç I < c entraîne ' 9(c) —9(2:) \ <i)e, on voit que le 2e membre
de (I, 2 ; 7) est majoré par >ie. Ainsi 9e (CK) est bien limite dans (6J
de 9*pe6 (ü>) lorsque e -*- 0.
Partition de l'unité (*) Théorème II Quel que soit le
recouvrement \ n, \ d'un ouvert Cl de Rn par des ouverts û,-, i parcourant
un ensemble fini ou infini d'indices I, on peut trouver des fonctions (*i
définies et indéfiniment dérivables sur Cl, dépendant du même
ensemble d'indices et vérifiant les propriétés suivantes :
(a) ai > 0 ; le support de ai (dans Ci) est dans fl,- ;
i 6) sur tout compact de Cl, un nombre fini seulement
(I, 2 ; 8) <, des a,- ne sont pas identiquement nulles, et
\ i
Les a,- constituent une partition de l'unité, un partage de la
fonction 1 en somme de fonctions ^ 0 indéfiniment dérivables de
supports très petits. Cette partition est dite subordonnée au recouvre-
(*) La régularisation est une application courante du produit de convolution
qui sera étudiée en détail au chapitre vi pour les distributions. Voir A. Weil [1 ],
chapitre 111
(") Pour tous les problèmes de recouvrement, théorème d'Urysohn, partition
de l'unité voir Dieudokné [2], et Bourbaki [2], § 4

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 23
ment { fli \, i e I. Supposons d'abord le recouvrement j fli}
localement fini (x) et tous les ûf relativement compacts dans û. On sait
qu'alors on peut trouver un nouveau recouvrement localement fini
' (ï[ ', dépendant du même ensemble d'indices, et subordonné au
premier, c'est-à-dire tel que û^ cû^. Nous considérerons encore un
recouvrement j Qt\ j subordonné au recouvrement J 0'f |. Soit alors
p, une fonction continue sur Rn (définie par la méthode de
prolongement d'Urysohn) comprise entre 0 et 1, égale à -"- 1 sur Ü', à 0
sur le complément de Q[.. LÏ{ étant compact, pour e,- assez petit, }.e
voisinage fermé d'ordre tj de û[- est contenu dans O,-, de sorte que,
si nous utilisons la fonction pe. définie au lemme ci-dessus, te
regular! séee (f?)
(i, 2 ; 9) n = ßi*pe.
est certainement > 0 dans Q? et son support dans R" est contenu
dans Q.. La somme^rv(x) est définie en tout point x de Q et
V
même un nombre fini seulement des termes de cette somme sont ^
0 sur un voisinage compact de x dans Ü ; elle est indéfiniment
derivable et partout > 0 dans Ü puisque les Q; forment un
recouvrement de Q. Alors
(I.2.-10) «((*) = y,<*)/(2yv(*))
satisfait à toutes les propriétés voulues.
Supposons maintenant le recouvrement j Q,- j arbitraire. Comme Q
est paracompact, on peut trouver un recouvrement plus fin (Û/)»
localement fini, dépendant d'un autre ensemble d'indices J, et une
application / -*■ i (j) de J dans I, tels que tout Q,- soit relativement
compact dans û et que, pour tout / e J, 0/ c Qf(/;. D'après ce que nous
venonsdevoir.il existe une partition de l'unité (a/) correspondant au
recouvrement (Q.). Posons alors, pour tout i e I,». = V) "/• Tout
«/) = i
x de Û a un voisinage sur lequel un nombre fini seulement des a;
sont ^é 0, donc a(. est encore indéfiniment derivable dans Q, et son
support (dans Q) est exactement la réunion des supports des «.,,
pour lesquels i (/') = i, donc dans Q.. Alors les a, ont toutes les
propriétés voulues.
(x) Un recouvrement par des ensembles ouverts est dit localement fini si
tout compact est rencontré par un nombre fini seulement de ces ouverts

24
Les espaces topologiques (2>K) Nous appellerons (3)K) le sous-
espace de (®) formé des fonctions 9 ayant leur support dans le
compact K de R". Nous allons mettre sur (li>K) une topologie plus fine
que la topologie induite par (<5K). On dira que des fonctions 9. e ('J)J
convergent vers 0 dans (3)K), si les fonctions 9. convergent vers 0
uniformément sur R", ainsi que chacune de leurs dérivées.
Autrement dit, pour chaque système fixe d'entiers pl ^ 0, p4>0, ...
jPi + Pt + ■- Pn.
D ;>0, les dérivées 9 (x^x»,... xn) convergent
(dx1)Pl^x^p\..(dxn)p-
vers 0 uniformément par rapport à ai, xt, ... xn (mais aucune
uniformité n'est exigée pour l'ensemble des dérivées de tous les ordres).
Cette topologie est définie par la famille des semi-normes Np :
Np (9) = Sup I Dp 9(x) 1, où p = (px, ft, ... p„).
xe r"
On peut de même introduire le sous-espace (2>™) de (:J)m) et le munir
d'une topologie analogue, ne faisant intervenir que les dérivées d'ordre
<J m. Si .Von reprend la démonstration du théorème I, on voit, par
dérivation sous le signe f, que, si Dp est une dérivation partielle
d'ordre | p | < m, et si 9 est dans (îj)™), on a Dp(9 * pj = Dp 9 * pe;
de sorte que la démonstration du théorème, appliquée à Dp 9,
montre que, lorsque e tend vers 0, les dérivées d'ordre <mde?*p
convergent uniformément vers les dérivées correspondantes de ? ;
autrement dit, ((!)) est «dense dans (3)m)» comme il était déjà dense
dans ('i>0) = (C).
Les distributions. Une distribution T est alors une forme linéaire
sur (2>), dont la restriction à chaque (£0K), K compact de R", est
continue. Nous dirons encore, par abréviation, que c'est une forme
linéaire continue sur (Û)).
En langage ordinaire, une distribution T sera donc une
fonctionnelle 9 -»- T (9) ou T. 9 où < T, 9 > (nombre complexe attaché à
chaque fonction 9), définie pour toutes les fonctions 96 ((?)
(fonctions indéfiniment dérivables à support compact), et possédant les
propriétés suivantes :
a) T est linéaire :
a 2 • m ( T(9x + ?2> = T(9l) + TM'
K ' ' ' \ T(*9) = kT(9), k nombre complexe ;

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 25
6) T est « continue » :
si des ?6 (2)) ont leurs supports contenus dans un compact fixe
de R"\ et si elles convergent uniformément vers 0 dans Rn ainsi que
chacune de leurs dérivées, alors les nombres complexes T(?)
convergent vers 0.
Les distributions T forment elles-mêmes un espace vectoriel
(on peut additionner deux distributions et multiplier une
distribution par un nombre complexe) qu'on désignera par (2)').
Une mesure n sur R" définit bien une distribution particulière,
car pour ce (CP), _*(?) est linéaire, et ft(?)est continue non seulement
sur (iS*K), muni de la topologie définie ci-dessus, mais même sur
('j)K) muni de la topologie induite par ((.'",.), qui est moins fine.
Autrement dit, si des ? e ('£), à supports contenus dans un compact
fixe de R", convergent uniformément vers 0 dans R", sans qu'on
sache rien sur leurs dérivées, les h(<d.) convergent vers 0. La
réciproque est vraie :
Distributions et mesures Théorème III Pour qu'une
distribution T puisse être définie par une mesure i*, il faut et il suffit
qu'elle soit continue sur chaque ($K) muni de la topologie induite par
(£K). Dans ce cas, n est bien déterminée et unique. '
La condition est, comme il est dit plus haut, nécessaire. Elle est
aussi suffisante. Soit en effet H un compact de R". Si T est continue
sur (j)H) muni de la topologie induite par (<?„), elle se prolonge, et
d'une manière unique, efl une forme linéaire Ta sur l'adhérence ('.£H)
de (1>n) dans (dH), continue pour la topologie induite par (6B). Si
H, 3 Ha, ('J>Ui) 3 (y>H ), et"TH prolonge TB . Alors les divers
prolongements T^ définissent un prolongement T de T à la réunion des
(\!}H) ; cette réunion n'est autre que (C) d'après le théorème I, et T
est une forme linéaire sur (ê.) dont la restriction à chaque (e\) est
continue (puisque (^H) contient (C°K) si H est un voisinage de K)
c'est-à-dire une mesure y., et T est bien la distribution définie à
partir de cette mesure ; de plus, une telle mesure est unique.
Nous montrons ainsi l'existence d'une correspondance biuni-
voque entre l'espace (c3') des mesures et un sous-espace de l'espace
(T) des distributions. Comme au § 1, nous ferons une identification
complète entre une distribution définie par une mesure et cette
mesure. LTne mesure est une distribution particulière ; une foiKffîon
j sommable sur tout compact (définie à un ensemble de mesure

26
nulle près) est une mesure particulière, donc a fortiori une
distribution particulière, définie par
(I, 2 ; 12) /(») = ff-fm <&) dx, 9 6 (2)).
Le doublet, formule (I, 2 ; 2), est l'exemple le plus simple d'une
distribution qui ne soit pas une mesure, car c'est une forme linéaire
discontinue sur (3)^) muni de la topologie induite par (CK), si
l'origine est intérieure à K. On voit de même que l'espace (3) m) des
formes linéaires sur (3)m), dont les restrictions aux (3>™) sont
continues, peut être identifié à un sous-espace de (3)'). Le doublet
appartient à (2)'1). Une distribution appartenant à (3)m) sera dite
d'ordre <1 m.
§ 3 Principe de localisation. Support d'une distribution
Distribution nulle dans un ouvert On dit qu'une distribution T
est nulle dans un ensemble ouvert Q de R" si T(?) = 0 toutes les
fois que 9 e (3>) a son support contenu dans Q. Deux distributions
Tx, T„ sont dites égales dans Q si Tx — T» est nulle dans Q. Cette
définition permet de considérer les distributions, comme les mesures
ou les fonctions, d'un point de vue local ; on pourra écrire des égalités
entre distributions pour un ouvert Q de R", sans préjuger en rien
de ce qui se passe dans l'espace R" entier.
Comme pour les mesures, on pourra étudier les distributions sur
un ouvert Q0de R". On appellera (3>n) le sous-espace de (3)) formé
des fonctions 9 dont le support est contenu dans O0. Une
distribution sur Q0 est une forme linéaire sur (3V), dont la restriction à
chaque (3),.), K compact contenu dans Oq, est continue. L'espace
de ces distributions sera noté (3)'n ).
Naturellement une distribution T sur Q0 ne peut pas
nécessairement se prolonger en une distribution T sur R". Ainsi on peut
montrer qu'une fonction telle que exp ( — ], définie pour x > 0, n'est pas
\x /
prolongeable en une distribution sur la droite réelle R1.
Une distribution est nulle au voisinage d'un point si elle est nulle
dans un ouvert contenant ce point.
11 ne suffit pas de pouvoir considérer une distribution dans un
ouvert, il faut encore pouvoir, de la connaissance locale d'une
distribution, en déduire une connaissance globale par « recollement des
morceaux ».

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉ GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 27
Principe- du « recollement des morceaux » Théorème TV
Soit | Q,-1 une famille finie ou infinie d'ouverts, de réunion O ; soit
d'autre part j T. j une famille de distributions dépendant du même
ensemble d'indices I. La distribution T; est définie dans l'ouvert Q; ;
on suppose de plus que, si D,- et Q/ ont une intersection non vide, T. et
T/ coïncident dans cette intersection. Alors il existe une distribution et
une seule, T, définie dans Q, qui coïncide avec T; dans chaque
ouvert Q,-.
Appliquons le théorème II (partition de l'unité) ; on peut trouver
des fonctions «te (2>Q) satisfaisant aux conditions (1,2 ; 8) dans Q.
Soit K,- le support de a.. Soit maintenant 9 e (3>q). On peut écrire
(I.3;l) » = 2 («.•»)
i
dans R".
La somme du 2e membre n'a qu'un nombre fini r'e termes ^é 0,
car un nombre fini seulement des *,■ sont =£ 0 sur le support
compact de 9. Alors, si T existe, elle est entièrement connue, car
elle vérifie
(I, 3 ; 2) T(9) = 2 T(«i») = 2 T,-(«,*).
i i
Réciproquement cette formule définit T(<?) comme une forme
linéaire sur (3""ö). La restriction de cette forme linéaire à (2)K), K
compact c Q, est continue ; car si 9 converge vers 0 dans (®K),
chacun des 0^.9 converge vers 0 dans (3>Knx.)» donc T^c)
converge vers 0 ; 9 gardant son support dans K compact, un
nombre fini seulement de valeurs fixes de 1 intervient dans la
formule (I, 3 ; 2), de sorte que T(9) tend vers 0 ; T est donc une
distribution dans Q. Montrons que, dans Q,-, T = T;. Soit en effet 9
une fonction e (2)Q) ayant son support dans û,- ; a/9 a son support
dans l'intersection û.nQ;, et comme dans cette intersection T/ et
T. coïncident, on a Tj (a/ç) = T/(a/9), et par suite on a bien
(I, 3 ; 3) T,<») = 2 T,(«/9) = 2 TK«/») = T(*>-
/ i
La distribution T a donc toutes les propriétés demandées.
Dans le cas particulier où toutes les T. sont nulles, T = 0 est la
seule distribution répondant à la question ; autrement dit, une
distribution nulle dans une famille d'ouverts est nulle dans leur

28
réunion. Ou encore : une distribution nulle au voisinage de chaque
point d'un ouvert Q est nulle dans Q.
Remarque Le théorème démontré pour (/j)') est aussi vrai
pour (fj)1"). Si une distribution Te (!£') est d'ordre <^ m dans une
famille d'ouverts Q., elle est d'ordre ^ m dans leur réunion Q.
Support d'une distribution Le théorème IV permet de définir
le support d'une distribution T. La réunion des ouverts où T est
nulle est en effet un ouvert où T est nulle, et c'est le plus grand ;
son complémentaire est le support de T, qui est ainsi le plus petit
ensemble fermé en dehors duquel T soit nulle. On peut encore dire,
comme nous l'avons dit pour les mesures : un point x de R"
appartient au support F de T si T n'est nulle dans aucun voisinage ouvert
de x, et réciproquement.
Le support d'une distribution est un ensemble fermé quelconque
de Rn. Si le support de T et le support de 9 sont sans point commun,
T(ç) = 0. Nous montrerons même plus loin que si 9 est nulle ainsi
que toutes ses dérivées sur le support de T, T(?) = 0
(théorème XXXIII du chapitre III). Si T est une mesure y., le support de
T est le support de cette mesure,, déjà défini. En effet : si Qx et 04
sont les ouverts complémentaires des supports de y., considérée
respectivement comme mesure et comme distribution, on a
a) ix(<p) = 0 si <p e (t^ ), donc a fortiori si 9 e (3>fl ), ce qui prouve
que Qj 3 Qx.
b) |i(cpi) = 0 si 96 i'$n) ; mais, si 96 (C^, et si H est un
voisinage compact dans ûj du support K de 9, il résulte du théorème I
que 9 est, dans (6H), adhérente à (2»^, et comme y. est nulle sur
($J, |i(9) est nulle. Donc Qx => &,,.
Pour tous les problèmes ayant une définition locale, les
distributions sur û0 ont les mêmes propriétés que les distributions sur Rn.
Nous prendrons toujours Cig = Rn, sans apporter par là aucune
restriction réelle à la généralité de notre étude.
§ 4 Distributions positives
Nous dirons qu'une distribution T est réelle si T(9) est réel pour
<P réelle e ('$>). Toute distribution T est, comme toute mesure,
decomposable en parties réelle et imaginaire, T == Tx + tT,, Tx et T4
étant des distributions réelles définies pour 9 réelle par

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DISTRIBUTIONS 29
- T(ç) = Tx(9) + tt».
Nous dirons que la distribution T est > 0 (positive) siT(ç) >0
lorsque 96 (2>) est > 0. Nous dirons qu'une distribution Tx est
supérieure à une distribution T„ Tx J> Tj, si Tt — T, ^- 0, c'est-à-dire si
Tx(:) ^ T2(c) lorsque 9 est ^-0.
Théorème V Une distribution > 0 es/ une mesure J> 0.
Soit en effet T une distribution ^-0. Montrons qu'elle est »ne
forme linéaire continue sur ('S>K), muni de la topologie induite par
(t°K). Supposons que des 9 e (a\) convergent vers 0 dans (Cj :
elles ont leurs supports contenus dans le compact fixe K de Rn, et
convergent uniformément vers 0. Soit <|» e (^P) une fonction fixe
> 0 sur R" et > 1 sur K. On a alors :
(I, 4 ; 1) Iç/C^Ke/^),
les tj convergeant vers 0.
Posons 9/ = Uj{pe) -f- iv,- (x), Uj et v,- réelles.
Les 2 fonctions u,- et v,- sont e (f?) et
(I, 4 ; 2) — efi < U, < £,<{., — e/«P < P/ ^ tfa
d'où, puisque T > 0 :
(1,4; 3) -ejK^T^XejTd), -^)<T(ȕ)<#
et par conséquent
(I, 4 ; 4) I T(u,) ! < ./T(+), | Tfa> | <./Ity). i T(9/) | <2 «,T(+).
Cela prouve, comme nous voulions le montrer, que les T(9/)
convergent vers 0.
Alors, d'après le théorème III, T est une mesure (t.. Oa a d'autre
part (4(9) ;> 0 pour 9 e (Cj>) et >- 0 ; si 9 est une fonctioa quelconque
6 (o") et > 0, sa régularisée' 9* pe (voir théorème I) est dans (®) et
> 0, donc |x(? * pe) ^ 0 ; lorsque e ->- 0, les 9 * pe convergent vers 9.
dans un (dn), donc ^(9) > 0, ji est une mesure > 0, c. q. f. d.
Ce théorème est important parce qu'il permettra de montrer que
certaines distributions sont des mesures. Si une fonction est
surharmonique, son Laplacien est <^ 0 c'est donc une mesure -^ 0, d'où
la décomposition de Riesz (voir chapitre VI,, § 10, théorème XXX).
Mais il montre en même temps que la structure d'ordre introduite
dans ('i"* ') n'a qu'un intérêt limité : elle ne sort pas du cadre des
mesures. Si T n'est pas une mesure, non seulement elle n'a pas de

30
signe, mais elle n'est comparable à aucune mesure, et n'est pas une
différence de 2 distributions > 0.
La comparaison des distributions est possible localement. Une
distribution ^ 0 au voisinage de chaque point est ^ 0 ; une
distribution ^- 0 dans un ouvert Cl est une mesure ^ 0 dans Cl. (Mais
une distribution T, définie dans Rn, et ^ 0 dans Cl, peut être égale
dans O à une mesure n ^-0 non prolongeable en une mesure sur Rn.
Voir exemple à la remarque de la page 41.)
§ 5 Généralisations diverses
1° Distributions vectorielles Soit E un espace vectoriel topolo-
gique localement convexe complet, dont les éléments seront appelés
vecteurs, et désignés par des lettres grasses. On utilise fréquemment
la notion de fonction vectorielle sur Rn, f(x);pour tout xe R.n,f(x)
est un vecteur 6 E. La notion de fonction continue, différentiable,
analytique s'étend immédiatement. Il est alors possible de
généraliser ces fonctions en distributions vectorielles T, telles que, pour
toute fonction numérique <f(x), indéfiniment différentiable à support
compact, donc élément du même espace vectoriel (2)) considéré
jusqu'à présent, T(ç) soit un vecteur eE. Une telle distribution
vectorielle est une application linéaire continue de (3)) dans E. Une
fonction vectorielle continue f(x) définit une telle distribution
vectorielle par la formule habituelle
(I, 5 ; I) /(») = ff... f f(x) v(x) dx.
La plupart des résultats algébriques que nous donnerons dans ce
livre pour des distributions à valeurs numériques complexes
s'étendent aux distributions à valeurs vectorielles, moyennant
d'éventuelles hypothèses supplémentaires sur E (1). Au contraire,
pour les questions topologiques, il y a bien des difficultés nouvelles.
2° E étant toujours un espace vectoriel complet et localement
convexe, soir E' son dual. Nous noterons par < e, e' > le produit
scalaire de ee E par e'e E'. Soit alors T une distribution numérique,
donc appartenant à l'espace ($') de distributions considéré jusqu'ici.
Il est alors possible, non seulement de définir T(?) pour une
fonction 9 numérique e (®), mais aussi pour une fonction <p(x), à valeurs
{*) Voir Schwartz [ 9 ] et [10]

DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS GÉNÉBALES DES DISTRIBUTIONS 31
dans E, pourvu qu'elle soit indéfiniment derivable, à support
compact. Dans ce cas, T(<p) = T.<p est un vecteur e E. Il devra vérifier
(I, 5 ; 2) < (T.?), e' > = T.< <p(x), e' >,
pour tout e'e E'.
Réciproquement cette formule définit T. tf comme élément du
complété faible de E, ou dual algébrique E'* de E' ; on démontre
que T,ç est bien dans E Q).
Si T est une fonction numérique f(x) ou la mesure de Dirac a,
on aura
(1,5; 3) f.<p = ff...ff(x)<e(x)dx
(1,5; 4) 8.<p =\p(0).
3° Distributions sur une variété indéfiniment différentiable Soit
V une variété à n dimensions indéfiniment différentiable. On
peut y définir des distributions généralisant les fonctions ou même
les formes différentielles ou les champs de tenseurs de nature
quelconque. Les distributions-formes différentielles s'appellent
courants. Elles seront étudiées au chapitre IX . Bornons- nous ici à
considérer l'espace (2))T„ des fonctions numériques indéfini -
ment dérivables à support compact sur V". A partir de (LP),«
on définira l'espace (®')vn des distributions sur V ; il possédera des
propriétés analogues à celles de (ü)')Bn. Cependant il y a des
différences importantes :
a) On ne peut définir de dérivations partielles sur V", qu'après
définition de champs de dérivations ou champs de vecteurs
indéfiniment différentiables sur V" [voir formule (II, 3 ; 35)].
6) Une mesure ji est une distribution particulière, mais une
fonction f(x) ne définit plus une distribution particulière. Il ne
pourra en être ainsi que si on a fixé un élément de volume
privilégié dx.
Soient Um et V" deux variétés indéfiniment différentiables, à m
et n dimensions respectivement. Si g = H (x) est une application
indéfiniment différentiable de Um dans V" continue à l'oo, c'est-à-
dire telle que l'image réciproque de tout compact de V" soit un
f1) Voir Schwartz [9]

32
compact de Um, on peut définir une image transposée H'9 de toute
fonction ?e(2))vn; c'est une fonction e(2))0„,:
(1,5; 5) H*v(x) = 9 [U(x)], pour zeUro.
On peut alors définir l'image directe par H de toute distribution
T sur Um ; c'est une distribution HT sur V" :
(I, 5 ; 6) HT. 9 = T. H*9, pour toute 9 6 (2))^.
En particulier, si H est un homéomorphisme indéfiniment diffé-
rentiable ainsi que son inverse, il définit un isomorphisme entre ÇD')vm
et (2)%«. Si Um est une variété régulièrement plongée dans V", on
peut prendre pour H l'application identique de Um dans V". 9 = H*9
est alors la restriction à Um d'une fonction 9 définie sur V" et
T = HT est l'extension à V" d'une distribution T définie sur Uro ;
pour 9~e (2))^, TÔp) est par définition égal à Tfc).

CHAPITBE II
Dérivation des distributions
Sommaire Le § 1 définit la dérivation des distributions de façon qu'elle
coïncide avec la dérivation usuelle dans le cas de fonctions continuement
»T / d-O \
différentiables : — (?) = — Tf -M [formule (II, 1 ; 6)J. Toute distribution
**k \ **k)
(en particulier toute fonction localement sommable) est indéfiniment
derivable et on peut intervertir l'ordre des dérivations (p. 35). C'est la propriété
essentielle qui justifie l'introduction des distributions.
Le § 2 donne des exemples de dérivées dans le cas d'une variable, (n = 1).
Le plus important est le 1«, qui montre l'influence des discontinuités d'une
fonction, qu'on retrouve sous forme de masses ponctuelles dans sa dérivée :
la fonction d'Heaviside Y(x) (p. 36) a pour dérivée la mesure dé Dirac S
(II, 2; 3), dont les dérivées S', S",... sont définies de façon rigoureuse :
8^(9) = (— l)PçW(O) (II, 2 ; 5). Ainsi sont justifiés de nombreux procédés
classiques du calcul symbolique.
Le 2e exemple est plus subtil (p. 38) ; il introduit d'une façon naturelle les
parties finies de M. Hamadard, utilisées dans la théorie des équations aux
dérivées partielles, et la valeur principale de Cauchy ; les pseudo-fonctions Ym
de la formule (II, 2 ; 31) seront utilisées au chapitre Vl, § 5, dans la
dérivation d'ordre non entier, et sont l'expression la plus simple de formules qu'on
rencontre dans la théorie des équations aux dérivées partielles.
Le § 3 donne des exemples de dérivation dans l'espace à n dimensions. Les
diverses formules d'Ostrogradsky, Stokes, Green, ont ainsi des interprétations
nouvelles. L'exemple 2 a une importance particulière. On sait que la
fonction (il>-yl~\ log (l/r) pour n — 2 ] est harmonique en dehors de l'origine ;
nous calculons ici son laplacien, et nous trouvons qu'il est égal à — N8 (une
masse — N placée à l'origine) (II, 3 , 9) ; cette formule sera la base de la
formule de Poisson et de l'étude des potentiels et fonctions surharmoniques.
Les autres exemples de ce paragraphe sont également importants dans les
applications, mais il est préférable de les passer en première lecture et de se
borner à les consulter lorsqu'il y sera fait référence.
Le § 4 traite de la recherche des primitives pour 1 dimension (n = 1). Le
théorème I (p. 51) étend aux distributions un résultat classique pour les
fonctions. Toute distribution a une infinité de primitives, deux d'entre elles
diffèrent d'une constante.
Le § 5 est la généralisation à n quelconque, le théorème IV (p. 54)
généralise le théorème I.
Le § 6 traite de la recherche d'une distribution T dont on connaît plusieurs

34
dérivées partielles —— = S- ; il introduit la condition classique de compati-
»S.- »S,
bilité -— = ~ (11. 6 ; 2) (théorème VI, p. 59).
A côté des propriétés générales que nous venons de signaler, les §§ 4, 5, 6,
contiennent des théorèmes particuliers (11, 111, V, Vil) qui donnent des
propriétés d'une distribution à partir de celles de ses dérivées. L'ensemble du
problème de la recherche des primitives (§§ 4, 5, 6) est autonome et ne sera
pas utilisé dans la suite.
§ 1 DÉFINITION DE LA DERIVEE
Dérivée d'une fonction régulière A toute distribution T nous
ferons correspondre des distributions « dérivées partielles » par
rapport à Xi, x , x„ ; nous emploierons la notation T ou --—
pour la dérivée partielle de T par rapport à Xk (Si n = 1, nous écri-
rons —-* ou T'). Pour que la notion de dérivée soit intéressante, il
dx
faut que, si T est une fonction / continue à dérivées partielles con-
;>T ;>/
tinues (au sens usuel), t—- soit la fonction — . Nous donnerons ici une
dxk dxk
définition directe, mais un peu artificielle, de la dérivée. Nous en
redonnerons une définition plus conforme aux notions habituelles,
au § 4 du chapitre III.
Pour çe(iD), on a d'après (I, 2; 12)
(II, 1. ; 1)
j <?(xi, x , xk, ..., x^ dxtdx%... dxk ... dxn
I = J...jdx1 dx2... dxk_t dxM + 1 ... dxj j^^^L9dxk\
L'intégrale entre parenthèses peut se calculer par parties ; comme
9 est nul en dehors d'un compact, la partie tout intégrée disparaît :

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
35
(il, 1 ; 3)
\m (?> = —f-fàxidxt...dxk_1 dxk + t...dxn l^J* °° f~dx,\
Finalement
(H.U4) £.«-"/(£)
[toujours avec la définition (I, 2; 12)].
a/
Dérivée d'une distribution Mais cette relation entre / et —
*xk
conserve un sens si au lieu de / on considère une distribution
quelconque T. La fonctionnelle S définie par
(II, l; 5) S(*)=-t(^)
est manifestement une forme linéaire sur (2)), continue sur chaque
(2>K). Car si des ?. e (ßK) convergent vers 0, il en est de même des —- ,
3X/k
et, T étant continue sur (ß\ les — T —- ) convergent versO. S est
VxkJ
donc une nouvelle distribution, qui sera, par définition ; ——
zxk *xk
est donc définie par la formule
(11,1; 6) ^(?)=_t(|0; ou T^) = - T^.
La relation exprime que les transformations
9 -*- — —- et T
sont transposées l'une de l'autre dans la dualité entre (2)) et (3)').
Naturellement on pourra ensuite considérer les dérivées
successives : toute distribution est indéfiniment derivable. On peut d'ailleurs
intervertir l'ordre des dérivations [puisqu'on le peut pour des fonc-»
tions ?e(Cf")] et l'on aura
(II, 1 ; 7) D"T(9) = (— 1)'"! T(D"9).
Remarques Une fonction / sommable sur tout compact
apparaît ainsi comme indéfiniment derivable. Mais, si elle n'a pas

36
de dérivée au sens usuel, sa dérivée n'est ni une fonction ni même
en général une mesure, c'est une distribution. D'ailleurs si / est une
fonction continue ayant une dérivée (au sens usuel) —— très irrégu-
lière (par exemple non sommable), il n'y a pas de rapport simple
df
entre cette fonction dérivée et la distribution dérivée — .C'est ce
qui fait que les fonctions dérivées de / (au sens usuel) peuvent véri-
fier, si elles sont irrégulières, -—— 5*= -——- , alors qu'on a toujours,
"VE. i)Xi v-Xj vX,
a2/ »*/
pour les distributions dérivées, = .
v , dxkzxl sxtdxk
La dérivation est une opération de caractère local. Si on connaît
une distribution dans un ouvert Cl de R" sans la connaître dans R"
entier, on connaît tQutes ses dérivées dans O. Le support des
distributions dérivées de T est contenu dans le support de T.
§ 2 Exemples de débivation. Cas d'une variable (n = 1)
Nous avons vu que si / est une fonction continue, à dérivée
(au sens usuel) continue /', sa distribution dérivée coïncide avec sa
fonction dérivée. Il n'en est plus du tout de mêmeài f ou f (définie
au sens usuel) sont discontinues.
Exemple 1 Fonctions discontinues. Dérivées successives de la
fonction d'Heaviside Y(x)
On appelle, en électricité et en calcul symbolique, échelon-unité
ou fonction d'Heaviside la fonction Y(x) égale à 0 pour x < 0, à
+ 1 pour x > 0. Elle n'est pas définie pour x = 0, ce qui n'a
aucune importance, puisque, considérée comme distribution, une
fonction n'a besoin que d'être définie presque partout.
(II, 2; 1) Y(») = / " 9(2) dx.
La dérivée Y' est définie par
(II, 2 ; 2) Y'(») = — Y(9') = —f" 9'(x) dx = 9(0) = 8(9),
8 désignant la mesure de Dirac. On a donc
(II, 2 ; 3) Y' = 8.
Cette formule est connue et utilisée depuis longtemps en calcul
symbolique ; mais sans justification correcte.

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
37
Remarquons que dans l'ouvert Cl complémentaire de l'origine,
Y est une fonction continue, à dérivée (au sens usuel) continue et
nulle ; donc on peut prévoir avant tout calcul que Y' a son support
ponctuel, réduit à l'origine.
Il est facile de calculer les dérivées suivantes.
(II, 2 ; 4) Y» = 8'(?) = — 8(9') = — 9'(0).
Y" = 8' est donc un doublet placé à l'origine, de « moment » — 1.
Les dérivées ultérieures sont des « muïtipôïes » ; la dérivée p-ième
Sf/'' est définie par
(II, 2 ; 5) 8'"»(?) = (- 1) p9M(0).
On peut généraliser immédiatement :
Dérivées successives d'une fonction régulière par morceaux
Soit / une fonction « régulière par morceaux ». Dans une
succession d'intervalles ('cv_1, xv) (lim xv = ± oo ), c'est une fonc-
tion indéfiniment derivable au sens usuel du mot ; en chaque point
xv, f et ses dérivées (au sens usuel) ont des discontinuités de
première espèce. Soit f^ le saut de la dérivée usuelle d'ordre p au
point xv. f est donc une fonction presque partout définie (partout
sauf sur l'ensemble dénombrable des xv). 11 y a lieu de distinguer
les distributions /', /" /(n), dérivées de la distribution /, et les
distributions [/'], [/"], .... [/'"'], qui sont des fonctions, égalesaux
dérivées successives au sens usuel de / dans les intervalles (,cv_i, xv) (et
nondéfimesauxpoints.rv).Ainsipour/3=Y.onaura/' = 8et [/'] =0.
Une intégration par parties montre aussitôt que
(II, 2; 6) /'(») = -/(?') = 2 *(*v)/v +j^^x) I/'(*)J dx
ce qui s'écrit
(II, 2; 7) /'= [/'] +2/v8w.
Les discontinuités de / apparaissent dans sa dérivée sous forme
de masses ponctuelles. Dans les dérivations ultérieures, elles ne
disparaîtront plus jamais. En effet on en déduit, de proche en
proche :
(II, 2 ; 8)
p) = (/wj + v /('-"8W + 2/tp-2,«'(xv) +... + 2/vftr1'-

38
Exemple 2 Pseudofonctions. Parties finies de Hadamard.
Calculons la dérivée de la fonction /(x) égale à 0 pour x < 0, à
ll\/ x pour x > 0 (non définie pour x = 0).
Cette dérivée est sûrement nulle dans l'ouvert ' — oo, 0 \ ,
» -, ^ ''
ésale à la fonction — — x "* dans l'ouvert j 0, + oo | , car dans
s 2 / \
chacun de ces 2 ouverts, /(x) est une fonction continue à dérivée (au
sens usuel) continue.
( /'(») = —/(»') = —f+C° »'(*) s-* *.
(II, 2; 9) /.+ .0
/ = —lim / »'(*)* **■
Intégrons par parties :
(II, 2 ; 10) /'(») = lim ^ +y^° Ç(x) (— -i z"*) dx \
Comme ç(e) = <p(0) + 0(e) pour e->-0,ona finalement
., (II, 2 ; 11) /'(») = lim [ f+ " <p(x) f— ^ x-'/'Wx + *(0) «—/•'.
s e-<-0 IJ t \ l ) J
Nous trouvons là une notion introduite par M. Hadamard (x)
pour les besoins de la théorie des équations aux dérivées partielles :
celle de « partie finie » d'une intégrale divergente.
Soit g une fonction sommable dans tout intervalle (a -j- e, b),
: > 0, mais non sommable dans (a, b). Il peut arriver que g(x) soit
la somme d'un polynôme en l/(x-a), et d'une fonction h(x)
sommable dans (a, b) :
(II, 2 ; 12) g(x) = P(l/(x — a)) + h(x) = 2, K ^ + Hx).
(x — a)**
Nous entendrons le mot polynôme dans un sens étendu : une
somme de monômes à exposants complexes quelconques K,
&(\) ^ 1- Nous devrons même supposer d'abord que ces exposants
ne soient pas des entiers. On voit alors que l'on peut écrire
(II, 2 ; 13) H g(x) dx = 1(e) -f. F(e).
J a + e
1(e), « partie infinie » de l'intégrale, est un polynôme en 1/e, somme
de monômes à exposants complexes non entiers
(x) Hadamard [1], pages 184-215

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
39
(II,2il4) w_ 2-^.(4.)».-.
et F(e) a une limite finie F lorsque e-*-0. C'est cette quantité F que
M. Hadamard appelle la « partie finie » de l'intégrale / g(x) dx et
que nous noterons
(II, 2 ; 15)
F=P{JabMdx = -X^(^-1 +f\(x)dx.
, Les principales propriétés d'une telle intégrale généralisée sont
les suivantes :
1° La définition est invariante par changement de variables. Si
x = x (f), / = t(x), est un homéomorphisme indéfiniment différen-
tiable, on a
(11,-2 ; 16) Pf. f g(x) dx = Pf. f ' g [x(t)] x'(f) dt.
Ja J t[a)
2° Calculons l'intégrale / g{x) (x — a)x dx. Lorsque x est un
nombre complexe, de partie réelle > 0 assez grande, c'est
l'intégrale ordinaire d'une fonction sommable.
(II, 2 ; 17) F(x) = / * g(x) (x — a)x dx
Le premier terme est analytiquement prolongeable ; c'est une
fonction méromorphe de x dans tout le plan complexe, ayant un nombre
fini de pôles, les x = xv — 1. Le 2e terme est holormophe pour
&(x) > 0, et continu pour x -*- 0.
Alors F(x) est méromorphe pour &(x) > 0 ; comme les xv ne sont
pas entiers, elle est continue pour x -► 0 et a pour limite
(II. 2 ; 18)
m=-2^i(F^~1 +faKx)dx^i.fagix)dx.
La partie finie d'une intégrale apparaît ainsi comme le prolongement
analytique d'une intégrale ordinaire.
3° Si y(x) est indéfiniment derivable, la fonction g(x) tfx) a dans
(a, b) des propriétés analogues à g et l'on peut définir la partie finie

40
Pf« / 9(x) f(x) dx. On v°it s3118 aucune peine que c'est là une forme
linéaire continue de 96(a)). Ainsi g(x), quoique non sommable sur
(a, b), définit une distribution que nous appellerons une
pseudofonction et désignerons par Pf. g.
(II, 2 ; 19) Pf. g(f) = Pf.J] g(x) <p(x) dx.
Tout ce que nous venons de dire pour une fonction g nulle en
dehors d'un intervalle fini (a, b) et singulière en'a s'étend à des
fonctions g définies sur tout l'axe réel. Si g(x) est une fonction
sommable sur tout compact, sauf au voisinage de certains points ai,
en nombre fini sur tout intervalle fini ; et si au voisinage de chaque
point ai, à droite et à gauche de ai, g est somme d'un polynôme en
(1/1 x — ai|) à exposants complexes non entiers, et d'une fonction
sommable (ce polynôme n'étant pas nécessairement le même à
droite et à gauche de aï), alors on peut définir sans ambiguïté
l'intégrale
(II, 2 ; 20) Pf. g(<ï) = Pt-f*~ ff(x) <x) dx, 9e(£D)
(cette intégrale se calculant comme somme d'intégrales étendues
à des intervalles finis où g ne soit singulière qu'en une extrémité).
Nous voyons alors que si g(x) est la fonction [/'], fonction dérivée
au sens usuel de la fonction f(x) définie page 38 ( [f] = 0 pour x < 0
[/'] = =" x~s,t Pour x > 0 ), la distribution dérivée/'définie par
la iormule (II, 2 ; 11) n'est autre que la pseudo-fonction Pf. {/'].
(II,
; 2 ; 21) /'(») = Pf.^+ " 9(*)(- y x-^dx = Pf. [/'] (9).
Remarque importante La fonction [/'] est < 0, au sens usuel
du mot. Mais la distribution pseudo-fonction /' = Pf. [/'] n'est
nullement une distribution < 0. On n'a pas nécessairement /'(<p)
<0 pour 9 > 0. D'ailleurs /' n'est pas une mesure < 0, puisque [f]
n'est pas sommable au voisinage de l'origine. Par contre /' est bien
une distribution < 0 (mesure < 0) dans l'ouvert a complémentaire
de l'origine. Ainsi /', définie dans R1, est < 0 dans a ; elle est
égale dans û à une mesure < 0 définie dans ü non prolongeable
en une mesure sur R1.

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
41
Voyons maintenant ce qui se passe si certains des exposants xv
sont entiers.
lo Posons toujours
(II, 2 ; 22)
On devra prendre alors
v Av / 1 \*v—* 1
(II, 2; 23) 1(c) = 2 T-^t(— + A, log —
v?tl Xv — 1 \ e / e
et •
(II, 2; 24) F = Pf. C g(x) dx
v Av / i \\—1 rb
= — 1 TT ) + Ax log (b — a)+ h(x) dx.
vytl *v 1\0 a/ Ja
Ainsi î(e) n'est plus un polynôme ; c'est la somme d'un polynôme
en 1/e à exposants complexes pouvant être entiers (mais ^ 0) et
d'un terme logarithmique.
2° La partie finie n'est plus invariante par changement de
variables. Ainsi
(II,
Z*1 dx /"■'•/« dl
:,2;25) Pf./ -=0; Pf. / - = — log 2,
Jo x Jot
alors qu'on passe de l'une à l'autre par l'homéomorphisme
indéfiniment différentiable x =2t,t = x/2.
3° F n'est plus prolongement analytique de F(x) jusqu'à x = 0.
On voit immédiatement que F(x) tend vers oo lorsque x tend
rb a,
vers 0 ; la partie finie Pf. / g(x) dx est la limite de F(x) lorsque
J a X
x tend vers 0.
II pourrait sembler que ces difficultés ne s'introduisent que si l'un
des exposants Xv, soit Xj, est égal à 1 ; mais si, sans qu'aucun
exposant soit égal à 1, l'un d'eux est entier, alors quand on
considérera g(x) <f(x), pour 96 (2>), l'un des exposants sera égal à 1.
Pseudo-fonctions monômes Appelons Pf. (xn')x>0, m étant un
nombre complexe, la distribution pseudo-fonction définie par

42
(II, 2 ; 26)
Pf- (*"%><>•* = Pf- f " ^iK1) <&
r /*+'
= lim-/
a^V*) d-c -+■ ?(0) —
.m + l
m + 1
| wm-i-2 ^ *! m+*+l-'
Le symbole Pf. est inutile si Rm > — 1, et le nombre de termes
à prendre dans le crochet dépend de la valeur de m ; si m est un
entier < 0, le terme en -pr- doit être remplacé par log e.
rpf. ('cm)a.>t)]- ? est une fonction analytique de la variable
complexe m sauf pour m entier < 0. Si m n'est pas un entier ^ 0, on a
évidemment
(II, 2 ; 27) ^ [Pf. (OI>0] = Pf• m (s— %>0.
Autrement dit, la dérivée de la pseudo-fonction s'obtient par la
règle ordinaire de dérivation d'un monôme. En effet la formule est
exacte pour üRm > 0 ; alors, si l'on appelle S et T les distributions
qui figurent aux deux membres de l'égalité ci-dessus, S(?) et T(?)
sont égaux pour (&m > 0, et sont des fonctions analytiques de la
variable complexe m, donc sont identiques. Mais si m'est un entier
< 0, m = — l, cette méthode de prolongement analytique n'est
plus valable, et l'on trouve par un calcul direct
m-,.-m )dxL vW.xmW + V->o + ( } Tî
(11,2,28)
fïiK(7LUptW.<,-(-1)fiï
La distribution pseudo-fonction Pf. — ,qui est la dérivée de
log i x |, peut aussi s'écrire v p. —, car on a
(II,2;29) Pf.i_.9=limrre^dz+r°°^dxl
/-+ » Ç(Z)
= vpJ_. T*'
v p. désignant la valeur principale de Cauchy, dont l'existence est
assurée par la différentiabilité de ?.

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
43
En combinant les deux égalités (II, 2 ; 28) on obtient
d / 1 \ I —l
(II, 2 ; 30) -Pf.^.p../^—
Généralement on a à considérer la famille de pseudo-fonctions
(II, 2 ; 31)
1 Y<» = "TTT Pf' O*-1*- \>o> Pour m distinct d'un entier <0 ;
' Y_, = ***' pour m = — l, entier •< 0.
En regardant la définition des pseudo-fonctions monômes, on voit
que, si m tend vers un entier -^ 0, Ym(?) reste une fonction
continue de m grâce au facteur l/r(m). Ym(?) est ainsi une fonction
analytique entière de la variable complexe m. D'autre part on a
toujours la formule de dérivation :
-^-Y =Y
dx m m~i
Ces remarques sont à la base de la théorie des dérivées et
primitives d'ordre non entier (chapitre VI, § 5).
§ 3 Exemples de dérivation. Cas de plusieurs variables
Exemple 1 Fonction discontinue sur une surface. Soit f(x) une
fonction indéfiniment derivable au sens usuel dans le volume fermé
V limité par une hypersurface fermée S indéfiniment differentiate,
mais nulle à l'extérieur de S. Ainsi / et ses fonctions dérivées usuelles
[Dp/I ont des discontinuités de première espèce le long de S. On a
aussitôt
(II, 3; 1)
( iL .,«_,. il =_/jf... fKx)^dx
/ = / ... / f(x)<f(x)dx2 dx^.-.dxn + JJ ... / — (x)<f(x)dx.
l'intégrale de surface pouvant aussi s'écrire
(II, 3 ; 2) — f... ff(x) 9(x) cos eLrfS.
0j étant l'angle de la normale extérieure à S avec l'axe Oz,. Cela
prouve que la distribution dérivée —^-est égale à la somme de la

44
fonction dérivée usuelle [ — ' et d'une mesure singulière, portée
par l'hypersurface S, et possédant la densité superficielle — f(x)
cos 6X.
On calculera de même les dérivées suivantes. Toute dérivée
d'ordre m de / est la somme de la dérivée usuelle correspondante et
d'une distribution portée par S, formée découches multiples d'ordres
< m, s'exprimant à l'aide des dérivées d'ordre < m — 1 de /
sur S (au sens usuel). On voit par cet exemple que toutes les
formules du type Stokes, ou Green, sont une autre manière
d'exprimer les distributions dérivées de fonctions discontinues.
Ainsi la formule classique
(II, 3 ; 3) ff-fftx) A<pdz
exprime que le Laplacien A/ est la somme du Laplacien usuel [A/i,
d'une mesure portée par S de densité superficielle — —-et d'une
I flVJ
distribution de doublets portés par S, orientés suivant la normale
à S, et de densité superficielle de moment égale à /. De telles
interprétations sont très utiles dans la théorie du potentiel et des
équations aux dérivées partielles ; la démonstration directe de ces
formules donne d'ailleurs une méthode plus intuitive pour retrouver
les formules de Green de ces équations.
Exemple 2 Fonctions de la distance. Soit r = \Jx\ -1- x* + ... x*n,
et m un nombre complexe. Nous définirons la distribution
pseudofonction Pf. rm par la formule
( (Pf. /•"*)•? = Pf. fj ... ! rm<£c)dx
, 3 ; 4) i JJ J
I . =lim[ Cf... frm<f(x)dx — !(,)],
1(e) étant un polynôme en e, à exposants complexes 7= 0, augmenté
éventuellement d'un terme en log e. On trouve que
(II, 3; 5) (Pf-O-9
- S?» lfl>Jr«X)dX + I H* AV0) mCn +2/J

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
45
(H,3;6) HA= - ,A = - + -+... + —
Le nombre des termes entre crochets dépend de m ; pour
iftrn > — n, le symbole Pf. est inutile ; enfin, le terme -~r doit être
remplacé par log e, si m + n est un entier -^ 0 pair.
La quantité F(m) = (Pf. r"1). 9 est une fonction analytique de la
variable complexe m, sauf pour m -"- n entier -^ 0 pair ; ces valeurs
de m sont des pôles simples de la fonction analytique et l'on a enc ore,
pour m = — n — 2h, comme nous l'avons vu pour F(x) (page 41) :
(II, 3 ; 7) (Pf. r-"-2*). 9 = Um fF(— n — 2h + u) — —l
Dans ces formules, on peut remplacer les sphères r = e par une
autre famille de surfaces assez régulières ; naturellement la partie
infinie 1(e) dépend des surfaces choisies, mais non la partie finie, si
m 4- n n'est pas un entier <J 0 pair ; la formule (II, 3 ; 7) n'est pas
toujours valable. On peut alors écrire la formule
(II, 3 ; 8) A(Pf. O = m(m + n — 2) Pf. r*1-2
îorsque m -f- n n'est pas un entier -^ 2 pair. En effet cette formule
est vraie pour (Rm assez grand, donc pour toutes les valeurs non
exceptionnelles de m par prolongement analytique. Pour
* m + n = — 2/1 + 2,
h étant un entier ^ 0, on trouve
-2
( II, 3 ; 9) £(Pf. r"*) = m(m +n—2) Pf. r"—2 + -* t-
_0 L <!«._/**
(2 —n —4/tK/2
22A-iAir/| + ^
Le cas le plus important est celui de m =2 — n :
N est le produit de (n — 2) par l'aire H0 de la sphère de rayon 1
dans R". Il est bien connu que, pour r ^ 0, la fonction (— ) est
harmonique ; mais justement on s'interdit habituellement de
considérer ce qui se passe pour r = 0.

46
Nous pouvons maintenant dire que A' n_2 j est une masse
ponctuelle < 0, — N, placée à l'origine. Etant donné l'importance de ce
résultat, donnons-en une démonstration directe.
(II, 3 ; 11)
a(t^)(?) =ff'"fà9 -^dx =^o/Lrfà9 hdx-
Appliquons la formule de Green, v désignant la normale extérieure
à la sphère r = e, e""-1 dCl son élément d'aire :
(II, 3; 12) a(-^). (f) -^Üfr>rf4^=i)<*
Jr = t J dv Vr"-2/ Jr=eJr"-2dv j
La première intégrale est nulle (l/i*"-2 est harmonique). La deuxième
intégrale vaut — (n — 2) / ... / <pdû, dont la limite, pour e -»- 0,
est — (n — 2) H0<p(0).
La troisième intégrale peut être majorée par 0(e) (? étant diffé-
dtp n Xi 0 ç \
rentiable et — valant Y 1 ; sa limite est nulle.
dv ,-=, r tod
La formule finale
(II, 3 ; 13) a(—~) (?) = - (n - 2) Ho9(0) = - N*(0),
équivalente à (II, 3; 10), est donc le résultat d'un calcul très
élémentaire de la théorie des fonctions harmoniques ; exactement celui de
la formule de Poisson pour les potentiels (ici ce calcul est évident,
9 étant derivable). Pour n = 2, N = 0, c'est log — qui joue le rôle
de *
(II, 3 ; 14) A log ~ = — 2*8.
De ces formules on déduirait sans peine les Laplaciens itérés des
distributions Pf. rm. Mais, comme cela se produit déjà pour n = 2
dans le cas de l'équation de Laplace, il est nécessaire pour avoir la

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
47
« solution élémentaire » de l'équation de Laplace itérée, de
considérer des fonctions r"1 log r. Si k est un entier > 0, on aura
(11,3; 15) A*(r2*_n):=(2*—n)(2k—2—n)...(4—n)(2 — n)
de sorte que si 2 k— n est < 0 ou s'il est ^ 0 mais que n soit
impair, il existe une constante Bkn telle que
(II, 3; 16) A*(BMr2*-") = 8,
mesure de Dirac.
Si maintenant 2/r — n est > 0 et pair, on utilisera la formule
suivante, valable seulement dans ce cas :
(II, 3; 17) dV^ogr)
= :[(2*-n)(2*-2-n)...(4-n)(2-n)!l2*-1(/t-l)l||s,
étant entendu que dans cette formule, le facteur 0 du double crochet
doit être omis. Il existe alors une constante Akn telle que
(II, 3 ; 18) A*(A*,„ r21^" log r) = S.
Nous en déduisons, quels que soient k et n, l'existence de
constantes Ak et Bk n (dans chaque cas, l'une des deux est nulle), telles
que
(II, 3 ; 19) S" [r2^" (Ak>n log r + B,>n)] = 8.
Notons enfin l'exemple suivant. Si l'on pose
(II, 3; 20)
„mit
iL =2
T(mI2) Pf" J 2 K"-'" (2*r)j sauf pour m entier <0 pair,
2
I L_2fc = ( 1 — — ) S, pour m = — 2/r, entier < 0 pair.
K est ici la fonction classique de la théorie des fonctions de Bessel.
En dehors de l'origine c'est une fonction analytique, qui converge
exponentiellement vers 0 à l'infini ; elle est "5s 0 pour m ^ 0.
Lm(<p) est> grâce au choix du facteur numérique l/r(m/2), une
fonction analytique entière de la variable complexe m. On a
(II, 3 ; 21) ( 1 - ~j Lm = L^ ; (l - ~j" Lm = Lm_2t.

48
(II, 3; 22) (i-AYl^
En particulier
mesure de Dirac : L2A. est la solution élémentaire de l'opérateur
\ 4««/
Exemple 3 Fonctions méromorphes
Dans le cas de n = 2, on peut représenter un point de R2 par ses
2 coordonnées, que nous appellerons x et y, ou par son affixe
complexe z = x -1- iy, de conjugué ~z = x — iy. Nous poserons
(II, 3; 23) J , f ), /( i._ffJL_i.
D// \ Dz oz
) i_ = A /A i i i_ ).
'. Dz 2 \DZ D///'
Si /(z) est une fonction holomorphe de z, elle vérifie, en tant que
fonction ou distribution sur R2,
(II, 3; 24) ~ = 0 (conditions de Cauchy) et — = /'(z)
(dérivée par rapport à z au sens usuel).
Il n'en est plus du tout de même pour une fonction méromorphe
au voisinage d'un pôle.
Nous définirons.comme précédemment la distribution Pf. — (m
entier) (si m •< -f- 1, le symbole Pf. est inutile) :
(H, ,; *> i^y-^Jf^^-^l).,
i. rjs-e _l
v p. désignant la valeur principale de Cauchy (Cette formule résulte
de ce que la partie infinie 1(e) est nulle).
Le résultat est le suivant : d'une part
a / 1 \ (—m
(II, 3; 26) — fvp.— Uvp. (
3Z \ Zm] Vzm+1/
(de ce point de vue, vp. — se comporte comme une fonction holo-
zm
morphe usuelle), et d'autre part
(II, 3; 27) JLfvp.4;)=(-
1)"
Dz \ zT'J (m — l)\dz

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
49
En particulier, pour m = 1, la formule
(II, 3; 28) -4 (—\ = *8
jouera dans la théorie des fonctions analytiques le même rôle que la
formule (II, 3 ; 10) dans la théorie des fonctions harmoniques. Elle
peut servir de fondement à la théorie des résidus et s'étendre au cas
de plusieurs variables complexes (1).
Dans le même ordre d'idées, soit / une fonction continue dans
l'aire fermée S limitée par un contour régulier C, holomorphe à
l'intérieur de S, nulle à r extérieur. / présente des discontinuités le
long de C, comme dans l'exemple 1°.
a/
Alors la distribution dérivée —r- est la mesure portée par C,
représentée, pour C parcourue dans le sens direct, par la différentielle
— —r f(z)dz. Autrement dit, pour 96 ($) :
(II, 3; 29) ^.» = -^f/*fc.
dZ ZlJ C
— .9 =
3Z
Exemple 4 Distances hyperboliques
Posons, dans R", s = \Jx\— x\— x\... — xin_v pour z„> 0 et
seulement lorsque la valeur trouvée est réelle, et s = 0 dans les
autres cas. II est possible de définir, comme l'a indiqué M. Hada-
mard (2), une distribution Pi". .sm par une formule
(II, 3 ; 30) (Pf. sm). 9 = Pf. / / ... / sm(x) 9(x) dx.
La partie finie, inutile pour irtm > — 2, est ici un peu plus
délicate à définir, car la fonction sm, pour ,Rm < 0, devient singulière
sur toute la surface du « cône d'ondes » x*n — x\— x\... — x\_x = 0.
On peut voir que (Pf. sm). 9 est une fonction analytique de la
variable complexe m, sauf pour une double infinité de valeurs
singulières, qui sont des pôles :
C) Ces formules ont etè développées dans Dolbeault [1], chapitre IV
Kodairi [1], Schwartz [8]
(2) Had<.mard[ 1 ], pages 220-230. Le calcul n'y est fait que pourm=^ — n,n
impair. On peut le simplifier et l'étendre àmetn quelconques. Nous ne
donnerons pas ici la définition précise de cette partie finie. Voir note f1), page 51

50
a) m = — 2, — 4, ... ; m entier < 0 pair.
b) m = — n, — (n + 2), ... ; m + n entier < 0 pair.
Si n est pair, il y a des valeurs communes à ces deux séries, qui
sont alors des pôles doubles pour la fonction analytique. Comme
dans l'exemple des fonctions monômes, il est intéressant de
considérer, avec M. Marcel Riesz (1), les distributions :
<"'3;3,) Z'= =•,, ,,\ n + 2-^{-s""'
' ' * V) '\—2— I
l — n non singulière.
Pour les valeurs singulières de l — n, on prendra la distribution
définie, pour toute ?e (3)), par passage à la limite de Z,(?). Or il se
trouve justement, grâce au facteur numérique qui s'annule aux
pôles de la fonction analytique Pf. sm(ç), que cette fois Z,(?) est
une fonction analytique entière de la variable complexe/. Pour l —n
non singulière, Z, a pour support le support de la fonction s ; pour
la série b) de valeurs singulières, Z, est portée par l'origine, et l'on a,
pour k entier ^ 0 ;
(II, 3; 32) Z_2k=akS; D = —- — — -..——.
Pour les valeurs singulières de la série a) qui ne coïncident pas
avec celles de l'autre, Z{ a pour support la surface du cône d'ondes
(principe de Huyghens).
On a toujours
(II, 3 ; 33) DZ, = Z,_2 ; D*Z, --= Z,_2fc.
Cette formule est en effet évidente pour (M assez grand, elle est
donc toujours vraie par prolongement analytique. En particulier
(II, 3 ; 34) DZ2 = S, DA"Z2A = S .
Z2 est la solution élémentaire de l'équation des ondes, Z2;c est la
solution élémentaire de l'équation des ondes k fois « itérée ».
Naturellement l'établissement de ces formules ne nécessite aucune
(l) Marcel Riesz [1]. Les démonstrations figurent dans Marcel Riesz [2].
Les formules (II, 3 ; 31), (II, 3 ; 33), et l'utilisation systématique du
prolongement analytique sont dues à cet auteur. Mais il faut remarquer que pour
nous Zj n'est pas un opérateur, mais une distribution, dont la définition peut
être précisée sans prolongement analytique. Les relations entre l'opérateur et
la distribution seront vues au chapitre VI, formule (VI, 5 ; 21)

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
51
connaissance spéciale sur la théorie des équations aux dérivées
partielles, mais peut au contraire servir de base à leur étude (1).
Exemple 5 Dérivations sur une variété
Sur une variété indéfiniment différentiable V (voir chapitre I,
§ 5), une dérivation du premier ordre ;> est définie par un champ de
vecteurs indéfiniment différentiable. On définira la dérivée d'une
distribution par la formule
(II, 3; 35) 5T.9= —T.^9.
Avec des coordonnées locales, l'expression d'une telle dérivation
en fonction des dérivées partielles par rapport aux coordonnées ne
sera pas la même pour des fonctions et des distributions. Il en sera
d'ailleurs de même sur R", dès que l'élément de volume dx ne sera
pas un invariant de la transformation infinitésimale définie par le
champ de vecteurs. Considérons par exemple, la dérivation par-
tielle — , définie sur le complémentaire û de 0 dans R" :
(H. s; 36) 5F-|7^'
Pour une distribution, on aura, avec les notations de la
multiplication (chapitre V) :
dT ;>ç „ x„ ;>? „ » fxk \
(II, 3; 37) — .«p =-T.-=.-yT.-- = S— -T •?
v ' *r ïr f r dxk f *xk \r )
dT _ ;> (xu \ n — l _xk dT
(II, 3;38> — = 2— -T = T + 2-
î)r k *xk \r I r h r *xk
Les plus grandes précautions doivent être prises dans R" dès
qu'on utilise d'autres coordonnées que x1, x x„.
§ 4 Primitives des distributions. Cas d'une variable
Primitives d'une distribution Théorème I Toute
distribution d'une variable x (n — 1) admet une infinité de primitives ; deux
d'entre elles diffèrent d'une fonction constante.
La 2e partie du théorème revient à dire qu'une distribution dont
'a dérivée est nulle est une' fonction constante.
/
t1) Tous ces calculs sont explicités, en formules invariantes par le .'groupe
de Lorentz, dans la thèse de Methée -.Voir aussi Eliana Rocha de Brito [1]

52
Soit S une distribution donnée. Pour qu'une distribution T soit
une primitive de S, autrement dit pour que T' = S, il faut et il
suffit que, pour toute fonction xe(2))qui est la dérivée d'une
fonction 4« 6 (2>), on ait
(II, 4 ; 1) . T(x)=t(£)=-S(*).
Ces fonctions x, dérivées exactes, forment un sous-espace vectoriel
hyperplan (3C>) de (2>) : elles satisfont en effet à l'unique condition
linéaire
(II, 4; 2) f "x(0 dt = 0,
moyennant quoi leur primitive
(II, 4 ; 3) m =J*_x x(0 dt
est bien à sunoort compact.
Ainsi T est une forme linéaire sur (3)), connue sur (36) ; on la
connaîtra complètement si on connaît sa valeur T(ç„) sur un
élément <p0 de (f?) n'appartenant pas à 36. Choisissons par exemple
Vo telle que
(II, 4; 4) f*\0(t)dt = + l.
Alors pour 9 e (2)) quelconque, on aura la décomposition unique :
(II, 4; 5) r-/-"'W*
I di>
fx = ?->?,e(Äi) donc =—, 4>e($),
qui donnera
(II, 4 ; 6) . T(9) = xT(9o) — S(+).
Réciproquement, si T est la forme linéaire définie sur (3f>) par
(II, 4 ; 1), elle est continue sur (3G)n(3)K), car si xe(ffi)n(fS>J
converge vers 0 dans (2)K), sa primitive 4. converge vers 0 dans (<£>„)
(H étant le plus petit intervalle contenant K), et S(<1<) converge
bien vers 0. Alors en choisissant arbitrairement T(?0), on définit
une forme linéaire sur (2)) qui est bien continue sur (li)K) : car si
9 * 0 dans ('i>K), x _*. 0, donc 9 — x?0 = x -*■ 0 dans (36)rv(®..),
L étant la réunion de K et du support de 90, et par suite T(9> ->0.
La distribution T ainsi formée est bien une primitive de S,
puisqu'elle vérifie (II, 4; 1).

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
53
La différence Tj — T, entre 2 primitives provient de choix
différents de T(ç0) ; on aura
(II, 4 ; 7) Tjfo) — Trf») = Cx = f+" C<f(x) dx,
J —s»
donc Tj — T2 est la fonction constante C.
Dans la théorie usuelle, pour choisir une primitive particulière
d'une fonction, on fixe sa valeur en un point x0 particulier. Ici rien
de semblable évidemment. Pour choisir une primitive particulière
T, on fixe sa valeur sur une fonction ?0e (:•£>) particulière,
n'appartenant pas à (3ß).
Le théorème I a évidemment un caractère local aussi bien que
global. Toutefois une distribution de dérivée nulle dans un ouvert Cl
est égale à une fonction constante dans toute partie connexe de Cl,
mais non nécessairement égale à une même constante dans Cl. Ainsi
Y (fonction égale à 0 pour x < 0, à 1 pour x > 0) a une dérivée
nulle dans l'ouvert complémentaire de l'origine.
Corollaire Toute distribution admet une infinité de
primitives p-ièmes ; deux d'entre elles diffèrent d'un polynôme de degré
<P — 1.
Primitives d une mesure Théorème II Pour qu'une
distribution ait pour dérivée une mesure, il faut et il suffit qu'elle soit une,
fonction, ,à variation bornée sur tout intervalle fini.
1° La condition est suffisante.
Soit / une fonction à variation bornée sur tout intervalle fini.
Pour 96 ('J>),'
/*+°° d<p r+c°
(II, 4 ; 8> — / f(x)^-dx = Jx) df(x) ,
J — oo dX J — oo
l'intégration par parties étant valable pour des intégrales de Stieltjes.
Cela prouve que la dérivée de la fonction / est la mesure (df),
justement définie par cette fonction à variation bornée. Nous voyons
qu'il est essentiel de ne jamais confondre une fonction à variation
bornée sur tout intervalle fini, f, avec la mesure (df) qu'elle définit ;
la mesure est la dérivée de la fonction.
2° La condition est nécessaire.
Soit (x une mesure. La fonction /, à variation bornée sur tout
intervalle fini, définie par f(x) == / du (a étant un point sans masse
.la

54
pour la mesure n) est, d'après ce qui précède, une primitive de n ;
tout autre primitive en diffère d'une fonction constante, donc est
elle-même une fonction à variation bornée sur tout intervalle fini.
On peut particulariser le théorème et écrire :
Pour qu'une distribution ait pour dérivée une mesure ^ 0, i7 faut
et il suffit qu'elle soit une fonction croissante.
On démontrerait de même :
Pour qu'une distribution ait une dérivée seconde > 0, i7 faut et il
suffit qu'elle soit une fonction convexe.
On peut ainsi caractériser la différence de 2 fonctions convexes
comme une distribution dont la dérivée seconde est une mesure.
Nous avons vu, au début du chapitre sur la dérivation, que si une
fonction continue / admet une dérivée (au sens usuel) g continue,
la distribution / admet pour dérivée la distribution g. La
démonstration du théorème II nous permet de généraliser comme suit :
Théorème III 1° Si une fonction continue f(x) admet presque
partout une dérivée (au sens usuel) g(x), sommable sur tout intervalle
fini, et si f est l'intégrale indéfinie de g, la distribution f a pour
dérivée la distribution g,
2° Si une distribution a pour dérivée une fonction g, elle est elle-
même une fonction f absolument continue, intégrale indéfinie de g ;
elle admet g(x) comme dérivée (au sens usuel) presque partout, et
en tout point x ou g est continue.
Corollaire Une distribution dont toutes les dérivées sont des
mesures est une fonction indéfiniment derivable au sens usuel.
Car si la dérivée d'ordre k + 2 est une mesure, la dérivée d'ordre
À- est une fonction continue ; les dérivées de /, qui sont toutes
continues, sont alors ses dérivées au sens usuel.
On peut étendre ce théorème aux distributions dont toutes les
dérivées sont d'ordre ^ m fixe (corollaire du théorème XXI du
chapitre III) et au cas de plusieurs variables (théorème XIX du
chapitre VI).
§ 5 Primitives des distributions. Cas de plusiiïurs variables
Théorème IV Si Sj est une distribution donnée sur R",
l'équation, par rapport à la distribution inconnue T,

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
55
(II, 5 ; 1) ^L = Sj ,
admet une infinité de solutions ; deux d'entre elles diffèrent d'une
distribution arbitraire, « indépendante de xx ».
La démonstration est calquée sur celle du théorème I mais un
peu plus compliquée.
Distribution indépendante de x^ Définissons d'abord ce que
nous entendons par une distribution « indépendante de xx ».
Soit 96(^), h = | hv h2, ... hn j un point de Rn.
La translatée tA9 de 9 par fteR" est définie par ^h<f(x) = <f(x — h).
Nous définirons alors la translatée tAT d'une distribution T par h par
la formule
(II, 5 ; 2) tAT.tA? = T.9 ou tAT(9) = T(f_A9) .
Cela revient à dire que dans (3>) et (<£'), les deux opérations linéaires
9 —► tA9, T —>- taT, sont contragrédientes l'une de l'autre ; 9—» *—!,<?,
et T ->-tAT sont transposées l'une de l'autre. Si T est une fonction /
(définie presque partout, sommable sur tout compact), tAT est bien
la translatée usuelle tA/. Nous dirons alors qu'une distribution T
est indépendante de xv ou encore qu'elle dépend seulement de
xt, x3, ... x„, si elle est invariante par toute translation
A = JA>, 0, 0, ... 0|
parallèle à l'axe des Xy. On a donc :
(II, 5 ; 3) tAT = T, quel que soit h = \hv 0, 0, ... 0 j.
Si T est une fonction continue /, cela coïncide bien avec la notion
usuelle de fonction indépendante de xx ; si T est une fonction /
sommable sur tout compact, on voit sans peine que / est bien presque
partout égale à une fonction indépendante de xv
L'indépendance de T par rapport à xx est équivalente à la rela-
tion — = 0.
Considérons en effet, pour T et o fixées, h = j hv 0, ..., 0 j
variable, la fonction de /.j
(II, 5 ; 4) «K/h) = tAT.9 = T.9(x + h).
Dans la suite, nous supposerons que hx (et hx + dhj restent dans
un intervalle ouvert fini ]a, b[. Alors, pour 9 fixée, f_.,9 garde son

56
support dans un compact fixe K de R". Mais <p(x -f- h), considérée
comme fonction de /.j à valeurs dans l'espace topologique (3)K). est
continue et même indéfiniment derivable. On a, la limite étant
prise dans (3)K) topologique :
/TT K ^ ,• 9(X + h + dh) — <f(X + h) »
(II, 5 ; 5) hm. — = -r- <?(x ->- h)
Mais comme T est une forme linéaire continue sur (3)K).
l'expression i^hj) est une fonction numérique indéfiniment derivable de /»!
au sens usuel, et l'on aura
<"'5;6> ^-^lT.*+*>!-T.(i^ + *»
= T. (±-,(* + »)) --£-«*--h).
;>T
Alors, si — est nulle, cette quantité est nulle ; mais comme ce
résultat est indépendant de l'intervalle fini ]a, b[, ty(hj, fonction
numérique continue à dérivée partout nulle, est constante, et T est
bien indépendante de xv Réciproquement, si T est indépendante
dT
de xv la dérivée de 4» pour hx = 0 est nulle, ce qui prouve que — est
dXi
nulle. La différence entre deux solutions de (II, 5 ; 1) vérifie — = 0,
t>Xx
donc est une distribution arbitraire indépendante de xv
Recherche des primitives. On voit sans difficulté que le théorème
se démontre comme celui qui est relatif à une variable. Toutefois
• • <>tyi
ici le sous-espace vectoriel (36j) des fonctions xi = —- n'est plus
dxt
un hyperplan, car xi est astreinte à vérifier une infinité de conditions
linéaires :
(II, 5 ; 7) f+°° x(tl, x%, ... x„) dtx = 0.
J 00
Si 90(z) est la fonction d'une variable définie à la formule
(II, 4 ; 4), on a la décomposition unique suivante :
lf{xx,Xt Xn) = X^Xjj,X3,...,Xn) ÇoC^l) ^ Xlfrl.X2, ...,Xn)
(II 5*8".' /*""" °°
| Xl(XZ> %3> --. Xn) = / <K'l- *2. ■■■, Xn) dt1 ; Xl€(36j).

DERIVATION DES DISTRIBUTIONS
57
Toute distribution T solution de (II, 5 ; 1) vérifie donc
(II, 5 ; 8) T(?) = T(W - S^) = S^ - S^.
On voit que \ décrit tout l'espace (2>)xt,xt *„ des fonctions
indéfiniment dérivables à support compact des n—1 variablesxv x^, ...,xn.
Soit K' un compact de l'espace euclidien an — 1 dimensions défini
par les variables xv xa x„ ; si \ converge vers 0 dans (2)K'),
xlVo converge vers 0 dans (2)K), où K = H x K', H étant le
support de «jy, sur la droite réelle des xv et S^x^ = T^?,,) doit alors
converger vers 0 ; donc Sj est une forme linéaire sur (-2>)*t.*s *„,
continue sur chaque (3>K>), donc une distribution appartenant à
(®')xj.x *„• Réciproquement si Sj est une distribution
quelconque de C®')*,,*,, ....*„. on voit aussitôt que le dernier membre de
(II, 5 ; 8) définit T comme une distribution sur R" qui satisfait à
(II, 5 ; 1) . Nous obtenons, en même temps que la solution complète
du problème et la démonstration du théorème IV, l'expression la
plus générale d'une distribution U indépendante de xl :
X + oo
<?(tlt Zjs, .... Xn)dtv
-oo
C'est cette formule qui généralise (II, 4 ; 7) pour n > 1.
Fonctions ayant pour une dérivée une fonction.
Théorème V 1° Si une fonction localement sommable f est
absolument continue en xx sur presque toutes les parallèles à l'axe des
xl3 et admet presque partout pour dérivée (au sens usuel) une fonction
-... „~......„— — = gv on a aussi— = glt au sens de la
LtlXi » dX±
théorie des distributions ;
0/
2° Si une fonction f admet pour dérivée — , au sens de la théorie
uXi
des distributions, une fonction gv fÇ) est absolument continue en xl
sur toutes les parallèles à l'axe des xv et admet presque partout pour
r3/i
dérivée —. au sens usuel la fonction gv Si en particulier f et gx
ij^X^l
sont des fendions continues dans un ouvert n, f y admet partout gl
comme dérivée au sens usuel.
(l) Comme toujours, après éventuelle modification sur un ensemble de mesure
nulle

58
1° On a en effet immédiatement :
= / ... dx2 dx3 ... dxn / f{x) i— — jrfïi
= ^ ... / dz2 dx3 ... dxn f g1fdx1 = // ... / g^x) <?(x) dx = gfa).
Exemple. —
(II, 5 ; 12)
Si
mrO <> <n-
2° Posons
(II, 5 ; 13)
'•V?
3z.
— 1.
M*) = /
x\, on a
1
1 s-iCi,:
XXi
jX + 2
-Cj, ...,
Du fait que g1 est localement sommable, /j est définie presque
partout, absolument continue en x1 sur presque toutes les parallèles à
l'axe des xlt sommable sur tout compact ; d'autre part, elle admet
g1 comme dérivée au sens usuel presque partout et par conséquent,
d'après le 1° ci-dessus démontré, au sens des distributions. On a
donc, au sens des distributions :
(II. 5 ; 14) / = /i + Slf
où Si est une distribution indépendante de xx ; comme f et /j sont des
fonctions, Si est aussi une fonction. En la modifiant éventuellement
sur un ensemble de mesure nulle, on la rend effectivement
indépendante de x1 au sens usuel, elle devient absolument continue sur
toute parallèle à Oxlt et de dérivée usuelle —- partout nulle, c. q. f. d.
Si alors g1 et / sont continues au voisinage du point a(av at a„),
alors f1 est continue au voisinage de a, donc aussi 2lf et comme Si
est indépendante de xu elle admet au voisinage de a une dérivée
rDSn
I— I partout nulle, sans qu'on ait besoin au préalable de la modi-
fier sur un ensemble de mesure nulle ; d'autre part /i admet pour
dérivée usuelle la fonction g, partout au voisinage de a, donc
aussi /, c. q. f. d.

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
59
Remarque 1 Comme Si est une distribution, il est nécessaire de
supposer que / elle-même est une fonction, cela ne résulte pas de
ce que — est une fonction.
Remarque 2 Si une distribution T a pour dérivées premières
des fonctions, nous verrons qu'elle est elle-même une fonction
(théorème XV du chapitre VI).
;>T
Si toutes les dérivées — sont des fonctions continues, nous ver-
rons que T est une fonction continue / (théorème VII) ; alors /
;>/
admet partout ses dérivées distributions — comme dérivées usuelles,
et par suite elle est continûment différentiable, au sens usuel. Nous
perfectionnerons ces résultats au § 6 du chapitre VI.
§ 6 Distributions dont on connaît plusieurs dérivées
partielles
Théorème VI (') Pour que le système de k équations en T
;>T ;>T aT
(II,6;l) - = Sl, - = S„ .... -=S*
soit compatible, il faut et il suffit que quels que soient i < k et / < k
77 admet alors une infinité de solutions ; la différence entre 2 d'entre
elles est une distribution arbitraire U indépendante de xv xv ..., Xk
(invariante par translation parallèle au sous-espace vectoriel des
xltxv ..., Xk) dont l'expression la plus générale est
(II, 6; 3)
U(<p) = S*(>*), >* = f.f <f(tlt tt,.... tk, Xk+i, .... xn) dt... dtk,
k
Sfc étant une distribution quelconque dans l'espace B.n~k des variables
Xk+u ..., a:„;
Pour k = n> une distribution indépendante de toutes les variables
est une fonction constante
(II, 6 ; 4) U(9) = ?„(>*) = Cx„ =//.-■ f Cçftt, f* .... t^dtx...dtn.
(1) Ce théorème traite en réalité de la différentielle extérieure et de la
primitive extérieure d'un courant (théorème de Poincaré généralisé). Voir chapitre
IX, § 3, théorème 1 et sa démonstration. -

60
Démonstration Ce théorème se démontre par les mêmes
méthodes que le théorème IV et nous ne le détaillerons pas. La seule
nouveauté est relative aux conditions de compatibilité (II, 6 ; 2).
aS,- »S,-
Ces conditions sont évidemment nécessaires car — et —- doivent
3x; 3x.
être égales à . Montrons qu'elles sont suffisantes. Nous résol-
° dXiïXf
vons d'abord la première équation(II, 6 ; 1), commeilest indiqué au
paragraphe précédent. Si Tx est une solution particulière, la
solution générale est donnée par la formule
(II, 6 ; 5) T(») = Tifr) + U\),
21 étant une distribution dans l'espace des n — 1 variables xt,
I3, ..., x„. La deuxième équation (II, 6 ; 1) s'écrit alors
3T* D"^1
(II. 6; 6) S2(,)=~1(,) + ^(x1).
dT,
Mais la distribution S2 — — est indépendante de xlt car sa
dérivée partielle en xx est nulle d'après (II, 6 ; 2) :
(II. 6; 7)
c'X1 \ <-'xj./ c'X1 OX^Xi
3 32T. 3 / 3T.\
= 0.
Donc il existe une distribution S.,, sur l'espace des variables x2,
xj, ...,xn, telle que
3T
(II, 6; 8) S,(*)——i(9) = SM(x1),
•>xt
de sorte que (II, 6 ; 6) s'écrit
(II. 6 ; 9) ^ = S,,,.
C'est une équation dont l'inconnue est la distribution Si ; elle est
identique à celle qui a été résolue au paragraphe précédent (mais à
une variable de moins). Et ainsi de suite.
Corollaire Si toutes les dérivées d'ordre m d'une distribution
sont nulles, elle est un polynôme de degré < m — 1.
(Car les dérivées d'ordre m — 1, ayant leurs dérivées premières
Dxx \ * dxj Dxx dXjPx2
3 „ 32Ti 3 /
= Sx i- = — Si
0XS Ox^xj 3x2 \

DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
61
nulles, sont des constantes. Les dérivées d'ordre m — 2 sont alors
des polynômes du 1er degré, etc.).
Les théorèmes II et III du § 4 peuvent s'étendre et donner des
propriétés importantes de T lorsque l'on connaît des propriétés de
toutes ses dérivées premières. Mais des modifications importantes
doivent être apportées aux énoncés des théorèmes quand on passe
de n = 1 à n quelconque ; en particulier, comme nous l'avons dit
5/
plus haut, une fonction peut avoirtoutes ses dérivées —— égales à des
*?Xi
fonctions sommables sur tout compact sans que / soit une fonction
continue ni même bornée (exemple : formule (II, 5 ; 12)).
Distributions dont les dérivées sont des fonctions continues
Théorème VII Si une distribution T a pour dérivées du premier
?T
ordre -— des fonctions continues glt gv ..., g„, c'est une fonction con-
uXi
tinûment differentiate au sens usuel f(x), et les gi sont ses dérivées
usuelles. On a la formule
(II, 6 ; 10) /(*)—/(0) = H [g^dt, + g^d^ + ... + gn(f)dtn],
l'intégration étant faite sur n'importe quel arc rectifiable joignant
Oài.
Reprenons en effet la méthode d'intégration du précédent
théorème. Nous choisirons pour Tt la fonction continue fx(x) définie par
l'intégrale indéfinie usuelle
( 11, 6 ; 11 ) /x(x) = f*1 gi(tv xv...,Xn) dtv
Nous avons vu que, dans ces conditions, gs — — doit être une distri-
dX^
bution indépendante de xl ; montrons que c'est ici une fonction
continue. Prenons <?(xv x^ .... xn) = u(xj v{Xf, x^, .... xn). On a
alors
(II, 6; 12) (gt-^A.9
= / u{x^)dx1 ... I (g# + fi —\dxtdx3 ... dx„ = \h{x^u{x^dxv
h(xx) étant une fonction continue de xx, une fois la fonction v fixée.
Mais dire que gz— -— est indépendante de zx c'est dire que cette
dernière intégrale est proportionnelle à f u(xj) dxt (théorème I).
Donc /.(Xj) est une constante, une fois v fixée. Nous pouvons alors

la remplacer par sa valeur pour xx = 0, mais dans ce cas /x est nulle,
de sorte que
(II. 6 ; 13)
' gt —V ? = \\ ... / u(xj) vix^Xs, ...,Xn) g^0,X2, ...,xn) dx,
et l'équation (II, 6 ; 9) devient, en prenant u = <?& u = \,
(II, 6 ; 14) —l = Si,, = ^(0, xt xn),
le second membre étant encore une fonction continue des variables
xz, ar8, ...,xn. Ainsi de proche en proche nous sommes amenés à
intégrer des fonctions continues, et finalement
(II, 6 ; 15) f(x) =Tl gi{tv xt XnWt
+ f"* 9i(o, tv x3, ..., Xn) dtt + ...+ I *" gn(0,0, .... tn)dtn ->- /(0).
Alors d'après le théorème V, 2°, / est continûment différentiable
et admet les gi comme dérivées usuelles.
La formule (II, 6 ; 10) est alors immédiate car sur toute courbe
rectifiable, / est l'intégrale indéfinie de sa différentielle usuelle.
Il est intéressant de remarquer que dans le cas ainsi considéré,
/ et les gi sont des fonctions continues, la formule (II, 6 ; 10) qui
donne / à partir des gi ne fait pas sortir du cadre des fonctions
continues ; cependant la condition qui exprime que les gt sont les
30i SO;
dérivées partielles d'une même fonction /, — = — , utilise les
disss:/ î>Xi
tributions, car les gi ne sont pas en général dérivables au sens
usuel (l). Naturellement, en définitive cette condition se traduit
en termes de fonctions continues : elle exprime que, quelle que soit
96(3)), on a
(11,6; .6) ^...^Ä- ,,*)*_«.
On peut se poser la question suivante : si les dérivées
— = S. sont d'ordre -^m (m^ 1), c'est-à-dire e(3)'m), T est-elle
dXi
d'ordre <". m — 1 ? La réponse est évidemment positive dans le cas
d'une variable (n = 1) (corollaire du théorème XXI du chapitre III).
La réponse est au contraire négative dans le cas n > 2, voir
Ornstein [V.
(•) Voir l'étude de Gillis [1 ]

chapitre rri
Espaces topologiques de distributions
Structure des distributions
Sommaire Ce chapitre va d'une part étudier la convergence des distributions,
d'autre part étudier leur structure locale et globale. Il a évidemment une
grande importance aussi bien théorique que pratique ; les théorèmes sont très
utilisables dans la pratique même sans aucune connaissance de leur
démonstration, qui la plupart du temps, est du domaine de l'analyse fonctionnelle
(espaces vectoriels topologiques) (l).
Le § 1 définit une topologie dans l'espace (3)).
Le § 2 traite des ensembles bornés dans (3)). Ce sont ces ensembles bornés
qui vent définir la convergence des distributions. On peut éventuellement se
contenter de la définition des ensembles bornés (théorème IV, p. 69) et passer
sur tout le reste des §§ 1 et 2.
Le § 3 définit la convergence des distributions : des distributions T.-
convergent vers 0 si T:(ç) converge vers 0, uniformément lorsque ç parcourt
n'importe quel ensemble borné dans (3)).
Diverses propriétés de l'espace topologique (3)') sont énoncées ; elles sont
sans intérêt pour les applications techniques et n'ont qu'une valeur théorique.
A signaler en particulier les théorèmes XIV (p. 75,réflexivité de (3>) et (2)'))
et XV (p. 75, densité de (3)) dans {3)')). Par contre le critère de convergence
donné au théorème XVI (p. 76) est indispensable dans toutes les applications
théoriques et pratiques, et d'ailleurs évident.
Le § 4 donne une nouvelle définition de la dérivation, qui généralise la
fix -\- h) fix)
définition usuelle fix) = lim r ; la dérivée est la limite d'un
A^O h
quotient différentiel. On en déduit quelques conséquences faciles.
Au § 5, on démontre une propriété fondamentale (théorème XVIII, p. 80),
la continuité de la dérivation, qui permet la dérivation terme à terme ou
sous le signe f des suites, séries, intégrales convergentes ; c'est là, avec la
possibilité de dériver indéfiniment,l'avantage essentiel des distributions. On
en déduit le principal critère pratique de convergence (théorème XIX,p. 81).
Le § 6 étudie la structure locale d'une distribution. Localement, toute
distribution est une dérivée d'une fonction continue (théorème XXI,p. 82) ;
ainsi nous avons introduit le moins possible d'êtres mathématiques nouveaux
(M Pour tout ce qui concerne les questions d'espaces vectoriels topologiques,
consulter Ba.na.ch [1], Bourbaki [5] et [6], Dieudo.nné-Schwartz [1],
KÖTIIE [3], Mackey [t] et [2], Grothendieck. [5]. Edwards [1], Treves [1],
HORVATH [1], YOSIDA [1], SCHWARTZ [18]
/

64
pour que toute fonction continue devienne indéfiniment derivable. Le
théorème XXIII (p. 87), de démonstration délicate.est une réciproque du
théorème XIX (p. 81), il est utile dans la théorie comme dans la pratique.
Le § 7 établit la dualité entre l'espace (8) des fonctions indéfiniment
dérivables à support quelconque, et l'espace (8') des distributions à support
compact (théorème XXV, p. 89).
Le théorème XXVI (p. 91) donne la structure globale de ces distributions,
avec une variante dans le théorème XXVII (p.91). Le théorème XXVIII est
un théorème fin, qui sera utilisé au § 10.
Le § 8 étudie la structure globale d'une distribution ; nous n'avons pas
voulu l'omettre, mais il ne sera pas utilisé dans la suite.
De même le § 9 est exclusivement une étude fine du support des distri-
butions.La démonstration du théorème XXXIV (p. 99) utilise des méthodes
délicates. Ce théorème est quelquefois utile, mais un examen plus serré
montre en général qu'on peut s'en passer et utiliser des résultats moins
forts et de démonstration plus élémentaire ; il doit pouvoir être réservé aux
spécialistes.
Le § 10 donne la structure d'une distribution ayant pour support une
variété régulière. Le résultat essentiel est le théorème XXXV (p. 100) : une
distribution dont le support est l'origine est somme finie de dérivées de la
mesure de Dirac.
Les techniciens auront intérêt à passer très rapidement sur ce chapitre (à
l'exception du § 5, indispensable).
§ 1 L'espace topologique (D)
La lopologie des (ß*)
Nous avons introduit sur (3)K) la topologie delà convergence
uniforme pour la fonction 9 et chacune de ses dérivées. Un système
fondamental de voisinages de la fonction 0 dans (3)K) est défini par
les V(m ; e ; K), m entier > 0, e nombre réel > 0 :
V(m ; e ; K) est l'ensemble des fonctions 96 (3)K) dont toutes les
dérivées Dp<p d'ordre \p\ < m (0 < )p] = pj -f- p2 + ... p„^m)
sont bornées en module par e. Un système fondamental de semi-
normes définissant cette topologie est constitué par les Np :
NpO) = Sup jDpq>(x)|.
seR"
(!Ü)k) est à base dénombrable de voisinages, localement convexe
et complet, c'est donc un espace de Fréchet.
Sur (2)£) la topologie, les voisinages de 0, les semi-normes se
définissent de la môme manière, mais en ne faisant intervenir que les
dérivées d'ordre -< m de 9 ; (3)") est un espace de Banach, pour la
norme

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 65
|M'm= SUP |D'q>(x)|.
.La topologie de (3>)
Nous allons introduire maintenant sur (ß) lui-même une
topologie, qui rendra les mêmes services que le système des topologies sur
les différents (S)*).
Soit ii = | û„ = 0, ûj, Og ... ßy, •-• \ une suite infinie
d'ouverts, "ßy_i c Ov, telle que tout compact K de Rn soit contenu, à
partir de v assez grand, dans tous les ßy. Nous pourrions prendre
par exemple pour ßy la boule | x \ < v. S e J désignant alors une suite
de nombres > 0 décroissant et tendant vers 0, j e j = j e,,, zv e2,..., ey,... {
et j m | une suite de nombres entiers J> 0 croissant et tendant vers
+ oo, \ m | = | mw mv mv ..., mv, ... j, nous appellerons
V(|m|; |.|; | û |)
l'ensemble des fonctions q>e (2>) qui, quel que soit v, vérifient, pour
(III, 1 ; 1) !LVyx)!<ev, si \p\<mv.
Il est clair que, lorsque les suites jm J, j e j, jß j, varient de toutes
les manières possibles, les VH/n j ; je ; jßjj forment un système
fondamental de voisinage de 0 dans une topologie sur (3)),
compatible avec sa structure d'espace vectoriel.
C'est une topologie localement convexe, à base non dénombrable
de voisinages (les suites de nombres ne forment pas un ensemble
dénombrable). Si K est un compact fixe de Rn, cette topologie
induit sur (2)K) la topologie déjà vue précédemment (mais qui est à
base dénombrable de voisinages).
On pourra, sans modifier la topologie de (ß), prendre une fois
pour toutes une même suite j ß l pourvu que les ßy soient compacts ;
par exemple nous pourrons prendre pour ßy la boule | x \ < v. C'est
ce que nous ferons dans la suite, et nous écrirons alors vQ m j ; j «j
sans mentionner jß .
Un système fondamental de semi-normes définissant la
topologie de (2>) est constitué par les NH m j ; j e j) :
N( j m | ; j e J) (9) = Sup (Sup " D"? (x) '/«v).
M 1 ' // V |*I>V
IpK"v

66
Le voisinage de 0, Vf m j ; \ « M, est précisément défini par
N(>mj;j«j)(9)<l.
Théorème I L'espace topologique (3)) est complet.
On voit immédiatement que si des <p,-e (2>) forment une suite ou un
filtre de Cauchy sur (3)) topologique, les?, convergent uniformément
vers une limite q> indéfiniment derivable, et que les Dp<p;- convergent
uniformément vers Dp<p, quel que soit p. On voit ensuite que 9 est à
support compact [donc 6(2))] :car, quelle que soit la suite e , on
a, pour i et 7 assez grands :
(III, 1 ; 2) | <w(x) — <p/(x) | < ev pour | x ] > v ,
donc aussi, pour / assez grand :
(III, 1; 3) ' ?(x) — q>;(x) ! < ev pour |x|>v;
et comme 9/ est à support compact, on a, quelle que soit la suite
j e , pour v assez grand,
(III, 1 ; 4) \<?(x) I < ev pour |x| > v ;
or si ? n'était pasà support compact, il existerait unesuite de points
Xv6Rn, |Xv| J> v, pour lesquels <p(xv)^0, et la formule (III, 1 ; 4)
serait fausse avec la suite j s j définie partv = — | <p(xv) |. Enfin il est
immédiat que les <p;- convergent vers <p dansX'i)) topologique.
Rapports entre les topologies des (2>K) et la topologie de (!£>).
On a la relation suivante entre les topologies des (!£k) et celle
de (ß) :
Théorème 11 (0)) est la « limite inductive stricte » des (ff)K) i1) : pour
qu'un ensemble convexe de (fS>) soit un voisinage de 0, il faut et il
suffit qu'il coupe chaque (<3)k). K compact de Rn, suivant un voisinage
de 0 pour la topologie de (ßK).L'espace ('Si) est bornologique et tonnelé.
Théorème III Pour qu'une application linéaire de (ß) dans
un espace vectoriel topologique localement convexe F (en particulier
pour qu'une forme linéaire sur (#)) soit continue, il faut et il suffit
que sa restriction à chaque (3>k) soit continue, pour la topologiede (3)K).
(l) Pour les limites inductives, consulter les ouvrages indiqués dans la note 1
page 63

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 67
Corollaire Les formes linéaires continues sur (3)) sont les
distributions déjà définies. (2)') est le dual topologique de (2)).
Le théorème III est une conséquence triviale du théorème II : pour
qu'une application linéaire de (2)) dans F soit continue, il faut et il
suffit que l'image réciproque d'un voisinage convexe de 0 dans F
soit un voisinage de 0 dans (2)) ; cette image étant convexe, il faut
et il suffit, d'après le théorème II, que son intersection avec tout
(£Pk) soit un voisinage de 0 ; donc que la restriction de l'application
à tout (3V) soit continue. D'autre part la fin du théorème II
résulte du début : une limite inductive stricte de Fréchets est bor-
nologique et tonnelée (1).
Démontrons maintenant le début du théorème II. Il est évident
que tout V(jm| ; jcj) découpe sur(3>K) un voisinage de 0 de la
topologie (îX'k). Réciproquement soit W un ensemble convexe
coupant chaque(3)K) suivant un voisinage de 0 de la topologie (3)K).
Pour tout entier v ""> 0, il existe un entier mv J> 0, et un nombre
»iv > 0 , tels que toute fonction ?€ QJ>) , vérifiant | Dp <rfx) [ < i*,
pour | p I <C mv et ayant son support dans le compact [ x | <; v + 2,
appartienne à W. Nous pouvons toujours choisir la suite \m j
croissante, la suite \i\\ décroissante.
Choisissons une fois pour toutes une suite de fonctions
ave(2)), av>0, 2«v = 1,
v
av ayant son support dans le compact v <^ | x | -^ v -f- 2. Pour <pe (i>)
on peut écrire :
9=^(2^9),
de sorte que, grâce à la convexité de W, ? appartiendra à W si
chaque fonction 2V+1 o.v? appartient à W. D'après la formule de
Leibnitz, Dp (<xv<p) est une combinaison linéaire finie de dérivées
d'ordre -^ i p i de oy et de ? ; la suite <xv étant choisie, et compte
tenu de ce que seules interviennent les valeurs de 9 pour v-^ I a:|<^ v-f-2,
on voit qu'il existe une constante kv telle que
« 'Dpç(a:)!^ev pour |xl^v et \p\<^mv*
entraîne 12V+1 Dp(av1>) ' <*v *, pour | p | <mv.
(') Voir BoLRBAKi [6], fascicule XVIII, chapitre III, § 1, n° 2,corolIaire 2 de
la proposition 2; et Bourbaki [5]

68
Si donc on choisit la suite j s j de façon que /rv «y -< tqv pour tout v,
alors q>eV(j m j ; \ e j) entraîne 2V+1 av*e W donc «pgW ; on voit
donc bien que W est un voisinage de 0 de (2)), c. q. f. d.
Remarquons que la topologie de (2)) induit sur (2)K) la topologie
initiale de (3\), ce qui se produit toujours pour les limites induc-
tives de ce type (*). Quant au fait que (Ü?) soit complet, nous l'avons
démontré directement (théorème I) ; c'est aussi une conséquence
du théorème de Köthe (2).
Tout ce que nous venons de dire pour (3>) peut s'étendre à (2>m) ;
il suffit de remplacer la suite j m j par des entiers tous égaux à m.
Remarquons, pour terminer ce paragraphe, que, dans un espace
tel que (2>) à base non dénombrable d'entourages, les théorèmes de
catégories de Baire sont en défaut : (i£>K) est un sous-espace
vectoriel fermé non dense de (fi*), or (2)) est la réunion d'une infinité
dénombrable de ('i\).
§ 2 Les ensembles bornés dans(D)
Topologie d'un dual II est habituel de rendre également
topologique le dual d'un espace vectoriel topologique.
Si (E) est un espace de Banach (espace vectoriel norme complet),
on définit la norme || L || d'une forme linéaire continue L par
(111,2; 1) M Lj' = Max ' L(e) I
lkll<i
Le dual (E') de (E) est alors lui aussi un espace de Banach.
Ici, un tel procédé n'a pas de sens, (!i>) n'étant pas norme. Ce sont
les ensembles bornés qui, dans un espace vectoriel topologique,
remplaceront les boules || e \\ <^ 1 des espaces de Banach.
On appelle ensemble borné B, dans un espace vectoriel
topologique, un ensemble qu'on peut faire rentrer dans tout voisinage de
O donné par une homothétie de centre O et de rapport assez petit.
Dans un espace de Banach, une boule est un ensemble borné ;
réciproquement si, dans un espace vectoriel localement convexe, il
existe un voisinage de O borné, c'est un espace normable (il existe
une norme définissant la topologie de l'espace). Toute suite
convergente est bornée.
O Dieudonné-Schwajktz [1], proposition 2, page 68
{*) Kothe [2]

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 69
Ensembles bornés dans (3>) Soit K un compact de Rn ; soit
JM j = JM^M,, .... M-, ... j
une suite croissante de nombres > 0. Nous appellerons B (JM | ; K)
l'ensemble de toutes les fonctions <pe(2>K), vérifiant
(III, 2; 2) |LV<p|<Mm pour |p|<m.
Théorème IV Pour qu'un ensemble soit borné dans (2>)
topologique, il faut et il suffit qu'il soit contenu dans un B (j M j ; K)
convenable. Autrement dit, il faut et il suffit que les fonctions ? de cet
ensemble aient leurs supports contenus dans un compact fixe de Rn, et
qu'elles soient bornées dans leur ensemble, ainsi que chacune de leurs
dérivées.
La condition est évidemment suffisante, montrons qu'elle est
nécessaire. Si les <p de l'ensemble B n'avaient pas leurs supports
contenus dans un compact fixe, il existerait une suite de points xv de
R", ' Xv ! ^> v, et une suite de fonctions çve B telles que q>v(xv) "^ u-
Alors, si la suite j m j est quelconque et si j e j est la suite 19vOcv)/v |,
aucune homothétie, de quelque rapport qu'elle soit, ne ferait rentrer
B dans V(| m j ; j e J). B ne serait pas borné.
Donc Bc(ü)k), K compact convenable. Alors B ne peut par
homothétie rentrer dans le voisinage V(m; e ; K) de (3)K) que si pour
96 B les ! Dp<p \ restent bornés pour | p ] <C m ; donc finalement pour
tout indice p. C. Q. F. D.
Si l'on veut éviter la considération de la topologie de (2>) on
prendra ce théorème comme définition des ensemble bornés de (2)).
Th éorème V Toute forme linéaire sur ('3)), bornée sur toute par-
lie bornée de (ß>), est continue.
Sa restriction à ('i>K), espace de Fréchet, est en effet bornée sur
loute partie bornée de (y)K) donc continue, alors elle est continue
sur (2)) d'après le théorème III. Cela résulte aussi de ce que (2»),
limite inductive d'espaces bornologiques (*), est bornologique.
Théorème VI Pour qu'un ensemble soit borné dans (2)), i7
faut et il suffit que toute distribution reste bornée sur cet ensemble.
Introduisons sur (2>) la topologie affaiblie <j(3), 2)') ; le
théorème VI revient à dire que toute partie faiblement bornée de (3)
est bornée, propriété vraie dans tout espace vectoriel topologique
localement convexe séparé (théorème de Mackey) (*).
f1) Voir B0LRBAK.1 [5], théorème 3, page 11
(2) Mackey [2], page 524, théorème 7, et Bourbah [6], tome II, corollaire
du théorème 2, page 70

70
Ensembles bornés et ensembles compacts
Théorème VII II y a identité dans(3)) entre ensembles bornés
et ensembles relativement compacts : (3)) est un espace de Monlel.
Dans tout espace vectoriel topologique E, un ensemble compact
est borné ; en effet ses intersections avec les homothétiques d'un
voisinage ouvert V de l'origine forment un recouvrement ouvert du
compact, donc il existe un sous-recouvrement fini et par suite un
homothétique de V qui contient le compact. La réciproque qui
est particulière à l'espace (2>) tient au théorème d'Ascoli. Des
fonctions bornées et à dérivées d'ordre 1 bornées forment un ensemble
relativement compact dans l'espace vectoriel topologique 2)° ;
donc un ensemble borné dans l'espace (3)") des fonctions m fois
continûment différentiables est relativement compact dans (3)"—1).
Par suite un ensemble borné dans (lD) est relativement compact
dans (2)). On voit que (2)) est un espace de Montel (analogue aux
espaces de fonctions holomorphes) (*).
Il y a donc identité, dans (2)) (contrairement à ce qui a lieu dans
un espace de Banach de dimension infinie), entre ensembles
faiblement et fortement compacts (car un ensemble faiblement compact
est faiblement borné, donc fortement borné, et d'après le
théorème VII, fortement compact). Sur un compact ou un ensemble borné
de (2)), topologies forte et faible sont identiques et identiques à toute
topologie séparée plus faible qu'elles [comme le sera la topologie
induite par (2)')].
D'ailleurs la distinction entre topologies forte et faible n'a
d'importance que pour des filtres : une suite faiblement convergente dans (2>)
est bornée, et par suite fortement convergente. Pour la même raison,
une suite de Cauchy faible est bornée, est donc une suite de Cauchy
forte, et comme (2)) est fortement complet elle est fortement
convergente. On peut énoncer cela en termes plus concrets :
Si une suite de fonctions <p;e (2)) est telle que, pour toute distribution
T, les T(q>/) aient une limite L(T), il existe une fonction ce (2)) telle
que L(T) = T(<p), et les ?,- convergent vers <? fortement, dans (2)), en
gardant leurs supports dans un compact fixe de Rn.
Même théorème en remplaçant une suite par un filtre ayant une
base de filtre bornée ou dénombrable. Une fonction q>e(2>) qui
(*) Bourbaki [ 6 ], fascicule XVI11 chap. IV, § 3, n° 4, page 89

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 71
dépend continûment d'un nombre fini de paramètres réels Xy, au
sens de la topologïe faible de (2>), en dépend aussi continûment au
sens de la topologïe forte de (Œ>).
Les propriétés démontrées dans les § 1 et 2 se transportent
immédiatement dans les espaces (SV) de fonctions m fois continûment
différentiabres ; cependant le théorème VII est faux, ainsi que ses
conséquences.
§ 3 L'espace topologique (3)') des distributions
Convergence dans (3)') Nous sommes en mesure maintenant
de définir convenablement la topologie de l'espace vectoriel (2)') des
distributions ; la définition est valable pour le dual de tout espace
vectoriel topologique.
Nous dirons que des T;e(ü)') convergent vers 0 dans (Œ)'), si les
nombres T/(<p) convergent vers 0f quelle que soit <pe(3)), et
uniformément pour tout ensemble borné B de fonctions 9 de (2>).
Si B est un ensemble borné dans ÇS>), et T une distribution, T(?)
est borné pour ?e B, et par suite on peut poser
(III, 3; 1) T(B)= Sup iT(.p)'.
<peB
Alors*des T/e (2)') convergeront vers 0 si lesT/(?) convergent versO
uniformément pour 96 B, donc si, quel que soit B, les T/(B)
convergent vers 0.
Nous définissons ainsi sur (II»') une topologie (qui,
remarquons-le encore, ne nécessite pas la connaissance de la topologie
de (3)), mais seulement de ses ensembles bornés) ayant pour
système fondamental de semi-normes les NB ; N„(T) = T(B). Un
système fondamental de voisinages de 0 dans cette topologie est
formé par les V(B ; e) (B = ensemble borné dans (2>) ,* e réel > 0).
V(B ; e) est l'ensemble des Te (2)') vérifiant T(B) < e, ou | T(<?) | < e
pour 9e B. ($') est un espace vectoriel localement convexe, à base
non dénombrable de voisinages.
Propriétés de la topologie Théorème VIII Le dual
topologique ($') est complet.
C'est l'extension à (!?) d'une propriété classique des espaces de
Banach, vraie également pour tous les espaces vectoriels bornolo-
giques.
Démonstration immédiate : si des T, forment un filtre de Cau-
chy, les T;(<p) convergent pour toute çe(j)) vers une limite T(?) ; T

72
est une. forme linéaire bornée sur toute partie bornée de (2>), donc
une distribution (théorème V), et les T; convergent fortement vers
T dans (3)').
On peut définir dans (2>), exactement comme dans (2)), les
ensembles bornés. On voit alors qu'un ensemble borné de
distributions est un ensemble de distributions qui prennent, sur tout
ensemble borné de ('i>), des valeurs bornées.
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants :
Théorème IX Pour qu'un ensembleB'de (2)') soit borné, il est :
a) nécessaire qu'il existe un voisinageY de 0 dans (2)) tel que I T(?) |
soit borné pour <pe V, Te B' ;
b) suffisantque, pour toute <pg (2)), |T(œ)' soit borné pour TgB'(la
borne dépendant évidemment de <p).
a) résulte de ce que (2)), limite inductive d'espaces de Fréchet,
est tonnelé ; alors toute partie bornée de (2)') est équicontinue (*) ;
b) signifie, si l'on introduit sur (2)') la topologie faible <j(2)', 2)),
que toute partie faiblement bornée de (2)') est fortement bornée ;
cela résulte de ce que (2)) est complet (2).
Ce théorème montre que si des distributions prennent des valeurs
bornées sur toute <pe(2>), elles prennent des valeurs bornées sur un
voisinage convenable V de 0 dans (2)).
Théorème X Pour que des ?/e (2)) convergent vers 0dans (2)), il
faut et il suffit que les T(?;) convergent vers 0, quelle que soit Te (3)'),
et uniformément par rapport à tout ensemble borné B' de
distributions T.
On peut encore dire : soit B' un ensemble borné de (2)') ; posons
«(B*) = Sup |T(<f) ' ; des 9/ convergent vers 0 dans (2)) si, quelque
T«B'
soit l'ensemble borné B', les ç;(B') convergent vers 0. Ainsi la
topologie de (2)) peut être définie à partir des ensembles bornés de (2)')
de la même manière que la topologie de (2)') à partir des ensembles
bornés de (2)).
Le théorème X résulte immédiatement du théorème IX. Si 9
converge vers 0 uniformément sur toute partie bornée B' de (2)'),
(*) VoirBouRBAKi [6], fascicule XVIII, théorème 2, page 27
(*) Voir BouBBAKi [6], fascicule XVIII, corollaire 1 du théorème 1, page 22

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 73
9 converge vers 0 dans (3)) ; car le polaire V° d'un voisinage V de 0
convexe équilibré fermé dans (2>) est une partie bornée de (3)'), et
dès que 9 (V°) est majoré par 1, 9 est dans V. Réciproquement, si 9
converge vers 0 dans (3>), alors, pour e donné > 0, si B' est une
partie bornée de (3)'), il existe d'après le théorème IX a) un voisinage
V de 0 dans (ii>) tel que <t(B') <^ e pour 96 V, donc <p(B') converge
vers 0..
La propriété que nous venons de démontrer est vraie pour tout
espace tonnelé (!), car elle exprime simplement que les parties
fortement bornées de (2)') sont équicontinues.
On voit qu'on peut condenser les résultats des théorèmes IX et
X et la définition de la convergence dans (3)') en disant ceci :
Théorème XI Si Te (2)') et çe(3>) restent tous deux bornés
(T dans (!!>') et 9 dans (3"")), I Tfa) ' reste borné;si un seul des deux
(T ou 9) reste borné et que Vautre converge fortement vers 0, T(9)
converge vers 0.
Nous énoncerons cette propriété en disant que la forme bilinéaire
T(9) de Te (3V), ?e (3>), est hypocontinue (2).
Mais T(ç) est une forme bilinéaire discontinue de l'ensemble des
2 variables T et 9 ; si T et 9 convergent tous deux vers 0, T(?) ne
converge pas nécessairement vers 0. Il n'en serait sûrement ainsi
que dans le cas de suites convergentes, car une suite convergente
est bornée. D'autre part, dans le cas des topologies faibles, voici tout
ce que l'on peut dire :
1° Si l'un des deux (T ou 9) est fixe, et que l'autre converge
faiblement vers 0, T(9) converge vers 0.
2° Dans le cas de suites convergentes (ou de filtres convergents
ayant une base de filtre bornée ou dénombrable), on pourra dire la
même chose en topologie faible qu'en topologie forte, une suite
faiblement convergente étant aussi fortement convergente, dans (i£)
(page 70) comme dans (3)') (page 74).
Chaque 96(3)) définit sur (3)') une forme linéaire continue
(III, 3; 2) L(T) = T(9).
(l) BouRBAKi [6], fascicule XVIII, scholie. chap. IV, § 3, n° 2, page 87
(') Voir BouRBAKif61 fascicule XV111, chap. Ill, § 4, pages 38-44.Nous
disons, pour abréger, t hypocontinue », au lieu de « hypocontinue par rapport à
toutes les parties bornées »

74
Donc (!£) est un sous-espace vectoriel du dual ('£>") de (£i)'),
appelé aussi bidual de (3>) ; le théorème X montre que si on introduit
sur (3)") la topologie forte de dual topologique de (ifl'), ('£>") induit
sur (!?) la topologie initiale de ((D).
Ensembles bornés et ensembles compacts dans (3)') ; réflexivitc
Théorème XII II y a identité, dans (!?'), entre ensembles bornés et
ensembles relativement compacts : ('J)') est un espace de Montel.
D'une façon générale, le dual d'un espace de Montel est un espace
deMontel. Le théorème VII joint au fait que ('$) est tonnelé entraîne
le théorème XII i1).
Voici la démonstration. Soit B' un ensemble borné de ((!)'). Un
ultrafiltre sur B' converge simplement sur (3)) vers une limite, qui
est une forme linéaire sur (Cf>) ; comme B' est équicontinue
(théorème IX a)), cette forme linéaire est continue, c'est une
distribution T. En outre cet ultrafiltre converge uniformément sur toute
partie compacte de (j)), donc, d'après le théorème VII, sur
n'importe quel ensemble borné de (lJ>) ; d'après la définition de la
convergence dans (il)')» l'ultra-filtre converge alors fortement vers T et
B' est bien relativement compact.
Il résulte de ce théorème que, comme dans (!i>), il y a dans (i)')
identité entre ensembles faiblement et fortement compacts.
Sur une partie bornée de (3)'), topologies faible et forte sont
identiques. Une suite faiblement convergente ou une suite de Cauchy
faible est fortement convergente.
En termes plus concrets :
Théorème XIII Si une suite de distributions T/ est telle que,
pour toute ?e(ü)), les T/(ç) aient une limite T(<p), T est une
distribution, et les T/ convergent fortement vers T.
Il en est de même pour un filtre ayant une base de filtre bornée
ou dénombrable.
Une distribution T qui est fonction faiblement continue d'un
nombre fini de paramètres réels xv, est fonction fortement continue
de ces paramètres.
Remarque Le fait que, dans le théorème XIII, T soit une
distribution, résulterait aussi du théorème de Banach-Steinhaus (*),
("•) Voir Bourbaki [6], fascicule XVIII , proposition 7, page 90
(') Voir Bourbaki [6], fascicule XVI 11, théorème 1, page 88

ESPACES TOPOLOGrQUES DE DISTRIBUTIONS 75
applicable puisque (2>) est tonnelé. Nous l'avons déduit ici du
théorème XII.
Théorème XIV (2)) et (2)') sont réflexifs ; chacun est le dual
fort de Vautre.
Un théorème de Banach exprime qu'un espace de Banach est
réflexif si sa boule fermée est faiblement compacte. Une
généralisation, due à MM. Mackey et Arens, dit qu'un espace vectoriel
topologique, localement convexe, où les ensembles bornés sont
relativement faiblement compacts, est semi-réflexif ; et un espace semi-
réflexif et tonnelé est réflexif (*).
Le théorème XIV est donc une conséquence des théorèmes VII
et X. Il est inexact pour les espaces (3)m) et (2) m), et en particulier
pour l'espace (6) des fonctions continues à support compact et
l'espace (C) des mesures.
Un théorème d'approximation Théorème XV L'espace
vectoriel (3)), considéré comme sous-espace vectoriel de (2)'), est dense dans
(2)')
Cela revient à dire que toute distribution est limite de fonctions
indéfiniment dérivables à supports compacts. Cela résulte
immédiatement de la réflexivité de (3)). Une forme linéaire continue sur (2)')
est définie par une fonction 96(2)). Si elle est orthogonale à tous les
éléments du sous-espace (2)) de (3)') formé des fonctions
indéfiniment dérivables à supports compacts /, c'est-à-dire si elle vérifie
j0\..//(xMx)dr = O
pour toute /e \yv), eue c&l îiiaimesLemeiiL nulle ; et cela entraîne bien
que (2)) soit un sous-espace dense de (3)').
Nous verrons au chapitre du produit de convolution un procédé
de « régularisation » permettant de trouver une suite de fonctions
indéfiniment dérivables convergeant vers une distribution donnée
(Chapitre VI, § 4, théorème XI).
On voit de même que les combinaisons linéaires finies de masses
ponctuelles forment un sous-espace vectoriel dense de (2)').
Un critère de convergence. — La définition de la convergence dans
(2)') n'est compliquée qu'en apparence ; dans la pratique, la
vérification est généralement facile. Il est cependant utile de posséder des
critères simples de convergence. Voici le plus simple, d'où
découleront tous les autres :
(*) Bourbaki [61, fascicule XVIII, théorème 1, page 88

76
Théorème XVI Si des fonctions f; convergent vers 0 dans
l'espace LXK des fondions sommables sur le compact K, quel que soil K
(en particulier si les // sont des fonctions continues convergeant
uniformément vers 0 sur tout compact), les distributions f; convergent vers 0
dans (2)')-
Soit en effet B un ensemble borné de (.(!)). Les fonctions ?e B ont
leurs supports contenus dans un compact fixe K de R", et y sont
bornées dans leur ensemble par un nombre M > 0.
.(/;(B) = Sup |/.(»): = Sup ]jf/; ...ff;(x)^x)dx [
nu s • ^ < <p€B ?eB
( ' ' M <m/..../1/i<z)I&<m!j//]|l.
>. K
Les / (B) convergent donc bien vers 0.
Plus généralement si les /. convergent faiblement vers 0 dans L^,
et y sont bornées, elles sont bornées dans (2V) et y convergent
faiblement, donc fortement, vers 0.
En utilisant la même méthode que dans la démonstration du
théorème IV du chapitre I (utilisation d'une partition de l'unité), on
peut voir que, si des distributions convergent vers une distribution
limite au voisinage de tout point de Rn elles convergent vers une
distribution limite dans Rn :
La convergence est une propriété locale.
En particulier : le support de la limite des distributions T; est
contenu dans l'adhérence de la réunion de leurs supports. Des
distributions dont les supports s'éloignent indéfiniment dans Rn,
c'est-à-dire qui, dans tout ouvert relativement compact de R",
finissent par être nulles, convergent vers 0 dans (2)').
Tous les théorèmes précédents sont aussi vrais pour le dual (2) m)
de (2T), sauf XII, XIII, XIV, XV.
Remarques Si des distributions T/ convergent vers une
limite T :
1° Si les T/ sont des mesures ^ 0, il en est de même de T ; car
T/(<?) > 0, entraîne Tfc) > 0 ;
2° Si les T; sont des mesures n/,de normes jj'Q ...j'\d\ij\ majorées,
pour tout ouvert n d'adhérence compacte dans R", par un nombre
> 0 fixe, il en est de même pour T ; car ' T/(<p) ' < /c(Max | <p |) entraîne
! T(<p) | <^ /r(Max jçl). Il en est encore ainsi si l'on remplace « mesures >

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS
77
par fonctions e Lp sur tout û(l < p -^ oo ), de normes bornées dans
U sur tout û par un nombre > 0 fixe, car
!T/(?) !<*!'9 V[P'=P/(P— 1)]
entraîne !T( 9) |</r || ç ||.y. Cette remarque est évidemment en défaut
pour l'espace (C) des fonctions continues ou l'espace L1 des
fonctions sommables, qui ne sont pas des duals d'espaces de Banach.
§ 4 DÉFINITION TOPOLOGIQUE DE LA DÉRIVATION
Dérivées premières En utilisant la topologie dans (3)'), nous
pouvons maintenant donner une définition plus naturelle de la
dérivée. Pour une fonction /, on a, au sens usuel :
(III, 4 ; 1)
_3/_ _ j. f(XxX2 Xk—U Xk +hk Xn) f(XvX2 Xk X„)
Posons h = | 0, 0 0, /.*, 0, ... 0 j (h est le point dont la
fc-ieme coordonnée est hk, les autres étant nulles), et utilisons la
notion de translatée de / (voir page 55).
(III, 4,2) V- = lim l=ùL=l
ïXk hk-*o hk
Théorème XVII Si T est une distribution quelconque, on a
(III, 4 ; 3) Ü = lim t~aT~T
ZXk kk-*0 »A
Nous devons démontrer que
converge vers 0 quand hk ~* 0.
(III, 4; 5) Sw(ç) =T(4W), avec tykk) =
î>9 -Ch9 — 9
fcEA hk
On voit immédiatement que, pour hk —- 0, <J»(Aft, converge
uniformément vers 0 ainsi que chacune de ses dérivées, donc converge
vers 0 dans (2)), pour 9 fixée. T étant une forme linéaire continue,
T(4i(AA)), c'est-à-dire S(/^(ç), converge vers 0 quand hk tend vers 0.
S{hk) converge donc vers 0 dans (2)')» faiblement, donc aussi forte-

78
ment d'après le théorème XIII. (La convergence forte se
démontrerait d'ailleurs sans difficulté directement)
Dérivées d'ordre quelconque II est facile de généraliser le
théorème XVII en introduisant les différences successives de T.
Posons, toujours avec h — j 0, 0, ... hk Ol,
(IIL 4 ; 6) Aaa.T = t_,,T — T.
La différence pjt-ième par rapport à Xk sera, pour des accroissements
tous égaux à hk :
(III, 4 ; 7) A£T = A^A^T) - x_^T - Cj^^T
+ C^_(pfc_2)AT + ... + (- 1)'*T.
On peut, par exemple, considérer des accroissements distincts
appliqués à des variables distinctes xvxt xn ; si p = j p±, p ,p„L
si h est un système d'accroissements h = j hlt h hn\ {hk pour
la variable xk) on définit
(III, 4; 8) AJJAÇ...AJJ;T = AJT
et l'on aura, comme on le voit aisément :
AJ1Aλ...AJ*T A?T
(III, 4 ; 9) DT= lim -A_* ^L_ = hm -±- .
h-*0 hpihP*...hpn A--0 hP
1 s n
Toute dérivée Dp s'exprime ainsi comme limite de différences, sans
qu'il soit nécessaire de passer par les dérivées intermédiaires
dt, g<P-
Des formules telles que (III, 4 ; 9) (pour p — 2) ont joué un rôle
historique important, dans l'étude des séries trigonométriques par
Riemann. Un célèbre théorème de Schwarz dit que, si une fonction
continue f{x) d'une variable (n = 1) vérifie, pour tout x,
(III. 4; 10) Hmfe±^+^t--A)=^)- = 0,
f{x) est une fonction linéaire.
Des égalités analogues à (III, 4 ; 9) ne nous permettent pas de le
démontrer. Car le premier membre de (III, 4 ; 10) converge
forcément, dans ($'), vers la dérivée seconde /". Mais des fonctions
peuvent converger en tout point vers 0 sans converger vers 0 dans
l'espace (3)') des distributions, de sorte que nous ne pouvons pas

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 79
affirmer que /* soit nulle et que par conséquent / soit une fonction
linéaire. Ainsi des considérations élémentaires sur les distributions
ne donnent pas des résultats aussi fins que le théorème de Schwarz,
qui est d'ailleurs particulier à l'expression spéciale considérée, et Ké
essentiellement à la convexité et au principe du maximum comme
sa généralisation aux fonctions sous-harmoniques.
Mais par contre on obtient des résultats bien plus généraux :
1° D'après le théorème XVI, si des fonctions bornées sur tout
compact convergent presque partout vers 0, elles convergent vers
0 dans ($').
aa/
Donc si, pour une fonction de plusieurs variables, — converge
presque partout vers 0 quand h -»• 0 et reste borné pour h assez
petit, indépendamment de x, sur tout compact, alors Dp/ = 0; et si
n = 1 (cas d'une variable), / est un polynôme de degré -^ p — 1.
2° Si une suite de fonctions continues sur Rn converge partout
vers 0, elles sont bornées dans leur ensemble au voisinage de tout
point d'un ouvert partout dense de R". Donc si f(x) est continue
\PJ
et si _ converge partout vers 0, Dp/ est nulle sur un ouvert par-
hf
tout dense, et a pour support un ensemble fermé non dense. Dans
le cas d'une variable (n = 1), dans chaque intervalle contigu à cet
ensemble fermé, / est un polynôme de degré •< p — 1 (qui peut
varier suivant l'intervalle). Naturellement on doit ici comprendre le
résultat Dp/ = 0 au sens de la théorie des distributions ; / n'a peut-
être pas de dérivée usuelle.
Fonctions monotones D'autre part il y a des cas où les
difficultés signalées page 78, dues à la différence entre convergence en
tout point et convergence dans ($'), ne se présentent pas. Ainsi un
théorème classique de M. S. Bernstein (x) dit qu'une fonction d'une
variable, «complètementmonotone» dans un intervalle la, b\ ,yest
analytique. Il faut commencer par démontrer qu'une telle fonction
f(x) est indéfiniment derivable (au sens usuel) à dérivées ^> 0. Or
c'est maintenant évident. Car si f(x) est complètement monotone,
on a, quel que soit /., A£///".p J> 0. Comme la limite dans (2)') de
(l) S. Bernstein [ 1 ], pages 196-197

80
mesures ^- 0 est une mesure ^ 0, on voit, en faisant tendre h vers
0, que toutes les dérivées de / sont des mesures ^> 0. Alors / est
bien indéfiniment derivable au sens usuel (corollaire du théorème III
du chapitre II). Le théorème est encore vrai pour plusieurs
variables. D'une façon générale, beaucoup de travaux sur les rapports
entre « quotients différentiels » et dérivées peuvent être
notablement simplifiés et mieux interprétés par la théorie des
distributions (1).
Remarque Les formules de la page 56 peuvent s'interpréter
d'une autre manière. T étant fixée, l'application h —- x^T est une
fonction vectorielle de h, c'est-à-dire des n variables hv h2, ..., hn,
à valeurs dans l'espace des distributions (2)'). Cette fonction est
indéfiniment derivable, et l'on a
(III, 4; 11) rrf (W! =-~; ^-(v,T) = -~(ykT).
§ 5 La dérivation, opération linéaire continue
Continuité de la dérivation Théorème XVIII La
dérivation des distributions est une opération linéaire continue ; c'est même
an homomorphisme
;>T
L'opération linéaire T -*• — dans (2)') est la transposée del'opé-
ration linéaire continue 9 -* t homomorphisme dans (3)).
Soit B un ensemble borné dans (2)). Lorsque 9 parcourt B, —-
parcourt un certain ensemble borné B'. Alors la formule
Sw=T(-|)
■ ;>T
montre que — (B) = T(B') : si des Ty convergent vers 0 dans (2)'),
1
VT*. »"T»
les T,(B'), donc les —'- (B), convergent vers 0 ; par suite les —i
convergent vers 0 dans (2)') : la dérivation est une opération linéaire
continue.
(*) Choquet [1 ]; Dieudonné [3]; Popoviciu [1 ]; Boas [1 ]; Whitney [2],
pour ne citer que ceux-là

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 81
Revenons maintenant à ce que nous avons dit au théorème IV du
chapitre II sur l'intégration. A chaque distribution S nous pouvons
d'une façon particulière faire correspondre une distribution T= Ij(S)
telle que — = S.
En choisissant la distribution Sx nulle (page 57), on obtient pour
l'application S -» Ii(S), une opération linéaire continue. Ainsi nous
;>
avons trouvé à l'opération — au moins une opération «réciproque»
/ ;> \
à droite. Ia — IX(S) = S continue, ce qui prouve bien que cette
\^x1 j
opération -— est un homomorphisme.
Le théorème XVIII est fondamental. Il « réhabilite » la dérivation
comme une opération simple de l'analyse : opération toujours
possible et continue. Il fournit un critère des plus facile pour
montrer qu'il y a convergence dans (CJ)') : si on a pu montrer que des
distributions T, convergent vers 0, les '—- convergent aussi vers 0.
Ärx
Il est classique que des fonctions /;- peuvent converger
uniformément vers 0 sans que leurs dérivées —' possèdent la même pro-
sxt
priété ; cela tient à ce qu'on considère une topologie inadéquate à
l'utilisation de la dérivée ; les —'- convergent vers 0 dans (2)').
Naturellement les dérivations d'ordre plus élevé sont aussi des
opérations linéaires continues.
Critère de convergence Le théorème XVI peut alors se
généraliser de la façon suivante et donner le principal critère de
convergence dans (2)') à utiliser dans la pratique :
Théorème XIX . Si des fonctions fj convergent vers 0 dans
l'espace UK des fondions sommables sur le compact K, quel que soit K
{en particulier si les /.■ sont des fondions continues convergeant
uniformément vers 0, sur tout compact), alors, quel que soit le symbole
composé de dérivation
D = 2) ap®p> ap = constantes complexes,
p
les Dfj convergent vers 0 dans ( "£>).

82
Ces théorèmes s'appliqueront notamment aux sommes et produits
infinis convergents dans l'espace (3)') des distributions.
Rappelons qu'une somme infinie ^ T/ est convergente si les
'•
sommes partielles finies convergent suivant l'ordonné filtrant des
V— 00
parties finies de l'ensemble des indices (x) ; une série S Tv est con-
V = 1
vergente si les sommes Sm = N) Tv ont une limite ; si la série STV
est commutativement convergente (convergente quel que soit l'ordre
des termes), elle peut être remplacée par la somme convergente
2 Tv et possède les principales propriétés d'une somme finie.
V
Une somme ou série convergente dans (3)') peut être dérivée terme
à terme sans précaution spéciale.
Cela rendra de nombreux services dans l'analyse harmonique
(transformations de Fourier et Laplace).
§ 6 Structure locale d'une distribution
Distributions et dérivées des fonctions continues Théor ème XX
. Si T est une distribution, K un compact, il existe un nombre
entier )-0m, tel que, si des <p;e (3)K) convergent uniformément vers 0
ainsi que leurs dérivées d'ordre <C m, les T(?.) convergent vers 0.
En effet, T définit une forme linéaire continue sur (®K), espace
vectoriel dont nous avons vu la topologie(§ 1). II existe donc, quel
que soit e > 0, un voisinage de 0 dans (<Î>K), V(m, >j ; K), tel que
<p€ V (m, r) ; K) entraîne ; T(q>) j < e. Alors, quel que soit k > 0,
<?e V(m, kr) ; K) entraîne | T(ç>) | -^ ke, ce qui démontre le théorème.
Théorème XXI Une distribution T sur R" est égale, dans tout
ouvert ù de R" d'adhérence n compacte, à une dérivée d'une fonction
continue, dont le support peut être choisi dans un voisinage arbitraire
de Q.
Appliquons en effet ce qui précède à K =ÏÏ, 11 existe meti) tels
que, pour <pe (^n), l'ensemble d'inégalités
t1) Voir Bourbaki [4 ], chapitre III, § 4 :
Quel que soit le voisinage V de O dans ('£'), il existe une partie finie J de
1 ensemble des indices telle que, pour toute partie finie K d J de cet ensemble,
^r—2T/Voit dans v

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 83
(III, 6 ; 1) | DP9 |< •,, pour Ip ]<m,
entraîne | T(<p) ) < e.
Mais, pour toute fonction Oe (®Q), on a, quel que soit i,
(III, 6 ; 2)
— (x1,xi,...,Xi—u U, Xi+l, ..., x„)dli.
Alors, si / est un nombre ^ 1 dépassant la plus grande dimension
de "S, toutes les inégalités (III, 6 ; 1) sont entraînées par l'unique
inégalité
,mn
(III, 6 ; 3) \-l\ = I / < nllmn ,
elle-même conséquence de
rr /'*)5'n+i(p!
(,"-6;4> Jf~J&z\*<ir-
On voit qu'il est suffisant, pour que les T(ç.) convergent vers 0,
3m+i<p-
pour des fonctions <p;e(3)ß), que les fonctions -^convergent
vers 0, considérées comme éléments de l'espace de Banach L§ = L*
des fonctions sommables sur ß.
Posons
,m+i
(III, 6; 5) ♦-^=+1-
La correspondance entre 4« et <p est biunivoque ; <p détermine 4" par
dérivation et «l» détermine ? par des intégrations successives telles
que (III, 6 ; 2). La forme linéaire T(<p) est donc une forme linéaire
L(i}>). L'espace vectoriel (A) des é pour lesquelles L(<1<) est définie
est un sous-espace vectoriel de LJ. qui est distinct de l'espace entier,
car :
1° ij. est indéfiniment derivable dans Rn ;
-j.m + 1
2° 4« est de la forme —— , ç ayant elle aussi son support dans Ci.
La forme linéaire L(4«) est alors continue sur (A) muni de la
topologie induite par L^. Donc, d'après lé théorème de Hahn-
Banach, elle est prolongeable, d*"uriè infinité <de manières, en une

84
forme linéaire continue sur L^, définie par une fonction /,
mesurable et bornée sur ß":
(III, 6; 6) H*)=J)'...ff1,dx.
On a alors, pour q>e (2)a) et a fortiori pour <pe(ä>a) :
(III, 6 ; 7) TM = m = / {—) ,
ce qui exprime que, dans l'ouvert Ci,
(III, 6 ; 8) T = (— l)(m+1)n a"
ar"+1
/ n'est évidemment pas déterminée d'une manière unique, car on
peut lui ajouter n'importe quelle fonction g vérifiant dans Ci
l'équation" aux dérivées partielles
(III, 6; 9) --2 = 0.
Considérons maintenant la fonction
(III, 6 ; 10) F(xlt xv ... in)
= f'1 r% ... f'n /(/„ /, /„) dl, ... dtn.
J 00 J 00 J —00
C'est une fonction continue sur Rn à support généralement non
compact.
D'autre part, comme nous l'avons vu au théorème V du
chapitre II, on a, au sens des distributions :
(III, 6 ;
On a alors
(III, 6 ;
H)
. ;>F
7>X
;>nF
Ätx ftr2 ...
;, dans l'ouvert ù de R",
12)
T =
- / 1\("» + l.n
ftr„
5m+2F
zxm+2
Si maintenant U est un voisinage quelconque de ß, on peut, en
multipliant F par une fonction ae('£>v) égale à 1 sutTî, remplacer,
dans (III, 6 ; 12), F par G = oF, ce qui démontre le théorème.
Le théorème XXI est très important. Nous avons introduit les
distributions pour pouvoir dériver les fonctions continues. Nous

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 85
voyons que nous n'avons rien introduit de trop, puisque, au point
de vue local, toute distribution est dérivée d'une fonction continue.
Ce théorème prouve en particulier, en utilisant la notion d'ordre
d'une distribution introduite au chapitre I, § 2, page 25, que -.sur
tout ouvert Cl de R" d'adhérence compacte, toute distribution définie
sur R" est d'ordre fini.
La démonstration du théorème XXI se simplifie d'ailleurs dans
le cas d'une variable (n = 1). On peut faire intervenir Cß au lieu de
Ly, et obtenir plus rapidement :
Corollaire Sur un ouvert d'adhérence compacte û de R1, une
distribution T est d'ordre fini m. Alors elle est dans O dérivée d'ordre
m d'une mesure ; sa dérivée d'ordre k est d'ordre <^.m+k(— m-*-k
si m > 0), ses primitives d'ordre ;> m -f- 2 sont des fonctions
continues. Une distribution dont toutes les dérivées sont d'ordre -^ m fixe
est une fonction indéfiniment derivable au sens usuel
Ensembles bornés de distributions Reprenons le théorème XXI,
en considérant, non plus une distribution T, mais un ensemble B'
de distributions, borné dans (a)'). Alors, d'après le théorème IX, il
existe un même voisinage de 0, V(m ; e ; û), dans(2)ß), sur lequel les
formes Te B' sont bornées dans leur ensemble par ij.
Les formes linéaires L(4«) correspondantes, définies pour 4>€ (A),
sont bornées dans leur ensemble ; on voit que, quelle que soit
*e(A), TeB'.
(III, 6 ; 13) jf... / | * ! dx < n/*"*"
entraîne | L(4«) -^ e ; donc
elmn
(III, 6; 14) |L(*)Î< .HL1.
Mais, d'après le théorème de Hahn-Banach, toute forme linéaire
continue sur le sous-espace vectoriel (A) de L* peut être prolongée
en une forme linéaire continue sur l'espace entier L* et de même
norme.
On peut donc choisir une fonction /€ Ljf, représentant la forme L,
telle que
(III, 6 ; 15) »Lu = Max '-A = Max |/(x)| < — .

86
Si alors on passe de / à F, on voit que les fonctions continues F,
associées aux distributions T, sont bornées dans leur ensemble sur
R". On peut donc énoncer, la réciproque étant évidente :
Théorème XXII Pour qu'un ensemble B' de distribution soit
borné dans (2)'), i7 faut et il suffit que, quel que soit l'ouvert ü
relativement compact de R", i7 existe un indice p tel que les Te B ' s'expriment
toutes dans A comme dérivées Dp de fondions continues bornées dans
leur ensemble.
Suites convergentes de distributions Et maintenant au lieu de
considérer un ensemble borné B', on considérera une suite Ty
convergeant vers 0 dans (3)')-
Alors la suite des T sera bornée de sorte que l'on a
(111,6; 16) T;. =(-l)(»+1)"^-/.
et les /■ seront bornées.
Iei, il y a intérêt à remplacer l'espace L^ par l'espace de Hubert
L£; L((<1<), continue sur (A) muni de la topologie induite par L^, l'est
a fortiori sur (A) muni de la topologie induite par L*. Le théorème
de Hahn-Banach est d'ailleurs inutile, car pour prolonger L,
continue sur (A), en une forme linéaire L continue sur L^; il suffit
de prolonger L par continuité sur l'adhérence (À) de (A) dans UK et
de prendre I> nulle sur le sous-espace vectoriel de L^ perpendiculaire
à (A). Les /. seront alors, non plus des fonctions € Lf bornées, mais
des fonctions e L^, de nonnes bornées dans leur ensemble.
Mais il y a plus. Pour 4« fixe e (A),
(III, 6 ; 17) Um L^) = lim T;(<p) = 0.
La convergence des L-OI») vers 0 subsiste pour 4« fixé dans l'adhé-
renc&.(A) de (A) dans L*K, puisque les normes des L. sont bornées
dans leur ensemble; et aussi pour 4« quelconque eL', puisque
L;.(<|i) = L (0), e étant la projection orthogonale de 4« sur la
variété (Ä).
Les ffç L^ possèdent alors les propriétés suivantes :
1° les U/j.JJ sont bornées dans L* ;
2° les jj...fjftdx convergent versO quelle que soit <J»eL^. Mais,
pour x fixe,

ESPACES TOPOI.OGIQUES IJE DfSTRrBUTIONS 87
(III, 6; 18) F;.(*) = ^ j^ J^ fi(f)dt=£f^...fKx(f)tj(f)dt,
Kx(t)eL* étant la fonction égale à I pour/ <; x, te ft, et à 0 ailleurs.
Donc les F;(z) convergent en tout point vers 0 ; et comme les "/^"
sont bornées dans L* et que les Kx(0 forment un compact de L*, la
convergence est uniforme pour ieR".
On peut donc énoncer :
Théorème XXIII (Réciproque du théorème XIX)
Si des distributions Tf forment une suite convergeant vers 0 dans
(■<>'), alors, quel que soit l'ouvert Cl relativement compact de R", i7
existe un indice p tel que les Tf s'expriment dans Cl comme dérivées
Dp de fonctions continues formant une suite convergeant
uniformément vers 0 dans R".
11 en serait de même dans le cas d'un filtre à base bornée ou
dénombrable, mais non évidemment d'un filtre quelconque.
En particulier, une distribution Te ($>'), dépendant continûment
d'un nombre fini de paramètres réels xv, est égale, lorsque x parcourt
un ouvert Cl relativement compact de R" et que les xv restent
bornés, à une dérivée D^F(z;>v) d'unefonctronFcontinuedexetdes V
Les théorèmes XXI, XXII, XXIII, seront redémontrés au
chapitre VI (XXII, XXIII).
§ 7 DISTRIBUTIONS A SUPPORT COMPACT
Définition de T(<p) lorsque <? a un support quelconque Soit T
une distribution dont le support est un compact K0. Soit alors ? une
fonction indéfiniment derivable à support quelconque ; si a est une
fonction e('.P), égale à 1 sur un voisinage compact de K0, il est bien
évident que T(«<p) dépend de <p mais non de a ; car si a et ß sont
deux fonctions e(.^), égales à 1 sur un voisinage compact de K0,
(III, 7 ; 1) T(a?) — T(ß<p) = T J(« — p) v] = 0,
car (a— p)<p a son support dans le complémentaire de K0.
La forme linéaire T(<x?) coïncide avec T(?) si <p est à support
compact ; nous l'appellerons T(<?) quel que soit le support de ?.
Ainsi désormais, si T est à support compact, T(?) est défini quand
<p est indéfiniment derivable à support quelconque ; T(<p) ne dépend
que des valeurs de ? au voisinage de K0.

88
En particulier on peut prendre <?(x) -ai 1 ; T(l) s'appelle
intégrale de T et se notera souvent Jf---/T- Si T est une mesure n
ou une fonction / (à support compact) on aura
(III, 7 ; 2)
ff-f? =ff-J'd* ou Jf-fT =ff~flW*.
Nous remarquerons que si T est une dérivée d'une distribution à
support compact, son intégrale est nulle :
(III, 7 ; 3) T(l) = DpS (1) = (— 1) *S (Dpl) = 0.
Théorème XXIV Si T est une distribution à support compact
K0, il existe un nombre ^>0, m, tel que, si des ?; à supports
quelconques convergent uniformément vers 0 ainsi que leurs dérivées
d'ordre <C m, sur un voisinage de K& les Tfy) convergent vers 0.
En effet, moyennant les hypothèses, les a^. convergent
uniformément vers 0 ainsi que leurs dérivées d'ordre -^ m, et ont leur
support contenu dans un compact fixe, de sorte que, d'après le
théorème XX, les T(<x<p.) = T(<?;) convergent vers 0 si m est choisi assez
grand. Ce théorème exprime que toute distribution à support
compact-est d'ordre fini, et précisément d'ordre égal au plus petit
nombre m possible intervenant dans ce théorème.
Espaces (g), (g') Soit (g) l'espace vectoriel des fonctions ?
indéfiniment dérivables sur R" (à support quelconque) ; on peut le
munir d'une topologie en disant que des ç. convergent vers 0 dans
(fi)) si elles convergent uniformément vers 0 sur tout compact, ainsi
que chacune de leurs dérivées. Un système fondamental de
voisinages de 0 dans (g) est donné par les V (K ; m ; c) (K compact,
m entier > 0, e > 0). ?e V (K ; m ; e) si, sur le compact K, toutes les
dérivées de ? d'ordre < m (Dpç, >p\ <m) sont bornées en module
par e. Un système de semi-normes définissant cette topologie est
formé par les N (K ; m) : N (K; m) (?) = Sup | Dpv(x) |. («) est loca-
i.K
|pKm
lement convexe, complet, à base dénombrable de voisinages : c'est
un espace de Frêchet. Un ensemble borné dans (g) est un ensemble
de fonctions ? telles que, sur tout compact K,et pour tout indice p,
les | Dp<p | soient bornées.
Il est clair que la distribution T, à support compact K0, définit

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUIONS
89
une forme linéaire continue sur (g), c'est-à-dire un élément du dual
(«') de (8).
Réciproquement, soit L(o) une forme linéaire continue sur ($).
Comme (!ï>) est un sous-espace vectoriel de (S), elle définit une
forme linéaire L(q>) sur ($)). Mais si <p;- converge vers 0 dans (3)K),
elle converge aussi vers 0 dans (ß), donc L(?) converge vers 0 : L est
une forme linéaire continue sur (if>), il existe une distribution Te (£)')
telle que, pour <pe (Si)),
(III, 7 ; 4) L(ç) = T („).
T est à support compact K0 ; sans quoi on pourrait trouver une
suite de fonctions q>ve (S1) telles que
9m(x) = 0 pour |-c|< v,
T(9v) = 1 ;
c'est impossible car les çv convergeraient vers 0 dans (g) (leurs
supports s'éloignant indéfiniment), donc les L(«pv) = T(<pv) devraient
converger vers 0.
(ä>) est dense dans (g) ; quelle que soit ?e (g), on peut trouver des
?7e(g) convergeant vers <p dans (g) et égales à ? sur un voisinage
compact de K0 ; alors L(<p/) tend vers L(?), mais T(q>/-) = T(<p), donc
on a (III, 7 ; 4) pour 9 quelconque e (g). Ainsi :
Dualité entre (g) eî (tV) Théorème XXV L'espace des
distributions à support compact est identique au dual (g') de (g).
On peut naturellement construire sur (g') la topologie du dual de
(g) ; elle est évidemment distincte de la topologie induite par (S)1)
sur (g') et plus fine qu'elle : (g') est complet, muni de la topologie
du dual, alors que muni de la topologie induite par (ä)') il est
dense dans (££>'). Sauf mention expresse du contraire, (g') sera
toujours muni de la topologie du dual, définie par les ensembles
bornés de (G).
On démontre sans peine, pour (g) et (g'), des théorèmes analogues
à ceux qui ont été démontrés pour (ß) et (3)'). On montre en
particulier que (g) et (g') sont réflexifs, chacun est le dual de l'autre ; ce
sont des espaces de Montel bornologiques (et tonnelés).
Soit B' un ensemble borné de (g') ; d'après un théorème analogue
au théorème IX a, il existe un voisinage de 0, V (m ; K ; e), dans
(g), sur lequel toutes les distributions TeB' sont majorées par 1

90
(ceci exprime simplement le fait que (8), étant un espace de Fréchet,
est tonnelé, donc que toute partie bornée de (8') est équicontinue).
Alors toute TeB' est nulle dans l'ouvert Gk (car si le support de q>
est dans CK, k<? est dans V (m ; K ; e) quel que soit k) ; son support
est donc dans K. Si nous appelons (8^) le sous-espace de (8')
formé des distributions ayant leur support dans le compact K de
R", (8') est la réunion des (}/) et toute partie bornée de (8') est
contenue dans un (8 J ; un ensemble borné de (8') est un ensemble
borné de ('S)') contenu dans un (8K). 11 en est de même de toute
suite convergente et de tout filtre, convergent à base bornée ou
dénombrable.
Enfin (8') a la topologie limite inductive des (8K). Car (8') et
cette limite inductive ont les mêmes parties bornées, les parties
bornées des (t','K) (*) ; la topologie limite inductive étant la
topologie localement convexe la plus fine induisant les topologies des
(8K), est a priori plus fine que celle de (8') ; mais (8'), étant bor-
nologique comme dual d'un espace de Fréchet réflexif (2), a la
topologie localement convexe la plus fine compatible avec ses
parties bornées, donc la topologie de (8) est plus fine que la
topologie limite inductive, et ces deux topologies sont bien
identiques.
On peut naturellement étendre le procédé utilisé au début de ce
paragraphe. Pour une distribution T et une fonction <p indéfiniment
derivable quelconques, on pourra toujours définir T(<?) si le support
de T et le support de <p se coupent suivant un compact K0. On
appellera a une fonction 6 ('$) égale à 1 sur un voisinage compact de
K0, et on posera T(<p) =- T(a<p). Le deuxième membre est
indépendant de a ; en effet si a et ß sont 2 fonctions e (rS>), égales à 1 sur un
voisinage compact de K0, on a (III, 7 ; 1), car le support de (a— p)<p
est contenu dans le support de ?, mais aussi dans le support de
a — ß qui est extérieur à K0, donc il est extérieur au support de T.
Structure d'une distribution à support compact Nous allons
maintenant donner quelques théorèmes sur la structure d'une
distribution à support compact, considérée globalement dans l'espace
R" entier.
(*) Bourbaki [6], fascicule XVIII, proposition 6, page 8
{*) GBornENDiECK f4], théorème 7, page 73

ESPACES TOPOLOGrQUES DE DrSTHTBUTfONS 91
Théorème XXVI Toute distribution T à support compact K,
peut être, d'une infinité de manières, représentée, dans tout L'espace
R", par la somme d'un nombre fini de dérivées de fonctions continues,
ayant leurs supports dans un voisinage arbitraire U de K„.
En effet, d'après le théorème XXI, si a est un voisinage de K^
dont l'adhérence Cl est compacte et contenue dans U, T est égale
dans Cl à une dérivée DPG d'une fonction continue à support
dans U.
On a donc, si 9 a son support dans Cl :
(111, 7; 5) T(?) = (-l)l'lJ(r.../GD'-(prfr.
Soit k(x) une fonction e (3)), égale à 1 sur un voisinage de K^ et
dont le support soit contenu dans Cl. Pour 9e (8) quelconque, on a
(Il 1, 7 ; 6) T(9) = T(a9) = (— 1)1 " 'J/*... /GD"(a<p) dx.
D'après la formule de Leibniz, Dp (<xç) est une combinaison
linéaire de la forme
(111, 7; 7) D'a9 = 2 C'D^aDV
de sorte que
(III, 7 ; 8) T(9) = (— 1)1"! 2 JJ ». /(C«GD^a)D»9<to ,
ou '
(111, 7; 9) T = 2 D'K— l)"+plC«GDp-»a] = 2 D'G, ,
Î<P 9<P
et les fonctions G(:r)D''—q a(r) ont bien leurs supports contenus
dans U.
11 résulte de la démonstration utilisée que, pour un ensemble de
distributions borné dans (8) ou pour une suite de distributions
convergeant vers 0 dans (8'), on peut faire en sorte que p soit fixe,
et que les fonctions Gq soient bornées ou convergent uniformément
vers 0.
Théorème XXVII Toute distribution d'ordre ^mà support
compact K0 est somme finie de dérivées d'ordre ^ m de mesures, dont
les supports peuvent être pris dans un voisinage arbitraire U de K0 ; et
réciproquement.

92
La réciproque est évidente ; démontrons le théorème. Rappelons
d'autre part que T est une distribution d'ordre <SC m si elle
appartient à (iô'm) ; il suffit pour cela qu'elle soit d'ordre -(mau
voisinage de tout point de K„. Soit V un ouvert contenant K„, V c U.
A chaque fonction ?e(8) faisons correspondre le système des Nm
fonctions continues sur V : 4>P = Dpç, j p 1 ^ m. Ce système j <|>p I est
déterminé par cet réciproquement détermine 9 sur V, car 9 = %.
Le système j typ J associé à 96 (g) n'est pas n'importe quel système de
Nm fonctions continues sur V ; il parcourt, lorsque 9 parcourt (g),
un sous-espace vectoriel (A) de l'espace r*» des systèmes de Nm
fonctions continues sur V. rs"> est le produit de Nm espaces
isomorphes à l'espace r des fonctions continues sur V. On voit alors
que, si T estd'ocdre-^ m, T(<p) est une forme linéaire L(J4«pj) de j4ipj>
pour ) <|«P | e (A) c rNm. Introduisons dans r la topologie de la
convergence uniforme sur V, et sur r"m la topologie produit ; un
système de Nm fonctions continues sur V convergera vers 0 si toutes
ces fonctions convergent uniformément vers 0 sur le compact V.
D'autre part si le système j 4<P ( associé à 9 converge vers 0 dans I"J"m,
T(9) converge vers 0 ; L(J 4»p |) est donc une forme linéaire continue
sur (A). D'après le théorème de Hahn-Banach, elle peut être
prolongée en une forme linéaire continue sur rN">. Une forme linéaire
continue sur V est une mesure n à support c V c U ; une forme
linéaire continue sur r1*1» est un système de Nm telles mesures (/>.
On a
(III, 7 ; 10) T(9) = L(| +p |) = 2 w(+p) = 1 ^(^9),
p p
ou
(III, 7; 11) T = 2(— îyiD'V
p
On pourrait essayer d'améliorer les théorèmes XXVI et XXVII
de deux manières :
1"° En remplaçant « une somme finie de dérivées... » par « une
dérivée d'une fonction (ou d'une mesure) ». On peut le faire mais
alors cette fonction ou cette mesure ne pourrait pas en général
avoir un support compact, ce qui lui ôterait tout intérêt. Par
exemple, pour n = 1, la distribution 8 + 8' est à support compact,
on ne peut pas la représenter comme — n, I* ayant un support

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 93
compact. Car n, qui doit être un polynôme de degré -^ p — 1 en
dehors de 0, ne peut être à support compact que si elle est nulle en
dehors de 0, auquel cas elle est proportionnelle à S ; or on ne peut
dp
pas avoir k — 8 = 8 -(- 8'.
dxp
2° En remplaçant « dont les supports sont contenus dans un
voisinage arbitraire de K„ » par « dont les supports sont contenus
dans K„ ». On peut montrer qu'une telle extension est impossible,
si K„ est quelconque. Mais, si K„ est un compact assez régulier, on
peut montrer que, si T est d'ordre <C m et de support c K„, elle est
somme de dérivées d'ordre -<" m' de mesures de supports contenus
dans K0, m' ^>m dépendant de la nature de K,,, non de T (Voir
théorème XXXIV).
Théorème XXVIII Si une distribution T d'ordre <^m a un
support compact K& T(?) est nul toutes les fois que 96 (8) a toutes ses
dérivées d'ordre <C m nulles sur K0.
Ce théorème est intéressant parce qu'il fait intervenir les valeurs
de 9 et de ses dérivées, non plus sur un voisinage arbitraire de K„,
mais sur K0 seulement.
Nous allons montrer que 9 est égale, sur des voisinages de K0, à
des fonctions 4«, qui convergent vers 0 ainsi que leurs dérivées
d'ordre <C m, uniformément dans R", lorsque d tend vers 0.
Appelons V</ l'ensemble des points dont la distance à K„ est -< d.
Toutes les dérivées d'ordre m de 9 sont nulles sur K0 ; donc, quel
que soit r> > 0, elles sont toutes -^ r> en module sur Yd si d est un
nombre assez faible. Considérons maintenant, en un point x de V</,
une dérivée d'ordre < m ; elle peut être obtenue par intégrations
successives de ses différentielles, sur un chemin rectiligne allant d'un
point x0 de Ko, à x ; on a en effet, puisque les dérivées d'ordre <C m
de 9 sont nulles sur K,, :
(III, 7 ; 12) D"9(x) = f f 4 DVO1 «1 + - + ■ 4 ^^ dt»
pour | p | < m.
Et choisissant x0 de façon que sa distance à x soit -^ d, on alors,
successivement pour | p \ = m — 1, m — 2
(111,7; 13) ID^KW^)"*-^1--)
pour xe\d-

94
Si a est une fonction £($), égale à 1 dans un voisinage de K,,,
on a, quelle que soit ?e8, T(?) = T(<xç). Nous déterminerons a
de la façon suivante.
Soit d'abord ß<*(.r) une fonction continue comprise entre 0 et 1,
égale à 1 sur Vd/a, à 0 en dehors de V**/«. Nous allons la régulariser,
en utilisant des fonctions p(x) définies au théorème I du chapitre I.
Posons
(III, 7 ; 14) o* = ß„. Pd/4 ;
*d est bien e(3)), comprise entre 0 et 1 ; elle est égale à 1 sur V<//4,
à 0 en dehors de Yd-
Majorons les dérivées successives de *d :
I D"arf = ß» ryP
' d'où
llDPo.K//'... fp"Pdlt\dx
(III, 7 ; 15) { rr r _I_ -4r-, I D'Pl (~ \ \dx
rr r l l Irv (—X
j -M-Jffîffi1 HKWil
Finalement, comme < p " <^. m, il existe une constante universelle
Cm telle que
(III, 7; 16) Idp,,'^.
Si alors on pose tyd = xd<?, on peut majorer les dérivées
successives de 4«,,, en utilisant la formule de Leibniz.
(III, 7 ; 17) D'«., = 2 CJ(D"-« «„) D»9 ,
î<p
ou, pour |p | < m, compte tenu de (III, 7 ; 13 et 16),
(in, 7; i8) iD"+(li<csup-rl-«r-i»l,<c,«r-"">
C dépendant seulement de M.
On a, quel que soit d, T(?) = T(ad<p) = T(4>d) ; mais si d, et par
conséquent tj, tend vers 0, toutes les dérivées de 4/d d'ordre <: m
convergent uniformément vers 0 d'après (III, 7 : 18), donc, d'après

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 95
le théorème XXIV, T(<<j) converge vers 0 avec d ; cela prouve alors
bien que T(?) = 0.
Par contre, il faut bien remarquer que même si des 9, convergent
uniformément vers 0 sur K^ ainsi que chacune de leurs dérivées,
cela n'entraîne nullement que les Tfy) convergent vers 0 ; il faut
pour cela que les ? convergent vers 0 ainsi que leurs dérivées sur
un voisinage de K0 (Voir théorème XXXIV).
Exemple Considérons la distribution T définie par la formule
suivante, sur R}(n = 1) :
(III, 7; 19) T(q>)= lim [7 2 J~))—m<p(0)—(logm)9'(0)l
Son support K est compact ; il est formé des points 1/v (v = 1,2 ...)
et de leur limite 0.
Si 9 est nulle sur K, on a aussi 9' (0) = 0 et T(<p) = 0. Par contre,
définissons une fonction 9.6 (LD) telle que
1 -. l
-=- pour x^s — ,
(III, 7; 20) 9,<x) = Yi \
0 pour £<;
/ + !
1
Pour / ->■ 00, | 9/1 <^ —j= converge uniformément vers 0; toutes ses
v/
dérivées sont nulles sur K. Cependant
(III, 7; 21) T(9/) = -L =v//->
00.
v//
§ 8 Structure globale d'une distribution
Dans un ouvert Cl d'adhérence non compacte, en particulier dans
R", une distribution n'est pas en général une dérivée d'une
fonction
: exemple : T = V — (8(*v)), la suite des xv tendant vers + 00
V ~t dxv
Théorème XXIX Si j Ov ( est un recouvrement, par des
ouverts Ov de R", du support F d'une distribution T, on peut
décomposer T en une somme infinie convergente, et localement finie,

96
(III, 8 ; 1) T = V Tv,
V
Tv ayant son support dans l'intersection fivnF.
Si en effet on ajoute à jftvj le complémentaire Cï0 de F, on a un
recouvrement de R". Soit alors j«vj «ne partition de l'unité
(théorème II du chapitre I) subordonnée. Posons
(III, 8 ; 2) Tv(?) = T(av?).
Bien évidemment T0(<p) = T(œ0?) = 0. Tv est une distribution dont
le support Fv est contenu dans l'intersection nv n F. Comme
V
la somme infinie 2 Tv (les supports des Tv s'éloignent indéfiniment
V
pour v -»■ -J- oo ), est convergente et T = ^ Tv.
Sauf dans le cas où tout point de F est contenu dans un seul des
ouverts fiv, il y a une infinité de décompositions (III, 8 ; 1).
Théorème XXX Toute distribution T peut être décomposée
en une somme infinie convergente,
(III, 8 ; 3) T = V DP/G,,
;
dé dérivées de fonctions continues dont les supports sont compacts,
s'éloignent indéfiniment, et sont contenus dans un voisinage
arbitraire U du support F de T.
Utilisons en effet le précédent théorème avec des flv relativement
compacts. D'après le théorème XXVI chaque distribution Tv> à
support compact Fv, peut être décomposée en une somme finie de
dérivées de fonctions continues, dont les supports sont contenus
dans un voisinage arbitraire de Fv> dans U en particulier. On obtient
bien ainsi la formule (III, 8 ; 3).
Théorème XXXI Si une distribution est d'ordre -4' m dans un
ouvert Ci, elle est égale, dans Cl, à une somme finie de dérivées d'ordres
^ m de mesures ; et réciproquement.
En effet, en reprenant la décomposition (III, 8 ; 1) avec des iîv
relativement compacts, chaque distribution T„ est d'ordre <. m et à
support compact ; alors d'après le théorème XXVII, elle est somme
de dérivées d'ordre -^mde mesures,

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 97
(III, 8; 4) T= ^ LV(/pv;
en réunissant dans un même terme toutes les dérivées de même
indice p on trouve
(III, 8 ; 5) ^ = 2 ,xpiV,
V
(III, 8 ; 6) T = 2 Dpiy
p
Remarque, — Pour n = 1, sur la droite, on peut remplacer la
somme finie par un seul terme. Voir corollaire du théorème XXI.
Théorème XXXII Si JFV| est! un recouvrement fini ou dénom-
brable de R" par des ensembles fermés, toute distribution T admet une
décomposition de la forme
(III, 8 ; 7) T = 2 Tv,
V
où Tv a son support dans Fv.
Utilisons en effet la formule (III, 8 ; 3). On peut décomposer
chaque fonction G/ en une somme
(III, 8 ; 8; G/ = 2 G/,v
V
où G/,v a son support dans Fv (G/,v sera en général discontinue). On
voit que chaque somme (III,8;8) est convergente faiblement dans
1.°° (parce que les Fv forment un recouvrement dénombrable), donc
dans (îi)'). On a alors
(III, 8 ; 9) T = 2 D'/G;> ;
/>
la somme du 2e membre est convergente, car dans tout ouvert
relativement compact elle est somme finie de sommes convergentes. On
a donc bien (III, 8 ; 7) avec
(III, 8 ; 10) Tv = 2 DP/G/.V.
/
Ce théorème est bien plus fin que le théorème XXIX, qu'il
contient comme cas particulier.
Le théorème XXXII pourrait laisser croire que si une
distribution T a pour support un ensemble fermé F, et si JFV j est un
recouvrement localement fini de F par des ensembles fermés, T est une

98
somme 2 Ty, Tv ayant son support dans Fv ; i7 n'en est rien. Car les
V
G/ qui interviennent dans la démonstration ont leurs supports
contenus, non forcément dans F, mais dans un voisinage arbitraire
de F.
On peut montrer que pareille décomposition est possible si le
support F est assez régulier. Voir théorème XXXIV.
Théorème XXXIII T(<p) est nul si ? est nulle ainsi que toutes
ses dérivées sur le support de T.
Utilisons en effet la formule (III, 8 ; 1). Le support de Tv est
contenu dans le support de T et compact ; ? est alors nulle ainsi
que toutes ses dérivées sur le support de Tv, donc, d'après le
théorème XXVIII, Tv(?) = 0, et par suite T(?) = 0.
Si T est d'ordre <^m dans Rn, T(<p) est nul quand toutes les
dérivées d'ordre ^mde? sont nulles sur le support de T.
§ 9 Supports réguliers
Nous avons rencontré plusieurs fois dans ce chapitre des
propriétés qui font intervenir non pas le support F d'une distribution T,
mais un voisinage arbitraire de ce support. Si F est suffisamment
« régulier », on peut améliorer ces propriétés et remplacer un
voisinage de F par F lui-même.
Nous dirons qu'un ensemble fermé F est régulier si, quel que soit
x 6 F, il existe un nombre d > 0, un nombre a ^ 0, et un entier
q > 1, tels que deux points quelconques x,x', de F, distants d'au
plus d de x0, puissent être joints par une ligne rectifiable située dans
F, dont la longueur soit au plus égale à <*> fois la racine q-ième de
leur distance :
(III, 9 ; 1) L < co | x' — x \li.
Pour tout point x0 de F, nous prendrons toujours la plus petite
valeur q(x^ de q pour laquelle une telle inégalité soit possible.
x0^-q(x0) est alors une fonction (à valeurs entières) semi-continue
supérieurement. Pour toute partie compacte K de F, nous
appellerons q(K) <-f-oo la borne supérieure des nombre q(x0) ainsi affectés
aux points x0 de K.
La notion d'ensemble régulier résulte des travaux de M. Whit-

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 99
ney (l). La propriété fondamentale qu'on peut démontrer pour les
ensembles réguliers F est la suivante (propriété W) :
Soit K un compact de F, U un voisinage compact de K. Il existe
un nombre k (dépendant seulement de F, K, U, m) ayant la propriété
suivante: pour toute fonction 9, m' fois continuement différentiable
dans R", m' ^ q(K) m, dont les dérivées d'ordre <^ m' sont majorées
en module par M sur F, il existe une fonction <K m fois continuement
différentiable dans R", dont les dérivées d'ordre <^ m coïncident avec
les dérivées correspondantes de 9 sur K, et sont majorées en module par
kM sur U.
Remarquons qu'un ensemble fermé convexe est régulier. Un
ensemble régulier est localement connexe par arcs, et n'a qu'un
nombre fini de composantes connexes par arcs rencontrant un
compact quelconque.
La condition de régularité qui sera suffisante pour que le
théorème suivant s'applique, n'est peut-être pas nécessaire ; en tout cas
l'ensemble formé de 2 courbes ayant en un point un contact d'ordre
infini, ensemble irrégulier au point de contact, met en défaut,
comme on le voit aisément, chacune des propriétés qui vont suivre,
et que nous laissons au lecteur le soin de montrer :
Théorème XXXIV i° Si une distribution T d'ordre m a un
support compact régulier K0, et si m' ^ ?(K0) m, alors T(9,)
converge vers 0 dès que les 9e8 convergent uniformément vers 0
ainsi que leurs dérivées d'ordre <. m' sur le compact Ç«, (Voir
théorème XXIV).
2° Toute distribution portée par un ensemble fermé régulier F0 peut
être décomposée en somme infinie convergente (somme finie si F0 est
compact) de dérivées de mesures portées par F0
(III, 9; 2) T = 2D"'W
;
(voir les théorèmes XXVII et XXX).
3° Si F est un ensemble régulier, si J Fv j est un recouvrement fini
ou dénombrable de F par des ensembles fermés, toute distribution T
(■■) Whitney [3]. La propriété P de M. Whitney n'est pas tout à fait
celle qui est indiquée ici, et ne correspond pas exactement au même problème.
L'énoncé de la propriété W dans la lrc édition de ce livre était erroné, car il
était global au lieu de local, alors que q{x0) n'est pas nécessairement borné
pour a-0eF. Les propriétés de ce § 9 sont étu liées de façon plus détaillée dans
uu travail de M. Gi.*ESER,à paraître prochainement

100
portée par F peut être décomposée en une somme finie ou infinie
convergente
(III, 9 ; 3) T = 2 T*
V
où Tv a son support dans Fv (voir théorème XXXII).
§ 10 Structure des distributions dont le support est
contenu dans une sous-variété
Distributions à support ponctuel.
Théorème XXXV Toute distribution dont le support est
l'origine admet une décomposition unique comme combinaison linéaire
finie de dérivées de la mesure de Dirac :
(III, 10; 1) T= 2 cpD-s;
cp = constantes complexes.
En effet, l'origine est un support régulier, il suffit donc
d'appliquer le théorème XXXIV, 2° ; toute mesure ayant pour support
l'origine est proportionnelle à la mesure de Dirac.
Mais on peut donner une démonstration ne faisant pas appel à la
théorie fine de M. Whitney, en utilisant le théorème XXVIII. Si T
est d'ordre <^ m, T(?) est nul dès que 9 est nulle ainsi que ses
dérivées d'ordre 4mà l'origine. Pour 9e (g), on a
(III, 10 ; 2) o=2~ D"9(0) + n^x),
I p l< m P I
Rm ayant toutes ses dérivées d'ordre < m nulles en 0. Alors
T(Rm) = 0, et par suite
(III. tO ; 3) T(9)= 2 ^^)T(3;0= 2 (-l)|plcPD"9(0),
IP \<m p I \p\<m
ce qui est équivalent à (III, 10 ; 1).
La décomposition est unique. Car si T = 0, on doit avoir
T(xp) = 0, ce qui, dans une formule telle que (III, 10 ; 1), donne
Cp = 0.
Nous allons généraliser cette formule :
Distributions dont le support est un sous-espace vectoriel de R".
Pour simplifier les notations, nous considérerons R" comme un
produit XA x Yk, h+k = n, et représenterons un point de R" par

ESPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 101
(x, y), où x = | xv x xh \ e XA, et y = j yv yv .... yk j e Y*.
Nous allons chercher l'expression générale d'une distribution T sur
R" portée par le sous-espace vectoriel X* x 0 des points (x, 0).
Tx, Ty, Tx,y désigneront respectivement des distributions sur
X*. Y*, R".
D'après les indications du § 5 (3°) du chapitre I, la restriction
9 à X* d'une fonctionna:, y)e (i$)„n, est la fonction <?(x) = !?(x, 0) ;
l'extension T à R" d'une distribution T sur X* est définie, pour
9e(ß)j,, par
(III, 10 ; 4) %,y.9(x, y) = T*.tfc, 0).
Dans la suite,9 désignera un indice de dérivation q = \qv q2 q^l
par rapport aux variables y ; c'est ce que nous appellerons une
dérivation transversale par rapport au sous-espace vectoriel X* x 0.
Théorème XXXVI Toute distribution Tx,y, dont le support est
contenu dans le sous-espace vectoriel X* x 0, admet une
décomposition unique comme combinaison linéaire localement finie de dérivées
transversales d'extensions à R" de distributions définies sur X* :
(III, 10 ; 5) T^ = 2 DJCÇ)**. (T,),e(®')xA.
1
Les supports des Tq sont contenus dans celui de T.
Chacune des distributions T9 dépend continûment de T.
Supposons en effet la décomposition (III, 10 ; 5) possible ; elle
yi
est alors unique, car si nous posons <?q(x, y) = ty(x) — , <\>e S), (le
support de <p, coupe ceux de T et des T^ suivant des compacts),
on trouve
(III, 10 ; 6) T^. 9q(x, y) = (— lWT^.tfx),
ce qui détermine entièrement Tq. Réciproquement les T,
déterminés par cette formule dépendent continûment de T, et ont leurs
supports contenus dans celui de T ; dans tout ouvert relativement
compact û où T est d'ordre m, les Tj sont nulles pour \q] > m
puisqu'alors <p? a ses dérivées d'ordre <^ m nulles sur le support de
T (théorème XXVIII) ; enfin pour toute f(x, y) ef£x,y à support
dans Cl, on a
(III, 10; 7) s(z,y) = £ ^DUfrÖ) + l\m(x, y),

102
d'où
(III, 10 ; 8) T.? = 2 DJ(T,)**.9 + T.Rm,
I q Km
ce qui est bien équivalent à (III, 10 ; 5) puisque T, = 0 pour \q\ > m
et T. R„ = 0. _
Une distribution telle que DJT? est ce qu'on peut appeler une
couche multiple d'ordre \q\ ->- 1,
Distribution portée par une sous-variété indéfiniment différen-
liable U* régulièrement plongée dans une variété indéfiniment diffé-
rentiable V"
Nous supposerons définies, au voisinage de UA dans V", k = n—h
dérivations du premier ordre « transversales et indépendantes par
rapport à U'1 », <>v ? ?a-, ayant de plus la propriété de
commuter deux à deux (leurs crochets sont nuls). On peut alors
localement amener V" sur R", UA sur XA, tandis que les ;> deviennent
les dérivations —, —• — . En posant alors ;>» = a'1 a?1...a?*,
on aura, par changement de variables (le théorème se démontrant
localement) :
Théorème XXXVII Toute distribution T dont le support est
contenu dans la variété UA admet une décomposition unique en
combinaison linéaire localement finie de dérivées transversales d'extensions
à V de distributions définies sur U* ;
(III, 10;9) t = 2»^î T,e(2V
Exemple V = Rn ; UA = S""1, sphère d'équation r = 1 ;
;> = 3/ar ; pour toute distribution T portée par Sn—1 on aura une
décomposition unique, finie :
(III, 10; 10) T= 2 l-)\.
Si maintenant T est une distribution portée par la réunion de
plusieurs sous-variétés ayant des contacts d'ordre fini, le
théorème XXXIV (3°) permet de la décomposer en somme de
distributions portées par les diverses sous-variétés, d'où son
expression générale ; mais sans unicité, car toute distribution portée par

F.SPACES TOPOLOGIQUES DE DISTRIBUTIONS 103
l'intersection de deux sous-variétés peut être indifféremment
supportée par l'une ou l'autre. Nous n'abordons pas ici ce problème
de façon détaillée; il est délicat,et fait l'objet de travaux de Loja-
siewicz [1], en relation avec le problème de la division ("■).
Il pourra arriver qu'on ne parvienne pas à trouver des dérivations
a définies sur tout un voisinage de UA dans V". Généralement ce sera
aisé localement, on aura alors seulement des formules (III, 10 ; 9)
locales. On voit immédiatement, par les formules du changement
de variables, que, sur un ouvert, le plus grand des ordres \q\ des
T, 5e 0 est indépendant des dérivations choisies. On pourra
l'appeler l'ordre transversal de T. Une distribution d'ordre
transversal <J m est ce qu'on peut aussi appeler, en utilisant le formalisme
de la théorie du potentiel, une « couche multiple d'ordre ^m-M
portée par UA ».
(■■) Voir aussi Schwartz [16], exposé 21 par Malgrange

CHAPITRE IV
Produits tensoriels de distributions
Sommaire Le but de ce chapitre est de définir le produit tensoriel (') de
2 distributions, qui généralise le produit tensoriel de 2 mesures. Si Sx et Ty
sont 2 distributions, respectivement sur les espaces vectoriels Xm. Y", à to et »
dimensions, Sa ® T„ est une distribution sur l'espace vectoriel Xm X Y" ; si
Sx = f(x), Ty = g(y), sont des fonctions, Sx® Ty est la fonction j(x) g(y).
Le § 1 étudie la variation de T(<p) lorsque 9 dépend d'un paramètre X. Il
étend des résultats connus sur la continuité ou la dérivabilité des intégrales
dépendant d'un paramètre.
Les §§ 2, 3, définissent le produit tensoriel par la formule
S*®^. 9(x,y) = S(u)T(p)
si <p(x, y) = u(x) v(y) (IV, 3 ; 1) ; le § 4 en donne les propriétés essentielles.
Tout est de caractère très élémentaire, sauf la démonstration de la continuité
(théorème VI, p. 110) ; mais on peut la plupart du temps se contenter de
l'hypocontinuité qui est immédiate.
Le § 5 donne quelques exemples faciles.
Le principal intérêt de ce chapitre, qu'on peut parcourir rapidement, se
trouvera dans la définition du produit de convolution (chapitre VI, § 2).
§ 1 Intégrales dépendant d'un paramètre
Position du problème Ce paragraphe étend aux distributions
des théorèmes classiques sur les intégrales de fonctions dépendant
d'un paramètre.
Soit x = j xlt x2 xn | e R", 9(1 ; x) une fonction de x et d'un
paramètre x parcourant un espace topologique A, telle que, pour
toute valeur de ce paramètre, 9, considérée comme fonction de
xe R", soit dans ('S)). Si T est une distribution fixe sur R", alors la
quantité
(IV.lîl) I(>)=T(9),
f1) Ce qui dans la première édition était appelé produit direct et noté x est
appelé ici produit tensoriel et noté 0

PRODUITS TENSORIEI.S DE DISTRIBUTIONS 105
bien définie pour chaque valeur de x, est une intégrale généralisée
dépendant du paramètre x et qu'il y a lieu d'étudier. Pour bien
marquer que, dans le calcul de T(<f), ■? est considérée comme
fonction de x seul, T étant une distribution définie sur l'espace R" que
parcourt la variable x, nous écrirons
(IV, 1; 2) I(>)=Ts[v(z;x)].
Continuité par rapport au paramètre Théorème I Si,
lorsque x parcourt un voisinage convenable de \, <? a son support
contenu dans un compact fixe de R", si d'autre part chacune des
dérivées partielles Dpç(z ; x) (dérivée par rapport aux variables xlt
x2, ..., x„) est continue par rapport à l'ensemble des variables x
et x, alors Tx. <?(x ; x) est continue en x au voisinage de x = x„.
En effet, Dpç(.t ; x) étant continue en x et x, est continue en x
uniformément par rapport à x lorsque x parcourt un compact. Alors
<f(x ; x), dans l'espace topologique ((J>)X, dépend continûment de x,
et Tx est une forme linéaire continue sur (fJ))x, d'où la conclusion.
Différentiabilité Théorème II Si x est un paramètre réel
ou complexe, si, lorsque x parcourt un voisinage convenable de x0, ? a
son support contenu dans un compact fixe de R", si enfin chaque
dérivée Dpf(x ; x) admet une dérivée partielle (au sens usuel) en x,
— Dp<p(z ; x), continue par rapport à l'ensemble des variables xe R" et
t)X
x, alors I(x) = Tx.<?(x; x) est derivable (au sens usuel) par rapport à
x au voisinage de x = x,,, et sa dérivée s'obtient par dérivation sous le
signe « d'intégration » :
(IV, l; 3) -jhMâ9<*:4
En effet
(IV,1;4) ^±.^-u)_T./i.ç(i:,)
[ d> 3x j
Lorsque dx > 0, la fonction entre crochets tend vers 0
uniformément par rapport à x, sur tout compact de R", en vertu de la conti-
nuité de — 9(1 ; x) ; de même la dérivée Dp de la fonction de x entre
crochets tend vers 0 sur tout compact de R", en raison de la conti-

106
nuité de Dr — <?(x ; x) ; comme la fonction de x entre crochets a son
support contenu dans un compact fixe de R", elle converge vers 0
dans ('J1), et en vertu de la continuité de la forme linéaire T, le
2e membre converge bien vers 0 quand dx tend vers 0.
Naturellement le théorème II est encore vrai dans le cas de
plusieurs paramètres, et de dérivations partielles par rapport à res
paramètres. Le cas que nous utiliserons sera le suivant :
xest un point \ x,, >2, ... , >m j d'un espace vectoriel V"1 de
dimension m. <f(x ; x) est indéfiniment derivable (au sens usuel) par
rapport aux variables x et x, chaque dérivée étant continue par rapport
à l'ensemble des 2 variables x et x. Alors l(x) -= Tx[-r(x ; x)] est
indéfiniment derivable en x (au sens usuel) ; si ^ est un symbole de
/ a-?i (-Î2 ' •■• '-7n,\
dérivation partielle dans Am d,7 = —- — — — I , ou peut dériver
\ x dx17iox;/-...:xM
sous le signe d'intégration :
(IV, 1 ; 5) o{ Tx[9(z ; x)] ==, T,[ox' <p(x ■ x)j .
§ 2 Produit tensobiel nie 2 distrihutioxs
Soient X"\ Y", 2 espaces vectoriels de dimensions respectives m
et n ; x = \ xlt x2,..., xm \ sera un point du premier, y = ) yv y2,...,ijn [
un point du deuxième. Si f(x) est une fonction numérique sur Xm,
g(y) une fonction numérique sur Y", ce que nous appelons leur
produit tensoriel f(x) (g) g(y) est la fonction h(x, y) — f(x) g(y) des
variables x, y, définie sur l'espace vectoriel produit Xm x Y". Le
produit tensoriel d'une fonction des m variables réelles xv x2, ..., xm
et d'une fonction des n variables réelles yy, y2,..., yn, est donc une
fonction des m + n variables réelles xlt x2, ..., xm, y„ y2, ..., yn.
Si en particulier/(z) et g(y) sont des fonctions au sens de la théorie
des distributions, c'est-à-dire des fonctions sommables sur tout
compact, définies presque partout, il en est de même de leur
produit tensoriel.
On définit aussi aisément le produit tensoriel de 2 mesures, i^sur
X"\ vy sur Y". La définition est classique en calcul des probabilités :
si x est un point aléatoire dans l'espace Xm, dont la loi de
répartition est définie par la mesure y.x sur Xm (y.x est alors une mesure
> 0 et fj ... f d]ix = + 1), si de même y est un point aléatoire

PRODUITS TENSORIELS DE DISTRIBUTIONS 107
dans l'espace Y", dont la loi de répartition est définie par la mesure
v!/(v2. > 0, ff... fdvy = -f 1), le couple (x, y) des 2 points
aléatoires est un nouveau point aléatoire dans l'espace vectoriel produit
Xm x Y", dont la loi de répartition est définie par la mesure
produit- px (g V (!).
Pour pouvoir étendre de tels produits et définir Sx (g Tj,, Sx et Tj,
étant 2 distributions quelconques respectivement sur Xm et Y", il
faut exprimer le produit tensoriel de 2 fonctions ou de 2 mesures
comme une fonctionnelle. Appelons (3))x, (S))y, (2>)x,y les espaces (!]))
de fonctions indéfiniment dérivables à support compact sur Xm,
Y", Xm x Y" respectivement ; (<£')x, (3)%, (r£%,y les espaces de
distributions (<£') correspondants. Il nous faut, pour définir
w,,y = s,<8)Ty e(a)%j,,
connaître pour chaque fonction <?(x, y) e(($)x,y la valeur de la
fonctionnelle Si (g) Ty [<f(x, y)], de manière que, si S3 etTj, sont 2 mesures
lAr, vy, ou 2 fonctions f(x), g(y), on retrouve
( iLx<g)Vyh(x, y)] = ff... f. ff... f<?(x,y) d^dvy
(IV, 2 ; 1) \ ,. .
( /«0ftrh(a:. y)] = //'• • • / • ff • ■ • /*(*. f/) /(*) fl'C!/) dxdy.
Bornons-nous à considérer le cas particulier des fonctions
f(T> y) € ('S))x,y qui sont des produits de la forme
(IV, 2 ; 2) ç(z, y) = u(x) v(y) , u(z)e(î0)«, »(ö)e(3))j,.
Dans le cas de 2 mesures ou de 2 fonctions, les formules (IV, 2; 1)
donnent immédiatement
/ HxCgvj, [U(Z) i>(l/)] = ii(u)v(»)
(IV, 2; 3) J/xCg^ ["(*) *>(</)]
f =77- //W "(*) dx-ff-f 9(y) Hy) dy = /(") $(»).
Nous sommes donc amenés à poser
(IV, 2 ; 4) W,j, [u(x)iK»)] = S(u) T(i>).
La valeur de la forme linéaire W sera alors connue toutes les fois
que ^(x, y) sera de la forme (IV, 2 ; 2) et aussi toutes les fois qu'elle
sera somme de fondions de la forme (IV, 2 ; 2) en nombre fini :
(IV, 2 ; 5) s(x, y) ---- ^u,(x) v,(y) ; u,-e (<*)*, i/,e (■.!%,
i
(*-) Voir Bourbaki [7], chapitre 111, § 5

108
car on devra avoir :
(IV, 2 ; 6) W% uj(x) Vj(y) \ = % S(u/)T(i>;).
Nous allons démontrer qu'il existe une distribution bien déterminée
et unique satisfaisant à (IV, 2 ; 4), qui pourra être appelée produit
Sx <S> Ty. Dans le cas de 2 mesures ou de 2 fonctions, W coïncidera
bien avec leur produit tensoriel défini par (IV, 2 ; 1) en vertu de
(IV, 2 ; 3) et de l'unicité de W.
Les résultats de ce chapitre s'étendent sans modification au produit
tensoriel de deux distributions définies sur deux variétés Um, V" ; c'est
une distribution sur Um X V".
§ 3 Unicité, existence, calcul du produit tensoriel
Un théorème d'approximation. Unicité du produit tensoriel
Théorème III Dans (®)z,y, le système des u(x)v(y) est total ;
autrement dit le sous-espace vectoriel des fonctions <?(x, y) de la forme
(IV, 2 ; 5) <?(x, y) = £ u;(x) v,(y) est dense dans (3>)Xl!, (•).
Ce théorème entraîne l'unicité de la distribution W vérifiant
(IV, 2; 4), si W existe. CarW, vérifiant (IV,2; 4), vérifie (IV, 2 ; 6) ;
la valeur de Wj,j. <?(x, y) est alors connue, lorsque <p parcourt un
sous-espace dense de (Q)x,y, donc pour ç>e (^>)x,y quelconque. Plus
généralement une distribution quelconque sur Xm x Y" sera connue
si on connaît ses valeurs pour <p(x, y) de la forme (IV, 2 ; 2).
Nous allons donner du théorème une démonstration qui manque
de profondeur et de généralité mais qui est rapide et qui nous sera
suffisante. On peut trouver une suite de polynômes
Pvfo, x2 ... xm, yv y2, ... yn) = Pv(a", y)
qui convergent uniformément sur tout compact vers 9(1, y) et dont
chaque dérivée converge uniformément sur tout compact vers la
dérivée correspondante de <p. Un polynôme est bien de la forme
2 Uj(x)vj(y), mais les u,- et Vj, monômes, ne sont pas à support
compact. Si p(x) et <s(y) sont des fonctions fixes indéfiniment déri-
(■■) C'est l'analogue d'un théorème bien connu pour les fonctions continues,
utilisé pour l'étude du produit des mesures. Voir par exemple Dieudonné [4]
et Bourbaki [8], théorème 4, page 57

PRODUITS TENSORIELS DE DISTRIBUTIONS 109
vables à supports compacts, telles que e(x) a(y) soit = 1 sur le
support de 9, alors les p(x)a(g) Pv(x, y) sont de la forme (IV, 2 ; 5),
et convergent dans ('S>)x,y vers p(x-) v(y) $(x, y) ~ <p(z, y), c. q. f. d.
Existence et calcul du produit lensoriel Théorème IV II
existe une distribution "Wx,ye (fJ)')x,y, bien déterminée et unique, qui
satisfait à
(IV, 3 ; 1) -W[u(x)u(y)] = S(u)T(v).
On l'appelle produit tensoriel des distributions Sxe('J)')x, Tye(Q')y,et
on la note Si0Ty. Pour <?(x, y)£('.S>)x,y, on peut calculer W(<p) par
plusieurs intégrations simples successives (théorème de Fubinî) :
(IV, 3 ; 2) Sx0T!/[cp(z, y)] = S* [T^(x, y))] = Ty[S^x,y))] ■
Considérons en effet <f(z, y) comme une fonction sur Xm,
dépendant du paramètre ye Y". Pour y fixe, c'est une fonction dex,
appartenant à ('S>)x, on peut donc définir l'intégrale l(y) = Sx [ç(x, y)],
dont la valeur est fonction du paramètre y. D'après les résultats du
§ 1, comme ■? est indéfiniment derivable par rapport aux variables
x, y, et de support contenu dans un compact de ('J>)x indépendant
dey,
(IV, 3; 3) I(y) = S,[ç(z, y)]
est une fonction indéfiniment derivable de y ; d'autre part elle est,
considérée comme fonction de y, à support compact, donc dans
Çfyy. On peut donc calculer
(IV, 3 ; 4) T,[I(y)] = Ty [Sx(?(x, y))].
Enfin, toujours d'après les résultats du § 1, on voit aisément que
si <p converge vers 0 dans (2)K)x,!/. I(y) converge vers 0 dans (iTv^s,,
où Kt est la projection de K sur l'espace Yn, donc Ty[I(y)] converge
vers 0. Donc Ty[l(y)] définit une forme linéaire continue sur tout
(Îk^j, soit une distribution W,,j6 (3)')x,y
Cette distribution vérifie évidemment
(IV, 3 ; 5) Wu(x)v(y)] = T„ [Sx(u(x)u(y))]
= T„ [v(y)Sx(u(x))) = Ty [S(u)v(y)] = S(u)T„ [v(y)] = S(n)T(»),
c'est-à-dire l'égalité (IV, 3 ; 1). Nous avons donc trouvé une
distribution vérifiant (IV, 3 ; 1) ; le théorème III nous a prouvé qu'il ne
pouvait en exister plus d'une. Naturellement les intégrations succès-

110
sives SxTy, TySx, donnent le même résultat, car elles donnent
2 distributions vérifiant chacune (IV, 3 ; 1).
§ 4 Propriétés du produit tensoriel
Support Théorème V Le support du produit tensoriel est
identique au produit des supports.
Autrement dit (x, y)eX.m x Y" appartient au support de Sx0T,,
si et seulement si x appartient au support A de Sx et y au support
B de Ty. La connaissance locale de Sx et de Ty entraîne la
connaissance locale de Sx 0 Ty. Démonstration immédiate : si 9 a son
support dans Ca x Y" ou dans Xm x Cb, W(<p) = 0 d'après
(IV, 3 ; 2) ; donc le support de W est dans A x B. Et au voisinage
de tout point de A x B, W est ^ 0 d'après (IV, 3 ; 1).
Continuité. — Théorème VI. — La transformation qui, au couple
Sxe('.S)')x, Tve('S>')y, fait correspondre Sx(g)Ty6 ('S)')r,y, est une
application bilinéaire fortement continue. La propriété est aussi vraie avec
les espaces (8') au lieu de ('S)').
On voit de suite que c'est une application bilinéaire. Ou voit
aussi facilement que si Sx et Ty varient en restant bornées, Sx0Ty
reste bornée. Si Sx est fixe ou même varie en restant bornée dans
('S)')x, et si Ty converge fortement vers 0 dans ('S)')y, Sx (g) Ty
converge fortement vers 0 dans ('S)')x<y. Autrement dit, l'application
bilinéaire est hypocontinue (Voir théorème XI du chapitre m).
Mais nous allons montrer plus. Elle est continue : si Sx et Ty
convergent chacune fortement vers 0 (ce qui, dans le cas de filtres,
n'entraîne pas qu'elles soient bornées), Sx 0 Ty converge
fortement vers 0. Montrons d'abord un lemme :
Lemme Si \ .Bv | est une famille dénombrable d'ensembles bornés
dans ('S)), formés de fonctions ? ayant toutes leur support contenu dans
un compact fixe K de Rn, il existe un voisinage U de 0 dans ('J>') tel
que,pour tout v,T(Bv) = Max| T(ç) | reste bornée lorsque. T parcourt U.
çeBv
En effet l'ensemble Bv (v fixe) peut être défini par une suite j Mv j
de nombres réels > 0, Mp,v, dépendant de l'indice p, telle que,
pour 96 Bv
(IV, 4 ; 1) | Dp9 I < Mp,v.
Les suites |Mvj forment, lorsque v varie, une famille dénombrable
de suites ; donc, d'après un théorème classique de Dubois-Rey-

PRODUITS TENSORIEI.S DE DISTRIBUTIONS 111
mond, il existe une suite unique ] M j, de nombres réels > 0, Mp,
dépendant de l'indice p, qui « croît plus rapidement, pour p -»- oo,
que toute suite j Mv j ». Autrement dit, pour chaque valeur de v,
la suite j M j majore la suite \ Mv j à un nombre fini de termes près;
il existe alors un nombre > 0, Äv, dépendant de v, tel que
(IV, 4; 2) |Mv{<*vfM{ ou M,.v < kvMp.
Considérons alors l'ensemble borné B de ('!>) formé des fonctions
ç à support contenu dans K, et vérifiant, pour tout p,
(IV, 4 ; 3) |DP9KMP.
On voit d'après (IV, 4 ; 1) que
(IV, 4 ; 4) Bvc*vB(»).
Si alors U est le voisinage de 0 dans (u)') formé des distributions
T vérifiant T(B) < 1, on a, pour Te U :
(IV, 4; 5) T(BV) < *v T(B) < *v
c. q. f. d.
Avec l'aide de ce lemme, le théorème VI se démontre aisément.
Supposons que ?(x, y) parcoure un ensemble borné quelconque
Bx,j, de ('2>)x,y. Considérons <j.(x, y) comme fonction de x seul, pour
une valeur fixe du paramètre y ; on voit immédiatement que <p
parcourt alors un ensemble borné Bx,(0) de ÇS))z, indépendant du
paramètre y. De même, D^ étant un symbole de dérivation partielle en y,
D' <p(z, y) parcourt un ensemble borné Bx,fa) de (<S>)X indépendant
du paramètre y. Alors, d'après le lemme, il existe un voisinage U»
de 0 dans (<S)')x, et une suite de nombres kq > 0, tels que, pour
Sx€ Ux,
(IV, 4 ; 6) | Sx [DJ fix, y)] | < k,.
Donc la fonction dey, \(y) = Sx[<?(x, y)], appartient à ('j)),, a
son support contenu dans un compact fixe, et vérifie, pour SxeUx,
?eBx,j,:
(IV, 4 ; 7) | D"l(y) | < *;.
I1) L'existence d'un ensemble B et d'une suite frv, associés à une suite
quelconque d'ensembles bornés Bv, constitue la première condition de dénombra-
bilité de Mackey. Voir Mackey [1], p. 182 et Dieudonné-Schwartz [1],
proposition 3, page 69

112
Autrement dit, l(y) reste bornée dans (ii%. Alors il existe un
voisinage V,, de 0 dans (CJ)')„ tel que
(IV, 4; 8) »eB,.j, SxeUx, Ty€V„
entraîne
(IV, 4; 9) | S, <g> T> . ç(z, 0) | - |T„.I(ö)|<1
ce qui exprime bien la continuité de l'application bilinéaire (*).
On peut, dans le théorème VI, remplacer les espaces ('3') par des
espaces (&'). On s'appuiera alors sur un lemme relatif au couple
d'espaces (fc), (8')> tout à fait analogue au lemme ci-dessus, mais
sans aucune hypothèse sur les supports des 96 Bv. L'énoncé du
théorème VI suppose essentiellement qu'il s'agisse des topologies fortes.
L'application bilinéaire est faiblement discontinue. Avec les
topologies faibles, on peut seulement faire les mêmes remarques que
pour le théorème XI du chapitre III.
Signalons enfin que le produit tensoriel est une application
bilinéaire continue de (}i)a x (i)y dans (C)x,y, et hypocontinue
(mais non continue) de Ç$)x x ('i% dans ('£)x,y.
Dérivation Théorème VII Si D? est un symbole de
dérivation partielle en x, D' un symbole de dérivation partielle en y, on a
(IV, 4 ; 10) DJD«(SX ® Ty) = D£SX (g) DJT, .
On voit immédiatement l'égalité des distributions e(lù')x,y écrites
aux 2 membres ; il suffit en effet, d'après le théorème III, de vérifier
qu'elles prennent la même valeur pour <?e (^)Xi!, de la forme (IV,2;2),
ce qui est évident.
Un théorème d'approximation Théorème VIII Le système
des distributions Sx (g) Tv (où Sx parcourt (r£')x, et Ty parcourt (<S>%)
est total dans ('S>')Xiy.
En effet toute distribution g ('£')x,y estlimitedefonctions
indéfiniment dérivables à supports compacts (théorème XV du chapitre III).
Or une telle fonction f(x, y) est limite dans ('$)z.y, donc a fortiori
dans ('JV)x,î,, de fonctions de la forme (IV, 2 ; 5) qui sont bien des
combinaisons linéaires de produits directs.
(") Voir DiELDONNÈ-ScnwARTz [1], page 96, théorème 9, qui démontre
ce théorème dans le cas de (8'), d'où l'on passe aisément à (iP')

PRODUITS TENSORIELS DE DISTRIBUTIONS 113
Il est bien évident que toutes ces propriétés s'étendent sans
difficulté au produit direct d'un nombre fini quelconque de
distributions ; ce produit est associatif. Si X', Y"\ Z", sont 3 espaces
vectoriels de dimensions respectives l, m, n, on voit en effet que, R*. Sy,
Tz, désignant 3 distributions respectivement sur X', Ym, Z", on a
R* <g> (S, 0 T,) = (R. 0 S„) 0 T,.
D'ailleurs on peut définir directement Rx 0 Sy 0 T, en écrivant
que, pour u(x)e (3))*, v(y)e (3))y, w(z)e (<D), :
(IV, 4 ; 11) R* 0 Sy 0 T, [u(x) v(y) w(z)] = R(u) S(v) T(w).
§ 5 Exemples
Exemple 1 Distribution indépendante de x-± Nous avons
déjà rencontré un exemple de produit au § 5 du chapitre II
(intégration dans le cas de plusieurs variables).
Soit, sur R", une distribution T vérifiant = 0. Cherchons sa
forme par une nouvelle méthode. Calculons T(<?) pour
(IV, 5 ; 1) <f,(xlf x2, .... x„) = ufo) v(x2, x3, .... xn).
Choisissons v(x2, x3, ..., x„) fixe, et faisons varier u Seule.
T(uv) est alors une forme linéaire continue de ue (Q)Xl, c'est-à-dire
une distribution sur l'espace à une dimension X1 de la variable xv
Cette distribution a une dérivée nulle, donc, d'après le théorème I
du chap. II, c'est une fonction égale à une constanteC(v) (dépendant
du choix de v) et, pour u et v quelconques :
(IV, 5 ; 2) T(nv) - C(v) j " u(.x.) dxv
Choisissons maintenant une fois pour toutes u telle que
u(.r.) rf.r, /. 0,
et faisons varier v seule. Alors on voit que C(v) est une forme
linéaire continue de ve ('■f1)*,,*,,.. x„, donc une distribution 2 sur
l'espace an — 1 dimensions Y"" ' des variables x2, x3, ... xn.
(IV, 5 ; 3) C(v) - Lr,,,,... ,„ [v(x2, i„ ... xn)\ - 2.(0),
.

114
(IV, 5 ; 4) et T(uv) = f f^' u(xj dxj) -£(»).
Cette formule montre queTest le produit tensoriel de la constante 1,
distribution sur X1, par la distribution 2 sur Y"~\
(IV, 5; 5) T=(l),1®2,„Ji...,„.
En appliquant le théorème de Fubini [formule (IV, 3; 2)], on
retrouve la formule (II, 5 ; 10) et une formule nouvelle :
j T. ?(z„ z2... xn) = 2x2,,,. ..»„.( / <p(t!, xz... xn) dtÀ
(IV, 5; 6) ,+x V °° '
j T. ç(z1,zt...zB)= / m [2,,.*,. ...,„. ç(/i,a:«...a:„)] d/,.
Plus généralement dans l'espace Xm x Y", la forme générale d'une
distribution indépendante de y est 2X 0 (l)r
Exemple 2 Extension à l'espace d'une distribution définie sur
un sous-espace vectoriel.
En reprenant les notations du § 10 du chapitre III, l'extension
Tx,y à R" d'une distribution Tx sur X'1, vérifie la formule
(IV, 5 ; 7) Tx>y = Tx <g> Sy ; de plus D^ry = Tx <g> D'y8y.
Exemple 3 Fonctions d'Heaviside et mesures de Dirac.
Les produits tensoriels dans R" permettent de définir des
intermédiaires entre la fonction d'Heaviside et la mesure de Dirac. Si
nous appelons fonction d'Heaviside Y(z) dans R" la fonction égale
à -f- 1 pour x > 0 (c'est-à-dire .Tj !> 0, z2 > 0, ... zn > 0) et à 0
ailleurs, nous voyons que
(IV, 5 ; 8) Y(x) = YXi 0 Y,,® ... (g) Y,,,.
Nous poserons alors
(IV, 5 ; 9) Y(a-) = YXl ® YTl ® ... ® Y,A (g) 8,^, ... ® 8,B ,
de sorte que Y(n)(z) = Y(x) et Y(o) = s. Tandis que Y(n) est une
fonction, toutes les autres Y(aj sont des mesures ; Y(aj est portée
par le sous-espace vectoriel Ox^ ... xk et c'est l'extension à R" de
la fonction d'Heaviside définie sur le sous-espace vectorielOa^.-.-rA.
On a alors
(IV, 5 ; 10) A Y(A) = Y,a-.)

PRODU'TS TENSOHIELS DE DISTRIBUTIONS 115
et par suite
an-k
(IV, 5; 11) Y = YW;— — Yw = S ,
JZA-i i ... î>Xn t>X1^X2 ... î>Xk
ce qui donne des « solutions élémentaires » de certaines équations
aux dérivées partielles.

CHAPITRE V
Multiplication des distributions
Sommaire II est impossible de définir le produit multiplicatif de 2
distributions quelconques. On définit au § 1 le produit <xT d'une distribution T et
d'une fonction indéfiniment derivable a, par la formule (V, 1 ; 1)<xT.ç = T.oup,
qui, si T est une fonction /, donne pour <xT le produit usuel a/.
Le § 2 donne les propriétés de ce produit, qui sont évidentes. Signalons en
particulier l'hypocontinuitè (théorème 111, p. 119) et la formule habituelle de
dérivation d'un produit (V, 2 ; 3) : (<xT)' = <x'T + <xT'.
Le § 3 donne des exemples. Les formules (V, 3 ; 2 à 5) sont d'un usage
courant en Mécanique ondulatoire sous une forme plus ou moins déguisée.
L'exemple 3 est important dans la pratique des pseudo-fonctions.
Les §§ 4 et 5 traitent du problème de la division. Dans le cas d'une variable
(n = l, § 4) la division par une puissance de x est aussi très utile dans la
Mécanique ondulatoire et dans la pratique des équations différentielles.
Le § 2 par contre correspond à des notions peu utilisées jusqu'à présent,
parce qu'il n'était pas possible de poser correctement le problème. II est
maintenant correctement posé, mais n'est pas pour autant résolu ; nous ne
traitons que des cas particuliers ; le cas gunéral est d'une très grande difTirnlté,
il a été résolu par Hörmander pour la division par des polynômes, el par I^ojae
siewin. pour la division par dus fonctions analytiques!1)). L'intérêt de la
division résulte de ce que,par transformation de Fourier, elle résout des problèmes
essentiels de la théorie des équations aux dérivées partielles et équations
intégrales(ehapitreVII,§ 10).On pourra sans inconvénient reporter la lecture
des §§ 4 et 5 jusqu'à l'étude de ces problèmes.
Le § 6 donne des applications de la multiplication aux équations
différentielles et aux dérivées partielles. Tout ce paragraphe est important pour
les applications pratiques. Toute équation différentielle homogène a pour
seules solutions ses solutions usuelles, qui sont des fonctions (théorème IX,
p. 130) ;ilen est de même pour toute équation aux dérivées partielles elliptique
(théorème XII, p. 143) ce qui simplifie notablement les méthodes directes du
calcul des variations (p. 147). Dans les équations hyperboliques au contraire,
il y a des solutions-distributions nouvelles.ce qui permet d'introduire d'une
façon correcte les solutions discontinues d'usage courant. De même la relation
entre problème de Cauchy et équation avec second membre, et la définition
correcte de la solution élémentaire sont bien mises en évidence (p. 135).
(*) Hörmander [2], Lojasiewicz [1], Schwartz [16]

MULHPLICATION DES DISTRIBUTIONS
117
§ 1 Produit multiplicatif d'une distribution par une
fonction INDÉFINIMENT DERIVABLE
Dans ce chapitre, pour éviter toute confusion, nous noterons
toujours par T. <p le produit scalaire de Te (3)') et <p€(lä>).
Impossibilité de définir le produit de 2 distributions quelconques
— Nous voulons définir un produit multiplicatif STe(2f)') de 2
distributions Se(äV), Te (3)'), qui, dans le cas de 2 fonctions f(x), g{x),
donne leur produit habituel f(x)g{x). Il est évident que ce n'est pas
possible si S et T sont quelconques. Ainsi si f{x) et g{x) sont 2
fonctions sommables sur tout compact, leur produit fg n'est pas
nécessairement sommable, donc ne définit pas nécessairement une
distribution. Il est facile de voir que si \l est une mesure qui n'est pas
une fonction, le carré y? n'a jamais de sens ; le carré S2 de la mesure
de Dirac devrait être, s'il avait un sens, une masse +oo à l'origine
(comme on le voit en approchant 8 par des fonctions en cloche).
Pour que ST ait un sens, il faut que S soit d'autant plus régulière
localement que T est irrégulière ('). Le cas où nous sommes sûrs que
ce produit aura toujours un sens est celui où, T étant une
distribution quelconque, S est une fonction a, indéfiniment derivable (au
sens usuel).
Définition Pour <xe(S), Te(3)'), nous définirons le produit
multiplicatif <xTe(3)') par
(V, 1 ; 1) «T . 9 = T . a?,
pour <?e (3)). aT ainsi définie est bien une distribution, car, si 9/-*0
dans (IDk), il en est de même de a?/, donc T. a?/ -*■ 0. Si T est une
fonction /, aT coïncide bien avec le produit usuel a/, car (V, 1 ; 1)
s'écrit
(V, 1 ; 2) ff... f[a(x)f(x)] <f{x)dx =//■■■ //(*) KXMX)]dx-
Donnons quelques exemples du produit ST de 2 distributions
dans d'autres cas que celui où S = <xe(S), Te {S)') étant quelconque.
1° T est une mesure y.. On peut donc définir ST si S est une
fonction continue / :
t1) Nous avons démontré l'impossibilité de définir un produit même dans
des conditions plus générales, dans Schwartz [6]. Une multiplication toute
différente est définie par König [2]

118
(V, 1 ; 3) ST = fr par /n. * = I*. /?, *e (tf), /* (c>
2° T est une distribution d'ordre <f$ m.
On peut définir ST si S est une fonction m fois continûment cJifïc-
rentiable / :
(V, 1 ; 4) /T . » = T . /», 9e(Ü>), /*= (ID").
3° Nous avons choisi au début T quelconque, S « infiniment
régulière », puisque S = <xe(8), et nous venons de voir des cas
intermédiaires. Il y a lieu alors de faire jouer à S et T le même
rôle ; si c'est S qui est une distribution d'ordre <m, c'est T qui devra
être une fonction /, m fois continûment différentiable ; si S est
quelconque e (££>'), T devra être une fonction <xe (8).
Moyennant ces considérations, on écrira ST aussi bien que TS si
le produit a un sens.
Dans la suite nous abandonnerons ce point de vue et
considérerons toujours le produit <xT, <xe(8), Te (2)').
Remarquons que, pour 96 (2>) et Te (2)'), ou pour ■?€ (8) et T(8'),
on a çTe(ê') et
(V,l;5) T.» = »T.l =ff...f9T.
Le produit scalaire est l'intégrale sur R" du produit multiplicatif.
Il en résulte que si 9T = 0 quelle que soit 9e (3)), T = 0.
Le produit s'étend immédiatement aux distributions sur une
variété V".
§ 2 Propriétés du produit multiplicatif
Support. Ordre Théorème I Le support de <xT est contenu
dans l'intersection du support de a et du support de T. L'ordre de <xT
est au plus égal à l'ordre de T.
Cela revient à dire que si, dans un ouvert Q, a ou T est nulle,
<xT est nulle. La connaissance locale de a et de T entraîne la
connaissance locale de <xT ; par exemple si, dans un ouvert Q, a et T
sont > 0, <xT est dans 'ft une mesure > 0. En particulier, ae('j)) ou
Te(8') entraîne aTg(C'). Démonstration immédiate.
On peut, en utilisant les théorèmes XXVIH et XXXI11 du
chapitre 111 perfectionner le théorème et montrer ce qui suit :
Théorème II Si T a un support compact K0, et est d'ordre
(nécessairement fini) m, aï est! nutte toutes tes fois que a et ses déri-

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS 1 H'
vées d'ordre -^ m sont nulles sur K0 ; si T a un support quelconque
et est d'ordre quelconque, fini ou infini, <xT est nulle si a est nulle
ainsi que toutes ses dérivées sur le support de T.
En effet <xo a toutes ses dérivées d'ordre <C m nulles sur le support
K0 (dans le 1er cas) ou toutes ses dérivées nulles sur le support de
T (dans le 2e cas), donc T(«<?) = 0 quelle que soit 96 (£D).
Continuité Théorème 111 <xT est une fonction bilinéaire
hypocontinue de a. et de T [<x€ (f.), Tg (ÜV), »Tg (Iß')] •
Cela résulte du théorème XI du chapitre 111.
Supposons par exemple que les T; tendent vers 0 dans (ß)').
Lorsque 9 parcourt un ensemble borné B de (if), et que les <x; restent
bornés dans (8), les a/9 parcourent un ensemble borné dans (ÜD) ;
alors les T/. <x;9 convergent bien vers 0 uniformément pour 96 B. Si
au contraire ce sont les <x; qui tendent vers 0 dans (g), alors lorsque
ç€(£P) parcourt B, les a,9 convergent uniformément vers 0 dans (S) ;
comme les T/ sont bornés dans (!i>'), les T/. a/9 convergent encore
vers 0 dans ('!>') uniformément pour 96B. Naturellement,
l'application bilinéaire (a, T) -*■ aT est discontinue. Si les a/ convergent
vers 0 dans (8), et les T; vers 0 dans (ÜV), les a/T/ ne convergent
pas forcément vers 0 dans (<J)'). La convergence des a/T/ vers 0 n'est
certaine que dans le cas de suites convergentes, car unesuite
convergente est bornée, ou dans le cas de filtres ayant une base de filtre
bornée ou dénombrable. En ce qui concerne le cas des topologies
faibles, on peut faire les mêmes remarques qu'à propos du
théorème XI du chapitre 111.
Remarquons que le produit multiplicatif est aussi une
application bilinéaire hypocontinue de (E) x(E') dans (8'), de (^)x(y)')
dans (f/), de (<S>) x (8) dans (£T), et continue de (8) X (8) dans (8).
On se bornera souvent à étudier l'application linéaire continue de
(i)') ou de (8') dans lui-même définie, pour ae(8) fixe, par
(V, 2 ; 1) T — aT.
Ce n'est autre, d'après la formule (V, 1 ; 1), que la transposée de
l'application linéaire continue
(V, 2; 2) 9-*a9
de (IX1) ou de (8) dans lui-même.

120
Dérivation Théobème IV Le produit <xT se dérive suivant
la règle habituelle de dérivation du produit :
(V, 2 ; 3) («T)' - a'T + «T.
Dans cette formule, le symbole ' désigne d'une façon simplifiée une
dérivation partielle — par rapport à l'une des coordonnées. Cette
formule est d'ailleurs vraie sur une variété indéfiniment différen-
tiable V", le symbole' désignant une dérivation du premier ordre o
[formule (II, 3 ; 35)].
La démonstration directe est immédiate, car
l (aT)'. 9 = aT. (— 9') = T. (— «»'),
(V, 2 ; 4) j a'T. 9 = T. a'?,
( aT'. 9 = T'. a? = T. [—(aç)'],
de sorte que (V, 2 ; 3) s'écrit
(V, 2; 5) T.(— a9') = T.[a'9— («»)'] OU — a?' = a'9 — (a»)',
qui est la formule habituelle de dérivation d'un produit.
On peut aussi opérer sans revenir aux définitions. La formule
(V, 2 ; 3) est vraie si T est une fonction fe('J}). Mais si des /,€(!£)
convergent dans (3)') vers T, on obtient (V, 2 ; 3) par passage à la
limite. Naturellement on peut généraliser et démontrer la formule de
Leibniz de dérivation supérieure d'un produit.
Produit tensoriel et produit multiplicatif Théorème V Le
produit multiplicatif dans C$)x,y des produits tensoriels a(x)(g)?(y),
S* 0 Ty[c.(z)e(8),, Hy)e(S)y, S,e(lf>% Tye($')y], est le produit
tensoriel des produits multiplicatifs.
(V, 2 ; 6) [a(z) 0 ß(y)] (S,, (g) Ty) = a(x) Sx 0 ß(y) T,.
Pour montrer l'égalité des distributions figurant dans les 2 membres,
il suffit de montrer que, en tant que formes linéaires sur ('I)x.,„
elles prennent la même valeur pour 9(x, y) e('iV,v) de la forme
(IV, 2 ; 2), ce qui est évident, la valeur commune des 2 membres
étant (S.aU) (T. ßy).
Produit de plusieurs distributions

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
121
Il n'y a aucune difficulté à définir le produit d'un nombre fini
quelconque de distributions qui toutes, sauf une au plus, sont des
fonctions 6(8).
Théorème VI Le produit de plusieurs distributions, lorsque
toutes, sauf une au plus, sont des fonctions indéfiniment dérivables au
sens usuel, est associatif et commutatif.
On a en effet
(V, 2; 7) a(ßT).* = ßT.a9=T.ß«c = (aß)T.c
L'associativité
(V, 2 ; 8) a(ßT) = («ß)T
montre que la multiplication T-» <xT permet de définir l'espace ($')
[ou {%')] comme un module topologique sur Vanneau topologique (g).
Si les conditions restrictives de l'énoncé du théorème ne sont pas
vérifiées, la multiplication n'est plus nécessairement associative.
Exemple Pour les 3 distributions S, x, vp. — :
x
(V, 2 ; 9) (8 x) vp. — = 0 car Sx = 0
(V, 2 ; 10) 8 (x vp. — ) = 8 car x vp. — = 1.
§ 3 Exemples
Exemple 1 Nous avons rencontré déjà des exemples. Ainsi la
formule (III, 8 ; 1) résulte immédiatement de la partition de l'unité,
1 = 2«v(x),
V
la somme infinie du 2e membre étant convergente dans (g) ; donc,
par multiplication,
(V,3;l) T = 2(avT).
V
Exemple 2 Le symbole ' désignant une dérivation du premier
ordre :
(V, 3 ; 2) a« = a(0)8
(V, 3; 3) aî' = a(0)8'— a'(0)8.

122
Plus généralement la formule de Leibniz montre que
(V, 3 ; 4) ccDpS = 2 (— 1)'P"îl CJ DP~'7 a(°) D's-
Un cas particulier intéressant est celui de
a = X1 = .t'1 X1^ ... X1^ :
(0 si / n'est pas < p
(V.»i5) ^((-DWy.-j-J,.,,,,-.,^., ,<p.
Un cas particulier de (V, 3 ; 5) est
(V, 3 ; 6) xp Dp8 = (— \)\p\ p ! S.
Si maintenant on utilise les notations du § 10 du chapitre 111,
compte tenu de (IV, 5 ; 7), on aura
y y
(V,3;7) y*l(—l)lil T.
0 sauf si / < q
Exemple 3 Soit Pf. g une « pseudo-fonction ». Cela signifie que
(V, 3;8) Pî.g.9 = PÎ.Jf...fg9dx.
Pour que la pseudo-fonction g soit bien définie, il faut supposer
qu'on se donne un procédé explicite de calcul de la partie finie de
l'intégrale du 2e membre. Alors
(V, 3 ; 9) (a Pf. g).9 = Pf. g. a*
= Pt.Jf... fg{«<?) dx = Pf. J)J{*g) 9dx.
Avec la convention de calcul, supposée explicitée, de l'intégrale écrite
au dernier membre de (V, 3 ; 9), celle-ci représente (Pf. ag). ?. On
peut donc écrire
(V, 3 ; 10) a Pf. g = Pf. ag.
Les pséudo-fonctions se multiplient donc comme les fonctions.
Ainsi l'exemple 2 du § 3 du chapitre II nous donne
(V,3;12) rkPf. rm = Pf. rm+k ;
m est un nombre complexe quelconque, A- est un entier > 0 pair,
puisque r* doit être une fonction indéfiniment derivable. Si

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
123
lA(m) + k > — n,
le symbole Pf. du 2e membre est inutile.
§ 4 Problème de la division, cas d'une variable (n = 1)
Position du problème Si S est une distribution donnée, il
existe évidemment, dans tout ouvert où H (x)e ((.) est sans zéro, une
distribution T et une seule vérifiant HT = S ; car, — étant
indéfiniment derivable, on obtient, en multipliant les 2 membres par
— : T = — S. Nous nous préoccuperons donc uniquement des cas
H H
où H a des zéros. Le problème de la division est d'une importance
très grande dans la théorie des équations intégrales ou aux dérivées
partielles ; l'emploi de la division est courant en mécanique
ondulatoire.
Division par x Théorème VII S étant une distribution
donnée sur R1, il existe une infinité de distributions T vérifiant
(V, 4 ; 1) xT = S ;
deux d'entre elles diffèrent d'un multiple arbitraire C« de la mesure
de Dirac.
Nous voyons immédiatement que T est définie dans l'ouvert
complémentaire de l'origine par
(V, 4 ; 2) T -= l- S,
— étant une fonction indéfiniment derivable dans cet ouvert. Ce
x
n'est qu'au voisinage de 0 que T est inconnue et que nous ne
pouvons pas affirmer â priori son existence.
Nous avons là affaire à un problème de division par x, inverse
d'un problème de multiplication. Nous opérerons exactement
comme pour l'intégration (théorème I du chapitre II), problème
inverse de la dérivation. Pour que l'on ait (V, 4; l),il faut et il
suffit que, pour toute fonction xe(1f) qui est de la forme x(a") =x^(x),
*€(<£), on ait T(x) = S($). Ces fonctions x, divisibles parz, forment
un sous-espace vectoriel hyperplan (36) de ($) : elles satisfont en
effet à l'unique condition linéaire x(0) = 0, moyennant quoi le
quotient <J/(x) = x(x)jx appartient bien à (lS>).

124
T, si elle existe, est une forme linéaire continue sur (2)) connue
sur (3d>) ; on la connaîtra complètement si on connaît sa valeur
T(<Po) sur un élément ?0 de (3)) n'appartient pas à (26). Choisissons
par exemple ?0 telle que ç0(0) = + 1. Alors, pour 9e (3>) quelconque,
on aura la décomposition unique
( ? = "M>o + X,
(V, 4 ; 3) X = 9(0),
( x = 9 — x?0e(36), donc = xi,, +e(3)),
qui donnera
(V, 4 ; 4) T(») - xT(9o) + S(+).
Réciproquement, supposons 90 choisie une fois pour toutes, et
T(o0) choisie de façon quelconque. La formule (V, 4 ; 4) définit bien
T comme une forme linéaire sur (3)). Si 9 converge vers 0 dans
(3V). * converge vers 0, donc xT(9„) également ; si nous montrons
que i, converge vers 0 dans (3)), alors S(<J>) convergera vers 0, et
par suite aussi T(9) ; T sera une forme linéaire continue, c'est-à-
dire une distribution et elle vérifiera bien (V, 4 ; 1).
11 nous faut donc seulement montrer que, si 9 converge vers 0
dans (!ï), il en est de même de +. Or x = ? — x<p0 converge vers 0
dans (3)L), L étant la réunion de K et du support de 90, et nous
devons finalement montrer que, si x€(3^) converge vers 0 dans
(3)l), <Ki) = x{x)jx converge vers 0 dans (3)i). Mais l'application
à x(x) de la formule de Taylor permet, par un calcul élémentaire,
d'obtenir une majoration de la forme :
(V, 4 ; 5)
dm<Kx)
< km Max
I » Kl * !
jm + i
x(0
dl'
m + l
dx"
d'où l'on déduit aussitôt la conclusion.
Deux solutions distinctes de (V, 4 ; 1) correspondront à 2 valeurs
distinctes pour T(90) ; leur différence est donc telle que
(V4.6) \ Ti(?) - T2(9) = Cx = Cç(0) ou
' ' ' } T, — T2 = CS
(C = constante complexe, S = mesure de Dirac).
11 aurait d'ailleurs été facile de prévoir qu'une distribution T telle
que xT = 0 serait proportionnelle à S. Car une telle distribution,
d'après (V, 4 ; 2), doit avoir pour support l'origine ; alors elle est
(formule (III, 10 ; 1)) de la forme

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
125
(V, 4 ; 7) T = 2 (— l)' % af\
La formule (V, 3 ; 5) donne alors
(V,4;8) xT = 2 (-1)P~1/D^Pn.8'P~1)'
expression qui ne peut être nulle que si tous les ap, p ^ 1, sont nuls,
donc on a bien T = C0S.
Division par x1 Corollaire Si S est une distribution donnée
sur R1, i7 existe une infinité de distributions T vérifiant (/ entier > 0)
(V, 4 ; 9) x'T = S ;
la différence entre deux d'entre elles est une combinaison linéaire
arbitraire de dérivées d'ordre <; / — 1 de la mesure de Dirac.
On procède en effet de proche en proche ; pour « diviser » S par
xl, on la divise / fois de suite par x. Quant à l'indétermination de la
solution, elle se voit comme ci-dessus ; une distribution T vérifiant
x£T = 0 a son support à l'origine, elle est donc de la forme (V, 4 ; 7) ;
alors d'après (V, 3 ; 5)
(V,4;10) x!T = 2 (-')r'n\,»M.
qui ne peut être nulle que si tous les Cp, p^>l, sont nuls, d'où
(V,4;ll) T=- V (_i)^-»'P).
Division par une fonction H II nous est maintenant possible
de passer à la division d'une distribution S donnée par n'importe
quelle fonction 1 l(x)e (('), n'ayant sur tout l'axe réel que des racines
isolées multiples d'ordre fini.
On voit en effet que, si la division par H est possible localement,
elle est possible globalement (voir plus loin, § 5, 2°).
Or la division par II est évidemment possible au voisinage de
tout point a qui n'est pas un zéro de H. Au voisinage de av, zéro
multiple d'ordre /v de H, on peut écrire
(V, 4 ; 12)
1 1 (x — av)!v
H (x — av)!v H '
et comme (x —av)!v/H est indéfiniment derivable au voisinage de av,
la division par H se ramène à la division par (x — av)'v qui est

126
toujours possible. Finalement la division par H est donc possible
sur R1.
L'indétermination de la solution provient de l'indétermination
aux points av. La différence entre 2 solutions vérifie
(V, 4 ; 13) HCT, - T2) = 0,
et elle admet une représentation unique comme combinaison
linéaire infinie (convergente) de dérivées d'ordre ^/v— 1 des mesures
ponctuelles S(ov) :
(V,4;14) T.-T.-Sf 2 i~Vjï<\
puisqu'au voisinage de chaque point elle admet une telle
représentation unique.
On voit facilement que la division par une fonction H(x)€(£)
ayant des zéros d'ordre infini n'est plus toujours possible ; n'importe
quelle distribution n'est plus « divisible » par H.
§ 5 Esquisse du problème de la division dans i.e cas de
plusieurs variables
Nous ne traitons ici que les cas simples. Le problème général de
la division est très délicat; il a été résolu, pour la division par les
polynômes, par Hörmander [2], et plus généralement pour la
division parles fonctions analytiques, par Lojasiewicz [1]. Voir aussi
Schwartz [15].
1° La division par xn dans R" est toujours possible. 11 suffit
d'étendre la démo'.stration du paragraphe précédent, (36) n'est
cependant plus un hyperplan, il est formé des fonctions x vérifiant
x(a-1( x2, ... x„-lt 0) = 0.
2° Si la division par H est possible localement, elle est possible
globalement. Soit en effet j Clv \ un recouvrement localement fini
de R" par des ouverts relativement compacts dans chacun desquels
la division par H soit toujours possible. Utilisons alors le
théorème XXIX du chapitre III, qui décompose la distribution S
donnée en somme S = 2 Sv, Sv ayant son support dans flv- H existe
alors une distribution Tv telle que HTV = Sv ; on peut toujours
supposer que le support de Tv est dans flv, sans quoi on la
multiplierait par une fonction e(lDflv) égale à 1 sur un voisinage du support

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
127
de Sv. Alors la somme infinie T = ^ Tv est localement finie, et l'on
a HT = S.
3° Soit P une fonction de (8) telle que la sous-variété U"_1
d'équation P(x) = 0 soit à n — 1 dimensions, sans singularité, et que les
dérivées partielles du premier ordre de P ne s'annulent jamais
simultanément sur cette sous-variété. Une telle fonction P sera dite
régulière. Au voisinage de tout point en dehors de Un_1, la division
par P est possible, et unique. Au voisinage de tout point de Un-\ on
peut, par un changement de variables (chapitre I, § 5, 3°), se
ramener au cas où P est la fonction xn, donc la division par P est
encore possible. Finalement la division par P, localement possible,
est globalement possible.
4° Si la division par deux fonctions H, K, est possible, la division
par le produit HK est toujours possible, elle se fait par deux
divisions successives.
Alors si P, Q, ... sont des fonctions de (8) régulières, et si 1, m ...
sont des entiers > 0, la division par P'Q"1 ... est toujours possible.
Étudions maintenant l'indétermination du problème de la
division dans les cas traités ci-dessus, c'est-à-dire la forme générale des
distributions T vérifiant HT = 0. Le support de T est
nécessairement sur la sous-variété d'équation H(z) = 0. Mais ce n'est
nullement suffisant.
La formule (V, 3 ; 7) nous montre que, pour que le produit xJ,T
soit nul, il faut et il suffit que T soit couche multiple d'ordre <^ l
portée par l'hyperplan x„ = 0 :
(V.5,1) T= 2 (~)qT*> Te(£0'K,* *™-i •
Pour la division par P'Qm ..., on effectue un changement de
variables local (chapitre I, § 5, 3<>) ; dans le cas de plusieurs
fonctions P, Q on utilise le théorème XXXIV, 3°, pour décomposer
une distribution ayant pour support la réunion de plusieurs sous-
variétés en somme de distributions dont chacune a pour support
l'une de ces sous-variétés. On aboutit ainsi au théorème suivant :
Théorème VIII Si V" est une variété indéfiniment différen-
tiable, si P, Q, ... sont des fonctions de (g), régulières sur V", la
division par P'Qm ... est toujours possible. Pour qu'une distribution T
vérifie P!Qm ... T = 0, il suffit toujours, et il faut dans le cas où en
tout point commun à plusieurs sous-variétés P = 0, Q = 0, ..., ces

128
sous-variaés ont leurs hyperplans tangents indépendants, que T se
décompose en somme de couches multiples d'ordres < l, m, ... portées
respectivement par ces sous-variétés (voir page 103).
Au voisinage d'un point qui n'appartient qu'à une de ces sous-
variétés, rappelons que l'expression de la couche multiple comme
somme finie de dérivées transversales d'extensions à V" de
distributions définies sur la sous-variété est unique, unefois la dérivation
transversale choisie.
Exemple Dans Rn, la division par (1 — r2)' est toujours
possible. La solution la plus générale de l'équation (1 — r2)' T = 0,
admet la décomposition unique :
(V.5-2) T= 2 [—) T*.
T, étant l'extension à Rn d'une distribution Tq définie sur la sphère
unité S"-1.
§ 6 Applications aux équations différentielles et aux
dékivéks partielles
Définition Une équation aux dérivées partielles d'ordre m,
linéaire, dont l'inconnue est une distribution T, est de la forme
1 DT = B avec
(V, 6;1) DT= 2 AP(i)DfT; p = ) pv Pi p„ } .
f \p\<m
Les AP(x), coefficients de l'équation, doivent être des fonctions
indéfiniment dérivables (au sens usuel), si l'on veut que DT ait un
sens pour toute distribution T. B, le 2e membre, est une distribution
do nnée ; si B = 0, l'équation est homogène (Naturellement on peut
étudier d'autres cas ; si par exemple les Ap sont seulement k fois
continûment differentiates, les DT devront être dans (lS>'h), et une
solution T ne pourra être une distribution quelconque).
Pour avoir un système de N équations aux dérivées partielles à N
distributions inconnues, on devra supposer que T = } T1( T2 T„ J
est une distribution vectorielle (chapitre I, § 5, 1°) à valeurs dans
l'espace vectoriel E = RN à N dimensions. Alors B = JB^B;,, ...,BN (
est aussi une distribution vectorielle, et les coefïicients A^ sont
des matrices indéfiniment dérivables à N lignes et N colonnes,
Ap — (Ap,lik), de sorte que (V, 6 ; 1) est alors équivalent à
(V,6;2) (DT)/ = B/; / = 1, 2, .... N ;

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
129
avec
(V, 6 ; 3) (DT)/ = £ 2 A,; ,-,*<*) DT*.
Ip|<m k=i
L'application linéaire continue T-*DT de (3)') dans (2)') a une
transposée; c'est une application linéaire continue <p-»-D'<pde (S))
dans (2)), définie par
(V, 6 ; 4) DT.? = T.D'? ou £ (DT),-.*,- = £ T,.(D'9)h
et
(V,6;5) D'9= 2 (— îy'-'DfAj.Œrtx)]
I/>.<»•
OU
N
(DV)/ = 2 2 (- O1'1 ^(Aj,; *,/w). P°"r 7 = 1, % - N,
où 'Ap est la matrice transposée de Ap (*).
L'équation (V, 6 ; 1) exprime alors que, quelle que soit ?€(!£>), on a
(V,6;6) T.D'q> —B.9 = 0.
Si T et B sont des fonctions, cette relation ne fait pas intervenir les
dérivées usuelles de T ; une fonction continue, non derivable au
sens usuel, peut être solution d'une telle équation (*). En particulier,
si B = 0, une solution du système homogène est une distribution
orthogonale à tous les D'<p, <p€ ('S)).L'équation D'T = 0 est ce qu'on
appelle usuellement l'équation adjointe. Bien entendu, l'équation
D'T = 0, adjointe de D'T = 0, n'est autre que l'équation homogène
initiale DT = 0, caries opérateurs D'et D' sont entièrement définis
sur ('$)') s'ils le sont sur (X1), dense dans (£!)') ; or on a, quels que
soient <p et <|.e (2>),
(V, 6 ; 7) Dç.4 = <j..D',p = D'4,.9.
(') On définir..it .mssi très aisément les systèmes aux dérivées partielles sur
les variétés indéfiniment tlifferentiahles
(!) (V, 6 ; 6) est bien la définition des « solutions faibles » d'une équation
aux dérivées partielles, données par Leray [1], pages 204-206, Hilbert-
Courant [1], tome II, page 469, Bochner [2], et [3J pages 158-182. Voir
Introduction. Voir des exemples, formule (V, 6 ; 33)

130
Equations différentielles Nous prendrons ici N quelconque.
Le système (V, 6 ; 1) devient un système différentiel si la dimension
n de l'espace de la variable a: est 1. Le système est dit régulier s'il
peut être résolu par rapport aux dérivées d'ordre le plus élevé de
Tv T2 TN. On peut alors toujours par adjonction de
distributions inconnues nouvelles le ramener à l'ordre 1. Nous supposerons
donc le système donné sous la forme matricielle
DT = ~ + AT = B ou
dx
(V, 6;8) { (1T.
(DT),- = -=-' + 2 A/.A(x)Tfc = B, ; / = 1, 2, .... N.
1 aX fc = i,ï N
Théobème IX Quelle que soit la distribution B (second membre),
te système régulier (V, 6 ; 8) a une infinité de solutions. La différence
entre 2 d'entre elles est une solution arbitraire du système homogène,
c'est nécessairement une fonction indéfiniment derivable, solution
usuelle du système homogène.
Ce résultat vaut globalement ou localement.
La solution usuelle du système homogène qui pour x = 0 a la
valeur u(0) = j u^O), u2(0), .... uN(0) \ est donnée par
(V, 6 ; 9) u(x) ■= C(x) u(0)
où C(x) est une matrice (C/,* (x)) :
(V, 6 ; 10) u, (x) = 2 C,.a(x)ii*<0) ; /' - 1, 2, ..., N.
fr =i,s....,N
La matrice C(x) est indéfiniment derivable, puisqu'il en est ainsi
des coefficients A/,/, ; elle est inversible (son déterminant, le
wronskien, est ^ 0) et sa matrice inverse C • (x), qui est aussi
indéfiniment derivable, donne la valeur de la solution u à l'origine
en fonction de sa valeur au point .r, par <;(0) -- C-1 (x)u(z). C(x)
est l'unique solution usuelle de l'équation différentielle matricielle
(V, 6 ; 11) ?- + AC =0 ou ^ + V A,iC/a - 0,
dx dx -f
qui, pour x — 0, soit la matrice identique I. Nous pouvons alors
résoudre (V, 6 ; 8) par la méthode des « constantes variables ». On
pose
(V, 6 ; 12) T = CS ou T, --- V C/./,Sa,

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
131
ce que l'on peut faire d'une manière et d'une seule quelle que soit T,
car S est déterminée par
(V, 6 ; 13) S = C-»T.
Alors, suivant un calcul classique, on aura le système équivalent à
(V, 6 ; 8) :
(V, 6;14) C~=B ou — = C_1B.
dx dx
On est ainsi ramené à la recherche d'une primitive d'une
distribution ; il y a toujours une infinité de solutions, quelle que soit B.
La différence entre 2 solutions est une solution arbitraire du
système homogène ; alors, pour celle-ci, B = 0, donc S est, d'après
le théorème I du chapitre II, une constante k = \ klt kt, ... kN \, et
T = Ck est une solution usuelle du système homogène.
Le fait que le système homogène n'ait pas d'autres solutions que
ses solutions usuelles peut se voir d'une autre manière. Si une
solution T .du système homogène est d'ordre -^ l (l ^ 1) (resp. une
mesure, une fonction, une fonction l fois continûment
differentiate), la formule (V, 6 ; 8) (avec B = 0) montre qu'il en est de
même de-—; mais alors,d'après les théorèmes II, III,du chapitreII,
dx
et leurs conséquences, T est d'ordre < l — 1 (resp. une fonction,
une fonction continue, une fonction l -f- 1 fois continûment diffé-
rentiable). Mais comme, d'après le théorème XX du chapitre III, T
est nécessairement d'ordre < -f- oo sur tout compact, elle est
nécessairement une fonction indéfiniment derivable, donc solution usuelle
du système homogène. Plus généralement, si B est une fonction
continue, le système n'a pas d'autres solutions que ses solutions
usuelles.
Supposons maintenant le système (V, 6 ; 1) irrégulier. Alors en
général il n'aura pas de solutions. Par exemple, pour N = 1,
l'équation du 1er ordre
(V, 6; 15) ■ x3~ + 2T = 0
dx
a pour seules solutions, dans l'ouvert complémentaire de l'origine :
(X (\ m) î T = kl exp (1/:r2) P°Ur X> °'
K ' ' ' I k2 exp (1/z2) pour x < 0.

132
Or on peut voir qu'il n'existe pas de distribution prolongeant T au
voisinage de l'origine (si kt ou /r2 est ^ 0), à cause de la croissance
trop rapide de Tpoun-^O (voir plus loin théorème VIII du
chapitre VII). Le système (V, 6 ; 15) n'a pas d'autre solution que 0. Au
contraire dans des cas où les conditions du théorème de Fuchs sont
réalisées, le système a des solutions dépendant de plus de N
constantes. Ainsi, pour N = 1, l'équation du 1er ordre.
(V, 6;17) Xl&~~ xT = 0'
a pour solution générale, dépendant de 2 constantes [voir formules
(II, 2 ; 27 et 28)] :
T = ^(Pf. xx)x>o + *2(P1. | x \\<t
pour x distinct des entiers < 0.
T = *Pf. (x-1) + fc's"-1'
pour x = — l, entier < 0.
Une propriété des solutions des équations aux dérivées partielles
Théorème X Les solutions d'un système d'équations aux
dérivées partielles forment un sous-espace vectoriel fermé dans l'espace des
distributions
En effet si, dans (2)'), des solutions T, (dépendant de /') convergent
vers une distribution limite T, DT est limite des DT, à cause de la
continuité de l'opérateur D, donc DT = B.
On ne démontre habituellement ce théorème que pour l'équation
de Laplace (toute limite uniforme de fonctions harmoniques est
harmonique) ou les équations elliptiques, alors qu'il est valable pour toutes
les équations aux dérivées partielles. Cela tient à ce que, dans le
cas d'une équation hyperbolique par exemple, si B = g est une
fonction, si les T, sont des fonctions //, solutions usuelles de
l'équation, convergeant uniformément vers une fonction limite /, / n'est
peut-être pas derivable au sens usuel et alors n'est pas une solution
usuelle ; elle est seulement une solution en théorie des distributions.
Au contraire, nous verrons plus loin que, pour une équation
elliptique, toute distribution solution est une fonction indéfiniment
derivable : voir théorème XII. Pour revenir au cas habituel, on
déduit du théorème X :
Si des solutions usuelles f\ d'un système aux dérivées partielles
d'ordre m convergent uniformément sur tout compact vers une fonction
(l) Le cas général des équations du type de Fuchs pour les distributions a été
résolu par Methèe [2]
(V, 6 ; 18)

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
133
limite f, et si f est m fois continûment différentiable, alors f est
une solution usuelle du système, bien qu'aucune hypothèse ne soit
faite sur la convergence des dérivées de //, qui d'ailleurs
effectivement ne convergent pas, en général, au sens usuel, vers des limites.
Le problème de Cauchy Sous sa forme élémentaire, le problème
de Cauchy consiste dans la recherche d'une solution usuelle T = /
d'un système d'équations aux dérivées partielles (V, 6 ; 1) (où B est
une fonction g) d'ordre m, connaissant ses dérivées d'ordre <Jm—1,
sur une hypersurface S suffisamment régulière. Si ;> est une
dérivation transversale définie au voisinage de S (chap. II, § 3, exemple 5),
les dérivées transversales ïkf, (0^k<^m—1) déterminent
évidemment sur S toutes les autres dérivées d'ordre <.m — 1. On pose
souvent un problème de Cauchy plus fin, en exigeant seulement
que / soit m fois continûment différentiable dans l'ouvert Cl
complémentaire de S, vérifie (V, 6 : 1) dans Cl, et que les dérivées
transversales ;>/*(0< k <m — 1) définies dans Ci, aient des limites données
/(*) sur S (l'expression « limite sur S » peut être prise dans un sens
très général), mais on ne suppose pas l'existence de dérivées tangen-
tielles de / sur S. On peut naturellement se borner au problème
de Cauchy local.
Cherchons alors / au voisinage de S, mais d'un seul côté, dans
l'une des 2 composantes connexes Ci', Cl", de Cl au vpisinage de S.
Soient /', g', les fonctions égales à /, g, dans Cl', à 0 dans Cl". En
supposant par exemple l'hypersurface S et le champ de dérivation
o m fois continûment differentiates, et en appliquant la méthode
du chapitre II, § 3, exemple 1, on voit que D/' est, au voisinage
de S, la somme de la dérivée usuelle [D/'] = g' et d'une couche
multiple H portée par S, entièrement déterminée par les données
de Cauchy f'^(k < m — 1). C'est évident pour le problème de
Cauchy élémentaire. Pour le problème de Cauchy fin, on remplace S
par une hypersurface voisine située dans Q', sur laquelle par
conséquent /' est m fois continûment différentiable, et on fait ensuite
tendre cette hypersurface vers S, La fonction T' = /' est alors
astreinte à 3 sortes de conditions :
1° Elle doit être, au sens de la théorie des distributions, solution
d'un système aux dérivées partielles à 2e membre modifié :
(V,6;19) DT' = g' + H,
où H dépend des données initiales /(*).

134
2° Son support doit être dans W = Cl'u S.
30 Elle doit vérifier certaines conditions de régularité : elle doit
être une fonction /', m fois continûment differentiate dans Ci', dont
les dérivées ïkf'(k < m — 1) doivent avoir des limites sur S.
Le nouveau problème ainsi posé est-il équivalent au problème de
Cauchy initial ? Il ne le sera que si les limites des ;>*/' sur S sont
égales aux fonctions données /(*), c'est-à-dire si 2 systèmes distincts
de données initiales définissent 2 distributions H distinctes. On peut
montrer qu'il en est toujours ainsi si S est, en tout point, « non
caractéristique » ; il n'en est jamais ainsi si S est une « hypersurface
caractéristique ».
Exemples Soit l'équation (N = 1)
(V,6;20) — + £ APDT^-B.
DXn ]P\< m.Pn<m
S est l'hyperplan xn = 0, Ci' la région x„ > 0 ; ;> = 3/Da:„. Alors
v = m / d \m-v
(V.6;21) H= 2 C4Î....-, ® £7 8-
(le signe (g) indique un produit tensoriel (chapitre IV) d'une
distribution en xv xs, ... xn-i, et d'une distribution en xn ; les dérivées
tangentielles des /(*' sont des distributions e ('S>')Xl, ...*„_,)• Si H = 0,
on voit, en annulant successivement les couches d'ordre m,
m — 1, ... [à cause de l'unicité de la décomposition (111, 10 ; 5),
(IV, 5 ; 7)] que/'0' = /<»> ... = /<—»I = 0.
b) Soit l'équation (N = 1, n = 2, m = 2)
(V, 6 ; 22) D2T/Dz1 »x, =■ B.
S et 5 étant choisis comme dans a). S est alors une caractéristique.
On a
(V, 6,23) h = ^-(8)»,, ;
H = 0 entraîne seulement /(o) = constante, /(,) restant arbitraire.
Dans le problème de Cauchy ainsi posé en théorie des
distributions, la condition (1°) ne distingue plus les données initiales du

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
135
2e membre, ce qui explique les formules habituelles de la théorie des
équations aux dérivées partielles. La condition (2°) résultera en
général immédiatement des propriétés du support de la solution
élémentaire. Seule la condition (3°) sera délicate à vérifier. Il est
d'ailleurs bien connu qu'elle n'a pas de solution satisfaisante,
puisqu'elle exige pour les données des conditions de différentiabilité
plus restrictives que l'équation donnée ne semblerait l'exiger. En
théorie des distributions, on pourra considérer le problème de Cau-
chy comme résolu d'une façon satisfaisante si on a trouvé une
distribution T' vérifiant les conditions 1° et 2°. Dans des cas
importants (voir chapitre VI, § 5, formule (VI, 5 ; 26)), le problème ainsi
posé est relativement simple, et a une solution et une seule ; que
celle-ci soit une distribution quelconque ou une fonction assez
régulière (condition 3°), c'est un problème plus fin et secondaire.
Si maintenant on résout le problème de Cauchy pour Ci", avec
le même 2e membre g et les mêmes données initiales fk\ on doit
remplacer H par — H. En additionnant alors les distributions
trouvées T', T", H disparaît, et on obtient le théorème de prolongement
suivant :
Théorème XI Si (V, 6 ; 1) est un système aux dérivées
partielles d'ordre m où le 2e membre est une fonction continue g, si S est
une hypersurface et ;> une dérivation transversale donnée au voisinage
de S, S e/ 5 étant m fois continûment différentiables, enfin si f est une
fonction continue qui, dans Ci' et û*f est m fois continûment différen-
tiable et vérifie (V,6; 1), et qui satisfait aux mêmes conditions initiales
de Cauchy sur b, de part et d'autre de S, alors f vérifie (V, 6 ; 1)
dans R", au sens de la théorie des distributions.
Naturellement / n'est peut-être pas une solution usuelle du
système, puisque sur S elle n'a peut-être pas de dérivées tangentielles.
C'est pourquoi, comme pour le théorème X, on n'énonce
habituellement ce théorème que pour des équations elliptiques :
2 fonctions harmoniques définies de part et d'autre de S, qui se
raccordent sur S ainsi que leurs dérivées normales, sont le
prolongement l'une de l'autre.
Solution élémentaire Considérons d'abord le cas d'une seule
équation (N = 1) d'ordre m. Les définitions habituelles d'une
solution élémentaire comme solution usuelle du système homogène ayant
en un point une singularité d'un certain type, doivent, à notre

136
avis, être totalement rejetées. Nous appellerons solution
élémentaire relative au point a de R" et à l'opérateur différentiel D toute
distribution e\a) vérifiant
(V, 6 ; 24) De(o) = 8(o) = masse + 1 au point a.
Cela revient à dire que, si D' est le transposé de l'opérateur D, et
si *e (2)),
(V, 6; 25) ea.D'<? = <?(a).
Une solution élémentaire peut n'exister que localement, au
voisinage de a. Il y a évidemment une infinité de solutions élémentaires
relatives à a dès qu'il y en a une : la différence entre deux d'entre
elles est une solution arbitraire de l'équation homogène DT == 0.
Nous avons donné une solution élémentaire relative à l'origine
pour les opérateurs différentiels
D = A* (II, 3 ; 19)Yl -^Y(II, 3,-22), 4: (II, 3; 28),
D* (II, 3 ; 34), »Voatfa-, ... »a* (IV, 5 ; 11).
Une solution élémentaire relative à un point a quelconque de R"
s'obtient par translation puisque les opérateurs considérés sont à
coefficients constants, donc invariants par translation. Pour une
équation différentielle (n — 1) d'ordre m de la forme (V, 6 ; 20),
la formule (V, 6 ; 21) montre que la fonction /, égale à 0 pour x < a,
et égale, pour x^-a, à la solution du problème de Cauchy homogène
correspondant aux données initiales
f(a) = /'(a) = ... = /(—■> (a) = 0, /<"-» (a) = 1
(dérivées prises au sens usuel), est une solution élémentaire relative
au point a ; c'est d'ailleurs la seule dont le support soit contenu
dans la demi-droite x 1> a, car une autre solution élémentaire
s'obtient en ajoutant une solution de l'équation homogène, dont
le support est l'axe réel tout entier (c'est évident pour les solutions
usuelles de l'équation homogène puisqu'une solution nulle en un
point ainsi que ses dérivées d'ordre -^ m — 1 est identiquement
nulle ; et il n'y a pas d'autres solutions que les solutions usuelles,
d'après le théorème IX).
Pour des systèmes (N quelconque), la solution élémentaire est
définie comme une matrice e(„i, à N lignes et N colonnes, dont les

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
137
N2 coefficients sont des distributions e(„) ,-/,*» et qui vérifie
l'équation matricielle
(V, 6 ; 26) De(o) = I8(a) ; I = matrice identique,
ou encore, en détaillant la notation :
(V.6;27) 2 Ap^D^.,.«-!® » ( * l>
| p|<m ;*=!,...,N f 8(a) SI / = Z.
Par exemple, pour le système différentiel (n — 1) (V, 6 ; 8), une
solution élémentaire relative à l'origine est YC, où Y est la fonction
d'Heaviside (chapitre II, § 2, exemple 1), et C la matrice définie à
la formule (V, 6 ; 11), car
(V, 6 ; 28) î- (YC) + AYC = Si + Y — + Y AC = al.
y dx dx
Une solution élémentaire relative à a serait la fonction
Y(x — à) C(x) CT* (à).
Cette solution élémentaire ici encore est la seule dont le support
soit contenu dans la demi-droite x ^> a.
Revenons au cas N = 1. Si 9 est une fonction assez différentiable,
à support compact, solution d'une équation avec 2e membreD'<p=4>,
alors la formule (V, 6 ; 25) donne
(V, 6 ; 29) «(a) = ew.+.
Ainsi on connaît la valeur en a d'une solution d'une équation avec
2e membre, si on possède une solution élémentaire relative à a de
l'équation adjointe (1).
(l) Nous ne saurions donner ici toute la littérature relative aux solutions
élémentaires. C'est avant tout le travail de M. Hadamard [1] sur le problème
de Cauchy qui a mis en valeur l'importance essentielle de la solution
élémentaire ; la solution élémentaire de Hadamard, dans le cas d'une dimension »
impaire, n'est pas prise dans le même sens qu'ici, et n'a donc aucun rapport
avec celle que nous donnons (formule (II, 3; 34)). Signalons, par ailleurs :
Zeilon [1], [2], Herglotz [1 ], Bureau (recherches systématiques et
expressions explicites, pour diverses équations, notamment hyperboliques : [1], [2],
[3], [4], etc.), Marcel Riesz [2] (les opérateurs de M. Riesz, qui sont des
convolutions avec la solution élémentaire dans le cas d'équations à coefficients
constants, résolvent le problème de Cauchy en évitant les difficultés de calcul
de la méthode de Hadamard), Leray [2], F. John [i], Kodaira [1], de
Rham [3], Garnir, notamment [3], [4], Garding [1], Schwartz [12].
Toute équation aux dérivées partielles à coefficients constants a uoe solution
élémentaire : Malgrange [1], [2], Ehrenpreis [1 ], Hörmander [l] [2]

138
Noyau élémentaire
Un noyau (l) sur R" est une distribution sur R" X R". Un tel noyau
Kx,e, définit une forme linéaire continue sur (fJ))v,E,, donc a fortiori
une forme bilinéaire hypocontinue sur (3))« X (3))ç :
(U, V) — K*,!;. U(X) V(Ç), U e (6J))X, V e (<£){;.
Alors u -*■ K. uv est une forme linéaire continue sur (<j))x, donc une
distribution e(2)')x ; cette distribution dépend linéairement de
P6(2))Ç, nous la noterons Kv ; v-+Kv est une application linéaire
continue'Lk de (2))e, dans (2)')x. De même v --K.uv est une forme
linéaire continue sur (2))ç donc une distribution e(®')ç. qui dépend
linéairement de u et que nous noterons u-K ; u -* u-K est une
application linéaire continue de (CD)* dans (°S)%, transposée de
'L« et que nous noterons LK.
Si K est une fonction localement sommable, elle est localement
sommable en ç(resp. x), pour presque toutes les valeurs de z(resp.ç),
d'après le théorème de Fubini, et on a, pour presque toutes les
valeurs de x (resp. ç) :
(K-v) (x) = J]'fK(x, ç) v(Z) dt,
(u-K) (0 = JJf K(z, 0 u(x) dx.
Un noyau K est dit semi-régulier en x, ou semi-régulier à gauche,
si 'LK applique (3))^ dans (6)«, auquel cas c'est une application
linéaire continue de (2))ç dans (&).r (comme on le voit en appliquant
par exemple le théorème du graphe fermé (2) : comme <LK est
continue de (3))ç dans (®')a, son graphe est fermé dans (<j))ç x ('£>')x
et a fortiori dans (!2))ç x (<>)*). Par transposition, cela revient à
dire que 'LK se prolonge par continuité en une application linéaire
continue de (8% dans (3)')f;.
De même, un noyau K est dit semi-régulier en i, ou semi-régu-
Jier à droite, si Lx applique ('ï>)x dans (fc)?, c'est alors une
application linéaire continue de (ù))x dans (8)5 ;•cela revient à dire
que 'LK se prolonge par continuité en une application linéaire
continue de (&% dans (ß')x.
(x) Voir Schwartz [ 7 J, | 9 J, | 10 J, , 11 J- Nous appelons ici 'Lu. ce que nous
appelions £K dans [ 7 ]
l»! Voir Bourbakj T 6 ), fas. i> ule XV, corollaire 5 du théorème 1, page 37. Le
théorème du graphe fermé, valable pour une application d'un espace de Fréchet
dans un autre, est encore trivialement valable pour une application d'un espace
09 dans un espace de Fréchet

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
139
Un noyau K est dit régulier s'il est à la fois semi-régulier en x et
semi-régulier en ç. Les conditions pour qu'un noyau soit semi-
régulier ou régulier ne nous importent pas ici (x).
Un noyau K est dit très régulier, s'il est semi-régulier en ç, et si.
pour toute S e(8')£> K-S est une fonction indéfiniment derivable
dans tout ouvert de R" où S est une fonction indéfiniment
derivable. Cela entraîne que K soit semi-régulier en x, donc régulier. Si
K est très régulier, il est égal, dans le complémentaire de la
diagonale x = ç de R" x R", à une fonction indéfiniment derivable de
x et ç (Soient en effet flx et Q2 deux ouverts sans point commun
de R" ; si S e(8')ç a son support dans flls K-S doit être une
fonction indéfiniment derivable dans i^, donc K définit une
application linéaire ('L^q,,!^ de (8'q,) dans (ëo,) ; cette application
est continue d'après le théorème du graphe fermé, applicable ici
parce que (8') est dual d'un espace de Fréchet réflexif, donc bor-
nologique et complet, et (g) un espace de Fréchet (*) ; K est donc
un noyau régularisant (3), donc une fonction indéfiniment derivable,
dans Oj x î^ et par suite dans le complémentaire de la diagonale).
Réciproquement, si un noyau K régulier est une fonction
indéfiniment différentiable dans le complémentaire de la diagonale, K
est très régulier (Soit en effet S e(8')ç» égale à une fonction
indéfiniment derivable dans un ouvert û de R", qu'on peut supposer
relativement compact. Soit u> un ouvert d'adhérence contenue dans
fl ; et soit a une fonction de (!3)) égale à 1 dans w et de support
contenu dans Q. Alors a S est dans (0))ç, donc KaS est une fonction
indéfiniment derivable puisque K est semi-régulier en x. D'autre
part, K étant semi-régulier en ç, K-S et K(l — a) S ont un sens ;
K étant une fonction indéfiniment derivable dans « x Q«, c'est
un noyau régularisant, autrement dit ('Lk)u,(;"û est une
application linéaire continue de (E'qû) dans (£u), et K(l — a) S est dans
a une fonction indéfiniment derivable. Cela prouve que K-S est
une fonction indéfiniment derivable dans a et par suite dans fl,
donc K est très régulier). Si K est très régulier, et si S converge vers
(*) Voir Schwartz [7 ], pages 227-228, et 110], propositions 23 et 24, page 55
(*) Voir Bourbaki [6], fascicule XV111, exercice 13 d, page 3G, pour la
validité du théorème du graphe fermé; pour le fait que (6') soit bornologique,
voir Grothendieck. [4J, page 73, théorème 7
(2) Voir Schwartz [7], théorème 8, pages 228-229

140
0 dans (Ê')ç, tandis que sa restriction à un ouvert Cl converge vers
0 dans (go), alors K-S converge vers 0 dans (3)% tandis que sa
restriction à O converge vers 0 dans (ëo) (en reprenant les
notations ci-dessus, on voit en effet que KaS converge vers 0 dans
(ê)x puisque K est semi-régulier en x, et que K(l — a) S converge
vers 0 dans (ëu) parce que K, restreint à u x jü, est
régularisant).
Un noyau K est dit analytiquement très régulier, s'il est semi-
régulier en ç, et si K-S est une fonction analytique dans tout
ouvert de R" où S est une fonction analytique. Nous n'examinerons
pas à quelle condition un noyau possède cette propriété (l)
Définition. Soit D un opérateur différentiel sur R", à coefficients
indéfiniment dérivables. Un noyau E est dit noyau élémentaire (ou
noyau inverse) à gauche (resp. à droite) pour D, si, quelle que soit
i>e (2))ç, on a :
(V, 6 ; 30) ED? = 9 (resp. D(E.<?) = ç).
Si E est semi-régulier en ç, la même relation reste valable quand
on remplace 9 par Se(8')ç> en prolongeant par continuité.
Si D est un opérateur différentiel matriciel à N lignes et N
colonnes, alors un noyau élémentaire est aussi matriciel, c'est une
matrice à N lignes et N colonnes dont les éléments sont des noyaux,
et qui vérifie les mêmes relations (V, 6 ; 30) (E-D? =- <?, dans le cas
d'un noyau élémentaire à gauche, signifiant
2) Ej,k-Dk,i fi --- 9,, pour / = 1, 2, ... N).
Si D a un noyau élémentaire à gauche E, il existe an plus une
solution, appartenant à (2)), de l'équation avec second membre 1)? =
<lie(2)), car on a nécessairement 9 = E-<|..
Le même résultat reste valable en remplaçant (iP) par (8), si E est
semi-régulier en ç.
Si D a un noyau élémentaire à droite E, il existe au moins un e
solution de l'équation avec second membre DT = <\>e (2)), car T = E <|.
est une telle solution. Le même résultat reste valable en
remplaçant (®) par (8'), si E est semi-régulier en Ç.
Ainsi s'il existe un noyau élémentaire à gauche on a des théorèmes
d'unicité, s'il existe un noyau élémentaire à droite on a des théo-
(') Voir de Barros-Neto et Browder [1], et de Barros-Neto [1]

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
141
rèmes d'existence. On conçoit que l'existence d'un noyau
élémentaire bilatère, c. a. d.à la fois à gauche et à droite, soit très utile (l).
Il est intéressant deconnaîtrela relation entre les notions desolu-
tion élémentaire et de noyau élémentaire.
Soit E un noyau semi-régulier en x. Pour tout a de R", la valeur
au point a de E-<p est une forme linéaire continue de <pe(2)), donc
définit une distribution e[a). De plus a —■ e{a). <p = (E-q>) (a) est une
fonction indéfiniment derivable, de sorte que, dans (2)'), la
distribution e\a) dépend du paramètre a de manière indéfiniment
derivable. Il est alors équivalent de dire que E est noyau
élémentaire à gauche de D, ou de dire que, pour tout a de R", e(„) est
solution élémentaire relative au point a pour l'opérateur transposé D'
de D. En effet (V, 6 ; 30) revient à dire que, pour tout a de R", on a
(V, 6 ; 31) (E-D?) (a) = <?(a), ou e(o).D<p = 9(a) ou D'ew = 8(a).
Ainsi la connaissance d'un noyau élémentaire à gauche de D, semi-
régulier en x, entraîne la connaissance, pour tout a, d'une solution
élémentaire relative à a pour D', dépendant de a de manière
indéfiniment derivable. On démontre la réciproque (2).
Par un raisonnement analogue, on voit que la connaissance d'un
noyau élémentaire à droite de D, semi-régulier en ç, entraîne la
connaissance, pour tout a, d'une solution élémentaire relative à a de D
lui-même, dépendant de a de manière indéfiniment derivable ; et
réciproquement. C'est ainsi que, si D est à coefficients constants, et si e
est une solution élémentaire pour D relative à l'origine, sa
translatée de a est une solution élémentaire relative à a et elle dépend
de a de manière indéfiniment derivable ; on en déduit donc
l'existence d'un noyau qu'on peut écrire ex-\, qui est un noyau élémentaire
à droite de D et qui est régulier (3) ; pour Te (Ê'), e*_ç- T est le
produit de convolution e * T (voir chapitre VI). Nous ne détaillerons
(*) On voit que le noyau élémentaire ne résout qu'incomplètement les
théorèmes d'existence, puisqu'on doit faire sur le second membre une restriction :
son support doit être compact. Cette restriction peut être levée pour les
problèmes de Ca.im.hy relatifs aux systèmes hyperboliques (dans le cas de
coefficients constants,voir pages 176-180. Voir aussi Malgrange [1 J,Ehrenpreis[1 ]
(*) Voir dans Schwartz [ 7], page 228, ou [ 9 ], propositions 23 et 24, page 55,
la caractérisation des noyaux semi-réguliers
(*) Voir Schwartz [ 7 ], formule (25), page 228, et [ 9 ], proposition 2, 4,
pages 55-56

142
pas plus cette question ; disons seulement que, si N = \,ex-% est
aussi noyau élémentaire à gauche donc bilatère de D ; et que le
noyau symétrique eç-x est noyau élémentaire bilatère de
l'opérateur adjoint D'. Si e est une fonction, ex~e, et eç_x sont les fonctions
e(x — Ç) et e(Ç — x).
Dans la pratique, la plupart des procédés donnant des solutions
élémentaires des systèmes aux dérivées partielles donnent en même
temps des noyaux élémentaires réguliers. Bornons-nous à signaler
que, pour tout système du type (V, 6 ; 8) (n = 1), la fonction
(V, 6 ; 32) E(x, Ç) = Y(z — Ç) C(x) C1 (Ç)
est un noyau élémentaire bilatère très régulier, analytiquement
très régulier si les coefficients du système sont des fonctions
analytiques.
Régularité des solutions des systèmes elliptiques Contrairement
à ce que nous avons vu pour les équations différentielles (n = 1)
(théorème IX), une équation aux dérivées partielles (n > 1)
homogène (B = 0) a en général d'autres solutions que ses solutions
usuelles ; elle peut avoir pour solutions des fonctions continues
sans dérivée usuelle, des mesures, des distributions quelconques.
Par exemple la solution générale de l'équation (V, 6 : 22) pour
B = 0, est
(V, 6 ; 33) T = U + V,
U dépendant seulement de xv V seulement de x% ; U et V sont à part
cela quelconques. De même toute équation (N = 1) du 1er ordre
(m — 1) à coefficients réels a toujours des solutions qui sont des
distributions d'ordre local arbitrairement élevé. Il en est ainsi en
général pour tout système hyperbolique. Il y a d'ailleurs longtemps
qu'on utilise des fonctions discontinues, solutions d'équations
hyperboliques ; mais la définition du mot « solution » est souvent
d'une grande complication.
Il existe par contre des catégories de systèmes homogènes pour
lesquelles toutes les distributions solutions sont nécessairement des
fonctions indéfiniment dérivables, solutions .îsuelles du système.
Définition. Un opérateur différentiel (matriciel) D est dit hypo-ellip-
tique (resp. analytique-hypo-elliptiqué), si T est une fonction
indéfiniment derivable (resp. une fonction analytique) dans tout ouvert de

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
143
R" où DTest une fonction indéfiniment derivable (resp. une fonction
analytique). Alors toute solution T de l'équation homogène est une
fonction indéfiniment derivable (resp. une fonction analytique) (l).
En analyse classique, on dit qu'un opérateur différentiel est
elliptique si l'ensemble de ses termes de plus haut degré vérifie
certaines conditions de positivité (si par exemple, dans le cas d'un
opérateur du second ordre pour N = 1,
la forme quadratique ]£ g,k Z,Zk est définie positive (ou définie
négative). On démontre alors (théorème de Bernstein (*)) que les
solutions de l'équation homogène sont indéfiniment dérivables,
et analytiques si les coefficients de D sont analytiques. On étend
cette propriété, et on montre que l'opérateur D défini ci-dessus, en
particulier le laplacien A (3), est hypoelliptique. On définit plus gé
néralement des opérateurs elliptiques d'ordre quelconque, et on dé
montre leur hypoellipticité (4).
Théorème XII. Si D est un opérateur différentiel (matriciel) à
coefficients indéfiniment dérivables, ayant un noyau élémentaire à
gauche très régulier (resp. analytiquement très régulier) Ex£, i7 est
hypo-elliptique (resp. analytique hypo-elliptique). Si alors T
converge vers 0 dans (3)'), et si DT converge vers 0 dans (g) (en
particulier si T est solution de l'équation homogène DT = 0), alors T
converge vers 0 dans (£) (s).
(*) Le mot «elliptique», employé dans la Ie" édition, prétait trop à confusion.
C'est pourquoi nous employons maintenant «hypo-elliptique», laissant à «
elliptique », son sens classique
(») S. Bernstein [2]
(*) Le fait que toute fonction f vérifiant, au sens des distributions, l'équation
de Laplace A/ = 0, soit indéfiniment derivable, donc solution au sens usuel
de l'équation de Laplace, a été souvent utilisé dans la théorie des fonctions
harmoniques (lemme de Weyl, H. Weyl [1])
(*) Voir Malgrange [4], Schwartz [16 bis], Hormander [3], partie 111«
chapitre vu, 7.4, page 176
(5) Les conditions données dans la première édition ne faisaient pas
intervenir les notations de la théorie des noyaux, ce qui les rendait peu
suggestives. Elles étaient d'ailleurs insuffisantes : elles revenaient à supposer que le
noyau élémentaire à . ^uche est semi-régulier en x, et fonction indéfiniment
derivable dans le complémentaire de la diagonale, alors qu'il faut en outre
supposer le noyau élémentaire semi-régulier en Ç, donc régulier et par suite
très régulier. 11 y avait en fait une erreur dans la démonstration page 138,
lignes 14 à 4 du bas : en effet on ne connaît pas de points au voisinage desquels
pT est une fonction indéfiniment derivable, puisque c'est précisément cette
différentiabilité qu'on veut démontrer 1

144
Supposons d'abord T à support compact. Alors, E étant noyau
élémentaire à gauche, et semi-régulier à droite, on a T = E-DT.
Mais alors, E étant très régulier (resp. analytiquement très
régulier), T est bien une fonction indéfiniment derivable (resp. une
fonction analytique) dans tout ouvert de R" où DT a cette
propriété.
Supposons maintenant T à support quelconque, et soit Cl un
ouvert de R" où DT est une fonction indéfiniment derivable (resp.
une fonction analytique). Soit w un ouvert d'adhérence contenue
dans Cl, et relativement compact. Soit ß une fonction appartenant
à ($), de support contenu dans Cl, et égale à 1 dans a. Alors ßT
est. à support compact, et D(ß T) est dans « égale à DT, donc
fonction indéfiniment derivable (resp. analytique) ; il en est donc de
même de ßT, donc de T dans u> et par suite dans Cl, et D est bien
hypo-elliptique (resp. analytique hypo-elliptique).
Supposons enfin que T converge vers 0 dans (Ü)') et que DT
converge vers 0 dans (ßs>). Alors ßT converge vers 0 dans (g') et D(ßT)
converge vers 0 dans (8W). D'après la propriété des noyaux très
réguliers indiquée page 140, ßT = E-D(ßT) converge vers 0 dans
(£«)> donc T converge vers 0 dans £„ et par suite dans (8q),
c. q. f. d. (»).
Remarque
Nous avons utilisé l'outil puissant du noyau élémentaire. On
serait arrivé au même résultat avec une « paramétrix à gauche »
très régulière de D, c. a. d. un noyau m très régulier vérifiant
(V, 6,-34) TO-Dq. = <p + L-q>,
où L est une fonction indéfiniment derivable en x, ç, sur R" x R"
tout entier. Si m est une telle paramétrix, a.(x — Ç) rox>ç en est
une autre, si o.e{'£) est égale à 1 au voisinage de l'origine ; cela
permet d'utiliser des paramétrix nulles dans l'ouvert \x — Ç| ,> e,
e > 0 pouvant être choisi aussi petit qu'on veut. On peut
d'ailleurs montrer par étapes successives que, si DT est indéfiniment
derivable, T est derivable autant de fois qu'on veut ; il suffit pour
cela de posséder des noyaux w vérifiant des conditions encore
O Cette propriété de convergence peut se démontrer sans utiliser de noyau
élémentaire, elle est conséquence de la définition de l'hypo-ellipticité et du
théorème du graphe fermé. Voir Malgrange [1 ], chapitre III, proposition 2

MULTIPLICATION DES DISTBIBUTIONS
145
moins restrictives : au lieu d'être une fonction indéfiniment
derivable, c a. d. un noyau régularisant, L doit être seulement un
noyau « améliorant », c. a. d. tel que LT soit une distribution plus
régulière que T. De tels noyaux ro se forment de façon bien plus
élémentaire (x).
Il reste maintenant à voir quelques applications du théorème.
1°) Soit D un opérateur différentiel scalaire (N = 1) à coefficients
constants, et soit e une solution élémentaire relative à l'origine.
Alors nous avons (page 142) que d-ç est un noyau élémentaire
bilatère régulier de D. Ce noyau est très régulier si et seulement
s'il est une fonction indéfiniment derivable dans le
complémentaire de la diagonale de R" x R", c. a. d. si e est une fonction
indéfiniment derivable sur le complémentaire de l'origine dans R".
I A \k ï
C'est ainsi que les opérateurs différentiels A , 1 —
4 Tt v ;>z
sont hypo-elliptiques (formules (II, 3 ; 19), (II, 3 ; 22), (II, 3; 28))
Un opérateur parabolique, tel que l'opérateur de la chaleur :
àXn j = i àX■
est aussi hypo-elliptique, car sa solution élémentaire
(V, 6 ; 35) e(x) =
i y-1 / x[ + x\ + ...+xi
n / ) exp Y(z„)
2\/rzXnJ \ 4xn
est indéfiniment derivable dans le complémentaire de l'origine.
M. Hörmander a étudié tous les opérateurs hypo-elliptiques à
coefficients constants (2).
2°) Si D est à coefficients constants, on peut montrer que ex~l, est
analytiquement très régulier si et seulement si e est une fonction
analytique dans le complémentaire de l'origine (3). C'est ainsi que
A', 1 , -- , sont des opérateurs analytiques-hypo-elhp-
V 4 n2 / dz
tiques. Mais l'opérateur de la chaleur ne l'est pas, car sa solution
élémentaire e n'est pas analytique dans le complémentaire de
l'origine, où pourtant elle y est solution de l'équation homogène.
(') C'est la méthode des opérateurs intégraux singuliers. Voir par exemple
Skklky [2], Cartan-Schwartz [1], exposé 11, page 11.09, Mizohata [1]
(2) Voir Hörmandkr [1], et Hörmander [2], partie II, chapitre IV,4.1, p.97
(!) Voir Schwartz [12], exposé n° 6

146
3°) Tout système différentiel (n = l) sur la droite est hypo-elliptique,
car le noyau élémentaire bilatère (V, 6 ; 32) est très régulier ; il
est analytique-hypo-elliptique si les coefficients du système sont
analytiques.
4°) Si Dx et D2 sont des opérateurs différentiels hypo-elliptiques,
il en est de même de Dx D2. Car si, dans un ouvert de R", Dx D2T
est une fonction indéfiniment derivable, il en est de même de D2T
puisque Dx est hypo-elliptique, donc de T nuisque D8 est hypo-ellip-
tique. Inversement, si Dx D8 est hypo-elliptique, D2 est hypo-
elliptique. Car si, dans un ouvert de R", D2T est une fonction
indéfiniment derivable, il en est de même de Dx D2 T, donc de T
puisque Dx D2 est hypo-elliptique. Ainsi le fait que, dans R2, l'opé-
rateur ■== soit hypo-elliptique, résulte du fait que A = 4 — — est
hypo-elliptique.
Remarques. On peut se poser les questions suivantes :
1°) Si un système différentiel est tel que toutes les solutions de
l'équation homogène DT = 0 soient des fonctions indéfiniment
dérivables (resp. analytiques), le système est-il hypo-elliptique
(resp. analytique-hypo-elliptique) ? Il en est bien ainsi dans le cas
des équations (N == 1) à coefficients constants (l).
2° Si toutes les solutions usuelles d'un système quelconque aux
dérivées partielles homogène sont indéfiniment dérivables dès
qu'elles sont suffisamment dérivables (resp. sont analytiques dès
qu'elles sont indéfiniment dérivables), alors toutes les distributions-
solutions du système sont-elles des fonctions indéfiniment
dérivables (resp. analytiques) ? Nous démontrerons ce théorème, sans
utiliser ni noyau élémentaire ni paramétrix, pour les systèmes à
coefficients constants (théorème XXIX du chapitre VI).
On conçoit toutes les applications du théorème XII dans les
méthodes directes du calcul des variations. Soit par exemple V" un
espace de Riemann indéfiniment différentiable, compact, orienté.
On sait (2) qu'à toute forme différentielle a> de degré r, correspond
une. adjointe, «*, de degré n — r. Nous appellerons (56) l'espace de
t1) HÖRMANDER [1], théorème 3.7, page 231, pour le cas hypo-elliptique ; le
corollaire 3.1 du théorème 3.2, page 217, prouve que, si toutes les solutions
de l'équation homogène sont des fonctions analytiques, il n'y a pas d'hyper-
plans caractéristiques, donc l'équation est analytique-hypo-elliptique
(*) Voir de Rham [3], chapitre V, et Kodaira [1], chapitre III

MULTIPLICATION DES DISTRIBUTIONS
147
Hubert des formes « de degré r pour lesquelles fj ... / <■*■>* < + <x>,
avec le produit scalaire :
(V, 6 ; 36) < a, p > = Jf... f aß* [a€ (#), ߀ (»)] .
Pour ces formes, on définit une dérivation d et une codériva-
tion;>. lorsqu'elles sont différentiables; lorsqu'elles ne le sont pas, do»
et 3« sont des courants.
Une forme différentielle o> est fermée (resp. cofermée) si, au sens
de la théorie des distributions, da = 0 (resp. ta = 0). Cela revient
à dire qu'elle est orthogonale à toutes les formes différentielles 9,
indéfiniment différentiables, cohomologues (resp. homologues) à 0.
Il en résulte, d et ;> étant des opérateurs linéaires continus pour les
courants, que le sous-espace des formes fermées de (5ß) est fermé
dans (3të).
Les périodes d'une forme fermée sont les intégrales ff... j'<*<?*,
lorsque <p parcourt* un ensemble maximal de formes indéfiniment
différentiables cofermées cohomologiquement indépendantes. Une
classe d'homologie dans (M>), étant constituée de l'ensemble des
formes fermées ayant des périodes données, est un sous-espace linéaire
non vide et fermé W de (3&). Il existe donc une forme <•>€(%), qui
est la projection orthogonale de l'origine 0 de (3-6) sur W. Cette
forme a est dans W, donc fermée ; elle est orthogonale à la variété
parallèle à W menée par 0, donc orthogonale à toutes les formes
6 (30>) homolpgues à 0, donc elle est cofermée. Elle vérifie alors, au
sens des distributions :
Ao> = cfoû) -j- ïda = 0,
Mais alors, d'après le théorème XII, cette forme u> est une forme
différentielle indéfiniment différentiable (analytique si V" est
analytique) harmonique au sens usuel. Nous avons ainsi montré
l'existence d'une forme harmonique dans toute classe d'homologie par
la méthode qui nous semble la mieux adaptée au problème.
D'autres problèmes de calcul des variations se traiteront de la même
façon. D'une manière générale, la solution des « problèmes aux
limites » elliptiques s'appuiera d'abord sur le théorème XII (x).
t1) On trouvera dans Lions [ 1 ] de nombreux problèmes aux limites
elliptiques traitées dans cet esprit

CHAPITRE VI
Produit de convolution
Sommaire Ce chapitre étend aux distributions les propriétés classiques du
produit de convolution des fonctions sur R" ; il a une grande importance pour
la théorie et pour toutes sortes d'applications pratiques.
Le § i donne la définition usuelle du produit de convolution de a fonctions
feig, h =/* g = ff- ■ ■ ff(x —t)g(t)dt [formule (VI, i ; i)], ainsi que les
propriétés essentielles de ce produit.
Le § 2 donne une autre forme de la définition qui sera généralisable aux
distributions: le produit de convolution des distributions S et T est défini
par (S* T) . cp —■ (Sj ® T,) . cp(; -+• t|) [formule (VI, a ; 4)]. Ce produit existe
toujours si l'une au moins des a distributions a un support compact (théorème 1,
page i55).
Le § 3 donne les propriétés fondamentales de la convolution des
distributions : continuité (théorème V.page i.">7), associativité et commutativité
(théorème VU,page 158). La translation et la dérivation sont des convolutions
particulières (théorème VIII, pageif.9), d'où îa règle de translation ou
dérivation d'un produit de convolution (théorème IX, page.60) ; ces
propriétés, bien connues sous une forme incomplète, sont fondamentales pour
le calcul symbolique, la théorie des équations intégrales ou aux dérivée*
partielles, la transformation de Fourier ou Laplace. La convolution est la
seule opération linéaire continue permutant avec la dérivation (théorème X,
page i62).
Le § 4 étudie la « régularisation » : la régularisée de T par a, produit de
convolution T * a de la distribution T par la fonction indéfiniment derivable a,
est elle-même une fonction indéfiniment derivable (théorème XI,page 166).
La régularisation des distributions a des applications analogues a la
régularisation des fonctions (théorèmes d'approximation). La fin de ce paragraphe
est consacrée à des exemples élémentaires.
Le § 5 étend le produit de convolution au cas où aucune des distributions
n'a son support compact. Cette extension est le fondement du calcul
symbolique à 1 variable, elle est essentielle pour les applications à l'électricité, pour
la dérivation d'ordre non entier, la résolution symbolique des équations
différentielles à coefficients constants ou des équations intégrales. L'extension
analogue à plusieurs variables est la base de la théorie des équations aux
dérivées partielles hyperboliques à coefficients constants.

150
Le § 6 traite de « théorie fine » : étude des propriétés locales d'une
distribution à partir de propriétés locales de ses dérivées. Ce paragraphe, qui
pose des problèmes difficiles et ne les résoud pas tous, ne sert que dans des
questions très spéciales et purement théoriques et np sera guère utilisé dans
le reste du livre (sauf le théorème XIX, page 191).
Le § 7 donne les propriétés d'une distribution à partir de celles de ses
régularisées. Les théorèmes XX (page 192., XXI page ig.'(;, XXIV (page
198), de nature taubérienne, sont intéressants dans la théorie. La
régularisation est un outil remarquable pour caractériser les ensembles bornés
ou les suites convergentes de distributions : les théorèmes XXVU (page
195) et XXIII (page 197) seront d'un usage constant dans la suite pour
toutes sortes d'applications théoriques. Les techniciens pourront passer ce
paragraphe.
Le §8 introduit de nouveaux espaces de distributions, les (3)lp), analogues
aux espaces Lp classiques. Ces espaces ont des applications théoriques et
pratiques nombreuses, notamment (3)L») ou (3') (espace des distributions
« bornées sur Rn »). On pourra facilement comprendre et appliquer les
théorèmes sans en connaître les démonstrations, parfois délicates.
Le § 9 étudie les « distributions presque périodiques », application facile
du § 8. Nous ignorons si ces distributions peuvent avoir des usages pratiques.
Le § 10 donne des applications du produit de convolution aux équations
aux dérivées partielles et aux équations intégrales, d'une façon générale aux
« équations de convolution» [formule (VI, 10; 1)]. Nous définissons
correctement la solution élémentaire (VI, 10; 7) et donnons ses principales
applications. La formule classique de Poisson en théorie du potentiel ^ VI, 10; 18;
en est un cas particulier. Le théorème XXIX, page 210, est analogue au
théorème XII du chapitre v, il démontre l'analyticité des solutions des
équations aux dérivées partielles elliptiques à coefficients constants, En
même temps que les fonctions harmoniques, la fin du paragraphe étudie
les fonctions surharmoniques et donne immédiatement la formule de
décomposition de F. Riesz (VI, 10; 3a), comme cas particulier d'une étude
bien plus générale.
Notation Si A et B sont deux ensembles de R", nous
appellerons A-l-B (resp. A — B) l'ensemble des éléments de H" de la
forme a;-+-y (resp. x — y), où xçA., y€B. Si l'un des deux ensembles
est ouvert, A -+- B est ouvert : si A et B sont compacts, A -t- B est
compact, si l'un des deux ensembles est fermé, l'autre compact,
A-f-B est fermé.
§ i Définition du produit de convolution usuel
Produit de convolution de deux fonctions
Le produit de convolution joue un rôle de plus en plus
important dans un nombre croissant de domaines de l'analyse : calcul des

PRODUIT DE CONVOLUTION
151
probabilités, calcul symbolique, théorie des groupes, séries et
intégrales de Fourier, théorie du potentiel, équations intégrales (').
Le produit de convolution est lié à la structure (le groupe.. Nous
nous placerons dans ce ( hapilie sur le groupe H", mais les résultats
sont valables ù peu près sans modification sur le tore T" ou sur un
produit IV" X T"; ceux qui u-'utilisenl pas la cornmulalivilé de la loi
de groupe sont même valables sur un groupe de Lie (").
Pour deux fonctions/(x) et g(x) sur H", le produit de convolution
que nous noterons h=f*g —g*f, est une aulre fonction sur R",
définie par la formule
(VI, i ; i) Hx)=-ff---ff(x — l)gil)dl=ff- • .fg{.,;-l)f(t)d(.
Cette fonction h n'est pas définie si /et g sonl quelconques. Il faut
d'abord que f et g soient sommables sur tout compact; ensuite il
faut qu'elles décroissent assez vite à l'infini pour assurer la
convergence absolue de l'intégrale qui définit h ; si par exemple y est une
fonction quelconque, (/doit décroître d'autant plus vite pour\x\infini
que f croît plus vite.
a) On voit facilement que si ftLn, gdV1. avec i <C /<<!-(- oc,
i ^ <7 ^ H- °° • ^ — i ^s o, /. existe presque partout, et hç\J,
P 7
i i Y
— = h- i. avec
r p q
(ff- ■ 'f\h(x)'dx)' ^(ff. - .f\f(xydx)P(ff- ■ -figWdx) ",
l'inégalité devenant une égalité pour J~^> o, g ^ o. p = 7 = r= 1.
Pour r= 00, h existe partout et est continue ; dans ce cas, sauf pour
p = 00 ou q — oo . h tend vers o pour ja; -*- oc .
6) Si l'une des deux fonctions/, g. ot sornmable sur tout compact,
l'autre dU sur tout compact, et si en outre l'une d'elles est à support
compact, h existe presque partout et eL.p sur tout compact; pour
/>= 00, h existe partout et est continue.
Si/et g ont des supports compacts, il en est de même de h.
Remarque Si on modifie/ et g sur des ensembles de mesure
nulle, on ne modifie en rien h ; comme en général h est définie seule-
(') Pour l'étude du produit de convolution classique, voir A. Weil, [i], chapitre m
( ) On tfouveiii dans Hiss ]tj nue étude du produit «.<• convolution -iir un groupe
abètion localement comp.iei quelconque

152
ment presque partout, le produit de convolution s'applique plutôt
aux classes de fonctions sommables sur tout compact, définies à un
ensemble de mesure nulle près, qu'aux fonctions elles-mêmes.
Convolution d'une fonction et dune mesure
On peut aussi définir le produit de convolution d'une fonction
J\x) et d'une mesure [/. ; c'est une fonction h(x) donnée par
(VI. i ; 3) h(x) =Jf- ■ -ff(x- t)d{J.(t).
Il est un peu plus délicat d'intervertir les rôles de / et >j. ; on le fait
souvent en faisant intervenir la fonction à variation bornée qui sert
à définir y. et qui est. comme nous l'avons vu. une primitive de <j.
(théorème II du chapitre n). Nous écrirons indifféremment f*y. ou
u.*f. Ici encore /et <j. doivent vérifier certaines conditions pour que h
existe, /doit être sommable sur tout compact.
a) Si /cl/ et si fi est sommable sur R\ h existe presque partout
et £&, avec
(VI. i ; 4)
(ff..j\h(X)\pdXy^(ff...f\^x)\pdX)^(ff...f\d[,\),
l'inégalité devenant une égalité pour /^ o, m ^ o, /> = •.
6) Si/fl/ sur tout compact, et que/ou fi soit à support compact,
h existe presque partout et çLp sur tout compact ; si/est en outre
continue, h est alors définie partout et continue. Si y. est une mesure
absolument continue, que par conséquent nous identifions à une
fonction g, f*y. est justement/*^.
Remarque Bien que ce soit moins évident que plus haut, on
démontre que, si on modifie / sur un ensemble de mesure nulle,
h n'est modifiée que sur un ensemble de mesure nulle.
Convolution de deux mesures
Si maintenant v. et v sont deux mesures, il est possible de définir
le produit de convolution, qui est,nue mesure ),n|j.i. = .<|i (en
utilisant par exemple les fonctions à variation bornée qui définissent
;x et v).
a) Le produit a un sens si y et v sont sommables, alors 1 est
sommable et
l'inégalité devenant une égalité si les mesures sont !>o.

PRODUIT DE CONVOLUTION
153
6) Le produit a encore un sens si, l'une des mesures étant
quelconque, l'autre esta support compact. Si l'une au moins des mesures,
fj par exemple, est absolument continue, et peut ainsi être identifiée
à une fonction f, le produit de convolution y.*v est une mesure X
absolument continue, identifiée à une function h qui est le produit
de convolution/*!/ précédemment défini.
Le produit de convolution des mesures est utilisé en calcul des
probabilités; si (x et v fixent deux lois de répartition de vecteurs
de H", ce sont deux mesures ^ o, de masse totale i ; ces vecteurs
étant supposés être deux variables aléatoires indépendantes, leur
somme suit une loi de probabilité dont la répartition est donnée par
la mesure ).= y.*v; il est alors compréhensible que ). aussi soit une
mesure ^o de masse totale i.
§ 2 Produit de convolution de deux distrtbutions sur R" (')
Définition fonctionnelle. Cas de 2 fonctions
Nous allons modifier la définition du produit de convolution en
faisant intervenir les définitions fonctionnelles dey, g, h,
considérées comme distributions. Calculons ^(9), pour ?€(^) :
(VI, ■>. ; , ) h(9) =zff---fh(x)o(x)dx
^Jf ■■■ f ■ ff ■- f?{x)f{x~t)9{t)dxdt.
x6R" f£R"
Par le changement de variables a. — < = £, t = r„ nous obtenons :
(VI, a: a) A(?)=jJ... f■ ff■■■ f9Çc,-+-r>)f{ï)g{-n)dtd-n.
Dans tous les cas oîi nous nous sommes placés au paragraphe 1,
le calcul est légitime, l'intégrale obtenue étant absolument
convergente. Nous voyons l'intérêt de cette formule : d'abord elle met
directement en évidence les rôles symétriques de fei y; ensuite elle
s'étend aux mesures et aux distributions. Si en effet / et g sont des
fonctions données sur II", f(V) g(r,) est une fonction sur l'espace à
2« dimensions R"x R", dont chaque point (;, r,) a pour coordonnées
£(, l% ln. r, , r,2 r.. Au chapitre iv, nous avons désigné par
produit tensor id cette fonction de /«variables, et nous l'avons appelée
/(;) c') g(f,). D'autre part, <p(a.) étant une fonction indéfiniment
derivable sur R", ç(J;-(-■».) est une fonction bien déterminée, indé-
(") On peut remplacer H" P:,r "" K','"ip*' '»c.ilement compact. Voir Hraconnifr
[l], Iiiii'HAT [l] et [a], Marianne I'.uhi.emot [t], Norcukt [l], Hi»s [i]

154
finiment derivable, sur R"xR"; h(y) n'est autre chose que le
produit scalaire de/({)(g) t7(r,)6('iv)-. r par la fonction ?( ;-t-r,)e(fc)çt,,.
Celle propriété, qui définit /i(o) pour toute o(x)ç(§))J., caractérise
entièrement h. Si donc nous étendons celle dernière définition au
cas où l'on remplace/ et g par des distributions, on sera sur lorsque
ces distributions seront des fonctions pour lesquelles le produit de
convolution usuel sera défini de retrouver ce produit de
convolution- usuel.
Cas de 2 distributions
Soient alors S el T deux distributions quelconques sur R" ; le
produit direct Sç ®T existe toujours, comme distribution sur
R'XR"; pour une fonction de ;, r,, de la forme u(;)«(v.), rappelons
jue
(VI, 2 ; 3) (Sç® T,). [ii(;)»(i)J = S(«)T(t>).
D'autre part, comme nous l'avons dit plus haut, si o(x)^['.^)x,
5(£-(-y)) est indéfiniment derivable, mais son support n'est pas
compact, 3auf si <p = o: ce support est en eilet composé d'une
éunion de variétés linéaires parallèles à la (r seconde bissectrice »
,-(-r. = 0. Dans ces conditions, (Sc<8> Tr). o(ç-t-r.) n'aura pas de
ens si S et T sont quelconques ; des conditions de décroissance à
'infini devront être vérifiées, comme nous l'avons vu au § 1. Mais
•elte expression aura un sens en particulier toutes les fois que le
upport de Se®T et celui de y{z,-t-r,) dans \\"X[{n se couperont
uivant un compact (voir page 90).
Restriction sur les supports
Bornons-nous ici au cas où l'une des distributions, S par exemple,
st à support compact À. Alors si o(x) a un support compact K
ans R\ les conditions précédentes sont vérifiées. En eilet le support
e Sg®!^ est contenu dans AXR"; le support de ^(ï-hr) est
éfini par la relation ;-+-v;eK.. alors tout point de l'intersection I
e ces supports vérifie £éA, çH-v,eK, donc r,eK — A, et I est
ontenue dans le compact Ax(K — A). En utilisant la méthode de
i page no du tome I, nous sommes amenés à introduire une
snction a(£), indéfiniment derivable et à support compact, égale
1 sur un voisinage de A, de sorte que. suivant les formules du
hapitre m, § 7,
(VI, a ; 4) (S . T),. ?(.r) = (Se <8> T ) . <?(? -t- r.)

PRODUIT DE CONVOLUTION
155
la fonction x(%)y(l H- v.) étant cette fois-ci à support compact, et
égale à ~j(^-\-t) sur un voisina-ge du support de Sf ® T Nous avons
pu définir ainsi (S*T). ç pour toute o^'S))^. Si maintenant des
<p,6('I>)-convergent vers o dans (%))x de manière que leurs supports
soient contenus dans un même compact K, alors les
x(ï)9j(; -t-*,) ont leurs supports contenus dans un compact fixe de
R'XR", et convergent uniformément vers o ainsi que chacune de
leurs dérivées ; comme Sç<S>T est une distribution sur l^XR", les
valeurs de (Sç® T^) . [a(:)(?,(£-(-■/,)] convergent vers o. La forme
linéaire ainsi définie, (S * T). o, est donc bien une distribution sur R".
Existence et calcul
On peut donc énoncer :
Théorème I Si S et T sont deux distributions quelconques sur
R", dont l'une nu moins a un support compact, il existe une distribution
bien déterminée, appelée produit de convolution de S et T, notée
S*T ou T * S, telle que, pour toute ?(#)6('-£")_,..
(VI, 2; 5) (S.TV?0r) = (Sç ®T,). ?(ç + r,)(').
Nous aurons l'occasion de voir plus loin d'autres cas où le produit
de convolution est défini (§§ 5 et 8).
Le fait qu'il n'y ail jamais aucune difficulté dans le cas de supports
compacts prouve que les seules di(Heultés. dans le produit de
convolution proviennent de la croissance à l'infini, et non des irrégularités
locales. C'est tout le contraire du produit multiplicatif des
distributions (chapitre v); dans ce cas, le comportement à l'infini n'avait
aucune importance, seule la régularité locale comptait. De même
que, pour la multiplication, nous avons été amenés à supposer l'une
des deux distributions totalement régulière localement, c'est-à-dire
fonction indéfiniment derivable au sens usuel, nous supposons ici
l'une d'elles totalement régulière à l'infini, c'est-à-dire à support
compact.
Il résulte de ce que nous avons vu au sujet du produit tensoriel des
distributions qu'il est possible de calculer le produit de convolution
par deux « intégrations » successives (théorème de Fubini : voir
théorème IV du chapitre iv) :
(S*T).? = (Ss®T,).?(;H-r.)=SE.fTr|.?(5-Hr.)]
= T,.[Sç.?($-Hr,)j.
(') Cette «^pression du produit de convolution était déjè utilisée pour le produit de
convolution de deux mesures; voir A Weilet], chapitre ni
(VI, 2.6)

156
Si S est à support compact, alors Se. ç(ç -4- r.) est une fonction
de ri, indéfiniment derivable-à support compact, y(r,), et l'on peut
bien calculer Tn . /(■/.) ; quant à TT,. <p(j; -4- r.), c'est une fonction de £
qui est indéfiniment derivable à support quelconque, ij.(;), mais, S
étant à support compact, on peut encore calculer Sç. ij.(£). Les deux
méthodes doivent donner le même résultat.
Remarquons que <p(£ -t- rj) est image transposée (chapitre 1, § 5, 3°)
de la fonction <?(x) dans l'application (H) de R"X R" dans R" définie
par (£, rj) —«-£ + rj. Donc S* T est l'image tensorielle de Sç ǧ T,. par
l'application H [formule (I, 5; 6)]. Mais l'application H n'est pas
régulière à l'infini, c'est ce qui fait que S*T n'a pas de sens pour
2 distributions quelconques, mais a toujours un sens pour des
distributions à support compact.
§ 3 Propriétés du produit de convolution
Support Théorème II Si S et T ont pour supports
respectifs A et B (l'un au moins des deux étant compact), le support
de S * T est contenu dans la somme A -4- B.
A -4- B est fermé; soit Ü son complémentaire dans R". Il nous
faut montrer que si ç(a.)ç('aD) a son support dans il, (S*T). 0 est
nulle. Le support de o(£-4-r,) sur RBX R" est contenu dans l'ouvert
défini par la relation £ -4- y,(U ; le support de Sç ® TV, est identique à
AX B (théorème V du chapitre iv), donc défini par la relation
$€A, r,çB, qui entraîne
$ -I- y) 6 A -I- B ;
alors le support de ?(;-)-•/;) est sans point commun avec le support
de SÇ®T,,, et par suite (SçCgiTV,) . ?(;H-r) est nul.
En particulier si S et T sont toutes deux à support compact, il
en est de même de S * T.
Théorème III Si S a pour support A, la valeur de S*T
dans l'ouvert Q ne dépend que de celle de T dans l'ouvert Q — A.
En effet si 9(3.) a son support dans £1, un voisinage du support
de <?(;-t- t) dans R'X R" est défini par la relalion ç-4-y,€(-2.
L'intersection 1 du support de Sç © T^ avec celui de o(ç -4- ',) est constituée
de points (£, r) vérifiant tous £eA, donc r,€^ — A ; I est située dans
le produit (ouvert) R"X (Q —- A) ; on connaît donc (S;«Tr.). <p(; -4-n)
si on connaît S partout et T sur l'ouvert Q —A.

PRODUIT DE CONVOLUTION
157
En particulier si S est de support A petit et voisin de l'origine des
coordonnées, le support de S*T est contenu dans un voisinage petit
du support de T et la valeur de S * T dans un ouvert Ü dépend de
celle de T dans un voisinage petit de ii.
Continuité Théorème IV L'application qui au couple Sé(8'),
Td(&), fait correspondre le produit de convolution S*Tç(8') est une
application bilinéaire continue.
Il est évident que c'est une application bilinéaire. Si S et T
convergent vers 0 dans (8'), nous allons montrer que S*T converge
vers 0 dans (8') (rappelons que, pour des filtres, la convergence
n'entraîne pas que S et T restent bornés). La démonstration repose
sur le théorème VI du chapitre iv. pour les espaces (8'). Si <p
parcourt un ensemble borné B dans (8), o(;-)--.-,) parcourt un ensemble
borné Bf dans (£)>.,,,. Alors si S et T convergent vers 0 dans
(8'), Sç®Tt, converge vers Odaus (8')j, vet par suite Sç® T^.o(;-(-7i)
converge verso uniformément pour o(;-t-v.)€B ou ççB. c. q. f. d.
On peut encore raisonner ainsi. L'application (S, T)-*-Sc <8> TS,
de (8')x(8') dans (8')r, rj est continue; l'application Sr®T,,-*-S*T
de (ß')c, „ dans (8') est continue, comme image tensorielle (chapitre i,
§ 5, 3")définie par l'application H : (£, %)-*■ % -h r, de R"X h" dans.R".
H n'est pas régulière à l'infini, ce qui n'a aucune importance pour
des distributions a support compact.
En ce qui concerne les topologies faibles, mêmes remarques
qu'au théorème XI du chapitre m.
Théorème V L'application qui au couple Se(8'), Te(2)'), fait
correspondre S* Te (D'), est une application bilinéaire hypocontinue.
Si S garde son support dans un compact fixe, c'est même une
application bilinéaire continue (').
a) Si on suppose que S garde son support contenu dans un
compact fixe A (ce qui est nécessairement vérifié si S reste bornée),
on peut choisir la fonction <x(ç) de la formule (VI, 2 ; 4) une fois
pour toutes. Alors si <p parcourt un ensemble borné B de (3)),
«(£)<?(£-H r.) parcourt un ensemble borné B. de (2>)ç,,.. et nous
sommes, comme au précédent théorème, ramenés au théorème VI
du chapitre iv.
6) Si on suppose seulement que S converge vers 0 dans (8'), et
("■) Le fait que l'application bilinéaire soit non seulement hypocontinue, mais
aussi continue, est une conséquence du théorème général signalé dans
l'introduction n° 9; voir Dieudonnè-Schwartz [1], p. 96, théorème 9.

158
que T reste bornée dans ('£'), nous devons employer une autre
démonstration. On remarque alors que si o parcourt un ensemble
borné B de (fi)), y(Z-h v.) est une fonction de r, qui reste bornée dans
(ifl)ï,, lorsque ; parcourt un compact, etil en est de môme de chacune
de ses dérivées partielles en £; si T parcourt un ensemble borné de
('J)'), T«. (p^-t-r,) est bornée sur tout compacten c ainsi que toutes
ses dérivées successives en l, donc parcourt un ensemble borné Bf
de (8)ç; alors si S converge vers o dans (8'), Sç. [T,,. <?(£-)- r.)]
converge vers o uniformément pour çéB, c. q. f. d.
La dernière partie du théorème IV n'introduit qu'une
restriction assez faible dans les applications pratiques.
Par contre, on peut voir que l'application bilinéaire est discontinue,
si l'on considère (8') topologique : si S converge vers o dans (8') et T
dans (ä)'), sans rester bornées, S*T ne converge pas nécessairement
vers o dans ('.D') (Cela provient deceque(p(; -f-x) n'est pas à support
compact). L'hypocontinuité est d'ailleurs toujours suffisante en
pratique. Mêmes remarques que ci-dessus pour les topologies faibles.
Produit de convolution et produit tensoriel Théorème VI Si Xm et
Y" sont 2 espaces vectoriels à m et n dimensions, le produit de
convolution de 2 produits tensoriels est le produit tensoriel des produits de
convolution : si AxeCD')x, Bxe(1)')x, Cve(1)')y, Dye('S)')v, alors
(VI, 3; i) (Aa®C,).(Bx®D,) = (Ax*Bx)®(C,*D,).
Pour montrer l'égalité des distributions figurant aux deux membres,
il faut montrer qu'elles prennent la même valeur pour toute
fonction <çÇ($))xy de la forme u(x) v(y) (voir théorème III du chapitre iv) -.
or c'est évident, la valeur commune des deux quantités étant alors
(VI, 3 ; a) (Aç ® B,, ® C\ ® De). a(Ç -+- n)»(Ç -+- 6).
Associativité, commutativité II n'y a aucune difficulté à définir le
produit de convolution de plusieurs distributions, pourvu que
toutes, sauf une au plus, soient à supports compacts.
Théorème VII Le produit de convolution de plusieurs
distributions qui sont toutes, sauf une au plus, à supports compacts, est
associatif et commutatif.
Si, en effet, A, B, C, sont 3 distributions, on aura aussitôt
(VI, 3; 3) (A*B*C).? = (Aj® B,® C:)-?(Ç-r-r,-H£).

PRODUIT DE CONVOLUTION
159
L'associativité et la commntativité montrent que le produit de
convolution fait de (b') une algèbre commutative et de ('$') un module
topologique sur (<-').
Remarque En dehors des conditions précises indiquées par
l'énoncé, le produit de convolution n'est pas nécessairement
associatif (Formule (VI, 5; 3V).
Convolution, Translation, Dérivation Théobème VIII Le
produit de convolution 8 » T de T avec la mesure de Dirac est égal
à T : le produit de convolution S())) * T de T avec la masse -h i au point
i\S
h est la translatée t;,T de T; le produit de convolution —»T de T
dxk
ftT
avec une dérivée de la mesure de Dirac est la dérivée
dx„
(VI, 3;/,) o*T = 7; S(A)*T = r„(T) ; **.T = — •
dxk bxk
On a en effet
(VI. 3; 5) (^•T).o = Tf.f(8iA)Li.9(ÇH.-vi)J
= Tc.9(5-HÄ) = T.t_Ä(?)=TA(T).9.
Eu faisant h = o, on obtient en particulier è* T:=T ; cela prouve
que à est lunité de l'algèbre de convolution D'autre part si on pose
hk=.(o, o, ... e, o, ... o), on a vu, d'après la définition même du
doublet, que
(VI. 3; 6) lim^-Z-8 = _i
d'où, en vertu de la continuité du produit de convolution et de la
formule (III, k ; 3),
(VI, 3; 7) il.T==lim('W=*,T\ = limt-S^^I = ^I.
bxk t^o\ — e / e^o — « àxk
Mais il est intéressant de donner une démonstration directe de
cette formule très importante.
(VI, 3; 8)
On voit que la dérivation est une opération de convolution . Sa
continuité, théorème XVIII du chapitre ni, est alors un cas particulier

60
.u théorème de continuité du produit de convolution (théorème V).
)n déduit immédiatement du théorème VII la conséquence suivante :
Théobème IX Pour translater ou dériver un produit de convo -
ition on translate ou dérive l'un quelconque des facteurs.
C'est une conséquence immédiate de (VI, 3; .4) et du fait que le
iroduit de convolution est associatif et commutatif :
(VI, 3; g)
tà(S.T) = V,<(S«T) = (VS)'T = :iS.T = S.tJ
(VI, 3; io)
ö
■'*
(S.T) = -5i.(S.T) = /—. sVt = —-T = S
v ; ï>xk v ' \àxk ) ï>xk
ôT
k
Il en résulte que pour dériver plusieurs fois un produit de convo -
Jtion on dérive chaque fois un l'acteur, mais on peut changer à
haque dérivation le facteur que l'on dérive. Ainsi :
(VI, 3; u)
ô' ,o Tx ô'S ôJT ôS ôT ôS ôT
bXjiXk ' bXjdXk bXjbXk dXj bXk bXk bXj
Ces formules sont naturellement bien connues; mais elles exigent
.abituellement pour être utilisées des hypothèses très restrictives :
m doit supposer que S et T sont des fonctions continuement dilTé-
entiables au sens usuel. Autrement ces formules peuvent être
lusses au sens usuel et nécessiter l'adjonction de termes supplé-
tientaires ; ici elles sont toujours exactes. Un exemple simple
[lustrera bien la chose. Prenons pour S la fonction Y(x) d'Heaviside,
gale à o pour x ^ o, à -t- î pour x > o (cas d'une variable ; n= i),
t pour T une fonction continue/, à support compact. On a alors,
n théorie des distributions :
on.».») !<Y./)=£./=»./=/.
lors que si nous nous en tenons à la définition usuelle de la dérivée,
7- est presque partout nulle, et l'application brutale de la formule
VI, 3; io) donnerait la formule fausse -j- (Y*/) = -- */=o.
On corrige habituellement ce genre d'erreurs en écrivant que pour

PRODUIT DE CONVOLUTION
161
une Jonction g(x) présentant une discontinuité de première espèce,
avec un « saut » g0 à l'origine, on a
(VI, 3; i3) jxi9*f) = 9\x)*f+9j,
ce qui revient à appliquer la dérivation au sens de la théorie des
distributions. Nous évitons ainsi toutes les règles spéciales aux divers
cas particuliers, et n'avons à appliquer qu'une même règle générale.
Remarquons aussi que les formules (VI, 3; l\) sont couramment
utilisées en mécanique ondulatoire sous la forme suivante. On écrit
la mesure de Dirac avec la notation d'une fonction : fonction de
Dirac à(a.). On écrit d'autre part le produit de convolution de la
même manière que s'il s'agissait de fonctions (formule (VI, i ; i)).
Alors (VI, 3: k) s'écrit
\A*)=ff- fH*-t)f(t)dt
(VI, 3;,4) JJ J
La convolution, combinaison de translations
Toute distribution Se({->') est limite, dans (&'), de mesures qui sont
des combinaisons linéaires finies de masses ponctuelles (théorème
XV du chapitre m et suite) :
(VI, 3 ; 15) S = lim £ «) hih? -^ lim £ (av>(V&.
J V I
Alors la continuité du produit de convolution montre que la
convoluéeS*T est limite de combinaisons linéaires finies des
translatées de T :
(VI, 3; 16) S*T^lim2(aVJ)W)T:
J v J
nous avons utilisé constamment de telles propriétés dans un mémoire
antérieur(').
La formule (VI, 3; 16) suggère immédiatement une nouvelle
définition du produit de convolution. Soit T une distribution: sa
translatée t^T est une fonction de h définie pour AeR", à valeurs dans
l'espace des distributions ('-!)'). Comme nous l'avons vu page So du
(') SCHWARTZ, [4J

162
tome I, c'est une fonction indéfiniment derivable de A, que nous
appellerons <f>(A). Alors, S étant une distribution sur R". espace de la
variable h, on peut calculer SA. <P(h)Ç), qui est une nouvelle
distribution (chapitre i, § o. 2°); cette nouvelle distribution n'est autre
que S*T. En effet, pour toute ?6'v'^). «n a
<t>(h). 9 — t„T . o — Tx. ?(jj -+- A),
de sorte que
(VI, 3; 17)
[S». *(A)]. 9 = S,. [TT. ?(*-+- A)] = (S, ® TJ . ?(x -+- A) = (S . T;. 9
d'après la formule de Fubini (VI, 2 ; 6). Si en particulier S est une
mesure composée d'un nombre fini de masses ponctuelles
(VI, 3; 18) S = SavW
V
on aura
( VI, 3 ; 19) S » T = 2 aMK) = 2 «v "»X
V V
ce qui est l'origine de la formule (VI, 3 ; 16). Si S est une fonction
continue/^), on représentera /*T comme une moyenne ordinaire
de translatées de T
(VI, 3; 20) f.T=ff...fj(h)+(h)dh=JJ...fj{h)zJdh.
Opérations permutant avec les dérivations Théorème X
Toute opération linéaire continue de (('.') dans ('■&'). permutant avec les
dérivations j>artiellesà/àxk(k^ 1.2, ...n), est le produit de convolution
(VI, 3; 21) .ï(n = S.T
avec une distribution fixe S€(3)') ; et réciproquement.
La réciproque résulte de ce qui précède, c'est le théorème direct
qu'il faut montrer. Par hypothèse
(VI, 3;22) A^T) = */-d-'I-y
Montrons que l'opération !£ permute avec les translations zh, ce
qui inversement entraînera (VI, 3; 22) en vertu de (III, l\ ; 3) :
(VI, 3; 23) r^(T)j=lf(T,T)
H 11 n'y a aucune difficulté à définir S». <I> (h) si S est à support compact. Si
c'est T qui est à support compact c'est un peu plus délicat : <!> n'est pas en effet
à support compact, et S». <I> (h) n'a a priori pas de sens. Mais <I> est scalaire-
ment à support compact, car pour toute <p e (CD), <I> (h). <? est une fonction de h à
support compact, et cela suffit pour qu'on puisse définir S . <I> {h). Voir à ce sujet
Schwartz [9], proposition 21, p. 135

FRODUIT DE CONVOLUTION
163
OU
(VI, 3 ; 2/1) t„[!£(T) |. 9(x - h) = %„T). o(x - h), ?€(3>),
et comme le i" membre vaut H'(T).ç(x), nous n'avons qu'à montrer
que la fonction numérique de h
(VI, 3; 25) à(h)z=$(rhT).9(x — h)
est, pour T et o fixées, indépendante de h. Nous allons montrer que
ses dérivées partielles sont nulles.
(VI, 3 ; 26)
â«HÄïH•?(x-/1)^('-T^^(I-'•,'
Pour le 1" terme du a" membre on a :
(VI, 3; 27)
àï("T)=it("T)]=-4i(r,T)]=-è^,T)
en vertu de la continuité de ï et des formules (III, lx ; 11) et (VI,
3; 22). Finalement on a bien
(VI, 3; 28)
^+(A) = iC(tfcT).[^ç(«-A)H-ii.Çl.-A)] = o.
% permute alors avec tous les produits de convolution avec des
distributions à support compact en vertu de (VI, 3; 16). ce qui
inversement entraîne (VI, 3; 23) et (VI. 3; 22). Posons alors
(VI, 3; 29) .i'(8) = S.
On aura si T est à support compact,
(VI. 3:3o) Ï(T) = ^(T*8) = T*^) = S.T, c. q. f. d.
Remarque Si li est une opération linéaire continue de (ß)')
dans ('Jv). S est nécessairement à support compact. En effet, on
considérera des masses ponctuelles CvS(fc>) arbitrairement grandes
s'éloignant indéfiniment dans H"; elles convergent vers o dans (®').
donc aussi leurs transformées Cv(iS*8(fcv,)=;Cv(-(A)S'), ce qui serait
impossible si le support de S n'étail pas compact. S étant à support
compact, la formule (VI, 3; 3o), \raie pour Te(r>'), est vraie pour
Te(::f"'), par passage à la limite, (£') étant dense dans (ilY).

164
Extension Nous verrons plus loin (voir page 197) que, si If est
une opération linéaire continue de (fi)) dans ('£>') permutant avec les
dérivations partielles, c'est le produit de convolution avec une
distribution e(!Ï)')- Ce théorème général couvre tous les cas pratiques
rencontrés. Supposons par exemple que it' soit une opération
linéaire continue de L2(R") dans lui-même, permutant avec les
dérivations pour les fonctions différenliables de L* (ou avec les translations
dans tous les cas), elle est sûrement une opération linéaire continue
de ($>) dans ('S)'), donc de la forme -£(T) = S * T où S est une
distribution, qui, en général, n'est pas une fonction ni une mesure, mais
possède la propriété : Si fd(S)) tend vers o dans L\ S*/ tend
vers o dans U. Exemple: S = v-p— (pour «=i); l'opération
ftx)-+v-p- I est continue dans L2('). On peut voir que,
dans ce cas, S est une distribution dont la transformée de Fourier
est une fonction bornée. Mais le théorème général n'utilise pas la
transformation de Fourier.
Polynômes de dérivation
Dans toute la théorie du produit de convolution, il sera parfois
commode d'écrire — pour représenter la distribution —. et l'on
1 àxk dxk
aura alors *
(VI, 3;3i) A,T = Ô-.
dxk dxk
Mais dans une telle formule il n'y a pas lieu de faire jouer un
rôle différent à — et à T ; ce sont deux distributions dont on
effectue le produit de convolution, et l'on pourra aussi bien écrire
(VI, 3; 32) T* -- = —•
dxk bxk
Les polynômes de dérivation (à coefficients constants) sont alors
des distributions bien déterminées :
(VI, 3:33) D = 2APD"
p
(notations du chapitre 1) ; p est un système de n entiers
(«) Voir Marcel Riesz "3J

PRODUIT DE CONVOLUTION
165
^> o, pt, pv ..., pn, 21 est une somme finie. Les Ap sont des
constantes complexes ; D est une abréviation de
(VI, 3; 34) Di = 2ApD'X
et on a, quelle que soit Te(£f)'),
(VI, 3; 35) DT = D*T = T*D.
Le produit de convolution de deux tels polynômes de dérivation
se forme comme le produit des polynômes par rapport aux lettres
ö ö Ö
— i — > • • -, — :
(VI, 3 ; 36) (2 kpD») • (2 B,D'\ = 2 ApB,I>-*.
•On voit par là que le produit de convolution définit sur l'espace
vectoriel des distributions ayant pour support l'origine une algèbre
isomorphe à l'algèbre des polynômes.
§ 4 Rkgi'i.arisation des distributions
Définition Soit u une mesure, /une fonction continue (l'une
des deux ayant un support compact). Nous avons vu au § î que
l'on a
(VI, A ; i ) p *f=ff- • -ffl* -1) d*(t) = |x,. f(x -t).
Cette formule utilise la définition fonctionnelle de ia, comme
forme linéaire sur des fonctions continues; le produit de
convolution est une fonction continue, et la formule précédente le définit
pour toute valeur de x. Cette formule se généralise de la façon
suivante. Si T est une distribution, a une fonction indéfiniment
derivable au sens usuel (l'une des deux ayant un support compact),
cl(x—t), x étant supposé fixe, est une fonction de / indéfiniment
derivable : on peut donc calculer
(VI, à; 2) 6(x)=T,.a(x— /);
c'est une fonction de x, qui d'ailleurs est, d'après le théorème II du
chapitre îv, une fonction indéfiniment derivable, avec
w--*> £.=£,'*-■<—«]=t.-£-m—o..

166
Mais cette fonction de x. indéfiniment derivable au sens usuel,
n'est autre que le produit de convolution T*a ; en effet
(VI. à ; 4)
|(T*a).?=Tç.[«,.?f(Ç-+-r1)]=Tç.4/)r...i/«(r,)?(Ç-+-T!)A1
= T5 'S' * '/"(* ~ l)<?(x)dx = TÇ X ?* *(* — 0
= 9,.[Tç.a(ar-Ç)]=(?x.ftI = 0.?.
Nous pouvons donc énoncer :
Théorème XI Le produit de convolution de la distribution T
et de la fonction indéfiniment derivable x, quand les conditions à
l'infini sont telles qu'il existe [Te(..!v), aÇ(<^) : ou Tç(K'), ?t(l>)]. es/ «ne
fonction indéfiniment derivable au sens usuel, appelée régularisée de
T />ar a «/ donnée par la formule
(VI. 4; 5) (T.*)x=T,.«(a.-0, ^(T*s) = T*g--
On verrait de même que si T€(îf "). <<3V") [ou Te(K""), *€(6*)],
T*a est donnée par la même formule (VI, 4 ; 5) et est une fonction
continue.
Ce théorème redémontre d'une façon particulièrement élégante le
théorème XV du chapitre m. Si T est une distribution quelconque,
a une fonction indéfiniment derivable à support compact, la
régularisée T*a est une fonction indéfiniment derivable; si des a-
convergent vers 3 dans (£') (par exemple si les n} sont J> o, de
supports tendant uniformément vers l'origine, ot telles que
//•••/ Xj(x)dx=z i), les régularisées T * scj convergent vers T dans
('Jv) en vertu de la continuité du produit de convolution. La
régularisation nous donne un procédé linéaire régulier pour approcher
une distribution par une suite de fonctions indéfiniment déri-
vahles ('). De plus, si T est une fonction continue, ses régularisées
sont des fonctions continues, qui, avec le choix des v indiqué entre
parenthèses, convergent uniformément vers elle sur tout compact
(et uniformément dans IV. si T est uniformément continue sur H") ;
si T est une fonction m fois continuement diflerentiable, la
convergence a lieu dans (êm) puisque
(VI, 4; 6) -^(T.*)-=ôT*a.
te* ï>xk
(') Le théort'me XV du rh.i|iitrc m prouvait-.eulomont quo toute distribution est limile
l'un d'Ire .le fonctions indi'iinimcrit ili'riv.iblis

PRODUIT DE CONVOLUTION
167
Si T est une fonction 61/(resp. V sur tout compact) (i <"/)<oo)
la convergence a lieu dans Lp (resp. Lp sur tout compact); si T est
une fonction bornée (resp. une mesure ou une distribution d'ordre
m), la convergence a lieu faiblement dans L* [resp. (('.') ou (CD''")].
Naturellement la régularisation approche une distribution ï à
support non compact par des fonctions indéfiniment dérivables à
supports non compacts, mais celles-ci peuvent être 1res facilement
approchées par des fonctions 6(3*) (par exemple par multiplication
par des fonctions Î^C-f1). à supports de plus en plus étendus, égales
à ï sur des compacts de plus en plus étendus).
Continuité Théorème XII L'application qui au couple
TéCÎ)'), a^CB), fait correspondre la régularisée (T* ?)£(.'.) est une
application bilinèaire hypocontinue.
Supposons en effet que l'un des deux éléments r, T, reste borné,
l'autre convergeant verso; si x parcourt un compact, alors,
considérée comme fonction de t, y.(x—t) est uniformément bornée si a
reste bornée dans (OD), et elle converge uniformément vers o si a
converge vers o dans ('JD) : donc la fonction 0(x)=rT*a converge
vers o au sens usuel, uniformément sur tout compact en x, dans
l'une quelconque des deux hypothèses; comme il en est de même
pour chacune de ses dérivées, elle converge vers o dans (C).
Par contre l'application bilinèaire, hypocontinue, n'est pas
continue. A ce propos, et au sujet des topologies faibles, mêmes
remarques qu'au théorème XI du chapitre m.
Le théorème ci-dessus s'étend immédiatement aux applications
bilinéaires (T, x)-~T.*de (C) <g> (C) dans (f.). de (C) &> (S) dans
('$), de (T>'m) &>($'") on (£'m)<8) (£'") dans l'espace (i\°) des fonctions
continues muni de la topolnqie de la convergence uniforme sur tout
compact.
Produit scalaire et trace du produit de convolution
La formule (VI. /| ; 5) nous montre que, pour T et ■* quelconques.
pourvu que le produit de convolution ait un sens. T(cp'i " est
autre que la valeur à l'origine de T*o(—x). Si nous appelons
v v
o et T la fonction et la distribution déduites de ç. et T par une
symétrie par rapport à l'origine.
(VI, 4; 7) 9 (*)=: •*(-*); Î(9)=T\?); f(?) = T(?).
et si nous désignons par « trace » d'une fonction continue sa valeur

68
k l'origine. Tr. /(x) —/(o). on voit que l'on peut écrire:
(VI, 4; 8) T(?) = Tr.(T*?) = Tr.(f*?).
Cette formule joue le même rôle que la formule (V. i ; 5); cette
dernière représentait T(ç) comme l'intégrale du produit To. tandis
jue (VI, [\ ; 8) repré8ente T(ç) comme trace du produit de convo -
utionT*ç. On voit ainsi que si T*9=o, quelle que soit <?€(^),
T est nulle.
L'opération ', symétrie par rapport à l'origine, conserve évidem-
nent toutes les structures algébriques de l'ensemble des fonctions et
listributions : en particulier la multiplication et la convolution,
(VI, h, 9) (ST)"=Sf; (S*T)'=S*f.
On voit que dans une formule de produit scalaire entre fonctions
:t distributions, où interviennent des produits de convolution , on
>eut faire passer un élément d'un côté à l'autre en le remplaçant
>ar son symétrique : par exemple
(VI, 4;io) (A*B«C).(D*E*<p*<J.)
= (A*B*?*lj.)-(C:*D*E)1=Tr- (a*B*<C*Ù*È* ç.^-
(A, B, G. D, E. o, <\i. doivent avoir toutes des supports compacts,
tauf une au plus).
La formule (VI, !\ : io) montre en particulier que
(VI. 4; ii) (S*T).? = T.(S*«p) —S.(f*<p),
se qui prouve que. dans la dualité entre ('S)) et ('J1'), la convo -
Jtionavec Sç(r') dans ('i1) a pour transposée la convolution avec S
lans (<#').
On retrouve, comme cas particulier, ce qui a été dit à propos des
ormules (II. i ; 6) et (II. 5; 2): r^A et t h sont transposées de
ô ô
neme que — et
dxk dxk
La formule (VI. [\ : i i) monlre encore qu'on connaît le produit de
convolution S*T, si, pour otCi'1). On connaît T * y. mais ce dernier
»roduit est donné directement par (VI. 4 : 5).
Terminons ce paragraphe par quelques exemples et formules.

PROni'IT DE CONVOLUTION
169
Formule I Si E(x) et L(x) sont respectivement une fonction
exponentielle et une fonction linéaire
(VI, 4; 12) E(x)=exp. (aixi-+-a2xî-\ aBxB) = exp. (a . x)
(VI, 4; i3) L(x) = alxl-hatxl-\ anxH = (a.x),
on démontre immédiaternentv en appliquant les définitions, les
formules suivantes, où interviennent des produits de convolution et
des produits de multiplication :
(VI, 4; i4) E(x)(S*T) = [E(x)S]*[E(x)T]
(VI, 4: i5) L(ar)(S*T) = [L(ar)S]*T-+-S*[L(ar)T].
Formule II Quelle que soit la distribution T à support
compact, T* 1 est la constante T(i)= ff • • • / T (formule (VI, 4 ; 5)
avec a = 1).
Plus généralement, si P(a:) est un polynôme de degré <Çm, la
formule de Taylor
(VI. 4; 16) P(x-0= 2 ^[D'P(or
montre que
(VI. 4; 17) T>P = T(.P(a. — l) = 1 [T.(D'P)']^
est un polynôme de degré ^ m.
Ainsi, la régularisée de T par un polynôme y, est un polynôme
T * 2 ; si l'on utilise une suite de polynômes «, tendant vers la mesure
de Dirac 8 dans (ÜY), les T*a donneront une approximation
polynomiale de T. Si T était une distribution à support quelconque,
on pourrait sur tout ouvert d'adhérence compacte Q la remplacer
par une distribution à support compact T,. dont les régularisées
T, * oLj donneraient une approximation polynomiale de T sur Q.
Formule III L'application de la formule (VI. 4 ; 5) à %=z E(x)
montre que le produit de convolution d'une distribution à support
compact T et d'une exponentielle est une exponentielle
proportionnelle :
(VI. 4; 18) E(x)*T = (T.Ë)E(x).
Plus généralement on voit que le produit de convolution de T
avec une exponentielle-poljnomede degré <J m ^produil dune
exponentielle par un polynôme de degré ^ m) est une exponentielle-
polynôme de degré <T! m ; le produit de composition avec une

170
combinaison linéaire finie d'exponentielles ou d'exponentielles-poly-
nomes est une combinaison d'exponentielles ou d'exponentielles-
polynomes.
Ainsi la régularisée de T par un polynôme trigonométrique est un
polynôme trigonométrique (un polynôme trigonométrique est une
exponentielle où a,, a,, . . . a„ sont purement imaginaires) ; en
utilisant une suite a, de polynômes Ingonométriques tendant vers S
dans (®'), on en déduit nue approximalion trigonométrique de T.
8 5 Produit de convolution dans le cas de supports non
compacts
Définition et propriétés
Soient S et T deux distributions, de supports non compacts A
et B. Le produit de convolution de S et T a un sons bien défini si A
et B possèdent la propriété suivante: pourççA, r.çB, ç-hr, ne peut
rester à distance finie que si H et r restent Ions deux à distance
finie.. Cela revient à dire que l'application (H, r) -*-ç-t-r de AX B
dans A-+-B est régulière ù l'infini: cela s'exprime parle fait que,
quelque soit le compact K, l'inlerseclion A n ( K — B) est un compact.
En effet soit ©ç('iï). de support compact K, l'intersection I des
supports de 9 (; + /,) cl ');éï, dans H'Xll" est composée de
points (£, y;) vérifiant ?€A, y,çB, et c-t-rçk; donc l est compacte;
alors, d'après ce qui a été dit page 90 du tome I, on peut définir
(Sç<8>T,.) . ç(£-+-■/;), qui sera égale à (S^Cg* T ) . ?-{l)o{l -+-r) : ?{l) est
une fonction e('-f>), égaleà 1 sur un voisinage do An(K —B).
La quantité (Sç <g> T„). 9 (£ -f r) ainsi définie est bien une forme
linéaire continue sur (CD), et par conséquent elle définit bien
une distribution S*Ï6('-!V). Le support de S*T est encore contenu
dans la somme A-hB des su/>ports de S et T, qui, moyennant les
hypothèses sur A et B, est bien un ensemble formé. On voit de plus
que le produit de convolution S*T est une fonction bilinéaire continue
de S et T, nu sens suivant : si des distributions Sy convergent vers o
'lans ('^ ) en gardant leurs supports contenus dans un ensemble fermé
fixe A, et si les distributions T. convergent vers o dans ('S1') en gardant
leurs supports contenus dans un ensernlde fermé Jh-c B, \ et B ayant la
propriété ci-dessus, les distributions S *Ty convergent vers o dans ('J1').
Commutntivité, associativité
Le produit de convolution ainsi défini est eommutatif, mais il

PRODlIT DE CONVOLUTION
171
n'est pas nécessairement associatif. Soient R, S, T, 3 distributions
de supports respectifs A, B, C. L'associativité signifie que l'on a
(VI, 5; i) (R.S).T = R«(S*T).
On ne pourra l'affirmer que si l'on peut d'emblée définir le
produit de convolution nécessairement commutatif des 3
distributions, R*S*T.
Cela sera possible si A, B, C, possèdent la propriété suivante :
pour ;€A, t;éB, CdC, £-+-r,-h^ ne peut rester à distance finie que si
£, y,, Ç, restent tous ù distance finie. Ou encore: si l'application
(;, Y), Ç) -»- ç -4- -i. -+- Ç de AxBxC dans A-h B-t-C est régulière à
l'infini. Alors, quelle que soit <p€('^), de support compact k, on peut
directement poser
VVI, 5; 2) (R.S.T).ozr=(Rc® S^T^.oG-hr.H-Ç).
l'intersection des supports de Re(8>S ®T- et o(Ç-+-r H-Ç) dans
R'XR'X R" étant compacte. La valeurconunune des deux membres
de (VI, 5; î ) est alors celle de R* S *T, définie par (VI, 5; a).
Exemple de non associativité : si \ est la fonction d Heaviside
(Cas d'une variable, n=. î),
/ </\ v d
il i * -- * Y -—o, car i * - — o,
'"(i-¥)-="»='-
On voit d'ailleurs que le produit de convolution de plusieurs
distributions ne peut avoir sûrement un sens, lorsque l'une a pour
support l'espace entier, que si toutes les autres sont à supports
compacts.
Nous donnerons ici deux exemples très importants dans la
pratique, de produits de composition de distributions à supports
non compacts.
Les operations du calcul symbolique à une variable (n=i)
Nous considérerons les distributions dont le support est « limité à
gauche » (resp. à droite), c'est-à-dire contenu dans une deini-droite
(c, -h oc) (resp. (— oc, r)), c pouvant dépendre de la distribution
considérée. Si en particulier les deux distributions S et T sont des

172
fonctions f et g de supports contenus dans (o, -+- oo), le produit de
convolution f*g prend la forme très simple classique :
(VI, 5; à) h(x)= fjf(x—t)g(l)dt (donc o pour x<o).
On voit sur cette formule que h existe toujours, les comportements
de/eto pour a?-*--+- oo sont sans importance. Mais les remarques
faites ci-dessus montrent que plus généralement le produit de
convolution d'un nombre fini quelconque de distributions à supports
limités à gauche a toujours un sens; car une somme de nombres
bornés inférïeurement ne peut rester bornée que si tous restent
bornés.
Remarquons que si T est une distribution à support limité à
gauche et 9 une fonction indéfiniment derivable (au sens usuel) à
support limité à droite, le produit scalaire T. 9 a un sens, car les
supports de T et o se coupent suivant un compact. Nous sommes
donc amenés à poser les définitions suivantes :
a) ('•))+) [resp. (3) _)] sera l'espace des fonctions 9 indéfiniment
dérivables (au sens usuel) à support limité à gauche 1 resp. adroite):
on introduira dans (S)() la topologie limite inductive des (8,,... „.,"',
où (8(c + m>) est l'espaco îles fonctions cpe^S) à support dans fe, i 00),
muni de la topologie induite par !{', ;
b) (3)%) [resp. ('J)'_)J sera l'espace des distributions €\'S)') à
supports limités à gauche (resp. à droite). On introduira dans (3)',)
la topologie limite inductive des (!D',c . x)., où >'S> lc<4 x,l est le sous-
espaces de (3)') formé des distributions à support dans i'c, 4- oo\
muni de la topologie induite par ('S)').
Alors (©' + ) est le dual de l'espace i'J) ), c'est-à-dire l'espace des
formes linéaires continues sur (11) ); d'ailleurs ('S) ) est aussi le dual
de(3)'+).(J).
On démontre alors que (£P_) et (il1'* ) son t en dualité forte réciproque
et possèdent les différentes propriétés données au chapitre m pour
(iP) et (3)'). De même (ïD_) et ('S'i) sont en dualité forte réciproque.
Théorème XIII Le produit de convolution des distributions
€(2)+) est associatif et commutatif. Le support rfeS«T est contenu dans
la somme A—l— B des supports de S et T. L'application gui à S et T
I1) Voir pape 90

PRODUIT DE CONVOLUTION
173
fait correspondre S * T est une application hilinéaire dont la
restriction à (fD'(c. + J x (3)'(c.foo)) est continue.
Démonstrations analogues à celles des paragraphes précédents.
L'introduction de l'espace ['£' + ) X (B'-t) donnerait lieu à une
fonction hilinéaire hypocontinue, mais discontinue, comme au
théorème V.
Pour Te (ii)'.) et 96('i)_), la symétrique 9 est 6(!i\) et l'on a encore
(VI, 4; 8) T(o) = Tr. T.(9) = Tr.(f .9),
la régularisée T* 9 étant une fonction €('-l\). L'application bilinéaire
(T, a) —* T*a de (3)+) X (3)+) dans (ÎD+) e*t hypocontinue.
L'espace (Uv+) est une algèhre commutative, comme ((-'). La
mesure de Dirac S est son élément unité.
Théorème, XIV L'algèbre (,JY4_) n'a pas de diviseurs de o
On sait on effet que le produit de convolution/*^ de deux
fonctions continues à supports limités à gauche ne peut êt.e =0 que si
l'une des deux est = o ('). Il faut démontrer la même propriété pour
deux distributions S et T de ('£'. ).
Soient x et ß deux fonctions =É o de (Ü\) ; de S *T =:o on déduit
(S*a).(T*ß)r=(S.T)*(*.ß) — o.
Mais S*« et T*ß sont deux fonctions continues à supports limités
à gauche; leur produit de convolution étant nul, l'une d'elles est
nulle, par exemple S*a. Alors quelle que soit 9é('?_)>
(S* 9)*a = (S*a)* <p:=o;
comme S* 9 et a sont deux fonctions continues, l'une d'elles est nulle,
et comme, par hypothèse, * n'est pas nulle, S* 9 est nulle; alors,
d'après (VI, l\ ; 8), 8(9) est nulle pour toute 9, donc S est bien nulle,
c. q. f. d.
Cette propriété très importante est spéciale au cas de deux
distributions dont les supports sont limités du même côté; elle est a
fortiori vérifiée pour deux distibutions de supports compacts, (8')
n'a pas de diviseurs de o. Par contre le produit de convolution de
(') Ce théorème a été démontré d'abord par Titchmarsh [i] page 3^7, pui» par CauM
[I] et DUFRESNOY [I], MlKUSlNSKI [7].
('.'est sur ce tiieoivine <|<ie M. Mikc sisski dans [2]. [3], base une t lnj«iri<> analog...»
il colle des distributions

174
deux distributions, Tune €("?')' l'autre €({<'), peut être nul sans
qu'aucune soit nulle : ainsi
L'étude du produit de composition dans (J"1.) et des équations
auxquelles il donne naissance se fait habituellement par la
transformation de Laplace ; elle constitue le calcul symbolique.
Application : dérivation d'ordre non entier.
Prenons comme distribution particulière do (Jv. ) la distribution Ym
définie à la formule (II. 2; 3i). Ym(o) pour oe(j\) fixée est une
fonction holomorphe entière de la variable complexe m ; on peut dire
aussi que Ym est une fonction holomorphe entière de m à valeurs
dans ('J)',).
On a la formule de convolution suivante :
(VI, 5; 6) VY, = Vv
En effet cette formule est évidente si p et q sont des nombres
complexes départie réelle "> 0. car alors le symbole Pf. est inutile,
Yp et Y, sont des fonctions, et la formule précédente s'écrit :
(VI, 5; 7) j -- - -^~— —--<# — % pour x ^> o,
ce qui est une conséquence classique des propriétés des fonctions
euléi'iennes. Alors les deux fonctions holomorphes de p et 1/
Yp*Y7 et Y.,^, qui sont égales pour Mp et Mq > o. sont égales
quels que soient/) et q.
La formule (VI, 5; 6^ permet, pour m quelconque d'écrire Ym
sous la forme Y*"1 puisque, pour m entier, c'est la puissance m"""
de Y dans l'algèbre (Q+). Nous pouvons alors définir la primitive et
la dérivée d'ordre complexe, m, de T, par les formules
(VI, 5 ; 8) I-T = Ym * T ; D-T = Y„,„ * T.
On a les formules suivantes, conséquences de (VI, 5: 6):
(VI. 5; oï
P(I«T) = r""'('n : D'(D'T) - IV' • f\ . D^l-'H- Im(D"T)^. T
On retrouve des formule., classiques qui habituellement exigent
des hypothèses restrictives sur la dérivabililé : \oir (VI, 3: i3/,
mais qui sont valables sans restriction. Pour toute distribution à

PRODUIT DE CONVOLUTION
175
support limité à gauche, ImT dépend continûment de la distribution
à intégrer T et analytiquemcnt de l'ordre d'intégration complexe m.
Pour m entier > o, DmS est bien la dérivée ordinaire, à cause de
la -j* formule (II, 2; 3i). PS n'est pas n'importe quelle primitive
de S: c'est la seule qui soit à support limité ù gauche; toute autre
diffère de celle-ci d un polynôme de degré ^ m— 1, donc a
nécessairement un support illimité ù gauche [voir aussi formules (VI,
5, a4)J.
On voit sur ces formules que la dérivation et l'intégration des
distributions €('-!y^) sont des opérations de même nature : ce sont des
opérations de convolution
Si l'on voulait définir les mêmes notions pour des distributions à
support limité à droite, il faudrait considérer les distributions
(Y)m = (Ym)* et définir la puissance m"""* des opérateurs (—I) et
(—D) par
(VI, 5; 10) (-I)«S=YB*S, (-Dy»S = Y_m.S.
Les deux opérations peuvent être à la fois définies si S est à
support limité à la fois à gauche et à droite, c'est-à-dire compact. Il en
résulte en particulier, en faisant m = 1, que, si S est une distribution
ù support compact, sa seule primitive à support limité à gauche est
Y*S, et 8a seule primitive à support limité ù droite est — Y »S.
Cela nous donne un nouveau procédé pour trouver une primitive
d'une distribution quelconque T (chapitre n, § .4). Nous choisirons
une fonction quelconque a, indéfiniment derivable au sens usuel,
égale ù o pour x ^ — c, à 1 pour x ^ c "> o ; et nous poserons
(VI, 5; 11) S = aS-|-(i — *)S;
<xS a son support limité à gauche, et ( 1 — a)S a son support limité
à droite. Une primitive particulière de S sera alors
(VI, 5; 12) (Y*aS)-l-[— Y.(i — a)S].
Ce procédé s'étend aussitôt à la recherche, dans IV, d'une solution
vr
de l'équation -- — S: on remplace Y par la mesure linéaire
YXixSXjJj Jn = Y. {formule (IV, 5: o)|, et on utilise la même
fonction <x(-r.).
Si maintenant nous posons
(VI. 5;i3) uYm=[eXp.(a*)jYm.

176
la formule (VI, 4; 1.4), jointe à (VI, 5 ; 6), montre que l'on a aussi
(VI, 5;i$) .Yp.aY, = <IYp^. d'où aYm = (aY)*-,
Posons alors, quels que soient le nombre complexe m et la
distribution Te(ii>'J.
< IT— Y *T
(VI, o; i5) DmT_ Y ,T.
les opérateurs aIm et aDm sont encore du type des intégrations et
dérivations d'ordre complexe. Mais on voit immédiatement que
(VI, 5; i6) aY_l = [ex?.(ax)]h' = i' — a^
de sorte que l'opération aD est la dérivation eomposée
(VI, 5; 17) "DT = d2-aT
et aDm est la puissance m"'"'e de l'opération aD. En particulier si m est
un entier ^.o, T = J"^ est l'unique solution à support limité à
gauehe de l'équation différentielle de degré m
(VI. 5. .8) (£-,,) "t = S.
Le proeédé indiqué aux formules (VI, 5; i i et 12) en donnerait
une solution dépendant continûment de T, même si T est à support
quelconque.
Ce procédé peut d'ailleurs s'étendre aux équations différentielles
à eoeffieients non constants, moyennant une généralisation du
produit de convolution de Volterra. D'autre part, en utilisant dans R"
les produits direets, on généralisera les formules du chapitre iv, § 5.
ex. 3, en dérivations d'ordre non entier par rapport aux diverses
variables a?., a?2, ..., x„. 11 serait d'ailleurs facile de multiplier les
applications de ee paragraphe au calcul symbolique des équations
différentielles, de simplifier (ou de rendre correctes) les formules d'usage
eourant et d'en trouver de nouvelles.
Les opérations du calcul symbolique à plusieurs variables
Nous nous contenterons de quelques indications. Soit V un cône
(e'est-ii-dire un ensemble de H" qui est réunion de demi-droites
issues d'un même point. I" peut être réduit à 1 demi-droite ou être

PRODUIT DE CONVOLUTION
177
un volume eonique) de sommet origine, fermé, eonvexe, tel qu'il
existe au moins un hyperplan passant par son sommet dans lequel
il n'ait pas de génératrice. Nous appellerons support « limité à
gauche par rapport à V » un support contenu dans un translaté du
cône F ; support limité à droite par rapport à I" un support eontenu
dans un translaté du symétrique —r=r de T.
Le produit de convolution de distributions en nombre fini
quelconque à supports limités à gauche est alors possible; il est
associatif et oommutatif.
Théorème XIV bis L'algèbre (3)'4i-) n'a pas de diviseurs
de O.
La démonstration de ce théorème figure dans Lions [?.].
On voit aussi que le produit de convolution d'un nombre fini
quelconque de distributions a un sens et est associatif et commutatif,
si'ioutes ces distributions, sauf une au plus, appartiennent à (2)'^r),
celle qui éventuellement n'appartient pas à (S'+r) ayant un support
qui coupe tous les K—F, K compact, suivant des compacts (par
exemple un demi-espace convenable).
Ces considérations sont le véritable fondement de la théorie des
équations aux dérivées partielles à coefficients constants du type
hyperbolique normal (et même à coefficients non constants, en
généralisant le produit de convolution de Volterra). Le cône T est
alors le volume conique d'équation
xn^.o, xl—-x] — x\ xJ_,>o.
Si nous considérons alors les distributions Zm de M. Marcel Riesz
[formule (II, 3 ; 31 )j, elles appartiennent toutes à ('Si', r) et Zm est une
fonction holomorphe entière de la variable complexe m à valeurs
dans (Si\r). On a la formule de convolution suivante :
(VI, 5: 19) Z,..Z, = Zp^.
Lorsque p et o ont des parties réelles "> n. Zp et Zq sont des
fonctions continues, le produit de convolution se caleule par une
intégrale usuelle, et la formule ci-dessus est une conséquence des
propriétés des intégrales eulériennes(') ; elle est donc vraie pour p
et q quelconques, les a membres étant des fonctions holomorphes
de p et q. Compte tenu de (11, 3 ; 32), la formule (II, 3 ; 33)
est alors un cas particulier de (VI, 5 ; 19) pour />= — 2k entier
pair <Ço.
(') C'est cette formule de eonvoliilion (étendue aussi par prolongement analytique)
qu'utilise M Marcel Riesz dans la résolution du problème de Cauchy pour l'équation de»
ondes. Voir M Riesz [a], p. 3a-33

178
7*m
Nous pouvons alors écrire :
(VI, 5; 20) Z, = Z, ZB = Z-, Z_lm = (va)-=V
VX-m) î Pf. («""-"V
ir " 22m-T(m)r( 1-+-m \
Nous sommes amenés à poser, si T a son support dans le demi-
espace a.„ ^o (ou plus généralement si son support coupe les
translatés du cône — T suivant des compacts) :
(VI, 5; ai) J""T = Z2m.T; V"T = Z_M1*T.
Les opérateurs d'intégration et de dérivation Jm et Vm ont les
mêmes propriétés que Im et Dm [formules (VI, 5; 9)]. Pour m
entier > o
(VI, 5; 22) JmT
est la seule solution T de l'équation des ondes itérée, à second
membre S,
(VI, 5 ,-23) V"T = S,
qui ait son support contenu dans le demi-espace xn~^o. En effet,
si S et T ont leurs supports dans ce demi-espace, et si m est
complexe quelconque, (VI, 5; 22) et (VI, 5 ; 23) sont équivalentes,
comme on le voit par application de (VI, 5 ; 9) :
(VI 5- ti\ ^ vmT = S=?:JmVmT = T = JmS
{ ' - l JmS = T=?:V'"J'»S = S = V'»T.
Les opérateurs Jm donnent la solution du problème de Cauchy
pour les équations des ondes. En effet, comme nous l'avons vu au
chapitre v, § 6, le problème de Cauchy pour l'équation (VI, 5 ; 23),
avec une solution T qui soit égale à une fonction définie pour
a.„^.o et des données initiales sur l'hyperplan xn = o, revient à la
résolution d'une équation modifiée de (VI, 5; 23) :
(VI. 5; 25) V"T=Sh-H.
où H est une distribution connue, portée par l'hyperplan xn = o,
dépendant des données initiales. L'unique solution T, distribution
définie dans R", à support contenu dans le demi-espace xn ^ o, est
(VI, 5; 26) T = J"(S-|-H).
Elle sera bien solution du problème si S et H sont assez régulières

PRODUIT DE CONVOLUTION
179
pour que T soit une fonction continue pour a.„ ^> o avec ses dérivées
d'ordre ^C im— i. L'absence de diffusion des- ondes (principe de
Huyghens) pour n pair "> um provient de ce que le support de Z^
est la surface du cône d'ondes.
Si maintenant nous développons suivant la formule du binôme
les puissances de V — \h, où X est un nombre complexe, nous
obtenons formellement :
(VI, 5; 27) (V _«)*<-">
— 3 (—"OC—'" — i)...(—m —Ä-f-i) (_ i)ÄX,v^_n,_,>
La série du 2' membre est bien convergente dans (3)^), quelque
soit m complexe, car pour k assez grand, ^H~m~k> = Z%(m_hk est une
fonction continue, et son expression (II, 3; 3i) ou (VI, 5; 20)
de/une immédiatement une majoration (classique dans la théorie des
équations intégrales de Volterra) qui rend la série uniformément
convergente sur tout compact de R". Les relations algébriques entre
coefficients du binôme donnent alors
(VI, 5; 28) (v —\hyp.(v — ->ùyi=(v—\hyp*«,
ce qui, à posteriori, justifie l'écriture (V—X&)*m. On obtient
ainsi des distributions liées à la résolution des équations du type
« ondes amorties » VT — XT = o. Le calcul donne immédiatement :
(VI, 5; 29)
étant entendu que, pour les valeurs singulières de m, la distribution
reste continue en m et s'obtient par passage à la limite. Pour X réel,
on obtient (')
(VI, 5;3o) ,
-M Pf.» 2I ,(vA,) pour>>o
r(m)2m~2 ' fPf.*m *J .(y/fxj«) pourX<o
n—2
2
(') M. Riesz [a], p -89-90, effectue ce calcul d'une manière « symbolique » Nous
voyons ici qu'il est rigoureusement justifié et constitue une véritable méthode permettant
de passer d'une équation aux dérivées partielles à une autre

180
I et J étant des fonctions de Bessel. Pour X=o on réobtient
(VI, 5; 20).
Par ailleurs la solution élémentaire relative à l'opérateur
(V—^»(V—y.S) s'obtient par décomposition d'une fraction en
éléments simples :
(VI, 5; 3i)
[(V _ X&) * (V _ ^)]*'-" = j-J- [(V _ XS)""> _ (V _ ^)*'-"j
ou
(VI, 5; 3a) xVc-)vVc-.) = _L^(xVc-)_|tVc-o).
§ 6 Application du produit de convolution a l ktvdk de
l'intégration
Application à la recherche des primitives
Le produit de convolution permet de résoudre à nouveau d'une
façon complète le problème de l'intégration des distributions. Nous
avons vu [formule (VI. 5 ; 12)] comment il donne une solution par-
?.T
ticulière de l'équation —= S ; il donne aussi l'indétermination du
. ' . . , ôT
problème, car si une distribution T vérifie — =0, toutes ses régu-
dx{ ö
larisées T*a, aç(2)), sont des fonctions qui vérifient
— (T*a)= — *a = o,
dx.x ' dx.
ce sont donc des fonctions continues indépendantes de x, au sens
usuel: on a donc, quel que soit h = \ht, o, ... o j ,r,.(T*3.)—T*«=o,
ou, d'après le théorème IX, (täT—T)*x = o, ce qui prouve que
T.,T — T = o, c'est-à-dire que T est invariante par translation
parallèle à l'axe des x, (théorème IV du chapitre 11). Si de même T est
une distribution dont toutes les dérivées premières sont nulles, toute
régularisée T*a est une fonction continue dont les dérivées
premières sont nulles, donc une constante ; alors T, limite de ses
régularisées lorsque a tend vers 8 dans (8), est limite de fonctions
constantes, mais les fonctions constantes forment un sous-espace
vectoriel à 1 dimension de (3)') donc fermé, et T est une fonction
constante.

PRODUIT DE CONVOLUTION
181
Mais le produit de convolution va surtout nous donner les
propriétés d'une distribution T dont on sait que les dérivées partielles
— = S,, — = S„, ... — = S., possèdent certaines propriétés
de régularité locale.
Distributions dont les dérivées premières sont des mesures
Nous nous appuierons sur un lemme démontré par M. Soboleff('):
Lemme Si f(x) est à support compact, e± çl/, p ^ i, et si
o^X< n, le produit de convolution g(x) = (i/rf'f appartient à
hq sur lout compact, dès que
(VI, 6; i) — >sup(—, o\ -i = I + A_i.
• 9 \9. / 9, /> "
H n'y a exception que pour :
a) p = i. Alors giLq, surtout compact, dès que —"> — =
Mais alors la propriété reste vraie si on remplace f par une
mesure.
b) — = o, ).^to. Alors gilJ sur tout compact pour tout q fini.
Dans tous ces cas on a, sur tout compact, des majorations :
(VI, 6; 2) \\9\\,<C\\f\\p,
la constante C dépendant de q, du compact sur lequel on majore g, et
du support compact de f.
Remarque On peut supprimer toutes les restrictions « à
support compact » ou « sur tout compact » ; si /(a.)€Lp(R'1), alors
oçL^R"), avec cette fois légalité— = —, saufpourp = i ou — <$o,
.99,, 9,
où aucune conclusion globale n'est possible.
On peut alors généraliser comme suit le théorème VII du
chapitre h :
Théorème XV (Kryloff)(î) Si les dérivées premières S, de T
sont des fonctions £& sur tout compact, alors T est une fonction
(') SOBOLKFF [3]
(2) Voir Khyloff [i]. Le théorème démontré par Kryloff est uniquement relatif au cas
où l'on sait d'avance que T esl une fonction, mais le genre de difficultés est le même.
Notre démonstration est très analogue à celle de Kryloff

182
(hq sur tout compact, dès que —J>sup(—, o), — = .
et T est une fonction continue si p> n ou p=n = i.
Il n'y a exception que pour : ^
a) p=i, n=£ i. Alors TiU sur tout compact, dès que — >
Mais abrs ce résultat subsiste si les S, sont des mesures. ? 9.
b) n = n =k i. A for* T est une fonction dont toutes les puissances
finies sont sommables sur tout compact.
i* Supposons d'abord que T soit à support compact. Considérons
la somme :
(VI, 6,3) ?(i.(-i^)).S,=V?(^^.>
N étant la constante de la formule (II, 3; io). Cette expression
vaut, d'après (II, 3; io)
(VI, 6; 4)
iJLW
,'te, V N r"-V'te; " V N r
y±*/_J__L.V_^*Tr=A*/-~I î-\.T = î*T:
D'où:
(VI, 6; 5) T^-^S^US.).
Pour n = a, il faudrait remplacer — — —— par loe — i
n 2 Ne" ir ai °r
et, dans (VI, 6; 5), —^— par —
On vérifie, d'ailleurs, que la distribution trouvée admet bien les S(
comme dérivées partielles :
ij 7te,*\ N rn-t/*dxj
(VI. 6; 6) ^=S^;V Nr,-V"toi
7"da., \ N r—V toc,
i i
=s*sy=sy.
Comme les S( sont par hypothèse des mesures et que les —£ sont

PRODUIT DE CONVOLUTION
183
des fonctions, T est une fonction. De plus, si (x est une mesure
^ o majorant toutes les mesures S,, comme ona -^^ "^"""ï" T est
majorée par Ci — j * (x, et l'application du lemme de M. Sobolefl',
suivant les diverses hypothèses sur les S,, ou, ce qui revient au
même, sur (x, donne les résultats du théorème. Cependant, dans le
cas exceptionnel 6), la continuité de T ne saurait résulter d une simple
majoration, pour p^>n; mais comme S,-éLp et (a-j/r^çl/ sur tout
compact, avec 1—7^1. la continuité résulte de ce qui a été
P P
dit à propos de (VI, 1 ; 2).
20 Supposons maintenant T à support quelconque. Soit y une
fonction €(2)), égale à -t- 1 sur un voisinage de l'origine. Au lieu de
' 1
——, nous utiliserons la fonction v/r" 2.
(VI. 6; 7)
où £€(3)), puisque -^ n'est singulière qu'à l'origine, où les dérivées
de y sont nulles. Nous avons substitué à la solution élémentaire de
l'équation de Laplace une « paramétrix » à support compact (tome I,
page i3û).
(VI. 6 ; 8)
y± /_J__L_Vs. = A*/' LJLVt = T-+-ç*T,
tta, V N r-7 ' V Nf-V '
et comme C*Tç(8) (théorème XI), l'étude locale de T est ramenée à
celle du 1" membre. Mais les quantités —( -^ ) sonl majorées par
——, et les S, sont majorés par une même mesure (u. ^>o. Pour
l'étude de T sur un ouvert Q d'adhérence compacte, les produits de
convolution du 1" membre de (VI. 6. 8) ne font intervenir,
puisque y est à support compact, que les valeurs de S, sur un ouvert
d'adhérence compacte (théorème III), ce qui revient à supposer p à
support compact ; nous sommes encore ramenés au lemme de
M. Soboleff.

184
En prenant le support de y assez voisin de l'origine, on pourra
étudier T en fonction des S, lorsque ces distributions ne sont définies
que dans un ouvert Q de R\ Le théorème a un caractère purement
local et se transporte, par conséquent, sur toute variété indéfiniment
diflerentiable V" avec des modifications convenables.
Remarques i° Si les S,, à supports quelconques, sont dans
IAR"), la fonction définie au 2e membre de (VI, 6; 5) existe et
appartient à L^R"), — = > sauf pour p=z 1 ou p > n, cas
rr ? P n
où l'on ne peut rien conclure de global. Alors cette fonction admet
encore les S, comme dérivées premières ('), donc elle est égale à T à
une fonction constante près; on sera par exemple sûr qu'elle est
égale à T elle-même si T converge vers o à l'infini ou €Lr, r fini
quelconque (ou si T est une « distribution convergeant vers o à
l'oo », voir § 8). Dans le cas où p > n, le 1" membre de (VI. 6 ; 8)
est borné sur R" en vertu de l'inégalité de Holder, donc T elle-même
est une fonction continue bornée sur R" toutes les fois qu'on sait
qu'il en est ainsi de ^*T, par exemple si TcL^R"), r^. 1 quelconque
(ou si T est une ce distribution bornée sur R" », voir § 8).
2° Le théorème se généralise aux ensembles bornés et suites ou
filtres convergents de distributions. Si les dérivées premières des T
convergent vers o dans 1/ sur tout compact, les T, sont sommes de
constantes C, et de fonctions f, convergeant vers o dans L7 sur lout
compact, —^> (avec les cas exceptionnels signalés). C'est
9 P n
encore la formule (VI, 6 ; 8) qui le montre : le 1" membre converge
bien vers o dans L?; et au 2e membre, les ^J = 'C*TJ sont des
fonctions continues dont les dérivées premières --&— "% S convergent
àxk
vers o uniformément sur tout compact, de sorle que les g} sont
sommes de constantes 0^=^(0) et de fonctions continues
convergeant vers o uniformément sur tout compact. Extension aux
propriétés globales sur R" comme au théorème XV. On utilise
souvent cette propriété sous la forme :
Si les Tj convergent vers o dans ('!>') et si teurs dérivées premières
(') On le voil en remarquant que les calculs (VI, 6 ; 6) conservent un sens, d'après le
théorème XXVI qui »era vu plu» loin / - €('i)')Li., k > n/l\

PRODUIT DE CONVOLUTION
185
convergent vers o dans U sur tout compact, les Tj convergent vers o
dans L7 sur tout compact. (*).
3° Si les Sj sont des fonctions, T est (théorème V du chapitre u)
absolument continue sur presque toutes les droites et admet les S(
presque partout comme dérivées usuelles.
4° L'exemple de la fonction i/r (o <C ^ <! «) montre que la borne
est la meilleure poasible. L'exemple de la fonction
P n
(log y). k<i—L, („>,),
montre que, pour p^=n, on ne peut prendre g = oo .
Par contre, je n'ai pas de contre-exemple prouvant que, pour
p= i, on ne peut pas prendre —= i Cette valeur de q est
donc peut-être encore acceptable, bien que cela ne résulte pas du
lemme de M. SobolelT.
Conditions de Lipschitz.
On dit qu'une fonction f(x)thp satisfait à une condition de
Lipschitz dans Lp, d'ordre s, o <C*<C t, s'il existe une constante K
telle que l'on ait, pour lout AcR",
(VI, 6; g) .!/(*-+-A)-/(*)|L<K|Ar.
Pour p=cc, f est continue, et c'est la condition de Lipschitz
au sens ordinaire.
Si la majoration ci-dessus est appliquée à une fonction f(x) de
puissance /)-ième sommable sur tout compact, et si elle est vraie
seulement au sens de la norme dans 1/ sur tout compact et pour h
assez petit, on dira que / satisfait à une condition de Lipschitz
d'ordre* dans Lp sur tout compact.
Théorème XVI. — Si les dérivées premières de T sont des fonctions
de puissance p-ieme sommable sur tout compact, T est une fonction
qui satisfait à une condition de Lipschitz d ordre s < i dans U sur
tont compact, dès que — ^sup( —. o), — = h-
9 \9. / 9, P n n
Il n'y a exception que pour :
a) pz= i, n=fc i. Alors T satisfait à une condition de Lipschitz
(>) Voir d'autres théorèmes globaux dans Schwartz [19]

186
d'ordre s dans 1/ sur tout compact dès que — > Mais alors ce
H 9«
résultat subsiste si les dérivées de T sont des mesures.
M — = o,n^i. Alors T satisfait à une condition de Lipschitz
d'ordre s dans Lg sur tout compact, pour tout qfini.
On a en effet la majoration suivante pour o <C s ^ i
(VI. 6; io)
■ h\" \xf
^wfw^FnM'
(Cette majoration est évidente pour h fixe ; quand h varie, la
présence de |hf au numérateur résulte de considérations d'homogénéité.)
Soit d'abord n > i. Bornons-nous à la démonstration du théorème
lorsque T est à support compact ; nous avons vu au théorème
précédent comment on procède lorsqu'il n'en est pas ainsi. La formule
(VI, 6 ; 5) montre que
(VI. 6; n)
r_J-T = (^À)_S)*T^^-((^,-^)*^)*S.--
Si les Sj sont majorées par une mesure (x J>o, on déduit alors de
(VI, 6, n) la majoration, valable pour s < i,
(VI.
6; ia) KJ-TKKJAr^-/^^,*-^^}
Les deux expressions entre crochets se majorent de la même
manière à l'aide du lemme de M. Soboleff, et l'on trouve aussitôt les
résultats du théorème.
Si maintenant n=i, on remarquera simplement que
T(x -+- h) — T(x) ==£' " h S(f)dt,
et des majorations élémentaires donnent le résultat cherché [formule
(VI. I;2)j.
Nous avons laissé de côté le cas d'une condition de Lipschitz
d'ordre s = i ; on peut alors renforcer le théorème :
Théorème XVII Si la fonction f(x) admet pour dérivée àf/i>xi
(au sens de la théorie des distributions) une fonction git et sif et gi
»ont localement dans \J', f vérifie une condition de Lipschitz d'ordre î

PRODUIT DE CONVOLUTION
187
localement dans U, pour tout déplacement h parallèle à Oxi ; de plus,
pour p fini, f admet gt comme dérivée forte dans 1/ sur tout compact.
L'expression « sur tout compact » (ou « localement ») peut être
supprimée partout dans l'énoncé du théorème. Faisons justement
la démonstration pour L^R"). Comme/est absolument continue sur
presque toutes les parallèles à Oxt, on a la formule suivante, pour
h = \ht, o, .... of
/vi z av Ax + hl—f(xJ l Cx' + hi u u,
(VI, 6 ; i3) •" ^—^^=- J^ 9i(tr xt a.„)d/t.
Cette formule peut d'ailleurs s'écrire :
(VI. 6; i4) ^■=f=gl.l,.= l\l9MÎ)>
* "i J
où [x est une mesure portée par l'axe des Ox., de densité linéaire
égale à i/A( sur le segment (— ht, o) de cet axe, et o sur le reste de
cet axe. La formule (VI, 6; 1.4) est alors vraie si Ton remplace/
par une distribution quelconque T, car
Comme y. est une moyenne (c.-à.-d. une mesure ^ o de masse
totale 1), on voit que, quelle que soit la distribution T,
?*T
t_*T — T est une mesure ou une fonction çLp si — est une mesure
öx(
ou une fonction clA Si giihp, on voit cjue \\gt * [/.{[, est majorée par
H^JIp [formule(VI, 1 ; 4)J, de sorte que/ satisfait bien ù une condition
de Lipschitz d'ordre 1 dans Lp. Mais de plus, lorsque £—»-o, ■cigi
converge vers g^ dans 1/, donc aussi g{ *(x, si p est fini. Alors,
pour p fini, — -j-—J-±-i converge dans \F vers g^ c. q. f. d.
1
Pour p infini, zigl converge seulement faiblement dans L°° vers
gi pour £-*-o, on peut seulement dire que / satisfait à une
condition de Lipschitz ordinaire d'ordre 1, et que g^ est la dérivée
faible de / dans L~ . Pour p = 1, on peut supposer que y. est une
mesure; la formule de convolution (VI, 6; 1.4) est encore applicable,
et montre que, si /est une mesure, elle vérifie encore une condition
de Lipschitz d'ordre 1 et admet gt comme dérivée faible dans
l'espace (€') des mesures.

188
Réciproquement si une fonction f(x) vérifie une condition de
Lipschitz d'ordre i dans 1/ (sur tout compact) pour tout
déplacement parallèle à Ort, elle a une dérivée-distribution qui est une
fonction €1/ (sur tout compact) pour p "> i, une mesure pour
f(x~+- h) fïx)
p= i ; car cette dérivée est la limite dans (Ü)') deJ-^ ^—*^, et
il suffit alors d'appliquer la remarque a de la page 77 (tome I).
Si, dans le théorème précédent, on suppose que non seulement
-£- mais toutes les dérivées -- sont des mesures ou des fonctions,
on a des conditions de Lipschitz d'ordre 1 pour tout déplacement
AeR".
Remarque II en résulte un critère suffisant de
compacité relative dans Lp : si des fonctions f\x) sont bornées dans Lp sur
tout compact ainsi que leurs dérivées premières (au sens des
distributions), elles forment un ensemble relativement compact pour la
convergence dans 1/ sur tout compact^).
Dérivées d'ordre supérieur
Supposons maintenant qu'une distribution ait toutes ses dérivées
d'ordre m qui soient des mesures ou des fonctions €1/ sur tout
compact. En remontant par intégrations successives on en déduira
des propriétés de T elle-même. On verra immédiatement que T est
une fonction çL7 sur tout compact, avec
(VI, 6; 16) ±>ia?(±,o\ i- = -L_£L,
9 \9, / 9, P «
le signe !"> étant éventuellement remplacé par "> dans les cas
exceptionnels déjà signalés /p =. 1, ou — o). Ainsi, T est
une fonction continue si toutes ses dérivées d'ordre I — I-+- 1 sont
dans L" sur tout compact. L 5 J
On a naturellement des extensions analogues à celles du th. XV
au cas des ensembles bornés, ou des suites ou filtres convergents,
et au cas où les dérivées d'ordre m appartiennent à L^R"). (Les
constantes sont seulement remplacées par des polynômes de degré
^ ira— 1). Par exemple, si les dérivées d'ordre m des T, convergent
(') Voir A. Wkil[i], p. 5i-54

PRODUIT DE CONVOLUTION
189
vers o dans Lp sur tout compact, et si les T; convergent vers o
dans (3)'), elles convergent vers o dans \J sur lout compact,
— ^ sup ( -- , o ) (sauf dans les cas exceptionnels signalés).
9 . \9, / .
Mais il est remarquable que, pour les dérivées d'ordre m^n, les
cas exceptionnels disparaissent, et l'on peut énoncer :
Théorème XVIH Si toutes les dérivées de rang ^ i dune
distribution T sont des mesures, T est une fonction localement bornée
à variation localement bornée ; si toutes ses dérivées de rang ^ i sont
des fonctions, T est une fonction absolument continue.
Rappelons que pour une dérivée DPT, le rang est sup (pr p^, .../>„).
L'hypothèse relative aux rangs <"Ç i est donc bien moins restrictive
qu'une hypothèse analogue relative aux déiivées d'ordre <C n.
^Pour étudier T sur un ouvert Ü relativement compact, on pourra
remplacer T par <xT, où a€(if) est égale à i sur Q ; mais alors «T
est à support compact, et ses dérivées de rang <C i sont aussi des
mesures (ou des fonctions) comme le montre aussitôt la formule de
Leibnitz. Cela revient à conserver T niais à supposer qu'elle est à
support compact. Mais nous allons démontrer que si T est à support
ô"
compact, la seule hypothèse : « S— T est une mesure (x
o.e. . . . oxn
ou une fonction g » entraîne les conclusions du théorème. Utilisons
la fonction Y(x) d'Heaviside [formule (IV, 5 ; 8)J égale à i pour
i^oeto ailleurs. On a
(VI, 6; 17) Y.S^Y ô"
öx. ... ôx„
Y *T = λT = T.
ô"
ôa;. . . . ÙX„
Alors, si S est une mesure u., T, produit de convolution d une
mesure et de la fonction bornée Y, est utie fonction bornée; si S
est une fonction, T est une fonction continue ; l'on a
\T\^jJ---j)dyl.
La formule ci-dessus peut encore s'écrire :
(VI, 6; 18) T=f{x)=ff...ft^dl,(tt, tt O;
(expression déjà utilisée page 84 si S est une fonction;

190
mais la formule (III, 6; 11) est maintenant une conséquence de
la théorie du produit de convolution).
Réciproquement d'ailleurs, toute fonction f à variation bornée,
c'est-à-dire toute intégrale indéfinie d'une mesure, s'exprime
localement par un produit de convolution [x*Y, et comme Y a toutes ses
dérivées de rang ^ i qui sont des mesures, il en est de même de/.
Remarque En majorant les dérivées de (<xT) à partir de celles
de T, on voit immédiatement, avec la démonstration ci-dessus, que
si les dérivées de rang.^. i de T sont des mesures (ou des fondions)
bornées en norme dans (C) (ou L') sur une boule de rayon R par M,
T est une fonction, bornée en module sur la boule concentrique de rayon
R— î, par C(R, n)e"-"BM, où la constante C est indépendante de T et
de e.
Dans tous les théorèmes précédents nous avons fait intervenir des
hypothèses relatives à toutes les dérivées d'un ordre ou d'un rang
déterminé ; mais les mêmes hypothèses relatives à une seule
combinaison « elliptique » de ces dérivées donnent les mêmes conclusions.
Ainsi si le laplacien S = AT€LP sur tout compact, î a les mêmes
propriétés que si toutes ses dérivées d'ordre a sont cLp sur tout
compact: elle est CL7 sur tout compact, avec — ^>sup(—. o),
9 \9, /
— = (avec les cas exceptionnels o=i ou — = o ).
9, p n \ r r p n )
On utilisera à cet effet la formule de Poisson (pour T à support
compact)
et on appliquera le lemme de M. Soboleff. De même dans le plan à
a dimensions, si la distribution (complexe) T a sa dérivée S ——
v r ' bz
(voir chapitre u, § 3, ex. 3) dans U, T a les mêmes propriétés
que si ses deux dérivées d'ordre i sont dans Lp: TeL?, avec
— j>sup( —, o). —= (sauf les cas exceptionnels). On
utilisera cette fois la formule (pour T à support compact)
(VI,6;ao) ±S = (l * i).T = &.T = T.
1K \i>Z ■KZ

PRODUIT DE CONVOLUTION
191
Enfin si E est la « solution élémentaire » de l'équation de Laplace
itérée, A*E = 8, définie au i" membre de la formule (H, 3; 19),
la formule de Poisson généralisée appliquée à S = AT (si T est à
support compact) :
(VI, 6; ai) E*S = E.A*.T = S.T = T
permet d'étudier T directement en fonction de S. Pour k assez
grand, E est m fois continûment dilTérentiable, de sorte que si S
est d'ordre m [€(2)'m)], T est une fonction continue. On en déduit:
Théorème XIX Toute distribution dont toutes les dérivées
successives sont des mesures fou plus généralement 6(2)'m), m fixe) est
une fonction indéfiniment derivable au sens usuel.
La formule (VI, 6; 21) jouera un rôle essentiel dans la suite
(§§ 7- 8, 9')> après modification pour des distributions T à support
quelconque. Comme dans la démonstration du théorème XV, nous
remplacerons E par une « parametria » yE [y€(^). égale à 1 sur
un voisinage de l'origine dans RBj, et l'on aura :
(VI 6aa) jA».ïE-2:=*. &(3>)
l*i. o.aa; ja**(yE*T) — £.T = T.
Par exemple, si, dans la 2e formule, nous prenons pour T une
fonction €l/(R"), et k assez grand pour que E soit une fonction
continue, on voit 'que: toute fonction iW(Rn) (1 <C/?<C 00) (resp.
toute mesure p de norme j ••• / \d<j.\ finie) est somme finie de
dérivées de fonctions appartenant à L^R") [resp. L'(R")] continues
et bornées sur R", et, pour- p < -t- 00, convergeant vers o à l'infini.
Nous emploierons souvent la formule obtenue en appliquant 2
fois la même opération :
(VI, 6; a3)
U,fc.(YE.YE)—aA*.(YE.Ç)-+-(îX)-=*
JA2k.(YE.YE*T) — aA*.(YE*?:.T)-K'>2:-T) = T.
Problèmes, posés : Si les dérivées premières S, de T sont des
distributions d'ordre ^m, T est-elle, pour m^i, une distribution
d'ordre <! m — 1 ?
Si ses dérivées d'ordre / sont d'ordre ^m, est-elle d'ordre
<! m — /, pour m — l^-O?
C'est exact sur la droite (n =1); autrement c'est faux, d'après
Ornstein [11.

192
Il résulte des travaux de M. J. Deny(') que, si les dérivées
premières de T sont des mesures, on peut définir T de façon qu'elle
soit quasi partout pseudo-continue, au sens des potentiels de tout
ordre * < i de M. Riesz (peut-on aussi prendre x = i p) ; el que si
ces dérivées sont localement €L\ T peut-être définie de façon à
être quasi-partout pseudo-continue, au sens des potentiels newtoniens
(d'ordre 2) (T est alors localement le potentiel d'une distribution
AT d'énergie finie).
§ 7 Application du produit de convolution a l'ktud.: de
LA RÉGULARITÉ d'uNE DISTRIBUTION OU d'uNE FAMILLE DE
DISTRIBUTIONS
Caractérisation des mesures et des distributions d'ordre fini
Théorème XX Pour qu'une distribution T soit une mesure, il
faut et il suffit que toutes ses régularisées T * a par des fonctions *€(C)
(continues à support compact) soient des fondions continues.
La nécessité de la condition résulte du § 1. (20) (ras particulier
de ce qui a été dit après le théorème XI). Montrons que la
condition est suffisante, et montrons même un peu plus: T est une
mesure si, quelle que soit *t(C), T*« est une fonction localement
bornée.
Soit K un compact quelconque, H un voisinage compact de
l'origine. La restriction de T* 9 à H appartient à L^ pour 96(C);
montrons que l'application linéaire i£ de (CK) dans L„ définie par
<j>—*-T* 9 est continue. Elle l'est évidemment si T est une fonction
continue; si alors on remplace T par Tj = T*acy, où *j€(S))»
l'application f£. définie par 9 -*- T, * 9 est continue. Mais si
«y^-o, Jj ... / o-;(a?)cfe= 1, et si le support de ». tend vers l'origine
poury—»- 00, de sorte que x. tend vers S dans (8'), T »9 = (T* 9)* xj
converge faiblement vers T*9 puisque T * 9 est une fonction
bornée sur tout compact, par hypothèse (voir page 167). Alors un
théorème classique de Banach-Steinhaus(2) nous permet d'affirmer
que i£(ç), limite faible pour toute 9 des ^(9) (iE, continues), est elle-
même une application linéaire continue.
(') Dent [1]. p, 171. Il faul compléter le résultat de Deny, suivant une méthode qu'il
m'a signalée
(*) Banach-Steimhaus [i]

PRODUIT DE CONVOLUTION
193
Démontrons maintenant que, pour toute ?€(C), T* ç estnon
seulement bornée sur tout compact, mais continue. Il en est ainsi lorsque
<p€(U)); mais (lJ)) est dense dans l'espace topologique (G)
(ch. i, Th. I), donc pour toute 9€(C)> T* 9 est limite forte dans L„
de fonctions continues, donc c'est une fonction continue elle-même.
Alors si l'on pose, pour toute fonction ç 6(C),
(VI, 7,i) T(?) = Tr.(T.«p).
on définit une forme linéaire sur ((f), continue sur tout (CK), et
identique à T (9) pour ç€($) d'après (VI, l\; 8). Cela prouve bien
que T est une mesure.
Remarques et conséquences i° Si l'on suppose que T»a soit
une fonction localement bornée pour toute y£Lp à support compact
(1 <[/) < -t- oo), ou pour toute y€('J)m)< alors T est une fonction çl/'
sur tout compact (/>' — —*-—)• ou une distribution d'ordre
V p — «/
<; m[t(.J)"B)]. La démonstration est la même et résulte de ce que
V est le dual de V, (:S>'m) le dual de ('i>).
20 Si, quelle que soit ßtL1 et à support compact, la régularisée
T * fi est une mesure [resp. une fonction dLp sur tout compact,
1 </)<[-f-oc; ou une distribution 6(/iv,B)] T possède la même
propriété. En effet, on considère (T*{i)*aJ 7.6(C) ; ou y.ç V et à support
compact; ou x6(ii)m)] qui est une fonction continue; en l'écrivant alors
(T*a)*Ji, on est ramené à appliquer deux fois le théorème précédent
ou la remarque 1"; (T*y)6L°° sur tout compact, d'où les
conclusions pour T.
Ce genre de théorèmes est habituellement étudié avec les a
multiplicateurs » dans les séries trigonométriques :
« Si les multiplicateurs >., sont tels que, lorsque les a, sont les
coefficients de Fourier d'une fonction continue, les^a, soient encore
les coefficients de Fourier dune fonction continue, alors les ")., sont
les coefficients de Fourier-Stieltjes d'une mesure('). »
Cela vient de ce que les multiplicateurs considérés ne sont pas
nécessairement a priori des « coefficients de Fourier » (c'est même
souvent ce qu'on veut démontrer). En réalité ce sont toujours les
coefficients de Fourier d'une distribution T (chapitre vu, § 1) et il
reste à démontrer que Test une mesure ou une fonction d'une classe
(') Z »GMÜND [l |, p. IUI

194
déterminée. Nous venons de voir comment on peut le faire dans la
théorie du produit de convolution ; ces théorèmes n'ont rien à voir
avec les séries trigonométriques.
3° Pour que T soit une mesure dans un ouvert ii de R", il suffit
que dans tout ouvert a> d'adhérence üö compacte dans ü, T* a soit une
fonction continue lorsque «€(C) a son support assez voisin de l'origine.
Soit en effet a un point de Q, w un petit voisinage de a. Prenons
"^(do). et définissons T(<p) par
(VI, 7; 2) T(?) = Tr. [(T. $.*,.,)•&,_.)]•
Le support de <p*<î((1) est voisin de l'origine; alors T*<p*5(a) est
une fonction continue au voisinage de a et par suite (T * <p * &(a))*&(_a)
au voisinage de l'origine; on peut prendre sa trace, et définir ainsi
T(<j>) comme forme linéaire continue sur (Cu). Alors T est une mesure
au voisinage de tout point de Q et par suite dans Q. Dans tous les
théorèmes énoncés plus loin, on pourra se borner à considérer des
distributions dans un ouvert Q, en se bornant, comme ici, aux a de support
assez voisin de l'origine et à l'étude des T*a sur tout ouvert
relativement compact dans Q. Nous donnerons le? énoncés pour Q = R".
4° En dehors du cas de l'espace à 1 dimension (n — 1), une
distribution T telle que, pour toute a 6 (2)m), T*a soit une fonction
m fois continuement différentiable, n'est pas nécessairement une
mesure. En effet, cela revient à dire que ses dérivées d'ordre < m
sont 6 (3)'m); voir alors le bas de la page 191.
5° Un a un théorème analogue au Th. XX, pour un ensemble de
mesures borné ou pour une suite de mesures faiblement
convergente dans (C).
Théorème XXI Si une distribution T est telle que, pour un
entier m^-o convenable, T*a soit une fonction indéfiniment derivable
au sens usuel pour toute ae(2)m), T est elle-même une fonction
indéfiniment derivable, au sens usuel.
Il suffit en effet d'appliquer à T la formule (VI, 6 ; 22) en
prenant k assez grand pour que yEiÇSy").
Ensembles bornés de distributions
On voit immédiatement qu'on pourrait caractériser les ensembles
bornés de distributions de la façon suivante :
Pour qu'un ensemble B' de distributions T soit borné dans (3)'), il

PBODUIT DE CONVOLUTION
195
faut et il suffît que, quelle que soit <x€(2>). les fonctions régularisées
T* a restent bornées (au sens usuel) sur tout compact quand T
parcourt B'.
La condition est nécessaire à cause de la continuité de la
régularisation (théorème XII), et suffisante parce que lesT(a) = Tr . (T**)
sont bornés pour tout a (chapitre m, théorème IX).
Mais on peut démontrer le théorème beaucoup plus fin qui va
suivre. Dans de nombreuses applications (théorèmes XXV ; VI et IX
du chap, vu), nous énoncerons les théorèmes, comme ci-dessus,
sous leur forme élémentaire, étant entendu qu'on peut les rendre
plus fins, comme au théorème qui suit et avec le même principe de
démonstration.
Théorème XXII i° Si B' est un ensemble de distributions borné
dans (2)'), alors, quel que soit l'ouvert Q relativement compact de R",
il existe un entier m ^ o tel que, pour toute ai(ß)m) de support assez
voisin de l'origine, l'ensemble des T * a, TçB', soit dans Q un ensemble
borné de fonctions continues.
2° Si quelle que soit aç(if)), l'ensemble des régularisées T**, TçB',
est borné dans (2)'), B' est borné dans (a)') (*).
La première partie du théorème résulte immédiatement du
théorème XXII du chapitre ni. Mais nous allons au contraire utiliser les
propriétés du produit de convolution pour démontrer à la fois le
théorème ci-dessus et les théorèmes XXI, XXII, et XXVI du
chapitre m, sans utiliser le théorème de Hahn-Banach. De plus nous
obtiendrons un procédé linéaire explicite pour exprimer les T€B' dans
Q comme dérivées de fonctions continues bornées.
Il nous suffit évidemment de montrer que les hypothèses de la
2** partie du théorème entraînent la possibilité d'exprimer les TtB'
dans Q comme sommes finies T= 2j Dpfp de dérivées d'indices
fixes j) de fonctions continues fp bornées (la somme finie pouvant,
sauf dans le cas du théorème XXVI du chapitre m, se ramener par
intégration à une dérivée unique). On en déduira en effet que B' est
borné, car pour toute ^(li),,),
T.9= V (_»)MP.DV
(') On pourrait utiliser la transformation de Fourier pour démontrer cei théorème».
Nom préférons une démonstration directe, le produit de convolution ajant un sen« dan»
des cas où la transformation de Fourier n'en a pas (groupes non abéliens)

196
D autre part la premiere partie du théorème en résulte aussi
immédiatement : car, si Ion utilise cette même décomposition, non pour
Ü, mais pour un voisinage U relativement compact de Q, T*a
s'exprimera dans Q, si a a son support assez voisin de l'origine, à
l'aide de l'expression de T dans U (théorème III), d'où
T.a= V fp*D"a.
Supposons donc que, quelle que soit?€(3V), lesT*a soient, pour
TcB', des distributions bornées. Soit a> un ouvert relativement
compact contenant l'origine, ô> = K son adhérence dans R\ Pour
a fixée dans('îK), il résulte du théorème XII que les applications
linéaires ß-»-(T*a) » ß de (£ßK) dans L~ sont équicontinues, pour
TeB'. Maisde même, pour ß fixée dans (%)K), les applications linéaires
a-»-(T*ß)*a de(3)K)dans \J°a sont équicontinues. Nous nous
appuierons alors sur un théorème de Baire('): si des applications bili-
néaires («, ß)-*-T*a* ß, de (®K)x(3)K) dans L~ (les espaces (2>K)
et Lq étant métrisables et complets), sont équicontinues par rapport
à chacune des variables a, ß, lorsque l'autre est fixée, elles sont
équicontinues par rapport à l'ensemble des i variables a, ß. Il existe
donc un voisinage V= V (m; t\ K.) de o dans (.J\) tel que, pour a
et ß dans V, et T dans B', T*a*ß soit, dans Q, une fonction continue
majorée par i. Les applications bilinéaires restent alors équicontinues
lorsqu'on munit ('J)K) de la topologie induite par (;j>£). Si alors a et
ß sont dans (2)™), on peut trouver des «y et ßs qui sont dans (3V),
et convergent vers a et ß dans (!$£) (d'après la remarque suivant le
théorème XI), donc aussi dans (8'); donc les T * x * ßy convergent
uniformément vers une fonction continue dans ii, et cette fonction
continue ne peut être que T * «.* ß qui est leur limite dans (Ü)')
(théorème V). Les a^etß, sont con tenues dans cV(c= Max j.D'al, |D"ß! j/e);
IpK«
donc |T*a*ß|^c2 dans Q, pour TçB' (les applications bilinéaires
(x, ß) — T**,ß de ((i):)X(2):) dans LJ sont ainsi équicontinues
par prolongement). Si alors on utilise la formule (VI, 6 ; 23), on
exprime T comme somme finie de dérivées de bi-régularisées T * a * ß,
qui sont dans Qdes fonctions continues bornées, si k est assez grand
pour que yE soit dans (ST), c. q. f. d.
(') Bourbaki [6], fascicule XVIII, ciinp, m, § 4, n° 3, propos...ou 10, page 't'J

PRODUIT DE CONVOLUTION
197
Suites convergentes de distributions
On caractérise aisément les suites convergentes de distributions
de la façon suivante :
Pour qu'une suite de distributions T, converge vers o dans (2)'), il
faut et il suffît que, quelle que soit *€(3)), les régularisées T. » a convergent
uniformément vers o sur tout compact.
Mais on peut montrer un théorème beaucoup plus fin, valable
aussi pour des filtres convergents ayant une base de filtre bornée ou
dénombrable (Voir à ce sujet la remarque qui précède le
théorème XXII).
Théorème XX111 1° Si une suite T,- converge vers o dans (3)'),
alors, quel que soit l'ouvert Q d'adhérence Q compacte dans R", il
existe un entier m ^ o. tel que les régularisées T,* a soient, dans Q,
pour toute aç^"1) de support assez voisin de l'origine, des fonctions
continues convergeant uniformément vers o.
i° Si Tj est une suite de distributions telle que, pour toute *ç(ïf)),
les T, * a convergent vers o dans (3.v), H en est de même des Tj.
On déduit en effet des hypothèses de (20) que, quelle que soit
a€(3)) fixe, les T * a convergent vers o dans (3)'), donc restent bornées
dans (il)').
Alors on déduit du théorème précédent, avec les mêmes notations,
qu'il existe un entier m^o, tel que les applications bilinéaires
(a, ß)-^T,*a*ß de ($Z)x('$Z) dans Là soient équicontinues;
mais les fonctions continues T;*a*ß convergent uniformément vers
o dans iî, pour j -*■ 00, si a et ß €(3)K), c'est-à-dire pour des a et ß
qui forment un ensemble dense dans (3)"), donc elles convergent
aussi uniformément vers o dans Q pour a et ß dans (3)^).
Il suffit alors d'appliquer aux Ty la formule (VI, 6; a3) dans les
mêmes conditions qu'au théorème précédent.
Application. Amélioration du théorème X
Soit <p-*-!£(ç) une application linéaire continue de (3)) dans (SV)
permutant avec les dérivations. La même démonstration qu'au
théorème X montre que '.£ permute avec les convolutions, de sorte
que, si a€(£D), on a
(VI, 7;3) i(*.?) = «£(«). «p.
Si une suite xv€(3)) converge vers S dans (£'), les zv* <p convergent
vers cp dans ((£) ^théorème XII). donc les i£(xv*ç) convergent vers
i£(ç) dans (Ûv). Cela prouve que les distributions ï(«v) sont telles

198
que leurs régularisées S£(av)*<p, pour toute <p€(3)), convergent dans
(2)'), donc elles convergent elles-mêmes dans (2)'). Si S est leur
limite, on aura
(VI, 7; 4) %) = S*?; S€(^) (c.q. f.d.).
Application : caraclérisation des fonctions analytiques
Théorème XXIV Pour qu'une distribution T soit une fonction
analytique au sens usuel, il faut et il suffit que la régularisée T *x soit
une fonction analytique pour toute fonction 7d(3)).
1° La condition est nécessaire. Si en effet Test une fonction
analytique f(x), on a sur tout compact K les majorations suivantes :
(VI, 7; 5) |Dp/("OI</>'MK)r
c étant une constante > o convenable, dépendant du compact K.
Mais sur tout compact K les valeurs de/*« ne dépendent que de
celles de/sur un autre compact K'. de sorte que
(VI, 7; 6) \D»(f**)\ = \D>>f**\^p\[c(K')}>>,ff...f\*(x)\dx,
ce qui prouve l'analyticité de /* %.
2° La condition est aussi suffisante. Soient wun voisinage
relativement compact de l'origine dans R\ a> = K, et Q un ouvert relativement
compact quelconque de R\
Montrons d'abord que sur û, le rayon de convergence de la
fonction analytique T * x est borné inférieurement lorsque 9 parcourt
un ouvert convenable de (iiDK). Pour p fixé, la quantité
est une fonction continue de »ç((JK). En vertu de l'analyticité de
T*a, ces fonctions de a sont, lorsque p varie, bornées dans leur
ensemble pour toute a fixée. Mais (U)K) est un espace de Baire (mé-
trisable et complet) ; donc, d'après un théorème classique de Baire ('),
ces fonctions de a sont bien bornées dans leur ensemble sur un
ouvert convenable de (3)K). Soit c la borne supérieure.
Alors les distributions —^—;— sont dans Ü des fonctions continues
p ! c"<
bornées dans leur ensemble, pour toute <x€(2)K). D'après le
théorème XXII, il en sera de même pour a^lD™), si m est assez grand.
Autrement dit, T*x est encore une fonction analytique dans fi si a
(') Voir Bot1 Ri'»Ki, |2J, § ,"., nu 4, ihét.i'éiiie 2, p;.f:<- 111

PftODUIT DE CONVOLUTION
199
a son support assez voisin de l'origine et est seulement m fois
continûment différentiable. Alors si yE est la paramétrix de la formule
(VI, 6 ; 22), yE* T est une fonction analytique dans Q pour k assez
grand; il en sera de même de son laplacien itéré A*; comme ^*1
est analytique par hypothèse, T est bien dans Q une fonction
analytique, c. q. f. d.
Hemarques Le théorème peut être mis sous une autre forme.
Nous avons vu que l'application h -*■ rfcT de R" dans (3)') est
toujours indéfiniment différentiable; pour qu'elle soit analytique, il faut
et il suffit que T soit une fonction analytique usuelle. Le théorème
s'étend immédiatement de la façon suivante : Si (T) est une classe de
fonctions indéfiniment différentiablcs (au sens de la théorie des
fonctions quasi-analytiques), et si cette classe est différentiable (c'est-à-
dire si les dérivées de toute fonction de la classe appartiennent à la
ciasse), alors, pour que toutes les régularisées de T appartiennent à
(T), il faut et il suffit que T soit une fonction indéfiniment derivable
et appartienne à (T). Si la classe (T) n'est pas différentiable et si les
régularisées de T appartiennent à (T), T esv une fonction
indéfiniment derivable appartenant sur tout ouvert relativement compact à
une classe dérivée de (T).
§ 8 NorVEAUX ESPACES DE DISTRIBUTIONS, LES (3)f.„) *)
Les espaces (2)^)
Appelons (2)lp) l'espace vectoriel des fonctions <p indéfiniment déri-
vables, dont toutes les dérivées appartiennent à Lp(RB)(i ^p ^ 00).
Nous le munirons de la topologie suivante : des ^(2)^) convergent
vers o dans (2)lp)> si les ç_, convergent vers o dans LP(R''), ainsi que
chacune de leurs dérivées. (â\p) est un espace vectoriel topologique
complet, localement convexe, à base dénombrable de voisinages.
Nous appellerons aussi ($) l'espace (3)Loo) (espace des « fonctions
indéfiniment dérivables bornées sui 1\" ») et ($) le sous espace formé
des fonctions 9 convergeant vers o a l'infini ainsi que chacune de
leurs dérivées.
(3)) est dense dans (2)lP)(rj <-1-00) et dans ($). mais non
dans (33).
D'après la remarque qui suit le théorème XVIII, si 9€(2Vp),
f) Les Psii.ires 2)L„ e! Bx,, sont lies aux espaces de Sono i kff 3t" ou W" (ils
con «".ponder. I à s = -f- oo et » — — oo), utilises constamment en théorie des
equations aux dérivées partielles

200
/><-+- oo, <p est bornée sur R\ donc aussi eL«, <?]>/>, et ell
converge vers o à l'infini ; il en est de même de chacune de se«
dérivées; donc (2Vp)c(2)l,) pour ?>/> et c (&) pour /> < oo. De
plus si des çy convergent vers o dans (®lp), elles convergent aussi
vers o dans (if>LÎ) pour q^p- Les ^Ü),P) ne sont pas des espaces de
Montel : l'ensemble des translatées vp d'une fonction <?€(U},.p) est
borné dans (Ü),^), mais n'est pas relativement compact. Cependant,
on pourra montrer, avec le théorème XXV, que, dans (iS)^),
tout ensemble borné est faiblement relativement compact pour
i <p <; _|_ oo, de sorte que ((S)Lp) est quand même réflexif d'après
le théorème de Mackey-Arens('). (1DL,). ($),($), ne sont pas réflexifs.
Les espaces de distributions (!#'lp)
Nous appellerons (2>'lp)(ï </j^-I-oo) le dual de
_ (^)[p'=p/(p-i)]
et (3)'Li) ^e dual de (S3) ; ces espaces doivent être munis de la topo-
logie canonique du dual (chapitre m, §3); ce sont des espaces
de distributions c(iP'), car toute forme linéaire continue sur
(<Ï>lp')( »</"•'< oo)ou (&)est définie et continue sur (if)c(^LP)c(iS),
et si cette forme line'aire coïncide, pour CfÇ(y)1), avec une distribution
Te(3)'), elle est entièrement déterminée par T puisque (.i1) est dense
dans (<iV) et dans (&).
(®) n'est pas dense dans (aß), dont le dual n'est pas un espace de
distributions.
Nous appellerons aussi ($>') l'espace (if1!.«), et nous dirons d'une
distribution Te(£B') qu'elle est bornée sur rV; si des T^iß')
convergent vers o dans (33'), nous dirons que ces distributions convergent
vers o uniformément sur R\ Nous appellerons ($') l'adhérence dans
(33') du sous-espace (£') des distributions à support compact ; une
distribution Te(lfi ) est une distribution qui converge vers o à l'infini.
(!i>) est évidemment dense dans (&'), puisque dense dans (&). Bien
évidemment ('i\p)cL"c('^p); toutes les dérivées successives d'une
distribution de (i^p) sont dans (3)^), et la dérivation est une
opération linéaire continue.
En vertu de la réflexivité, (3)j^) a pour dual ('£{s) pour
» < p < -+- oo. Nous verrons plus loin que ÇJ)'LI) a pour dual (iß). Il
en résulte que(3)) est dense dans($'Lp)(i </)< H-oo) (théorèmeXV
(') Voir noie (11 j,,,^,. 75

PRODUIT DE CONVOLUTION
201
du chapitre m). D'autre part, on voit aisément que le dual de (ß )
est ((J)L,). Le dual de ($') n'est pas un espace de fonctions et (2))
n'est pas dense dans (iß), mais le théorème XXV permettra de
montrer que (iß) est dense dans (iß'). Toute forme linéaire continue
sur (ii),,p) est a fortiori définie et continue sur (2Y,), q' <J/>'; donc
pour g>p, (l£>;.p)c('i);<,)C(!ß') et la topologie de (<i^) est plus fine
que celle de (U)^). Pour /><-*- », ('J>) étant dense dans ((J)'u>),
(2>'„)c(*').
Tous les théorèmes démontrés aux §§ i, 2, 3, du chapitre ni
relativement à (;J)) et ('J"»') sont vrais pour (.-!\p) et ('-f^p'), " 'C/5 <-+-».
sauf les théorèmes VII et XII (espaces de Vlontel) et XIII (identité
des topologies forte et faible sur les ensembles bornés). Ces mêmes
théorèmes sont encore exacts pour (0)L,) et (iB')( (35) et (iJ)[,), sauf
VII, XII, XIII et XIV (réllexité).
Caractérisalion des distributions de (1^'lp) Théorème XXV
i° Pour qu'une distribution T appartienne à("£'u>), il faut et il suffit
qu'elle soit somme finie de dérivées de fonctions eL^R").
20 Pour qu'une distribution T soit dans ('J)u>). il faut et il suffît que,
quelle que soit %£(§), la régularisée T*? soit dans L^R").
On pourrait remplacer (20) par un théorème beaucoup plus fin
(voir ce qui précède le théorème XXII). On voit en particulier que
toute distribution de (Ü^lp) est d'ordre borné dans R\
Pour simplifier l'écriture, prenons 1 </J<^oo; le cas p= 1
n'exigerait que des modifications de détail.
Nous ferons une démonstration « circulaire » en 3 parties, qui
démontrera tout le théorème :
a) si T est somme finie de dérivées de fonctions çl/, alors
Te(Wp). Évident.
6) siTc('-fYp), montrons que, pour x6('-^). (T*x)€Lp.
Appelons B l'ensemble des fonctions &€('^) de normes bornées
par 1 dans Lp'(H")[/j' =p/(p— i)j ; B est dense dans la "boule unité
del/'. Considérons les fonctions i*<p; pour x fixe et çéB, elles
forment un ensemble borné dans ('-!\p), de sorte que les nombres
(VI, 8; 1) (T»*).? = T.(i.<p)
sont bornés; cela prouve queT*x est une forme linéaire continue
sur (u">) muni de la topologie induite par 1/', donc T + aeL-XR"). On
voit d'ailleurs que T*»6 ^\p).

202
c) si T*aeLp pour toute xÇ(SD), montrons que T est somme de
dérivées de fonctions de 1/. Les nombres
(VI, 8; a) (T.9).i = (T.a).9
sont, pour toute x fixe 6(3)), bornés pour çéB, en vertu de
l'hypothèse T # xçl/. Alors les distributions T * <p sont bornées dans (!£>'), et,
en vertu du théorème XXII, quel que soit le compact K, il existe
un entier m ^s- o tel que, pour a fixe €(^J). les premiers membres de
(VI, 8; 2), donc aussi les 2" membres, soient bornés pour ç^B.
Alors S = T*x est encore dans 1/ pour a^^), et il suffit de prendre
pour x la fonction yE de la formule (VI, 6; 22) pour achever la
démonstration.
La démonstration d'une forme plus fine du théorème (voir
théorème XXII) exigerait la considération des quantités (T*x*f5).<p,
a et f}€(U>), et la formule (VI, 6; 23).
Remarques 1° On aurait pu directement montrer le i° et le 2°
du théorème en utilisant une méthode analogue à celle du théorème
XXVli du chapitre 111. Mais une telle méthode utilisait le théorème
de Hahn-Banach (voir à ce sujet le théorème xxn). Voir
l'amélioration (VI, 8; 6).
2" De plus la démonstration que nous venons de donner permet
de généraliser immédiatement le théorème à un ensemble de
distributions borné dans (iPi.p), ou à une suite de distributions [ou un filtre
ayant une base de filtre bornée ou dénombrablé) convergeant vers o
dans (ld)'lj>) (méthode du théorème XXIII), ce que ne permettrait pas,
ïu moins pour les suites convergentes, le théorème de Hahn-Banach.
On voit ainsi que gi une suite T, converge vers o dans (iß'^), les Tj
lont sommes finies de dérivées d'indices fixes de fonctions continues
f, qui :
a) dans le cas de convergence forte, convergent vers o dans U et
dans L°° ;
6) dans le cas de convergence faible, convergent vers o
uniformément sur tout compact, en restant bornées dans 1/ et dans L°°
3° Grâce à ce qui a été dit après la formule (VI, b ; 22), on peut
toujours supposer que les fonctions de LP(K") qui interviennent dans
l'énoncé du théorème sont continues, bornées, et qu'elles
convergent vers o à l'infini pour p <; -t- 00 ou pour Te($ ).

PRODUIT DE CONVOLUTION
203
Munissons (,<ß) de la topologie (3JC) localement convexe la plus
fine induisant sur les parties bornées de (3!>) la topologie induite
par (S).(ï)), donc a fortiori (&), est dense dans (3&c). L'expression
de Te\'J)î,i) comme somme finie de dérivées de fonctions som-
mablcs montre que T est prolongable en une forme linéaire
continue sur(&„): ce prolongement est unique puisque (3!>) est dense
dans (3!>c) : le dual de (3!>c) est done fespace topologique (3)^).
En particulier, on peut calculer T(l) = 11 ... I T, intégrale de T
sur Rn; une distribution Te(%) peut être appelée sommable
sur R\ Mais, dans (&c), toute partie bornée est relativement
compacte (théorème d'Ascoli); donc, en vertu du théorème de Mackey-
Arens (voir chapitre ni, théorème XIV), (3ic) est semi-réflexif,
et le dual de (1)'v) est (3!>); mais, sur ,%, la topologie canonique de
dual est celle qui a été initialement définie page 199. On démontre
que {3!>c) a la topologie de la convergence uniforme sur les compacts
de C-Ol1) (d'où la lettre c). On pourrait munir (iß') d'une topologie
analogue {&',), ayant pour dual (ï)v) (;).
Multiplication et convolution dans les (2>u>) Théorème XXVI
i° Si T6(^lp). ä,6(2^L«). le produit multiplicatif xT appartient à
(2)Lr) avec r^. i, (i/r)^(i/p)~+-(i/q),et dans ces conditions
l'application bilinéaire (x.T)-^aT de (&u>)X(pw) dans (ÜV) est hypo-
continue.
a" Si Sé(3)Lp), Tt(2)'Lï), (i/p) -+-(i/g) — ' > o, on peut donner un
sens au produit de convolution S*T: alors S*T t(2>ir),
(i jr) := (i lp) -+- (ilq)— i ; {application bilinéaire (S, T)-*-S*T de
(®lp) X(®w) c'a«* (3>i/) es/ continue ('}.
(i°) se voit immédiatement (comme au théorème III du chapitre v)
à partir de la définition xT.9=T.xo, et des propriétés connues
d'un produit xçp, pour cpel/jV = r/(r — i)J, %ç\J>. Ajoutons que,
pour n—<7 = r = oo, si x ou T « converge vers o à l'inßni »
(xz($>) ou Te($ ))■ il en est de même de xT.
(a°) pourrait se voir en utilisant une décomposition de Té^'lp) en
somme finie de dérivées de fonctions eL/^IV), et en appliquant alors
les propriétés indiquées au § i, (i°) (formules (VI, i ; 2)), et la
formule (VI, 3; io). Il faudrait naturellement montrer que le produit
(') Voir des démonstrations plus détaillées de tout cela à Schwartz [9], pages 99
102

204
de convolution trouvé est indépendant des décompositions choisies
pour S et T.
Il est préférable de considérer l'expression
(VI, 8; 3) (S.T).? = Sç®TI|.ç(Ç-i-ti)
pour S, T, <p, à supports compacts, et de montrer que, pour les
topologies de (f$'Lp), (®i.«)' C^V)» ^a forme trilinéaire (S*T).<p est
hypocontinue. La marche à suivre est analogue à celle qui sera
donnée en détail au théorème XI du chapitre vri. Cela permet,
d'un seul coup (sauf pour p = oo ou q — oo), de définir par
prolongement S*Te(3)L,) pour Se (DL,), Te'/S)'^), et de montrer l'hvpo-
continuité de l'application bilinéaire (S, T) -— S * T. On voit en
même temps que, si (1 lp) -f- [1 lq) — 1, S*Test limite de
distributions de (8'), donc converge vers 0 à l'infini, sauf pour p —- oo
ou q =oo. Cette méthode de prolongement montre en outre «pie
si, pour S et T données, plusieurs valeurs de p et q sont possibles,
le produit trouvé S*Test toujours le même: ear, si S appartient
à plusieurs ('S)'L,), les mêmes dis tribu t ions à su [»port compact
(xt S, a,e CS))) convergent vers S dans tous les {'S)'fl,).
On peut aussi naturellement étudier la « régularisation » sur
(3)L.) (théorème XI) :
Si Te{1)'L,), ae(DL.), (1/p) -f (1 lq) - / 5s 0, le produit de
convolution <x*T est une fonction de (ü)j,.), 1 \r -- [1 lp) 4- ' 1 lq) — 1,
définie par :
(VI, 8; 4) T*x =Tf.a(.r - 0,
et Vapplication bilinéaire (T, x) —* T *x de ('J)L.) X {'S)L.) dans ;'£),,.)
est hjipocontinue. Si ae(3)L,) converge vers S dans ('S)'Li), la
régularisée T*ae(ri)L,) converge vers T dans (Ï>L,).
Exemple Considérons les distributions L, de la formule (II,
3; ao). Comme, en dehors de l'origine, ce sont des fonctions,
décroissant exponentiellement à l'infini, leurs produits de
convolution ont un sens, et on peut montrer (voir aussi chapitre vu, § 8,
exemple a) que l'on a :
(VI, 8; 5) Lp.L9 = Lp^.
Les formules (II, 3; 21) et (II, 3 ; 22) en sont des cas particuliers,
compte tenu de la formule qui donne L_tk.
Si alors Te(3)^), comme L,É(f4\,), L,*T existe toujours et
appartient à (3)^); en prenant Z=2Ä, k entier ^ o, on voit que, quelle

PI.OIHIT 1)1-. CONVOLUTION
205
que soit T6(2\P), il existe une distribution S6(2I'LP) et une seule telle
que (\ — —, ) S = T. Mais de plus, si k est assez grand, L,k
devient une fonction m fois continûment difïerentiable, dont toutes
les dérivées d'ordre <J m sont des fonctions sommables ; alors,
compte tenu de la décomposition de T en somme finie de dérivées
de fonctions de L^R"), S —L2/.*T est une fonction appartenant à
y, qu'on pourra, à cause de la remarque (3°) qui suit le théorème
XXV, supposer continue, bornée, et convergeant vers o à l'infini
pour p <; -+- oo ou Te($ ).
Ainsi la décomposition de T pourra s'obtenir par le procédé très
simple :
(VI, 8; 6) S = L2k*T, k assez grand, SçLp(Rb)
M-*)'»-
Autre définition des distributions bornées. Extensions
On peut encore dire qu'une distribution T est bornée sur R", si
l'ensemble de ses translatées rfcT est borné dans ('il') (si l'application
continue h-*-xhT de R" dans ( iv) est bornée sur R") ; que T converge
vers o à l'infini, si taT converge vers o dans (i)') pour |A[—*- oo.
L'espace ($') de ces distributions bornées sur R" peut être muni de la
topologie suivante: des T, convergeront vers o dans (iß') si les xkTj
convergent vers o dans (iy), uniformément par rapport à AeR"-
La nouvelle définition est identique à celle du précédent
paragraphe. Car il revient au même de dire que les th T . isont, pour toute
<xé(!J)), bornés pour AeR", ou que T*x est une fonction bornée sur
R" (Théorème XXV. (a"), p—oo).
L'application des mêmes théorèmes aux ensembles bornés et aux
suites convergentes, montre que la nouvelle topologie donnée pour
(Iß') est identique a l'ancienne, tant qu'on ne considère que des
suites convergentes ou des filtres bornés ou a base dénombrable.
On peut montrer (par un procédé plus compliqué) qu'il en est
encore ainsi pour des filtres convergents quelconques; les deux
définitions de la topologie sont entièrement identiques.
La nouvelle définition a des extensions considérables; elle permet
de définir les distributions ayant un mode de croissance donné à
l'infini. Nous appliquerons cette méthode aux §§ h et 5 du
chapitre vu.

206
§ 9 Distributions presque-périodiques
Définition
Nous allons généraliser aux distributions la notion de fonction
presque-périodique au sens de StepanoffC).
On dira qu'une fonction <?€($) est presque-périodique (pp) dans
(ß) si les translatées ^9 forment dans (iß) un ensemble relativement
compact. Cela revient à dire que 9 et toutes ses dérivées sont des
fonctions continues pp. usuelles (au sens de Bohr). Ces fonctions <p
forment un sous-espace vectoriel fermé ($,,,,) de (iß). On dira qu'une
distribution T est pp. si Te(iß') et si l'ensemble des zhT est
relativement compact dans (iß'). Cela revient a dire que l'application
A-*rftT est une fonction continue pp. usuelle de hd\\", à valeurs
dans (®). On en déduit aussitôt que l'ensemble des distributions
pp. est un sous-espace vectoriel fermé (iß'pp) de ($>')■
Opérations et propriétés :
1° Si *(#„), siTli&'J, alors aT€(&;„).
a° SiT«ß'„), «S€('ik). alors(S*T)(:(&n).
Les dérivées d'une distribution pp sont pp.
Évident (théorème XXV).
3° a) Pour qu'une distribution T soit pp, il faut et il suffit qu'elle
soit somme finie de dérivées de fonctions continues pp usuelles.
b) Pour qu'une distribution T soit pp, il faut et il suffit que ses
-égulariséesT*«., %£($)), soient toutes des fonctions continues pp usuelles.
En effet, les zhT forment un ensemble borné dans (iß'), donc,
l'après le théorème XXV (a0) (pour p= 00), étendu à des ensembles
jornés de distributions, la relative compacité des xkT dans (iß') est
dentique à la relative compacité des xh(T * x) = t,,T * a dans L°°, ce
jui démontre (6). T étant limite dans (iß') de ses régularisées
T*a), (ißpP) est l'adhérence de (ißp) dans (iß'). Mais on peut aussi
lire (en appliquant la forme fine du théorème XXV) que pour
.e('j)m), m assez grand, (T*a) est une fonction continue pp. usuelle,
lonc, avec (VI, 6; aa). on montre (a).
Comme pour les théorèmes XXII et XXV, on peut donner une
orme plus fine du théorème, et l'étendre aux ensembles bornés et
ux suites convergentes de distributions pp.
(') Voir par exemple Besicovitch [i], p. 77

PRODUIT DE CONVOLUTION
207
Comme nous l'avons vu [formule (VI, 8; 6)], le meilleur moyen
de décomposer T sera de former S = L„.*T, qui, pour A: assez grand,
/ A \ *
est une fonction continue pp. usuelle, et T= I i —J~ï) S.
Moyennes et convolution
t\° On sait qu'à toute fonction continue pp. f(x) on peut faire
correspondre un nombre complexe, sa moyenne 1Tl(/), qui est une
forme linéaire continue pour la convergence dans L". C'est aussi
une forme linéaire continue pour la convergence dans (&'). Car si
des fonctions^} continues pp. convergent vers o dans (&'), les/^**,
*6(Ü)), convergent vers o dans (iß); alors les eWL(fj*o.) convergent
vers o ; mais
(VI, 9; i) m(/.a) = m(/)(J(/,.../«(ar)cfe);
donc, en prenant[[•••{ a.{x)dx^ o, on voit que les "l\l(fj)
convergent vers o aussi.
On peut alors définir par prolongement, d'une manière unique,
in(T) pour Té($pp), et c'est une forme linéaire continue sur (â3(,p). Si
T€($p(.). S€(!i>L.), on a, par passage à la limite
(VI, o; a) m(S*T) = m(T)(/.../s).
5» Si T€(.<B;p). ?€(%„), on posera
(VI, 9; 3) TOç^<m(?T).
ce qui définit un produit scalaire séparément continu entre (%,,)
et ($pp) (Mais aucun de ces espaces n'est le dual de l'autre).
De même, 31S etT€(JJpp) etyt(\), Sç <g> T,. et <■>(£-)-7.) sont pp., et
on peut définir par prolongement un produit de convolution vérifiant
rVIn-AÏ US©T)0?-=(Sç®T,.)0?(e-r-r.)
v ' y* *J ( cnT(S®T) = m(S)cm(T).
Ce produit de convolution qui, pour 2 fonctions continues pp.
f et g s'écrit
(VI, 9; 5) f®9 = cKt[f(x-t)g(t)],
est une application bilinéaire séparément continue de (&'ft) X(âBpi,)
dans (&pp), et possède les propriétés démontrées aux §§ 3 et 4. Il se
calcule aisément grâce à la décomposition 3° (a). La régularisation
sera définie par
rVIo-6ï \ T@a = T,O*(*-0. T€(&pp), *€(%„)•
<V1,9'°> l T0? = Tr.(T®9).

208
Développement de Fourier
6° Si X = f ).,, X, ln\, et si l.x = \lxl H l->.„xn (les \ sont
réels), le coefficient de Fourier ax est défini par la formule
(VI. 9; 7)
ax = ax(T) = IK [exp (— anrX . »)Tj = TOexp (— atrrX . *).
C'est une forme linéaire continue de T€($pp). De (VI, 9; 4)
résulte, exp(—aircX.a.) étant dans ($pp),
(VI, 9; 8) ax(S®T):=aA(S)ax(T), S et T€(^p) ;
(vi, 9:9)
ax(S.T)=ax(T)(ff-fexp(—2ir.l.xp), T€($pp), S«(3)L.).
La décomposition (3°) (a) montre que seuls des ax en infinité
dénombrablesont =£- 0- ns forment le « spectre » de T.
Les axexp (îîttLx) pour lesquelles ax ^fe o sont les seules
exponentielles trigonométriques qui soient limites, dans (&'), de
combinaisons linéaires de translatées rAT. Inversement T est limite dans
(äS') d'une suite de polynômes trigonométriques formés uniquement
avec les exp (aTriX.x), où ). parcourt le spectre, puisqu'il en est
ainsi des régularisées T* a, a€(!i)), dont Test limite; alors Test nulle
si tous ses coefficients de Fourier ax(ï) sont nuls.
§ 10 Application aux équations aux dfbivki-.s PARriEH.ES
ET AUX ÉQUATIONS I NTÉG R ALF S
uations de convolution
Nous appelons équation do convolution toute équation du type
(VI, 10; 1) A*T = B,
où A (coefficient) et B (2e membre) sont des distibutions données,
T une distribution inconnue. Nous supposerons que A est à support
compact, pour que le 1" membre de (VI, 10; 1) ait un sens quelle
quesoît T€('-!)') (On pourrait traiter aussi d'autres cas; si par exemple
A.(ÇJ)'Ll), B€($'), on pourra chercher une solution T€(iß') (voir § 8);
si A est à support « limité à gauche » par rapport ù un cône V (voir
§ 5) ainsi que B, on pourra chercher une solution T à support limité
a gauche). Ce que nous allons dire s'appliquera aussi à un système
de N équations à N distributions inconnues; il suffira pour cela.
Éq

PKODl'IT DE CONVOLUTION
209
comme au § 6 du chapitre v, de supposer queT=fT,, T.., ... Tv| et
B = j B., B2, ... BN \ sont des distributions à valeurs dans RN, tandis
que A = ( AJk ) est une matrice à N lignes et N colonnes, AJkt(ß>"). La
notation matricielle (VI, 10; i) reviendra alors à
(VI, io;a) 2 A,fc*Tt = B7; j= i, a, ... N.
fc = f, ï, N
Pour simplifier l'écriture, nous supposerons toujours N.=ri.
L'équation est dite homogène si B = o.
Les équations de convolution comprennent un grand nombre de
cas particuliers importants :
i") SiA = D = S «pD"S
IpK»
est un polynôme de dérivation [formule (VI, 3; 33)], (VI, io; i)
devient l'équation aux dérivées partielles à coefficients constants la
plus générale :
(VI, io;3) D*T=: £ apDPT = B.
Ces équations apparaissent donc, d'une part, comme cas
particuliers des équations aux dérivées partielles à coefficients variables,
d'autre part, comme cas particuliers des équations de convolution
a") Si A = 2av^(Av) est une combinaison finie de masses discrètes,
V
(VI. io; î) est l'équation aux différences finies à coefficients
constants la plus générale :
(VI, io:4) A*T = 2v„T = B.
V
3" Si A est une fonction VL(x) [resp. la somme de S et d' une
fonction K(x)|, (VI. ro ; i) est une équation intégrale à limites fixes
ie i" (resp. 9') espèce, si T est une fonction/(x), et B une fonction
9 (x)-
( A = K(r)
(VI. 10; 5) { rr r
\A*f=ff...fK(x-t)f(Mt = g{x);
(VI, 10; 6) rr r
{A*f=f(x)+ff...fK{x-t)f(t)dt=--9(x).
Si, dans ces conditions, A avait son support limité à gauche par

210
rapport à un cône P ainsi que B, et qu'on cherchât une solution
T=f à support également limité à gauche, on obtiendrait des
équations intégrales de Volterra.
En combinant ces divers types d'équations, on obtiendra des
équations intégro-différentielles, de types variés.
Propriétés générales des solutions des équations de convolution
Theorems XXVII i° L'ensemble des solutions d'une équation de
convolution est un sous-espace vectoriel fermé de ('£')
a" Le produit de composition d'une solution d'une équation
homogène et d'une distribution à support compact est encore une solution de
l'équation homogène. En particulier, les dérivées et les régularisées
(Théorème XI) d'une solution sont des solutions : toute solution d'une
équation homogène est limite de solutions qui sont des fonctions
indéfiniment dérivables.
Ce théorème est évident à cause de l'associativité et de la continuité
du produit de convolution, et du fait que toute distribution est limite
de ses régularisées. Il est vrai pour un système (N quelconque).
On en déduit à nouveau que les solutions d'un système différentiel
(n= i) homogène à coefficients constants sont les solutions usuelles
(cas particulier du théorème IX du chapitre v). Car, d'après le
théorème ci-dessus, l'espace des solutions est l'adhérence dans (3)')N de
l'espace des solutions usuelles ; mais ce dernier est de dimension
finie, donc identique à son adhérence.
Théorème XXVIII Dans le cas de la dimension n = i, toute
solution d'une famille d'équations de convolution homogènes est limitt
de combinaisons linéaires d'exponentielles-polynômes solutions de la
famille d'équations.
La démonstration de ce théorème est difficile ; nous l'avons
publiée dans un mémoire antérieur ('). Le théorème est vrai pour
un système (N quelconque; nous n'avons pas publié la
démonstration); nous ignorons s'il subsiste pour une dimension n
quelconque (*).
Solution élémentaire
On appelle solution élémentaire [voir § 6 du chapitre v, formule
(V, 6; 2/j)] d'une équation de convolution , une distribution E telle
que :
(VI. io;7) A.E = &.
(*) SCUWARIZ, [4J
(l l.e Ihéon'iiic siil.s.ste poor le« sol»(Ions A'une seule équation de convolulion
Voir Maloram,.' [1J, (théorème III, p. 310)

PRODUIT DE CONVOLUTION
211
Pour un système (N "> i ), ce serait une matrice - distribution à
N lignes et N colonnes telle que
(VI. io;8)
A»E = E*A = o'I, 1 = matrice identique. Ou
M,= lfi, S J k^tfi. 1» ' "' (à SI JZ=l.
Il est bien évident qu'ici toute tentative de définir la solution
élémentaire comme solution usuelle, saufen certains points où elle
aurait des singularités d'un certain type, est vouée à l'échec. Ce que
nous venons de définir est la solution élémentaire relative à l'origine.
Elle suffit pour les applications puisque la translation t„ donnerait
une solution élémentaire relative au point a.
Bornons-nous au cas N = i.
On peut appeler A*<-,) la solution élémentaire, elle est une
inverse de A pour le produit de convolution. Mais il faut noter qu'il
existe une infinité de solutions élémentaires s'il en existe une, la
différence entre a d'entre elles est une solution arbitraire de
l'équation homogène. On dira que A est inversible s'il existe une
solution élémentaire. On sait aujourd'hui (x) que tout polynôme
de dérivation A = D est inversible. Il existe évidemment des
distributions A non inversibles; si A€('$), A*E est dans (&) quelle que
soit Ee('J)'), donc A»E n'est jamais égale à S. On peut montrer que
la solution élémentaire n'est jamais à support compact pour N = i,
sauf si A est une masse ponctuelle. La solution élémentaire pourra
être obtenue par diverses méthodes 0 [méthodes de la théorie des
équations aux dérivées partielles ou des équations intégrales ;
transformation de Fourier ou Laplace (chapitre vu, § io)J. Ce que nous
voulons signaler d'important, c'est que, grâce à sa définition précise,
elle relève des méthodes du calcul algébrique (pour le produit de
composition) ou calcul symbolique. C'est ce que nous avons vu au
§ 5, formules (VI, 5 ; 27 à 3Le).
Utilisation de la solution élémentaire
1") La solution élémentaire sert à résoudre les équations avec a*
(') M a loua nor [1), théorème 1, pafce 2f$8; Khrlnpreik [1); Hörmandf.b |1]
( ) t'tilitaiil retle définition de la xolutioii élémentaire, M. (.arnir a calculé «le
nninl.reuses solul'ium élémentaire«, correxpoiMlaiit à det type« variét d'équation*
mix dérivée« partielle« à coefficient« co.iitai.U. Voir (..arnir [4]

212
membre, lorsque celui-ci est à support compact; dans ce cas, en effet.
E»B est solution de ("VI, 10; i), car
(VI, 10; 9) A*(E*B) = (A*E}*B = ö*B = B.
Si cette solution est à support compact (ce qui ne sera pas» le cas en
général), elle est la seule à posséder cette propriété; car si T est à
support compact, et vérifie (VI, îo; i), alors
(VI, 10; ioï T = S*T = (E*A)*T = E»(A*T) = E*B.
Mais il existera d'autres solutions, à supports non compacts,
obtenues en ajoutant à T une solution arbitraire de l'équation
homogène.
a°) Par contre, si B n'est pas à support compact, cette méthode
n'est plus valable, car le produit de convolution du i" membre de
(VI, io ; q) n'a pas de sens, E et B ayant des supports non compacts.
Dans certains cas, la formule (VI, io; 9) aura quand même un sens.
Exemples : a) si E€(!i)'L.) (§ 8), elle sera valable pour B€($') [par
exemple, A= (1 — j—t\ *8, E = L*. formule (II, 3 ; 22)]; 6) si
A, E, B, ont leurs supports limités à gauche par rapport à un cône V
(§ 5), E est la seule distribution de l'algèbre ((J)'+ r) à être l'inverse
A*<_,) de A, et les 2 formules
vVI, ,0; 11) A*T = B, T = A*<"*B,
sont équivalentes ; voir formules (VI, 5; a4V
3° Est-on sûr que si A est inversible, cola entraîne la
possibilité de résoudre l'équation avec un 2e membre quelconque? Si
cette possibilité existe, nous dirons que A est complètement
inversible ('). On peut toujours écrire B comme une somme
B = £BV de distributions dont les supports sont compacts
et s'éloignent indéfiniment. Si on .pose Tv = E + Bv, la série
X Tv est en général divergente. Mais les Tv deviennent, dans
V
des ouverts de R" de plus en plus grands, des solutions de
l'équation homogène. Supposons alors qu'il soit possible d'approcher
les Tv par des Sv dans des ouverts de plus en plus grands,
de sorte que la série £(TV — Sv) soit convergente dans ('£>'),
les Sv étant, dans tout l'espace, des solutions de l'équation
homogène.
I ) I'.hhksphkis a i 11 <ii<j 11 <■, dans |3j, <{ne toute <listrii>utii>i. inversible était complt—
If ment inversible, l.a ..c.i.oi.stratin.i n'est pas publiée

PRODUIT DE CONVOLUTION
213
On aura
(VI, 10; la) A*2(TV-SV) = 2(A*TV-A*SV)=2BV = B,
V V V
ce qui résoudra l'équation avec 2e membre.
Ce procédé réussit si A est le laplacien AJ (car toute fonction
harmonique dans une boule est limite, uniformément sur tout compact
de cette boule, de polynômes harmoniques, fonctions harmoniques
dans tout l'espace) ou le laplacien itéré A*iî. De même, si A =
[formule (II, 3 ; 23)] dans rV. et si B est une somme de masses
ponctuelles »'éloignant indéfiniment,
(VI, io; i3) B = 2av\^, Bv = av^y),
V
alors, d'après la formule (II, 3; 28), E*Bv = av/(z — hv) ; le
procédé ci-dessus est le procédé classique de Mittag-LefFler qui, par
soustraction de polynômes en z, rend convergente la série
(VI. ,0. U) ?(-i-_P,(z)),
et permet de former une fonction méromorphe de pôles donnés.
M. Ehrenpreis a montré (') que toute distribution dont le
support ne contient qu'un nombre fini de points (en
particulier toute distribution Do, D opérateur différentiel à
coefficients constants) était complètement inversible.
h" Le produit de convolution de plusieurs distributions
complètement inversibles est complètement inversible.
Car pour résoudre A *A2*T=B, on résout A.*C = B, puis.
A,*T = C.
De même, le produit de convolution d'une distribution A,
inversible et d'une distribution A2 complètement inversible est inversible.
Car pour résoudre A. * A2 * E:=iî, on résoudra A,*E, = î, puis
A2 * E = E,. Par contre, on ne peut pas montrer élémentai-
rement que le produit de convolution de 2 distributions
inversibles soit inversible. On peut le \ oir à l'aide du résultat
d' Ehrenpreis signalé à la page précédente, car alors ces ^
distributions sont complètement inversibles.
{') Khbfnprfis [1] et [2|

214
Potentiels newtoniens. Formule de Poisson
Considérons une distribution de masses ayant une densité
continue a, à support compact. Son potentiel newtonien est défini par la
formule
(VI. 10; i5)
n
—■ / -, pour n -=fr ■>.. N = V —L.— ;
N|s
i
Cf(t)dl pour /l=:2.
au ° \x— /|
On a alors
(VI. 10; 16) UW=E*«.
E étant la solution élémentaire correspondant à A =— à5 [formule
(II, 3; io)j. Nous pouvons donc, par extension, appeler potentiel
newtonien d'une distribution T la distribution
(VI, io; .7) U(T'=E*T.
Ce potentiel est défini si T est à support compact. On peut le
définir dans des cas bien plus généraux, par exemple si
ou [Tlog(iH-r,)j€(«£;..)(/i = a).
Les ■>. formules (VI. 10; 9 et 10) constituent alors la formule
classique de Poisson pour les potentiels : si T vérifie la condition
précédente,
(VI io- .8ï ^U(T' = A*(E*T) = (A»E)*T = -J*T = -T
v ' ' ' (WàTt =E*(A*T) = (E*A)*T=-. — S*T= — T.
Nous voyons que cette formule, qu'on ne démontre habituellement
que pour le potentiel d'une fonction assez régulière, est vraie dans le
cas le plus général.
Tout ce que nous venons de dire avec le laplacien A peut s'écrire
avec la dérivation ô/ôz (chapitre 11, § 3, exemple 3). La formule de
Poisson s'écrit alors, si [T/V'i -W-*]€($L.) [voir (II, 3: a8)] :
(VI. ,0:,9) A(-U'r\ = -i-.^T.
bZ \ltZ I 7K ÔZ

PRODUIT DK CONVOLUTION
215
Remarquons que si T est une mesure ja, le « potentiel » —»T
n'est autre qu'une intégrale de Cauchy :
(VI, ,0;*,) 1-?= ffJzZL., alors 4ff-ÄL=|t.
Anafycité des solutions des systèmes elliptiques homogènes
Théorème XXIX .S't une famille d'équations de convolution
homogènes (B =:o) est telle que toute solution soit, dans un ouvert u
relativement compact, une fonction indéfiniment derivable (resp. une
fonction analytique), dès qu'elle est, dans un ouvert assez grand
relativement compact ö")u, une fonction l fois différentiable (resp. une
fonction indéfiniment derivable), alors toute distributio?i solution de
la famille d'équations est dans «. une fonction indéfiniment derivable
(re»p. analytique).
Soit en effet T une solution du système. Dans un voisinage
de Q, T est d'ordre^m fini. Alors, sia€('^m*") a un support assez
petit, T** est, dans Q, une fonction / fois différentiable
(théorème XI); c'est une solution du système (théorème XXVII); donc,
dans le cas de la 1™ cate'gorie d'hypothèses, elle est, dans u, une
fonction indéfiniment derivable. Alors, d'après le théorème XXI,
T est elle-même dans u une fonction indéfiniment derivable,
c. q. f. d.
Danslecasde la 2° catégorie d'hypothèses, on prendra /= m = 00;
on trouvera, en utilisant le théorème XXIV, que T est dans u une
fonction analytique. On peut, dans ce cas, prendre u = Q = R".
Ce théorème n'a pas le même champ d'application que le
théorème XII du chapitre v.
D'abord on peut voir qu'il s'applique a des équations autres que
des équations aux dérivées partielles, des équations intégrales par
exemple. Parmi les équations aux dérivées partielles il ne s'applique
qu'à celles qui ont des coefficients constants. Mais, dans ce cadre, il
n'utilise pas l'existence d'une solution élémentaire, et contient peut-
être des cas plus généraux.
En particulier, tout système homogène elliptique [dans le sens
général du mot elliptique tel qu'il est défini par Petrowsky (')] aux
dérivées partielles, à coefficients constants, n'a que des solutions qui
sont des fonctions analytiques. La démonstration, donnée par
l'I Pethownky |11. Les lr:ivaux |ilns réoeuls de Ma.ci.anci- |1|, Nibenbcrg |10J
<Hi>nt lpcai)cipii|p d'inlércl à celle rp..iar<|.,e

216
Petrowsky, de l'analyticité des solutions qui sont des fonctions
indéfiniment dérivables, ne s'appuie pas sur l'existence d'une solution
élémentaire.
Le théorème s'étend aux cas où les 2r* membres sont des fonctions
indéfiniment dérivables ou analytiques.
Si. maintenant, une équation homogène (VI, 10; i) a au moins
une solution T qui ne soit pas une fonction indéfiniment derivable,
alors toutes les dérivées de T sont aussi des solutions
(théorème XXVII) ; parmi celles-ci, il en existe qui sont des distributions
d'ordre arbitrairement élevé (théorème XIX). Par exemple, toute
équation aux dérivées partielles hyperbolique homogène a des
solutions qui sont des distributions d'ordre arbitrairement élevé.
Cas particuliers : fonctions harmoniques et holomorphes
i° Les solutions de l'équation de Laplace AT —o sont les
fonctions harmoniques usuelles; les solutions de l équation de Cauchy
— = — | - -\-i~ 1 = 0 (dans Ka) sont les fonctions holomorphes
dz 2 \ôx ôy/ r
usuelles (théorème XXIX et théorème XII du chapitre v).
On peut donner une nouvelle démonstration particulièrement
simple pour ces équations. Soit en effet a une fonction de (!^),
invariante par rotation autour de l'origine, et telle que
ff...fx(z)dx = -hi.
On sait que, d'après la propriété bien connue des moyennes sphé-
riques de fonctions harmoniques ou holomorphes, on a, si T est
une fonction solution usuelle d'une de ces ■>. équations :
(VI. 10; 21) T*a=:T.
On a évidemment la même relation, si T est une distribution-
solution; car, quelle que soit o€('^). T*i est une solution usuelle
(théorème XXVII), donc
(VI, 10 ; 22) T*(?)**---T*à.
ou, en égalant les traces de ces 2 fonctions :
(VI, 10; 23) (T»a).9 = T.?.
ce qui prouve (VI, 10 ; 2 r). Mais alors le. 1" membre de (VI, 10; 21)
étant une fonction indéfiniment derivable (théorème XI), il en est
de même de T.

PRODI'.T DK CONVOH'TION
217
2° La propriété des moyennes sphériques que nous avons utilisée
est la suivante : si 7.{R) est la mesure homogène portée par la sphère
de rayon R et de masse totale —(— i, la moyenne [\R)*f est égale à f
ou S «/si/est une fonction harmonique. Quelles sont les
distributions H, à support compact, qui ont la même propriété que S — ku.(R),
c'est-à-dire, qui sont telles que
(VI. 10; 24) .H*/=o
si y est une fonction harmonique?
En remplaçant/par/qui est aussi harmonique et faisant ar = o,
on déduit de (VI, io; 26)
(VI, 10; 25) H./-=o
si y est harmonique.
Réciproquement, toute translatée d'une fonction harmonique étant
harmonique, (VI, io; 25) entraîne (VI, 10; 2.4).
Pour que H ait cette propriété, il faut et il suffît que H soit le lap
laden d'une distribution à support compact {').
a) C'est suffisant, car alors, si y est une fonction harmonique, et
si nous posons H:=— AL,
(VI, ,0; 26) H*/=r(— A*L)*/-rr. — L * (A »/) = O.
6) C'est nécessaire. Posons en effet
(VI, 10; 27) L = E*H,
E étant la solution élémentaire correspondant à A = —AS [formules
(VI, 10; i5 et 16)]. Soit B0 une boule fermée contenant le support
de H. Si x n'est pas dans B0, L est une fonction L(a.) définie par
(théorème XI)
(VI, 10; 28) L(x) = Hl.E(x—t).
Mais, considérée comme fonction de t pour x fixé, E(x—t) est
harmonique au voisinage de B0 ; et toute fonction harmonique au
voisinage de B0 est limite dans (8)„ sur un voisinage de B0, de
polynômes harmoniques fi (fonctions harmoniques dans tout l'espace) ;
comme les H .f sont nuls d'après l'hypothèse, le 2* membre de
(VI, 10; 28) est nul aussi. Donc L, nulle en dehors de B0, est à
support compact, et, d'après la formule de Poisson (VI, 10; 18),
H = _A*L, c. q. f. d.
(') Voir Choquet-Deht [i], p. 10

218
Par exemple, on peut prendre H = AS (alors L= — S): ou
H = ?î — î*fR), alors
L{x) = {$-y,R))*E(x);
rr( \z, — ^-_~, ) pour r <; R
,L(a.) = j N \r"-J R"-y r ^ n^T.
(VI, io;2q)| (o pour r>R
¥ , . \ log - pour r^R
L(ar) = J37r 8 ;• v n~2.
'o pour r^.R
On peut généraliser ce problème et chercher les distributions
H€(ß') telles que H«T = o, pour toute distribution T solution de
l'équation de composition homogène A*T —o, A€(f).
La condition H = A«L, Lç^'), est suffisante, mais ne semble
nécessaire que si A possède des propriétés spéciales, entraînant,
comme nous l'avons vu page 213 son inversibilité complète
(a = ^,A = A*. etcAO
3" Si a est une fonction ayant les propriétés indiquées au (1°),
S — a. est le Iaplacien Ao de rar=E*(a — S), qui est uro fonction
à support compact, indéfiniment derivable sur le complémentaire
de l'origine dans R". Alors zs(x--l) est une « parametrix-» de
l'équation de Laplace, au sens indiqué dans le chapitre v, § 6,
formule (V, 6; 35). La démonstration donnée à (i°) est donc
exactement la démonstration indiquée au chapitre v avec la paramétrix.
Inéquations de convolution Formule de décomposition de F. Riesz
Une inéquation de convolution homogène est une inéquation de
la forme
(VI, 10; 3o) A*T>o,
où A€(ß') est une distribution donnée, T€(iiv) une distribution
inconnue.
D'après le théorème V du chapitre 1. cette inéquation est
équivalente à
(VI, 10; 3i) A»T = f*.
équation de composition où le y' membre est une mesure ;a j> o
arbitraire. Si alors A est complètement inversible (voir page 69),
on saura résoudre complètement l'inéquation. Supposons seulement
('* Mai ..rani;.. » nnilHi-é dans |1| qu'un peut prendre pmir A n'iil«|>i>l-te quel
<>|iéra.eni' ililTéiciiliel à roeflîrieiil.s conslarils: eVsl line roiisf'-qvieiire «le son corollaire
dp la pro|iii»iliiiii 2, p.i(re 92

PRODUIT DK CONVOLUTION
219
A inversible, et soit E une solution élémentaire. On a dans ce cas
le théorème suivant :
Théorème XXX Pour qu'une distribution T soit solution de
l'inéquation (VI, 10 ; 3o), il faut et il suffit que, quelque soit l'ouvert
12 relativement compact de R", on ait la formule de décomposition de
Riesz ('):
|T=E*v-^S
(VI, io:32) ]1/:= mesure ^ o sur R\ portée par l'ouvert Q
( A* S = o dans Q.
Alors, pour Q donné, v et S sont déterminées d'une manière
unique.
i* Si la décomposition de Riesz existe, l'unicité de v et S pour û
donné, est évidente. Car si nous composons avec A les 2 membres
de la 1™ formule (VI, 10: 3a) (v étant à support compact), on a,
compte tenu de la 3e formule :
/Vf sa, » t a v Ac U-t-(A*S) dans R"
(VI, 10; 33) A* 1 == A*h *v + A*Sr=? v
(v dans iï
ce qui détermine v dans Q, donc dans R" puisqu'elle est portée paru,
puis S par différence T — (E * v).
2* Si l'on suppose que T vérifie (VI, 10; 3o), elle vérifie
(VI. 10; 3i); soit v la portion de la mesure 11. portée par il (v est
la mesure définie dans H" comme produit de ;a par la fonction
caractéristique de l'ensemble ouverte). Alors v est bien une mesure
^>o portée par L>. Si on appelle S la différence T — (E*v), ou a bien
(VI, 10; 34) A*S=T(A*T)-(A*E*v)=--SfA-1/ dans *"
' \ / \ (° "ans "•
ce qui montre que v et S satisfont bien à (Vi, 1 o ; 3a) ; T admet une
décomposition de Riesz.
3° Si la distribution T admet pour tout ouvert Q relativement
compact une décomposition de Riesz, alors A*T est ^ o dans Q
d'après (VI, 10; 33), donc A*T est > o dans R\ et T vérifie
(VI, 10; 3o).
(') F. Riesz n'a démontré cetle formule que pour les fonctions surharmoniques,
A = — AS. Sa démonstration el les démonslralions ultérieures sonl d'un caractère
beaucoup moins inluiiif que celle-ci, qui esi en outre ioui a fail générale. F. Riesz, [a]

220
Applications aux fonctions surharmoniqaes
Nous appellerons distribution surharmonique toute solution de
l'inéquation
(VI, io; 35) — A*T>o.
Il s'agit là d'une inéquation de convolution du type (VI, io; 3o)
avec A = — A3. La décomposition de Riesz exprime T comme
somme du potentiel newtonien [formule (VI, io; »7)] U(v) d'une
mesure v^.o portée par Q et d'une distribution S qui, dans Q, est
une fonction harmonique usuelle (théorème XXIX).
D'autre part, on sait qu'on appelle habituellement/onc/ion presque
surharmonique une fonction f(x) localement sommable (définie à un
ensemble de mesure nulle près), telle qu'on ait presque partout, quel
que soit R "> o,
(VI, 10; 36) f>PM*f ou (5 —{*(»,)*/>o;
(comme plus haut, f/.(R) est la masse h- i , répartie de façon
homogène sur la sphère |arj=R). p.(R)*/ est la fonction qui, en chaque
point x, est la moyenne de/sur la sphère de centre x, de rayon R.
Nous allons montrer l'identité des distributions surharrnoniques et
des fonctions presque surharmoniques usuelles.
i° Soit /une fonction presque surharmonique usuelle. Elle
vérifie, en tant que distribution,
(VI, 10; 37) —r^*/>o quel que soit R > o.
*
Faisons tendre R vers o. La mesure —--^ converge dans (8')
R
vers A3.
an
En effet, si ?€(ß), on a (dS étant l'élément d'aire, S„(R) l'aire de
la sphère de rayon R)
\\jm ft«) l.m *\(N)./ J x, R
(VI, io; 38) L™.~R^-'-i™ Ri_
' =_i A?(o),
an
comme le montre un développement de Taylor de 9 jusqu'au 1'
ordre inclus.

PRODUIT DE CONVOLUTION
221
On déduit alors de (VI, 10 ; 37). et de la continuité du produit de
composition (théorème V), que / vérifie l'inégalité (VI, 10; 35), le
A étant pris au sens de la théorie des distributions. Ainsi toute
fonction presque surharmonique usuelle est bien une distribution
surharmonique.
On voit que le procédé artificiel (VI, 10 ; 37) par lequel on définit
les fonctions presque surharmoniques usuelles tient à l'impossibilité
d'utiliser le laplacien usuel [A/j, qui ici n'existe pas(').
2°) Toute distribution surharmonique T admet des décompositions
de Kiesz; mais E(x)*v est ici une fonction dans R", puisque E(x)
est une fonction dans U". S est une fonction dans Ü ; donc T est
une fonction dans £2. Comme i2 est quelconque, T est une fonction
/dans R" (et par suite aussi S).
Si L(x) est la fonction de la formule (VI, 10; 29), alors
S — Pvr-)— — (A»L); on a donc bien
(VI, 10; 3g) fS — iuwj*T = — A.L.T = L*(— A*T)>o
en vertu de (VI, 10 ; 35), puisque L ^ o.
Remarques et généralisations
i°) Une fonction surharmonique usuelle est une fonction, définie
partout, vérifiant (VI, 10; 36) partout, et en ourre semi-continue
in féri eu rement : nous n'avons pas considéré ce point de vue, puisque,
pour nous, une fonction n'est définie que presque partout. Il existe
une fonction sur-harmonique et une seule presque partout égale à
une fonction presque surharmonique donnée.
On vérifie immédiatement que le 2" membre de (VI, 10; 32) est
une fonction semi-continue inférieurement, si on considère le
potentiel comme défini partout; si /est une fonction surharmonique
usuelle, elle est bien alors égale partout au 2' membre de
(VI, 10; 3a).
h) Quelles sont les distributions H à support compact, qui, comme
— A3 ou 55 — [a R , sont telles que, pour toute fonction presque
surharmonique /, on ait
(VI, 10; 4o) H ♦/><>?
(*) On pout donner une définition directe .i\ er le laplacien généralisé de Zaremba ou Brelot
(DRE1.0T [1]. chapitre i, ^i). Maïs cette définition directe est plus compliquée et plus fine
que celle qui utilise les distributions D'une façon générale, on pourra consulter cet ouvrage
et d'autros du même auteur poui tout ce qui concerne les. fonctions surharmoniques et
presque >urh.irmoniques usuelles Brei ot [2], [3J. Voir aussi Rado [1]

222
On doit avoir H»/=o, si/est harmonique (car alors f et —/
sont surharmoniques), donc, d'après ce qui a été vu page 73,
H = — A*L, L étant une distribution à support comoact. Alors,
comme dans (VI, 10; 26}, on doit avoir
(VI, 10; 4i) X*f=L*(— A*/)>o pour — (A*/)>o.
Gela sera toujours réalisé si L ^> o ; réciproquement, cela ne peut
être réalisé pour f= E (ou — A *f= S) que si L ^. o. Ainsi, il faut
et il suffît que H = — AL, L = mesure ^00 support compact.
c) ^n utilisant le produit de convolution de Volterra généralisé,
on peut aussi obtenir des décomoositions de Riesz pour les solutions
d'inéquations aux dérivées partielles DT ^o,oùD est un opérateur
différentiel à coefficients variables ayant des solutions élémentaires ;
par exemple, pour, des fonctions surharmoniaues sur un espace de
Riemann indéfiniment différentiable.

CHAPITRE VII
Transformation de Fourier
SoMMAtRE, C'est dans le domaine de la série et surtout de l'intégrale de
Fourier que la nécessité de sortir du cadre des fonctions est la plus impérieuse.
Le § î traite des séries de Fourier. Toute distribution périodique a une
série de Fourier, qui converge vers cette distribution ; toute série trigono-
métrtque dont les coefficients sont à croissance lente converge vers une
distribution périodique dont elle est la série de Fourier (théorème 1,page 2^5).
Ce théorème est suffisant pour la plupart des applications techniques. Le § a
rappelle les propriétés classiques de l'intégrale de Fourier usuelle. La
formule de réciprocité (Vil, a ; 3) et la formule de Parseval (Vil, a ; 4) »ont
les seules nécessaires à la compréhension de la suite.
Il ne sera pas possible de définir la transformation de Fourier pour toutes
les distributions, mais seulement pour celles d'un sous-espace QP) de (&),
les distributions tempérées, (if') est le dual d'un espace (if) de fonctions indéfi-
niment dérivables, plus large que l'espace ÇS>) du chapitre i.
Le § 3 définit cet espace (if), espace des fonctions indéfiniment derivable* k
décroissance rapide, et en donne les propriétés essentielles.
Le S 4 définit l'espace (■<?') des distributions tempérées. Les théorèmes VI,
page23g et VU, page i.\%, permettent de caractériser les distributions
tempérées comme distributions à croissance lente à l'infini. Cette caractérisation
sera très utile en pratique, mais on pourra passer .sur sa démonstration un
peu délicate.
Le S 5 étudie la multiplication et la convolution dans (if'). On peut
multiplier toutes les distributions tempérées par de« fonctions indéfiniment
dérivables à croissance lente (espace (C?m) &es multiplicateurs), et les composer
avec toutes les distributions à décroissance rapide (espace (fie) des opérateurs
de composition). Ces opérations sont continues, associatives et commutatives
(théorème X, page 2^6, et XI, page 2/17). Pour entrer plus rapidement dans
l'étude île la transformation de Fourier, on pourra lire les § 6 et 7 avant
celui-ci, dont l'intérêt est surtout théorique.
Le ^ 6 définit la transformation de Fourier des distributions tempérées
par la formule ;?U . v — U . $v (VIII, 6; 7). Cette transformation de('f') sur
(!•') est btunivoque et biconttnue (théorème XIII, page 25i).
Le % 7 est consacré à des exemples. Il est recommandé d'en traiter
plusieurs comme exercices, mais ou pourra se borner à consulter ce para-

224
graphe au moment de l'usage. Nous ne pouvons avoir la prétention de donner
dans un seul paragraphe tous les exemples qui seraient utiles dans la
pratique.
Le § 8 donne les propriétés théoriques de la transformation de Fourier.
Les principales sont l'échange entre multiplication et composition, bien connu
pour les fonctions (théorème XV, page 268), et le théorème de Paley-Wiener
généralisé (théorème XVI, page 272), qui exprime que l'image de Fourier
d'une distribution à support compact est une fonction analytique entière de
type exponentiel et réciproquement.
Le § 9 étudie les distributions de type positi-T, généralisant les fonctions
usuelles de type positif. Une telle distribution est caractérisée parle fait que,
quelle que soit f€C?). T(<p * cj.)> o (Vil, 9 ; 7). La propriété essentielle est
le théorème de Bochner généralisé (théorème XV1I1, page 276): toute
distribution de type positif est transformée de Fourier d'une mesure tempérée "^o
et réciproquement.
Le § 10 contient des applications pratiques de la transformation de
Fourier aux équations de composition (§ to du chapitre VI): équations homogènes,
solutions élémentaires, équations à second membre quelconque. Nous n'avons
pas cherché à multiplier les exemples, mais à montrer la diversité des cas
qui se présentent.
Des tables de transformées de Fourier de distributions, ont été adressées
par Lavoine [1]. D'autre part, des applications à la physique ont été
systématiquement développées dans Arsac [1], Wightman [1], Schwartz [18L
La transformation de Fourier des distributions peut s'étudier sur
uii groupe abélien localement compact quelconque ('). Nous nous
bornerons au cas du tore T" (il s'agit alors de série de Fourier), et
de l'espace numérique R" (il s'agit alors d'intégrale de Fourier).
§ 1 Séries de Fourier
Distributions sur le tore Nous représenterons le tore T" comme
le groupe quotient de R" par le sous-groupe Z\ puissance n,rm du
groupe Z des entiers. Un point x de T" est reorésenté par ses n coor-
données a.., a.,. ... xn, oui sont des nombres réels modulo 1.
T'est une variété compacte indéfiniment différentiable, sur laquelle
existent une mesure de Haar privilégiée dx — dxt da.a .. dxn et
des dérivations partielles -:-, -—, ••• -^- [voir c.iaoitre i, § 5, (3°)].
dx. ôxa bxn
Les propriétés démontrées pour R" dans les chapitres précédents
sont valaV.es sur T" tant qu'elles n'ont qu'un caractère local. Les
(', Riss [I'.Bruhat [1'.D'autre part, on peut étudier la transformation de
Fourier des courants tempérés sur un espace vectoriel de dimension finie : Voir
Scarpiello [1] et § 6 du chapitre IX

TRANSFORMATION DE FOURIER
225
considérations globales introduisent par contre, pour toutes les
questions d'intégration (chapitre ti), des problèmes de topologie
algébrique ^par exemple, pour n~= i, une distribution T ne possède
dr primitive que si son intégrale est nulle). Les théorèmes XXI,
XXII, XXIII, du chapitre m, sont vrais sur des ouverts assez petits,
et restent vrais sur T" si on remplace une dérivé'- unique par une
somme finie de dérivées (théorèmes XXII et XXIII du chapitre vi).
Le produit de convolution a les mêmes propriétés que sur IV,
simplifiées par la compacité de T".
Pour distinguer nettement le tore T" de l'espace IV, nous
appellerons/(se). T, une fonction ou une distribution sur le tore, TO9 le
produit scalaire, S'*) T le produit de convolution
Série de Fourier Théorème I i° A toute distribution T
sur le tore on peut attribuer des coejjicients de Fourier, définis par
(VII, 1; 1)
( a.(T) = t O exp (— 2ml. r)
(/={/.,/,,.../„{, Rentiers; l.xz=ltit -)-/,»„ H lnxH.
Ces coejjicients a, sont à croissance lente pour j/j—*- 00 :
( lim. j a,j/( 1 -+- j lr)k — o pour k assez grand,
(VII, 1; 2) W-"
(|/j=0ÏH-^H h P.-
La série de Fourier formée avec ces coefficients converge dans (®')t"
vers T :
(VII, 1; 3) 2a,(T)eip(2«:/.i)-=T.
2" Réciproquement, si les b{ sont une suite quelconque de nombres
comjtlexes, à croissance lente pour [/!-* 00, la série trigonométrique
2, ht exp (2Înl.x) converge dans ('-£>')T» vers une distribution T, qui
admet les b, comme coefficients de Fourier.
Lue série trigonométrique ne peut converger que si ses coefficients
sont à croissance lente.
Ce théorème supprime la pénible distinction habituelle entre
sénés de Fourier et séries trigonométriques qui ne sont pas des séries
de Fourier. De plus, il rend inutiles les « procédés de sommation »
pour rendre convergente la série de Fourier.

226
i* Remarquons d'abord que la formule (VII, i ; i) donne immé^-
diatement
(VII 1-4) i«^®T) = (âç.®t1|).eipr_a«/.(gH-i)J
( • =a((S)a,(T).
Par ailleurs
(VII, i; 5) a$) = i; a/^-)=aiit/t,
d'où
(VII. i ; 6) afê-) = a(£ W)- aiir/^t).
Comme la distribution T est somme finie de dérivées de fonctions
continues, et que les coefficients de Fourier d'une fonction continue
sont bornés, les coefficients o,(T) sont à croissance lente pour
|/]-»- po, quelle que soit T.
^.a série de Fourier de la mesure de Dirac o converge bien vers S
dans (^v)t«' en effet
(VTT., i;7) 2eip(2t'7r/.i)09 = 2;a_((?) = ?(o) = âO©
(car <p est indéfiniment derivable, donc sa série de Fourier est
convergente, en particulier pour x = o). La continuité du produit de
convolution montre alors que la série de Fourier de T converge
• • •
vers T, auelte que soit T, car
(VII, i;8) S«i(t)eip(2ijr/.i) = StçOeip[2iit/.(i — !)]
= 21 © eip (ai«/, z) — t® S = t.
a° Si maintenant 6, est une suite de nombres complexes à
croissance lente, la série numérique 2|6,j/(i "^I'D* est convergente pour
k assez grand, donc la série 2; "i"7iï\*exP (2{7r^ • *) converge uni-
formément vers une fonction continue J\x) ; la série dérivée
2 6, exp(atW.a;)
i
converge donc elle aussi vers une distribution T= ( i —j~ij f.

TRANSFORMATION DE FOURIER
227
Cette dernière distribution T admet bien les 6, comme coefficients
de Fourier ; plus généralement si une série ^bt exp (2ml. x) converge
vers une distribution T, celle-ci admet les A, comme coefficients de
Fourier (ce qui obligera les 6, à être à croissance lente pour |/i—*- 00).
car le ca'.cul de o((ï) se fait, suivant la méthode classique, terme à
terme, de sorte que, par suite de loi thogonalité des exponentielles,
a,(î) se réduit à 6,.
Remarques i° Cette démonstration nous a montré en même
temps que toute distribution T sur le tore est le ( 1 — —A d'une
fonction continue pour k assez grand. \ Un /
20 Si une série26,exp(2Mr/.x) converge sur un ouvert Q de T",
le théorème XXIH du chapitre vi et la formule (VI, 6 ; 22),
appliqués dans û aux fonctions 6, exp (2M. x) qui convergent vert o
dans Ç&)q, montrent que les b, sont à croissance lente pour |/t-*- 00 ;
la série converge alors non seulement sur û mais sur T", et c'est
une série de Fourier.
3° Nous voyons que si c(/) est une suite à croissance lente (un
polynôme en / par exemple), les fonctions c(/) exp (2Ïid.x) convergent
vers o, dans (iX1')^, pour jij-*-oo. On peut encore dire que « les
fonctions exp (aMt/.a.) convergent vers o dans ('J)')t«> Pour S'!-*" QO-
plus vite que toute puissance de i/j/l ». Mais ce langage risque de
conduire à des erreurs. En effet, quelle que soit la suite c(t),
croissant plus vite, pour j/j-*- 00, que toute puissance de \l\, les fonctions
c(/)exp(2J7t/. x) ne sont pas bornées dans (iE*')?... Mêmes propriétés
pour ?.es fonctions c(h) exp (2Îith.x) dans (®')R« ou même (&%..,
A€R".
4° Si 9€(3))T«, 'es 0^9) forment une suite à décroissance rapide
pour '/'-»■ 00 (.'iml/]*la,|=o, quelque soit k).
Ainsi, par .'.a série de Fourier, (iß)T« et (^)T« sont mis en
correspondance (isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques)
respectivement avec l'espace des suites numériques à décroissance rapide
et l'espace des suites numériques à croissance lente. La dualité
entre (2))TI. et (iö')^ correspond, à ?.a dualité de ces deux espaces de
suites par la formule de Parseval
(Vïï. i;9) to$ = Sa,(t)<Uç).

228
Exemples et applications
i " Séries de Fourier des fonctions elliptiques Soit p(z) la
fonction elliptique habituelle, correspondant aux périodes i et i. On
peut la considérer comme une fonction méromorphe sur le tore à
a dimensions. Elle ne définit pas une distribution, puisque non
sommable au voisinage de l'origine, mais d'aorès ce qui a été vu au
chapitre h, § 3, exemple 3, v. p. p(z) est une distribution, dont
nous allons chercher le développement de Fourier. On a, d'après
la formule (II, 3; 27):
(VII, ,;,o) *>. p. #)] = -lÄ
öz te
Le développement de Fourier suivant les exp[2iv^px-t-ayp
(p, q=z entiers) montre que cette équation aux dérivées partielles,
à une constante additive près, n'a qu'une solution, car on a
— 2 J7t(/>H-' iq)aPi ,[v.p. ip(z)} =—u— 2m(p — iq) ;
d'où
(VI, 1 ; 11) v.p. p(z) = Ooi0 —it 2 P~~ t?exp[aiw(/>5B-+-q'y)}■
(p, 7) * (o. o)/> -+- iq
Les coefficient*, tous de module 1, sont bornés, donc à croissance
lente, la série est bien convergente. Le même procédé montre qu'il
existe, à une ' constante additive près, une fonction e'.'iptique et
une seule de périodes (1, i), ayant des pôles donnés avec un
développement polaire donné au voisinage de chacun d'eux, pourvu que
la division par p-\-iq soit possible; cela exige seulement que le
coefficient a0 0 du 2e membre de l'équation analogue à (VII, 1 ; 10)
soit nul, c'est-à-dire que la somme des résidus soit nulle. Cette
fonction elliptique est déterminée par la série de Fourier de la
pseudofonction v. o. associée.
20 Équations aux différences finies Soit à déterminer une
suite à 2 indices entiers ap>7, à croissance lente pour p1 -\-q'—- 00,
vérifiant l'équation aux différences finies :
(VII, 1 ; 12) ap^l>,-l-ap_lf,H-aft,^l-<-ap,,_l —4Xaft, = 6ft,,
où les 6p 7 sont donnés et supposés à croissance lente, pour
p -i-q3-*- <x>. Si l'on considère les ap q et les 6Pi7 comme des coeffi-

TRANSFORMATION DE FOURIER
229
icients de Fourier de distributions À et B sur le tore, on devra avoir
(Vï[. i; i3) a(cos 27tar-j-27t^ — 2X)A = B.
a) Si X n'est pas réel, ou s'il est réel, mais 'Xj "> i, la division est
immédiate et les seuls ap rq possibles, qui soient à croissance lente pour
p* H- ql —- so, sont les coefficients de Fourier de
a(cos 27TX -t- cos any — ax)
b) Si X est réel, |X| <" i, X ^ o, la variété V définie par
cos 27TX -t- cos iity — aX = o
n'a pas de points multiples, la division est possible d'après le
théorème VIII du chapitre v ; mais il existe une infinité de solutions
pour A ; la différence entre a d'entre elles est une couche simple
arbitraire portée par la variété V.
c) Si X = o, la variété V a des points doubles à tangentes distinctes,
nous savons encore résoudre le problème de la division. Si l = dz i,
V est réduite à l'un des points (Ô, Ô), t—, —1« point double
isolé, la division ne rentre pas dans les cas traités au chapitre v,
mais se fait aisément.
Distributions sur le tore et distributions périodiques sur R"
Oh voit immédiatement, en définissant les distributions au
voisinage de chaque point et en « recollant les morceaux » (théorème IV
du chapitre i). qu'on peut établir une correspondance biunivoqae
entre les distributions T sur le tore et les distributions T périodiques
sur R", de période i pour toutes lescoordonées, c'est-à-dire vérifiant,
que' que soit l=\lr l2, ... 4j> Rentiers,
(V!, I; ,4) t,T = T.
Pour abréger, nous aopellerons simplement « périodique » une telle
distribution T; nous noterons par T la distribution associée à T
sur le tore.
Ces deux distributions sont localement identiques, donc possèdent
les mêmes caractères de régularité locale (différentiabilité, ordre,

230
etc...). Toute distribution périodique est ainsi le (i- -\ d'une
fonction continue périodique, pour k assez grand.
Une distribution périodique est presque-périodique (chap, vi, §9).
On voit immédiatement que, dans ces conditions, les produits
§(*)T' fOç, sont les produits S®T, TOo, définis sur IV pour
des distributions p p. [formules (VI, y; 3 et 4)'- De même les
coefficients de Fourier a{(TJ sont ceux de la distribution p p.
T r formule (VI, g ; 7)], \es coefficients a, correspondant à des
X = JX., X,, ... Xs| à coordonnées non entières étant nuls.
Soit maintenant T une distribution sommable sur IV ^(S^,)1 •
On peut définir son image directe sur le tore, par l'application
canonique x-*~x de IV sur T" (cette application canonique n'est
pas régulière à l'infini, d'où la restriction relative à la sommabilité
de T). Cette image est identifiée à une distribution périodique sur
IV, que nous appellerons ctT, transformée périodique de T.
Soient ç^uV. -M^t»; S, S,, S,€(2)'Li)r--. Té(2)>; on a :
(BÇ = 2ç(ar — l); bS = 2t,S
(VII, 1; i5)h S)OQ^ = s,vi,. to(ra<p)o = T.?
[ (ctS)*0 (raç)0 = S . crop = raS . <p
(VII'-:t6)î(ras)»©f=:(s.Tr
Ces formules permettent de calculer les coefficients de Fourier
d'une distribution T périodique sur ÏV. sans passer par les produits
scalaires sur le tore :
(VII, 1; 17) a((î) = T.e„
e( étant n'importe quelle fonction €(£D) fou (ä)L,)], dont la transformée
périodique rce, soit exp (—aiid.x). On prend habituellement, si T
est une fonction y, e( égale à exp. (— zml.x) sur un cube des périodes
et à o ailleurs, ce qui exprime a{(/) par une intégrale portant sur un
cube des périodes ; cette méthode est inutilisable si T est une
distribution, car la fonction e, choisie est discontinue.
Mais on a aussi
(VII, 1 ; 18) <r)exp(anr/.x) = T©exp (a*ir/.ar) = T. E(,

TRANSFORMATION DE FOURIER
231
$., étant n'importe quelle distribution €(2>(,t), dont la transformée
périodique ctE{ soit exp.(anr/.x). On pout alors prendre pour E{
la fonction discontinue habituelle, ayant pour support dans R" un
cube des périodes.
§ 2 JLa transformation de Fourier usuelle dans l'espace
a n dimensions (')
Transformation de Fourier usuelle Soient X" et Y" deux
espace» vectoriels isomorphes à l'espace R"; un point x do X" aura
pour coordonnées x,, x,, ... xn, un point y de Y" aura pour
coordonnées yt, y^ ... yn. Nous continuerons à adopter les notations
à une dimension des chapitres précédents; nous supposerons de
plus que X" et Y" sont mis en dualité par le produit scalaire
(VII, a, i) x.y=xjl-^-xjl...-r-xKyn.
La transformée de Fourier usuelle de la fonction f(x) sur X" est
une fonction g(y) sur Y" définie par la formule
/\7TT \ J
W) =ff' ■ -ff(x) exP (— aJTO .r)cte,
et l'on a la formule de réciprocité de Fourier
(VII, a; 3) S ^=:lî r
(f(x) =JJ •■•] 9(y) e*p (H- a««* -y)dy.
D'autre part on a la formule de Parse val qui jouera un rôle
essentiel dans la suite : si gt = tfft, g2 = {ïf^, cette formule 9'écrit
(vu a i\ \ff--Jf^f^clx=.(f---f9t(yMy)dy, ou
(JT--jM*)U*^=jf..-fgAy)gt(-y)dy.
Les formules précédentes n'ont de sens que moyennant des
conditions très restrictives. Ainsi (VII, a ; a), qui définit la
transformation de Fourier, suppose (|ue/(a) soit sommable sur X". Dans ce
cas g(y) est continue, et un théorème classioue de Lebesgue exprime
(') Pour le» propriétés classiques de l'intégrale de Fourier usuelle, on pourra consulter :
BOCBNER [ij. T.TCHMAR8H [l], CaRI.1 MA* [l], A. WeIL rl], WlENER [l]

232
qu'elle tend vers o pour [y] — oo. On peut cependant lui donner un
sens dans des cas plus généraux, à l'aide de procédés divers :
a) Lorsque f(x) croît lentement pour jx|—*- oo, on peut définir g
parla méthode de M. Bochner, syste'matisée dans !e cas d'une
dimension (n=i), ou par la méthode de M. Garleman('); cela rentrera
dans nos formules ultérieures.
b) Par ailleurs, siJ(x)f:V, i ^/"•^a, on peut, par un procédé
fonctionnel classique (théorie de MM. Plancherel-Riesz), définir
globalement g(y), bien que l'intégrale qui définit g ne converge plus
pour les valeurs individuelles de y pour p^=i- Alors g(y)dV,
p' =p/(p — i), avec la majoration
(VII. a; 5) !!V!î,'<!l/!t.
l'inégalité devenant égalité (Parseval) pour/) = 2.
Par contre ce n'est que dans des cas restreints que la formule de
réciprocité (VII, 2 ; 3) a un sens ; par exemple si f(x) est som-
mable, g(y), qui est continue, n'est nullement sommable en général ;
si la fonction g(y) se trouve vérifier les conditions a) ou b)
permettant de lui appliquer la transformation #, alors on sait que $g est
égale à/.
De même la formule de Parseval nécessite des conditions
particulières ; il n'est pas suffisant que les deux membres aient un sens pour
qu'ils soient égaux. On peut dire en tout cas que, si/(x)€La, du fait
que g(y)dU, la formule de réciprocité (VII, 2; 3) est valable, el
que f et g jouent des rôles symétriques, & et J étant deux isomor-
p his mes réciproques entre (L')x et (L*)y ; sifrf.l,gl,g^ sont dans L\
la formule de Parseval est valable, les deux membres étant des
intégrales de fonctions somrnables. Si X" et Y" sont confondus avec le
même espace R\ ß et $ sont des opérateurs unitaires dans L*.
On définit aussi la transformée de Fourier (ou Fourier-Stieltjes)
d'une mesure sommable j/. (jj ■ ■ .J"\dy.\<Z-+- 00), en remplaçant,
dans (VII, 2 ; 2), f{x) dx par d<j. ; c'est une fonction continue bornée
Cas des distributions Nous allons définir la transformation de
Fourier pour des distributions, et donner la même valeur aux deux
formules réciproques. Cependant il n'est pas possible de définir la
(') BOCUMER [ij p IIO-l44; CiRLEMAM [l] p. 6-53

TRANSFORMATION DE FOURIER
233
transformée de Fourier d'une distribution quelconque T^SVJj comme
une nouvelle distribution. On peut voir en effet que toute définition
acceptable de 5T donne à cet élément des propriétés incompatibles
avec celles d'une distribution. Précisons. Une définition acceptable
de la transformation de Fourier doit être d'une part telle que Tt soit
une transformation linéaire continue, d'autre part telle que, pour
généraliser une propriété classique de la transformation de Fourier
usuelle,
(VII, a ; 6) 3{x1) = ~~- (3T) (cas d'une variable, n = i);
en particulier, comme #(i)r=tî, mesure de Dirac :
*=(-&' *W=(--5.)V-
Comme la série 2) 2?/m ! converge vers e1 Uniformément sur tout
/ ! \ "> §'"»
compact, donc dans (Ü)'), la série Vf —— ) —- devrait converger
•"\ 2J7T ) m !
dans (£F>')r vers ^(e1). Mais cette série n'est pas convergente dans
(3)')r, car ses termes ne sont pas des dérivées d'ordre fixe de fonctions
continues (théorème XXII du chapitre m). Nous sommes donc
amenés à dire que :
i° La transformation de Fourier ne pourra être définie que pour
les distributions appartenant à un sous-espace (if)x de ((iv)x; la
fonction ex n'aura pas de tiansformée de Fourier.
2° Il faudra munir (i!')x d'une topologie plus fine que celle de ('S>')x,
pour que .9 puisse être une transformation linéaire continue. Dans
cette nouvelle topologie, une série telle que ^af/ml ne devra pas
converger.
Des transformations de Fourier pour des distributions non
tempérées ont été étudiées dans le cadre des fonctions généralisées par
Gelfand-Shilov [i].
§ 3 L'espace (y ) des fonctions indéfiniment dérivables a
DÉCROISSANCE RAPIDE SUR R"
L'espace (if) Soit (if) l'espace vectoriel des fonctions numériques
9(x) sur IV, indéfiniment dérivables au sens usuel, et décroissant.

234
pour la;.-»- oo. plus rapidement que toute puissance de î/[a;|, ainsi
que chacune de leurs dérivées.
(VII, 3; i) lim \xkD"^(x)\=o.
fr(*-oo
oourtout p=\p,*Pt> ■ ■ • pn\' e* tout entier k^-o.
On peut encore dire : si f€(ß), tout produit d'un polynôme P(a;)
par Q*<p, où Q est un « polynôme de dérivation » [voir formule
(V.1, 3 ; 33)}, est une fonction continue bornée.sur R\ et
réciproquement; ou aussi, si <p€(^). toute dérivée Q*(Pç>) du produit de <p par
tout polynôme P est une fonction continue bornée, et
réciproquement. La fonction sera dite, pour abréger, « indéfiniment derivable
à décroissance rapide ». (2)) est évidemment un sous-espace de (if).
Nous introduirons dans (if) une topologie : des o.€(tf) convergeront
vers o dans (tf), si, quels que soient le oolynome P(x) et le polynôme
de dérivation Q, lesP(Q*ç>y) convergent vers o uniformément dans R";
ou encore si, quels que soient P et Q, les Q + P^ convergent vers o
uniformément dans Rn (Comme toujours, aucune uniformité n'est
requise relativement à tous les polynômes P et Q). Un système
fondamental de voisinages de o dans (£f) est défini par '.es V(m ; k ; e),
m, k, entiers ^. o, e nombre "> o; <p€V(m ; k; e), si <p€(if) et si
(VE, 3 ; 2) l(i+ r*)kD>y(x)\ < e,
pour foute dérivée d'ordre \p\ <[ m.
Mais on voit même aisément qu'une seule inégalité, vérifiée sur
h", telle que
(VII. 3 ; 3)
1 &""1? '< 5 r,
,toröxJ,...to:,^(n-^)N(n-x0N...(n-xi)N °U ^(i+r')1"
entraîne, si m et N sont assez grands et n assez petit, le système des
inégalités (VII, 3 ; a).
En effet, pour toute fonction <!/€(#), une majoration d'une dérivée
donne une majoration de la fonction, du fait que <t peut s'écrire
(VII, 3; 4)
y~J m ('»•*»• •—*»)*• P°ur *i<°- et
J* M^'*» X*)dl> pOUr x'^°-

TRANSFORMATION DE FOURIER
235
Un ensemble Be (if) est borné si, qneîs que soient le polynôme
P(x) et le polynôme de dérivation Q, les P(Q*<p) (ou les Q*Poj,
cpéB, sont des fonctions continues bornées sur R" dans leur ensemble ;
et réciproquement.
L'espace (if) est localement convexe, complet, et à base
dénombra ble de voisinages. Tous les théorèmes démontrés au § a du
chapitre ni relativement à l'espace (!i>) sont vrais aussi pour l'espace (if) ;
en particulier (if) est un espace de Montel, où il y a identité entre
ensembles bornés et ensembles relativement compacts. En effet, si B
est un ensemble borné dans (if), alors, quels que soient P et Q, \es
?(Q*<y), ?€^i sont bornées par une même fonction tendant vers o à
l'infini, donc ou est ramené, pour démontrer la convergence
uniforme sur IV, à démontrer ^a convergence uniforme sur tout
compact; on emploie alors le théorème d'Ascoli, comme au
théorème VII du chapitre ni.
Nous admettrons-sans démonstration la propriété suivante :
Pour qu'un ensemble B de (if) soit borné, il faut et il snjjfit qu'il
existe une fonction continue ^ o, fc(x), décroissant plus vite, pour
|xj—» oo, que toute puissance de i/|a?i, et une suite de constantes ^ o,
kp, telles que l'on ait, pour toute <pçB :
(Vil, 3; 5) |D>?(a.)l<yc(x).
Interprétation géométrique II est intéressant de donner une
autre interprétation de l'espace (if). Considérons la sphère S" à n
dimensions, avec la structure différentiable qu'elle possède comme
sphère de l'espace euclidien R"*', à n-f-i dimensions. On sait
qu'on peut représenter S" par l'espace R" augmenté d'un point à
l'infini, u, la structure différentiable étant, à distance finie, celle de
R", et au voinage du point u, celle que l'on obtient sur R" au
voisinage de l'origine par une inversion de centre origine. Comme S" est
compacte, (Ji*)s« est simplement l'espace de toutes les fonctions
indéfiniment différentiables sur S", il a une base dénombrable de
voisinages (chap. î ; $ 5, 3").
Comme R" est un ouvert de S", toute fonction ç sur S" a pour
restriction une fonction ç sur R".
Théorème II L'espace topologique (if) sur R" est isormorphe,
par la correspondance entre <y et "p, au sous-espace vectoriel fermé
(2))sn de l'espace (2))s«, constitué par les fondions ç qui sont nulles ainsi
que toutes leurs dérivées successives au point to.

236
Naturellement sur S" on ne peut pas parler de la dérivée d'une
fonction en un point, sans fixer pour quel système de coordonnées
locales; mais on peut parler d'une fonction ayant toutes ses dérivées
successives nulles en un point, parce que c'est une propriété
indépendante du système de coordonnées locales choisi.
Pour une fonction <J>€(^)» nous définirons son prolongement 9 sur
S", par 0(0)1=0. Cette fonction 9 est évidemment indéfiniment
derivable sur S" sauf peut être en u ; montrons que toutes ses
dérivées convergent vers o quand x tend vers u. Une inversion de
centre O transforme ?.e point x en x', la fonction o en <p' ; on a
(VII, 3; 6) xf = *;//': aj = a^r" ; ?'(»') = ?(*).
Les dérivations successives donnent la majoration
(VII, 3; 7)
ID5?'(x;)!<Kinsup.;D«<p(x)j(i-f-r2)'n, pour l/>|< m.
Iïl<m
Mais ouisque, pour jae| —*- 00, toutes les dérivées successives de <p
convergent vers o plus vite que toute puissance de i/r. toutes les
dérivée successives de o'(x') convergent bien vers c à '"origine. Alors
ç'(x') est encore indéfiniment derivable et a toutes ses dérivées nulles
a l'origine, de sorte que 9 appartient à ('■£%», et a toutes ses dérivées
nulles en u ; yç([£)s».
b) Réciproquement, si 9 appartient à (fi))s», sa restriction <p à H"
est indéfiniment derivable sur R". Comme 9 a toutes ses dérivées
nulles en w, c'est-à-dire que Dr<j/(x'), pour tout p, converge vers o
plus vite aue toute puissance de r1 quand x' tend vers o, la même
majoration (VII, 3; 7), où l'on intervertit x et x\ r et r', <p et 9',
montre que Dpo(x) tend vers o, pour |xj-^- oc, plus vite que toute
puissance de i/r, donc ?€(#) sur R".
Enfin l'isomorphisme entre (if) et (^)s» est topologique. La
convergence de 9 dans (if) et celle de 9 dans (d))s„ sont équivalentes d'après
(VII, 3 ; 7).
Ce théorème permet de réobtenir toutes les propriétés de (if) a
partir de celles de (<3>)s». La sphère S" ne joue pas 'à un rôle
particulier, n'importe quelle « compactification » assez régulière <lc R"
jouerait le même rôle. Un cas important sera celui de 1 espace projectif
réel P", réunion de R" et d'un « hyperplan à l'infini » u.
Si des 9,e(Œ)) convergent vers 0 dans l'espace topologique >''j)),
elles convergent a fortiori vers 0 dans (dj). La réciproque est fausse;

TRANSFORMATION DE FOURIER
237
Ja topologie de (2)) est strictement plus fine que la topologie induite
par ((]).
Théorème. III L'espace (2>) est dense dans l'espace (6J).
Considérons en effet une suite de fonctions a;, j=i, a, ... à
supports compacts, telles que les fonctions Xj— i convergent
uniformément vers o sur tout compact pour j—*-ao ainsi que
chacune de-leurs dérivées, et'que ces fonctions restent uniformément
bornées sur R", ainsi que chacune de leurs dérivées. Alors, pour
toute o€(tf)> les *;? €('^) convergent pour j—>- oo vers <p dans la
topologie de (tf), c. q. f. d.
Ce théorème est aussi évident sur la sphère S" : il revient à dire
que le sous-espace de (U))s» formé des fonctions nulles au voisinage
de w est dense dans ('S>)sn.
§ 4 L'espace (y') des distributions à croissance lente ou
tempérées.
(.'D. dual de (.?).
Nous appellerons (If') le dual de l'espace topologioue (if), c'est-à-
dire l'esD»ce des formes linéaires T(ç) définies pour <?€(»f) et
continues : si des ??_, convergent vers o dans (if), et si Té(if'), les
nombres complexes T(cpy) doivent tendre vers o.
Si T€ijf), T(^) est à fortiori définie pour 9€(if) ; d'autre part, si
des Ojt{'P) convergent vers o dans (CD), elles convergent aussi vers o
dans (.'f).; donc les T(ç;) doivent converger vers o. Cela prouve que T
définit une distribution ordinaire T., appartenant à QS/). Cette
distribution T. détermine entièrement T, car T(<p) est connue pour
toute 9€l^>, donc pour toute yt\$), puisque (if*) est dense dans (if)
(théorème III). Nous pourrons donc dans ce cas identifier
complètement T et,T., considérer tout élément de (if') comme une
distribution, et l'espace {'J') comme un sous espace vectoriel de ('S)').
Une distribution quelconque Té (ffX) n'appartient pas à (if); par
exemple la fonction e* n'apoartientpas à (if), comme nous le verrons
plus loin. Bien évidemment (i'-')c(if).
Une distribution €(«(f) sera appelée à croissance lente ou tempérée.
Nous verrons plus loin pourquoi (Théorèmes VI et VII).

238
Théorème IV. — Pour qu'une distribution T^SY) appartienne à
(if'), il faut et ilsuffit qu'elle soit une forme linéaire sur ('J)), continue
relativement à la topologie induite par celle de (if) sur ('J)).
La condition est évidemment nécessaire. Elle est aussi suffisante,
car alors T(ç) est une forme linéaire continue sur (:i)), sous-espace
dense de (if), donc pro'.ongeab'.e d'une manière unique en une forme
linéaire continue sur (if).
Nous introduirons dans (if') une topologie, celle de dual de (if),
(chapitre m, § 3). (if) est complet, localement convexe, à base non
dénombrable de voisinages. Il possède toutes les propriétés
démontrées pour (:iv) au § 3 du chapitre in (à l'exception évidemment du
critère de convergence, théorème XVI). En particulier^') est un espace
de Montel où les ensembles bornés sont relativement compacts; (if)
et (if') sont réflexifs, chacun est le dual de l'autre.
On peut donner une autre interprétation de (if).
Interprétation géométrique de (if).
Le théorème III permet de montrer ce qui suit :
Théorème V Pour qu'une distribution Tç(j^') appartienne à
(if), il faut et suffit qu'elle soit la restriction à IV, considéré comme
ouvert de la sphère S", d'une distribution T sur la sphère S".
l'^La condition est suffisante. Si T est une distribution sur
S\ T(9) est une forme \inéaire continue sur (^)s„; donc a fortiori
sur le sous-espace (^)s„ des fonctions nulles en u ainsi que toutes
leurs dérivées ; alors la restriction T dé T à H", définie, pour (p€(iP)R«,
par T(9) —T(jp), est définie et continue, non seulement sur('j)) mais
encore sur (if), donc T appartient à (if').
2° La condition est nécessaire. Si T est une distribution ((if) sur
R\ elle est une forme linéaire continue sur (if), donc sur le sous-
espace vectoriel ('^)s„. Alors, d'après le théorème de Hahn-Banach,
elle peut se prolonger enune forme linéaire continue sur (Ü))s„, c'est-
à-dire une distribution T sur la sphère S", Cette distribution T n'est
évidemment pas unique ; on peut '.ui ajouter n'importe quelle
distribution nulle sur (ii))s„, c'est-à-dire de support ponctuel u. D'ailleurs
ls théorème VII exprime simplement que, (if) étant isomorphe à un
sous-espace fermé ("j))s„ de ("J))s., sou dual (if') est isomorphe au quo-

TRANSFORMATION DE FOURIER
239
tient de (SÖ^ s„ par le sous-espace orthogonal à (2))s». On peut voir
qu'il s'agit là d'un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques.
Comme nous l'avons fait remarquer page 236 ?.a sphère S" ne joue
pas là un rôle particulier. On peut, par exemple, la remplacer par
l'espace projectif P".
Caraclérisation des distributions tempérées par leur croissance
Nous allons maintenant étudier la structure concrète des
distributions €(£?')• Le théorème qui suit s'étend à un ensemble borné ou à
une suite (ou un filtre à base bornée ou dénombrable) convergeant
vers odans (3").
Théorème VI Pour qu'une distribution T€(®') soit tempérée, il
faut et il suffit qu'elle soit une dérivée d'une fonction continue à
croissance lente au sens usuel, c'est-à-dire d'une fonction qui est le produit de
P(x) = (i -+- r2)*/2 par une fonction continue bornée sur R" :
(VII, h; i) T = iy[P(aryX*)] = Dp((i-Hr,)^/(*)).
a° Pour qu'une distribution T appartienne à (if), il faut et il suffit
que toutes ses régularisées T*a, «€(Ü)), soient des fonctions continues
à croissance lente; il existe alors un nombre réel k tel que les
(T*a)/(i -+-r*)kli soient toutes des fonctions continues bornées sur R".
3° Pour qu'une distribution T appartienne à ($'), il est nécessaire
qu'il existe un nombre réel k tel que la distribution T/(i -+- r*)*1* soit
bornée sur Rn(t(&/), voir chapitre vi, § 8), et suffisant que pour toute
fonction <?(4ß), 9T soit bornée sur R".
4° Pour qu'une distribution T appartienne à (if'), il est nécessaire
qu'il existe un nombre réel k tel que les distributions t4T/(i -f-IAf)w*
soient bornées dans (H)'), et suffisant que, pour toute fonction numérique
c(h) à décroissance rapide pour JAj-»- 00, les c(h)rkT soient bornées
dans(ß').
C'est ce théorème qui justifie le nom de distributions à croissance
lente. Il montre en particulier, comme nous l'avions dit au § 2 :
a) que ex (cas d'une variable, 11 = 1) €(#'), car aucune de ses
primitives n'esta croissante lente;
oc
b) que la série ^ar^/m ! (même cas, n = 1) n'est pas convergente
u . m
dans (if'), car les sommes partielles ]£ ne sont pas, même après un
a
nombre auelconque d'intégrations, bornées par un polynôme.
D'autre part, toute distribution tempérée est d'ordre borné sur R".

240
Raopelons qu'on peut remplacer 2° par un théorème p'us fin (voir
théorème XXII du chapitre vi).
Nous démontrerons le théorème dans l'ordre suivant :
a) Si T€(i/'), il existe k tel que T/(i -t-r*)1"1 soit une distribution
bornée sur IV. En effet T(?) est borné lorsque 9 parcourt un
voisinage de o dans (tf); donc il existe un entier m et un nombre A: réel
tel que, si les (1 H- r*) ' 9j convergent vers o dans (Ü\,) (chapitre vi,
§ 8), les T(o,) convergent vors 0. Mais
(VII, 4 : a) T(ç) = [T/(i -+- r*)«*}.(.-+- r»)**? ;
cela prouve que T/(i -+-r*)m est une forme linéaire continue sur
(,°J)L,), donc €($')• La structure des distributions bornées sur R"
(chapitre vi, théorème XXV, p= 00) montre alors que T est somme
de dérivées de fonctions continues à croissance lente ; par
intégration on pourra ramener cette somme à une dérivée unique (mais
avec une valeur plus grande de k). La réciproque étant évidente,
cela prouve (i°).
Remarque Si, au lieu d'une distribution, on avait une suite
Ty convergeant vers o dans (ß'), on prouverait seulement (voir
page 20a, remarque 20) que les Ty/(i -*- r1)*'1 convergent faiblement
*+'
vers o dans ($') ; on en déduirait que les Ty/(i -f-O * convergent
fortement vers o dans ($>')■
b) Si, pour toute ç€(tf), 9T est dans ($'), on a aussi
n-H
(VII, 4 ; 3) 9T = (-L-^ ' [((, H-^^çJïk^)
(théorème XXVI (î°)dnf chapitre vi). On peut alors poser, pour ç€(tf),
(VII, 4; 4), T.9 = ?T(i)=J^..-/*?T.
T. 9 est une forme linéaire sur Qf), continue parce que limite de
formes linéaires continues avT. 9, av€(^) (théorème de Banacli-
Steinhaus ; voir théorème XX du chapitre vi). Donc Tt(if'). a) et b)
prouvent (3°).
c)-Si T€(y), son expression suivant (VII, 4 ; 1) montre que les
rh^/(l -+-IAI*)*'1 sont bornées dans ÇSf). Réciproquement, s'il en est
ainsi, alors (chapitre vi, théorème XXII) il existe un entier m ^ o,
tel que, pour toute a€('i>£), les T/.(T « *)/( * -+-\h?)k/* soient, sur un

TRANSFORMATION DE FOURIER
241
cuvert Ü relativement compact, des fonctions continues bornées ;
cela revient à dire que (T*a)/(i -h r1)1"- est une fonction continue
bornée sur R", ou que T*x est à croissance lente; la formule
(VI, 6 ; 22) montre alors que l'on a (VII, 4 : ')> donc que T€(#").
d) Si, quelle que soit la fonction c(h) à décroissance rapide pour
1/1 -*- oc, les distributions c(A)taT forment un ensemble borné dans
1 S*'), alors les nombres c(h)rhT. o sont, pour h$]\n, bornés oour toute
o€('-î\) fi^ee; autrement dit la quantité t,.T . <p est, oour toute (^(^k).
une fonction de A à croissance lente. Montrons que cette croissance
est uniformément lente lorsque o parcourt (^K). Pour h fixé, la
quantité
(VII, £ ; o) loglrj . ol/log \Z^\hi>
est une fonction continue de <f€(Q)K). En vertu de l'hypothèse, ces
fonctions continues de o sont, lorsque h varie dans R", bornées dans
leur ensemble oour toute 9 fixée. Donc, d'après un théorème
classique de Baire('), ces fonctions de <p sont bien bornées dans leur
ensemble sur un ouvert convenable de (^k)- Soit A: la borne
supérieure. Alors les ?,,T/( 1 -+-1 h?)k/i sont bornées pour toute <p€(£PK),
donc aussi pour toute o€(^), et par suite forment un ensemble borné
dans (IP'), et d'après c), T((if).
Alors c) et d) démontrent 4".
e) Supposons que, pour toute »€('■£). (T**) soit à croissance lente
(cette croissance pouvant a priori dépendre de a). Alors, pour toute
fonction c(/<) à décroissance rapide, les fonctions c(/i)ta(T » a) Sont
bornées sur tout compact de I\" pour a fixe. Cela prouve (théorème XXII
du chapitre vi) que les distributions c(h)rhT sont bornées dans Ci1');
('/) prouve -alors que T€(',v). Alors (i°) et (e) prouvent (20).
Remarque La borne inférieure des valeurs de A: possibles dans
ce théorème peut être appelée l'ordre de croissance de T à ''infini.
Toutes les définitions donnent la même valeur de A-, si pour (1°) on
prend une so'mme finie de dérivées.
Mesures positives tempérées Nous dirons qu'une mesure <t.
sur R" est à croissance lente dans l'espace (C) des mesures, s'il existe
un entier / tel que l'intégrale
(V.I.4.6, Jj-ft^y
{,'■ Vi.ir UuvitD4Xi |'J|, S ."). i>° 4, Ibrorriin- i, |Mi|fr 111

242
soit convergente. Cela revient à dire qu'il existe on entier l tel que
l'intëgraîe
(VII, 4; 7) ff--frJM
soit 0( A*") pour A —*~ oo ; ou encore que ;x est le produit d'un polynôme
par une mesure sommable sur R".
Théorème VII Si {/. est une mesure sur R\ pour qu'elle soil
dans (if) il est suffisant, et nécessaire si elfe est ^ o, qu'elle soit à
croissance lente dans (C).
La condition est évidemment suffisante, démontrons qu'el'e est
nécessaire. En utilisant la même méthode que pour le théorème
précédent, on voit d'abord qu'il doit exister un voisinage de o dans
(if), défini par l'inégalité
(VII, 4; 8) !Dpç(x)!(i-f-/•*)'< y. pour toutp tel que !/>|<m,
sur lequel ,u. est bornée par î. Or si nous considérons les fonctions
«y"^o utilisées au théorème III, les fonctions exy/(i-f-ra)'€(2))
vérifient (VII, 4 ; 8) pour e assez petit. Donc on a, pour touty,
(VII, 4,9) ^.r„y/(, + l*)n = <jJ...y,_5Ä_<1.
En passant à la limite pour j —*~ oo, puisque {/. ^ o. on en déduit,
'"(VII, 4, ro) ff- - ■fdy./ii -+-/•»)< < i/e.
Pour un ensemble borné de mesures I> o dans (K'), /et t seraient
fixes. Rien d'analogue pour une suite convergente. D'autre part
aucune condition nécessaire du type ci-dessus n'existe pour des
mesures non ^"> o. Ainsi, sur la droite (n=n), la mesure ,a définie
comme suit
(VU, 4, II) ;x = 2,0,(8,,^-S,,,)
est à croissance lente dans ('JV) c'est-à-dire €(.'f), si la série 2!a,|e,est
convergente (car, toute o(4ß) ayant une dérivée bornée sur R1, on
peut majorer [;■/.(?)( par S'a.(£< ^ax- '?'')' °r ceIa permet de prendre
la suite des a, aussi rapidement croissante qu'on veut, pourvu que
la suite e, tende assez rapidement vers o. D'ailleurs une somme de
doublets te"e que 5A*'</> est un cas limite du précédent, si la série
2)j6,! est convergente.

TRANSFORMATION DE FOURIER
243
Un théorème de prolongement
Le théorème VII est un cas particulier d'un antre beaucoup plus
général sur le prolongement des distributions, que nous nous
contenterons d'énoncer ici :
Théorème VIII Si V" est une variété indéfiniment différenliable,
munie d'une métrique riemannienne, £2 un ouvert de V", ft une mesure
définie sur Ü, pour que [/. soit prolongeable en une distribution!! sur V",
il est suffisant, et nécessaire si f/.^> o, que, quelque soit le compact K
deV", l'intégrale
(VII, 4; ») ff--fKJ^)lW
soit convergente pour l assez grand, a\x) étant la dislance de x à la
frontière Q de Ü.
Évidemment p. n'est prolongeable par une mesure que si on peut
prendre /= b.
Dans le cas de la sphère S\ on pourra prendre une métrique
riemanienne où la distance d'un point xçR" à cd soit i/yi-t-r*; avec
Vn = S", Q = R", on retrouve le théorème VII.
§ 5 Opérations algébriques dans l'espace (d/'} des
distributions TEMPÉRÉES
On définit sans difficulté le produit tensoriel de i distributions
tempérées ; c'est une nouvelle distribution tempérée et les théorèmes
démontrés au chapitre iv »ont encore valables. Pour définir la
multiplication et le produit de composition dans (if'), nous sommes amenés
à introduire de nouveaux espaces vectoriels, (0M) et (ÖJ.)-
Les fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente, Vespace
(Pu)
(^m) 8era l'espace des fonctions « indéfiniment dérivables à
croissance lente ». Pour que a€(tfM), il faut et il suffit que aÇ(8) et
que toute dérivée Dpx soit majorée par un polynôme (dont le degré
peut dépendre de p) ; ce qui revient à dire que le produit /LVa de
toute dérivée D'à par toute fonction /€(tf) est borné sur R". On
définira une topologie sur (ÔM) de la façon suivante : des *j£(0M)
convergeront vers o si, quel que soit p et auelle que soit la fonction
/€(#"), !e produit ^x)Dpa/{o;) converge vers o, uniformément sur Rn.

244
rCette convergence est naturellement uniforme par rapport à J si /
reste bornée dans (if)]- (ÖM) est un espace vectoriel complet
localement convexe, à base non dénombrable de voisinages. Pour qu'un
ensemble Bc(0M) soit borné, il faut et il suffit que, pour tout p, les
Dpa, a€B, soient majorées par un même polynôme pouvant dépendre
de p. Pour qu'une suite (ou un filtre à base bornée ou dénombrable)
x converge, vers o dans (<\)> i' faut et il suffit que, pour tout p, les
DpXj soient produits d'un polynôme Pp (dépendant de p, non dey)
par des fonctions convergeant uniformément vers o sur R\
Les distributions à décroissance rapide, Tespace (Q'c)
L'espace (d'c) est l'espace des « distributions à décroissance
rapide ». Une distribution T appartient à (ô'c) si, quel que soit k,
(H_r2)*/2T est bornée sur Hn [c'est-à-dire €($') ; voir § 8 du
chapitre vi]. Nous munirons (ô'c) de la topologie suivante : des
Tj€(<3c) convergeront vers o dans (0'c), si, quel que soit k, les
(i -f- r2)'t/2'T/- convergent vers o dans ($').
Théorème IX Pour qu'une distribution T appartienne à (ô'c) :
1° II faut et il suffit que, quel que soit k J> o, T soit somme finie de
dérivées de fonctions continues dont le' produit par (i -f-r2)*'2 soit
borné sur ri", au sens usuel;
2° Il faut et il suffit que, quelque soit k^.o, l'ensemble de distributions
(i -f-'/iiyVT soitborné dans (3)') ;
3° Il faut et il suffit que, pour toute *€($), T** soit une fonction
continue, à décroissance rapide à t infini.
La démonstration de ce théorème est immédiate, avec les méthodes
des § 7 et 8 du chapitre vi ou celles du théorème VI du chapitre vu.
Il se généralise de la manière habituelle à un ensemble de
distributions borné dans (0'c) et à une suite (ou un filtre à base bornée ou
dénombrable) convergeant vers o dans (Ô'c).
Remarque importante Soit T€(0ç)- Quel que soit k, il existe un
entier m tel que, pour x€(l?m), T*x soit une fonction continue dont
le produit par (i -f- r2)*/2 soit borné sur R" ; mais m augmente avec k
et, pour m fini, T*a peut ne pas être une fonction continue à
décroissance rapide, tandis qu'elle l'est toujours pour in= oo, aÇ^).
Notons aussi crue (<%) n'est pas le dual de (flM) (Voir exemple).
Ajoutons enfin la relation suivante entre les espaces (!if),
00- (ÖM),/Öe):.
Pour qu'une distribution soit dans (i!'), il faut et il suffit que toutes

TRANSFORMATION DE FOURIER
245
ses régularisées T * a, a€(2)), soient dans (0M) ; pour qu'une
distribution soit dans (Oc), il faut et il suffit que toutes ses régularisées
soient dans (if).
On pourrait considérer le dual (0'M) de (0M). et un espace de
fonctions indéfiniment dérivables (Oc) dont (0^) est le dual. Ces
espaces ne semblent pas jouer de rôle important. Par ai'îeurs il n'est
pas certain que (0M) et ((%) possèdent les propriétés générales des
espaces vectoriels, vues au chapitre ni pour (i!t>) et (S)').
Exemple Considérons (pour n= i) la fonction
(VII, 5; i) f(x) = exp(iicxt).
fé(&) ; elle est bornée sur R", mais ses dérivées ne le sont pas, de
sorte que fä(ß). On voit immédiatement que fé(ôM), sa dérivée
d'ordre m étant le produit de exp(nrxa) par un polynôme de
degré m, Hm(ar).
Par ailleurs/(£(0C),. car, quel que soit m^o, son produit par
(i -t-x2)"1 est une distribution bornée. Soit en effet 2) \Hv(x) le
développement de (i -t-a.*)"1 suivant les polynômes Hv(x). On aura :
(VII, 5 ; a) (i -+- x'y exp(iW) = S \f, [«p(«rx2)^(&')-
En divisant par (i -f-xs)m, on en déduirait, par des intégrations
par parties, que exp (inx*) est somme finie de dérivées d'ordre ^ am
de fonctions majorées par G/( i -+- x*)m ; mais elle n'est pas somme
finie de dérivées de fonctions continues à décroissance rapide. Ses
régularisées T*a, pour a€(ü4)), sont à décroissance rapide, mais non
ses régularisées par x€(ß)m), qui ont seulement la propriété de
décroître, pour jxj-»-ao, comme des puissances de i/|x| d'autant
p'us grandes que m est plus grand (au moins comme i/'xf").
Cet exemple montre clairement pourquoi (0M) et (ö'c) ne sont pas
en dualité. Car / et J"(x) = exp(—mk?*) appartiennent toutes deux
à (0M) et (ö'c), etf^f(x)f(x)dx = -+- oo.
La multiplication dans (if)
Les espaces (0M) et (0'c) seront des espaces d'opérateurs sur ($') ;
(0M) l'espace des opérateurs de multiplication, (ô'c) l'espace des
opérateurs de composition.
La multiplication aT se définit comme au chapitre y. Mais on ne
peut plus prendre «€(8) que'conque, sans quoi aT ne sera plus

246
dans (if). On voit immédiatement que si T€(if'), x€(0M), xT
appartient à (if'), car la formule
(VII, 5 ; 3) aT. <p = T. aa, <p€(tf),
a toujours un sens, a<p appartenant aussi à (if).
Ce produit de multiplication possède les propriétés énoncées au
chapitre v ; en particulier on a évidemment :
Théorème X L'application bilinéaire (a, T) — aT de (0M) X (cf )
dans (6p) est hypoconlinue. Le produit d'un nombre fini quelconque
de distributions 6 (cf'), qui toutes, sauf une au plus, sont dans (0M),
est associatif et commutatif.
Soit x€(8). On peut montrer aue si, quelle que soit T€(if), «T
est aussi dans (if'), alors a€(0M). Autrement dit, l'espace (0M) est
l'espace de tous les multiplicateurs sur (if'). De plus, si des a,€(0M)
sont tels aue les clJÏ convergent vers o dans (if'), uniformément
lorsque T reste bornée dans (if'), alors les a, convergent vers o
dans (0M).
(0M) a donc la topologie induite par l'espace if(if', if') de tous les
opérateurs continus de (if') dans (if'), muni de la topologie canonique
de la convergence uniforme sur les parties bornées.
La convolution dans (if').
Le produit de convolution est un plus délicat à définir. On peut
toujours considérer S*T, S€(£'), T€(if), et il n'y a aucune difficulté
à voir que S*Ï€(if'). Mais, du fait que la croissance à l'infini de T
est limitée, S n'a plus besoin d'être à support compact; nous allons
voir qu'on peut prendre S€(0é)- Considérons, en effet, le produit
scalaire
(VII, 5;4) (SçxT,).?($-+-„).
certainement défini pour S€(8'), T€(iP), <p€(3>).
Nous allons montrer que si on place sur (£') la topologie induite
par (0'c), sur (Û') sa propre topologie, sur (3)) la topologie induite
par (£j), ce produit scalaire est hypocontinu-.autrement dit si deux
des quantités S, T, <p, restent bornées, la 3e convergeant vers 0,
le produit trilinéaire converge vers 0.
Démontrons, par exemple, qu'il converge vers o si <p reste bornée
dans (if), T dans (if'), et que S converge vers o dans (0'c). Comme
T reste bornée dans (if'), elle s'écrit
(VII,.5;5) Tn = D^(i-H,rH,(')]-'

TRANSFORMATION DE FOURIER
247
où p et k sont fixes, f(n) est une fonction qui reste continue et
bornée par un nombre exe sur R* (formule VII, 4 ; i). Alors
(VII, 5; 6)
DgT,. & + *)] =(- ijp,ff- ■ -/(i H-i^rTA»)^**9(Çh-h)*.
Mais on a, cruels que soient £ et ■», la majoration
(VK, 5; 7) l-Hr,P<C(i -hj^Xi-H^H-r.f)
d'où
(VII, 5; 8) ;D?[T,.^-hr,)l!<Gt(i-r-|$Pr
XÎT- • •/!DP>(S+*)I(» -HS-h <)*"<*„.
L'intégrale qui figure au a' membre est indépendante de £ et vaut
ß'...f\DP^<f{t)\(i-i-\^)klidt, et elle est bornée, pour p, q, k
donnés, quand <p varie dans (if) en restant bornée (§ 3).
A.Iors la fonction indéfiniment derivable 1(£) z= T . <">(£-*- "«) vérifie
une suite d'inégalités
(VH, 5 ; 9) ID'I($)!< A/i -HS.T*-
Pour / quelconque, on oeut écrire
(VU. 8; io) Sf.I(?)=(i -HSf)H.(i_f|T-
Mais, en vertu de (VII, 5 ; 7), la fonction l(l)/(i-*-\l?)"3 reste
bornée dans L^l"), ainsi que chacune de ses dérivées, si /"> k-+■ n;
elle reste donc bornée dans l'espace (2)L,). D'autre part, S
convergeant vers o dans (0'c), (1 -Hî^f*)'/2Sç converge vers o dans ($■*), quel
que soit /; le produit scalaire du a* membre, d'après la dualité entre
(ä)L,) et (S'), converge donc bien uniformément vers o, c. q. f. d.
Les deux autres cas se démontrent de façon analogue.
A'ors on voit que, par prolongement, on peut définir, d'une
manière unique, (SçOT,).ç(Ç-»-fl)=:(S«T).-?, pour SÇ&C), TtQT).
o€(tf) ; alors S*T est dans (if) puisque forme linéaire continue
sur (y). On peut finalement énoncer :
Théorème XI On peut définir, d'une manière unique, le produit
de convolution S * T, Se(0'c), Te(<f), c'est une distribution de (£/).
L'application bilinéaire (S, T) — S * T de (0'c) X (£/') dans {Çf)
est hypo continue. Le produit de convolution d'un nombre fini quel-

248
conque de distributions de 1(f), qui toutes, sauf une au plus, sont
dans (Oc), est associatif et commutatif.
Dans l'énoncé de ce théorème, on peut remplacer, comme on le
verrait aisément, (y) par l'un quelconque des espaces (y1), (fD^),
(Œ)l»)> en particulier (&'). On verrait de même que la régularisation
(T, a) —► T * a est une application bilinéaire hypocontinue de
(Cf) X (y3) dans (0M), et de (Oc) X (of) dans (6?).
Remarquons enfin que la multiplication, considérée comme
application bilinéaire de (ÖM) X (ÖM) dans (0M), et la convolution,
considérée comme application bilinéaire de (Oc) X (Oc) dans
(Oc), sont non seulement hypocontinues, mais- même continues.
(C'est évident pour la multiplication; pour la convolution, c'est
moins simple, mais le théorème XV ramènera l'une des propriétés
à l'autre.)
Exemple La distribution L, de la formule (II, 3 ; ao) est dans
(0c), puisqu'elle décroît exponentiellement à l'infini. Elle peut donc
êtreconvoluéeavec toute distribution de (if). En prenant /= 2k, on
en déduit que, quelle que soit Te(if'). il existe une distribution et une
seule S, qui soit dans (if') et vérifie (1 — — \ S := T.
Pour K assez grand, Ltk est m fois différentiable, et ses dérivées
d'ordre <^ m décroissent exponentiellement à l'infini, de sorte que S
devient une fonction continue à croissance lente, ce qui donne la
décomposition de T suivant le théorème VI (i°), d'une façon
particulièrement simple :
(L*.T = S
(V,,'B;,,) ■>-(-£)'■■
Si maintenant Tf(Oc), S est une fonction pour k assez grand,
d'autant plus rapidement décroissante à l'infini que k est plus grand
(mais sans être en général à décroissance rapide, cruelle aue soit la
valeur de k).
§ 6 Transformation de Fourier des distributions timpéri'is
Nous nous appuierons sur les résultats connus de la
transformation de Fourier dans les cas élémentaires (§ a).
L'espace (if') des distributions tempérées sera le domaine par

TRANSFORMATION DE FOURIER
249
excellence de l'anaTyse harmonkfue. Nous distinguerons nettement
les rôles des a variables x et y, mais rien n'empêchera, quand on le
voudra, de les identifier : nous désignerons par (if)x, (if)r, (if%, (SP) ,
les espaces (if), (if), construits respectivement sur les espaces à n
dimensions X" et Y".
Soit u{x) une fonction Ç$)x ' e'Ie est sommable, donc elle a une
transformée de Fourier usueUe, définie par
(VII, 6 ; i ) v(y) =JT • • • fu(x) exp (— aiitx. y)dx.
Il est facile de voir que v(j)^)r. En effet :
a) La formale (VII, 6; i) peut être indéfiniment dérivée. Par
exemple
(VII, 6 ; a) — v(y) —jj- • •/b(i)(— aira,) exp (— amx. y) dx,
•fi.
l'intégrale du a' membre ayant un sens puisque x,o(x) est sommable.
C'est le fait que u soit à « décroissance rapide » à l'oo, qui entraîne
le fait que v soit indéfiniment derivable.
6) En sens inverse, une intégration par parties montre aue
(VII, 6 ; 3) aacyjofj) = ff • • • f -^ exp (— ahx .y) dx.
Le deuxième membre étant sommable, y1«(y)est bornée; en
continuant, on voit que 1e fait que u ait toutes ses dérivées successives
sommables entraîne le fait que v soit « à décroissance rapide à
l'infini ». H y a donc échange des deux propriétés. Si uÇ(if)x, elle
est à décroissance rapide ainsi que toutes ses dérivées, donc v a
toutes ses dérivées à décroissance rapide : «€(if)y.
Naturel'ement ici la formule de réciprocité joue
(VII, 6 ; 4) u(x) =ff- ■ -fv(y) e*P (-+-airar-y) dy<
et, pour des fonctions appartenant à (if)x et (ifr), la formule de Par-
seval est valable. Ajoutons que Je raisonnement même qui nous a
permis de montrer que uç(if)x entraine vç(i!)r montre aussi que, si
des Uj convergent vers o dans (if)x, leurs transformées de Fourier
Vj convergent vers o dans (if),, :
Théorème XII La transformation de Fourier usuelle 3
et sa conjuguée S établissent, entre les espaces topologiques (if)x et (if)r,
2 isomorpldsmes réciproques (et, si l'on identifie les variables x et y,
elles établissent sur (if) 2 automorphismes réciproques).

250
IL est maintenant très facile de définir La transformée de Fourier
r?.'une distribution tempérée quelconque U. Si U est une fonction,
ayant une transformée de Fourier usuelle V (par exemple si U est de
carré sommable), on a, quelles que soient ve(cfl et ,<bn image de
Fourier ue(</) u = 5v, u(x) = ( o(y) exp (— o.ït.x . y) dy la formule :
■;VII 6; 5) V„. x{y) = [x{y) dy f U(ar) exp (- zirzx.y) dx
= j l](x) dx ; c(y) dy exp (—znzx. y) dy = Vx . u,x).
ml V
ou
VII 6; 6ï ^U .v = U .Jv.
Mais si U est une distribution tempérée quelconque €(#')*< la
formule ci-dessus définit, (Tune manière bien déterminée et unique, une
forme linéaire V = J" U s"ur (f"/),.
Cette forme linéaire définit bien une distribution tempérée €(^')^;
car, si v tend vers o dans ($)r, u tend vers o dans (ß)x, donc le
2e membre de (VII, 6 ; 6) tend vers o, U étant tempérée, et par suite
aussi le premier : V est une forme linéaire continue sur (if)r, c. 0. f. d.
Cette définition absolument générale de La transformée de Fourier
redonne, dans les cas classiques, la transformée de Fourier classique,
puisque celle-ci vérifie (V", 6 ; 6) qui détermine V d'une manière
unique. Naturellement V ne peut être nulle que si U est nulle; car
si V = o le 1" membre de (VII, 6; 6) est nul quel que soit t>€(*0r
donc le 2' quel que soit «€(#)*• et U est nulle. D'ailleurs la formule
{\J\, 6; 6) est tout aussi valable si l'on remolace la transformation
de Fourier 9 par sa conjuguée 9 ; on peut l'écrire, respectivement
dans ces 2 cas,
(VII 6- i $«^««==U.^« = Ua,® «y.exp(—iiitx.y)
'7' (9V .v=U.3v = Ux®vy.exv(-+-2inx.y)Ç),
ce qui exprime que la transformation 9 de (if')x dans (if'),, est la
transposée de la transformation 9 de (if)y dans ($)x. Alors
(VII 6-81. p3fU.ü = £U.3fo = U.5i« = U.«
f ou 99M = U et aussi 99\ = V :
(*) C'est Li théorie précédente qui donne un sent & cette dernière expression, purement
formelle

TRANSFORMATION DE FOURIER
tF et !F sont réciproques l'un de l'autre; si V = JTJ, alors U = 5"V
et réciproquement, Bien plus, si des U,e (y% convergent vers 0
dan* (y ),, leurs images de Fourier V,- convergent vers 0 dans (y*),.
Kn effet si v parcourt un ensemble borné dans (y )„ u — J> parcourt
un ensemble borné dans (y°), d'après le théorème XII, alors les
Yj.u convergent uniformément vers 0, donc aussi les \f.v. On
peut done énoncer :
Théorème XIII La transformation de Fourier 9 et sa conjuguée
if établissent entre les 2 espaces topologiques (if% et (-f')r 2 isomor-
phismes réciproques ; si l'on identifie les variables x et y, 9 et 9
définissent dans l'espace topologique (tf') 2 automorphismes réciproques.
11 on résultera en particulier qu'on peut effectuer la transformation
de Fourier, terme à terme, sur une série convergente, ce qui est
impossible habituellement.
Notre définition de la transformation de Fourier dans (9") peut
encore s'exprimer comme suit.
La transformation de Fourier est classique dans (tf) ; 9 eat une
application linéaire continue de (i!)x dans (if)r ; mais elle est encore
continue quand on munit Qf)x et ($)y des topologies induites par (if")x
et S')„; c'est la formule (VII, 6; 6) qui le montre (si l'on y suppose
u, v, Vf, \j, e(S), et les \Jt convergeant vers o dans 'S')^. Alors 3"" est
prolongeable d'une manière unique en une application linéaire
continue de (S')x dans (S')„; et c'est précisément la même formule
qui donnera ce prolongement, cette fois pour u, v, dans (S) et U, V,
dans (S').
11 est souvent commode d'utiliser les transformations ' (symétrie :
voir chapitre vi, p. 9.3), ""(passage d'une quantité complexe à sa
complexe conjuguée), et "( composée, dans un ordre quelconque, de '
et "). On a alors les formules suivantes, classiques dans (if) donc
vraies dans (if) : / (SU)' = SU = 3 U
(VII, 6; y) ((0U)- = .*Ü = SÜ.
On appelle spectre d'une distribution €('^')x ^ support de sa
transformée de Fourier; c'est donc un ensemble fermé d'ailleurs arbitraire
de Y". Une distribution =^= o a un spectre non vide.
Transformation de Fourier et automorphismes de X" et Y"
Terminons ce paragraphe par une formule, qui est susceptible
d'une grande généralisation (').
l'i Voie Si AHi im 1.11 |1) et chapitre IX, § 6, formule (IX, 6; 12)

252
Soitx--»-H(x) un isomorphisme de X" sur lui-même, y-»-'H(^)
son transposé, isomorphisme de Y" sur lui-même. Soit \]^f')x une
distribution dont l'image de Fourier soil une fonction V(y) = .91)^,.
La distribution U possède par II une image directe IIU, définie
par HU.a(x) = U.a(K(x)) (ici a(!I(x))€(tf), parce que H est un
isomorphisme). Son image de Fourier est une fonction, qui vérifie la
formule
(VII, 6; io) *(HU) = VÇHG0).
En effet, d'après la définition,
(VII, 6; ii)
! 3(HU).t) = HU.5«= HU„.ff.. ./exp(— aircr.y)v(y)dy
| = \JX .ff.. ./exp [-2hx.<H(y)}v(j)dy
v =\Jx.jf...fexp(—wx.z)v(tir,{z))\àél.tll-l\dz.
L'intégrale multiple est une transformée de Fourier, donc, d'après
l'égalité de Parseval, cette expression vaut, Vy étant une fonction V(y)
(v.,.6;„, Y=ffJ f,mi))vm
ce qui démontre bien (VII, 6; io).
Remarque Si H était dégénérée, HU n'aurait pas de sens en
général, " n'étant pas « régulière à l'infini ». Si V n'est pas une
fonction, (VII, 6; io) est dénuée de sens. Si Ux est une fonction
U(x), remarquons que l'on a immédiatement
(VII, 6; i3) HU(*) = U(H-,(a.))!dét.H-»!.
En particulier, si H est l'homothétie de rapport X, on aura
(VU, 6; i4) 3(HU) = V(Xy),
et, si en outre U est une fonction U(x) :
(VII, 6; ,5) Jj./u(f-)1 = V(Xy).
formule bien connue.

TRANSFORMATION DE FOURIER
253
§ 7 Exemples (*)
Exemple i On a les formules suivantes :
rVTT n- ,\ )^<*> = e*p(—aiitÀ.y); 9[«p(akÀ.ar)] =.&,„
^vii, 7 • *> S / öS \ öS
r*(r-)= a^*; #(aijra;fc):=—— ■
Ces formules sont immédiates. Vérifions par exemple la 3*.
(VII, 7 ; a)
#(— V^OO—r~- M'"' fexP(— a««-yMy)<fy
\tecfc/ <&k JJ J
= jf ■ ■ ■ J(^ykHy)dy = 2inyk. v(y).
La Oropriété d'échange entre produit de multiplication et produit
de convolution qui sera démontrée au paragraphe suivant
(théorème XV) montre alors que l'on peut écrire, si \jç(i!')x, V = fJU :
$(rhh) = $(\h,*\J) = exp(—2i*h.y)V
(VII, 7 ; 3) ■
:KS)=^-)=—
Mais de toute façon ces formules se montrent directement.
D'ailleurs, classiques si \Jç(if)x, elles sont vraies par passage à la limite
pour U€(£?%. Elles prouvent, comme nous l'avons déjà vu pour des
fonctions de (0"), que la transformation de Fourier échange les
propriétés locales de différer.habilité et les propriétés de décroissance à
l'infini.
Exemple a Série et intégrale de Fourier
Soit T une distribution sur le tore T", associée à une distribution
T périodique sur R" (§ i). Elle possède alors des coefficients de
Fourier a<(T), donnés par la formule (VII, i ; i). T est donc
représentée par la série, convergente dans (£B% donc dans
(^\. Sai exp(ai7r/.x); une transformation de Fourier ternie à
terme montre ators que, sur R", sa transformée de Fourier 5T,
compte-tenu delà a* formule (VII, 7 ; 1), est £ a£(/); &T est formée
(') Lavoine [1] contient 73 pages d'exemples d'images de Fourier de
distributions; c'est à dire l'utilité que ce livre peut avoir pour les mathématiciens appliqués
et les ingénieurs

254
de masses discrètes, '.a masse a, au point /=j/f, l3, ..., /.J. La
propriété s'étend aux distributions presque périodiques si leur série de
Fourier converge dans (£?')*• Réciproquement, une distribution T
sur R\ dont la transformée 3T est formée des masses 6, aux points /
de coordonnées entières, est périodique, car
5(T.T—T) = j exp (— iM. x) — i ]3T = o ;
elle admet alors les 6, comme coefficients de Fourier.
Soit, en particulier, $ la mesure de Dirac sur le tore, identifiée à
la distribution périodique ]£^<.) sur R"'< ses coefficients de Fourier,
calculés sur le tore, sont tous égaux à i [formules (VII, i ; 5)1, de
sorte que
(VII, 7 ; à) ^S*(/)) = S»(/).
La formule de Parseval, appliquée à (VJl, 7 ; 4). est 'a formule som-
matoire classique de Poisson : si u(ar) et v(y) sont dans (if), v = ffu,
(VH, 7;5) S 11(0 = 2 »(O-
On peut naturellement étendre cette formule à des cas plus
généraux ('); il est intéressant de l'interpréter comme une formule de
Parseval. On sait qu'appliquée, pour n = 1, à u(ar) = exp (—rcte2),
v(y) z=l—— exp (—ny*/t), elle donnela formule de transformation des
fonctions 9 :
(VII. 7 ; 6) '"j "exp (-*/■*)='=£" ' exo(-?f-\
. = -» . = _«, y < \ ' /
Exemple 3 Transformée de Fourier d'une mesure (2)
Soit Uz^fx. une mesure à croissance tente [formule (VII, 4; 7)].
Si A est un ensemble mesurable borné de R\ la partie |/.A de la
mesure (a portée par A est sommable, et sa transformée de Fourier
3îfx.A est une foncti,on continue bornée ÇA(y). qui s'exprime par une
intégrale de Fourier usuelle. Mais, lorsaue A s'étend à l'infini dans
(') Voir par exemple Boghmer [i] p. 33-38. On ne connaît pas de conditions nécessaires
et suffisantes générales pour la validité de la formule de Poisson. Voir Boas [i], et
Borgen [iJ
(') C'est dans ce cas que pour n = i s'appliquent les méthodes de Bochner et Garlemax
(note i, page 2$x)

TRANSFORMATION DE FOUftfER
255
toutes les directions, de façon à finir par contenir fout ensemble
borné, f*A converge vers {/. dans (H')x (convergence « suivant
.''ensemble ordonné filtrant des parties mesurables bornées de R" »), à
cause de l'hypothèse de la croissance lente.
Alors 3fj/,A converge vers ffy. dans ($%, de sorte qu'on peut écrire :
(VÏT, 7; 7)
*0O =//■ ■ -fRn exp (- 2«. y)d:,(x) = ïmjf. • -/A •
Contrairement à la conception classique des intégrales multiples,
qui ne peuvent converger indépendamment de \a forme des volumes
A s'accroissant indéfiniment, que si elles convergent absolument,
l'intégrale ci-dessus converge alors que jj- ■ ■ /"lt/u.(a?)j = —f- oo ;
mais elle ne converge pas numériquement pour les diverses valeurs
de y, el'e converge, en tant que distribution tempérée en y, dans
{$')r Remarquons que [j. est \e produit (1 -f-ra)*i/ d'une puissance de
(. H-r2) oar une mesure v sommable, donc 5pt.= ( 1 ——;j 3v,
de sorte que l'intégrale qui figure dans (VII, 7 : 7) apoaraît comme
la dérivée (1——-) d'une intégrale absolument convergente,
donnant 9v ; $v est une fonction bornée, donc i_fy. est une distribution
bornée sur Rn[(f'ju^ß')r], et elle converge vers o à f infiniv !"%€($ ), voir
chapitre vi, § 81 si p. est une fonction/ (d'après le théorème de
Lebesgue, rappelé au § 2). Si ;j. est le produit d'un po'ynôme par
une fonction €1/(1 <Jp <; 2), %. est une somme de dérivées de
fonctions €!/[/>'=/>/(/)— 1)], donc .<*;...€('JX./1')- Nous voyons bien que
des propriétés de régularité locale de U(U = u., U=/) entraînent
des propriétés de décroissance à l'infini de YlV€($'). V€(â&')]. La
formule (VII, 7; 7) est utilisée classiquement en électricité, calcul
symbolique, mécaniaue ondulatoire, etc.. ; e'.'.e aoparaît
maintenant comme entièrement justifiée. Par exemole, si n— 1,
(VII, 7.; 8)
Sj = #[( 1 ),,] z= f°° exp(— air:xy)dx = a f" cos wxydx
— = iï(— imx) = Ç ~" (— 2ir.x) [exp (— 2ir.xy)]dx
-= — 2 f 2KX sin ir.xydx.

256
Les intégrales sont limites [dans Qf')r] d'intégrales étendues à des
intervalles finis, la a' peut s'obtenir directement à partir de la i™ par
dérivation en y sous le signe y.
Exemple 4 Transformation de Fourier sur les (3)'lp),
(chapitre vi, § 8)
Cette fois ce sont des propriétés de décroissance à l'infini de U,
l'appartenance à (2>'u>), qui entraînent des propriétés de régularité
locale de V.
Si U€(®l<)' ^U = V est continue et bornée ainsi que son produit
oar tout polynôme : c'est une fonction continue à décroissance
rapide. Si U€(2)lp). i </"•< a, V estdans lf\j>'=p/(p — i)], ainsi
que son produit par tout polynôme.
Si U€(3)l')> elle est somme finie de dérivées de fonctions
sommables (théorème XXV du chapitre vi), V est le produit d'un
polynôme par une fonction continue bornée: c'est une fonction
continue à croissance lente. Extension immédiate à un ensemble borné
ou une suite convergente dans (®L.)- Si U^â)'^), i ^/> <J a, V est le
produit d'un polynôme par une fonction €Lp/. C'est seulement pour
/>=2 que les propriétés précédentes aboutissent à des caractéri-
sations : « Uç(2)'Lt) » est équivalent à : « V est 'e produit d'un
polynôme par une fonction €" »• Si Uç(2)'L,), on a la formule
suivante (voir chapitre vi, § 8, dualité entre ($) et(2)'L,)) :
(VII, 7 ; ô) V(y) = U,. exp(— aim.. y),
le second membre ayant un sens pour toute valeur individuelle
dey.
La formule est en effet vraie, si V^)x; d'après ce qui a été dit
ci-dessus pour les suites convergentes dans (2)L«). elle est vraie par
passage à la limite pour Uç(2)'Lt).
En particulier, poury = o, elle donne
(VII, 7; ,o) Tr. \=ff-/U, U€(2>'L,),
formule liant l'intégrale et la trace, classique dans le cas où U est
une mesure sommable sur R". Remarquons alors que si u^iT), Uç(if'),
v = 3u, \ = ffl], la formule de Parseval U.ü = V.ii, peut s'écrire
jj •■• J Uû=rTr. (V*îS), et qu'elle est alors conséquence de
(VII, 7 ; io), (VII, 6 ; io), et de (VII, 8 ; 4) qui sera démontrée plus
loin.

TRANSFORMATION DE FOURIER
257
,Oû peut symboliquement'généraliser les formules (VII, 7 ; 7) et
(VII, 7 ; 9) en écrivant toujours, pour U et \t(&'), V = .W,
(VII, 7; 11) Vr==Ux.exp(—linx.y),
étant entendu que le produit scalaire du a" membre n'a pas de sens
comme valeur numérique pour les diverses valeurs de y. mais comme
distribution en y. Si l'on approche U par des produits aU à supports
compacts ou Ç(2)'L,), on est ramené à (VII, 7 ; 9); si on l'approche
par des régularisées U*߀(<\), on est ramené (VII, 7 ; 7). On obtient
ainsi les divers « procédés de sommation » de l'intégrale de Fourier.
Par exemple, on peut prendre
* = exp(— eur1), [4 = ( i .Y exp ( — ™-\
Exemple 5 Fonctions de la distance
Soit U= i/r", o < k < n. Pour k > n/a, U appartient à (L«'LI),
donc .<fU = V est une fonction. Cette fonction bien évidemment ne
dépend que de la distance r. D'autre part, i/r* étant homogène et de
degré —A, V est homogène de degré k — n (d'après (VII, 6 ; 16)).
c'est-à-dire de la forme C_k/rn~k. On calculera la constante C_k(T)
en appliquant '.a formule de Parseva! avec u = v = exp (— irr") :
(VII, 7; ia)
,(T—/exp(— icr,)r-kdx=C_Kff"-fexf(— Ttr*)rk~*dy,
d'où, pour m réel, — — "> m "> — n,
1
m-
(vii.7; 18) 9jt : ; 2
--m 1 m
■k ' M
V 2,
Cette formule reste évidemment vraie pour m = par
r 2
passage à la'imite, et pour o "> m >— -par échange entre m et
— (m~\-n). Mais les a membrps sont des fonctions méromorphes de
la variable complexe m, si, pour ;Rm >oou< — n, on met devant
la puissance de r le symbole Pf (partie finie); la formule (Vil, 7; i3)
(') Cette méthode tret s.mi>lo dn <m1c<i1 d<- C_jt m'.> été «xggéive par M. Dent. Elle
est utilisée d>ns sr> thfsc. Dkm [i], p. i5i

258
reste donc exacte pour toutes les valeurs complexes de m, qui ne sont
pas des valeurs singulières pour les fonctions méromorphes
précédentes ; pour ces valeurs exceptionnelles (m=—n — ih, h entier ^ o.
pour le 1" membre; m = 2Ä pour le 1' membre), la formule doit
être modifiée comme suit (le calcul se fait par passage à la limite à
partir de valeurs non singulières dem; voir formules (II, 3 ; 5 et 9)) :
'*<•*)= (-5») ■»
h I a r/iL.+ A
Va /
(VII. 7;.*) V r->V r±A kl l
S ï / ï
— I
3 \ a
où € est la constante d'Euler ; la somme 1 H 1- ■ -+- —- doit
être remplacée par o pour A = o. 2
En particulier, pour m = — n, on obtient:
(Vn.7;,5) ^Pf^WiiVül
W L
(VII. 7i 16)
nr a 2 / n
/log^UAii/pf_LW' «--JLlili + w, V
VW a(v^)nV r-/ l a 3 r(4 /
Ces formules donnent immédiatement, pour n^= a,
V 3 /
ce qui redonne la formule (II, 3; 10). Poui /i = j, on aura
^fA[log(i/r)]}= —47rV^riog(i/r)] = —au.
Pour n— 1, (V,l\ 7; 16) devient
(VII, 7 ; 18) S(logb|) = _ i- pf AlA _(c -h log a*)* ;

TRANSFORMATION DE FOURIER
259
par dérivation en x, on obtient
(Vu. 7; 19) .*/Vp.JL\ = K«P°"rr<o
\ v x I \ — m pour y > o.
ce que l'on aurait pu obtenir directement, en remarquant que
v. p. i/x est la seule distribution impaire (U = —U) dont !e
produit par x soit la constante i (voir chapitre v, théorème VII), de
sorte que son image de Vourier est la seule distribution impaire V
telle que — -- —à. Lesdérivationssuivantesdonneront(formules
II, a; s») •>
(VT1., 7 ; ao)
sf(— iv/i pf-J-1 z=\~hin(*ir-y)' p°ur y < °
±_ x'*'j ( — iv{2iiy)' pour y>o.
La formule (VH, 7 ; 19) est bien connue sous une forme indirecte.
Soit V —:W, la propriété d'échange de la multiplication et de \a
convolution donnera
(VII. 7:21) ,?[v. p. l-.u"^ = ±V
L X
(-+- pour y<o, — pour y "> o). Cette formule a un sens pour
Uç(tf), d'où, par passage à la limite, dans des cas p'us généraux :
par exemple pour Uc(lJ)L,), cas où V cs( une fonction (qui appartient
à U sur tout compact). Pour U€Lp(i <^p < -+- 00), on démontre(4)
que v. o.—*U s écrit v. p. f —*-*- dt, cette intégrale étant
' x J_„ x — t
convergente pour presque toutes les valeurs de x. On peut
généraliser immédiatement !es propriétés classiques de cette intégrale,
en montrant que la convolution avec v. p. i/x est une opération
linéaire continue de ('-PLp) dans ('ivL») (1 </><-)-Qo./>^?. ou
i~p<q)-
D'une façon générale, pour calculer la transformée de Fourier \
d'une fonction U(r), on utilisera la formu'.e classique suivante, où J
est une fonction de Bessel (*) :
(VII, 7; 22) V(r) - % f*" U(«)^Ji=i(2«rt) dt.
r a J.
(') Marcel Riesz [3]. C'est la transformation de Hilbert
(") Bochner [i], p. 187, formule i5

260
Cette formule, applicable lorsque U et V sont des fonctions,
admet une généralisation sur laquelle nous n'insisterons pas, et qui
définirait la transformation de Hankel pour des distributions
tempérées sur la demi-droite (o, -+- oo).
Pour U(r)= 1/(1 -f-r')-, iR/n > n/i, on obtient ainsi
t m -n
(VII, r. >3) J[(,+ /•■)-?] = -7-r.- ' K!=s(«r) = L..
suivant ia notation de la formule (II, 3 ; ao). Mais i/(i -f-r2)f est
dans (if) pour tout m ; et c'est une fonction holomorphe entière de
la variable complexe m. Donc 3a transformée de Fourier V est dans
(if')y relle décroît même exponentiellement à l'infini, à cause de
l'analyticité <?.e ( i -+- r2)--^ et s'obtient par prolongement
analytique en m pour Sim^n . Ce prolongement coïncide donc toujours
avec Lm, et s'écrit en ajoutant le symbole Pf (partie finie), sauf pour
mz=o, —2, —/J ...; bien évidemment
L_„=S(,+r-)-=('-A.)\
Dans beaucoup de questions, i/(i-(-rm) et ri -+-( — —A \
(A \ m
i —T~:>)
Exemple 6 Fonctions méromorphes
Soit, dans le plan R2, f(z) une fonction méromorphe de la variable
complexe z. Nous avons vu (chapitre u, S; 3, exemple 3) qu'on
peut définir une distribution v. pf(z).
On vérifiera les formules suivantes, où l'on identifie R2 avec son
dual:
, VTI ~. «/\ » l7r ÔJ \ ITC bz /
> W * \ P =■/ = (m-,)!'
formules qui sont équivalentes à (II, 3; 27).
Exemple 7 Transformation de Fourier et polynômes d'Her-
nùte

TRANSFORMATION DE FOURIER
261
Considérons d'abord le cas d'une variable .(«= i). Nous
définirons les polynômes d'Hermite Hm(x)(') par les formules :
(VII, 7; 25)
~~ [exp(— aree»)] =(— 1)"v/îïîT î""7ir* H,(x)exp(—W).
Ces polynômes définissent un système orthonormé dans L\ celui
des fonctions d'Hermite 2êm(x) = Hm(x) exp (—toc1):
(VII, 7; a6) r~ Kp(x)Kq(z)dx = \° M P^
J-m (1 si p = q.
D'autre part, la transformation de Fourier donne
(VII, 7 ; a7) &XJ*)] = (- 0m^W-
Soit alors <p(x)çL2. Cette fonction possède un déveloopement
suivant les fonctions d'Hermite, convergent dans L1 :
(VII, 7; 28)
[ <5>(x) = | am(9)Mm(x) ; am(?) =f" ^x)36m(x)dx ;
iiaBp=r"°i?(x)rdx.
* \ 0 »/ - »
Considérons les transformations "5^ et "5_, transposées l'une de
l'autre, définies par
(VII, 7; 29) "E^o = ± -7? -f- 271x9.
ax
En' vertu .des relations de récurrence entre polynômes d'Hermite,
on a
(VII, 7 ; 3o) \^~= a yf^tsri.
Il en résulte que, si 9, 9', X9 sont dans L* :
(VII, 7; 3i) am('5^9) = *E<.9.36lll = 9.'E_36m
(Vit 7- 32) ia«^-^) — ^^ "^ * ) °«*»(?)
(') lies polynôme« d'Hermite usuell P«(») «ont lié» »ux nôtres par les formules

262
d'où on déduit la convergence de la somme 2]mlaJ*. Kéciproque-
ment, si o€Ls, la série ]£a»,( ?)#'-*(''•■) converge dans L\ donc dans (îtv) ;
l'application des opérations f^ et £_ terme ii terme montre que
î^o et "5_9 sont, dans ('.P'), sommes de séries de fonctions d'Her-
mite; si 2m|«mI* <-+- °°> ces sé"es convergent dans L2, alors o'
et xç sont dans L*. Il y a ainsi équivalence entre les deux propriétés :
a) 9, ?', x<p sont dans L* ;
On en tire, par itération des opérations V>^ et "5_, les
conséquences suivantes :
1" Pour que <p€(«'f). »* faut et ^ suffît que la suite am(o) soit à
décroissance rapide pour m -*- 00. L'application qui à o€(.'f) fait
correspondre la suite \am(o)\ est un isomorphism« (d'espaces
vectoriels topologioues) entre (if) et l'espace des suites à décroissance
rapide.
a" Si T est une distribution tempérée, on peut calculer les
am(T)=T .3ôm. Gomme, d'après le théorème VI (1"), T est somme
finie de distributions qui s'obtiennent chacune par application
répétée des opérations "G^ et 6_ sur des fonctions de L", les am(T)
forment, d'après (VII, 7; 3a). une suite à croissance lente pour
m-*- 00. Réciproquement, si la suite bm est à croissance lente pour
m-»-00, elle est le produit de \/(m-+- i)(m-i- 2) ... (m-+- k) par
une suite- cm telle que £|tfm|* <-"-<*. ce qui prouve que la série
S bm^mi1) converge dans (if) vers une limite T, qui admet alors
m
les bm comme coefficients d'Hermite (voir § 1, théorème 1). On
voit en même temps que toute distribution T€(if) est, pour k assez
I d \ *
grand, le /----+- ana? | d'une fonction féU (f n'est pas unique,
on peut lui ajouter une combinaison £ om3èm(x) ) • ou encore d'une
fonction y continue bornée. °
L'application, qui à Tç(if) fait correspondre la suite jam(T)|, est
un isomorphisme (d'espaces vectoriels topologiques) entre (if) et
l'espace des suites à croissance lente.
Ainsi (if) et (ff) sont, comme ($),* et (Ü)')T» (§ 1), isomorphes à
des espaces de suites (') ; (if) et (3>)T. sont isomorphes, ainsi aue (if')
(') Ces espace» de suites ont été étudiés par M. Köthe [i]

TRANSFORMATION DE FOURIER
263
et (ty)r*. A l'aide de la représentation de çe(tf) ou T€(if) par leurs
développements d'Hermite, le produit scalaire T. <p prend une
expression très simple, ainsi que la transformation de Fourier,
d'aorès (VII, 7 ; 27) :
(T.9 = iamC[)aM(9)
(VII, 7 ; 33) j •
Vi.« j 0
Ceci permet d'étendre à (if) et (if) la transformation de Fourier-
Mehler, définie par(')
(VII, 7 ; 34) 3J5 amMm(x)]=% »«amWn{y),
IL 0 0
où <i> est un nombre complexe de module 1. &„, et 9m = #s sont
a isomorphises réciproques entre (if),, et (ifL, ou (if")^ et (if )r.
Pour plusieurs dimensions, on remplacera .les 2ê„ par les
fonctions :
M
-- entiers ^s- o.
(VIT n- 3V. ^'(x) = 36'XxÄ(x.)---36'»(
(VII, 7, 35) j/=j/i(iL a /y = en
Exemple 8 Distances hyperboliques
Reprenons les distributions de M. Riesz : ,
(VII, 7; 36) ■/.,= —, ' -Pf («"">•
""r 3'-'1^)r(-±V-)
Rappelons (chapitre 11, § 3, exemple /|) que la définition ci-dessus
n'est valable que pour les valeurs non singulières de /—n, pour
lesquelles la partie finie est connue sans ambiguïté. Pour les valeurs
singulières de /— n, Z,cst définie par un passageà la limite; c'est une
fonction holomorphe entière de la variable complexe /, a valeurs
dans ('iy). Rappelons d'autre part que îe support de Z, est dans le
volume du cône d'ondes xn^.o, x' — x* — x* x'_, J>o. Pour
.%(/) — n >o, Z, est une fonction continue à croissance lente; en
vertu des formules de dérivation (II, 3 ; 33), Z^(if) pour toutes
les valeurs de /. On pourrait d'ailleurs montrer que Z, est dans ($')
pour ift(/) — n <; o, et qu'elle décroît d'autant plus vite à l'infini que
&(/) < o est plus grand en valeur absolue.
(') Cette extension m'a été signalée verbalement par M. Wieher

264
, "Vous allons obtenir "?(Z,) en passant par la transformation de
Laplace. En effet, si e > o, Z, exp (— 37r£xn)€</V.), et on a la formule
suivante pour iH(l) ^.n :
(VII. - ; 37)
( ;ï!Z,exo (— 2ntxn)\ = f\ ■ ■ ■ j Z,(x) exp(— zir.x. y— 2ittxn) dx
' = ( ;r ) fa •+- y-? -*-yï -t-ti H hri-
v V27t/
i-./j
Comme Z,exp(—27rsx,.) est une fonction holomorphe [à valeurs
dans (c^)i de la variable complexe /, il en est de même de son image
de Fourier, de sorte que la formule ci-dessus est valable pour toute
valeur de /, le 2" membre étant une l'onction £(0M) (car le crochet ne
s'annule jamais).
Si maintenant e-*o, Z,exp(—'*™x„) converge vers Z, dans (if),
de sorte que ^Z, est définie par limite [dans (if)] du dernier membre
de (VU, 7; 37). Appelons u2 la fonction y* — y2—y2....—yJL, ;
;;>oà l'intérieur du cône d'ondes (dans les •>. branches y„ >o et
yn <C o), ïj<o à l'extérieur. La fonction ?2 coïncide avec s" dans
l'intérieur du cône d'ondes pour yn ["> o, mais u2 a pour support tout
l'espace tandis que s'1 est nulle en dehors de la branche directe du
cône d'ondes.
Soit alors i({(l) < o. On vérifie que le 2' membre de (VII, 7 ; 37)
converge [uniformément sur tout compact et aussi dans (if)] vers la
fonction g(y) égale à
à l'extérieur du cône d'ondes (—i°^o)
(VII, 7; 38)
U=(i)Vr
\
\27t '
r) '
_x
2 exp
_X
3 exp
(-•4)
t- • '
à l'intérieur du cône d'ondes
(cr'>o) pour y,,>o
, , tir— ) à l'intérieur du cônes d'ondes
V 2/
(«r'^o) pour yn<o.
Pour ift(l)~^o, ïïTj, s'obtiendra par prolongement analytique par
rapport à / de la fonction ainsi définie; ce prolongement s'obtient
pour le» valeurs non exceptionnelles de / en mettant le symbole Pf
devant la définition de la fonction g. Pour les valeurs exceptionnelles,

TRANSFORMATrON DE FOURIER
265
il y aurait lieu de préciser explicitement la signification attachée au
symbole Pf g. La définition à prendre tiendra compte de ce que
c'est une fonction ho'omorphe entière de la variable complexe /, ce
qui détermine complètement la distribution cherchée. L'absence de
singularités ne tient pas, comme oour le cas de Z„ à la présence
d'un coefficient devant Pf, mais au fait que la pseudo-fonction Pf g
a des valeur» complexes d'arguments différents, de part et d'autre
de la surface du cône d'ondes, ce qui provoque des compensations et
la suppression des singularités en / que posséderait isolément
chacune des 3 pseudo-fonctions Pf gt, Pf gt, Pf g
Pour l="ik entier pair ^>o, on obtient l'image de Fourier de
la solution élémentaire de l'équation des ondes itérée
(vu, 7:39) 3(z2V)=pf(^y
étant entendu (comme nous tombons justement sur une valeur
singulière) que cette expression n'a de sens qu'après définition explicite
de Pf- Nous ne donnerons pas ici cette définition explicite. ,Quoi
qu'il en soit,
*
(vu. 7; 40) (-^ypf(^)=,i,
ce qui correspond bien à la formule (II, 3 ; 34) "• V*Z,*= &•
Une remarque montrera bien l'imprécision qui s'attache au
symbole Pf en l'absence de définition explicite. Pour / réel, Z{ = Z{
a pour image de Fourier Pf"y = Pfy, qui s'obtient soit en
remplaçant gt et gt par gt et gJt soit en échangeant gt et gx dans la
formule (VII, 7 ; 38). Mais, pour l=ak, on obtient la même
expression &Z%k et 3Z,3k, alors que Zlk et Zik sont
différentes (leurs supoorts sont symétriques par rapport à l'origine).
Cela tient à ce que le symbole Pf n'a pas la même définition dans
les deux cas. Dans les deux cas, la partie infinie 1(e) analogue à celle
de la formule (II, 2 ; i3) est un polynôme en e ayant un terme
constant, qui est dissymétrique par rapport à l'origine et imaginaire ;
il en résulte que Pfi— ) ainsi définie est une distribution
^ fxn'a'J
dissymétrique par rapport à l'origine et imaginaire (d'ailleurs Zik
est dissymétrique par rapport à l'origine et n'a pas la symétrie

266
herrhïtienne, Zlk = Zlk^Zik), alors que la fonction usuelle
I— t A est symétrique par rapport à l'origine et réelle. La
solution élémentaire symétrique et hermitienne —\ZÎA-|-Z,A) a une
image r?e ^ourieï qu'on peut encore appeler Pf'—TT~ï) • 'a
^finition de la partie finie étant cette fois symétrique et réelle (*).
Exemple 9 Un càtcal par intégrations successives.
II arrive fréquemment qu'on puisse calculer l'image de Fourier
par des méthodes très classiques, en remplaçant une intégration
multiple parles intégrations simples successives.
Par exemple, soit à calculer .""FU, où U est la pseudo-fonction
définie, pour l\k > o, par
(Vii, 7;4i) .Ux=Pff- , ,. „ ' , ï—r ) ■
V '''*> ' \2nras.-+-4«*(asî-l-a!;H l-*ï-i)/
Il sera commode de considérer l'espace X" de la variable
x = \xt, x%, ... xn\ comme produit de l'espace à n—1 dimensions
de la variable £= jx,, x2, ... xn_,| par l'espace à 1 dimension de la
variable xn.
La définition exolicite du symbole Pf est ici la suivante. La seule
singularité est x = o ; pour R/. < (n -+-1 )/a, U est une fonction, car
l'expression du 2e membre est sommable au voisinage de l'origine,
et le symbole Pf est inutile. Mais pour RA ^ (n -f- 1 )/a c'est bien une
pseudo-fonction. Si pour ç(a.)€(tf)x, nous considérons l'intégrale
simple
(VII, 7: 42) 1(1 ?)= f *" . ?i*>tW
eue est définie et continue pour ; =^t o ; mais on peut montrer (en
utilisant un développement de Taylor de o au voisinage de o) que,
lorsque ;-*-o, cette quantité tend vers une limite finie, et nous
pouvons poser
(V!L 7; 43) J * ; ' J
( J J "j_„ (MX^tfWf
La partie finie est ici une intégrale semi-convergente.
f. Le iiyni.it.le Pr, [ r lis di9lr'l.i.li<.i.s ...va>>ai.les par le jr.uupe île l.orentz,
a cl»'- explicite,,ie,)t défini Jans Methel |1]. avec celle i.ôfi.i't.i» . le ■»> >nl>ole Pf
<|»ie i.oi.s écrivons ici est înci-rrecl. I.e calcul de li.iiajre <le Fourier des Z, a èlè fait
par Mi-.i.ki- dans |llj, el par Garnten-Lys Braga [i]
U...?(as-)=r... |"l(Ç, ?)rf;

TRANSFORMATION DE FOURIER
267
Soit alors à calculer Vr = 9U. Mous sommes naturellement
amenés à poser
l VZ, exp(— ainx .y)\
(VU. v M) =M1>(-,.„£.„) fSEt=î*=ftA,
{ J-» (awx.-f-iTT1)^')*
puis
(VII, 7 ; 45)
\W(y)=f--fl\^ exp(-ai«.y)]dÇ
= r... rexP(-a«ç.^ p"7.(-a7^,
. J J J-» (ai7tar„-(-4îrî!$!-,)'v
à condition naturellement de vérifier que ces formules ont un sens.
L'intégrale simple est semi-convergente (absolument convergente
pour A\>. a) pour yn^=o, £^o, et vaut
/ o pour y, > o
(VU, 7; 46) j-!^-exp(—4^.1151') pour y„<o.
La fonction obtenue, pour yn^o, a une limite finie lorsaue
£-*"-o. et l'intégrale multiple vaut alors
! « pour yH > o
\ {-^f- ■ • jf «p (- ai*;* . r.) exp (- /^JlÇj«)*
j=^^r^(-îw) p°ur *<o-
La quantité W(y) ainsi calculée est alors définie pouryn ^= o (donc
presque partout) ; elle est localement sommable au voisinage de
lhyperplan yn — o, et représente ainsi une distribution qui est une
fonction.
H reste à montrer que cette fonction W(y) est bien la transformée
de Fourier V.
La démonstration est purement algébrique, nous laissons au
lecteur le soin de la faire. On définira V par l'égalité de Parseval
(VII, 6; 6), qu'on courra se contenter d'appliquer lorsque uet»
sont de la forme u(x) = u.(^)tt2(xn). 7'(y)=zt-I(r,')t)2(yn) (théorème III
au chapitre iv) :
(VII. 7 ; 48) V,. ^.(y.) = Vx. «.(;)£,(*-)•

268
Le second membre se calculera en utilisant (VII,.7; £3) qui
donne la définition de II,., et on appliquera successivement la formule
de Parseval pour les variables xn, yn, puis pour les variables \, r„ avec
une interversion convenable de l'ordre des intégrations.
A l'aide de parties finies, on peut étendre au cas où Kk <J o.
§ 8 Propriétés de la transformation de Folrier
Produits tensoriels Théorème XIV La transformée de Fourier
d'un produit tensoriel est le produit tensoriel des transformées de
Fourier: si V, = f\3„ V^ = J"Uy,
(VII, 8 ; 1) 9{\JX ® U;-) = V,cg> V,
(voir chapitre rv).
La formule est en effet évidente pour U. U', dans (.'f), elle est
donc vraie par prolongement de (if) à (if') (voir § 6).
Exemple Dans la transformation de Fourier sur les 2 espaces
à n dimensions X" et Y", prenons
(VU- 8; a) UXliX x„ = (i)„.,.,„.Xk® S_,... ...
On aura alors
(VII, 8; 3) V„., ,. = »,..,.....» ® (*»>»-. ..,,•
La transformée de Fourier d'une distribution indépendante de
x., xk...xk (chapitre iv, § 5, exemple 1) est l'extension à l'espace
Y" d'une distribution définie sur le sous-espace des yi,<-r ■ ■ • yn
(chapitre iv, § 5, exemple 2), et réciproquement.
Multiplication et_ convolution Théorème XV Les
transformations & et 3 établissent 2 isomorphismes réciproques entre
(Pu) e* (Pc) et échangent le produit de multiplication et le produit de
convolution :
rvii 8- k\ ^S€(°m)- u€(r)^S€(0c), sueOT).
^ ,0, v Jet s(su)=ss*3U.
(VII 8- 5> Wc>' U€(tf')=^T€(<f>M), JU^îT).
v ' ' ; /et ;\T*V)=(ST)(91J).
Nous voyons ainsi que (ÔM) et (0'c) sont isomorphes l'un à
l'autre.

TRANSFORMATION DB KOURfER
269
La propriété d'échange entre le produit de multiplication et le
produit de convolution est classique dans le cas élémentaire où
toutes les distributions qui interviennent sont des fonctions €(^)> On
a en effet, pour T et LT€(tf) ou même €(^u.) rvoir formules (VI, 8 ; 3)
et (VII, 7 ; g)]:
(VII. 8 ; 6) r.7(T* U)x] = (T. U), exp (— aime. y)
= (Tç Cg> U,. ). exp [— 2»r(£ -+- r.) . y)
= [Tç. exp (— atirg .y)) [U . exp (— aim-,.y)]
= (OT),(5U)r.
Comme la même formule est vraie pour T* qui est réciproque de
&, il y a également transformation du produit de multiplication en
produit de convolution dans (tf).
Il nous suffit alors de montrer que 3" échange (C)M) et (0'c) et
transforme une suite convergente dans (0M) en une suite convergente
dans (Ö'c) et réciproquement, pour être sûrs que & échange la
multiplication et la convolution dans 'es conditions prévues par l'énoncé,
car Qf) est dense dans (0M), (Ô'c), (if') [tout élément de (0M), de (<?c),
ou de (if') est limite d'une suite d'éléments de (tf)1, et les opérations
considérées sont toutes continues.
Or cette propriété d'échange est évidente, a) Si S€(0M). S est le
produit d'un polynôme par une fonction-sommable, donc, d'après
l'exemple i du § 7 (formule (VII, 7 ; 3)), «9S est une somme de
dérivées d'une fonction bornée, c'est donc une distribution bornée,
sur R". Toute dérivée de S est delà même forme, donc tout produit
de 3<S par un polynôme est borné sur R", iJS est une distribution
à décroissance rapide à l'infini, €(^c)* fy Si maintenant T€(<%)' elle
est sommable [€(^î,>)]» donc, d'après l'exemple h du § 7, 5T est une
fonction continue à croissance lente ; le produit de T par un polynôme
est aussi sommable, donc îfï a toutes ses dérivées continues à
croissance lente, <^Tc(t)M). Comme les propriétés utilisées pour
cette démonstration sont valables, non seulement pour une
distribution, mais pour une suite convergente, îï transforme bien une suite
convergente de (0M) en une suite convergente de (0'e), et
réciproquement, c. q. f. d.
Remarquons que la démonstration du théorème n'est pas achevée.
Nous avons montré la continuité de l'isomorphisme f* entre (dM) et
(Oc) seulement pour les suites convergentes, ou des filtres à base
bornée ou dénombrable, alors qu'en fait il y a continuité pour des

270
fi'tres convergents quelconques ; nous ne compléterons pas ici la
démonstration, aui est un peu plus compliquée.
Remarque L'échange entre multiplication et convolution a
aussi lieu dans d'autres conditions. Ainsi :
Si S^'lp), TeC~t\»), i </>< a, 1 <?< a, la transformée de
Fourier de S * T est une fonction, qui est te produit des fondions
#s et -rr.
En effet, comme (2>LP) et ÇS'u) sont dans (®'Lt), il suffit de le
montrer pour p = q = a. On peut approcher S et T par des suites
S -, T.-, dans (^ÖLi), Sy et Ty- étant à supports compacts. On a alors
&(Sj*Tj)=(éSj)(9Tj). Mais, d'une part, les S;-«T, convergent vers
S*T dans (^L=°). donc dans (if'), on peut donc affirmer que /F(S*T)
est limite dans (If'), donc dans (i!)'), des tf(SJ*TJ). D'autre part, les
$Sj et les ifTySont localement dans L2 (exemple k du § 7), et convergent
respectivement vers fïS, (FT, localement dans L2, de sorte que
(3Sj)((ïTj) converge vers (ffS)(fFY) localement dans L1, donc dans
(&). Alors, on a nécessairement ^(S*T)==(y"S)(;7r).
Kemarauons que S *T est dans ($>'), et sa transformée de Fourier
j(y) est une fonction, produit d'un polynôme par une fonction
sommable. Réciproquement, siy(^) est une te'.le fonction, on peut
'.'écrire f=gh, oh g et h sont des produits de polynômes par des
fonctions de L* ; alors g=z3>S, h — ;JT, où S et T sont dans (J\»),
de sorte que, d'après ce qui est dit plus haut, J(S*T) = gh =/•
Ainsi '.
Pour qu'une mesure à croissance lente (voir théorème VII) soit une
fonction, il faut et il suffit qu'elle soit transformée de Fourier du
produit de convolution de a distributions €(©'L.).
Exemples i° Nous avons vu fformule (VII, 5: i)l que la
fonction exD(J7rx!')(n-= 1) appartient à la fois à (0M) et (0[\.
Le calcul de sa transformée de Fourier prouve bien qu'elle ne
peut appartenir à l'un sans appartenir à l'autre :
( ;? ! exp (inx') ' ■= \ exp linx- — ai'raey) dx
( =(7t)"p(_"j,>-
L'intégrale figurant dans cette formule est semi-convergente au
sens usuel, pour toute valeur de y. Elle est aussi convergente dans
(if)y d'après l'exemple 3 du § 7 'exp («rar) est une fontion bornée],

TRANSFORMATION DE FOURIER
271
et convergente pour toute valeur dey suivant ia formule (VII, n; 9)
[exp(iW)€(X,)].
20 Nous avons vu que les fonctions 1/(1 -f-ra)m ont pour images
de Fourier les distributions L„, [formule (VII, 7 ; a3)\ Comme on a
évidemment (i-J-r,)~*€(öM), (1 -+-^)-f(i ■+-r'1)-''= (1 -L-r»)-*-^
on en déduit de nouveau Lmt(0'c), et Lp * L, = L [formule
(VI, 8:5)].
3" Nous avons vu que ^(Pfr™) eàt proportionnel (sauf pour les
valeurs exceptionnelles de m) à Y>{r~(m~'ù (formule (VII, 7 ; i3)). Si
%<— — > %<_ — ,
Pf. r* et Pf. r» appartiennent à (®LJ), donc on a 'a formule d'échange
multiplication- convolution :
(VII, 8; 8) 3(Pf./**Pf.i*) = S(Pf.i*)S(Pf.i*),
ce qui redonnerait les formules de convolution classiques (et faciles
à démontrer directement) utilisées par M. Frostman et M. Marcel
Riesz(l) en théorie des potentiels. Cette formule d'échange reste
vraie pour o "> cÂp "> — 00, o > &q ">—00, &(/>-f-7) <—n,
bien qu'elle ne rentre oas dans les règles générales énoncées plus
haut, et on peut même lui donner un sens dans des cas plus étendus.
„4" Les distributions Z, de V. Marcel Kiesz (chapitre 11, § 3,
exemple 4) sont toutes composables les unes avec les autres
Zp*Z(7 = Zp^(7 (formule VI, 5; 19). mais cela tient à l'orientation,
particulière des supports, et non à la décroissance à l'infini. Aussi les
formules de convolution ne se transforment-elles par 5< en formules
de multiplication que pour des valeurs convenables de p et q (par
exemple dip < o, &q < o).
Distributions à spectre compact. Théorème de Paley-Wiener {')
généralisé
Soit F(ar) une fonction sur R", prolongeable pour les valeurs
complexes des variables, z —ar-f-i£, x et çéR\ en une fonction
analytique entière F(z). On dit que F(z) est de type exponentiel <[ 2ttC si
(VII, 8 ; 9) Urn sup — Iof!Ffr>' , < 27rC.
V y/ i^/W + 'O 1-12,1
(') Fbostm>!» [1], p- 39, et M. Riesz [4]
(2) Paley-Wiener [i], p. 12. La démonstration n'était donnée que pour des
fonctions appartenant à des LP

272
On peut alors généraliser comme suit '.e théorème classique de
MM.. ?a'.ey-Wiener:
Théorème XVI Pour que la transformée de Fourier \y = 3UX
d'une distribution UxC(ß')x ait un support compact, contenu dans le cube
Qc: W < G : !^»î < G' • • • %l -^ G- ilfaat et ll saJTlt oue U soit une
fonction F(x) continue, prolongeable pour les valeurs complexes
z=x-f-ti; en une fonction analytique entière de type exponentiel
< 27tC.
i" Condition nécessaire Si Vj, a son support contenu dans le
cube Qc, elle est somme finie de dérivées de mesures portées par un
voisinage arbitraire Qc + £ de Qc (théorème XXV.Ï du chapitre m ; on
pourrait utiliser le théorème moins élémentaire XXXIV et supposer
que les supports des mesures sont contenus dans Qc lui-même ; ce
sera inutile dans la suite).
(Vil, 8; io) V, = SUX= S D?(y-P)r
lp|<m
Vais Fp = y<i./.p= ÇÇ • ■ ■ fexx>(2ir.x .y)d>j.p(y) est une fonction
continue bornée sur R", qui de plus peut être prolongée en une
fonction analytique entière de type exponentiel ^ 27t(C-f-£). Alors
U, est somme de produits de polynômes par les Fp ; donc elle est
une fonction analytique entière de type exponentiel <". 27r(G-f-£),
quel oue soit £ "> o, donc aussi de type <<[ 2irC, et à croissance lente
sur R". Son degré de croissance sur R" est ^ m, ordre de V.
2° Condition suffisante
a) Si Ux£(y)x,. le théorème est connu, nous considérerons sa
démonstration comme acouise.
6)_Soit VT((ÔM)X. Si •j'O'XCi'Q.X a son support dans le cube
Qt, S'il. —<p(x) appartient à (^) et est analytiaue entière de type
exponentie' <^27re, à cause de la nécessité de la condition. Alors
<plJ€(tf) est analytique entière de type exponentiel <[ 27t(G-f-e).
D'après (a), sa transformée de Fourier \y*^ a son suooort dans
Qc-t- Ainsi toute régularisée de V par ^€(DQi) a son support dans
Qc_t, donc V, limite de ses régularisées, a son support dans Qc.
c) Supposons enfin Uj^tf'). Elle est supposée, en tant que
distribution €(2>'), égale à une fonction V(ar), analytiquement orolongeable
en une fonction F(z) entière de type exponentiel <C 2t:C ; mais nous
ignorons si F(ar), qui est tempérée, est une fonction continue à crois-

TRANSFORMATION DE FOURIER
273
sance lente au sens usuel. Quelle que »oil ^x^'i^^)^. if(f = <\>{y),
la régularisée G = F*o est dans {0M)X (théorème IX et suite) ; sa
valeur pour z complexe.
(VIL 8: ii) G{z)=ff..-f^{z-t)^t)dt,
vérifie, d'après (VII, 8; 9)
(VII, 8: 12)
!G(2)|<A^exp|2<G-f-£)(k1l-+-!^!H ^zn\-+-n-n)\ff-f\9{t))fit,
quel oue soit £ > o, ce qui montre qu'elle est entière de type
exponentiel <"! 2ttC.
Alors, d'après (h). G a une transformée de Fourier V^y) qui a
son support dans le cube Qc. Gomme, d'après (a), tj. est n'importe
quelle fonction é(ïf). entière de type exponentiel ^ 2itn, on peut
choisir 9 de façon que ty soit ^ o en n'importe quel point donné,
donc Vr a aussi soa support dans Qc [et U^^m)*]-
Remarques 1 ° Soit ß(x) une fonction fixe €(.'(") telle que y = 3$
soit égale à 1 sur un voisinage de Qc- Alors, pour toute fonction
F(ar)ç(it') et de type exponentiel <; 27rC,
(VII, 8; i3) P*{J = F.
car tf (F * p) = (0F)y = ;>F.
•V Appelons (Exp. G) le sous-espace vectoriel de (0^) formé des.
fonctions analytiques entières de type exponentiel <1 27rC. Si des
F.€(Exp. G) convergent dans (.1'), elles convergent dans (0M) [car,
les 5F, convergent dans (£') donc dans (0'c)], et il en est de même des
translatées rA.F,. uiiiformémenl lorsque k=rzh-+-ih' parcourt un
compact complexe. La limite F est encore dans (Exp. C). de sorte
que vExp. G> est fermé dans ('*') el dans (t)M).
De même si des Fyç(Exp. G) convergent dans (Û'c), elles convergent
dans {&). ainsi que les taF,. uniformément lorsque k parcourt un
compact complexe ; la limite est dans (Exp. G), de sorte que
l'intersection < Exp. C) r\ <:f) est fermée dans (0'c) et dans (!f).
3" On peut appeler (Exp. '•) et (Exp. 0M) les sous-espaces de (:•)
el de (0M) constitués par les fonctions analytiques entières de type
exponentiel (non précisé), et les munir des topologies localement
convexes les plus fines, induisant sur les sous-espaces de fonctions
de type exponentiel borné, les topologies de (Cf) ou (ÖM).

274
AFors J" et J" sont des isomorphismes réciproques d'espaces
vectoriels topologiques entre (Exp. (!) et (fD), ainsi qu'entre (Exp. 0M)
et (£').
4" On peut faire une étude plus précise sur lie rapport entre le
spectre de F€(Exp. 0M) et sa Croissance dans les différentes
directions. On généralise ainsi des résultats connus pour Fçl/. (')
§ 9 Distributions de type positif
Fonctions "§> o On dit qu'une fonction continue f(x) sur R" est
de type positif et on écrit /"§> o('), si, quels que soient les points
x , x , . .. x„ de R", et les nombres complexes zt, z,, ... z„ on a
(VII, 9-, i) 2/(», —**)*/** >°-
j.k
En prenant successivement /= i, puis /=2, et en utilisant les
propriétés des formes hermitiennes, on voit aussitôt, d'une part, que
/(—x)=f(x), ce qu'on écrira
(VII. 9 ; a) /=/ ou /=/
(/possède la symétrie hermitienne), d'autre part, que
(VII. 9; 3) y(o»o et !/(*)! </(o);
une fonction "$> o est bornée sur H".
Appelons p la mesure discrète formée des masses Zj aux points x,;
la formule (VII, g; i) s'écrit
(VII, g ; 4) //•■■///.- J'f(x - i) d^x) dftÇ) > o.
On sait que, dan» l'espace des mesures à support compact
(considéré comme dual de l'espace des fonctions continues muni de la
topologie de la convergence uniforme sur tout comoact), le produit
tensoriel (ja, v)—<-^.x(g)vç est une opération faiblement continue
lorsqu'on se borne à considérer des suites convergentes (voirthéorème XI
du chapitre m et théorème VI du chapitre i v). Commetoute mesure u.
à support compact est limite faible d'une suite de mesures discrètes
(*) Voir Polta-Pulnchehhl [i] , Martineau [i]
(J) Voir Boc.hi.rr [i] p. 74-8j, Pt A.. Wkil fi| |> 5G-6o

TRANSFORMATION DE FOURIER
275
(expression de l'intégrale d'une fonction continue par des sommes
de Riemann), aussi bien que d'une suite de fonctions €(®) (les
régularisées de fi). (VII, 9 ; 4) sera vraie pour toute mesure à support
compact, soit si (V.ll, 9; 1) est vraie, soit si on a
(vu, 9; 5) /...ffff...//(*-0?(*)?(0<fe-<£>o
pour toute 96(a)). Il en résulte, en particulier, que (VII, 9; 1) et
(Vil, 9 ; 5) sont équivalentes. En utilisant la notation de la formule
(VII, 6; 10), on peut écrire la formule ci-dessus
(vu. 9; 6) \ ff.-.f J[f..-fA*-+-M*W)*«Z>o
( ou J •(<■/*?)> o.
Distributions §> o Mais alors nous pouvons dire qu'une
distribution T est de type positif et écrire T ;>> o, si l'on a, quel que soit
(VII, 9; 7) T.(?.ç)>o.
On voit aussitôt que les distributions §> o forment un ensemble
Jermé dans (3)') et même faiblement fermé.
On voit que si T§>o, il en est de même de T, T, T. Si alors
dans (VII, 9 ; 7) on remplace T par T, on voit qu'on peut remplacer
cette formule par la formule suivante
(VII, 9; 8) Tr.(T*<p*ç)>o.
Théorème XVII Toute distribution T §> o possède la symétrie
hermitienne,
(VII, 9; 9) T = f ou f = T,
et c'est une distribution bornée sur R", Tç(^').
En effet, quelle que soit <x£Q£>), la fonction régularisée T * a * S. est
une fonction continue $> o, car elle vérifie (VII, 9 ; 8). Elle est alors
hermitienne. Si l'on fait converger a vers $ (mesure de Dirac) dans
'a topologie de ($'), on en déduit, par passage à la limite, la formule
(VII, 9 ; 9) (en appliquant les théorèmes de continuité du produit
de convolution, théorème V du chapitre vi).
Remarquons en passant qu'on peut modifier la définition
(VII, 9; 7) en disant: pour que T soit :S>o, il faut et il suffît que
toutes ses bi-régularisées T* 9 * 9, 9€(®), soient des fonctions
continues §> o.

276
D'autre part, d'après (VII, 9 ; 3). toute fonction T * « » â j>> o est
bornée sut H". Mais, quelles crue soient « et (ï€('-P). on a
(VII, 9: 10)
4(* »&) =:(x-+-£)* (à-+-fj)— (a — £)*(*— (i)-+-t'(y-+-#)* (à — t»
— «(a — *.jj)*(a-l-ifj),
de sorte que T*a*ß est aussi une fonction bornée sur R". Alors,
d'après le théorème XXV (2") du chap, vin (sous sa forme fine),
(T *«)€($'). donc T€($'), c. q. f. d.
Remarquons que si T est. au voisinage de l'origine, une fonction
continue, la formule
(VII, 9:11) |T*a*äl<Tr.(T*x*äl) = f .(**ä)
montre, si l'on fait tendre a et a vers iî dans (f.'), que T est. dans R".
une fonction majorée par sa trace (Remarque 2". page 77 du tome I,
/)= 00). On peut donc énoncer:
Une distribution :"$> o qui, au voisinage de l'origine, est une fonction
continue, est dans R" une fonction continue y*> o.
On démontrera de même ceci :
Un ensemble de distributions :>> o, qui, sur un voisinage Q de
l'origine de R", est borné dans (^a)> es' Itorné dans ($>').
Même propriété pour des T, :§> o convergeant vers o.
Distributions §> o et mesures J> o
Théorème XVIII (Bochner)C) Pour qu'une distribution T soit
5> o, il faut et il suffît quelle soit transformée de Fourier d'une mesure
it^oà croissance lente.
1" Soit T:=Vr une distribution S>o. Elle est bornée sur R",
donc €(••')/• Elle est alors l'image \ =ziï{Jx d'une distribution
Uj€(-*")x- La formule (VII, 9: 7), vraie pour o€('-i% est aussi vraie,
par passage à la limite J('J') étant dense dans (it), d'après le
théorème IIIJ. pour <? = v(y)t(if)y. Alors, si l'on utilise les formules
(VII, 6 ; 10) et le théorème XV, on aura, pour toute «€(!•')., :
(VII, 9. 12) U.uù>o.
Nous allons en déduire que Von a
(VII, 9; i3) U($)>o pour J,>o, J,€(.'f).,.
(') BocHKEH Til p. 76 (théorème XXIM). A. Wfii. |i| [>. nu. Lp tliéorcmp clasiiijue
de Bochhkh est relatif aux funclîmis '•> o

TRANSFORMATION DE FOURIER
277
' ' (3)) étant dense dans (,'f), il suffit de lé montrer pour ^€(2))^.
Toute fonction 4 ^o de ('4))* n'est pas de la forme uU; car, au
moins pour n "> i, \/it n'est pas' différentiab'e au voisinage d'un
point où ^ s'annule. Mais <!/ est limite dans ('£) de fonctions de la
forme uû ; si en effet «. ^. oÇ('i)), et si « est égale à -f- i au voisinage
du support de <!/,
(VII, 9; i4) «J.= lim *ï(^-+-e),
f>0, f-»-0
la fonction du u" membre étant bien de la forme uu, avec
(VI.1, 9 ; 15) u = <V+ H-*. o€(®).
Alors de (Vil, 9 ; 1 a) on déduit bien (VII', 9 ; 13). Cela prouve que
U ^ o, donc, d'après le théorème V du chapitre 1 et le théorème VII
du chapitre vu, U est une mesure ji^oà croissance lente.
2" Réciproquement, si V = #{/., ,0.^.0, alors U = y. vérifie (Vlî, g ;
i3) donc à fortiori (VII, 9 ; 12), et par suite V vérifie (VII, 9 ; 7) et
est $> o.
Nous avons montré en même temps que, pour la fopologie de (.'f),
les v * v, w€('i)), sont denses parmi les cp S> o de (if) ; et que, si T §> o,
on a non seulement (VII, 9; 7) mais encore
(VII, 9:16) T(<p) > o pour <p€(îf). 9 $> o.
On a ainsi les a définitions analogues :
rvn o- „\ \T>° si T(*»° P°nr *><>• <&*>)
K «. J- 1) \lt>o si T(<p)>o pour 9t>o, rf£).
La démonstration ci-dessus ne suppose pas connue celle du
théorème de Bochner dans le cas classique.
Dans ce cas, la mesure {/. = #V est sommable sur R", et
réciproquement; on a
(VII. 9; ,8) Tr.(V) = /7\..y>>o.
Si ji n'est pas sommable, il y a lieu de considérer que le a' membre
vaut -+- 00. Si donc T est une distribution ^>o, qui n'est pas une
fonction continue, nous poserons
(VII, 9; 19) Tr.T = -+-oo.
Opérations sur les distributions §> o

278
Théorème XIX Si o^ß") et T€(3)"") sont ^> o, leur produit
aT est ^> o.
La propriété est classique si T est une fonction continue ; car alors
a et T sont les images de Fourier de mesures "^ sommables sur R" et
(VII, 9 ; ao) %T) = #a ♦ Wï
est aussi une mesure ^. o sommable sur R".
Si T^®""), ses régularisées T, = T* £,♦£;, ß,-€(2>), sont continues
$> o, donc aussi les <tïj. Si l'on fait converger les ßj vers $ de façon
que les T, convergent faiblement vers T dans (®"") (théorème X!
du chap, vi), alors les aTy convergent aussi vers aT faiblement dans
(£0""), et aT est bien §> o.
Conséquence : Toute distribution T ^> o est limite dans Qf') de
fonctions §> o appartenant à (®).
Si en effet, «€(2)) est $> o, prend la valeur i à l'origine, et si
j -»-oo, les <x£x) = x(x/j) convergent vers i au sens suivant : les
<Xj— i convergent uniformément vers o sur tout compact en restant
bornées sur R", tandis que chacune de leurs dérivées converge
uniformément vers 0 sur R" [les a, convergent vers 1 dans (3ie), voir
page 202]. Alors, si T » 0, doue e ($'), les a,T » 0 convergent
vers T sur tout ouvert d'adhérence compacte, en restant bornées
sur R". Elles convergent vers T dans (Çf') [et dans (3>'e), voir
page 203].
Comme ensuite ocJT est limite de bi-régularisées §> o €(2)), le
théorème est démontré.
Théorème XX i« Si S€(2>Lp), T€(3>Lf). (»//>)-+-(»/?) — i > o,
et si S et T sont §> o, alors S ♦ T 5> o.
a° Que/ que soit Sç(2)'L,), S'S^oC); les distributions de cette
forme constituent, dans la topologie de (ß')t un sous-ensemble dense de
l'ensemble des distributions ^> o. Pour qu'une distribution §> o soit de
la forme S »S, Se(2)'L,), il faut et il suffit que sa transformée de
Fourier soit une fonction.
i* Si S et T sont §> o à supports compacts, S*T est évidemment
§> o, car
{Va, g ; a i ) #(S • T) = (SS)(2T)
est une fonction ^ o.
(») Si «lors Teit»ort du» (®L«), on a Tr. (T*S*S) > o C'est la relation
fondamentale utilisée par M. Dent pour généraliser les potentiels, et la notion d'énergie.
Voir J. Dkht [i]

TRANSFORMATION DE FOURIER
279
Si S€(%>), T€(ä)L»). /><H-«>, q<-*-<x>, on approchera S et
T par des S/=a/-S et T; = «/T:g>o de (ß') (voir conséquence du
théorème XIX), qui convergeront vers S et T dans ($Lp) et Q^'vr)-
Les Sj*Tj seront §> o, et convergeront vers S*T dans (üvLr),
(i/r)=z(i/p)-h-(i/q)—i (théorème XXVI du chapitre.vi), alors
S*T§>o. La démonstration exige quelques modifications pourjs
ou q =: oo.
a" Il est évident que S*S§>o, en vertu même de la définition
(VII. 9; 8), et de ce que
(VII. 9; aa) Tr.(S*§*9*$=ff..-flS*yrdx^o.
Quant au fait que les S * S sont denses parmi les T ^> o, il résultera
de la conséquence du théorème XIX, et de la densité des et*y., a^Cd)),
dans l'ensemble des ß §> o de (Ü).
Pour qu'une distribution T §> o. soit de la forme S * S, Sç(U)l,), il
faut et il suffit, d'après les formules (VII, 6 ; 10) et le théorème XV
pour (3)l»), que son image de Fourier soit le carré du modu'e du
produit d'un polynôme par une fonction çL", c'est-à-dire soit une
fonction (nécessairement ^o et à croissance lente d'après le
théorème de Bochner).
Structure des distributions :§> o Toutes les distributions L, de
la formule (II, 3 ; ao) sont "§> o, puisque leurs transformées de
Fourier sont I>o (formule VII, 7; a3). Donc, si T^o, L,*T§>o,
On voit ainsi que, quelle que soit T §> o, la distribution tempérée S
quivérifie (1 — — ] S = Test aussi §>o (ici ^S = (H-r,)-*3T).
Pour k assez grand, S est une fonction continue bornée (formule
VII, 9 ; 3) ; et elle devient une fonction continue dans R" dès qu'eue
est une fonction continue au voisinage de l'origine. Soit k un entier,
tel qu'il existe une fonction continue g vérifiant, au voisinage de
l'origine, ( 1 — -,) gr = T. La distribution S correspondant à
cette valeur de k est telle que S — g soit, au voisinage de l'origine,
solution de l'équation aux dérivées partielles elliptique
donc elle est une fonction analytique (théorème XII du chap, v) ; S

280
est alors une fonction continue au voisinage de l'origine, donc sur
R". On peut donc énoncer :
/ A \ *
Théorème XXT Toute distribution >> o <sl fe ( 1 — —, t
\ a-rcv
(k entier assez grand), d'une fonction continue S> o, el réciprocjuement.
Si une distribution T » o coïncide, sur un voisinage de l'origine,
avec le 'i — ) d'une fonction continue, elle est dans IV le
\ 4*7
/ i \ d'une fonction continue ^> o.
On peut d'autre part étendre une proposition énoncée page 376
de la façon suivante :
Théorème XXII Si une distribution T §> o est. au voisinage de
l'origine, une fonction ik fois continûment differentiate, elle l'est
également dans tout l'espace R".
Soit en effet P un polynôme de dérivation homogène de degré ik.
dont l'image de Fourier Q = .'?T> soil un polynôme ^.o. La dérivée
P*T est §>D, puisque son image de Fourier Q(.'tT) est ^o ; elle
est une fonction continue au voisinage de l'origine, donc dans R".
Comme tout polynôme homogène Q de degré ik est combinaison
linéaire finie de polynômes Qj^o, toutes les dérivées d'ordre ik
de T sont des fonctions continues dans R", c. q. f. d. Nous ignorons
si la propriété subsiste quand on remplace ik par aA -f-1.
Exemples i° Les fonctions r™ sont ^ o pour m réel> — n.
Donc les distributions
ri
fonctions r™ sont ^ o pour m reel > — n.
— r Pf ( ) sont >> o (pour m = o,
\ ■/
H-a, -+-4, ... on trouve seulement que les distributions ((— A))*S
sont §>o). Si î/i<m<2(À+i),(-i)*">'Pf!-STj est donc
§>o. Par contre, ±rP{f-L-\ n'est pas §>o.
2" Considérons maintenant les distributions U = Pf(—— \,
m>o. Ce ne sont pas des mesures ^o. donc leurs images de
Fourier ne sont pas §>o. D'ailleurs ces images sont proportionnelles
à des fonctions r", qui sont continués au voisinage de l'origine et
ne sont pas bornées dans R\ Mais soit a/:<m< 2(A.-|-i). Alors,
d'après la formule (II, 3 ; 5), le symbole Pf est inutile si o a toutes

TRANSFORMATION DE FOURIER
281
ses dérivées d'ordre ^ 3/. nulles à l'origine. Donc-si u a toutes ses
dérivées d'ordre ^ k nu'.'es à l'origine, Pf ( . V aa^o; et évi-
demment A**'? . uu ]>o.
On peut donc dire que l'image de Fourier V = ;7U (formule VII,
7 : 13 et 1/4) est conditionnellemcnt §> o. Si la fonction <?€(tf) a tous
ses moments d'ordre -^ k nuls, on aura V. (?* 9) ^ o.
Autrement dit, en remplaçant o par une mesure <j. à support
compact : si
(VU, 9 ; 23) (f- ■ ■/xlV...,,^(x) = o
quels que soient les /.„ entiers ;> o tels que kt -f- kt H 1- An ^ k,
alors
a) si 2Ä <; m -^ a(A -f- 1 ),
(Vil, o ; 24) (- iT'ff- ■ ■fix-yd^dniZ) >o
[pour rn = 2k, on trouve évidemment = ol ;
. b)
, (VII. 9 ; 25) (_ 1 )* Çj. ■ -j\x - tfk log —i-^/^arV/^Ç) >o.
Pour k = o, (6) donne une propriété bien connue en théorie du
potentiel (').
§ 10 Applications aux équations aux dérivées partielles
et aux équations intégrales (2)
Transformation de Fourier des équations de convolution.
Considérons l'équation
(VII, 10; 1) A*Tr=B
analogue à (VI 10; 1), A, T, B, étant des distributions sur l'espace
à n dimensions X".
Pour pouvoir effectuer sur cette équation une transformation de
Fourier, nous devrons supposer que B est tempérée et nous borner
à rechercher des solutions T tempérées. Mais alors nous pouvons
élargir la catégorie d'équations considérée; au lieu d'être nécessai-
(') Même pour k quelconque, celte propriété n'es. -.iVement pas nouvelle. M. Mwcel
Rins/ m'a indiqué qu'il la connaissait depuis longtemps mais ne l'a».ait jamais publiée
j2) Nous ne donnons ici que quelques applications. Mais toute la théorie
moderne dos equations ;iux dérivées partielles utilise la transformation de Fourier
des distributions tempérées. Voir par exemple Horma.nder [3]. Signalons aussi des
applications à la physique classique daiit Arsac [i] et à la théorie quantique des
particules ou des champs dans Schwartz [17], et Wightman [i]

282
rement à support compact, comme dans (VI, 10; i) A sera dans
(VII, 10; i) une distribution à décroissance rapide [€(ßc)} '■> Ie
i" membre aura bien alors un sens quelle que soit Tç(#").
Soient alors <%, ß, 0S, les transformées de Fourier <X = &A,
•g = 3"T, i& = 3B ; &., "5, $, sont des distributions sur l'espace Y".
(VII, 10 ; 1) est entièrement équivalente à
(VII, 10; a) <a.S=âB.
Nous avons maintenant une équation multiplicative; le problème
posé est devenu un problème de division (chapitre v, §§ 4 et 5), d'où
''importance du problème de la division. "5 et iß sont des distributions
temoérées i^îf)1, (3. est une fonction indéfiniment derivable à
croissance lente ^€(ÖM)^.
Naturellement, on pourrait aussi considérer un système d'équations
de convolution à plusieurs distributions inconnues.
Équations de convolution homogènes
IVous supposerons ici 3 =0, $> = o.
i° Si &- ne s'annule jamais dans Y", <3.f5=:o entraîne f5=:o. et
l'équation (VII, 10; î) n'a pas d'autre solution tempérée que la
solution nulle.
Ainsi l'équation aux dérivées partielles elliptique homogène
(V»,.,.«) (._A,)-T = (»-Ay'.T=0
n'a pas de solution tempérée autre que o puisque
ne s'annule jamais. Remarquons, par contre, que celte équation a
une infinité de solutions non tempérées, que la simple transformation
de Fourier ne saurait permettre d'obtenir, par exemple des solutions
exponentielles :
(VIT, 10; k) jT = «p(2itA.a.)
De même, l'équation intégrale homogène
(VII, 10 ; 5) exp (— izr') *1 = o
n'a pas de solution tempérée autre que o puisque
£rexp (— Ttr")] = exp (—Ttr")
ne s'annule jamais.

TF.ANS.'OF.MATJON DC l-f )l"l!F KK
283
Cette équation n'a probablement aucune solution non nulle
tempérée ou non.
Si, au contraire, la fonction Cl s'annule en au moins an point a
de Y", alors (Vil, 10 ; 2) admet au moins pour solution Ja mesure
discrète S(„)( et (VII, 10; 1) a la solution tempérée exponentielle:
(VF'. 10; 6) T = 3$}.(a) = exp(2Ùa.x).
u" Si, maintenant, la fonction a. s'annule sur un ensemble fermé
F cje Y", ¥> a nécessairement son support dans F, donc T a son
spectre dans F. Cette condition, nullement suffisante pour
caractériser T, est souvent assez préeise pour les applications.
Par exemple, dans le cas de l'équation de Laplace itérée, dans X".
ou de l'équation de Cauchy dans X'
A*T = o
ou . — o [formule (II, 3; a3)_[.
oz
l'équation transformée s'écrit
(—4*V)*G = o
ou wE = o,
et comme rik ou z ne s'annulent qu'à l'origine, t> est combinaison
linéaire finie de dérivées de la mesure de Dirac (Théorème XXXV
du chapitre 111), donc T est un polynôme ; les seules fonctions
poly-harmoniques ou holomorphes qui soient tempérées sont les
polynômes poly-harmoniques ou holomorphes (généralisation du
théorème classique de Picard-Liouville). La recherche des polynômes
poly-harmoniques par résolution de (VII, 10 : 8) n'est pas plus
facile que 'a recherche directe par résolution de (Vil, 10 ; 7). Ici
encore remarquons que toutes les fonctions poïy-harmoniques ou
holomorphes entières qui ne sont pas tempérées échappent à la
méthode de Fourier [tandis que l'équation (Vil, 10 ; 8) n'admet
d'autres solutions que des polynômes de dérivation, non seulement
dans (;.') mais dans (.^')1.
Plus généralement, si l'ensemble fermé F est réduit à un nombre
fini de points, T est une somme finie d'exponentielles-polynômes
(page 25). On peut généraliser :
Thkorkme XXIII Toute distribution tempéréeT, solution d'une
famille d'équations de convolution (VII, 10 ; 1), est limite dans (if') de
(VU, 10; 7)
(VII, 10; 8)

284
combinaisonslinéaires finies d'exponentielles-polynômes, solutions de la
famille d'équations.
Nous ne donnerons- pas ici la démonstration (1).
Il est analogue au théorème XXVIII du chapitre vi, mais ici n
est quelconque et Aç(t\) ; par contre, on suppose T tempérée, et
l'approximation a lieu dans (if).
3° Si A est à support compact [équation (VI, 10 ; i)l, & est une
fonction analytique (théorème XVI, Paley-Wiener), et l'ensemble F
où el'e s'annule est une variété analytique de Y". Si cette variété n'a
pas de points multiples, les méthodes du chapitre v permettront
une résolution complète. Par exemple, pour l'équation aux dérivées
partielles elliptique homogène
(VII, ,o:9) (i+èi)k1 = (* *'"*
... . _ , , T=iO,
la transformation de Fourier donne
(VI.'; io; io) (i— !■-')*© = o.
Alors, d'après la formule (V, 5 ; a), toute solution tempérée T
de (VII. io; 9) est transformée de Fourier d'une couche multiple
d'ordre j^ k portée par la sphère r ■=. 1, et réciproquement.
On pourra de même caractériser les solutions tempérées de
l'équation hyperbolique des ondes amorties itérée
(((V->.))*T=:(v — >.*)**.T = o
(VII, 10; u) » _ j>l_ö;_ a2
tel te» tel
(pour >. réel =fco), comme transformées de Fourier de distributions
tempérées 6, couches multiples d'ordre ^ k portées par l'hypcrboloïde
Pour >. non réel, il n'y a pas de solution tempérée non nulle.
Mais, pour >.=o (qui corresponde l'équation des ondes ordinaire),
l'hyperboîoïde est remplacé par le cône d'ondes yj—y\ yi_, = o,
qui a un point double à l'origine. 6 est nécessairement, en dehors
de l'origine, une couche multiple d'ordre ^ k portée par le cône
d'ondes, mais la caractérisation de "5 au voisinage de l'origine serait
plus délicate.
4° Remarquons que si A est à support comoact, une solution f. de
'■) On la trouvera dans Si h»\kiz [\5]

TRANSFORMATION DE FOURIER
285
(VII, io ; a) n est jamais une fonction, puisque son support est une
variété analytique, de sorte que, par exemple, pour L'étude des
solutions des équations aux dérivées partielles à coefficients constants,
la transformation de Fourier des mesures ou des distributions est
inévitable.
Or toute distribution Ti(%'LP). i^.p^.2. en particulier toute
distribution à support compact, a pour transformée de Fourier h une
fonction (chapitre vu $> -, exemple 4)- Ainsi une équation de corwo -
lution du type (VI, i o : i ' ! où A€(C) ) n'a pas de solution ^= o
appartenant à ($lp), i <^ p <", 2. ni à fortiori de solutions à support compact.
En particulier, si A est un polynôme de dérivation d'ordre m,
(VII, io: i) est une équation aux dérivées partielles d'ordre m, à
coefficients constants. Si S est une. hypersurface compacte m fois
continûment différentiable. limitant un volume V. toute fonction m
fois continûment différentiable f, solution usuelle de l'équation, nulle
ainsi que ses dérivées d'ordre ^ m — i sur S. sera nulle dans V : en
effet, la fonction f égale à/ dans V et à o dans son complémentaire
est alors solution de l'équation, au sens de la théorie des
distributions (chapitre v, théorème XI), et elle est à support compact, donc
nulle. Ce théorème très simple est indépendant du type de l'équation
(elliptique, hyperbolique, etc.) puisqu'il est un cas particulier d'une
propriété générale des équations de convolution ; il est indépendant
de l'existence d'une solution élémentaire. Remarquons que ee.
résultat n'entraîne nullement que f soit nulle c'.ans le complémentaire
de V. Ainsi, toute fonction de \a forme f(x, y)= 5-(x)-(-[!.( y), dans
le plan R* où les coordonnées sont x, y, est solution de l'équation
(dy/do-ôy) — o : si y et ß sont nulles ainsi que toutes leurs dérivées
dans les intervalles W s^ i |yj^ i. et > o ailleurs, /est nulle dans
le carré |ar| <! î, \y\ <! i, ainsi que toutes ses dérivées, et > o partout
ailleurs. Nous ignorons dans quelle mesure on peut étendre ces
propriétés aux équations aux dérivées partielles à coefficients variables (').
5° Remarquons-que si F est compact, T est une fonction
analytique entière de type exponentiel (Théorème XVI, Paley-Wiener).
A insi les seules solutions tempérées d'un système elliptique d'équations
aux dérivées partielles à coefficients constants sont des fonctions
analytiques entières de type exponentiel.
t1' M. de Rhani m'a indique un«- demonstration de rette propriété qui est
indépendante de la transformation de Fourier, mais qui ne semble pa« non plu»
applicable aux équations à cneHipients variables. En tout cas. la propriété ne subsiste
sûrement pas sou* la forme très générale qui précède, il \ a de» contre-exemple»

286
On trouvera aussi des équations ou systèmes d'équations
hyperboliques ou d'équations intégrales dont toutes les solutions tempérées
auront cette propriété.
Naturellement cette analyticité des solutions tempérées n'entraîne
aucune conséauence relativement aux solutions non tempérées ; par
exemple, pour X non réel, l'équation hyperbolique (VII, 10 ; 11)
n'a d'autre solution tempérée que o, mais ses solutions non tem-
oérées ne sont pas toutes des fonctions analytiques.
Recherche d'une solution élémentaire
Nous supposons maintenant B = #, $=1. Nous avons à
résoudre le problème de la division de 1 par öl. Si l'on peut définir
une distribution tempérée 8 = — ou Pf — » alors &&:-= i d'après la
formule (V, 3 ; io), et E^Stë sera une solution élémentaire
tempérée. Donnons quelques exemples.
Exemple i Équations elliptiques
(VII, io; ia) Ak = U—^-X\ <xk=(i -hry.
On en déduit immédiatement la solution élémentaire
(VII, io; i3)
g,= (,+rT*, Et = L» = T^7 r*-*K. (*,)
(A—i)î -t-"
(voir formule V'I, 7 ; a3), conformément aux formules déjà vues
(II, 3; 22).
La solution élémentaire trouvée appartient à (0'c), et c'est la seule
qui soit tempérée. Remarquons que ët = (fit)*, E* = (Et)**.
Par une Somothétie, on en déduit que la solution élémentaire
correspondant à
(VII, 10; 14) Afc = (A—JA)*, Xréel>o,
est »_i
(- 0**T T t_.
(V.", .0; i5) \= -„ - /■ 2K„ Mir).
2* 7T2(*~I)!
Mais cette solution élémentaire est une fonction holomorphe de

TRANSFORMATION DE FOURIER
287
la variable complexe X fà valeurs dans (ÎT/)] ayant X = o comme
seule singularité (point critique).
D'autre part, (A— X?)** est une fonction holomorohe entière
de la variable complexe "X rà valeur dans (3f)). Leur produit de
convolution égal à $ donc indépendant de X pour X réel > o, est
encore $ pour X complexe. En passant ainsi de X réel > o à X réel
<C o par \e demi-plan complexe supérieur, on en déduit une solution
élémentaire correspondant à
(VII, r o ; r 6) A* = (A -+- XS)* *, X réel > o.
La solution élémentaire trouvée n'est pas réelle, on peut la
remplacer par sa partie réelle, et on obtient
-_-
(VII, io;i7) lg» = - „V- «r'M_L. r'-*Y._t(v5r).
a* rS {k—i)\
Y désignant une fonction de Sessel.
On ne peut pas se contenter de faire X = o pour avoir une
solution élémentaire de l'opérateur de Laplace itéré A* ; un calcul direct
sera plus simole.
V. est bon de remarquer aue cette méthode de prolongement
analytique nous a permis de passer d'un problème à un autre tout
différent. En effet, pour A* = > S -f- ^—j \ >ona
ak = (i-ry, g^pf^-J—.
Gomme i —r* s'annule sur ïa sohère r= i, cette partie finie doit
être au préalable définie explicitement, et la transformée de Courier
de la pseudo-fonction 8k est plus délicate à calculer directement que
celle de la fonction (î -(-r2)-*. ïl n'y a là qu'une difficulté d'ordre
technique que nous avons évitée par le prolongement analytique en X ;
car, au point de vue théorique, on peut prendre pour 8* n'importe
quel résultat de la division de i par (i—r2)* (théorème VH*. du
chamtre v), et &k est bien tempérée (elle converge vers o à l'infini).
L'opérateur A* de (VII, io ; i6) a ainsi une infinité de solutions
élémentaires tempérées, alors que ce'.ui de (VII, io; ïa) n'en avait
qu'une ; par ailleurs ici on ne peut oas écrire èk = (ê,)*, E* = (S,)**,
car ces expressions sont dépourvues de sens.

Exemple 2 Equations de Laplace itérées
(Vil, 10: 18) Afc = A* rt» = (— Ix-rY
(VII. to; 19) ,-:A=i=^Pfr-
et la solution élémentaire Ek se déduira des formules (VII. 7 ; i3 et
i4) qui donnent ~* (Pf r").
Il faut distinguer 2 cas :
a) si « est impair, ou si n est pair mats -ik<^n, alors nous ne
sommes pas dans le cas singulier, o" pourra utiliser (VII. 7 ; 13)
(le symbole Pf étant inutile pour a/c < n).
(VII, 10; 20) Ek = ± là
kVl±-k
(k-i)l
a tt
IA si n est pair et aA. I> n, nous sommes dans un cas singulier et il
faut utiliser la formule (VII, 7; 1.4)'
(VII, 10; ai)
n
e„ = 1-')J P« - .Aog 1
La constante A est sans importance et peut être remplacée pat* o, car
ce'a revient à ajouter à la solution élémentaire une solution de
l'équation homogène (polynôme polyharmouique): autrement dit.
c'est seulement la partie la plus facile de la formule (VII. 7; 1/4)
qui est nécessaire. Les formules (VII. 10; ao et 21) sont bien en
accord avec les formules (II, 3 ; i5 et 17).
Remarquons que, dans ces exemples 1 et •>.. les résultats ne
dépendent pas seulement des termes de plus haut degré de l'équation
elliptique; cela vient de ce que la solution élémentaire cherchée n'a
pas seulement un caractère local, puisqu'elle doit être tempérée.
Exrmplb 3 liquation de la chaleur itérée
(VII, 10: aa)
AA— ■ ^-—-h — h \- ■— ) \ ).reel>o.

TRANSFORMATION DE FOURIER
289
Il sera commode de considérer l'espace X" de la variable
x = 'x., xt.
*.!
comme produit de l'espace à n—i dimensions de la variable
£= £x,, x,, ... xn _, \ par l'espace à i dimension de la variable xn.
Alors
(VII. 10; a3) Ak = f~-l\Xk,
(VF, io;a4)
aJfc=(2^Vn^-4*î>^•,,)*; K=|r,. y*> ■ ■ ■ r»-i|-
(VI, 10; a5) 8» = Pf^ -Viïï-rY
Nous appliquerons alors la méthode de l'exemple 9 du § 7. et nous
trouverons ainsi, pour EJfc = .'?£
(VII. 10 ; 26) .
10 pour x„ ^ o
^_( ■ )-eip(_|L) ^ *,>0,
v(ft — i)i\2v/>W V fav
ce qui est encore un résultat classique.
Remarquons que nous trouvons
(VII, 10; 27) Et = (1^|yjE1.
ce qui est évident à priori, car, avec cette définition de E* pour
Ä >• 1, la formule usuelle de dérivation d'un produit (V, 2; 3)
donne pour k > 1
(VII. 10; 28)
d'où
' ' (/c-i)!
= EJfc_.-+-Tr^-—S = E*
ou
(VII. „; >,) (i-U,) *E,= (i-U,) E,=S.
La solution élémentaire E* dépend de ?., et c'est une fonction

290
holomorphe de la variable complexe X oour ÜR.(X) > o, et continue
pour £ft(X) ^ o, à valeurs dans (îf/) [lorsque SIX devient < o, la
fonction usuelle définie par la formule (VII, 10 ; 26) n'est plus
socnmable au voisinage de l'origine et ne représente plus une
distribution1. Nous pouvons donc (voir exemple 1) remplacer X par zizik
et obtenir une solution élémentaire correspondant à
(VII, io,3o) A* = ( — ztikbc) > X réel > o,
) Vto- 7
oui est
(VII, io;3i)
/ o oour xn ^ o
v ,*-) «S-' ( ' \~l ( !ff \
JtU~)(A-0'Va(i±Ov^W exPV - 4'W
v pour x„ > o.
Ici. encore, comme à l'exemple 1, le prolongement analytique en X
nous fait passer d'un problème à un autre tout différent, et évite des
difficultés de nature purement techniaue.
Exemple 4 Équations hyperboliques
(VII, io;3a) A* = (V— X*)**; V=-^_A*
ta.* 4
avec 'es notations de l'exemple précédent.
(VII, io; 33) afc=(—4ktV —X)*; f=f„ — \?$.
(VII. 10; 34) &k = Vî( .', Y
^— 4'fV — X/
1° Si X n'est pas réel, /JïrV-4-X ne s'annule jamais dans Y", le
symbole ?f est inutile, &k est manifestement une fonction continue
bornée, etEk=r&êk donnera une solution élémentaire, la seule qui
soit tempérée. Bien plus, êk appartient à (ÖM), donc Ek à (ô'c).
Celte solution élémentaire, que nous ne calculerons pas ici,
a un caractère et des usages entièrement différents de celle qui a été
trouvée à la formule (VI „ 5 ; 29) :
a) La solution élémentaire de la formu'.e (VI, 5 ; 29) a son
support dans le cône d'onde direct -+- T ; elle est la seule à posséder
cette propriété, puisque (U)',r) est une algèbre. Elle peut être utilisée
à la résolution des problèmes de Cauchy suivant .'.a formu'.e (VI, 5 ;
26). Elle a une croissance exponentielle à l'infini, donc n'est pas
tempérée, et ne saurait être obtenue par transformation de Fourier ;

TRANSFORMATION DE FOURIER
291
elle ne permet "r>as de trouver la solution tempérée <?.'une équation
avec second membre tempéré.
6) La solution élémentaire 3?-k est symétrique par rapport à
l'origine, elle ne peut donc pas servir à résoudre les problèmes de
Cauchy suivant la formule (VI, 5 ; 26). Elle est tempérée, et c'est la
seule à posséder cette propriété, puisque l'équation homogène n'a
pas de solution tempérée ; elle appartient à (ô'c), donc peut donner la
solution temoérée de toute équation à second membre tempéré.
a° Si X est réel et =7^=0, êk est singulière sur l'hyperboloïde
4jtV -+- X = o. Il y aurait lieu de définir explicitement la partie finie,
mais ici encore on peut prendre pour èk n'importe quel résultat de
la division de 1 par (—fa'a* — X)*. Cette division est possible
localement (théorème VIII du chapitre v), on oeut montrer aisément
qu'elle est possible de façon que &k soit tempérée (voir page 297). La
formule (VI, 5 ; 3o) montre que c'est seulement pour X <" o qu'on
peut retrouver ainsi la solution élémentaire appartenant à (2)',r),
qui est dans ce cas tempérée.
3° Si X = o, l'hyperboloïde est remplacé par le cône, <t4 = o. La
division par a* ne rentre pas dans le théorème VIII du chapitre v à
causf du point double du cône à l'origine, mais, ici, se fait néanmoins
aisément. Comme nous l'avons indiqué (§ 7, exemple 8), on peut
définir la pseudo-fonction &k, distribution tempérée, de façon à
pouvoir retrouver les Ztt de la formule (II, 3 ; 34).
Remarquons que dans tous les cas '.a solution élémentaire qui
appartient à (3)'*r)> après multiplication par exp(— Aar,), A > o assez
grand, devient tempérée, et peut être obtenue par transformation de
Fourier ; cela revient à dire que ces solutions oeuvent être obtenues
par transformation de Laplace, ce qui est le cas de tous les systèmes
hyperboliques.
Ces exemples montrent comment, dans le cas général, on peut être
arrêté par les difficultés théoriques du problème de la division. Ils
montrent, surtout, l'intérêt qu'il y a à construire des tables oermettant
de calculer les transformées de Fourier pour des distributions.(')
Exemple 5 Équations intégrales
L'équation intégrale correspondant à
(VII, 10; 35) jA = «p (-«■>)
v ' ' > (ct=exp(— J-rr")
n'a pas de solution élémentaire tempérée, car exp (-t-w*) n'est pas
(*) Voir Lavoine [1]

292
tempérée. Cette équation n'a probablement pas de solution
élémentaire, même non tempérée.
Exemple 6
Considérons l'éauation intégrale correspondant au cas où A est
la masse -+-1 répartie de façon homogène sur .a sphère unité de
centre O. Si alors T est une fonction /, A»/ est une fonction, égale,
au point x, à la moyenne de f sur la sphère de centre x et de
rayon i. On a
r-(-)
(VII. io ; 36) a = -A-^ J.^H
n-i
(VII, io; 37) $ = -J—Pfl ("O ' V
T.1, y aurait lieu de définir cette partie finie sans ambiguïté, mais cela
n'a comme toujours aucune importance, 8 est le résultat de n'importe
quelle division de i par <%, division qui rentre dans le cadre du
théorème V.'.Il du chapitre t, car toutes les racines en r de
n —I
Jn_j(27rr)/r J sont simples et ^o. Mais encore faut-il que ê soit
>
tempérée, ce qui nécessite un examen minutieux à l'infini.
Nous choisirons S de la façon suivante. Elle sera invariante par
rotation autour de O, de sorte que 8.<p(y) = g.<J<(r), où J.(r) est la
moyenne de <p(y) sur la sphère \y\=r.
Soit L. la réunion des intervalles (rv— t, rv-l-t), où rv oarcourt la
suite des racines =£o de la fonction de Bessel Jn_,(27rr); soit L„ le
>
complémentaire de L, sur la demi-droite o ^ r < oo.
Nous poserons, pour <p€(^).
(VII. .o; 38) 8.?= f ''' ,„f? f-'M dr
■2
_ w

TRANSFORMATION DE FOURIER
293
Compte tenu de ce que, pour r—co,
(VII, io ; 39)
'surL,, _i_ = 0(tf)
'J5=»(a,rr)1
surL,, L£=£^!=0(v^):
\ i » !
compte tenu, d'autre part, de ce que <J.(r) décroît plus vite pour
r-*- 00 que toute puissance de i/r, ainsi que, sur Lt,^ '■ **• y'
[qui est majorée par une dérivée $'(?*), r,— t^pv<Trv-t-e],
on voit que 8. <p est bien défini par une intégrale convergente et
détermine S comme une distribution tempérée.
On voit aussitôt que 8 vérifie &ê = 1 ou
è(a9)=ff---f9(y)dy=.2^- r^ry-'dr [car *(r,) = o]
Il resterait à calculer E = 9*6 ?our avoir une solution élémentaire.
Le résultat ne nous parait pas pouvoir se mettre sous une forme
simple.
Il n'y a aucune difficulté à trouver par le même procédé une
solution élémentaire Sk = Pf ( —j ) correspondant à Afc = A * (On
ne peut pas écrire 8k = 8* ou E* = E** ; ces expressions sont dénuées
de sens).
Exemple 7 Théorème de Fredholm
Supposons que <X soit un polynôme de dérivation elliptique,
d'ordre m, ne contenant que des dérivées d'ordre m :
!A= S apD"*; a. = constantes complexes;
|p|=m
1£afyl> = o entraîne y = o.
(VII, 10; 40 & = 2ap(iiTtyy
p
P'us généralement, si / est un nombre complexe quelconque,
nous poserons
(VU, 10; 42) ft(=rPf[aXr),'. A, = .*<*,.

294
Cela suppose une définition de l'argument de et dans Y* (sauf à
l'origine); c'est toujours possible sin =fc 2, en définissant cet argument
sur la sphère unité ; pour n = a, si l'argument n'est pas une fonction
uniforme Texem-ple A = — > <X = 'mz, formule (II, 3; a3)1 on pourra
Ö2
raisonner sur A* A et oâ au lieu de A et <X.
Le symbole Pfest inutile pour (ßl)m-+-n > o. Pour \y\—~o, <%'
est de l'ordre de lyh*0, et la partie finie se définira, par un procédé
indépendant de &J, par la considération de sphères concentriques
'y = «, £-»-o, comme dans la formule (II, 3 ; 4) qui correspondait
à <% = r*. <Xt est une fonction méromorphe de la variable complexe
/ à valeurs dans (^")r les pôles étant les valeurs de / pour lesquelles
lin _f_ n est entier ^ o pair ; pour ces valeurs singulières, on a une
formule d'un type analogue à (II, 3; 7).
Soit H un isomorphisms de Y" sur lui-même. Lorsque
(£R/)m -+- n < o, <X( € (®'l,)> A{ est une fonction continue (§ 7, exemple
4), et on a d'après (VII, 6; 10)
(VII, 10; 43) i(Ha.()=A^H(x)).
Cette formule est peut-être dénuée de sens pour (£R/)m -4- n ^ o.
Mais, pour (£&/)m-t-n >o, <3.{ est une fonction, et alors, d'après
(VIL 6; i4):
(VIL 10; /i/i)H<a.^y)=|dét.H-l^((II-l(y))z^idét.H-,la'(H-,(y)).
Par prolongement analytique, on en diduit, pour toutes les
valeurs de / non singulières,
(V.!. 10; 45) Ha(=!dét.H-l!Pf<a.((H-l(y)).
Oil a donc finalement, pour toutes les valeurs de /non singulières
telles que (£ft/)m -+-n < o,
(VII, 10; 46) ^{!dét.H-,!Pf<a.((H-(y))|=('H(x)).
Mais (tant que H reste inversible) la distribution
Ida. n-'\p{a'(n-\y)x%,)r
dépend analytiquement des coefficients de la matrice H (pour la
prolonger aux valeurs complexes des coefficients de H, on
remplacera bien entendu Idét. H~'j par dét. H-' ou —dét. H-' suivant les
cas) ; donc, pour /non singulier et (&l)m -+- n < o, A,('H(x))(entant
que fonction continue.pour la topologie de la convergence uniforme

TRANSFORMATION DE FOURIER
295
sur tout compact) dépend analytiquement des coefficients de la
matrice inversible H'. Cela prouve que la fonction continue A^x) est
analytique sur le complémentaire de l'origine dans Xn(').
Par un passage à la limite convenable, on étend la propriété au
cas singulier, de sorte que celle-ci est vraie sans restriction pour
($U)m-+-n <o.
Mais on a toujours [formule (V, 3 ; io)1
ce qui permet de passer de l à /-+-1 ; de sorte que finalement, pour
toutes les valeurs complexes de l. A, est en dehors de l'origine une
fonction analytique (mais A, n'est plus toujours une fonction dans X*,
par exemple A, est un polynôme de dérivation).
Le théorème de Fredholm (*) correspond au cas particulier
/=—i:
Le polynôme de dérivation elliptique A a une solution élémentaire
A_,, qui est, en dehors de l'origine, une fonction analytique.
La méthode du théorème XII du chapitre v montre alors que les
solutions de l'équation A*T=B sont toutes des fonctions
analytiques, \à où B est une fonction analytique; la démonstration est
d'ailleurs simplifiée parles formules du produit de convolution, et
il est inutile de savoir si A_t est une fonction dans R\ car (V, 6 ; 33
et 3/|) s'écrivent
(TO..o;*8) ^T = A_,.(A.PT)=A .^
( -hA_1*(i — «)(A*ßT).
Cette démonstration peut s'étendre à bien d'autres équations ou
systèmes elliptiques à coefficients constants.
Si, par ailleurs, un système elliptique à coefficients constants
admet une solution élémentaire, celle-ci est nécessairement, d'après
le théorème XII du chapitre v, une fonction analytique là où le second
membre S l'est lui-même, c'est-à-dire en dehors de l'origine.
(') Soit en effet x = j I, i, ... i l, et H la malrire dont les élément« delà diagonale sont
/,, /j, ... („, loua jL o, les autres élant nuls ; alors A^C,, lt, ... ln) est une fonction
analytique >lr t,, l^, .. („, lorsqu'aucun des ti n'est nul Donc A est une fonction analytique en
dehor9 des hyperplans de coordonnées ; par un changement d'axes on en déduit qu'elle est
analytique en dehors de l'origine
(*) Fredholm a fait une étude détaillée de la solution élémentaire de ces équation»
elliptiques, l'exprimant au moyen d'intégrales abéliennes, mais seulement pour n = 3 :
Khedbolm, [i]. La méthode ci-dessus est très générale et de caractère très élémentaire

296
' Mais le théorème XXIX du chapitre vi démontre l'analycïté des
solutions sans faire intervenir la solution élémentaire.
Résolution d'équations avec seconds membres tempérés quelconques
Si on a pu trouver une solution élémentaire E appartenant à (Oé),
la formule (VI, io; 9) donnera une solution tempérée E * B de
l'équation avec second membre B,toutes les fois que B est tempérée,
et ce sera d'ailleurs la seule.
Mais si E n'appartient pas à (0C), cette méthode n'est plus
applicable. Il sera alors possible que la transformation de Fourier donne,
par la formule (VI, 10; 2), une résolution directe de l'équation avec
second membre, sans passer par l'intermédiaire d'une solution
élémentaire. Donnons quelques exemples.
Exemple i A = (7^-I-&Y [formule (VII 10; 16)]. Une
^ ' -. / 1 V
solution élémentaire est transformée de Fourier de Pf I ) ;
/ 1 v . . y~ry
comme Pf( 1 Ç(<^M), aucune solution élémentaire n'appartient
à (0'c). Mais la division par (1 —r2)* est toujours possible dans (%y\,
d'après le théorème VII* du chapitre v; le quotient .^/(i — r4)* est
déterminé d'une manière unique sur le complémentaire de la sphère
r= 1 ; si iß est tempérée, c'est-à-dire « à croissance lente à l'infini »
(théorème VI), il en est encore de même pour tout quotient
fi = :ß/( 1 — r2)*, puisque 1/(1 — r)k tend vers o pour r -*■ 00 ainsi que
toutes ses dérivées. Par transformation de Fourier, on en déduit une
solution T tempérée de l'équation. Ainsi A est « complètement
inversible » dans (.f) (page 212). Toutes les distributions A des
exemples précédents (sauf l'exemple 5), qui sont inversibles, sont
aussi complètement inversibles [bien qu'en général E n'appartienne
»as à (0c)], comme on le voit par un raisonnement inspiré dos
précédents et généralisant celui qui prouve l'existence d'une solution
élémentaire. Nous ne connaissons pas d'exemple d'une distribution
A inversible dans (<J') et non complètement inversible dans (if).
Exemple a Pour l'opérateur A = (v — lS)*k (X réel ^o)
(formule (VII, 10: 32)), on peut introduire un raisonnement
nouveau d'une nature très générale.
i\ous avons à résoudre dans (cf) le oroblème de division :
(Vil, 10; 49) (— /ittV— Jl)*P = !ô.

TRANSFORMATrON DE FOURIER
297
A distance finie, cette division est possible d'après le théorème VIII
du chaoitre v ; mais nous voulons que 6 soit tempérée, ce qui exige
certaines précautions à l'infini.
Considérons Y" comme ensemble ouvert de l'espace projectif réel
P" et uti'.isons les résultats et notations du théorème V.
Soit Ü0 = Y" et soit Ü, l'ouvert complémentaire dans P" de l'hyper-
plan projectify, = o. Lesûv(v = o, i, a, ... n) forment un
recouvrement ouvert de P"; soit j«v} une partition de l'unité surP"
subordonnée à ce recouvrement, Sv 6 (ü\jv) (chapitre i, théorème II).
■Jj, étant tempérée, admet un prolongement $, distribution sur P*.
Montrons que pour chaque v on peut trouver une distribution
f'..€(SÎ>Q,). dont la restriction S., à u, = Û,aY" vérifie l'égalité
(VII, io; 49).
C'est déjà vrai pour vt=o. Soit v = l=fco. Dans û( on peut
prendre comme coordonnées locales y[, y't, ... y'n, avec (')
!v'—_2x v'—Xx ... «' 1 v* y*
y< — • y*—~> y,——■» ••• yn—~~
y y> yi p
y y i y
. y*.—~j' y*— v'' *" 7i=T7» • • ■ yn— ■-?■
7î ji ji yi
On peut alors résoudre dans Q( le problème de division :
(VII, io;5i) [-tfW-rf-y? i -rri-,)_
-i/py^y'»®,
cary,'"" $ est une distribution connue sur Q„ et
- WW-y? 1 y'nld -V,1
vérifie dans Q, les conditions d'application du théorème VII* du
chapitre v.
(VII, io; 5i) est encore vérifiée dans w„ mais y,'* est indéfiniment
derivable dans w„ on peut donc multiplier les a membres par y'*, ce
qui donne (VII, io -, .49) dans w,. _
Alors, av ayant un support compact dans Üv, v-tâv est une
distribution non seulement sur Q„, mais sur P". Sa restriction à Y" est
donc une distribution tempérée sur Y", qui vérifie, non seulement
dans ci>„ mais dans Y",
(VII. 10 ; 5a) (— 4irV — *)*(ayl~v) = av$.
(') On pout toujours prendre comme coordonnées locates sur P" des fonctions homogra-
[ihiques des coordonnées cartésiennes

298
La somme fô^z^x&v est donc une distribution tempérée sur Y",
qui -vérifie (VII, 10 ; 4o,)-
Cette méthode est une application de la remarque du chapitre v,
§ 5, 20, une résolution de la division par recollement des résolutions
locales sur P".
Conséquences de fa solution du problème de la division
Comme Lojasiewicz et Hörmander ont démontré (') (rue d ins
R" !a division par un polynôme est toujours possible, on en
déduira, à l'aide du raisonnement ci-dessus utilisant
'.'espace projeetif P", que :
Pour toute équation aux dérivées partielles à coefficients constants
(A = polynôme de dérivation), il existe au moins une solution
élémentaire tempérée, et au moins une solution tempérée toutes les fois que le
2* membre est tempéré.
Le théorème de Fredholm (exemple 7) s'étend alors à toutes
les équations aux dérivées partielles e'iiptiques.
La transformation de Fourier a beaucoup d'autres
applications aux équations de convolution, nous n'avons donné ici
que quelques exemples typiques.
( ) Voir HÖRMANDF.B [1], Lojasiewicz [i], Schwartz [i61, exposés 21 à 25 inclus

CHAPITRE VIII
Transformation de Laplace
Sommaire. — Le paragraphe 1 introduit les définitions essentielles,
l'ensemble convexe T et ses propriétés. Au paragraphe 2, T étant un convexe de
l'espace Sn, on étudie l'espace dj'x (T) des distributions sur X", telles que
exp (— x . Ç) Tx soit dansd' pour tout Ç e T; la proposition 4 en donne une
propriété de convolution essentielle. Au paragraphe 3, on définit l'image de Laplace
d'une distribution TeUjx (Y); dans le cas le plus important, où T est ouvert,
la proposition 6 dit que cette image est une fonction holomorphe de la
variable complexe p, p = Ç + iij, Ce r, à majoration polynômiale à l'infini. Le cas
particulier de la dimension n = 1 est indiqué brièvement à la remarque 5,
page 308. La transformation de Laplace transforme la convolution en
multiplication. Le paragraphe 4 étudie le support d'une distribution, à partir des
propriétés de croissance de son image de Laplace. Le corollaire final donne le
cas de la dimension n = 1.
La transformation de Laplace des fonctions d'une variable a été
abondamment étudiée (théorie et applications) par Dœtsch,
Widder, etc. Pour plusieurs variables, les travaux sont plus
récents : Bochner, Leray, Mackey, Garding, etc. Par ailleurs, il
y a 'ieu de remarquer que c'est spécialement dans la transformation
de Laplace que les distributions ont été utilisées par les électriciens
avant d'être mathématiquement justifiées (8*, 8*', S"" ... comme les
objets dont les images sont 1, p, p2, ...) Des travaux récents
traitent de la transformation de Laplace des distributions (1).
Il nous a paru utile de donner in extenso le formalisme théorique
de la transformation de Laplace des distributions. Le lecteur se
convaincra aisément qu'il n'y a ici qu'une utilisation immédiate
de la technique courante des distributions.
f1) Garnir [5], e Silva [2], [S], [4], Schwartz [10] vol. 1, page 74- De» tables
d'images de Laplace sont données dan» Lavoine [2], Le présent chapitre est une
simple reproduction de notre article dans Séminaire math. Univ. Land, 1952

300
§ 1. Produits d'une distribution par des exponentielles
Soient X" = Rn un espace vectoriel réel à n dimensions, S" = Rn
son dual, ü" = S" -*- iE" l'espace vectoriel à n dimensions
complexes canoniquement construit sur S" (ou espace des formes
linéaires à valeurs complexes sur X").
Pour x = (x\ s8, ... x") e X", p = (p\ p2, ... pn) e II" (p> = Ç' -«- irf,
p = £ -\- îtj, Ce S", K]£ü") nous poserons px = plxl -f- ... -f- pnxn,
produit scalaire (à valeurs complexes).
Soit maintenant Teî)^ une distribution sur X". L'ensemble des
p e fi* pour lesquels exp (— px) T (l) est une distribution tempérée
( efyx) est évidemment un « cylindre » V + iân défini par ÇeT, où
T est un ensemble convenable de S"; car, quel que soit t) g S",
exp (— irix) S est évidemment tempérée dès que S est tempérée.
(De plus l'application (t), S) — exp (— i^x) S de S" x y' dans
Q1 est continue).
Proposition 1 L'ensemble T est convexe
Soient en effet ^ et £2er. Pour 0 < t < 1, posons \ = t\x -f-
(1 — t") £2; la quantité exp ( — Çx) = [exp ( — ^xx)]' [exp ( — £2a,)]1-'
est comprise entre les deux quantités exp (— ^x), exp (— £2a;),
donc majorée par leur somme. Si nous posons
(VIII, 1; 1) x(x; l) = exp (- Çx)/[exp (- lxx) + exp (- ^x)}
c'est une fonction continue bornée de x, et on voit qu'il en est
de même de toutes ses dérivées partielles en x. Autrement dit
aeSix = (fDLM)x.
Nous avons alors
(VIII, 1; 2) exp (- lx) T = a[exp (- lxx) T] + a[exp (- Z2x) T}.
Comme le produit d'une distribution e^f et d'une fonction e Si
est dans y', la proposition est démontrée.
0 Nous avons appelé x la variable du côté objet, p = Ç -f i tj la variable du côté
image. Contrairement au chapitre VII, nous avons appelé !F la transformation de
Fourier définie par l'intégrale g (y) = f f (x) exp (— ixy) dx et non ] f(x) exp
/■+•
(—2 inxtf) dx, de façon à avoir pour tranformée de Laplace | exp (— px) f{x)dx;
j —•
alors "y est défini par f (x) =(5-) 4 g [y) exp (+ ixy) dy; ceci dans le but de
simplifier les écritures

TRANSFORMATION DE LAPLACE
301
Plus généralement, si Ç1( Ç2, ... Ç, sont l points fixes de T, Ç un
point de leur enveloppe convexe, p = Ç -*- ir\, la fonction
(VIII, 1; 3) a (x, p) = exp (- P*)/^ exp <- l' x^
est dans 55x. En effet elle est bornée; et chacune de ses dérivées
partielles en x, combinaison" finie (à coefficients bornés si r\ reste
borné) de produits de cette fonction par des fonctions analogues
où p est remplacé par Ç1( Ç2 ... Ç, (donc toutes bornées par 1), est
bornée sur Xn pour t) borné.
Par ailleurs chacune de ses dérivées partielles en x, Ç, t), est
fonction continue de ces 3 variables et majorée par un po'ynôme
en x (pour V) borné). Cela exprime que (£, t)) —>■ a est une fonction
indéfiniment difîérentiable de £, t), à valeurs dans {Ou)x. Si de
plus l'enveloppe convexe des l points !-, a un intérieur non vide
dans Sn, p —* a est une fonction holomorphe de p à valeurs dans
(On)«-
Comme on a toujours
>-«
(VIII, 1; 4) exp (— px) T = y x {x,p) [exp (— £,a.)T], on aura:
>-i
Proposition 2 La distribution exp (— px)!T edf^. est une fonction
indéfiniment différentiable de £, t) (à valeurs dans <Jfx), tant que Ç
reste dans Venveloppe convexe d'un nombre fini de points Z,t (j = 1,
2 ... I) de T; elle est fonction holomorphe de p (à valeurs dans ($'x)
o '
tant que Ç reste dans Vintérieur Y de Y.
Remarquons que, si par exemple Y est constitué de la boule
fermée |£| < 1 et si Zq est un point de la sphère \Z,\ = 1> cette
proposition n'affirme la continuité de exp (~lx)Tx (dans (f'm)
lorsque !■ tend vers Zq, que si l'angle de Z, — Zq et de Thyperplan
tangent à la sphère reste borné inférieurement par un nombre e > 0.
On peut montrer par un contre-exemple que ce genre de restrictions
est nécessaire. Mais si on sait que exp (— Z,x) T est bornée dans Ojx,
lorsque x parcourt une partie A de Y, elle est une fonction continue
de,£eA à valeurs dans ($x, car elle est fonction continue de z, à
valeurs dans ï)x, et sur une partie bornée de Cj'x (donc relativement
compacte), les topologies de y' et de *D' sont identiques. Comme

302
ses dérivées partielles en Ç (dans %)'x) sont ses produits par des
polynômes en x, donc dans yx et bornées dans d'x, c'est une
fonction indéfiniment différentiable de Ce A à valeurs dans y^
o
Proposition 3 Si Ç rarie <fan« wn compact K de Y, il existe un
nombre e > 0 tel que exp [ e \/l + lx'2 — Px] Tx reste borné dans
dj'x pour %e K, tant que t) reste borné, et c'est une fonction holomorphe
de p à valeurs dans (j'r
En effet, pour % assez petit, l'ensemble des Ç-*-6, ÇeK, \b\<e.
reste dans l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points \f
(/ = 1, 2, ... I) de T.
Soit alors
(VIII, 1; 5) ß (x; p) = exp (e V* + |*.2) « (x; p).
On a
Iß (x; p)\ < exp (e) exp (ejx!) a (x; p)
< exp (e) Max exp (— bx) a (x; p) < Max exp (e) a (x; p + 6)
IM<« l»l<«
qui est majorée, d'après l'hypothèse, quand t) reste borné.
Chaque dérivée partielle en x de ß (x; p) reste bornée dans les
mêmes conditions, car elle est combinaison linéaire finie de
produits de dérivées de a, majorées comme a elle-même, par des
dérivées de exp (e-y/l -+- |x|2), bornées comme cette fonction elle-
même.
Donc pour tout p, tel que £eK, S (x; p) est dans 3^, donc dans
(Om)«» et elle est fonction holomorphe de p à valeurs dans (Ou)x.
On a alors
i-i
(VIII, 1; 6) expteVl + l'r.2 — p*] T = Vß(x;p) [exp(-Ç,x) T]
donc cette distribution est bornée dans Cj'x pour t) borné, et
fonction holomorphe de p à valeurs dans (fx. C.Q.F.D.
o
Corollaire Pour Ç e T, exp ( — px) T est dans {0'c)x, c'est une
fonction holomorphe de p à valeurs dans (0'c)x.
En effet, elle est le produit de exp [e -\/l -f \x\2 — px] T, fonction
holomorphe de p à valeurs dans^, par exp [— c -\/l -f jx|2] éd.

TRANSFORMATION DE LAPLACE
303
On voit qu'on pourrait dans l'énoncé de la prop. 3, remplacer
$ par (0'c).
Remarque. On pourrait remplacer 0)'x par d'autres espaces
faisant intervenir des hypothèses plus restrictives de régularité locale;
alors la prop. 3 s'étendrait sans difficulté.
Par e"xemple si T est une fonction / et si lorsque Ç est dans un
o
convexe T, exp ( — £x) f est dans L* (Xn), alors, lorsque Ç est dans f,
exp ( — par) / est le produit d'une fonction de L* par une fonction
à décroissance rapide (exp (— e\/l -f- ja,)2), e convenable). Si
o
pour Ç e T, exp ( — Z,x) f est dans (0M), alors, pour Ç e r,exp ( — px) f
est dans ^. Naturellement à T e î>i et à tout espace de
distributions tel que y% Lfc, 0M, etc. ... est associé un convexe Y, qui varie
avec cet espace (1).
§ 2. L'e&pace de distributions (jx (T) associé a un ensemble
convexe non vide Y de S"
Nous appellerons (j'x (Y) l'ensemble des distributions Teî)^
telles que exp ( — \x) T soit dans Ôjx, pour tout Ç e Y. L'espace (j'x
usuel correspond à Y = {0}.
(%'x (Y) sera muni de la topologie suivante :
des T, e^ (Y) convergeront vers 0 si, pour tout ÇeT, les
exp( — \x) Tj convergent vers 0 dans ^.(auquel cas les exp( — px) T,.
convergent vers 0 dans (jx, uniformément pour t) borné et
lorsque Z, parcourt l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points
de T, d'après la prop. 2); c'est la topologie la moins fine pour
laquelle les applications linéaires T —>■ exp(— ^x) T de ($'X{Y)
dans C$x soient continues. L'espace ($'X(Y) est localement convexe,
séparé, complet. On introduira de même l'espace {0'e)x (Y) (ou
d'autres espaces analogues si l'on a en vue des applications
déterminées). On a
(o;)x(r)c6£(r)c(o;u°r)
et les espaces yx (Y), {0'c)x {Y) sont identiques (vectoriellement
et topologiquement) si Y est ouvert.
Proposition 4 Pour S e($x (Y), Te{0'c)x{Y), le produit de
convolution S*T est défini et appartient à y'x(Y); l'application
(') T ne peut pas être n'importe quel convexe. Voir Authier [1J

304
bilinéaire (S, T) — S * T de $'X{Y) X {0'x)x [Y) dans $x {Y) est
hypocontinue.
Nous définirons S * T par la formule
(VIII, 2; 1) exp (- px) (S*T) = [exp (- px) S] * [exp (- px) T]
pour ÇeT, ou
(VIII, 2; 2) 8*^ = exp(px) [(exp (- px) S) *(exp (— px) T)].
Pour p choisi une fois pour toutes (Ç = ftp eT), la formule (VI11,
2; 2) définit explicitement S * T; cette définition sera valable
et la proposition 4 aussitôt démontrée si le résultat est
indépendant de p.
Soit alors xs une suite de fonctions e 1)x, telle que les 1 — x,
convergent vers 0 uniformément sur tout compact en restant
bornées sur X", chacune de leurs dérivées ayant la même propriété.
Alors les Sy = xfi, T, = x, T convergent vers S, T,
respectivement dans S^(r), (0'e)x(r) (ce qui prouve que ?>'x, et même 1)x
par régularisation, est dense dans ces espaces). On a, quel que
soit p, la formule (VIII, 2; 2'), identique à (VI11, 2; 2), mais où S
et T sont remplacées par S,- et T7. Mais les exp ( — px) S, =
o^ [exp (— px) S] convergent vers exp (— px) S dans {0'c)x, si ÇeT.
De même les exp ( — px) T, convergent vers exp ( — px) T dans S'x.
Le 2e membre de (VIII, 2; 2') converge dans 1i'x vers le 2e
membre de (VIII, 2; 2). Cela prouve que S, * T, a pour limite (dans *D^)
ce 2e membre, et comme S, * T, est indépendant de p, le 2e membre
de (VIII, 2; 2) est indépendant de p, pourÇeT, C. Q. F. D.
Cette démonstration, qui montre de plus que le produit de
convolution ainsi défini S * T, est limite dans 1)'x des S, * T,, montre
que, si S * T est défini pour une autre raison par un autre procédé,
le résultat trouvé est le même.
Corollaire Si Y est ouvert, Ojx (T) est une algèbre commutative
pour le produit de convolution, et celui-ci est une application
bilinéaire continue de $x {Y) x $X[Y) dans dj'x (Y).
Cela résulte de ce que Ôjx {Y) = (0'e)x (Y), de ce que (0'c) est
une algèbre pour la convolution et de ce que celle-ci est une
opération, hypocontinue (1).
("■) Voir proposition 4. et Dieudonné-Schwartz [t], page 96, théorème 9

TRANSFORMATION DE LAPLACE
305
§ 3. Transformation de Laplace sur y»(r)
Soit T un ensemble convexe non vide de 3". Pouf Ç fixé dans T
cherchons la transformée de Fourier de exp (— £x) Tx, considérée
comme distribution en x; nous écrirons cette transformée de
Fourier comme une distribution en t), appartenant à 6^. (t) e S"),
dépendant du paramètre \ e T, soit
(VIII, 3; 1) (E (Ç)], = [*w (exp (- lx) T.)],
(qui est la fonction exp [— (£ -f- £t)) x] Tx «ix si cette intégrale
a un sens, c'est-à-dire si exp (— (Ç -f- iï)) a;) T,. est dans (3)^,)^).
Proposition 5 !; —>■ (E (£))„ est une application de F dans yr),
indéfiniment diffèrentiable lorsque Ç parcourt l'enveloppe convexe
d'un nombre fini de points de Y. Si d est une dérivation suivant un
vecteur de S" appartenant à la variété linéaire V engendrée par T,
on a
(VIII, 3; 2) (dt+ii,)(E(Ç)), = 0
aux points Ç gui sont intérieurs à T rians V (2). -
Réciproquement si £—>■(£ (£))„ est wne application de T dans yi,
ayant les propriétés précédentes, il -xiste une distribution T e(j'x (T)
et une seule, telle que (E (£))„ = [S(x) (exp (— £x) Te)]„.
Soit en effet (T (!■)), = [J-, (E (£))„]*. Il est équivalent d'écrire
(VIII, 3; 2) ou
v=n v=n
(VIII, 3; 3) 2a,â^(T«)). + ^ a« *»<T «)). = <)
v=l v-1
pour tout vecteur a = {a1, a2, ... an) eV (avec Ç = (Ç1, £2 ... £"),
x = (x1, .r2, ... xn)), lorsque !; parcourt l'intérieur de T dans V.
Ceci est encore équivalent à
(VIII, 3; 4) 2 aVÏXv [exp (U) (T(Ç)).] = 0
(le crochet étant considéré comme fonction de Ç à valeurs dans
j1) dç est la dérivation rf appliquée à (E (Cl),,, fonction de Ç à valeurs dans«',,;
<i, est, pour Ç fixé, la dérivation d appliquée à (E (Ç))^, distribution 6^,

306
Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que exp(£^c)(T (C))*e î>*
soit indépendante de Ç quand ï, parcourt l'intérieur de T dans V,
donc par continuité quand !■ parcourt T; donc il faut et il suffit
qu'il existe une distribution T e $>'x telle que
(VIII, 3; 5) (T(Ç)).= exp(-Ç*)T. C.Q.F.D.
Remarquons que, pour que Tx converge vers 0 dans Ôjx (T),
il faut et il suffît que (E (£))„ converge vers 0 dans <$., pour tout
ÇgT, auquel cas la convergence est uniforme dans l'enveloppe
convexe d'un nombre fini de points de T.
Définition Cette application Ç — (E (Ç)),, de T dans (j'x s'appelle
la transformée de Laplace de T e(^. (F), et se note (C T (Ç))„ ou
simplement CT.
Proposition 6 Si T est ouvert, la transformée de Laplace de
T e(îx (T) est une application indéfiniment différentiable de T dans
(0M)n, et de Plus
(VIII, 3; 6) (E(Ç)), = E(Ç,tj) = F(Ç-t-tT,) = F(p),
où F est une fonction holomorphe de p dans V -f- i S", qu'on appellera
encore la transformée de Laplace de T.
Réciproquement, toute fonction holomorphe F (p) sur F -f- i S",
telle que, pour tout compact K de F, F soit majorée sur K + iE"
par un polynôme en t\, est transformée de Laplace d'une distribution
T eyi (T) unique.
1) La condition est nécessaire
On pourrait le déduire de la prop. 5, mais c'est évident
directement. Le fait que y^. puisse être remplacé par (ÖM)„ résulte du
corollaire de la proposition 3; de même, puisque exp (— px)Tx
est une fonction holomorphe de p à valeurs dans [0'e)x, F (p) qui ici
est exactement l'intégrale
(VIII, 3; 6) F (p) = f [exp (- px T.] dx,
J X"
est une fonction holomorphe de p.
2) La condition est suffisante
Si, sur K -f- iE", F est majorée par un polynôme, la majoration
classique par l'intégrale de Cauchy montre que toute dérivée
partielle en !■ ou T) de F est majorée aussi par un polynôme (de degré

TRANSFORMATION DE LAPLACE
307
fixe) en ïj; alors \ —♦ F (Ç -f- "-■»)) est une application indéfiniment
différentiable de Y dans (ÖM)„ donc dans 6^,; comme de plus F est
holomorphe, elle vérifie les conditions de Cauchy (a\ + ÙLJ
F (^-f-it)) =0 (d, dérivation suivant un vecteur arbitraire; si
d = ~gp {v = 1, 2, ... n), dz + ià\ = —; + i e-rl, d'où la conclusion
en vertu de la proposition 5.
Remarques diverses
1) Pour que des T, convergent vers Odans yi (T), il suffit (et il
faut s'il s'agit d'une suite, ou d'un filtre à base bornée ou dénom-
brable) que les Fy (!■ -f- ît)) convergent vers 0 uniformément sur
tout compact de T -f- iS* et que, pour tout compact K de T, elles
restent majorées par un polynôme fixe en ïj sur K -f- iE".
2) Tout polynôme en i\ est majoré par un polynôme enp lorsque Ç
reste borné (car il est majoré par une puissance de A ~j- y (""l")2.
donc de B — y (pv)2) donc, pour tout compact K de T, F (p)
v-l
est sur K -f- iE" le produit d'un polynôme en p par une fonction
G (p) holomorphe et bornée.
3) Si (E (Ç)), e(0>i,), (resp. (0J),) pour tout Ce I\ alors (E (?)),
0
e (Dl,),, (resp. çL) pour tout Z, e t et c'est une application indéfi-
niment différentiable de T dans (3^),, (resp.yj.
En reprenant en effet les méthodes utilisées dans la
démonstration de la proposition 3, on a
(E (Q), = 2 [•**> exP (- e Vi -•- !*!*fl * r*> P * (E &))„•
Or si (E &))„ e(!Di,)„ f ß e (0^„ * exp (- e y^ + M*) e^,, done
(E (!■))„ e (©,,),• C.Q.F.D.
4) Nous avons, en passant, montré ce qui suit :
Soit Ux une distribution tempérée; pour que exp (k -y/1 + [a.]2) Um
soit une distribution bornée dès que k < B, il faut et il suffit que

308
J7 (y) = ^U *0^ une fonction analytique de y, prolongeable en une
fonction holomorphe de z = y -f- iy' pour j y' [ < R, majorée par un
polynôme (en y ou en z) pour | y' j < R — e.
5) Dans le cas d'une dimension (n = 1), T est un intervalle (a, b)
que nous supposerons ouvert. Alors si
T a£ (a, b), CT = F (p) = f+" exp (- px) TJx
est une fonction holomorphe de p = Ç -+- it) pour a < !; < 6;
pour a+e<^< & — e> elle est le produit d'un polynôme en p
par une fonction G (p) holomorphe et bornée; et réciproquement.
Proposition 7 . Si T est un convexe non vide de S", S eyx (T),
Te (Oi).(r), alors Z (S * T) est le produit de ZS et de ZT,
produit effectué pour tout \ G Y entre une distribution de (j'n et une
fonction de (0M)„.
Conséquence immédiate de la proposition 4.
Corollaire Si T est ouvert, et si S et T sont dans (£ (T), la fonction
holomorphe Z (S * T) de la variable complexe peT -f- iE* est le
produit des fonctions holomorphes ZS et ZT. Alors l'algèbre (Jjx (T)
est sans diviseurs de 0.
§ 4. Etude du support d'une distribution a partir de sa
TRANSFORMÉE DE LaPLACE
Proposition 8 (*) Soit Tx une distribution, V C S* Vensemble
convexe attaché à T (§ 1), supposé non vide, et E^e V.
Pour que le support de T soit contenu dans le demi-espace £x > A,
\ G S", il faut et il suffit que, quel que soit B < A, la distribution
(VIII, 4; 1) exp (tB) exp (- fo + tÇ) x) Tx
soit dans (j'x pour tout t réel >0,ety reste bornée pour t > 0.
1) La condition est nécessaire
Nous supposons donc le support de T contenu dans le demi-
espace \x > A. Nous allons montrer que Ç G Y entraîne alors
5o -f t£gT pour tout t > 0, et que (VIII, 4; 1) reste bornée dans
6ji et même y converge vers 0 pour t —>■ -f- oo. Pour cela nous
montrerons que, si 9 g ü)s a son support assez voisin de l'origine,
("■) Ce résultat est dû à M. Lions. Avec son accord, je le publie ici à cause des
relations étroites qu'il a avec ce qui précède

TRANSFORMATION DE LAPLACE
309
la régularisée par 9 est dans (&M)X et y tend vers 0 pour t —*■ -f- 00.
Nous pouvons supposer le support de 9 contenu dans la bande
| Ça; | <. e. Posons alors
(VIII, 4; 2) «J,«, (x) = exp (tÇx - 2et) 9(x).
6f est majorée par exp (— et), chacune de ses dérivées partielles
en x est majorée par exp (—et) X polynôme en t", donc tyt est
majorée dans Î.J. pour t > 0, et converge vers 0 dans 1)x pour t—- A- 00.
Comme alors Ç,, e T, on peut affirmer que [exp ( — c^x) Tx * <!>j], qui
a son support dans le demi-espace Ça; > A — e, est dans {Ou)x pour
t > 0, et converge vers 0 dans (Ou)x pour t —► -f- 00, Mais
(V!II, 4; 3) exp (tB) [exp (- (Ç, + tÇ) x) TJ* 9(x) =
= [exp (- Çox) T.*4»,] [exp (- fÇa; -f tB + 2et)]5
le 2e crochet est majoré par exp (— et) et chacune de ses dérivées
en x par exp (—et) X polynôme en t, sur le support du premier
crochet, dès que B < A — 4e; dans ces conditions le 2e membre
est dans (0^, et y tend vers 0 pour t—*-\- oo, donc aussi le 1er
membre; et comme e est aussi petit qu'on veut, la proposition est
démontrée.
2) La condition est suffisante
Nous supposons maintenant que Ço-f-tÇer pour tout t > 0,
et que (VIII, 4; 1) reste bornée dans (^ pour t > 0. Soit <J> une
fonction de ÎD„ de support assez voisin de l'origine, par exemple
contenu dans la bande j Ça; I < e. Posons cette fois
(VIII, 4; 4) 9m(x) = exp (- t\x - 2tt) 9(x).
Comme précédemment 9(,> est bornée dans %)x pour t > 0. D'après
l'hypothèse, la régularisée de (VIII, 4; 1) par 9(t) doit donc être
bornée dans (Ou)x. Mais
(VIII, 4; 5) exp (tB) [exp (- (Ç, + tl) x) TJ* 9m (x) =
= [exp (- J^x) T„«nE exp (- t\x + tB - 2et).
Le crochet du 2e membre est une fonction continue indépendante
de T; l'exponentielle qui le multiplie tend vers -"- 00 pour t — + 00,
si B > A — e, et Ça; < A — 4e; donc le support du crochet du
2e membre est contenu dans le demi-espace Ça; > A — 4e; ceci
étant vraie pour toute iJ/elD, de support assez voisin de l'origine,
le support de exp (— E^x) Tx ou de Tx est lui aussi dans le demi-

310
espace l,x > A — 4e; comme e est arbitrairement petit, le support
de T est dans le demi-espace \x > A.
Remarques
o
1) Si ZqB T, exp (— Iqx) Txe (Oc)x, et dans l'énoncé de la
proposition on peut remplacer ty'x par (0'c)x.
2) La plus grande valeur de A possible telle que le support de T
soit contenu dans le demi-espace Ça, > A, est la borne supérieure
des B réels tels que (VIII, 4; 1) soit borné dans % pour t" > 0.
Cette borne est donc indépendante du choix de ÇqG T. Cette méthode
détermine donc tous les demi-espaces contenant le support de T,
et par suite l'enveloppe convexe fermée de ce support.
Une transformation de Laplace donne immédiatement :
Corollaire Pour que le support de T e(Jx (T) soit contenu dans le
demi-espace Çx > A, il faut et il suffit que la transformée de Laplace
(E (Ç)„) de T soit telle que, pour tout B < A, et au moins un point
ÇqGT (auquel cas c'est vrai pour tout ^eT) :
(VIII, 4; 6) exp (tB) (E (Ç, + tÇ)),
soit bornée dans (X, pour t > 0.
Remarque 1 Si T est ouvert, et si (E (£))„ = F (Ç -f- it\), il faut
et il suffit, pour que la condition précédente soit réalisée, que,
pour tout point £<> e T, et tout B < A,
(VIII, 4; 7) exp ((B) F & + tÇ -u i^)
soit majorée par un polynôme en t) (ou p) pour t" > 0.
Remarque 2 On peut donner une condition nécessaire plus forte
(donc a fortiori suffisante). Nous nous bornerons à le faire pour
la dimension n = 1 :
Pour que la fonction holomorphe F sur C soit l'image de Laplace
d'une distribution T sur R à support dans la demi-droite x "^ A, il
est nécessaire et suffisant que IF (p) e-^l soit majoré, pour Ç assez
grand, par un polynôme en T). (ou en j p )).
Soit en effet T e î>' à support dans x ^ A, et E^ tel que :
Alors cette dernière distribution S est somme finie ^> [pk)<*>
k< m
de dérivées de mesures intégrables à support dans x "^ A (On

TRANSFORMAT.ON DE LAPLACE
311
commence par la décomposer en somme d'une distribution St à
support dans [A, A -f- 1], et d'une distribution S2 à support dans
[A -f- 1, + oo[ et intégrable (3° du théorème XXXIV du chap, m);
St est somme finie de dérivées de mesures à support dans [A, A -f- 1]
(2° du même théorème) ; S2 est somme finie de dérivées de mesures
intégrables (théorème XV du chap, vi), qu'on peut évidemment
supposer à support dans [A -f- oo[, en multipliant au besoin par
une fonction C°° à support dans [A, -f- oo[, égale à 1 sur un
voisinage de [A -f- 1, + oo f).
Alors l'image de Laplace de T est
F(p) = 2 (- 1)* j (*" e~~**^ d** &
{p-lof f er-fr-Wdj^a;).
k<m
=2
j
D'où, pour Ç ^ l^ :
t<m ï>A
Comme les I dy.kaont finis, on en déduit que F a bien la
majoration demandée, IF (p)[ < constante X e~AÇ \p — Ef,\m. La
réciproque résulte évidemment de la remarque 1.

CHAPITRE IX
Courants sur une variété
SommaIbe. — Le paragraphe 1 (p. 313) rappelle ce que sont les variétés
différentiables (avec Lord), et les formes usuelles ou tordues sur ces variétés.
On évite souvent d'avoir à utiliser les formes tordues; on ne peut le faire qu'en
supposer la variété, non seulement orientale, mais orientée, ce qui est assez
gênant; alors que les formes tordues sont d'un maniement très aisé.
Le paragraphe 2 (p. 322) définit alors les courants, usuels ou tordus, sur
une variété. De nombreux exemples sont donnés (p. 323), tirés notamment
de la physique (courant électrique). Dans le cas d'une variété orientée (p. 337),
les deux notions de courants se confondent. Le paragraphe se termine par la
définition des sections-distributions d'un espace fibre à fibres vectorielles de
dimension finie (p. 339).
Le paragraphe 3 (p. 341) étudie les opérations sur les courants :
multiplication extérieure (p. 341), multiplication intérieure par un champ de
vecteurs- {p. 343), cobord ou différentielle extérieure (p. 343) avec divers
exemples, dérivation par une transformation infinitésimale (p. 351). Le
paragraphe se termine par la cohomologie des courants (théorème de de Rham
généralisé, théorème I, p. 355).
Le paragraphe 4 (p. 362) étudie l'image directe d'un courant par une
application. Le théorème II (p. 364) résume ses principales propriétés; des exemples
sont donnés ensuite (p. 366). Le théorème II bis (p. 367) donne un isomor-
phisme utile dans la pratique.
Le paragraphe 5 (p. 373) étudie l'image réciproque d'un courant, ou
changement de variables dans un courant. Cette image réciproque est introduite
progressivement, et ses propriétés sont résumées dans le théorème 111 (p. 377).
Reste à voir quand ce théorème est applicable. On traite d'abord le cas d'un
difféomorphisme local (p. 378), avec des exemples (p. 378). On étudie ensuite,
sur une variété fibrée, la notion d'intégrale partielle sur les fibres d'une forme
différentielle; ceci conduit au cas général d'un changement de variables par
une application de rang n d'une variété Um dans une variété V" de dimension n
(théorème IV, p. 390). Des exemples sont donnés (p. 391).
Le paragraphe 6 étudie la transformation de Fourier sous forme invariante :
transformation de Fourier des courants pairs et impairs tempérés sur un espace
vectoriel de dimension finie. 11 a été étudié antérieurement par Sr.arf.ello [1].

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ 313
§ 1. Formes paires et impaires sur une variété indéfiniment
différentiable
Formes ordinaires ou paires
Nous supposerons connues les principales propriétés des variétés
différentiables, et, pour éviter les longueurs et les complications,
nous nous bornerons souvent à donner une esquisse des
démonstrations (1). Variété voudra dire: variété indéfiniment différentiable
sur le corps réel B, séparée, dénombrable à l'infini; sauf mention
expresse du contraire.
Rappelons que, sur une variété (éventuellement avec bord (2))
à n dimensions, V = V", on connaît la notion de fonction m-fois
conti nuemcnt différentiable (ou de classe Cm) ou indéfiniment
différentiable (ou de classe C00). On sait aussi ce qu'est une
application indéfiniment différentiable d'une variété dans une autre.
En particulier, une application inversible s'appelle un difféomor-
phisme si elle est indéfiniment différentiable ainsi que sa réciproque.
(') On pourra, pour l'étude des variétés, consulter par exemple de Rham [3],
Helcason [1]
(") Bien que la notion de variété indéfiniment différentiable avec bord soit
implicitement bien connue, elle ne figure pas toujours explicitement dans la littérature,
Une carte d'un voisinage d'un point du bord représente ce voisinage sur un ouvert
de l'espace topologique R_î (sous-espace xt éj 0 de R"). La notion de fonction
différentiable sur V" sa ramène alors à celle de fonction différentiable sur R"; or les
dérivées partielles peuvent se définir immédiatement pour une fonction définie dans R*
(pour le calcul d'une dérivée partielle en a, en un point de l'hyperplan xl =■ 0, seules
les valeurs de la fonction pour xt ^ 0, domaine de définition de la fonction, doivent
intervenir). On aura souvent besoin de savoir que toute fonction q>, m fois continue-
înent di-t'érentiable sur R", est la restriction d'une fonction <I>, m fois continuement
diflérentiable sur Rn. On obtiendra un tel prolongement «P de façon tout à fait
élémentaire, si m est fini, en posant, pour a, > 0 :
m
<X> (j:„ x, ... x„) = /«v <p (— vi,, X& ... -r.-!, xn),
v-o
les cv étant choisis de manière à vérifier le système d'équations de Vandermonde :
m
cv (— v)* = 1, k = 0, 1, 2, ... m; ainsi les dérivées partielles d'ordre ^ m de
v = o
•D pour r, > 0 se raccordent bien avec celles de ç, lorsque xl —► 0. Si q> a un
support compact, il en est de même de <X>. La chose est plus délicate pour m infini.
On pourra utiliser, par exemple, le théorème de prolongement de Whitney [4],
théorème t, page 05, ou cfe Seeley [1]. Withney donne un prolongement <X> analytique
pour j, ~> 0, ce qui nous est inutile; si q> est à support compact, et si a est une
fonction sur R", appartenant à 'J0, égale à 1 sur un voisinage du support de ç, a <I>
sera aussi un prolongement de q>, mais à support compact
I

314
A?.ors une carte de V est la donnée d'un ouvert Q de V, le domaine
de la carte, et d'un difféomorphisme H de cet ouvert sur un ouvert
de R" ou de R* (sous espace xt < 0 de R"). L'ensemble des cartes
de V constitue l'atlas de V. Un atlas partiel de V est un ensemble
de cartes, dont les domaines forment un recouvrement de V.
On connaît aussi, sur une variété V, les p-formcs, ou formes
différentielles de degré p, ou champs de p-covecteurs; la valeur d'une
p-forme en un point de V est un p-covecteur en ce point; nous
considérerons que, pour p < 0 ou p > n, il y a une p-forme unique, 0.
On sait ce qu'est une p-forme m fois continuement differentiate
(ou de classe Cm) ou localement sommable : on entend par là que
la transportée de la p-forme par tout difféomorphisme défini par
une carte est une p-forme, sur un ouvert de R" ou de Rü, dont les
coefficients sont m fois continuement differentiates ou localement
sommablcs. Les formes considérées sont complexes.
On appelle support d'une p-forme continue l'adhérence de
l'ensemble des points où le p-covecteur qu'elle définit est ^ 0.
Nous appellerons î>"* (resp î>) l'espace des p-formcs m fois
continuement differentiates (resp. indéfiniment differentiates) à
P P
support compact (nous écrirons ü)"* (V) (resp. î> (V)) s'il est néces-
p p
saire de spécifier la variété V); sur le sous-espace î>£ (resp. Î>K)
constitué par les formes qui ont leur support dans un compact K
de V", nous mettrons la topologie suivante : des y, convergent
p *
vers 0 dans î>g (resp. Î>K), si leurs transportées par tout
difféomorphisme défini par une carte sont des p-formes, sur un ouvert de R"
ou de Ri, qui convergent uniformément vers 0 sur tout compact
de cet ouvert, ainsi que leurs dérivées partielles d'ordre < m
(resp. ainsi que chacune de leurs dérivées partielles). On mettra
ensuite sur ü)"* (resp. î>) les topologies limites inductives
habituelles. Si (Û,)itI est un recouvrement ouvert de V, il existe une
partition de l'unité indéfiniment différentiable subordonnée (Théorème II
du chap. i). La démonstration se fait de la même manière que sur Rn.
Le théorème de densité (Théorème I du chap, i (*)) est également
(*) Le théorème I a été démontré seulement pour Rn, mais il est vrai aussi dans Ri
Soit ç e 3)m (Ri). On peut la prolonger en une fonction <X> e S)"* (Rn). Le théorème I,
appliqué à <X>, donne une suite de fonctions Orf e 3) (R*),qui convergent vers O dans
un 3)g (R"); leur» restrictions <ft à R; sont des fonctions de 3) (Ri) qui convergent
ver» <p dans un 3)hi>b£ (RJÏ)

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
315
exact sur V". On peut en effet, pour toute çeu)"1, l'écrire sous la
forme 9 = y a,-<p, où (a,)*! est une partition de l'unité subordonnée
i
à un atlas partiel, et on est alors ramené au théorème de densité
pour les <x,<p, qui se démontre simplement par transport à partir
de R" ou RJÜ, par les difféomorphismes H'f1.
On appellera souvent forme une somme formelle de p-formes,
n
ZP P
co; co est la composante de degré p de <o.
p-0
Une forme est appelée homogène si toutes ses composantes, sauf
une au plus, sont nulles; elle a alors un degré déterminé, sauf si
c'est la forme 0, de degré indéterminé. L'espace des formes est
ainsi, par définition, la somme directe des espaces de p-formes.
L'espace 3)"' ou *D aura la topologie somme directe de topologies des
pp.
fDm ou Ü). Les formes que nous venons d'étudier, ou formes
ordinaires, s'appellent aussi formes d'espèce paire ou formes paires.
Formes impaires ou tordues (*)
Nous allons maintenant définir une autre espèce de formes, les
formes d'espèce impaire ou formes impaires ou tordues.
Soit V le revêtement orienté canonique de V. C'est l'ensemble
des couples d'un point de V" et d'une orientation de l'espace
tangent en ce point (2). C'est un revêtement de V de degré 2. C'est
donc encore un espace fibre de base V, la fibre au-dessus d'un
point de V étant canoniquement isomorphe à l'ensemble à deux
éléments des orientations de l'espace tangent en ce point.
V est elle aussi une variété indéfiniment différentiable, mais qui
admet une orientation canonique. Si en effet, a est un point de V,
c'est un couple (a, O) d'un point a de V et d'une orientation O de
l'espace tangent en a à V; la projection canonique de V sur V admet
en a une application linéaire tangente qui est un isomorphisme;
le transport de O par l'inverse de cet isomorphisme définit
l'orientation en a de l'espace tangent à V.
P) Voir de Rham [3], chap, h, § 5, p. 2t
(*) Kappelons que, si V° est réduite à un point (dimension 0), on appelle
orientation de V en ce point l'un des deux signes -J-, —

316
Nous appellerons P la projection de V sur V, et a la symétrie
de V changeant entre eux les deux points situés au-dessus de chaque
point de V. Une forme to de V admet une image réciproque P*to
sur V. C'est une forme sur V, qui est a-invariante; et
réciproquement, toute forme sur V qui est a-invariante, est l'image réciproque
d'une forme sur V. Il y a donc une correspondance bijective entre
les formes paires sur V et les formes a-invariantes sur V. Nous
appellerons alors forme impaire ou forme tordue, sur V, une forme
sur V qui est a-anti-invariante, c'est-à-dire transformée en son
opposée par la symétrie a. Nous noterons par co une forme tordue
sur V, par co la forme a-anti-invariante de V qui la définit (1). Les
notions de forme homogène et de degré, de support, de différentia-
bilité, sont évidentes pour les formes impaires.
Nous appellerons î>" l'espace des formes impaires m fois conti-
nuement différentiables à support compact de V. On introduira
* p
de même les espaces analogues ü), ü)n, ©, et les topologies évidentes
sur «es espaces. Le théorème de densité (théorème I du chap, i) est
trivial. On pourra aussi appeler forme la somme formelle d'une
forme paire et d'une forme impaire. Les dénominations « forme
ordinaire, forme tordue », sont souvent préférables à celles de « forme
paire, forme impaire », qui pourraient prêter à confusion avec le
degré pair ou impair des formes.
Formes paires et impaires sur une variété orientée
Si V est orientée, on définit une identification canonique entre
formes paires et impaires. Le revêtement V est alors en effet la
réunion d'une variété V+ et d'une variété V_ disjointes, la
projection P étant un difféomorphisme de V+ sur V conservant les
orientations, et un difféomorphisme de V_ sur V inversant les orienta-
f1) On peut trouver étrange d'avoir deux notations différentes pour des objets
identiques par définition. Ces deux notations indiquent en réalité deux façons
différentes de considérer le même objet. Donnons un exemple : « le support de co » veut
dire « 1* support de la forme tordue co sur V », c'est un ensemble fermé de V; « le
support de co » veut dire « le support de la forme ordinaire co sur V », c'est tin ensemhle
fermé de V; le premier est la projection du second. Notons que co n'est pas l'image
réciproque P*co de co^par P, chose qui n'a aucun sens. 11 n'y a pas d'image réciproque
d'une forme tordue par une application; en outre, co est une forme tordue, co une
forme ordinaire. Mais il existe trivialement une application orientée (voir page 320)

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
317
tions. Nous appellerons P+ et P_ la restriction de P à V+ et V_.
Si alors co est une forme paire, c'est-à-dire une forme ordinaire sur V,
la forme égale à P*to sur V+ et à -P*to sur V_ est manifestement
cr-anti-invariante, donc définit une forme impaire co sur V.
Inversement, si co est une forme impaire sur V, définie par une forme co
CT-anti-invariante de V, alors la forme transportée de <o par le
difféomorphisme P+ est une forme paire co sur V, qui donne
naissance à co par le procédé précédent. La correspondance ci-dessus
définie est un isomorphisme, pour toutes les structures considérées,
entre les espaces de formes paires et les espaces de formes impaires
du même degré. Aussi pourra-t-on, sur une variété orientée, éviter,
si on le désire, de considérer les deux catégories de formes, en
identifiant toujours les formes paires et les formes impaires qui se
correspondent. Sauf s'il y a une contre-indication spéciale, c'est ce
que nous ferons toujours et alors nous parlerons simplement de
formes. Cela montre aussi qu'il est naturel, si V est une variété
connexe orientable, de considérer qu'une forme impaire co est un
couple de deux formes paires co', co*, opposées l'une à l'autre, et
respectivement associées aux deux orientations possibles V, V,
de V. En effet, on peut considérer le revêtement V comme la réu-
nioti de deux variétés disjointes V et V". de manière qu'ici encore
la projection P soit un difféomorphisme de V sur V et de V
sur V", conservant les orientations. A la forme impaire co
correspond donc toujours une forme co a-anti-invariante sur V, donc
deux formes co' et co* sur V et V*. Les images de ces deux formes
par la projection P sont donc bien deux formes co', co*, opposées
sur V, et respectivement attachées aux deux orientations V, V*
de V. Si V est non seulement orientable mais orientée, et si, par
exemple, V est son orientation, alors la correspondance signalée
plus haut entre formes impaires et formes paires, est celle qui à co
associe u>'.
Si maintenant V est une variété non nécessairement orientable,
on pourra considérer n'importe quel recouvrement de V par des
P de V sur V (dont l'application associée est P), alors P*o> est une forme tordue
sur V ; comme V est orientée on peut associer à P*o> une forme ordinaire (voir page 317)
qui n'est autre que o>
Le soulijrna^e des formes tordues permet de les distinguer aussitôt des formes ordi-
caires; mais nous n'en ferons pas un esclavage et l'omettrons souvent

318
ouverts orientables, et définir une forme impaire sur V par un
système cohérent de formes impaires sur ces ouverts, chacune étant
définie par !e procédé précédent. D'ailleurs une p-forme tordue n'est
pas autre chose qu'un champ de p-covecteurs tordus, un p-covecteur
tordu en un point a eV étant un couple de 2 p-covecteurs en a,
opposés, respectivement associés aux deux orientations de V en a.
Produits extérieurs de formes
On peut définir des produits extérieurs de formes. Le produit
extérieur de deux formes paires ou de deux formes impaires est
une forme paire. Le produit extérieur d'une forme paire et d'une
forme impaire est une forme impaire.
Le cas de deux formes paires est connu.
Soient a, ß une forme paire et une forme impaire. Alors P*a
et ß sont des formes paires sur V, respectivement a-invariante et
CT-anti-invariante. Donc P*aAß est a-anti-invariante; donc elle
définit une forme impaire y sur V, avec P*aA ß = y. Par définition,
aAß = y- Si maintenant a et ß sont deux formes impaires sur V,
on définit la forme paire y = a A ß par P*y = a A ß.
En ce qui concerne les produits intérieurs, nous nous bornerons
à indiquer qu'on peut définir le produit intérieur, à gauche ou à
droite, d'une forme paire (resp. impaire), par un champ de multi-
vecteurs Ç, et qu'on obtient une forme de même nature, c'est-à-dire
paire (resp. impaire) (*). Si \ est un champ de vecteurs, nous
appellerons i (£) l'opération sur les formes, paires ou impaires, définie
par cd—»■ o> L !; = £(!■) o>; c'est une dérivation d'algèbre graduée,
en ce sens que i (!■) (a A ß) = i (!■) a A ß -f (— l)» a A i (£) ß, si
a est de degré p.
Fontes sur Rn
Si V = R", on sait qu'on a la décomposition canonique d'une
p-forme ordinaire :
(IX, 1; 1) to = J> cùj dxj;
i
les coj sont des fonctions, dxx désigne un produit extérieur
dxilAdxt' ... A âxu,
t1) Voir Bourbaki [9], chap, irr, § 8, n° 4

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
319
si I *ïst la partie { i1; ig, ... ip} de {1, 2 n}, i% < ia < ... < £„;
I parcourt l'ensemble des parties à p-éléments de l'ensemble
{ 1, 2, ... n }. On aura une décomposition analogue pour une p-forme
tordue co sur R", mais alors les coj seront des fonctions tordues.
Comme R" possède une orientation canonique, une fonction
tordue j_ est la donnée d'un couple de deux fonctions ordinaires
opposées, /+, /_, la première attachée à l'orientation canonique de R",
et l'autre à l'orientation opposée; la correspondance entre
fonctions tordues et fonctions ordinaires, définie par l'orientation
canonique de R", est celle qui associe / et /+.
Remarquons à ce sujet que les notations adoptées
universellement sur R sont ambiguës. Le symbole dx peut désigner la 1-forme
f+0°
paire, différentielle extérieure de x; alors \ f(x) dx est l'intégrale
«; —co
sur la droite munie de son orientation canonique, de la 1-forme
paire / (x) dx. Mais il peut désigner aussi la mesure de Lebesgue,
1-forme impaire; alors ,j f(x) dx est l'intégrale, sur la droite non
J £
orientée, de la 1-forme impaire / (x) dx. Ces 1-formes paire et impaire
se correspondent par l'orientation canonique de R. De même,
sur R", dx peut désigner la n-forme paire dxx A dx% ... A dxH, ou
la n-forme impaire définie par la mesure de Lebesgue. On pourra
aisément les distinguer, par l'écriture dx pour !a forme paire et dx
pour la forme impaire.
Nous aurons parfois besoin de division de formes. Soient a,
ß, y, trois formes (paires ou impaires), et supposons que a = ß A y.
On peut être tenté d'écrire y = ß_1 A a.
Cette écriture est dénuée de sens. Nous nous permettrons
cependant de l'employer dans les deux cas suivants :
1) a et ß sont de même degré, donc y de degré 0. Alors la donnée
de a et ß détermine complètement y si ß ne s'annule pas, et la
formule ci-dessus est commode.
2) On se trouve sur R", muni de son orientation canonique.
Soient alors i1; i2, ... /„, j\, ;2, ... /a, des entiers compris entre 1 et n.
On conviendra que :
(dx(lAdxit... A dx u)~x h (dx tl/\ dx u ...AdxifAdxhA ...Adxit) =
= dxh A dxu ... A dxjq.

320
C'est ainsi cfue la forme ( — 1) k~1 dxx A dxa... A dxlr.1 A cfet+i ••• A ^»j
d'un emploi fréquent, s'écrira plus facilement :
(dxji)'1 A (dx1 A dx2 ... A dxk A ... dxn) = (dx,.)'1 A dx.
De la même manière il existera une notation a A ß_1 désignant y
telle que a = y A ß. Ainsi :
dx A (dx*)-* = ( — 1)"~* dxi A ... A dxk^ A dxk+l ... A dxn.
Il existera des notations du même type avec les formes impaires.
Remarquons qu'on pourra aussi utiliser le produit intérieur.
Si ek est le A-ième vecteur de la base de Rn, (dxk)~x A dx pourra
aussi se noter i (e^ dx.
Image réciproque d'une forme
Soit H une application C00 d'une variété U dans une variété V.
Si co est une p forme sur V, de classe Cm, on peut définir son image
réciproque H*to, qui est une p-forme sur U, de classe Cm.
L'opération H* : co —► H* co est linéaire, conserve la multiplication
extérieure des formes (H* (a A ß) = H* a A H* ß) et la
differentiation extérieure (H* d<a = d H* co); le support de H* co est
contenu dans l'image réciproque par H du support de to. Ceci est
valable pour les formes ordinaires; il n'y a pas d'image réciproque
des formes tordues.
Mais soit H une « application orientée » C" de U dans V (1). On
entend par là une application C00 de 0 dans V, invariante par a :
Hoc = ct^-H. Cela revient à dire que H est un morphisme d'espaces
fibres de 0, fibre sur U, dans V, fibre sur V. H définit donc une
application ordinaire H de U dans V; H est même exactement la
donnée d'une telle application H, et, pour chaque x de U, d'une
bijection de l'ensemble des 2 orientations de U en x sur l'ensemble
des 2 orientations de V en H (x), bijection variant continue.inent
avec x. Si alors co est une p-forme tordue sur V, on peut définir
son image réciproque H* co, p-forme tordue sur U, qui est définie
par la j_>-forme a-anti-invariante H* co sur U. A partir d'une
application orientée H, on peut donc définir à la fois une image
réciproque d'une forme tordue <o, soit H* <o, et une image réciproque
i1) Voir de Rham [3], chap, n, § 5, p. 21

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ 321
d'une forme ordinaire co, soit H* co. H* commute avec d, et on a
les formules
fi* («a P) = H~ a A H* ß
H*(aAß_) = raAH'ß.
(Ces formules sont évidentes, en identifiant une forme ordinaire co
sur U ou V à son image réciproque P* co sur 0 ou V, a-in variante;
H est compatible avec les projections P, HPV = Pvfi, de sorte
que H*Py <•> = PfH* to, et (IX, 1; 2) revient exactement à
exprimer que H* conserve la multiplication des formes ordinaires,
à-invariantes ou a-anti-invariantes ou quelconques, sur U et V).
Cohomologie des formes C°°
p
Soit 3 l'espace des p-formes C00 fermées sur V, c'est-à-dire de
v
cobord nul; soit Ä l'espace des p-cobords C00, c'est-à-dire des
cobords des (p — Informes C". Le quotient tf/ib* est l'espace
vectoriel de cohomologie de V, pour le degré p et les formes C*;
sa dimension est le p-ième nombre de Betti de V, On sait (théorème
de de Rham ("■)) qu'il s'identifie à l'espace vectoriel de cohomologie
complexe de V. L'espace vectoriel de cohomologie tordue est
ZP/3Si*, obtenu en remplaçant formes par formes tordues; il est
isomorphe à l'espace vectoriel de cohomologie complexe tordue.
On obtient les cohomologies à support compact en imposant aux
formes considérées d'être à support compact. Les classes de
cohomologie se multiplient comme les formes elles-mêmes; par exemple
l'espace vectoriel de cohomologie, somme directe des espaces
vectoriels de p-cohomologie pour p = 0, 1, 2..., est une algèbre
sur C, tandis que l'espace vectoriel de cohomologie tordue est un
module sur cette algèbre. Si H est une application C* d'une variété U
dans une autre V, la commutation de H* avec d et le produit
montre que H* est un homomorphisme de l'algèbre de
cohomologie de V dans celle de U. Si H est une application orientée, H*
applique l'espace vectoriel de cohomologie tordue de V dans celui
de U. Si H est propre (c'est-à-dire si l'image réciproque par H d'un
compact de V est un compact de U), H* applique l'espace vectoriel
de cohomologie à support compact de V dans celui de U, etc.
(') Voir de Rua» [3], chap, iv, § 21, théorème 16
(IX, 1; 2)

322
§ 2. Courants pairs et impairs sur une variété
Courants (*)
On appelle p-courant impair sur V* une forme linéaire continue
sur Ü). On appelle p-courant pair une forme linéaire continue sur
*D. Nous verrons plus loin (exemple 1, page 323) la raison d'être de
» nr~v
ce choix. La valeur du courant impair T sur la forme 9 pourra
se noter T (9) ou < T, 9 > ou T.9. On se gardera bien par contre
d'intervertir T et 9 et de la noter < 9, T > ou 9.T. Au contraire,
on conviendra que
(IX, 2; 1)
9. T= <9, T>=(- 1)»<"-»>T.9 = (- l)»<"-»> <T, 9>.
II en sera de même, pour un courant pair T et une forme impaire 9.
On appelle courant impair une somme formelle de p-courants
impairs, p variant de 0 à n. Cela revient à considérer l'espace des
courants impairs comme somme directe des espaces de p-courants
impairs, p variant de 0 à n. On fait de même pour les courants
pairs. Un courant est homogène si toutes ses composantes, sauf
une au plus, sont nulles. On sera amené, pour une forme paire
9 = y 9, et pour tin courant impair T = y T, à poser :
(IX, 2; 2) T(9) = 2i(V).
p-o
ce qui revient à considérer, comme d'habitude, que le dual d'une
somme directe est identique à la somme directe des duals. Ayant
ainsi défini la valeur d'un courant impair sur une forme paire, nous
voyons qu'un courant impair est homogène de degré p, autrement
dit toutes ses composantes de degré ^ p sont nulles, si et
seulement si il est nul sur toute forme paire homogène de degré ^ n — p.
J1) Les courants ont été introduits par de Rham, dans un cas particulier, bien avant
les distributions; voir Introduction, page 6. On en trouvera une théorie générale
dans de Rham [3]

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
323
On pourra aussi appeler courant la somme formelle d'un courant
pair et d'un courant impair, et poser
(XI, 2; 2bis) < Ti + T,, ft + 9» > = < T„_2, > J- < T_a, ?1 >.
L'espace des courants impairs (resp. paris) de degré p se notera
p v
3D' (resp. 3D') ; l'espace des courants impairs (resp. pairs) senotera 3D'
(resp. 3D'). De la même manière que pour les distributions, on peut
P P
définir les courants d'ordre < m, et les espaces ü)'"*, î>'m, 3D'"*, 3D"";
3D"" et 3D"" sont des sous-espaces de 3D' et 3D' respectivement.
Ne pas confondre l'ordre d'un courant, qui indique la nature de sa
singularité locale, avec son degré. La restriction d'un courant de V
à un ouvert de V, le principe de localisation (théorème du
recollement des morceaux, théorème 4 du chap, i) et la notion de support
d'un courant, se définissent sans ambiguïté. On peut également
définir T (9) toutes !es fois que T est un courant impair (resp. pair)
et 9 une forme paire (resp. impaire) indéfiniment differentiate,
dont les supports ont une intersection compacte (chap, m, § 7\.
Les topologies sur les espaces de courants n'introduisent pas de
nouveauté particulière.
Exemples
Exemple 1. Courant défini par une forme
Rappelons d'abord que, sur une variété orientée V de
dimension n, on peut définir l'intégrale ' co d'une forme différentielle co
J
de degré n, localement sommable à support compact. On en déduit
aisément que, si V est une variété non orientée de dimension n,
on peut définir l'intégrale sur V d'une n-forme impaire co,
localement sommable à support compact. Si en effet & est la forme qu'elle
définit sur le revêtement orienté V, il suffira de poser :
(IX, 2; 3) f a, = 5 fa.
J y — * J V
1 ....
On met le facteur ~ pour des raisons évidentes; si V est orientée,
nous avons vu (p. 316) qu'à <a on peut associer une forme ordi-

324
naire co; nous voulons que l'intégrale de co sur V soit égale à
l'intégrale de to sur V orientée.
Si V est réduite à un point a (dimension 0), une 0-forme paire
est un nombre complexe z; son intégrale sur a, muni de
l'orientation ±, est ± z- Une 0-forme impaire est un système ± z de deux
nombres complexes opposés, respectivement associés aux signes ± ;
son intégrale sur a, non orienté, est z.
Il sera souvent commode de parler d'intégrale sur V d'une forme
impaire non nécessairement homogène. Ce sera par définition
l'intégrale de sa composante de degré n. Et l'intégrale sur V, non
orientée, d'une forme paire, sera 0 par définition. Soit alors co une
p-forme paire à coefficients localement sommables. Si 9 est une
«—v
forme impaire appartenant à *D, le produit extérieur co A 9 est
une n-forme impaire localement sommable à support compact.
Elle a donc une intégrale, et on voit sans peine que
(IX, 2; 4) «(?)= f «A?
./ v ""
définit une forme linéaire continue sur Ü), c'est-à-dire un p-courant
pair. C'est ce fait, qu'une p-forme paire localement sommable
définit un p-courant pair, qui nous a amenés à prendre la définition
donnée au début du paragraphe (cette définition généralisant celle
de la distribution associée à une fonction localement sommable
sur Rn). Il est facile de voir que deux p-formes définissent le même
courant, si et seulement si elles sont presque partout égales (1).
De la même manière, une p-forme impaire définit un p-courant
impair : il suffira cette fois de prendre pour 9 une (n — p)-forme
paire. Remarquons que, si co.9 = ' co A 9, la définition donnée
— J v —
à (II, 2; 1) montre que 9.C0 = \ 9 A co. La formule ci-dessus est
_ «' v —
d'ailleurs valable sans spécifier le degré; si co est une forme paire,
le courant qu'elle définit est donné par (IX, 2; 4), pour 9 forme
impaire sans spécification de degré. On peut même ne pas spécifier
la parité : une forme co (somme formelle d'une forme paire et d'une
(') « Presque partout » sur une variété indéfiniment différentiable V veut dire :
sauf sur un ensemble dont l'image, par toute carte d'un ouvert de V sur un ouvert
de RB ou RI, soit de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue de RB. Il suffit, pour
cela, qu'il en soit ainsi pour toutes les cartes d'un atlas

COURANTS SUR UNE VARfÉTÉ
325
forme impaire) localement sommable, définit un courant 9—♦ { co A 9,
9 forme quelconque C°° à support compact.
En particulier, une fonction localement sommable sur V définit
un 0-courant pair.
Les formes C00 à support compact sont denses dans l'espace
des courants (même si V a un bord); en effet, si 9GÎD est
orthogonale à *D, c'est-à-dire si to A 9 = 0 pour toute cd e Ü), on voit
sans peine que 9 = 0, donc *D est faiblement dense dans Ü)', et
par suite fortement dense, parce que *D, espace de Montel, est
réflexif.
Exemple 2. L'intégrale ; intégrale d'un courant
*
La forme linéaire qui, à toute 9 e *D, fait correspondre son
intégrale J 9, est un 0-courant pair, qui n'est pas autre chose que le
0-courant défini par la fonction égale à la constante 1 (exemple 1).
Remarquons aussi que, si T est un courant quelconque à support
compact, on peut encore définir T (1) (toujours nul, si T est impair
homogène de degré ^ n, ou si T est pair). Il sera logique de l'appeler
intégrale de T et de le noter I T, puisqu'il en est ainsi si T est
une forme localement sommable à support compact (voir formule
(IX, 2; 4)).
Exemple 3. Courants de Dirac
Donnons-nous, en un point a de V, un /r-vecteur X, et posons :
(IX, 2; 5) X(?)= <X,9(a)>,9e2).
Le symbole < X, 9 (a) > désigne le produit scalaire, au point a,
entre le /r-vecteur X et le /r-co-vecteur 9 (a), valeur de la /r-forme 9
au point a.
Nous venons de définir ainsi un (n— /r)-courant impair, ayant pour
support a, et qui est une sorte de généralisation de la mesure de
Dirac attachée à un point. Pour retrouver la mesure de Dirac il
faudrait prendre k = 0, et pour X le 0-vecteur égal au scalaire 1;
la mesure de Dirac est un n-courant impair.

326
On pourrait remplacer le /c-vecteur par un /r-vecteur tordu en a%
il définirait un (n—/r)-courant pair de support a.
Un cas de ce genre montre bien les difficultés qu'il y aurait à
souligner les objets « tordus », et ne pas souligner les objets « usuels » :
un /V-vecteur tangent en a, usuel (resp. tordu), est un (n— /r)-courant
de support a, tordu (resp. usuel). Si l'on veut maintenir cette
règle, il faudra souligner les courants tordus, et ne pas souligner
les courants usuels, quels que soient les objets qui leur donnent
naissance; et ne pas se forcer à observer trop rigoureusement cette
règle.
Les combinaisons linéaires finies de courants de Dirac sont denses
dans l'espace des courants; en effet, si ipe'i) est orthogonal à tous
les courants de Dirac, elle est nulle.
Exemple 4. Mesures
Une mesure de Radon [a. sur V" est un n-eourant impair d'ordre
zéro, c'est-à-dire appartenant à 2)'°. Alors [a (9) est l'intégrale
de 9 par rapport à [a. Nous remarquons ainsi qu'une fonction loca-
lement sommable (exemple 1, pour p = 0) et une mesure ne sont
pas du tout des courants du même type; ils l'étaient sur Rn, à
cause de l'identification de la fonction / et de la mesure / {x) dx,
rendue possible par la donnée de la mesure de Lebesgue sur R", dx.
Sur une variété, c'est une n-forme impaire localement sommable
qui est un cas particulier d'une mesure de Radon.
Exemple 5. Chaînes
Soit r une chaîne singulière (differentiate) de dimension k.
Une chaîne T est par définition un couple (W; H) d'une variété
une fois continuement diffèrentiable W de dimension k orientée,
et d'une application propre une fois continuement différentiable H
de W dans V; le support de V est l'image H (W), fermée parce que
H est propre.
[On rappelle qu'une application H est dite propre si l'image
réciproque, d'un compact est compacte. Cela entraîne que l'image
directe d'un ensemble fermé soit fermée (lorsqu'il s'agit, comme
ici, d'espaces localement compacts). Au lieu de propre, on dit
aussi « continue à l'infini ». Cela exprime en effet que l'image par H
d'une base de filtre de W, « convergeant vers l'infini », soit une

GOURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
327
base de filtre de V convergeant vers l'infini]. Une chaîne telle que T
définit un (n— /r)-courant impair par la formule :
(TX,2;6) r(9)=f 9=f H* 9, 9 e I) 0).
— . .' r .' w
Comme T est de dimension k, on voit qu'i'Z est naturel pour tout
courant de degré p, de dire qu'il a la dimension n — p. Si T est un
courant, de degré p ou de dimension n — p, on pourra aussi le noter
v p
T ou T ou T . Remarquons qu'un point définit une chaîne de
n—V *^-»
dimension 0, à laquelle correspond le n-courant impair, mesure de
Dirac associée à ce point.
Les chaînes que nous venons de voir là sont celles qu'on appelle
chaînes ordinaires ou paires, les plus utilisées en topologie
algébrique. Elles définissent malheureusement des courants impairs
ou tordus !
On appellera maintenant chaîne impaire ou tordue T la donnée
d'une variété W différenliable, et d'une application orientée H de W
dans V, de classe C1 et propre. Ici ce n'est plus W qui est orientée,
c'est H. T définit alors un courant pair T par la formule
(IX, 2; 6 to) < T, 9>= f 9=f H*9(2).
J r~ J w
En particulier le couple de V" et de l'application identique de V
est une chaîne tordue de dimension n sur V; elle définit donc un
0-courant pair, qui n'est autre que celui qui est défini par la fonc-
r
tion 1, ou intégrale 9 —► ; 9 (exemple 2). On pourra donc le noter
— ^ v~
V : 9 —>■ < V, 9 > . On peut généraliser ces exemples, et obtenir les
courants introduits par de Rham en 1936 (s). Soit T une chaîne
de dimension p, co une a-forme continue sur V; alors 9 —*- '< to A 9
J r
est un (n — p + ç)-courant V, qu'on notera, pour des raisons
k
(') Puisque II est propre, II*<p, image réciproque de <p par H, est dans 3) (W).
r .
! H*q> est ici l'inti-grale d'une forme ordinaire sur une variété orientée
(2) C'est ici l'intégrale d'une fr-forme impaire sur une variété de dimension k non
orientée
(3) de Rham [1J, [2J

328
indiquées plus loin (§3), T A to. Il suffit naturellement que co
soit donnée sur le support de T, et non nécessairement partout
sur V.
Les chaînes ne forment pas un espace vectoriel; c'est pourquoi
on appellera encore chaînes les combinaisons linéaires finies de
chaînes du type précédent. Elles forment alors un sous-espace
vectoriel dense de l'espace des courants; en effet, si 9 e "Dest
orthogonale à toutes les chaînes, elle est nulle.
Les courants de Dirac sont donc des limites de chaînes; mais
on peut le voir de façon particulièrement simple. On se ramène
à R", et au (n— /c)-courant de Dirac X défini parle /c-vecteur ex A e2
A ... A ek en 0, produit des k premiers vecteurs de base de Rn.
Si alors Bt est, dans le sous-espace engendré par ces k vecteurs,
la boule de centre 0 et de volume c, son injection dans Rn définit
une chaîne, et on a visiblement, pour 9 e Ü) .-
1
lim < - Bt, 9 > = coefficient de dxx Adx2A...hdxk
t-*0 e
dans 9(0) = < elAeaA...Aek, 9(0) > = < X, 9 >.
Exemple 6. Le doublet
Tous les courants précédents sont d'ordre 0, c'est-à-dire
appartiennent à fD'°. Il n'en est pas de même du suivant.
Le doublet de moment JR au point a de V est le ra-courant impair
d'ordre 1 défini par :
» 0 _► _».
(IX, 2; 7) T . 9 = dérivée de 9 suivant JR = < JR, d9 (a) >.
Naturellement il ne faut pas le confondre avec le (n — l)-courant
impair d'ordre 0 défini par (IX, 2; 5) pour k = 0 :
(IX, 2; 8) "s\<J= < M.ï(o)>.
Nous verrons plus tard que le premier de ces courants n'est autre
que la différentielle extérieure du deuxième, au signe (— 1)" près
(voir p. 337).
Exemple 7. Courant électrique
On définit d'habitude, dans R", un courant électrique réparti
dans l'espace par un champ de vecteurs intensité J (dépendant du

COURANTS SUR UNE VARHÉ.TÉ
329
temps). Si S est une hypersurface fermée de classe C1
(éventuellement avec bord) munie d'un sens de passage (ou orientation
transversale) variant continuement, le flux électrique traversant S dans
le sens donné est alors donné par
{IX, 2; 9) *(S) = J£JvdS,
où Jv est la projection de J sur la normale v à S, orientée dans le
sens de passage donné, et dS l'élément d'aire de S; on suppose
par exemple J continu, l'intégrale précédente a donc un sens si S
est compacte.
Tout ceci conserve un sens si on remplace Rn par un espace de
Riemann, c'est-à-dire une variété V" munie d'un ds2 riemannien;
mais (IX, 2; 9) ne veut plus rien dire sur une variété V quelconque.
On doit alors définir l'intensité du courant comme étant une
*■"1
(n— l)-forme impaire co continue (dépendant du temps). Alors une
hypersurface S fermée, munie d'un sens de passage, définit une
chaîne tordue de dimension n — 1 de V, car son injection dans V
est une application orientée (voir p. 320) : en tout point a de 2, le
sens de passage de S définit une correspondance bijective entre
les orientations en a de X et de V, en convenant, comme toujours,
que le sens de passage de S, suivi d'une orientation de S, donne
l'orientation correspondante de V. Alors on peut intégrer.« sur
S, si par exemple co est continue et S compacte; l'intégrale j co
est aussi l'intégrale sur S de l'image réciproque de co par l'injection
orientée de S dans V; ou de la (n — l)-forme impaire induite par co
*-1
sur S grâce au sens de passage de S; c'est aussi la valeur < S, co >
du 1-courant pair S (défini par la chaîne tordue S de dimension
n — 1, voir exemple 5), sur la forme co, valeur qui a un sens si S
est compacte et co continue.
On peut poser
(IX, 2; 10) * = L--
Si V est un espace de Riemann, les données de to ou de J sont
équivalentes. En effet, il existe une mesure des volumes sur V,

330
c'est-à-dire une ra-forme impaire x définie par la structure rieman-
nienne; si au champ J on associe la (ra — l)-forme impaire
(TX, 2;l0bis) o> = i(J)x,
la correspondance J —► i (J) x entre champs de vecteurs et (ra —
Informes impaires est bijective.
Si V = R", muni de sa base, de son orientation et de sa structure
euclidienne canoniques, et si J a pour composantes J1; J2, ..., J„,
cela revient à associer à J la forme
n
(IX, 2; 11) o> = 2 J* {dx^Adx.
On vérifie bien qu'on a pour toute hypersurface S :
(IX, 2;?.2) f JviS= f i(J)x.
On considère en général qu'à côté du courant il y a une
distribution de charges, définie dans R" ou sur un espace de Riemann
par une densité continue p (dépendant du temps), ou, sur une
variété quelconque V" par une ra-forme impaire G5 (dépendant du
temps); sur un espace de Riemann, px = G5, et, sur R", pdx = a.
Les formes w et S ne sont pas indépendantes; entre elles existe
une relation dépendant de la quantité de charges créée à chaque
instant. S'il n'y a pas de création de charges, alors, pour tout
volume O de V, limité par une hypersurface 2. de classe C1, l'aug-
mentation de la charge de Q, par unité de temps, e'est-à-dire -y | ra,
dtj a—
r
est égale au flux de courant entrant dans O par 2, soit — ) co
(le sens de passage de S étant celui de bord de O). L'équation
(IX, 2; 13) ifi5=-fö,= -fdö>
pour tout O, est équivalente à l'équation de continuité ou de
conservation des charges
(IX, 2; 13 bit) d» + ^=0.

COURANTS Sl'B L'XK VARIÉTÉ
331
Dans unespace de Riemann, <ico = d(i(J)T} = 0(j)t(1) = (div J)t,
et (IX, 2; 13 bis) s'écrit :
(IX, 2; 13 ter) divJ+^ = 0.
Ce que nous venons de dire n'est pas lié à la nature électrique
du « fluide »; c'est valable aussi en hydrodynamique. Il y a bien
entendu d'autres relations qui interviennent dans les différents cas
(équations de Maxwell par exemple).
On dit que le courant admet un champ de vitesses ? (champ de
vecteurs sur V", dépendant du temps), si
(IX, 2; 13 quarto) co = i(?) G5,
ou, sur un espace de Riemann,
(IX, 2; 13 quinto) J = pc.
Dans ce cas, l'équation de conservation des charges s'écrit :
(IX, 2; 13 sexto) 6(?) ra + ^ = 0
(car 0 (?) a = d i (?) 55 = d<a); sur un espace de Riemann :
(IX, 2; 13 septimo) div (p?) + ^ = 0;
c'est une relation entre G5 (ou p) et ?. L'existence d'un champ de
vitesses est une condition assez restrictive, nous verrons des
exemples simples où il n'y en a pas. Si la forme G5 ne s'annule en aucun
point, il existe toujours un champ de vecteurs unique ? tel que
co -= i (?) B5: ce champ est Cm si G5 et co sont Cm. Mais il n'y a aucune
raison de supposer que ns ne s'annule en aucun point; un zéro isolé
de G5 sera généralement une singularité de ?.
On pourra alors, plus généralement, considérer qu'un courant élec-
*—i
trique sur une variété V" est un (ra — l)-courant impair O
quellt
conque; il pourra lui être associe une distribution de charges II,
(*) 0 (J) est la transformation infinitésimale définie par J;0(J) = di (J) + i (J) d

332
w-courant impair (tous deux dépendant du temps). L'équation de
conservation des charges sera dÇl -f- -^f = 0 (nous définirons plus
loin le.cobord d'un courant, voir (IX, 3; 10)). Il y aura un champ
de vitesses, V, si O = i (*>) II (multiplication intérieure d'un courant
par un champ de vecteurs, voir (IX, 3; 6)), formule qui n'a un
sens que si le champ v est C00, condition très restrictive qui ne sera
généralement pas réalisée ; et alors l'équation de conservation des
charges sera 0 (*>) II -f- -^= = 0 (action d'une transformation
infinitésimale sur un courant, formule (IX, 3; 29)). On aura des formules
correspondantes sur R", avec un champ de vecteurs-distribution J
et une distribution P : U = P dx et Ö = y Jk {dx^'1 A dx (voir
expression des courants sur R", formule (IX, 3; 2)). Ceci se
traduira pour
i-2
*-i
1 0 0
<pkdxk = î), et pour <!* e *D, par :
1 9 . O = y Jfc(9»),
(IX, 2; 13 octavo) fc=1
d o o »—î
\ J* ("-î") =tydxk. O.
Voici quelques exemples de courants électriques :
Exemple 7 a. Courant linéaire
Considérons une « ligne » représentée par exemple par une sous-
variété r continuement différentiable fermée à une dimension,
et soit / une fonction réelle tordue localement sommable, sur la
variété T. Elle associe donc à chaque point de T un système de deux
nombres réels opposés, respectivement associés aux deux sens de
parcours possibles de T au voisinage de ce point. On peut parler
d'un courant électrique traversant la ligne T avec l'intensité /;
cela donnera deux intensités de signes contraires, suivant qu'on
oriente T dans un sens ou dans l'autre; si par exemple, ~ïi est une
surface munie d'un sens de passage, et coupant transversalement T
en un point a, le flux de courant <I> (S) à travers S sera par défini-

COURANTS SLR UNE VARIÉTÉ
333
tion, la valeur de-/ au point a, pour l'orientation de V associée au
sens de passage de S. Montrons d'abord qu'on peut considérer
localement le courant précédent comme limite d'un courant défini,
comme les précédents, par un champ de vecteurs-intensité, de la
façon suivante. Plaçons-nous dans un ouvert assez petit, pour qu'il
soit représentable, par une carte, sur un ouvert de R", Y venant
sur l'axe des xl. Considérons un tube cylindrique entourant cet
axe, et le champ jt, nul en dehors de ce tube, et, à l'intérieur du
tube, parallèle à Ox, et de mesure algébrique, dans l'hyper-plan
xl = c1; e-1 /+ (e^ (valeur de / au point Cj de T, pour l'orientation
0x1 de r). Nous supposons que la base du tube a une aire (ra — 1)-
dimensionnelle e. Si alors S coupe transversalement T au point a
(x1 = a1 sur Oxj), le flux de ce courant est :
(IX, 2, 14) <Dt(S) = e-* f /+ fo) dx2 ..., dxn,
si le sens de passage de S est 0x1; et son orientation déduite de là
à partir de l'orientation de Rn. Quand on fait tendre l'épaisseur du
tube vers 0, e — 0, <I>€ (S) tend vers /+ (ax) = <I> (S). Il est donc
légitime de dire que le courant électrique défini par la donnée
de r et de /' dans la carte considérée, est limite (*) de celui qui est
-► -► . n—1
défini par le champ jt. Or jt est associé à la (ra — l)-forme impaire cot
égale à 0 en dehors du tube et à e-1 /'+ (xj) (dx^"1 A dx dans le tube.
Comme (ra — l)-courant impair, cette forme impaire vérifie
î
(IX, 2; 15) 9 . co = (S <pfc dxk) . co =
= e-1 j+(x1)<p1{x1,x2,...,xn)dx,
J tube
qui, pour e —► 0, tend vers j / 9.
J r -
Nous sommes donc amenés à définir correctement le (ra — 1)-
courant impair associé à T et à la fonction tordue /' sur T, par la
formule :
(IX, 2: 16) 9.BQ!= f /9.
~ J r-
Le second membre a bien un sens, si / est localement sommable
(') Il s'agit bien de limite dans l'espace des courants

334
sur la ligne T (^9 est une 1-forme tordue sur T, son intégrale a un
sens), et définit bien un (ra — l)-courant impair. (Le premier
membre vaut aussi : (— 1)B_1 O.9). Ce courant a été appelé (— l)"-1 Ta/
à l'exemple 5 page 328.
Dans Rn (T étant ici quelconque, et non plus dirigée suivant 0xl
comme dans la carte précédente) on peut dire aussi qu'il lui est
associé la distribution-champ de vecteurs J, dont les composantes
sont les distributions J k :
(IX, 2; 17) J»(9) = f i 9 dxk, 9 c 0).
Exemple 7 b. Courant d'une particule ponctuelle animée d'une vitesse
Considérons le courant électrique défini, à un instant donné,
par une masse ponctuelle e au point a, animée d'une vitesse c,
vecteur tangent en a à V". En le considérant ici encore sur une
carte, comme limite, pour e —■«■ 0, d'un champ de vecteurs-intensité,
ayant pour valeur t~xev dans un volume e entourant le point a,
et 0 en dehors, on voit que ce courant électrique peut être défini
*-1
par le (ra — l)-courant impair O tel que
(IX, 2; 18) 9. *Q = e< l, 9 (a) >,
qui n'est autre, au signe (— l)"-1 près, que celui qui a été .donné à
l'exemple 3 page 325 (pour k = 1), avec X = ev. Dans Rn, il est
défini par un champ de vecteurs-distributions J, dont les
composantes sont les et> k8(a}, où les v k sont les composantes de la vitesse.
Nous avons bien signalé, à l'exemple 6 précédent, qu'il ne fallait
pas confondre les deux courants définis parles formules (IX, 2; 5)
et (IX, 2; 7). Le deuxième est une charge électrique, le doublet,
ra-courant impair; le premier est une intensité de courant électrique,
définie par une charge en mouvement, (ra — l)-courant impair.
Nous avons considéré ici a e V, e, v comme fixés. Mais on peut
imaginer un point a se déplaçant sur V en fonction du temps,
c étant à chaque instant sa vitesse. Si alors on appelle II la charge,
ra-courant impair, qui, à chaque instant, est définie par cS(0), on
voit que II et O sont associés comme il est dit page 331. Il y a ici
un champ des vitesses, n'importe quel champ C00 de vecteurs égal,

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
335
au point a, à la vitesse v de a. En fonction des définitions qui seront
données plus tard, nous laissons au lecteur le soin de vérifier que
dû, -f- -^— = 0, et £2 = i(v) II f-^— est le doublet en a de moment evh
— ot — — \ot j
Si l'on prend un courant formé de la somme d'une forme C00,
*-1 _+.
co, ayant un champ de vitesses C", w, et du courant vu à l'instant,
correspondant à une vitesse cena différente de w (a), on aura un
courant auquel n'est attaché aucun champ de vitesses continu.
Nous laissons aussi au lecteur le soin de montrer comment
l'exemple 7 b est un cas limite de 7 a, quand la longueur de V tend
vers 0, cependant que la fonction / tend vers l'infini, de façon
convenable (dans R", on pourra prendre pour Y le segment
*■ ^ ""*
(a, a -\- ve), avec / = - dans le sens de v).
e
Exemple 7 c. Courant défini par une particule immobile
ayant un spin
Considérons une charge électrique ponctuelle e, placée à l'origine
de R3, et munie d'un spin de valeur S, suivant l'axe Oz. Nous
entendons par là que cette charge est la « limite », lorsque r —► 0, d'une
charge e, de masse d'inertie m, placée dans le plan z = 0, sur le
cercle de centre 0 et de rayon r, et tournant avec la vitesse linéaire
g
v = —, de façon que son moment cinétique en 0 soit dirigé sui-
mr
vant Oz et de mesure algébrique S. Si nous imaginons r fixé, et une
vitesse grande, ce qui est le cas si r est petit, nous pouvons «
remplacer » le courant, constitué à chaque instant par la seule charge e,
par un « courant moyen » traversant le cercle YT dans le sens direct,
avec une intensité moyenne jr égale au produit de e par le nombre
de tours par seconde, donc
. ev e S
/r = 2^7 = 2izmri'
Cette substitution faite, le courant mathématique correspondant
2
à celui qui est défini par le cercle Tr et l'intensité jr est Q, défini
par la formule (IX, 2; 16) :
(IX, 2; 19) (xdx + pdy + ydz).Q,= f ^^(ttdx + ^dy).

336
On a les développements de Taylor :
(IX, 2; 20) a(x, y) = a,,.,, + «1Mx + a^y + O (/■*)
P (*, y) = ßo.o + ßw* + Pu» + ° (**)
au voisinage de l'origine; comme
( dx = I <% = a,<te = fl yiy = 0,
jr, Jr, J r, .' r,
(IX, 2; 21)
{ xdy = nr2, I ydx = — Trr2
.' r, J r,
on a donc :
(IX, 2; 22) {°Ldx + $dy + ydz).à,= {-^l + <ïls,)^i + 0(r).
Si l'on fait tendre r vers 0, on voit qu'on est amené à faire
correspondre à la particule à spin le 2-courant impair défini par
(IX, 2; 23) {xdx + £dy + ydz) . Q = (ßx.0 - o^) ~
= (UW)-^(o.o,»))è
Si l'on cherche le champ de vecteurs-distribution J associé, on
voit que les trois composantes sont les trois distributions suivantes
de R3 :
(IX, 2; 24) J„(9) = - |S (0,0,0) ||,
2>9 ._ „ „. eS
J.(9)-g(0,0,0)^J. = 0.
Autrement dit, J,. (resp. J„) est, dans R3, le doublet placé à
l'origine, de moment — 1 (resp. -1- 1), dirigé suivant ()// (resp. Ox).
Le courant trouvé est d'ailleurs bien évidemment invariant par
n'importe quelle rotation autour de Oz. On peut considérer que
c'est Un champ de vecteurs-distributions, dont la composante
orthogonale sur Oz est nulle, et dont la composante orthogonale
sur n'importe quelle direction du plan z = 0 est une
distribution R3, représentée par un doublet à l'origine, dont le moment

COURANTS SUR UNE VARfÉTÉ
337
a la valeur — -— et est dirigé dans la direction perpendiculaire
directe.
Un exemple comme celui-là montre toute la complexité et la
richesse qu'apportent ici les distributions et les courants. Si l'on
cherche la charge II qu'on peut associer à O comme dit page 330,
on est amené inévitablement à prendre II = eS. Cette charge est
« immobile », puisqu'elle ne fait que « tourner sur elle-même »;
Il ne dépend pas du temps, -^— = 0, et on verra aisément que
dQ — 0. Il n'y a pas de champ C00 des vitesses v tel que
a = ; £) n.
Ce sont ces différents exemples qui ont amené de Rham, quand
il a introduit certains courants (voir p. 327) antérieurement aux
distributions, à leur donner précisément le nom de courants.
Courants """? 0
La définition de deux courants complexes conjugués est triviale.
o
Un n-couranl impair T est dit "^ 0, si T (9) """5 0 pour 9 "^ 0, 9GÎ).
On peut définir la notion de n-forme impaire ^ 0 : une n-forme
impaire est dite '""5 0, si la n-forme ordinaire qui la définit rur V
est ^ 0 par rapport à l'orientation de V. Alors une n-forme
impaire localement son.niable est """? 0, si et seulement si le courant
qu'elle définit est ^ 0 au sens ci-dessus. Nous dirons ensuite qu'un
()-courant pair T est "^ 0, si T (9) ^ 0 pour toute 9^0, 9e©.
Par exemple une fonction localement sommable ^ 0 est un 0-cou-
rant pair "^ 0. Une mesure !"> 0 est un n-eourant impair """5 0.
On démontre (théoièmc V du chap. 1) qu'un courant positif est
d'ordre zéro.
Courants pairs el impairs sur une variété orientée
Si V est orientée, il existe un isomorphisme canonique entre les
espaces de courants pairs et de courants impairs, transposé de l'iso-
morpliismc correspondant entre les Tonnes, et induisant sur les
espaces de fuîmes ce même isomorphisme. On voit aussi, de la même
manière, que, si V est connexe et orientable, on pourra définir un
courant pair sur V comme un couple de deux courants impairs
opposés, respectivement associés aux deux orientations de V.

338
(Nous avons défini une forme impaire comme un couple de deux
formes paires opposées. Nous n'avons pas, à ce moment-là, songé à
définir une forme paire comme un couple de deux formes impaires
opposées associées.aux deux orientations de V; cela tient à ce que
c'est la notion de forme paire qui était la notion la plus simple.
Mais naturellement, il aurait été possible de le faire. De la même
manière, nous définissons ici un courant pair comme couple de deux
courants impairs opposés, associés aux deux orientations de V,
car c'est ici la notion de courant impair qui apparaît comme la plus
simple. Mais il est évidemment parfaitement possible de faire le
contraire) (1).
Courants et distributions
Soit a une ro-forme tordue indéfiniment différentiable, et
partout > 0 (autrement dit "^ 0, et ^ 0 en tout point de V). Alors
<p —► oç9 est un isomorphisme de Ü) sur Ü). On peut donc aussi par
transposition définir un isomorphisme, que nous noterons T —♦ Ta,
o »
de D' dans Ü)' : Ta (9) = T (a<p) (*). Ainsi l'existence d une forme
telle que a permet des identifications. En particulier, une
fonction / localement sommable, 0-courant pair, peut s'identifier à la
mesure a/, ra-courant impair.
Si V est orientée et si a est une ra-forme impaire comme ci-dessus,
(*) On peut aussi représenter autrement les courants pairs sur une variété V, en
se ramenant à la notion plus simple de courant impair. L'application <p -»• <p de 5) (V)
dans 5) (V) a pour transposée une application de 5)' (V) dans 3)' (V); on voit sans
peine que sa restriction au sous-espace de 3)' (V) formé des courants impairs ar-anti-
invariants est un isomorphisme de cet espace sur 3)' (V). On peut donc représenter
un courant pair T sur V par un courant impair T sur V, d-anti-invariant (de la même
manière qu'une forme impaire o> sur V était une forme paire o> sur V, d-anti-inva-
_ 1
riante). Nous introduirons un facteur-» et choisirons la correspondance de manière
1 ~ —
que, pour Te 3)' (V), J6ÏÏ (V), on ait T (j>) = - T (<p). Si en particulier T est défini
par une forme o> localement sommable sur V, on a aussi : I o> a Ç = 5 [ _ (P*<>>) A 9
(d'après IX, 2; 3). Donc T est le courant impair défini par la forme impaire associée
par l'orientation de V à la forme paire P*o>
(*) Cette notation Ta sera justifiée au § 3 (multiplication d'un courant par une
forme C00)

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
339
on a une identification canonique entre formes paires et impaires
du même degré, entre courants pairs et impairs du même degré,
et d'autre part on peut identifier les degrés 0 et n. Dans ce cas, on
appellera distribution sur V un courant, indifféremment pair ou
impair, indifféremment de degré 0 ou de degré n. C'est ce que nous
avons fait sur Rn, en prenant l'orientation canonique de R", et en
prenant pour a la mesure de Lebesgue dx. La définition de
distribution que nous avons donnée au chapitre i, correspondrait plutôt
à celle de n-courant impair, puisque nous avons pris pour <p des
fonctions. Mais comme nous considérons aussi une fonction /
localement sommable comme définissant une distribution, les
distributions étaient alors plutôt des 0-courants pairs. En réalité il n'y
avait pas lieu de faire ces distinctions. Par contre si V n'est pas
orientée, et si l'on n'a pas choisi de forme fondamentale telle que a,
le mot distribution est ambigu. Suivant les ouvrages, il désigne
un 0-courant pair, de manière qu'une fonction soit une
distribution particulière, ou bien un n-courant impair, faisant intervenir
pour 9 des fonctions. Nous adopterons la convention suivant laquelle
une distribution sur V est un 0-courant pair • les distributions
généralisent les fonctions. Notons que ce n'est pas conforme à la définition
du paragraphe 5, chapitre I, 3°, où une distribution était un n-courant
impair.
Sections-distributions d'un espace fibre à fibres vectorielles
Soit V" une variété, E un espace fibre de classe C00 sur V, à fibres
espaces vectoriels de dimension finie; soit n la projection de E
sur V. Au-dessus d'un point x de V, la fibre ii~x ({ x }) sera notée E^
On sait alors définir l'espace 8"* (V; E) des sections de classe Cm
de E, l'espace S (V; E) des sections de classe C00, et leurs sous-
espaces î"""* (V; E), *D (V; E), de sections à support compact; ces
espaces sont munis de topologies évidentes, que le lecteur définira
lui-même. D'autre part, si E et F sont deux tels espaces fibres
sur V, on peut définir leur produit tensoriel fibre E <g>v F, dont la
fibre en chaque point î de V est E,. <g> Fx; et l'espace fibre dual
E' de E, dont la fibre en x est le dual E'x de Ex. Si E est l'espace
fibre il est p-covecteurs tangents à V, 8"* (V; ii) n'est autre que
1 espace des p-formes m fois continueraient différentiables; si O est
l'espace fibre des p-covecteurs tangents tordus [soit xe\; son

340
image réciproque P x({a;}) par la projection P : V—»V, est un couple
de deux points du revêtement orienté V de V; un p-covecteur
tangent tordu en x est un système de deux p-covecteurs tangents
à V, respectivement aux deux points de p-1 ({ x }), cr-anti-invariant.
On peut encore dire que c'est un couple de deux p-covecteurs
tangents opposés en x, respectivement associés aux deux orientations
de V en x. Les p-covecteurs tangents tordus en x forment triviale-
P - " J P
ment un espace vectoriel iix, et la collection Q des Clx a une struc-
p p
ture évidente d espace fibre Cl sur V], gm (V; Cl) est l'espace des
p-formes tordues de classe Cm sur V. On conviendra d'appeler
p-for me ordinaire (resp. tordue) sur V, section de l'espace fibre E,
v v
une section du produit tensoriel fibre E (g)v Cl (resp. E (g>v Cl)-
n—p n—p
On va maintenant introduire l'espace 3) (V; E') = 3) (V; E' (g) Cl)
des (n — p)-formes C00 à support compact, sections de E'; son
dual s'appellera espace des p-courants impairs sur V, sections de E,
p
et sera noté D' (V; E). De même le dual de
n—p n—p
JD(V;E') = Ï)(V; E'(g> Û)
sera l'espace des p-courants pairs sections de E, et sera noté
h' (V; E).
Soit co une section p-forme de E, localement sornmable.
»—p •
Si q>e 3) (V; E'), on peut former leur produit extérieur co A 9, sec-
»
tion de ii ®v E (g)v E', qu'on peut contracter par l'application
linéaire canonique de E, (g) Ex dans C définie en tout 1 de V par
la dualité entre E^ et Ex, en une section de Cl, c'est-à-dire une
ra-forrne impaire, que nous noterons encore co A 9; elle est
localement sommable à support compact, et on peut donc l'intégrer sur V.
Alors ^p — | co A 9 est une forme linéaire continue sur D (V; E'),
j v
p
donc un p-eourant pair section de E. Ainsi une p-forme paire co,
section de E, définit bien un p-couranl pair, section de E; de même
pour formes et courants impairs, et nos définitions sont cohérentes.
Si, comme il vient d'être dit, on appelle distributions sur V les
0-courants pairs, alors les distributions sections de E sont les 0-cou-

COURANTS SU» UNE VARIÉTÉ 341
0
rants pairs sections de E, ou cléments de *D' (V; E), dual de
* "
2) ( V ; E') = 2) ( V ; E' <g> Q.) ; elles généraliseront les sections usuelles
localement sommables de E. Nous ne poursuivrons pas plus loin cette
étude (x).
§ 3. Opérations élémentaires sur les courants
Première opération: produit extérieur d'un courant par une forme Cm
Soient T, a, un courant de degré p et une forme C" de degré q
respectivement, ordinaires ou tordus. On définira les produits
extérieurs T A a et a A T, courants de degré p -f- q, de manière que,
si T est une forme co localement sommable, on retrouve la forme
to A a ou a A to. Il suffit pour cela de poser :
(IX, 3; 1) <TAa, 9 > = <T, aA? >
en vertu de (IX, 2 ; 4) ; et â A f = (— l)" f A â.
Les propriétés de ce produit sont analogues à celles du
chapitre v, et à celles du produit extérieur des formes usuelles.
Soit alors T un p-courant (pair ou impair) sur un ouvert U de R".
11 admet, tout comme une forme, une décomposition unique
(IX, 3; 2) f^STïdxï,
où 1 = { iv i2, ... ip } est une partie à p éléments de { 1, 2, .... ri },
it < i2 ... < iv, Tx un 0-courant (pair ou impair), et où dxx est
la p-forme dxh A dxit A ... A dxir.
o
On peut identifier Tx à une distribution usuelle Tr sur U C R".
Elle est définie comme suit : si 9 6 2) (U), on a
(IX, 3; 3) < fIf 9 > = (— l)paJ) < T, 9 dxt >,
où J = {jv j2, ..., /,,_,,} est le complémentaire de 1 dans { 1,2,...«},
îi < i% < — < ]»-» et où P (!« J) est la signature de la permutation
(h, H -, ip, h, /t -, i*-v) de (1, 2 ..., n); en effet, (IX, 3; 1) donne
bien, si on pose (IX, 3; 2), et si on suppose par exemple T tordue :
(l) Voir une autre manière de définir les sections distributions d'un fibre,
valable même pour des fibres de dimension infinie, dans Schwartz [11], chap, u
§ 5, exemple 2, p. 140

342
(IX, 3; 4) < T, 9 dxj > = S < Tv dxv. 9 dx3 >
= S < TI#, 9 dx{ A dxj > = (- 1) <>'«> <Tu9dx>
v
o
= (- l)"'1^ < TIf 9 >•
Ceci permettrait de définir à nouveau les courants sur une
variété V, sans passer par une dualité, en utilisant une méthode de
completion. Voici comment. Pour que des courants S convergent vers
U dans 2)' (V), il est nécessaire et suffisant que, pour tout ouvert
£2 de V, domaine d'une carte <I> sur un ouvert U = <I> (Ci) de R" (x)
les restrictions des S à O convergent vers 0. Pour cela, il est néces-
P P
saire et suffisant que les courants transportés T = <D (S) (par
transport de structure) convergent vers 0 dans S)'* (U). Mais, si l'on
utilise sur l'ouvert U la décomposition (IX, 3; 2), des courants T
convergent vers 0 si et seulement si chacune de leurs compo-
o
santés TI converge vers 0 dans l'espace *D' (U) des distributions
p
sur U. Ainsi la topologie de 2)' (V) se ramène à des topologies
d'espaces de distributions *D' (U) sur des ouverts U de R". D'autre part,
p p
nous avons vu (p. 325) que l'espace 8 (V) est dense dans î)' (V).
p # p
autrement dit î)' (V) peut s'identifier à un complété de 8 (V),
p
pour la topologie induite par î)' (V). On pourra donc définir direc-
p # p
tement *D' (V) comme suit. On dira que des to e 8 (V) convergent
vers 0 au sens des courants, si, pour chaque carte <I> d'un ouvert O
de V sur un ouvert U de R", les G5 = O co convergent vers 0 au sens
des courants; et on dira que les G5 = S at dxt convergent vers 0
au sens des courants, si les c^ (fonctions ou fonctions tordues)
convergent vers 0 dans l'espace des distributions *D' (U). Ceci intro-
p
duit sur l'espace 8 (V).des p-formes C* sur V une topologie; son
p
complété pour cette topologie sera par définition 2)' (V). Ceci vaut
aussi bien pour des courants pairs ou impairs. Au lieu de toutes les
cartes, on peut se borner à celles d'un atlas. Cette définition par
completion ne présente habituellement aucun avantage sur la
définition initiale par dualité. Toutefois on remarquera ainsi que
beaucoup d'opérations élémentaires sur les courants, au lieu d'être
f1) Ou Rï; nous ne le répéterons pag

COURANTS SUR UNK VARIÉTÉ
343
définies par dualité et transposition, peuvent être définies en
prolongeant par continuité, de S (V) a *D' (V), des propriétés connues
pour les formes usuelles. Par exemple, la multiplication par une
forme C00 de degré q, to —>- to A a, est linéaire continue de S (V)
dans S (V), pour les topologies des courants, comme on le voit
immédiatement sur des cartes; elle se prolonge donc d'une manière
p p p p+a
unique en une multiplication T —>- T A a" de *D' (V) dans *D' (V),
ce qui donne une définition de la multiplication sans dualité ni
transposition.
Deuxième opération : multiplication intérieure par un champ C°° de
multwecteurs
Bornons-nous au cas d'un champ de vecteurs £, indéfiniment diffé-
rentiable. Soit a> une p-forme localement sommable, paire ou
impaire, et 9 une (n — p + 1) forme C00 à support compact de
l'autre parité.
p
Alors to A 9 est nulle, puisque de degré n -f- 1. Donc :
(i(Ç)«A<p) + (-1)" (to Ai (Ç)9) = i(Ç)(«A<p) =0.
On a donc :
(IX, 3; 5) f i(l) toA? = (- 1)« f toAÏ(Ç)<p
(intégrales de n-formes impaires localement sommables à support
compact).
Nous sommes donc amenés à définir i (£) T, pour un p-courant,
par :
(IX, 3; 6) < i(l) T, 9 > = (- 1)« < J\ i {l) 9 >•
Ce produit peut aussi se définir en prolongeant par continuité
le produit correspondant pour des formes, et il a les propriétés
qu'on attend de lui.
Troisième opération: cobord d'un courant
p
Supposons d'abord V sans bord. Soit t* une p-forme de classe C1,

344
paire ou impaire, et soit <p une (n — p -f- l)-forme C"* à support
compact, de l'autre parité. On a alors :
(IX, 3; 7) d(o>A?) = do>A? +(-l)"a>Ad?.
Mais, d'après la formule de Stokes, to A 9 étant de classe C1 à
support compact et V sans bord, on a :
(IX, 3; 8) f «i (<» A 9) = !" o>A<p = 0.
J V J bV
On a donc :
(IX, 3; 9) f dtoA9 = (- l)"-1 f toAd9
.'V «'V
Nous sommes donc amenés à poser, pour un p-courant T, pair
ou impair :
(IX, 3; 10; <df,9> = (- l)*-1 < T, d9>,
de manière que, si T est une forme co de classe C1, dT soit la forme
usuelle dco.
On a bien évidemment ddT = 0.
D'autre part, si a est une forme C00, on a la formule attendue :
(IX, 3; lObis) d(f a a) = dTAa J- (- 1)" TA<2a.
Nous laissons la démonstration au lecteur (on suivra la méthode
du théorème IV du chap, v ; d'ailleurs nous démontrerons plus
loin cette formule dans le cas plus compliqué où V a un bord, voir
(IX, 3; 25)).
Si V" = R", et si T a la décomposition (IX, 3; 2), on a la formule
usuelle
(IX, 3; 10 ter) / i/S Tx dx^ = S dT, A dxIt
11
et aussi'
2 SdXk
n
(IX, 3; 10 quarto) dT = ^ dxk A
pour T de degré quelconque
2>T
k-ï *

COURANTS SLR INK VARIÉTÉ
345
;On pourrait aussi définir directement dT sur une variété par
la méthode de completion. L'application co —>■ dv> est continue
de S (V) dans 8(V) pour les topologies des courants, comme on le
voit trivialement sur des cartes; elle se prolonge donc par conti-
nuité, de manière unique, en une application T —>■ dT de 2)' (V)
p+i
dans *D' (V). Les formules (IX, 3; 10 bis, 10 ter, 10 quarto) sont
alors évidentes par continuité.
p
Soit 3' l'espace des p-courants fermés, c'est-à-dire de cobord
p
nul; soit Si' l'espace des cobords de courants de degré p —1;
pp. .
alors y /Si' est 1 espace vectoriel de cohomologie de degré p de V
pour les courants. On définit de même une cohomologie tordue
et des cohomologies à support compact. On verra plus loin
(théorème 1 p. 355) l'identité de la cohomologie des courants et de celle
des formes C", si V est sans bord. La formule (IX, 3; 10 bis) montre
en tout cas trivialement que l'espace vectoriel de cohomologie
des courants, somme directe des espaces de cohomologie des divers
degrés, est un module sur l'algèbre de cohomologie des formes C00.
Exemple 1. Formes présentant des discontinuités
La formule (IX, 3; 10) est évidemment apparentée à la formule
(II, 1; 6). On peut donc donner des exemples analogues à ceux
du chapitre ir.
Soit par exemple co une p-forme, présentant un saut le long d'une
hypersurface fermée S de classe C1. On suppose donc co de classe C1
dans J S; en outre, si xeQS tend vers ae S d'un côté S, de S, le
p-covecteur co (x) a une limite co, (a), tandis que si x tend vers a
de l'autre côté E2, co (x) a une autre limite co2 (a). Le saut de co,
quand on traverse S dans le sens S, —► ~E2, est co2 (a) — co, (a) au
point a. On doit noter que ceci est purement local: globalement,
il peut n'être pas possible de distinguer deux faces de S (exemple :
ceinture de Möbius dans R3).
De toute façon, on ne considérera ces deux fonctions toj, cû2,
que comme définies localement, et elles sont alors continues. On
supposera en outre que les dérivées premières des coefficients
de co ont aussi des discontinuités de lre espèce le long de S. La
forme co admet alors un « cobord usuel { d<a}, calculé comme suit :

346
on calcule dco dans ßS, c'est une (p -+- l)-forme définie presque
partout sur V, mesurable et localement bornée sur V donc
définissant un (p -f- l)-courant {dca }. Nous cherchons à généraliser la
formule (II, 3; 1) en établissant la relation entre dv>, courant dérivé
de co, et { d(ù }. Nous montrerons qu'on a la formule
(IX, 3; 11) d<D = {<2<o} + Sa<t,
a étant le saut de co le long de S. Donnons d'abord avec préeision
la signification de cette formule. Supposons d'abord que S ait
globalement 2 faces, S, et E2. Choisissons sur S le sens de passage
S, --*■ E2. Nous avons déjà vu que ce sens de passage définit, en
tout point a de S, une correspondance bijective entre les
orientations de V et celles de S en. a (voir exemple 7, p. 329).
Donc la donnée de S et de l'injection canonique orientée de S
dans V (c'est-à-dire avec cette correspondance entre orientations)
définit S comme une chaîne impaire, de dimension n — 1 sur V,
donc comme un 1-courant pair (formule (IX, 2; 6 bis) ). Si alors
a est la forme co2 — CD] sur S, S A a est un (p -f- l)-courant, déjà
rencontré page 29, pair ou impair comme co, et défini par
(IX, 3; 12) <Sa<t, <p> = * ffAcp,
J s
pour <p de degré n — p — 1, de parité opposée à celle de co. La
formule (IX, ,3; 11) est donc équivalente à
(IX, 3; 13) (- l)»-i <o A dcp = l {d<*} A 9 + 1 <T A <p
Jv J v ./ s
'1 est facile de démontrer cette formule. Par partition de l'unité,
il suffit de le faire localement. Elle est triviale au voisinage de
tout point de |}S. Soit donc aeS. Soit Q. un voisinage de a, tel
que le complément de S dans O ait 2 composantes connexes, Ox
et Q2, numérotées par les 2 faces de S. Soit <à( (i = 1, 2) la forme
égale à co dans D,t et à 0 ailleurs, et soit i^ la (n — l)-forme impaire
cx>( A 9, 9 à support compact dans O. La formule de Stokes donne :
(XI,'3; 14) f «ty, = f «ty, = f «J»,
.' n .' n, J on,
Si i = 1, 6QX est exactement la chaîne impaire S' de dimension
i — 1 définie ci-dessus, correspondant au sens de passage Sx —» S2;

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
347
mais, pour i = 2, 6£î2 est l'opposée — S de cette chaîne impaire.
On a donc, si ij* = to A 9,
(IX, 3; 15) f dty« S f dùt
Ja i-«J a
= (^î — <W = («1 — wj) A 9.
Je J s
En explicitant <i<{., on trouve
f {ito}A9 + (— 1)» j to Ai 9 = — j <TA9,
JV Jï J S
ce qui est exactement (IX, 3; 13).
Il était bien apparu que le fond de la formule (II, 2; 7) était
l'intégration par parties; or celle-ci n'est autre que la combinaison de
la formule | dF = F (b) — F (a), et de la formule de dérivation
J a
du produit, ou d (FG) = d¥ G -*- F dG; nous trouvons bien ici
des généralisations de ces formules, en la formule de Stokes et celle
du cobord d'un produit de formes.
Si on change le sens de traversée de S, on change de signe la
chaîne impaire D, mais aussi le saut a, et S A a ne change pas.
Comme, localement, S a toujours deux faces, S A a peut toujours
se définir localement, et sa définition est indépendante de la
numérotation locale, donc S A a a un sens global intrinsèque, et la
formule (IX, 3; 11) est toujours vraie, même si S n'a pas
globalement 2 faces. On peut d'ailleurs la transformer comme suit.
Soit aeS, et soit S' l'une des faces de S au voisinage de a. Soit
<à' la valeur de cù, sur 2, limite du côté S'. La face S' détermine
un sens de passage, de la face opposée à H' vers la face S', donc
définit une chaîne impaire de dimension (n — 1), donc un 1-courant
pair £.'; alors Z.' A <a' est un (p -<- l)-courant de même parité que
to. Si S" est l'autre face de S au voisinage de a, on définit de même
S" A v>". Si on po<,e Sx = S', S2 = S", alors ce que nous avons
appelé S est 2." = — 2', de sorte que
(IX, 3; 16) 2Act= 2'A to' + 2" A to",
et (IX, 3; 11) peut se remplacer par
(IX, 3; 17) d<»= {d<*} + S'A«' + S* A ci*,

348
où les 2 faces de S jouent des rôles symétriques; S' A to' et S* A «■}*
ne sont définis que localement, mais leur somme a un sens global.
Par exemple, soit O un ouvert de V, de bord S hypersurface de
classe C1, et situé, au voisinage de chaque point de S, d'un seul
côté de S. Soit / une fonction de classe C1 dans ß = û u 2, et
nulle dans ßQ-2 a un sens de passage comme bord de Cl, donc
elle est une chaîne impaire de dimension n — 1, ou un 1-courant
pair S. Alors le 0-courant pair / a pour cobord
(IX, 3; 18) <*/ = {<*/}-/£.
En termes de cobords, la formule (II, 2; 7) du chapitre n s'écrit :
(IX, 3; 19) df = {df} + o08,
8 étant le 1-courant pair associé, par l'orientation canonique de R,
à la mesure de Dirac X. 1-courant impair.
Exemple 2
. Soit r une chaîne, paire ou impaire, dimension k donc de degré
p = n — k (voir exemple 5, p. 326). La formule de Stokes appliquée
à r donne :
(ix,3;20) <dr,?> = (- i)»-i< r,d9>
= (- l)-*-i f d9 = (- l)-*-i f 9
J r J or*
= (- i)-*-1< &r, 9>.
Donc dr = (n — 1)—*-» b T = (— l)"-1 bT
Ceci nous amène à définir, pour tout courant T, de degré p ou de
dimension k, p -\- k = n, son bord 6T comme
(IX, 3; 21) 6T = (- l)"-1 dT.
On a alors toujours
(IX, 3; 22) < 6T,9> = <T,d9>,
et l'opération « bord » est exactement transposée de l'opération
« cobord », sans changement de signe. Dans l'exemple étudié à
(IX, 3; 18), si / = 1 dans il, le 0-courant pair / n'est autre que la
ra-chaîne impaire définie par il et son injection canonique orientée
dans V; alors (IX, 3; 18) donne df = —2, qui correspond bien,
pour p = 0, à bf = bU = -f S.

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
349
Exemple 3. Cobord d'un courant de Dirac (voir exemple 3, p. 325)
Soit JR. un 1-vecteur tangent en a à V. Il définit un (n — 1)-
courant impair S (formule (IX, 2; 5). Son cobord dS est un
recourant impair, qui n'est autre que le produit par (— 1)" du
courant T, associé au doublet de moment JR. en a, suivant la formule
(IX, 2; 7). C'est en effet ce que montrent les formules (IX, 2; 7 et 8) :
< ds\ 9 > = (- 1)" < S, d9 > = (- 1)" < T, 9 >
ou <2S = (-1)"T.
Exemple 4. L'angle solide
Reprenons les formules (IX, 2; 11 et 12) dans un espace vectoriel
euclidien V de dimension n. Prenons pour J le champ des vecteurs
unitaires radiaux. Pour un élément de surface dS en un point M
de V, distinct de O, Jv dS = cos 0 dS, 0 étant l'angle du rayon
vecteur OM avec la normale, orientée dans le sens de passage
choisi sur S. Si r est la distance OM, l'angle solide algébrique sous
lequel on voit dS de O est :
—-r cos 0 dS = (-irr, I dS.
Autrement dit, l'angle solide sous lequel on voit de O une hyper-
surface 2 ne passant pas par 0 et munie d'un sens de passage est
-^l dS = f <u,
/:
où co est (n — l)-forme différentielle impaire dite « angle solide ».
Si V = R" avec sa structure euclidienne canonique et
r2 = x\ + ... + x\,
les composantes de J sont Jk = — > et alors
n
(IX, 3; 226«) V = y\ p^i ^ dx?A dx.
La forme co, considérée comme définie presque partout sur R",
est localement sommable, donc est un courant.
Cherchons, dans /?", son cobord doi. C'est
(IX, 3; 22ter) ^ = 2 À (?) -

350
Mais p; = (- JT^l) tek F* donc' en aPPIi(luailt (n> 3; 10),
(IX, 3; 22 quarto) d^"'= ^-^ A ^j dx
n
= SÄ Sr Sn aire de la sphère unité de R".
Cobord d'un courant sur une variété V avec bord
Nous prendrons la même formule de définition (IX, 3; 10).
Si alors o> est une p-forme de classe C1 sur V, son cobord do), au
sens des courants, n'est plus le même que son cobord usuel { do) },
même si co est C00. La formule de Stokes donne en effet :
(IX, 3; 23) < da>, 9 > = (- l)*-1 < «, dt? >
— (_ i)p-i I & a dcp — j dv> A 9
— I d (co A 9) = I dcù A 9 — f to A 9, ou
J V J V J 6V
(IX, 3; 24) d<o = {<2<o} - 6Vao>,
6V étant le 1-courant pair défini par la chaîne impaire b\ de
dimension n — 1. Tout se passe comme si on considérait la variété V comme
prolongée au-delà de son bord, et o> comme prolongée par 0 : elle aurait
alors une discontinuité de lre espèce le long de bV et (IX, 3; 24)
résulterait de (IX, 3; 11). C^est seulement si co, de classe C1 dans V, induit
0 sur le bord de V, que dto = { dto }.
La formule de définition de dT doit alors s'écrire, pour éviter
toute ambiguïté :
(IX, 3; 24 bis) < d?, 9 > = (- l)*-1 < T, {d9} >.
On a toujours ddT = 0. Si T est un p-courant, et a une ç-forme
C00, on aura : •>
(IX, 3; 25) < d ("T A £), 9 > = (- l)"-^-1 < T A a, { <fcp } >
= (- l)«*-i <T, aA{<*9}>
(') Pour n ^ 2; pour ra = 2, remplacer = £ Par '0£ r- Le résu'tat final
est le même

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
351
= (-iri<T,{d(aA?)}> ' '
+ (- l)»<T,{da}A<p}>
= < dT, a A <p > -L- (- 1)» < T, {dx} A <p >
= < dT A a, <p > + (- 1)" < T A {dx}, <p >
d'où la formule du cobord d'un produit :
(IX, 3; 26) d (f Aa) = dT Aa + (- 1)" Ta{<*x}
(On remarquera qu'il ne faut pas écrire T a da., qui d'ailleurs
n'aurait pas de sens, car dec n'est plus une forme C00) (').
Quatrième opération: dérivation d'un courant par une
transformation infinitésimale
Soit 5 un champ de vecteurs C00, sur une variété V" que nous
v
supposerons d'abord sans bord. Soit co une p-forme C1, paire ou
impaire, et 9 une (n — p)-forme C00 à support compact de parité
opposée. Rappelons que la transformation infinitésimale 8 (£) sur
les formes est une dérivation (0 (£) (a Aß)= 0 (Ç) aAß + aA0 (5) ß),
et peut s'exprimer par 0 (£) = d . i (5) + i (5) . d :
(IX, 3; 27) f 6(Ç) «A9= f 0(5) (to A 9)
j v Jv
- f <o A 0 {l) 9.
Mais f 0(5)(o>A9)= f d (i (5) (to A 9)) + f i(Ç)d(«A9);
./ V J V J V
le dernier terme est nul, car le degré de to A 9 est ra, donc son
cobord est nul; le terme précédent aussi, en vertu de la formule
de Stokes, V étant sans bord. On en déduit :
(IX, 3; 28) f 0(£)<oA9=- f to A 0(?) 9.
J v j v
Nous sommes donc amenés à poser, pour un courant T, et une
variété V avec ou sans bord, comme nous l'avons déjà fait pour
définir le cobord d'un courant :
(IX, 3; 29) <0(5)T,9> = - <T, {0(5)9} >•
(l) Puisque le cobord des courants n'induit plus sur les formes le cobord usuel,
une formule comme (IX, 3; 26) ne peut plus se démontrer en la prolongeant par
continuité de g (V) à ©' (V)

352
On peut alors donner toute une série d'exemples analogues à
ceux que nous avons donnés pour le cobord. Il y aura lieu en parti-
culier de noter que, si cd est de classe C1, mais si V a un bord, 0 (£) cd,
calculé au sens des distributions, est différent de {6 (£) cd}, calculé
au sens usuel, la différence étant une couche portée par 6V :
< 0 (£) cd, 9 > = - < cd, {0 {l) 9} > = - f cd A{0 {l) 9 }
J V
= - Jv {0(C) (cd A 9)} + j*v{9(Ç) «}A?
. ., = -(" {^(i(5)(»A?))}+ f {9(|)«}A?
vt J v J v
= - f »(C) (cdA?) + f {0 (Ç) cd} A 9.
J 6V J V
Utilisons la formule (IX, 3; 6) (*)
- f i (Ç) (cd A 9) = - < 6V, i (Ç) (cd A 9) >
J b\
= — < i (£) 6V, w A 9 >
= — < i{l) (6V)acd, 9 >.
D'où le résultat :
(IX, 3; 30) 0 {l) cd = {0 (Ç) cd} - (i {l) bV) cd.
(i (£) 6V est un 0-courant pair, le signe A peut être supprimé
entre lui et cd).
Supposons par exemple que V soit le segment [0, 1] de R.
L'orientation de R nous permettra de ne pas distinguer entre courants
usuels ou tordus. Le bord bV est le 1-courant 9 —► 9 (1) — 9 (0),
9 eî) ([0, 1]). Supposons que !; soit le champ constant de vecteurs
unité; 0 (£) peut s'écrire-y-, et on peut aussi écrire T' au lieu de
0 {l) T. i (!■)(. V est le 0-courant 9 dx — < 6V, 9 > = 9 (1) — 9 (0).
Si alors / est une fonction de classe C1 sur [0, 1], (i (Q b\') f est le
0-courant 9 dx -* / (lj 9 (1) — / (0) 9 (0). En appelant SM la mesure
de Dirac en a considérée indifféremment coin me 0-courant ou
(') Cette formule supposerait o> de classe C*. Mais ici on peut passer à la limite
en approchant o> par des formes C™, et ces calculs sont bien valables, si o> est
seulement C

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
353
comme 1-courant par utilisation, de la mesure dx, on voit que
(i(Ç) b\)f est /(1)S(d -/(0).S(0).- Et alors (IX, 3; 30) devient,
comme il était prévisible :
(IX, 3; 31) /' = {/'}-/ (1) 8a) + / (0) 8m.
Tout se passe, ici encore comme page 350, comme quand on
prolonge V par une variété sans bord, ici R, en prolongeant / par 0.
La formule habituelle reliant 0 (?), d, i (?), est évidemment vraie
pour les courants sur une variété, avec ou sans bord :
(IX, 3; 32) 0 (?) T = di (?) T + i (?) dT.
On le verra en appliquant les formules de définition (IX, 3; 6),
(IX, 3; 10) et (IX, 3; 29) :
< 0 (?) f, V > = - < T, {0 (?) V} >
= - < T, {di (?)V} > - < T, ^ (?) d"7 } >
= (- 1)' < dT, i (?) 9 > + (- 1)» < i (?) T, {d9} >
= < i (?) dT, 9 > + < di (?) T, 9 >,
d'où le résultat. Il suffisait aussi de remarquer que la formule est
vraie si T est une forme C00, que les formes C°° sont çjenses parmi les
courants, et qu'il suffit alors de prolonger par continuité, lorsque V
est sans bord.
De la même manière, si a est une forme C00, on a :
(IX, 3; 33) 0 {l) (TA«) = 0 (?) TAa + Ta{0 (?) a }.
Théorèmes de de Bham en cohomologie
v
Soit 3' l'espace des courants sur V, dont le cobord est nul (p-
cocycles); â'l'espace des cobords de courants de degré p —1;
p p p p
alors 55' C 3' et 37&' est l'espace vectoriel de cohomologie de
degré p de V pour les courants. On peut faire cela pour les courants
pairs, ou pour les courants impairs; pour les courants à support
quelconques ou à support compact, ou à O-support, c'est-à-dire
à support appartenant à un ensemble <I> de parties fermées, saturé
au sens suivant :
1° si A e <D, BC A, alors B e <D;
2° la réunion d'un nombre fini de fermés de <I> appartient à <b;
3° tout fermé de O a un voisinage fermé appartenant à O.

354
' Ces cohomologies sont en général différentes les unes des autres.
Pair contre, on peut aussi remplacer les courants par les courants
p
d'ordre < m; 3'm est l'espace des p-courants d'ordre < m {de
parité et de support vérifiant les conditions choisies antérieurement),
p
de cobord nul; &'m l'espace des p-courants d'ordre ^ m, cobords
de (p — l)-courants d'ordre ^ m (de parité et support analogues).
Cette cohomologie, a priori, pourrait dépendre de m; on démontre
quelle n'en dépend pas. De même on peut prendre les courants qui
sont des formes localement Lp; ici encore la cohomologie trouvée
est la même. On peut enfin prendre les courants qui sont des formes
Cm au sens usuel (c'est-à-dire appartenant à 8m (V)); pourvu que
le cobord soit toujours pris au sens des courants, on trouve toujours
la même cohomologie. Précisons ce point, qui demande un peu
d'attention. Soit V la boule unité de R", de bord la sphère unité
de R". On peut étudier sur V la cohomologie des formes C00, au sens
de Ja page 320, le cobord étant le cobord usuel. Pour le degré 0, on
trouve que l'espace vectoriel de cohomologie a la dimension 1,
autrement dit que le nombre de Betti est 1; parce qu'une 0-forme
C00, ou fonction C00, de cobord usuel nul, est une constante
arbitraire. Etudions maintenant la cohomologie des courants; l'espace
vectoriel de cohomologie pour le degré 0 est { 0 }, le nombre de
Betti nul; car un 0-courant de cobord nul ne peut être qu'une
fonction constante, mais cette constante doit être nulle, sans quoi le
cobord contient une couche =£ 0 sur la sphère unité. Donc la
cohomologie usuelle des formes C" et la cohomologie des courants sont
distinctes. Mais si nous prenons la cohomologie des formes Cco, avec
le cobord au sens des courants, nous trouvons la même que celle
des courants; une 0-forme C"1 de cobord nul au sens des courants
est nulle.
p
, On doit donc remplacer 3' par l'espace des p-formes usuelles
c".e classe Cm, de cobord nul au sens des courants, c'est-à-dire,
si m > 1, de cobord usuel nul, et induisant 0 sur le bord de V; 55'
doit être remplacé par l'espace des p-formes Cm, cobords, au sens
des courants, de (p — Informes Cm, c'est-à-dire, si m > 1, cobords
usuels de (p — Informes Cm induisant 0 sur le bord de V. C'est ce
qu'on appelle habituellement la cohomologie des formes sur V,
modulo le bord de V.

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
355
L'identité de ces diverses cohomologies peut encore s'exprimer
comme suit :
Théorème I (théorème de de Rham généralisé).
Soit T un p-courant (pair ou impair), <D un ensemble saturé de
parties fermées de V; on suppose que T est un cocycle, àT = 0.
1° Si T a un ^-support, il existe une forme co, de classe C°, telle
que T — co soit le cobord d'un (p — \)-courant à ^-support (T est
<b-cohomologue à une forme C) (1).
2° Si T est le cobord d'un courant à <P-support et si T est d'ordre
<! m (ou est une forme co de classe Cm (2) ou est une forme co
localement Lv, etc.), alors T est également le cobord d'un courant S à
Qf-support qui est lui aussi d'ordre ^ m (ou est une forme de classe
Cm (3) ou une forme localement Lv, etc.).
Démonstration
Soit S"* le faisceau (*) des germes de p-courants, de la parité
considérée, qui sont d'ordre ^ m ainsi que leur cobord. C'est un
o
faisceau fin; car, si a G *D, et si Test un courant d'ordre ^ m ainsi
que son cobord, il en est de même de aT (à cause de
d{xT) = {dx}AT -J- xdT).
Le cobord définit une suite d'homomorphismes de faisceaux :
(IX, 3; 34)
0 12 V P+l
0 _ 3"" J_ S"1* _i. S"" J_ S'"* _i. ... _ S"" _£. S'*" _ ...,
Ici !F est le faisceau des germes de fonctions constantes (usuelles
pu tordues,- suivant le cas considéré) pour tous les points de
l'intérieur de V, et des germes nuls pour tous les points du bord de V;
J1) Cela implique que o> soit un cocycle, dtù = 0 au sens des courants; donc
{<fe>} = 0, et o> induit 0 sur le bord de V
(*) Cela implique, si m Js 1, que (o induise 0 sur le bord de V
P") Qui alors, si m J"> 1, induit 0 sur le bord de V
(*) Nous utilisons ici complètement la théorie des faisceaux. Pour cette
démonstration, voir Godement [11, chap, il, § 4. Pour la cohomologie des courants sur une
variété sans bord, voir de Rham [3], chap, iv, p. 93

356
une section de 7 au-dessus d'une partie ouverte connexe de V
est une constante usuelle ou tordue, nulle si cette partie coupe le
bord de V. D'autre part, i est l'injection naturelle de !F dans le
o j>
faisceau S'm. Si S' est le faisceau des germes de p-courants quel-
conques, S le faisceau des germes de courants qui sont des p-formes
C00, ainsi que leur cobord, tous de la parité considérée, on a des suites
d'homomorphismes analogues avec ces faisceaux, et compatibles
P P P
avec les injections S —► S'm —► S. Autrement dit, le diagramme
suivant d'homomorphismes de faisceaux est commutatif (*) :
I 0 12
10 —5^— S— S — S — ...
Mil I I
l \r v v V v
(IX, 3; 35) ( 0 — ? — 8"» — S"" — S"" — ...
I ' ' ' ' i
ï Y v v * t
0 12
\ 0 — ? — S' — S' — S' — ...
On sait que tout résultera de ce que les suites horizontales d'homo-
inorphismes de faisceaux sont exactes; cela montrera que 3'/^'
(pour tous les cas considérés) est isomorphe à H" (V, &), cohomo-
logie de degré p de V à valeurs dans &. Nous admettrons ce
théorème de la théorie des faisceaux, qui est appelé théorème de de
Rham généralisé (2).
p
Nous avons donc à montrer que, pour p "^ 1, tout p-courant T,
de cobord nul au voisinage de a est, au voisinage de a, le cobord
d'un (p — l)-courant S, qui peut être choisi d'ordre ^ m si T est
d'ordre ^ m, et forme Cm si T est une forme Cm. On sait déjà
,, 0
d autre part que, pour p = 0, si T est un 0-courant de cobord nul
au voisinage de a, il est une fonction constante au voisinage de a,
nulle si a est sur le bord de V; de toute façon, nous le retrouverons.
Nous sommes donc ramenés à V = R" ou RJ!., a = origine;
nous identifierons les courants usuels et les courants tordus. Nous
utiliserons dans Rn la convolution des courants avec des distribu-
(") Si nous avions pris pour S le faisceau des germes de p-formes C", et le cobord
usuel, le diagramme ne serait pas commutatif
(*) Voir Godement [1]

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
357
tions; un courant T s'écrivant y Tx dx1 (formule (IX, 3; 2}), nous
i
entendons par T* S, S eî)',le courant y (T, * S) dxl (').
i
La convolution a toujours un sens si T est à support compact.
On peut également convoler des courants et distributions sur Ri,
car la définition U*V,(p = Uç (g) V^.ç (£ + t)) est valable, à cause
de la stabilité de Ri par l'addition (£, t)) —► Ç + t). De toute façon
d'ailleurs on verra plus loin qu'on peut identifier les courants
sur Ri avec les courants sur Rn, de support dans Ri
(théorème II bis, p. 367), de sorte qu'on est ramené à la convolution,
dans R", de courants et distributions à support dans Ri. Moyennant
quelques précautions, cette convolution a les propriétés habituelles.
Par exemple, il reste vrai que S* V = V, que DPS*V = D"V, etc.
Il reste vrai aussi que la convolution d'une mesure et d'une
distribution d'ordre ^ m donne une distribution d'ordre ^ m, et de
même pour une fonction localement L". Tout cela se voit
immédiatement en considérant les distributions sur Ri comme des
distributions sur Rn à support dans Ri. Mais il est inexact que la convo-
lée d'une mesure v et d'une fonction a de classe Cm soit encore
une fonction de classe Cm; elle n'est pas nécessairement une fonction
continue. Cela provient de ce que la prolongée dans Rn par 0 d'une
fonction continue sur Ri n'est plus continue; d'ailleurs sa translatée
par une translation de Ri n'est plus une fonction continue sur Ri.
Mais, si Y est la fonction d'Heaviside à une variable, la convolée d'une
fonction / de classe Cm sur Ri à support compact avec
— Y (— .r,) (g) 8X ^, qui s'écrit explicitement sous la forme
j / (£„ x2, ..., xn) dZ,v est encore une fonction de classe Cm sur Ri,
et c'est tout ce dont nous aurons besoin.
Soit alors T un p-courant au voisinage de O dans Rn ou Ri
(rappelons que Ri = { x e Rn; xx < 0 }), tel que dJ = 0 et que T
soit d'ordre ^ m dans un voisinage convenable de O.
o ...
Soit a une fonction de *D (R"), de support assez voisin de l'origine
pour que dT — 0 et que T soit d'ordre ^ m au voisinage de ce
support, et égale à 1 au voisinage de O.
(') On trouvera des convolutions plus générales dans Norcuet [l], Marianne
Guillemot '!], Braconnier [1J

358
Utilisons la méthode classique de démonstration dû théorème de
Poincaré. T peut s'écrire :
(IX, 3; 36) T = dxlAVL1+ M,
où L et M sont des courants ne contenant pas dxl dans leur
expression suivant (IX, 3; 2).
Le fait que T soit un cocycle au voisinage du support de a s'écrit r
(IX, 3; 37) — dxt A d'L + dxl A ^- + d'M. = 0
ou
(IX, 3; 38) d'L = ™, d'M = 0,
au voisinage du support de a; d' est la differentiation partielle par
rapport à x2, —, xn :
d'V = 'S dxkA ^ U.
On peut déterminer un courant A, de degré p — 1, tel que
(IX, 3; 39) |£ = aL-
Pour cela on prend la convolution
(IX, 3; 40) A = (- Y (- Xl) ® *„ J * a L,
Y étant la fonction d'Heaviside à une variable; en effet
t— (— Y (— Xj)) = 8^. Le courant aL est d'ordre ^ m dans tout
l'espace, donc, — Y (— xt) ® 8Xl ^ étant une mesure, A est
d'ordre ^ m dans tout l'espace (Rn ou R ). Il en est de même de
c— = aL; et aussi de d'A, donc de dA. En effet
(IX, 3; 41) d'A =- (- Y (- xj ® K. *») * d' (aL)
= (- Y (- Xl) ® S„ J * \{d'x}AL)
+ (-Y(-xl)®Kt.....J*(*d'L).
Le premier terme de la somme du deuxième membre est la
convolution d'une mesure et d'un courant d'ordre < m dans tout l'espace,

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
359
donc est d'ordre ^ m. D'autre part, ccd'h = *>—» le deuxième
terme de la somme s'écrit donc
(IX, 3; 42) (-Yf-xJ®^ J*«™ =
(-Yt-a,,)®^ j*_^(aM)
+
Vi-^K -J*(|èJM)'
Dans cette dernière somme, le deuxième terme est d'ordre ^ m,
comme convolé d'une mesure et de J^—> M, d'ordre ^ m; et le
premier terme vaut [ ^— ( — Y ( — Xj) S,,,..,,*.) *aM = 8*aM=aM,
qui est encore d'ordre ^ m. On peut partout remplacer « d'ordre
^ m » par « forme Cm» ou « forme localement L" » (« forme Cm »
voulant dire « forme Cm au sens usuel ou e 8m (V) », mais =—- et
<f A étant pris au sens des courants).
Considérons alors le courant
(IX, 3; 43) S = T - d'A = M - d'A.
Si nous montrons qu'il est, au voisinage de O, un cobord d'un
courant, d'ordre ^m si T est d'ordre ^ m, etc., il en sera de
même de T.
Or d'abord T — d A est lui-même d'ordre ^ m au voisinage de O.
En effet, il en est ainsi de M, et nous l'avons vu pour d'A. D'autre
part S ne contient pas dxv Enfin sa dérivée partielle en xt est nulle
au voisinage de O. En effet
(IX, 3; 44) * ™ > ,A=™^™ _,(.!,),
ÙXy OXt ÙXy OXl OX1 OXl
qui, au voisinage de O, vaut ^- — d'L, c'est-à-dire 0.
Dans le cas où l'on travaille sur Rn, cela veut dire que S est un
courant de la forme lXl (g) S,. x„, au voisinage de O ('); dS = 0
(l) Voir théorème IV du chap. 11

360
veut dire d'S = 0 ou d'% = 0; S est d'ordre < m, etc., si et
seulement si S l'est.
Un« méthode de récurrence sur la dimension de l'espace
démontrera alors le théorème cherché; il est évident dans le cas n = 0,
et, si on le suppose démontré pour les dimensions 0, 1, 2, ..., n — 1,
il est démontré pour la dimension n.
Si on travaille dans Ri, tout est encore plus simple. Puisque
.-— = 0 au voisinage de O, comme c— (L.J = — 8Xi (sur la variété
avec bord RlL!), nécessairement S est nulle au voisinage de O, et
tout est tout de suite terminé. (En remplaçant « distribution sur
RI » par « distribution sur Rn à support dans R!L », on peut encore
dire : ^— = 0 veut dire que S est invariante au voisinage de O pour
toute translation assez petite parallèle à l'axe des xx ; comme elle
a son support dans xx ^ 0, les translations négatives montrent
qu'en réalité S est nulle au voisinage de O); ce qui démontre le
théorème.
Remarque. Par quoi peut-on remplacer « d'ordre ^ m »,
« forme Cm », « forme localement L" »?
Soit S un sous-faisceau du faisceau des germes de distributions
sur Ri. Soit fi (resp. S) le faisceau des germes de p-courants pairs
(resp. impairs), dont les coefficients dans la formule (IX, 3; 2),
o
identifiés à des distributions, soient dans S. Pour tout ouvert U
V V
de Ri, soit Y (S, U) (resp. T (S, U)) l'espace vectoriel des sections
P V
de S (resp. S) au-dessus de U.
o
On suppose que S a les propriétés suivantes :
1° Invariance par difféomorphismn. Si H est un difféomorphisme
d'un ouvert U1 de Ri.sur un ouvert U2, H transporte T (S, U,)
sur r (s, u2).
2° Stabilité par multiplication par des fonctions C*. Pour tout U,
le produit d'une distribution de Y (S,U) p«'.r une fonction de 8 (U)
o o
appartient à Y (S, U). En outre, on suppose que £ (U) C Y (§, U).

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
361
3° Stabilité par convolution avec la mesure
(x= - Y(-x1)® 8^_^,.
0 0
Si T G r (S, Ri) a un support compact, (x ♦ T est dans T (S, Rü).
Soit alors V une variété. On appellera V (S, V) (resp. V (S, V))
l'ensemble des p-courants pa'irs (resp. impairs) sur Vtels que, pour
toute carte H d'un ouvert O de V sur un ouvert de Ri (il est
inutile de considérer les ouverts de Rn, car tout couvert borné
de R" peut, par translation, être ramené dans Ri), le transporté
V
par H de la restriction de T à Q. appartient à T (S, H (O)) (resp.
p
T (S, H (O)) ; grâce à 1 invariance par difféomorphisme du fais-
o
ceau S, il suffit de le vérifier pour les cartes d'un atlas.
[Si V est sans bord, il est un peu stupide d'utiliser un faisceau
o
sur Ri. De toute façon, à un faisceau S sur Ri ayant les
propriétés 1), 2), 3), on peut en associer un autre sur R" ayant les
mêmes propriétés : en tout point de R" ses germes sont transportés
par une translation (ou un difféomorphisme quelconque)'des germes
o _ .
du faisceau donné S en un point de 1 ouvert xx < 0.]
On pourra alors considérer l'espace des courants fermés de T
(S, V) (resp. T (S, V)) à O-support, et l'espace des cobords de
p—î p—i
courants de V (S, V) (resp. V (S, V)) à «^-supports, et le quotient
du premier par le second. Ce sera la même que celui qui est relatif
aux courants quelconques, ou aux formes C00 (pour le cobord au
sens des courants ; ou pour le cobord usuel en prenant les formes C"
induisant 0 sur le bord de V). La démonstration est la même que
précédemment; elle comporte une récurrence sur n, pour les ouverts
sans bord (voir p. 360). On est amené pour cela à introduire le
faisceau des germes de distributions sur R"-1, S^-x,, tels que
~ ° . . -?
1& <8> Sz»„z. soit dans S, qui est le même que le faisceau des S^..,.,.
~ o
tels que a (xj) ® S^m^ soit dans S, pour toute a e Sa ou toute

362
§ 4. Image directe d'un courant par une application C°°.
Nous avons vu page 320 les propriétés de l'image réciproque d'une
forme par une application C00 d'une variété U de dimension m
dans une variété V de dimension n. Si H est propre, H* définit
p
alors une application linéaire continue de l'espace fD* relatif à la
p
variété V, dans l'espaee fD* relatif à la variété U (h fini ou infini).
Soit alors T un courant impair sur U. Nous définirons son image
directe HT par
(ÏX, 4; 1) (HT) (9) = T (H* 9).
Cette formule est valable si H est propre, car alors H'tpeï),
pour <p e 3); et elle définit HT comme un courant. Si H n'est pas
propre, alors on ne peut plus nécessairement définir HT, mais on
le peut encore toutes les fois que l'application H, restreinte au
support A de T, est propre.
En effet, cette hypothèse entraîne que Je support de H*9 coupe A
suivant un compact et alors le deuxième membre possède un sens;
et la formule (IX, 4; 1) définit bien HT comme un courant, car
c'est une forme linéaire continue sur Ü)(V). L'application
H : T —-.HT est linéaire, si H est propre. Sinon, elle est encore
linéaire lorsqu'on se restreint à l'espace des courants de support
contenu dans un ensemble fermé A sur lequel H est propre.
Remarquons que l'image directe d'un courant à support compact existe
toujours, et dans ce cas la formule (IX, 4; 1) est valable pour 9 à
support quelconque. L'image directe conserve, non le degré, mais la
dimension des courants. Soit en effet T de degré p. Posons r = m — n,
différence des dimensions de U et V; c'est un entier de signe
quelconque. Si 9 est de degré n — q, H*9 est aussi de degré
n — q = m — (q -t-- r), donc T(H*ç) =0 si q -+• r ^ p ou
î^p — r ; donc HT est de degré p — r (si p — r > 0, et nul si
p — r < 0). On a bien dim T = m — p = dim HT = n — (p — r).
En particulier l'image d'un m-courant impair est un n-courant
impair. Si m = n, alors l'image directe H conserve les degrés; mais,
dans tous les cas, c'est la dimension qu'elle conserve. L'image
d'un courant d'ordre ^ h est d'ordre ^ h. En particulier, l'image
d'un m-courant impair d'ordre zéro, c'est-à-dire d'une mesure, est
une mesure, et c'est précisément ce qu'on appelle la mesure image

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
363
dans la théorie de l'intégration ; l'image d'une mesure "> 0 est > 0.
En appliquant (IX, 4; 1) à 9 = 1, on a toujours :
(IX, 4; 1 bis) f HT = < HT, 1 > = < T, 1 > = f T,
si T est à support compact.
La formule (IX, 4; 1) est valable pour 9e *D*, si T est d'ordre
^ h (et si H est propre sur le support de T).
Le support de HT est contenu dans l'image par H du support A
de T. Si en effet 9 a son support dans ÇH (A), alors H*9 a son
support dans gA, et le second membre de (IX, 4; 1) est nul (H étant
propre sur A. l'image H (A) est toujours fermée), et le support
de HT est bien dans H (A). De cela on déduit que HT est connu
dans un ouvert O. de V, dès qu'on connaît T dans H-1 (O) (car, si
Tj = T2 dans H-1 (Q), T\ — T2 a son support dans g H-1 (Q), donc
H (Tx - T2) dans H (fi H"1 (QJj C go, donc HT, = HT, dans Q).
On voit aussi que HT est connu dès que H est connue dans un
voisinage du support de T, et même qu'on peut définir HT si H n'est
pas définie sur la variété entière U, mais seulement sur un
voisinage du support de T (et si, comme toujours, la restriction de H à
ce support est propre). Il y a naturellement transitivité des
opérations définies par les images directes : L'image d'un courant T par
la composée de deux applications H^H., n'est autre que (HjoHg)
T = H! (H2T), à condition de faire l'hypothèse suivante : T a son
support dans A sur lequel Hj est propre, et Hx (A) C B, ensemble
fermé sur lequel H2 est propre, de sorte que H2oHx est aussi propre
sur A, et que les deux membres ont a priori un sens.
Si a est une forme C00 sur V, on a
(IX, 4; 2) HT a a = H (Ta H* a).
En effet,
< (HjAa), 9 > = < H T, aA9 >
= < T, H* (a A 9) > = < T, H*aAH*9 >
= < TaH\ H*9 > = < H (Ta H* a), 9 >.
Supposons maintenant T de degré p, a de degré q; alors HT est
de degré p — r (r = m — n), et

364
(IX, 4; 3) aAHT = (-l)(,"*HTAa
= (_ i)<*-rw H (TAH'a) = (- l)'« H (H*xaT) ou
(IX, 4; 4) aAHT-(- l)a*-H (H*aAT).
D'autre part, H commute avec l'opération bord et non avec
l'opération cobord :
(IX, 4; 5) < H 6T, 9 > = <^T, H*? >
= < T, dH*9 > = < T, H*d<? >
= < HT, d9 > = < &HT, <p > (')
ou
(IX, 4; 6) H6T=6HT,
de sorte que, pour T de degré p:
(IX, 4; 7) HiT
== (- l)"-' H6T = (- 1)»-' 6HT
= (— l)"-,+"-r+,iHTou
(IX, 4; 8) HdT = (- l)'dHT, r= m- n.
Soit enfin t, un champ de vecteurs C* sur U, et supposons (ce
qui n'est pas toujours le cas) qu'il existe un champ de vecteurs
C00, T), sur V, image de £ par H.
On a alors, pour 9efD (V),6 (S) (H*ç) = (H* (6 (t.) 9), ou
0 (£)oH* = H* 06 (*)). On en déduit, par transposition :
(IX, 4; 8 6»*) (6(ï|)HT=H(efë)T).
On peut réunir ce qui précède en un théorème :
Théorème II
Soit H une application indéfiniment diffèrentiable de Um dans Vn,
et soit A un ensemble fermé de Um telle que la restriction de H à A
soit propre. Si T est un courant impair de U, de degré p ou de
dimension k = m — p, de support dans A, on peut définir son image HT,
courant impair sur V, de degré p — r, r = m — n, ou de dimension k,
par la formule (IX, 4; 1). Si T est d'ordre < h, il en est de même de
HT. Le support de HT est contenu dans l'image par H du support
de T_; et HT est connu dans un ouvert £2 de V dès que T est connu
(') Nous ne faisons là qu'opérer des transpositions : H* et d commutent, donc
leurs transposées II et b commutent

COURANTS SLR UNE VARIÉTÉ
36S
dans H x (Cl). Uapplication T—* HT est linéaire, lorsque T varie
de manière que son support reste dans A. Si H' est une application 0°
de V dans une variété W,et si H (A)CB, ensemble fermé sur lequel
H' est propre, alors, pour T à support dans A, (H'H) T = H' (HT).
On a les formules
HjA<x= H (T A H* a), a forme C00 sur V;
1 a A HT = (—l)"H(H*aAT),r= m—n;
\ 6HT = H6T;
(IX, 4; 9) i dHT = (- l)rHdT,r= m- n.
J6(t)) HT = H6(^) T, si £ est un champ de vecteurs
C00 sur U, ayant pour image le champ riC" sur V;
, j HT =1 T si T est à support compact.
On a des propriétés analogues pour des courants pairs et une
application orientée H de U dans V.
Il résulte de ce théorème que II transforme les courants impairs
fermés (de cobord nul) a support compact de U, en courants
analogues de V, et les courants impairs de U qui sont des cobords de
courants à support compact, en courants analogues de V. Donc
H définit une application linéaire de l'espace vectoriel de coho-
mologie des courants tordus à support compact de U dans l'espace
analogue de V; avec conservation des dimensions. Si H est propre,
il en est de même pour les cohomologies a support quelconque;
si H est une application orientée, pour les cohomologies non tordues.
Cette image directe des cohomologies correspond en fait, en topo-
logie algébrique, à l'image directe des homologies définies par les
chaînes singulières à support compact; une chaîne est en effet un
courant tordu. Le théorème I page 355, qui montre l'identité des
cohomologies de courants et. de formes C00, au moins pour U et V
sans bord, permet alors de comparer les opérations H (définie ici)
et H* (définie page 320) sur la cohomologie; c'est ce que nous ferons
à l'exemple G page 368.
Donnons quelques exemples.
Exemple 1. Image d'une mesure de Dirac
Soit H(a) la mesure de Dirac relative à a e U, qui est un m-courant
impair. On a :
(IX, 4; 10) H8(a) = 8Hte,

366
Plus, généralement, si X est un /c-vecteur au point a de U, il définit
un (m — /c)-courant impair suivant l'exemple 3 page 325; l'image
par H de ce courant est le (n — /c)-courant impair qui est défini
par le /c-vecteur, image de X par l'application linéaire tangente
à H au point a de U. 11 y a bien conservation de la dimension des
courants, et non du degré.
Exemple 2. Application constante
Supposons que H soit une application constante, appliquant
toute la variété U sur un même point b de V. Soit alors T un
m-courant impair sur U à support compact. On a :
/ HT (9) = T(H*9) = T(9(a)) = 9(«) 1(1) =
(IX, 4; 11) | =(^l)^(?),
rdoncHT = (j" t)sw.
Cette formule est tout aussi bien valable si T est une m-forme
impaire indéfiniment derivable, et cet exemple montre alors que
l'image d'un courant défini par une forme n'est pas nécessairement
défini par une forme. Si T est un courant impair de degré < m sur
U, son image est nulle et (IX, 4; 3) reste valable.
Exemple 3. Image d'une chaîne
Soit r une chaîne de U, de dimension k; on sait (exemple 5,
p. 326) qu'elle définit sur U un (m — /c)-courant impair. Son image
HT est définie par :
(IX, 4; 12) HT(9)= T(H»= f H*9= f 9.
j r j h <r>
C'est donc précisément le courant défini par la chaîne image de T
par H, utilisée dans la théorie des chaînes singulières. Il a toujours
la même dimension k, et c'est un (n — /c)-courant impair. D'ailleurs
une chaîne sur V, définie par une variété orientée W, et une
application H de W dans V, n'est autre que l'image par H de la chaîne
sur W, définie par W elle-même et son orientation fO-courant
impair à —>■ ' i[i )•
J w ' /

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
367
Exemple 4. Extension d'un courant défini sur une sous-variété
fermée
Soit Um une sous-variété fermée de V", et soit J l'injection de U
dans V. Alors J est propre. Si co est une forme sur V, son image
réciproque J* co n'est autre que la forme induite cop par a sur U.
Alors, si T est un courant impair sur U, son image Tv = JT, définie
par Tv (9) = T (9u), s'appelle l'extension de T à V. T a son support
dans V; l'application T —>■ Tv est linéaire continue injective. Elle
conserve la dimension, mais non en général le degré; elle conserve
le degré si U et V ont même dimension. Les formules (IX, 4; 9)
donnent ici
T/A* = (TA*u)v
* A T = (- l)'« («p A J)v, r=m-n;
h (Tv) = {b T)v
i(Tv) = (- 1)' {dT)v, r= m-n.
Théorème II bis. 5oit V une variété, soit U une sous-variété fermée
de même dimension, telle que les bords de U et de V soient sans point
commun. Alors l'extension J : T —- T9 est un isomorphisme de
l'espace vectoriel topologique fD' (U) des courants sur U, sur l'espace
vectoriel topologique fDÛ (V) des courants sur V à support dans U ;
cet isomorphisme conserve les degrés et le cobord.
Démonstration
Le théorème étant local par partition de l'unité, on est ramené
au cas où U est Ri et où V est R"; on peut alors oublier les courants
et parler de distributions. La surjectivité de J se voit, alors comme
suit. Soit S une distribution sur R" à support dans Ri. Pour toute
fonction 9 e fD (Rü), soit 9 un prolongement de 9 en une fonction
C00 sur R" à support compact; posons T (9) = S (9). Le résultat
est indépendant du prolongement choisi 9 pour 9; car, si 9X et 92
sont deux tels prolongements, 9t — 92 est nulle sur Ri ainsi que
toutes ses dérivées, et S a son support dans Ri, donc S (9X — 92) = 0
d'après le théorème XXXIII du chapitre m. Alors 9 —»-T (9) est
une forme linéaire sur *D (Ri). Si 9, converge vers 0 dans un *DK (Rü),
on peut choisir les 9, de manière qu'elles convergent vers 0 dans
UA.4; là)

368
ü) (Rn) (*); donc 9 —* T (9) est continue, et T est une distribution
sur JUL. On a TE" = S; ce qui montre la surjeotivité. T —>■ T*"
est continue; pour montrer l'isomorphisme, nous devons montrer
que, si S, converge vers 0 dans *D' (R"), Tf converge vers 0 dans
*D' (Ri). Cela veut dire que T, (9) converge vers 0 uniformément
pour 9 bornée dans *D (Ri) : mais là encore des 9 bornées dans
*D (RU) peuvent être prolongées en des 9 bornées dans fD (Rn) (*),
d'où le résultat, puisque les Sy sont supposées converger vers 0
dans fD' (RI).
Exemple 5. Prolongement d'un courant défini sur un ouvert
Soit U une partie ouverte de V". Alors l'injection canonique
J de U dans V n'est pas propre, mais sa restriction a toute partie F
de U, fermée dans V, est propre. On peut définir JT pour tout
courant impair T de support dans F; JT a encore le support F.
JT n'est autre que le prolongement canonique de T à V défini
par recollement des morceaux, à partir de T dans U et 0 dans ß F.
Exemple 6. Degré topologique, image directe de 1
Soient U et V des variétés sans bord compactes de même
dimension n, V connexe. Si H est une application C00 orientée de U dans V,
elle a alors un degré topologique dB Z. On peut le déterminer comme
suit. D'après le théorème de Sard (*), l'ensemble des x où la
dérivée H' (x) n'est pas de rang n a une image B de mesure nulle d.ins V.
Soit t/e(JvB. Alors H""1 ({y}) est fini. Si p est le nombre des
x e H-1 ({ y }) où le transport d'orientation par H' (x) coïmide avec
celui de H [x), et q le nombre de ceux où c'est le transport opposé,
On a d = p — q.
Montrons que l'image fl (1) de la fonction constante 1 par
l'application orientée H n'est autre que la constante d. Tout d'abord
la 4e formule (IX, 4; 9) montre que H 1 a un cobord nul; mais, sur
une variété connexe compacte sans bord, un 0-courant pair de
cobord nul est une fonction constante (1° du théorème I de de Rham
p. 355).
Pour calculer cette constante H 1, il suffit alors de le faire au
I1) Voir le passage de 9 à 9 à la note (*) de la page 3t3. A cet endroit, <p est
appelé <X>
(") Voir Saud [t]

GOURANTS SLR UNE VARIÉTÉ
369
.n
voisinage d'un point 6e(JvB. Le point b a.un voisinage ouvert V
connexe tel que H-1 (cü) ait un nombre fini de composantes connexes
Hi"1 ("V), k = 1, 2, ..., p + q, et que H soit un difféomorphisme de
chaque H"^1 (C\J) sur CU. Si p est le nombre des k pour lesquels ce
difiéomorphisme transporte l'orientation comme H, q le nombre
de ceux pour lesquels il le transporte de manière opposée, d = p —q.
Soit 9e» (IJ). Alors < H 1, 9 > = < 1, fl> > = V [h>
^~' J Hî1 (■;♦
Mais | . H* 9, par transport de structures, vaut i I 9, selon
J HT' (. UI — J V -
que H transporte ou non les orientations de H71 (cO) comme H; on a
donc bien < H 1, 9 > = < i, 9 > ou H l = d.
Le première formule (IX, 4; 9) donne alors le remarquable résultat
suivant.
Soit a une forme C00 sur V; on a :
H (1 A H* a) = Ri A a ou
(IX, 4; 13 to) fiH*a=<2.a(i).
Si alors d ^ 0, l'opérateur H* est inversible à gauche; en tant
qu'opérateur des espaces vectoriels de cohomologie-, il est donc
injectif, et, pour chaque degré p, le p-ième nombre deiBetti de U
est au moins égal à celui de V. L'opérateur H des espaces vectoriels
de cohomologie est inversible à droite, ce qui donne la même'
conclusion sur le nombre de Betti (cohomologie des formes C"
ou des courants sont les mêmes d'après le théorème 1, p. 355).
Ce résultat sur les nombres de Betti est un ancien théorème
démontré par Hopf (2) par des méthodes de pure topologie algébrique,
dans un cas plus général que celui des variétés.
Naturellement (IX, 4; 13 bis) est valable par continuité, même
pour des formes a simplement continues; si la condition C du
théorème III qui sera donné page 377 est réalisée, il est valable si
on remplace a par un courant quelconque sur V.
Cas de variétés orientées
Si U et V sont orientées, toute application H de U dans V définit
aussi une application orientée H, comme suit.
(') Nous n'écrivons pas lia, mais rf.a, pour qu'il n'y ait pas confusion avec le
cobord de 1; c'est le produit de a par d
P) Voir Hopf [1J

Soient 0+ et tJL les 2 composantes de Ü définies par l'orientation
de U; soit Pff la projection de U sur U, Pç+ et Pfj_ ses restrictions
à Ü+ et 0_; la première est un isomorphisme conservant les
orientations, la deuxième un isomorphisme les inversant. De même
pour V". Posons :
H= (Py+)-i. H • Pifc sur Ü+
( (Py--)-1 • H • Pg-_ sur 0_.
(noter que l'application orientée obtenue n'est pas arbitraire,
puisqu'elle applique nécessairement U+ dans V+ et 0_ dans V_).
On voit donc qu'en utilisant, soit H, soit H, on peut définir, à partir
de H, aussi bien l'image directe d'un courant pair que l'image
directe d'un courant impair. On passe d'ailleurs de l'un à l'autre
grâce à la correspondance entre courants pairs et courants impairs,
définis par les orientations de U et V. Naturellement l'image d'un
courant pair change de signe si l'on change l'orientation de l'une
des deux variétés sans changer l'autre. Ceci montre que l'image
d'un 0-courant pair "^ 0 (d'une fonction "^ 0 par exemple) n'est
pas nécessairement un 0-courant pair "^ 0, pour m — n.
Cas' d'un difféomorpkisme. Transport de structure
Supposons maintenant que H soit un difféomorphisme de U"
sur Vn. Il définit alors, par simple transport de structure, un
difféomorphisme de U sur V, conservant les orientations, et par
conséquent une application orientée H. Il permet donc, comme
précédemment, de trouver les images directes aussi bien des courants
pairs que des courants impairs. Ces images d'ailleurs ne sont autres
que celles qu'on obtient par le transport de structure H, ce qu
permet d'écrire partout H au lieu de H, H, suivant les cas.
D'ailleurs, dans ce cas particulier, le transport de structure permet
aussi de définir les images directes des formes paires et impaires,
et il conserve la correspondance qui, à une forme paire ou impaire,
fait correspondre un courant du même type. Ce que nous avons
appelé H* peut dans ce cas s'appeler aussi H-1, et s'obtient par
le transport de structure H-1. On a d'autre part la formule :
(IX, 4; 14) H/ (y) = f (H-» (y)), H/ (H (*)) = / (*),

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
371
si / est une fonction sur U, xeU, ye Y. C'est pourquoi, si T est
un O-courant pair, ou même parfois un courant quelconque, on
se permettra de désigner par TB_,M l'image par H du courant T..
D'autre part, on a
(IX,.4 ; 15) HT (9) = T (H-* 9), HT (H &) = T ($),
pour 9 g 0) (V), <J/ G © (U), T G ©' (U).
Si Te»' (U), 9 e ffl (V),
la première formule (IX, 4; 15) s'écrit aussi :
(IX, 4; 16) HT(9) = (T).(9(H(*)))
ou (T)H^(v) (9 (y)) = (T). (9 (H (x))).
Il est bon de noter que, si d'une part H est un difféomorphisme
de U" sur V", et si d'autre part U et V sont des variétés orientées,
lès applications H définies par les deux procédés précédents ne
sont pas nécessairement les mêmes. Il ne le sont que si H est un
isomorphisme des structures de variétés orientées de U et V, c'est-
à-dire transporte l'orientation de U sur l'orientation V.
Remarquons encore que, si H est un difféomorphisme,. et si a est une
ra-forme impaire indéfiniment différentiable et partout > 0 sur U,
alors Ha est une forme analogue sur V. La correspondance définie
par a entre 0-courants pairs et n-courants impairs, est transportée
par H sur la correspondance définie par Ha entre 0-courants pairs
et n-courants impairs.
En particulier, si V" est une variété indéfiniment différentiable
orientée, munie d'une n-forme a > 0 indéfiniment différentiable,
et si H est un automorphisme de cette structure, c'est-à-dire un
difféomorphisme de V sur elle-même, conservant l'orientation et
la forme a, alors H conserve la correspondance entre courants
pairs et impairs définie par l'orientation, et entre degrés 0 et n
définie par l'orientation et a. On pourra donc parler de l'image
par H d'une distribution de V. C'est ce qui arrivera par exemple
si V = G est un groupe de Lie, muni d'une orientation invariante
à gauche et d'une mesure de Haar a = dx invariante à gauche.
Comme ici H (x) s'écrit aussi ax (ou x -f- a si G est obélien et noté
additivement), HT, pour un courant quelconque, pourra se noter
T0-.x ou T,_s.

372
Comme autre exemple important, considérons un espace ve«.
toriel V" de dimension n sur le corps des réels, et soit H une
application Krféaire de V dans lui-même. C'est une application
indéfiniment difiérentiable et les résultats généraux sont valables. H est
un difféomorphisme si et seulement si dét H ^ 0. Si dx est une
mesure de Lebesgue sur V, son image par H est dx I dét H |-1. On
a en effet :
(IX, 4; 17) H(dx).9 = dx. (H-1 9) = f ? (H (*)) dx =
— — J v
= J\ (y) Idét H-*\dy = p~ dx. 9.
H laisse donc invariantes les mesures de Lebesgue, si et seulement
si dét H = ± 1. Enfin H conserve l'orientation si et seulement
si dét H > 0.
Si donc H est le déterminant -f- 1, et si l'on a choisi une mesure
de Lebesgue dx et une orientation de V, H laisse cette structure
invariante, et par suite conserve les identifications entre courants
pairs et courants impairs de même degré, ainsi qu'entre degrésOetn.
On pourra, dans ce cas, parler de distributions sur V et des images
par H de distributions sur V.
Au contraire, on ne peut le faire pour dét H^l qu'à
condition d'attribuer au mot « distribution » un sens bien précisé, par
exemple 0-courant pair comme nous l'avons dit page 339. Prenons
par exemple V = Rn, et considérons la distribution 8 et une
application linéaire H de V dans V. Si on considère 8 comme n-courant
impair 8, on a HS = 8. Si on le considère comme n-courant pair,
n n
8, H 8 n a pas de sens a priori puisque H n'est pas une application
Orientée. Mais, pour dét H^O, H est un difféomorphisme, et on
peut de toute façon définir H8 par transport de structure. Si dét
H > 0, H est un automorphisme de la structure de variété orientée
n n
de Rn, donc H8 = 8; si dét H < 0, H inverse l'orientation done
conserve au signe près la correspondance, définie par l'orientation,
» n
entre courants pairs et impairs, donc H8 = — 8 (*).
(") Mais si on appelle H l'application orientée associée à H par l'orientation de RB,
ITS a toujours un sens (mais ne peut pas se définir par transport de structure si
det 11 ^ 0). Alors on a toujours il 8 = 8, quel que soit H; voir page 371

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
373
0 »
Si on considère S comme 0-courant impair 8, définissant sur *D
o * »
la forme linéaire S (cpdx) = 9 (0), où dx est la forme différentielle
dxx A dxa A ... ekr,,, on aura
(IX, 4; 18) H S (9 <&) = S (H* (9 <£r))
= S (9 (Hx) (dét H) dxlA dxg ... Adxn) = 9 (0) (<fet H)
= (dét H) S (9 <&), donc ÏI S = (dét H) (.
0 0
Si enfin on considère S eomme 0-courant pair S, H S n'aura de sens
que pour dèt H^O; alors, en raisonnant comme plus haut, on
aura HS = Idét H| S.
Récapitulons :
(IX, 4; 19) HS= S, H*=|détH|&
H 8 = (signe de dét H) S, HS = (dét H) S,
si dét H 9e 0.
§ 5. Changement de variables. Images réciprocités de
courants (*)
Changements de variables
Soit H une application indéfiniment différentiable de U" dans
V". Notons x un point courant de U, y un point courant de V.
L'application s'écrit x —>■ y = H (x). Effectuer le changement de
variable y = H (x), pour une fonction / sur V, c'est remplacer
y par H (x) dans / (y). On obtient ainsi / (H (x)), qui définit la
fonction/0H sur U. Le résultat obtenu n'est donc autre que l'image
réciproque de / par H, notée aussi H* / : (H*/) (x) = / (H (a.)).
Existe-t-il un tel changement de variables pour les courants,
c'est-à-dire une opération simple qui, à chaque courant T sur "V,
fasse correspondre une image réciproque H* T, qui soit un courant
sur U? Si T se note T„ son image réciproque pourra alors se noter
Th(*>-
(]) Beaucoup de changements de variables dans les distributions ont été utilisés
en physique. Le premier article mathématique sur le sujet semble être celui d'ÀLBER-
TONI-CUGIANI {!]

374
Image directe des formes impaires indéfiniment différent!aides
Nous allons voir que, dans certaines conditions, une telle image
réciproque existe pour les courants pairs. Soit S un courant impair
de degré p sur U, à support compact. Il possède une image
directe HS, courant impair à support compact de degré p — r,
avec r = m — n, sur V. Si S est une forme différentielle impaire co,
même indéfiniment différentiable, nous avons vu (exemple 2,
p. 366) que l'image H to n'est pas nécessairement elle-même une
forme. Mais supposons que l'image directe du courant impair H co
défini par une forme impaire co, indéfiniment différentiable à support
compact, soit toujours une forme impaire indéfiniment différentiable ;
ce que nous écrirons par Hl) C 3). Alors l'application H ainsi définie
de 2)K dans 2)H(K), K compact de U, est continue.
Il suffit en effet d'appliquer le théorème du graphe fermé.
L'application image directe H : T —► HT, de £^ (U) dans £h<k. (V)> est
continue, donc son graphe est fermé dans 6^ (U) X £h(k. (V);
a fortiori l'intersection de ce graphe avec le sous-espace 2)K (U)
X 2)H(K) (V) est fermée pour la topologie de ce sous-espace, plus
fine que la topologie induite.
Comme 2^ et 2)H(K) sont des espaces de Fréchet, on en déduit
bien que l'application H est continue (1), donc elle l'est aussi de
2) (U) dans 2) (V). Ces circonstances ne peuvent se produire que
si m > n, ou r > 0; si en effet m < n, H (U) est un ensemble de
mesure nulle dans V (c'est le théorème de Sard [*] ), et .alors, si
9 G 2) (U), Hç_ a pour support un compact sans intérieur donc ne
peut pas être une forme C* sans être nulle; mais alors H (2)) serait
nul, donc H (2V) par passage à la limite, ce qui est absurde puis-
m n
que H S(0) = SH(0) pour tout a G U.
Image réciproque des courants pairs
Posons alors, pour un courant pair T de degré p sur V :
(.TX,5;1) H*T.?=(- Î)"T.H2,
ou 9 . H* T = H £ . T (2), quelle que soit %* e "®* (U).
(') Bourbaki [6] fascicule XV, chap. î, § 3, n° 3, corollaire 5 du théorème I, p. 37
(") Pour avoir une bonne formule, on voit qu'on doit mettre H dans le terme de
gauche du produit scalaire, Hœ.T et H* dans le terme de droite <p.H*T

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
375
Nous définissons ainsi un courant pair H*T de degré p, c'est-à-
dire de même degré que T. Si maintenant, lorsque <p_ est
seulement k fois continûment différentiable à support compact, H9 l'est
aussi, autrement dit si l'on a Hü)* C Ü)*, l'application H est encore
continue de 2)*^ dans Djjkio- Alors, si T est d'ordre ^ A-, il en est de
même de H*T, et la formule (IX, 5; 1) reste vraie pour 9 e D*.
Lorsque les conditions • précédentes sont réalisées,
l'application H* est linéaire de *D' (V) dans *D' (U), et dans le cas plus
particulier ci-dessus indiqué, de "JD„* (V) dans *D„*(U); elle est aussi
continue, puisque transposée de l'application continue 9 —>■ H9 de
2) (U) dans ï) (V) (resp. ÏD* (U) dans ï)* (V)). On peut donc l'obtenir
en prolongeant par continuité l'opération H* de £ (V) dans £ (U).
Si T est une forme différentielle co continue, H*co coïncide avec
son image réciproque usuelle, notée aussi H*co. Il suffit, pour le
montrer, de voir que H 9.0» = 9.H*co, quelle que soit 9 e Ü) (U),
H*co étant l'image réciproque usuelle.
Considérons en effet la formule (IX, 5; 1) écrite avec d'autres
notations : T remplacé par 9, 9 remplacé par co. Elle était valable
pour 9 e üV (U), to e 2) (V), H propre sur le support de 9. Mais
nous avons vu que, si 9 était à support compact, on pouvait
prendre co à support quelconque ( p. 323) ; et que, pour 9 d'ordre 0,9 e ÜV0,
on pouvait prendre co continue; cela donne exactement la formule
cherchée H9.C0 = 9. H*co, dans les conditions où nous nous plaçons
ici (*).
Propriétés élémentaires de l'image réciproque: transitivité, support,
multiplication, cobord
Il y a naturellement transitivité des opérations « image
réciproque ». Si H! et H2 sont des applications de U dans V et de V
dans W respectivement, pour lesquelles on peut définir une image
réciproque, il en est de même pour HgoHj, et l'image réciproque
(H2oHj)* s'obtient par composition des images« réciproques :
(HgoHj)* = H1*oH2*.
f1) On pourrait se demander ce qui en est si o> est une forme localement sommable,
définie presque partout. 11 nous apparaît comme peu probable que la seule hypothèse
HBcB entraîne que l'image réciproque usuelle d'une forme localement sommable
soit localement sommable, et vérifie la formule Hcp.co = ç.H*o>

376
Le support de H*T est contenu dans l'image réciproque H~*(A)
du support A de T. En effet, si 9 a son support dans Ç H-1 (A), H 9 a
son support dans H (ÇH_1(A)) C (JA; par suite H9.T =0, donc
on a bien cp.y.*^ = 0. Il suit de là que, si T est connu dans un
ouvert Q de V, alors H*T est connu dans H-1 (Q). En effet,
si T! et T2 sont deux courants sur V, qui coïncident dans Q, T, — T2
a son support dans ß Q.. Donc H* (T! — T2) a son support dans
H-1 (ßß) = (JH-1 (Q) et par suite H*^ = H*T2 dans H~» (Q).
La condition Hü) C 2) qui permet d'affirmer l'existence d'une
image réciproque est purement locale sur U. S'il existe une famille
d'ouverts (Q-.Jjg de U, telle que, pour la restriction de H à chacun
d'eux Q,-, il existe une image réciproque, alors il en est de même
pour H elle-même.
(En effet, on peut grâce à une partition de l'unité subordonnée
au recouvrement (Û<)<EI, représenter 9 e ü) (U) comme une somme
finie ? 9,-, où 9,- a son support dans Qs. D'après l'hypothèse, le
i
courant H 9., est une forme indéfiniment différentiable de V, et par
suite il en est de même du courant H9 = y H9.,.) D'ailleurs, dans
ce cas, H*T sera défini localement dans U : H*T est, dans Q^, l'image
réciproque de T par l'application H de Q,. dans V; et II*T, dans U,
est le recollement de ces morceaux définis dans les D.^ Il en résulte
en particulier qu'on peut définir H*T, même si H ne vérifie pas les
conditions exigées en tant qu'application de U dans V, pourvu
que T ait son support dans un fermé A de V, et qu'il existe un
voisinage ouvert U^ de H-1 (A) dans U, tel que la restriction de
H à \J1 vérifie les conditions requises. On calculera en effet H*T
pour cette restriction H!, le résultat trouvé ayant son support
dans H-1 (A), qui est un ensemble fermé de U; H*T possède alors
un prolongement canonique en un courant de U nul dans ÇA,
que nous appellerons toujours H*T. Le résultat est évidemment
indépendant du choix du voisinage Uj; on a d'ailleurs toujours
(IX, 5; 1), où < H9, T> a un sens comme produit scalaire de deux
courants dont les supports singuliers sont disjoints (le support
singulier de T est contenu dans son support A; et lo support
singulier de H9 est dans ftUx).

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
377
Nous pourrons donc énoncer la proposition :
Théorème III. Soit H une application indéfiniment différentiable
d'une variété indéfiniment différentiable Um dans une autre Vn.
Supposons que H vérifie la condition C (resp. Ck) : l'image par H
d'un courant impair à support compact défini par une forme
différentielle impaire indéfiniment différentiable (resp. \ fois continûment
différentiable) est une forme impaire indéfiniment différentiable
(resp. k fois continûment différentiable). Alors, pour tout courant
pair T (resp. pour tout courant pair T d'ordre ^k) de degré p sur V,
on peut définir par (IX, 5; l) une image réciproque H*T, qui est un
courant pair de degré p (resp. un courant pair de degré p, d'ordre ^L k/
L'application H* ainsi définie est linéaire. Le support de H*T est
contenu dans l'image réciproque H~X(A) par H du support A de T.
Si T est connue dans un ouvert Cl de V, alors H*T est connu dans
H'1 (Cl). Si H est difféomorphisme de Um sur Vn, Vopération H*
existe toujours, et coïncide avec le transport de structure par H-1.
Si cl est une forme paire indéfiniment différentiable (resp. k fois
continûment différentiable et si T est d'ordre ^ k), et si £ est un
champ de vecteurs indéfiniment différentiable sur Um, ayant une
image directe qui soit un champ de vecteurs indéfiniment
différentiable 7), on a les formules:
/H* (TAa)= H* TA H* a
/TY r; o* H* ("aT) = H* aA H* T
(iA,o;Zj \h* dT= dH*T (si T est d'ordre < k - 1)
' H* (0 (tj) T) = 0 (Ç) H*T (si "* vt d'ordre < k - 1),
les deux dernières supposant U et V sans b »•<?. (*).
Si Um et Vn sont des ouverts de Rn, oi s variables s'appellent
o
x<> Y*, respectivement, si T est un 0-coura vair, et si H est définie
par les fonctions y, = Ht (x1? xg, ... x„), - 1, 2 ... n, on a la
formule de « dérivation des fonctions compos. ■ ».'
(IX,'5; 3) »*.._•**«.•*)
j-i
I1) Il suffit que U soit sans bord et que H 'U) '-e rencontre pas le bord de V,
puisque tout est local sur U. Voici un contre-exem e si U a un bord :
Soit V sans bord, U = R_ X V, R_ = ] — j , 0], H = projection R_ X V -* V.
Soit T = t ; dT = 0, H* d T = 0, H* T = 1 = chaîne U.d H*T = - b (chaîne U)
= — chaîne b U = — chaîne ({0} X V) # 0

378
On a des résultats analogues pour une application orientée H et
des courants impairs.
Tout a été démontré, sauf (IX, 5; 2 et 3), qui sont vraies pour
des formes C°°, donc, en prolongeant par continuité, pour des
courants.
Il faut maintenant voir des cas où la condition C indiquée au
théorème III est réalisée.
Cas où H est un difféomorphisme local
Supposons que U soit un ouvert de V. On sait alors que tout
courant T de V induit un courant sur U. Ce courant induit n'est
autre que l'image réciproque H*T, correspondant à l'injection
canonique H de U dans V. En effet, l'application 9 —* H 9 n'est
autre que l'injection naturelle de 3) (U) dans 3) (V). Cet exemple,
combiné avec celui du difféomorphisme et avec le caractère local
des conditions requises pour H, nous donne tout de suite un exemple
bien plus intéressant : si H est un difféomorphisme local de U dans V,
alors on peut définir des images réciproques des courants pairs.
Rappelons que H est appelé difféomorphisme local, si tout point a
de U possède un voisinage U„ tel que H (U„) soit ouvert dans V
et que la restriction H0 de H à U„ soit un difféomorphisme de U„
sur H (U„); alors l'application H„ de U„ dans V est la composée du
difféomorphisme H„ de U„ sur H (U0), et de l'injection naturelle
de ce dernier dans V, et, pour chacune de ces deux applications, il
existe des images réciproques; il en existe donc pour
l'application IT0 de U0 dans V, et, par suite du caractère local, pour
l'application H de U dans V. En outre, on voit explicitement comment
s'exprimera H*T pour tout courant T de V; V.*T est, dans U0,
le transporté de la restriction de T à H, (U„), par H71; et, dans U,
H*T e6t le recollement de ces morceaux définis dans les U„.
Remarquons aussi qu'un difféomorphisme local définit canoniquement
une application orientée. Car H„ définit une application orientée H0
de U0 dans V (voir p. 370) et on définit H par recollement des H0.
On peut donc aussi prendre les images réciproques des courants
impairs.
Exemple : Changements de variables à une dimension
Nous allons tout de suite en déduire les formules relatives aux
exemples les plus simples, correspondant aux applications y = H (x)

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
379
de la droite réelle R dans elle-même. Distinguons toujours les noms
des variables x et y, respectivement pour l'objet et l'image, bien
qu'iei U = V = R. Soit T» un eourant sur R, de support A, et
supposons qu'en tout point de l'image réciproque H-1 (A), la
dérivée H' soit ^ 0. Alors il existe aussi un voisinage Q de H-1 (A),
dans lequel on a partout H' ^ 0." Mais alors H est un difféomor-
phisme local de Q dans R. et par suite H*T existe. Nous allons
exprimer explicitement cette image réciproque.
1° Soit d'abord 9 e"D, une 1-forme impaire. Nous pouvons
l'écrire <{. dx, où dx est la mesure de Lebesgue sur R, considérée
comme 1-courant impair. Si Q, est un ouvert de Q, tel que la
restriction H, de H à Q, soit un difféomorphisme de Q, sur H, (fl<),
et si tj. a son support dans Q„ alors, par transport de structure,
on a :
(IX, 5; 4) H » M &)-*, (Hr> M) l-KHrMt,),:
Si maintenant v[/ a son support dans O, si (Q,)yei est un
recouvrement de O. par des ouverts du type précédent, et si (a,-),-eI est
une partition de l'unité subordonnée, on voit que :
(IX, 5; 5) H^(x)dx) = ^xi(Hr1(y))
i
où 0 est la fonction définie par :
(IX, 5; 6) e(») = 2rH^
HI«)-y
la somme 2 désignant une somme toujours finie, en vertu de
l'hypothèse faite sur H ('). Cela montre que l'image réciproque d'un
0
0-courant pair T est définie par « '
(IX, 5; 7) Tmx) • i, (x) dx = f - H (<]. {x) dx) = f,.e {y) dy (2).
(') Pour y donné sur R, l'image réciproque H -1 ({v}) est peut-être un ensemble
infini, mais cet ensemble ne contient qu'un nombre borné de points sur le support
de ij/, puisque ce support peut être recouvert par un nombre fini des Cït, sur chacun
desquels H — H, est bijective
(") Comme T est de degré 0, on peut, dans (IX, 5; 1), intervertir les terme» de
chaque produit scalaire, sans changement de signe

380
î î
2° Soit maintenant <p G 3)^ un courant représenté par une
1-forme paire. Un calcul analogue peut se faire (en remplaçant H
par l'application orientée H canoniquement associée au difféomor-
phisme local H). Cette fois-ci <p = <J/ (x) dx, où dx doit être pris
comme une forme différentielle ordinaire de degré 1, différentielle
de x, et non comme une forme impaire. On devra donc remplacer
| H' J par H' dans (*X, 5; 5, 6 et 7), et l'on aura, à part cela, la
o
même formule finale pour un 0-courant impair T.
oo
3° Soit maintenant <p G fDx une fonction ordinaire. Si <p a son
support dans Clt, son image directe, définie par transport de
structure, est
(IX, 5; 8) (Hi9)(y) = 9(H7*(y)).
On aura donc finalement :
(IX, 5; 8 bis) (H9) (y) = 2 ** (H^1 (*)) <P (Hr1 (y)) = 0(y),
i
avec : 0 (y) = ^ <p {x),
Hte>-¥
1 1
et par suite l'image réciproque H*TV d'un 1-courant impair TL est
donnée par :
(IX, 5 ; 9) THte)• <p (*) = Tv• 0 (y), T g fy.
4° Si enfin 9 e Ü),. est une fonction tordue, on peut l'écrire
0 0 0 —
9 = e 6 où ^ est une fonction ordinaire, e la fonction tordue
représentée par la constante + 1 associée à l'orientation canonique de R
et la constante — i associée à l'orientation opposée. On doit faire
attention dans le transport de structure H^, et l'on voit facilement
que H(<p est défini par :
(IX, 5 ; 10) H, (f <|/ (x)) = ± f + (Hr1 (y)).
Dans cette formule, le signe ± est + si H' (H-1 (y)) > 0 et — si
H' (H-1 (y)) < 0. Dans ces conditions, on aura :
(IX, 5 ; li) H (e <|/ (x)) = e ^ ± *< (Hi~l (*)) * (Hrl (y)) =
= £^ (y). avec 0 (y) = y ± <J/ (x), où ± est le signe de H' (x).
Hte.-v

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
981
Finalement, pour un 1-courant pair T,t •
(IX, 5 ; 12) Ta* • e +(x) = T„ • ç6 (y).
Ces quatre formules montrent que le résultat obtenu dépend
essentiellement de la nature du courant considéré, suivant qu'il est
pair ou impair, de degré 0 ou de degré 1. II est donc impossible de
parler de l'image réciproque d'une distribution ou du changement
de variable dans une distribution, sans spécifier le sens précis du
mot « distribution »; ceci, parce que la fonction H n'est pas un
difféomorphisme, et que, même si elle l'était, elle ne serait pas pour
cela un automorphisme de la droite réelle munie de son orientation
canonique et de sa mesure de Lebesgue canonique. Si T est une
distribution donnée sur R, elle représente quatre courants,
respectivement pairs et impairs, de degré 0 et de degré 1. Si les conditions
considérées plus haut relativement à H sont vérifiées (H' (a.) ^ 0,
en tout point de H-1 (A)), ces quatre courants ont des images
réciproques qui sont des courants de R de nature différente. A chacun
de ces courants est associée une distribution, puisque R est munie
d'une orientation et d'une mesure de Lebesgue canoniques, mais ces
quatre distributions seront en général distinctes. Partons par
exemple de la distribution S„ sur R. La condition requise par H est la
suivante : H' (a) =£ 0, pour tous les points a tels que H (a) = 0.
0 0 11
Dans ces conditions, si l'on désigne par S, S, S, S, les quatre
courants que l'on peut associer à cette distribution, les images
réciproques de ces quatre courants par H seront les suivantes :
/ o xr^ 1 oo SP \ o
18mx) = 2., ! v' (a) ] Sm' 5=w = 2* TrF) -™
nY r iQv / H(o)-o' H(O)-0
(IA, o; lö) ( i j j „ j
| 8Hte) = / (signe de H' (a)) &M, 8mx) = > §„_«,
V H(o)-0 H(o)-0
et il leur correspondra par suite les quatre distributions suivantes :
\ 2, ! H' (a) ! S~' Z, H' (a) *~!
/ H(o)-0 H(o)-0
) 2 (sigQe de h' (*» s~» 2**
CT-V r *e\ / H(o.-o' H(o)-0
(IX, 5; 14)
\ H(o)-0 H(o)-0
On aura par exemple, la formule suivante :
(IX, 5 ; 15) L_. = j-jLj (La + L.). pour a # Of1).
(l) 83? n'a pas de sens

382
Parler de l'image réciproque de S par H, ou de SH(a). n'a donc
pas de sens si on ne spécifie pas de quel S il s'agit. Nous avons
indiqué page 339 que « distribution » voudrait dire « 0-courant
pair ». Mais, pour S, c'est ambigu, parce que le seul S ayant un
sens sur une variété quelconque est la mesure de Dirac, le ra-courant
»
impair Ste), ae V ; alors que, pour un physicien, SH(a) est relatif au
o
0-courant pair S sur la droite R.
Si au lieu de partir de S, on part de la distribution définie par une
fonction /, les quatre courants qui lui correspondent sont
évidemment les courants définis par les formes / (H (x)), ± cf (H (x))
(± = signe de H' (x)), f (H (x)) H' (x) dx, f (H (x)) \ H' (x) | dx.
Nous l'avons déjà vu pages 379etsuivantessi/est continue. Mais
c'est vrai aussi pour / localement sommable, car, au voisinage de
chaque point a de R, H0 est un difféomorphisme, et H*j/ coïncide
avec le transport de structure par H""-"1, qui est bien l'image
réciproque usuelle H*. Les distributions associées à ces quatre courants
sont encore quatre distributions différentes :
/ (H (x)), i / (H (x)), f (H (x)) H' (x), f (H (x)) | H'(x) I.
Donnons encore un exemple intéressant.
Considérons, sur R, le 1-courant pair P = P/ Y (y) —• Effectuons
* y
le changement de variables y = H (x), H étant un C00
difféomorphisme de R sur R. Supposons pour simplifier H' > 0; alors
H conserve l'orientation de R, et on peut confondre courants pairs
et impairs. Supposons de même H (0) = 0. La formule (IX, 5; 12)
donne
(IX, 5; 15 bis) < Th,«,, <|> (x) > = P/ P" * (H"1 (y)) &■
j o y
= lim ( P°° * (H"* (y)) & - HO) log i)
«■*« w « y e i
= lim(r° «-,(*) "^£) ,£*_ HO) log ^
,. / f+» . , . H' (x) . +
= km if (x) Tjf^ dx
Ur><«>-0 \ J H-.,,, H (x)
- * (°) »og H=r^) + * (°) l°s H' (0))-

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
383
On peut donc écrire :
(IX, 5; 15 ter) (pfY<y)&)
\ y i »-He*.
= P/ Y (H (*)) ^ dx -«- log H' (0) 8.
Cela revient à dire, comme nous l'avions indiqué à la formule
(II, 2; 25), que la méthode d'intégration par parties finies n'est pas
invariante par changement de variables.
On a de même :
(IX, 5 ; 15 quarto) (p/ Y (- y) &)
P/Y (- H (x)) ^^ - log H' (0) S.
Mais alors :
(IX, 5; 15 quinto) {vp — ) = vp TT. .' dx.
I y/V-Hto. H (s)
Ceci subsiste naturellement même sans supposer H' > 0 et
H (0) = 0.
Les distributions « vp de Cauchy » se transforment^ par changement
de variables, comme les fonctions correspondantes.
Espaces fibres: intégrale partielle d'une forme différentielle sur
les fibres, image directe d'une forme différentielle de Vespace fibre,
image réciproque d'un courant de la base.
Le cas étudié précédemment, du difféomorphisme local, est très
particulier. Voici un cas beaucoup plus général où l'image
réciproque existe :
Soit Wr et V" deux variétés indéfiniment differentia blés, et
soit H la projection canonique de U = W X V sur V. Pour que
U soit une variété, nous supposerons que W ou V est sans bord.
Nous allons démontrer que, dans ce cas, si <p est une forme
différentielle m fois continûment differentiate, il en est de même de
son image directe H<p. Pour commencer, nous supposerons W
orientée. Il n'y aura donc pas lieu de distinguer entre courants pairs et
impairs.
Donnons d'abord une interprétation nouvelle des formes
différentielles. Sur une variété U, soit co une forme différentielle, et X un

384
multivecteur tangent en un point a de U. Alors < X, tù (a) >,
produit scalaire de X et du multicovecteur tù (a), est un nombre
complexe. Si l'on fait varier X, on voit que 6> définit une
fonction X —► < X, 6>(a)>, c'est-à-dire une fonction sur l'espace
fibre t\X> des multivecteurs tangents à U.
La restriction de cette fonction au sous-espace vectoriel des
multivecteurs tangents en un point a de U est linéaire ; et
réciproquement, toute fonction sur 'XL, dont la restriction à chacun de ces
espaces vectoriels est linéaire, est définie par une forme
différentielle, sur U. Pour que 6> soit m fois continûment différentiable,
il faut et il suffît que la fonction qu'elle définit sur CU> soit m fois
continûment différentiable. Soit maintenant co une forme
différentielle de degré p continue sur la variété produit W X V. On
sait que l'espace vectoriel tangent en un point (a, b) de W X V
est canoniquemerrt isomorphe à la somme directe des espaces
vectoriels tangents au point a de W et au point b de V. Si donc X est un
r-vecteur tangent en a à W, il définit canoniquement un r-vecteur
tangent en (a, b) à W X V, quel que soit 6 g V. De la même manière,
si Y est un (p — r)-vecteur tangent en 6àW, il définit canoniquement
un (p — r)-vecteur tangent en (a, b) à W, quel que soit aeW. Alors
on pourra, avec une notation impropre mais qui n'est pas gênante,
parler de X A Y comme p-vecteur tangent en (a, b) h W X V. La
forme 6> définit donc une fonction (X, Y) —»- < X A Y, tù (a, b) >
sur l'espace produit 10 x ""O" des espaces fibres 10, C\J des r-vecteurs
et des (p — r)-vecteurs tangents à W et V. Cette fonction est bili-
néaire, quand X et Y varient en restant dans les espaces vectoriels
de multivecteurs tangents en deux points a et b de W et V; et en
outre, cette fonction est k fois continûment différentiable sur 10 X cO,
si co est A; fois continûment différentiable.
Fixons le multivecteur Y. La fonction précédente définit alors
une fonction continue sur 10, dont la restriction au sous-espace de
multivecteurs tangents en un point a de W est linéaire, c'est-à-dire
une forme différentielle continue sur W, que nous noterons <àr
Elle est définie par :
(TX, 5; 15 sexto) < X, cov (a) > = < X X Y, co (a, b) >.
Si co est k fois continûment différentiable, ou continue à support
compact, il en est de même de 6>„. Dans la dernière hypothèse, on

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
385
peut intégrer <av sur la variété orientée W, et poser J (Y) = 1 co,.
.' w
La fonction J : Y —>■ J (Y), ainsi définie, est une fonction sur c0r.
Elle est manifestement linéaire sur le sous-espace vectoriel des mul-
tivecteurs tangents en un point b de V. Montrons que J est continue
sur "TJ. Puisque co est continue, elle est séparément continue en Y
lorsque X est fixé, et uniformément lorsque X parcourt un compact
de W. Cela signifie que, si Y tend vers Y0 sur "V, alors co„ converge
o
vers (nvo uniformément sur tout compact de W, donc dans fD^
où K est la projection sur W du support compact de co; et par
conséquent j co, converge vers j a>ya, ce qui montre la continuité
de J. J est par conséquent une forme différentielle de degré (p — r)
continue sur V. On notera aussi I co cette forme J.
J w
Donnons quelques propriétés de l'opération que nous venons de
définir.
1° Si co est de la forme co = a A ß, où a (resp. ß) est une forme sur
W (resp. V (')), on a :
(IX, 5; 16) f aAß=ff J ß.
J W V W /
En effet :
(IX, 5; 17) <aAß, XaY> = <a(o), X > <ß(6)Y>, donc
(IX, 5; 18) <oY(X) = <«(o), X><ß(6), Y>,
coY = < ß (b), Y > a, ce qui donne :
a
w
(IX, 5; 19) J(Y)=f toY= <ß(6), Y> f
ou ( cd = ( ( a) ß.
t.
2° Si W et V sont des ouverts de Rr et R" ( Rr muni de son
orientation canonique), alors co peut s'écrire
f1) La notation aAß est impropre, comme t'était la notation X A Y. Si L et M
sont les projections canoniques de W X V sur W et V respectivement, on devrait
écrire L*a A M*ß

386
(IX, 5 ; 20) to = V "u K ") dwi A dvj,
où I et J sont des parties des ensembles (1, 2 ... r), (1, 2 ... ra).
Alors on voit aisément que :
(IX, 5 ; 21) f a = V ( f <*., K.») <fa^ <*»>,.
3° Si maintenant W et V sont quelconques, on pourra toujours,
grâce à une partition de l'unité, décomposer co en une somme
finie / cùv, chaque cov ayant son support dans un produit d'ouverts
admettant des difféomorphismes avec des ouverts de Rr et R"
respectivement. La linéarité de l'opération ! permet alors de cal-
r
culer ' <a en se ramenant à la formule (IX, 5; 21).
j w
4° Si co est k fois continûment différentiable, il en est de même
de r co. On le voit en se ramenant, comme il est dit à 3°, au cas
J w
d'ouverts de Rr et R".
5° Si ß est une forme différentielle continue sur V, et si on
l'identifie avec celle qu'elle définit sur W X V, et qui n'est autre que son
image réciproque H*ß associée à la projection H de W X V sur V,
on a :
(.TX,5;22) fw(coA^ =(Jw«)aP
ou f (« a H* ß) = ( f o) A ß.
On le voit par la même méthode que 4° en se ramenant à 2°.
6° Supposons V aussi orientée et plaçons sur W X V
l'orientation canonique de produit. Alors l'intégrale de co sur W X V se
calcule par deux intégrations successives, comme on le voit encore
en se ramenant à 2° et en utilisant le théorème .de Fubini
élémentaire :

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
387
(IX, 5; 23) f co = f (f <o)(1).
J WxV J t\,'W /
7° Si co est de degré r, { to est une 0-forme c'est-à-dire une
J w
fonction. Sa valeur en un point b de V n'est autre que l'intégrale
de la forme induite par co sur W x {b}.
8° Soit à calculer ( dv>. En .localisant et en prenant les notations
J w
de (IX, 5; 20), on peut écrire
dû) = a\<ù + (— l)<*t*Idy«>.
Mais l'intégrale sur W ne retient que les composantes <ùI^dvcIAdi>.
pour lesquelles card I = r. D'autre part, si W est sans bord,
I dw co = 0 d'après Stokes; et<ivcommute avec ' ; donc :
J w
(IX, 5; 23 bis) f d<o = (—ly d (
j w
co.
w J w
Cette formule ne subsiste pas si W a un bord 6W; cependant elle
subsiste toutes les fois qu'on peut appliquer Stokes comme plus
haut, c'est-à-dire si co induit 0 sur 6W X V. En réalité la formule
subsiste toujours, à condition de raisonner au sens des courants
comme on le verra à (IX, 5; 24).
Soit maintenant co une forme impaire sur WxV. Comme W est
orientée, elle définit une correspondance biunivoque entre les
orientations locales de V et celles de W x V, donc un isomorphisme
canonique entre (W x V)~ et W x V. Alors co définit une forme
ordinaire co sur WxV, anti-invariante par la symétrie a de V.
f1) Naturellement, si c'est V qui est orientée, on peut définir une opération j avec
des propriétés analogues. On posera :
<ox(Y) = < Xa Y, <*(a,b) >, K(X) = f »x. <l'où f <o.
« V 4 J V
On aura :
f <xAß = I f B)a, f >»w (fa^A*/ = > ( ( ou dvj) <tot, et, si W est
.' v y v / J a* £—i ±—i W »* /
i.j i.j
aussi orientée, coi. Dans l'un comme dans l'autre cas, on a
JWxV J W \JV /
considéré le produit W X V, où W est écrite avant V. Si l'on effectue la symétrie
canonique W X V -*■ V x W, on change l'orientation, donc l'intégrale de ta sur
le produit; mais les définitions des intégrales partielles sur W et V changent aussi

388
(Cette forme dépend donc de l'orientation de W, et- change de
signe avec elle.) Donc I co est une forme ordinaire de V, <T-anti-
invariante, c'est-à-dire une forme impaire sur V, que nous noterons
fco. Mais si on change l'orientation de W, co change de signe et
r
aussi son intégrale sur W, donc ] co ne change pas. Cette opéra-
j w-
tion sur les formes impaires a des propriétés analogues à celles
de la même opération sur les formes paires; dans (IX, 5; 16) on
pourra prendre ß impaire, dans (IX, 5; 20) les dvs seront des formes
impaires, dans (IX, 5; 22) ßsera une forme impaire, dans (IX, 5; 23)
V et W ne seront pas orientées et co sera une forme impaire.
Nous considérerons l'application H, projection canonique de
W X V sur V, et l'application H, projection canonique de
(W X V)"" = W X V sur V, donc donnant une application
orientée encore notée H de W X V sur V. On peut donc parler des
projections sur V des formes paires ou impaires de W X V.
Montrons alors que
) co = Hto et que 'j co = Hto.
j w Jf —
Tl suffit de le faire pour l'un d'eux, par exemple le premier; en
utilisant ( IX, 5 ; 1) et ( IX, 5 ; 22 et 23), on aura, pour 9 e 3D :
(IX, 5; 23 ter) flto.9 = to-fl>= f <o A H* 9 =
J WxV
= { (( <oAH*9^=f i"(f <^A<-J = 'f «V*»-
J V \J W -/ JT[\JW / "J Ut /
Donc fl co = (a, comme nous voulions le montrer.
J w
Nous avions déjà vu que ' co dépendait de l'orientation de W,
J w
(et aussi du fait que, dans l'écriture de U comme produit WxV,
on plaçait W avant V). On le voit de nouveau dans H co, car la
définition de fl à partir de H dépend des mêmes choses. Mais on
a vu que, si co est une forme impaire, { 6> n'en dépendait plus; son
J w"~

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
389
expression par H *> le montre bien. II en resuite, tout étant local
sur U = W x V, qu'on peut définir l'intégrale { *> = H*> d'une
forme impaire *>, même si W n'est pas orientable. C'est seulement
f
>: cd et H*> que nous considérerons désormais.
.' w~ —
Soit maintenant U'+* un espace fibre de classe C* sur V*
(r """5 0). Nous supposerons que V est sans bord, ou que toutes les
fibres sont sans bord (de manière que U soit bien une variété, avec
bord éventuellement).
Pour tout ouvert V4 de V au-dessus duquel U est isomorphe à
un produit W x V4, on peut, par une carte, définir l'intégrale
d'une forme *> sur les fibres, et le résultat est indépendant de la
carte, puisque c'est l'image directe par H; par partition de l'unité,
p
on passera à U tout entière : si *> est une p-forme impaire continue
sur U, à support compact, son intégrale sur les fibres est une (p — r)
forme impaire continue sur V; elle est de-classe C* si <a est de
classe C*; et elle n'est autre que H*>, H étant la projection
canonique de U sur V. Si alors T est un p-courant impair sur U, à
support compact, sa projection HT, (p — r)-courant impair, pourra
être appelée aussi son intégrale sur les fibres (extension de
'.'exemple 2, p. 325).
Toutes les conditions d'application du théorème III sont
réalisées, et il existe donc une image réciproque H*T de tout courant
pair sur V; c'est un courant de même degré p sur U, et d'ordre ^ k
si T est d'ordre ^ k.
Cette intégration sur les fibres joue un rôle important en théorie
des espaces fibres à fibre vectorielle. Soit E un espace fibre C* à
fibres vectorielles de dimension finie r sur une variété sans bord.
On supposera choisies sur les fibres Ex, xeW, des structures
euclidiennes, variant C" avec x. Soit U l'espace fibre des boules
unités-Bs des fibres Ex. A'.ors U est fibré-en boules sur.V. Soit *> une
p-forme impaire sur U, de classe C1, induisant 0 sur le bord de U
(qui est fibre en sphères sur V). On peut alors appliquer (IX, 5;
23 bis). Alors ' *> est une (p — r)-forme impaire sur V, fermée
J ttxm
si *> est fermée. On en déduit une application linéaire de l'espace
vectoriel de cohomologie réelle tordue de degré p de U modula »on

390
bord dans l'espace vectoriel de cohomologie réelle tordue de degré
p — r de V, appelée homomorphisme de Thom- Gysin.
Il n'est même nullement nécessaire de supposer U fibre sur V,
car tout est local sur U : Soit H une application C" d'une variété
Un+r sur une variété V" faisant de U une variété localement fibrée
sur V, c'est-à-dire telle que tout point de U ait un voisinage U^
difféomorphe à W{ x V{, W,- variété C", V{ ouvert de V, W,- ou V<
sans bord, le difféomorphisme transformant H en la projection
canonique W{ x V4 —\\t. Alors tout subsiste. Or ceci signifie
simplement que H: Un+T —»■ V", est de rang constant n, au moins
dans le cas de variétés Um et Vn sans bord.
Bien que H ne fibre pas nécessairement globalement U sur V,
on convient d'appeler fibres les images réciproques des points,
H-1 ({y}), i/eV; ce sont des variétés, sans bord, si U et V sont
sans bord.
On peut donc énoncer, en globalisant les formules (*X, 5; 16 à
23) qui ne sont autres que les formules déjà vues (IX, 4; 9) :
Image réciproque des courants dans le cas d'une application de
rang n de Um dans Vn
Théorème IV. Soient Um, Vn, des variétés C, et soit H une
application C" de U dans V, faisant de U une variété localement fibrée
sur V (par exemple partout de rang n, si U et V sont sans bord).
Pour tout p-courant impair T sur U, à support compact, l'image
HT_ est un (p — r)-courant impair sur V, qu'on appelle aussi
intégrale de T_ sur les fibres et qu'on note ï T. Si on convient d'appeler
J libra ~~
<*>mx) l'image réciproque H*v> d'une forme paire co sur V, on a les
formules ;
; f (T a «e») = ( f r) a a, a forme C sur V;
f (■%(«> A Z) = (- 1)'« a a f T;
i J libra .r fibre«
(IX, 5; 24) (b f 7> f bT;
1 J libra J libre«
df î =(-!)<( dT;
J fibre« J fibre«
iff 1 = fZ-
\ ,' V J fibre« J ir^

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
391
Si T_ est un courant d'ordre ^ k, il en est de même de j T.
J ni»«""
Si T_ est une p-forme impa ,e de classe C* (au sens usuel), j T
J Sbtm~
est une (p — r)-forme impaire de classe C*.
Il existe une image réciproque (H*T)Z = TSU) des courants pairs T
sur V. Si T est un p-courant pair, il en est de même de TBM; si T
est d'ordre < k ou est une forme de classe Ck,Uen est de même de TSM
On a les formules :
l (J a aW = THto> A «ho, « forme C" sur V;
(IX, 5 ; 25) J (a A T)Hte) = aHte) A THte);
t ' (^T)Hto) = d (THto)), si U est sans bord (I).
Les exemples donnés antérieurement, où H était un difféomor-
phisme local, sont des cas particuliers de celui-ci, avec m = n,
r = 0.
Il semble probable que le théorème III s'applique dans des
conditions un peu plus générales que le théorème IV, mais « à peine ».
Applications et exemples
Exemple 1. Définition de T^ pour un 0-courant pair T sur un
groupe de Lie G
Soit G un groupe de Lie. Prenons, pour application H, l'appli-
o o
cation (x, Ç) —» %rxx de G x G clans G; soit T G 3D' (G). Nous
considérerons d'abord l'isomorphisme J de G, X Gç sur Gw x G, défini
par :
(IX, 5; 25 bis) w = x, v = Ç"1 x; x = w, Ç = wv~l.
Alors H n'est autre que la composée de J et de la projection
(«\ v) —► v de G«, X G, sur G,. Comme il existe des ; m ages
réciproques pour chacune de ces deux applications, il en existe aussi
pour H. Soit 9 une 2n-forme impaire C00 à support compact sur
Gx x Gç, qui peut par conséquent s'écrire (J; (x, Ç) dxd\, où
dx désigne une mesura de Haar (invariante à gauche) particulière
2* . 0
sur G. Cherchons son image directe H9. Soit 6 G 3D„. On a :
C) Si U a un bord, la note (") de la page 79 donne un contre-exemple. Si U
est sans bord, comme il est localement ûbré sur V, H (U) ne rencontre pas le
bord de V

392
(IX,5;26) H<p-6 = <p.H*6= ff 6 (Ç-»x) <|» (s, I) dxdl =
J J QxQ
= { dw f 0 (Ç-» «0 <j. («>, Ç) rfÇ = f <fo fo (tj-1) 6 K wtj) rfijp) =
> « — -i " Jo J —
= f dw f 0 (p) $ (<p, vov-1) (A („))-» *»(«)
Jo J o
= f 0 (?) (A (t»))-» iff 4 (w, w^-») rfw (s)
.' G .' O
j o
et par suite
(IX, 5 ; 27) H (* (s, I) dxdl) = f(A (*))-» f à (w, «*-») dJ «fo.
On vérifie bien trivialement (par dérivation sous le signe ( |
que le second membre est une forme indéfiniment différentiable
o
sur G,. Alors l'image réciproque H*T sera définie par
(IX, 5 ; 28) fç,. • <J> (x, l) dxdl = T.•
["(A {y))~l f é (w, wv~l) dw\ dv.
Supposons en particulier fixée une fois pour toutes, sur G, une
o
mesure de Haar dx invariante à gauche. Appelons alors S le 0-cou-
*
rant pair associé à la distribution de Dirac S de l'origine par la
« o o
mesure de Haar : S = S dx. Autrement dit on a 8.C/ (x) dx = (J. (0).
L'image réciproque est alors définie par :
(IX, 5; 29) Sç-* • <!/ (x, l) dxdl = f +K «0 dw.
Par abus de langage, si G est muni une fois pour toutes d'une
mesure de Haar invariante à gauche et d'une orientation inva-
(') En posant Ç_1«> = i)-1 ou Ç = «vij, pour«» fixé. Comme dÇest une mesure de
Haar invariante à gauche, dÇ = à-i\
{*) En posant y = v~x. Ici A(c) est le module de G (voir Weil [1], p. 40)
(*) L'interversion des intégrations est*'égitime, puisque (A (v))~l 6(f) <]; (w,wv~l)
est continue à support compact »

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
393
riante à gauche, auquel cas on pourra parler sans ambiguïté de
distributions sur G, nous appellerons Tç-i« où T est une distri-
o
bution sur G, la distribution associée au 0-courant pair T^-,X à
o
partir du 0-courant pair T. Plus particulièrement encore, si V est
un espace vectoriel muni d'une mesure de Lebesgue et d'une
orientation, et si T est une distribution sur V, on définira la distribution
Tx_ç par :
(IX, 5; 30) TVÇ - <|/ (x, Ï) = T,.J^ K w-9)A».
En particulier, on aura :
(IX, 5 ; 31) 8^ • * (x, l) = Jv <|> K w) d». (l)
Le courant Tç-ix joue un rôle important dans la convolution
des courants sur le groupe de Lie; voir Norguet [1], Marianne
Guillemot [1], Braconnier [1].
Exemple 2. Courants liés à une forme quadratique sur un espace
vectoriel de dimension finie
Soit V un espace vectoriel de dimension finie m sur R, et soit Q
une forme quadratique sur V. Alors Q est une application C* de V
dans R; ici r = m — 1. Pour tout p-courant impair ± sur V, à
support compact, il existe donc une image directe QT, (p — m + l)*
courant impair sur R; les seuls cas non triviaux sont en fait
p = m — 1 et p = m. Si Q est définie positive, V est euclidien
pour Q, et Q : V —- R est propre; donc on peut même supposer T à
support quelconque, et on a par exemple :
!* i
Q dx = i S. t 2 dt ,
où S, est l'aire de la sphère unité dans V, soit
("■) On retrouvera une démonstration de ces formules dan* Schwartz [11], formule
(1,4; 21), p. 105

394
0
En effet, si 9GÎD (R), et si on appelle aussi r la fonction -y/Cj :
(IX, 5; 33) < Q (dx)^ > = < dx, <p°Q >
= f 9 (r2) dx = J 9 (r2) S» r—1 dr
j v — J 0
»-a
f+0° »-l At t *
-j. ^^^-2^= <S.4-,9>-
Ces formules sont systématiquement utilisées dans Schwartz [13].
exposés 7, 8, 9, pour l'étude des distributions sur V, invariantes
parles opérateurs orthogonaux relatifs à Q. Si on appelle 2D' (V; Q)
l'espace de ces distributions, identifié à D' (V; Q), et si 2D' (R+)
1
est identifié à 2D' (R+), on montre que Q : T -— QT est un isomor-
phisme de 2D' (V; Q) sur 2D' (R+). ~ ~~
Revenons maintenant au cas général où Q est de signature
quelconque, mais non dégénérée. Alors l'application Q : V —>■ R, a le
rang 1 en tout point distinct de l'origine O, et le rang 0 à l'origine.
Donc on peut appliquer le théorème IV; si T est un courant pair
sur R, TE(ät) est un courant pair de même degré sur V — O,
évidemment invariant par le groupe orthogonal de V relativement à Q.
Les propriétés de TQ ont été étudiées par de Rham [4], Methee [1],
Carmen Braga [1]. On démontre que, si on identifie les
distributions sur R et sur V — O aux 0-courants pairs, l'opération
Q* : T —► TQ est un isomorphisme de 2D' (R) sur ï)' ( V — O ; Q)
lorsque Q nest ni définie positive ni définie négative (*).
On notera que, si Q est définie positive ou définie négative, on
peut étudier 2D' (V; Q) par l'image directe des courants impairs
de dimension 0; sinon on ne peut étudier que 2D'(V — O; Q),
et cette fois par l'image réciproque des courants pairs de degré 0.
Appliquons par exemple la formule (IX, 5; 3). Soit V = R",
Q(a"n ..., xn) = x\ + x\ + .-.x%_1—x\. Soit T un 0-courant pair
sur R, et T', T*, ses 2 premières dérivées. Alors
(IX, 5 ; 34) ^— {T9l.+..^_i_Xm.) = ± 2Xi T^^^
± signifiant + si i = 1, 2, ..., n — i, et — si i = n.
jr^"5 I *,•+.••+*•.-.-*.• = 4af T Xlt+...+Ii..._jt.« ± 2T 9i,+...+a,%_t_Xm,.
f1) Si Q est définie positive ou âégativefl/e'est un isomorphisme de 3>' (R+ — O)
sur 3)' (V — O; Q)

COURANTS SUR UNE VARIÉTÉ
395
*-1
En posant D =
i-i
(IX, 5 ; 35) D TXl.+.„+I.M_x..
= 4 (a* + .« + a£_:
+ 2 n T Xl»+-.+Ii._1_ie.»
où S est le 0-courant pair 4T" + 2nT't sur R. Donc T».^^^..^,.^..^.,
aura un d'Alembertien nul, si et seulement si T vérifie sur R
l'équation différentielle 4(T* + 2raT' = 0.
Exemple 3. Soit H une application C" de Um dans R; on
supposera que H' e|t ^ 0 en tout point de U. Alors H est de rang
constant 1, et on peut appliquer le théorème IV, si U est sans bord.
Soit a G R; K_I ({a}) est une hypersurface S„ de U. El'e est
canoniquement munie d'un sens de passage, celui des H croissants
(une courbe transversale à S„ a pour sens positif en un point de S„
celui pour lequel H est croissante). Elle définit donc une chaîne
tordue de dimension n — 1, ou un 1-courant pair, que nous
appellerons encore Sa (exemple 7, p. 328). Pour la définition de cette
chaîne tordue, on utilise l'injection orientée de S„ dans U; pour
définir cette injection orientée, rappelons qu'en un point de Sa,
l'orientation transversale positive (sens des H croissants) suivie
d'une orientation de S0, donne l'orientation correspondante de U.
Cela revient à dire ceci; H définit localement une fibration de U,
c'est-à-dire une expression de U comme produit de R par Sa; on
considère qu'on écrit le produit en mettant R d'abord : R X Sa.
Si alors a> est une (n — l)-forme impaire continue sur U, elle
induit une (n — l)-forme impaire sur S„, et < S„, o> > est
l'intégrale sur S„ de cette forme induite.
D'autre part H to est une 0-forme impaire sur R, son intégrale
sur les fibres co. Cette intégrale se calcule suivant la méthode
j libra
indiquée page 383 et suivantes. Mais là on doit, dans la fibration
locale de U par H, c'est-à-dire dans l'expression locale de U comme
produit, écrire S„ x R et non R X S, (note (*) page 387);
Zr-r (d'Alembertien)
-^)
T*
1 «i»+»-+«"m-«.»

3%
Done ' b = Hw est, sur R, la fonction x—+ (— l)"-1 { o> =
= (- 1)—l < S« o> > = < to, Sx >.
1 . *
naors l'image réciproque H*T d'un 1-courant pair T sur R est
un 1-courant pair donné par :
(IX, 5; 36) < V! H* T > = < H 9 ,T > = < <?, S, >, Tx >
= (- I)""1 < f V, Tx >
d'où ''on déduit ;
(TX,5;37) <H*T,V> = <T„ ]*"?>•
En particulier :
(IX, 5 ; 38) < H* l(o) ,V> = f V ou
(IX, 5; 39) H*8(lo) = Ea,
1 ■ ... *
en. désignant par S(„) le 1-courant pair associé à 8(0> par
l'orientation de R.
Soit Y la fonction d'Heaviside sur R; on a <iY = S (courants
pairs). La commutativité de H* avec d donne :
(IX, 5; 40) <£(YoH) = Zo,
ce qui n'est autre que la formule de Stokes ou (IX, 3; 18).
§ 6. Transformation de Fourier des courants tempérés sur
un espace vectoriel de dimension finie (*)
Soit V" un espace vectoriel de dimension finie n sur R. Pour
tout p, on définit trivialement l'espace y(V) = y des p-formes C"1
à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées, et l'espace analogue
</(V) =</ de p-formes tordues. Le dual de £• est l'espace <j des
p-courants pairs tempérés, le dual de (f est l'espace ÇT des p-
courants tordus tempérés. Un courant est tempéré si et seulement
(') Cette étude est due à Scarfiello rl] •/

COURANTS SLR UNE VARIÉTÉ
397
si, après choix d'une base de V, son expression suivant (IX, 3; 2)
a des coefficients qui sont des distributions tempérées.
it
La transformée de Fourier & d'une 9 6f/(V) est une fonction
*e^(V), V dual de V, définie par
(IX, 6; 1) «J» (y) = ( exp (— 2 i izx. y) 9 (x),
J v
où x.y est le produit scalaire de 1 eVetye V. Ainsi !F envoie
|f(V) dans $(V), et de même §?(V) dans ^(V).
C'est d'ailleurs un isomorphisme, comme on le voit en choisissant
une base de V; et fF a la même propriété.
Par transposition
(IX, 6; 2) <J-T,9> = <f, y?>,
J" est un isomorphisme de l'espace (J (V) des ra-courants impairs
tempérés sur V sur l'espace (£ (V) des 0-courants pairs tempérés
sur V; de même avec échange des rôles de V et V, et de même
pour &. Par tensorisation avec un espace vectoriel de dimension
n
finie E sur C, F et !F sont des isomorphismes de <£ (V) <g> E sur
5' (V) ® E.
Nous allons maintenant définir les images de Fourier de courants
*
tempérés de type quelconque. Soit cov la /c-forme « identique »
de V à valeurs dans A (V), forme qui, à chaque /c-vecteur de V
pp. p *—*
associe ce /r-vecteur lui-même. Alors, si T G £f_(V), T A <av est
un ra-courant impair à valeurs dans-A (V), c'est-à-dire un élément
de 6" (V) ® A (V). On peut donc prendre son image de Fourier
par la tensorisation ci-dessus, avec E = A (V). Donc ?(Ta g>v;
est un 0-courant pair tempéré sur V à valeurs dans A (V). Mais
°& *—* "T* it
y (v') ® A (V) est canoniquement isomorphe à q (V ); en eilet
n—V
une fonction sur V à valeurs dans A (V) est exactement un champ
de (n — p)-covecteurs sur V, c'est-à-dire une (n — p)-forme sur

398
V, et cette identification se prolonge par continuité a'ux courants
tempérés (voir d'ailleurs les sections-distributions d'espaces fibres
à fibres vectorielles, p. 339). Donc T —•> !F (T A cov) est une
application linéaire continue de y (V) dans çf (V). Nous l'appellerons
» >» p ' . p »» j . p *-v p
3ra; l'opération && serait définie par T_ —* & (tovA_T). On déh-
t »j» p p >» > t
nirait de même 3"",, et „^F. Si maintenant on appelle tov la /c-forme
*
tordue « identique » à valeurs dans A (V), qui, à chaque /c-vecteur
tordu de V, fait correspondre lui-même, on définira &&,
application f — y(f A 5) de ^ (V) dans 3! (V); et de même les
autres applications, avec && et avec &.
Tel est le mécanisme de la transformation de Fourier pour les
courants pairs et impairs tempérés. On en déduira aisément ses
principales propriétés. D'abord c'est un isomorphisme et la
formule de réciprocité de Fourier s'écrit
» x_*p p->*—p
(IX, 6; 3) ai!F o &a = identité,
avec 7 autres formules analogues. Autrement dit, pour avoir
l'inverse d'une transformation de Fourier, on échange !F et !F,
on échange *> et *>, et la droite avec '.a gauche pour la place de <a
par rapport à &.
Démontrons cette formule. Prenons pour cela une base de V,
de sorte que V = V = R". Mais, comme nous l'avons déjà fait
en réalité partout au chapitre vu, nous maintiendrons V et V
distincts; nous appellerons e,-, i = 1, 2, ..., n, la base de V = R",
—*
f. »i = 1, 2, ..., n, la base duale de V; nous appellerons x,- les
fonctions coordonnées sur V, y{ les fonctions coordonnées sur V.
L'orientation de R" permet d'identifier courants pairs et impairs,
ce que nous ferons.
Alors on peut écrire
(IX, 6; 4) ^=ST1dxl,
I parties ordonnées à p éléments d/4 { 1, 2,..., n };

COURAMTS SUR UNE VARIÉTÉ 399
(IX, 6 ; 5) tov = y es dx3,
J parties ordonnées an — p éléments de
{ 1, 2, ..., n}, J = { f\, /8, ..., /._,}, j\ < /,-< ... < fw_p}
e3 = efl A ei2 A ••• A ejnr.J> G A (V) ;
(IX, 6 ; 6) T A tov — y Tj es dxj A dx3 =
j-ei
=2 "w-1^ <**,
j-ei
p(I, J) signature de la permutation {I, J} de {1, 2, ..., n}, dx
mesure de Lebesgue;
(IX, 6 ; 7) S = <F (T A^y ) = y ? (T,) 7, (- ?.)•-">,
où Tx est la distribution associée à Tjdx par la mesure de Lebesgue
de R", !F (Tx) son image de Fourier suivant le chapitre vu,
identifiée à un 0-courant sur R" = V; on doit identifier S à un (n — p)-
courant sur V, en identifiant les et aux différentielles des coor-
données sur V = R", on remplace donc es par dy3:
~ (* T,), (- I)""» dy3;
K
K parties ordonnées à p éléments de { 1, 2, ..., n };
(IX, 6 ; 10) Ly, A*?= Y J" (T,) (- 1)*» rfyi A dy3 %
(IX, 6; 8)
(IX, 6; 9)
»—v
S =
^ëi
Cûy.
= y^(Ti)/idy;

400
(IX, 6 ; 11) 9- K, a"É?) = 2 Ti & = 2 Tl dXl'
i i
ce qui montre la formule (IX, 6; 3).
Toute la théorie étudiée est invariante par les automorphismes
de la structure c'est-à-dire les opérateurs linéaires inversibles de V.
V
Si donc H est un tel opérateur, H son contragrédient (ou transporté
V
comme opérateur sur V par transport de structure, H = ('H)-1),
on aura nécessairement, pour tout p et tout T eçf' (V) :
Sr^ (HT) = H ( ?av T)
et les autres formules analogues.
Si en particulier on prend V = R" = V, p = n, et qu'on
identifie 0 et ra-courants pairs ou impairs à des distributions, on voit
cependant que, dans le 1er membre, H est l'image directe d'un
V
ra-courant impair, et, dans le 2e, H est l'image directe d'un 0-con-
rant pair, de sorte qu'on tombera inévitablement sur les difficultés
indiquées page 371. Pour T, HT est celui qui a été défini au
chapitre i, à la formule (I, 5; 6); si fFT est une fonction continue f,
V V
on a (H/) (y) = / (H~l (y)) = / (*Hî/); on retrouve la formule
(VII, 6; 11), dont nous avions annoncé alors la généralisation
possible.

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE
Alberton.-Cugian.
[1] « Sul problema del cambiamento di variabili nette teoria dette distribuzioni ».
Nuovo Cimento, vol. VIII, n° 11, 1951, p. 1-15 et vol. X, n° 2, 1953,
p. 1-17.
Abens
[1] « Duality in linear spaces ». Duke Math. Journal, 14 (1947), p. 787-794.
Absac
[1] « Transformation de Fourier et théorie des distributions ». Paris, Dun od,
1961.
AUTH.EB
[1] « Sur une classe d'ensembles convexes liés à la transformation de Laplace ».
Journal d'Analyse Math, Jérusalem, à paraître.
Banach
[1] « Théorie des opérations linéaires ». Monografje Matematyczne, Varsovie-
Lwow, 1932.
Banach-Steinhaus
[1] « Sur le principe de condensation des singularités ». Fundamenta Mathe-
maticae, tome IX (1927), p. 57.
de Babbos-Neto
[1] « Analytic distribution kernels ». Trans. Amer. Math. Soc. vol. 100 (1961),
p. 425-438.
de Babbos Neto-Browdeb
[1] « The analyticity of kernels ». Canadian Journ. of Math. vol. 13 (1961),
p. 645-649.
Bernstein (S.)
[1] « Leçons sur les propriété~ extrémales et la meilleure approximation des
fonctions analytiques d'une variable réelle ». Paris, Gauthier-Villars, 1926.
[2] « Sur l'analyticité des solutions des équations aux dérivées partielles
elliptiques ». Leipzig, Teubner, 1904.
Besicovitch
[1] « Almost periodic functions ». Cambridge, 1932.
Beübung
[1] « Sur les spectres des fonctions ». Colloque Analyse Harmonique Nancy.
CNRS, Paris, Gauthier-Villars, 1949, p. 9-30.

402
Boas
rV « Functions with positive derivatives », Duke Math. Journal, 8 (1941),
p. 163-172.
[2] « Poissons's summation formula in L1 ». Journal of London Math. Society,
21 (1946), p. 102-105.
BOCHNER
[1] « Vorlesungen über Fouriersche Integrale ». Leipzig, 1932.
[2] « Linear partial differential equations, with constant coefficients ». Annals
of Math., 47 (1946), p. 202-212.
[3] * Several complex variables », Princeton, 1948.
[4] « Bounded analytic functions in several variables and multiple Laplace
integrals ». American Journal of Mathematics, 59 (1937), p. 732.
Borgen
[1] * Note on Poissons' formula ». Journal of London Math. Society, 19 (1944),
p. 213-219.
BOUBBAKI
[1} « Topologie générale. Structures topologiques et structures uniformes ».
Fascicule II, quatrième édition corrigée, Paris, Hermann, 1964.
[2] * Topologie générale. Utilisation des nombres réels en topologie générale ».
Fascicule VIII, deuxième édition, Paris, Hermann, 1958.
[3] « Sur les espaces de Banach ». Comptes rendus Académie des Sciences,
206 (1938), p. 1701-1704.
[4] « Topologie générale. Groupes topologiques. Nombres réels ». Fascicule III,
troisième édition, Paris, Hermann 1961.
[5] « Sur certains espaces vectoriels topologiques ». Annales de l'Institut
Fourier, tome II, 1950, p. 5-16.
[6] « Espaces vectoriels topologiques ». Fascicules XV et XVIII, deuxièmes
éditions. Paris, Hermann (1966,1964).
[7] « Intégration ». Fascicule XIII, deuxième édition corrigée. Paris, Hermann,
1965.
[8] « Topologie générale : Espaces fonctionnels. Dictionnaire ». Fascicule X,
deuxième édition, Paris, Hermann, 1961.
[9] * Algèbre multUinéaire ». Paris, Hermann, 1958.
Braconnier
[1] « La convolution des courants ». Comptes rendus Ac. Sciences, t. 252 (1961),
p. 60-62.
Bhaga Carmen Lys
[t] « Transformation de Fourier des Distributions invariantes ». Département
de Physique de la Faculté des Sciences de Sao Paulo, 1960.
Bbelot
[1] « Étude de l'équation de la chaleur Au = eu, c > 0, au voisinage d'un
point singulier du coefficient ». Annales École Norm. Sup., 48 (1931),
p. 153-246.
[2] « Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point ». Paris,
Hermann, 1934.
[3] « Fonctions sous-harmoniques, presque sous-harmoniques ou sous-médianes ».
Annales Univ. Grenoble, 21 (194^), p. 75-90.

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE
403
Bbowdeb-de Babbos Neto
Voir de Bakros Neto-Bbowdeb [1]
Bbuhat
[1] « Distributions sur un groupe localement compact et applications à l'étude
des représentations des groupes p-adiques ». Bull. Soc. Math, de France, 89
(1961), p. 43-75.
[2] « Sur les représentations induites des groupes de Lie ». Bull Soc. Math, de
France, t. 84 (1956), p. 97-205.
BUBEAU
[1] « Les solutions élémentaires des équations aux dérivées partielles totalement
hyperboliques d'ordre plus grand que 2 et à un nombre impair de variables
indépendantes ». Comptes rendus Académie des Sciences, 225 (1947),
p. 852-854.
[2] « Les solutions élémentaires des équations linéaires aux dérivées partielles
totalement hyperboliques d'ordre plus grand que 2 et à k variables
indépendantes ». Comptes rendus Académie des Sciences, 226 (1948), p. 150-152.
[3] « Essai sur l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles ».
Mémoires Académie Royale Belgique, 15 (1936), p. 1-115.
[4] « Les solutions élémentaires des équations linéaires aux dérivées partielles ».
Mémoires Académie Royale Belgique, 15 (1936), p. 1-37.
Cableman
[1] « L'intégrale de Fourier et questions qui s'y rattachent ». Uppsala, 1944.
Carson
[1] « The Heaviside operational calculus ». Bull. Amer. Math. Soc, 32 (1926),
p. 43-68.
Cabtan-Schwabtz
[1] « Théorème d'Atiyah-Singer sur l'indice d'un opérateur différentiel
elliptique » (Séminaire Cartan 1963-64), École Norm. Sup., Paris, 1964.
Chevalley
[1] « Theory of Lie groups ». Princeton, 1946.
Choquet
[1] « Différences d'ordre supérieur ». Intermédiaire des recherches
mathématiques, 1 (1945), p. 31.
Choquet-Deny
[1] « Sur quelques propriétés des moyennes, caractéristiques des fonctions
harmoniques et polyharmoniques ». BulV Société Math, de France, 72 (1944),
p. 118-141.
CoUBANT-HlLBEBT
[1] « Methoden der Mathematischen PhysiK », Berlin, Springer, 1937.
Cbum
[1] « On the resultant of two functions ». Quarterly Journal Math., 12 (1941),
p. 108-111.
Cuciani-Albebtoni
Voir Albebtoni-Gugiani [1"|

404
Deny
[1] « Les potentiels d'énergie finie ». Acta Mathematica, 82 (1950), p. 107-183.
Dewy-Choquet
Voir Choquet-Deny [1]
DlEUDONNÉ
[1] « La dualité dans les espaces vectoriels topologiques ». Annales École Norm.
Sup. 59 (1942), p. 108-139.
[2] « Une généralisation des espaces compacts ». Journal de Math, pures et
appliquées, 23 (1944), p. 65-76.
[3] « Dérivées et différences de fonctions de variables réelles ». Annales École
Norm. Sup., 61 (1944), p. 231-248.
[4] « Sur les fonctions continues numériques définies dans un produit de 2 espaces
compacts ». Comptes rendus Académie Sciences, 205 (1937), p. 593-595.
DlEUDONNÈ-ScHWABTZ
[1] « La dualité dans les espaces $ et VF ». Annales de l'Institut Fourier, tome I
(1949), p. 61-101.
DlRAC
[1] « The physical interpretation of the quantum dynamics », Proc. of the Royal
Society, London, section A, 113 (1926-27), p. 621-641.
DOETSCH
[1] « Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation ». Berlin, Springer,
1937.
DoLBEAULT
[1] « Formes différentielles et cohomologie sur une variété analytique complexe ».
Annals of Math. Vol. 64 (1956), p. 83-130, et vol. 65 (1957), p. 282-330.
"OUFKESNOY
[1] « Sur le produit de composition de 2 fonctions ». Comptes rendus Académie
des Sciences, 225 (1947), p. 857-859.
Edwards
[1] « Functional analysis, theory and applications ». Holt, Rinehart and
Wiston, Chicago, 1965.
Ehrenpreis
[1] « Solutions of some problems of division ». Amer. Journal of Math., vol. 76,
n° 4 (1954), p. 883-903.
[2] « The division problem for distributions ». Proc. Nat. Acad. Sc., USA,
41-10 (1955), p. 756-758.
[3] « Completely inversible operators ». Proc. Nat. Acad. Sc., USA, 41-11
(1955), p. 945-946.
Fantappié
[1] « Theoria de los funcionales analyticos y sus aplicaciones ». Barcelone, 1943.
Fredholm
[1] « Sur l'intégrale fondamentale d'une équation différentielle elliptique à
coefficients constants ». Rendicoirt/ Circolo Mat. Palermo, 25,1908,

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE
405
Friedrichs
[1] « On differential operators in Hubert spaces ». Amer. Journal Math. 61
(1939), p, 523-544.
[2] « Differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations ».
Communications on pure and applied mathematics, vol. 6 (1953), p. 299-
326.
Fbostman
[1] « Potentiel d'équilibre et capacité des ensembles ». Lund, Univers. Maternât.
Seminarium, 3 (1935), p. 1-115.
Gäbding
[1] « Linear hyperbolic partial differential equations with constant coefficients ».
Acta Mathematica, vol. 85,1950, p. 1-62.
Garnir
[1] « Sur la formulation des problèmes aux limites dans la théorie des
distributions ». Bull. Société Royale des Sciences de Liège (1951), p. 497-513.
[2] « Sur la formulation des problèmes aux limites dans la théorie des
distributions ». Bull. Société Royale des Sciences de Liège (1951), p. 639-649.
[3] « Sur deux équations de la théorie des distributions ». Bull. Société Royale
des Sciences de Liège (1951), p. 650-666.
[4] « Sur les distributions résolvantes des opérateurs de la physique
mathématique». Bull. Société Royale des Sciences de Liège (1951), p. 174-296.
[5] « Sur la transformation de Laplace des distributions ». C.R.Ac. Sei. tome 234
(1952), p. 583-585.
Gel'fand et Shilov
[1] « Fourier Transforms of rapidly increasing functions, and questions of
uniqueness of the solution of Cauchy's problem ». Uspehi Matem. Nauk
(N.S.) 8, n° 6 (58), (1953), p. 3-54.
Gel'fand, Shilov, Gbaev, Vilenkin
5 tomes actuellement parus de « Obobchennie Funktsii » ou « Fonctions
généralisées ». Éditions physico-mathématiques, Moscou, à partir de
1959. Traductions françaises, américaines, allemandes.
GlLLIS
[1] « Sur les formes différentielles et la formule de Stokes ». Mémoires de
l'Académie royale de Belgique, 20 (1943), p. 1-95.
GoDEMENT
[1] « Théorie des faisceaux ». Deuxième édition, Hermann, Paris, 1965.
Gbothendieck
[1] « Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires ». Memoirs of the
American Mathematical Society, n° 16 (1955), p. 1-911 (chapitre i) et
p. 1-140 (chapitre n).
[2] « Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels
topologiques et des espaces nucléaires ». Annales de l'Institut Fourier, tome IV
(1952), p. 73-112.
[3] tSur.les espaces de solutions d'une classe générale d'équation aux dérivées
partielles ». Journal d'Analyse Mathématique (Jérusalem), vol. Il (1952-53),
p. 243-280.

406
[4] « Sur les espaces !F et 3X7' ». Summa Brasiliensis Mathematicae, vol. III
(1954), p. 57-122.
[5"| « Espaces vectoriels topologiques ». Soc. Math, de Sào Paulo, Brésil, 1958.
Guillemot-Tessieb Marianne
[1] « Convolution des courants sur un groupe de Lie ». Ann. de l'École Norm.
Sup., tome 79 (1962), p. 321-352.
Hadamabd
[1] « Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires
hyperboliques ». Paris, Hermann, 1932 (nouvelle édition).
Halpebin
[1] « Introduction to the theory of distributions ». University of Toronto Press,
1952,
Heaviside
[1] « On operators in Mathematical Physics ». Proc. of the Royal Society,
London, 52 (1893), p. 504-529 et 54 (1894), p. 105-143.
Helcason
[1] « Differential geometry and symmetric spaces ». Acad. Press, New-York,
1962.
Herclotz
[1] « Ueber die Integration linearer partieller Differential gleichungen mit
konstanten Koeffizienten ». Bericht Verhandlungen Sächsischen Akademie
Wissenschaften, Leipzig, 78 (1926), p. 93-126 et 287-318.
HlLBEBT
[1] « Gründzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen ».
Göttinger Nachr.,(1910), p. 1-65.
HlLBEBT-CoUBANT
VOIT CoUBANT-HlLBEBT [1].
Hopf
[1] i« Zur algebra der Abbildungen von Mannigfaltigkeiten ». Journal für
reine und angewandte Mathematik, 163, §13 et 4,1930.
HÖBMANDEB
[1] « On the theory of general partial differential operators ». Acta Mathematica,
vol. 94 (1955), p. 162-248.
[2"| « On the division of distributions by polynomials. Arkiv for Mat., Kungl.
Svenska Vetenskapsakad., 3, n° 53 (1958), p. 555-568.
[3] « Linear partial differential operators », Springer, Berlin, 1963.
Hobvath
[1] « Topological vector spaces ». University of Maryland, 1963.
Hove (van)
[1] « Un prolongement de l'espace fonctionnel de Hubert ». Mémoires Académie
Royale Belgique, 34 (1938), p. 604-616.
John
[1] « General properties of solutions of linear elliptic partial differential
equations ». Symposium of spectral theory and differential problems,
Oklahoma, p. 113-175.

INDfcX BIBLIOGRAPHIQUE
407
KoDAIBA
[1] « Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory) ».
Ànnals of Math. 50 (1949), p. 587-665.
[2] « The theorem of Riemann-Roch on compact analytic surfaces ». Amer.
Journal of Mathematics, vol. 73, n° 4 (1951), p. 813-875.
KoDAiBA-de Rham
[1] « Harmonic Integrals ». Lectures, Institute for Advanced Study,
Princeton, 1950.
KÖNIG
[1] « Neue Begründüng der Theorie der Distributionen von L. Schwartz ».
Mathem. Nachrichten, vol. 9, fasc. 3 (1953), p. 129-148.
[2] « Multiplikation von Distributionen ». Math. Annalen, vol. 128 (1955),
p. 420-452.
KoBEVAAB
[1] « Distributions defined by fundamental sequences ». Ned. Akad. Wetenskap.
Proc., vol. 58,1955.
KÖTHE
[1] ■« Die Stufenräume, eine einfache Klasse linearer vollkommener Räume ».
Math Zeit., 51 (1948), p. 317-345.
[2] « lieber die Vollständigkeit einer Klasse lokalkonvexer Räume ». Mathem.
Zeitschrift, vol. 52, fasc. 5 (1950), p. 627-630.
Kbyloff
[1] « Sur l'existence des dérivées généralisées des fonctions sommables ». Comptes
rendus Académie des Sciences URSS, 55 (1947), p. 375-378.
Lavoine
[1] « Transformation de Fourier des pseudo-fonctions ». Centre Nat. Recherche
Scient., Paris, 1963.
[2] « Calcul symbolique des distributions et pseudo-fonctions », Centre Nat.
Recherche Scient., Paris, 1959.
Lax
[1] « On Cauchy problem for hyperbolic equations, and the differentiability of
solutions of elliptic equations ». Communications of pure and applied
mathematics (1955), p. 615-631.
Lebay
[1] « Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace ». Acta Math.,
63 (1934), p. 193-248.
[2] nHyperbolicdifferentialequations». Lectures, Institute for Advanced Study,
Princeton, 1954.
[3] Conférence au Séminaire Bourbaki, ou cours à 1'Institute for Advanced
Study de Princeton, 1951.
Levi (E.-E.)
[1] « Sulle equazione lineari totalmente ellittiche aile derivati parziali ». Ren-
diconti Circolo Mat. Palermo, 24 (1907), p. 275-317.
Lichthill
[1] « An introduction to Fourier Analysis and generalized functions ». Cam.
Univ. Press, New-York, 1958.

408
Lions
[1] « Problèmes aux limites en théorie des distributions ». Acta Mathematica
94 (1955), p. 13-153.
[2] « Supports dans la transformation de Laplace ». Journal d'Analyse
Mathématique, vol. 2 (1952-53), p. 369-380.
LlONS-ScHWABTZ
[1] « Problèmes aux limites sur des espaces fibres ». Acta Mathematica, vol. 94
(1955), p. 155-159.
LOJASIEWICZ
[1] « Division d'une distribution par une fonction analytique de variables réelles ».
C. R. Ac. R. Sa Paris, 246 (1958) p. 683-686.
[2] « Sur le problème de la division ». Studia Math., t. 18 (1959), p. 87-136.
Mackey
[1] « On infinite dimensional linear spaces ». Trans. Amer. Math. Soc., 57
(1945), p. 156-207.
[2] « On convex topological linear spaces ». Transactions Amer. Math. Society,
vol. 60 (1946), p. 519-537.
[3] « Laplace Transform for locally compact abelian groups ». Proceedings of
the National Academy of Sciences of the United States of America, 34
(1948), p. 156.
Malchance
[1 ] « Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées
partielles et des équations de convolution ». Annales de l'Institut Fourier,
tome VI (1955-56), p. 271-354.
[2] « Équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Solution
élémentaire ». CR. Ac. Sc. Paris, t. 237 (1953), p. 1620-1622.
[3] « Équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Équations avec
second membre ». C. R. Ac. Sc. Paris, t. 238 (1954), p. 196-198.
[4] « Sur une classe d'opérateurs différentiels kypo-elliptiques ». Bull. Soc. Math.
France, t. 85 (1957), p. 283-306.
Martineau
[1] « Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de Fourier-Borel ».
Journal d'analyse Math., Jerusalem, vol. 11 (1963), p. 1-164.
Methée
[1] « Sur les distributions invariantes dans le groupe des rotations de Lorentz ».
Commentarii Math. Helvetici, vol. 28 (1954), p. 1-49.
[2] « Transformées de Fourier de distributions invariantes liées à la résolution
de l'équation des ondes ». Colloques Internat, du CNRS, Paris, Colloque
sur la Théorie des équations aux dérivées partielles (1956), p. 145-163.
[3] « Systèmes différentiels du type de Fuchs en théorie des distributions ». Comm.
Math. Helvet., vol. 33 (1959), p. 38-46.
MlKUSINSKI
[1] « Sur la méthode de généralisation de Laurent Schwartz st sur la
convergence faible ». Fundamenta Mathematicae, 35 (1948), p. 235-239.

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE
409
[2] « Sur les fondements du calcul opératoire ». Studia Mathematica, tome XI,
1949, p. 41-70.
[3] « Vanneau algébrique et ses applications dans l'analyse fonctionnelle ».
Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, Lublin, vol. 2,' 1,
section A (1947), p. 1-48, et vol. 3,1, section A, (1949), p. 1-82.
[4] « Une définition des distributions ». Bull. Acad. Polon. Sei., t. III (1955),
p. 589-591.
[5] « Une introduction élémentaire à la théorie des distributions de plusieurs
variables ». C. I. M. E., Institut Math. Univ., Rome 1962.
[6] « Operational Calculus ». Pergamon Press, New-York, 1959.
[7] « Une démonstration simple du théorème de Titchmarsh sur la convolution ».
Bull. Acad. Pol. Sc. vol. 7, n° 12 (1959), p. 715-717.
MlZOHATA
[1] « La théorie des équations aux dérivées partielles : hypoeUipticité des
opérateurs différentiels elliptiques ». Centre Nat. Recherche Scient. 1956, Paris;
p. 165-177.
NlRENBEBG
[1] « Remarks on strongly elliptic partial differential equations ».
Communications on pure and applied mathematics, VI II (1955), p. 648-674.
Nobguet
[1] « Problèmes sur les formes différentielles et les courants ». Ann. Inst. Fourier,
Grenoble, vol. 11 (I960), p. 1-88.
Obnstein
[1] « A non-ine quality for differential operation in the D-norm ». Arch, for
Rat. Mechanics and Analysis, vol. 2 (1962), p. 40-49.
Palais
[1J « Seminar on the Atiyah-Singer index theorem ». Princeton Univ. Press,
1965.'
Paley-Wieneb
[1] « Fourier transforms in the complex domain ». Amer. Math. Soc.
Colloquium, New-York, 1934.
Pallu de la Barrière
[1] « Sur les formules de transformation des intégrales multiples ». Kongelige
Norske Vidensk, Selskab, 21 (1948), p. 28-31.
[2] « Sur une généralisation des formes différentielles extérieures ». Kongelige
Norske Vidensk, Selskab, 21 (1948), p. 35-38.
Petbowsky
[1] « Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles ».
Recueil Math. (Mat. Sbornik), 5-47 (1939), p. 3-70.
[2] « Ueber das Cauchysche Problem für Systeme von partiellen
Differentialgleichungen ». Recueil Math. (Mat. Sbornik), 2-44 (1937), p. 815-868.
Planchebel-Polya
[1] « Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples ». Commentarii Math.
Helvet, 9 (1936-37), p. 224-248.

410
Pol (Van deb) et Niessen
[1] « Symbolic calculus ». Phil. Mag., 13 (1932), p. 537-577.
Polya-Planchebel
Voir Planchebel-Polya [1].
Popoviciu
[1] « Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles ».
Mathematica, Cluj, 8 (1934), p. 1-85.
Rado
[1] « Subharmonic functions ». Ergebnisse, 5, Berlin, 1937.
Rh a m (de)
[1] « lieber mehrfache Integrale ». Abhandlungen Math. Seminar Hansischen
Univ., 12 (1938), p. 313-339.
[2] « Relations entre la topologie et la théorie des integrales multiples ».
Enseignement Math., n° 3-4 (1936), p. 213-228.
[3] « Variétés différentiables. Formes, courants, formes harmoniques ». Paris,
Hermann, 1955.
[4] « Solutions élémentaires d'équations aux dérivées partielles du second ordre
.à coefficients constants ». Colloque Henri Poincaré, Paris CNRS, 1955.
Rh a m (de) -Kodaiba
Voir KoDAiBA-de Rham [1].
Riesz (Fr.)
[1] « Sur les opérations fonctionnelles linéaires ». Comptes rendus Académie
des Sciences, 149 (1909), p. 974-976.
[2] « Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel ».
Acta Math., 48 (1926), p. 329-343 et 54 (1930), p. 321-360.
Riesz (M.)
[1] « L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy pour l'équation
des ondes ». Bull. Société Math. France, 66, 1938.
[2] « L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy ». Acta Math.
81 (1949), p. 1-223.
[3] « Sur les fonctions conjuguées ». Math. Zeit., 27 (1927), p. 218-244.
[4] « Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels ». Acta Litter. Scient, regiae
Univ. hungar., 9 (1938), p. 1-42.
Riss
[1] « Éléments de calcul différentiel et théorie des distributions sur les groupes
abéliens localement compacts ». Acta Mathematica, 89 (1953), p. 45-150.
Rocha de Bbito Eliana
[1] « Separaçào de espaco e tempo nos distribucôes invariantes da solucäo da
equacào das ondas ». Universidade do Brasil, Rio de Janeiro, à paraître.
Roumieu
[1] « Sur quelques extensions de la notion de distribution ». Ann. École Norm,
Sup., t. 77 (1960), p. 41-121.
Sard
[1] « The measure of critical values of differentiable maps », Bull. Amer. Math.
Doc., t. 48 (1942), p. 883-890.

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE
411
Sato
[1] « Theory of hyperfunctioris ». Journ. Fac. Sc. Univ. Tokyo, vol. 8
(1959), p. 139-194, et vol. 8 (1960), p. 387-437.
SCABFIELLO
[1] « Sur le changement de variables dans les distributions et leurs transformées
de Fourier ». Nuovo Cimento, 12 (1954), p. 471-482.
Schwartz
[1] « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de
Fourier, et applications mathématiques et physiques ». Annales Univ. Ore-
noble, 21 (1945), p. 57-74.
[2] « Généralisation de la notion de fonction et de dérivation; théorie des
distributions ». Annales Télécommunications, 3 (1948), p. 135-140.
[3] « Théorie des distributions et transformation de Fourier ». Annales Univ.
Grenoble, 23 (1947-48), p. 7-24.
[4] « Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques ». Annals of Math., 48
(1947), p. 857-929.
[5] « Sur certaines familles non fondamentales de fonctions continues ». Bull.
Société Math. France, 72 (1944), p. 141-145.
[6] « Sur l'impossibilité de la multiplication des distributions ». Comptes Rendus
Ac. Sciences, tome 239 (1954), p. 847-848.
[7] « Théorie des noyaux ». Proc. International Congress of Mathematicians,
États-Unis, 1950.
[8] « Courant associé à une forme différentielle méromerphe sur une variété
analytique complexe ». Colloque de géométrie différentielle, Strasbourg,
CNRS, 1953.
[9] « Espaces de fonctions differentiates a valeurs vectorielles ». Jour. d'Analyse
Math., Jérusalem, vol. 4 (1954-55), p. 1-61, p. 88-148.
[10] « Distributions à valeurs vectorielles ». Annales de l'Institut Fourier,
tome 7,1957 et tome 8,1959.
[11] « Produits tensoriels topologiques d'espaces vectoriels topologiques. Espaces
vectoriels topologiques nucléaires. Applications*. Séminaire, Institut Henri
Poincaré, Paris, 1954.
[12] « Équations aux dérivées partielles ». Séminaire, Institut Henri Poincaré,
Paris, 1955.
[13] « Division par une fonction holomorphe sur une variété analytique complexe ».
Summa Brasiliensis Mathematicae. vol. 3 (1955), p. 181-209.
[14] « Cours de Méthodes Mathématiques de la Physique ». Paris, C. D. U.,
1955, et « Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques ». Paris,
Hermann, 1965.
[15] « Analyse et synthèse harmonique dans les espaces de distributions ».
Canadian Journal of Mathematics, 3 (1951), p. 503-512.
[16] Séminaire 1959-60, Institut Henri-Poincaré. Paris, 1960.
[16 bis] « Ecuaciones diferenciales parciales elipticas ». Univ. Nac. de Colombia,
Bogota, 1956.
[17] « Applications of distributions to the study of elementary particules in rela-
t wis tic quantum mechanics » à paraître, Gordon-Breach, New-York.

412
[18] « Functional Analysis ». New-York University, 1964.
[19] « Convergence de distribution dont les dérivées convergent ». Studies in
Math. Analysis and related topics, Stanford Univ. Press. 1962.
Schwartz-Lions
Voir Lions-Schwabtz [1].
ScHWABTZ-DlEUDONNÉ
Voir DlEUDONNÉ-ScHWABTZ [1].
Sebastiao e Silva
[1] « Sur une construction axiomatique de la théorie des distributions ». Révista
Fac. Ciencias Lisboa, 2e série, A, vol. 4 (1955), p. 79-186.
[2] « Sur Vaxiomatique des distributions, et ses modèles possibles ». C. I. M. E.,
Inst. Math. Uni., Rome, 1962.
[3] « Les fonctions, analytiques comme ultra-distributions dans le calcul
opérationnel ». Math. Annalen, vol. 136 (1958), p. 58-96.
[4] « $ur Vespace des fonctions holomorphes à croissance lente à droite ». Por-
tugaliae Math., vol. 17 (1958), p. 1-17.
Seeley
[1] « Extension of Coo functions defined in a half space* , Bull. Amer. Math.
Soc. Vol. 69 (1963), p. 625.
[2] « Régularisation of singular integral operators on compact manifolds ».
Amer. Journ. of Math. vol. 83 (1961), p. 265-275.
Shilov-Gel'fand
Voir Gel'fand-Shilov[1].
SOBOLEFF
[1] « Sur quelques évaluations concernant les familles de fonctions ayant des
dérivées à carré intégrable ». Comptes rendus Académie des Sciences URSS,
1 (1936), p. 279-282.
[2] « Sur un théorème d'analyse fonctionnelle ». Recueil Mat. (Math. Sbornik), 4
(1938), p. 471-496.
[3] « Sur un théorème de l'analyse fonctionnelle ». Comptes rendus Académie
Sciences URSS, 20 (1938), p. 5-9.
[4] « Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations
hyperboliques normales ». Recueil Mat. (Math. Sbornik), 1 (1936), p. 39-71.
Steinhaus-Banach
Voir Banach -Steinhaus [1]
Temple
[1] « Generalized functions ». Proc. Roy. Soc., t. 228 (1955), p. 175-190.
Titch marsh
[1] « Theory of Fourier Integrals ». Oxford, 1937.
Treves
[1] « Lectures in functional analysis ». Academic Press, New-York, 1966.
Watson
[1] « Theory of Bessel functions ». Cambridge, 1944 (2e édition).

INDEX BIBLIOGRAPHIQUE
413
Weil (A.)
[1] « L'intégration dans les topologiques et ses applications ». Paris, Hermann,
1940.
Weyl (H.)
[1] « The method of orthogonal projection in potential theory ». Duke Journ.,
vol. 7 (1940), p. 411-444.
Whitney
[1] « Differentiable manifolds ». Annals of Math., 37 (1936), p. 645-680.
[2] « Derivatives, difference quotients, and Taylor's formula ». Bull. Amer.
Math. Soc., 40 (1934), p. 89-94 et Annals of Math., 35 (1934), p. 476-481.
[3] « Functions differentiable on the boudaries of regions ». Annals of Math., 35
(1934), p. 482-485.
Whitney
[4] « Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets »,
Trans. Amer. Math. Soc, vol. 36 (1934), p. 63-89.
Widder
[1] « Laplace Transform ». Princeton University Press, 1946.
Wiener
[1] « The Fourier integral and certain of its applications ». Cambridge, 1933.
Wiener-Paley
Voir Paley-Wiener [1].
WlCHTMAN
[1] « PCT, spin, statistics, and all that ». New York, Benjamin, 1964.
Yosida
[1] « Functional Analysis ». Springer, Berlin, 1965.
Young (L.-C.)
[1] « Generalized curves and the existence of an attained absolute minimum in
the calculus of variations ». Comptes rendus Soc. Sc. Varsovie, 30 (1937),
p. 212-234.
ZKILON .
[1] ♦ Das Fundamentalintegral der allgemeinen partiellen linearen
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten », Arkiv Mat., Astron. och Fysik,
6 (1911), p. 1-32.
[2] « Sur les intégrales fondamentales des équations à caractéristiques réelles de
la physique mathématique ». Arkiv Mat., Astron. och Fysik, 9 (1913),
p. 1-70.
Zygmund
[1] « Trigonometrical series ». Dover Publication, New-York, 1955.

INDEX TERMINOLOGIQUE
Absolument continue (fonction, mesure) ■. 18,54
Borélien (ensemble), borélienne (fonction) 15
Borné (ensemble de distributions) 72, 74, 86,195
Bornée sur R" (distribution) 200
Calcul opérationnel, symbolique. Voir symbolique.
Cauchy (problème de) 133,178
Cauchy (valeur principale de) 42, 48
Chaînes 326
Chaleur (équation de la) 145,289
Champ de vecteurs, de dérivation 51
Cobord 343
Cohomologie 321, 353
Complètement inversible (distribution) 212, 296
Convolution des fonctions (produit de) 151
Convolution des distributions (produit de) 153, 246, 268
Convolution (équation de) 208, 281
Convolution (inéquation de) 218
Continue (absolument), voir absolument continue.
Continue (forme linéaire) 16, 24
Continuité séparée, séparément continue (application bilinéaire). 73, note (*), 9
Convergence de distributions 71, 76, 86
Convergente (suite... de distributions) 86,197
Convergeant vers 0 àl'infini (distribution) 200
Couche multiple 102,127
Courants (usuels, tordus, pairs, impairs) 322
Croissance lente (distribution à) 237
Croissance lente (fonction indéfiniment derivable à) 243, 246, 268
Décomposition de Riesz 219
Décroissance rapide (distribution à) £44, 246, 268
Décroissance rapide (fonction indéfiniment derivable à) 234
Degré topologique 368
Dérivation (polynôme de) I64
Dérivée d'ordre non entier 174
Dérivée d'une distribution 35, 87, 80,15
Dérivée d'une distribution 35, 87, 80, 159
Dérivées partielles (équation aux) 128, 208, 281
Différentielle (équation) 130

416
D'rac (courants de) - 325
Distribution 24
Doublet 20
Dirac (mesure de) 19
Directe (image... d'une distribution) 31
Division (problème de la) 123, 282
Dual (d'un espace vectoriel topologique) 67
Élémentaire (noyau) 138
Élémentaire (solution) 135, 211, 286
Elliptique (opérateur différentiel, équation) 146, 215, 295
Équation aux dérivées partielles, voir dérivées.
Équation de convolution, voir convolution.
Équation différentielle, voir différentielle.
Équation intégrale 208, 281
Exponentielle, exponentielle-polynôme 169
Extension d'une distribution 32, 102,414, 268
Filtres 19
Finie (partie) 38
Forme différentielle (usuelle, tordue, paire, impaire) 314,315
Fourier (intégrale de ...usuelle) 231
Fourier (série de) " 224
Fourier (transformation de) 223, 396
Harmonique (fonction) 146, 216, 283
Heaviside (fonctions d') 36, 114
Hermite (polynômes d') 261
Holomorphe (fonction) 48, 216, 283
Homogène (équation) 128, 130, 209, 282
Hypoelliptique 142
Hyperbolique (équation aux dérivées partielles) 49,136,177, 216, 290
Image directe d'un courant 362
Image réciproque d'un courant 373
Image réciproque d'une forme 320
Indépendante de x, (distribution) 55,113, 268
Inéquation de convolution, voir convolution.
Intégrale dépendant d'un paramètre 104
Intégrale d'un courant 325
Intégrale d'une distribution 88,118, 256
Intégrale de Fourier, voir Fourier.
Intégrale (équation), voir équation.
Intégrale partielle d'une forme différentielle sur les fibres 383
Inversible (distribution) 211, 296
Inversible (distribution complètement), voir complètement inversible.
Laplace (équation de), laplacien 45,145, 214, 216, 283, 288
Laplace (transformation de) 264, 299
Lente (croissance). Voir croissance.
Limité à gauche (support) 172, 177
Local, principe de localisation 26
Méromorphe (fonction) 48

INDEX TERMINOLOGIQUE
417
Mesure 15
Mesure de Dirac, voir Dirac.
Multiple (couche) ; voir couche.
Multiplication des distributions 116, 245, 268
Noyau élémentaire, voir élémentaire.
Ondes (équations des) 50, 178, 290
Opérationnel (calcul), voir symbolique.
Ordre (d'une dérivée) 14
Ordre (d'une distribution) 26, 64, 86, 88, 91, 93, 96, 118, 191, 193
Parabolique (équation aux dérivées partielles) 145, 289
Paramétrix 144, 218
Pareeval (formule de) 231
Partielles (équations aux dérivées), voir dérivée.
Partie finie, voir finie.
Partition de l'unité 22
Périodique (distribution) 229
Périodique (presque); voir presque périodique.
Poisson (formule de) 46, 214, 254
Polyharmonique (fonction) 45, 145, 213, 283, 288
Positif (distribution de type) 274
Positive (distribution, mesure) 28
Potentiel 214
Presque-périodique (distribution) 206
Presque-surharmonique (fonction) 219
Primitive d'une distribution 51, 55
Produit de convolution, voir convolution.
Produit direct, voir direct.
Produit multiplicatif, voir multiplication.
Pseudo-fonction 40
Rang d'une dérivée 14
Rapide (décroissance), voir décroissance.
Recollement des morceaux 27
Réflexivité 74
Régularisation, régulariser 165
Régulier (support) 98
Régulier (système différentiel) 130
Restriction d'une fonction 32
Section-distribution d'un espace fibre à fibre vectorielle 339
Séparée (continuité), voir continuité.
Série de Fourier, voir Fourier.
Sommable (fonction) 18
Sommable sur R" (distribution) 203
Sommatoire (formule... de Poisson), voir Poisson.
Spectre d'une distribution 251, 271
Sphérique (distribution) 237
Subordonnée (partition) 22
Support (d'une fonction, d'une distribution). 17, 28, 87, 98, 99,154,156,170,177
Support régulier, voir régulier.

418
Surharmonique (distribution) 220
Surharmonique (presque), voir presque.
Symbolique (calcul) 171,176
Symétrie (opération) 167, 251
Tempérée (distribution) 237
Tensoriel (produit) 104, 120, 134, 154, 158, 268
Topologie 1, 16, 24, 69, 76
Tore 224
Trace 167,173, 256, 275
Transformation infinitésimale 351
Transformation de Fourier, Laplace, voir Fourier, Laplace.
Translation d'une distribution 55, 78,159,161, 205, 239
Transposée (image... d'une fonction) 32
Type positif, voir positif.
Valeur principale de Cauchy 42, 383
Variété indéfiniment différentiable 31, 313
Vectoriel (espace... topologique), voir topologie.
Vectorielle (distribution) 30

INDEX DES NOTATIONS
*ir(v f * + 1)
S mesure de Dirac, p. 19.
Semasse + 1 au point Xy, p. 19.
Y (x) fonction d'Heaviside, p. 36, 114.
H (x) polynôme d'Hermite, p. 261.
Fonctions de Bessel :
Jv(*) = g)vy(-i)* i
, w ZS *ir(v f
i iv(x)=(i)v 2 sr
iY (x) = Jv('t) cos Ttv — J-y(x)
v^ ' sin Ttv
H?>(x) = Jv(x) + iYv(x)
; H«(x) = Jv(x) - iYv(x)
I Kv(x) = *[1-*ig).-r»(g)1
I w 2 sin Ttv
Pseudo-fonctions monômes Ym, p. 43.
Pseudo-fonctions Pf z-*, p. 45.
Distributions L,., p. 47.
Distributions Zt, fonctions s, p. 49, 50.
i*|, dx,^p[, Q, x», D», p. 14-15.
x-y = xiyl + x,y, + — + xjyn, p. 231.
A-Ü.-Ü1, ,il
2>xî "■" 2>xî "^ '"' + bx*"
D = Eg - S3 *37 p-50:
» 0 de type positif, p. 274.
Opérations T et ~, p. 167, 251.
V, "Vs, p. 315 o>, (ù, S, p. 317.
i (Ç), produit intérieur, p. 318.
notations ß_1A<x, ocAß-1, p. 319.
0 (Ç), transformation infinitésimale, p. 351.
Cobord d, bord b, p. 343.
Courants r, Tau, p. 327-328.

ESPACES DE FONCTIONS ET DE DISTRIBUTIONS
(G), p. 15; (C), p. 17; (e*), p. 16; (en)p. 20; (e^),p. 20; (0)), pp. 21, 65; (0)'),
pp. 25, 71; CD*), PP. 24, 64; (0)n), p. 26; (D^, p. 26; (O)"), pp. 21, 24; (2)"»),
p. 26; (OOK., p. 31; (3>)T", p. 31; (£), (S»), p. 88; (£'),(£"»), p. 89; (7»x, (0)%,
p. 107; (o>+), (»_), (»;), (0)1), p. 172; (a)+r), (a>_r), (a>;r). CDlr), p. i";
(»,,), p. 199; (Ä), (Ä), p. 199; (-Dw), p. 200; (»'), (A'), p. 200; (»„„), (»L),
p. 206; <$, p. 233); (cj'), p. 237 ; (0M), p. 243 ; (0'c), p. 244 ; çftr),çf (r), O^ (D,
p. 303; i>m, 5), 0), p. 314; -Dm, 5), 0), p. 316; 5>'m, »', 0)', Ô)"», 5)', »', p. 323.
Relations d'inclusion entre ces espaces
E
Chaque signe EC F ou D marque que E est contenu dans F, avec une topologie
F
plus fine :
P < q
(0>) C^) <Z (2>w) C (0>O C (à) C (Ä) C (0„) C (£)
nnn nnnnn
(£') C (Oi) C (flO C (0)L.) C (Ä') C (»') C (4') C CD').
P < q
IMPRIME EN FRANCE - BOISSEAU - TOULOUSE
DÉPÔT LÉGAL QUATRIÈME TRIMESTRE 1966
numéro d'édition 5551 c
HERMANN, ÉDITEURS DES SC'IENCPS ET DES ARTS