э г. ГОТМАН РЕШЕНИЕ
3. А. СКОПЕЦ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
АНАЛИТИЧЕСКИМ
МЕТОДОМ
Пособие для учащихся
9—10 классов
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1979

22.151
Г73
Эдгар Готлибович Гетман, Залман Алтерович Скопец
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ АНАЛИТИЧЕСКИМ
МЕТОДОМ
Редактор Г. С. Уманский
Художественный редактор Е. Н. Карасик,
Технический редактор H. Н. Бажанова
Корректор Н. И. Новикова
ИБ № 3927
Сдано в набор 26.12.78. Подписано к печати 23.04.79. 60Х90’/ів.
Бум. типограф. № 3. Гарнит. литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 8. Уч.-изд. л. 7,54. Тираж 455 000. Заказ № 32. Цена 20 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвеще¬
ние» Государственного комитета РСФСР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфиче¬
ский комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Г отман Э. Г., Скопец 3. А.
Г73 Решение геометрических задач аналитическим методом:
Пособие для учащихся 9 и 10 кл.—М.: Просвещение,
1979. — 128 с.
В сборник включены геометрические задачи, решение которых основано на
применении аналитических методов. Предлагаемые авторами задачи имеют целью
показать учащимся единство геометрии, алгебры и математического анализа.
Сборник снабжен подробными указаниями и комментариями.
60601 —541
Г 	 инф письм0 —79	4606020400
103 (03) — 79
ББК 22.151
513
Издательство «Просвещение», 1979 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Решение задач по математике имеет большое общеобразователь¬
ное и воспитательное значение? Поиск решения нестандартной за¬
дачи развивает инициативу, настойчивость и сообразительность.
Если к тому же задачи достаточно разнообразны, то их решение
является прекрасным средством развития логического мышления,
строгости суждений и математического вкуса.
В настоящий сборник включены геометрические задачи, рас¬
считанные на применение аналитических методов решения. Боль¬
шинство из них предназначено для учащихся старших классов
средней школы, интересующихся математикой. По замыслу авто¬
ров предложенные задачи должны показать учащимся единство
геометрии, алгебры и математического анализа. Тенденция к исполь¬
зованию при решении геометрических задач только геометрических
методов препятствует приложениям алгебры и анализа в самой
математике.
В I главе собраны задачи, большинство из которых доступно
учащимся VIII—IX классов. Для их решения могут быть исполь¬
зованы элементарные средства: уравнения первой и второй степе¬
ни, тождества и неравенства.
Задачи на применение векторной алгебры, тесно связанные со
школьным курсом геометрии, включены во II главу и предназначе¬
ны, главным образом, для учащихся IX и X классов. Содержание
этих задач отличается тем, что применение векторов при их решении
предпочтительнее, чем использование других средств.
Задачи III главы рассчитаны на применение координатного
метода. Необходимый для их решения теоретический материал при¬
водится в пояснительном тексте.
В IV главу включены задачи на отыскание геометрических пре¬
делов, редко встречающиеся в учебных пособиях для учащихся.
Последний параграф содержит задачи на максимум и минимум,
решаемые с помощью производной.
Внутри каждого параграфа задачи расположены в порядке
возрастающей трудности, что облегчает решение наиболее сложных
задач.
3

Предлагаемый сборник задач поможет учащимся углубить свои
знания по математике. Он может служить пособием для подготовки
к математическим олимпиадам и к экзаменам в высшие учебные за¬
ведения. Преподаватели математики найдут в нем материал для
проведения кружковых и факультативных занятий. Сборник будет
полезен также будущим учителям — студентам педагогических
институтов и университетов (физико-математического профиля).
При составлении сборника были широко использованы задачи,
помещенные в журнале «Математика в школе» за последние два
десятилетия. В сборнике также много новых задач.
Ко всем задачам на вычисление даны ответы. Большинство
задач снабжено указаниями к их решению, а некоторые, наиболее
трудные, — краткими решениями.
Литература, указанная в конце сборника, может оказаться по¬
лезной для более глубокой работы по темам, представленным в на¬
стоящем сборнике.
Авторы

ГЛАВА I
РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
СРЕДСТВАМИ АЛГЕБРЫ И ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ
И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
В настоящий параграф включены задачи по геометрии, при¬
водящие к алгебраическим уравнениям первой и второй степени.
Для решения задачи следует сделать чертеж и составить уравне¬
ния, выражающие связь между данными и неизвестными элемен¬
тами фигуры. Если возможны различные случаи взаимного распо¬
ложения элементов фигуры, то каждый случай нужно рассмотреть
особо. При этом может оказаться, что задача имеет несколько ре¬
шений.
Пример 1. Найти углы равнобедренного треугольника, если
известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основа¬
нии, делит его на два треугольника, каждый из которых также
является равнобедренным.
Решение. Пусть треугольник АВС, в котором | ЛВ| = | ЛС|,
разделен отрезком BD на два равнобедренных треугольника: ABD
и BCD (рис. І). Анализ задачи показывает, что возможны два слу¬
чая: а) |AD| =.|BD| = |ВС|; б) |Л£>| = |BD| и |BCj = |CD|.
Обозначим через х (в радианной мере) величину угла А тре¬
угольника АВС. Тогда в случае а) имеем:
ABD = х, BCD = BD С = 2х
(рис. 1, а).
Поскольку |ЛВ| = |ЛС|, то
CBD=x. Приходим к уравнению
5х = л,
откуда
X - —.
5
В случае б), рассуждая ана¬
логично, получим уравнение
7х=л, откуда х= (рис. 1, б).
Рис. 1
5

Рис. 2
Выполнив проверку, убеждаемся в том,
что корни обоих уравнений удовлетворяют
условию задачи.
При решении задачи, содержащей
буквенные данные (параметры), следует
не только найти формулу для вычисления
неизвестного элемента, но и указать мно¬
жества допустимых значений параметров,
т. е. таких значений, при которых задан¬
ная в условии задачи фигура существует.
Поясним это на следующем примере.
Пример 2. Основания равнобочной трапеции равны 6 см и
4 см, а диагональ равна d см. Найти длины отрезков, на которые
диагональ делится точкой пересечения диагоналей.
Решение. Пусть ABCD —данная трапеция, |ЛВ| = 6 см,
I CD I = 4 см, (ЛС) П (BD) = О (рис. 2). Заметив, что треуголь¬
ники АОВ и COD подобны, обозначим |Л0| через х см и составим
уравнение
х 	d — X
б"~ 4 ’
3
которое при любых значениях d имеет решение х = — d. Однако
5
задача имеет решение лишь при определенных ограничениях, на¬
лагаемых на параметр d. Чтобы показать это, проведем высоту СН
трапеции. Тогда |ВН\ — 1 см, |АН\ = 5 см. Трапеция ABCD
существует (ее можно построить) тогда и только тогда, когда |ЛС| >
> I АН\, т. е. при d > 5. Следовательно, если | Л С |	5 см, то за¬
дача решения не имеет.
з
Таким образом, формула х —— d при одних значениях d дает
5
верный ответ, а при других — неверный, и-если не указать усло¬
вия d > 5, то ею нельзя пользоваться.
Для отыскания множеств допустимых значений параметров су¬
ществуют различные приемы. Обычно исследуется возможность по¬
строения фигуры по данным в условии задачи элементам или исполь¬
зуются неравенства, которым по смыслу задачи должны удовлетво¬
рять неизвестные. В частности, при решении приведенной задачи
можно рассуждать и так: из треугольника АОВ следует, что х >
з
> 3; используя формулу х = — d, получаем d > 5.
5
Задачи по планиметрии (1—15)
1.	Длины сторон треугольника равны а, &, с. Найдите длины
отрезков, на которые точки касания вписанной в треугольник
окружности делят его стороны.
6

2.	Треугольник АВС разделен отрезком СМ на два треуголь¬
ника АСМ и ВСМ так, что окружности, вписанные в эти треуголь¬
ники, касаются между собой. Выразите длину отрезка AM через
длины сторон треугольника АВС.
3.	Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной
стороне, рассекают противоположную сторону на три конгруэнт¬
ных отрезка. Вычислите стороны параллелограмма, если его пери¬
метр равен 40 см.
4.	Найдите величину острого угла равнобочной трапеции, если
диагональ делит ее на два равнобедренных треугольника.
5.	Найдите углы треугольника, если известно, что центры окруж¬
ностей, вписанной в треугольник и описанной около него, симметрич¬
ны относительно одной из сторон.
6.	Внутри окружности, радиус которой равен 5 см, дана точ¬
ка М на расстоянии 3 см от центра. Через точку М проведена хор¬
да АВ. Найдите | ВМ (, если | AM | = р см. Вычислите | ВМ | при
а) р = 4, б) р = 10.
7.	В треугольник с основанием с и высотой h вписан прямо¬
угольник периметра 2р так, что две его вершины принадлежат
основанию, а две другие — боковым сторонам треугольника. Вы¬
числите стороны прямоугольника, если а) с = А, б) с < h.
8.	Найдите катеты прямоугольного треугольника, если сумма
их равна s, а гипотенуза равна 5 см. Какие значения может при¬
нимать s?
9.	Даны окружность радиуса 10 см и внутри нее точка Р на
расстоянии 8 см от центра. Через точку Р проведена хорда АВ.
Вычислите |ЛР|, если | АВ\ = а см. При каких значениях а зада¬
ча разрешима?
10.	В полуокружность, диаметр которой равен 2, вписаны две
окружности, касающиеся между собой. Диаметр одной из них
равен 1. Найдите диаметр второй окружности.
11.	К двум внешне касающимся окружностям радиусов R и г
проведена общая внешняя касательная. Найдите радиус окруж¬
ности, касающейся данных окружностей и касательной.
12.	Дан квадрат ABCD. Дуги BD и АС окружностей с центра¬
ми А и В пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности,
вписанной в криволинейный треугольник ВСМ, если |ЛВ| = а.
13.	В треугольник, периметр которого равен 18 см, вписана
окружность, к которой проведена касательная параллельно осно¬
ванию треугольника. Отрезок касательной, заключенный внутри
треугольника, равен 2 см. Вычислите основание треугольника.
14.	Около данного квадрата описана окружность и в один из
полученных сегментов вписан квадрат. Вычислите сторону вписан¬
ного квадрата, если сторона данного квадрата равна а.
15.	Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В
каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат. Най¬
дите разность длин сторон этих квадратов.
7

Задачи по стереометрии (16—23)
16.	Докажите, что правильную треугольную пирамиду со сто¬
роной основания а и боковым ребром b можно пересечь плоскостью
так, чтобы в сечении получился квадрат. Вычислите сторону квад¬
рата.
17.	Куб с ребром а срезан по углам так, что от каждой грани
остался правильный восьмиугольник. Найдите объем получен¬
ного многогранника.
18.	Три одинаковых ціара радиуса R касаются друг друга и
некоторой плоскости. Четвертый шар касается трех первых и той
же плоскости. Найдите радиус четвертого шара.
19.	Три шара имеют радиусы 6а, четвертый шар — радиус а.
Найдите радиус пятого шара, если известно, что каждый из пяти
шаров касается внешним образом четырех остальных.
20.	В конус вписан шар, объем которого относится к объему
конуса, как 4 : 9. Найдите высоту конуса, если радиус шара ра¬
вен г.
21.	Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в шар,
составляет — площади поверхности шара. Найдите отношение вы-
fl
соты цилиндра к радиусу его основания, если а) п = 2, б) п = 2,5.
22.	-В шар радиуса R вписана правильная треугольная пира¬
мида, сторона основания которой конгруэнтна высоте. Вычислите
высоту пирамиды.
23.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар,
радиус которого равен г. Найдите высоту Н пирамиды, если ее
объем равен V. Вычислите Я при г = 1 ми V = 12 м3.
Какое наименьшее значение может иметь объем V пирамиды
при г — 1 м?
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТОЖДЕСТВА
И НЕРАВЕНСТВА
При решении задач на доказательство, включенных в этот пара¬
граф, находят применение тождества и неравенства, известные из
школьного курса алгебры. Некоторые задачи могут быть решены
способом составления уравнений.
Пример. Через точку, принадлежащую стороне треуголь¬
ника, проведены прямые, соответственно параллельные двум дру¬
гим сторонам. Эти прямые отсекают от данного треугольника два
треугольника, площади которых равны Si и S2- Найти площадь S
данного треугольника. Доказать, что
s1 + s2>js.
8

Решение. Треугольники BML и
CMN, о которых говорится в условии за¬
дачи, подобны данному треугольнику АВС
(рис. 3). Для того чтобы найти зависи¬
мость между площадями Slt S2 и S, вве¬
дем вспомогательные неизвестные. Обоз¬
начим |ВЛ4| = X, I С7И| = у. Тогда
К$1 _ X Vs2 _ у
/S х + у’ /5“ х + у'
Рис. 3
Из этой системы вспомогательные неизвестные х и у легко исклю¬
чить. Складывая уравнения почленно, получаем:
или
S= (rsï + ZsT)2-
______	£ I
На основании неравенства	- имеем:
S = Si + S2 + 2 KSiS2 < 2 (Si + S2),
откуда
s1+s2>ls.
В решении задачи мы использовали известное соотношение меж¬
ду средним арифметическим и средним геометрическим двух поло-
жительных чисел: у ао . Помимо этих средних представля¬
ют интерес еще,два часто встречающиеся средние: среднее квадра-
тичное Æ2—	1,2 и среднее гармоническое Н2 —	2	=
а b
соотношения
=	. Если обозначить А2 = и G2 = /ab,
а + Ь	2
между средними двух положительных чисел а и b
в виде цепочки неравенств:
то
можно записать
Я2 б2 Д2 /<2,
причем знак равенства везде имеет место тогда и только тогда,
когда а = Ь.
Алгебраическое доказательство этих неравенств получить не¬
трудно, и мы приводить его не будем. Рассмотрим красивое гео¬
метрическое доказательство.
Отложим на прямой последовательно отрезки АС и СВ такие,
что I АС| = а, I СВ| = b (рис. 4). Для определенности будем счи¬
тать, что а < Ь. На отрезке АВ как на диаметре построим полу-
9

Рис. 4
окружность с центром О. Проведем пер¬
пендикуляры CD и OF к прямой АВ до
встречи с полуокружностью в точках D и
F. Из точки С проведем перпендикуляр
СЕ к прямой OD. Тогда
1)	|CD| = V~âb\
2)	IOD| - |OF| = 10B\ =
3)	из треугольника CDO : | DE | =
4)	I CO |=	— a =	; из треугольника CFO:
2	2
icfi=
Так как |DE| < |CD\< | OD\< |CF|, то
< — < 1ÆEI2.
а+Ь	2 г 2
Если а = b, то отрезки DE, CD, OD и CF совместятся с отрез¬
ком OF, и, следовательно, все средние будут равны.-
Задачи по планиметрии (24—47)
24.	Дан выпуклый четырехугольник ABCD, | АВ\ = а, |ВС| =
= b, I CD I = с и |D41 = d. Окружности, вписанные в треуголь¬
ники АВС и ACD, касаются диагонали АС соответственно в точ¬
ках М и N. Докажите, что
|Л42Ѵ|= 1(а + с —6-4).
Какие следствия можно вывести из этой формулы?
25.	В треугольник АВС вписана окружность и построена ок¬
ружность, касающаяся стороны АВ и продолжений двух других
сторон. Прямая ВС касается этих окружностей в точках К и L.
Докажите, что
IKLI = |ЛВ|.
26.	Стороны треугольника образуют арифметическую прогрес¬
сию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник,
равен у высоты, проведенной к средней по величине стороне тре¬
угольника.
27.	Докажите, что все прямоугольные треугольники, длины
сторон которых образуют арифметическую прогрессию, подобны.
28.	Докажите, что все треугольники, длины сторон и полупери¬
метр которых образуют арифметическую прогрессию, подобны.
ю

29.	Длины сторон остроугольного треугольника — последо¬
вательные целые числа. Докажите, что высота, проведенная к сред¬
ней по величине стороне, делит ее на отрезки, разность которых
равна 4.
30.	Докажите, что основание высоты прямоугольного треуголь¬
ника делит его гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадра¬
там катетов.
31.	Докажите, что площадь прямоугольного треугольника
равна произведению длин отрезков, на которые его гипотенуза де¬
лится точкой касания вписанной окружности.
32.	Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описан¬
ной около окружности, равна произведению длин ее оснований.
33.	Дана трапеция ABCD, основания которой равны а и Ь.
На боковых сторонах AD и ВС взяты соответственно точки Е и F
I АЕI	I BE I	т т т » I г? г I
такие, что J1 = 		1 = —. Найдите \EF .
\ED\	\FC\	п
34.	Через точку пересечения диагоналей трапеции ABCD про¬
ведена прямая параллельно ее основаниям, пересекающая боковые
стороны AD и ВС соответственно в точках М и N. Найдите
и IЛ4ЛП, если IЛВ| = а и \CD\ = b.
35.	Около окружности описана равнобочная трапеция, основа¬
ния которой равны а и Ь. Найдите длину боковой стороны и длины
отрезков, соединяющих точки касания противоположных сторон.
Пользуясь чертежом, докажите, что
2я0 . т ?—г а + b
		< |/ ab < ——.
а + Ь	2
36.	Квадрат и правильный шестиугольник имеют равные пе¬
риметры. Сравните их площади.
37.	Дан четырехугольник ABCD. Докажите, что если перимет¬
ры треугольников ЛВС, ЛВ£>, ACD и BCD равны, то ABCD —
прямоугольник.
38.	Докажите, что сумма расстояний от любой точки, располо¬
женной внутри треугольника, до его вершин заключена между
его полупериметром и периметром.
39.	В плоскости выпуклого четырехугольника найдите точку,
сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая.
40.	а) Докажите, что сумма расстояний от любой точки, распо¬
ложенной внутри равностороннего треугольника, до трех его сто¬
рон есть величина постоянная.
б) Докажите, что сумма расстояний от любой точки М, распо¬
ложенной внутри неравностороннего треугольника ЛВС, до пря¬
мых Л В, ВС и С А заключена между наименьшей и наибольшей
высотами.
41.	В данный треугольник вписан квадрат так, что две его вер¬
шины принадлежат основанию треугольника, а две другие — боко¬
вым сторонам. Вычислите сторону квадрата, если основание и вы¬
11

сота треугольника равны соответственно с и h. Докажите, что пло¬
щадь квадрата не больше половины площади треугольника.
42.	Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь, гипо¬
тенуза равна с. Докажите, что
с < а + & с 1^2.
43.	Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Основа¬
ния ее равны а и Ь, площадь равна S. Докажите, что
.S <”’ + <.
2
44.	Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника.
Площади двух треугольников, примыкающих к основаниям, рав¬
ны Sj и Sa. Найдите площадь S трапеции и докажите, что
$!+$„> 1S.
45.	Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три
прямые, соответственно параллельные его сторонам. Эти прямые
образуют со сторонами треугольника три треугольника, площади
которых равны Slt S2, S3. Найдите площадь S данного треуголь¬
ника. Докажите, что
5Х + 52 + 53 S.
о
46.	В треугольник вписана окружность радиуса г. Параллельно
сторонам треугольника к окружности проведены касательные, и в
образовавшиеся малые треугольники вписаны окружности радиу¬
сов rlt г2, г3. Докажите, что
Гі + г2 + г3 = г.
47.	Касательные к вписанной в треугольник окружности, парал¬
лельные его сторонам, отсекают от него три треугольника, пло¬
щади которых S1( S2, S3. Докажите, что
+ Sa+ S3 — S.
О
Задачи по стереометрии (48—54)
48.	Докажите, что отрезки, соединяющие середину высоты пра¬
вильного тетраэдра с вершинами его основания, попарно перпенди¬
кулярны.
49.	Докажите, что сечение плоскостью прямого трехгранного
угла может быть любым остроугольным треугольником.
50.	Докажите, что если все грани тетраэдра имеют равные пери¬
метры, то длины противоположных ребер равны.
51.	а) Докажите, что сумма расстояний от любой точки, рас¬
положенной внутри равногранного тетраэдра, до плоскостей его
граней есть величина постоянная.
12

б) Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой
внутри произвольного тетраэдра, до’ плоскостей его граней заклю¬
чена между наименьшей и наибольшей высотами.
52.	Дан тетраэдр.ABCD с прямыми плоскими углами при вер¬
шине D. Площади граней BCD, ACD и ABD равны соответствен¬
но Slt S2 и S8. Найдите объем тетраэдра.
53.	Площади оснований произвольной усеченной пирамиды
равны Sx и S2. Вычислите площадь S ее среднего сечения. Докажи¬
те, что
S>1(SX+S2).
54.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что четыре его вершины принадлежат боковым ребрам пирамиды,
а остальные четыре — плоскости ее основания. Докажите, что
1	9
где Ѵх — объем куба, V — объем пирамиды. При каком условии
имеет место равенство?	z
§ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ТОЖДЕСТВА И УРАВНЕНИЯ
Тригонометрические функции находят применение при реше¬
нии самых разнообразных задач. В настоящий параграф включены
задачи на доказательство и на вычисление. Среди них есть задачи,
приводящие к тригонометрическим уравнениям, а также задачи,
решаемые путем введения вспомогательных неизвестных. При ре¬
шении задачи аналитическим методом не требуется остроумных
вспомогательных построений, задача сводится к применению фор¬
мул, решению уравнений, доказательству тождеств.
Пример. Около окружности радиуса г описан правильный
двенадцатиугольник ЛХЛ2 ... Л12. Доказать, что
|ЛХЛ2| + I ЛХЛ4| = 2г.
Решение. Заметим, что если АВ — хорда ойружности,
R — радиус окружности и а — величина центрального угла АОВ,
то
I АВ I = 2/? sin у.
Пользуясь этой формулой, получаем:
I ЛХЛ2| = 2R sin 15°, IЛХЛ4| = 2R sin 45°, 2г = |ЛхЛв| =2R sin 75°,
и задача сводится к доказательству тождества
sin 15° + sin 45° = sin 75°.
13

Аі	Существуют и геометрические способы
решения этой задачи. Одно из них со-
X/xS	стоит в следующем.
Аз// X. у' Проведем диагональ А2Ав и обозначим
V/ /	у через В точку пересечения ее с диагона-
/ X. га лью ЛА (Рис. 5). Треугольники ЛіЛ25 и
/ Хи/ АвА9В будут равносторонними. Следова-
Лрк /	тельно, диагональ А^ делится точкой
на Два отрезка: ЛХВ и В А., соответствен-
/7	но конгруэнтных отрезкам AtA2 и ЛА-
рис 5	А так как | Л±Лв | = 2г, то доказываемое
равенство справедливо.
Таким образом, удачное вспомогательное построение приводит
к изящному и краткому решению задачи. Следует, однако, заме¬
тить, что лишь немногие задачи настоящего параграфа могут быть
решены геометрическим способом.
Задачи по планиметрии (55—77)
. 55. Внутри острого угла дана точка, расстояния от которой до
сторон и вершины угла пропорциональны числам 2, 11,-14. Най¬
дите величину угла (не пользуясь таблицами). .
56.	Радиус окружности, вписацной в треугольник АВС, ра¬
вен 1, а расстояния от центра до вершин Л и В равны соответствен¬
но |/5 и ]/10. Вычислите угод С треугольника (не пользуясь таб¬
лицами).
57.	Дан квадрат ABCD. На сторонах ВС и CD взяты точки
7И и 77 такие, что | ВМ1 = — |ЛД| и |Z)M| =— |ЛД|. Докажите,
2	3
что MAN = 45°.
58.	Найдите площадь равнобочной трапеции, если диагональ
ее равна d, а угол между диагональю и основанием равен а.
59.	Выразите площадь прямоугольного .треугольника через
его высоту h, проведенную к гипотенузе, и острый угол а.
60.	Диаметры АВ и CD окружности перпендикулярны. Хорда
АЕ пересекает диаметр CD в точке К такой, что | СК\ : | 7CD| =
= 2:1. В каком отношении хорда СЕ делит диаметр АВ?
61.	В окружность вписан квадрат ABCD. Хорда АЕ проходит
через середину М его стороны CD. В каком отношении хорда BE
делит сторону CD?
62.	В точках С и D окружности проведены к ней две касатель¬
ные. Докажите, что расстояние от любой точки М окружности до
прямой CD есть среднее пропорциональное между расстояниями от
этой точки до касательных.
63.	Внутри угла АОВ дана точка М, расстояния от которой до
сторон угла равны а и Ь. Вычислите ЛОЛІ и ВОМ, если АОВ =
= 60°.
14

64.	В прямоугольный треугольник вписана окружность. Най¬
дите острые углы треугольника, если гипотенуза делится точкой
касания окружности в отношении 2:3.
65.	Основание Н высоты СИ треугольника АВС делит сторону
АВ в отношении 3:1. Угол АСН вдвое больше угла ВСН. Най¬
дите углы треугольника АВС.
66.	Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если
его гипотенуза равна 12 см, а площадь равна 18 см2.
67.	В квадрат вписан другой квадрат. Вычислите меньший угол
между сторонами квадратов, если площади их относятся, как 2 : 3.
68.	Окружность, построенная на высоте CD прямоугольного
треугольника АВС как на диаметре, пересекает его катеты АС и
ВС соответственно в точках М и N. Площадь треугольника CMN
составляет у площади данного треугольника. Найдите острые
углы треугольника АВС.
69.	Найдите острый угол ромба, сторона которого есть среднее
пропорциональное между его диагоналями.
70.	Вычислите угол при основании равнобедренного треуголь¬
ника, если известно, что его ортоцентр лежит на окружности, впи¬
санной в треугольник.
71.	Найдите катеты прямоугольного треугольника, зная гипо¬
тенузу с и биссектрису I острого угла.
72.	Дана трапеция ABCD с основанием АВ. Известно, что
I AD I = I BD I = |CD| и |СО| есть среднее пропорциональное меж¬
ду I АВ I и I ВС|. Найдите углы А и В трапеции.
73.	В круговой сектор OPQ, центральный угол которого мень¬
ше 180°, вписан квадрат ABCD. Вершины А и В принадлежат ду¬
ге сектора, а вершины С и D — его радиусам. Найдите POQ, если
точки А и В делят дугу PQ на три конгруэнтные части.
74.	Правильный пятиугольник вписан в окружность радиуса R.
Середины К, L, М трех его последовательных сторон соединены
отрезками, и в полученный треугольник, вписана окружность с
центром Докажите, что точка Ot и центр О данной окружности
симметричны относительно прямой КМ. Вычислите расстояние
между этими точками.
75. В окружность радиуса R вписан правильный десятиуголь¬
ник А]А2 ... Д1о. Докажите, что
ІД1Д4І ■— IAjA21 = R.
76.	В окружность с центром О вписан правильный десятиуголь¬
ник АгА2 ... Д1о. Докажите, что отрезки OAlt Лр42 и могут
служить сторонами прямоугольного треугольника.
77.	Докажите, что если А, В, С, D — последовательные вер¬
шины правильного семиугольника, то
|ЛВ1 I AC I |ЛР|

Задачи по стереометрии (78—SO)
78.	Наклонная образует с плоскостью угол а. Через основа¬
ние наклонной проведена в данной плоскости прямая I под углом
Р к проекции наклонной на плоскость. Найдите угол <р между на¬
клонной и прямой I.
79.	Из точки А, расположенной вне плоскости, проведены к
ней перпендикуляр АО и наклонные АВ и АС.
а)	Пусть ВСО = 90°, АСО — <р, ВАС = а, ВОС = р. Найдите
зависимость между углами а, р и <р.
б)	Докажите, что если в треугольнике ОВС больший из углов
В и С не превышает 90°, то В А С < ВОС.
80.	Из точки А, расположенной вне плоскости, проведены к
ней две взаимно перпендикулярные наклонные АВ и АС, образую¬
щие с плоскостью углы 15° и 75°. Найдите углы В а С треуголь¬
ника АВС.
81.	Диагональ OD прямоугольного параллелепипеда образует
с ребрами ОА, ОВ, ОС углы а, р, у. Найдите у, если а = 45° и
р = 60°.
82.	Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 2 м,
а площадь боковой поверхности равна 4 м2. Найдите угол наклона
диагонали к плоскости основания призмы.
83.	Диагональ правильной четырехугольной призмы составля¬
ет с основанием угол а и с боковой гранью угол р. Найдите зависи¬
мость между этими углами. Вычислите аир, если а + р = 75°.
84.	Боковое ребро правильной треугольной пирамиды составля¬
ет с плоскостью основания угол а, двугранный угол между боковой
гранью и плоскостью основания равен Р, угол между смежными
боковыми ребрами равен у. Докажите, что a) tg 0 = 2 tg а;
б) sin — = cos а.
2	2
85.	Основанием пирамиды служит квадрат. Найдите величины
двугранных углов при основании, если они пропорциональны чис¬
лам 1, 2, 4 и 2.
86.	Вычислите длину бокового ребра правильной шестиуголь¬
ной пирамиды со стороной основания а, если угол между смежными
боковыми ребрами равен углу наклона бокового ребра к плоскости
основания.
87.	Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды,
если боковое ребро равно b и двугранный угол между двумя смеж¬
ными боковыми • гранями равен <р.
88.	Через сторону основания правильной треугольной пирами¬
ды проведена плоскость перпендикулярно противоположному ребру.
Вычислите угол, образованный этой плоскостью с плоскостью осно¬
вания, если объем отсеченной пирамиды, имеющей с данной общее
основание, относится к объему другой отсеченной пирамиды, как
3 : 5.
16

89.	Найдите двугранный угол при основании правильной
четырехугольной пирамиды, если плоскость, проходящая через
сторону основания, делит этот угол и площадь боковой поверхно¬
сти пирамиды пополам.
90.	Окружность, по которой шар, вписанный в конус, касает¬
ся его поверхности, делит площадь боковой поверхности конуса в
отношении Г: 3 (два случая). Найдите угол наклона образующей
к плоскости основания конуса.
§ 4. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
СМЕШАННОГО ВИДА
Геометрические задачи на вычисление углов иногда приводят к
уравнениям более сложного вида, чем тригонометрические уравне¬
ния. Например, одна из частей уравнения может быть линейной
функцией неизвестного угла, а другая — тригонометрической функ¬
цией того же угла. Уравнения такого рода могут быть решены при¬
ближенно графическим методом и методом проб. Иногда целесо¬
образно пользоваться обоими методами.
Пример. Найти центральный угол сектора О АВ, хорда АВ
которого делит площадь сектора пополам.
Решение. Пусть х — величина центрального угла сектора
в радианной мере (рис. 6). Тогда площадь сектора равна у/?2х, а
площадь треугольника АОВ равна у/?2 sin х, где R = |ОЛ |. Соглас¬
но условию задачи
R2 sin X = — R2 X, 0 < X < л,
2
откуда
sin X = — X.
2
Полученное уравнение можно решить графически. Построим
синусоиду у = sin х и прямую у = уХ (рис. 7). В промежутке
10, л] найдем абсциссу точки пересечения графиков. Аккуратно
17

выполненный чертеж позволяет получить для искомого угла значе¬
ние, приблизительно равное 1,8 рад.
Для получения более точного значения можно воспользоваться
методом проб. Заполним графы следующей таблицы:
X
1
Iх
sin я
1,6
1,7
1,8
1,9
0,80
0,85
0,90
0,95
ѴѴѴЛ
0,992
0,974
0,946
1,8 <х< 1,9
1,88
1,89
1,90
0,945
0,950
ѵл
0,9495
0,9463
1,89 <х< 1,90
Из таблицы видно, что —х < sin х при х = 1,8. Это означает,
2
что при этом значении х точка синусоиды лежит выше точки пря-
мой. Если же х = 1,9, то ух > sin х, и точка синусоиды нахо¬
дится ниже точки прямой. Следовательно, пересечение синусоиды
и прямой происходит в точке между 1,8 и 1,9. Делим этот интервал
на десять равных частей и заполняем вторую часть таблицы. Ясно,
что числа нужны лишь для того, чтобы определить знак неравенства
между ними. Поэтому графы заполняются не подряд, а начиная
приблизительно с середины, т. е. с 1,86 или 1,87.
Итак, мы установили, что искомый корень уравнения заключен
между 1,89 и 1,90 рад. При наличии подходящих таблиц синусов
числового аргумента вычисления можно продолжить до получе¬
ния желаемой точности.
Обратим внимание на то, что при решении данной задачи ради¬
анная мера угла предпочтительнее градусной. Действительно, если
пользоваться градусной мерой, то получим уравнение
sin а , где 0° < а < 180°,
360
и вычисления будут более громоздкими.
91.	Какой угол составляет диаметр АВ с хордой АС окружно¬
сти, если эта хорда и дуга ВС имеют одинаковую длину?
92.	Радиус окружности равен 100 м. Найдите длину хорды АВ
окружности, если известно, что она в четыре раза меньше длины
дуги АВ.
93.	Вычислите площадь сектора ОАВ, если его радиус равен
2 м, а площадь сегмента, ограниченного хордой АВ, равна 4 ма.
18

91. Из точки А окружности проведены хорды АВ и АС, деля¬
щие круг на три равновеликие части. Вычислите угол ВАС.
95. Данный круг разделите прямой на два сегмента так, чтобы
площади их относились, как 1 : 3.
98.	Докажите, что при 0 < х < имеет место неравенство
sin X < X < tg X.
97.	Прямая касается окружности в конце В ее диаметра АВ.
Секущая, проходящая через точку А, пересекает окружность и
касательную соответственно в точках С и D. Докажите, что длина
дуги ВС меньше длины отрезка BD.
98.	Дан прямоугольный треугольник АВС. Дуга радиуса АС
с центром А пересекает гипотенузу АВ в точке D. При каких зна¬
чениях угла А длина дуги CD больше длины отрезка BD7
99.	Докажите, что если С — длина окружности, а Р и р —
периметры правильных n-угольников, соответственно описанного
около окружности и вписанного в ту же окружность, то
1(Р + р)>С.-
§ 5. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
Алгебра и тригонометрия находят применение не только при
решении задач на вычисление и на доказательство, но и при реше¬
нии задач на построение.
Задачи, включенные в настоящий параграф, целесообразно ре¬
шать средствами алгебры и тригонометрии. При этом предполага¬
ется использование чертежных инструментов, принятых в школь¬
ной практике.
Для успешного решения задач на построение алгебраическим
методом надо уметь строить отрезки по формулам, выражающим
их длины через длины данных отрезков. Из школьного курса гео¬
метрии известно построение отрезков, заданных простейшими фор¬
мулами:
х = a-\-b‘, X — —', X — ]/~аЬ; х = J^a2-^ b2
с
и некоторые другие. В более сложных случаях построение отрез¬
ков сводится к этим известным построениям.
Рассмотрим некоторые особенности алгебраического метода.
Пример. В данную окружность вписать прямоугольник,
равновеликий данному квадрату.
Приведем подробное решение этой задачи.
Анализ. Пусть в окружность вписан прямоугольник ABCD,
равновеликий квадрату со стороной а (рис. 8). Диагональ АС
19

откуда
прямоугольника можно построить: она яв¬
ляется диаметром окружности; треугольни¬
ки АВС и ACD конгруэнтны. Задача будет
решена, если удастся построить точку В,
а для этого достаточно найти высоту ВН
треугольника АВС.
Обозначим IАС| — d и | ВН\ = х. Выра¬
зим площадь прямоугольника ABCD через
d и X. Приравняв ее площади данного квад¬
рата, получим уравнение
dx = а2,
Исследование. Задача имеет решение тогда и только
тогда, когда х а это равносильно условию d а )/2 (диаметр
окружности не меньше диагонали данного квадрата).
Построение. Вначале построим отрезок ВН, пользуясь
полученной формулой х =—. Для этого проведем диаметр АС
d
данной окружности и на окружности построим точку М так, что¬
бы I AM I = а (рис. 8). Затем проведем перпендикуляр ME к диа¬
метру АС. Тогда получим: | АЕ\ = х = —. После чего остается на
d
расстоянии X от прямой АС провести параллельную ей прямую,
которая пересечет окружность в точке В, и построить точку D,
симметричную В относительно центра окружности.
Доказательство. Так как АС и BD — диаметры ок¬
ружности, то ABCD — прямоугольник. Площадь S прямоуголь¬
ника равна площади квадрата со стороной а. Действительно,
S = ІЛС|• |В//| = d • — = а2.
d
Легко убедиться в том, что если за неизвестное х принять дли¬
ну стороны прямоугольника, то формула, выражающая х через
длины данных отрезков, окажется громоздкой, и для решения за¬
дачи придется выполнить более сложные построения. Таким обра¬
зом, выбор неизвестных при решении задачи алгебраическим метог
дом имеет существенное значение.
Иногда за неизвестное целесообразно принять угол. Для нахо-.
ждения его составляется тригонометрическое уравнение. Выразив
какую-нибудь тригонометрическую функцию искомого угла через
данные элементы, можно построить этот угол, а затем и фигуру.
20

100.	Постройте отрезки, длины которых выражаются через
длины данных отрезков формулами:
а)	х — а У~3- г) х = У^а2-)- fe2-f- с2;
б)	х=“_ЕІ;	д)х = ^°-;
2	а + b
в)	X = Vа2— Ьс\ е) х = ■■■ а‘
/а2+ й2
101.	На стороне ВС квадрата ABCD постройте точку М так,
чтобы IЛ7И I = |Л4С| 4- |CD|.
102.	Постройте квадрат, равновеликий данному прямоуголь¬
нику.
103.	Дан круг с центром О. Постройте окружность с тем же
центром так, чтобы она разделила площадь данного круга попо¬
лам.
104.	Постройте круг, площадь которого равна площади кольца
между двумя данными концентрическими окружностями.
105.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и про¬
екции другого катета на гипотенузу.
106.	Постройте прямоугольный треугольник, зная сумму его
катетов и высоту, проведенную, из вершины прямого угла.
107.	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе с,
если известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, есть сред¬
нее пропорциональное катетов.
108.	Данный треугольник разделите на две равновеликие части
прямой, параллельной одной из его сторон.
. 109. Данный треугольник разделите на две равновеликие части
прямой, перпендикулярной большей его стороне.
ПО. В данный квадрат со стороной а впишите квадрат со сто¬
роной Ь.
111.	Через данную внутри окружности точку М проведите хор¬
ду А В так, чтобы отрезок AM был вдвое, больше отрезка ВМ. При
каком соотношении между радиусом R окружности и расстоянием d
от точки М до. центра окружности задача разрешима?
112.	На окружности с диаметром АВ постройте точку М, оди¬
наково удаленную от точки А и от касательной к окружности в
точке В.
113.	В данную окружность впишите равнобедренный .треуголь¬
ник, сумма основания и высоты которого равна удвоенной боковой
стороне.
114.	а) Выразите сторону правильного десятиугольника через
радиус описанной окружности.
б) В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
115.	а) Основания трапеции равны а и Ь. Вычислите длину
отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на две
равновеликие части.
21

б) Данную трапецию разделите на две равновеликие части пря¬
мой, параллельной ее основаниям.
116.	Данную трапецию разделите прямой на две подобные тра¬
пеции.
117.	Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе
угла между ними.
118.	Постройте треугольник по трем его высотам.
119.	Постройте окружность’ проходящую через две данные
точки и касающуюся данной прямой.
120.	Постройте острый угол х, если.
а)	stnx==ÿT:	B)smx = -;
б)	COSX=ÿ	г) tgx=
(а и b — длины данных отрезков).
121.	Дан отрезок MN и его внутренняя точка А. Постройте
прямоугольник ABCD так, чтобы сторона--АВ была вдвое больше
стороны AD, а прямые ВС и CD проходили соответственно через
точки N и М.
122.	Постройте параллелограмм по двум его высотам и пери¬
метру.
123.	Постройте равнобедренный треугольник, если известны
длина b боковой стороны и расстояние q от вершины угла при осно¬
вании до ортоцентра.	|
124.	Постройте равнобедренный треугольник по двум его не-
копгруэнтным высотам h и /гР
125.	Постройте равнобедренный треугольник, зная радиус г
вписанной окружности и высоту h, проведенную к боковой стороне.
126.	Постройте треугольник АВС, разность углов А и В кото-'
рого равна 90°, если даны сторона АВ и высота СН треугольника.
§ 6. ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ
НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ
ЗНАЧЕНИЙ
Задачи на максимум и минимум, помещенные в настоящем пара¬
графе, могут быть решены элементарными средствами, без исполь¬
зования производной. Одни из них сводятся к нахождению наи¬
большего или наименьшего значения квадратного трехчлена, дру¬
гие — к исследованию выражения, содержащего тригонометриче¬
ские функции.
Пример 1. Из всех цилиндров, вписанных в данный шар,
найти тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверх¬
ности.
22

Решение. Пусть А BCD — осевое сече-

ние цилиндра, вписанного в шар радиуса 7?	/ /X
(рис. 9). Обозначим через г и h соответственно /	/ \
радиус основания и высоту искомого ци- I /	\
линдра. Тогда площадь боковой поверхности I ,	/	]
цилиндра равна	\	/	/
S = 2nrh.	X /
д'-

Примем величину угла ВАС за независи¬
мую переменную-и обозначим ее через а. Вы- Рис. 9
разим S как функцию а. Из прямоугольного
треугольника АВС имеем:
h = 2R sin а, г = R cos а.
Следовательно,
S = 4л7?2 sin а cos а,
или
S = 2л/?2 sin 2а, где 0° < а < 90°.
Отсюда получаем:
Smat = 2л. R2 при а = 45°.
Осевое сечение цилиндра есть квадрат.
Для отыскания экстремальных значений функций часто удобно
пользоваться неравенствами. В частности, приведенную задачу
можно решить следующим образом.
Из прямоугольного треугольника АВС имеем:
4г2 + h2 = 4/?а,
т. е. сумма квадратов чисел 2г и h постоянна. Учитывая это, соглас¬
но неравенству между средним геометрическим и средним квадра¬
тичным двух положительных чисел, получаем:
S = 2nrh < (4f2.+ /t2)jt- = 2л*?2,
2
причем равенство имеет место только при h = 2г.
' Особое место среди неравенств занимает замечательное нера¬
венство между средним арифметическим и средним геометриче¬
ским положительных чисел. Справедлива следующая теорема:
Среднее арифметическое п положительных чисел не меньше их
среднего геометрического'.
п
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х1 =
= х2-... = х„.
В общем случае доказательство теоремы довольно громоздко.
Для п = 2 неравенство доказано в § 2. Приведем доказательство
для п = 3 (при решении задач, помещенных в сборнике, исполь¬
зуются только эти два случая).
23

Чтобы убедиться в справедливости неравенства
положим, а = х3, b = у8, с = z\ Тогда доказываемое неравенство
приводится к виду
х3 4- У3 4- z3 > 3xyz.
Многочлен я8 + у8 4- г3 — Зхуг разложим на множители сле¬
дующим образом:
X8 + у8 + г3 — Зхуг = (х 4- у)3 4* г3 — Зху (х 4- у 4- г) =
= (* 4- у 4- г) (х2 4- У2 4- г2 — ху — уг — гх).
Согласно условию х 4- У 4- г > 0. Из очевидного неравенства
(х _ уу 4- (у - г)2 4- (г - X)2 > О
следует, что
х2 4- У2 4- z2 — ху — уг — гх 0.
Поэтому
х3 4- у34- z3 — Зхуг 0.
Равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда х = у =
= г, что для исходного неравенства равносильно условию а = b =
= с.
Из теоремы о среднем арифметическом » среднем геометриче¬
ском вытекают следующие предложения:
Лрризведение нескольких положительных переменных сомножи¬
телей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при
равенстве сомножителей. '
Сумма нескольких положительных переменных слагаемых, про¬
изведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при ра¬
венстве слагаемых.
Пользуясь этими следствиями, можно получить экономные ре¬
шения ряда задач на максимум и минимум.
Пример 2. В данный шар вписать цилиндр наибольшего
объема.
Решение. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, на¬
ходим выражение объема цилиндра:
V = лг2Л.
Но так как h = 2 КЯ2 — т2, то
V = 2лг2 /У?2 — г2 = п V2г* (2Т?2 — 2г2),
где 0 < г < R.
Рассмотрим функцию
у = г4 (27?2 — 2г2),
принимающую одновременно с V свое наибольшее значение. По¬
скольку г2 4~ г2 4~ (2Т?2 — 2г2) = 2Т?2, то у есть произведение трех
24

сомножителей, сумма которых постоянна. Стало быть, наиболь¬
шее значение у достигается при га = 2/?а — 2га.
Таким образом,
- Жпр"fѴт
127.	Найдите наименьшее значение каждой из следующих функ¬
ций:
а)	у = аха + Ьх + с, где а > 0;
б)	у = |ха + рх + <7|.
128.	Найдите наибольшие и наименьшие значения функций:
а)	у = sin X sin (а — х);
б)	у = sin X + cos X.
129.	Докажите, что
a sin X + b cos X	Y с? + 62.
При каком условии имеет место равенство?
Задачи по планиметрии
(130-147)
130.	Даны прямая I и две точки Я и В, не принадлежащие I.
На прямой I постройте точку С, для которой |4С|а+ |ВС|а при¬
нимает наименьшее значение.
131.	Из всех треугольников с двумя данными сторонами найдите
тот, который имеет наибольшую площадь.
132.	Какое наименьшее значение может принимать радиус
окружности, описанной около треугольника АВС с двумя данными-
сторонами -I ДС| = b и | АВ\ = с?
133.	Даны окружность с центром О и точка А внутри нее. По¬
стройте на окружности точку М так, чтобы угол АМО был наиболь¬
шим.
134.	Какое наибольшее значение может принимать радиус ок¬
ружности, вписанной в четырехугольник ABCD, если |ЛВ| =
= I AD\ = а и I ВС| = I BD\ = В?
135.	Через точки А и В, лежащие по разные стороны от данной
прямой I, проведите окружность так, чтобы она отсекала от прямой
хорду наименьшей длины.
136.	Через точку, лежащую внутри данного угла, проведите
прямую так, чтобы сумма отрезков, отсекаемых этой прямой на
сторонах угла, была наименьшей.
137.	Какое наибольшее значение может принимать длина отрез¬
ка, отсекаемого боковыми сторонами треугольника на касательной
к вписанной окружности, проведенной параллельно основанию,
если периметр треугольника равен 2р?
25

138.	а) Найдите на гипотенузе данного прямоугольного тре¬
угольника точку, для которой расстояние между ее проекциями
на катеты наименьшей.
б) Дан треугольник АВС. Из точки М, принадлежащей пря¬
мой АВ, проведены перпендикуляры МР и MQ к прямым АС и
ВС. При каком условии отрезок PQ имеет наименьшую длину?
Докажите, что
где S — площадь треугольника ABC, R — радиус описанной около
него окружности.
139.	В данный полукруг впишите прямоугольник а) наиболь¬
шей площади, б) наибольшего периметра.
140.	Около данного прямоугольника опишите прямоугольник
наибольшей площади.
141.	На сторонах треугольника АВС вне его построены квад¬
раты ABEF, BCPQ и CAMN. Какую наибольшую площадь может
иметь шестиугольник EFMNPQ, если |ВС| = а, |СА| = Ь?
142.	В данную окружность впишите трапецию с данным острым
углом а, имеющую наибольшую площадь.
143.	Через центр правильного треугольника проведите прямую
так, чтобы сумма расстояний от вершин треугольника до этой пря¬
мой была наибольшей (наименьшей).
144.	Из точки С окружности проведен перпендикуляр СМ к
диаметру АВ. При каком положении точки С на окружности сумма
|АЛ4| + I CM I имеет наибольшее значение?
145.	Даны три точки: А, В, С, не принадлежащие одной пря¬
мой. Через точку А проведите прямую I так, чтобы сумма расстоя¬
ний до нее от точек В и С а) была данной, б) имела наибольшее
(наименьшее) значение.
146.	Через вершину А треугольника. А ВС проведите прямую I
так, чтобы произведение расстояний до нее от точек В и С было
наибольшим.
147.	В данный круговой сектор с острым центральным углом
впишите прямоугольник наибольшей площади.
Задачи по стереометрии
(148-158)
148.	Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной диаго¬
налью найдите тот, который имеет наибольшую площадь полной
поверхности.
149.	а) Какую наибольшую площадь боковой поверхности
может иметь правильная четырехугольная призма с данной диа¬
гональю d?
б) Из всех прямоугольных параллелепипедов с данной диаго¬
налью, найдите тот, который имеет наибольшую площадь боковой
поверхности.
26

150.	Длина одного бокового ребра четырехугольной пирамиды
равна X. Все остальные ребра конгруэнтны и имеют длину, равную 1.
Какое наибольшее значение может принимать объем этой пирамиды
и при каком значении х?
151.	а) Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, най¬
дите тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверх¬
ности.
б) В данный конус впишите цилиндр наибольшего объема.
152.	В правильную четырехугольную пирамиду впишите пря¬
моугольный параллелепипед наибольшего объема так, чтобы одна
грань параллелепипеда лежала в плоскости основания пирамиды,
а вершины противоположной грани принадлежали боковым
ребрам.
153.	а) В данный шар впишите правильную треугольную приз¬
му, имеющую наибольшую площадь боковой поверхности.
б) Вычислите высоту правильной треугольной призмы наиболь¬
шего объема, вписанной в данный шар радиуса R.
154.	а) В данный шар впишите конус наибольшего объема.
б) В шар вписан конус. Докажите, что объем конуса и объ¬
ем V шара удовлетворяют неравенству
Ѵі < - К
^27
155.	В шар радиуса R вписана правильная n-угольная пирами¬
да. Какова должна быть высота пирамиды, чтобы объем ее был наи¬
большим?	4
156.	Около данного шара описан конус. Докажите, что объем
Vt конуса и объем V шара удовлетворяют неравенству
Ѵі > 2Ѵ.
При каком угле наклона образующей к плоскости основания объем
конуса имеет наименьшее значение?
157.	В данный шар радиуса R впишите цилиндр с наибольшей
площадью полной поверхности. Какую наибольшую площадь пол¬
ной поверхности может иметь такой цилиндр?
158.	Дан конус, высота которого h и радиус основания г. Ка¬
кую наибольшую площадь может иметь сечение конуса плоскостью,
проходящей через его вершину?
§ 7. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
В этом параграфе для решения различных задач, касающихся
треугольника, используются теоремы синусов и косинусов, а так¬
же формулы, выражающие элементы треугольника через его сто¬
роны.
27

Пример 1. Доказать, что для любого треугольника АВС
справедливо неравенство
а . р . V 1
sin — sin — sin — < —.
2	2	2^8.
Решение. По теореме косинусов имеем:
"а2 — (Ь — с)2 + 2bc (1 —. cos а),
или
а2 = (Ь — с)2 + 4Ьс sin2 —.
Отсюда получаем:
•	. а а
Sin — <	7=.
2	^2р6с
Следовательно,
• а . В . V	а	b	с	1
Sin — Sin — Sin —	< 7=r	=	7=	= —,
2	2	2	,2/бс	2/ас	2/аб	8
причем равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда
а = b - с.
Экономные и красивые решения ряда задач , можно получить,
используя неравенства между «средними». Среднее арифметическое
Л3 = t среднее геометрическое G3 = у' хуг, среднее квадра-
3
тичное К3 = Уг +гі	и среднее гармоническое Н3 =
з
=		 положительных чисел х,у, z связаны между собой
- + - + -
X у г
соотношениями:
Яз < G3 < А3 /С3.
(Аналогичные неравенства справедливы для любых п положитель¬
ных чисел.)
Неравенство G3<^3 Доказано в предыдущем параграфе. При¬
менив его к числам —, —, —, получим неравенство Н3 < G3. Не-
X у. z
равенство А3 Кз равносильно неравенству
(х + у + г)2 < 3 (х2 + у2 + г2),
которое легко приводится к виду
(х — у)2 + (у — z)2 + (г — х)2 > 0.
В дальнейшем находят применение следующие следствия из
приведенных неравенств:
(х + у + z) (—I	1—)	9;
\х у г /
X2 + у2 + г2 > — (х + у + z)2 > ху + yz + zx.
3
28

Равенство во всех случаях достигается тогда и только тогда, ког¬
да X = у = Z.
Многие задачи настоящего параграфа могут быть решены раз¬
личными способами.
Пример 2. Доказать, что в любом треугольнике отношение
радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности
не превосходит у.
Первый способ. Требуется доказать, что ±R. Выразив г
и R через стороны и площадь треугольника, получим:
S < abc
7^25’
Затем, используя формулу Герона, приведем доказываемое неравен¬
ство к виду
(а + b — с) (Ь + с — а) (с + а — b) abc.
А последнее вытекает из легко проверяемого неравенства
Іа2 — (b — с)21 [&2 — (а — с)2) [с2 — (а — д)21	а2Ь2с2.
Второй способ. Воспользуемся формулой г = 4 R sin sin у sin -Ï-
и доказанным выше неравенством sin — sin — sin —	. По-
2	2	2	8
лучим:
— — 4 sin — sin — sin — < 4 • - — —
R	2	2	2 ^82
Третий способ. Известна формула, выражающая расстояние
между центрами вписанной и описанной окружностей треуголь¬
ника:
d = У R2 — 2Rr
(формула Эйлера). Отсюда немедленно вытекает неравенство
Я(/?-2г)>0,
поэтому R 2г.
159.	Докажите, что для всякого прямоугольного треугольника
имеют место соотношения1:
1)	ab = ch = 2рг,	' _
2)	S = р (р — с) = (р — а) (р — Ь);
3)	г — р — с;
4)	гс = р.
160.	Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Най¬
дите Іс.
1	Через a, b, h обозначены соответственно длины катетов ВС, АС и высоты
CD треугольника.
29

161.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а пло¬
щадь равна S. Найдите радиус вписанной окружности. При каком
условии задача разрешима?
162.	Докажите, что для всякого прямоугольного треугольника
имеют место неравенства:
h < (V2 + 1)г	= =
В каком случае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?
163.	Можно ли из прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого равна 24 см, вырезать круг радиуса 5 см?
164.	Из всех прямоугольных треугольников данной высоты h
найдите треугольник наименьшего периметра.
165.	Пользуясь теоремой синусов, докажите, что биссектриса
внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите
обратную теорему.
166.	Докажите, что элементы любого треугольника АВС выра¬
жаются через длины его сторон по формулам:
ha = —, где S = Кр(р —«) (Р — &) (р — с) ;
а
2	Ь2 + с2 а2
tîlj — —————
2	4
р_
4S ’ R
ab t
2ft?
S
P~a
167.	a) Докажите, что
la = be — тп,
где т и п — длины отрезков, на которые биссектриса угла А тре¬
угольника АВС делит сторону ВС,
б) Докажите, что
Іа = -^-/&Ф(Р —а).
b + с
168.	Из вершины А треугольника АВС проведена биссектриса
AD, Вычислите длины сторон треугольника, если | BD | = 3 см,
|С£>| = 4 см и Іа = 6 см.
169.	Докажите тождества:
2)	т2а + гпь + т2 = (а2 + Ь2 + с2);
30

3)	rarb + rbrc + rcra = p2;
4)	Га + rb + rc ~ r + 47?.
170.	Две стороны треугольника равны соответственно 5 см и
8 см, площадь его равна 12 см2. Найдите третью сторону.
171.	Найдите площадь треугольника АВС, если b = 11, с — 13
и пга = 10.
172.	Найдите площадь треугольника АВС, если ha = 3, hb =
= 4 и hc = 6.
173.	Зная длины а и b двух сторон треугольника и радиус г
вписанной в него окружности, найдите третью сторону (а = 3,
b = 4, г = 1).
174.	Докажите, что если а = Ь, то та = ть, и обратно.
Докажите, что большей стороне треугольника соответствует
меньшая медиана, и обратно.
175.	На стороне ВС треугольника АВС взята точка D такая,
что
I	Л£>|2 — Ьс — тп,
где tn — I CD I и п = I BD\. Докажите, что либо треугольник АВС
равнобедренный, либо (ЛІИ — биссектриса треугольника.
176.	Биссектрисы Л/С и BL треугольника АВС пересекаются в
, .,	| В/1 о 14/1 о и "
точке 1. Известно, что J—- = 2 и /—L = 3. Найдите отношение
|/L|	|/К|
длин сторон треугольника.
177.	Докажите, что если
а H- b — с 4* 2г,
то треугольник АВС прямоугольный.
178.	Докажите, что если
га + ГЬ = 2/?,
то треугольник прямоугольный.
179.	Найдите углы треугольника, если его площадь S выражает¬
ся через длины сторон au b формулой
S = l(a2 + è2).
180.	Докажите, что для любого треугольника справедливо не¬
равенство
3	<	+ б)2
8
При каком условии имеет место знак равенства?
181.	а) Докажите, что медиана треугольника мегіьше полусум¬
мы заключающих ее сторон.
б) Докажите, что
та + ть> |с.
А
31

в) Периметр треугольника АВС равен 2р. В каких границах
заключена сумма его медиан?
182.	Докажите, что для всякого треугольника справедливы не¬
равенства:
1)	ha + hb 4- hc 9r,
2)	ra + rb + rc^ p / 3;
3)	la < V P (p —a)
(знак равенства везде имеет место лишь в том случае, когда а —
= b = с).
183.	Докажите, что для всякого треугольника имеют место не¬
равенства:
■9г	+ hb + hc la -f- lb 4- lc р /З" га + гь 4-
4- тс = г .4* 47?.
В каком случае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?
184.	Из неравенств задачи 183 выведите неравенства, связываю¬
щие каждые два из следующих элементов треугольника: г, p, S
и R.
185.	Докажите, что из всех треугольников данного периметра
равносторонний имеет наибольшую площадь.
186.	Докажите, что для всякого треугольника имеет место со¬
отношение
ь
— — cos у
(формула Тихо де Браге).
187.	Сторона АВ равностороннего треугольника АВС разде¬
лена точками М и N на три конгруэнтные части. Вычислите углы
АСМ и MCN.
188.	Полуокружность, построенная на стороне АВ треугольни¬
ка АВС как на диаметре, пересекает стороны АС и ВС в точках М
и N. Известно, что —= — и J-^LL == -L. Вычислите углытре-
’ .	|Л4С|	3	|М?|,	2	3 к
угольника АВС.
189.	Докажите, что если котангенсы половин углов треуголь¬
ника — последовательные целые числа, то треугольник прямоуголь¬
ный.
190.	Найдите углы треугольника, если известно, что их танген¬
сы — последовательные целые числа.
191.	Докажите истинность следующих формул:
ha = 2R sin p sin y,
S = 2R2 sin a sin p sin у;
32

р = R (sin a + sin 0 + sin y) = 4 R cos — cos — cos —;
2	2	2
r = 4 R sin — sin — sin —;
2	2	2
л ъ . a	В	г
ra = 4 R sm — cos — cos
a	2	2	2
192.	Докажите, что
1	Zbc	a
=	cos —.
a	b+c	2
193.	Найдите величину угла при основании равнобедренного
треугольника, если радиус вписанной в него окружности относит¬
ся к радиусу описанной окружности, как 4 : 9.
194.	Вычислите углы треугольника АВС, если a — 0 = 60’
и hc = — R.
с 2
195.	Докажите, что
	 h-ghb
2 siny
196.	Найдите площадь треугольника АВС, если даны его углы
а, 0, у и периметр 2р.
197.	Докажите, что для всякого треугольника справедливы со¬
отношения:.
2) ctg| + ctg|-^.
198.	Вычислите углы В и С треугольника АВС, если a = 15° и
- = 2.
>1С
199.	Из вершины С треугольника АВС проведена медиана CD.
Найдите BDC, если Â'= a и 'В — 0. Вычислите BDQ при a = 15*
и 0 = 30°.
200.	В треугольнике АВС проведены медиана CD и высота СЕ.
Найдите площадь треугольника CDE, если А = а, В = 0 и
|С£| =h.
201.	Дан треугольник АВС, угол А которого в два раза боль¬
ше угла В. Вычислите сторону АВ и угол В треугольника, если
I ВС| = 7 см и I АС\ = 5 см.
202.	Биссектриса угла А треугольника АВС перпендикулярна
медиане, проведенной из вершины В. Докажите, что у 30°.
Вычислите 0 при у = 30°.
2 Заказ 32
33

203.	В треугольник АВС вписана окружность, которая касает¬
ся сторон АВ и АС соответственно в точках М и N. Найдите угол А
I	AM I	1	I AN I	1
треугольника, если 1		 = — и 1	L = —.
F J	I mb I	6.	|A7C|	7
204.	Докажите, что для любого треугольника имеют место со¬
отношения:
1)	а2 = Ь2 + с2 — 4S ctg а;
2)	а2 = (Ь- с)2 + 4S tg
3)	а2 —Jb + с)2 — 4S ctg у.
Пользуясь соотношениями 2) и 3), выведите формулу для вы¬
числения площади треугольника по трем его сторонам.
205.	Докажите, что для любого треугольника справедливо нера¬
венство
tg- <—.
2 2ha
206.	Найдите площадь треугольника АВС, зная угол А и отрез¬
ки, на которые точка касания вписанной окружности делит сто¬
рону ВС.
207.	Дан равносторонний треугольник АВС со стороной а. Че¬
рез точку Л4 стороны АВ параллельно сторонам АС и ВС треуголь¬
ника проведены прямые, пересекающие эти стороны соответствен¬
но в точках К. и L. Найдите площадь треугольника K.LNÏ, если
|K4l=d.
208.	На стороне АВ треугольника АВС построён равносторон¬
ний треугольник АВСг так, что вершины С и Сг расположены по
одну сторону от прямой АВ. Докажите, что
I CCJ2 = 1 (а2 + Ь2 + с2) — 2S/3.
209.	Докажите, что для всякого треугольника
ctg а + ctg р + ctg у =	/з.
210.	Докажите, что для углов любого треугольника имеют место
зависимости:
1)	cos et + cos P + cos y — 1 = 4 sin — sin — sin —	— ;
2	2.	2	2
2)	sin a + sin p 4- sin у = 4 cos cos — cos — < 3^3;
' n H-rr 2	2	2^2
3)	tg|+tg| + tg^>r3;
34

4)	tgf tgjtgi <lÿ.;
5)	sin 2a + sin 20 + sin 2y sin a 4- sin 0 + sin y,
6)	ctga + ctg0 + ctgy > tg + tg-j- + tg-ï-.
В каком случае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?	-
211.	Докажите истинность следующих соотношений:
1)	sin — 4- sin — + sin —	.
7	2	2	2 ^2
2)	cos — 4- cos — + cos — 3 K3.;
'	2	2	2	^2
3)	sin2 a 4- sin2 0 4- sin? у = 2 4- 2 cos a'cos 0 cos у
212.	Докажите, что для любого треугольника АВС имеют место
неравенства:
1)	-р2 < а3 4- Ь2 4- с3 < 9/?2;
2)	9г < та 4- ть 4* те < ^R.
■ 213. Стороны треугольника АВС связаны соотношением
а2 4* Ь2 = пс2, где п > 1.
Докажите, что
214.	Докажите, что если угол С треугольника АВС прямой или
тупой, то имеет место неравенство
а 4- b с 4" hg.
215.	Известно, что а — 10, b — 15. Докажите, что Іс < 12.
216.	Докажите, что если
217.	Докажите, что если имеет место равенство
aZe = Ыь,
то либо з = Ь, либо у = 60®.
218.	Докажите, что если
1)	г = ~ + г ’то V 120°;
hc a b
2)	— = — 4-1, то у > 120°.
тс a b
2*
36

219.	Основания высот ААх и BBt треугольника АВС соединены
отрезком ЛА- Докажите, что
MAI = c|cosy|.
Вычислите угол С треугольника АВС, если MAI = 7?.
220.	Докажите, что расстояние между основаниями перпенди¬
куляров, проведенных к двум сторонам треугольника из основания
высоты, проведенной к третьей стороне, не зависит от выбора вы¬
соты.
221.	Найдите зависимость между сторонами а, Ь, с треуголь¬
ника АВС, если |С7И| — |Л-В|, где М — центроид треугольника.
222.	Докажите, что если тс ~ R, то либо у = 90°, либо
3	tga tg р = — 1.
223.	Вычислите угол А и сторону ВС треугольника АВС, если
|ЛВ| “ 5. MCI = 3, МЛ = Л гДе — центр окружности, впи¬
санной в треугольник.
224.	Докажите, что окружности, каждая из которых проходит
через две вершины и ортоцентр треугольника, конгруэнтны между
собой.
225.	Около треугольника АВС описана окружность радиуса R.
Через вершины В и С треугольника и точку пересечения его бис¬
сектрис проведена окружность радиуса Rv Докажите, что
а)	7?х < 27?;
б)	если a = 60°, то 7?! = 7?, и обратно.
226.	Докажите, что сумма расстояний от центра окружности,
описанной около нетупоугольного треугольника, до его сторон
равна сумме радиусов вписанной и описанной окружностей.
227.	Докажите, что во всяком нетупоугольном треугольнике
hc < 7? + г < ha
(при условии, что a с).
228.	Докажите, что расстояния от центра I вписанной в тре¬
угольник АВС окружности до его вершин связаны соотношениями:
а)	I All |В/| |С/| = 47??;
б)	6г < МЛ.+ |В7| + |С/| < 47? — 2г.
229.	Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его
сторон соответственно в точках Л1( В± и Сх. Докажите, что периметр
треугольника АхВхСх не больше полупериметра треугольника
АВС,
230.	Докажите, что расстояния d2, d3 от центра вписанной
в треугольник окружности до центров вневписанных окружностей
удовлетворяют неравенству
“Ь ^2 4"	67?.
36

§ 8. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Предлагаемые здесь задачи по содержанию близки к задачам
предыдущего параграфа. Решения их можно получить средствами
алгебры и тригонометрии. В некоторых случаях полезно прибегать
к вспомогательным построениям.
Пример. Окола окружности описана трапеция, боковые
стороны которой при продолжении пересекаются под углом а.
Основания трапеции равны а и b (а > Ь). Найти радиус окружности.
Решение. Пусть ABCD — данная трапеция, |АВ| = а,
\CD[ = b (рис. 10). Обозначим черезѴ радиус вписанной окружно¬
сти.	'<
Решение задачи с использованием подобия треугольников АВМ
■ >
и ВСМ требует громоздких вычислений. Применим перенос CD.
При этом точка В отобразится на точку F, принадлежащую [ЛВ].
Из свойств параллельного переноса следует, что (DF) || (ВС) и
|Z)F| — |ВС|. Поскольку трапеция описана около окружности, то
I AD I + |DF| = I AD\ H- |ВС| = а + b.
Высота DH треугольника АВС равна диаметру 2г окружности.
Применим к треугольнику ADF формулу
|ЛГ|2 = (|ЛР| + |Z)F|)2 - 4S ctg
(см. задачу 204). Так. как |ЛF| — а — Ь, то S == (а — Ь)г. Сле¬
довательно,
(а ~—.Ь)2 = (а + Ь)2—4 (a — b)r ctg —. _ -
Отсюда
ab 1 . а
Г =	tg —
a —b & 2
. Можно показать, что задача имеет ре¬
шение лишь при условии, что
л -	• (X CL — Ь	> 1
0 < sin — < 		, где 0 < Ь< а.
2 а + Ь
Таким образом-, применение параллель¬
ного переноса позволяет упростить реше¬
ние этой задачи.
231.	Диагональ АС параллелограмма
A BCD образует со сторонами АВ и AD
соответственно углы 30° и 45*. Найдите от¬
ношение сторон параллелограмма.
37

232.	Отношение периметра параллелограмма ABCD к длине
его диагонали ДС равно 2р. Угол CAD вдвое больше угла ВАС.
Найдите отношение сторон параллелограмма.
233.	Диагональ разбивает трапецию на два подобных треуголь¬
ника. Угол между этой диагональю и основанием равен 30°, осно¬
вания трапеции равны 1 и 3. Вычислите боковые стороны и острые
углы трапеции.
234.	Найдите меньшее основание трапеции, если ее высота рав¬
на 12 см, боковые стороны равны 13 см и 15 см, а большее основание
равно 20 см.
235.	В окружность радиуса R вписана трапеция с основаниями
а и Ь. Вычислйте площадь трапеции, если 7? = 13 см, а = 24 см
и b = 10 см.
236.	Найдите площадь параллелограмма, если даны его сторо¬
ны а и & и острый угол а между диагоналями. Вычислите площадь
параллелограмма, если 1) а = 3, b = 1, а = 60°; 2) а = 5, b = 2,
а = 45°.
237.	В параллелограмме проведены биссектрисы четырех его
внутренних углов. Докажите, что отношение площади четырех¬
угольника, ограниченного биссектрисами, к площади данного па¬
раллелограмма не зависит от величины угла параллелограмма.
238.	а) На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М. Рас¬
стояния от точки М до вершин А и В равны соответственно 1 и Ѵ~2.
Вычислите угол АМВ и расстояние от точки М до вершины С.
б) Используя полученный результат, найдите точное значение
cos 15’ и sin 15°.
239.	Докажите, что диагонали четырехугольника перпендику¬
лярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противополож¬
ных сторон равны.
240.	Диагонали трапеции перпендикулярны, а боковые сторо¬
ны при их продолжении пересекаются под углом и. Найдите вы¬
соту h трапеции, если ее основания равны а и Ь. Вычислите h при
1) а = 6 см, b = 2 см, а = 45°; 2) а = 7 см, b = 3 см, а = 45°.
241.	Основания трапеции равны а и Ъ, боковые стороны ее при
продолжении пересекаются под прямым углом. Какую наибольшую
площадь может иметь такая трапеция?
242.	а) Выразите длины диагоналей вписанного в окружность
четырехугольника через длины его сторон.
б) Докажите, что произведение диагоналей четырехугольника,
вписанного в окружность, равно сумме произведений противополож¬
ных сторон (теорема Птолемея).
243.	Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в
окружность, может быть вычислена по формуле
S = V (р — а) (р — Ь) (р — с) (р — d).
244.	Докажите, что еслй диагонали вписанного четырехуголь¬
ника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сто¬
38

рон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окруж¬
ности.
245.	Одна из диагоналей вписанного в окружность четырех¬
угольника является диаметром. Докажите, что проекции двух
противоположных сторон четырехугольника на другую диагональ
конгруэнтны.
246.	Докажите, что расстояние между основаниями перпенди¬
куляров, проведенных из какой-либо вершины вписанного в окруж¬
ность четырехугольника к двум его сторонам, не зависит от выбора
вершины:
247.	Докажите, что расстояние между серединами диагоналей
четырехугольника А BCD выражается формулой
|ÆL|2 = 1 (а2 + ь2 + с2 + d2 — e2 — f2)
(теорема Эйлера).
248.	Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что
IАВ\ = 3, IВС| = 5, \CD\ = \DA\ = 7, \BD\ = 8. Вычислите
длину диагонали АС и площадь четырехугольника. Докажите, что.
около четырехугольника можно описать окружность.
249.	Известны три стороны и два угла, заключенные между дан¬
ными сторонами четырехугольника. Докажите, что четвертая сто¬
рона может быть вычислена по формуле
cl2 = а2 + Ь2 + с2 — 2ab cos р — 2bc cos у + 2ас cos (Р + ?)
(первая теорема косинусов для четырехугольника).
250.	Дан четырехугольник ABCD, в котором |ДВ| + \ВС\ =з
= I CD\, р = у = 120®. Докажите, что | AD\ =; | BD|.
251.	Докажите, что для всякого четырехугольника выполняется
соотношение
16S2 = 4е2/2 — (а2 — Ь2 + с2 d2).
252.	Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника мо¬
жет быть вычислена по формуле
S2 = (р — а) (р — Ь) (р — с) (р — d) — abed cos2 •
253.	Докажите, что квадрат площади четырехугольника, опи¬
санного около окружности, равен
abed sin2
2
254.	Докажите, что
•е2/2 = а2е2 + b2d2 — 2abcd cos (P + ô)
(вторая теорема косинусов для четырехугольника).
255.	а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника
вдвое больше площади четырехугольника, вершинами которого слу¬
жат середины сторон данного.
б) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна
произведению длин его средних линий на синус угла между ними.
39

256.	Какую наибольшую площадь может иметь выпуклей че¬
тырехугольник, если сумма длин одной его диагонали и одной сред¬
ней линии равна s?
257.	Докажите, что площадь четырехугольника и длины его
сторон удовлетворяют неравенствам:
1)	2S	ab + cd;
2)	2S	ас + bd.
В каком случае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?
258.	а) Докажите, что для всякого четырехугольника справед¬
ливы неравенства *
4S (а + с) (Ь + d) р3.
б) Докажите, что из всех четырехугольников.данного перимет¬
ра наибольшую площадь имеет квадрат.
259.	а) Около окружности радиуса г описан четырехуголь¬
ник ABCD. Докажите, что
|ДВ| + |CD| >4г.
б) Докажите, что из всех четырехугольников, описанных около
окружности, наименьший периметр имеет квадрат.
260.	Около окружности радиуса г описана трапеция, основания
которой равны а и Ь. Докажите, что
2г	Уab.
‘ При каком условии имеет место равенство?
261.	Какую наибольшую площадь может иметь выпуклый че¬
тырехугольник, если сумма длин двух его противоположных сто¬
рон и одной диагонали равна «г? Постройте такой четырехугольник.
262.	Докажите, что для всякого четырехугольника имеют ме¬
сто неравенства:
1)	р2	а2 + 62 4- с2 4- cP;
2)	4S	е2 4- /2 2ас 4- Ь2 4- d?	а2 4- Ь2 4- с2 4- d2.
В каком случ'ае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?
263.	Докажите, что четырехугольник является параллелограм¬
мом тогда и только тогда, когда
е2 4- /2 = а2 4- Ь2 4- с2 4- d2-
264.	а) Докажите, что если четырехугольник является паралле¬
лограммом, то
е2 4- /2 > Р2.
б) Докажите, что для четырехугольника, описанного около ок¬
ружности, имеет место неравенство
é2 + f2 < р3.
40

В каком случае это неравенство обращается в равенство?
265.	Докажите, что из всех четырехугольников, вписанных в
окружность, наибольшую площаДь имеет квадрат.
266.	Четырехугольник вписан в окружность и описан около ок¬
ружности. Докажите, что его площадь может быть вычислена по
формуле	-

S = y^abcd.
267.	Докажите, что из всех четырехугольников с данными сто¬
ронами наибольшую площадь имеет тот, около которого можно опи¬
сать окружность.
268.	- Биссектрисы углов >А и В выпуклого четырехугольни¬
ка ABCD пересекаются в точке М, а биссектрисы углов СГи D —
в точке N. Найдите ]Л42Ѵ|, если известны длины сторон четырех¬
угольника и угол ф между прямыми ВС и AD. В каком случае’
|МУ| = О?
§ 9. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ТЕТРАЭДРА
В настоящем параграфе рассматриваются метрические соотно¬
шения между элементами тетраэдра. В некоторых задачах речь
идет о свойствах тетраэдров частного вида: прямоугольного и рав¬
ногранного.
Если через концы трех ребер DA, DB и DC прямоугольного
параллелепипеда провести плоскость, то она отсечет от параллеле¬
пипеда тетраэдр ABCD с прямым трехгранным углом при верши¬
не D (рис. 11). Такой тетраэдр называется прямоугольным. Грань
АВС будем называть, основанием, а ребра DA, DB, DC — боковы¬
ми ребрами тетраэдра.
Прямоугольный тетраэдр вполне определен, если известны дли¬
ны трех его попарно перпендикулярных ребер.
, Пример. Боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны
а, Ь, с. Найти радиус шара, описанного около тетраэдра, и медиа¬
ну, проведенную из вершины прямого трехграиного угла.
Решецие. Дополним пря¬
моугольный тетраэдр ABCD до
прямоугольного параллелепипеда
(рис. 11). Так как диагонали
прямоугольного параллелепипеда
конгруэнтны и точкой пересечения
О делятся пополам, то |ЛО.| =
= |ВО|=|СО| = |£>О|, т. е. точ¬
ка О есть центр описанного около
тетраэдра ABCD шара, а диагональ
DE — диаметр этого шара. Но
|£>£|2=а24- &2 + с2; следовательно, д
R = ± К а2 + ь2 + с2.
Рис. 11
41

Рис. 12
Пусть диагональ DE парал¬
лелепипеда пересекает плоскость
АВС в точке М. Легко дока¬
зать, что М принадлежит ме¬
диане ..CF треугольника АВС.
Из подобия треугольников СЕМ.
и FDM следует, что | СМ | :
: I A1F| = 2:1, и потому М —
центроид треугольника АВС, а
отрезок DM — медиана тетраэд¬
ра ABCD.
Для вычисления |DA4 | вос¬
пользуемся тем, что' |О2И| =
== — ІОДІ, и следовательно,
3
т =	4-Ô2 +с2.
Таким образом, применив вспомогательное построение, мы полу¬
чили краткое решение задачи:
Рассмотрим теперь тетраэдр, все грани которого конгруэнтны.
Легко показать, что противоположные ребра его конгруэнтны.
Такой тетраэдр называется равногранным.
Пусть DXYZ — прямоугольный тетраэдр с прямым трехгран¬
ным углом при вершине D (рис. 12). Проведем медианы DA, DB,
DC граней этого тетраэдра. Полученный тетраэдр ABCD является
равногранным. Действительно, так как DA — медиана прямоуголь¬
ного треугольника DYZ, а ВС — средняя линия треугольника
XYZ, то |ДЛ| = \AZ\ и |ВС| = \AZ\.
Следовательно, \DA | = |ВС|.
Аналогично, |ДВ1 = |АС\ и |£>С| = |АВ|.
Обратно, если дан равногранный тетраэдр ABCD, то около
него можно описать прямоугольный тетраэдр DXYZ так, чтобы реб¬
ра DA, DB, DC были медианами граней описанного тетраэдра.
Эта связь между прямоугольным тетраэдром и равногранным
тетраэдром может быть использована при решении задач.
Заметим еще, что грани равногранного тетраэдра — остроуголь¬
ные треугольники и сумма плоских углов при каждой вершине
равна 180°. Развертка тетраэдра ABCD представляет собой тре¬
угольник XYZ, в котором отрезки АВ, ВС и СА являются средними
линиями.
269.	Дан трехгранный угол ОАВС. Найдите величину двугран¬
ного угла ОС, если АОВ = ЙО’, ВОС = 90° и СОА = 45°.
’ 270. Докажите, что если один из двугранных углов трехгран¬
ного угла прямой, то косинус противолежащего ему плоского угла
равен произведению косинусов двух других плоских углов.
42

271.	Найдите объем тетраэдра О АВС, если | О А | = |ОВ| =
= |ОС| = 1, ВОС = а, СОА = ₽ и АОВ = у. '
272.	Известны плоские углы трехгранного угла ОАВС. Вычис¬
лите угол наклона ребра ОС к плоскости противолежащей грани.
273.	Выразите объем тетраэдра через длины трех его ребер,
исходящих из одной вершины, и величины плоских углов при этой
вершине.
274.	Докажите, что объем тетраэдра А BCD может быть вычислен
по формуле
V = — | ЛВ11 CD| dsin ф,
6
где ф — угол между прямыми АВ и CD, ad— расстояние между
этими прямыми.
275.	Докажите, что радиус сферы, вписанной в тетраэдр, опре¬
деляется формулой
= зѵ
$1 4“ ^2 4" $3 4* $4
276.	Длина одного ребра тетраэдра равна 2; каждое из осталь¬
ных ребер имеет длину, равную 1. Найдите объем, площадь.полной
поверхности тетраэдра и радиус вписанной в него сферы.
277.	а) Вычислите длину медианы DM тетраэдра ABCD, если
известны длины его ребер.
б)	Докажите, что если mY — т2 и т3 = mt, то а = ах и b — bv
в)	Определите вид тетраэдра, все четыре медианы которого кон¬
груэнтны.
278.	а) Грани АВС и ABD тетраэдра ABCD равновелики.
Докажите, что общий перпендикуляр ребер АВ и CD. проходит
через середину ребра CD.
б) Определите вид тетраэдра, все четыре высоты которого кон¬
груэнтны.
279.	Докажите истинность следующих соотношений:
2) т2 4- т2 + т2 + т2 =±= Q,
где Q — сумма квадратов длин всех ребер тетраэдра.
280.	а) Дан тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при
вершине D. Докажите, что основание высоты DH тетраэдра явля¬
ется ортоцентром треугольника АВС.
б) Вычислите объем прямоугольного тетраэдра ABCD, если
IЛП| = а, | ВС| = ах, DAH = а.
281.	Вычислите площадь основания прямоугольного тетраэдра
ABCD, если [ Z) Л | = а и ВАС = 45*.
43

282.	а) Докажите, что площадь боковой грани прямоугольного
тетраэдра есть среднее пропорциональное между площадью основа¬
ния и площадью проекции этой грани на плоскость основания.
б) Докажите, что если Sn S2, S3 — площади боковых граней
прямоугольного тетраэдра, aS — площадь его основания, то
SÎ + si + Sf = Sa.
283.	Боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны a, b и
с. Найдите площадь основания и высоту тетраэдра.
284.	Дан тетраэдр ABCD с прямыми плоскими углами при вер¬
шине D. Докажите, что
а)	|£>Я|а = —\АН\ |Btf|cos<p;
б)	cos ф — —tg a tg Р;
, .	sin у
в)	Sin ф = 	£	,
cos а cos P .
где H — ортоцентр треугольника АВС, а = DAH, р = DBH,
у = DCH, ф = АНВ.
285.	Боковые ребра прямоугольного тетраэдра' ABCD равны
а, Ь, с. Найдите ребро куба, вписанного в тетраэдр так, что одна
из вершин куба совпадает с вершиной D тетраэдра, а противополож¬
ная вершина L принадлежит основанию тетраэдра.
Докажите, что каждая точка отрезка DL одинаково удалена
от граней трехгранного угла D, причем
/_ abc Уз
ab -\-Ьс -\-са *
где I = IDL[.
(Отрезок DL называется биссектрисой тетраэдра ABCD.)
286.	Докажите, что радиус сферы, вписанной в прямоугольный
тетраэдр, может быть вычислен по формуле
'	r =	+ ^2 + ^3 — $
а +& + <j
287.	Докажите, что площади граней прямоугольного тетраэдра
удовлетворяют неравенству
'■	5 Sj + S2 4- S3 S /3.
288.	Докажите, что площадь основания прямоугольного те¬
траэдра и радиус описанной около него сферы связаны соотноше¬
нием
S /3 < 2#а.
44

289.	Докажите, что для всякого прямоугольного тетраэдра име¬
ют место неравенства:
h < ( 1 + ГЗ ) г < I < ў< 1 /2 (S1 + S2+S3)<
* У о у о о
В каком случае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?
290.	Докажите, что высоты равногранного тетраэдра 'конгруэнт¬
ны и радиус вписанной в тетраэдр сферы равен А его высоты.
291.	Докажите, что отрезок EF, соединяющий середины про¬
тивоположных ребер АВ и CD равногранного тетраэдра ABCD,
является общим перпендикуляром прямых АВ и CD. Вычислите
длину этого отрезка, если |РЛ| = а, |РВ| = Ь, |£>С| = с.
292.	а). Вычислите радиус сферы, описанной около равногран¬
ного тетраэдра, если длины противоположных ребер тетраэдра рав¬
ны а, b и с.
б) Докажите, что медианы равногранного тетраэдра конгру¬
энтны, причем
т = ± R = А у 2 (а2 + Ь2 + с2).
з з
293.	Грани тетраэдра являются конгруэнтными треугольниками
со сторонами 3, 3 и 4. Вычислите объем, радиус вписанной сферы и
двугранные углы тетраэдра.
294.	Противоположные ребра тетраэдра равны а, Ь, с. Вычисли¬
те объем тетраэдра.
295.	В тетраэдре ABCD суммы трех плоских углов при каждой
вершине равны 180°. Найдите объем тетраэдра и расстояние между
ребрами АВ и CD, если |ВС| = 4, |СЛ| — 5, |АВ| = 6.
296.	Длины двух противоположных ребер-тетраэдра равны х,
a все остальные ребра имеют длину, равную 1. Выразите объем
тетраэдра как функцию х. При каком х объем тетр’аэдра имеет наи¬
большее значение?
297.	а) Докажите, что для любых действительных чисел а1г
а2, .... ап и Ъъ b2, ..., bn имеет место неравенство
У а2 + Ь2 + У а22 + Ь22 + ... + У а2+ь2
(аі+ аг+ ••• + а/г)24-(^1+	••• + ^л)2»
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
<4	=
б) Из всех тетраэдров А BCD с данным основанием АВС и дан¬
ной высотой DH найдите тот, который имеет наименьшую площадь
поверхности.
45

298.	Докажите, что если все двугранные углы тетраэдра равны,
то тетраэдр правильный.
299.	Докажите, что для всякого тетраэдра справедливо нера¬
венство	__
<$і + S2 + S3 +
о
где Q — сумма квадратов длин всех ребер тетраэдра.
При каком условии имеет место равенство?
300.	Докажите, что для всякого тетраэдра имеют место неравен¬
ства:
16г h± 4" h2 4~ h3 4" Л4 mi 4“ ^2 4~ т3 4~ ^4	~ V Q*
О
В каком случае каждое из этих неравенств обращается в равен¬
ство?
§ 10. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
Это заключительный параграф первой главы сборника. Он со¬
держит задачи повышенной трудности, при решении которых це¬
лесообразно пользоваться алгебраическими методами. Некоторые
из них могут быть решены также геометрически, с помощью вспо¬
могательных построений и применения соответствующих теорем.
Задачи по возможности расположены в порядке возрастающей
трудности, в определенной системе, облегчающей отыскание ре¬
шения. Сходные задачи помещены одна за другой, а наиболее
близкие по содержанию — под одним номером.
Пример 1. В квадрат ABCD вписан прямоугольник так,
что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоуголь¬
ника. Доказать, что либо вписанный прямоугольник также есть
квадрат, либо его стороны параллельны диагоналям квадрата ABCD.
Решение. Пусть прямоугольник AyByCyDy вписан в квад¬
рат ABCD (рис. 13). Введем следующие обозначения: | Л AI = а,
IBAI = b, AAyDy = BByAi = ССуВу = а. Тогда из прямоуголь¬
ных треугольников AAtDt и BByAy имеем:
|Д Ay I — b cos а, |Л А = а sin а.
Поэтому-	I АВI = a sin а + b cos а-.
I ВС| = a cos а + b sin а.
Так как | АВ\ ,= |ВС|, то
a sin а + b cos а = a cos а 4-
+ b sin а,
или
(а — b) (sin а — cos а) = 0.
Отсюда следует, что 1) либо
а = Ь, т. е. вписанный прямо¬
угольник — квадрат, 2) либо
46

sin a — cos a 0, откуда tg a = 1 и a = 45°, т. e. стороны
прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.
Геометрическое решение задачи можно получить, установив,
что точка пересечения диагоналей прямоугольника совпадает с
центром квадрата и, следовательно, вершины прямоугольника рав¬
ноудалены от центра квадрата. Отсюда уже нетрудно вывести за¬
ключение теоремы.
Пример 2. В квадрат со стороной, равной 1, вписан прямо¬
угольник. Найти длину диагонали прямоугольника, если его пло¬
щадь равна S.
Решение. В соответствии с результатом предыдущей зада¬
чи pacçMOTpiiM два возможных случая.
а)	Прямоугольник	вписанный в квадрат ABCD,
является квадратом (рис. 13, а). Обозначим |	= d и |ДхВіІ =
= lsiGI = В этом случае имеем:
d = X ]Л2, х2 = S,
откуда
d = Ÿ2S.
Выясним, при каких значениях 3 полученная формула дает
решение задачи.
Заметим, что прямоугольник можно вписать в данный квадрат
тогда и только тогда, когда
1 < d < Ÿ1.
Учитывая это, получаем:
1 < V2S < 2,
или
<1.
2
б),Пусть прямоугольник ЛХВХСХОХ вписан в квадрат так, что
его сторона ЛХВХ параллельна диагонали АС квадрата (рис. 13, б).
Обозначим |ЛХВХ| == х, |ВХСХ| = у. Тогда имеем:
d? = х2 + у2;
ху = 3;
У = /2.
Отсюда
d = У 2 — 2S.
Найдем для этого случая множество допустимых значений 3.
Так как прямоугольник, вписанный в квадрат, существует тогда и
только тогда, когда
l<d<K2,
то
1	у2 — 2S < У~2.
47

Отсюда
O<S<1.
2
Итак,
У 2(1 —S), если 0 < S < у;
У23, если у S < 1.
Ответ может быть записан также в виде одной формулы:
d = /1 + |2S — 1|, где 0 < S < 1.
Задачи по планиметрии (301—362)
301.	Найдите углы равнобедренного треугольника, если его
высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании.
302.	Из концов отрезка АВ радиусом |ДВ| проведены дуги,
пересекающиеся в точке С. Впишите в криволинейный треуголь¬
ник АВС окружность и вычислите ее радиус, если | АВ) = а.
303.	Три окружности, радиусы которых равны 1, 2 и 3, касают¬
ся попарно внешним образом. Вычислите радиусы ѵдвух окружно¬
стей, каждая из которых касается трех данных окружностей.
304.	Даны окружность радиуса 7? и касательная к ней. Построй¬
те квадрат так, чтобы две его смежные вершины лежали на каса¬
тельной, а две другие — на окружности, и вычислите сторону
квадрата.
305.	Серединный перпендикуляр к гипотенузе АВ прямоуголь¬
ного треугольника АВС пересекает катет АС в точке М. Найдите
катет ВС и угол А треугольника, если | AM | = 2 и |Л4С| = ]/3.
306.	Около треугольника АВС описана окружность радиуса R.
Перпендикуляры, проведенные из центра окружности к сторонам
АС и ВС треугольника, пересекают высоту СИ или ее продолже¬
ние в точках Р и Q. Докажите, что
|СР| • ICQI = Д2.
307.	К окружности в конце М диаметра MN проведена каса¬
тельная. Через концы хорды АВ, параллельной MN, проведены
прямые NA и NB, пересекающие касательную в точках Р и Q. До¬
кажите, что произведение |Л4Р| • |MQ| не зависит от положения
параллельной хорды.
308.	Дан равносторонний треугольник АВС. На луче AM, пере¬
секающем сторону ВС, взята точка М так, что АМВ = 20° и АМС =
— 30°. Найдите ВАМ.
309.	Точка D принадлежит стороне АВ треугольника АВС.
Известно, что | Д£>| = 1, |ЛС| = У 2, |ДВ| = Уз и BCD = 90э.
Найдите углы треугольника АВС и радиус описанной около него
окружности.
48

310.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка М такая,
что I AM) : |Л1В| = 1:2. Известно, что 45э и 75®. Дока¬
жите, что АСМ. = 15*.
311.	Угол А при вершине равнобедренного'треугольника АВС
равен 20°. На сторонах АВ и АС взяты соответственно точки Е и
F такие, что CBF = 50* и ВСЕ = 60*. Докажите, что CEF = 30®.
312.	Дан равнобедренный треугольник АВС с углом 100* при
вершине С. Через вершину А проведен луч под углом 30* к лучу
АВ, а через вершину В — луч под углом 20* к лучу ВА. Построен¬
ные лучи пересекаются в точке М, принадлежащей треугольнику.
Вычислите величины углов АСМ и ВСМ.
313.	Дан четырехугольник ABCD. Известны следующие углы:
С АВ = 30®, DBC = 30*, ACD = 45®, BDA = 45*. Вычислите углы
четырехугольника ABCD.
314.	В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся
стороны АС в точке М и стороны ВС в точке N. Найдите углы тре-
! CM I	1	ICNI	1
угольника, если 1 = — и 11 = —.
J	\ I MA I	2	I NB I	3
315.	Вычислите угол А треугольника АВС, если угол В ра¬
вен 75® и высота СИ в два раза меньше стороны АВ.
316.	Из вершин А и В остроугольного треугольника АВС
проведены высоты ЛЛХ и ВВг. Найдите угол С треугольника, если
icatl = g и І САІ = Д
|ВѴ4|	2'
317.	Ортоцентр треугольника делит одну из высот в отношении
2:1, считая от вершины, а другую — пополам. Найдите тангенсы
углов треугольника.
318.	Вычислите высоту СН тупоугольного треугольника АВС,
если С = 45°, |ВД| = 1 и |ЛД| = 6.
319.	Из вершины С прямого угла прямоугольного треуголь¬
ника АВС проведена высота CD. Радйўсы окружностей, вписанных
в треугольники ЛВС, BCD и ACD, равны соответственно г, rlt
г2 и I CD I = h. Докажите, что
1)	Г1 + гі = г2;
2)	г + гх + r2 = h.'
320.	Дан треугольник ЛВС, разность углов Л и В которого
равна 90°. Докажите, что
1)	tgB = —;
* а
2)	tgC = —;
2hc
49

4)	= -а-2~^2.
С
321.	Постройте треугольник АВС, зная, что |ВС| = а, |ДС| =
= b и А — В = 90°.
322.	Постройте треугольник АВС, угол А которого вдвое боль¬
ше угла В, зная, что |ВС| = а и |ЛС| = Ь. Вычислите третью сто¬
рону треугольника.
323.	Постройте треугольник АВС, зная, что |ВС| = a,JAC[ =
b и А == ЗВ. Вычислите третью сторону треугольника.
324.	Докажите, что если медианы треугольника АВС, проведен¬
ные из вершин А и В, перпендикулярны, то
1)	&+& = 5с2;
2)	- < - < 2;
оч ■ 3
3)	тс=-с,
4)	cos С
5
325.	Медианы треугольника АВС, проведенные из вершин А и
В, перпендикулярны. Найдите площадь треугольника АВС, если
IЛВ| = с и С = у.
326.	а) Докажите, что из медиан любого треугольника можно
построить треугольник.
б) Найдите необходимое и достаточное условие, связывающее
длины сторон треугольника, чтобы из его медиан можно было по¬
строить треугольник, подобный данному. ~
327.	а) Две высоты треугольника равны 6 и 10. Докажите, что
третья высота меньше 15.
б)	Какому условию должны удовлетворять длины сторон тре¬
угольника, чтобы из его высот можно было построить треуголь¬
ник?
в)	Стороны треугольника образуют геометрическую прогрес¬
сию. Докажите, что такой треугольник подобен треугольнику,
сторонами которого служат высоты данного.
328.	Из вершины С треугольника АВС проведены высота СН и
медиана СМ. Докажите, что если А = 105° и В = 30®, то углы
АСН и ВСМ конгруэнтны.
. 329. Высота и медиана треугольника, проведенные из одной
вершины внутри него, различны и образуют конгруэнтные углы со
сторонами, выходящими из той же вершины. Докажите, что тре¬
угольник прямоугольный.
50

330.	Из вершины С треугольника АВС проведены высота, меди¬
ана и биссектриса. Найдите угол С, если биссектриса образует с
высотой и медианой соответственно углы аир.
331.	Высота CD прямоугольного треугольника АВС является
диагональю вписанного в треугольник прямоугольника. Найдите
площадь этого прямоугольника, если |ДВ| =я о и | CD | == Л.
332.	Дан прямоугольник ABCD. На прямой АВ постройте точ¬
ку A4 так, чтобы AMD = CMD. Вычислите AMD, если |ДВ| =а
= 2 |ВС|. ,
333.	На сторонах ВС и CD прямоугольника ABCD даны точки М
и N такие, что | ВМ | = — | ВС| и | СЛГ| = — | CD |. Найдите отноше-
3	3
ние сторон АВ и CD прямоугольника, если MAN = 45*.
334.	Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния
от точки Е до прямых АВ, ВС, CD и AD равны соответственно р,
q, г и з. Докажите, что
q
335.	Окружности (Ql, f\), (Qi, и (Os, г8) касаются попарно
внешним образом. Общая внешняя касательная окружностей Ох
и О2 параллельна общей внешней касательной окружностей (\
и О3. Докажите, что
rî = 4г2г3.
336.	На отрезке АВ дана точка С. По одну сторону от АВ по¬
строены три полуокружности с диаметрами АС, СВ и АВ. Окруж¬
ность радиуса г с центром О касается всех трех полуокружностей.
Расстояние от точки О до прямой АВ равно 4. Докажите, что
а> r = jd;
где 2гх = I ДС|, 2г2 = |СВ| и 2R = |ЛВ|.
337.	На отрезке АВ как на диаметре построена полуокружность,
и на ней взята произвольная точка С. Точка D — основание пер¬
пендикуляра, проведенного из точки С к отрезку АВ. Докажите,
что а) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен
полусумме радиусов окружностей, вписанных в криволинейные
треугольники ACD и BCD', б) если окружность, вписанная в кри¬
волинейный треугольник ACD, касается диаметра АВ в точке М,
то |ВМ| = IВС|.
338.	Найдите необходимое и достаточное условие, связываю¬
щее длины сторон треугольника АВС, при котором окружность,
проведенная через вершину С й середины сторон АС и ВС, прохо¬
дит через центроид треугольника.
51

339.	Стороны треугольника образуют арифметическую прогрес-
'сию. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник,
вершина среднего по величине угла, и середины сторон, выходящих
из этой же вершины, лежат на одной окружности.
340.	а) Окружность касается катетов прямоугольного треуголь¬
ника й описанной около него окружности. Докажите, что ее радиус
вдвое больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.
б) Окружность касается двух сторон треугольника АВС в точках
М и N и описанной около треугольника окружности. Докажите,
что середина отрезка MN есть центр окружности, вписанной в тре¬
угольник АВС.
341.	Внутри равнобедренного треугольника расположено два
круга одного и того же радиуса. Каждый из них касается основа¬
ния, одной боковой стороны и другого круга. Сумма площадей этих
кругов равна К; площадь круга, вписанного в треугольник, равна S.
Докажите, что
1<Л<2.
2 S
При каком условии а) К = S, б) К < S, в) К > S?
342.	В окружность радиуса R вписан треугольник АВС, и в
каждый из образовавшихся сегментов вписана окружность. Дока¬
жите, что
а)	Гі + г2 + г3-= R— ±г;
б)	y■P:Cfl + r2 + r3<^,
где г — радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, а
ri> гз — радиусы окружностей, вписанных в сегменты.
343.	Докажите, что если углы А и В треугольника АВС свя¬
заны соотношением
tg^+ tgf = I,
то а 4- b = с + hc, и обратно.
Убедитесь, что при этом треугольник АВС остроугольный и
tgî>l.
6 2	4
344.	На сторонах произвольного треугольника АВС вне его
построены равносторонние треугольники. Докажите, что их цент¬
ры Âlt Blf Сг являются вершинами равностороннего треугольника
и площадь треугольника не меньше площади треугольни¬
ка АВС.
345.	Вершины равностороннего треугольника со стороной а при¬
надлежат трем параллельным прямым. Расстояние между крайни¬
ми параллелями равно d. Докажите, что
d а < d.
/3
52

346.	Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС служат осно¬
ваниями равнобедренных треугольников ABClt BCAlt CABlt
причем BCAt = CABt — BACt = b'aC. Докажите, что сумма пло¬
щадей треугольников АВС и А±ВС равна сумме площадей треуголь¬
ников АВСг и АВгС. (Построенные треугольники не имеют с дан¬
ным общих внутренних точек.)
347.	На сторонах треугольника АВС, угол С которого равен
135°, вне его построены квадраты ABMN, BCKL и CAPQ. Дока¬
жите, что площадь шестиугольнйка KLMNPQ равна удвоенной
площади квадрата ABMN.
348.	Какую найбольшую площадь может иметь треугольник
АВС, если I АВ\ = с и | АС\ = 2 |ВС\?
349.	а) Площадь сектора S, а периметр 2р. Вычислите радиус
и центральный угол сектора, если S = 2 ма и р = 3 м.
б) Из всех секторов данного периметра 2р найдите тот, кото¬
рый имеет наибольшую площадь.
350.	Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересе¬
каются в точке О. Докажите, что если | АОІ > | ОС| и | ВО| >| OD|,
то сумма площадей треугольников АВО и CD0 больше суммы пло¬
щадей треугольников ‘ ВСО и ADO.
351.	а) Диагонали трапеции ABCD с основанием АВ пересе¬
каются в точке О. Найдите отношение площади треугольника ADO
к площади трапеции, если | АВ | = а и |CL>| = Ь. Докажите, что
площадь треугольника ADO меньше — площади трапеции ABCD.
4
б) На стороне АВ параллелограмма ABCD дана точка М. По¬
стройте на стороне CD такую точку N, чтобы. площадь четырех¬
угольника, полученного при пересечении прямых AN, BN, CM
и DM, была наибольшей.
352.	На основаниях АВ и CD трапеции ABCD постройте соот¬
ветственно точки М и N так, чтобы площадь четырехугольника,
ограниченного прямыми AN, BN, СМ и DM, была наибольшей.
353.	В данный квадрат вписана трапеция так, что ее основания
параллельны диагонали квадрата. При каком условии площадь
трапеции будет наибольшей?
354.	В треугольник АВС вписан четырехугольник K.LMN
так, что сторона КС лежит на стороне АВ треугольника, [LM] ||
II [АС] и [/(АП И [ВС]. При каком положении точек К и L на сторо¬
не АВ, площадь четырехугольника KCMN будет наибольшей?
355.	а) Докажите, что если длины двух сторон треугольника
АВС удовлетворяют неравенству а	Ь, то
а 4~ ha	“Ь С/,.
При каком условии имеет место равенство?
б) В остроугольный треугольник вписаны три различных по
положению квадрата. Докажите, что наибольшую площадь имеет
тот из них, две вершины которого принадлежат меньшей стороне
треугольника.
53

356.	а) В треугольник АВС вписан параллелограмм ADEF
так, что вершины D, Е, F принадлежат соответственно сторонам
АВ, ВС и СА. Через середину М стороны ВС проведена прямая
AM, пересекающая прямую DE в точке К- Докажите, что CFDK —
параллелограмм.
б) В данный треугольник АВС впишите параллелограмм ADEF
так,, чтобы точки D, Е, F принадлежали соответственно сторо¬
нам АВ, ВС, СА и чтобы диагональ DF имела наименьшую длину.
357.	На одной стороне угла С дана точка М. Постройте на от¬
резке СМ точку Л, а на другой стороне угла точку В так, чтобы
I MA I = I ВС I и расстояние между точками А и В было кратчайшим.
358.	а) Какое наибольшее значение может принимать величина
угла А треугольника АВС, в котором медиана, проведенная из
вершины В, образует со стороной ВС угол в 45°?
б)	Докажите, что если в треугольнике АВС медиана ВМ обра¬
зует со стороной ВС угол <р,' то
ctg\4 2 У? — 3 cos ф
БІПф
в)	Какое наибольшее значение может принимать величина
* 3
угла А треугольника АВС, в котором ть = —ha?
359.	Данный треугольник разделите на две равновеликие части
отрезком наименьшей длины.
360.	В данный прямоугольник со сторонами а и b впишите ромб
со стороной т так, чтобы на каждой стороне прямоугольника лежа¬
ла вершина ромба. При каком условии задача разрешима?
361.	В данный ромб впишите прямоугольник наибольшей пло¬
щади.
362.	Даны прямая Z и две точки А и В, не принадлежащие ей.
I AM I
Найдите на прямой I точку М, для которой отношение
принимает а) наибольшее значение; б) наименьшее значение.
Задачи по стереометрии
(363-377)
363.	Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а.
Двугранные углы при основании* пропорциональны числам 2, 3,
5 и 3. Найдите объем пирамиды.
364.	Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
равно Ь. Вычйслите площадь полной поверхности пирамиды, если
центры сфер, вписанной в нее и описанной около нее, совпадают.
365.	Через сторону основания правильной треугольной пира¬
миды проведена плоскость перпендикулярно противоположному
боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды,
если сторона основания равна а и секущая плоскость делит боковое
ребро в отношении 3 : 2, считая от вершины пирамиды.
54

366.	Две грани тетраэдра — равносторонние треугольники со
стороной а, две другие — равнобедренные прямоугольные треуголь¬
ники. Найдите радиус шара, вписанного в тетраэдр.
367.	В тетраэдр ABCD, вписан шар радиуса г. Плоскости, ка¬
сательные к этому шару и параллельные граням тетраэдра, отсе¬
кают от тетраэдра ABCD четыре тетраэдра. Пусть гх, г2, г3, г4 —
радиусы шаров, вписанных в эти тетраэдры. Докажите, что
г\ + Г2 + г3 + г4 = 2г.
368.	Докажите, что сумма квадратов длин двух любых скре¬
щивающихся ребер прямоугольного тетраэдра равна квадрату
диаметра описанной сферы.
369.	В тетраэдре ABCD основание Н высоты DH является орто¬
центром грани АВС. Известно, что | DB | = b, | DC | = с и в6с=90°.
Найдите отношение площадей граней ABD и ACD.
370.	В тетраэдре ABCD суммы трех плоских углов при каждой
вершине В и С равны 180°. Найдите радиус сферы, описанной око¬
ло тетраэдра, если | AD | = | ВС | = 6 ем и расстояние между пря¬
мыми AD и ВС равно 8 см.
371.	Основанием треугольной пирамиды служит прямоугольный
треугольник. Боковые грани равновелики и все боковые ребра
имеют длину, равную 1. Вычислите площадь боковой поверхности
пирамиды.
372.	Основанием прямой призмы служит квадрат ABCD со сто¬
роной а. Вычислите боковое ребро СС1( если Д4СХ 4- сЯсх = 135°.
373.	В конус вписан шар. Площадь поверхности шара отно¬
сится к площади поверхности конуса, как 4 : 9. Найдите угол
наклона образующей конуса к плоскости его основания.
374.	Около шара описан усеченный конус, объем которого вдвое
больше объема шара. Найдите тангенс угла наклона образующей к
плоскости основания конуса.
375.	Каждое боковое ребро четырехугольной пирамиды равно а.
Докажите, что	_
V<fUas,
27
где V — объем пирамиды.
376.	Какую наибольшую площадь полной поверхности может
иметь правильная n-угольная призма, вписанная в шар радиуса /??
377.	Докажите, что объем V правильной n-угольной пирамиды
и объем Ѵх вписанного в нее шара удовлетворяют неравенству
2ѴХ _л
п
55

ГЛАВА II
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ
К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
§ 11. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ВЕКТОРОВ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Векторная алгебра может быть использована при решении ши¬
рокого класса содержательных геометрических задач. Настоящий
параграф содержит аффинные задачи, т. е. задачи, касающиеся
взаимного расположения двух прямых, принадлежности трех то¬
чек одной прямой, вычисления отношения отрезков параллельных
прямых. Для решения таких задач необходимы лишь операции
сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число,
известные из школьного курса геометрии.
Особенностью решения многих задач является то, что все при¬
влекаемые для решения векторы откладываются от одной и той же
■ >
точки О, называемой полюсом. Для упрощения записи векторы ОА,
——>-	——> —>
ОВ, ОС, . . . обозначают через Л, В, С, . . . При употреблении
подобной символики запись становится краткой и легко читаемой.
Например, правило вычитания векторов принимает вид
—>■	—>■	—>
АВ = В — А.
Если векторы а и b коллинеарны и b 0, то, как известно,
существует единственное число X, удовлетворяющее условию а =
->
ХЬ. Это равенство записывают также в виде — = X, а число
ь
X называют отношением коллинеарных векторов а и Ь. Из опреде¬
ления умножения вектора на число следует, что X =	, если
Й
a ff Ь; X — —	, если а || b; X = 0, если а = 0.
|Ь|
Пусть А и В — две различные точки прямой, а С — такая точ-
АС
ка этой прямой, что — = À, где X — данное число. Выбрав про¬
ев
56

извольно точку О пространства, выразим
— > -■ > 	►
вектор ОС через векторы ОА и ОВ (рис. 14).
Прежде всего заметим, что %	—1.
Действительно, если точка С лежит между
точками А и В (в этом случае векторы
— > ■■ ►
АС и ВС сонаправлены), то À >.0;, если
С = А, то % — 0; если точка С лежит
1 ► **" ►
вне отрезка АВ, то векторы АС и ВС
противоположно направлены и X < 0, при
этом либо I AC I > I ВС |, либо | АС | < | ВС |.
„	АС ,	«
Следовательно, — #= —!..
СВ
Согласно условию АС = % СВ. Поль¬
зуясь правилом вычитания векторов, по¬
лучаем:
С — А = і(В — С).
Отсюда
7Г ~А +ÎB
14-À
Обратно, если это соотношение выполнено, то точка С делит
—>
АС
отрезок АВ-в данном отношении: — = À. Для доказательства
св
достаточно все выкладки произвести в обратном порядке.
Полученную формулу называют формулой деления отрезка в
данном отношении. Она находит применение при решении многих
задач. При X = 1 получаем следующий результат: точка С тогда
и только тогда является серединой отрезка АВ, когда
С = 1(А+В).
Пример. Продолжения сторон AD и ВС выпуклого четырех¬
угольника ABCD пересекаются в точке Р. Доказать, что если
точка Р и середины сторон АВ и CD принадлежат одной прямой, то
ABCD—трапеция.
Решение. Векторы РА и PD коллинеарны. Приняв точку Р
,	—>■	—->•
за полюс, можно положить D = аД и, аналогично, С = р В
(рис. 15).
Пусть /И и А/ — соответственно середины сторон АВ и CD
четырехугольника ABCD. Тогда
М=1(Д+В),
57

У = |(С+3)=|(аА+₽В).
Согласно условию задачи векторы М и N коллинеарны. Следователь-
но, найдется такое число X, что N = X М, или
а А + р В = X (Л + В),
откуда
(а — X) А + (₽—Х)В = О?
На основании единственности разложения вектора (в данном слу¬
чае нулевого) по неколлинеарным векторам РА и PB заключаем, что
а = P = X.
_ ■—> —>■ —>■ —
Таким образом., D = аА и С = аВ, т. е. точки А и В при
гомотетии с центром Р отображаются на точки D и С. В силу из¬
вестного свойства гомотетии отрезки АВ и CD параллельны, и,
следовательно, ABCD — трапеция.
Векторное решение некоторых задач не зависит от того, являет¬
ся ли рассматриваемая фигура плоскошили пространственной. При
этом для решения планиметрической и соответствующей стереоме¬
трической задач используются одни и те же выкладки. В связи
с этим в настоящем параграфе нет деления задач на планиметри¬
ческие и стереометрические.
378.	Докажите, что если AAlf BBlf CClt — медианы треуголь¬
ника АВС, то
А/^ + В^ + СС^ 0.
Выясните геометрический смысл этого равенства.
379.	Стороны ВС, С А, АВ треугольника АВС разделены по
его обходу соответственно точками L, М. и N в равных отношениях.
Докажите, что из отрезков AL, ВМ и CN можно составить тре¬
угольник.
380.	Даны четыре произвольные точки пространства:' А, В,
С, D. Точки М и N — середины отрезков АВ и CD. Докажите, что
2 MN = AC + BD = AD + BC.
381.	а) Докажите, что средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
б) Основания трапеции равны а и Ь. Найдите длину отрезка,
соединяющего середины диагоналей трапеции.
382.	Даны три точки: А, В и С. Точка симметрична М от¬
носительно А, точка Л42 симметрична MY относительно В, точка
М3 симметрична Л12 относительно С. Докажите, что положение
58

середины Мо отрезка ММ6 нё зависит от выбора точки М. Как
расположена точка 7И0 относительно данных точек Л, В и С?
-383. Докажите, что четырехугольник А BCD тогда и только
тогда является параллелограммом, когда имеет место соотношение
X+C-B + D.
384.	Даны четырехугольник и точка. Докажите, что точки,
симметричные данной точке относительно середин сторон четырех¬
угольника, являются вершинами параллелограмма.
385.	В пространстве "даны два параллелограмма A BCD и
ЛіВіСіРі. Докажите, что если /С, L, М, N — соответственно се-
■ > — >
редины отрезков ААЪ ВВЪ CClt DDlt то KL = NM. Можно ли
утверждать, что точки К, L, М и N являются вершинами парал¬
лелограмма?
386.	а) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в
одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.
б) Докажите, что точка G является центроидом треугольника
АВС тогда и только тогда, когда
ÔG = — (ОД + ÔB-J-ОС),
3
где О — произвольная точка пространства.
387.	Дан треугольник АВС. Постройте точку М такую, чтобы
МА +Л1В+ МС = 0.
388-. а) Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной
точке, которая делит каждую из них в отношении 3:1, считая от
вершины.
б) Докажите, что точка G является центроидом тетраэдра ABCD
тогда и только тогда, когда выполняется соотношение
G = 1(M+C + D).
4
389.	Дан тетраэдр ABCD. Постройте точку М такую, чтобы
МА + МВ + ЎЙС+ MD = 0.
390.	а) Докажите, что средние линии любого четырехугольника
точкой их пересечения делятся пополам.
б) Докажите, что отрезки, соединяющие середины пар противо¬
положных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке (центроиде
тетраэдра) и делятся ею пополам.
391.	Даны треугольник и точка. Докажите, что точки, симмет¬
ричные данной точке относительно середин сторон треугольника,
являются вершинами треугольника, центрально-симметричного
данному.
392.	Дан тетраэдр A BCD, G — его центроид, Gj — центроид
грани BCD. Взята некоторая точка М пространства и построена
59

точка Mi так, что ММі = ЗМй^ Аналогично постройте точки М2,
М3 и Mt. Докажите: если MS = 2MG, то S — середина от¬
резка АМі.
Установите, что тетраэдр МіМзМзМі симметричен тетраэдру
ABCD относительно точки S.
393.	Через концы трех ребер ОА, ОВ, ОС параллелепипеда
проведена плоскость АВС. Докажите, что центроид G треуголь¬
ника АВС принадлежит диагонали OD параллелепипеда. В каком
отношении делит точка G эту диагональ?
394.	Через вершину А треугольника АВС и середину Е медианы
CD проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке F. До¬
кажите, что I CF I : IF В | = 1 : 2. В каком отношении делит точка
£ отрезок AF?
395.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответ¬
ственно точки М и -N так, что AM = —АВ и BN = —ВС. В ка-
3	3
ком отношении точка пересечения К отрезков AN и СМ делит
каждый из этих отрезков?
396.	На прямых ВС, СА, АВ, определяющих треугольник
АВС, взяты соответственно точки L, М и N, причем
въ	см	«	ÂN
— =	се,	—	=	р,	—	—	у.
LC	MA	NB
Докажите, что точки L,	М, N	тогда и	только тогда принадле¬
жат одной прямой, когда сфу = —1 (теорема Менелая).
397.	Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции,
точка пересечения продолжений eé боковых сторон и середины ос¬
нований принадлежат одной прямой.
398.	Точка пересечения средних линий четырехугольника соз-
падает с точкой пересечения его’диагоналей. Докажите, что четы¬
рехугольник — параллелограмм.
399.	Дан четырехугольник ABCD, середины сторон АВ и CD
и точка пересечения диагоналей которого принадлежат одной пря¬
мой. Докажите, что стороны АВ и CD параллельны.
400.	Дан четырехугольник A BCD. Докажите, что центроиды
треугольников BCD, ACD, ABD и АВС являются вершинами
четырехугольника, гомотетичного данному. Справедлива ли анало¬
гичная теорема для тетраэдра?
401.	Середины сторой АВ и CD, ВС и DE пятиугольника
ABCDEF соединены отрезками. Середины Я и Д полученных
отрезков снова соединены. Докажите, что отрезок НК. параллелен
отрезку АЕ и |НК\ =	А£|.
402.	В плоскости треугольника АВС найдите множество точек
Р таких, что из отрезков РА, PB и PC, перемещая их параллельно,
можно составить треугольник.
403.	АіВС — треугольник. Точка симметрична точке В
во	>

относительно С, точка Вг симметрична точке С относительно А,
точка Сг симметрична точке А относительно В. Постройте тре¬
угольник АВС, считая точки Аг, Blt Ci данными. Докажите, что
центроиды треугольников АВС и AjBiCi совпадают.
404.	На сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС даны соот¬
ветственно пары точек Аг и Л2, Bt и В2, Сх и С2 такие, что ЛХЛ2 =
		>■ 	>-
= kBC, B±B2 = kCA, СХС2 = kAB. Докажите, что центроиды
треугольников Л^С^ и АВС совпадают.
405.	Вершины Лх, Blt Ci треугольника АВС принадлежат
соответственно сторонам ВС, СА, АВ треугольника АВС, причем
центроиды обоих треугольников совпадают. Докажите, что точки
Лх, Вх и Ci делят стороны треугольника АВС в равных отношениях.
406.	Даны два тетраэдра: ABCD и АіВіСіРі. Докажите, что
ÂAi + ВВ1+ СС1 + DDi= 4GGX,
где G и Gi — центроиды данных тетраэдров.
407.	Параллелограммы ABCD и Л^С^ имеют общую вер¬
шину Л. Докажите, что а) прямые ВВг, ССХ, DDi параллельны
одной плоскости; б) из отрезков BBlt CClt DDi можно составить
треугольник.
408.	В четырехугольник вписано семейство параллелограммов,
стороны которых параллельны диагоналям четырехугольника. Най¬
дите множество центров этих параллелограммов.
409.	В четырехугольнике ABCD точки М и N — середины диа¬
гоналей АС и BD. На прямых AD и ВС взяты точки Р и Q так,
что (PM) Il (BD) и (QAQ И (АС). Докажите, что прямые PQ й АВ
параллельны.
§ 12. ДЛИНА ВЕКТОРА.
ПОВОРОТ ВЕКТОРА НА 90°
Для любых -двух векторов а и Ь справедливо неравенство
|«+ Ь| < |а| + Jâ|
(если а 0 и 0, то знак равенства имеет место в том и толь¬
ко в том случае, когда векторы а и b сонаправлецы). Это соотноше¬
ние можно использовать при решении некоторых задач, в которых
требуется сравнить длины отрезков.
'Пример 1. Доказать, что медиана треугольника меньше
полусуммы заключающих ее сторон.
. Решение. Если CD — медиана треугольника АВС, то имеет
место равенство
CD = (СА 4- СВ).
61

Так как векторы СА и СВ не колли¬
неарны, то
2 |CD| = \СА + СВ\ < I CA I + |СВ|,
откуда
|CD| < -L (]СА[ + I СВ|).
Для решения планиметрических задач,
в которых требуется установить перпен¬
дикулярность прямых или отрезков,
иногда' удобно пользоваться операцией по¬
ворота вектора на 90°.
Введем на плоскости ориентацию: направление поворота против
часовой стрелки будем считать положительным. Пусть в плоскости
задан вектор а, определяемый парой точек (4, В), и пусть поворот
вокруг точки О на 90° отображает точку А на 4Х, точку В на В±
(рис. 16). Для построения точек 4Х и Вх сначала повернем прямую
АВ вокруг точки О на 90°: проведем к прямой АВ перпендикуляр
ОР и построим образ Рх точки Р при этом повороте, затем через
точку Рх перпендикулярно ОРХ проведем искомую прямую. Точки
4Х и Вх построим, учитывая, что при повороте расстояния между
точками сохраняются, а также сохраняется порядок точек на
прямой. Если выбрать другой центр поворота, то образами точек
А и В будут соответственно точки А2 и В2 такие, что | А2В21 =г 14ХВХ|
и L42B2)ff [4ХВХ).	‘		\
Отсюда следует, что пара точек (Дх, Вх) определяет вектор Ь,
длина которого равна длине вектора а, а величина направленного
угла между векторами а и b равна +90°.
Будем говорить, что вектор b получен из вектора а поворотом
его на 90° в положительном направлении. Вектор b обозначим
символом іа. Множитель і указывает действие поворота, никакого
другого смысла в этот множитель вкладывать на следует. Итак, из
b = іа следует, что |&| = |а|, (а, Ь) = 90°. Верно и обратное ут¬
верждение.
Из определения вытекают следующие свойства операции пово¬
рота вектора на 90°:
1)	і (ka) = k (id), k — вещественное число;
2)	I (a + b) = ia + ib;
3)	І0 = 0;
4)	i (id) ~ —a.
62

Доказательство
свойства 1). Очевидно,
при k—Q свойство 1) выполня¬
ется.
Пусть i (ka) = рг и k (іа) =
= р2> где k =/= 0. Докажем, что
р^Рч- Для этого необходимо
убедиться в том, что векторы
Рі и р2 сонаправлены и длины
их равны. Используя определе¬
ние поворота вектора на 90° и
определение умножения вектора на
Рис. 17
число, находим:
ІР1І = |і(М| = \ka\ =
|р2|ЧМ%| = |*ІЙ = WI4
Таким образом, |рх|= |р2|.
Далее, на основании тех же определений имеем:
(ръ а) = (р2, а) = + 90°, если k > 0;
(pi, а) = (р2, а) =—90°, если k < 0.
Следовательно, в том и другом случае рх ff р2.
Предоставляем читателю самостоятельно доказать истинность
остальных свойств.
Заметим еще, что если вектор а повернуть на — 90°, то полу¬
чим вектор, противоположный вектору іа, т. е. вектор — іа.
П р и м е р 2. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне
его построены квадраты ЛСЛХЛ2 и ВСВ^В^. Доказать, что медиана
СМ треугольника АВС перпендикулярна отрезку А1В1 и | СМ 1 =;
Решение. Примем за полюс вершину С треугольника АВС
(рис. 17). Тогда имеем:
—>	—> —>
Лх = — ІА, Вг = іВ.
Далее, используя правило вычитания векторов и свойство 2), на¬
ходим:
ЛХВХ= Ві — Лх = (В -f- іА = і (Л В).
— >	—>	“->■
Выразим вектор СМ через векторы Л и В:
СМ = 1(Л + В).
53

Замечаем, что
— А^Ві — іСМ.
✓	2 1 1
Следовательно, (СМ) ± (ЛхВх) и | СМ | = -і- |Л1В1[.
410.	Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух про¬
тивоположных сторон четырехугольника, не больше полусуммы
двух других его сторон.
411.	а) Докажите, что сумма расстояний от любой точки прост¬
ранства до вершин треугольника больше утроенного расстояния
от этой точки до центроида треугольника.
б) Точки G и Gi — центроиды треугольников АВС и ЛхВхСі-
Докажите, что
|ЛЛХ| + ІВВ1І+ |ССх|>3 |GGx|.
При каком условии имеет место равенство?
412.	Дан правильный многоугольник ЛХЛ2 ... Ля. Докажите,
что
ОА1 -ф ОЛ2 +,,... + ОАп = 0,
где О — центр многоугольника.
413.	а) Треугольник АВС вписан в окружность с центром О.
Докажите, что равенство
ÔA + ÔB + 5с = б
выполняется тогда и только тогда, когда треугольник АВС рав¬
носторонний.
б) Тетраэдр ABCD вписан в сферу с-центром О. Найдите не¬
обходимое и достаточное условие, при котором имеет место ра¬
венство
ÔA + ÔB + ÔC+ ÔD = 0.
414.	На плоскости даны точки А и В. Найдите множество то¬
чек С плоскости, для которых
І-СЛ+ СВ| = |СЛ — СВ|.
415.	На плоскости даны точки А и В. Найдите множество то¬
чек М плоскости таких, что
а)	I ЛВ+ ЛМ|= |ЛВ|;
б)	I ÂB + ÂM | = |ЛМ|,
416.	Найдите множество точек М пространства, для которых
I ~АВ — ÂMI = I ЛМ|,
где А и В — фиксированные точки.
64

417.	На . сторонах Л С и ВС треугольника АВС вне его постро¬
ены квадраты АСА^^ и ВСВ^^. Докажите, что
а)	центры этих квадратов и середины отрезков АВ и
являются вершинами квадрата;
б)	сторона АВ видна из середины отрезка Л2В2 под прямым
углом.
< 418. В плоскости треугольника АВС дана точка Р. От точки
—>-	——>-
Р отложены векторы РАЪ РВ1У РСЪ полученные соответственно
из векторов ВС, СА и АВ поворотом их на 90 . Докажите, что точ¬
ка'? является центроидом треугольника А^^.
419.	Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС
(С = 90°). Стороны ВС, СА, АВ по обходу треугольника разделены
точками Л,, Вх и Сх в равных отношениях. Докажите, что отрезки
ЛХВХ и ССі перпендикулярны и конгруэнтны.
420.	Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD перпендику¬
лярны и конгруэнтны. Стороны АВ, ВС, CD и DA по обходу че¬
тырехугольника разделены точками P, Q, R и S в равных отноше¬
ниях. Докажите, что отрезки PR и QS перпендикулярны и кон¬
груэнтны.
421.	Дан треугольник АВС. Поворотом точки С около точки
А на +90° получаем точку Сх, а поворотом точки Сх около точки
В на угол — 90° цолучаем точку С2. Докажите, что длина отрезка
СС-2 и направление луча [СС2) не зависят от положения точки С.
Найдите |СС2|, если |ЛВ| = с.
422.	На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС вне его
построены квадраты с центрами соответственно в точках Лх, Вх
и Сх. Докажите, что а) отрезки ЛЛХ и ВХСХ перпендикулярны и кон¬
груэнтны; б) прямые ЛЛХ, ВВХ, ССХ пересекаются в одной точке.
423.	Диагонали АС и ВО четырехугольника ABCD отрицатель¬
ной ориентации перпендикулярны и конгруэнтны. Стороны АВ и
ЛО_четырехугольника после поворота соответственно на +90° и
на —90° занимают положение ВМ и DN. Докажите, что отрезки
СМ и CN перпендикулярны и конгруэнтньі.
424., На’ плоскости даны два одинаково ориентированных квад¬
рата: ABCD и ДХВХСХ£>Х. Докажите, что середины отрезков AAlt
ВВі, ССХ и £>ВХ являются вершинами третьего квадрата,
г
§ 13. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Операция скалярного умножения двух векторов достаточно по¬
дробно изучается в курсе геометрии IX класса. Посредством этой
операции (в сочетании с операциями сложения векторов и умноже¬
ния вектора на число) можно вычислять длины отрезков и величины
углов, находить метрические соотношения между линейными и уг¬
ловыми элементами многоугольников, решать некоторые задачи,
связанные с окружностью.
3 Заказ 32
65

Вычисление длины отрезка сводится к вычислению скалярного
квадрата соответствующего вектора.
Пример 1. Вычислить длину медианы CD треугольника
АВС, если IЛС| = 1, |ВС| = 2 и С= 120°.
Реш е.н и е. Примем вершину С треугольника АВС за по-
1 ►
люс и выразим вектор CD, длину которого требуется найти, через
основные векторы С А и СВ (длины этих векторов и угол между
их направлениями известны). Так как точка D — середина отрезка
АВ, то
П = 1(Л+В).
Вычислим скалярный квадрат вектора CD:
I CD |2= 1 (Л + В)2= 1 (Л2 +В2 + 2 А• В).
Подставив в это равенство числовые данные, получим:
|С£)|2 = 1(1 + 44-4cos 120°),
ICDI = El.
1	1	2
Стереометрические задачи, в которых требуется найти длину
отрезка или величину угла, решаются аналогично.
Для доказательства перпендикулярности отрезков или прямых
используется признак перпендикулярности ненулевых векторов.
Пример 2. Доказать, что если биссектрисы двух плоских
углов трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектри¬
са третьего плоского угла перпендикулярна первым двум бис¬
сектрисам.
Решение. Пусть дан трехгранный угол ОАВС (рис. 18).
На ребрах его ОД, ОВ, ОС отложим единичныё векторы a, Ь, с
соответственно. Направляющие векторы биссектрис плоских уг¬
лов ДОВ, ВОС, СОА "соответственно равны а + b, b + с, с + а.
Пусть биссектрисы плоских углов ДОВ
ч	и ВОС взаимно перпендикулярны. Тогда
(а + Ь) • (Ь + с) = 0,
\ f	или
Де 7——■	а • b + b с + с • ~d + 1=0.
а/ / Используя это равенство, получаем:
/А '	{ci 4~ b) • {с 4~	* b -f- b • с -p с • ci -J-1=0j
Рис. 18	{b 4“ c) • {c a)=ci • b 4- b • c • ci -f-1=0.
66

Следовательно, две другие пары биссектрис также взаимно перпен¬
дикулярны.
425.	а) Докажите, что параллелограмм является прямоуголь¬
ником, если его диагонали конгруэнтны.
б) Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его
диагонали взаимно перпендикулярны.
426.	Вычислите длину медианы треугольника АВС, проведен¬
ной из вершины С, если |ВС| =-- а, |СЛ| = b и С = у.
427.	Вычислите длину биссектрисы треугольника, зная длины
заключающих ее сторон и величину угла между ними.
428.	Найдите необходимое и достаточное условие, связывающее
длины сторон треугольника АВС, при котором медианы треуголь¬
ника, проведенные к сторонам АС и ВС, перпендикулярны.
429.	Из вершины С треугольника АВС проведена медиана CD.
Докажите, что угол С треугольника АВС будет острым, прямым
или тупым в зависимости от того, будет ли
I CD I >	, I CD I = byl , I CD I <	.
430.	Найдите длину отрезка MN, соединяющего середины сто¬
рон АВ и CD произвольного четырехугольника ABCD, если |Л£)| =
= а, |ВС| = b и (AD, ВС) = <р. Вычислите 1Л47Ѵ| при а = 3,
b = 5 и ср = 60°.
431.	На стороне АВ треугольника АВС дана точка D. Найди¬
те |CD I, если |ВС| = а, |СД| = Ь, |АВ| = с, |А£>| ■ т и
]BD|=n.
432.	Дан квадрат ABCD. На прямых BD и ВС взяты соответ-
	►-

ственно точки М и N так, что ВМ = mBD и BN = пВС. Докажите,
что угол AMN является прямым тогда и только тогда, когда п =
= 2tn — 1.
433.	Грань АВС тетраэдра А BCD является прямоугольным
треугольником с гипотенузой АВ, грань BCD—равносторонним
треугольником. Найдите |ДР|, если |ВС| = 2, |ЛС| = 3 и двугран¬
ный угол ВС равен 30°.
434.	Найдите угол между непересекающимися диагоналями двух
боковых граней правильной треугольной призмы, если отношение
		 і/п"
длин бокового ребра и ребра при основании равно а) у 2; б) —
435.	Непересекающиеся диагонали двух смежных граней пря¬
моугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания
под углами аир. Найдите угол у между этими диагона¬
лями.
436.	Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — конгруэнт¬
ные ромбы. Найдите длины диагоналей АСГ и BDlt если |АВ|=а
и BAD = 60°. Докажите, что BDD^x — квадрат.
3*	67

437.	Докажите, что если- ССХ — высота треугольника АВС,
точка Н — его ортоцентр, то имеют место равенства:
а> СС.-НС^ АСѴС$;
‘ б) = ctgActgB.
сс,
438.	Докажите, что если О — центр описанной около треуголь¬
ника АВС окружности и И — его ортоцентр, то
1)	ОН = ÔA + ОВ + ОС;
2)	I ОН I2 = 97?2 — (а2 + Ь2 + с2);
3)	ІАНІ = 27? |cos Л|.
439.	'Докажите, что центр О описанной окружности, центроид G
и ортоцентр Н неравностороннего треугольника принадлежат одной
прямой, причем |0G| : |G/7| =1:2 (прямая Эйлера).
440.	а) Докажите, что если точка J — центр вписанной в тре¬
угольник АВС окружности, то имеет место равенство
~j	а А ЬВ —сС
а -|- b + с
б) Выразите |Л/| через длины .сторон треугольника АВС.
441.	Докажите, что если около треугольника описана окруж¬
ность радиуса 7? и в него вписана окружность радиуса г, то расстоя¬
ние d между центрами этих окружностей определяется формулой
d2 = 7?2 — 27?г
(формула Эйлера).
442.	а) Докажите, что если G — центроид треугольника АВС,
а Р —• некоторая точка пространства, то
|Л4|2 + I РВ|2 + I РС\2 = 3 I PG\2.+ ІЛОІЙ- |BG|2 + |CG|2
( теорема Лейбница).
б) В плоскости треугольника АВС найдите точку, сумма квадра¬
тов расстояний которой до вершин треугольника наименьшая.
443.	Докажите, что если А, В, С и D — произвольные четыре
точки пространства, то
Тв-cb -^вс -аЬ + са-вЬ=о. 4
Пользуясь этим равенством, докажите, что 1) высоты треуголь¬
ника пересекаются в одной точке; 2) если противоположные ребра.
АВ и CD, AD и ВС тетраэдра ABCD перпендикулярны, то ребра
АС и BD также перпендикулярны.
444.	Докажите, что у ортоцентрического тетраэдра плоские
углы каждого трехгранного угла одноименные (все острые, прямые
или тупые). Сколько остроугольных граней имеет такой тетраэдр?
68

445.	Докажите, что если Л, В, С и D — произвольные четыре
точки пространства, то
\AB\2 + \CD\2—\AD\2—\BC I2 = 2ЛС • DB.
Пользуясь этим равенством, докажите, что 1) диагонали четы¬
рехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы
квадратов длин его противоположных сторон равны; 2) для того
чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, необходимо и достаточно,
чтобы суммы квадратов длин его противоположных ребер были
равны.
446.	а) Дан выпуклый четырехугольник, две противоположные
стороны которого перпендикулярны. Докажите, что сумма квад¬
ратов диагоналей четырехугольника равна сумме квадратов двух
других противоположных сторон.
б) Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна
сумме квадратов ее боковых сторон, сложенной с удвоенным произ¬
ведением оснований.
447.	Докажите, что если основание высоты тетраэдра есть орто¬
центр соответствующей грани, то суммы квадратов длин противо¬
положных ребер тетраэдра равны.
Обратно, если суммы квадратов длин противоположных ребер
тетраэдра равны, то основание ліобой высоты тетраэдра есть орто¬
центр соответствующей грани,.
448.	а) Вычислите длину отрезка, соединяющего середины ребер
АВ и CD тетраэдра ABCD, если известны длины ребер тетраэдра.
б) Докажите, что отрезки, соединяющие середины противопо¬
ложных ребер АС и BD, AD и ВС тетраэдра ABCD, конгруэнтны
тогда и только тогда, когда ребра АВ и CD перпендикулярны.
449.	а) Центроид G тетраэдра А BCD одинаково удален от его
вершин А и В. Докажите, что
\АС\2 + \AD\2 = \ВС\2 + |BD|2.
б) Центроид G тетраэдра ABCD совпадает с центром О описан¬
ной около него сферы. Докажите, что тетраэдр ABCD равногран¬
ный. Убедитесь в справедливости обратной теоремы.
450.	Докажите, что если сумма двух плоских углов трехгранно¬
го угла равна 180°, то их общая сторона перпендикулярна биссек¬
трисе третьего плоского угла.
451.	Проведены биссектрисы плоских углов трехгранного угла.
Докажите, что углы между этими биссектрисами, взятыми попарно,
либо все острые, либо все прямые, либо все тупые.
452.	Даны три точки: А, В и С, не принадлежащие одной
прямой. Найдите множество точек М пространства, для которых
МА -МВ=МВ -МС == МС-МА.
453.	Даны две точки: А и В, Найдите множество точек М про-
■ -> —
странства, для которых МА * МВ = k, где k —данное веществен¬
ное число.
69

45£. Построить общий перпендикуляр скрещивающихся диа¬
гоналей двух смежных граней куба. Вычислить его длину, если
ребро куба равно а.
§ 14. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
При решении задач настоящего параграфа находят применение
все рассмотренные выше операции над векторами.
Одним из главных достоинств векторного метода является его
общность. При решении задач с помощью векторов не требуется
рассмотрения многих частных случаев. Планиметрическая и сход¬
ная стереометрическая задачи очень часто решаются одинаково.
Иногда векторное решение позволяет сделать интересные обобще¬
ния доказываемых геометрических фактов. Важно также и то, что
решение задачи с использованием векторов отличается естествен¬
ностью и краткостью. Как правило, не требуется проводить до¬
полнительных линий. В то же время сохраняется геометрическая
наглядность.
Решение сложных задач требует определенных навыков: умения
записывать условие задачи, в векторной форме, знания некоторых
приемов.
Пример 1. Доказать, что для всякого треугольника АВС
справедливо неравенство
з
cos а + cos Р + ces у —,
При каком условии имеет место равенство?
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник
АВС, касается сторон ВС, С4, АВ соответственно в точках Лх, Blt
Ct (рис. 19). Тогда |ОЛХ | = (0^1= |OCJ, = 180° — у,
где О — центр вписанной окружности.
'Воспользуемся соотношением
(ОЛі + ОВ1 + ÔCj)2 > 0.
Будем считать, что |OAj | = 1. Тогда ОЛ? = 1, ОАГ • ОВг = — cosy
и т. д. Вычислив скалярный квадрат, получим:
Рис. 19
з
cos а + cos P + cos у —,
причем равенство имеет место тогда и
только тогда, "когда треугольник АВС
равносторонний (см. задачу 413).
Аналогично решается следующая зада¬
ча для тетраэдра.
Пример 2. Доказать, что меры а4
7«

D
Рис. 20
двугранных углов тетраэдра А BCD удов¬
летворяют неравенству
6
cos az 2.
і=і
Решение. Пусть сфера, вписанная в
тетраэдр A BCD, касается его граней со¬
ответственно в точках Ль Clf D1 (рис. 20).
Обозначим центр сферы через О, радиус ее бу¬
дем считать равным 1.
Из соотношения
(ÔX + ÔX+ ÔC1+ ÔDi)2 >0,.
вычислив скалярный квадрат, получим:
6
^cos .az	2
1
(знак равенства имеет место только для равногранного тетраэдра).
455.	Даны параллелограмм A BCD и точка Л4. Точка ML сим¬
метрична М относительно Л, точка ТИ2 симметрична ТИі относи¬
тельно В, точка 7И3 симметрична М2 относительно С и точка Af4
симметрична М3 относительно D. Докажите, что точки М4 и М
совпадают.
456.	Противоположные стороны АВ и CD четырехугольника
A BCD разделены соответственно точками М и N в равных отноше¬
ниях, считая от вершин Л и D, Докажите, что отрезок MN делит
среднюю линию четырехугольника в том же отношении и делится
сам средней линией пополам. \
457.	На прямой ?! даны последовательно три точки А19 В19 Съ
а на другой прямой /2 — последовательно три точки Л2, В2, С2,
—
причем 151 =——- = X. Отрезки AlA2, BjB^, СхС2 разделены
■ віа,
точками А, В, С в равных отношениях, считая от точек В±, Сх.
—
АВ
Докажите, что точки А, В, С принадлежат одной прямой и	 = X.
ВС
458.	На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника Л BCD
взяты соответственно точки /(, L, М, N так, что
AK	AN	CL	СМ	.
	 	 	 	 /\ц •
~КВ	ND LB	MD
Докажите, что четырехугольник IÇLMN — параллелограмм.
459.	Дан параллелограмм ABCD. Точки Alf Blf Сп де¬
лят его стороны АВ, ВС, CD и DA в одном и том же отношении X,
а точки Л 2, В2, С2, D2 делят стороны Л1О1, D±Ci, С^ и ВІЛІ в
71

отношении X. Докажите, что четырехугольник Л2В2С2В2 гомоте¬
тичен параллелограмму А BCD, и вычислите коэффициент гомотетии.
460.	Дан положительно ориентированный треугольник АВС,
точка Н — его ортоцентр. Докажите, что
CH = ctgC(iBA).
461.	Диагонали выпуклого четырехугольника A BCD пере¬
секаются в точке О. Докажите, что прямая, проходящая через орто¬
центры треугольников ОАВ и OCD, перпендикулярна прямой, про¬
ходящей через центроиды треугольников ОВС и OAD.
Центроид системы точек (задачи
462-470)
Определение. Центроидом системы п точек Alt А2, ...
.... А„ пространства называется такая точка G, для которой выпол¬
няется равенство
2^=0.
1=1
462.	а) Докажите, что для любых точек Alt Л2, ...» Лп, О и G
пространства справедливо векторное равенство
^ÔA^nÔG + ^GA,.
Г=1	і=1
б)	Докажите, что точка G является центроидом системы точек
Alt А2, .... Ап пространства тогда и только тогда, когда
06 = 1 £04,
1=1
при произвольном выборе точки О.
в)	Докажите, что каждая система п точек пространства имеет
центроид и притом единственный.
463.	Пусть Gi — центроид системы точек Л1( .... Ат и G2—
центроид системы точек Blt ..., Вт. Докажите, что центроид G
системы всех т + п точек Лп ..., Ат, Вх, ..., Вп принадлежит
отрезку GXG2 и удовлетворяет условию
Gfi	п
gg2 т
Какие следствия можно вывести из этого предложения?
464.	Дан пятиугольник. Середина каждой стороны соединена с
серединой другой стороны, не имеющей с ней общей вершины.
Докажите, что середины полученных пяти отрезков являются вер¬
шинами пятиугольника, гомотетичного данному.
,72

465.	Докажите, что если G — центроид системы точек А19 ...
..., Ап, где п > 2, и Л1 — произвольная точка, то
п ы
466.	Докажите, что если Gv — центроид системы точек Лх,...
..., Ап и G2 — центроид системы точек Blt ..., Вп пространства, то
1)	~ ИА + ••• + АпВп)-,
. 2) I GA |< 1(1 ЛА !+..■: -н ДА I).
467.	а) Докажите, что если G — центроид системы п точек Л1(...
..., Ап пространства и М — произвольная точка, то
|МС|=-^2Імл‘1а-'ІХ,'4‘'4'Р
1=1	і</
(формула Лагранжа).
б) Дан треугольник АВС и некоторая точка Р. Докажите, что
|PG|2 = 1(|ЛР|2 + |ВР|2 + |СР|2)— 1(|ЛВ|2 + |ВС|2 + I CA I2),
где Р — центроид треугольника.
468.	Докажите, что сумма квадратов всех сторон и всех диаго¬
налей правильного n-угольника равна п2/?2, где R — радиус опи¬
санной около многоугольника окружности.
469.	Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки
окружности, описанной около правильного многоугольника, до
вершин этого многоугольника постоянна.
470.	а) Найдите множество точек пространства, для каждой из
которых сумма квадратов расстояний до вершин данного тетраэдра
постоянна.
б) В пространстве найдите точку, сумма квадратов расстояний
от которой до вершин данного тетраэдра наименьшая.
Трехгранный угол(задачи
471-473)
471.	Через вершину О прямого трехгранного угла ОАВС прове¬
дена полупрямая OD, образующая с ребрами углы, равные а, р
и у. Докажите, что
cos2 а + cos2 Р + cos2 у = 1.
472.	Дан трехгранный угол ОАВС, Известно, что ВОС = а,
СОА — р, АО В = у. Вычислите угол <р между ребром О А и бис¬
сектрисой OL угла ВОС.
73

473.	Найдите зависимость между плоскими углами а, 0, у
трехгранного угла, если их биссектрисы, взятые попарно, образуют
три конгруэнтных между собой угла.
Треугольник и тетраэдр
(задачи 474—478)
474.	а) Докажите, что расстояние от центра О окружности, опи¬
санной около треугольника АВС, до его центроида G определяется
формулой
|OG |2=Д2 — ±(а2 + Ь* + с*).
б) Докажите, что расстояние от центра О сферы, описанной око¬
ло тетраэдра ABCD, до его центроида G определяется формулой
IOGI2 = R2-±(a2 + b2 + с2+ а2 + Ь2 + с2).
475.	а) Около треугольника АВС описана окружность и по¬
строена точка D, симметричная центру О окружности относительно
		>•
стороны АВ. Выразите вектор CD через векторы ОА, ОВ и ОС.
Докажите, что
|СО|2 = R2 + а2 + Ь2 — с2.
б) Пусть О — центр сферы, описанной около тетраэдра ABCD,
G — центроид грани АВС и М — точка, удовлетворяющая условию
ОМ = 30G. Выразите расстояние от вершины D до точки М через
длины ребер тетраэдра и радиус описанной около него сферы.
476.	Докажите, что для всякого треугольника АВС справедливы
неравенства:
1)	sin2 а + sin2 р + sin2 у	— ;
'	4
3
2)	cos 2а + cos 2р — cos 2у у.
При каком условии каждое из этих неравенств обращается в
равенство?
477.	а) Докажите, что для всякого треугольника имеет место
неравенство
с2 < R2 + а2 + Ь2.
б) Докажите, что если а, Ь, с -- длины ребер тетраэдра, имею¬
щих общую вершину, ах, Ь±, q — длины трех остальных ребер и
R — радиус описанной около него сферы, то
а2 + Ь2 + с2 AR2 + а2 + Ь2 + с2.
478.	а) Докажите, что для всякого треугольника справедливы
неравенства
4г2 < С- (а2 + Ь2 + с2) < /?2.
74

б) Докажите, что если Q — сумма квадратов длин всех ребер
тетраэдра, 7? — радиус описанной около него сферы и г—радиус
вписанной в него сферы, то
9г2 < - Q < /?2.
Треугольник и ортоцентрический тетраэдр
(задачи 479—485, см. также задачи 443,
444, 445, 447, 448).
479.	Докажите, что если высоты тетраэдра пересекаются в од¬
ной точке, то любые два его противоположных ребра перпендику¬
лярны.
480.	а) Убедитесь, что если Н — ортоцентр прямоугольного
тетраэдра ABCD и О — центр описанной около него сферы, то
од = Т (0Л + ÔB + ОС + ÔD).
б) Докажите, что если противоположные ребра тетраэдра А BCD
перпендикулярны, то его высоты пересекаются в одной точке Н,
такой, что
Ôtf = l(Ô4+Ô5+ÔC + ÔD).
481.	а) Докажите, что угол С треугольника АВС острый, пря¬
мой или тупой, в зависимости от того, будет ли s > Q, s = 0 или
s < 0, где
s = т2 —(а2 + Ь2).
б) Докажите, что все плоские углы при вершине D ортоцентри-
ческого тетраэдра ABCD острые, прямые или тупые, 'ѣ зависи¬
мости от того, будет ли s > 0, s = 0 или s < 0, где
s = m2D —(a2 A-b2 + с2).
482.	а) Докажите, что если Н — ортоцентр треугольника АВС
и О — центр описанной около него окружности, то
I Л/7|2 + |В#|2 + \СН\2 = 3R2 + \ОН\2.
,6) Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре сумма квадра¬
тов расстояний от ортоцентра до вершин тетраэдра равна квадрату
диаметра описанной сферы.
483.	Докажите, что центр О описанной сферы, центроид G и
ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра ABCD принадлежат од¬
ной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки
G (прямая Эйлера ортоцентрического тетраэдра).
484.	а) Докажите, что точки, симметричные ортоцентру Н тре¬
угольника АВС относительно середин его сторон, а также точки,
симметричные ортоцентру Н относительно прямых ВС, СА и АВ,
принадлежат окружности, описанной около этого треугольника.
75

б) Докажите, что середины трех сторон, основания трех высот
треугольника и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с
тремя вершинами, принадлежат одной окружности, а центр этой
окружности принадлежит прямой Эйлера (см. задачу 439).
485.	а) Дан ортоцентрический тетраэдр ABCD, точка Н — его
ортоцентр, Gx и Нг — соответственно центроид и ортоцентр грани
ABC, G2 и Н2 — точки, такие, что HG2 = 3HGX и ЙН2 = ЗНН^
Докажите, что точки G2 и Н2 принадлежат сфере, описанной около
этого тетраэдра.
б) Докажите, что центроиды четырех граней, основания четырех
высот ортоцентрического тетраэдра и точки, которые делят каждый
из отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, в отношении
1 : 2, считая от ортоцентра, принадлежат-одной сфере, а центр
этой сферы расположен на прямой Эйлера.

ГЛАВА III
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА
КООРДИНАТ
§ 15. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО АФФИННОЙ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
В курсе алгебры средней школы изучается прямоугольная сис¬
тема координат на плоскости. При решении задач, касающихся
взаимного расположения прямых, принадлежности трех точек
одной прямой, и некоторых других более удобной является другая
система координат, называемая аффинной.
Дадим описание аффинной системы координат на плоскости и
выведем основные формулы, необходимые для решения задач коор¬
динатным методом.
Пусть на плоскости заданы две прямые, пересекающиеся в точке
О. Выберем на одной из них точку а на другой—точку £2,
отличные от О (рис. 21). Обозначим ОЕ± = е± и О£2 =е2.
Совокупность точки О и упорядоченной пары векторов ех, е2
называется аффинной системой координат. Точка О называется на¬
чалом координат, направленные прямые ОЕГ и ОЕ2 — осями коорди¬
нат, а векторы еА и е2 — базисными векторами. В частном слу¬
чае, когда |ех| = |е2| = 1 и Е^ОЕ^ = 90°, получим йрямоугольную
систему координат.
Так как векторы е± и е2 не коллинеарны, то любой вектор а
плоскости можно единственным образом представить в виде
а = хе±+уе2.
Обратно, каждая пара чисел х, у определяет в данной системе
координат единственный вектор. Числа х, у называют.координатами
вектора а и пишут: а = (х; у).
Действия над векторами, заданными своими координатами от¬
носительно аффинной системы координат, выполняются по следую¬
щим правилам: если а = (х±\ ух) и b = (х2, у2), то
1)	а + b = (хх + х2, ух + у2);
2)	а — b = (л\ — х2, Уі — у2);
3)	ра = (рхг; рух), где р —действительное число.
77

Рис. 21
Приведем доказательство
правила J).
Используя определение коор¬
динат вектора, а также законы
сложения векторов и распреде¬
лительный закон умножения
вектора на число, получим:
а + b = (хіеі + Уі^г) +
+ (*2^1 + У 2е 2)= (Л'1 + *2^1 +
+ (У1 + У2) е2 = (*1 + *2Î У1 +У2)-
Правила 2) и 3) доказываются аналогично.
Так же просто ' выводится условие коллинеарности векторов:
векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их коор¬
динаты пропорциональны.
—- ►
Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор ОМ.
Координаты вектора ОМ называются координатами точки М в




данной аффинной системе, координат. При этом, если ОМ= (х; у),
то пишут: М (х; у).
Пусть прямые, проведенные, через точку М параллельно осям
координат, пересекают оси координат соответственно в точках Мг
и М2 (рис. 21). Тогда имеем:
ОМ = ÔMY + ÔM2.
С другой стороны,
ОМ = хег + уе2.
Следовательно,
ÔMi	ом,
X =	, у =
еі	ег
Точки Ег и Ег имеют координаты: Ег '(1; 0), £2 (0; !)•
Если на плоскости даны две точки: А (х'ь Уі) и В (х2;у2),то
■ >
координаты вектора АВ вычисляются так:
- АВ = ОВ — ОА = (х2 — хх; у2 — ух).
Пусть точка С цшт отрезок АВ в данном отношении:. — =
св
= X. Тогда С =
1 + Л
(см. § 11). Из правил действий над векто-
78

рами в координатах следует, что	у/
координаты точки С определяются	/
формулами:	/
X = Хі +	у =	^2
1 + Az	1 + А,	/	Л^Ч^^
В частности, если С — середина4 У
отрезка АВ, то	егГ
х __ Fxx + х2 __ yt + у2	/О е} *	'	~
2	’ У 2	/
Рассмотрим различные способы	Рис- 22
задания прямой на плоскости.
Пусть требуется написать уравнение прямой /, заданной
в некоторой аффинной системе координат точкой Л4Х (хх; yj и нену¬
левым вектором а = (а; Р), параллельным прямой I (рис. 22).
Ректор а будем называть направляющим вектором прямой I.
Пусть М (х; у) — произвольная точка прямой /. Тогда, согласно
условию, векторы и а коллинеарны. Обратно, если М±М ||а,
- >	—►
то М € I. Векторы же МгМ и а коллинеарны тогда и только тогда,
когда выполняется равенство МгМ = ta, или
(Ж = 0MX+ ta,
где t — некоторое число (параметр). Это соотношение в координа¬
тах запишется так:-
(х = хх + «к
ІУ = Уі 4-
Полученные уравнения называют параметрическими уравнения¬
ми прямой.
При а 0 и 0	0 эти уравнения равносильны следующему
уравнению первой степени:
X—Xj _ у — У1
а 0
Если прямая задана двумя различными точками: Afx (хх; ух) и
М2 (х2; у2), то вектор Л4ХМ2 = (х2 — хх; у2 — ух) является направ¬
ляющим вектором прямой /. Следовательно, при хх ф х2 и ух у2
получаем уравнение
х — хх _ у —Уі
х2— Хі Уі — Уі ’
которое называется уравнением прямой, проходящей через две
точки.
В частности, если прямая I проходит через точки А (а; 0) и
7»

Рис. 23
В (0; &), отличные от начала координат,
то уравнение прямой принимает вид
^ + ^=1.
а b
Это уравнение называется уравнением
прямой в отрезках.
Исключим из параметрических уравне¬
ний прямой параметр t. При а у= 0 по¬
лучим уравнение
у _ У1 = k (х — Хі),
где k = —• Число k называют угловым коэффициентом прямой. В
частном случае, при хг = 0 и ух = Ь, уравнение принимает вид
у = kx + b.
Если же а = 0, то прямая I параллельна оси Оу, а ее уравнение
запишется так:
X = хѵ
Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать урав¬
нением первой степени Ах + By + С = 0, где, хотя бы одно из чи¬
сел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое
уравнение первой степени Ах + By + С = 0 есть уравнение неко¬
торой прямой в аффинной системе координат на плоскости.
При В ф 0 уравнение Ах + By + С = 0 приводится к виду
АС
у = kx + b, где k =	, b =	. Если же В = 0 и А #= 0, то
в в
с
оно принимает вид х = а, где а 		.
Рассмотрим применение метода координат.
Пример. Дан треугольник АВС. Проведены медиана CD
и прямая I, пересекающая лучи CA, СВ, CD соответственно в точ-
м V Г/	I см I	I CJV | I СК I .
ках М, N, К, таких, что 1	1 — т, !	! = п, !	! == к.
|СА| |СВ( |С£>|
Доказать, что
Решение. Примем вершину С треугольника АВС за начало
		►-

аффинной системы координат, а СА и СВ — за базисные век¬
торы (рис. 23). В таком случае точки будут иметь координаты:
А (1; 0); В (0; 1), D	М (пѵ, 0), У (0; п). Так как
СК = kCD и СЬ= 1Y то СК = -Y
Координаты точки К удовлетворяют уравнению прямой M.N'.
^4-^ = 1.
т п

Подставив координаты точки К (р в это уравнение, полу¬
чим:
k 2 \tn ti)
486.	Дан треугольник АВС. На сторонах С А и СВ взяты со¬
ответственно точки Ми N так, что | СМ |. = т | С А | и | CN | = п | СВ |.
Медиана треугольника, проведенная из вершины С, пересекает от¬
резок MN в точке Е: Найдите отношение отрезков ME и EN.
487.	Через центроид G треугольника АВС проведена прямая,
пересекающая прямые АС и ВС соответственно в точках М и N.
Докажите, что
МС ЛЛС
488.	Параллелограммы ОАВС и ОА^^ имеют общую верши¬
ну О, Лі € ЮЛ], Q С [ОС]. Докажите, что прямые AClf CAt и
ВВ1 пересекаются в одной точке.
489.	Дана трапеция ABCD. На боковых сторонах AD и ВС
взяты соответственно точки К и L так, что прямые AL и С Д' парал¬
лельны. Докажите, что прямые В К и DL также параллельны.
490.	Через вершину Л параллелограмма ABCD проведена, произ¬
вольная секущая, встречающая прямую CD в точке /И, прямую
ВС в точке N, а прямую BD в точке Р. Докажите, что
-L- = -L+-U
I АР I I AM J |Л/Ѵ|
491.	Дан параллелограмм ABCD. На прямой ВС построены точ-
—
ки М и N так, что ВМ — CN. Прямые AM и ЛМ пересекают пря¬
мую CD соответственно в точках Р и Q. Докажите, что
|ОР|2 = |СР| • |PQ|.
492.	Прямая, проведенная параллельно основаниям трапеции
ABCD, пересекает ее боковые стороны AD и ВС соответственно
в точках М и N, а диагонали АС и BD в точках К и L. Докажите,
что IМК\ = \LN\.'
493.	Дана трапеция ABCD. На боковых сторонах AD и ВС да¬
ны точки М и Этакие, что |AM| : |7WD| = |САГ| : |NB\. Прямая
MN пересекает диагональ АС в точке Р, а диагональ BD в точке Q.
Докажите, что |/ИР| = |NQ\.
494.	Точки М и N делят боковые стороны AD и ВС трапеции
ABCD в равных отношениях, считая от вершин А и С. Докажите,
что если одно из оснований трапеции вдвое больше другого, то от¬
резок MN делится диагоналями на три конгруэнтные части.
495.	Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD
пересекаются в точке О. На диагоналях построены точки Р и Q
81

такие, что АР = ОС, BQ = OD. Прямая PQ встречает стороны AD
и ВС соответственно в точках М и N. Докажите, что | МР\ = | jVQ |.
496.	Через точку Р, лежащую на продолжении диагонали АС
четырехугольника ABCD, и середины сторон ВС и CD проведены
две прямые, пересекающие стороны АВ и AD соответственно в
точках Е и F. Докажите, что прямые EF и BD параллельны.
497.	На сторонах АС и ВС треугольника АВС строятся соот-
»7	ІСЛ4І |®'| и »
ветственно точки М и N так, что J		 = -——. Найдите мно-
I МА I I JVC I
жество середин отрезков MN.
498.	На прямой I фиксирован отрезок АВ. Через данную точку
М этой прямой проведена прямая т, на которой выбираются точки
	►-

Р и Q так, что MP = 2ÆÎQ. Найдите множество точек пересечения
прямых АР и BQ.
499.	Даны прямая / и точки А и В, лежащие по одну сторону
от нее. Найдите множество точек X, для которых имеет место
равенство
АХ ! ВХ _ 2
ХАГ ХВГ
где Лх = Z П (АХ), B1 = l{\ (ВХ).
§ 16. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ
При решении задач, в которых существенную роль играет по¬
нятие расстояния между двумя точками, применяется прямоуголь¬
ная система координат.
Пусть даны две точки: А (хх; yj и В (х2; у2). Тогда, как известно,
IА ВI = К(х2 — хх)2 + (у2 — У?)2-
Пользуясь этой формулой, запишем уравнение окружности с
центром в точке С (а\ Ь) и радиусом г:
(х — а)2 + (у — Ь)2 = г2.
Теория прямой; изложенная* в предыдущем параграфе, справед¬
лива и для прямоугольной системы координат. В частности, при
решении задач мы будем пользоваться уравнением прямой с угло¬
вым жоэффициёнтом &, проходящей через точку A (xj yj:
У — Уі = k (х — хх).
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя
точками А (хх; ух) и В (х2; у2), вычисляется по формуле
k = -^=^.
—
82

Напомним, что угловой коэффициент
прямой I в прямоугольной системе коорди¬
нат имеет следующий геометрический
смысл: £=tga, где а — величина угла от
оси абсцисс до прямой /.
Пусть прямые Іх и /2 заданы своими
уравнениями с угловыми коэффициента¬
ми: у = k±x + br и у = k2x + b2.
Если /і И /2, то = а2, поэтому =
= k2, и обратно, т. е. условие = k2
выражает признак параллельности пря¬
мых и /2.
Выведем формулу для вычисления уг¬
ла ф между пересекающимися прямыми 1±
и /2 (рис. 24).
Так как ф = а2 — и kr = tg аь
k2 = tg а2, то
tg ф = tg (а2 — aj = -	,
1 + tg ax tg a2 (
ИЛИ
tg(p =
^2 kj
1 + kyk2
Полученную формулу для вычисления
угла от прямой lr до прямой /2 можно за¬
писать и так:
■	1 + kJi2
ctg<P= ‘Л
fto — k.
Отсюда следует, что ф = 90° тогда и только тогда, когда krk2 = —1,
т. е. условие kYk2 = —1 выражает признак перпендикулярности
прямых 4 и 12.
Приступая к решению геометрической задачи, следует рациона¬
льно выбрать систему координат, присоединить ее к данной фи¬
гуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные
точки располагались на осях координат, тогда среди координат
будут нули.'Это позволит упростить вычисления.
Пример. Даны равносторонний треугольник ЛВС-и окруж¬
ность, проходящая через вершины Л и В, центр которой симметри¬
чен вершине С относительно прямой АВ. Доказать, что если М —
произвольная точка этой окружности, то из отрезков МА, МВ,
МС можно составить прямоугольный треугольник (который вы¬
рождается, если М = А или М = В).
Решение. Введем на плоскости прямоугольную систему
координат. За начало координат возьмем середину О отрезка АВ,
точку В примем за единичную точку оси абсцисс (рис. 25). Тогда
83

|0Л I = I OB I =4, I BC| = 2 и I ОС I = ]Лз. Следовательно, данные
точки получают координаты: А (—1; 0), В (1; 0), С (0; У"3),
D (0; —УЗ).
Уравнение окружности с центром D радиуса | AD | имеет вид
х2 + (у + /З)2 = 4.
Пусть М (а; 0) — некоторая точка этой окружности. Требуется
доказать, что |МА |2 + |7ИВ|2 = | МС\2.
По формуле расстояния между двумя точками имеем:
|Ш|2 = (а 4- I)2 + р2;
[МВ|2 = (а — I)2 + р22
I MCI2 = а2 + (₽ — ]/3)2.
Отсюда
I МА I2 + I А4В|2 — |Ж?|2 = а2+р2+2/зр — 1=а2+(р+}Сз)2_4.
Учитывая, что координаты точки М (а; Р) удовлетворяют уравне¬
нию окружности, т. е. а2 + (Р + ]^3)2 — 4 = О, получаем;
І-Д4Л |2 + IД4В I2 = 17ИС|2.
Задачи, помещенные в настоящем параграфе, могут быть решены
не только координатным методом, но и элементарными средствами,
с помощью искусных вспомогательных построений. В частности,
красивое геометрическое решение приведенной задачи можно по¬
лучить, повернув треугольник АВМ вокруг точки А на 60°.
Решение одной и той же задачи различными средствами позво¬
лит читателю лучше понять сущность каждого метода, оценить его
положительные и отрицательные стороны, приобрести опыт в оты¬
скании рационального решения задачи.
Задачи на доказательство
(500-511)
500.	В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. Дока¬
жите, что
I MA J2 + \МС\2 - |МВ|2 + I MD I2.
501.	Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки М,
взятой на диаметре некоторой окружности, до концов любой из
параллельных' этому диаметру хорд постоянна.
502.	Окружность вписана в ромб с углом 60°. Расстояние от
центра окружности до ближайшей вершины равно 1. Докажите,
что для любой точки Р окружности имеет место равенство
\РА\2 + I РВ|2 + \РС\2 + I PD I2 = 11.
503.	Пусть D — середина основания АВ равнобедренного тре¬
угольника АВС и F — середина перпендикуляра DE, проведенного
84

из точки D к стороне ВС. Докажите, что отрезки АЕ и CF пер¬
пендикулярны.
504.	В окружность вписан прямоугольник ABCD. Из произ¬
вольной точки Р окружности проведены перпендикуляры к прямым
ЛД ВС, CD и DA, встречающие эти прямые соответственно в точ¬
ках L, М и N. Докажите, что точка N — ортоцентр треуголь¬
ника КЕМ-
505.	На высоте СС{ треугольника АВС дана произвольная точ¬
ка Р. Прямые АР и ВР пересекают стороны ВС и С А соответствен¬
но в точках А1 и Д. Докажите, что луч СгР является биссектрисой
угла Л/^Д.
506.	а) Даны параллельные хорды окружности АВ и CD,
причем I АВ \ = 8, | CD\ =10, расстояние между хордами равно 5.
Найдите радиус окружности.
б) Параллельные хорды АВ и CD окружности равны 2а и 2Ь,
а расстояние между ними равно d. Докажите, что центр окружности
лежит внутри трапеции ABCD тогда и только тогда, когда
\a2 — b2\<d2.
507.	При повороте вокруг начала координат на угол ср точка
М (х; у) отображается на точку М' (х'; у'). Докажите, что
х' = X cos ф — у sin ф,
— у' = X sin ф + У cos ф.
508.	В плоскости правильного треугольника через его центр
проведена произвольная прямая. Докажите, что сумма квадратов
расстояний от вершин треугольника, до этой прямой не зависит
от выбора прямой.
509.	Около окружности описан квадрат ABCD. Из вершин квад¬
рата к произвольной прямой, касающейся окружности, проведены
перпендикуляры AAlt BBlf CCt и DDt. Докажите, что
IАА,\ - |СД| = |ВД| - \DD1\.	-
510.	Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС.
Отрезки АгС и ВУС — параллельные.проекции его катетов АС и ВС
на прямую, проходящую через вершину С. Докажите, что
ІЛС|2 + іад2
зависит только от угла ср между осью проекций и прямой I, па¬
раллельно которой производится проектирование.
511.	а) Относительно прямоугольной системы координат дана
прямая I своим уравнением у = kx. Составьте формулы осевой сим¬
метрии с осью I.
б) Докажите, что композиция двух осевых симметрий, оси кото¬
рых пересекаются под углом а, есть поворот вокруг точки пере¬
сечения осей на угол 2а.
85

Задачи на отыскание множеств
точек (512—527)
512.	На плоскости даны две точки: А и В. Точка С перемещается
в' плоскости так, что длина медианы AD треугольника АВС остается
неизменной. Найдите множество точек С.
513.	а) На плоскости даны точки А и В. Найдите множество
точек М плоскости, удаленных от А вдвое больше, чем от В.
б) Найдите множество точек плоскости, отношение расстояний
от которых до двух данных точек постоянно.
514.	а) Найдите множество точек плоскости, разность квадра¬
тов расстояний от которых до двух данных точек постоянна.
б) На плоскости даны две точки: А и В. Найдите множество то¬
чек М плоскости, для которых
kr |ЛМ|2 + £2 |ВМ|2 = k,
где k, kly k2— действительные числа.
515.	На плоскости даны две точки: Л и В. Найдите множество
точек С плоскости таких, что в треугольнике АВС медиана AD
конгруэнтна стороне ВС.
516.	На плоскости даны точки А и В. Найдите множество то¬
чек С этой плоскости таких, что медианы треугольника АВС, про¬
веденные из вершин А и В, перпендикулярны.
517.	На плоскости даны точки А и В. Найдите множество то¬
чек С плоскости таких, что в треугольнике АВС высота СН кон¬
груэнтна медиане AD.
518.	На плоскости даны прямые /2, пересекающиеся под
углом 45°, и точка М Ç /х. Точки Р1У Р2 симметричны точке Р
относительно и /2. Найдите множество точек В, для которых-точки
Рг, Р2 и М принадлежат одной прямой.
519.	На данном отрезке АВ берется произвольная точка С.
По одну сторону от АВ на отрезках АС и СВ строятся квадраты.
Найдите множество середин отрезков, соединяющих центры этих
квадратов.
520.	В плоскости жвадрата А BCD найдите множество точек Л4,
для которых имеет место равенство
IЛЬ41 + |Л1С| = I 7ИВ| + I Л4О|.
521.	Найдите множество точек пересечения диагоналей прямо¬
угольников, вписанных в данный треугольник АВС так, что сто¬
рона каждого'прямоугольника лежит на большей стороне треуголь¬
ника.
522.	На окружности даны точки А и В. Точка С скользит по
окружности. Найдите множество точек пересечения медиан и мно¬
жество точек пересечения высот треугольников АВС.
523.	На плоскости даны точки А и В. Найдите множество то¬
чек С таких, что отрезок СН, соединяющий точку С с ортоцентром
Н треугольника АВС, конгруэнтен стороне АВ.
86

524.	В плоскости треугольника АВС найдите множество точек
М, для которых справедливо равенство
|МЛ|2 + |МВ|2 = 2 |МС|2.
525.	Дан треугольник АВС. На прямой АВ найдите множество
точек Р, удовлетворяющих условию
I СР|а = I API • |ВР|.
526.	На сторонах прямого угла С взяты точки А и В так, что
I CA I = I СВ|. Найдите множество точек М, расположенных внутри
угла АСВ, для которых АМС — СМВ.
527.	В плоскости квадрата ABCD найдите множество точек М,
для которых а) АМВ = CMD; б) АМВ + CMD =180°.
§ 17. РАВНОБОЧНАЯ ГИПЕРБОЛА
И ПАРАБОЛА
В настоящем параграфе рассматриваются свойства кривых ли¬
ний, известных из школьного курса алгебры: равнобочной гипер¬
болы и параболы.
Равнобочная гипербола относительно прямоугольной системы
координат обычно задается уравнением ху = k, где k =/= 0. В даль¬
нейшем без ограничения общности и для удобства вычислений можно
считать, что k = 1, так как с изменением направления одной из
осей координат всегда можно добиться, чтобы было k > 0, а с из¬
менением единичных отрезков на осях координат — чтобы было
k = 1.
То же самое можно сказать и о параболе, определяемой уравне¬
нием у = ах2. Для упрощения вычислений здесь можно положить
а = 1.
Пусть точки Дх (х/, ух) и
А2(х2,у2) принадлежат гипер¬
боле ху = 1. Вычислим угло¬
вой коэффициент k хорды ДхЛг:
k = -^=^- =
— XL
	. х2 xr 	1
Х% Xi	X1X2
Представим себе, что точка Alf
перемещаясь по кривой, неогра¬
ниченно приближается к непо¬
движной точке А2 (рис. 26). В
пределе, при совпадении точек
и Л2, секущая ЛХД2 займет
87

положение касательной к гиперболе в
точке Л2. Угловой коэффициент касатель¬
ной можно вычислить, подставив в найден¬
ное выше выражение х2 вместо хѵ Таким
образом, получаем:
Теперь уравнение касательной к гипербо¬
ле в точке (х0; у0) можно записать как урав¬
нение прямой с угловым коэффициен¬
том k\
У — У о = k (X — х0).
Точно так же можно показать, что уг¬
ловой коэффициент хорды Л1Л2 параболы
у = х2 вычисляется по формуле-
k = Хі + х2,
а угловой коэффициент касательной к параболе в ее точке (хх; yj
получается из этой формулы, если положить х2 — х±. Поэтому
k = 2хѵ
Тот же результат можно получить и с помощью производной. Из
курса математики IX класса известно, что угловой коэффициент
касательной к линии, заданной уравнением у = f (х), в точке (хх; ух)
можно вычислить так:
k =
Пример. Даны параболы у = х2 и у = х2 + m (т > 0). Доказать,
что хорда первой параболы, касающаяся второй параболы, делится
точкой касания пополам (рис. 27).
Решение. Пусть прямая I касается параболы у = х2 + т
в точке Мо (х0; у0). Уравнение касательной I имеет вид
У — Уо~ (х — х0),
vas k = f' (х0) = 2х0 и у0 = х2 4- т. Выполнив подстановку, по-
лучим:
у = 2хлх — X2 + т.
Обозначим через А (хх; ух) и В (х2; у2) точки пересечения пря¬
мой I с параболой у = х2. Координаты этих точек являются реше¬
ниями системы уравнений:
(у = 2хех — х2 + т;
(у = X2.
Приравняв правые части уравнений, получим квадратное уравнение
X2 — 2xqx + х2 — т = 0,
88

которое всегда имеет два действительных корня х± и х2, причем
по теореме Виета
+ х2 = 2хо,
или
_	+ Х2
— •
Полученное соотношение означает, что точка Мо — середина от¬
резка АВ.
528.	Прямая пересекает гиперболу ху = 1 в точках А и В,
а оси координат — в точках Лх и Вх. Докажите, что | ЛЛХ| — | ВВХ |.
529.	Докажите, что отрезок любой касательной к равнобочной
гиперболе, заключенный между ее асимптотами1, делится точкой
касания пополам.
530.	Докажите, что площадь треугольника, образованного двумя
асимптотами равнобочной гиперболы и подвижной касательной,
есть величина постоянная.
531.	Докажите, что середины параллельных хорд равнобочной
гиперболы принадлежат одной прямой.
532.	В- равнобочную гиперболу вписан треугольник (вершины
треугольника принадлежат гиперболе). Докажите, что ортоцентр
треугольника принадлежит этой же гиперболе.
533.	В равнобочную гиперболу вписаны прямоугольные тре¬
угольники с общей вершиной прямых углов. Докажите, что их ги¬
потенузы параллельны между собой.
534.	а) Фигура F задана уравнением
X2 — у2 = а2,
где а Ф 0. Найдите уравнение образа фигуры F при повороте вокруг
начала, координат на 45°. Докажите, что F — равнобочная гипер¬
бола.
б) Докажите, что оси прямоугольной системы координат явля¬
ются осями симметрии гиперболы х2 — у2 = а2.
535.	Гипербола х2 — у2 = а2 пересекает ось абсцисс в точках
А и В. Точки М. и N, принадлежащие гиперболе, симметричны
относительно, прямой АВ. Докажите, что хорды AM и BN гипер¬
болы перпендикулярны.
536.	На плоскости даны точки А н В. Найдите множество то¬
чек С плоскости, для которых IСАВ — СВА | = 90°.
537.	На плоскости даны прямые I, т и п, причем тип пер¬
пендикулярны I. Найдите множество точек плоскости, расстояние
каждой из которых до прямой I равно среднему геометрическому
расстояний до прямых т и п.
538.	Через данную точку М к параболе проведена секущая,
встречающая ее в точках А и В. Докажите, что если Л4Х, Лх, Вх —
проекции точек М, А, В на прямую, перпендикулярную оси пара¬
1 Асимптотами гиперболы ху = 1 являются оси координат.
89

болы, то произведение |• |MxBJ не зависит от выбора се¬
кущей.
539.	К параболе в ее вершине О проведена касательная и через
точку А касательной проведена секущая, встречающая параболу в
точках М- и N. Докажите, что если Р и Q — проекции точек М и
N на касательную, то
|ЛР| • 14Q| = |Л0|2.
540.	Докажите, что середины параллельных хорд параболы
принадлежат прямой, параллельной оси параболы.
541.	В точках А и В параболы проведены к ней касательные,
пересекающиеся в точке С. Докажите, что прямая, проходящая
через середины отрезков АС и ВС, касается параболы.
542.	При гомотетии с центром S (хо; уо) и коэффициентом k
точка М (х; у) отображается на точку (хх; yj. Докажите, что
Xj == kx -ф (1 — /?) Хо,
У1 = ky + (1 — k) уо.
Рассмотрите случай k = —1.
543.	а) Докажите, что параболы у = х2, у = —х2 + рх + q
центрально-симметричны. Вычислите координаты центра симметрии.
б) Докажите, что параболы у — х2, у = ах2 + Ьх + с, 1
гомотетичны.
544.	Две параболы с параллельными осями касаются в точке М.
Докажите, что если две касательные, проведенные к этим парабо¬
лам, параллельны, то точки касания и точка М принадлежат одной
прямой.
545.	Докажите, что если две параболы с перпендикулярными ося¬
ми пересекаются в четырех точках, то через эти четыре точки можно
провести окружность.
546.	В параболу вписан четырехугольник ABCD. Через произ¬
вольную точку Аг параболы проведена хорда Л1В1, параллельная
хорде АВ, далее проведена хорда В^, параллельная хорде ВС,
и хорда С1РГ, параллельная хорде CD. Докажите, что* хорда
параллельна хорде DA.
547.	Найдите множество точек пересечения касательных к па¬
раболе в концах произвольной хорды, проходящей через данную
точку.
548.	Докажите, что множество центров окружностей, касаю¬
щихся данной прямой I и проходящих через данную точку А, не
принадлежащую I, есть парабола.
549.	Даны прямая I и точка А. Найдите множество точек плос¬
кости, для каждой из которых разность квадратов расстояний до
точки Л и до прямой I постоянна и равна k2.
550.	Даны окружность и прямая I, касающаяся окружности в
точке Л. Найдите множество центров окружностей, касающихся
данной окружности и прямой /.
90

551.	Расстояние от точки А до прямой I равно 1. Найдите мно¬
жество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний
до точки Л и до прямой I равна 3.
§ 18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ПЛОСКОСТЬ И СФЕРА
Из курса стереометрии известно, что уравнение плоскости, пер¬
пендикулярной вектору п = (Л; В; С), в прямоугольной системе
координат имеет вид Ах + By + Cz + D = 0.
Положение плоскости в пространстве однозначно определяется
заданием трех ее точек, не принадлежащих одной прямой. Пусть
плоскость а пересекает оси координат в точках Лу (а; 0; 0),
7И2 (0; Ь; 0) и М3 (0; 0; с), но не проходит через начало координат.
Подставив координаты этих точек в общее уравнение плоскости,
получим:
Аа -|- В == 0,
ВЬ + D = 0,
Сс + D = О,
где числа а, Ь, с и D отличны от нуля. Отсюда находим
Л=—-, В=—-, С= — -,
abc
и уравнение Ах + By 4- Cz А-D = 0 приводится к виду
± + Х + ±=1.
a b с
Полученное уравнение называют уравнением плоскости в отрезках.
Рассмотрим задачу о вычислении расстояния от точки до плос¬
кости. Пусть А (хо; у0; zo) — точка в координатном пространстве
и а — плоскость, заданная уравнением ах + by + cz + d = 0.
Требуется найти расстояние |АВ\ от точки А до этой плоскости
(рис. 28). Обозначим-через х19 у19 z1 координаты точки В, тогда
АВ = (хх — х; ух — у; zr — z).
———>
Вектор АВ коллинеарен вектору п = (а;-
Ь; с), поэтому
АВ — рп = (ар; bp-, ср).
Следовательно,
Хх = Хо 4- ар, Ух = уо + ьр, Zx = Zo + ср.
По формуле расстояния между двумя
точками
IЛ ВI = I р I У а2 + Ь2 + с2.
Рис. 28
91

Найдем число р. Так как координаты точки В удовлетворяют урав¬
нению плоскости, то
а (хо + ар) + b (уо 4" Ьр) 4~ с (го 4~ ср) 4-^ = 0.
Отсюда
I f I ДХр 4- Ьу0 4- czQ 4- d I
IPI	а^ + Ь^ + ^
Таким образом,
I ДВ I = I о 4-	+ ^ !
1	’	Y a2 4- b2 + cr
t. e. для того чтобы вычислить расстояние от точки А до плоскости
а,	надо в многочлен' ах 4- by +	4- d вместо х, у, z подставить
координаты точки А, взять модуль полученного числа и разде¬
лить его на число У а2 4~ Ь2 4-с2.
Пример. Вычислить высоту треугольной пирамиды, у ко¬
торой все углы при вершине прямые, а длины боковых ребер равны
соответственно 1, 2 и 3.
Решение. Выберем в пространстве прямоугольную систему
координат так, чтобы вершины данной пирамиды О А ВС имели
координаты О (0; 0; 0), А (1; 0; 0), В (0; 2; 0), С (0; 0; 3).
Запишем уравнение плоскости ЛВС. как уравнение плоскости
в отрезках:
—+ —4~—= 1,
12	3
ИЛИ
6х “I- Зу -f-	— 6 = 0.
По формуле расстояния от точки до плоскости найдем высоту h
пирамиды:
,	6	6
h = г—	—г-тг = —.
у62 4- 32 4- 22	7
552.	Боковые	ребра	прямоугольного	тетраэдра	конгруэнтны,
высока равна h. Найдите объем тетраэдра.
553.	Найдите радиус сферы, описанной около тетраэдра ABCD
с прямым трехгранным углом при вершине D, если |£>Л | = а,
IDBI = b, |DC| = c. Укажите положение центра сферы относитель¬
но граней тетраэдра.
554.	Докажите, что расстояние от вершины D прямого трехгран¬
ного угла прямоугольного тетраэдра ABCD до любой плоскости, про¬
ходящей через центр О описанной около него сферы, равно алгебраи¬
ческой сумме расстояний от трёх других вершин до этой плоскости.
555.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и углом
б,	0°. Высота пирамиды равна h. Боковые грани пирамиды — кон¬
груэнтные треугольники. Найдите радиус полушара, вписанного в
пирамиду так, что его основание лежит в плоскости основания пи¬
рамиды. Вычислите радиус при а 4 и h = 3.
92

556.	В правильную четырехугольную пирамиду со стороной ос¬
нования а и высотой h вписан шар. Найдите радиус шара, если
а — 12 и h = 8.
557.	Докажите, что алгебраическая сумма, расстояний от вер¬
шин тетраэдра до любой плоскости, проходящей через его центроид,
равна нулю.
558.	Через точку, делящую диагональ куба в отношении 1 : 3,
перпендикулярно этой диагонали проведена плоскость. Найдите
площадь полученного сечения, если ребро куба равно 4.
559.	Через центр куба проведите плоскость перпендикулярно
его диагонали. Определите вид полученного сечения.
560.	Даны шесть точек: А (а; Ь; с), В с; а), С (с; а; Ь),
(a-, с; b), B± (b; a; c), Cx (c; a) — относительно прямоугольной
системы координат в пространстве, причем а, Ь, с различны. Дока¬
жите, что эти точки принадлежат одной плоскости.
561.	а) Через данную точку Л4, лежащую внутри прямого угла,
в его плоскости проведите прямую так, чтобы отрезок ее, заключен¬
ный внутри угла, делился точкой М пополам.
б) Через точку М, лежащую внутри прямого трехгранного угла,
проведите плоскость так, чтобы точка М была центроидом треуголь¬
ника АВС, полученного в сечении.
562.	а) Внутри прямого угла дана точка А, расстояния от ко¬
торой до сторон угла равны тип. Вычислите радиус окружности,
проходящей через точку А и касающейся сторон данного угла.
Сколько решений имеет задача?
б) Через данную внутри прямого трехгранного угла точку А
проведена сфера, касающаяся всех его граней. Найдите радиус
этой сферы, если расстояния от точки А дю граней равны соответст¬
венно т, п и р. Вычислите радиус сферы, если 1) т — 1, п = 2,
р = 5; 2) т = 1, п. = 1, р = 4; 3) т = 1, п — 2, р = 6.
563.	Дан тетраэдр А BCD с прямым трехгранным углом при
вершине D. Точка L, принадлежащая грани АВС, одинаково уда¬
лена от всех других граней. Найдите |DL|, если |£>Д| = a, \DB\=b
■и |DC| = с.
564.	Дан тетраэдр A BCD, у которого все плоские углы при
вершине D прямые; DH — высота тетраэдра. Докажите, что
где h |£>Я|, а = |£>Д|, b = |ДВ| и с = |ДС|.
565.	Дан прямоугольный тетраэдр ОАВС с прямым трехгранным
углом при вершине О. Точка-Р расположена в плоскости грани
яа„	|ЛР| |ВР| |€Р|
АВС, причем 1	! = u, J1 = v, J	1 — w.
г I AO I |BO I |CO I
Докажите, что
u2 + v2 + ш2 = 2 -f- ctg2 a,
где a — угол наклона прямой OP к плоскости АВС.
93

566.	В куб, ребро которого равно а, вписан шар. Докажите,
что сумма квадратов расстояний от любой точки шаровой поверхно¬
сти до вершин куба постоянна. Вычислите эту сумму.
567.	Дан тетраэдр ABCD. Найдите множество точек М про¬
странства таких, что
\АМ I2 + |Œ|2 = \ВМ I2 + \DM I2.
568.	В пространстве даны точки А и В. Найдите множество то¬
чек пространства, удаленных от А вдвое больше, чем от В. -
569.	Дан куб, ребро которого равно а. Найдите множество то¬
чек пространства, сумма квадратов расстояний которых до вершин
куба равна 12а2.

ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛЫ.
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 19. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
ПРЕДЕЛОВ
Первые задачи этого параграфа приводят к нахождению суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Более сложные
задачи требуют умения находить пределы некоторых числовых
последовательностей.
Рассмотрим последовательность, заданную соотношениями:
а± = и + ѵао,
а2 = и + ѵа19
а3 = и + ш2,
ап = и + ѵап^.
При V = 1 эта последовательность является арифметической про¬
грессией, а при и = 0 — геометрической прогрессией.
Выразим общий член последовательности через яо, и, ѵ. Для
этого умножим первое из равенств на второе — на ѵп~2 и
т. д., предпоследнее — на ѵ. Сложив их затем почленно, получим:
ап = и (1 + V + ѵ2 + ... + у""1) + ѵпао.
Если |и| <1, то последовательность {ап} при неограниченном
возрастании п стремится к определенному пределу. Найдем его.
Выражение в скобках представляет собой сумму Sn членов убы¬
вающей геометрической прогрессии. Учитывая, что lim Sn = —-—
П-+ОО	1 — V
и Ііш ѵп = 0, получаем:
Пример. Дан треугольник АВС. На луче АВ отложим от¬
резок AAlf конгруэнтный отрезку АС, на луче ВА отложим отре¬
зок ВВ19 конгруэнтный отрезку ВС. Продолжая аналогичные по¬
строения по отношению к треугольнику Л^С, получим треуголь¬
ник А2В2С и т. д. Общая высота этих треугольников равна h. Най¬
ти предел последовательности площадей треугольников АВС,
Л1В1С, А2В2С, ...
95

А А2 В1 А, В2 В
Рис, 29
Первый способ. Обозначим
величину угла А треугольника
АВС через а, величину угла А;
треугольника АіВіС — через cq
(рис. 29). Тогда имеем:
Л
ал = —
п 2
«/г -г
2
Следовательно, и = о = — — и
согласно полученной выше фор¬
муле
Ііііі
П->
2
Аналогично такой же результат получим для .последовательности
величин углов В, В2, ... рассматриваемых треугольников.
. Таким образом, последовательность треугольников
стремится к равностороннему треугольнику АоВоС, высота кото-
А2
рого равна h, а площадь равна
Второй способ. Если положить а = — + е, то получим:
3
л е
аі =	,
1	3	2
а2
Л ' 8
3~	4
Л ■	8
У + (— 2)Л
Следовательно,
1 *

lim ап = —
/г->оо	3
Далее так же, как при первом'способе.
570.	На одной стороне угла в 30° взята точка А на расстоянии
d от вершины угла. Из этой точки проведен перпендикуляр ААг к
другой стороне, затем из точки Дх — перпендикуляр ЛХД2 к пер-
вой стороне и т. д. Найдите предел длины ломаной АА^2 ... Ап
при неограниченном возрастании п.
571.	Данный отрезок длины а разделен на п конгруэнтных
отрезков и на каждом отрезке как на диаметре построена полу¬
окружность. Найдите предел длины линии, составленной из полу¬
окружностей, при неограниченном возрастании я.
96

572.	В правильный треугольник вписы¬
вают круги равных радиусов так, как пока¬
зано на рисунке 30. Найдите предел, к кото¬
рому стремится отношение площади, зани¬
маемой всеми вписанными кругами, к пло¬
щади треугольника, когда число кругов
неограниченно возрастает.
Решите аналогичную задачу для кругов,
вписанных в квадрат.
573.	На одной стороне угла с вершиной
А дана точка В. Точка С перемещается по
другой стороне угла. Известно, что
ВАС — а. Найдите предел отношения периметра треугольника АВС
к диаметру описанной около него окружности, если расстояние | ВС\
неограниченно возрастает.
574.	В окружность радиуса R вписан треугольник АВС. Бис¬
сектрисы его углов пересекают окружность соответственно в точ¬
ках Лх, Ви Ci, биссектрисы углов треугольника пересекают
окружность соответственно в точках Л2, В2, С2 и т. д. Найдите
предел последовательности площадей треугольников АВС, А^С^
А2В2С2, ...
575.	На параллельных прямых а и расположены сонаправлен¬
ные лучи AM и ЛіЛіѵ Биссектриса угла АА^Л^ встречает прямую
а в точке Л2, биссектриса угла А]А2М —прямую в точке Ая
и т. д. Докажите, что последовательность длин отрезков dn =| ЛлЛ„+1|
стремится к пределу, и найдите этот предел, если расстояние между
прямыми а и ai равно h.
576.	Даны три точки Аи Л2, Л3, не принадлежащие одной
прямой. На луче, Л3ЛХ откладывается отрезок Л3Л4, конгруэнтный
отрезку Л2Л3; на луче Л4Л2 откладывается отрезок Л4Л5, кон¬
груэнтный отрезку Л3Л4, и т. д. Докажите, что треугольник
Ля_1ЛлЛл+1 стремится к правильному треугольнику.
577.	Из точки.Х4 стороны АС равностороннего треугольника АВС
проведен перпендикуляр Х^ к стороне ЛВ; из основания
этого перпендикуляра проведен перпендикуляр к стороне
ВС; из основания Z4 последнего проведен перпендикуляр ZjX2
к первоначальной стороне АС. Докажите, что если эту операцию
продолжить неограниченно, то последовательность точек Xlt
Х2, ... на стороне АС имеет предельную точку. Построить эту
точку и аналогичные точки на двух других сторонах.
578.	В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD проведен отре¬
зок Л4В4, соединяющий середины диагоналей. В полученной тра¬
пеции AjBiCD проведен отрезок Л2В2, снова соединяющий середины
диагоналей, и т. д. Докажите, что последовательность длин отрезков
АВ, АіВі, А2В2, ... стремится к пределу. Найдите этот предел,
если I ЛВ| = а, |CD| = b и а < Ь.
579.	На сторонах угла с вершиной 0 даны точки Л и В. Пере-
4 Заказ 32
97

менная прямая і пересекает стороны угла в точках Ак и В± таких,
что площади треугольников ОА^ и ОАВ равны. Найдите предель¬
ное положение точки пересечения прямой t с прямой АВ, когда
t -> (АВ).
§ 20. ЗАДАЧИ НА ОТЫСКАНИЕ
НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ
ЗНАЧЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЕЛИЧИН
Геометрические задачи на максимум и минимум не всегда могут
быть решены элементарными средствами. Общий метод решения
таких задач дает дифференциальное исчисление.
Для отыскания наибольшего или наименьшего значения вели¬
чины следует из числа переменных в данной задаче выбрать аргумент
и выразить исследуемую величину как функцию этого аргумента.
Область определения полученной функции обычно легко находится
по смыслу задачи. После чего наибольшее или наименьшее значение
функции вычисляется с помощью производной.
'Пример. Из квадратного листа жести со стороной а требуется
вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так,
чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как
это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?
Решение. Пусть Л BCD — данный квадрат, О — его центр
и K.LMN — основание искомой пирамиды (рис. 31). Обозначив
через X расстояние от точки К до стороны Л В, выразим объем пи¬
рамиды как функцию X. Получим:
Ѵ=-|ОК |2Л,
3	1	'
где
|0К| = |-х,
ft2 = J AK I2 -1 ОК |2= х2 - (у - ах.
Следовательно,
По смыслу задачи 0 < х < у.
Функция V принимает наибольшее значение одновременно с
функцией у = X (у — х) .
98

Вычислим производную:
Приравняв производную к нулю, получим
уравнение, имеющее в промежутке.
О < х < — единственный корень: х = —.
В этой задаче интересующий нас про¬
межуток содержит лишь одну критическую
точку. Поэтому достаточно сравнить значе¬
ние функции в этой точке со значениями на
[л а 1
0; — .
Имеем:
Ѵ(0) = ѵ(у)=0 и Ѵ^)>0;
следовательно, при х = функция V имеет наибольшее значение.
Таким образом, объем пирамиды будет наибольшим тогда, когда
4
диагональ ее основания равна — стороны данного квадрата.
5
Сделаем еще одно замечание. Пусть функция в заданном проме¬
жутке имеет только одну критическую точку. Если значения функ¬
ции на концах промежутка вычислить трудно или если этот промежу¬
ток бесконечный, то можно исследовать функцию на максимум и ми¬
нимум в критической точке. В нашем примере производная в точке
X = меняет знак с плюса на минус. Следовательно, функция
имеет в этой точке максимум. Ясно, что это и будет наибольшее
значение функции в промежутке.
Задачи по планиметрии (580—589)
580.	Из трех одинаковых досок нужно изготовить желоб так, что¬
бы площадь его поперечного сечения была наибольшей. Как это
сделать?
581.	Постройте равнобочную трапецию с данным основанием а
и данной суммой tn трех других сторон так, чтобы площадь трапеции
была наибольшей.
582.	На диаметре АВ данной полуокружности постройте точку
Л4, а на дуге — точку N так, чтобы |ДЛ4| = |AAf| и расстояние
между М и N было наибольшим.
583.	Даны окружность и точка А в ее плоскости. Постройте на
окружности точки В и С так, чтобы хорда ВС была основанием
равнобедренного треугольника АВС наибольшей площади.
4*
99

584.	Дан сегмент, угловая величина дуги которого не больше
180°. Впишите в этот сегмент прямоугольник наибольшей площади.
585.	Даны окружность и ее хорда AD. Постройте параллельно
ей хорду ВС так, чтобы трапеция А BCD имела наибольшую пло¬
щадь.
586.	Постройте равнобедренный треугольник с данной боковой
стороной b так, чтобы в него можно было вписать окружность
наибольшего радиуса.
587.	В данную окружность радиуса R вписан равнобедренный
треугольник. Какое наибольшее значение может принимать высота
этого треугольника, проведенная к боковой стороне, и при каком
значении угла при вершине?
588.	Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника
равна I. Какое наибольшее значение может принимать высота
треугольника, проведенная к гипотенузе?
58Q. Через точку /И, лежащую внутри данного угла с вершиной
О, проведена прямая /, пересекающая стороны угла в точках А
и В. Докажите, что отрезок АВ имеет наименьшую возможную
длину в том случае, когда основание С перпендикуляра, проведен¬
ного из вершины О к прямой Z, и точка М симметричны относительно
середины отрезка АВ.
Задачи по стереометрии
(590-600)
590.	а) Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого
был бы равен 9 м3, причем стороны основания должны относиться,
как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы пло¬
щадь полной поверхности ящика была наименьшей?
б) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда дан¬
ного объема V относятся, как т : п. При каком соотношении между
измерениями параллелепипеда площадь его полной поверхности
принимает наименьшее значение?
591.	Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две про¬
тивоположные боковые грани равновелики и высоты их, проведен¬
ные к сторонам основания, равны h. Какой наибольший объем мо¬
жет иметь эта пирамида? Вычислите максимальный объем при
1) а = 3, h == 2; 2) а = 6, h = 5.
592.	Бак цилиндрической формы должен вмещать V л воды.
Каковы должны быть его размеры, чтобы, площадь поверхности
(без крышки) была наименьшей?
593.	Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра.
Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра),
чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество жести?
594.	Объем правильной треугольной призмы равен V. Каковы
должны быть длины стороны основания и высоты, чтобы площадь
полной поверхности призмы была наименьшей?
100

595.	Из всех конусов с данной образующей I найдите конус
наибольшего объема? .
596.	Найдите размеры конической палатки данной вместимости,
на изготовление которой требуется наименьшее количество материи.
597.	Площадь полной поверхности правильной четырехугольной
пирамиды равна S. При каком угле наклона бокового ребра к плос¬
кости основания объем пирамиды будет наибольшим?
598.	В данный шар вписан конус. Найдите угол при вершине
осевого сечения конуса, при котором площадь боковой поверхности
кон уса .будет наибольшей.
599.	Через диагональ основания правильной четырехугольной
призмы проведена, плоскость, пересекающая оба основания. Вы¬
сота призмы Л, длина диагонали основания 2г. Найдите наибольшее
и наименьшее значения площади сечения, при 1) h — 2, г — 3;
2) h — 4, г = 9.
600.	Сторона основания правильной треугольной призмы равна
а, высота призмы h. Какую наибольшую площадь может иметь се¬
чение призмы плоскостью, проходящей через сторону основания,
если а = 14 см и h = 6 см?
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
1.	Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник АВС, касает¬
ся его сторон ВС, СА и АВ соответственно в точках L, М и N. Обозначив ІАМ | =
= х, |В7Ѵ| = у, |CL| = г, составим систему уравнений:
У + г = а,
г + х = Ь,
х + у = с,
откуда х = р— а, у=р — Ь, г—р—с. 2. \АМ\ = р—а. Воспользуйтесь
результатом задачи 1. 3. Два решения: 5 см и 15 см; 8 см и 12 см. 4. 72’ 5. 36°,
16
36°, 108°. 6. IВМI = —, 2 р 8. Задача имеет решение тогда и только тогда,
Р
когда |ЛО|— |ОЛ4|	|Л7И| < |АО| + |ОЛ4|, где О — центр окружности.
7. Решение. Пусть вершины К и L вписанного прямоугольника KLMN
принадлежат основанию АВ треугольника АВС. Обозначим |/<W| = х, тогда
\М N\ = р — X. Используя подобие треугольников АВС и CMN, получим урав¬
нение -—- =	- , или (h — с) х = h (р — с), а) Если с = h = р, то любое
с h
число X из промежутка 0 < х < h удовлетворяет уравнению, а также и условию
h (р — с)
задачи; если с = h ф р, то решений нет. б) Если с < h, то х = —-	. При
этом должно выполняться неравенство 0 <х </г, которое имеет место тогда и только
тогда, когда 0 < с < р < h. 8.
S + /50-S2	s-r/50-s2 5 <s 5 /2?
2	2
д I - т/" д2 144	1
9. —~~ 2.	12^а^ 20. 10. у. Примите во внимание, что точка касания
2
двух окружностей принадлежит прямой, соединяющей их центры. И.
Rr
toi

а	а 8	аб

12. —. 13.Два решения: 3 см и 6 см. 14. —. 15. —h. 16. 	, a>by 3.
6 _	5	5 а + b
17. ? W-?- ~A.Z. g3. 18.	19. Два решения: a и 1,3a. Установите, что центры
3	3
четвертого и пятого шаров могут располагаться по одну сторону от плоскости, про¬
ходящей через центры первых трех, а также по разные стороны от этой плоскости.
20. Два решения: Ні=3г, Н2= 6г. Задача сводится к решению уравнения Н2—
—9/7/+18г2=0, где Я—высота конуса. 21. Пусть k—отношение высоты цилиндра
к радиусу его основания. Составьте уравнение k2 — 2nk 4-4 = 0. а) Если
п = 2, то k = 2; б) если п = 2,5, то задача имеет два решения: kr= 1 и k2 = 4.
3
22.	23. Составьте уравнение 4г2Н2 — ЗѴН + 6гV = 0. Если г = 1 м и
V = 12 м3, то задача имеет два решения: = 3 м и Н2 — 6 м. 24. Воспользуй¬
тесь результатом задачи 1. Из полученного равенства вытекают следствия:
1) Если окружности, вписанные в треугольники АВС и ACD, касаются диагона¬
ли АС выпуклого Четырехугольника ABCD в точках Л1 и /V, а окружности, впи¬
санные в треугольники ABD и BCD, касаются диагонали BD в точках Р и Q,
то |Л17Ѵ| = |PQI; в частности, если первые две окружности касаются, то касаются
и две другие. 2) Окружности, вписанные в два треугольника, на которые диаго¬
наль разбивает выпуклый четырехугольник, касаются между собой тогда и
только тогда, когда в четырехугольник можно вписать окружность. 27. Реш е-
н и е. Пусть АВС — прямоугольный треугольник, АВ — его гипотенуза. Со¬
гласно условию имеем: |ВС| = а,' |АС| = а — d, |АВ| = а 4- d, где d > 0.
Тогда (а 4- d)2 = (а — d)2 '+ а2,
|ВС) = 4d, |АВ| = 3d. 28. Установите, что а : b : с = 3 : 4 : 5. 33.
т 4- п
|АЛ4 I а ♦ , жг| 2аЬ оіи
34. 	■ = —, |Л4/Ѵ| =	. 35. Пусть окружность касается оснрваний
\MD I b	а 4- b
трапеции ABCD в точках К и L, а боковых сторон AD и ВС соответственно в
|АЕ| а	2аЬ	,

точках Е и F. Установите, что = — , |EF| = ——, \KL\ = уabt |А£>| =
\ED\ b	а 4“ Ь
a + b
= —-—. 36. Площадь правильного шестиугольника больше площади квадрата.
39. Тбчка пересечения диагоналей четырехугольника. 40. б) Выразите площадь
треугольника АВС через длины его сторон и расстояния от точки М до прямых
а 4~ b ■■ I А2
АВ, ВС и СА. 42. Воспользуйтесь неравенством ——	у _Х.„_, 43. Уста-
а 4~ b	]—
ловите, что h < —— , где h — высота трапеции. 44. S = (у + у SJ2.
45. S = (/Si + /S2 4-	49. Обозначив через х, у, z длины отрезков,
отсекаемых плоскостью на ребрах прямого трехгранного угла, составьте систему
уравнений: х2 4- уа = с2, у2 + z2 = a2, z2 + х2 = Ь2. Убедитесь, что эта система
всегда имеет решение, удовлетворяющее требованиям задачи. 51. Задача анало¬
гична задаче 40. 52. у	53. 8= ^45 * * * * * Sl	- 54. Задача аналогич¬
на задаче 41. Если сторону основания и высоту пирамиды обозначитысоответствен-
.	ah2 4
но через а и h, то задача сводится к доказательству неравенства < у, а
это неравенство равносильно следующему: (2а—h) (а+4/і)> 0. Равенство имеет
место тогда и только тогда, когда h = 2а. 55. 60°. 56. 90°. 57. Обозначив ВАМ =
s*'*.	1	Л2
= а, DA^=P, докажите, что tg(a-f-P)=l. 58. — d2 sin 2а. 59.
2	sin 2а
Пусть ABC — прямоугольный треугольник, АВ — его гипотенуза. Со-
откуда а = 4d. Следовательно, |АС| = 34,
ап + Ьт
102

60. 3 : 1. Пусть BAE = a, DCE = р. Тогда a + Р= 45° и tg a = —. Вычисли-
3
те tg Р. 61. 2 : 1. 63. АОМ = arctg Aj^3-, где а — расстояние от точки М до
а+ 2Ь
3	.	4
прямой ОА. 64. arctg — и arctg—. 65. 30°, 60°, 90°. 66. 15°, 75°. 67. 15°. Пусть
4	3
3	л
x — величина искомого угла. Тогда (sin х + cos х)2 = —, 0° < х < 45°. 68. —,
2	8
Зл	S.	1	XX
—. Установите, что — =— sin2 2Л, где Sx — площадь треугольника CMN, а
8	S	4
2
S	— площадь треугольника АВС, 69. 30°. 70. arccos—. 71. Z cos а, с sin 2а,
о
где cos	К с. Обозначив угол треугольника, из вершины кото-
4с "
рого проведена биссектриса, через 2а, выразите двумя способами катет прямо¬
угольного треугольника и составьте уравнение с cos 2а = Z cos а, 0° < а < 45°.
72. 36°, 108°. Решение. Обозначим |АВ\ = а, |ВС| = ô, \CD| = с и ABD =
= а. Из равнобедренных треугольников ABD и BCD находим: cos а =
а b	а	1
sin — = — . Учитывая, что с2 = ab, получаем уравнение sin —cos а = —.
а
Умножив обе части этого уравнения на 4 cos —, приведем его к виду sin 2а ==
= cos -р где 0° < а < 90°. Отсюда находим а — 36q. 73. 135°. Обозначив
POQ = 6x, составьте уравнение ctg x — ctg 3x = 2, где 0° < x < 30°. ‘
74. IOOjJ = у/?. Установите, что |OOX|= 2R cos 36° cos 72p. 76. Задача сводится
л л 1
к доказательству тождества sift2 — — sin2 — = —. 78. cos ср = cos a cosP.
79. a) tg a = tgP cos (p. 80. 15°, 75°. 81. 60°. 82. Два решения: 22,5q и 67,5a.
Обозначив через x величину угла наклона диагонали призмы к плоскости ее ос¬
нования, составьте уравнение 2]^2 sin x cos х = 1, 0° < х < 90°. 83. cos a =
= rs'sinp, где 0° <р_<45°, 0° < а < 90° и 0° < а +р <90°. Если а +0 =
= 75°, то cos а = sin (75° — а), откуда а = 45°. 85. 30°, 60°, 120°, 60е.
Пуств x — величина меньшего линейного угла. Тогда ctg x + ctg 4х = 2 ctg 2х.
86. а. 87. — у b3 tg <р, 90°«р<180°. 88. 30°. 89. 45°. Пусть плоскость,
проходящая через сторону основания пирамиды, рассекает апофему противопо¬
ложной грани на отрезки hv /і2> а боковое ребро — на отрезки Zx и 12, считая от
ія Zlo г»
вершины пирамиды. Тогда — = — = 2 cos х, где х — величина искомого угла.
/і hr
Учитывая, что плоскость делит площадь боковой поверхности пирамиды пополам,
получите соотношение l2 — liV2, после чего искомый угол вычислите из уравне- 1
ния cosx= 90. 1) 60°; 2) arccos ^~J^3 . 91. —42°. Пусть ВЛС=х(в радиан- >
л
ной мере). Тогда cos х = х, причем 0 < х < —. Отсюда х ~0,74. 92.	124 м.
103

I» и задача сводится к доказательству неравен-
Обозначьте через 2х радианную меру большей из двух дуг с концами А и В.
л
Тогда длина этой дуги равна 2Rx, а |ЛВ| = 2R sin (л — х), где —< х < л. Ис-
X 2
пользуя условие задачи, составьте уравнение sin х = —, откуда sin х ~ 0,62.
4
/?з
93. ~ 5 м2. Примените формулу для вычисления площади сегмента: S = — (а —
— sin а), где а — величина центрального угла сектора в радианной мере, и со¬
ставьте уравнение sin а « а — 2, 0 < а < л, откуда а zs 2,55. 94. z^ ЗГ.
96. Пусть О АВ — сектор с острым центральным углом АОВ, радианная мера
которого равна х. Проведите перпендикуляры BD и АС к радиусу ОА. Считая,
что С 6 [ОВ) и |ОЛI = І, выразите через х площадь сектора и площади построен¬
ных треугольников OBD и ОАС. 98. 0 < Л < а, где а zs 61°. Задача сводится
1	л
к решению неравенства —- < х + 1, где 0 < х <—. 99. Пусть R — радиус
COS X /	.
л	л
окружности. Тогда С = 2л/?, P = 2Rn tg — и р = 2Rn sin —. Следовательно,
п	п
1	/ * л
~ (Р+ р) = Rn (sin — -
. л	л	2л
ства sin — + tg— > - , где п — натуральное число, большее 2. 101. |С/И| =
п	п	п
= — |ЛВ|. 103. Искомая окружность касается сторон квадрата, вписанного
в данную окружность. 105. Пусть АВС — искомый прямоугольный треуголь¬
ник, АВ — его гипотенуза, CD — высота. Обозначив |ВС| = а, |AD| = п и
|ЛВ| = X, составьте уравнение. Задача имеет единственное решение при любых
а и п. 107. Установите, что Л = где h — высота треугольника, проведенная
4
к гипотенузе. ПО. Пусть R и х — радиусы окружностей; описанных около квад-
bR
ратов со сторонами а и Ь. Используя подобие, докажите, что х = —. 111. Че-
fl
рез точку М проведите диаметр CD, Обозначив |СМ| = /и, ID A41 = т и IBM | =
= X, составьте уравнение 2х2 = тп. Задача имеет решение тогда й только тогда,
когда —R^d< /?. 113. Установите, что высота равнобедренного треугольника
□
относится к его основанию, как 4 î 3. 114. а) а10= iCÈJZzL/?. 115. a)
116. Выразите длину отрезка, делящего трапецию на две подобные трапеции,
через длины оснований данной трапеций. 118. Установите, что длины/сторон
a, b, с искомого треугольника пропорциональны числам hb, па и	.
he
120. б) Постройте равнобедренный треугольник по основанию а и боковой сто¬
роне Ь. Угол при основании этого треугольника искомый, в) Воспользуйтесь ре¬
зультатом задачи 30. 123. Обозначив величину угла при основании искового тре¬
угольника через а, составьте тригонометрическое уравнение b cos а = q sin а,
b
откуда tg а = —. 124. Пусть hx — высота треугольника, проведенная к боковой
Я
_ hY
стороне, и а — величина угла при основании треугольника. Тогда 		 =
sin а
h	h —— 2г
== 2h ctg а, откуда cos а =	125. Установите, что cos х = ~, где х —
величина угла при основании искомого треугольника.
104

126. Установите, что tg 2S= —, где с = | ЛВ|, h = | СН\. 127. a) ymln =
4ас — Ь2	b	р2	ръ
=	- ПРИ х = —	6) Если q — — > 0, то ym)n= q -	; если
р2	и	а
<7— — < 0. то Ушіп = 0. 128. а) угаах = sin2 —, ymln= — cos2 -, 129. Вос-
пользуйтесь тождеством (a sin х + b cos х)2 + (a cos х — b sin х)2 = а2 + Ь\
Откуда a sin X + b cos х У а2 + b2. Равенство имеет местб тогда и только
а
тогда, когда tg х = —. 130. Проведите перпендикуляры ААХ и ВВ± к прямой I.
Пусть I Л41І = а, I ВВі\ = b, | АгВг| = с, | ЛХС| = х, тогда | АС\2 + | ВС |2 =
= 2х2 — 2сх + а2 + Ь2 + с2. 131. S= — ab sin у. Следовательно, Smax= —
при у г» 90°. 132. Если b < с, то радиус R описанной окружности имеет наимень-
шее значение, равное — с, при у= 90°. Если b = с, то наименьшее значение R
не существует. Для доказательства воспользоваться формулой с = 27? sin у.
ab
133. ОАМ = 90°. Воспользуйтесь теоремой синусов. 134. -	\ 135. Реше¬
ние. Пусть М = (АВ) ГІ /, и окружность, проходящая через точки А и В,
отсекает от прямой I хорду CD. Обозначив | АЛ4| — а, | 7Ш| = b, | СМ) = г,
I DMI == у, имеем: | CD\ = х + у, ху = ab. Следовательно, | CD\ имеет наимень¬
шее значение при х = у = Уab. Центр искомой окружности есть точка пересе¬
чения перпендикуляра, к прямой I в точке М и серединного перпендикуляра к
отрезку АВ. 136. Пусть точка М лежит внутри угла с вершиной О, а прямая,
проходящая через М, пересекает стороны угла в точках Р и Q. Через точку ЛІ
проведите прямые параллельно сторонам угла. Точки пересечения этих прямых
со сторонами ОР и OQ соответственно обозначьте через А и В. Положив | ОА| =
= а, |ОВ| = 6, I АР\ = X и I BQI = у, докажите, что ху — ab. Тогда | ОР| 4-
+ I OQI = я + 0+ х4-у>а + & + 2У ab, причем равенство выполняется
тогда и только тогда, когда х = у = УаЬ. 137. Задача сводится к исследованию
функции у — — X (р — х), где у — длина отрезка касательной, ах — длина
Р
стороны треугольника, параллельной касательной. Наибольшее возможное зна-
Р
чение у равно —. Оно достигается для семейства треугольников, у которых
4
основание равно 138. б) Окружность, построенная на отрезке СМ как на диа¬
метре, проходит через точки Р и Следовательно, | PQ\ = | С7И| sin АСВ. От¬
сюда вытекает, что отрезок PQ имеет наименьшую длину, когда точка М являет¬
ся основанием высоты треугольника АВС, проведенной из вершины С. 139. Р е-
ш е н и е. Пусть сторона АВ прямоугольника ÀBCD, вписанного в полукруг
с центром О, лежит на диаметре. Проведем радиус ОС и обозначим | ОС| = /?,
ВОС = X. Тогда I ВС | = R sin х, | АВ | = 2R cos х. Площадь S и периметр Р
прямоугольника выразим, как функции х: S = 2R2 sin х cos х, P = 2R (sin х +
+ 2 cos х), где 0° < X < 90°. Отсюда следует, что Smax = R2 ПРИ * — 45Q, т. е.
при условии, что I ВС| : | АВ\ = 1 : 2, а Ртах = грр^б’при х = arctg у, т. е.
когда I ВС I : |АВ| = 1:4. 140. Обозначив через х угол между сторонами прямо¬
угольников, через а и b — стороны данного прямоугольника, установите, что
площадь S описанного прямоугольника вычисляется по формуле S = ab 4-
105

а24- b2	■ г —
Ч	у- sin 2х. 141. 2 (а2 + abY2 +
+ &2) при АСВ = 135°. 142. Если
а > 45°, то трапеция имеет наиболь-
шую площадь, когда диагонали ее
перпендикулярны. Если а 45Q, то
трапеция с наибольшей площадью не
существует. 143. Сумма расстояний
будет наибольшей, когда искомая
прямая параллельна стороне треуголь¬
ника, и наименьшей, когда она про¬
ходит через вершину треугольника.
|АЛ4| + I СЛ4| достигает максимума, когда ВАС = 22,5°. Задача
144. Сумма
сводится к исследованию функции у = | AM | + | СМ| = 2R cos х (sin х + cos х),
где 0° < X < 90°. 145. а) Пусть прямая I пересекает сторону ВС треугольника
АВС в точке М (рис. 32). Проведем к прямой I перпендикуляры BD и СЕ. Со¬
гласно условию I BD\ + I СЕ\ = d. А так как площадь S треугольника АВС рав¬
на сумме площадей треугольников АВМ в АСМ, то S = — | AM | • | BD\ +
+ ~ I AMI • I СЕ|, или 2S = I АМ{ • d. Обозначив | АМ\ через х, получим: х =
2S
= —. Если прямая /не имеет с отрезком ВС общих точек, то она пересекает
а
отрезок BjC, где Вх — точка, симметричная точке В относительно точки А. Рас¬
стояния от точек Вх и В до прямой I равны между собой, площади треугольников
АВ±С в АВС также равны. Следовательно, в этом случае для искомого расстоя-
2S
ния X получим ту же формулу х = —Поскольку 2S = aha, то эта формула
d
aha	„
принимает вид х = —. Отсюда вытекает следующее построение. Строим
а
отрезок длины х согласно полученной формуле. Радиусом, равным х, из точки А
как из центра опишем окружность. Пусть М — точка пересечения этой окруж-
2S
ности и ломаной ВСВЪ тогда AM — искомая прямая, б) Из формулы d = ——
|АЛ4|
следует, что d принимает наименьшее (наибольшее) значение, когда | АМ\ имеет
наибольшее (наименьшее) значение. Принимая' во внимание изменение {АМ{
при перемещении точки М по ломаной BCBlt приходим к следующему выводу.
Если I АС| < I АВ\, то d имеет наименьшее значение, когда прямая I совпадает
с прямой АВ; если |АС | = | АВ|,то наименьшее значение достигается для двух
прямых: АС и АВ. Если А > 90°, то d принимает наибольшее значение, когда
/ _L (ВС); если А < 90°, то — при условии, что I ± (ВХС); если А = 90°, то наи¬
большее значение d достигается для двух прямых I и Іг, перпендикулярных соот¬
ветственно (ВС) и (ВХС). 146. Для того чтобы произведение расстояний от вершин
В и С до прямой I было наибольшим, нужно прямую I провести так, чтобы она
разделила угол А треугольника АВС пополам, если угол А тупой, и так, чтобы
она разделила угол, смежный с углом А, пополам, если угол А острый. Если же
угол А прямой, то следует провести две прямые: одну—делящую пополам угол А,
другую — смежный с ним угол. 147. Рассмотрите два возможных случая.
Сначала впишите прямоугольник ABCD в сектор MON так, чтобы вершины А
В принадлежали радиусу ОМ, а вершина С — дуге сектора. Получите формулу
R2 sin X sin (а — х)
для вычисления площади прямоугольника: S = 	, где R— ра-
sin а
ди ус, а — центральный угол сектора и х = МОС. Отсюда выведите, что площадь
106

прямоугольника будет наибольшей, когда точка С является серединой дугисек-
1 а
тора, причем Smax = — /?2 tg —. Затем впишите прямоугольник в сектор так,
чтобы две соседние вершины прямоугольника принадлежали дуге сектора. Ис-
,	а
пользуя полученный результат, установите, что при этом Smax — R2 tg —. Срав¬
нив Smax и Smax, докажите, что прямоугольник наибольшей площади получится
при первом способе. 148. Куб. ' Воспользуйтесь неравенством х2 + у2 + г2 >
> ху + yz +	149. a) d2Y2. б) Параллелепипед, у которого основание —
квадрат и диагональное сечение — квадрат. Воспользуйтесь неравенством
(х + у)2 < 2 (х2+ у2). 150. Ѵтах = при х = 1^-. Пусть NABCD — пирамида,
основанием которой служит ромб ABCD, | AN\ = х, длины остальных ребер рав¬
ны 1. Объем данной пирамиды равен удвоенному объему пирамиды' NBCD. Уста¬
новите, что V = - sin <р, где ф — величина двугранного угла CN, 151. а) Вы¬
сота цилиндра должна составлять половину высоты конуса, б) Высота цилиндра
равна — высоты конуса. 152. Обозначьте чер'ез а и Н соответственно сторону
о
основания и высоту пирамиды, через V — объем вписанного параллелепипеда,
а2
а через х — его высоту. Получите функцию V = — (Я— х)2х, где 0 < х < Я.
а2
Полученную формулу представьте в виде Ѵ= —т2х(Н—х)(Н — х). По-
2Яа
скольку, сумма трех последних сомножителей постоянна и равна 2Я, то Ѵтах =
4	1	—
= —а2Я при X = — Я. 153. а) Высота h призмы равна J/^2, где R— радиус
27	3
2R	4
шара, б) h = —г—. 154. а) Высота конуса равна —- радиуса шара. 155. Высота
уз	3
4	1
пирамиды равна — R. 156. а= arccos —. 157. Осевое сечение цилиндра
3	3
есть прямоугольник. Обозначив через а величину угла между диагональю и ос¬
нованием прямоугольника, выразите площадь полной поверхности цилиндра:
S = nR2 (2 sin 2а + cos 2а + 1). Отсюда выведите, что Smax = лЯ2(уг5~4- I)
{г/і, если г h\
•у (г2 + Л2), если г > Л. Пусть а — величина угла
при вершине осевого сечения конуса, I — длина образующей. Площадь осевого
сечения конуса равна S = — I2 sin а. Рассмотрите два возможных случая: а
< 90° и а > 90°. 160. /с = 2^1. 161. ~с +1^+43 s L ів2. Вос.
а+ b	2	4
пользуйтесь формулами задач 159, 160 и неравенством	сУ2 (задача 42).
h 2р	а + b	г —
Первое из неравенств доказывается так: —=я —= 1 4	1 +У 2.
гс	с
163. Нельзя. 164. Равнобедренный прямоугольный треугольник. 166. Пусть
AM — медиана треугольника АВС. Постройте точку D, симметричную А отно¬
сительно точки М. Тогда ABDC — параллелограмм. Примените теорему о сумме
квадратов диагоналей параллелограмма. Для вычисления радиуса г окружности,
вписанной в треугольник, соедините центр / окружности с вершинами треуголь¬
ника. Воспользуйтесь тем, что площадь треугольника АВС равна сумме площа¬
107

дей треугольников ВЫ, АСІ и АВІ. Центр Ot вневписанной окружности, касаю¬
щейся стороны ВС, есть точка пересечения биссектрисы угла А и биссектрис
внешних углов В и С треугольника АВС. Для вычисления га также воспользуй¬
тесь методом площадей. 167. Около треугольника АВС опишите окружность.
Продолжив биссектрису AD треугольника до встречи с окружностью в точке Е,
•	I I. X
докажите, что треугольники ABD и АСЕ подобны. Составьте пропорцию ~:—=
b
Q
= — , где X =| DE I, и согласно теореме о хордах, пересекающихся внутри ок-
*а	»
ружности, запишите равенство Іах = тп. 168. | АВ | = 6 см, | АС | = 8 см.
170. Два решения: 5 см и У153 см. Воспользуйтесь теоремой косинусов и форму¬
лой S = у ab sin у. 171. S = 66. 172.	173. Два решения: 5 и 1+ 2 УТ.
Задача сводится к решению уравнения (с — 5) (с2 — 2с — 7) = 0. 174. Докажи-
те, что т2а —	= — (ô2 —а2). 175. Примените теорему косинусов к треуголь¬
никам ÀBD и ACD. Получите равенство (Ь — с) (Ьп — ст) = 0. 176. Установи¬
те, что центр / окружности, вписанной в треугольник АВС, делит биссектрису
Ь + с
угла А в отношении	, считая от вершины А. На основании этого составьте
систему уравнений f b + с = За,
( а + с = 2Ь. Отсюда а = 3k, b — 4k, с= 5k, где k > 0.
с (a2-\-b2— с2)
178. Установите, что ra + rb — 2R = 	у-	. 179. а = 0 = 45°, у = 90°.
з
181. в) у р <та + ть + тс < 2р. 182. Используя тождество 3 задачи 169,
неравенство 2) можно доказать так: (ra + rb + гсУ 3 (rarb + rbrc + rcra) =
= Зр2, откуда га + гь + гс рУ3. 184. r2< S < — р2 < ~ R2. Восполь¬
зуйтесь неравенствами задачи 183: 9г < рУ3 < г + 4R. 186. Решение.
b sin 6	‘
По теореме синусов имеем: — = -—.	Поскольку sin 0 = sin (а + у) =
a sin а
b
t	— — cosy
b	a
= sin а cos y + sin y cos а, то — = cos у + siny ctg а, откуда ctga= 	•
a	sin у
Эта формула позволяет по отношению двух сторон треугольника и углу между
ними вычислять два других его угла. 187. MCN ~ 2Г48'. 188.	71б34',
6	a + у
^бЗ^б', 45Q. 189. Воспользуйтесь формулой ctg — = tg—-—.	190. 45°,
1	2	о
arctg 2, arctg 3. 193. Два решения: arccos — и arccos —Пусть а=0, тогда
3	о
У	а	.	0	.	у
— = 90° — а. Примените формулу г = 4R sin — sin —- sin-- и составьте урав-
2	£	2	2
Q	1
sin2	— cos а	=	—.	194.	а =	75°, 0	=	15°,	у	= 90°.	Воспользуйтесь	фор-
hc	= 2R	sin	а	sin 0.	196.	S	=	р2	tg ■—	tg	y	tg	198.	0	=	150Q,	y	=
199. ctg ô = —■ (ctg а — ctg0), где ô == BDC. Если а = 15° и 0 = 30°,
нение
мулой
= 15°.
108

то ô = 45°. 200. ~/і2 lotga —ctgPI. 201. | AB | = 4,8см; P = arccos 0,7.
202. Установите, что |ЛС|= 2|ЛВ|. Если у= 30°, то Р =90°. 203. 120°. 206. Ре¬
шение. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны
ВС в точке К, |В/С| = т и |С/<| = п. Согласно формуле а2 = (Ь — с)2 + 4S tg —
имеем: (m + n)2=(tn — n)2+ 45 tg , откуда S=mn ctg 207.	^2)	,
2	2	12
a
<a. 209. Воспользоваться формулой a2 = b2 + c2 — 4S ctg а и резуль-
Z
татом задачи 208. 210. 1) Р е ш е н и е. Имеем: 9r	га +	+,гс — R
(см. задачу 183). Используя тождества задачи 191, запишем эти неравенства в
P	a	Р	у
тригонометрической	форме.	2)	Из	тождества	— = 4 cos —	cos	— cos	— и	нера-
R	2	2	2
Р	3 1ЛТ	a	Р	у	з тЛз”	Гл	a
венства —	—l—	получаем: 4 cos	—	cos —cos —	-Г-—.	3)	Так	как — =tg—
R 2	2222	р 2
и га +г/>+	рУ3, то tg — + tg + tg-y =	3 5) Площадь
треугольника АВС выразим двумя способами: S = R2 (sin 2a + sin 2р 4-
a P
+ sin 2y), S = pr = 4R2 (sin a 4- sin P + sin y) sin ~ sin — sin~2'’ Учитывая»
a , P . y 1
что sin — sin — sin —	, получим требуемое неравенство. 6) Из тождества
*	a2-|- b2 -|- с2	a	и2
ctg a + ctg P + ctg y = 	—	 и неравенства tg — <—• (см.’ задачи 205
45	2	45
a P y
и 209) получаем: ctg a + ctgP + ctg y >tg — + tg — + tg—. 211. Для дока¬
зательства неравенств 1) и 2) примените первые два неравенства задачи 210 к
a Р у -
треугольнику с углами 90Q — —, 90° — — , 90°		 Легко проверить, что не¬
равенство cos a cos P cos y верно для прямоугольного и тупоугольного тре-
. 8
угольников. Если а, р, у — острые углы, то это неравенство вытекает из нера¬
венства sin — sin — sin —1 С — , если положить — = 90° — a, ~ = 90Q — Р,
222^8	2	2
— = 90°—y. 212. 2) Используя уже встречавшиеся ранее неравенства, получаем:
	 	 3
9г < ha + hb 4- hc < tna + mb ^me < Кз (m2 + m2b+ m2) = — Va2+b2+c2 <
À
9
— R. 213. Примените теорему косинусов и неравенство а2 4-
V
+ b2 2аЬ. 214. Воспользуйтесь тождеством с2 = (а + Ь)2 — 45 ctg -г.
А
216. Примените формулу Іс = ■ cos —. 219. Два решения: 45° и 135°.
и + b 2
221. а2 + Ь2 = 5с2. 222. Докажите, что т2с — R2 = R2 cos a cos0 cos у (1 4-
109

+ 3tg a tg p). 223. |ÆC| = 7, a = 120°. 224. Установите, что АН В + АСВ =
= 180°, где Н—ортоцентр треугольника АВС, и примените формулу a — 2/?sina
225.	Пользуясь формулой а = 2/? sin a, установите, что = 2R sin —
2’
et	В
226.	Воспользуйтесь тождеством cos a + cos P + cos y — 1 4“ 4 sin — sin — X
2	2
Y	a	P	у
X sin -- и формулой г = 4R sin — sin — sin —. 227. Воспользуйтесь результатом
4	£	£	1
задачи 40. 228. б) Р е ш е н и е. Применяя доказанные ранее соотношения, по¬
лучаем:
|Л/| + |В/| + |С/| = г	+ —Ц- + —
• а . JP . V
Ѵ111^ Sin^ Sin~2
З/'
> .		> 6г.
-1/ . а . P . Y
|/ sin ~2 sin ~2 sin ~2
С другой стороны, .
|Л/| + |В/| + |С/| = 4/?fsin-£ sin+ sin sin —-(-sin — sin -V
\	2	2	2	2	2	2 1
4R fsin2 + sin2 у + sin2 ~	4/? f 1 — 2 sin sin ~ sin —
\	2	2	2 / k	222
2г.
(a P у \
cos — + cos — + cos ~ I. Затем восполь-
a P Y 3 lAT VV
зуйтесь неравенствами cos — cos —• + cos —	и r L_ (задачи
2	2	2	2	9
183 и 211).
a	*
230. Докажите, что d± = 4R sin у .
|ДВ| p+1
232.	7—1 = ^— ; p > 1.
I AD I	p
233.	Пусть ABCD—данная трапеция, (4B) || (CD), |ДВ| = Зй ABD =^= 30°.
Тогда |ВС| = 1, |ДЯ| = ]/Т, А = 30*, В = 60°.
234.	Два решения: 6 см и 16 см.
235.	Два решения: 119 см2 и 289 см2.
а2-^ 62 л	. 2аЬ
236.	—— tg a, 0<6<а, tga<-—-.
2	a2— ô2
1) S = 1^3; 2) решений нет.
238.	а) |МС| = /3; АМВ = 135°.
6, cos 15’ - VÎ+VL, ,1„ 15’ -
4	4
ПО

а2 — Ь2
		. 242. а) е2 =
4
246. Установите, что
ad -f- be
перпендикуляров,
проведенных из вер-
ef
его сторонам, равно —.	247. Если
диагоналей АС и BD четырехугольника,
'	~	-	-, выража-
239.	Обозначив точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD че¬
рез О, примените теорему косинусов к треугольникам ABO, ВСО, CDO и ADO.
t ab ' а А а | а2 — Ь21
24°. h = 		— tg -, где tg — < ———. 241.
I а — b I 2	2 2ab
(ad + be) (ac + bd) _ (ab + cd) (ac + bd)
ab + cd ’	' “
расстояние между основаниями
шины четырехугольника к двум
К и L — соответственно середины
то KL — медиана треугольника ACL. Воспользуйтесь формулой,
ющей длину медианы треугольника через длины его сторон. 248. | ÂC| =
= 7, S = 16У"3. 249. Первый способ. Примените теорему косинусов к тре¬
угольнику KLM, вершинами которого являются середины диагоналей и середина
стороны ВС. Второй способ. Воспользуйтесь равенством AD = ÂÊ + В?+ CD
и вычислите скалярный квадрат вектора AD. 250. Воспользуйтесь результатом
предыдущей задачи и теоремой косинусов. 252. Примените формулу площади
треугольника и теорему косинусов; запишите | равенства: 4S = 2а& sin[J 4~
+ 2 cd sin ô; a2 + b2 — c2 — d2 = 2ab cos P — 2 cd cos ô. Оба равенства возве-
s2
дите в квадрат и почленно сложите. 256. —.
і	4
258. Очевидно, достаточно рассмотреть выпуклый четырехугольник. В та¬
ком случае 2S = ab sin (3 + cd sin ô ah + cd. Аналогично 2S ad 4- bc.
(a 4- b + c 4“ d\2
Поэтому 4S (ab 4- cd)+(ad 4“ bc)= (d + c) (b + d) I			j = p2.
Равенство 4S = p2 имеет место .только для квадрата. 259. Решение Так
как четырехугольник описан около окружности, то а 4“ с = р и S = рг. ’ ^поль¬
зуя соотношение p2 4S, получаем: р 4г, или а + с^ 4г. Если четырех уголь-
т2
ник — квадрат, то р = 4г, в противном случае р > 4г. 261. Smax = —. Четы-
4
рехугольник наибольшей площади есть трапеция, диагональ которой перпенди-
т	ч
кулярна основаниям; длина этой диагонали равна —, сумма длин оснований
трапеции также равна 262. 2) Используя известные соотношения получаем:
4S = 2 ef sin ф 2ef е2 4- Р- Равенство здесь достигается тогда и только тог¬
да, когда диагонали четырехугольника конгруэнтны и перпендикулярны. Для
доказательства следующего неравенства рассмотрите треугольник KLM, где М —
середина стороны ВС, К и L — середины диагоналей АС и BD четырехугольника
ABCD. Установите, что |KL| > у |а — с], и воспользуйтесь формулой задачи
247. Второе неравенство обращается в равенство лишь тогда, когда (АВ) || (CD).
263. Воспользуйтесь результатом задачи 247. 264. б) Воспользуйтесь не¬
равенством е2 4- Р < 2ас 4- Ь2 4- d2 (задача 262) и свойством сторон описанного
четырехугольника. Равенство е2 4- Р= Р2 имеет место лишь для ромба.
- 1
265. Имеем: S= — ef sin ф < 2R2 sin ф < 27?2, причем равенство достигается лишь
в том случае, когда вписанный четырехугольник — квадрат. 266. Воспользуй-
I а 4“ с — b — d\
тесь формулой задачи 243. 268. |Л4/Ѵ| =	. Точки М ц N явля-
Ф
2 cos
2-
ются центрами окружностей, каждая из которых касается трех сторон четы¬
Hi

рехугольника ABCD. Обозначив через Р и Q точки касания этих окружностей
со стороной ВС, установите, что |PQ| = — \а 4- с — b — d\. 269. 45°.
271. V = — Y1 — cos2 а — cos2P — cos2 у + 2 cos а cosp cos у.
6
Пусть S — площадь треугольника АВС и R — радиус описанной около него
окружности. Тогда V = ~ Sh =	5)^1 —	16/?2— d2b2c2, где а, Ь,
с — длины сторон треугольника АВС.
272. sin2 X =	- (1 — cos2 а — cos2p — cos2 у + 2 cos а cos P cos y).
sin2 y
Отложите на ребрах трехгранного угла от его вершины отрезки, равные 1.
Воспользуйтесь результатом задачи 271 и формулой V = —• sin у sin х, где х —
6
величина угла наклона ребра ОС к плоскости противоположной грани.
о а2 + Ь2 4- с2
277. а) «2 =
3
S _
/= аЬс У3 -
ab + 6с + са
1 + р^З. Для дока-
273. — а Ьс У 1 — cos2 а — cos2 Р — cos2 у + 2 cos а cos р cos у.
6
276. V= ¥%-; Sn = 1 +1ÛL; г
12 п 2
_2 « с 2 I „2
аІ *Т* 1 “Г
			. Проведите медиану AN треугольника АВС и примените теорему
косинусов к треугольникам ADM и ADN. в) Равногранный тетраэдр. 279. 1)
ЗѴ 1
Воспользуйтесь результатом задачи 275 и формулой hr =	280. б) — а2ах tg а.
6
281. —-а2. 283. S = -~-yra2b2 + b2c2 + с2а2\ h=^-, V = -^abc. Отсюда
2	2	о 6	h2
== — 4-— + — ‘ 281 * * 284, * * * 288 а) ПУСТЬ 441 — высота грани АВС. Тогда |Df/|2 =
= IАН\ |Я4ХI = \АН\ \ВН\ cos (Л — <р). 285. Решение. Объем тетраэдра
ABCD равен сумме объемов трех тетраэдров: LABD, LBCD и LACD. Обозначив
длину ребра куба через х, получим уравнение abx + Ьсх + асх = abc, откуда
abc	111,1	Ггчг1
х=	, или —=—4— +—. Так как [DL]—диагональ куба,длина ребра
ab + Ьс + са х a b с	>

которого равна х, то \DL\ = хУ3. 287. Имеем: S1+S2+53^ К 3	=
= Sj/З. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда а = b = с.
288. Воспользоваться формулами S = ~ Yа2Ь2 + Ь2с2 + с2а2 и R2 =
Л
= — (а2 + Ь2 + с2). 289. Приведем доказательство первых двух неравенств.
Ы А ЗѴ	ЗѴ	г	h	+	.
Имеем: h = —, r=  	—-z- Следовательно, — =	11	1 '
S	Si+$2+S3+S	r
+У"3? Используя формулу задачи 285, получаем:
_ „ ^/3- Потоиу 1vï+ s VS >
•$і+ 52 + S3	г	St+ «$2 4"
зательства остальных неравенств воспользуйтесь неравенствами между «сред-
112

ними». Равенство везде имеет место в том и только в том случае, когда
а=Ь = с. 291. I EF\ = t =	Соедините середину F ребра
АВ у 2
CD с концами отрезка АВ и рассмотрите равнобедренный треугольник ABF.
292. а) Установите, что Центром сферы, описанной около равногранного
тетраэдра ABCD, является середина отрезка EF (см. задачу 291). 293. V ~
8	1
==—;/• = “т=. Синусы двугранных углов, прилежащих к одной грани,
3	У 5
3	3	4
равны ■—» — и V*
О	0	0
294. V = ± /2 (а2 + 62 — с2) (62 + с2 — а2) (с2 + а2 — 62).
295. V = ■ 15	, d À = 1С12. Построив развертку тетраэдра, докажите, что
4	АВ 4
тетраэдр равногранный. 296. Установите, что V = — х2У4 — 2х2, где 0 < х <
<1^2. Объем V достигает наибольшего значения вместе с функцией у = х\(4 —
— 2х2). Так как х2 + х2 + (4 — 2х2) = 4, то объем достигает максимума’ при
2
X2 = 4 — 2х2, т. е. при х =ў=. 297. а) Пусть на плоскости задана прямоуголь¬
ная система координат и построена ломаная Р0Р1... Рп так, что Р^Р^ (at\ b А,
где і = 1, 2, ..., п. Тогда левая часть неравенства, которое требуется доказать,
выражает длину ломаной Р^... Рп, а правая часть — длину отрезка Р^Рп
б) Решение. Обозначим ориентированное расстояние от точки Н до прямой
ВС через х (х > 0, если точки Н и А расположены по одну сторону от прямой
ВС, и X < 0, если они лежат по разные стороны от этой прямой). Ориентирован¬
ные расстояния от точки Н до прямых АС и ВС обозначим через у и г. Длины
сторон треугольника ЛВС, полупериметр и площадь его будем обозначать, как
обычно, через a, b,c,pu S. Тогда при любом расположении точки Н относитель¬
но треугольника ЛВС имеем: 2S = ах + by + cz\ 2$0 = аУ/г2 + х2 +
4-6 У h2 + У2 + с У h2 + г2, где = Si + S2 4- S3 и h = | DH\. Применяя
неравенство пункта а), получаем:
2S6 > У (ah 4- bh 4- ch)2 4- (ах 4- by 4- cz)\
или S6 Жp2h2 + S2,
h	h	h
где равенство достигается в том и только в том случае, когда — = — = —, т. е.
X	у	2
при X = у = г. Отсюда следует, что основанием высоты DH искомого тетраэдра
является центр окружности, вписанной в треугольник ЛВС. 298. Пусть <х,р, у —
плоские углы одного из трехгранных углов тетраэдра и Л, В, С — величины про¬
тивоположных им двугранных углов. Пользуясь теоремой косинусов
~ cos а — cos Р • cos у
cos Л = 	-7—-—\	,
sin р • sin 7
установите, что
7	. -S [cos (а + P) — cos y] • sin (а — P)
sin а • sin p • sin у
А так как а 4-Р > у и а 4-Р 4- V < 2л, то cos (а 4- р ) =/= cos у. Следрватель-
но, если Л = В, то а =р. Таким образом, плоские углы при каждой вершине
113

тетраэдра конгруэнтны. Отсюда выведите, что все грани — правильные треуголь¬
ники. 299. Воспользуйтесь неравенством задачи 209. Равенство имеет место лишь
тогда, когда тетраэдр правильный. 300. Используйте аналогию с неравенствами
3
задачи 183. 301. 36°, 36°, 108°. 302. —а. Через середину D отрезка А В проведите
8
к АВ перпендикуляр и отложите на нем отрезок DE, конгруэнтный отрезку АВ.
Убедитесь, что центр искомой окружности одинаково удален от точек А и Е.
303. би—. 304. —/?. 305. |ВС| = 1, А = 15°. 306. Установите, что I СРІ =
23	5
b	а
= 	— и |CQ| =	—. 307. Докажите, что |Л4Р| • | MQ| = | МN|2. 308. 20е.
2 sinA	2 sinB
Первый способ. Обозначив через х величину угла ВАМ, составьте уравнение
sin (20° + x) = 2 sin 20° • cos x.
Второй способ. Установите, что окружность радиуса | АВ | с центроц В прой¬
дет через точку М. 309. А = 15, В = 45, R = 1. Первый способ. Обозначив
\ВС\ '= а, примените теорему косинусов к треугольнику АВС. Второй способ.
Около треугольника АВС опишите окружность^ постройте ее диаметр В F
и воспользуйтесь подобием треугольников ACD и BDF. 310. Докажите, что
треугольники АВС и ВСМ подобны. 311. Используя теорему синусов, докажите,
I АВ I I CE I	-
что 	=	. А так как A— FCE, то треугольники АВ F и CEF подобны.
\ AFI I CF J
Поэтому CEF = ABF = 30°. Существуют интересные геометрические решение
этой задачи (см. МШ, 1961, № 5, с. 92). 312. АСМ = 20°; ВСМ = 80°. 313. Два
решения: А = 45°, В = 120°, С = 75°, D = 120°; А = 105°, В = 60°, С = І35°,
л	3	4
D = 60°. 314. —, arcsin —, arcsin —. 315. 75°. 316. 60°. 317. 1, 2, 3. 318. Два
2	5	5
решения: 2 и 3. 319. Треугольники ABC, BCD и ACD подобны. Следовательно,
—	320. Воспользуйтесь формулой а = 2R sin А. Вычисления мож-
а b с
но упростить, если применить симметрию относительно высоты CD треугольника
а2— Ь2	—
АВС. 322. с =	, b < а < 2Ь-. Первый способ. Пользуясь теоремой синусов,
b
abc
составьте уравнения:

sin 2 В sin В sin ЗВ
Второй способ. Проведите биссектрису AD треугольника АВС и воспользуе¬
тесь подобием треугольников АВС и ACD. Третий способ. Постройте точку В',
симметричную точке В относительно точки А. Воспользуйтесь подобием треуголь¬
ников ВВ'С и АВ'С. 323. с2 = — (а — Ь) (а2 — b2), b <а < ЗЬ. На стороне ВС
ô
треугольника АВС постройте точку D такую, чтобы BAD = В. 325. с2 tg у.
326. б) а2 + с2 = 2Ь2, где b — длина средне# по величине стороны треугольни¬
ка. 327. б) — <~4	, а ^.Ь и а с. 328. Установите, что АМС = 45°.
a b с
/с	\	/С	\
330. Считая а 0 и 0 0, составьте уравнение tg I —+ al — tg I —— 0 1 =
\ 2	/	\ 2	/ »
114

С	tg 6	h3	1
= 2tg(a+P), откуда tga — — -—. 331.—, h < — с. 332. Два решения:
2	tg а	с	2
3
15? и 75°. 333. Два решения: 1 и —. 338. а2 + Ь2 = 2с2. 340. б) Установите, что
Гі = —		, где г — радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, и
А
СО^-
Гі — радиус окружности, касающейся сторон АВ и АС треугольника и описан¬
ной около него окружности. 341. Обозначив величину угла при основании АВ
К "	2
равнобедренного треугольника АВС через 2а, установите, что — = 		,
S	(1+ tga)2
0° < a < 45°. Отсюда следует, что Д’ — S, если С = 90°; К < S, если С > 90°;
А	В	а + b — с
К > S, если С < 90°. 343. Установите, что tg — + tg —=

2	2 hc
J	P2
349. а) Два решения: 1 м и 4 рад.; 2 м и 1 рад. б) Smax = — при
•	4
351. а) Используя подобие треугольников АВО и CD0, докажите,
ab
1
348. ~са.
3
а = 2 рад.
5і
что - =
—	где — площадь треугольника ADO, aS — площадь трапеции,
(а + ô)2
352. Прямая MN проходит через точку пересечения продолжений боковых сто¬
рон трапеции; точку М на стороне Л В можно выбрать произвольно. Для до¬
казательства воспользуйтесь результатом задачи 351 и неравенством
*іУі *гУг < ab
+ Уі хг + Уі а + b
где xlt х2, Уі, у2 — положительные числа, хг + х2 = а и yt + у2 = Ь. Справед¬
ливость этого неравенства легко проверяется: с помощью несложных преобразо¬
ваний оно приводится к виду (хіу2 — х2у^)2	0. Знак равенства имеет место тог¬
да и только тогда, когда —1 = —. 353. Диагонали трапеции параллельны сторо¬
нам квадрата, 354. | Д/< | = | KL | = | LB |. 355. а) Равенство имеет место,
когда a = b или С = 90°. 357. Точка А — середина [СМ]. 358. а) 45°; в) 90°.
359. Пусть а<Ь<с и MN — искомый отрезок. Тогда |ДМ|=|Д^ =
= 1/	36Э. При а b задача имеет решение тогда и только тогда, когда
dV d2
— /и , где d = I АС |. 361. Пусть a — величина острого угла ромба.
Если a 60°, то наибольшую площадь имеет прямоугольник, вершины кото¬
рого являются серединами сторон ромба. Если a 60°, то наибольшую площадь
имеет прямоугольник, две вершины которого совпадают с вершинами ромба и
две противоположные стороны лежат на сторонах ромба. При a = 60° существу¬
ет два прямоугольника, удовлетворяющих условию задачи.
Установите, что прямоугольник можно вписать в ромб двумя способами.
При первом способе стороны его параллельны диагоналям ромба, при втором —
не параллельны, а угол между диагоналями прямоугольника конгруэнтен остро¬
му углу ромба. Рассмотрите оба возможных случая.
115

g /т	362. Решение. Пусть серединный перпенди-
/	куляр т отрезка АВ пересекает прямую I в точке О
I \	А	(рис. 33). Возьмем на прямой I точку М, лежащую
\/	71	л I АО|
Y /	по ту же сторону от /п, что и точка А. Тогда =
I /\/	I ВО]
\ / X	I AM I
rAvÇ X.	= 1 и ■ — j < 1. Обозначим | АО | = | ВО | = г,
0/	’ М Г I MO I = х, АОМ = а, ВОМ = р. Заметим еще, что
•	тх<Р, так как | AM | < | ВМ |.
Рис. 33	Применив теорему косинусов к треуголь-
’	нику АОМ, находим: | AM |2= х2 + г2 —
а
— 2rx cos а = (г — х)2 + 4rx sin2 —. Аналогично | ВМ I2 = (г — х)2 4-
+ 4гх sin2 —-
I AMI
НИЯ -
I ВМ\
о
у, причем 0° < а <р < 180°. Для отыскания наименьшего значе-
а + т	а	л
воспользуемся известным неравенством: —	> —• при 0 < а < b
b + т	b
■ I Л л/12 (Г —x)s + 4rxsin24 4rxsin2-y
AM I2	2.	2
Получим: ÏBÏÏp=	Г’ или
1	1	(г-—х)2-Г 4гх sin2 ~	4rxsin2-^
2	2
sin —
a,
ГАМ I	smT
’i“TT77 >	—, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
I ВМ I р
sin —
2
X = г. Таким образом, если точка М лежит по ту же сторону от прямой т, что
|АМ|	|ВМ|
и точка А, то отношение 		имеет наименьшее значение (а отношение —-— —
I BM I	| АМ|
наибольшее), когда точка М лежит на окружности с центром О радиуса | О А |.
В частном случае, когда прямая т не пересекает Z, решение очень просто.
363. —а3. 364. 262. Установите, что плоский угол при вершине пирамиды ра-
6
вен 45°. 365. —а2. 366. [У~ 2	J-3-ja. 367. См. аналогичную планиметри¬
ческую задачу 46. 369. b : с. 370. 5 см. Рассмотрите развертку тетраэдра и
установите, что тетраэдр является равногранным. 371.^2. 372. 2а 1^2. 373. Два
решения: 60° и arccos —Обозначив искомый угол через х, составьте уравне-
5
cos X fg2 “	j	х
нне 	. — —, где 0° < X < 90°. Используя формулу tg2 — =
1 + cos X	9	2
= 	S2L5, уравнение приведите к виду 10 cos2 х — 7 cos х + 1 = 0. 374. 2.
J+cosx

376. Smax — Jt/i
и n
4	+ cos2 — + cos — j sin —. 377. Установите, что
n n / n
116

379. Согласно условию задачи BL = kBC, СМ = kCA, AN = kAB. Уста-
1 ■ ►	—►	—►	—►
новите, что AL + ВМ + CN = 0. Из этого равенства следует, что существует
треугольник, стороны которого конгруэнтны отрезкам AL, BMt CN. 380. Первый
способ. Применив правило вычитания векторов и формулу для середины отрезка,
получим: MN = N — М — (С + D) — у (Д + В) = у (С + 25 — А — В) =
= ~ (АС+ BD) = ± (AD + ВС).
Второй способ. Пользуясь правилом многоугольника, запишите равенства:
MN = МА + AD + DN; MN = МВ + ВС + CN. Затем сложите их почленно.
381. б) у I а — ô|. 382. Установите, что CMQ = ВА. 385. Нельзя. Отрезки KL
и MN могут располагаться на одной прямой. Возможно также совпадение точек:
К = L и N = М, К = N и L = М. 386. а) Возьмем на медиане CD треуголь¬
ника АВС точку G, делящую эту медиану в отношении 2:1, считая от вершины
С. Согласно формуле деления отрезка в данном отношении, будем иметь: G =
C+2D - Л+В	- Д+В + С
=			, D = —-—. Следовательно, G =			 (полюс О — любая
точка пространства). Пусть точка G1 делит любую из двух других медиан треуголь¬
ника АВС в отношении 2 : 1, считая от вершины. Тогда для вектора Gt аналогично
——	►
получим то же самое выражение, т. е. ОСг = OG, откуда следует, что точки GY и
G совпадают. Следовательно, все три медианы треугольника имеют общую точку
G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 387. Точка М — центроид
треугольника АВС. 389. Точка М — центроид тетраэдра ABCD. 393. Устано¬
вите, что OG = —OD. 394. Решение. Примем за полюс вершину А треуголь-
3
->	b->C4-DB+2C	BF
ника АВС. Тогда D = —В, Е = —-— =— 	. Так как — = 2, то F=
2	2	4	рС
В + 2С	—>	3 —>-
—		. Таким образом, АЕ = ~AF. Отсюда следует, что точки А, Е, F при¬
надлежат одной прямой и I АЕ | : | EF | = 3 : 1. 395. | AK I : I KN | = 3 : 4;
|С7<| : IКМ | = 6:1. 396. Р е ш е н и е. По формуле деления отрезка в данном отно-
- В + аС -> С+РД ->	Д + у В
шении имеем: L= —;	, М = -——, N = — 	. Приняв точку N за по-
1 + а 1+Р	1+ѵ
»	—>	С — РуВ
люс, получим: Д = —уВ и, следовательно, NM =	Точки L, М, N при-
■ ►	—►
надлежит одной прямой тогда и только тогда, когда векторы NL и NM коллине¬
арны, а для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (1 +
4- а) NL = (1 4“Р)ХММ, где к — вещественное число (множители 1 + а и
1 +Р взяты для того, чтобы упростить вычисления). Подставляя в это равенство
выражения векторов L и М через В и С, получаем: (1 + РуХ) В + (а — X) С =
= 0. В силу единственности разложения вектора (в данном случае — нулевого)
по двум неколлинеарным векторам В и С будем иметь: /1 + РуХ = 0, откуда
\а — X = 0,
следует, что аРу = —1.
400. Пусть Аі — центроид треугольника BCD. Установите, что
117

■ ■► 1 >	—>	1 —►	—>	•->	—►
G А! = — --GA, гДе G = — (А + В + С + D). Полученный результат не зависит
3	4
от взаимного расположения точек А, В, С и D в пространстве. 402. Четыре точки:
центроид треугольника и точки, симметричные вершинам треугольника относи¬
тельно середин противоположных сторон (внешние центроиды треугольника).
403.	Первый способ. Установите, что 7А = At + 2ВХ + 4Q. Приняв точку Сг
за полюс, постройте прямую СХА. Второй способ. Примените теорему Менелая
к треугольнику АХСВГ и убедитесь в том, что точка пересечения прямых АХВХ
и С\А делит отрезок АХВХ в отношении 2:1, считая от точки Ах. Третий способ.
Рассмотрите композицию трех гомотетий с центрами в точках At, Blf Сг и коэф¬
фициентами —.
404.	Обозначив через Gx и G2 центроиды треугольников А^^ и А2В2С2,
установите, что.б/ъ = “ (АХА2 + BtB2 + СГС^. 407. Установите, что ССХ =
О
— - >	— >
= ВВХ + DDV 408. Открытый отрезок PQ, соединяющий середины диагоналей
данного четырехугольника ABCD (при условии, что Р =/= Q)- Если P = Q, то
ABCD — параллелограмм, а искомое множество — точка пересечения его диаго¬
налей. 409. Примите за полюс точку пересечения диагоналей четырехугольника
ABCD. Тогда С — —аА и D = —PB, где a ир — положительные числа. Пола¬
гая АР = XAD, BQ = |лВС, получите соотношения X =	Н = * и
установите, что PQ = -~ (1 + af) АВ. 410. Воспользуйтесь результатом задачи
380. 411. б) Равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы ААЬ
- > ■ ►
ВВХ и ССг сонаправлены. 412. Если п = 2k, то решение очевидно. Пусть п не-
п 		>
четно / ^ ОАі = OS. В силу симметричности чертежа относительно прямой OAj
вектор OS коллинеарен вектору OAt. Точно так же вектор OS коллинеарен век-
- ■ >	—►	——►	—►
тору ОА2. Но векторы ОАі и ОА2 не коллинеарны, поэтому OS = 0. 413. б) Ра¬
венство имеет место тогда и только тогда, когда тетраэдр ABCD равногранный.
414.	Окружность, построенная на отрезке АВ как на диаметре.
415.	а) Окружность радиуса АВ, центр О которой симметричен точке В отно¬
сительно А. б) Серединный перпендикуляр отрезка АО. 416. Плоскость, перпен¬
дикулярная отрезку АВ в его середине. 418. Установите, что РАХ+ РВУг РСХ=
= 0. 421. I СС2\ = сУ 2. Согласно условию задачи AQ = і АС, ВС2 = —ВСХ.
Используя правило вычитания векторов и свойства поворота вектора на 90°,
установите, что СС2 = АВ + і АВ. 426.	= а2 + b2 + 2ab cos у. 427. Іс =
2а6	у _	„ м *
=	cos —. Воспользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника.
а + Ь	2’
428. а2 + Ь2 = 5с2.	429. Установите, что | CD |а — | АВ |а = 2СА • СВ.
430.1 ММ2 =а2 + Ь2 + 2ab cos <р. 431. | CD |2 = ~а2 + — Ъ2 — тп. 432. Приняв
с с
■ ■ ► —
вершину В квадрата ABCD за полюс, выразите векторы MN и AM через векторы
А и С. Затем воспользуйтесь условием перпендикулярности двух ненулевых
векторов.
433. I AD\ = 2. 434. Пусть сторона основания и высота призмы равны соот-
118

,	2h2 — a2
ветственно а и h. Тогда cos ф = - - - ■ ——, где ф — величина искомого угла.
2 (Л2 + а2)
h	.—	h
Если — = У 2 , то ф = 60 ; если — = 2~’ то ф = 90°. 435. cos у = sin а sin (3.
436. I ACJ = аУ6; | BDr \ = аУ2. 438. 1) Решение. Примем точку О за по¬
люс. Из условия задачи следует, что АН • ВС = 0, В2 = С2, или (Н — А)Х
X (С —В) = 0, (С + В) • (С — В) = 0. После почленного вычитания получим:
(С — В) . (Н — А — В — С) = 0.
Аналогично, из условий ВН • С А = 0, С2 = А2 вытекает равенство (А — С)х
Х(Н — А — В — С) = 0. Но С — В = ВС, А — С = СА, причем ВС =/= 0 и
С А ¥= 0. Если допустить, что Н — А — В — С 0, tq из полученных соотно-
■ ■	►
шеиий следует, что этот вектор перпендикулярен каждому из векторов ВС и СА,
а это невозможно. Поэтому Я = А + В + С.
439. Из векторного равенства предыдущей задачи и формулы OG = — (ОА +
3
—> —►	—►	—>	Ьс (р — а)
4- О В + ОС) следует, что ОН = ЗОС. 440. б) | AI 1 =		441. При-
Р
няв за полюс центр О описанной окружности, воспользуйтесь формўлой задачи 440
->	-*	abc
и соотношениями 2А • В = 27?2 — с2, — = /?г. 442. а) Решение. Цент-
Р
роид G треугольника АВС примем за полюс. Тогда А + В + С = 0. Следова¬
тельно, РА2 + PB2 + PC2 = (А — Р)2 + (В — Р)2 + (С — Р)2 = ЗР2 + А2 +
+ В2+ С2, б) Центроид треугольника. 444. Если все плоские углы тетраэдра
при одной вершине тупые или прямые, то только противоположная грань являет¬
ся остроугольным треугольником. В противном случае все грани тетраэдра —
остроугольные треугольники. 446. а) Обозначьте перпендикулярные стороны
четырехугольника через АС и BD. Примените формулу задачи 445. 447. Пусть
■ ► — >
DH — высота тетраэдра ABCD. Установите, что из условия DH • АС = 0 вы-
—► " ►	—■ ► ■■ ■ >
те кает равенство АС • BD = АС • ВН, и воспользуйтесь формулой задачи 445.
4	і8. а) Обозначим длину отрезка, соединяющего середины ребер АВ и CD тетра¬
эдра ABCD через tAB. Тогда 4/^в= а2 + а2 + Ь2 + Ь2{ — с2 — с2. б) Установите,
что 2 (tAC— *вс) = °2 +	450. Решение. Пусть дан трехгран¬
ный угол О АВС, плоские углы АОС и АОВ которого равный и у. От вершины О
на ребрах О А, ОВ, ОС соответственно отложим единичные векторы а, Ь, с. Направ¬
ляющий вектор е биссектрисы угла ВОС равен b + с. Следовательно, а • е =
= а • (Ь + с) = а • b + а • с — cos 0 + cos у. Отсюда следует, что если 0 + у =
= 180°, то а • е = 0 и a _L е. Верно и обратное предложение. 452. Перпендику¬
ляр к плоскости треугольника АВС, проходящий через ортоцентр этого треуголь¬
ника. 453. Решение. Данное равенство МА • МВ = k можно записать
так: (Д _ м) . (В — М) = k, или А • В — (/+ В) . М + М2 = k. Если
за полюс принять середину О отрезка АВ и | О А | обозначить через /?, то А + В =
= 0 и А • В = —R2. Таким образом, данное равенство приводится к виду
I ОМ I2 = k + /?2. Отсюда следует, что искомое множество точек представляет
собой сферу радиуса У k + R2, точку или пустое множество в зависимости от
119

того, будет ли число k + R2 положительно, равно нулю или отрицательно. Если
в пространстве дана сфера радиуса R с центром О, то число k = | ОМ|2 — R2 на¬
зывают степенью точки М относительно этой сферы. 454. Пусть MN — об¬
щий перпендикуляр диагоналей АВг и куба АВСОА^С^, М Е (АВг),
—■ > —- >	- ~~ ► > ' >
W Ç (BCJ. Тогда AM = xABlf BN = уВСѵ Используя равенства: MN • ABt =
■ ► ►
= 0 и MN • ВСг = 0, можно найти числа х и у, а затем длину отрезка MN.
— —►	—►	- >
455. Учитывая, что АВ = DC, докажите справедливость .соотношения М2М =
= М2М4. 457. Воспользуйтесь формулой деления отрезка в данном отношении.
—>	—>	К —>
458. Установите, что AW = LM = ----—BD. 459. Решение. По формуле
1 "Г л
•* А КВ -*• D + КА -»
деления отрезка в данном отношении имеем: Ді =  	—, Di=	—, А
1 -T К 1 4“ К
Аг+KDl „	- A + K(B + D) + K*A .
= л Отсюда Д2=	77~~Піч2	• Если точку О пересечения диа-
1 + Л	(1 + Ку6
гоиалей параллелограмма ABCD принять за полюс, то В + D = 0, и предыду-
—>	—►	1 + К2	—►	—►
щёе равенство примет вид ОД2 = kOA, где k = —	—. Аналогично, OB2=kOB,
>	О + Ь)
ОС2 — kOC и OD2 = kOD. Следовательно, A2B2C2D2 — параллелограмм, гомоте-
1 +Х2
тичный параллелограмму ABCD. Коэффициент гомотетии равен	—. 460. Вос-
				 (1 + ЛГ
пользуйтесь соотношением СН — О А 4- О В (задача 438). 461. Первый способ.
Обозначьте ортоцентры положительно ориентированных треугольников ОД В и
OCD через Нѵ и Я2, а центроиды треугольников ODA и ОВС — через (ц и 62.
Тогда ЯіЯ2 = ctg ф (і DC — i BA), где ф = О AB. В свою очередь, Gfi2 —
= y(S4-C)-j(4+£)) = -j (DC-HA). Отсюда = 3 ctg q> (i GA).
Следовательно, [ЯіЯ2] -L[GXG2], причем |Яі//2І• 1<ЛО21=3 | ctg ф |. Второй способ.
Воспользуйтесь соотношением | ОН^ = | ctg ф| • | ДВ| и скалярным произведе¬
нием векторов. 462. в) Допустив, что система п точек имеет центроиды и 62,
воспользуйтесь равенством а). Существование центроида следует из равенства б).
—>	1 т —►
463. Решение. По формуле предыдущей задачи имеем: GG1 = — V ОД/,
т
GG2 =
п
п

^GBj. Поскольку точка G является центроидом системы всех т 4- п
/=і
in 	п 	>
точек, то 2 6^1 + 2 GBj—Q- Из этих трех равенств вытекает равенство mGG^
і=і	/=і
—►	-> >	GiG	п
4-пОО2 = 0, или —=—. Следствие. Пусть Alt ..., Ат — некоторая
GG2 т
система точек и k — натуральное число, меньшее т. Выберем из Alt ..., Ат ка¬
кие-либо k точек, и пусть Gr — их центроид, а О2 — центроид оставшихся т — k
точек. Тогда все получившиеся таким образом отрезки 6х02 проходят через одну
точку G (центроид системы точек Дь ..., Ат) и делятся в этой точке в отношении
(т — k) : fe. Рассмотрите частные случаи: т = 2 и т = 3. 464. Центром гомоте¬
тии является центроид G данного пятиугольника. 467. а) Воспользуйтесь форму-
120

лой задачи 462 б).*Вычисляя скалярный квадрат вектора A4G, примите во внима-
• > — > - >	——>•	► - ■ >
ние, что Д/Д; = MAj — А4Д/ и, следовательно, 2Л4Д; • Л4Д/ = | MAj |а +
+ |А1Д/|2 — I Д/Д;|2. 468. Воспользуйтесь тем, что центр окружности совпадает
с центроидом вписанного в нее правильного п-угольника. 470. а) Сфера, точка
или пустое множество (в зависимости от постоянной), б) Центроид тетраэдра.
472. cos ср = --s Р С0473. а — р — у или cos а + cosp + cos у = —1
2cos-£-
2
(пример: а = 90°, Р = V = 120°). 474.. а) Воспользуйтесь равенством ОС =
= -(ОЛ+ÔS4-ÔC). 475. a) CD = ÔA + ОВ — ОС. б) | DM |s = 4J?2 +
3
+ а2 + Ь2 + с2 — (af + b2 + с;). 476. 2) Воспользуйтесь результатом задачи
■ ► ■ >■ ■ ■ >
475 а) или неравенством (ОД + ОВ — ОС)2 0, где О — центр описанной ок¬
ружности. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда у = 120°, а = р =
= 30е. 477. б) Воспользуйтесь результатом задачи 475 б). 478. б) См. задачу 300.
Равенство Q = 16/?2 имеет место только для равногранного тетраэдра. 479. Пусть
—► ►	——►	— >
высоты тетраэдра A BCD пересекаются в точке Н. Тогда АВ • CD = (НВ — НА) X
xCD — 0. 430. б) Убедитесь, что АН • ВС = —AD • ВС. 482. б) Воспользо¬
ваться формулой задачи 480 б). 483. См. задачу 439. 484. а) Пусть точка D сим¬
метрична ортоцентру Н треугольника АВС относительно середины стороны ВС,
а точка Ht симметрична Н относительно прямой ВС. Используя векторную фор¬
мулу задачи 438, установите, что OD = —ОА. Убедитесь в том, что DH^ = 90°.
б) Гомотетия с центром Н и коэффициентом у отображает точки D, Нг и А на те
точки, о которых говорится в условии задачи. 485. Используйте способ решения
т
аналогичной задачи 484. 486. —. 489. Примите точку А за начало координат,
AD и АВ — за базисные векторы. 490. Выберите аффинную систему коор¬
динат так, чтобы вершинам Д, В, D параллелограмма A BCD соответствовали ко¬
ординаты: А (0; 0), В (1; 0), D (0; 1). Запишите уравнения прямых CD, ВС и
др	АР k 1
BD. Установите, что —г + —— = -	+ —— = 1, где k — угловой коэффи-
AM	AN	l+k	i+k
циент секущей, проходящей через вершину А. 493. Точку О пересечения диаго-
1 ■■ >■ — ►
налей трапеции примите за начало аффинной системы координат, О А и ОВ — за
базисные векторы. Положив | ДЛ4| : | ÆfD| = | САП : | NB\ = X, установите,
что MP = LQ = I —	494. Воспользуйтесь результатом предыдў-
\	1 -|-Л I -J-А/
щей задачи. 495. Первый способ. Выберите аффинную систему координате началом
в точке О так, чтобы вершины четырехугольника ABCD * имели координаты
С (1; 0), D (0; 1), А (а; 0), В (0; Ь). В таком случае P (1 + а; 0), Q (0; b + 1).
Далее запишите уравнения прямых PQ, AD, ВС. Вычислите координаты точек
■ ►	—►	.
М и Af, а затем — координаты векторов МР и QAf. Второй способ. Воспользуй¬
тесь теоремой Менелая. 496. Точку О пересечения диагоналей четырехугольника
A BCD примите за начало аффинной системы координат, а оси координат прове¬
дите через вершины В и С. 497. Средняя линия треугольника АВС, параллель¬
ная стороне АВ. 498. Решение. Будем считать, что точка A4 отлична от А
и от В; примем ее за начало координат, а прямые I и т — за координатные оси.
Тогда координаты данных точек можно обозначить так: А (а; б), В (Ь\ 0), Р (0; р)
и Q (0; q).
121

X	у	X “	у
Уравнения прямых АР и BQ имеют вид — 4- — =1, — 4- — =1. Согласно
а	р	b	q
условию задачи р — 2q. Исключив из этой системы параметры р и q, получим
уравнение (2Ь — а) х = ab, которому должны удовлетворять координаты точки
пересечения прямых АР и BQ. Верно и обратное предложение.
Следовательно, при а #= 2Ь искомое множество точек есть прямая, парал¬
лельная т (точку этой прямой, принадлежащую I, следует исключить). При
а = 2Ь прямые АР и BQ не пересекаются, искомое множество точек пустое.
499. Прямая, параллельная I. Пусть прямые I и АВ пересекаются в точке О.
Приняв их за координатные оси, а точку О — за начало координат, введите обо¬
значения: А (0; а), В (0; Ь) и X (х; у). Используя условие задачи, составьте урав-
у — а , у —ô	а-\- b п
пение	1		 2, откуда у = ——. Рассмотрите еще случаи, когда
прямые I и АВ параллельны. 501. Выберите прямоугольную систему координат
так, чтобы концы диаметра АВ имели координаты (—1; 0) и (1; 0). Тогда концы
хорды CD, параллельной диаметру, будут симметричны относительно оси орди¬
нат. Обозначьте С (—х; у)’, D (х; у), М (т\ 0) и примените формулу для вычисле¬
ния расстояния между двумя точками.
503. Прямоугольную систему координат выберите так, чтобы точки А, В, С
имели координаты: А (—1; 0), В (1; 0), С (0; с). Найдите координаты точек En F.
Вычислите угловые коэффициенты fcx и k2 прямых АЕ и CF. Убедитесь, что k}k2 =•
= —1. 504. За начало координат примите центр данной окружности, а оси коор¬
динат проведите параллельно сторонам прямоугольника. 505. Точку Сх примите
за начало прямоугольной системы координат, а ось абсцисс проведите через точ¬
ку В. Установите, что угловые коэффициенты прямых СХЛХ .и С^ равны по абсо¬
лютной величине и противоположны по знаку. 506. а) ~ 5,3. ,508. Центр пра¬
вильного треугольника примите за начало координат, а' данную прямую — за ось
абсцисс. Воспользуйтесь формулами задачи 507. 509. За начало координат при¬
мите центр данной окружности, а ось абсцисс проведите параллельно касательной.
510. Вершину С треугольника АВС примите за начало координат, а ось проек¬
ций — за ось абсцисс. Считая треугольник АВС положительно ориентированным,
обозначьте координаты его вершин: A (<x;f3), В (—Р ; а). Запишите уравнения
прямых ААі и BBlf угловой коэффициент которых k = tg <р. Вычислив коорди¬
наты точек Лх и Вѵ установите, что ІЛХС|2 + | ВГС\2 = |ЛВ|2 ■■■.	■. 511._а) х'=
sin2 ср
= X cos 2а + у sin 2а, у' = х sin 2а — у cos 2а, где tg а = k. 512. Окружность
(без точек ее пересечения с прямой ЛВ).
—>	2 —> —►	—>
513.	а) Окружность диаметра MN, где AM = —ЛВ, AN = 2АВ.
514.	б) Окружность, одна точка или пустое множество, если kr + k2 =/= 0;
перпендикуляр к прямой АВ, если /гх + k2 = 0 и kL =/= 0. Выберите прямоуголь¬
ную систему координат так, чтобы данные точки имели координаты: А (—1; 0),
В (1; 0). Обозначив через (х; у) координаты точки М, установите, что задача
сводится к исследованию уравнения (fcx + k2)x2 + 2'(/гх — k2)x + (fcx + k2)y2 +
+	+ k2 = k. 515. Окружность с центром на прямой АВ (без двух точек пере-
3
сечения окружности с этой прямой). 516. Окружность радиуса — | ЛВ| с центром
в середине отрезка АВ (без двух точек окружности, принадлежащих прямой АВ).
517. Две прямые: /х и /2. Прямая /х проходит через точку Вх, симметричную точ¬
ке В относительно А, и образует с прямой АВ угол 30°. Прямая 12 симметрична
прямой /х относительно (АВ). 518. Окружность с центром на прямой Іг, проходя¬
щая через тИчки М и 0, где 0 = /х Q 12. 519. Отрезок, длина которого равна
|ЛВ|. 520. Две прямые, проходящие через середины противоположных сторон
квадрата. 521. Отрезок, соединяющий середину большей стороны и середину
высоты, проведенной к этой стороне (без концов отрезка). 523. Совокупность двух
окружностей, симметричных относительно прямой АВ (без точек А и В). 524.
122

Прямая, проходящая через центр окружности, описанной около треугольника
АВС, и перпендикулярная медиане CD треугольника. 525. Выберите на плоско¬
сти прямоугольную систему координат так, чтобы данные точки имели коорди¬
наты: А (—1; 0), В (1, 0), С (а;р). Если точка Р (х; 0) принадлежит искомому
множеству точек, то (х — а)2 +Ра = I*2 — 11. Условию задачи удовлетворяют
самое большое три точки. Если а = 0 и |0 | > 1, то искомое множество пустое.
Элементарное решение задачи можно получить с помощью вспомогательной ок¬
ружности, описанной около треугольника. 526. Открытая дуга АВ с центром
в точке С и биссектриса угла ДСВ. 527. а) Прямая, проходящая через середины
сторон AD и ВС квадрата; биссектрисы углов, вертикальных углам квадрата; дуі и
AD и ВС окружности, описанной около квадрата (без точек А, В, С и D); б) Диа¬
гонали квадрата и дуги АВ и CD окружности, описанной около квадрата (без
точек А, В, С и D). 528. Обозначив координаты точек А( хх; — I, В I х2; —I, вы¬
числите координаты точек Alt ВІУ а затем координаты вектороц AAt и ВВѴ
529. Составьте уравнение касательной к гиперболе ху = 1 в точке Л1о fx0; —и
х	\ *о /
найдите координаты точек пересечения касательной с осями координат.
534. а) По формулам задачи 507 имеем: х' = (х — у), у' = KjL (х + у).
Отсюда х'у' = — (х2 — у2).
Следовательно, при повороте на 45а вокруг начала координат фигура F,
определяемая уравнением х2 — у2 = а2, отображается на равнобочную гипер-
а2
болу х'у' = у? 536. Выберите прямоугольную систему координат так, чтобы
данные точки имели координаты: А (—а; 0), В (а\ 0). Обозначив С (х; у), вычи¬
слите угловые коэффициенты прямых АС и ВС. Составьте уравнение искомого
множества точек: х2 — у2 = а2. 537. Окружность и равнобочная гипербола.
538. Решение. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат
так, чтобы данная парабола имела уравнение у = х2.
Обозначив координаты точек: М (а; Ь), А (хг; yj, В (х2; у2). Условие при-
fl — xt b — у I
надлежности этих трех точек одной прямой имеет вид	=	\ Отсюда,
*2-*1	У-2-У1
учитывая, что у^= xt и у2 = х2, получаем: xLx2 — а (хг + х2) + b = 0. Следо¬
вательно, I MAJ • I MÆJ = I (хі — а) (х2 — а) I = | ххх2 — а (хх 4- х2) + а2 | =
= |fla — b\, т. е. I MAJ • I MBJ зависит только от положения точки М относи¬
тельно параболы. 541. Запишите уравнения касательных к параболе у = ха в
точках А (хх; Х|) и В (х2; х2). Решите систему полученных уравнений и установи-
Хх+
те, что точка С имеет координаты х = —-— и у =х1х2. Вычислите координаты
середин D и Е отрезков АС и ВС, а также координаты середины М отрезка DE.
Убедитесь, что прямая DE касается параболы в точке М. 543. а) Центр симмет-
[р p2+4fl\
рии имеет координаты I—;—-—I. 547. Прямая линия. 549. Парабола, если
А $ I; две прямые, перпендикулярные I, если A £1. 550. Парабола с вершиной
в точке А и прямая, проходящая через точку А и центр данной окружности.
551. Дуги двух парабол с общими концами на прямой /. 552. ~ Л3
?	А
553. — Ўа2 + Ь2 + с2. Расстояния от центра сферы до граней BCD, ACD9 ABD
abc
равны соответственно—, ~ и —. 554. Выберем в пространстве прямоугольную
123

Рис. 34
систему координат так, чтобы вершины
тетраэдра ABCD имели координаты: D (0;
0; 0), А (а; 0; 0), В (0; р; 0), С (0; 0; у).
Тогда, согласно задаче 553, центр О опи¬
санной сферы будет иметь координаты
а Р у
у и у. Плоскость л, проходящую
через точку О, зададим уравнением ах +
• + by + cz + d = 0. Так как координаты
точки О удовлетворяют этому уравнению,
то аа + Ь$ + су + 2d = 0. Остается
выразить расстояния от вершин тетраэдра
до плоскости л, и, приняв во внимание
полученное равенство, убедиться в спра¬
ведливости доказываемого утверждения.
555. 1,5. Задача сводится к вычислению расстояния от начала координат до
(а \	/ а 1/"3	\
— ; 0; 01, В 10; —01 и S (0; 0; h).
556. 3. 557. Центроид тетраэдра примите за начало координат, а плоскость,
проходящую через центроид, — за координатную плоскость Оху. Воспользуйтесь
формулами, выражающими координаты центроида через координаты вершин
тетраэдра. 558. -ЦСіІ. 559. Правильный шестиугольник. 560. Данные точки при¬
надлежат плоскости, уравнение которой х + у + z=a+& + с. 561. б) Плоско¬
сти граней трехгранного угла примите за координатные плоскости прямоуголь¬
ной системы координат. Обозначив через a, Ь, с длины отрезков, отсекаемых
плоскостью АВС на осях координат, а координаты точки М — через х, у, z, уста¬
новите, что а = Зх, b = Зу и с = Зг. 562. а) т + п ±Ў Задача всегда име¬
ет два решения, б) 2r=tn + n + p±. ў 2тп + 2тр + 2пр — т2 — п2 — р2,
где г — радиус сферы. 1) Два решения: q = 3 и г2 = 5. 2) Одно решение: г = 3.
3) Решений нет. 563.		 565. Решение. Примем вершину О тет-
ab + Ьс + са
раэдра О АВС за начало прямоугольной системы координат, а осям координат при-
■ > ■ ►
дадим направления векторов ОА, ОВ и ОС (рис. 34). Тогда координаты вершин
тетраэдра и точки Р можно обозначить так: А (а; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; с) и
Р (х; у; z). Введем еще обозначения: | АР\'= alt | BP| = blt | СР\ = q, | ОР\ = р.
По формуле расстояния между двумя точками находим: af = (х — а)2 +
+ у2 + г2, р2 = X2 + у2 + z2. Отсюда а? = а2( 1 — —) + р2. Аналогично Ь? =
\ а /	1
/	2у\	n /	2z\
= 62( 1 — — + р2, с? = с211 — — I + р2. Следовательно, — + — + —=
\ b /	\ с ]	а2 Ь2 с1
= 3	— 2 I — + -у- + — ) + р2	[ —	4-	—- + —	Точка	Р	принадлежит	плоскости
\ a	b о /	\а2	Ь2	с2/
АВС,	поэтому	— + у- + — = 1.	Далее,	— + — +	—	= — (см.	задачу 564). А
abc	a2	b2	с2	п2
q .	bi	C]
так как	—— и,	— =	ѵ и	—
а	Ь	с
D2
ВИД + V2 + tt)2 = 1 -I-	«
h2 .
чательно получаем: и2 + ѵ2 + w2 = 2 + ctg 2а. Эта'формула играет важную
роль в теории изображения пространственных фигур (в аксонометрии). 566. 8а2.
567. Плоскость, проходящая через центр сферы, описанной около тетраэдра
124
= w, то полученное выше равенство принимает
р2 1
Учитывая, что — =	=14- ctg2 а, окон-
h2 sin2 а

568. Сфера. 569. Сфера, описанная около куба. 570. (2 + ]^3) d.
л	3 іЛз”
б?2,	2 s*n а’ 574. —Л . Установите, что треугольник
2 1ЛТ
стремится к равностороннему треугольнику. 575. h. 577. Пре-
точка Хо на стороне АС треугольника АВС удовлетворяет условию
2 	>
~ ДС. Обозначив |АС\ = b и |ДXi| = d/, установите, что d/ =
А В CD.
™ па
□71. —.
2
дельная
	►	2 	►	*	'	з
ДХ0 = ДС- Обозначив |ДС| = b и |ДХі| = d/, установите, что di = — b —
•’’df-i- 578, *7^ 579’ Искомая точка — середина отрезка АВ. Выберите на
плоскости аффинную систему координат так, чтобы точки имели координаты:
О (0; 0), А (а; 0), В (0; Ь). Пусть Ді (ах; 0) и Вг (0; bj, тогда условие равенства
площадей треугольников имеет вид = ab. Далее запишите уравнения пря¬
мых АВ и ДіВр Вычислите координаты точки пересечения этих прямых. 580.
Поперечное сечение желоба представляет собой равнобочную трапецию, боко¬
вые стороны и меньшее основание которой имеют одинаковую длину а. Обозначь¬
те длину проекции боковой стороны трапеции на большее основание через х.
Тогда площадь трапеции равна S = (а + x)Y а2 — х2, где 0 < х < а. Функция
а
S	принимает наибольшее значение при х = —. 581. Каждая из боковых сторон
т
искомой трапеции имеет длину, равную —. 582. Пусть |ДМ | = |А/Ѵ| = х, BAN =
Ô
= а, |ДВI = 2/\ Тогда |МW]2 = 2х2 — 2х2 cos а, где cos а = —. Расстояние
2г
4
|Л4будет наибольшим при х = —г. 583. Пусть AD — высота искомого тре-
3
угольника ДВС, О — центр данной окружности. Очевидно, |ДР| |ДО|. Обо-
значьте |ДО| = а, |ОВ| = b и |OD| = х. Тогда |CD| = Yr2 — х2 и S=(a+x)X
Xj/72 — *2> гДе 5 — площадь треугольника АВС. Треугольник АВС имеет наи¬
большую площадь при X = — (■/а2 + 8г2 — а). 584. Задача сводится к исследо¬
ванию функции S = 2 (х — а) У72 — х2, где г — радиус дуги, а — расстояние
от центра дуги до основания сегмента, ах — расстояние от центра до стороны
прямоугольника, параллельной основанию сегмента. При этом а < х < г.
585. Вершины В и С искомой трапеции ABCD делят большую из дуг ÀD на три
конгруэнтные части. 586. Обозначив через 2х длину основания равнобедренного
треугольника, установите, что радиус г вписанной окружности есть функция
г = хі/ ~ где 0 < X < Ь. Радиус г принимает наибольшее значение при х=
J Ь + х
= ^5 ~	587. Обозначьте величину угла при вершине С равнобедренного
треугольника АВС через 2х, а высоту ДР, проведенную к боковой стороне, через
8	іЛз”	1
h. Установите, что h = 4/? (sin х — sin3 х), hmax= —L—при C=2x=arccos —.
У	3
588.	/. 589. Обозначив |ОМ| = 1, АОМ = а, ВОМ = ₽., АМ0=х, све-
sin а	sin р
дите задачу к исследованию функции у= Лй = ———■—- + —— 	—.
sin(x+<x) sm(x — P)
„	|ЛМ| |ВС|
Установите, что АВ — искомая прямая в том случае, когда	—— = —=
IВМ J I AC I
125

= —®-. 590. а) 1,5 м, 2 м и 3 м. б) Площадь полной поверхности параллелеттипе-
tgB
да принимает наибольшее значение в том случае, когда высота парал-
лелепипеда есть среднее гармоническое между сторонами основания,
у ah2 при х = h У 2, если а h 2;
— а2 У4h2 — а2 при х = а, если а > h У 2.
6
591. Ѵдіах —
Обозначьте высо-
ту. ромба через х. Тогда объем
= — а У (4/і2 — х2) X2, где 0 х а.
6
пирамиды выразится формулой V =
3 / Ѵ~
592. г = h = т / —, где г — радиус
основания и h — высота цилиндра. 593. Высота цилиндра равна диаметру
основания: h = 2г = л/ 594. а = h У 3 = frlV, где а — длина стороны
основания призмы и h — ее высота. 595. Объем конуса имеет наибольшее
/ і/г’з‘
значение, когда его высота равна _2_—. 596. Отношение высоты конуса к
радиусу его основания равно У%- 597. Угол наклона бокового ребра к плос¬
кости основания равен 45°. 598. arccos —. 599. Пусть основанием правильной
Û
призмы является квадрат ABCD, а сечением — равнобочная трапеция ACEF.
Обозначьте \EF\ = 2х и выразите площадь S сечения как функцию х: S =
=(г 4-х) Г (7 — х)2 + Я2, где по смыслу задачи 0 х г. При h = 2 и / = 3
функция S в промежутке [0; 3] имеет две критические точки: xt = 1 и х2 = 2.
Однако наибольшее и наименьшее значения она имеет не в этих точках, а на
концах промежутка: min S = S (0) ~ 10,8 и max S = S (3) = 12. При h = 4
и г=9 функция S принимает наибольшее и наименьшее значения в крити¬
ческих точках, а именно: S (1)	89 и S (8)	70. 600. 96см2.
ОБОЗНАЧЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
R — радиус описанной около треугольника окружности;
г — радиус вписанной в треугольник окружности;
гь> гс — радиусы вневписанных окружностей, касающихся соответственно
сторон а, Ь, с и продолжений двух других сторон. -
Н — точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника;
G — точка пересечения медиан (центроид) треугольника;
О — центр описанной около треугольника окружности;
/ — центр вписанной в треугольник окружности.
Длины сторон и диагоналей четырехугольника ABCD обозначаются так:
IАВ\ = а, I ВС| = b, I CD\ = с, | DA \ = dt | АС| = е, \BD\ = f. Величины углов
четырехугольника: А = а, В = Р, С = у, D = Ô.
2р и S — периметр и площадь четырехугольника.
Si, Sg, S3, S4.— площади граней, противолежащих соответственно вершинам
А, В, С, D тетраэдра;
hlt h2, h3t hi — высоты тетраэдра, проведенные соответственно из вершин
J А, В, С, D;	‘
тъ т2, /п3, /п4 — медианы тетраэдра, проведенные соответственно из вершин
А, В, С, D;
R — радиус описанной около тетраэдра сферы;
г — радиус вписанной в тетраэдр сферы;
(вс» ^СА— Длины отрезков, соединяющих середины противоположных ребер
тетраэдра; АВ и CD, ВС и AD, СА и В£>;
126

dAD, ^ВС' ^СА "" расстояния между парами скрещивающихся прямых АВ и CD,
ВС и AD, СА и BD;
• >' *■ ► ~ ' >
Флв> Чв& Фел ”” величины углов между направлениями векторов АВ и CD, ВС и
ÂD, САи BD\
G — точка пересечения медиан (центроид) тетраэдра;
О — центр описанной около тетраэдра сферы.
Тетраэдр, высоты которого пересекаются в одной точке Н, называется орто-
центрическим. Точка Н называется ортоцентром тетраэдра.
Тетраэдр, все грани которого конгруэнтны, называется равногранным.
Тетраэдр, у которого все плоские углы при одной вершине прямые, назы¬
вается прямоугольным.
Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий его вершину с цент¬
роидом противоположной грани.
D — вершина прямого трехгранного угла;
[DH] — высота тетраэдра, проведенная из вершины;
[DL] — биссектриса теграэдра (точка L одинаково удалена от граней прямого
трехгранного угла).
I DAI = a, |DB| = b, 1DGI = с; \DH I = h, \DL\ = I, m; tAB =
=
Si, S2, S3 — площади граней, противолежащих соответственно вершинам А, В, С;
S	— площадь грани АВС.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии, М.—Л., Гос-
техиздат, т. I, 1948; т. II, 1949.
2.	Болтянский В. Г., Я глом И. М. Векторы и их применение
в геометрии. —Энциклопедия элементарной математики, кн. IV. М., Наука,
1963, с. 292—381.
3.	Васильев Н. Б., ГутенмахерВ. Л. Прямые и кривые. М.,
Наука, 1978.
4.	К р е ч м а р В. А. Задачник по алгебре. М., Наука, 1964.
5.	С к о п е ц 3. А., Ж а р о в В. А. Задачи и теоремы по геометрии. М.,
Учпедгиз, 1962.
6.	ШклярскийД. О., Ченцов Н. Н., Я г л о м И. М. Геометри¬
ческие неравенства и задачи на максимум и минимум. М., Наука, 1970.
7.	Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы под ред.
3. А. Скопеца. М., Просвещение, 1977.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .	 3
Глава 1. Решение геометрических задач средствами алгеб¬
ры и тригонометрии 	 5
§	1.	Уравнения первой и второй степени 		 —
§	2.	Алгебраические преобразования. Тождества и неравенства-	8
§	3.	Тригонометрические тождества и уравнения 		 13
§	4.	Уравнения и неравенства смешанного вида 	 17
§	5.	Задачи на построение 	 19
§	6.	Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений	22
§	7.	Зависимости между элементами треугольника .....	27
§	8.	Зависимости между элементами четырехугольника ...	37
§	9.	Зависимости между элементами тетраэдра 	 41
§ 10.	Смешанные задачи 	 46
Глава II. Применение векторов к решению геометрических
задач 	  56
§ 11. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на
число 	 —
§ 12.	Длина вектора. Поворот вектора на 90°	  61
§ 13.	Скалярное произведение 	 65
§ 14.	Смешанные задачи 	 70
Глава III. Приложение метода координат . . 		 77
§ 15. Уравнение прямой относительно аффинной системы коор¬
динат 	 —
§ 16. Прямоугольная система координат на плоскости. Прямая
и окружность 	   '	82
§ 17. Равнобочная гипербола и парабола 	 87
§ 18. Прямоугольная система координат в пространстве. Пло¬
скость и сфера 	 91
Глава IV. Пределы. Применение производной . 		 95
§ 19. Задачи на вычисление пределов 	 —
§ 20. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений
геометрических величин 	  98
Ответы, указания, решения 	 101
Обозначения, определения 	  126
Литература 	 127
128