THEORIE de la MESURE
et de
l'INTÉGRATION
rniriiul et Jcsih Calh
£ZZ2,< .-ùZiLï
r Hullfll If 1*5 V-tv

% Publications de l'Université de Rouen 1993
Tous, droits de inuluaion de reproduction eidaajptationresen es pour tous pavs
La loi du il mars 1957 n autorisant, aux termes des alinéas 2 tt S de lunule 41. d'une part, que les * cônes ou
reproductions \trntement réservées a l'usase prive du copiste et non destinées u une utilisation lollective • et
d'autre part, que les analyses et counes citations dans un but d'exemple et d'illustration toute représentation vu
reproduction intégrale ou paniellc. Jaite sans le consentement de /auteur ou des ses axants droits ou avant cause.
est illicite *■ (alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou repradut non. nar quelque procédé qui ce soit
constituerait donc une contrefaçon .\atit tionnée par les articles 42* et suivanisdu Code Pénal

Sommaire
Introduction
Chapitre 1. Familles. Cardinalité. Axiome du Choix
1 1 Familles .
1 2 Cardinahté
1 3 Axiome du Choix
14 Appendice . .
Exercices, compléments
Chapitre 2 Algebres, Tribus, Classes monotones
2 1 Algebres . ...
2 2 Algebres sur un produit
2 3 Génération d'une algèbre . ..
2.4. Tribus, Espaces mesurables
2.5 Cas des produits
2.6 Classes monotones . ....
Exercices, compléments
Chapitre 3 Applications mesurables
3 1 Applications mesurables, définition . .
3 2 Un critère de mesurabihté ..
3 3 Application aux sous-espaces mesurables
3 4 Application aux produits
3 5 Applications numériques mesurables
3 6 Fonctions simples, Approximation . . .
Exercices, compléments
Chapitre 4 Mesures positives
4 1 Mesures, Espaces mesurés . . .
4 2 La mesure de Borel
4 3 Prolongement d'une mesure à une algèbre
4 4 Espaces mesurés complets et complétions
4 5 Casde(R,B(R),A) . ....
Exercices, compléments

4
Chapitre 5 L'intégrale de Lebesgue
5 1 Intégration des fonctions simples 87
5 2 Intégration des fonctions mesurables positives 89
5 3 Fonctions intégrables 92
5 4 Intégrale sur le complété 96
5 5 Intégrale sur un sous-espace 96
Exercices, compléments . 97
Chapitre 6 Espaces Cp et espaces Lp
6 1 Rappels espaces métriques, espaces normes, espaces ordonnés 109
6 2 Inégalités fondamentales 112
6 3 Espaces Cv 114
6 4 Espaces Lv 116
Exercices, compléments 117
Chapitre 7 Modes de convergence
7 1 Revues des types de convergence déjà rencontres 125
7 2 Convergence en mesure 127
7 3 Convergence p-presque uniforme 129
7 4 Récapitulation 133
Exercices, compléments 134
Chapitre 8 Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue
8 1 Construction de l'intégrale de Riemann 147
8 2 Rapport entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue 149
8 3 Intégrale de Riemann généralisée 152
Exercices, compléments 153
Chapitre 9 Génération d'une mesure
9 1 Mesures extérieures 159
9 2 Prolongement d'une mesure, le Théorème de Carathéodory 160
9 3 La mesure de Borel . 163
9 4 Le Théorème de Carathéodory revisité 163
Exercices, complément 166
Chapitre 10 Mesures produits
10 1 Mesures produits espaces mesurés produits 173
10 2 Le Théorème de Fubini 174
Exercices, compléments . 176
Chapitre 11 Décomposition des mesures

111 Mesures, décomposition de Jordan-Hahn 193
112 La décomposition de Lebesgue 195
113 Le Théorème de Radon-Nikodym 197
Exercices, compléments 199
Chapitre 12 Intégrale de Daniell. Mesures de Radon
12 1 L'intégrale de Daniell 209
12 2 Compléments de topologie, formes linéaires 212
12 3 Mesures de Radon . 214
12 4 Le Théorème de Représentation de F Riesz 215
12 5 Représentation des mesures de Radon dans le cas compact 218
12 6 Application aux espaces localement compacts 221
Exercices, compléments 224
Chapitre 13 Désintégration des mesures
13 1 Relèvements 235
13 3 Désintégration des mesures bornées 239
Exercices, compléments 242
Index des notations 247
Index alphabétiques 249
Bibliographie 253

Introduction
Cet ouvrage s'adresse avant tout aux étudiants de licence de
mathématiques préparant le certificat de Théorie de la Mesure et de l'Intégration
Il a été écrit à leur usage car si la littérature abonde au niveau premier cycle
et classes préparatoires, elle n'offre que peu de choix au niveau du deuxième
cycle De plus, dans le domaine de la Théorie de la Mesure et de l'Intégration, la
majorité des ouvrages spécialisés sont inaccessibles à l'étudiant moyen a cause
de leur trop grande concision, leurs exercices avec peu d'aides et, pour nombre
d'entre eux, la rédaction en langue anglaise, ce qui pour un débutant non
anglophone double la difficulté de l'apprentissage Les "monuments" existants
"Measure Theory" de P R Halmos, "Bases mathématiques du Calcul des
Probabilités" de J Neveu . "Intégration" de A. C. Zaanen , ' Lmear Operators'
de N Dunford et J Schwartz, sont les références en la matière mais ne
sont abordables qu'avec une bonne culture mathématique celle précisément
acquise durant "les études de deuxième cycle
Le contenu de ce livre est un cours illustre par de nombreux exercices de
difficultés variables (ces difficultés sont signalées à l'aide du symbole <fr ) Ces
exercices ne sont pas tous de simples applications du cours Certains en sont
des prolongements, d'autres offrent des compléments qui auraient mérité d'y
être intégrés si cela n'avait eu pour effet d'alourdir le texte Par cela même,
nous formulons l'espoir que ce livre sera utile aux étudiants de maîtrise, voire
à ceux engagés dans des études de troisième cycle et aux autodidactes
La voie adoptée est celle désormais classique de la construction de
l'intégrale dite abstraite Elle est diamétralement opposée à celle de Bourbaki.
en Poccurence, celle d'une approche fonctionnelle Cette approche
fonctionnelle, éminamment utile en mathématique, requiert une telle culture qu'il ne

■•emble pas possible de l'acorder vraiment sérieusement avant le troisième cycle
à moins de s adresser a l'élite étudiante) et dès lors on peut se demander s il
jst bien raisonnable de se passer de l'"outil intégration' avant ce stade
Cet ouvrage ne prétend pas à l'originalité mathématique Le soucis
principal des auteurs étant d'ordre pédagogique l'effort aéte porté sur la présentation
de ia matière enseignée
Dans un premier chapitre on introduit uivers outus nécessaires pour la suite.
jn particulier la notion de famille est précisée (la formule de aistnbutivite
généralisée, très utile dans les constructions de départ, aussi bien en mesure
au'en topoiogie est presaue toujours évoquée implicitement ici nous en faisons
une démonstration complète)
Seules les notions d'algèbre et de tribu sont introduites et utilisées dans les
constructions II ne nous a pas semblé utile d'obliger le lecteur à se charger la
mémoire avec les notions d'anneau, de clan de semi-anneau, et de construire
'oute la théorie là-dessus
^ l'inverse une mesure positive »st aefinie sur une collection queiconque le
parties pourvu qu'elle contienne l'ensemble vide Cela s'avère utile et très soupie
dans les constructions de mesures
Les théorèmes de prolongement qui demandent une bonne pratique de 'a
Théorie sont rejetes au chapitre 9 ion peut admettre un -nstant 'existence
le la mesure de Lebesgue sur R, quitte à la justifier plus tard comme on le lait
avec le Lemme de Zorn ou. en premier <.', cle, avec ie Théorème de d Alemcert)
La construction de l'intégrale est pratiquement tnviaiisée Elle °st scinde"
:n trois étapes classiques (fonctions simples fonctions mesurâmes positives
'"onctions mesurables) et les arguments remis à leurs ^ustes olaces. Ainsi, le
Théorème de Beppo-Levi tombe-t-il comme un fruit mur La notion de juasi-
ntezraciiité "St adoptée ce qui est unificateur au niveau de cette Théorie
L'Intégrale de Riemann est construite sans la notion superfétatoire de "pas
des subdivisions' (au fait pourquoi le grand Dieudonne qualifie-t-il cet outii
remarquable d'obsolète? Il nous parait être le mieux adapté à des étudiants
de première année de premier cycle puisqu'il n'utilise que les notions de
corne supérieure et de borne inférieure sur R et aussi, d'uniforme continuité
pour 1 intégrabilité des fonctions continues mais non de convergence uniforme
,iiors programme à ce stade) comme ceia est nécessaire dans la Théorie le
1 intégration des fonctions réglées) Le lien entre Intégrale de Riemann et
intégrale de Lebesgue est établi (Théorème de Lebesgue;
L'ouvrage se termine par l'étude des dérivées de Radon-Xikodvm -t des
désintégrations de mesures, outils hautement profitâmes a ceux qui s engageront
lans des études probabilistes. mais aussi par l'étude des mesures de Radon qu.
elle pourra servir à ceux qui se destineront à l'analyse
On pourra regretter de ne pas trouver de développement sur les
transformées de Laplace et de Fourrier Ce n'est point que les auteurs négligent
l'Analyse harmonique mais la contrainte d'espace limitant à 256 pages la taiile
de cet ouv rage nous avons du faire des choix difficiles dans les thèmes à traiter

Les rudiments requis sont naturellement ies ^oncects enseignes dans
premier cycle aes Universités Une bonne ''onnaissance de H et de sa topoiogie
usuelle -^st recommandée Même si i'on utilise jueiques vains fondamentaux
de la Topoiogie générale il n est pas besoin d'avoir assimilé "out un -raite
sur ce sujet pour aborder ce livre En fait, es certificats ze Topoiogie -t ie
Theone de 'a Mesure s'enseignent généralement simuranement *t certaines
notions du premier sont réinvesties aussitôt aans le deuxième Néanmoins nous
avons redonne 'a définition de 'a plupart _e es noiions ian» e souci .e ie
pas perturber le Lecteur
Pour cet ouvrage, les notions d'application et ae fonction coïncident une
application de À' dans Y est un triplet (X ? T < tel aue T Z .V * i -t -our ~ut
x 6 X, il existe y — f(x) 6 Y uniaue tel que , z, y) £ P II eut ete certainement
plus judicieux de reserver le terme de fonction pour les 'ripiets teis aue pour
tout x 6 X il existe au plus un y t Y tel que \x -j) £ ? -omme ù est 'ail
en Anaiyse de premier cycle Ceci est d'jn isage ^ius -cume jt Tun ;rrma
intérêt dans la manipulation lu 'nresaue partent mais ,ous wons -.acriâV-
malheureusement à la routume
Pour la bonne hsibité ae <-e livre, es nouveau-; -ont ->cr.ts t.
caractères gras et les fins de démonstrations >ont annom es -»er un 4 'our
deuxième ooint nous faisons oreuve l'criminalité jar rapport * "" "" T--;:
aui pour -ette fin, créa ie svmcole j (si ui .eu; r-
postérité levait se souvenir de lui. ce serait >ur
Signalons nue cet ouvrage doit ceaucour il -ojer.r.ais I
élaDore a la suite d'une coilacoration vieille -le douze innées i\ec es nemores
des différentes équipes qui se sont succédés ' Rouen _ans ^nseigneme".:
certificat de ia Théorie de la Mesure Citons c I Ménar ~ C "" viie"
Troailic. F Chariot. L Vernev
Nous fenons à rendre hommage à D Ânuth -our =on merveilleux raitc-
ment de texte scientifique 1£X i freeware ^ ;ui nous a permis ''iaborer -s „exte
à notre convenance
Nous remercions le Laboratoire d'Anaivse des Moaeles Scorhast.aues de
Rouen pour 3on aide matérielle et tout particulièrement >î ^rancner pour ses
précieux conseils à propos de TirX. Snrïn nous remercions aussi .es Editions
PUR d'avoir accepté la publication de '•et ouvrage, en -articuiier .lonsieur
Leciaare. Directeur de la Publication pour son accueil ha:eureux et Madame
Cimpeilo pour ses muitipies et aimacles -onseiis concernant ia mise tu ooint
je la présentation de ce livre
Décembre 1992
-i Bouziau et J Calbnx

tl^TJ . •"
i
*>

Chapitre J.
Familles, Cardinalité, Axiome du Choix
1.1. Familles
On suppose le lecteur familiarisé avec les notions d'ensembles, de sous-
ensembles, d'ensembles de parties d'un ensemble, de calcul booléen ...
Soit X un ensemble. V(X) représente l'ensemble des parties de X (si X a n
éléments alors V(X) a 2" éléments - exercice).
Soit / un ensemble appelé ensemble d'indices. Une famille d'éléments de X
(indexée par /) est une application f de I dans X que l'on note (ar;),-€/ (ou
(x,) s'il n'y a pas d'ambiguïté). Naturellement, V« € / x, = /(i). L'ensemble
de ces familles se notent X . Lorsque I = u l'ensemble des entiers naturels
{0,1,2,...}, on retrouve la notion classique de suite.
Soit (<Ji)i€/ une famille d'éléments de l'ensemble X et soit J C I. La restriction
(°i)i€/ de la famille (a,),€/ à J est appelée sous-famille de (a,-),€;
Une famille de parties de X est une famille d'éléments de V(X). On note
en général une telle famille par (-A,)l€/ (ou encore (A,)). Si B est une partie
de V(X) (dite encore une collection de parties de X), on considère B comme
une famille de parties de X indexée par B, en Poccurence l'identité de B sur
lui même. On écrit B = (A)açb-
Lorsque les éléments d'une collection B de parties de X sont deux à deux
disjoints (pour tout A, B G B, si A ^ B alors AC\B = 0) on note : la collection
B est 2.2.d.. Pour une famille (j4,)i€/ de parties de X, si la collection sous-
jacente { Ai / i G / } est 2.2.d., on dira que cette famille est 2.2.d.. On remarque
que si une famille (Ai) de parties de X est injective et 2.2.d., on a, pour tout
«\i £ 'i s' « # 3 ^OTS M H Xj = 0.

12
1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
On définit :
uAt = (JAi = {x e x/ 3i e / xe a,}
•€/
UB = \J A = {xeX/3BeB x G B}
A€B
o4, = f\A, = {xex/vie/ ieA}
ne = f] x = {x e x/ vb e B ies)
_. lv.1.. A€B
On remarquera que : M A, = 0 et f| A, = X. En effet :
(Ja, = {xe x/ 3ie 0 ie A} = {ia/ 3i (« e (J et x e A)} = 0
f| a, = {x e x/ Vi e 0 i e x,} = {x e x/ Vi (i e 0 -ie A)} = x
Ceci généralise les opérations usuelles de réunions et d'intersections de deux
parties de X. ti
Si A C X, on note Ac = {x G X/x £ j4} le complémentaire de A dans X.
Si A, B e 7>(X), on définit :
X \ B = {x G X/x G A et x £ B] la différence de X et B,
j4AB = (X \ B) U (B \ A) la différence symétrique de A et B.
Noter que : A \ B = A CI Bc et XAB = (A U B) \ (A CI B)
(exercice).
Soit (j4,),-ç/ une famille de parties de X, Y\A, (ou J~J -Aj s'il n'y a pas
■€/
d'ambiguïté) représente l'ensemble des familles (x,),€/ d'éléments de X telles
que : Vi G / i, £A- L'ensemble fj-^i est aPPe'é le produit cartésien de la
famille (A,). Noter que si Vi e I A, = X alors H Ai = X1'.
Attention ! A ce niveau apparaît une ambiguïté possible avec la notion
élémentaire de produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles. En effet, si
L= {l,2,...,n},on n'a pas Yl-Ai = Ai xAi x ...xAn car le deuxième ensemble
est l'ensemble des suites finies (xi,X2,...,xn) avec Vi 6 / x,- G A et un suite
finie (xi,X2,...,xn) n'est pas une famille (x,) mais peut s'interpréter comme la
donnée de (x,),€/ et d'un ordre d'écriture des x,- induit par celui de /.

I. FAMILLES, CARDINALITE, AXIOME DU CHOIX
13
Privilégiant l'ordre naturel de {1,2, ...,n}, nous identifions (11),-6(1,2,.. ,„} avec
(xi,X2,...,z„). Ainsi nous avons JJ j4,- = A\ x Ai x ... x An.
• €{1,2, -,n}
De même, nous identifions X\A, avec Ao x Ai x Aj x ...
■Eu
Si IT-Ai est un produit cartésien, pour tout i0, on définit p,c la projection
.€/
sur la i0,eme coordonnée, c'est à dire l'application de Yl-At dans -^. te"e 1ue
Pi.((I0-€/) = *..-
Formules. Les ensembles en jeu sont pris dans V(X).
AnU,€iA,=U,€i(Ar\Ai)
(Naturellement, dans le deuxième membre, nous avons affaire à une famille
(£i)i€/ définie par Vi G / • B, = A f"l A,.)
A n (nAi) = n(A n A) j4u(im,) = u(j4Uj4,) xu(rii4,) = n(i4Ui4,)
(UX'j = fV' (fV') =U^ (règles de de Morgan)
\i€/ / ■€/ \i€/ / ■€/
...(naturellement, ce formulaire n'est pas exhaustif).
Soit I et J deux ensembles, (J,);çi une famille de parties de J et pour tout
i G /, (A')j€ji une famille de parties de X. On a
(1.1.1)
(1.1.2)
n im= u
.€/ i€J. o.w «n.t,-'-
u rv;-= n
■€/ j€/. (j.).€f €n,t, A
Démonstration de (1.1.1.). On a :
• €/
j€/.
d'où
et donc
•€/ ■€/ ■€/ J€A
U fKcD U4
«■).« Ce,-'- ,€' ,€/ i€A

14
1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
Inversement, si a; G ("lie/ U.67, ^'j on a Vi G / 3j G Ji x Ç. A'.
Fixons donc pour chaque i G / un j,- dans Ji tel que x G A'j.. On obtient
un (ii)ic/ tel que Vi G / a; G i4J-t, donc tel que x G [)^4^. Il s'en suit que
« - if i€/
a; G M O A'jr D'où l'inclusion dans l'autre sens.
L'autre formule se démontre en appliquant les formules de de Morgan.
REMARQUE. Dans la deuxième partie de la démonstration, il n'est pas utile,
comme cela se fait souvent, de distinguer le cas où le premier membre de (1.1.1)
est vide du cas où il n'est pas vide. En effet, ici il s'agit de démontrer une relation
du"*ype A C B, c'est à dire de démontrer que Va; (a; G A —<■ x G B) et donc
de vérifier que a: G -B est vrai lorsque x G A est vrai. Lorsque x G A est faux il
n'y a rien à vérifier car x G A —► x G B est automatiquement vrai (ce qui ne
signifie pas que x Ç. B soit vrai !) et c'est le cas lorsque A = 0.
1.2. Cardinalité
Soit A" et V deux ensembles. On dit que X et V ont le même cardinal (ou
sont équipotents) s'il existe une bijection entre X et Y. On écrit X H Y.
Notons ici deux propriétés qui seront utilisées implicitement dans les
applications : soit A,B,X trois ensembles avec AU B alors XA U XB et Ax U Bx.
En effet, si <p est une bijection de A sur B, l'application ip\ de XB, dans XA
définie par <p\ (/) = / o <p et l'application ifi définie de Ax dans Bx par
<p2(f) = ipo f sont des bijections (exercice).
On vérifie à partir des propriétés des bijections que i. jïxo»
> X U X (réflexivité)
XKY — YKX (symétrie)
XKY et Y KZ -» X KZ (transitivité)
La "relation" K possède donc les propriétés d'une relation d'équivalence mais
diffère de la notion élémentaire de relation d'équivalence en ce sens que son
domaine de définition n'est pas un ensemble, mais la "collection" des ensembles
(qui n'est pas un ensemble !). De plus, cette "relation" dépend de la théorie dans
laquelle on se situe (*).
Pour tout ensemble X, on dit que la collection |A"| = [Y/ Y H X} est le
cardinal de X (cette "collection" dépend de la théorie dans laquelle on se
situe mais cela n'aura aucune incidence sur les propriétés qui seront énoncées).
Sur la "collection" des cardinaux, on définit la "relation" :
|AÏ < \Y\ s'il existe une injection de X dans Y
Cette définition est bien cohérente car elle ne dépend pas des représentants X
et y.
( ) Ce qui vient d'être dit néceuite de développer une théorie axiomatique des ensembles, ce qui
est hors de propos la (cf. appendice). Néanmoins, la conception naTve des ensembles suffira à nos
besoins A '

1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
15
H est facile de voir que la "relation" < est réflexive et transitive. Elle est aussi
antisymétrique :
Théorème 1.2.1. (Cantor-Bernstein)
t 5«|X|<|y| et \Y\<\X\ alors \X\ = \Y\.
démonstration. Soit / : X —► Y et g : Y —► X deux injections. Si
f(x) = y, on écrira abusivement x — /~'(y) ; de même, si g(y) = x, on écrira
y = »"'(*).
Nous allons définir une "partition" de X : disons que x G X possède un nombre
pair d'ancêtres si la suite
s-,W./-,(s-,W),s-,(/-,(s-'W)),...
"s'arrête" au bout d'un nombre pair d'étapes (le dernier élément n'ayant pas
d'image réciproque par g). De même, x possède un nombre impair d'ancêtres
si cette suite s'arrête au bout d'un nombre impair d'étapes. Enfin, x possède
un nombre infini d'ancêtres si la suite ne s'arrête pas (ces ancêtres pouvant se
répéter). Posons :
Dp ={iG X/ x a un nombre pair d'ancêtres}
D* = {x G X/ x a un nombre impair d'ancêtres}
rj D£, = {x G X/ x a une infinité d'ancêtres}
De même, on définirait D*, D,y et £>£,
On a : DfuDÏUD* = X, DfnD? = 0, DfnD* = 0, D?nD* = 0.
Evidemment, on a les même propriétés en remplaçant X par Y.
Définissons h sur X par :
h(x) = f(x) si zer>*ur£
h(x)=g~1(x) si leflf
On a: h(D*)=pX, h(D*) = Dl, h(D^) = D^ .
h est donc une surjection.
On vérifie aisément que h est une injection, c est donc une bijection 4k
On montrera que < est une "relation" d'ordre total sur la "collection" des
cardinaux, c'est à dire on a : |A"| < \Y\ ou \Y\ < \X\ (Théorème 1.3.2.).
Un ensemble X est infini s'il existe Y C X tel que Y # X et |A"| = |V|.
En conséquence, u>, l'ensemble des entiers naturels, est infini (l'application
n —>- 2n est une bijection de u sur 2u, l'ensemble des entiers pairs). Il en
est de même de Q, R et C (exercice).
On montrera aussi, à l'aide d'une récurrence, que si X est infini alors |ui| < |X|.
Les ensembles infinis n'ont pas tous le même cardinal :
Théorème 1.2.2. (Cantor). - \X\ < \V(X)\

16
1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
(naturellement, \A\ < \B\ signifie i \A\ < \B\ et \A\ ^ \B\).
démonstration. L'application de X dans V(X) définie par x —► {x}
est injective et donc \X\ < [P(X)\. s>l •»'
Supposons que |A"| = [P(X)\.
Soit <j> une bijection de X sur V(X). Posons A — {x G X/ x £ <t>(x)}-
L'application <j> étant suijective, soit a G A tel que A = <j)(a). On constate
alors que a G A ssi a £ A, ce qui est absurde. Donc |X| ^ ÏP(A")|. 4>
Par contre, on a : _» ^
Théorème 1.2.3. |Q| = \u\ = \uxu\ = \u"\, n g u*
(où u* = u> \ {0} et u>" = u> x u> x ... x u> (n fois)).
démonstration. L'application de u dans Q définie par n —- n (injection
canonique) donne |u| < |Q|. ^ iixy ^
L'application de Q dans u> définie par
• **» r — F. , 2"^p^ 3'p' 5*
est injective (J est l'écriture canonique de r, cà.d. p G Z , q G u* et, |p| et
9 sont premiers entre eux si p ^ 0 et g = 1 si p = 0; si'ff(p) = 0 si p < 0 et
»»"ff(p) = 1 si p > 0). D'où |Q| <JujJ,
D'après Cantor-Bernstein^l^f^lo)!.
Le lecteur traiteraj£s"autres cas. 4>
On dit que^fénsemble A" est dénombrable si |X| < |ui|. On dit que X
strictement dénombrable si |X| = |ui|. On dit que X est fini s'il n'egfpas
infini. f >\
On montre que : X est fini ssi \X\ < |u| (exercice). Si X est fini nonivide, on
montre qu'il existe n unique dans u tel que \X\ = |{0, l,...,n}|. On convient
d'écrire \X\ = n. *•
Si (xi)ie/ est une famille d'éléments de l'ensemble X telle que { x, / i G / J^soit
dénombrable (resp. fini), on dira que la famille (x,)l€/ est dénombrable (resp.
finie). On prendra garde que cela ne veut pas nécessairement dire que / soit
dénombrable (resp. fini) à moins que la famille ne soit injective. Néanmoins, il
existe une sous-famille (x,-)l€// de (xi),-€/ telle que /' soit dénombrable (resp.
fini ) avec { x, / i G /' } = { Xi / i G / }. Traitons le cas dénombrable. Si /
est dénombrable, on pose /' = /. Supposons / non dénombrable. La relation ~
définie sur I par i ~ i' ssi x,- = x,> est une relation d'équivalence. Si on note [i]
la classe de i, l'ensemble { [i] / i G / } est une partition de /. En choisissant un
i dans chaque classe, on obtient un sous-ensemble dénombrable /' de / comme
étant en bijection avec { x,- / i G / } et la sous-famille (x,);€/i de la famille
(xj),€/ vérifie ^ x,- / i G /' } = { x, / i G / }.
Convention. En vertu de ce qui vient d'être dit, lorsque l'on se donnera
une famille (x,),€/ dénombrable (resp. finie), on supposera toujours que / est
dénombrable (resp. fini). "h* n ■* i .. «
D'après le théorème précédent, Q et u x u sont dénombrables et même
strictement dénombrables. De plus, T{ui) n'est pas dénombrable (1.2.2.).

1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
17
,, Théorème 1.2.4. H < |]0,1[| = |{0,1}"| = |R| = |[0,1]|.
DÉMONSTRATION.
1) L'application <j> de T{ui) dans {0,1}U définie par <}>{A) = 1^ où :
v Ia(x) = 1 si x G A et Ia(x) = 0 si x £ A (indicatrice de A)
est une bijection (exercice) et donc |u| < |{0,1}"\.
2) Tout élément x de ]0,1[ a une écriture au moins de la forme
Ê^r = °.«î«î«5.- (E)
„=oz
avec «) G {0,1}").
En fait, tout x de ]0,1[ a une écriture (E) unique sauf les dyadiques. Ceux-ci
par définition sont les x associés aux (a*) nuls à partir d'un certain rang Ils
admettent une deuxième écriture obtenue en remplaçant le dernier 1 par 0 et les
0 qui suivent par des 1 (par exemple : 5 = 0,1000 .. = 0,0111...). Sélectionnant
pour les dyadiques l'écriture se terminant par des 0, on obtient une injection
* —' (O de ]0,1[ dans {0,1}". Donc |]0,1[| < |{0,1}"|.
3) L'application 6 de {0,1}" dans R définie par 6((an)) = E~=0r^r est
une injection et donc |{0,1}"| < |R|.
4) L'application de R dans [0,1] définie par x —» —'^'+1 est une injection
(en fait une bijection de R sur ]0,1Q et donc |R| < |[0,1]|.
5) [0,1] s'injecte dans ]0,1[ (exercice) et donc |[0,1]| < |]0,1[|.
En résumé :
i]o,i[i<i{o,in<iRi<i[o,i]i<i]o,i[i
et donc tous ces cardinaux sont égaux en vertu de Cantor-Bernstein 4>
On a deux propriétés importantes des ensembles dénombrables ■
Théorème 1.2.5. Sott X un ensemble, (A,),çi une famille dénombrable
de parités dénombrables de X alors U,e/j4, est dénombrable.
démonstration. On peut supposer que / est dénombrable. Si 7 = 0, on
a U,£/i4, = 0 donc U,€/j4, est dénombrable.
Supposons I fk 0. Si A, = 0 pour tout i G /, on a U,e/j4, = 0 S'il existe t'o tel
que i4,0 fk 0, quitte à enlever les A, vides, on peut supposer A, fk 0 pour tout
«G/.
Soit <j> : I —» u> injective et, pour tout i G /, soit <j>, : A, —» u injective.
Pour chaque x G U,€/j4, choisissons ir tel que x G Ati puis associons à cet x
le couple 6{x) = (<j>ir(x),<j>(ir)). Nous obtenons une application 8 de lM, dans
w x u. Cette application est injective. En effet, soit x fk y. Si ^(ir) # <Kh)
alors 8{x) 5e 8{y). Si <j>{iz) = <i>{iy) alors ir = iy par l'injectivité de <j> et donc
&. = <t>i,- Comme <j>,w est injective, <j>,,(x) £ <j>,t(y) et donc 6{x) £ 6(y). 4
Théorème 1.2.6. Soti X un ensemble dénombrable, Vj(X) l'ensemble
des parties finies de X. On a [Pj(X)\ < \u\.
<!• 1-.«. • ^
démonstration. Exercice. 4

18
1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
Notation. On note |u| = H0, |R| = c (dit la puissance du continu).
1.3. Axiome du choix
Dans la démonstration du Théorème 1.2.5, on a admit que pour chaque x, on
pouvait choisir i„ dans {i G I/x G .A,} pour tout x G UA, (de même, pour tout
i G / on a choisit une injection fa de A, dans u). Ce fait intuitivement évident
mérite cependant le nom d'Axiome du Choix. Il a soulevé au début du siècle
une vive polémique quand il fut découvert par Zermelo.
a Axiome du Choix (C). Soit (j4,),€/ une famille non vide de parties
non vides d'un ensemble X. Alors il existe c : / —► IM,- 'e/ 9«e c(«) G A,
^ pour tout i G /
(c est appelée fonction de choix/ J « ,1
Cet axiome est équivalent au fait que Yl-At / 8 Pour toute famille non vide
(A,) d'ensembles non vides.
En application, on a le résultat suivant :
Théorème 1.3.1. Soit X et Y deux ensembles non vides. Supposons
qu'il existe une surjection <j> de X sur Y alors il existe une injection de Y
dans X et donc \Y\ < \X\.
démonstration. Soit ($-I(y))y€y. C'est une famille non vide d'ensembles
non vides. Soit c une fonction de Y dans X avec c(y) G <t>~l(y) (fonction de
choix). La fonction c est l'injection cherchée : en effet, soit yi,y? € Y avec
yi # Ift- H est clair que ^"'(yi) CI ^"'(ift) = 0 et donc c(yi) ^4 c(yi). A
Le lecteur cherchera l'utilisation de (C) dans la démonstration de (1.1.1) et
dans la construction d'une sous-famille injective d'ensembles peut avant le
Théorème 1.2.4.
L'axiome du choix est équivalent à d'autres énoncés qui ont un contenu moins
évident et qui montre la profondeur de cet axiome.
On appelle bon ordre sur un ensemble, un ordre tel que toute partie non vide
de cet ensemble admette un plus petit élément.
Il est facile de voir qu'un tel ordre est total (exercice).
L'ordre naturel de u> est un bon ordre par contre celui de R, bien que total ne
l'est pas (]0,1[ n'admet pas de plus petit élément).
Propriété de Bon Ordre (BO). Tout ensemble peut être muni d'un
bon ordre.
On montre que : (C)«-(BO).
On dit que l'ensemble ordonné (X,<) non vide est inductif (ou que < est
inductif) si toute chaîne Y dans X (c.à.d. toute partie totalement ordonnée
par l'ordre induit) admet un majorant (c.à.d. 3a£X Vy G Y y < a).
Propriété de Zorn (Z). Tout ensemble X ordonné, inductif, non vide
admet un élément maximal (c.à.d. 3a£X Vy G X a < y —► a = y).

1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
19
On montre que : (C)«-* (Z).
La propriété de Zorn admet une application spectaculaire dans le résultat
suivant : tout espace vectoriel non réduit à {0} admet une base.
La démonstration de : (C)»(BO)»(Z), ainsi que l'équivalence avec d'autres
propriétés se trouvent entre autres dans : Leçons d'Algèbre Moderne, DUBREIL-
JaCotin, Dunod; Topology, KELLEY, Van Nostrand.
Le lecteur intéressé pourra s'y référer.
En application, montrons le :
Théorème 1.3.2. On a \X\ < \Y\ on \Y\ < \X\.
démonstration. Si X = 0, le résultat est immédiat : / = 0 est une
injection de X dans Y.
Supposons donc X ^4 0.
Considérons la famille Ta des injections de A dans Y, ceci pour tout A C X
et posons T'= U{TA/ A C X }.
T n'est pas Vide (pour A = 0, / = 0 est une injection de A dans Y)
Définissons un ordre sur T par / -< g si
D(f)CD(g) et gmt) = f
où D(f) est le domaine de définition de / et f\& est la restriction de f h A.
Il est facile de vérifier que -< est un ordre sur T (exercice).
Montrons que -< est inductif.
Soit C une chaîne dans T et posons
A = Ui€CD(f)
Fait 1. Si x G A et si x G D(f) et x G D(g) pour f,g G C alors f(x) = g(x).
En effet, on a / -< g ou g -< f. Supposons que l'on ait / -< g. Comme
D(f) C D(g) et g\D{/) = f, il est alors clair que f{x) = SjC(/)(a;) = g(x).
L'autre cas se traite en permutant les rôles de / et g.
Fait 2. Si x, y G A alors il existe / G C tel que x, y G D(f).
En effet, soit f,gÇ.C telles que x G D(f) et y G D(g). Supposons / -< g.
Comme D(f) C D(g), on obtient que x G D(g) et donc x,y G D(g). L'autre
cas se traite en permutant les rôles de / et g.
Le fait 1 permet de définir une application g de A dans V en posant, pour tout
x G A, g(x) = f(x) pour un / G C tel que x G D(f).
Le fait 2 permet de voir que g est injective.
De plus, par construction, V/ G C / -< g.
On a donc que -< est inductif. Il s'en suit que (T, -<) admet un élément maximal
disons /m.
Si D(fm) = X, on a \X\ < \Y\.

20
1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
Si D(/m) # X, on a /m(D(/m)) = Y. En effet, si y \ /m(D(/m) # 0, on peut
choisir i0e^\ D(fm) et y0 G Y \ fm(D(fm)). Mais alors, on fabrique g tel
que D(g) = £>(/„) U {i0} en posant g(x) = fm(x) si x e £>(/m) et s(i0) = M>-
II est facile de vérifier que g G T, /m -< s et /m je j. Ce qui contredit la
maximalité de /m. Donc fm(D(fm) = V. Il s'en suit que /m est une bijection
de D(/m) sur Y et donc |y| < \X\. *
1.4. Appendice
La théorie des ensembles est née au début du siècle à partir de l'oeuvre de
Cantor. Très vite, cette conception nouvelle montra ses limites. L'idée de
fabriquer de nouveaux objets appelés ensembles en "réunissant" entre eux des
objets ayant une propriété commune pouvait-elle s'appliquer à ces nouveaux
objets. En particulier, pouvait-on parler de l'ensemble des ensembles ? Ceci
conduisit au paradoxe suivant : appelant U cette collection des ensembles et
définissant V = {X G U/X £ X], si on suppose que U est un ensemble,
V est alors un sous-ensemble de U et donc un ensemble. On obtient alors :
V G V «-» V ¢. V (paradoxe de Russel).
La nécessité d'axiomatiser cette nouvelle théorie conduisit à de nombreux
travaux en logique. Parmi ces axiomatisations, celle de Zermelo-Fraenckel
(Z.F.) est couramment utilisée.
La notion de cardinalité posa elle aussi rapidement des problèmes difficiles.
Cantor, en 1878, posa la question de savoir si
VA (M < \A\ < |R| -» (M = \A\ ou \A\ = |R|)) (Hypothèse du Continu)
et plus généralement si :
VX infini VB (\A\ < \B\ < [P(A)\ — (\A\ = \B\ ou \B\ = \V(A)\))
(Hypothèse du Continu généralisée)
En 1938, Gôdel montra, en utilisant la théorie des modèles, que si on a une
contradiction avec l'hypothèse du continu, alors il existe une contradiction sans
cette hypothèse. Ceci permettait aux mathématiciens qui utilisaient l'hypothèse
du continu, de continuer à l'utiliser sans vergogne. (Plus important, Gôdel
montra un résultat similaire pour l'axiome du choix.) Dans sa démarche, il
exhiba un modèle de la théorie des ensembles où l'hypothèse du continu est
vérifiée. Cohen, en 1963, compléta le résultat de Gôdel en exhibant à son
tour un modèle où l'hypothèse du continu est fausse. Dès lors, cela prouvait
que l'hypothèse du continu est indécidable au sens où l'on ne peut ni la
démontrer, ni la réfuter dans le cadre Z.F.. Pour illustrer la démarche de Cohen,
considérons une axiomatique de corps. On peut se demander si l'hypothèse
"l'équation x2 + 1 = 0 admet une solution" peut se démontrer ou se réfuter
à partir de ces axiomes. Or nous connaissons un modèle où cette hypothèse
est fausse (R) et un modèle où cette hypothèse est exacte (C). Ceci permet de
conclure que l'hypothèse sus-dite ne peut se démontrer ni se réfuter à l'aide
d'une axiomatique de corps et donc est indécidable. r<*

1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
21
Pour une théorie axiomatique élémentaire des ensembles, on pourra consulter
le livre de Kelley déjà cité en (1.3). Pour une théorie plus élaborée : Set iheory
and the coniinuum hypothesis, P.J. Cohen, W.A. Benjamin.
Exercices, compléments
E.l.l. Soit X et Y deux ensembles, / une application de X dans Y.
a) Soit A C X et B C Y. On définit :
f(A) = {yeY /3xeA /(*) = y }
f-t(B) = {xeX/f(x)eB}
Montrer que si on a A C A' C X et B C B' C Y alors, /(A) C /(A') et
f-'(B) C f~l(B').
b) Montrer les formules suivantes avec (A,),e/ une famille de parties de X
et (Bj)jçj une famille de parties de V :
a) f(UA<) = U/(A.) a') /"'(UBj) = U/"'(B,)
P) /(nA) c n/(A.) /?) /-'(nB,) = n/-'(B,)
7) A, C /"' (/(A)) V) /(/"'(£,)) = Bi n /(X)
«)/(*)\/(A)C/(X\X.) «')/-'(V\Bi) = ^\/-,(^)
c) Caractériser l'injectivité de /. Idem pour la surjectivité.
d) Montrer à l'aide de b) que si (B3) est une famille de parties de Y 2.2.d.
alors la famille (/~'(Bj)) est une famille de parties de X 2.2.d. et que si (B3)
est une famille injective de parties de Y formant une partition de Y, alors
{f~l(Bj)) est une famille de parties de X formant une partition de X.
Aide, b) A titre indicatif, en modèle de rédaction, montrons a). 1) Si on fixe
«o £ /, on a Ate C UA, et donc d'après a), f(A,0) C f(UA,). Comme t'o est
arbitraire, on obtient Uf(A,) C f(UA,) (•). 2) Inversement, soit y G /(UA,)
Soit x G UA, tel que f(x) = y. Soit enfin t'o G / tel que x G A,„ On
a y = f(x) G f(Aie) C U/(A,). D'où /(UA,) C U/(A.) (**). On déduit
/(IM.) = U/(A.) de (•) et (**).
c) On montre aisément que chacune des propositions suivantes est
équivalente à l'injectivité de / :
- v(A) g v(x) /(riA.) = nf(A)
-VAeV(X) /"'(/(A))=A
- VA G V(X) f(X \ A) = f(X) \ /(A)
On montre aussi que la proposition suivante est équivalente à la surjectivité
de/:
-VBeV(Y) f(f~l(B)) = B.»

22 1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
E.1.2. Soit a,b G R, a < b. Montrer que
°° 1 1 '««I
n=I
De même, montrer que si (an) est une suite de réels convergeant en croissant
vers a et si (b„) est une suite de réels convergeant en décroissant vers b, alors
p)K,,u=M].
n=I
Dbnner un résultat similaire pour ]a,b[.
1 ~ - ^ 1 " A
Aide. Pour tout n G w*, a < a < b < b+ — et donc pour tout n G u",
n n
11 °° 1 1
[a,i] Cla ,i'+—[. On en déduite que [a,i] C P|]a ,i+—[. Inversement,
n=I
00 1 1 11
soit x G Plia ,i+ — [. Pour tout nEu'ooai G]a ,i+ —[. On en
1 ' n n n n
n=I l
déduit que a — lima < x < limfcH— et donc x G [a,il. Les autres cas sont
n n
laissés au lecteur.*
E.1.3. «fr Rappelons que si X est un ensemble et si A C X, la fonction
indicatrice 1^ de A est la fonction définie sur X à valeur dans {0,1} qui vaut
1 sur A et 0 sur Ac. jr.
a) Montrer que {0,1}X est l'ensemble des fonctions indicatrices des parties
de A".
b) On identifie {0,1} à Z/2Z. Il s'en suit que {0,1} est alors muni d'une
structure de corps commutatif (avec une addition notée +)-
Montrer que {0,1}X est un anneau commutatif unitaire quand on le munit des
deux lois + et x définies par (f+g)(x) = f(x)+g(x) et f x g(x) = f(x).g(x).
c) Avec les lois ainsi définies, montrer que
1j« x 1b = lj«nB
1j4+1b—lj«nB = Iaub
l-U = U*
d) En déduire que (V(X),A,n) est un anneau commutatif unitaire.
Aide, a) Il suffit de constater que si / G {0,1}* alors / = 1/-'({i})-
c) 1a&b(x) = 1 équivaut à a; G AAB, ce qui équivaut à soit x G A(~\BC, soit
x G BnAc, ce qui équivaut encore à soit 1a(x) = 1 et 1b(*) = 0> s0'1 1b(x) = 1
et 1a(x) = 0 et donc ce qui est équivalent à Ia+1b(x) = 1a(x)+1b(x) = 1.
On a donc 1^+Ib = 1.aûb- *i) '* -» —

1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX 23
d) La question c) permet de voir que l'application / —» /~'({1}) de
{0, l}* sur V{X) est un isomorphisme de structure. •
E.1.4. 4£ Montrer que l'application / de u x u dans u définie par /((n, m)) =
i(n + m)(n + m + 1) + m est une bijection.
Aîde. 1) / est injective. En effet, soit (n,m) ^ (n',m'). Ou n + m = n' + m',
alors m ^4 m' et donc
•n+m x sn'+m' x /n'+m\
/("."»)= (E «")+"»=( E «■)+"»/( S )+m' = /(n',m'),
ou n + m / n' + m' et dans ce cas on peut supposer n + m < n' + m'. On a
alors
/n+m x *n+m
/"+m x /n+m x
/(n,m)= ( £ il+m< ( £ il+m + n + l
^i=i ' ^i=i '
n+m+l n'+m' ,n'+m' x
= E i< E «■<( E ')+m' = /(n' + m').
1=1 1=1 ^ 1=1 '
2) / est surjective. Montrons le par récurrence sur les images. On a 0 = /(0,0).
Supposons la propriété vraie jusqu'à p, c'est à dire p = /(n, m) pour un certain
couple (n, m). Ou n ^4 0, dès lors
p+l= -(n + m)(n + m+l) + m+l
' = -(n-l + m+l)(n-l + m + l + l) + m+l =/(n-l,m+l),
ou n = 0, dès lors
p + 1 = /(0, m) + 1 = -(m2 + m) + m + 1 = -(m2 + 3m + 2)
= i(m + l)(m + 2) = /(m + l,0). .
E.1.5. <fr Montrer que les ensembles suivants sont dénombrables :
a) L'ensembles des polynômes à coefficients dans Q.
r
b) L'ensemble des nombres algébriques (ce sont les zéros des polynômes à
coefficients dans Z).
c) Toute famille d'intervalles ouverts non vides de R deux à deux disjoints.
d) JH L'ensemble des points de discontinuité d'une fonction monotone de
R dans R.
Aîde. a) Cet ensemble n'est autre que \J„€w. Qn- On applique 1.2.5.
, b) Appliquer le théorème de d'Alembert et 1.2.5.

24 1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
c) Q est dense dans R. '' t3
d) Pour / croissante, poser S = { x G R / f(x—) < f(x+) } avec
f(x-) = lim f(x') et /(i+) = lim f(x'). Montrer que l'ensemble des points
de discontinuité de / est exactement S et appliquer c) à { ]f(x—), f(x+)[ / x G
S}..
E.1.6. 4* Cardinalité
a) Montrer que u" et R" ont la puissance du continu ainsi que C(R)
l^ensemble des applications continues de R dans R.
b) On rappelle qu'un ouvert de R est par définition une réunion
(quelconque) d'intervalles ouverts. Montrer qu'un tel ouvert est réunion (dénom-
brable) d'intervalles ouverts à extrémités rationnelles.
c) Montrer que la collection des ouverts de R a la puissance du continu.
Aide, a) 1) L'application (i(„,m))(„,m)€„»^—» ((*(n,m))n€")m€„ de {0,1}"X"
dans I {0,1}" I est une byection. On a alors en appliquant en particulier 1.2.4.
c = 1(0, i}"| < Kl < |R"| = |({o, i}T I = |{o, i}*"""| = |{o, i}"| = c.
2) L'application / —► /jq de C(R) dans C(Q) est une injection et C(Q)
s'injecte canoniquement dans R* (deux fonctions continues sur R, coïncidant
sur Q, coïncident sur tout R).
b) La collection V = { ]a, b[ / a,b G Q } est dénombrable car l'application
(a,i) —»]a,i[ de Q x Q dans V est surjective (appliquer 1.2.3 et 1.3.1). Soit
]a,b[ un intervalle ouvert et soit (a„) et (b„) deux suites dans Q telles que
a„ i a et bn î b. On a]a,fc[= U]an,in[ (E.1.2). Maintenant, si G = U]a,,b,[, on
peut écrire ]a,,fc,[= Un]ai|n,fcin[ où les Oit„ et les b,§„ sont rationnels. Dès lors
G = \J,ei\Jn€w\a>.'»,>'.n[ et la collection { ]<!,,„,*,,„[ / » G I,n G u } ne peut
être que dénombrable.
c) L'application de R dans I = { ]a,b[ / a,b G R }, x —<]a,a + 1[
est injective et donc \rg\ > \I\ > c. Maintenant, pour tout ouvert G de R,
choisissons une sous-collection { ]a^,i^[ / » G u } de V (cf. b)) telle que
G = U„eu]an , bn [ (ce qui est toujours possible en rajoutant éventuellement des
intervalles vides à partir d'un certain rang). L'application G —► (a^, b^)nçw de
t* dans (QxQ)" est injective et donc |t*| < |(QxQ)"| = \(uxuf\ = |uT| = c
en vertu de a). (On peut donner une injection intéressante de uf dans {0,1}" :
(no,ni,---) —» (0,---,0,1,0,---,0,1,---), ce qui, joint au fait que {0,1}"
no ni
s'injecte trivialement dans u", redonne la dernière égalité.) •
E.1.7. <fr Suites de parties d'un ensemble
Soit X un ensemble et (E„) une suite de parties de X. On pose
m- 'liA
limE„ =Q (j£„ (limite supérieure des E„)

I. FAMILLES, CARDIN ALITÉ, AXIOME DU CHOIX 25
\unE„ = M || E„ (limite inférieure des E„)
En traduisant les définitions, on voit que x € limfn ssi x appartient à E„ pour
une infinité de n et x G lim.£?n ssi x appartient à tout les E„ à partir d'un
certain rang. Cette formulation est très pratique dans les raisonnements.
On remarque aisément (appliquer la formulation sus-décrite) que lim£?n C
\imE„.
On dit que (En) converge si YimE„ = \ïmE„ et cet ensemble commun est appelé
limite des E„ et est noté \im E„.
a) Montrer que toute suite monotone converge. Quelle est sa limite ?
b) Montrer que toute suite de parties deux à deux disjointes est
convergente.
c) Soit («„) une suite bornée dans R. Pour tout n, on définit E„ = { x G
R / u„ < x }. Montrer que
]limu„,+oo[C limfi'n C (hmun,+oo[
]limu„,+oo[C l\mE„ C Qimun,+oo[.
d) Soit A,B deux parties de X. On définit E„ pour tout entier n par
E„ — A si n est pair et En — B si n est impair. Déterminer \imE„ et lim£?n
e) Montrer que lj^E = limlc. et l|,mE. = limlEn.
f) Montrer que
(ÏÏm£,„)<: = Iim££ (\imEn)c = îîm£*
F\\miEn = \jm(F\En) F \ \jmEn = Bm(F \ E„)
où F est une partie de X.
g) Soit (An) et (B„) deux suites de parties de X. Montrer que
o)_lim(i4n CI B„) = limA, n \aaB„ C KmA, n ÏÏînB„ C fim(.An n B„) C
limj4n n limB„).
Que dire en remplaçant n par U ?
P) Iiis(A. \ Bn) = (JimA.) \ (limB^
A-t-on une relation analogue pour l\m(An \Bn)?
h) «frafr Montrer que pour toute suite d'ensembles (A„) d'un ensemble X,
lunXnAUmXn = Iimi4„\lim-An = r\,{(\Jt>„A„) H (Uk>„A%)).
Aide, a) Si (E„) est croissante MmE„ = UE„, si (En) est décroissante
TàmE„=r\E„.
b) La limite est 0.
c) Supposons que limu„ < x. On en déduit qu'à partir d'un certain rang
8uPp>nup < x et donc, à fortiori, un < x à partir d'un certain rang. Ceci
signifie que x G \imE„. Les autres inclusions sont laissées au lecteur.

26 1. FAMILLES, CARDINALITÉ, AXIOME DU CHOIX
d) fiîn£;n = A U B et WmE„ =j4PIB. . i
e), f) et g) Ce sont de simples applications des définitions.
h) On a limA, C lim.An, donc
ïïm" j4„A \\mAn = (O, Ut>„ Ak) \ (U„ nt>„ Act)
= n„,.„,((ut>n,^0 n (ut>n:ixï))
= n„((u>nxt)n(ut>„xï))
(la dernière égalité se déduit de la décroissance de (Uk>„Ak) et de (U/t>„j4£)). •
t^î'-'-

■:f
Chapitre A
Algèbres, Tribus, Classes monotones
2.1. Algèbres
Soit X un ensemble et A une collection de parties de X.
On dit que A est une algèbre (sur X) si :
(a,l) Af9
9 ' (a,2) VA,BeA AUBeA
(a,3) VAeA AceA
EXEMPLES :
(1) V(X) est une algèbre sur X pour tout ensemble X.
(2) { A C X I \A\ < Ho ou |j4c| < H0 } est une algèbre.
(3) { A C R / [0,1] C A ou [0,1] HA = 0 } est une algèbre stir R.
'(4) { ]a>b[ / a,b £ R } n'est pas une algèbre sur R (rappelons que
]a,i[= { x £fl / a < x < b] pour tout a et b dans R).
Proposition 2.1.1. Sozt A une algèbre sur X. On a les propriétés
suivantes :
(a,4) X G A
{ K - M) » e A
(a,6) VA,BeA AHBeA
(a,7) VA,BeA A\BeA
(a,8) VX,Be.4 XABe.4
(a,9) VA'finie A UA'eA
(a,10) V.4'/îimC.4 nA'eA.

28
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
DÉMONSTRATION. Comme A j£ 0, soit Ao G A- On a :
X = X0Ui4Je^ et H = x'-eA
et donc (a,4) et (a,5) sont vérifiées.
Soit A, B G A. On a :
i4\B = i4nBce^
et donc (a,6), (a,7) et (a,8) sont vérifiées.
Montrons (a,9) par récurrence sur \A'\-
Si K| = 0 alors A' = 0 et donc U4' = 19 G A.
Supposons le résultat vrai jusqu'à n et supposons que \A'\ = n + 1. Fixons
A G A'. On peut écrire A' = A" U {A} avec \A"\ = n. D'après l'hypothèse de
récurrence, U4" G A et donc U4' = (U4") U A e A.
La propriété (a,10) se démontre de manière similaire. 4>
Proposition 2.1.2. Soit A C V(X). Les énoncés suivants sont équivalents
1) A est une algèbre.
2) A vérifie (a,l), (a,6) et (a,3).
S) A vérifie (a,4) et (a,7).
4) A vérifie (a,4), (a,6) et (a,8).
5) A vérifie (a,9) et (a,3).
¢) A vérifie (a,10) ei (a,3).
DÉMONSTRATION. Elle est aisée et laissée à titre d'exercice (aide : On
appliquera la formule A(l B = B\(X\A) pour 3) ; on remarquera que si on a
5), d'après (a,9) 0 = U0 G A et donc A £ 0 ; de même, si on a 6), X = 00 G .4
et donc .4^0).*
REMARQUE. Une collection A de parties de A" vérifiant (a,l), (a,8) et (a,6) est
appelée un anneau. Ceci est lié au fait que (.4, A, Cl) est un anneau (exercice).
Si de plus (a,4) est vérifiée, alors on a un anneau unitaire (d'où le fait que
certains auteurs appellent une algèbre un anneau unitaire).
Notations. Si A est une collection de parties de X stable pour les unions
quelconques, on écrit : A est stable pour U,
On définit de même les expressions : A est stable pour U<i, (resp. U/, CI,, Dj,
(~\j, c) où q signifie quelconque, d signifie dénombrable, / signifie fini et c signifie
complémentation.
Si A est une collection de parties de X, on définit :
Aa = { A I A est union dénombrable d'éléments de A }
= { A I 3A' dénombrable C A A = UA' }
= { U.4' / A' dénombrable C A }.
De même :
Ai = { HA' I A' dénombrable C A }
A. = { U4' / A' fini C A }

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES 29
Ap = { 04' / A' fini c A }
A? = { UA' I A' fini C A ; A' 2.2.d. }
Ac = { A' I A C A }
On note par exemple (A)ci à la place de ((A)c)i ...
Rappel : si A C 7>(*) est telle que VA,A' eA (A£ A' — AH A' = 0), on
dit que .4 est 2.2.d. (les éléments de .4 sont deux à deux disjoints). Si (Ai) est
une famille de parties de X deux à deux disjointes, on écrira que la famille est
2.2.d..
2.2. Algèbres sur un produit
L'objet de ce paragraphe est de montrer que si on possède des algèbres sur des
ensembles, on fabrique aisément une algèbre sur le produit de ces ensembles à
partir des algèbres initiales.
Théorème 2.2.1.
1) Soit X\ et X2 deux ensembles, Ai et Aï deux algèbres sur Xi et X?
respectivement. Posons :
C = { Ai x A2 I Ai e Ai et A2 G A2 }.
Alors C, est une algèbre sur Xi x X? (en fait, c'est la plus petite algèbre
sur Xi x X2 contenant C).
2) Plus généralement, soit (AV),-e/ une famille d'ensembles et (.4i)>€/ une
. famille d'algèbres telles que Vi G / Ai C V(Xi). Posons :
C = { H PT^Ai) I f fi^ C /; Vi e V Ai e Ai }.
■•€/'
Alors C, est une algèbre sur Plie/ ^' (en fa*1, ces' 'a P'us petite algèbre
sur Hiç/Xi contenant C.
DÉMONSTRATION. 11 est recommandé de faire des dessins.
Cas 1. a) C est stable pour C\j. En effet, soit (A\ x A2)j^j une famille finie
d'éléments de C. On a :
(Xa{ x a'J = (rb4{) x (r\A{) e c.
b) C, est stable pour U/ par définition. D'où (a,9).
c) Reste à montrer (a,3). Soit D G C, et soit (A\ x A2)jçj une famille finie
d'éléments de C telle que
D = \J(A{xA{).
je'
Pour tout j e J, posons B{ = A{ x X2 et B'2 = Xi x A{. On a :
{ vjgj (B{)c = (A{)cxX2eC, (BiY = Xix(A{yec.
D vient, en vertu de (1 1.2), des règles de de Morgan, de a) et du fait que {1,2}J
"wt fini :

30
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
D< = (\J(A{xA{))C
i€J
= (U((4xx2)n(x,x4)))c
= (urW
= ( n u kï
V (<,)€{1.2H i€^
= ( u n «)c) ec..
(■,)€{1.2}J j€/
Cas 2. a) Le cas 1 est bien un cas particulier du cas'2 (exercice).
b) Montrons que C est stable pour C\j. Soit (Bj)jçj une famille finie d'éléments
de C. Pour tout j G J, on peut écrire Bj = |j pf1(Ai{) avec Ij fini C / et
Vi G fy X; G .4,-. Posons /' = \Jj€j Ij- Clairement /' est fini et inclus dans /.
Posons pour tout i G V Kt = {j G J/i G Ij}- On a : Vi G /' ("] -Aj G Ai
et donc :
r>;=n n^i
i€/ i€/ ■'€/,
= n n pr'(^)
■ €/' i€/f.
c) C, est stable pour U/ et donc (a,9) est vérifiée.
d) Montrons que C, est stable pour c et donc vérifie (a,3). On aura alors que
C, est une algèbre.
Soit C G C.. On a : C = (J B, avec J fini et Vj G J ByGC.
Chaque Bj s'écrit ("] p,"'(^) avec Ij fini C / et A{ G A-. En vertu de (1.1.2),
■€/,
des formules de de Morgan, de b) et du fait que UIj est fini, on a :

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
31
=(U n «w
=( n u *rw,»'
* = u n K'K))c
2.3. Génération d'une algèbre
Soit X un ensemble et C une collection de parties de X.
Evidemment, C C V(X) et donc C est inclus dans une algèbre en l'occurence
V(X) et c'est la plus grosse au sens de l'inclusion sur V{P(X)). Nous allons
voir qu'il existe une plus petite algèbre sur X contenant C-
Lemme 2.3.1- Soit (A,) i€/ une famille d'algèbrts sur X alors (\çiAi
est une algèbre sur X.
DÉMONSTRATION. Soit A' fini C f~\Ai. Comme Vi G / A' C Ai et que
pour tout i G / Ai est une algèbre, on a Vi G / UA' G A et donc U4' G fl.4,-
d'où (a,9).
Soit A G 0.4,-. On a donc Vi G / Xe A donc Vi G / j4c G ^4i et donc
Ac G 104,- D'où (a,3). *
REMARQUE. 11 y a un léger abus dans l'utilisation des opérations U et CI . Par
exemple, dans la formule U.4' G 0.4,-, U est sur V(X) tandis que 0 est sur
V(V(X)).
Théorème 2.3.2. Soit C une collection de parties de X alors il existe
t "* une plus petite algèbre sur X contenant C
démonstration Soit A = { A C V{X) / C C A et A est une algèbre sur
X }. D'après 2.3.1, f"IA est une algèbre sur X. 11 est clair qu'elle contient C et
qu'elle est la plus petite contenant C. 4k
Si C est une collection de parties de X, on note ax(C) ou encore a(C) la plus
petite algèbre contenant C. On dit que C engendre ax(C).
Dans le Théorème 2 2.1, C engendre l'algèbre C,- Autrement dit, C. = anx.(c)
(exercice).
remarque. Soit E un ensemble et P une propriété sur les parties de E.
Supposons que, pour toute famille (Ai) de parties de E possédant la propriété
P alors ClAi possède la propriété P (ce qui entraîne que E = n,-€|j4,- possède

32
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
P), alors pour toute partie A de E il existe une partie B la plus petite au sens
de l'inclusion possédant P et contenant A.
En fait B = t~\{ C C E / C vérifie Pet CD A]
Ceci généralise en quelque sorte le Théorème 2.3.2 (où E = V(X) et P est
la propriété d'être une algèbre). Cette généralisation s'applique en particulier
aux groupes. On sait qu'une intersection de sous-groupes est un sous-groupe,
on peut parler dès lors du plus petit sous-groupe contenant une partie donnée.
L'existence de ax(C) pose le problème de sa construction effective. En quelque
sorte, on a atteint ax(C) par "l'extérieur". Peut-on l'atteindre par "l'intérieur"
au sens où la connaissance de C permet de construire ax (C) ? La réponse est
positive :
Posons Ci = CU Cc, Ci = (fii)p et C3 = (C2),. On peut encore écrire
C3 = (CUCC)P.
Théorème 2.3.3. C3 = ax(C).
démonstration. Montrons que C3 est une algèbre. C3 étant stable pour
U/, il suffit de montrer sa stabilité pour c d'après 2.1 2.
A cette fin, montrons sa stabilité pour C\j. Comme I~I0 G Ci C C3, il suffit de
montrer que si A, B G C3 alors A 0 B G C3. On peut écrire A = U,-€/j4,- et
B = UjçjBj avec [ et J finis et Ai, Bj G C2 On a :
A n B =(u,€/A) n (UjcyBj)
= uW)€/xy AiHBj
en vertu de (1.1-1) et donc A n B G C3 car Ai C\ Bj G Ci et I x J est fini.
Montrons maintenant que si A G C2 alors j4c G C3. En effet, on a j4 = n,g/j4i
avec / fini et Ai G Ci, donc Ac = U,€/i4f G C3.
Maintenant, si A G C3, onaX = Uig/X,- avec / fini et Ai G C2 et donc
Ac = ni€/i4J G C3 en vertu du fait que A? G C3 et que C3 est stable pour f~\j.
C3 est donc stable pour c, c'est bien une algèbre
Comme C C C3, on a donc a(C) C C3 car a(C) est la plus petite algèbre contenant
C.
Inversement, on a C3 C a(C). En effet, on a successivement • C C a(C),
Ci C a(C), C2 C a(C) et C3 C a(C) en vertu des propriétés (a,3), (a, 10) et
(a,9).
On a bien a(C) = C3. *
REMARQUE. Dans le Théorème 2.3.3, on peut remplacer C3 par C3 = (C2)j; On
montre alors que a(C) = C3 par des arguments similaires.
2.4. Tribus, Espaces mesurables
Soit X un ensemble, B C V(X). On dit que B est une c-algèbre ou tribu (sur
X) si B est une algèbre sur X stable pour U<j.
Autrement dit, 6 est une tribu ssi
(M) BÏ<D

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
33
(1,2) v(B„)n€„ e fi- uB„eB
(i,3) VBeB BceB.
Avec les notations de (2.1) : B est une tribu sur X ssi Bc = B et B„ = B (ssi
Be = BetBi= B).
Si fi est une tribu sur X, on dit que (X, B) est un espace mesurable.
EXEMPLES. (1) V(X) est une tribu sur X.
i (2) { A C X I fini ou Ac fini } est une tribu ssi X est fini (exercice).
(3) { A C X I \A\ < H0 ou \X \A\ < H0 } est une tribu sur X
. Lemme 2.4.1. Soit (B,) te/ une famille de tribus sur X alors n,€/ Bi est
une In tu sur A".
DÉMONSTRATION. Elle est similaire à celle du Lemme 2.3.1. 4
Théorème 2.4.2. Soit X un ensemble et C G 7>(X). Il existe une p/us
« petite tribu sur X contenant C. On la noie <Tx(C) ou <t(C).
DÉMONSTRATION. Il est clair que
*x{C) = n{ B / B tribu D C }. *
Si B est une tribu sur X et s'il existe C telle que <Tx(fi) = B, on dit
que C engendre B. Si C est dénombrable, on dit que (X, B) (ou B) est
dénombrablement engendré(e) ou sépaxable.
Proposition 2.4.3. Si C et C sont deux collections de parties de X telles
que C C C, alors <Tx(C) C <Tx(C) (en particulier si C est une tribu, on a
*x(C)cC).
DÉMONSTRATION. Evidemment, C C C C o~x(C) et donc <tx(C), en tant
que tribu contenant C, contient la plus petite tribu contenant C. 4k
Dans la suite, on rencontrera souvent la situation du cas particulier de la
proposition 2.4.3 : on aura deux tribus B et B' sur le même ensemble X et on
voudra montrer que B C B'. Si on sait que B est engendrée par une collection
C (autrement dit c(C) = B), il suffira alors de prouver que C C B'. Nous
évoquerons cette règle en disant la règle E.T. (Emboitage des Tribus).
Soit X un ensemble. Rappelons qu'une topologie T sur X est une collection
de parties de X stable pour Uç et C\j. On dit que (X.T) est un espace
topologique et que T est la collection des ouverts.
En général, une topologie n'est pas une tribu et une tribu n'est pas une
topologie.
Soît (X,T) un espace topologique. La tribu <tx(T) est appelée tribu boré-
lienne de (X,T) et est notée B(X,T) ou B(X).
On montre que la collection des parties de R qui sont unions d'intervalles
ouverts est une topologie. On la note 7¾ et on la dit usuelle. On note J la
c°Uection des intervalles ouverts bornés de R.
Théorème 2.4.4. o-n(J) = B(R,ts).

34
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
DÉMONSTRATION. Comme J C tu, on a <tr(J) C cb(t») = E(R,t»)
(2.4.3).
Inversement, si on montre que Tg C gb(.7)> on aura C(R, 7¾) = est7*) C
ca(J) (règle E.T.) et la démonstration sera achevée.
Considérons la collection Jq des intervalles ouverts à extrémités rationnelles.
La collection Jq est dénombrable (elle s'injecte dans Q x Q). Pour tout
élément ]a,b[ de J, on peut choisir dans Q une suite (a„) décroissante et
(bn) croissante telles que an [ a et bn | b. On a alors ]a,i[= Un€a,]an,fcn[.
En conséquence, tout intervalle ouvert borné est réunion d'intervalles ouverts
à extrémités rationnelles. Maintenant, soit G € th. On a G = UjçjiJ
où J' C J'. Remplaçant chaque 3 de J' par une réunion d'intervalles à
extrémités rationnelles, on obtient G = Ujçj» J pour une sous-collection J"
de Jq. Evidemment, J" est dénombrable et inclus dans <tb(Jq). De ce fait,
G G o-b(Jq) C o-b(J) et donc t» C c«(.7). *
Notation. Désormais, C(R, 7¾) sera noté B(R). De même, -parlant de
l'espace mesurable R, on sous-entendra naturellement qu'il s'agit de l'espace
(R,0(R)).
REMARQUE. C(R) est séparable car <tb(Jq) = B(R). Plus généralement, si
(X, T) est un espace topologique à base dénombrable (d'ouverts) (c'est à
dire, s'il existe une collection dénombrable C d'ouverts telle que tout élément
de T soit réunion d'éléments de C ; ce qui est le cas pour rH) alors B(X,T) est
séparable.
2.5. Cas des produits
Soit (Xi,Bi) et (^2,¾) deux espaces mesurables. On appelle tribu produit
de Ci et B2, la plus petite tribu sur Xt x X? contenant
{ Ai x A7 I Ai e B, et A2 e B7 }.
On la note Ci ® Bi et on dit que les A\ x Ai sont des pavés mesurables.
De même, si {(X„Bi)) . est une famille d'espaces mesurables, on apelle tribu
produit de (C,),€/, la plus petite tribu sur fli€/ ^' contenant
{ f| pT'iAi) I V fini C / et Vi e /' X, e Bi }.
•€/'
On la note <3>,e/ Bi.
Malheureusement, on ne sait pas construire par "l'intérieur" les tribus en
question comme on a pu le faire pour les algèbres. D'une manière plus générale,
on n'a pas pour les tribus une construction semblable à celle de 2.3.3 (des
constructions existent cependant mais elles utilisent la récurrence transfinie).
2.6. Classes monotones
Lorsque l'on a une algèbre A sur un ensemble X, on peut caractériser la tribu
"x (-A) d'une manière qui sera très utile pour la suite.
On dit qu'une collection non vide C de parties de X est une classe monotone
sur X si elle est stable pour les unions de suites croissantes et les intersections de

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
35
suites décroissantes. En notant A„ î A si (A„) est croissante avec A = UA„ et
A„ i A si (j4„) est décroissante avec A = n.An, on a C est une classe monotone
ssi ".
1) C * 0,
2)V(x„)eC" a,m-xgc,
3)V(A,)eC" A,ix-xec.
Lemme 2.6.1. Toute intersection de classes monotones est une classe
* monotone. £n conséquence, on peut parler de la plus petite classe monotone
sur un ensemble X contenant une collection C de parties donnée. On la
note Mx(C).
démonstration. Exercice. 4
Théorème 2.6.2. Soit A une algèbre sur X. On a alors <tx{A) =
Mx(A). En particulier, si M est une classe monotone contenant l'algèbre
A alors o-x(A) C M.
démonstration. 1) Une tribu étant une classe monotone, on a Mx(A) C
<rx(A).
2) Réciproquement, si on prouve que Mx(A) est une tribu, on aura <Tx(A) C
Mx(A). Notons pour simplifier AI à la place de Mx(A).
a) Montrons que M est stable pour c.
Soit M' = { A G M I Ac G M }-11 est clair que A CM' CM. Montrons que
M' est une classe monotone. On aura alors M' = M puisque M est la plus
petite classe monotone contenant A.
Soit (A„) G (M1)" telle que A„ \ A. On a A„ G M pour tout n et donc
AeM.
Evidemment, A^ J. Ac. Comme A^ G M pour tout n, on a Ac G M. On obtient
alors que A G M'.
M est donc stable pour les unions de suites croissantes et on montrerait de
même que M! est stable pour les intersections de suites décroissantes. 11 s'en
suit que M' est une classe monotone, donc M = M' et donc M est stable
pour c.
P) Montrons que M est stable pour U/.
Soit A g A. Posons MA = {BeM/ BUA eM}. Clairement A C MA C M
et si on montre que MA est une classe monotone, on aura MA = M.
So'1 (B„) G (MAf avec B„ î B. 11 est immédiat que B eM Maintenant, on
» B„ U A G M pour tout net B„\JA\ BUA donc BU AeM.
H s'en suit que B G MA et de même, si (B„) est dans MA et telle que B„ [ B,
oa&BeMA.
M est bien une classe monotone et donc M = MA. On obtient •
VAeAVBeM AUBeM
S«t B G X. On pose XB = {CeM /CUBe W ). On a clairement
•4 C A<B C A4 et on montre comme précédemment que MB est une classe
«nonotone et donc MB = M- On obtient :
-»
VAeMVBeM AUBeM.

36
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
Comme U0 = 0 G A C M, on en déduit que A4 est stable pour U/.
7) Montrons que M est stable pour U<j- En effet, si (A,) est une suite dans
.M, on a d'après /J :
UA, = Un€„(U^=oXp)eX.
Il en résulte que M est une tribu. A
Exercices, compléments
E.2.1. A Vérifier les exemples et contre-exemples de 2.1.
Aide. Pour (2) : A = { A C A' / A est fini ou j4c est fini } possède évidemment
la propriété (a,3). Vérifions la propriété (a,9). Soit (j4,),ç/ une famille finie
d'éléments de A avec I fini. Si / = 0 alors U,€jj4; = 0 G A Si / }t 0 ; ou bien
pour tout î € I, A, est fini et donc U,€/j4, est fini ; ou bien pour un 10, A'a est
fini et donc (lM,)c = fVlf C i4Jo est fini. •
E.2.2. Soit A" un ensemble et soit C une collection de parties de X. On rappelle
les propriétés suivantes :
VA,BeC AUfleC (a,2)
VX.BeC AflfleC (a,6)
VX.BeC AABeC (a,8)
VX.BeC A\BeC (a,7)
On rappelle aussi que C est un anneau sur X si on a (a,6) et (a,8).
a) Montrer que si C est un anneau on a (a,2) et (a,7).
b) La réciproque est-elle vraie ?
Aide, a) On a A \ B = AA(A nB)etAUB = (AAB)A(A D B).
b) La réciproque est vraie en vertu des formules AAB = (A\B)U(B\A)
etAC\B = A\(A\B).»
E.2.3. «fr Soit X un ensemble, C la collection Vj(X) des parties finies de X et
V = Vd(X) la collection des parties dénombrables de X.
a) Montrer que C et V sont des anneaux sur X. Déterminer ax(C) et
ax(V). Dans quels cas a-t-on ax(C) = C ? Dans quels cas a-t-on o^(î') = V ?
b) Montrer que axÇD) est une tribu. En déduire que <tx(C) = ax(V).
c) Montrer que Cc U {0} et Vc U {0} sont deux topologies qu'on notera T\
et Tj. Montrer que 6(^,^) = B{X,t-^ = <rx(C).

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
37
d) Montrer que Tt est la plus petite topologie sur X telle que les singletons
de X soit des fermés et { A C X / \A\ < H0 ou |j4c| < H0 } est la plus petite
tribu sur X contenant les singletons.
Aide a) Les collections C et V vérifient évidemment les propriétés (a,6) et
(a,8). H est facile de voir que ax(fi) = { A C X / A fini ou Ac fini } et
ax(T>) = { A C X I A dénombrable ou Ac dénombrable }.
On a ax(C) = C ssi X est fini et axÇD) = V ssi X est dénombrable.
b) 11 suffit de prouver que ax(V) est stable pour Uj. Soit (An) une
suite d'éléments de V. Ou bien les A„ sont dénombrables et donc UnAn est
dénombrable. Ou bien, pour un no, A^0 est dénombrable et donc (U„A„)C C
Aï, est dénombrable. Dans tous les cas UnA„ G ax(V).
Evidemment, comme C C axÇD) et que axÇD) est une tribu, on a <Tx(fi) C
axÇD) (règle E.T.). Inversement, si A G V, comme A = Uzça{x} on obtient
A G <rx(C) (car C contient les singletons et donc, par stabilité pour U<j, <?x(C)
contient les réunions dénombrables de singletons). 11 s'en suit que V C <?x(C)
et donc, à nouveau par la règle E.T., axÇD) = <TxÇD) C <rx(C)
c) Les collections Cc et Vc sont stables pour Clj et les unions quelconques
(pour la stabilité pour t~\j, si A\,Ai,...,An G Cc (resp G Vc), on a (n,i4,)c =
U;AC, est fini (resp. dénombrable)).
On a B(A-,r,) = <rx(Cc) = <tx(C) (règle E.T.)= <rx(V) = <rx(Vc) = B(X,t2).
d) Ces résultats se déduisent aisément des résultats antérieurs •
E.2.4. A Rappelons que (A +,., x) est une algèbre sur le corps K si (A,+, x)
est un anneau, si (j4,+, .) est un espace vectoriel sur le corps K et si VA G
K Vx, y£i4 (Ai)xy=ix ( X.y) = A.(/x y). Dans cet exercice on reprend
les notations de E 1.3. Soit X un ensemble, et soit A une algèbre de parties
de X. On définit une loi externe de {0,1} x T>(X) dans V(X) par 0 - A = 19
et 1 -A = A. Montrer que (V(X), A,-, Cl) est une algèbre unitaire sur {0,1} et
que (A, A, ,n) en est une sous-algèbre.
Aïde. L'application de {0,1}* dans V{X) définie par / —» /"'({!}) est un
isomorphisme de structure et il est connu que ({0,1}*, +, -, x) est une algèbre
unitaire •
E.2.5. Soit X et V deux ensembles et / . X —► V une application. Soit A une
tribu sur X et B une tribu sur V
a) Montrer que /"'(B) = {/"'(£)/£ G B] est une tribu sur X.
b) Donner un contre-exemple montrant qu'en général {f(A)/ A£ B} n'est
Pas une tribu sur V (de préférence avec / surjective).
c) Montrer que B' = {B C Y/ f~l{B) G B) est une tribu sur V.
Aide, a) Les opérations de réunion quelconque (et donc de réunion
dénombrable) et de complémentarité "passant par f~l" (E.l.l), il est clair que f~l(B)
«8t une tribu (voir c) pour une solution complète dans un problème similaire).

38 2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
b) Soit / : {1,2,3} — {a,b} définie par /(1) = /(2) = a, /(3) = b La
classe /(c({l})) n'est pas une tribu sur {a,i}.
c) Soit B G B. On a f~\Bc) = (/_I(B))C G B car B est stable pour c.
Soit (B„) dans B'. On a /-'(U„B„) = Un/-'(B„) G B car B est stable pour
Ud- B' est bien une tribu sur Y. •
E .2.6. «m Soit A une algèbre sur un ensemble X et soit (A„ ) une suite d'éléments
de A- Montrer qu'il existe une suite (B„) d'éléments de A deux à deux disjoints
telle que U~=0fi„ = U~ 0Xn.
Aide. On pose B„ = A„ \U1<nj4, pour tout n (on rappelle que U;€jA = 0) •
E.2.7. Soient A et B deux parties d'un ensemble X. Déterminer
°x({A}), ox({B}), ax({A})Uax({B}), ax({A}U{B})
Commenter.
Aide. ax({A}) = {i,A,A'.X}, ax({B}) = {<b,B,Bc,X}
ax{{A})Vax{{B}) = {$,A,B,A°,B°,X},
ax({A], {B}) = ({AnB,Acr\B,Ar\Bc,Acn Bc}). (voir E.2.10,c)).
Si l'ensemble {A fl B,AC fl B,A f~\ BC,AC fl Bc} a quatre éléments non
vides, l'algèbre a^({i4},{B}) a seize éléments. Donc, en général, a^({i4}) U
»x({B}) £ ax({A] U {B}). Cet exemple montre qu'une union d'algèbres n'est
pas en général une algèbre contrairement au fait qu'une intersection
(quelconque) d'algèbres est une algèbre. •
E.2.8. <fr a) Montrer que la collection C des ensembles de la forme [a,b[ où
a,b e R, engendre B(R) (= B(R, ts) = c(tï)).
b) Montrer que B(R) est engendrée aussi par les collections D+, D_, D+
et D_ définies par
D+ = {]a,+oo[/aeR} D_ = {] - oo,a[/a G R}
D+=([a,+oo[/aeR} D- = {]- oo, a]/a G R}
Aide, a) U s'agit de montrer que <r(C) = <r(rg). D'après le Théorème 2.4.4 il
suffît de montrer que c(C) = <t(J). Pour cela appliquons la règle E.T., c'est
à dire montrons que C C c(tï) et J C c(C), on aura alors c(C) C c(tï) et
c(tï) C c(C) et donc l'égalité ,
Soit a, b G R avec a < b. On a [a,b[= fln>i]a — -,b[ et pour tout n G w"
]a - 1,i[G B(R), donc [a, b[e B(R).
Inversement, montrons ]a,4[G c(C). On a ]a,fc[= Un>o[a + —,b[, donc ]a,i[G
<r(C).
b) Ce point ne présente plus de difficulté. •
E.2.9. A Soient X un ensemble et C une collection non vide de parties de X
telle que
VX.BGC AHBeC (1)

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
39
VAeC3B1,...,BneC AC = U?=0B, (2)
' a) Montrer que C, = a(C).
APPLICATIONS.
b) Soient Xt et X? deux ensembles, Ai et Ai deux algèbres sur X\ et A"2
respectivement. On pose
C={AxB/ AeA,, BeAï).
Montrer que C, = ax(C), où X = Xl x X2.
c) Soit C = {]a,i]/ 0<a<i<l}. Montrer que C, est une algèbre sur
l'ensemble ]0,1].
Aide, a) Clairement C, C "x(Q- Inversement, montrons que C, est une
algèbre. Comme elle contient C, on aura ax{C) C C,. La collection C, est
évidemment stable pour U,., Montrons qu'elle est stable pour c. Soit A G C,
Soit (j4,),ç/ une famille finie d'éléments de C avec / fini et U,A, = A. Soit
pour chaque A° une famille finie (A\),^j, avec J, fini et j4f = Uj€y,i4f. On a
Xe = (u,€iA,y = n,€Mî = n,€/ u,€y, x{ = uùi)€n/. n,€/ a? e c..
b) et c) On voit aisément que les collections proposées vérifient (1) et (2)
REMARQUE. Si une collection C de parties d'un ensemble X vérifie (1) et (2')
ÇIAeC 3B,, ...,B„ 2.2.d. Ac = UP_,B,), on dit qu'elle est une semi-algèbre
sur X. On montre que dans ce cas Ce = ax(fi)- Vérifier que les exemples
proposés sont des semi-algèbres. •
E.2.10. «fr£ a) Montrer qu'une algèbre finie de parties d'un ensemble X est
une tribu sur cet ensemble.
b) Montrer que si C est une collection finie de parties d'un ensemble X,
alors a(C) est finie. En déduire que dans ce cas on a a(C) = <r(C).
c) Montrer que si C est une partition de X ayant n éléments alors a(C) a
2" éléments.
d) Inversement, montrer qu'une algèbre finie est engendrée par une
partition finie. En déduire qu'une algèbre finie a un cardinal de la forme 2"
Aide, a) Une union (dénombrable) d'ensembles pris dans une collection finie
est une union finie.
b) On obtient C en fabriquant successivement Ci = CUCC, C7 = (Ci)p,
ensuite ax[C) = (C2),, voir Théorème 2.3-3. A chaque étape de cette construction
on obtient une collection finie. Donc a{C) est finie. Par conséquent, d'après a),
e(C) est finie.
c) Notons A\,...,A„ cette partition. La collection A constituée des
ensembles de la forme UteiA,, où / varie dans l'ensemble des parties de
{!»••.,n}, contient exactement 2" éléments (autant que l'ensemble des parties
«e {1,..., n}). D'autre part, comme A est stable à la fois par complémentaire
et par union finie, c'est l'algèbre engendrée par la partition considérée.

40
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
d) Soit A une telle algèbre. Pour tout x £ X posons Ax = C\{A G A/ x G
A}. Puisque A est finie on a Az G .4. La collection finie C = {Ax/ x G X}
est une partition de X. Comme pour tout A G A on a A = UreJ4^4r, on
a ax(C) C <4 C a^(C). Il s'ensuit, d'après c), que toute algèbre finie a un
cardinal de la forme 2". •
E.2.11. 44£ Soit X un ensemble, C une collection de parties de X. On dit
que C sépare les points de X si, pour tout a,b G C tels que a ^ b, alors il
existe C G C tel que lc(°) 94 lc(*) (la condition équivaut à (a G C et b ¢ C)
ou (a ¢ C et i G C)). Il est évident que si C sépare les points de X alors c(C)
sépare les points de X. On va montrer qu'inversement, si c(C) sépare les points
"*de X, alors C sépare les points de X. Soit a, i G X. On suppose que C ne sépare
pas a et b : pour tout C G C on a lc(°) = lc(*)- Montrer que c(C) ne sépare
pas a et i. En déduire le résultat annoncé.
Aide. Soit B = {B G c(C)/ \B(a) = 1B(*)} Montrons que B = c(C). Pour
cela appliquons la règle E.T. ; c'est à dire, montrons que B est une tribu (11 en
résultera puisque C C B que c(C) C B, et donc que B = c(C)-)
Pour cela il faut montrer que la collection B qui est non vide est stable par
complémentaire et par union dénombrable. Soit B G B. On a 1b(«j) = 1b(*)
ce qui est équivalent à 1b°(<>) = 1b«(6)> donc B' G B Soit (Bn) une suite
d'éléments de B. Supposons que luB„(a) = 1- Dans ce cas il existe n G w
tel que 1b»(a) = 1, donc, puisque B„ £ B, on a 1b, (^) = 1 > Par conséquent
luB„(t) = 1- Par symétrie, si 1ub»(*) = 1 alors luB»(a) = 1- Ceci prouve que
UB„ appartient à B.
En conséquence, si <r{C) sépare les points de X alors C sépare les points de X. •
REMARQUE. Si (X,t) est un espace topologique séparé (c. à d. Vx ^
y 3 V, W £ t !GV,yGlVetVnlV = 0) alors naturellement, r sépare les
points de X (et donc B(X) aussi).
E.2.12. 4££ Soit A" un ensemble et soit C une collection de parties de X.
Montrer que pour toute partie A G U(C) il existe une collection dénombrable
DCC telle que A G <r(V).
Aide. Soit B la collection des parties de X appartenant à <r(C) vérifiant cette
propriété. On a. C C B (en effet, A G c({j4})). Pour répondre à la question
il suffit donc de montrer que B est une tribu sur X. La stabilité de B par
complémentaire résulte du fait que si A G c(î'), alors Ac G <rÇD)- Montrons la
stabilité par union dénombrable. Soit (A„) C B, et pour tout n soit V„ C B
dénombrable telle que A„ G c(î'n)- Posons V = UÎJ„. V est dénombrable
d'après le Théorème 1.2.5, et U<t(V„) C <t(V) , de plus j4„ G U<t(V„) pour tout
n, donc UA„ G c(î>)- •
E.2.13. +++ Soit (A",C) un espace mesurable. Pour tout A C X on pose
A0 = j4c et A1 = A. On dit qu'un élément A de B est un atome si A est non
vide et si on a :
VBGB (BcA^(B = HouB = A)).

2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
41
a) Montrer que la collection des atomes est une famille 2.2.d..
On dit que l'espace mesurable (X, B) est atomique si tout élément de B est
réunion d'atomes de B.
b) Montrer que (X, B) est atomique ssi la collection des atomes est une
partition de X.
c) Montrer que (R,B(R,th)) est atomique.
d) On suppose que (X, B) est séparable. Montrer que (X. B) est atomique.
e) En déduire que si une tribu B n'est pas finie B a au moins la puissance
du continu.
f) Donner un exemple de tribu atomique non séparable.
Aide, a) Soit A.B deux atomes. On a A C\ B = 0, sinon A = A Cl B = B.
b) Si (X,B) est atomique alors X est union d'atomes (donc de tous les
atomes) (en effet, X G B). Vu a) et vu que tout atome est non vide, l'ensemble
des atomes est une partition de X.
Réciproquement, supposons que l'ensemble des atomes de B soit une partition
de X. Soit B G B non vide et soit x Ç. B. Soit A un atome tel que x Ç. A. AC\B
est non vide et appartient à B, donc A(~\B = Aetx€ACB. Par conséquent
B est union d'atomes.
c) Il est clair que les singletons de R, qui sont des éléments de B(R) (si
i£R, alors {x} = (~\„çw-]x — ^-, x + ^fj, sont des atomes. 11 s'ensuit que les
seuls atomes de B(R) sont les singletons. Par conséquent, vu que tout ensemble
est réunion de ses singletons, la tribu borélienne de R est atomique.
d) Montrons que la collection des atomes de B est une partition de X II
en résultera, d'après b), que (X, B) est atomique.
Fixons C une collection dénombrable de parties de X telle que B = c(C), et
posons C = (C„)„€„.
1) Notons A la collections des ensembles non vides de la forme fÇJL0C*" où
(^n)n€u varie dans {0,1}" On a évidemment AC B- Nous allons montrer que
les éléments de A sont des atomes. Soit A G A- Ecrivons A = D^L0C*" où
(*n)n€u est un élément de {0,1}", et soit B G B tel que B C A. Supposons B
non vide et montrons par l'absurde que A = B. Soit igflet soit y G A \ B.
D'après E.2.11 il existe n G u tel que lcn(x) ^ lc.(y)- Comme x G A on a
x G Cj" donc y £ C*" ; par conséquent y £ A ce qui est absurde.
2) Soit x G X On a x G n^_0C*", où 6* est la suite de {0,1}" telle que pour
tout n G w x G C*"
Il résulte de 1), 2) et de a) que l'ensemble des atomes de [X, B) est une partition
àeX.
e) Si B est infinie, alors B contient une sous-tribu B infinie séparable
(il suffit de choisir une sous-collection C de B strictement dénombrable et de
poser B = c(C))- L'ensemble des atomes de B est infini En effet, dans le cas
contraire B, qui est atomique d'après d), serait engendrée par la collection de
8^s atomes ; mais une tribu engendrée par une collection finie est elle même

42
2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
finie d'après E.2.10. Soit (A„) une suite d'atomes de B' deux à deux différents.
L'application <j> définie de T(u>) dans B par 4>(L) = UncL-^n est injective ; en
effet, deux atomes différents sont nécessairement disjoints. Donc B a au moins
la puissance du continu.
En résumé, une tribu est ou finie ou a au moins la puissance du continu.
f) Soit X un ensemble non dénombrable. La collection V = { A C
X I \A\ < H0 ou |j4c| < H0 } est une tribu atomique (en effet, les atomes de V
sont les singletons). Elle n'est pas séparable. En effet, si elle était séparable, on
pourrait trouver une sous-collection C de V dénombrable telle que <r(C) = V.
Nécessairement, la collection C devrait séparer les points de X d'après E.2.11.
P.our tout C G C, posons a(C) = 1 si C est dénombrable et a(C) = 0 sinon.
On pose y = U{ i4°(c) / A G C }- Evidemment, Y est dénombrable et donc
X \ Y contient plus de deux points. Soit a, b G X \ Y avec a j£ b. Clairement,
{a, b] C C'~°(c) pour tout C G C, ce qui est absurde. •
REMARQUE. Considérons la relation d'équivalence définie sur l'espace mesurable
(X,B) par x R y si et seulement si 1b(z) = 1b (y) pour tout B G B. On peut
montrer que la tribu B est atomique si et seulement si les classes d'équivalence
pour cette relation appartiennent à B. Dans ce cas les classes sont les atomes.
En s'appuyant sur E.2.11 on montre alors que si B est séparable B est atomique.
E.2.14. <fr Soit X un ensemble, C et V deux collections de parties de X vérifiant
C UCC C V et V est stable pour U<i et Dj. Montrer que c(C) C
t'Aide. On a a(C) = (CUCC)P. C V (2.3.3) et V est une classe monotone. Le
résultat alors découle de 2.6.2. •
E.2.15. Uk Soit X un ensemble. Une collection T de parties de X est appelée
E-système si
i)V(F„)er i-if„g:f
2) V (Fn) G F" 2.2.d. U Fn G T
Soit C une collection de parties de X. On note F(C) le plus petit E-système
contenant C (cela a un sens !). On suppose que C est stable par complémentaire.
On veut montrer que c(C) = T(C).
a) Montrer que T(C) C <r(C).
b) On pose T' = {F G ?(C)I Fc G ^(C)}. Montrer que F est un E-
système et que par suite F1 = T(C).
c) En déduire que c(C) C T{C).
application. Soit (X, t) un espace topologique, r étant la collection des
ouverts. On suppose que tout fermé de X est intersection dénombrable d'ouverts.
(C'est le cas si (X, r) est un espace métrisable.) Montrer que la tribu borélienne
B(X) de (X, t) est le plus petit E-système contenant r.
Aide. L'exercice est assez détaillé pour permettre au lecteur de le résoudre seul
(voir la démonstration de 2.6.2). Pour l'application, constater que rc C F(t)

X ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES 43
et que donc T{t) = T{t U tc) = c(r U tc) = c(r). •
E.2.16. £4 Soit X un ensemble. Une collection T de parties de X est dite
classe c-additive (ou A-système) si
i)xer
2) si A,B G T et X n B = 0 alors AUBe?
3) si ;4, B G T et X C B alors B\AeT
4) v (Xn) îe .F* im„g:f
Soit C une collection de parties de X. On note ^"(C) la plus petite classe
c-additive contenant C (cela a un sens!). On suppose que C est stable par
intersection finie. On veut montrer que <r(C) = T(C).
a) Montrer que F(C) C <r(C).
b) Montrer que {A C X/V B G C X D B G ^(C)} = ^(C).
c) Montrer que {X C X/V B G :F(C) AHBe T{C)} = T{C).
d) En déduire que <r(C) C T(C).
E.2.17. & Soit A" un ensemble. Soit B une tribu sur X et R une
relation d'équivalence sur X. On dit R est B-compatible si toutes ses classes
d'équivalences sont B-mesurables.
On associe à toute classe C de parties de X la relation d'équivalence fie définie
sur X par
xRcy ssi lc(*) = lc(y) VCgC
A. a) Montrer que si C C B et si C est dénombrable, alors Rc est B-
compatible.
b) Montrer que pour toute relation d'équivalence R sur X, la tribu <r(X/R)
est la plus petite tribu compatible avec R.
c) Montrer que Rc = R<,(C)-
B. 444 On considère l'ensemble X = {0,1}U muni de la tribu produit B,
quand {0,1} est muni de la tribu ^({O,1}). On définit une relation R sur X
par x R y ssi l'ensemble (nfu/ x(n) }t y(n) } est fini.
a) Montrer que R est une relation d'équivalence B-compatible.
b) Déterminer les classes de la relation Rg-
c) Montrer que <r(X/R) est strictement incluse dans B.
Aide. A,a) Pour tout x G X on a c/(i) = l"l{ C G C U Cc/1 G C }. Cette
intersection porte sur une collection dénombrable. ( d(x) est en fait un atome
de <r(C), voir E.2.13.)
A,c) Utiliser le résultat de E.2.11.
B,a) On a dR{x) = U„ nt>„ { y G X/x(k) = y(t) } = U„ nt>„
P* ({i(t)}), où pt désigne la fc-ème projection.

44 2. ALGÈBRES, TRIBUS, CLASSES MONOTONES
B,b) cle(x) = {x}. En effet, si y £ x. il existe n tel que x(n) jt y(n), c'est
à dbe ^'(M-OhM ï lp;'({rf„)})(y)-
B,c) Si <r(X/R) = B, alors R,(x/R) = Re- Mais /î = R^x/R) etR£ RB. •
V

a
-w
Chapitre O
Applications mesurables
3.1. Applications mesurables, définition
Soit X et V deux ensembles, / X —» y une application de X dans y et C
une collection de parties de y. On notera :
f-1(C) = ir1(C)/cec}.
Remarquons que si C est une algèbre (resp- une tribu, resp. une topologie)
/~'(C) est une algèbre (resp. une tribu, resp. une topologie) sur X (exercice).
Soit (X, B) et {X', B) deux espaces mesurables et / : X —» X'. On dit que /
est (e,e')-mesurable si f~\B') C B (autrement dit : V£' G B' f~\B') G
B). On dit aussi que / est mesurable s'il n'y a pas d'ambiguïté. Si de plus /
est bijective et /-l est (B1, B)-mesurable, on dit que / est un isomorphisme
de(X,B)BUT(X',B').
EXEMPLES
(1) Soit X un ensemble. (X,V(X)) est un espace mesurable et, pour
tout espace mesurable (Y,B), toute application de X dans y est (V(X),B)-
mesurable.
(2) Si B et C sont deux tribus sur X alors l'identité sur X est (B, &)-
mesurable ssi B C B.
(3) Si (X, B) et (X', B) sont deux espaces mesurables et / : X —» X'
une application constante (c.à d. : il existe x'0 G X' tel que pour tout x Ç. X
f(x) = ij,) alors / est (B, £F)-mesurable.
(4) Soit (X, B) un espace mesurable et A C X. L'indicatrice \A de A

46
3. APPLICATIONS MESURABLES
est une application de X dans R et elle est (B, B(R))-mesurable ssi A G B
(exercice). Pour cette raison, les éléments de B sont dits ensembles mesurables.
Théorème 3.1.1. Soit {X,B),{X',B) et {X",B") trois espaces
mesurables, f : X —» X' (B,B)-mesurable et g : X' —» X" (B ,B')-
mesurable alors g o f est (B, B")-mesurable.
démonstration. On a g~1(B") C B et /"'(B') C B et donc
(s°/)-'(0") = r'(s-'(e")) c /-'(#) c b. *
3.2. Un critère de mesurabilité
"V Théorème 3.2.1. Soit (X,B) et (X',B) deux espaces mesurables, C
une collection de parties de X' engendrant B' (c.à d. ox>{C) = B1), alors
f est (B.B)-mesurable ssi /"'(C) C B.
DÉMONSTRATION. Si / est (B.B'J-mesurable, on a f~x(B) C B. Comme
C'Cffet que donc /"'(C) C f~l(B), on en déduit que /_I(C) C B.
Réciproquement, supposons que /-I(C) C B et montrons alors que f~l{B) C
B.
Posons B' = { B1 C X' I /~'(B') G B }. On vérifie que B" est une tribu
sur X'. En effet, soit (B'„) une suite dans B". On a Vn f~l(B'„) G B et
donc /-'(Ufi;,) = Uf~l(B'„) G B car B est stable pour Ud. On en déduit que
UB'„ G B".SoitB' G B".Ona/-'(B') G Bet donc/"1^") = (/-'(B'))' e B
car B est stable pour c. On en déduit que (B')c G B". La collection B" est bien
une tribu sur X'. ,
Maintenant, soit B' G C. Comme /~'(d) C B, on a f~l{B') G B et donc
B' G B" Il s'ensuit que C C B". Comme B* est la plus petite tribu sur X'
contenant C, on a B' C B". D'où / est (B.B'î-mesurable. 4
Ce théorème est fondamental et permet de montrer la mesurabilité d'une
application en ne regardant que les images réciproques d'éléments d'une famille
engendrant la tribu de l'espace d'arrivée. Par exemple, si l'espace d'arrivée est
(R, B(R)), il suffira de regarder les images réciproques des parties de la forme
]a,+oo[,a G Q, car la collection de ces éléments engendre B(R).
Corollaire 3.2.2. Soit X et X' deux ensembles, C et C deux collections
de parties de X et X' respectivement et f : X —» X'. Si /~'(C) C C
alors f est [ax{C),c'xi{C'))-mesurable.
DÉMONSTRATION. En posant B = <rx{C) et B' = <rx'(C), on a /-I(C) C
C C <rx(C) = B. On applique alors 3.2.1. *
Soit (X,T) et (X',T) deux espaces topologiques et / : X —> X'. Si / est
(B(X,T),B(X',T'))-mesurable, on dit que / est borélienne.
Corollaire 3.2.3. Soit (X,T) et (X',T') deux espaces topologiques et
f : X —» X' continue (c.à d. /~'(T') C T) alors f est borélienne.
DÉMONSTRATION. Par définition B(X,T) = <tx(T) et B(X',T') =
<tX'(T'). Il suffit d'appliquer le Corollaire 3.2.2. *

3. APPLICATIONS MESURABLES 47
y Corollaire 3.2.4. Soit X et X' deux ensembles. C une collection de
parties de X' et f : X —- X' alors :
»x(r,(0) = r,(^(C))
DÉMONSTRATION. On a C C <rx-(C) et donc f~l(C) C !~x(<tX-(C')).
Comme f~l{o~x'(fi')) est une tribu contenant /~'(C) elle contient donc
<rx(r\C')).
Réciproquement, on pose B = <rx(f~x(C')) et B' = <rx-(C). On a /_I(C) C B
et donc f-l{&) C B en vertu de 3.2.1. D'où <rx(f-\C)) D /"'(^'(C)).
D'où l'égalité annoncée. 4
3.3. Application aux sous-espaces mesurables
Soit X un ensemble et C C V(X). Pour toute partie X' C X, on note
cnx' = {cnx7CEC'}
et on dit que CC\X' est l'ensemble des traces des éléments de C sur A".
Par exemple, si C = { ]a,+oo[ / a G R }, on a C f"l [0,1] = { ]o, 1] / a €
[0,1] }U {[0,1]}.
On montre facilement que si C est une tribu (resp. une algèbre, resp. une
topologie) sur X alors C C\ X' est une tribu (resp. une algèbre, resp. une
topologie) sur X' qui de ce fait sera appelé tribu trace (resp. algèbre trace,
resp. topologie trace). On peut démontrer directement ce résultat (exercice)
ou utiliser l'injection canonique ix\x '■ X' —» X définie par ix> x(x) = x
pour tout x G X'. On montre aisément que
cnx' = rx\x(c) (*)
d'où la conclusion en utilisant la remarque initiale de 3.1.
Si C est une tribu (resp. une topologie) l'espace mesurable (resp. l'espace
topologique) (X'.Cn X') est appelé sous-espace mesurable (resp. sous-
espace topologique) de (X,C) .
On montre aisément que si C est stable pour C\j, (en particulier si C est une
tribu, une algèbre ou une topologie), alors pour tout X' C X on a : CCI X' C C
ssi X' G C (exercice).
Théorème 3.3.1. Sott (X,B) un espace mesurable, C engendrant B et
X' C X. On a alors
<TX'(cr\x') = o-x(C)r\x'
, DÉMONSTRATION. En utilisant l'injection canonique ix>,x, (3.2.4) et (*)
on obtient :
<rx.(cnx') = <rx-{ix\x(C)) = ix\iX(<rx(C)) = <rx(C) n x'
(attention à l'intervertion de X et X' par rapport à (3.2.4) !). 4

48
3. APPLICATIONS MESURABLES
Cas particulier important. Si (X,T) est un espace topologique et si X' C X,
on a
B(X',T n X') = B(X,T) CI X'.
Autrement dit, la tribu borélienne d'un sous-espace topologique est la trace de
la tribu borélienne de l'espace topologique sur ce sous-espace.
REMARQUE. Soit (X,B) et (X'tB1) deux espaces mesurables et / : X —> X'.
Soit X" C X' tel que f{X) C X". On peut alors définir f : X —<■ X"
par f(x) = f[x) pour tout x G X. On a / est (B, C)-mesurable ssi / est
(B, B' 0 X")-mesurable (exercice).
Conforté par ce fait, il nous arrivera de confondre / et /.
Théorème 3.3.2. Soit (X,B) et (X',B') deux espaces mesurables, f :
X —» X' (B, B')-mesurable et A C X alors f\A : A —» X' (la restriction
de f à A) est (B(~\ A,B')-mesurable.
DÉMONSTRATION. Il est évident que f\A = /oiAX. Comme / est (B,B')-
mesurable et iA x est (Bfl.A,B)-mesurable, d'après (3.1.1) f\A est (Bf~\A,B')-
mesurable. 4>
Théorème 3.3.3. Soit (X,B) et (X',B') deux espaces mesurables, f :
X —» X' et (Bn) une suite d'éléments de B telle que X = UB„. On a
alors f est (B,B')-mesurable ssi Vn /jBi% est (Bt~\ B„,B')-mesurable.
DÉMONSTRATION. D'après (3.3.2), si / est (B,B')-mesurable alors pour
tout n /jBj% est ((Bfl.Bn,B')-mesurable.
Réciproquement, supposons que pour tout n, f\g„ soit (B n Bn, B')-mesurable.
Soit B e B'. Pour tout n, on a (/jb„)-i(£') e Bn B„ C B. D'où f~\B') =
Xn/-'(B') = (UBn)n/-'(B') = U(a, n/-'(B')) = U(/|BJ-'(B') G B car
B est stable pour U<j. 4k
Soit X un ensemble, (Xi,Bi) une famille d'espaces mesurables et (/;) une
famille d'applications de X dans X, respectivement. On dira qu'une tribu B
rend mesurables les /; si les /; sont (B, B,-)-mesurable respectivement. En
vertu du fait qu'une intersection de tribus possédant cette propriété est une
tribu possédant cette propriété (exercice), on peut parler de la plus petite tribu
sur X rendant mesurables les /,.
3.4. Application aux produits
En première lecture, le lecteur pourra se contenter des résultats énoncés dans
le cas de deux espaces.
Théorème 3.4.1. Soit (X\,Bi) et (X-2,Bï) deux espaces mesurables et
soit (X\ x X2,B\ ® Bî) l'espace mesurable produit, alors B\ ® Bi est la
plus petite tribu sur Xi x A'2 rendant mesurables les projections.
Plus généralement, soit ((X,,B;)),£i une famille d'espaces mesurables et
(UX,,®B,) l'espace mesurable produit, alors ®Bi est la plus petite tribu
rendant mesurables les projections.

3. APPLICATIONS MESURABLES
49
DÉMONSTRATION. Traitons le cas général que le lecteur adaptera au cas de
deux espaces.
Rappelons que si C = { f"l,€/. pTl(A.) / I' f™ C /, Vi G Y A, G Bi }
alors ®B, = <mx,(C) (en particulier, pour / = {1,2}, C = { Pïl(Ai) CI
p;1 (Ai) I Ai g BiM2 g B2 } = { a, x ^2 / A,e e,, ^2 g 02 } =
l'ensemble des pavés mesurables). Pour tout i0 G /, P.j'O&io) C C C ®6, et
donc ®Bi rend mesurable les projections.
Montrons que ®C,- est la plus petite tribu sur QX, rendant mesurable les
projections. Soit A une tribu sur IIX; rendant mesurables les projections. On
a C C A. En effet, soit C G C. On peut écrire C = f"l,€/< p~1(At) avec /' fini
inclus dans / et pour tout i G /' j4, G B;. On a pf'^t) G -A pour tout i G /'
car p,- est (.4, £?,)-mesurable et donc fliç/» pJ'1(Ai) G A car .4 est stable pour
IV On a bien C C A.
Comme ®B, est la plus petite tribu contenant C, on a alors ®C,- C A. 4
Théorème 3.4.2. Soi! (Xi,Bi) el (X2,#2) rfeuz espaces mesurables, C\
. et C2 telles que aXl(C{) = Bi et <rXl(Ct) = &2. PosonsVi = C, U{Xi} et
2>2 = C2 U {X2}. On a alors :
B1 ®B2 = <rXlxXj({ A,xA2/A,eVi, A7 eV7 })
Plus généralement, soit ((X,,C,)),ç/ une famille d'espaces mesurables et
soit (C,),-e/ telle que pour tout 1 G / aX,(&) = B,, alors :
®Bi = <rnx, ({ n,€/. p~l(A.) I V fini C /, Vi G /' it,- G C, }) (*)
DÉMONSTRATION. Traitons le cas général. Posons A = second membre de
(*). En vertu de la définition de ®Bi, on a ®Bi D A.
Inversement, A rend mesurable les projections. En effet, soit i G I- On a
PT\Ci) CAet donc d'après (3.2.1) p^^B.) C A. D'où ®& C A. *
Théorème 3.4.3. Soi! (X,B) un espace mesurable, ((X,,Ci))ie/ une
famille d'espaces mesurables et f : X —► IIX,. On a : f est (B,®B,)-
mesurable ssi Vi G / Pi ° f est (B, Bi)-mesurable.
DÉMONSTRATION. Supposons que / soit (B, ®C,-)-mesurable. Comme pour
tout i0 G /, p,-0 est (®Bi, Bi0)-meeuiab\e (3.4.1), par composition, pour tout
«0 G /, p,0 o / est (B, B.J-mesurable (3.1.1).
Réciproquement, supposons que pour tout i p,-o/ soit (B, B,)-mesurable. Pour
montrer que / est (ë,®B,-)-mesurable, il suffit de montrer que /~'(C) C B (où
Cest défini en 3.4.1-démonstration). Soit C G C. On a C = f"l,-€/» p~l(A,) avec
/' fini C / et Ai G Bi pour chaque i G /'. On a (p,- o f)~l(A,) G 6 pour tout
»€/'et donc :
rl(Q = rl{C\ P71(Ai)) = f)f-t(p7i(Ai)) = f)(piof)-*(A,)eB
••€/' ■€/' i€/'
• c« r est fini. A

50
3. APPLICATIONS MESURABLES
Théorème 3.4.4. Soit (Xi,Bi) et (X2,£?2) deux espaces mesurables et
B eBi® Bï. Soit ij G Xi, alors Bx* = { x2 G X2 / (*i,*2) e B } est
dans Bi (Bxo est appelé xf-section de B).
Soit x\ G X2, alors Bx° = { Xi G Xi / (xi,xg) G B } es* dans Bi.
DÉMONSTRATION. Soit / : X2 »
Xi x X2 définie par /(12) = (x°, x?). La
fonction / est (B2,Bi ® £?2)-mesurable.
Il suffit d'appliquer (3.4.3) car p\ o f =
C = xi est (£?2i£?i)-niesurable et
P2 o f = idx, est (B2i#2)-mesurable.
Maintenant, on a Bxo = f~l(B) G Bi.
L'autre cas se traite de manière
similaire. 4>
En application, on montrera que si A ^
0 et B je 0 : A x B G Bi ® Bi ssi (A G
Ci et B G /E?2)(exercice)
Théorème 3.4.5. Soit (X,B),(Xi,Bi) ei (X2,B2) 'rois espaces
mesurables et f : Xi x X2 —» X (Bi ® B21 B)-mesurable.
1) Soit x° G Xi. L'application partielle /ro : X2 —» X définie par
fi"(xï) = f(x1,xï) est {Bï,B)-mesurable.
2) Soit x\ G X2. L'application partielle /r* : Xi —» X définie par
fx°(xi) = f(xt,x%) est (Bi,B)-mesurable.
DÉMONSTRATION. Cas 1). L'application h : X2 —» Xi x X2 définie par
/i(i2) = (x°,Xï) est (B2,Bi ® B2)-mesurable (voir démonstration de (3.4.4)).
Comme /zo = / o h, on a le résultat voulu en vertu de (3.1.1).
Le cas 2) se traite de la même manière. 4k
LE cas TOPOLOGIQUE. Soit (X,T) et (X',7"') deux espaces topologiques. On
note T xT' la plus petite topologie sur X x X' rendant continues les projections.
Si A x B est telle que A G T et A G T', on dit que A x B est un pavé ouvert.
On montre que la collection des réunions quelconques de pavés ouverts est
exactement T xT' (autrement dit, la collection des pavés ouverts est une base
de T x T').
Il est clair que B(X x X',T x T') rend mesurables les projections lorsque X
et X' sont munis des tribus B(X,T) et B(X',T') respectivement (3.2.3) donc
B(X x X',7 x 7") D B(X,T) ® 0(X',7").
L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général.
Théorème 3.4.6. Soit (X,T) et (X',7"') deux espaces topologiques le/s
que tout ouvert de (X x X',T x T') soit réunion dénombrable de pavés

3. APPLICATIONS MESURABLES
51
ouverts alors
B(Xx X',TxT') = B(X,T)®B(X',T').
DÉMONSTRATION. Il suffit de prouver l'inclusion
B(X x X',TxT')CB(X,T)®B(X',T).
Il suffit encore de prouver que TxT' C B(X, T)®B(X',T'). Or soit GeTxT'.
Par hypothèse, on peut écrire G = U(A„ x B„) où A„ G T et B„ G T. Or on
a A„ x B„ G e(X,T) ® B(X',T') et donc G e B(X,T) ® 0(X',T'). *
REMARQUE. Si (X,T) et (X',T') sont à base dénombrable (ce qui entraîne que
(X x X',T®T') l'est aussi) la conclusion du Théorème 3.4.6 est vérifiée. C'est
le cas de (RxR.Tfc x tu). En fait, on peut montrerque si (X,T) ou (X',T') est
à base dénombrable la conclusion du Théorème 3.4.6 vaut encore (exercice).
3.5. Applications numériques mesurables
rappel. On note R = R U {—oo, +oo}. On étend l'ordre de R à R en posant :
Vi G R -oo<i< +oo
On prolonge aussi les opérations + et — en posant :
Vi G R (±oo) + (±oo) = x + (±oo) = (±oo) + x = ±oo
(±oo)(±oo) = +oo
(±oo)(^oo) = —oo
f ±oo si x > 0
(±oo)i = i(±oo) = < 0 si x = 0
l ^oo si x < 0
(±oo) + (^oo) ne sont pas définis.
On définit une topologie tj- sur R en posant que G est ouvert s'il est réunion
d'éléments de J où :
7={]a,b[/ a<ba,beR}u{ [-oo,a[ / a G R }u{ ]a,+oo] / a G R } (*)
Il est aisé de voir que Tg- est bien une topologie (de base J). Elle est à
base dénombrable (on vérifie que ,7q définie de la même manière que J
en remplaçant R par Q dans (*) est une base dénombrable pour r^). On a
TgTR = tu et donc (R, 7¾) est un sous-espace topologique de (R, Tg-) (on prendra
garde que JflR n'est pas égal à J, l'ensemble des intervalles ouverts bornés
de R (2.4), car J C\ R est l'ensemble des intervalles ouverts (bornés ou non) de
R Y On note #(R) la tribu borélienne B(R, 7^) de (R, rg). On a, d'après (3.3.1),
B(R) n R = B(R). Notons que, entre autres, B(R) = 0^(( ]a, +00] / a G Q }).
Soit X un ensemble et / : X —» R. On dit que / est une application
n»unérique sur X.
On dit que / est finie si f(X) C R.
On dit que / est bornée si f(X) est un ensemble borné de R.

52 3. APPLICATIONS MESURABLES
Lorsque / est une application (B, B(R))-mesurable d' un espace mesurable
(X,B) dans R, on dit plus simplement que / est B-mesurable (ou mesurable
s'il n'y a pas d'ambiguïté).
On note M(X, B) l'ensemble des applications numériques sur X B-mesurables.
On note Mj(X,B) le sous-ensemble des application finies et Mt(X,B) le sous-
ensemble des applications bornées R.
Si / G Mj(X,B) on confond, comme on a convenu de le faire en 3.2, / avec
/ : X —» R définie par Vi G X f(x) = f(x).
Soit / une application numérique définie sur un ensemble X. Pout tout a € R,
on pose :
V {/ > a} = { x G X I f(x) > a } = /-^0,+00]).
{/ > a} = { x G X I f(x) > a } = /-'([a.+oo]),
{/ < a} = { x G X I f(x) < a } = /-'([-O0.OD,
{/<«} = { * e X I f(x) < a } = /-'([-00,«]).
Si de plus g est une application numérique définie sur X, on pose :
{/ < g] = { * e x I f(x) < g(x)},
{f<g} = {*ex/f{x)<g{x)},
{f = g} = {xeX /f(x) = g(x)}.
Théorème 3.5.1. Soit (X, B) un espace mesurable et f : X —» R alors
les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) / est B-mesurable,
2) Va e R {/ > a} e B,
S) Va e R {/ > a} e B,
4) Va G R {/ < a} G B,
j) Va G R {/ < a} G B.
DÉMONSTRATION. C'est une simple application de 3.2.1 compte tenu du
fait que B(R) est engendrée par { ]a, +oo] / a G R } (resp. { [a,+oo] / a G R },
resp. { [—oo,a[ / a G R }, resp. { [—oo,a] / a G R }). 4
remarque. Dans ce théorème, on peut remplacer Va G R par Va G Q.
Théorème 3.5.2. Soit f,g eM(X,B) alors
i){f<g}eB,
2){f<g}eB,
S){f = g}eB.
DÉMONSTRATION. 1) On vérifie que {/ < g] = Ur€<j({/ < r} n {s > r})
et donc {/ < g} G B d'après 3.5.1 et le fait que B soit stable pour Hj et U<j.
2){/<s} = X\{/>fl}G0.
3){/ = s} = {/<s}\{/<ff}eB.4>

3. APPLICATIONS MESURABLES 53
Théorème 3.5.3. Soit (/„)n€u «ne suite dans M(X,B) alors /es
quatre applications numériques : inf/n, sup/n, lim/„ et lim/n son* dans
M(X,B)
. (où ViGX (inf/n)(x) = inf(/n(x)) (sup /„)(*)) = sup(/n(z))
Hm/n = sup inf /„ lim/n = inf sup/„).
n P>" n p>„
DÉMONSTRATION :
1) Soit a G R. On a {inf/n > a} = n{/„ > a} G B et {sup/n > a} =
U{/„ > a] G B.
2) Que lim/„ et lim/n soient dans M{X,B) résulte de leur définition et
de 1). *
Corollaire 3.5.4. Soit f,g e M(X,B), alors
/As,/Vs,/+,/- sont dansM(X,B)
(avec V* (/ A g)(x) = min(/(», g(x)) et (f V g)(x) = max(/(i),j(i)),
el/+=/V0,/- = -(/A0)).
DÉMONSTRATION. En posant /o = / et /„ = g pour tout n > 1, on
obtient / A g = inf/n e M(X,B) et / V g = sup/n G XfX.B) d'après
3.5.3. La fonction nulle est dans M(X,B) donc /+ = / V 0 G X(X,B)
et/AO e A4(X,B). Si /i G X(X,B) alors -h e X(X,B). En effet,
{—h > a} = {h < —a} G M(X, B) pour tout a G R. On en déduit que
/"=-(/ A 0)eM(X,B).é
Corollaire 3.5.5. Soit (/„) une suite dans M(X.B) et soit C = { x G
X I lim/n(a;) existe } alors C Ç.B.
DÉMONSTRATION. On a C = {Hm/n = Rm/n} donc C e B d'après 3.5.3
et 3.5.2.4
Notation. Soit (/„) une suite de fonctions numériques définies sur aun
ensemble X. On dit que (/„) converge simplement ou ponctuellement
_ s
vers / si Vi É X lim/n(a;) = f(x) (dans R). On écrit /„ ► / ou
lim/„ = / (s) ou encore lim/n = /. Si pour tout x dans X les suites (f„(x))
sont croissantes (resp. décroissantes), on écrit (/„) î et /„ î / (resp. (/„) J. et
•M/).
Si les fonctions sont à valeurs dans R, on dit que (/„) converge uniformément
vers / sur X si Ve > 0 3n0 Vn > n0 Vi G X \f„(x) - f(x)\ < e. On écrit
. u
/n ► / ou lim/n = / (u) ou encore lim/n = /. Il est immédiat que :
,, u s
Corollaire 3.5.6. Soit (/„) une suile dans M(X,B) convergeant
simplement vers f alors f G M(X,B).

54
3. APPLICATIONS MESURABLES
DÉMONSTRATION. On a clairement !im/n = /(= lim/n) et donc / G
M(X,B).é
Théorème 3.5.7. Soit f,g G M(X,B) et a G R, alors af,f +
g (lorsque cette somme a un sens) et fg sont dans M(X, B). En
particulier, si /,j£ Mj(X,B), af, f + g et fg sont dans Mj(X,B) et muni
de ces trois opérations, M/(X,B) est une algèbre sur R.
DÉMONSTRATION. Le cas af se ramène à celui de fg en considérant
l'application g constamment égale à a.
Tïaitons le cas f,g G Mj(X,B).
"Soit 6 : X —» R x R définie par 6{x) = (f(x),g(x)). Cette application est
(B, B(R) ® B(R))-mesurable. En effet, p, o0 = /etp2o0 = fl sont (B, B(R))-
mesurables et on applique 3.4 3.
Remarquons que B(R x R, rB x rB) = B(R) ® B(R) (3.4.6 et remarque suivant
3.4.6). On a donc : 6 est (B, B(R x R))-mesurable.
Soit <j>, : R x R —» R définie par 4>,{x,y) = x + y et <j>p : R'x R —» R définie
par <j>p(x,y) = xy. Ces applications sont (tu x t> , T^)-continues (la vérification
est élémentaire), elles sont donc (C(R x R, tu x Tg)tB(R))- mesurables d'après
3.2.3. Il s'ensuit, en appliquant 3.1.1, que f + g (= ¢, 06) et fg (= <j>p 06) sont
{B, B(R))-mesurables.
Cas /,g eM(X,B).
Posons D = {/ = ±00} U {g = ±00}. Evidemment, D G B.
On a/jD. G Mj{iy,BC\Dc) et g\Dc G Mj(Dc,Br\Dc) en vertu de 3.3 2, d'où,
en appliquant le cas précédent, (/ + ff)|/j« = /j/j« + Sj/j* G Mj(Dc,B t~\ Dc).
On a /jcSjc G X(D,Bn D) d'après 3.3.2. Pour tout a G R on a :
((/ + s)lCrV+~]) = ((/ + ï)|d)"'({+oo}) = ({/ = +œ}U{fl =
+00}) nd g Bnd. d'où (/+s)|D eA<(D,enD).
En appliquant 3.3.3, on obtient que / + g G -M(X, 6).
Le lecteur traitera le cas fg à titre d'exercice. 4>
Corollaire 3.5.8. Soit f une application numérique sur (X,B) espace
mesurable alors :
J)fe M(X, B) ssi f+,f~ G M(X, B),
2) Si f G M(X, B) alors |/| G M(X, B),
(avec \f\(x) = \f(x)\).
démonstration. Si / G M(X,B) alors /+,/~ G M(X,B) d'après 3.5.4.
Si /+,/- G M(X,B) alors / = /+-/" g M{X,B).
Si / G X(X, B) alors |/| = /++/" g X(X, B). *
REMARQUE. Si |/| G M(X, B) on n'a pas obligatoirement / G M(X, B). En
effet, reprenons l'exemple 2.4.3) en posant X = R. On constate que dans ce
cas A = [0,1] n'est pas dans B. On a alors 1^ — l^c £ M(X, B), par contre
11^-1^1 = 1,, + 1^ = 16^(^,6).

3. APPLICATIONS MESURABLES 55
3.6. Fonctions simples. Approximation
Soit X un ensemble. Une application numérique est appelée fonction
simple ou application simple si f(X) est une partie finie de R. Si f(X) =
{ai,02,..-,an} (avec les a; tous distincts), on peut écrire
n
1=1
Cette écriture est appelée écriture canonique de /.
Soit (ti)i=i m une suite finie de réels et (At)i=i m une suite finie de parties
de X alors
S
= £m,
est une fonction simple sur X et l'écriture est canonique si les £,- sont tous
distincts, (A;) est injective et forme une partition de X. Par exemple, l'écriture
canonique de / = l[-i,il + l[o,il sur R est l[_i,o[+ 2.1[0,il+ 0.1b\[-i,i1-
n
Une fonction simple / = \J a.-l^ sur un espace mesurable est mesurable ssi
tel
Vi Ai Ç.B (exercice).
On note S(X, B) l'ensemble des fonctions simples mesurables sur X. On a
S(X,B) C Mb(X,B) et de plus, S(X,B) est une sous-algèbre de Mh(X,B).
De plus, il est clair que { 1^ / A G B } est une famille génératrice de l'espace
vectoriel S(X, B).
Si ~H est un ensemble d'applications numériques sur X, on note W+ le sous-
ensemble des éléments positifs de Ti (c'est à dire / G W+ si / G Ti et
VzeX /(z) >0).
- Théorème 3.6.1. Soit (X,B) un espace mesurable et f G R .
a) Si f G M+(X, B) alors il existe une suiie (sn) dans S+(X, B) telle que :
s
sn T / (ce qui entraîne sn ► f).
, u
, b) Si f G M%(X, B), on peut choisir (sn) ie//e que s„ ► /
c) Si f G M(X,B) il existe une suite (s„) dans S(X,B) telle que
s
»n ►/.
* DÉMONSTRATION. 1) Traitons le cas b). Soit n0 G w tel que Vi G X 0 <
f{x) < n0. Posons pour tout n£uet tout k = 0,1 n02n —1 Ani = (iG
X/W-" </(*)<(*+1)2-"}.
A n fixé, les A„ t sont disjoints deux à deux et forment un recouvrement de X
(US,"-'*.,* = *)•
î^wons pour tout n :
n02"-l
1=0
P» construction, pour tout n, sn G S+(X,B).

56 3. APPLICATIONS MESURABLES
U
Montrons que s„ ] et s„ ► /.
Soit x G X et n G w. Soit k l'unique entier tel que f(x) G [t2-n,(t + l)2-n[.
On a s„(x) = k2~". Comme :
[t2-n,(t + l)2-n[=[2t2-n-I,(2t + 2)2-n-I[
= [2t2-n-',(2t + l)2-n-'[U[(2t + l)2-n-',(2t + 2)2-n_I[,
on a s„+i(x) = 2t2_n_I ou (2fc + l)2_n_I et donc s„(x) < s„+i(x). De plus
0 </(x)-«„(x)< 2"".
. u
En conséquence, s„ ] et s„ ► /.
2) Traitons a). Soit / G M+(X, B). Clairement /An G Mf(X, B), /An î /
et / A n ► /.
En appliquant 1), soit pour tout n, (s„,t)teu une suite dans S+(X,B)
croissante, convergeant uniformément vers /An.
Pour chaque n, fixons fcn tel que |(/A n)(x) — s„fk,(x)\ < £ pour tout x G X.
s . s
Comme /An ► /, on en déduit aisément que snitn ► /.
Posons s„ = sup{ sPij:F / p = 0,..., n }. On a s„ G S+(X,B), s„ ] et comme
s
pour tout n snit. < s„ < f, on a s„ ► /.
3) Tïaitons le cas c). Soit / G M(X, B). Soit (sn) G S+(X, B) croissante,
s s _
telle que sn ► /+ et (sj,) G S+(X,B) croissante, telle que s'n ► / .
s
Il est clair que (sn — sj,) est dans S[X,B) et s„ — s'„ ► /. A
s
REMARQUES. 1) Dans 3), on a (|sn - s'„\) = (s„ + s'„) ] et s„ + s'„ ► |/|.
2) D'un point de vue topologique, 1) et 3 entraîne que S+(X, B) (resp. S(X, B))
est dense dans M+{X, B) (resp. M(X, B)) pour la topologie de la convergence
simple et 2) entraîne que S+(X,B) (resp. S(X,B)) est dense dans M*(X, B)
(resp. Mb(X,B)) pour la topologie de la convergence uniforme.
3) Le Théorème 3.6.1 est fondamental. Il valide la méthode suivante :
Soit (X, B) un espace mesurable. Supposons que nous ayons un sous-ensemble
~H de R* et que nous voulions démontrer que MAX,B) C ~H. Il suffira de
prouver que {1A / A £B } C~H, puis que S+(X, B) C ~H (ce qui sera le cas si
Ti est un espace vectoriel), puis que M~Ï(X,B) C "H (ce qui sera le cas si, pour
toute suite (/„) C "H+ croissant vers / G R* alors / G ~H, en vertu précisément
de 3.6.1) et enfin que Mj(X,B) C W (ce qui sera le cas si Ti est stable pour
les différences car toute application numérique / s'écrit /+ — /~).
A noter qu'une méthode similaire peut être développée en ce qui concerne
jf
Ti C R et M(X,B). Ces méthodes seront désignées sous l'appellation
commune de méthode standard (on pourra consulter E.3.10).

3. APPLICATIONS MESURABLES
t.
Exercices, compléments
E.3.1. Soit X un ensemble.
a)JDéterminer l'ensemble des applications mesurables de (X,V(X)) dans
(R,0(R)).
On suppose que X n'est pas dénombrable. Soit B la tribu sur X
{ A C X I \A\ < H0 ou \AC\ < H0 }.
b) Montrer que / : X —> u est (B, 7>(w))-mesurable ssi il existe n tel
que (/~'({n}))c ^1 dénombrable (ssi il existe n unique tel que /~'({n}) est
non-dénombrable).
c) <&<& Montrer que / : X —» R est (B, B(R))-mesurable ssi / est constante
sur une partie A telle que Ac soit dénombrable.
Aide, a) Toutes bien sûr !
b) Disons, pour alléger l'écriture, qu'une partie de X est co-dénombrable si
son complémentaire est dénombrable. (Remarquons à priori que deux parties
co-dénombrables ne peuvent être disjointes et que, en conséquence, il existe n
tel que /-1({n}) est co-dénombrable ssi il existe n unique tel que /_1({n}) est
non-dénombrable).
La condition est évidemment suffisante. Montrons qu'elle est nécessaire.
Supposons donc / (C,7>(w))-mesurable. La collection { /~'({n}) / n G u } est une
partition de X. Il y a au moins un élément de cette partition qui est plus que
dénombrable, et donc co-dénombrable.
c) La condition est suffisante. Montrons qu'elle est nécessaire. Supposons
/ (B, C(R))-mesurable. Soit oo G R. Ou bien /-1(] — oo,oo[) est dénombrable,
ou bien /-l([oo,+oo[) est dénombrable (sinon, X est partitionné en deux
ensembles dans B disjoints, non dénombrables ; absurde).
Supposons /~'(] - oo.OoD dénombrable. Comme U06q/~'(] - °°,a[) = X, il
existe a tel que /"'(]- °°i<*D co-dénombrable (sinon -Y serait dénombrable)
et nécessairement cet a est strictement plus grand que oo- Soit Oi =
"rï{ ° / /~'(] — °°.<*D co-dénombrable }. Montrons que /-1({Qi}) e*1 c°-
dénombrable. Pour tout n G w* /-1([<*i + S'>+O0D est dénombrable (sinon
on obtient une contradiction de la définition de Oi) et donc /-l(]oi,+oo[) =
un€w/-l([°i + S".+°°[) ^1 dénombrable. Par ailleur, /~'(] - oo,Oi[) =
^«•/"'G —00,01 — i[) est dénombrable donc /-l({Qi}) est co-dénombrable.
L'autre cas se traite de manière similaire. D'où le résultat. •
E.3.2. Soit B = {A C Z/Vn G "* 2n G A «■ 2n + 1 G A}.
a) Montrer que B est une tribu sur Z et que B ^ V(JL)-

58 3. APPLICATIONS MESURABLES
b) Soit <j> : Z —» Z définie par $(n) = n + 2. Montrer que <j> est bijective,
(B, C)-mesurable, mais $-1 n'est pas (B, B)-mesurable.
Aide, a) {2} £ B.
b) tf({0}) = {2}. .
E.3.3. Montrer que toute application monotone de R dans R est borélienne.
Aide. Soit / : R —► R croissante. Montrer que pour tout a G R, /~'([a,+oo])
est soit vide soit de la forme ]b, +oo] ou [i,+oo]. Le Théorème 3.5.1 permet
alors de conclure. •
■x
E.3.4. £ Montrer que si i G R et si / : R —► R est une application borélienne,
alors /t et / les applications de R dans R définies par /i(x) = f(t + x) et
f{x) = f(—x) sont boréliennes.
Aide. Les applications x —► t + x et x —► — x de R dans R sont mesurables
(3.5.7) et en les composant respectivement avec /, on obtient /t et / d'où la
mesurabilité de ces dernières d'après 3.1.1. •
E.3.5. «fr Soit S l'ensemble des parties symétriques de R (A G S si Vi G R x G
A ~—x e A).
a) Montrer que S est une tribu sur R.
b) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application
/ : R — R soit (S,7>(R))-mesurable.
c) Trouver la plus petite tribu B sur R rendant l'application x —» x2 de R
dans R, (B, B(R))-mesurable.
Aide, b) / paire convient. En effet, si / est paire, on a a; G f~*(A) «-» — x G
f~l(A) pour tout A C R. Réciproquement, si / est (5,7>(R))-mesurable, on a
—x G /~'({/(*)}) pour tout x G R, donc f(x) = f(—x).
c) C'est la tribu S f"l B(R). •
E.3.6. Soit (X, B) et (Y,C) deux espaces mesurables, et soit / : (X, B) — (Y,C)
une application mesurable. Soit (C,,),.^ C C, (Cn) injective, et (yn)n>o C Y.
On suppose que (Cn)ne„ est une partition de Y. On définit / : X —' Y par
f /(x) = /(x) si f(x) G C0
l /(*) = yn si /(*) G C„, n > 0
Montrer que / est (B, C)-mesurable.
APPLICATIONS
A. Soit / : (X,B) — (R,B(R)) mesurable. Soit a G R. On définit /„ : X — R

3. APPLICATIONS MESURABLES
59
par
(f(x) ri|/(x)|<a
j fa(x) = < a si f(x) > a
( —a si f{x) < —a
Montrer que /a est mesurable de (X,B) dans (R,C(R)).
B. Soit (X, B) un espace mesurable.
a) Soit g : (X, B) —» (R, B(R)) mesurable et soit / définie par f(x) = ——-
si g(x) ^ 0 et f(x) = 0 sinon. Montrer que / est mesurable.
b) Soit <j> et il> deux applications mesurables de (X, B) dans (R, B(H)). On
définit /i : X — R par h(x) = ^.¾¾ si <4(i) + tf(i) ?* 0 et /i(i) = 0 sinon.
Montrer que h est mesurable.
Aide. Pour tout n, les applications /]Cj% sont (Cn/-I(Cn),C)-mesurables et,
les /~'(C„) sont dans B et vérifient u/"'(Cn) = X. On applique alors 3.3.3.
A. En posant Cq = [— a,a], Ci =]o,+oo] et Ci = [—oo,o[, yi = a et y2 = —a,
f = /ai on constate que l'on se retrouve dans les conditions énoncées plus haut.
B. a) L'application t —» | = :v(<) de R* dans R est continue et donc borélienne.
En appliquant le résultat du début de l'exercice, l'application h de X dans R,
définie par l{|f|>o}0 e6' mesurable. On a donc / mesurable comme étant égale
à la composée iv oh.
b) On applique a) et 3.5.7. •
E.3.7. ££ Montrer que si / : R —» R est une fonction dérivable alors /' est
borélienne.
Aide. On pose /„(*) = n(f(x + £) — /(*)), pour tout n > 0 et x G R.
Remarquer que la suite (/„) converge simplement vers /' et appliquer 3.5.6. •
E.3.8. A Donner un exemple d'espace mesurable (X, B) et d'une famille (/,),6/
dans £4(X,B) telle que sup,€//, (resp. inf,€//,) ne soit pas mesurable.
Aide. Soit X un ensemble non dénombrable muni de la tribu <t(V) (voir E.2.3).
Considérer I C X avec / g <r(V) et poser /, = 1{,j, i G /. •
E.3.9. ££ Soit (X, B) un espace mesurable et (Y, r) un espace topologique. Soit
(/n) une suite d'applications de X dans Y (B, B(r))-mesurables qui converge
simplement vers /. Soit G un ouvert de Y. Montrer que
a)/-'(G)c!im/-'(G).
b) 3A G B /~'(G) C A C f~x(G). (Où G est la fermeture de G dans
l'espace topologique (Y,t).)
Aide, a) Soit x G /~'(G). On a f(x) G G. Donc, puisque G est un voisinage
(ouvert) de f(x) et que f„(x) —» f(x), à partir d'un certain rang les f„(x)

60 3. APPLICATIONS MESURABLES
sont dans G. Il s'en suit que x est dans /~'(G) à partir d'un certain rang et
donc iGlJm/'^G).
b) La partie A = }ûmf~l(G) convient. Soit x G ^mf^l(G). On a f„(x)
dans G à partir d'un certain rang, et donc la limite f(x) de fn(x) est dans G.
Il s'ensuit que x G f~l(G). •
E.3.10. <M Soit (X,C) un espace mesurable et H un espace vectoriel de
fonctions réelles sur X vérifiant
(1) V(/in) ÎC (W+r (sup hn finie - sup hn G W)
n n
(2) V4 e B u e w
Montrer que M/(X,B) C W.
APPLICATIONS.
A. (Théorème de Doob) Soit X un ensemble, (E, B)'un espace mesurable et
<t> : X —» F une application. On munit X de la tribu $"'(£?). Montrer que
/leX/fX,<T'(£)) ssi 3feM,(E,B) /i = /o<4.
B. Retrouver les résultats de E.3.5.
Aide. On utilise la méthode standard :
1) Les fonctions simples sont dans 7i d'après (2) et d'après la structure d'espace
vectoriel de "H.
2) La condition (1) et le Théorème 3.6.1 (d'approximation) impliquent que
M+(X,B)CH.
3) Enfin, le Corollaire 3.5.8 permet de conclure.
A. La condition est évidemment suffisante par la règle de composition des
applications mesurables (3.1.1). Pour montrer que la condition est nécessaire,
on pose
■H = {heM,(X,<j>-1 (B))/3feM,(E,B) /> = /o<4}.
On montre aisément que Ti est un sous-espace vectoriel de R vérifiant (2)
(si A est dans <j>~l{B), on choisit B dans B tel que A = <j>~x(B). On a alors
1* = 1b °tf).
Montons que (1) est vérifié. Soit une suite (/)„) dans H croissante telle que
sup/in soit finie, et soit pour tout n, f'„ G M/(E,B) tel que h„ = f'„o<j>.
Posons B = {sup f'„ = +00} et pour tout n, /„ = 1b=./^. Comme pour tout n,
/nlB' = f'„\B*, et que ij){X) C Bc, on a sup /in = sup(/; o <j>) = sup(/n o <j>) =
(sup/n)o$. Comme sup/n £M/(E,B), il s'en suit que sup h„ G W.
On obtient donc que Mj(X,<jTl(B)) C W, ce qui est le résultat escompté. •
E.3.11. Si A C R on pose a(A) = {(x, y) G R2/ \x - y\ G A}. Montrer que si
A G B(R) alors a(A) e B(R2).

3. APPLICATIONS MESURABLES 61
Aide- L'application <p de R2 dans R définie par <p((x, y)) = \x — y\ est continue
donc borélienne et a(A) = <p~l(A). •
E.3.12. Soient (Xi.Bi), (Yi.Ci), (^2,¾) et (Yi^) des espaces mesurables,
fl : X\ —* Yt et /2 : X2 —» V2 deux applications mesurables. Montrer que
l'application h = (/1,/2), définie de Xi x X2 dans Yi x Y2 par /1(11,12) =
(/1(^1)./2(3¾)). es* (#1 ® B2,Ci ®C2)-mesurable.
Aide. Appelons p\, p\ les projections de Xi x X2, et pj, p\ les projections de
Y\ x Yi. On vérifie aisément que pï o /1 = /1 op[ et p2, o h = /2 opj. On applique
alors 3.4.3. •
E.3.13. Soit (X,B) un espace mesurable, E G B®B(R) et (o,/J) G R2. Montrer
que l'ensemble B = {(x, y) G X x R/(i,oy + /J) G F} est mesurable.
Aide. On applique E.3.12 en posant /1 = {Idx,fa,fi) où /a,p est l'application
de R dans R définie par fa,p(y) = ay + p. L'application h est donc mesurable
étB = h~1(E). •
E.3.14. H Soit (Xi,Bi) et (X2,B2) deux espaces mesurables, Ci et C2 deux
collections telles que c(Ci) = Bi et c(C2) = 62- On pose C = {Ci x C2/C1 G
Ci, C2GC2}.
a) Montrer que Bi ® B2 D c(C).
b) Montrer que si Xi = U~_0Cp et X2 = U^0CJ pour deux suites (Cp)
et (CJ) dans Ci et C2 respectivement, alors B\ ® B2 = c(C).
c) Donner un contre-exemple montrant que l'inclusion donnée dans a) peut
être stricte.
Aide, a) On a B,®B2 = <?({ BixB2/B, GB,, B2 G 62 }) D'{ C, xC2 / C, G
Ci. C2 G C2 }-et donc d'après la règle E.T., B, ® B2 D c(C).
' b) On pose C[ = C, U {X,}, C2 = C2 U {X2} et C = { CJ x C2 / CJ G
C'i,C'2 G C2 }. En utilisant 3.4.2, on a c(C) C c(C') = Bi ® B2 et, comme
Xi x Ci = Un(C? x C2), C, x X2 = U„(C, x C2n) et X, x X2 = U„,mCp x Cy
pour tout Ci G Ci et tout C2 G C2, on a C C <r(C). D'où par la règle E.T.,
B, ® B2 C <r(C).
c) On pourra prendre Xi = X2 = {0,1}, Bi=B2 = 7>({0,1}), C, = {{0}}
etC2 = -p({0,l})..
E3 •15. Soit (X,B) un espace mesurable et soit £C«xX. Montrer que E
«st V(w) ® B-mesurable si et seulement si pour tout n G u la section E„ de E
«st B-mesurable,
Aide. La condition est nécessaire d'après le Théorème 3.4.4. Pour montrer
qu'elle est suffisante on écrira E = Un€„{n} x E„. •

62
3. APPLICATIONS MESURABLES
E.3.16. Hit Espaces denombrablement séparés. On dit qu'un
espace mesurable (X, B) est denombrablement séparé s'il existe une suite
(£n)n€u C B séparant les points de X ; c'est à dire si x, y G X sont tels que
1b„(x) = lBn(y) pour tout n£u, alors x = y (voir E.2.11).
Soit (X,B) un espace mesurable. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
a) A G B® B, où A = {(x,x)/x G X} désigne la diagonale de X x X.
b) (X,C) est denombrablement séparé.
c) pour tout espace mesurable (X',B') et pour toute application (B,B)-
mesurable / : X' —» X, on a G(/) G 6' ® B, où G(/) désigne le graphe de
/•■X
Aide, a) —» b) : Utilisons le résultat de E.2.12. Soit (A„ x B„)n€u une suite
de parties de X x X, avec j4„, Bn G B, telle que A G <t((A„ x .¾.)). On vérifie
alors que la collection { fl„/n£u) sépare les éléments de X.
b) —► c) : Soit (B„) une collection séparant les éléments de X. On a
GU) = fi (/"'(*") * *.)U(/-'(i£) x i£)
c) —» a) : On applique c) avec (X', B1) = (X, B) et / l'application identité. •
E.3.17. <M<fr Une application séparément mesurable non mesurable.
Soit (Xi,Bi), (X21&2) et (Y,C) des espaces mesurables. Une application
/ : Xi x Xi —» V est dite séparément mesurable, si pour tout Xi G X\
(resp. X2 G X?) l'application partielle /r, = f{xlt.) (resp. /rj = /(.,12)) est
(B2,C)-mesUTable (resp. (Bi,C)- mesurable).
Soit (X, B) un espace mesurable.
a) On suppose que {x} G B pour tout x G X. Montrer que la : X x X —»
{0,1} est séparément mesurable. ({0,1} étant muni de la tribu ^({0,1)), et
X x X de la tribu produit.)
b) Montrer que 1& est mesurable si et seulement si (X, B) est
denombrablement séparé.
c) Donner un exemple d'un espace mesurable non denombrablement séparé
et vérifiant la condition de a).
Aide, a) On a ((U)r)-'({1}) = {x}.
b) Utiliser E.3.16.
c) Soit X un ensemble. La collection
V = {ACX/\A\< Mou \AC\ < M }
est une tribu sur X. Si X est non dénombrable alors (X,V) est non
denombrablement séparé. En effet, soit (A„)„çw C V. L'ensemble X' =
(U„çiA„) U (UjtçicA^), où / est l'ensemble des entiers n tels que A„ est

3. APPLICATIONS MESURABLES
63
dénombrable, est lui même dénombrable. Soit x ^ y G X \ X'. On a
\An(x) = U»(y) pour tout n G w. •
i
E.3.18. 44 Pour tout espace topologique (X,r) on note B(X) sa tribu
borélienne (6(X) = <t(t)). Soit (X,r), (V.r') deux espaces topologiques et
soit X x y l'espace topologique produit. Montrer que l'égalité
B(X *Y) = B(X)®B(Y)
a lieu dans chacun des cas suivants :
a) L'espace produit X x y est hériditairement de Lindelôf. (On rappelle
qu'un espace topologique est hériditairement de Lindelôf si pour toute collection
V d'ouverts de cet espace il existe une sous-collection UCV dénombrable telle
que UV = \M.)
b) jm II existe une collection C C B(Y) dénombrable telle que, pour
tout ouvert V de Y et pour tout y G V, il existe C G C vérifiant y G C C V.
(Une telle collection est dite réseau boréhen de l'espace topologique Y.) Ceci
est vrai en particulier si la topologie de y est à base dénombrable d'ouverts.
Aide. Dans les deux cas il suffit de montrer l'inclusion B(X x y) C B(X) ®
B(Y). Pour cela il suffit de montrer que tout ouvert de l'espace produit
appartient à B(X) ® B(Y) en vertu de la règle E.T.. Soit W C X x Y un
ouvert.
a) Comme la topologie produit admet pour base l'ensemble des pavés
ouverts, soit (U, x K)i€/ une famille de pavés ouverts telle que W = U,ç/t/i x V,.
Soit J C I dénombrable tel que W = U,çjUi x V,. Pour tout i G / on a
Vi x V, G B(X) ® B(Y) ; une tribu est stable par union dénombrable, on a par
conséquent W G B(X) ® B(Y).
b) Posons C = (Cn)„c„. Pour tout n G w soit
U„ = U{ t// t/ouvert de X, U x C„ C W }.
IA„ est un ouvert de X. Montrons que W = Ut/„ x Cn, il en résultera que
W G B(X) ® B(Y). Soit (x,y) G W, et soit U C X, V C y deux ouverts tels
que (x, y) G U x K C W. Par hypothèse il existe n G u tel que y G Cn C V.
On a t/ x C„ C J/ x V C W, donc x G U„ et par conséquent (x, s)e(/„xC„.
Inversement, soit n G w et soit (x, y) £ t/„ x Cn. Par définition de U„ il existe
IA un ouvert de X tel que x G U et U x C„ C W, donc (x, y) G W. •
REMARQUE. En général l'inclusion B(X)®B(Y) C #(X x y) est stricte. Soit
X un ensemble tel que |X| > c. On munit X de la topologie discrète. On a
bien sûr B(X) = V(X) et B(X x Y) = V(X x Y). Mais B(X) ® B(X) ?£
V(X x X). En effet, dans le cas contraire il existerait, d'après E.2.12, une
suite (A„ x B„) C V{X x X) telle que la diagonale de X x X appartienne
à <r{{A„ x B„). Dans ce cas, une application de E.2.11 permet de voir que
l'application / : X - ({0,1} x {0, l}f, définie par /(x)(n) = (^.(x), 1B„(*)),
est injective. On aurait donc |X| < c, ce qui est absurde.

64 3. APPLICATIONS MESURABLES
E.3.19. JI>H Soit (X,B) un espace mesurable. On suppose que cet espace
est à la fois séparable et dénombrablement séparé (voir E.3.16). Le but de cet
exercice est de montrer que (X, B) est isomorphe à un sous-espace de l'espace
borélien(R,B(R)).
Soit (A„)„>\ une suite de parties de X telle que <r((A„)) = B. On considère
l'application / : X — R définie par f(x) = £~=I W-"lAn(x).
a) Montrer que / est injective.
b) Montrer que / est mesurable.
c) Montrer que B est engendrée par l'ensemble des parties de X de la forme
A\l HAl* n-n AÏ,',où (6i,---,6„) G {0,1}". (Avec la convention A1 = A et
A°*= Ac.)
d) Montrer qu'à (6°, • • •,6°) fixé, on a
f(A? n il? n • • • n il?) = f(X) n E? îo-tf, E? io-«,° + 410—]
e) En déduire que /"' est mesurable de (/(X),B(R)n/(X)) dans (X,B).
Aide, a) A x / y fixés, on considérera le plus petit entier n tel que 1,4. (x) /
u.(y)-
b) Montrer que / est limite simple d'une suite de fonctions mesurables.
c) Remarquer que tout A„ avec n > 2 s'écrit
(J (AÏnAÏn — nfânAj.
('•).€(o,D —'
I*
d) Pour tout x G X, on associe une suite (6*) telle que x G -An" pour tout
n. Si maintenant, x G njL,^,", on a 6° — 6* pour tout i = 1,2,.. ,n. Donc
n oo n oo n |
Y, io-«,° < ]r io—«f < y, w~'s? + H lo-* = 5Z l0_,*.° + s10-"
i=l i = l t=l i=n+l t=l
et donc
/(^) = ^10-1^.(1) = ^10-^6
1=1 ■=!
£l0-«,°,£l0-«,°+il0-

0*
Chapitre 4
Mesures positives
4.1. Mesures, espaces mesurés
Soit X un ensemble, C une collection de parties de X contenant 0.
Une application /i : C —► R+ vérifiant :
(m,l) ,1(0) = 0,
(m,2) Pour toute suite (A„) d'éléments de C 2.2.d. avec UA„ G C
on a ti(UA„) = £~_0 K^n) (c-additivité),
est appelé mesure positive (ou plus simplement mesure) sur C.
Rappelons que $^L0f*(A„) est la somme dans R de la série positive de
terme général n(An) et donc c'est la limite dans R de la suite croissante
oo n
(Er=o KAt))„eu- On a aussi V /i(4) = sup V,i(j4,) = sup V/i(il,).
Remarquons que si /i est une mesure sur C et si 0 G C C C alors fi, la restriction
de /i à C est une mesure sur C.
Si /i est à valeurs dans R+, on dit qu'elle est finie. S'il existe une suite (A„)
dans C telle que UA„ = X et pour tout n, ti(A„) < +oo, on dit que /i est
c-finie et que (j4„) est associée à /i. Dans le cas où C est une algèbre et fi est
c-finie, il existe alors une suite associée à /i qui est 2.2.d. (exercice, voir E.2.6).
Si C est une tribu, le triplet (A',C,p) est appelé espace mesuré (notons que
dans ce cas, la condition \JA„ G C dans (m,2) est automatiquement vérifiée).
Si (X, B, /i) est un espace mesuré, on dit qu'il est fini (resp. c-fini) si /i est
Mie (resp. c-finie). Si (X,B,ti) est un espace mesuré avec /i(X) = 1, on dit
lue fi est une probabilité et que (X, B, fi) est un espace probabilisé.

66
4. MESURES POSITIVES
On remarque que pour un espace mesuré, fi est finie ssi /i(X) < +00 (cf. (m,4)
ci-dessous).
Proposition 4.1.1. Soit (X,B,fi) un espace mesuré. On a :
(m,3) fadditivité/ Pour toute sutte finie (j4„)n=i, ,* d'éléments de B
2.2.d. : /idJJU.A.) = £*=I M^n)-
(m,4) (croissance,/ \M, B A C B -* /i(A) < /i(B).
(m.5) Si (A„) est une suite croissante d'éléments de B alors
/i(UX„) = lim »(A„).
n—*oo
(m.6) 5: (A„) est une suite décroissante d'éléments de B et s'il existe no
"^ tel que fi(A„B) < +00 alors
ti((~\A„) = lim ti{A„).
n—*oo
démonstration. 1) Soit (j4„)„=i k une suite finie dans B 2.2.d. et
posons pour tout n > k A„ = 0. La suite (A„) est dans B et 2.2.d. On a
,i(UÎ;=I,4n) = ^(Un>Mn) = E~ I M^n) = E*=. M^n).
2) Soit A, B G B tels que A C B. On a X n (B \ A) = 0 et donc en vertu
del),/i(jl)</i(jl) + /i(B\jl) = /i(jlU(B\jl))=/i(B).
3) Soit (j4„) î dans B. Pour tout n > 1, posons B„ = A„ \ j4„_i et
Bo = Aq. Evidemment, si n 5e n', on a Bn 0 Bn< = 0. De plus, pour tout n,
ULo Bk = ULo ^ = A» et U B„ = U An. Donc
OO
/i(UX„) = /i(UB„) = ]£ fi(Bk)
1=0
n n
= lim y"/i(Bt) = lim ^( M Bk) = lim ^(A,).
n—*oo *—* n—*oo ^^ n—*oo
1=0 1=0
4) Soit (j4„) J. dans B telle que pour un n0, fi(Ano) < +00. Quitte
à supprimer les n0 premiers éléments de la suite, on peut supposer que
/i(j4o) < +00. On pose pour tout n, B„ = Ao \A„. On a donc B„ î Ao\(~\An.
Pour tout n on a fi(A0) = fi(A0 \ A„) + ti(A„) et donc ti(A0) — fi(An) =
/i(j4o \An) = p(Bn) (les opérations sont licites car /i(j4o) < +00). De même,
on a /i(rii4n) = /i(j40) — /i(j40 \ flA„). Donc
/i(f-b4„) = /i(i40) - fi(A0 \ r\A„) = fi(A0) - limn-oo ii(B„)
= ii(A0) - limn-oo^-Ao) - /i(i4„))
= /i(-Ao) - (/i(i40) - lirrin-oo /i(j4„))
= limn-00 c(A.) *
REMARQUE. 1) Si B est une algèbre sur X et /i une mesure sur B, les propriétés
(m,3) et (m,4) sont vérifiées et les propriétés (m,5) et (m,6) le sont aussi à
condition de supposer UA„ G B et C\A„ G B respectivement. De plus, si (A„)
est une suite dans B avec UA„ G B, on a :
00
/i(Ui4„) < 52 /'(■^n) (sous-c-additivité)
n=0

4. MESURES POSITIVES
67
2) Si la fonction fi définie sur la tribu B de X vérifie (m,l),(m,3) et (m,5) alors
c'est une mesure sur B (exercice).
EXEMPLES. (1) Soit X un ensemble et C une collection de parties de X
contenant 0. L'application p de C dans R+ définie par (i(A) = 0 pour tout
A G C est une mesure sur C appelée mesure nulle (sur C).
(2) Soit X un ensemble et C une collection de parties de X contenant 0
L'application p de C dans R+ définie par /i(0) = 0 et /i(A) = +oo si A ^4 0 est
une mesure sur C.
(3) Soit X un ensemble et soit /i : V{X) —» R+ définie par fi{A) = +oo
si |j4| > Ho et ii(A) = nombre d'éléments de A si A est fini. L'application
/i est une mesure sur V( X) appelée mesure de comptage ou mesure de
dénombrement (sur X).
. (4) Soit X un ensemble non vide et x G X. Soit 6Z : V(X) —- R+
définie par 6Z(A) = 1 si x G A et SX(A) = 0 si x £ A. La fonction ST est une
mesure sur V(X) appelée mesure de Dirac au point x. Les restrictions de iz à
toute collection C de parties de X contenant 0 sera encore appelée abusivement
mesure de Dirac au point x sur C et notée 6X.
(5) Soit X un ensemble et soit A l'algèbre { A C X / A fini ou Ac fini }.
On définit y, sur A par fi(A) = 0 si A est fini et fi(A) = 1 sinon. On a /i est
une mesure sur A ssi |X| ^4 H0.
(6) Soit X un ensemble, B et B' deux collections de parties de X telles que
0 G B' C B et soit /i une mesure sur 6 alors /i restreinte à B' (notée encore /i)
est une mesure sur B'.
(7) Soit (X,B,fi) un espace mesuré et A G B alors la restriction de /i à
B 0 j4 est une mesure sur B C\ A notée abusivement /ij^ et appelée mesure
induite par /i sur B C\ A. L'espace mesuré (A,BC\ A, fi\A) est appelé sous-
espace mesuré de (X,B,/i).
(8) Soit (X,B, /i) un espace mesuré, (X'.B') un espace mesurable et
/ : X —► X' (B,B')-mesurable. L'application v (notée parfois /(/i) ou fij)
définie sur B' par i'(.B') = ^(/"'(B*)) pour tout B' G C est une mesure sur B'
appelée mesure image de /i par /.
4.2. La mesure de Borel
On admettra qu'il existe sur B(R) une mesure unique A telle que si — oo <
a < b < +oo alors A(]a,fc]) = b— a. Noter que nécessairement A(] — oo,i]) =
A(]a, +oo[) = +oo pour tout a, b G R (exercice). On montrera que cette mesure
existe (chapitre 9) et que cette mesure est invariante par translation, c. à d.
Vfi G B(R) Vi G R A(B+i) = A(B) avec naturellement B+x = { y+x / y G
B }. Cette mesure est appelée mesure de Borel ou mesure de Lebesgue
(cf. (4.5)).
Préparons le terrain.
Soit C={]a,i]/ -oo<a<i< +oo } U { ]a, +oo[ / a G R }. H est clair que
<r[C) = B(R) De plus, il est facile de voir que a(C) = C, (voir_E.2.9) et donc
8(R) est la tribu engendrée par l'algèbre C,. Soit Ao : C —► R+ définie par :
AoQa,i]) = b-a pour b £ -oo, A0(] -oo,-oo]) = 0 et A0(]a,+oo[) =+oo. On

68
4. MESURES POSITIVES
va montrer que Ao est une mesure sur C et qu'elle se prolonge de manière unique
en une mesure sur l'algèbre C,. (En 9.2, on montrera que ce prolongement se
prolonge à nouveau de manière unique en une mesure A sur tout C(R) (bien
entendu, la mesure A est la mesure de Borel annoncée plus haut).)
Lemme 4.2.1. L'application Ao est une mesure sur C
DÉMONSTRATION. 1) Clairement, 0 G C et Ao(0) = 0.
2) Soit A G C et (A„) une suite dans C, 2.2.d. telle que A = UAn et montrons
queA0(X) = E~=oM^n).
a) Montrons d'abord que Ao(j4) > J3n=o ^o(An).
Si %o(A) = +oo ou Xo(A) = 0 l'inégalité est vérifiée.
Si 0 < Ao(j4) < +oo, nécessairement A =]a, b] avec a < b, a, b G R. De même,
pour tout n, A„ =]an,in] avec —oo < an < bn < +oo. Fixons n G u. Quitte
à les réordonner, on peut supposer a < ao < ai < ... < a„ < b. Les A,
étant 2.2 d., on a a < oo < to < ai < ti < ... < o„ < t„ < b. Il vient
\0(A) = b-a> £,"=„(*■ - a.) = Er=o MA)- Donc \0(A) > YZo MA)-
b) Montrons que A0(j4) < E^LoMAi).
Supposons que A =]a, b] avec —oo < a < b < +oo. Soit e > 0 et soit
a' G R a < a' < b avec a' — a < e. On a nécessairement A„ de la forme
]an, b„] avec a < a„ < b„ < b pour tout n. Posons A„ =]a„,b„ + ^r[ pour tout
n. Les j4„ recouvrent le segment [a',i]. Par la propriété de Borel-Lebesgue,
il existe un nombre fini de A„ recouvrant [a',i]. Choisissons Ani,Ani,...,A„r
avec p minimal tels que U?=iAij D [a',b]. Quitte à les réordonner, on peut
supposer que ani < anj < • • • < an En vertu de la minimalité, on a
*n, + ï^- < *n, + 2^r < • ' • < *n, + 2Ï7, et (t„. + j4r) > "».+, P°"r t°"t
i = 1,2, ...,p — 1. Il vient
>>o(A) = \0Qa,b]) = b-a<b-a' + £<(*„, + ^-) -a„,+e
Vi=l /
P P c
= E(*".-a"-)+E2^+£:
i=i i=i
oo oo
< YS.K - an) + 3e = ]£ MA.) + 3e.
n=0 n=0
D'où A0(.4)<E~=oMA,).
Supposons X =] — oo, i]. Soit k G w tel que — k < b. La suite (A„n ] — t, i])„
est constituée d'éléments de C 2.2.d. et de plus Un(j4nn ] — k,b]) =] — k,b].
D'après le cas précédent A0(] — k, b]) = Yi™=o MAjrï ] — k, b]). Clairement,

4. MESURES POSITIVES
69
\o(An)>X0(Anr\]-k,b])d'où
OO OO
£ Ao(iC) > Y, A°(A.n ] - k. b]) > A„(] -1, b]) = b + k.
n=0 n=0
L vient £^-0 ^o{A„) = +00 > X0(A) (en fait =).
Le cas ]a, +oo[ est similaire et laissé au lecteur. 4
On a déjà signalé que a(C) = C,. En fait on a a(C) = Ce, c'est à dire, a(C) est
obtenue en effectuant les réunions de familles finies 2.2.d. de C (exercice). Pour
tout élément A de C,, on a donc une écriture de la forme UJ_,v4i où les Ai,
sont dans C 2.2.d.. On vérifie que le nombre 53t=i ^o(At) ne dépend pas de la
décomposition A = UJ_,i4i. On pose alors
n
♦
Théorème 4.2.2. A0 esl une mesure sur l'algèbre C, et elle est l'unique
mesure sur C, prolongeant Ao.
démonstration 1) L'unicité est claire en vertu même de (*).
2) Montrons que A0 est une mesure sur C,.
La condition (m,l) est vérifiée. Montrons (m,2). Soit (A„) une suite dans C,
2.2.d. avec A = UAn dans C,. OnaA= uf^B, avec B,eC 2.2 A.. De même,
pour tout n, on a A„ = U^Bj" avec B|" G C 2.2.d..
Il vient que, pour tout i = 1,2 k, B, = Un(j4„ n B,) = U^U^Bj1 n B,).
Comme les B" CI B, sont dans C 2.2.d. et que A0 est une mesure sur C, on a
MB.) = E„ E^i M^T H B.)- H vient
MA) = £ MB.) = £(£ £ a0(b; n b,))
= EÊ(È^n b.)) = £ Ê A°(*;)=E ^)- *
n j=l t=l n j=l n
NotatlO n. La lettre A sera réservée à la mesure de Borel et nous noterons
encore A toutes ses restrictions (par exemple Ao ou Ao).
4.3. Prolongement d'une mesure à une algèbre
Une analyse de la démonstration de 4.2.2 permet la généralisation suivante :
Soit X un ensemble, C C "P(X) stable pour les intersections de familles finies
non vides (stable pour C\j — 0) et vérifiant 0 G C. Soit /i une mesure sur C. On
dira que /i s'étend additivement à Ce si pour toutes suites finies (A„)„-1 ,p
n=i, .,j constituées d'éléments de C 2.2.d. avec u£_[.<4n = U'_[ B„ alors

70
4. MESURES POSITIVES
XZn=i l'iAn) = Hn=i l*(Bn)- On définit alors sans ambiguïté un prolongement
/ï de /i à tout Ce par la formule :
?w = !>(*.)
n=l
pour tout A G Ce où (A„)n=\ p est une famille finie d'éléments de C 2.2.d.
telle que X = l£_,j4„. Ce prolongement /ï est appelé extension additive de
/i à CE.
Théorème 4.3.1. Soi* X un ensemble etCC V(X) contenant 0 et stable
-gour C\j — 8. Soit fi une mesure sur C s'étendant additivement à Ce alors
son extension additive Jl est une mesure sur Ce- De plus Jl set le seul
prolongement possible de fi en une mesure sur Ce-
démonstration. L'unicité est claire.
Soit A *G Ce avec A — LIA,, où la suite (An) est constituée d'éléments de
Ce 2.2.d.. On a A = uf_,.B,- où les £; sont dans C 2.2.d. et pour tout n,
A„ = l£_,.B" où les B? sont dans C 2.2.d.. En vertu du fait que /i soit une
mesure, de la définition de Jl et des propriétés des suites en jeu :
ÎHA) = £>(B.) = £(£X>(i? n B.))
i=l i=l n j=l
= EE(E^;n^))=EE^n) = E^")*
n j=l i=l n j=l n
Le Théorème 4.3.1 a de multiples applications, en particulier lorsque Ce est
l'algèbre engendrée par C. On vient d'en voir un exemple en 4.2.1. Autre
exemple : soit (X,B,/i) et (X',B',/i') deux espaces mesurés et soit C =
{ A x A' I A G B, A' e B' }. On définit i/ sur C par i/(X x X') = fi(A).fi'(A'). Il
est clair que C contient 0 et est stable pour Hj —il. On sait que axxX'(C) = C,
(Théorème 2.2.1) et on montre facilement que C, = Ce et que v s'étend à Ce
(exercice). Le fait que v soit une mesure sur C n'est pas une évidence et sera
démontré plus tard (Théorème 10.1.1). En application du Théorème 4.3.1, on
obtient :
Corollaire 4.3.2. Soit(X,B,n) et (X', B', /i') deux espaces mesurés. Soit
v définie sur
C = { A x A' I A e B,A' e B' } par v(A x A') = fi(A) fi'(A'). Alors v,
qui est une mesure sur C, se prolonge de manière unique en une mesure
sur l'algèbre engendrée par C.
4.4. Espaces mesurés complets et complétions
Soit (X, B, /i) un espace mesuré.
On dit que B C X est /i-négligeable s'il existe A G B tel que B C A et
/i(X) = 0 et, si de plus, on a B G B, on dit que £ est négligeable.

4. MESURES POSITIVES 71
On note N„ = { B C X / B est /i-négligeable }. Il est clair que N„ est
héréditaire (si ffCBejV,, alors B'eJV,,) et stable pour U<i (exercice).
On dit que (X, B, fi) est complet si N^ C B, on dit encore que B est complète
pour fi.
Une propriété P sur X est dite vraie /i-presque partout si { x / non P(x) }
G Np. On écrit • on a P /i-p.p.. Par exemple, si / et g sont deux applications
numériques définies sur X, on écrit f = g /i-p.p. si { x / f(x) ^ g(x) } G N,,
et on écrit encore / < g /i-p.p. si { x / f\x) > g{x) } G .A/),.
Lemme 4.4.1. La relation f = g fi-p.p. est une relation d'équivalence
sur R . La relation f <g fi-p.p. est une relation de préordre sur R .
DÉMONSTRATION. La relation f = g /i-p.p. est évidemment réflexive et
symétrique. Montrons qu'elle est transitive. Soit f,g et h telles que / = g fi-
p.p. et g = h /i-p.p.. Soit Nx ,N2 G N,, tels que /(i) = g(x) pour tout i 0 A^ et
fl(i) = h(x) pour tout I¢¾. Pour tout i^|UW2)ona/(i) = s(i) = h(x)
et de plus Ni U N2 G A/^. D'où / = /i /i-p.p. et donc la relation est transitive.
Par une démonstration similaire, on montre que la relation f < g /i-p.p. est
une relation de préordre (réflexive et transitive). 4k
Notation. La relation / = g /i-p.p. se note encore / ~ g ou encore / ~ g
s'il n'y a pas d'ambiguïté. De plus, la classe de / se note /^ ou /.
Convention. Si, pour deux applications numériques f,g, on a N =
{ x I f(x) — g(x) n'est pas définie } G .A/j,, on conviendra que f — g représente
la fonction valant f(x) — g(x) sur Nc et 0 ailleurs.
Si les fonctions f,g sont mesurables, il en résulte que f — g est mesurable.
Soit (/„) une suite d'applications numériques sur X. On dit que (/„) converge
/i-presque partout (sur X) si { x / (/„(*)) ne converge pas dans R } G N?.
On écrit plus brièvement (/„) converge /i-p p .
Soit de plus / une application numérique sur X. On dit que (/„) converge
/i-presque partout vers / si { x / lim f„(x) = f(x) }c G N,,.
/i-p.p.
On écrit : / converge /i-p p. vers / ou /„ > /.
Lemme 4.4.2. Sott (/„) une suite d'applications numériques sur X.
1) (/„) converge fi-p.p. sst il existe un application numérique f telle que
(/„) converge fi-p p. vers f.
fi-p.p.
2) St f est une application numérique sur X telle que f„ ► / et si
, V-PP- . ,<
g est une autre application numérique sur X alors f„ > g sst f ~ g
(d'où en général la non untcité de la limite pour ce type de convergence).
DÉMONSTRATION. Pour la première partie, il suffit de voir que si (/„)
converge /i-p.p., la fonction go définie par go(x) = lim/n(a;) si lim/n(i) existe
/i-p.p. /i-P-P-
et g0(x) = 0 sinon est telle que /„ ■■ go et que si /„ ► / alors
{ x I lim/„(i) n'existe pas } C { x / lim/n(i) = f(x) }c.
La démonstration de la deuxième partie est laissée au lecteur. A

72
4. MESURES POSITIVES
REMARQUE. Si (/„) converge /i-p.p. et si les /„ sont dans M(X,B) alors go
construite plus haut est dans M(X,B) (exercice - on applique 3.5.5, 3.5.6 et
3.3.3).
Soit /„, n G u et / des applications numériques sur X. Si { x / fn(x) Y f(x) }
est dans N^, on écrit /„ î / /i-p.p.. Si { x / f„(x) ¥ f(x) } est dans N,,, on
écrit /„i/ /i-p.p..
REMARQUE. Dans certains ouvrages, en particulier en Théorie des Probabilités,
l'expression "/i-presque sûrement" est utilisée à la place de "/i-presque
partout".
Théorème 4.4.3. Soit B„ = { A U N / A G B, N G N» } et posons
p : Bu —» R+ définie par p(A U N) = /i(j4).
1) Bu est une tribu sur X contenant B.
2) p est bien définie et est une mesure sur B,, prolongeant \i.
S) On a Nft = N'-. En conséquence, les relations f — g /i-p-p- et f = g
p-p.p. sur R coïncident.
4) (X.Bft,p) est un espace mesuré complet et c'est le plus petit contenant
(X,B,p) au sens où si (X,B',/i') est un espace mesuré complet tel que
BCB' et /ij„ = /i alors B„C B1 et /ijB<> = p.
(X,Bfj,p) est appelé l'espace mesuré complété de (X,B,/i).
DÉMONSTRATION. 1) Comme 0 G N,,, on a B C B,,. Vérifions que B,,
est une tribu sur X. Soit (An) G B£. On a A„ = Bn U N„ avec B„ G B
et N„ G N,, pour tout n. Comme B et N,, sont stables pour Uj, il vient
UA„ = U(fi„ U N„) = (Ufi„) U (UN„) G B„.
Soit j4eB(1.OnaJ4 = BUW avec B G B et N G N„. Soit C G B tel que
N CC et fi(C) = 0. Comme (C\JV)\BcC,ona(C\W)\fl£^et donc
Ac = (Bcr\Cc)u((C\N)\B)eBli.
2) L'application /ï est bien définie. En effet, si on a A U N = A' U N'
avec j4,X' G B et N,N' G A^, alors X \ A' C JV'eti'\AC N et donc
p(A\A') = 0 = /i(j4'\X). Il vient /i(X) = »(A n A') + fi(A \ A') = p(AnA') =
v(AnA') + v(A'\A) = v(A').
p est bien une mesure sur B^ prolongeant /i : si les An U N„ sont dans B^
2.2.d. on a ?(u(A, U Nn)) = P((UAn) U (UNn)) = /i(UX„) = E/i(X„) =
EP(jt.UNn).
3) On a£(#) = /ï(0UN) = /i(0) = 0 pour tout N G tf„ et donc N^CN».
Soit N G JV,;. Soit X G B„ tel que /Ï(j4) = 0etJVCA Soit j4' G B et N' G Jv"„
tel que A = A'UN'. On a./i(X') = 0 et donc A' eN». Il s'en suit que A G A/),
et donc JVeJV,,. D'où N^CN».
4) De ce qui précède, (X.B,,,/!) est un espace mesuré complet possédant
la propriété de minimalité indiquée. 4>
REMARQUE. Si / est dans M(X,B,,) et si g = / /i-p.p. alors s est dans
x
M(X,B,,) (exercice). Autrement dit, M(X,B,,) est saturé dans R pour la
relation d'équivalence / = g /i-p.p. (c'est à dire qu'il contient la classe de
chacun de ses points).

4. MESURES POSITIVES
73
Evidemment, M{X,B) C M(X,B,,). On va montrer que toute classe de la
relation ~ restreinte à M(X, B^) coupe M {X, B) et donc sa trace sur M {X, B)
x
est une classe de la relation ~ restreinte à M(X, B). En résumé, si / G R alors
x . x
sa classe pour ~ dans R est soit totalement incluse dans R \M(X,B,,), soit
totalement incluse dans MiXfB,,) et dans ce cas elle coupe M(X.B). Montrons
donc le
Lemme 4.4.4. Si f G M(X,Bli), «/ ensie g G M(X,B) telle que f = g
fi-p.p..
démonstration. Posons, pour tout q G Q, A, = {/ < q}. Evidemment,
A, G B„ pour tout q G Q. Soit B, G B tel que B, C A, et A, \ B, G SS„
(exercice). Posons N = \J(At\Bt). Comme Q est dénombrable, on a N G N,,.
Soit A G B tel que N C X \ A et /i(X \ A) = 0. Finalement, soit s = /1,,.
Evidemment, / = g /i-p.p.. Reste à voir que g G A4(X,B). Mais cela résulte de
{9\a <Q} = Ù]a < «} = AHA, = Af~\B,eB pour tout q G Q et de 3.3.3. *
Notation. Soit (X,B,fi) un espace mesuré et / une application numérique
définie sur X . On dira que / est /i-mesurable si / est C^-mesurable. De même,
on dira que A C X est /i-mesurable si A G B,, (autrement dit si 1^ est /i-
mesurable). On remarquera que dans ce contexte, l'expression /i-négligeable est
cohérente.
4.5. Cas de (R,0(R),A)
La procédure de 4.4 s'applique à la mesure de Borel A. On obtient une tribu
B(R)x appelée tribu des lebesguiens et une mesure A appelée mesure de
Lebesgue que l'on notera encore A.
Une démonstration basée sur la récurrence transfinie et dépassant le cadre de ce
cours montre que |C(R)| = |R|. De plus, on va montrer que |B(R)>| = P'fR)! >
|R| et donc l'extension est réelle.
Posons pour tout n G u
t=0. i<n
t pair
Il est immédiat que C G 6(R) (en fait C est un compact de R).
On a A(B„) = f A(B„_,) pour tout n > 1 et donc A(B„) = £A([0,1]) = £■
Comme B„ 1, il s'en suit que A(C) = lim A(B„) = 0 et donc C G .A/>.
n—»oo
On a:
c=(E^/(«»W-e{o,2r"}
En fait, l'application <j> de {0,2}" dans C définie par <j>((6n)n€w') = Yi™=i 3^
est une bijection (exercice). On a donc \C\ = 1(0,2}" | = |R|. Comme
T(C) C Nx, il vient |7>(R)| = |7>(C)| < \Xx\ < |B(R)>| < |7>(R)| et donc
l^(R)>| = |7>(R)|.

74
4. MESURES POSITIVES
L'ensemble C est connu sous l'appellation ensemble triadique de Cantor
ou espace de Cantor.
Quoiqu'ayant |B(R)>| = |7>(R)|, il ne faudrait pas croire que B(R)\ = V(R).
Nous allons montrer qu'il existe un sous-ensemble B de R qui n'est pas dans
B(R)>.
Tout d'abord, il est facile de voir que Vi G R W E B(R)> x + A e
B(R)> et X(x + A) = X(A) (exercice).
Soit la relation i~yssii — y G Q définie sur [0,1[. Il est aisé de voir que
c'est une relation d'équivalence. Notons la classe de x par clx, ceci pour tout
x e [0,1[. Soit B C [0,1[ tel que Vi G [0,1[ \B f"l clx\ = 1. Ceci est possible
grâce à l'axiome du choix. La famille de parties de R (B+î),eQn[-i,il est 2.2A.
(en effet, six Ç. (B+q)n(B+q'), on a donc x = b1+q = ^2 + 9' avecïi,i2 G B.
Mais alors ii ~ 62 et donc, par construction de B, b\ = i2 • Par suite q = q' et
donc B + 9 = B + q'). On vérifie aisément que (exercice) :
[0,i[çu{B + «/«eQn[-i,i] }c[-i,2]
Donc, si B G B(R)> : .
ou bien A(B) = 0 mais alors 1 = A([0,1[) < £ HB + q) = 0
ç€Qn[-i,il
ou bien X(B) > 0 mais alors +00 = Y^ A(B + q) = A(U{ B + q / q G
ç€Qn[-i,il
Qn[-1,1]})<A([-1,2]) = 3.
Dans les deux cas nous tombons (boum !) sur une contradiction et donc
B£B(R)x.
^L'argument développé ci-dessus est connu sous le nom d'argument de Vitali.
Exercices, compléments
E.4.1. Montrer les affirmations énoncées dans les exemples de 4.1.
Aide. 4) On a êr(0) = 0. D'autre part, pour toute suite (A„) de parties de X
2.2.d., on a Sx(UAn) = 1 ssi il existe un unique n tel que Sz(An) = 1.
5) Si X est fini, fi est la mesure nulle. Si X est strictement dénombrable,
fi n'est pas une mesure. En effet, posons X = {11,12, • • •}• On a fi(X) = 1 ^4
0 = 53, /i({x,'}). Supposons que |X| > |u|. Pour montrer la <r-additivité de /i,
remarquons que si fi(UA„) = 1, pour une suite (An) C A de parties 2.2.d. telle
que UAn € A, alors il existe un unique n tel que n(An) = 1. •
E.4.2. Uk Soit (a,),€/ une famille d'éléments de R+. On définit
avec la convention Yliel a* = "■ ®n l'aPPe"e somme de la famille (a,),€/.

4. MESURES POSITIVES 75
a) Montrer que dans le cas où I = w, la somme 53,€„ <ij n'est d'autre que
la limite de la série de terme général an.
b) On suppose que Yliela' < "*"°°- Montrer que J = {i G I/at > 0} est
un ensemble dénombrable.
c) Soit (Ij)jçj une partition de I. Montrer que
Ea« = EEa--
d) Soit (a,j)(ij)eixJ une famille d'éléments de R+ doublement indexées.
Montrer que
E E "«j = E E a-j = E ^ (*)
i€l l€J j€J ■'€/ (i,j)€lxJ
Aide, a) Pour tout n G u on a ££ oj = £.€{o n) a«' < En€ua"- Donc
5Zo a" — 5Zn€"a"' mversement. pour toute partie finie non vide V C w,
si on note m/« = max/', on a 53n€/'a" — Eo"'' a" — 5Zo°an- D°nc
b) Pour tout entier n > 1 on choisit /„ G ^/(-0 tel que 53i€/a' — n —
5Zie/ "• — Yiiçl"'- On pose Jo = Ul„. L'ensemble Jo est dénombrable, et
J C Jo- En effet, comme 53,-€y a,- = J3,-€/ a,- on a a,- = 0 pour tout i G 7 \ J
c) Soit /' G Vj{ï), et pour tout i G /' soit j,- G J tel que i G /j,. Posons
J' = {>.■/«' £ H- On a £,€/'a< < Ej€j- E,€/, °.' < EjcjE*/,"'- ^110
Inversement, si Yliei"* = +°° l'inégalité dans l'autre sens a lieu. Supposons
que 53,-ç/Oi < +oo. On a 53,-€/ a,- < +oo pour tout j G J■ Soit M <
H,€^ £■'€/, *• et ^1 J' C J fin' (n°n V'de) tel 1Ue ^j€^ £■€/, "• <
(E;€J< E,€'/, «*) + f ■ où a = £j€, E.€/, «*-W- P°ur tout j G J' soit /J C Ij
fini tel que £,-€/ a,- < C-€/< "O + îp7]'- Puisque la famille (I'j)jeJ- est 2.2.d.,
on peut écrire que
££"••< (EE*)"^ fe£a*)+<r=
( E °.)+a=( £ °.)+EE°.-^
V.GUi€,./j \GUi€,./j «'*'■
On a donc a trouvé V = Uj€y</J, une partie finie de 7, telle que M < J2içl' "'■
Par conséquent J^jeJ Hiel, a«' ^ Eie/"*-
d) Nous établissons seulement l'égalité Eie/E.eJ a«'j = 5Z(ij)e/xy a'J-
Soit K G 7>/(/ x J). Soit /' (resp. J') la projection de if sur I (resp. sur J).
On a
EE^^EE"'^ E «"j^ E "«•

76 4. MESURES POSITIVES
Donc £.e/ J2j€J °.j > E(ij)€/xy °i.i-
Montrons l'inégalité dans l'autre sens. S'il existe i G / tel que Yliej aij = +°°.
l'inégalité a lieu. Supposons que pour tout i G /, Yijçj °>j < +°°- Soit
£ > 0. Soit /' G 7>/(/), /' # 0- Pour tout i G /', soit J,- G P/OO telle que
Yijçj, °'J > Hj€^ a<J ~ W\ Posons ^ = u<€/'{»} x Jj. On obtient
5Z °.,i> ]£ a••J = ]C]Ca••J•^]C]Ca••J-£:••
(i.j)€lxJ (i,j)€tf i€l'i€J. iÇl'jtJ
APPLICATIONS
A. Soit (/i,)ij/ une famille de mesures sur un espace mesurable (X,C). Montrer
que F application /i, définie sur B par /i(B) = £,-^//^(^). est une mesure sur
(X,B).
Aide. On a évidemment /i(0) = 0. Soit (Bn) C B une suite 2.2.d.. On a
/i(UB„) = ^(ii(Ufl„)
■€/
= >J yj /i,-(Bn) (c-additivité des /i,)
■€/ n€t*»
= ££*(*") (d'après (*))
= X>(B„). •
t _
B. Soit (an) C R+ Soit /i : T'(w) —» R+ définie par fi{E) = YinçE ""• Montrer
que /i est une mesure c—finie.
Aide. Considérons la famille de mesures (/i„), où fi„ = a„6„. On a /i =
C. On dit qu'une mesure /i sur un espace mesuré (X,B) est faiblement a—
finie, s'il existe une suite de mesures finies (fi„) sur B telle que /i = £n /i„.
a) Montrer que toute mesure c-finie est faiblement c-finie.
b) Montrer que la réciproque est fausse.
Aide, a) Soit (A„) une suite 2.2.d. associée à la mesure c-fime /i. On a
/i = Yln ^n. ou ^n est définie par /i„(B) = n(A„ CI B).
b) Soit (X,B) un espace mesuré avec B = {0,X}. Pour tout n soit fi„ la
mesure sur (X,C) vérifiant l*n(X) = 1. La mesure 53n/in n'est pas c-finie. •
E.4.3. «frafr Soit (X, 6) un espace mesurable, et soit C C B une collection stable
pour l'intersection finie et telle que B = c(C).
Montrer que si pi et /i2 sont deux mesures finies sur B qui coincident sur C,
alors /ii = /i2 (en particulier, cela s'applique à deux mesures finies, définies sur
la tribu borélienne d'un espace topologique et coïncidant sur la collection des
ouverts).

4. MESURES POSITIVES
77
Aide. Montrer que {A G B/tii(A) = /i^A)} est une classe <r-additive
contenant C, et appliquer E.2.16 •
E.4.4. A Soit (X,B) un espace mesurable.
a) On suppose que B admet un atome A (voir E.2.13 pour la définition
d'un atome). On définit fiA sur B par /M(fi) = 1 si A C B et /M(fi) = 0 sinon.
Montrer que fi* est une mesure.
b) On suppose que B est séparable. Soit fi une mesure non nulle sur B, à
valeurs dans {0,1}. Montrer qu'il existe un atome A de B tel que fi = fi*.
Aide, a) Comme un atome est non vide, on a /i^(0) = 0. Soit (B„) C B
2.2.d.. Si /i^(lJfin) = 1, alors il existe un unique n tel que A C B„. Donc
ErMfi„)=i.
b) Soit (j4„) une suite de parties de X telle que <t((A„)) = B. Posons
6n = n(A„), et soit A = nA^,'.
Montrons que A est un atome. Pour cela il suffit de montrer que A est non vide
(voir E.2.13). Pour tout n on a fi(A\l CI- • DX*-) = 1 car fi(A\l CI- • rb4*") = 1-
li((n?Al,-)c) > 1-CVK' ) = !• Comme, /i est finie et (A\l CI- • -r\Aln') J. A,
on a d'après (m,6) fi{A) = lim/i(j4,' 0---0j4*") = 1. A est donc non vide.
Montrons que fi = fi*. Soit B £ B. On a deux possibilités. Ou A et B sont
disjoints, et dans ce cas ha(B) = 0 et fi(B) = 0 (car fi(A) = 1). Ou A C B, et
alors /i(B) = AM(fi) = 1. Dans les deux cas fi(B) = /ia(B). •
E.4.5. <fr Soit X un ensemble. On appelle o-filtre sur X toute collection T
de parties de X vérifiant
-:F#0
-0£:F
-VXe^VBCX 4CB-BG/
-v(x„)c:F n„A,e7
(On dit que ^" est un filtre s'il vérifie les trois premières conditions.)
Pour tout o-filtre T sur X on pose Br - { B C X / B G T ou Bc G T }.
a) Soit .?" un c-filtre sur X.
1) Montrer que Bt est une tribu sur X.
2) On définit pr sur Br par /i^(B) = 1 si B G ^" et fi^(B) = 0 sinon. Montrer
que hp est une mesure.
b) Soit B une tribu sur X et soit /i une mesure non nulle sur (X,B), à
valeurs dans {0,1}. Montrer que T = { A G B / /i(X) = 1 } est un o-filtre sur
X.
c) Soit X un ensemble non dénombrable. On considère T — { A C
X I Ac dénombrable }. Montrer que T est un o-filtre sur X. Trouver Bt
et /i?-
Aide, a-1) Montrons la stabilité de Bt pour l'union dénombrable. Soit (B„) C
B^-. S'il existe n tel que B„ C T, alors Ufi„ G Br- Sinon, pour tout n, B* G ^ ;

78
4. MESURES POSITIVES
Comme T est stable pour l'intersection dénombrable, on a nB£ G T, donc
UB„ G Bt-
a-2) On a /i(0) = 0 car 0 £ ^". Si (B„) C B est une suite de parties
2.2.d. telle que /i/(UB„) = 1, alors, puisque deux éléments de ^" ne peuvent
être disjoints (0 £ T), il existe un unique n tel que fi?(Bn) = 1. Donc
E?V(fln) = l.
b) Les trois premières conditions que .7" doit vérifier découlent
successivement des faits : /i(X) = 1, /i(0) = 0 et /i est croissante. Pour finir, remarquons
que si (j4„) C B vérifie fi{An) = 1 pour tout n, alors fi{A\ fl • • • fl j4„) = 1 pour
tout n, donc d'après (m,6) on a n(f\A„) = 1.
c) Bt — { A C X I A dénombrable ou Ac dénombrable }. •
E.4.6. Soit (X,B,p) un espace mesuré et soit (An) une suite décroissante
d'éléments de B. A-t-on toujours /i(n.An) = lim„ fi{A„) ?
Aide. On sait que c'est le cas s'il existe n tel que fi(A„) < +oo (voir
Proposition 4.1.1 (m,6)). Dans le cas général cette égalité est fausse. On a
un contre-exemple avec l'espace mesuré (w,V(w),fi), où fi est la mesure de
comptage. En considérant A„ = {n, n + 1,...}, on constate que fi(r\A„) = 0 et
lim/i(i4„) = +oo. •
E.4.7. Soit (X, B, /i) un espace mesuré et soit (A„) une suite d'éléments de B
Montrer que
a) /i(lim^n) < liSl^(^n)-
t b) Si /i(UjJL0j4n) < oo, alors fi(l\mA„) > \imfi(An). Montrer en donnant
un exemple, que si (i(U%L0An) = +oo, la dernière inégalité peut être fausse.
Aide, a) On s'appuie sur la Proposition 4.1.1 (m,5). On a
/i(lim An) = /i(U„ nt>„ Ak) = sup/i(nt>„i4t) < sup inf p(Ak) = lim/i(i4„)
- n - n *>"
b) Là on s'appuie sur (m,6). On a
fi(\imA„) = /i(n„ Ut>„ Ak) = inf/i(Ut>„i4t) > inf sup fi(At) = lim/i(j4n).
Pour montrer que cette inégalité peut être fausse, considérons l'espace mesuré
(u,V(u),fi), où /i est la mesure de comptage. Soit (A„) une suite de parties de
w, 2.2.d. et infinies. On a limj4n = 0, alors que l\mfi(A„) = +oo. •
E.4.8. Soit /i une mesure sur (R, B(R)) vérifiant
i) /idp, id = i
2) Vi e R, VB e B(R) /i(i + B) = /i(B)
Montrer que
a) Vn > 1 on a /i([0, l/n^ = 1/n.
b) Toute partie dénombrable de R est un borélien de mesure nulle

4. MESURES POSITIVES
79
c) Pour tout a,b G R tels que a < b on a /i([a,i[) = /i(]a,fc]) = b — a. En
déduire que /i est la mesure de Lebesgue.
d) La mesure de Lebesgue est c—finie.
Aide, a) On a 1 = ^([0, lQ = ES"' /<[£. ^D = »/*(IP. JD-
b) D'après a) et (m,6) on a /i({0}) = lim/i([0, £[) = 0. D 'après 2), pour
tout a; G R on a/i({i}) = /i(z+{0}) = /i({0}) = 0. Par conséquent, une mesure
étant c-additive, les parties dénombrables sont négligeables pour la mesure p.
c) Montrons, dans un premier temps que si a G Q, a > 0, alors /i([0, aQ = a.
En écrivant a = p/q avec p,g G w, on obtient /i([0,a[) = p/i([0, l/g[) = p/g.
Soit a G R+- Soit (an) C Q+ une suite croissante convergeant vers a. On a
d'après (m,6) /i([0,a[) = lim/i([0,an[). Donc /i([0,a[) = a.
Soit a < b deux éléments de R. On a d'après 2) fi([a, b\) = fi(a + [0, i — a[) =
/i([0,i — a[) = b — a. D'autre part, comme la mesure d'un singleton est nulle,
on a iiQa, b]) = v([°, «D + KW) - Ki«)) = Kl«,*D = » - «•
Par conséquent, /i est la mesure de Lebesgue.
d) Ecrire, par exemple, que R = U„g„[—n,n[. •
E.4.9. Le femme de Borel-Cantelli
Soit (X,B,n) un espace mesuré. Soit (Ai) une suite d'éléments de B telle que
E„€u /j(^n) < +°°- Montrer que /i(lim A,) = 0.
Aide. On a lim Ai = l~l„ U/t>„ A et donc lim Ai C U/t>„A pour tout n. On
a alors
oo
0 < /i(ïïm" A,) < /i(Ut>„Ai) < 52 /i(Ai) i 0. •
E.4.10. £4 Soit (X,B,fi) un espace mesuré fini. On définit d : B x B —► R+
par d(A,B) = fi(AAB) pour tout A,BEB.
a) Montrer que
l)i(A,B) = i(B,A)
2)d(A,A) = 0
*3) d(A,B) < d(A,C) + d(C, B)
L'application d est donc une pseudo-métrique sur B.
b) Montrer que
l)MA)-»(B)\<d(A,B)
2) Si A„ i 0 (dans B) alors d(An, 0) — 0
3) Si An i A (dans B) alors d(A,M) — 0
c) Le but de la suite est de montrer que (B, d) est un espace pseudométrique
complet. Soit (Ai) une suite d'éléments de B.
1) Montrer que lim AiAlinjAi C limAiAAi+i
2) Montrer que si £"_„^(A.AA.+i) < +°°. ^°IB /j(lim Ai \!imAi) = 0

80
4. MESURES POSITIVES
3) ££££ En déduire que si (An) est une suite de Cauchy dans (B, d), c'est à
dire si
Ve > 0 3no Vn,m > no d(A„, Am) < e,
alors il existe A G B tel que d(A„, A) —* 0.
d) JMtJMt L'objet de cette question est d'étudier la séparabilité de l'espace
pseudo-métrisable (B,d). Pour toute collection C C B on note
SB(C) = S(C) = {BeB /3CeC »(BAC) = 0 }
1) Soit £ une collection de parties de X telle que B = <r(C). Montrer que a(C)
l'algèbre engendrée par C est dense dans B.
2) Montrer que s'il existe V C B dénombrable telle que B = S(<t(V)) (en
particulier, si B C o-ÇD),,), alors l'espace (topologique) (B,d) est séparable
(c'est à dire, il existe une partie dénombrable AC B telle que A = B).
3) Inversement, montrer que si l'espace (B, d) est séparable, alors il existe une
collection dénombrable V C B tel que B = S(<r(V)).
Aide, a-3) Utiliser le fait que AAB C (AAC) U (CAB).
b-1) On a ti(A) < fi(A U B) = fi(B U (X \ B)) = /i(fî) + /i(X \ B) <
li(B) + fi(AAB). Donc /i(j4)-/i(B) < fi(AAB). De même on a/i(B)-/i(X) <
/i(XAB). Donc |/i(jl) - /i(B)| < fi(AAB).
t b-2) La suite (A„) décroît vers le vide et fi est finie, donc l\m fi(A„) = 0.
Or rf(X„, 0) = »(An A0) = /1(^,), Donc rf(X„, 0) - 0.
b-3) On a (X„ \ A) i 0, donc d'après 2) d(j4„,j4) = /i(i4nAX) =
fi(A„\A)i 0.
c-1) Soit x G Hmj4nAlimj4n et soit n G w . Soit fco le premier entier
supérieur ou égal à n tel que x £ Ak0. Ou ko > n, et alors x G j4/t0_i \Ak0 ; ou
fco = n, et dans ce cas x G Akt \Ak,-\, où kt est le premier entier supérieur
strictement à n(= k0) tel que x G j4/t,. Dans les deux cas x G Uk>„AkAAk+\.
c-2) D'après le Lemme de Borel-Cantelli (E.4.9) on a
/i(limi4„Ai4n+i) = 0,
donc, d'après c-1), fi(\imA„ \Hmj4n) = 0.
c-3) Nous allons montrer qu'il existe une sous-suite (Anj) de la suite (A„)
telle que d(Anj,^mA„1) —» 0. On en déduira aisément, en utilisant le fait que
(A„) est une suite de Cauchy, que d(j4n,hmj4nj) —► 0.
Construisons de proche en proche une suite strictement croissante (n,)
d'entiers, telle que d(A„,Am) < ^rr pour tout n,m > iij. On a alors
Ç~/i(i4njAi4„j+1) < +oo. Posons A = HmX^. On a (Ht^^J î A, donc
lim/i(nt>,i4„J = n(A) < +oo.
On montre que si j > j0, alors Xnj \nt>ioi4„k C Ut>j0(i4„k AA„i+l).

4. MESURES POSITIVES
81
Soit £ > 0. Soit j'o tel que fi(A\nk>j0A„k) < § et li(Uk>j0(Ank AA„k+1)) < §.
Pour j > jo on a
^.^.,) < d(A,nk>JOAnk) + d(nk>joA
< /*(^ \ r\k>]0A„k) + fi(Anj \ nk>JOA„ J
<e.
d-1) Notons A = a(C) l'algèbre engendrée par C. Soit B' l'ensemble des B € B
tels que pour tout e > 0, il existe j4 e .4 tel que d(A, B) = i*(AAB) < e. On
afi= <r{A) et AC B', donc pour conclure il suffit de montrer que B est une
tribu et d'appliquer la règle E.T..
Soit (£„) C B', et posons B = UBn. On a bien sûr B e B- Soit e > 0. Pour tout
n soit A„ G A tel que /i(i4„AB„) < ,^-. On a (Ui4„)AB C U(A„AB„), donc
rf(UX„,B) = /i((UX„)AB) < j>(A,AB„) < e. Comme d(UAn,Ui<kA.) =
/i((Ui4„) \ (U,<ti4,)) — 0 d'après b,3), il existe k tel que /i(U,<ti4,)AB) < e.
Comme U,<»i4i G .4, on a B G B'.
La stabilité de B' pour le complémentaire, résulte de la stabilité de A pour le
complémentaire, et du fait que pour tout A, B C X, on a XAB = ACABC.
d-2) Soit .4 = a(ÎJ) l'algèbre engendrée par T) Notons que d'après le
Théorème 2.3.3, A est dénombrable. Comme B = S(<tÇD)), <t(V) est dense
dans B. D'autre part, d'après d,l), A est dense dans <r(V). Il en résulte que A
est dense dans B, et donc que (B,d) est séparable.
d-3) Soit V C B dénombrable vérifiant V = B, et montrons que B =
Soit B e B. Pour tout n > 0, soit D„ e V tel que rf(B, D„) < 1/n. La
suite (£„) est une suite de Cauchy dans (B,d), donc, d'après la preuve de
c,3), il existe une sous-suite (Dnj) de (D„) telle que limrf(Z)„,limZ)nj) = 0.
Donc /i(BAHmDnj) = rf(B,limDnj) = 0. Comme limDnj G <r(V), on a
BeS(<r(V)). •
Remarques. Reprenons les notations de E.4.10.-d.
1) L'espace (B, d) peut être séparable sans que la tribu B ne soit dénombra-
blement engendrée. Soit X un ensemble non dénombrable et soit a G X.
Considérons l'espace mesurable non dénombrablement engendré (X,V(X)),
muni de la mesure de Dirac 6a. Dans ce cas ÇP(X),d) est séparable. En effet,
onaV = V(X)oùV= {0,{a}}.
2) On pourrait aussi penser que si V C B est telle que t> = B, alors B C <t(P)ii ■
Il n'en est rien comme le montre l'exemple suivant.
Soit X un ensemble non dénombrable et soit B la tribu des parties de X
dénombrables où à complémentaires dénombrables. Soit fi définie sur B par
fi{A) = 0 si A est dénombrable et 1 sinon (E.4.5.-c). Soit "Dq = {0, X}. On a
Vo = B, mais c(î>o)ii = "D0.
Remarquons que dans cet exemple, il n'existe aucune collection V C B
dénombrable telle que B = cCD),, ((X,B,fi) étant un espace mesuré complet).

82
4. MESURES POSITIVES
En effet, soit V C B dénombrable et soit D la réunion de toute les parties de X
dénombrables et appartenant kV. D est dénombrable. On a {x} G <rÇD)n pour
tout x G D, donc <r({{x}/x G D}) C <t(T>)„- D'autre part, comme <r(V) C
<t({{x}/x G D}) et <t({{x}/x G D}) est /i-complète (c'est immédiat), on
obtient <r{V)» = <r({{x}/x G D}). En particulier, <r{J>)» est dénombrablement
engendrée et ne peut donc être égale à B qui n'est pas dénombrablement
engendrée d'après E.2.13.-f.
E.4.11. Déterminer les ensembles négligeables pour les espaces mesurés définis
dans les exemples de 4.1.
E.4.12. £4 Soit (X,B,p) un espace mesuré fini. Soit (/„) une suite
d'applications (B, C(R))-mesurables positives et finies /i-presque partout. On
se propose de montrer l'existence d'une suite (c„) de nombres réels strictement
positifs, telle que la fonction / = 53n€„ c„/„ soit finie /i-presque partout.
a) Montrer qu'il existe une suite de nombres réels strictement positifs (a„)
telle que
£/j({/n>a„})<+oo.
b) En posant c„ = 5^-, montrer que la fonction / = Yln€u> cnln est fin'e
/i-presque partout.
Aide, a) Pour tout nsoita„ > 0 tel que/i({/„ > a„}) < £. Untelan existe car
diaprés (m,6) on a 0 = /i({/„ = +00}) = /i(nt{/„ > k}) = limt /i({/„ > t}).
b) Soit A = U{/„ = +00} et B = Hm{/„ > a„}. On a fi(A UB) = 0
(penser au Lemme de Borel-Cantelli (E.4.9)). Pour tout x G (AUB)C, il existe
n0 tel que E„>„„cn/n(*) < E„>„„ £ < +°°. donc Hcr,fn(x) < +00 (car
x£A)..
E.4.13. A Soit / : R -» R et A la mesure de Lebesgue sur (R,B(R)).
a) Comparer les propositions suivantes :
1) / est A-presque partout continue
2) / est A-presque partout égale à une fonction continue
b) Soit A G 0(R) et soit 6(A) sa frontière pour la topologie usuelle de R.
Montrer que 1^ est A-p.p. continue ssi X(6(A)) = 0.
Aide, a) Ces deux notions sont indépendantes. En considérant / = 1q, on
voit que 2) n'implique pas 1). En utilisant le fait que le complémentaire
d'un ensemble négligeable est dense dans R (pour la topologie usuelle), et en
considérant / = l[o,+co[» on voit que 1) n'implique pas 2).
2) L'ensemble des points de discontinuité de 1^ est 6(A). •
E.4.14.. Soit (X,B,fi) un espace mesuré. Soit (/„) et (ff„) deux suites de
fonctions mesurables convergeant /i-p.p. vers / et g respectivement. On suppose

4. MESURES POSITIVES
83
que /„ = gn /i-p.p. pour tout n. Montrer que / = g /i-p.p..
Aide. Soit, pour tout n, A„ G .A/), tel que /„j^« = SnMj • et ^1 ^' ^ ^ -^f
tels que f„\Ac ► f\A* et s„jB. > ff|B«. Posons C = AU BU (U.An).
On a C G Â^, et pour tout a; G Cc, f(x) = lim/„(a;) = limff„(x) = g(x). Par
conséquent / = g /i-p.p.. •
E.4.15. JltJH Mesures régulières
Soit X un espace topologique, B(X) sa tribu borélienne. On dit qu'une mesure
/i sur B(X) est intérieurement régulière si, pour tout B G B, on a
/i(B)=/i.(B),où
/i.(B) = sup{ /i(F) I FCB, F fermé de X }.
Si, pour tout B G B(X), on a fi(B) = /i*(B), où
/i*(B) = inf{ fi(G) I B C G, G ouvert de X },
on dit que /i est extérieurement régulière.
Une mesure intérieurement régulière et extérieurement régulière est dite
régulière.
Posons K» = {BeB I /i(B) = fi.(B) } et S" = { B G B / /i(B) = fi'(B) }.
a) Montrer que si /i est finie, alors TV est stable pour l'union et
l'intersection dénombrables. De plus, B G H.1' ssi ^{B0) = /("(B1), c'est à
dire (#"),;= S".
b) On suppose que tout ouvert de X s'écrit comme union dénombrable de
fermés de X (c'est le cas si l'espace topologique X est métrisable). Montrer que
si fi est finie, alors /i est réguli'
c) On suppose que /i = Eneu ^n» ou Pour tout n G u, /i„ est une mesure
intérieurement régulière sur B. Montrer que /i est intérieurement régulière.
d) Soit X un espace métrisable, et soit /i une mesure sur la tribu borélienne
B(X) de X. On suppose qu'il existe une suite (V„)„>i d'ouverts de X. telle
que X = UV„ et /i(V„) < +oo. Montrer que /i est régulière.
En déduire que la mesure de Lebesgue est régulière sur (R,B(R)).
Aide. a)Soit(B„)Cft".
Montrons que UBn G 7^. Soit e > 0. Pour tout n soit Fn C Bn un
fermé tel que /i(B„ \ Fn) < ^. On a UBn \ UF„ C U(B„ \ F„), donc
/i(UB„\UF„) < £ /i(B„\F„) < e. Comme la suite (UBnXU^ti1;)» décroit vers
UB„ \UF„ et que /i est finie, il existe un entier k tel que fi(UB„ \U,-<tF,-) < e.
Montrons que C\B„ G 7211. Soit e > 0, et pour tout n soit F„ C B„ un
fermé tel que fi(B„ \ F„) < ^érc. Comme C\B„ \ C\Fn C U(B„ \ F„), on a
/i(riBn \ nF„) < £ /i(B„ \ F„) < e.
L'équivalence B G W *-* fi(Bc) = ^'(B0) résulte du fait que pour tout F C X,
on a B \ F = Fc \ B* (et du fait que /i est finie).
b) TV contient les fermés, et comme tout ouvert est union dénombrable
croissante de fermés, H? contient aussi les ouverts (c'est une application de

84
4. MESURES POSITIVES
(m,5)). La stabilité de TZ1' pour l'intersection et l'union dénombrable implique,
d'après E.2.15, que B(X) C K" et donc que B(X) = ft". 11 en résulte que
S" = (n»)c = B(X). Donc /i est régulière.
c) Soit B G B Si fi{B) = 0, alors fi{B) = fi.{B). S'il existe n tel que
l*n(B) = +oo, auquel cas fi{B) = +oo, alors pour tout M > 0 on peut choisir
un fermé F C B tel que M < /i„(F) < /i„(B) < /i(B).
Supposons que pour tout n G ui /in(B) < +oo et que fi{B) > 0, et soit
0 < a < fi(B). Soit n > 1 tel que a < £|| «t(B) < /i(B). Pour tout k < n
soit Fj C fl un fermé tel que fik(Fk) > /J/t(B) — j^j-, où e = ^^o /**(^) — a.
Considérons le fermé F = Ut<nFk- On a F C B et
n n n
l*D = E «d * E »(*") * E «co > E MB) - e = a .
kÇw 0 0 0
Donc fi(B) = /i.(B).
d) Posons Gi = Vi et pour n > 1 G„ = V„ \ U,<„K. Soit fi„ = /jje^ On
a /i = 2Zn>, /i„, d'après b) les mesures fi„ sont intérieurement régulières, donc
d'après c)la mesure /i l'est aussi.
Soit B G B(X) Soit e > 0. Les mesures /ijy,, n > 1, étant régulières d'après
b), pour tout n > 1 soit U„ un ouvert de V„ (donc de X) vérifiant BC\ V„ C U„
et /i(l/„ \Bn Vn) < j^fr- Posons l/ = Ul/„. L'ensemble l/ est un ouvert de X
contenant B et tel que
n(U\B)<Y;»(Un\BnVn)<e
n>l
bonc fi(B) < fi(U) < fi(B)+e. Par conséquent /i(B) = fi'(B).
Pour constater que la mesure de Lebesgue sur B(R) est régulière, il suffit d'écrire
que R = Un>0] - n, n[. •
E.4.16. a Soit I un espace discret non dénombrable. On pose X = / x [0,1]
muni de la topologie produit ([0,1] étant muni de la topologie usuelle). X est
un espace métrisable. On définit /i sur B(X) par
,*(«) = £A({iep,i]/(,M)efl})
■ €/
a) Montrer que /i est bien définie et que c'est une mesure sur B(X).
b) Montrer que pour tout B G B(X), on a
/i(B) = sup{/i(/<)/ /(CB «"compact}
En particulier, /i est intérieurement régulière.
c) Montrer que /i n'est pas régulière. (On considérera le fermé F = / x {0}.)
Aide, a) Pour tout i G / posons B, = {* G [0, l]/(i,l) G B}. /i est bien définie
puisque, d'après E.3.18.-b, on a B(X) = V(l) ® B([0,1]), et donc B, G B([0,1])
pour tout i G I-

4. MESURES POSITIVES
85
On a /i = J3,€/ /ii où, pour tout i G /, /i,- est la mesure sur B définie par
fii(B) = A(B,). Donc /i est une mesure d'après E.4.2.
b) Soit B G B(X). On suppose que B ^ 0. Soit a > 0 tel que a < /i(B),
et montrons qu'il existe un compact K C -B tel que a < n(K) < /i(B). Soit
F G 7>/(0 tel que a < Y1.çf Hb*)- Pour tout » G ^ ^1 ^« C B, un fermé
(donc compact) de [0,1], tel que A(B.) < X{K,) + ™,oÙ£ = Yl,eF M^O — a-
Ceci est possible d'après E.4.15. Soit K = U,g|r{i} x K,. K est un compact
vérifiant K C B et
ti(B) > n(K) = £ H*.) > £ A(B') - e = a ■
Comme tout compact de X est un fermé, /i est intérieurement régulière.
c) On a /i(F) = 0 Soit G un ouvert de X contenant F, et montrons que
p(G) = +oo. Pour tout i e I soit c,- > 0 tel que {:"} x [0,e,[C G. 11 résulte de
E.4.2.-b) que
• €/
E.4.17. <fr£4 Soit (X, B, fi) un espace mesuré. On dit que A G B est un
/i—atome si fi(A) > 0 et si pour tout B G B tel que B C A, on a
/i(B) = 0 ou /i(B) =/i(>l).
On suppose que (X, B, /i) n'a pas de /i-atomes. On veut montrer que
/i(B) = [0,/i(X)].
Soit 0 < a < /i(X).
a) On pose Bi = {B G B/ fi{B) > a}. Montrer qu'il existe B0 G Bi tel
que /i(B) = /i(Bo), pour tout B G Bi vérifiant B C Bo-
b) Montrer qu'il existe C0 £ B tel que Co C B0 et /i(C0) < a, et tel que
/i(C) = /i(Co) pour tout C G B vérifiant C0 C C C B0 et /i(C) < a.
c) Montrer, en considérant B0 \ Co, que /i(Bo) = /j(Co) = a-
En déduire que fi(B) = [0,/i(X)].
Aide, a) Si /i(B) = +oo pour tout B G Bi, on pose Bo = X. Sinon, on construit
par récurrence deux suites décroissantes (Bn)n>i et (B„)„>i, B„ G B„, vérifiant
n(Bn) < inf{/i(B)/B G Bn} + ±
et
B„+, = {B G B„/B C B„} .
Soit Bo = HB„. D'après (m,6) on a /i(Bo) = limn>i /<(B„) > a, donc B0 G Bi.
D'autre part, si B G B\ est tel que B C B0, alors une récurrence sur n permet

86 4. MESURES POSITIVES
de voir que B G B„ pour tout n > 1 ; donc fi(B) < /i(Bo) < /j(B„) < f(B)+ £
pour tout n > 1. Par conséquent fi{B) = /i(Bo).
b) On procède de la même manière en s'appuyant cette fois sur (m,5).
c) Montrons que si /i(Bo) > /i(Co), alors Bq \ Co est un /i-atome. H en
résultera que /t(Bo) (= /i(Co)) = a.
Soit B G B tel que B C B0 \ C0. On a C0 C B U C0 C B0. Si /i(B) > 0 alors
/i(BUCo) > /i(C0), donc /i(BUC0) > a, ce qui implique que /i(BUC0) = /i(B0).
Par conséquent fi(B) + /i(Co) = /i(Bo), donc /i(B) = /i(Bo) — /i(Co) =
/i(B0\C0).
En résumé, si B n'a pas de /i-atome, alors /i(B) = [0, /i(X)]. •
E.4.18. £ Soit (X,B) un espace mesuré tel que pour tout x Ç. X, {x} € B.
Soit f:X-> [0,+oo[.
a) Montrer que l'application fij définie sur B par fi/(B) — J2xçB f(x)> ^1
une mesure sur B. On l'appelle mesure de comptage de poids /.
b) Soit /i une mesure finie sur B. On considère l'application f : X —*
[0,+oo[ définie par f(x) = /i({z}).
1) Montrer que /ii — fi — fif est une mesure finie sur B, vérifiant /ii({i}) = 0
pour tout x G X (une telle mesure est dite diffuse).
2) Montrer que la décomposition fi = fij +{i\ de /i, en somme d'une mesure de
comptage et d'une mesure diffuse, est unique.
Aide, a) C'est une conséquense de E.4.2. En effet, onajiy = Yixtx f(x)^z-
b-1) Pour tout B G B et pour tout F G Vj(B), on a fi(B) > /i(F) ; donc
/i(B) > YixçB l*({x}) = Pj(B)- P*1 conséquent, fi\ est à valeurs positives.
Montrons la c-additivité de /ii. Soit (B„)„>i C B une suite de parties de X
2.2.d.. On a
/i,(UBn) = /i(UB„)- Y, /*({*})
i€UB.
oo oo
= X>(*») - £ £ **«*}) (d'aPrès E-4-2-c))
1 1 r€B«
= f>(*»)- X>({*}»
1 r€B«
oo
= X>.(£»)-
1
Soit x G X. On a /i,({*}) = /i({*}) - »,({x}) = /i({*}) - /i({*}) = 0.
b-2) Soit V\ une mesure diffuse et i>2 une mesure de comptage de poids / sur
B, telles que /i = vt + v-i. Pour répondre à la question il suffit de montrer que
pour tout x G X, on a f(x) — /i({z}).
Soit i G X. On a /i({i}) = Vi({x}) + i>i({x}) = 0 + f(x). •

Chapitre O
L'intégrale de Lebesgue
Dans tout ce chapitre, (X, B,y) est un espace mesuré fixé.
5.1. Intégration des fonctions simples
Notons S+ l'ensemble S+(X,B) des fonctions simples mesurables positives
n
Rappelons que si / est dans S+, l'écriture canonique de f est 5j ai^A. où les
t=i
a, sont des réels positifs tous distincts et (A,),=li „ est une partition de X
constituée d'éléments de B.
Si on identifie un ensemble à son indicatrice, la mesure /i est alors une
application de { 1^ / A G B } dans R+. On a donc, par cette identification,
/i(l^) = fi(A] pour tout A G B.
On prolonge alors /i à S+ en posant
n
/1(/)=1^.)
i=l
où Yl"=i ailj*, es' l'écriture canonique de /. Remarquons que la formule a un
sens grâce aux conventions faites en 3.5, en particulier 0 x ±oo = 0. De plus
l'écriture canonique de 1^ pour A G 6 étant lxl^ +0x1^«, on a Jî(1a) = 1*0-a)
et donc Jl est bien un prolongement de /i à S+.
Lemme 5.1.1. Si f dans S+ s'écrtt Yl^i^B, °« '« fy sont 2.2.d.
a/0rs£(/) = Ej=,t,/i(£?,).

88 s. l'intégrale de lebesgue
démonstration. 11 est clair que l'on peut supposer les B3 non vides et
formant une partition de X. Posons J = {1,2,...,/}. On définit une relation
d'équivalence sur J en posant j ~ j' ssi bj = bji. On note J/ ~ l'ensemble
quotient. Pour tout j G J, on note \j] la classe de j et on pose A^ = Ujiç^Bji
et %i = V
11 est évident que la définition des ayy a un sens et que TJ "bl^u es^
bl€-7~
l'écriture canonique de /. On a alors :
£(/) = 5Z abW(AU\) = 5Z "blK UB'')
^ b\€J/~ bl€-7~ i'€bl
= £ %l( £"(*,')) = £ (£%1^'))
bl€^/~ i'€bl bl€-7~ J'€bl
= £ (Ewb,')) = £v^)
V]€J/~ i'€b] J'€^
= £m*,)*
i=i
Théorème 5.1.2. On a Jl : S+ —» R+ et :
;;vaeR+ v/es+ £(<>/) = <*£(/),
2;vAses+ ?(/+») = £(/)+?(»),
5;v>ieB ¢(1,,) = ^(1,,) = ^),
4)Vf>ges+ /<»-?(/) <?(ff).
De p/us, /ï es( /a seu/e application sur S+ vérifiant ces propriétés.
démonstration.1) Le cas a = 0 est évident. Si a > 0 et si £,_, a'^A,
est l'écriture canonique de / alors 53,_, oa.-l^, est l'écriture caninique de af
et donc
k k
Raf) = ^2aatfi(A,) = a(%2atfi(At)) = ajl(f).
i=i i=i
2) Soit f,g G 5+ et ^,"=i^ilA„ J2T=i b^B, leur écriture canonique respective.
On remarque que la famille (A, CI B,)ij est une famille finie d'éléments de B
2.2.d.. De plus, il est immédiat que f + g = yj(°i + &j)li*,nfl,
',3
D'après le Lemme 5.1.1 et l'additivité de /i, on a :
Kf+s) = 2>. + bMAin B,)
•j
= Y, a>»(A, nfi,) + J b]ti{At n B,)
n m m n
i = I j=I i=I i=I

5. ^INTÉGRALE DE LEBESGUE 89
n m
.=1 ,=I
3) On a déjà vu que /1(1^) = /i(l^)-
4) Comme / < g on a s — / G S+. 11 vient /ï(s — /) > 0, et donc, en utilisant
2), Kf) < Kg -f) + Vif) = ?((» -/) + /) = £(s)-
L'unicité de /ï est immédiate. 4
Notation. A partir de maintenant la fonction /ï sera notée /i. Par
conséquent, si / est dans 5+ et ayant pour écriture (non nécessairement
canonique) J2"=i "i^A.yOn a
n
Kf)=Y^a>rtA')
On dit que /i(/) est l'intégrale de Lebesgue de / par rapport à /i.
La propriété suivante sera très utile pour la suite .
Lemme 5.1.3. Soit une suite (s„) et s dansS+ telles que s„ f s alors,
/i(*n) î /i(s)-
démonstration. En vertu de la croissance de /i, sup/i(sn) < /i(s).
Réciproquement, supposons que s — 1a- Soit a G]0,1[. Posons An = { x G
X / ol^(a;) < «„(*) }• On aal^rM. < «n P°ur t°u' n et donc a/i(l.ArM„) =
a/i(j4 0 i4„) < /i(s„) < sup/i(sn). Mais j4„ î X, par conséquent j4 0 j4„ î j4
et donc o/i(l^) = o/i(i4) = supa/i(i4 CI j4n) < sup/i(sn). On a donc
^0))=^(1,,) <sup/i(s„).
Supposons s = al,,, a > 0. Comme — f lj,, on a alors, /i(lj,) < sup/i(—) =
a a
- sup/i(sn) et donc /i(al^) < sup/i(sn).
a
Maintenant, si s est dans 5+ et si £"_, a'^A, est son écriture canonique, on a
pour tout i, s„lA, î a.lj,, et s„ = £"_, snlj4,- En utilisant ce qui vient d'être
fait,
n n n
sup/i(s„) = ^sup/i^l,,,) > ^a,/i(A) = ^((^0,1,,,) = /i(s). *
1=1 1=1 ■=■
5.2. Intégration des fonctions mesurables positives
On notera M+ l'ensemble M+(X,B) des applications mesurables positives.
Pour tout / G M+, on pose :
~p(f) = sup/i(s„) pour toute suite (s„) dans 5+ avec s„ î /
La fonction "p est bien définie. En effet, en vertu de 3.6.1, pour / G M+, il
existe bien une suite (s„) telle que sn î /. Maintenant, soit (s'n) dans 5+

90
S. L'INTÉGRALE de lebesgue
telle que s'n î /. Montrons que sup/i(sn) = 6up/i(sJ)). Fixons no G ui. On a
!n>!„As'no et s„ As'„B G 5+ pour tout n et, de plus, s„ Asj,0 î s'no. En vertu
de la croissance de /i et de 5.1.3, sup/i(sn) > sup/i(sn AsJ,o) = /j(sJ,0) et donc,
sup/i(sn) > sup/i(sj,). En intervertissant les rôles de (s„) et (s'n), on obtient
l'égalité.
11 est clair que Jï est un prolongement de /i à A4+.
L'application Jï possède les propriétés suivantes :
Théorème 5.2.1. On ajï: M+ —> R+ et :
l)VAeB Ji(lA) = n(lA) = n(A).
2)Vf,geM+ /<»-?(/)</%),
S) V (/„) ÎG (M+)" supÏÏ(/„) = /I(sup /„) ^Beppo-Levi;,
ïfi a G R+ V / G M+ " Jï(af) = ap{f).
5)Vf,geM+ TiU + 9) = HI)+y{s).
H est la seule application sur M+ vérifiant ces propriétés.
démonstration. 1) est évident. 2) est laissé à titre d'exercice. Montrons
3). Soit (/„) dans M+ croissante. Posons / = sup/n. 11 faut montrer que
sup/!(/„) = /!(/)• Comme d'après 3.5.3 / G M+, Jï(f) a un sens. D'après 2),
pour tout n Jï(fn) < Jï(f) et donc sup/!(/„) < Ji(f).
Réciproquement, montrons que sup/!(/„) > Ji(f).
Soit pour tout n, sj î f„ avec sj G S+ pour tout k (3.6.1). Pour tout n, posons
t„ = V «î. Clairement, *„ G S+, t„ < /„ et t„ î /. 11 vient, en vertu de la
définition de Jï et de sa croissance, Jï(f) = sup/i(<„) < sup (/!(/„)).
(Montrons 4) et 5). Soit f,g G M+ et a G R+ En utilisant 3.6.1, soit (s„)
et (s'n) deux suites croissantes dans S+ convergeant simplement vers / et
g respectivement. Clairement sn + s'n î, as„ î, sup(s„ + s'n) = f + g et
sup as„ = o/ On a
/I(o/) = sup/i(os„) = sup o/i(s„) = osup/i(s„) = aJUf),
Hf + g)= SUP /J(«n + *'„) = SUp(/i(Sn) + »(s'n))
= SUP/^(*n) + SUp/i(«^) = /I(/)+7l(s).
L'unicité est laissée à titre d'exercice. 4>
Notation A partir de maintenant Jï sera notée /i. Par conséquent, pour
tout élément / de M+, on a :
/i(/) = sup/i(sn) pour toute suite (sn) dans S+ avec s„ î /
On dit encore que /i(f) e6' l'intégrale de Lebesgue de / par rapport à /i.
remarque. On aurait pu définir Jï par la formule
71(/) = supl fi(s) I s G 5+ , s < / }
pour tout / G M+ (exercice).

5. L'INTÉGRALE de lebesgue 91
Proposition 5.2.2. Soi* (g„) une suite dans M+, alors :
n n
(où £s„ es* définie par Vi£X Œ.9n)(x) = Yl9n{x)).
démonstration. Il suffit d'appliquer la propriété de Beppo-Levi à la
m
suite croissante (/m) définie par /m = yjff„. Les /m sont bien dans M+
n=0
et sup /m = 2J Sn et donc :
n
m
MlC fl") = ^^"P M = SUP ^-M = ""P/^IC Sn)
n n=0
■ m
= SUP 52 ^n) = 5Z tàn)- *
n=0 n
Théorème 5.2.3. (Lemme de Fatou) Soit (/„) une suite dans M+. On
a/j(!im/n) <lim/i(/n)-
démonstration. Pour tout n E u, on pose s„ = inf ft. Donc supjfa =
k>n
sup inf /t = lim f„.
n *>"
La suite (g„) est croissante et dans M+, on peut donc lui appliquer Beppo-Levi.
De plus, pour tout n et pour tout k > n on a gn < ft et donc /i(ff„) < /j(//t)-
On obtient que pour tout n, fi(g„) < inf /j(A). Finalement :
fc>n
/i(lim/n) = /j(sups„) = sup/i(s„) < sup inf /i(jt) = Hrn/i(/„). *
t>n
Proposition 5.2.4. Soi* / G M+. On a /i((+oo)/) = (+oo)/i(/).
DÉMONSTRATION. Pour tout n on a n/ G M+ et n/ î (+oo)/ donc
(+oo)/ G M+ et en vertu de Beppo-Levi :
/j((+°°)/) = /j((s"Pn)/) = /j(s"P(n/)) = sup/j("/)
= sup(n,i(/)) = (supn),i(/) = (+oo)/i(/)- *
Proposition 5.2.5. Soit f e M+. Si fi(f) < +oo alors f # +oo fi-p.p..
démonstration. Soit A = { x I f{x) = +oo }. On a (+oo)l^ < / donc
(+oo)fi(A) = ^((+00)1,,) < /i(/) < +oo et donc /i(A) = 0. 4>
Proposition 5.2.6. Soit f G M+. On a : /i(/) = 0 ssi f = 0 fi-p.p..
DÉMONSTRATION. Soit A = { x I f(x) > 0 }. On a (+oo)l^ = (+oo)/ et
donc (+oo)/i(j4) = ^((+00)1^) = /i((+oo)/) = (+oo)/i(/). 11 en résulte que
fi(A) = 0 ssi ti{f) = 0. *

92 s. l'intégrale de lebesgue
Proposition 5.2.7. Sott f,g G M+. Si f = g fi-p.p. alors /i(/) = fi(g).
DÉMONSTRATION. Soit A = { x I f(x) ^ g(x) }. On a /i(A) = 0. 11 en
résulte que /1^ = 0 /i-p.p. et gl^ = 0 /i-p.p.. Comme /1a° = fflA«> on obtient
en appliquant 5.2.6 : /i(/) = /i(/lx) = /i(/(lA + U-)) = M/Ia) + M/1a«) =
/i(/Uc) = /i(sUc) = fj{glA') + KsU) = /i(s(lA« + 1a)) = /J(ff). *
La Proposition 5.2.7 est très importante. Elle permet de "relativiser" certains
résultats antérieurs.
Proposition 5.2.8. Les applications en jeu étant dans M+ :
1) Si /„ î / li-p.p. alors sup/i(/„) = /i(/), (Beppo-Lem)
V St f < g fi-p.p. alors /i(/) < fi(g).
démonstration. Elle est laissée à titre d'exercice. 4
Notation. Si / est dans M+, l'intégrale (de Lebesgue) /i(/) de / se note
encore f fd/i, fx fdfi, f f(x)/i(dx), J f{x)dfi{x) ou encore f f (s'il "a'y a pas
d'ambiguïté). Nous utiliserons ces différentes écritures en faisant le choix le
mieux approprié selon les circonstances.
Soit A G B. Pour tout / G M+, on pose fA fdfi = f lAfdfi (= h(Ia/))-
Théorème 5.2.9. Soit f G M+ Notons, pour tout A G B, v{A) =
JA fdfi. On a :
1) v est une mesure sur B,
2)VgeM+ Kff) = /i(/ff),
S)VAeB v(A) = 0—>v(A) = 0.
1 DÉMONSTRATION. 1) 1/(0) = /, fdfl = /i(l() = 0.
Soit (Ai) une suite dans B 2.2.d.. En appliquant 5.2.2, on a .
v(UA„) =fUAJdp = /i(/luA„)
= /i(/ElA.) =/i(E/lA.)
= Zl4flA.) =ZfAJdn
v est bien une mesure sur B.
2) Soit A G B- On a i>(1a) = V(Â) = fi(flA). La formule est donc vérifiée pour
tout g = 1a avec A G B.
Soit s G S+. La fonction s s'écrit ^[L, a; 1a, e' donc
v(s) = £ ««/(A-) = Ê a./i(/U) = /i(è(°./lA.)) „
'=' =?(f(E°ilA.))=M').
La formule est donc vraie pour tout g dans 5+. -
Soit g G M+. Soit (sn) dans S+ telle que î„ Îj (3.6.1). On a /s„ î fg. La
propriété de Beppo-Levi donne alors :
v(g) = supi/(s„) = sup/i(/s„) = /i(sup(/s„)) = /i(/(sups„)) = /i(/s).
3) Soit A G B avec /i(j4) = 0. Comme /1^ = 0 /i-p.p., on a i/(j4) =
ti{fU) = 0. *

s. l'intégrale de lebesgue 93
Notation. La propriété 3) s'exprime en disant que la mesure v est
absolument continue par rapport à /i.
5.3. Fonctions intégrables
Soit / G M(X, B) = M. On dit que / est quasi-intégrable (par rapport à /i)
si on a fi(f~) < +oo. On pose alors
On dit que /i(/) est l'intégrale de Lebesgue de / (par rapport à /i). On
remarque que la formule a un sens en vertu des conventions faites et que la
fonction ainsi définie est bien une extension de l'intégrale définie en 5.2 (si /
est dans M+, on a /- = 0 et /+ = /).
On dit que / est intégrable si elle est quasi-intégrable et /i(/+) < +00. On
note QJnt(X,B,n) (ou QJnt s'il n'y a pas d'ambiguïté) l'ensemble des
applications quasi-intégrables et lnt(X,B,fi) (ou Tnt) l'ensemble des applications
intégrables.
On note C\(X,B,fi) (ou £1) l'ensemble des éléments de M/ intégrables.
On a.Int(X,B,fi)nM,(X,B) = d(X,B,fi). Naturellement, £+(X,B,/i) =
Cl(X,B,fi)nM+(X,B).
Proposition 5.3.1. Soit f : X —» R. On a :
;;/ein«(x,B,/i) ssif+, /- eint+(x,Blfi),
rjfec,(x,B,») ssi f+,f~e ct(x,b,/i),
2) / G lnl(X,B,ti) ssi f e M(X,B) et l/l G lnt+(X,B,fi),
2') / e £i(X,B,/i) ssi f G M,(X,B) et l/l G £+(X.0,,i),
S) felnt(X,B,») entraîne |,j(/)| < /jfl/l),
S') f G Cx(X,B,n) entraîne |/i(/)| </i(|/|),
4)gelnt+(X,B,fi) et \f\<g etfeM(X,B) entraîne f elnt(X,B,l*)
et /i(|/|) < n(9).
4') g G CÎ(X,B,n) et \f\<getfç. M(X,B) entraîne f G £,(X,B,/i)
e«/i(|/|)</i(s).
DÉMONSTRATION. 1) et 2) :
/ 6 Int(X, B,ti)~UtM et ^(/+) < +00 et /i(/_) < +00)
~ ((/+ G M+ et ,i(/+) < +00) et (/- G M+ et ^(/~) < +00))
~(feMet l/l G M+ et ,i(|/|) = ,i(/+ + /") = /i(/+) + /i(/-) < +°°)
~(feMet\f\elnt+).
3) Soit / e Int. On a |,i(/)| = |/i(/+) - ^(/~)| < /i(/+) + /*(/) =
/i(/++/-) = /i(l/D-
4) l/l <getg finie entraîne / finie. / mesurable entraîne |/| mesurable. Comme
l/l < g, on a /i(|/|) < /i(s). s G 2n*+ entraîne |/| G Int+ et comme / est dans
M, on a / G Tnl en vertu de 2).
Le lecteur démontrera les propriétés 1'), 2'), 3') et 4'). 4
Théorème 5.3.2. Soit a e R, f,g e Ci(X,B,/i)- 0n a •'
;; o/ G £i(X, Btfi) et fi(af) = a^(f),
2) f + ge Ci{x,b,h) <* M+g) = »U) + Ag),

94 s. l'intégrale de lebesgue
5;/<S-/i(/)</i(s).
Ci(X,B,fi) est un espace vectoriel réel et f —» n(f) est une forme linéaire
sur cet espace.
démonstration. 1) Cas a > 0. Clairement, (o/)+ = af+ et (o/)~ =
af~. On a /i((o/)+) = o/i(/+) et /i((o/)-) = o/i(/-) et donc af G £i. De
plus „(af) = /i((a/)+)-,i((a/)-) = a»(f+)-a»(f-) = a(^(f+)-^f-)) =
a/i(/)-
Pour le cas o < 0, on traite de manière similaire en remarquant que (o/)+ =
(-a)f~ et (af)~ = (-a)/+.
2) On a |/|, |ff| G £+ (5.3.1 remarque) et donc |/| + |ff| G £f (5.2.1). Comme
l/ + fll< l/l + lfll à nouveau d'après 5.3.1, f + geCi. Comme (/ + g)+ -(/ +
g)- = f+g = (/+_/-)+(fl+_fl-),ona(/+fl)++/-+fl- = (/+»)"+/+ +S+.
D'après 5.2.1, ,i((/ + fl)+) + /i(/") + fi(g-) = fi((f + g)~ + ,i(/+) + v(g+) et
donc »(f+g) = li((f+g)+)-,1((f+g)-) = M+)-rtf-) + »(9+)-rt9-) =
/i(/)+/i(fl)-
3) On a g = f + (g - f) et g - f > 0 (donc fi(g - /) > 0) d'où ,i(fl) =
/i(/)+/i(fl-/)>/i(/)-
La dernière propriété découle de 1) et 2). 4>
Proposition 5.3.3. Soit f G QInt(X,B,ii) et g e M(X,B). Si f = g
fi-p.p. alors g G QInt(X, B,fi) et /i(/) = fi(g). En particulier, si f est
dansJnt(X,B,fi), tien est de même de g.
démonstration. On a /+ = g+ /i-p.p. et /~ = g~ /i-p.p. et donc
/i(/+) = fi(g+) et /i(/~) = /i(s") (5.2.7). On a donc g G QXnt(X,B,ii) et
/i(fl) = /i(fl+) -/i(fl-) = /i(/+) -/i(/~) = /i(/)- *
remarque. La Proposition 5.3.3 a une grande importance. On a vu que la
x
relation / = g /i-p.p. sur R est une relation d'équivalence. Notons la ~ (comme
x
déjà convenu en 4.4) ainsi que ses restrictions à tout sous-ensemble de R .
La Proposition 5.3.3 signifie que QInt(X,B,fi) est saturé (c'est à dire union
de classes) dans M (X, B) pour la relation ~ restreinte à M (X, B) et que /i
factorise à travers QJnt(X, B, /i)/ ~, c'est à dire, si / désigne la classe de / dans
QInt(X,B,fi), l'application Jl définie sur QJnt(X,B,fi)/ ~ par £(/) = /i(/)
est bien définie. L'intégrale /i est donc "essentiellement" définie sur le quotient
<2ïnl(X,0,/i)/~.
On ferait de même avec Tnt(X,B,fi). Remarquons d'ailleurs que Int(X,B,fi)
est saturé dans Qlnt(X,B,fi) et donc lnt(X,B,fi)/ ~C QJnt(X.B,fi)/ ~.
Si on note Jl' la factorisée de /i (— /i' = /i|znt) » travers Jnt(X, C,/i)/~, on
constate que /ï' est la restriction de Jl k2nt(X,C,/i)/~. De ce fait, on utilisera
l'écriture unique /î pour ces factorisées de /i.
Remarquons que si (X, B,fi) est complet, les ensembles M(X,B), QZnt(X,B,ii)
x
et lnt(X, B,/i) sont saturés dans R , par conséquent, les quotients sont
"emboîtés".

S. L'INTÉGRALE DE LEBESGUE gf.
Théorème 5.3.4. (Convergence dominée de Lebesgue.)
Soit (/„) une suite dans M(X, B) convergeant fi-p.p. vers f G M(X, B)
(resp. M.(X,B)). Supposons qu'il existe g G £+(X,C,/i) telle que pour
tout n |/„| < g ii-p.p., alors f G lnt(X,B,ii) (resp. Ci(X,B,fi)) et
lim /i(|/„ -/|) = 0 (en particulier, /i(/) = lim /i(/„)).
n—»oo n—*oo
démonstration. Grâce à la convention faite en 4.4, les fonctions \f„ — f\
sont bien définies.
1) Traitons le cas où (/„) converge simplement vers / et pour tout n, |/n| < g.
On a |/| < g. Par conséquent / G M}(X,B) et donc d'après 5.3.1, / G £i.
s
Remarquons que \f„ — /| ► 0 et \f„ — /| < 1g. On pose pour tout
n» ffn = l/n — IV On a pour tout n, g„ < 2g et donc g„ G C*. De plus
(ffn) converge simplement vers la fonction nulle. Evidemment 0 < lim^(g„).
En appliquant le Lemme de Fatou à la suite positive (2g — g„), on obtient
/i(2fl) = fi{\im(2gj-gn)) = /i(Hm(2fl -fln)) < \jmn(2g -gn).= lim(/i(2s) -
/j(ffn)) = ffôs) ~ lim/i(sn). D'où hm/i(s„) < 0. On en conclut que lim/i(s„) =
îim»(gn) = 0 et donc /i(|/„ - /|) —» 0.
2) Dans le cas général, on pose A = { x / f„(x) ■/—> f(x) },A' = {x/ \f(x)\ >
g(x) } et pour tout n A„ = { x / |/„(i)| > g(x) }. U est clair que A, A' et les
A„ sont dans B t~\ N,, et donc B — A U A' U |J An est aussi dans B l~l JV),.
Posons /„ = /„1b« pour tout n et / = /1b*. On a /„ G A4/, |/„| < S et
/„ = /„ /i-p.p. pour tout n. De plus /n ► /. D'après 1), / G £i et
/j(l/n — /|) —* 0. Une simple application de 5.3.3 montre que / G lnt(X, B,fi)
(resp. £,(X,B,i)) et ^|/n - /|) — 0.
Le résultat entre parenthèses découle de ce qui précède et de la formule
W«)-Kf)\<rt\f«-f\)-*
REMARQUE. Si on suppose que /i est une mesure bornée sur l'espace (X,B),
si on se donne une suite (/„) dans M/(X,B) convergeant /i-p.p. vers / dans
Mj(X,B) et s'il existe M G R+ tel que |/„| < M /i-p.p. alors la conclusion de
5.3.4 vaut. En effet, il suffit de prendre g = M.lx et on vérifie aisément que g
est dans£f(À',B,/i).
Notation. Comme on l'a fait pour les éléments de M+ l'intégrale d'une
fonction quasi-intégrable / se notera indifféremment par /i(/), //rf/i» fx I&11-
//(z)/i(dz),J7(z)d/i(z)ou//.
Soit / quasi-intégrable (resp. intégrable, resp. dans £i) et soit A G B. On
a alors flA quasi-intégrable (resp. intégrable, resp. dans £i). On pose alors
Proposition 5.3.5. Soit f G Ci(X,B,fi) et(An) unesuite dans B 2.2.d..
Soit A = UAn alors :
Ja „ Ja.

96
s. l'intégrale de lebesgue
démonstration. Posons /„ = Ylk=o f^-Ai. Pour tout "• La suite (/„) est
dans Ci et converge simplement vers /Ia- De plus \f„\ < |/|. 11 résulte du
Théorème de la convergence dominée de Lebesgue (5.3.4) que
/ Mi = MU) = ^(lim/„) = lim/i(/n) = lim^V; flAJ
= lim£>(/U) = lim£ f fdn = Y.[ là», h
k=0 " k=0 Ak n ^A'
5.4. Intégrale sur le complété
Si on construit l'intégrale de Lebesgue sur le complété (X.C^./Ï) de (X,B,fi),
on démontre que
Qlnt(X, Bll,p)r\M(X,B) = QJnt(X,B,li) et iï\Qin,{x,B,rt = »■
Pour montrer que lorsque / e QJnt(X,B,fi) alors / G QTn^X.B^./ï) et
/i(/) = p(f), il faut montrer que ceci est vrai
• lorsque / est l'indicatrice d'un élément de B,
• puis lorsque / est une fonction simple ^-mesurable,
• puis lorsque / est une fonction dans M+(X, B) (cela résulte de la formule
sup{ /i(s) /se S+(X,B,fi) ,«</} = sup{ fi(s) /se S+iX.B^y) , s < / }
que l'on démontre aisément en constatant que si B e B/,, il existe A e B tel
que A C B et fi(A) = /Î(B) (exercice)),
• puis enfin, lorsque / est dans QTnt{X,B,fi)-
l L'inclusion dans l'autre sens se montre de manière similaire.
En vertu de ce qui vient d'être dit, en général, fi sera notée fi. Ceci s'avérera
utile dans certaines situations. Par exemple : si / e QJnt(X,B,fi) et si f — g
/i-p.p., on a alors g e QXiA(X,B»,fi) et /i(/) = £(/) = p(g) (exercice). On
écrira donc /i(/) = /i(ff).
Cependant, il y a une autre raison à faire cet abus. 11 résulte du Lenune
4.4.4 qu'il existe une bijection naturelle entre M(X,B)/ ~ et M(X,B,,)/ ~
obtenue en faisant correspondre à tout élément /' de M(X,B)/ ~ l'élément
/2 de A^X.C,,)/ ~ où / est naturellement dans M(X,B) et, /' et /2
sont les classes de / d'ans M(X, B) et M(X, B,,) respectivement (on notera
que /2 n M(X.B) = /'). La même méthode donne une bijection entre
Qlnt(X, B,fi)~ et QInt(X, B(i,/i)/~). On peut donc par cette bijection,
identifier Qlnt(X, B,/i)/~ et Qlnt(X,B,,,fi)/~ et il est clair que les factorisées /i
et fi de fi et fi (voir la remarque suivant 5.3.3) s'identifient. Notons aussi que,
par une démarche similaire, on obtient l'identification de lnt(X, B,n)/~ avec
lnt(X,B|i,/i)/~ et de £,(X,B,/i)/~ avec C^XyB»,£)/~ ainsi que celle de
leurs fonctions fi et fi respectives.
Les intégrales n et fi sont donc "essentiellement égales".
On dira que les éléments de Int(X,B,,,fi) (resp. QInt(X,B,,,fi)) sont fi-
intégrables (resp. /i-quasi-intégrables) en conformité avec l'expression /i-
mesurable déjà introduite.

s. l'intégrale de lebesgue
97
remarque. La méthode de démonstration développée au début du paragraphe
(comme dans la démonstration de 5.2.9) est similaire à la méthode standard
évoquée à la fin de 3.6. Cette méthode sera encore évoquée sous le label de
méthode standard.
5.5. Intégrale sur un sous-espace.
Soit A G B. On a vu que fi\A définie sur B H A par h\a{B) = fi(B) est une
mesure sur B l~l A et on a dit que (A,B l~l A, /ij^) est un sous-espace mesuré de
(X,B,/i). Pour tout / G QJnt(X,B,fi) on a :
/M G QXnt(A,Br\A,^A) et J fd„ = J /Mrf/iM. (*)
La démonstration utilise la méthode standard. Elle est laissée à titre d'exercice.
Remarquons qu'en fait on a
{ f\A I ! e M(X,B) } = M(A,BHA)
et { /M / / G Cîn«(X,B,/i) } = QXnt(A,Br\A,^A).
Convention. On considérera tout élément de M(A,BC\A) comme un
élément de M(X, B) en le prolongeant par 0 sur X \ A (on applique 3.3.3).
Ceci s'avérera utile lorsque A G JVP CI B.
En vertu de cette convention et de la formule (*), il nous arrivera d'écrire
abusivement /i à la place de /ij^, par exemple toutes les restrictions de la
mesure de Lebesgue seront notées A.
Exercices, compléments
E.5.1. tH Soit (an,i)(n,i)€ux/ une famille de réels positifs. On suppose que
pour tout i G /, (ani,-)„ç„ est croissante. Montrer que
£(sup a„,,) = sup Cy, °n,i) (*)
(on consultera E.4.2).
Montrer que l'on ne peut pas omettre "croissante" dans la propriété énoncée.
Aide. Pour toute famille (x,),€/ dans R+, on a Yi,çi x> = BUPl,evl 5Ii€/' x*
par définition et les sup "commutent", on peut donc se limiter à / fini.
Pour tout i G / et tout n G u, on a 6upanI- > anil. Donc, pour tout n G u>,
n€t*»
52(supan,,) > 52 <W et donc
tel "€" iei
Y"(supa„,,) > sup(52a„,,).

98 S. L'INTÉGRALE de lebesgue
Réciproquement, soit M G R tel que M < yj(supan-1).
.€/ n€"
Supposons que l'on ait t'o tel que sup ani,-0 = +00. On peut trouver no tel que
M < anoi. et donc
M <Y\ an„,.- < SUp (V ani.) .
Supposons que pour tout 1, on ait sup ani, < +00. Posons e = yj(sup ani,-) —
n€t*» .,» n€w
M. Pour*tout 1, soit n,- tel que sup ani,- < an-i, + ttt. Soit n' plus grand que les
n€" ' l'I
n,. D'après la croissance de (a„ ,-)„ pour tout 1, on a sup a„,- < an>,- + ttt. 11
n€w ' l'I
vient
£(supa„,.-) < ^an',i + 5Z ÎTT = Y.""'■' +£^
i€/ "€" .€/ i€ /' ' .€/
■€/ ■€/
D'où
fen
conséquence,
SUP(5Za"'") + 5Z(SUP "".») - M
M <sup(y'anil)
52(sup anl) < sup(52°n,.)
Contre-exemple . pour (a„,i) et (0,,,2) tels que <>2n,i = °2n+i,2 = 0 et
a2n+i,i = a2n,2 = 1| (*) Ti'esl pas vérifiée
remarque. La formule (*) est valable en remplaçant u par un ensemble
d'indices quelconque J et en supposant que pour tout 1, la famille (ani)„çj
est filtrante supérieurement, c'est à dire, pour tout ni,n2, il existe n3 tel que
"n,,iVs,i <an,.i •
E.5.2. £4 Soit (X, B,fi) un espace mesuré. Si / G M+(X, B), déterminer /i(/)
lorsque
a)fi — Sx la restriction à B de la mesure de Dirac en un point x de X.
b) fi = J^n€„ a„6r„ où (o„) est une suite de réels positifs et (xn) est une
suite de points de X, et plus généralement /i = J^.-ç/Oiê», où (01) est une
famille de réels positifs et (x,-) est une famille de points de X (rappelons que
E.€/ a>6*. = BUPr€V,(I) E.€/' °"6*' • voir E 4 2)
c) X — u>, B = V(u) et /i est la mesure de dénombrement sur u. Dans ce
cas, caractériser les éléments de Cx(w,V(u),{i)

S L'INTÉGRALE DE LEBESGUE gg
d) Plus généralement encore, montrer que si (/i,-) est une famille de mesures
sur (X, B) alors, si /i = £,€/ /i,- on a pour / G X+(X, B) /i(/) = £,€/ /i,(/)
Aide a) Dans ce cas, on montre que / = f(x)lx /i-p p et on applique 5.3.3.
On obtient /i(/) = f(x).
b) Dans le cas général, en utilisant les propriétés énoncées en E 4.2, on
montre que
■€/ ie/
En effet, si / = 1^ avec A G B, on obtient
/i(i„) = n(A) = £a««,.(j*) = £a'MM = X>M*0
.€/ ■€/ .€/
Pour / = J3'_, anlj4« fonction simple avec les a„ dans R+ et les A„ dans B,
on obtient
M/) = I>n/i(U) =Éffl-(Ea'*-.(1^)) (51)
n=I n=I ■€/
= £(£ «««-mu.))
n=I ie/
= £(l>'a"MUj) (E4 2(*))
i€/ n=I
■e/ n=l
p
i€/ n=I
•e/ •€/
Pour / G M+(X, B), on choisit une suite (/„) dans 5+(X, B) telle que /„ î /
On a
/i(/) = sup/i(/„) =sup(52o,6r.(/n)) (Beppo-Levi)
" " M"€/
= X>UPa,6r.(/n) (E5 1(*))
.€/' "
= 52 °'"**. (SUP /n) (Beppo-Levi)
.-€/'
= X>.6r.(/) = X>/(*.)
■€/ ■€/
c) La mesure de dénombrement sur u n'est pas autre chose que £n S„ On
obtient d'après b) /i(/) = £„ /(n) On vérifie aisément que g G £1(1^,^(1^),/1)
ssi la série Yi„ s(n) est absolument convergente

100 S L'INTÉGRALE DE LEBESGUE
d) La démonstration se calque sur celle de la question b) •
E.5.3. On considère l'espace (R, C(R), A) où A est la mesure de borel Pour les
fonctions suivantes, justifier l'écriture / /,-rfA et calculer ces intégrales
/i = 1q
/2(1) = jT-rr si x > 0 et = 0 sinon ( [x] désigne la partie entière de x)
[xy
/3(1) = e-"*" pour tout x G R
/4(1) = x2 si x G [0,1] et = 0 sinon
fi(x) = e~* 1q(x) + fA(x)la\Q(x) pour tout iÇR
Aide Pour /2 (resp /3), on constate que, pour tout n G u, l[o,n]/2 (resp
Vnl/3) ^1 une fonction dans S+(R, 6(R)) et que 1[0 „\f2 \ /2 (resp 1[0 n]/3 î
/3).
Pour la fonction /4, on utilise la subdivision (0,—,—, , —) de [0,1] pour
n n n
construire une suite de fonctions simples, mesurables, positives qui converge
en croissant vers /4 et on applique la propriété de Beppo-Levi et la formule
1 + 22 + 32 + + n2 = in(n + l)(2n + 1) •
6
E.5.4. m Soit (X,B,fi) un espace mesuré, (Y,B') un espace mesurable et /
une application de X dans V, (B, C)-mesurable On désigne par fij la mesure
image de fi par /
l a) Soit h G M+(Y, B'). Montrer que / hdfi/ =//10 fdfi
En déduire que, si (Y, B') = (R,B(R)) et / > 0, alors / fdfi = /R+ Idadtij (où
Ida est l'application identique sur R)
b) Démontrer que pour toute fonction / G M(X, B)
f G £,(X,B/i) ssi I |x|<f/i/(x) < +00
Montrer que dans ce cas / fdfi = / Ida dfij
Aide a) Remarquons que f ho fdfi a un sefls car h o f G M+(X, B) en vertu
de 3.1 1
On applique alors la méthode standard
Pour h = lA avec A G B', on a / hdfij = / lAdftj = fij(A) = /i(/-l(^)) =
/ lJ~\A)dti = f1*0 fd» - fhofdfi (car on vérifie que Ij-^a) = 1a ° /)
Pour h fonction mesurable, simple, positive, soit En=i "n^A. s°n écriture
canonique On a //irf/i/ = /(EÏUi "nU.)diij = É'=i an/U.^/ =
EÏU. °«JU. » /rf/i = /(EÏU. «nlA. ° !)*» = /(EU. «-U.) o /rf„ =
//10 fdfi (en vertu de 5 1 2 car h o f G 5+(y, C))
Pour /1 G M+(Y, B'), soit (/in) une suite de fonctions simples, positives,
mesurables convergeant en croissant vers / On a / hdfij = /(lim î hn)dfij =
lim î / h„d(ij (propriété de Beppo-Levi) = lim f / h„ o fdfi = /(lim f

s. l'intégrale de lebesgue 101
(/in o f))dfi (à nouveau, propriété de Beppo-Levi et le fait que (h„ o f) ] ho f)
= )hofiti
Pour (Y,B') = (R,B(R)) et /> 0, il est clair que / = (l(R+) ldR) o f On
applique alors ce qui précède en prenant h = 1(h+) Ida
b) Si on pose h = \Ida\, on a h G M+(R,B(R)) et d'après a) /|/|rf/i =
f ho fdfi = f \Idn\dfij = f \x\d(ij(x), ce qui donne l'équivalence désirée (c f
5 3 1-2))
Si / est dans £,(X,B,/i), on a //+rf/i = /(M,V0)o/^ = f(IdR V0)d/i/ <
+oo et //"rf/i = f(-{IdR /\0))dii, < +oo. Donc //rf/i = /(/+ - /-)rf/i =
f Idudfl/. •
E.5.5. Soit (X,B,fi) un espace mesuré fini (/i(X) < +00).
a) Montrer que Mh{X,B) C £,(X,B,/i).
b) En déduire que
feM\x,B) - j-^e £,(*,b./i).
Aide a) Si 5 G A4jJ"(X, B) et si s est majorée par le réel positif M, on a
S < M.lx et donc /ffrf/i < /M.l^rf/i = M flxdii = Mii(X) < +00. D'où
fle£+(X,B,,i).
b) Si / G M(X,B) alors -^r G Xt(X,B). On applique a). •
E.5.6. Soit / G C,(X,B,ii) et g G Xt(,Y,B). Montrer que /fl G £,(X,B,/i).
Aide. Soit M G R+ tel que |ff| < M Comme |/s| G Xj"(X,B), on a
/l/fll < /l/|M*i = M/|/|*i < +00. D'où /fl G£,(X,0,,i). •
E.5.7. ££ Soit (X, B,/i) un espace mesuré fini et / G A4(X, B).
a) Montrer que si / G M+(X, B) alors,
00 .00
£>a ' 1 /w > « » < / u» <»(*)+Y,m x 1 '(*) *n »
n=l ^ n=l
00
b) Montrer que : / G £,(X,B,/i) ssi 52/i{|/| > n} < +00
n=l
c) Montrer que si / est dans M+(X,B) et à valeurs dans au pour a > 0
/00
/rf/i = o yj ^({/ > <*"})•
n=l
00 00
Aide, a) On vérifie aisément la formule y. !{/>n) ^ / !i Ijr + 2^ ^l/>")' ^n

102 s. l'intégrale de lebesgue
utilisant 5.2.1 et 5.2.2, on obtient
oo oo oo
£rtif * n» = ^(E hjïn}) < f(f) < f(X) + /i(E h/ï»))
oo
^W + EcK/^»))-
n=l
b) Appliquer 5.3.1-2) et a).
OO OO
c) On a / = 5Zonlt°"</«»("+1)} = «"E1^^""} et on aPPli(lue ,a
n=l
V n=l '*
n=l n=l
propriété de Beppo-Levi à la suite croissante
E.5.8, Soit (X,B,fi) un espace mesuré et / G M+(X, B)- Montrer que
limn/(/An)rf/i = //rf/i.
Aide. On remarque que, pour tout n, (/An) G M+(X, B) et comme /An î /,
on applique la propriété de Beppo-levi. •
E.5.9, & Sur le Lemme de Fatou
a) Soit (/„) la suite de fonctions numériques définies sur R par
1 ( n2x si 0 < x < 1/n
/„(i) = < -n2i + 2n si 1/n < x < 2/n
{ 0 si x < 0 ou x > 2/n
Montrer que les /„ sont dans M+(X, B) et calculer
lim / f„d\ , lim / f„d\ , I Hm/ndA , I \imf„d\
Vérifier que le résultat est conforme au Lemme de Fatou.
b) Mêmes questions avec la suite (g„) définie par
{l[o,i/4| s> n e6' impair
l]i/4,i] s> n e6' Pair
s
Aide, a) On a /„ ► 0 et donc lim/n = lim/n = lim/n = 0. De plus,
les /„ étant continues, elles sont mesurables. Comme elles sont positives, leur
intégrale a un sens. On vérifie aisément que, pour tout n, J fndX = 1 (cela se
fait "à la main", mais on verra plus tard que dans ce cas, l'intégrale de Lebesgue
coïncide avec l'intégrale de Riemann). Les conclusions sont immédiates.
b) limgn = 0,lîînsn = lp.i], A(lims„) = 0 < ]imA(s„) = l/4,limA(s„) =
3/4 et A(lims„) = 1. •

s. l'intégrale de lebesgue 103
E.5.10. & Beppo-Levi à "renvers"
a) Soit (X, B, /i) un espace mesuré et (/„) une suite décroissante d'éléments
de M+(X, B). Soit / = lim/„. Montrer que s'il existe m tel que f fmdfi < +00
alors limj/nrf/i = //rf/i.
b) Avec (R,B(R), A) = (X,B,v), montrer que Hm//„rfA ^ ffd\ pour la
suite (/„) définie par /„ = l[n|+oo[ pour tout n. Idem avec la suite (/„) définie
par /„ = nl]0I/n].
Aide, a) C'est un cas particulier du Théorème de la convergence dominée de
Lebesgue.
b) Dans le premier cas, on a J f„dX = +00 alors que / = 1| = 0 et
donc / fdX = 0 (la condition de bornitude pour une des intégrales n'est pas
s
respectée). Dans le deuxième cas, on a J f„dX = 1 alors que /„ ► 0 (et
même uniformément) et donc f fd\ = 0 (la décroissance n'est pas respectée). •
E.5.11. ££ Soit (X,B,tï) un espace mesuré et / G M(X,B).
a) Montrer que, si / est positive, pour tout t > 0, on a
/i({/>«})<7/ Mi<7/W
b) Soit (An) une suite décroissante d'éléments de B telle que limn fi(A„) =
0. Montrer que si / G lnt(X, B,fi) alors lim„J^ fdfi = 0 et en particulier
lim" h\n>»)Iiti = °-
c) On suppose que / Gln*+(X, B,fi). Montrer que
l)a,i({/>a}) —. 0,
a—*+oo
2)Ve>0 3AeB ii(A)<+ooet /fd^<JAfd^ + e,
3)Ve>0 36 >0 VAeB fi(A) < 6 -> fA fdp < e.
d) Généralisation de b). Soit (An) une suite d'éléments de B telle que
lim/i(i4„) = 0. Montrer que si^/ G lnt(X,B,ti) alors \\mfA^ fil* = 0.
Aide, a) On a, pour tout t > 0, ll{/>i) < /l{/>i) et donc
On en déduit les inégalités demandées.
b) La suite (1^./) tend simplement vers 1^/où A = f~\An. Naturellement
W = 0 /i-p.p. et,"pour tout n, 1AJ G M(X,B) et \lAJ\ < |l{/<+00}/l
/i-p.p.. En appliquant le Théorème de la convergence dominée de Lebesgue, on
obtient Hm/^ fdfi = lim J" lA,fdfi = f 1^/rf/i = 0.
Pour le cas particulier, on a {|/| > n} J. et le a) donne /i({|/| > "}) <
i/l/lrf/i -. 0.
n J n—+00

104 s. l'intégrale de lebesgue
c) 1) On a au({f > a}) = /{/>o} adu < /{/>o} fdu ^--^ 0 en utilisant
la question b).
2) Remarquons que lasuite/.lr.<xj décroît vers 0 et comme/ G Inl+(X. B,/i),
d'après E.5.10, j{J<i.^fdu i 0. De plus, pour tout n > 0, $u({f > £}) <
/{»>X} /^ < //^ < +°° et donc, pour tout n > 0, u({f > ;;}) < +oo.
Pour e > 0, on choisit n > 0 et A = {/ > ^-} avec /f/<xi /''P ^ e- On obtient
f fdu = ! fdu + f fdu< f fdu
+ e.
3) Soit r> 0. D'après b), comme /f/>ni fdu —» 0, on peut choisir n0 tel que
f,,. , (du < -. Posons 6 = -—. Si A G B est tel que u(A) < S, on a
Jl/>"o) r 2 2no
f fdu= f ' fdu+ f fdu<£-+ j S du
JA JAn{-J>no} JAn{J<n0} Z J{J<no}
<\+ nou{*) < e-
d) Comme \fAfdu\ < fA\f\du, on peut supposer / e In*+(X, C,u).
Fixons e > 0 D'après c),3), choisissons 6 > 0 tel que, pour tout A G B, si
u(A) < S alors fA fdu < e. Soit n0 tel que si n > no alors u(A„) < ê Pour
n > n0, on a fA fdu < e. •
l
E.5.12. & On se donne l'espace mesuré ([0,1],C([0,1]), A) où A est la mesure
de Borel restreinte à B([0,1])
a) Montrer que si / est une application continue de [0,1] dans R, alors
/e£,([0,l],B([0,l]),A)
Soit (/„) une suite de fonctions continues définies sur [0,1] à valeurs dans R et
/eR[°".
b) Si /„ ——♦ 0, a-t-on Hm//„rfA = 0 ?
c) Montrer que si /„ ► /, alors / G £,([0,1],B([0,1]), A) et
Hm//„rfA = //rfA
d) Plus généralement, soit (X,B,u) un espace mesuré fini et soit /„
une suite d'applications mesurables bornées de X dans R qui converge
uniformément vers une application numérique /
Montrer que les /„ et / sont dans £,(X, B,u) et que / fdu = lim / f„du
Aide a) Toute application continue de [0,1] dans R est bornée ([0,1] est
compact) et mesurable donc elle est dans Mb([0,1],C([0,1]), A) On applique
E55
b) La suite donnée en E 5 9 a) est un contre-exemple à la question

s l'intégrale de lebesgue
105
c) Remarquons que / est continue comme limite uniforme de fonctions
continues
Soit no tel que, pour tout n > no et pour tout x G [0,1], on ait \fn(x) — f(x)\ <
1 On a donc, pour tout n > no, |/n| < |/ + l[o.î]I et donc, pour tout n,
|/„| < max((maxn<no |/n|),|/+ l[o.i]l) Evidemment, la fonction du deuxième
membre est continue et donc dans £i([0,1],C([0,1]), A). On applique alors le
Théorème de la convergence dominée de Lebesgue
d) D'après E5 4, les /„ sont dans CX{X,B,fî) En utilisant des arguments
semblables à ceux de c), on montre que la bornitude des /„ et leur
convergence uniforme vers / imposent à la limite d'être bornée (elle est donc dans
Mb(X, B)) On obtient aisément une fonction mesurable bornée (donc dans C\)
majorant les |/n| On applique alors le Théorème de la convergence dominée
de Lebesgue •
E.5.13. A Soit g G £i(R,B(R),A) Pour tout n G u, on définit /„ R —► R
par f„(x) = l]-ao<„](x)ez-"g(x)
a) Montrer que pour tout n, /„ G £i(R,C(R), A)
b) Montrer que f f„dX —» 0
n—»oo
1 U
c) Soit pour tout n G u' f„ = — l[o,nl Montrer que /„ >• 0 alors que
hm//nrfA#0
Aide a) et b) On a, pour tout n, |/„| < \g\. D'après 5 3 2, pour tout n,
s
/n G £\(X, B,/i) De plus, comme /„ > 0, le Théorème de la convergence
dominée de Lebesgue s'applique
c) On a J/nrfA = 1 pour tout n et donc hm/ f„dX = 1 ^t 0 = / hm/nrfA
(c'est la condition de domination du Théorème de la convergence dominée de
Lebesgue qui est en défaut) •
E.5.14. £ Soit (X,B) un espace mesurable, a G R+ et /ii,P2,/i3 trois mesures
positives sur B telles que /ii < fi? et 0/13 < /12
a) Comparer les intégrales fi\ et /i2 sur M+(X,B)
b) Montrer que Cl(X,B,fi2) C £i(X,B,/ii)
c) Comparer Cx(X,B,iiï) et Cx(X,B,fi3)
Aide a) On a, pour tout / G M+(X, B), /ii(/) < M(f) On utilise la méthode
standard
Si / = 1,, avec A G B, on a ^,(1,,) = fii(A) < fi7(A) = fi7(lA)

106 s l'intégrale de lebesgue
p
Si / est dans S+(X, B) d'écriture canonique y^Oil*,i °n a
1=1
p p p
Mf) = M(E a'U) = E«■/'i^') * E"■«MO
1=1 ■=■ ■=■
P
= /i2(Ea,lj'-) =^(/)
1=1
Pour / dans M+(X, B), soit (/„) une suite dans S+(X, B) telle que /„ î / On
a M/) = supM/n) (Beppo-Levi) < sup/i2(/„) = /i2(/) (Beppo- Levi)
b) Soit / G £,(X,B,/i2) On a /ii(|/|) < «(l/l) < +°° et donc
/e£,(X,0,/ii)
c) On montre, par la méthode standard, que pour tout / G M+(X, B),
(0^3)(/) = 0113(/) 11 s'en suit que £,(X,B,/i3) = £i(X,B,o/i3) On en
conclut, d'après b), que £,(X,B,/i2) C £,(X,B,o/i3) •
E.5.15. £4 Soit (X, 6, /i) un espace mesuré, (/„) une suite dans M (X, B) telle
que E / \f»\dv < +°°
n=0-'
00
a) Montrer que pour /i-presque tout x, la série 2_. fn(x) est absolument
n=0
' convergente
Soit / X —» R définie par
/(*) =
E f"(x) SI 'a se"6 ^1 convergente
n=0
0
b) Montrer que / est mesurable, que / G £,(X, B,/i) et que / fdfi =
00 .
E //-^
n=0J
n
Aide Soit s la fonction définie par g(x) = \im}\f,(x)\ Cette fonc-
i=0
tion est mesurable et positive En appliquant 5 2 2, on obtient / gdfi =
.00 00 .
/ I 2_J |/n| ]<f/i = E / l/nl < +°° et donc g est intégrable D'après 5 2 5,
■" n=0 n=0-'
5Z^=o l/n(z)l *- +°0 ^"P P ' œ 1UI veu^ ^lre 1ue 5Z^=o/(z) ^ absolument
convergente /i-p p

S L'INTÉGRALE de LEBESGUE 107
n
b) D'après 3 5 5, la suite de fonctions mesurables h„ = \_. /■ e6' telle
•=o
oo
que D = { x / (2j/n(*)) converge } G B On a / dans M}(X,B) d'après
n=0
3 3 3 Pour tout x eX, \f(x)\ < g(x) En effet, pour x $ D, c'est évident, et
n n oo
pour xeD, |/(i)| = |tam(£ /.(*)) | < l.m(£ |/.(x)|) = £ |/n(x)| = y(x)
i=0 i=0 n=0
On a donc / mesurable, finie et majorée en valeur absolue par une fonction
intégrable D'après 5 3 1, / G C,(X, B,fi)
Soit g' = /l{,<+00) On a g' G £,(X,B,/i) et, pour tout n, |/i„| < g' /i-p p
De plus la suite (/in) converge /i-p p vers / Le Théorème de la convergence
dominée de Lebesgue donne alors
/ /rf/i = hm / /i„rf/i = l'm]^ / f>df = XI / ^^ *
E.5.16. 4144 Soit (X, B, /i) un espace mesuré fini et (/i)ie/ une famille dans
£i = Cx(X,B.y) On dit que (/,) est équi-intégrable si
sup / |/.|rf/i —- 0
'€/ J{|/.|>n) "-+°°
a) Montrer que s'il existe g G C\ tel que, pour tout i G /, |/,| < g /i-p p
alors (/i) est équi-intégrabl
b) Montrer que pour tout / G £i, tout a > 0 et tout j4 G B
/ \fW < MA) + f \!W
c) En déduire que si (/,) est équi-intégrable alors on a
(l)Ve>0 3ij>0 VAeB fi(A) < r; — sup,/^ |/,|rf/i < e,
(2)suP//|/.|rf/i<+oo
d) Montrer que si (/,) vérifie (1) et (2) alors (/,) est équi-intégrable
e) Montrer que si f,g G C*, alors h = sup(/,s) G £i et
/ hd^< f fd» + f gdfi
J{h>a) JU>") •>{!><•}
En déduire que si (/„) est une suite équi-intégrable alors
/- sup \fm\dfi —» 0
H m<n n—+oo
f) Montrer que l'équi-intégrabilité de (/i)iç/ et (g^jçj entraîne celle de
(/■+Sj)0j)€/xJ

108 s l'intégrale de lebesgue
Aide, a) Clairement, pour tout : et pour tout n, {|/,| > n} \ {g > n} est
négligeable On a alors
0<sup/ \f.\dfi< f gdfi —» 0
■ €/ J{|/.|>n) J{a>n) *—+°°
en appliquant E 5 11-b)
b) On a / l/lrf/i = / l/lrf/i + / l/lrf/i < a»(A) +
/ \IW
c) Soit e > 0 Soit n0 > 0 tel que supl€//,., ,>n, 1-^1^ < e/^ ^08011^
n = -— Pour A G B tel que fi(A) < n, en appliquant b), il vient, pour tout i,
2no
/ I/.14* < nofi(A) + f |/,\An < e. D'où (1).
Ja •'{l/.^no}
De même, pour tout i, / \ft\dfi < no/i(X) + / \fM/i < no/i(X) + e/2
J J{\J.\>nc)
et donc sup / \f,\dfi < +oo.
.€/ J
d) Soit e > 0. Soit n > 0 tel que, pour tout A £ B avec ii(A) < n et tout
i, JA \ft\dfi < e. Soit M G R+ tel que, pour tout i, f \f,\dfi < M. Il vient, pour
tout i et tout n,n/i({|/,| > n} < /,., ,>nj |/t|d/i < /l/il'/i < M. Soit n0 tel que
M
— < n. On a, pour tout n > no et tout i, /i({|/i| > n}) < /i({|/i| > no} < n
"o
et donc, pour tout n > no et tout i, J",., . • \f\\dfi < £.
e) On écrit sup(/,s) = /1{/>j) + ffl{/<j}- On obtient aisément que
h = sup(/,s) e £,. De plus
/ hdn= f hdn+f hdn< f fdfi+f gdfi.
J{h>a) Jik^nij-^s) J{l'><')riU<a) J{t>^} J{s><>)
Pour une suite (/„) équi-intégrable, en étendant par récurrence la formule ci-
dessus au cas de n fonctions, on obtient
/ -sup|/m|= / -sup|/m|
J nm<n J{sup |/m| <a] "m<n
^«Pl/-.!^.}-^-17"'--^^!/-.!^}17"1-
Soit e > 0. Soit a tel que, pour tout i, //1,15.,,) l/i| < e/2 et n0 tel que ^ < e/2.
On obtient que, pour tout n > no, / — sup |/m| < e.
J n m<n
f) On vérifie aisément les propriétés (1) et (2). •

*
Chapitre D
Espaces cp et espaces lv
Dans tout ce chapitre, on se fixe un espace mesuré (X, B,fi).
6.1. Rappels : espaces métriques, espaces normes, espaces
ordonnés
1) Soit E un ensemble, d : E x E —» R+. Soit les propriétés :
1) d(x,x) = 0,
2) d(x,y) = 0 -> x = y,
3) d(x,y) = d(y,x),
4) d(x,y)<d(x,z) + d(z,y).
Si d vérifie 1), 3) et 4), on dit que d est une pseudo-métrique ou un écart
sur E et que (E, d) est un espace pseudo-métrique. Si d vérifie 1), 2), 3) et
4), on dit que d est une métrique ou une distance sur E et que (E, d) est un
espace métrique.
Evidemment, un espace métrique est un espace pseudo-métrique.
Si (E, d) est un espace pseudo-métrique, on peut considérer la relation
d'équivalence x ~j y ssi d(x, y) = 0. En notant x la classe de x, l'application
d de Ê = E/ ~d dans R+ définie par d(ï, y) = d(x, y) est une métrique
sur E (exercice). On dira que l'espace métrique (E, d) est associé à l'espace
pseudo-métrique (E, d). Naturellement ces deux espaces se confondent si (E, d)
est un espace métrique. Si (E, d) est un espace pseudo-métrique, pour tout
s G E et tout r G R^., on définit la boule ouverte de centre x et de
rayon r : B(x,r) = { y G E / d(x,y) < r }. On montre que la collection
{ B(x, r) I x G E, r G R^ } est une base pour la topologie qu'elle engendre

110
6. ESPACES £„ ET ESPACES L,
(c. à d. tout ouvert est union de boules ouvertes). Cette topologie (dite
associée à d) est notée rj et, à x fixé, la collection { B(x, £) / n G u' } est une
base (dénombrable) de voisinages de x. En conséquence, une suite (xn) tend
vers a; ssi Ve > 0 3N G w Vn > N d(x„,x) < £ (autrement dit, ssi la
suite (<f(x„,x)) tend vers 0 dans R). On dit que la suite (x„) est de Cauchy
si Vt>0 ]N£u Vn,m > N d{x„,xrn) < e. L'espace (E,d) est dit
complet si toute suite de Cauchy converge. Il est facile de voir que si l'espace
pseudo-métrique est complet, il en est de même de son espace métrique associé.
On dit qu'une application/ d'un espace métrique (E, d) sur un espace métrique
(F, <f) est une isométrie si Vx, y € E d(x, y) = <f(f(x), f(y)). Dans ce cas on
dit que les espaces (E, d) et (F, d') sont isométriques. Deux espaces métriques
isométriques sont évidemment homéomorphes quand on les munit de leurs
topologies associées.
Exemple. En définissant d : Bt-B —» R+ par d(A, B) = fi(AAB) (en supposant
/i bornée), on montre que l'on définit une pseudo-métrique sur B (voir E 4.10).
A quelle condition a-t-on une métrique ?
2) Soit E un espace vectoriel sur R (e v.). Soit N : E —» R+ Soit les
propriétés suivantes :
1) N(x) = 0 — i = 0,
2) N(\x) = \\\N(x),
3) N(x + y)< N(x) + N(y).
Si N vérifie 2) et 3), on dit que N est une semi-norme et que (E, N) est un
espace semi-norme. Si N vérifie 1), 2) et 3), on dit que N est une norme et
que (E, N) est un espace norme. Si N est une semi-norme (resp. une norme)
l'application du : E x E :—» R+ définie par rfjv(x, y) = N(x — y) est une
pseudo-métrique (resp. une métrique). On note r^ la topologie tjn associée à
df/. On dit que (E,N) est complet si (E,dn) est complet, en particulier, si
N est une norme, on dit que (E, N) est un espace de Banach.
Soit (E, N) un espace semi-norme. Soit H = { x / N(x) = 0 }. On vérifie sans
peine que H est un sous-espace vectoriel de E. La relation x ~jv y définie par
A'(x — y) = 0 est une relation d'équivalence compatible avec les opérations de
E (en fait, cette relation n'est rien d'autre que la relation ~jN définie en 1) sur
l'espace pseudo-métrique (E, rfjv))- On note E l'espace vectoriel quotient E/~n
(= E/H). On note x la classe x + H de x. On remarque que N : E :—» R+
définit sans ambiguïté par N(x) = N(x) est une norme sur E. On dit que
(E, N) est l'espace norme associé à l'espace semi-norme (E,N). On constate
que (E, d~) est l'espace métrique associé à l'espace pseudo-métrique (E, rfjv)
(rfjv = d~). On en déduit que si (E, N) est complet alors (E, N) est un espace
de Banach.
3) Soit (£",-<) un ensemble préordonné (E est un ensemble et -< est
une relation réfiexive et transitive). La relation ~^ définie par x ~^ y ssi
(x -< y et y -< x) est une relation d'équivalence dite associée à -<. L'ensemble
quotient E/~A est alors muni de la relation d'ordre -< définie sans ambiguïté

6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp
111
par : x -< y ssi x -< y (x désigne la classe de x).
Dans ce sous-paragraphe, on écrira ~ et -< à la place de ~^ et x (à noter que
l'écriture ~ est réservé dans cet ouvrage pour désigner l'égalité presque partout
(voir 4.4)).
Un ensemble ordonné (£■,-<) est dit réticulé si x V y = 6Up{x, y} et x A y =
inf{x, y} existent. Il est dit complètement réticulé si toute partie non
vide majorée (resp. minorée) admet une borne supérieure (resp. une borne
inférieure). Il est dit totalement réticulé si toute partie non vide admet une
borne supérieure et une borne inférieure.
Si E est un espace vectoriel sur R muni d'une relation de préordre -<, on dit
que la relation -< est compatible avec la structure vectoriel si
1) x ■< y et x1 -i y' — x + x'-iy + y',
2) a e R+ et 0 -< x — 0 -< ax.
Si E est un e.v. sur R muni d'une relation de préordre (resp. d'ordre) -<
compatible avec sa structure vectorielle, on dit que E est un espace vectoriel
préordonné (resp. espace vectoriel ordonné). Si de plus (E, -<) est réticulé,
on dit que E est un espace de Ries _
Soit E un espace vectoriel préordonné et soit -< sa relation de préordre. Soit ~
la relation d'équivalence associée à -<. L'ensemble H = { x / x ~ 0 } est un
sous-espace vectoriel de E et (£'/~) -<) est un e.v. ordonné (on a £'/~= E/H
et -< est compatible avec la structure vectorielle de E/H ; exercice).
Si (E, -<) est un ensemble préordonné et si F C E, -< induit sur F une relation
de préordre. Il est évident que la relation d'équivalence sur F associée à la
restriction de -< à F est égale à la restriction à F de la relation d'équivalence
sur E associée à -<.
En général les restrictions des relations de préordre seront notées avec le même
symbole que celui de la relation de préordre et il en sera de même pour les
relations d'équivalence (on avait déjà utilisé cette convention pour la relation
d'égalité /i-p.p. ~).
Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence 72. Rappelons qu'un
sous-ensemble A est dit saturé (pour 72) si toute classe dans E coupant A est
dans A. On a alors A est saturé ssi A/R. C E/R. A noter que si A n'est pas
saturé dans E, on peut néanmoins plonger canoniquement A/R dans E/R en
faisant correspondre à toute classe dans A d'un élément de A sa classe dans E.
4) Application, a) Pour E = R , la relation / < g est une relation d'ordre
et (E, <) est totalement réticulé. La relation < s'induit sur M/ en une relation
d'ordre compatible avec la structure vectorielle de M/ et l'espace (M;, <) est
un espace de Riesz. Il n'est pas en général complètement réticulé, mais toute
famille dénombrable (/,),^/ bornée est telle que sup/, et inf/, sont dans Mj-
x
b) La relation / -< g ssi / < g /i-p.p. est une relation de préordre sur R . La
relation d'équivalence associée ~ n'est autre que l'égalité /i-p.p.. La relation -<
induit sur M;(X,B,fi) une relation de préordre compatible avec sa structure
vectorielle. On a donc :H = {feM//f~0} = {feMj/f = 0 /i-p-P- }

112
6. ESPACES Cp ET ESPACES L,
est un sous-espace vectoriel de M/ et M/ = Mj(X,B) = Mj/~= Mj/H est
un espace vectoriel ordonné. En fait c'est un espace de Riesz : on vérifie que
/ V g = f V g et / Aj = / A g où / V g et / A g sont pris naturellement dans
y —
(R .^)- De plus, pour toute suite (/„) dans Mj majorée (resp. minorée), on
a sup/n (resp. inf /„) existe et vaut (sup/„)~ (resp. (inf/n)~).
La relation -< s'induit sur M(X,B). Notons M = M/~. On vérifie aisément
que (M, -<) est réticulé. On a aussi :
Lemme 6.1.1. Si /i est finie, (M, -<) est totalement réticulé.
DÉMONSTRATION. Soit A C M non vide. Ecrivons A = { f, / : E J }
et convenons d'écrire dén à la place de dénombrable. On a, pour tout /' dén
C /«sup/, G M, le sup étant pris dans R . Il est alors facile de voir que
sup/, = sup/,. Pour tout /' dén C /, on pose /j = sup/,.
i€/' i€/' i€/'
Soit g : R —» [0,1] continue, strictement croissante (on peut construire g
à l'aide de la fonction Arctg). On a pour tout /' dén C / /s ° fl'dl* <
/ lxdp = /i(X) < +00.
Soit a = sup / g o f/idfi. Soit /„ dén C / tel que f go //_ dfi > a — ^ et
/' dén c/ ^
posons J = UI„. On a alors J dénombrable et donc J g o fjd/i = a.
Soit i'o G /. On a fjufo) > /y /i-p.p. et donc g o /yuf,,,} >}o/j /i-p.p . Il
s'ensuit que
<* > f{9 ° Ijum) >f{9°fj) = <*,
d'où /i(ff ° //u{t„) - S ° Si) = 0.
Il vient en vertu, de 5.2.6, gofJuM = gofj /i-p.p. et donc Sju{i0) = fj /J-p-p.-
Mais alors /,0 < // /i-p.p.. D'où fj est un majorant de A = { /, / i G / }.
Il est clair que si h est un majorant de A alors /i > sup,€/> /, = //> pour tout
/' dén C /. Donc h>fj *
6.2. Inégalités fondamentales
Soit pe [l,+oo] et / G M(X,B). On définit :
NP(f)=[j\f\pd^' p#+oo
We.(/) = inf{nip|/(x)|/JVeJVl,}
reJV
On dit que p et 4 sont coiyugés si on a {p,q e]l,+oo[ et ^ + - = 1) ou
({p,«} = {1,+°°})
Proposition 6.2.1. Soit feM(X.B). Il existe AeS/^nB (qui dépend
de f) tel que Noo(f) = sup |/(x)|. En conséquence, on a |/| < Noo(f)
xHA
xfA
fi-p.p. et Noo(/) est 'e p'us P*'«* nomire possédant cette propriété.

6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp U3
démonstration. Si Noo(/) = +°°. n'importe quel A G N^ fl B convient
(par exemple 0).
Si ^00(/) < +°°. soit pour tout n£u" A„ eA^HB tel que sup |/(x)| <
r«A„
^00(/) + —■ Posons A = UA„. On a j4 G M^ CIB et pour tout n£u'
AU/) < sup |/(x)| < sup |/(x)| < AU/) + -
re^ rej». n
et donc Noo(/) = sup |/(x)|.
Le reste de la proposition est laissé à titre d'exercice. 4
Proposition 6.2.2. (Inégalité de Hôïder). Soit f.ge M(X,B) et p et g
conjugés, alors
NiVt)<N,U)NJg)
démonstration. 1) Cas où p = 1 et q = +00.
La proposition 6.2.1 donne alors |ff| < Noo(s) /i-P-P-- H vient :
N,(f9) = /i(l/llfll) < /l(|/|iVe.(»)) = We.C»HI/l) = *!(/)■*«.(»)
2) Cas où p,« G]l. +oo[ (avec i + i = 1)
L'inégalité est évidente si le produit Np(f).Nq(g) est égal à +00. Elle l'est
encore si Np(f) = 0 ou N,(g) = 0 car alors en vertu de 5.2.6, \f\p = 0 /i-p.p.
ou |s|' = 0 /i-p.p. et donc |/| = 0 /*-p.p. ou |ff| = 0 /i-p.p..
Supposons que Ap(/) et Nt(g) soient différents de 0 et +00. Posons u = \f\p,
v = \g\q, a = g et 0 = £ (on a a + /? = 1). On doit montrer que
/„v <(/■)■(/.)' w
Posons T = fvet<T = fv. Naturellement, on a r et c dans R+ La fonction
x —» /nx est concave. On a /n(aa + 0b) > alna + /S/ni pour tout o,teR'+.
Et donc aa + 0b> a°4" pour tout a,i G R+.
On en déduit que a£ + 0% > (7)° (#)
Enmtêgr^:l = « + /?=2y«+f/. = /(î« + f.)>/(i)0(f)"=
-L-Ly„<V.D'où(*).*
Proposition 6.2.3. (Inégalité de Minkowski). Sort f,g G A<(X,B) ei
pG [l,+oo]. On a
NP(f + g)<Np(f) + Np(g).
démonstration. 1) Cas p = +00. On a 1/ + si < |/| + \g\ < #«>(/) +
Noo(9) /i-P-P- et donc N^f + g) < AU/) + N^g) d'après 6.2.1.

114
6. ESPACES Cp ET ESPACES L.
2) Cas p = 1. On a N,(/ + g) = /i(|/ + fl|) < /i(|/| + |fl|) = Mf\) + /i(|fl|) =
Ni(/) + Ni(fl)-
3) Cas 1< p < +oo. On a |/ + g\" = \f + g\\f + g\—\ < (|/| + |s|)|/ + si""1
et donc en appliquant la formule de Hôlder avec q conjugué de p :
j\i+9r<j\i\\f+srx+j\s\\f+srx
<Np(f)^j\f + g\^-^y , + Np(9)(j\f + gp-^
Comme q = j_ i, on obtient ;
(^(/+s))p = /l/ + slp<(^(/) + ^(s))(/l/ + fllp) '
= {NP(f) + Np{g)){Np(f + g))p ' *
6.3. Espaces Cp
Pour tout p G [1, +00], on pose
£„(X,B,/i) = {feMj/ Np(f) < +00 }.
Pour p= 1, on retrouve l'espace £,(X, C,/i) défini antérieurement.
Les éléments de Cp = Cp{X,B,fî) sont appelés fonctions réelles mesurables
dq puissance pleme intégrable. Les éléments de £„, = £oo(X, B,fi) sont
appelés fonctions réelles mesurables essentiellement bornées.
Proposition 6.3.1. Pour tout p G [l,+oo], Cp{X,B,fi) est un sous-
espace vectoriel de M,(X,B). Avec la relation de préordre f < g p-p.p-,
Cp est un espace vectoriel préordonné. De plus, Np restante à Cp est une
semi-norme et (CP,NP) est un espace semi-norme' complet.
démonstration. L'inégalité de Minkowski et la formule Np(Xf) =
|A|A'p(/) obtenue aisément, prouvent que Cp est stable pour l'addition et la
multiplication par les scalaires et donc est un sous-espace vectoriel de Mj. Il
est clair que la relation / < g /i-p.p est compatible avec les opérations de Cp.
Il est encore clair que Np restreinte à Cp est une semi-norme et donc (Cp, Np)
est un espace semi-norme. Montrons qu'il est complet.
1) Cas p = +00. Soit (/„) une suite de Cauchy dans £„,. Posons
B„.m = { x I |/m(i) - /„(*)l > Nco(/m - /n) } pour tout n, m G w et
C = \J„snBn<m. On a C G BC\N,,. Pour x G Cc, la suite (/„(x)) est une suite
de Cauchy dans R Appelons f{x) sa limite. Pour a: G C, posons f(x) = 0.
On obtient une application / élément de Mj (cf. 3.3.3). Montrons que (/„)
converge vers / dans £„,.
Soit e > 0. Soit n0 tel que si n, m > n0 alors Noofl/n — /m|) < £■ Pour x G Cc
et n > no fixés, la suite positive (|/n(x) — /m(x)|)m>n0 ^ majorée par e
et converge vers \fn(x) — f(x)\ et donc pour tout x G Cc et n > no on a
|/„(x)-/(x)|<e.

6. ESPACES £p ET ESPACES Lp 115
Mais alors, Vn > n0 sup !/„(*) —f(x)\ < eet donc Vn > n0 Noo(/n — /)<£
et
AU/) = *W/ ) < W°o(/ - /„o) + Woo(/„„) < +O0.
On en conclut que / est dans £„, et (/„) converge vers / dans l'espace semi-
norme jCoq.
2) Cas p < +00. Soit (/„) une suite de Cauchy dans Cp. Soit (/,,,)^^- une
sous-suite telle que Np(f„,+l — /„,) < 2-'. Posons pour tout l€u" :
k 00
s* = (£ 1/-.+.-/-1) + 1/-.1 ■ s = (£ i/".+> -/».i) + i/-.i-
1=1 1=1
Pour tout t, on a St G A4+. Comme jt î g, on a aussi s G A4+ et ffj î gp. De
plus Np(flt) < YS=1 N„(f„i+l - /„,) + Np(fni) < 1 + Np(f„J. En appliquant
Beppo-Levi on obtient :
J g'd» = sup J ffjrf/i < ( 1 + Np (/„, )"
Posons A — { x I g(x) < +00 }. D'après 5.2.5, on a donc Ac G BOA/),.
Il s'en suit que pour tout x G A, la suite de terme général fnh(x) =
/ni(i) + 53i=i(/ni+i(z) — /n,(x)) converge dans R. La fonction / définie par
f(x) = \\mf„k(x) pour x G A et f(x) = 0 autrement est dans M/ (3.5.5, 3.5.6
et 3.3-3). De plus, pour n fixé, |/n„ — /n| converge vers |/ — /„| /i-p.p- et donc
l/-/n|P=Iim|/n,-/n|P/i-p.p.
t
Montrons que / G Cp et /„ converge vers / dans Cp.
Soit e > 0. Soit n0 tel que si m, n > n0 alors Np(/m — /„) < £■ D'après le
lemme de Fat ou, pour n > no :
J I/ - /nN/i = Ilipl/n. - /nN/i < lîm^ l/n. - InT*P < *■
Comme / = (/ — /n0) + /n0î
on obtient Np(/) < Np(f - fno)-r N^f^) < +°°
d'où / G £p et (/„) converge vers / dans l'espace semi-norme Cp. 4>
REMARQUE. Dans le cas où p = +00, la suite (/„) converge /J-p.p. vers /. En
fait, elle converge uniformément sur le complémentaire de l'ensemble de mesure
nulle C. Cette propriété caractérise la convergence dans £„, (exercice).
Dans le cas où p G [l,+oo[, la sous-suite (/„,) converge /i-p.p. vers /. On
obtient :
Proposition 6.3.2. Soit p G [l,+oo] et (/„) une suite dans Cp
convergeant dans Cp vers /.
Si p = +00 alors /„ —» / fi-p.p..
Stp< +00 alors :/ existe une sous-suite (/„,) convergeant vers f ii-p-P-

116
6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp
6.4. Espaces Lp
On applique ici les résultats du 6.1 aux espaces vectoriels préordonnés, semi-
normés Cp avec p G [1, +oo].
Fixons p G [l,+oo]. Notons / -< g la relation de préordre / < g /i-p.p. définie
sur Cp et / ~ g sa relation d'équivalence associée (/ = g /i-p.p.). Soit H le
sous-espace vectoriel { / G Cp / Np(f) = 0 }. Comme / ~ g ssi Np(f — g) = 0
on a Cp{X,B,fi)/~= Cp(X,B,fi)/H. On note alors Lp(X,B,/i) ou Lp l'espace
vectoriel ordonné, norme CP(X, B,p)/H. On note ||/||p la norme de la classe /
de / (||/||p = Np(f)). L'espace norme Lp(X,B,fi) est complet, c'est donc un
espace de Banach. Résumons :
Proposition 6.4.1. Soit p G [l,+oo]. L'espace (Lp(X,B,/i),\\ \\p) est
un'tspace de Banach. L'espace (LP(X,B, fi), -<) est un espace de Riesz et
si p < +oo alors il est complètement réticulé.
démonstration. Fixons p G [l,oo[. La seule chose à démontrer est que
si f,g G Lp alors sup{/,s} et inf{/,jf} existent et que si on a p € [l,+oo] et
A C Lp non vide, borné alors sup .A et inf A existent. Le fait d'avoir un espace
vectoriel ordonné permet de voir que pour tout B C Lp sup B existe ssi inf B
existe (en fait, infB = — sup— B). Montrons donc l'existence des sup. Soit
1,9 G Lp. Il est aisé de voir que sup{/,s} dans R* s'écrit fl{/>s) +ffl{/<f)
et donc sup{/,s} est dans Cp. On vérifie alors que (sup{/,s})~ majore {f,g}
et que c'est le plus petit majorant. D'où (sup{/,s})~ = sup{/,s}.
Montrons que Cp est complètement réticulé.
1) Soit (/j),- G / une famille infinie d'éléments positifs de Lp. On a/, > 0 fi-
p.p. pour tout i G /. Posons //> = inf /, pour tout /' dén C /, /' / B.
Clairement //> G Lp. Posons
a = inf /i(//.).
/'dén C/
/'#0
En procédant comme dans la démonstration du Lemme 6.1.1, on construit
/0 dén C / tel que /i(/J ) = a et on montre que //0 = inf/,.
2) Soit (/i),- G / une famille infinie d'éléments de Lp majorée par l'élément
S de Lp. On a pour tout i G /, g — /, G Cp et g — f, > 0 /i-p.p-- Il s'en suit
que, d'après 1), inf(s —/,)~ existe. Comme (g — /,)~ = g — f, et que Lp est un
espace vectoriel ordonné, on obtient que g — inf(s — /,)~ est un majorant des
t
/, et que c'est le plus petit. Donc sup /, existe. 4
t
remarques. 1) Si p = +oo, Lp n'est pas obligatoirement complètement
réticulé. Soit (R,B(R),/i<i) avec m la mesure de dénombrement et soit A £
B(R). L'ensemble { l{rj / x G A } est majoré par 1 G Loo mais sup l{rj
n'existe pas.

6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp ffl
Par contre si fi est c-finie, Loo(X,B,fï) est complètement réticulé (exercice ; on
utilise le lemme 6.1.1).
2) Il ne faut pas croire que dans Lp on a sup /, = sup /,-. Dans la remarque
t t
1), si on remplace fij par la mesure de Lebesgue, sup l{rj existe et vaut 0 alors
que sup 1(,:) = 1,, £M(R,B(R)).
Le théorème suivant prolonge les résultats du 5.4 concernant les relations entre
(X,B,fi) et de son complété (X,B,,,p). Avec une signification évidente pour
Np et || ||p, on a :
Théorème 6.4.2. Pour tout p G [l,+oo] les espaces (Lp(X,B,fi), || ||p)
et (Lp(X,Bll,fi),\\ |L) sont isomormorphes et isométriques.
démonstration. Casp G [l,+oo[. Remarquons au préalable que, en vertu
du fait que fi coïncide sur M+(X,B,fi) avec fi, Np coïncide sur M+(X,B,fi)
avec Np.
Pour tout / G Cp(X,B,fi), notons /' la classe de / dans Cp(X,B,fi) et /2 sa
classe dans Cp(X,Bn,p). L'application de Cp(X,B,fi)/~ dans£p(X,B#i,/î)/~
définie par /' —> f7 est bien définie et injective. Elle est surjective en
vertu du Lemme 5.4 1. On vérifie aisément qu'elle est linéaire. C'est donc un
isomorphisme d'espaces vectoriels On a ||/'||p = Np(f) = Np(f) = ||/2||p,
c'est donc une isométrie.
Cas p = +oo (exercice). 4k
Exercices, compléments
E.6.1. Que signifie / G Cp(w,V(w),fi), où /i est la mesure de dénombrement ?
Aide. Soit 1 < p < +oo. D'après E.5.2-c) on a /|/|prf/i = £~ |/(»)|p, donc
/ G Cp(u,V(u),fi) si et seulement si £~ \f(n)\p < +oo.
Comme la seule partie négligeable de (w,V(u),/i) est l'ensemble vide, / G
£00(^.^(^),^) ssi / est bornée. •
E.6.2. Ecrire les inégalités de Hôlder et de Minkowski dans l'espace mesuré
(w,V(w), fi), où fi est la mesure de dénombrement.
Aide. Soit f,g£ M(u,V(u)). En vertu de E.5.2-c) l'inégalité de Hôlder s'écrit
£ l/(»)s(n)| < (f) |/(»)r) ' (E Is(n)l') '
si p, q > 1 sont tels que - + - = 1. Dans le cas p = +00 et q = 1, sachant que

118 6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp
Noo(/) = supn€„ |/(n)|, cette inégalité s'écrit
El/Hff(n)l<sup|/(n)|f>(n)|
o " o
De même, l'inégalité de Minkowski pour p G [l,+oo[ s'écrit
(E i/h+s(n)r) ' < (e i/(")ip) ' + (E i»(")ip) ' ■
et pour p = +oo
-*> sup(|/(n) + fl(n)| < sup |/(n)| + sup |fl(n)| . •
E.6.3. On considère l'espace mesuré ^(01,^(01),1/), où v est la mesure définie
par u(A) = YinçA (n+0»- (Voir E.4.2.) Soit /:u-»R définie par /(n) = y/n.
Montrer que / G Cp(w,V(w),u) si et seulement si p G [1,2[.
Aide. On a Noo(/) = +00. D'autre part, pour tout 1 < p < +00, on a d'après
E.5.2-b) / G Cp(w,V(w),v) ssi £o°(n + l)^-2 < +00. Cette série converge si
et seulement si p < 2. •
E.6.4. Soit / : R — R l'application définie par f{x) = j si x # 0 et /(0) = 0.
Montrer que / g £00(R,B(R), A), mais / G /^(R.BfR),*,,) pour tout a G R.
Aide. Fixons d'après la Proposition 6.2.1 un ensemble N G Afx tel que
Noo(f) = supr€JVc |/(x)|. Comme l'ensemble Nc est dense dans R pour la
topologie usuelle, choisissons une suite (xn) C Nc de réels non nuls, telle que
limx„ = 0. On a alors N^f) > lim„(/(a;n)) = +00.
Les ensembles négligeables pour ia étant ceux qui ne contiennent pas a, on
déduit que #„(/) < |/(a)| < +00. (En fait #„(/) = |/(a)|.) •
E.6.5. Soit (X,B,fi) un espace mesuré, et soit (/„)„€„, C Mt(X,B) une suite
croissante. Montrer que pour tout p G [l,+oo[ on a
a)Np(supn(/n)) = sup„(Np(/n)).
b)tf,ŒT/-) <£?■*«/-)■
Aide. Rappelons que pour tout a > 0 l'application a: G R+ —* *" G R+ est
continue et croissante.
a) C'est une conséquence de Beppo-Levi et du rappel ci-dessus. En
effet, on a /n f supn(/n), donc /£ f (supn(/n))p. D'après Beppo-Levi on a
suPn/(/„rrf/i = /(suPn(/„))'. D'où Np(suPn(/„)) = suPn JV,(/n).
b) En utilisant l'inégalité de Minkowski et une récurrence sur k on obtient
k k 00
NPC£ /„) < E NpU») £ E NrUJ-

6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp 119
et en utilisant le résultat de a) on obtient
*«£/-)< f>,(/-). •
n=0 n=0
E.6.6. Soit (X,B,fi) un espace mesuré, et soit / G M(X,B).
a) Montrer que |/| < N^ /i-p.p..
b) Montrer que
Nc„(/) = sup{aeR+//i({|/|>a})>0} (*)
Aide, a) Soit N G N,, tel que Noo(/) = suPr<JV l/(x)l (vo'r Proposition 6.2.1).
On a ti{{\f\ > Ncoif)} = 0 car {|/| > ^(/)} C N, donc |/| < AU/) ^-p.p..
b) Notons A le second membre de (*). Soit a G R+ tel que /i({|/| > a}) >
0. Comme N G //„, Il existe x e Nc tel que |/(i)| > a, donc AU/) > a. D'où
AU/)>il.
Inversement, si A = +oo l'inégalité dans l'autre sens est vérifiée. Supposons
que A < +oo et soit e > 0 ; on a /i({|/| > j4 + e} =0 par définition de A, donc
W°o(/) < supre{|/|<i,+€j \f(x)\ < A + e. Par conséquent AU/) < A •
E.6.8. Soit (X,B,y) un espace mesuré tel que /i(X) = 1. Soit / G Ci(X,B,fi)
telle que N^(f) = 1, et o tel que f \f\dfi > a > 0. Montrer que
a)/G£,(X,B,/i).
b) Pour tout 0 G [0,1], on a /i({|/| > a/?}) > (1 - /3)2o2.
Aide, a) En appliquant l'inégalité de Hôlder à / et 1*, on obtient / \f\dfi <
fi(X)iN2(f) = fi(X)' < +oo. D'où le résultat,
b) On a
<*<[\f\d»=[ \IW+ I l/l*. (*)
D'après Hôlder on a aussi
/ \IW < N2(/)N2(l{l/,>0„}) = /i({|/| > /to.})* . (**)
D'autre part, on a
/ |/|rf/i </3o/i(X) =/3o . (***)
Par conséquent, en utilisant (*), (**) et (* * *), on obtient a < j3a + /i({|/| >
/?<*})*> donc ,i({|/| > a/?}) > (1 - /3)2o2. •
E.6.8. Soit p,q G [l,+oo] tels que p< ¢.

120 6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp
a) Montrer que pour tout espace mesuré fini (X, B,/i), on a Cq(X, B, fi) C
CP(X,B,»).
b) Montrer que Cp(w,V(w),fi) C Cq(w,V(w),fi), où /i est la mesure de
dénombrement.
Aide, a) Soit / G £ç(w,7>(w),/i). On a |/| < #„(/) /i-p.p. d'après E.6.6-a),
donc si 9 = +oo on a Np(f) < Noo(/)/j(X)' < +oo.
Supposons q < +oo, et soit / G £Ç(X, C,/i). Posons A — {|/| > 1}. On a
(l/|U)p) < M*, donc
j i/r^/i = y \wir+y c i/r^/i < J i/i'rf/i+/i(x) < +oo
car /i(X) < +oo. Par conséquent / G Cp(X,B,iï).
Autre méthode. On obtient ce résultat en utilisant l'inégalité de Hôlder. En
effet, soit 1 < r < +oo tel que ■!■ + - = 1 (r = -*-). On a
/ i/r^ < (/ i/r5**) ' (/ix*)
b) Soit / G £p(w,7>(w),/i). D'après E.6.2 on a £~ |/(n)|f < +oo. Soit n0
tel que l'on ait |/(n)| < 1 pour tout n > no-
On a alors N^f) < sup{|/(0)|,..., |/(n0 - 1)|, 1} < +oo.
Pour q < +oo on a |/(n)|< < \f(n)f pour tout n > n0, donc £~ |/(n)|» <
, +oo, et à nouveau d'après E.6.2 on obtient que / G Cq(u,V{Lo),ii). •
E.6.9. Soit (X,B,fi) un espace mesuré et p,q G [l,+oo]. Soit / G Cp(X,B,fi),
g G C,(X,B,ii), et r tel que i = ± + i.
Montrer que /ff G Cr{X,B.ti) en établissant l'inégalité
AWï) < Np(f)N,(g)
Aide. Etablissons cette inégalité dans le cas où p,q G [1, +oo[. On al = -r +
-4^-, donc d'après Hôlder on peut écrire que N\((fg)r) < Np/r(f)Nq/r(gr).
Donc
Nr(fg) = (N.((/s)r))I/r < {NplrUr))xlr{N,lr{gr))xlr = Np(f)N,(g) .
Si p = +oo et q < +oo, auquel cas r = q, l'inégalité demandée résulte
immédiatement de E.6.6-a). •
E.6.10. Soit (X,B,ii) un espace mesuré fini, et soit / G Mj(X,B). Pour tout
n > 1 on pose A„ = { x G X/ n - 1 < |/(i)| < n }.
a) Montrer que A„ G B pour tout n, et pour tout p G [l,+oo[, / G
Cp(X,B,fi) si et seulement si Y1T "'VC'^n) < +co.

121
b) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur la suite (An)
pour que / appartienne à Coo(X,B,y).
c) Retrouver le résultat de E.6.8-a).
Aide, a) On a |/|f < £T vnAm. En effet, pour tout x G X on a
£f npU.(*) = f. où t est l'unique entier tel que k - 1 < \f(x)\ < k. Il
en résulte que
/l/N/i<f>p/i(A.) (*)
J i
D'autre part, on a £™ n^U. < (|/| + lf, donc
JY.rfX^dmjm + xyd»;
en utilisant l'inégalité de Minkowski on obtient
(£) rf/i(A.)rf/i) ' < (/(|/| + lfd^j ' < Np(f) + M)* (**)
On déduit de (*) et (**) l'équivalence demandée.
b) On vérifie aisément que pour / G Mj(X,B), on a / G Coo(X,B) ssi il
existe no G w tel que fi{An) = 0 pour tout n > no.
c) Le résultat de E.6.8-a) découle immédiatement de a) et b). •
E.6.11. Soit (X,B,fi) un espace mesuré, et soit pi,P2 G [l,+oo[ avec p\ < p2-
Montrer que pour tout p G [pi.Pî] on a l'inclusion
Cpl(X,B,»)nCP3(X,B,») c£p(X,B,/i)
Aide. Soit / G £Pl(X,B,/i)n£PJ(X,B,/i). Soit A - {\f\ > 1}. On a
(\f\UY < \f\" et (\f\U<Y < \ffl, d°nc
J i/r^ = J i/N/i+J y fin < J i/r *v+J i/r *r < +°° -.
Par conséquent / G Cp(X,B,fi).
Autre méthode. Soit a G]0,1[ tel que p = opi + (1 - o)p2. Comme £ et ^
sont conjugués, on a d'après Hôlder
£^(1/1^)^(1/10-°^)
< (/a/rr^)" (JttfP-*)^*)
< +O0 . •

122 6. ESPACES Cp ET ESPACES Lp
E.6.12. Soit (X,B,fi) un espace mesuré fini, avec /i non nulle.
a) Montrer que pour tout p G [1, +oo[ on a
Wp</i(X)ijVoo.
b) Soit / G ^(X.B./i). Pour tout e > 0, on pose /lc = {|/| > N^fi-e}.
Montrer que fi(At) > 0, et que pour tout p G [l,+oo[, on a
(AU/)-e)^))* <*,(/)
c) En déduire que pour tout / G Coo(X, B, fi), on a
^ lim Np(f) = Nao(f)
P — +CO
Aide, a) Soit / G A^X.C). D'après E.6.6-a) on a |/| < AU/) /i-pp-, donc
b) Si l'égalité fi(At) = 0 était vraie, on aurait AU/) < supr^J,_ |/(*)| <
AU/) - £, ce qui est absurde car AU/) < +°°.
On a
1 |/r*i = J |/|prf/i + jf ^ |/|»rf/i > (AU/) - W4) ■
Donc Ar„(/) > (AU/) -e)/i(>lc)'.
c) D'après a) et b), pour tout 1 < p < +oo, on a
(AU/) - -M^)' < Np{!) < /i(X)'AU/)- (*)
Comme 0 ^ f(Ai.) > 0 et fi(X) < +oo, on déduit de (*) que la limite
lim Np(f) existe et qu'elle est égale à AU/)- •
p— +oo
E.6.13. ££ Soit (X,B,fi) un espace mesuré fini. On reprend les notations
de l'exercice E.4.10.
a) Montrer que l'application ip : (B,d) —» C\(X,B,n) définie par ip(B) —
\b est bien définie, et que c'est une isométrie (sur son image).
b) Montrer que si / G <p(B), alors il existe A G B telle que f = 1a /J~P-P--
Retrouver ainsi le fait, établit en E.4.10.d), que (B,d) est un espace
pseudométrique complet.
Aide, a) L'application est bien définie car /i est finie. De plus ip est une bijection
sur son image. D'autre part, pour tout A,B G B, on a Ia&b = \^a — 1bI donc
d(A,B) = N\(Ia — 1b). L'application ip est donc une isométrie.
b) Soit (1a.) C <f(B) convergeant vers / dans Ci(X,B,fi). D'après la
Proposition 6.3.2 la suite (I*.) admet une sous-suite qui converge /i-p.p. vers

6. ESPACES Cp ET ESPACES L,
123
/. D'autre part, pour tout x G X et pour tout n on a 1a„(x) G {0,1}. Donc
pour /i-presque tout ifXooa f(x) G {0,1}. Par conséquent, f = 1a /i-p n
où A = {f=l}.
Soit (A,,) une suite de Cauchy de (B, d). L'application ip étant une isométrie, la
suite ( 1A . ) est une suite de Cauchy dans l'espace complet C i ( X, B, /i), donc elle
converge dans C\(X,B,fi) vers une fonction qu'on peut supposer de la forme
1a, où A G B- Comme v_l est continue, la suite (An) converge dans (B,d) vers
A.»
E.6.14. ££A Soit (X,C,/i) un espace mesuré. Pour toute collection C de
parties de X, on note Sq l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
dans Q des indicatrices d'éléments dans C. On écrira Sq au lieu de Sq.
a) Montrer que Sq r\Ci(X,B,fi) est dense dans Ci(X,B,fi).
b) On suppose que /i est finie et que B est dénombrablement engendrée.
Déduire de a) que Ci(X,B,fi) est séparable.
Aide, a) Soit / £ C\(X,B,fi), et montrons que pour tout e > 0, il existe
s G Sa telle que j££,(X,B,/i) et N,(/- s) < e.
Soit (sn) C (<Sq)+ une suite croissante convergeant simplement vers /+
(Théorème 3.6 11, dans la démonstration de ce théorème on a pris les s„ dans
Sq). On a s„ < f+ pour tout n, et /+ G £i(X,B,/i). D'après le Théorème de
la convergence dominée de Lebesgue, on a limn N\(f+ — sn) = 0.
Soit e > 0. D'après ce qui précède soit Si,S2 G Sq H C\(X,B,iï) tels que
Ni(/+ - si) < e/2 et Ni(/" - s2) < e/2. On a alors
Wi(/- (si - *2)) < Wi(/+- *i) + ^1(/-- *2) < e
b) Fixons V une collection dénombrable de parties de X telle que <t(V) =
B. D'après a) il suffit de montrer que l'ensemble dénombrable Sq est dense
dans Sq. Soit s G Sq non nulle, et soit e > 0. Ecrivons s = Yli qi1b,>
où B, G B et o, G Q pour tout 1 < i < n. D'après E.6.13-a) et E.4.10-
d,l), pour tout 1 < i < n soit A, G a(V) tel que Ni(lB, - 1a,) < ^f, °"
M = max {|o,|/l < i < n}. On a alors £ï" o.l,,, G 5^ et
n n
i i
E.6.15. L'espace de Hilbert L2(X,B.fi)
L'objet principal de cet exercice est de montrer que l'espace Li = L^X, B,fi)
est un espace de Hilbert réel, ce qui signifie (en plus du fait établit en 6.4.1.
que c'est un espace norme complet) que sa norme (|| ■ H2) provient d'un produit
scalaire.
Soit (X,B,/i) un espace mesuré. On note £2 l'espace /^(X.B./i). Soit ■p :
£îx£2-»R l'application définie par v(/.ff) = f fsfy- On désignera aussi par

6 ESPACES Cp ET ESPACES Lp
124
„ l'application $ définie sur L7 x L2 par ¢(/,5)= */,*)<" «t clair que cette
application est bien définie), et on écrira V(f,9) au l.eu de rf/.J).
a) Montrer que ip définit un produit scalaire sur L7, ce qui signifie que
pour tout f,g,h G Ci et a,/J G R, on a
i)v(/,/)>o
2)v(/,/) = 0ssi/ = 0
3)v(/,fl) = v(fl,/)
4) v(«/.fl) = »v(/,S)
5) v(/.S + /») = V(/.S) + V(/, >>)
Noter que \\f\\\ = v(/>/) Pour to"1 f e ^-
b) Montrer que pour tout / G £2 l'application v>(/, ■) est "ne forme linéaire
continue sur Li.
c) Montrer que, pour tout f,g G L2. on a l'inégalité suivante, dite
inégalité de Cauchy-Schwarz
M/,ï)l<ll/lbllïlb.
et que l'égalité à lieu ssi / et g sont colinéaires.
d) Montrer que si f,g G L7 sont tels que ||/ + s||2 = ll/lb + IMI2. alors /
et g sont colinéaires.
Aide, a) Toutes ces propriétés sont des conséquences immédiates de celles de
l'intégrale de Lebesgue et de sa linéarité.
b) Soit (g„) une suite d'éléments de £2 convergeant dans Li vers g.
D'après l'inégalité de Holder on a \ f f(gn - g)d/i\ < ||/||2||s„ — fl||2- Donc
limv(/,S„) = v(/,fl)-
c) C'est l'inégalité de Holder.
Supposons f et g non colinéaires, et montrons que cette inégalité est stricte.
Pour tout x G R on a alors v?(/ - xg,f — xg) > 0. Donc le trinôme en x de
degré 2 donné par \\f\\l - 2xip(f,g) + x7\\g\\l n'admet pas de racine, donc son
descriminant est strictement négatif, ce qui signifie que <p(f,g) < H/H2IHI2-
d) On a ||/ + f ||; = v,(/ + /,/ + ,) = ||/|g + ||fl||2 + 2v(/,fl). Comme
HZ + fllIî = II/II2 + llfflh, on obtient Mf,9) = 2||/||2||ff||2, donc, d'après c), /
et g sont colinéaires. •
REMARQUE. On peut montrer le résultat suivant, qui est plus général que
celui énoncé en c). Soit 1 < p < +00 et (X,B,/i) un espace mesuré. Si
f,S G £p(X,B,/i) sont tels que Np(f + g) = Np(f) + Np(g), et si g 5e 0
/i-p.p., alors il existe a G R tel que / = ag /j-p.p..

#,
Chapitre T
Modes de convergence
Dans tout ce chapitre, on se fixe un espace mesuré (X, B,/i), une suite (/„)
dansR* et /eR*.
7.1. Revue des types de convergence déjà rencontrés.
7.1.1. Convergence uniforme. C.V.U.
On dit que (/„) converge uniformément vers / si
Ve>0 3n0 Vn>n0 VigX \f„(x) - f(x)\ < e
u
Autrement dit sup \f„(x) — f(x)\ —» 0. On note /„ ► /.
x€X "—°°
7.1.2. Convergence simple. C.V.S.
On dit que (/„) converge simplement vers / si
ViGX Ve>0 3n0 Vn>n0 \f„(x) - f{x)\ < £
s
Autrement dit Vi G X \f„{x) - f(x)\ —» 0. On note /„ ► /.
n—»oo
7.1.3. Convergence /i-p.p.. C.V. /i-p.p.
On dit que (/„) converge /i-p.p. vers / si
3N GJV, Vx e Nc \fn(x) - f(x)\ —> 0
n—»oo
s /i-PP-
Autrement dit 3N G A/), fn\Nc ► f\Ne- On note /„ ► /.

126
7. MODES DE CONVERGENCE
7.1.4. Convergence dans £„,. C.V. (£;»)•
Lorsque / et les /„ sont dans £co, on dit que (/„) converge dans £co si
Noo(fn-f) —* 0
n—*oo
U
Autrement dit 3N G .Ar), /ni^c ' f\N^ (c-f- remarque suivant 6.3.1).
Cco
On note /„ » /.
7.1.5. Convergence dans Cp, 1 < p< +oo. C.V. (£p).
Lorsque / et les /„ sont dans Cp, on dit que (/„) converge vers / dans Cp si
n-»oo
On écrit /„ ► /.
Il est clair que
C.V.U. — C.V.S. — C.V /i-p.p.
C.V. (£«,) - C.V. /i-p.p..
Cp /i-p.p.
Si /„ ► / alors il existe une sous-suite (/„„) telle que /„„ ► / (cf.
6.3.2).
I Proposition 7.1.6. Supposons que la suite (/„) soit dans Cp avec
u
p G [l,+oo[ et que /i(X) < +oo. Si f„ ► / alors f G Cp et
<Cp
démonstration. Soit e > 0 et soit no tel que si n > no alors
sup \f„(x) - f(x)\ <
r€Jf lV/i(X)'/P
Pour tout n > no on a :
N,Un-D={ffMn-IT))1"
-Cp
Comme Np(f) < Np{f - /no) + Np(f„c) < +oo : / G Cp et /„ > /. *
REMARQUE. On ne peut pas omettre l'hypothèse /i(X) < +oo. Sur (R, B(R), A),
1 u
soit pour tout n, f„ = Jjlp, ni. Clairement, f„ ► 0 et Vn /„ G £i mais

T. MODES DE CONVERGENCE 127
On a la généralisation suivante du Théorème de la convergence dominée de
Lebesgue :
Proposition 7.1.7. Supposons que la suite (/„) soit dans f,p (p G
fi-p.p.
[l,+oo[J, que f„ ►/ Ç.Mj et qu'il existe g G £+ tel que Vn |/„| <
g fi-p.p. alors f eCp et f„ ► /.
^-P-P-
démonstration. Les conditions Vn \f„\ < g /i-p.p. et /„ ► /
entraînent |/| < g /i-p.p.. Il s'en suit que Np(f) < Np(g) < +00 et donc / G Cp.
On a pour tout n, |/-/„| < |/| + |/„| et donc pour tout n, \f-fnf < (2s)p/i-
p.p.. De plus |/ — /n|p —» 0 /i-p.p.. Comme pour tout n, |/ — f„f G C\ et
(2ff)p G Ci, le Théorème de la convergence dominée de Lebesgue entraîne que
I |/n - /1"^ — 0 et donc /„ . /. *
7.2. Convergence en mesure. C.V. (p).
On dit que (/„) converge en mesure vers f si pour tout n, /„ G M/, / G M/
et pour tout S > 0 lim /i({|/„ - /| > 6}) = 0.
n—*oo
/i
On écrit /„ ► /.
Evidemment, /„ ► / ~ (/„ - /) ► 0 ~ |/„ - /| 0.
Cp /i
Proposition 7.2.1. Soi! p G [1,+oo]. Si /„ ► / alors f„ ► /.
démonstration. Le cas p = +00 résultera de 7.3.2.
Cas p < +00. Fixons S > 0. Posons E„ = {j/„ - /| > 6}. On a / |/„ - /|prf/i >
/£. l/„ - /l^/i > /£. ^rf/i > «"/i(£»)- Comme Np(f„ - f) —^ 0, on a
/i(Ê„) — 0. *
n—*oo
/i
Proposition 7.2.2. Supposons çue /„ ► / alors il ensie une sous-
fi-p.p.
suite (/nj) telle que /nj ► /.
démonstration. Observons que l'on peut construire une suite d'entiers
rij strictement croissante telle que pour tout j, /iN |/nj — /| > —^ >) < --.
/i-p.p.
Montrons que /nj ► /.
Posons A, = {|/nj -/| > Jj-}. On a limyi, ^ Ç\ (J >lt G 0 et fiQimA,) = 0.
En effet >T/i(^) < >T - < +00
et donc /i( (J Ak) < ]£ /4>U) ^ 0
*>] *>i

128 7. MODES DE CONVERGENCE
Soit x ¢. lim At. On a 3jo Vj > jo x £ .4, et donc Vj > j0 \fn, (x) —
/toi < £■
/i-p.p.
Il s'en suit que f„,(x) —» f(x). D'où /nj ► /. *
remarque. On réobtient le résultat 6.3.1 en combinant 7.2.1 et 7.2.2.
Proposition 7.2.3. (Convergence dominée de Lebesgue (bis)) Soti (/„)
une sutte dans Cp (p G [1,+oofJ, / G M/ et g G £+. Supposons que
/i
/„ ► / et que pour tout n \fn\ < g p-p-P- alors f G Cp et
/„ ►/■
démonstration. D'après 7.2.2, il existe une sous-suite (/„,) telle que
/i-p.p.
/„, ► /. D'après 7.1.7, / G Cp.
C-t C,
Montrons que /„ ► /, autrement dit que |/n — f\p ► 0.
Posons k = (2g)p et pour tout n, hn = |/n - f\p. On a k G Cf, et, pour tout
/i
n hn G Ci et h„ < k /i-p.p.. De plus hn ► 0. Il nous faut montrer que
Ci
hn -0.
Soit e > 0.
D'après Beppo-Levi, fi , i kdfi | J kdfi. Soit donc no tel que fi . i fcrf/i =
f kd/i-ft i i trf/i< j Posons ^4 = |t > ij et/i(i4) = o. Onao< +oo.
En effet,
-/i({* > -}) < / li^/ trf/i < +oo.
n0 M n0J/ J{t>j-} J
Par ailleurs, i'(iJ) = /B fcd/i est une mesure finie sur 6 (2.5.9). Il s'en suit que
/ /rf/ii/ kdn= [fd» = 0.
Fixons ni tel que /ft> i W/J < §• On a, pour tout B G 6,
/ trf/i = / trf/i + / trf/i < | + n,/i(B)
JB Jfln)l>ii,) JBn{Kn,} b
Donc, si /i(B) < g|j-, on a /B trf/i < §
Maintenant, soit N tel que si n > N alors /iN/in > „i E .i 1 < r£-
(convergence en mesure de /n vers 0).
On a, pour n > N
h„dfi
I
= f hndfi + f hndfi + f hndfi
•'{"^âî^ïy} J{*-<i£vhA J{h'<2&îïi"A'

7. MODES DE CONVERGENCE 129
■'{'^spfcïj} 3(a+1) Jac
7.3. Convergence p-presque uniforme. C.V. /i-p.u.
On dit que (/„) converge /i-presque uniformément vers / si
Ve >0 3AeB fi(Ac) < e et /„u —^— /u.
^•p-u.
On écrit alors /„ ► /. Evidemment, on a
£oo /i-P-U.
/„ ►/ - /„.- ►/
Proposition 7.3.1. Si les /„ et f sont dans M/, on a ■
/„ ►/ ssi Vo>0 lim/^f (J {|/m - /| > o}J = 0.
démonstration. Posons, pour tout o > 0 et n G u,
£»(<*) = U ti/- -/i^ «}•
Remarquons que la condition Va > 0 limn /i(£?n(a)) = 0 équivaut à la
condition Vfc G w' \\mnfi{En(l/k)) = 0 (exercice).
/i-p.u.
Supposons que Vfc > 1 limn/i(£?n(l/fc)) = 0. Montrons que /n f.
Soit e > 0. Choisissons pour tout k > 1, un m G u; tel que /i(Fnk(l/t)) < ^-.
oo
Posons Et = (J E„k(l/k).
i=i
oo
Il vient /i(£c) < ^ ^(£««,(1/*)) < e et si i G ££, Pour tout '£«' if!
i=i
E„k(l/k) c'est à dire pour tout k G w et tout m > n/t, |/m00 — /Ml < !/'•
u
On a donc /i(Ec) < e et /„|EC ► /J£,c.
•/i-p.u.
D'où /„ >/.
/i-p.U.
Inversement, supposons que /„ ► / et montrons que
Vfc > 0 lim/i(£;n(l/t)) = 0
n
U
Soit k > 0 et e > 0. Soit ^4e G B tel que /i(j4c) < £ et /„| ► /j^c.
Soit n» tel que si m > ni et i £ j4J alors |/m(*) - f(x)\ < l/k. Il vient
oo
U (l/™ - /1 > V*} C A et donc /i(£„(l/*)) < »(Enk(l/k))< n(A<) < t
m—nh
/i
pour tout n > nt. D' ou /„ ► /. 4

130 7. MODES DE CONVERGENCE
Corollaire 7.3.2. Si les f„ et f sont dans Mj :
/i-p.U. /i
/n ►/ - /„ ►/■
démonstration. Immédiat. 4
/i-p.u. /i-p.p.
Proposition 7.3.3. /„ ► / -► /„ ► /.
démonstration. Pour tout leu", soit At G B tel que n(Ak) < l/k et
u
•f"Uj 'W
Posons N = fl.i4/t. Clairement, /i(N) = 0 et si x ¢. N, comme il"existe k tel que
/i-p.p.
a; G jâf, on a /„(i) —> /(*)- On en conclut que /„ ► /. 4
Dans le cas fi(X) < +oo, lorsque les fonctions sont mesurables, on a la
réciproque :
Théorème 7.3.4. (Théorème d'Egoroff) Si ii(X) < +00 et si les f„ et
/ sont dans M./, on a :
/i-p.p. /i-p.u.
/n ►/ - /„ ►/•
démonstration. Elle résulte de 7.3.1 et de :
Proposition 7.3.5. Siii(X) < +00 et si les f„ et f sont dans M; alors :
f„mtf - Va>0 Hm/i((j{|/m-/|>a})=0.
démonstration. Posons, pour tout a > 0 et n G u,
oo
En(a)= \J[\fm-f\>a]
Comme déjà remarqué dans la démonstration de 7.3.1, la condition
Va > 0 lim/i(£'n(a)) = 0 équivaut à
n m
vtew* 1^1^(^(1/^)) = 0.
On a pour tout a; G X :
f„(x) -/-> f(x) ~ 3e >0 VnGw 3m > n |/m(*)- /(*)l > e
OO
« 3e > 0 z G f| E„(c)
c>0 n=0
oo oo

7. MODES DE CONVERGENCE jjj
oo oo
On a donc D =' { x //n(x)/- f(x) }= (J f| F„(l/t).
t=l n=0
Comme £„(1/Jfc) 1 f)„ M1/*) et comme fi(X) < +00, on a ^(£„(1/*)) ^
/i(D„^n(l/t)). H vient:
u-p.p.
- vt>i »(f)En(i/kj)
~ Vfc > 1 lim/i(£:n(l/t)) = 0. *
Corollaire 7.3.6. Si fi{X) < +00 alors /„ ► -► /„ ► /.
7.4. Récapitulation.
Les fonctions dans chaque cas doivent être prisent dans des espaces convenables,
p est dans [l,+oo[ et .. .> signifie qu'il existe une sous-suite vérifiant la
convergence d'arrivée.
C.V. /i-p.p.
t
c.v.00- ^\çm ^ ^^.y.{cp)
C.V./i-p.u. C.V. (£«,)
£p
n
Cas /i finie :
/i p.p.
£,
«.•
•j
/i p.u
• /J
i- »
/i - p.p. ► /i - p.u.

132
7. MODES DE CONVERGENCE
Cas de la convergence dominée :
c.
t; j>%. u
/i - p.p. - /i - p.u.
Les résultats non démontrés sont laissés à titre d'exercices.
Le lecteur étendra, dans le cas où c'est possible, les définitions et résultats de
x
ce chapitre au cas où les /„ et / sont dans R .
Exercices, compléments
E.7.1. 1> Soit l'espace mesuré ([0,1],B([0,1]), A) et la suite d'applications
numériques (/„) définies pour tout n G u* par /n = nlri ai.
A-p.u.
a) Montrer que /„ ► 0.
A-p.p. \
b) En déduire que /„ ► 0 et /„ ► 0.
c) Montrer que Vn f„ G £„, mais que (/„) ne converge pas dans £„,.
d) Montrer que, pour tout p G [l,+oo[ et tout n, /„ G Cp mais que (/„)
ne converge pas dans Cp.
On a donc dans le cadre des mesures finies C.V. /i-p.u. -/-* C.V. (Cp).
Aide, a) Soit e > 0. Soit n0 tel que ^ <£. Posons A =]0, c[. On a A(^4) < £
et /„|,4« = 0^= pour tout n > n0.
b) C'est une simple application de 7.3.2 et 7.3.3.
c) Les /„ étant bornées, en particulier essentiellement bornées, elles sont
donc dans £00. Si la suite convergeait dans £„,, la limite serait obligatoirement
0 A-p.p. en vertu du fait qu'elle converge A-p.p. vers 0. On va contredire la
caractérisation de la convergence dans £oo donnée en 7.1.4. Soit N G N\. Pour
tout n, [£, %]\N ^4 0 (sinon l'intervalle serait de mesure nulle !). On peut donc
construire une suite (in) dans Nc telle que pour tout n G w* f„(x„) = n. On
u
ne peut donc avoir /n|jv« ► 0jjv« et donc (/„) ne converge pas dans £„,.

7. MODES DE CONVERGENCE I33
d) On a f f£d\ = n*1-1 et donc /„ est dans Cp. Si (/„) convergeait dans
Cp, la limite devrait être 0 A-p.p.. On devrait donc avoir J f%d\ > 0 ce
qui est absurde. •
E.7.2. Soit l'espace mesuré (R, C(R), A) et la suite d'applications numériques
(/„) définies pour tout n£u par /„ = l[nn+i|.
s
a) Montrer que /n ► 0.
b) Montrer que (/„) ne converge pas A-p.u..
c) Quelle hypothèse du Théorème d'Egoroff est en défaut ?
d) Montrer que (/„) ne converge ni en mesure, ni dans Cf.
On a donc C.V. /i-p.p. /► C.V. (/i)
Aide. ajAi fixé, on a f„(x) = 0 dès que n > x.
b) Si (/„) convergeait A-presque uniformément, la limite devrait être 0
A-p.p.. Pour e < 1/2 et A mesurable tel que X(A) < e, on a pour tout n,
[n, n+l]V4 ^4 0. On choisit alors une suite (x„) telle que pour tout n, f„[xn) = 1
et donc f„\^c ne converge pas uniformément vers O^c.
c) C'est la condition de finitude de la mesure qui est en défaut.
d) Si (/„) convergeait en mesure (resp. dans Cp), elle devrait avoir pour
limite 0 A-p.p.. Mais, A({/„ > i}) = 1 et f f%d\ = 1 ne tendent pas vers 0
quand n tend vers l'infini. •
E.7.3. Soit l'espace mesuré (R, B(R), A) et soit la suite de fonctions numériques
(/n)n<i définies sur R par, pour tout n < 1, /„ = ^l[o,n\-
u
a) Montrer que /„ * 0.
b) Montrer que pour tout n > 1, f„ est dans Cp mais que (/„) ne converge
pas dans Cp pour tout p G [1, +oo[.
On«a donc C.V. (u) /. C.V. Cp.
Aide, a) La convergence uniforme vers la fonction nulle est évidente.
b) On a pour tout n, /n mesurable positive et f fndX = 1. Si (/„) devait
converger dans C\, la limite serait 0 ce qui est impossible. •
E.7.4. «fr Enonçons à priori une petite propriété des entiers naturels facilement
vérifiable : pour tout entier n > 1, il existe deux entiers positifs ou nuls, uniques,
Pn et Qn tels que n = 2P" + qn et qn < 2P'. Bien entendu les p„ parcourent tous
les entiers et p„ —» 00 quand n —► 00.
Soit l'espace mesuré ([0,1[, 6([0,1[), A) et la suite de fonctions numériques (/„)
définies sur [0,1[ par pour tout n, /„ = 1, . . +lr (suite de Rademacher)
l2^T' 2P' i

134
7. MODES DE CONVERGENCE
(/l = 1[0,1[, fi = l[0,l/2[» /3 = 1[1/2.1[. A = l[o,l/4[i—)•
A
a) Montrer que /„ ► 0.
b) Montrer que la suite (/„) est dominée dans £1, c'est à dire, il existe
g G £1 telle que pour tout n, |/„| < g.
c) Montrer que (/„) ne converge pas A-p.p..
Dans le cadre "dominé" et fini, on obtient C.V. (fi) /» C.V. (/i-p.p.).
Aide, a) Les fonctions en jeu sont évidemment mesurables. Pour tout 6 > 0
et tout n, on a {/„ > 6} C [^-, 9"^ [ et donc 0 < A({/„ > «}) <
\.2p* ' 2p* L 2P'
b) Les /„ sont dominées par 1[0 ,[ qui est dans Ci.
c) Pour tout x G [0,1[, lim/„(i) = 1 et Hm/„(a;) = 0. En effet, pour tout
p il existe q unique tel que x G —, —-— et il est clair que pour np = 2P + q,
on a f„r(x) = 1 et f„r+i(x) = 0. Il s'ensuit que (/„) ne peut converger A-p.p.. •
E.7.5. Vérifier que les contre-exemples de E.7.1, E.7.2, E.7.3 et E.7.4 suffisent
à justifier les non-implications dans les diagrammes de 7.4.
E.7.6. <fr Etudier les modes de convergence des suites (ff,,„)n>i définies par,
pour tout n > 1 et tout q G [0,+oo], gtt„ = n-«l[0n| (avec la convention
+fe=°etè = +°o).
Aide. Pour q G [0, +oo[, n « | 0. Il s'ensuit que g,t„ ► 0 et g,t„ ► 0
(car les sÇi„ sont dans £&,)■ De plus, pour tout p G [l,+oo[, f g?nd\ = n «
et cette suite tend vers 0 ssi q < p ; et donc (ff,,„) converge dans Cp ssi q < p.
s
Lorsque q = +00, on a g+00,n = l[o.n]- Clairement, s+oo|n ► l[o,+oo[ n»15
(fl+oo,n)n "e converge ni uniformément, ni en mesure, ni dans £oo, ni dans Cp
pour tout p G [1, +oo[. •
E.7.7. Uk Soit (X,B,fi) un espace mesuré fini. Une suite (/„) dans MAX,B)
est dite de Cauchy en mesure si
V« > 0 Ve > 0 3n0 Vm,n > n0 /i({|/m -/„!>«})< e.
a) Montrer que si (/„) tend en mesure vers / alors elle est de Cauchy en
mesure (noter que les /„ et / sont automatiquement dans M.(X,B)).
b) m Réciproquement, montrer que si (/„) est une suite de Cauchy en
mesure, alors il existe / G MAX,B) telle que /„ ► /.
c) 1) Montrer que si /„ ► / et /„ ► g alors / = g /i-p.p-

7. MODES DE CONVERGENCE 135
/i
2) Inversement, montrer que si /„ ► / et si g G MAX,B) avec f = g
/i-p.p., alors /„ ► g.
d) Montrer que si /„ ► / et gn ► g alors
Va,/? e R o/„ + /3g„ ► af + Pg; |/„| ► |/| ; si / = 0 /i-p.p.
K-^—P; /nfl-^/s; Il-^P; /»y»-^-/y.
Aide, a) Pour tout n, m, on a |/m — /„| < |/m — /| + |/ — /„|, donc pour tout
« > 0, {|/m - /| < «/2} D {|/ - /„| < «/2} C {|/m - /„| < «} et donc, par
passage au complémentaire, pour tout S > 0 et tout n, m,
{l/m - /| > 6/2} U {|/ - /„| > «/2} D {|/m - /„| > «}. (*)
Soit 6 > 0 et £ > 0. Comme (/„) converge en mesure vers /, soit no tel
que si n > no, /i({|/n — /| > ^/2}) < e/2. On a pour tout m, n > no,
/i({l/m - /ni > «}) < /i({l/m -/| > «/2}) +/i({/„ -/| > «/2}) < £ en
appliquant (*) et la sous-additivité de /i.
b) 1) Pour S = 1/2 et e = 1/2, soit ni tel que, pour tout n > m,
/4{l/n-/n,l>l/2})<l/2.
Supposons choisis ni < n? < ... < n; tels que, pour tout k = 1,2,... ,j et pour
tout n > nt, /i({|/„ - /„J > 1/2*}) < 1/2*. Pour S = l/2>+I et e = l/2>+',
choisissons nJ+t > n; tel que pour tout n > n;+i, /i({|/„ — fnJ+A > l/2,+l}) <
1/2'+'.
On obtient donc par cette récurrence une suite (fnj ) qui vérifie en particulier :
pour tout j,
/i({l/nJ+I-/„J>l/2J})<l/2J (**)
2) Posons Bk = Uj>t{|/„ - fn,\ > 1/2'} pour tout k > 1. On a Bk 1 et
KBt) < J2T=t ll2' = V2 < +°° et donc /i(l"lBt) = hm/i(Bt) = 0.
Montrons que (/„,) converge /i-p.p. sur X. Fixons x G (T\Bk)c. Soit fco te'
que i G Bïo. On a donc, pour tout j > k0, \f„1+l(x) - f„t{x)\ < 1/2' Pour
j' > j > ko, on a
j'-i
Ceci permet de voir que (/„ (x)) est une suite de Cauchy dans R Soit f(x)
sa limite. En posant f(x) = 0 si x G nB„, on fabrique ainsi une application /
qui est dans MAX,B) comme étant limite simple des f„} sur (r\Bn)c. Comme
/i-p.p. /i-p.u
fnj ► /, d'après le Théorème d'Egoroff, /nj ► / (/i est finie), en
/i
particulier d'après 7.3.2, f„t ► /.
/i
3) Il reste à montrer que /„ ► /. Fixons S > 0 et e > 0. Soit j tel que
1/2' < min(«/2,e/2) et /i({|/nj -/| > «/2}) < e/2. En appliquant (*) et (**),

136 7. MODES DE CONVERGENCE
on obtient pour tout n > n,
Ki\f« - /1 > «» < Ki\f« ~ /nj > «/2}) +/1({|/BJ - /1 > «/2})
< Md/n - /Bj| > 1/2'}) + /i({|/n, - /1 > «/2}) < 1/2' + e/2 < e.
c) 1) Soit p£ w*. En appliquant (*), on obtient pour tout n,
{l/-fll>;}C{|/-/„|>^-}u{|s-/„|>i}
P 2p 2p
et donc 0 < /i({|/- j| > i}) < /i({|/ - /„| > £}) +/i({|fl - /„| > £}).
En faisant tendre n vers l'infini, on obtient /i({|/ — ff| > £}) = 0. Comme
{l/*ïl # 0} = LCL.ll/-yl > '-} et donc / = g /1-p.p..
2) Fixons « > 0. Posons /1 = {/ = g}. On a /1 G B et /i(^c) = 0. Il vient
/4(1/» - si > S}) = /i({|/„ - si > «} n .4) = ,1((1/,, - /| > «} n A) =
. /4(1/- - /1 > «}) — 0t donc /„ —^— fl.
n—*oo
d) 1) On remarque que les af„ + j3g„ sont dans MAX,B).
Pour a = 0, la suite (o/„) converge en mesure (point n'est besoin de
convergence pour (/„)!). Pour a ^4 0, soit S > 0. On a /i({|a/„ — o/| >
*}) = Ki\fn - /1 > </l«ll) — 0 et donc o/n -^— a/.
n—»oo
De même, pour tout 6 > 0 et tout n, on a en appliquant (*)
(l(/n + ft.) - (/ + S)l > «} C (|/„ - /| > «/2} U {|s„ - si > «/2}
donc 0 < ,1((1(/,, + y„) - (/ + fl)| > S}) < ,i((|/n - /| > «/2}) + ,i((|yn - g\ >
«/2}) —' 0 et donc /„ + g„ ► f + g.
n—*oo
Le cas général en résulte.
2) Résulte de 0 < p((||/„| - |/|| > 6}) < p({\f„ - /| >«})—* 0 pour tout
n—»oo
«>o.
3) En vertu de c-1), /„ —^— 0. Soit S > 0. On a 0 < /i({|/*| > «}) < /i({|/„| >
vê}) —' 0 et donc /jj > 0. Comme /2 = 0 /i-p.p., en appliquant c-2),
n—*oo
/i
on obtient que /2 » /2
4) Remarquons, puisque les g„ et s sont dans MAX,B), que nn{|s| > n} i 0
et donc /i((|s| > "}) 1 0 (/i est finie)
Soit S > 0 et e > 0. Soit ni > 1 tel que /i((|sl > m}) < e/2. Soit n0 tel que
pour tout n > n0, /i({|/n ~ /I > ^/ni}) < e/2. Pour n > no on a
Ki\sfn-gf\>6}) =
= /i({ls/n-s/l>«}n{|fl|<n,}) + ^({|fl/„-fl/|>«}n{|fl|>n,})
</i({|/n-/l>«/n,}) + ^((|s>n,|})<e.

7. MODES DE CONVERGENCE I37
5) On a (/„ - /) —^ 0.
D'après 3), /2 - 2ffn + /2 = (/„ - /)2 -JL.0.
D'après 4), 2//„ —^— 2/2 et donc 2//„ - 2/2 —^— 0.
D'après 1), /„2-/2 = /2-2//n+/2+2//„-2/2 -JL. Oet donc /2 -^- /2.
6) Ecrire f„g„ = ^(/n+s„)2 — 5/2 — 5S2 et appliquer les résultats antérieurs. •
E.7.8. &<fr Soit (X, B, /i) un espace mesuré fini. On définit d : Mj x Mj —> R
par
(la formule a un sens car la fonction à intégrer est dans Mb)-
a) Vérifier que
- pour tout a,b > 0, ^ < ^ + ^ (*)
- a; —> yqfj est croissante (**).
b) Montrer que d est une pseudo-métrique sur Mj et que rf(/, s) = 0 ssi
d
/ = S /J-P.-P- (on note /„ ► / pour d(fn,f) —-.
n—*oo
V d
c) Montrer que dans Mj, f„ ► / ssi /„ > /.
Aide, b) On a évidemment d(f,f) = 0 et d(f,g) = d(g,f).
Montrons l'inégalité triangulaire : soit f,g et h G Mj. On a
I l + \f-h + h-g\~
= rf(/,/.) + rf(/.,5).
On a rf(/,s) = 0 ssi / 7¾¾ = 0 ssi ^I1,; = 0 /i-p.p. ssi / = g /i-p.p..
c) Supposons que /„ ► /. Soit e > 0. Soit S > 0 tel que ^j < e/2
et soit n0 tel que pour tout n > n0, /i({|/„ — /I > *}) < e/2- On a pour tout

138
7. MODES DE CONVERGENCE
n > n0,
f 1/,-/1 = f !/■-/! , f !/■-/!
y 1 + l/n - /1 J{\J.-J\>6) 1 + l/n " /1 7(1/.-/1^1} 1 + l/n - /1
</*({l/n-/l>«}) + /YTI<e-
d
Inversement, supposons que /„ ► /. Soit ê > 0. On a
o<i<{i/.-/i>«})<^/ ï^L
* j(i/.-/i>«) 1 + i/"-/i
<l±±l "■-■" -.g.
x - « y i+i/»-/i—~
E.7.9. ♦♦♦ On reprend le cadre de l'exercice E.7.7. On considère l'espace
pseudo-métrique {MAX,B),d) constuit à partir de l'espace mesuré fini
(*,B,/i).
a) En utilisant l'exercice E.7.7, montrer que (M/, d) est un espace
pseudométrique complet, que M/(= M//~) est exactement le quotient de M/ par
~<l et que donc (M/, d) est un espace métrique complet.
b) Montrer que Ci est dense dans (Aij,tj).
c) En identifiant de manière naturelle le quotient 3 = {1a /A£B }/~
avec un partie de M/ (on confond la classe de 1,4 dans { 1* / j4£ B } avec la
classe de 1^ dans M/), montrer que B est fermé dans (M/,r<i) (voir E.6.13).
d) Montrer que la topologie tNi de Ci est moins fine que la topologie
induite sur Ct par tj (en fait en général strictement moins fine).
e) On suppose B dénombrablement engendrée. En s'appuyant sur l'exercice
E.6.14, montrer que (M/,Ti) est séparable. En déduire que (M/,rr) est
séparable.
f) Montrer que la réciproque de e) est fausse.
Aide, a) Soit (/„) une suite de Cauchy dans (Mj, d). Montrons qu'elle est de
Cauchy en mesure. Soit S > 0. On a
T^-MUfrr, ~ /„| >«})</ ÏTfF^M **
1 + * J{\J--1.\») 1 + l/m - /ni
< f \fm~fn\ ■ r q
~ J 1 + l/m - /ni m.n-oo
D'après E.7.7-b), (/„) converge en mesure vers une fonction / et d'après E.7.8-
c), elle converge vers / dans (M/,d). Il s'ensuit que (M/,d) est complet
D'après E.7.8-b), la relation ~ (l'équivalence /i-p.p.) sur Mj est identique à la
relation ~<f et donc les quotients sont identiques. Par conséquent, d'après 6.1,
l'espace (Mj,d) est un espace métrique complet.

7. MODES DE CONVERGENCE
139
b) Soit / G (M\, d). Posons /„ = / A n. On a /„ f /. Comme /i est finie,
/i
les /„ sont dans C\ et /„ ► / (7.3.6). D'où (/„) tend vere / pour d
Pour / G M/, on écrit / = /+ — /~.
c) D'après E.6.13, si une suite (/„) est dans B= {1A / A£ B] et converge
/i-p.p. vers une fonction / de M/ alors / est égale /i-p.p. à l'indicatrice d'un
ensemble mesurable. Si la suite (/„) dans B converge vers / dans (Mj, d) alors
il existe une sous-suite (/„„) qui converge /i-p.p. vers / (7.2.2). Il s'en suit que
/ est égale à une indicatrice /i-p.p.. Ceci signifie que B est fermé dans (Mj, d).
d) Cela résulte de l'inégalité
dU,s)=JT^f^-^<J\f-g\d^ = Nl(f-g) = dNl(f,g).
e) On sait d'après E.6.14, que dans ce cas, (£i,rjv,) est séparable. Soit T
une partie dénombrable de C\ dense dans OCi.rjv,). Soit / G £i et soit (/„)
-Ci
une suite de T convergeant vers / pour rjv,. Autrement dit /„ ► /. Soit
/i
(/„„ ) une sous-suite telle que f„k ► /. Il s'ensuit que / est adhérente à T
pour t& et donc T est dense dans C\ pour tj. En vertu de b), on obtient que
T est dense dans (Mf,Tt). L'espace (Mf,TÎ) est donc séparable.
Par continuité, le quotient (Mj, r~) est séparable.
f) Soit X plus que dénombrable, B = { A / \A\ < No ou \AC\ < N0 } et,
fi{A) = 0 si A est dénombrable et t*(A) = 1 sinon. Les éléments de Mj sont
contants /i-p.p.(E.3.1-b)). Il est facile de voir alors que l'ensemble des fonctions
constantes à valeurs dans les rationnels est dense dans {Mj, d) mais la tribu B
n'est pas séparable (E.2.13-f),Aide).
remarque. Sur l'espace mesuré fini (X, B,fi), on pose
<*Uff) = mf{ 6 >0 /Ki\f-S\ >«}) < i }
pour tout f,gÇ.M/
On montre que d' est une pseudo-métrique sur Mj vérifiant d'(f,g) = 0 ssi
d' • /i
/ ~ g et /„ ► / ssi /„ ► / Il s'ensuit que r^ = rj et donc les
propriétés topologiques de (Mj.Tj) sont les mêmes que celles de \Mj,Ti).
On montre aussi que l'espace pseudo-métrique (Mj,d') est complet (et donc
l'espace métrique (Mj,d') aussi) •
E.7.10. && Soit (X,B,/i) un espace mesuré. Soit (/„) une suite dans Ci,
/i-p p.
/ G Mj et g G C\ tels que /„ > / et pour tout n, |/„| < g /i-p.p..
/i-p.U.
Montrer que /„ ► /.
/i-p.u.
Aide. Le problème revient à montrer que g„ = \f„ — /| ► 0. En modifiant
les fonctions sur un ensemble négligeable convenable, on peut supposer que

140 7. MODES DE CONVERGENCE
g„ ► 0 et que gn < 2g pour tout n. Fixons 6 > 0. On a U„{g„ >
i] C {2j > 6} et /i({2j > 6}) < 1/«/{2j>4) 2jrf/i < +oo. Il s'en suit que
s
U„{s„ > 6} est de mesure finie. En outre, Ui>„{st > S} 1 0 car g„ ► 0.
On a donc /i(Ui>„{ffi > 6}) —» 0, ce qui est exactement la convergence
— n—»oo
/i-presque uniforme des /„ vers 0 (7.3.1). •
E.7.11. H Soit (X,B,fi) un espace mesuré. Soit (/„) et / dans C*(X,B,n)
tels que /„ - / et f fnd/i —> f fd/i.
n—oo
Montrer que /„ ► / (on pourra chercher à montrer que (/ — /n) —' 0).
Aide. Pour tout n, (/ - /„) G £i et donc (/ — /„)+ G Ci. Comme / > 0 et
/„> 0, on a (/-/„)+ = (/-/„)V0</V0 = /.
Soit S > 0. On a {(/ - /„)+ > S} C {|/ - /„| > S} donc 0 < /i({(/ - /„)+ >
«}) < /i({l/ - /ni > «} —" 0 et donc (/ - /„)+ -JL. 0.
n—*oo
D'après le Théorème de la convergence dominée de Lebesgue (bis), on a
(/-/n)+ ►O
D'après l'hypothèse, J"/n —» f f et donc J"(/ — /„) —» 0. Il s'en suit
que /(/ - /„)- = /(/ - M+- /(/ - /„) — 0. On âXs /1/ - /„| =
n—*oo
/(/ - /n)+ + /(/ - /n)" — 0 et donc /„ —U /. .
n—*oo
E.7.12. MtJlt Dans cet exercice, on pourra utiliser les propriétés 1) et 2) de
E.5.11-C).
Soit (X, B, /i) un espace mesuré et p G [1, +oo[. Soit (/„) dans Cp et / G Cp. On
/i-p.p.
suppose que /„ ► / et Np(f„) —> Np(f) On veut établir la convergence
n—»oo
de la suite (/„) vers / dans Cp (autrement dit Np(fn — f) —> 0).
n—*oo
a) Etablir cette propriété dans le cas où Np(f) = 0.
b) On suppose Np(f) = Np(fn) = 1 pour tout n.
Soit e > 0
u
1) Montrer qu'il existe A G B tel que ii(A) < +oo, f„^ ► /j^ et
Ix\a l/lP^ < (e/3)P
2) Montrer qu'il existe ni tel que pour tout n > m, fx. A \fn\pdfi < (e/3)p.
C-P
3) En déduire que f„ f.
c) En déduire le cas général.
Aide a) Si NJf) = 0 alors / = 0 /i-p.p. et donc NJfn - /) = Np(f„) —- 0.
n—*oo
b) Rappelons les propriétés de E.5.11 évoquées plus haut :

7. MODES DE CONVERGENCE
141
(*) Ve > 0 3A e B !i(A) < +oo et JAC \f\dy. < e.
(**) Ve > 0 3« > 0 VA e B /i(>l) < S - j, |/|rf/i < e.
1) En utilisant (*), soit Ai G B tel que /i(i4i) < +oo et / l/fd/i < 5(e/3)f.
En utilisant (**), soit 6 > 0 tel que pour tout B £ B avec /i(B) < ¢,
iB i/r* < 5(e/3)P-
Comme j4i est de mesure fini, on peut appliquer le Théorème d'Egoroff à la
suite (/n)*,) qui converge /i-p p. vers /jAl. On obtient donc qu'elle converge
/i-presque uniformément vers /1,4,- Soit donc B G BC\ Ai tel que fi{B) < 6 et
u
/n|04,\B) /|(A,\B)- En posant i4 = i4, \B, onaX\A = (X\A,)UB et
on obtient /„M —^— /M et /^ l/prf/i = /B l/N/i+J^,,, |/M/i < (e/3)'.
2) L'ensemble A étant de mesure finie, la convergence uniforme de la suite
(/„|x) entraine sa convergence dans Cp(A,B 0 A,fi) d'après 7.1.6. Donc
Np(fn\A - I\a) n-^ 0. On en déduit que Np(f„{A) —^ A/^/jx) (en apph-
quant l'inégalité de Minkowski) et donc fA \f„\pdfi —> fA \f\pdfi. Il s'ensuit
que fXXA \fnYin = l-fA |/„|prf/i n— 1 - JA \ffZi = fXXA \ftir (car
Np(fn) = N*{f) = 1). Mais alors, comme fXXA \ffdti < (e/Sy, il existe un
rang ni tel que pour tout n > ni, fx.A \fn\rdfi < (e/3)p.
3) Soit n2 tel que pour tout n > n2, Np(f„\A - f\A) < e/3. Pour tout
n > n0 = max(ni,n2), on a en appliquant l'inégalité de Minkowski, Np(f„ —
f) < HfUn\A - /M) + Np(fr,KX\A)) + N,VKX\A)) < C/3 + (fXXA |/„|'rf/l)* +
(fx\A\f\PM'<£-
c) Le cas Np(f) = 0 a été résolu plus haut Supposons donc Np(f) ^ 0
On peut aussi supposer que pour tout n, Np(f„) jt 0 (puisque cela est vrai à
partir d'un certain rang). Posons g = T7777 et pour tout n, g„ = " . On
/J-PP-
a alors Np(g) = 1 et Np(g„) = 1 pour tout n. Clairement, gn > g, car
par hypothèse, NJf„) —> NJf). Donc d'après b), Np(g„ —g) —> 0. Mais
n—»oo n—co
alors, on montre aisément que f„ = Np(f„)g„ ► Npff)g = /. •
E.7.13. M Théorème de Vitali
Soit 1 < p < +00 et (X,B,fi) un espace mesuré. Soit (/n)n€^ une suite
d'éléments de CP(X, B, fi) convergeant /i-p.p. vers une application / G Mj.
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
a) La suite (/„) converge dans Cp(X,B,fi) vers /
b) 1) Pour toute suite (A„) d'éléments de B telle que lim,, fi(An) = 0, on a
lim / \ft\pdfi = 0 uniformément en k
" Ja.

142 7. MODES DE CONVERGENCE
2) Pour tout e > 0, il existe A G B tel que fi{A) < +oo et
/ \fk\pdl* < e pour tout k
JA'
Aide Supposons la condition a) vérifiée et montrons b).
1) Soit (A„) C B une suite telle que \\mfi(An) = 0, et soit e > 0. Fixons un
entier A' tel que l'on ait
( / \h ~ fV^j ' <e'/2 pour tout k > N (*)
D'après E.5.11-C.3), soit n > 0 tel que si A G B est tel que fi(A) < ij, alors
{Ja ^^) ' < £'/2
et
\fk\pdfi < e pour tout k < N
L
Soit no tel que fi{An) < n pour tout n > no-
Pour n > no, on a
/ Wty < e pour tout k<N,
Ja.
t et pour k > N, en utilisant l'inégalité de Minkowski, on obtient aussi
{Ja IAr*) ' " (/ 'A " -^1^^) ' + {Ja ^^ ' < ^
2) Soit e > 0. Comme pour 1), on fixe un entier N tel que l'on ait (*), ensuite,
en s'appuyant sur E.5.11-C.2), on considère A G B vérifiant fi(A) < +oo et tel
que l'on ait
(/j/lP^)'<£/2 (*•)
et
\fk\pdfi < £ pour tout k < N
L
On vérifie alors, en utilisant l'inégalité de Minkowski, que l'on a 2).
Réciproquement, supposons la condition b) vérifiée, et montrons a). On montre j
d'abord que / G Cp. Pour cela, on va montrer que la suite (|/n|,>) est une suite |
de Cauchy dans l'espace complet £1(^, B,/i). Comme toute suite qui converge
dans Ci admet une sous-suite convergeant /i-p.p. vers la même limite, il en
résultera que \f\p G £i(X,B,iï), donc que / G £p(X,B,fi).
Soit £ > 0. Soit AÇ.B vérifiant le condition 2) de b).

7. MODES DE CONVERGENCE 143
La suite (l/nl*) converge /i-p.p. vers \ff, donc, d'après la Proposition 7.2.2,
sa restriction sur A est une suite de Cauchy en mesure (voir E.7.7). Posons
' B„,m = {\\f„f - l/ml'l > —^—-}. D'après la condition 1) de b), fixons un
H(A) V 1
entier N tel que l'on ait pour tout n, m > N
I.
|/t|prf/i < e pour tout i£u
B.,„
Soit n, m > N. On a
Nd\fn\>-\un<
f \\fn\"-\WW+ f \\I«r-\Im?\iv+l WW-UmVW
<5e.
Donc la suite (|/n|p) est une suite de Cauchy dans Ci.
Il reste à montrer que (/„) converge dans Cp vers /. Soit e > 0. Soit A G B
vérifiant la condition 2) de b) et vérifiant de plus fA, \f\pdfi < e (ceci est
possible, en utilisant E.5.11-C.2).
La suite (|/n — /|*) converge /i-p.p. vers 0, donc sa restriction sur A converge
en mesure vers /. Posons B„ = {|/„ — /|p > —-}. Soit N un entier tel
que pour tout n > N, on ait à la fois
/.
l/p-rf/i < £
B.
et
\fk\rdfi < e pour tout iGu
/..
Ce qui est possible d'après la condition 1) de b) et E.5.11-C.3).
Soit n > N. On a
N,U« -f)<
(J i/n-/iprf/i)'+Q^ i/n-/r**)'+(Jb^i/--/r^)' < 5£*
Par conséquent (/„) converge dans Cp vers /. •
E.7.14. H Soit (X,B,n) un espace mesuré, et soit (/„) une suite d'éléments
de M/(X, B) convergeant en mesure vers / G Mj(X, B).
a) Soit <p:H—*R une application continue. Montrer que la suite (ip o fn)
converge en mesure vers f a / dans chacun des cas suivants :
1) tp est uniformément continue,
2) 444 Pour tout e > 0, il existe un réel M, > 0 et A, G B, tels que /i(j4J) < £
et supAi \f(x)\ < M, (en particulier, si / G £oo(A\B,/i) ou si / G £i(X, B, /i)).

144
7. modes de convergence
b) On suppose que /i est finie. Soit n G u*, et pour tout 1 < k < n, soit
(/*)„, une suite d' applications dans Mj convergeant en mesure vers /*, Soit
if une application continue de R" dans R.
1) Montrer que (y(/t,... i7?))t&, converge en mesure vers ¥>(/',...,/"). En
déduire les résultats de E.7.7-d.
2) Montrer, en donnant un exemple, que dans b-1) il ne suffit pas de supposer
que /i est seulement c—finie.
Aide, a) 1) Soit e > 0, et soit ij > 0 tel que |x — y| < ij implique que
M*) ~ V>(y)\ < £• On a alors p({\V o/„ - <p o /| > e}) < p({|/„ - /| > ,,}).
2) Supposons que (<p o f„) ne converge pas en mesure vers ip o f. Fixons e > 0
et une sous-suite (ip o /nk) de (<p o /n), tels que l'on ait
K{\v°fn* —<P°f\ ^£}) >£ pour tout tGw (*)
Soit M > 0 et A G B, tels que /i(j4c) < e/3 et sup,, |/(i)| < M. On construit
une sous-suite (/„„ ) de (/„,,) vérifiant que
/j({l/nkj - /1 > e}) < 3 2J+T P°ur tout ie«
Posons A. = nj€„{|/„àj -f\ < e}. On av(A't) < £, p({\fnhj -f\ > e}) < e/3
et \f„k (x)\ < M + e pour tout x G A, C\ A et pour tout j G w. D'après la
continuité uniforme de la restriction de >p à [M — e, M +e], fixons un réel ij > 0
tel que l'on ait
{\f ° /nkj - f ° /1 > e} C Ac U Ac, U {|/nkj - /| > ij} pour tout jG«
Enfin, soit jo un entier tel que l'on ait /i({|/m, — /| > »?}) < e/3, pour tout
i > Jo-
Pour (tout) j >jo, on obtient
f{\f°U, -P°f\>e}< »(AcUAlu {\Ut -f\> v}) < e,
ce qui contredit (*). Par conséquent, (<p o /n) converge en mesure vers <p o f.
b) 1) Posons V"t = ¥>(/J, •--,/?) et V> = ¥>(/\- •-,/")- Supposons-que
(V>t) ne converge pas en mesure vers V>- Soit e > 0, et soit (^t ) une sous-suite
de (t/>t) telle que
^({IV'tj — V"l >e} > e pour tout ;'£u (*)
Soit (ji)i une suite strictement croissante d'entiers, telle que pour tout 1 < : <
n, la suite (/£. ) converge /i-p.p. vers / (le nombre des suites étant fini, ceci est
possible d'après la Proposition 7.2.2). L'application ip étant continue, la suite
(il>k, ) converge /i-p.p. vers t/>. Comme /i est finie, d'après le Corollaire 7.3.6,
la suite (V"i,- ) converge en mesure vers t/>, on peut donc trouver un entier j
vérifiant /^({IV'tj — ^| > e} < e, ce qui contredit (*).
Par conséquent, (V>/t) converge en mesure vers t/>.

7. MODES DE CONVERGENCE
145
2) Soit tp : R —» R une fonction continue, non uniformément continue.
Choisissons e > 0 et deux suites de réels (an)n>o et (i„)„>o, avec (i„) injective,
telles que l'on ait pour tout n G w
K - U < - et \<p(an) - <p(bn)\ > e
n
Posons X = {b„/n G w}. Considérons l'espace mesuré (^'.^'(A'),^), où /i est
la mesure de dénombrement. On définit une suite (/„) par /„(i„) = a„ et
fn(x) = x si x ^4 bn, et / par f(x) = x pour tout x G X. On vérifie aisément
que (/„) converge uniformément vers / (et donc converge en mesure vers /),
et que (<p o f„) ne converge pas en mesure vers tp o /. •

Chapitre O
Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue
8.1. Construction de l'intégrale de Riemann
On se fixe un intervalle / = [a, b], —oo < a < b < +00.
Fb(I) = ?b représente l'espace vectoriel des fonctions réelles bornées définies
sur /.
Une subdivision de / est un sous-ensemble fini A de / tel que a, £ € A.
On pose A = A — {b}. Si x G A, on désigne par x+ le successeur de x dans A
(muni de l'ordre induit par celui de R). On pose I? = [x, x£] pour tout x G À
On désigne par V{I) = V l'ensemble des subdivisions de /.
Soit / G Tb, A G V On définit les sommes de Darboux :
M(/,A) = ]T sup/(!)(*$-x)
r€A
tel?
m(/,A)=]T mf/(!)(*$-x)
Clairement, on a M(/, A) > m(/, A).
On dit que / € Fb{l) est Riemann integrable (sur I) si
Ve>0 3Aeî>(/) M(/,A)-m(/,A)<e
L'ensemble des fonctions Riemann intégrables se note 72(/) = 72.
Exercice. Montrer que toute fonction monotone sur I est Riemann integrable
sur I.

148 8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
Montrer que toute fonction / continue sur I est Riemann integrable sur I (on
utilisera le fait que / est uniformément continue sur I).
On va définir l'intégrale de Riemann d'une fonction Riemann integrable sur I
Lemme 8.1.1. Soit A, A' G V(I) telles que A C A' alors
m(/, A) < m(/, A') < M(/, A') < M(/, A).
démonstration. Supposons que A' \ A soit un singleton {f i}, les autres
cas s'en déduisant par récurrence.
Soit «o = max{ t G A / t < (, }. On a (l0)+ = (*i)+' et (l0)+' = «i-
"»(/. A) =£"£/(«)(*?-*)
= £ »&/(«)(*?-*)+inf/(0((«otf-«o)
~ <€/A I€/,A
r€A-{l„) °
= £ inf, /(«)«'-*)+ M /W((«o)î -«.)+ mf /(00. -«o)
- ««* 'e/A. ,e/A,
r€û'-{«o.«.}
< £ inf, /M(*+ "*)+ inf, /W((«i)î-«i)+ i^, /W((«o)î'-«o)
~ «€/A l€/,A <€/,A
= m(/,A').
La démonstration de M(/, A') < M(/, A) est similaire. A
Lemme 8.1.2. Soit A, A' e V(I). On a :
» m(/,A)<M(/,A').
démonstration. On a A C A U A' et A' C A U A'. D'après le Lemme
8.1.1, m(/, A) < m(/, A U A') < M(/, A U A' < M(/, A') *
Théorème 8.1.3. Soit f e ^(1). On a
7, d= sup m(/, A) < inf M(/, A) =f 72
Si / esl Riemann integrable alors 71 = 72 = 7.
On pose :
rb
f-
' = f f(x)dx
Ja
et on dit que 7 est l'intégrale de Riemann de f sur I.
DÉMONSTRATION. Elle résulte immédiatement de 8 1.2. A
On supposera connues les propriétés de l'intégrale de Riemann. En particulier,
si / est continue sur [a,b], la fonction x —> / f(t)dt est une primitive de /
Ja
sur [a,b].

8. INTEGRALE DE RIEMANN ET INTEGRALE DE LEBESGUE
140
8.2. Rapport entre l'intégrale de Riemann et l'intégrale de
Lebesgue
Dans ce qui suit, / = [a.b] avec —00 < a < b < +00.
Théorème 8.2.1. Soit f g K(I) alors/ g Ci([,B(I)x,X)r\Mb([,B(I)x)
et
f fdX= f f(x)dx
J[a,b\ Ja
démonstration. Suivant les notations de 8.1.3, soit (An) une suite
croissante dans V(I) telle que 71 = limm(/, An) et 72 = limA/(/, An).
n n
Comme par hypothèse / G 7Î(/), on a 71 = 7¾ = £ f(x)dx = HmM(/, An) =
limm(/,A„).
n
Posons /in = V* sup f(t)l,*.. gn= S2 inf /(i)1.a.
r€û„ e * r€û.
Clairement, pour tout n, /i„,s„ G S(I,B(I)) et /i„ > s„.
Soit M G R+ tel que Vi £ f l/MI < M (/ est bornée car par définition
72(/) C ^i(O)- 0n a donc Pour to"1 ". I*nl < 2M et Iffnl < 2M. La suite
(/)„) est décroissante et la suite (ffn) est croissante. On en conclut qu'il existe
s s
/i,jG Mb{I,B{I)) tels que h„ ► h et g„ ► g avec h>g.
s
On a /i„ - s„ . h - g et pour tout n, |/i„ - gn\ < 4M et h„ - g„ G
A4t(/, 6(/)). Il résulte du Théorème de la convergence dominée de Lebesgue
iue /kmC1» - Sn)rfA —- /[«.tjC» - s)rfA-
Comme /[o t)(/i„ - g„)dX = M(/, A„) - m(/, A„) —- 0, on a /[a t,(/i -
fl)dA = 0.
De h > g, on tire alors h = g A-p.p.
Comme h < f <g A-p.p., on obtient h = f A-p.p. d'où / G Mt(I,B(I)x)-
., , s .
Les propriétés h„ ► h et Vn, \h„\ < 1M et h„ G Mb{I,B(I)) entraînent,
toujours d'après le Théorème de la convergence dominée de Lebesgue, que
h G £i(/,0(/), A) et M(f, A„) = /[fl_„ MA -^ /[fl_„ ArfA.
Comme M(/, A„) —- /o* /(x)<fx, on obtient /o /(i)rfi = /[a t, /irfA.
Comme /1 = / A-p.p., on a / G £i(/,£?(/)>, A) et
/ fdX= f hdX = f hdX = f f(x)dx. *
J[a,b\ J[a,b) J[a,b\ Ja
REMARQUES. 1) On ne peut avoir 7J([a,i]) C Mh([a,b], B([a,b])). En
effet, soit A un sous-ensemble non borélien dans l'ensemble de Cantor. On
montre que /= 1,4 est Riemann intégrable sur [0,1] d'intégrale nulle mais que
/ ¢£,((0,11,6((0,1])) (exercice).

150 8. INTEGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
2) L'inclusion 7J([a,i]) C £i([a, i],C([a, i])>, A) est stricte comme le montre
par exemple la fonction lQn[a,tl-
On peut affiner le résultat du Théorème 8.2.1 :
Théorème 8.2.2. (Lebesgue). Soit l = [a,b] et f G T^l). On a ■
f .st Riemann intégrable ssi I\{ x £ I / f est continue en x } G N\.
DÉMONSTRATION. On définit /* et /. dans T\, par, pour tout x Ç. I
/*(*) = inf sup /(0
c>° l€lr-c,r+c[n/
"* /.(*) = sup inf /(!)
c>0 l€]r-c,r+e[n/
Il est clair que /. </</*. De plus / est continue en x ssi f,(x) = f{x) =
f*(x) (exercice).
Reprenant les définitions de (An), (hn) et (g„) de la démonstration de 8.2.1, en
supposant de plus que sup A(A?") —> 0 (ce qui ne nuit pas à la généralité),
~ ' n—»oo
r€A»
on obtient h = lim/in = /* A-p.p.. En effet, posons N = UAn. Evidemment,
X(N) = 0. Soit xe I\N. Soit e > 0. Soit S > 0 tel que
sup f(t)>f-(x)> sup /(0-e (1)
t£\x-6,x+l[ te]x-«,x+«[
Soit no tel que si n > no A(/,A") < S/2. Pour tout n, soit l'unique t„ G A„
'tel que are /£".
On a Vn a; G]t„, (<n)+" [• Il s'en suit que, pour tout n > no, /£* C]x—S, x+S[
et donc, pour tout n > n0
sup /(0 > sup /(0 = hn(x) > f'(x) (2)
l€]r-«,r+«[ ,€/i«-
(1) et (2) montre que Vn > n0 \h„(x) - f'(x)\ < e.
On en conclut que pour tout x G I\N h„(x) —> f'(x). D'où h = f* A-p.p .
On montre de même que g = f. A-p.p..
En résumé, pour / G Fb(I) '■ f G ft(/) ssi h = g A-p.p. ssi /' = /.
A-p.p ssi {x Ç. I / f non continue en x } G A/>. A
8.3. Intégrale de Riemann généralisée
Soit / un intervalle non vide de R. Posons a = inf / et j3 = sup / (o et /3 G R).
Soit / une fonction à valeurs réelles définie sur I. On dit que / est Riemann
intégrable sur I si / est Riemann intégrable sur J pour tout intervalle J
fermé, borné inclus dans I et si
lim / f(x)dx existe dans R.
dans

8. INTEGRALE DE RIEMANN ET INTEGRALE DE LEBESGUE 151
Dans ce cas, la limite est notée / f{x)dx et on dit qu'elle est l'intégrale
« a
généralisée de / sur /.
Clairement, si I est un intervalle fermé, borné, la notion d'intégrabilité au sens
de Riemann sus-décrite pour une fonction bornée sur l, coïncide avec la notion
antérieure et l'intégrale généralisée est égale à l'intégrale de Riemann.
Proposition 8.3.1. Soit f définie sur un intervalle I.
Si f est Riemann tntégrable sur / alors f est B([)x -mesurable.
Si de plus |/| est Riemann tntégrable alors
/e£,(/,B(/)>,Â)e« j f(x)dx=ffdX.
DÉMONSTRATION. Elle est aisée et laissée au lecteur. 4
remarques. 1) Lorsque / est Riemann intégrable sur /, si a„ | a et b„ ] P
dans I, on peut écrire
/ f(x)dx = lim / f(x)dx
Ja " Ja.
mais cette limite peut exister sans que / ne soit Riemann intégrable sur I.
Par exemple, l'identité Id n'est pas Riemann intégrable sur R et cependant
linv, /"n Id(x)dx = 0.
2) La fonction / peut être Riemann intégrable sans être Lebesgue
f sin X 3T
intégrable. En effet, / = — (on utilise le calcul des résidus) alors que
Jo x 2
L
sinil „
\d\ = +oo.
+ ■ x '
Exercices, compléments
E.8.1. Fonctions réglées
Soit a < b deux réels et / = [a,b]. On note T\, l'ensemble des fonctions
bornées définies sur / et à valeurs dans R. L'application qui à / G T\, associe
ll/H = sup7 |/(x)|, est une norme sur Ti,- Rappelons aussi que (^i, || • ||) est un
espace de Banach.
Une fonction / G T\, est dite étagée, s'il existe une suite finie a = x0 < ... <
x„ = b telle que / soit constante sur ]x,,xl+i[ pour tout £ = 0,...n — 1. On
note £ l'ensembles de ces fonctions. On désigne par He l'adhérence de £ dans
?h- Une fontion / G 72e est dite réglée.
a) Montrer que 72 = 72(/), l'ensemble des fonctions Riemann intégrables
sur /, £ et 72e sont des sous-espaces vectoriels de T^.

152
8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
b) Montrer que Mb(I,B(I)) est fermé dans (^i,|| • ||). En déduire que
KeCMb(I,B(I)).
c) Montrer que 72 est un sous-espace fermé de Tt,. En déduire que 72e C 72.
d) Montrer que l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction réglée
est dénombrable. En déduire que l'inclusion 72e C 72 est stricte.
e) Montrer qu'une fonction / définie sur I, appartient à 72e si et seulement,
/ admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point de I (en a
(resp. en b) f admet toujours une limite (non unique) à gauche (resp. à droite)).
En déduire que les applications définies sur I qui sont continues, ou monotones,
sont réglées. En particulier, toutes ces fonctions sont Riemann intégrables.
Aide...Pour toute / G Th, on note Dj l'ensemble des points de discontinuité
de/.
a) Clairement E C Fb- Soit / G 72e, et soit g G E telle que ||/ — ff|| < 1.
On a alors sup|/(z)| < 1 + sup|s(z)| < +oo, donc / G Tt,. On vérifie aussi
aisément que £ et 72e sont des espaces vectoriels sur R.
On peut montrer directement à partir des définitions que 72 est un sous-
espace vectoriel de T\, (par définition, on a 72 C ?h)- On peut aussi le faire en
s'appuyant sur le Théorème 8.2.2. Soit /, g G 72 et soit a G R. On a f+ag G ^i,
et Dj+ag CD;U Dg, donc Dj+ag G N\. On en déduit, d'après le Théorème
8.2.2, que/ + ag G 72.
b) Soit (/„) une suite de fonctions mesurables bornées convergeant
uniformément vers /. On a évidemment, / G ^i et / est mesurable, donc
feM(i,B(i))b.
1 D'sutre part, les fonctions en escalier sont mesurables bornées. Il en résulte,
puisque toute fonction réglée est limite uniforme d'une suite de fonctions en
escalier, que 72e C Mh(I,B(I)).
c) Là aussi, on va s'appuyer sur le Théorème 8.2.2. Rappelons que si une
suite de fonctions sur I continues en x G l, converge uniformément, alors la
fonction limite est continue en x.
Soit (/„) une suite d'éléments de 72 convergeant uniformément vers /. On a
alors / G Th et Ds C U„D/„, donc Ds G N\. Donc, d'après le Théorème 8.2.2,
on a / G 72.
Comme f C 72, on obtient 72e C 72.
d) Soit / G 72e, et soit (/„) une suite de fonctions en escalier convergeant
uniformément vers /. On a Dj C Un Dj^, et comme l'ensemble des points de
discontuité d'une fonction en escalier est dénombrable (en fait, fini car I est
borné), l'ensemble Dj est dénombrable.
Pour montrer que l'inclusion 72e C 72 est stricte, il suffit, en vertu du Théorème
8.2.2, de donner une fonction dans T\, telle que Dj soit négligeable, non
dénombrable (par exemple, pour I = [0,1], l'indicatrice de l'ensemble de Cantor
est une telle fonction).
e) Rappelons la propriété suivante des intervalles fermés bornés (Lemme
de Lebesgue).

8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
153
Si U est une famille d'ouverts de R telle que I = \JU, alors il existe une
subdivision a = t0 < ... < t„ = b de /, associée à la famille U de la façon
suivante : pour tout 0 < i < n — 1 il existe U Ç.U vérifiant [l,-,l,+i] C U. «
PREUVE : Soit J l'ensemble des éléments t G I pour lesquels il existe une
subdivision A( de [a,t] associée à la famille U. L'ensemble majoré J est non
vide, car a G J. Notons c sa borne supérieure, et montrons que c = b. Fixons
J7o G U tel que c G Uq. Supposons que c < b, et soit s < c < t < b tels
que [s, t] C U0. Si A, est une subdivision de [a, s] associée à U, la subdivision
Ac U {<} de [aj] est associée à U ; donc I Ç J, ce qui contredit le fait que
c = sup J. Par conséquent, c = b.
Notons C l'ensemble des fonctions définies sur I, et admettant une limite à
gauche et une limite à droite en tout point de /. Montrons que C C Th- Soit
/ G C. Pour tout x G /, x £ b (resp. x ^4 a), on note /(i+) (resp. /(*-)) la
limite à droite de / en x (resp. la limite à gauche en x).
L'application / est bornée. En effet, sinon il existerait une suite (x„) C / telle
que lim/(z„), = +oo (si, par exemple, / n'est pas majorée). Comme / est
compact, soit (x„k) une sous-suite de (xn) convergeant vers x G /. Comme
R est totalement ordonné, on peut supposer, en considérant une sous-suite de
(xnh) si c'est nécessaire, que xnh < x pour tout t, ou que xnh > x pour tout
k. On aura alors /(*-) = +00 ou f(x+) = +00, ce qui est absurde.
Soit / G C et e > 0, et montrons qu'il existe <p G £ telle que \\f — (p\\ < £. Pour
tout x G /, soit Vz un ouvert de R contenant x vérifiant les conditions
l/(y) - f(x+)\ < £ pour tout y G Vz n /n]i,+oo[
l/(y) - /(*-)l < £ pour tout y G Vz n /Q}- 00, x[
Pour tout a; G /, on définit sur /PlVi une fonction <px, en posant y>z(z) = f(x)
et
Vz{t>-\ /(*_) sil<*
Une simple vérification permet de voir qu'on a sup/nl/ |/(l) — y>z(f)l < c pour
tout x G /. Soit a = <o < ... < ln = i une subdivision de / associée à la
famille (Vx), et pour tout 0 < i < n — 1, soit x, G / tel que [<;,(,+1] C Vx,.
On définit y> sur / par <p(tt) = /(«,) pour tout 0 < i < n, et y>(<) = ¥>r,(0 s'
< G]'i,'i+i[- L'application <p est bien définie, c'est une fonction en escalier, de
plus elle vérifie ||/ — <p\\ < e.
Inversement, on a £ C £, donc pour montrer que 72e C £, il suffit de montrer
que C est un fermé de (JFh, \\ ■ ||) (on a déjà montré que C C ^"t).
Soit / G C. Soit a; G I et montrons que / admet une limite à gauche en x. Pour
cela il suffit de montrer que pour toute suite (x„) C / vérifiant limx„ = x et
x„ < x pour tout n, la limite lim„ f(xn) existe et que cette limite ne dépend
pas de la suite (x„).
Soit (x„) une telle suite, et montrons que (/(*;„)) est une siùte de Cauchy dans
l'espace métrique complet R.
Soit e > 0, et soit <p G C telle que ||/ - y>|| < §. Soit N un entier tel que
|y>(a;n) — v(xm)| < § pour tout n, m > N. On a alors pour tout n,m> N
\f(x„) - f(xm)\ < |/(*„) - ¥>(*„)! + |V(x„) - f(xm)\ + \9(xm) - f(xm)\ < £.

154 8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
Soit (y„) une autre suite vérifiant y„ < x pour tout n, et convergeant vers x.
Posons Z2n = x„ et Z2n+i = Vn- La suite (z„) converge vers x et vérifie z„ < x
pour tout n, et admet (xn) et (yn) pour sous-suites. D'après, le raisonnement
précédant, on obtient lim„ f(xn) = lim„ /(z„) = lim„ /(yn)-
On montre de la même manière que / admet une limite à droite en tout point
de /. Donc / G C.
Il est clair que les fontions continues ou monotones, définies sur I, admettent
en tout point de I une limite à droite et une limite à gauche. •
E.8.2. Fonctions à variations bornées
On reprend les notations de E.8.1. Une fonction / G R1 est dite à variations
bornées s'il existe a € R tel que pour toute subdivision A de I, on a
V(/, A) =£l/(*+)-/(*)!<<*
On note Vj l'ensemble des fonctions à variations bornées sur I. On définit
V : / G Vb - R+ par V(f) = sup{V(/, A)/A G V(I)}.
a) Montrer que V& est un sous-espace vectoriel de Th, et que V définit une
une semi-norme sur W
b) Soit f,g G IV Montrer les propositions suivantes :
1) V(\f\) < V(f) et |/| G V».
2) V(fg) < \\g\\V(f) + \\f\\V(g) et fg e Vt.
c) Soit || • ||„ : Vt — R+ l'application définie par ||/||„ = ||/|| + V(f).
1) Montrer que que (Vj, || ■ ||„) est un espace de Banach.
2) Montrer que pour tout f,g G H, on a ||/s||„ < H/IMMI»-
d) Montrer que £ C V& C He. En particulier, les fonctions à variations
bornées sont Riemann intégrables.
e) 1) Montrer que si / est une application monotone définie sur I, alors
/eV*etV(/) = |/(i)-/(a)|.
2) Donner un exemple de fonction continue définie sur I, n'appartenant pas à
Vb. En déduire que Ue \ Vt £ 0.
f) Montrer que si (/„) est une suite d'éléments de V& convergeant
simplement vers /, et s'il existe a G R tel que V{f„) < a pour tout n, alors / G W
Aide, a) Soit f,g G Vb et 0 G R. Pour tout x G /, on a \f(x)\ <
\f(a)\ + \f(x) - f(a)\ < |/(a)| + V(f) < +oo. Donc Vb C T*. On vérifie aussi
que V(f + g) < VU) + V(g) et V(0(f) = \P\V(f). Donc Vh est un sous-espace
vectoriel de T\,-
On a V(f) = 0 si et seulement si / est constante.
Par conséquent, V est une semi-norme sur W
b) Soit f,g G Vb. L'inégalité V(\f\) < V(f) résulte de l'inégalité ||i|-|y|| <
\x — y\ pour tout x, y G R.

8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
155
Soit A G V(I). On a *
V(fg, A) = £ \f(x$)g(x$) - f(x)g(x)\
< £ l/(*+W*+) -/(*Î)«MI + £ l/(«ÎM«)- /W»(*)|
r€A r€A
<ll/l|V(ff) + llffl|V(/)
DoncK(/s)<||/||K(fl) + ||fl||K(/).
c) On vérifie facilement que la somme d'une norme est d'une semi-norme
est une norme, donc || • ||„ est une norme sur Vj. Montrons que cet espace
norme est complet. Soit (/„) une suite de Cauchy dans V&. C'est aussi une
suite de Cauchy dans (/"t,|| • ||), donc elle converge uniformément vers une
fontion / G Ty,. Montrons pour conclure que / G Vb et que lim||/n — /||„ = 0.
Soit £ > 0. Fixons un entier N'te\ que l'on ait ||(/„ — /m)||i, < 5, pour tout
n, m > N. Ceci implique qu'on a aussi ||/ — /„|| < | pour tout n > N.
Soit A G V(I). On a
Y, i(/- - ^-)(*+) - </» - /»)(x)i ^ |
En utilisant le fait que la suite (/„) converge simplement vers /, on obtient
£
3
£ |(/-/w)(*î)-(/-/*)(*)! <e
r€A ^.
La subdivision A étant quelconque, on obtient K(/—/jv)< §• Donc/ — /# G
Vi, et par suite / G IV
D'autre part, pour tout n > A', on a
ll/-/nl|.<||/-/w||+l'(/-/w) + ll/w-/nl|.<e
pour tout n, m > N. Donc lim ||/ — /n||„ = 0.
Soit /, g G Vj. D'après b), on a
ll/fll. = Il/Sll + V(fg) < ||/|||s|| + \\f\\V(g) + \\g\\V(f) < ||/|Ulf II.
d) Si / G £, alors V(/) < 2£re/(/) |x| < +00, donc S C Vt.
Soit / G V&, et montrons que / G 72e. Pour cela nous établissons que / admet en
tout point de I une limite à gauche et une limite à droite, il en résultera, d'après
E.8.1, que / G 72e. Soit x G [",!>[. Supposons que /(x+) n'existe pas. Il existe
alors une suite décroissante (xn) C / convergeant vers x, et un e > 0 tels que
\f(x„) — f{x„+i)\ > £ pour tout n. On obtient alors EJ |/(x,-+i) —/(x,-)| > ne
pour tout n. Donc V(f) = +00, ce qui est absurde. Par un raisonnement
analogue, on montre que /(x_) existe pour tout x G]a, b].

156 8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
e) 1) Soit / une application monotone définie sur I. Soit A G ~D(l)- Si /
est croissante, on a
/(*) - /(a) < VU, A) = £ |/(«î) - (/x)| = Y, (/(«+) - (/(*))
Donc K(/) = /(*)- /(a).
Si / est décroissante, alors —/ est croissante. Donc on a V(f) = K(—/).
REMARQUE. D'après a) toute fonction bornée sur I qui s'écrit comme différence
de deux fonctions croissantes, est à variations bornées. On a aussi la réciproque.
En effet, on peut montrer que toute fonction à variations bornées s'exprime
comme différence de deux fonctions croissantes.
2) Posons I = [0,1] (le cas général se déduit de ce cas aisément). La fonction
continue / définie sur / par f(x) = xsin — si x ^ 0, et /(0) = 0, n'est pas
x
à variations bornées (on construit une suite décroissante (xn) C l vérifiant
Km-ni/(*-+i)-/(*)!.= +«>).
D'après E.8.2, toute fonction continue est réglée, donc l'inclusion Vt C He est
stricte.
f) Soit A une subdivision de I. Soit e > 0, et soit A' un entier tel que
\/n(x) - f{x)\ < — pour tout x G A
Ceci est possible car A est un ensemble fini. On obtient alors V(f—fN, A) < e.
Donc V(f, A) < V(Sn, A)+e < V(/n)+£. La subdivision A étant quelconque,
l on obtient V(f) < a + e. •
E.8.3. Soit (X, B, /i) un espace mesuré. Soit F : X x R une application vérifiant
les conditions suivantes "
1) Pour tout t G R, l'application F(.,t) : X —■ R appartient à Mj(X,B).
2) Il existe g G £+(X,B,/i) telle que |F(x,i)| < g(x) pour tout (x,i) G X x R.
3) Il existe «o G R tel que, pour tout x G X, limi_i0 F(x,t) = F(x,t0).
a) Montrer que F(.,to) G Ci(X,B,fi), et que
\n£JF(.,t)dv = J F{.t0)dti
b) On suppose en plus que pour tout x G R, l'application F(x,.) : R —► R
est continue. Montrer que l'application définie de R dans R, qui à t associe
JF(.,t)dfi, est bien définie, et que c'est une application continue.
Aide, a) C'est une conséquence du Théorème de la convergence dominée. En
effet, soit (<„) une suite d'éléments de R convergeant vers <o- On a |F(., t„)\ < g
pour tout n, de plus, la suite (F( ,!„)) converge simplement vers F(.,to). Par
conséquent, F(.,to) G Ci, et
\\mjF(.,tnW = jF(.,t0)d» (♦)

8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE 157
La proposition (*) est vraie pour toute suite (<„) convergeant vers <o, on en
déduit que limj_(<1 /F(.,l)<f/i = JF(.,to)dfi.
b) Soit u € R Pour tout x G X l'application F(x,.) est continue en
u, donc lim(_u F(x, t) existe dans R. Cette application est donc bien définie.
D'autre part, toujours d'après a), on a limj_u $ F(.,t)dfi = f F(.,u)dfi. D'où
la continuité. •
E.8.4. Soit (X, B, /i) un espace mesuré. Soit F : X x R une application vérifiant
les conditions suivantes :
1) Pour tout * G R, l'application F(.,t) :X-*R appartient à Mj(X,B).
2) Il existe i0 G R tel que F(.,t0) G C\.
3) Pour tout iGXIa fonction F(x,.) : R —► R est dérivable.
4) Il existe / G Cf(X, B, /i) telle que |F,'(x, s)\ < /(x) pour tout (x, s) e X x R.
a) Montrer que F(., l) G Ci pour tout t G R.
b) Montrer que l'application qui à t G R associe f F(.,t)dfi, est définie de
R dans R, et que c'est une application dérivable.
c) Montrer que la dérivée de l'application définie en b) au point s G R est
donnée par f F{(., s)dfi.
Aide, a) On applique le Théorème des accroissements finis. Soit u G R
Supposons que <o < " (l'autre cas se traite de la même manière), et soit
s G [*o,u] tel que F(x,u) - F(x,t0) = (u - t0)Fi(x,s). On a alors F(x,u) -
F(x,t0) + (u — to)Fftz,s), comme F(.,t0) et Fft.,s) sont dans Ci, on a
F(.,u)eCi.
b) et c) Soit s G R. Soit («„)„> i une suite convergeant vers s (avec tn ^ s
pour tout n > 1) et posons
F(x,tn)-F(x,S)
UX)= —.
La suite (/„) converge simplement vers F/( ,s). D'autre part, en utilisant le
Théorème des accroissements finis, on obtient |/n(x)| < /(x) pour tout n. Par
conséquent, d'après le Théorème de la convergence dominée, on obtient
/F'(.,t0)dv = lim //„,*, = limin,t,)-fF(.,S) (+)
J n J n t„ — S
L'égalité (*) étant vraie pour toutes les suites («„)„> i convergeant vers s (telles
que *„ ^ *o pour tout n > 1), on en déduit que l'application définie en b) est
dérivable, et que sa dérivée au point s G R est donnée par f F,(., to)dii. •
E.8.5. Produit de convolution
Soit f,g G Mj(R, B(R)). Soit * G R- On définit deux applications <pt, ¢, . R — R
par tp,(x) = f(t - x)g(x) et ^i(x) = f(x)g(t - x).
On pose / * g(t) = Jtptd\ et g * f{i) — J^tdX, chaque fois que ces intégrales
existent.

158
8. INTÉGRALE DE RIEMANN ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
a) Soit i G R. Montrer que les applications ft,4>t '- R —► R sont
simultanément integrables, et que dans ce cas leurs intégrales sont égales, c'est
àdire/*fl(0 = S*/(0-
b) Soit /,s,/i G X/(R,B(R)), et soit a G R- Montrer que / * (g + h) =
f*g+f*hetf* (ag) = o/ * g, chaque fois que ces fonctions sont définies.
c) On suppose que f et g sont continues, et que g est nulle en dehors d'un
intervalle borné [a, b]. Montrer que g * f est une application définie de R dans
R, et que c'est une application continue.
Aide, a) Soit I £R. Notons d'abord que les applications <pt et V"i appartiennent
à A4/(R,B(R))- Pour répondre à la question, on va montrer que J\ifit\dX =
/ |^i \dfi. Pour cela nous nous appuyons sur les résultats de E.5.4.
Soit h : R —► R l'application définie par h(x) = t — x.
Montrons que la mesure image A/, est la mesure A. Soit A € B(R). On a
h~l(A) = -A + i, où -A - {-x/x G A}. Donc Xh(A) = X(-A). En
utilisant la règle E.T., ou encore la Proposition 9.2.1, on montre sans peine
que A(B) = A(—B), pour tout B G B(R). Par conséquent A/, := A.
D'autre part, on a y>( o /i = V>i, donc \ip,\o h = \tp,\. D'après E.5.4-a), on a
j \9t\dX = j \9t\dXh = J\9t\ohdX=J \k\dX
Les applications <pt et V"i sont donc simultanément integrables, et un calcul
similaire montre que dans ce cas leurs intégrales sont égales.
b) C'est une conséquence immédiate de a).
c) Nous montrons que l'application f * g est définie en tout point de R,
et que c'est une application continue, il en résultera, d'après a), qu'il en est de
même pour l'application g * /.
Pour tout t G R, on a /|/0 - x)\\g(x)\dfi(x) = f[aM\f(t - x)\\g(x)\dfi La
restriction de l'application <pt à l'intervalle borné [a, b] est continue, donc d'après
le résultat établit dans E.5.12, <pt est intégrable. Par conséquent, l'application
f * g est bien définie.
La continuité de f*g résulte du Théorème de la convergence dominée. En effet,
soit i G R et soit (<n) une suite convergeant vers i. Posons f„(x) = f(t„ —x)g(x).
Les applications f et g étant continues, la suite (/„) converge simplement
vers <pt. D'autre part, on a |/„(i)| < M|sl[aiji(a;)| pour tout i € R, où
M = supy€C |/(y)| avec C = -[a,i] + ({l„/n G ù] U {«})•
Par conséquent
f*g(t) = Km / /(«„ - x)g(x)dA = lim / * g(tn)
" J n
Donc / * g est continue. •

Chapitre %)
Génération d'une mesure
9.1. Mesures extérieures
Soit X un ensemble.
Une mesure extérieure sur X est une application v : V(X) —► R+ telle que
1) K0) = o,
2) ACB^ v(A) < v(B),
3) v(\JAn\ <^2v(A„) (sous-c-additivité).
n n
Une partie A est dite f-mesurable si
VBg7>(X) v(B) = i>(Br\A) + v(Br\Ac)
En vertu de 3), A est i/-mesurable ssi
VBeV(X) v{B)>v{BnA) + v{Br\Ac).
Proposition 9.1.1. Soit v une mesure erfe'neure sur X alors Bv =
{ A G V{X) I A est v-mesurable } est une tnbu sur X et V = v\b„ es' une
mesure sur Bw. De plus, l'espace mesuré (X,B„,V) est complet
démonstration. 1) On a 0 G B„ et \M EB„ Ac eBu.
2) Soit i4i,i42 G Bu. Montrons que A\ HA? G Bv (et on aura A\ \JAi G S*
en vertu de 1)).
Soit B G V(X). On a en vertu de la f-mesurabilité de Ai et Ai et la sous
c-additivité de v :

160 9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
v(B) > u{B n Ai) + v{B n A\)
> v{B n Ai n A2) + v{B n Ai n Al) + v{B P[A\r[ A2) + v{B P[A\P[ A\)
> u{B n a, n yt2) + v(b n [(>i, n Ai) u (a; n /t2) u {A\ n ,45)])
= v(B n (i4i n /I2)) + v(B n (,4, n Arf)
3) Soit (i4„) une suite dans Bv 2.2-d- Posons A = U„A Montrons que AÇ.BU
Soit B G 7>(X). Comme ^4, G B„, on a
i/(B n (i4, U A-i)) - u((B n {Ai U j42)) n i4,) + v({B n (i4, U A-i)) n i4{)
= *<Brii4i) + *<Bni42)
Par récurrence, on obtient pour tout n :
n
v(b n u?=I^,) = 52 i/(B n >!,)
1=1
Donc, pour tout n :
v{B) >^(Bnur=,A)+"(Bn(ur=,A)c)
> ET=i "(# n ^i) + "(£ n ,4e)
d'après la croissance de v et le fait que Vn U"=iA, G Bw.
oo
D'où v{B)>'%2v{Br\A,) + v{Br\Ac)>v{Br\A) + v{Br\Ac) d'après la
i=I
sous-c-additi vite de v. Donc j4 G Bv.
Il s'en suit que v{B) = 5Z"_, i/(B 0/1,) + i/(B f"l /1e). En prenant B = A, on
oo
obtient i/(j4) = Y^ "C^i)-
i=i
4) Le fait que Bw soit une tribu résulte de la formule
U„>lh=Un(>ln\U.<n>l.).
En posant v = i/|Bi/, on a donc que (X, Bv, V) est un espace mesuré.
5) Montrons que (X, Bw,v) est complet. Il suffit de montrer que Vj4 G
V{X) v{A) - 0 — A G C„- Soit A G 7>(X) tel que v{A) = 0. On a pour tout
B G V{X) :
v{B HA) + v{B n Ac) = v{B n Ac) < v{B)
d'où A G B„. *
9.2. Prolongement d'une mesure, le Théorème de Carathéodory
Soit X un ensemble et A une algèbre sur X. Rappelons qu'une mesure /i sur
A est dite c-finie s'il existe {A„) dans A telle que Vn /i(4J < +°° et
U„A„ = X. On a dit dans ce cas qu'une telle suite {An) est associée à /i et on
a remarqué que l'on pouvait prendre {A„) 2.2.d. ou croissante.

9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE jgj
Proposition 9.2.1. Soit X un ensemble, A une algèbre sur X et u
une mesure <r-fime sur A. Soit p\ et /i2 deux mesures sur tri A) fia tritu
engendrée par A)- Si /iijx = /i^a = I1 alors /ii = /i2.
DÉMONSTRATION. Soit (A„) croissante associée à/i.
Si on montre que Vn /ii|ff(>)nx» = (^|»H)nA.i on a ^OIB aisément /i, = /i2.
En effet, soit A G <t{A). Comme A = U„(j4„ H A) = lim„ ] A„ CI A et comme
/il et /i2 sont deux mesures, il vient
fii{A) = lim/i,(,4n CI A) = l\mii2(A„r\A) = fi2(A).
n n
On peut donc supposer /i finie.
Soit B = { A G c(.4) / /ii(/l) = nt(A) }. Clairement, ><CB.
Montrons que B est une famille monotone. Soit (B„) une suite croissante (resp.
décroissante) dans B. On a
/i,(UB„) = lim/i,(£0) = lim/i2(B„) = /i2(UBn)
n n
(resp. /i,(nB„) = lim/i,(B„) = lim/i2(B„) = /i2(nB„))
n n
car /ii et /i2 sont deux mesures finies.
En utilisant 2.6.2, on a donc B = <t(A). D'où /ii = /i2. 4
REMARQUE. Si /i est finie (resp. o-finie), il en est de même de fi\ et /i2. La
réciproque, pour le cas o-fini est fausse en général (exercice).
Théorème 9.2.2. (Carathéodory) Soit X un ensemble, A une algèbre
sur X et ii une mesure sur A-
Soit /i* : V(X) —► R+ définie par
oo
ti*(A) = inf{ y l*(A„) I (A„) suite dans A avec A C UA„ }.
n=I
Alors
• /i* est une mesure extérieure sur X avec /ij^ = /i,
• c(.4) ce,,..
• ^MA) est un prolongement de /i en une mesure sur o(A) (notée Jl et
appelée extension de Carathéodory de la mesure \i).
Si /i est <T-finie alors (<r(A))~ = S,,- et Jl est l'unique extension possible
de \i en une mesure sur ff(-4)-
DÉMONSTRATION. 1) Montrons que /i" est une mesure extérieure. En effet :
a) /i'(i) = n(i) = 0.
b) Si A C A' clairement fi'(A) < ii'(A').
c) Soit (A„) une suite de parties de X. Posons A = \JA„. Montrons que
/*'M)<E„A.-
Si pour un n, /i*(An) = +oo, la formule est vérifiée.

162 9- GÉNÉRATION D'UNE MESURE
Supposons que pour tout n, fi*(A„) < +00. Soit e > 0 et pour chaque n,
soit (£*)* dans A tel que A„ C UtB* et £t /i(B*) < /i'(^„) +e/2" On a
ACU„Ui B* et donc
n'{A) <£>(#) = EE^*) ^ I>*^»>+£/2") ^ 2>*<a.>+e-
n»fc n t n n
D'où ,/(,4) < I>'(>1»)-
2) Il est aisé de voir que /i."^ = /i (exercice).
3) Montrons que A C B,,- -
Soit /1 G A et B G V(X). A-t-on /i'(fi) > /i'(B HA) + fi'(B n ,4e) ?
Si n'(B)= +00, c'est évident.
Supposons que fi'(B) < +00. Soit e > 0 et (j4n) dans .4 telle que B C Uj4„
avec £>(>!„) <//(£)+£-
On a B 0 /1 C \J(A„ f~\A)et Bf~\Ac C \J(An f"l ,4e) donc
n'(BnA) + f{BnA<) <ZnrtAnnA) + ï;nrtAnnA<)
= Zn(rtAnnA) + »(AnnA<))
= En/*(A.)
</i'(B) + e.
D'où (j,(B)>(j,(BnJ4)+/j,(flriv4t).
4) Comme B,,' est une tribu qui contient A, on a c(.4) C B,,-. Comme
/i* = /iTB . est une mesure sur B^ (d'après 9.1.1), Jl = li\a,^\ = /tf,/*)
est une mesure sur <r(A) qui est un prolongement de /i en une mesure sur
<r(A). Toujours d'après 9.1.1, B,,- est complète pour /i* et donc {<r(A))~ C B^
((c(.4))~ étant la complétée de <r{A) par y).
5) Supposons que fi soit c-finie et montrons que (<t(A))~ = B^ Il suffit
de prouver'que B»- C (<t(A))~.
Fixons (A„) associée à /i et soit £ € B^-. Il suffit de montrer que pour tout n
Br\A„ G (<t(A))~. En effet, on a alors B = U„Bn/!„ G (c(.4))~ et le résultat.
Fixons n et posons BnA„ = C et A„ = A. On a donc par hypothèse C G B,,',
C C A, A G .4 et fi(A) < +00.
Montrons que l'on peut trouver B' G <r(A) tel que C C B1 C .4 et fi'(C) =
£(£'). En effet, pour tout k G «*, soit (C*)„ dans .4 telle que C C U„C* et
53n /i(C*) < /i"(C) + 1/Jb. Il est clair que l'on peut supposer les C* inclus dans
A (quitte à prendre leurs traces sur A). On a pour tout Jbo € u* :
«n» u„ c*) < fli^c*) < £ ^(c*-) < ti'(C) + i/k0 < /T(n» u„ c*) + i/j*.
n
Il s'en suit que Jl(r\t U„ C*) = /i*(C). On pose alors B' = f~lt U„ C* et on a
bien C C B1 C A avec # G <r(A) et /i*(C) = p(B').
De même, pour A \ C, on peut trouver B" G c(.4) tel que .4 \ C C B" C A
avecii'(A\C) = Jl(B").

9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
US
On a, puisque C G B^' : -j)
fi(A) =fi'(Ar\C)+fi'(Ar\Cc) h
= Ï(B')+JÏ(B")
= ï(B'UB")+JÏ(B'nB") , ,r>
= »(A)+Ji(B'nB")
et donc J1(B' fl B") = 0 à cause de la finitude de /i(A). ' fc
Comme B' \C C B1 D B", on a B' \ C G {<r(A))~ et donc C = B' \ (B1 \Q 6
6) L'unicité résulte de 9.2.1. 4
9.3. La mesure de Borel
Nous sommes maintenant en mesure de montrer l'existence de la mesure de
Borel annoncée au chapitre 4. Si B est une partie de R et x un point de R,
nous notons x + B la collection {y£R/3ieB y = x +' é }. Les formules
suivantes sont aisées à démontrer . x + Bc = (x + B)c, x + UnA„ = U„(x+A„).
Théorème 9.3.1. Il existe sur(R,C(R)) une mesure unique notée A telle
que :
A(]0,1]) = 1
VieR VBGB(R) A(i + B) = A(£) (*)
DÉMONSTRATION. Soit C = { ]a, b] I -oo < a < b < +oo }U{ ]a, +oo[ / a G
R } (collection déjà définie en 4.2). Les conditions du théorème imposent que
A(]a, b]) = b — a si -oo < a < b < +oo et A(] - oo, b]) = A(]a, +oo]) = +oo
(exercice). L'application A restreinte à C n'est autre que A0 définie en 4 2 et le
lemme 4.2.1 a montré que c'était une mesure sur C. Par suite, le lemme 4.2.2
a montré que A0 s'étendait de manière unique en une mesure A0 sur l'algèbre
a(C) (qui n'est autre que Ce). Il est aisé de voir que la condition (*) est remplie
par les éléments de a(C) (avec Ao notée A) et le Théorème de Caratheodory
montre que Ao s'étend de manière unique en une mesure sur <r{a{C)) = B(R)
(que l'on note A) Reste à voir que A possède la propriété (*).
Posons B = { A G B(R) / Vi e R X(A) = X(A+x) }. Par définition B C B(R).
Inversement, les formules annoncées plus haut permettent de voir que B est une
tribu. Comme elle contient a(C), on a B(H) C B Donc B(R) = B et la propriété
(*) est vérifiée. A
La propriété (*) s'exprime en disant que A est invariante par translation.
9.4. Le Théorème de Caratheodory revisité
Dans le paragraphe 9.2, partant d'une algèbre A sur un ensemble X et d'une
mesure /i sur A, nous avons prouvé que /i s'étendait en une mesure sur <r{A)
(Théorème de Caratheodory).
Dans certaines circonstances, on aura une collection C de parties d'un ensemble
X contenant 0 et une mesure positive tp sur C et on désirera savoir si <p s'étend
en une mesure sur <t(C). Le développement qui suit (inspiré de l'ouvrage de

164 9- GÉNÉRATION D'UNE MESURE
J. Neveu [17]) trouvera une application dans la construction de l'intégrale de
Daniell et dans la caractérisation des mesures de Radon (chapitre 12).
Soit X un ensemble et C une collection de parties de X vérifiant :
(l,c)0,XeC.
(2,c) C est stable pour Hj.
(3,c) C est stable pour U<j-
Soit ip : C —► R+ vérifiant :
(1,0^(0) = 0.
(2,f) pour tout Gx,Gi G C, <p(Gi U G2) + tp(Gi l"l G,) = ip{Gx) + p(G2)
(modularité).
(3,f) Si G„ î G avec les G„ (et G) dans C alors <p(G„) î <p(G).
(Il est facile de voir que <p est une mesure positive, bornée, sur C (exercice)).
On va montrer que sous certaines conditions supplémentaires sur C, <p s'étend
en une mesure sur c(C).
REMARQUE. Une topologie vérifie (l,c), (2,c) et (3,c).
Si A est une algèbre, C = Aa vérifie (l,c), (2,c) et (3,c). Si fi est une mesure
positive, bornée, sur l'algèbre A alors ip, définie sur C par <p(B) = sup fi(An)
pour tout suite (A„) dans A telle que A„ \ B, est bien définie et vérifie les
conditions (l,f), (2,f) et (3,f) (exercice).
On pose pour tout A C X :
<p*(A) = inf{ V{G) I ACGeC}
Proposition 9.4.1. Dans les conditions précédentes, <p' est à valeurs
dans R+ et vérifie :
(l,e) <p'{G) = <p{G) pour tout G G C
(2,e) 5: A C B alors •p'(A) < f'{B).
(3,e) <p*(A UB) + ip (A n B) < <p'{A) + ip'(B) ^sous-modularité;,
en particulier <p*(A) + <p {Ac) > <p(X).
(4,e) Si A„ î A alors <p'(An) î V'(A).
DÉMONSTRATION. Les propriétés (l,e) et (2,e) sont immédiates.
Montrons (3,e). Soit e > 0. Soit GUG2 G C tels que A C G\, B C G2,
<p(Gt) < <p'(A) + £ et y>(G2) < <p'{B) + e. Il vient <p'{A) + 'p'(B) + 2e >
>p(Gi) + y(G2) = <p(Gt U G2) + <p{Gi n G2) > <p'{A U B) + >p'(A n B).
Montrons (4,e). En vertu de la croissance de tp*, on a l\mip*(A„) < >p*(A).
Montrons l'inégalité inverse. Soit e > 0. Soit (G„) dans C telle que pour tout
n > 1, An C G„ et v>(G„) < <p'(A„) + e2-n. Pour tout n > 1, on pose
G'„ = U^=IGm. Clairement, pour tout n > 1, <p'{G) < +oo, A„ C G"„,
(G'n) î et ^4 C U£L,GJ,. Montrons par récurrence que, pour tout n > 1,
■e(G'n)<.p'(An) + Z"m=l£2-»>.

9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE j-,
La relation est vraie pour n = 1. Supposons la vraie pour n. On a^ en trtta d»
A„CG'nr\G„+i : ,
V(C„+.) = v(C„ UG„+I) = v>(G'n) + ¥>(Gn+I) - v(G^ CIG.+0
n
< V'(i*n)+ £ e2"m +v"(^H-i) +e2"n~' -¥>•(/!„)
n+I
= v'(Ah-i) + £e2_m
Donc pour tout n > 1, ip(G'n) < ip'(An)+e et donc limy>(GJ,) < l\m<p*(A„)+c.
Il s'ensuit que limy>(GJ,) < \imip'(A„). On obtient <p (A) < Y>(\JG'n) =
lim^G;,) < Km>p'(An). *
REMARQUE. La fonction ip' est en particulier une mesure extérieure (exercice).
Maintenant, on pose -
B' = { A C X I V'(A) +<p-(A<) = <p(X) }
Théorème 9.4.2. Dans les conditions précédentes, B* est une tribu et
tp* restreinte à B' est une mesure positive bornée.
DÉMONSTRATION. Evidemment, B' est stable pour c. Montrons que B* est
stable pour U/ et Hj On a 0, X G B*. Soit Bi, B2 G B*. On a
¥>*(B, U B2) + ¥>•(£, n B2) < v{Bx) + ¥>'(B2)
¥.'((£>, U B2)c) +?•((£>, n B2)<) < v(B\) + f-(B\)
Ces inégalités sont en fait des égalités. En effet, si on avait une inégalité stricte,
on aurait
MX) < (v*(Bi U B2) + ¥>•((£, U B2)c)) + (^(B, n B7) + ^((Bi n B2)c))
< (v'(Bt) + v(B\)) + (^(B2) + <p-{B\)) = MX).
Donc B\ UB2 et B\ DB2 sont dans B* et y>* est modulaire (et donc additive) sur
B*. Si nous montrons que pour toute suite croissante (Bn) dans B', UB„ G B*
et <p'(B„) î y>"(UB„), on aura que B' est une tribu et <p* est une mesure sur
B'.
La propriété y*(B„) î ¥>*(UB„) résulte de (4,e). De plus, la croissance de
<p* entaîne que tp'((UB„)c) < <p'(B^) pour tout n. Soit e > 0. Soit ni tel
que ¥.♦(£„,)+£> <p'(UBn). Il vient >p'(UBn) +<p*((UB„)c) < f'(Bni)+e +
f'(Bcni) = v>(X)+£ et donc <p'(UBn)+V>{(UB„)c) < V(X). D'où UB„ e B'. *
Le problème crucial ici est de savoir si C C B', auquel cas f* restreinte à c(C)
est une mesure prolongeant <p- En général, la réponse est négative, mais :
Théorème 9.4.3. Dans les conditions précédentes,

166
9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
(4,c) si pour tout A G C, Ac G Ci
(4,f) et, s: pour toute suite (G„) dans C telle que G„ [ 0, on a <p{G„) [ 0,
alors C C B* et ipT- = <p. De plus fi = ¥>fff/C) est l'unique prolongement de
•p à o-(C).
DÉMONSTRATION. On doit prouver que pour tout A G C, <p(A) + <p*(Ac) =
<p(X).
Comme Ac = f"lG„ pour une certaine suite (Gn) i dans C (hypothèse (4,c)),
en vertu de la définition de <p*, on peut construire une suite (G'n) [ dans C
telle que Ac = nG"„ et y>(G„) 1 Y>'(AC). On a alors G„ f"l A G C pour tout n et
G„ 0 A [ 0. Il s'en suit que <p(Gn n A) [ 0 (hypothèse (4,f)). D'où
^) + ^(^) =¥>(>!)+ lim¥.(G„)
= 1^(^.(^) + ^^)
= lim^yi U G„) + y.(>l n G„))
= y>(X) + lim^yi nc„) = y>(X).
Il est clair, en vertu de la croissance de <p, que <p'ic = <P et donc <fi'i„ic) e6' un
prolongement de y> à c(C). Montrons l'unicité de ce prolongement. Soit <p' un
second prolongement de tp à c(C). La collection V = { A G c(C) / ^'(.A) =
y>'(i4) } est une classe c-additive (voir E.2.16) contenant C. Comme C est stable
pour fTj, en appliquant E.2.16, on obtient que V = c(C) et donc, V*\a<c = f' 6
REMARQUE. On ne peut pas relâcher l'hypothèse de "descente" (4,f).
En effet, soit X = u, C - { C C u / Cc est fini } U {0} et <p définie sur C
par y>(0) = 0 et <p{C) = 1 sinon. On voit aisément que B* = {0, X} ^ C.
Cependant, la collection C vérifie (l,c), (2,c), (3,c) et (4,c) (pour (4,c), toute
partie finie B s'écrit l"l({0, l,...,n} \ B)c) et la fonction <p vérifie (l,f), (2,f) et
(3,f), mais on n'a pas (4,f) car limy>({ p / p>n}) = 1^0 = ^(0).
Pour A une algèbre sur un ensemble X et /i une mesure sur cette algèbre, dans
la remarque du début du paragraphe, on avait posé C = Ac, on avait fabriqué
tp sur C en posant f{C) = sup/i(i4„) pour une suite quelconque dans A telle
que An î C- On avait dit que C vérifiait (l,c), (2,c) et (3,c) et que tp vérifiait
(l,f),(2,f) et (3,f). Dans cet exemple, on voit aisément que (4,c) et (4,f) sont
vérifiés. On obtient donc, pour une mesure bornée /i sur une algèbre A, une
autre méthode (cousine germaine de celle du début du chapitre) pour prouver
que la mesure /i s'étend à la tribu engendrée par l'algèbre A (néanmoins, point
n'est besoin de vérifier (4,c) et (4,f) puisque dans ce cas A C B* et donc
C = A„ C B').
Exercices.compléments
E.9.1. <fr Contre-exemples
Pour les notations, on consultera l'énoncé du Théorème de Carathéodory.

9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE „_
w
a) Le Théorème 9.2.1 et le Théorème de Carathéodory entraînent «Va,
mesure c-finie sur une algèbre se prolonge de manière unique a la trihM
engendrée par l'algèbre. A l'aide d'un contre-exemple, montrer que la conditk»
de c-finitude ne peut pas être omise dans ce résultat.
i
b) D'après le Théorème de Carathéodory, si une mesure /i sur une algèbre
A est c-finie, alors <t(A)~ = B^. A l'aide d'un contre-exemple, montrer que ta
condition de c-finitude ne peut pas être omise. " '
c) Donner un espace mesuré c-fini (X, B,fî) et une algèbre A C B pour
lesquels A engendre B et /ip< n'est pas c-finie. \
d) Cependant, on a la propriété suivante : toute extension de Carathéodory
c-finie provient d'une mesure c-finie. Plus précisément, montrer que si u est
c-finie alors, /i est c-finie.
Aide, a) Considérons l'espace mesuré (R, C(R),/i), où /i est la restriction à
B(R) de la mesure de comptage sur R, et
C = { ]a,b] I a,b G R } U { ] - oo,a] / a G R } U { ]a, +oo[ / a G R }-
Posons A = C.. On sait que a(C) = A et <r(A) = B(R).
La mesure fi^ vérifie fi^{A) = +00 si A ^ 0. Elle n'est donc pas c-finie, et la
mesure /i' sur B(R) définie par fi'(A) = +00 si A ^ 0 est telle que /i' ^ /i et
^M = W.-
b) Dans l'exemple précédent, en écrivant v la mesure non c-finie /ip< définie
sur A, on a, de manière évidente, v*(A) = +00 pour toute partie A ^ 0, et
e„. = 7>(R). Clairement c(.4)~ = B(R) ± 7>(R).
c) Considérons l'espace mesuré c-fini (Qi^CQ),^) (où /i est la mesure de
comptage sur Q) et l'algèbre A 0 Q (où A est défini en a)). On a <t(A 0 Q) =
7>(Q), mais comme fi[AnQ(A) = +00 si A ^ 0, la mesure /ij>nQ n'est P88
c-finie.
d) Soit (An) une suite associée à u. Soit, pour chaque A„, une suite (A^)k
dans A telle que A„ C Ut K «* £ ^n) ^ ^'(^n) + 1 = KK) + 1 < +00.
t
Il est clair que la famille dénombrable (A^) est associée à /i. •
E.9.2. Soit X un ensemble, A une algèbre sur X et /i une mesure sur .4. Pour
tout B C X, on pose
i/(B) = inf { ti{A) / BCA, AeA}.
a) Montrer que, pour tout A G A, v(A) = ti(A) et, pour tout B C X,
f(B) < i/(B).
b) £ Donner un exemple (avec de préférence une mesure finie), tel que
v ^ /i* et v non sous-c-additive.

168 9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
c) Montrer que si A est une tribu, v = y.' (autrement dit dans ce cas,
inf{ ÉM^n) / B C \JAn , (A„) C A } = inf{ /i(/l) / BCAeA] pour tout
>1CX).
Aide. a)Ona{A/ BCA, AeA}C{ (A„) / B C U/ln , (A,) C .4 } (en
identifiant A à (A, A, A, ■ • ■)) et donc,
ti'{B) = inf{ £>(>!„) /BCUyln, (A,) C .4 }
< inf { fi(A) / BCA, AeA} = u{B).
b) Soit X non dénombrable, A={ACX/A fini ou j4c fini } et,
fi(A) =»0 si ^4 est fini et l*(A) = 1 sinon. La fonction /i est une mesure
sur l'algèbre A. Pour B stritement dénombrable, on a /i"(B) = 0 alors que,
v{B) = 1. De plus, l'inégalité
£ "({*}) = £ /4(*}) = 0 < 1 = v(B) = u(\J {*})
x£B x£B x£B
prouve la non sous-c-additivité de v.
c) Soit BCXet soit (j4n) C .4 avec B C Uj4„. On a Uj4„ G .4 puisque
A est une tribu et donc, en vertu de la sous-c-additivité d'une mesure sur une
tribu, v(B) < fi(UA„) < Yl^i^n)- Ceci prouve que v < /i*. •
E.9.3. Soit (X,B,fi) un espace mesuré.
a) Montrer que, pour tout A C X, i\ existe B' eB tel que, A C BA et
£(£*) = /i*(/l) (on exploitera E.9.2.c).
b) Si de plus, on a fi'(A) < +oo, B' £ B et j4 C fl" montrer alors que
/i(fi') = /i'(yi) ssi rtffAB*) = 0.
c) Montrer que si /i est c-finie, pour tout A C X, il existe B"4 G B vérifiant
A C fi* et si ff e B avec A C B' alors /ifB-'XB') = 0 (la partie BA est appelée
enveloppe B-mesurable de A).
Aide, a) D'après E.9 2-c, on a fi'(A) = inf{ fi(B) / AC B , BeB} pour
tout yiCX Exploitons ce fait • Si p'(A) = +oo, c'est réglé.
Cas où fi'(A) < +oo on construit une suite (BJ,) C B telle que, pour tout
n > 1, n(B'n) < n'(A) + 1/n. Posons B„ = f|1<n B'„ BA = DB„. On a donc
B„ ] B* et, pour tout n > 1, fi'(A) < fi(B„) < fi'(A) + 1/n. Il s'en suit que
/1(^) = 11111/1(^,) = /1-(^).
b) Si fi(B'ABA) = 0 alors /i(B') = /i(B' n BA) = fi(BA) = n'{A).
Si /i(B') = y.'(A) = fi(BA) alors, fi(BA \ (BA \ B')) = fi'(A) et donc
li(BA\B') = 0 (sinon on contredit laminimalité de fi(BA)). Idem pour B'\BA
et donc fi(BA AB1) = 0 •
E.9.4. Soit (X,B,ii) un espace mesuré c-fini. Pour tout A C X, on pose
H*(A) = sup{ fi{B) /BCA, B G B } (on dit que /i.(j4) est la mesure
intérieure de A).

9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
169
a) Montrer que pour tout A C X, il existe B G B avec B C A tel que
pour tout B' e B avec B1 C A alors, /i(B' \ B) = 0 (B est appelé noyau
B-mesurable de A).
b) Montrer que pour tout A C X tel que y* (A) < +oo alors, /i.(j4) =
fi'(A) ssi j4 G B,,'
Aide. En prenant une suite 2.2.d. (An) dans B associée à /i, on déduit aisément
le résultat si on l'a prouvé dans le cas fini. On suppose donc /i finie.
a) Soit pour tout n > 1, B„ G B tel que B„ C A et ti.{A) - 1/n < fi(B„).
Posons BA = UBn. Clairement, ii.(A) = fi{BA). Soit B" e B avec B" C A.
On a (B' \BA)UBJ(C/1 et f(A) = fi(BA) < fi(BA) + n{B' \ BA) =
fi(BA U (B' \ BA)) < fi'(A) et donc ^(B1 \BA) = 0
b) Supposons que fi,(A) = /i*(j4). Soit B* un noyau de A et BA une
enveloppe de A Nécessairement, fi(BA \ BA) = 0 et donc, puisque B^ = B,,-
est complète, A \ BA G B,,- et donc on a j4 = B* U (A \ BA) G Bw-
La réciproque ne présente pas de difficulté. •
E.9.5. & Soit A une algèbre sur X, /i une mesure sur A et /i* la mesure
extérieure associée. Soit (Jl)' la mesure extérieure associée à Jl (définie sur
<r(A)).
a) Montrer que (Jl)' = y.'.
On vérifie que Aa est stable pour U<i et C\j Pour tout B G Aa, on pose
y(B) = sup/i(i4n) pour toute suite [An) C A vérifiant A„ \ B-
b) Montrer que cette définition a un sens et que tp est une mesure modulaire
sur Aa-
c) Montrer que pour tout B C X, fi'{B) =f inf{ £/i(j4„) / B C
U>1„ , (/!„) C A } = inf{ ^.(/1) / B C >1 A G A, } d= <p'{B) {f' coïncide
donc avec /i*).
Aide, a) On a pour tout AÇ_ X,
(jiy(A) = (fi'YM = "rf{ X>*(b„) / a c u,€u,B„, (£„) c <t(A) }
< inf{ X>'(B„) / ,4 C Un€u,B„ , (B„) C .4 } = ^*(>1).
Inversement, supposons que (fi)'(A) < +oo. Soit e > 0. Soit G G <r(A) tel que
/1 C G et (£)*(/l) = (fi'Y(A) > fi'(G) - e (voir E.9.2-c). Avec une suite (A„)
dans A convenable dont la somme des mesures approche fi'(G) à e > 0 près, on
obtient (p)'(A) > (£>(A,)) - 2e > fi'(A) - 2e. D'où l'inégalité dans l'autre
sens.
b) Soit B e Aa et soit (A„) C A telle que B = UAn. On a B =
Un(Ui<„i4t), Uk<nAk G .4 pour tout n et Uk<nAk ] B. Maintenant, supposons
que les suites (A„) et A'„) d'éléments de A soient telles que A„ \ B et A'„ ] B.
Montrons que sup fi(A„) = supn{A'n). Fixons no- On a A„ l"l j4'no ] A'no et donc

170 9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
sup/i(i4„) > supfi(A„ 0 A'no) > /i(^0). Il s'en suit que supii{A„) > sup(^).
En échageant les rôles de A„ et de A'n, on obtient sup fi(A„) = sup fi(A'n). La
fonction f est donc bien définie.
La modularité de tp sur Aa se montre aisément. En effet, soit B, B' G Aa et
soit (An),(A'„) C A telles que /i(>ln) î >p{B) et /i(X) î <p(B') alors
¥>(B U B1) + f{B n B') = supfi(A„ U 4.) + supfi(An n ^)
= sup^A, U A'„) + fi(An n A'„))
= sup(ji(An) + ^A'n))
= auPfi(An)+BUpfi(A'n) = <p(B) + y(B')
Pour montrer que ip est une mesure sur A„, il suffit de prouver que, si B„ ] B
dans Aa alors, <p(Bn) î y>(B). Il est évident que sup<p(Bn) < <p{B). Soit pour
tout n, une suite (AI) dans A telle que A^ \ B„. Posons C„ = (J ^4*.
ij<n
Clairement, pour tout n, C„ G .4, C„ C Bn et C„ î B. On a donc
tp(B) = sup/i(C„) < sup ¥>(£„).
c) On voit aisément que l'on peut se restreindre aux suites (A„) 2.2.d. dans
la définition de /i*. En utilisant la c-additivité de <p, on obtient le résultat. •
E.9.6. &<fr Dans les conditions du Théorème de Carathéodory, montrer que :
3l)Bi1. = {ACX /'rfBeA li(B)>li'(Br\A) + li*(Br\A':)},
l b) pour /i finie, { A C X / VB G A fi(B) = fi'(Br\A) +f(Br\Ac) } =
{ A C X I ti(X) = f(A)+S(A<) } Hf B*.
(E.9.5 et E.9.6 prouvent que la démarche faite dans 9.4 donne un résultat
identique à celui de la démarche faite dans le Théorème de Carathéodory
appliquée au cas borné.)
Aide, a) Posons C={ACX /VBeA fi(B) > fi'(B H A) + /i*(B n Ac) }.
Clairement B,,. C C.
Inversement, soit A G B*. Soit B C X et supposons que fi'{B) < +oo. Soit
£ > 0 et soit (,A„) G .4 tel que, B C U/ln et fi'(B) + e > £ /i(j4„). Il vient
,i*(B) +e > Y,f(AnnA) + Y/f(AnnAc) > fS(BnA) + S(Br\Ac)
et donc A G B,,..
b) Clairement, B„. = { A C X / VB G .4 /i(B) = /i*(B n >1) + /i*(B n
Ac)} C { AC X / fi(X) = fi'(A) + if{Ac) } = B'. Inversement, comme /i*
est additive sur B* (9.4.2) et que A C B*, pour tout A G B', on a pour tout
BeA, fi(B) = /i*(B n >i) + /i*(B n >tc). •
E.9.7. **4 Soit F G B(R)a tel que +oo > X(E) > 0.
a) Montrer que X(E) = inf { A(G) / ECG , G ouvert }

9. GENERATION D UNE MESURE -_-
b) Montrer que pour tout a G [0,1[, il existe un intervalle ouvert / tel «ne
X(Er\I)>aX(I). ^
c) En déduire qu'il existe un intervalle ouvert J contenant 0 tel que
Jc{y-z /yeE, zeE}.
Aide. Remarquons que tout ouvert de R est union (dénombrable) d'intervalles
ouverts non vides, 2.2.d.. Remarquons aussi que, comme il existe E' G B[R) tel
que, E C E' et X(E") = X(E), on peut supposer E G B(R).
a) Il suffit d'appliquer la régularité de A sur C(R) (voir E.4.15-d). A noter
que ce résultat peut se démontrer à l'aide du Théorème de Carathéodory.
b) Soit G ouvert tel que aX(E) < A(G). Ecrivons G = U/„ où les /„ sont
des intervalles ouverts (bornés) 2.2.d.. Il vient 52aA(/n) < £ M£l~l/„) et donc
pour un n (au moins) oA(/„) < A(£?f"l /„).
c) Soit / un intervalle ouvert non vide tel que |A(/) < A(/ n E) (on
applique a) avec a = f ) On a (En I) U ((Ef"l I) + x) C / U (/ + x) pour tout
x. Si x appartient à J =] - i A(/), i A(/)[ alors A ((E n/)U((£n/) + i)) <
A(/ U (/ + x)) < |A(/). Si pour un tel x, on avait (EH I) f"l ((EH [) + x) = (9
alors A((En/)u((f;n/) + i)) = 2A(£n/) > f A(/) ce qui est absurde. Donc,
pour x G] - 5A(/), £A(/)[, on a un point y dans (Fn/)fl ((E f~\[) + x). Le
point y est dans E n / et il s'écrit z + x avec z G EC\l. D'où x = y — z comme
désiré. •
E.9.8. Fonctions de répartition
On dit que / est une fonction de répartition sur R si / est à valeurs dans R+,
bornée, croissante, continue à gauche et telle que lim f(x) = 0. Il est clair
r—•— oo
que lim flx) existe. On prolonge / en une fonction continue à gauche sur R.
r—»+oo
Il est alors légitime de poser /(—oo) = 0 et /(+oo) = lim f(x) = sup f(x).
x—+oo l€R
a) Soit /i une mesure finie sur (R,B(R)). Montrer que l'application /,, de
R dans R+ définie par f^x) — /i(] — oo,i[) est une fonction de répartition. A
quelle condition sur /i, f^ est-elle continue 7
b) Réciproquement, soit / une fonction de répartition. On va chercher à
montrer qu'il existe une mesure bornée unique /i sur B(R) telle que / = /,,.
Soit C = {[a,b[ / -oo <a<b< +oo } U { ] - oo,a[ / a G R }. On sait que
a(C) = C, et que <r(C) = B(R).
On pose fi([a, b[) = f(b) — /(a) pour -oo < a < b < +oo et /i(] - oo, a\) = /(a)
pour tout a G R
Montrer que /i est une mesure sur C et qu'elle s'étend en une mesure unique
(notée encore fi) sur B(R) (on pourra s'inspirer de 4.2.1). Remarquer alors que
U = f
Aide, a) On a, pour tout x G R, 0 < f„(x) < /i(R) < +oo. Donc /,, est

172
9. GÉNÉRATION D'UNE MESURE
bornée. Il est clair qu'elle est croissante en vertu de la croissance de /i. Pour la
continuité à gauche en x, on a f,,(x„) = /i(] — oo,zn[) î /i(] —oo,i[) = f,,(x)
pour toute suite (xn) tendant en croissant vers x et donc la continuité de
fp à gauche en x est vérifiée en vertu de la croissance de f». Par ailleurs,
fÀ~n) = ^(1 — °°i— nD i 0 car /1 ^1 bornée et ] — oo, — n[| 0, et donc
lim f,,(x) existe et vaut 0 en vertu de la croissance de /,,.
r—•—oo
On a lim/^(in) = lim/i(] — oo,i„[) [ /i(] — oo,z]) pour tout x et toute suite
(xn) décroissant vers x. Il s'en suit que /^ est continue en x ssi p({x}) = 0.
b) Soit [a,b[ et ([on,inDn£u une suite injective dans C 2.2.d. avec
+oo
[«.*[= VSKM- « faut montrer <iue /(*) - /(°) = £(/(*») - /(«»)) (*-
n=0
additivité de /i sur C).
Fixons k Ç.w. Quitte à réordonner, on peut supposer oq < a\ < • • • < ai,. On
a alors ao < bo < a\ < b\ < ■ ■ ■ < at < bt et, en vertu de la croissance de /,
/(°o) < /(M < /(ai) < /(*■) < < /(«*) < f(b„). H vient
/*([«. *D = /(*) - /M > (/(M - /(«*)) + (/(«*) - /(«o» =
(/(m-/(°o)+£(/k+.)-/k)) * £(/(*•.)-/(<>»)) = E^-M).
n=0 n=0 n=0
l +00
D'où ,,([«,*D > lim î E^KU) = 2>([a„,t„D.
n=0 n=0
'Inversement, supposons que —oo < a < b < +oo (le cas général s'en déduit
aisément). Fixons e > 0. Soit ij > 0 tel que, /(i—ij)+ | > /(i), et soit pour tout
n, ij„ > 0 tel que/(a„)-5^t < /(a„-i?„). On a [a,i-ij] C U]a„-ij„,i„[. En
vertu du Lemme de Lebesgue (E.8.1-Aide), soit t\ = a < t^ < ■■■ < ti = b — ij
une subdivision de [a,b — ij] telle que pour tout i = 1,2,..., k — 1, il existe n,
tel que [i,-,i,-+i] C]an- — ijni,i„,[. On a alors, en vertu de la croissance de /,
/*([«. *D = /(*) - /(°) < (/(* -1) - /(«)) + § = (Ë ('<'■•+•) - '<'■>)) +§
< (E (/(*".)-/k.-^.)))+1 ^ (E((/(*".)-/k.))+2^))+|
\i=0 ' Si=0 '
< (Ë^*-.)-/(""■))) + *< (1^(^-^) +*•
D'où l'inégalité dans l'autre sens.
En vertu de 4.2.3, /i s'étendant à Ce (=C,), son extention (notée /i) est
une mesure sur a(C) (=C,). En appliquant maintenant le Théorème de
Carathéodory, on obtient que /i (qui est finie) s'étend de manière unique à
C(R) (=<r(C)). En notant à nouveau /i cette extention, il est clair que /,, = /. •

t
Chapitre 10
Mesures produits
Dans ce chapitre, {Xi,Bi,/ii) et (.^2,621^2) sont deux espaces mesurés c-finis.
10.1. Mesures produits. Espaces mesurés produits
En 4.3, nous avons noté C l'ensemble des pavés mesurables de Xi x X2 c'est
à dire :
C={AxB / AeBuBeBi}.
Nous avons défini II sur C par 1l(A x B) = fii(A).fiï(B) et nous avons admis
que cette application était c-additive.
Lemme 10.1.1. L'application il : C —► R+ définie par H(j4 x B) =
P\(A).p?(B) est une mesure sur C.
démonstration. Soit A G #i et B G Bi- Supposons que A x B =
U„(i4„ x Bn) où la suite {A„ x B„) est prise dans C 2.2.d. Montrons que
D(i4 x fl) = J] H(>ln x B„).
n
Pour tout (x,y) G Xi x X2, on a
Uxfl(x,y) = lUnA.xB.(x.y) = 52 ^.xfl.tx.y) = Y, 1*.(x)-1b.{v)-
n n

174
10. MESURES PRODUITS
Fixons x. D'après la proposition 5.2.2, on obtient :
f lA(x).lB(y)d^(y) = £ [ UAx).lB,(y)d^(y).
On a donc pour tout x :
^(B).lA(x) = Y,^(Bn).lA,(x).
n
En réappliquant 5.2.2, on obtient /ii(j4)./i2(.B) = }J ^1(-^)-/^2(-¾) et donc
n(AxB) = Y,n(AnxBn).é
n
REMARQUE. Le Lemme 10.1.1 est valable pour fi\ et /12 non nécessairement
c-finies.
Proposition 10.1.2. Il existe une et une seule mesure étendant II sur
B\ ® 62- ^e P'us, celle mesure esl <r-finie.
DÉMONSTRATION. D'après 4.3.2, II s'étend de manière unique en une
mesure notée encore II sur a(C) (= Ce). Il est facile de voir que cette extension
est c-finie. En effet, si (An) (resp. (B„) est associée à pi (resp. /12) alors
C(i4„ x Bm) = /ii(j4„)./i2(£m) < +°° Pour tout " et "». et U„.mi4„ x Bm =
Xi x X2- Il en résulte que (A„ x B„) est associée à II.
D'après le Théorème de Carathéodory, H s'étend de nouveau en une mesure
sur c(C) = B\ ® 62 de manière unique et cette extension que nous noterons
encore II est c-finie. 4>
L'unique mesure II sur Ci ® C2 telle que 11(^4 x B) = iil(A).ti2(B) pour tout
rectangle mesurable A x B est appelée mesure produit (des mesures fi\ et
/12) et est notée /ii ®/i2- L'espace mesuré (X\ x X2, Ci ® 62,/ii ®/i2) est appelé
espace mesuré produit.
Si /ii et P2 ne sont pas supposées c-finies, l'extention ci-dessus à la tribu produit
peut encore se faire mais il est possible d' avoir plusieurs extensions. Dans ce
cas, nous conviendrons d'appeler mesure produit, l'extension donnée par le
Théorème de Carathéodory.
Il est clair que la procédure décrite s'étend à un nombre fini d'espaces mesurés
c-finis (X,,B;,/i;), « = 1,...,n : il existe une mesure unique ®"_i/ii sur
®"_,B; appelée mesure produit (des mesures /1;) telle que ®"=i/Ji(n"_,.i4;) =
Pi(A\) x — x /JnC^n) Pour tout Payé mesurable Il"=, Ai.
En particulier, la mesure produit de la mesure de Dorel sur (R",®"_,C(R))
(=(R",C(Rn))) sera encore appelée mesure do Bord ou mesure de
Lebcsguc et notée A. Il est aisée de voir que la mesure de Borel sur R" est
invariante par translation (exercice).

10. MESURES PRODUITS
175
10.2. Le Théorème de Fubini
Notons (X, B) l'espace mesurable produit (Xi x X2, Bi ® B2). Rappelons
que, d'après 3.4.5, si / est dans M(X,B), les applications /r, et fT' sont
respectivement ^-mesurables et Ci-mesurables pour tout X\ G X\ et i2 € Xi
(/r.fo) = /(*1,*2), fXH*l) = /(*!,«»))-
Les formules suivantes sont aisées à démontrer : pour toute suite (/„)
d'applications numériques et tout a dans R, on a pour tout x\ G X\ :
«(/-, ) = (<*/)*. - (/■ + A)*. = (/. )«, + (hh.
si /„ / alors (/n)r, . /r,.
Le résulta^ est aussi vrai lorsque l'on "sectionne" suivant xi dans X2-
On utilisera le résultat suivant : si (Y,A) est un espace mesurable et (i/n) une
suite de mesures sur A alors £n v„ est une mesure sur (V, .4) et pour toute
application numérique, positive, mesurable /, on a //<f(£n v„) = £,„ f fdvn
(E.4.2 et E.5.2).
Théorème 10.2.1. (Fubini) Soit f G M+(X,B), alors
1) l'application Xi —> J"/r,<f/i2 es* dans M+[Xi,Bi)
l'application 12 —> / fT'dfi\ est dans M+(Xt,Bt)
J fd», ®/i2 = J(Jf"d^)d^ = J(J fx.d/ijdto
DÉMONSTRATION. Si nous prouvons que le résultat est vrai pour / de la
forme 1,4 avec A G B, le résultat sera vrai pour / G S+(X,B) par linéarité
des intégrales et il sera encore vrai pour / G M+(X,B) d'après la propriété
de Beppo-Levi et la stabilité par les limites simples des fonctions numériques
mesurables. On aura montré ainsi le Théorème.
a) Traitons le cas où fi\ et /i2 sont finies. Soit / de la forme 1,4,
A G B. Posons C = { A, x A2 / A, G Bi,A7 eB7}etV = {Ae
B I 1A vérifie 1) et 2) }.
On a C C V. En effet, soit Ai x ^42 G C. Il vient :
*i — f (U.xAjrjM =/i2(i42)-U,(x,) est dans A*+(X,,0,)
12 — /(1^,4,)^1 =/iiMi)-W*2) ^1 danB ^+(^2,¾)

176 10. MESURES PRODUITS
/'
■/(/'
lA,xA,dlii ®/i2 =/il ®/i2(^I X j42)
= ^1(^1)^2(^2)
= ^l(A1)lAl(x2)dll2
(lA,xA7)Z,dfii)dfi2
de même = H (lAlXAl)zdfiijdfii.
Si A est union finie, 2.2.d. de pavés mesurables, 1^ est évidemment dans V
par linéarité des intégrales. 11 s'en suit que l'algèbre A = a(C) = Ce est incluse
dans V.
Montrons que V est une classe monotone.
Soit (A„) une suite dans V telle que A„ î A
Pour tout xi, on a f(lA)Xl — limn î /(IjOn'fy'î (Beppo-Levi) donc
il —> J(lA)Zldii2 est dans A<+(Xi,Bi). De même, xt —> /(l*)*1''/'! est
dans jM+(X2,£2).
L'application répétée de la propriété de Beppo-Levi donne :
/ lAdfii ®/i2 =\un] lAwidfii®Hi
= \\mï J(J(lA.)Xld»i)dn
= J(\\m^J(lA,)Xld^)d^
limî (lA.)"diiijdiit
(lA)z'dfiijdfi2
de même = / ( I (l^d^Jd/ii-
On en conclut que A est dans P. Lorsque la suite (A„) est décroissante dans V,
ce qui est écrit ci-dessus reste valable en remplaçant î par i car les intégrales
sont bornées par sup{/i,(^1),^2(^2),/ii(Xi)./i2(X2)}.
V est donc une classe monotone. Comme elle contient l'algèbre A et qu'elle est
contenue dans B = <r{A), onaP = B (2.6.2). Les indicatrices dans M+(X, B)
vérifient donc 1) et 2).
b) Traitons le cas général. Soit (A") et (A") deux suites 2.2.d. associées à
B\ et Bï respectivement. La suite double (A" x A™)n,m est associée à fit ®/i2 et
2.2.d.. Définissons les mesures /i" et /i™ sur les tribus B\ et Bi respectivement
par tf(A) = ^(AH A?) et tf(B) = fi^B D A?).
Les espaces (X,Bt ®Bi,fi" ®n™) vérifient 1) et 2) d'après a). De plus on voit
aisément que
/*!=][>? /i2=^/i2" /il®/i2 = ^/ir®/i2"
■/(/'

10. MESURES PRODUITS
m
La dernière formule résulte de l'unicité de /ii ® /i2 comme prolongement de la
mesure II définie sur les pavés mesurables.
Soit A £ B. Posons f = 1a- On a ,,
*i —" //r,<*/i2= //r,(d^/i?) =^ f fr,dtf est dans M+iX^Bt)*
De même, i2 —> / F'diii est dans .^+(^2,62)-
lx vérifie donc 1). Montrons qu'elle vérifie 2) :
jmh®« =/ME„,m/ir®/i2n) = E„.m//^r®/i2n
= E„.» /(/ /•»*?)*? = Em /(E„ ir*diï)dv?
= /(//^^,)^2-
L'autre formule se démontre de manière similaire. 4k
Nous allons utiliser la convention faite en 5.4. §oit (V, A/i) un espace mesuré,
A dans .4 et / une application numérique définie sur A. On convient de dire que
/ est définie sur tout X en lui donnant la valeur 0 sur X \A. Cette convention
est d'un grand intérêt lorsque X \ A est négligeable.
Théorème 10.2.2. (Fubini) Soit f G Ct(X,B,in ®/i2). On a :
1) /r, est dans £1(.^2,62,/^2) pour fi\-prtsque tout x\ et
x\ —> / fx,dfi2 est dans Int(Xi,Bi,fit),
fTl est dans £i(Xi,6i,/ii) pour fi2-presque tout x? et
xi —. //rjd/ii est danslnt{Xi,B-i,ii-i).
S)
J /%i 9 in) = J(jfXld»2Wi = J(Jj"
DÉMONSTRATION. En appliquant 10.2.1 à /+ et à /~, on obtient :
J (J (f+)x,d^7)d^ = J f+d(^ ®/i2) < +00 et
J(J(rUd^7)d^ = Jf-dUn ®/i2) < +00
d'où A\ = { z, / /(/+)r,d/i2 < +00 } et A'{ = {Xl/ /(/-)r,d/i2 < +00 }
sont dans B\ et co-négligeables (de complémentaires négligeables). Comme
pour tout ii, (/r,)+ = (/+)r, et (/ri)" = (/")r,, la fonction /ri est dans
Qlnt(X2,Bi,fi2) pour tout X\ dans A" et dans £1(^2,62,/12) pour tout Xi
dans Ai = A\ f"l A'^.
La fonction
XX ^Jfr.d^ = jitUdn - J(r)Xld»2
est définie sur A". En utilisant la convention faite plus haut, on peut donc
considérer cette fonction comme définie sur tout Xi (en la prolongeant par 0

178
10. MESURES PRODUITS
là où elle n'est pas définie, c'est à dire en dehors de A"). Les fonctions Xi —.
U,(xi) f(f+)z,dii2 et ii —. U,(ii)/(/")r,d/J2 sont dans £i(Xi,0i,/ii).
On en déduit que x1 —> 1ai(xi) f fxidpt est dans Ci(X\,Bi,fii) et donc que
il —» f fXldfi2 est dans Xnt(Xi,Bi,fi\). En appliquant 10.2.1, on a :
A M/ii ® w) = A /+j(/ii ® ^2) - A /_d(/ii ® /i2)
= / (/(/+ )ri ^2) *" " / (/(r )ri ^2) *"
= jf (/(/+)r,J/i2 " /(/-)«, *l)*l
= J(J fXld^)d^.
On montrerait de même que 12 —> / fTldfii est définie sur un ensemble ^2
dans ¢2 de complémentaire négligeable, qu'elle est intégrable et que
JM/ii ®^) = j(jfXld^)d^. *
Le lecteur pourra étendre le Théorème de Fubini dans le cas de n espaces
mesurés.
Exercices, compléments
E.10.1. Soit (Xi,Bi,/ii) et (.^2,62,/12) deux espaces mesurés c-finis. Soit
/ : Xi x X2 —• R une application B\ ® £?2~niesurable. On suppose que pour
/ii-presque tout x1 G X\ l'application /r, est nulle /i2~p.p.. Montrer que pour
/i2-presque tout 12 G Xi l'application fTl est nulle /i]-p.p..
Aide. Soit A l'ensemble des éléments X\ G X\ tels que /Xl ^ 0 /12-p.p.. ^4
est /ii-négligeable. Soit N G B\ de mesure nulle tel que A C N. D'après le
Théorème de Fubini l'application X\ — /|/r,|d/i2 est dans A1+(X2,C2)> et on
a /(/ l/r, Id/i2)<*/ii = Xvc (/ |/r, |<f/i2)<f/ii• Pour tout ii G Nc, on a /r, = 0 /i2-
p.p., donc J\fXl\d(i2 = 0. Par conséquent, /(/ \fZl\d(i2)dfii = 0. En utilisant
encore le Théorème de Fubini, on obtient
/(/l/r'|d/i.)d/i2=0
donc, d'après la Proposition 5.2.6, pour /i2-presque tout 12 G X2, on a
f\fz,\dfi\ = 0, ce qui signifie (toujours d'après la Proposition 5.2.6) que
/r» = 0 /i,-p.p. ..

10. MESURES PRODUITS
m
E.10.2. Soit /i la restriction de la mesure de dénombrement sur B([0, 11). Soit
A la diagonale de [0,1] x [0,1]. Montrer que A G B([0,1]) ® B([0,1]) et qiie
j (J M*, y)<My))<*A(x) # J {J 1 A(«, y)dA(x)) d,i(y)
(A est la mesure de Lebesgue sur C([0,1])).
Aide. D'après E.3.16 A G B([0,1])®B([0,1]). Pour tout x G [0,1], on a (lA)r =
l{r), donc f l*(x,y)d»(y) = /i({*}) = 1 et /lû(i,y)dA(y) = A({x}) = 0. Il
en résulte que /(/lA(x,y)<i/j(y))<iA(x) = 1 et /(/ lA(x,y)d\(yj)d/i(x) = 0.
La condition de c-finitude qui porte sur les mesures dans le Théorème de
Fubuni est essentielle. (La restriction de la mesure de dénombrement sur
B([0,1]) n'est pas o-finie.) •
E.10.3. Soit 0 < a < b deux réels, et soit / l'application définie de [0,1] x [a, b]
dans R par /(x, y) = xy. On munit fO, 1] x [a, b] de la tribu borélienne, et on
désigne par A la mesure de Lebesgue..
Montrer que f[01]x[ai] fdX < +oo.
En déduire la valeur de /„ r,~^ dx.
Aide. La fonction / étant continue sur le compact [0,1] x [a,b], elle est
intégrable.
En utilisant le Théorème de Fubini, et le fait que l'intégrale de Lebesgue sur
un intervalle fermé borné d'une fonction continue coïncide avec son intégrale
de Riemann, on obtient
= f (j e»,nxdx)dy
-L
0
b
dy = In :
1 + y * 1+a
E.10.4. Soit (X,B,/i) un espace mesuré c-fini, et soit / : X — R+ une
application 6-mesurable. On pose
v-(f) = {(x,t)exxR/o<t<f(x)}
V.(f) = { (x,t) e X x R / 0 < t < f(x) }
a) Montrer que V'(f) et V.(f) sont B® B(R)-mesurables.
b) Montrer que /i ® A(V*(/)) = /i ® A(V.(/)) = //<f/i.
c) En déduire que si / est intégrable, alors /i ® A(G(/)) = 0, où G(f) =
{(x, f(x))/x G X} est le graphe de l'application /.

180
10. MESURES PRODUITS
Aide, a) L'application <p : X x R —» R définie par <p(x, t) = t — /(x) est
B ® B(R)-mesurable, et on a V'(f) = (X x [0,+ooD D ¥>"'(]-oo,0]). Donc
V'(f) G B® B(R). De même, on a V.(/) = (X x [0,+oo[) fl^'fl- 00,(¾.
b) Pour tout x G X, on a (V(/))r = [0,/(x)] et (V.(/))r = [0,/(x)[,
donc A((lv.(/))«) = A([0, /(x)]) = /(x), et A((lv.(/))«) = A([0,/(x)D = /(x).
D'après le Théorème de Fubini, on obtient /i ® A(V(/)) = /i ® A(V.(/)) =
c) OnaG(/) = V*(/)\V.(/), donc ,i ® A(G(/)) = ffd»-ffd» = 0. .
E.10.5. Soit /i<i la mesure de dénombrement sur (u,V(u)).
a) Ecrire le Théorème de Fubini dans l'espace mesuré (w x ui,V(w) ®
^(w),/i«f®/i«f).
b) En déduire le résultat de E.4.2-d.
Aide, a) Dans ce cas on peut donner l'énoncé suivant pour le Théorème de
Fubini. Pour toute famille (an,m)(n,m)€uxu d'élémets de R, on a
oo oo oo oo
n=0mr0 m=0n=0 (n,m)£wx.w
et si de plus E(nm)€u,xu, Ia".m| < +°°, alors
OO OO oo oo
n=0m=0 m=0n=0 (n.m)£wXui
b) Notons que l'on peut ramener le problème au cas de la somme d'une
famille dénombrable, qu'on peut donc indexer par u. En effet, soit (a;);g/ une
famille de réels positifs. Si E;e/a> < +oo, E.4.2-b s'applique. Si, par contre,
cette somme est infinie, alors on construit une suite (/„) de parties finies de I
vérifiant Eie/ a; > n. L'ensemble J = U/„ est une partie dénombrable de /,
telle que Ei€/a,- = El€, a,-.
Il devient maintenant clair que E.4.2-d est un cas particulier du Théorème de
Fubini (voir (*)). •
E.10.6. On considère la suite double de réels (a„|m)(n.m)£u définie par
(1 si n = m
—1 si n = m + 1
0 sinon
Calculer Em=o E~=o °",m et E~=o Em=oa",">- Que"e conclusion peut-on
tirer?
Aide. Pour tout m G w, on a E„€„ a„,m = 0, donc Em€„ E„€„ an,m = 0.
D'autre part, on a Em€„ a0,m = 1, et pour tout n > 1, on a Em€„ an?m = 0.
DonCE„€„Em€l,an,m = l-

10. MESURES PRODUITS
181
Conclusion. Considérons l'espace mesuré produit (uxu^lu)®?^)^^»]
et soit / : u x u — R l'application définie par f(n,m) = an,m. Cet exemple
montre que la condition d'intégrabilité de la fonction dans le Théorème de
Fubini est essentielle. En effet, dans ce cas, on a
/
\f\dm®m= £ |On,m| > ^ |P„,n| = +O0. •
(n.m)£htXht n€t*i
E.10.7. Soit (X,B, fi) un espace mesuré c-fini. On considère l'espace mesuré
produit (w x X,V(u) ® B, fid ® /i) (où fid est la mesure de dénombrement).
a) Montrer que pour tout A G V(u) ® B, on a
®ti(A) = ,£ti{An)
où A, = {iG X/(n,i) G /1}.
b) Montrer qu'une application / G Mj(u x X.T^w) ® B) est /i<f ®
/i-intégrable si et seulement si la série ^2„=o f \fn\dp converge, où f„ est
l'application définie par f„{x) = /(n,i), pour tout (n,r) GuxX.
Montrer que dans ce cas, on a
/ /j/id ® /i = £ / /„<f/i = /(£ /-)*
^ n=0"' ^ n=0
Aide. On utilise les résultats de l'exercice E.5.2.
a) D'après le Théorème de Fubini, on a
/id®/i(^)= /( / lA(n,x)dii)diid= ti(A„)diid(n) = '^2ii(An)
^^ J n=0
b) Là aussi, c'est une application du Théorème de Fubini. On a
J l/lw 9e =J(J \f\(n.xW(z))dvd
= J(J\fn\d»)d»d
= £/l/nl<^ (d'après E.5.2)
D'où le résultat.
Si de plus la série £~_0 f\fn\dfi est convergeante (ce qui signifie que / est
intégrable), on obtient, en utilisant E.5.15, que
•> n=0-/ J n=0

182
10. MESURES PRODUITS
E.10.8. Soit (Xi,0i,/ii) (Xi,B2,fii) deux espaces mesurés c-finis. Soit / G
£i(Xi,Bi,/ii) et s G £i(X2,B2,/i2). On définit l'application f®g : XxY —■ R
par / ® s(x,y) = /(x)s(y).
Montrer que f ®g G £i(Xi x Xj.fii ® B^fii ® /ij), et que
Aide. Notons que pour tout x\ G X\, on a (/ ® j)ri = f(x\)g. On a alors
j i/®si<f/i, ®/i2=yry i/cioiisid/iîjd/i,
V =J(\f(xi)\j\9\d^y^
= (JWn)(J\f\fri)
Donc f® g est intégrable, et on a
I f ® 9dlit ® li2 = ( f fdfiA ( f gdfi2j •
E.10.9. ^4 Soit X et Y deux espaces topologiques, et soit /i et v deux
mesures définies respectivement sur B(X) et B(y). On suppose que /i est o—
finie et que v est finie. On sait que B(X)®B(Y) C B(X x V), et qu'en général,
cette inclusion est stricte (voir E.3.18). La mesure produit /i ® v est à priori
définie sur la tribu B(X) ® B(Y). L'objet de cet exercice est de montrer que si
X vérifie des conditions topologiques suplémentaires, alors on peut définir une
mesure sur B(X x Y) qui étend fi®i/.
On suppose que l'espace topologique X vérifie la condition suivante :
Pour tout x G X il existe une suite décroissante (C„(x)) de parties de X
contenant x, tel que la famille (Cn(Lx))^„I<)ÉwxX vérifie
(1) Si U C X est un ouvert, alors pour tout x G U, il existe n G w tel que
C„(x)CU
(2) Si B C X est tel que pour tout x € fi, il existe n G w vérifiant
C„(x) C fi, alors fi G B(X)
Si dans l'espace topologique X, tout élément admet une base dénombrable de
voisinages, alors X vérifie cette condition.
a) *M Soit fi G B(X x Y). Montrer que l'application <pB : X — R,
définie par <pb(x) = i>(fîr), est bien définie, et que c'est une application B(X)-
mesurable. (fir = {y G Y/(x,y) G fi}.)
b) On note v • dfi l'application définie sur 8(X x Y) par
i/(fir)d/i
/'

10. MESURES PRODUITS
183
Montrer que v ■ dfi est une mesure sur B(X x Y). 4
c) Montrer que v • dfi est une extension de /i ® v à B{X x V).
Aide, a) Soit x Ç.X. Pour que >pb(x) ait un sens, il faut que Bz G 6(V). Une
application de la règle E.T. permet de s'en assurer.
Par contre, la C(X)-mesurabilité de l'application <pg est moins évidente à
établir. Pour cela, nous allons utiliser le résultat de l'exercice E.2.16.
Notons T l'ensemble des B G B(X x Y) tels que l'application <ps soit B(X)-
mesurable. Nous allons montrer que T est un c-système sur X x Y. Si de plus,
on montre que T contient les ouverts de X x Y, il en résultera, d'après E.2.16,
que B[X x V) = T. En effet, la classe des ouverts de X x V est stable pour
l'intersection finie.
1) Montrons que T est un c-système sur X x Y. On a tpxxY = "(Y), c'est
donc une application constante. Donc X x Y G T. Soit A,B G T tels que
A C B. Pour tout x G X, on a (B \ j4)r = Br \ j4r, donc, v étant une mesure
finie, on obtient <Pb\a = fB ~ Va- Comme la.difTérence de deux applications
mesurables est une application mesurable, on a B \ A G T. Soit (A„) C T
une suite croissante. Pour tout x G X, la suite (j4*) croit vers (\J„A)Z, donc
limn i/(./l*) = i/((Ui4n)r). Par conséquent, (y>a.) converge simplement vers
Vua«, et donc U„A„ G ^".
2) Soit W un ouvert de X xY. Comme l'application <pw est à valeurs dans
R+, pour montrer qu'elle est B(X)-mesurable, il suffit de montrer que pour
tout a > 0, l'ensemble B = ¥>^'(]a,+oo[) appartient à B(X). Soit xq G fî, et
montrons qu'il existe no G w tel que Cno(a:o) C B, il en résultera d'après la
condition (2) que B G B(X).
Pour tout n G u, soit
V„ = U{ V C K/Vouvert dey, C„(io) xVC^)
D'après la condition (1), on a WTo = UVn, et du fait que la suite (C„(io)) soit
décroissante, on a V„ C Vn+i pour tout n G w. Par conséquent, il existe n0 G w
tel que i>(V„0) > a. Comme tout x G C„0(x0) est tel que V„0 C Wx, et donc
tel que v{Wx) > a, on a C„0(i0) C B.
b) Résulte de la formule (UBn)r = UB*, et de la Proposition 5.2.2.
c) D'après le Théorème de Fubuni, pour tout B G B(X) ® B(Y), on a
,i ® i/(B) = f(j iu(*,y)<My)J<M*)
donc /i ® v{B) = fi/(BT)d(i. Par conséquent, les deux mesures coïncident sur
B(X)®B(Y). •
E.10.10. ** Soit X = {0,1}". On munit X de la tribu produit B, lorsque
{0,1} est muni de la tribu ^({0,1}). Rappelons que B est la plus petite tribu
sur X rendant mesurables les projections pn : X — ({0,1),^((0,1))), n G w.
(On rappelle aussi que p„ est définie par pn(x) = x(n), pour tout x G X.)
On munit X de la topologie produit lorsque {0,1) est muni de la topologie
discrète. L'espace topologique X est métrisable compact.

184
10. MESURES PRODUITS
Pour tout n € u, on note B„ la tribu sur X engendrée par les projections
Pi:X-({0,l},-p({0,l})),0<:<n.
a) Soit n G u. Montrer que la tribu B„ est finie et qu'elle contient 2n+I
atomes. En particulier, B„ est atomique. (Voir E.2.13, pour les définitions d'un
atome et d'une tribu atomique.)
b) Montrer que la suite (B„) est croissante, et que A = Ufî„ est une algèbre
sur X.
c) Montrer que B = <r{A).
Pour tout n € u et pour tout B Ç 6„, on pose
_ . _. \{A G BJA atome de B„ et A C B}\
^ MB) = 2"+i
d) Montrer que /i„ est une mesure sur B„ vérifiant /i„(X) = 1
e) Montrer que pour tout B G B„, on a/in+i(fî) = /in(fî). En déduire que
l'application /i définie sur l'algèbre A par /i(fî) = pn(B) si S € B„, est bien
définie.
f) Montrer que fi vérifie les conditions suivantes :
1) fi(B U B') = fi(B) + /j(B') pour tout B,B' eA tels que B f"l B' = 0.
2) Si (fin) est une suite d'éléments de A qui décroit vers le vide, alors
limn/i(fin) = 0.
g) Déduire des questions précédentes que /i se prolonge de façon unique en
une mesure de probabilité sur B, que l'on notera encore /i.
Aide, a) Pour tout £ G {0,1}{0 n), on pose
Ac = n0<iinPrl({£(i)})
On vérifie aisément, que Ac est un atome de B„, et que l'on obtient ainsi tous
les atomes de B„. Par conséquent, B„ est finie, atomique, et admet 2n+I atomes
(autant que le nombre d'applications de {0,..., n} dans {0,1}).
b) Evident, à partir des définitions. La seule chose à vérifier est qu'une
union d'une suite croissante d'algèbres est une algèbre.
c) On a bien sûr A C B, donc <t(A) C B. D'autre part, par définition, B
est engendrée par la classe des parties de X de la forme Ai = ^^^"'({ê,-}),
où / C w est un ensemble fini (non vide), et 6i G {0,1}. Or un tel ensemble Ai
appartient à B„, où n = max I. Par conséquent, on a B C c(-4).
d) Comme B„ admet 2n+I atomes, on a /i„(X) = 1. Montrons que /in est
une mesure. Aucun atome n'est vide, donc /i„(0) = 0. La tribu B„ est finie, donc
pour montrer que fi„ est c-additive, il suffit de montrer qu'elle est additive.
Soit B,C eB„ telles que fiOC = 0. Si A est un atome de B„ tel que A C BuC,
alors A C B ou A C C. D'autre part, si A est un atome de B„ inclus dans B
alors A est disjoint de C, et vice versa. Donc fi„(B U C) = /Jn(B) + Pn{C).

10. MESURES PRODUITS
185
e) C'est une conséquence du fait que tout atome de B„ s'écrit comme
union de deux atomes de B„+i. En effet, avec les notations de a), pour tout
e G {0,1}'° n>, l'atome A, est union des deux atomes de Bn+l
AnP;;,({0}) et A.np^ui})
Une récurrence permet de voir que l'application /i est bien définie.
f) 1) Soit B, B' G A. Il existe un entier n G w tel que B,B' G B„. Par
conséquent, si B et B' sont disjoints, on obtient /i(fî U B') = fi„(B U B') =
/i„(B)+/in(B') = /i(S) = /i(B')-
2) Notons que tous les éléments de A sont des fermés du compact X. Soit (Bn)
une suite d'éléments de A, qui décroit vers le vide. Fixons, un entier no G u tel
que B„ = 0 pour tout n > n0. On a alors limn/i(Bn) = limn>„0 fi(B„) = 0.
g) On montre aisément, à partir de f), que /i est une mesure sur A. Le
reste est une conséquence du Théorème de prolongement de Carathéodory. •
E.10.11. 44 Dans cet exercice, on reprend les notations de l'exercice E.10.10.
Soit T : X —' X l'application définie par T(i)(n) = x(n+ 1), pour tout x G X.
a) Montrer que T est (B, B)-mesurable, et que pour tout B G B, on a
/i(T-I(fî)) = /i(fî), c'est à dire la mesure image /iT est égale à /i.
On pose T° = Idx, et par récurrence r"+I =ToT", pour tout entier n > 1.
Pour tout A G B, on définit
CA = {BeB/ limv(T-"(B)HA) = /i(B)./i(>l) }
n
où T-"(B) = (r-)-'^).
b) Soit n G u; et soit A, B £B„. Montrer que pour tout k > n, on a
^(7-^5)1-1^) = ^(5).^)
c) 444 On suppose que AÇ.A. Montrer que A C CA, et que C* est une
classe monotone sur X. En déduire que Ca ~ B.
d) Montrer que pour tout S, C G 6, on a
lim/i(T-n(B) n C) = /i(B)/i(C7)
n
Aide, a) Pour tout n G w, on a pn o T = p„+t. Donc, d'après la Proposition
3.4.3., l'application T est (B, B)-mesurable.
Pour montrer que la mesure image /it coïncide avec la mesure /i sur B, il suffit
de montrer que ces deux mesures coïncident sur l'algèbre A (qui d'après b),
engendre B), et d'appliquer la Proposition 9.2.1. Pour cela, il suffit de montrer
que pour tout n G w, et pour tout atome A de B„, on a /i(T~'(i4)) = fi(A).
Soit n G u, et soit A un atome de B„. Ecrivons A = n0<,<„pf '({e(«)})> ou e
est un élément de {0,1}<°- 'n). On a alorsT~l(A) = r\i<i<„+1prl({e{i-l)}).
L'ensemble T~l(A) est donc union des deux atomes de Bn+1 donnés par
a0 = i-Wn-HP.-'a^ -1)» npô'ao»)

186
10. MESURES PRODUITS
et
i4i=n,s.SlH.iR-,({e(i-l)})n|ib,({l}))
Par conséquent, /i(T-I(j4)) = /i„+i(j40 U Ai) = j^t = /in(A).
b) Il suffit de le faire dans le cas où A et B sont des atomes. Soit e\,£2 £
{0,1}<° "> tels que i4 = rWnft'Hcf.i)}) et B = rWnP."'^»')})-
Pour tout i > n, on a
T~k(A) n B = nKist+jf^eiO' - *)})f|no<.S»R'({eiW})
Donc T~k(A) 0 B est un élément de Bt+„ contenant 2t-n-1 atomes de Bk+n-
D'où
^ rfT-*(A) n B) = *£l = ^-L • ^-L = M „(B)
c) Soit BEA Fixons un entier n € u tel que A, B G B„. D'après b), on
a ii(T~k(B) HA) = /i(B)./j(i4) pour tout k > n. Par conséquent ACCa-
Montrons que Ca est stable pour le complémentaire. Soit B & Ca- On a
/i(j4) = fi(T~"(B) H A) + ii(T-"(Bc) n /1), donc, en utilisant le fait que
fi(X) = 1, on obtient limn/i(T-"(Bc) H A) = fi(A) - limn/i(T_n(B) H A) =
p(A) ■ (1 - ti{B)) = ti{AU{Bc). Donc B< e CA.
Montrons la stabilité de Ca pour l'union dénombrable croissante. Soit (Bn) une
suite croissante d'éléments de Ca- Posons B = UBn. Pour tout couple (n,p)
d'entiers, on a
MT~"(B)nA)-ti(B)-ti{A)\ < |/i(T""(B)nA)-»(T-"(Bp)ni4)|
+ |p(3^-(fl,)ni4)-M^)./'M)l
+ |/i(B,,)./i(il)-/i(B)./i(il)|
D'autre part, on a |/i(T-"(B) n /1) - ii(T-"(Bp) H A)\ < ii(T~"(B \ Bp)) et
|/i(Bp)./i(.i4) —t*(B) n{A)\ < ti(B \ Bf). En utilisant le fait que /ir- = /i, pour
tout n € u, on obtient l'inégalité
|/i(T-(B) n i*) - /i(B)./iM)| < 2/i(B \ Bp) + MT~"(Bp) nA)- »{Bp)+(A)\,
de laquelle on obtient aisément que lim„ |/i(T~n(B) HA) — /i(B)./i(j4)| = 0.
D'après le Théorème des classes monotones, on a Ca = B.
d) Posons C = {A Ç. B/ B C Ca }• D'après c), on a .4 C C. Un raisonnement
analogue à celui fait en c), permet de voir que C est une classe monotone, et
donc que B = C. D'où le résultat. •
E.10.12. <fr Dans cet exercice, on reprend les notations de E.10.11.
On considère l'ensemble
Bi = {AeB„/T-1(A) = Afi-p.p.}
a) Montrer que Bi est une tribu sur X. On l'appelle tribu des ensembles
invariants.

10. MESURES PRODUITS
187
b) Montrer que si une application / : X —• R est (C/, C(R))-mesurable,
alors/oT= //i-p.p..
c) Montrer que pour tout A G Bi, on a/i(j4) = fi(A).fi{A). En déduire que
Bi est engendrée par les ensembles négligeables.
d) Montrer que si / G M(X,Bi), alors / est constante /i-p.p..
Aide, a) Le fait que Bi soit une o—algèbre sur X est une simple vérification.
b) On utilise la méthode standard.
c) Soit A G Bi. On a T~*(A) = A /i-p.p.. Donc, pour tout n G w, on a
T~"(A) = A /i-p.p.. Il résulte de E.10.11 que fi{A) = lim„ii(T~"(A) fl A) =
/i(i4)./i(i4). Donc, puisque n(X) = 1, on a fi(A) = 0 ou ii{A) = 1. La tribu Bi
est par conséquent engendrée par les parties de X qui sont /i-négligeables.
d) Appliquons la méthode standard. Notons H l'ensembles des applications
/ G R* constantes /i-p.p.. Ti est un espace vectoriel réel (immédiat), donc
d'après c), H contient S(X,Bt). Soit / G M+(X,Bi), et soit (sn)n€„ C
S(X, Bi) une suite convergeant simplement vers /. Pour tout n£u soit a„ G R
tel que /i({s„ ^ an}) = 0. Soit A = l"l{sn = a„}. On a Ac G #« et /i(A) = 1.
Soit iGA. On a limn an = lim„ s„[x) = /(i), donc, d'une part la suite (an) est
convergeante, et d'autre part l'application / valant limn a„ sur A, est constante
/i-p.p. •
E.10.13. <M Familles semi-compactes
Soit X un ensemble et C une collection de parties de X. On dit que C est
semi-compacte si C possède la propriété suivante : toute suite (Cn)new C C
telle que Dne/Cn ^ 0 pour tout I Cui fini (auquel cas, on dit que (C„) possède
la propriété de l'intersection finie), est telle que l'intersection nn£uCn est non
vide.
a) On suppose que C est semi-compacte. Montrer que les collections C,, Ci
et Cp sont semi-compactes.
b) Soit A une algèbre de parties sur l'ensemble X, et soit /i : A —• R+ une
application additive. On suppose qu'il existe C C A semi-compacte telle que
l'on ait la propriété d'approximation suivante : pour tout A G A
fi(A) = sup{ ii{C)l CeC,CCA]
On dit que A est C-tendue.
Montrer que limn/i(j4n) = 0, pour tout suite (A„) C A décroissant vers
l'ensemble vide. En déduire que /i est une mesure sur A.
Aide, a) Montrons que C, est semi-compacte. Soit (C„) C C, une suite
possédant la propriété de l'intersection finie. Pour chaque entier n G w, soit
/„Cu fini et (QJi€/„ C C, tels que C„ = Ue/.CJ^. Soit T un ultrafiltre sur
X contenant la famille (Cn). Pour tout n G w, soit in G /„ tel que C}; G T.
La suite (C)') d'éléments de C possède la propriété de l'intersection finie, donc

188
10. MESURES PRODUITS
Montrons que Ce est semi-compacte. Soit (Cn) C Ci possédant la propriété de
l'intersection finie, et pour tout n G w, écrivons C„ = C\mtuC%, où C™ G C
pour tout n, m G w. Soit <p = (y>\, ^2) : w —» w x w une bijection. Pour tout
n G w, posons B„ = C*?'£\. On vérifie aisément que la suite (Bn) d'éléments
de C possède la propriété de l'intersection finie, et que C\n^wB„ = n„e„Cn.
D'où le résultat.
Pour la collection Cp. il suffit de remarquer qu'une sous-collection d'une
collection semi-compacte, est semi-compacte.
b) Notons que l'additivité de /i implique que /i(0) = 0, et que fi(A \ B) =
fi(A) — /i(fî) pour tout A, B G A. En particulier, /i est croissante.
Soit^(i4„)n>i C A une suite décroissante vers 0. Soit e > 0. Pour tout n G u,
soit Cn G C tel que C„ C A„ et n(A„) < n(C„) + £-. Pour tout n > 1, on a
l'inégalité
n
/«(*.)</«(c,n...ncB) + ££ (*)
1
Montrons le par récurrence sur l'entier n > 1. Pour n = 1, l'inégalité (*) est
vraie. Supposons que c'est le cas pour n > 1 . On a
ai(c„+i) = ^(c, n... n c„+I)+p.((c, n... n c„)c n c„+I)
Comme C„+i C A„, on obtient
/i(c„+,)</i(c,n...nc„nc„+,)+/i(i4„)-/i(Cin...nc„)
Donc
n
/i(A.+i) < /i(c„+i) + ^+r< KCi n... n cn+I) + £ ^ + ^
D'autre part, on a nn€„Cn C (\çwA„ = 0. La collection C étant semi-
compacte, soit p G w tel que ni<,-<nCj = 0, pour tout n>p. D'après (*), pour
tout n > p, on obtient fi(A„) < /i(Ci n...nC„)+e<£. Donc lim„ fi{An) = 0.
Montrons que /i est c-additive. Soit (A„) C A une suite 2.2.d., telle que
A = Une„i4n G A. Posons B„ = A \ \Ji<„Ai. La suite (Bn) d'éléments de A
décroit vers l'ensemble vide, donc 0 = lim„ /i(Bn) = lim„(/i(.i4)—/i(U,-<nA)) =
ti{A) - lim„(EÔ KAi)) = p{A) - E~ dA„). •
E.10.14. Relèvement d'espaces mesurés
Soit X un ensemble, (V, B, /i) un espace mesuré, et / : X —» V une application
surjective. La collection /~'(B) = {/~'(B)/B G 6} est une tribu sur X. On
définit une application \J sur /~'(B), en posant /i'(/-l(B)) = A<(B).
a) Montrer que l'application /i'' est bien définie, et que c'est une mesure
sur /_I(B). On dit que ix,f-l(B),fi') est l'espace relevé de (Y,B,n) par /
et que p* est la mesure relevée de la mesure /i par /.

10. MESURES PRODUITS Jgg
b) Montrer qu'une application h : X —• R est dans M(X,f~1(B)) si et
seulement si il existe <p € M(Y, B) telle que h = <p o /, et dans ce cas, si ^ est
positive, on a f ipo fdfi^ = J hdfi^ = f <fidfi.
Aide, a) Que fi1 soit bien définie résulte de la surjectivité de /. Le reste est
une simple vérification.
b) On procède comme dans la preuve du Théorème de Doob (E.3.10) (ou
on l'applique). L'égalité des intégrales se fait par la méthode standard. •
E.10.15. 4444 4 Théorème de KolmogOroff
Soit ((X„, B„, /i„))„j„ une suite d'espaces de probabilité, et soit X = n„e„X„,
et ®B;, la tribu sur X engendrée par les projections p„ : X —» X„, n(u.
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une mesure de probabilité v
unique sur (X, ®C„), telle que pour tout nGuet pour tout Ao G Bo, ■ ■ ■, A„ G
C.Onait i'(no5{<„pJ"l(i4i)) = /i0(i40)x.. .Xfi„(A„). Cette mesure est appelée
mesure produit des mesures /i„. On la désigne par ®/in.
Pour établir l'existence de cette mesure on utilise les mesures produits ®;<nP;
définies sur les espaces mesurables produits (Xo x ... x X„, ®i<„Bj). Rappelons
que ®{<„/ij est l'unique mesure sur ®;<„/[?; vérifiant
®i<nMr\<"PÏl(B{)) = /i0(Bo) X ... X tln(Bn)
pour tout Bo G Bo,...,B„ G B„. Pour tout 0 < n < m, on a la propriété
d'associativité suivante :
®0<i<mW = (®0<i<n/ii)®(®n+I<i<mW)
Pour tout n > k, on note p£ : X — Xk x ... x X„ la projection définie par
p*(i) = (i(t),...,a;(n)). Utilisant les résultats et les notations de l'exercice
E.10.14-a), on pose Ak„ = (pS)"'(»»<;<„£.), et i^ = (®k<i<„inY'. Pour tout
t G w, on note .4* = Ui>t^*. Il est utile de remarquer que, pour tout k G u,
Ak est une algèbre sur X, et que ®i>/t& = cM*)-
Enfin, pour tout k G w, et pour tout .A G .4*, on pose i^(A) = vk(A) si A G .4*,
n>t.
a) Soit l6u. Montrer que l'application vk est bien définie sur .4*, et que
c'est une application additive sur .4*
b) Soit k G w, et soit n > k et A G .4*. Montrer que l'application
* G Xk —■ uk+1(At) G R est Bk-mesurable, et que
uk(A) = juk+l(At)d^k
c) Montrer, en utilisant les résultats précédents, que v° s'étend de façon
unique en une mesure de probabilité sur (X,®B„).
Aide, a) Le fait'que vk soit bien définie résulte de l'associativité des mesures
produits ®Ki<nW- En effet, soit A G .4*, et supposons que A G .4* n .4^,

190
10. MESURES PRODUITS
où m > n > t. Soit B„ G ®Ki<n&- et Bm G 8Ki<mft, tels que A =
(Pn)"'(Bn) = (pS,)-I(Bm). On" a alors Bm = B„Vx„+, x ... x Xm.
Par conséquent, d'après l'associativité des mesures produits, on a i£,(A) =
®t<i<m/ii(Bm) = ®t<i<m/ii(BnXX„+lX...xXm) = ®/t<.<„/i;(B„) = V*(A).
L'additivité de vk résulte de la croissance de la suite (.4*)n>t, et de l'additivité
des mesures i/*.
b) On a B = p^(A) G ®/t<;<„B;, et pour tout t G Xk, A, = (j£+I)-'(B,)-
D'après le Théorème 3.4.4, Bt G ®i+i<i<nC;, donc At G ^4*+l, et donc
vt+l(At) = ®i+i<i<nPi(Bi)- D'après le Théorème de Fubini, l'application
!£Xj- ®t+i<i<nW(Bi) G R est Ct-mesurable, et on a /i/t+I(i4()(f/it(<) =
/®t+î|i<nw(fîijJ/it(0 = ®t<;<nw(B) = i>ï(A) = vk(A).
c) Montrons que v° est c—additive, il en résultera d'après le Théorème
de Carathédory l'existence d'une unique mesure de probabilité sur (X,®B„)
prolongeant v°. Soit (A„) C .4° une suite qui décroit vers l'ensemble vide, et
montrons que linin v°(A„) = 0, il en résultera d'après l'additivité de v° sur .4°,
que v° est c-additive sur l'algèbre .4°. Soit e > 0, et montrons par l'absurde,
que si v°(A„) > e, pour tout n G w, alors C\A„ ai 0. (Noter que la suite
{v°(An)) est décroissante.) Pour cela, nous allons exhiber un élément a G C\A„,
en construisant par récurrence sur k G u les éléments a(k) G Xt-
Pour tout n Gw, posons B„ = {* G Xo/vl{{A„)t) > |}. D'après b), pour tout
n G u, on a
^04,,) = ^((^.),)^0(0
= / "'((A.).)<W) + / "'((AO.MMO
<MSn)+|
Donc la suite décroissante (fin)nEu C Bq est telle que /Jo(Bn) > f' Pour tout
n G w. Comme /io est une mesure bornée, on en déduit que nfî„ ai 0. Soit
<Jo G n£„, et supposons que l'on ait construit une suite finie (ao,..,ai) G
X0 x ... x ,Yt telle que ^+H(i4n)(„0 aj) > j/jy, pour tout n G w et
pour tout 0 < j < k. En répétant le raisonnement précédent, appliqué
au 6-uplet (Xl+i,/H+i,((A>)(«io «,)W."'+1."t+2. 2^t) a la Place du 6_
uplet (^0,^0.(^^^^,^0.^1.^). on obtient un élément a/t+i G Xt+i tel que
"t+2((A.)(a„ «■»+.)) > 2^ P°ur tout "£"•
Montrons, pour conclure, que l'élément a G X défini par a(k) = at pour tout
k G u, appartient à CIA,. Soit n G w, et fixons un entier m G w tel que A„ G Am-
Il résulte de l'inégalité i>m+I((A,)(ao,.. .a-)) > ° 1ue (A,)(a(o) a(m)) # 0.
autrement dit, que p°n(a) = (a(0) a("0) G Pm(-^n)- Par conséquent,
"e{jt)-l{p°m(Ar,)) = A„. .
REMARQUE. La mesure construite dans l'exercice E. 10.10 n'est d'autre que ®/i„,
où pour tout n G u, /in est la mesure définie sur (X„,B„) = ({0,1},7>({0,1})
par /i„({l}) = /Jn({0}) = 5 (mesure de pile ou face).

10. MESURES PRODUITS
191
E.10.16 <&<& Tribu asymptotique
On reprend les notations de l'exercice E.10.15. Pour tout k G w, on" note
pf : X -~ Tl„>kX„ la projection définie par pf(x)(n) = x(n), pour tout
x G X et pour tout n > k. On appelle tribu asymptotique sur X la tribu B
donnée par l'intersection des tribus (p£°)-I(®„>/tBn), k G w. On notera qu'on
aBC®B,.
a) Montrer que pour tout A G A0 et pour tout i£u,ona
®WM = y ®„>/t/i„(>ii)<f®i<t /i,(0
b) Soit B G B. Montrer que la classe des éléments A de ®B; vérifiant
®/i,(/l CI B) = ®fii(A) x ®/i;(B)
est une classe monotone.
c) En déduire que pour tout A G ®B, et tout B G B, on a
®/i,(/l n B) = ®/i,-(i4) x ®/i,(B)
et que l'on a la propriété suivante sur B (propriété dite loi zéro-un) : pour
tout B G B, on a ®m(B) = 0 ou ®fi,(B) = 1.
Aide, a) En utilisant E.10.15-b, appliqué successivement à i/°,i/l,...,i/k, on
obtient
®K(A) = J ■ ■Juk+1(A{t0 ak)W0(t0) ■ ..drftk)
En utilisant ensuite le Théorème de Fubini, on obtient
®MA) = / ®n>t/in(AM®i<t w(0
b) C'est une simple vérification.
c) Il suffit de montrer que les éléments A G A0 vérifient cette condition,
et d'appliquer b). Soit A = n,<np~l(i4i), où A, G B;. Soit Cm+i G ®n>m+i&i
tel que B = (Pm+ii'HCm+i). D'après a), on a
®fii(A n B) = / ®„>m/i„((>l H B),)d ®;<m /i.(0
donc ®/i;(>lnB) = ®„>m/i„(Cm+i) x ®.<m/ii(n.-<mpfl(i4.-)) = ®/ii(B) x
®/i;(/l). •
REMARQUE. Considérons l'espace produit de l'exercice E.10.10. Soit T un filtre
sur w contenant le filtre des parties co-finies de w. En identifiant une partie
de u avec sa fonction indicatrice, on considère T comme un sous-ensemble
de l'ensemble produit X = {0,1}". On montre aisément que, si T G ®B„
(i.e. T est mesurable) alors, T appartient à la tribu asymptotique de {0,1}"

192
10. MESURES PRODUITS
(en fait, pour tout n G w, on a T = (pjf)-l(.?0)- Ceci a pour conséquence
que les ultrafiltres non triviaux sur u> ne sont pas mesurables (un ultrafiltre
est un filtre maximal ; un ultrafîltre non trivial est un ultrafîltre U tel que
fl{(7/(7ei/} = 0; l'existence des ultrafîltres non triviaux est assurée par le
Lemme de Zorn). En effet, si T est un ultrafîltre mesurable, alors on montre
que l'idéal Tc = {Ac/A G T} est aussi mesurable et a la même mesure que
T ; par conséquent, les deux possibilités ®/i„(^") = 1 ou ®/i„(^) = 0 mènent
à l'absurdité ®/in(X) = 2 ou ®/i„(X) = 0.
V

•* }
Chapitre 11
Décomposition des mesures
11.1. Mesures, décomposition de Jordan-Hahn
Soit (X,B) un espace mesurable. Une mesure /i sur B (ou (X,B)) est une
application de B dans R \ {—00} telle que :
1) /i(0) = 0.
CO
2) Pour toute suite (A„) dans B 2.2.d. fi(U„A„) = ^2fi(A„).
n=I
Lorsque /i est à valeurs dans [0, +00], on retrouve la notion de mesure positive
définie antérieurement.
Proposition 11.1.1. (Jordan-Hahn) Soit /i une mesure sur un espace
mesurable (X, B), alors il existe D G B (non un:gue en général) tel que :
VAeB fi(A D Dc) > 0 et fi(A n D) < 0.
/i+ et ii- définies sur B par ii+(A) = fi(A D Dc) et y.-{A) = -fi{A D D)
sont deux mesures positives vérifiant fi = /i+ — /i~. De plus ii~ est bornée
et le couple (/i+,/i~) est indépendant du choix de D.
Les triplets (D,ii+,/i~) sont appelés décompositions de Jordan-Hahn
de /i.
DÉMONSTRATION. Clairement, si un tel D existe, /i+ et /i~ sont deux
mesures positives, fi~ est bornée, (i = n+ — /i~ et on montre aisément que /i+
et /i~ ne dépendent pas du choix de D (exercice).
Démontrons l'existence de D.

194
11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
Les ensembles enjeu étant dans B, on omet d'écrire leur appartenance à B (ceci
pour alléger les écritures).
Posons n'(A) = sup{ »(C) /CCA}etA = {A/ n'(A) = 0 } =
{ A I f(A) < 0 } (0 C A).
Montrons que A est stable pour Uj. Soit (Ai) une suite dans A et C C UAi-
On a:
,i(C) = ][>(cn (A, \ |J A;)) < ][>*(A.) = 0.
n ^ j<n ' n
De plus 0 G A et donc .4^0.
Posons 7 = inf{ /i(A) / A G A } (dans R). Nécessairement, on a 7 G R_ et
7 est atteint. En effet, soit (Ai) dans A telle que /i(Ai) 1 7 (propriété de la
borrife inférieure). Comme Un Ai € >t, on a pour tout p :
7 < /i(u„A.) = /i((U A. - A,) u A,) = /i(u A. - A,) + i^A,)
</i'(u„A) + /i(A) = M^p)-
On en conclut que /i(U„Ai) = 7 et que nécessairement 7 G R_.
On pose D = Un Ai- On a donc /i(D) = 7 et D G .4.
Montrons que :
1) VB BCD-/i(£)<0
2) VB ([BCDcet/i(B)<0]-/i*(B)>0).
Le 1) est évident car p*(D) = 0.
Montrons le 2). Supposons que l'on ait un B vérifiant les conditions : B C Dc,
l /i(B) < 0 et /i'(B) < 0. On a alors B et D dans .4 et comme A est stable pour
Uj, on a B U D dans A. D'autre part, la condition B CI D = 0 entraîne que
/i(B U D) = /i(B) + /i(Z)) < 7. Ceci contredit la définition de 7.
Montrons que :
VB BCD1- /i(B) > 0
(on aura donc trouvé un D répondant aux conditions du théorème).
Supposons que l'on ait un B inclus dans Dc tel que f(B) < 0. D'après 2),
soit Bi C B tel que fi(Bi) > l/2/i*(B) > 0. La partie B \ Bi de Dc
est telle que fi(B \ B\) = fi(B) — /i(Bi) < 0. Faisant jouer le rôle de B à
B \ B,, on trouve B2 C B \ Bi tel que fi(B2) > l/2/i"(B \ B,) > 0. De plus,
/i(B\(B, UB2)) =,i(B)- (^(B.J + ^BO) < 0.
On poursuit la construction par récurrence et on obtient une suite (Bn) de
parties 2.2.d. telle que
Vn ^(Bn)>l/2^*(B\U1<nB1)>0 et ^(B \U,<nB.) < 0.
On en déduit aussitôt que pour tout n, fi*(B \U„Bn) < fi'(B \Uj<nBj) <
2/i(Bn) (*)•
Montrons que fi'(B \ UnBj) < 0. On a 0 > fi{B) = fi{B \ \JnB„) +
/i(UnBn) = /j(B\U„Bn)+£n ti(Bn). Les n(B„) étant positifs, on en déduit que
E„ KB") < +°° et <lue KB \ UnB„) < 0. Il est clair alors que fi(B„) —. 0
et en appliquant (*), on obtient que fi*(B \ U„B„) < 0.

11. DECOMPOSITION DES MESURES
196
Cette dernière inégalité jointe au fait que B \ U„B„ c D* et urnt < o \
contredit 2). * " WAÛ < «
REMARQUE. On pourra montrer que fi* = fi+. *
Corollaire 11.1.2. Pour que /i soit bornée, il /0¥j jj j —jr^
/i(X) < +oo. "* •"
DÉMONSTRATION. Si /i est bornée, on a évidemment /i(X) < +oo Invnws.
ment, si /i(X) < +oo, on a /i+(X) = /i(X) + /i"(X) < +ooet donc p+ «A
bornée. Comme /i" est bornée et que /i = /i+ — /i~, on en conclut que a «at
bornée. 4k
REMARQUES. 1) Pour tout ^4 G B, on a —oo < — fi~(X) < -/i~(A) < u{A) <
/i+(X) = /i(X) +/i~(X) (exercice). Ceci permet de retrouver le résultai dû
corollaire 11.1.2.
2) On peut introduire la mesure positive \fi\ = fi+,+ fi~. Elle est appelée
la variation totale de /i. On démontre que
M(A) = sup{ £|/i(A,)| / (A.) 2.2.J. , A = UA, }.
Pour la suite, on note M = MiX,B), l'ensemble des mesures sur B. De
même, on note M4 (resp.M ,MJ,MJ) l'ensemble des mesures bornées (resp.
positives, positives c-finies, positives bornées) sur B.
On vérifie que M4 est un espace vectoriel réel et que si on pose N(fi) = |/i|(X),
on définit une norme complète sur cet espace et donc (Mt, N) est un espace
de Banach.
11.2. La décomposition de Lebesgue
Soit (X.B) un espace mesurable, /i et v deux mesures sur B. On dit que v est
absolument continue par rapport à /i si on a /i(A) = 0 —» v(A) = 0. On
écrit v -C /i. On dit que les mesures /i et v sont équivalentes si on a /i <C v et
!/</!.
On dit que /i et v sont étrangères s'il existe A G B tel que ii(A) = 0 = i>(j4c).
On écrit /i _L 1/.
EXEMPLES. 1) Si /i est une mesure positive sur B et si / est élément de
Ci(X,B,ii), les propositions 5.2.9 et 5.3.6 prouvent que v définie sur B par
1/(/1) = J fdfi est une mesure absolument continue par rapport à /i. Nous
verrons plus loin une réciproque à cette proposition (Théorème de Radon-
Nikodym).
2) La mesure de Lebesgue et la mesure de Dirac en 0 sur B(R) sont étrangères
(exercice).
Lemme 11.2.1. Soit (X,B,ii) un espace mesuré et v une mesure positive
finie sur B. On pose :
n = {feM+(x,B,»)/VAeB j fdli<v(A)}.

196 11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
Alors il existe /o G 72 l~l C^(X,B,fi) telle que pour tout f dans 72 on ait
/ < /o fi-PP- _
(autrement dit, /o est maximale dans (72/ ~,-<) - cf. 6.1).
DÉMONSTRATION. 72 possède les propriétés suivantes :
a) 0 G 72,
b) /1,/2 e72-*sup(/,,/2)e 72,
c) (/„) dans 72 et /„ î / — / G 72.
Le a) est évident et le c) résulte de la propriété de Beppo-Levi.
Montrons le b). Posons fî = {/1 > /2} et soit A G B. On a
/ sup(/,,/2)d/i = / /,d/i + / f2dli < v(An B) + v(A n Bc) = u(A).
JA ^ .MnB JAnB'
D'où b)
Posons o = sup / fdfi < v(X).
leRJx
D'après la propriété de la borne supérieure, il existe une suite (/„) dans 72 telle
que fx f„dfi —. a.
Posons g„ = supi>n /j. D'après b), on a g„ G 72 et fx g„dfi —> a (pour tout
n, Jx f"dl* ^ Sx Sndii <
apposons /0 = sup gn = lim î g„.
D'après c), on a /0 G 72 et d'après la propriété de Beppo-Levi, on a / fodfi =
lim / g„dfi = a.
I Soit / G 72. On a sup(/0,/) G 72. D'où, a - / fodfi < /(sup(/0,/))d/i < a
et donc f fodfi = /sup(/o,/)<f/i. On en déduit que /0 = sup(/o,/) /J-p.p.
et il en résulte que / < /0 /J-p-P- Comme /0 est intégrable, en la modifiant
éventuellement sur un ensemble de mesure nulle, on peut la supposer dans
Ci(X,B,fi). La fonction /0 répond alors à la question. 4>
x
On convient de dire que / ayant une propriété (P) dans un espace £ (=R ,
M(X,B), Ci(X,B,fi), etc..) est /i-unique, si pour tout g dans E : g possède
(P) ssi g = f /i-p.p.
Théorème 11.2.2. (Décomposition de Lebesgue) Soit (X,B,fi) un
espace mesuré o--fim et v une mesure bornée sur (X,B). Il existe alors
f G Ci(X,B,/i) ii-unique et N eBnjV,, tels que
VAeB v(A) = f fdn + v{A n N).
St v est positive, on peut prendre f dans Cf(X,B,fi).
Dans le cas où v est positive et seulement a-finie, la décomposition est
valable avec f G Mj(X,B,fi).
DÉMONSTRATION. Si on montre le théorème pour les mesures v positives,
grâce à la décomposition de Jordan-Hahn, on aura aisément le cas général
(exercice).

11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
Supposons donc v positive, bornée et traitons le cas u est finL
Soit /0 définie dans le lemme 11.2 1 Soit i/ la mesure Dcniiw ,b£_L~
i/(A) = v(A) - fA fodfi pour tout A G B. i—«m* ««as*-
Pour tout entier n, soit D„ un ensemble de décomposition de Jordan-IUi*. A»
la mesure u' — £/i. On a pour tout n et tout A G B :
i/(Ar\Dcn)>^{AnDcn) et v'(AnDn)<l.rtAnDn)_
Fixons n. On a :
fA (/o + £1d; )d/i = f, /oci/i + £/i(>l n /¾)
= "(A).
On a donc /o + £1d* G 7J (Lemme 11.2.1) et donc /i(£>„) = 0 (maximalité de
/o).
En posant N = UD£, on a N G B CI Af„. De plus, pour tout n, i/(Nc) <
^{Dn) < ^{Dn) < ^/i(X). On a donc i/{Ne) = 0 et pour tout A G B,
i/(/l) < i/(/l n N) = i/(/l CI N). U s'en suit que pour tout A G B, i>(j4) =
La /i-unicité de /0 résulte de sa maximalité. En effet, soit g G £i et N' G-A/^OB
tels que pour tout j4 G B, on ait 1/(^4) = fA gdfi + u{A fl N'). On a alors alors
fA gdf* < v(i4) pour tout A G B. D'où g < /o /i-p.p. et donc 0 < /o — g /i-p.p..
Par ailleurs, i/(N') = v(N' H N) = v(N). On a alors
0 = i/(X)-i/(X) = (/ f0dv+v{XnNJ)-(J gdp+i,(XnN'))= J(fo-gW
et donc /o = ff /i-P-P-
Si /i est <7-finie, on obtient aisément le résultat en utilisant une suite associée
à /i 2.2.d.. En effet, soit (B„) une telle suite. Pour tout n, on note /i„ et vn les
restrictions de /i et v aux espaces mesurable (B„,Bn B„). Pour tout n, ce qui
précède permet de trouver /„ G £i(fl,,fifl B„,/i„) et N„ G Af,,m fl (B fl B„)
tels que pour tout A G B, on ait u„{A fl B„) = /j,n B /nd/in + "(-^ H &, n Af„ ).
On considère alors /n comme étant définie sur tout „Y en la prolongeant par 0
là où elle n'est pas définie et on pose / = En/"- H est clair alors que / est
dans M+(X,B) et que / = £n ls./n- De plus, en posant N = U„N„, on a
évidemment N G N? 0 B.
U vient, pour tout A G B, en appliquant la c-additivité des mesures, 5.2.9 et
HA) =EnMAnBn)
= En (LnB. /»«fo" + *»M n ^" n *»))
= En LnB. Z"^" + En "n(>l H N„)
= En L Wn<*/i + "(UnM H N„)

198
11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
On a / G Ci en vertu de la"bornitude" de i/.
Le cas où i/ est positive et seulement c-finie se traite en utilisant une suite
2.2.d. associée à i/ et en exploitant le résultat ci-dessus. Les arguments sont
similaires à ceux déjà utilisés (exercice). 4>
11.3. Le Théorème de Radon-IMikodym
Nous allons ici préciser les résultats de 5.2.9 et 5.3.5.
Proposition 11.3.1. Soit (X,C,/i) un espace mesure. Si on a f G
QInt(X,B,y) alors v définie par v(A) = JA fdfi pour tout A G B est une
mesure sur B (notée f./i) absolument continue par rapport à (i (v <C (i).
De plus, si D = {/ < 0} = {/" > 0} et si i/i et i/2 sont définies par
v{{A) = fAf+d(i et Vi(A) = fAf~dfi pour tout A G B alors (D,vltv2)
est une décomposition de Jordan-Hahn de i/.
Si f G Ini alors v G Mt.
Si f e M+ alors v G M+-
Si f G M * et fi est a-fime alors v G Mj.
Si f G Ini+ alors v G M*"-
DÉMONSTRATION. Si g est élément de M+ alors A —► fA gd/i est une
mesure positive sur B absolument continue par rapport à /i (5.2.9). Pour
/ G QXnt, i/i et 1/2 sont donc deux mesures positives telles que u-i soit bornée
et v = i/i -1/2 On a, pour tout A G B, v(A n D) = -vz(A HD) = -i*i{A) < 0
et t/(A D Dc) - ux{A CI Dc) = Vi(A) > 0. Par conséquent, (D,i/i, 1/2) est une
décomposition de Jordan-Hahn de 1/ en vertu de 11.1.1. De plus, il est clair que
* i/</i.
Si / est dans Ini alors i/+(X) = //+d/i < +00 et donc 1/ G Mt.
Si / est dans M+ alors i/(A) = fA fdp < 0 et donc 1/ G M+-
Si / est dans Ini+ alors 1/ G M+ et v(X) = f fdfi < +00 et donc v G M^".
Supposons / dans Mt et /i c-finie. Soit (Bm) associée à /i et posons Bm§„ =
{/ < n} D Bm pour tout m et n. Clairement, UmnBm„ = X et on a
</(£m,n) = / /d/i = / fdfi < n.ti(Bm) < +00.
Jb„.. J|/<n)nB„
Donc 1/ G Mj-
Notation. La mesure 1/ associée à / dans 11.3.1 sera notée /./i.
Le Théorème suivant fournit un réciproque au Théorème 11.3.1.
Théorème 11.3.2. (Radon-Nikodym) Soit (X,B,n) un espace mesuré
cr-fim. Soit 1/ une mesure surB absolument continue par rapport à fi. Alors
il existe f G QIni(X,B,ti), fi-untque, telle que :
VAeB v(A) = Jfd» (*)
De plus, on a :

11. DECOMPOSITION DES MESURES
1) Si v est bornée, on peut choisir f dans C\.
2) Si v est positive, on peut choisir f dans M+.
S) Si v est positive et a-finie, on peut choisir f dans M*.
4) Si v est positive et finie, on peut choisir f dans Ct
En général, f se noie — et on dit que c'est une dérivée de Rjtdfav.
Nikodym de v par rapport à fi.
DÉMONSTRATION. Supposons v bornée. La décomposition de Lebetcne
donne / dans C\ et N dans N,, 0 B tels que pour tout A G B, 1/(/1} =
fA fdfi + v(A n N). Comme on a v ^ /i, on a donc v{A D N) = 0 pour
tout A G B. Donc on a v(A) = fA fdfi avec / G C\ /i-unique.
Si v est positive bornée, on peut choisir / dans L\ et si v est positive et c-finie
on peut choisir / dans MÎ. On a donc vérifié 1), 3) et 4).
Traitons le cas v G M"1".
Supposons /i finie. Soit C = { C G B / u{C) < +oo }. C est stable pour U/
et donc a = sup{ fi(C) / C G C } est la limite d'une suite croissante (C„)n>l
dans C. On peut supposer Ci = 0. Pour tout n, la mesure vn sur B définie par
v„(A) = v(A D (C„+i \ C„)) est positive et bornée.
Remarquons que la collection { C„+i \C„/n>l}u{X\ UC„} est 2.2.d..
Soit A G B.
Si n(A \ U.G.) = 0 alors v{A n (Cn+, \ C„)) + v(A \ UCn) = £„ i>„(A)
en vertu de la c-additivité de la mesure v et de la proprité v -C /i.
Si /i(j4 \ U„C„) > 0 alors 1/(^4) = +oo (car v{A \ U„C„) = +oo en vertu
de la définition de C et du choix de (C„)).
Soit, pour tout n, /„ dans C* telle que v(A) = fA f„dfi pour tout AÇ.B (cas
précédent) et quitte à la modifier, supposons la nulle en dehors de Cn+i \ C„.
Définissons / G M+ en posant f(x) = fn(x) si a; G C„+i \ C„ et f(x) = +oo
si x ¢ UC„.
On a i>(A) = fA fdfi. En effet :
Si i^A \UC„) = 0 alors ^) = £„ !/„(>!) = EnLnfC^.VC)/»*1 =
E„ Ln(C+1\c.) /^ + L\uc. /<*/* = L /^ en vertu 536-
Si /i(i4 \ U„C„) > 0, alors 1/(/1) = +oo = fA fdfi.
Pour /i c-finie, on procède comme dans 11.2.2 en prenant une suite 2.2.d.
associée à /i.
Le cas général se traite alors en appliquant ce qui précède à i/1" et v~ (on
remarquera que u~ est bornée, ce qui donne la quasi-intégrabilité des fonctions
recherchées).
Le fait que / soit /i-unique est laissé à titre d'exercice (voir E.11.7). A
REMARQUE. On prendra garde que la fonction jjjj n'est qu'un représentant de
la classe f dans l'espace convenable.
Remarquons aussi que toute fonction de la classe de / dans R vérifie (*) à
condition d'interpréter les intégrales de (*) comme des intégrales dans l'espace

200 11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
mesuré complet (X,B^,/i) (voir 5.4).
Exercices, compléments
E.11.1. Soit l'espace mesuré (u,V(u),fij) où /i<j est la mesure de comptage.
Quelles sont les mesures positives /i sur V{yi) telles que :
a) /i < m ?
b) /i<i < /i ?
c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que /i soit c-finie.
d) Calculer -— lorsque fi 40. /ij.
dvd
e) Calculer —— lorsque u est c-finie et uj <; u.
Aide. Remarquons que toute mesure positive /i sur V(w) s'écrit 53n=0 a„ê„
avec les a„ dans R+ (si /i n'est pas supposée positive, elle s'écrit Y^=o a"*n
avec les a~ < +00).
a) Comme Nlll = {0}, toute mesure /i sur V(w) est absolument continue
, par rapport à /ij.
b) 11 est clair que fij <C /i ssi A^ = {0} et donc, les mesures fi doivent être
de la forme £JJL, a„6„ avec a„ > 0 pour tout n.
c) D'après la remarque préliminaire, /i = 53n=oa"^" ^ "'"fi'1'6 ss'
, 00
d) On obtient -— = ya„lfn\.
e) La condition /jj < /j impose a„ > 0 pour tout n (/i = 52nLoa'M- 1
est aisé de voir que —— = y, anl^{ri\- •
E.11.2. Soit (X, B) un espace mesurable, /i, v et 17 trois mesures positives sur
B. Montrer que :
a) si v < /i, alors 1/ <; /i,
b) si ij <; 1/ et v -L /i, alors ij -L /i,
c) si v -L /i et v <C /i, alors 1/ = 0.
Aide. C'est une simple application des définitions. Pour c), si on a A G B tel
que 1/(/1) = 0 = ti(Ac), il vient i/(/lc) = 0 et donc v(X) = 1/(,4) + v(Ac) = 0.

11. DECOMPOSITION DES MESURES
REMARQUE. Le résultat du c) est inexact en eénéral « „
positivité de v. • •»«*»* Jtt» b
E.11.3. Soit (X,0) un espace mesurable, /i et v deux mesure» «ut B U™,
que les propriétés suivantes sont équivalentes : " n*o«**r
a) v < /i,
b) i/+ < /i et i/" < /i,
c) kl < /i.
Aide. L'équivalence de b) et c) et le fait que b) implique a) résultent
immédiatement des formules /i = /i+ — yT et \{i\ = /i+ + /i-. -N)
Montrons que si i/ < /i, alors i>+ < /i et i/- < /i. Soit (1/+,1/-,£») une
décomposition de Jordan-Hahn de v. Soit B G N„ 0 B. On a v+(B) =
i/(Bn Dc) = 0 et v~{B) = -v{BC\D) = 0. •
E.11.4. Soit (X,B,n) un espace mesuré, E et F deux éléments de B. On définit
/iE sur B par /i£(B) = fi(B f"l F).
a) Montrer que /i£ est une mesure sur (X,B) et qu'elle vérifie fiE «£ /i.
Calculer ——.
du
b) Montrer que /i£ < /JF ssi fi(E\ F) = 0.
Aide, a) La «r-additivité de Ha résulte immédiatement de celle de /i et comme
ue <ii,onaii£< u. On a —-— = 1e /i-p.p. comme il résulte de la formule
du
HE(B) - /B lEdfi pour tout BeB
b) Résulte de la formule fiE(B) = fi(Br\E) = fi(Bn(Er\F))+ii(Bn(E\F)
vraie pour tout B G B. •
E.11.5. Soit l'espace mesuré (R,C(R), A) et m la restriction de la mesure de
dénombrement à B(R). Naturellement, onaA< /ij.
Existe-t-il / G X+fR.BfR)) telle que pour tout B G B(R), A(B) = /B/<f/i<i?
Aide. Supposons qu'une telle fonction existe. On a alors A([0,1]) = 1 =
Jf0 , fdm = V^ f(x). Mais ceci implique que / doive être nulle en dehors
*€[°.il
d'un sous-ensemble dénombrable D de [0,1] (E.4.2-b)). On a alors A([0,1]\D) -
1 # 0 = /[0 ,^D fdfi,,.
C'est la condition de c-finitude de /ij qui est en défaut pour pouvoir appliquer
le Théorème de Radon-Nikodym. •
E.11.6. Soit (X,B,ii) un espace mesuré et v une mesure positive sur B.
a) Montrer la condition v <; /i est impliquée par la condition
Ve>0 36 >0 VBGB /i(B) < S — i/(B) < e (*)

202
11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
b) Montrer que si v est finie alors, la condition v <; /i équivaut à la
condition (*).
c) Donner un contre-exemple prouvant que la condition de finitude de v
ne peut être omise dans la question b).
d) Montrer que si on a / € Ci(X,B,/i), la mesure v définie sur B par
i,(B) = fBfdv vérifie (*).
Aide, a) Soit B0 G .A/),. Pour tout n > 1, choisissons ê„ tel que si fi(B) < S„
alors v(B) < 1/n. On a donc pout tout n > 1, fi{B0) = 0 < 6„ et donc
u{Bo) < 1/n. On en conclut que v{B0) = 0.
b) Montrons que si v est finie, la continuité absolu de v par rapport à /i
entraine la condition (*). Supposons que (*) ne soit pas vérifiée. On a donc
3e>0 W>0 3BeB fi(B) < 6 et v{B) > e.
On construit alors une suite (B„) dans B telle que pour tout n, fi{Bn) < ^r et
v(B„) > e. D'après le lemme de Borel-Cantelli, /i(lim B„) = 0. Mais pour tout
Pi t/(un>p-Bn) > ^(Bp) > e et donc, en vertu de la décroissance de U„>PB„
vers lim B„ et de la finitude v, f(lim B„) > e.
c) Soit (R, B(R), /i) l'espace mesuré où /i est définie par v(B) = /B \x\dA(i).
U est clair que K<J. Cependant, lasuite ([n,n + i]) vérifie «'([n.n + i]) > 1/2
alors que A([n,n + i] J. 0.
d) Voir E.5.11-C.3). •
E.11.7. Soit (X,B,fi) un espace mesuré.
a) Montrer que pour tout / G M+(X,B) et pour tout h 6 QXnt(X, B, /./i),
ona//id(/./i) = //i/(f/i
b) On suppose /i c-finie et /,s G QTni(.,Y, B,/i). Montrer que fBfdfi =
fB gdfi pour tout B Ç.B s&\ f ■= g /i-p.p..
Aide, a) On applique la méthode standard.
b) Si / = g /i-p.p., il est clair que les intégrales sus-écrites sont égales
(5.3.3).
Inversement, supposons que l'on n'ait pas f = g /i-p p. et exhibons B G B tel
que fB/dp ■£ fggdii.
Supposons /i finie (le cas c-fini s'en déduit aisément) et supposons f,g > 0.
L'ensemble mesurable {/ ^ g] est de mesure strictement positive et donc aussi
l'un des ensembles mesurables A = {/ > g] ou A' = {/ < g}. Supposons
fi(A) > 0. On ne peut avoir JA fdfi = 0 (sinon fa = g^A = 0 /i-p.p.) :
ou bien /i({/ < +00}HA) > 0 ; il existe alors n > 0 tel que ii{A f"l {/ < n}) > 0
et clairement, en posant B = A 0 {/ < n}, fB fdfi > fB gd/i ;
ou bien /i({/ = +00} HA) > 0 ; il existe alors n tel que fi{A fl {/ =
+00} D {g < n}) > 0. On obtient, en posant B = A f"l {/ = +00} n {g < n},
fBfdp = +<x>> fBgfy-

11. DECOMPOSITION DES MESURES
On traite le cas général en considérant /+, /-, p+ et «~
REMARQUE. On ne peut relâcher l'hypothèse de c-finitnde. Ji
X = {0}, B = V(X), et /i(X) = +00, ,i(0) = 0, les fonction, / *, % -l
g = 2 vérifient la condition de b) mais on n'a pas / = g /i-p.p.. «
E.11.8. Soit X, B,y) un espace mesuré c-fini, u et <p deux mesure* poatUvM
a) Montrer que pour v c-finie, si on a <p <; u et v «C /i alors, v> < *i H
b) Montrer que si on a y> <C p et i/ <C p alors,
1 *
d(<P + v) d<p du
—dT- = lï + T» "-pp- <**>
c) Montrer que pour v c-finie, si /i et v sont équivalentes alors
- = 1/- „-p.p. (...)
Aide. Les conditions de c-finitudes permettent d'appliquer le Théorème de
Radon-Nikodym.
a) Pour tout B G B, on a
V(B)= [&*,= [ ^d(-./i)= / ^.-«fo
V(' JBdv JBdvKd»" JBdvd»»
d'après E.11.7. et donc (*) est vérifiée.
b) Pour tout B G B, on a
et donc (**) est vérifiée.
c) A noter que dans ce cas Nv = N^. Pour tout B G B, on a
E.11.9. Soit (X,B,ii) un espace mesuré c-fini et une suite (/i„) de mesures
positives uniformément bornées, absolument continues par rapport à /i. On
Eoo 1
n=0 2^n-
dfin
a) Montrer que l'on a /i„ < v pour tout n, et v < /i. Calculer les -7— et
-7- en fonction des ——.
d\i dfi

204 11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
b) Appliquer ce qui précède au cas où (X, B, fi) est un espace de probabilité
et où les /i„ sont définies à partir d'une suite (A„) dans B par fi„(B) = ^^V^
(avec les fi(A„) > 0).
Aide, a) La condition de bornitude uniforme des /i„ implique la finitude
de v De plus, il est immédiat que l'on a v <; /i. Pour tout B G B,
*=£*r|,-p-p"
n=0
En appliquant (*) de E.11.8 et le théorème de Radon-Nikodym, on obtient pour
tout n,
dti„ _ dp„ du _ d/i„ ./v-" dii,\ _
dv ~ dfi'dfi' dn'y^dfi) " PP"
b) On voit aisément que v est une mesure de probabilité. On a —— —
dfi
1 A °° 1 A
^U. m-p-p-, £ - E^j1^ ""p-p- et P°Ur ^ "' ^ =
E.11.10. Soit (X,C) un espace mesuré, (/in) et (f„) deux suites de mesures
positives définies sur B On pose Jin = £"_„ /*•. vn = £"_0 "■. Z' = Hoii ^n =
supn/In et i/ = Ei^o1'" = suPnï'n- On suppose /i et v finies et F„ <; pn pour
tout n
a) Montrer que v <! /i.
On choisit /„ et o„ dans A4t telles que pour tout n /„ = -7^ /i-p.p. et
' dfi
dti„
fln = -T— /i-P P-
<*/i
b) Montrer que :
,. dV„ /o+-+/n _
1) ~pr = —— ~— /i„P P-.
2)Er=o/- = ^M-PP-
3)Er=0Sn = l/i-PP-
. „ ■. ■ . ,. /0 + • • • + /n <fl>
c) En déduire que lim„ = — /i-p.p .
9o+ ■■ + gn dti
d) Montrer que si on a deux suites (h„) et (fc„) dans M+(X,B) et
_ /»-P-P-
/1 G A4+(X,C) telles que pour tout n, K, = kn /i„-p.p., et /i„ ► h alors

11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
/i-p.p.
w a-a ■ <&" ^-^ àv '4
e) En déduire que — ► -—.
dpn dfi
Aide, a) Evidemment, pour tout n, v„ < Vn < pn « /i et /i„ < ^ ^ ^. s„jt
B G B tel que /i(B) = 0. On a Ji„(B) = 0 pour tout n et donc V„(B) = 0 pour
tout n. D'où, v{B) = 0. \ „
b) 1) D'après E.11.8-b), on a/0H |-/n = —- /i-p.p. et s0 H + fc =
-r11 /i-p.p- En appliquant E.11.8-a), on a —— = —P- ■ -^2- /i-p.p.. Posons
d/i du djl„ dfi
A = { x I ^L(x) = 0 }. On ,H,M) = / ^ = 0. D'où ^- = Çl/Çi
d/i 7,4 a/J <#„ d/i ' <f/i
- » J «^n /o H 1" /n -
/i„-p.p. et donc —- = - - /i„-p.p..
afin So-\ \-9n
2) Pour tout B G B, on a v(B) = sup„ V„(B) - sup„ /B(/0 + • • • + /„)<*/i =
/B(suPn(/o+• ■ +/n))d/i = /B(E~=o/n)^- D'où ^ = ^/„ /i-p.p. d'après
E.ll 7-b).
3) Pour tout B G B, on a /B ld/i = ii(B) = sup„ /I0(B) = sup„ /B(ffo + • ■ ■ +
fln)d/i = /b(E^LoS")''/1 D'ou' E~=oSn = 1 /i-PP- d'après E.11.7-b).
c) Clair.
d) Posons B„ = {h„ ^ k„} pour tout n. Naturellement, les B„ sont dans
.A/j^. On a ({ x / lim/i„(a:) existe } 0 (lim{/i„ = fc,}) C {lim/i„ = limitn}
et donc {lim/i„ = limtn}c C { x / lim/i„(x) n'existe pas } U (lim{/i„ ^ fc„}.
On aura le résultat si on démontre que /i(lim{/tn ^ fe,}) = 0. Fixons q G u.
Comme /î,(Bn) = 0 pour tout n > q, on a /îç(lim B„) = lim J. Jïq(U„>pB„) = 0
et donc /i(lim B„) = sup /ï (lim B„) = 0.
e) Résulte directement de c) et d). •
E.ll.11. Soit / ■ R —► R+ définie par
1 /T
i-(| + Arctgx) si*<0
1 [r' 1
— (^ + Arctgi)+^2TF2 sil>0
i=0
avec [x] = max{ n Gu / n < x }.
a) Montrer que / est une fonction de répartition (voir E.9.8).
On note /i la mesure associée à /.
b) Déterminer /i(R).

206 11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
c) Déterminer les mesures /ii et /i2 telles que p = pi +P2, fi\ <! A et fi? _L A
(A étant la mesure de Lebesgue) et donner la décomposition de Lebesgue de /i
par rapport à A.
Aide, a) Posons /i (x) = 5-(-5- + ArctgxJ pour tout x G R, et /2(1) = 0 si
x < 0 et /2(x) = £[*'„ j^y si x > 0.
On a / = /1 + /2. La fonction /1 est positive, bornée, croissante, continue
sur R et vérifie lim /1(1) = 0 et lim /1(1) = -. La fonction /1 est
r—•—00 r—»+oo 2
positive, croissante et bornée sur R (la somme de la série géométrique de raison
1/2, 53, =rn- est égale à 1/2 et majore /2). Clairement, lim ft(x) = 0 et
x 00
-¾. 00 J J
lim /1(1) = 2_. 5TT2 = ô- P°ur tout * G R, la fonction /2 est constante sur
l'intervalle non vide ][x],x] et donc elle est continue à gauche. La fonction /
est donc positive, bornée, croissante et continue à gauche avec lim /(x) — 0
x—00
comme étant somme de deux fonctions ayant ces propriétés. C'est donc une
fonction de répartition.
b) On a /i(R) = /(+00) = 1/2 + 1/2 = 1, c'est donc une mesure de
probabilité.
c) Soit /ii, la mesure associée à la fonction de répartition /1, et fi?, 'a
mesure associée à la fonction de répartition /2. On a
/i.«a,*d = /.(*)-/.(«) = / è-rr*dXw
J[aM 2f 1 + X*
pour tout a,b G R avec a < b. 11 s'ensuit, en vertu de l'unicité de l'extension,
que pour tout B G 6(R), /Ji(-B) = / ■%- - r<fA(x). On a donc /ii <; A et
JB 27T 1 + x'
la dérivée de Radon-Nikodym de fi\ par rapport à A est g(x) = — (A-
2ît 1 + x
p.p.). Clairement, la mesure fi? est discrète et "charge" les entiers strictement
n-I
1
positifs (/i2({n}) = 52 ôT+î)- 0n a donc ^ -1 *•
,=0
on de Lebesgue de /i par rapport à
/i(B) = /i,(B) + /i2(B)= /fldA + /i(Bnw*)
JB
„2"
1=0
La décomposition de Lebesgue de /i par rapport à A est donc
pour tout B G B. •
E.11.12. Soit les fonctions / et g de R dans R définies par /(x) = y/1 — x si
x < 1 et /(x) = 0 sinon, et g(x) = x2 • lg+(x) pour tout x, et soit les mesures /i
et v sur B(R) définies par /i = /-Aeti' = s-A(A étant la mesure de Lebesgue
sur R).
a) Montrer que /i et v sont des mesures c-finies, absolument continues par
rapport à la mesure de Lebesgue.

11. DÉCOMPOSITION DES MESURES
b) Trouver la décomposition de Lebesgue de u (resp. |A p^, tmrmétmt .
(resp./i). "PPOtt»»
Aide, a) Les mesures u et v sont absolument continues par rapport à ta n-
de Lebesgue (11.3.1.). Montrons qu'elles sont a- finies.
Posons A„ = [—n, +oo[. On vérifie aisément que u{An) < +00 pour tout »c *
(°n » /[-„,+«,[ fd\ = f*n f(x)dx pour tout n G w'). La suite (An) ert dooc
associée à u. De même, si on pose B„ =] — 00, n] pour tout n G u, on constate
que la suite (B„) est associée à v.
b) Appelons /i', 1/ et A' les "restrictions" respectives de u, u et A à [0 11
(pour tout B G 6(R), /i'(B) = /i(B 0 [0,1]) etc.). On vérifie aisément que ces
mesures sont équivalentes. En appliquant E.11.9, et en posant f = f ■ lr0 j. et
<V dl/ , , d\' 1
S = S ■ l[o.il. on obtient — = / A-p.p., — = g A-p p., — = — /i-p.p.,
<fA' 1 du' du' d\' /' >di/ g'
dV' = J' "-pp- S7 = ly ■ d^ = ? "p-p- ^.^ = 77 ""p-p" Lamesure
/i" définie par /i"(£) = u(BCi\ - 00,0D pour tout B G B(R) est étrangère à v.
La décomposition de Lebesgue de u par rapport à v est donc
u(B) = u'(B) + u"(B) = f ^du + u(BO] - oo, 0D
JB 9
pour tout B G B(R).
De même, la décomposition de Lebesgue de v par rapport à u est
"(£)= / £d/i + i>(Bn]l,+ooD
Jb 1
pour tout B G B(R). •

Chapitre 12
Intégrale de Daniell, mesures de Radon
12.1. L'intégrale de Daniell
Le but de ce paragraphe est de montrer que, sous certaines conditions, une
fonctionnelle (c. à d. une forme linéaire) sur un espace de Riesz de fonctions est une
intégrale Ce résultat aura une importante application dans la caractérisation
des mesures de Radon.
Soit X un ensemble non vide. Soit « C Rx. On dit que Ti est un cône si Ti
est stable pour l'addition et les homothéties positives. Si de plus H C R+i on
dit que le cône ~H est positif.
Soit T un sous-espace vectoriel de R*. On dit que <p : T —> R est
positivement homogène si pour tout / G T et tout a G R+, <p{af) = av(/)»
Si <fi est une forme linéaire sur T, on dit qu'elle est positive si pout tout
/ e r*, vU) > o.
Lemme 12.1.1 Soit X un ensemble non vide. Toute forme linéaire
positive <p sur un sous-espace vectoriel T de Rx est croissante.
DÉMONSTRATION. Soit f,g Ç. T telles que f <g. Onaj-/e T+ et donc
v(s)-¥>(/) = *>(ff-/)>0. *
REMARQUE importante. Soit T un sous-espace vectoriel de R*. On dit que
T est un sous-espace de Riesz de (l'espace de Riesz) Rx si pour tout /,}G?i
/ A g et / V g (dans R*) sont dans T. 11 se pourrait que T soit un espace de
Riesz sans pour autant que ce soit un sous-espace de Riesz de Hx (dans ce cas,
il existe deux fonctions f,g dans T telles que le sup ou l'inf de / et g dans T

210
12. INTEGRALE DE DAN1ELL, MESURES DE RADON
ne coïncident pas avec ceux de / et g dans R*).
Théorème 12.1.2. (Daniell) Soit X un ensemble non vide, T un sous-
espace de Riesz de Rx tel que 1 = lj £ f. Soit <p une forme linéaire
positive sur T telle que pour toute suite (/„) dans T vérifiant /„10 alors
f{!n) 1 0. Soit B la plus petite tribu sur X rendant mesurable les éléments
de T.
Dans ces conditions, il existe une mesure positive, bornée, unique, /i sur
(X,B) telle que tout f G T soit dans Ci(X,B,fi) et <p(f) = /i(f).
DÉMONSTRATION. Remarquons que la positivité de 9 implique sa
croissance d'après 12.1.1. Remarquons aussi que pour toute suite croissante (/„)
dans î^et toute fonction / dans T telles que /n î / alors <p(fn) î 9(/)- Cela
résulte du fait que / - /„ J. 0 et qu'alors ip(f) - <f{f„) = <f{f - /„) J. 0.
1) On pose W = { / G R* / 3(/„) C T* /„ î / } et on prolonge 9 à W
en posant <p(/) — supy>(/„) pour toute suite (/„) dans T telle que /„ î /.
La fonction 9 est bien définie sur Ti. En effet, soit / £ W et soit (/„) et
(/'„), deux suites dans T telles que /„ î / et /'„ î /. Fixons no- On a pour
tout n, /„ > (/„ A fto). Comme (/„ A f'„o) î f'„o, on obtient sup¥>(/„) >
supv(/n A/;o) = <p(f'no). D'où sup<p(f„) > supip(f'n). En permutant les rôles
de (/n) et (//,), on obtient l'égalité.
Comme 9 restreinte à T n'est autre que <p (en vertu de la croissance de 9), à
partir de maintenant, on notera 9 à la place de 9.
• Propriétés de ~H. C'est un cône positif, latticiel, stable pour les limites de
(suites croissantes, c'est à dire
(l,h) WC(R*)+,
(2,h) f,sen - f+gen,
(3,h) aeR+.fen -> a/en,
(4,h) f,ge-H - /Vj./AjeW,
(5,h) (/„)cw,/eR*,/„î/ - /en.
Ces propriétés se vérifient aisément.
• Propriétés de 9. On a
(l,k) V:H—R+,
(2,k) 9(/ + 9) = 9(/)+9(9),
(3,k) 9(0/) = 09(/) pour tout a > 0,
(4,k) 9(/) + 9(9) = 9(/^9)+9(/^9),
(5,k) /„î/dansW - ¥>(/n) M/),
(6,k) (/„ J 0 dans W et ¥>(/„)<+00) - ¥>(/„) i 0.
La démonstration des points (2,k), (3,k) et (4,k) ne présente pas de difficulté.
Le point (5,k) se démontre comme la propriété de Beppo-Levi (5.2.1). Montrons
le point (6,k). Fixons e > 0. Soit (g"„) une suite dans T+ telle que pour tout n,
n
9n < /n et 9(/n) < v(Sn)+ 2^" Posons 9n =.A g'n- Evidemment, g„ est dans
T+ pour tout n. Montrons par récurrence que 9(/n) < 9(9n) + Yl"=o ïfe- La
propriété est vraie pour n = 0. Supposons la vraie pour n > 1. En appliquant

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
an
(4,k) on obtient
V(fln+i) = v(flA+i Aff„) = v(fln+i) + V(fln) - v(flA+i V g„)
* (v(/"+.) " ^fâ) + (<*/-) " Ë 2^î) " <*/->
n+I
= V(/n+l)-X^2^j.
.=0 z
On a donc pour tout n, <p(fn) < <p(g„) + e. Comme g„ 1 0, on a <p(gn) | 0 et
donc inf <p(fn) < c. Il s'en suit que <p(fn) i 0.
2) Maintenant, posons C={GCX/lceW}et Y>(G) = ¥>(1g) pour
tout G € C. Nous allons voir que C vérifie les conditions (l,c), (2,c), (3,c) et
(4,c) énoncées dans 9.4 et 9.4.3, et que tp sur C vérifie les conditions (1,0, (2,f),
(3,f) et (4,f) énoncées dans 9.4 et 9.4.3.
(l,c) (0, X G C) provient du fait que 0,1 G T,
(2,c) (C est stable pour Hj) provient de (4,h) et du fait que IahB = 1a A lg.
(3,c) (C est stable pour U<j) provient de (4,h) et (5,h), et du fait que Iaub —
1A V 1B et si A„ î A alors 1,,. î 1^-
(l,f) (y(0) = 0) provient du fait que <p est linéaire sur T et donc ip(0) = 0,
(2,f) (ip(A) + Y>(B) = tp(A UB) + tp(A n B)) résulte de (4,k).
(3,f) (G„ î G dans C — y>(G„) î Y>(G)) résulte de (5,k).
(4,f) (G„ i 0 dans C — v>(G„) i 0) résulte de (6,k).
Reste à vérifier (4,c) (pour tout GeC,Gce Ci).
Montrons d'abord que si / est dans /"+, alors {a < /} est dans C pour tout
a G R. 11 suffit de constater que la suite croissante I (n((/ — o) V 0)) Al)
est dans T et qu'elle tend simplement vers 1{0<^j.
Montrons alors (4,c). Soit G G C et soit (/„) dans /"+ telle que /„ ] 1g La
suite (/in) définie par h„ — 1 — /„ pour tout n est dans /"+. De plus h„ J. 1g«-
On a Gc = n„{l - ^ < /„} G C,.
3) On applique alors 9.4.2 et 9.4.3 : la fonction <p s'étend en une mesure /i
(= ip') sur la tribu c(C).
4) Montrons que la collection B (la plus petite tribu sur X rendant
mesurables les éléments de /") est égale à c(C).
11 est évident que B est engendrée par V = { {a < f} / a Ç.H ; /G/"}- On
a((o</)/aeR;/ef) = ({0</}/ / G /"+ } (remarquer que
{a < /} = {0 < (/ - o)} = {0 < (/ - o)+}). 11 s'ensuit que, d'après 2), VCC
et donc, B C c(C).
Inversement, soit G G C. Comme 1g est limite simple d'une suite croissante
d'éléments de T+ (par construction), et que par définition, T C Mj(X,B), on
a 1g B-mesurable et donc G est dans B. D'où C C 6 et donc, c(C) C 6.
5) Montrons que T C £i(X,B,/i) et <p = » sur T. Soit / G /"+. En

212 12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
utilisant la procédure de 3-6.1, on a
n2"-l ,
/ = sup Y, 2irl{^.</<ty-}+nl{n</}
1 "2"
î "2"
où /„ = —■ yj lr » <«i. La suite croissante (/„) est dans Ti en vertu de (2,h)
et (3,h) et, de plus, •p(fn) = p(/n) en vertu de (2,k), (3,k) et la coïncidence
de <p-ç.t /i sur C. 11 vient alors +oo > <p(f) = supy>(/„) = sup/i(/„) = /i(/).
Pour / G /", on applique ce qui précède à /+ et /~. On obtient que / est dans
£,(X.B./i) et <p(f) = ¥>(/+) - ¥>(/") = ^(/+) - ti{f-) = ti{I).
6) Unicité. Elle résulte du fait que, si /i' est une mesure sur B telle que
/i'(/) = ip(f) pour tout f Ç. T alors, /i' coïncide sur C avec /i et donc on
applique 9.4.3. A
12.2. Compléments de topologie, formes linéaires
Soit (X,t) un espace topologique séparé, C(X) (resp. Ct(X)) l'ensemble des
applications continues (resp. continues bornées) sur X à valeurs dans R. On
note Ba(X), la plus petite tribu sur X rendant mesurables les éléments de
Cb(X). On l'appelle tribu de Baire. Naturellement, Ba[X) C B(X) et on
montre facilement que Ba(X) est la plus petite tribu sur X rendant mesurables
les éléments de C(X).
Une partie d'un espace topologique (X,r) est dite Fa (resp. Gt, resp. Ka) si
elle est union dénombrable de fermés (resp. intersection dénombrable d'ouverts,
resp. union dénombrable de compacts).
Un espace topologique (X, r) est dit normal si pour tout couple de fermés
disjoints (F, F'), il existe un couple d'ouverts disjoints (G,G') tel que F C G
et F' C G'. Pour un espace normal on a le résultat fondamental suivant :
Lemme 12.2.1. (Urysohn) Si (X,t) est un espace topologique normal
alors, pour tout couple de fermés disjoints (F, F'), :/ exisie une application
continue <p de X dans [0,1] telle que <p(x) = 1 sur F et <p(x) = 0 sur F'.
DÉMONSTRATION. Voir n'importe quel traité de topologie générale (par
exemple J. L. Kelley page 115). 4
Le Lemme d'Urysohn permet de voir que si (X,t) est un espace topologique
normal alors Ba(X) est engendrée par les ouverts Fa. En effet, Ba(X) est
engendrée par { {/ > o} / Q £ R ; /G Ch(X) } qui est constitué d'ouverts
Fa ({/ > q} = U„{/ > a + £•}). Inversement, soit G ouvert Fa. Soit (F„) une
suite de fermés telle que G = U„>iF„. D'après le Lemme d'Urysohn, il existe
pour tout n, /„ : X —> [0,1] telle que /„ soit continue, f„(x) = 1 pour x G Fn
et f„(x) = 0 sur Gc. La fonction £„>, ^r/n est continue et G = {/ > 0}.

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
Un espace topologique compact {X,r) est normal et on aCifJO r1/»
Un espace topologique métrisable est normal. De plus, tout ouvert ttt F
a donc pour ce type d'espace, Ba(X) = B{X). *~
Soit (X, r), un espace topologique séparé. Pour tout / £ CtOC\ au tuù
Nu(f) = supr€Jf |/(x)|. On sait que (Cb(X), Nu) est un espace de Baaacfc. U
topologie rjv. sur Cb(X) est appelée topologie de la convergence uhUôrm;
Soit (E, N), un espace vectoriel réel, norme. On note (E, N)' ou E', l'ensemble
des formes linéaires continues sur (E, N) (E' est appelé le dual topolomqne
de E). Pour une forme linéaire ip sur E, on a équivalence entre :
• V e E',
• 3M>0 Vie E [p(x)\<M N(x), »
• sup \<p(x)\ = sup <p{x) = N'(tp) < +co.
JV(r)<l JV(r)=l "*
De plus N'(tp) = inf{ M > 0 / M vérifie la deuxième condition }.
La fonction N' définit une norme sur F'. On dit que (E1, N') est le dual fort
de {E, N) et si (E, N) est un espace de Banach, alors (E1, N') est un espace de
Banach.
En particulier, ((Cb(X))', N^), dual fort de (Cb(X),Nu) est un espace de
Banach.
Autre exemple : soit (X,B,fi) un espace mesuré et p, q > 1 avec j + - = 1.
Le dual fort de Lp(X,B,iï) s'identifie à Lq(X,B,/i) (c'est à dire, il existe
un isomorphisme isométrique entre (L'p, \\.\\'p) et (Lq, ||.||f )). La propriété est
encore vraie pour p = 1 et q = +co si fi est c-finie. (On pourra consulter
l'exercice E.12.1.)
Proposition 12.2.2. Soit (X,t) un espace topologique séparé. Toute
forme linéaire positive <p sur (Cb(X), Nu) est continue.
DÉMONSTRATION. La forme linéaire <p étant positive, elle est croissante
(12.1.1). On en déduit que
K(V)= sup [p(f)\= «"P fU) =¥>(l)<+°o
JV.(/)<> 0<J<1
Proposition 12.2.3. Sott (X,t) un espace topologique. Toute forme
linéaire continue sur (Cb(X),Nu) est différence de deux formes linéaires
positives (continues).
DÉMONSTRATION. Soit tp G ((Cb[X))',N^). Posons vi(/) = sup <p(g)
pour / > 0. On vérifie que
• <p\ est à valeurs dans R (en effet,
¥>■(/)= sup <p(g)< sup Ni{V,)-Nu{g)<K(V>)-Nu(f)<+°o),
• tp\ est additive et positivement homogène.
On étend tp1 à Cb(X) en posant >pi(f) = Y>i(f+) ~ Mf~)- On vérifie que y,
est une forme linéaire positive sur Cb(X). On pose y>2 = y>, - <p. Clairement,

214 12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
ifi2 est une forme linéaire positive sur Ct(X) et (p = fi ~ 'Pi- (Pour les détails,
voir E.12.2.) *
12.3. Mesures de Radon
Une mesure positive /i sur un espace mesurable (X, B) est C-tendue (avec
CCB) si, pour tout A G B, »(A) = sup{ fi{B) / B eC ;BCA}. Notons que
la famille d'éléments de R (l*(C))cçC détermine complètement /i ; on la dira
associée à /i.
Soit (X, t) un espace topologique séparé. On note T = T(X, r) la collection
des fermés de (X,r) et K = K(X,t) celle des compacts. Une mesure /"-tendue
sur l'espace topologique (X, r) a été appelée mesure intérieurement régulière
(E.4.Ï5).
Une mesure positive /i sur B(X) est dite de Radon (sur B{X) ou (X,r) ou X)
si
(1,R) V/l G B(X) ii(A) = sup{ fi(K) I K compact C A } (/i est
Attendue),
(2,R) Vi£X 3G Et i £Get l*(G) < +oo (/i est localement bornée)
Une mesure /i sur B(X) est dite de Radon si /i = /ii — fi? avec /ii,/i2 positives,
de Radon et /i2 bornée.
Notons qu'une mesure de Radon est bornée sur les compacts et en conséquence,
si (X,t) est compact, la mesure elle même est bornée.
On note MH = MF(X. B(X)), l'ensemble des mesures de Radon sur (X, B(X))
Notons que Mr(X,B(X)) est stable pour l'addition et la multiplication par les
réels positifs et donc il est un "cône" dans Mjj(X,C(X)) mais qu'en général
Mr(X,B(X)) n'est pas stable pour l'addition et donc n'est pas un espace
vectoriel.
Un espace topologique (X, r) est dit polonais s'il est métrisable, séparable et
s'il possède une distance complète induisant sa topologie (par exemple, (R, tu)
et pour tout n £u", R" avec la topologie produit de la topologie usuelle de R
sont des espaces polonais).
Théorème 12.3.1. Toute mesure positive localement bornée sur un
espace polonais est de Radon.
DÉMONSTRATION. Le lecteur est invité à vérifier les détails à titre
d'exercice. Soit donc (X, r) un espace polonais muni d'une mesure /i
localement bornée, d une distance complète induisant r et (x„) une suite dense dans
(X.r).
1) Cas /i finie. Montrons que fi(X) = sup{ fi(K) / K e K }, Soit e > 0.
Soit B(x, r) la boule fermée de centre x et de rayon r. Pour tout k > 1, on si
X = U„B(i„,i). On peut trouver /èC« fini tel que l*(\Jne,h B(i„,£)) >
/i(X) - e2_t. On pose K = f~)t>i (lU/* B(z„, £)). On montre que K est
compact (K est d-précompact et d-complet) et que ti{K) > /i(X) - e.
Maintenant, soit B G B{X). On sait que /i est /"-tendue (intérieurement

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
régulière - voir E.4.15). Fixons e > 0. Soit K G K(X) tel que tdX\K\
et soit F G F(X) tel que F C B et /i(B\ F) < e/2. Le compactV «F
dans B et »(B \ (K n F)) = »((B \ K) U (B \ F) < „(B \K) + utB\F\ <
»(X\K)+»(B\F)<£. * *''S
2) Le cas localement borné s'en déduit facilement en exploitant le fait nue
est c-fime. 4>
Le lemme suivant est très utile dans l'étude des mesures de Radon.
Lemme 12.3.2 (Dini) Soit (X,t) un espace topologique compact et (f )
une suiie décroissante d'éléments de C(X) telle que /„ J. / avec f G C(X).
Alors, f„ ► /.
DÉMONSTRATION. On se ramène à /„ [ 0 en considérant la suite
décroissante (/„ — /).
Soit e > 0. Posons pour tout n, A'n = { x e X / £ < f„(x) }. Les A'„ sont
évidemment compacts en vertu de la continuité des /„ et, comme /„ J. 0 alors,
A'n i 0. U existe alors no tel que A'no = 0 (propriété de compacité). Si n > n0
alors f„(x) < /„„(*) < £ pour tout xÇlX. D'où /„ ► 0. 4
12.4. Le théorème de représentation de F. Riesz
Soit (X,t) un espace topologique. D'après la fin du paragraphe 11.1, M4 =
hlt(X,Ba(X)), l'espace vectoriel des mesures bornées sur (X,Ba(X)) muni de
la norme ||/i|| = |/i|(X) est un espace de Banach.
Rappelons que si l'espace topologique (X,t) est compact, on a Cb(X,r) =
C(X,t).
Théorème 12.4.1. (F. Riesz) Soit (X,t) un espace topologique compact.
L'application $ : M^(X,Ba(X)) —> (C(X))' définie par ¢(/1)(/) =
/i+(/) —/i~(/) pour tout f G C(X) est un tsomorphisme isométrique entre
les espaces de Banach (M^(X,Ba(X)),||.||) et ((C(X))',K).
Comme conséquence, on obtient que, pour tout /i G M^" et pour tout
AeBa,
ti(A) = inf{ n(G) I G ouvert F„ D A }
= sup{ /i(K) I K compact Gi C A }.
DÉMONSTRATION. Elle se décompose en deux étapes .
Première étape. On va montrer que r[> restreinte au cône positif M4 est
une bijection additive, positivement homogène, conservant les normes, de
M*(X,B(X)) sur le "cône positir (C(X))'+ des formes linéaires (continues)
positives de (C(X))'.
1) i/> est bien à valeurs dans (C(X)) +.
En effet, si /i est dans M^(X, Ba(X)), l'application de C(X) dans R définie par
/ —. (i(f) est une forme linéaire positive (et donc continue d'après 12.2.2).
2) \l> est additive et positivement homogène.
Cela résulte des mêmes propriétés sur les intégrales.

216
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
3) V" est surjective et injective.
Soit tp G (C(X))'+. Montrons que les conditions du Théorème de Daniell avec
T = C(X) sont vérifiées. L'espace C(X) est un sous-espace de Riesz de R*
contenant l'application continue lx- Si la suite (/„) de fonctions continues
décroît vers 0, alors, d'après le Lemme de Dini, elle converge uniformément
vers 0 et donc l'application <p étant continue sur (C(X), Nu), <p(f„) J. 0.
11 existe donc une mesure unique /i sur Ba (la plus petite tribu rendant
mesurable les éléments de C(X)) telle que, pour tout / G C(X), f G
Ct(X,Ba(X) et <p{f) = /i(/) = \H/i)(/)- On a donc V(/i) = V- H s'ensuit
que V" est surjective.
Comme /i possédant cette propriété est unique, on obtient l'injectivité de t/>.
4) t/> conserve les normes.
En effet, ||/i|| = /i(X) = ,.(1) = ^)(1) = ATifcK/i)).
5) Soit /i G M£(X,Ba(X)). En reprenant la démarche de la démonstration du
Théorème de Daniell appliqué à C(X) et la forme linéaire positive tp = /i sur
C(X), on obtient aisément que C (la collection des parties dont l'indicatrice est
limite croissante de fonctions continues positives) est exactement la collection
des ouverts Fa- En effet, on a prouvé que C={{0</}//G C(X) } et donc,
puisque {0 < /} = U{j^j- < /}, on obtient que les éléments de C sont des
ouverts Fa. Réciproquement, soit G un ouvert Fa et écrivons G = \jFn avec les
F„ fermés. On peut supposer que la suite (Fn) est croissante. Soit pour tout
n, /„ continue telle que, f„(x) = 1 si x G F„ et fn(x) = 0 si x G Gc (Lemme
d'Urysohn). On voit aisément que (V,-<„/,) f 1g et donc G est dans C.
I Maintenant, d'après la construction de ip' (9.4.3), on a pour tout B G Ba(X),
•p'(B) = inf{ <p(C) / BCC , CGC}et donc pour tout B G Ba(X)
ti(B) = inf{ ti(G) I B C G , G ouvert Fa }.
Par passage au complémentaire
/i(B) = sup{ /i(F) / F C B , F fermé Gt }.
Deuxième étape. On va montrer les propriétés de V" annoncées.
1) Remarquons que si /i G M* s'écrit /i = /ii — /i2 avec /11,/12 G Mj"
alors, V"(/i) = \H/ii) — ^(/12) (en effet, on a /i+ + /i2 = /1, + /i~ et donc
<H/i+) + ^-(/12) = \H/ii) + ^-(/1-))-
2) V" est linéaire.
Résulte de Padditivité et de la"positivité homogène" de V> sur M^"(X,Ba(X))
et de 1).
3) V" est injective.
Soit /1 G Ker(V>)- Montrons que /1 = 0. Soit (Z),/i+,/i~) une décomposition de
Jordan-Hahn de /1. Supposons que /i+ # 0 (si /i+ = 0 le résultat est évident).
Soit A", C Dc un compact G« tel que /i+(Dc \ A",) < e avec e < ^-5—- et

12. INTEGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
soit Ki C D un compact Gi tel que fi~(D \ K?) < e. Soit / ç CfJO t*.
f(x) = 1 sur K, et f(x) = 0 sur K2. On a ' ,
0 = #*)(/) = /i+(/) - /i" (/) = / /*/i+ - / /rf/i"
JD' Jd
>lt+(K1)-„-(D\Ki)>„+(X)-t-e>6
ce qui est contradictoire.
4) V" est surjective.
Soit <p G (C(X))'. D'après 12.2.3, <p s'écrit comme différence de deux formes
linéaires positives, disons y>, et y>2- Soit /11,/12 G M+(X, Ca(X)) telles que
\H/ii) = Vi et ^(/12) = ¥>2- Donc, en posant /1 = /11 — /12, on a ^(/1) =
V>(/ii - /12) = ^1--^2 = ^-
5) V" est une isométrie.
Soit /1 G Mi(X.6a(X)). Soit (D,ii+,ii~) une décomposition de Jordan-Hahn
de /1. On a
KWM)= «P W/l)(/)l= SUp IW/1+)-^-(/1-))(/)1
JV.(/)<1 JV.(/)<1
< sup |V(/i+)(/)l+ sup M/i-)(/)1
JM/)<> JM/)<i
< sup /i+(|/|)+ sup /i-(|/|)
= /i+(X) + /i-(X)=|/i|(X)=||/i||.
Inversement, fixons e > 0. Soit K\ C Dc ,Ki C D compacts Gj tels que
fi(Dc\Ki) < \,h(D\Kï) < j et, soit / continue, définie sur X à valeurs sans
[-1,1] avec f(x) = 1 sur A", et /(1) = -1 sur K7. On a Nu(/) < 1 et
KWf)) > Mf)(f)\ = \f+(f) - /^-(/)1
= I / /v- + / /*+ - / /^- - / iw\
Jk, JD'\k, Jk-, Jd\k, '
= 1/1+(^,) + /1-(^2)+/ /V"-/ MH
> JD'\k, Jd\k, '
>/1+(^,)+/1-(^2)-1/ /v--/ mH
> ,i+(i?«) - J + /i-(Z)) - \ - (/i+(Cc \*,) + #!-(£> \tf2))
>l#*l(AT)-|-|-(| + |) = M(Ar)-C.
D'où NUHm)) = |/i|(X) = H/ill. *

218
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
12.5. Représentation des mesures de Radon dans le cas
compact
Le Théorème de représentation de Riesz identifie (M^iX, Ba(X)), \\.\\) et
((C(X))', Nû). Le résultat qui suit permet d'identifier l'espace des mesures
de Radon (MR(X,B(X)), ||.||) avec (Mt(X,Ba(X)), ||.||). En conséquence, on
peut identifier les espaces (MR(X,B(X)),\\.\\) et ((C(X))',Ni).
Le lemme suivant sera utile dans le théorème d'identification qui suit et dans
le chapitre 13.
Lemme 12.5.1. Soit (X,r) un espace topologique séparé. Soit K' C IC(X)
stable pour U/, fl/ — 0 et possédant la propriété : pour tout G € t,
/1' G K(X) tels que K C G, :/ existe A' G K' tel que K C K' C G.
Soit Jl de K' dans R+ modulaire, croissante, telle que /7(0) = 0 et
sup{ p(K) I KeK'}< +oo.
Posons
ti(G) = sup{ £(A') / A C G , A G /C' } pour «oui G G r
/i*(/l) = inf{ /i(G) / ACG , G G r } pour tout ACX
B. = { A C X I ti(X) = S(A)+»'(AC) }
Dans ces conditions B(X) C B. et la restriction de /i* à B(X) est une
mesure de Radon bornée. De plus pour tout A G K', /ï(A') < /i"(A).
DÉMONSTRATION. La collection r vérifie (l,c), (2,c) et (3,c) de 9.4 (avec
C — t) car r est une topologie. Montrons que /i restreinte à r vérifie (l,f), (2,f)
* et (3,f) de 9.4 (avec <p = ft).
(l,f) /i(0) = 0 par définition,
(2,f) /i est modulaire. Remarquons d'abord que si on a K G IC(X), K' G K'
et G e t tels que A" C K' et K C G abrs il existe A"' G K' tel que
A" C K" C K'HG. En effet, d'après les propriétés de /C', il existe K'{ G /C'
tel que K C A'" C G et donc, en posant K" = A" CI A" on obtient le résultat
désiré.
Maintenant, soit Gi,G2 G r et soit £ > 0. Soit A'i,A2 G /C' tels que
A, C G,uG2, A2 C G,nG2,/i(G,uG2) < £(A,)+§ et/i(G,nG2) < /1(^)+1-
Soit Vi,V2,Vâ trois ouverts 2.2.d. contenant respectivement K\ \ G2, A'2 et
A, \G,. Posons A{' = A, \V3 et K'i = A", \(K, U V2). On a #{' et A? compacts,
A"i C A"{'U A2', A"!' C Gi et A"2f"l A2' = 0. Soit, d'après la propriété indiquée au
début, A{,A2 G K' tels que AJ' C K[ C G,nA', et A2' C A2 C (G2\A2)nA",.
Clairement, A, C K[ U A2, I<[ C Gi et A2 CI A2 = 0. U vient
nid U G2) + /i(G, n G2) < /!(/<-,) + Ji(K2) + e
<K/TÎ) + W«J) + /!(/fi) + e
= /i(A;) + Â!(A^uA2) + e</i(G,) + /i(G2)+e.
Réciproquement, soit Ai,A2 G /C' tels que Kx C Gi, A"2 C G2, /i(Gi) <
Âi(A,) + f et fi(Gi) < £(A2) + f- On a ,i(G,) + /i(G2) < JUK^ + JUK^+e =
£(tf, U tf2) +£(A, n tf2) +£< ^G, U G2) + /i(Gi n G2) +e.

12. INTEGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
a»
(3,f) Si G„ î G (avec G et les G„ ouverts) alors fi(G„) f fi(G) En
HW.U
En vertu de 9.4.2, B' est un tribu et fiïB. est une mesure sur B*. On »»
montrer que r C C* (on ne peut pas appliquer 9.4.3 ici, car un fermé n'ett
pas obligatoirement un Gj).
Soit G G r. 11 nous faut montrer que /i(G) +fi'(Gc) = /i(X). D'après 9.4J on
a /i(G) + /i*(Gc) > /i(X) (/i* est une mesure extérieure). Montrons l'inégalité'
inverse. Soit £ > 0. Soit K G /C', A" C G tel que /i(G) < fi(K) + e/2. Soit K' e
/C', JfCJf' tel que /i(A"c) < p(K')+e/2. Comme Gc C A"c et que KHK' = |
on a »(G) +f'(G<) < Ï(K) + e/2 + ^K') < W<) + ?(^') + e < /i(X) + e!
D'où l'inégalité inverse et finalement l'égalité.
On a donc B(X) C B' et de ce fait, /i se prolonge à B(X) en une mesure bornée
(notée encore fi) vérifiant
fi(B) = inf{ n(G) I B C G , G ouvert }
= sup{ /i(F) I FCB , F fermé }
pour tout B £ B(X) et donc, ce prolongement est une mesure /"-tendue .
Notons que pour tout K G /C', on a Ji(K) < /i'(A') = fi(K) et donc
fi(G) = sup{ /i(tf) / K C G , K e K(X) }, en particulier, /i(X) =
sup{ fi(K) / KCX , Ke /C(X) }.
De ce fait, et du fait que fi est régulière, on déduit par un argument similaire
déjà utilisé dans 12.3.2, que fi est une mesure de Radon. 4k
Théorème 12.5.2. (Markoff) Soit (X, r) un espace topologique compact.
L'application 6 : Mj,(X,B(X)) —> Mi(X,Ba(X)) définie par 6(fi) =
fim (x) est un isomorphisme isométrique entre les espaces de Banach
(Mr(X,B(X)),||.||) et (M,(X,Bfl(X)),||.||).
DÉMONSTRATION. Nous scindons à nouveau la démonstration en deux
étapes.
Première étape. On va montrer que 0 = fl|M+ est un isomorphisme
isométrique entre les cônes positifs Mr(X.B(X)) et Mt(X,Ba(X)).
1) 0 est bien à valeurs dans Mj(X, Ba(X)).
En effet, toute mesure de Radon sur un compact est bornée.
2) 0 est additive et positivement homogène.
Ceci est clair.
3) 0 est injective.
Soit ii, ti' G Mr- Supposons que lt\B.(X) = v\b.(XY Soit G ouvert et soit
K compact C G. En appliquant le lemme d'Urysohn, soit / de X dans [0,1]
telle que f(x) = 0 sur K et f(x) = 1 sur Gc Le compact G«, K' = /"'([0,1/2])
vérifie A" C A"' C G et donc, /i(G) = sup{ fi(K) / K compact C G } =
sup{ fi(K) I K compact Gt C G } (*) (idem avec /i'). H s'ensuit que /i)T = /ijT
et donc /i = /i' en appliquant E.4.3.

220
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
4) 6 est surjective.
Soit /î dans M^"(X, Ba(X)). La question est : peut-on prolonger /ï en une
mesure de Radon positive /i sur B(X)?
Posons K' = { K I K G K.(X) , K Gi }. Comme déjà remarqué dans la
démonstration de l'injectivité, si on a A' G fC(X) et G G r tels que K C G
alors, il existe K' G K' tel que K C K' C G. Les conditions du Lemme 12.5.1
sont remplies. Si on pose /i(G) = sup{ J1(K) / K C G , K G K' } pour tout
G G r et /i*(/l) = inf{ /i(G) / ACG , G G r }, /i' restreinte à B(X) que nous
noterons abusivement /i, est une mesure de Radon sur X.
11 nous faut montrer que /i est un prolongement de /ï. Remarquons que, d'après
12.4.1, J1(B) = sup{ /ï(A') / K compact Gt C B } pour tout B G Ba(X) en
particulier pour tout B ouvert Fa. Mais alors /ï et /i coïncident sur les ouverts
Fa qui forment une collection stable pour CI/. Elles coïncident donc, en vertu
de E.4.3, sur la tribu engendrée par ces ouverts Fa, c'est à dire Ba(X).
On obtient donc que 0(/i) = /ï.
Deuxième étape. Montrons que 0 est un isomorphisme isométrique.
1)0 est linéaire.
2) 6 est injective.
Soit m' G MK(X.0(X))Ba(X)). Soit /i,,/i2,/i',,/i'2 G MÀ(*,0(X)) telles
que /i = /ii — /i2 et /i' = /i', — /i2. Supposons que 0(/i) = 0(p'). On a
0(/i,) - 0(/i2) = 0(/i',) - 0(/i'2) et donc 0(/1, + /i'2) = 0(//, + /i2). En vertu
de l'injectivité de 0 sur Mr(X, 6(X)), on a /i, + /i2 = /i' + /i2 et donc /i = /i'.
)) 0 est surjective.
Soit /i G Mj(X,0a(X))- D'après la décomposition de Jordan-Hahn, /i =
fi+ — fi~. Soit (/i+)~ et (/i~)~ les extensions de /i+ et /i~ à M^(X,B(X)).
On a 0((/i+)~-(/i-)~) = /i.
4) 5 est une isométrie.
Remarquons qu'en toute généralité, pour une mesure /i, /i+ et /i- sont les
uniques mesures telles que /i = /i+ — /i~ et /i+ _L /i~.
Si /ii ,/i2 G Mj(X,C(X)) avec /ii -L /i2 alors, les extensions positives /ï, et /ï2
de /ii et /i2 vérifient /ïi J. /î2.
Soit /i G Mk(X,£(X)) et soit tiUti2 G Mr(X,B(X)) telles que 0(/i,) =
(^OO)"1" et 0(/i2) = (0(/j))~- Clairement, /i = /ii — /i2 et /ii J. /i2 et donc,
/il = /i+ et /i2 = /i~. H s'ensuit que si /i est une mesure de Radon (sur
B(X)), alors /i+ et /i~ sont aussi des mesures de Radon et, 0(/i+) = (0(/i))+
etfl(/i-) = (fl(/i))-.
Soit /i G MjtiX.B^X)). On a ||/i|| = /i+(X)+/i"(X) = 0(/i+)(X)+0(/i-)(X) =
0(/i)+(X)+0(/i)-(X) = ||0(/i)||.4>
En combinant 12.4.2 et 12.5.2, on obtient :
Corollaire 12.5.3. Soit (X, r) un espace topologique compact.
L'application $ : Mr(X,0(X)) —- (C(X))' définie par ¢(/1)(/) =
/i+(/) — /i~(/) avec f G G(X) esi un isomorphisme isométrique de
(MR(X,B(X)),\\ • ||) «r ((C(X))', K).

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
221
12.6. Application aux espaces localement compacts
Soit X = (X, r) un espace topologique séparé. On note CC(X) l'espace vectoriel
des fonctions réelles continues sur X à support compact (/ est à support
compact si {/ # 0} = supp / G £(X) = /C). Si K G K, on note CK(X)
le sous-espace vectoriel de CC(X) des fonctions continues dont le support est
dans K. On remarquera que CC(X) = \Jk^k^k(X). On note Co(X) l'espace
vectoriel des fonctions nulles à l'infini (/ est nulle à l'infini si pour tout e > 0,
il existe K G K tel que pour tout x g K, \f(x)\ < e).
Une forme linéaire <p sur CC(X) est dite inductivement continue s'il existe
une famille de nombres réels positifs (Mk)k^k telle que pour tout / G CC(X)
avec supp(/)C K, \<p(f)\ < MK - Nu(f). Ceci équivaut bien sûr à dire que pour
tout K G K, <P\CK(X) est une forme linéaire continue sur Ck(X) lorsque l'on
munit Ck(X) de la norme Nu de la convergence uniforme. Une telle famille
(Mk)kçk sera dite associée à tp et on obtient en particulier que la famille
(Nu('P\ck(X)))ke*c est associée à /i
REMARQUE. On a Ce(X) C Co(X) C Cb(X) et donc CC(X) peut être
considéré comme un sous-espace norme de (Cb(X), Nu). 11 est aisé de voir que
Ce(X) = Co(X) et donc en général, (CC(X), Nu) n'est pas un espace de Banach
On montre qu'en général, il existe des formes linéaires inductivement continues
qui ne sont pas continues sur (Ce(X),Nu). Cependant, on est capable de
construire sur CC(X) une topologie plus fine que celle induite par la norme de la
convergence uniforme appelée limite inductive des topologies de (Ck(X), Nu),
K G K, pour laquelle les formes linéaires inductivement continues sont les
formes linéaires continues (cette topologie r n'est pas autre chose que la plus
petite topologie sur CC(X) qui rend continues les formes linéaires inductivement
continues; elle est obtenue en considérant la collection des parties de Ce(X)
dont les traces sur les sous-ensembles Ck(X), K G K, sont des ouverts de
(Ck(X),tnJ On vérifie que les (Ck(X),tNm), K G K., sont des sous-espaces
topologiques de (Cc(X),t) ; l'intérêt de la notion de continuité inductive réside
dans cette propriété).
On note "H(X) (resp. 7i+(X)) l'ensemble des formes linéaires (resp. des formes
linéaires positives) sur CC(X), inductivement continues.
Soit X = (X. t) un espace topologique séparé. On dit que X est localement
compact si tout point de X admet un voisinage compact
Un espace localement compact (X,t) vérifie
(p,l) Tout point de X possède une base de voisinages compacts.
(p,2) Si F est un fermé disjoint d'un compact K alors, il existe une application
continue / de X dans [0,1] telle que f(x) = 1 sur K et f(x) = 0 sur F._
(p,3) Pour tout compact K, il existe ouvert G contenant K tel que G soit
compact.
(p,4) Si Ki et /\2 sont deux compacts tels que K\ CA"2 et si / est une
application continue de Kt dans [0,1] alors / se prolonge en une application
continue sur X à valeurs dans [0,1] telle que f(x) = 0 sur K\.

222 12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
On voit aisément en appliquant les propriétés d'espaces localement compacts
et 12.2.2, que lorsque (X, r) est localement compact, 7i+{X) est exactement
l'ensemble de toutes les formes linéaires positives sur CC(X).
Soit X = (X,t) un espace localement compact et soit /i une mesure positive sur
B(X). Si fi est /C-tendue et finie sur les compacts alors, elle est automatiquement
localement bornée et donc, c'est une mesure de Radon.
Pour tout B G B(X), on note fis la mesure sur B(X) définie par /ib{A) —
fi(B n /1) pour tout A G B(X).
Théorème 12.6.1. Sott X = (X,r) un espace topologique
localement compact. L'application t/) de Mr(X,B(X) dans ~H+(X) définie par
^00(/) = /<(/) V0UT tout S G CC(X) est une bijection additive,
positivement homogène telle que pour tout /i G Mr(X,B(X)), la famille
(li(K))n£K soit associée à *l>(p)-
Il en résulte que Mjjf-Y, B(X)) se plonge "canoniquement" sur le cône
positif n+(X).
DÉMONSTRATION. 1) ^ est bien à valeurs dans W+(X), \H/j) étant une
forme linéaire positive sur CC(X). De plus, si /i est dans M^(X.B(X)) et
si K est dans K, on a N'u{il>(n)) = sup /i(s) < /i(/0 et donc la famille
>€CK(X)
(i^(K))k^k est associée à V"(/i)-
2) On a V(/i, + /i2) = V(/i.) + V0i2) et ¢(0^) = arl>(»), a > 0.
3) V" est injective.
En effet, soit /11,/12 telles que /11(/) = /12(/) pour tout / G CC(X). Pour if
compact Gt, on pose if = DC„ où les G„ sont des ouverts. En appliquant
(p,3), soit G un ouvert à fermeture compacte tel que G C K Quitte à prendre
leurs traces sur G, on peut supposer les G„ inclus dans G. Par suite, il existe
une suite (/„) de fonctions continues à supports dans G telles que /„ J. 1k (on
applique la propriété (p,2) à K et Gcn et on utilise la stabilité pour les inf finis
des fonctions continues). Donc, /ii(/0 = lim J. /ii(/n) = lim J. /i2(/n) = /12(^)-
Pour tout ouvert G, on a, en appliquant la propriété (p,2) :
MG) = sup{ /1,(70 / K e K,K C G }
= sup{ /n(/0 / K G /C,/f Gj ,tf C G }
= sup{ /12(/0 / KeK,K Gt , /\ C G }
= sup{ /12(/0 / /C G /C, A' C G } = /i2(G).
Pour tout ouvert G de mesure finie, en utilisant E.4.3, comme /ti|rnG — /i2|7-nG>
on a /ii|B(X)nG = /i2|B(JT)nG■ On en déduit que n\(K) = /12(/0 P°ur tout
K G K (car tout compact réside dans un ouvert de mesure finie) et donc
/Il =/12-
4) if> est surjective.
Soit <p G W+(X). Appelons G, l'ensemble des ouverts de X à fermeture
compacte et fixons G G G- Soit / une application de G dans R. On notera /0

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
923
son extension à X valant 0 sur (7e. 11 est clair que si / est continue k
compact alors /o est continue à support compact inclus dans G. Notons rVMrï
le sous-espace de CC(X) constitué des applications continues sur X àaorinr»*
compact inclus dans G. L'application / —> /jG est un isomorphisme de l'eanu*
CG(X) sur l'espace Ce(G). On pose $g(I\g) = fU) P°ur tout / ç CgtX).
L'application ipe est une forme linéaire positive sur Ce(G). On va prolonccr
fa à Cf(G). Pour tout f eCf(G), posons
<pG{f) = sup{ $G(g) /0<fl</; fle Cf{G) } V
= sup{ <p(g) /0<g<f0; ge C+(X) }.
Montrons que le prolongement est à valeurs dans R. Soit / G C*(G) et M G R.
tel que / < M. Soit G' Ç. Ç contenant G et h : X —> R valant M sur G et
0 sur G'c. Clairement, <Pg(/) < vCO < +oo. On montre que tpc est positive,
additive et positivement homogène (voir E.12.2). Pour tout / Ç Ch(G), on pose
<PgU) = ?g(/+) — <Pg(I~) et °n montre que <pG est une forme linéaire positive
sur Ch(G).
Si (s„) est une suite dans CC(G) telle que g„ l 0 alors £G(s„) i 0 (en effet, il
suffit de considérer cette suite comme étant dans C(G) et d'appliquer le Lemme
de Dini). On en déduit (voir démonstration de (6,k) dans 12.1.2) que si (/„) est
une suite dans Cb{G) telle que /„ J. 0 alors, pc(fn) i 0. On peut donc appliquer
le Théorème de Daniell. Soit /ÏG la mesure positive, bornée, sur Ba{G) telle que
pour tout / G Ch(G), ?g(/) = 9g(/)- On a, pour tout G* ouvert Fa de G,
?g(C) = sup{ <PgU) / / < le ; / G Ch(G) } (par construction de pG)
= suP{ ?G(f) / / < 1g- ; / e Ct{G)} = suP{ ¥>(/) / / < le ; / e C+(X)}.
Comme pour tout compact K et tout ouvert G' tels que Vf C C, il existe
un compact Gi K' tel que K C Vf' C G", on a, pour tout G* ouvert F„
de G, ?g(G") = sup{ ?G(Vf) / K compact Gt C G' }. On fabrique /iG
sur B(G) en posant ^0((7) = sup{ Pg(K) / A" compact Gf C G' } pour
tout G' ouvert de G et nG(A) = inf{ /iG(G") / A C G' ouvert C G }.
D'après le Lemme 12.5.1, /iG est une mesure de Radon sur B(G). De plus,
elle coïncide avec fia sur les ouverts Fa de G et par suite sur Ba(G). C'est
donc une extension de /ÏG que nous noterons encore /ÏG. démarquons qu'alors,
pour tout ouvert G* C G, en appliquant le Lemme d'Urysohn, on a /ÏG(G') =
sup{ JiG(K) I K compact Gb C G» } = sup{ ?G(/) / / < le ; / G Ct(G) } =
suP{ £G(/) / / < le ; / e ct(G)} = suP{ ¥>(/) / / < le- ; / e cc(x)}.
Soit G C G' deux éléments de Ç. On a pG-\G = Pc- En effet, ces deux mesures
coïncident sur les ouverts de G et donc sur B(G). Soit, pour tout G € G
la mesure de Radon /iG sur X définie par fic(B) = pa(B f"l G) pour tout
fl £ B(X). On a évidemment que pour tout G, G' G G, PcV /ic < /JGuG'-
Posons /i = supG/iG. En utilisant E.5.2-remarque, on montre aisément que /i
est une mesure sur B(X). De plus, /i est une mesure /C-tendue. En effet, soit
B G B(X). Soit (G„) une suite dans Ç telle que fiG.(B) î **(£)• Soit. Pour
tout n, un compact K„ tel que K„ C G„ CI B et paAB) < /iG„(Vf„) + 1/"-
On a /i(B) = lim/iG.(B) < lim(/i(U,<„Vf,) + 1/n) = lim/i(U,<„Vf,) < /i(B).

224
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
Evidemment, /i est finie sur les compacts et donc, d'après ce qui précède, c'est
une mesure de Radon. On a, pour tout G G Q, fi\c = fie et donc, si / est
dans CC(X) de support inclus dans un certain G Ç.Q alors, /i(/) = /Ïg(/|g) =
<Pg(I\g) = f(f)- I' s'ensuit que V'(a') = f et donc $ est surjective. 4
REMARQUE. On peut prolonger V" à N^fX,B(X)) par "linéarité", mais nous
n'obtenons pas une application surjective à valeurs dans H{X). L'espace
7i(X) est plus riche car c'est un espace vectoriel alors qu'il n'en est rien de
Mfl(A', B(X) (certaines différences sont impossibles).
Ce sont les éléments de H{X) que Bourbaki appelle mesures sur l'espace
localement compact (X, r) et c'est en partant de l'espace fonctionnel W(X) qu'il
fonde sa Théorie de l'Intégrale. Notons que l'on peut rejoindre complètement
Bourbaki en identifiant les mesures de Radon positives /i avec leurs familles
associées (p(^'))k€)C(X) et en définissant comme mesure de Radon à valeurs
dans R toute différence de deux mesures de Radon positives. Bien entendu,
certaines de ces mesures ne sont pas définies sur tout B(X) rnais la différence des
familles associées les détermine complètement sur les compacts. En adoptant ce
point de vue, on obtient un isomorphisme entre l'espace vectoriel des mesures
de Radon ainsi définies et H{X) (en prolongeant la fontion V" de 12.6.1).
Exercices, compléments
i
E.12.1. <MUfr Dualité dans les espaces Lp
Soit (X,B.fi) un espace mesuré, (p,q) G [1,+oo[x]l,+oo] avec - + - = 1
P î
(naturellement, si p = 1 alors q = +oo). On note classiquement S, Cp, Lp,...
les espaces S(X,B,fi), Cp(X,B,fi), Lp(X,B,fi)...
On note S/ l'ensemble des combinaisons linéaires d'indicatrices d'ensembles
intégrables. En utilisant E.6.14, on montre aisément que Si est dense dans
l'espace semi norme (£,,, Np) pour tout p < +oo et donc 5/ = Si/ ~ est dense
dans l'espace deBanach (Ip,||-||p).
Les éléments de Lp se notent sans ambiguïté / (=/~) avec / G Cp.
On considère l'application V" : Lq —► L'p où pour tout g G Lq, V>(ff) est définie
par tl>(g)(f) = /j(/-s) pour tout / G Lp (on rappelle que L'p est l'espace des
formes linéaires continues <p sur Lp et que c'est un espace de Banach avec la
norme |M|„ = sup \f{I)\)-
a) Montrer que tl> est bien définie et qu'elle est une application linéaire
continue.
On va montrer, qu'avec certaines restrictions, t/> est surjective et conserve la
norme et donc, que l'on a un isomorphisme isométrique.

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
22S
b) On suppose que /i est finie. Soit f G L'p.
1) Montrer que v de B dans R définie par v(A) = <p(\a) est bien définie et cat
une mesure bornée absolument continue par rapport à /i i
2) En déduire qu'il existe une application g dans C\, /i-unique, telle que pour
tout s G S, <p(s) = ti(s.g).
3) Pour p > 1, en prenant une suite croissante (s„) dans 5+ telle que
\g\ = lim î s„, montrer que N,(s„) < ||y>||p pour tout n et en déduire que
g e c, et HsH, < ii^iij,
Pour p = 1, montrer que, pour tout A G B, /i(l^.|s|) < IMIp./i(j4). En déduire
que g G £«, et HfflU < |M|p.
4) En utilisant 1) prouver que *(y) = y>. Conclure.
c) En utilisant b), montrer que $ est un isomorphisme isométrique dans
le cas où p > 1 et /i non nécessairement finie.
d) Même question qu'en c), mais dans le cas /i c-finie et p = 1.
Aide, a) L'application $ est bien définie. En effet, fixons g G Lq. Pour tout
/ G Lp, p(f.g) a un sens car f.g est dans Ci en vertu de l'inégalité de Hôlder
Ni(/-ff) < Np(f).Nq(g) < +oo et donc, il>(g) est une application (évidemment
linéaire) de Lp dans R. Cette même inégalité de Hôlder écrite pour les classes
donne Mg)(f)\ = \»(f.g)\ < \\f.g\U < ll/lUIffll, et prouve que ,(-(5) G L'p et
U(Ï)\\P <[MU (*)•
L'application linéaire V" étant contractante en vertu de (*), elle est continue (de
norme < 1).
b) 1) Pour tout A G B, puisque la mesure /i est finie, on a 1,4 G Lp et donc
v(A) = <p(1a) a un sens. L'application v est évidemment additive. Soit (A„)
une suite dans B décroissant vers 0. Si on montre que v(An) J. 0, on aura que
v est une mesure. Or v{An) = V{\A,) < |M&.N,(U.) = llvll^M^n))' i 0.
2) Clairement, v <; /i et donc, en appliquant le Théorème de Radon-Nikodym,
soit j G ii la classe dans L\ des dérivées de v par rapport à /i. Comme par
définition <p(1a) = v(A) = /i(l^.s) pour tout A G B, par linéarité, pour tout
élément s de S, on a <p(T) = p(s.g)
3) On pose e(g)(x) = 1 si g(x) > 0, e(g)(x) - -1 si g(x) < 0.
Cas 1 < p. Evidemment, les applications e(g).sf,~l sont simples et donc,
if.ii; = ,iK) < /i(Sr'£(s)s) = «KMr'eton
< IIvII^-II^-'IIp = 11^11^-115^111-1
On obtient alors ||J„||Ç < ||y>||p. En appliquant la propriété de Beppo-Levi, il
vient N,(g) < \\<p\\'p < +oo et donc g G L, et ||j||, < \\<p\\'p-
Cas p = 1. On a, pour tout A G B, /i(l^.|sl) = MU■£(»)■») = v((lJ4-e(ff))~) <
IMIp-llûlli = IMIP-/4^)- Cela étant, soit a > \\<p\\'p et P°*>ns A = {\g\ > a}.
On obtient /i(A)a < \\ip\\'pli(A), ce qui n'est possible que si ii(A) = 0. Par
conséquent N^g) < \\<p\\p < +oo et donc s G Le» et HfflU < |M|p.
4) On a prouvé en 1) que /—► fi(g.f) est une forme linéaire continue sur Lp.
Comme cette forme linéaire coïncide avec la forme linéaire continue <p sur S qui

226
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
est dense dans Lp, elles sont égales. On a donc tp(g) = <p. De plus on a, compte
tenu de a) et b)-3), \\g\\f = \\<p\\'p et donc V est une isométrie. En conséquence,
tp est injective et donc aussi un isomorphisme.
c) Montrons la surjectivité de tp.
Soit ip G L'p, et notons Bo l'ensemble des B G B de mesure finie. (On notera que
Bo est stable pour l'union finie.) On utilise ici la convention classique consistant
à prolonger par 0 en tout X, toute application définie sur une partie B € Bo. On
a alors LP(B) C Lp. Comme Si C UBeB„£p(B), le sous-ensemble UBeB0£p(-B)
de Lf est dense dans Lp.
Pour chaque B € Bo, en appliquant le résultat de b) à <ps = V\L (B)> fixons
l'unique JB G L,{B) vérifiant N,(gB) = \\<Pb\Ïp et <Pb(I) = JBfgB<lfi =
f /ffs^P pour tout /G LP(B). Comme on a \\<Pb\\'p < WfW'p pour tout B G Bo,
et que Bo est stable pour l'union finie, soit une suite (B„)„>i C Bo croissante
telle que
" r B€Bo ■
D'après (*), pour tout Bo G Bo tel que Bo 0 (UB„) = 0, on a çb0 = 0. En
effet, d'après l'unicité des gs, pour tout n, on a J |sbubJ'<'a' = /b IsbI'^ +
la \9B.\yp, d'où lim„ A^Sb.) = supBÉBo ^(gB) > N^(gB)+\imn N;(gB„),
et donc jb = 0.
Maintenant, la suite (ffB.) croît /i-p.p. en vertu de la croissance des B„ et du
fait que çb, = Sb.+i /J-p-P- sur B„ pour tout n > 1. Soit g mesurable, nulle en
dehors de UBn telle que jb, î S ^"P-P-- On a donc |sb, I' î Iffl' /^P-P-- D'après
ra propriété de Beppo-Levi, on a Nq(g) = lim Nq(gB ) < \\v)\\p < +co donc,
SGlçetN,(fl)<|M|^.
Montrons que •p(f) = /i(/ff) =' \H5)(/) Pour tout / G £p. Pour cela, montrons
que, pour tout B G Bo, la formule est vraie pour tout / G LP(B), le résultat en
découlera car \Jb£B0Lp(B) est dense dans Lp. Fixons B G Bo et soit / G LP(B).
On a sb = ffsnuB. + Sb\uB„ = SBnuB. /J-P-P- et, comme pour tout n,
lBnB.SBnuB. = ffBriB. = lflnB.S /J-P-P-. on a SBnuB, = lflnuB.S /J-P-P-- 1'
vient y(7) = fi(fgB) - KfgBnuB.) = /i(/lBnuB«s) = /i(lB/luB«s) = /j(/ff)-
On a donc V>(s) = y et ||j||, = WfW'p- L'application i/> est bien un isomorphisme
isométrique.
d) 11 suffît de montrer la surjectivité de V" et la conservation des normes.
Soit <p G L'p et soit (A„) C B une suite croissant associée à /i, et notons que
U„Li(A„) est dense dans L\ (avec la convention faite dans c)). Pour tout n(u,
soit, d'après b), gn G loo(^n) l'unique élément vérifiant il>\L„(A„)(gn) = Va,-
On a Noo(s„) < IIvmJH < IMIi P°"r tout n G w. Soit g mesurable telle
<lue g\A* = Sn /J-P-P- pour tout n G u. On a s G £oo et Nao(g) < ||p||',. En
suivant la démarche de b), on montre que s est l'unique élément de £„, vérifiant
<p(f) = J fgdfi, pour tout / G L\. •
REMARQUE. Dans c) la condition de o-finitude est essentielle. En effet, soit
X un ensemble non vide, et soit B = {0, X} et /i la mesure définie sur B par

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
227
H(X) = +00. On a i, = {0}, donc L\ = {0}, mais L^ = R.
E.12.2. «frafr Formes linéaires continues
Soit X un espace topologique, Cb(X) l'espace de Banach des fonctions bornées
continues sur X, et Ce(X) le sous-espace de Ch(X) constitué des fonctions
continues à support compact.
a) Soit <p : Ch(X) —» R une forme linéaire continue. On définit £>sur C+(X)
en posant, pour tout / G C+(X), ¢(/) = supMsVs G C+(X),fl < /}.
1) Montrer que ¢ est positive, à valeurs dans R, positivement homogène et
additive, sur C+(X).
2) On définit ip\ sur Cj(X), en posant <p\(f) = ¢(/+) ~ ¢(/-). P°ur tout
/ G Cb(X). Soit <pt = <p\ — if. Montrer que <f\ et tp2 sont deux formes
linéaires positives. En déduire que que <p s'écrit comme différence de deux
formes linéaires positives.
b) Soit ip : Ce(X) —» R une forme linéaire continue positive (CC(X) est
muni de la topologie de la convergence uniforme). On définit ¢ sur C+(X) en
posant, pour tout / G C+(X), ¢(/) = sup{<p(g)/g G C+(X),S < /}.
1) Montrer que ¢ est positive, à valeurs dans R, positivement homogène et
additive, sur C+(X).
2) On définit ¢ sur Ct(X), en posant ¢(/) = ¢(/+) — ¢(/-). pour tout
/ G Cj(X). Montrer que £est une forme linéaire positive.
Aide, a) 1) Soit / G C+(X). On a ¢(/) > <p(0) = 0, donc ¢ est positive.
D'autre part, pour tout g G C+(X) tel que }</,ona \<p(g)\ < N^(ip)Nu(g) <
Ni(<p)Nu(f)- D'où ¢(/) < NÛ(<p)Nu(f) < +00 et donc, v? est à valeurs dans
R. 11 est clair que ¢ est positivement homogène. 11 reste à montrer l'additivité.
Soit /1,/2 G C+(X). L'inégalité ¢(/1 +/2) > ¢(/1) + ^/2) ne présentant pas
de difficulté, montrons l'inégalité dans l'autre sens. Soit g G C+(X) tel que
g < /1 + /2, et posons gt = g A /1 et g2 = S -Si- On a Si,s2 G C+(X), de
plus S = Si +S2 < /1 + /2 et Si < /1 - Montrons que 52 < /2- Pour tout a; G X,
on a ji(i) = g(x) ou 51(1) = /i(*), et on a toujours 5(1) < g(x) + /2(1) et
g(x) < fi(x) + fi(x). Donc g < g\ + /2, c'est à dire j2 < /2- H en résulte que
V(ff) = ^(ffiHvfo) < ¢(/1)+^/2)- Par conséquent ¢(/1+/2) < ¢(/1)+^/2)-
2) Le seul point à vérifier est la positivité de y>i et celle de y>2, le reste ne
présente pas de difficulté. Soit / G Cf(X). On a /- = 0, donc ipi(f) -
¢(/+) > 0 (positivité de ¢). D'où la positivité de <p\. Celle de tpi en découle
car tpi(f) > <p(f) Pour tout / G Cf(X).
b) 1) Montrons que ¢ est à valeurs dans R. Soit / G Cj"(X). Pour tout
g G CC+(X) tel que g < /, on a 0^ *>(») < K(f)Nu(g) < N'u(<p)Nu(f)- Donc
0 < ¢(/) < NÛ(<p)Nu(f) < +°°i ? est donc à valeurs dans R+.
On constate aisément que ¢ est positivement homogène. L'additivité de ¢ se
traite comme en a-1) en remplaçant C+(X) par CC(X) en ce qui concerne les
fonctions g.

228
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
2) Immédiat. On notera que la continuité de <p découle de sa poeitivité d'après
le Lemme 12.2.2. •
REMARQUE. La démonstration de l'additivité dans a-1) peut se simplifier mais
elle a été conçue pour s'adapter au deuxième cas.
E.12.3. & Théorème de Lusin
Soit (X,t) un espace topologique séparé, fi une mesure de Radon positive
bornée sur (X, B(X)) et / une application de X dans R.
a) Montrer que si / est B(X)-mesurable alors
■xVe > 0 3K e JC(X) /i(X \ K) < e et /j* est continue (*)
b) Réciproquement, montrer que si / vérifie (*) alors / est /i-mesurable.
Aide, a) Soit B G B(X). Montrons que la propriété est vraie pour l'application
mesurable 1B. Soit e > 0. Soit Kx,Kt G K(X) tels que A", CBJiC Bc,
/i(B \ K,) < e/2 et /i(Bc \ K7) < e/2. Clairement, /i(X \ (K, U K7)) < e et
^B|(JfiuJfi) ^1 continue.
La propriété s'étend aisément à / G 5+.
Soit / G M*. Soit e > 0 et soit (s„)„>i une suite croissante de S+ telle que
u
s„ > /. Soit, pour tout n, K„ G AC(X) tel que /i((X \ K„) < ^ et sn|K.
continue. Posons K = C\K„. On a fi(X \ K) < e et /j^ continue comme limite
uniforme de la suite de fonctions continues (s„|k)-
Soit / G Mf. Soit e < 0. Comme /i({/ > n}) i 0, soit n tel que /i({/ > n}) >
e/2. Posons A = {/ < n}. Clairement, la mesure /ij^ est une mesure de Radon
sur le sous-espace topologigue (A,t{~\A). On applique le cas précédent à f\A.
On obtient un compact K C A tel que fi(A \ K) < e/2 et (/\a)\k continue.
D'où le résultat.
Si / G M/, on applique ce qui précède à /+ et /~.
b) Soit pour tout n > 1, K„ compact tel que /i(X \ K„) < 1/n et
/jk^ continue. Posons K = \JK„. La suite d'applications mesurables (1k. f)
converge simplement vers 1k/ et / = 1#/ /i-p.p.. •
E.12.4. Espaces métrisables complets et espaces polonais
On dit qu'un espace topologique (X, r) est métrisable complet s'il existe une
distance complète induisant r. On va montrer que les sous-espaces (métrisables)
complets de (X,r) sont exactement les Gt de X. Comme corollaire, on obtient
que les sous-espaces polonais d'un espace polonais sont exactement les Gt de
cet espace.
a) Soit (X,t) un espace métrisable complet et d une distance complète
induisant r. Evidemment, un fermé est un sous-espace métrisable complet. De
manière moins évidente, la propriété est encore vraie pour les ouverts. Soit G
un ouvert de X.

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON 229
Montrer que la fonction S définie sur G x G par
est une distance complète sur G induisant sa topologie (rappelons que <f(x, A) =
inf{ d(x, y) / y G A } pour tout A C X). Appliquer ce résultat aux espaces
polonais.
b) Soit ((X,r„)) une suite d'espaces métrisables complets. Montrer que
IIXn muni de la topologie produit est un espace métrisable complet. En déduire
que : 1) un produit dénombrable d'espaces polonais est polonais, 2) les G« d'un
espace métrisable complet (resp. polonais) sont métrisables complets (resp.
polonais).
En conclure que si {0,1} est munit de la topologie discrète, l'espace produit
{0,1}" est polonais.
c) Soit (X, r) un espace métrisable complet (resp. polonais) et (F„) une
suite de fermés. On note r1, la topologie engendrée par rU{ F„ /n £u }.
Montrer que l'espace (X, r*) est métrisable complet (resp. polonais).
d) Montrer que si (V,r) est un espace topologique séparé et si (X, T\x)
est un sous-espace métrisable complet de Y dense dans Y alors X est un G«
de Y. En fixant une distance complète sur X induisant T\x, on pourra poser,
pour tout n > 1, V„ = U{ V G r / diamètre de V CI X < 1/n } et montrer que
X = nv„.
e) Conclure.
f) Soit X un ensemble et une suite iiyective (X„) de parties de X formant
une partition de X. Supposons que chaque X„ soit muni d'une topologie r„. La
topologie sur X engendrée par Ur„ est appelée topologie somme (des topologies
rn). 11 est clair que, pour tout n, t\x^ = rn et X„ est r-ouvert-fermé. Montrer
que si chaque r„ est une topologie métrisable complète (resp. polonaise) alors,
t est métrisable complète (resp. polonaise).
Aide, a) On vérifie aisément que S est une distance sur G. Montrons qu'elle
est complète. Soit (xn) une ê-suite de Cauchy (dans G). Comme d < 6 sur
G, (xn) est une ({-suite de Cauchy et donc, elle converge dans X vers une
limite x G X. Reste à montrer que x G G. Suposons x g G. (Remarquons que
pour tout A C X, t —► d(t,A) est continue comme il résulte de l'inégalité
\d(t,A) - d{t',A)\ < d(t,t').) On a alors rf^n.G1) ^ d(x,Gc) = 0 et donc,
en fixant n0 arbitraire, I— -p-r - -r. -p^A —► +oo. On en conclut que
I d(x„, Gc) rf(l„0, Gc) I n-oo
(x„) ne peut être de ê-Cauchy ce qui est contradictoire. Donc x G G et donc S
est une distance complète sur X.
Reste à voir que 6 induit r* = tjg. Comme d < 6 sur G, on a r* C Tt. Soit (i„)
une suite r'-convergente de limite x (dans G). Clairement 6{x„,x) -—* 0 et
donc (x„) est «-convergente. 11 s'ensuit que n C r1. Le sous-espace G est bien
un espace métrisable complet.

230
12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
Si (X, r) est polonais, comme tout sous-espace est métrisable séparable, tout
fermé et tout ouvert de X sont des espaces polonais (avec la topologie induite).
b) Soit (d„) une suite de métriques complètes induisant les topologies r„
respectivement. H est clair que, pour tout n, dj, = d„ A 1 est une métrique
complète induisant r„. Posons 6(x,y) = 53 ^''nC^n.S'n) pour tout x =
(x„),y = (y„) G UX„. On vérifie aisément que S est une métrique complète
induisant la topologie produit et donc IIA',- est un espace métrisable complet.
1) Si les Xn sont polonais, on aura que IIX„ est polonais si on montre
qu'il est à base dénombrable. Or, si pour chaque (X„,t„), on se donne
une base dénombrable c„ pour la la topologie r„, on constate aisément que
{ riuArRn'C^n) / N ^n' C«; G„ G <t„ pour tout n G N } est dénombrable
et engendre la topologie produit.
2) Soit (X,r) un espace métrisable complet. L'espace X" munit de la
topologie produit est métrisable complet ainsi que son sous-espace fermé A =
{ (^n) / Vn x„ = xn+i } (diagonale de X"). L'application p : A —► X définie
par p((xn)) = xq est un homéomorphisme. En effet, p est évidemment bijective
et continue (en tant que restriction à A de la projection po)- Les éléments de
la forme A n P^^G,,), n g u, G„ G r engendrent la topologie de A (c'est
une sous-base de la topologie de A) et donc, comme p(A l~l p~'(G„)) = G„,
l'application p~l est continue.
Maintenant, soit (G„) une suite d'éléments de r. Ce sont des sous-espaces
métrisables complets de A"" et donc, le produit IIG„ est un espace métrisable
complet et en même temps un sous-espace de X". 11 s'ensuit que A 0 IIG„
est un sous-espace complet de A (il est fermé dans IIGn). On voit aisément
que p(A 0 IIG„) = nG„ et comme p est un homéomorphisme, l~lG„ est un
sous-espace complet de X.
Dans la démonstration que l'on vient de faire, on peut remplacer en chaque
occurence, métrisable complet par polonais.
Le cas de {0,1}" est évident car {0,1} avec la topologie discrète est polonais.
c) On construit par récurrence une suite de topologies métrisables
complètes (resp. polonaises) sur X de la manière suivante :
Pour n = 0, on définie tq comme étant la topologie engendrée par r U [Fq].
Avec cette nouvelle topologie, F0 et F0C sont ouverts et fermés et leur topologie
est identique à leur topologie d'origine. On en déduit aisément que (X, r0) est
un espace métrisable complet (resp. polonais) (voir f)).
Supposons la construction effectuée jusqu'à n. L'ensemble X est alors muni
d'une topologie métrisable complète (resp. polonaise) r„ engendrée par r U
{F0,---,Fn}- On définie rn+i comme étant la topologie engendrée par r„ U
{Fn+i}. 11 est clair que (X,rn+i) est un espace métrisable complet (resp.
polonais) (les arguments sont similaires à ceux de la première étape).
On obtient donc une suite r C r0 C n C • •• de topologies métrisables
complètes (resp. polonaises) sur X. Soit r* la topologie sur X engendrée par
rU{F„/nGw}- Clairement, r* est engendrée par Ur„. On va montrer que
r* est métrisable complète (resp. polonaise).
Posons X„ = (X, t„). L'espace IIX„ muni de la topologie produit est un espace

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON
231
metrisable complet (resp. polonais) d'après b) et donc sa diagonale A qui est
fermée est aussi un espace metrisable complet (resp. polonais). Notons r^ sa
topologie. Montrons que p : A —> X définie par p((x, x,x,-- -)) = x est
un (rû,r')-homéomorphisme. Comme pour tout n, p = JVi.A, p est (t&,t„)-
continue. 11 s'ensuit que p est (r^, r'J-continue. Inversement, la topologie r^
est engendrée par les ensembles de la forme A l~l Hne/Pn '(^n) avec I fini C u>
et G„ G r„ pour tout n G /. Comme p(Af"l (f\,ci Pn1 lGn)) = I"IG„ G rt C r
pour i assez grand, on ap-1 continue. Et donc, (X,r') est metrisable complet
(resp. polonaise
d) Clairement, tW„ est un Gt de Y et X C nV„. Soit i G nV„. Soit, pour
tout n > 1, W„ G r tel que i G Wn et diamètre de (W„ 0 X) < 1/n. On peut
choisir les W„ allant en décroissant (quitte à poser W^ = nl<nW„). Soit pour
tout n > 1, x„ G W„r\X. La suite (xn) est de Cauchy dans X (d(x„,xm) < 1/n
pour tout m > n) et donc, elle converge dans X vers un point y Supposons
que x ^ y. Soit W un voisinage ouvert de x dans Y tel que y £ W (Y est
séparé). On choisit ij, G W„ 0 W n X pour tout n > 1 (,Y est dense dans Y).
A nouveau, (ij,) est une suite de Cauchy dans X et donc elle converge vers un
point z G W (car la suite est dans le fermé VV). Mais d(zn,zJJ —► 0 et donc
n—oo
y = z. 11 s'ensuit que y G W, ce qui est absurde. Donc, mazGXet donc
x = nv„
e) On obtient bien que tout sous-espace d'un espace metrisable complet
(resp. polonais) est Gb ssi il est metrisable complet (resp. polonais). En effet,
d'après b), si un sous-espace est Gi, il possède la propriété. Inversement, si
(X, t) est un espace metrisable complet (resp. polonais) et si X' est un sous-
espace metrisable complet (resp. polonais) alors, en appliquant d), X' est Gi
dans son adhérence X . Comme un fermé dans un espace metrisable est Gi
dans X, il s'ensuit que X' est Gt dans X.
f) La démonstration de ce point est ne présente pas de difficulté. •
E.12.5. <fr<M Espaces de Lebesgue
Les détails sont laissés à titre d'exercice.
Soit (X, B,n) un espace probabilisé complet (B = B„). Soit A = (^4„) une sous-
collection d'éléments de B. On notera 0A, l'application de X dans {0,1}" définie
par 6A(x) = (U„(i))„€„. Si A sépare les points de X (E.3.17), l'application
6-* est injective.
On dit que l'espace de probabilité complet (X,B,n) est un espace de
Lebesgue s'il existe une sous-collection dénombrable A = (A„) de B séparant
les points de X et vérifiant :
(L,l) (*(>!))„ = B,
(L,2)^(X)G(B({0,l}"))^(#i)
avec 6A(fi) la mesure image de /i par 0*.
Ces espaces ont été introduits par Rohlin [23].
On va montrer que (X,B,/i) est un espace de Lebesgue ssi il existe sur X une
topologie r, metrisable, séparable telle que

232
12. INTÉGRALE DE DANlELL, MESURES DE RADON
(L;i)(B(X)),=B,
(L',2) fi\B(X) est une mesure de Radon.
On dira que la topologie r est compatible avec (X, B, fi).
a) Montrons que si (X, r) est un espace métrisable, séparable, muni d'une
mesure de Radon vérifiant (L',1) et (L',2), alors (X^X),,,^) est un espace
de Lebesgue.
Soit A = (An) une base de la topologie r. La collection A sépare les points
de X et (L,l) est vérifié. Montrons (L,2). Soit r* la topologie engendrée par
rU{i4J/neii)}. Clairement, 6 = BA est un homéomorphisme de (X, r") sur
0(X) muni de la topologie induite par celle de {0,1}".
Soit {Krf\ un suite croissante de r-compacts telle que 1 = fi(X) = sup/i(K„) =
fi(UKn). En appliquant E.12.4-c), à chaque tk„ U { Acm fl K„ / m G w },
on en conclut que (AV,,^ ) est polonais et donc 6(K„) (qui est
polonais par homéomorphisme) est Gj dans l'espace polonais {0,1}U (E.12.4-
b),e)). U s'ensuit que 0(\JKn) est un Gj„ de {0,1}" et donc un élément
de B({0,1}"). Mais e(fi)(0(UKn)) = 1 et donc 6(X) G 0({O, l}")«((i) (car
{0,1}" \ (0(fi)(6(UK„))) est (^-négligeable).
Remarquons alors que toute base dénombrable A de (À', r) sépare les points
de X et vérifie (L,l) et (L,2).
b) Réciproquement, supposons que (X,B,fi) possède une collection A =
(A,,) séparant les points de X et vérifiant (L,l) et (L,2). La mesure de
probabilité 6A(fi) sur la tribu B({0,1}") est de Radon (car {0,1}" est polonais).
La restriction de 6A(fi) au sous-espace 6A(X) est donc une mesure de Radon.
Eli transportant via (^)-1 la topologie de fr*(X) sur X, on obtient un espace
topologique métrisable séparable vérifiant (L',1) et (L',2).
Remarquons que la topologie transportée n'est pas autre chose que celle
engendrée par A U Ac-
c) Soit (X,t) un espace métrisable K„ (union dénombrable de compacts).
Alors, il existe une topologie polonaise plus fine de même tribu borélienne. En
effet, soit (K„) un suite de compacts que l'on peut choisir croissante telle que
X = UK„. Ecrivons X = Un(Kn \ \Ji<nKi). Les K„ \ Ui<nKi sont 2.2.d. et
polonais. U s'ensuit que si on munit X de la topologie r* somme des topologies
de'chaque K„ \Ui<nKi (voir E.12.4-f)), alors r* est polonaise, r C r* et leurs
tribus boréliennes coïncident.
d) 4kM>£ Soit (X,B,n) un espace de Lebesgue, (X',B') un espace
mesurable dénombrablement séparé et / : X —> X', mesurable. On suppose
que B' est /(/^-complète. Alors, (X', B, /(/i)) est un espace de Lebesgue et
f(X) G B. En particulier, si A dénombrable C B sépare les points de X, alors
A vérifie (L,l) et (L,2).
Soit A une collection dénombrable de parties de X' séparant les points de X'.
Soit r1 la topologie sur X' engendrée par A U Ae = C (elle est métrisable
séparable car (X, r1) s'identifie homéomorphiquement au sous-espace 6A(X')
de {0,1}"). On a'B(r, O/M C &.
Posons C = /~ ' (C). La collection C étant dénombrable, écrivons C = { C„ / n G

12. INTÉGRALE DE DANIELL, MESURES DE RADON «
u }. Soit r une topologie compatible avec (X,B,fi). Soit rt
X engendrée par r U C. L'application / est alors (n,
<r(r) C <r(r,) c B. Soit, pour tout n, {Kf)p une suite de r
C„ telle que n(C„ \ UPKP) = 0 et soit (Kn) une suite de t
/i(X\UK„) = 0. Soit r une topologie polonaise sur le Ka, A = (UJÇ.Wif«i.
plus fine que TliA de même structure borélienne (voir c)) et soit tTC^**
sur X somme de r1M« et r. Clairement, B{X, r2) C B. Comme ji(X\ j-l n
est de Radon sur (X, r2) (la restriction de /i à B(A,t) est de Radon cvM A
est polonais). De plus, / est (r2,r')-continue. "
Soit B e B. On a
/0i)(B) = /i(/"l(S)) = SUP /<*)< SUP /(/i)(/(K)>
KO-'(B) /COCU V "
k ,3-compact * 'j -compact
- S /(^)(^) < /G*)(B)
k r'-compact
11 s'ensuit que B e 0-(0/(^) et donc C = B(X', r1);^). De plus /(/*) est de
Radon sur (X', r1). Les conditions (L',1) et (L',2) étant vérifiées par la topologie
métrisable séparable r*, l'espace (X',B', f(fi)) est un espace de Lebesgue.
Comme /(/i)(/(Utf„)) = 1, on a f(X) G ff.
Pour le cas particulier, on applique ce qui précède à l'identité. •
REMARQUE. 1) Rohiin a montré que tout espace de Lebesgue avec une mesure
diffuse (la mesure des singletons est nulle) est isomorphe à ([0,1], B([0,1])\,X).
2) T. Delarue a montré que tout espace probabilisé complet (X,B,fi) tel qu'il
existe sur X une topologie r, séparé, à base dénombrable, vérifiant (L',1) et
(L',2), est un espace de Lebesgue (exercice).

Chapitre 13
Désintégration des mesures
Dans tout ce chapitre nous n'utiliserons que des mesures positives bornées.
Elles seront simplement appelées mesures
13.1. Relèvements
Dans ce paragraphe (X,B,fi) est un espace mesuré fini complet fixé. Pour
toute sous-tribu B' de B, on note jCoo(S') (resp. Lca(B')) l'espace £00(-^,^1/^)
(resp. L00(À',B',/i)) (on désigne par fi la restriction de la mesure /i à B').
Soit C C V(X). On note S(C) l'espace vectoriel réel des combinaisons linéaires
d'indicatrices d'éléments de C.
Soit f,g G M{X,B). Rappelons que si /i({/ ^ g}) = 0, on écrit / ~ g, de
même, si A, B G B sont tels que ii(AAB) = 0, on écrit A~ B.
Si C C B (resp. E C M(X, B)), on note C (resp É) l'ensemble quotient de la
restriction de la relation d'équivalence ~ à C (rep. à E)
Soit B une sous-tribu de B. On appelle relèvement de B' toute application
p- B' —- B' vérifiant pour tout A,B G C les conditions suivantes
r.l) p(À) e A
r,2) p(X) = X et p(0) = 0
r,3)p(>lnB)=p04Jnp(B)
r,5)p(>lUB) = p(I)Up(B)
On appelle relèvement de £00(^) toute application p : Loo(S') -► 'Coo(B'),
telle que pour tout f,g G £00(^) et pour tout o,/3 G R, on ait :
R,l) P(/)) e 7

236
13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
R,2) p(l) = 1
R,3) /> 0->p(/j > 0
R,4) p(af + pg) = ap(f) + Ppiï)
R,5)P(/S) = P(/)P(5)
Un application définie de Loo(C) dans jCoo(B') ne vérifiant que les conditions
R.,1), R,2), R,3) R,4) est appelée relèvement faible de Coo(B'). Le lecteur
remarquera que la condition R,3) est impliquée par la condition R,5).
L'ensemble des relèvements de B' est en bijection avec celui des relèvements de
C-cx,(B')- Avant d'établir ce fait, montrons la proposition (élémentaire) suivante -
Proposition 13.1.1. Soit (Et, Ni), (£"2,^2) deux espaces de Banach et
soit F un sous-espace de E\ dense dans E\. Toute application linéaire
continue <j> : F —► E2 s'étend à E\ de façon uniçue en une application
linéaire continue.
démonstration. Soit x G E\, et soit (x„) C F une suite telle que x„ —► x.
La suite (<p(xn)) est une suite de Cauchy dans E2. On pose ip{x) = limn v(x„).
La valeur <p(x) ne dépend pas de la suite choisie. En effet, si (y„) C F est une
autre suite convergeant vers x, alors A/i(xn — yn) —<■ 0, donc, f étant continue
sur le sous-espace F, on a lim„ ^2(^(^) - f(yn)) = Km„ Ni{<p{x„ - w,)) = 0.
L'application <p est une extension de tp à E\, et sa linéarité résulte de sa
définition et de la linéarité de tp sur F.
Notons N'F(tp) la norme de <p sur F. Soit x G £?i, et soit (xn) C F telle que x„ —*
x. On a Ar2'(£0O) = hm„ N2M*,.)) < \\nw> N'f.fâN^) = A/'(V)A/,(x).
Dénc |£>| < |y>|jr. D'où la continuité de !p sur £"i. 4
Soit p un relèvement de B et montrons qu'on peut lui associer de façon
canonique un relèvement de £oo(6')- On définit d'abord p sur S(B') en posant
pTEi<*ilr) = 5Zi °«1 (-7^- L'application linéaire ainsi définie sur S(B'),
est à valeurs dans l'espace de Banach (MU(X,B'),\\ ■ \\u) et est telle que
||pT(/)||u = Noo(f) ; de plus elle vérifie toute les propriétés d'un relèvement.
Comme le sous-espace S(B') est dense dans l'espace de Banach L^B'), la
proposition 13.1.1 assure l'existence d'une unique application linéaire continue
sur L00(B'), notée encore p, qui étend p. On vérifie aisément, en utilisant la
continuité de p sur L/oo (B1), que p est un relèvement de Coo(B').
Inversement, partant d'un relèvement p de C^B'), on définit un unique
relèvement de B' en posant p{A) = p\lA)-
Par conséquent, pour montrer l'existence d'un relèvement de £„,(6) (c'est le
but de ce qui va suivre), il suffit de prouver l'existence d'un relèvement de B.
Dans la suite, pour toute sous-tribu B de B, et pour tout relèvement p de B,
on note p le relèvement de £00(^) associé à p.
remarque. 1) Soit N l'ensemble des parties négligeables de l'espace mesuré
(X,B,ti). On a o^AT) = {-O}- L'application p0 : c-(jV) — tr(M) définie par
po(0) = » et p0(X) = X, est un relèvement de <r(N).

13. DÉSINTÉGRATION DES MESURES
237
2) Soit B' une sous-tribu de B. Fixons B G B. La mesure fiB : B' — R définie
Par Pb(A) = /i(j4nfî), pour tout A G B', est absolument continue par rapport à
la restriction de fi à B' (que nous noterons encore fi). On note fB ou encore (par
commodité) du/fi, la classe des dérivées de Radon-Nikodym de fiB par rapport
à fi Avec ces notations, si p est un relèvement de B', alors on a 0 < p\fB) < 1
et pour tout A G B', on a Û/B = dfiAnB/fi et p\ûfB) = lriA)pXfB)-
On a aussi 1 - /b = dftB</fi et p(/flO = * — P(/b)-
Lemme 13.1.2. Soi! 6' une sous-tniu de 6 contenant S/. Supposons
que A admet un relèvement p, et soit B G C Alors la tribu tr(B' U {B})
admet un relèvement qui étend celui de B'.
démonstration. D'après la propriété (R,l) du relèvement p de C^B'),
l'élément pifs) de C^B') est un représentant de dfig/fi Posons
BD = {xeX/p\fB)(x) = 0}
B1 = {xeX/p\fB)(x) = l}
On a Soi B\ G B'. Posons p'(fî) = (BUBi)nBfj. On a les propriétés suivantes .
P,l) B ~ p'(B). En effet, on a fi{B n B„) = /Bo fBdfi = /Bo p(/B)rf/i = 0 et
fi(Bc n B,) = /i(B,) - /Bi p\fB)dfi = 0 Donc Bc fl B,, B fl B0 G JV. D'où le
résultat.
P,2) Si A, A' G B' sont tels que B n A ~ B CI A' (resp. Bc CI /1 ~ Bc fl A'), alors
p'{B) n p(I) = p'{B) n p(>l') (resp. //(B)" n p(Â) = p'{BY n p{A-)).
Cette propriété se vérifie en utilisant la remarque 2. En effet, on a pX/Unfl) =
p(/atib). donc p(1a/b) = pOa'/b); p étant un relèvement de Coo(B'), on
obtient p\TA)p(fB) = p(Î7')p(/b) Donc p(Â) H B£ = p(À') n Bg. L'autre
égalité s'obtient en utilisant le fait que p(fB') = 1 — pX/b)
P,3) On a o-(B' U {B}) = {(B CI >1) U (Bc n A')/'A, A' G B'} Soit C,C" G
o-(B'U{B}) tels que C ~ C. On vérifie aisément que si C = (Br\A)U(Bcr\A')
et C" = (B n i4i ) U (Bc CI i4',), alors B n /1 ~ B n Ai et Bc n A' ~ Bc n i4',.
11 résulte de P,3) et P,2) que l'on définit bien une application f/ sur <t(B'U {B})
en posant
P'(Ë ) = (p'(B) np(I)) u(p'(B)c npM'))
pour F = (B n /1) U (Bc n A'), A, A' G 6'. On vérifie sans peine que cette
application est un relèvement de <t{B' U {B}) prolongeant le relèvement p de
B' *
Soit A une algèbre de parties de X. On dit qu'une application / : A — {0,1}
est une mesure additive bivalente si / est additive et f(X) = 1.
Lemme 13.1.3. Soit A C B une algèbre de parties sur X, et soit 1 un
sous-ensemole de A contenant N, stable pour l'union finie et ne contenant
pas X. Alors, il extste une mesure additive bivalente m sur A vérifiant
m(F) = 0 pour tout F G 1, et m(A) = m(B) pour tout A,B eA tels que
A~B.

238
13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
démonstration. Soit U un ultrafiltre sur X contenant lc. On définit
m : A —► {0,1} en posant m(A) = lBiA€UnAet m{A) = 0 sinon. On
vérifie aisément que m est additive, et que m(F) — 0 pour tout F G I, de quoi
il résulte que m(A) = "»(B) si A ~ B. •>
Lemme 13.1.4. Soi! (Sn)n€u «ne suile croissante de sous-trtbus de B
contenant N, et pour tout n € u, soit p„ un relèvement de B„. Si pour
tout m > n, on a pm|B„ = Pn> alors il existe un relèvement p^ sut
Bao = c(UB^) tel que p^g. = Pn Pow '»«' n G w.
Pour montrer ce lemme, on utilise le théorème suivant, cas particulier d'un
résultat plus général (le Théorème des martingales). Pour ce dernier le lecteur
peut consulter [10], [14], [17].
Théorème 13.1.5. On reprend les notations du Lemme 13.1.4- Soit
B G Bca, et pour tout n G u, soit gB G £00(¾) «ne dérivée de Radon-
Nikodym de la restriction à B„ de fig Par rapport à la restriction de fi à
B„. Alors, la suite (gg) converge fi-presque partout vers 1b.
(Rappelons que fig est définie sur B par /ig(A) = fi{A l~l B)).
démonstration du Lemme 13.1.4. Soit B G Coq. Pour tout n G w,
notons fB" la classe des dérivées de Radon-Nikodym de la restriction de fig
à B„ par rapport à la restriction de p à B„. Posons /f = Ph(/B")- Soit U un
ultrafiltre sur u (voir E.10.16-remarque) contenant le filtre des parties co-fimes
de u, et soit <j>g = limj/ /jf (<t>g(x) = limj/ /jf (x) si pour tout e > 0, il existe
U G U tel que pour tout net/, \<I>b(x) — fn(x)\ < e). La fonction limite <j>g
existe car, d'après la remarque 2, pour tout n £ u, on a 0 < /* < 1 (')
Soit x G X On pose l(x) = {B G Bco/M*) = 0} Ona^C !(*) et
X g I(i). D'autre part, pour ^4, B G !(*), on a /aub(x) = \imu(pXf%~B)(x) <
\\mu(p(fA")(x) + p(fg')(x)) = 0. Donc T{x) vérifie les conditions du Lemme
13.1.3. Soit, pour tout x £ X, une mesure bivalente mr sur £?„,, telle que
pour tout B G l(x), on ait mx(B) — 0, et pour tout A,B G B» tels
que A ~ B, on ait mr(j4) = mr(fî). On définit p : Bx —>■ ~P(X) par
p(fî) = {x G X/mT(B) = 1}. On a alors les propriétés suivantes :
1) <M*) = 0 - x £ p(B) et <M*) = 1 - x € p(B).
En effet, si <j>g(x) — 0 alors B G !(*), donc mx{B) — 0. De même, si <j>g{x) — 1,
alors <j>gc(x) = 0 (car ^Bc = 1 — ^B), donc Bc G I(x), c'est à dire i G p(B).
2) Pour tout B G #«,, on ap(B) ~ B, donc, comme N C #„,, on a p(B) G &».
En effet, d'après le Théorème 13.1.5, la suite (/f) converge simplement sur le
complémentaire d'un ensemble N G M vers 1B, donc pour tout x G Nc, on a
lB(i) = Hm/f (1) = lirnw /f (1) = <l>g(x). Donc 1B ~ <4B. En utilisant 1), on
voit que {frg = 1b} C (BAp(B))c et donc, on obtient B ~ p(B).
On pose, pour tout B G Bao, Poo(B) = p(B). Montrons que poo est un
relèvement de Bao-
(*) On voit aisément que, pour tout *£X, ( ( /J?(«) I »€" ) / U€U ) est une base d'ultr&filtre
sur te compact [o.i| et donc converge

13. DÉSINTÉGRATION DES MESURES
239
L'application Pm est bien définie et elle est à valeurs dans £oo(Coo)- En effet
soit A, B G Boo tels que A ~ B. On a mT(A) = mx(B) pour tout x Ç. X, donc
p(j4) = p(B). D'autre part, d'après 2), on a poo
Les propriétés r,2), r,3) et r,5) d'un relèvement résultent du fait que, pour tout
x G X, l'application mx est une mesure bivalente.
Il reste à montrer que, pour tout n G w, Pm est une extension de p„. Soit n G w,
et soit B G B„. Pour tout m > n, on a lg G /b™. donc $b = limj/pm(lfl) =
*Pm(B) = ^p.(B) (raPPe'ons <lue Par hypothèse pm(S) = Pn(S) si m > n). Par
conséquent, on a Poo(fî) = pn(S)- ♦
On est à présent en mesure de montrer le principal résultat de ce paragraphe.
Théorème 13.1.6. Coo(B) admet un relèvement.
démonstration. Soit ~H l'ensemble des couples (.4, p), où A est une sous-
tribu de B contenant N et p est un relèvement de A. On munit 7i de l'ordre
défini par (A,p) < (A',f/) si A C A' et dA = p. Montrons que l'ensemble non
vide Ti ((c(.A0,Po) G W) est inductif, il en résultera d'après le Lemme de Zorn
que Waun élément maximal (Am,pm), qui d'après le Lemme 13.1.2, sera tel
que Am = B. (11 en résultera que Coo(B) admet un relèvement.)
Soit (A,,Pi)içi une famille d'éléments de 7i totalement ordonnée. Posons
A = Uj€/.4j. Si pour toute partie dénombrable J C / il exite iÇ / tel que
Uj€j.4j C Ai, alors A est une tribu (immédiat). Dans ce cas on définit bien un
relèvement p de A, en posant p(A) = pi(A) si A G A,. Le couple (A,p) est un
majorant de la famille considérée.
Si par contre cette condition n'est pas réalisée, la famille (A,,p,),çi étant
totalement ordonnée, on construit une sous-famille dénombrable (A„)„^w de la
famille (A')i€/. croissante telle que A = U„e„.4„. D'après le Lemme 13.1.4, il
existe un relèvement p de <r(A) tel que le couple (<r(A),p) soit un majorant de
la famille ((A,,pn))n£u (donc de la famille ((A,Pi))t'€/)- *
13.2. Désintégration des mesures bornées
Soit (X,X) et (Y,y) deux espaces mesurables, n une mesure bornée sur la
tribu produit X ® y. Pour tout B G y (resp. A G X), on définit la mesure
fiB sur X (resp. u* sur y) par fiB(C) = tt(C x B) pour tout C G X (resp.
v*(C) = n(A x C) pour tout C G >). Les mesures /i = /iy et v = v*
sont les mesures images de ir par les projections px et py respectivement
(naturellement, p* (resp. py) est la projection de X x Y sut X (resp. V)).
Elles sont appelées marges de ir. Le lecteur pourra interprêter les mesures /i
et vA comme des marges. Naturellement, les mesures /iB et u* sont des mesures
bornées, majorées par fieiv respectivement, et donc absolument continues par
rapport à /i et v respectivement.
On remarque que lorsque ir est la mesure produit de deux mesures /i' et i/, la
marge /i est égale à fi' ssi v est une mesure de probabilité.
Pour des raisons d'ordre pratique, les intégrales seront notées / ifif au lieu de
J fdfi, cela s'avérera commode pour les formules "à la Fubini".

240
13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
On appelle désintégration de t par rapport à v, une application P : X x V —>■
[0,1] vérifiant :
(l,d) P(-,y) est une mesure de probabilité sur X pour tout y G Y,
(2,d) P(j4, ) est iz-mesurable pour tout A G X,
(3,d) tt(,4 x B) = fB dv(y)P(A, y) pour tout ^4 G X et tout S G yv.
Rappelons que iz-mesurable signifie ^-mesurable.
Lorsque x est la mesure produit de deux mesures de probabilité /i et v (les
marges sont exactement /i et v), on obtient une désintégration évidente en
posant P(A,y) = fi(A) pour tout A G X et y G Y. En effet, (l,d) et (2,d)
sont évidemment vérifiées et on a /j ® u(A x B) = fi(A) ■ v(B) — fB di/(i(A) =
fB dv(y)P{A,y) pour tout A G X et tout fî G JV et donc (3,d) est vérifié.
Proposition 13.2.1 Soit (X,X) et (Y,y) deux espaces mesurés, n une
mesure bornée sur X ® y et P une désintégration de ir par rapport à v.
Alors,
1) pour tout f G M+(k xY,X®y), l'application y—► / P(dx,y)P(x)
est dans M+(Y,y) et fdirf = /dv jP(dx,y)P(x),
2) pour tout f £ Ci(X xY,X ®y,ir) et pour v-presque tout y, fy est
dans Ct(X,X,P(dx,y)), y —. f P(dx,y)P(x) est dans lnt(Y,y,v) et
fdxf = fdi,(y)fP(dx,y)P(x).
DÉMONSTRATION, (succinte) Montrons 1). On utilise la méthode standard.
Montrons la propriété pour 1b avec B G X ®y. Si B est de la forme A x B, la
propriété cherchée découle directement de (l,d), (2,d) et (3,d). Si B est union
finie 2.2.d. de pavés mesurables, la propriété est immédiate. On montre alors
que B={B£Xxy/lg vérifie la propriété } est une famille monotone
en utilisant le fait que les limites croissantes et les limites décroissantes
d'applications mesurables sont mesurables et la propriété de Beppo-Levi dans
les deux sens (les mesures sont finies). Comme cette collection contient l'algèbre
des unions finies 2 2.d. de pavés mesurables et que cette algèbre engendre la
tribu X®y, on a.B = X®y
Maintenant, la propriété "passe" par linéarité aux fonctions simples, positives,
mesurables puis, aux fonctions mesurables positives par argument de
monotonie.
2) Ce point est laissé au lecteur qui pourra utiliser des arguments similaires à
la démonstration du Théorème de Fubini, version fonctions intégrables. 4k
Nous allons donner maintenant un théorème d'existence d'une désintégration.
Théorème 13.2.2. Soit (X, r) un espace topologique séparé, (Y, y) un
espace mesurable, r une mesure bornée surB(X)®y de marges respectives
fi et v. On suppose que la marge \i est une mesure de Radon alors, il existe
une désintégration P de x par rapport à v telle que les mesures P(-,y)
soient de Radon pour tout y Ç.Y.
DÉMONSTRATION. Fixons A G B{X). Comme on a vA < v, le Théorème de
Radon-Nikodym s'applique. Soit gA la classe des dérivées de Radon-Nikodym
de vA par rapport à v. Les éléments de cette classes sont dans lnt(Y,yy,v).

13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
241
En fait, pour tout g G gA, on a /B dvg = vA(B) < v(B) = fg dv\Y «* ^OM
g < 1 i/-p.p.. 11 s'ensuit que cette classe est incluse dans £oo(V,yy,v) (si oo »
restreint aux g à valeurs dans R) et donc un élément de ^00(^,^,,,1/). Soit m
un relèvement de La,{Y,yv,i/) sur £00(Y,yv,v) (13.1.6). On pose
Q(A, y) = p[gA)(y) pour tout A G B(X),y G Y.
On a
1) Ç(".y) est une fonction sur B(A'), additive, positive telle que Ç(X,y) = 1
pour tout y Ç.Y,
2) Q(j4, •) est f-mesurable pour tout A G B(X),
3) /b «MjOQ^.iO = *(A * s) P°ur tout A G £(*), B G >„.
On applique le Lemme 12.5.1 à chaque fonction Q(-,y) restreinte à K' = K{X)
(les conditions sont trivialement vérifiées). On obtient une fonction P' de B(X)
dans [0,1] telle que pour tout y G V /"(•, y) soit une mesure de Radon sur X
(pour tout y g y, P'(-,y) = Q'(-,y)).
Montrons que P' vérifie (2,d) et (3,d).
D'abord, observons que par construction, pour tout y G Y et, pour tout
K G K(X) et tout G G r tels que K C G, on a Q(A\y) < Q'(K,y) =
P'(K,y) < P'(G,y) = Q*(G,y) < Q(G,y). La première inégalité est énoncée
dans 12.5.1, la deuxième résulte de la croissance de la mesure P'( ,y) et la
troisième résulte de la croissance de Q(-,y) et de la définition de P'(-,y) (en
effet, P'(G,y) = sup{ Q(K',y) / K' C G , K' G K(X) } < Q(G,y))
Montrons que pour tout A G B(X), on a f"(A ') = Q(A, •), il en résultera
évidemment (2,d) et (3,d)
Fixons A G B(X). Soit (Kn) un suite croissante de compacts telle que
fi(K„) î fi(A) (ceci est possible car par hypothèse, /i est une mesure de Radon).
Pour tout B G yy, on a
/ <My)G(Ay) = «M x B) = „B(A) = lim î »B(Kn)
Jb
= lim î *(K„ x B) = lim î / du{y) = f i>(y)\im î Q(K„,y)
Jb * Jb
(en utilisant le fait que /iB < /i et la propriété de Beppo-Levi) et donc,
Q(>l,.) = hmQ(tfn,.)i,-p.p.(*).
Dans le cas où A est un ouvert G, on a Q(G, ) > Q*(G,-) = P'(G-) >
liraQIK,,,-). On obtient P'(G,) = Q(G,) i>-p.p. et donc, avec G = X,
P'(X,) = Q(X,) = 1 i/-p.p. Pour K G £(*), on obtient Q(K,) =
Q(X,) - Q(KC,) = P'(X,) - P'(KC,) = /"(K,) i>-P-p. et donc pour la
suite (Kn) fixée plus haut, on a Q(K„,) = /"(#„,) i/-p.p. (**) pour tout n.
En appliquant (*) et (**) et le fait que la suite (P'(K„,)) est croissante, on
obtient Q(A, ■) = lim î Q(Kn, •) = lim î P\Kn, ■) < P'(A, ■) i/-p.p.
11 vient alors pour tout A G B(X), Q(A,) < P'(A.) i/-p.p. et Q(AC,) <
P'(A',) i/-p.p.. Or, Q(A, ■) + Q(A<, •) = Q(X,•) = 1 et P'(A, ■) + P'(A<, ■) =
P'(X,) = 1 i/-p.p. 11 est alors clair que Q(A,) = P'(A,) i/-p.p.

242
13. DÉSINTÉGRATION DES MESURES
Soit C = { y G Y I F(X, y) # 1 }. On a C G JV„. Soit x0 G X (naturellement
on suppose que X ^4 0 dans ce travail). Pour tout A G B(X), on pose
P(A vï - { Sx° si y e C
n*,v)-\ p,(Ay) sinon
On voit aisément que P vérifie (l,d), (2,d) et (3,d) et donc, c'est la
désintégration cherchée.
Exercices, compléments
E.13.1. Désintégrations mesurables
Soit (X,X) et (V, y) deux espaces mesurables, ir une mesure positive bornée
sur X ® y, (i et v les marges respectives de t.
On dit qu'une désintégration P de x par rapport à v est mesurable si pour tout
A G X, P(A, •) est ^-mesurable.
a) Montrer que si X est dénombrablement engendrée et s'il existe une
désintégration de x par rapport à v, alors il existe une désintégration mesurable
de ir par rapport à N.
b) Montrer que, dans les conditions du Théorème 13.2.2, si de plus l'espace
topologique (X,t) est à base dénombrable, alors il existe un désintégration
mesurable P telle que P(-, y) soit une mesure de Radon pour tout y G Y.
Aide, a) Soit (£„) une suite engendrant X. Quitte à prendre l'algèbre
engendrée par { Bn I n G w }, on peut supposer que la collection des éléments
de (fîn) est une algèbre. Soit P' une désintégration de ir par rapport à v. En
appliquant le Lemme 4.4.4, on choisit pour tout n, P"(B„, •) ^-mesurable telle
que P"(Bn,) = P'(Bn,) i/-p.p.. Soit N G JV„ n y tel que pour tout ^¢^,
P"{Bn,y) = P'(B„,y). Soit x0 G X. Pour tout B eX, posons
P^) = { ns,v)
siiejv
sinon
Montrons que P est la désintégration cherchée.
Evidemment, P vérifie (l,d) et (3,d).
Montrons la mesurabilité. Soit V = { B G X / P{B,-) est mesurable }.
On vérifie facilement que V est une famille monotone contenant l'algèbre
{ B„ I n G w } et donc V = X.
b) Le résultat s'obtient facilement à partir du fait que B(X) est
dénombrablement engendrée et que, si on applique la construction du 1) en partant d'une
désintégration donnée par le Théorème 13.2.2, la désintégration obtenue vérifie
encore la condition de Radon. •

13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
243
E.13.2. Désintégrations propres
Soit (X,X,fi), un espace mesuré fini, (Y,y) un espace mesurable dénombra-
blement séparé (E.3.17) et / une application mesurable de X dans Y. On sait
que dans ce cas, G = { (x, f(x)) / x G X }, le graphe de /, est dans X® y. On
définit ir sur l'ensemble C = { Ax B / A £X , B G > } des pavés mesurables,
par r(A x B) = fi{A D /-I(B))-
a) Montrer que t s'étend en une mesure unique sur X ® y de marges
respectives /i et v = /i/. On notera encore 7r cette extension
On suppose ici / surjective. On appelle désintégration de /i par rapport à
/, toute désintégration de tt par rapport à v On dit que la désintégration P
de /i par rapport h f est propre, si, pour tout y Ç.Y, P(f~x({y})* y) = 1-
b) Montrer que, s'il existe une désintégration de /i par rapport à /, il existe
alors une désintégration propre de /i par rapport à /.
Aide, a) Soit p : G —► X définie par p(x,f(x)) = x (restriction de la
projection px au graphe G de /). L'application p est un isomorphisme de
(G, (X® yr\G)) sur (X,X). En effet, pest évidemment bijective et mesurable.
Montrons que p~ ' est mesurable. Soit A x B un pavé mesurable. U est immédiat
que (p_I)_I((i4x B)f~\G) = p{(A x B)HG) = Anf~l(B) D'où la mesurabilité
dep"1.
On note r' la mesure image de /i par p~ '.
Soit i l'injection canonique de G dans X x Y et soit ir" la mesure image de jr'
par i. Soit A x B un pavé mesurable. On a n"(A x B) = 7^((^4 xfl)flC) =
/i(p((j4 x B) PIC) = /i(/l np-'(B)) = tt(,4 x B) 11 s'ensuit que tt" est une
extension de ir à c(C) = A" ® > et cette extension est la seule en vertu de la
finitude de x.
Comme r(A xY) = fi(A fl /"'(V)) = /i(,4) pour tout /1 G -V et ir(X x B) =
/i(X 0 f~1(B)) = /i/(B) = i/(B) pour tout B G y, on obtient que /i et v sont
les marges de jr" sur X et V respectivement.
b) D'après 13.2.1 et la démonstration du a), on a, pour tout B G X® y,
J du(y)P(By,y) = J du(y)j P(dx,y)lB,(x) = Jdv(y) J P(dx,y)lB(x,y)
= tt(B) = Tr'(BnC) =,i(p(BnG) = M xex / (*,/(*)) eb }).
En particulier, avec B = G le graphe de /,
I <My)P(/-'({y}).y) = J du(y)P(Gv,y) = »({xeX/ (*,/(*)) e G })
= /i(x) = i//(y) = / <My)iy.
et donc P(f~l({y}),y) = i "-P-P--
Posons N = {yeY / P(/-l({y}).y) # 1 }. On a N i/-négligeable Soit pour
tout j/eJVun élément z„ G /~'({y}) (/ ^1 surjective). Posons
p'(Ay)={6l'W 8iyGN
P{A,y) sinon

244
13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
P' est la désintégration propre cherchée. •
E.13.3. Soit (X, B,fi) un espace mesuré. Soit / : X —► R. On dit que / est
/i-localement mesurable (resp. /i-localement intégrable) si pour tout B
/i-intégrable alors, 1b •/ est /i-mesurable (resp. /i-intégrable). On dit que A C X
est /i-localement mesurable (resp. /i-localement intégrable) si 1^ est /i-
localement mesurable (resp. /i-localement intégrable). On dit que AC X est /i-
localement négligeable si, pour tout B /i-intégrable, AC\B est /i-négligeable.
On montre que l'ensemble Bu des parties de X /i-localement mesurables est une
tribu.
a) Montrer que si Bu- est la tribu de Carathéodory associée à (X,B,fi)
(Bu. =ÏACX/VBCX fi'(B) = fi'(B HA) + /i*(B \^)}={J4c
X / VB G B ii'(B) = n'(B C\A) + /i*(fî \ A) } - voir 9.2.2 et E.9.6) alors,
Bu = Bu..
Retrouver le fait que Bu- = Bu lorsque /i est c-finie.
Soit (X,t) un espace topologique séparé. Soit /i une mesure sur B(X). On
appelle support de /i l'ensemble (U{ V G r / fi(V) = 0 })c.
On suppose que (X,t) est localement compact et que /i est une mesure de
Radon positive sur (X,t).
b) Montrer qu'il existe une famille de compacts 2.2.d. (A',),€/ telle que,
pour tout B /i-intégrable, il existe J dénombrable C / tel que /i(B\|J,€j K<) =
0 (la famille (K,) est appelée concassage de (X, B(X),fi) et on a X \ (J,çj K,
/4-localement négligeable).
Soit (X, t) et (V, r1) deux espaces topologiques séparés. On suppose que (V, r1)
est localement compact. Soit t une mesure sur B(X)® B(Y) telle que sa marge
v sur Y soit de Radon. Soit (K,)içj un concassage de (Y,B(Y),v). On suppose
que pour tout K,, la marge /i, de tT|b(x)®b(K,) est de Radon (ce qui est le cas
si (X,t) est polonais car /i, est bornée).
c) Montrer qu'il existe une application P de B(X) x Y dans [0,1] telle
(l,d), (2',d) et (3,d) soient vérifiées (avec pour (2',d) : P(A, •) est /i-localement
mesurable pour tout A G B(X)), et telle que les mesures P( ,y) soient de
Radon.
Aide, a) On a. Bu C Bu- en vertu du fait que Bu' = { A C X / Vfî G
Bu i*(B) > n'(B C\A) + n'(B \ A) }. En effet, soit A G Bu. Soit B G Bu.
Ou /i(B) = +oo et la formule /i(B) > /i*(B ClA) + fi'{B \ A) est vérifiée, ou
/i(fî) < +oo et alors B C\ A et B \ A sont /i-intégrables et donc, à fortiori,
filB)>fi'(Br\A) + fi'(B\A). Donc, A est dans Bu-.
Inversement, soit A G Bu-. Soit B /i-intégrable. 11 est clair que (/i*)|B = (m\b)'•
On a, pour tout B' /i-intégrable dans B, /i|B(B') = /j(B') = /i*(B' H A) +
ti'iB' \A) = /ifB(B' n (A 0 B)) + /ifB(B' {(AH B)) et donc, comme /i|B est
finie, At~\Be(Bun B)u-b =BunBcBu. D'où, A G B,,.
Si /i est c-finie, on montre aisément que Bu = Bu. On a alors B,,. = B,,.

13. DÉSINTÉGRATION DBS MESURES
»45
b) Soit K' = { K G K(X) I support de i^K = K }. Comme • e JC «■
a donc K' £ 0. On considère l'ensemble K des sous-collections 2.2.d è& \m.
collection K'. Cet ensemble, ordonné par l'inclusion, est trivialement inductiL
D'après la propriété de Zorn, soit Km = (/f,)lE/ une sous-collection maximale
(la famille étant prise injective). Montrons que la collection Km est localement
dénombrable (c'est à dire, pour tout x G X, il existe un voisinage ouvert V ne
coupant qu'une quantité dénombrable de A",) Soit x G X. Soit V un voisinage
ouvert de a; à fermeture compact. La somme infinie yj/i^, CI V) est majorée
■€/
par fi(V) < +oo (voir E.4.2) 11 s'ensuit que { i G / / /i(A", CI V) > 0 } est
dénombrable. Mais, comme le support de fi\K, est K„ nécessairement, on a
l'équivalence entre /i(A", fl K) > 0 et K, fl K # 0. Donc, {iel / K, n K ^ 0 }
est dénombrable. D'où le fait que Km soit localement dénombrable.
On a alors, pour tout K compact, { : G / / K l~l K, £ 0 } est dénombrable.
Ceci résulte aisément du fait que (A',) soit localement dénombrable et de la
compacité de K.
Soit S, /i-intégrable. Soit (K„) une suite croissante de compacts telle que
fi(K„) î /i(B) et soit, pour tout n, (/^1)1^/., la collection d'éléments de
Km coupant K„. Clairement, fi(B VUieu/»^') = 0 et l'ensemble U„/n est
dénombrable. La collection K' est bien un concassage de (X,B(X),fi)
c) Posons N = Y \ U,j/ K,. D'après b), N est f-localement négligeable.
Fixons i G /. Les espaces (X,B(X)) et (Ki,B(K,)) et la mesure 7r restreinte
à B(X) ® B(K,) (qui est la trace de B(X) ® B(Y) sur X x K.) vérifient les
conditions du Théorème 13 2 2 Soit donc P, une désintégration de T|B(;r)®B(tf,)
telle que, pour tout y£K,,P,(A, ) soit une mesure de Radon. On pose alors,
pour tout A G B(X),
P(Av)-l P'iA'y) BiyeK'
avec un x0 arbitraire dans X (on traite le cas X £ 0 !). 11 est aisé de voir que
P vérifie bien les conditions demandées. •

Index
des
Symboles
premier nombres correspondent au chapitre et au paragraphe, le dernier entre parenthèses à la |
V(X).
2.2.d.
U A„UA,
UB
n A,,UA,.
ne
ac
a\b
AAB
n A„UA,.
i€/
Pio
1*1
\A\<\B\.
u
.2
.2
.2
■Pj(X) 1.2
H0, c 1.2
KA),f-\B) E.l.l
\imE„,\imE„ E.1.7 (24
ud,u,,nd,n,,c 2.1
•Aa, As, Ag1 Ap ^.1
A?, Ac,Aaf 2.1
ax{C)MC) 2.3
(X,B) 2.4
<tx{C),<t{C) 2.4
(X,T) 2.4
B(X,T),B(X) 2.4
T*,I,e(R) 2.4
Iq 2.4
Bi®Bt, ®,€/B, 2.5
CHX 3.3
H)
H)
H)
H)
12)
12)
12)
12)
12)
12)
12)
12)
13)
14)
14)
17)
17)
18)
21)
25)
29)
29)
29)
31)
33)
33)
33)
33)
33)
34)
34)
47)
BZe,B*° 3.4
/r0./ro 3.4
{/>«}, {/>«} 3.5
{/<«}. {/<<••• r- 3.5
{/<»},{/<»} 3.5
{/ = »} 3.5
M(X,B),Mt(X,B) 3.5
Mt(X,B) 3.5
hm/„, lim/n 3.5
fn-^—f 3.5
/n
.3.5
/Afl)/Vfl)/+,/- 3.5
3.5
l/l
S(X,B)
■H+
««
36
3.6
4.1
P\a 4.1
/(/i)./i/ 4.1
A 4.2
JV„ 4.4
P /i-p p 4.4
f~9,f~9 4.4
/i-p.p.
..4.4
...4.4
, E.4.2
Oji./i
X>
'&a) 5.1
/i(/)...5.1(89)-5.2 (90)-5.3
/ fdfi, f f(xh(dx), / /(z)d/i(z
fxfd„,ff ..5.2(92)-5.3
/^/rf/i 5.2(92)-5.3

248
INDEX DES SYMBOLES
QInt(X, B, /i), QInt 5.3 (93)
Int(X, Btfi),lnt 5.3 (93)
£,(X,B,/i),£i 5.3(93)
d,d,Td 6.1
N,N,dN,TN 6.1
N,V).*r*(f) 6.2
CP(X,B,„),CP 6.2
Coo&.B.ri.Co,, 6.2
Lp(X,Btfi), L„ 6.4
Lco^.e./i), Le» 6.4
II.ILIML 6.4
/n '/
x},M{f,A),'m(f,A)....
Bv
B'
Bu
.7.2
.7.3
8.1
9.1
9.2
9.4
109)
110)
112)
114)
114)
116)
116)
116)
127)
129)
147)
159)
161)
165)
/ii®/i2, ® /i. 10.1 (174)
®/i„ .... '.T E.10.15 (189)
fi+tfi- 11.1 (193)
|/i| 11.1(195)
M(*. B), M*. M+ 11-1 (195)
M+,Mj 11.1(195)
i/</i, v ±11 11.2 (195)
^ 11.3(199)
C(X), Ch(X), Ba(X).... 12.2 (212)
Fa,GiyKa 12.2(212)
Nu, N' 12.2 (213)
T(X,t), T 12.3(214)
K(X,t),K 12.3(214)
Mk(*,0(*)).Mk 12.3(214)
HB 12.6(222)
p,p.. 13.1(235)
P(A, y) 13.2 (240)

Index Alphabétique
Le premier nombre correspond au chapitre, le deuxième entre parenthèses à la page.
Additivité 4 (66)
Algèbre 2(27)
Algèbre sur un produit 2 (29)
Algèbre engendrée 2 (29)
Algèbre trace 3 (47)
Anneau ,.. .2 (28)
Application
- (B,B')-mesurable 3 (45)
- borélienne 3 (46)
- continue 3 (46)
- mesurable 3 (45)
Atome 2(40)
Axiome du choix 1 (18)
Banach (Espace de) 6(110)
Base dénombrable
(d'une topologie) 2 (34)
Bon ordre (Propriété du) ... 1 (18)
Beppo-levi
(Théorème de) ..5 (90), 5 (92)
Beppo-levi (à l'envers) 5 (102)
Borel (Mesure de) . 4 (67), 9 (163)
Borel-Cantelli (Lerrune de) . 4 (79)
Boule ouverte 6 (109)
Cantor-Bernstein
(Théorème de) 1 (15)
Cantor
(Ensemble triadique de) 4 (74)
Cantor (Théorème de) 1 (15)
Caratheodory (Théorème de) 9 (161)
Cardinal d'un ensemble 1 (14)
Cauchy (Suite de) 6 (110)
Cauchy en mesure 7 (134)
Cauchy-Schwarz
(Inégalité de) 6(123)
Classe monotone 2 (34)
Classe c-additive 2 (43)
Co-dénombrable 3 (57)
Collection
-2.2.d 1(11)
- séparant les points 2 (40)
Compatible (Relation) 6(111)
Complémentaire 1 (12)
Concassage 13 (242)
Convergence dominée
- (Théorème de la) 5 (94)
- (Théorème de la, bis) .... 7 (128)
Convergence en mesure . .7(127)
- /i-presque partout 4 (71), 7 (125)
- /i-presque uniformément .7(129)
-simple 3(53),7(125)
- uniforme 3 (53), 7 (125)
Convergence dans £^, 7 (125)
-dansC,, 7 (125)
Cône 12 (209)
- positif 12 (209)
Daniell (Intégral de) 12 (210)
Daniell (Théorème de) .... 12 (211)
De Morgan (Règles de) 1 (13)
Décomposition
- de Jordan-Hahn 11(193)
- de Lebesgue 11 (96)
- d'une forme linéaire .. 12 (213)
Dérivée de Radon-Nikodym 11 (199)
Désintégration 13 (239)
-mesurable 13(242)
-propre 13(242)
Différence 1 (12)
- symétrique 1 (12)
Dini (Lemme de) 12 (215)
Dirac (Mesure de) 4 (67)
Distance 6(109)
Distnbutivité (Formule de) . 1 (13)
Doob (Théorème de) 3 (60)

250
INDEX ALPHABETIQUE
Dual
-fort 12(213)
- topologique 12 (213)
Dualité
(des espaces L,,) .. .*.. 12 (224)
Ecriture canonique 3 (55)
Egoroff (Théorème d') ... .7 (130)
Ensemble
- dénombrable 1 (16)
- strictement 1 (16)
-fini ..> 1(16)
- invariant 10 (186)
- préordonné 6 (110)
-ordonné 6(110)
--réticulé 6(111)
complètement 6 (111)
totalement 6(111)
Enveloppe B-mesurable .. 9 (168)
Equipotents (Ensembles) ... 1 (14)
Espace
-deHilbert 6(123)
- de Lebesgue 12 (123)
-de Riesz 6(111)
-*£„ 6(114)
-£«> 6(114)
-L„ 6(116)
-Lco 6(118)
- mesurable 2 (33)
- dénombrablement
engendré 2 (33)
- dénombrablement
séparé 3 (62)
- - séparable 2 (33)
- mesuré 4 (65)
- complet 4(71)
- complété 4 (72)
--o-fini 4 (65)
- métrique 6 (109)
--complet 6(110)
- métrisable complet . 12 (228)
- polonais 12 (228)
- probabilisé 4 (33)
- produit 10 (174)
- pseudo-métrique 6 (109)
Espace
- semi-norme 6 (110)
- topologique 2 (32)
- localement compact .. 12 (221)
- - normal 12 (212)
- - séparé 2 (40)
- vectoriel
- ordonné 6 (111)
- préordonné 6 (111)
Espaces isométriques 6 (110)
Extension de
Carathéodory 9 (161)
Famille
- associée 12 (221)
- d'éléments 1 (11)
- dénombrable 1 (16)
- équi-intégrable 5 (107)
- de parties 1 (11)
--2.2.d 1(11)
-semi-compacte 10(187)
Fatou (Lemme de) 5(191)
Filtre 4(77)
Fonction
- à variations bornées ... 8 (154)
-de choix 1 (18)
- de puissance p'èmï
intégrable 6 ( 113)
- de répartition 9 (171)
- essentiellement bornée ... 6 (113)
- intégrable 5 (93)
- nulle à l'infini 12 (221)
- positivement homogène . 12 (209)
- quasi-intégrable 5 (93)
-réglée 8(151)
- Riemann intégrable 8 (148)
- simple 3 (55)
Forme linéaire 12 (212)
- inductivement
continue 12 (221)
- positive 12 (209)
Fubini
(Théorème de) .. 10 (175, 177)
Génération d'une algèbre ... 2 (31)

INDEX ALPHABETIQUE
251
Génération d'une mesure .. 9 (159)
Hilbert (Espace de) 6 (123)
Holder (Inégalité de) 6(113)
Hypothèse
- du Continu 1 (20)
- du Continu généralisée 1 (20)
Indécidable 1 (20)
Indicatrice (d'un ensemble) . 5 (17)
Inégalités
-deHôlder 6(113)
- de Minkowski 6 (113)
Injection canonique 3 (47)
Intégrale
-deDaniell 12(210)
- de Lebesgue 5 (90, 93)
- de Riemann 8 (148)
- généralisée 8 (151)
- sur un sous-espace 5 (97)
- sur le complété 5 (96)
Intégration
- des fonctions
mesurables positives 5 (90)
- des fonctions simples 5 (87)
Intersection 1 (12)
Isométrie 6 (110)
Isomorphisme 3 (45)
Jordan-Hahn
(Décomposition de) .. 11 (193)
Kolmogoroff
(Théorème de) 10 (189)
A-système 2 (74)
Lebesgue
-Espace de 12(231)
- Décomposition de 11 (196)
-Lemmede 8(152)
- Mesure de 4 (67, 73)
-Théorème de 8(150)
Lusin (Théorème de) 12 (228)
Markoff (Théorème de) ... 12 (219)
Mesure 4 (65)
- absolument continue 11 (93)
- additive bivalente 13 (237)
- bornée 11 (195)
- C-tendue 12 (214)
- de Borel 4 (67), 9 (163)
- de comptage 4 (67)
- de dénombrement 4 (67)
-de Dirac 4 (67)
- de Lebesgue 4 (67, 73)
-de Radon 12 (214)
- diffuse 4 (96)
- extérieure 9 (159)
- extérieurement régulière .. 4 (83)
- faiblement
o-finie 4 (76)
-finie 4(65)
- image 4 (67)
- induite 4 (67)
- intérieure 9 (168)
- intérieurement régulière ... 4 (83)
- invariante par translation 9 (163)
- localement bornée ... 12 (214)
-nulle 4(67)
- positive 4 (65)
-produit 10(174,189)
- produit de Borel 10 (174)
- produit de Lebesgue 10 (174)
- régulière 4 (83)
- c-finie 4 (65)
Mesures étrangères 11 (195)
Méthode standard ... 3 (56), 5 (97)
Métrique 6(109)
Minkowski (Inégalité de) .. .6 (113)
Mode (de convergence) 7(125)
Modularité 9 (164)
/i-atome 4 (85)
/i-intégrable 5 (96)
/i-localement intégrable . 13 (244)
/i-localement négligeable . 13 (244)
/i-mesurable (Application) .. 4 (73)
/i-mesurable (partie) 4 (73)

252
INDEX ALPHABETIQUE
/i-mesurable (partie) 4 (73)
/i-négligeable 4,(70)
/i-presque partout 4 (71)
/i-presque sûrement 4 (72)
Négligeable 4(70)
Norme 6(110)
iz-mesurable 9 (159)
Nulle à l'infini (Fonction) .12 (221)
Pavé mesurable 2(34)
-ouvert 3(50)
Polonai*.(Espace
topologique) 12(214)
Poids (d'une mesure
de comptage) 4 (86)
Probabilité ' 4 (65)
Produit cartésien ..-. 1 (12)
Produit de convolution 8 (157)
Prolongement
d'une mesure .. 4 (67), 9 (160)
Projection 1 (13)
Puissance du Continu 1 (18)
Radon (Mesure de) 12 (214)
ftadon-Nikodym
(Théorème de) 11 (198)
Réunion 1 (12)
Relevé (Espace mesuré) .. 10 (188)
Relèvement 13(235)
Relèvement faible 13 (236)
Riemann (intégrable) 8 (147)
-Intégrale de 8(148)
Riesz (Espace de ) 6 (110)
- (Théorème de ) 12 (215)
Section d'une partie
d'un produit 3 (50)
Semi-algèbre 2 (39)
c-additivité 4 (67)
c-algèbre 2 (32)
o-filtre 4 (77)
E-système 2 (42)
Somme d'une famille
d'éléments de R+ 4 (74)
Sommes de Darboux 8 (147)
Sous-espace
- mesurable 3 (47)
- mesuré 4 (67)
- topologique 3 (47)
Sous-modularité 9 (164)
Sous-c-additivité 4 (66)
Suite
- associée à une mesure 4 (65)
- de parties d'un ensemble .. 1 (24)
Suite de fonctions
- convergeant ponctuellement 3 (53)
- convergeant simplement ... 3 (53)
- convergeant uniformément 3 (53)
Support
- d'une fonction 12 (221)
-d'une mesure 12(244)
Topologie 2 (32)
- de la convergence uniforme
12(213)
Tribu 2(32)
- asymptotique 10 (191)
- atomique 2 (41)
- borélienne 2 (33)
-deBaire 12 (212)
- dénombrablement engendrée 2 (33)
- des lebesguiens 4 (73)
- engendrée par une collection 2 (33)
-produit 2 (34)
- rendant mesurable (une famille
d'applications) 3 (48)
-trace 3(47)
Urysohn (Lemme d') . ... 12 (212)
Ultrafiltre 10(192)
Variation totale
(d'une mesure) 11 (195)
Vitali (Théorème de) 7 (141)
Zermelo-Fraenkel
(Axiomatique de) 1 (20)
Zorn (Propriété de) 1 (18)

Bibliographie succincte
Ouvrage généraux sur la Théorie de la Mesure
1. R. G. BaRTLE, The Eléments of Intégration, Wiley, 1966.
2. S. K. BerberIan, Measure and Intégration, MacMillan, 1962.
3. N. Bourbaki, Eléments de Mathématique, Intégration, Chapitre 1 à 9,
Hermann, 1965 - 1969.
4. P. CourrÈge, Théorie de la mesure, C.D.U., 1966.
5. N DunFord & J. T. SchwaRTZ, Ltnear Operator, Interscience
Publication, 1958.
6. J. GENET, Mesure et Intégration, Vuibert, 1976.
7. P. R. HaLMos, Measure Theory, Van Nostrand, 1950.
8. A. C. Zaanen, Intégration, North-Holland, 1967.
Autres ouvrages généraux ou spécialisés
9. P. J. Cohen, Set Theory and the Conttnuum Hypothests, W. A. Benjamin,
inc, 1966.
10. C. DELLACHERIE fc P. A. MEYER, Probabilités et Potentiel, 3 volumes,
Hermann, 1975 - 1983.
11. P. Dubreil &; M. L. Dubreil-JaCotin, Leçons d'algèbre moderne,
Dunod, 1964.
12. R. Engelking, General Topology, Warszawa, 1977.
13. D. Fremlin, Topologtcal Rtesz Spaces and Measure Theory, Cambridge
University Press, 1974.
14. A. &; C. IonesCU-Tulcea, Toptcs m the Theory of Lifting, Springer
Verlag, 1969.
15. J. L. KELLEY, General Topology, Van Nostrand, 1955.
16. M. MÉTIVIER, Notions fondamentales de la Théorie des Probabilités,
Dunod, 1968.
17. J. Neveu, Bases Mathématiques du calcul des Probabilités, Masson, 1964.

254
BIBLIOGRAPHIE
Quelques articles ayant inspiré certains thèmes de ce livre
18. J. CaLBRIX, Mesures non tr-fintes : désintégration et quelques autres
propriétés, Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol XVII, n°l, 1981, p. 75 -95.
19. R. J. GarNIER &; W. F. PFEFFER, Borel Measures, Handbook of Set
Theoretic Topology, K. Kunen k J. E. Vaughan, ed:, 1984, p. 961 -
1043.
20. G. HansEL, Théorème de relèvement et mesures bivalentes, Ann. Inst.
Henri Poincaré, Vol VIII, n°4, 1972, p. 395 - 401.
21. J. HoFFMANN-JoRGENSEN, Existence jof conditional probabilittes, Math.
Scand., t. 28, 1971, p. 257 - 264.
22. J. PELLAUMAIL, Application de l'existence d'un relèvement à un théorème
de désintégration des mesures, Ann. Inst. Henri Poincaré, t. VIII, n° 3,
1972, p. 211 - 215.
23. V. A. RoHLIN, On the fundamental ideas of measure theory, A. M. S.,
Translation Number 71, 1952

AUX PUBLICATIONS DE L'UNIVERSITE DE ROUEN
MATHEMATIQUES
Séminaire de Mathématiques
Comptes rendus des séances septembre 1988 - juin 1989
Rouen. PUR, 1990- 179p.: couv coul. ; 16 x 24 cm
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Comptes rendus des séances septembre 1989 - juin 1990
Rouen: PUR, 1991-144p . couv coul. : 16 x24 cm
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Comptes rendus des séances octobre 1990 - juin 1991
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Publications de l'Université de Rouen
1 rue Thomas Becket
76130 MONT SAINT AIGNAN
Tel :35.14.63.44 (43)
FAX :35.14.63.48