Автор: Крутько П.Д.
Теги: математическая кибернетика кибернетика динамика проектирование автоматизация издательство машиностроение учебное пособие для студентов алгоритмы управления
ISBN: 5-217-03215-4
Год: 2004
Текст
ДЛЯ ВУЗОВ
ПД Крутько
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДИНАМИКИ В ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл лекций
Рекомендовано Учебно-методическим объе-
динением вузов но университетскому поли-
техническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших
технических учебных заведений
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ » 2004
УДК 519.71
ББК 32.818
К84
Рецензент
академик РАН А.А. Красовский
Крутько П.Д.
К84 Обратные задачи динамики в теории автоматического управле-
ния. Цикл лекций: Учеб, пособие для вузов. - М.: Машиностроение,
2004.-576 с.: ил.
Изложены новые методы аналитического проектирования алгоритмиче-
ского обеспечения систем автоматического регулирования и управления.
В теоретическом и методическом отношениях эти методы базируются на
концепциях обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локаль-
ных функционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фа-
зовых траекторий эталонных моделей. Рассматриваются задачи синтеза ал-
горитмов управления линейными и нелинейными, одномерными и много-
мерными системами. Синтезированные алгоритмы имеют нетрадиционные
структуры и придают системам естественные свойства адаптивности - сла-
бой чувствительности к изменению параметров и возмущающим силам.
Исследуется динамика проектируемых систем, приведены результаты мате-
матического моделирования.
Для студентов и аспирантов, а также для научных работников и специа-
листов в области автоматизации процессов управления техническими сис-
темами.
УДК 519.71
ББК 32.818
ISBN 5-217-03215-4
© Крутько П.Д., 2004
© «Издательство «Машиностроение», 2004
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.................................................. 5
Лекция 1 Симметрия - философско-методологическая основа
формулирования обратных задач динамики и мето-
дов их решения............................................... 9
Лекция 2 Симметрия и концепции обратных задач динамики
управляемых систем.......................................... 36
Лекция 3 Исследование динамики систем, оптимизируемых по
критерию минимума энергии ускорения......................... 56
Лекция 4 Алгоритмы управления движением объекта, переда-
точная функция которого имеет нуль.......................... 79
Лекция 5 Алгоритмы управления автоматических систем вы-
сокой динамической точности. Управляемые объек-
ты третьего порядка........................................ 102
Лекция 6 Алгоритмы управления автоматических систем вы-
сокой динамической точности. Управляемые объек-
ты высокого порядка....................................... 121
Лекция 7 Синтез алгоритмов управления путем минимизации
локальных функционалов по градиентной схеме вто-
рого порядка............................................... 138
Лекция 8 Параметрически адаптивная электромеханическая
система управления скоростью вращательного дви-
жения........................................... 162
Лекция 9 Параметрически адаптивные электромеханические
следящие системы высокой динамической точности 187
Лекция 10 Алгоритмы управления упругой электромеханиче-
ской системой высокой динамической точности и
слабой параметрической чувствительности.................... 212
Лекция 11 Метод гашения энергии движения в обратных зада-
чах динамики управляемых систем............................ 227
Лекция 12 Параметрически адаптивные алгоритмы управления
электрогидравлических приводов............................. 251
Лекция 13 Исследование динамики параметрически адаптивных
электрогидравлических приводов............................. 273
Лекция 14 Исследование влияния малых параметров на дина-
мику управляемых систем.................................... 292
Лекция 15 Параметрически адаптивные цифровые и комбини-
рованные алгоритмы управления.............................. 322
4
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция 16 Аналоговый и цифровой алгоритмы управления
электрогидравлическим приводом с минимальным
информационным обеспечением.............................. 340
Лекция 17 Терминальное управление одномерными линейными
системами................................................ 350
Лекция 18 Стабилизация стационарных состояний многомер-
ных систем............................................... 369
Лекция 19 Осуществление программных траекторий движения
многомерных систем....................................... 384
Лекция 20 Терминальное управление многомерными линейны-
ми системами............................................. 397
Лекция 21 Управление простейшими нелинейными системами 406
Лекция 22 Синтез алгоритмов управления движением динами-
ческих систем в скользящих режимах....................... 422
Лекция 23 Гашение автоколебаний в нелинейных системах... 432
Лекция 24 Синтез субоптимальных по быстродействию алго-
ритмов управления динамическими системами............... 445
Лекция 25 Управление вращательными движениями Эйлеровых
систем................................................... 455
Лекция 26 Управление угловой ориентацией Эйлеровых систем 476
Лекция 27 Управление движением Лагранжевых систем....... 487
Лекция 28 Исследование динамики управляемых Лагранжевых
систем................................................... 497
Лекция 29 Обращение прямого метода Ляпунова в задачах
управления динамическими системами....................... 515
Лекция 30 Задачи гашения энергии и алгоритмы управления
движением динамических систем............................ 532
Список литературы........................................ 560
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге изложены новые методы синтеза алгоритмов управления
движением линейных и нелинейных, одномерных и многомерных дина-
мических систем. Теоретическую основу методов составляют концепции
обратных задач динамики в сочетании с минимизацией локальных функ-
ционалов, характеризующих энергию движения в окрестности назначен-
ных траекторий. В качестве таких функционалов выступают полная и
кинетическая энергии, энергия ускорения, а также величины, количест-
венно выражающие обобщенное понятие энергии. Разработанные методы
синтеза обладают особенностями, которые делают их эффективными при
решении прикладных задач. К таким особенностям относятся следующие.
• Минимизация функционалов осуществляется алгоритмически в
процессе функционирования системы, их значения удерживаются в ма-
лой окрестности экстремумов минимумов. Вследствие этого определение
структуры алгоритмов управления не связано с необходимостью решения
вариационных задач оптимизации, как это требуется в классической тео-
рии аналитического конструирования оптимальных регуляторов.
• Развитая теория исключает необходимость решения неразреши-
мой в классической теории задачи назначения параметров оптимизируе-
мых интегральных функционалов, обеспечивающих реализацию задан-
ных динамических характеристик системы. Это оказывается возможным
благодаря тому, что минимизация локальных функционалов выполняется
в окрестности эталонных процессов, генерируемых дифференциальными
или разностными моделями, структура и параметры которых отвечают
требованиям к динамике проектируемой системы.
• Параметры алгоритмов управления, синтезируемых методами
развитой теории, однозначно определяются параметрами моделей, гене-
рирующих эталонные процессы. Вследствие этого исключается необхо-
димость решения нелинейных матричных уравнений Риккати или мат-
ричных уравнений Ляпунова, или даже уравнений в частных производ-
ных, как это непременно требуется в классической теории аналитическо-
го конструирования оптимальных регуляторов.
• Алгоритмы управления, синтезируемые методами обратных за-
дач динамики, придают системам замечательные свойства слабой чувст-
вительности к изменению параметров управляемых объектов и коорди-
натным возмущениям. Такие свойства достигаются не в результате при-
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
менения каких-либо специальных схем идентификации и настройки, а
естественным путем с помощью управляющих сигналов, формируемых
алгоритмами управления нетрадиционной структуры. По сути дела, ав-
томатические системы с такими алгоритмами обладают естественными
свойствами адаптивности.
Развитая теория синтеза алгоритмов управления, основанная на кон-
цепциях обратных задач динамики, обладает широкими возможностями
для решения прикладных задач. Как для линейных, так и нелинейных
моделей управляемых процессов уравнения синтезируемых алгоритмов
получаются в замкнутой форме. Существенно важно, что при определе-
нии структуры алгоритмов не используются детальные уравнения мате-
матической модели управляемого движения и, кроме того, нет необходи-
мости иметь полный объем информации об ее параметрах. В силу этого
оказывается возможным синтезировать алгоритмы управления непосред-
ственно по классическим нелинейным моделям, которые отражают фун-
даментальные законы динамики.
В книге изложены методы аналитического проектирования линей-
ных и нелинейных следящих систем высокой динамической точности;
решены задачи синтеза алгоритмов, почти оптимальных по быстродейст-
вию; исследованы задачи гашения колебаний в системах, структура кото-
рых содержит существенно нелинейные элементы; развиты методы син-
теза алгоритмов терминального управления, а также структур алгоритмов
координированного и децентрализованного управления движением мно-
гомерных объектов; развиты методы синтеза алгоритмов управления по
нелинейным моделям динамики без выполнения традиционной процеду-
ры линеаризации.
Как известно, все классические методы аналитического конструиро-
вания оптимальных регуляторов в форме обратных связей требуют оты-
скания функций Ляпунова, отвечающих условиям оптимизационной за-
дачи. В случае нелинейных систем функции Ляпунова определяются не-
линейными дифференциальными уравнениями в частных производных.
Поэтому поиск оптимальных управлений для систем, имеющих приклад-
ное значение, связан с необходимостью преодоления значительных ма-
тематических и вычислительных трудностей.
Однако задачу управления правомерно рассматривать в обратной
постановке. На содержательном уровне она формулируется следующим
образом: для управляемой системы найти такие управляющие силы и
моменты в форме обратных связей, при которых замкнутая система обла-
дает заданной функцией Ляпунова, причем на траекториях управляемого
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
движения эта функция изменяется во времени по назначенному закону.
Мы приходим, таким образом, к обращению метода функций Ляпунова в
задачах управления движением. Такой подход приводит к наиболее про-
стым алгоритмам в тех случаях, когда в качестве функций Ляпунова ис-
пользуются выражения кинетической или полной энергии. Эти вопросы
рассматриваются в книге применительно к математическим моделям в
форме уравнений Ньютона, Эйлера и Лагранжа. Полученные в этом на-
правлении результаты дают основания полагать, что на основе обраще-
ния прямого метода Ляпунова можно построить принципиально новые и
эффективные процедуры синтеза алгоритмов управления движением ди-
намических систем. Существенно, что при этом оказывается возможным
синтезировать алгоритмы в замкнутой форме как по линейным, так и не-
линейным моделям управляемых процессов.
В прикладном отношении методы обратных задач динамики состав-
ляют теоретические и методические основы эффективной технологии
проектирования алгоритмического обеспечения систем управления раз-
личного назначения. Этими методами решены задачи управления поле-
том аппаратов различных классов, движением манипуляционных и мо-
бильных роботов, подводных аппаратов и другими техническими систе-
мами. Изложение результатов решения перечисленных прикладных задач
составит содержание другой книги.
Успешное применение развитых методов для решения задач управ-
ления сложными техническими системами приводит к следующему за-
ключению. Прямой задаче отыскания траектории движения по заданной
силе соответствует обратная задача отыскания силы, которая осуществ-
ляет движение по назначенной траектории. Это фундаментальное поло-
жение механики предопределяет фундаментальность методов обратных
задач динамики в теории синтеза алгоритмов управления.
Книга написана по оригинальным результатам, которые опублико-
ваны, в основном, в журнальных статьях. Поэтому в научном отношении
она имеет монографический характер. Изложение материала выполнено
по единой схеме: содержательная и математическая формулировки рас-
сматриваемой задачи; синтез структуры алгоритмов управления; анализ
свойств управляемых систем; расчет параметров алгоритмов, при кото-
рых достигаются требуемые динамические характеристики. Основные
положения теоретического анализа иллюстрируются результатами мате-
матического моделирования.
Содержание книги представлено в форме лекций по принципу «от
простого к сложному»: в первых лекциях алгоритмы управления синте-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
зируются по линейным уравнениям систем с одной степенью свободы, а
в заключительных лекциях по нелинейным взаимосвязанным уравнени-
ям, выражающим фундаментальные законы динамики. Теория синтеза
алгоритмов управления и применяемые приемы и методы аналитического
исследования динамики управляемых систем базируются на математиче-
ском аппарате, который используется в курсе «Теория автоматического
регулирования и управления».
В книге принята двойная нумерация формул, рисунков и таблиц.
Первая цифра обозначает номер лекции, а вторая - номер формулы, ри-
сунка или таблицы.
Методы обратных задач динамики позволяют решать широкий круг
задач значительно проще в процедурном отношении по сравнению с тра-
диционными методами. Особенно важно, что синтезируемые структуры
алгоритмов придают управляемым системам качественно новые свойства
слабой чувствительности к параметрическим и координатным возмуще-
ниям. Из этого, однако, не следует, что теория синтеза алгоритмов управ-
ления, основу которой составляют концепции обратных задач динамики,
дает окончательное решение проблемы разработки алгоритмического
обеспечения адаптивных автоматических систем. Об этом можно гово-
рить только по отношению к определенному классу управляемых объек-
тов. Вместе с тем следует ожидать, что развитие этого нового направле-
ния в сочетании с другими идеями расширит класс объектов, для которых
окажется возможным проектировать автоматические системы с адаптив-
ными свойствами.
Книга предназначена для студентов и аспирантов, а также для науч-
ных работников и специалистов в области автоматизации процессов
управления техническими системами.
Автор признателен Л.М. Скворцову и Г.А. Чхеидзе за помощь, ока-
занную при выполнении исследований динамики модельных систем, а
также сотрудникам Межотраслевого учебно-научного центра «Техноло-
гическое образование» МГТУ им. Н.Э. Баумана, осуществившим компь-
ютерный набор рукописи. Особая признательность директору издатель-
ства «Машиностроение» О.Н. Румянцевой и главному редактору
И.Н. Жестковой за предоставленную возможность опубликовать книгу,
содержание которой открывает новое научное направление в теории ав-
томатического управления.
Лекция 1
СИММЕТРИЯ - ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ
ОСНОВА ФОРМУЛИРОВАНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
ДИНАМИКИ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ
Содержание лекции составляют хорошо известные факты из исто-
рии развития науки от эпохи античного (древнего) мира до конца второго
тысячелетия новой эры. Однако эти факты рассматриваются с необычных
позиций, что приводит к пониманию того, что Природе во всех ее прояв-
лениях присущи фундаментальные свойства, которые могут и должны
быть основой методов научного поиска в различных областях знаний.
История развития естествознания дает достаточно оснований пред-
полагать, что закон всеобщей связи материальных явлений Природы ока-
зывается сильным руководящим принципом в методологии научного по-
знания. По-видимому, свойства симметрии выступают как одно из важ-
нейших проявлений закона о всеобщей связи явлений материального ми-
ра. Известный немецкий физик и математик Г. Вейль (1885 - 1955) в сво-
ей монографии «Симметрия» высказался по этому вопросу следующим
образом: «Как бы широко или узко мы ни понимали это слово, симмет-
рия есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и
создать порядок, красоту и совершенство».
На примерах эволюции естествознания в лекции раскрывается про-
цесс формирования философских основ учения о природе и принципа
симметрии как основы методологии познания ее явлений. Познаватель-
ная сила принципа симметрии иллюстрируется многочисленными при-
мерами из классической механики и физики, астрономии, химии, физики
микромира, биологии и других отраслей науки. Применение этого прин-
ципа оказывается плодотворным и в теории автоматического управления.
Свойства симметрии естественным образом приводят к обратным зада-
чам динамики управляемых систем и качественно новым процедурам
формирования алгоритмов управления и расчета их параметров. Эта про-
блематика рассматривается в следующих лекциях.
10 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
1.1. АНТИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О СИММЕТРИИ
И СОВЕРШЕНСТВЕ МИРА
Представление о симметрии складывалось в течение тысяч поколе-
ний. Правильность этого представления проверена коллективным опытом
и наблюдением, бытием человечества в разнообразных земных условиях.
Это свидетельствует о реальном существовании понятия симметрии -
одного из удивительнейших свойств нашего мира.
Со времен Пифагора (VI в. до н.э.) мыслители верили в гармонию
мира, в математическую простоту его устройства. В основе гармонии и
простоты они усматривали проявление законов «божественной симмет-
рии» - соразмерности и согласованности в расположении частей и эле-
ментов целого. Философы того времени видели симметрию в геометри-
ческих фигурах, строении человеческого тела, а в мироздании - красоту и
совершенство. По законам симметрии древние зодчие создавали замеча-
тельные по красоте и гармонии храмы и архитектурные сооружения. Об-
разцы удивительных творений созданы мастерами античной скульптуры.
Это оказалось возможным благодаря тому, что были тщательно изучены
пропорции человеческого тела. Природа сотворила человека так, что его
лицо от подбородка до верхней границы лба составляет 1/10 часть всей
длины тела. Такую же 1/10 его доли имеет длина ладони. Рука до локтя,
как и ширина груди, равна 1/4 длины тела, а длина ступни - 1/6. Найден-
ные «золотые пропорции» мастера далекой от нас эпохи умело воплоща-
ли в художественные скульптурные произведения.
Количественные соотношения между частями человеческого тела при-
меняли в ту же эпоху и в архитектуре. Согласно легенде, вид колонны -
дорический ордер - определяет отношение
рост мужчины _
длина ступни "
Эта мера была принята в качестве эталона колонн, украшающих
здания: величину диаметра колонны в основании откладывали 6 раз, что
и определяло ее высоту.
Сохранившиеся архитектурные сооружения древности свидетельст-
вуют о применении для этих целей другой меры. Например, при построй-
ке в древнем Риме (V - IV в. до н.э.) храма Дианы - покровительницы
матерей - была принята пропорция, которой отличаются стройные жен-
щины: диаметр колонны у основания составляет 1/8 часть ее высоты.
Благодаря этому колонна казалась выше, чем она была в действительности.
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 11
Оба дорических ордера, соответствующие мужской и женской пропорци-
ям между высотой и основанием, остались в архитектуре до наших дней.
Сохранившиеся орнаменты эпохи неолита (ок. 3 тыс. лет до н.э.) ха-
рактеризуются симметрией, подобием фигур и соразмерными пропор-
циями элементов. Аналогичные орнаменты отличают изделия историче-
ских времен: арабская и византийская мозаика, персидские и китайские
ковры и др. В музеях мира хранятся изделия древних мастеров Востока -
медные узкогорлые кувшины, поражающие точностью пропорций и ис-
кусством чеканки. Древние мыслители понимали, что основу совершен-
ных по гармонии и красоте творений искусства и зодчества составляют
математически безупречные числовые соотношения частей и элементов.
Они оставили грядущим поколениям так называемое «золотое сечение» -
особое деление отрезка, в результате которого получается золотая про-
порция частей. Математики эпохи Возрождения называли ее «божест-
венной».
Существо дела заключается в следующем: точка с на рис. 1.1, я де-
лит отрезок длиной b на две части х и b - х по правилу золотого сечения,
если х является средним геометрическим чисел Ь и b - х, т.е.
x = Jb(b-x). (1.1)
Равенство (1.1) не нарушается, если левую и правую часть возвести
в квадрат.
Выполнив эти операции, получим уравнение
x2 + bx-b2 = 0, (1.2)
из которого находим длину меньшего отрезка
х = 1(л/5-l)b*0,618b. (1.3)
С
На основании (1.2) можно записать * „ ' 7 ~'
ход
Ь2 = х2 + Ьх = х(Ь + х).
Извлечем из обеих частей квадратный
корень. Принимая во внимание, что b > О, С
получим I------- I ~ ।
b = -jxfb + х) «1,618х. (1.4) 5J
Рис. 1.1
12 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Таким образом оказывается, что b есть
среднее геометрическое х и Ь + х. Следова-
тельно, по определению, отрезок Ь получен
путем золотого сечения отрезка длиной
Ь + х, как это показано на рис. 1.1,6.
Замечательная пропорция найдена древ-
ними эмпирическим путем. Математические
соотношения (1.1) и (1.4) они не знали. С помощью циркуля и линейки
отрезок х можно найти таким путем, как это показано на рис. 1.2.
Термин «золотое сечение» ввел итальянский живописец, скульптор
и ученый Леонардо да Винчи (1452 - 1519). Сочетая талант ученого и
живописца, Л. да Винчи установил с помощью математики строгие зако-
номерности композиции, по которым создается прекрасное. Замечатель-
ная пропорция широко применяется в архитектуре и изобразительных
искусствах. Типичные формы листа бумаги, конверта, книжного пере-
плета соответствуют гармоническому «золотому» делению.
Применение математики в процессе познания началось в эпоху Воз-
рождения. Однако уже античные мыслители обратили внимание на то,
что верные построения и доказательства обладают эстетическими при-
знаками. Эти наблюдения Платон (427 - 347 гг. до н.э.) характеризовал
таким афоризмом: «Красота - сияние истины». Последующее развитие
естествознания укрепило этот тезис, что дало основание Г. Галилею
(1564 - 1642) записать: «Истина и красота - одно и то же, как одно и то же
ложное и безобразное».
Античные философы-мыслители видели начальные, простейшие
формы симметрии в окружающем мире, что соответствовало их уровню
научных знаний. Они искали и находили эмпирически - на опыте - боже-
ственные пропорции, отражающие гармонию прекрасного и совершенно-
го. Зодчие и скульпторы прошлого с удивительным мастерством вопло-
щали законы симметрии и золотых пропорций в художественных фор-
мах. Развитие идеи симметрии, ее превращение в инструмент познания
станет возможным много позже, когда пытливая мысль человека начнет
проникать в сокровенные тайны природы.
1.2. ФИЛОСОФИЯ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЯВЛЕНИЙ ПРИРОДЫ
Путь человеческой мысли к истинным представлениям о законах,
характеризующих явления природы, был долгим и опасным. Нужно было
пройти через толщу веков схоластики, через костры инквизиции к эпохе
Возрождения и далее - к новому времени. Среди всех естественно-научных
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 13
проблем на этом пути была проблема правильного философского метода.
Должно было наступить время принципиально новой философии мыш-
ления. В формировании такой философии ведущая роль принадлежит
французскому философу, математику и физику Рене Декарту (1596 -
1650). Он преодолел схоластические учения, восходящие к Аристотелю
(384 - 322 гг. до н.э.), утвердил в физике идею материального единства
Вселенной и положил начало новому учению о материальной и духовной
субстанциях. Р. Декарт был основоположником концепции рациональной
интуиции как одного из инструментов познания. Все эти философско-
методологические идеи изложены в его сочинениях: «Рассуждение о ме-
тоде...» (1637) и «Начала философии» (1644).
Философия и методология Р. Декарта оказали огромное влияние на
формирование новой методологии научного поиска и на развитие науки.
В 1748 году в письме к Л. Эйлеру (1707 - 1783) гениальный
М.В. Ломоносов (1711 - 1765) сформулировал открытый им всеобщий
закон природы в замечательно простых терминах: «...все изменения в
природе происходят так, что если к чему-либо нечто прибавилось, то это
отнимается от чего-то другого. Так, сколько материи прибавляется к ка-
кому-либо телу, столько же теряется у другого; сколько часов я затрачи-
ваю на сон, столько же отнимаю от бодрствования и т.д. Так как это все-
общий закон природы, то он распространяется и на правило движения:
тело, которое своим толчком возбуждает другое к движению, столько же
теряет от своего движения, сколько сообщает другому им двинутому».
Открытие всеобщего закона природы оказалось возможным благо-
даря новой философии мышления и универсального истолкования физи-
ческих процессов, характеризующих мировую бесконечность. Об этом у
Ломоносова сказано так: «Сколь трудно полагать основания! Ведь при
этом мы должны как бы одним взглядом охватить совокупность всех ве-
щей, чтобы нигде не встретилось противопоказаний... Я, однако, отважи-
ваюсь на это, опираясь на положение или изречение, что природа крепко
держится своих законов и всюду одинакова».
Формулируя всеобщий закон, Ломоносов не разделяет мир на физи-
ческий и человеческий; человек - часть природы, а «природа всюду оди-
накова» - в этом содержится утверждение о единстве мира, о единстве
его законов. Всеобщий закон содержит также положение о двойственно-
сти явлений: сколько от одного убавилось, столько же к другому прибав-
ляется - материи, количества движения или часов бодрствования. Все-
общий закон природы подводил итог развитию физических представле-
ний о неуничтожаемости материи и ее движении за 17-вековой период,
14 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
начиная от Лукреция (I в. н.э.) до середины XVIII в. В этот период вы-
дающийся вклад в науку внесли такие корифеи: Г. Галилей (1564 - 1642),
X. Гюйгенс (1629 - 1695), Р. Гук'(1635 - 1703), И. Ньютон (1643 - 1727),
Г. Лейбниц (1646 - 1716), Л. Эйлер и другие.
К концу XVIII века в различных областях естествознания были по-
лучены глубокие результаты. Обобщение и философское осмысление
рациональных знаний позволило установить характерные закономерно-
сти и законы, отражающие общие свойства явлений объективного мира.
В своей совокупности они составили философские основы учения о
природе.
Для проблематики, которую мы изучаем, представляют интерес сле-
дующие положения философии.
Во всех явлениях действуют противоположные силы. Поэтому
«...учение о природе предполагает в качестве исходного принципа все-
общую двойственность, а чтобы постичь ее - всеобщее тождество мате-
рии. Ни принцип абсолютного различия, ни принцип абсолютного тож-
дества не дают истины; истина заключена в их объединении. Следова-
тельно, всеобщий мировой закон есть закон полярности, который выра-
жает всеобщую двойственность природы, всех существующих в них яв-
лений».
Закону полярности-двойственности подчиняется также творческий
процесс: «Творчество состоит в том, чтобы увидеть общее в особенном, в
единичном факте - закон, за обобщением - частный случай. Средством
проникновения в эту тайну служит интеллектуальная интуиция. Так в
науке, искусстве и в философии. Знание общедоступно, но творчество -
удел немногих».
Эти философские положения изложены в книге: Ф. Шеллинг «Идеи
к философии природы», 1797. Они составляют философскую основу со-
временной методологии познания во всех естественно-научных областях.
Закон полярности, т.е. двойственности, отражает существование
симметрии противоположных свойств, присущих явлениям живой и не-
живой материи. Приведем примеры симметрии философских категорий,
которые имеют фундаментальное значение в естествознании.
Дискретность и непрерывность - философские категории, харак-
теризующие строение материи и процесс ее существования и развития.
Например, свет есть одновременно дискретная частица и электромагнит-
ная волна.
Детерминированное и случайное. Математические модели и тео-
рии, изучающие детерминированные (неслучайные) явления и процессы,
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 15
соответствуют объективным законам природы - законам механики, фи-
зики, математики, химии и др. Случайные явления и процессы изучаются
методами теории вероятностей, математической статистики и теории
случайных процессов.
Например, основу законов классической механики составляет прин-
цип причинности: все последующие во времени события и состояния
макросистем определяются предшествующими событиями и состояния-
ми. Напротив, состояния частиц в микромире определяются вероятност-
ными законами.
Бесконечность бывает двух видов: исчислимая и неисчислимая.
Целые числа 1,2,..., п,... образуют исчислимую бесконечность, а точки на
прямой - непрерывную неисчислимую.
«Бесконечность времени, как и всего непрерывного, следует пони-
мать в двояком смысле - или в отношении деления, или в отношении
границ». Это безупречное по форме и глубокое по содержанию опреде-
ление принадлежит Аристотелю. Здесь отмечается симметрия - собст-
венность понятий: бесконечно малых, получаемых в результате деления,
и бесконечно больших - при неограниченном удалении границ.
Симметрия пространства, т.е. его однородность и изотропность.
Это означает, что свойства пространства одинаковы в различных точках
(однородность), а в каждой точке эти свойства одинаковы во всех на-
правлениях (изотропность). Следовательно, любой физический прибор -
часы, телефон, телевизор и др. - работает одинаково в различных точках
пространства, если не изменяются окружающие физические условия.
И другое явление - например, геометрия Евклида, в силу симметрии
пространства, должна оставаться справедливой в любой его точке. Изме-
рения, проведенные в XIX в., показали, что все теоремы этой геометрии
выполняются с колоссальной точностью. Одно из таких измерений вы-
полнил «король математики» К.Ф. Гаусс (1777 - 1855). Определяя свой-
ства треугольника, образованного вершинами трех гор, он проверял, не
отклоняется ли геометрия нашего мира от евклидовой в случае больших
размеров. В наше время установлено, что в масштабах Вселенной гео-
метрия нашего мира неточна. Однако имеющиеся различия выходят да-
леко за пределы точности измерений К. Гаусса.
Симметрия времени, т.е. его однородность. Это означает, что все
физические процессы протекают одинаково, когда бы они ни начинались.
Например, электроны в атомах далеких звезд движутся в таком же ритме,
как и на Земле, - частота колебаний испускаемого ими света такая же,
хотя свет был испущен многие миллионы лет назад.
16 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Принцип симметрии в теории познания впервые сформулировал
Пьер Кюри (1859 - 1906) следующим образом:
«Когда какие-либо причины порождают некоторые эффекты, эле-
менты симметрии причин должны обнаруживаться в этих эффектах.
Когда какие-либо эффекты проявляют некоторую диссиметрию, то
эта диссиметрия должна обнаруживаться и в причинах, их породивших.
Положения, обратные этим двум, несправедливы, по крайней мере
практически, т.е. эффекты не могут быть более симметричными, чем
причины, породившие их».
Принцип, сформулированный П. Кюри, выражает симметрию при-
чины и следствия. Такая симметрия проявляется в двух практических
задачах исследования: требуется найти причину, вызывающую тот или
иной эффект; напротив, нужно предсказать эффект, вызываемый той или
иной причиной. Симметрия эффекта свидетельствует о закономерном
(регулярном) характере первопричины явления или структуры системы.
Наоборот, асимметрия указывает на отклонение причины от периодично-
сти, т.е. от регулярности.
Приведенные примеры характеризуют симметрию-двойственность
философских категорий. Перейдем теперь к рассмотрению примеров
проявления свойств симметрии в различных явлениях природы.
1.3. СИММЕТРИЯ - ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ПРИРОДЫ
Двойственность-симметрия как фундаментальное свойство природы
обнаружена во всех областях науки, изучающей процессы в живой и не-
живой материи, а также в искусстве (в широком смысле) и во всех видах
человеческой деятельности, включая духовную сферу. Рассмотрим при-
меры.
1.3.1. Математика, классическая механика
Прежде всего, мы замечаем в математике симметрию операций:
а + b, а*Ь, а: Ь, (tfx)m=x.
Для действительных чисел при четном т корень у[х существует
только при х > 0.
Свойства симметрии справедливы для иррациональных выражений.
Например:
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 17
ml
(1.5)
Выражения (1.5) имеют место в тех случаях, когда корни существуют.
Математика оперирует с величинами положительными (с > 0) и от-
рицательными (-с < 0), с обратными величинами (1 : с = с"1) и обратными
функциями. Например:
з
х = у[у.
Исходная функция у =fix) и обратная ей функция х = ф(у) - взаимно
обратны.
Наряду с действительными (вещественными) числами (а > 0) объек-
тами математических операций являются числа мнимые и комплексные:
by[-l =ib, z = а + ib, i = V-T, a = Re z, b = Im z.
Каждому комплексному числу z соответствует сопряженное z = a - ib.
Пара взаимно сопряженных чисел изображается на комплексной плоско-
сти точками, расположенными симметрично относительно действитель-
ной оси (рис. 1.3).
Математические операции более высокого уровня - дифференцирование
и интегрирование
= vW,
симметричны и взаимно обратны.
В математике известны пря-
мые и обратные теоремы. По оп-
ределению, условием обратной
теоремы является заключение ис-
ходной, т.е. прямой теоремы, а за-
ключением - ее условие.
Начало развитию классиче-
ского математического анализа
было положено решением прямой
и обратной задач о касательной.
Прямую задачу построения каса-
тельной к плоской кривой, задан-
18 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
ной алгебраическим уравнением, впервые решили П. Ферма (1601 - 1665) и
Р. Декарт. Метод решения обратной задачи нашел Г. Лейбниц (1646 - 1716).
В специальном разделе математики рассматриваются прямые и об-
ратные задачи вариационного исчисления. Простейшая прямая вариа-
ционная задача формулируется следующим образом. Требуется найти
такую функцию Xх), которая доставляет экстремум - минимум или мак-
симум - интегралу
Лх) = pV, У, x)dx, (1.6)
J ах
х2
а ее график - кривая соединяет две граничные точки
x(*i) = Xi> У{х2) = у2. (1.7)
Искомая функция - экстремаль - является решением дифференци-
ального уравнения
F--^-F.=0, (1.8)
ах г
где Fy, Fy- - частные производные функции F соответственно по пере-
менным^ му'. Уравнение (1.8) получил Л. Эйлер в 1744 г., оно называет-
ся его именем.
Содержание простейшей обратной вариационной задачи заключает-
ся в отыскании функции F(y, у', х) в интеграле (1.6) по заданному диффе-
ренциальному уравнению и граничным условиям вида (1.7).
Античная мифология рассказывает, что Дидона, сестра царя Тира,
основала в 825 г. до н.э. город-государство Карфаген в Северной Африке.
Для основания города туземцы согласились продать ей участок земли
такой площади, какую может охватить бычья шкура. Дидона-царица раз-
резала шкуру на тонкие ремешки и расположила их так, чтобы ограни-
чить наибольшую площадь. Она решала своеобразную вариационную
задачу: определяла вид (форму) замкнутого контура заданного периметра -
длины ремешков, - ограничивающего максимальную площадь участка
земли. Эту задачу называют «задачей Дидоны». Математически строгое
решение задачи Дидоны: площадь участка будет наибольшей в том слу-
чае, когда ограничивающий его контур представляет собой окружность.
В настоящее время вариационное исчисление широко применяются
для решения прикладных задач в различных областях техники, в том
числе в математической теории оптимальных процессов управления.
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 19
Взаимно обратные интегральные соотношения
со
Яр)= = /<0;
О
С+/СО
= i c=ReP О-9)
С-/ОО
определяют прямое и обратное преобразования Лапласа, если интегралы
существуют.
Интегральные соотношения
СО „О
F(to) = Л0“ /Лко)Лсо (1.10)
-00 -с0
определяют прямое и обратное преобразования Фурье, еслиу(/) абсолют-
но интегрируема и удовлетворяет условиям Дирихле, которые изучаются
в курсе математики.
В алгебраическом разделе математики развита теория симметрич-
ных многочленов. Методы этой теории применяются для решения систем
уравнений высших степеней. (Болтянский В.Г. Симметрия в алгебре. М.:
Наука, 1967). В данном случае симметрия выполняет роль способа оты-
скания решений.
Такую же роль выполняет симметрия при доказательстве различных
положений и теорем. А именно, часто применяется метод предположения
противоположного утверждения - доказательство от противного. Этот
метод соответствует закону логики - исключенного третьего, - который
сформулировал Аристотель.
Рассмотренные примеры симметрии относятся к той ветви матема-
тики, объектами изучения которой являются неслучайные величины и
функции. Законы симметрии проявляются также в математической тео-
рии, изучающей случайные события и процессы. Приведем несколько
примеров из этой области.
Теория вероятностей изучает законы распределения и числовые ха-
рактеристики случайных величин. Наиболее часто встречается нормаль-
ный закон распределения вероятностей, установленный К. Гауссом.
Плотность вероятностей, соответствующая этому закону, определяется
формулой
20 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
(-t-mx)2
/(х)=Ц=е .(1.11)
ох72тг
Параметр тх - математи-
ческое ожидание случайной ве-
личины, т.е. наивероятнейшее
ее значение, так как при х = тх
плотность вероятности наи-
большая. Параметр ох есть
среднее квадратическое откло-
нение случайной величины от
центра распределения-рассеивания. График функции fix) изображен на
рис 1.4, где
, 1
Л,=----j=, а = тх.
охз/2
Распределение симметрично относительно его центра. При увели-
чении ох максимальная ордината fix) уменьшается, кривая распределения
расширяется, поскольку площадь под кривойу(х) равна единице:
Закон Гаусса (1.11) утверждает следующее:
а) допускаются равновероятные отклонения х = тх ± Ах случайной
величины по обе стороны от центра рассеивания;
б) вероятность больших отклонений случайной величины от центра
рассеивания мала.
Справедливость симметричного нормального распределения веро-
ятностей полностью подтверждается практикой. Об этом с достаточной
убедительностью свидетельствуют закономерности распределения оши-
бок измерения физических параметров в различных областях техники и
других явлений материального мира.
Свойства случайных процессов, протекающих во времени, характе-
ризуются корреляционной функцией. По определению корреляционная
функция случайного процесса X(t) равна
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 21
Kx(t,t') = m[*('W)],
X(t) = X(t)-mx,
где Л/[.„] - знак операции математического ожидания. Относительно
своих аргументов I, f корреляционная функция симметрична, т.е. не
меняется при перемене аргументов местами:
Kx(t',t) = K(t,t'). (1.12)
Для стационарной случайной функции справедливо равенство
Kx(t',t) = K(t'-t) = Kx(T),
T = t' -t.
Поэтому в силу (1.12) имеем
Кх(т) = Кх(-т). (1.13)
Следовательно, корреляционная функция есть четная функция, ее
график - симметричная кривая относительно оси ординат.
Так как А?х(т) - исчезающая во времени функция:
Кх(т) -> 0 при т —> оо,
то справедливо прямое и обратное преобразования Фурье:
Sx(co)= рГх(т)е’'штЛ, (1.14)
-оо
*х(т) = ^Ъх(ш)«а>. (115)
2л J
-00
Преобразования (1.14), (1.15) взаимно обратны. Функция 5/со) есть
спектральная плотность случайной функции. На основании (1.13) имеем
Sx(co) = Sx(-co),
т.е. спектральная плотность есть четная функция частоты со. График Sx(co)
располагается симметрично относительно оси ординат.
Соотношения (1.1) - (1.16) соответствуют сравнительно «простым»
примерам из области математики. Однако приведенный перечень можно
22 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
дополнить глубокими теоремами о симметричных свойствах конформ-
ных отображений аналитических функций, о симметричных проблемах
собственных значений, о симметричных свойствах квадратичных форм,
сопряженных дифференциальных уравнений, а также примерами сим-
метрии из функционального анализа, теории групп и других разделов
математики.
Здесь уместно привести следующее философское положение: в ма-
лом содержится великое, равно как в великом содержится малое. Это
положение делает равноправными простые и сложные примеры, иллюст-
рирующие фундаментальное свойство Природы - симметрию.
В заключение этого раздела приведем несколько примеров из меха-
ники. В энциклопедии записано, что законы классической механики -
законы сохранения - симметричны, что есть следствие симметрии
пространства и времени. В частности, справедлив принцип обращения
времени. В простейшем случае: перемена знака времени на обратный
(t —> - t) в модели движения материальной системы приводит к обраще-
нию знака скорости V -V. Поэтому система будет совершать обратное
движение по траектории, которая в точности повторяет траекторию пря-
мого движения.
В общем случае операция замены знака времени в уравнениях дви-
жения, описывающих эволюцию физических систем и элементарных час-
тиц при фундаментальных взаимодействиях (за специальным исключе-
нием), не меняет вида уравнений.
Законы небесной механики совершенно симметричны относитель-
но будущего и прошедшего. Вследствие этого, например, затмения
Солнца так же хорошо определяются в прошлом, как и предсказываются
в отдаленном будущем.
Формулировка третьего закона классической механики непосредст-
венно выражает симметрию противоположного: всякому действию соот-
ветствует равное и противоположно направленное противодействие.
Следующий пример относится к симметрии взаимно обратных ме-
тодов решения практических задач. А именно, расчет параметров коле-
баний механических систем выполняется прямым и обратным методами.
Истоки прямого метода восходят к работам Д. Рэлея (1842 - 1919), а об-
ратный метод предложен и опубликован в 1935 г. (Бабаков И.М. Теория
колебаний. М.: Наука,1968).
Наконец, заключительный пример: в разделе механики, который
изучает движение материальных систем, есть прямая и обратная задачи
динамики. Эти задачи обсуждаются во второй лекции.
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 23
1.3.2. Двойственность - симметрия явлений и
процессов в материальном мире
Разнообразные явления и процессы материального мира - механи-
ческие, физические, электрические, магнитные, химические, экономиче-
ские и др. - изучаются с помощью математических моделей в виде обык-
новенных дифференциальных уравнений или уравнений математической
физики - в частных производных. Такая универсальность моделей обу-
словлена тем, что они основываются на фундаментальных законах при-
роды, связанных с симметрией пространства и времени. Вопросы мате-
матического моделирования изучаются в специальных курсах. Не затра-
гивая математической стороны дела, мы рассмотрим примеры проявле-
ния симметрии в области электрических, магнитных, тепловых и химиче-
ских явлений, известных из общеинженерных курсов физики, электро-
техники и химии.
В природе существуют положительные и отрицательные электриче-
ские заряды - монополи - источники электромагнитного поля. Два то-
чечных заряда, равные по величине и противоположные по знаку, со-
ставляют электрический диполь, окруженный магнитным полем. Сило-
вые линии этого поля образуют симметричную картину, как это показано
на рис. 1.5.
Магнетизм - явление сопутствующее и в своем проявлении обрат-
ное электричеству. Магнит имеет два противоположных полюса. Анало-
гично электрическому диполю он создан природой подобно диполю маг-
нитному с двумя магнитными монополями. Силовые линии этого поля
также образуют симметричную картину (рис. 1.5). Вопрос о существова-
нии магнитных монополей обсуждается в разд. 1.4.
Парамагнетизм и диамагнетизм - противоположные свойства ве-
щества, проявляемые во внешнем магнитном поле. Парамагнетизм -
свойство вещества намагничиваться во внешнем поле по его направле-
нию, а диамагнетизм - в противоположном. В первом случае атомные
магнитные моменты ориентируются по направлению поля, а во втором -
против; вне поля они дезориентированы тепловым движением.
Термоэлектричество - явление возникновения электродвижущей
силы в цепи из разнородных металлов, контакты между которыми под-
держиваются при различных температурах; открыто в 1821 г. голланд-
ским физиком Т. Зеебеком (1170- 1831). Обратное явление - возникно-
вение разности температур в местах спая двух разнородных металлов при
пропускании тока по этой цепи — открыл в 1834 г. французский физик
Ж. Пельтье (1785- 1845).
24 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Электрический
Оиполь
Оиполь
Магнитный
монополь
Рис. 1.5
Пьезоэлектричество - явление возник-
новения электрических зарядов при дефор-
мации кристаллов - прямой пьезоэффект -
и возникновение деформации кристалла под
действием электрического потенциала - об-
ратный пьезоэффект. Явление пьезоэлек-
тричества открыто П. Кюри (1859 - 1906).
Пьезоэффекты широко применяются в при-
борах для измерения малых количеств элек-
тричества и слабых токов, а также в пьезо-
двигателях.
Рассматривая явления симметрии, нель-
зя не привести пример из мира кристаллов -
изумительного по совершенству творения
природы. Можно разрушить большой кри-
сталл какого-нибудь минерала, он рассы-
плется на множество меньших кристаллов и
кристалликов. Но все эти кристаллики будут
иметь совершенно такую же форму, как ис-
ходный большой: число граней и углы между
ними остаются неизменными. Оказывается,
внешняя симметрия кристаллов отражает
атомную структуру минерала - это и есть следствие симметричного
строения атомных решеток.
Кристаллограф - математик Е.С. Федоров (1853 - 1919) теоретиче-
ски доказал, что в природе могут быть 230 типов симметрии атомных
структур кристаллов. Работы Е.С. Федорова положили начало матема-
тической теории симметрии в этой области. Методы кристаллографии в
сочетании с рентгеноскопией глубоко проникли в различные естествен-
ные науки. Исследуя методами математической теории симметрии рас-
пределение электронной плотности в молекуле, физики и химики рас-
шифровывают структуру различных соединений, в том числе биологиче-
ских макрокристаллов - элементов живой материи.
Обратные электромагнитные явления состоят в следующем.
Протекающий по проводнику электрический ток образует вокруг него
магнитное поле - прямое явление. Напротив, перемещение замкнутого
проводящего контура в магнитном поле вызывает в контуре электриче-
ский ток - обратное явление (электромагнитная индукция). Прямое явле-
ние открыл X. Эрстед (1777 - 1851), а второе — М. Фарадей (1791 - 1867).
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 25
Электромагнитная индукция составляет основу принципа действия элек-
трической машины, которая преобразует механическую энергию в элек-
трическую (генератор) либо электрическую в механическую (двигатель).
Отмеченные явления называют свойством обратимости электрической
машины.
Обратимый тепловой процесс в термодинамике представляет со-
бой замкнутый цикл, состоящий из двух изотермических и двух адиабат-
ных процессов. Обратный процесс осуществляется путем последователь-
ного повторения в обратном порядке всех промежуточных состояний
прямого процесса. Теоретически возможны только равновесные обрати-
мые процессы. Реальные процессы в тепловых машинах почти равновес-
ные. Понятия обратимых процессов и циклов ввел в термодинамику и
исследовал их С. Карно (1796 - 1832). Теперь они носят его имя.
В химии известны обратимые реакции. Они осуществляются в реа-
гирующей системе с равными скоростями в прямом и противоположном
направлениях:
* Э'а „
реагент А « ► агент В.
vb
В этом случае реагирующая система (А; В) находится в состоянии
химического равновесия. Если скорость vB протекания обратного процес-
са пренебрежимо мала по сравнению со скоростью vA прямого процесса
(vB « vA), то реакцию считают практически необратимой.
В 1859 г. наш великий соотечественник Д.И. Менделеев (1834 -
1907) в самом начале своей научной деятельности открыл температуру
абсолютного кипения, т.е. критическую температуру, при которой жид-
кость мгновенно превращается в пар. На этом основании он формулирует
вывод о том, что любой газ можно превратить в жидкость при его охлаж-
дении ниже критической температуры. Этот вывод составляет основу
закона прямого и обратного перехода материи из одного состояния в
другое. Здесь опять-таки проявляется симметрия взаимно обратного.
Ограничимся приведенными примерами симметрии явлений и про-
цессов, существование которых установлено различными физико-
техническими науками.
В согласии со всеобщим законом природы, открытым М.В. Ломоно-
совым, различные формы энергии подчиняются закону сохранения, со-
гласно которому она не возникает из ничего и не исчезает; энергия может
переходить из одной формы в другую. Например:
26 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Механическая <-> тепловая,
электрическая <-> механическая,
тепловая <-> электрическая,
электрическая <-> магнитная.
Здесь имеет место симметрия явлений: механическая энергия пе-
реходит в тепловую и обратно; электрическая энергия переходит в меха-
ническую, а механическая - в электрическую и др.
1.3.3. Симметрия в живой материи и в человеческом обществе
Белок - основа жизни. Молекулы белков осуществляют все основ-
ные процессы в живом организме, являются строительным материалом
живых тканей - от кожи человека до оболочки вируса. Создавая молеку-
лы белков, природа распорядилась весьма экономно: все виды белков -
в организме человека их сотни тысяч - построены по единой симмет-
ричной схеме.
Фрагмент такой схемы отражает формула, приведенная на рис. 1.6.
Симметричные атомные структуры молекул белков, соответствующие
структурным формулам, устанавливаются в настоящее время с помощью
рентгеновской кристаллографии.
Природа, создавая основные элементы (части) живой материи - мо-
лекулы белков - по единой и простой симметричной схеме, проявила
высшую мудрость и при создании целого: она построила живой организм
в виде хорошо организованной иерархической структуры. «Характер-
ное свойство жизни - наличие иерархии структур и механизма функцио-
нального контроля. Этот принцип иерархичности проявляется на всех
уровнях, начиная с атомного и молекулярного, где расстояния весьма
малы, вплоть до взаимоотношений внутри человеческого общества, где
расстояния колоссальны, и приводит
к образованию высокоорганизован-
ных структур». Таким образом,
принимается, что биологическая
система построена на основе
двуединства структурных и
функциональных иерархий, ко-
торые обеспечивают ее функ-
ционирование. Концептуальные
положения теоретической био-
Рис. 1.6
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 27
логии можно найти в статье В.А. Энгельгардта «Иерархии и взаимодей-
ствия в биологических системах» (Природа, № 12, 1994).
Рассматривая примеры симметрии в мире живой материи, нельзя не
вспомнить великую труженицу - медоносную пчелу. С восходом солнца
до его заката перелетает пчелка с цветка на цветок и собирает нектар и
цветочную пыльцу. Другие труженицы сооружают в улье восковые по-
стройки - соты из шестигранных ячеек для вывода молодых пчел, хране-
ния меда и перги. Удивительна симметрия сотовых построек. Не менее
удивительно и другое: жизнедеятельность пчелиной семьи (до 100 тыс.
пчел) организована по иерархическому принципу. Такими «способностя-
ми» наделила пчел природа.
Специалисты по биологии изучают симметрию внешнего и внут-
реннего строения растений. Симметрия всего растения особенно заметна,
она наделяет каждый вид присущей ему формой, что позволяет различать
его среди множества других. Невидимая симметрия внутреннего строения
обнаруживается только с помощью специальных приборов. На рис. 1.7 при-
ведена фотография поперечного сечения побега ломоноса. При 200-крат-
ном увеличении различается радиальная симметрия тканей. Фотография
на рис. 1.7 заимствована из книги «Узоры симметрии» (пер. с англ. Мир,
1983). В настоящее время не изучены закономерности роста и развития
растений, поэтому публикации по симметрии в растительном мире име-
ют описательный характер.
В одной из самых сокровенных
сфер существования живой материи
свойства симметрии установлены
законами наследственности, кото-
рые открыл австрийский монах Г.
Мендель (1822 - 1884). Согласно
этим законам, генетические призна-
ки периодически воспроизводятся в
последующих поколениях. Это уже
симметрия во времени.
Носителями наследственной
информации являются гены. Совре-
менная биологическая генетика от-
крыла, что в живой материи суще-
ствуют антигены - вещества, чуже-
родные организму. Доказано, что
если ввести антиген в организм, то
Рис. 1.7
28 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
его иммунные клетки начинают синтезировать специфические антитела,
которые нейтрализуют действие чужеродного вещества, поэтому антите-
ла-сыворотки применяют в лечебных целях. Здесь также симметрия про-
тивоположного на молекулярном уровне: гены и антигены; тела и ан-
титела.
Самая высокоорганизованная материя - мозг человека - создан при-
родой на основе принципа симметрии противоположного. Это проявля-
ется в различном функциональном назначении левого и правого полуша-
рий. Из материалов публикаций в этой области следует вывод, который
можно сформулировать (образно) так: левое полушарие - это центр оп-
тимизма, а правое - пессимизма. Однако в поисках золотой середины
поведения хозяина они трудится согласованно.
В жизнедеятельности организма человека проявляются циклические
колебания интенсивности и характера биологических явлений и процес-
сов, так называемые биологические ритмы. Эти явления изучает специ-
альная наука хронобиология.
Заслуживает быть отмеченным и другое свойство симметрии проти-
воположного, которое проявляется в физиологии человека. Как известно,
настойка лекарственного растения валерианы применяется как успокаи-
вающее средство. Однако слишком большая доза принятой настойки
приводит к обратному эффекту - к возбуждению, неуместной веселости,
сопровождаемой неудержным смехом. Это явление наблюдается у сту-
дентов во время экзаменов. Известно также, что чай оказывает тонизи-
рующее действие на организм. Однако, слишком крепко заваренный, он
угнетает нервную систему, вызывает вялость и сонливость. Опять-таки
обратный эффект.
История сохранила свидетельства того, что античные мыслители
знали эти явления. Они говорили, что высший дар богов человеку - чув-
ство меры. В древнегреческом городе Дельфы на храме Аполлона, по-
кровителя муз, искусства и гармонии, было начертано изречение: «Ниче-
го сверх меры». По античному преданию это изречение принадлежит
Солону (640 - 559 гг. до н.э.), одному из семи греческих мудрецов.
Рассмотрим теперь примеры проявления симметрии в человеческой
деятельности и в духовной сфере.
Отметим прежде всего, что деятельность коллективов производст-
венного, научного или иного назначения организуется согласно иерархи-
ческому принципу. Например, у руководителя коллектива есть замести-
тели по направлениям деятельности; каждому заместителю подчинены
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 29
заведующие соответствующих отделов; в составе отделов имеются лабо-
ратории со своими руководителями.
По аналогичной схеме построена структура войсковых частей и со-
единений. Например: дивизия, полки, роты и т.д.
Иерархическая структура в управлении была известна в древнейшее
время. С IV -III тыс. до н.э. централизованная власть в Египте принадле-
жала фараону. Территория государства была разделена на провинции,
которые управлялись наместниками фараона - номархами; провинции
имели свое административное деление на регионы, в которых были свои
управляющие.
Принцип иерархии испытан практикой в течение тысячелетий и те-
перь прочно утвердился в управленческих структурах различного назна-
чения и различного масштаба - от систем управления техническими объ-
ектами до структур управления государствами и сообществом госу-
дарств. Теоретически иерархические структуры обеспечивают возмож-
ность достижения наибольшей эффективности управления деятельно-
стью коллективов, организаций и пр. К сожалению, такая возможность
реализуется в жизни далеко не всегда. Технические средства управленче-
ских структур - особенно крупномасштабных - имеют, безусловно,
большое значение. Однако решающая роль в управлении принадлежит
людям, участвующим в этом процессе.
Низкий уровень знаний, амбиции, корыстные интересы вплоть до
враждебных - эти неистребимые компоненты духовной сущности субъ-
ектов - выступают как антиподы высокого профессионализма и бескоры-
стия порядочных людей. Многовековой жизненный опыт человечества
мы можем принять как доказательство того, что фундаментальное свой-
ство природы - симметрия противоположного - охватывает этическую,
морально-нравственную и духовную сферы. Действительно, в области
человеческих отношений проявляются: добро и зло, ложь и правда, дух и
плоть, симпатии и антипатии и др.
Все духовное - двояко. Эта проблематика обсуждается с античных
времен. На портике храма Аполлона, о котором упоминалось, было высе-
чено и другое изречение: «Познай самого себя». В римской мифологии
божество Янус изображалось с двумя лицами; одно из них обращено в
прошлое, а другое - в будущее. С течением времени произошла транс-
формация этого божества в нарицательного и мало приятного «двуликого
януса».
Принято считать, что мыслитель Сократ (ок. 470 - 399 гг. до н.э.)
является основоположником моральной философии, изучающей тему
30 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
человека, добродетели и пороков, права и долга, свободы и ответственно-
сти, личности и общества. Его ученик и последователь Платон говорил,
что «...крайняя степень свободы приводит к хаосу».
«Доказывать очевидное - значит умалять его», - такое правило было
у римлян. Справедливость этого правила сохраняется и в наше время.
Не менее справедливо и такое изречение: правду нельзя скрыть це-
ликом, как нельзя и раскрыть ее до конца, (древневост.)
Тема добра и зла - всемирная. Примечательно, однако, что у наро-
дов всех континентов взаимоотношения добра и зла понимается как вза-
имно обратное явление. Такое понимание закреплено в многочисленных
изречениях и поговорках. Приведем некоторые из них.
Хорошо известны на Руси поговорки: нет худа без добра; не было
счастья да несчастье помогло.
«Счастье нередко является началом несчастья, и удача часто ведет к
неудаче». (Коран).
«Если счастье не бывает длительным, то и несчастье не вечно. Они
постоянно сменяют одно другое», (армянск.)
«Ничего нет вечного, и несчастье так же переменчиво, как счастье,
(итальянск., XV в.).
«Большая радость всегда грозит большой бедой», (китайск.)
Подмеченную народами «закономерность» взаимно обратного про-
явления добра и зла Вольтер (1694 - 1778) сформулировал следующим
образом: «Нет такого зла, которое не влекло бы за собой добра».
Для процесса познания большое значение имеет философский тезис:
одно и тоже многие люди видят и понимают по-разному. В разделе 1.4
будут приведены яркие факты из истории развития естествознания, отно-
сящиеся к тезису о полярности мышления. Здесь же сошлемся на образ-
ное и остроумное замечание А.С. Пушкина (1799 - 1837) на эту тему:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.
Комментарии здесь не требуются, отметим только, что первый муд-
рец - это греческий философ Зенон, а второй - знаменитый Диоген.
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 31
Прежде чем переходить к заключительному разделу лекции, приве-
дем высказывание М.В. Ломоносова о взаимно обратном процессе по-
знания: «Из наблюдений устанавливать теорию, через теорию исправ-
лять наблюдения - есть лучший способ к изысканию правды». Эта лако-
ничная по форме и глубокая по содержанию формула выражает фунда-
ментальное положение современной теории познания.
1.4. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ В МЕТОДОЛОГИИ
НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ
История развития естествознания убедительно доказывает, что сим-
метрия не только отражает свойства материи во всех ее проявлениях, но
выступает также в роли сильного руководящего принципа в познании
Природы. Приведем примеры из различных областей науки.
Как известно, в 1865 г. немецкий химик Ф. Кекуле (1829 - 1896) по-
строил структуру молекулы ароматических соединений. Причем конст-
рукция молекулы построена по «принципу симметрии». Идея о симмет-
рии и открытие Ф. Кекуле «перевернули всю органическую химию». Так
оценивают это событие современные химики. Через сто лет после этого
события (1965 г.) профессор Гарвардского университета Р. Вудворт, лау-
реат Нобелевской премии, опубликовал серию статей о сохранении орби-
тальной симметрии. Эти результаты, полученные на основе соображений,
заимствованных из квантовой механики, совершенно по-новому «освети-
ли обширную область органической химии, которую до этого открытия
называли областью реакций без механизмов». (Краткий миг торжества:
как делаются научные открытия / Сб. статей. М.: Наука, 1988.).
В 1869 г. Д.И. Менделеев открыл удивительную симметрию свойств
химических элементов и сформулировал периодический закон, который
выражается в повторяемости свойств элементов по вертикали и горизон-
тали знаменитой Таблицы. Периодический закон Менделеева и периоди-
ческая система элементов составляет основу для изучения всего много-
образия химических веществ и для синтеза новых элементов.
В настоящее время химики-теоретики широко используют в своих
исследованиях математический аппарат теории симметрии и ЭВМ.
В этом направлении разработаны эффективные методы, позволяющие
качественно и количественно предсказывать тонкую структуру и свойст-
ва материи.
Рассмотрим несколько примеров из классической физики. История
развития физики сохранила такой многозначительный эпизод. После того
как в 1819 г. было обнаружено магнитное поле вокруг проводника, по
32 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
которому пропускается электрический ток, М. Фарадей решил получить
обратный эффект. Поиски этого эффекта, начиная с 1821 г., он вел в те-
чение десяти лет и обнаружил его, быстро перемещая намагниченный
сердечник в катушке из проводника. Этот удачный эксперимент помечен
в дневнике М. Фарадея номером 16041. Для обсуждаемой проблематики
важно знать философскую основу, на которой базировалась уверенность
М. Фарадея в существовании обратного эффекта и которая подвигла его в
течение десяти лет провести более шестнадцати тысяч экспериментов. Об
этом стало известно из лабораторных дневников, которые были вскрыты
н изданы (по завещанию) через сто лет после его кончины. Обнаружилась
поразительная проницательность ума М. Фарадея: в 1821 г. он был убеж-
денным сторонником тезиса о единстве природных начал, считая, что
если электричество несет магнетизм, то и магнитные силы должны таить
в себе электрическую энергию. Это свидетельствует о том, что М. Фара-
дей признавал существование симметрии физических явлений, а именно,
что изменение магнитного поля приводит к появлению электрического
тока и наоборот - изменение электрического тока приводит к появлению
магнитного поля. Он сознательно руководствовался этим принципом, о
чем говорит не только запись в лабораторном дневнике, но и десять лет
поисков обратного эффекта.
Свойства электромагнитных явлений отражены в уравнениях элек-
тродинамики, которые вывел Д. Максвелл в 1855 г. еще при жизни
М. Фарадея. На основе созданной теории Д. Максвелл предсказал суще-
ствование электромагнитных волн и их распространение в пространстве
со скоростью света. Кроме того, он сделал вывод, что свет имеет элек-
тромагнитную природу и теоретически вычислил его давление (1873 г.).
Современники Д. Максвелла скептически относились к электромаг-
нитной теории и выводам из нее, так как считали, что он слишком вольно
обращается с физикой и грешит против математики. Основанием для та-
кого скептицизма явилось то, что в уравнение для «магнитной» компо-
ненты из соображений симметрии Д. Максвелл ввел так называемый ток
смещения, в существовании которого многие сомневались. Это особенно
вызывало недоверие к электромагнитной теории.
Уместно отметить, что с таким же недоверием и скептицизмом
встретили открытия М. Фарадея. О степени недоверия и скептицизма с
предельной прямотой высказался выдающийся американской физик, лау-
реат Нобелевской премии Р. Милликен (1868 - 1953):
«Когда Фарадей подтвердил свои гениальные идеи гениальнейшими
открытиями в области электромагнетизма, он этим не завоевал своим
идеям даже минимального признания. Формалисты с тайным, а иногда и
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 33
с явным презрением смотрели на грубые материальные силовые линии и
трубки, порожденные плебейской фантазией переплетчика и лаборатор-
ного сторожа».
Оппоненты М. Фарадея знали, что он, выходец из беднейшей семьи,
начинал свою трудовую деятельность разносчиком газет и переплетчи-
ком, а затем был лаборантом и ассистентом известного английского фи-
зика-химика Г. Дэви (1778 - 1829).
Признание электромагнитной теории Д. Максвелла, а вместе с ней и
открытий М. Фарадея, пришло после того, как экспериментально было
доказано существование тока смещения и после того, как Г. Герц (1857 -
1894) экспериментально обнаружил электромагнитные волны, а П.Н. Ле-
бедев (1866 - 1912) измерил давление света.
Комментируя удивительное проникновение мысли Д. Максвелла,
известный американский физик Э. Роджерс высказался следующим обра-
зом: «Это дополнение «магнитного» уравнения током смещения не было
ни результатом удачной догадки, ни итогом таинственного вдохновения.
Для Максвелла, который хорошо знал, какова структура развивающегося
знания, установление симметрии представлялось обязательным». (Мороз
О.П. Красива ли истина. М.: Знание, 1989.). Другой американский физик
Н. Кэмпбелл в 1921 г. в своей книге «Что такое наука» писал следующее:
«Чувство красоты симметричной формы уравнений неизменно поддер-
живало у Максвелла веру в их справедливость, несмотря на то, что экс-
периментального подтверждения своей теории он так и не дождался, а
большинство окружающих в лучшем случае находили ее сомнительной».
Таким образом, Д. Максвелл, как и М. Фарадей, сознательно руково-
дствовался принципом симметрии, создавая электромагнитную теорию.
Теперь - о физике микромира. В 1897 г. английский физик Дж. Дж.
Томпсон (1856 - 1940) экспериментально открыл электрон. За это откры-
тие он был удостоен Нобелевской премии 1906 года. В 1928 г. англий-
ский физик-теоретик П. Дирак (1902 - 1984) предложил квантовую тео-
рию движения электрона. Из этой теории следовало, что электрон имеет
своего антипода - частицу такой же массы, но заряженную положитель-
но. Физики не признавали эту теорию и ее выводы. Однако через четыре
года (1932) американский физик К. Андерсон экспериментально обнару-
жил в космических лучах этот загадочный «антиэлектрон», который по-
лучил название «позитрон», как имеющий положительный заряд. За от-
крытие позитрона К. Андерсон удостоен Нобелевской премии в 1936 г.
2 - 9516
34 СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Создавая квантовую теорию движения электрона, П. Дирак опирал-
ся на принцип симметрии. В 1930 г. он писал, что в теоретической физи-
ке появился новый метод, суть которого составляет все более широкое
применение симметрии. Основываясь на этом принципе, П. Дирак разра-
ботал в 1931 г. симметричную квантовую электродинамику и теоретиче-
ски предсказал рождение и аннигиляцию электронно-позиционных пар.
Вскоре эти фундаментальные положения теории были подтверждены
экспериментально. Действительно, оказалось, что при столкновении
электрона со своим антиподом - позитроном происходит их аннигиляция
(исчезновение частиц) и возникает гамма-излучение. Был открыт и об-
ратный процесс - рождение электронно-позитронной пары из гамма-
излучения. В 1933 г. П. Дирак удостоен Нобелевской премии «за разра-
ботку новых, перспективных форм атомной теории». Такая формулиров-
ка записана в протоколе Нобелевского комитета.
В нобелевской лекции П. Дирак предсказал существование антипро-
тонов. Спустя почти четверть века эта античастица была обнаружена
экспериментально. В 1994 г. выполнено прямое измерение массы анти-
протона. С точностью до одной миллиардной его масса совпадает с мас-
сой протона.
В симметричной квантовой электродинамике, которую разработал
П. Дирак, не оказалось места для однополюсного магнитного заряда. Это
означало, что в природе не должно существовать магнита. Такое заклю-
чение следовало из теории. Тогда П. Дирак, самый сильный и смелый
теоретик своего времени, ввел в квантовую электродинамику магнитный
монополь (см. рис. 1.5).
Иначе говоря, теоретически доказал существование в мире магнит-
ного монополя с определенными свойствами. До настоящего времени
магнитный монополь - двойник электрического монополя - в природе не
обнаружен. Физики ищут его в космических лучах, в метеоритах, в про-
дуктах ядерных реакций. Пока безуспешно, но строгая теория предсказы-
вает его существование.
В своем выступлении на церемонии вручения Нобелевской премии
П. Дирак сформулировал далеко идущий вывод из своей симметричной
квантовой теории: «Если симметрия действительно носит фундаменталь-
ный характер, то должно оказаться возможным обращать заряд любого
сорта частиц». Иначе говоря, для каждой частицы существует симмет-
ричная ей античастица.
СИММЕТРИЯ - МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ 35
Как известно, развитие физики подтвердило такое заключение. Со-
временный каталог элементарных частиц и симметричных им антиподов -
античастиц содержит около 500 наименований. В настоящее время ве-
дутся интенсивные исследования фундаментальных симметрий взаимо-
действий элементарных частиц-антиядер, антиатомов и антимолекул.
Физики приходят к заключению, что все физические процессы в мире
античастиц происходят так же, как и в мире частиц. Современные пред-
ставления по этим вопросам можно найти в статье: Дальмаров О.Д., Во-
ронин А.Ю. Исследование антиматерии - реальность и перспективы.
Природа, 1994, № 12.
Большое значение в методологическом отношении имеет положе-
ние, которое П. Дирак сформулировал в той же нобелевской лекции:
«Фундаментальные законы, возможно, таковы, что допускают, нуждают-
ся, а может быть, даже требуют формальных описаний, обладающих ма-
тематическим изяществом и симметрией. Не значит ли это, что в опреде-
ленных условиях, когда прямые пути поиска истины закрыты, его (поиск)
можно вести окольно, ориентируясь на свойства симметрии». Это поло-
жение было высказано в 1933 г. и опубликовано в монографии П. Дирака
«Электроны и вакуум».
В наше время в журналах и монографиях интенсивно обсуждаются:
• обратные задачи статистической физики;
• обратные задачи термодинамики;
• обратные задачи аэродинамики;
• обратные задачи теплопроводности;
• обратные задачи диффузии в детерминированной и статистической
форме;
• обратные задачи атомной спектроскопии;
• обратные задачи химической кинетики и другие.
Не являются ли эти обратные задачи проявлением окольного пути
поиска решений, который основывается на свойствах симметрии и о ко-
тором говорил П. Дирак в своей нобелевской лекции?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Симметрия свойств математических моделей и физических явлений
определяет методологию исследований в различных областях знаний.
Использование свойств симметрии значительно упрощает теоретические
исследования, позволяет формулировать гипотезы и выводить сущест-
венно новые заключения о закономерностях, присущих изучаемым мате-
матическим объектом материального мира. Это в полной мере относится
к проблематике теории автоматического управления.
т
Лекция 2
СИММЕТРИЯ И КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
В лекции рассматриваются свойства симметрии в автоматических
системах, которые проявляются в форме взаимно однозначного соответ-
ствия структуры математических моделей управляемых процессов и ал-
горитмов управления. Использование свойств симметрии естественным
образом приводит к обратным задачам динамики управляемых систем и
качественно новым методам формирования структуры алгоритмов
управления и расчета их параметров. Материал лекции имеет методоло-
гический характер; рассматриваемые здесь идеи составляют концептуаль-
ную основу нового направления в теории аналитического проектирования
алгоритмического обеспечения систем автоматического управления.
2.1. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Динамика - наука о движении материальных систем - изучает мето-
ды решения двух основных задач. Рассмотрим их для того случая, когда
движение системы подчиняется дифференциальному уравнению
my(t) + f(y,y) = F(t). (2.1)
Здесь т - масса системы; переменные у (г), у (?) характеризуют положе-
ние системы и скорость ее движения в каждый момент времени t > 0;
действующая на систему сила обозначена F(f).
Первая задача формулируется следующим образом. Известна мате-
матическая модель (2.1) движения системы и ее состояние в начальный
момент времени:
У(О) = УО> j(O) = jo- (2-2)
Задана сила F(z). Требуется найти траекторию движения системы
y(f), т(0, />0. (2.3)
Решение сформулированной задачи сводится к интегрированию
дифференциального уравнения (2.1) с начальными условиями (2.2). Эта
процедура может быть выполнена аналитически или численно с помо-
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
37
щьк> ЭВМ. В результате будут найдены переменные (2.3), характери-
зующие движение изображающей точки системы на фазовой плоскости.
Вторая задача, в отличие от первой, формулируется так. Известна
математическая модель (2.1) движения системы, задано ее начальное со-
стояние (2.2). Назначена требуемая траектория движения у (г), у* (t), t >0.
Необходимо найти такую силу
F(/) = F*(/),r>0,
которая осуществляет движение системы по назначенной траектории:
У(О = /(О. y{t) = y\t), />0.
Сформулированные задачи противоположны по содержанию, по-
этому первую из них называют прямой задачей динамики, а вторую -
обратной. В результате решения прямой задачи для заданной силы на
основе анализа движения определяются динамические характеристики
системы. Напротив, в результате решения обратной задачи отыскивается
требуемая сила, которая вызывает движение системы по заданной траек-
тории. Следовательно, если F(t) представляет собой управляющую силу,
то в математическом отношении содержание обратной задачи динамики
составляет синтез алгоритма управления, при котором управляемая сис-
тема обладает требуемыми динамическими характеристиками.
На протяжении длительного времени математики и механики изуча-
ли движение различных тел под действием приложенных к ним сил и
моментов. Поэтому до недавнего времени было принято считать, что
приоритетной задачей динамики является прямая, как это записано в эн-
циклопедических изданиях 1980-х гг. Однако с развитием техники
управляемого движения приоритетность прямой и обратной задач поме-
нялась. Действительно, решение прямой задачи - интегрирования диф-
ференциальных уравнений при заданных силах - в настоящее время не
составляет затруднений: современное математическое обеспечение высо-
копроизводительных ЭВМ позволяет получать решения весьма сложных
уравнений. Иначе обстоит дело с обратными задачами определения сил и
моментов, управляющих движением таких систем, как летательные аппа-
раты различных типов (самолеты, вертолеты, космические аппараты),
необитаемые подводные аппараты, многомассовые механические систе-
мы и другие объекты. Актуальность разработки эффективных методов
управления движением таких систем сохраняется, несмотря на значи-
тельные достижения в этой области.
38
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
2.2. ЗАДАЧИ ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ НАЗНАЧЕННОЙ
ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ И СИММЕТРИЯ
В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рассматриваем стационарную одномерную систему, движение кото-
рой подчиняется дифференциальному уравнению
л-1 .
W) = M0. A(D) = Dn+y'avDv, D = —~, (2.4)
v=0 dt
где x - выходная переменная; и - управляющая функция. Параметры сис-
темы известны. Будем изучать следующую задачу. В начальный момент
времени t = 0 состояние системы характеризуется значениями
хм(0) = хл, $ = 0, 1,...,и-1. (2.5)
Требуется найти такую управляющую функцию и = и , при которой
движение системы из состояния (2.5) проходит по назначенной фазовой
траектории при t > 0.
Пусть х (г) соответствует заданной траектории движения и как
функция времени дифференцируема необходимое число раз. В таком
случае управляющая функция м*(г) получается в результате непосредст-
венной подстановки х (f) в уравнение движения (2.4). Выполняя такую
подстановку, находим
u(f)= b?A(P)x\t). (2.6)
Рассмотрим структурные схемы модели управляемой динамической
системы (УДС) и алгоритма вычисления управляющей функции, т.е. ал-
горитма управления. Для случая п = 2 структурная схема модели, соот-
ветствующая (2.4), изображена на рис. 2.1. Структурная схема алгоритма
управления, соответствующая (2.6), изображена на рис. 2.2. Можно заме-
тить, что структурные схемы симметричны: структура модели УДС и
структура алгоритма управления представляют собой зеркальное отраже-
ние одна другой. Действительно, операции, составляющие содержание
алгоритма вычисления управляющей функции, обратны соответствую-
щим операциям в математической модели управляемого процесса: интег-
рированию в модели соответствуют дифференцирование в алгоритме
управления, вычитанию соответствует суммирование, коэффициенту
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
39
Рис. 2.1
Рис. 2.2
усиления Ьо отвечает обратная величина 1. Наконец, входная х* и вы-
ходная и переменные структурной схемы алгоритма управления пред-
ставляют собой обращенные переменные х, и модели управляемого про-
цесса. В силу этого каждая из структурных схем может быть получена одна
из другой путем обращения операций и соответствующих переменных.
Таким образом, можно сформулировать следующее положение: ал-
горитм формирования управляющей функции строится по принципу
симметрии структуры и обращения операций по отношению к структуре
и операциям, соответствующим математической модели управляемой
системы. Это положение составляет содержание концепций метода об-
ратных задач динамики управляемых систем.
Из (2.6) следует, что структура и параметры модели УДС однознач-
но определяют структуру и параметры алгоритма управления. Сущест-
венно однако, что формула (2.6) определяет программную управляющую
функцию и = u(t). В силу этого управление движением системы осуще-
ствляется по разомкнутой схеме (рис. 2.3), т.е. без обратной связи - по
программе.
40
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Управляющая часть
УЛС
Рис. 2.3
2.3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
В ФОРМЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ
Методику синтеза изложим применительно к задаче управления
системой, движение которой описывается уравнением второго порядка
d2x(t) dx(t) , ..
—^+а\~j—+aox(t) = bou(t). (2.7)
dr dt
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать алгоритм
управления и = и(х, х), при котором система переходит из начального
состояния х(0) = *0, х (0) = i0 в стационарное состояние х = х° = const,
х = 0. Необходимо при этом, чтобы переходный процесс x(t) —> х° строго
следовал за процессом х (г) —> х°, определяемым функцией времени
/(г) = х°-с/''-c2Z2', (2.8)
А.] R-e А12 < 0-
Постоянные с,, с2 должны удовлетворять условиям
х’(О)=хо, х‘(О) = хо, (2.9)
которые означают, что фазовая траектория х, х начинается в точке х0,
х0 исходного состояния управляемой системы. Однако для дальнейшего
изложения вычислять сь с2 не требуется.
Параметры Ab А] в (2.8) могут быть как отрицательными веществен-
ными, так и комплексными числами с отрицательными действительными
частями. Вследствие этого справедливы предельные равенства
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
41
limce^sO, ц = 1,2.
/-ЮО И
Поэтому х*(г) -> х° при t -> <ю, что требуется по условию задачи.
Программная управляющая функция и*(г) получается в результате
подстановки выражения для х*(г) из (2.8) в уравнение (2.7):
и (0 = [«о*° - Л(Х,)с^‘ - Л(Х2)с2е^‘], (2.10)
где постоянные числа
^(А.и) = А.2и+а1А.и+а0, ц = 1,2.
Чтобы найти алгоритм управления в форме обратных связей, нужно
выразить функции времени
с}еХ}1, с2е^‘ (2.11)
через переменные состояния х, х, а затем эти выражения подставить в
(2.10). Выполним необходимые преобразования.
По постановке задачи необходимо, чтобы в процессе управления
выполнялись равенства
х(0=х*(0, x(t) = x(t\ t>0. (2.12)
Подставляя выражения для х'(/) из (2.8) в (2.12), получим алгебраи-
ческие уравнения
c,eXl' +с2еХ2' =х°-х, (2.13)
А.1с1ем' + А.2с2еХ2' =-х,
относительно искомых функций (2.11). Так как Х2, то определитель
1
А.]
1
Х2
— Х2 0.
Поэтому уравнения (2.13) имеют однозначное решение:
X„ _ X2(x°-x) + i i2, _ -А,(х°-х)-х
с,е " х2-х, ’ 2 " х2-х,
42
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Подставляя эти выражения в (2.10), найдем алгоритм управления
и(х,х) = -Маох° -(а0 - Х]Х2)(х° -х) + (П] + А.] + Х2)х ] (2.14)
Управляющая функция м = м(х, х) вычисляется по информации о
положении и скорости (х, х). Поэтому управление движением осуществ-
ляется по схеме с обратными связями, как это показано на рис. 2.4. Здесь
коэффициенты усиления в обратных связях равны
к} = а0 X । X 2, Х2=П|_ьХ|_ьХ2. (2.13)
Получим уравнение замкнутой системы. Подставив (2.14) в (2.7),
будем иметь
х (Х1+Х2)х + Х1Х2х = Х1Х2х . (2.16)
Характеристическое уравнение
pi — (X] + Х2) р + XjX2 = о,
соответствующее (2.16), имеет корни рх 2 = Х12. Поэтому решение диф-
ференциального уравнения (2.16) с начальными условиями (2.9) будет
x(Z) = x°-c1eM' -с2/2' = x'(t), f>0. (2.17)
Следовательно, движение системы с алгоритмом управления (2.14) осу-
ществляется строго по назначенной траектории.
Замечание. Траекторию движения управляемой системы (в част-
ном случае, - кривую переходного процесса) можно назначать с помо-
щью дифференциального уравнения вида (2.16). При этом корни Xi.2 ха-
рактеристического уравнения могут быть произвольными, в том числе
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
43
кратными (А.| = А.2). Необходимо только, чтобы они были расположены в
левой полуплоскости комплексной переменнойр.
Дифференциальное уравнение, с помощью которого назначается
требуемая траектория движения, будем называть эталонной моделью.
Особенности алгоритма управления (2.14). Из (2.14) следует, что
управляющая функция и(х, х) имеет две составляющие. Одна из них
“1 = Ьо'(аох + а,х)
компенсирует слагаемые oqX, а}х в уравнении (2.7) управляемой систе-
мы. Вторая составляющая
м2 = 1[Л.1Х2(х° -х) + (A.J +Х2)х]
управляет «скомпенсированной системой», структура которой представ-
ляет собой два последовательно включенных интегратора. На этом осно-
вании алгоритмы управления вида (2.14) будем называть компенсаци-
онными.
Системы с алгоритмами управления компенсационного типа обла-
дают высокой чувствительностью к изменению параметров управляемых
объектов. В силу этого они мало пригодны для практических применений.
Неконструктивность в прикладном отношении структуры алгорит-
мов компенсационного типа есть следствие того, что такая структура по-
лучена из условия абсолютно точного совпадения траекторий движения
системы и эталонной модели: x(r) = х (г), t > 0. С философской точки зре-
ния это означает, что законы Природы не допускают крайних (экстре-
мальных) решений. Такие решения оказываются неэффективными.
2.4. КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ И
МИНИМИЗАЦИЯ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ,
ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ЭНЕРГИЮ ДВИЖЕНИЯ
В настоящем разделе изложены идеи эффективных методов синтеза
алгоритмов управления движением динамических систем. Эти идеи бази-
руются на концепциях обратных задач динамики в сочетании с миними-
зацией локальных функционалов, характеризующих энергию движения в
окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. Теория синтеза,
основанная на таких идеях, приводит к алгоритмам управления нетради-
ционной структуры, которые придают системам свойства слабой чувст-
вительности к параметрическим и координатным возмущениям. Алго-
44
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
ритмы управления получаются в замкнутой форме как в случае линей-
ных, так и нелинейных систем. Существенно при этом, что для определе-
ния структуры алгоритмов нет необходимости решать оптимизационные
задачи в традиционном понимании.
Обсуждаемые идеи рассматриваются на примере простейшей задачи
стабилизации стационарного состояния системы с одной степенью сво-
боды. В последующих лекциях эти идеи развиваются применительно к
задачам управления линейными и нелинейными многомерными системами.
2.4.1. Постановка задачи
Движение управляемого объекта описывается дифференциальным
уравнением
х + а}х + аох = Ьои, (218)
где обозначения соответствуют ранее принятым. Для упрощения преоб-
разований будем считать, что коэффициенты уравнения - постоянные
числа. В начальный момент времени t = 0 состояние управляемого объек-
та характеризуется значениями
x(0) = x, x(O) = io. (2.19)
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать такой ал-
горитм управления и = и (х, х), при котором управляемый объект пере-
ходит из произвольного начального состояния (2.19) в окрестность ста-
ционарного состояния
х(со) = х° = const, х(°°) = 0 (2.20)
и остается в этой окрестности бесконечно долго. Требуется при этом,
чтобы переходный процесс x(t) —> х° в замкнутой системе с заданной сте-
пенью приближения следовал за переходным процессом y(f) -> х° в эта-
лонной модели, движение которой описывается дифференциальным
уравнением
у + а|У + аоу = аох°, а0, d|>0 (2.21)
с начальными условиями
ЯО)=Хо, J>(O) = *o-
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
45
Числовые значения а0, а] определяют вид переходного процесса
ХО —> х°. Поэтому с помощью этих параметров можно назначать такие
динамические характеристики эталонной модели (2.21), которым соот-
ветствуют требуемые показатели процесса управления: время достиже-
ния заданной окрестности стационарного состояния, величину перерегу-
лирования и др.
Физический смысл сформулированной задачи заключается в стаби-
лизации (позиционировании) объекта относительно заданного положе-
ния. При этом алгоритм управления (стабилизации) должен обеспечивать
такое движение системы в окрестность стационарного состояния, при
котором выполняется условие
|ХО-ХО|^£, t>0, (2.22)
характеризующее степень приближения процесса х(0 —> х° в проектируе-
мой системе к эталонному процессу ХО х°. Следовательно, динамика
проектируемой системы будет идентична динамике эталонной модели,
если структура алгоритма управления и его параметры определяются из
условия приближения процессов x(f) -^y(t) с учетом неравенства (2.22).
2.4.2. Структура алгоритмов управления
Пусть начальное состояние модели в точности соответствует на-
чальному состоянию объекта, т.е. ХО) = ХО), j(0) = ХО) • Пусть, далее,
алгоритм управления обеспечивает в замкнутой системе равенство зна-
чений ускорений в каждый момент времени, т.е. x(f) = y(f), t > 0. Тогда
процесс x(t) -э х° теоретически будет строго следовать за эталонным про-
цессом Х0 —> х°- Однако такая ситуация практически невозможна. По-
этому структуру алгоритма управления и его параметры вполне естест-
венно определять из условия минимума функционала
G(u)=±[y(t)-x(t,u)]2, t>0. (2.23)
Если порядок уравнения эталонной модели не равен порядку урав-
нения объекта или ее начальное состояние отличается от начального со-
стояния объекта, то управляющая функция и(г), доставляющая минимум
функционалу (2.23), будет наилучшим образом соответствовать требова-
ниям сформулированной задачи в смысле приближения ХО —>Х0-
46
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Функционал (2.23) представляет собой энергию ускорения, норми-
рованную по массе (для линейных перемещений) или по моменту инер-
ции (для угловых перемещений) и вычисляемую в окрестности фазовой
траектории движения эталонной модели. Поэтому управляющая функ-
ция, минимизирующая G(w), оптимальна по критерию минимума энергии
ускорения.
Абсолютный минимум функционала min G(w) = 0 достигается при
и
условии
x(t,u) = y(t), t>0. (2.24)
Согласно уравнению (2.18) ускорение движения управляемого объекта
x(t, й) = Ьои - аох - а}х. (2.25)
Из (2.24) и (2.25) находим «оптимальную» управляющую функцию
и = — (у + аох + Д]Х). (2.26)
ьо
Для вычисления и по соотношению (2.26) необходимо знать тре-
буемое значение ускорения y(f), которое характеризует движение эта-
лонной модели. Величина у (г) может быть найдена из уравнения (2.21)
после замены переменных
у(0 = х(0, Я0=х(0, (2.27)
которая соответствует концепциям обратных задач динамики. В резуль-
тате получим
У(О = ао(х°-*)-«,*• (2.28)
Таким образом, уравнения алгоритма (2.26), (2.28) определяют в ка-
ждый момент времени такое значение управляющей функции и , при ко-
торой траектория движения изображающей точки (х; х) управляемого
объекта теоретически точно повторяет фазовую траекторию эталонной
модели. Действительно, выражение для управляющей функции
и* —— 1а0(х° - х) - cqx + atx + ^х], (2.29)
bo
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
47
соответствующее (2.26) и (2.28), содержит составляющие аох, а}х, ко-
торые компенсируют аналогичные составляющие в уравнении (2.18).
Вследствие этого подстановка (2.29) в (2.18) вместо и приводит к уравне-
нию, которое совпадает с уравнением (2.21) эталонной модели. Это озна-
чает, что алгоритм (2.26), (2.28) оказывается компенсационным.
Особенность компенсационного алгоритма состоит в том, что для
его практической реализации необходимо иметь полный объем информа-
ции о математической модели управляемого объекта. В силу этого дина-
мические характеристики системы с алгоритмом управления компенса-
ционного типа могут существенно отличаться от динамических характе-
ристик эталонной модели, если, например, расчетные значения парамет-
ров av, bo не соответствуют фактическим.
Необходимость иметь полный объем информации о модели управ-
ляемого объекта, а также высокая чувствительность системы к измене-
нию ее параметров, есть следствие того, что компенсационный алгоритм
управления построен из условия мгновенного достижения абсолютного
минимума функционала (2.23) в каждый момент времени t > 0, т.е. на
основе крайнего (экстремального) решения. В силу этого система с таким
алгоритмом оказывается мало пригодной для практических применений.
Чтобы синтезировать эффективный алгоритм управления, нужно
преднамеренно отказаться от условия достижения абсолютного миниму-
ма G(u ) = 0 энергии ускорения и придать системе свойства грубости по
отношению к изменению ее параметров. Такие свойства система приоб-
ретает в том случае, когда алгоритм управления строится из условия,
чтобы в каждый момент времени t > 0 значение функционала (2.23) при-
надлежало малой окрестности экстремума-минимума. В таком случае
будем говорить, что система практически оптимальна по критерию ми-
нимума энергии ускорения.
Управляющую функцию и определим с помощью уравнения
du(t) dG(u) .
—— = А.----—, Л. = const, (2.30)
dt du
которое соответствует градиентной схеме поиска экстремума G(u).
С учетом (2.25) находим градиент функционала
= (2.31)
du
48
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
Подставляя выражение (2.31) в (2.30), получим дифференциальный
закон управления
^1 = к(у-х), k = -kb0. (2.32)
dt
Закон управления (2.32), дополненный соотношением (2.28) для вычис-
ления требуемого значения ускорения у(г), составляет основу алгоритма
управления.
Рассмотрим структурную интерпретацию полученных уравнений.
На рис. 2.5 приведена схема замкнутой системы. Пунктирными линиями
выделена модель управляемого объекта. В структуре системы имеется
три контура. Внешний контур замыкается по управляемой переменной х.
Следующий, внутренний контур, замыкается по производной х. Сумма
сигналов, формируемых в этих контурах, представляет собой требуемое
значение ускорения у, вычисляемое по формуле (2.28). Это значение
является задающим воздействием для третьего контура, замкнутого по
ускорению х. Управляющая функция и получается после интегрирова-
ния сигнала, пропорционального разности ускорений у - х.
Особенность алгоритма (2.28), (2.32) состоит в том, что для вычис-
ления управляющей функции необходимо иметь информацию об ускоре-
нии х . Однако уравнения алгоритма можно преобразовать к такой фор-
ме, что для их аппаратной реализации не потребуется информация о вто-
рой производной управляемой переменной х. Действительно, диффе-
ренциальный закон управления (2.32) допускает понижение порядка. Ин-
тегрируя обе части по времени при нулевых начальных значениях пере-
менных, получим
и = к(у-х). (2.33)
Рис. 2.5
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
49
Требуемое значение скорости у вычисляется по соотношению
у = а0 J(x° -х) dt -а.хх, (2.34)
о
которое получается в результате интегрирования левой и правой частей
(2.28) также при нулевых начальных значениях переменных.
Таким образом, иная (интегральная) форма алгоритма управления
основывается на уравнениях (2.33), (2.34). Для аппаратной реализации
этих уравнений не требуется информация об ускорении х . Однако суще-
ственно важно, что динамические характеристики системы с таким алго-
ритмом полностью идентичны динамическим характеристикам системы,
управляемой с помощью алгоритма (2.28), (2.32). Это свойство будет до-
казано при исследовании динамики системы. На рис. 2.6. изображена
структурная схема замкнутой системы. Для упрощения чертежа модель
управляемого объекта представлена передаточной функцией
^O(P) = -^-^--------= ^> (2-35)
р + а}р + ай и(р)
которая соответствует уравнению (2.18). Здесь х(р), и(р) - изображения по
Лапласу выходной переменной объекта х(0 и управляющей функции u(t).
В заключение этого раздела отметим, что уравнения (2.33), (2.34)
получены без учета начальных значений переменных. Такое допущение
вполне естественно, так как при описании динамики линейных систем с
помощью передаточных функций начальные значения не учитываются
(по определению). Вместе с тем для специальных технических систем
может оказаться обязательным строго реализовать движения по назна-
ченным траекториям, тогда необходимо учитывать начальное состояние
объекта, предусмотрев ввод в вычислитель значений х(0), х(0) и м(0) в
момент пуска системы. В таких случаях уравнения алгоритма имеют вид
Рис. 2.6
50
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
и = и(0) + к(у - х) - к(у0 -х0),
I
у = а0 J(x° -x)dt-<£\(х-хй). (2.36)
о
В полном виде алгоритм управления (2.36) может применяться в так
называемых одноактных системах, выполняющих свои функции за один
акт (цикл). К ним относятся, например, системы посадки летательных
аппаратов; системы, обеспечивающие вывод объекта в назначенное по-
ложение строго по предписанной траектории и др.
Таким образом, мы установили, что алгоритм управления по уско-
рению можно реализовать только на основе информации о координате и
скорости ее изменения х . Однако, как отмечено, динамические характе-
ристики системы остаются такими же, как в случае, когда управляющая
функция вычисляется по информации об ускорении. Математическая
сторона этой особенности понятна: согласно (2.32) по отклонению у-х
вычисляется скорость изменения управляющей функции й, а затем вы-
полняется операция интегрирования; в результате оказывается, что и вы-
числяется по рассогласованию скоростей у - х, соответствующих моде-
ли и управляемого объекта.
2.4.3. Анализ процесса минимизации функционала
Уравнения (2.32), (2.33) определяют приближенное значение управ-
ляющей функции и * и , поэтому на траекториях движения замкнутой
системы не достигается абсолютный минимум функционала G(w) - 0.
Вследствие этого фазовые траектории проектируемой системы и эталон-
ной модели не совпадают. Покажем, что синтезированный алгоритм
обеспечивает возможность достижения сколь угодно высокой точности
приближения управляемого процесса х(0 —> х° к эталонному y(t) —> х°.
С этой целью исследуем динамику процесса минимизации функционала.
Рассмотрим дифференциальный закон управления (2.32). Подставим
сюда выражение для х из (2.25). Тогда получим следующее уравнение
й + кЬйи- kz, (2.37)
где обозначено
z = у + а}х + аох. (2.38)
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
51
Рис. 2.7
Уравнение (2.37) описывает процесс в контуре управляющей функ-
ции. Запишем его в ином виде. Из (2.28) и (2.29) следует равенство
и = ±(у + atx + аох).
На этом основании с учетом (2.38) функция z = bou. Поэтому урав-
нение (2.37) принимает вид
й + кЬц-и = kbQu .
(2.39)
Структурная схема контура управляющей функции, соответствую-
щая (2.39), изображена на рис. 2.7. Задающим сигналом является «опти-
мальная» управляющая функция и , которая реализует абсолютный ми-
нимум функционала:
minG(w) = G(w*) = 0.
и
Согласно (2.39) передаточная функция
КЛМ) = -^7- = -^-, (2.40)
P + kbQ и (р)
где и(р) - изображение по Лапласу функции u(t). Из (2.40) следует, что
для коэффициента усиления к должно выполняться правило знаков
sign(£) = sign(60). (2.41)
В этом случае обеспечивается устойчивость контура управляющей
функции как необходимое, но недостаточное условие устойчивости про-
цесса минимизации функционала G(w). Далее принимаем Ьо > 0.
Входным сигналом контура управляющей функции является пере-
менная величина и (?) Поэтому отклонение Aw = w - w будет малым, и,
следовательно, значение функционала G(w) будет принадлежать малой
52
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
окрестности экстремума-минимума в том случае, когда быстродействие
контура существенно выше быстродействия эталонной модели. Путем
повышения уровня усиления в контуре его быстродействие может быть
достигнуто (теоретически) сколы угодно высоким. Так как принято, что
Ьо > 0, то на основании (2.40) и (2.41) полюс передаточной функции
р(к) = -kb0 —> (-оо), если к —> оо. (2.42)
Следовательно, при неограниченном увеличении коэффициента
усиления контур не теряет устойчивости, а длительность переходного
процесса, определяемая временем затухания экспоненты exp (- kbQt), не-
ограниченно уменьшается. При этом асимптотическая передаточная
функция контура управляющей функции равна
КАР, °°)= lim Ки(р, А) = 1. (2.43)
Итак, в результате исследования установлено, что если для коэффи-
циента усиления к выполнено правило знаков (2.41), то справедливо сле-
дующее:
1°. Устойчивость контура управляющей функции и, как следствие,
устойчивость процесса минимизации G(w) сохраняется при неограничен-
ном увеличении к —> оо.
2°. Быстродействие контура зависит от величины произведения kb0 и
определяется поэтому не только уровнем усиления, но и эффективностью
управления, т.е. величиной Ь(). Длительность переходных процессов в
контуре и может быть получена (теоретически) сколь угодно малой.
Аналогичные заключения можно вывести, рассматривая в структуре
системы (см. рис. 2.5) контур ускорения х с передаточной функцией
^(2) (А -
Ц) _ х(р)
Р + kb0 у(р) ’
где х(р), у(р) - изображения по Лапласу функций времени х(г), >'(?).
Сигнал ц/(х, х) = аох + а1х выступает в данном случае в роли возмуще-
ния. Функциональное назначение контура ускорения - с высокой точно-
стью отслеживать задающее воздействие у(Г) и парировать возмущение
у(х, х). Величина | у - х | будет тем меньше, чем выше быстродействие
контура. Это достигается путем повышения уровня усиления.
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
53
В асимптотике (к -> оо) полюс передаточной функции Кт(р, к) удаляет-
ся на бесконечность в область отрицательных значений: р(к) = -kb0 —> (-со),
если £ —> оо. Следовательно, в этом случае справедливо предельное ра-
венство
lim К(2Лр,к) = 1.
Инерционный контур ускорения х вырождается в безынерционное
усилительное звено с коэффициентом усиления, равным единице. Вслед-
ствие этого при £ —> оо величина x(f) асимптотически приближается к
у(1) и, кроме того, u(t) —> и (/). Таким образом, процесс минимизации
функционала G(w) можно исследовать так же, изучая динамику контура
ускорения.
Выясним, по какому закону уменьшается значение функционала
G(w) во времени в процессе минимизации. Вычислим производную
dG(u) _ dG(u) du
dt du dt
Согласно (2.31) и (2.32) имеем
dG(u) ... ... du .... ...
—— = -b0(y-x); — = k(y-x).
dt at
Следовательно, скорость изменения функционала
^f)=_W_i)2. (2.44)
dt
Так как выполняется правило знаков, то Ьпк > 0 . Поэтому
Л7(и) п .. ..
------ < 0 , если х Ф у.
dt У
На основании (2.44) заключаем, что скорость уменьшения величины
G(w) тем выше, чем больше произведение Ьйк. Этот вывод согласуется с
результатами анализа процессов в контуре управляющей функции.
Сходимость процесса минимизации функционала G(zz), т.е. устойчи-
вость контура управляющей функции, есть необходимое (но недостаточ-
ное) условие устойчивости замкнутой системы. Требуется кроме этого,
чтобы быстродействие контура было существенно выше быстродействия
эталонной модели, что достигается повышением уровня усиления. Эти
вопросы рассматриваются в следующей лекции.
54
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
2.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ -
ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЭНЕРГИИ ДВИЖЕНИЯ
В конце XIX в. Сен Жермен ввел понятие энергии ускорения по ана-
логии с понятием кинетической энергии. Для материальной точки массы
т, движение которой создается силой F и описывается уравнением
mx(r) = F , (2.45)
кинетическая энергия равна
1 7
7’(х)=у/их2. (2.46)
Аналогично (2.46) определяется энергия ускорения
1 7
G(x) = —mx2. (2.47)
В случае, когда пространственное движение материальной точки в
системе координат Ох& х3 описывается уравнениями
тхк (t) = Fk, к= 1,2,3, (2.48)
кинетическая энергия и энергия ускорения равны
3 3
Г(х) = ^^х2, G(x) = y£x2, (2.49)
2 *=i 2 *=i
Х = (х12+х^+х32)1/2.
Продолжим эту аналогию. Пусть движение системы единичной массы
с одной степенью свободы подчиняется дифференциальному уравнению
х(п)Ю + X«v*(v)(O = ЁМ(Ц)(0, (2.50)
v=0 ц=0
где х - выходная переменная, характеризующая положение системы; и -
управляющая функция. Тогда можно записать
G(xw) =
dsx
df
s = 2, 3,..., n.
(2.51)
СИММЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
55
Величина G(xw) определяет энергию ускорения G(x), энергию
третьей производной G(x) и т.д. до порядка т включительно.
Обобщение понятия энергии движения оказалось плодотворным в
аналитической механике. В 1899 г. П. Аппель, используя функцию-опре-
деление энергии ускорения, получил уравнения динамики, пригодные как
для голономных, так и для неголономных систем, т.е. более общие по
форме, чем уравнения Лагранжа. Применение обобщенного понятия
энергии оказывается плодотворным и в теории управления движением
динамических систем. В силу уравнений управляемого движения вида
(2.48), (2.50) энергия G(x(v)) зависит от управляющих сил Fk и управляю-
щей функции и. Поэтому такие характеристики движения как энергия
ускорения и энергия старших производных являются функционалами.
С помощью этих функционалов можно оценивать качество управляемых
процессов и находить такие управляющие функции и силы, которые наи-
лучшим образом отвечают задачам управления.
Оптимизация управляемых систем по критерию минимума функ-
ционалов, характеризующих энергию движения в окрестности фазовых
траекторий эталонных моделей, естественным образом приводит к таким
алгоритмам управления, которые придают системам свойства параметри-
ческой и структурной адаптивности или, иными словами, свойства сла-
бой чувствительности к изменению параметров и структуры математиче-
ских моделей, по которым выполняется синтез алгоритмов управления.
Лекция 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ,
ОПТИМИЗИРУЕМЫХ ПО КРИТЕРИЮ
МИНИМУМА ЭНЕРГИИ УСКОРЕНИЯ
В лекции изучаются асимптотические и структурные свойства сис-
тем стабилизации стационарных состояний управляемых объектов. Ис-
следуется динамика систем стабилизации двух структур, которым соот-
ветствуют алгоритмы управления, синтезированные по различным эта-
лонным моделям. В одной из них порядок модели равен порядку диффе-
ренциального уравнения движения объектов, а в другой - на единицу
выше. Основные выводы теоретического анализа иллюстрируются ре-
зультатами математического моделирования. Изложены рекомендации по
расчету параметров алгоритмов управления.
3.1. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ С АЛГОРИТМОМ УПРАВЛЕНИЯ,
СИНТЕЗИРОВАННЫМ ПО ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассматриваем замкнутую систему, структурная схема которой изо-
бражена на рис. 2.5. Процессы в системе описываются уравнениями
х + а.х + аох = ЬГ)и, й = к(у - х), у = а0(х° - х) - оцх, (3.1)
которые соответствуют (2.18), (2.28) и (2.32). Исключим из этих уравне-
ний управляющую функцию и. Из второго и третьего уравнений находим
и = £[аох° - (х + о^х + аох)]. (3.2)
Дифференцируя по времени обе части первого уравнения (3.1) и
подставляя затем в него выражение для й из (3.2), получим уравнение
х + ахх + айх + кЬй(х + а.хх + а.йх) = £Z>ox°, (3.3)
которое описывает процессы в замкнутой системе. Согласно (3.3) ее пе-
редаточная функция равна
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
57
К(р. *) =----------------4^. (3.4)
рА{р) + kb(la(p) х°(р)
где х°(/?) - изображение по Лапласу задающего воздействия х°; полиномы
А(р) = р2 +ЧР + а0, а(р) = р2 +а1/? + а0 (3.5)
соответствует дифференциальным операторам уравнения объекта (2.18) и
эталонной модели (2.21).
3.1.1. Асимптотические свойства системы
Исследуем поведение системы как динамической структуры при не-
ограниченном увеличении коэффициента усиления (к —> оо). Рассматри-
ваем характеристическое уравнение, отвечающее (3.3). С учетом (3.5)
имеем
рА(р) + кЬ0а(р) = р3 + + kb^)p2 + (а0 + щкк^р + а0АД) = 0. (3.6)
Согласно критерию Гурвица, система будет устойчива, если при поло-
жительных значениях коэффициентов полинома выполняется неравенство
(а, + kb0) (а0 + aikb0) > aokbo (3.7)
или в раскрытой форме
ai(kbo)2 + (а0 + aiai)kb0 + > aokbo. (3.8)
По условию эталонная модель асимптотически устойчива, так как
«о > 0, ст.। > 0. Поэтому на основании (3.8) приходим к заключению, что
при любых конечных значениях коэффициентов а0, найдется такое
значение к = к , при котором замкнутая система будет также асимптоти-
чески устойчива. Такой вывод следует из того, что в левой части (3.8)
содержится положительное слагаемое oti(too), а в правой части - тоже
положительное слагаемое, но с первой степенью произведения kb0.
Неравенство (3.8) позволяет вывести более сильное заключение, а
именно: при увеличении к —> к степень устойчивости системы повыша-
ется и при к -> оо она равна степени устойчивости эталонной модели.
Действительно, разделим все члены уравнения (3.6) на kb0 и вычислим
пределы при к -> оо. В результате получим предельное уравнение
а(р)= р2 + а.\р + а0 = 0. (3.9)
58
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
Это означает, что в асимптотике (к -> оо) два корня /\2 = pi,2(k) ха-
рактеристического уравнения замкнутой системы стремятся к соответст-
вующим корням р j 2 характеристического уравнения (3.9) эталонной мо-
дели, т.е.
lim р12(£) = р1*2. (3.10)
К—>оо
Третий корень уравнения (3.6) должен стремиться к (-оо), поскольку
полюс передаточной функции Ки(р, к) удаляется на бесконечность в об-
ласть отрицательных значений согласно (2.42). В этом можно убедиться,
исследуя приближенное (усеченное) характеристическое уравнение. При
больших значениях |р| вместо (3.6) можно рассматривать уравнение
р3 + а}р2 + кЬ$>2 = 0 или р + (aI + kb0) = 0.
Отсюда находим
Рз(к) = -( а} + kb0) -> ( -<ю), если £->оо. (3.11)
Понятно, что предельное равенство (3.11) выполняется при любых
конечных отрицательных и положительных значениях
Асимптотическое распределение корней (3.10), (3.11) характеристи-
ческого уравнения (3.6) замкнутой системы свидетельствует о том, что
при неограниченном увеличении к система остается асимптотически ус-
тойчивой. В силу этого правомерна операция предельного перехода в
(3.4) при к -> оо. В результате находим
К(р, оо) = lim К(р, к) = ——---------. (3.12)
*->«> р2 ч-а^ + ао
Следовательно, в асимптотике передаточная функция управляемой
системы совпадает с передаточной функцией эталонной модели. Поэтому
при к —> оо управляемая система и эталонная модель имеют одинаковую
степень устойчивости.
Проведенный анализ позволяет вывести следующее важное заклю-
чение: так как при к -> оо асимптотическая передаточная функция систе-
мы и передаточная функция эталонной модели идентичны, то управляе-
мый процесс описывается дифференциальным уравнением
х + а|Г + аох = аох1). (3.13)
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
59
Рис. 3.1
Это означает, что динамические характеристики проектируемой
системы при неограниченном повышении уровня усиления в контуре
ускорения, или что то же - в контуре управляющей функций, идентичны
динамическим характеристикам модели независимо от изменения пара-
метров объекта. В этом проявляется важное свойство системы с алгорит-
мами рассматриваемой структуры - свойство параметрической адаптив-
ности.
Представляется методически интересным получить найденный ре-
зультат иным путем. Рассматриваем уравнение замкнутой системы (3.3),
записав его в операторной форме
[DA (О) + kboa(D)]x(t) = kbox°, (3.14)
где операторные выражения
A(D) = D2 + atD + а0, а(О) = Ь2 + a}D + «о, D = (3.15)
at
соответствуют полиномам (3.5). На рис. 3.1 изображена структурная схе-
ма эквивалентной системы, процессы в которой описываются уравнением
(3.14). Действительно, имея в виду, что оператор
в соответствии с обозначениями рис. 3.1 можно записать следующие ра-
венства
х(0 = 8(0, 8(0 = аох° - v(0, v(() = a(D)x(/). (3.16)
DA(D)
Исключая здесь переменные 8(1), v(z), получим уравнение (3.14).
60
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
Рис. 3.2
Рассматриваемая эквива-
лентная схема примечательна
тем, что по ее структуре можно
вывести заключение о динами-
ческих свойствах системы, ос-
новываясь на известном поло-
жении теории автоматического
регулирования. А именно: при
неограниченном увеличении
коэффициента усиления прямой
цепи системы ее динамика пол-
ностью определяется передаточной функцией цепи обратной связи. Для
структуры рис. 3.2 имеем
к(Р, к)=—к-^—=4^
}+кК0(р)Кж(р) х\р)
В асимптотике при к —> оо из (3.17) получим
lim К(р, к) = —-— =
^ос(р) Х°(р)
или в дифференциальной форме
1Кос(РМ0=Л0-
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Следовательно, процесс в системе теоретически не зависит от пере-
даточной функции объекта J¥o(p) и полностью определяется передаточ-
ной функцией lK0C(p). Понятно, что операция предельного перехода в
(3.18) допустима только в том случае, когда система не теряет устойчи-
вости при к —> <ю.
Как было показано, синтезированная система остается устойчивой
при к —> оо. Передаточная функция обратной связи системы (рис. 3.1)
равна 1Уж(р) = а(р). Поэтому предельное асимптотическое уравнение
системы (3.19) принимает вид a(D)x(/) = Oqx0. Это уравнение совпадает с
(3.13), т.е. с уравнением эталонной модели.
Таким образом, в результате анализа установлено, что в асимптоти-
ке (к -* оо) дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.3) или в
операторной форме (3.14), имеющее третий порядок, вырождается в
дифференциальное уравнение (3.13) второго порядка. Это означает, что
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
61
при неограниченном повышении уровня усиления в контуре ускорения (в
контуре управляющей функции) управляемый процесс x(t) -» х° асимпто-
тически приближается к эталонному процессу y(t) —» х°. Отсюда следует,
что система, почти оптимальная по критерию минимума энергии ускоре-
ния, обладает замечательными свойствами: теоретически при бесконечно
высоком уровне усиления ее динамические характеристики полностью
совпадают с динамическими характеристиками эталонной модели и ос-
таются неизменными при изменении параметров управляемого объекта.
Такие свойства могут быть реализованы при достаточных энергетических
ресурсах движителя системы, т.е. при неограниченной величине |w|.
Физический смысл нечувствительности проектируемой системы по
отношению к изменению ее параметров состоит в следующем. Согласно
(2.32) скорость изменения управляющей функции й(/) вычисляется по
отклонению ускорений y(t)-x(t). Теоретически предполагается, что
величина х(?) измеряется. Это означает, что в каждый момент времени
t > 0 известна правая часть равенства
х(1) = feo(w)-aox-a|X = /(х, х, и).
Поэтому любые изменения функции f (...), вызванные изменением
параметров управляемого объекта или действием возмущающих сил, не-
посредственно учитываются при вычислении w(f). Если движители име-
ют достаточные энергетические ресурсы, то система управления в преде-
лах возможных ограничений u(t) парирует отклонения от назначенной
траектории движения, обусловленные нестабильностью параметров объ-
екта или иными факторами.
Теоретически точное совпадение траекторий движения проектируе-
мой и эталонной систем имеет место при бесконечно высоком уровне
усиления в контуре ускорения. Практически необходимая для техниче-
ских приложений степень приближения х(г) —> y(t) достигается при ко-
нечных значениях коэффициента усиления к таких, чтобы длительность
процесса x(r) -> y(t) в контуре ускорения была существенно меньше
длительности процесса y(t) —> у’ в эталонной модели. Рекомендации по
расчету коэффициентов усиления изложены в п. 3.4.
62
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
3.1.2. Структурные свойства системы
Исследуем теперь свойства системы при конечных значениях коэф-
фициента усиления к в контуре ускорения. Найдем установившееся зна-
чение выходной переменной системы при постоянном входном воздейст-
вии х° = const. По теореме о конечном значении оригинала
х(оо) = lim x(z) = lira [рК (р, к)х° (/?)]. (3.20)
(->оо р—>0
Изображение по Лапласу ступенчатой функции x°l(z) равно
го
£{х°1(/)} = —,
Р
поэтому с учетом выражения (3.4) для передаточной функции К(р, к)
замкнутой системы по формуле (3.20) находим
х(оо) = Д0Д)х° = хо.
Следовательно, установившееся значение выходной переменной системы
равно задающему воздействию.
Система обладает астатизмом первого порядка. Действительно, по
формуле
!-£(/>,*)
находим передаточную функцию разомкнутой системы
р[Л(р) + £60(Р + а1)]
Отсюда следует, что в прямой цепи системы содержится один инте-
гратор, не охваченный обратной связью. Такая структура соответствует
системе с первым порядком астатизма.
Заметим, что передаточные функции эталонной модели в замкнутом
и разомкнутом состоянии равны
*м(Р) =
а0
р1 + а,р + а0 ’
^м(Р) =
а»
Р(Р + «1)
(3.22)
Сравнивая (3.21) и (3.22), приходим к заключению, что управляемая
система и эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма. Далее
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
63
будет показано, что такое свойство систем рассматриваемой структуры
сохраняется и в общем случае. По передаточной функции разомкнутой сис-
темы (3.21) находим коэффициент усиления (добротность по скорости):
*ск = [pW{p, . (3.23)
/1(0) + kbQa.x
В случае, когда передаточная функция объекта имеет нулевой по-
люс, из (3.23) получим
кск= —, если А(0) = ао = 0.
«1
В противном случае
кск = —^°а°—, если /1(0) = а0 * 0.
ао + kbQax
По передаточной функции (3.22) находим добротность эталонной
модели к*к =—. Таким образом, справедливо следующее:
—> если/1(0) = 0,
—^°а°—, если /1(0) * 0.
а0 + kboax
(3-24)
Итак, проектируемая система и эталонная модель имеют одинако-
вый порядок астатизма. Это означает, что в диапазоне низких частот
асимптоты логарифмических характеристик
ZM(co) = 2Olg|^M(/co)|, Z(co, Л) = 2Olg|lK(/co,^)| (3.25)
имеют одинаковый наклон. Для конкретной рассматриваемой структуры
наклон асимптот равен - 20 дБ/дек. Если при этом коэффициенты усиле-
ния системы и модели равны (^K = Л“к), то асимптоты характеристик
(3.25) выходят из одной точки при со = 0 и в диапазоне низких частот
совпадают (рис. 3.3). Характеристики могут заметно отличаться в облас-
ти средних частот. Однако оказывается, что даже при умеренном усиле-
нии в контуре управляющей функции это отличие становится незначи-
тельным, что обеспечивает идентичность динамических характеристик
проектируемой системы и эталонной модели.
64
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
Совсем иная ситуация имеет место в случае, когда проектируемая и
эталонная модель имеют не одинаковую добротность (Лск * ). В зави-
симости от знака и величины а0 характеристики (3.25) могут существенно
различаться в диапазоне низких и средних частот (рис. 3.4). В таком слу-
чае идентичность динамических характеристик проектируемой системы
и эталонной модели достигается при сравнительно больших значениях
коэффициента усиления в контуре управляющей функции.
Отметим, что развиваемые методы синтеза алгоритмов управления
позволяют находить такие структуры алгоритмов, при которых доброт-
ность проектируемых систем равна добротности моделей эталонных про-
цессов. Эти вопросы рассматриваются в последующих разделах.
3.2. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ С АЛГОРИТМАМИ УПРАВЛЕНИЯ,
СИНТЕЗИРОВАННЫМИ ПО ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
В п. 3.2. показано, что высокая степень приближения управляемого
процесса к эталонному достигается при умеренном усилении в контуре
ускорения в том случае, когда коэффициент усиления к№ проектируемой
системы в разомкнутом состоянии равен коэффициенту усиления эталон-
ной модели = — или мало отличается от него. Условие Аск = к*К
ai
всегда можно реализовать, если алгоритм управления синтезировать по
эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу выше порядка
модели управляемого объекта.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
65
По-прежнему рассматриваем объект, движение которого описывает-
ся уравнением второго порядка (2.18). Эталонную модель принимаем в
виде
y + Y2y + Yiy + Yoy = YoX° (3.26)
Коэффициенты уравнения (3.26) удовлетворяют условию У]У2 > Уо
асимптотической устойчивости стационарного состояния равновесия и
такие, что динамика эталонной модели соответствует требованиям к ди-
намике проектируемой системы. Алгоритм синтезируем таким образом,
чтобы процесс x(f) —> х° в проектируемой системе с заданной степенью
точности приближался к эталонному процессу у(0 ->х°.
Следуем общей схеме построения алгоритма управления по методи-
ке п. 2.4.2. Минимизируем функционал (2.23) на решениях уравнений
(2.18), (3.26). Применяем градиентный метод поиска экстремума-
минимума <7(«). С учетом (2.30) - (2.32) находим уравнения алгоритма
й = к(у-х), у = у0 J(x°-х)Л-у]Х-у2х. (3.27)
о
Расчетное соотношение для вычисления требуемого значения уско-
рения у получено из уравнения (3.26) в результате интегрирования обе-
их частей и последующей подстановки y^{t) = xw(/), s = 0,1. Повторное
интегрирование левых и правых частей при нулевых начальных значени-
ях переменных приводит к уравнениям
I I
и = к(у-х), у= J(yo/o -у]х)Л-у2х, /0 = J(x° -x)dt. (3.28)
о о
Отметим, что контур управляющей функции и описывается уравне-
ниями (2.37), (2.38). Для коэффициента усиления к должно выполняться
правило знаков (2.41). При неограниченном повышении уровня усиления
(к —» оо) контур не теряет устойчивости. Его асимптотическая передаточ-
ная функция определяется равенством (2.43), как и в предыдущей задаче.
Наконец, быстродействие контура управляющей функции зависит от ве-
личины произведения kbo, т.е. определяется не только уровнем усиления,
но и эффективностью управления (величиной 60).
Исследуем свойства замкнутой системы с алгоритмом (3.28). Урав-
нения управляемого процесса запишем в операторной форме. Справедли-
вы соотношения
3 - 9516
66
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
/о = 1 (х° _ х), = J_(xo _ х),
>’ = -^-х<,--^г(у0+у1О + у2О2)х(/).
Подставляя выражение для у в первое равенство (3.28), найдем
и = к^гх°-Лг у(£>)х(О, (3.29)
D2 D
где операторное выражение
2
у(О) = О3+£уХ (3.30)
.5=0
соответствует левой части (3.26). Согласно принятым обозначениям, опе-
раторное уравнение объекта имеет вид
H(DM0 = M0- (3.31)
Исключая м(0 в (3.29) и (3.31), найдем уравнение замкнутой системы
[^(О) + Л*оу/?)] х(/) = kboyox°. (3.32)
Порядок уравнения (3.32) равен четырем в отличие от уравнения
(3.3), порядок которого равен трем.
Покажем, что при неограниченном увеличении к замкнутая система
не теряет устойчивости. С этой целью рассмотрим эквивалентную струк-
турную схему, которая изображена на рис. 3.5. Передаточная функция
разомкнутой цепи
JV{p,k) = kb0^- = ^-. (3.33)
рЛ(р) 5(/>)
Система будет устойчивой, если годограф частотной характеристики
W(i®, к) = kbQ ——,
(гео)2 А(ко)
соответствующей (3.33), не охватывает точку с координатами (-1; 0) при
изменении частоты со от 0 до оо. По условию эталонная модель (3.26) ус-
тойчива. Поэтому полюсы ее передаточной функции
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
67
Рис. 3.5
_ Уо _
У(Р)
*м(Р)
(3.34)
Уо
2
Р3+Ху.,/
А = 0
расположены в левой полуплоскости. Следовательно, при изменении
частоты со от 0 до оо приращение аргумента вектора у(/со) будет равно
7t 3
Д argy(Ko) = и—= — тг. (3.35)
0<(0<оо 2 2
Далее, степень полинома числителя (3.33) на единицу меньше сте-
пени полинома знаменателя. Поэтому с учетом (3.35) приходим к заклю-
чению, что при любом распределении полюсов передаточной функции
управляемого объекта, т.е. корней уравнения А(р) = 0, справедливо пре-
дельное равенство
lim arg^Oco, к) = lim argy(Ko)- lim arghco2)H(/co)l= . (3.36)
<O->oo <0—>00 <0—>00 2
Равенство (3.36) означает, что годограф W(ia,k) подходит к началу
л
координат в третьем квадранте под углом . Если при изменении час-
тоты от 0 до оо годограф не пересекает действительную отрицательную
полуось, то в соответствии с критерием Найквиста при любом значении
к > 0 замкнутая система будет устойчива. В том случае, когда годограф
пересекает действительную полуось, то согласно (3.36) число пересече-
ний будет четным. Проанализируем эту ситуацию. Обозначим через со
наибольшее значение частоты, при котором И'(го), к) пересекает полуось
(-оо; 0). В этом случае годограф проходит непременно из второго квад-
ранта в третий (сверху вниз), как показано пунктирной линией на
рис. 3.6. Так как амплитудная характеристика
3’
68
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
W(ia,k)
kb0
(3.37)
У(ко )
(to* )2 A(ie>*)
то положение точки пересечения на полуоси (-оо; 0) при со = со* определя-
ется величиной к. Обозначим через к то значение коэффициента усиле-
ния к, при котором годограф проходит через точку (-1; 0). В этом случае
система находится на границе устойчивости. Понятно, что при всех
к > к, в том числе и при к -> оо, годограф не будет охватывать точку
(-1; 0). Следовательно, система остается устойчивой при неограниченном
повышении уровня усиления в контуре ускорения, или что то же самое -
в контуре управляющей функции.
Отметим, что согласно (3.37) критическое значение коэффициента
усиления определяется по соотношению
_ 1 (to )2A(ia) )
b0 У (to*)
Передаточная функция замкнутой системы равна
К{рМ, --------------= *£>-.
р2Д(р) + &>0у(р) х (р)
(3.38)
(3.39)
Аналогично тому, как это сделано в п. 3.1, можно показать, что при
к —> оо корни характеристического уравнения
р2Л(р) + £6оу(р) = О,
соответствующего (3.32), распределяются следующим образом: три кор-
ня Pi,2.3(A:) стремятся к корням р*2 3 уравнения у(р) = 0; один корень р4(£)
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
69
удаляется на бесконечность в левой полуплоскости. Поэтому асимптоти-
ческая передаточная функция
К(р, ») = lim К(р, к) =
к->«> у(р)
равна передаточной функции (3.34) эталонной модели. Следовательно, в
асимптотике переходный процесс в системе теоретически точно совпада-
ет с эталонным переходным процессом.
Продолжим анализ системы с алгоритмом, синтезированным по мо-
дели третьего порядка. Из (3.39) находим передаточную функцию систе-
мы в разомкнутом состоянии
W(p,k) =---------------------------• (3.40)
р(рД(р) + &>0(Р + Y2P + Y1))
Передаточная функция эталонной модели в разомкнутом состоянии равна
^м(р) =-------------
Р(Р +Y2P + Y1)
(3.41)
Сравнивая (3.40) и (3.41), заключаем, что управляемая система и эталон-
ная модель имеют одинаковый порядок астатизма, равный единице. Кро-
ме того, их коэффициенты усиления по постоянной составляющей, ха-
рактеризующие добротность по скорости, равны между собой
к = км =
лск лск
Y1
Как уже было отмечено, структурные свойства исследуемых систем
имеют практически важное следствие: высокая степень приближения
управляемого процесса к эталонному достигается при невысоком уровне
усиления в контуре ускорения. Действительно, так как управляемая
система и эталонная модель имеют один и тот же порядок астатизма
и равные коэффициенты усиления, то их амплитудные частотные харак-
теристики в области низких частот совпадают (рис. 3.3). Чтобы харак-
теристика 201g | Wfj®, к) | незначительно отличалась от характеристики
201g | JVu(i(o) I эталонной модели в окрестности частоты среза со*, величи-
ну коэффициента усиления достаточно принять такой, чтобы быстродей-
ствие контура ускорения (управляющей функции) было существенно
выше быстродействия эталонной модели.
70
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
3.3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
В заключение этого раздела сформулируем основные результаты и
рекомендации, которые установлены теоретически при исследовании
динамики систем рассматриваемого класса.
1. Оптимизация управляемых систем по критерию минимума энер-
гии ускорения, вычисляемой в окрестности фазовых траекторий эталон-
ных моделей, приводит к алгоритмам управления нетрадиционной струк-
туры. Системы с такими алгоритмами обладают замечательными свойст-
вами сохранять стабильными динамические характеристики при измене-
нии параметров управляемых объектов в широких пределах.
2. Построение алгоритмов управления (синтез структуры алгорит-
мов) выполняется в такой последовательности:
а) формируется эталонная модель, динамические характеристики
которой соответствуют требованиям технического задания на проектиро-
вание автоматической системы (порядок эталонной модели должен быть
не ниже порядка модели управляемого объекта);
б) для заданной структуры модели управляемого объекта и принятой
структуры эталонной модели выписываются закон управления, в соот-
ветствии с которым вычисляется управляющая функция и расчетные со-
отношения для вычисления требуемых значений выходной переменной
системы или скорости ее изменения.
Указанные две процедуры составляют основу методики синтеза ал-
горитмов управления для динамических систем произвольного (конечно-
го) порядка.
3. Применительно к задаче стабилизации стационарного состояния
(заданного положения х° = const) для объекта второго порядка, переда-
точная функция которого имеет нулевой полюс (р = 0), т.е.
^о(р) = -Д Т = (3-42)
p(p + ^i) и(р)
передаточная функция эталонной модели в замкнутом состоянии может
быть принята в виде
Ки (Р) =----(3-43)
р + сцр + схд х°(р)
В таком случае структура алгоритма управления определяется урав-
нениями
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
71
и = к(у-х), y = aoj(x° -x')dt-alx, (3.44)
о
которые соответствуют закону управления (2.33) и соотношению (2.34).
Замкнутая система (3.42), (3.44) имеет такую же добротность по
скорости, как и эталонная модель (3.43), т.е.
4. В случае, когда передаточная функция управляемого объекта не
имеет нулевого полюса (р * 0), т.е.
(р) = 1—----, «о * 0, (3-45)
р +а{р + а0 и(Р)
эталонная модель может быть задана передаточной функцией третьего
порядка
r , „ч__________Yo_________ . Хр)
Ки (Р) з 2 о / \
Р +у2р + Y1P + Y0 * (р)
Задача стабилизации стационарного состояния х° = const решается в
данном случае с помощью алгоритма, структура которого определяется
уравнениями:
и = к(у-х), у= ^(yofo-ylx)dt-y2x, fQ = J(x° -x)dt. (3.46)
о о
Алгоритм управления (3.46) реализует в замкнутой системе (3.45),
(3.46) такую же добротность по скорости, как и у эталонной модели, т.е.
I _ Yo _ lm
лск лск•
Y1
Это обусловлено тем, что алгоритм (3.46) синтезирован по модели,
порядок которой на единицу выше по сравнению с моделью (3.43). В том
случае, когда для управления положением объекта с передаточной функ-
цией (3.45) применяется алгоритм (3.44), добротность по скорости будет
72
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
__^Оо_
ЛСК , 7 L л, *СК
а0 + Л/^aj
(3.47)
5. Уравнения алгоритма управления содержат один расчетный пара-
метр к, характеризующий уровень усиления в контуре управляющей
функции.
Замкнутые системы с алгоритмами управления (3.44) и (3.46) допус-
кают неограниченное повышение усиления при сохранении устойчиво-
сти. В асимптотике (к —> <») динамические характеристики систем и эта-
лонных моделей идентичны независимо от изменения параметров управ-
ляемых объектов в широких пределах. В этом проявляются свойства ес-
тественной адаптивности систем, оптимизируемых по критерию мини-
мума энергии ускорения.
6. При любых конечных значениях коэффициента усиления в конту-
ре управляющей функции проектируемая система и эталонная модель
имеют одинаковый порядок астатизма.
7. Необходимая для технических приложений степень приближения
динамических характеристик управляемой системы и эталонной модели
достигается при конечных значениях коэффициента усиления. При этом
требуется умеренный уровень усиления в том случае, когда эталонная
модель и проектируемая система имеют одинаковую добротность.
Сформулированные результаты установлены при исследовании сис-
тем управления движением объекта второго порядка. Однако они оста-
ются справедливым и в общем случае.
3.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Рассматриваем управляемый объект с передаточной функцией
(з-48>
р + ахр + aQ и(р)
а0 = 4, а, = 2, Ьо = 5.
Синтезируем алгоритм управления, который обеспечивает перевод
объекта из произвольного начального состояния х(0), х(0) в стационар-
ное состояние х(оо) = х° = const, х(°о) = 0. Замкнутая система должна
иметь астатизм первого порядка, а динамические характеристики - прак-
тически идентичные динамическим характеристиками эталонной модели:
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
73
У + 2С-у + 4-У = 4х°- (3-49)
т. т. т;
В обозначениях (2.21) коэффициенты модели равны
a0=-L, а, =2;.—. (3.50)
т. т.
Для исследования принимаем конкретные значения: т. = 0,2 с,
з/2
С* = —• В этом случае по (3.50) находим а0 = 25, си = 7,07.
В табл. 3.1. приведены числовые значения параметров, характери-
зующих динамику модели (3.49) в зависимости от значения коэффициен-
та затухания собственных колебаний ^». Здесь г) = - показа-
тель колебательности (£. < 1), т. - постоянная времени, a t„ = —— отно-
т.
сительная длительность переходного процесса, определяемая по уровню
з/2
0,95. Для принятых значений С,. =-у = 0,707 и т. = 0,2 с длительность
переходного процесса в эталонной модели t„ = 7пт. = 0,6 с, а перерегу-
лирование ст » 4,7 %.
3.1. Параметры, характеризующие динамику модели (3.49)
П ст, % 'п='пЛ
1,0 0 0 5,0
0,707 1,0 4,7 3,0
0,6 1,30 9,5 5,2
0,5 1,73 18 6,0
0,4 2,30 25 7,5
0,3 3,20 37 10,0
0,25 3,87 42 12,0
0,2 4,90 53 14,0
74
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
Рис. 3.7
В рассматриваемом случае алгоритм управления строится по урав-
нениям (2.33), (2.34). Запишем их для конкретных числовых значений
коэффициентов:
w = к(у - х), у = 25 j(x° -x)dt-1,01 х.
о
(3.51)
Структурная схема моделирования системы с алгоритмом (3.51)
изображена на рис. 3.7.
Уравнения алгоритма управления имеют один расчетный параметр -
коэффициент усиления к. Величина к рассчитывается из условия, чтобы
быстродействие контура управляющей функции и было существенно
выше быстродействия эталонной модели. Быстродействие будем харак-
теризовать постоянными времени. Обозначим через т„ постоянную вре-
мени контура управляющей функции. Выражение для т„ получим, рас-
сматривая передаточную функцию Ки(р, к) контура и. В соответствии с
(2.40) имеем
кЬа _ 1
Ки(р,к) =
Р + кЬ0 хир + \'
ти= (вос-
принимаем
т» _ т«
тц (кЬ0)
Отсюда находим расчетное соотношение для коэффициента усиления
с
с »1.
к =
(3.52)
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
75
Пусть с = 5, тогда, подставляя в (3.52) значения Ьо = 5, т» = 0,2 с, по-
лучим к = 5. Найденное значение к необходимо уточнить по результатам
исследования динамики системы с учетом возможных диапазонов изме-
нения параметров управляемого объекта.
Передаточная функция замкнутой системы с алгоритмом управле-
ния (3.51) равна
р(р2 + 2р + 4) + 5к(р2 +1,01 р + 25)
5Лх25
(3.53)
Она получается из (3.4) для конкретных значений параметров рас-
сматриваемого объекта. В п. 3.1 показано, что при неограниченном по-
вышении уровня усиления (к -» оо) два полюса К(р, к) асимптотически
приближаются к полюсам передаточной функции эталонной модели, а
третий полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных зна-
чений. Это положение иллюстрируется числовыми значениями табл. 3.2,
которые характеризуют распределение полюсов в зависимости от вели-
чины к. Для расчетного значения к = 5 постоянная времени контура
управляющей функции т„ = (kb0)= 0,04 с, а в случае к = 10 величина
т„ = 0,02 с. При этом полюс рз = —44,6. Составляющая переходного про-
цесса ехр(—44,6/) затухает по истечении времени порядка 0,07 с и не ока-
зывает существенного влияния на характер процесса в целом. Другие два
полюса pit2 мало отличаются от соответствующих полюсов передаточной
функции модели.
3.2. Распределение полюсов передаточной функции
замкнутой системы
к Р1,2(*) Рз(*)
1,0 -1,27 ±гё5,14 -4,46
1,5 -2,06 ± гё5,53 -5,80
2,0 -2,78 ± ix5,58 -6,43
3,0 -3,70 ± ix5,04 -9,60
4,0 -3,87 ± ix4,48 -14,26
5,0 -3,84 ± ix4,20 -19,32
7,0 -3,76 ± ix3,94 -29,28
10 -3,69 ± ix3,79 -44,6
Модель -3,54 ±ix3,54 -
76
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
W(p, к) =---------------------------. (3.54)
р(р2 + 2р + 4 + 5к(р2 + 7,07 р))
Это выражение соответствует (3.21) для конкретных значений пара-
метров. Исследуемая система обладает астатизмом первого порядка. Ко-
эффициент усиления по постоянной составляющей (добротность по ско-
рости) равен
х 75
(355>
В соответствии с (3.49) и (3.50) передаточные функции эталонной
модели в замкнутом и разомкнутом состоянии равны:
25 25
= , ^м(Р) =-----—-----• (3.56)
р2 + 7,07р + 25 р(р + 7,0Т)
Отсюда находим коэффициент усиления
25
*ск=[Р»,м(Р)]р=о=у^»3)54.
В случае к = 5 из (3.55) получаем кСК * 3,46.
Отметим, что в рассматриваемом модельном примере решается за-
дача перевода объекта из первоначального состояния в окрестность на-
значенного стационарного состояния. При этом не ставится задача высо-
коточного слежения за входным задающим сигналом, изменяющимся во
времени. Поэтому эталонная модель и, соответственно, система имеют
весьма невысокую добротность по скорости. Синтез алгоритмов управ-
ления, реализующих высокую динамическую точность, выполняется по
эталонным моделям, которые обладают высокой добротностью по скоро-
сти и ускорению.
Таким образом, в рассмотренной задаче коэффициенты усиления
системы и эталонной модели практически равны: кск » £смк. Это обуслов-
лено тем, что для принятых значений параметров (3.48) значение
-^- = 0,16«а,.
кЬ0
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
77
Поэтому из второго равенства (3.24) получим
, _ kbQa.Q ~ ар _ , м
ЛСК , , ~ ЛСК •
а0 + кЬоа{ СЦ
В диапазоне малых частот логарифмические частотные характери-
стики L(<o, к) и Лм(со), соответствующие к) и ^„(/со), имеют одина-
ковый наклон - 20 дБ/дек. Далее, так как для коэффициентов усиления
системы и модели выполняется приближенное равенство ЛСК®АСМК, то
при малых частотах амплитудные характеристики практически совпада-
ют. Это положение иллюстрируется графиками амплитудных логариф-
мических характеристик на рис. 3.8, которые рассчитаны для к = 1; 5.
В точке со = 1 рад • с”1 для расчетного значения к = 5 имеем:
£(1; Л)*=5 =201g3,46 = 10,78 дБ, LM(1) = 201g3,54= 10,98 дБ.
Заметные отклонения характеристик начинают проявляться при час-
тотах, превышающих частоту среза со* ® 2 рад • с-1.
Характеристика Z,(co, к) системы с коэффициентом усиления к = 5
практически совпадает с Лм(со) в диапазоне частот со = (0 ... 20) рад • с'1.
Поэтому в данном случае переходные процессы в системе и модели бу-
дут мало отличаться.
Рис. 3.8
78
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
На рис. 3.9 изображены графики переходных процессов при различ-
ных значениях коэффициента b0 = 1; 2; 5 и к = 10. Можно видеть, что при
пятикратном уменьшении величины Ьо = (5 ... 1) динамические характе-
ристики системы изменяются незначительно. Это подтверждает теорети-
ческий вывод о том, что алгоритмы управления, синтезированные по
критерию минимума энергии ускорения, придают системам свойства
слабой параметрической чувствительности.
Лекция 4
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ
ОБЪЕКТА, ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
КОТОРОГО ИМЕЕТ НУЛЬ
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления объек-
том, уравнение движения которого содержит производную управляющей
функции. В качестве управляющих параметров принимаются непосред-
ственно управляющая функция и скорость ее изменения. Соответственно
этому синтезированы два алгоритма управления. Для аппаратной реали-
зации одного из них требуется информация о положении и скорости, а
для реализации второго - только о положении. Путем исследования рас-
пределения полюсов передаточных функций замкнутых систем изучают-
ся их асимптотические и структурные свойства. Приведены результаты
моделирования динамики модельной системы.
4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматриваем задачу синтеза алгоритмов управления объектами,
движение которых описывается уравнением вида
х + ахх + аох = 1\й + Ьйи (4.1)
или в операторной форме
Я(П>(0=адМ(0, (4.2)
где B(D) = b\D + bQ. Другие обозначения соответствуют ранее введенным.
Принимаем, что нуль передаточной функции объекта
^О(Р)= 2Ь}Р + Ь° = (4-3)
р+ахр + ай и(р)
расположен в левой полуплоскости комплексной переменной р, т.е.
р = -Ь0Ь^ < 0 . Полюсы Ио(р) могут быть расположены как в левой, так
и в правой полуплоскости.
Синтезируем такой алгоритм управления, при котором управляемый
объект из произвольного начального состояния х(0), х(0) переходит в
окрестность стационарного состояния х = const, х = 0 и продолжает
80
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
оставаться в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом,
чтобы фазовая траектория управляемой системы с требуемой степенью
приближения следовала за фазовой траекторией эталонной модели, дви-
жение которой описывается уравнением
y + aIj + aoy = aox° (4.4)
при соответствующих начальных условиях.
По физическому смыслу сформулированной задачи функциональное
назначение искомого алгоритма управления состоит в стабилизации за-
данного положения х = х° = const управляемого объекта. В том случае,
когда в силу каких-либо причин в системе появится рассогласование
Ах = х° - х, то алгоритм управления должен обеспечить возвращение объ-
екта в назначенное положение (Ах(г) -> 0). При этом процесс х(г) -> х° с
необходимой степенью приближения должен следовать за процессом
Х0 —> х° в эталонной модели.
4.2. СТРУКТУРЫ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ,
СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Степень приближения процессов в системе и модели (фазовых тра-
екторий) характеризуем величиной функционала
G(u, u) = ^[y(t)-x(t, и, й)]2. (4.5)
Из условия абсолютного минимума функционала
х(г, и, й) - y(f), t>0 (4.6)
следует алгоритм управления компенсационного типа
6jU +bou =z, z = y + a}x + aox, у = а0(х°-x)-alx. (4.7)
Соотношение для вычисления у получается из уравнения (4.4) эта-
лонной модели, где выполняется замена y[t) = x(f), y(t) = x{t), t > 0 .
Система с алгоритмом (4.7) теоретически точно повторяет фазовую тра-
екторию эталонной модели. Практически, однако, идеальная управляю-
щая функция и* нереализуема, поскольку параметры управляемого объ-
екта известны, как правило, приближенно. Поэтому алгоритмы типа (4.7)
могут находить ограниченное применение.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
81
Структуру алгоритма управления синтезируем из условия, чтобы
значение функционала (4.5) в каждый момент времени принадлежало
малой окрестности экстремума-минимума. В этом случае равенство (4.6)
выполняется приближенно. Будем рассматривать два варианта решения
задачи синтеза алгоритмов управления, предполагая, что в одном случае
в системе измеряется только выходная переменная х, а в другом - х и х.
4.2.1. Управляющая функция вычисляется только
по информации о положении
Принимаем следующий дифференциальный закон управления
du(f) dG(u, й)
—— = А. ———-, X = const. (4.8)
di дй
Так как ускорение
x(t, и, и) = Ь\й + Ьйи-айх-а\Х,. (4.9)
то градиент функционала по переменной й равен
dG(u, и)
—7-^- = -Му~х)- (41°)
ди
После подстановки (4.10) в (4.8) находим
= к(у-'х), k = —)d>i. (4.11)
dr
Закон управления (4.11) и соотношение для вычисления у из (4.7)
составляет содержание алгоритма управления. Структурная схема замк-
нутой системы с этим алгоритмом изображена на рис. 4.1. Непосредст-
венная реализация дифференциального закона управления (4.11) связана
с необходимостью измерения ускорения х выходной переменной управ-
ляемой системы. Вследствие этого в структуре системы содержится
внутренний (следящий) контур ускорения. Задающим сигналом этого
контура является величина у , которая формируется эталонной моделью.
Для аппаратной реализации алгоритма управления его уравнения следует
представить в иной форме. С этой целью проинтегрируем дважды по
времени обе части (4.11) и обе части выражения для у в (4.7). Принимая
начальные значения переменных нулевыми, получим
82
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
Рис. 4.1
t t
и = к(у-х), у = j(a0/0-atx)dt, f0 = j(x°-x)t*. (4.12)
о о
Для вычисления управляющей функции по уравнениям (4.12) доста-
точно информации только о выходной переменной х.
Сравнивая алгоритм управления (4.12) с алгоритмом (2.34), прихо-
дим к заключению, что наличие нуля у передаточной функции управляе-
мого объекта приводит к уменьшению объема измеряемой информации,
необходимой для вычисления управляющей функции. Формально мате-
матически это обусловлено тем, что модель объекта с передаточной
функцией вида (4.3) обладает дифференцирующим свойством, так как в
ее структуре содержится форсирующее звено с передаточной функцией
(bip + bo).
Схема замкнутой системы с алгоритмом управления (4.12) изобра-
жена на рис. 4.2. Исследуем динамику процесса минимизации функцио-
нала (4.5) и свойства системы в целом. Закон изменения управляющей
функции u(t) определяется уравнениями (4.9), (4.11). Исключая из этих
уравнений х, получим
u + k^u + bgu) = kz. (4.13)
Рис. 4.2
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
83
Рис. 4.3
На рис. 4.3 изображена структурная схема, соответствующая (4.13).
Согласно принятой терминологии, эту структуру называем контуром
управляющей функции и. Передаточная функция контура равна
p2+k(blP + b0) z(p)
Для устойчивости процесса минимизации функционала необходимо
(но недостаточно), чтобы контур управляющей функции был асимптоти-
чески устойчив. По условию нуль передаточной функции (4.3) управляе-
мого объекта р = ~Ь0Ь^ <0. Следовательно, для коэффициентов 60,
справедливо sign(60)= sign(Z>i). Полюсы Ки(р, к) будут расположены слева
от мнимой оси Re р = 0, если kb0 >0. Поэтому чтобы контур и был асим-
птотически устойчив, должно выполняться правило знаков
sign(A) = sign(60) = sign(6|). (4.15)
Далее принимаем b0 > 0, > 0.
Контур управляющей функции допускает неограниченное повыше-
ние уровня усиления без потери устойчивости. Действительно, рассмот-
рим передаточную функцию
р о(р)
которая соответствует разомкнутому контуру (рис. 4.3). Для аргумента
вектора Wu (ia>, к) справедливо равенство
arg Wu (i(o, к) = arg(6] i<o + b0) - arg(«o)2.
В зависимости от числовых значений b} предельное значение аргу-
мента равно
84
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
lim arglPu (ко, к) = - 2’
-л, если by = 0.
На этом основании приходим к заключению, что при и -> <х> годо-
граф вектора Wu (/со, к) полностью расположен в третьем квадранте и не
охватывает точку (-1; 0) ни при каком значении к > 0. Следовательно,
согласно критерию Гурвица, замкнутый контур устойчив при любом
к > 0, в том числе и в случае к -> оо. Поскольку по условию by 0, то
. л
годограф подходит к началу координат под углом , как это показано
на рис. 4.4.
Чтобы установить асимптотическое расположение полюсов переда-
точной функции (4.14) на комплексной плоскости, разделим на к все члены
характеристического уравнения
р2 + к(Ьур + Ьо) = 0,
(4-16)
соответствующего (4.13), и вычислим пределы при к -> <». В результате
получим предельное уравнение byp + Ьо = 0. Отсюда следует, что один
полюс Р\{к)к=х =-bob^'. Так как контур сохраняет устойчивость при
к -> оо, то второй полюс р2(£) передаточной функции Ки(р, к) в асим-
птотике удаляется на бесконечность в область отрицательных значений.
Расположение полюса р2(°°) можно установить иным путем, рас-
сматривая приближенное характеристическое уравнение при больших
значениях |р| по методике А.А. Воронова - Я.З. Цыпкина. Выполним
следующие преобразования уравнения (4.16):
= 0. (4.17)
Im Wu
Во втором уравнении (4.17)
сократим множитель (Ьр + Ьо).
В результате получим
1—£--------+ 1 = 0. (4.18)
к byp + b0
Рис. 4.4
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
85
Вместо (4.18) будем рассматривать приближенное уравнение, при-
няв p\b\p + Ьп)® —. В таком случае можно записать
Ь\
—— + 1» 0 => p + kbi ® 0. (4-19)
к Ь\
Отсюда находим р2(Л) = _^1 ->(-°°), если А->оо.
Итак, показано, что контур управляющей функции остается асим-
птотически устойчивым при бесконечно высоком уровне усиления.
В асимптотике (к -> оо) полюсы р\ 2(&) его передаточной функции Ки(р,
к) распределяются следующим образом:
Пт р\(к) = -bob^', Нт р2(к) -> (-оо). (4.20)
Заметим, что полюс р,(оо) совпадает с нулем передаточной функ-
ции Ио(р) управляемого объекта (4.3), т.е. pt(оо) = р.
Так как контур управляющей функции асимптотически устойчив
при любом к > 0, то в (4.14) допустимо выполнить предельный переход
при к -> оо. Разделив числитель и знаменатель Ки(р, к) на к и вычислив
предел при к -> оо, получим
YmKu(p, *) = —Ц-= Ж (4.21)
О]Р + О0 z(p)
Представляет интерес анализ контура ускорения х. Рассмотрим струк-
турную схему рис. 4.5, где выделен контур х. Функция \g(x, х) = аох + Я|Х.
Передаточная функция контура
Рис. 4.5
86
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
К(2}(р,к) =
k(blP + b0) _'х(р)
p2+k(blp + b0) У(р)
(4.22)
Сравнивая (4.14) и (4.22) замечаем, что обе передаточные функции
имеют одинаковые знаменатели. Поэтому из (4.22) можно вывести пра-
вило знаков (4.15), а также заключение о том, что в асимптотике (к -> оо)
распределение полюсов К^/р, к) в точности соответствует (4.20). Для пере-
даточной функции (4.22) справедливо предельное равенство К$/р, к) = 1,
если к -> оо. Следовательно, в этом случае x(t) = y(t), поэтому теорети-
чески реализуется абсолютный минимум функционала G(u*) = 0. Это
означает, что процессы в системе и эталонной модели совпадают.
На основании выполненного анализа свойств контура ускорения х
можно определить асимптотическую структуру управляемой системы.
Действительно, так как при к -> оо один полюс К^р, к) удаляется на бес-
конечность в область отрицательных значений, то процессы х(г) -> х°,
y(t) -> у° могут быть идентичными только в том случае, когда асимптоти-
ческая структура системы и структура эталонной модели идентичны.
Исследуем теперь динамику системы в целом. Выведем уравнение
управляемого процесса с алгоритмом управления (4.12). Запишем соот-
ношения (4.12) в операторной форме:
и = к(у - х), у = ^-/о -^-х, /0 = -^(х° - х), (4.23)
где a(D) соответствует левой части уравнения эталонной модели (4.4) и
определяется по (3.5). Подстановка и из (4.23) в (4.2) приводит к уравне-
нию замкнутой системы
[^(D) + kB(D)a(D)]x(t) = kooB(D)x0. (4.24)
В соответствии с (4.24) передаточная функция
К(р,к)=—.-----^(£)---------= -^. (4.25)
р2 А(р) + кВ(р)а(р) х°(р)
Найдем распределение полюсов передаточной функции К(р, к) при
неограниченном повышении уровня усиления (к -> «>). Рассматриваем
характеристическое уравнение
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
87
р2Л(р) + кВ(р)а.(р) = 0 (4.26)
или в другом виде
у р2Л(р) + Д(р)а(р) = О (4.27)
к
Для конечных значений р величина | р2А(р) | < оо, поэтому в случае
к -> оо из (4.27) получаем предельное уравнение
В(р)а(р) = 0. (4.28)
Отсюда следует, что в асимптотике два полюса pi^k)^ передаточ-
ной функции (4.25) равны соответствующим полюсам передаточной
функции эталонной модели, т.е. корням уравнения а(р) = 0. Третий по-
люс определяется из уравнения В(р) = Ьр + Ьо = 0. Он оказывается рав-
ным нулю передаточной функции Ио(?) управляемого объекта (4.3), т.е.
Рз (*)*=«. =-W'-
Чтобы установить расположение четвертого полюса передаточной
функции К(р, к) при к —> оо, вместо (4.26) будем рассматривать прибли-
женное уравнение. Аналогично (4.17) уравнение (4.27) запишем в виде
Я(р)«(р)
1 р24р) 11
к В(р)а(р)
= 0
или после сокращения
1 1^(р)+1 = 0
к В(р)а(р)
(4-29)
При достаточно больших значениях | р | можно принять
р2Я(р) = р2(р2 + alP + a0)~ р\
В( р)а(р) = (6] р+Ьо ){р2 + а, р + “о)» by р3.
С учетом этих приближенных равенств вместо (4.29) имеем
88
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
—— +1 и 0 p + kb] ® 0.
к Ь\
(4.30)
Из (4.30) находим четвертый полюс рц(к) = -кЬ\ -> (-оо), если к -> оо.
Таким образом, установлено асимптотическое распределение полю-
сов в передаточной функции (4.30) замкнутой системы:
lim рх 2 (А) = р'Х1, lim р3 (к) = -bob^,
£->оо ’ К—>00
lim рА (к) = (- оо). (4.31)
К—>00
Следовательно, замкнутая система с алгоритмом управления (4.12)
не теряет устойчивости при неограниченном повышении уровня усиле-
ния в контуре управляющей функции.
Полюсы рз^(к), определяемые по (4.31), равны соответствующим
полюсам рХ'2(к) передаточной функции Ки(р, к). Эти пары полюсов пред-
ставляют собой решения одинаковых уравнений (4.19), (4.30) и В(р) = О,
полученных различными путями. Так как рА{к.) = р2(к) —> (-оо) при А—>оо,
то передаточная функция К(р, к) должна асимптотически стремиться к
передаточной функции эталонной модели К„(р). Действительно, по-
скольку замкнутая система устойчива при бесконечно высоком уровне
усиления, то в (4.25) допустимо выполнять предельный переход при
А -> оо. Разделив числитель и знаменатель К(р, к) тки вычислив преде-
лы при к —> оо, аналогично (3.12) получим
lim К(р, к) = = Кн (р). (4.32)
£—>00 а(р)
Таким образом, асимптотическая передаточная функция системы
равна передаточной функции эталонной модели.
Полученный результат согласуется с тем, что асимптотическая пе-
редаточная функция Ки(р, оо) = Ки(р, к)^ определяется по формуле (4.21).
В этом случае с учетом (4.2) имеем
= х(/) = w(/).
B(D) A(D)
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
89
Исключая здесь переменную
м(Ц, находим уравнения последо-
вательного соединения (рис. 4.6):
A(D)x(t) - z(t). (4.33)
1 В (В) и В (В) А (Л)
Рис. 4.6
Постановка выражения для z(t) из (4.7) в (4.33) приводит к уравне-
нию (3.13), которое совпадает с уравнением эталонной модели (4.4).
Итак, в асимптотике оператор B(D) в уравнениях управляемого объ-
екта и контура управляющей функции сокращается (теоретически). По-
этому при к -> оо выходная переменная системы асимптотически при-
ближается к выходной переменной модели, т.е. x(t) -> Х0- Практически,
при конечных значениях к, асимптотическое распределение полюсов
(4.31) недостижимо, и, как следствие, оператор не сокращается. По-
этому приближение процессов (динамических характеристик) в системе и
модели может быть реализовано с конечной точностью.
В соответствии с (4.25) передаточная функция системы в разомкну-
том состоянии определяется выражением
W(p,k) = - f ------п- (4-34)
p[p^(p) + AB(p)(p + a,)J
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен единице. По-
этому система отрабатывает постоянное значение входного воздействия
х° = const без статической ошибки. По (4.34) находим
— = *£. (3.35)
ai
т.е. система и эталонная модель имеют одинаковую добротность по ско-
рости.
В силу отмеченных свойств системы ее логарифмическая амплитуд-
ная характеристика /.(со, к) имеет такое очертание, как показано на
рис. 3.3. Следовательно, высокая степень приближения процессов в сис-
теме и эталонной модели достигается при умеренном усилении в контуре
управляющей функции.
90
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
4.2.2. Управляющая функция вычисляется
по информации о положении и скорости
Алгоритм управления по-прежнему синтезируем из условия, чтобы
в каждый момент времени значение функционала (4.5) принадлежало
малой окрестности минимума. Эталонную модель принимаем, как и ра-
нее, в виде (4.4). В отличие от (4.8), управляющую функцию определим
дифференциальным соотношением
du(t) . dG(u, и)
—— = А. — -------, А. = const. (4.36)
dt ди
С учетом (4.9) составляющая градиента функционала по переменной
и будет равна
--^,Ц)=-^(У-х). (4.37)
ди
Подставляя (4.37) в (4.36) находим
w(t) = к(у — х), к = -60Х. (4 38)
Интегрируя обе части (4.38) по времени при нулевых начальных
значениях переменных и дополняя полученное равенство соотношением
для вычисления y(t), найдем уравнения искомого алгоритма управления
г
и = к(у-х), у = а0 j"(x° - х) dt - а,х, (4.39)
о
которые совпадают с (2.33), (2.34).
Контур управляющей функции описывается уравнением
t
й + k'bnU = k'z, к' =---, (4.40)
1 + КО]
которое получается в результате подстановки выражения для х из (4.9) в
(4.38). Переменная z определяется, как и в (4.7). Передаточная функция
контура и равна
р + кЬь z(p)
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
91
Так как по условию коэффициенты bQ, имеют одинаковый знак, то
при выполнении условия к'Ь0 > 0 полюс передаточной функции (4.41)
будет расположен в левой полуплоскости. В таком случае контур управ-
ляющей функции асимптотически устойчив, что необходимо для устой-
чивости процесса минимизации функционала (и -> и ).
Асимптотическую передаточную функцию контура и можно полу-
чить, выполняя предельный переход в (4.41) при к -> оо. В соответствии с
(4.40) имеем lim к' = . Поэтому справедливо предельное соотношение
к—>оо
К„(М')-» 1 , при (4.42)
l^p + bo
Следовательно, контур управляющей функции сохраняет асимптоти-
ческую устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления
(к -> оо). Полюс асимптотической передаточной функции р(оо) =
равен нулю передаточной функции управляемого объекта (4.3). Таким
образом, в асимптотике контур и представляет собой апериодическое
звено первого порядка. Его передаточная функция (4.42) совпадает с
асимптотической передаточной функцией (4.21), которая соответствует
закону управления (4.11).
Рассмотрим кратко свойства замкнутой системы, процессы в кото-
рой описываются уравнениями (4.1), (4.39). Исключим из этих уравнений
переменные у, и. Запишем (4.40) в операторной форме. Справедливы ра-
венства
> = ^-(х°-х)-а(х, >-х = -^-|аох0-а(£)х].
Поэтому выражение для управляющей функции можно записать в
виде
и =—«ох° “ а(£>)х(0. (4-43)
Подставляя (4.43) в операторное уравнение (4.2), равносильное (4.1),
находим уравнение замкнутой системы
[£14(D) + AB(D)a(D)]x(0 = AaoB(D)x0. (4.44)
Порядок системы равен трем, т.е. на единицу ниже порядка системы
с алгоритмом управления (4.12).
92
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
В соответствии с (4.44) передаточная функция системы в замкнутом
состоянии равна
К(р, 4) =----— = 41±
рА(р) +кВ(р)а(р) х°(р)
(4.45)
Аналогично тому, как это сделано в предыдущих разделах, можно
показать, что при бесконечно высоком уровне усиления (к —> оо) система
не теряет устойчивости. При этом полюсы р.,(к~) передаточной функции
(4.45) распределяются следующим образом:
Ит рх 2 (к)р\2, lim р3 (к) = -Ь^ 1,
К—>00 ’ Лг—>00
(4.46)
где р] 2 - полюсы передаточной функции эталонной модели. Следова-
тельно, в асимптотике передаточная функция системы К(р, оо) совпадает
с передаточной функцией модели К„(р). В этом можно убедиться непо-
средственно, выполнив предельный переход в (4.45) при к -> оо. Такая
операция допустима, так как при неограниченном увеличении к система
остается устойчивой.
Таким образом, теоретически при бесконечно высоком уровне уси-
ления процессы в системе и эталонной модели совпадают, т.е. x(t) - y(t),
t > 0. Такое свойство сохраняется при произвольном изменении парамет-
ров управляемого объекта, если энергетические ресурсы системы не ог-
раничены. Необходимая для технических приложений точность прибли-
жения процессов х(0 -> ХО достигается при конечных значениях к. В том
случае, когда уровень усиления достаточно высокий, динамические ха-
рактеристики системы будут оставаться практически неизменными при
изменении параметров управляемого объекта в широких пределах.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
JF(p,A)
ка0В(р)
р[Я(р) + АВ(р)(р+а|)]
(4.47)
Порядок астатизма системы равен единице, поскольку W(p, к) имеет
один нулевой полюс. Из (4.47) находим добротность системы по скорости
Аск =[Р^(РД)]р=0 =
каоВ(О)
А(0) + ка{В(0)'
Отсюда следует
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
93
= «о=О;
*«=“', , (4-48)
—to°fc° , ао*О.
а0 +kai+b0
Так как система и эталонная модель имеют одинаковый порядок ас-
татизма, то для случаев оо = 0 и а0 * 0 логарифмические амплитудные
характеристики имеют такое очертание, как показано на рис. 3.3. Свойст-
ва систем с такими характеристиками подробно рассматривались в лек-
ции 3.
4.3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Синтез алгоритмов управления положением объекта с передаточной
функцией (4.3) может выполняться для двух случаев:
а) управляющая функция вычисляться только по измерениям коор-
динаты положения;
б) управляющая функция вычисляется по измерениям координаты
положения и скорости ее изменения.
В обоих случаях оптимизация системы по критерию минимума
энергии ускорения приводит к параметрически адаптивным алгоритмам
управления.
При этом особенности и различия в свойствах систем с такими алго-
ритмами заключаются в следующем:
1. В случае, когда для вычисления управляющей функции исполь-
зуются только измерения координаты положения (х) алгоритм управле-
ния (стабилизации стационарного состояния х° = const) можно синтези-
ровать по эталонной модели второго порядка (4.4).
Минимизация функционала G( и, й) по градиентной схеме
dii(t) dG(u,u) .
—— = к —, к - const
dt ди
приводит к уравнениям алгоритма управления
м = А(у-х), у= J(a0/0-а,х)<Й, /0 = j(x°-х)<Й. (4.49)
о о
Необходимое, но недостаточное, условие устойчивости системы с
алгоритмом (4.49) состоит в выполнении правила знаков
94
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
sign(A) = sign(fco) = sign(fci). (4.50)
2. Замкнутая система с алгоритмом управления (4.49) имеет четвер-
тый порядок, ее передаточная функция равна
км- , .
p2A(p) + kB(p)a(p)
(4.51)
Если выполнено правило знаков (4.50), то при любых значениях па-
раметров управляемого объекта существует такое значение к = к* > 0, при
котором система асимптотически устойчива. Более того, свойства асим-
птотической устойчивости сохраняются при неограниченном повышении
уровня усиления (А -> оо). В этом случае К(р, к) стремится к передаточной
функции эталонной модели, т.е.
К(р, к) -> —г——------- при к -> оо. (4.52)
р +а{р + а0
При конечных значениях к добротность системы по скорости равна
соответствующей добротности модели: кСК = — = А“к. Это свойство
«I
имеет место как при ао = 0, так и при ао * 0.
3. В случае, когда для вычисления управляющей функции исполь-
зуются измерения координаты положения (х) и скорости ее изменения
(х), алгоритм стабилизации стационарного состояния х° = const можно
синтезировать по модели второго порядка (4.4), если передаточная функ-
ция управляемого объекта имеет нулевой полюс (ао = /1(0) = 0). Миними-
зация функционала G(«, м) по градиентной схеме
Jm(z) 3G(m,m) ,
- = X—Х = const (4.53)
dt ди
приводит к уравнениям алгоритма управления
t
и = к(у-х), у - а0 |(х° - х) dt - а(х. (4.54)
о
Правило знаков (4.50) по-прежнему является необходимым услови-
ем устойчивости замкнутой системы. При выполнении этого условия
структура системы с передаточной функцией
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
95
K(F,»>------------------
рА(р) + кВ(р)а(р)
(4.55)
в замкнутом состоянии теоретически допускает неограниченное повышение
уровня усиления при сохранении устойчивости. В асимптотике (к -> оо) для
этой системы выполняется предельное соотношение (4.52).
В отличие от (4.51), порядок (4.56) на единицу ниже. В случае а0 = О
добротность системы по скорости к = ^2- = А” . Если а0 0, то величи-
а1
на Аск определяется формулой (3.47). При этом Аск < Ас“ .
4. Синтез алгоритма управления по эталонной модели третьего по-
рядка
У(£>М0 = Уох°, у(£>) = D3 + уг/?2 + У1£» + Уо (4.56)
на основе градиентной схемы (4.53) приводит к уравнениям
и = А(у-х), у= |(Уо/о-У1Х)<Л-У2*, /о = f(x°-*)<* (4-57)
о о
Передаточная функция замкнутой системы с алгоритмом управле-
ния (4.57) имеет вид
К(р,к) = г -----
р2А(р) + кВ(р)у(р)
(4-58)
При а0 = 0 и а0 * 0 добротность системы по скорости такая же, как и
у эталонной модели.
Система с передаточной функцией (4.58) обладает естественными
свойствами параметрической адаптивности, так как ее структура допус-
кает неограниченное повышение уровня усиления при сохранении устой-
чивости. В асимптотике справедливо предельное равенство
lim К(р,к) = -^- = Ки(р).
к-™ у(р)
6. Синтезированные структуры можно рассматривать при проекти-
ровании автоматической системы как альтернативные варианты алгорит-
мов управления. Вопрос о том, какой из этих алгоритмов является наибо-
лее предпочтительным, может быть решен по результатам исследования
96
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
динамики проектируемой системы с учетом условий ее функционирова-
ния. Вместе с тем на основании теоретического анализа можно рекомен-
довать следующее: если в системе имеется возможность измерять ско-
рость изменения выходной переменной, то наиболее предпочтительным
являются алгоритмы управления вида (4.54), (4.57); в системах с такими
алгоритмами при прочих равных условиях в большей степени проявля-
ются свойства слабой параметрической чувствительности.
4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Рассматриваем задачу управления положением объекта с передаточ-
ной функцией (4.3). Числовые значения коэффициентов принимаем рав-
ными:
а0 = 4, й| = 2, Ьо = 10, bt = 1.
Синтезируем алгоритм управления, при котором замкнутая система
имеет астатизм первого порядка, а ее динамические характеристики
практически идентичны динамическим характеристикам эталонной мо-
V2
дели (3.49). Принимаем здесь, как и ранее, = —^~, т» =0,2 с. Тогда
согласно (3.50) имеем: Оо = = 25, ccj = 2£» — = 7,07.
т» т,
В данном случае алгоритм управления строится по уравнениям
(4.12). Для конкретных числовых значений параметров Оо, а, они имеют
вид
г г
и = к(у-х), у= J(25/0-7,07х)<Й, /0 = |(х°-х)<Й. (4.59)
о о
В отличие от алгоритма (3.51), для вычисления управляющей функ-
ции по уравнениям (4.59) достаточно информации о положении (х).
Структурная схема системы изображена на рис. 4.7. Здесь В(р) и
А(р) соответствуют числителю и знаменателю передаточной функции
(4.3). При математическом моделировании удобно использовать схему
другой структуры, которая изображена на рис. 4.8.
Получим расчетное соотношение для ориентировочного значения
коэффициента усиления контура управляющей функции. Исходим их
того, что при неограниченном повышении уровня усиления один полюс
передаточной функции Ки(р,к), определяемой выражением (4.14),
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
97
асимптотически приближается к нулю передаточной функции объекта,
т.е. Р\(к) -> (-fco^i)'1. Из этого следует важный вывод: при любом сколь
угодно большом значении к контур управляющей функции не вырожда-
ется в безынерционное усилительное звено, а остается инерционным.
Поэтому величину к необходимо рассчитывать из условия, чтобы при
заданных значениях коэффициентов b0, by быстродействие контура и
было наибольшим.
Быстродействие будем характеризовать величиной постоянной вре-
мени ти. Чтобы найти выражение для ти, рассмотрим передаточную
функцию К„(р, к), записав ее в стандартной форме
К„(р, к) ------------= . , ------. (4.60)
р2+А(61р + 60) т2р2+2£гир + 1
Известно, что динамическое звено второго порядка с передаточной
функцией вида (4.60) обладает наибольшим быстродействием, если отно-
4-9516
98
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
сительный коэффициент затухания собственных колебаний =
В этом случае длительность переходного процесса, как следует из
табл. 3.1, определяется величиной /„ = Зт„ . Из (4.60) имеем
т2= —, 2^т„=—.
kb0 Ьо
Исключая в (4.61) постоянную времени т„, найдем
к = 4£2 к = 2-^-.
$
(4.61)
(4.62)
V2
Вторая формула в (4.62) соответствует значению С, = .
Определим длительность переходного процесса /„, т.е. время зату-
хания колебаний в контуре управляющей функции. Из (4.61) находим
постоянную времени контура т„ = J Подставляя сюда выражение
для к из (4.62), получим
т =
“ Ь0Я’
t =зт
и и Яь0
(4.63)
Расчетная формула (4.63) определяет уровень усиления, при котором ло-
гарифмические амплитудные характеристики эталонной модели и систе-
мы (в разомкнутом состоянии) практически совпадают в диапазоне ма-
лых и средних частот. При этом высокая точность приближения процес-
сов в системе и модели имеет место при меньших значениях к по сравне-
нию с теми значениями, которые вычисляются по (4.62). Это особенно
проявляется в тех случаях, когда отношение — < 0,2. Поэтому найден-
Л)
ные значения к по формуле (4.62) необходимо уточнить npli моделирова-
нии системы.
Рассчитаем ориентировочное значение к для заданных значений па-
раметров управляемого объекта. При Ьо = 10 и bi = 1 по формуле (4.62)
находим к = —= 20.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
99
Передаточная функция замкнутой системы с алгоритмом управле-
ния (4.59) получается из (4.25) при конкретных значениях параметров
объекта и модели:
К(р,к) =
________________25£(р + 10)_______________
р2(р2 +2р + 4) + £(р + 10)(р2 + 7,07р + 25)
(4.64)
В п. 4.2.1 показано, что при неограниченном повышении уровня
усиления (к —> оо) два полюса К(р, к) приближаются к полюсам переда-
точной функции эталонной модели, третий полюс приближается к нулю
передаточной функции объекта, а четвертый полюс удаляется на беско-
нечность в область отрицательных значений. В асимптотике справедливо
следующее распределение полюсов:
lim pi 2(k) = р]’2 = -3,54(1 ±/);
к—>со
lim ру(к) = р = —— = ~Ю; lim р^(к) = (-«>).
t->00 t->00
При расчетном значении коэффициента усиления к = 20 все полюсы
К(р, к) оказываются комплексно-сопряженными. Первая пара из них p\j(k)
близка Р| 2.
При уменьшении коэффициента Ь\ динамические характеристики
системы существенно изменяются, если уровень усиления остается неиз-
менным (к = const). Это положение иллюстрируется графиками переход-
ных процессов на рис. 4.9, которые соответствуют значениям bt = 0,3 ... 1 и
к = 20. В случае Ь\ <0,5 динамические характеристики системы нельзя
признать удовлетворительными. Достаточно высокая степень приближе-
ния процессов в системе и модели при указанных значениях параметров
(Ьо - 10, bi = 0,3 ... 0,5) достигаются при Л® 35.
Свойства параметрической адаптивности системы с алгоритмом
управления (4.59) иллюстрируются графиками, приведенными на рис. 4.10.
Численный эксперимент выполнен при условии, что в процессе управле-
ния значение коэффициент Ьо изменяется по линейному закону
6о(О = 10(1 - 0,6/). Начальное значение Ьо = 10; коэффициенты bt = 1,
к = 20 = const. При таких значениях параметров длительность переходно-
го процесса в системе составляет /п ® 1 с. За этот промежуток времени
4*
100
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
0,8 t,C
Рис. 4.10
0
величина b0(t) уменьшается в 2,5 раза, однако выходная переменная сис-
темы х с большой степенью приближения следует за выходной перемен-
ной эталонной модели у. На рис. 4.10 приведены также графики измене-
ния управляющей функции и и произведения b0(t)u. Приведенные резуль-
таты свидетельствуют о том, что алгоритм управления вида (4.59) прида-
ет системам свойства слабой параметрической чувствительности, т.е. их
динамические характеристики остаются практически неизменными при
изменении параметров управляемого объекта. Такое свойство проявляет-
ся тем сильнее, чем выше уровень усиления в контуре управляющей
функции.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ОБЪЕКТА ИМЕЕТ НУЛЬ
101
При математическом моделировании исследована динамика процес-
сов управления положением рассматриваемого объекта с помощью алго-
ритма, структура которого определяется уравнениями (2.33), (2.34), т.е.
с
и = к(у-х), к=-------, с» 1;
60т.
у = а0 J(x° -x)dt-CLxx. (4.65)
о
Установлено, что наличие нуля у передаточной функции управляе-
мого объекта делает более предпочтительным применение алгоритмов
управления вида (4.65). Алгоритмы такой структуры реализуют в системе
высокие динамические характеристики, при этом в большей степени про-
являются свойства естественной параметрической адаптивности.
Отметим, однако, что в случае а0 * 0 добротность по скорости сис-
темы с алгоритмом (4.65) меньше добротности эталонной модели
(£ск <*“). Если это обстоятельство не является существенным, то в тех
случаях, когда имеется возможность измерять скорость изменения вы-
ходной переменной (х), при прочих равных условиях безусловно необ-
ходимо применять алгоритм управления вида (4.65).
Лекция 5
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ВЫСОКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ.
УПРАВЛЯЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих лекциях рассмотрены простейшие задачи синтеза ал-
горитмов управления объектами второго порядка. Эти алгоритмы обес-
печивают перевод объекта из произвольного начального состояния в ок-
рестность назначенного стационарного состояния и удерживают его в
этой окрестности бесконечно долго. По физическому смыслу синтезиро-
ванные структуры алгоритмов предназначены для стабилизации заданно-
го положения или постоянной скорости движения объекта. Системы с
такими алгоритмами будут иметь динамические ошибки при переменных
во времени задающих воздействиях. В настоящей лекции рассматрива-
ются задачи синтеза алгоритмов управления, которые придают системам
свойства высокой динамической точности. Автоматические системы,
обладающие такими свойствами, относятся к классу следящих систем. Их
функциональное назначение - осуществлять стабилизацию программных
траекторий движения, т.е. с высокой точностью воспроизводить (отсле-
живать) переменные во времени задающие сигналы.
По методическим соображениям задача синтеза алгоритмов управ-
ления следящих систем рассматривается сначала для того случая, когда
динамика неизменяемой части описывается дифференциальным уравне-
нием третьего порядка. Теоретическую основу методики синтеза состав-
ляют концепции обратных задач динамики в сочетании с минимизацией
мгновенных значений квадратичного функционала, записанного для от-
клонения третьих производных выходных переменных управляемой сис-
темы и эталонной модели. Применительно к системам общего вида мето-
дика синтеза развивается в шестой лекции.
5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть неизменяемая часть системы (управляемый объект) описыва-
ется уравнением
х + а2х + ахх + айх = Ь\й + bou, (Ь0,Ь\>О), (5.1)
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
103
где х, и - выходная переменная и управляющая функция. Задачу форму-
лируем следующим образом: программа движения проектируемой систе-
мы задана достаточно гладкой функцией времени xBX(z); требуется синте-
зировать такой алгоритм управления, при котором в установившемся
режиме выполняется условие
|*вх(')-*(0|^Е, (5.2)
где постоянная величина 8 определяет заданную динамическую точность;
г» - длительность переходного процесса. Необходимо при этом, чтобы
расчетные соотношения для вычисления управляющей функции не со-
держали операции дифференцирования xBX(z), а замкнутая система обла-
дала заданным порядком астатизма.
В соответствии с (5.2) алгоритм управления должен обеспечивать
стабилизацию программной траектории движения с точностью до е. Если
xBX(Z) = х° = const, то система с таким алгоритмом будет стабилизировать
стационарное состояние. Поэтому величина | х° - x(z) | -> со при Z —> со.
Пусть требованиям задания на проектирование отвечает эталонная
модель, движение которой описывается уравнением с постоянными ко-
эффициентами
у + а2у + а,у + аоу = р,хвх + рохвх, (а|а2>а0). (5.3)
Эталонные модели формируют, как правило, таким образом, чтобы
они имели заданные значения добротности по скорости к"к и ускорению
£"ск. Для модели третьего порядка вида (5.3) с астатизмом первого по-
рядка (ро = а0, pi * ci|) добротность по скорости Лс“ = —; в случае
(а1 _Р1)
астатизма второго порядка (р0 = cto, pi = cq) добротность по ускорению
£“ск = —. Эти условия могут быть реализованы, если передаточные
а2
функции эталонных моделей имеют соответствующие структуры.
Для модели вида (5.3) с астатизмом первого порядка передаточную
функцию в разомкнутом состоянии можно принять в виде
ш (п) = км + 1 =______Р1Р+„Ро------ /5 д)
м(Р) скр(7’1р + 1)(7’3р + 1) р(р2+а2р + щ-М
104
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Из (5.4) следуют формулы
«о = щ = (\ + к^2)(Т]Т3у',
а2 = 7]1+7’3|, Ро = а0, р^ао?^. (5.5)
Коэффициент усиления к*К - добротность по скорости и постоян-
ные времени рассчитываются по заданной динамической точности и чи-
словым значениям показателей, характеризующих динамику модели (бы-
стродействие, перерегулирование и др.).
Для эталонной модели с астатизмом второго порядка передаточную
функцию можно принимать в виде
^м(Р) = Ск /Р + 1'
ускр2(Т2р + 1)
Р|Р + Ро
р2(р + а2)
(5-6)
В данном случае коэффициенты уравнения (5.3) определяются фор-
мулами
а0~^усЛ^’ а1=СС0^1’ а2~^21’ Ро=а0> Р1=а1- (5.7)
Добротность модели по ускорению (Л"ск) и постоянные времени Ti2
рассчитываются также по требованиям технического задания на проекти-
рование.
Будем считать, что эталонная модель (5.3) сформирована, причем
числовые значения коэффициентов а„ такие, что в установившемся
режиме выполняется неравенство
IХвх(0-У(01*8, (3<Е). (5.8)
Следовательно, абсолютное значение динамической ошибки меньше до-
пустимой величины, т.е. | xBX (t) - y(t) | < е, t>t.. В таком случае тре-
буемая динамическая точность проектируемой системы будет достигну-
та, если алгоритм управления синтезируется из условия приближения
процессов х(г) -> Х0- При этом степень приближения должна быть такой,
чтобы выполнялось неравенство (5.2). Именно из этого условия следует оп-
ределять структуру алгоритма управления и рассчитывать его параметры.
Далее нам потребуются уравнения системы и эталонной модели, за-
писанные в операторной форме. Используем принятые обозначения, то-
гда уравнение (5.1) запишем в виде
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
105
A(D)x(t) = B(D)u(t),
2
A(D) = D3 + £ avDv, B(D) = ЬХО+Ьа
v=0
и аналогично уравнение (5.3) модели
а(О)Я0 = РФ)хвх(0,
а(О) = П3 + J avD\ p(D) = р,£> + р0.
v=0
(5-9)
(5.10)
Уравнениям (5.9) и (5.10) соответствует передаточные функции
W0(p) = -^- =—, (5.9')
А(р) и(р)’
^м(Р) = -^- = -^^-- (5.Ю')
а(р) хвх(р)
5.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ,
СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Допустим, что порядок проектируемой системы, замкнутой уравне-
ниями алгоритма управления, равен порядку эталонной модели, т.е. трем.
Пусть, далее, начальное состояние модели в точности соответствует на-
чальному состоянию системы, т.е. yw(0) = xw(0), 5 = 0, 1,2. Кроме того,
предположим, что алгоритм управления обеспечивает выполнение равен-
ства значений старших производных х(г) = y{t), t > 0. В случае приня-
тых идеальных условий фазовая траектория движения изображающей
точки системы будет совпадать с фазовой траекторией движения изобра-
жающей точки эталонной модели в каждый момент времени. Следова-
тельно, теоретически в такой ситуации х(/) = y(t), t > 0. В действительно-
сти порядок замкнутой системы будет выше порядка эталонной модели,
начальные значения yw(0) * х(л)(0). Поэтому равенство значений старших
производных практически нереализуемо. Мы приходим, таким образом, к
заключению о том, что алгоритм управления будет наилучшим образом
соответствовать требованиям сформулированной задачи в смысле при-
ближения процессов х(г) -> Х0, если его структуру синтезировать из ус-
ловия минимума функционала
106
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
G(",") = ^[У(0 - x{t, и, й)], Г>0. (5.11)
Согласно определению (лекция 2, п. 2.5), величина G(u, й) характе-
ризует мгновенное значение энергии третьей производной.
Как и в случае объекта второго порядка, можно показать, что из ус-
ловия абсолютного минимума функционала minG = 0 получается алго-
ритм управления компенсационного типа. Динамические характеристики
системы с таким алгоритмом чрезмерно чувствительны к изменению па-
раметров управляемого объекта и эталонной модели. Поэтому алгоритм
вычисления управляющей функции будем синтезировать из условия,
чтобы в каждый момент времени t > 0 значение функционала (5.11) при-
надлежало малой окрестности экстремума-минимума.
5.2.1. Управляющая функция вычисляется
по информации о положении и скорости
Движение в окрестность экстремума функционала организуем в со-
ответствии с дифференциальным соотношением
du(t) . 5G(w, й)
—— = X —1-------, X = const. (5.12)
dt дй
Из (5.1) следует выражение для третьей производной выходной пе-
ременной
2
x(t, и, й) =Ь]й + bou - (5.13)
v=0
С учетом (5.13) находим составляющую градиента по переменной
й ; она равна
dG(u, й) , ........
———L = -b](y~x).
ди
Поэтому дифференциальный закон управления (5.12) принимает вид
u(t) = к(у-х), к = -Ь}У. (5.14)
Требуемое значение y(t) третьей производной выходной перемен-
ной управляемой системы находим из уравнения (5.3) эталонной модели:
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
107
2
>(0 = p(D)xBX(0-a'(D)m a'(O) = ^avOv. (5.15)
v=0
Значение y(t) необходимо вычислять с учетом состояния управ-
ляемого объекта. Поэтому в (5.15) выполняем подстановку yw(f) = x('\t),
5 = 0, 1, 2. В результате получим
y(t) = р(О)хвх(0-а'(О)х(0- (5-16)
Таким образом, основу алгоритма управления составляют уравнения
(5.14), (5.16). Однако непосредственная аппаратная реализация этих
уравнений нецелесообразна, так как для вычисления управляющей функ-
ции необходимо иметь информацию о производных выходной перемен-
ной системы до третьего порядка включительно. Преобразуем уравнения
к другой форме. Дважды интегрируя обе части (5.14) и (5.16) при нуле-
вых начальных значениях переменных, находим
" = Ку - *), У = «о/i + «i/о - «2Х>
t t
fo = \(xm-x)dt, fx = \fodt. (5.17)
о о
При выводе (5.17) принято Р7 = a7, j = 0,1, что соответствует вто-
рому порядку астатизма эталонной модели.
Для вычисления управляющей функции по (5.17) достаточно ин-
формации о положении (х) и скорости (х). Структурная схема замкнутой
системы с алгоритмом управления (5.17) изображена на рис. 5.1.
Рис. 5.1
108
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Рис. 5.2
Исследуем свойства контура
управляющей функции, процессы в
котором описываются уравнениями
(5.13), (5.14). Исключая здесь пере-
менную х, получим уравнение для
управляющей функции
ii + k(b\ii+bQu) = kz, (5.18)
где входное воздействие контура
2
z = y + £avx(v).
v=0
(5.19)
На основании (5.18) записываем передаточную функцию
Кд,,*),*-----
р2+кВ(р) z(p)
(5.20)
Структурная схема, соответствующая (5.20), изображена на рис. 5.2.
Контур управляющей функции будет асимптотически устойчив, ес-
ли выполняется правило знаков
sign(^) = sign(^i) = sign(fto),
(5.21)
аналогичное (4.15). Причем асимптотическая устойчивость сохраняется
при неограниченном повышении уровня усиления (к -> оо). В справедли-
вости такого заключения можно убедиться, рассматривая характеристи-
ческое уравнение р2 + к(Ь\р + 60) = 0, отвечающее (5.18). Если выполняет-
ся правило знаков (5.21) и, кроме того, Ьо, Ь\ * 0, то при любых значениях
к коэффициенты характеристического уравнения будут положительными.
Согласно критерию Гурвица, оба корня этого уравнения расположены в
левой полуплоскости. При к -> оо справедливы предельные равенства
lim р}{к) = -оо, lim р2(к') =-bob{'. (5.22)
Поэтому из (5.20) находим асимптотическую передаточную функцию
МР>°°)= lim ММ) =
1 “(Р)
В(р) z(p)
(5.23)
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
109
Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиления
контур управляющей функции вырождается в апериодическое звено с
передаточной функцией (5.23).
Исследуем теперь свойства системы в целом с алгоритмом управле-
ния (5.17). Выведем уравнение управляемого процесса. С этой целью
найдем выражение для управляющей функции в операторной форме, а за-
тем подставим его в уравнение (5.9). На основании (5.16) можно записать
j(0 = ^т1Р(Я)*вх (0 - «'(£)*(')], (5-24)
что равносильно двукратному интегрированию по времени. Так как спра-
ведливо равенство
а'(£>)х(г) - х(Г) = а(£))х(/),
то с учетом (5.24) найдем
« = *(>- X) = A[p(z))Xiix(z) _ а(О)х(0] • (5.25)
Подставляя (5.25) в (5.9), получим уравнение замкнутой системы
[D2A(D) + kB(D)a(D)] x(t) = kB(D)^(D)xm(t). (5.26)
Ему соответствует передаточная функция
К(р,к). = (5.27)
р2 А(р) +kB(p)a(p) хвх(р)
Найдем асимптотическую структуру системы при к -> сю. Характе-
ристическое уравнение
р2Л(р) + *В(р)а(р) = 0 (5.28)
запишем в виде
N2(p) + kNi(p) = 0,
^(р) = В(р)а(р), N2(p) = р2А(р). (5.29)
Степень полинома N2(p) на единицу выше степени полинома Ni(p),
поэтому при любом распределении полюсов передаточной функции (5.9')
управляемого объекта существует такое значение коэффициента усиле-
110 УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
ния к = к*, при котором система устойчива. Более того, система сохраняет
устойчивость при неограниченном увеличении к. Следовательно, асим-
птотическую передаточную функцию можно найти из (5.27) путем пре-
дельного перехода:
К(р, оо) = lim К(р, к) = (5.30)
*-»«> а(р)
Получим этот результат другим путем, исследуя асимптотическое
распределение полюсов передаточной функции (5.27) по обычной мето-
дике. Разделив обе части характеристического уравнения (5.28) на к и
вычислив пределы при к -> оо, получим предельное уравнение
2
(61p + Z>o)(p3 + ^avpv) = O. (5.31)
v=0
Отсюда следует, что при к —> оо четыре корня уравнения (5.28), т.е.
четыре полюса передаточной функции системы, распределены следую-
щим образом:
Pg(^) = Pp> ц=1...3; p4(^) = -Z>061"1, если £-><». (5.32)
Здесь рц - корни характеристического уравнения эталонной модели
2
a(p) = P3 +^avPV = 0>
v=0
а (-6](>|_|) - нуль передаточной функции (5.9') объекта. По условию
ЬйЬ^ > 0, кроме того, Re рц < 0, т.е. эталонная модель устойчива. Поэто-
му четыре полюса передаточной функции (5.27) находятся в левой полу-
плоскости. Пятый полюс при к —> оо удаляется на бесконечность в об-
ласть отрицательных значений. Такое заключение следует из того, что в
асимптотике замкнутая система сохраняет устойчивость, поскольку раз-
ность степеней полиномов N2(p) и Nt(p) равна единице.
Таким образом, при бесконечно высоком уровне усиления переда-
точная функция системы равна передаточной функции эталонной моде-
ли. Поэтому процесс в системе описывается дифференциальным уравне-
нием
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
111
х+a2x + a!x + a0x = P1xBX +₽охвх, (5.33)
которое совпадает с уравнением (5.3). Следовательно, теоретически ди-
намика системы идентична динамике модели, и справедливо равенство
x(t) = y(t), t > 0. Это означает, что при бесконечно высоком уровне усиле-
ния проектируемая система будет иметь такую же динамическую точ-
ность, как и эталонная модель. Практически, однако, идентичность дина-
мических характеристик недостижима. Поэтому при конечных значениях
к динамическая точность проектируемой системы будет ниже динамиче-
ской точности эталонной модели. Отсюда следует, что величина 5 в (5.8)
должна быть такой, чтобы при достаточно больших значениях к выпол-
нялось неравенство (5.2). Это означает, что динамическая точность эта-
лонной модели должна быть выше точности, указанной в техническом
задании.
Изучим теперь другие свойства системы. Из (5.27) находим переда-
точную функцию системы в разомкнутом состоянии
^(р)Р(р)
р2А(р) + Щр)[а(р) - Р(р)]
В том случае, когда эталонная модель имеет первый порядок аста-
тизма (Ро = cto, pt # at), из (5.34) получаем
W(p, к) =-----------^(Р)Р(Р)------------ (5.35)
р(рА(р) + кВ(р)(р + a2p + at - Pj)
Передаточная функция (5.35) имеет один нулевой полюс, следова-
тельно порядок астатизма системы равен единице. При этом добротность
по скорости
*ск = [PW(p, к)]р=й = -Ц- = . (5.36)
«1 -₽1
Так как система и эталонная модель имеют одинаковый порядок ас-
татизма и равную добротность, то их амплитудные характеристики будут
практически совпадать в диапазоне малых и средних частот. Логарифми-
ческие амплитудные характеристики модели Ам(со) и системы А(со, к)
имеют такое очертание, как показано на рис. 5.3. В этом случае высокая
степень приближения процессов x(t) -> y(t) достигается при умеренных
значениях к.
112
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Отметим, что характеристика модели Ам(со) - 20 lg| WM (zco) | соот-
ветствует передаточной функции (5.4).
Пусть эталонная модель имеет второй порядок астатизма (р0 = а0,
pi = <Х|). Тогда из (5.34) находим
W(p,k) = —---------------------- (537)
Р М(р) + *В(р)(р + а2)]
В этом случае передаточная функция имеет два нулевых полюса,
следовательно, порядок астатизма системы, как и у эталонной модели,
равен двум. Добротность по ускорению
*Уск = lP2W{p, ку\р^ = —. (5.38)
3 ' Л(0) + kb0a2
В зависимости от характера распределения полюсов передаточной
функции управляемого объекта из (5.38) имеем
— = , если А(0) = а0 = 0;
«2
^оРо л
----——, если по*О.
а0 +kboU2
(539)
Логарифмическая амплитудная характеристика Ьы((й) эталонной мо-
дели с передаточной функцией (5.6) изображена на рис. 5.4. Здесь изо-
бражены также амплитудные характеристики системы: £'(со, ^) соответ-
ствует первому равенству (5.39), а к) — второму. В первом случае
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
113
высокая степень приближения процессов x(t) —> y(t) достигается при уме-
ренных значениях к. Во втором случае необходимый уровень усиления
для достижения заданной точности зависит от величины а0. Если, напри-
мер, а0 » кЬда2, то требуемый коэффициент усиления может быть чрез-
мерно большим.
Таким образом, проектируемая система с алгоритмом управления
(5.17) имеет такой же порядок астатизма, как и эталонная модель при
любом распределении полюсов передаточной функции управляемого
объекта. Далее, добротность системы по скорости и ускорению будет
равна добротности эталонной модели, если передаточная функция управ-
ляемого объекта имеет хотя бы один нулевой полюс (а0 = 0). Если пере-
даточная функция объекта не имеет нулевого полюса, то добротность
системы по ускорению будет ниже добротности эталонной модели. Что-
бы реализовать условие к?СК = £“ск, алгоритм управления необходимо
синтезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на едини-
цу был выше порядка управляемого объекта.
5.2.2. Управляющая функция вычисляется
по информации о положении, скорости и ускорении
Формулировка задачи остается прежней: для управляемого объекта
с передаточной функцией (5.9') необходимо синтезировать алгоритм
управления, при котором замкнутая система обладает требуемой динами-
ческой точностью, определяемой неравенством (5.2), а ее динамические
характеристики почти идентичны динамическим характеристикам эта-
лонной модели с передаточной функцией (5.10').
114
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Алгоритм управления синтезируем из условия, чтобы в каждый мо-
мент времени значение функционала (5.11) принадлежало малой окрест-
ности минимума. В отличие от (5.12), дифференциальный закон управле-
ния принимаем в виде
du(t) dG(u, it)
—— = X —, X = const. (5.40)
dt du
Составляющую градиента функционала по переменной и находим с
учетом (5.13):
dG(u, й) , .......
ди
Подставляя это выражение в (5.40), получим
й = к(у-х), к = -Ь0Х. (5.41)
Величина у вычисляется по (5.16). Интегрируя обе части (5.16) и
(5.41) по времени при нулевых начальных значениях, найдем уравнения
искомого алгоритма управления
й = к(у - х),
i
У = «о f(*Вх - х) dt + а, (хвх - х) - а2х, (5.42)
о
«У=₽у» У = 0,1.
Для вычисления управляющей функции необходима информация о
положении, скорости и ускорении. Выведем уравнение замкнутой систе-
мы, исключив из (5.9) и (5.42) переменные и, у. Выражение для у в
(5.42) запишем в операторной форме
y(t) = J- [р(/Э)хвх (О - a'(D)x(0] • (5-43)
Заметим, что (5.43) получается из (5.24) путем дифференцирования
обеих частей по времени. После подстановки (5.43) в первое уравнение
(5.42) найдем
1г
u(t) = -^[p(D)xBX (I) - a(D)x(r)]. (5.44)
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
115
Из (5.9) и (5.44) следует искомое уравнение
[DA (D) + kB(D)a(D)]x(t) = kB(P)$(D)xm(t), (5.45)
которому соответствует передаточная функция
рА(р) + кВ(р)а(р)
(5.46)
Порядок рассматриваемой системы равен четырем, т.е. на единицу
ниже порядка системы, процессы в которой описываются уравнением
(5.26).
Уравнение контура управляющей функции можно получить, подста-
вив в (5.41) выражение для у из (5.16). Имеем
и + к'и = k'z, к' ----------------,
1 + АЬ,
(5-47)
где z - определяется по (5.19). Из (5.47) следует, что контур управляющей
функции сохраняет устойчивость при к -> оо. При этом в асимптотике
(А °0) = «и К(р, к) = --—,
byP + OQ
(5-48)
что согласуется с (5.23).
Степени полиномов рА(р) и В(р)а(р) в (5.46) равны. Поэтому систе-
ма допускает неограниченное повышение уровня усиления. При к —> оо
полюсы передаточной функции (5.46) распределены, как в (5.32), вслед-
ствие чего асимптотическая передаточная функция системы совпадает с
передаточной функцией эталонной модели (5.10'). Следовательно, алго-
ритм управления (5.42) придает системе свойства параметрической адап-
тивности.
Из (5.46) находим передаточную функцию системы в разомкнутом
состоянии
ИЧМ) =
кВ(р)Ыр)
рА(р) + кВ(р)[а(р) - р(р)]
(5-49)
Если эталонная модель имеет первый порядок астатизма (р0 - «о), то
из (5.49) следует
116
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
1Г(/?Д) =
___________кВ(р)Ыр)___________
р(А{р) + кВ{р){р1 +а2/? + а, -₽,))
(5.50)
Отсюда находим добротность по скорости
Ро _ LM
о лск>
«1 - Pt
_____^оРо_____
а0 + W0(at - Pi)
если Л(О) = ао=О;
если ао#О.
(5.51)
В том случае, когда передаточная функция управляемого объекта
имеет хотя бы один нулевой полюс (/4(0) = а0 = 0), амплитудная характе-
ристика системы Z(co, к) практически совпадает с амплитудной характе-
ристикой эталонной модели Ам(ш) в диапазоне малых и средних частот
(аналогично рис. 5.3). Вследствие этого высокая степень приближения про-
цессов x(t) -> y(f) достигается при умеренных значениях к. Если передаточ-
ная функция объекта не имеет нулевого полюса и /1(0) = ад » kb0 - (a! - Pi),
то характеристика Ца, к) проходит ниже амплитудной характеристики
эталонной модели (аналогично L"(<o, к) на рис. 5.4). Поэтому достижение
высокой динамической точности системы может оказаться возможным
только при очень больших значениях к. В такой ситуации алгоритм
управления (5.42) не может быть принят за основу конструкторского ре-
шения при проектировании автоматической системы. Алгоритм управле-
ния необходимо синтезировать по эталонной модели, порядок которой
выше порядка управляемого объекта.
Аналогично изложенному выполняется анализ системы и в том слу-
чае, когда алгоритм управления (5.42) синтезирован по модели с астатиз-
мом второго порядка. В системе с алгоритмом такой структуры может
быть получена такая же добротность, как и в эталонной модели, лишь
при условии, что передаточная функция управляемого объекта имеет два
нулевых полюса. Только в этом случае целесообразно применять алго-
ритмы вида (5.42).
5.3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Синтез алгоритмов управления автоматических систем высокой ди-
намической точности выполняется по общей схеме минимизации мгно-
венных значений квадратичных функционалов, характеризующих энер-
гию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей.
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
117
По построению эталонные модели должны обладать необходимой дина-
мической точностью, требуемым порядком астатизма, заданным быстро-
действием и другими параметрами, которые характеризуют динамику
проектируемой системы. При исследовании свойств рассмотренных сис-
тем получены следующие результаты и рекомендации.
1. Для системы, неизменяемая часть которой (управляемый объект)
имеет передаточную функцию третьего порядка вида (5.9'), можно синте-
зировать алгоритмы управления двух типов, в соответствии с которыми:
а) управляющая функция вычисляется по информации о положении
и скорости (уравнения (5.17);
б) управляющая функция вычисляется по информации о положении,
скорости и ускорении (уравнения (5.42)).
С каждым из этих алгоритмов структура системы допускает неогра-
ниченное повышение уровня усиления, а ее порядок астатизма равен по-
рядку астатизма эталонной модели. В асимптотике динамические харак-
теристики системы и эталонной модели идентичны; в этом проявляются
свойства параметрической адаптивности.
2. При проектировании алгоритмического обеспечения автоматиче-
ских систем алгоритмы вида (5.17) и (5.42) рассматриваются как альтер-
нативные. Решение о целесообразности практического применения одно-
го из этих алгоритмов принимается с учетом структуры и параметров
передаточной функции JV0(p) управляемого объекта (распределения по-
люсов) и возможностей информационно-измерительной системы. Суще-
ственно при этом, что алгоритм (5.17) может рассматриваться как аль-
тернативный в том случае, когда коэффициент 6, в передаточной функ-
ции 1Го(р) по порядку величины сравним с Ьо. Допустимое наименьшее
значение отношения — определяется по результатам математического
ьо
моделирования.
3. Требуемая динамическая точность системы достигается путем
увеличения коэффициента усиления в контуре управляющей функции.
При этом справедливо следующее. Если проектируемая система и эта-
лонная модель имеют равную добротность (по скорости или ускорению),
то их амплитудные характеристики совпадают в диапазоне малых и
средних частот (см. рис. 5.3). Поэтому высокая динамическая точность
системы достигается при умеренном уровне усиления. Напротив, если
добротность системы значительно меньше добротности эталонной моде-
ли, то их амплитудные характеристики не совпадают в рабочем диапазо-
не частот (см. рис. 5.4). В случае, когда а0 » kboa2 в (5.39) или
118
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
ай» - Pi) в (5.51), достижение требуемой динамической точности
может оказаться возможным при чрезмерно высоком уровне усиления.
Применение алгоритма управления, при котором возникает такая ситуа-
ция, как правило, нецелесообразно.
4. Уравнения системы содержат один расчетный параметр - коэф-
фициент усиления к, значение которого определяет степень приближения
динамических характеристик проектируемой системы и эталонной моде-
ли. Требуемый уровень усиления можно легко найти при математиче-
ском моделировании системы на персональной ЭВМ, последовательно
изменяя величину к и оценивая точность системы. Ориентировочное зна-
чение к, при котором система заведомо устойчива, определяется из урав-
нения
|1К(«а)‘,Л)| = 1, (5.52)
представляющего собой условие равенства логарифмических амплитуд-
ных характеристик £(<о , к) = £н(<о ) на частоте среза <о = <о эталонной
модели. Практически, однако, не возникает необходимости решать урав-
нения вида (5.52).
5. В том случае, когда синтезированный алгоритм управления не
обеспечивает равенства добротности системы и модели по скорости или
ускорению, структуру алгоритма необходимо синтезировать по эталон-
ной модели, порядок которой хотя бы на единицу выше порядка управ-
ляемого объекта. Например, если Я(0) = а0 * 0, то согласно второму ра-
венству (5.39) величина к?СК * £“ск. Чтобы исключить такую ситуацию,
алгоритм управления следует синтезировать по эталонной модели чет-
вертого порядка. Пусть такое уравнение имеет вид
y(DM0 = ₽'(£>>bx(0,
3
y(L>)= L>4 + XYv£>v, ₽'(£>) = ₽1£> + ₽о- (5.53)
v=0
Минимизируя функционал (5.11) в окрестности фазовой траектории
модели (5.53) по градиентной схеме (5.12), найдем уравнения алгоритма
управления
w = к(у - х),
t
У= J(Yo/i +Y1/0 -Y2jc)(*-Y3^
о
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
119
/о = рХх ~x)dt, f} = \fodt, (5.54)
о о
(Уо=₽'о> Yi=₽'i)-
Уравнение замкнутой системы с алгоритмом управления (5.54) име-
ет вид
[O’/1(D) + АВ(О)у(£>)]х(1) = kB(D)V(D)xm(f). (5.55)
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
W(p, к) = --------кв(Р^ О)----------
р А(р) + кВ(р)[у(р) - Р'(/?)]
(5.56)
Отсюда следует, что при любом распределении полюсов передаточ-
ной функции управляемого объекта справедливы равенства
кск = Р'о = Уо> Pi * У1;
У1 ~Р1
*уск =^-=ЛМск, если р'=у7, У = 0,1.
Таким образом, система с алгоритмом управления (5.54) имеет та-
кую же добротность, как и эталонная модель, даже в том случае, когда
передаточная функция f¥0(p) управляемого объекта не содержит нулевого
полюса (а0 Ф 0).
6. Уравнения синтезированных алгоритмов управления не содержат
операции дифференцирования задающего сигнала хвх(Г), как это требует-
ся по постановке задачи. Выполнение такого требования не может быть
обеспечено, если степень полинома числителя передаточной функции
эталонной модели превышает определенное значение. Например, если
управляющая функция определяется соотношением и - к(у - х), как в
(5.42), а производная у вычисляется по уравнению эталонной модели вида
у + а2у + а, у + аоу = Р2хвк + Р,хвх + Рохвх, (5.57)
(а, =р7, j = 0,l),
120
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
то алгоритм управления строится на основе уравнений
w = к(у - х),
t
У = ао - *) dt + ai(xBX - х) + p2xBX - а2х. (5.58)
о
В отличие от (5.42), для вычисления управляющей функции по
(5.58) необходимо выполнять операцию дифференцирования входного
воздействия хвх.
В том случае, когда управляющая функция определяется соотноше-
нием и = к('у-х), как в (5.16), а производная у вычисляется по уравне-
нию эталонной модели (5.57), основу алгоритма управления составляют
уравнения
w = к(у - х),
>’ = а0/+ai/0+p2xBX ~а2х, (5.59)
I t
fo = \(xBX-x)dt, f} = ]fodt.
о о
В данном случае при вычислении управляющей функции не выпол-
няются дифференцирование хвх. Это объясняется тем, что расчетные со-
отношения для у получаются путем двукратного интегрирования обеих
частей (5.57). В результате производные хвх, хвх исчезают.
Таким образом, уравнения алгоритма управления следящей системы
не будут содержать операции дифференцирования входного воздействия
хвх, если степени полиномов числителей и знаменателей передаточных
функций эталонной модели и управляемого объекта подчиняются опре-
деленному соотношению. Так, если степень полинома знаменателя пере-
даточной функции эталонной модели равна трем, то для закона управле-
ния (5.12) степень полинома числителя должна быть не выше второй, а
для закона управления (5.40) - не выше первой.
Лекция 6
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ВЫСОКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ.
УПРАВЛЯЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
ВВЕДЕНИЕ
В этой лекции синтезируются алгоритмы управления, которые со-
ставляют основу алгоритмического обеспечения автоматических систем
высокой динамической точности и слабой параметрической чувствитель-
ности. В отличие от предыдущей лекции, здесь задачи синтеза решены
для управляемых объектов, движение которых описывается дифференци-
альными уравнениями высокого порядка. Синтезированы различные
структуры алгоритмов управления, исследованы свойства управляемых
систем, а также предложен алгоритм информационного обеспечения сис-
тем управления. Применение таких алгоритмов в контурах управления
механическими системами практически решает проблему получения ин-
формации о недоступных для физического измерения переменных со-
стояния.
6.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть неизменяемая часть системы имеет порядок п, а ее динамика
характеризуется передаточной функцией
Wo(p) = ^ = ^ (61)
Я(р) и(р)
А(р) = р” + Yavpv,
v=0
т
B(p) = Y,bjPJ’
j=o
где x(p), u(p) - изображения по Лапласу выходной переменной х(/) и
управляющей функции u(t). Принимаем, что нули полинома В(р) распо-
ложены в левой полуплоскости комплексной переменной р. Нули поли-
нома А(р) могут находиться как в левой, так и в правой полуплоскости, а
также на мнимой оси Rep = 0.
122
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Передаточной функции (6.1) соответствует дифференциальное
уравнение
п-1 т
x" + Savx(V) = XZ>JM(7) <6-2>
v=0 j=0
или в операторной форме
A(D)x(t) = B(D)u(t),
A(D) = A(p^D, B(D) = B(p)p=D. (6.3)
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать такой ал-
горитм управления, при котором в установившемся режиме величина
отклонения выходной переменной управляемой системы х(Г) от назна-
ченной программы движения хвх(Г) не превышает допустимого значения
е, т.е. |хвх(г)-х(г)|<е, t>t., что соответствует условию (5.2). Необхо-
димо при этом, чтобы расчетные соотношения для вычисления управ-
ляющей функции не содержали операции дифференцирования хвх(Г),
замкнутая система обладала астатизмом заданного порядка, а ее доброт-
ность была равна добротности эталонной модели.
По постановке задачи синтезированный алгоритм управления дол-
жен обеспечивать высокоточное слежение системой за переменным во
времени задающим сигналом хвх(Г). Пусть требованиям к динамической
точности, структурным свойствам и другим динамическим характеристи-
кам проектируемой системы отвечает эталонная модель, движение кото-
рой описывается уравнением
J=o J=o
О < I < N, N>n. (6.4)
В зависимости от числовых значений коэффициентов a v, Р7 эта-
лонная модель может иметь различный порядок астатизма. Так, если
только Ро = Оо, то порядок астатизма будет первый; в случае р0 = а0 и
Pi =а! - второй и т.д.
Исходим из того, что по построению эталонной модели (6.4) в ее ус-
тановившемся движении абсолютная величина отклонения | хвх(Г) - y(t) |
меньше допустимого значения е, т.е. для нее выполняется неравенство
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
123
(5.8). Следовательно, требуемая динамическая точность проектируемой
системы будет достигнута, если алгоритм управления обеспечивает та-
кую степень приближения процессов х(/) —> y(t) в системе и модели,
при которой выполняется неравенство (5.2). Именно из этого условия
будем определять структуру алгоритмов и рассчитывать их параметры.
6.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.
СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Управляющая функция u(t) будет наилучшим образом отвечать тре-
бованиям сформулированной задачи в смысле приближения процессов
x{t) —> y{t), если она определена из условия, чтобы в каждый момент
времени значение функционала
G(u, й,..., и(т)) = - x^n\t, и, й,..., w(m))]2 (6-5)
принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. К этому заклю-
чению можно придти путем таких же логических рассуждений, какие
были проведены в лекции 5 для системы третьего порядка.
Минимизировать функционал будем по какой-либо одной перемен-
ной: й, и, считая остальные известными параметрами. Этим вари-
антам минимизации соответствуют алгоритмы управления различной
структуры, аппаратная реализация которых требует различного инфор-
мационного обеспечения.
6.2.1. Минимизация функционала по u(m>
Движение в окрестность экстремума функционала (6.5) организуем
в соответствии с дифференциальным соотношением
du(m\t) dG(u,u,...)
-----— = р — ’ , р = const. (6.6)
dt ди™
Так как старшая производная
т и-1
х(п)(Г, w, w,...) = - ^avx(v\ (6.7)
j=0 v=0
то составляющая градиента по м(т) равна
124
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
ЭС7(Ц,Й,...)_ Ь) („)1
ам(т) 1
Подставляя это выражение в (6.6), получаем дифференциальный за-
кон управления
и(т+,) = к[у(п) - х(и)], к = -pbm. (6.8)
После интегрирования обеих частей (6.8) по времени (т + 1) раз при
нулевых начальных значениях переменных найдем окончательное выра-
жение для управляющей функции
и = -х<т)], у = п-т-\. (6.9)
Закону управления (6.8) соответствует структурная схема, которая
изображена на рис. 6.1. Действительно, после подстановки (6.7) в (6.8)
получим дифференциальное уравнение
u(m+l>+ k^bjU(j> =kz, (6.10)
j=0
где функция
z - у(п) + У/гух(у). (6.11)
v=0
На основании (6.10) записываем передаточную функцию контура в
замкнутом состоянии
ки(М) =—--------------= ^. (6.12)
pm+ + кВ{р) z(p)
Такое же выражение следует
непосредственно из структурной
схемы.
Структура контура управ-
ляющей функции допускает (тео-
ретически) неограниченное повы-
шение уровня усиления, т.е. к —> оо.
В этом можно убедиться, исследуя
асимптотическое распределение
корней характеристического урав-
нения
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
125
рт+1 + кВ(р) = 0. (6.13)
Разделив все члены (6.13) на к и вычислив пределы при к —> оо, по-
лучим предельное уравнение
+ bm.\рт 1 + ... + b\p + />о = 0. (6.14)
По условию нули полинома В(р), обозначим их , расположены в
левой полуплоскости. Поэтому т корней р^к) уравнения (6.13) при неог-
раниченном увеличении к асимптотически приближаются к корням урав-
нения (6.14), т.е.
limp(A) = p ц = 1,2,3...,/и. (6.15)
Корень рт+](к) при А —> оо удаляется на бесконечность в область от-
рицательных значений. При больших значениях |р| этот факт можно
установить по приближенному (усеченному) уравнению
pm+i + kbmpm «0 или p + tom»0, (6.16)
которое следует из (6.13). Из (6.16) находим
Рт+\ (*) = -^т -> (-°°), если к -+ 00. (6.17)
Итак, предельное распределение полюсов (6.15), (6.17) передаточ-
ной функции (6.12) свидетельствует о том, что при неограниченном по-
вышении уровня усиления контур управляющей функции не теряет ус-
тойчивости. При этом асимптотическая передаточная функция контура
равна
Ku(P,<*)=K™Ku(j>,k) = -^—. (6.18)
t-»® В(р)
Найдем теперь асимптотическую структуру замкнутой системы с
законом управления (6.8). Выведем уравнения управляемого процесса.
С этой целью получим выражение для производной у^п\ Запишем уравне-
ние эталонной модели (6.4) в операторной форме
а(£>М0 = ₽(£>>вх(0, (6-19)
где операторные выражения
a(D) = DN + YasDs, ₽(£>) = ХРу£>7. (6.20)
л=0 7=0
126
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Из уравнения (6.19) находим
yw(f) = p(£>)xBX(r) - <x'(D)X0. (6.21)
а'(П) = а(£>) -//.
Значение производной У”' необходимо вычислять с учетом состояния
управляемого объекта. Поэтому в (6.21) выполним подстановку y(f) = x(t),
t > 0, что отвечает концепциям обратных задач динамики управляемых
систем. Выполнив указанную подстановку и проинтегрировав затем по
времени (N - п) раз обе части полученного таким образом равенства при
нулевых начальных значениях переменных, найдем искомое выражение
у(п) (О = [₽(^ W - a'(D)x(0] •
(6.22)
В соответствии с (6.18) в случае к—><х> управляющая функция равна
М(Г) =
—z(t).
B{D)
(6.23)
На основании (6.11) выражение для z(z) запишем в следующем виде
z(o=Vn)(o+/<W(o,
A'(D) = A(D)~ D1^. (6.24)
Таким образом, в асимптотике процессы в замкнутой системе опи-
сываются уравнениями (6.3), (6.22) - (6.24). Им соответствует структур-
ная схема, которая изображена на рис. 6.2. Принимая во внимание опера-
торное выражение A'(D), определяемое по (6.24), структурную схему пре-
образуем к иному виду (рис. 6.3). Наконец, с учетом операторного выраже-
ния a'(D) получаем асимптотическое уравнение замкнутой системы
D" + £a,DvU) =
А = 0 J
ZA-07 мо>
(6.25)
Рис. 6.2
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
127
которое в точности сов-
падает с уравнением эта-
лонной модели. Следова-
тельно, при неограничен-
ном повышении уровня
усиления в контуре уп-
равляющей функции ди-
намические характеристи-
ки проектируемой систе-
Рис. 6.3
мы и эталонной модели идентичны независимо от изменения параметров
управляемого объекта. В этом проявляется важное свойство параметриче-
ской адаптивности алгоритмов управления рассматриваемой структуры.
Изучим теперь свойства системы при конечных значениях коэффи-
циента усиления к. Рассматриваем уравнение замкнутой системы
Я(£>)х(Г) = В(£>)и(Г),
и(Г) = ~*(T)WL Y = n - m - I, (6.26)
y(r)(0 = -^\№)xm (z) - a'(D)x(r)].
Отметим, что третье уравнение в (6.26) получено в результате ин-
тегрирования (т + 1) раз обеих частей (6.22). Исключим в (6.26) управ-
ляющую функцию. Из второго и третьего уравнений с учетом (6.20) на-
ходим
«(О = -^[РС^вх (0 - <х(£>)х(0] - (6.27)
Подстановка (6.27) в первое уравнение (6.26) приводит к уравнению
замкнутой системы
{D^A(D) + AB(£>)a(£>)] x(Z) = (6.28)
у = n - m - 1.
В соответствии с (6.28) передаточная функция системы в замкнутом со-
стоянии
К(р, *)._*«<£»<£>-----------.^£L (6.29)
pN~7A(p) +кВ(р)а(р) хях(р)
и в разомкнутом состоянии
128
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
р 1 Л(р) +кВ(р)&<.р)
(6.30)
Здесь полином
Д(р) = а(р) - Р(р) = £(av - Pv)pv,
v=0
a N = 1, р j = 0, если j > I,
(6.31)
где а(р) и Р(р) соответствуют операторным выражениям a(£>), P(Z>).
Изучим теперь асимптотические свойства замкнутой системы, про-
цессы в которой описываются уравнением (6.28). Рассматриваем харак-
теристическое уравнение
pN~yA(p) + кВ(р)а(р) = 0. (6.32)
При любом значенииN>n степень уравнения (6.32) равнаN + т+ 1.
Разделив все члены (6.32) на к и вычислив пределы при к -> оо, получим
предельное уравнение
т N-1
B(p)a(.p') = C^biPJ')(pN + £а.У) = 0.
/=0 А=0
На этом основании приходим к заключению, что в асимптотике
У + т корней (6.32) распределены следующим образом:
PvU^^pI, PxW^px при X—>оо;
v = l,2,...,JV; X = У +1,..., N + т, (6.33)
где рх - нули полинома В(р), а pv - нули полинома а(р).
Таким образом, при неограниченном увеличении коэффициента
усиления N корней характеристического уравнения замкнутой системы
асимптотически приближаются к соответствующим корням pv характе-
ристического уравнения а(р) = 0 эталонной модели, а т корней - к нулям
передаточной функции объекта, т.е. к корням уравнения В(р) = 0. Ус-
тановим теперь, где расположен последний корень уравнения (6.32) с
номером N + т + 1. С этой целью рассмотрим эквивалентную схему
замкнутой системы, которая изображена на рис. 6.4.
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
129
Рис. 6.4
Передаточная функция разомкнутой цепи равна
р уЛ(р) 8(р)
Предполагая, что при к -> » абсолютное значение l/^+m+il-*00,
анализ проведем по приближенной передаточной функции. Оставив в
числителе и знаменателе (6.34) члены старших степеней р, получим
w<p k^pN+m- = ^
pN~yp" Р
В соответствии с этим приближенная передаточная функция замк-
нутого контура равна
kh
К(р,к) = -^-. (6.35)
Р + кЬт
Из (6.35) следует, что
PN+m+i W = ~kbm (-®), если к оо. (6.36)
Итак, в результате анализа установлено, что замкнутая система
(6.28) сохраняет устойчивость при сколь угодно высоком коэффициенте
усиления. Поэтому справедливо
lim К(р, к) = lim ——^E^El--------= _Р<>1, (6.37)
*—>оо р vА(р) + кВ(р)а(р) а(р)
т.е. асимптотическая передаточная функция замкнутой системы равна
передаточной функции эталонной модели. Это обозначает, что процесс в
системе описывается уравнением (6.25) и, следовательно, x(f) = y(t).
В этом проявляются свойства параметрической адаптивности системы с
алгоритмами управления рассматриваемой структуры.
5 - 9516
130
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Результаты исследования замкнутой системы вполне согласуются с
результатами анализа контура управляющей функции. В частности, рас-
пределению корней (6.15) и (6.17) соответствует распределение (6.33),
(6.36); асимптотическая структура замкнутой системы, определяемая
уравнением (6.25), соответствует предельному равенству (6.37).
Отметим важную особенность синтезированного алгоритма (6.9),
(6.22). Запишем эти уравнения в виде
и = к\у^ -xw],
УМ = ^-[₽(Я)Хвх(') ~ a W(')L (6-38)
у = п — т- 1.
Здесь операторные полиномы
а'(£>) = oto + atD + ... + aw_|Z/M,
p(D) = р0 + ₽tn+ ... + р,/У, (6.39)
На завершающем этапе синтеза уравнения необходимо записать в фор-
ме, которая отвечает техническим требованиям аппаратной реализации.
Особенность синтезированного алгоритма (6.38) состоит в том, что
для аппаратной реализации его уравнений требуется минимальный объем
измеряемой информации. С учетом (6.39) имеем
1 fw-i п А
—J— a'(D)x(t) = х(0-
U )
Следовательно, расчетные соотношения (6.38) для вычисления
управляющей функции содержат производные выходной переменной
системы х(1,(1)> наибольший порядок которых равен у = п - т - 1. Если
степень т полинома числителя передаточной функции WQ(p) объекта на
единицу меньше степени п полинома знаменателя, т.е. т = п - 1, то у = 0
и уравнения (6.38) принимают вид
и = кку - х),
У = [₽(^вх (0 - «'(W (6.40)
В таком случае для вычисления и достаточно измерений только вы-
ходной переменной x(f).
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
131
6.2.2. Минимизация функционала
по переменным »w, s = т -1,..., 1,0
Построим теперь другую структуру алгоритма управления. В отли-
чие от (6.6), управляющую функцию определим дифференциальным со-
отношением
------— = Р—Ч1 -т-, т>\. (6.41)
dt Н ди(т-1)
Составляющая градиента по переменной равна
Х >
Поэтому (6.41) принимает вид
- ?">), к = -V1P- (6.42)
dt
Выполняя необходимые преобразования, из (6.42) и уравнения эта-
лонной модели (6.4) найдем
и = к(ум-хм),
У(М) =^r[₽(^Bx(0-aW(01> (6.43)
р. = п-т, т>1.
Если /и = п -1, то ц = 1 и уравнение (6.43) принимает вид
и = к(у-х),
У = -^т[₽(Я)Хвх(') ~ a'(D)x(t)]. (6.44)
Сравнивая (6.43) и (6.44) с (6.38) и (6.39), замечаем, что для вычис-
ления управляющей функции по уравнениям, полученным на основе
дифференциального закона управления (6.42), необходимо знать произ-
водные х(0, порядок которых на единицу выше. Если управляющую
функцию определить дифференциальным соотношением
132
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
du^~x\t) dG(_u,u,...) .
-------— = Р--- , \ , т>Х, (6.45)
dt Н ди{т-^
то уравнения алгоритма управления будут содержать производную x(j),
порядок которой на X единиц выше по сравнению с (6.38).
На основании выполненного анализа приходим к заключению о том,
что алгоритм управления (6.38), синтезированный по дифференциально-
му закону (6.6), требует для аппаратной реализации наименьшего объема
измеряемой информации. Поэтому алгоритмы такой структуры можно
называть алгоритмами с минимальным информационным обеспечением.
Отметим также следующее общее положение. При проектировании
алгоритмического обеспечения систем управления наиболее благоприят-
ными в информационном отношении являются ситуации, когда мала раз-
ность степеней п - т полинома знаменателя А(р) и полинома числителя
В(р) передаточной функции W0(p) управляемого объекта. Чем выше сте-
пень т, тем меньший объем измеряемой информации необходим для
аппаратной реализации уравнений алгоритма. Как показано, в случае
т = п - 1 уравнения алгоритма управления (6.40) не содержат производ-
ной х(г). Для вычисления управляющей функции достаточно измерений
только выходной переменной системы.
6.3. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
Для вычисления управляющих функций по уравнениям синтезиро-
ванных алгоритмов необходимо иметь информацию о старших производ-
ных выходной переменной проектируемой системы. В случае, когда
управляемый объект имеет высокий порядок, может оказаться, что ин-
формационно-измерительная система не обеспечивает возможность из-
мерения необходимых производных. В таких ситуациях недоступные для
непосредственного измерения производные следует вычислять. В на-
стоящем разделе рассматривается алгоритм вычисления производных по
соотношениям, которые выводятся из дифференциального уравнения
управляемого объекта.
Методику вывода расчетных соотношений изложим применительно
к задаче управления движением объекта третьего порядка, уравнение
которого не содержит производных управляющей функции
х + а2х + а{х + аох = Ьои. (6.46)
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
133
Такая модель соответствует наиболее неблагоприятной ситуации с
точки зрения информационного обеспечения. В этом случае для вычис-
ления управляющей функции требуется информация о переменных х, х,
х, если алгоритм управления синтезируется на основе градиентной схе-
мы первого порядка.
Далее примем, что передаточная функция объекта
L 2
^o(p) = -/t> ^(P) = P3 + SflvPV (6-47)
А(Р) v=o
не содержит полюсов в правой полуплоскости. Это условие является обя-
зательным для обеспечения устойчивости процесса вычисления произ-
водных. Пусть требуется синтезировать алгоритм управления, при кото-
ром динамические характеристики проектируемой системы практически
идентичны динамическим характеристикам эталонной модели
з
/4) + £ Y a /0 = ₽1*вх + ₽0*вх >
л=0
₽o=Yo- 3i=Yi- (6.48)
Эталонная модель (6.48) имеет второй порядок астатизма. Принимая
это во внимание, по методике, рассмотренной в лекции 5, находим сле-
дующие уравнения алгоритма управления
и = к(у - х),
У = Yo/i + Yi/o - 12х " Yз*> (6-49)
t t
fo = j/вх f\ = \fadt.
о 0
Для вычисления управляющей функции нужна информация о поло-
жении х, скорости х и ускорении х . Если все эти переменные измеряют-
ся, то алгоритм управления строится непосредственно по уравнениям
(6.49). В других ситуациях уравнения (6.49) необходимо дополнить рас-
четными соотношениями для вычисления неизмеряемых производных.
Рассмотрим различные случаи.
Измеряется только переменная х. В этом случае переменные х, х
необходимо вычислять. Из (6.46) имеем
134
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
х = bQu - аох - а}х - а2х. (6.50)
Проинтегрируем обе части (6.50) по времени при нулевых началь-
ных значениях переменных, затем неизмеряемые величины х, х обозна-
чим хв, хв. В результате получим
= f(V “ аох)dt ~ <hx ~ (6-51)
о
Структурная схема аналоговой модели вычислителя, соответствую-
щая (6.51), изображена на рис. 6.5. На вход вычислителя поступает из-
вестные переменные и, х.
Соотношение (6.51) составляет содержание алгоритма информаци-
онного обеспечения системы управления. При этом уравнения (6.49) сле-
дует записать в виде
и = к(у-хв),
y = 1ofi + Yi/o -Y2x-Y3*b> (6-52)
t *
/о = J(XBX - х) dt’ f = f/od'-
0 0
Таким образом, алгоритм управления с полным информационным
обеспечением строится по уравнениям (6.51), (6.52).
Измеряются переменные х, х. В данном случае необходимо вычис-
лить только вторую производную х. Расчетное соотношение находим
путем интегрирования обеих частей (6.50) без учета начальных значений
переменных:
Рис. 6.5
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
135
Рис. 6.6
t
= f(А)« - aQx) dt - - а2хв.
О
(6.53)
Структурная схема аналоговой модели вычислителя хв изображена
на рис. 6.6. На вход вычислителя поступают переменные и, х, х. Уравне-
ния (6.49) для вычисления управляющей функции следует записать так
и = к(у-х„),
y = Yofi +Yi/o-Y2x-Y3*>
(6.54)
t t
f> = f(^Bx - X) dt, f = f/0 dt.
о 0
Алгоритм управления с информационным обеспечением строится по
уравнениям (6.53), (6.54). Число интеграторов в структуре этого алгорит-
ма на один меньше по сравнению с предыдущим алгоритмом.
6.4. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Структура алгоритмов управления параметрически адаптивных сле-
дящих систем высокой динамической точности определяется по типовой
процедуре минимизации квадратичных функционалов, характеризующих
энергию движения. Минимизируемые функционалы записываются для
разности старших производных выходной переменной проектируемой
системы и эталонной модели. Высокая динамическая точность и слабая
параметрическая чувствительность систем достигается благодаря тому,
что в каждый момент времени значения минимизируемых функционалов
удерживаются в малой окрестности экстремума-минимума. Исходными
данными для решения задачи синтеза алгоритмов управления являются:
136
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
требуемая динамическая точность или добротность системы, быстродей-
ствие (длительность переходного процесса), допустимая величина пере-
регулирования, определяемая по реакции на ступенчатое воздействие,
заданный порядок астатизма.
Основные результаты и рекомендации, полученные при исследова-
нии, заключаются в следующем.
1. Методами развитой теории минимизации квадратичного функ-
ционала (6.5), характеризующего энергию движения управляемого объ-
екта с передаточной функцией (6.1) в окрестности фазовой траектории
эталонной модели (6.4), можно синтезировать (от + 1) различных струк-
тур алгоритмов управления, которые соответствуют дифференциальным
законам изменения управляющей функции
. р -?>),
df du(s’
5 = 0,1,...,от; k = -pbx >0. (6.55)
Структуры этих алгоритмов определяются уравнениями
u = k{y(v)-x(v}),
(6.56)
5 = 0,1,...,от; v = n-5-l.
2. Автоматическая система с каждым алгоритмом (6.56) допускает
неограниченное повышение уровня усиления в контуре управляющей
функции. Теоретически, при достаточных энергетических ресурсах ис-
полнительных элементов, в асимптотике (к -> оо) динамические характе-
ристики системы и эталонной модели идентичны независимо от измене-
ния параметров управляемого объекта. Это означает, что алгоритмы
управления (6.56) придают системам свойства естественной параметри-
ческой адаптивности.
3. Из всех возможных (от + 1) структур алгоритмов управления
(6.56) предпочтительным для практического применения является алго-
ритм с минимальным информационным обеспечением. Уравнения этого
алгоритма получаются при 5 = от и имеют вид (6.38). Для вычисления
управляющей функции по этим уравнениям необходимо иметь информа-
УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
137
цию о производных выходной переменной системы х(,)(0, наибольший
порядок которых равен п - т- 1. В случае л = 0 из (6.56) следуют урав-
нения, аппаратная реализация которых требует измерения производных
х(ц,(г) до (п - 1)-го порядка включительно.
Практическое применение алгоритма управления с минимальным
информационным обеспечением возможно в том случае, когда коэффи-
циент Ьт в передаточной функции W^p) по порядку величины сравним с
Ьт_{. В случае, когда отношение Ьт /Ьт_\« 1, может оказаться, что це-
лесообразно применять алгоритм управления, который получается из
(6.56) при д = т - 1. Его уравнения имеют вид (6.43). Решение о наиболее
предпочтительной структуре алгоритма управления необходимо прини-
мать по результатам исследования динамики проектируемой системы с уче-
том возможных диапазонов изменения параметров управляемого объекта.
4. Автоматические системы, в структуре которых содержатся алго-
ритмы информационного обеспечения, не допускают неограниченного
повышения уровня усиления. Однако они обладают меньшей чувстви-
тельностью к изменению их параметров по сравнению с системами,
структура которых формируется на основе традиционных законов управ-
ления.
Лекция 7
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПУТЕМ
МИНИМИЗАЦИИ ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
ПО ГРАДИЕНТНОЙ СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления, для ап-
паратной реализации которых требуется меньший объем измеряемой ин-
формации по сравнению с теми алгоритмами, структура которых соот-
ветствует градиентной схеме первого порядка. В методическом отноше-
нии синтез таких алгоритмов управления и исследование их свойств вы-
полняется аналогично тому, как это делается в задачах, которые рассмот-
рены в пятой и шестой лекциях. Поэтому изложение проводится без из-
лишних подробностей. Алгоритмы управления синтезируются для объек-
тов с передаточными функциями второго и третьего порядка. Исследова-
ние простых систем позволяет изучить свойства и особенности алгорит-
мов, которые в полной мере присущи также системам сложной структуры.
7.1. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Управляемое движение описывается уравнением
х + О]Х + аох = Ьои (7.1)
или в операторной форме
A{D)x(t) = bou(t), (7. Г)
где операторный трехчлен A(D) = О2 + a\D + а0. Для рассматриваемого
объекта синтезируем две структуры алгоритмов управления, которые
соответствуют эталонным моделям третьего и четвертого порядков. Ис-
следуем свойства замкнутых систем, а также изложим методику расчета
параметров алгоритмов.
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 139
7.1.1. Синтез алгоритмов управления
по эталонной модели третьего порядка
Задачу формулируем следующим образом. Требуется синтезировать
такой алгоритм управления, при котором динамика замкнутой системы
почти идентична динамике эталонной модели
2 2
а(Я) = Я3+ £avOv, p(D) = £₽vDv. (7.2)
v=0 v=0
Здесь xBX(0 - заданная программа движения, т.е. задающее входное
воздействие. Необходимо при этом, чтобы для вычисления управляющей
функции и было достаточно измерений только выходной переменной х.
Минимизируемый функционал назначаем в виде
О(«)=^[И0-х(Г,«)]2. (7.3)
Движение в окрестность минимума G(w) организуем по градиентной
схеме второго порядка
d2u(t) , du(t) . dG(u)
--+ h —— = X ——, h Д = const. (7.4)
dt2 dt du
С учетом (7.1) из (7.3) находим выражение для градиента, подставим
его в (7.4), в результате получим дифференциальный закон управления
и + hit = к(у -х), к = Ь0Х. (7.5)
Требуемое значение ускорения у вычисляется по соотношению
y = ^[P(£Xx(O-aW(')l, (7-6)
которое получается после однократного интегрирования обеих частей урав-
нения (7.2) эталонной модели с последующей заменой: j(v)(/) = x<v)(/),
v = 0, 1,2. В (7.6) обозначено
2
a'(D) = a(£>) - D3 = £avDv. (7.7)
v=0
140 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Уравнение (7.5) допускает понижение порядка, а именно, после ин-
тегрирования обеих частей без учета начальных значений будем иметь
ii + hu = k(y-x). (7.8)
Производную у находим из (7.6):
у = -^-[P(D)xBX (г) - а'(Р)х(0]. (7.9)
Наконец, после повторного интегрирования (7.8) и (7.9) найдем сле-
дующие уравнения алгоритма управления
i
и = к(у—х) - hjudt,
о
у = -^-[Р(£>)хвх (0 - а'(£>)х(0]. (7.10)
В правой части второго уравнения в (7.10) выполняется трехкратное
интегрирование по времени. Поэтому переменные х, хвх будут только под
знаками интегралов. Следовательно, для вычисления управляющей
функции по (7.10) не требуется информации о производных выходной
переменной. В системе достаточно измерять только х(Г).
Запишем (7.10) в раскрытой форме
t
и = к(у-х)~ kjudt,
о
i
У = J(/l + ₽2хвх - а2Х) (7-11)
О
I I
fo = f\ = }(ао/о+Р1Хвх-a.{x)dt, (P0=a0).
о о
Структурная схема алгоритма управления, соответствующая урав-
нениям (7.11), изображена на рис. 7.1. В том случае, когда порядок аста-
тизма модели равен двум, уравнения алгоритма управления имеют вид
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 141
Рис. 7.1
и = к(у-х)- h^udt,
о
t
У — j(«ogi +aigo+₽2XBx -а2х)<*, (7.12)
О
go = J(*BXgi = fgo<*. ₽o = «0, ₽i=ai-
о 0
Этим уравнениям соответствует структурная схема, которая изо-
бражена на рис. 7.2. Звено с передаточной функцией
^(Р) = -^Т = —(7-13)
P + h У(р)~х(р)
соответствует первому уравнению (7.12). Действительно, в операторной
форме имеем
u = k(y-x)--^u^W(D) = -^-.
Отсюда следует (7.13).
Отметим основные свойства управляемой системы с алгоритмами
(7.10) - (7.12). Принимая во внимание (7.7), на основании (7.5) и (7.6)
можно записать
(D2 + hD)u(f) = -^[₽(D)xBX (1) - a(D)x(l)].
142 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поэтому управляющая функция
к
«='2,п , [Р(Д)хвх(О~а(В)х(О]. (7.14)
£>(£> +Л)
Подставляя это выражение в (7.1), получим уравнение замкнутой
системы
[D2(D + Л)Л(О) + ^oa(D)] х(0 = А60р(О)хвх(0 (7.15)
и ее передаточную функцию
К(р, к) = —-------^(Р)----------- (7.16)
Р 4p + h)A{p) + kb^a.{p)
Степень п2 полинома р2(р + h)A(p) равна пяти, а степень nt полинома
а(р) равна трем. Поскольку разность п2 - nt = 2, то при определенном
соотношении между параметрами системы возможно неограниченное
повышение уровня усиления при сохранении устойчивости. Найдем это
соотношение по обычной методике. При к —> оо из характеристического
уравнения
р2(р + h)A(p) + kboa(p) = 0 (7.17)
следует предельное уравнение а(р) = 0, поэтому три полюса К(р, к) в
асимптотике стремятся к трем полюсам передаточной функции эталон-
ной модели. Установить расположение двух других полюсов на плоско-
сти комплексной переменной р при к -> оо можно по приближенному ха-
рактеристическому уравнению. Оно получается следующим образом.
Запишем (7.17) в виде
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 143
а(р)
При больших значениях |р| в полиномах числителя и знаменателя
можно ограничиться членами старших степеней р. Примем
р2(р + h)A(p)*p5 + (at + h)p\
а(р) » р2 + «гр2.
Тогда вместо (7.18) будем иметь приближенное уравнение
Р +^2Р
или после сокращения
р3 + (а, + Л)р2 + kb^p + kb0a2« 0. (7.19)
Два полюса передаточной функции исследуемой системы будут
удаляться на бесконечность в левой полуплоскости, если все корни урав-
нения (7.19) расположены слева от мнимой оси Rep = 0. Согласно крите-
рию Гурвица, для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
неравенство
h > а2 - at. (7.20)
Таким образом, если параметры системы удовлетворяют условию
(7.20), то при к -> оо она остается устойчивой. Следовательно, при огра-
ниченных входных сигналах xm(t) будет ограничена реакция системы x(t).
Поэтому разделив обе части (7.15) на kba и вычислив пределы при к —> <ю,
найдем асимптотическое уравнение
а(£>>(0 = Р(£’)хи(0, (7.21)
которое в точности совпадает с уравнением (7.2) эталонной модели. Сле-
довательно, динамика системы строго идентична (теоретически) динами-
ке модели. При конечном и достаточно высоком уровне усиления дина-
мические характеристики системы будут мало отличаться от динамиче-
ских характеристик эталонной модели при изменении параметров управ-
144 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В соответствии с (7.16) находим передаточную функцию системы в
разомкнутом состоянии
W(p, к) = —-------; (7.22)
Р (P + A)/l(p) + *V(P)
где полином Д(р) = а(р) - Р(р). Пусть порядок астатизма модели равен
единице (₽0 = схо). Тогда
Д(р) = рД'(д) = р[р2 + (а2 - р2)р + а( - PJ
и передаточная функция (7.22) примет вид
^оР(р)
W(p,k) =
р[р(Р + h)A(p) + кЬ0Л (р)]
(7.23)
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен единице, а ее
добротность по скорости
I _ Ро _ 1М
ЛСК п ЛСК •
-Pi
В случае, когда порядок астатизма эталонной модели равен двум
(Ро = Оо, Pi = cQ, полином
ДО) =р2Д"(д) =р2(р + а2 - р2).
Управляемая система также имеет второй порядок астатизма, ее пе-
редаточная функция
-----“Й£>-------
Р [(Р + А)Я(р) + ^Д'(р)]
(7.24)
Подставляя (7.24) в формулу (5.38), находим добротность системы
по ускорению
Ро _
а2-р2 уск’
Ц>Ро
если Я(0) = 0;
(7-25)
М) +&Ь(а2 -Р2)’
если Л(0)*0.
функция управляемого объекта
Таким образом, если передаточная
1Г0(д) = bJA(p) не имеет нулевого полюса (а0 * 0), то добротность систе-
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 145
мы по ускорению меньше добротности эталонной модели. Исследуемый
алгоритм управления синтезирован по эталонной модели третьего поряд-
ка (7.2). Если синтез провести по модели четвертого порядка, то равенст-
во ^уск = ^уск будет выполняться и в том случае, когда А(0) * 0. Выпи-
шем соответствующие соотношения для этого случая.
7.1.2. Синтез алгоритма управления
по эталонной модели четвертого порядка
Пусть уравнение эталонной модели имеет вид
(7.26)
Операторные полиномы, соответствующие левой и правой частям
(7.26), обозначим у(£>) и (3(£>). Добротность модели по скорости и ускоре-
нию определяется равенствами
Так как управляемый объект имеет второй порядок, то минимизи-
руемый функционал необходимо принять в виде (7.3). Поэтому управ-
ляющая функция по-прежнему определяется уравнением (7.5). Согласно
(7.26), значение у вычисляется по соотношению
у = р-[₽(О)хвх (Г) - y'(D)x(0], (7.27)
где обозначено
з
Y'(D) = Y(D)-D4 =2>vdv.
v=0
Подстановка (7.27) в (7.5) приводит к выражению для управляющей
функции
и = * [Р(В)хвх (Г) - (7.28)
D3(D + A)
Из (7.1') и (7.28) находим уравнение замкнутой системы
146 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[W + Л)Я(О) + kboy(D)]x(t) = (7.29)
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии
К(р, к) = —------^Р(Р)----------- (7,30)
Р {p + h)A{p) + kb^{p)
Степень полинома р3(р + h)A(p) на две единицы больше степени по-
линома у(р). Поэтому система будет сохранять устойчивость при высо-
ком уровне усиления, если ее параметры удовлетворяют определенному
условию. По обычной методике, аналогично (7.20), можно показать, что
таким условием является неравенство
h >73-01. (7.31)
Если оно выполняется, то асимптотическая структура системы при
к —> оо в точности совпадает с эталонной моделью.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
kbp^p)
W(p,k) = —------Д(р) = у(р)-Р(р). (7.32)
Р {p + k)A{p) + kb0^{p)
Из (7.32) следует, что при любом распределении полюсов переда-
точной функции объекта Ио(р) справедливы равенства
к — _Ё®_ - км к -__________ - км
ЛСК л ЛСК ’ луск Д луск»
Yi-Pi Y2-P2
которые соответствуют тем случаям, когда эталонная модель имеет пер-
вый и второй порядок астатизма.
Итак, основу алгоритма управления, синтезированного по эталонной
модели (7.26) четвертого порядка, составляют уравнения
й + hit = к(у - х),
(7.33)
которые соответствуют (7.5) и (7.27). После двукратного интегрирования
левых и правых частей (7.33) при нулевых начальных значениях перемен-
ных получим уравнения алгоритма, удобные для аппаратной реализации
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 147
w = k(y-x)-h^udt,
о
t t
fo = J(XBX ~x}dt, fx = ^fGdt,
0 0
t
fl = f(Yo/i + Yi/o + ₽2*BX - Y2*)<*> (7.34)
0
y= {(/г-y^dt, Yo=₽o, Y1= Pl-
fl
Структурная схема алгоритма аналогична схеме, представленной на
рис. 7.2.
7.1.3. Расчет параметров алгоритма управления
Изложим рекомендации по расчету ориентировочных значений па-
раметров h, к. Исходными положениями являются следующие: контур
управляющей функции должен обладать наибольшим быстродействием,
при этом длительность переходных процессов в контуре должна быть
существенно меньше длительности переходных процессов в эталонной
модели. Найдем необходимые расчетные соотношения из условия вы-
полнения этих требований.
Подставляя выражение для х из (7.1) в (7.5), получим уравнение
контура управляющей функции
й + hu + kbou = kz, (7.35)
где функция z = у + atx + аох. Сравнивая (7.35) с уравнением
й + 2С,—й +-V« = kz, (7.36)
записанным в стандартной форме, находим
2£—= Л, 4 = ^. (7.37)
т„
148 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Через ти обозначена постоянная времени. Наибольшее быстродей-
ствие контура имеет место, если коэффициент затухания = V2 / 2.
В этом случае длительность переходного процесса tu я Зти. Обозначим
через т» эквивалентную постоянную времени эталонной модели. Тогда
постоянную времени ти контура управляющей функции ориентировочно
можно назначать равной ти » 0,05 т..
Величину т, найдем из следующих соображений. Собственная час-
тота Оо эталонной модели (7.2) третьего порядка представляет собой
среднегеометрическое значение трех корней
^0 = 3у]Р\Р1Рз = yf^O-
Если динамика модели характеризуется слабой колебательностью и
перерегулированием порядка (15 ... 20) %, то с большой степенью при-
ближения т» = Од1. Принимая, следовательно, ти = 0,05 т. = 0,05 Qg1 ,
для расчета ориентировочных значений параметров из (7.37) получаем
следующие соотношения
у/2 , 1 0,05
—> к = —г> tu=-j=-
(7.38)
Для алгоритма управления (7.34), синтезированного по эталонной
модели четвертого порядка (7.26), параметры h, к рассчитываются по
аналогичным соотношениям:
J1 , 1 0,05
---, к=---у, ги=-=.
(7.38')
В данном случае собственная частота эталонной модели представля-
ет собой среднегеометрическое значение четырех корней
«о = $Pi-P4 = fio-
Поэтому эквивалентная постоянная времени т« = 1/^7?-
Ориентировочные значения параметров И, к, вычисленные по (7.38),
уточняются по результатам математического моделирования.
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 149
7.2. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть математическая модель управляемого объекта представлена
дифференциальным уравнением
х + а2х + atx + аох = Ьои (7.39)
или в операторной форме
2
A(D)x(t) = bou(t), A(D) = Ь5 + £ avDv. (7.40)
v=0
Алгоритмы управления движением объектов, математические моде-
ли которых представлены уравнениями вида (7.40), синтезируются по
методике п. 7.1. Поэтому кратко изложим схему синтеза двух структур
алгоритмов, соответствующих эталонным моделям третьего и четвертого
порядков. Отметим основные свойства и особенности управляемых сис-
тем с такими алгоритмами.
7.2.1. Синтез алгоритма управления
по эталонной модели третьего порядка
Синтезируем такой алгоритм управления, при котором структурные
свойства и динамические характеристики замкнутой системы соответст-
вуют структурным свойствам и динамическим характеристикам эталон-
ной модели, описываемой уравнением (7.2). Необходимо при этом, чтобы
для аппаратной реализации алгоритма было достаточно измерений вы-
ходной переменной х и ее производной х .
Степень приближения процессов в системе и эталонной модели ха-
рактеризуем функционалом
G(u)= (7.41)
Управляющую функцию, аналогично (7.4), определяем уравнением
d2u(f) . du(t) . dG(u)
---+ h —— = X ——, h, A. = const. (7.42)
dt2 dt du
С учетом (7.39) находим градиент функционала
dG(u) . ......
—^-L = ~b0(y-x)
du
150 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
и дифференциальный закон управления
й + hit = к(у - х), к = -Ь^к. (7.43)
Выполняя необходимые преобразования (7.43), получаем закон
управления в другой форме
и = к(у- к) -h | udt. (7.44)
о
Требуемое значение скорости изменения выходной переменной у
вычисляется по соотношениям
t
У= |(ао/о + ₽1Хвх - «!*) + ₽2*вх “а2*>
о
t
fo = f(*»x -*) ₽о = “о> (7-45)
о
которые получаются из уравнения эталонной модели.
Таким образом, алгоритм управления строится на основе уравнений
(7.44), (7.45). Для вычисления управляющей функции достаточно изме-
рений переменных х, х, как это требуется по постановке задачи. Струк-
турная схема алгоритма, соответствующая уравнениям (7.45), изображена
на рис. 7.3. Выведем уравнение замкнутой системы. Из (7.2) имеем
(7.46)
y(0 = ₽(O)xBX(0-a'(D)x(0,
Рис. 7.3
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 151
где операторное выражение a'(D) определяется по (7.7). Из (7.43) и
(7.46), аналогично (7.14), находим управляющую функцию
“(О = n/n fcJP<D>X»x(O - «(O)x(f)]. (7.47)
D(D + h)
Подставляя (7.47) в (7.40), получим уравнение замкнутой системы
[D(D + h)A{D) + kboa(D)] x(t) = M0P(D)xBX (f). (7.48)
Ему соответствует передаточная функция
К(р, к) =-------kWP)---------- (7,49)
p(p + h)A(p) + kboa(p)
Степень полинома р(р + Н)А(р) на две единицы выше степени а(р),
поэтому система может допускать неограниченное повышение уровня
усиления только при определенном соотношении между ее параметрами.
Исследуя поведение полюсов передаточной функции (7.49) при к —> оо,
можно показать, что система остается устойчивой в асимптотике, если
выполняется условие
Л>а2-а2, (7.50)
аналогичное (7.20). В этом случае справедливо предельное равенство
lim К(р,к) = Ш- = Км(р),
СХ(р)
т.е. асимптотическая передаточная функция системы в точности совпада-
ет с передаточной функцией модели. Следовательно, управляемый про-
цесс описывается уравнением (7.2). Если неравенство (7.50) не выполня-
ется, то прн увеличении к система теряет устойчивость.
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна
W{p,k) =
p{p + h)A{p) + kb^p)'
(7.51)
где полином Д(р) = а(р) - Р(р). В случае, когда порядок астатизма эта-
лонной модели равен единице (Ро = Оо), с учетом выражения
Д(р) =Р[Р2 + («2 - Рг)р + «1 - Р i]
находим добротность системы по скорости
152 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
СК
Ро _ z-м
a яск>
“1 “Pl
______^оРо________
ha0 + kb0(al ~Pi) ’
если А(0) = а0 = 0;
если Л(0) * 0,
(7-52)
Таким образом, если передаточная функция управляемого объекта
не имеет нулевого полюса (Л(0) = ао * 0), то добротность системы по ско-
рости меньше добротности эталонной модели. Такая ситуация может
оказаться неприемлемой для проектируемой системы. Поэтому для объ-
екта с такими свойствами алгоритм управления нужно синтезировать по
эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу выше порядка
объекта.
7.2.2. Синтез алгоритма управления
по эталонной модели четвертого порядка
Для объекта, движение которого описывается уравнением (7.39), ал-
горитм управления синтезируем по эталонной модели (7.26). Минимизи-
руемый функционал по-прежнему должен иметь вид (7.41). В таком слу-
чае исходными соотношениями для определения управляющей функции
являются:
й + hit = к(у - х),
У = ^[₽(ОХх (0 - у W(0] (7.53)
или в явной форме
к
и^>= ^2/^-,ЛР(ДХх (0 - Y(Z7)x(r)]. (7.54)
D\D+ti)
Отметим, что выражение для у в (7.53) получено из (7.27) путем
дифференцирования обеих частей по времени.
Подстановка (7.54) в (7.40) приводит к уравнению замкнутой системы
[D2(D + h)A(D) + kbay(D)]x(t) = kb0$(D)xBX(f). (7.55)
Ее передаточная функция равна
К(Р,к) =
________^оР(р)________
/22(/>+Л)Л(р)+Ц)У(/’)
(7.56)
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 153
По обычной методике можно установить, что система будет сохра-
нять устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления,
если ее параметры удовлетворяют неравенству
h > Уз - а2.
(7.57)
В таком случае в асимптотике (к —> оо) процессы в системе описы-
ваются уравнением
3 2
x4)+Zyvx(v)=E₽Me
v=0 р=0
(7-58)
которое совпадает с уравнением эталонной модели (7.26).
В соответствии с (7.59) передаточная функция системы в разомкну-
том состоянии равна
ИЦр, к) = , (7.59)
p(.p + h)A(p) + kb0A(p)
где полином Д(р) = у(р) - Р(р). Из (7.59) следует, что при любом распре-
делении полюсов передаточной функции управляемого объекта, в том
числе и в случае /1(0) = а0 * 0, добротность системы по скорости равна
добротности эталонной модели:
ь _ Ро _ !-«
ЛСК п СК ‘
Yi-Pi
Для системы с астатизмом второго порядка (Ро = Yo, Pi = У1) из (7.59)
находим добротность по ускорению:
*уск = • Ро _ ьм о уск * Y2-P2 ^оРо
haQ +ta0(y2 -Р2)
если /1(0) = 0;
если А(0) * 0.
(7.60)
Обычными преобразованиями из (7.53) получим уравнения алго-
ритма управления в окончательном виде
I
и = к(у - х) - h ^udt,
о
154 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
У~ J(Yo/l +Y1/0 + ₽2*вх -У2х)Л~УзХ’ (7.61)
О
/о = |(*вх - *) fl = J7(A
о о
Ориентировочные значения параметров h, к алгоритма управления
вычисляются по формулам (7.38')-
7.2.3. Алгоритм управления движением объекта,
передаточная функция которого имеет нуль
Пусть движение управляемого объекта описывается уравнением
х + а2х + ajx + aQx = Ь^й + Ьои (7.62)
или в операторной форме
A(D)x(t) = B(D)u(t). (7.62’)
Операторные выражения A(D), B(D) соответствуют левой и правой
частям уравнения (7.62). Передаточная функция
ад. ад. ад,
Л(Р> “<р>
2
А(р) = р3 + ^avpv, B(p) = blp + bQ (7.63)
v=0
имеет нуль р = -bot\l. Далее принимаем, что нуль расположен в левой
полуплоскости, т.е. р < 0. Синтезируем алгоритм управления, при кото-
ром замкнутая система и эталонная модель (7.2) обладают идентичными
структурными свойствами и динамическими характеристиками.
Для объекта третьего порядка минимизируемый функционал необ-
ходимо принимать в виде
G(u, и) = j[y(0 ~ х(*> й)]2. (7.64)
Движение в окрестность минимума G(u, и) будем осуществлять по
градиентной схеме второго порядка относительно скорости изменения
управляющей функции й, а именно:
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 155
dt2 dt дй 7
С учетом выражения
2
x(t, и,й)-Ь{й + bQu - avx(v)
v=0
находим составляющую градиента <3G(w, й) /дй = (у - х) по перемен-
ной й. Поэтому закон управления (7.65) в дифференциальной форме
примет вид
ii + Ий = к(у - х), к = -ХА,. (7.66)
Проинтегрируем дважды по времени обе части (7.66) при нулевых
начальных значениях переменных и дополним полученное уравнение
соотношением (7.9) для вычисления производной у. В результате най-
дем уравнение алгоритма управления
й + Ии = к(у - к),
y = -^-[p(D)xBX(0-YW(0] (7.67)
или в окончательном виде
t
и = к(у - х) - H^udt,
о
t
У = J(/i +₽2*вх -а2х)Л, (7.68)
о
I
f = f(«o/o + Р1*вх -a.\X)dt,
о
t
fo = Р*вх-*)Л> «О = Po-
ci
Для вычисления управляющей функции по (7.68) достаточно ин-
формации о выходной переменной x(f). Следовательно, наличие нуля у
передаточной функции управляемого объекта исключает необходимость
измерения скорости изменения выходной переменной системы.
156 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Уравнения (7.68) получены по эталонной модели с астатизмом пер-
вого порядка. Если порядок астатизма равен двум (р0 = do, Pi = «,), то из
(7.67) будем иметь следующие уравнения алгоритма
u = k(y-x)-h $udt, (7.69)
О
t
У= J(ao/i +«i/o +₽2*вх -a2x)dt,
о
/о = |(*вх-x)dt, f = $fQdt, (a0=₽0> “1=₽1)-
о 0
Изучим свойства системы с алгоритмом управления (7.67). Найдем
сначала необходимое условие сходимости процесса минимизации функ-
ционала (7.64). Оно может быть получено как условие устойчивости кон-
тура управляющей функции. Подставив выражение для х в (7.66), най-
дем уравнение контура
и + hii + Щй + kboU = kz, (7.70)
где обозначено
2
z=y + £avx(v).
v=0
Согласно критерию Гурвица, контур управляющей функции будет
устойчив, если
h>—.
Неравенство (7.71) является необходимым (но недостаточным) ус-
ловием устойчивости системы в целом.
Выведем уравнение замкнутой системы. Из (7.67) находим выраже-
ние для управляющей функции
к
u(t) = 2 - (0- «(О)х(0]. (7.72)
D (D + h)
Подставляя (7.72) в (7.62), получаем искомое уравнение
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 157
[D\D+ h)A(D) + M(D)a(D)]x(O = *B(D)p(D)xBX(f), (7.73)
которому соответствует передаточная функция
К{р,к) =
________кВ(р)${р)_______
Р2(Р + к)А(р) + кВ(р)а(р)
(7.74)
Степень полинома р2(р + /г)Л(р) на две единицы выше степени поли-
нома В(р)а(р). Поэтому чрезмерно большое значение коэффициента уси-
ления система допускает только при определенном соотношении между
ее параметрами. Это соотношение можно найти, исследуя распределение
полюсов передаточной функции (7.74) при неограниченном увеличении
к. Из характеристического уравнения
р2(р + h)A(p) + кВ(р)а(р) = О (7.75)
следует, что в асимптотике (к —> <ю) справедливо предельное уравнение
В{р)а.(р) = 0. Поэтому в случае к —> оо три полюса /?Д(А) передаточной
функции К(р, к) асимптотически стремятся к полюсам рх передаточной
функции эталонной модели, а четвертый полюс рл,(к) - к нулю передаточ-
ной функции управляемого объекта, т.е.
lim ps (к) = р*., s = 1,2,3;
lim = Р\>
где р* - корни уравнения а(р) = 0, а рх - корень уравнения В{р) = 0.
Расположение остальных двух полюсов К(р, к) можно установить,
как и в предыдущих задачах, исследуя приближенное характеристиче-
ское уравнение при больших значениях к. Уравнение (7.75) записываем в
виде
Р2(Р^(£)+^О (7.76)
^(Р)«(Р)
В числителе и знаменателе дроби в (7.76) оставляем двучлены выс-
ших степенейр, принимая
р2 (р + h)(p3 + а-гр + ...) ~р6 + (аг + к)р5,
(Ьхр + МР3 + сър + ...) « bxp* + (Ьо + Ьха2)р3.
158 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В таком случае из (7.76) получаем приближенное уравнение
Р5 + (а2 + h)p2 + кЬ^р + k(b0 + 6,а2)« 0. (7.77)
Согласно общему положению, при к -> <х> два полюса передаточной
функции (7.74) будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости,
если все корни уравнения (7.77) расположены слева от мнимой оси Rep = 0.
Это условие выполняется в том случае, если
h> — + a2~a2. (7.78)
Итак, если параметры системы удовлетворяют неравенству (7.78), то
ее устойчивость не нарушается при неограниченном повышении уровня
усиления. Поэтому в асимптотике динамические характеристики системы
и эталонной модели идентичны. Передаточная функция системы в ра-
зомкнутом состоянии равна
W(p,k) = —-----кВ(рМр)--------(779)
рг(р + Л)Л(р) + Щр)Д(р)
где полином Д(р) = а(р) - 0(р). Анализируя структуру (7.79) с учетом
выражений для а(р), 0(р), можно показать, что для рассматриваемой сис-
темы при любом распределении полюсов передаточной функции W0(p)
управляемого объекта добротность по скорости
t — Ро — гм ЛСК П ~ ЛСК ’ «1-01 00 =«о> (7.80)
а добротность системы по ускорению
00 _ если Л(0) = 0;
п R ек’
к — • луск а2 Р2 А6о0о если Л(0) * 0. (7.81)
haQ+kbQ(a2 -02)’
Ро = «о, 01 = аь
Соотношения (7.80) и (7.81) соответствуют алгоритму управления,
который синтезирован по эталонной модели третьего порядка. Чтобы
проектируемая система и модель имели равную добротность по ускоре-
нию (Ауск = Ауек) в случае а0 * 0, алгоритм управления необходимо син-
тезировать по эталонной модели, порядок которой хотя бы на единицу
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 159
выше порядка управляемого объекта. В этом случае по-прежнему мини-
мизируется функционал (7.64). Закон управления
/
и = к(у-х)-h^udt
о
остается без изменений, однако переменная у вычисляется по соотноше-
ниям, которые отличаются от (7.68). Эти соотношения мы не выписыва-
ем, так как они выводятся из уравнения эталонной модели по обычной
методике.
Уравнения алгоритма управления содержат два расчетных парамет-
ра h, к. Числовые значения этих параметров назначаются такими, чтобы
быстродействие контура управляющей функции было существенно выше
быстродействия эталонной модели. Ориентировочные значения Л, к мож-
но вычислить по формулам
(Ьо 1
-± + а2-а2 ,
к и J
0,05
(7.82)
к=_!_ т
Величина Л, удовлетворяющая неравенству, обеспечивает сохране-
ние устойчивости системы при высоком уровне усиления, как это требуется
согласно (7.78). В этом случае выполняется также неравенство (7.71) - усло-
вие устойчивости контура управляющей функции. Собственная частота
контура управляющей функции, согласно (7.70), равна Qo = ^kb0 = т'1.
Отсюда следует формула для коэффициента усиления к в (7.82). Здесь
по-прежнему принято т„ = 0,05т, = 0,05/^/а^.
Рассчитанные по (7.82) значения параметров Л, к уточняются по ре-
зультатам математического моделирования проектируемой системы.
7.3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Алгоритмы управления, синтезированные путем минимизации
функционалов G(w), G(w, и) по градиентным схемам вида
Jw _ dG(u) du _ dG(u, й)
dt du ’ dt ди ’
будем называть для краткости Алгоритмы-1. Аналогично, алгоритмы,
синтезированные на основе градиентных схем
160 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
d2u , du . dG(u) d2u , du . dG(u, u)
—v + h— = X——, —v + h— = X—i----
dr dt du du dt du
будем называть Алгоритмы-2.
Основные результаты и рекомендации, полученные при исследова-
нии систем с алгоритмами типа Алгоритм-2, заключаются в следующем.
1. Применение Алгоритмов-1 позволяет уменьшить объем измеряе-
мой информации, необходимой для аппаратной реализации уравнений
алгоритмов. Например, если для вычисления управляющей функции по
уравнениям Алгоритма-2 требуется информация о положении, скорости и
ускорении ( х, х, х), то в случае Алгоритма-2 управляющая функция вы-
числяется по измерениям положения и скорости (х, х).
2. Системы с Алгоритмами-2 обладают свойствами параметрической
адаптивности только при определенных соотношениях между их пара-
метрами. Эти соотношения имеют вид неравенств: (7.20) и (7.31) - для
объектов второго порядка; (7.50), (7.57) и (7.71) - для объектов третьего
порядка.
При формировании эталонных моделей, по которым синтезируются
алгоритмы управления, их параметры необходимо назначать такими,
чтобы указанные неравенства выполнялись во всем диапазоне изменения
динамических характеристик управляемых объектов.
3. Алгоритмы-2, при прочих равных условиях, повышают порядок
систем на единицу по сравнению с Алгоритмами-1. Повышение порядка
систем есть естественное следствие снижения порядка производных x(i\t)
в уравнениях для управляющих функций.
4. Системы с алгоритмами управления, синтезированными на основе
градиентной схемы третьего порядка, не обладают свойствами парамет-
рической адаптивности. При повышении уровня усиления такие системы
становятся неустойчивыми. Действительно, для управляемого объекта
третьего порядка (7.39) и эталонной модели (7.2) минимизация функцио-
нала (7.49) по градиентной схеме
d3u , du , du ,
—r + h, — + h0 — = A.
dt3 dt * dt
dG(u)
du
приводит к закону управления
й + h}u + h0u = kfy - х).
(7.83)
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛОВ ПО СХЕМЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 161
После трехкратного интегрирования обеих частей (7.83) без учета
начальных значений переменных получаем
i t t
и = к(у-х)-judt-fy) jfudt2. (7.84)
О 0 0
Для вычисления управляющей функции по (7.84) достаточно ин-
формации о положении (х).
Для рассматриваемых моделей процессы в замкнутой системе опи-
сываются уравнением
[О/7(О)Л(О) + tt>oa(D)]x(0 = kb^D^t), H(D) = D2 + h.D + h0.
Так как порядок операторного полинома DH(D)A(D) на три единицы
выше порядка полинома a(D), то система не допускает неограниченное
повышение уровня усиления. Вследствие этого не удается реализовать
высокую степень приближения динамических характеристик системы и
эталонной модели.
5. Отмеченные свойства систем с алгоритмами управления, синтези-
рованными путем минимизации функционалов по градиентным схемам
выше первого порядка, установлены применительно к задачам управле-
ния простейшими объектами (и = 2, п = 3). Однако эти свойства остаются
справедливыми и для систем высокого порядка.
6 - 9516
Лекция 8
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНАЯ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
УПРАВЛЕНИЯ СКОРОСТЬЮ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
Автоматические системы различных технологических машин функ-
ционируют в условиях изменяющихся инерционно-массовых нагрузок.
К ним относятся обрабатывающие центры, исполнительные механизмы
роботов-манипуляторов, станков с ЧПУ и другие. Изменение нагрузок
приводит к изменению динамических характеристик управляемых сис-
тем, вследствие чего снижаются показатели точности и качества выпол-
нения технологических операций. Для стабилизации динамических ха-
рактеристик в структуру системы вводят специальные алгоритмы иден-
тификации параметров и настройки регуляторов [1 - 3]. Как показано в
предыдущих лекциях, имеется возможность синтезировать алгоритмы
управления такой структуры, которые придают системам свойства слабой
чувствительности к изменению параметров в широких пределах. При
этом нет необходимости осуществлять идентификацию и настройку.
Такие алгоритмы обладают свойством естественной адаптивности.
Их структура синтезируется методом обратных задач динамики в сочета-
нии с минимизацией локальных функционалов, характеризующих энер-
гию движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей, с
помощью которых назначаются требования к динамике проектируемой
системы.
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления скоро-
стью вращательного движения. По линеаризованным уравнениям синте-
зированы алгоритмы трех различных структур. Для аппаратной реализа-
ции алгоритмов первой структуры требуется информация об угловой
скорости и ускорении. Алгоритмы управления второй и третьей структу-
ры требуют для своей реализации минимального объема информации;
для этого достаточно измерять только угловую скорость.
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
163
8.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Предполагаем, что система проектируется на основе электродвига-
теля постоянного тока с независимым возбуждением, а механизм переда-
чи движения выполнен на абсолютно жестких элементах.
Расчетная кинематическая схема управляемой системы приведена на
рис. 8.1. Она состоит из электродвигателя, редуктора с коэффициентом
передачи п и нагрузки. Момент инерции якоря обозначен через Л, редук-
тора - Jp, а нагрузки - J„. Угол поворота вала двигателя обозначен ф, а
вала нагрузки - фн. Эти углы связаны соотношением фн = фи’1. Управ-
ляющим сигналом является напряжение и, приложенное к якорной цепи.
Кроме того обозначено: М - электромагнитный момент, развиваемый
электродвигателем; Л/с, Мс„ - моменты сил сопротивления на валу двига-
теля и нагрузки; М„ - возмущающий момент. Пересчитывая к валу двига-
теля моменты инерции и сил сопротивления, получим следующие урав-
нения, описывающие механические и электрические процессы
JQ = A/-A/C(Q),
t t t
x3M + M (8.1)
э RR
где обозначено
МС(П) = Мс +(МСН + J = JB+JHn2,
x3=LR~l, П = ф. (8.2)
Величина тэ характеризует электрическую постоянную времени;
L, R- индуктивность и омическое сопротивление якорной цепи; Ам, кп -
паспортные параметры двига-
теля. Момент инерции не
Mq
И
При синтезе алгоритмов
управления рассматривают
линейную модель системы,
опуская A/C(Q). Исключая в
таком случае в (8.1) момент
М, получим следующее диф-
ференциальное уравнение
Q+a1Q + a0Q = 60u- (8-3) Рис. 8.1
п
Mg
ф Jp 4>н Ъ
6*
164
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Постоянные коэффициенты равны
1 1 а 1 JR /о
<*о =---, =—, bQ = --------, тм = ——. (8.4)
Используя оператор дифференцирования D = d/dt, уравнение (8.3)
запишем в операторной форме
A(D)a(t) = bou(t), A(D) = D2 + atD + а0. (8.5)
8.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ, СТРУКТУРА АЛГОРИТМА
УПРАВЛЕНИЯ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
Синтез алгоритма управления угловой скоростью Q выполняем по
модели (8.3). Задачу формулируем следующим образом. Закон изменения
угловой скорости задан функцией времени QBX(r). Требуется синтезиро-
вать такой алгоритм управления и = м( О, Q ), при котором в установив-
шемся режиме величина рассогласования ДО = QBX - О не превышала
допустимого значения | ДО | < е. Необходимо при этом, чтобы замкнутая
система обладала астатизмом первого порядка.
По постановке задачи искомый алгоритм управления должен обес-
печивать слежение за входным сигналом Овх(г) с точностью до е. В част-
ном случае, когда Овх = const, алгоритм стабилизирует постоянное значе-
ние угловой скорости.
Рассматриваем некоторую динамическую систему, движение кото-
рой описывается уравнением
Q* +a2Q* +ajQ* +a0Q* = P,QBX + P0QBX. (8.6)
Постоянные коэффициенты a v, Р; такие, что
av, р7 > 0, ata2 > a0, р0 = a0. (8.7)
В силу этого система (8.6) асимптотически устойчива и обладает ас-
татизмом первого порядка. Пусть, кроме того, при назначенных число-
вых значениях as, Р; система (8.6) отвечает требованиям задания на
проектирование по точности, быстродействию, длительности переходно-
го процесса и другим показателям. При указанных условиях систему (8.6)
будем называть эталонной моделью. Далее нам потребуется операторная
форма уравнения (8.6). С учетом принятого обозначения имеем
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
165
a(D)Q*(/) = P(D)Q„(/),
2
a(D) = D3 + £avOv, p(D) = p,D + p0. (8.8)
v=0
Отметим, что уравнение эталонной модели может быть получено по
обычной процедуре. А именно, сначала для заданного порядка астатизма,
требуемой полосы пропускания и динамической точности нужно постро-
ить асимптотическую логарифмическую амплитудную характеристику
желаемой системы (эталонной модели). По этой характеристике следует
затем записать передаточные функции модели в разомкнутом и замкну-
том состоянии и соответствующее дифференциальное уравнение вида
(8.6). В рассматриваемой задаче для определенности принят первый по-
рядок астатизма. При необходимости порядок астатизма можно назна-
чить другим. Это приведет к изменению структуры модели, однако мето-
дика синтеза алгоритмов управления останется без изменения.
По построению модели (8.6) в ее установившемся движении с необ-
ходимостью выполняется неравенство I QBX(Z) - Q(t) I < е, характеризую-
щее динамическую точность. Следовательно, требуемые динамические
характеристики проектируемой системы будут достигнуты, если алго-
ритм управления обеспечивает достаточно высокую степень приближе-
ния процессов Q(r) -> Q*(r). Из этого условия будем определять структу-
ру алгоритма и рассчитывать его параметры.
Степень приближения процессов в системе и модели будем характе-
ризовать величиной функционала
G(w) = |[o’(0 - Q*(/, и)]2, t > 0, (8.9)
которая пропорциональна мгновенному значению энергии ускорения
управляемой переменной Q. Этот функционал вычисляется в окрестно-
сти фазовой траектории эталонной модели (8.6). Управляющую функцию
найдем из условия, чтобы значение G(w) в каждый момент времени при-
надлежало малой окрестности экстремума-минимума. Следуя лекции 3,
принимаем дифференциальный закон управления
dw(O dG(w) х = const, (8.10)
dt du
который соответствует схеме градиентного метода поиска экстремума
функционала (8.9). Так как справедливы равенства
166
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Q(t, и) = Ьйи-а/1- a0Q, dG(u) _ щ (8.11)
du
то закон управления (8.10) принимает вид
= -О.), k = -Xbo>O. (8.12)
dt
Величина Q выступает в роли требуемого значения ускорения, ха-
рактеризующего изменение управляемой переменной Q. Интегрируя обе
части уравнения (8.6) по времени и принимая затем Q* = Q, Q = Q, найдем
t
Q*(r) = a0 j(QBX -О)Л + Р]ОВХ -ajQ-ajQ. (8.13)
о
При выводе (8.13) учтено, что р0 = Оо- Кроме того, начальные значе-
ния переменных приняты равными нулю, что соответствует математиче-
скому описанию динамических систем в форме передаточных функций.
Уравнения (8.12), (8.13) составляют содержание алгоритма управле-
ния. Однако для аппаратной реализации алгоритма эти уравнения необ-
ходимо преобразовать к другой форме. Так как дифференциальный закон
управления (8.12) допускает понижение порядка, то после интегрирова-
ния обеих частей (8.12) и (8.13) по времени при нулевых начальных зна-
чениях переменных получим окончательные уравнения алгоритма
и - - Q),
t
О*(0= f[ao/o +PiQBx -аД|Л-а2О, (8.14)
0
t
/o(') = /(«„-«)<*.
0
На рис. 8.2 изображена структурная схема замкнутой системы с ал-
горитмом (8.14). Модель управляемой системы представлена передаточ-
ной функцией Ьо /А(р), которая соответствует уравнению (8.5). Полином
А(р) получается в результате замены оператора D на комплексную пере-
менную р в операторном выражении A(D). В структуре системы преду-
смотрено измерение углового ускорения Q .
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
167
Рис. 8.2
Исследуем свойства замкнутой системы и покажем, что синтезиро-
ванный алгоритм управления обеспечивает возможность достижения
сколь угодно высокой точности приближения управляемого процесса к
эталонному. С этой целью выполним сначала анализ динамики миними-
зации функционала. Рассматриваем дифференциальный закон управле-
ния (8.12). Подставим в него выражение для Q из (8.11). В результате
получим следующее уравнение
ii + kbou=kbou, (8.15)
где функция
и* =— (О* 4-ajQ + aoQ)
ьо
соответствует экстремуму минимизируемого функционала
min G(w) = G(u*) = 0.
и
Уравнение (8.15) описывает процесс в контуре управляющей функ-
ции. Передаточная функция контура
ВД)=-^-Ж (8.16)
Р + кЬ0 и (р)
где и(р) и и(р) - изображения по Лапласу функций и(г) и u(t). Из (8.16)
следует, что для коэффициента усиления к должно выполняться правило
знаков
sign(A) = sign(Z>0). (8 17)
В этом случае обеспечивается устойчивость контура и, как следст-
вие, устойчивость процесса минимизации функционала G(u).
168
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Контур управляющей функции должен отслеживать функцию w*(0-
Ошибка слежения Ди = и - и определяет значение G(u). При малых Ди
мгновенное значение G(w) будет принадлежать малой окрестности экс-
тремума-минимума. Это имеет место в том случае, когда быстродействие
контура управляющей функции существенно выше быстродействия эта-
лонной модели. При таком условии значение функционала G(u) изменя-
ется за малый промежуток времени в основном за счет изменения управ-
ляющей функции, так как Q ® const, Я ® 0.
Из (8.16) следует, что путем повышения уровня усиления в контуре
может быть достигнуто сколь угодно высокое (теоретически) быстродей-
ствие. Так как Ьо > 0, то в асимптотике полюс передаточной функции
(8.16) удаляется на бесконечность в область отрицательных значений:
р(к) = -kb0 -> (-«>), если £->оо. (8.18)
При этом асимптотическая передаточная функция равна
^«(A°°)= Пт Ки(р,к) = \.
Таким образом, в результате анализа установлено следующее:
а) процесс минимизации функционала G(u) устойчив при любом
значении коэффициента усиления к, если для него выполняется правило
знаков (8.17);
б) устойчивость контура управляющей функции и, как следствие,
устойчивость процесса минимизации G(u) сохраняется при неограничен-
ном повышении уровня усиления {к -> оо).
Найдем теперь асимптотическую структуру замкнутой системы.
С этой целью получим уравнение системы при конечных значениях к. На
основании (8.14) запишем выражение для Я в операторной форме
Я* (г) = А-(ро + р, D) Явх (t) - (а0 + а,£> + a2D2) Я(0.
Подставляя Я* (0 в первое уравнение (8.14), найдем
к к.
u(t) Р(£>) Явх (0 - -у а(£>) Я(0. (8.19)
D D
Входящие сюда операторные выражения определяются согласно
(8.8). Наконец, исключим управляющую функцию из (8.5) и (8.19). В ре-
зультате получим уравнение замкнутой системы
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
169
(^Аф) + &>оа(£>)]П(О = tooPCPXWO- (8.20)
Ей соответствует передаточная функция
Ка (р, к) = —-------------= JKPL (8 21)
Р А(р) + кЬ^а{р) О„(р)
Характеристическое уравнение имеет вид
р4 + (а, + kb0)p2 + (а0 + a.2kb0)p2 + cq^qp + aokbo = 0. (8.22)
Согласно критерию Гурвица, система будет асимптотически устой-
чива, если выполняется неравенство
aJCai + kb0)a0 + a2kb0 - а, Л7>0] > ао(а, + kb0)2. (8.23)
Разделив обе части (8.23) на ц = (kb0)2 и вычислив затем пределы
при ц —> оо, получим предельное соотношение a,a2 > aq, которое совпа-
дает с условием (8.7) асимптотической устойчивости эталонной модели.
На этом основании приходим к следующему заключению: структура син-
тезированной системы допускает неограниченное повышение уровня
усиления без потери устойчивости; в асимптотике (к -> оо) степень устой-
чивости системы стремится к степени устойчивости эталонной модели.
Рассмотрим передаточную функцию (8.21). Разделим числитель и
знаменатель Кп(р, к) на величину kb0 и вычислим предел при к -> оо.
В результате получим
Хп(р,оо)= НшХп(р,Л) = Ж (8.24)
а(р)
Равенство (8.24) есть следствие того, что при неограниченном по-
вышении уровня усиления три полюса ps(k), s = 1, 2, 3 передаточной
функции (8.21) стремятся к соответствующим полюсам ps передаточной
функции эталонной модели, а четвертый полюс удаляется на бесконеч-
ность в область отрицательных значений. Действительно, в предельном
случае характеристическое уравнение
р2А(р) + kbtfutp) = 0 *~* > а(р) = 0. (8.25)
Поэтому справедливы предельные равенства
limp,(*) = p*, s= 1,2,3.
170
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
При больших значениях |р| поведение полюсов можно исследовать
по приближенному уравнению
р4 + (ai + kbo)p3 = 0 или р + («1 + И>0) - 0.
Отсюда находим
р4(Л)= -(«i + kbo) -> (-°0), если к -> оо,
что соответствует предельному соотношению (8.18).
Таким образом показано, что асимптотическая структура замкнутой
системы идентична структуре эталонной модели. Следовательно, в асим-
птотике переходный процесс в системе Q(z)->QBX(z) теоретически точ-
но совпадает с эталонным процессом Q*(f) -> QBX(Z). Существенно важ-
но, что такое свойство системы сохраняется независимо от изменения ее
параметров. В этом проявляется параметрическая адаптивность системы.
Рассмотрим теперь передаточную функцию системы в разомкнутом
состоянии. По известной формуле с учетом (8.21) находим
Wn (р,к) =------------------------------. (8.26)
р[рЯ(р) + ^0(р2 +а2р + а, -₽,)]
Сравнивая (8.25) и (8.26), заключаем, что управляемая система и
эталонная модель имеют одинаковый порядок астатизма, равный едини-
це, и одинаковую добротность по скорости:
= [р*П(р, *)]Р=о = = С. ₽о = «о-
eq-pi
Следовательно, амплитудные и фазовые характеристики системы и моде-
ли в области низких (рабочих) частот совпадают. Вследствие этого высо-
кая степень приближения управляемого процесса к эталонному достига-
ется при невысоком уровне усиления в контуре управляющей функции.
Ориентировочное значение коэффициента усиления рекомендуется
рассчитывать по формуле
*
к = (3...5)~, (8.27)
где со* - частота среза характеристики И^(ссо), соответствующей переда-
точной функции (8.26) эталонной модели в разомкнутом состоянии.
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
171
8.3. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНЫМ
ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Особенность синтезированного алгоритма (8.14) заключается в том,
что для его аппаратной реализации необходимо измерять угловое уско-
рение Q. Во многих случаях измерение Q не вызывает технических
затруднений. Однако при проектировании автоматических приводов
практический интерес представляет возможность применения альтерна-
тивного варианта алгоритма управления, аппаратная реализация которого
не требует измерения углового ускорения. Изложим методику синтеза
таких алгоритмов.
Принимаем, что в системе измеряется только угловая скорость Q.
Синтезируем такой алгоритм и = w(Q), при котором динамика замкнутой
системы будет практически идентична динамике эталонной модели (8.6).
Как и в предыдущей задаче, степень приближения процессов в системе и
модели характеризуем функционалом (8.9). Движение к экстремуму-
минимуму организуем в соответствии с дифференциальным законом
управления второго порядка
d2u , du . dG(u) о
—г + Л— = А—h, к =const > 0. (8.28)
dt2 dt du
С учетом (8.11) из (8.28) находим
^JL + h— = *(□’-□), k = -kbo>O. (8.29)
dr dt
Понижая порядок в (8.29), будем иметь
—+ Ли = А(П*-д). (8.30)
dt
Наконец, интегрируя обе части (8.30) по времени при нулевых на-
чальных значениях переменных, получим окончательно
и = A(Q* -Q)-A judt. (8.31)
о
Требуемое значение угловой скорости Q вычисляется по соотно-
шениям
172
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Q*(0 = J(/i -а2О)Л,
О
/1(0 = f(ao/o + Pi^bx - aj£2)dt, /0(Z) = j(Q„ - Q)d, (8.32)
о 0
которые получаются из второго уравнения (8.14).
Для вычисления управляющей функции и по (8.31), (8.32) не требу-
ется иметь информацию об угловом ускорении. На этом основании алго-
ритм управления (8.31), (8.32) можно называть алгоритмом с минималь-
ным информационным обеспечением. Выполним анализ системы с этим
алгоритмом.
Подставим в дифференциальный закон управления (8.29) выражение
для Q из (8.11), тогда получим уравнение для контура управляющей
функции
ii + Ий + kbou = кЬ^и . (8.33)
В соответствии с (8.33) передаточная функция контура
р2 + Ир+ кЬц и (р)
Отсюда следует, что для коэффициента усиления к должно выпол-
няться правило знаков (8.17). В этом случае контур управляющей функ-
ции асимптотически устойчив, причем устойчивость сохраняется при
неограниченном увеличении к. Асимптотическая передаточная функция
Ки(р, оо) = 1, как и в предыдущей задаче.
На рис. 8.3 приведена структурная схема замкнутой системы. Выве-
дем ее уравнение. Соотношения (8.30) и (8.32) запишем в операторной
форме
kD .
M(Z) = -^-[Q (Z)-Q(Z)], (8-34)
D + И
Q*(Z) =А-[р(Д)П„(0-а'(Р)ОД],
где операторное выражение a'(£>) — a(£>) - D3. С учетом второго уравне-
ния (8.34) управляющая функция будет равна
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
173
«(') = -Д-[₽(О)^(')-а(ВД')]. (8.35)
D (D + h)
Подстановка u(f) из (8.35) в (8.5) приводит к уравнению замкнутой
системы
[D^D + h)A(D) + &>oa(£>)]Q(O = to0P(£>)QBX(Z). (8.36)
Ей соответствует передаточная функция
Ка(р, к) = —----------------------. (8.37)
Р (p + h)A(p) + kboa(p)
Система имеет пятый порядок. Особенность ее структуры заключа-
ется в том, что степень полинома р2(р + Л)Я(р) на две единицы больше
степени полинома а(р). Вследствие этого сохранение устойчивости сис-
темы при неограниченном повышении уровня усиления (к -> оо) теорети-
чески допустимо только при определенных значениях ее параметров.
Проведем анализ этой ситуации. Отметим прежде всего, что характери-
стическое уравнение системы р2(р + h)A(p) + kboa(p) = 0 в случае к -> оо
вырождается в уравнение а(р) = 0. Это означает, что в асимптотике три
полюса передаточной функции (8.37) стремятся к соответствующим по-
люсам передаточной функции эталонной модели. Чтобы установить по-
ведение двух других полюсов, рассмотрим эквивалентную схему систе-
мы, представленную на рис. 8.4. Передаточная функция разомкнутой цепи
Щр.ц, . Чр)
p2(p + h)A(p) 8(р)
(8.38)
174
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Рис. 8.4
В числителе и знаменателе (8.38) сохраним по два члена старших
степеней:
kb0(p) = kb^p + «г?2 +•••),
р2(р + h)A(p) = ps + (а, + h)p4 +....
Тогда вместо (8.38) можно записать приближенное равенство
W(p,k) = kb0 ^+^-. (8 39)
p\a{+h)p
По передаточной функции (8.39) можно установить поведение по-
люсов исходной передаточной функции (8.37) при больших значениях
|р|. Именно, если все полюсы функции
К(М)-~--------------------------- (g40)
р +{ax+h)p + kbop + а2кЬ0
имеют отрицательные действительные части, то два полюса, соответст-
вующие (8.37), удаляются на бесконечность в левой полуплоскости, если
к -> оо. Применяя критерий Гурвица к характеристическому полиному
передаточной функции (8.40), находим неравенство а( + h > а2, при вы-
полнении которого система (8.36) допускает неограниченное повышение
усиления без потери устойчивости. Из этого следует, что асимптотиче-
ская структура системы идентична структуре эталонной модели. Отме-
тим, кроме того, что порядок астатизма и добротность по скорости сис-
темы (8.37) и модели равны. Следовательно, высокая точность прибли-
жения процессов в системе и модели достигается при умеренных значе-
ниях коэффициента усиления к, точнее - произведения И>0.
Таким образом, показано, что алгоритм управления (8.31), (8.32) с
минимальным информационным обеспечением придает системе такие же
свойства, как и алгоритм (8.14), аппаратная реализация которого связана
с необходимостью измерения ускорения Q .
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
175
Уравнения алгоритма (8.31), (8.32) содержат два расчетных пара-
метра: к и h. Ориентировочное значение коэффициента усиления к рас-
считывается по-прежнему по формуле (8.27), а значение второго пара-
метра рекомендуется рассчитывать по формуле h = 2Q^kb0, где С, - ко-
эффициент затухания собственных колебаний в контуре управляющей
функции. Быстродействие этого контура должно быть наибольшим, по-
этому необходимо принять С, = у/2/2. В этом случае длительность пере-
ходных процессов в контуре определяется величиной гп = 3 / -jkb0.
Многие электродвигатели постоянного тока характеризуются элек-
трическими постоянными времени тэ, существенно меньшими, чем ме-
ханические тм. В таких случаях представляется возможным применять
алгоритмы управления, синтезированные по упрощенным математиче-
ским моделям. Синтезируем такой алгоритм управления для рассматри-
ваемой задачи.
В случае тэ « тм пренебрегаем инерционностью процессов в элек-
трической цепи и на основании (8.3), (8.4) получаем уравнение для угло-
вой скорости
Q + а'0П = Ь'ои,
^о=(тм^Г'- (8-41)
Пусть требования к динамике проектируемой системы назначаются
с помощью эталонной модели
Q’ + y,Q* + y0Q* = + r0QBX. (8.42)
Необходимо синтезировать алгоритм управления, при котором ди-
намика замкнутой системы практически идентична динамике модели
(8.42). В данном случае минимизируемый функционал принимаем в виде
G(M) = |[Q*(0-6(f,w)]2, t>0. (8.43)
По схеме градиентного метода с учетом (8.41) и (8.43) получаем
дифференциальный закон управления
^£ = х^(и) =)t-(Q*_Q)f k' = -b'Qk
dt du
176
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
или после понижения порядка
и = к'(Ё1* -Q), Г>0. (8.44)
Требуемое значение угловой скорости Q вычисляется по соотно-
шениям
i t
О* (О = J(Yo/o +rIQBXf0(t) = J(Q„-П)Л, (8.45)
о о
которые получаются из уравнения модели (8.42) в результате двукратно-
го интегрирования обеих частей при нулевых начальных значениях пере-
менных. Таким образом, искомый алгоритм упрощенной структуры
строится на основе уравнений (8.44), (8.45).
Отметим свойства замкнутой системы с этим алгоритмом. Принима-
ем при этом, что управляемый процесс представлен полной моделью, т.е.
уравнением (8.3). На основании (8.44) и (8.45) запишем выражение для
управляющей функции в операторной форме
к.1 kf
= (8.46)
где r(D) и y(Z>) соответствуют левой и правой частям (8.42). После под-
становки (8.46) в (8.5) получим уравнение замкнутой системы
[^(D) + Kboy(D)]n(ty = k'bor(Dy Овх(с). (8.47)
Степень операторного полинома у(О) на две единицы меньше степе-
ни полинома D2A(D). Поэтому система может допускать неограниченное
повышение уровня усиления (к' —> оо) при определенном соотношении
между ее параметрами. Аналогично тому, как это сделано в предыдущей
задаче, можно показать, что это соотношение имеет вид неравенства
а, > у]. Отсюда с учетом (8.4) получаем тэ < yf1. Таким образом, если для
принятых значений параметров эталонной модели электрическая посто-
янная времени тэ не превышает обратной величины yf1, то алгоритм
управления упрощенной структуры обеспечивает (теоретически) сколь
угодно высокую степень приближения динамических характеристик сис-
темы и модели при повышении уровня усиления. Расчет величины £ вы-
полняется по формуле (8.27), где вместо коэффициента Ьо следует под-
ставить Ь'о . При этом частота среза со* определяется для модели (8.42) в
разомкнутом состоянии.
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
177
Понятно, что в рассмотренной задаче эталонную модель можно
принимать иной, например, третьего порядка вида (8.6). Минимизируе-
мый функционал (8.43) сохраняется.
В заключение отметим следующее. При проектировании алгоритми-
ческого обеспечения систем управления угловой скоростью имеется три
альтернативных варианта адаптивных алгоритмов предлагаемой структу-
ры. Какой из этих алгоритмов является наиболее предпочтительным,
можно установить в результате исследования динамики с учетом особен-
ностей системы и условий ее эксплуатации.
8.4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
Исследуем динамику системы управления скоростью вращательного
движения. Пусть задание на проектирование системы такого назначения
содержит следующие исходные данные:
- минимальное и максимальное значения момента инерции JH на-
грузки;
- максимальное значение угловой скорости вращения вала нагрузки
Qmax и максимальное значение углового ускорения Qmax ;
- допустимое значение ошибки стабилизации скорости вращения в ус-
тановившемся режиме АПДОП = Qax - Q(°o), где Qax - заданное значение;
- длительность переходного процесса tn и допустимая величина пе-
ререгулирования стдоп, определяемые по реакции системы управления на
ступенчатое воздействие QBX (1) = QBX 1(1).
Кроме того, при изменении момента инерции нагрузки JH и при на-
личии возмущающего момента Мл моментов сил сопротивления динами-
ческие характеристики системы стабилизации не должны выходить за
допустимые пределы.
Пусть для конкретных исходных данных, указанных в техническом
задании на проектирование, по известным методикам выполнены необ-
ходимые расчеты по обоснованию типа исполнительного двигателя и
других элементов системы. Для определенности исследований принима-
ем, что требованиям задания отвечает электродвигатель постоянного тока
с независимым возбуждением, имеющий следующие параметры:
J, = 5 10’5 кг м2, *м = 0,0488 Нм- А-1, кп = 0,073 Вс- рад-1,
L = 12,5 10-3 Гн, R = 1,33 Ом. (8.48)
178
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Принимаем далее, что в процессе выполнения технологических опера-
ций момент инерции нагрузки изменяется в пределах J„ = (5 ... 25)10“5 кг • м2.
Для безредукторной системы (п = 1) в табл. 8.1 приведены числовые зна-
чения коэффициентов передаточной функции
Wa(p) = -^- = - -°-----= (8.49)
А(р) Р2+а}Р+а0 и(Р)
Здесь же указаны значения электромеханической постоянной времени
тм . При расчетах не учитывался момент инерцид редуктора. Значение J в
первом варианте соответствует J„ = 0. Из табл. 8.1 следует, что пятикрат-
ному изменению величины приведенного момента инерции соответству-
ет пятикратное увеличение постоянной времени тм = (0,019 ... 0,093) с.
Отметим, что усилители системы управления принимаются безы-
нерционными, а их коэффициенты передачи, как и чувствительных эле-
ментов, должны учитываться в схеме аппаратной реализации алгоритмов.
Чтобы выполнить требование о стабильности динамических харак-
теристик при изменении условий функционирования, проектирование
системы необходимо вести для наиболее неблагоприятного режима ее
работы. Такому режиму соответствуют параметры варианта 5 в табл. 8.1.
Проведем расчет параметров для варианта 3, а затем исследуем динамику
системы в более широком диапазоне изменения момента инерции на-
грузки.
Алгоритм управления угловой скоростью Q синтезируем из условия,
чтобы длительность переходного процесса при отработке заданного зна-
чения О°х = const составляла величину 0,15 с. Необходимо при этом,
8.1. Параметры передаточной функции
Номер варианта J- 105, кг • м2 тм, с а0 10’3, с'2 Л], с 1 ь0 юА рад • с“3 • В-1
1 5 0,019 5,6 106,4 7,671
2 10 0,037 2,876 106,4 3,939
3 15 0,056 1,9 106,4 2,603
4 20 0,074 1,438 106,4 1,97
5 25 0,093 1,144 106,4 1,567
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
179
чтобы система не имела статической ошибки, а величина перерегулиро-
вания не превышала 25 %. Кроме того, добротность системы по скорости
должна быть равной 200 с-1, что обеспечивает высокую динамическую
точность.
Указанным требованиям к динамике системы управления отвечает
эталонная модель, передаточная функция которой в разомкнутом состоя-
нии равна
^(р) = *эт
т1Р + \
р(Тхр + \)(Т3р + \У
(8.50)
*,т = 200 с'1, 7) = 0,3 с, Т2 = 0,06 с, Т3 = 0,006 с.
Уравнение модели в замкнутом состоянии имеет вид (8.6). Числовые
значения коэффициентов уравнения (8.6), имеющих соответствующие
размерности, равны
а0 = р0 =^~ = 1,1НЮ5, а, = 1 + ^Г2 = 7,222 ДО3,
Т1Т3 Т1Т3
а2=(Г11+Г3,) = 170, р!=*эт^ = 6,667 103. (8.51)
Эталонная модель (8.50) имеет первый порядок астатизма, поэтому
статическая ошибка по скорости модели равна нулю, как это требуется по
постановке задачи. При указанных значениях параметров (8.51) частота
среза характеристики IFq(zco) равна со «42 рад с1, длительность пере-
ходного процесса t*n «0,15 с, а величина перерегулирования ст«21 %.
Корни характеристического уравнения, соответствующего (8.6), равны
pi2 =-27,002 ± /15,123, Рз =-115,997.
Алгоритм управления угловой скоростью строится по уравнениям
(8.14). С учетом числовых значений параметров (8.51) уравнения (8.14)
записываем так
и = £(Q* - Q),
Q* =103 J[lll,l/o +6,667QBX -7,222Q]J/-170Q, (8.52)
о
180
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
fo ~ J(^bx Q)dt.
о
Расчетным параметром в уравнениях алгоритма (8.52) является ко-
эффициент усиления к. Величина к рассчитывается из условия, чтобы
быстродействие контура управляющей функции и было существенно
выше быстродействия эталонной модели.
Исследованиями установлено, что достаточно высокая степень при-
ближения динамических характеристик проектируемой системы к дина-
мическим характеристикам эталонной модели достигается в том случае,
если величина к рассчитывается по формуле (8.27). Для варианта 3 коэф-
фициент Ьо = 2,603 104. Так как частота среза со*»42 рад с-1, то по
формуле (8.27) находим:
4 = 3—= 0,0048 Вс2 рад’1.
Рассмотрим теперь результаты исследования динамики системы
управления угловой скоростью с алгоритмом (8.52). Прежде всего отме-
тим, что для расчетных значений параметров (вариант 3) частотная ха-
рактеристика разомкнутой системы с передаточной функцией
(р, к) =---------^о(Р1Р±Ро>-----------, к = 4,8 • 10’3 (8.53)
p[pj(p) + 4^(p -KXjp + cXj-p,)]
практически совпадает с характеристикой
^(ко) =
Р1Р + Ро
2
Р(Р + a2P + ai -Pi)
Р=1(Л
эталонной модели в разомкнутом состоянии. Различие между характери-
стиками проявляется только в области частот, существенно превышаю-
щих частоту среза, т.е. со »со* = 42 рад с”1. Вследствие этого динамика
проектируемой системы почти идентична динамике модели.
В табл. 8.2 приведены данные, характеризующие зависимость полю-
сов передаточной функции замкнутой системы от коэффициента усиле-
ния к в случае, когда момент инерции J = 15 10'5 кг • м2. В последней
строке таблицы указаны числовые значения полюсов передаточной
функции модели (8.50). Из анализа следует, что при увеличении к три
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
181
8.2. Распределение полюсов передаточной функции
замкнутой системы
к Pi Д2.3 Р4
0,002 -48,938 +/13,224 -30,2921 ± /36,511 -48,938-/13,224
0,003 -58,952-/48,614 -33,293 ± /19,43 -58,952 + /48,614
0,005 -88594 - /66,978 -29,68± /17,067 -88,594 + /66,978
0,05 -120,468 -27,204 ± /15,277 -1,233 • 103
0,1 -118,055 -27,102± /15,199 -2,537 • 103
0,5 -116,384 -27,022 ±/15,138 -1,295 • 104
модель -115,997 -27,0021/15,123 -
полюса передаточной функции системы приближаются к соответствую-
щим полюсам передаточной функции эталонной модели. При этом чет-
вертый полюс удаляется от мнимой оси в область бесконечных отрица-
тельных значений и не оказывает заметного влияния на реакцию систе-
мы. В этом случае характер управляемого процесса и его параметры
практически полностью определяются первыми тремя полюсами р„
s = 1,2, 3, которые являются доминирующими.
На рис. 8.5 приведены графики, характеризующие чувствительность
системы к изменению уровня усиления (к). Здесь представлены зависи-
мости интегральных квадратичных оценок
182
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
т
/0(*)= T = 5tn
о
отклонений угловой скорости Q в системе от выходной переменной Q
модели при различных значениях момента инерции нагрузки. Из этих
зависимостей следует, что квадратичные оценки практически мало отли-
чаются при изменении момента инерции в пределах (5 ... 25) • 10'5 кг • м2,
если уровень усиления определяется величиной к = (3 ... 4) • 10’3. Заметим
при этом, что для варианта 5 коэффициент усиления, рассчитанный по
формуле (8.27), равен к » 8 • 10"3.
Приведенные результаты математического моделирования подтвер-
ждают теоретическое заключение о слабой чувствительности системы,
управляемой алгоритмами вида (8.52). Такой вывод следует также из
графиков переходных процессов, приведенных на рис. 8.6. Они соответст-
вуют случаю, когда уровень усиления определяется величиной к = 5 • 10-3.
Кривая с наибольшим перерегуированием характеризует переходный
процесс с моментом инерции J = 25 • 1(Г5 кг • м2. Процесс в эталонной
системе характеризуется кривой, помеченной буквой Q*. Таким образом,
можно видеть, что пятикратное увеличение момента инерции нагрузки не
приводит к значительным изменениям показателей качества переходных
процессов: длительность и перерегулирование незначительно отличаются
от расчетных значений. Такое заключение подтверждается также графи-
ками переходных процессов, представленных на рис. 8.7.
Рис. 8.6
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
183
Высокие динамические свойства системы - следствие того, что ее
частотные характеристики практически совпадают с характеристиками
модели в области низких и средних частот (рис. 8.8). Динамическая точ-
ность автоматических систем оценивается, как правило, величиной
ошибки слежения за входными воздействиями, изменяющимися во вре-
мени. Чаще всего для этой цели применяют гармонические сигналы вида
184
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
QBX (/) = Ар sin dipt. Круговая частота (ор принадлежит диапазону рабо-
чих частот проектируемой системы, а величина Ар определяется в ре-
зультате анализа условий ее работы. Пусть в соответствии с заданием на
проектирование система должна с требуемой точностью ( s < £доп) осу-
ществлять слежение за гармоническим входным воздействием QBX(/),
которое изменяется во времени с максимальными значениями Qmax,
Qmax • Тогда, как известно, расчетные значения амплитуды и частоты для
данной системы вычисляются по формулам
6 Q2
ш “шаа. А = Д5п«. (8.54)
р Q ’ Р Q
i6max i6max
Передаточная функция (8.50) эталонной модели формируется таким
образом, чтобы при выполнении других требований (порядок астатизма,
быстродействие, степени числителя и знаменателя и др.) ошибка слеже-
ния за воздействием QBX(/) с параметрами (8.54) не превышала величи-
ны едоп . Для этого необходимо, чтобы на рабочей частоте <вр выполня-
лось неравенство
I . । А„
||Гр(/(ор)|>—(8.55)
едоп
Принимаем, что эталонная модель сформирована в соответствии с
(8.54), (8.55), а ее структура в разомкнутом состоянии определяется вы-
ражением (8.50). В таком случае, как было показано, частотная характе-
ристика Wn(ко,к), определяемая по формуле (8.53), практически совпа-
дает с частотной характеристикой Ид (/со) не только в диапазоне рабочих
частот, но и за пределами частоты среза со . Следовательно, синтезиро-
ванная система характеризуется такой же динамической точностью, как и
эталонная модель. Поэтому нет необходимости исследовать точность
системы с помощью моделирования.
Результаты математического моделирования соответствуют тому
случаю, когда электрическая постоянная времени тэ * 0,01 с. Для различ-
ных вариантов нагрузки отношение тм/тэ = 2 ... 9. Это свидетельствует о
том, что величина тэ оказывает незначительное влияние на динамику
системы.
АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
185
Непосредственная аппаратная реализация уравнений (8.52) алгорит-
ма управления не является целесообразной, так как в прямой цепи управ-
ляющей части системы необходимо включать усилитель с большим ко-
эффициентом усиления ку = 103. В то же время, в контуре ускорения уро-
вень усиления определяется величиной порядка к = (5 ... 10)10“3. Это по-
зволяет выполнить масштабирование уровней сигналов в схеме алгорит-
ма управления с целью уменьшения числовых значений коэффициентов
усиления.
Таким образом, система с алгоритмом управления (8.14) обладает
высокими динамическими характеристиками и параметрической адап-
тивностью. Исследованиями установлено, что такими же свойствами об-
ладает автоматическая система с алгоритмом (8.31), (8.32), для аппарат-
ной реализации которого не требуется информация об ускорении Q .
Расчет коэффициентов к, h алгоритма выполняется по методике разд. 8.2.
При этом параметры системы должны подчиняться неравенству at + h > <х2,
при выполнении которого теоретически допускается неограниченное по-
вышение уровня усиления (к —> оо).
С помощью математического моделирования исследована динамика
системы с алгоритмом управления (8.44), (8.45), синтезированным по
упрощенной модели (8.41), которая не учитывает инерционность элек-
трических процессов в якорной цепи. Показано, что высокие динамиче-
ские характеристики системы достигаются в том случае, когда тм /тэ > 5.
ЗАМЕЧАНИЯ
1. Допустимый диапазон изменения параметров управляемого объ-
екта, например момента инерции нагрузки, при сохранении динамиче-
ских характеристик системы существенно зависит от параметров эталон-
ной модели, по которой синтезируется алгоритм управления. При
уменьшении добротности модели и снижении ее быстродействия допус-
тимый диапазон изменения параметров управления увеличивается при
незначительном снижении качества процессов управления.
2. Ориентировочные значения параметров к или к, h алгоритмов
управления рассчитываются по формулам, которые выведены из условия
приближения процессов в проектируемой системе и эталонной модели.
Расчетные значения параметров уточняются при математическом моде-
лировании путем сравнения переходных характеристик системы и моде-
ли при скачкообразном входном воздействии. Как правило, оказывается,
что значения управляющей функции м(г) - управляющего напряжения в
186 АДАПТИВНАЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
случае электромеханической системы - существенно превышает допус-
тимый уровень. Однако это не означает, что рассматриваемый вариант
алгоритма управления следует признать неприемлемым. В технических
системах, как известно, применяют специальные схемы (или алгоритмы -
в случае цифрового управления), которые сглаживают скачкообразные
задающие воздействия. Вследствие этого исключаются недопустимо
большие значения токов и напряжений в цепях управления.
Лекция 9
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫЕ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ
ВЫСОКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ
В различных областях машиностроения и приборостроения широко
применяются следящие системы высокой динамической точности и ав-
томатические системы позиционирования. Следящие системы предна-
значены для воспроизведения требуемых программных движений рабо-
чего инструмента при выполнении различных технологических операций
на автоматизированном оборудовании. Системы позиционирования яв-
ляются важнейшими элементами сборочного оборудования. К системам
обоих типов предъявляются высокие требования по точности и стабиль-
ности динамических характеристик в изменяющихся условиях функцио-
нирования автоматизированных станков и машин. В настоящей лекции
рассматриваются задачи синтеза алгоритмов управления следящих сис-
тем и систем позиционирования высокой динамической точности, обла-
дающих свойствами слабой чувствительности к изменению параметров и
возмущающим силам. Теоретически исследована динамика синтезиро-
ванных систем, приведены результаты математического моделирования
процессов управления.
9.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Расчетная кинематическая схема управляемой системы и основные
уравнения динамики приведены в лекции 8. Выпишем здесь необходи-
мые уравнения движения по углу поворота вала исполнительного двига-
теля. Передаточная функция для угловой скорости Q(z) по управляюще-
му напряжению (управляющей функции) u(t) равна
Wa(p) =
("каУ' _ °(Р)
Ь'См^2+Тм^ + 1
(9.1)
Расчетные формулы для электрической и механической постоянных
времени тэ, тм также приведены в лекции 8, коэффициент кп, характери-
зующий противо-ЭДС, указывается в паспорте двигателя.
188
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Согласно (9.1) передаточная функция для угла поворота вала двига-
теля <р(0 будет равна
Wv(P) = -Wn(p) = ^-. (9.2)
Р “(Р)
Для операторного описания системы передаточные функции (9.1),
(9.2) будем представлять в следующем виде
Я(р) ф рА(р)
где обозначено
Л(р) = рг + aip + ад,
ао=(Тэ*м)''> b0=a0(nknyl. (9.4)
В соответствии с (9.3), (9.4) запишем дифференциальное уравнение
<р + а1ф + аоф = йои. (9.5)
Далее нам потребуется упрощенная модель управляемой системы,
соответствующая тому случаю, когда можно не учитывать инерцион-
ность электрических процессов в якорной цепи (тэ«тм). Принимая
тэ = 0, на основании (9.1) и (9.3) запишем
ip + a'o<p = b'ou,
ао=тм'> Ь'0 = а'0(тикп)~1. (9.6)
По моделям (9.5) и (9.6) будем решать задачи синтеза алгоритмов
управления угловым положением и позиционирования, а также алгорит-
мов управления следящих приводов высокой динамической точности.
Алгоритмы управления угловым положением и позиционирования обес-
печивают перевод управляемой системы из начального положения в на-
значенное стационарное состояние. Алгоритмы управления следящих
приводов обеспечивают движение исполнительного элемента системы
(рабочего инструмента) по назначенному закону. В методическом отно-
шении и те и другие алгоритмы синтезируются по единой схеме, причем
задача синтеза алгоритмов управления следящих приводов более общая.
Эту задачу мы и будем рассматривать.
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
189
9.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ, СИНТЕЗ СТРУКТУРЫ
АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
Движение управляемой системы описывается уравнением (9.5).
Требуемый закон изменения угловой координаты ф(г) задан функцией
времени фвх (t). Необходимо синтезировать такой алгоритм управления,
который обеспечивает выполнение следующих требований к проекти-
руемой системе:
а) в установившемся режиме после затухания переходных процессов
динамическая ошибка един = | фвх(Г) - <р(/) I в диапазоне рабочих частот
не должна превышать допустимый уровень е;
б) длительность переходного процесса и перерегулирование при
ступенчатом воздействии не должны быть больше заданных значений;
в) заданная динамическая точность должна обеспечиваться при воз-
мущающих моментах, величины которых определяются условиями
функционирования проектируемой системы;
г) система должна обладать слабой чувствительностью к изменению
параметров управляемого объекта и управляющего алгоритма.
По постановке задачи алгоритм управления должен обеспечивать
слежение за программным движением фвх (/) с точностью до е. В част-
ном случае, когда фвх = <р° = const, осуществляется перевод системы из
некоторого начального состояния ф('\0) = фл0, 5 = 0, 1, 2 в стационарное
состояние <р(оо) = ф°, ф(оо) = <р(оо) = 0. В этом случае исполнительный
двигатель системы должен установить рабочий инструмент или исполни-
тельный механизм в назначенное положение по угловой переменной и
осуществить позиционирование с необходимой точностью.
В соответствии с общей теорией, структуру алгоритма управления
определяем путем приближения динамических характеристик проекти-
руемой системы и эталонной модели, динамические характеристики ко-
торой отвечают требованиям задания на проектирование. Чтобы не за-
громождать изложение, далее принимаем, что заданным динамическим
характеристикам соответствует эталонная модель, передаточная функция
которой в разомкнутом состоянии имеет вид
^ф(р) = к' (Т Т*Рытп^>
р(Т\р + \)(Т2р + \)
ТХ>Т2>ТУ
(9-7)
190
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
В замкнутом состоянии модель описывается следующим дифферен-
циальным уравнением:
Ф* + г2ф* + Г]ф* + гоф* = g](pBX + £0фвх. (9.8)
В соответствии с (9.7) коэффициенты уравнения равны
А* \ + к*Т2 1 1
'b=^o=77-> ri г2=(Т} +Т3 ).
-ч-'з 'из
При проектировании следящих систем высокой динамической точ-
ности требуемые динамические характеристики назначаются, как прави-
ло, с помощью эталонных моделей более сложной структуры. Однако
процедура синтеза алгоритмов управления по моделям более высокого
порядка остается такой же, как и в случае моделей простой структуры.
По построению эталонной модели (9.8) в ее установившемся движе-
нии абсолютная величина отклонения | фвх (/) - ф(/) | с необходимостью
меньше допустимого значения динамической ошибки е. Следовательно,
требуемая динамическая точность, а также идентичность других характе-
ристик проектируемой системы и модели будет достигнута, если алго-
ритм управления обеспечивает достаточно высокую степень приближе-
ния процессов ф(/) —>ф (г). Из этого условия будем определять структу-
ру алгоритма и рассчитывать его параметры.
Степень приближения процессов в системе и модели оцениваем ве-
личиной функционала
ОД = |[ф‘(0-ф(',«)]2, ^0, (9.9)
который вычисляется в окрестности решения уравнения (9.8). Управ-
ляющую функцию и находим таким образом, чтобы при любом t > 0 зна-
чение функционала (9.9) принадлежало малой окрестности экстремума-
минимума. Движение к экстремуму функционала организуем по схеме
градиентного метода, принимая дифференциальный закон управления
первого порядка
—— Z.—-——, Х = const. (9.10)
dt du
В соответствии с (9.5) и (9.9) имеем
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
191
ф(/, и) = Ьои - аоф - ^ф, U = -Ьо(ф‘ - ф). (9.11)
du
С учетом (9.11) закон управления (9.10) принимает вид
= *ф(ф* - ф), к* = -ХЬ0 > 0 (9.12)
или после понижения порядка
«(О = *Ф(ф*-ф)- (9-13)
Требуемое значение ускорения ф следует вычислять по уравнению
эталонной модели с учетом состояния управляемой системы. Чтобы по-
лучить расчетное соотношение для ф , необходимо проинтегрировать по
времени левую и правую части уравнения (9.8), а затем выполнить заме-
ну переменных ф* = ф, ф* = ф. Принимая начальные значения перемен-
ных нулевыми и учитывая, что g0 = г0, найдем
i
ф’(0 = г0 /(Фвх - ф) dt + g^BX - Г]ф - г2ф. (9.14)
о
Уравнения (9.13), (9.14) составляют основу алгоритма управления
угловым движением. Структурная схема замкнутой системы с этим алго-
ритмом приведена на рис. 9.1. Модель управляемой системы представле-
на в схеме передаточной функцией ^(р). Для вычисления управляю-
щей функции и используется информация о переменных ф, ф и ф. По
этой информации эталонная модель формирует требуемое значение ус-
корения ф , которое является задающим сигналом для контура управ-
ляющей функции. Величина u(t) пропорциональна разности требуемого
и фактического значений ускорений ф (/) - ф(/).
Исследуем свойства системы с алгоритмом управления (9.13), (9.14).
Выполним сначала анализ контура управляющей функции. Уравнение
этого контура можно получить из (9.12), подставив сюда выражение для
ф из (9.11). Выполняя такую подстановку, найдем
u + k<9b0u = kvb0u ,
(9.15)
192
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Рис. 9.1
где функция
. 1
и =—(<р 4-^ф + аоф)
Чо
соответствует экстремуму минимизируемого функционала
min G(u) = G(u) = 0.
Из (9.15) получаем передаточную функцию
^„(рДф) =
_Мо_
Р + ^о
и(р)
и (р)'
(9-16)
Динамика контура управляющей функции характеризует процесс
минимизации функционала (9.9). Так как структура передаточной функ-
ции (9.16) идентична структуре соответствующей передаточной функции
в алгоритме управления угловой скоростью, то и динамические свойства
этих контуров также идентичны. Не выполняя детального анализа, отме-
тим следующее. Устойчивость процесса минимизации функционала име-
ет место в случае, когда kvb0 > 0, т.е. для коэффициента усиления долж-
но выполняться правило знаков sign(iq)) = signal Значение функционала
G(u) будет принадлежать малой окрестности экстремума-минимума в том
случае, когда быстродействие контура управляющей функции сущест-
венно выше быстродействия эталонной модели. Это достигается путем
повышения уровня усиления. Теоретически при бесконечно высоком
уровне усиления передаточная функция контура управляющей функции
соответствует безынерционному усилителю
*Лр, °°) = J™ КЛР> *<р) = 1- (9.17)
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
193
Математически это означает, что полюс передаточной функции
Ки(р, Лф) удаляется на бесконечность в область отрицательных значе-
ний, т.е.
р(*Ф)=-М>-И-00)- если ^ф-*00-
В методическом отношении представляет интерес анализ процесса
минимизации функционала G(u) путем анализа динамики контура треть-
ей (старшей) производной управляемой переменной ф. С этой целью рас-
смотрим следующие уравнения
й = *ф(Ф*-ф), ф = 60ы-а0ф-а1ф. (9.18)
Этим уравнениям соответствует структурная схема, представленная
на рис. 9.2. В структуре системы выделен контур третьей производной ф,
задающим сигналом которого является требуемое значение ф , характе-
ризующее движение эталонной модели. Обратная отрицательная связь
контура осуществляется по фактическому значению ф. Сигнал
фс =-аоф-а]ф выступает в роли внешнего возмущения. Обозначим че-
рез К^\р, Лф) передаточную функцию рассматриваемого контура. Ин-
дексом «3» отмечено, что передаточная функция характеризует динамику
системы по третьей производной. Непосредственно по структурной схе-
ме получаем
к^Чр, *ф) = = (9.19) Р + kvbo Ф (р) I а0
Рис. 9.2
7 - 9516
194
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Полюс передаточной функции p(kv) = -к^Ь0 равен полюсу
Ки(р, Лф) и при kv —> оо удаляется на бесконечность по отрицательной
полуоси. В асимптотике справедливо равенство
к(3)(р,оо) = lim К(3\р,к9) = 1. (9.20)
Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиления
инерционный контур третьей производной с постоянной времени
т3 =(Лф^о) 1 вырождается в безынерционный усилитель с коэффициентом
усиления, равным единице. Поэтому в предельном случае ф(г) = ф*(г),
t > 0, т.е. контур мгновенно отрабатывает входное задающее воздействие
ф’(0-
С учетом (9.19) для рассматриваемой структуры (рис. 9.2) имеем
следующие уравнения
9 = ^фА)(ф’-ф)> ф = 9 + фс, =-аоф-а1ф. (9.21)
Исключая в (9.21) переменные ф, фс, найдем
9 ~ VoS = л<рА)Сф* + а1Ф + аоФ)- (9.22)
По условию задачи эталонная модель (9.8) асимптотически устойчи-
ва, поэтому при ограниченном задающем воздействии | фвх (г) | < оо будет
ограничена третья производная выходной переменной модели, т.е.
|ф*(г)|<оо. Далее, управляемая система асимптотически устойчива по
угловой скорости ф, так как полюсы передаточной функции Wn(p), оп-
ределяемой по (9.1), расположены в левой полуплоскости. В силу этого
справедливо
| а,ф(/) + аоф(О | < оо, | ф* (г) - фс (01 < оо.
Отмеченные свойства функций времени делают правомерным пре-
дельный переход в уравнении (9.22) при kv -> оо. Разделив обе части это-
го уравнения на k^bf, и вычислив пределы, получим следующее соотно-
шение
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
195
&(1) = ф’ + Я]ф + аоф = Ьои*.
С помощью аналогичной процедуры это соотношение, естественно,
можно вывести из уравнения (9.15), которое описывает процессы в кон-
туре управляющей функции.
Итак, показано, что процесс минимизации функционала можно ис-
следовать, изучая динамику контура управляющей функции или контура
третьей (старшей) производной выходной переменной управляемой сис-
темы. Однако основной результат выполненного анализа заключается в
другом. А именно, было установлено, что синтезированный алгоритм
придает системе свойства слабой чувствительности к возмущающим си-
лам (моментам). Действительно, теоретически при kv —> оо контур управ-
ляющей функции, равно как и контур старшей производной, полностью
парирует влияние возмущающего сигнала фс, поскольку в этом случае
имеет место строгое равенство ф(1) = ф (7), t > 0. Практически при ко-
нечных значениях и достаточно больших значениях к^о влияние воз-
мущений на качество процесса управления может быть ослаблено до не-
обходимого уровня.
Таким образом, в результате исследования динамики контура стар-
шей производной установлено качественно новое свойство алгоритмов
управления типа (9.13), (9.14), имеющее существенное прикладное значе-
ние. Физическая интерпретация этого свойства состоит в следующем. Со-
гласно (9.12) скорость изменения управляющей функции й = Лф(ф -ф)
определяется величиной рассогласования между требуемым и фактиче-
ским значениями третьих производных выходных переменных модели и
управляемой системы. Какие бы причины ни вызывали это рассогласова-
ние, оно без запаздывания учитывается при вычислении й. Так как
ф = Э + фс, т.е. возмущающий сигнал фсконтура третьей производной
входит аддитивной составляющей ф, то его величина непосредственно
определяет в каждый момент времени величину й. В этом состоит физи-
ческий смысл и объяснение слабой чувствительности системы к возму-
щающим силам.
Свойство адаптации к возмущениям установлено для контура стар-
шей производной и, как следствие, для контура управляющей функции.
При этом возмущение фс = —аоф — О|ф обусловлено внутренними связями
системы и характеризует ее свободное движение. Можно показать, что
7*
196
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
это свойство адаптивности сохраняется и для системы в целом по отно-
шению к внешним возмущающим силам и моментам.
Исследуем теперь свойства системы с алгоритмом (9.13), (9.14). Вы-
ведем уравнение управляемого процесса. Запишем выражение (9.14) для
Ф в операторной форме
Ф (t) = -^(g0 +giD)4>Bx(0-^('b +/]D + r2D2)(f>(t).
Подстановка этого выражения в (9.13) приводит к следующей форме
закона управления
к к
u{t) = (t) __Jr(DMt), (9.23)
где операторные полиномы
2
r(P) = D3 + £rvPv, g(P) = g0+gi£>
v=0
соответствуют левой и правой частям дифференциального уравнения
модели (9.8). Чтобы найти уравнение замкнутой системы, необходимо
исключить управляющую функцию из (9.5) и (9.23). Выполняя необхо-
димые преобразования, с учетом обозначений (9.4) найдем
[2УЛ(£>) + *ФМ£>)]ф(0 = Фвх(0. (9.24)
Порядок уравнения (9.24) равен четырем. Степень полинома D2A(D)
на единицу выше степени полинома r(D). Поэтому по методике, развитой
в лекции 8 для рассматриваемой системы, можно доказать справедли-
вость следующих положений. При любых конечных значениях парамет-
ров управляемой системы всегда существует такое значение коэффици-
ента усиления Лф = Л* в контуре управляющей функции, при котором
система (9.24) асимптотически устойчива. Более того, система не теряет ус-
тойчивости при неограниченном увеличении и в асимптотике (к^ —> оо)
степень ее устойчивости оказывается равной степени устойчивости эта-
лонной модели. Неравенство
И [(«1 + kvb0 )(а0 + r2kvb0) - ] > r0 («1 + kvb0 )2,
выражающее условие асимптотической устойчивости системы по крите-
рию Гурвица, в случае Лф -> оо переходит в неравенство г\г2 > г0 , которое
является условием асимптотической устойчивости модели.
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
197
Уравнению (9.24) соответствует передаточная функция замкнутой
системы
К (п к 1 Ф(Р)
ф Р’ ф) р1 А{р) + к^Ьйг{р) Фвх(р)’
Разделив числитель и знаменатель (9.25) на произведение к^Ьц и
вычислив предел при к^ —> оо, получим асимптотическую передаточную
функцию
К (р,оо)= lim К^р,к )=Ш- = ^£к. (9.26)
Ф г(р) фвх(р)
Следовательно, в случае к^ —> оо три полюса передаточной функции
(9.25) стремятся к соответствующим полюсам передаточной функции
эталонной модели, а четвертый полюс удаляется на бесконечность по
отрицательной полуоси. Это асимптотическое свойство системы естест-
венным образом связано с вырождением передаточной функции контура
старшей производной или контура и в коэффициент усиления безынер-
ционного усилительного звена, т.е.
К(3)(Мф)->1 или ХГф(р, Аф) —► 1, если £ф-»оо.
На основании предельного равенства (9.26) заключаем, что в асимпто-
тике переходный процесс в управляемой системе <р(г) —> фвх (г) теоретиче-
ски точно совпадает с эталонным переходным процессом <р (г) —> фвх (г).
В этом проявляется свойство параметрической адаптивности системы
стабильно сохранять динамические характеристики независимо от изме-
нения параметров управляемого объекта.
В методическом отношении представляет интерес другая процедура
исследования асимптотических свойств системы. Выполняется она в об-
ласти времени и заключается в следующем. При ограниченных задающих
воздействиях | фвх(Г) | с оо асимптотически устойчивой системы при t > О
справедливо
|о2Л(0)ф(Г)|<оо и | g(D)<?BX (t) | < оо.
На этом основании имеют место предельные равенства
lim -^-[О2Л(О)ф(Г)] = 0, lim -Д-[£(£>)фвх(Г)] = О, (Г>0).
198
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Разделив обе части уравнения (9.24) на £ф60 и вычислив пределы
при -> оо, найдем
' 2 А
Я3 + £ Ф(О = (&D + g0)<PBX (0- (9.27)
к «=о J
Уравнение (9.27) соответствует предельной передаточной функции
(9.26) и в точности совпадает с уравнением эталонной модели.
Отметим, что в случае, когда фвх = ф° = const, t > 0, при вычислении
пределов необходимо исключить начальный момент времени t = 0. При
дифференцировании ступенчатой функции <р° • 1(0 появляется 5-функция
Дирака, поэтому | g(D)<p° • 1(f) | -» оо при t -» 0, что требует более строго-
го анализа при выполнении предельных переходов. Практически в сле-
дящих системах, как и в других автоматических системах, не бывает за-
дающих сигналов идеальной ступенчатой формы. Это обусловлено тем,
что цепи системы содержат неучтенные в математических моделях мало-
инерциониые звенья, которые сглаживают сигналы. В силу этого приня-
тое допущение формально-математического характера не противоречит
физической стороне дела. Пусть фвх = <р° = const. Тогда в установившем-
ся движении по известной формуле находим
<р(оо) = lim pK^k^tp) = ф°,
о
так как по условию r0 = g0 , а изображение Ф°(р) = —. Следовательно,
Р
алгоритм управления обеспечивает точную отработку постоянного за-
дающего воздействия, что требуется в случае управления угловым поло-
жением.
В соответствии с (9.25) передаточная функция системы в разомкну-
том состоянии равна
р[рЛ(р) + Мо^ +ггР + г\-
Отсюда следует, что управляемая система, как и эталонная модель,
имеет первый порядок астатизма. При этом коэффициент усиления сис-
темы (добротность по скорости) равен коэффициенту усиления модели
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
199
*раз=~^~, (ro = go)- (9.29)
n-g)
Вследствие этого высокая степень приближения управляемого про-
цесса к эталонному достигается при умеренных значениях коэффициента
усиления в контуре управляющей функции. Такая особенность обуслов-
лена тем, что в диапазоне рабочих частот амплитудные и фазовые харак-
теристики системы и модели совпадают.
Ориентировочное значение рекомендуется рассчитывать по формуле
*
Ч = (3...5)^-, (9.30)
где га - частота среза характеристики ^(ко) эталонной модели в ра-
зомкнутом состоянии.
9.3. АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ С МИНИМАЛЬНЫМ
ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Синтезируем теперь алгоритм управления, для аппаратной реализа-
ции которого требуется минимальный объем измеряемой информации.
Принимаем, что в системе не измеряется угловое ускорение ф. Структу-
ру и параметры алгоритма управления и = w(<p, ф) найдем из условия,
чтобы динамика системы по выходной переменной <р(г) была практиче-
ски идентична динамике эталонной модели (9.8). Как и в предыдущей
задаче, степень приближения процессов в системе и модели характеризу-
ем величиной функционала (9.9). Принимаем дифференциальный закон
управления второго порядка
d2u , du , dG(u) , . * п
-^- + h — = Х v , Al, X = const > 0. (9.31)
dt dt du v
Подставляя в (9.31) выражение для градиента функционала из (9.11),
находим
^+h^- = k4tfkv=-Xbo>0. (9.32)
dr dt
Уравнение (9.32) допускает понижение порядка интегрированием
левой и правой частей. В результате этих преобразований получим
200
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
-^ + Лфи = *ф(ф’ -ф). (9.33)
Повторное интегрирование обеих частей (9.33) приводит к оконча-
тельной форме закона управления
t
И = ^ф(ф’ - Ф) - Ар /иЛ- (9.34)
о
Требуемое значение ф находим из (9.14) путем однократного ин-
тегрирования:
t
Ф*(0 = JОоПо + §1Фвх - ПФ) dt -
о
t
По(')= /(Ф„-Ф)Л- (9-35)
о
При выводе уравнений (9.33) - (9.35) начальные значения перемен-
ных принимаются равными нулю.
Итак, уравнения (9.34), (9.35) составляют основу алгоритма управ-
ления с минимальным информационным обеспечением, так как для вы-
числения управляющей функции не требуются измерения второй произ-
водной выходной переменной управляемой системы. Структурная схема
замкнутой системы изображена на рис. 9.3. Выполним анализ свойств
этой системы.
На основании (9.32) и (9.5) для прямой цепи системы от входа ф до
выхода ф можно записать следующие уравнения
Рис. 9.3
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
201
...V ... ,
м =------21-----(ф - ф), ф = Ьаи + фг.
D(D + hX * 0
(9.36)
Переменная <рс. определена ранее при анализе структуры, схема ко-
торой изображена на рис. 9.2. Эта переменная выступает в роли возму-
щения для контура третьей производной. Исключая в (9.36) управляю-
щую функцию и и принимая <рс = 0, получим передаточную функцию
контура третьей производной
кт(р, *,) -
Р + + kvb0 Ф (р)
(9.37)
В отличие от (9.19), в рассматриваемой системе передаточная функ-
ция третьей производной имеет второй порядок. Однако при неограни-
ченном повышении уровня усиления (к^ -> оо) контур не теряет устойчи-
вости. Это следует из того, что годограф частотной характеристики пря-
мой цепи контура
H/(3)Gh,^)= *ф6° (9.38)
проходит в четвертом и третьем квадрантах и не пересекает действительной
отрицательной полуоси. В случае к^ -> оо оба полюса передаточной функции
(9.38) удаляются на бесконечность по прямой Re р = -Др/2. В пределе
К^\р. оо) = 1, что соответствует безынерционному контуру.
Выведем уравнение замкнутой системы от входного воздействия
фвх к выходной переменной ф. Исходные уравнения (9.5) и (9.33) запи-
сываем в операторной форме
Ш(О)ф() = bou(t), u(t) = -A—- ф(г)].
D + %
Подставляя сюда операторное выражение для ф , а затем исключая
и, найдем искомое уравнение
[D2(D + Аф)Л(О) + ЛфТ(О)]ф(г) = kvbog(P)<pm(t), (9.39)
которому соответствует передаточная функция системы в замкнутом со-
стоянии
202
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
К (р к ) - ф(р)
ф ’ ’ p2(P + ^M(p) + ^r(p) фвх(р)
(9.40)
Исследуем асимптотические свойства системы. С этой целью изу-
чим поведение полюсов передаточной функции (9.40) в случае к^ -> <х>.
Рассматриваем характеристическое уравнение
Р2(Р + ЛфМ(р) +
(9-41)
Разделив обе части (9.41) на произведение Аф60 и вычислив предел
при к,р -> оо, непосредственно получим предельное уравнение
г(р) = р3 + пр2 + пр + г0 = 0. (9.42)
Как и следовало ожидать, три полюса передаточной функции
Кф(р, ку) в асимптотике равны соответствующим полюсам передаточ-
ной функции эталонной модели
<(Р)= g|P2+g°
№=0
ф’(р)
Фвх(р)’
(9.43)
которые являются решениями алгебраического уравнения (9.42).
Поведение двух других полюсов при больших значениях |р| можно
установить по приближенному уравнению, которое получается из (9.41),
если в полиномах г(р) и р2(р + h^)A(p) сохранить по два члена старших
степеней р, т.е. принять
г(р)~р3 + пр3,
Р2(Р + hv)A(p) ~р5 + (а, + Лф)р4.
В таком случае вместо (9.41) будем иметь приближенное уравнение
р3 + (a, + hjp2 + k^bop + кч>Ьог2 = 0. (9.44)
Если все корни (9.44) расположены в левой полуплоскости, то два
полюса передаточной функции (9.40) имеют отрицательные действитель-
ные части и удаляются на бесконечность, когда А,, -> ». Согласно крите-
рию Гурвица, для такого расположения корней (Re < 0, к = 1, 2, 3)
необходимо и достаточно, чтобы
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
203
лф6о >0, Я] + \ > г2. (9.45)
Первое неравенство в (9.45) соответствует правилу знаков в алго-
ритмах рассматриваемой структуры. Второе неравенство может быть
удовлетворено подходящим выбором параметров Аф, г2.
Таким образом, приходим к заключению, что алгоритм управления с
минимальным информационным обеспечением допускает теоретически
неограниченное повышение уровня усиления. В асимптотике дифферен-
циальное уравнение системы (9.39) пятого порядка вырождается в урав-
нение третьего порядка
( 2 "I
D3+£r5Z/ <p(O = (giD + go)<PBX(O> (9-46)
I А=0 J
которое в точности совпадает с уравнением эталонной модели. Это озна-
чает, что система обладает свойствами параметрической адаптивности.
По методике, которая применялась в предыдущей задаче, можно пока-
зать, кроме того, что синтезированный алгоритм эффективно парирует
возмущающие силы, действующие на систему.
Продолжим анализ системы. По известной формуле с учетом (9.40)
находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W (р к ) =_______________.
Ф ’ Ф р[Р(Р + Лф)Л(р) + Лф60(р2 + r2p + rx -gj)]
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен единице, а
коэффициент усиления (добротность по скорости) определяется форму-
лой (9.29). Поэтому динамические характеристики системы и модели бу-
дут практически идентичными при умеренном уровне усиления в контуре
управляющей функции. Ориентировочное значение £ф рекомендуется
рассчитывать по-прежнему по формуле (9.30). Второй параметр алгорит-
ма управления Аф рассчитывается из условия, чтобы быстродействие кон-
тура управляющей функции или контура третьей производной с переда-
точной функцией (9.37) было существенно выше быстродействия эталон-
ной модели. После расчета £ф ориентировочное значение Лф можно вы-
числить по соотношениям
«1 +\ >г2.
(9-47)
204
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Коэффициент затухания собственных колебаний следует принять
равным С, = х/2 / 2. Неравенство в (9.47) означает, что числовые значения
параметров kv, hv должны отвечать условию сохранения устойчивости
системы при неограниченном повышении усиления, как это определено
неравенством (9.45).
9.4. СИНТЕЗ АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
ПО УПРОЩЕННОЙ МОДЕЛИ (9.6)
Формулировка задачи синтеза алгоритма управления по модели (9.6)
остается прежней: необходимо синтезировать алгоритм и = w(q>, ф), ко-
торый обеспечивает выполнение всех требований к проектируемой сис-
теме, которые сформулированы при постановке первой задачи. В соот-
ветствии с развитой процедурой синтеза структуру алгоритма и его пара-
метры определяем из условия, чтобы динамические характеристики
замкнутой системы и эталонной модели (9.8) были практически идентич-
ны. Принимаем, что для вычисления управляющей функции использует-
ся измеряемая информация о положении и угловой скорости.
В данном случае минимизируемый функционал должен иметь вид
С(а) = |[Ф (О-Ф(', *)]2, ^0, (9.48)
так как движение управляемого объекта описывается дифференциальным
уравнением второго порядка. Движение к экстремуму функционала (9.48)
организуем в соответствии с дифференциальным законом управления
первого порядка. Выполняя необходимые преобразования, найдем сле-
дующие уравнения алгоритма управления
“ = Ч (Ф* - ф), Ч = const > °,
1 1
ф’W = /ОоПо + £1Фвх -г1ф)dt-Г2Ф, По(0 = /(Фвх -ф)dt- (9-49)
о о
Структурная схема системы с алгоритмом (9.49) изображена на
рис. 9.4. Передаточная функция Wn(p) определяется согласно (9.3). Опус-
кая преобразования, запишем дифференциальное уравнение замкнутой
системы
[О3Я(О) + tyvW) = ^о^(0)фвх (0- (9-5°)
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
205
9,
Рис. 9.4
Заметим, что это уравнение получено для полной модели (9.5)
управляемого объекта с учетом электрической постоянной времени
(тэ Ф 0). Особенность уравнения (9.50) состоит в том, что степень поли-
нома О3Я(О) на две единицы выше степени полинома r(Z>). Поэтому со-
хранение устойчивости системы при высоком уровне усиления
( к'^ -> оо ) теоретически возможно только в том случае, когда r2 < at. При
выполнении этого условия уравнение (9.50) пятого порядка вырождается
в асимптотике в уравнение (9.46) эталонной модели третьего порядка.
Следовательно, алгоритм управления, синтезированный по упрощенной
модели, придает системе свойства адаптивности по отношению к изме-
нению параметров объекта. Высокая степень стабильности динамических
характеристик системы сохраняется, если коэффициент усиления в кон-
туре управляющей функции рассчитывается по формуле
Ч =(3...5)^,
которая аналогична (9.30).
Таким образом, в статье синтезированы три структуры алгоритмов
управления угловыми движениями электромеханических систем. По ре-
зультатам исследования динамики с учетом особенностей системы и ус-
ловий ее работы можно обосновать структуру алгоритма управления,
которая в наибольшей степени обеспечивает выполнение требований за-
дания на проектирование.
206
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
9.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
Пусть следящая система проектируется на основе электродвигателя
постоянного тока с независимым возбуждением. Согласно (9.3) и (9.4)
передаточная функция неизменяемой части (управляемого объекта) равна
^(р) = ( г Ь°-----------------------7 = ^4- <9-51)
Р(Р + ахр+ай) и(р)
Для определенности принимаем, что конкретным данным техниче-
ского задания на проектирование следящей системы соответствует элек-
тродвигатель, параметры которого указаны в лекции 3. Принимаем так-
же, что момент инерции нагрузки системы может изменяться в пределах
J„ = (5 ... 25)10'5 кг • м2. Для безредукторной системы (и = 1) в табл. 9.1
приведены числовые значения коэффициентов передаточной функции
(9.51).
Не нагруженному двигателю (JH = 0) в первом варианте соответству-
ет значение момента инерции J = J, = 5 • 1(Г5 кг • м2.
Задание на проектирование содержит следующие требования к сле-
дящей системе: добротность по скорости должна быть равной Av = 200 с-1;
длительность переходного процесса порядка 0,25 с; перерегулирование
не должно превышать 20 %; порядок астатизма системы - первый. Этим
требованиям соответствует эталонная модель с передаточной функцией в
разомкнутом состоянии
W(p) = 200 - . Р(Р + 1)(0,015р+1) 9.1. Параметры управляемого объекта (9.52)
Номер варианта J 105, кг • м2 а0 • Ю'3, с’2 аь с 1 ь0- юЛ рад • с"2 • В-1
1 5 5,60 106 7,61
2 10 2,88 106 3,94
3 15 1,90 106 2,60
4 20 1,44 106 1,97
5 25 1,14 106 1,57
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
207
Дифференциальное уравнение модели в замкнутом состоянии имеет
вид (9.8). Числовые значения коэффициентов уравнения (9.8), имеющих
соответствующие размерности, равны
g0 = г0= 1,3(3) 104, g]=0,20 104,
г, =0,2067 104, г2=67,7.
(9.53)
При указанных значениях параметров частота среза характеристики
И'Д/и) равна со = 30 рад -с1, длительность переходного процесса
t = 0,24 с, а величина перерегулирования ст = 20 %. Корни характеристи-
ческого уравнения, соответствующего (9.8), равны
р' =-8,537, /?2 3 =-29,565 ±/26,226.
Исследуем динамику системы с алгоритмом управления (9.13),
(9.14). С учетом (9.53) уравнения алгоритма записываем в виде
" = ^(ф* -Ф),
ф’(г) = Ю4 1,3(3) |(фвх - <р) dt + 0,20<рвх - 0,2067<р -67,7ф. (9.54)
Ориентировочное значение коэффициента усиления рассчитыва-
ем по формуле (9.30). Для варианта 3 находим:
kv = 4—= 4,6 10 3 В с2 рад '.
Величина к^ на несколько порядков меньше числовых значений ко-
эффициентов усиления в уравнениях (9.54), поэтому при аппаратной или
программной реализации алгоритма управления можно выполнить мас-
штабирование переменных.
Рассмотрим результаты математического моделирования процессов
управления с помощью алгоритма (9.54). В табл. 9.2 приведены данные,
которые иллюстрируют зависимость полюсов передаточной функции
замкнутой системы от коэффициента усиления к^.
В случае к = 0,005 время затухания составляющей
ePt‘ = exp(-246f)
208
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
9.2. Полюсы передаточной функции замкнутой системы
Аф Pi Р2.3 Р4
0,005 -8,913 -22,924 ± /25,642 -246,865
0,01 -8,718 -26,021 ± /26,309 -436,09
0,05 -8,572 -28,835 ±/26,318 -1,992 103
модель -8,537 -29,565 ± /26,226 -
переходного процесса имеет порядок 0,012 с, что почти соответственно в
30 и в 13 раз меньше времени затухания составляющих
ер'‘ = ехр(-8,90/) и еР2-3'« е’22'sin 25/.
Следовательно, при указанном уровне усиления (£ф = 0,005) дина-
мика системы определяется первыми тремя (доминирующими) полюса-
ми, числовые значения которых близки к значениям соответствующих
полюсов передаточной функции эталонной модели. Поэтому переходные
характеристики управляемой системы и эталонной модели отличаются
незначительно.
В соответствии с выводами теоретического анализа при повышении
уровня усиления три полюса передаточной функции системы стремятся к
трем полюсам рх передаточной функции модели, а четвертый полюс
удаляется на бесконечность в область отрицательных значений:
S = 1,2,3; р4(Лф)->(-<»), если
Вследствие этого имеет место асимптотическое приближение про-
цессов ф(/) -> ф (/), что иллюстрируется графиками переходных характе-
ристик на рис. 9.5.
Свойства параметрической адаптивности системы иллюстрируются
графиками интегральных квадратичных оценок 10(кф), которые приведены
на рис. 9.6. Если уровень усиления в системе определить величиной
£ф «0,01, то /0(А:ф) не будет превышать значение 10~3 рад2 • с при измене-
нии момента инерции нагрузки в 5 - 6 раз. Такое заключение подтвер-
ждается графиками переходных функций системы (рис. 9.7), из которых
следует, что при пятикратном увеличении момента инерции динамиче-
ские характеристики остаются практически стабильными.
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
209
Отмеченные естественные свойства параметрической адаптивности
системы, управляемой с помощью алгоритма нетрадиционной структуры,
проявляются также в частотных характеристиках (рис. 9.8). В случае
= 0,01 амплитудная характеристика разомкнутой системы совпадает с
амплитудной характеристикой эталонной модели до частот порядка
(120 ... 130) рад • с"1 при частоте среза со = 30 рад • с-1. Это означает, что
при изменении момента инерции в широких пределах амплитудная ха-
рактеристика системы в рабочем диапазоне частот не претерпевает суще-
ственных изменений.
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
211
М. = М. sin <£>nt, MR = 0,25А/нпм
D D Р 7 D 7 HUM
в рабочем диапазоне частот. Показано, что ошибка системы не превыша-
ет допустимый уровень, который определяется добротностью по скоро-
сти kv = 200 с"1. Этот результат справедлив для усиления к^, = 3 • 10“2
при моментах инерции нагрузки JH = (5 ... 25) • 1(Г5 кг • м2.
При математическом моделировании исследовано влияние момента
сил сухого трения на динамику системы. Как и в случае алгоритмов тра-
диционной структуры, моменты сил трения демпфируют систему, что
приводит к увеличению длительности переходных процессов.
Изложенные результаты математического моделирования характе-
ризуют динамику системы с алгоритмом управления, для аппаратной
реализации которого требуется информация об ускорении ф. Исследова-
ниями установлено, что аналогичными свойствами обладают системы с
алгоритмами, для аппаратной реализации которых достаточно информа-
ции о положении ф и скорости ф.
На основании выполненных исследований можно сделать заключе-
ние, что алгоритмы управления, синтезированные на основе концепций
обратных задач динамики в сочетании с минимизацией функционалов,
характеризующих энергию движения в окрестности фазовых траекторий
эталонных моделей, обеспечивают высокую стабильность динамических
характеристик автоматических систем при изменении их параметров.
При проектировании алгоритмического обеспечения систем управления
имеется возможность путем соответствующего выбора характеристик
эталонных моделей существенно расширить диапазон допустимых изме-
нений параметров управляемого объекта при незначительном снижении
показателей качества процессов управления.
210
СЛЕДЯЩИЕ СИСТЕМЫ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ
Рис. 9.7
Рис. 9.8
В разд. 9.2 показано, что алгоритм управления (9.13), (9.14) придает
системе свойства слабой чувствительности не только к изменению пара-
метров, но также и к внешним возмущениям. При исследовании динами-
ки был выполнен численный эксперимент по оценке влияния возмущаю-
щего момента Мв на точность системы. При математическом моделиро-
вании было принято, что возмущающий момент изменяется по гармони-
ческому закону
Лекция 10
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ УПРУГОЙ
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ВЫСОКОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ И СЛАБОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
В настоящей лекции рассмотрены методики синтеза алгоритмов
управления двухмассовой электромеханической системой с упругим ме-
ханизмом передачи движения. Упругая электромеханическая система как
объект управления обладает слабыми демпфирующими свойствами.
Вследствие этого синтез алгоритмов управления такими системами
встречает определенные трудности в случае применения традиционных
методов. С помощью предложенных нетрадиционных методов примени-
тельно к задаче управления скоростью вращательного движения синтези-
рованы три структуры алгоритмов, которые обеспечивают высокую ди-
намическую точность системы и высокую стабильность ее динамических
характеристик при изменении параметров в широких пределах. Исследо-
вание динамики процессов управления выполнено с помощью математи-
ческого моделирования.
10.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Рассматриваем двухмассовую электромеханическую систему с уп-
ругим механизмом передачи движения. Структурная схема линейной
модели такой системы изображена на рис. 10.1, где используются обще-
принятые обозначения. Система состоит из электродвигателя постоянно-
го тока с независимым возбуждением, редуктора - механизма передачи
вращательного движения с коэффициентом редукции п и нагрузки. На
схеме обозначено: и - управляющее напряжение в якорной цепи; М -
вращательный момент электродвигателя; фд, Од =фд - угол поворота и
угловая скорость вращения выходного вала двигателя; фр - угол поворо-
та вала на выходе редуктора. Наконец, ф, Q = ф - угол поворота и угло-
вая скорость вращения нагрузки. Коэффициент с характеризует упругие
свойства редуктора, а х характеризует потери на вязкое трение в его кон-
струкции.
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
213
Рис. 10.1
Механические уравнения движения системы имеют вид
JQ д = М - - с (ф - ф) - - х(фр - ф) - Мс (Q д),
л и
= с (фр - ф) -1 Х(фр - ф) - Мс (Q) - Мл, (10.1)
п
О = ф, Од=ифр.
Здесь суммарный момент инерции якоря и редуктора Jp в пересче-
те к валу двигателя обозначен через J, момент инерции нагрузки обозна-
чен J„. Динамика электрической цепи якоря двигателя описывается урав-
нениями
L^-+RI = u-ka£ia, M = kJ, (10.2)
at
где L, R - индуктивность и активное сопротивление якорной цепи; I, и -
ток и напряжение; кю, кК - коэффициенты противо-ЭДС и вращательного
момента.
Синтез алгоритмов управления будем выполнять по линейным мо-
делям, опуская в (10.1) моменты сил сопротивления Л/с(Г2д) и A/CH(Q).
В таком случае по уравнениям (10.1), (10.2) найдем передаточную функ-
цию системы для угловой координаты
(р) = -^- = ^1, (10.3)
V рА(р) и(р)
з
4/0 = Р4 + "£avpv, B(p) = biP + bQ.
v=0
214
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
Выражения для коэффициентов передаточной функции при решении
задачи синтеза алгоритмов управления не потребуются, поэтому здесь их
не выписываем. Отметим только, что Ьо > 0 и i, > 0. В соответствии с
(10.3) передаточная функция системы для угловой скорости равна
Wq(p) = Р^ф(р) =
П Ф А(р) и(р)
(Ю.4)
Дифференциальное уравнение, соответствующее (10.4), имеет вид
—-+^ovfi(v) = 61й + ^и, (10.5)
dt v=o
или в операторной форме
A (D)O(t) = B(D)u(t), Ds—. (10.6)
dt
Операторные выражения
з
A(D) = D* +Y,avD\ B(D) = b\D + b0 (10.7)
v=0
соответствуют левой и правой части уравнения (10.5).
10.2. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ
Принимаем гипотезу о том, что передаточная функция Wa(p) допус-
кает аппроксимацию, так что порядок управляемой системы (по угловой
скорости) может быть понижен на единицу. Принятое допущение соот-
ветствует случаю, когда электрическая постоянная времени тэ сущест-
венно меньше механической постоянной тм, т.е.
_ L JR
Тэ ' Л кЛ„
Такое соотношение параметров как правило выполняется. Принимая
L = 0, мы не учитываем инерционность электрических процессов в якор-
ной цепи двигателя, вследствие этого понижаем порядок математической
модели (передаточной функции) на единицу.
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
215
Пусть аппроксимирующая передаточная функция имеет вид
= = А'(р) = р3 + ^р^ (10.8)
А(р) и{р) ~
b'Q > 0, Ь{>0 .
Числовые значения коэффициентов неизвестны; для синтеза алго-
ритмов управления знать их нет необходимости. Передаточной функции
(10.8) соответствует дифференциальное уравнение
2
Q + + ^ом- (Ю-9)
ц=0
По упрощенной математической модели (10.9) будем синтезировать
алгоритм управления угловой скоростью системы с передаточной функ-
цией (10.4).
Пусть требованиям задания на проектирование по быстродействию,
динамической точности и другим показателям отвечает эталонная мо-
дель, дифференциальное уравнение которой имеет вид
О* +a2Q* +a,Q* +a0Q* = P]QBX + P0QBX (10.10)
или в операторной форме
a(£))Q*(Z) = P(£))QBX(Z),
2
a(D) = D3+Y^D\ p(Z)) = p,Z) + p0. (10.11)
В уравнениях (10.10), (10.11) функция QBX есть заданное воздейст-
вие, которое должна отрабатывать (воспроизводить) проектируемая сис-
тема с точностью, определяемой неравенством
|Qbx(Z)-Q(Z)|<e. (10.12)
В частном случае, когда QBX = Q° = const, система должна стабили-
зировать заданное значение скорости. По построению эталонной модели
с необходимостью величина Q*(Z)-□(/) <£• Поэтому структуру и па-
216
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
раметры алгоритма управления необходимо находить из условия при-
ближения процесса Q(Z) -> Q* (/) с такой точностью, чтобы выполнялось
неравенство (10.12).
Управляющую функцию будем отыскивать, рассматривая задачу
минимизации локального функционала
G(u, й) = 1[П‘-П(и, й)]2, (10.13)
который характеризует энергию движения системы в окрестности траек-
тории движения эталонной модели.
В качестве управляющего параметра принимаем скорость изменения
напряжения й , а величину и считаем известной. В таком случае структу-
ру алгоритма управления следует определять из условия
G(u, й)->тт. (10.14)
й
Движение к точке экстремума-минимума организуем по градиент-
ной схеме первого порядка. С учетом (10.13) и (10.14) имеем
dii . dG(u, й) , .
— = -Х———Х = const. (10.15)
dt дй
Из уравнения (10.9) следует
2
О(и, й) = ^'й + b'Qu - У, (10.16)
ц=0
Поэтому производная
dG(u, и) _ (10.17)
дй
Подстановка (10.17) в (10.15) приводит к дифференциальному зако-
ну управления
w = £(Q‘-Q), k = b\k>Q. (10.18)
Равенство в (10.18) представляет собой закон управления, а неравен-
ство - правило знаков
sign(£) = sign (/>,').
(10.19)
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
217
Закон управления (10.18) допускает понижение порядка. Интегрируя обе
части по времени при нулевых начальных значениях переменных, получим
и = £(П*-П), к>0. (10.20)
Согласно правилу знаков (10.19), здесь принято положительное зна-
чение к, поскольку по условию Ь{ > 0.
Переменная Q в (10.20) выступает в роли требуемого ускорения в
процессе управления. В случае Q = Q траектория движения системы
теоретически строго повторяет траекторию движения эталонной модели.
Расчетные соотношения для вычисления Q можно найти из уравнения
эталонной модели (10.10). Дважды интегрируя обе его части по времени
при нулевых начальных значениях переменных и принимая Q = Q,
найдем
I I
6* = J |(РоПи -а0О)Л + Р,Овх
0 Lo
<X|Q Л-а2П.
(10.21)
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом управления
(10.20), (10.21) изображена на рис. 10.2. Здесь принято Ро = а0 , что соот-
ветствует первому порядку астатизма.
Отметим основные свойства системы. Управляемые процессы опи-
сываются уравнениями (10.6), (10.20), (10.21). Исключая из них управ-
ляющую функцию, с учетом (10.7), получим уравнение системы в замк-
нутом состоянии
[D2A(D) + £B(O)a(Z))]Q(0 = кВЦУ№Ц>№т(Г). (10.22)
fii
Рис. 10.2
218
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
Из (10.22) следует передаточная функция
ко(м), “<£»<£>--------------=_ад_. (10.2Э)
Р1 А(р) + кВ(р)а(р) £2ВХ (р)
Аналогично тому, как это выполнено в лекции 4, можно показать,
что система обладает следующими свойствами.
1. При неограниченном повышении уровня усиления (к -» да) полю-
сы передаточной функции (10.23) распределены следующим образом:
lim рч(к) = р*, s = l, 2, 3;
к-*аь
lim Рд(к) = -bob^1, (10.24)
i—>оо
где ps - полюсы передаточной функции эталонной модели. Кроме того,
lim р56(к) = -<х, если ^а3>^+^а2. (10.25)
к-*аь
2. Распределение полюсов (10.24), (10.25) означает, что система со-
храняет устойчивость в случае к -» да, а ее асимптотическая передаточная
функция
Кп(р, да) = lim Кп(р, к) =
*-»» а(р)
в точности равна передаточной функции эталонной модели.
3. В асимптотике динамические характеристики управляемой систе-
мы и эталонной модели строго идентичны. Поэтому теоретически про-
цессы в системе и эталонной модели совпадают: £2(1) = £2 (1). Это озна-
чает, что система с алгоритмом управления (10.20), (10.21) обладает
свойствами параметрической адаптивности.
Практически идеальная параметрическая адаптация недостижима.
Однако при соответствующем уровне усиления может быть получена
достаточная для технических приложений слабая чувствительность сис-
темы к изменению ее параметров.
По известной формуле с учетом (10.23) находим передаточную
функцию системы в разомкнутом состоянии
wn(p,k) =----------W + Wi/>±Po)------------ (р0=а0). (10.26)
p[pA(p) + k(biP + b0)(p +а2р + а{-^)
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
219
Из (10.26) следует, что управляемая система и эталонная модель
имеют одинаковый порядок астатизма - первый. Кроме того, система и
модель имеют одинаковую добротность по скорости, равную
= “о = к" (10.27)
с оц-Pj ск
Вследствие этого амплитудные и фазовые частотные характеристи-
ки системы и модели совпадают в области низких (рабочих) частот. По-
этому высокая степень приближения управляемого процесса к эталонно-
му достигается при умеренном уровне усиления.
Для аппаратной реализации алгоритма управления (10.20), (10.21)
требуется измерять угловое ускорение Q . Получим уравнения алгоритма
управления, реализация которого не требует измерения Q . Поступим
следующим образом. Из уравнения (10.5) найдем выражение для Q(/r), а
затем последовательно трижды проинтегрируем обе его части при нуле-
вых начальных значениях переменных. В полученных равенствах вместо
производных Q(v), v = 1, 2, 3 подставим их вычисленные значения Q(BV).
Выполняя указанные преобразования, найдем
i i
QB = b0 judt + l\u- a3QB - a2QB _ ai^ ~ ао
о о
QB = fQB<*, (10.28)
о
QB = jQBt/r,
о
По уравнениям (10.20), (10.22) и (10.28) управляющая функция вы-
числяется только по информации об угловой скорости Q. Этот алгоритм
требует минимального информационного обеспечения.
Следует заметить, что использование соотношений вида (10.28) до-
пустимо в тех случаях, когда все полюсы передаточной функции управ-
ляемой системы расположены в левой полуплоскости комплексной пере-
менной р. Если это условие не выполняется, то процесс вычисления не-
измеряемых производных будет расходящимся.
220
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
Рассмотрим другие варианты алгоритмов управления с минималь-
ным информационным обеспечением. Пусть передаточная функция
управляемого объекта допускает понижение порядка, тогда для аппрок-
симирующего дифференциального уравнения (10.9) неизмеряемые про-
изводные вычисляются по соотношениям
i I
QB = b'o judt + Ь{и - а'2О.ъ - a[Q - а'о
о о
I
QB = fnBA. (10.29)
о
Система, управляемая с помощью алгоритмов с минимальным ин-
формационным обеспечением вида (10.28) и (10.29), не допускает неог-
раниченного повышения уровня усиления (к. —> оо). При достаточно
больших значениях к ее устойчивость нарушается. Это обусловлено тем,
что в структуру системы включаются дополнительные динамические
звенья, процессы в которых описываются уравнениями (10.28) или
(10.29). Вследствие этого степень параметрической адаптивности систе-
мы снижается. Однако стабильность ее динамических характеристик с
такими алгоритмами оказывается существенно выше стабильности ха-
рактеристик системы с традиционными алгоритмами управления.
Структуру третьего алгоритма управления с минимальным инфор-
мационным обеспечением получим следующим образом. Аналогично
тому, как это изложено в лекции 7, организуем движение к экстремуму
функционала (10.13) по градиентной схеме второго порядка:
d2u dii dG(u, й)
——+ л— = л—1л, h = const.
dt1 dt дй
С учетом (10.16) находим дифференциальный закон управления
й + hu = к(С1 - Q), к = -fej'X.
Трижды интегрируя обе части при нулевых начальных значениях
переменных и дополняя полученное равенство соотношениями для вы-
числения Q , найдем уравнения искомого алгоритма управления
i i
и = к(£1 -Q)-h^udt, Q* = |(/,-а2О)Л,
о о
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
221
i i
/1 = |(ао/о+Р1^вх-а.^)^ /о = /(£2.х-£2)Й, (Ю.ЗО)
О о
Ро = Ио-
Без доказательства отметим, что система с алгоритмом управления
(10.30) не допускает неограниченного повышения уровня усиления
(к оо ) и, вследствие этого, обладает такими же свойствами, как и сис-
тема с алгоритмами управления (10.28), (10.29).
10.3. РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ
Анализ влияния параметров системы на ее динамические характери-
стики выполнен с помощью математического моделирования. В процессе
исследования варьировались: момент инерции нагрузки, постоянная вре-
мени электрической цепи якоря двигателя, величины сих, характери-
зующие упругие свойства конструкции механизма передачи движения
потери на внутреннее вязкое трение. В качестве расчетных значений па-
раметров системы приняты следующие:
L = 5,6 10'3 Гн, R = 3,8 Ом, = 0,023 НА'1- м,
ка = 0,098 Вс- рад-1, J, = 6,2 10-6 кг м2, JH = 6,2 кг • м2, (10.31)
п = 103, с = 104 Н • м рад'1, х = 200 Н м с рад'1.
Этим значениям соответствуют коэффициенты передаточной функ-
ции неизменяемой части системы:
а0 = 1.05 108, а, = 4,28 106, а2 = 1,12 105, а3 = 743,
Ьо = 1,07 106, bi = 2,14 • 104.
Электрическая и механическая постоянные времени соответственно
равны
тэ = 1,15-10'3 с и тм=0,02с.
Требования к динамическим характеристикам проектируемой сис-
темы определены следующими показателями: длительность переходного
процесса гпп » 0,25 с; перерегулирование не должно превышать величины
о = 20 %; порядок астатизма - первый; добротность по скорости
к^ = 200 с'1, что обеспечивает высокую динамическую точность систе-
222
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
мы. Указанным требованиям отвечает эталонная модель, передаточная
функция которой в разомкнутом состоянии равна
^(Р)= 2W,i5P+i)
р(р + 1)(0,013р + 1)
Частота среза характеристики (j<d) равна <о*р « 29 рад с-1, а за-
пас устойчивости по фазе составляет 59°.
Согласно (10.31), уравнение модели в замкнутом состоянии имеет
вид (10.10), где коэффициенты равны:
ао = Ро= 1,54- 104, а! = 2,39- 103та2 = 77,9, 0, = 2,31 • 103.
Длительность переходного процесса в модели равна заданной, а
о« 17%.
Передаточная функция эталонной модели в замкнутом состоянии
^(Р) = - Р|Р2+Р° •
Р3
s=0
Ее полюсы равны
Pi* = -8,6, Р2,з ~ -34,66 ± /24,23.
Замкнутая система с алгоритмом управления (10.20), (10.21) имеет
шестой порядок. Для принятых расчетных значений параметров (10.31) в
табл. 10.1 приведены данные, характеризующие асимптотические свой-
ства системы при повышении уровня усиления. Из шести полюсов пере-
даточной функции три асимптотически приближаются к полюсам пере-
даточной функции эталонной модели. Четвертый полюс стремится к ну-
лю двучлена В(р), т.е. рь(к) —> ' =~50. Остальные два полюса при
увеличении к удаляются на бесконечность в левой полуплоскости.
Отметим, что достаточно близкое приближение доминирующих по-
люсов системы к полюсам передаточной функции модели достигается
при весьма умеренных значениях к = 10 ... 20. Об этом свидетельствует
также зависимость интегральной квадратичной оценки
/<>(*) = j(Q*-Q)2^,
о
график которой приведен на рис. 10.3. Например, при к » 20 величина
/о(2О)»О,2 • 10’3.
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
223
10.1. Распределение полюсов передаточной функции
замкнутой системы
к Pi Р2 Рз Р4 Р5 Рб
2 -11,75 ±151,18 -24,87 ± /36,58 -235,7 -134,2
5 -10,02 -23,04 -32,56 ± /36,08 —322,5 ± 1216,2
10 -9,18 -30,75 -36,28 ± /31,96 -315,3 ±/387
20 -8,86 -36,88 ± /28,06 -37,66 311,4 ± /601,3
30 -8,77 -36,5 ± /26,58 -41,11 -310,1 ±1758
40 -8,73 -36,15 ± /25,88 -43,12 -309,5 ± /887,7
50 -8,7 -35,9 ± /25,49 -44,41 -309,1 ± /1001
60 -8,68 -35,72 ± /25,24 --45,3 -308,8 ± /1102
70 -8,67 -35,58 ± /25,08 -45,95 -308,7 ± /1195
85 -8,66 -35,43 ± /24,91 -46,65 -308,5 ± /1323
100 -8,65 -35,32 ± /24,79 -17,15 -308,3 ± /1439
модель -8,6 -34,66 ± /24,23 -
Рис. 10.3
224
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
Влияние момента инерции нагрузки на динамику системы характе-
ризуют графики, представленные на рис. 10.4. Кривые, помеченные циф-
рами, соответствуют моментам инерции 6,2; 12 и 18 кг • м2. При коэффи-
циенте усиления к = 10 трехкратное увеличение момента инерции оказы-
вает несущественное влияние на параметры переходной характеристики,
что свидетельствует о слабой параметрической чувствительности систе-
мы. В случае к = 20 переходные характеристики системы и эталонной
модели практически совпадают.
Для системы с алгоритмом управления (10.20), (10.21) исследовано
влияние изменения параметров с, % на динамические характеристики. Не
останавливаясь на деталях, отметим следующее. Уменьшение величины с
на порядок по сравнению с расчетным значением практически не оказы-
вает влияния на показатели переходных процессов в системе. Уменьше-
ние коэффициента потерь на вязкое трение на порядок (х » 20 Н м • с • рад'1)
оказывает существенное влияние на динамические характеристики сис-
темы. Это обусловлено тем, что коэффициент
6i= kuX
передаточной функции управляемого объекта прямо пропорционально
зависит от х- В случае чрезмерно малых значений х величина 6Ь характе-
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
225
ризующая эффективность управления по й, оказывается недопустимо ма-
лой. Поэтому й нельзя принимать в качестве управляющего параметра.
Для современных конструкционных материалов величина х равна
сотням единиц. Поэтому отмеченный численный эксперимент (х = 20)
имеет иллюстративное значение.
Наконец отметим, что динамические характеристики системы прак-
тически остаются стабильными при увеличении электрической постоян-
ной времени до соотношения тм/тэ» 2.
Приведем теперь результаты исследования динамики системы с ал-
горитмом управления (10.20), (10.21) и (10.28), аппаратная реализация
которого требует минимального информационного обеспечения. Из тео-
ретического анализа следует, что система с таким алгоритмом в меньшей
степени обладает свойствами параметрической адаптивности. Об этом
свидетельствует также результаты математического моделирования.
В табл. 10.2 приведены данные, характеризующие изменение показателей
качества процессов управления при изменении момента инерции нагруз-
ки. Здесь Дтах - максимальное значение отклонения | Q*(r) - Q(r) |. Гра-
фики переходных функций представлены на рис. 10.5, где цифрами отме-
чены кривые Q(r), соответствующие моментам инерции 1, 10 и 20 кг • м2.
Влияние параметров тэ, с и х на динамику системы оказывается практи-
чески таким же, как и в случае применения алгоритма (10.20), (10.21).
10.2. Показатели качества процессов управления
JH> кг-м2 Дшах’Ю2 ИКО 104 ст, % 'пп> с
1 6,2 7,2 и,з 0,24
3 4 2,5 13,1 0,25
5 1,4 0,19 15,5 0,25
6,2 1,6 0,12 17,2 0,25
8 6,3 1,9 19,8 0,25
10 И 6,35 22,6 0,25
15 21 27 28,4 0,25
20 29 59 32,8 0,25
30 41 140 38,9 0,28
8 - 9516
226
УПРАВЛЕНИЕ УПРУГОЙ СИСТЕМОЙ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании результатов выполненных исследований можно сде-
лать вывод о том, что на основе синтезированных алгоритмов управления
оказывается возможным проектировать автоматические системы высокой
точности и слабой параметрической чувствительности. Системы с такими
алгоритмами управления обладают стабильными динамическими харак-
теристиками в условиях изменения параметров в широких пределах. При
этом оказывается возможным проектировать автоматические системы с
алгоритмами, для аппаратной реализации которых достаточно измерений
только выходной (регулируемой) переменной. Параметрическая чувстви-
тельность систем, управляемых с помощью алгоритмов с минимальным
информационным обеспечением, может быть снижена. Для этого необ-
ходимо такие алгоритмы синтезировать по эталонным моделям с мень-
шим быстродействием, т.е. с большей длительностью переходных про-
цессов.
Лекция 11
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДВИЖЕНИЯ
В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
Задачи стабилизации стационарных состояний и программных тра-
екторий движения формулируются и решаются как задачи гашения ло-
кальных функционалов в окрестности фазовых траекторий эталонных
моделей. В качестве таких функционалов принимаются кинетическая
энергия, энергия ускорения и величины, характеризующие обобщенное
понятие энергии. Синтез алгоритмов управления методом гашения энер-
гии основывается на концепциях обратных задач динамики. Вследствие
этого синтезированные таким методом алгоритмы придают системам свой-
ства высокой динамической точности и параметрической адаптивности.
Наряду с рассмотрением теоретических вопросов решена приклад-
ная задача управления движением двухмассовой упругой системы. Приве-
дены результаты математического моделирования процессов управления.
11.1. ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ
УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Изложим теоретические положения, составляющие основу предла-
гаемого метода синтеза алгоритмов управления. Рассмотрим задачи ста-
билизации стационарных состояний и программных траекторий движе-
ния простых объектов.
11.1.1. Стабилизация стационарных состояний объекта
второго порядка
Управляемое движение описывается уравнением
х + а}х + аох = Ьои, (11.1)
где х - выходная переменная; и - управляющая функция. Коэффициенты
в (11.1) будем считать постоянными, не зависящими от времени, что уп-
рощает выполнение соответствующих преобразований. При этом а0,а,
могут принимать любые (положительные или отрицательные) конечные
значения, а 60 > 0.
8»
228 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
Пусть начальное состояние управляемого объекта характеризуются
значениями
х(О) = хо, х(О) = хо. (И.2)
Задачу формулируем следующим образом: синтезировать алгоритм
управления и = и(х, х), который обеспечивает перевод объекта из со-
стояния (11.2) в окрестность стационарного состояния
х(°о) = х°, х(оо) = 0 (11.3)
и удерживает его в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при
этом, чтобы переходный процесс x(t) -> х°, *(/)-> 0 проходил в малой
окрестности процесса x’(Z) -> х°, х (/) —> 0, который определяется диф-
ференциальным уравнением эталонной модели
х’+у2х’+у,х’+уох’=уох° (И-4)
при соответствующих начальных условиях. Коэффициенты в (11.4) - по-
ложительные числа такие, что
У1У2 >Уо-
(11.5)
Неравенство (11.5) означает, что стационарное состояние эталонной
модели
х‘(оо) = х°, х*(оо) = х*(оо) = О
асимптотически устойчиво. Вследствие этого процесс х (/) —> х° при t —> оо,
что требуется по постановке задачи синтеза.
Далее нам потребуются передаточные функции эталонной модели в
замкнутом и разомкнутом состоянии. Согласно (11.4) имеем
«.(/>)-------Т-------. W- , 2 у°------------г
Р(Р +’!'’+'6
v=0
(11.6)
Порядок астатизма модели - первый, а добротность по скорости к"к
равна
= [Р^м(Р)Ъ=0 =^-
И
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 229
Управляющую функцию будем определять, рассматривая задачу
гашения локального функционала
Т(х -х) = |[х‘(')-х(',«)]2, (Н.7)
который представляет собой нормированную по массе (или моменту
инерции) кинетическую энергию, вычисляемую в окрестности траекто-
рии движения эталонной модели. Найдем такую управляющую функцию
и = и(х, х), при которой на траекториях управляемого движения выпол-
няются условия
Т(х -х) = --(* ~х) <0, Т(х*-х)—>0, t->oo. (П.8)
dt
Здесь производная по времени Г(х -х) вычисляется в силу урав-
нения движения (11.1).
Дифференцируя по времени обе части (11.7), получим
~х) = (х‘ - х)(х’ - х). (11.9)
dt
Согласно (11.4), ускорение
х(/, и) = bou - OqX - а}х, (11.10)
поэтому производная кинетической энергии явно зависит от и. С учетом
(11.9) и (11.10) имеем
Г(х* - х) = (х* - х)(х* + О|Х + аох) - (х* - x)60w. (11 • 11)
Из равенства (11.11) следует, что условия (11.8) будут выполнены,
если
и = к(х*-х), bok = const > 0, (11.12)
и существует такое положительное число к, при котором при любом t
справедливо
|(х’-х)(х* + а,х + аох) | < 60Л(х*-х)2, /^0. (11.13)
Равенство в (11.12) представляет собой закон управления, а неравен-
ство - правило знаков:
230 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
sign(Xt) = sign(Z>0). (Н.14)
Для уравнения (П. 1) принято Ьо > 0, поэтому согласно (11.14) коэф-
фициент усиления к > 0.
Величина х в (11.12) выступает в роли требуемого значения скоро-
сти х изменения выходной переменной управляемого объекта. Расчет-
ные соотношения для вычисления х получим из уравнения (11.4) эта-
лонной модели. Дважды интегрируем по времени обе части равенства
Л <Гх
х =YoX-LYv-T7-
v=0
при нулевых начальных значениях переменных, а затем выполняем заме-
ну х*(г) = x(t). В результате получим
г
х = |(Уо/о-У1Х)Л-У2х>
о
t
f0 = \(x°-x)dt. (11.15)
о
Соотношения (11.12), (11.15) представляют собой уравнения иско-
мого алгоритма управления. Для аппаратной реализации уравнений алго-
ритма требуется информация о положении (х) и скорости (х).
Покажем, что для рассматриваемой системы всегда существует та-
кое значение коэффициента усиления к, при котором выполняется нера-
венство (11.13). Выведем уравнение замкнутой системы и исследуем ее
динамику. С этой целью найдем операторное выражение для управляю-
щей функции и подставим его в уравнение управляемого объекта
A(D)x(j) = bou(t), A(D) = D1 + a\D + a0, D = ^r- (11.16)
at
Принимая во внимание равенства
/о = f(x° - x) dt = -J- (x° - x), Yo = f fodt = x>’
0 u 0
t
у, [хЛ = —x,
oJ D
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 231
на основании (11.15) можно записать
х = -Ц-х D2 Поэтому разность b~^^ + l\D + y2D2)x(t). (11.17)
. • X -X = -^-х°-А-у(£))х(Г), (11.18)
где операторное выражение
;£>) = £>3+£Yv£>v. (11.19) v=0
С учетом (11.18) из (11 .12) находим
w(z) = -^[Уо*°-У(ад')]. (11.20)
Подставляя (11.20) в (11.16) и дважды дифференцируя по времени
обе части полученного равенства (формально, умножая на £>2), найдем
уравнение замкнутой системы
\D2A(JD) + И>оу(Я)М') = W- (1121)
Уравнению (11.21) соответствует передаточная функция К(р, к) = ——^2 . р2 А(р)+kbrf(p) (11.22)
Исследуем распределение полюсов К(р, к) в случае к -> оо. Обозна-
чим ихр.Д), s = l, ...,4. Рассматриваем характеристическое уравнение
р2А(р) + кЬоу(р) = 0, (11.23)
соответствующее (11.21). При конечных значениях | р | справедливо
1 1
—[р А(р)] —> 0, если к —> со.
к
Поэтому в случае к -> оо из (11.23) следует
2
Y(p) = P3 + EbPV = °-
v=0
(11.24)
232 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
Это означает, что три полюса /4,2,з(^) при неограниченном увеличе-
нии к стремятся к трем корням р^3 уравнения (11.24), т.е. к полюсам
передаточной функции (11.6) эталонной модели.
Чтобы определить расположение четвертого полюса р4(Л) на ком-
плексной плоскости, рассмотрим приближенное уравнение, которое по-
лучается из (11.23) при больших значениях | р |. Принимая в (11.23)
Р2 Ар) = Р2(Р2 + П|Р + п0) аР4 + а\Р3, У(Р) « Р3
и сокращая на р3, найдем
Р + («! + kb$ » 0 => р4(Л) = -(д, + kbv).
Так как выполняется правило знаков (11.14), то произведение kb0 > 0.
Поэтому при любых конечных значениях ai в случае к -> оо четвертый по-
люс будет удаляться на бесконечность в область отрицательных значений.
Таким образом, при неограниченном повышении уровня усиления
справедливо следующее асимптотическое распределение полюсов пере-
даточной функции замкнутой системы:
limp (£) = />’, ц = 1,2,3;
*->»
lim р4 (Л) = -00. (11.25)
А—>оо
На основании выполненного анализа приходим к заключению, что
замкнутая система с алгоритмом управления (11.12) и (11.15) сохраняет
свойства устойчивости в случае к —> оо. Кроме того, из асимптотического
распределения (11.25) полюсов следует, что при к —> оо передаточная
функция системы равна передаточной функции эталонной модели:
lim К{р, к) = КЛр) = ^-.
к~>™ X (Р)
Вследствие этого управляемый процесс x(t) -> х° теоретически точно
совпадает с эталонным процессом х*(/) -> х°.
Рассмотрим структурные свойства системы. По формуле
1 - К{р, к)
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 233
находим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W(p ,к) =----------. (11.26)
р|>4(р) + И>о(Р +Y2P + Y1)]
Отсюда следует, что порядок астатизма системы - первый, как и у
эталонной модели. Кроме того, ее добротность по скорости равна
*CK=[P^(M)]p=0= — = ^“.
Yi
Поэтому амплитудные характеристики системы и модели
£(со, к) = 20 lg| Wfja, к) |, £м (со) = 20 lg| (ico) |
совпадают в диапазоне низких и рабочих частот. В силу этого высокая
степень приближения процессов x(t) —> х (/) достигается при умеренных
значениях коэффициента усиления к, как это показано в лекции 3.
Ориентировочное значение уровня усиления рекомендуется рассчи-
тывать по формуле
£ = (3...5)^-, (11.27)
°о
где со - частота среза характеристики эталонной модели в разомкнутом
состоянии
1Км(ко) =
Yo
Р(Р2 +Y2P + Y1)
p=i<o
В заключение этого раздела отметим, что уравнения (11.12), (11.15)
алгоритма управления идентичны уравнениям (3.25), полученным в лек-
ции 3 путем минимизации энергии ускорения по градиентной схеме пер-
вого порядка. Следовательно, для рассмотренной задачи, при прочих
равных условиях, метод гашения кинетической энергии и метод миними-
зации энергии ускорения приводят к одинаковым структурам алгоритмов
управления.
234 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
11.1.2. Стабилизация программных траекторий
движения объекта третьего порядка
Уравнение движения объекта имеет вид
2
х +^avx(v) =1^й + Ьои. (11.28)
v=0
Коэффициенты уравнения - постоянные числа, не зависящие от
времени. Передаточная функция, соответствующая (11.28), равна
(н-29)
Л(р) м(р)
где
2
Л(р) = р3+ £avPv, В(р) = 61р + 80- (11.30)
v=0
Далее принимаем, что полюсы т.е. корни уравнения А(р) = 0,
могут быть как слева, так и справа от мнимой оси Re р = 0 на комплекс-
ной плоскости р. Единственный нуль передаточной функции, т.е. корень
р = 1 уравнения В(р) = 0, расположен в левой полуплоскости. Для
определенности будем считать, что Ьо > 0 и />1 > 0.
Задачу формулируем следующим образом. Пусть назначена про-
граммная траектория движения у(г), t > 0. Требуется найти такую управ-
ляющую функцию и, при которой траектория управляемого объекта, на-
чиная с некоторого момента времени t = /♦, с необходимой степенью при-
ближения следует за назначенной траекторией, так что выполняется не-
равенство
|ц/(0-х(01<8, t>t.. (11.31)
Требуется, кроме того, чтобы динамические характеристики замкну-
той системы были почти идентичны динамическим характеристикам эта-
лонной модели, движение которой описывается уравнением
м з
+ (11.32)
dt g=o
Для эталонной модели функция у(/) является входным воздействи-
ем, которое должно быть воспроизведено (отслежено) с заданной точно-
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 235
стью. Требуемая динамическая точность слежения может быть достигну-
та в том случае, когда модель обладает высокой добротностью по скоро-
сти или ускорению. Далее примем, что порядок астатизма модели равен
двум, а ее передаточная функция в разомкнутом состоянии равна
»;(р)=^ск
ТгР + \
р2(Тхр + \){Т3р + \)'
В таком случае для коэффициентов дифференциального уравнения
(11.32) справедливы равенства 0О = г0, р, = Величина коэффициента
усиления - добротности системы по ускорению - назначается из
условия обеспечения требуемой динамической точности.
В соответствии с постановкой задачи траектория управляемого дви-
жения системы должна проходить в малой е - окрестности траектории
движения эталонной модели, т.е.
|y(/)-x(O|<e, t>t.. (11.33)
Далее будем считать, что по построению модели с необходимостью
выполняется неравенство | ц/(г) - y(t) | < 8, t>t,. В таком случае, со-
гласно (11.33), если е < 8, то выполняется неравенство (11.31).
Синтез алгоритма управления выполним методом гашения локаль-
ного функционала, характеризующего энергию движения. В качестве
управляющего параметра принимаем управляющую функцию и, а ло-
кальный функционал записываем в виде
G(«) = y[x(O-ia, и)]2- (И.34)
По определению, G(w) представляет собой нормированную по мас-
се (или моменту инерции) энергию ускорения.
Потребуем, чтобы на траекториях управляемого движения выполня-
лись неравенства
G(w) = -^^<0, G(u)—>0, /->оо. (11.35)
dt
Производная по времени G(w) вычисляется в силу уравнения
(11.28). Дифференцируем обе части (11.34) по времени, а затем в полу-
ченное равенство подставляем выражение
236 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
2
х(/, w) = 61ti + ^w-^avx(v). (11.36)
v=0
В результате найдем
2
G(«) = (У - *)[(У + X av*(v) " М)" -
v=0
Отсюда следует, что условия (11.35) будут выполнены, если
« = к0(у-х), Ьок0>О, (Н.37)
и существует такое значение Ль, при котором
2
о5 - *)[(>+X avx(v) - М)
v=0
<boko(y-x)2, t^O. (11.38)
Согласно (11.37), для коэффициента усиления должно выполняться
правило знаков, аналогичное (11.14). Так как для уравнения (11.28) при-
нято Ьо > О, Ь\ > 0, то коэффициент усиления Ль в законе управления
(11.37) должен быть положительным.
Требуемое значение ускорения у в (11.37) вычисляется по соотно-
шениям
г
У = г0 р1о‘* + '1Г1о-'2х,
о
По = (Ро =г0, ₽1 =п)> (11.39)
о
которые получаются из уравнения (11.32) эталонной модели по обычной
методике.
Выведем уравнение замкнутой системы с алгоритмом управления
(11.37), (11.39). Выражение для у в операторной форме имеет вид
И') = -^-[(Pi D + р0)ч/(О - rW(')]- (11-40)
Здесь операторный полином
3
/(£>)=
м=0
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 237
С учетом (11.40) и (11.37) находим управляющую функцию
«(о=-^-[₽(£’)ч/(о-хадо], (11.41)
где операторные выражения
r(D) = D4+r'(D), р(£>) = ₽,£> + ₽„.
Подстановка w(0 из (11.41) в уравнение (11.28), записанное в опера-
торной форме, приводит к искомому уравнению замкнутой системы
[&A(D) + AoB(D)XD)]x(O = *oB(D)₽(WO- (11-42)
Согласно (11.42), передаточная функция
К(р, м = _М(£)Р(£) = Хр). р2Л(р) + к0В(р)г(р) Ц/(Р) (11.43)
При неограниченном повышении уровня усиления ее P.v(^o) распределяются следующим образом: полюсы
lim р5(*о) = Р*> s = l,...,4,
lim p5(k0) = -b0b{', *0-»® (11.44)
где р’ - полюсы передаточной функции эталонной модели, т.е. корни
уравнения г(р) = 0.
На основании (11.44) приходим к заключению, что система не теря-
ет устойчивости в случае ко —> оо, при этом в асимптотике выполняется
предельное равенство
lim к(рЛ).«£>.Ж
*»-* r(p) у(р)
Следовательно, теоретически при бесконечно высоком уровне уси-
ления процессы в системе и модели совпадают: x(t) = ХО- Передаточная
функция системы в разомкнутом состоянии
------М(£Ж£)----------,
р [А(р) + к0В(р)(р2 + г3р + г2)]
(₽о=го> ₽1=Л)-
238 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
Отсюда следует, что порядок астатизма системы равен двум, как и у
эталонной модели. При этом добротность системы по ускорению
Ро _ Л» /1(0) = 0,
Ло)]Р=о=- г2 Wo Я(0) + А060Р0г2 /1(0) * 0.
В случае /1(0) = а0 * 0 равенство ку<ж = А“ск можно реализовать пу-
тем повышения порядка эталонной модели на единицу.
Синтезируем теперь другой алгоритм, обеспечивающий стабилиза-
цию программной траектории ц/(Г), t > 0 для объекта, движение которого
описывается уравнением (11.28). Формулировку задачи оставляем преж-
ней, однако в качестве управляющего параметра принимаем скорость
изменения управляющей функции, т.е. й. В соответствии с этим рас-
сматриваем функционал
= й)]2. (11.45)
Требуем, чтобы на траекториях управляемого движения выполня-
лись неравенства
С(й) = -^^<0, С(й)->0, Г->оо. (11.46)
Дифференцируем по времени (11.45) в силу уравнения движения
(11.28). В результате получим
2
О(Й) = (у - х)[(у + 22 avx(V)) - *1« - *0“] -
v=0
Отсюда следует, что условия (11.46) будут выполнены, если
й = А](у-х), Ьук^О, (11.47)
и существует такое значение к\, при котором
2
(y-x)(y+22avx(v)_feoM)
v=0
<й]А1(у-х),
t >0.
(11.48)
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 239
Закон управления (11.47) допускает понижение порядка. Интегрируя
по времени обе части (11.47) при нулевых начальных значениях пере-
менных, получим
w = А] (у - х), Ь\к}>0. (11.49)
Требуемое значение скорости вычисляется по соотношениям
i
У= f('bTli - r2x)dt + Г1П1,
О
Л1 = По =/(v(Ро ='о> Pi =п)> (11-50)
о о
которые получаются из (11.39) путем однократного интегрирования по
времени.
Для коэффициента кх должно выполняться правило знаков
sign(A1) = sign(61).
Таким образом, алгоритм управления в рассматриваемой задаче со-
ставляют уравнения (11.49), (11.50). Процессы в системе с этим алгорит-
мом описываются уравнением
[rfd (D) + kxB(D)r{D)}x(t) = Л1В(£>)р(£>)х|/(О- (11 - 51)
При неограниченном повышении уровня усиления система сохраня-
ет устойчивость. В асимптотике при к{ —> оо полюсы ее передаточной
функции
кМ-. WW)—= 4и (1152)
рЛ<р> + к,В(р)г(р) НКР)
распределяются на плоскости комплексной переменной р следующим
образом:
lim д,(Л1) = р,, 5 = 1,..., 4,
к] —>оо
lim p5(ki) = -bob^,
Л|->00
lim p6(*i) = (-оо),
К] —>00
где p* - полюсы передаточной функции эталонной модели, т.е. корни
уравнения г(р) = 0.
240 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
Система и модель имеют одинаковый порядок астатизма - второй.
Добротность по ускорению
*уск =у- = *уск> если ао=0 и ао*0.
Отметим, что расчет ориентировочных значений ко и к{ следует вы-
полнять по формулам, которые приведены в лекции 4.
В отличие от алгоритма (11.37), (11.39), для аппаратной реализации
уравнений (11.49), (11.50) не требуется информация об ускорении х . Это
обусловлено тем, что при синтезе алгоритма управления (11.49), (11.50) в
качестве управляющего параметра принята скорость й изменения управ-
ляющей функции.
В заключение отметим следующее. Минимизация локального функ-
ционала
1 1
G(u,ii) = —[y(t)-'x(t, и, й)]2 (11.53)
по градиентной схеме первого порядка по переменной и при й = const
приводит к уравнениям (11.37), (11.39), а минимизация по переменной й
при и = const - к уравнениям (11.49), (11.50). Это означает, что метод
гашения энергии ускорения (11.34) или (11.35) и метод минимизации
функционала (11.53) при прочих равных условиях в рассмотренных зада-
чах приводят к идентичным структурам алгоритмов управления.
11.2. УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ПОЛОЖЕНИЕМ
УПРУГОЙ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМОЙ
Динамическую систему «привод - нагрузка» с упругим механизмом
передачи движения принято представлять в виде двухмассовой системы,
кинематическая схема которой изображена на рис. 11.1.
Уравнения движения и структурная схема математической модели
такой системы приведены в лекции 10.
Передаточная функция системы для переменной ip имеет вид
(р) = -ВД- = ^£1, (11.54)
Ф рА(р) и(р)
где полиномы
3
^(р) = р4+SavPv> B(p) = b]p + b0. (11.55)
v=0
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 241
Рис. 11.1
Переменная <р физически означает угол поворота выходного вала
системы; и - управляющее напряжение электродвигателя постоянного
тока независимого возбуждения. Коэффициенты av, bj в (11.55) выража-
ются через параметры системы известными зависимостями, которые мы
не приводим, поскольку они далее не потребуются.
Передаточной функции (11.54) соответствует дифференциальное
уравнение
>5 з
—+ V avip(v+1) = 6]Н + bou, (11.56)
v=0
или в операторной форме
Ш(Р)ф(1) = B(D)w(0, £> = 4 • (11.57)
at
Операторные выражения A(D), B(D) получаются из полиномов
(11.55) путем замены D = р.
Задачу формулируем следующим образом: программа движения
проектируемой системы - входное воздействие - задана гладкой функци-
ей <рвх(0; требуется синтезировать такой алгоритм управления, при кото-
ром в установившемся движении выполняется условие
|<рвх(Г)-ф(Г)|<Е, t>t., (11.58)
где постоянная величина е определяет заданную точность, а А - длитель-
ность переходного процесса. Необходимо при этом, чтобы расчетные
соотношения для вычисления управляющей функции u(Z) не содержали
операции дифференцирования входного воздействия фвх(0, а замкнутая
система обладала заданным астатизмом.
В соответствии с (11.58) алгоритм управления должен обеспечивать
стабилизацию программного движения с точностью до е. Если фвх(/) =
242 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
= ip0 = const, то система с таким алгоритмом будет стабилизировать стацио-
нарное состояние равновесия. Поэтому величина <р° - ф(г) —> 0 при t —> оо.
Принимаем гипотезу о том, что передаточная функция ^(р) допус-
кает аппроксимацию, так что порядок управляемой системы по угловому
положению может быть понижен на единицу. Запишем аппроксимирую-
щую передаточную функцию в виде
= = Л'(Р) = Р3 + £</Л (11.59)
рЛ(р) и(р) и
Ь'о > 0, 5]' > 0.
Числовые значения коэффициентов не известны; для синтеза алго-
ритмов управления знать их нет необходимости. Передаточной функции
(11.59) соответствует дифференциальное уравнение
ш’(Р)ф(0 = (Ь1'р+^)М(0.
(11.60)
Алгоритм управления системой с передаточной функцией (11.54)
будем синтезировать по упрощенной модели (11.60).
Пусть требованиям задания на проектирование системы соответст-
вует эталонная модель, процессы в которой описываются дифференци-
альным уравнением
(11.61)
или в операторной форме
а(Р)ф,(г) = р(Р)фвх(г),
3 2
a(D)=D4+£a,Ds, p(D) = £₽/>'. (11.62)
s=0 7=0
Будем считать, что числовые значения as, Ру в (11.62) такие, что в
установившемся движении эталонной модели выполняется неравенство
|фвх(0-ф*(0|<8, §<е- (11.63)
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 243
Следовательно, абсолютное значение динамической ошибки меньше
допустимой величины, т.е. |фвх(0_ф*(0|^е> t>t*. При этом степень
приближения должна быть такой, чтобы выполнялось неравенство
(11.63).
Алгоритм управления будем синтезировать, рассматривая задачу
гашения энергии движения, характеризуемой локальным функционалом
G(u, й) = 1[ф‘- ф(и, й)]2, (11.64)
вычисляемого в окрестности траектории движения эталонной модели
(11.61). Потребуем, чтобы в процессе управления выполнялись условия
ё(и, й) = < 0, G(u, й)—>0, г —> оо, (11.65)
dt
где производная по времени вычисляется в силу уравнения (11.60).
Согласно (11.64) и (11.60), находим
G(h, й) = (ф‘ - ф)
у/
Л4
+ а'(£))<р - 6]'й - Ьои
(11.66)
где операторное выражение a'(D) = a'2D2 +a{D + a'o. В качестве управ-
ляющего параметра принимаем скорость изменения управляющей функ-
ции й. Тогда на основании (11.66) приходим к заключению, что условия
(11.65) будут выполнены, если
й = Аф(ф‘- Ф), ^Ф>0,
(11.67)
и существует такое значение к^, при котором
.... ... f dtp*
(ф -ф) ~7Т
dr
+ а'(£>)ф - Ь'ои
<61%(Ф*-Ф)2, Г^О. (11.68)
Равенство в (11.67) есть закон управления, а неравенство - правило
знаков
sign(^) = sign (6]'). (11.69)
Закон управления (11.67) допускает понижение порядка. Интегрируя
обе части по времени при нулевых начальных значениях переменных,
получим
244 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
« = МФ* ~ Ф)> *ч> > °- О 1 -7°)
В (11.70) принято положительное значение к^, что соответствует
правилу знаков (11.69) в случае Ь{ > 0.
Требуемое значение ускорения ф вычисляется по соотношениям
I
ф’ = |(ао/о + Р1ФВХ -а1Ф)<* + Р2Фвх -а2ф-а3ф, (11.71)
о
I
fo = {(фвх -фМ, Ро=ао,
о
которые получаются из уравнения эталонной модели по обычной методике.
Отметим, что соотношения (11.71) соответствуют модели, обла-
дающей астатизмом первого порядка (Ро = схо). В случае второго порядка
астатизма (Р, = а„ i = 0, 1) вместо (11.71) будем иметь
ф‘ =а0/1 +а1/о +Р2Фвх -а2ф-а3ф, (11.72)
/о = {(фвх - Ф) /1 = f/o dt.
о о
Таким образом, алгоритм управления строится по уравнениям
(11.70), (11.71) или (11.70), (11.72). На рис. 11.2 представлена структур-
ная схема замкнутой системы с алгоритмом (11.70), (11.71). Процессы в
системе описываются уравнениями (11.57), (11.70) и (11.71). Исключая из
них управляющую функцию, получим уравнение управляемых процессов
[£>3Л(£>) + ^a(D)B(D)]<p(0 = (11.73)
которому соответствует передаточная функция
*Ф(МФ) = 3 -----= _£<£)_. (11.74)
Р Л(р) + ^а(р)В(р) (рвх (р)
Изучая распределение полюсов передаточной функции (11.74),
можно установить следующие свойства замкнутой системы.
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 245
Рис. 11.2
1. При неограниченном повышении уровня усиления (kv —> оо) по-
люсы передаточной функции (11.74) распределены следующим образом:
Jim Л(*Ф) = Х, 5 = 1,...,4,
lim р$(к) = -Ь0Ь\}, (11.75)
где ps - полюсы передаточной функции эталонной модели. Остальные
два полюса удаляются на бесконечность в левой полуплоскости при оп-
ределенном соотношении между параметрами системы и модели:
lim Рб7(^<р) = -О°, если Ь\аз >^о +^1аз- (11.76)
2. Распределение полюсов (11.75), (11.76) означает, что система со-
храняет устойчивость (теоретически) в случае к^ —> оо, а ее асимптотиче-
ская передаточная функция
К (р,ъ)= lim К (р,кф) = ^р-
в точности равна передаточной функции эталонной модели.
3. В асимптотике уравнение (11.73) седьмого порядка замкнутой
системы вырождается в уравнение четвертого порядка, которое совпадает
с уравнением (11.57). Следовательно, в случае -> оо динамические ха-
рактеристики системы и модели строго идентичны. Это означает, что
система с алгоритмом управления (11.70), (11.71) обладает свойствами
параметрической адаптивности.
246 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
4. Управляемая система (при конечных значениях kv) и эталонная
модель имеют одинаковый порядок астатизма - первый или второй. Кро-
ме того, система и модель имеют одинаковую добротность. В силу этого
высокая степень приближения управляемого процесса к эталонному дос-
тигается при умеренных значениях коэффициента усиления к^
Для вычисления управляющей функции по (11.70) требуется ин-
формация об ускорении ф . В тех случаях, когда ф не доступна для не-
посредственного измерения, требуемые переменные можно вычислить по
соотношениям, которые получаются из уравнения (11.56) управляемой
системы. Путем последовательного интегрирования обеих частей (11.56)
при нулевых начальных значениях переменных найдем
i
Фв4) = bo fat + ь]и- a3ij>B - а2фв - «1Ф- аоФ>
о
г t
<i>B = |ф(в4)л, фв = (11.77)
о о
где индексом «в» отмечены вычисляемые величины. Следовательно, в
рассмотренном случае управление организуется по уравнениям (11.70),
(11.71) и (11.77). При этом в (11.70) необходимо принять ф = фв.
Уравнения (11.77) представляют собой алгоритм информационного
обеспечения системы управления.
Изложим результаты математического моделирования синтезиро-
ванной системы. При исследовании приняты следующие номинальные
значения параметров:
Z. = 5,6 • 10’3 Гн, R = 3,8 Ом, ки = 0,023 Н • А"1 • м,
кш = 0,098 Вс- рад”1, = 6,2 • 10-6 кг • м2, JH = 6,2 кг • м2, (11.78)
п = 103, с = 104 • Н • м • рад’1, х = 200 Н • м • с • рад”1.
В процессе моделирования варьировались: момент инерции нагруз-
ки JH, постоянная времени тэ = LIR электрической цепи якоря, величины
с их, характеризующие упругие свойства конструкции механизма пере-
дачи движения и потери на внутреннее вязкое трение.
Для принятых значений параметров (11.78) коэффициенты переда-
точной функции W4(p) равны: а0 ~ 1,05 • 108, = 4,28 • 106, а2 = 1,12 • 105,
а3 = 743, Ьо = 1,07 • 106, bi = 2,14 • 104. Электрическая и механическая по-
стоянные времени соответственно равны тэ = 1,5 • 10-3 с и тм = 0,02 с.
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 247
Требования к динамическим характеристикам проектируемой сис-
темы заданы следующими показателями: длительность переходного про-
цесса не более 0,5 с; перерегулирование порядка о » 20 %; добротность
по скорости kv = 300 с-1; порядок астатизма - первый.
Заданным требованиям соответствует эталонная модель с переда-
точной функцией в разомкнутом состоянии
р)= 300(0,0625^+0,4Р + 1) (Н79)
р(р2 + 2р +1)(0,0 Ip +1)
Числовые значения коэффициентов уравнения (11.61) модели
(11.79) в замкнутом состоянии равны: Оо = 0о = 3 • 104, cq = 1,21 • 104,
а2 = 2,08 • 103, а3 = 102, 0! = 1,2 • 104, 02 = 1,88 • 103.
Динамика эталонной модели с указанными значениями параметров
характеризуется следующими показателями: длительность переходного
процесса t> = 0,45 с, перерегулирование а » 17 %, частота среза характе-
ристики 1У“(|©) равна © «18,6 рад • с”1, запас устойчивости по фазе
составляет Дц/ = 66°.
На рис. 11.3 приведены логарифмические частотные характеристики
эталонной модели LM (ю) = 20 lg| (ito) | и проектируемой системы в
разомкнутом состоянии с алгоритмом управления (11.70), (11.71). Циф-
рами обозначены кривые для различных значений к11) = 5 ... 50. В области
Рис. 11.3
248 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
рабочих (низких и средних) частот характеристики модели и системы
совпадают. При kv = 10 значительное различие между характеристиками
наблюдается на частотах, существенно превышающих частоту среза.
Вследствие этого высокая степень приближения процессов в системе и
модели достигается при умеренных значениях Аф.
В табл. 11.1 приведены данные, которые характеризуют распределе-
ние полюсов передаточной функции К^(р, к^) замкнутой системы в зави-
симости от уровня усиления.
При увеличении к^ четыре полюса приближаются к соответствую-
щим полюсам передаточной функции эталонной модели, а остальные три
полюса удаляются от мнимой оси в левой полуплоскости. В случае
А, = 10 ... 15 эти три полюса слабо влияют на характер переходных про-
цессов в системе, поскольку доминирующими являются полюсы р^2 и ру
Влияние момента инерции нагрузки на динамику системы характе-
ризуется переходными характеристиками на рис. 11.4. Выходная пере-
менная эталонной модели обозначена <р , а цифрами отмечены переход-
ные характеристики системы при различных моментах инерции нагрузки
JH = 20 ... 40кг • м2. При пятикратном увеличении по сравнению с расчет-
ным значением JH = 6,2 кг • м2 динамические характеристики системы
изменяются незначительно, что свидетельствует о высокой степени па-
раметрической адаптивности.
Такое заключение подтверждается числовыми данными табл. 11.2, где
приведены значения максимального отклонения Amax = I <p*(r) — <p(r) I ,
I Imax
интегрального квадратичного отклонения (ИКО), перерегулирования а и
длительности переходных процессов t„„. Эти данные соответствуют
уровню усиления kv = 20.
При математическом моделировании выполнено исследование ди-
намики системы, в структуру которой включен алгоритм информацион-
ного обеспечения (11.77). Система с таким алгоритмом обладает меньшей
способностью сохранять динамические характеристики при изменении ее
параметров. Показатели качества процессов управления остаются в допус-
тимых пределах при изменении момента инерции нагрузки в 2,5 ... 3 раза по
сравнению с расчетным значением.
В заключение отметим, что синтезированные алгоритмы управления
обеспечивают высокую стабильность динамических характеристик сис-
темы при изменении параметров тэ, с и %. Степень влияния этих пара-
метров оказывается такой, как и в системе управления угловой скоростью
(лекция 10).
МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ 249
11.1. Распределение полюсов передаточной функции
Р\ Рг Рз Р4 Рз Рб Рз
2 -4,318 ±4,08/ -6,825 -35,23 ± 39,84/ -211,2 -446
5 -3,98 ±3,166/ -11,88 -51,19 ±34,48/ -310,4±201,4/
10 -3,826 ± 3,023/ -14,35 -58,37 ±24,31/ -302,2 ± 379,2/
20 -3,756 ± 2,966/ -15,83 -61,3 ± 14,62/ -298,6 ± 596,7/
30 -3,734 ± 2,949/ -16,38 -62,12 ±9,096/ -297,5 ± 754,6/
40 -3,723 ± 2,941/ -16,67 -62,5 ± 4,093/ -297 ± 884,8/
50 -3,717± 2,936/ -16,85 -57,93 -67,51 -296,7 ± 998,6/
60 -3,712±2,933/ -16,97 -55,83 -69,89 -296,5 ± 1100/
70 -3,709 ±2,931/ -17,05 -54,68 -71,23 -296,4 ± 1193/
85 -3,706 ± 2,928/ -17,15 -53,65 -72,47 -296,2 ± 1321/
100 -3,704 ± 2,926/ -17,21 -53 -73,26 -296,1 ± 1437/
150 -3,700 ± 2,923/ -17,34 -51,89 -74,63 -295,9 ± 1770/
модель -3,69 ± 2,92/ -17,6 - -77,02 -
Рис. 11.4
250 МЕТОД ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ
11.2. Параметры переходных процессов
JH, кг • м2 Атах • Ю2 ИКО • 105 о, % 61П» С
0,2 2,12 5,65 18,1 0,46
0,5 2,12 5,58 18,2 0,46
1 2,07 5,51 18,2 0,46
3 1,98 5,3 18,2 0,46
5 2,16 5,25 18,2 0,46
6,2 2,35 5,32 18,2 0,46
8 2,8 5,56 18,2 0,46
10 3,31 6 18,2 0,46
15 4,67 8,1 18,1 0,45
20 6,03 11,68 18,1 0,45
30 8,43 23,9 18,1 0,45
40 10,57 43,56 17,9 0,45
Лекция 12
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫЕ
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Электрогидравлические приводы находят широкое применение в
различных отраслях машиностроительного производства, в системах ав-
томатизации технологических процессов и в конструкциях автоматизи-
рованных машин и механизмов различного назначения. По технологиче-
ским условиям автоматические системы работают при значительных из-
менениях нагрузки. Поэтому являются актуальными исследования по
разработке методов синтеза таких алгоритмов управления, которые обес-
печивают стабильность динамических характеристик при изменении па-
раметров управляемых объектов. В настоящей лекции изложены методи-
ки синтеза алгоритмов управления, которые обеспечивают стабильность
динамических характеристик автоматических систем при изменении па-
раметров в широких пределах. Рассматриваются вопросы аппаратной
реализации алгоритмов, синтезируются структуры алгоритмов управле-
ния с минимальным информационным обеспечением.
12.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
УПРАВЛЯЕМОГО ГИДРОПРИВОДА
Функциональная схема гидропривода с дроссельным управлением
изображена на рис. 12.1. Привод предназначен для управления положе-
нием объекта массы М по координате х. В состав гидропривода входят
следующие функциональные элементы: золотниковый гидроусилитель
(ЗГУ) с управляемой координатой /; гидроусилитель (ГУ) типа силового
цилиндра (ГЦ) с двумя рабочими камерами, имеющими объемы И0|, К02
при х = 0. Эффективная площадь поршня ГЦ обозначена Е^, а давления в
его рабочих полостях - через Pt, Р2- Объемный расход рабочей жидкости,
поступающей от ЗГУ к ГД, характеризуется величиной Q* Переменные
Ро, Рс. обозначают давления питания и слива. Выпишем уравнения дина-
мики гидропривода. Линеаризованное уравнение расходно-перепадных
характеристик золотникового гидроусилителя имеет вид
а - ~ k-Qp&p,
(12.1)
252 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
Рис. 12.1
где АД = Р| - Р2- перепад давлений в рабочих полостях; ку — коэффици-
ент усиления ЗГУ по расходу рабочей жидкости; kgt> - коэффициент жестко-
сти расходно-перепадных характеристик золотникового гидроусилителя.
Уравнение баланса расходов рабочей жидкости
бз-бд + бх+й:ж>
(12.2)
где _ расход, сообщающий скорость перемещения (х) объекта
управления; Qx = гАР - расход утечек (перетечек) между полостями
управления ГД, г - коэффициент интенсивности утечек. Переменная
есж=|к0АР (12.3)
определяет расход, обусловленный сжатием рабочей жидкости в полос-
тях управления. В уравнении (12.3) обозначено: р = 1/Еж - коэффициент
сжимаемости жидкости; Еж - модуль упругости; Го ~ ^oi ~ Г02- величина
равных объемов в полостях управления при начальном положении объ-
екта х = 0.
Уравнения движения объекта управления
Л& + ух = F^&P,
(12.4)
где у - коэффициент вязкого трения.
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 253
Величина I связана с управляющим напряжением и на входе элек-
трогидравлического усилителя (ЭГУ) передаточной функцией
^(р) = тД- = -^. (12-5)
Тур + 1 и(р)
Здесь l(p), и(р) - изображения по Лапласу функций времени 1(f) и u(t).
Для непосредственного измерения в системе доступны переменные
х, х и АР. Величина АР пропорциональна ускорению, поэтому далее бу-
дем считать, что измеряется вторая производная х. Заметим, однако, что
как линейные, так и угловые ускорения могут измеряться специальными
измерителями.
По уравнениям (12.1) - (12.4) можно вывести передаточную функ-
цию Wn(p) гидропривода в случае, когда не учитывается инерционность
электрогидравлического усилителя (Гу = 0). В этом случае согласно (12.5)
переменная / = kyU. Далее величину ку будем учитывать в общем коэффи-
циенте усиления гидропривода, который обозначим к^ Исключая в (12.1) -
(12.4) промежуточные переменные, найдем
W (р) =-------
" р(Т2р2+2QnTnp + l) и(р)
(12.6)
где х(р) - изображение по Лапласу функции x(t). Параметры передаточ-
ной функции определяются формулами
kQlky
1 ( Мсг )2
4 n J
(12.7)
где обозначено
Г Р^о
П = 1+4, rc=r + kQP- (12.8)
D
к =
Г = —
Чп 2
Коэффициенты сг характеризуют соответственно жесткость «гид-
равлической пружины» гидроцилиндра и механической характеристики
гидропривода.
254 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
С учетом инерционности процессов в электрогидравлическом уси-
лителе передаточная функция гидропривода имеет вид
W (р) -----------------------------= Х^-Р)
" р(Тур + 1)(Тп2р2+2;пТпр + 1) и(р)
(12.9)
12.2. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ (12.6)
Рассматриваем задачу управления для того случая, когда модель
движения управляемого объекта не учитывает инерционность ЭГУ. За-
пишем передаточную функцию (12.6) в следующем виде
^(^ = -^-7 = 4^’ <121°) М(р) «(р)
где обозначено 4Р) = Р2 +а]р + а0, ч-ф. ^=4 1п 1П
Передаточной функции (12.12) соответствует дифференциальное
уравнение
7 d
D(D2 + aID + ao)x(O=Z>ow(O> D = —. (12.12)
dt
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент
времени t = 0 объект управления находится в состоянии, которое харак-
теризуется значениями
x(s)(0) = xv0, s=0, 1,2. (12.13)
Требуется синтезировать такой алгоритм управления в форме об-
ратной связи и = и(х, х, х), при котором объект переходит из начального
состояния (12.13) в стационарное состояние
х(оо) = х°, х(оо) = х(оо) = 0.
(12.14)
Необходимо при этом, чтобы фазовая траектория движения замкну-
той системы с заданной степенью приближения следовала за фазовой
траекторией движения эталонной модели, описываемой уравнением
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 255
У+У2У + Г|У + ТоУ = РЛх +₽охвх> Хвх = Х° = const (12.15)
при соответствующих начальных условиях.
Коэффициенты уд., 0у (12.15) такие, что
У|У2>Уо, ₽о₽1>О. (12.16)
Неравенства (12.16) есть условия асимптотической устойчивости моде-
ли как динамической системы. Поэтому в том случае, когда хи = х° = const,
выходная переменная эталонной модели ХО х° при / —> оо. Иными сло-
вами, из произвольного состояния yw(0), s = 0, 1,2 эталонная модель пе-
реходит в стационарное состояние X00) = х°, X00)= у(°°) = 0 > которое
соответствует заданному состоянию (12.14) для управляемой системы.
По построению и функциональному назначению эталонной модели
ее динамические характеристики - длительность переходного процесса,
перерегулирование и другие - удовлетворяют требованиям технического
задания на проектирование автоматической системы. Это достигается
при соответствующих значениях параметров ys, 07. Кроме того, в зависи-
мости от соотношения между этими параметрами эталонная модель мо-
жет иметь заданный порядок астатизма. Если Ро = уо, то порядок астатиз-
ма - первый. В случае 07 = у,, j = 0,1 порядок астатизма - второй.
Таким образом, будем считать, что динамические характеристики
эталонной модели соответствуют заданным требованиям к проектируе-
мой системе. В таком случае алгоритм управления можно синтезировать
из условия, чтобы динамика замкнутой системы была практически иден-
тична динамике модели. Если это условие выполняется, то переходный
процесс в системе ХО —» х° с достаточно высокой точностью будет сле-
довать за эталонным процессом ХО х°-
Точность приближения фазовых траекторий движения модели и
системы оцениваем величиной функционала
G(«) = у[у(')«)Г (12-17)
Фазовая траектория управляемой системы будет проходить в малой
окрестности фазовой траектории эталонной модели, если в каждый мо-
мент времени t > 0 значения функционала (12.17) будут принадлежать
малой окрестности экстремума - минимума.
256 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
12.2.1. Минимизация функционала по градиентной схеме
первого порядка
Движение к экстремуму G(w) организуем по схеме градиентного ме-
тода. Управляющую функцию u(t) определим дифференциальным соот-
ношением
du(t) dG(u) , .
—— = К—А. = const. (12.18)
dt du ’
Согласно уравнению (12.12), имеем
x(t, и) = bQu - аох - а}х. (12.19)
Дифференцируя (12.17) по переменной и с учетом (12.19), находим
градиент функционала
^l = -bQ(y-x). (12.20)
du
Из (12.18) и (12.20) получаем дифференциальный закон управления
— = к(у-х), к = -Ьок. (12.21)
dt
Переменная у представляет собой требуемое значение третьей про-
изводной переменной х системы. Величина у (t) может быть вычислена
по уравнению эталонной модели (12.15) с учетом состояния управляемо-
го объекта. Далее будем считать, что порядок астатизма модели равен
единице. В этом случае р0 = Уо- Выполняя в уравнении (12.15) замену
y(i)(t) = xw(t), s = 0, 1, 2,
будем иметь
У =Уо(х№-*) + ₽!*,«-Yi*-Y2*- (12.22)
Уравнения (12.21) и (12.22) могут составить основу алгоритма
управления. Однако при непбсредственной аппаратной реализации этих
уравнений в структуре системы необходимо организовать контур третьей
производной х. Задающим сигналом такого контура будет переменная
у. При таком построении управляющей части системы для вычисления
управляющей функции и требуется информация о производных x(5)(t) до
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 257
третьего порядка включительно. Кроме того, в таком случае необходимо
дифференцировать входной сигнал хвх.
Представим уравнения (12.21) и (12.22) в другой форме. С этой це-
лью проинтегрируем обе части уравнений по времени при нулевых на-
чальных условиях. В результате получим
« = А(у-х),
ЯО = Yo J(*bx ~x)dt + PjXbx - у,х- у2х. (12.23)
о
Для вычисления управляющей функции и по уравнениям (12.23) не
требуется информация о третьей производной х. Структурная схема ал-
горитма управления (12.23) приведена на рис. 12.2.
Исследуем динамику процесса минимизации функционала G(u).
В уравнение (12.21) подставим выражение для х из (12.19). В результате
будем иметь
u(f) + kbQu(t) = kz(f), z(t) = у + atx + аох. (12.24)
Обозначим через и (г) то значение управляющей функции u(t), при
котором в каждый момент времени t > 0 реализуется абсолютный мини-
мум функционала (12.7), т.е. G(u ) = 0. Из (12.24) следует, что алгоритм
управления обеспечивает сходимость процесса минимизации функцио-
нала u(t) —> и (Г), если выполняется правило знаков
sign(A) = sign(feo) > 0.
Рис. 12.2
9-9516
258 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
Уравнение (12.24) описывает процесс в контуре управляющей
функции и. Его передаточная функция равна
КАР, к) = —^- = ^4’ 02.25)
p + kb0 z(p)
где z(p) - изображение по Лапласу входного воздействия z(t) контура.
Значение функционала G(u) будет принадлежать малой окрестности экс-
тремума-минимума, если быстродействие контура и обеспечивает высо-
коточное слежение за быстро меняющимся сигналом z(t). Это достигает-
ся увеличением коэффициента усиления к. В случае неограниченного
повышения уровня усиления полюс передаточной функции (12.25)
удаляется на бесконечность в область отрицательных значений, т.е.
р(Л) = -кЬй (оо), если Л —> со. Следовательно, справедливо предельное
соотношение
ИтКАр, к) = -^, (12.26)
*-»«> о0
которое свидетельствует о том, что инерционный контур управляющей
функции вырождается в безынерционный усилитель с коэффициентом
усиления l/Ао. Вследствие этого теоретически «(/) = и (0, а фазовая тра-
ектория управляемой системы строго совпадает с фазовой траекторией
эталонной модели. Необходимая для технических приложений точность
приближения траекторий достигается при конечных значениях к, при
которых быстродействие контура и существенно выше быстродействия
модели.
Исследуем теперь свойства системы в целом. Выведем уравнение
управляемого процесса. Исключим из (12.12) и (12.23) управляющую
функцию и. В соответствии с (12.23) выражение для y(t) запишем в опе-
раторной форме
у(0 = (Pi D + ро )хвх (0 - (у2^>2 + YiD + Yo МО-
Подставляя это выражение в первое уравнение (12.23), получим
к к
= ^P(O)xBX(0-^r(D)x(0, (12.27)
где соответственно левой и правой части уравнения (12.15) обозначено
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 259
2
у(О) = О3+£у,О', 0(D) = 0,D + 0o. (12.28)
л=0
Подстановка u(t) из (12.27) в (12.12) приводит к уравнению замкну-
той системы
[О2Я(О) + ^0у(О)]х(0 = ^o0(D)xBX (О- (12.29)
Операторное выражение A(D) получено заменой р = D в полиноме
/1(D). Передаточная функция системы равна
К(р, к) = , кЬ°^---------= (12.30)
Р А(р) + kboy(p) хвх (р)
где у(р), 0(р) соответствуют операторным выражениям (12.28).
Определим асимптотическую структуру системы при неограничен-
ном увеличении коэффициента усиления к Для этого найдем распреде-
ление полюсов передаточной функции (12.30) при к <п. Рассмотрим
характеристическое уравнение
р2А(р) + кЬоу(р) = 0. (12.31)
Для конечных значений р справедливо предельное равенство
1 7
1пп — рА(р) = 0.
к
Поэтому из (12.31) при к оо получаем предельное уравнение
2
7(/’) = /’3 + Хь/=0- (12.32)
А = 0
Корни уравнения (12.32) обозначим через pv, v = 1, 2, 3.
Итак, в асимптотике (к -> <ю) три полюса pv(k) передаточной функ-
ции К(р, к) стремятся к соответствующим полюсам pv передаточной
функции эталонной модели
КМ- 0233)
260 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
На основании анализа контура управляющей функции и можно
предположить, что четвертый полюс К(р, к) при неограниченном увели-
чении к удаляется на бесконечность в область отрицательных значений.
В этом можно убедиться, исследуя характеристическое уравнение систе-
мы при больших значениях |р|.
Поступим следующим образом. Запишем уравнение (12.31) в такой
форме
У(д)
1 P2^P)^h
-------ЬОп
к Ч(р)
= 0.
При конечных значениях к множитель у(р) будет конечным, поэтому
его можно сократить. В результате будем иметь
1р2^(р)+й 0 (1234)
Поведение корня при больших значениях к и, следовательно, боль-
ших |р|, можно выяснить по приближенному уравнению. В числителе и
знаменателе дроби в (12.34) оставим только члены старших степеней р,
т.е. примем
р2Я(р) = р2(р2 +а1р + а0)»р4,
2
Ч(р)= Р3 + ^Чхр'~Р3-
А-0
В этом случае из (12.34) получаем
— р + Ьо^О=> p + kbo&O.
к
Отсюда находим четвертый полюсpt(k) = —kb0 —> оо, еслик—><х>.
Таким образом, в асимптотике передаточная функция К(р, к) имеет
следующее распределение полюсов:
pv(k)^>p*v, v = l, 2, 3; р4 (*)->-«> (12.35)
На этом основании приходим к заключению, что при неограничен-
ном повышении уровня усиления система с алгоритмом управления
(12.23) не теряет устойчивости, а ее асимптотическая передаточная
функция
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 261
К(р, *)=™
y(p)
(12.36)
оо) = lim
Аг—>оо
совпадает с передаточной функцией (12.33) эталонной модели. Такой
вывод согласуется с предельным равенством (12.26).
Так как асимптотическая структура системы в точности соответст-
вует структуре модели, то, следовательно, процессы в системе и в модели
совпадают, т.е. х(?) = ХО- Этот результат можно получить, рассматривая
дифференциальное уравнение (12.29). Поскольку система не теряет ус-
тойчивости при £ —> со, то в (12.29) можно выполнить предельный пере-
ход. В случае конечных значений входных воздействий |хвх(0|<°°,
справедливо
| О2Я(О)х(01 < <ю, | у(О)х(01 < <ю.
Поэтому, разделив все члены уравнения (12.29) на kb0 и вычислив
пределы при к -> оо, получим уравнение
( 2 1
D3 + £JSD' х(0 = р,хвх(г) + ₽охвх(0, (12.37)
I -v-0 У
которое в точности совпадает с уравнением эталонной модели. Следова-
тельно, теоретически динамика системы в асимптотике (к —> оо) строго
идентична динамике модели.
Отмеченное асимптотическое свойство системы сохраняется при
изменении ее параметров. На этом основании можно говорить, что алго-
ритм управления (12.23) придает системе свойства естественной пара-
метрической адаптивности, т.е. слабой чувствительности к изменению
параметров. Естественная параметрическая адаптивность имеет вполне
определенное физическое объяснение. Оно состоит в следующем. Со-
гласно (12.21), скорость изменения управляющей функции вычисляется
по рассогласованию третьих производных (у-х) выходных перемен-
ных модели и системы. Поэтому отклонения величины х от у , вызван-
ные изменением параметров, непосредственно учитываются при вычис-
лении ii(t). Предполагается при этом, что х изменяется.
Такая физическая трактовка свойства параметрической адаптивно-
сти нуждается в дополнительном замечании. Исследование свойств сис-
темы выполнено применительно к уравнениям алгоритма управления
(12.23). В соответствии с этими уравнениями управляющая функция м(0
262 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
вычисляется по информации о положении х, скорости х и ускорении х.
Наряду с этим свойства параметрической адаптивности объясняются тем,
что для вычисления й(0 используется информация о третьей производ-
ной х . В этом нет противоречия, так как уравнения (12.23) получены из
(12.21) и (12.22) путем понижения порядка. В результате контур третьей
производной х преобразуется в контур второй производной х. Поэтому
естественно, что для вычисления u(t) используется информация об уско-
рении.
В случае, когда входное воздействие х„ = х° = const, по передаточ-
ной функции (12.30) находим установившееся значение выходной пере-
менной системы
х(<ю)= lim[p/C(p, k)x°(p)] = £^x° =х°.
л-»о у(0)
Здесь принято во внимание, что ро = уо- Следовательно, при конеч-
ных значениях к алгоритм управления обеспечивает перевод объекта в
назначенное стационарное состояние (12.14).
По известной формуле в соответствии с выражением (12.30) нахо-
дим передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии
W(p, к) = --------.
р2А(р) + к^[у(р) - Р(р)]
(12.38)
В том случае, когда порядок астатизма эталонной модели равен еди-
нице (Ро = уо), из (12.38) получаем
W(p,k) =--------------кЬ°^---------------. (12.39)
p[pA(p) + kbo(p +У2Р + Г1 ~₽1)]
Если порядок астатизма модели равен двум (Р7 = y2,j = 0,1), то пере-
даточная функция разомкнутой системы будет иметь вид
W(p, к) = . (12.40)
Р \^{p) + kbQ{p +у2)]
Таким образом, на основании (12.39) и (12.40) приходим к заключе-
нию: порядок астатизма системы равен порядку астатизма эталонной мо-
дели. Причем это имеет место при конечных значениях к.
Передаточная функция эталонной модели в разомкнутом состоянии
равна
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 263
WM(p) =-----Р1Р + ^°-----• (12.41)
Р(Р +Y2P+Y1-P1)
Сравнивая (12.39) и (12.41), замечаем, что система и модель имеют
равные значения добротности по скорости - коэффициенты усиления
кск = pW(p, к)р=0 = pW„(p)p=0 =-^-. (12.42)
Yi-Pi
Отмеченные свойства системы имеют практически важное следст-
вие. А именно, если эталонная модель и система имеют одинаковый по-
рядок астатизма и равные коэффициенты усиления в разомкнутом со-
стоянии, то их амплитудные частотные характеристики | lFM(zco)| и
| lF(zco, к) | выходят из одной точки при <о = 0, имеют одинаковый наклон
при со > 0 и практически совпадают в широкой полосе частот. В силу это-
го высокая степень приближения динамических характеристик системы к
модели достигается при умеренных значениях произведения kb&
Эталонная модель, обладающая астатизмом второго порядка (Р7 = у,,
j = 0,1), имеет следующую передаточную функцию в разомкнутом со-
стоянии
^м(Р) = -21/’-"- (12.43)
Р (.P+li)
Сравнивая (12.40) и (12.43), замечаем, что система и модель имеют
различные значения добротности по ускорению:
= к)р=0= *У° ,
р а0+ kb0y2
k”eK=p2W„(p, к)^Л2-.
В данном случае амплитудные характеристики в области рабочих
частот имеют одинаковый наклон, но не совпадают, так как при со = 0 они
выходят из различных точек (по ординате). Поэтому высокая степень
приближения динамических характеристик системы и модели может
быть достигнута при больших значениях коэффициента усиления к, если
величина Ьо мала и у2 * ао(кЬо)~1.
264 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
Описанную ситуацию можно изменить, если алгоритм управления
синтезировать по эталонной модели четвертого порядка:
С з '
у(0 = (Р10 + ₽о)хвх(0, (12.44)
\ '=0 >
₽7=Г7, 7 = 0,1.
В таком случае передаточная функция системы в замкнутом состоя-
нии имеет вид
К(р, k). ,
рэЛ(р) + йцЛ(р)
и соответственно этому
W(p, к) = —----, (12.45)
Р [Мр) + *Мр +г3р + г2)]
где R(p) = R{D)i^p соответствует левой части уравнения (12.44). Произве-
дение [рЯ(р)]р=о = 0. Поэтому из выражения (12.45) находим добротность
по ускорению куск - р0/г2 > равную добротности эталонной модели.
12.2.2. Минимизация функционала по градиентной схеме
второго порядка
Синтезируем теперь алгоритм управления, для аппаратной реализа-
ции которого достаточно измерять переменные х, х. Формулировка за-
дачи остается прежней: синтезируемый алгоритм должен обеспечивать
перевод объекта управления из начального состояния (12.13) в стацио-
нарное состояние (12.14); при этом фазовая траектория движения управ-
ляемой системы с необходимой степенью приближения должна следо-
вать за фазовой траекторией движения эталонной модели (12.15).
Как и в предыдущей задаче, степень приближения траекторий оце-
ниваем величиной функционала (12.17). Однако в отличие от (12.18),
управляющую функцию u(t) определим дифференциальным соотношени-
ем второго порядка
d2u(t) du(t) , dG(t) (к'клел
---~-^-+h—— = к---Z, h = const (12.46)
dt1 dt du
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 265
С учетом выражения (12.20) для градиента функционала из (12.46)
получаем дифференциальный закон управления
й + hu = к(у - х), к=-Ь0'к. (12.47)
Переменная у вычисляется по (12.22). Замечаем, что уравнения
(12.47) и (12.22) допускают понижение порядка. Выполняя двукратное
интегрирование по времени обеих частей этих уравнений при нулевых
начальных значениях переменных, получим
и = к(у - х) - h ^udt, (12.48)
о
t
y(t) = f(Yo/o + ₽i*bx “ Yix)dt - y2x,
0
t
fo = J(xbx -x)dt.
0
При выводе (12.48) принято p0 = Yo-
Структурная схема, соответствующая уравнениям (12.48), изобра-
жена на рис. 12.3. Для вычисления управляющей функции в данном слу-
чае достаточно измеряемой информации о переменных х, х. Поэтому
алгоритм управления такой структуры можно называть алгоритмом
управления с минимальным информационным обеспечением.
Рассмотрим теперь кратко свойства системы с алгоритмом управле-
ния (12.48). Подставив выражение для х из (12.19) в (12.47), получим
уравнение контура управляющей функции
Рис. 12.3
266 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКГРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
и + hit + кЬйи - kz,
(12.49)
где z определяется по (12.24). На основании (12.49) передаточная функ-
ция контура
КЛр’ к) = ^~= (12 50)
р +hp + kbg z(p)
Отсюда следует, что в случае к -> оо оба полюса р^к.) удаляются в
область бесконечных значений |р| по прямой, параллельной мнимой оси
Re р = 0 и отстоящей от нее на величину -h/2. Так как Re р\^к) = - h/2,
то высокочастотные колебания в контуре с частотой (&fe0)I/2, соответст-
вующей большим значениям к, затухают. При Л —> » инерционный кон-
тур вырождается в безынерционное усилительное звено с коэффициен-
том усиления 1/60, так что имеет место предельное соотношение (12.26).
Этот факт свидетельствует о том, что система с алгоритмом управления
(12.48) обладает такими же асимптотическими свойствами, как и система
с алгоритмом (12.23).
Выполним исследования динамики замкнутой системы. Запишем
соотношения (12.48) в операторной форме:
1+-^«(') = *(у-Д
у(') = -^2-₽(О)хвх ~-^2^2d1 + Yid + Yo)*(O-
Исключая здесь переменную у , получим
u(t) = к х (г) - к Y(P) x(z). (12.51)
' D(D + h) вх D(D + h)
Подстановка выражения (12.51) в (12.12) приводит к
замкнутой системы
+ h)A(P) + tooy(D)]x(r) = kb^{D)xm{t),
которой соответствует передаточная функция
К, к. __________*W) х(р)
/?2(/? + /jM(p) + ^y(/?) хвх(р)
уравнению
(12.52)
(12.53)
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 267
Особенность структуры рассматриваемой системы состоит в сле-
дующем. Степень полинома р2(р + h)A(p) на две единицы выше степени
полинома у(р). В таком случае, как известно, структура системы сохраняет
устойчивость при неограниченном повышении уровня усиления (к -> оо)
только при определенном соотношении между параметрами системы и
модели. Найдем это соотношение. Рассматриваем характеристическое
уравнение
р2(р + h)A(p) + кЬйу(р) = 0. (12.54)
В случае к-* <ю из (12.54) следует предельное уравнение (12.32). По-
этому три полюса pv(k), v = 1, 2, 3 передаточной функции (12.53) в асим-
птотике стремятся к трем полюсам р* передаточной функции модели.
Поведение остальных двух полюсов при к —> оо выясним путем ана-
лиза приближенного характеристического уравнения при больших значе-
ниях |р|.
Аналогично (12.34) уравнение (12.54) запишем в виде
Lp4p + h)A{p)
к Y(P)
В числителе и знаменателе дроби сохраним члены старших степеней
р, приняв
Р2(.Р + к)А(р)« р5 + (а, + h)p4,
3 2 3 2
Р +Ч1Р +-~Р +11Р
С учетом этих выражений из (12.55) находим
р3 +(al+h)p2 +kbo(p+y2)*O. (12.56)
Согласно критерию Гурвица, корни уравнения (12.56) будут распо-
ложены в левой полуплоскости, если выполняется неравенство
fli + h > у2- (12.57)
Если параметры рассматриваемой системы отвечают условию
(12.57), то два полюса передаточной функции (12.53) при Л —> сю удаляют-
ся на бесконечность в левой полуплоскости.
268 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
Следовательно, асимптотическая структура системы идентична
структуре эталонной модели. Поэтому алгоритм управления (12.48) при-
дает системе естественные свойства параметрической адаптивности.
Можно показать, что в случае Ро ~ То добротность системы по скоро-
сти определяется величиной (12.43) и равна добротности эталонной мо-
дели. Кроме того, система и модель имеют одинаковый порядок астатиз-
ма. Вследствие этого высокая степень приближения процессов в системе
и модели достигается при умеренных значениях произведения кЬй.
12.3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ПО МОДЕЛИ (12.9)
Динамика электрогидравлических усилителей гидравлических при-
водов характеризуется постоянными времени Ту одного порядка с Т„, а
иногда - равными им. В таких случаях при проектировании параметриче-
ски адаптивных систем, работающих с переменными нагрузками, синтез
алгоритмов управления необходимо выполнять по математическим мо-
делям, учитывающим инерционность ЭГУ. Для рассматриваемого типа
гидроприводов такая модель представлена передаточной функцией
(12.9).
Аналогично (12.10) выражение для W„(p) запишем в виде
^п(р) = —=
рС{р) и(р)’
С(р) = р3 + с^р2 + Ctp + Cq. (12.58)
Коэффициенты cv, do однозначно выражаются через параметры пе-
редаточной функции (12.9). Дифференциальное уравнение управляемого
процесса
2
D(D3 + £cvDv)x(0 = dou(t). (12.59)
v=0
Изложим схему построения алгоритма управления для рассматри-
ваемой модели.
Пусть в начальный момент времени t = 0 состояние системы опре-
деляется значениями
xw(0) = xjO, 5 = 0... 3.
Требуется синтезировать алгоритм управления, при котором систе-
ма переходит в стационарное состояние
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 269
х(оо) = х°, xw(oo) = 0, у = 1,2, 3.
Необходимо при этом, чтобы фазовая траектория движения системы
проходила в малой окрестности фазовой траектории движения эталонной
модели, динамика которой соответствует требованиям задания на проек-
тирование. Дифференциальное уравнение движения системы (12.59) име-
ет четвертый порядок, поэтому порядок уравнения эталонной модели
должен быть не ниже четвертого. Пусть таким уравнением будет (12.44).
Примем здесь 0О = г0.
Точность приближения траекторий х(г) -> ХО характеризуем вели-
чиной функционала
G(w) = i[/4)(r)-x(4)(r, и)]2. (12.60)
Аналогично (12.46) записываем дифференциальный закон управле-
ния второго порядка. Из (12.60) и (12.44) находим градиент dG(u)/du и
после необходимых преобразований получим уравнения алгоритма
управления
t
и = к(у + х)- h^udt,
о
y(0= fOb/o + Р1хвх -Г1Х)(*-г2х-г3х, (12.61)
о
/о(О= |(хвх -х)(*.
о
Структурная схема алгоритма аналогична схеме на рис 12.3.
Из (12.61) следует выражение для управляющей функции в опера-
торной форме:
u(t) = k—х (г)-Л—/?(D) х(г). (12.62)
D(D + h) “ D(D + h)
Подставляя w(0 из (12.62) в (12.59), получаем уравнение замкнутой
системы
[^(О + Л)С(О) + Ыда)]х(0 = kdMDlxJfi. (12.63)
Степень полинома р2(р + h)C(p) на две единицы выше степени R(p).
Поэтому система допускает неограниченное повышение уровня усиления
270 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
без потери устойчивости при определенном соотношении между пара-
метрами управляемой системы и модели. Аналогично тому, как получено
неравенство (12.57), для рассматриваемой системы находим условие со-
хранения устойчивости при бесконечно высоком усилении
с2 + h > г3. (12.64)
При выполнении неравенства (12.64) полюсы передаточной функ-
ции, соответствующей уравнению (12.63), в случае к -> » распределяют-
ся следующим образом: четыре полюса р/к) асимптотически приближа-
ются к полюсам pv передаточной функции эталонной модели; другие
два полюса р5 6(А) удаляются на бесконечность в левой полуплоскости. В
результате асимптотическая структура системы идентична структуре мо-
дели. Уравнение (12.63) шестого порядка вырождается в уравнение чет-
вертого порядка вида (12.44). Поэтому в асимптотике процессы в системе
и модели совпадают, т.е. x(t) = y(f). Следовательно, алгоритм управления
(12.61) придает системе свойства параметрической адаптивности.
Можно показать, что порядок астатизма синтезированной системы,
как и эталонной модели, равен единице. Кроме того, система и эталонная
модель имеют равную добротность по скорости
Лск=[Р^(А*)]р=о=₽о(П-₽1)_1-
Вследствие этого в области низких и рабочих частот амплитудные
характеристики системы и модели совпадают.
12.4. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАСЧЕТУ ПАРАМЕТРОВ
Синтезированные алгоритмы построены либо на основе дифферен-
циальных законов управления первого порядка вида (12.18), либо второго
порядка вида (12.46). Соответственно этому уравнения алгоритма управ-
ления содержат либо один расчетный параметр (к), либо два (к, h). Изло-
жим методические рекомендации, по которым можно определить тре-
буемые значения параметров из условия реализации в системах динами-
ческих характеристик, практически идентичных динамическим характе-
ристиками эталонных моделей.
Рассмотрим сначала систему с алгоритмом управления вида (12.18).
В этом случае расчету подлежит коэффициент усиления к. Было показа-
но, что при неограниченном повышении уровня усиления динамические
характеристики системы и модели теоретически строго идентичны. Не-
УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ 271
обходимая для технических приложений степень приближения динами-
ческих характеристик и, следовательно, допустимый уровень чувстви-
тельности к изменениям параметров, достигается при конечных значени-
ях к. Как известно, динамическая и статическая точность системы опре-
деляется ее добротностью и очертанием амплитудной характеристики в
области низких частот. Параметры переходного процесса (быстродейст-
вие, перерегулирование и др.) определяются очертаниями амплитудной
характеристики в диапазоне средних частот <в е (сор ю2), который со-
держит частоту среза (рис. 12.4).
Динамика проектируемой системы будет практически идентична
динамике эталонной модели, если их амплитудные и фазовые характери-
стики мало отличаются в области низких и средних частот. Системы с
алгоритмами управления предлагаемой структуры и эталонные модели,
по которым такие алгоритмы синтезированы, имеют одинаковый порядок
астатизма и равную добротность. Поэтому их характеристики проходят
так, как показано на рис. 12.4, где обозначено
Ам(<о) = 201g|1Гм(йо)|, £(<о,к) = 201g|И^.(/со, *)|.
В области низких частот характеристики Z,M(co) и 2,м(<о, £) совпадают;
при малых значениях kb0 они расходятся в окрестности частоты среза <вс
эталонной модели. Необходимое приближение характеристик А(<о, к) ->
—> Ам(<о) в окрестности <ос достигается путем увеличения к.
Рис. 12.4
272 УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМИ ПРИВОДАМИ
Таким образом, расчет значения к выполняется из условия
<12 65>
Уравнение (12.65) относительно к удобно решать графически на
персональной ЭВМ с помощью типовых пакетов прикладных программ
исследования динамических систем, последовательно увеличивая или
уменьшая величину к и сравнивая характеристики Ам(<о) и А(<о, к). Проце-
дуру решения уравнения (12.65) можно контролировать сравнением пе-
реходных процессов в проектируемой системе и в модели.
Алгоритмы вида (12.48) имеют два расчетных параметра к, И. В дан-
ном случае рекомендуется сначала найти требуемое значение к из урав-
нения (12.65), в котором характеристика №(ю, к) соответствует системе с
алгоритмом вида (12.18). Затем ориентировочное значение h можно рас-
считать по соотношениям
А = 1,41Т^, л,+А>у2. (12.66)
Выполнение неравенства в (12.66) обеспечивает сохранение устой-
чивости системы при высоком уровне усиления.
Формула для h получена из условия, чтобы коэффициент затухания
собственных колебаний в контуре с передаточной функцией (12.50) был
равен 4^/2. В таком случае контур управляющей функции и обладает
наибольшим быстродействием. Найденные значения к, h уточняются по
результатам математического моделирования.
Аналогичным путем рассчитываются параметры к, h в алгоритмах
вида (12.61).
Практически при расчете параметров, как правило, не возникает не-
обходимости решать уравнения вида (12.65). Требуемое значение к опре-
деляется непосредственно сравнением переходных процессов в системе и
эталонной модели.
Лекция 13
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫХ
ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Методами математического моделирования исследуется динамика
автоматических приводов с алгоритмами управления нетрадиционной
структуры. Показано, что предлагаемые алгоритмы обладают свойствами
параметрической адаптивности и обеспечивают высокую стабильность
динамических характеристик приводов при изменении параметров в ши-
роких пределах. Исследуются свойства алгоритмов с минимальным ин-
формационным обеспечением, для аппаратной реализации которых дос-
таточно измерений координат положения и скорости, либо только поло-
жения. Исследования выполнены применительно к приводам с дроссель-
ным управлением.
13.1. ПАРАМЕТРЫ ИССЛЕДУЕМОЙ СИСТЕМЫ
В лекции 12 изложены методики синтеза алгоритмов управления
электрогидравлических приводов, обладающих малой чувствительно-
стью к изменению параметров. В настоящей лекции рассматриваются
результаты математического моделирования динамики автоматических
приводов с алгоритмами управления различной структуры. Исследуются
алгоритмы, для аппаратной реализации которых требуются измерения
выходной переменной системы (х) и ее производных (х, х). Наряду с
этим исследуется эффективность алгоритмов с минимальным информа-
ционным обеспечением. Для их аппаратной реализации достаточно изме-
рять только выходную переменную системы. Структуры алгоритмов
управления синтезированы в лекции 12, поэтому здесь эти вопросы под-
робно не рассматриваются.
Исходными данными для расчета коэффициентов передаточных
функций, характеризующих динамику гидроприводов с дроссельным
управлением, являются следующие параметры: эффективная площадь
гидроцилиндра (F^); величина равных объемов полостей управления в
нейтральном положении поршня (Ио = Voi = Рог); коэффициент жесткости
расходно-перепадных характеристик золотникового гидроусилителя
коэффициент перетечек между полостями гидродвигателя (г).
274
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Для исследования принимаем следующие числовые значения пара-
метров:
F^= 1,510"3м2, К0 = 2- Ю^м3, ^/ = 0,24 м2-сч,
rc = r + kQP =10-н m’-IT’-c'1.
(13.1)
Кроме того, модуль упругости жидкости принимаем равным
Еж = 5 • 108 Н м“2, а коэффициент вязкого трения ц = 2 • 104 Н • с • м'1
Динамику электрогидравлического усилителя характеризуем передаточ
ной функцией апериодического звена с коэффициентом усиленю
ky = КГ4 м • В'1 и постоянной времени Ту = (0,001 ... 0,01) с. Такая ап
проксимация модели усилителя принята-в практике проектирования гид
равлических приводов.
Для принятых значений параметров привода (13.1) по формула!
(12.8) вычисляем коэффициенты жесткости «гидравлической пружины
гидроцилиндра (сг) и механической характеристики гидропривода (В):
г г?
сг=2 341 ж=107 Н-м'1, В = ^- = 2,25 105 Н е м"1.
’ гс
По формулам (12.7) вычисляем параметры передаточной функции гид-
ропривода с объектом управления без учета инерционности усилителя:
^п(Р) =
______________________ х(р)
р(7’п2р2+2^п7’пр + 1) и(р)’
(13.2)
где х(р) и и(р) - изображения по Лапласу выходной переменной x(f) и
управляющего воздействия w(r). В табл. 13.1 приведены числовые значе-
ния параметров 1Кп(р), вычисленных для различных значений массы
управляемого объекта М= (0,2 ... 1,5) 103 кг.
Далее нам потребуется компактная запись выражения передаточной
функции:
(в)=—Н2—г=о 3-3>
р(р +ахр + ай) рА(р)
коэффициенты которой однозначно определяются через параметры, ука-
занные в (13.2).
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
275
13.1. Параметры управляемого объекта
Номер варианта М- 103, кг *п, С 1 Ль с С.
1 1,5 147 0,012 0,34
2 1,0 147 0,0096 0,31
3 0,5 147 0,0068 0,29
4 0,2 147 0,0043 0,31
13.2. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ
БЕЗ УЧЕТА ИНЕРЦИОННОСТИ УСИЛИТЕЛЯ
Пренебрегаем постоянной времени электрогидравлического усили-
теля, принимаем Ту = 0. Этому случаю соответствует передаточная функ-
ция (13.3). Синтезируем алгоритм управления, который переводит систе-
му из начального состояния
xw(0), 5 = 0, 1,2
в стационарное состояние
х(оо) = х° = const, х(оо) = х(оо) = 0.
Необходимо при этом, чтобы порядок астатизма системы был равен
единице, добротность по скорости ккк = 600 м • В’1 с1, длительность
переходного процесса (п » 0,1 с, величина перерегулирования ст = 20 %.
Указанным требованиям отвечает эталонная модель с передаточной
функцией в разомкнутом состоянии
(р) = ,
С р(Тхр + 1)(Т3р + 1)
(13.4)
= 600 м В-1 • с-1, 7) = 0,7 с, Т2 = 0,08 с, Т3 = 0,008 с.
В обозначениях лекции 12 передаточная функция модели в замкну-
том состоянии
г /PiP + Po - Яр)
Р + У2Р +Y1P + Y0 хвх(Р)
(13.5)
276
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
где хвх(р), у(р) - изображения по Лапласу входной и выходной перемен-
ной. Числовые значения коэффициентов, имеющих соответствующие
размерности, равны
1 4- т
То = Ро = ^ = 1,071 105, У1 = ЦМ- = 8,750 103,
у2 =(7i-1+Г3-1) = 1,264-102, Р1=Л“А- = 8,751 -103. (13.6)
ТРз
Эталонная модель (13.4) имеет первый порядок астатизма. Частота
среза характеристики FKM(/<o) равна <ос = 65 рад с'1, длительность пере-
ходного процесса гп » 0,1 с по уровню 0,95, величина перерегулирова-
ния а » 21 %. Эти значения параметров соответствуют заданным требо-
ваниям к проектируемой системе.
Структура алгоритма управления приводом определяется уравне-
ниями (12.23) из лекции 12:
w = к(у - х),
ИО = Yo fОВх ~x)dt + р]xBX - Yix - у2х, (13.7)
о
Хвх = х° = const.
С учетом числовых значений параметров (13.6) уравнения (13.7)
принимают вид
w = к(у - х),
И0 = ю3
107,1 J(xBX -x)rft + 8,751xBX -8,750х-0,1264х
о
(13.8)
Передаточная функция в замкнутом состоянии
... *№—=
p2A{p) + kb^{p) хта(р)
где Р(р), у(р) соответствуют числителю и знаменателю (13.5). Передаточ-
ная функция в разомкнутом состоянии
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
277
W(p, к) =-----------WXp)------------- (j з д 0)
р[рД(р) + АД)(р + у2Р + У1 -Pi)]
Из выражения (13.10) следует, что система с алгоритмом управления
(13.7) имеет первый порядок астатизма. Принимая во внимание (13.6),
находим
^ck=3o(Yi-3i)4 = к*,
т.е. система и эталонная модель имеют одинаковую добротность по ско-
рости, равную заданному значению Лск = 600 м В4 с*1.
Алгоритм управления (13.7) имеет один расчетный параметр к.
Его величина определяется из условия приближения в диапазоне средних
частот амплитудной характеристики А(<о, к) = 201g| W(j<a,к} |, соответст-
вующей (13.10), к амплитудной характеристике эталонной модели
/.„(со) = 201g | (гео) |, соответствующей передаточной функции
К(р,к)= 2 Р1Р + Ро (13.11)
Р(Р + Y2P + Y1 -Pi)
В лекции 12 показано, что процедура приближения характеристик
/.(со, к) —> Ам(<о) может быть выполнена в результате графического реше-
ния на персональной ЭВМ уравнения
Для этого необходимо последовательно назначать в (13.10) различ-
ные значения к + АЛ, вычислять /(со, к + ДА) и по очертанию характери-
стики на экране ЭВМ оценивать степень ее приближения к /„(со) в окре-
стности (0*.
Практически требуемое значение коэффициента усиления удобнее
находить, сравнивая графики переходных процессов в системе и эталон-
ной модели при различных значениях к. В таком случае отпадает необхо-
димость решения уравнения (13.12).
Для рассматриваемой системы с числовыми значениями параметров
варианта 1 находим приближенное значение к = 2 Ю-4. При таком уров-
не усиления амплитудные характеристики системы и модели практиче-
ски совпадают в диапазоне низких и средних частот. Заметное отклоне-
ние характеристик наблюдается далеко за пределами частоты среза
278
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
ис = 65 рад с *. Потому динамические характеристики системы и моде-
ли должны быть практически идентичными. Такое заключение тем более
справедливо для системы с параметрами, числовые значения которых
соответствуют вариантам 2,3 и 4, так как расчет коэффициента к выпол-
нен для наибольшей нагрузки привода М = 1,5 103 кг.
Замкнутая система при идеальных измерителях имеет четвертый по-
рядок. Теоретически доказано, что при неограниченном повышении
уровня усиления (к -> оо) три полюса pv(k\ v = 1, 2, 3 стремятся к соот-
ветствующим полюсам передаточной функции эталонной модели. Чет-
вертый полюс удаляется на бесконечность в область отрицательных зна-
чений. Это положение иллюстрируется результатами расчетов, представ-
ленными в табл. 13.2. Они выполнены для параметров варианта 1. В по-
следней строке таблицы указаны числовые значения полюсов передаточ-
ной функции эталонной модели.
Для расчетного значения к = 2 10-4 величина р4(Л) » -93. Поэтому
составляющая переходного процесса ехр(-93/) затухает по истечении
времени порядка 3 • 10“2 с и не оказывает заметного влияния на реакцию
системы. В этом случае характер переходного процесса определяется в
основном первыми тремя доминирующими полюсами.
На рис. 13.1 приведены графики зависимостей интегральных квад-
ратичных оценок
т
J0(k)=\[y(t)-x(t)]2dt, Т = 5^
о
13.2. Распределение полюсов передаточной функции
к- 104 Рг,з(Л)
1,0 -19,62 -52,13 ±/104,8 -62,46
1,5 -17,46 -70,02 ± /102,6 -84,19
2,0 -16,74 -84,55 ± /89,29 -92,95
3,0 -16,13 -74,19 ± /64,64 -268,6
5,0 -15,71 -63,68 ± /62,53 -487,4
7,0 -15,54 -60,73 ± /62,41 -744,3
Модель -15,17 -55,63 ± /62,99 —
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
279
от коэффициента усиления к. Цифрами 1 и 4 помечены кривые, которые
соответствуют первому и четвертому вариантам значений параметров из
табл. 13.1. Как следует из графиков, в случае к > 1,5 • 104 интегральные
квадратичные оценки равны для всего диапазона изменения параметров.
Это означает, что при семикратном изменении массы нагрузки алгоритм
управления (13.8) обеспечивает высокую стабильность динамических
характеристик системы.
Переходные процессы в системе характеризуются графиками, пред-
ставленными на рис. 13.2. Они соответствуют наибольшей нагрузке при-
280
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
вода М = 1,5 103 кг и коэффициенту усиления к= 2 КГ*. Здесь изобра-
жены также графики выходной переменной модели у, управляющей
функции и и сигнала f на выходе интегратора в алгоритме управления
(13.8). Для принятого масштаба максимальное значение и ® 6 В, установив-
шееся значение и(оо) = 0. При меньших нагрузках М = (0,2 ... 1,0) • 103 кг пе-
реходные процессы в системе и модели практически совпадают.
13.3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ
С УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ УСИЛИТЕЛЯ
Приведенные результаты исследований получены для случая, когда
при математическом моделировании не учитывалась инерционность про-
цессов в электрогидравлическом усилителе (7} = 0). Для существующих
усилителей такого типа величина Ту = (0,001 ... 0,01) с. Поэтому пред-
ставляет практический интерес исследование возможностей применения
алгоритма (13.7), синтезированного по упрощенной передаточной функ-
ции (13.4), для управления приводом, структура модели которого содер-
жит инерционное звено с такой постоянной времени.
Выведем уравнение замкнутой системы с учетом передаточной
функции электрогидравлического усилителя. Обозначим через W„(p)
передаточную функцию управляемого объекта для этого случая. В соот-
ветствии с (13.2) и (13.3) имеем
^п(Р) = —-—^П(Р)=—V—= —> (13.13)
П ТуР + \ рА’(р) и(р)
где обозначено
Л'(р) = а;р3+а;р2 + а[р + а'о,
Т 1 (Т >
а'3=Ту, d2 =1 + 2Сп-^, / + 2^п , (13.14)
*П \у
, 1 и кп
bo=~^2-
На основании (13.13) записываем дифференциальное уравнение
управляемого процесса
DA'(D)x(t) = b'ou(f).
(13.15)
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
281
Чтобы получить уравнение замкнутой системы, нужно в (13.7) и
(13.15) исключить u(t). Запишем выражение для управляющей функции в
операторной форме. Так как
1 1 1
ЯО = — P(D)xBX (!) - — (у0 + у,£> + у 2D2 )х(/),
то из первого уравнения (13.7) находим
1 1 1
y(t) = - p(D)xBX (t) - -(у0 + y,D + у2О2)х(0, (13.16)
Подстановка выражения (13.16) в (13.15) приводит к искомому
уравнению
[Я2А'(Я) + Щ y(D)]x(t) = to'P(D)xBX(0. (13.17)
Порядок операторного выражения EP'A'^D) на две единицы выше по-
рядка y(D). Поэтому система может сохранять устойчивость при неогра-
ниченном повышении уровня усиления только при определенном соот-
ношении между параметрами передаточной функции (13.13) и эталонной
модели (13.5). Это соотношение можно найти, исследуя распределение
полюсов передаточной функции замкнутой системы при к —> оо.
Рассматриваем характеристическое уравнение
р2А'(р) + Щу(р) = у(р)
1Р^Р1 + Ь' =0.
к У(р)
(13.18)
При к -> оо из (13.18) следует предельное уравнение у(р) = 0. Поэто-
му три полюса передаточной функции
Г(л t). ,
р2А'{р) + kb'oy(p)
соответствующей (13.17), асимптотически стремятся к полюсам переда-
точной функции (13.5) эталонной модели. Остальные два полюса можно
найти из приближенного характеристического уравнения при больших |р|.
Для конечных значений к будет конечной величина | у(р) |, поэтому
в (13.18) можно сократить множитель у(р). В результате получим
282
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
1 р2л\р)
к У(р)
+ ^о
= 0.
(13.19)
Оставляем в числителе дроби члены старших степеней:
р2Л'(р) ~ а'3р5+а'2р*
У(р) Р3+У2Р2
(13.20)
В таком случае из (13.19) находим приближенное уравнение
а'3р3 +а2Р2 + кЬ'йа\р+кЬ'0у2 «0. (13.21)
Два полюса передаточной функции К\р, к) при к —> оо будут уда-
ляться на бесконечность в левой полуплоскости, если корни pv(k),
v = 1, 2, 3 уравнения (13.21) такие, что Re pv(k) < 0 . Согласно критерию
Гурвица, для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нера-
венство а[а2 > а’3у2 или в другой форме
^1^2 1
С=> 1
«ЗУ2
(13.22)
Система находится на границе устойчивости, если с = 1.
Теоретически, в случае безынерционных измерителей переменных,
по которым вычисляется управляющая функция, при любых значениях
параметров, отвечающих условию с > 1, система сохраняет устойчивость
при неограниченном повышении уровня усиления. Совсем иная ситуация
возникает тогда, когда в структуре появляется еще одно инерционное
звено. Пусть это будет апериодическое звено с передаточной функцией
1/(7/? +1). Тогда вместо (13.13) будем иметь
W'(p)= ——. С(р) = ~V— , (12.23)
п^' 7р + 1 пИ рА(р)
где полином
4
Л7р)<Тр + 1)Л'(р) = 2>>У-
v=0
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
283
Процессы в замкнутой системе описываются уравнением
[D2A\D) + kb’y(D)]x(t) = kb’^D)xBX(t), (13.24)
которое по структуре аналогично (13.17).
В асимптотике {к -> оо) три полюса передаточной функции, соответ-
ствующей (13.24), стремятся к передаточной функции эталонной модели.
Расположение остальных трех полюсов при больших значениях |р| уста-
навливаем по приближенному характеристическому уравнению. В рас-
сматриваемом случае записываем
-Р А (р) + 1£ = 0 (13.25)
к У(Р)
и аналогично (13.20) рациональную дробь заменяем приближенным вы-
ражением
р2А"{р) ~ а\р6 +а3р5
у(р) р3+у2р2
Тогда из (13.25) получаем приближенное уравнение
а^р* +а3р3 +кЬцР + кЬоу2 ~0- (13.26)
Коэффициент при р2 равен нулю, поэтому для уравнения (13.26) не
выполняется необходимое условие устойчивости а’ > 0, 5 = 0 ... 4. Это
означает, что по крайней мере один полюс передаточной функции систе-
мы с уравнением (13.24) при к -> оо уходит в бесконечность в правой по-
луплоскости. Следовательно, при повышении уровня усиления такая сис-
тема теряет устойчивость.
На основании выполненного анализа можно сделать заключение о
том, что допустимый уровень усиления тем выше, чем больше величина
с, определяемая соотношением (13.22). Поэтому величина с в определен-
ном смысле характеризует запас устойчивости по коэффициенту усиле-
ния к. Рассчитаем значения с для системы с параметрами вариантов 1 и 4.
Для эталонной модели (13.4) величина у2 = 1,264 • 102. Подставляя в
(13.22) значения параметров варианта 1 из табл. 13.1 и Ту = 0,01 с, полу-
чим с = 1,24. Запас устойчивости невелик. Для параметров варианта 4
имеем с = 1,9. Исследования показывают, что и в этом случае возможно-
сти повышения уровня усиления также невелики. Если постоянная вре-
мени Ту = 0,005 с, то для этих вариантов числовых значений параметров
284
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
находим с ® 2,0 и с « 2,77 соответственно. При таких соотношениях меж-
ду параметрами система допускает более высокий уровень усиления, чем
в предыдущем случае. Однако такие возможности не всегда бывают дос-
таточными.
Приведем результаты исследования динамики системы для того
случая, когда переменная х непосредственно не измеряется, а получает-
ся путем дифференцирования измеряемой величины х. Передаточная
функция дифференцирующей цепи принята равной
тр + 1
Постоянная времени т = 10"3 с. В данном случае т выполняет роль
постоянной времени Г в (13.23).
По результатам математического моделирования установлено, что
алгоритм управления (13.8), параметры которого соответствуют эталон-
ной модели (13.4) с высокой добротностью к*к = 600 м В"1- с’1, не по-
зволяет реализовать в системе заданные динамические характеристики
для всего диапазона изменения Ту = (0,001 ... 0,01) с. Приближение пере-
ходных характеристик системы и эталонной модели требует повышения
уровня усиления. Таким путем достаточно высокая точность приближе-
ния процессов в системе и модели достигается при постоянных времени
Ту < 0,004 с и к = (7 ... 8) 10-4 для системы с параметрами вариантов 2-4.
При дальнейшем повышении уровня усиления система приближается к
границе устойчивости, ее динамические характеристики оказываются
неудовлетворительными.
На рис. 13.3 приведены графики переходных процессов в системе с
параметрами: М = 103 кг, Ту = 0,005 с, к = 8 • 10"*. Масштаб для перемен-
ных u,f соответствуют принятому на рис. 13.2. В данном случае динами-
ка проектируемой системы заметно отличается от динамики эталонной
модели. При повышении уровня усиления процессы в системе становятся
существенно колебательными, а затем расходятся.
Из соотношения (13.22) следует, что при заданных параметрах при-
вода и нагрузки запас устойчивости по уровню усиления к можно увели-
чить путем уменьшения величины у2 • Для этого необходимо снизить
требования к динамическим характеристикам проектируемой системы по
добротности и быстродействию. Найдем параметры алгоритма управле-
ния (13.7) из условия, чтобы замкнутая система имела первый порядок
астатизма, добротность по скорости, равную 200 м В"1 с ', а длительность
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
285
Рис. 13.3
переходного процесса t„ » 0,25 с и перерегулирование порядка 20 %. Этим
требованиям отвечает модель с передаточной функцией (13.4), парамет-
ры которой равны:
Л” = 200 м • В’1 • с-1, Т1 = 1 с, Т2 = 0,15 с, Т3 = 0,015 с.
При таких значениях параметров частота среза характеристики
^(ко) равна и’ = 28 рад - с’1, а длительность переходного процесса
г* ® 24 с, перерегулирование о » 19 %.
Передаточная функция эталонной модели в замкнутом состоянии
определяется выражением (13.5). Ее коэффициенты равны
уо = Ро = 13,3(3) • 103, у, = 2,06(6) • 103, у2 = 67,6(6), р, = 2 • 103.
С учетом этих значений уравнения (13.7) алгоритма управления за-
пишем в виде
м = Л(у-х), (13.27)
j)(r) = 103[13,3(3) J(xBX - х) dt + 2,0хвх - 2,06(6)х - 0,0676(6)х].
о
286
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Рассчитаем величину с для системы с параметрами варианта 1. Под-
ставляя в (13.22) постоянную времени электрогидравлического усилителя
Ту = 0,01 с и у2 = 67,6, найдем с ® 2,3. Аналогично, для варианта 4 нахо-
дим с ~ 3,6. Эти значения почти в два раза больше значений с = 1,24 и
с = 1,9, соответствующих параметрам (13.6) эталонной модели с доброт-
ностью к"к = 600 м В-1 с-1.
Таким образом, снижение требований к проектируемой системе по
добротности и быстродействию приводит к повышению запаса устойчи-
вости по уровню усиления к. Вследствие этого алгоритм управления
(13.27) обеспечивает высокую точность приближения процессов в проек-
тируемой системе и эталонной модели во всем диапазоне изменения на-
грузки при наличии значительного инерционного запаздывания. Это по-
ложение подтверждается результатами математического моделирования.
На рис. 13.4 приведены графики переходных процессов в системе и
эталонной модели. Обозначения и масштабы соответствуют ранее приня-
тым. Уровень усиления определяется величиной к = 3 • 104, а постоянная
времени электрогидравлического усилителя Ту = 0,01 с. При наименьшей
нагрузке М = 0,2 102 кг переходная характеристика системы (кривая 4)
практически совпадает с переходной характеристикой эталонной модели
(у). В случае наибольшей нагрузки М = 1,5 • 103 кг переходные характе-
ристики различаются несущественно.
Рис. 13.4
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
287
13.4. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ
ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Рассмотрим другой вариант алгоритма управления, обеспечивающе-
го слабую параметрическую чувствительность привода при наличии в
структуре системы инерционного усилителя с большой постоянной вре-
мени Ту. Будем исходить из того, что проектируемая система должна
удовлетворять предельно высоким физически реализуемым требованиям
по добротности и быстродействию.
В соответствии с формулами (12.9) и (12.58) из лекции 12 переда-
точную функцию привода записываем в виде
кп
W (р) =-------------2п-------------=
" р(Тур + 1)(Т2 р2 +2С,пТпр + \) U(p)
или в компактной форме
= = C(p) = p3+JCi.p'-.
рС(р) м(р)
(13.28)
Выражения для коэффициентов не выписываем, так как они не по-
требуются.
Синтезируем алгоритм управления, при котором система будет иметь
первый порядок астатизма, добротность по скорости = 600, длительность
переходного процесса t„ ® 0,15 с и перерегулирование порядка 20 %. В дан-
ном случае управляемая система имеет четвертый порядок. Следователь-
но, порядок эталонной модели должен быть не ниже четвертого.
Указанным требованиям отвечает модель с передаточной функцией
в разомкнутом состоянии
^m(p) = C
XT.p + ix^p + i)2’
(13.29)
= 600 м • В'1 • с’1, Tt = 1,2 с, Т2 = 0,09 с, Т3 = 0,004 с.
Передаточная функция в замкнутом состоянии
*»(/>) =
glf + gp
5 = 0
у(р)
(13.30)
288
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Числовые значения коэффициентов равны
Го = go = 3,125 • 107, Г] = 2,552 • 106, г2 = 6,292 • 104,
г3 =5,0-102,gi = 2,50-106. (13.31)
Частота среза характеристики 1Км(1(о) равна со* = 40 рад • с-1, быст-
родействие эталонной модели характеризуется величиной /* » 0,17 с,
перерегулирование ст ® 22 %.
Принимая во внимание четвертый порядок управляемой системы,
аналогично (13.7) записываем уравнения алгоритма управления
и = к(у - х),
I
У (О = г0 j(*Bx ~x)dt + g,xBX - r,x - r2xBX - r3x. (13.32)
0
Для вычисления управляющей функции по (13.32) требуется ин-
формация о производных выходной переменной системы до третьего
порядка включительно. Будем считать, что в системе доступна непосред-
ственному измерению только координата х - положение управляемого
объекта. В таком случае уравнения алгоритма управления (13.32) необ-
ходимо дополнить уравнениями алгоритма информационного обеспече-
ния, по которым можно вычислить неизмеряемые величины.
С учетом числовых значений (13.31) уравнения (13.32) запишем в
виде
и = к(у-хв),
y(t) = l04
3,125 IO3 J(xBX -x)cfr + 0,25 103xBX -
о
(13.33)
- 2,552 • 102 x - 6,292хв - 0,05хв].
Индекс «в» в переменных означает, что их необходимо вычислять.
Расчетные соотношения для вычисления производных получим из
уравнения, описывающего процесс изменения скорости х. На основании
(13.28) имеем равенство
^п(1)(Р) =
dp _ х(р)
С(р) и(р) ’
(13.34)
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
289
где х(р) - изображение по Лапласу функции х(г). Из (13.34) следует
уравнение
2
.(4) + V с r<x+1> -du
"Г 7 С-^Х CIqU.
5=0
(13.35)
Интегрируем обе части (13.35) по времени при нулевых начальных
значениях переменных, а затем заменяем неизмеряемые переменные вы-
числяемыми. В результате получим искомые расчетные соотношения
I
*в = d0 \udt - с2*в - С1Х, - с0*>
о
I I
*в = х» = fad*’ (13.36)
о о
которые составляют основу алгоритма информационного обеспечения.
Структурная схема, соответствующая (13.36), изображена на рис. 13.5.
Для вычисления производных до третьего порядка включительно доста-
точно измерений выходной переменной х. Если в системе измеряются х,
х, то в уравнениях (13.36) следует принять хв = х. В таком случае в
схеме рис. 13.5 исключается один интегратор.
*8
Рис. 13.5
10-9516
290
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
Рис. 13.6
Коэффициент усиления к в уравнениях алгоритма управления
(13.33) рассчитывается путем графического решения на ЭВМ уравнения
вида (13.12). Для системы с параметрами варианта 1 и постоянной време-
ни Ту = 0,01 с величина к = 0,25 • 10'5 На рис. 13.6 приведены графики
переходных процессов в системе и эталонной модели. Переменные u,f
изображены в прежних масштабах. Эти графики соответствуют тому
случаю, когда в системе измеряется только координата положения х
управляемого объекта. Для системы с нагрузкой М < 1,5 • 103 кг переход-
ные характеристики (х, у) практически совпадают.
Таким образом, алгоритм управления (13.32), синтезированный по
передаточной функции (13.28) и дополненный алгоритмом информаци-
онного обеспечения (13.35), реализует в системе высокие динамические
характеристики и придает ей свойства параметрической адаптивности.
Это достигается при минимальном объеме измеряемой информации. Такие
свойства тем более достижимы в том случае, когда для вычисления управ-
ляющих функций используются измерения положения х и скорости х.
13.5. МАСШТАБИРОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УСИЛЕНИЯ
При разработке схемы аппаратной реализации алгоритмов управле-
ния их уравнения необходимо масштабировать. На примере уравнений
(13.33) проиллюстрируем наиболее простой прием «выравнивания» ко-
эффициентов. В случае непосредственной реализации уравнений (13.33) в
прямой цепи схемы должен быть усилитель с общим коэффициентом усиле-
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРИВОДОВ
291
ния 104. Так как в контуре управляющей функции величина к = 0,25 • 10“5, то
все коэффициенты в (13.33) можно уменьшить, например в 105 раз. В ре-
зультате уравнения (13.33) принимают вид
и = 0,25(>-хв),
>(0 = 312,5 J(xBX -х)«Й + 25хвх-25,52х-0,6292хв-0,5 10-3хв. (13.37)
о
Далее, величина y(t) в первом уравнении (13.37) увеличена в 105
раз по сравнению с (13.33). Соответственно этому нужно выполнить
масштабирование первого уравнения (13.36).
Аналогичным путем масштабируются уравнения (13.8) и (13.27).
При необходимости выравнивание коэффициентов можно выполнять
иначе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате исследований показано, что структуры алгоритмов
управления, синтезированные в лекции 12, придают системам естествен-
ные свойства параметрической адаптивности, т.е. слабой чувствительно-
сти динамических характеристик к изменению параметров в широких
пределах. При этом при проектировании алгоритмического обеспечения
систем управления имеется возможность рассматривать несколько аль-
тернативных вариантов алгоритмов. К их числу относятся алгоритмы
управления с минимальным объемом измеряемой информации; алгорит-
мы, синтезированные по упрощенным моделям управляемых объектов, а
также структуры алгоритмов, реализующих в системах предельно высо-
кие требования по добротности и быстродействию. Решение о наиболее
предпочтительной структуре управляющей части системы принимается
по результатам исследований.
ю*
Лекция 14
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ
НА ДИНАМИКУ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
ВВЕДЕНИЕ
При аналитическом проектировании алгоритмического обеспечения
автоматических систем широко применяются математические модели
управляемого движения, которые не учитывают быстропротекающие
процессы в контурах управления техническими объектами. К таким про-
цессам относятся, в частности, процессы в электрических цепях исполни-
тельных элементов, в измерителях состояния и др. Идеализация матема-
тических моделей выполняется в предположении, что неучитываемые
факторы или параметры не изменяют существенно характер движения.
Однако в реальных физических системах такое предположение выполня-
ется далеко не всегда. Чаще всего оказывается, что неучитываемые ма-
лые параметры являются причиной качественного изменения характера
движения и свойств в целом динамических систем. Первые исследования
влияния малых параметров на динамику систем выполнил А.А. Андро-
нов. Он ввел понятие и дал математически строгое определение грубых
динамических систем, свойства которых сохраняются при малых измене-
ниях параметров; Ввел понятия грубых состояний равновесия и грубых
предельных циклов; установил необходимые и достаточные условия гру-
бости. Введенные понятия оказались плодотворными и основополагаю-
щими в теории чувствительности динамических систем, а также в при-
кладной теории синтеза робастных систем автоматического управления.
Эти идеи были развиты впоследствии применительно к дискретным сис-
темам.
В настоящей лекции рассматриваются методические вопросы иссле-
дования влияния малых параметров на динамику управляемых систем.
Анализ выполнен применительно к структурам, обладающим свойствами
параметрической адаптивности. Материал изложен в такой последова-
тельности. Сначала исследуются свойства систем с алгоритмами, синте-
зированными по идеальным моделям. Причем рассматриваются простые
задачи стабилизации стационарных состояний объектов с одной степе-
нью свободы. Затем в синтезированные структуры вводятся элементы
инерционного запаздывания с малыми параметрами. Такие структуры в
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 293
определенной степени учитывают особенности реальных систем. Путем
анализа асимптотического распределения полюсов передаточных функ-
ций исследуются особенности структур с малыми параметрами и выво-
дятся условия, при выполнении которых системы сохраняют свойства
параметрической адаптивности.
14.1. СВОЙСТВА СИСТЕМ С АЛГОРИТМАМИ УПРАВЛЕНИЯ,
СИНТЕЗИРОВАННЫМИ ПО ИДЕАЛЬНЫМ МОДЕЛЯМ
Будем рассматривать задачи стабилизации стационарных состояний
объектов с одной степенью свободы, движение которых описывается
дифференциальными уравнениями
х + а,х + аох = Ьои, (14.1а)
х + atx + OqX = ^й + Ьои, (14.16)
где х - выходная переменная; и - управляющая функция. Для упрощения
преобразований примем, что коэффициенты уравнений - постоянные
числа. Синтезируем алгоритмы управления, которые обеспечивают ста-
билизацию стационарных состояний управляемых объектов и придают
системам требуемые динамические характеристики.
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент
времени t = 0 состояние объекта характеризуется значениями
х(0) = х, х(0) = х0 . (14.2)
Необходимо синтезировать такой алгоритм управления, при кото-
ром управляемый объект переходит из произвольного начального со-
стояния (14.2) в стационарное состояние
х(оо) = х° = const, х(оо) = 0 (14.3)
и остается в этом состоянии бесконечно долго. Требуется при этом, что-
бы фазовая траектория (х, х) —> (х°, 0) замкнутой системы с заданной
степенью приближения следовала за фазовой траекторией (у, у ) ->(х°, 0)
эталонной модели, движение которой описывается уравнением
у ч-а^+ аоу = аох°, а0, cq >0 (14.4)
с начальными условиями у(0) = х0 , у (0) = х0. Так как do, cq - положи-
тельные числа, то справедливы предельные равенства
294 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
lim y(f) = х°, lim y(f) = О,
что соответствует (14.3).
Физический смысл сформулированной задачи соответствует задаче
стабилизации (позиционирования) объекта относительно заданного по-
ложения. При этом алгоритм управления (стабилизации) должен обеспе-
чивать такое движение изображающей точки (х, х) в окрестность ста-
ционарного состояния, при котором выполняется условие
|Я0-*(0| Е, t>0, (14.5)
характеризующее степень приближения процесса х(/) —> х° в проектируе-
мой системе к эталонному процессу y(t) х°. Следовательно, динамика
проектируемой системы будет идентична динамике эталонной модели,
если структура алгоритма управления и его параметры определены из
условия приближения процессов x(t) -*y(f) с учетом неравенства (14.5).
Синтезируем сначала алгоритм управления для объекта, движение
которого описывается уравнением (14.1а). Структуру алгоритма и его
параметры будем определять из условия достижения минимума функ-
ционала
= и)]2, />0, (14.6)
который характеризует нормированную по массе или моменту инерции
(соответственно для линейных и угловых движений) энергию ускорения.
Потребуем, чтобы в каждый момент времени t > 0 значение функционала
(14.6) принадлежало малой окрестности минимума.
Управляющую функцию и определим с помощью уравнения
du(t) dG(u)
—— = X ——, X = const. (14.7)
dt du
Согласно (14.1а), ускорение
x(t, и) = bou - atx - аох. ( 14.8)
С учетом (14.8) находим градиент функционала
^. = -Ь0(у-х). (14.9)
du
Подставляя (14.9) в (14.7), получим дифференциальный закон управления
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 295
й = к(у - х), к = .
( 14.10)
Для вычисления й по (14.10) необходимо знать требуемое значение
ускорения у, которое характеризует движение эталонной модели. Рас-
четное соотношение для у найдем из уравнения (14.4). Выполнив здесь
замену Х0 = *(0, У(0= *(0> получим
у = а0(х°-х)-а,х. (14.11)
Таким образом, основу алгоритма управления составляют соотношения
(14.10), (14.11).
Особенность алгоритма состоит в том, что для его аппаратной реа-
лизации необходимо иметь информацию об ускорении х. Чтобы исклю-
чить такую необходимость, поступим следующим образом. Проинтегри-
руем обе части (14.10) и (14.11) по времени при нулевых начальных зна-
чениях переменных. В результате получим
и = к(у - х),
(14.12)
t
у = а0 J(x° - х) dt - а,х.
о
Для вычисления управляющей функции по (14.12) достаточно информа-
ции о переменных х, х. Однако, существенно важно, что динамические
характеристики замкнутой системы с алгоритмом (14.12) идентичны ди-
намическим характеристикам системы с алгоритмом (14.10), (14.11). Это
обусловлено тем, что уравнения (14.12) получены путем линейного пре-
образования (14.10), (14.11).
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (14.12) изо-
бражена на рис. 14.1. Модель управляемого объекта представлена пере-
даточной функцией
—-
АР) р + а[р + а0
(14.13)
которая соответствует уравнению (14.1а). Процессы в системе описыва-
ются уравнениями (14.1а), (14.12). Запишем их в операторной форме.
296 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
Рис. 14.1
Согласно (14.12) имеем
У = -^[“ох°-(“о+“1^ЖО], (14.14)
где операторы
Подставляя (14.14) в первое уравнение (14.12), находим
w = -^[aox°-a(D)x(o]. (14.15)
Здесь операторное выражение a(Z>) = D3 + atD + do соответствует левой
части (14.4). Подставляя (14.15) в (14.1а), получим уравнение замкнутой
системы
[Ш(£>) + kboa(D)]x(t) = tooaOA «(£>) = Ар)Р=о • (14.16)
Согласно критерию Гурвица, корни характеристического уравнения
рА(р) + кЬоа(р) = 0, (14.17)
соответствующего (14.16), будут расположены в левой полуплоскости
комплексной переменной р, если его коэффициенты, будучи положи-
тельными, удовлетворяют неравенству
(a, + kbQ)(а0 + a.\kb0) > aokbo
или в раскрытой форме
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 297
а1(^о)2 +(ао +а1а1)^’о >ао^Ь• (14.18)
По условию эталонная модель асимптотически устойчива, так как
ао > 0, at > 0. Поэтому на основании (14.18) приходим к заключению,
что при любых конечных значениях а0, найдется такое значение к = к ,
при котором замкнутая система будет также асимптотически устойчива.
Такой вывод следует из того, что в левой части (14.18) содержится поло-
жительное слагаемое at(^0)2, а в правой части - тоже положительное
слагаемое, но с первой степенью kb0.
Неравенство (14.18) позволяет вывести более сильное заключение, а
именно: при увеличении к> к степень устойчивости системы повышает-
ся и при А —> оо она равна степени устойчивости эталонной модели. Дей-
ствительно, разделим все члены уравнения (14.17) на kb0 и вычислим
пределы при А —> оо . В результате получим предельное уравнение а(р) = 0.
Это означает, что в асимптотике (к оо) два корня характеристического
уравнения (14.17) стремятся к соответствующим корням характеристиче-
ского уравнения эталонной модели. Третий корень (14.17) удаляется на
бесконечность в область отрицательных значений.
Передаточная функция замкнутой системы
*(/>,*)= (1419)
рА(р) + кЬоа(р) х°(р)
В случае к —> оо справедливо предельное равенство
К(р, оо) = lim К(р, к) = ——-------.
р 4-oqp + ao
Следовательно, асимптотическая передаточная функция управляемой
системы равна передаточной функции эталонной модели. Это означает,
что динамические характеристики системы при неограниченном повы-
шении уровня усиления оказываются идентичными динамическим харак-
теристикам модели независимо от изменения параметров управляемого
объекта. В этом проявляются свойства параметрической адаптивности
системы.
Отметим свойства управляемой системы при конечном значении ко-
эффициента усиления к. По известной формуле с учетом (14.19) находим
передаточную функцию разомкнутой системы
298 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
к) = . (14.20)
РИ(р) + ^>(р + «1)]
Отсюда следует, что система и эталонная модель имеют одинаковый по-
рядок астатизма - первый. Это свойство остается справедливым и для
систем высокого порядка.
Далее, по (14.20) находим добротность системы по скорости
=\pW{p, *)] = ^°а° . (14.21)
1 А (0) + kboai
Так как добротность эталонной модели Лс” = (Хо/сц , то на основании
(14.21) имеем
Л(О) = О,
“1
^°а° , Л(0)*0.
а0 + ^а.
(14.22)
В случае Л(0) = а0 = 0, т.е. когда передаточная функция (14.13) управляе-
мого объекта имеет нулевой полюс, амплитудные характеристики систе-
мы и модели совпадают в диапазоне рабочих (низких) частот. Вследствие
этого высокая степень приближения процессов х(?) -> y(t) достигается
при умеренных значениях к. В случае А(0) = а0 * 0 амплитудная характе-
ристика системы расположена ниже характеристики модели. Поэтому
требуемый уровень усиления может оказаться чрезмерно высоким, если
ао >> •
Равенство кек = к"К всегда достигается повышением порядка диф-
ференциального уравнения эталонной модели. Пусть уравнение модели
имеет вид
У + У2У + У1У + УоУ = Уох°- (14.23)
Коэффициенты в (14.23) удовлетворяют условию у]у2 > Уо асимптотиче-
ской устойчивости стационарного состояния равновесия. Задача синтеза
алгоритма управления формулируется как и в предыдущем случае. По-
прежнему минимизируем функционал (14.6). После выполнения необхо-
димых преобразований получим уравнения алгоритма управления
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 299
и = к(у - х),
У= J(Yo/o-Yix)^-Y2x> (14.24)
о
/о = j(x°-x)<*.
о
Соотношения для у получены из (14.23) двукратным интегрированием
по времени обеих частей с последующей заменой y(f) = х(г). Начальные
значения переменных принимаются равными нулю.
В отличие от (14.19), в данном случае передаточная функция систе-
мы с алгоритмом управления (14.24) равна
К{р, к) = —г—. (14.25)
Р А{р) + кЬ^{р) х°(р)
Полином
2
Y(p) = Р3 + ZbPV
v=0
соответствует левой части уравнения эталонной модели (14.23). Система
с передаточной функцией (14.25) допускает неограниченное повышение
уровня усиления при сохранении устойчивости. Поэтому в асимптотике
справедливо предельное равенство
К(р, оо) = lim К(р, к) = .
y(p)
Следовательно, асимптотическая передаточная функция системы равна
передаточной функции эталонной модели. Далее, при конечных значени-
ях к добротность системы
= С (14.26)
Y1
независимо от значения Л(0) = а0- Отметим также, что система и модель
имеют одинаковый порядок астатизма.
300 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
Выпишем без вывода уравнения алгоритмов управления объектом,
движение которого описывается уравнением (14.16). Как и прежде, рас-
сматриваем задачу стабилизации стационарного состояния х = х° =const,
х= 0. Эталонную модель принимаем в виде (14.4), а в качестве управ-
ляющего параметра - производную й. Структуру алгоритма определяем
путем минимизации функционала
G(u) = l[y(0-xa, й]2
по градиентной схеме первого порядка
dii(t) dG(u)
—— = А. ——, А. = const.
dt du
В данном случае ускорение
x(t, й) = Ь1й + bou - аох -atx .
Выполнив необходимые преобразования, получим следующие уравнения
алгоритма управления
и = к(у-х), k = -'kb[,
t
У= J(ao/o-aix)dSr, (14.27)
о
t
fo = J(x° -x)dt.
о
Особенность этого алгоритма состоит в том, что для вычисления управ-
ляющей функции и достаточно информации только о положении (х). Эта
особенность есть следствие того, что передаточная функция объекта име-
ет нуль р = -bob]4.
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом (14.27) изо-
бражена на рис. 14.2. Без доказательства отметим ее свойства.
1) Система не теряет устойчивости при неограниченном повышении
уровня усиления. В асимптотике ее передаточная функция равна переда-
точной функции эталонной модели.
2) При конечных значениях к система имеет такой же порядок аста-
тизма и такую же добротность по скорости, как и эталонная модель.
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 301
Примем теперь в качестве управляющего параметра функцию и, а
эталонную модель - в виде (14.4). Минимизируя функционал (14.2) по
схеме (14.7), получим уравнения алгоритма управления, которые совпа-
дают с (14.12). Система с таким алгоритмом обладает такими же свойст-
вами, как и система, описываемая уравнением (14.16).
Наконец, выпишем уравнения алгоритма для того случая, когда его
структура определяется по эталонной модели (14.23). Минимизация
функционала (14.7) по градиентной схеме первого порядка приводит к
уравнениям
и = к(у — х), к = -Х60,
t
У= J(Yo/o - у2х,
о
(14.28)
/о = J(x° ~x)dt.
о
Система с алгоритмом управления (14.28) допускает неограниченное по-
вышение уровня усиления. При конечных значениях к для нее выполня-
ются равенства (14.26).
14.2. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ИНЕРЦИОННОГО
ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
Синтез алгоритмов управления автоматических систем часто вы-
полняют по математическим моделям, не учитывающим динамику тех
элементов, процессы в которых протекают существенно быстрее по срав-
нению с другими. Например, в электромеханических системах можно не
учитывать (в первом приближении) динамику электронных усилителей, а
302 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
также инерционность процессов в электрических цепях исполнительных
электродвигателей. Во многих случаях оказывается возможным синтези-
ровать алгоритмы управления по моделям, которые не отражают инерци-
онные свойства измерителей-датчиков. Однако в практике проектирова-
ния принято непреложное правило - исследовать динамику проектируе-
мой системы по наиболее полным математическим моделям, поскольку
не учитываемые элементы, обладающие инерционным запаздыванием,
могут вызвать нежелательные изменения динамических характеристик.
В настоящем разделе исследуется влияние элементов с инерцион-
ным запаздыванием на динамику систем с алгоритмами управления, син-
тезированными по критерию минимума функционалов, характеризующих
энергию движения. Рассматриваются два типа элементов с передаточны-
ми функциями первого и второго порядка и две схемы их включения: в
прямой цепи и в цепях обратных связей. Исследования выполнены для
различных структур алгоритмов управления, синтезированных в п. 14.1.
14.2.1. Элементы инерционного запаздывания включены
в прямую цепь
Рассмотрим структурную схему, которая изображена на рис. 14.3.
Модель управляемого объекта представлена передаточной функцией
Ио(р). В прямой цепи включен элемент с передаточной функцией W(p),
характеризующей запаздывание. Принимаем сначала
Пусть для передаточной функции 1Р(р) без учета элемента инерционного
запаздывания синтезирован алгоритм управления по эталонной модели
второго порядка. Этому алгоритму соответствуют уравнения (14.12) и
структурная схема рис. 14.3. Выполним анализ влияния инерционного
запаздывания на динамику рассматриваемой системы.
«о
W(p)
W0(P)
а,
Рис. 14.3
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 303
С учетом (14.29) процессы в системе описываются уравнениями
A(D)x(t) = bou(t), (TD+l )u(t) = Л'и(г),
й(г) = Л(у-х), j = a0 J(x°-x)A-a,x. (14.30)
о
Исключая в (14.30) переменные и, и, находим операторное уравнение
замкнутой системы
[£>(7Е> + 1)Л(£>) + £6o<x(D)]x(Z) = kb'oa.ox°, Ь'о = к’Ь0 (14.31)
и ее передаточную функцию
р(7р + 1)Л(р) + ^а(6)’
Особенность структуры К(р, к) состоит в том, что степень полинома
р(Тр + 1)А(р) на две единицы выше степени а(р) = р2 +а]р + а0. Вслед-
ствие этого асимптотические свойства системы при к -> оо существенно
определяются соотношением между параметрами эталонной модели и
управляемого объекта.
Изучим поведение полюсов К(р, к) в случае к -> оо. Характеристиче-
ское уравнение системы
p{Tp + \)A{p) + kb'oa.{p) = Q (14.33)
при к —> оо вырождается в предельное уравнение а(р) = 0. Следовательно,
два полюса р\,г{к) передаточной функции системы стремятся к полюсам
Р|*2 передаточной функции эталонной модели, т.е. р\^к) -> pi*2, если
к —> оо. Чтобы определить поведение двух других полюсов при к —> оо,
поступим следующим образом. Запишем характеристическое уравнение
(14.33) в виде
«(р) =о.
(14.34)
При больших, но конечных значениях к величина |р| конечна. Поэтому
вместо (14.34) можно рассматривать уравнение
304 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
рт>+1)Л(р) °
а(р)
Далее, при больших значениях |р| величина дроби в левой части (14.35)
определяется в основном старшими степенями р. В силу этого можно
принять
Р(тР + 1)(р2 +а\Р + ао)№ТрА +{\ + ахТ)р3\ р2 +ахр + а0 » р2 +ахр .
Подставляя эти приближенные выражения в (14.35), после сокращения
нар получим приближенное уравнение
7р3+(1 + а]Г)р2+Л&о(р + а]) = О; (14.36)
Справедливо следующее: если все корни уравнения (14.36) распо-
ложены слева от мнимой оси Rep = 0, то два корня характеристического
уравнения (14.33), т.е. два полюса р34(А) передаточной функции К(р, к)
при к -> оо будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости. Со-
гласно критерию Гурвица, корни уравнения (14.36) будут находиться
слева от мнимой оси, если выполняется неравенство
1 + а|Г>а17’. (14.37)
Таким образом, если коэффициенты at, cq передаточных функций
управляемого объекта и эталонной модели при конкретном значении по-
стоянной времени Т инерционного звена отвечают неравенству (14.37), то
система допускает неограниченное повышение уровня усиления без по-
тери устойчивости. При этом имеет место следующее распределение по-
люсов передаточной функции (14.32) замкнутой системы:
lim Р1.2 (*) = Р\,2 > Um Л,4 (*) = -°0 •
К~+оо £->ао
Это означает, что в асимптотике передаточные функции системы и эта-
лонной модели идентичны. При конечных и достаточно больших значе-
ниях к полюсы рз^к) не оказывают существенного влияния на динамику
системы, свойства которой определяются доминирующими полюсами
Pi2(k) а Р\ 2 Поэтому динамические характеристики системы будут ос-
таваться практически неизменными при изменении параметров объекта,
если не нарушается неравенство (14.37).
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 305
Итак, при выполнении условия (14.37) дополнительное апериодиче-
ское звено первого порядка в прямой цепи не меняет асимптотических
свойств системы с алгоритмами управления, синтезированными без учета
динамики звена инерционного запаздывания. В том случае, когда нера-
венство (14.37) не выполняется, структура системы с дополнительным
апериодическим звеном не допускает возможность неограниченного по-
вышения уровня усиления. При увеличении к система становится неус-
тойчивой.
Из (14.37) имеем
Y>(at -al), а, -а, >0. (14.38)
Отсюда следует, что эталонная модель должна обладать более сильными
демпфирующими свойствами (a > cq), чем управляемый объект. Причем
необходимо, чтобы это условие выполнялось для всего диапазона изме-
нения коэффициента at. Отметим, что в случае а, > 0 допустимая вели-
чина постоянной времени Т, при которой выполняется неравенство
(14.38), больше, чем в случае at < 0.
Пусть теперь в структуре системы (см. рис. 14.3) содержится эле-
мент инерционного запаздывания с передаточной функцией второго по-
рядка
W(p) = , , к'-------= -^. (14.39)
T2p2+2QTp + l и(р)
С учетом (14.39) записываем уравнения управляемого процесса
A(D)x(t) = bou(t), (T2D2 + 2CJD + = k'u(t),
u(t) = k(y - x), у = a0 |(x° -x)dt-a.pc. (14.40)
о
Исключая в (14.40) переменные у, и, й, находим операторное уравнение
замкнутой системы
[Д)Л(Д>)Я;-(D) + kbQa(D)]x(t) = kb'oaox°,
A^(D) = T2D2+2QTD + 1, b'0=k'b0 (14.41)
и соответствующую ему передаточную функцию
306 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
^о«о
К(р, к) =
pA^(p)A(p) + kboa(p)
(14.42)
Особенность структуры К(р, к) состоит в том, что степень полинома
рА(р)А^(р) на три единицы выше степени а(р). Эта особенность сущест-
венно определяет свойства системы при увеличении коэффициента уси-
ления к. Найдем асимптотическое распределение полюсов передаточной
функции (14.42) при к -> оо.
Рассматриваем характеристическое уравнение
рА^(р)А(р) +kb^a.{p) = (i. (14.43)
В случае к -> оо из (14.43) получаем предельное уравнение а(р) = 0.
Поэтому два полюса pj 2(Л) передаточной функции К(р, к) асимптотиче-
ски стремится к полюсам р’2 передаточной функции эталонной модели.
Чтобы установить поведение остальных трех полюсов, выполним анализ
приближенного уравнения, которое получается из (14.43) при больших
значения к. Воспользуемся методикой, с помощью которой исследовано
распределение полюсов передаточной функции (14.32).
Характеристическое уравнение (14.43) представим в виде
рЯ(р)4-(р) ......
-----—г----+ = 0 • (14.44)
а(р)
В полиномах числителя и знаменателя дроби сохраняем члены старших
степеней р, принимая
Р^рЩр) » Т2р5 + (а1Г2 + 2^)Р4, а(р) « Р1 + «1Р •
С учетом этих выражений из (14.44) получаем приближенное уравнение
Т2р4 +(а1Т2 +2^Т)Р3 + to'(p + a,>0. (14.45)
В уравнении (14.45) отсутствует член, содержащий р2. Поэтому, согласно
критерию Гурвица, не выполняется необходимое условие расположения
всех корней (14.45) в левой полуплоскости. Следовательно, хотя бы один
из трех полюсов передаточной функции (14.42) при к -> оо удаляется на
бесконечность в правой полуплоскости.
Таким образом, наличие в структуре рассматриваемой системы зве-
на инерционного запаздывания второго порядка исключает возможность
неограниченного повышения уровня усиления. При любых соотношени-
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 307
ях значений параметров передаточных функций управляемого объекта и
эталонной модели повышение уровня усиления сверх критического при-
водит к потере устойчивости системы. При этом критическое значение
коэффициента усиления тем меньше, чем больше величина постоянной
времени Тв передаточной функции (14.39).
Исследование влияния звеньев инерционного запаздывания на ди-
намику систем выполнено для того случая, когда алгоритм управления
синтезирован по эталонной модели второго порядка, а передаточная
функция объекта не имеет нуля. По такой же методике можно исследо-
вать системы с алгоритмами управления, которые синтезированы по эта-
лонной модели третьего порядка. Окончательные результаты исследова-
ния приведены в табл. 14.1. Буквой п обозначен порядок эталонной моде-
ли, по которой синтезирован алгоритм. Эталонная модель второго поряд-
ка описывается уравнением а(£>)Х0 = ОсЛ°, а уравнение модели третьего
порядка имеет вид у(£>)у(О = Уа*°- Операторные выражения а(£>), у(£>) оп-
ределяются соответственно по (14.15) и (14.25). В табл. 14.1 приведены
условия, при выполнении которых система сохраняет устойчивость, если
к -> оо. В тех случаях, когда структура системы не допускает возмож-
ность неограниченного повышения уровня усиления, в таблице отмечено
«теряет устойчивость».
Изложим схему исследования системы с управляемым объектом,
передаточная функция которого имеет нуль, т.е. W0(p) = + .
А(р)
Уравнение замкнутой системы с таким объектом можно непосредственно
14.1. Условия устойчивости замкнутых систем
п Номер алгоритма Условие устойчивости при к -» оо
(Гр+1)-’ (Т2р2 + 2С,Тр + I)’’
2 (14.12) 1 у >“!-«! Теряет устойчивость
3 (14.24) 1 у > Y2-«1 Теряет устойчивость
308 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
записать по аналогии с (14.31) и (14.41). Заменяя в (14.31) коэффициент
Ь'о на будем иметь
[d(TD + 1)Л(Р) + кВ' (D)a(D)]x(0 = ta0B'(D)x° ,
B'{D) = k’(bxD + b!i). (14.46)
Если в (14.46) заменить (TD + 1) на трехчлен A£D\ то получим уравне-
ние системы, в прямой цепи которой включен элемент с передаточной
функцией (14.39). В том случае, когда алгоритм управления строится по
уравнениям (14.27), можно найти
[о2 (TD +1)4- (£>) + кВ' (£>)a(£))]x(0 = ka0B’(D)x°. ( 14.47)
Аналогично выписываются уравнения системы с алгоритмом управления
(14.28), синтезированным по эталонной модели третьего порядка.
Результаты исследования асимптотических свойств приведены в
табл. 14.2. В том случае, когда для вычисления управляющей функции
используется информация о положении и скорости (х, х), система безус-
ловно сохраняет устойчивость при к оо, если в прямой цепи содержит-
ся инерционное звено первого порядка. В случае звена второго порядка
14.2. Условия устойчивости замкнутых систем
п Номер алгоритма Условие устойчивости при к —> оо
(7р+1)-' (Тгрг + ILTp + I)’1
2 (14.27) 1 у > «1 - «1 Теряет устойчивость
(14.12) Безусловно устойчива 1 fy) +W1 ~д1) Т 26£
3 (14.28) Безусловно устойчива 1 fy) +Ш2 ~д1) т 26£
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 309
система не теряет устойчивости в асимптотике при определенных соот-
ношениях между параметрами объекта и эталонной модели. Следова-
тельно, при наличии форсирующего звена В(р) = Ьхр + Ьов структуре мо-
дели управляемого объекта, т.е. нуля в передаточной функции Ио(р), сис-
тема остается устойчивой при неограниченном повышении уровня уси-
ления в случае, когда в ее прямой цепи содержатся инерционные элемен-
ты первого и второго порядка.
В заключение этого раздела отметим, что наличие звеньев инерци-
онного запаздывания в прямой цепи системы не меняет порядок астатиз-
ма. Как и в случае «идеальных» моделей управляемых объектов, порядок
астатизма определяется структурой эталонных моделей.
14.2.2. Элементы инерционного запаздывания включены
в обратных связях
Рассматриваем структурную схему, которая изображена на рис. 14.4.
В данном случае управляющая функция и вычисляется по информации,
поступающей с выхода измерителя, инерционное запаздывание которого
характеризуется передаточной функцией W(p). Примем
Тр + \ х(р) р +axp + aQ А(р)
Структурная схема соответствует тому случаю, когда для объекта с пере-
даточной функцией W0(p) синтезирован алгоритм управления (14.27) по
эталонной модели второго порядка. Процессы в системе описываются
уравнениями
A(D)x(t)= B(D)u(t), u(t) = к{у - х),
t t
У= J(ao/o-axx)dt, f0 = j(x°-x)dt, (14.48)
о о
(ГР + 1)х(0 = ^'х(0-
Исключим из (14.48) переменные у, и, х, тогда получим операторное
уравнение замкнутой системы
[d2(TD + \) A(D) + kk'B(D)a(D)]x(t)= ka0(TD + \)B(.D)x° . (14.49)
310 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
Если передаточная функция измерителя 1¥(р) определяется выраже-
нием вида (14.39), то в (14.49) двучлен (77) + 1) следует заменить на
Л;(О).
Существенно следующее обстоятельство: звено инерционного за-
паздывания в цепи обратной связи (по положению) делает систему стати-
ческой, если коэффициент усиления к 1. В этом можно убедиться, вы-
числив установившееся значение выходной переменной х(оо) при вход-
ном воздействии х° = const. Принимая D = 0 в уравнении (14.49), находим
х°
х(°о) = -77
к
что соответствует статической системе.
Рассмотрим теперь систему с алгоритмом управления (14.12).
Управляющая функция вычисляется по информации о положении и ско-
рости (х, х). Принимаем, что в цепях измерения включены инерционные
звенья с передаточными функциями
Тр +1 х(р) Тр +1 х(р)
В таком случае процессы в системе описываются уравнениями
A(D)x(t) = u(t) = к(у - х),
у = а0 |(х° -x)dt-(X]X,
о
(14.50)
(77) + 1)х (0 = k'x(f), (7\D + l)i(t) = k'x(t).
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 311
Из (14.50) получаем уравнение замкнутой системы
[DAT (D)A(D) + kB(D)ar (£>)]x(Z) = ka0B(D)AT (D)x°, (14.51)
где операторные полиномы
Ar(P) = (TD + Y)(T\D + Y), (
ar(D) = k'TD3 + (A' + a1A'7'1)£>2 +(0^' + aok'T\)D + aok'.
Характеристическое уравнение, соответствующее (14.51), имеет вид
рАт(р)А(р) +kB(p)aT(p) = Q. (14.53)
Степень полинома 1рАг(р)А(р)] на единицу выше степени полинома
[B(p)ar(p)]. Поэтому рассматриваемая система будет сохранять устой-
чивость при к —>оо, если корни предельного уравнения В(р)а.т{р) = 0 рас-
положены в левой полуплоскости. По условию нуль передаточной функ-
ции объекта р - -bQb^ < 0. Следовательно, указанное условие будет вы-
полнено, если корни уравнения а/-(р) = 0 имеют отрицательные действи-
тельные части. Согласно критерию Гурвица, для этого необходимо и дос-
таточно, чтобы выполнялось неравенство
(A"' + a1A'7'1)(a1 +a07'1)>a0AT, (14.54)
которое следует из (14.52).
Таким образом, если параметры эталонной модели и инерционных
звеньев удовлетворяют условию (14.54), то система, описываемая урав-
нением (14.51), будет устойчива в асимптотике {к оо). При конечных
значениях к и к' * 1 система имеет нулевой порядок астатизма. Действи-
тельно, из (41.51) с учетом (14.52) находим х(оо) =
к'
По изложенной методике можно исследовать свойства системы и в
тех случаях, когда в цепях обратных связей содержатся звенья инерцион-
ного запаздывания с другими передаточными функциями. Если порядок
уравнений таких звеньев повышается, то существенно усложняются ус-
ловия, при которых система сохраняет устойчивость в случае неограни-
ченного повышения уровня усиления. Например, если динамика измери-
телей переменных х, х описывается уравнениями
312 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
(Г2 D2 + 2CJD +1) х(0 = k'x(t),
(14-55)
(Г2 D2 + 2^7] D +1)х(0 = k'x(t),
то уравнение замкнутой системы с алгоритмом управления (14.12) будет
[ш’(О) A(D) + kB(D)a^D)]x(t) = ka0B(D)A\D)x°, (14.56)
где приняты обозначения
A\D) = A^D)A^D),
а^(£>) = к'(а0 + а, D) A^(D) + к’Ь1 A^{D).
Здесь операторные выражения A^(D), A^(D) соответствуют левым
частям уравнений (14.55).
Рассматриваемая система будет устойчива при к оо, если выпол-
няются два условия. Первое из них состоит в том, чтобы корни уравнения
а^(р) = 0 четвертой степени были расположены в левой полуплоскос-
ти. Применяя к этому уравнению критерий Гурвица, получим неравен-
ство, аналогичное (14.54). Так как степень операторного полинома
[£>Л*(£>)Л(£>)] на две единицы выше степени полинома [/?(£>)(£>)], то
при выполнении первого условия система будет сохранять устойчивость
в асимптотике, если ее параметры удовлетворяют второму неравенству,
которое получается из приближенного характеристического уравнения,
соответствующего (14.56). Мы не выписываем эти неравенства, отметим
только, что первое из них определяет соотношение между параметрами
эталонной модели и звеньев инерционного запаздывания, а второе - ме-
жду параметрами всех элементов системы в целом.
Таким образом, в том случае, когда в цепях обратных связей содер-
жатся звенья второго порядка, то для устойчивости системы при к оо
необходимо, чтобы ее параметры удовлетворяли двум неравенствам.
14.2.3. Основные результаты и рекомендации
При исследовании динамики систем рассматриваемого класса, в
структуре которых содержатся элементы инерционного запаздывания,
получены следующие результаты:
1. Элементы инерционного запаздывания, динамика которых не
учитывается при синтезе алгоритмов управления, оказывает основное
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 313
влияние на статические характеристики и асимптотические свойства сис-
тем. Степень и характер этого влияния существенно определяется поряд-
ком передаточных функций инерционных звеньев и местом их включе-
ния - в прямой цепи или в цепях обратных связей.
2. Для исследования асимптотических свойств системы необходимо
установить распределение полюсов ее передаточной функции при неог-
раниченном повышении уровня усиления. Кроме того, необходимо найти
соотношения между ее параметрами, при выполнении которых система
сохраняет устойчивость в асимптотике (к оо). Такие соотношения мо-
гут быть получены по приближенному уравнению, которое следует из
характеристического уравнения системы при больших значениях |р|.
3. Система управления объектом с передаточной функцией
Ио(р) =—^—, в прямой цепи которой содержится элемент инерционно-
Л(р)
го запаздывания, обладает следующими свойствами:
а) система остается устойчивой при неограниченном повышении
уровня усиления, если инерционный элемент имеет первый порядок, вы-
полняется определенное соотношение между параметрами объекта и эта-
лонной модели (см. табл. 14.1);
б) если инерционный элемент имеет второй порядок, то система
становится безусловно неустойчивой при достаточно больших значениях
коэффициента усиления.
4. Система усиления объектом с передаточной функцией
^о(Р) ~ , в прямой цепи которой содержится инерционный
Ар)
элемент, обладает следующими свойствами:
а) если управляющая функция вычисляется только по информации о
положении (х), то система допускает бесконечно высокий уровень усиле-
ния в случае, когда передаточная функция инерционного элемента имеет
первый порядок, а параметры объекта и эталонной модели удовлетворя-
ют определенному неравенству (см. табл. 14.2);
в случае, когда передаточная функция инерционного элемента имеет
второй порядок, система безусловно теряет устойчивость при высоком
уровне усиления;
б) если управляющая функция вычисляется по информации о поло-
жении и скорости (х, х), система безусловно устойчива при неограни-
314 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
ченном повышении уровня усиления, когда передаточная функция инер-
ционного элемента имеет первый порядок;
это свойство сохраняется при определенном соотношении между
параметрами объекта и эталонной модели в том случае, когда переда-
точная функция инерционного элемента имеет второй порядок (см.
табл. 14.2).
5. Элемент инерционного запаздывания в прямой цепи системы не
меняет ее порядка астатизма, который определяется структурой эталон-
ной модели.
6. В том случае, когда элементы инерционного запаздывания содер-
жатся в цепях обратных связей, системы с алгоритмами управления вида
(14.12) и (14.28) безусловно устойчивы при больших коэффициентах
усиления, если инерционные звенья имеют первый порядок.
Для сохранения устойчивости в случае звеньев второго порядка не-
обходимо, чтобы параметры управляемых объектов, эталонных моделей
и элементов инерционного запаздывания удовлетворяли дополнительным
соотношениям вида (14.54).
7. Инерционное звено в цепи обратной связи по выходной перемен-
ной х делает систему статической. Звено инерционного запаздывания в
обратной связи по переменной х не меняет порядка астатизма системы.
8. Характеристическое уравнение замкнутой системы с алгоритмами
управления рассматриваемых структур представимо в виде
У2(р) + kN\(p) = 0, (14.57)
где к - коэффициент усиления контура управляющей функции; Л),2(р) -
полиномы относительно р степеней и п2 соответственно. В зависимо-
сти от соотношения степеней и15 и2 система обладает следующими свой-
ствами:
а) если степень полинома N2(p) на единицу выше степени полинома
N\(p), т.е. п2 - И| = 1, то система не теряет устойчивости при неограни-
ченном повышении уровня усиления (А -» оо);
б) если степень полинома N2(p) на две единицы выше степени поли-
нома т.е. п2 - п{ = 2, то система будет устойчива в асимптотике при
определенном соотношении между параметрами управляемого объекта и
эталонной модели;
в) в случае, когда п2 - п{ > 2, система не допускает возможность не-
ограниченного повышения уровня усиления при любом соотношении
между параметрами объекта и модели.
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 315
9. Сформулированные результаты получены при исследовании про-
стейших систем, однако они остаются справедливы и для систем высоко-
го порядка.
Развитая методика анализа влияния элементов инерционного запаз-
дывания на динамику процессов управления полностью применима для
исследования асимптотических свойств систем сложной структуры.
14.3. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ
Рассматриваем систему с управляемым объектом первого порядка,
математическая модель которого задана уравнением
х + аох = Ьои. (14.58)
Синтезируем алгоритм управления, при котором объект переходит из
начального состояния х(0) = х0 в окрестность стационарного состояния
х(оо) = х° = const. При этом процесс x(f) -> х°, должен с необходимой сте-
пенью приближения следовать за эталонным процессом y(f) х°, опре-
деляемым дифференциальным уравнением
у + аоу = аох°, а0 >0 (14.59)
при начальном условии у(0) = х(0).
В качестве меры приближения процессов x(t) —> y(t) принимаем
функционал
G(u) = ^\y(t)-x(t, и]2, (14.60)
который характеризует кинетическую энергию движения. Управляющую
функцию и определим соотношением
du(t) . dG(u) . ......
—— = Х------Х = const. (14.61)
dt du
Градиент функционала равен
dG(u) ... .
—у-!- = -Ку-х).
du
Подставляя это выражение в (14.61), получим закон управления
316 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
= к(у- х), к = -ХЬй. (14.62)
at
Для коэффициента усиления к должно выполняться правило знаков
sign(A) = sign(Z>0). Далее принимаем Ьо > 0. Требуемое значение скорости
изменения выходной переменной системы находим из уравнения эталон-
ной модели (14.59), принимаяХО = х(0- Имеем
у = а0(х°-х). (14.63)
Уравнения (14.62), (14.63) составляют основу алгоритма управле-
ния. Запишем их в другой форме. Проинтегрируем по времени обе части
этих уравнений при нулевых начальных значениях переменных. В ре-
зультате получим
и = к(у-х), у = а0 j(x° -x)dt. (14.64)
о
Структурная схема замкнутой системы (14.58), (14.63) изображена на
рис. 14.5.
Выведем уравнение управляемого процесса. С этой целью запишем
(14.58), (14.59) и (14.64) в операторной форме:
(D + ао)х(О = b0(t), u(f) = к(у - х), У = -^-(х°-х). (14.65)
Исключая здесь переменные у, и, получим искомое уравнение
[£>(£> + а0) + kb^{D + а0)]х(?) = £60а0х° (14.66)
и соответствующую ему передаточную функцию
К(р, к) =-------^5----------. (14.67)
р(р + а0) +WP + «o)
При любых конечных значениях а0 > 0, ао < 0 всегда существуют такие
значения коэффициента усиления к > к , при которых полюсы переда-
точной функции (14.67) будут расположены в левой полуплоскости. При
этом структура системы допускает неограниченное повышение уровня
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 317
усиления. В случае /с —> оо один полюс К(р, к) стремится к полюсу пере-
даточной функции эталонной модели, а другой - удаляется на бесконеч-
ность в область отрицательных значений, т.е.: р^к) (-а0)> Pi(k~) —> (-°°).
Поэтому асимптотическая передаточная функция системы будет равна
передаточной функции эталонной модели: К(р, оо) =———. Следова-
(р + а0)
тельно, теоретически в асимптотике справедливо равенство х(0 =Х0-
Пусть теперь в прямой цепи системы (рис. 14.6) содержится инерци-
k'
онное звено с передаточной функцией W(p) = ———. В данном случае
передаточная функция неизменяемой части системы будет
^о'(р) = W(p)-^— = ——------
р + а0 (Tp + Y)(p + a0)
bo = k'b0 .
С учетом (14.64) записываем уравнения замкнутой системы
(7D + l)(D + ao)x(O = ^«(/),
и = к(у-х), у = -^(х°-х). (14.68)
Исключая в (14.68) переменные у, и, находим
[D(TD + \')(D + ao) + kb^D + ao')]x(f) = kb^aox°. ( 14.69)
Передаточная функция системы в замкнутом состоянии равна
К(р, к) =------------^2---------------. (14.70)
р(7р +1) (р + а0) + kb^p + а0)
Характеристическое уравнение
р(7р + 1)(р + ао) + ^(р + ао) = О, (14.71)
в обозначениях (14.57) принимает вид
А2(р) + kNl(p) = 0, М(р) = Аь(р + а0),
(14.72)
N2(j>) = p(7p + l)(p + a0) .
318 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
Рис. 14.5
Система будет асимптотически устойчивой, если согласно критерию
Гурвица ее параметры удовлетворяют условию
(\ + aoT)(ao+kb^>kb^oT. (14.73)
Так как степень Nztp) на две единицы выше степени Ni(p), то систе-
ма будет сохранять устойчивость при к —> со в том случае, когда между
параметрами управляемого объекта, эталонной модели и звена инерци-
онного запаздывания выполняется определенное соотношение. Для рас-
сматриваемой системы это соотношение можно найти из неравенства
(14.73) предельного перехода. Запишем (14.73) в виде
а0(1 + а0Т~) + (1 + аоТ)кЬ'о > кЬ'оа.оТ.
(14.74)
Разделим обе части (14.74) на кЬ'о и вычислим предел при А —> оо. В ре-
зультате получим
(1 + а0Т) > а0Г у > (а0 - а0).
(14.75)
Таким образом, если для системы выполняется неравенство (14.75),
то она остается устойчивой при неограниченном повышении уровня
усиления.
Обозначим постоянные времени объекта и эталонной модели соот-
ветственно через То и Тм. На основании (14.58) и (14.59) имеем Го = —,
ао
Т = — . Поэтому неравенство (14.75) можно записать так:
а0
1 ( 1 И 1 То-Т„
— >---------или — > 1, -
Т \ТК То) Т ТОТМ
(14.76)
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 319
Рис. 14.6
Из (14.76) следует, что постоянная времени эталонной модели Ты должна
быть всегда меньше постоянной времени объекта То. Причем Ти —> То при
увеличении Т. В том случае, когда модель управляемого объекта пред-
ставляет собой интегрирующее звено (а0 = 0) из (14.75), получаем
~>ао или ТЫ>ТО. (14.77)
С учетом (14.70) находим передаточную функцию разомкнутой
системы
1У(п к) =_________ “0^0_________
р[(7р + 1)(Р + ао) + &>о] ’
(14.78)
По (14.78) определяем добротность системы по скорости
а0 = к"к, если а0 = 0;
если а0*0;
о+^о °
(14.79)
Из второго равенства (14.79) следует: кск = к"к при к со.
Пусть теперь в прямой цепи системы (рис. 14.6) содержится звено
инерционного запаздывания с передаточной функцией W(p) вида (14.39).
По аналогии с (14.69) записываем уравнение замкнутой системы
pV2 (В) + kN{ (Z>)] x(t) = kb'oa.ox° ,
(14.80)
Nt(p) = bo(D + a0), N2(p) = D(T2D2 + 2QTD +1) (Z> + a0).
320 ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ
В данном случае степень операторного полинома N2(D) на три единицы
выше степени А^(£>). Поэтому система не допускает возможности неог-
раниченного повышения уровня усиления. При больших значениях к ус-
тойчивость системы нарушается. В этом можно убедиться, исследуя ха-
рактеристическое уравнение
Р^р1 + 2<;7p + l)(p + ao) + toi(p + ao) = O, (14.81)
соответствующее (14.80). Согласно критерию Гурвица, все корни урав-
нения (14.81) будут расположены в левой полуплоскости, если его коэф-
фициенты положительны и выполняется неравенство
(2С + а0Г)(1 +2^0П- Т(а0 + kb'o) > а0^ ^ + а^Т
ай + кЬ0
(14.82)
Разделив обе части (14.82) на А: и вычислив пределы при к со, получим
физически противоречивое условие (-7) > 0, которое свидетельствует о
том, что при любых соотношениях между параметрами система теряет
устойчивость при больших значениях к.
Рассмотрим теперь структурную схему, которая изображена
на рис. 14.7. В цепи обратной связи включено звено с передаточной
функцией характеризующей динамику измерителя. Принимаем
W(p) = ——— • В таком случае процессы в системе описываются уравне-
ниями
(D + a0)x(t) = b0(t), и = к(у-х),
Рис. 14.7
ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА ДИНАМИКУ СИСТЕМ 321
Отсюда следует уравнение для управляемой переменной
[D(TD + l)(D + ao) + kbo(D + ao)]x(t) = kboa.o(.TD + i)x°. ( 14.84)
Левая часть (14.84) в точности совпадает с левой частью уравнения
(14.69). Поэтому рассматриваемая система обладает такими же асимпто-
тическими свойствами, как и система, структурная схема которой изо-
бражена на рис. 14.6. А именно, если параметры а0, do, Т удовлетворяют
неравенству (14.75), то система сохраняет устойчивость при к^» оо.
При конечных значениях к в установившемся движении система
имеет статическую ошибку при постоянном входном воздействии х°.
Принимая D = 0 в (14.75), находим х(оо) =
к'
В том случае, когда в цепи обратной связи содержится звено второго
порядка с передаточной функцией W(p) вида (14.39), структура системы
не допускает возможность неограниченного повышения уровня усиле-
ния. При больших значениях к устойчивость системы нарушается. Кроме
того, в установившемся движении в случае х° = const система имеет ста-
тическую ошибку, если к' * 1.
11-9516
Лекция 15
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫЕ
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ
АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
В теории систем с цифровыми вычислителями можно выделить два
основных подхода к решению задачи синтеза алгоритмов управления.
Первый основан на проектировании цифрового алгоритма управления по
моделям с дискретным временем. Второй подход основывается на дис-
кретизации аналоговых алгоритмов управления, синтезированных по мо-
делям с непрерывным временем. Синтезированные таким образом алго-
ритмы обеспечивают требуемое качество управления при постоянных
параметрах управляемого объекта. Для объектов с переменными пара-
метрами алгоритмы такой структуры оказываются неэффективными.
В предыдущих лекциях показано, что аналоговые алгоритмы управ-
ления, синтезированные на основе концепций обратных задач динамики в
сочетании с минимизацией локальных функционалов в окрестности фа-
зовых траекторий эталонных моделей, придают системам свойства есте-
ственной параметрической адаптивности - слабой чувствительности к
изменению параметров управления объектов. Поэтому представляет
практический интерес исследование свойств цифровых алгоритмов
управления, полученных путем дискретизации аналоговых алгоритмов
нетрадиционной структуры. Эти вопросы рассматриваются в настоящей
лекции.
15.1. СТРУКТУРА АНАЛОГОВОГО АЛГОРИТМА
В шестой лекции рассмотрены задачи синтеза алгоритмов управле-
ния объектами, динамика которых характеризуется передаточными
функциями общего вида:
^0(р) = ^^ = ^, (15.1)
А(р) и(р)’
где х(р), (и(р) - изображения по Лапласу выходной переменной х(Г) и
управляющей функции u(f). Полиномы знаменателя и числителя
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
323
п-1 т
А(Р)= Рп +^asP', B(p)=^bjpj . (15.2)
,v=0 ./=0
Полюсы передаточной функции (15.1), т.е. корни р\,...,рп уравнения
А(р) = 0, могут быть расположены как в левой, так и в правой полуплос-
кости, а также на мнимой оси Rep = 0. В отличие от распределения полю-
сов, нули передаточной функции И^0(Р), т.е. корни ph ...,рт уравнения
S(p) = 0, расположены только в левой полуплоскости.
Алгоритмы управления синтезируются в лекции 6 из условия, чтобы
в установившемся режиме движение проектируемой системы проходи-
ло в малой Е-окрестности заданной программы xBX(Z), t > 0, т.е.
|xBX (z) - x(t)| < е , t > t,. Здесь интервал [0; t, ] характеризует длитель-
ность переходных процессов. При этом требования к динамике системы
назначаются с помощью эталонной модели, передаточная функция кото-
рой в замкнутом состоянии равна
К м(р) = ^RL = ^EL (15.3)
а(р) хвх(р)’
где у(р), хвх(р) - изображения по Лапласу выходной переменной у(1) и
входного воздействия хвх(/). Полиномы знаменателя и числителя в (15.3)
равны
a(p) = pW + ₽(/’) = X₽lz/’‘7 • (15.4)
ц=0 7=0
Порядок N эталонной модели назначается из условия, чтобы в алгоритме
управления не было операции дифференцирования задающего воздейст-
вия xBX(Z). Указанное требование может быть реализовано, если N удовле-
творяет соотношению
N-n + m + \>l. (15.5)
При этом степень / полинома р(р) определяется при формировании
эталонной модели.
Для управляемого объекта и эталонной модели с передаточными
функциями (15.1), (15.3) общего вида в лекции 6 синтезированы различ-
II»
324
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
ные структуры алгоритмов управления путем минимизации локальных
функционалов
С(и(7)) = у[у(я)(О-х(л)Ц,и(у)]2,
7 = 0,1,
Алгоритм управления с минимальным информационным обеспече-
нием получается при минимизации (15.6) по переменной
M(m) _ d U
dtm '
В этом случае для вычисления управляющей функции u(f) необходимо
иметь информацию о производных выходной переменной x(Z), наиболь-
ший порядок которых равен п - т - 1. Если алгоритм управления синте-
зируется путем минимизации функционала по переменной и, то для вы-
числения u(t) нужна информация о производных до (и - 1)-го порядка
включительно. Такая ситуация наиболее неблагоприятна с точки зрения
информационного обеспечения системы управления.
Исследование динамики процессов управления с помощью цифро-
вых алгоритмов будет выполнено применительно к упругой двухмассо-
вой системе. Поэтому при изложении темы настоящей лекции мы будем
рассматривать задачу управления объектом с передаточной функцией
(15.1), (15.2), принимая п = 5 и т = 1. Соответственно этому в полиномах
(15.4) передаточной функции эталонной модели назначим и = 6 и / = 2.
Для принятых степеней полиномов (15.2), (15.4) выполняется неравенст-
во (15.5). Поэтому в уравнениях алгоритма управления не будет операции
дифференцирования входного воздействия xBX(z).
Таким образом, аналоговый алгоритм управления будем синтезиро-
вать для объекта, движение которого описывается уравнением
4
X5 + £ «fx(4) = t\u + Ьои .
5=0
Согласно (15.3), (15.4), уравнение эталонной модели будет
2 2
У(6) + = ^чх^} '
ц=0 </=0
(15.7)
(15.8)
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
325
При соответствующих значениях коэффициентов as, р9 модель такой
структуры может обладать высокой динамической точностью, требуе-
мым характером переходных процессов, высоким быстродействием и
необходимым порядком астатизма - до третьего включительно.
При синтезе алгоритма управления принимаем наиболее неблаго-
приятный случай, когда функционал (15.6) при п = 5 минимизируется по
переменной и. В соответствии с градиентной схемой первого порядка
имеем
du{t) dG(u)
-----= -р-------, р = const. (15.9)
dt du
Согласно (15.7), переменная
4
х(5)(/, и) = Ь\й + Ьои - £ •
Поэтому градиент функционала
du
Следовательно, дифференциальный закон управления (15.9) принимает
вид
м = а[у(5)-х(5)], к = -Ьдр
или после интегрирования обеих частей при нулевых начальных значе-
ниях переменных
и = ф<4)-х(4)]. (15.10)
Требуемое значение переменной yw следует вычислять по соотно-
шениям, которые получаются из уравнения эталонной модели. Чтобы
найти такие соотношения, нужно дважды проинтегрировать обе части
(15.8) по времени при нулевых начальных значениях переменных, а затем
выполнить замену
УХ)(0 = х(Х)(0, Ь = О...З. (15.11)
После необходимых преобразований найдем
326
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
5
у<4> = ao/i + «Х|/о + ₽2Хвх - X амхИ’2 ’
и=2 (15.12)
/о = f<Хх - х) dt, = \fodt.
о о
Здесь принято: р0 = 00,3] = аь что соответствует эталонной модели с
астатизмом второго порядка.
Таким образом, основу алгоритма управления составляют уравнения
(15.10), (15.12). Для вычисления управляющей функции u(t) по этим
уравнениям требуется информация о производных выходной переменной
x(t) до четвертого порядка включительно. Не обсуждая пока вопрос об
информационном обеспечении, отметим кратко свойства замкнутой сис-
темы с алгоритмом (15.10), (15.12).
Получим уравнение управляемого процесса. С этой целью запишем
(15.10), (15.12) в операторной форме, а затем подставим выражение для
u(t) в уравнение
A(D)x(t) = B(D)u(t),
4 (15.13)
A(D) = D5 + £ asDs , B(D) = ^0+1^.
,v=0
Из (15.8) непосредственно следует, что с учетом (15.12) выражение для
y^(t) можно записать в виде
/4)(0—[p(Z>)xBx(0-aW(01,
1 . 1 «у
(Ро=ао, р, =а,),
где обозначено
а'(£>) = а(£>)-£>6, - = J(...)<* .
D
Подстановка (15.14) в (15.10) приводит к выражению
«(О = p-[p(Z))xBX (г) - а(О)х(0] • (15.15)
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ 327
Исключив u(t) из (15.13), (15.15), найдем уравнение замкнутой системы
[D2A(D) + kB(D)a(D)] x(z) = ЛВ(£>)р(£>)хк(г). (15.16)
Следовательно, передаточная функция
. ; . (15.17)
р2 А(р) + кВ(р~)а(р)
Полиномы:
Ni(p) = В(р)а(р), N2(p) = p2A(p)
имеют равные степени. Поэтому замкнутая система допускает неограни-
ченное повышение усиления (к —> со) без потери устойчивости. Асимпто-
тическая передаточная функция
К(р, оо) = lim К = .
а(р)
Следовательно, теоретически процессы в управляемой системе и в эта-
лонной модели совпадают: x(f) = y(z), t > 0. Практически высокая точ-
ность приближения процессов x(Z) —> y(t) достигается в том случае, когда
быстродействие контура управляющей функции существенно выше бы-
стродействия эталонной модели. Ориентировочные значения коэффици-
ента усиления рекомендуется рассчитывать по формуле
к>(3 ... 5)—. (15.18)
ьо
Здесь со* - частота среза характеристики модели в разомкнутом со-
стоянии:
р(р)
Р2А(р)
(15.19)
р=1(й
где полином
Величина к, найденная по (15.18), уточняется при математическом моде-
лировании.
328
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
Согласно (15.19), добротность эталонной модели по ускорению
ки
луск
= [рЧ(р)Ь
Р(0) д0
Д(0) а2-р2’
По известной формуле с учетом (15.17) находим передаточную
функцию системы в разомкнутом состоянии
w (р к)-
м р2[Др)+адд(р)]’
(15.20)
Отсюда следует, что спроектированная система имеет такой же порядок
астатизма, как и эталонная модель - второй.
Добротность системы по ускорению
к
"'уск
= [p4(P)1 0=---------------
1 Ь=° Л(О) + ^о(а2-р2)
(15.21)
В зависимости от распределения полюсов передаточной функции W(p)
управляемого объекта возможны два варианта:
^- = *у"к, Л(0) = 0;
“2
^0а0_____ . м
л0 + ^(а2-р2) уск
Л(0) # 0.
(15.22)
Следовательно, если передаточная функция W0(p) управляемого
объекта имеет хотя бы один нулевой полюс (р = 0), то добротность сис-
темы по ускорению будет равна добротности эталонной модели. Так как
при этом система и модель имеют одинаковый порядок астатизма, то их
амплитудные характеристики совпадают в рабочем диапазоне частот.
В этом случае высокая степень приближения процессов х(Г) -> у(0 дости-
гается при умеренных значениях к. Если же передаточная функция W0(p)
не имеет нулевого полюса, то амплитудная характеристика системы бу-
дет расположена ниже характеристики модели. Вследствие этого для
достижения высокой степени приближения процессов х(Ц -> y(t) возмож-
но потребуется чрезмерно большое значение к. В предыдущих лекциях
показано, что в таких ситуациях нужно повысить порядок эталонной мо-
дели на единицу.
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
329
15.2. СТРУКТУРЫ ЦИФРОВЫХ И КОМБИНИРОВАННЫХ
АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
Выполним дискретизацию аналогового алгоритма (15.10), (15.12).
Запишем (15.12) в виде системы дифференциальных уравнений:
/о (0 = *»(') "*(').
/i(O = /o(O, (15.23)
у(4)(0 = а,/,(г) + а0./; (Г) + 3(0 >
где обозначено
»(') = ₽А(0-^а/-2>(0 . (15.24)
ц = 2
Интегрирование первых двух уравнений в (15.23) выполним по простой
схеме Эйлера. Шаг интегрирования обозначим через Т. Производные /0 ,
/] заменим приближенными равенствами
> fA Aia+D-/o,i(o
J 0,1 V ) ~
и будем рассматривать дискретные моменты времени / = пТ, и = 0,1,....
Выполняя дискретизацию (15.10), (15.23) и (15.24), получим уравнения
цифрового алгоритма управления, записанные в относительном времени:
и(л) = *[/4)(л)-х(4)(л)],
/о(«) = /о(« - О + тЪвх («-О- *(« -1)] >
/i(«) = /i(«-l) + Z/o(«-l). (15-25)
у(4)(и) = а!/0 (и) + а0/](и) + 3(и),
и = 0,1,...,
где, согласно (15.24), переменная
330
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
5
Э(л) = ₽2*вх(") - £<V(g’2)(«) • (15.26)
ц=2
В теории цифровых систем величину Т называют периодом кванто-
вания сигналов по времени. Если управляемый объект не обладает резо-
нансными свойствами на частотах, превышающих частоту среза со* ха-
рактеристики эталонной модели, то верхняя граница периода квантова-
ния определяется соотношением
Т<Ц, (15.27)
®с
которое соответствует теореме Котельникова.
Если резонансные свойства управляемого объекта проявляются за
пределами полосы пропускания эталонной модели, т.е. резонансная час-
тота соо > со*, то допустимая величина Т определяется неравенством
(15.27), где вместо со* следует поставить соо. В том случае, когда управ-
ляемый объект не обладает резонансными свойствами, величина Т опре-
деляется по (15.27).
Период дискретизации можно увеличить, применяя комбинирован-
ный цифро-аналоговый алгоритм управления. Наиболее быстродейст-
вующие контуры, начиная с контура управляющей функции, целесооб-
разно реализовать аппаратно в аналоговой форме, а другие - в цифровой.
Рассмотрим два варианта таких алгоритмов.
В том случае, когда в аналоговом исполнении реализуется контур
управляющей функции с четвертой производной в обратной связи, в ал-
горитме управления (15.25) изменится только первое уравнение и управ-
ляющая функция будет
u(0 = 4/4)(^)-^(4)(d (15.28)
Другие уравнения в (15.25) останутся без изменений. Согласно (15.28),
при вычислении u(t) используется ступенчатая функция
У(4)(тп) = У(4)(”) = const> 0<т„<7’,
п = 0,1.................... (15.29)
Аппаратно такая аппроксимация выполняется цифро-аналоговым преоб-
разователем.
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
331
В разделе 15.3 будет показано, что применение комбинированного
алгоритма (15.25), (15,28) практически не снижает требования к величине
периода квантования Т. Величину Т можно значительно увеличить, если
в аналоговом исполнении реализовать обратные связи по четвертой и
третьей производным. Уравнения такого алгоритма имеют вид
и(О = *[у(4)(г)-х(4)(о],
/о («) = /о (« - 0 + т [*вх (« - 0 - *(« - D] -
/5(л) = /1(л-1)+7/0(л-1), (15.30)
Т(4)(0 = ао/1(т«) + ai/ota) + 9(0,
л = 0,1,....
Согласно (15.26), переменная
4
9(0 = Рз^вх (т„) - X «И^(’*-2)('ГП) - а5*(0 • (15.31)
ц=2
Уравнения (15.30), (15.31) содержат ступенчатые функции, анало-
гичные (15.29). При вычислении 9(2) используется х(0 как непрерывная
функция.
Уравнения (15.28) - (15.31) комбинированных алгоритмов управле-
ния получены для простейшей схемы численного интегрирования - ме-
тода прямоугольников. При необходимости аналогичные уравнения
можно вывести для схемы интегрирования по формулам трапеций.
15.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ С ЦИФРОВЫМ И КОМБИНИРОВАННЫМ
УПРАВЛЕНИЕМ
Структурная схема модели двухмассовой упругой системы изобра-
жена на рис 15.1. Такая модель типична для систем с упругими механиз-
мами передачи движения. На схеме используются общепринятые обозна-
чения. Динамические свойства двигателя постоянного тока с независи-
мым возбуждением характеризуются параметрами ку, кт, кш, индуктивно-
стью L и активным сопротивлением R якорной цепи, а также моментом
332
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
Рис. 15.1
инерции Ja. Момент инерции нагрузки обозначен через J„, коэффициент
передачи редуктора - п. Упругие свойства характеризуются коэффициен-
том упругости с. Вязкое внутреннее трение конструкции не учитываем.
Это означает, что мы рассматриваем самый неблагоприятный случай с
точки зрения организации управления.
Движение системы подчиняется дифференциальному уравнению пя-
того порядка
Ф(5) + ^«,Ф(л) =Ьои.
А=0
Здесь ф - угол поворота вала нагрузки. Для исследования принимаем
следующие числовые значения параметров объекта управления:
ку = 5,4,
L = 0,00138 Гн,
Л = 0,138 Ом,
кт = 0,043 Н м А’1
ка = 0,073 В с рад*1
Ja = 2,94-10"* кг • м2,
JH = ЮО кг • м2,
п= 100,
с = 3 • 105 Н • м • рад"1,
которым соответствуют:
оо = 0, а, = 232,6 • 105, а2 = 104,7 • 105,
«з =111,6 104, «4=100, Ьо = 172,1 105. (15.32)
Соответствующий этим значениям характеристический многочлен, отве-
чающий (15.1), можно представить в виде
Л(р) = (0,44р +1)(0,0109р + 1)(9,02 • 10"6 + 5,08 10"5р + 1)р.
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
333
Первый сомножитель характеризует динамику исполнительного
двигателя с учетом нагрузки. Его механическая постоянная времени
= 0,44 с. Второй сомножитель отражает инерционность электрических
процессов в якорной цепи. Электрическая постоянная времени тэ = 0,0109 с.
Динамические свойства подсистемы, включающей упругую механиче-
скую передачу и нагрузку, характеризуются третьим сомножителем. Час-
тота и коэффициент затухания собственных колебаний этой подсистемы
равны <£>о = 330 с1; С, = 0,02. Таким образом, управляемый объект пред-
ставляет собой слабодемпфированную колебательную систему.
Требуемые динамические характеристики реализуются эталонной
системой, модель которой соответствует дифференциальному уравнению
5 2
^6)+ХаУц)=£р?Ф(</)- (15.33)
ц=0 </=0
Числовые значения коэффициентов равны:
а0 = Ро = 4,87 • Ю10, a, = Pj = 7,43 • 109, a2 = 1,16 • 109,
a3 = 3,74 107, a4 =334475, a5=1001, p2 = 1,12 • 109. (1534)
Логарифмические характеристики модели в разомкнутом состоянии и
модели объекта, т.е.
4(<о) = 20lg| Wu(/со)|, Zo(co) = 20Ig|>
для принятых значений параметров изображены на рис. 15.2. Частота
среза характеристики эталонной модели со* = 330 с'1.
Структура уравнений системы и модели (15.33) идентична структу-
ре (15.7) и (15.8). Поэтому согласно (15.12), уравнения аналогового алго-
ритма будут
и(о = *(ц/(4)(О-ф(4)(о)>
Ф(4)(0 = «о/1(О + а,/о (0 + /г (О >
I I
/о(О= |(<Р„-Ф)<Й, /!(O=J/o^- (15.35)
о о
5
/2(О = Мвх(О-£ацФ(ц‘2)(').
ц=2
334
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
Управляемая система с алгоритмом управления (15.35) и эталонная
модель (15.33) имеют одинаковый порядок астатизма - второй. Кроме
того, передаточная функция объекта имеет один нулевой полюс, так как
/1(0) - а0 = 0. Поэтому, согласно формулам (15.22), система и модель об-
ладают равной добротностью по ускорению. Вследствие этого высокая
степень приближения процессов достигается при умеренных значениях к
в алгоритме (15.35).
Ориентировочное значение коэффициента усиления в (15.35) найде-
но по формуле (15.27). Для принятых исходных данных значение к = 5 • 10~5.
Синтезированный алгоритм придает системе свойства параметрической
адаптивности, что подтверждается данными математического моделиро-
вания, приведенными в табл. 15.1. Здесь Дфтах - максимальное отклоне-
ние значений переходной характеристики спроектированной системы от
значений эталонного процесса.
Так, при изменении момента инерции нагрузки в 10 раз величина
|фтах1 остается малой. Кроме того, из табл. 15.1. видно, что повышение
коэффициента усиления приводит к уменьшению |<ртах |.
После необходимых преобразований из (15.35) получаем уравнения
цифрового алгоритма
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
335
15.1. Характеристики переходных процессов
при изменении нагрузки
JH, КГ м2 А] = 0,00001, Вс4- рад 1 К2 = 0,00005, В-с4 рад-1
Дф пах, рад
100 0,04715 0,00856
75 0,03723 0,00651
50 0,02443 0,00434
25 0,01266 0,00227
10 0,00525 0,00096
и(п) = к [ц/(4) (и) - ф(4) («)],
/о («) = /о (« - О + Т [<рвх (и -1) - ф (и -1)],
/1(«) = /;(и-1) + 7Го(«-1), (15.36)
5
ф(4)(и) = ₽2Фвх(«) - £ацф(»*’2)(и).
ц=2
аналогичные (15.25) и соответствующие схеме численного интегрирова-
ния по методу Эйлера.
Исследуем динамику системы с алгоритмом (15.36) при изменении
периода квантования Т. Так как управляемая система имеет резонансную
частоту соо = 330 с"1, которая превышает частоту среза со*, характеристи-
ки эталонной модели, то в соответствии с формулой (15.27) предельно
допустимая величина
Т < — = 0,0015 с.
®с
Данные табл. 15.2 иллюстрируют зависимость Афтах от величины перио-
да квантования Т в алгоритме (15.36): чем больше Т, тем больше откло-
нение переходного процесса в замкнутой системе от процесса в эталон-
ной модели. При незначительном превышении величиной Т предельного
значения, рассчитанного по (15.27), устойчивость системы нарушается.
336
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
1S.2. Характеристики переходного процесса при измерении периода квантования 15.3. Характеристики переходных процессов в системе с комбинированным алгоритмом управления
Г, с Афтах, ИЗД Т,с Афтах» РЯД
0,0008 0,00885 0,0008 0,00885
0,0010 0,01066 0,0010 0,01067
0,0012 0,01258 0,0012 0,01314
0,0014 0,01458 0,0014 0,01649
0,0016 0,01743 0,0016 0,02034
0,0018 Система 0,0018 Система
неустойчива неустойчива
Применение комбинированного алгоритма управления с аналоговым
контуром управляющей функции вида (15.25) не приводит к увеличению
допустимого значения периода квантования. Об этом свидетельствуют
данные табл. 15.3. Система теряет устойчивость при Т- 0,0018 с, как и в
случае применения цифрового алгоритма (15.36).
Алгоритм управления с аналоговыми обратными связями строится
по уравнениям (15.30) и (15.31). Принимая
yW(t) = Х(4)(0 = ф(4)(0, *вх(') = Фвх(0
получим
и(0 = *[ф<4)(0-ф(4)(0]>
/о(«) = /о(" -!) + ^[фвхС" -1) - ф(« -1)],
/i(«) = /i(n-l) + 77o(»-l), (15.37)
ф(4)(0 = “o/i (*») + “i/o(T«) + s(0 >
и = 0, 1,...,
где переменная
Ж> = ₽2Фвх(тя)-ХацФ<Ц’2)(тп)~а5ЧКО- (15.38)
ц=2
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
337
Применение комбинированного алгоритма управления (15.37),
(15.38) позволяет существенно (на порядок) увеличить период квантова-
ния. В результате математического моделирования установлено, что сис-
тема не теряет устойчивости при Т= 0,009 с. Такое свойство обусловлено
тем, что аналоговые обратные связи по старшим производным нейтрали-
зуют резонансные свойства объекта. Поэтому, как отмечено ранее, пре-
дельное значение периода квантования определяется частотой среза
характеристики эталонной модели. Процессы в системе с алгоритмом
(15.37), (15.38) практически не отличаются от процессов в эталонной
модели.
Таким образом показано, что включение обратных связей по третьей
и четвертой производным в аналоговой форме дает возможность увели-
чить период квантования на порядок по сравнению с цифровым алгорит-
мом. Существенно при этом, что система сохраняет свойства параметри-
ческой адаптивности. При изменении момента инерции в 10 раз переход-
ные характеристики системы остаются такими, как показано на рис. 15.3.
Следует отметить, что в системах с цифровыми и комбинированны-
ми алгоритмами имеет место задержка по времени процессов управления
на несколько тактов (периодов квантования) по отношению к моменту
включения (t = 0). Это обусловлено необходимостью накопления инфор-
мации, используемой для вычисления управляющей функции по разност-
ным соотношениям. Такая задержка на два такта имеет место в системе с
алгоритмом (15.37), (15.38), что отражено на рис. 15.3.
Рис. 15.3
338
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
Отметим, что дальнейшее расширение аналоговой части алгоритма в
результате замыкания контуров по <р(/) не приведет к дополнительному
увеличению периода дискретности, так как его предельно допустимое зна-
чение определяется частотой среза <о* характеристики эталонной модели.
Сделаем необходимые замечания по информационному обеспече-
нию алгоритмов управления. В рассматриваемой задаче управления для
реализации алгоритмов управления необходимо иметь информацию о
производных выходной переменной системы до четвертого порядка
включительно. Для вычисления старших производных рекомендуется
использовать соотношения, которые получаются из уравнения движения
объекта (15.7). Обозначим вычисленные значения производных = х,
i = 1 ... 4. После интегрирования обеих частей (15.7) получим (а0 = 0):
t
хв4) = b0 f “(0 dt - а4Хв - а3*в - а2*в - а\х >
° , ' (15.39)
хв = рв4)<*> •• -,ХВ =
о о
Отсюда следует, что для вычисления производных достаточно информа-
ции только об управляющей функции u(f) и управляемой переменной x(t).
Соотношения (15.39) можно называть алгоритмом информационно-
го обеспечения системы управления. Включение таких алгоритмов в
структуру системы управления снижает степень параметрической адап-
тивности, т.е. повышает чувствительность ее динамических характери-
стик к изменению параметров. Для рассмотренной модельной системы с
алгоритмом (15.39) показатели качества процессов управления остаются
в допустимых пределах при изменении момента инерции нагрузки в
2,5 ... 3 раза по сравнению с расчетным значением.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Практические рекомендации
Исследование цифровых и комбинированных алгоритмов управле-
ния выполнено применительно к модельной задаче. Качество процессов
управления оценивалось по переходным функциям - реакции системы на
ступенчатое воздействие <рвх - 1 рад. Выполняя математическое модели-
ЦИФРОВЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ АЛГОРИТМЫ
339
рование рассматриваемой системы, можно обнаружить, что управляющее
напряжение и принимает чрезмерно большие значения на коротком ин-
тервале времени. Такая ситуация может иметь место при проектировании
систем прикладного назначения.
Возникновение пиковых значений управляющего напряжения обу-
словлено прежде всего видом входного воздействия. В практике проек-
тирования автоматических систем входные воздействия ступенчатого
вида предварительно сглаживаются с помощью дополнительных цепей.
В качестве таких цепей используются апериодические звенья первого и
второго порядка. В первом случае ступенчатое воздействие преобразует-
ся в экспоненциальное, так что в момент пуска системы начальное значе-
ние фВх(0) = 0. Апериодическое звено второго порядка преобразует сту-
пенчатое воздействие в сумму двух экспонент. Вследствие этого началь-
ные значения фвх(0) = фвк (0) = 0.
Отметим, что сглаживающие цепи применяются в автоматических
системах различного назначения. Это позволяет исключить «ударные»
входные воздействия.
При проектировании автоматических систем необходимо выполнить
согласование динамических характеристик эталонных моделей и управ-
ляемых объектов. Практически это означает, что динамические характе-
ристики эталонных моделей должны быть физически реализуемы. Если
например свойства управляемого объекта не позволяют реализовать
чрезмерно высокое быстродействие модели, то синтезированный алго-
ритм будет создавать режим форсированного управления. Вследствие
этого пиковые значения управляющего напряжения будут недопустимо
большие. В таком случае алгоритм управления необходимо синтезиро-
вать по эталонной модели с меньшим быстродействием.
При неограниченном повышении уровня усиления к -> оо процесс в
системе теоретически совпадает с процессом в эталонной модели. Не-
обходимо однако иметь в виду, что увеличение коэффициента усиления
приводит к форсированию режима управления. Вследствие этого пико-
вые значения управляющего напряжения увеличиваются. Следователь-
но, уровень усиления в системе необходимо назначать с учетом этого
обстоятельства.
В рассмотренной модельной системе коэффициент усиления в кон-
туре управляющей функции весьма мал (к = 5 • 1 (Г5). Это дает возмож-
ность выполнить «выравнивание» по величине параметров алгорит-
мов управления. Методика «выравнивания» изложена в предыдущих
лекциях.
Лекция 16
АНАЛОГОВЫЙ И ЦИФРОВОЙ АЛГОРИТМЫ
УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОГИДРАВЛИЧЕСКИМ
ПРИВОДОМ С МИНИМАЛЬНЫМ
ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
ВВЕДЕНИЕ
В современных системах автоматического управления машинами
широко применяют электрогидравлические следящие приводы. Это обу-
словлено большим быстродействием таких приводов, высокими момент-
ными характеристиками, а также возможностью получения малой скоро-
сти перемещения без применения редукторов и малым удельным весом
на единицу мощности.
Повышение требований к точности управления и регулирования де-
лает актуальной задачу разработки новых методов проектирования алго-
ритмического обеспечения автоматических систем. Это объясняется тем,
что математические модели электрогидравлических приводов содержат
существенно нелинейные характеристики, в том числе и разрывные.
В силу этого возникают значительные трудности при проектировании
алгоритмов управления традиционными методами синтеза. Для вычисле-
ния управляющих сигналов следящих приводов требуется большой объ-
ем измеряемой информации. Это вызывает необходимость применения
многочисленных датчиков, позволяющих измерять параметры, характе-
ризующие состояние управляемого объекта: положение и скорость, пе-
ремещение золотника в электрогидравлическом усилителе, перепады
давления, а в ряде случаев и скорости изменения перепадов давления.
Однако даже такой объем измеряемой информации иногда оказывается
недостаточным для обеспечения требуемых динамических характеристик
следящих приводов. Этим обусловлено применение большого числа фор-
сирующих (дифференцирующих) звеньев в системах управления с алго-
ритмами традиционной структуры.
В настоящей лекции синтезируются алгоритмы управления сдвоен-
ным электрогидравлическим рулевым приводом. Аппаратная реализация
алгоритмов требует минимального объема информации: для вычисления
управляющей функции достаточно знать только координату положения.
При этом алгоритмы обеспечивают выполнение специфических жестких
АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ 341
требований: высокую точность отработки микроперемещений; малые
допустимые фазовые сдвиги; ограничение диапазонов изменения фазо-
вых координат в пространстве состояний.
16.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
В рассматриваемом приводе в качестве исполнительного элемента
используется электрогидравлический усилитель (ЭГУ) с двухполостным
гидроцилиндром. Динамика ЭГУ описывается следующими уравнениями:
тэгух3+х3 =kxk2um\
Л1=*з> /х2=0 при *з>0;
Л1=°. fx2=~x3 при х3<0; (16.1)
Л1=/х2=° при х3=0;
а = fxi #0-^11 sign (Ро - Рх) -om fx2 #1 -Ре\sign (Pl - рс);
Qi =omAi#2-pc|sign(P2 -рс)-От л2#о -рг|sign(Ро -Р2),
где х3, х3 - координата и скорость перемещения золотника ЭГУ; ивх -
управляющее напряжение; Тэгу - электрическая постоянная времени; кх -
величина, обратная сопротивлению в электрической цепи; к2 - коэффи-
циент усиления; Qx, Q2 - расходы жидкостей; Рь Р2 - давления в рабочих
полостях; Ро, Рс - давление нагнетания и слива; ат - конструктивный
параметр.
Уравнения расходов рабочей жидкости в нагрузке имеют вид:
Q\ = -^(Ро -Рх) + -Рс) + SHx + Ш ,
Q2 = -к^(Р0 -Р2)~ к'у1(Р2 - Рс) + SHx + Э2К2Р2,
Лрт=Лутпри /х2>0, (16.2)
к’уг = куг при fxX > 0 ,
к’уг = 0 при fxX = 0,
Vx=V0+SHx, К2=К0-5нх
Э] = 90 + 0,05/^-2, Э2 = Эо + 0,05 Р2~2,
342 АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
где k'yr, к“^ - коэффициенты утечек жидкости в различных полостях
гидроцилиндра; К,, V2, Ко - объемы полостей гидроцилиндра при смеще-
нии нагрузки на величину х от исходного состояния и при х = 0; 8Н -
площадь поршня; Эр Э2 - коэффициенты сжимаемости рабочей жидко-
сти в различных полостях, а Эо - при Р = Ратм.
Уравнение динамики нагрузки:
(^ -Р2)8Н =№Hx + ^BTx + PCTsign(x), (16.3)
где £вт - коэффициент вязкого трения в нагрузке; F„ - сила сухого тре-
ния; т„ - масса поршня в гидроцилиндре.
Уравнения (16.1) - (16.3) содержат 16 существенно нелинейных ха-
рактеристик: модуль, сигнатура, корень квадратный и др. В результате
исследований установлено, что традиционными методами синтеза не
удается найти структуры линейных корректирующих цепей, обеспечи-
вающих требуемые динамические характеристики привода. Эту задачу
удается решить с помощью нелинейных корректирующих устройств. Од-
нако для их аппаратной реализации необходимо иметь большой объем
измеряемой информации: положение и скорость штока гидро цилиндра,
перемещение золотника в ЭГУ и перепады давления в обеих камерах.
Применение алгоритмов нетрадиционной структуры позволяет
спроектировать систему управления приводом, для практической реали-
зации которой требуется минимальный объем измеряемой информации.
А именно, для вычисления управляющего сигнала достаточно измерять
только выходную (управляемую) переменную х.
Синтез алгоритмов управления проведем для конкретных числовых
значений параметров привода:
тэгу = 0,0031с, Ио = 600 см3, Ро = 210 кг • см-2,
£,=10 Ом-1, 8Н = 40 см2, Р} (0) = Р2 (0) = 0,5 Ро,
к2 = 0,0029см-А-1, Эо = 13000 см2 -кг*1, Рс=2кг-см-2, (16.4)
а„ = 873 см3 кг*0,5 • с*1, кт = 22 кг • с • см*1, тК = 0,008 с2 • кг • см*1,
к^ = 0,03 см5 • с*1 • кг*1, Рст = 200кг, хзтах = 0,08 см.
Динамика разомкнутой системы «привод - нагрузка» приближенно
характеризуется передаточной функцией
АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ 343
»0 (Р) = ----------------А---------------- (16-5)
“вх(р) Р(тЭгуР + 1)(^Р + 2^тТтр +1)
Здесь Тт, £гп - постоянная времени и коэффициент демпфирования
собственных колебаний; к$ - коэффициент усиления по скорости в уста-
новившемся режиме. Числовым значениям параметров привода (16.4) соот-
ветствуют следующие значения параметров передаточной функции (16.5):
До = 6,24 см • В'1, тЭгу = 0,0031 с,
Тп, = 0,004 с, = 0,6. (16.6)
Передаточная функция (16.5) с числовыми значениями параметров
(16.6) имеет два комплексно сопряженных полюса р12 таких,
4To|Repj 2|» Тэгу • Это обусловлено тем, что тЭгу » тгп. Следователь-
но, можно рассматривать аппроксимирующую передаточную функцию
Wa(p)=------.
Р(тЭгуР + 1) “вх(Р)
(16.7)
По аппроксимирующей передаточной функции (16.7) будем синте-
зировать алгоритмы управления.
16.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
К динамике проектируемой системы предъявляются следующие
требования:
длительность переходного процесса порядка tn ® 0,15 с;
допустимая величина перерегулирования а не более 10 %;
коэффициент усиления замкнутой системы должен быть в пределах
(0 < k < 1) дБ в диапазоне частот от 0 до 30 с-1;
допустимая величина фазового запаздывания выходного сигнала не
более 5° на частоте 1 Гц и не более 20° на частоте 10 Гц;
запас устойчивости по фазе - не меньше 50°, а по амплитуде не ни-
же 12 дБ.
Кроме того, система должна обладать астатизмом первого порядка.
Указанным требованиям удовлетворяет эталонная модель с переда-
точной функцией в разомкнутом состоянии
344 АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
^(р)^Л^22+ВД/? + 1).
р(Т22р2+2^2Т2р + 1)
(16.8)
Параметры передаточной функции
*„ = 500, Л = 0,055, =0,5, Т2 = 0,105, ^ = 1,0.
Передаточной функции (16.8) соответствует дифференциальное
уравнение замкнутой эталонной модели
у + а2у + а1у + аоу = р2хвх + р,хвх + рохвх. (16.9)
Коэффициенты уравнения равны
ао = ро = 45093, а, = 2570, а2=155, pi =2580, р2=136.
Аналоговый алгоритм управления синтезируем по моделям (16.7),
(16.9). Принимаем, что для вычисления управляющей функцией wBX(t)
используется только информация о положении системы x(t). Минимизи-
руя функционал
G!(«Bx) = jD'(O-x(r, ивх)]2
по градиентной схеме первого порядка, после необходимых преобразова-
ний получим закон управления
“Вх (0 = " х(0], * = const,
(16.10)
где иеизмеряемая производная х(Г) заменена вычисляемой величиной
*в(0 =
1
ТЭГУ
(16.11)
*0
о
Требуемое значение скорости вычисляется по соотношениям
У(О = j/o (0 dt + р2хвх - а2х,
о
АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ 345
/oW = ao/(^(O-xCO^-ajX + pjX^ , (16.12)
которые получаются из уравнения (16.9) эталонной модели.
Числовое значение коэффициента усиления к рассчитываем по со-
отношению
frt* к
£ = (3..,5)^, Z>0=-^-, (16.13)
о0 Тэгу
где со* - частота среза характеристики эталонной модели в разомкнутом
состоянии. Модели (16.8) соответствует частота среза <о*= 136 с-1 . Для
принятых значений параметров по формуле (16.13) находим
60=-— = 6,24 см-В’1, Л = 0,4 В с ем-1.
ТЭГУ
Найденное значение коэффициента усиления обеспечивает совпа-
дение частотных характеристик модели и системы в области рабочих
частот.
Структурная схема замкнутой системы с алгоритмом управления
(16.10) - (16.12) изображена на рис. 16.1. Привод и управляемый объект
представлены блоком УДС-управляемая динамическая система.
Получим теперь уравнения цифрового алгоритма управления путем
дискретизации (16.10) - (16.12). Для удобства обозначим хв = Ej, у = И2.
С учетом этого запишем закон управления (16.10) для дискретных мо-
ментов времени t„ = пТ:
«Вх(лГ) = 4к2(лГ)-К1(лГ)]
или в относительном времени
и,х('’) = 4и2(л)-И1(л)], л = 0,1,.... (16.14)
Далее, обе части уравнения (16.11)
346 АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Рис. 16.1
' к 1
=С| ]“вх^-с2^> с1=—— > С2 =---
О тэгу тэгу
дифференцируем по времени и в полученном равенстве выполняем заме-
ну х = хв = И] (0 . В результате будем иметь
’W.xOKW). (16.15)
Производную К] (?) в дискретный момент времени заменим прибли-
женным выражением
где первая разность
А (пТ) = Vi [(и + 1)Г] -Kj[иГ]. (16.16)
Тогда на основании (16.15) можно записать в относительном времени
Г|(н) = с|7’ивх(н-1) + (1-с27’)И1(н-1), и = 0,1, ...,. (16.17)
АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ 347
Рассматриваем теперь уравнения (16.12). Дважды дифференцируем
по времени первое уравнение и один раз второе. Принимая во внимание,
что у' = И2, запишем
=/о(О + ₽2^вх(О-а2^(О>
/о(О = аокх(О-*(')] + РЛх -a]X(z). (16.18)
Подставим выражение для f0(f) из второго уравнения (16.18) в первое
уравнение, а затем заменим первые и вторые производные приближен-
ными выражениями через первые и вторые разности:
Ах^Т] vx А2х[л7’]
, *W),-nT « ....
Первые разности вычисляются по (16.16), а вторые - по формуле
А2х[л7’ ] = х[(л + 2)7’]- 2х[(л + 1)7’]+ х\пТ ].
Выполнив указанные преобразования, запишем результат в относи-
тельном времени
И2 (и) = 7>охвх (л) + by хвх (л -1) + Ь2хях (л-2)-
-[аох(л) + Д|Х(л-1) + а2х(л-2)]+2И2(л-1)- И2(л-2) , (16.19)
л = 0,1, ....
Постоянные коэффициенты равны
а0=а2, а1=а|7’-2а2, а2 = cl0T2-а17’ + а2;
Z>0=p2, by =р17’-2р2, b2 =р07’2 -р^ + рг. (16.20)
При выводе (16.19) учтено, что р0 = а0 , что соответствует первому
порядку астатизма эталонной модели.
Таким образом, цифровое управление организуется по уравнениям
(16.14), (16.17) и (16.19). Эти уравнения соответствуют простейшей схеме
численного интегрирования по методу прямоугольников.
Согласно теореме Котельникова, период квантования сигналов Т не-
обходимо назначить из условия выполнения неравенства
348 АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
Г <0,5®^,
где (йгр - граничное значение области существенных частот. Для рассмат-
риваемой системы (й^ - 200 с-1. Поэтому из (16.21) находим Т < 0,0025 с.
Далее принимаем Т = 0,002 с.
16.3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ
При исследовании динамики системы принято, что число разрядов
датчика положения равно восьми на диапазон 1 см. Это означает, что
цена одного разряда составляет 0,004 см/разряд. Разрядность ЦАП
равна 12 на амплитуду 10 В, т.е. цена одного разряда составляет
0,0025 В/разряд. Кроме того, реализация цифрового алгоритма управле-
ния осуществлялась на ЦВМ с учетом квантования сигналов по уровню в
16-разрядной сетке.
В табл. 16.1 приведены числовые значения параметров амплитудно-
фазовой частотной характеристики системы с цифровым алгоритмом
управления. Здесь М = хтах • А~\ а <р° - сдвиг фазы. Характеристики рассчи-
таны при различных значениях частоты f и амплитуды А микроперемеще-
ния. Из приведенных данных следует, что синтезированный алгоритм
обеспечивает выполнение специфических требований к динамическим
характеристикам проектируемой системы. В заданном диапазоне частот
/= (1 ... 10) Гц амплитудная и фазовые характеристики системы практи-
чески не зависят от амплитуды входного гармонического воздействия.
Динамика привода с цифровым управлением характеризуется гра-
фиками изменения давлений Р2 в обеих полостях гидроцилиндра
и ошибки слежения £ за входным сигналом (рис. 16.2) вида xBX(f) =
= Яз1п(2л/7). Числовые значения амплитуды и частоты указаны на рисун-
ке. Максимальное значение ошибки £ не превышает 5 % от амплитуды
входного сигнала.
16.1. Параметры частотных характеристик
Г, Гц А = 1 мм А = 0,1 мм
М, дБ Ф,° М, дБ Ф,°
1 0,12 0,80 0,13 0,80
2,5 0,80 -5,9 0,85 6,0
5,0 -0,05 -10,2 -0,06 -10,5
10 -1,10 -16,9 -1,20 -17,0
АЛГОРИТМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ ИНФОРМАЦИОННЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ 349
Динамические характеристики цифровой системы управления прак-
тически не отличаются от характеристик системы с аналоговым алгорит-
мом. Таким образом, предлагаемые алгоритмы в классе линейных струк-
тур обеспечивают высокоточное управление сложными существенно не-
линейными объектами. Аппаратная реализация таких алгоритмов требует
минимального объема измеряемой информации. Для вычисления управ-
ляющих функций достаточно измерять только выходную координату,
характеризующую положение.
Лекция 17
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ
ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Изложена теория синтеза алгоритмов терминального управления
для одномерных детерминированных систем. Алгоритмы управления
синтезируются на основе концепций обратных задач динамики в ре-
зультате минимизации локальных функционалов в окрестности назна-
ченных траекторий движения. Показано, что синтезированные алгорит-
мы придают системам свойства слабой чувствительности к изменению
параметров и координатным возмущениям. Приведены результаты ма-
тематического моделирования процессов управления электромеханиче-
ским манипулятором.
ВВЕДЕНИЕ
В технических приложениях имеется важный класс задач, в которых
требуется перевести управляемый объект в назначенное состояние за ко-
нечный интервал времени. При этом критерием или показателем качества
управления служит точность приведения объекта в конечный момент
времени. Такие задачи называются терминальными. Алгоритмы управле-
ния, обеспечивающие решение терминальных задач, называют алгорит-
мами терминального управления. Класс задач терминального управления
достаточно широк. К ним относятся, например, задачи управления посад-
кой, приземлением и сближением летательных аппаратов различного на-
значения, причаливанием надводных судов и подводных аппаратов и др.
Традиционно, за небольшим исключением, задачи терминального
управления как детерминированными, так и стохастическими системами
формулируются и решаются как вариационные. Методы решения таких
задач и обширную библиографию по этим вопросам можно найти в [6].
Эвристические приемы решения задач управления конечным состоянием
рассматриваются в [5].
В настоящей лекции алгоритмы терминального управления синтези-
руются методом обратных задач динамики в сочетании с минимизацией
локальных функционалов в окрестности назначенных траекторий движе-
ния. Правомерность такого подхода обусловлена тем, что в технических
приложениях часто требуется, чтобы движение системы в назначенное
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 351
состояние проходило по заданной траектории, которая может быть опре-
делена или в параметрической форме, или в неявном виде как решение
некоторого уравнения. В таком случае требуемые значения параметров
движения в конечной точке задаются как граничные условия на правом
конце траектории, а начальное состояние управляемого объекта будет
характеризовать граничные условия на левом конце траектории. Желае-
мая траектория движения, соединяющая начальную и конечную точки,
может назначаться или отыскиваться в результате решения самостоя-
тельной задачи. Поэтому роль системы автоматического управления сво-
дится к тому, чтобы осуществить движение управляемого объекта по из-
вестной программе.
Алгоритмы терминального управления одномерными системами
синтезируются для того случая, когда траектории движения заданы в па-
раметрической форме. При этом учитываются ограничения на управ-
ляющие функции. В результате исследования динамики показано, что
синтезированные алгоритмы придают системам свойства слабой чувст-
вительности к параметрическим и координатным возмущениям. Наряду с
изложением методических вопросов в статье приведены результаты ма-
тематического моделирования процессов терминального управления.
17.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Идею метода синтеза алгоритмов терминального управления рас-
смотрим для модели с одной управляющей функцией и одной управляе-
мой (выходной) переменной. Применительно к этой задаче изложим ме-
тодику учета ограничений на управляющую функцию и расчета допус-
тимого интервала терминального управления. Кроме этого рассмотрим
также вопросы организации вычислений управляющих функций.
Пусть движение управляемой системы описывается уравнением
2
х+^^asx^ =b]ii + bQu, -и" <и<и+, (17.1)
л'=0
где х, и - выходная переменная и управляющая функция. Коэффициенты
уравнения могут принимать значения в ограниченных диапазонах их из-
менения:
as - as - as > \о - ^1,0 - bl,0 (17.2)
352 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
При выполнении преобразований будем считать, что а„ blfi - постоянные
числа. Управляющая функция может принимать наибольшее возможное
положительное значение и = и+ и наибольшее возможное отрицательное
значение и = -и. Уравнение (17.1) будем записывать также в оператор-
ной форме
A(D)x(t) = B(D)u(f), (17.3)
где операторные выражения
2 .
A(D) = D3 , B(D) = blD + b0, D = — (17.4)
соответствуют левой и правой частям уравнения (17.1).
Относительно модели управляемого движения сделаем еще одно
допущение, а именно, что при всех значениях коэффициентов bt>, Ь\ в
диапазоне их возможных изменений (17.2) нуль передаточной функции
^о(Р) = :т4 = 27£; (17-5)
w(p) "(р)
расположен в левой полуплоскости комплексной переменной р, т.е.
р = -Ь0Ь}Г* < 0. При этом полюсы Ио(р) могут быть как левыми, так и
правыми.
В начальный момент времени t = 0 состояние системы определяется
значениями
?')(0) = 4'), 5 = 0, 1,2. (17.6)
Синтезируем алгоритм управления, который обеспечивает перевод сис-
темы в терминальное состояние, соответствующее моменту времени t = Т:
x(v)(7’) = 4i), 5=0, 1,2. (17.7)
Необходимо при этом, чтобы процесс перехода системы в назначенное
состояние х<л)(Г)-»х£’\ осуществлялся по траектории
/5)(Т) -> у(v)(Т), t е [0; Г], 5 = 0, 1, 2. (17.8)
По физическому смыслу задачи начальное состояние системы (17.6) ха-
рактеризует граничные условия на левом конце заданной траектории, а
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 353
терминальное состояние (17.7) определяет граничные условия на правом
конце траектории. Таким образом, имеем равенства
у(1) (0) = 44), y(s)(Т) = xf>, S = 0, 1, 2. (17.9)
Для определенности принимаем, чтоу(0 задана в виде
5
y(0 = EbVv(0. (17.10)
v=0
где известные функции yv линейно независимы и дважды дифференци-
руемы по времени. Постоянные коэффициенты yv определяются гранич-
ными условиями (17.9). При t = 0 из (17.9) и (17.10) имеем
5
/')(0)=^yvV«(0) = 4'), 5 = 0, 1,2. (17.11)
v=0
Для правого конца траектории (г = Г) должны выполняться равенства
5
/')(П = Хь^)(7’) = 4’)! 5=0, 1,2. (17.12)
v=0
Так как функции линейно независимы, то определитель системы алгеб-
раических уравнений (17.11), (17.12) отличен от нуля. Поэтому уравне-
ния имеют однозначное решение относительно у0, > Уз-
В процессе управляемого движения система может сойти с назна-
ченной траектории под влиянием возмущающих сил или вследствие из-
менения ее параметров. Поэтому дополнительно потребуем, чтобы
отклонение 5(f) = y(t) - x(t) было исчезающей функцией и подчинялось
дифференциальному уравнению
2
5 + ^Л4.5(л) =0. (17.13)
5-0
Коэффициенты hs назначаются такими, чтобы выполнялось неравенство
h\h2 > h0 - условие асимптотической устойчивости тривиального реше-
ния 5(f) = 0 и чтобы длительность затухания процесса 5(f) —> 0 была су-
щественно меньше интервала Т терминального управления.
12 - 9516
354 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
17.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.
СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Синтезируем алгоритм терминального управления, который обес-
печивает решение рассматриваемой задачи. Отметим прежде всего, что
уравнение (17.13) определяет такое значение производной х в каждый
момент времени t е [0; 7], при котором теоретически точно выполняют-
ся равенства
x{s\t) = y{s\f), s = 0, 1, 2 (17.14)
и, следовательно, движение системы проходит строго по назначенной
траектории. Эти значения производной обозначим х* и будем называть
их далее требуемыми значениями. Чтобы найти х', нужно подставить
производные 5<и)(/), ц = 0,..., 3, в уравнение (17.13) и разрешить его отно-
сительно искомой величины. С учетом принятого обозначения найдем
2
х‘ = у + £лД/')-х(’)). (17.15)
л=0
Так как х* = х , вместо (17.15) можно записать (без сокращения)
2 2
х + ^hxx<-'^ = у . (17.16)
С 5=0 л=0
Если при t = 0 выполняются равенства ДДО) = х^ ,5 = 0, 1, 2, то из (17.16)
следует справедливость (17.14).
Обозначим полином
2
H{p} = pi +^hxpx .
,s=0
Тогда для одинаковых начальных значений функций х, у уравнение
(17.16) в изображениях примет вид
Н(р) х(р) = Н(р)у(р) => х(р) = у(р).
Это также свидетельствует о том, что равенство x(t) = y(t), t е [0; 7]
выполняется в случае, когда в системе создается требуемое значение х*,
определяемое по (17.15).
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 355
Найдем теперь такую управляющую функцию и = и, которой соот-
ветствует равенство х ~х* и которая, следовательно, при каждом t е [0; 7]
удовлетворяет уравнению
х(и, и) = х*. (17.17)
Согласно (17.1), имеем
2
х(и, u) = bxii + bou-'^asx(s^. (17.18)
5=0
Поэтому уравнение (17.17) для искомой управляющей функции примет
вид
2
+bou* = х* (17.19)
5=0
Система с управляющей функцией и , определяемой по (17.15),
(17.19), переходит в терминальное состояние теоретически точно по
назначенной траектории. Чтобы в этом убедиться, подставим выраже-
ние из (17.19) в (17.1) вместо Ь^й + Ьои. В результате аналогично (17.16)
получим
2 2
х* + ^asx^ = х* + ^asx^ . (17.20)
5=0 5=0
Принимая во внимание (17.15), окончательное находим уравнение
2 г т
У-Х+ £^s.[/s)-/s)]=0,
5 = 0
которое в точности совпадает с (17.13). Этот результат свидетельствует о
том, что алгоритм управления, основу которого составляют уравнения
(17.15), (17.19), является компенсационным. Действительно, сумма сла-
гаемых ^а„х^ в уравнении движения управляемой системы компен-
сируется суммой таких же слагаемых в уравнениях алгоритма управле-
ния, что отражено в (17.20).
Понятно, что алгоритм (17.15), (17.19) может находить ограничен-
ное практическое применение. Это обусловлено тем, что для вычисления
управляющей функции и необходимо иметь достоверную информацию о
числовых значениях параметров математической модели движения
12*
356 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
управляемой системы. Если параметры изменяются в широком диапазоне
значений, то система с таким алгоритмом управления может оказаться
неработоспособной.
Отметим следующее важное замечание. Алгоритм управления
(17.15), (17.19) получен из условия теоретически точного выполнения
равенства x(t) = y(t), что практически неосуществимо. Следствием этого
крайнего требования и обусловлена высокая параметрическая чувстви-
тельность системы с алгоритмом управления компенсационного типа.
Чтобы найти структуру эффективного алгоритма управления,
управляющую функцию будем определять минимизацией функционала
С(м)=1[Г(Г)-х(Г,ц)]2, (17.21)
в котором варьируется переменная й . Из условия мгновенного достиже-
ния абсолютного минимума
minG(ii) = G(ii*) = O
й
следует алгоритм управления компенсационного типа (17.15), (17.19).
Поэтому откажемся от такого жесткого требования и движение к экстре-
муму-минимуму будем осуществлять по градиентной схеме первого по-
рядка. В таком случае скорость изменения варьируемой функции и опре-
деляется дифференциальным соотношением
dii{t) . dG(ii) .
—— = -X —, X = const.
dt dii
Из (17.18), (17.20) находим выражение для градиента
dG(u) ,
—-^- = -51(х -х),
du
с учетом которого получаем дифференциальный закон управления
й = к(х*-х), k = btk. (17.22)
Соотношения (17.15), (17.22) являются исходными для получения иско-
мого алгоритма управления. Дважды интегрируя по времени их левые и
правые части при нулевых начальных значениях переменных, найдем
уравнения алгоритма, удобные для аппаратной реализации:
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 357
и = к(х* - х),
х* =y + hofl+hlfo+h2(y-x), (17.23)
/ t
fv = \(y-x)dt, f = \fadt.
о о
Структурная схема аналоговой модели, соответствующая (17.23), изо-
бражена на рис. 17.1.
Исследуем процесс минимизации функционала (17.20). С этой це-
лью найдем уравнение локального контура управляющей функции, под-
ставив выражение (17.18) в (17.22). В результате получим
й + к(1\й + Ьои) = kz, (17.24)
где
2
z = x*+^а1х(1) . (17.25)
л=0
Из (17.24) следует, что локальный контур управляющей функции будет
асимптотически устойчив, если выполняется правило знаков
sign (А) = sign(fti) = sign (Л>0)- (17.26)
Далее принимаем b0,b\> 0, поэтому должно быть к > 0.
Рис. 17.1
358 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
Вычислим производную по времени функционала (17.21). С учетом
(17.22) имеем
dt dii dt и ’
Так как bi > 0, к > 0, то
dGM
dt
если х * х*.
Следовательно, значение функционала монотонно уменьшается, прибли-
жаясь к экстремальному значению.
Уравнению (17.24) соответствует передаточная функция
к Ар, *) =
к _ и(р)
p2+k(bip + b0) z(p)'
(17.27)
Если выполняется правило знаков (17.26), то контур сохраняет устойчи-
вость при неограниченном повышении уровня усиления (к -> оо). В этом
случае Ки(р, к) имеет следующее распределение полюсов:
Р1 (*)-*(—*0*11)» РАк) ->(-оо), £-><». (17.28)
Следовательно, асимптотическая передаточная функция будет равна
КЛР, °°) = J™ КЛР, = т-------Г
к-х» 1\р + Ьо
(17.29)
Заметим, что, согласно (17.19) и (17.25), справедливо равенство
z = й + Ьйи. Поэтому вместо (17.24) можно записать
и + к(Ь\й + Ьои) = k(J\u +Ьои*).
В случае к —> оо отсюда следует и —> и*, й-+й*.
Правило знаков (17.26), будучи необходимым и достаточным усло-
вием устойчивости локального контура управляющей функции, составля-
ет лишь необходимое условие устойчивости замкнутой системы с алго-
ритмом управления (17.23). Для устойчивости системы в целом требуется
также достаточный уровень усиления (к).
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 359
Выведем уравнение управляемого процесса и исследуем свойства
замкнутой системы. Запишем (17.23) в операторной форме. Так как спра-
ведливы равенства
/о i(y-*)dt = — (у-х), fl=—T(y-x),
о D D
выражение для х* может быть записано в виде
x*=p-//(Z))y(0--l-//'(Z))x(0, (17.30)
где операторные полиномы
2 2
H(D) = D3 +^hxD\ H'(D) = ^hsDs. (17.31)
А=0 5=0
Подстановка (17.30) в первое уравнение (17.23) приводит к следующему
выражению для управляющей функции:
u=-H(D)[y(t)-x(t)]. (17.32)
Исключая переменную и из (17.3), (17.32), поручим искомое уравнение
управляемого процесса
[о2Л(£>) + kB(D)H(D)]x(J) = kB(D)H(D)y(f). (17.33)
Уравнению (17.33) соответствует эквивалентная структурная схема
замкнутой системы, которая изображена на рис. 17.2. Действительно,
для принятых обозначений можно записать следующие операторные
уравнения:
Рис. 17.2
360 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
х(/) = к
В(Р)
Р2А(Р)
м<0 = Я(О)[у(/)-х(Г)].
w(0,
Исключая здесь переменную w, получим уравнение (17.33).
Передаточная функция замкнутой системы равна
,.ч кВ{р)Н^
к) — —5----- Т'----•
р2Я(р)+£В(р)Я(р)
(17.34)
Исследуем поведение системы при неограниченном повышении уровня
усиления. С этой целью рассмотрим частотную характеристику разомк-
нутой цепи, передаточная функция которой равна
w(p, к) = к в^)^(р) (17 35)
Р Ар)
С учетом (17.4) и (17.31) замечаем, что степень полинома числителя
(17.35) на единицу ниже степени полинома знаменателя. На этом основа-
нии можно записать предельное равенство
lim arg JV(j<o, k) = ~—.
<0-»o0 2
Это означает, что годограф вектора W(i(o, к) = Цы, к) + i И(со, к) подходит
к началу координат под углом -л/2, как это показано на рис. 17.3. Точка
пересечения годографом вещественной отрицательной полуоси удаляется
от точки (-1) с увеличением к. Следовательно, согласно критерию Найк-
виста, приходим к заключению, что замкнутая система сохраняет устой-
чивость в случае неограниченного повышения уровня усиления.
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 361
Найдем теперь асимптотическое распределение полюсов передаточ-
ной функции (17.34) при к -> оо. Обозначим их р^(к), ц = 1,5. Рассмат-
риваем характеристическое уравнение
Р2А(р) + кВ(р)Н(р) = 0. (17.36)
При конечных значениях р справедливо равенство
lim
= 0.
к
Поэтому из (17.36) следует предельное уравнение:
' 2
(^p+feo) р3+ХА’^' =0,
к .5=0 )
(17.37)
корни которого обозначим р*2 3, р^ = ~ЬОЬХ 1.
При этом р|*2 з - корни уравнения Н{р) = 0. Таким образом, четыре
полюса ру(к), v = 1, ..., 4, передаточной функции замкнутой системы в
случае к —> оо асимптотически стремятся к соответствующим корням
предельного уравнения (17.37).
Чтобы установить расположение пятого полюса р3(к), воспользуем-
ся методикой Воронова - Цыпкина [7, 8], которая основана на анализе
приближенного характеристического уравнения при больших значениях
|р|. В таком случае можно принять
р2Д(р)= р2(р3 + а2р2 +...)« р5 + а2р\
B(p)H(p) = (btp + b0)(p3 + h2p2 +...)«btp*.
Тогда из (17.36) получаем приближенное уравнение р + (а2 + kb\) ® 0. При
любых конечных значениях а2 из (17.2) следует
Ps(£)= Ч«2 + Л6|) -> (-00), если к -> оо.
Итак, при неограниченном повышении уровня усиления полюсы пе-
редаточной функции замкнутой системы распределяются следующим
образом:
PVW^P*V, v = 1,2,3;
Pv(*) —> (-*0*11)» Р5->(-°°)’ (17.38)
Понятно, что распределение (17.38) согласуется с асимптотическим рас-
пределением (17.28) полюсов передаточной функции локального контура
управляющей функции.
362 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
На основании (17.38) и (17.34) приходим к заключению, что асим-
птотическая передаточная функция замкнутой системы
ЛГ(р, °0)= Нт АГ(р,Л) = 1 •
к-¥<х>
Это означает, что система с алгоритмом управления (17.23) теорети-
чески точно следует по назначенной траектории, т.е. х(/) = Х0> * - О-
Практически необходимая для технических приложений степень при-
ближения траекторий х(/) —>Х0 достигается при конечных значениях к.
17.3. РАСЧЕТ ДОПУСТИМОГО ИНТЕРВАЛА
ТЕРМИНАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Синтезированный алгоритм управления будет обеспечивать движе-
ние управляемого объекта в терминальное состояние по назначенной
траектории в том случае, когда в системе создается требуемое значение
х*. Поэтому программу движения необходимо задавать с учетом энерге-
тических ресурсов исполнительных элементов. Это требование выража-
ется в том, чтобы интервал времени Т, назначенный для перевода управ-
ляемого объекта из начального состояния (17.6) в конечное состояние
(17.7), был найден из условия выполнения неравенств
-и~<и<и+, (17.39)
где и - управляющая функция, которая соответствует х*.
Допустимое значение Т зависит от граничных условий на левом и
правом концах траектории. Справедливо и обратное: при заданных на-
чальных и конечных условиях требуемое значение и = и определяется
величиной Т, т.е. и = и(Т). Поэтому допустимое значение интервала
терминального управления можно найти, зная зависимость и (Т) для кон-
кретных данных, характеризующих назначенную траекторию. Любое
значение Т, при котором выполняются неравенства (17.39), будет соот-
ветствовать физически осуществимой траектории.
На рис. 17.4 изображены зависимости и (7) и указаны предельные
значения управляющей функции и, и. В случае разгона заданная траек-
тория реализуема, если Т > ТА, а в случае торможения - при любых зна-
чениях Т>ТВ. Найти зависимость и(Т) в аналитической форме не всегда
представляется возможным. Поэтому допустимые значения Т определя-
ются, как правило, алгоритмически, т.е. численно.
Терминальное управление осуществляется практически как одно-
актный эпизод; при этом управление организуется чаще всего по новым
значениям граничных условий на концах траектории управляемого дви-
жения. Подготовка исходных данных для системы терминального управ-
ления выполняется в такой последовательности:
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 363
1. Для заданных граничных значений (17.6), (17.7) и принятого зна-
чения Т= Т\, решается система уравнений (17.11), (17.12). В результате
определяются постоянные у0 = Хд,..., у5 = у'5, при которых кривая
y(t) = У,УуМ/у(О соединяет начальную и конечную точки траектории.
Величина Т। может быть задана заведомо меньше допустимой.
2. При найденных значениях y'v интегрируется система уравнений
(17.1), (17.23) в интервале t е [0; 7)], т.е. до конечной точки траектории
(17.7). В процессе интегрирования определяется наибольшее значение
управляющей функции | wmax (Г, )|.
3. Цикл вычислений 1 - 2 повторяется при увеличивающихся значе-
ниях Т- Тк + ДГ, к = 1,2, ..., до тех пор, пока не будет найдено такое зна-
чение Т> ТА или Т> Тв, при котором выполняются неравенства (17.39),
т.е. назначенная траектория физически осуществима.
Интегрирование системы уравнений (17.1), (17.23) может выпол-
няться в ускоренном темпе, что позволяет оперативно организовать тер-
минальное управление.
17.4. ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА - УПРАВЛЕНИЕ ОДНОЗВЕННЫМ
МАНИПУЛЯТОРОМ
Рассматриваем модель электромеханического однозвенного мани-
пулятора, кинематическая схема которого изображена на рис. 17.5.
Электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением 1
через редуктор 2 с передаточным числом п осуществляет поворот звена
3 манипулятора в горизонтальной плоскости. В случае, когда и»1, а
364 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
электромеханическая по-
стоянная времени элек-
тродвигателя существенно
меньше других постоян-
ных времени системы,
уравнения движения рас-
сматриваемой модели ма-
нипулятора имеют вид [9]
(J + Дяи2)ф = пМ, Rl + keip = u, М =км1, (17.40)
где <р - угол поворота звена; J - момент инерции звена вместе с ведомым
зубчатым колесом редуктора; - момент инерции якоря электродвигате-
ля с ведущим зубчатым колесом редуктора; М - момент электромагнит-
ных сил, создаваемый двигателем; и - управляющее напряжение; I - ток
в якорной цепи. Кроме того, R - электрическое сопротивление якоря;
ке, ки - паспортные параметры, характеризующие электромеханические
свойства двигателя. Вместо (17.40) далее будем рассматривать уравнение
Ф + а|Ф = 60и, (17.41)
коэффициенты которого определяются формулами
fr)= , ,м2~. «1=^е- (17.42)
Для модели (17.41) формулируем следующую задачу: синтезировать
алгоритм управления и = и (ф, ф), который обеспечивает перевод мани-
пулятора за конечное время Т из произвольного начального состояния
ф(О) = фо, ф(О) = фо (17.43)
в терминальное состояние
ф(Г) = фт, ф(Г) = О (17.44)
по назначенной траектории
з
yv=const (17.45)
v=0
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 365
при условии, что на управляющее напряжение и наложено ограничение
|w| < U. Потребуем, кроме того, чтобы возможное отклонение 5(/) = y(t) -
- <p(z) было исчезающей функцией и подчинялось уравнению
5 + Л15 + йо5 = О. (17.46)
В общем случае для ненулевых граничных условий
у(О) = Фо> т(О) = Фо; ХО = ФТ> Ж) = фт
из алгебраических уравнений вида (17.11), (17.12) находим
Уо=Фо, У1=Фо>
3 3 1
У2 = р-(фт - Фо) - ^Фо -у(Фт-Фо). (37.47)
2 2 1
Уз =уг(фт ~Фо) + р-фо +^г(Фт -Фо)-
Таким образом, коэффициенты yv в (17.45) вычисляются по формулам
(17.47) с учетом заданных граничных условий (17.43), (17.44).
В рассматриваемой задаче управляющую функцию следует отыски-
вать путем минимизации функционала
С(«) = |[ф*(О-ф(Л и)]2, (17.48)
где требуемое значение ускорения определяется соотношением
Ф* =у + Л1(у-ф) + Л0(у-ф), (17.49)
которое следует из (17.46). С учетом (17.41) из (17.46) по градиентной
схеме первого порядка получаем
и = Л(ф*-ф), к = const > 0. (17.50)
Интегрируя обе части (17.49), (17.50) по времени, получаем уравне-
ния алгоритма управления в окончательном виде
й = &(ф* - ф),
366 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
t
Ф* =У + А1(Т-ф) + Ло|(у-ф)^.
о
(17.51)
При интегрировании приняты нулевыми начальные значения переменных.
Процессы в локальном контуре управляющей функции описываются
уравнением
u + kbou = kz, z = y +а}(г>. (17.52)
Из (17.52) следует правило знаков
sign (к) = sign (60). (17.53)
Если выполняется (17.53), то локальный контур управляющей функ-
ции сохраняет устойчивость при неограниченном повышении усиления и
в случае к —> оо вырождается в безынерционный усилитель с коэффици-
ентом усиления 1 /Со-
процессы в замкнутой системе описываются уравнением
[о2 (£> + а,) + to0H(£>)]<p(/) = tootf(£>)v(/), 17.54)
где H(D) = D2 + h^D + h0. Структура системы допускает неограниченное
повышение усиления. В асимптотике (к —> оо) полюсы передаточной
функции
К(р,к) = —,-----кЬ°Н^---------, (17.55)
Р\p + a\) + kb0H{p)
распределены следующим образом:
рл.(Л)->р.*, 5 = 1,2,
Рз(к) -> (-оо), если к -> со, (17.56)
где р* - корни уравнения Н(р) = 0. В таком случае из (17.55) следует
£(р, °0) - Пт к) = 1.
к—»оо
Асимптотическое распределение (17.56) свидетельствует о том, что
при достаточно высоком уровне усиления в контуре управляющей функ-
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 367
ции система будет обладать слабой чувствительностью к параметриче-
ским возмущениям.
Для исследования динамики управляемой системы принимаем сле-
дующие значения параметров [9]:
7=21,8кгм2, 7„ = 9,1 • 10-4 кг • м2, и =180,
R = 3,68 Ом, £„ = £е = 0,316 Нм- А4, £7=110 В.
В этом случае коэффициенты уравнения (17.41) равны а} = 17,4,
Ьо = 0,3.
Пусть требуется перевести манипулятор из состояния покоя <р(0) = 0,
ф(0) = 0 в терминальное состояние ф (7) = 3 рад, ф(Т’) = 0. По формулам
(17.47) для Т= 3 с находим у0 = Yi = 0, у2 = 1, Уз ~ -0,222. Поэтому задан-
ный процесс (17.45) определяется выражением y(f) = ? - 0222 ?.
Коэффициенты Ло, h\ в уравнении (17.46) назначаем такими, чтобы
длительность процесса 5(/) —> 0 была в 10 раз меньше интервала Т терми-
нального управления. Такому требованию удовлетворяют значения
h0 = 102, hv= 14.
Рассмотрим результаты математического моделирования. На рис.
17.6 приведены графики переходных процессов в системе, соответст-
вующие тому случаю, когда начальные значения ф(0) = у(0), Ф(0) = У(0) •
В этом случае процессы в системе ф(7) —> 3 рад, ф(Т’) —> 0 строго следу-
ют заданному закону. Графики процессов, представленные на рис. 17.7
и 17.8, получены при начальных значениях ф(0) = ±0,5 рад, ф(0) = 0.
Рис. 17.6
368 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
Рис. 17.7
Рис. 17.8
Несмотря на значительные отклонения <р(0) от расчетного значения <р(0) = О,
система устраняет начальные рассогласования и приводит объект в тер-
минальное состояние. Это оказывается возможным благодаря тому, что
интервал терминального управления назначен с учетом возможной поте-
ри времени на отработку отклонений от заданной траектории. Отметим,
что уровень усиления в контуре управляющей функции был принят рав-
ным к = 50.
Лекция 18
СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
В настоящей лекции решаются задачи стабилизации стационарных
состояний голономных механических систем, движение которых описы-
вается классическими уравнениями механики. Структура алгоритмов
управления определяется в результате минимизации мгновенного значе-
ния энергии ускорения, которая вычисляется в окрестности траекторий
движения эталонных моделей, назначаемых для каждой степени свободы.
Минимизация функционалов осуществляется по градиентной схеме пер-
вого порядка. В процессе управления значение минимизирующего функ-
ционала в каждый момент времени принадлежит малой окрестности экс-
тремума - минимума. В силу этого динамические характеристики систе-
мы почти идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей
и сохраняются практически неизмененными при изменении параметров в
широких пределах.
При исследовании динамики установлено, что синтезированные ал-
горитмы управления обладают замечательными асимптотическими свой-
ствами осуществлять динамическую декомпозицию системы на незави-
симые подсистемы, число которых равно числу степеней свободы. Этот
результат имеет существенное значение для практики проектирования
автоматических подсистем, так как являются обоснованием возможности
синтеза структуры алгоритмов управления и расчета их параметров по
сепаратным моделям.
По методическим соображениям развиваемый метод синтеза алго-
ритмов управления сначала рассматривается применительно к задаче
стабилизации стационарного состояния системы с двумя степенями сво-
боды. Полученные результаты затем обобщаются.
18.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ
УПРАВЛЕНИЯ
Движение управляемой системы подчиняется дифференциальным
уравнениям
И
^(a„xv +b„xv + csvxv') = Q„ 5=1,2, ..., п, (18.1)
V = 1
370
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
где хь х„ - выходные переменные - отклонения обобщенных коорди-
нат от их номинальных стационарных значений; Qs - обобщенные управ-
ляющие силы.
Коэффициенты в (18.1) будем считать постоянными. Далее нам по-
требуются уравнения, разрешенные относительно ускорений. По обыч-
ным правилам из (18.1) находим
=Xa.w6v-<PS(*> *)> 5=1,2, ..., и. (18.2)
V=1
Коэффициенты являются элементами матрицы A~l = [ asv ], об-
ратной по отношению к А = [asv]. Функции <pv(x, х) представляют собой
линейные комбинации сумм
ф.,(х, *) = ХЧпА, Sv ='£l(byllx)1 +Cvgxg), 5=1,2, ..., п. (18.3)
v=l ц=1
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени
t = 0 состояние системы характеризуется значениями х,(0), х5(0). Требу-
ется найти такие управляющие силы Qs, которые за конечное время te
переводят систему из точки (xs0, xs0) в е - окрестность стационарного
состояния равновесия xs = 0, xs = 0 и удерживают ее в этой окрестности
бесконечно долго. Необходимо при этом, чтобы управляемые процессы
х,(0 -> 0 по каждой степени свободы с требуемой точностью следовали
за решениями дифференциальных уравнений
2
•zs. + £aS7.zp>=0, 5=1,2...и, (18.4)
J=o
которые выполняют роль эталонных моделей. Числовые значения asj на-
значаются такими, чтобы характер процессов z/z) -> 0 соответствовал
динамике проектируемой системы.
Степень приближения процессов в системе и эталонных моделях
будем оценивать величиной функционала
0(0^- 0][^v(o-xva,0], е=(00...0), (18.5)
2 S, V=1
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
371
который характеризует мгновенное значение энергии ускорения, вычис-
ляемой в окрестности траекторий движения, определяемых уравнениями
(18.4). В таком случае управляющие силы Qs следует определять путем
минимизации G(g).
Обозначим через Q* управляющие силы, при которых мгновенно
достигается абсолютный минимум функционала, т.е. G(g’) = 0. Эти силы
удовлетворяют уравнениям
х*(/, e’) = zv(z), />0, 5=1,2,..., п. (18.6)
С учетом (18.1) из (18.6) находим
б’ = £(aTVzv +bxvxv +cvvxv), 5 = 1, 2,..., п. (18.7)
V=1
При этом ускорения zv вычисляются по соотношениям
i
zv =-av0 -av,xv -av2xv, v = l, 2,..., n, (18.8)
о
которые получаются из уравнений (18.4) эталонных моделей.
Законы управления (18.7) - компенсационного типа, так как их
структура идентична структуре левых частей уравнения (18.1). Для вы-
числения Q* по (18.7) необходимо иметь полную информацию о пара-
метрах модели управляемой системы. Поэтому алгоритм управления,
построенный на основе (18.7), мало пригоден для технических прило-
жений.
Отмеченная особенность алгоритма есть следствие того, что силы
определены из условия мгновенного достижения абсолютного минимума
функционала. Чтобы синтезировать эффективный алгоритм управления,
управляющие силы Q* нужно определять из условия, чтобы на траекто-
риях управляемого движения значение функционала (18.5) принадлежало
малой окрестности минимума. Кроме того, нужно заведомо отказаться от
мгновенного достижения этой окрестности. В настоящей лекции алго-
ритмы управления синтезируются на основе градиентной схемы первого
порядка. Структура таких алгоритмов оказывается проще, при этом ока-
зывается возможным реализовать в системе требуемые динамические
характеристики.
372
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
18.2. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Для удобства изложения уравнения (18.2) в случае п = 2 запишем в
раскрытом виде
х = “si6i + а?2б2 “ Ф.<(*>х), s = 1, 2. (18.9)
Коэффициенты axv ,s,v =1,2 определяются формулами
0]]=-^-, йп=а21=~~> а22=~Г^> &2 = апа22 ~ а12а21 (18.10)
Д2 Дг &2
Управляющие силы Q\, Q2 находим из условия, чтобы значение
функционала G(Qi, Q2), определяемого выражением (18.5) при п = 2,
принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. С этой целью
принимаем следующие законы изменения сил:
deM_k scw,.e2)_ 4=const s=12 (1811)
л ае,
которые соответствуют градиентной схеме первого порядка. С учетом
(18.9) компоненты градиента функционала равны
^- = -(а11О1л +«i2«2.s)(z'i-Xi')-(allais+a22a2!!)(z2 -х2)> -s = 1,2.
(18.12)
Принимая во внимание (18.10), вычисляем
[1, 5=1, _ _ [0, 5=1,
а11а1л + a12a2.v - ) „ _ а12а1д + а22а2х ~ _
[О, 5 = 2, (1, 5 = 2.
В соответствии с этим выражения (18.12) принимают вид
-f^- = -(zt-xs), 5=1,2. (18.13)
°Qs
Подстановка (18.13) в (18.11) приводит к законам управления в
дифференциальной форме
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
373
= 5=1,2. (18.14)
at
Соотношения (18.14), дополненные формулами (18.8) при п = 2, состав-
ляют основу алгоритма управления. Для аппаратной реализации алго-
ритма его уравнения необходимо записать в другой форме. Интегрируя
обе части (18.14) по времени при нулевых начальных значениях пере-
менных, получим
Qs=k,(zs-is),s= 1,2. (18.15)
Требуемые значения скоростей изменения zs вычисляются по соот-
ношениям
i i
is =-J(“.,oZvO Ло = (18.16)
О О
которые получаются в результате интегрирования обеих частей (18.8)
при нулевых начальных значениях переменных.
Исследуем свойства системы с алгоритмом (18.15), (18.16). Отметим
прежде всего, что если процесс минимизации функционала устойчив
(Qs —> 2.*) ,т0 производная по времени dG/dt будет отрицательна, т.е.
с1817)
dt Zi dQs
В этом случае G(2« ft) -> 0 при /-> оо. С учетом (18.11) из (18.17) следует
— = -У*/—1 <0. (18.18)
dt VftJ
Неравенство (18.18) будет выполняться, если параметры алгоритма
управления
^>0, 5 = 1,2. (18.19)
Условия (18.19) являются необходимыми и достаточными для
сходимости процесса минимизации (Q -> Q*) статической функции
Сст(21, 2г), экстремальное значение которой не изменяется во времени.
В рассматриваемой задаче значение G(2i, 2г) изменяется на траекториях
374
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
управляемого движения, поэтому Q* = б* (О • Вследствие этого неравен-
ства (18.19) определяют только необходимые условия сходимости про-
цессов б.,(0 —> Q* Наряду с этим требуется, чтобы параметры ks имели
вполне определенные числовые значения.
Справедливо следующее положение: для системы (18.9) с алгорит-
мом управления (18.15), (18.16) всегда можно указать такие значения
параметров кх, при которых стационарное состояние х, = 0, хд. = 0 асим-
птотически устойчиво.
При анализе системы будет показана справедливость сформулиро-
ванного положения.
Продолжим исследование процесса минимизации функционала.
Подставим в уравнения (18.14) выражения для ускорений хд. из (18.9).
После соответствующих преобразований получим
6i + ,6. + ktal2Q2 = И (х, х),
(lo.2U)
62 +^2а22б2 +^2а2161 = *)’
где
Кд.(х, х) = k,[zs + <рд.(х, х)], 5 = 1, 2. (18.21)
Уравнения (18.20) представляют собой модели контуров, в которых
формируются требуемые значения управляющих сил. На входы этих кон-
туров поступают задающие сигналы К,.(х, х). Из (18.20) находим опера-
торное выражение для первой управляющей силы
= D + k2a22 _ к^
1 P(D) 1 P(D) 2
и аналогично - для второй
g *2£21.К _ Д + *1аП К (18.23)
2 P(D) 2 P(D) 1
Операторный трехчлен
P(D) = D2 + 2-(А,а22 + к2а,,)О + . (18.24)
Д2 Д2
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
375
Для рассматриваемой системы а1Ь а22 > О, Д2 > 0. Поэтому, если
Aj 2 > 0, то коэффициенты в (18.24) положительны. Следовательно, конту-
ры управляющих сил асимптотически устойчивы, так как корни характе-
ристического уравнения Р(р)=0 расположены в левой полуплоскости.
Более того, асимптотическая устойчивость контуров не нарушается, если
коэффициенты усиления klt к2 одновременно увеличиваются до беско-
нечности.
Выведем теперь уравнения замкнутой системы и исследуем ее свой-
ства. Исходными являются (18.1), (18.15) и (18.16). Выражения для zs
запишем в операторной форме
1 >
zs(f) = -^-(aj0+“siO + a,2Z) )xs(0, 5 = 1,2. (18.25)
Подставляя (18.25) в (18.15), получим
к
а(г) = --^-а/О)х5(г), 5 = 1,2. (18.26)
Операторные полиномы
2
а(.(£>) = £>3 5 = 1,2. (18.27)
ц=0
соответствуют левым частям дифференциальных уравнений (18.4) эта-
лонных моделей.
Уравнения замкнутой системы получаются в результате подстанов-
ки (18.26) в (18.1), где п = 2. Предварительно запишем эти уравнения в
операторной форме:
2
£(as.vD2+^D + cw)xv(r) = ft., 5 = 1,2. (18.28)
V=1
Обозначая операторные трехчлены
anD2 +ЬпИ+ сп = ASV(D), 5,v = 1,2. (18.29)
запишем (18.28) в ином виде
Л1(О)х1(г) + Л2(О)х2(г) = а, 5 = 1,2. (18.30)
376
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
Подстановка выражений (18.26) в (18.30) приводит к искомым урав-
нениям замкнутой системы
[о241(0) + А1а1(0)]х1(/) + 02Л12(й)х2(/) = 0, (18.31)
D2 А2,(О)х,(0 + [о2 А22(D) + к2а2 (Z))]x2(0 = 0.
Уравнения (18.31) взаимосвязаны, их общий порядок равен восьми.
Исследуем сначала свойства сепаратных каналов, процессы в которых
описываются уравнениями
[о2 Д„(О) + Ava,(D)]x4.(0 = 0, 5 = 1, 2. (18.32)
С учетом (18.27) и (18.29) замечаем, что степень полинома D2ASX(D)
на единицу выше степени ад(£>). Поэтому структура каждого сепаратного
канала допускает неограниченное повышение уровня усиления при со-
хранении асимптотической устойчивости. В случае к —> оо, 5 = 1,2 корни
характеристических уравнений
р24„(р) + А5а,(р) = 0, 5 = 1,2 (18.33)
распределены следующим образом:
lim р (А,) = р* , lim p4v(is,) = -oo, 5 = 1,2, ц=1,2,3, (18.34)
ks-+<x> кх-+<*>
где p‘s. - корни характеристических уравнений а,(р) = 0, соответствую-
щих эталонным моделям. Следовательно, в асимптотике уравнения
(18.32) четвертого порядка вырождаются в уравнения третьего порядка
2
xs. + £ awx<v) =0, 5 = 1, 2, (18.35)
v=0
структура которых идентична (18.4).
Исследуем теперь свойства системы в целом, процессы в которой
описываются взаимосвязанными уравнениями (18.31). Рассматриваем
характеристическое уравнение
р2Ап(р) + кха.^р) р2А12(р) /io.z-ч
= 0, (18.36)
р2А2,(р) р А22(р) + к2а2(р)
соответствующее (18.31).
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
377
Пусть в системе приняты такие значения ks, при которых стационар-
ное состояние х = 0 асимптотически устойчиво. Обозначим тах£л =к,
S
s = 1, 2 и вместо к„ в (18.36) подставим величину к. Такая замена приво-
дит к повышению степени устойчивости системы в целом. После указан-
ной замены характеристическое уравнение (18.36) запишем в раскрытой
форме
/?8(р) + А/?7(р) + А2/?6(р) = 0, (18.37)
где полиномы
Л8(Р) = '80Р8 +>81Р7 + - +'88’
= гюР7 +Г1\РЬ + — + '77’ (18.38)
R(Xp) = Г6ОР6 +'61Р5 + - +'66-
Выражения для всех коэффициентов полиномов не выписываем, так
как они далее не потребуются. Выпишем только коэффициенты при
старших степенях комплексной переменной р:
rm=detA, r10=Ml+M2=(a22 + aii), r60=l. (18.39)
В (18.39) приняты обозначения миноров второго порядка:
Отметим также, что полином
Лб(Р) = “1(Р)“2(Р)-
(18.41)
Исследуем поведение корней характеристического уравнения
(18.36) при одновременном увеличении коэффициентов усиления в обоих
каналах: к„ -> оо, 5=1,2 или для принятых условий ks -> оо, 5=1,2
в (18.37). Разделим все члены (18.37) на Л2, а затем выполним предельный
переход при к -> оо. Учитывая (18.41), получим ai(p)a2(p) = 0 или в рас-
крытой форме:
378
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
р3 + ах2р2 +a4ip + a,0 =0, л = 1,2. (18.42)
Следовательно, в случае кх —> оо характеристическое уравнение
(18.36) замкнутой системы распадается на два независимых уравнения
(18.42) третьей степени. Поэтому в асимптотике шесть корней (18.36) в
точности равны корням характеристических уравнений (18.42), которые
соответствуют эталонным моделям.
Установим теперь расположение остальных двух корней уравнения
(18.37) в предельном случае, когда к —> оо. Поступим следующим обра-
зом: введем новую переменную q = p/к и разделим все члены (18.37)
на Л8. С учетом (18.38) будем иметь
г80‘78 +-Т"‘77 + +г70‘77 +~7~с1(‘ + — +гбо96 +-Т’95 + — = 0. (18.43)
к к к
В этом уравнении не выписаны члены, имеющие сомножителями
1/Л2, Ш3 , ..., 1/А8. Выполним в (18.43) предельный переход при к —> оо.
В результате получим уравнение второй степени
'во?2+''70<7 + 'б0 =°, (18.44)
которое с учетом (18.39) принимает вид
det Aq2 +(an + a22)q +1 = 0. (18.45)
Так как asv являются элементами определенно положительной мат-
рицы А, то оба корня уравнения (18.45) вещественные отрицательные
числа:
9.v=-c5, с5>0. (18.46)
По определению р = qk, поэтому для исходного характеристического
уравнения на основании (18.46) имеем
рх(к) = -ксх -> (-оо), если к -> <ю, 5 = 1, 2. (18.47)
Это означает, что два корня исходного уравнения (18.43) замкнутой
системы удаляются на бесконечность в область отрицательных значений
при неограниченном увеличении к или, что тоже самое, при одновремен-
ном неограниченном увеличении ки к2.
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
379
Таким образом, в асимптотике шесть корней характеристического
уравнения системы равны соответствующим корням характеристических
уравнений эталонных моделей, а два корня уходят на бесконечность по
отрицательной вещественной оси. Это распределение идентично асим-
птотическому распределению (18.34) корней уравнений сепаратных ка-
налов.
Итак, справедливо следующее: при неограниченном повышении
уровня усиления в контурах ускорений (А12 —> оо) система взаимосвязан-
ных дифференциальных уравнений (18.31) восьмого порядка распадается
на два независимых дифференциальных уравнения (18.35) третьего по-
рядка, которые описывают динамику эталонных моделей. Следовательно,
теоретически при к} —> оо, s = 1,2 управляемый процесс х.Ц) —> 0 неогра-
ниченно приближается к эталонному процессу zs -> 0. Отсюда следует
вывод о том, что синтезированный алгоритм управления (18.15), (18.16)
’обладает декомпозирующими свойствами: исходная система с двумя сте-
пенями свободы в асимптотике разделяется на две независимые подсис-
темы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей. Бла-
годаря этому система обладает замечательными свойствами сохранять
неизменными (теоретически) динамические характеристики при измене-
нии ее параметров.
Практически идеальная декомпозиция недостижима. Необходимая
для технических приложений степень приближения процессов и слабая
параметрическая чувствительность системы достигается при конечных
значениях к„. Расчет коэффициентов усиления выполняется из условия,
чтобы быстродействие контуров ускорений (управляющих сил) было су-
щественно выше быстродействия эталонных моделей.
Выведем соотношения для расчета ориентировочных значений к12.
Будем исходить из того, чтобы процессы в контурах управляющих сил
автономных каналов затухали значительно быстрее, чем в соответст-
вующих эталонных моделях. Длительность переходных процессов будем
оценивать постоянными времени. Для моделей третьего порядка (18.4)
постоянные времени хм„ ориентировочно равны
s = 1, 2. (18.48)
Va.vO
Найдем постоянные времени контуров управляющих сил автоном-
ных каналов. Рассмотрим уравнения
380
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
assxx + bssx + cssxs = Qs, Qs = ks (zs -xs). (18.49)
Подставляя во второе уравнение выражение для найденного из первого
уравнения, будем иметь
T,Qs+Qs=asJ(x,x), Т^. (18.50)
ks
Значения ks необходимо рассчитывать из условия Т « гМх. Как и в
случае одномерных систем, можно принять Тх = 0,1 гМх. Тогда из (18.48) и
(18.50) получим
к, = 10аи.^а7, s = 1, 2. (18.51)
Для расчета коэффициентов усиления рекомендуются также сле-
дующие соотношения:
кх = (4 ... 5)адд.со‘, 5 = 1,2, (18.52)
где со* - частота среза характеристики
____________________
P<J>2 + а^Р + ал)
p=i(j)
Вычисленные по (18.51) или (18.52) ориентировочные значения ко-
эффициентов усиления уточняются по результатам математического мо-
делирования.
18.3. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ
С л-СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
В соответствии с постановкой задачи управляемое движение систе-
мы описывается уравнениями (18.1). Управляющие силы Q„ s = 1,2, ..., п
определяем в результате минимизации функционала (18.5) по градиент-
ной схеме (18.11). Выполняя необходимые преобразования, получим ал-
горитмы управления вида (18.15), (18.16), где следует принятье = 1,2,..., п.
Из (18.2) и (18.14) находим уравнения контуров управляющих сил:
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
381
бл+^Xa'v6v = +<P.v), 5=1,2,...,и, (18.53)
V = 1
где функции <рл. определяются формулами (18.3).
Так как axv , есть элементы определенно положительной матрицы А~',
то устойчивость контуров обеспечивается в случае кх > 0, что соответст-
вует (18.19).
Процессы в замкнутой системе описываются уравнениями
[о24ХО) + АлаДО)]хД0 + ^'О2Ли(О)^Д0 = 0, 5 = 1, 2,..., п (18.54)
ц=1
Штрих у суммы означает, что при суммировании исключаются сла-
гаемые с одинаковыми индексами ц = 5 .
Исследуем асимптотические свойства системы при неограниченном
повышении уровня усиления в каждом канале. Рассматриваем характер-
ное уравнение
Philip) + *i«i(p) • Р2Л1„(Р)
Р2Л21(Р) р2А22(р) + к2а2(р) ... р2А2„(р)
Р241(Р) • • Р2Л„„(р)+к„а„(р)
замкнутой системы. В случае Л, -> оо, s = 1, 2,..., и можно принять к, = к и
выполнить анализ при к -» оо. Раскрывая определитель при таком усло-
вии, уравнение (18.55) приведем к виду
Т?4„(р) + kRin_\(p) + k2R<n_2(p) + ... + knR3„(p) = 0. (18.56)
Полные выражения для полиномов 7?4я л далее не потребуются, по-
этому выпишем только члены старших степеней
R^{P} = rQQP^ +r0Xpin~X +r02pin~2 + ...,
ViG’HoA'+'iiA2 +n2/"'3 + -> (18-57)
382
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
Ъп(Р) = г„йр3п + гп1р3"-1 + г„2р3"-3 + ....
При этом полином
Л3п(Р) = Пац(Р)- (18-58)
н=1
Коэффициенты rv0, v = О, 1, ..., п при старших степенях р полиномов
(18.57) равны
r00=deM, rx0=^M„_XJ(A), 5 = 1, 2,..., я-1, r„0 = 1, (18.59)
7=1
где Мп^-диагональные миноры порядка (я - s) матрицы А.
Разделив все члены уравнения (18.56) на к" и вычислив пределы
при к ->оо, с учетом (18.58) найдем
Я3„(р) = «!(р)а2(р)... а„(р) = 0 . (18.60)
Следовательно, Зя корней уравнения (18.56) в асимптотике стремят-
ся к соответствующим корням р* характеристических уравнений эта-
лонных моделей. Чтобы установить распределение остальных п корней,
поступим как в предыдущей задаче. Введем в (18.56) переменную д = р/к,
затем разделим все члены на Л4" и вычислим пределы при к -> оо. В ре-
зультате получим уравнение
гооЯп + г\оЯп Х+г2оЯп 2 + •••+rn-i,o9’ +1 = 0 • (18.61)
Так как матрица А = [avv] определенно положительна, а коэффици-
енты rv0 определяются формулами (18.59), то корни уравнения (18-61)
действительные отрицательные числа:
qx = -сх, сх >0, 5 = 1, 2, ..., я. (18.62)
Поскольку р(к) = qk, то для исходного уравнения на основании
(18.62) имеем следующие предельные равенства
Р'(к) = -ксх -> (-оо), если к -> оо, 5 = 1, 2,..., я. (18.63)
СТАБИЛИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
383
Это означает, что и корней уравнения (18.56) при к -> оо удаляются
на бесконечность в область отрицательных значений.
Таким образом, при ks -> оо характеристическое уравнение (18.56)
замкнутой системы распадается на п независимых уравнений qs(p) = 0.
Взаимосвязанные дифференциальные уравнения (18.54) порядка 4и вы-
рождаются в систему независимых уравнений вида (18.35), которые
идентичны уравнениям эталонных моделей. Следовательно, в асимптоти-
ке осуществляется динамическая декомпозиция системы на п независи-
мых подсистем. Поэтому теоретически при неограниченном усилении в
каждом канале динамические характеристики эталонных моделей и сис-
темы по каждой степени свободы строго идентичны.
Практически необходимая степень приближения характеристик сис-
темы и моделей достигается при конечных значениях ks. Как и в случае
системы с двумя степенями свободы, ориентировочные значения ks реко-
мендуется рассчитывать по соотношениям (18.51) или (18.52).
Лекция 19
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ДВИЖЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
В лекции изложена теория синтеза алгоритмов управления движе-
нием систем с конечным числом степеней свободы по назначенным тра-
екториям. Структура алгоритмов определяется путем минимизации энер-
гии ускорения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей,
назначаемых для каждой степени свободы. Синтезированные алгоритмы
обеспечивают высокую стабильность динамических характеристик при
изменении параметров в широких пределах. В асимптотике алгоритмы
осуществляют динамическую декомпозицию системы: при повышении
уровня усиления во всех каналах взаимосвязанные уравнения распадают-
ся по степеням свободы на независимые уравнения, структура которых
идентична эталонным моделям.
19.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ
УПРАВЛЕНИЯ
Движение системы с п степенями свободы подчиняется дифферен-
циальным уравнениям
^(asvxv + bxvxv+csvxv) = Qs, 5=1,2. ..,п, (19.1)
v=l
где xv - выходные переменные, Q, - управляющие силы. В процессе дви-
жения переменные xv должны изменяться во времени по заданным зако-
нам. Следовательно, по функциональному назначению системы управ-
ляющие силы Q, должны обеспечивать слежение за входными задающи-
ми сигналами. Иными словами, назначение Qs - осуществлять движение
по заданным программным траекториям.
Задачу синтеза алгоритма управления формулируем следующим об-
разом. Для каждой степени свободы задана программная траектория
движения у,.(г), t > 0. Функции у,(Г) ограничены и дифференцируемы не-
обходимое число раз. Требуется найти такие управляющие силы Qs в
форме обратных связей, при которых траектория движения по каждой
степени свободы замкнутой системы, начиная с некоторого момента вре-
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ 385
мени t = I, с необходимой степенью приближения следует за назначен-
ной траекторией, т.е.
|y,(z)-xv(r)| < 8Д, t>t„, 5 = 1,2...,/?, (19.2)
где 8Д - постоянные числа, характеризующие заданную точность слеже-
ния. Необходимо, чтобы динамические характеристики каждого канала
управления соответствовали динамическим характеристикам эталонных
моделей, движение которых описывается уравнениями
2
+Xa'7z>/) =₽.'1Х'+₽,оЛ> s = \,2...,n. (19.3)
7=0
Параметры a у , P,g определяют характер и продолжительность процесса
возвращения изображающей точки х в окрестность 8, если оказывается,
что |ys.(Z)-хд.(/)| > 8Д.. По построению эталонных моделей с необходимо-
стью yx(t) -zs(t) -> 0 при t —> оо. Пусть числовые значения параметров мо-
делей такие, что
|л (0 - 2Д (0| £ е„ 5 = 1,2 ..., п. (19.4)
Тогда динамические характеристики системы по каждой степени свобо-
ды будут практически идентичны динамическим характеристикам моде-
лей, если величины ед < 8Д и такие, что выполняются неравенства (19.2).
Далее считаем, что эталонные модели сформированы с учетом (19.2) и
(19.4). Отметим, что структура моделей (19.3) принята одинаковой для
всех степеней свободы.
По физическому смыслу сформулированная задача соответствует
стабилизации траектории y,(Z), .? = 1,2 ..., п. В том случае, когда ух(1) =
= const, управляющие силы осуществляют стабилизацию системы отно-
сительно стационарного состояния равновесия хд= ух.
Степень приближения динамических характеристик системы и эта-
лонных моделей будем оценивать величиной функционала
G(0 = | Xa'vk -x.v(t, 01 [zv - XV(Z, 6)1, Q = [Q62 ••• 6ЯГ, (19.5)
который представляет собой энергию ускорения. Управляющие силы 6,
определяем путем минимизации G(Q). Потребуем при этом, чтобы значе-
ние энергии ускорения при каждом t > 0 принадлежало малой окрестно-
сти экстремума-минимума.
13 - 9516
386 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ
19.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ.
СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Дифференциальные законы управления принимаем в виде
,aG(e)
— Kv , л.. — COnSl. I 17.01
dt dQs ’
Выполняя необходимые преобразования, найдем уравнения алго-
ритма управления
Z
g,. = £s.(zs -xs), zx = ax0 |<p0dt + ая<р,0 ~ ax2x.^ s = L 2,n,
о
<P.,o = J(^-xs)dt, Рл.0=а50, p5i=avl. (19.7)
о
Соотношения для вычисления требуемых значений скоростей изме-
нения управляемых переменных zx получены из уравнений (19.3) эта-
лонных моделей по обычной методике. Принято при этом, что порядок
астатизма моделей равен двум (Ру = aSJ, j = 0, 1). Вычисление управ-
ляющих сил Qs по (19.7) выполняется по независимым уравнениям и ло-
кальной информации: Qi вычисляется по информации о состоянии
управляемого процесса по первой степени свободы, Q2 - по второй и т.д.
Такая особенность характеризует алгоритмы автономного управления.
Исследуем свойства системы с алгоритмом управления (19.7).Чтобы
не загромождать изложение, рассмотрим сначала систему с двумя степе-
нями свободы, а затем обобщим полученные результаты. Выведем урав-
нения замкнутой системы. С этой целью исключим из (19.1) и (19.7) пе-
ременные zx,Qx. Выражения для zs записываем в операторной форме
W = ^[^(D)yx(t) - a'x(D)xx(t)], (19.8)
где
2
a'(D) = ^sjDJ,
J=o (19.9)
P.s(^) - Psl-D + a.v0-
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ 387
Подставляя (19.8) в первое уравнение (19.7), с учетом (19.9) получим
к
а (0 = p-[₽/Wv(0-a.s(^X(0]. (19.10)
Полиномы ал. (£>) = Ь3 + а'. (£)).
Запишем уравнения системы (19.1) в операторной форме
(i9.li)
v=l
где операторные трехчлены
A,V(D) = amD + bmD + ssv. (19.12)
Подставив выражение (19.10) в (19.11), для п = 2 получим неоднородные
уравнения замкнутой системы
[£>2 Я, ,(£)) + (£>)] х, (г) + D2 Л12 (D)x2 (Г) = (D) у, (t),
D2A2l(D)xl(t) + [D2A22(D) + k2a2(D)]x2(t) = k2p2(D)y2(t). (193)
Структура левых частей (19.13) и уравнений (18.31) из лекции 18
идентична. В случае yt2(0 =0 из (19.13) следуют уравнения (18.31). На
этом основании будем опускать доказательства, рассматривая свойства
системы (19.13), так как они проводятся аналогично тому, как это выпол-
нено в лекции 18.
Принимая A 12(D) = H2i(D) = 0, из (19.13) получаем уравнения сепа-
ратных каналов
[D24„(D) + jtvaA.(D)]xv(0 = 4s.ps.(D)yv(0, 5 =1, 2. (19.14)
Структура уравнений (19.14) допускает теоретически неограничен-
ное повышение уровня усиления при сохранении асимптотической ус-
тойчивости. В этом случае ks -> 00 корни характеристического уравнения
P24v(P) + ^aA(P) = °
распределяются аналогично (18.34). А именно: три корня равны трем
корням уравнения аЛ.(р) = 0, соответствующего эталонной модели, а
четвертый корень удаляется на бесконечность в область отрицательных
значений.
13*
388 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ
При ограниченной функции у,(t) будет ограниченной реакция устой-
чивой системы, процессы в которой описываются уравнением (19.14). В
таком случае справедливо равенство
lim — [d24„((Z)xs(o]=O.
(19.15)
Поэтому после деления всех членов (19.14) на к„ и вычисления пределов
при к, -> со с учетом (19.15) получим уравнения
2
+ Х%4/) = Р.нЛ +₽лоЛ> 5 =1> 2, (19.16)
,/=о
которые с точностью до обозначений совпадают с уравнениями (19.3)
эталонных моделей. Следовательно, в асимптотике (ks s = 1,2) ди-
намические характеристики моделей сепаратных каналов идентичны.
Согласно (19.14), передаточные функции сепаратных каналов равны
Х\(/?,А\) = —5---= 5=1,2. (19.17)
p/Ast(p) + ks.af(p) y.t(p)
По известному правилу находим из (19.17) передаточные функции
каналов в разомкнутом состоянии
Шр)
(р, К) = —2----------5=1,2. (19.18)
Р Ал (Р) + К [«л (Р) - ₽л (Р)]
Определим добротность сепаратных каналов по скорости и ускорению.
Пусть эталонные модели имеют первый порядок астатизма Р,о=алО-
Так как их передаточные функции в замкнутом состоянии
КМ- (19.19)
7=0
то в разомкнутом состоянии имеем
(/>) =---—---------=-----2---—-------------• С19-2°)
а.,(р) - Рд (Р) р(р + ах2р + ал1 - pvl)
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ 389
Отсюда находим добротность моделей по скорости
^=Л5(Р)| =-Ц-, s = 1,2.
a.vl “ Psi
(19.21)
Рассматриваем теперь передаточные функции (19.18). Обозначим
для краткости ах(р) -Рд.(р) = Дд.(р) Согласно (19.20) запишем
As.(p) = р&'х(р), Дд(р) = р2 +as2p + asl -psl. (19.22)
Следовательно
Ws(р, кх) = , . -- (19.23)
рОДЛр) + MsCp)]
Из (19.23) аналогично (19.21) находим добротность сепаратных каналов
по скорости
= a-^°p t 5 = 1,2. (19.24)
Пусть теперь порядок астатизма эталонных моделей равен двум
(P s0 = ад0, Рл1 = ад1). В этом случае
ДЛ.(р) = р2д:(р), Д"(р)= р + ад2, (19.25)
и передаточные функции (19.20) будут равны
WMS(P)= , 5 = 1,2. (19.26)
Р (P + as2)
Отсюда находим добротность эталонных моделей по ускорению:
C=/’Ks(P)| =—• (19-27)
•р=о as2
Добротность по ускорению сепаратных каналов определяем по (19.18) с
учетом (19.25). Имеем
ИС(р,к5) = эг ",----
р [4.5(р)+^д'(р)]
(19.28)
390 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ
Аналогично (19.27) находим
р) =
луск
Д„(0) + ksas2 ’
5 = 1, 2.
(19.29)
Принимая во внимание (19.27), а также равенство
A4(0)=[w2 + bssp + с,,],=0 =с„.,
из (19.29) окончательно получим
?') =
луск
Р'° = kMS с =о
луск ’ ^SS
а.,2
^'РаО
MS с *0
, - -уск > Чм •
си + *,.а,2
(19.30)
Таким образом показано, что порядок астатизма сепаратных каналов
равен порядку астатизма эталонных моделей. Добротность каналов по
скорости равна добротности моделей при любых конечных значениях
параметров с„ трехчленов Я„(р). Однако с добротностью по ускорению
дело обстоит иначе: сепаратные каналы и эталонные модели имеют
с„ 0, имеет место неравенство ^,<2 < к^ .
Исследуем теперь свойства системы в целом, процессы в которой
описываются уравнениями (19.13). Как уже отмечалось, уравнения
(19.13) и (18.31) из лекции 18 имеют идентичные левые части. Вследст-
вие этого характеристическое уравнение
/гЦД/О + ^аДр) р2Д2(Р)
р2Д>1(р) р2 А22(р) +к2а.2(р)
= 0, (19.31)
соответствующее (19.13), в точности совпадает с уравнением (18.36), ко-
торое детально изучено. Поэтому исследуемая система (19.13) допускает
неограниченное увеличение коэффициентов усиления к{, Л2при сохране-
нии асимптотической устойчивости. В случае к -> со, 5 = 1,2 справедливо
следующее распределение корней: шесть из них оказываются равными
корням характеристических уравнений аДр) = 0 эталонных моделей, а
два вещественных корня удаляются на бесконечность в область отрица-
тельных значений. В силу этого осуществляется динамическая декомпо-
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ 391
зиция управляемой системы на две независимые подсистемы, процессы в
которых описываются уравнениями (19.16), идентичными уравнениям
эталонных моделей. Существенно, что декомпозиция осуществляется
независимо от изменения параметров. В этом проявляются свойства есте-
ственной параметрической адаптивности системы с алгоритмами управ-
ления нетрадиционной структуры.
Изучим свойства управляемой системы при конечных значениях ks.
Запишем уравнение (19.13) в изображениях
Lp24 I (р) + (Р)] X! (Р) + р2 Л12 (р)х2 (Р) = (Р) У1 (Р),
(19.32)
Р2 ^21 (Р) Х1 (Р) + [р2 А22 (Р) + к2а2 (Р)] Х2 (Р) = Л2Р2 (Р) У2 (Р>-
Разрешая эти уравнения относительно хДр), найдем
х,(Р) = ХД1(А к.)У1(р) + К,2(р, ks)y2(p\ 5 = 1, 2. (19.33)
Передаточные функции для переменной X] равны
К (п к 4_*1[P24>2(P) + *2«2(P)]₽1(P)
'1 <л J дй ’
^2(Р.*,) = -*гр2/1'г,('’*Рг<Р)- (19.34>
Д(Р)
В сокращенных обозначениях характеристический полином имеет вид
Д(Р) = Р4(А\2А22 ~ Al2A2l) + Р21к1А22а1(Р) +
+Л241а2(Р)] + Л1Л2а1(Р)а2(Р)- (19.35)
Так как левые части (19.32) симметричны, то передаточные функции для
переменной х2 получаются из (19.34) заменой индексов: 1 на 2 и наобо-
рот. Таким образом имеем
r z .х УрЧСрНМрШр)
Л -ч-ч I Г). К . I — ....—
K2i(p,ks) = -
^1Р2^21(Р)Р1(Р)
А(Р)
(19.36)
392 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ
Передаточные функции Ki2, K2i характеризуют взаимное влияние
каналов управления. Их числители имеют сомножителем р2. Это означа-
ет, что структуры с передаточными функциями Х\2, обладают диффе-
ренцирующими свойствами. При постоянных (ys = const) или линейно
изменяющихся во времени (ys(t) = vst) задающих воздействиях устано-
вившиеся значения переменных
xi2^)= ^)Уг(О> x2i =^21(^>
будут равны нулю. Величины |хте (Г)| будут тем меньше, чем выше уро-
вень усиления в каналах управления. Как было показано, в асимптотике
теоретически при полной динамической декомпозиции системы x,v(t) = 0.
При конечных значениях kt, k2 степень взаимного влияния можно оце-
нить путем математического моделирования. Ограничимся сделанными
замечаниями по этому вопросу и выполним анализ основных структур
модели управляемой системы, характеризуемых передаточными функ-
циями, Ksi(p, kx), 5 = 1,2. Рассматриваем передаточную функцию
Кц(А ks)
1-Kn{p,ksy
которая соответствует структуре первого канала в разомкнутом состоя-
нии. С учетом (19.34) имеем
(,9.37)
Ац(Р)
Полином знаменателя (19.37) равен
А]! (р) = А(р) - кх[р2А22 (р) + Л2а2(р)] ft (р). (19.38)
Пусть эталонные модели имеют первый порядок астатизма:
Рю = аю> Рн *ап- В таком случае, принимая во внимание (19.35), для
Дн(р) получаем следующее выражение
А]\(р) = р[р3А(р) + к{р2 Л22А;(р) + М2Д'1(Р)а2(Р)]> (19.39)
где Д](р) определяется по (19.22), а полином
А(р) = Ли(р)Л22(р)-Л12(р)Я21(р).
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ 393
На основании (19.37) и (19.39) заключаем, что первый канал имеет пер-
вый порядок астатизма, так как ff'nfp, к,) имеет один нулевой полюс.
При р = 0 справедливы следующие равенства:
A;(A>«2(A>|p=0 =<“11-Р11)а20> А2(р)₽1(р)|р=о = «2оРю> (19.40)
Ап(Р)р=о =^1^г(а11 _Рп)а20-
Принимая во внимание (19.40), находим добротность по скорости перво-
го канала управления
<>’•<»
Пусть теперь эталонные модели имеют второй порядок астатизма:
Piv =“iv> v = 0, 1. Тогда в соответствии с (19.38) полином знаменателя
W\ |(р, Ад.) будет равен
Ац(Р) =
= Р1 Ip1 А(Р) + *iР2А22А"(Р) + к2Я] 1 (р)а2(р) + к}к2А’(р)а2(р)]. (19.42)
Здесь двучлен А"(р) определяется по (19.25). В данном случае переда-
точная функция №ц(р, ks) имеет двукратный нулевой полюс, поэтому
порядок астатизма канала управления, как и эталонной модели, равен
двум.
Найдем добротность первого канала по ускорению. При р = 0 спра-
ведливы равенства
^11(Р)«2(Р)|р=0 =СПа20> А?(Р)«2(Р)|Р=О = «12«20>
А11(р)р=о =с11а20 +^1^2а12а20- (19.43)
С учетом (19.40) и (19.43) по (19.37) находим
ч,=0.
«12
МгР10
СИ +^^2«12 ’
ci 1 * 0-
(19.44)
394 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ
Аналогичным образом исследуются свойства второго канала полной
(взаимосвязанной) системы по передаточной функции
1Г12(р, *,) = (1945)
А22(Р)
В силу симметрии структуры системы выражения для А22(р) получают-
ся из (19.39) и (19.42) путем замены индексов: 1 на 2 и наоборот. Выпол-
нив необходимые вычисления, можно убедиться, что порядок астатизма
второго канала управления (как и первого) равен порядку астатизма эта-
лонных моделей. Далее, заменяя индексы в (19.41) и (19.44) и выполняя
соответствующие вычисления, найдем добротность второго канала по
скорости
л.(2) _ Рго _ J.M2
кСК - й - Кск
«21 -₽21
(19.46)
и по ускорению
(19.47)
Заметим, что окончательные формулы (19.46) и (19.47) получаются
соответственно из (19.41) и (19.44) в результате перемены индексов.
Таким образом, на основании (19.41) и (19.46) можно записать
общие формулы для добротности системы по скорости по степеням
свободы
*£> = Р'° = , $=12. (19.48)
«si - Psi
Аналогично на основании (19.44) и (19.47) имеем формулы для доб-
ротности по ускорению
лск
PsO _ л.АЛ
луск’
“s2
^l^PsO
. ^ss *" ^1^2«s2
- css * 0.
(19.49)
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ 395
Найденные значения добротности (19.49) соответствуют системе с
алгоритмом управления, который синтезирован по моделям (19.3) третье-
го порядка. Если алгоритм синтезируется по моделям, порядок которых
выше третьего, то равенство = к^* будет выполнено также и в слу-
чае с„ * 0, № 1,2. Доказательство этого положения опускаем.
Ориентировочные значения параметров kt, кг рекомендуется рассчи-
тывать по формулам (18.51) из лекции 18 или по соотношениям
ks - (4 ... 5)asv(0*, s = 1,2,
(19.50)
где со* - частота среза характеристик
_ P.vlP + P.,0
р (р + а.,2)
эталонных моделей (19.3) в разомкнутом состоянии, где принято
P.v =cW = 0, 1.
Основные результаты и рекомендации
Сформулируем теперь основные положения, которые обобщают по-
лученные результаты на случай системы с п степенями свободы. Они
заключаются в следующем.
Минимизация мгновенного значения энергии ускорения управляе-
мой системы (19.1) по градиентной схеме первого порядка (19.6) приво-
дит к автономным алгоритмам управления для каждой степени свободы.
Требуемые значения управляющих сил вычисляются по независимым
уравнениям вида (19.7). При этом для вычисления Qi используется ин-
формация о состоянии управляемого процесса первого канала (Х|,Х|),
для вычисления Q2 используется информация о состоянии управляемого
процесса второго канала (xb xj и т.д.
Структура замкнутой системы с алгоритмом управления вида (19.7)
допускает теоретически неограниченное повышение уровней усиления
без потери устойчивости. В асимптотике, при бесконечно больших зна-
чениях коэффициентов усиления осуществляется динамическая декомпо-
зиция системы на п независимых подсистем, структура которых иден-
тична структуре эталонных моделей. Практически это означает, что пу-
тем повышения уровней усиления в контурах управления можно достиг-
396 ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ
нуть заданной точности приближения динамических характеристик сис-
темы по каждой степени свободы к динамическим характеристикам эта-
лонных моделей.
Ориентировочные значения коэффициентов усиления ks рекоменду-
ется рассчитывать по формулам (19.50). При достаточно высоком уровне
усиления динамические характеристики системы будут оставаться прак-
тически неизменными при изменении параметров в широких пределах.
Для каждой степени свободы можно назначать эталонные модели
различной структуры с различными динамическими характеристиками
(быстродействие, перерегулирование и др.). Согласованное по времени
управление достигается в том случае, когда алгоритмы управления по
каждой степени свободы синтезируются по эталонным моделям идентич-
ной структуры с идентичными динамическими характеристиками.
Порядок астатизма каждого канала системы равен порядку астатиз-
ма соответствующей эталонной модели. Минимальный порядок диффе-
ренциальных уравнений моделей определяется требованиями к доброт-
ности проектируемой системы. А именно, справедливо следующее.
Добротность каналов управления по скорости будет равна доброт-
ности эталонных моделей, если их порядок не ниже третьего. С доброт-
ностью по ускорению - ситуация иная. В случае, когда в уравнениях сис-
темы (19.1) коэффициенты сю = 0, s = }, 2, ..., п, добротность каналов по
ускорению будет равна добротности эталонных моделей, если их мини-
мальный порядок равен трем. Если коэффициенты с„ * 0, то равенство
^уск = имеет место только в том случае, когда порядок эталонных
моделей не ниже четвертого.
Задача синтеза алгоритмов стабилизации стационарных состояний,
рассмотренная в лекции 18, есть частный случай задачи синтеза алгорит-
мов стабилизации программных траекторий движения (алгоритмов
управления следящих систем). Поэтому алгоритмы управления вида
(19.7) можно применять как в системах стабилизации стационарных со-
стояний, так и в следящих системах.
Лекция 20
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ
ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Изложена теория синтеза алгоритмов терминального управления
движением многомерных динамических систем. Предполагается, что
требуемые траектории движения заданы в параметрической форме. Ис-
следована динамика управляемых систем и показано, что синтезирован-
ные алгоритмы придают системам свойства слабой чувствительности к
изменению параметров и координатным возмущениям. Приведены ре-
зультаты математического моделирования процессов управления движе-
нием консервативной системы с двумя степенями свободы.
20.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть движение системы описывается уравнениями
^(awxv+f>wxv +ccvxv) = Qx, s = \, 2,..., и, (20.1)
V=1
где xv - управляемые переменные, Qx - обобщенные управляющие силы,
п - число степеней свободы. Коэффициенты уравнений могут принимать
значения в ограниченных диапазонах их изменения
4ZVV < bxv , cvv < cxv cvv. (20.2)
Как и в случае одномерной системы, при выполнении преобразова-
ний будем считать, что эти коэффициенты постоянны. Управляющие си-
лы Q, подчинены ограничениям
Q;<QS <Qt, J = 1,2,..., и. (20.3)
Далее нам потребуются уравнения системы, разрешенные относи-
тельно вторых производных. Обозначим через А, В и С матрицы, элемен-
тами которых являются соответственно а„, bxv и cxv. Тогда обычными
преобразованиями из (20.1) находим
398 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
+c.wxv) = Xa'v2v> 5 = 1,2, (20.4)
v=l v—1
Коэффициенты уравнений (20.4) являются элементами матриц А~}В, А~'С
и А~'.
Задачу терминального управления формулируем следующим обра-
зом. В начальный момент времени t = 0 состояние системы определяется
значениями
х,.0=х<0), х,.0=хд0), 5 = 1,2,..., п. (20.5)
Требуется синтезировать алгоритм управления, который за время Г обес-
печивает перевод системы в терминальное состояние
^)=^> В= 1,2,-,тх. (20.6)
Необходимо при этом, чтобы процесс перехода системы в назначенное
состояние по каждой степени свободы х,(/) -> хуТ осуществлялся по тра-
ектории
т,.+2
Л(0= ?е[0,Л- (20.7)
/=о
где к;/.,/ - линейно независимые функции, дифференцируемые по времени
необходимое число раз. Потребуем также, чтобы возможные отклонения
5,(0 = у.,(0 - х,(0 были исчезающими функциями и подчинялись на траек-
ториях управляемого движения дифференциальным уравнениям
5,. + йД. + Лоб=0, Ло, А, > 0. (20.8)
Коэффициенты /%, й, назначаются такими, чтобы длительность затухания
процессов 3,(/) -> 0 была существенно меньше интервала Ттерминально-
го управления.
Постоянные коэффициенты в (20.7) определяются граничными
условиями на левом и правом концах заданной траектории
у,.(0)=х,.(0), х,.(0)=х,(0), у^(Т) = х^Т, ц = 0, l,...,zn„ (20.9)
Для различных степеней свободы на управляемые координаты мож-
но назначать различное число ms граничных условий в (20.6). В том слу-
чае, когда для решаемой задачи требуется, например, чтобы только коор-
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 399
динаты и скорости были равны заданным значениям, т.е. ys(T)=xsT,
у S(T) =х хГ(Т), дополнительные граничные условия +1\Т) = 0,
m = 1,2, ... будут обеспечивать плавное приближение системы к терми-
нальному состоянию. Чтобы не загромождать изложение, далее примем
m, = 1 для всех степеней свободы. В таком случае из (20.5) - 20.7) и (20.9)
получим следующие уравнения
з
Ху.к/^5/‘)(0) = ^ц), ц = о, 1,
1=0
(20.10)
з
Хь/^)(П = х<Ю(П, 5 = 1,2,..., п,
1=0
из которых однозначно определяются коэффициенты у,/.
20.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.
СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ
Найдем структуру алгоритмов, которые решают сформулированную
задачу. С этой целью из уравнения (20.8) определяем ускорения х*, при
которых движение системы теоретически точно следует по заданной тра-
ектории. С учетом выражений для производных 8^, J = 0, 1, 2 из (20.8)
получаем
х* = ys +hi(ys-x,) + ho(ys -xv). (20.11)
Обозначим через Q* управляющие силы, которые создают ускоре-
ния хл = х*. Уравнения для Q* следуют из (20.4) после подстановки в
них х5. Выполняя такую подстановку, получим
3 п _
= Ху + £(AvXv + cwxv), 5 = 1,2,..., п. (20.12)
V = I V=I
С учетом принятых обозначений в (20.4) из (20.12) находим
Sy +^v + c«xv), 5 = 1,2,..., л. (20.13)
v=l
400 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
Соотношения (20.11) и (20.13) составляют основу алгоритма управ-
ления компенсационного типа. Применение этого алгоритма возможно
только в том случае, когда имеется достоверная информация о парамет-
рах модели управляемой системы. Такая структура алгоритма есть след-
ствие того, что она получена из условия выполнения равенств
*,(/) = уд(г), ^0, которые практически не достижимы.
Поступим теперь иначе. Структуру алгоритма управления будем оп-
ределять путем минимизации функционала
G© = 7 I °™ fe ~ *•' 2))’
2 V V=1
(20.14)
e = [Q Q2 -QnY
по управляющим силам Q,. Из условия мгновенного достижения абсо-
лютного минимума
minG(0 = G(e’) = O
G
вновь получим уравнения алгоритма управления компенсационного типа
(20. 11), (20.13). Поэтому управляющие силы Qv найдем из условия, что-
бы на траекториях управляемого движения значение функционала (20.14)
в каждый момент времени принадлежало малой окрестности минимума.
В соответствии с градиентной схемой первого порядка скорости
изменения управляющих сил определим дифференциальными соотно-
шениями
= £s= const, 5 = 1, 2,..., п. (20.15)
dt ' dQs
С учетом (20.4) дифференцированием (20.14) находим составляющие
градиента
Подстановка (20.16) в (20.15) приводит к законам изменения управляю-
щих сил в дифференциальной форме
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 401
&=ks(x*-xs), 5=1,2,..., п. (20.17)
Соотношения (20.11), (20.17) составляют основу алгоритма управ-
ления другой структуры в отличие от (20.11), (20.13). Для аппаратной
реализации алгоритма эти соотношения необходимо представить в иной
форме. Интегрируя по времени обе их части, с учетом (20.9) получим
Qs = ks(x* — xv), 5 = 1, 2,.., п.
t (20.18)
х* =ys+hi (y.v - A ) + Ль f (Л - x*) dt
о
Особенность синтезированного алгоритма состоит в том, что необ-
ходимые значения управляющих сил для каждой степени свободы вы-
числяются по независимым уравнениям. При этом используется локаль-
ная информация: Q\ вычисляется по информации хь х, о состоянии про-
цесса первой степени свободы, Q2 - по второй и т.д. На этом основании
алгоритмы управления, структура которых определяется уравнениями
вида (20.18), будем называть алгоритмами автономного или децентрали-
зованного управления.
С учетом (20.15) полная производная по времени минимизируемого
функционала равна
Z \2
5G(g)_y 3G
dt 'WU '
Следовательно, необходимое (но недостаточное) условие сходимости
процесса Qs(t) -ь Q* состоит в том, чтобы коэффициенты ks были поло-
жительны.
Система (20.1) с алгоритмом управления (20.18) обладает следую-
щими свойствами:
1) всегда можно указать такие значения параметров к, > 0, при кото-
рых движение системы асимптотически устойчиво по отношению к не-
возмущенному движению xs(f) = ys(0 ;
2) структура замкнутой системы допускает неограниченное повы-
шение уровня усиления в каналах управления при сохранении асимпто-
402 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
тической устойчивости. При ks —> оо осуществляется ее декомпозиция на п
независимых подсистем, процессы в которых описываются уравнениями
+ K)xs = ys + hlys + AqXv, 5 = 1,2,..., n,
идентичными уравнениям (20.8). Практически это свойство означает, что
при достаточно высоком уровне усиления в каналах управления движе-
ние системы будет малочувствительно к параметрическим и координат-
ным возмущениям. Значения кх всегда можно назначить такими, чтобы
система была работоспособна при изменении ее параметров в ограничен-
ных диапазонах (20.2).
Доказательство сформулированных положений не приводим, оно
выполняется в лекции 18 при исследовании задач стабилизации траекто-
рий движения многомерных систем.
20.3. РАСЧЕТ ДОПУСТИМОГО ИНТЕРВАЛА ТЕРМИНАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Для заданных граничных условий на левом и правом концах траек-
тории величина допустимого интервала Т определяется с учетом ограни-
чений (20.3) на управляющие силы. В методическом отношении эта зада-
ча решается по такой же схеме, как и в одномерном случае. Особенность
заключается в том, что в случае многомерной системы зависимости
Q* (Т) требуемых значений управляющих сил определяются для каждой
степени свободы. Это выполняется путем интегрирования дифференци-
альных уравнений
Хд. + (^ууХу 4" СдуХу) к^Хд Хд.) ,
(20.19)
** = У., + Л1 (Л - xs) + ho j(yv - Хд.) dt
о
при соответствующих начальных условиях. Допустимые интервалы тер-
минального управления Т для каждой степени свободы в общем случае
будут различными. Так как по всем управляемым координатам конечное
состояние должно достигаться одновременно, допустимый интервал не-
обходимо принять равным Т = max Ts.
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 403
20.4. УПРАВЛЕНИЕ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМОЙ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Движение системы описывается уравнениями
а11*1 + а12*2 + С11*1 + «12*2 = Q\ >
(20.20)
«21*1 + «22*2 + «21*1 + «22*2 = Qi
Числовые значения матриц принимаем равными
Г2 1,51 Г2 0,51
А = , С =
1,5 4_| |_0,5 1 _
Управление движением системы (20.20) будем осуществлять с по-
мощью алгоритма (20.18), где функции уд(/) определяются по (20.7). Для
произвольного начального состояния хд.о, хл.о и терминального состоя-
ния xs0, xs0 коэффициенты уЛ/вычисляются по формулам
У4о=*.ц» Y.vo=*.vo> 5 = 1,2,
3 1 2
Y.v2 = уу (*ЛГ - *ЛО) - - <т - - *Л-О > (20.21)
3 2 1
УлЗ =уз-(*л7- -*.vo)-p-*.vT -уг(*лГ -*л-о) •
Пусть требуется перевести систему из состояния
*ю = 0> *ю = 0> *20 = 0 *20 = 0 (20.22)
в конечное состояние
х17 = 0, = 0, х2Т = 0 х2Г = 0. (20.23)
Для граничных условий (20.22), (20.23) при Т = 5 с по формулам
(20.21) находим
Yio-Yn-O> Y12 ~0,24, Y13 _ 0,032,
Y2o=O> Y21 = ~ 1, Y22=0,4, Y23=_0,04.
404 ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ
Поэтому траектория движения системы в терминальное состояние опре-
деляется формулами
у, (/) = 0,24?-0,032?,
(/) = -/+ 0,4/2 -0,04?.
Коэффициенты ho, h\ в (20.8) назначаем равными ho = 34,6, hx = 8,3.
В этом случае длительность процессов затухания 8s —> 0 составляет 0,5 с,
что в 10 раз меньше интервала терминального управления.
Графики переходных процессов в системе изображены на рис. 20.1 и
20.2, а фазовые траектории - на рис. 20.3. Усиление в контурах управле-
ния соответствуют значениям к} = 40 и = 80. Синтезированный алго-
ритм управления обеспечивает выполнение заданной программы движе-
ния даже в том случае, когда фактическое состояние системы при / = 0
отличается от расчетного значения, т.е. х2о * 0-
Рис. 20.2
ТЕРМИНАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОМЕРНЫМИ СИСТЕМАМИ 405
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Особенность разработанной методики состоит в том, что для синтеза
терминальных управлений нет необходимости иметь полный объем ин-
формации о параметрах модели управляемого объекта. Для этой цели
достаточно знать ее структуру (порядок дифференцированного уравне-
ния, число степеней свободы). Такая особенность обусловлена процеду-
рой синтеза, т.е. технологией построения управлений. В силу этого изло-
женный подход заслуживает исследования и развития применительно к
различным задачам прикладного значения. Представляет также интерес
разработка метода синтеза кинематических алгоритмов терминального
управления.
Лекция 21
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ
СИСТЕМАМИ
Настоящая лекция открывает заключительную часть курса «Обрат-
ные задачи динамики в теории автоматического управления», в которой
рассматриваются задачи синтеза алгоритмов управления системами, мо-
дели движения которых нелинейны. Причем нелинейный характер моде-
лей обусловлен как ограничениями на управляющие функции, так и не-
линейными зависимостями в уравнениях управляемых объектов. По ме-
тодическим соображениям сначала изучаются задачи управления стати-
ческими объектами, а затем - системами с одной и несколькими степеня-
ми свободы. На основе концепций обратных задач динамики синтезиру-
ются алгоритмы стабилизации стационарных состояний и назначенных
траекторий движения, а также алгоритмы управления, субоптимальные
по быстродействию; кинематические алгоритмы, а также алгоритмы тер-
минального управления. Наряду с этим изучена возможность гашения
автоколебаний в существенно нелинейных системах. Основные поло-
жения теории иллюстрируртся результатами исследования модельных
задач.
21.1. УПРАВЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
Управляемый объект называется статическим, если его выходная
величина х и входное воздействие и связаны между собой уравнением
вида:
х = F(u, а), (21.1)
где F(...) - в общем случае нелинейная функция; а = (а} ... а„) - вектор
параметров. Функция F(u, а) называется характеристической статическо-
го объекта. Далее будем считать, что характеристика F(u, а) представляет
собой однозначную относительно и функцию, дифференцируемую и мо-
нотонно возрастающую.
Выходная величина х характеризует состояние управляемого объек-
та. Так как уравнение (21.1) не является дифференциальным, то объект
мгновенно переходит из одного состояния в другое, соответствующее
новому значению входного воздействия и, выступающего в роли управ-
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
407
ляющей функции. На этом основании статический объект называют так-
же безынерционным.
Параметры (а{ ... а„) = а, входящие в (21.1), могут изменяться во
времени, вследствие чего будет изменяться состояние объекта при неиз-
менных прочих условиях его функционирования. Как правило, на объект
действуют возмущения, которые также нарушают заданное течение про-
цесса. Вид и характер возмущений определяется физической природой
объекта. Таким образом, нежелательные изменения состояния управляе-
мого объекта могут быть вызваны внутренними факторами (изменение
параметров) и внешними факторами (возмущения). Чтобы удержать объ-
ект в назначенном состоянии, нужно соответствующим образом органи-
зовать управление, т.е. целенаправленным изменением управляющей
функции парировать влияние внутренних и внешних возмущающих фак-
торов. Формирование необходимых законов изменения управляющих
функций составляет содержание задачи синтеза алгоритмов управления.
Задачу синтеза формулируем следующим образом. В начальный
момент времени t = 0 состояние объекта характеризуется величиной
х(0) = хо- Требуется найти такое значение управляющей функции и = w°,
при которой объект переходит в состояние х = х°.
На основании (21.1) можно записать
А(и°, а) = х°. (21.2)
Так как по условию F(u, а) - однозначная и дифференцируемая
функция, то из (21.2) находим непосредственно
и° = F(~\x°, а), (21.3)
где (...) - функция, обратная по отношению к F(...). Особенность по-
лученного решения (21.3) состоит в том, что управление организуется по
разомкнутой схеме (рис. 21.1). При этом для вычисления управляющей
функции и° необходимо иметь полный объем информации о структуре
математической модели управляемого объекта и ее параметрах.
В технических системах прикладного назначения модели вида (21.1)
получают, как правило, путем аппроксимации экспериментальных дан-
ных подходящими матема-
тическими зависимостями. хо
Полученные таким образом -------
модели приближенно опи-
сывают связи между управ- Рис. 21.1
408
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
лающими функциями и выходными переменными объектов. Кроме того,
при построении математических моделей не всегда удается с необходи-
мой степенью точности выявить закономерности изменения параметров.
Неточность математического описания управляемых объектов приводит
к ошибкам управления, поэтому схемы управления без обратных связей
(рис. 21.1) находят ограниченное применение.
Необходимость иметь полный объем достоверной информации о ма-
тематической модели F(u, а) есть следствие того, что управляющая
функция и0 определяется мгновенно, а управляемый объект также мгно-
венно переходит в назначенное состояние х = х. Организуем управление
статическим объектом иначе. Управляющую функцию будем определять
таким образом, чтобы величина
G(«)=l[x°-F(«,a)]2 (21.4)
принадлежала малой окрестности экстремума-минимума, а переход объ-
екта в эту окрестность осуществлялся не мгновенно, а за конечный ин-
тервал времени.
Заметим, что в соответствии с (21.1) разность х° - F(u, а) - х° - х
представляет собой отклонение фактического значения выходной пере-
менной объекта х от заданного значения х°. Из условия абсолютного ми-
нимума G(u) следует уравнение (21.2) и соответствующая ему управ-
ляющая функция w°, вычисляемая по (21.3). Такое решение, как отмеча-
лось, не является конструктивным.
Чтобы построить эффектный алгоритм управления, управляющую
функцию определим дифференциальным соотношением
du(t) dG(u)
—— = A.-------, Л. = const, (21.5)
dt ди
которое соответствует градиентной схеме поиска экстремума G(w). Диф-
ференцируя (21.4) по и, находим выражение для градиента
3G(w) о
- — = ~FU «) (* ~ *) >
ди
_ dF(u, а) _ ,ч
где F = —------. Следовательно, соотношение (21.5) принимает вид
ди
^L = k(x°-x), k=-XFu. (21.6)
dt
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
409
Рис. 21.2
Таким образом, скорость изменения управляющей функции пропор-
циональна величине рассогласования. Поэтому управляющая функция и
вычисляется с учетом фактического состояния управляемого объекта.
Вследствие этого управление осуществляется по схеме с обратной связью
(рис. 21.2).
Процесс в замкнутом контуре описывается уравнениями (21.1),
(21.6). Исключая в этих уравнениях х, будем иметь
— + kF(и, а) = кхй. (21.7)
dt
Пусть характеристика объекта F(u, а) есть монотонно возрастающая
, ЙГ _ _ _
функция, т.е. — > 0. Тогда выходная переменная объекта будет стре-
ди
мится к заданному значению x(t) х°, если к > 0. Чтобы в этом убедить-
ся, достаточно получить условие устойчивости стационарного состояния
х = х° по уравнению в отклонениях. Обозначим Aw = и - w°, Ах = х - х°.
Считая величины Aw, Ах малыми, выполним линеаризацию уравнения
(21.7) в окрестности х°, w°. Так как
F(w° + Aw, а)« F(w°, а) + F„° Aw, F„° = | —)
\ди)и=ио
то по обычной процедуре линеаризации получаем из (21.7):
^^ + fc/r°Aw(0 = 0. (21.8)
Отсюда следует, что если выполняется правило знаков
sign {к) = sign (F?), (21.9)
то справедливо предельное соотношение
Aw(0 = Aw(0)exp (~kF°t) 0, t-> ж.
410
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
По условию характеристика объекта F(u, а) такая, что FB°> 0. Поэтому
согласно правилу знаков коэффициент усиления должен быть положи-
тельным {к > 0).
Итак, если выполняется условие (21.9), то нулевое решение Aw = 0
уравнения в отклонениях (21.8) асимптотически устойчиво. Однако в
соответствии с теоремой А.М. Ляпунова об устойчивости движения та-
ким же свойством обладает исходная нелинейная система. Следователь-
но, стационарное состояние х = х° рассматриваемой системы (см. рис. 21.2),
описываемой нелинейным уравнением (21.7), асимптотически устойчиво.
Состояние х = х° нелинейной системы остается асимптотически устойчи-
вым при неограниченном повышении уровня усиления (к -> оо). Действи-
тельно, разделим обе части (21.7) на к и вычислим пределы при к -» оо.
Так как справедливо u(t) -> w° при t -> оо, то после выполнения указанных
операций получим равенство F(u\ а) = х°, которое соответствует стацио-
нарному состоянию х(оо) = х°.
Процесс изменения выходной переменной x(t) -> х° существенно
определяется видом статической характеристики F(w, а). В этом можно
убедиться, записав уравнение для х(Г). Пусть параметры не зависят от
времени (а = const). Тогда на основании (21.1) будем иметь
х = Fu(u,a)ii=> й = F~l(u, а)х. (21.10)
Подставляя выражение для й из (21.10) в (21.7), получим уравнение для
выходной переменной
x + kFux = кРихй. (21.11)
Из (21.11) следует, что только в случае линейной относительно и харак-
теристики F(w, а) процесс x(t) -> х° проходит по закону экспоненты
x(t) = х° (1 - e.~kF,,t) , FB = const.
В других случаях характер изменения x(t) зависит от вида функции F(w, а).
Синтезируем теперь алгоритм управления, при котором в системе
может быть достигнута сколь угодно высокая точность приближения пе-
реходного процесса x(t) -> х° к заданному эталонному процессу. Задачу
формулируем следующим образом. В начальный момент времени t = 0
состояние статического объекта (21.1) характеризуется велечиной х(0)= По-
требуется синтезировать алгоритм управления в форме обратной связи,
при котором объект переходит в окрестность стационарного состояния
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
411
х = х и продолжает оставаться в этой окрестности бесконечно долго.
Необходимо при этом, чтобы процесс х(1) -> х° с требуемой точностью
следовал за эталонным процессом х (Z) —» х°, определяемым дифференци-
альным уравнением
х* + аох‘ = аох°, а0>0 (21.12)
при соответствующем начальном условии.
Степень приближения x(z) -» х (/) характеризуем величиной
G(u) = |[x‘(/)-F(W,a)]2. (21.13)
Минимизацию G(w) организуем по схеме градиентного метода аналогич-
но (21.5). Дифференцируя (21.13) по и, находим выражение для градиента
dG(u) .
—— = ~Fu («. «) (х - х),
ди
подстановка которого в (21.5) приводит к закону управления
= -х), Л(-ХГИ). (21.14)
dt
Переменная х* выступает в роли требуемого значения выходной
переменной системы в каждый момент времени t > 0. Расчетное соотно-
шение для вычисления х’ можно получить из уравнения (21.12) путем
интегрирования обеих частей по времени с последующей заменой
х*(Г) = x(Z), t > 0. Выполняя указанные операции, получим
х* =а0 J(x°-x)dt. (21.15)
о
Начальное значение х’(0) принято равным нулю.
Уравнения (21.14), (21.15) составляют основу алгоритма управ-
ления. Структурная схема системы с этим алгоритмом изображена на
рис. 21.3. Исследуем динамику процесса управления. Будем считать, что
за время переходного процесса параметры управляемого объекта остают-
ся постоянными (а = const). При таком условии для выходной перемен-
ной выведем уравнение в отклонениях путем линеаризации F(w, а) в ок-
рестности х°, w°. С учетом (21.15) запишем (21.14) в виде
412
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Рис. 21.3
й = к
t
а0 J(x° -x)dt-x
о
(21.16)
Сохраняем принятые ранее обозначения. Тогда на основании (21.1) н
(21.16) будем иметь
t
Дг(О = F'u Дм(0, Лй(/) = -£(а0 |ДхЛ + х). (21.17)
о
Дифференцируя по времени обе части первого уравнения и подставляя
затем в полученное равенство выражение для Дй(/) из второго, находим
Ax + AFB°(a0 |Дхй/+ Дх) = 0. (21.18)
о
Так как FB° = const, то в результате почленного дифференцирования
(21.18) получим искомое уравнение в отклонениях
Дх + £FB°(Ax + а0 Дх) = 0. (21.19)
Как известно, чтобы состояние равновесия Дх = 0 линейной системы
второго порядка было асимптотически устойчиво, необходимо и доста-
точно, чтобы его коэффициенты были положительны. Для уравнения
(21.19) это условие сводится к неравенству kF* > 0. Отсюда следует, что
знак к в уравнении (21.4) должен совпадать со знаком производной
kF° (и, а), что соответствует (21.9). Далее, особенность уравнения (21.19)
состоит в том, что его структура допускает неограниченное увеличение к
без потери устойчивости. В асимптотике (к -» оо) уравнение (21.19) вто-
рого порядка вырождается в уравнение первого порядка Дх + а0Дх= 0,
которое по структуре идентично левой части уравнения (21.12) эталон-
ной модели.
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
413
Отмеченные свойства соответствуют линейному уравнению в от-
клонениях. Однако в силу теоремы А.М. Ляпунова асимптотически ус-
тойчиво также стационарное состояние х= х° исходной нелинейной сис-
темы (см. рис. 21.3), процессы в которой описываются уравнениями
х = F(u, а),
й = к
t
а0 f(x° -x)dt-x
о
(21.20)
Дифференцируя второе уравнение (21.20) по времени, а затем исключая
переменные х, х, получим
й + k\Fu (w, а) й + а0 F(u, а)] = каох°. (21.21)
При конечных значениях х° конечными будут переменные w(Z) и ее про-
изводные. Поэтому справедливо предельное равенство lim —w(/) = 0 при
к
к^> со. Следовательно, в асимптотике (к —> со) из (21.21) находим
Fu {и, а)й + a0F(u, а) = аох° => х + аох = аох°.
Таким образом, при неограниченно высоком усилении процесс в системе
описывается дифференциальным уравнением, которое в точности совпа-
дает с уравнением эталонной модели (21.12). В таком случае процесс
х(0 —> х° теоретически строго совпадает с процессом х (/) —> х°, т.е.
x(Z) = х’(0, t - 0. Это доказывает, что в системе с алгоритмом управления
(21.14), (21.15) можно реализовать (теоретически) динамические характе-
ристики, идентичные динамическим характеристикам эталонной модели.
Практически необходимая для технических приложений точность при-
ближения достигается при конечных значениях к.
21.2. СТАБИЛИЗАЦИЯ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
21.2.1. Постановка задачи
Пусть управляемое движение системы подчиняется уравнению
znx(f) = g(x, х, и), (21.22)
где т - масса; g(x, х, и) - дифференцируемая и однозначная функция
своих аргументов и такая, что уравнение (21.22) имеет единственное ре-
шение, выходящее из точки х(0), х (0) . Принимаем, кроме того, что g(...)
414
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
имеет однозначную обратную функцию g{ \...) относительно и. Уравне-
ние движения (21.22) далее будем представлять в следующем виде:
х(0 = w(x, х, и), w = m~}g(x, х, и). (21.22)'
Функция w(...) - ускорение движения, обладает такими же свойствами,
как и g(x, х, и).
Для рассматриваемой системы синтезируем такой алгоритм управ-
ления, при котором изображающая точка переходит в окрестность ста-
ционарного состояния х(оо) = х° = const. Необходимо при этом, чтобы
управляемый процесс х(Г) -> х° с требуемой точностью следовал за эта-
лонным процессом х (г) -» х°, который определяется дифференциальным
уравнением
х*+а2х*-юцх*-юцх* =аох°, а1а2>а0 (21.23)
при соответствующих начальных условиях. Числовые значения коэффи-
циентов а, назначаются такими, чтобы динамика эталонной модели соот-
ветствовала требованиям задания на проектирование автоматической
системы по быстродействию, точности и другим показателям качества
управляемого процесса.
Степень приближения процессов в эталонной модели и в системе
будем оценивать величиной функционала
G(M) = |[x*(/)-i(/,u)]2, (21.24)
который характеризует мгновенное значение нормированной по массе т
энергии ускорения, вычисляемой в окрестности назначенной траектории
движения. Обозначим через и такую управляющую функцию, при кото-
рой в системе реализуется (теоретически) идеальный процесс х(г) = х (/),
t > 0. Из условия абсолютного минимума (21.24) для и получаем уравнение
w(x, х, w*) = х*(/), />0. (21.25)
Уравнение (21.25) будем решать алгоритмически путем минимиза-
ции функционала (21.24). Как и в предыдущей задаче, откажемся от
мгновенного достижения абсолютного минимума функционала (21.24).
Минимизацию G(u) будем осуществлять по градиентным схемам, огра-
ничиваясь требованием, чтобы значение G(u) в каждый момент времени
принадлежало малой окрестности экстремума-минимума.
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
415
21.2.2. Минимизация функционала по градиентной схеме
первого порядка
Управляющую функцию определим дифференциальным соотноше-
нием
Jw(/) dG(u) 017м
-------------- A , A — const. (21.26)
dt-----------------------------------du-7
С учетом (21.22) и (21.24) имеем
dG(u) ...t ... dw
---------------- -(x - x)— .
du------du
Поэтому из (21.26) находим закон управления в дифференциальной форме
й = *(х* -х), * = -/—] . (21.27)
\SuJ0
о « «Г ЗиЛ
Значение частной производной — соответствует точке стационарно-
vSw/o
го состояния х° = const. Требуемое значение ускорения х* вычисляется
по соотношению
t
х* =а0 |(х° -x)dt-a{x-a2x, (21.28)
о
которое получается из уравнения (21.23) после однократного интегриро-
вания обеих частей и последующей замены s = x(s), s = 0,1. Началь-
ные значения переменных принимаются равными нулю.
Уравнения (21.27), (21.28) запишем в другой форме, проинтегриро-
вав обе их части по времени. В результате получим уравнения алгоритма
управления в окончательном виде
и = к(х* - х),
(21-29)
х* = ](а0ф-а1х)Л-а2х, q>= j(x° -x)dt.
а. о
Структурная схема замкнутой системы, соответствующая (21.29), изо-
бражена на рис. 21.4.
416
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Управляемый объект
I--------------------1
Рис. 21.4
Управляемый процесс описывается уравнениями
х = —g(x, х, и),
т
(21.30)
где операторное выражение
2
a(D) = D3 + ^avZ)v
v=0
соответствует левой части уравнения эталонной модели (21.23). Уравне-
ние для й получено из (21.27) после подстановки в него выражения
(21.28), записанного в операторной форме:
х* =^-x°--^(a0+a1Z) + a2Z)2)x(/).
Исключим в (21.30) управляющую функцию и. С этой целью продиффе-
ренцируем почленно первое уравнение, а затем подставим выражение для
й в полученное равенство. После дифференцирования имеем:
х + а1х + ахх = Ьй, (21.31)
где переменные во времени коэффициенты - частные производные
1^, (,,1^. (2132)
т дх т дх т ди
В общем случае aI2 и b нелинейно зависят от х, х, и. Подставим теперь
выражение для й из (21.30) в (21.31), в результате получим уравнение
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
417
3 2
х(4) + У +kb(x + У avx(v)) = kba()x°, (21.33)
ц=1 v=0
коэффициенты которого равны: а* =а}, а2 = ц + а2, а2 =а2, где точки
обозначают производные во времени. Понятно, что в общем случае а* -
нелинейные функции х, х, и.
Исследуем свойства замкнутой системы, рассматривая ее движение
в малой окрестности стационарного состояния х = х°. Анализ выполним
по уравнению первого приближения. Такое уравнение можно получить
из (21.33). Для этого необходимо коэффициенты а12 и b вычислить по
(21.32) в стационарной точке. В таком случае эти коэффициенты будут
постоянными величинами. Обозначим их а®2 и Ь°. Следовательно, а* в
(21.33) будут равны
^‘=42°= 0, а2 = а?+а2 =а°, а2 = а2. (21.34)
Далее, в окрестности х° принимаем x(f) = х° + Ax(Z), где Дх(/) - малая ве-
личина. Тогда с учетом (21.34) будем иметь
з
х(4) + = Дх(4) + a2tix + а°Дх ,
и=1
(21.35)
2 2
х + У avx^ = Ах + У йу&х^ .
v=0 v=0
Подставляя (21.35) в (21.33), находим искомое уравнение, которое запи-
шем в операторной форме
[£>24(£>) + &>°а(Г>)]лх(/) = 0, (21.36)
где операторный трехчлен
Л0(£>) = £>2+а°£> + а]°.
Порядок операторного полинома ГРА^Р) на единицу выше порядка
а(£>), поэтому уравнение (21.36) обладает следующими свойствами:
а) если выполняется правило знаков
14-9516
418
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
sign(A) = sign , (21.37)
\ди J
то при любых конечных коэффициентах полинома Aa(D) всегда сущест-
вуют такие значения к > к , при которых нулевое решение Ах(/) = 0 асим-
птотически устойчиво;
б) структура уравнения (21.36) допускает неограниченное повыше-
ние уровня усиления при сохранении асимптотической устойчивости
нулевого решения; в асимптотике (к -> оо) дифференциальное уравнение
четвертого порядка
[п2Л0(/Э) + AZ>°cx(jD)]ax(T) = kb°a0&x° (21.38)
вырождается в уравнение третьего порядка а(£>)Дх(/) = а0Ах°, которое с
точностью до обозначений совпадает с уравнением (21.23) эталонной
модели.
Далее принимаем, что g(x, х, и) - неубывающая функция такая, что
— > 0 и правило знаков (21.37) выполняется.
kou J
Отмеченные свойства установлены для линейной системы в откло-
нениях. Однако согласно теореме А.М. Ляпунова об асимптотической
устойчивости нелинейных систем, такими же свойствами обладает ис-
ходная нелинейная система, процессы в которой описываются уравнени-
ем (21.30). А именно, справедливо следующее:
1°. Для нелинейной системы (21.22) с алгоритмом управления
(21.29) всегда можно указать такие значения к > к , при которых стацио-
нарное состояние х = х° асимптотически устойчиво.
2°. При неограниченном повышении уровня усиления асимптотиче-
ская устойчивость стационарного состояния х = х° сохраняется. В асим-
птотике нелинейное дифференциальное уравнение (21.33) вырождается в
линейное уравнение третьего порядка a(D)x(t) = a.ax°, которое иден-
тично уравнению эталонной модели.
Следовательно, в случае к -> оо процесс x(t) -> х в управляемой сис-
теме асимптотически приближается к эталонному процессу x\t) -> х°.
Это означает, что путем повышения уровня усиления (Л) теоретически
может быть достигнута любая наперед заданная степень приближения
x(Z) -> х’(/) при любом t > 0.
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
419
21.2.3. Минимизация функционала по градиентной схеме
второго порядка
Для вычисления управляющей функции по уравнениям (21.29) не-
обходимо иметь информацию об управляемой переменной (х) и скорости
ее изменения (х). Синтезируем алгоритм управления, для аппаратной
реализации которого не требуется измерять х. С этой целью минимиза-
цию функционала (21.24) будем осуществлять по градиентной схеме вто-
рого порядка. Управляющую функцию определим дифференциальным
соотношением
d2u(f) ,du(t) dG(u)
---+ h —— = р ——, р, h = const. (21.39)
dt2 dt du
С учетом выражения для градиента функционала дифференциальный
закон управления (21.39) принимает вид
й + hit = к(х* - х), к = -р| — | . (21.40)
\ди)й
Требуемое значение ускорения х* вычисляется по (21.28). Выполнив
интегрирование обеих частей (21.40) и (21.28), уравнения алгоритма
управления запишем в виде
u + hu = k(x -х), (21.41)
' t
х = ](а0ф-а1х)с//-а2х, ф = ^(х°-х)сй
о 0
или в окончательной форме - после повторного интегрирования:
t
и = к(х* -x)-h judt,
о
t i
X* = |(ф]-a2x)dt, ф! = ]"(аофо-a.xx~)dt, (21.42)
о о
14*
420
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
Фо = J(*° ~x)dt.
о
Из (21.42) следует, что для вычисления управляющей функции дос-
таточно информации о переменных х, и. Важно, однако, что при опреде-
ленных условиях, которые будут установлены при анализе системы, ал-
горитм (21.42) придает системе такие же свойства, как и алгоритм
(21.29).
Исследуем динамику системы в окрестности стационарного состоя-
ния х = х°. Управляемый процесс описывается уравнениями
х + а2х + Д]Х = Ьй ,
(21.43)
й =---------|аох° - а(£>)х(Г)1,
D(D + h)1 ° v v 'J
первое из которых соответствует (21.31), а второе получено из (21.40)
после подстановки в него выражения
х*-х = ± [аох° - a(D) х(Г)].
Из (21.43) получим уравнение в отклонениях, имея в виду, что коэффи-
циенты Д] 2 и b нелинейно зависят от х, х и и. Для этого выполним сле-
дующее. В первом уравнении (21.43) коэффициенты Д1>2 и b заменим их
постоянными значениями а°2, Ь°, вычисленными в точке стационарного
состояния. Так как в этой точке х°, и° = const, то для малой окрестности
х°, и° принимаем х(Г) = х° + Ах(Г), u(f) = и° + А(Г) и после вычислений,
аналогичных (21.33), получим уравнение
Дх + а2Дх + а® Дх = Ь° Ди . (21.44)
Наконец, в (21.44) подставим выражение
t
Дй =-----------а(£))Дх(Г),
D(D + h)
УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
421
которое следует из второго уравнения (21.43). В результате найдем иско-
мое уравнение первого приближения
[n2 (D + h) Aq (£>) + ta°a(Z))] Ax(t) = 0, (21.45)
справедливое для малых отклонений управляемой переменной от ста-
ционарного состояния. Операторное выражение Ло(£>) определяется, как
и в (21.36).
Степень полинома a(Z>) на две единицы меньше степени
D2(D + h) A0(D). Поэтому при неограниченном повышении уровня уси-
ления (к оо) система будет сохранять свойства асимптотической устой-
чивости только при определенном соотношении между ее параметрами.
С помощью обычной методики можно показать, что таким соотношением
является неравенство a® + h < a2 Если это неравенство выполняется для
всех х из интервала [х0; х°], то нелинейная система с алгоритмом управ-
ления (21.42) будет обладать такими же свойствами 1°, 2° как и система с
алгоритмом (21.29).
Лекция 22
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
ДВИЖЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
Синтезируются алгоритмы управления нетрадиционной структуры.
Показано, что предлагаемые алгоритмы переводят систему из начального
состояния на границу области существования скользящих режимов, а
затем реализуют скользящее движение изображающей точки системы по
фазовой траектории эталонной модели. Синтез алгоритмов не связан с
необходимостью решения сложной математической задачи, а для реали-
зации их уравнений достаточно минимального объема информации - из-
мерений координаты положения управляемого объекта.
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, в скользящих режимах системы обладают рядом при-
влекательных свойств, которые недостижимы при использовании тради-
ционных непрерывных алгоритмов управления. Впервые этот вид дви-
жения преднамеренно вводился в систему при построении вибрационных
регуляторов, которые нашли широкое применение в практике регулиро-
вания напряжения авиационных, автомобильных и тракторных генерато-
ров. В ряде случаев именно во время движения в скользящем режиме
реализуется оптимальное управление, доставляющее минимум функцио-
налу, который характеризует качество управляемого процесса.
Особенности синтеза алгоритмов управления движением в скользя-
щих режимах традиционными методами заключаются в следующем: оп-
ределение уравнения гиперповерхности переключения сопряжено со зна-
чительными математическими трудностями; наряду с этим практическая
реализация поверхности переключения сопряжена с большими техниче-
скими трудностями, так как требуется иметь информацию о производных
высокого порядка. Избежать эти трудности оказывается возможным при
использовании идей управления, составляющих основу методов обрат-
ных задач динамики в сочетании с алгоритмами информационного обес-
печения. Эти возможности исследуются в настоящей лекции.
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
423
22.1. СТРУКТУРА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим управляемый процесс, математическая модель которого
представлена дифференциальным уравнением
A(D)x(t) = B(D)u(t),
A(D) = Dn + ^avDv, B(D) = Dn +^Ь^, (22.1)
v=0 ц=0
(m < и - 1),
где D - оператор дифференцирования по времени t; х - управляемая пе-
ременная; величина управляющей функции ограничена | й(/)| = U, т.е.
она может принимать два значения +U и -U. Это означает, что в струк-
туре системы имеется релейный элемент. Принимаем, что нули полино-
мов В(р) и А(р) расположены слева от мнимой оси комплексной плоско-
сти р.
Пусть динамические характеристики эталонной модели
а(П)Я0 = ₽(^)хвх(0,
г-1 /
a(D) = Dr +Y^D‘, р(Л) = ^₽,П' (22.2)
i=0 j=0
соответствуют требованиям задания на проектирование автоматической
системы. Здесь ХО и xBX(t) - выходная переменная эталонной модели и
входная функция. Степени операторных полиномов уравнения модели
должны удовлетворять неравенству
г > п + 1-т-1. (22.3)
В таком случае алгоритм вычисления управляющей функции не будет
содержать операции дифференцирования входного сигнала.
Алгоритм управления строим на основе соотношений
й = F(u) = t/sign(w), u(t) = Z?[y(””m~l)(z)-x(”~'”~l)(/)],
к = const > 0. (22.4)
Требуемое значение производной у("“'и'|>(0 вычисляется по уравнению
= _Е[р(П)Хвх(,) -a'(D)x(0],
424
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
Рис. 22.1
y = r-n-m + \, a'(D') = a(D')-Dr, —= Г(...)с*, (22.5)
D о
которое получено из уравнения эталонной модели (22.2). При вычисле-
нии интегралов начальные значения переменных принимаем равными
нулю.
С учетом (22.5) управляющую функцию можно записать в виде
«(О =^[₽(£>)хвх(/) -а(О)х(/)]. (22.6)
Так как, согласно (22.1), выходная переменная
х(Г) =
^F(«),
Я(О)
(22.7)
то эквивалентная схема замкнутой системы будет такой, как показано на
рис 22.1. Исследуем условия возникновения автоколебаний в рассматри-
ваемой системе.
22.2. УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ СКОЛЬЗЯЩЕГО РЕЖИМА
Нелинейный элемент F(u) включен в прямую цепь замкнутого кон-
тура. Если в этом контуре отсутствуют автоколебания, то их не будет и в
системе. Исследования проведем, используя методику гармонической
линеаризации. Это допустимо, так как для непрерывной части системы
выполняется условие фильтра. В соответствии с (22.1) - (22.3) и (22.7) в
передаточной функции линейной части разомкнутого контура
№(р)а(р)
р’«Р>
(22.8)
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
425
степень полинома числителя равна г + т, что на единицу меньше степени
полинома знаменателя. Поэтому справедливы следующие соотношения:
lim |И'л(ио)| = 0 , lim argH^(zco) = . (22.9)
(О—>00 со—>00 2
Для существования автоколебаний с частотой ш0 должно выполняться
условие
ИИ(„)| =-----!—, W(a\ = — (22.10)
где И^н(д) - передаточная функция гармонически линеаризованной
характеристики F(w), а - амплитуда предполагаемых автоколебаний. Ра-
венства (22.9) означают, что независимо от передаточной функции ука-
занной структуры годограф разомкнутой системы при а —> оо подходит к
началу координат под углом
-л
Т’
причем на действительной
оси выходит из области, охваченной годографом ^(zco), что показано на
рис. 22.2. Это означает, что в системе существуют устойчивые автоколе-
бания м(Г) с параметрами а0 и соо такими, что а0 -> 0 и соо -> оо. Такая си-
туация соответствует возникновению в контуре старшей производной
скольжения в режимах, близких к установившимся.
Рассмотрим процесс движения в скользящем режиме и покажем, что
линией скольжения является фазовая траектория эталонной модели. На
основании того, что амплитуда автоколебаний u(t) стремиться к нулю,
можно записать уравнение линии переключения
Imp
u(t) =-кис (f) = О, (22.11)
лежащей на соответствующей ги-
перповерхности. Согласно струк-
турной схеме, изображенной на
рис. 22.1, и уравнению (22.11)
имеем
t t
«с(0= J..f[₽(D)xBX(/)-a(B)x(/)]x
о о
~x.dt... dt = 0.
(22.12)
Рис. 22.2
426
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
Пусть tz - момент времени начала скольжения. При t < tz равенство
(22.12) может выполняться лишь в отдельные моменты времени tj. Если
t Ф tj, то u(t) 0. Управляющая функция в этом случае принимает одно из
двух возможных значений ±17. Уравнение (22.11), а следовательно, и
(22.12), выполняется для всех t > tc. Это возможно только в том случае,
когда подынтегральная функция равна нулю, т.е.
^a/x<°(0-S₽7x<i')(0 = 0, t>te. (22.13)
<=0 7=0
Равенство (22.13) представляет собой дифференциальное уравнение,
которое в точности совпадает с дифференциальным уравнением (22.2).
Это доказывает, что линией скольжения изображающей точки системы
является фазовая траектория эталонной модели.
Проверим выполнимость условий скольжения по этой линии. Для
простоты будем рассматривать свободное движение системы, т.е. хвх = 0
при произвольных начальных условиях (х0 , ..., х^”-|>). В таком случае
уравнение линии скольжения с учетом соотношения (22.12) имеет сле-
дующий вид:
t t
uc(t) = J... ]а(В)х(Г)б* ...dt = 0.
о 1 о
После интегрирования найдем
цс(Г) = х(л-'"-|) + агЧх("’"-2) + ... + аух + ... +
t I
+ а0 J... Jx(/)t*...6* + /()(x(),x(), .... хо’1, t). (22.14)
о 7 о
ЗдесьУо - полином степени у - 1 относительно t, коэффициенты которого
определяются начальными условиями.
Как известно [16, 4], для существования скользящего режима долж-
ны выполняться следующие условия:
lim йс<0, lim йс>0. (22.15)
uc->+0 ис-*+0
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
427
Неравенствами (22.15) определяется область скольжения на гиперпо-
верхности переключения. Дифференцируя уравнение (22.14), получим
ис(0 = +а^1х(”-т-1> + ... +аух+ ... +
I t
+ aof Jx(z)<*...<*4-/0(х0,х0,..., xq-', ^)- (22.16)
о у ’о
Чтобы с момента времени t = tc выполнялось условие скольжения
на гиперповерхности переключения, должен изменяться знак йс. Так как
разность степеней полиномов A(D) и B(D) дифференциального уравнения
модели объекта равняется п - т, то единственным сигналом, который
изменяет свое значение скачкообразно и в соответствии с уравнением
(22,16) может изменить знак йс, является функция x(n-m). Из уравнения
управляемого объекта (22.1) получим
i i i
х("~т) =bmu+bm_} [u(t)dt+... + b0 [... [«(/)<*...<*-
о ov 'о
-a„_1x(”-m-1) -...-a0 f... fx {t)dt... dt + f(xa, ..., x*"-1», t) . (22.17)
Здесь/ - полином степени m - 1 относительно t, коэффициенты которого
определяются начальными условиями. Подставим выражение (22.17) в
уравнение (22.16), в результате найдем
+ /0(х0,..., хГ0, O+/i(xo, 0- (22.18)
Так как в момент переключения сигнал S' не изменяется, то для измене-
ния знака йс должно выполняться условие
|S|<V7. (22.19)
Это неравенство и выделяет область скольжения на поверхности пе-
реключения. Его выполнение с необходимостью обеспечивает справед-
428
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
ливость неравенств (22.15). Действительно, при любом ис имеют место
равенства sign(w) = sign(w) = -sign(wc). Если справедливо (22.19), то из
(22.18) следует sign(wc) = sign(«). На этом основании справедливо
sign(wc) = — sign(z7c.), что гарантирует выполнение условий (22.15) на ли-
нии скольжения.
22.3. МОДЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР
Уравнения алгоритма управления (22.4) и (22.6) содержат производ-
ные х(л' до порядка п - т - 1 включительно. Для аппаратной или про-
граммной реализации этих уравнений производные необходимо заме-
нить их вычисленными значениями по модели управляемого объекта.
Эти вопросы рассмотрены на примере системы третьего порядка с пере-
даточной функцией
W(p) =-----------------,
ХттР + 1)(тэР + 1)
к0 - 1 рад В'1, тт=0,5с, тэ=0,1с, U = 10 В. (22.20)
Такая передаточная функция соответствует двигателю постоянного тока
с независимым возбуждением. Потребуем, чтобы для вычисления управ-
ляющей функции было достаточно только измерения х(/).
Уравнение эталонной модели принимаем в виде
т2у+ V2ry+ у = хвх, т=1с. (22.21)
В данном случае, согласно (22.3), имеем порядок эталонной модели
г = 2. В соответствии с (22.4) управляющая функция вычисляется по
уравнению
w(Z) = Л[(^(/)-х(/)], к = const >0. (22.22)
Требуемое значение старшей производной вычисляем по соотноше-
нию
1 41
= — *, (22.23)
т Т
которое следует из уравнения (22.21) при подстановке у = х, у = х.
Для аппаратной реализации алгоритма управления (22.22) и (22.23)
запишем в виде
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
429
w(0 = А[у(О - X, (01, у = 4“ Овх - *)------ хв,
т т
t I
хв = b0 [udt -atx-a2xB, хв = jxBdt,
о о
«1=Стоттэ)_1, а2 =(ти +т,)а1( Ьо=коах.
(22.24)
Отметим, что соотношения для вычисления старших производных
выведены по дифференциальному уравнению модели объекта. Структур-
ная схема замкнутой системы с алгоритмом (22.24) приведена на рис. 22.3.
Выполним анализ системы (22.12). Годографы частотных характе-
ристик линейной и нелинейной частей системы, полученные в соответст-
вии (22.8) и (22.10), изображены на рис. 22.4. Годограф ^(zco) при лю-
Рис. 22.3
Рис. 22.4
430
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
бых значениях и расположен в правой полуплоскости. При со —> °о гра-
фик подходит к началу координат под углом . В данном слу-
чае годографы 1Ел(/со) и не пересекаются при любых конечных
значениях и, что соответствует выполнению условия отсутствия автоко-
лебаний в системе. При и —> оо и а —> 0 годографы соприкасаются таким
образом, что прямая -W~\a) выходит из области, заключенной между
положительной полуосью абсцисс и кривой lFn(/co). Теоретически это
означает, что в системе существуют устойчивые автоколебания беско-
нечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды, что соответст-
вует процессу скольжения.
На рис. 22.5 изображены графики переходных процессов x(t), Х0 в
системе и в эталонной модели в свободном движении. Процесс входа
системы в скользящий режим можно наблюдать по графику управляю-
щей функции u(z). Как видно из рис. 22.5, до начала скольжения проис-
ходит лишь несколько переключений. Изображающая точка попадает в
область 5 в момент времени ?с, и после первого же переключения при
t = tc начинается процесс скольжения.
Эффективность алгоритмов исследована в задаче управления мо-
дельной системой, в которой осуществляется квантование сигналов по
уровню.
Причем весь диапазон изменения управляющего напряжения разде-
ляется на четыре кванта и оно может принимать значения ± 10 и ±5 В.
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ В СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМАХ
431
Рис. 22.6
Несмотря на столь грубую аппроксимацию (квантование) сигнала, в сис-
теме с высокой точностью реализуется эталонный процесс. Это показано
на рис. 22.6, где используются ранее принятые обозначения.
Таким образом, синтез алгоритмов управления в скользящем режи-
ме заключается в следующем.
1. По заданным требованиям к динамике проектируемой системы
формируется эталонная модель.
2. По уравнению эталонной модели формируется выражение для
вычисления требуемых значений производных выходной переменной
модели.
3. По уравнению управляемого объекта формируется алгоритм ин-
формационного обеспечения, по которому вычисляются производные
управляемой переменной.
Алгоритмы предлагаемой структуры переводят систему из началь-
ного состояния на границу области существования управляемого сколь-
жения и реализуют скользящее движение изображающей точки в окрест-
ности фазовой траектории эталонной модели. Определение структуры
алгоритмов не требует решения сложной математической задачи, а для
аппаратной реализации уравнений алгоритма достаточно минимального
объема информации - измерений координаты положения управляемого
объекта. Существенно также, что развитый метод позволяет синтезиро-
вать системы, обладающие наперед заданными динамическими свойст-
вами. Это достигается заданием соответствующих динамических харак-
теристик эталонной модели.
Лекция 23
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМАХ
В настоящей лекции исследуются возможности гашения автоколе-
баний с помощью алгоритмов управления, которые синтезируются в ре-
зультате решения задачи минимизации функционалов, характеризующих
энергию движения, вычисляемую в окрестности фазовых траекторий эта-
лонных моделей, с помощью которых назначаются динамические харак-
теристики управляемой системы.
Получены необходимые и достаточные условия гашения автоколе-
баний для систем с типовыми нелинейными элементами. Эффективность
алгоритмов гашения автоколебаний исследуется применительно к мо-
дельной нелинейной системе, для которой традиционные схемы коррек-
ции не обеспечивают решение задачи стабилизации. Найдены условия
возникновения скользящих режимов в системах общего вида с различ-
ными нелинейными характеристиками. Показано, что линией переклю-
чения в системах с разрывным управлением является фазовая траектория
движения эталонной модели.
23.1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ГАШЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ
Рассматриваем одномерную управляемую систему, движение кото-
рой описывается уравнениями
«-1 «-1
х(в\()ф/>(()= (23.1)
v=0 v=0
й(Г) = F(w),
где х - выходная переменная, и - управляющая сила, нелинейно завися-
щая от управляющей функции и. Обозначая оператор дифференцирова-
ния по времени D = dldt, дифференциальное уравнение (23.1) запишем в
операторной форме
Л(£>)х(0=ад«Ю,
(23.2)
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 433
где операторные выражения
A(D) = Dn+ ^avDv, BfD^^Tb^. (23.3)
v=0 v=0
Принимаем, что нули полинома А(р) могут быть расположены на
комплексной плоскости р как слева, так и справа от мнимой оси Rep = О,
а нули полинома В(р) расположены только слева.
Управляющую функцию определим соотношением
и = л[у(т)-х(т)], k = const, у — п — т — \, (23.4)
где у1т) - требуемое значение производной управляемой переменной, при
котором фазовая траектория управляемой системы (23.1), (23.4) в случае
й = и теоретически точно следует за фазовой траекторией эталонной мо-
дели
a{D)y(t) =
a(D) = DN + £a’D’, ₽(D) = ^jDJ, (23.5)
s-0 7=0
N >y + l.
Отметим, что назначение порядка N > у +1 операторного полинома
a(D) обеспечивает отсутствие операции дифференцирования входного
сигнала xBX(t) при вычислении производной yM(i). Значение производной
определяется формулой
/т)(0 = -^7[т*Вх (0 - а'(£>)х(0], (23.6)
a'(D) = a(D)- DN, r = N-n + m + \=N-y,
которая получается после интегрирования N - у раз по времени обеих
частей уравнения эталонной модели (23.5) с последующей подстановкой
y(v)(t) = х(л)(0, 5 = 0,1» •••> Y -1- При этом начальные значения перемен-
ных принимаются равными нулю, что соответствует математическому
описанию линейных динамических систем в форме передаточных функ-
ций. Получим условия, при выполнении которых алгоритм управления
434 ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
вида (23.4), (23.6) осуществляет гашение автоколебаний в системах с раз-
личными типовыми нелинейными характеристиками F(w).
Найдем передаточную функцию линейной части системы с алгорит-
мом управления (23.4), (23.6). С этой целью подставим выражение для
/(?) из (23.6) в (23.4). В результате получим
к,
и(0 = — [₽(D)Хвх (?) - а(£>)х(?)]. (23.7)
В соответствии с (23.2) имеем
х(?) = В(£>)Л’'(£>)й(?). (23.8)
Подстановка (23.8) в (23.7) приводит к уравнению замкнутой линейной
системы:
P(D)xBX(O-a(D)^u(O .
о(М)
(23.9)
Принимая здесь хвх = 0, получим выражение для передаточной функции
линейной части разомкнутой системы:
= = (23.10)
и(р) ргА(р)
где и(р) и й(р) - изображения по Лапласу управляющей функции u(t) и
управляющей силы й(?).
На рис. 23.1 изображена эквивалентная структурная схема замкну-
той системы. Ее уравнения имеют вид:
Л (£>>(?) = B(D) u(t), й(?) =F(u), (23.11)
и(0 = -^[₽(£>Кх-а(£>)х(?)].
Рис. 23.1
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 435
Исключив x(t) в (23.11) и положив хвх = 0, получим уравнение (23.9) ли-
нейной системы, что доказывает эквивалентность рассматриваемых
структур.
Нелинейный элемент с характеристикой F(u) включен в прямую
цепь замкнутого контура. Если в этом контуре нет автоколебаний, то их
не будет и в системе в целом. Найдем условия, при которых автоколеба-
ния невозможны. Поступим следующим образом. Допустим, что в замк-
нутом контуре существуют автоколебания. Из (23.5) и (23.10) с учетом
(23.3) следует, что степень полинома числителя передаточной функции
W„(p) на единицу меньше степени полинома знаменателя и равна N + т.
Это означает, что для передаточной функции линейной части (23.10) вы-
полняется условие фильтра и при исследовании нелинейной системы
можно применить методику гармонической линеаризации характеристи-
ки F(u). Обозначим через а0 и <оо амплитуду и частоту первой гармоники.
Пусть функции F(u) соответствует гармонически линеаризованная пере-
даточная функция
^н(р) = 2т4 = ^) + — Р, (23.12)
w(p) (0
где q(a), q'{a) - коэффициенты гармонической линеаризации. Чтобы су-
ществовали в системе автоколебания с частотой <оо и амплитудой а0,
должно выполняться условие
=-1.
(23.13)
которое соответствует пересечению годографом Найквиста действитель-
ной оси в точке (-1), т.е. на границе устойчивости. С учетом (23.10) ра-
венство (23.13) запишем в виде
1
Ки(р> Оо) Р=,Шо
А(р)рг
р=и»0
(23.14)
Будем рассматривать нелинейные характеристики, которые симмет-
ричны относительно точки (0, 0) системы координат (и, й). Далее при-
нимаем, что порядок эталонной модели наименьший из допустимых, т.е.
N = у + /. Как будет ясно из анализа, в таком случае имеет место наибо-
лее неблагоприятная ситуация с точки зрения обеспечения устойчивости
436 ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
системы. Для принятого значения N соотношения (23.14) запишем в
следующем виде
Д(/С0о)а(>(0о)
Л(/ш0)(/ш0)г
Ч))р=<<Оо
(23.15)
где характеристика нелинейного элемента
Л/Н(;<оо,а) = Л/Н(а) = - Slgn(^ (23.16)
q(a) + iq (а)
Чтобы система была устойчивой, должно выполняться правило знаков
kq(a) > 0 => sign(A) = sign(^(a)). (23.17)
С учетом (23.17) характеристику (23.16) можно записать в следующей
равносильной форме
(23.|8)
q (a)+q' (а)
Из (23.18) следует, что для любых нелинейных характеристик рас-
сматриваемого вида справедливо
Re[A/H(a)] < 0. (23.19)
Для характеристик типовых нелинейных элементов коэффициент
гармонической линеаризации q(a) > 0. Тогда по правилу знаков (23.17)
коэффициент усиления с необходимостью должен быть положительным,
т.е. к > 0.
Сгруппируем характеристики известных типовых нелинейных эле-
ментов по трем классам: 1 - однозначные; 2 - характеристики типа люфт
и гистерезис с запаздыванием переключения; 3 — гистерезис с упрежде-
нием переключения. Типовые характеристики этих классов указаны в
табл. 23.1. Соответственно этой классификации обозначим через q[(а),
<72(0), <7з(а) коэффициенты гармонической линеаризации. Из формул для
определения q' {а) можно установить, что
^'(а)=0, q'2(a) <0, q'3(a)>0. (23.20)
Следовательно, с учетом (23.18) можно утверждать, что для нели-
нейных характеристик первого класса годограф Мн(а) полностью проходит
по действительной оси в области отрицательных значений. Годографы
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 437
23.1. Характеристики нелинейных элементов
Класс a = F(u) Мн (а) u=F(u) Мн (а)
1 и и V, а 0 й 1 V а 0
1 и - а “и
и V _а 0 й V а 0
*и У ! и - а и
а V а Р**— и f V а ——j 0
и 1 0 "и и и
2 и V, и и II V, ои
а о” _и и У
й у. и и LJ V У
и о‘ ! и о'
3 й а у а 1 а у
—1— и 0 ’(/ и 0 У
438 ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Л/Н(а) нелинейных характеристик второго класса полностью расположе-
ны в третьем квадранте, а характеристик третьего класса - во втором
квадранте.
Автоколебания в замкнутом контуре будут отсутствовать, если го-
дографы Мл(а) и 1Ен(/(») не пересекаются, т.е. равенство (23.15) не имеет
места. Для нелинейных характеристик, обладающих свойствами (23.20),
возможность пересечения годографов определяется структурой переда-
точной функции Wn(p). Рассмотрим различные варианты структур W„(p).
Пусть А(р) = p^A'lp). При этом А'(0) * 0. В таком случае согласно (23.14)
справедливы равенства
limarg[0'J1(z®)] = --J(r + p),
со—>0 2
lim arg(/и)] = оо, г + ц^О.
со->О
(23.21)
При вычислении пределов учитываем, что cto = 0. Вычислим прира-
щение аргумента Ил(1и) в случаев и -> оо. Так как
arglX,, (/и)] = arg[B(/®)] - arg[^(z®)] + arg[a(z®)] - у I,
то с учетом (23.3) и (23.5) находим
lim arg[Хл(ко)] = (?n-1)—. (23.22)
<0->оо 2
Будем рассматривать наихудший с точки зрения устойчивости случай,
когда степень полинома числителя передаточной функции управляемого
объекта т = 0. В этом случае для рассматриваемой структуры W„(p) с
учетом (23.22) имеем следующие предельные равенства
lim arg[lFn(z(o)] = , lim arg|W,JI(za>)| = 0. (23.23)
(0—>00 2 Cl)->00
Возможные очертания годографов 1Ел(/ю) изображены на рис. 23.2.
Номера годографов 1, 2 и 3 соответствуют значениям г + ц = 1, 2, 3. От-
метим, что для приведенных годографов выполняется условие
arg
a(zio)
A'(ia)
= arg[a(z'a>)]-arg[/f(za>)]> 0,
(23.24)
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 439
которое имеет место в том случае, когда полоса пропускания частотной
характеристики объекта шире полосы пропускания частотной характери-
стики эталонной модели. Это означает, что доминирующие полюсы, оп-
ределяемые полиномом А'(р), расположены левее полюсов, определяе-
мых полиномом а(р). Поэтому годограф а(/и) закручивается в направле-
. B(ia)
нии против часовой стрелки быстрее, чем годограф----- закручивается
Л'(/ю)
в противоположном направлении. Вследствие этого оказывается спра-
ведливым неравенство (23.24).
Годографы Мн(а) трех классов нелинейных характеристик изобра-
жены на рис. 23.3. Номера 1, 2 и 3 обозначают характеристики соответст-
вующих классов. Анализируя очертания годографов, приходим к выводу
о том, что дуги окружностей бесконечного радиуса и = 0 пересекают
годографы Мл(а) нелинейных характеристик всех классов, если г + ц > 3
и только второго класса, если г + ц = 2. В случае, когда г + ц = 1, годо-
графы не пересекаются. На этом основании формулируем следующий
результат: необходимым условием отсутствия автоколебаний в системах
с нелинейными характеристиками первого и третьего классов является
выполнение неравенства
г<2-ц; (23.25)
необходимым условием отсутствия автоколебаний в системах с нелиней-
ными характеристиками второго класса является выполнение неравенства
440 ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
г<1-ц;
(23.26)
Существенно, что условия (23.25) и (23.26) являются и достаточными, так
как имеет место неравенство (23.24).
Сформулированный результат получен для систем, частотные харак-
теристики которых отвечают свойствам (23.23). Однако он тем более спра-
ведлив для систем с передаточными функциями, степень полиномов чис-
лителя которых отлична от нуля. В этом случае при оговоренных условиях
относительно структуры эталонных моделей справедливо неравенство
arg
a(zco)B(z'co)
H'(z'co)
>0,
(26.27)
поскольку нули полинома В(р) расположены в левой полуплоскости.
Таким образом, если структура и параметры эталонных моделей от-
вечают условиям (23.25) - (23.27), то алгоритмы управления вида (23.4),
(24.6) будут обладать замечательным свойством гашения автоколебаний
даже в тех случаях, когда традиционные методы синтеза не позволяют
решить эту задачу. Важно при этом, что методика синтеза алгоритмов
остается такой же, как и в случае линейных объектов. Кроме того, наряду
с решением задачи гашения автоколебаний, в системе реализуются тре-
буемые динамические характеристики, определяемые эталонными моде-
лями. Это обусловлено тем, что при соответствующем уровне усиления
траектория движения управляемой системы практически совпадает с фа-
зовой траекторией эталонной модели.
23.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой изо-
бражена на рис. 23.4. Передаточная функция линейной части
»-,(,)---------Ь
+ + «(Р)
(23.28)
соответствует электродвигателю постоянного тока с независимым возбу-
ждением. Для этой системы синтезируем алгоритм стабилизации выход-
Рис. 23.4
ной переменной х(г), т.е. угло-
вой координаты. Принимаем,
что вычисление управляющей
функции должно выполняться
только по измерениям х(г). По-
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
441
требуем, чтобы переходный процесс в системе стабилизации с необходи-
мой точностью приближался к процессу, описываемому дифференциаль-
ным уравнением
х2 у + y/lxy + у = хвк. т >тах(7], Т2). (23.29)
Уравнение алгоритма стабилизации принимаем в виде
и = к(у-х), к>0. (23.30)
Требуемое значение у вычисляем по соотношению
1 42
у = -т(хВК-х)----хв, (23.31)
Г т
которое следует из (23.29). Величины хв и хв определяются по формулам
1*В>
(23.32)
t
хв = .
о
В соответствии с принятыми ранее обозначениями для рассматриваемого
объекта и эталонной модели ц = 1, I = 0 и, следовательно, выполняется
неравенство (23.25). Это означает, что система с алгоритмом (23.30) -
(23.32) будет устойчива независимо от типа нелинейной характеристики
из указанных в табл. 23.1.
Отметим, что в случае релейной характеристики для этого алгорит-
ма существенное значение имеет только знак к, т.е. sign(A) > 0. Поэтому
можно принять к = 1.
В рассматриваемом случае
a(D) = D2 + Jlx~lD + x~2.
p=i(i)
Следовательно на основании (23.10) и (23.16) имеем
л p(TlP + l)(T2p+l)
М (а) =---—.
9(а)
Принимаем следующие значения параметров:
Ао = 1рад В-1, 7) =0,5 с, 7’2 = 0,1с, т=1с, С/=5В.
442 ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Годографы (Vn(ia) и Ми(а) изображены на рис. 23.5. Прямая М„(а)
при а = 0 выходит из начала координат и при а -> а> расположена на
действительной оси в области отрицательных значений. Годограф №л(кй)
при любых значениях со е [0; оо] расположен в правой полуплоскости.
При со -> оо график W„(ia) подходит к началу координат под углом -л/2,
что соответствует (23.23). В данном случае годографы ^(/со) и Ми(а) не
пересекаются при любых конечных значениях со, что соответствует вы-
полнению необходимого и достаточного условия (23.25) гашения автоко-
лебаний. При со -> оо и а = 0 годографы сходятся в одной точке, в начале
координат. Теоретически это означает, что в системе существуют автоко-
лебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды.
Результаты математического моделирования свидетельствуют о том,
что алгоритм управления обеспечивает устойчивость системы при любых
начальных отклонениях от состоянии равновесия. Кроме того, этот алго-
ритм реализует в системе динамические характеристики, определяемые
эталонной моделью, если выполняется неравенство
|и*|<17, (23.33)
где и‘ - управляющая функция, при которой траектория движения
управляемой системы строго совпадает с траекторией движения эталон-
ной модели, т.е. x(t) = y(t), t > 0. Движение изображающей точки по фазо-
вой траектории эталонной модели осуществляется в скользящем режиме,
который сопровождается переключением управляющей функции. Если
начальное состояние такое, что неравенство (23.33) не выполняется, то
траектория имеет два участка. На первом из них движение осуществляет-
ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 443
ся при максимальном значении u(t) = U до того момента времени t = гс,
пока изображающая точка не попадет на границу области состояний, в
которой выполняется условие (23.33). На втором участке траектории при
t > tc движение системы проходит в скользящем режиме. При этом траек-
тория соответствует динамике эталонной модели.
Исследуем теперь возможность решения задачи стабилизации сис-
темы с помощью корректирующих цепей традиционной структуры. По-
прежнему считаем, что в системе измеряется только выходная перемен-
ная x(f). Найдем сначала передаточную функцию корректирующей цепи.
С помощью структурных преобразований параллельно-последовательные
корректирующие звенья можно привести к схеме с последовательным
включением в прямую цепь некоторого эквивалентного звена с переда-
точной функцией №„(p). Найдем эту передаточную функцию из условия
реализации в системе динамических характеристик, соответствующих
эталонной модели (23.29). Выражение для ^п(р) принимаем в следующем
виде
^п(р)=—----------------
££ээ/2т —j=p + l (tjр + 1)р
W2 )
Т, «Т.
(23.34)
В этом случае полюсы передаточной функции управляемого объекта
компенсируются нулями Wn(p), что позволяет приблизить структуру
замкнутой системы к эталонной. Апериодическое звено с малой постоян-
ной времени tj в корректирующей цепи обеспечивает физическую реали-
зуемость Wa(p). Характеристику нелинейного элемента аппроксимируем
линейной зависимостью с коэффициентом наклона
477
k = q(acp) = -—, %=0,5|и|тах,
™ср
где |и|тах есть максимальное значение напряжения на входе нелинейного
элемента в процессе управления.
Исследуем возможность возникновения автоколебаний в системе с
корректирующим звеном ^„(р). Линейная часть системы имеет переда-
точную функцию
£,э/2т[ -4=/? + 1 |(Tj/7 + l)p
W2 J
444 ГАШЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Годографы частотной
характеристики ^(zco) и
зависимости
4U
изображены на рис. 23.6.
При расчетах принималось
Т] = т/5.
Как известно, точке пе-
ресечения этих годографов
соответствует амплитуда и
частота возможных (устой- Рис. 23.6
чивых или неустойчивых) автоколебаний. Для рассматриваемой системы
автоколебания устойчивы, их параметры определяются из уравнений
/Т-, ( т J 2 4Г/ л
-э/2А:эт —=- + 1 Oq +------= 0,
kV2 J па
XT, 3
-Лсоо +coo = 0.
V2
Решая эти уравнения, находим
Н2 2^2U [у/2 1 Т‘
®o=J— а0=^— —+ _ . (23.35)
У TjT лхэт т т1
Отметим, что найденная величина а0 представляет собой амплитуду
автоколебаний сигнала u(f) на входе релейного элемента. Амплитуда ко-
лебаний стабилизируемого сигнала х(t) равна
|^ах|=«о|^п('“о)Г‘- (23.36)
Для принятых значений параметров по (23.35) и (23.36) вычисляем
соо = 2,66 с-1 и |хтах | = 1,4 рад. Близкие к этим значения частоты и ампли-
туды получены при математическом моделировании. При малом откло-
нении х(0) = 0,001 рад амплитуда автоколебаний увеличивается до ве-
личины а0 = 1,55 рад и остается далее постоянной. При отклонении х(0) =
= 10 рад амплитуда уменьшается до такой же величины. Таким образом, в
рассматриваемой системе с традиционной схемой коррекции не удается
решить задачу стабилизации вследствие возникновения устойчивых авто-
колебаний.
Лекция 24
СИНТЕЗ СУБОПТИМАЛЬНЫХ
ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ АЛГОРИТМОВ
УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Известно, что в практике проектирования автоматических систем
структура алгоритмов управления максимального быстродействия опре-
деляется, как правило, методом фазовой плоскости. Возможности этого
метода ограничены объектами третьего порядка, передаточные функции
которых не имеют комплексно-сопряженных полюсов, а также полюсов в
правой полуплоскости. Даже в случае устойчивого объекта второго по-
рядка, передаточная функция которого имеет комплексно сопряженные
полюсы, не представляется возможным в конструктивной форме записать
уравнение линии переключения управляющей функции. Выписать такое
уравнение можно только для небольшой области отклонений координат
от состояния равновесия управляемой системы. Другая особенность оп-
тимальных алгоритмов управления заключается в сложности их практи-
ческой реализации для систем высокого порядка.
В настоящей лекции развивается методика синтеза алгоритмов
управления, субоптимальных (почти оптимальных) по быстродействию.
Процедура синтеза таких алгоритмов при определенных условиях не ог-
раничена порядком управляемого объекта, а их практическая реализация
не вызывает затруднений.
24.1. МЕТОДИКА СИНТЕЗА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
Процедура определения структуры субоптимальных алгоритмов
управления основана на разделении быстрых и медленных движений.
При этом решаются три задачи в такой последовательности:
1. Заданная передаточная функция управляемого объекта Ио(р) ап-
проксимируется передаточной функцией пониженного порядка ^а(р),
которая характеризует медленное движение.
2. Для аппроксимирующей модели, соответствующей И^р), синте-
зируется алгоритм управления, оптимальный по быстродействию. Этот
алгоритм и модель с передаточной функцией ^(р) образуют подсистему,
которая формирует программную траекторию движения, соответствую-
446
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
щую минимальному времени достижения окрестности назначенного со-
стояния управляемого объекта.
3. Для полной модели с передаточной функцией Ио(р) синтезируется
алгоритм управления, который обеспечивает высокоточное слежение за
программной траекторией. Этот алгоритм и модель управляемого объек-
та образуют вторую подсистему.
Структурная схема системы, субоптимальной по быстродействию,
показана на рис. 24.1. Алгоритм А-1 формирует функцию иа, которая
управляет движением аппроксимирующей модели №а(р). Схема соответ-
ствует тому случаю, когда иа вычисляется по информации ха, ха. Выход-
ная переменная первой подсистемы ха поступает на вход второй подсис-
темы с алгоритмом управления А-2. Вычисление управляющей функ-
ции и осуществляется по измерениям х, х с учетом информации о произ-
водной ха , что отражено на схеме. На вход системы поступает величина
х(7) = x(t)|(=r, характеризующая заданное конечное состояние управляе-
мого объекта
х(Т) = х7 • = const, х(Т) =... = х(”1)(7) = 0. (24.1)
Равенства (24.1) означают, что рассматривается задача перевода объекта
порядка п в стационарное состояние равновесия. Иначе говоря, алгоритм
управления должен обеспечить отработку системой постоянного задаю-
щего воздействия х(7) = хт за время Т. Время Т не задано, оно определя-
ется динамикой первой подсистемы, оптимальной по быстродействию.
Методику синтеза алгоритма управления изложим для объекта с пе-
редаточной функцией:
= = (24'2)
рД(р) и(р)
где полином
А(Р) = р3 + а2р3 + aip + а0.
Рис. 24.1
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
447
Считаем, что /1(0) = а0 * 0. Движение управляемого объекта описывается
уравнением
з
x(4) + £avx(v+1) = bou. (24.3)
v=0
Управляющая функция и подчинена ограничивающему условию
-U<u<U. (24.4)
Задачу формулируем следующим образом. В начальный момент времени
t = 0 состояние управляемого объекта характеризуется значениями
х(О) = хо, x(v)(0) = xv0, v= 1,2,3. (24.5)
Требуется синтезировать такой алгоритм управления и = и(х, х), при
котором объект переходит в стационарное состояние равновесия - со-
стояние покоя
х(7)= х7; хм(7) = 0, v = 1, 2, 3. (24.6)
Длительность интервала Т должна быть почти минимальной.
В соответствии с общими положениями предлагаемой процедуры
синтеза передаточную функцию W0(p) аппроксимируем простым выра-
жением, которое характеризует медленные движения объекта. Находим
полюсы Wo(p), т.е. корни уравнения рЛ(р) = 0. Обозначим их рх = 0, -р^,
ц = 2, 3, 4. Тогда передаточную функцию (24.2) можно записать в виде
И'о (р) = w Ь° w---------------а •
[р(Р + Р2^(Р + Рз)(Р + РдЛ
Далее принимаем, что полюсы -рз^ могут быть вещественными и ком-
плексно-сопряженными и расположены в левой полуплоскости значи-
тельно дальше от мнимой оси, чем вещественный полюс -р2. Для приня-
того распределения полюсов аппроксимирующая передаточная функция,
характеризующая медленные движения, будет иметь вид
fra(p) = —= ^, (24.7)
Р(Р + ^о) иа(Р)
где
448
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
я0=Р2, bQ=-^-, (24.8)
Р3Р4
Определением Wa(p) завершается процедура аппроксимации переда-
точной функции объекта. Синтезируем теперь оптимальный по быстро-
действию алгоритм управления иа = иа (ха, ха), при котором объект с
передаточной функцией (24.7) из состояния
хо(0) = ха0, ха(0)=ха0 (24.9)
переходит в состояние покоя
ха(Т) = хг, хо(7’) = 0. (24.10)
Длительность интервала Т должна быть минимальной. Начальное (24.9)и
конечное (24.10) состояния соответствуют (24.5) и (24.6) при п = 2. При
этом должно выполняться условие (24.4).
По известной методике [3] находим уравнения алгоритма управле-
ния
иа = l/sign [хг - ха - F(xa)],
(24.11)
F{xa) = ^-s\^a{xa)\n \-^-хаыдл(ха) +-^ха,
b0U а0
оптимального по быстродействию для объекта с аппроксимирующей пе-
редаточной функцией (24.7). Структурная схема подсистемы с алгорит-
мом (24.11) изображена на рис. 24.2.
Рис. 24.2
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
449
Уравнения (24.11) можно упростить, разложив функцию F(xa) в
ряд по степеням ха . С точностью до квадратичных членов находим
Г(х ) = -—xj, х >0,
2 b0U а °
(24.12)
F(x) =- —xj, X <0.
2 b0U а а
С учетом знака производной ха из (24.12) следует равенство
= -7 777^ sign(xB). (24.13)
2 b0U
Таким образом, на основании (24.11) и (24.13) получаем уравнения
упрощенного алгоритма управления
иа = t/sign[xr - ха - F{xa)], F(xfl) = 1 J- х} sign (ха). (24.14)
2 b0U
Структурная схема замкнутой подсистемы с алгоритмом (24.14)
аналогична рис. 24.2. Аппаратная реализация уравнений (24.14) значи-
тельно проще, чем уравнений (24.11). Однако динамические характери-
стики подсистемы с этим алгоритмом практически такие же, как с алго-
ритмом (24.11). Алгоритм управления (24.11) или (24.14) и аппроксими-
рующая модель (24.7) образуют новую подсистему (см. рис 24.1), выход-
ная переменная которой ха выступает в роли задающего воздействия для
второй подсистемы с алгоритмом управления А-2. Если этот алгоритм
обеспечивает высокую точность слежения за функцией xa{t), то управ-
ляемый объект с передаточной функцией будет переведен в окре-
стность назначенного состояния (24.6) за время Г » Т. Структура таких
алгоритмов управления синтезируется методами обратных задач динами-
ки. Выпишем уравнения алгоритма управления А-2 по модели (24.3).
Пусть требованиям высокой динамической точности и быстродейст-
вия соответствует эталонная модель, движение которой описывается
уравнением
/4) + ^av/v+,)=P1xfl+₽0xe, Р,=а,, s = 0,l. (24.15)
v=0
15 - 9516
450
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
Алгоритм управления синтезируем путем минимизации функционала
G(") = ^[y<4)(O-Jc(4)(C и)]2
по и. Для градиентной схемы второго порядка находим закон управления
i
и = k(y-x)-h judt, к, h = const
о
или в другой форме
г/ = -^-(у-х), Г = |, т=|, (24.16)
тО +1 h h
где D- оператор дифференцирования по времени. Требуемое ускорение у
определяется из уравнения (24.15) и равно
у = аоц/1 + сцц/о - а2х - а3х,
(24.17)
i i
Vo = J(*fl ~x)dt, ц/i = •
о о
Структурная схема замкнутой подсистемы с алгоритмом управления
(24.16), (24.17) изображена на рис. 24.3. Внутренний контур содержит
нелинейный элемент - ограничитель управляющей функции и. Уровень
ограничения ± U соответствует характеристике релейного элемента, по-
скольку по условию должны выполняться неравенства (24.4). Параметры
алгоритма управления (к, И) назначаются такими, чтобы степень прибли-
жения процессов в подсистемах x(f) —> xa(t) отвечала требованиям к ди-
намическим характеристикам проектируемой системы.
Рис. 24.3
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
451
24.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ,
СУБОПТИМАЛЬНОЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ
Рассмотрим модель двухмассовой упругой системы, управляемой с
помощью электродвигателя постоянного тока с независимым возбужде-
нием. Структура передаточной функции такой системы без учета элек-
трической постоянной времени имеет вид (24.2). Примем конкретные
значения параметров, которым соответствует
. (24.18)
р{р + 0,8) (р2 + 6р + 4909) и(р)
В роли управляющей функции и выступает напряжение в якорной цепи
электродвигателя. Переменная х имеет размерность угловой величины
(рад).
Синтезируем алгоритм управления, который обеспечивает перевод
объекта из начального состояния в состояние покоя х(Т) = х, х(Т) - 0.
Длительность Т процесса x(t) хт должна быть почти минимальной.
Найдем аппроксимирующую передаточную функцию. С этой целью
определяем полюсы Яо(р). Имеем р\ =0, pi = -0,8, /73,4 = - 3 ± /70. Полю-
сы Р1.2 характеризуют медленное движение, на которое накладываются
высокочастотные колебания, соответствующие полюсам /734 . Поэтому
аппроксимирующую передаточную функцию можно принять в виде
° р(р + 0,8) 4909
или в обозначениях (24.8)
»>) = ?'1ОПГ^Т;' 6о=4 Ю-2, ао=О,8. (24.19)
р(р + 0,8) иа(р)
Заметим, что выражение для Wa(p) можно получить иначе, представив
(24.18) в нормированной форме
5-Ю*2
№0(р) --------------------J—5---------i-----•
/7(1,25/7 + 1) (2,03 7 • 10-4 р2 +1,222 • 10-3 р +1)
Коэффициенты при р и р2 в трехчлене знаменателя пренебрежимо малы.
Поэтому можно принять
15*
452
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
^о(Р) 88 ।.Д’°—7ГГ-
1/7(1,25/7 +1)1
Отсюда следует выражение (24.19).
Таким образом, аппроксимирующая передаточная функция найдена.
Выпишем уравнения алгоритма управления объектом с передаточной
функцией №а(р). Для принятых числовых значений параметров и
(7= 100 В имеем
4^ = 6,25, ^2-= 0,2, тт = 1,25,
а0 Ьои ао
поэтому уравнения алгоритма управления (24.11) будут
и = 100 sign [хг - ха - F(x)],
(24.20)
F(xa) = 6,25sign(xa) ln|l - 0,2xasign(xa)| + l,25xa.
Подставляя в (24.14 ) значения b0 , U, получим приближенные уравнения
линии переключения
u = 100sign[xr-ха-F(x)], F(xa) = 0,125xasign(xa). (24.21)
На рис. 24.4 приведены графики переходных процессов в первой
подсистеме с алгоритмом управления (24.21). Начальное состояние
х„(0) = 0, ха(0) = 3 рад-с”1.
Конечное состояние ха(Т) =
= 0, ха(7’)=0. Длитель-
ность оптимального по
времени процесса состав-
ляет Т = 1,5 с. Указанные
характеристики процесса
остаются практически без
изменений в случае при-
менения алгоритма (24.20).
Синтезируем теперь
алгоритм управления А-2,
который обеспечивает
Рис. 24.4
высокоточное слежение
второй подсистемой за
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
453
переменной хо(г). Пусть этому требованию соответствует эталонная мо-
дель с передаточной функцией в разомкнутом состоянии
w 160(0,2^ + 1) = у{р)
р2(5,6-10’3р + 1) хв(р)-у(р)’
Уравнение модели в замкнутом состоянии имеет вид
у+ 180у + 5400у + 2,7 • 104у = 5400ха +2,7- 104ха. (24.22)
Согласно (24.18), уравнение управляемого объекта будет
х(4) + 6,8х+4914х + 3927х = 196м, м=/(м), (24.23)
где /(...) - нелинейная характеристика ограничителя управляющей
функции.
Алгоритм управления А-2 строится по уравнениям, которые полу-
чаются в результате минимизации функционала
G(M) = ^[/4)W-x(4)(t, и)]2
по градиентной схеме первого порядка. Следуя обычной методике,
найдем
и = к(у - хв), к = const;
у = 2,7-104 (ха - х) + 5,4 • 103 (хо - х) -180хв, (24.24)
t I
х<4> = 196м - 3 927х - 4914iB - 6,8хв, хв = Гх(4)<Л, хв = Гx„dt.
в B’B’Bj 7 о j в
о о
Расчетное соотношение для у получено из (24.22), а значения про-
изводных выходной переменной системы вычисляются по уравнению
(24.23). При этом предполагается, что в системе измеряются переменные
х, х.
Структурная схема второй подсистемы с алгоритмом управления
(24.24) приведена на рис. 24.5. Параметры а0 = 0,5 • 104, <Xi = 5,4 • 103,
а2 = 180. Входными сигналами подсистемы являются переменные х, х,
которые поступают из первой подсистемы. В блоке (xBs)) вычисляются
454
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ СИСТЕМЫ
Рис. 24.5
неизмеряемые производные. На рис. 24.6 приведены графики переходных
процессов ха (?) -> хг и х(г) —> хт при отработке постоянного значения
х7 = 1 рад.
Видно, что синтезированный алгоритм управления обеспечивает
практически такие же динамические характеристики системы, как и ал-
горитм, оптимальный по быстродействию, структура которого найдена
по упрощенной (аппроксимирующей) модели управляемого объекта.
В заключение отметим, что динамические характеристики систем,
почти оптимальных по быстродействию, сохраняются неизменными
при изменении параметров в широких пределах. Такое свойство слабой
параметрической чувствительности придают системам алгоритмы, син-
тезированные путем минимизации функционалов, характеризующих
энергию движения в окрестности фазовых траекторий движения эта-
лонных моделей.
Лекция 25
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ
ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Алгоритмы управления синтезируются методом обратных задач ди-
намики в сочетании с оптимизацией системы по локальным функциона-
лам, характеризующим энергию движения. Основные положения разви-
ваемой теории синтеза состоят в следующем: динамические характери-
стики проектируемой системы назначаются с помощью эталонных моде-
лей для каждой степени свободы; структура алгоритмов и их параметры
определяются из условия, чтобы в процессе управления фазовые траек-
тории управляемого объекта с необходимой точностью следовали за фа-
зовыми траекториями эталонных моделей; степень приближения фазовых
траекторий, а следовательно и динамических характеристик оценивается
с помощью квадратичных функционалов, записанных для отклонений
угловых ускорений. При этом процесс движения к экстремуму-минимуму
организуется по схеме градиентного метода. С помощью такой процеду-
ры решены задачи управления вращательными движениями и угловой
ориентацией. Исследована динамика системы и показано, что синтезиро-
ванные структуры алгоритмов управления допускают неограниченное
повышение уровня усиления в контурах ускорения. В асимптотике осу-
ществляется динамическая декомпозиция нелинейной системы по каж-
дой степени свободы на независимые линейные подсистемы, динамика
которых идентична динамике эталонных моделей. Существенно при
этом, что при достаточно высоком уровне усиления в контурах ускоре-
ний динамические характеристики системы нечувствительны к измене-
нию параметров управляемого объекта. Иначе говоря, алгоритмы управ-
ления предлагаемой структуры придают системе свойства параметриче-
ской адаптивности. Системы с такими алгоритмами обладают также ма-
лой чувствительностью к внешним возмущающим силам. Однако этот
вопрос здесь не исследуется.
25.1. ГАШЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ
Управляемое движение описываем динамическими уравнениями
Эйлера
456
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
7|С0| -(/2 ~Л)®2®з = Wj(<а) + Л/|,
Л® 2 - (А -71)®1®з = т2(&) + м2, (25.1)
Л®з “(71 "Л)®1®2 = т3(а) + М3,
где /( - моменты инерции управляемого объекта относительно главных
осей Ох„ s = 1 ... 3; со, - проекции угловой скорости <а на эти оси; т,(а)) -
моменты диссипативных сил; Ms - управляющие моменты.
Задачу гашения вращательных движений формулируем следующим
образом: при t = 0 состояние управляемого объекта характеризуется зна-
чениями угловых скоростей <а.?(0) = ©ю! требуется найти такие управ-
ляющие моменты Л/,(®)> при которых изображающая точка (<аь ©2, ®з)
переходит из состояния {©s0} в окрестность начала координат ©лЮ = 0 и
остается в этой окрестности бесконечно долго. Необходимо при этом,
чтобы на траекториях управляемого движения функционал
з
G(M) = £Is^(t, М) (25.2)
5 = 1
принимал минимальное значение.
Физический смысл задачи состоит в том, чтобы остановить враще-
ние объекта и удерживать его в состоянии покоя. Угловая ориентация
объекта может быть произвольной. Функционал (25.2) характеризует
энергию ускорения вращательного движения. Его значение в каждый
момент времени t > 0 практически должно принадлежать малой окрест-
ности экстремума-минимума.
Движение к минимуму G(M) организуем в соответствии с диффе-
ренциальным законом
dM,
---- — 7 Л,../ , -VUllil. IX,
dt £ J дМ j---------------------------------SJ
Согласно (25.1), (25.2) компоненты градиента
dG , .
------ I :<£> . ----= © . .
dMj J J dMj J
Подставляя эти выражения в (25.3) и выполняя затем интегрирование
обеих частей при нулевых начальных значениях переменных, получим
Л/5.(и) =5=1... 3. (25.4)
2=1
5G(M)
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
457
Если параметры , такие, что матрица А = отвечает условиям
Сильвестра об определенной положительности квадратичной формы
(о7 Ао > 0, то управляемое движение системы (25.1), (25.4) асимптотиче-
ски устойчиво, т.е. а, 0 при г —> оо. Следовательно, управляющие мо-
менты Мх(<£>), вычисляемые по формулам (25.4), решают поставленную
задачу. Действительно, пусть моменты диссипативных сил
mv((o) =-cv(os, с, >0. (25.5)
Вычислим производную кинетической энергии
по времени в силу уравнений управляемого движения. С учетом (25.4) и
(25.5) найдем
йГГ((О) . V1 2 V1 V11
—7— = L = С'(В' L4“ /•
Л = 1 5=1 5=1 у = 1
Отсюда следует, что производная /(со) будет всегда отрицательна
при со * 0, если Л = Л7 >0. При таком условии функция 7(со) - функция
Ляпунова для замкнутой системы (25.1), (25.4). В силу этого со, —> 0 при
t —> оо, что соответствует сформулированной задаче.
Можно заметить, что Дсо) будет функцией Ляпунова и в том случае,
когда для замкнутой системы управляющие моменты вычисляются по
независимым соотношениям
Мх(ах) = -X.„.cov, s=1...3. (25.6)
Причем асимптотическая устойчивость сохраняется у систем с объекта-
ми, у которых отсутствуют моменты диссипативных сил, т.е. Мх(а>) = 0.
Обсуждаемый результат не является новым, он известен из научной ли-
тературы.
Управляющие моменты (25.4) переводят систему в состояние покоя
по произвольной неконтролируемой траектории, так как законы управле-
ния (25.4) синтезированы без учета требований к переходному процессу.
Сформулируем теперь задачу гашения вращательных движений иначе:
458
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
найти такие управляющие моменты Ms = Мх(а>), при которых изобра-
жающая точка системы из произвольного состояния о>(0) переходит в
окрестность начала координат со = 0 и остается в этой окрестности беско-
нечно долго. Необходимо при этом, чтобы траектория управляемого
движения по каждой степени свободы с требуемой точностью следовала
за траекторией, определяемой дифференциальным уравнением
й*+yvld)*+у4.0со* =0, 5 = 1... 3. (25.7)
Принимается, что yv0, уу| > 0. Поэтому со4(С) —> 0 0 при t —> оо.
В отличие от первой задачи, в данном случае перевод объекта в со-
стояние покоя необходимо осуществить по предписанному во времени
закону, который соответствует фазовым траекториям движения эталон-
ных моделей (25.7). Степень приближения управляемых процессов
{cov(r)}—>0 к эталонным {со*(/))-> 0 будем оценивать функционалом
1 з Г 12
С(Л/) = -£/Дй;(О-йл.(лЛ/)] , (25.8)
который характеризует энергию ускорения вращательного движения,
вычисляемую в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей.
Пусть М* такие управляющие моменты, которые реализуют абсо-
лютный минимум функционала (25.8), т.е. G(A/)= 0 при любом t > 0. По-
нятно, что справедливо равенство
Л/*(ш) =/4.сЬ*-m4.(co)-/s(co), s = l... 3, (25.9)
где нелинейные функции J^(co) соответствуют тем компонентам уравне-
ний (25.1), которые содержат произведения соЛк>7. Величины й* представ-
ляют собой требуемые значения ускорений, при которых выполняется
строгое равенство со,(?) = со* (С), С>0. Расчетные соотношения для со*
можно вывести из уравнений (25.7) путем интегрирования обеих частей
по времени с последующей подстановкой со* = со4.. После необходимых
преобразований получим
I
®.’(О = -У.,о/юЛ0Л-Уи<М0> 5 = 1-3. (25.10)
о
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
459
Соотношения (25.9), (25.10) составляют содержание компенсацион-
ного алгоритма управления, поскольку выражения для М* содержат
компоненты, которые компенсируют сигналы, пропорциональные /ил(со) и
У(со) в уравнениях (25.1). Для практической реализации таких алгоритмов
необходимо достоверно знать структуру модели управляемого объекта и
его параметры. Поэтому практическая ценность таких алгоритмов невы-
сока.
Эффективный алгоритм управления синтезируем из условия, чтобы
значение G(M) в каждый момент времени t > 0 принадлежало малой ок-
рестности экстремума-минимума. Законы управления по каждой степени
свободы получим, применяя схему градиентного метода поиска экстре-
мума. В данном случае компоненты градиента
dG(M) ... . ч
——(<о7 — <о7).
дМ,
Поэтому аналогично (25.3) найдем
з
Ms(a>) = ^<y(d>7 -d>7), rsj = const, j = 1... 3 (25.11)
j=i
или после интегрирования по времени обеих частей
з
^.s(«) = ^rS7(w’-И7), 5 = 1. ..3. (25.12)
7=1
Требуемые значения угловой скорости со* вычисляются по соотно-
шениям
i t
w‘(O = -J(Y7ov7+Y7i®7)<*> v./(0 = » J = l-3, (25.13)
о о
которые получаются после интегрирования обеих частей (25.10).
Параметры г,7 в (25.12) должны быть такими, чтобы матрица R = [rv]
была определенно положительной. В этом случае полная производная по
dG(M) д . . . л
времени ——- всегда отрицательна при всех Асо7 = (со7-со7) о .
Действительно, вычислим
460
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
dG(M)
dt
дМ, '
Подставляя сюда выражения для компонент градиента, а также выраже-
ния для производных Мt{t) из (25.11), получим
= -^ (й‘ - ш,) r/v (ш* - ш v) = -(со* - со)7 /?(со‘ - со). (25.14)
у=1 v=l
Следовательно, если R = R1 > 0, то G(M) < 0 в случае Дсо 0. Поэтому
G(M) —> 0 при Z —> со, и в силу этого значения управляющих моментов
асимптотически приближаются к таким значениям, которые доставляют
абсолютный минимум функционалу, т.е. Mt(t) -> М*. Таким образом
установлено, что
G(Af) —> 0, со*(/)-(в(/) —>0, если R = RT > 0. (25.15)
На основании (25.15) заключаем, что предписанное (невозмущен-
ное) движение системы асимптотически устойчиво, т.е. со*(/)-со,(?) —> 0
при t —> со. Более того, асимптотическая устойчивость движения сохра-
няется и в том случае, когда управляющие моменты М, каждого канала
формируются по независимым соотношениям
Мл(со,.) = г,., (со* -со,), 5 = 1 ... 3. (25.16)
Этот результат непосредственно следует из (25.14) и согласуется с
(25.6).
Из проведенного анализа можно сделать еще один существенно
важный вывод: структура замкнутой системы с алгоритмом (25.12),
(25.13) сохраняет свойства асимптотической устойчивости при неограни-
ченном повышении уровня усиления в каждом канале. Исследуем свой-
ства системы в том случае, когда одновременно rss. —> со, 5=1 ... 3.
При анализе примем, что моменты диссипативных сил ms(со) опре-
деляются согласно (25.5). Учитываем далее, что нелинейные функции
/(со) содержат только произведения переменных со„ со,. Следовательно,
исследование системы можно выполнить по линейным уравнениям пер-
вого приближения, считая угловые скорости малыми величинами. Эти
уравнения имеют вид
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
461
/л,®л. + сл.со5 =Л/5(ю), 5=1... 3. (25.17)
В соответствии с (25.13) выражение для со* запишем в операторной
форме
С 1 *
®»= р = /(")л’ 5 = 1-3- <2518)
С учетом (25.18) управляющие моменты (25.12) принимают вид
Подставляя выражения для Ms из (25.19) в (25.17), а затем дважды диф-
ференцируя по времени полученные равенства, найдем уравнения замк-
нутой системы
з
Л®.< + СА = + Y.U®, + УлО®7) > 5 = 1 ... 3
7 = 1
или в операторной форме
Cv(Z))<oi.(Z) + XrS7r7(Z))<oya) = 0, 5=1... 3,
7=1
где операторные полиномы
Cs(D) = D2(IsD + cs), r7(Z)) = Z)2+y7lZ) + y70. (25.21)
Изучим распределение корней характеристического уравнения
Д(р) =
С^^ + ГцГ^р) П2Гг(Р)
r2F\(P) С2(р) + г22Г2(р)
'3iri(P) г321\(р)
'1зГз(/0
г23Гз(Р)
С3(р) + г33Г3(р)
= 0 (25.22)
при неограниченном увеличении rss, 5 = 1 ... 3. Пусть в системе (25.20)
приняты такие значения г„, при которых стационарное состояние сол = 0
асимптотически устойчиво. Обозначим г = maxrss. Тогда можно поло-
жить = г,, 5 = 1 ... 3. В таком случае характеристическое уравнение
(25.22) преобразуется к виду
462
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Н0(р) + гНх (р) + г2Н2(р) + г3Н3(р) = 0. (25.23)
Полные выражения входящих в (25.13) полиномов Hv(p) далее не потре-
буются, поэтому выпишем только члены старших степеней:
Н0(р) = И^+^р>+...,
#1О) = /%(1)?8 +^1)?7 + -,
Н2(р) = ^р1 +h^P6+...,
H3(p) = h™p6+hWp5 +.... (25.24)
Коэффициенты при старших степеняхр равны
/£)=!, ^) = /]+/2+/3> ^ = 1^+1^+!^, ^=Ц1213. (25.25)
Кроме того, полином
Н3(р) = Г(р) = Ц (Р)Г2(Р)Г3 (р). (25.26)
Проведем анализ уравнения (25.23). Разделив все члены этого урав-
нения на г3 и выполнив предельный переход при г —> оо, получим пре-
дельное уравнение
Я3(р) = Г1(р)Г2(р)Г3(р) = 0 (25.27)
или в раскрытой форме
Р2 + Y,iP + Yso =°> 5 = 1 - 3. (25.28)
Таким образом, шесть корней psv, 5=1 ... 3, v = 1, 2 характеристиче-
ского уравнения (25.22) при неограниченном увеличении коэффициентов
усиления во всех каналах асимптотически приближаются к соответст-
вующим корням p*v характеристических уравнений (25.28) эталонных
моделей. Выясним расположение остальных трех корней, следуя идеям
методики [5.36]. С учетом (25.24) запишем уравнение (25.23) в виде
A<V + /tfV +... + r(^ps+^p1 +...) +г2 (h&p7 +h^pb +...) +
+r3(p6 + ^V+...) = 0. (25.29)
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
463
Здесь принято во внимание, что в соответствии с (25.25) коэффици-
ент = 1. Введем новую переменную q = — и выполним в (25.29) под-
г
становку р =qr. Разделив затем все члены полученного равенства на г9,
будем иметь
W + h^q* + ...+ ^qi+^q1 +... ++ h™q6 + ...)+
Г
...+q6+f^}-q5 +... = 0. (25.30)
Г
В этом уравнении не выписаны члены, имеющие сомножителями г"2, г’3,
..., г~9. Предельный переход в (25.30) при г —> оо приведет к уравнению
/^°V!+/>81)<72+^2)? + l = 0. (25.31)
Принимая во внимание (25.25), непосредственной проверкой можно убе-
диться, что корни уравнения (25.31) равны
s = l... 3. (25.32)
S
Так как по определению р = qr, то для исходного характеристиче-
ского уравнения справедливо
г
ps=-~—> (-°о), если г -> оо ,
что следует из (25.32).
Итак, в результате анализа установлено, что при. неограниченном
увеличении числовых значений диагональных элементов матрицы
R =
'll
r12
Ъ 'З!
г22 г32
/13 Г23 г33 .
шесть корней характеристического уравнения (25.22) замкнутой системы
(в линейном приближении) стремятся к соответствующим корням харак-
теристических уравнений эталонных моделей, а три корня удаляются на
464
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
бесконечность в область отрицательных значений, т.е. имеет место сле-
дующее асимптотическое распределение спектра:
P.w~>/\v> Рл-*(-°°)> s=1...3, v=l,2. (25.33)
Таким образом приходим к заключению о том, что теоретически при
бесконечно высоком уровне усиления в каждом канале (гм -> оо) движе-
ние управляемой системы по каждой степени свободы описывается неза-
висимыми уравнениями
йд. + Yjjcbj + 7,0®, = 0, s = 1... 3, (25.34)
которые в точности совпадают с уравнениями (25.7) эталонных моделей.
Следовательно, в асимптотике взаимосвязанные уравнения (25.20), обра-
зующие систему девятого порядка, распадаются на три независимых
уравнения (25.34). Это означает, что в процессе управления осуществля-
ется декомпозиция системы, при этом динамические характеристики ка-
ждого канала идентичны динамическим характеристикам соответствую-
щих эталонных моделей. В этом случае теоретически имеют место равен-
ства сод.(Г) = а»*(/), t>0.
Сделаем два замечания методического характера, относящиеся к
процедуре исследования асимптотических свойств системы.
Замечание 1. Уравнение (25.31) получено путем замены перемен-
ной в (25.29) и последующего предельного перехода. Это уравнение по-
зволяет определить распределение корней в случае г —> оо. Однако анализ
поведения корней на бесконечности можно выполнить по приближенно-
му уравнению, которое непосредственно получается из (25.29) при доста-
точно больших значениях |р|. Для этого воспользуемся методикой [5.36].
В полиномах Нй(р),..., Н3(р) оставим только члены старшей степенир:
+rti^p* +гЩ2}р1 +rip(,=Q. (25.35)
Сокращая на р6, получим уравнение третьей степени
Принимая во внимание равенства (25.25), можно убедится, что корни
г
уравнения (25.35) равны р„ = , если г -> <х>. Этот результат соответ-
ствует ранее полученному.
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
465
Замечание 2. При рассмотрении асимптотического распределения
спектра установлено, что в процессе движения осуществляется динами-
ческая декомпозиция линейной системы первого приближения (25.20).
Покажем, что к этому результату можно прийти иным путем, исследуя
непосредственно дифференциальные уравнения. Исходим из следующих
положений.
1°. Для системы (25.20) всегда можно указать такие значения пара-
метров гу, при которых стационарное состояние равновесия ш, = 0 асим-
птотически устойчиво.
2°. Система (25.20) сохраняет свойства устойчивости при неограни-
ченном увеличении г„, 5 = 1... 3.
Пусть в уравнениях (25.20) приняты такие значения rsj, что о, —> 0
при t -> со. Тогда при конечных начальных значениях
|о4ц)(0)|<оо, ц= 0,1,2
будут конечными значения управляемых переменных и их производ-
ных, т.е.
|<ОлЦ)(0|<°°, Z > 0, р= 0,1,2.
Поэтому справедливо
|С,(Р)с>Д0|<оо, |ГДР)ш.у(0|<«>. (25.36)
Разделим теперь левые и правые части уравнений (25.20) на г», 5 = 1 ... 3
и вычислим пределы при —> со. В силу (25.36) имеют место предельные
равенства
lim
—СДОшДО
Tvs
= 0, 5 = 1... 3,
Г,(Р)<оу(О
0, j s,
r(D)o)s.(t), j = s.
(25.37)
Следовательно, после выполнения указанных операций в системе
(25.20) получим три уравнения второго порядка (25.34). Таким образом,
свойство динамической декомпозируемое™ системы уравнений первого
приближения установлено другим путем.
466
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Покажем теперь, что асимптотическое распределение корней харак-
теристических уравнений сепаратных каналов совпадает с асимптотиче-
ским распределением (25.33) корней характеристического уравнения
взаимосвязанной системы (25.20). Процессы в сепаратных каналах опи-
сываются уравнениями третьего порядка
[С5(0) + г„Г5(^)]со5(0 = 0, 5 = 1... 3. (25.38)
Им соответствуют характеристические уравнения
Q(P) + '\X(^) = 0 или -Cv(p) + rv(^) = 0. (25.39)
г
В асимптотике при оо из (25.39) следуют предельные уравнения
(25.28), поэтому шесть корней (25.39) стремятся к соответствующим кор-
ням характеристических уравнений эталонных моделей: р^ —> р'п,
5 = 1... 3, v = 1, 2. Далее, при достаточно больших значениях р вместо
(25.38) рассматриваем приближенные уравнения, сохранив в полиномах
С,(р) Г(р) члены старших степеней |р|, т.е.
Др3 + rsxp2 =0 -> Isp + = 0.
Отсюда находим
г
р,.= —— —> (-оо), если г —> оо,
* Л j ' ' ’ ЛЛ '
что исчерпывает доказательство отмеченного свойства исследуемой сис-
темы первого приближения.
Заметим теперь следующее: идентичность асимптотических харак-
теристик, в частности распределений спектров моделей сепаратных кана-
лов и взаимосвязанной системы линейных уравнений первого приближе-
ния, есть следствие декомпозируемое™. Однако существенно важно, что
в процессе управления движением осуществляется также динамическая
декомпозиция нелинейной системы. Это можно показать следующим
образом.
Рассмотрим уравнения (25.1), (25.19). Исключая из них управляю-
щие моменты М, получим нелинейные уравнения замкнутой системы
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
467
Ь1 + Ь1-+1 |о (/), 5 = 1... 3
D2 D J J
з
Л®, +Фл(“) = "1.,(<п)-ХГ'7
7=1
или после двукратного дифференцирования по времени
з
£>2[/v<bA: +Фл(®)-'«.,(®)] = (25.40)
7=1
Принимаем во внимание, что для системы (25.40) выполняются свойства
1°, 2°. Пусть значения г в (25.40) такие, что соv(/) —> 0 при t —> оо. Тогда
при конечных значениях |оздц\О)| < со, ц = 0, 1,2 будут справедливы сле-
дующие неравенства:
|хрА.(<ол, о>А.)|<00, |фд.(ю,, <ЬА.)| < со, / >0, (25.41)
где функции \|/А. определяются левыми частями (25.40). Разделим все
члены каждого уравнения (25.40) на rss, s = 1 ... 3, и вычислим пределы
при rss —> со . В силу (25.41) будут иметь место предельные равенства:
lim —ф s (cos., сод.)
= 0, 5 = 1...3.
Принимая во внимание (25.37), после выполнения указанных опера-
ций в системе (25.40) получим линейные уравнения (25.34). Это доказы-
вает справедливость утверждения о том, что синтезированный алгоритм
осуществляет динамическую декомпозицию нелинейной системы, разде-
ляя ее на три линейные подсистемы, структура которых идентична струк-
туре эталонных моделей по каждой степени свободы.
Итак, показано, что при неограниченном увеличении коэффициен-
тов усиления г„. в каждом канале в системе можно реализовать теорети-
чески сколь угодно высокую точность приближения процессов
{сод. (Г)} -> {со* (/)} • Для технических приложений требуемая точность при-
ближения достигается при достаточно умеренных значениях гм. Ориен-
тировочные значения коэффициентов усиления рекомендуется вычислять
по соотношениям
гп.= с!х тах|рДА,|, с = 8-10, 5 = 1 ... 3, v = l, 2, (25.42)
468
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
где p*v - корни характеристических уравнений эталонных моделей. При
этом алгоритм управления оказывается возможным строить на основе
независимых соотношений
MS((OS) = г„(со* -соД 5=1... 3,
®’(0 = - f Cr,ov.v + Y.si“.s • (25.43)
о о
Приведем результаты исследования динамики системы, управляе-
мый объект которой обладает динамической симметрией относительно
осей Охх и Охг. Его моменты инерции равны 1} = 12 = 0,65 кгм2, /3 =
= 0,2 кгм2. Параметры эталонных моделей рассчитываются по формулам
1 - С X
YaO=—> Ysi=2 —, ; = —,
Ъ 2
(25.44)
где т, и - постоянные времени и коэффициенты затухания собствен-
ных колебаний. Примем Tj = т2 = 1 с, т3 = 0,2 с. С учетом (25.44) уравне-
ние алгоритма (25.43) принимают вид
Для принятых значений параметров моделей характеристические
уравнения такие:
р2 + у/2р +1=0, если 5 = 1,2;
р2 + 5л/2р +1=0, если 5 = 3.
Им соответствуют корни
р*2 = -0,707(1 ± /), р*2 = -3,525(1 ± /).
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
469
С учетом этих значений по соотношениям (25.42) находим = Гц = 4,6,
Гзз = 7,07.
Исследование динамики путем математического моделирования вы-
полнено по нелинейным уравнениям. Спектральный анализ проведен по
уравнениям первого приближения. В табл. 25.1 приведены числовые зна-
чения корней характеристического уравнения в зависимости от величины
коэффициента усиления первого канала. При увеличении корни р\^
приближаются к корням р,*2 = -0,707(1 ± г) уравнения р2 + 41 + 1 = 0 эта-
лонной модели. Корень р3 оказывает незначительное влияние на характер
переходного процесса, так как составляющая ехр(р3/) затухает в 10 раз
быстрее составляющей exp(pi,2/), если коэффициент усиления Гц = 5,2.
Чувствительность системы к изменению ее параметров характеризу-
ется данными табл. 25.2, где приведены значения интегральной квадра-
тичной оценки
т
4 j[®i(O-®i(o]2 dt, Т = 5 с.
о
Здесь же приведены максимальные значения отклонения 51 = |со^ — coj.
При моделировании принято Гц = г22 = 5,2. Можно видеть, что при
изменении момента инерции в 2 раза от расчетного значения Ц = /2 =
= 0,65 кгм2 динамические характеристики остаются стабильными. Это
свидетельствует о слабой параметрической чувствительности системы,
«почти оптимальной» по критерию минимума энергии ускорения враща-
тельного движения.
25.1. Корни характеристического
уравнения
25.2. Интегральная
квадратичная оценка
Гц Р12 Рз
2,6 -0,853 ±1,008/ -2,295
5,2 -0,782 ±0,794/ -6,435
7,8 -0,754±0,758/ -10,492
10,4 -0,741 ±0,743/ -14,518
13,0 -0,734 ±0,735/ -18,532
/ь кг-м2 0,3 Л-104 7,2 Зь рад е ' 0,0066
0,4 1,35 0,0087
0,5 2,06 0,0110
0,65 3,56 0,0150
0,7 4,17 0,0160
0,8 5,14 0,0180
0,9 7,29 0,0210
470
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
25.2. УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
ПО ЗАДАННОЙ ПРОГРАММЕ
Для модели (25.1) рассматриваем задачу управления вращательным
движением объекта по каждой степени свободы с заданными угловыми
скоростями, которые в общем случае могут быть функциями времени.
Задачу формулируем следующим образом: в начальный момент времени
t = 0 состояние объекта определяется значениями угловых скоростей
<о,(0) = (ov0, 5=1... 3. Требуется найти такие управляющие моменты
М = М(о>), которые создают вращательные движения с угловыми скоро-
стями (о®(/). Динамические ошибки при этом не должны превышать до-
пустимых величин
|(0®(0-(0,.(/)| < S,., 5 = 1...3 (25.45)
в установившемся режиме.
Физический смысл задачи состоит в том, чтобы искомые управляю-
щие моменты обеспечивали с заданной точностью слежение управляе-
мым объектом в его вращательном движении по каждой степени свободы
за угловыми скоростями а»®((). Если заданные угловые скорости посто-
янные, т.е. (г) = о»® = const, то управляющие моменты осуществляют
стабилизацию назначенных значений со® в том случае, когда со° = 0, в
системе осуществляется гашение вращательного движения а>,(/) с после-
дующей стабилизацией состояния покоя. Синтезируем алгоритм управ-
ления, который решает сформулированную задачу.
Пусть требованиям задания на проектирование системы управления
по каждой степени свободы соответствуют эталонные модели
Расчетные соотношения для вычисления требуемых значений
управляющих моментов не будут содержать операций дифференцирова-
ния задающих сигналов со° (/), если порядок Ns операторных полиномов
в левых частях уравнений (25.46) назначается таким, что
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
471
N, >/л+1, /, >rv-l, (25.47)
где г, - заданный порядок астатизма. Чтобы не загромождать изложение
и не выписывать соотношения общего вида, далее примем для каждого
каналаТУ, = 3, /,. = 1, s = 1 ... 3. При таких значениях имеется возможность
реализовать в системе астатизм второго порядка (г, = 2), если
Р.«о=ало> Psi =а.»1> s= 1...3. (25.48)
Таким образом, уравнения эталонных моделей принимаем в виде
со* + ад2ш* + as.|d>* + ал0<о° = Рл1сод + Р,.оа»д, л = 1 ... 3 (25.49)
или в операторной форме
ал.(£))а>*(/) = Рл.(£>)шд (/),
2
a.v(D) = D3 + £a.wZ>v, ₽,.(£>) = p.tlD + p.v0 - (25.50)
v=0
По построению эталонных моделей их динамические характеристики
обеспечивают заданную точность слежения, т.е.
|а>*(/)-а>,(Г)| < S,., л=1...3. (25.51)
Следовательно, алгоритм управления необходимо синтезировать из
условия приближения процессов {со, (г)} -> {а>*(/)|. Причем степень при-
ближения должна быть такой, чтобы при выполнении неравенств (25.51)
с необходимостью выполнялись неравенства (25.45). Рассматриваем
функционал (25.8), характеризующий энергию ускорения вращательного
движения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей (25.49).
По схеме градиентного метода аналогично (25.12) находим законы
управления
з
Л/.,(ш) = ^г4>(а>;-шД5=1 - 3. (25.52)
7=1
Требуемые значения угловых скоростей о* вычисляются по соотноше-
ниям
472
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
<о*(0= J(V7i -ау,<оу)Л,
О
V7i(O= JlPyoVyo-(Pyl -ссу,)<07]4*, (25.53)
о
v7o(0= f[®°-<Oj]dt, j = 1...3,
о
которые получаются в результате трехкратного интегрирования обеих
частей уравнения (25.49) при нулевых начальных значениях переменных.
В (25.53) принято Р7о = а,0, что соответствует моделям с астатизмом пер-
вого порядка. Аналогично выводятся расчетные соотношения в случае,
когда параметры моделей подчиняются условиям (25.48).
Таким образом, структура алгоритма определяется соотношениями
(25.52), (25.53). Получим уравнения замкнутой системы с таким алгорит-
мом. С этой целью исключим из (25.1) и (25.52) управляющие моменты
М„. Запишем выражение для в операторной форме. Согласно (25.53),
имеем
<o}(0+-^5-|p(MW-a;(D)0,;(4 а' (П) = а(Л)-Л3. (25.54)
Подставляя (25.54) в (25.52), получим
Наконец, из (25.1) и (25.55) находим уравнения замкнутой системы
+ Л(<°) = '”.,(<») + ^Тз:[Р(£,)0)° ~ a5<n)<D7 (')]>
7=1 D
s=1...3. (25.56)
Пусть моменты диссипативных сил ws(a>) определяются согласно
(25.5). Тогда аналогично тому, как это сделано в разд. 25.1, можно пока-
зать, что существуют такие значения гч = rJS, при которых возмущенное
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
473
движение {сил.(/)} системы (25.56) устойчиво по Ляпунову по отношению
к невозмущенному {со*(/)}, т.е. |ш*(/)-шд.(г)| < оо. Структура системы
допускает неограниченное увеличение диагональных элементов гд, мат-
рицы [rJV] при сохранении устойчивости. Поэтому в случае гдд. -» оо, s =
= 1 .. 3 нелинейные уравнения (25.56) разделяются на независимые ли-
нейные уравнения
D3 + £a.vvD
v=0
<Вд.(Г) = (Р.5Р + Р5о)<а"(0, *=1 ...3,
которые совпадают с уравнениями эталонных моделей. Следовательно, в
асимптотике (гдд. -» оо) возмущенное движение системы асимптотически
устойчиво по отношению к невозмущенному, определяемому уравне-
ниями (25.49), т.е.
СО*(Г)-С1\(Г)-> 0, 5=1...3.
Этот результат можно получить также, анализируя спектр линейной сис-
темы первого приближения
[d3 (I,D + сх ) + X rsjaj (D)as (t)] = X rSJ р7 (D) <0° (Г)
7=1 7=1
s= 1...3. (25.57)
Характеристическое уравнение
Д(р) = det
з
7=1
= 0,
соответствующее (25.57), имеет следующее асимптотическое распреде-
ление корней:
P,j-*P*j, = 3; (25.58)
ps = —у ->(-оо), если г„->оо.
* S
Здесь p*Sj - корни уравнений ад.(р)=0.
474
УПРАВЛЕНИЕ ВРАЩЕНИЕМ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Распределение (25.58) свидетельствует о том, что в процессе управления
осуществляется декомпозиция нелинейной системы на линейные подсис-
темы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей. При
достаточно больших значениях коэффициентов усиления гм в каждом
канале управления требуемые значения управляющих моментов можно
вычислять по независимым соотношениям
А/л.(юл) = Ga(®’ “= 1 ... 3. (25.59)
Величины со’ рассчитываются при этом по формулам (25.53). Ори-
ентировочные значения параметров г,, рекомендуется вычислять по
(25.42).
В заключение отметим, что порядок астатизма г, системы по каждой
степени свободы с алгоритмом (25.53), (25.59) такой же, как и у эталон-
ных моделей. Если выполняются равенства (25.48), то г, = 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Алгоритмы управления, синтезированные на основе концепций об-
ратных задач динамики в сочетании с минимизацией энергии ускорения в
окрестности фазовых траекторий движения эталонных моделей, имеют
нетрадиционную структуру. Они обладают замечательным свойством
осуществлять динамическую декомпозицию управляемой системы. Это
свойство заключается в том, что теоретически в асимптотике, при неог-
раниченном повышении уровня усиления в каждом канале, взаимосвя-
занные нелинейные уравнения замкнутой системы распадаются на неза-
висимые по степеням свободы уравнения, которые в точности совпадают
с уравнениями эталонных моделей. В этом проявляется естественная па-
раметрическая адаптивность систем с такими алгоритмами. Практически
это означает, что при достаточно высоких уровнях усиления в каналах
динамические характеристики систем будут оставаться стабильными при
изменении параметров в широких пределах.
Алгоритмы синтезированных структур могут найти применение в
системах автоматизации процессов управления движением относительно
центра масс механических, аэродинамических и гидродинамических объ-
ектов, а также в системах стабилизации и управления платформ различ-
ного назначения.
Лекция 26
УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ
ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
В настоящей лекции рассматривается задача управления угловой
ориентацией твердого тела в пространстве неподвижной системы коор-
динат. Алгоритм управления ориентацией синтезируется по нелинейным
уравнениям. Выполнено исследование динамики управляемой системы.
Показано, что из нелинейных алгоритмов как частный случай получают-
ся известные линейные алгоритмы управления, синтезируемые по урав-
нениям в отклонениях.
26.1. УРАВНЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ПРОЦЕССА
Связанную с твердым телом подвижную систему координат обозна-
чим Ох\х2ху Ее ориентация относительно инерциальной системы опреде-
ляется углами <рл., которые связаны с угловыми скоростями <вл кинемати-
ческими уравнениями Эйлера:
q>l = CD2 s>n <₽2 + Ю3 C0S <₽2 >
Ф2 = Ш1 - tgVi(tt>2 созф2 -ш3 5тф2), (26.1)
Ф3 = (со2 созф2 - о)3 з1пф2)(со8ф1)-1.
Следовательно, управляемый процесс описывается двумя системами
уравнений: динамическими уравнениями (25.1) и кинематическими
(26.1). Запишем их в векторной форме
ш = F(<d) ш + w, ф = Р(ф)ш, (26.2)
где приняты следующие обозначения:
СО = [СО1,О)2,СО3]Г, и = [W!,W2, «зГ, ф = [ф1,ф2,фз]Г’ (26.3)
wA. = rs'Ms,
5 = 1, 2,3.
476
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Функциональная матрица F(a>) равна
(1, 2, 3).
(26.4)
Символ (1, 2, 3) означает, что два другие коэффициента Ь2, Ь3 получают-
ся из (26.4) циклической перестановкой индексов. Далее, в соответствии
с (26.1) матрица
0 5Щф2 СО5ф2
Р(ф)= 1 -^ф,со5ф2 tgф1 ЗШф2 (26.5)
0 СО5ф2 ЗШф2
С03ф| С03ф|
Заметим, что в динамических уравнениях опущены моменты дисси-
пативных сил /и,(и). Как было показано в лекции 25, наличие этих мо-
ментов не вносит каких-либо особенностей в процедуру исследования и
не меняет качественных свойств синтезированных систем.
Будем считать, что контуры управления угловыми скоростями <£>,
построены. Пусть основу алгоритма управления угловыми скоростями
составляют уравнения (25.16) , (25.53). Для принятых обозначений эти
уравнения запишем в виде
м = Дш’-ю), <о* =-^-[р(Ц)ш0 -а'(Ц)ш ], (26.6)
где обозначено
a'(D) = diag{a'.(£>)}, Р(£) = diag{pv(£>)}, К = diag{*J. (26.7)
Исключив в (26.6) вектор (£>’, найдем
w = -L^[p(D)<D°-a(£))(D]. (26.8)
Здесь операторная матрица a(£>) = diag{a5(£>)}. Подстановка выражения
(26.8) в (26.2) приводит к уравнениям управляемого процесса
(Ь =F(<d)<d +
1
D3
Аг[р(Ц)ш° -а(Ц)й)], ф
= /^)(D.
(26.9)
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
477
Из этих уравнений следует, что в роли управляющих функций выступают
угловые скорости со®. Это соответствует принятому условию о том, что
контуры управления угловыми скоростями синтезированы. Величины со®
являются для этих контуров задающими сигналами. Определение значе-
ний со® подчинено решению задачи управления угловой ориентации или
в общем случае - управлению угловыми движениями.
Таким образом, задача синтеза алгоритмов управления угловой ори-
ентацией решается в два этапа. Сначала синтезируются алгоритмы
управления вращательными движениями, а затем строятся внешние кон-
туры, предназначенные для формирования таких сигналов со® = со® (ср, ср)
по угловым скоростям, при которых реализуется требуемое движение
по угловым координатам. Такой подход основан на естественной деком-
позиции задачи и предполагает организацию двух уровней управления:
исполнительный - внутренние контуры управления вращательными дви-
жениями и задающий - внешние контуры формирования задающих сиг-
налов (О®.
26.2. СТРУКТУРА АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ.
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ
Синтезируем алгоритм управления угловой ориентацией. Пусть
в начальный момент времени q>^(0) = ср,о, ф(0) = cps0. Требуется перевес
ти управляемый объект в окрестность стационарной точки со° = const,
со° = 0 и удерживать его в этой окрестности бесконечно долго. При этом
траектория движения {<р,,(Ц} —> {со®} должна следовать с заданной точ-
ностью за фазовыми траекториями {<p*(t)}~> {со°}, определяемыми диф-
ференциальными уравнениями эталонных моделей
Ф* +g.vi<p* + Х.«оФ* = £.»оФ.?> ф’(°) = Фдо> Ф*(°) = ФаО> i= 1 •.. 3. (26.10)
Положительные числа gso, gsi назначаются такими, чтобы динамические
характеристики моделей отвечали требованиям задания на проектирова-
ние системы. Далее потребуется векторная форма уравнений (26.10):
9*+G1(p‘+G0(p*=G0(p®, <р*(0) = q>0, ф*(О) = сро, (26.11)
478
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
где Go, G] - диагональные матрицы Go = diag{gso}, Gt = diag{gvl}, а век-
• о «о
торы (р , ф имеют своими компонентами фл., фу.
Поступаем следующим образом. Из второго уравнения (26.9) нахо-
дим выражение для второй производной по времени вектора угловых
переменных
Ф = Pt (Ф> + Лф)«>, Р, (ф) = 4Нф)] • (26.12)
at
Считаем, что в каждый момент времени t > 0 известны значения пе-
ременных ф(0, <£>(/). Угловые ускорения
ш“=ш“(ф, ф), 5=1...3, (26.13)
найдем из условия <p(r) = <p*(r), t > 0. На основании (26.12) и (26.13)
имеем
/’,(ф)ш + Р(ф)сЬ = О0(ф0 —ф) —Gjtp . (26.14)
С учетом принятого обозначения в (26.13) из (26.14) получаем
ш°(ф,ф) = Р-1 (ф)[о0(ф° - ф) - Gjtp - Р, (ф)ш]. (26.15)
Соотношение (26.15) определяет в каждый момент времени требуе-
мые значения угловых ускорений <Ь°, при которых теоретически точно
реализуются назначенные траектории движения в том случае, когда кон-
туры управления угловыми скоростями безынерционны. Интегрируя обе
части (26.15) по времени, найдем искомые расчетные соотношения
(о0(ф,ф)= р’1(ф)[с0(ф°-ф)-С1ф-Р,(ф)(В]л, (26.16)
о
по которым необходимо вычислять задающие сигналы внутренних кон-
туров.
Структурная схема системы управления изображена на рис. 26.1.
Контуры управления угловыми скоростями показаны в общем виде. Тре-
буемые значения угловых ускорений вычисляются по уравнению (26.15),
на основе которого организуется внешний контур системы. Для вычисле-
ния со0 используется информация о рассогласовании 5ф = ф0-ф(/) и
скорости изменения управляемых переменных ф(г). Задающее воздейст-
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
479
Рис. 26.1
вие <o°(q>, ср) для контура угловой скорости получается в результате ин-
тегрирования сигнала <Ь° по времени.
Процессы в замкнутой системе описываются уравнениями
<Ь = Г(ш)® + К [р( £> )со 0 (1) - a(D)m(t)],
®°(0 = р'1 (Ф)Ьо(ф° - Ф) -Gi<i> - Р,(ф)®]<* - (26.17)
О
ф = Р(ф)(О .
В идеальном случае, когда <о(1) = со°((р, ф), t > 0, что соответствует бе-
зынерционным контурам угловых скоростей <о.„ из уравнений (26.17)
имеем
®(0 = Р”1 (ф)Ьо(ф° - Ф) - Gi0 “ Р,(ф)®]<*
О
или после дифференцирования по времени
<Ь(/) = Р-|(ф)[со(ф° -ф)-С|ф-/’,(ф)(в]. (26.18)
Умножая обе части (26.18) слева на матрицу Р(ф) и принимая во внима-
ние, что согласно (26.12), справедливо равенство
Р(ф)Й = ф-/’(ф)Ш,
480
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
получим уравнение
Ф + G]<p + G0<p = G0<p°, (26.19)
которое совпадает с уравнением (26.11) эталонных моделей.
Для инерционного объекта точная реализация кинематической тра-
ектории ф*(0 -» ф° невозможна. Если, однако, постоянные времени
контуров угловых скоростей существенно меньше постоянных времени
соответствующих контуров угловой ориентации, процессы ф,(/)->ф°
будут мало отличаться от процессов ф’(0 ф° • Это положение является
основным при расчете параметров g^, &ь входящих в закон управления
(26.15).
Проведем исследование свойств замкнутой системы. Исходим из то-
го, что параметры г„ алгоритмов управления (25.53) угловыми скоростя-
ми рассчитаны из условия, чтобы динамика контуров со,. с большой сте-
пенью приближения соответствовала динамике эталонных моделей
(25.5). Запишем эти уравнения в векторной форме
a(D)co(z) = P(D)co° . (26.20)
При указанном условии можно рассматривать следующие уравнения
замкнутой системы:
a(D)o(/) = p(D)co° (ф, ср), ф(г) = Р(ф)со(г),
I
со°(ф,ф)= р-’(ф)Ьо(Ф° -ф)-С,ф-Р/(ф>]с/Е (26.21)
о
Получим уравнения первого приближения, выполнив линеаризацию
(26.21) в окрестности точки ф°, считая переменные ф, со малыми. Пренеб-
регая величинами второго прядка малости, найдем дифференциальное
уравнение для управляемой переменной ф. Справедливо равенство
ф(4) = Pt (ф)ф + 3 (ф)со + ЗР, (ф)й + Р(ф)со, (26.22)
которое получается в результате двукратного дифференцирования по
времени обеих частей (26.12). Здесь Pt, Pt - вторая и третья производ-
ные матрицы Р(ф). Для принятых условий в соответствии с (26.5) можно
найти
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
481
Лф)« 1
О
ф2 1
-Ф1 О
1 - Ч>2
’о
р-’((р)« Ф2
1 Ф1
О 1
0 -ф2
(26.23)
О
о
Поэтому производные матрицы
(26.24)
Принимая во внимание (26.23) и (26.24), с учетом малости величин по-
лучим
“з
Р(ф)<» = СО]
/?(v)^)co(3’v) = 0, v = l... 3.
(26.25)
&2
Поэтому на основании (26.22) можно записать следующее равенство:
Ф(4) = Р(ф)<о = [й3 <»] ®2]г . (26.26)
Заметим, что этот результат можно получить непосредственно из кине-
матических уравнений (26.1) после замены зшф^ ® фу, созф5 = 1.
Уравнения для управляемых переменных будут найдены, если в
(26.26) подставить выражения для третьих производных, определяемых
согласно уравнению (26.20). Из этого уравнения имеем
(Б = р(£)со°(ф, ф) - a'(D)co(t), (26.27)
где, как и ранее, a'(D) = a(D) - D3. Найдем приближенное выражение
для со°(ф,ф). Исходим из третьего уравнения (26.21). Принимая малыми
значения ф® - фд. находим
р-’(ф)С0(ф0-ф) =
«2о(Ф°-Ф2)
£зо(Ф°-Фз) >
£1о(ф°~Ф1)
Р-’(Ф)С1(Ф) =
g2I<P2
£з]Фз . (26.28)
-&1Ф1 -
16 - 9516
482
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Наконец, учитывая выражение для производной (<р), определяемой по
(26.24), будем иметь
Р,(ф)ф = 0.
(26.29)
Подставляя (26.28) и (26.29) в третье уравнение (26.21), после интегриро-
вания по времени получим искомое соотношение
со
/ х 1
(<р,ср)~ —
#20 (ф° -ф2)
£зо(фз -Фз)
/ю(ф? -ФО
’g2l<P2'
Й1Фз
-gllMh.
(26.30)
Следовательно, выражение для третьей производной (26.27) примет вид
<o=lp(D)
#20 (ф2 _ф2)_£21ф2
£зо(ф° ~Фз)-£з1Фз
gio (ф? -Ф1)-&1<Р1
a;(D)cp2
a'2(D)cp3
a'3(D)q>i
(26.31)
При выводе (26.31) учтено, что, согласно третьему уравнению
(26.17), для малых величин справедливо равенство
0
ф = />(ф)<0 » 1
0
Поэтому имеем
a;(D)cp2
® = (ф2 ф3 фУ,
a'(D)co= a'2(D)cp3
a3(D)cpi
Искомые уравнения для управляемых переменных ф5 получаются в
результате подстановки (26.31) в (26.26). Принимая во внимание при-
ближенное выражение для матрицы /’(ф) в (26.23), найдем
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
483
<р(4) = Р(ф)со
Р(Д)
D
«ю (ф? -Ф1)-«пФ1
«20 (ф1 ~Ф2)~«21Ф2
«зо(Ф°-Фз)-«з1Фз
a'3(D)<Pi
а'1(Я)ф2
_a2(D)cp3
Дифференцируя обе части по времени, получим окончательно
Ф15)'
Ф(?
Ф(з5)
а32Ф1 + а31Ф1 + а30Ф1
«12ф(24)+а11Ф23)+а10Ф22)
«22Фз4)+а21Фз3)+а20ф(32)
Р1(0)(«1о(ф?-ф1)-«пФ1
Р2(£’)(«2О(Ф2-Ф2)-«21Ф2
Рз(£’)(«зо(Фз-Фз)-«з1Фз
(26.32)
Из структуры уравнений (26.32) следует, что их левые части описы-
вают внутренние контуры (вращательные движения с угловыми скоро-
стями фл.), а правые части уравнений описывают внешние контуры, ко-
торые формируют требуемые значения угловых скоростей со”. Эти урав-
нения независимы, их можно записать в операторной форме следующим
образом:
£>a3(D)cp1(Z) = р!(О)[^10(ф? -ф1)-£цФ1],
Па,(£))ф2(0 = р2(£>)[«2о(ф° - Фг)" «21Ф2] > (26.33)
Da2 (£>)ф3(0 = p3(D) [g30(ф3 - ф3) - g3i(j>3].
На рис. 26.2 изображена структурная схема первого канала, которая соот-
ветствует первому уравнению (26.33). В идеальном случае, когда конту-
ры угловых скоростей безынерционны, справедливы равенства
= (1,2,3). (26.34)
a3(D)
16*
484
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
Рис. 26.2
Рис. 26.3
Поэтому структурная схема упрощается (рис. 26.3) и в точности соответ-
ствует модели эталонного процесса (26.11) по углу <pt. Это означает, что
<р,(/) =<р*(/) . Аналогичное имеет место и по другим степеням свободы.
Практически высокая степень приближения процессов <ps.(?) -» <р*(0
достигается в том случае, когда быстродействие контуров угловых ско-
ростей в 4 - 5 раз превышает быстродействие контуров углового положе-
ния. Если параметры у ,.о, ул1 эталонных моделей (25.7) рассчитываются
по формулам (25.44), то ориентировочные значения параметров эталон-
ных моделей (26.10) рекомендуется принимать равными
gs0~, V =(4-5)т.?, (26.35)
Тфл. Т<Рл
где т, - постоянные времени, характеризующие быстродействие конту-
ров угловых скоростей co s.. Коэффициенты затухания собственных коле-
баний назначаются такими, чтобы степень колебательности (перере-
гулирование) не превышала допустимого значения.
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
485
Итак, из выполненного анализа следует, что в окрестности стацио-
нарного состояния равновесия нелинейная система взаимосвязанных
уравнений распадается на три линейных независимых уравнения (26.33).
Далее, при неограниченном повышении быстродействия контуров угло-
вых скоростей линейные уравнения (26.33) четвертого порядка вырож-
даются в уравнения
Фа + «а1Ф + g.vo9.v = Яа-оФ? > s = 1 • • • 3, (26.36)
которые совпадают с уравнениями (26.10) эталонных моделей, опреде-
ляющих динамику контуров угловой ориентации.
Можно показать, что свойства декомпозируемости нелинейной сис-
темы, т.е. разделения взаимосвязанных уравнений на группы независи-
мых линейных уравнений вида (26.33) и перехода их в уравнения (26.36),
остаются справедливыми в окрестности любой точки ере [<р0,<р°], а не
только при малых отклонениях <р” - <рд. от стационарного состояния
<р” = const.
В силу отмеченных свойств системы приходим к заключению о том,
что структуру системы управления угловой ориентации можно строить
как двухуровневую на основе сепаратных (независимых) алгоритмов
управления, соответствующих каждой степени свободы. При этом управ-
ляющие моменты могут вычисляться по формулам
Л/л(Иа) = Г«(Ш*
со*(О = |(уд1 -аЛ.2соА.)сЙ, (26.37)
о
/ t
V.S1(')= f[ PaoVaO "(PaI -“о )®аИ> Vao(O= J(v°
о 0
Угловые скорости со” - задающие сигналы внутренних контуров - вы-
числяются также по независимым соотношениям
486
УПРАВЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИЕЙ ЭЙЛЕРОВЫХ СИСТЕМ
/
<0? (Ч>2 ) = £20 f(ф2 - <₽2 ) dt - £21Ф2 ’
о
ш2(фз) = £зо |(Фз -Фз)^-£з1Фз> (26.38)
о
t
“з (Ф1) = £10 f(ф° - ф!) dt - £1,9],
о
Структура алгоритмов управления (26.37), (26.38) при соответст-
вующих числовых значениях входящих в них параметров обеспечивает
реализацию в системе динамических характеристик, определяемых эта-
лонными моделями, а также слабое взаимное влияние между каналами.
Параметры rsx в (26.37) рекомендуется рассчитывать по формулам
(25.42), в которые следует подставить значения корней p*XJ•, s,j = 1 ... 3
характеристических уравнений
2
a.s(p) = P3 + Xa*v7’V=0> s = l-..3
v=0
эталонных моделей. Коэффициенты gsl, g so в (26.38) можно вычислять
по (26.35). Найденные ориентировочные значения параметров рекомен-
дуется уточнить по результатам математического моделирования.
Лекция 27
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ
СИСТЕМ
ВВЕДЕНИЕ
Начиная с середины 80-х годов, интенсивно проводятся исследова-
ния в области управления сложными механическими системами. Про-
блематика этих исследований охватывав!' теоретические вопросы управ-
ления механическими системами общего вида, прикладные задачи управ-
ления колебаниями механических систем, движением исполнительных
механизмов роботов, летательных аппаратов, управления специальными
машинами и системами машин и др. В методическом отношении почти
все работы обсуждаемого направления используют традиционные мето-
ды, которые базируются на линеаризации уравнений движения. Наряду с
этим в работах последнего периода получены существенно важные тео-
ретические результаты, которые позволяют синтезировать алгоритмы
управления механическими системами непосредственно по моделям, вы-
ражающим фундаментальные законы движения. Конструирование алго-
ритмов управления по самым общим уравнениям движения без их линеа-
ризации имеет большое значение для практики проектирования автома-
тических систем, поскольку в таких случаях представляется возможным
более полно учитывать свойства и особенности управляемых объектов.
В технических приложениях многочисленные системы различного
назначения функционально решают задачи стабилизации стационарных
состояний (позиционирование) и стабилизации программных траекторий
движения. Часто в обоих случаях автоматическая система должна обла-
дать высокой точностью. Высокоточные системы такого назначения мо-
гут быть спроектированы и созданы на основе алгоритмов, исключающих
возможность возникновения автоколебаний и обладающих, кроме того,
слабой чувствительностью к изменению параметров и возмущающим
силам. В настоящей лекции алгоритмы управления с такими свойствами
синтезируются методом обратных задач динамики в сочетании с мини-
мизацией функционалов, характеризующих энергию ускорения. Струк-
тура алгоритмов определяется непосредственно по моделям в форме
уравнений Лагранжа. В методическом отношении процедура синтеза со-
488
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
стоит в следующем. Для каждой степени свободы назначаются эталонные
модели, динамические характеристики которых соответствуют требова-
ниям к точности и динамике проектируемой системы. Управляющие си-
лы отыскиваются из условия, чтобы в процессе управления мгновенное
значение функционала принадлежало малой окрестности экстремума-
минимума.
В лекции исследованы свойства управляемой системы и показано,
что синтезированные алгоритмы при соответствующих значениях пара-
метров обеспечивают сколь угодно высокую точность приближения ди-
намических характеристик системы и эталонных моделей. В результате
исследования обоснована возможность применения алгоритмов автоном-
ного (независимого) по степеням свободы управления нелинейными сис-
темами. Показано, что в асимптотике при неограниченном повышения
уровня усиления в каналах управления алгоритмы осуществляют деком-
позицию системы на независимые линейные подсистемы, структура ко-
торых в точности идентична структуре эталонных моделей. В этом про-
являются свойства естественной адаптивности системы к изменению ее
параметров, что важно для технических приложений. Синтезированные
алгоритмы образуют двухуровневую структуру. Первый уровень - за-
дающий, здесь вычисляются требуемые значения управляющих сил. Вто-
рой уровень - исполнительный, здесь вычисляются управляющие функ-
ции, с помощью которых движители системы развивают необходимые
усилия. Приведены рекомендации по расчету параметров алгоритмов.
Общее число таких параметров равно удвоенному числу степеней свобо-
ды управляемой системы.
27.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОГО
ДВИЖЕНИЯ
Рассматриваем голономную управляемую механическую систему с п
степенями свободы, подчиненную голономным связям. Положение сис-
темы определяется обобщенными координатами ••• Яп\" = Я- Через
[Я\Яг — Яп\ = Я обозначим скорости изменения обобщенных координат.
Движение такой системы описывается уравнениями Лагранжа
+ s=1,2,(„j,
л L 9<7.v J dcis 5Ях
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
489
Здесь Q, - обобщенные управляющие силы, с помощью которых создает-
ся движение системы. Величина Qs имеет размерность момента (Нм),
если обобщенная координата qs - угол поворота. Если <?, - линейное пе-
ремещение, то Q, имеет размерность силы (Н). Кинетическая энергия
системы T(q, q) определяется квадратичной формой
T(q,q) = ^r ^a^q.qj =±-qTA(q)q, (27.2)
2 s>7=i 2
где A(q) = [av (<?)] - симметричная определенно положительная матрица.
Ее элементы asj{q) - непрерывно дифференцируемые функции q в облас-
ти определения уравнений (27.1). С учетом (27.2) непосредственными
вычислениями можно найти
d (дТ дТ г z х > z .. . ,
Т Т7" Г7~ = +bsj{4,4)4jY (27.3)
dt\dqs) 5qs
где обозначено
bSj{q,q) = ^
Ц = 1
Sa у (Я)
1 daw(q)
2 8qs
%-
(27.4)
Потенциальная энергия V(q) определяется как функция обобщенных
координат. Обозначим частные производные dV(q)ldqs = cs(q). Тогда с
учетом (27.3) уравнения управляемой системы принимают вид
^iav(q)q + '^biJ(q,q)qJ+cs.(q) = Qf, s= 1,2,...,«, (27.5)
7 = 1 7=1
или в векторной форме
A(q)q(t) + B(q, q)q(t) + C(q) = Q. (27.6)
Векторы C(<y), Q имеют своими компонентами соответственно cs(q), Q„, a
элементы функциональной (и х «-матрицы B(q, q) определяются по (27.4).
Далее нам потребуются уравнения динамики системы, разрешенные
относительно ускорений обобщенных координат. Поскольку A(q) — опре-
деленно положительная матрица, то существует обратная ей матрица
A~\q). Умножая слева все члены уравнения (27.6) на /Г*(<7), будем иметь
490
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
q(f) = A(q) Q + y(q,q),
где приняты обозначения
A(q) = A\q) = [asj(q)],
(27.7)
y(q,q)=A \q)[B(q,q)q + C(q)] =
1Ая,яУ
Ъ(Я,Я).
(27.8)
В координатной форме уравнения динамики имеют вид
ЯА1) = + У.АЯ>Я)> s = 1,2,п.
7=1
Наконец, запишем (27.9) в такой форме:
&(') = w, + y.v(^<j), 5 = 1, 2,п,
(27.9)
(27.10)
где ускорения ws равны
(27.11)
Для модели (27.10) переменные w, выполняют роль управляющих уско-
рений.
Далее будем считать, что выражение для кинетической энергии
7\q,q), которое подставляется в уравнения Лагранжа, учитывает инер-
ционно-массовые характеристики движителей управляемой системы, т.е.
приводов. Считаем также, что обобщенные (управляющие) силы Qs опре-
делены с учетом кинематических схем механизмов передачи движения.
Следовательно, для полного математического описания динамики систе-
мы уравнения (27.5) необходимо дополнить уравнениями динамики дви-
жителей. В практике проектирования силовых элементов управляемых
механических систем широко используются следующие модели:
ЪбД0 + а(0 = РА5= 1,2, ..., п. (27.12)
где us - управляющие функции; рл, hs - параметры, характеризующие
свойства движителей; т, - постоянные времени. В случае электрогидрав-
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
491
лических или электрических двигателей постоянного тока с независимым
возбуждением величины и, представляют собой управляющие напряже-
ния. По моделям (27.6) и (27.12) будем решать задачи стабилизации ста-
ционарных состояний и программных траекторий движения нелинейной
Лагранжевой системы.
27.2. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ СИЛ
Содержание задачи синтеза алгоритмов управления состоит в сле-
дующем. По заданной математической модели управляемого движения
требуется найти такие управляющие функции us = и* в форме обратных
связей, при которых движители создают силы Qs, удерживающие систему
в малой окрестности состояния равновесия или в малой окрестности за-
данной траектории. Необходимо при этом, чтобы система обладала на-
значенными динамическими характеристиками. Мы построим процедуру
синтеза алгоритмов, которая решает эту задачу в обратной последова-
тельности: сначала отыскиваются силы Qs = Q*, а затем по моделям
(27.12) определяются требуемые управляющие функции и„ = и*, с по-
мощью которых эти силы создаются движителями системы. Такие алго-
ритмы образуют двухуровневую структуру: первый уровень задающий, а
второй исполнительный. Этим уровням соответствуют внешний и внут-
ренний контуры замкнутой системы. Функциональное назначение внеш-
него контура - формирование Q*, а функциональное назначение внут-
реннего контура - формирование и*. Управляющие силы Q* можно оп-
ределять либо непосредственно по модели (27.6), либо по (27.10). Во вто-
ром случае по исходным данным задачи сначала отыскиваются управ-
ляющие ускорения w, = w*, а затем по уравнениям (27.11) вычисляются
Q*. Мы рассмотрим оба этих варианта, руководствуясь методическими
соображениями. Как будет показано в лекции 28, решение задачи по мо-
делям вида (27.10) непосредственно приводит к алгоритмам автономного
управления по каждой степени свободы. Возможность построения таких
алгоритмов имеет существенное значение для приложений.
Определение управляющих сил по модели (27.6). Задачу форму-
лируем следующим образом. Для управляемой системы в пространстве
обобщенных координат задана программная траектория движения
492
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
{ф.,(0, t >0}. Относительно функций ц/д(/) предполагается, что они огра-
ничены и дифференцируемы необходимое число раз. Требуется найти
такие управляющие силы Q* в форме обратных связей, при которых тра-
ектория движения замкнутой системы, начиная с некоторого момента
времени t = /, , с необходимой степенью приближения следует за назна-
ченной траекторией, т.е.
= s = 1,2,...,«. (27.13)
где 5, - заданные постоянные. Потребуем, кроме того, чтобы динамиче-
ские характеристики системы по каждой степени свободы были идентич-
ны динамическим характеристикам эталонных моделей, движение кото-
рых описывается уравнениями
Ns-l ms
Ф$№) (0 + £ (0 =2 ЗлцФлЦ) (0 ,
,=о ц=о (27.14)
ms < Ns, s = 1, 2,..., п.
Модели (27.14) определяют требуемую точность осуществления на-
значенной траектории движения, а также характер и продолжительность
процесса возвращения изображающей точки ф = (ф[ф2... Ф„)г в заданную
окрестность траектории, если она окажется за пределами этой окрестно-
сти. По построению моделей с необходимостью ф 5(г)-ф5(г) —> 0 при
t -> оо. Пусть параметры а„ и Р.ф такие, что |фд. (г) - фд. (г)| < ед. . Тогда ди-
намические характеристики проектируемой системы по каждой степени
свободы будут практически идентичны динамическим характеристикам
эталонных моделей, если величины es < 5S такие, что выполняются нера-
венства (27.13). Далее будем считать это условие выполненным.
По физическому смыслу сформулированная задача соответствует
управлению пространственным движением механической системы. В том
случае, когда ф, = const, осуществляется стабилизация системы относи-
тельно стационарного состояния. Если на вход системы поступают функ-
ции времени ф.,(г), т0 решается задача стабилизации программной траек-
тории движения, т.е. траекторного управления.
Чтобы исключить операции дифференцирования в алгоритмах вы-
числения управляющих функций, наименьшее допустимое значение N,
в (27.14) должно быть
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
493
Далее принимаем одинаковую структуру эталонных моделей для всех
степеней свободы, что упрощает изложение и не умаляет общности раз-
виваемой методики синтеза алгоритмов управления. Для определенности
положим тх = 1. Тогда, согласно (27.15), имеем М = 3.
Управляющие силы Qs = Q* найдем из условия, чтобы на траекто-
риях управляемого движения значение функционала
с(е)=1/2[ф(о-да,е)]7’л(?)[ф(о-д(г,е)], ,>о (27.16)
принадлежало малой окрестности экстремума-минимума. Функционал
(27.16) представляет собой мгновенное значение энергии ускорения, вы-
числяемой в окрестности траектории движения эталонных моделей. Из
условия достижения строгого минимума функционала
minG(0 = O, Г>0 (27.17)
с учетом (27.7) и (27.8) находим
Q = A(q)i&t) + B(q,q)q + C(q). (27.18)
Понятно, что на основе (27.18) можно построить алгоритм управления
компенсационного типа. Однако практическая ценность алгоритмов та-
кого типа невелика, так как для их аппаратной реализации необходимо
знать характеристики модели управляемой системы. Вследствие этого
система с таким алгоритмом оказывается чрезмерно чувствительной к
изменению структуры модели, ее параметров и возмущающим силам.
Откажемся от выполнения условия (27.18) и преднамеренно прида-
дим алгоритмам управления и системе в целом свойства грубости. С этой
целью определим управляющие силы с помощью дифференциальных
соотношений
к = const, s=l,2,...,«, (27.19)
dt £ у ае, SJ
которые соответствуют градиентному методу движения изображающей
точки (6162 б») к экстремуму G(Q). Чтобы провести необходимые
преобразования, запишем (27.19) в векторной форме
494
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
dQ*s{t) JaG(g)
dt L dQ
* = [*,,]•
(27.20)
Найдем градиент функционала. Справедливо равенство
Л <Z2l 1
+ —-^-[</гЛ(<у)<Д
С учетом (27.7) находим
-^-[?гА(д)ф]=-фГ,
-“^[?ГЖ<7)?]= ‘(^) + уг(^,<7).
Следовательно, искомый градиент
dQ
или после транспонирования обеих частей этого равенства
=-ф + Л-'(<7)е + У(<7,<7).
(27.21)
Подставляя в (27.21) выражение для у(</, q) из (27.8) и принимая во вни-
мание, что
Q - q)q + C(q)) = A(q)q ,
получим окончательно
=-(9-g). (27.22)
L dQ J
С учетом (27.22) и (27.20) находим дифференциальный закон управления
^JH = K(ip-q). (27.23)
at
В координатной форме дифференциальные соотношения для управляю-
щих сил имеют вид
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
495
(ф -^), 5=1,2,...,». (27.24)
dt %
Величины ускорений характеризуют движение эталонных моделей и
при вычислении £>* по (27.24) выступают в роли требуемых значений
ускорений движения управляемой системы по каждой степени свободы.
Значения ф,(0 можно вычистить по уравнениям (27.14). С этой целью
нужно проинтегрировать обе части этих уравнений по времени при нуле-
вых начальных значениях переменных, а затем в полученных соотноше-
ниях выполнить замену <p7v)(0 = <?7v)(r), v = 0,1. Для принятых значений
ms = 1 и N, =3 находим после выполнения необходимых преобразований
фу (О = Руо /(ф,~4j)dt + Pyi(vy - <z7)- сх72<77. j = 1,2,...,». (27.25)
о
При выводе (27.25) принято P/v = ayv, v = 0,1, что соответствует второму
порядку астатизма моделей.
Таким образом, алгоритм вычисления требуемых значений управ-
ляющих сил Q* организуется на основе уравнений (27.24), (27.25). Од-
нако для аппаратной или программной реализации алгоритма эти уравне-
ния следует представить в другой форме. Интегрируя обе части (27.24)
и (27.25) по времени при нулевых начальных значениях переменных,
получим
6‘(0 = X^7((Pj i = ’’2, ..., и.
у=1
Фл (О = «уо J/y(О dt + a.d/(0 - a.j2qj (t), (27.26)
0
t
fj = Дфу(0-9у(0]Л-
0
496
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
Рис. 27.1
Для вычисления Q* по (27.26) требуется информация о координатах по-
ложения скоростях их изменения qj(f), а также о функциях ф/z),
характеризующих назначенную траекторию движения управляемой сис-
темы. При вычислении g* не требуется выполнять операцию дифферен-
цирования, что соответствует постановке задачи.
Уравнения (27.26) составляют основу алгоритма вычисления управ-
ляющих сил g*. Структурная схема алгоритма изображена на рис. 27.1.
Она соответствует векторной форме уравнений
I
Q" = K(^>-q), <p(z) = a0 j/(O* + a1/(r)-a2^(z),
о
, (27.27)
/(0=
о
где обозначено
av = diag{asv}, v =0,1,2; 5 = 1,2,
Свойства системы с алгоритмом управления (27.27) будут изучены в
следующей лекции. При исследовании будут найдены условия, при вы-
полнении которых система отвечает требованиям по точности и динами-
ческим характеристикам.
Лекция 28
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ
ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
В лекции исследованы свойства управляемых голономных систем
стабилизации стационарных состояний и программных траекторий дви-
жений. Показано, что алгоритмы координированного (взаимосвязанного)
управления обеспечивают возможность реализации высокой динамиче-
ской точности и придают системам естественные свойства адаптивнос-
ти - слабой чувствительности к изменению параметров и возмущающим
силам. Рассмотрены алгоритмы автономного, т.е. независимого по степе-
ням свободы, управления. Исследованиями показано, что эти алгоритмы
придают системам такие же свойства, как и алгоритмам координирован-
ного управления.
28.1. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ С АЛГОРИТМАМИ
КООРДИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
При исследовании динамики нелинейной системы будем сущест-
венно использовать теоремы Ляпунова, позволяющие установить свойст-
ва движения по уравнениям в отклонениях. Сначала будем считать, что
движители системы безынерционны. Исследование динамики с учетом
инерционности движителей будет выполнено в параграфе 28.2. Рассмат-
риваем задачу стабилизации стационарного состояния q^= const, 5 = 1,
2,..., п. Тогда можно считать, что qs - отклонения обобщенных координат
от их стационарных значений q®. В таком случае в уравнениях эталон-
ных моделей следует принять = 0, вследствие чего функции <р,(г) бу-
дут определять отклонения выходных переменных моделей от стацио-
нарного состояния равновесия. В окрестности точки q° возмущенное
движение управляемой системы описывается уравнениями первого при-
ближения
+ + 5 = 1,2,...,и. (28.1)
7=1
498
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
Выражения для постоянных коэффициентов этих уравнений не выписы-
ваем, они получаются в результате выполнения процедуры линеаризации.
Отметим только, что - ау(<])ч=о- В соответствии с (27.26) обобщен-
ные силы вычисляются по соотношениям
S*oW = Хмчь “S = 1,2,...,и.
7=1
Ф/0 = -cxj0 JZ/o(т)л - aj\fjo (О - “./2^/(0 , (28.2)
о
I
о
Изучим свойства системы первого приближения (28.1), (28.2). Покажем
сначала, что существует такая определенно положительная матрица
К = К1 >0, при которой стационарное состояние qs = qx = 0 асимптотиче-
ски устойчиво. С этой целью найдем полную производную по времени
функционала
<Ж) = |(ф-9)Г 4)(ф-9). Л=(«°) (28.3)
на траекториях движения управляемой системы с алгоритмом управления
(28.2). На основании (28.1) вектор ускорения
*0=(*§), с0=(с°). (28.4)
Полная производная по времени G(Qq) с учетом (28.4) равна
dt dt dQl dt [ dt
Так как, согласно (27.23) для условий рассматриваемой задачи
dG(Ql) / dt = АГ(ф - q), то последнее равенство принимает вид
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
499
= (ф - q)r [Л(Ф " Ч) " (Ф ~ «УЖФ - <?)] (28.5)
at
Производная функционала будет вычислена вполне на траекториях
управляемого движения, если в (28.5) подставить выражения для ip, ф,
определяемые по (28.2). В операторной форме можно записать
1 •, d
ф(0 = -—(«О +0С1О + a.2D2)q(t), D = —,
D dt
где диагональные (п х и)-матрицы
аи= diag{asg}, ц = 0,1,2, 5 = 1,2,..., и.
Следовательно
ф(0 - 4(f) = ~ a(D)q(t), ф(г) - q(t) = -a(D)q(t),
(28.6)
2
cx(D) = diag{a4. (£>)}, as(D) = D3 + £сх4Ц£>ц.
ц=0
С учетом этих выражений из (28.5) находим окончательно
^^2 = ^(0^(0-^(0^(0, t,(t)=]a(D)q(t)dt. (28.7)
В силу известной леммы существует такая определенно положи-
тельная матрица К = Ко, при которой полная производная функционала
(28.3) по времени, определяемая по (28.7), будет отрицательна при лю-
бых £(г) —> 0. Поэтому при К = Ко на траекториях управляемого движе-
ния G((2o)->O, что свидетельствует об асимптотической устойчивости
стационарного состояния q° линейной системы с алгоритмом управления
(28.2). На этом основании из теоремы Ляпунова об асимптотической ус-
тойчивости по первому приближению заключаем, что алгоритм управле-
ния (27.26) стабилизирует до асимптотической устойчивости нелинейную
систему (27.5). Существенно при этом, что заключение об асимптотиче-
ской устойчивости нелинейной системы остается справедливым и в слу-
чае стабилизации программной траектории движения.
500
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
Покажем теперь, что нелинейная система (27.5) , (27.26) при опреде-
ленных условиях обладает слабой чувствительностью к изменению
структуры ее модели и параметров. Вновь будем рассматривать уравне-
ния первого приближения (28.1), (28.2). Исследуем сначала динамику
сепаратных каналов, движение которых описывается уравнениями
«°^(0 + ^.v(0 + c°Vt(0 = v;o, 5 = 1,2,...,и, (28.8)
где управляющие силы обозначены
v’o = (4>s - Qs )> = ks,. (28.9)
Требуемые значения скоростей <pv вычисляются по (28.2). Законы управ-
ления (28.9), дополненные соотношениями для вычисления ф,., образуют
основные обратные связи (контуры управления) соответствующих сепа-
ратных каналов. Параметры к, = к„, т.е. диагональные элементы матрицы
К, будем называть коэффициентами усиления основных контуров.
Исключим из (28.8) и (28.9) переменные v*0 . Из (28.11) находим
Ф.«(0 - Qs(0 = -р-a,(D)qs (Г). (28.10)
В результате подстановки (28.9) и (28.10) в (29.8) получим
[D24(£>) + Л,а(£>)]д,(Г) = 0, л = 1,2, ...,и, (28.11)
где операторные выражения
Д°(£>) = д°£>2 +bxsD + c°ss.
Уравнения (28.11) описывают динамику сепаратных каналов с основны-
ми контурами управления. Рассмотрим характеристическое уравнение
. 2 .
Р24(р) + Ф3 + £avg^)=0. (28.12)
и=о
Степень полинома ад.(р) на единицу меньше степени полинома
р2Л°(р). Кроме того, по свойству эталонных моделей корни уравнений
as(p) = 0 расположены в левой полуплоскости комплексной перемен-
ной р. Следовательно, на основании известного результата заключаем,
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
501
что структура сепаратных каналов допускает теоретически неограничен-
ное повышение уровня усиления в основных контурах, т.е. кх —> оо ,
s = 1, 2, ..., п. При этом в асимптотике три корня p,v(k,) каждого уравне-
ния (28.12) стремятся к соответствующим корням p*v характеристиче-
ских уравнений а„(р) = 0 эталонных моделей. Кроме того, один корень
каждого уравнения (28.12) удаляется на бесконечность в область отрица-
тельных значений. Таким образом, сепаратные каналы имеют следующее
асимптотическое распределение спектра:
lim Psv(kx) = p*n, lim pv4(к,) = -oo, s = 1, 2,..., n, v = 1,2, 3. (28.13)
ks —kx —
Этому распределению соответствует асимптотическая структура диффе-
ренциальных уравнений сепаратных каналов
q,5(0 + a.v29.l(0 + aAl7.v(0 + a.vo7.«(0 = 0, s = 1,2,...,и, (28.14)
которые в точности совпадают с однородными уравнениями эталонных
моделей.
Изучим теперь асимптотические свойства решений уравнений
(28.1), (28.2).
Исключим из этих уравнений Qx0 . На основании (28.1) и (28.2) имеем
(28.15)
D 7=i
Подставляя выражения для Qx0 из (28.15) в (28.1) вместо gv0, получим
взаимосвязанные уравнения
^[D24°(D) + Av7a7(D)]7y(0 = 0, s=\,2,...,n, (28.16)
7=1
которые в первом приближении описывают динамику системы стабили-
зации стационарного состояния q° = const. Операторные выражения
Ду(£>) в (28.16) соответствуют левой части (28.1) для каждой пары зна-
чений s, j. Так как сепаратные каналы сохраняют устойчивость при неог-
раниченном повышении усиления в основных контурах, то по известной
методике лекций 18 и 19 можно установить следующие асимптотические
свойства дифференциальных уравнений (28.16).
502
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
1°. При неограниченном увеличении диагональных элементов kss
матрицы К характеристическое уравнение
det[p24° (Р) + (Р)] = 0 (28.17)
степени 4п распадается на и +1 независимых алгебраических уравнений,
из которых:
а) уравнения третьей степени
°Цр) = Р3 + “4гР2 + “яР + s = l,2,..., п
соответствуют дифференциальным уравнения (27.14) эталонных моделей;
б) уравнение и-й степени
г0Г +г1Г’1 +г2Х"’2 +... + /•„_!Х +1 = 0, ~к = рк~1, А = тахА° (28.18)
имеет своими коэффициентами суммы диагональных миноров
Мп(До) порядка (и - л) матрицы Ло = (а° ), а именно
r0=det4), rs =YlMn_i J(A0\ s=l,2, r„=l.
/=i
Значения коэффициентов kss = k°s в (28.18) такие, что при к„ > k°s, ста-
ционарное состояние qs = qs = 0 системы (28.16) асимптотически устой-
чиво.
2°. Алгебраическое уравнение (28.18) является обращенным по от-
ношению к известному в алгебре уравнению
det[^-M]=X(-l)%V^=0.
т=0
Так как коэффициенты г„ в (28.18) представляют собой суммы диаго-
нальных миноров матрицы инерции системы Ао = (а° ), то они всегда
положительны, а нули Хл, s = 1,2,..., п полинома
Я(Х) = А" +£rvX"’v
V=I
будут отрицательными действительными числами.
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
503
3°. В силу свойства 2° характеристическое уравнение (28.17) в асим-
птотике при —> оо, s = 1, 2, п имеет Зи корней, в точности равных
корням соответствующих характеристических уравнений эталонных мо-
делей, при этом остальные п корней удаляются на бесконечность в об-
ласть отрицательных значений. Следовательно, асимптотическое распре-
деление спектра системы (27.15) с и степенями свободы идентично асим-
птотическому распределению спектра (28.13) сепаратных каналов.
Таким образом, на основании полученных результатов приходим к
заключению, что при неограниченном увеличении диагональных элемен-
тов кхх матрицы К система взаимосвязанных уравнений (28.16) вырожда-
ется в систему независимых дифференциальных уравнений третьего по-
рядка вида (28.14), которые описывают динамику эталонных моделей в
свободном движении. Величины кхх = кх представляют собой коэффици-
енты усиления основных контуров управления. Поэтому отмеченные
свойства дифференциальных уравнений (28.16) интерпретируются в за-
даче управления движением динамической системы следующим образом:
при неограниченном повышения уровня усиления в основных контурах
управления в системе с п степенями свободы осуществляется ее декомпо-
зиция, в результате которой структура многосвязной системы расчленя-
ется на независимые подсистемы, динамика которых идентична динами-
ке эталонных моделей. Следовательно, в случае кхх —> <ю, з = 1,2, ..., п
траектория движения управляемой системы к стационарному состоянию
qx(t) -> 0 неограниченно приближается к траектории движения <p(Z) -> О
эталонных моделей.
Итак, линейная система первого приближения (28.1) с алгоритмом
управления (28.2) сохраняет свойства асимптотической устойчивости при
неограниченном повышении уровня усиления в основных контурах. Од-
нако, согласно теории Ляпунова, такими же свойствами обладает и нели-
нейная система (27.5). Более того, при неограниченном повышении уси-
ления в основных контурах остается также асимптотически устойчивой и
нелинейная система с алгоритмом (27.26), который стабилизирует про-
граммную траекторию движения {\|/,(0> 0}. Важно при этом, что ал-
горитм (27.26) в асимптотике осуществляет также декомпозицию нели-
нейной системы на п независимых подсистем по каждой степени свобо-
ды. Это последнее положение нуждается в доказательстве. Дадим крат-
кое изложение такого доказательства.
Рассматриваем нелинейные уравнения (27.6) и (27.24), причем в
(27.6) следует принять Q = Q*. Эти уравнения необходимо дополнить
соотношениями для вычисления <p(Z). С учетом того, что для принятой
504
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
модели Р.5(1 = адц, v = 0,1, на основании (27.25) имеем следующее выраже-
ние для вектора ускорений:
ф(0 = -^₽(£>ХО - -^-(ао + a,D + a2Dl')q(t),
P(O) = diag{P5 (£>)}, p.s(D) = p,ID + pv0.
Поэтому аналогично (28.6) находим
ф(0 - 9(0 = ВХЯМО - а(£>)9(0]
и в соответствии с (28.6) запишем
^-^ = ^-/C[P(D)V(Z)-a(D)^)]. (28.19)
at D
Уравнения (27.6), (28.19) вполне определяют динамику нелинейной
системы стабилизации программной траектории {уХО, ? 0}. Для удоб-
ства анализа системы исключим из этих уравнений вектор управляющих
сил Q'. С этой целью вычислим производную по времени от обеих частей
(27.6). В результате с учетом (28.19) будем иметь
A(q)q(t) + G(g,q,q) = К j[P(D)V(r) - а(Р)7(0]Л. (28.20)
о
Выражения для элементов GSJ функциональной матрицы G(q,q,q) не
выписываем, так как они не потребуются. Дифференцируя по времени
обе части (28.20), получим уравнение управляемой системы в замкнутой
форме
A{q}qw(t) + F{q,q,...) + Ka(D}q(t) = КР(£>Ж0- (28.21)
Исследуем асимптотические системы в случае неограниченного повыше-
ния уровня усиления в основных контурах, т.е. при ка -> оо. Исходными
являются следующие положения: 1) для системы (28.1) всегда можно
указать такие значения параметров ksj, при которых невозмущенное дви-
жение qx(f) = \|/,(0 асимптотически устойчиво; 2) система (28.21) сохраня-
ет свойства асимптотической устойчивости при неограниченном увели-
чении диагональных элементов ksx, s = 1,2,..., п матрицы К.
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
505
Ао' =diagM
К..
Имея в виду указанные положения, принимаем, что в (28.21) уста-
новлены такие значения кт >А° , при которых yA(Z)-gA(z)-> 0, если
t -> оо. Тогда при конечных начальных значениях | q^(0)| < оо, и ограни-
ченных |\|/A.(Z)| < оо, t > 0 будут ограниченными выходные переменные
управляемой системы и их производные, т.е. | q^(0)| < оо, t > 0. Умно-
жим слева все члены уравнения (28.21) на диагональную матрицу
0 ... О
О *22 - 0
•>
о о...*-1.
а затем выполним предельный переход при —> оо, s = 1, 2, ..., п. Спра-
ведливы следующие равенства:
lim Ао-1[Л(^)^4)+Г(^,9,...)] = О,
lim A0’I[Aa(D)^(z)] = a(£>)^(z),
Arvy ->со
lim Ао-1 [AP(£>) у(')] = ₽(£>)W(0-
-><o
Следовательно, после умножения (28.21) на и вычисления пределов
будем иметь
a(D)q(t) = P(Z>)\p(f) (28.22а)
или в координатной форме
2
&(0+£м‘Й(0 = Ш0 + ₽.Л(0, s= 1,2,..., и. (28.226)
ц=0
Уравнения (28.22) в точности совпадают с уравнениями эталонных моде-
лей для принятых значений Ns = 3 и ms; = 1.
Таким образом показано, что синтезированный алгоритм (27.26) в
асимптотике (£„ -> оо) осуществляет динамическую декомпозицию нели-
506
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
нейной системы, расчленяя ее на п независимых подсистем, структура
которых идентична структуре эталонных моделей по каждой степени
свободы. Следовательно, при неограниченном повышении уровня усиле-
ния в основных контурах управления в системе можно теоретически реа-
лизовать сколь угодно высокую точность приближения управляемых
процессов к эталонным, т.е. qs(t) —> <р,(Г). Отсюда следует вывод, что син-
тезированные алгоритмы придают нелинейной системе замечательные
свойства: теоретически при бесконечно высоком усилении в основных
контрах управления динамические характеристики системы остаются
неизменными при произвольном изменении параметров управляемого
объекта. Иначе говоря, алгоритмы такой структуры придают системе
свойства параметрической адаптивности.
28.2. АЛГОРИТМЫ АВТОНОМНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Управляющие силы будем определять по уравнениям (27.10). Фор-
мулировка задачи остается прежней: найти такие силы Q , при которых
на траекториях управляемого движения выполняются неравенства (27.13),
а динамические характеристики системы по каждой степени свободы
идентичны динамическим характеристикам эталонных моделей (27.14).
Как и ранее, принимаем для определенности N, = 3 и ms. = 1.
В рассматриваемом случае, как отмечалось, сначала необходимо
найти ускорения wv = w*, отвечающие требованиям задачи управления, а
затем по уравнениям (27.11) вычислить управляющие силы Q*. Функции
ys(q, q) в (27.10) будем считать возмущениями, тогда эти уравнения
можно рассматривать как независимые, описывающие динамику системы
по каждой степени свободы. Ускорения w‘ определяем из условия, что-
бы на траекториях управляемого движения значения функционалов
Gs(wA) = l/2[<p.v(O-^(r,wt)]2, t>0 (28.23)
принадлежали малой окрестности экстремумов-минимумов. Аналогично
(27.19) для ускорений w* запишем дифференциальные законы управ-
ления
= = const > 0, 5=1,2,.... и. (28.24)
dt dw,
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
507
С учетом (27.10) из (28.23) находим
dGs ... .. .
-7-л- = -(Ф.?-<74)-
<Лгл.
Подставляя это выражение в (28.24) и выполняя интегрирование обеих
частей по времени при нулевых начальных значениях переменных,
найдем
w*=Xs((ps-^), 5=1,2,..., п.
(28.25)
Требуемые значения скоростей фл (/) вычисляются по (27.26).
Зная ускорения w*, по соотношениям (27.11) можно найти управ-
ляющие силы Q* в форме обратных связей (27.26). Мы, однако, посту-
пим иначе. Исследуем свойства изолированного движения системы по
одной степени свободы. Так как, согласно (27.26) справедливо
Фл - ^ = р-[Р,(0 - «,(£>)<&(')], (28.26)
то изолированное движение определяется уравнением
[О4 + Хд.ал. (О)] q3 (Г) = А. Д (О) (Z) + у(д, q), (28.27)
которое получается из (27.10) и (28.25) с учетом (28.26). Здесь ул. - вто-
рая производная по времени функции у5. В случае |у5(/)| <00 справед-
ливы предельные равенства
lim -^-^4)(0
= 0,
lim
1 .. ,
т-Ул(<7,?)
А..
= 0.
Поэтому в асимптотике при неограниченном повышении усиления
(Хл -> со) из (28.27) следует уравнение эталонной модели вида (28.22).
Таким образом, управление движением нелинейной системы можно
осуществлять с помощью алгоритмов, автономных по каждой степени
свободы. Такие алгоритмы стабилизируют нелинейную систему до асим-
птотической устойчивости и расчленяют ее (декомпозируют) на незави-
симые подсистемы, структура которых идентична структуре соответст-
вующих эталонных моделей. Принимая во внимание доказанные в пара-
графе 28.1 асимптотические свойства системы с алгоритмами (27.26),
508
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
приходим к заключению о том, что управляющие силы при автономном
управлении вычисляются по уравнениям
Q* = kx((ps - qs), 5 = 1, 2,..., и;
Фл (0 = “.«о [л (') dt + ад.,Л(0 - а.,2^(0 > (28.28)
о
/з(0= •
о
Для вычисления требуемого значения управляющей силы Q* по (28.28)
необходимо иметь информацию о состоянии системы только по одной
(изолированной) степени свободы. В этом смысле понимается автоном-
ность алгоритмов управления многосвязной системой.
Представляет методический интерес исследование асимптотических
свойств системы с алгоритмами автономного управления по классиче-
ской схеме: сначала исследовать динамику по уравнениям первого при-
ближения, а затем на основе теории устойчивости вывести заключение
о свойствах движения нелинейной системы. Рассмотрим кратко эти во-
просы.
На основании (28.1) и (28.28) запишем уравнения системы с алго-
ритмами автономного управления
X (D)9j(t) = q:, 5 = 1,2,...,»;
7=i
е:=-^[₽л.(£>)ч>.,(о-ал.(£>)^(о]
или в замкнутой форме
X [о2Д° (О) + 5,/A.av(D)]<7,(г) = АД (О)ч/д. (г), (28.29)
7=1
5 =?’ j = S’
V [о, j * 5, 5 = 1, 2, ..., п.
Системе (28.29) соответствует характеристическое уравнение
R(p) = det [р2 А°(р) + 5.уЛ,а,(р)] = 0. (28.30)
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
509
Параметры ks имеют один порядок величины, поэтому примем ks = к, что
удобно для исследования при ks —> оо , з = 1,2, ..., п. При таком условии
полином R(p) можно представить в виде
R(P) = ^4/>(P) + ^4/>-l(P) + ^2^4/>-2(P)+- + ^"^3n(P)- (28.31)
Индексы 4л - s обозначают степени полиномов R^ns(p), s = 1,2,..., п. Яв-
ные выражения R^„..s(p) не выписываем, так как они не потребуются. От-
метим только, что
*з„(Р) = ГК(Р)- (28.32)
5 = 1
Степени рядом стоящих полиномов в (28.28) отличаются на едини-
цу. В этом случае, как известно, при к —> <ю корни характеристического
уравнения вида (28.30) распределяются следующим образом: Зп корней
асимптотически приближаются к Зп корням уравнения R-irfp) = 0; осталь-
ные п корней удаляются на бесконечность в левой полуплоскости. При-
нимая во внимание (28.32), приходим к заключению, что асимптотиче-
ское распределение спектра системы (28.29) идентично (28.13). Следова-
тельно, алгоритмы автономного управления стабилизируют линейную
систему до асимптотической устойчивости и в асимптотике при к —> оо
осуществляют ее динамическую декомпозицию на независимые подсис-
темы. Такими же свойствами обладает и нелинейная система (27.6) с ал-
горитмами (28.28), что следует из теории Ляпунова об асимптотической
устойчивости по уравнениям первого приближения.
Итак, показано, что алгоритмы автономного управления, как и не
автономного, теоретически придают системе идеальные свойства естест-
венной адаптивности: ее динамические характеристики по каждой степе-
ни свободы идентичны динамическим характеристикам эталонных моде-
лей и остаются неизменными при изменении параметров управляемого
объекта. Такие свойства системы в полной мере проявляются лишь в
асимптотике при бесконечно высоком уровне усиления в контурах
управления. Практически требуемая динамическая точность проектируе-
мой системы, назначаемая с помощью неравенств (27.13), достигается
при конечных значениях коэффициентов усиления ks. Ориентировочные
значения ks рекомендуется рассчитывать по соотношениям
к = (4 + 5)a*s со*, з=1,2,..., и, (28.33)
510
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
где максимальные значения диагональных элементов ass(q) матрицы
A(q) в области определения уравнения (27.6), т.е. a'ss =maxaSi(g). Кроме
ч
того, со* - значения частоты среза частотных характеристик эталонных
моделей в разомкнутом состоянии. Расчетные значения ks, найденные по
(28.33), уточняются по результатам моделирования из условия достиже-
ния требуемой динамической точности и слабой чувствительности про-
ектируемой системы к изменению ее параметров и возмущающим силам.
28.3. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖИТЕЛЯМИ СИСТЕМЫ
Для окончательного решения задачи синтеза необходимо найти
управляющие функции и*, с помощью которых движители системы соз-
дают требуемые силы Q*, реализующие назначенные траектории движе-
ния. Введем в структуру системы контуры управления движителями. Бу-
дем считать, что Q* - задающие сигналы этих контуров. Расчетные со-
отношения для и* найдем из условия, чтобы требуемые силы Q* отраба-
тывались по законам, которые определяются дифференциальными урав-
нениями
ё?(о+г,а°ю=ье:, r.,>o, 5=i, 2,...,«. (28.34)
Через Q°(f) обозначены эталонные процессы. Из (27.12) имеем
&(') + —&(') = — (РЛ-hsqs). (28.35)
тд. т.
Потребуем, чтобы искомые управляющие функции и* обеспечивали вы-
полнение равенств Q*(f) = 1^0. При таком условии из (28.34) и
(28.35) находим искомые соотношения для управляющих функций
(Й’-0 + —5 = 1, 2,..., я. (28.36)
Pi Pi
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
511
Рис. 28.1
Расчетными соотношениями в (28.36) являются уд.. Числовые значения
у, должны быть такими, чтобы быстродействие контуров управления
движителями, характеризуемое постоянными времени Г4. = у”1, было су-
щественно выше быстродействия эталонных моделей и физически реали-
зуемым. Отметим, что для вычисления управляющих функций и* требу-
ется информация о фактических значениях усилий Q„ развиваемых дви-
жителями. Получение такой информации современными техническими
средствами не представляет затруднений.
На рис. 28.1 изображена схема замкнутой системы для изолирован-
ной степени свободы с алгоритмом управления двухуровневой структу-
ры, которая соответствует уравнениям (28.28) и (28.36). Функциональные
блоки, в которых вычисляются требуемые значения управляющих сил и
управляющих функций, отмечены номерами этих уравнений. Движители и
управляемая динамическая система обозначены соответственно Дв и УДС.
Инерционность движителей может быть причиной качественного
изменения динамических свойств системы. Это в первую очередь связано
с возможностью нарушения асимптотических свойств параметрической и
структурной адаптивности системы с алгоритмами предлагаемой струк-
туры. Найдем условия, при выполнении которых система не теряет этих
свойств.
Рассматриваем задачу стабилизации стационарного состояния
q® = const для системы первого приближения (28.1). Как было показано,
в случае идеальных (безынерционных) движителей эта система стабили-
зируется до асимптотической устойчивости алгоритмом (28.28). Прини-
маем теперь, что движители описываются уравнениями (28.34). Тогда
фактические значения управляющей силы Qs(t) определяются следую-
щим образом:
512
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
й (О = -т^й‘о(О, 5 = 1,2,..„и;
D + ys
(28.37)
бГоСО = as(D)qs(‘)-
Dz(D + ys)
Выражения для Q*0(t) = Q*s(t) следуют из (28.2). Исключим теперь
из (28.1) и (28.37) переменные Qs. В результате получим уравнения замк-
нутой системы
X[^2(O + Y7)4(D)kW + ^baXD)^W = 0, 5 = 1,2,..„и. (28.38)
7=1
Как и ранее, примем к = max ks. В таком случае характеристическое урав-
нение, соответствующее системе (28.38), можно записать в виде
й5„(р) + kR5n_2 (р) + *2Я5и_4 (р) +... +кп R3n(p) = 0. (28.39)
Используемые здесь обозначения аналогичны (28.31). Полином R3„(p)
определяется, как в (28.32). Особенность уравнения (28.39) состоит в том,
что степени рядом стоящих полиномов (5и - 2s) при каждом 5=1,2,..., п
отличаются на две единицы. Как известно, асимптотическое распределе-
ние корней уравнений такой структуры может быть двояким. При
к -> оо предельное уравнение имеет вид R3n(p) = 0 • Поэтому в асимпто-
тике Зп корней совпадают с корнями уравнений as(p) = 0, 5=1,2,..., п,
которые соответствуют эталонным моделям. Остальные 2п корней при
определенных соотношениях между параметрами моделей и управляе-
мой системы будут удаляться на бесконечность в левой полуплоскости.
Если такие соотношения нарушаются, то некоторые корни из этой груп-
пы при к —> оо будут удаляться на бесконечность в правой полуплоско-
сти. В первом случае система допускает теоретически неограниченное
повышение уровня усиления и сохраняет асимптотические свойства есте-
ственной адаптивности, а во втором случае система теряет устойчивость
при достаточно больших значениях к. Отмеченные особенности обуслов-
лены инерционностью движителей системы.
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
513
Найдем условия, при выполнении которых сепаратные каналы до-
пускают неограниченное повышение уровня усиления. Рассматриваем
дифференциальные уравнения
[Р2(Р+уЛ4(П)+^уаЛР)]д/О = 0, 5= 1,2,..., и,
и соответствующие им характеристические уравнения
+ (p) + £sav(p) = 0, 5=1,2,..., и. (28.40)
Y.s
Понятно, что при к —> оо из (28.40) следуют предельные уравнения
a,(p) = 0 . Поэтому три корня psv(k) каждого уравнения (28.40) асимпто-
тически стремятся к трем корням p*v характеристического уравнения
эталонной модели, т.е. psv(k,) -> р*^, v = 1, 2, 3, если ks -> оо. Путем ана-
лиза приближенного уравнения при больших значениях |р| можно уста-
новить, в какой полуплоскости расположены остальные корни. Такое
уравнение для каждого л получается из (28.40), если в полиномах as(p)
и Р2(Р + У«)4м(р) оставить по два члена старших степеней переменной
р. С учетом выражения для Д°(р) и после сокращения на р2 находим
о f ,о \
<^.+ао р2+кЛр + аЛ (28.41)
у, I Yj ;
Согласно критерию Гурвица, корни уравнения (28.41) будут расположе-
ны в левой полуплоскости, если
+ (28-42)
Здесь вместо а®, и Ь°л. подставлены a*s и b~s - соответственно макси-
мальное значение qK(q) и минимальное значение bss(q) диагональных
элементов матриц A(q) и B(q) в области определения уравнения (27.6).
17 - 9516
514
ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ СИСТЕМ
Если неравенства (28.42) выполняются для каждого сепаратного ка-
нала (s = 1, 2, то система с инерционными движителями допускает
достаточно высокий уровень усиления в основных контурах и сохраняет
свойства естественной адаптивности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Развитый метод синтеза алгоритмов управления движением механи-
ческих систем основывается на концепциях обратных задач динамики в
сочетании с оптимизацией функционалов, характеризующих энергию
ускорения в окрестности фазовых траекторий эталонных моделей. Синте-
зированные алгоритмы имеют унифицированную структуру. Уравнения
алгоритмов управления выписываются непосредственно по фундамен-
тальным уравнениям Лагранжа и уравнениям эталонных моделей. Сис-
темы с такими алгоритмами обладают слабой чувствительностью к изме-
нению параметров и возмущающим силам. Эти свойства систем дости-
гаются без применения в их структуре специальных схем и алгоритмов
идентификации, адаптации и самонастройки. Поэтому можно говорить,
что алгоритмы управления предлагаемой структуры придают системам
свойства естественной адаптивности. Кроме того, алгоритмы обеспечи-
вают возможность реализации в системах высокой динамической точно-
сти. В связи с этим представляют интерес исследования по применению
предлагаемого подхода для решения прикладных задач управления тех-
ническими системами.
Лекция 29
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ
На основе обращения задачи Ляпунова об устойчивости к задаче
синтеза устойчивых (или асимптотически устойчивых) систем изложены
процедуры определения структуры алгоритмов управления из условия,
чтобы синтезируемая система имела наперед заданную функцию Ляпу-
нова, которая на траекториях управляемого движения изменяется по на-
значенному закону. В качестве функций Ляпунова принимается потенци-
альная, кинетическая или полная энергия. Синтезированные таким мето-
дом системы обладают асимптотической устойчивостью в целом по от-
ношению к состоянию равновесия или невозмущенным траекториям
движения. Эти вопросы рассмотрены применительно к системам, модели
движения которых представлены в форме уравнений Лагранжа, Эйлера и
Ньютона.
ВВЕДЕНИЕ
Два века назад при исследовании динамических систем начали при-
меняться функции, характеризующие энергию движения. В 1788 году
Ж. Лагранж установил, что если потенциальная энергия произвольной
консервативной системы имеет в положении изолированного равновесия
минимум, то это равновесие устойчиво. В конце XIX века А.М. Ляпунов,
опираясь на понятие полной энергии системы, ввел специальную функ-
цию, именуемую теперь его именем, и рассмотрел общую задачу устой-
чивости [23]. Основу созданной им теории составляет так называемый
прямой метод, который существенно использует функции Ляпунова и
также носит его имя.
Прямой метод Ляпунова нашел широкое применение в задачах ис-
следования устойчивости, а затем и в задачах аналитического конструи-
рования.
Известные приемы и способы решения задач аналитического конст-
руирования основаны на непосредственном применении идей прямого
17*
516
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
метода Ляпунова. Именно поэтому они имеют общую особенность: син-
тез алгоритмов управления неизбежно связан с необходимостью отыска-
ния в той или иной форме функций Ляпунова.
Имеется, однако, возможность принципиально по-иному построить
процедуру аналитического конструирования. Она основана на обращении
задачи Ляпунова об устойчивости к задаче синтеза устойчивых (или
асимптотически устойчивых) систем. Понятие «обращение» заключается
в следующем: для решения вопроса об устойчивости (задача анализа)
достаточно каким-либо способом установить существование (или отсут-
ствие) функции Ляпунова, обладающей необходимыми свойствами; на-
против, задача синтеза состоит в отыскании алгоритма управления из
условия, чтобы замкнутая система имела наперед заданную функцию
Ляпунова, которая на траекториях управляемого движения изменялась
бы во времени по назначенному закону. При такой постановке задачи
аналитического конструирования функция Ляпунова не отыскивается, ее
структура и параметры задаются. Источником идеи о возможности обра-
щения прямого метода Ляпунова явилась работа Зубова [11], где изучены
задачи оптимального демпфирования переходных процессов.
Для решения прикладных задач на основе обсуждаемого подхода
важным является вопрос о том, какого вида функции Ляпунова следует
назначать при проектировании систем. Понятно, что сформулировать
универсальные рекомендации по этому вопросу не представляется воз-
можным. Для определенного класса задач управления движущимися объ-
ектами в качестве функций Ляпунова целесообразно принимать функции,
характеризующие энергию.
Применение функций, характеризующих энергию в задачах управ-
ления, столь же естественно, как и в задачах исследования устойчивости.
Это позволяет на основе обращения прямого метода Ляпунова задачи
управления движением систем формулировать и решать как задачи
управления их энергией. При этом структуру алгоритмов управления
оказывается возможным определять из условия, чтобы проектируемые
системы имели наперед заданные функции Ляпунова в виде кинетиче-
ской или полной энергии, причем управляемая энергия должна изменять-
ся в процессе движения по назначенному закону. Синтезированные таким
образом системы обладают свойствами асимптотической устойчивости в
целом по отношению к состояниям равновесия или невозмущенным тра-
екториям движения. Эти вопросы рассматриваются в лекции для систем,
модели движения которых представлены в форме уравнений Лагранжа,
Эйлера и Ньютона.
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
517
29.1. МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ В ФОРМЕ
УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА
Будем рассматривать голономную управляемую механическую сис-
тему с п степенями свободы, подчиненную стационарным связям. Обо-
значим через <71э q2 ..., q„ обобщенные координаты, определяющие кон-
фигурацию системы в момент времени t, а через <?[, q2, ..., q„ — скорости
изменения обобщенных координат. В потенциальном поле движение та-
кой системы описывается уравнениями Лагранжа
* 3,1 (29.1)
°qk
где Qic - потенциальные, а и* - обобщенные управляющие силы. Кинети-
ческая энергия
T{q,q) = | qjOjk^k =^qTAq)q (29.2)
2 j,k=l 2
представляет собой определенно положительную квадратичную форму
относительно скоростей (^,<72... q„)T = q, а потенциальная энергия V(q)
зависит только от координат (<7Ь <72... qn) = <7- Далее принимаем, что дви-
жение системы (29.1) осуществляется в таких потенциальных полях, для
которых К(0) = 0. Будем считать также, что уравнения описывают воз-
мущенное движение относительно точки qk =0, к = 1, 2,..., п.
Сформулируем следующую задачу: пусть в начальный момент вре-
мени t = 0 состояние управляемого процесса характеризуется значениями
<7л(О) = <7ло> %(О) = ^о> Л = 1,2,..., л. (29.3)
Требуется найти такие управляющие силы
ик = ик(q, q), к = 1,2,..., п, (29.4)
под действием которых система (29.1) переходит в окрестность начала
координат
<7*г(°0) = <7л = 0, (°0) = ^* = °» * = 1,2,..., п. (29.5)
518
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
и продолжает оставаться в ней бесконечно долго. Таким образом, задача
заключается в том, чтобы перевести систему из произвольного начально-
го состояния в окрестность точки q°, которая должна быть устойчивым
положением равновесия. Движение системы из начального состояния
(29.3) в назначенное будем обозначать q£t) qk или q(t) -» q°.
Начальному состоянию системы (29.3) соответствуют значения ки-
нетической T(q,q) и потенциальной К(д0) = Ио энергии. Для состояния
(29.5) имеем соответственно ДО, 0) = 0 и К(0) = 0. По физическому смыс-
лу задачи для замкнутой системы должны выполняться условия: q(f) -» 0,
q(f) —> 0 при t —> со. В силу этого на траекториях управляемого движения
Д<7, q) -> 0, К(<?) -> 0 при t со. Потребуем, чтобы в процессе управле-
ния полная энергия системы
E(q,q) = ^qTA(q)q+nq) (29.6)
как функция времени изменялась в соответствии с решением дифферен-
циального уравнения
+ у£(<у,q) = 0, Ео = E(q0,q0), у = const > 0, (29.7)
at
а управляющие силы ик обращали в минимум квадратичный функционал
п
G{u) = ^Ujpjkuk = итРи, pjk =pkj, Р = [ pjk] > 0 . (29.8)
j,*=i
Силы uk0=uk0(q,q), реализующие min G(u) = G(u0), будем назы-
u
вать оптимальными. Они могут быть найдены в результате отыскания
безусловного минимума нового функционала
G(u) = итРи + А.[Ё (<у, q) + yE{q,qj\, (29.9)
где А. - неопределенный множитель Лагранжа. Чтобы вывести уравнения
для оптимальных управляющих сил, необходимо подставить в (29.9) вы-
ражение полной производной по времени от энергии E(q,q), а затем за-
писать условия экстремума G(u) по и. Выполним соответствующие вы-
числения.
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
519
На траекториях управляемого движения системы (29.1) справедливы
соотношения
^W = /0(g) + /„. ^^ = -g70(g), (29.10)
at at
где вектор 0(g) имеет своими компонентами потенциальные силы 0*(д).
С учетом (29.6) и (29.10) находим
^^L = t(q,q)+V(q) = qTu. (29.11)
at
Подставив (29.11) в (29.9) и выполнив дифференцирование по и, получим
векторное уравнение для искомых управляющих сил
= 2Ри0 + Хд = 0. (29.12)
аи
Из (29.12) находим
u0=~P~'q. (29.13)
Найдем неопределенный множитель А.. Для этой цели воспользуемся
дифференциальным законом изменения энергии (29.7). Подставляя сюда
выражение (29.11) и принимая во внимание (29.13), получим
| = (29.14)
2 Я Р <7
Подстановка (29.14) в (29.13) дает выражение для вектора оптимальных
управляющих сил
(29.15)
Я Р Я
Соотношение (29.15) представляет собой искомый алгоритм управления,
реализующий движение g(f) -> 0.
Обратимся к анализу замкнутой системы (29.1), (29.15). Покажем,
что она обладает теми свойствами, которые отвечают постановке задачи.
Установим вначале, что полная энергия системы на траекториях управ-
ляемого движения как функция времени является решением дифферен-
циального уравнения (29.7). Поступим следующим образом. Умножим
520
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
обе части уравнений (29.1) на qk и просуммируем по к. Принимая
ик ~ ико(Я’Я) и выполняя указанные действия, будем иметь
ik\Qk(q)+uk0(q,q)]. (29.16)
k?i\dtdqk dqk)
Левая часть равенства (29.16) есть полная производная по времени кине-
тической энергии, поэтому можно записать
dT^’^ = Z tek + ик0 ?)] • (29-17)
л кЗ
Для принятой модели управляемого движения справедливы следующие
соотношения:
а(9)=--^, Х^а(<7)=--^- (29.18)
дЯк м dt
С учетом (29.18) равенство (29.17) примет вид
^9) + ^2) = £(17^) = ^М()((7^) (29.19)
at at
Принимая во внимание (29.15), будем иметь
qTU<s(q, q) = -qTy P~'q = -yE(q, q). (29.20)
q P q
Подставляя (29.20) в (29.10), получаем
-^М = -у£(<7,?)<0, (29.21)
at
что соответствует (29.17).
Таким образом, полная энергия замкнутой системы, рассматривае-
мая как функция времени, подчиняется предписанному закону измене-
ния. При этом E(q,q) выступает в роли функции Ляпунова. В силу
(29.21) назначенное состояние равновесия (0, 0) асимптотически устой-
чиво в целом.
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
521
По способу определения управляющие силы реализуют минимум
функционала (29.8). Значение G(u0) легко вычисляется. Действительно,
справедливо равенство
«о (<?,?) = • (29-22)
<7 Р Я
При и = «о из (29.8) с учетом (29.22) находим
2
Q«o) = Y2^i^- <29-23)
Я Р Я
Таким образом, справедлив следующий результат: решение задачи
управления положением механической системы на основе концепций
управления ее энергией приводит к алгоритму, который придает системе
свойства асимптотической устойчивости в целом по отношению к назна-
ченной точке состояния равновесия. В методическом отношении проце-
дура конструирования алгоритмов выполняется по фундаментальным
уравнениям движения (29.1) без их представления в раскрытом виде. Та-
кая возможность является следствием того, что для вывода расчетных
соотношений, по которым вычисляются требуемые значения управляю-
щих сил, достаточно знать выражения кинетической T(q,q) и потенци-
альной К(<?) энергий.
По уравнению (29.7) можно оценить длительность переходного про-
цесса q(t) -> 0. Определим окрестность е. = (q° -<?(/. ))г(<?о ~Я&)) точ-
ки «у0 Обозначим через Е, = Et(q„qt) энергию, которая соответствует
значениям q(tt) = q,, q(tt) = qt. Так как задача управления состоит в
достижении е.-окрестности, то из (29.7) находим
1 Е
Е(Я, Я) = . г. « - In -1-
Y Ео
Величина t, характеризует время достижения е.-окрестности. Чи-
словое значение у определяет быстроту изменения энергии системы и,
следовательно, максимальные значения управляющих сил.
Отметим некоторые особенности алгоритма управления (29.15).
Управляющие силы «« (<?, q) нелинейно зависят от обобщенных коорди-
522
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
нат qk и скоростей их изменения qk. Так как матрица определенно
положительна, то q1 P~xq * 0 , если q # 0 . Это означает, что на траекто-
риях управляемого движения нет точек, в которых qT P~xq = Q, и управ-
ляющие силы и*о -> <ю. В малой окрестности положения равновесия вели-
чина q' P~xq 0, что может вызвать затруднения при практической реа-
лизации алгоритма. В таких случаях управление можно организовать
следующим, образом:
Т 1
«о (<7, ?)» если Я Я > Р,
м(<7.<7) = 1 у _1 т -1 (29.24)
- — E(q,q)P xq, если qT Р xq < ц.
Ц
В £ц-окрестности, где qTP~xq < ц , полная энергия системы подчиняется
дифференциальному уравнению
l!*pl + Kt)E(q,q) = Q, y(t) =—qrP~xq > Q, (29.25)
at ц
которое получается из (29.1) с учетом (29.24). Из (29.25) следует, что
E(q, <?) -> 0 при t -> 0. Следовательно, конструкция (29.24) обеспечивает
реализацию требований задачи. Отметим только, что в еи-окрестности
энергия E(q, q) изменяется менее интенсивно, чем за ее пределами, т.к.
Y(0 < Y
Согласно (29.15), управление по различным каналам взаимосвязано,
так как требуемое значение каждой управляющей силы вычисляется по
информации о состоянии управляемого процесса по всем координатам.
Каналы управления будут взаимосвязаны даже в том случае, когда урав-
нения движения независимы одно от другого.
Рассмотрим теперь задачу гашения кинетической энергии системы
(29.1). Формулируем ее следующим образом: в начальный момент време-
ни t = 0 состоянию системы соответствует кинетическая энергия
T(q, q) = T0 ; требуется найти такие управляющие силы щ, при которых
на траекториях управляемого движения реализуются условия
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
523
dT{q,?) + ру_q, p = const>0,
dt
G(u) = ^Ujrjkuk = uTRu -> min, rjk = rkj, R = [rJk]>0. (29.26)
м
Этой оптимизационной задаче соответствует алгоритм управления
“о (<7, <7) = - R'l4- (29.27)
<7 « <7
Подставив (29.27) в (29.1), можно убедиться, что для замкнутой системы
выполняются требования (29.26). Поскольку T{q,q) = -^>T{qq)<Q, то
состояние равновесия, отвечающее нулевому значению кинетической
энергии T(q,q) = 0, асимптотически устойчиво в целом. В данном случае
кинетическая энергия является для замкнутой системы функцией Ляпу-
нова. При необходимости реализация алгоритма (29.27) может быть осу-
ществлена аналогично (29.24).
В заключение этого раздела построим алгоритм управления полной
энергией системы. Пусть произвольному начальному состоянию (29.3)
соответствует полная энергия Ео = T(q,q)+ V(q0). Требуется найти
управляющие силы, которые переводят систему в окрестность состояния
равновесия q = 0, q0 = 0 и удерживают ее в этой окрестности при t —» оо.
Необходимо при этом, чтобы в процессе движения выполнялись условия
У) —> min, ик = иги = с2 = const. (29.28)
& к=1
Таким образом, по физическому смыслу задачи полная энергия системы
должна уменьшаться с наибольшей скоростью. По терминологии [11] эти
условия соответствуют оптимальному демпфированию переходного про-
цесса по отношению к полной энергии.
С учетом (29.21) оптимизационную задачу (29.28) записываем в виде
У(и) = qTu + к(иги - с2) -> min . (29.29)
После необходимых вычислений из (29.29) находим алгоритм управ-
ления
524
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
м*о(<7) = —г==<7*> * = 1>2,..., п.
ЧЯ Я
(29.30)
Умножая обе части (29.1) на qk и выполняя суммирование всех полу-
ченных таким образом равенств, будем иметь
Подставляя сюда (29.30), найдем
(29.31)
Таким образом, заключаем, что в данной задаче полная энергия
E(q, q) является функцией Ляпунова. Следовательно, алгоритм (29.30)
придает системе свойство асимптотической устойчивости в целом по
отношению к состоянию равновесия q° - 0, q° = 0.
Отметим, что задачу управления полной энергией можно формули-
ровать таким образом, чтобы система перешла из произвольного началь-
ного состояния в окрестность стационарной орбиты (траектории) задан-
ного энергетического уровня h = const и продолжала оставаться в этой
окрестности при своем дальнейшем движении. В таком случае
Д£(<7,q)-h-E(q,q) будет функцией Ляпунова для управляемой систе-
мы, и следовательно, невозмущенное движение по замкнутым траектори-
ям, для которых &E(q, q) = 0, будет асимптотически устойчиво в целом.
Рассмотренные задачи можно формулировать также применительно
к системам, на которые действуют не только потенциальные, но и непо-
тенциальные силы. В таких случаях управляющие силы ик0 будут со-
держать дополнительные составляющие, компенсирующие движение,
вызванное непотенциальными силами. На этих вопросах мы не останав-
ливаемся ввиду их методической ясности.
29.2. МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
В ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА
Будем рассматривать вращательные движения твердого тела, опи-
сываемые в подвижной системе координат динамическими уравнениями
Эйлера
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
525
fjtb, - (f2 - 73)®2®з = т\(®) + ^1
/2®2 -(/3 = т2(®) + М2, (29.32)
/3®3 -(/j -72)®1®2 = m3((£>) + М3,
где Ik - моменты инерции относительно главных центральных осей инер-
ции; <ок — проекции вектора угловой скорости на эти оси; Мк - управ-
ляющие моменты; /иДа) - моменты диссипативных сил. Кинетическая
энергия вращательного движения системы (29.32) равна
1 з
Г(®) = -Х4®*- (2933)
Пусть в начальный момент времени t = 0 угловые скорости
®Д0) = а>к0 . Им соответствует кинетическая энергия То = Т(а>0).
Задачу управления сформулируем следующим образом: найти такие
моменты Мк0 = Мк0(а0), под действием которых система переходит из
произвольного начального состояния ®(0) = ®0 в окрестность состояния
равновесия ®0 = 0 и остается в ней при / —> оо. Потребуем при этом, что-
бы на траекториях управляемого движения кинетическая энергия как
функция времени подчинялась однородному дифференциальному урав-
нению
^^ + ₽7’(®) = 0, Т(ш0) = Т0, P = const>0, (29.34)
dt
а квадратичный функционал
з
G(M) = £ MjrjkMk = MTRM, R = \rjk ] > 0 (29.35)
A*=i
принимал минимальное значение. По физическому содержанию сформу-
лированная задача заключается в гашении кинетической энергии. При
этом 7(®) должна изменяться во времени в соответствии с назначенным
законом. Искомые моменты определяются в результате минимизации
функционала
G(M) = MrRM + к
^l + PH®) .
dt
(29.36)
526
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Так как производная по времени кинетической энергии (29.33), вы-
численная в силу уравнений движения (29.32), равна
= = тГ(М + т), (29.37)
то в результате минимизации (29.36) находим
(29.38)
со R со
В окрестности точки со0 = 0 величина сЛг'со -> 0 при / -> оо. Поэтому в
случае необходимости практическая реализация алгоритма (29.38) может
быть выполнена по схеме (29.24).
Можно показать, что на траекториях управляемого движения вы-
полняются требования задачи. Действительно, умножая к-е уравнение
(29.23) на соь а затем складывая полученные равенства, будем иметь с
учетом (29.37)
*=1
JT(co)
dt
= со7 М + со7 /и(со).
Подставляя сюда выражение (29.38), получим
сТ(со) r Р7’(со) + согт(со) j т
—— = -со' v :—'—R ‘со + со' /и(со) = -₽Г(со),
dt со' /?~со
что соответствует уравнению (29.34). Следовательно, управляющие мо-
менты, вычисляемые по (29.38), реализуют такое движение, которому
соответствует заданный закон изменения кинетической энергии. Мини-
мальное значение функционала (29.35) оказывается равным
-.(„г/гл Г/М \ 1₽Пю) + юГ"»(со)]2
min G(m) = G(m0) =------------—:------.
м (orR~‘a>
Для замкнутой системы (29.31), (29.38) кинетическая энергия Дсо) вы-
ступает в роли функции Ляпунова. Поэтому состояние равновесия асим-
птотически устойчиво в целом.
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
527
Аналогично изложенному можно найти управляющие моменты из
условия, чтобы в системе установилось вращательное движение с назна-
ченными угловыми скоростями со® = const * 0. Пусть такому движению
соответствует кинетическая энергия 1° = Дсо0) = const. В этом случае
уравнение (29.34) необходимо записать для отклонения ДДш) = 7° - Дш).
Последующая процедура определения управляющих моментов остается
без изменений.
Рассмотрим теперь другую задачу: найти такие управляющие мо-
менты, при которых система (29.32) из произвольного начального со-
стояния переходит в окрестность начала координат и остается в ней бес-
конечно долго; при этом иа траектории управляемого движения должны
выполняться условия:
—> min, У =с2 = const. (29.39)
4=1
В данном случае движение системы должно быть таким, чтобы ки-
нетическая энергия убывала с наибольшей скоростью.
Решение оптимизационной задачи (29.39) приводит к следующему
алгоритму управления:
Подставляя (29.40) в (29.37), получаем
= -с4<оТ(о + соГ7и(й)). (29.41)
Л
Заметим, что (29.40) и (29.41) аналогичны соотношениям (29.30) и
(29.31).
Пусть теперь управляющие моменты ограничены по модулю. Задачу
формулируем следующим образом: иайти моменты Мк0 = Мк0(<о),
осуществляющие такое движение со* (/) —> 0, для которого выполняются
условия
^^->min, |ЛМ<А^, к = 1,2,3. (29.42)
528
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
Поскольку производная по времени кинетической энергии
dT((O) y"1 ziz z \\
л *=1
то из (29.42) находим
A/*o(co) = -AYjksignojjt, &= 1,2,3. (29.43)
29.3. МОДЕЛЬ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
В ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ НЬЮТОНА
Рассмотрим движение тяжелой точки постоянной массы т, описы-
ваемое в инерциальных координатах хх, х2, х3 уравнениями Ньютона
= + х) + ик, к = 1,2,3, (29.44)
dt дхк
где fk - непотенциальные, ик - управляющие силы; V(x) - потенциальная
энергия. Пусть в начальный момент времени t = 0 состояние управляемо-
го процесса характеризуется значениями
хДО) = х*о, xk(0) = xfcO, к = 1,2,3. (29.45)
Рассмотрим вначале задачу перевода точки в стационарное состоя-
ние равновесия. Формулируем ее следующим образом: найти управляю-
щие силы ик = Ujto(x,x), под действием которых управляемая точка пере-
мещается из произвольного начального состояния (29.45) в окрестность
начала координат = 0 и продолжает оставаться в ней при t —> <х>. Не-
обходимо при этом, чтобы на траекториях управляемого движения вы-
полнялись условия
dE(x,x) rt .. _ t п
—------- + %Е(х, х) = 0, % = cons/ > 0,
dt
з
J(u)= ^Ujrjkuk = u7/?u—>min, (29.46)
j>=0
где полная энергия
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
529
1 3
Е(х,х) = -т£х*2+К(х). (29.47)
2 *=1
Искомые силы определяются в результате минимизации нового
функционала
J(w) = w7>w + X + хЕ(х,х) . (29.48)
L dt J
На основании (29.34) и (29.47) имеем
dE(x,x) . ЭИ(х) .у .у
-------= У.хк тхк+~т— =х‘ f{x,x) + x и. (29.49)
dt й L &к J
Компонентами вектора f являются fk. Подставляя (29.49) в (29.48) и вы-
полняя процедуру минимизации функционала, найдем оптимальные в
смысле (29.46) управляющие силы
ик0(х,х) = - X£^^W/(x,x)
х1 R 'х
Здесь R* - строка с номером к. матрицы /Г1.
Можно показать, что на траекториях движения х*(0 замкнутой сис-
темы (29.44), (29.50) производная по времени полной энергии
Е(х,х) = -ХЕ(х,х). Поэтому Е(х,х) является для этой системы функци-
ей Ляпунова, в силу чего состояние равновесия (х°, 0) асимптотически
устойчиво в целом.
Движение управляемой точки осуществляется в непотенциальном
поле, поэтому управляющие силы содержат составляющие
« , •, ХТ f(x,X\ .
ик (х>х) - .Т„-1 • Rk х ’
X К X
которые компенсируют влияние непотенциальных сил /^(х,х). Понятно,
что при fk = 0 из (29.50) следуют расчетные соотношения для управляю-
щих сил, которые соответствуют условиям рассматриваемой задачи в том
случае, когда движение точки происходит в потенциальном поле.
Пусть теперь требуется осуществить такое движение из состояния
(29.45), которое отвечает условиям
530
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
+ уТ(х) = у 7°, Та = Т(х°) = const, х°*0, у = const >0;
dt
J(u) = итРи -> min, R > 0.
(29.51)
Минимизация функционала
J(w) = wrPw + X
'йТ(х) '
аг
А7’(х) = 7’° -Т(х)
с учетом того, что полная производная по времени кинетической энергии
равна
-^^ = xr[/(x,i) + e(x) + 4 (29.52)
at
приводит к алгоритму управления
Цо(х,х) = ^.(4-^лу)-^я->х (29.53)
х R х
На траекториях управляемого движения Г(х) —> Т° = const. Поэтому
по физическому смыслу алгоритм (29.53) осуществляет управление ско-
ростью движения: из произвольного начального состояния (29.45) управ-
ляющие силы создают такое движение, при котором скорости
xt (/) -> х° = const. При этом координаты х*(/) не контролируются, так
как система не замкнута по положению. Если в (29.51) принять Т° = 0, то
из (29.53) получаем алгоритм
»0(,. х) - - V’ * R-'i, (29.54)
х R х
соответствующий задаче торможения, поскольку в этом случае
Т(х) —> 0, следовательно, хк (/) —> 0 .
Мы ограничимся двумя рассмотренными задачами управления пол-
ной и кинетической энергией применительно к модели движения в форме
уравнений Ньютона. Применяя аналогичные приемы, можно построить
алгоритмы управления из условия перевода системы из произвольного
начального состояния в произвольную точку стационарного равновесия
(х° * 0, х° = 0); из условия вывода ее на стационарную орбиту заданно-
го энергетического уровня и др.
ОБРАЩЕНИЕ ПРЯМОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
531
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для различных математических моделей управляемых систем зада-
чи управления движением сформулированы и рассмотрены как задачи
управления их энергией: кинетической или полной. Представляется су-
щественным, что предлагаемый подход приводит к таким структурам
математических моделей проектируемых систем, для которых управляе-
мая энергия выступает в роли функции Ляпунова. Эти модели по необхо-
димости, в силу применяемого метода конструирования алгоритмов, об-
ладают свойствами асимптотической устойчивости в целом по отноше-
нию к назначаемым состояниям равновесия или невозмущенным траек-
ториям движения. Более того, алгоритмы конструируются таким обра-
зом, что управляемая энергия, будучи функцией Ляпунова, изменяется во
времени в процессе управления по предписанному закону.
Рассмотренные задачи управления энергией динамических систем
имеют вполне понятную интерпретацию применительно к задачам
управления техническими системами. Например, управление потенци-
альной энергией при условиях И(х) -> И(х°), Т(х) -> 0 соответствует вы-
воду управляемого объекта в назначенную точку х° пространства с «зави-
санием». Управление кинетической энергией Т(х) —> Дх°) соответствует
задаче разгона или торможения объекта и т.д. В силу отмеченного, рас-
сматриваемые задачи управления энергией имеют не только теоретиче-
ский интерес, но и прикладное значение. В связи с этим представляются
важными исследования по изучению возможностей новых алгоритмов
управления применительно к различным типовым моделям с целью оп-
ределений класса управляемых объектов, для которых целесообразно
задачи управления движением формулировать и решать как задачи
управления энергией, подчиняя ее различным дифференциальным и не-
дифференциальным законам изменения. При этом возможны разнообраз-
ные постановки задач с учетом ограничений на ресурсы управления.
Лекция 30
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ
УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
В настоящей лекции рассматриваются задачи стабилизации стацио-
нарных состояний и программных траекторий движения голономных
механических систем, формулируемые как задачи гашения кинетической
энергии и энергии ускорения в окрестностях фазовых траекторий эталон-
ных моделей. Алгоритмы координированного и независимого по степе-
ням свободы управления синтезируются по нелинейным механическим и
электромеханическим уравнениям. Исследуются динамические свойства
систем, в том числе и при ограничениях на управления.
30.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассматриваем голономную механическую систему с п степенями
свободы. Ее движение описывается уравнениями Лагранжа
d 9Т(д,д) дТ(д,д)}дЩд)
dt dgs dg, dgs
где обобщенные координаты gs и скорости их изменения gs являются
элементами векторов д, д. Выражение кинетической энергии системы:
T(q,q) = у 2axv = avs (30.2)
2 ,v,v=l
представляет собой определенно положительную квадратичную форму.
Потенциальная энергия системы есть функция только координат
П(<71...<7„) = П(<7). Далее, Qs - обобщенные силы, развиваемые движите-
лями системы по соответствующим степеням свободы. Величина Qs име-
ет размерность момента (Н м), если координата д„ есть угловая перемен-
ная. Если координата gs - линейное перемещение, то Qs имеет размер-
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 533
ность силы (Н). Обозначим частные производные —— = cs(q). Тогда с
учетом (30.1) и (30.2) уравнения Лагранжа принимают вид:
Xaw(<7)9v +X^v(<7>9)9v +cv('7) = 6.v> (30.3)
V=1 V=1
s = 1, 2,..., n.
Далее нам потребуется векторная форма уравнений движения. Вве-
дем обозначения матриц и векторов:
Л(<7)=[а„ (<?)], B(q,q) = [b„(q,q)\,
с(<7)=[е1(<7)... Cn{q}}T, е=[й... e„f.
В таком случае на основании (30.3) можно записать
A(q) q(t) + B(q, q) q(t) + C(q) = Q . (30.4)
Для рассматриваемых механических систем матрица A(q) характеризует
инерционные свойства; B(q, q) - центробежные и кориолисовы силы, ко-
торые обусловливают взаимное динамическое влияние между степенями
свободы. Для некоторых систем (в частности, исполнительные механиз-
мы манипуляционных роботов специальных кинематических схем) мат-
рица инерции бывает диагональной, причем ее элементы зависят только
от одной обобщенной координаты:
A(qs) = diag[a„(<7„)], s = 1, 2, ..., п.
В таких случаях выражение кинетической энергии имеет вид
= * = 1> 2. •••> «•
2 5=1
Поэтому движение систем описывается следующими уравнениями:
axs(qs)qA() + bss(qs)qs +cs(qx ...q„) = QS, s = 1, 2,..., n. (30.5)
Из (30.5) следует, что взаимное влияние движений по степеням свободы
определяется компонентами cs(q) потенциальных сил.
534 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Наряду с уравнениями (30.3), (30.4) будем рассматривать уравнения
движителей управляемой системы, по которым вычисляются обобщен-
ные (управляющие) силы Qs. Принимаем, что основу движителей состав-
ляют электродвигатели постоянного тока с независимым возбуждением.
Для вращательного движения уравнения динамики электродвигателей
записываем в виде (без учета сил сопротивления):
J,d)s. = А/,- —gt, 5 = 1, 2,..., п; (30.6)
«5
т,А/,.+А/, = rXsus -r2sas.
Здесь co, - угловая скорость вращения вала двигателя; us - управляющее
напряжение; Л/, - электромагнитный момент, развиваемый двигателем;
«7'2, - обобщенная сила (момент), действующий на исполнительный
двигатель со стороны механической системы; ns - коэффициент передачи
механизма преобразования движения (редуктора); Js - момент инерции.
Постоянная времени т, характеризует быстроту затухания электрических
процессов в якорной цепи двигателя. Параметры rls, гц вычисляются по
известным формулам. Далее предполагаем, что обобщенные силы Qs в
(30.6) определены с учетом видов движений по степеням свободы: вра-
щательных или поступательных.
Запишем уравнения (30.3) - (30.5) управляемой системы с учетом
динамики двигателей. С этой целью исключим из них обобщенные силы
Qs. Пусть <рд, есть угол поворота вала исполнительного двигателя. Тогда
для рассматриваемой системы будут справедливы кинематические соот-
ношения:
1
4s =~ фдо, ®s=ns4s-
Пх
Поэтому уравнения (30.6) в обобщенных координатах примут вид:
”sJs<is = nsMs - Qs, tsMs + Ms = r\sus - nsr2sqs, (30.7)
5=1,2, ..., n.
Подставляя в (30.3) выражения для Qs, найденные из первой группы
уравнений (30.7), получим
£kv(<?)<7V + (<7>q)4v] + п&Яя + cs(<?) = nsMs> (30.8)
V=1
5=1,2, ..., П
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 535
или в векторной форме:
Х-7) q(f) + B(q, q) q(t) + C(q)= .« (30.9)
где вектор управляющих моментов:
-<,11г,-#д = лЖ- (30.10)
Матрица инерции НД
^(<7) = К(<7)].
(30.11)
+ v = s,
v*s.
Для полного математического описания управляемой системы урав-
нения (30.8), (30.9) необходимо дополнить уравнениями моментов из
(30.7). Умножая на ns обе части этих уравнений, с учетом принятых обо-
значений (30.10) получим
= nsrXsus -n2qs, (30.12)
s = 1,2,..., п
или в векторной форме
is.^+ = R\U -Rtf, (30.13)
где диагональные матрицы
T = diag[Tj, Я] =diag[/?1J],
|\ru, / = 1,
I = 2,
а и - есть вектор управляющих напряжений us.
Уравнения (30.8) называют механическими, поскольку они описы-
вают динамику только механической системы. Следуя этой терминоло-
гии, мы будем называть уравнения (30.8), (30.12) электромеханическими,
так как они учитывают динамику процессов в электрических цепях дви-
гателей.
536 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
30.2. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
ПО МЕХАНИЧЕСКИМ МОДЕЛЯМ
Задачу формулируем следующим образом. Движение управляемой
системы подчиняется уравнениям (30.9). В начальный момент времени
t = 0 состояние системы характеризуются значениями
9«(0) = Я.Л, <7.v(0) = qs0 , s = 1,2,..., п. (30.14)
Для каждой степени свободы назначена программная траектория движе-
ния 1 - 0. Функции времени ф,(/) дифференцируемы необходимое
число раз. Требуется найти такие управляющие моменты . = .#*(q,q)
в форме обратных связей, при которых система из состояния (30.14) пе-
реходит в малую окрестность назначенной траектории, так что начиная с
некоторого момента времени t = t, выполняются неравенства:
|фд.(/)-<7л(/)|< Д„ />/., s = 1,2,.. ,,п. (30.15)
Требуется, кроме того, чтобы динамические характеристики систе-
мы по каждой степени свободы были почти идентичны динамическим
характеристикам эталонных моделей, движение которых описывается
уравнениями:
<Г, (О + Z av ~ У~ = ' & + ₽ »оЧ>л (0 > (30.16)
>о dtJ
a.vla.«2 > a.v0> s ~ 1, 2, ..., П.
Неравенство в (30.16) означает, что движение эталонных моделей асим-
птотически устойчиво по отношению к невозмущенному движению, за-
данному функциями фл(/). Структура эталонных моделей (30.16) одина-
кова для всех степеней свободы.
В соответствии с постановкой задачи искомые управляющие момен-
ты .#* должны быть такими, чтобы траектория движения управляемой
системы проходила в малой е,-окрестности траектории движения эталон-
ных моделей:
|^(/)-^(фд?, /</., (30.17)
s = l,2,..., п.
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 537
Динамические характеристики проектируемой системы по каждой степе-
ни свободы будут практически идентичны динамическим характеристи-
кам моделей, если в (30.17) величины е5 < Д, и такие, что выполняются
неравенства (30.15). Далее будем считать, что по построению моделей
справедливы неравенства |дл(г)-д*(Г)|< Д,, t>t,, поэтому указанные
требования с необходимостью выполняются.
Управляющие моменты отвечающие сформулированной зада-
че, должны осуществлять стабилизацию назначенной траектории <pv(z),
/>0. В частном случае <рл.(z) = <р® = const моменты стабилизируют
стационарное состояние системы qs(t) = qQs = const.
Управляющие моменты .^*(q,q) будем отыскивать, рассматривая
задачу гашения кинетической энергии
T’(g,9) = y 2 M«v(<7)5v =|5Г V(g)8, (30.18)
5,V=1
5 = ?*-?,
вычисляемой в окрестности траектории движения эталонных моделей
(30.16). Найдем такие моменты ^*, при которых на траекториях управ-
ляемого движения выполняются условия
Г(д,<?)= —g’^<0, Г(д,9)-^0, /-»оо, (30.19)
dt
где производная T(q, q) вычисляется в силу уравнений (30.9). Диффе-
ренцируя по времени (30.18), получим
= 5Г ^(q) 8 +1](?, q). (30.20)
dt
Скалярная функция:
П(<7, ?) = у Z 5 А S , (30.21)
5,V=1 М=1
где частные производные
538 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
aM=^q)
Согласно (30.9), вектор ускорений
q = Л'\Ч)[Л- B(q, q)q - Cfa)]. (30.22)
Поэтому производная кинетической энергии зависит от управляющих
моментов Л. Подставляя выражение (30.22) в (30.20), будем иметь:
T(q,q) = {q ~q)T M(q,q) + r)(^, q)-(q ~д)Т]Л (30.23)
где вектор-функция
М (q, q) = ^(q) q + B(q, q)q + C(q) (30.24)
имеет размерность момента (Н м). Из (30.23) следует, что условия (30.19)
будут выполнены, если
Л* = K{q -q), К = КТ > 0, (30.25)
и существует такая определенно положительная матрица К, что
\(q* -q)TМ + r](q,q)\<(q* -q)TK(q* -q), t>0. (30.26)
В координатной форме уравнения закона управления (30.25) имеют вид
х = Z к„=- <30-27)
V=1
5 = 1,2, ..., П.
Отметим следующее: если q* =qs, то q* =qs, и, согласно (30.21),
(30.24), справедливы равенства
M(q, q) = Л\ п(<7, ?) = 0. (30.28)
В силу этого скорость изменения кинетической энергии Т(д,д) = 0.
Такая ситуация возможна лишь теоретически, так как в этом случае
управляющие моменты Л * =0. Система оказывается неуправляемой, в
то время как функции <р,.(/), характеризующие назначенную траекторию
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 539
движения по каждой степени свободы, изменяются. Отсюда следует, что
в общем случае, когда <р, * const, траектория движения управляемой сис-
темы проходит непременно в окрестности траектории движения эталон-
ных моделей. Только в частном случае <р5 = const при t -» оо выполняются
равенства (30.28) и T(q,q) = 0, что соответствует стабилизации стацио-
нарного состояния системы.
В уравнениях законов управления (30.28) переменные q* представ-
ляют собой требуемые значения скоростей изменения обобщенных коор-
динат управляемой системы. Скорости q*(f) формируются эталонными
моделями, поэтому расчетные соотношения для их вычисления следует
выводить из уравнений (30.16) с учетом текущего состояния системы по
степеням свободы. Чтобы найти такие соотношения, поступим следую-
щим образом. Дважды интегрируем по времени обе части каждого урав-
нения в (30.16) при нулевых начальных значениях переменных. В полу-
ченных равенствах принимаем q'(t) = qs(t), что соответствует концеп-
циям обратных задач динамики осуществления назначенных траекторий
движения. Выполнив указанные преобразования, найдем
i
qv ~~ CtvO jfv(f) dt ~ ^v2*7v’
0
t (30.29)
A = f(<Pv ~4v)dt, v = l,2,...,«.
о
При выводе соотношений (30.28) принято: PV(1 = aV(1, ц = 0,1, что соот-
ветствует второму порядку астатизма эталонных моделей.
Итак, алгоритм вычисления требуемых значений управляющих мо-
ментов .#* организуется на основе уравнений (30.27), (30.29). Сущест-
венно, что для вычисления момента какой-либо одной степени свободы
используется информация о состоянии управляемой системы по всем
степеням свободы. Кроме этого используется также информация о всех
программных траекториях v = 1,2, ..., п. В силу этого управление
системой оказывается взаимосвязанным по всем степеням свободы. На
этом основании уравнения (30.27), (30.29) будем называть алгоритмом
координированного управления. В векторной форме эти уравнения име-
ют вид
540 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
л'(я>я) = К(я -я),
Я* =aof/£*+ai/-a29, (30.30)
о
t
f= f(<P-<7)<* ,
о
где обозначено
ay = diag[asy], s = 1, 2 ,п, ;' = 0,1,2;
/ = [/1/2-/я]Г, Ф = [Ф1Ф2-ФПГ •
Другие обозначения соответствуют ранее принятым. Структурная
схема алгоритма (30.30) изображена на рис. 30.1.
30.2.1. Управление двигателями системы
По уравнениям (30.27), (30.29) вычисляются требуемые значения
управляющих моментов ^*{q,q), при которых траектории движения
управляемой системы по каждой степени свободы проходят в малой ок-
рестности траекторий движения эталонных моделей. Для полного реше-
ния задачи синтеза необходимо найти расчетные соотношения для вы-
числения управляющих напряжений, с помощью которых двигатели соз-
дают моменты М*. Рассмотрим эти вопросы.
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 541
Согласно (30.10), электромагнитные моменты, развиваемые двига-
телями, равны М‘ = п~' . Обозначим через и* управляющие напряже-
ния, соответствующие М*. В таком случае на основании (30.12) можно
записать
+ М* = rlsii* - nsr2sqs,
(30.31)
s = 1,2,..., п,
При аналитическом проектировании алгоритмического обеспечения сис-
тем управления возможны ситуации, когда постоянные времени, харак-
теризующие скорость протекания процессов в двигателях, пренебрежи-
тельно малы. В таких случаях управляющие напряжения и* определяют-
ся по формулам
=—[X +Л/2Л5]. s = 1,2,..., п, (30.32)
которые следуют из (30.31) при т, = 0. С учетом (30.10), (30.27) из (30.32)
окончательно получаем
Кчу(Чу 4v')^'^s^2s4 >
'U L«V J
(30.33)
s = l,2,..., п,
Следовательно, в рассмотренном частном случае (т, = 0) основу алгорит-
ма управления движением механической системы составляют соотноше-
ния (30.29), (30.33).
В общем случае, когда постоянные времени т, * 0, поступим сле-
дующим образом. Введем в структуру системы контуры управления дви-
гателями. Будем считать, что моменты М* являются задающими сигна-
лами для этих контуров. Необходимые соотношения для и* найдем из
условия, чтобы М*, как функции времени отрабатывались по законам,
которые определяются дифференциальными уравнениями
+ = 5=1,2,...,л. (30.34)
542 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Здесь А/°(/) - эталонные процессы. Потребуем, чтобы искомые управ-
ляющие напряжения и*, обеспечивали выполнение равенств
Мх (t) = М° (t), Ms = t>0.
При таком условии из уравнений (30.31) и (30.34) находим
т Т-' 1
и* =^(м;+ (30.35)
Пл Па
5 = 1,2, ..., п.
Отметим, что из (30.35) при М = М* следуют формулы (30.32). Та-
кая ситуация соответствует теоретически точной отработке задающих
воздействий М* контурами управления двигателями.
Итак, в общем случае (т, ф 0) основу алгоритма управления состав-
ляют соотношения (30.29), (30.35). Этот алгоритм имеет двухуровневую
структуру. Для изолированной степени свободы схема замкнутого конту-
ра управления изображена на рис. 30.2. Функциональные блоки, в кото-
рых вычисляются требуемые значения моментов и управляющих напря-
жений обозначены соответственно (Л/*), (м*). Двигатели и управляемая
система обозначены Дв и УС. Для вычисления управляющих напряжений
и* требуется информация о фактических значениях электромагнитных
моментов М х, развиваемых двигателями. Получение такой информации
современными техническими средствами не представляет затруднений.
Заметим, что расчетными параметрами в (30.35) являются постоян-
ные времени Тх. Числовые значения Т, должны быть такими, чтобы быст-
родействие контуров управления двигателями было существенно выше
быстродействия эталонных моделей и физически реализуемым.
Рис. 30.2
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 543
30.2.2. Исследование динамики процессов управления
При исследовании динамики нелинейных систем будем существен-
но использовать теоремы А.М. Ляпунова, позволяющие установить свой-
ства движения по уравнениям первого приближения. Рассмотрим сначала
задачу стабилизации стационарного состояния qs= q° = const для слу-
чая, когда двигатели системы безынерционны. При таком условии свой-
ства системы можно изучить по механическим уравнениям.
Поместим начало координатной системы в стационарную точку q°.
Тогда величины q, будут отклонениями обобщенных координат от их
стационарных значений. В таком случае в уравнениях эталонных моде-
лей (30.16) следует принять <р, = 0, вследствие чего функции qs(f) будут
определять отклонения выходных переменных моделей от состояния
равновесия qs = 0.
Согласно (30.9), (30.11), в окрестности точки q° возмущенное дви-
жение системы описывается уравнениями первого приближения
Е [<4v + blqv + cX<7v]= (30.36)
V=1
s = 1, 2,..., n.
где Д.#, - малые приращения управляющих моментов. Выражения для
постоянных коэффициентов этих уравнений не выписываем, так как они
получаются в результате выполнения обычной процедуры линеаризации
нелинейных уравнений (30.8). Отметим только, что А^, = A^q0). В со-
ответствии с (30.27) и (30.29) для принятых условий величины Д.#’ вы-
числяются по формулам
Д-Х = ~4s) ,
V=I
t
<7v =av0 f/v(0^ + avi/v -av24v > (30.37)
0
A =-f?v (')<*> S = l,2,...,n.
0
544 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Выведем уравнения первого приближения для замкнутой системы. С
этой целью операторное выражение А./’, соответствующее (30.37), под-
ставим в (30.36) вместо А.#,. Так как справедливо равенство
то выражение для A.^f, можно записать в следующем виде
= —^^ksva.v{D)qv{t).
V=1
(30.39)
Здесь операторные полиномы
av = D3 +YaVjDJ (30.40)
V=I
соответствуют левым частям дифференциальных уравнений (30.16) эта-
лонных моделей. Подставляя А.^‘ из (30.39) в (30.36), найдем урав-
нения замкнутой системы
£[D2 ^(D) + *ivav(D)]gv(0 = 0, (30.41)
V=1
s = 1, 2,..., n,
где операторные трехчлены
^/D) = A^D2 + b°mD + cX , (30.42)
s,v = 1,2,..., n.
Характеристический полином системы (30.41) имеет вид
.V(p) = det[p\</JV(p) + AIvav(p)] .
Полиномы .Vjv(p)av(p), соответствуют (30.42) и (30.40). Применяя
методику, развитую в лекции 18, можно доказать справедливость сле-
дующих положений.
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 545
1°. Всегда существует такая определенно положительная матрица К,
при которой стационарное состояние равновесия qs(t) = 0 системы (30.41)
асимптотически устойчиво. Более того, свойства асимптотической устой-
чивости системы сохраняются при неограниченном увеличении диаго-
нальных элементов kss матрицы К.
2°. В асимптотике (£„ -» оо, j = 1,2, ..., п) характеристическое урав-
нение А(р}= 0 степени 4и имеет следующее распределение корней:
lim p,(kss) = p* 5=1,2,..., п; ц= 1,2,3;
ка ->оо
(30.43)
lim ps.4(^) = -a0,
*и->00
где р* - корни уравнений as(p) = 0.
3°. В случае ка -» оо система взаимосвязанных уравнений (30.41) вы-
рождается в систему независимых уравнений третьего порядка
qs + as2q„ + + avOg, = 0 > 5 = 1, 2,..., n, (30.44)
которые описывают динамику эталонных моделей в свободном движении
в окрестности стационарных состояний равновесия.
Свойство 3° непосредственно следует из асимптотического распре-
деления (30.43).
По физическому смыслу диагональные элементы матрицы К
представляют собой коэффициенты усиления основных цепей обратных
связей контуров управления. Поэтому отмеченные свойства дифферен-
циальных уравнений (30.41) интерпретируются в задаче управления дви-
жением следующим образом: при неограниченном повышении усиления
в основных цепях обратных связей осуществляется динамическая деком-
позиция системы (30.36), (30.37), в результате которой ее структура рас-
падается на независимые подсистемы (30.44), динамика которых иден-
тична динамике эталонных моделей.
Таким образом, для линейной системы (30.36) первого приближения
с алгоритмом управления (30.37) всегда существует такая числовая мат-
рица [£vv] коэффициентов обратных связей, при которой стационарное
состояние q, = 0,s = 1,2,..., п асимптотически устойчиво.
18 - 9516
546 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Однако согласно теории А. М. Ляпунова, такими же свойствами
обладает и нелинейная система (30.9) с алгоритмом управления (30.30),
который стабилизирует программную траекторию движения ф,.(г), t > 0
до асимптотической устойчивости. При неограниченном повышении
усиления в основных цепях обратных связей алгоритм (30.30) осущест-
вляет динамическую декомпозицию нелинейной системы на незави-
симые линейные подсистемы по каждой степени свободы. Это послед-
нее положение нуждается в доказательстве, которое выполним следую-
щим образом.
Рассматриваем уравнения (30.9), (30.30) которые описывают про-
цессы в замкнутой нелинейной системе. С учетом того, что для принятых
эталонных моделей Psv = а п, v = 0, 1, вектор требуемых ускорений q* в
(30.30) запишем в операторной форме
9* (О = [ Р(о) Ф (t) - (а0 + а,£> + а2 D2) <у(г)],
где диагональные матрицы
p(D) = diag[p... (D)], p,(D) = p,,D + p,0.
Подставляя выражение для q*(t) в первое уравнение (30.30), по-
лучим
Л' =-l-^[p(D)<p(0-a(DM0]. (30.45)
Здесь операторная (и х и)-матрица
a(£>) = diag[a ,.(£>)], s = 1, 2,..., и,
где полином а.,(£>) определяется по (30.40).
Уравнение замкнутой системы можно найти, подставляя выражение
для . //' из (30.45) в (30.9) вместо .#и дважды дифференцируя по времени
обе части полученного равенства. Выполнив указанные преобразования,
будем иметь
V(9)9<4)(0 + Я9,9, ...)+ Ka(D)q(t) = К^РМ) . (30.46)
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 547
Выражения для элементов вектор-функции F(...) не выписываем, так
как они не потребуются. Исследуем асимптотические свойства нелиней-
ной системы в случае неограниченного повышения усиления в основных
цепях обратных связей, т.е. при к -> оо, s = 1, 2,..., п. Исходными являют-
ся следующие положения.
1. Для системы (30.46) всегда можно указать такие числовые значе-
ния kxv, при которых возмущенное движение qx(t) = <pv(0 устойчиво.
2. Свойства устойчивости сохраняются при неограниченном увели-
чении диагональных элементов ка матрицы К.
Имея в виду указанные положения, будем считать, что в (30.46)
приняты такие значения к,,, при которых <р,(t) - qx (t) -> 0 , если t —>оо.
Тогда при конечных начальных значениях |^.g)(0)| и ограниченных
функциях | <рл (Z)| < °°> t 0 будут ограниченными выходные переменные
системы и их производные, т.е. | <y(g)| < оо, t > 0. Умножим слева все чле-
ны уравнения (30.46) на диагональную матрицу
if]1 0 ... 0 '
0 к£ ... 0
о о ...
а затем выполним предельный переход при kxs ->», s = 1,2, ..., п. При-
нимаем во внимание следующие равенства:
lim Кд1 [ ^(q)qm(t) + F(q, <?,...)] = 0,
*ЛА -МО
lim /С0-1[/Са(О)<7(0] = а(О)<7(0,
*„->00
lim /С0-1[/Ср(О)р(0]=Р(О)ф(0.
-»<о
Выполняя указанные операции, получим
а(£>)<7(0 = р(О)ф(0 (30.47)
или в координатной форме
18*
548 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
2
£,(0+ 5La.^g)(0 = РяФЛО+Р^фЛО > (30.48)
g=0
s = 1,2,..., п.
Уравнения (30.47), (30.48) с точностью до обозначений совпадают с
уравнениями эталонных моделей.
Таким образом, синтезированный алгоритм (30.30) в асимптотике
(Ли -> со) осуществляет динамическую декомпозицию нелинейной сис-
темы, расчленяя ее на п независимых линейных подсистем, структура
которых идентична структуре эталонных моделей по каждой степени
свободы. Следовательно, при неограниченном повышении усиления в
основных цепях обратных связей контуров управления в системе можно
реализовать теоретически сколь угодно высокую точность приближения
управляемых процессов к эталонным, т.е. qs(t) —> q*(t). На этом основа-
нии приходим к заключению, что алгоритмы управления, структура ко-
торых определяется уравнениями (30.30),придают нелинейной системе
замечательные свойства: при достаточно высоком уровне усиления ди-
намические характеристики системы сохраняются практически неизмен-
ными при произвольном изменении в конечных пределах параметров
управляемого объекта. Иначе говоря, алгоритмы такой структуры при-
дают системам свойства параметрической адаптивности.
30.2.3. Алгоритм автономного - независимого по степеням
свободы — управления
Из уравнений (30.30) координированного управления следуют урав-
нения алгоритма автономного управления. Принимая здесь ks = к„ и ksv = 0
при v * 5, будем иметь
^(<7.,Л) = МФ*-Ф.Д
I
4s = a.vo ffsdt + as\fs - as24s> (30.49)
0
t
f, = fas~<ls)dt’ s = l,2,...,n.
0
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 549
Управляющие напряжения и*, с помощью которых двигатели соз-
дают моменты М* = п~х. Я*, в случае т, = 0 вычисляются по формулам
и* = — L.(q* ~q) + r2,q, 1, (30.50)
Да-
5 = 1,2,п,
которые соответствуют (30.32). Если постоянные времени т, не являются
пренебрежимо малыми, то w‘ вычисляются по формулам (30.35).
Вычисление требуемых значений управляющих напряжений и* для
каждой степени свободы выполняется по независимым уравнениям
(30.49), (30.50) и локальной информации, характеризующей состояние
сепаратных каналов. В этом смысле понимается автономность управле-
ния многосвязной системой.
Применяя методику, развитую в п. 30.2.2, можно показать, что алго-
ритм автономного управления стабилизирует до асимптотической устой-
чивости невозмущенное движение нелинейной системы. Однако в таком
доказательстве нет необходимости. Заключение об этом непосредственно
следует из того, что алгоритм координированного управления (30.30)
осуществляет динамическую декомпозицию управляемой системы в слу-
чае kss = £,-> со, 5=1, 2,..., п.
Итак, показано, что алгоритм автономного управления, как и коор-
динированного, теоретически придает системе идеальные свойства есте-
ственной адаптивности: ее динамические характеристики по каждой сте-
пени свободы идентичны динамическим характеристикам эталонных мо-
делей и остаются неизменными при изменении параметров управляемого
объекта. Такие свойства системы в полной мере проявляются лишь в
асимптотике при бесконечно высоком уровне усиления в контурах
управления. Практически требуемая динамическая точность проектируе-
мой системы, назначаемая с помощью неравенств (30.15), достигается
при конечных значениях коэффициентов усиления. Ориентировочные
значения ks рекомендуется рассчитывать по соотношениям
к„ = (4 ... 5) s=l,2..п,
(30.51)
550 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
где Л* ~ максимальные значения диагональных элементов Ass(q) матри-
цы .V(<?) в области определения уравнения (30.9), т.е. Л* = max Л„(д).
я
Кроме того, о* - значения частоты среза частотных характеристик эта-
лонных моделей в разомкнутом состоянии. Расчетные значения ks, най-
денные по (30.51), уточняются по результатам моделирования из условия
достижения требуемой динамической точности и слабой чувствительно-
сти проектируемой системы к изменению ее параметров и возмущающим
силам.
30.2.4. Исследование влияния инерционности двигателей
на динамику системы
Инерционность двигателей может быть причиной качественного из-
менения динамических свойств системы. Это в первую очередь связано с
возможностью нарушения ее устойчивости при повышении усиления в
каналах управления. Найдем условия, при выполнении которых система
сохраняет асимптотические свойства параметрической адаптивности.
Рассматриваем задачу стабилизации стационарного состояния
<7® = const для системы первого приближения (30.36). В случае идеаль-
ных (безынерционных) двигателей эта система стабилизируется до асим-
птотической устойчивости алгоритмом (30.49). Принимаем теперь, что
динамика двигателей описывается уравнениями (30.34). Тогда фактиче-
ские значения управляющих моментов (в приращениях) будут равны
Д. = гр 1 *, (30.52)
где согласно (30.49), величины
= ks(q*—qs), s=l, 2,..., п. (30.53)
Переменные q* определяются формулами (30.38), с учетом которых из
(30.53) находим
Д.#; = __Lksas(D)qs(t). (30.54)
Подставляя (30.54) в (30.52), получим окончательные выражения для
фактических управляющих моментов
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 551
Д.0*
2_^ а, (£>)?, (ОД
(30.55)
s =1, 2,п.
Наконец, из (30.36) и (30.55) находим уравнения замкнутой системы
Y\d\TvD+ 1).4(D)]9v(0+ ksas(D)qs(t) = 0 ,
V=1 (30.56)
s =1, 2,..., n,
где операторные полиномы 4(^) определяются по (30.42).
Исследуем асимптотические свойства системы в случае к„ -> оо.
Примем к = max кх. Тогда характеристическое уравнение, соответст-
.V
вующее (30.56), будет
/?5„(р) + kR^p) + *2Я5п_4(д) + ... + knR3n(p) = 0. (30.57)
Выражения для полиномов имеют вид
^п(Р)=ГооР5п +'bi/’5”-1 +
Л5„_2(р) =г10д5”-2 + г11Р5”-3 +..., (30.58)
^Зп(Р) =г„оР3” +rnip3n-' + ....
При этом
Л3„ (Р) = «1 (р)а2 (Р)—ап (р)
(30.59)
Особенность уравнения (30.57) состоит в том, что степени 5п - 2s рядом
стоящих полиномов при каждом s = 1, 2, ..., п отличаются на две едини-
цы. Вследствие этого система (30.56) может сохранять устойчивость в
случае к, -> оо только при выполнении определенных соотношений между
ее параметрами. Рассмотрим кратко эти вопросы.
Разделим все члены (30.57) на А" и выполним предельный переход
при к„ -> оо. В результате получим предельное уравнение R3n (р) = 0. От-
сюда следует, с учетом (30.59), что в асимптотике Зп корней (30.57) рав-
552 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
ны корням р* уравнений ах(р) = 0, s = 1,2, ..., п, ц = 1, 2, 3, которые
соответствуют эталонным моделям. Остальные 2п корней либо могут
удаляться на бесконечность в левой полуплоскости, либо некоторые кор-
ни из этой группы при кх —> оо могут удаляться на бесконечность в правой
полуплоскости. В первом случае система допускает теоретически неог-
раниченное повышение уровня усиления, а во втором случае такой воз-
можности нет.
Необходимые и достаточные условия расположения всех корней
(30.57) в левой полуплоскости можно найти, исследуя дополнительное
уравнение
ГооР2п+' + г01Р2п + + гп0Р + гП1 = 0, (30.60)
которое получается по правилу: сумму двух членов старших степеней р
всех полиномов (30.58) нужно приравнять к нулю, а затем сократить на
р3п~'. Условия, при выполнении которых все корни (30.60) расположены в
левой полуплоскости, будут необходимыми и достаточными для того,
чтобы все корни исходного уравнения (30.57) были также расположены в
левой полуплоскости.
Без доказательства приведем соотношения, которые определяют не-
обходимые, но не достаточные условия сохранения устойчивости систе-
мы при бесконечно высоком уровне усиления. Они имеют вид:
ал2<~' + ~~, $ = 1,2,..., и. (30.61)
Здесь Л* и Ь~х - соответственно максимальные и минимальные значе-
ния диагональных элементов Л* (q) и 6“ (<?, q) матриц .^(q) и B(q, q) в
области определения уравнения (30.9). Неравенства (30.61) должны вы-
полняться для каждого сепаратного канала. В таком случае система с
инерционными двигателями будет сохранять устойчивость при сравни-
тельно больших значениях коэффициентов усиления кх.
30.3. СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ
ПО ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
Алгоритм управления голономной механической системой синтези-
руем по уравнениям (30.8), (30.12). Исключим из них управляющие мо-
менты . #v. Из (30.12) имеем
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 553
= (зо.62)
xsD +1 xsD +1
Подставляя (30.62) в правую часть (30.8) вместо n,Ms = после необхо-
димых преобразований с учетом (30.11) получим
Z avv (9) gv(0 + 9(9, q, q) = Ux, (30.63)
V = I
U,=^-us, s = \,2,...,n.
Ъ
Функции 9Л(...) в явном виде не выписываем, так как они не потребуются
при изложении. В векторной форме уравнения (30.63) имеют вид
^(qyq\t)+&(q, q,q) = и, (30.64)
где вектор-функции U и 9 имеют своими компонентами Us и 9Л.
Рассматриваем следующую задачу. Для каждой степени свободы
управляемой системы назначена программная траектория фХО, - 0,
5 = 1,2, ..., п. Требуется найти такие управляющие функции Us = U* в
форме обратных связей, при которых траектория движения управляемой
системы (30.63), начиная с некоторого момента времени t = t„ будет сле-
довать за назначенной траекторией, так что выполняются неравенства
(30.15). Необходимо при этом, чтобы динамические характеристики
замкнутой системы по каждой степени свободы были почти идентичны
динамическим характеристикам эталонных моделей (30.16).
Управляющие функции U* будем отыскивать, рассматривая задачу
гашения энергии ускорения
1 г
G(q,q) = -5rA(q)8, 8 = q -q, (30.65)
вычисляемой в окрестности траекторий движения эталонных моделей.
Найдем такие функции U*, при которых выполняются условия
G(9,9)<0, G(q,q)—>0, (30.66)
где производная по времени 6(9,9) вычисляется в силу уравнений (30.63).
554 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Дифференцируем (30.65) и в полученное равенство подставляем вы-
ражение для q(t), найденное из (30.64). В результате установим, что ус-
ловия (30.66) будут выполнены, если
U* = K(q -q), К = КТ > 0, (30.67)
и существует такая определенно положительная матрица к, что
| (q - q)1 U(q, q, q) + 4(9, q, ?)| < (q - q)T K(q - q), (30.68)
t>0.
Вектор-функция
q, q) = ^(7)7’ + ^.q, q, q),
а скалярная функция fi(...) определяется по (30.21), где вместо 5 нужно
подставить 5.
В координатной форме уравнения закона управления (30.67) имеют
вид
^5 ~ ^SV Ok ~ 4v )’ ^SV ~ >
V=1 (30.69)
5 = 1,2, ..., n
Переменные q* представляют собой требуемые значения ускоре-
ний, они формируются эталонными моделями и вычисляются по соотно-
шениям
г
= “v0 f(4»v - ) <* + “vl (4»v - ) - “v2?v •
° (30.70)
«vg=₽vg> v=l,2......n,
которые получаются из уравнений (30.16) по обычной методике.
Таким образом, при координированном управлении управляющие
функции вычисляются по (30.69), (30.70). При неограниченном увеличе-
нии коэффициентов усиления основных цепей обратных связей
(i,v -> 00) движение нелинейной системы с алгоритмом управления
(30.69), (30.70) асимптотически устойчиво по отношению к невозмущен-
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 555
ному движению, которое определено функциями ф5(г), t > 0. При этом в
асимптотике осуществляется ее декомпозиция на независимые линейные
подсистемы, структура которых идентична структуре эталонных моде-
лей. Отмеченные свойства системы доказываются так же, как это выпол-
нено в п. 30.2.2.
В случае k,v = 0, v * s из (30.69), (30.70) следуют уравнения алгорит-
ма автономного управления:
V* =ks(q*-qs), ks=kM.,
t
£ = «.«о f(Ф v - Я, № + ал1 (Фа - Я„) - ал2?л., (30.71)
о
5=1,2, ..., п.
Структурная схема замкнутого контура управления сепаратного ка-
нала изображена на рис. 30.3. Управляемой системе соответствуют урав-
нения (30.63), что отражено на схеме.
Алгоритм автономного управления (30.71) придает системе такие же
асимптотические свойства, как и алгоритм координированного управле-
ния. При конечных и достаточно больших значениях коэффициентов
усиления kss система обладает слабой чувствительностью к изменению
параметров и возмущающим силам. Ориентировочные значения kss
можно рассчитать по формулам (30.51). Найденные по (30.51) значения
обеспечивают выполнение неравенства (30.68). Значения коэффициентов
Рис. 30.3
556 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
усиления kxv в обратных связях можно найти в результате параметриче-
ской оптимизации системы. В таком случае величины кхх или кх, вычис-
ленные по (30.51), принимаются в качестве начальных приближений.
Особенность алгоритмов управления (30.69), (30.70)и (30.71) состо-
ит в том, что для вычисления управляющих функций требуется инфор-
мация об ускорениях qx(t). При необходимости по модели (30.63) можно
синтезировать алгоритм управления, аппаратная реализация которого не
требует измерения вторых производных обобщенных координат. Такой
алгоритм строится на основе законов управления, минимизирующих ло-
кальный функционал
G(C/) = l(9*-9)7’ A{q)(q'- q)
по градиентной схеме второго порядка.
30.4. УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ
УПРАВЛЯЮЩИХ МОМЕНТОВ
Рассматриваем механические уравнения (30.8), (30.9) управляемой
системы. Управляющие моменты .ffx подчинены ограничениям
- .//л <.#.v < .//л, .//л>0.
(30.72)
Синтезируем такой алгоритм управления в форме обратных связей,
который обеспечивает перевод системы из состояния (30.14) в стацио-
нарное состояние qx = 0, qx = 0. Потребуем при этом, чтобы кинетиче-
ская энергия (30.18) системы в окрестности траекторий движения эта-
лонных моделей
^(0 + ^а9^Г)=0, 5=1,2,...,». (30.73)
у=о dt
аЯал2>ал0> а^>°
уменьшалась с наибольшей скоростью. Как и ранее, управляющие мо-
менты, отвечающие условиям сформулированной задачи, обозначим
.4; = .//'*.
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 557
Скорость изменения кинетической энергии определяется выражени-
ем (30.23). На траекториях управляемого движения должны выполняться
условия (30.19), поэтому с учетом (30.72) приходим к следующему за-
ключению: если справедливо неравенство
|(<7* - q)‘ М(q, q) + r)(<7, q)\ < £ Л * >
а=1
(30.74)
то наибольшая скорость убывания кинетической энергии достигается
в том случае, когда управляющие моменты определяются следующим
образом:
. a sign (<j‘ - д,), s = 1,2,..., п,
Я* = «АО \fsdt + “viZv - “v2<7a > (30.75)
о
t
fs=-^sdt-
0
Вектор-функция M(q,q) в (30.75) определена в (30.24), а соотношения
для вычисления q* получены из (30.73) по обычной методике. Они также
следуют из (30.29) при <рл = 0.
Управляющие напряжения и* вычисляются по формулам (30.32)
или (30.35), если необходимо учитывать инерционность электрических
процессов (т, 0). В этих формулах, согласно (30. 10), нужно принять
М* = и”1 , .
Уравнения (30.75) составляют основу алгоритма релейного управле-
ния системой. При этом неравенство (30.74) определяет область Р, из
любой точки (q, q) которой управляющие моменты переводят систему в
стационарное состояние. Для каждой степени свободы существует неко-
торая область Ps е Р, где возможен скользящий режим. За пределами
области Ps, т.е. при значительных отклонениях происходит ко-
нечное число переключений управляющей функции. В результате изо-
бражающая точка (q, qs) приближается к границе Ps. После попадания
558 ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ
(q,qs) в область существования скользящего режима процесс изменения
обобщенной координаты qx(f) определяется уравнением эталонной моде-
ли. Следовательно, в скользящих режимах теоретически осуществляется
декомпозиция нелинейной системы на независимые линейные подсисте-
мы, динамика которых идентична динамике эталонных моделей (30.73).
Пусть теперь движение системы подчиняется уравнениям (30.63),
которые учитывают инерционность процессов в электрических цепях
двигателей. На управляющие функции Ux наложены ограничения
-Us <U„ <UX, 5=1,2,..., п.
В таком случае рассмотренная задача перевода системы в начало коорди-
нат qx = 0 из произвольной точки области, определяемой неравенством
|(<Г -<7)г^(<7,?,<7)+п(<7,<?,<7)| -<?4
5=1
осуществляется управлениями
U* = t/vsign(<7* -qs), s=l, 2,..., и,
(30.76)
t
Я* = -“.VO - “я<7, - “,v2?v
0
Характер движения системы с алгоритмом управления (30.76) такой
же, как с алгоритмом (30.75).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотренные задачи управления движением динамических сис-
тем, формулируемые как задачи гашения энергии, являются по сути дела
оптимизационными. Причем оптимизация осуществляется по локальным
функционалам, в роли которых выступает кинетическая энергия или
энергия ускорения. Такое утверждение не представляется очевидным, так
как процедура оптимизации выполняется не по традиционной схеме.
Решение вариационной задачи аналитического конструирования оп-
тимальных регуляторов по интегральным функционалам прямо или кос-
венно связано с отысканием экстремалей. В противоположность этому
ЗАДАЧИ ГАШЕНИЯ ЭНЕРГИИ И АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ 559
при оптимизации систем по локальным функционалам экстремали не
отыскиваются, они назначаются в виде решений дифференциальных
уравнений эталонных моделей. При этом структура и параметры алго-
ритмов управления определяются из условия, чтобы процессы в проекти-
руемой системе с необходимой точностью приближались к эталонным
процессам. Следовательно, предлагаемый метод синтеза основывается на
минимизации локальных функционалов в сочетании с концепциями об-
ратных задач динамики.
С помощью предложенного «энергетического» метода оказывается
возможным синтезировать алгоритмы координированного и автономного
управления в замкнутой форме для одномерных и многомерных нели-
нейных систем, в том числе и при ограничениях управляющих функций.
Синтезированные алгоритмы имеют нетрадиционную структуру, обеспе-
чивают возможность реализации высокой динамической точности и сла-
бой чувствительности системы к изменениям параметров и возмущаю-
щим силам. Кроме того, алгоритмы управления такой структуры осуще-
ствляют динамическую декомпозицию взаимосвязанных уравнений
движения на независимые по степеням свободы модели. В силу этого
синтез алгоритмов управления можно выполнять по моделям сепаратных
каналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ
КНИГИ ПО ТРАДИЦИОННОЙ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического регули-
рования. М.: Наука. 1972.
2. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.:
Наука. 1979.
3. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автома-
тического управления. М.: Наука. 1981.
4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкии С.Э. Теория колебаний. М.:
Физматгиз. 1959.
5. Батей ко А.П. Системы терминального управления. М.: Радио и
связь. 1984.
6. Математические основы автоматического регулирования. 2-е
изд. / Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа. 1977.
7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред.
А.А. Красовского. М.: Наука. 1987.
8. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука.
1977.
9. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.:
Наука. 1988.
10. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуля-
ционные работы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука. 1989.
11. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судострое-
ние, 1966.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
561
В области теории автоматического управления и ее приложений
опубликовано большое число монографий, учебных руководств и жур-
нальных статей. Обширная библиография по этим вопросам содержится в
справочнике по теории автоматического управления [6], а также в Эн-
циклопедии: Машиностроение. Автоматическое управление. Теория. Том
1 - 4 / Под общей редакцией Е.А. Федосова. М.: 2000.
В приведенном списке указаны только те публикации, которые ис-
пользованы в настоящей книге при исследовании устойчивости движения
управляемых систем и сходимости процессов минимизации; при опреде-
лении условий существования автоколебаний и скользящих режимов и
др. Основные публикации оригинальных исследований, которые состав-
ляют содержание лекций, указаны в отдельном списке.
КНИГИ ПО ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ
УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ
1. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем.
Линейные модели. М.: Наука, 1987.
2. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем.
Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.
3. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов Л.М. Алгоритмы и
программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь.
1988.
4. Крутько П.Д. Управление исполнительными системами роботов.
М.: Наука, 1991.
562
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПУБЛИКАЦИИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ УГЛУБЛЕННОГО
ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ПРИМЕНЕНИЯ НОВЫХ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ АНАЛИТИЧЕСКОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
1. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П.
1.1. Построение алгоритмов управления как обратная задача дина-
мики И ДАН СССР, 1979, т. 247, № 5.
1.2. К теории построения алгоритмов управления движением // ДАН
СССР, 1979, т. 247, № 3.
1.3. Нелинейные алгоритмы управления вращательными движения-
ми динамических объектов // ДАН СССР, 1980, т. 252, № 5.
2. Крутько П.Д., Попов Е.П.
2.1. Симметрия в автоматических системах и алгоритмы управле-
ния // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 1.
2.2. Построение алгоритмов управления движением линейных сис-
тем // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 2.
2.3. Построение алгоритмов управления дискретных систем // Изв.
АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 3.
2.4. Кинематические алгоритмы управления движением манипуля-
ционных роботов // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика. 1979, № 4.
2.5. Алгоритмы дискретного управления движением манипуляцион-
ных роботов // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика, 1979, № 5.
2.6. Алгоритмы осуществления заданных траекторий движения ма-
нипуляционных роботов // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1979, № 6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
563
2.7. Управление движением манипуляционных роботов на основе
кинематических алгоритмов второго порядка // Изв. АН СССР. Техн, ки-
бернетика, 1981, №6.
2.8. Синтез управлений скоростью полета летательных аппаратов
на основе решения обратной задачи динамики // ДАН СССР, 1981, т.
260, № 4.
2.9. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов и
обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн,
кибернетика, 1982, № 3.
2.10. Обратные задачи динамики управляемых систем и оптималь-
ные процессы // ДАН СССР, 1982, т. 269, № 5.
3. Петров Б.Н., Крутько П.Д.
3.1. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные мо-
дели // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1980, № 4.
3.2. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные
модели // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1980, № 5.
3.3. Обратные задачи динамики управляемого полета. Продольное
движение // ДАН СССР, 1980, т. 255, № 1.
3.4. Обратные задачи динамики управляемого полета. Боковое дви-
жение // ДАН СССР, 1981, т. 256, № 5.
3.5. Конструирование алгоритмов управления полетом на основе
решения обратной задачи динамики. Продольное движение // Изв. АН
СССР. Техн, кибернетика, 1981, № 2.
3.6. Конструирование алгоритмов управления полетом на основе
решения обратной задачи динамики. Боковое движение // Изв. АН СССР.
Техн, кибернетика, 1981, № 3.
564
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Крутько П.Д., Письменный Г.В.
4.1. Алгоритмы управления силой сжатия охвата манипулятора И
Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1980, № 6.
5. Крутько П.Д.
5.1. Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых
систем. Одномерные модели // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1983,
№4.
5.2. Синтез дискретных управлений по функциям Ляпунова // Изв.
АН СССР. Техн, кибернетика, 1984, № 2.
5.3. Функции Ляпунова в обратных задачах динамики управляемых
систем. Многомерные модели И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1984,
№4.
5.4. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики
управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1986, № 1.
5.5. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объек-
тами на основе концепций обратных задач динамики. Системы с одной
степенью свободы // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1986, № 4.
5.6. Конструирование алгоритмов управления нелинейными объек-
тами на основе концепций обратных задач динамики. Управление движе-
нием относительно центра масс И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика,
1986, № 6.
5.7. Алгоритмы управления силовыми операциями манипуляцион-
ных роботов И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1987, № 2.
5.8. Принцип управления по ускорению в задачах проектирования
автоматических систем И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1987, № 6.
5.9. Алгоритмы адаптивного управления исполнительными систе-
мами манипуляторов // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1988, № 4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
565
5.10. Алгоритмы управления упругими электромеханическими сис-
темами // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1988, № 4.
5.11. Обращение прямого метода Ляпунова в задачах управления
динамическими системами // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1989, № 3.
5.12. Алгоритмы управления по ускорению движением механиче-
ских систем // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1989, № 4.
5.13. Синтез алгоритмов управления исполнительными системами
машин с учетом упругости передач // Проблемы машиностроения и на-
дежности машин, 1989, № 5.
5.14. Новые структуры адаптивных алгоритмов управления автома-
тических систем // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1990, № 1.
5.15. Адаптивные алгоритмы управления исполнительными систе-
мами // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1990,№ 2.
5.16. Управление движением упругих многомассовых систем // Про-
блемы машиностроения и надежности машин, 1991, № 4.
5.17. Управление движением сложных механических систем. Синтез
алгоритмов по моделям в форме уравнений Лагранжа // Проблемы маши-
ностроения и надежности машин, 1991, № 6.
5.18. Адаптивные алгоритмы стабилизации стационарных состояний
и программных траекторий движения многомерных систем // ДАН СССР,
1991, т. 312, №2.
5.19. Оптимизация управляемых систем по функционалам, характе-
ризующим энергию движения // ДАН СССР, 1991, т. 320, № 3.
5.20. Оптимизация управляемых систем по критерию минимума
энергии ускорения // ДАН СССР, 1991, т. 317, № 6.
5.21. Алгоритмы информационного обеспечения систем автоматиче-
ского управления // ДАН СССР, 1991, т. 317, № 6.
5.22. Адаптивные алгоритмы управления вращательными движе-
ниями и пространственной ориентацией твердого тела // ДАН СССР,
1992, т. 324, №2.
566
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5.23. Алгоритмы управления движением систем с минимальным ин-
формационным обеспечением II ДАН, 1992, т. 325, № 2.
5.24. Асимптотические свойства управляемых систем, оптимальных
по квадратичным функционалам // ДАН, 1992, т. 326, № 2.
5.25. Адаптивные алгоритмы управления вращательными движе-
ниями летательных аппаратов // ДАН, 1993, т. 326, № 2.
5.26. Алгоритмы стабилизации программных траекторий движения в
инерциальной системе координат // ДАН, 1994, т. 334, № 5.
5.27. Асимптотические свойства многомерных динамических сис-
тем, оптимальных по критерию минимума энергии ускорения // ДАН,
1994, т. 339, №4.
5.28. Задача гашения кинетической энергии динамической системы
и алгоритмы управления // ДАН, 1996, т. 347, № 4.
5.29. Оптимизация многомерных динамических систем по критерию
минимума энергии ускорения И Изв. РАН. Техн, кибернетика, 1994, № 1.
5.30. Новые структуры алгоритмов демпфирования короткоперио-
дических колебаний самолета // Изв. РАН. Техн, кибернетика, 1994, № 4.
5.31. Управление движением Эйлеровых систем. Синтез алгоритмов
методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Теория и системы управ-
ления, 1995, № 1.
5.32. Аналитическое решение задачи Вознесенского для стационар-
ных и нестационарных линейных систем // Изв. РАН. Теория и системы
управления, 1995, № 1.
5.33. Управление движением Лагранжевых систем. Синтез алгорит-
мов методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Теория и системы
управления, 1995, № 6.
5.34. Симметрия и обратные задачи динамики управляемых систем //
Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, № 6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
567
5.35. Управление продольным движением летательных аппаратов.
Синтез алгоритмов методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Тео-
рия и системы управления, 1997, № 6.
5.36. Управление движением сложных механических систем. Синтез
алгоритмов по моделям в форме уравнений Эйлера // Проблемы машино-
строения и надежности машин, 1992, № 6.
5.37. Синтез адаптивных алгоритмов управления приводами слож-
ных механических систем // Проблемы машиностроения и надежности
машин, 1994, № 2.
5.38. Новый метод синтеза алгоритмов управления автоматических
систем. Одномерные модели // Проблемы машиностроения и надежности
машин, 1994, № 5.
5.39. Новый метод синтеза алгоритмов управления автоматических
систем. Многомерные модели // Проблемы машиностроения и надежно-
сти машин, 1994, № 6.
5.40. Синтез алгоритмов управления движением методом гашения
кинетической энергии // Проблемы машиностроения и надежности ма-
шин, 1995, № 3.
5.41. Управление цепными механическими системами // Проблемы
машиностроения и надежности машин, 1995, № 4.
5.42. Управление движением упругих двухмассовых систем // Про-
блемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 6.
5.43. Управление исполнительными системами роботов. М.: Наука,
1991.
5.44. Алгоритмы терминального управления линейными динамиче-
скими системами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 6.
5.45. Задачи гашения энергии и алгоритмы управления движением
динамических систем. Линейные модели // Изв. РАН. Теория и системы
управления. 1999. № 4.
568
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
5.46. Задачи гашения энергии и алгоритмы управления движением
динамических систем. Нелинейные модели И Изв. РАН. Теория и систе-
мы управления. 1999. № 6.
5.47. Управление боковым движением летательных аппаратов. Син-
тез алгоритмов управления методом обратных задач динамики И Изв.
РАН. Теория и системы управления. 2000. № 4.
5.48. Исследование влияния малых параметров на динамику управ-
ляемых систем И Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 6.
5.49. Координированное и автономное управление движением Ла-
гранжевых систем. Синтез алгоритмов по сепаратным моделям И Изв.
РАН. Теория и системы управления. 2002. № 2.
5.50. Терминальное управление движением Лагранжевых систем //
Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 6.
5.51. Управление колебаниями. Синтез алгоритмов на основе обра-
щения прямого метода Ляпунова И Изв. РАН. Теория и системы управле-
ния, № 2, 2003.
5.52. Алгоритмы интенсивного гашения энергии в задачах управле-
ния колебаниями И Изв. РАН. Теория и системы управления, № 6, 2003.
6. Крутько П.Д., Черноусько Ф.Л.
6.1. Декомпозирующие алгоритмы управления движением нелиней-
ных динамических систем И Изв. РАН. Теория и системы управления.
2001. №4.
7. Крутько П.Д., Чхеидзе Г.А.
7.1. Синтез алгоритмов управления следящих систем высокой дина-
мической точности И Изв. РАН. Техн, кибернетика, 1992, № 2.
7.2. Алгоритмы управления элекгрогидравлическими приводами с
минимальным информационным обеспечением // Проблемы машино-
строения и надежности машин, 1993, № 4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
7.3. Субоптимальные по быстродействию алгоритмы унравмииа
манипулятором с упругим механизмом передачи движении // 1|р<1<1л*МЫ
машиностроения и надежности машин, 1993, № 6.
7.4. Исследование динамики манипулятора, управляемо!о но усйО*
рениям И Проблемы машиностроения и надежности машин, 1994, Nb 4
7.5. Робастно устойчивые структуры автоматических cm ipm И /(АН,
1995, т. 342, №5.
7.6. Необходимые и достаточные условия гашения автоколеАйМИ* В
нелинейных системах И ДАН, 1996, т. 347, № 3.
7.7. Алгоритмы гашения автоколебаний в существенно нелинейных
системах И Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, № 2
8. Крутько П.Д., Осипов П.А.
8.1. Кинематические алгоритмы управления движением фаишюрт-
ных систем мобильных роботов И Изв. РАН. Теория и системы управле*
ния, 1996, № 2.
8.2. Терминальное управление движением транспортных систем мо-
бильных роботов И Проблемы машиностроения и надежности машин,
2000, № 4.
9. Крутько П.Д., Нечаев Л.Д., Большакова И.К.
9.1. Аналоговые и цифровые алгоритмы управления электрогидрав-
лических приводов И Проблемы машиностроения и надежности машин,
2000, № 6.
10. Крутько П.Д., Голованов М.А., Большакова И.К.
10.1. Параметрически адаптивные алгоритмы управления упругими
электромеханическими системами И Проблемы машиностроения и на-
дежности машин, 2000, № 3.
570
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
11. Скворцов Л.М.
11. 1. К задаче построения управления по функциям Ляпунова И Изв.
АН СССР. Техническая кибернетика. 1984. № 4.
12. Крутько П.Д., Малахов А.А., Чернышев В.Г.
12.1. Адаптивные алгоритмы демпфирования короткопериодических
колебаний самолета. Продольное движение // Вестник МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 1992, № 3.
12.2. Адаптивные алгоритмы демпфирования короткопериодических
колебаний самолета. Боковое движение И Вестник МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, 1993, № 2.
12.3. Динамика адаптивных контуров демпфирования вращательных
движений самолета И Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993, № 2.
12.4. Динамические характеристики традиционных и адаптивных
контуров демпфирования И Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998, № 1.
13. Гришин С.А., Крутько П.Д., Попов Е.П.
13.1. Конструирование нелинейных законов управления по функци-
ям Ляпунова И ДАН СССР, 1985, т. 278, № 4.
14. Колесников К.С., Жевнин А. А., Кри щен ко А.П., Толокнов В.И.
14.1. Синтез алгоритмов терминального управления на основе об-
ратных задач динамики И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1985, № 4.
15. Ермошина О.В., Крищенко А.П.
15.1. Синтез программных управлений ориентацией космического
аппарата методом обратных задач динамики // Изв. РАН. Теория и систе-
мы управления, 2000, № 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
571
16. Чхеидзе Г.А.
16.1. Синтез алгоритмов управления движением упругих механиче-
ских систем И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1991, № 1.
16.2. Цифровые алгоритмы управления автоматических систем сла-
бой параметрической чувствительности И Изв. РАН СССР. Техн, кибер-
нетика, 1994, № 4.
16.3. Синтез алгоритмов управления движением динамических сис-
тем при ограничении фазовых координат и управляющей функции И
Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995, № 2.
16.4. Синтез алгоритмов управления движением динамических сис-
тем в скользящих режимах И Изв. РАН. Теория и системы управления,
1995, №2.
17. Харьков В.П.
17.1. Синтез алгоритмов систем автоматического управления скоро-
стью полета летательных аппаратов / В. сб.: Математическое обеспечение
Б ЦВМ в задачах управления, оценивания и идентификации. М.: ВВИА
им. Н.Е. Жуковского, 1990.
17.2. Адаптивный алгоритм оптимального управления на основе об-
ратных задач динамики / В. сб.: Математическое обеспечение задач
управления полетом: М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1990.
17.3. Структурно-параметрический синтез управления динамиче-
скими системами И Изв. АН СССР. Техн, кибернетика, 1991, № 2.
17.4. Адаптивное управление динамическими системами на осно-
ве обратных задач динамики // Изв. РАН СССР. Техн, кибернетика,
1991, №2.
572
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
18. Васюков В.И.
18.1. Синтез адаптивного закона управления программным движе-
нием летательного аппарата на основе решения обратной задачи динами-
ки / В. сб.: Оптимальное управление летательными аппаратами. М.: Изд-
во МАИ, 1984.
19. Васюков В.И., Горбатенко С.А.
19.1. Метод обратных задач динамики в теории управления лета-
тельными аппаратами. М.: Изд-во МАИ, 1988.
20. Лысенко Л.Н.
20.1. Обратные задачи баллистики / В кн.: Дмитриевский А.А., Лы-
сенко Л.Н., Богодистов С.С. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение,
1991.
21. Тараненко В.Т.
21.1. Динамика самолетов с вертикальным взлетом и посадкой. М.:
Машиностроение. 1993.
22. Садовой А.В., Сухинин Б.В., Сохииа Ю.В.
22.1. Системы оптимального управления прецизионными электро-
приводами. К.: Исимо. 1996.
23. Кочетков Ю.А.
23.1. Метод обратных задач динамики / В кн.: Основы автоматики
авиационного оборудования. М.: Изд-во ВВИА им. Н.Е. Жуковского. 1995.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
57J
Первая работа, в которой сформулированы идеи применения кон-
цепций обратных задач в теории управления движением, была опублико-
вана в 1979 году в журнале «Доклады АН СССР» [1.1]. За два последую-
щих десятилетия в этом направлении выполнены обширные исследова-
ния теоретического и прикладного характера. Результаты этих исследо-
ваний опубликованы в монографиях [1 - 4] и в многочисленных жур-
нальных статьях. В приведенный список работ включены в основном те
публикации, которые в наибольшей степени отражают курс лекций. На-
ряду с этим в списке указаны работы других авторов. В них синтезиру-
ются алгоритмы управления техническими системами методами обрат-
ных задач динамики.
Содержательный смысл упомянутых работ ясен из их названия. От-
метим только две из них. В монографии В.Т. Тараненко [21.1] рассмотре-
ны задачи управления угловыми движениями самолета с вертикальным
взлетом и посадкой. В книге Ю.А. Кочеткова [23.1] синтезированы кине-
матические алгоритмы управления пространственным движением само-
лета, который должен занять определенное положение относительно ве-
дущего или относительно конуса самолета, несущего топливо (при доза-
правке в воздухе).
Отметим также, что приведенный в списке литературы перечень
прикладных исследований составляет лишь незначительную часть
опубликованных работ, в которых концепции обратных задач динамики
применяются для аналитического проектирования алгоритмического
обеспечения систем управления техническими объектами различного
назначения.
Учебное издание
Крутько Петр Дмитриевич
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
В ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
Цикл лекций
Лицензия ИД № 05672 от 22.08.2001
Редакторы С.М. Макеева, А.А. Куликова
Художественный редактор Т.Н. Галицына
Корректор М.Я. Барская
Инженеры по компьютерному макетированию: ЕВ. Кораблева, И.В. Евсеева
Сдано в набор 21.10.03. Подписано в печать 29.01.04. Формат 60x88/1/16.
Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 35,28. Уч. -изд. л. 38,7.
Тираж 1000 экз. Заказ 9516
Ордена Трудового Красного Знамени
«Издательство «Машиностроение»,
107076, Москва, Стромынский пер., 4
Оригинал-макет изготовлен в издательско-полиграфическом центре
Тамбовского государственного технического университета
Отпечатано в ГУП ППП «Типография «Наука»,
121099, Москва, Шубинский пер., 6