Геометрия. Часть вторая: Стереометрия. Учебник для 9-10 классов средне школы - Киселёв А.П.

Автор: Киселёв А.П.

Теги: математика геометрия стереометрия 9 класс учебник по геометрии 10 класс

Год: 1938

Похожие

Прямолинейная тригонометрия: Учебник для 9 и 10 классов средней школы

Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы

Стереометрия, 10

Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы

Текст

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК
ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Цена 80 и.

* МОС К ЗА -1938
А. П. КИСЕЛЕВ
ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНИК
ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
редакцией и с дополнениями
проф. Н. А. Глаголева
аерждеко Наркомпросом РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1938
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Вторая часть ччтбникл геометрии А. П. Киселева стереометрия подверг-
лась переработке в том же направлении, что и первая часть книги (планимет-
рия). а именно: в направлении приспособления к программам по геометрия
средней школы, в направлении учета пожеланий компетентны! opiaiios н учре-
ждений, высказавшихся относительно структуры и содержания современного
учебника геометрии (Н. К. П., группа математики Академии наук, Московское
математическое об-во, Научно-исследовательский ин-т средней школы) и, на-
конец, в направлении учета современного научного состояния вопросов, изла-
гаемых в карее элементарной геометрии.
Наиболее существенными моментами в переработке 2-й части являются сле-
дующие: перестановка порядка изложения вопросов о перпендикулярности и
параллельности прямых и плоскостей в пространстве, что дало возможность
значительно упростить доказательство отдельных теорем; сокращение числа
теорем о параллельных прямых н плоскостях. При этом второстепенные теоремы,
на которые нет ссылок в дальнейшем тексте книги н которые легко могут
быть доказаны самими учащимися, перенесены в отдел упражнений; теоремы,
утверждающие возможность выполнить то или иное построение, изложены в
форме задач на построение (решенных в тексте). Все это позволило выделить
главнейшие моменты во взаимоотношениях параллельности и перпендикулярно-
сти в пространстве и сделать этот отдел геометрии более обозримым и более
легко воспринимаемым.
Введены задачи на построение в пространстве. Уточнено и’несколько упро-
щено наложение теории измерения объемов аналогично тому, как это были сде-
лано в первой части для измерения площадей. '
Несколько сокращена глава об ортогональных проекциях фигур и в отдель-
ны! местах изложение упрощено и детализировано.
Введены элементы симметрии в пространстве,упрощены и более детально разъ-
яснены отдельные вопросы в статье об аксиомах геометрии за счет частичного
ее сокращения.
Моими дополнениями в книге являются следующие пара|рафы' Задачи на
построение в пространстве (§6,7, 19-22,35-37). Упражнения к главе I (стр 22).
О симметрии в пространстве (tj 99 — 104), Об ортогональных проекциях плоских
фигур (§ 60-66); Построение правильных многогранников (§ 98), Об аксиомах
геометрии (дополнение).
г. Верея Н' Гмгом9
15 марта 1933 г.
«Ъ» peurrop С И. Нмаеив,.
тм» реактор Ю. Ю. 5аак
ОВэьак туложоке 6. Н. Гуаешна.
Корректор Г. В. Сапапр
.......... * ж ta
_________________________ и “А. у-2. Ji 21М.
*“• О~*^*С₽ .Поз^ефк,.,.., Москва, Яковк, 3*.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Предварительные замечании.
1. В стереометрии изучаются геометрические тела и пространствен-
ные фигуры, не все точки которых лежат в одной плоскости. Простран-
ственные фигуры изображаются на чертеже при помощи рисунков,
которые производят на глаз такое же впечатление, как и сама фигура.
Эти рисунки выполняются по определенным правилам, основанным на
геометрических свойствах фигур.
Один из способов изображения пространственных фигур на плоско-
сти будет указан в дальнейшем (§ 54—66).
Глава первая.
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
2. Изображение плоскости. В обыденной жизни многие предметы,
поверхность которых напоминает геометрическую плоскость, имеют
форму прямоугольника: переплет книги, оконное стекло, поверхность
письменного стола и т п. При этом,
если смотреть на эти предметы под
углом и с большою расстояния, то они
представляются нам имеющими форму
параллелограма. Поэтому принято изо-
бражать плоскость на чертеже в виде ,, ,
„ г Черт. 1.
параллелограма. Этот парзллелограм
обычно обозначается одной буквой, например .плоскость М* (черт. 1).
3. Основные свойства плоскости. Укажем следующие свойства
плоскости, которые принимаются без доказательства, т. е. являются
аксиомами.
1) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая
точка зтой прямой принадлежит плоскости.
2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой, проходящей через зту точку.
3) Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно
провести плоскость и притом только одну.
4. Следствия. Из последнего предложения можно вывести сле-
дующие следствия:
I) Через прямую и точку вне ее можно провести плоскость (и
только одну). Действительно, точка вне прямой вместе с какими-нибудь
двумя точками этой прямой составляют три точки, через которые можно
провести плоскость (и притом одну).
ппаиые можно пров'сти плоскость
, 2> '/'/’МХ)'“м“”ге«ь»о. »э«« «"Я »₽«“«««” " we по
тппые можно провести плоскость (и притом одну).
Р3? Е л параллельные прямые можно провести только одну
плоскость. Действительно, параллельные прямые, по определению, ле-
; ? в одной плоскости; эта плоскость единственная, так как через одну
«параллельных и какую-нибудь точку другой можно провести не бо-
ЛСС5?ЛВраи1еш«°плоскости вокруг прямой. Через каждую прямую
в пространстве можно провести бесчисленное множество пло-
скостей. В самом деле, пусть дана прямая а (черт. 2). Во зьмем^какую-
нибудь точку 4 вне ее. ’ .
единственная плоскость (§ 4). Назовем ^ее
новую точку В ь.._ -------------
Во зьмем
Наювем ее
так
Через точку А и прямую а проходит
плоскостью Af. Возьмем
вне плоскости М. Через точку В н прямую а
в свою очередь проходит плоскость,
плоскостью N. Она не может совпадать с Af,
как в ней лежит точка В, которая не принадлежит
плоскости .И. Мы можем далее мять и пространстве
еще новую точку С пне плоскостей Af и N. Через
точку С и прямую а, проходит новая плоскость.
Назовем ее Р. Она не совпадает ни с Af ни с У,
так как в ней находится точка С, не принадлежащая
ни плоскости Af, ни плоскости N. Продолжая брать
в пространстве все новые н новые точки, мы будем
таким путем получать все новые и новые плоскости,
проходящие через данную прямую а. Таких плоско-
стей будет бесчисленное множество. Все эти плоско-
сти можно рассматривать как различные положения одной и той же
плоскости, которая вращается вокруг прямой а.
Мы можем, следовательно, высказать еще одно свойство плоскости:
плоскость может вращаться вокруг всякой прямой, ле-
жащей в этой плоскости.
6- Задачи на построение в пространстве. Все построения, кото-
рые делались в планиметрии, выполнялись в одной плоскости при по-
мощи чертежных инструментов. Для построений в пространстве чертеж-
ные инструменты становятся уже непригодными, так как чертить фигуры
в пространстве невозможно. Кроме того, при построениях в простран-
стве появляется еще новый элемент — плоскость, построение которой
в пространстве нельзя выполнять столь простыми средствами, как по-
строение прямой на плоскости.
Поэтому при построениях в пространстве необходимо точно опре-
делить, что значит выполнить то или иное построение
и, в частности, что значит построить плоскость в пространстве. Во
всех построениях п пространстве мы будем предполагать:
1) что плоскость может быть построена, если найдены элементы,
определяющие ее положение в пространстве (§ 3 и 4), т. е. что мы умеем
и°точкуТян₽ ррСКа0С1?’ лроходяЩУю чеРез три данные точки, через прямую
9) итп ’ йр 3 ДВе пеРес?каюц1исся или две параллельные прямые;
т е Т ПЛОСКОСТИ- Лака и линия их пересечения,
е. что мы умеем найти линию пересечения двух плоскостей;
3) что если в пространстве дана плоскость, то мы можем выполнять
в ней все построения, которые выполнялись в планиметрии.
При помощи этих основных задач можно решать и зя тяни более
сложные. Выполнить какое-либо построение в пространстве — это значит
свести его к конечному числу только
что указанных основных построений.
В этих предположениях и решаются
задачи на построение в стереометрии.
7. Пример задачи на построение
В пространстве. Задача. Найти точку
пересечения данной прямой а (черт. 3)
с данной плоскостью Р. Возьмем на
плоскости Р какую-либо точку А. Че-
рез точку А и прямую а проводим пло-
скость Q Опа пересекает плоскость Р
по некоторой примой Ь. В плоскости Q находим точку С пересечения
прямых а и Ь. Эта точка и будет искомой. Если прямые а и Ь ока-
жутся параллельными, то задача не будет иметь решения.
II. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
Параллельные прямые.
8. Предварительное замечание. Дне прямые могут быть располо-
жены в пространстве так, что через них нетьзи пронести плоскости.
4), две такие прямые АВ и DZF, из которых
одна пересекает некоторую плоскость Р. а
другая лежит из ней, но не проходит через
точку (С) пересечения первой прямой и пло-
скости Р. Через такие дне прямые нельзя
провести плоскости, потому что в противном
случае через прямую DE и точку С прохо-
дили бы две различные плоскости: одна Р,
пересекающая прямую АВ, и другая, содер-
жащая ее, а это невозможно (§ 3).
Две прямые, не лежащие в одной пло-
скости, конечно, не пересекаются, сколько
бы их ни продолжали; однако их не напивают параллельными, оставляя
это название для таких прямых, которые, находясь в одной
плоскости, не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
Дпе прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещи-
вающимися.
Прямая и плоскость, параллельные между собой.
9. Определение. Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости,
называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их
ни продолжали.
10. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 5) параллельна какой-
нибудь прямой (CD}, расположенной в плоскости (Р), то она па-
раллельна самой плоскости.
Проведем через АВ и CD плоскость R и предположим, что прямая
АВ где-нибудь пересекается с плоскостью Р. Тогда точка пересечения,
5
Возьмем, например (черт.
ла пг.п«цЯ поинадлежать также и плоскости р,
находясь на прямой АВ, должна пРинад пересечения, ко!
hi к-птопоП лежит прямая До, в то же врстл r »
нечно должна принадлежать и плоскости Р. Значит, точка пересечения,
находясь одновременно н на плоскости R и на плоскости Р, должна лежать
нГпрямой CD, по которой пересекаются эти плоскости; следовательно,
прямая АВ пересекается с прямой CD. Но это невозможно, так как, по
условию, АВ ’ CD. Значит, нельзя допустить, чтобы прямая АВ пере-
секалась с плоскостью Р, и потому АВ j; Р.
11. Теорема. Если плоскость (R, черт. 5) проходит через
прямую (АВ), параллельную другой плоскости (Р), и пересекает
эту плоскость, то линия пересечения (CD) параллельна пер-
вой прямой (АВ),
Действительно, во-первых, прямая CD лежит в одной плоскости
с прямой АВ, во-вторых, эта прямая не может пересечься с прямой
Черт. 7.
АВ, потому что в противном случае прямая АВ пересекалась бы с пло-
скостью Р, это невозможно.
12. Следствие 1. Если прямая (АВ, черт. 6) параллельна каж-
дой из двух пересекающихся плоскостей (Р и Q), то она параллельна
линии их пересечения (CD).
Проведем плоскость через АВ и какую-нибудь точку М прямой CD.
Эта плоскость должна пересечься с плоскостями Р и Q по прямым, па-
раллельным АВ и проходящим через точку М. Но через точку М можно
провести только одну прямую, параллельную АВ; значит, две линии
пересечения воображаемой плоскости с плоскостями Р и Q должны
слиться в одну прямую. Эта прямая, находясь одновременно на пло-
скости Р и на плоскости Q, должна совпадать с прямой CD, по ко-
торой плоскости Р и Q пересекаются; значит, CD || АВ.
13. Следствие 2. Если две прямые (АВ и CD. черт. 7)
параллельны третьей прямой (EF), то они параллельны между
собой.
Проведем плоскость М через параллельные прямые АВ и EF. Так
как CD || EF, то CD || М (§ 10).
Проведем также плоскостьW через CD и некоторую точку А прямой АВ.
ак как EF || CD, то EF || N. Значит, плоскость N должна пересечься
с плоскостью М по прямой, параллельной EF (§ 11) и в то же время
проходящей через точку А. Но в плоскости М через А проходит един-
ственная прямая, параллельная ЕР, именно прямая АВ. Следовательно,
6
плоскость V пересекается с М по прямой АВ, значит CD || АВ. В самом
деле, М || CD, следовательно, прямая АВ, по которой плоскость М пе-
ресекается с плоскостью М, параллельна CD (§ 11).
и CD) параллельны.
Параллельные плоскости.
14. Определение. Две плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
15. Теорема. Если две пересекающиеся прямые (АВ и АС,
черт. 8) одной плоскости (Р) соответственно параллельны двум
прямым (А}ВХ и HjCJ
другой плоскости (Q),
то эти плоскости па-
раллельны.
Прямые АВ и АС па-
раллельны плоскости Q
(S Ю).
Допустим, что плоско-
сти Р н Q пересекаются
по некоторой прямой DE
(черт. 8). В таком случае
АВ || DE и АС || DE
(§ 11). Таким образом,
в плоскости Р через точ-
ку А проходят две пря-
мые АВ и АС, параллель-
ные прямой DE, что не-
возможно. Значит пло-
скости Р н Q не пере-
секаются.
16. Теорема. Если
две параллельные пло-
скости (Р и Q, черт. 9)
пересекаю тся третьей
плоскостью (/?), то линии пересечения (АВ
Действительно, во-первых, прямые АВ и CD находятся в одной
плоскости (/?); во-пторых, они не могут пересечься, так как в против-
ном случае пересекались бы плоскости Р и Q, что противоречит условию.
17. Теорема. Отрезки параллельных прямых (АС и BD,
черт. 9), заключенные между параллельными плоскостями (Р и
Q), равны.
Через параллельные прямые АС и BD проведем плоскость /?; она
пересечет плоскости Р и Q по параллельным прямым АВ н CD; сле-
довательно, фигура ABDC есть параллелограм, и потому AC—BD.
18. Теорема. Два угла (ВАС и BpAjC,, черт. 10) с соответ-
ственно параллельными и одинаково направленными сторона-
ми равны и лежат в параллельных плоскостях (Р и Q).
Что плоскости Р и Q параллельны, было доказано выше (§ 15);
остается доказать, что углы А и At равны.
Отложим на сторонах углов произвольные, но равные отрезки
АВ = А1В1; АС=АХСХ и проведем прямые ВВХ, ССХ, ВСнВхСх. Так
7.
„ OTP.™ ЛВ . ЛД u*'uZa"™KnT:
!Х«е ”p«i™e ”ра«»н'» парзллрлькы отреак» Д/1;."щ5^ дд
ББ'У ССХ и ВВ^СС,. Поэтому ВС=В1С1 и ДА8С—Д4АС! (по
трем сторонам); значит, ^4 —
Задачи на построение.
19. Через точку (4, черт. 11), расположенную вне данной прямой
(а), в пространстве провести прямую, параллельную данной прямой (а).
Решение. Через прямую а и точку А проводим плоскость М.
В этой плоскости строим прямую Ъ, параллельную прямой а.
Задача Имеет единственное решение. В самом деле, искомая прямая
должна лежать с прямою л в одной плоскости. В этой же плоскости
должна находиться точка 4, через которую проходит искомая прямая.
Значит, эта плоскость должна совпадать с М.
Но в плоскости М че-
рез точку А можно
провести только одну
прямую, парал лельную
прямой а.
20. Через данную
точку (4, черт. 12)
провести плоскость,
параллельную данной
плоскости (Р), не про-
ходящей через точку А.
Решение. Про-
водим на плоскости Р
через какую-либо точку
В дне какие-либо пря-
мые ВС и ВО. Построим две вспомогательные плоскости: плоскость
Af— через точку А и прямую ВС и плоскость jV—через точку А
и прямую BD. Искомая плоскость, параллельная плоскости Р, долж-
на пересечь плоскость М по прямой, параллельной ВС, а плоскость
1V по прямой, параллельной BD (§ 16). Отсюда вытекает такое по-
строение: через точку А проводим в плоскости Л1 прямую АС, ВС,
а в плоскости М прямую AD, |] BD.
Через прямые ACj н 40, проводим плоскость Q. Она и будет ис-
комой. В самом деле, стороны угла 0,4^, расположенного в плоскости
Q, параллельны сторонам угла DBC, расположенного в плоскости Р.
Следовательно, Q ,1 Р.
Так как в плоскости М через точку А можно провести лишь одну
прямую, параллельную ВС, а в плоскости N через точку А лишь одну
прямою, параллельную BD, то задача имеет единственное решение. Сле-
довательно, через каждую точку пространства можно провести единст-
венную плоскость, параллельную данной плоскости.
21. Через данную прямую (а, черт. 13) провести плоскость, парал-
лельную другой данной прямой (6).
Решение, l-й случай: прямые а и b не параллельны. Через
как;.ю-нибудь толку А прямой а проводим прямую Ь', параллельную Ь’,
через прямые а и Ь' проводим плоскость. Она и будет искомой (§ 10).
Задача имеет в этом случае единственное решение.
8
2-й случай, прямые а и Ь параллельны. В этом случае задача не-
определенна. венкам плоскость, проходящая через прямую а, будет па-
раллельна о.
22. Пример более сложной задачи на построение. Даны две скрещиваю-
щиеся прямые (а и Ь, черт. 14) и точка А, нс лежащая ни па одной из данных
прямых. Пронести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые
Решение. Так как искомая прямая должна проходить через точку А и
пересекать прямую а, то она должна лежать в плоскости, проходящей через
прямую а и точку А (так как две ее точки должны лежать в этой плоскости:
точка А и точка пересечения с прямой а). Совершенно так же убеждаемся, что
искомая прямая должна лежать в плоскости, проходящей через точку А и пря-
мую Ь. Следовательно, опа должна служить линией пересечения этих двух
плоскостей. Отсюда такое построение. Через точку А и прямую а проводим
плоскость Л1; через точки А и прямую b проводим плоскость Л Берем прямую
с пересечения плоскостей М и Л. Если прямая с пс параллельна ни одной из
данных прямых, то она пересечется с каждой из данных прямых (так как с каж-
дой из них она лежит в одной плоскости: а и с лежат в плоскости М, Ь и с —
в плоскости N). Прямая с будет в этом случае искомой. Если же а Це, или
b || с, то задача не имеет решения. Пря-
мые а и с будут параллельны в том
случае, когда плоскость, проходящая
через точку А и прямую а, параллельна \
Ь. Аналогично: Ь || с означает, что пло- / \ \
скость N || а, / \ \
111. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОН- / Г \ V ~7
НЫЕ К ПЛОСКОСТИ. м / L \/
'Поставим задачу определить, в / /// /
каком случае прямая может считаться / clr, / / /
перпендикулярной к плоскости. До- /_______ \ / /_______у
кажем предварительно следующее \ j /
предложение: \1/
23. Теорема. Если прямая
(ААП черт. 15), пересекающаяся
с плоскостью (AW), перпендику- Че₽т- 15.
лярна к каким-нибудь двум пря-
мым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через точку
пересечения (О,, данной прямой и плоскости, то она перпенди-
кулярна и ко всякой третьей прямой (OD), проведенной на
плоскости через ту же точку пересечения (О).
Отложим произвольной длины, но равные отрезки ОА и OAj и
проведем на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекала бы
три прямые, исходящие из точки О, в каких-нибудь точках С, D и В.
9
Эти точки соединим с точками А и АР Мы получим тогда несколько
треугольников. Рассмотрим их в такой последовательности.
Сначала возьмем треугольники АСВ и АХСВ; они равны, так как
у них: СВ-общая сторона, АС=А,С как наклонные к прямой ААГ
одинаково удаленные от основания О перпендикуляра ОС; по той же
причине АВ = АХВ. Из равенства этих треугольников следует, что
ZABC = z/A1BC.
После этого перейдем к треугольникам ADB и A}DB; они равны,
так как у них: DB — общая сторона, AB = AVB и </_ABD = £A,BD.
Из равенства этих треугольников выводим, что AD— А1О,
Теперь возьмем треугольники AOD и AXOD; они равны, так как
имеют соответственно равные стороны. Из их равенства выводим, что
^AOD — ^AfiD; а так как эти углы смежные, то, следовательно,
AAi J_ OD.
24. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости,
если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с ка-
ждой прямой, проведенной на плоскости через точку пересечения.
В этом случае говорят также, что плоскость перпендикулярна к
прямой.
Из предыдущей теоремы (§ 23) следует, что прямая перпендикулярна
к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым, лежащим в
данной плоскости и проходящим через точку пересечения данной пря-
мой и плоскости.
Прямая, пересекающая плоскость, но неперпендикулярная к ней, назы-
вается наклонной к этой плоскости. Точка пересечения прямой с
плоскостью называется основанием перпендикуляра или наклонной.
25. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных'). Когда
из одной точки А (черт. 16) проведены к плоскости перпендикуляр
АВ и наклонная АС, условимся называть проекцией наклонной на пло-
скость Р отрезок ВС, соединяющий основание перпендикуляра и осно-
вание наклонной. Таким образом отрезок ВС есть проекция наклонной
АС, отрезок BD есть проекция наклонной AD и т. д.
26. Теорема. Если из одной и той же точки (А, черт. 16),
взятой вне плоскости (Р), проведены к этой плоскости пер-
пендикуляр [АВ] и какие-нибудь наклонные (АС, АО, ЛЕ,...), то:
1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше.
Вращая прямоугольные треугольники АВС и ABD вокруг катета
АВ, мы можем совместить их плоскости с плоскостью Д АВЕ. Тогда
все наклонные будут лежать в одной плоскости с перпендикуляром,
а все проекции расположатся на одной прямой. Таким образом дока-
зываемые теоремы приводятся к аналогичным теоремам планиметрии.
Замечание. Так как АВ есть катет прямоугольного треуголь-
ника, а каждая из наклонных: AC, AD, АЕ,.., есть гипотенуза, то
перпендикуляр АВ меньше всякой наклонной; значит, перпендикуляр,
опущенный из точки на плоскость, есть наименьший из всех отре ткон.
*) Для краткости термины .перпендикуляр* и .наклонная* употребляются
вместо: .отрезок перпендикуляра, ограниченный данной точкой и основанием
перпендикуляра* и .отрезокнаклонной, ограниченный данной точкой н основа-
нием наклонной*.
10
соединяющих данную точку с любой точкой плоскости, и потому он
принимается за меру расстояния точки А от плоскости Р.
27. Обратные теоремы. Если аз одной и той же точки,
взятой вне плоскости, проведены перпендикуляр и какие-нибудь
наклонные, тс 1) равные наклонные имеют равные проекции,
2) из двух проекций та больше, которая соответствует
большей наклонной.
Доказательство (от противного) предоставляем самим учащимся.
Приведем еще следующую теорему о перпендикулярах, которая
понадобится нам впоследствии.
28. Теорема. Прямая (DE, черт. 17), проведенная на пло-
скости (Р) через основание наклонной (ЛС) перпендикулярно к
ее проекции (ВС), перпендикулярна и к самой наклонной.
Отложим произвольные, но равные отрезки CD и СЕ и соединим
прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и Е. Тогда будем
иметь: BD — BE как наклонные к прямой DE. одинаково удаленные
от основания С перпендикуляра ВС; AD — AE как наклонные к плос-
кости Р, имеющие рапные проекции ВО и Bh. Вследствие итого /\^ADE
равнобедренный, и потому его медиана АС перпендикулярна к основа-
нию DE.
Эта теорема носит название теоремы трех перпендикуляров. Действитель-
но, в ней говорится о связи. соединяющей следующие три перпендикуляра:
I) АВ к плоскости Р, 2) ВС к прямой DF. и 3) АС к той же прямой DE.
29. Обратная теорема. Прямая (DE, черт. 17), проведен-
ная на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпенди-
кулярно к этой наклонной, перпендикулярна и к ее проекции.
Сделаем те же построения, что и при доказательстве прямой теоремы.
Отложим произвольные, но равные отрезки CD н СЕ и соединим пря-
молинейными отрезками точки А и В с точками D и Е, тогда и будем
иметь: AD = AE как наклонные к прямой DE, одинаково удаленные
от основания С перпендикуляра Л С; BD = BE как проекции равных
наклонных AD и АЕ. Вследствие этого Л BDE равнобедренный, и по-
тому его медиана ВС перпендикулярна к основанию DE.
И
IV. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ И ПЕРПЕНДИКУ-
ЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
30. Предварительное замечание. Параллельность прямых и плоско-
стей в пространстве и перпендикулярность прямой к плоскости находят-
ся в некоторой зависимости. Именно, наличие параллельности одних
элементов влечет за собой перпендикулярность других, и обратно, из
перпендикулярности одних элементов можно сделать заключение о па-
раллельности других. Эта связь между параллельностью и перпендику-
лярностью прямых и плоскостей в прост-
ранстве выражается следующими теоремами.
31. Теорема. Если плоскость (Р,
черт. 18) перпендикулярна к одной из
параллельных прямых (АВ), то она
перпендикулярна и к другой (CD).
Проведем через точку В на плоскости
Р две какие-нибудь прямые BE и BF, а
через точку D проведем прямые DG и DH,
соответственно параллельные прямым BE
Черт. 18. и BF. Тогда будем иметь / АВЕ — / CDG
и £ABF=£CDH как углы с парал-
лельными сторонами. Но углы ^_АВЕ и £ABF— прямые, так как
АВ _[_Р, значит углы ^CDG и /^СОН — также прямые. Следователь-
но, CD J_ Р (§ 24).
32- Обратная теорема. Если две прямые (АВ и CD, черл 19)
перпендикулярны к одной а той же плоскости (Р), то они
параллельны.
Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны.
Проведем тогда через точку D прямую, параллельную АВ. При нашем
предположении это будет какая-нибудь пря-
мая ОС1( не сливающаяся с DC. Согласно
прямой теореме прямая DCt будет перпен-
дикулярна к плоскости Р. Проведем через
CD и CtD плоскость Q и возьмем линию
ее пересечения DE с плоскостью Р. Так как
(на основании предыдущей теоремы) CtD _[_Р,
то прямой, а так как по условию
CD^_P, то / CDE — также прямой. Таким
образом окажется, что в плоскости Q к пря-
мой DE из одной ее точки D восставлены
два перпендикуляра DC и DCV Так как
это невозможно, то нельзя допустить, что-
бы прямые АВ н >CD были не параллельны.
33. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 20) перпендикулярна
к одной из параллельных плоскостей (к Р), то она перпендику-
лярна и к другой (к Q).
Проведем через прямую АВ какие-нибудь две плоскости М и N,
каждая из которых пересекается с Р и Q по параллельным прямым:
одна по параллельным прямым ВС и Bj^, другая — по параллельным
прямым BD и BjDp Согласно условию прямая АВ перпендикулярна к
прямым ВС и BD; следовательно, она также перпендикулярна к парал-
дельным им прямым В1С1 и B,DV а потому перпендикулярна и к пло-
скости Q, на которой лежат прямые В1С1 и ByD .
34. Обратная теорема. Если две плоскости (Р и Q, черт. 21)
перпендикулярны к одной и той же прямой (АВ}, то они па-
раллельны.
Предположим противное, т. е. что плоскости Р и Q пересекаются.
Возьмем на линии их пересечения какую-нибудь точку С и проведем
плоскость Р через С и прямую АВ. Плоскость Р пересечет плоскости
Рн Q соответственно по прямым АС и ВС. Так как АВ±Р, то
А В I АС, и так как АВ J_ Q, то АВ | ВС. Та-
ким образом, в плоскости р мы будем иметь два
перпендикуляра к прямой АВ, проходящие
через одну и ту же точку С, перпендикуляры АС и ВС. Так как это
невозможно, то предположение, что плоскости Р и Q пересекаются,
неверно. Значит, они параллельны.
Задачи на построение.
35. Через данную точку в пространстве провести плоскость, перпен-
дикулярную к данной прямой АВ (черт. 22).
Решение. 1-Й случай. Данная точка С лежит на прямой АВ
(черт. 22).
Проведем через прямую АВ какие-нибудь две плоскости Р и Q.
Искомая плоскость должна пересекать эти плоскости по прямым, пер-
пендикулярным к прямой АВ (§ 24). Отсюда построение: через АВ про-
водим две произвольные плоскости Р и Q. В каждой из этих плоско-
стей восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ в точке С (в плоско-
сти Р перпендикуляр CD, в плоскости Q перпендикуляр СЕ). Пло-
скость, проходящая через прямые CD и СЕ, есть искомая.
2-й случай. Данная точка D не лежит на прямой а (черт. 22).
Через точку D з< прямую АВ проводим плоскость Р и в этой плоскости
строим прямую DC, перпендикулярную к АВ. Через прямую АВ про-
водим произвольно вторую плоскость Q и в этой плоскости строим пря-
мую СЕ. перпендикулярную к АВ. Искомая плоскость должна пересечь
плоскости Р и Q по прямым, перпендикулярным к АВ. Отсюда по-
строение: через точку D проводим в плоскости Р прямую DC, пер-
пендикулярную к а. Прямая DC встретит прямую а в некоторой точке С.
13
Через точку С проводим в плоскости Q прямую СЕ, перпендикулярно
к АВ. Плоскость, проходящая через прямые CD и СЕ,— искомая.
Так как в каждой из плоскостей Р и Q через данную точку можно
провести лишь одну прямую, перпендикулярную к данной, то задача
в обоих случаях" имеет одно решение, т. е. через каждую точку
в пространстве можно провести лишь одну плоскость,
перпендикулярную к данной прямой.
36. Через данную точку О пространства провести прямую, перпен-
дикулярную к данной плоскости Р.
1-й случай: точка О лежит на плоскости Р (черт. 23). Проведем
на плоскости Р через точку О две какие-либо взаимно перпендикулярные
прямые ОД и ОВ. Проведем, далее, через прямую ОА какую-либо но-
вую плоскость Q и на этой плоскости Q построим прямую ОС, пер-
ОМ и будет искомым перпендикуляром к плоскости Р. Действительно,
так как ОА | ОВ и ОА | ОС, то прямая ОА перпендикулярна к плос-
кости Р и, следовательно, ОА ! ОМ. Таким образом, мы видим, что
ОМ | ОА и ОМ I ОВ; следовательно, ОМ перпендикулярна к плос-
кости Р.
2-й случай: точка О не лежит на плоскости Р. Возьмем на
плоскости Р какую-нибудь точку А (черт. 24) и выполним для нее
предыдущее построение. Мы получим тогда прямую АВ, перпендику-
лярную к плоскости Р. После этого через точку О проводим прямую,
параллельную АВ- Эта прямая и будет искомой (§ 31).
Задача в обоих случаях имеет одно решение. В самом деле, так как
два перпендикуляра к одной и той же плоскости параллельны, то через
одну и ту же точку О нельзя провести двух перпендикуляров к плос-
кости Р. Следовательно, через каждую точку в простран-
стве можно провести одну и только одну прямую,
перпендикулярную к данной плоскости.
37. Пример более сложной задачи. Даны две скрещивающиеся прямые
(а и Ь, черт. 25). Построить прямую, пересекающую обе данные прямые н пер-
пендикулярную к ним обеим.
Решение. Проведем через прямую а плоскость М, параллельную прямой
14
b И® Двух к»к,и»-нибудь точек прямой b
и ВВ, на плоскость ^.Соединим точки А, „ В, прямо
пересечения прямых А,В,П а. Через точк’у С? прове леи
лирную к плоскости М. Предоставляем самим учащимся
мая: 1) пересечется с прямой Ь в некоторой точке С я
лярва как к прямой я, так н к
прямой Ь.
Прямая СС] будет, следова*
тельно, искомой прямой.
Заметим, что отрезок ССХ
меньше всех других отрезков,
которые можно получить, соеди-
и ВВ, на плоскость М. Со'емним то"чки Ти д „ZT. пеР.пенд*‘’‘У-"Ры
пересечения прямых Л,В, и а Чрпр, J •1,|11,,ей и найдем точку Cj
перпендику-
что эта пря-
перпендчку-
прямую,
доказать,
2) будет
няя точки прямой'а с точками прямой Ь. В самом деле, возьмем па прямой а
какую-нибудь точку Е и на прямой Ь какую-нибудь точку F, соединим sth
точки прямою и докажем, что EF > СС,. Опустим из точки F перпендику-
ляр FF\ на плоскость М. Тогда будем иметь EF> FF} (§ 26). Но Л/’1 = Сс1.
следовательно, EF > ССХ. На этой основании длина отрезка CCt называется
кратчайшим расстоянием между данными прямыми а и Ь.
V. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ, УГОЛ
ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ, МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.
Двугранные углы.
38. Определения. Часть плоскости, лежащая по одну сторону от
какой-либо примой, лежащей в этой
костью. Фигура, образованная двумя
полуплоскостями (Р и Q, черт. 26),
исходящими нз одной прямой (ДВ),
называется двугранным углом. Пря-
мая АВ называется ребром, а по-
луплоскости Р и Q — сторонами или
гранями двугранного угла.
Такой угол обозначается обыкно-
плоскости, называется полуплос-
венно двумя буквами, поставленными
у его ребра (двугранный угол ЛВ).
Но если при одном ребре лежат
несколько двугранных углов, ..то
каждый нз них обозначают че-
тырьмя буквами, из которых две
средние стоят при ребре, а две
крайние—у граней (например, двугранный
Если из произвольной точки D ребра АВ (черт. 28)
каждой грани по перпендикуляру к ребру, то образованный
CDE называется линейным углом двугранного угла.
Черт. 26. Черт. 21
угол SCDR) (черт. 27).
проведе»! на
ими угол
15
Величина линейного угла не зависит от положения его вершины на
ребре. Так, линейные углы CDE н CXDXEX равны, потому что их сто-
роны соответственно параллельны и одинаково на*
праплены.
Плоскость линейного угла перпендикулярна к ре-
бру, так как она содержит две прямые, перпенди-
кулярные к нему. Поэтому для получения линейного
угла достаточно грани данного двугранного угла
пересечь плоскостью, перпендикулярной к ребру, и
рассмотреть получившийся в этой плоскости угол.
39. Равенство и неравенство двугранных углов.
Два двугранных угла считаются равными, если они
при вложении могут совместиться; в противном слу-
чае тот из двугранных углов считается меньшим, ко-
торый составит часть другого угла.
Подобно углам в планиметрии двугранные углы
могут быть смежные, вертикальные и пр.
Если два смежных двугранных угла равны между
собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.
Теорема. I) Равным двугранным углам соответствуют
равные линейные углы.
2) Большему исугранному углу соответствует больший ли-
нейный угол.
Пусть PARQ и PpljfljQj (черт. 29) — дв? двугранные угла. Вло-
жим угол А}ВХ в уют АВ так, чтобы ребро /1,5, совпало с ребром
АВ и грань Pj с гранью Р. Тогда, если эти двугранные углы равны,
то грань Qx совпадает с гранью Q; если же угол А,5, меньше угла АВ,
то грань Q, займет некоторое положение, например Q ц.
Заметив это, возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и про-
ведем через нее плоскость R, перпендикулярную к ребру. От пересече-
Черт. 29.
ния этой плоскости с гранями
двугранных углов получатся
линейные углы. Ясно, что если
двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный
угол CBD\ если же двугранные углы не совпадут, если, например, грань
Q, займет положение Q,,, то у большего двугранного угла окажется
больший линейный угол (именно: / СВО~> / С,XB.D)
40. Обратные теоремы. 1) Равным линейным углам соот-
ветствуют равные двугранные углы.
16 ‘ ’ *
2) Большему линейному углу соответствует больший дву-
гранный угол.
Эти теоремы легко доказываются от противного.
41. Следствия. 1) Прямому двугранному углу соответствует
прямой, линейный угол, и обратно.
Пусть (черт. 30) двугранный угол PABQ прямой. Это значит, что
он ранен смежному углу QABPV Но в ином случае линейные углы CDE
и CDE{ также равны; а так как они смежные, то каждый из них должен
быть прямой. Обратно, если равны смежные линейные углы CDE и CDE{,
то равны и смежные двугранные углы, т. е. каждый из них должен быть
прямой.
2) Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны
линейные углы.
Подобным же образом легко доказать, что;
3) Вертикальные двугранные углы равны.
4) Двугранные углы с соответственно параллельными и одинаково
(или противоположно) направленными гранями равны.
Г») Если за единицу двугранных углов возьмем такой двугранный
угол, который соответствует единице линейных углов, то можно сказать,
что двугранный угол измеряется его линейным углом.
Перпендикулярные плоскости.
42. Определение. Дне плоскости называются взаимно перпендику-
лярными, если, пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы.
43. Теорема (выражающая призма к
перпендикулярности двух плоскостей). Если
плоскость (Р, черт. 31) проходит через
перпендикуляр (АВ) к другой плоскости
(Q), то она перпендикулярна к этой
плоскости.
Пусть DE будет линия пересечения плос-
костей Р и Q. Па нлоскосн! Q проведем
BC_[_DE. Тогда угол АВС будет линейным
углом двугранного угла PDEQ. Так как пря-
мая АВ, по условию, перпендикулярна к Q,
то АВ !_ ВС. значит, угол ЛВС прямой, а
потому и двугранный угол прямой, т. е.
плоскость Р перпендикулярна к плоскости Q
44. Теорема. Если две плоскости
(Р и Q, черт. 31) взаимно перпендикуляр-
ны и к одной из них (к Q) проведен
перпендикуляр (АВ), имеющий общую
точку (Д) с другой плоскостью (с Р),
то этот перпендикуляр весь лежит в
этой плоскости (Р).
Черт. 32.
Предположим, чго перпендикуляр АВ не
лежит в плоскости Р (как и юбражено на чертеже
32). Пусть DE будет
линия нересечеп1пу1лоскостгй-Р и Q. На плоскости Р проведем прямую
Q (Ьоведем прямую СЕ DE. Тогда угол АСЕ,
как линейный yiол пряЛто двугранною угла, будет прямой. Поэтому ли-
2 j к.о.явн! чести; 17
п я. N* 600-а
кости Q. Мы будем
Черт. 33.
.. пр и CF будет перпендикуляром к плое-
ния АС, образуя прямые ум J два ’псрПендикуляра, опущенные из
одной и той же точки А на плоскость Q, именно
4В и АС Так как эго невозможно (§ 36), то допу-
щение неверно, значит, перпендикуляр АВ лежит
в ПЛОСКОСТИ Р (§ 36).
45. Следствие. Линия пересечения (АВ,
черт. 33) двух плоскостей (Р и Q), нерпе нди-
ку 1ярных к третьей плоскости (А^), есть пер-
пендикуляр к этой плоскости.
Действительно, если через какую-нибудь точку
А линии пересечения плоскостей Р и Q проведем
перпендикуляр к плоскости /?, ю этот перпенди-
куляр,
Q и в плоскости Р,
согласно предыдущей теореме, должен
значит, он сольется с АВ.
лежать н в плоскости
Угол двух скрещивающихся прямых.
46. Определение. Углом двух скрещивающихся прямых (АВ и CD,
черт. 34), для которых дано положение и направление *), на ианлегси
угол (MON), который получится,
если и.т произвольной точки простран-
ства (О) проведем полупрямые (ОЛ1
н ON), соответственно параллель-
ные данным прямым (АВ и CD)
и одинаково с ними направленные.
Величина этого угла не зависит
от положения точки О, так как,
если построим указанным путем угол
AfjOj.V; с вершиной в какой-ни-
будь другой точке О,, то ^/ЛЮД,-
— -х .Й.О.ЛД, потому что эти
ные и одинаково направленные стороны.
Черт. 34.
соответственно параллель-
углы имеют
Угол, образуемый прямой с плоскостью.
47. Проекция
(§ 25), что когда
я наклонная, то
точки и прямой на плоскость. Мы говорили ранее
из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр
проекцией этой наклонной на плоскость называется
отрезок, соединяющий основание пер-
пендикуляра с основанием наклонной. Да-
дим теперь более общее определение про-
екции.
1) Ортогональной (или прямоугольной)
проекцией какой-нибудь точки на данную
плоскость (например точки ЛТ на плос-
кость Р, черт. 35) называется основание
(т) перпендикуляра, опущенного на эту
плоскость из взятой точки.
Ч Нло мысленно представить, что на чертеже 34
скости чертежа, а прямая АВ пересекает эту плоское
18
прямая CD лежит в пло-
ть.
к плоскости P; ikhiomv
hi любой точки прямой .1/3
2) Ортогональной проекцией какой-нибудь линии на плоскость на-
зывается геометрическое место проекций всех точек этой линии.
В частности, если проектируемая линии есть прямая (например
АВ, черт. 35), не перпендикулярная к плоскости (Р), го проекция ее па
эту плоскость есть также прямая. В самом деле, если ми мере! пря-
мую АВ и перпендикуляр Мт, опущенный на плоскость проекций нз
какой-нибудь одной точки М этой прямой, проведем плоскость Q, то
-)га плоскость должна быть перпендикулярна
перпендикуляр, опущенный на плоскость Р
(например из точки N), должен лежать к
этой плоскости Q (§ 44), и, следователь-
но, проекции всех точек прямой АВ дол-
жны лежать на прямой ab, по которой
пересекаются плоскости Р и Q. Обратно,
всякая точка этой прямой ab есть проек-
ция какой иибудь точки прямой АВ, так
как нерпе и (окуляр, восставленный пт лю-
бой точки прямой ab, лежит па плоскости
(> и, следовательно, пересекается с АВ н
некоторой точке. Таким образом прямая ab
представляет собой i еомеiрическое место
проекций всех точек данной прямой АВ, и, следовательно, есть ее проекция.
Для краткости речи вместо „ортогональная проекция” мы будем
говори и. просто „ проекция ”.
48. Угол прямой с плоскостью. Углом прямой (АВ, черт. 36) с
плоскостью (Р) г> том случае, когда прямая наклонна к плоскости,
называется острый угол <АВС>, составленный этой прямой с ее проек-
цией на плоскость.
Уны этот обладает гем свойством, что он есть нанмсныпнй из всех
yi.ioH, которые наклонная образует с прямыми, проведенными на пло-
скости Р мере ; основание наклонной. Докажем, например, что угол АВС
меньше учла ABD. Для этого отложим отрезок BD—BCh соединим
D с -I. У треугольников АВС п ABD дне стороны одного равны соот-
ветственно двум сторонам другого, но
Л. третьи стороны не fiaHiua, а именно:
АГ)"у> АС (§ 26). Вследствие этого угол
\ВГ) больше угла АВС.
д----' ' Многогранные углы.
/ \ 's. 49. Определения. Во <ьмем несколько
/ \ Ё углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, ко-
/ Д торые, примыкая последовательно один к
f у другому, расположены в одной плоскости
вокруг общей вершины .9. Повернем пло-
1ерт. -17. скость угла AS В вокруг общей стороны
SB так, чтобы эта плоскость составила
некоторый двугранный угол с плоскостью BSC. Затем, не изменяя по-
лучившегося двугранного угла, повернем его вокруг прямой SC так,
чтобы плоскость BSC составила некоторый двугранный угол с пло-
скостью CSD. Продолжим такое последовательное вращение вокруг
каждой общей сифоны. Если при этом последняя сторона SFсовместится
с первой стороной S.4, го образуется фигура (черт. 38), которая называется
5 многогранным углом. > глы ,4оо, BSC
называются плоскими углами, или гра-
нями, стороны их S.4, SB называются
ребрами, а общая вершина 5—вер-
шиной многогранного угла. Каждое
ребро является вместе с тем ребром
некоторого двугранного угла; поэтому
в многогранном угле столько двугран-
ных углов и столько плоских, сколько
в нем всех ребер. Наименьшее число
граней в многогранном угле три; та-
кой угол называется трехгранным. Мо-
гут быть углы четырехгранные, пятигран-
ные и т. д.
Многогранный угол обозначается или одной буквой S, поставленной
у вершины, или же рядом букв SABCDE, из которых первая обозна-
чает вершину, а прочие — ребра по порядку
их расположения.
Многогранный угол называется выпук-
лым, если он весь расположен по одну сто-
рону от плоскости каждой из его граней,
неограниченно продолженной. Такой, на-
пример, угол, изображенный па чертеже 38.
Наоборот, угол на чертеже 39, нельзя наз-
вать выпуклым, так как он расположен по
обе стороны от грани ASB или от грани BSC
Если все грани многогранного угла пере-
сечем плоскостью, то в сечении образуется
многоугольник (af>cde). В выпуклом многогран-
ном угле этот многоугольник тоже выпуклый.
Мы будем рассматривать /только выпуклые
g многогранные углы.
450. Теорема. В трехгранном угле
каждый плоский угол меньше суммы двух
других плоских углов.
Пус 1 ь н трехгранном угле SABC (черт. 40)
наибольший из плоских углов есть угол /1SC.
Отложим на этом угле угол ASD, равный углу
-4SB, и проведем какую-нибудь прямую АС,
пересекаюную SD в некоторой точке D. От.ю-
г- жим SB = SD. Соединив В с .4 и С, получим
АВС, в котором
ADA-DC< АВ --ВС.
Чс()- 4G Треугольники ASD и ASB равны, так как
они содержат но равному углу, заключенному
между равными сторонами; следоеательно, AQ АВ. Поэтому, если в вы-
веденном неравенстве отбросить равные слагаемые AD и АВ, получим, что
DC<BC.
Теперь замечаем, что у треугольников SCD и SCB две стороны одного
равны двум сторонам другого, а третьи стороны не равны; в таком
случае против большей из этик сторон лежит больший угол; значит,
Z.CSD<</CSB.
Прибавив к левой части этого неравенства угол ASD, а к правой
равный ему угол ASB, получим то неравенство, которое требовалось
доказать:
/ ASC < CSB -Н / ASB.
Мы доказали, что даже наибольший плоский угол меньше суммы
двух других углов. Значит, первая часть теоремы доказана.
Следствие. Отнимем от обеих частей последнего неравенства по
углу ASB или по углу CSB-, получим:
/ ASC — ASB < / CSB\
/ ASC - /_ CSB < Z ASB.
Рассматривая эги неравенства справа налево и приняв во внимание,
что yiол АУ’С, как наибольший из трех углов, конечно, больше раз-
ности ,'iHvx .ipviiix углов, мы приходи»! к оключенню, чго в трехгран-
п о ч у । л е каждый плоский угол больше разности двух
других углов.
51. Теорема. В выпуклом многогранном угле сумма всех
плоских углов меньше 4d.
1крессчем грани (черт. 41; выпуклого угла SABCDE какой-нибудь
плоскостью; от зюго в сечении полечим выпуклый /z-уголышк ABCDE.
Применяя теорему прсдыдущего пара-
графа к каждому и ; грехгр.аииых углов, л.
вершины которых находятся в точках .-I, />, /7 ух
С, Г) и Е. находим. / / , \\
Z-4^-'<Z •4ДЛ'~' Z5SC: / / \\
/_$С1) и т. д. / / > \ \
Сложим почленно Вее эги неравенства. / / 1 \ '~~Х
Лае ' / 1 \ /П\.
Тогда н левой части получим сумму всех / \ /Л'\
углов Miioroyi одышка ARCDE, которая ___________V/
равна '2dn--4</, а в правой — сумму углов &] у
треугольников .4/15, SBC и т. д., кроме / Черт. 41. »
тех углов, которые лежат при вершине 5.
Обозначив сумму этих последних углов буквой х, мы получим после
сложения.
2dn — 4d <С -dn — х.
Так как в разностях 2dn— 4d и 2dn—х уменьшаемые одинаковы,
го, чтобы первая разность была меньше второй, необходимо, чтобы
вычитаемое 4d было больше вычитаемого х, значит, 4d> х, т. е. x<4rf.
Простейшие случаи равенства трехгранных углов.
52. Теоремы. Трехгранные углы равны, если они имеют:
1; по равному двугранному углу, заключенному между
л
двумя соответственно равными и одинаково расположенными
плоскими углами,
или 2) яо равному
плоскому' углу,
двумя соответственно равными
Черт. 42.
• заключенному между
и одинаково расположенными
двугранными углами.
1) Пусть S и —два трех-
гранных угла (черт. 42). у
которых / ASB = / AlSiBl,
£ASC—£ (и эти рав-
ные углы одинаково расположены)
и двугранный £AS ранен дву-
гранному / .4,5,. Вложим угол
S, в угол 5 гак, чтобы у них
совпали точки 5’) и 5, прямые
и SA и плоскости и
ASB. Тогда ребро SXB{ пойдет по
SB (г. силу равенства углов и ASB), плоскость /IpS’/.', пойдет
по .45 С (по равенству двугранных углов) и ребро 51С1 пойдет по
ребру SC (в силу равенства углов A}SlCl и Д5С). Таким образом, грех-
гранпые углы совместятся всеми своими ребрами, т. е. они будут раины.
2) Второй Признак докатывается вложением подобно первому.
53. Симметричные многогранные углы. Как известно, вертикаль-
ные углы равны, если речь идет об углах, образованных прямыми или
плоскостями. Посмотрим, справедливо ли это утверждение примени зезьно
к углам многогранным.
Продолжим (черт. 43) все ребра угла SABCDE
та вершину 5, тогда образуется друзой многогран-
ный угол SzljSjCjDjf'p который можно на тать
вертикальным по отношению к первому углу. Не-
трудно видеть, что у обоих углов равны соот-
ветственно и плоские углы и двугранные, ио те
и другие расположены в обратном порядке.
Действительно, если мы вообразим наблюдателя,
который смотрит извне многогранного угла на ею
вершину, то ребра 5Л, SB, SC, SD, SE будут
казаться ему расположенными в направлении про-
тии движения часовой стрелки, тогда как, смотря
на угол SAlBlClDiE}, он видит ребра 5,4Р
56р... расположенными по движению часовой стрелки.
Миоз игранные углы с соответственно равными плоскими и
ными углами, по расположенными в обратном порядке, вообще нс могут
совместигься при вложении; .значит, они не равны. Такне углы называ-
ются симметричными (относительно вершины 5). Подробнее о сим-
метрии фигур гз пространстве будет сказано ниже.
двугран-
УПРАЖНЕНИЯ.
Доказать теоремы:
1. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.
— Все прямые, параллельные данной плоскости зз ззроходящис через одззу
точку, лежат в отпой плоскости, параллельной данной.
3. Дана плоскостз» Р зз плраллслызая ей ззрямая а. Доказать, что все точки
прямой а находятся на одинаковом расстоянии от плоскости Р.
22
4. Доказать, что все точки одной из двух параллельных плоскостей на-
ходится но одинаковом расстоянии от другой ПЛОСКОСТИ.
5. Дне плоскости, проходящие через две данные параллельные прямые, и
не параллельные между собою, пересекаются по прямой, параллельной данным
прямым.
6. Если прямая а параллельна какой-либо прямой Ь, лежащей на плоско-
сти А4. то всякая плоскость, проходящая через а, пересекает плоскость М по
прямой, параллельной Ь, и.-.п пг> прямой Ь.
<. Если прямая а параллельна плоскости Af, то всякая прямая, проходя-
щая через точку, лежащую в плоскости М и параллельная прямой а, лежит в
плоскости №.
б. Если даны две скрещивающиеся прямые а и b и через первую проведе-
на плоскость, параллельная второй, а через вторую — плоскость, параллельная
первой, то эти две плоское.! и параллельны.
9. Все прямые, проходящие через какую-нибудь точку на прямой а и пер-
пендикулярные к этой прямой, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к а.
10. Если плоскость и прямая перпендикулярны к одной прямой, то они
параллельны.
11. Если прямая а. параллельная плоскости ,М. пересекает прямую Ь. пер-
пендикулярную этой плоскости, то прямые /> и b перпендикулярны.
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.
12. Через данную точку провести плоскость, параллельную двум данным
прямым а л Ь
13. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости
н пересекающую данную прямею.
11 Построить прямую, пересекающую две данные прямые и параллельную
третьей данной прямой.
15. Построить какую-либо прямую, пересекающую две данные прямые и
параллельную данной плоскости (затача неопределенная!.
Hi. Построить какую-либо прямую, пересекающую три данные прямые
(задача неопределенная).
17. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную к двум дан-
ным скрещивающимся прямым.
1Н. Через данную прямую провести плоскость, перпендикулярную данной
плоскости.
19. Даны: плоскость ,И и прямая а !| Af. Через прямую а провести плос-
кость, пересекающую плоскость Af под данным утлом.
20. Дана плоскость А1 н две точки А н В по одну сторону от нее. Найти
на плоскости А1 такую точку С, чтобы сумма АС — СВ была наименьшей.
Глава вторая.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ,
ОТРЕЗКА И ФИГУРЫ.
54. Изображение точки помощью проекций на две плоскости.
Вообрашм плоскости проекций, горизонтальную Н и вертикальную V,
пересекающиеся под прямым углом по примой ху, которую мы будем
называть осью проекций (черт. 44). Плоскости эти образуют четыре
двугранных угла, из которых мы для простоты будем рассматривать
только одни, именно передний верхний. Положим, что внутри этого
угла расположена какая-нибудь точка А. Опустим нз нее перпендикуляры
на плоскости Н и V. Тогда мы получим на этих плоскостях проекции
точки А, именно: а есть горизонтальная проекция, а' — вертикальная
(проекции эти называются ортогональными, так как они получаются
опусканием перпендикуляра на плоскость).
23
Обыкновенно каждая ня этих проекций обозначается малой буквой одно-
го наименования с той большой буквой, которая обозначает проектируемую
точку, причем буква, обозначающая вертикальную проекцию, берется со
знаком наверху. Перпендикуляры, с помощью которых получаются проек-
ции точки, называются проектирующими перпендикулярами: Аа~
торизонтально-проектирующий перпендикуляр, Аа вертикально-проек-
тнрующий перпендикуляр.
Если через эти перпендикуляры проведем плоскость, то она должна
быть перпендикулярной к плоскости Н и к плоскости V (§ 43); сле-
довательно, должна быть перпендикулярна и
к оси ху 45), и потому прямые аа" и а а",
по которым эта плоскость пересекается
с плоскостями Н и
в- И, будут перпендику-
т лярны к осн ху; сле-
j довательно, они обра-
< чуют, линейный yi ол
________;fl*____ двугранного угла, со-
! V ставленного плоское гн-
!_______________ми Н и V, и так как
i этот двугранный угол
® прямой, то и линей-
Черт. 45. ный его угол должен
быть прямым. Таким
образом, четырехугольник Ааа"а' будет
прямоугольник, пло
скость которого перпендикулярна к оси ху.
Заметив это, повернем горизонтальную полуплоскость Н вокруг осн
ху на 90° книзу; тогда она совпадет с нижнею вертикальною полу-
плоскостью, образуя с верхней вертикальной полуплоскостью одну вер-
тикальную плоскость. При этом точки а" и а' останутся на своих мес-
тах, а точка а займет положение ниже оси ху и расположится на про-
должении перпендикуляра а а" на расстоянии а'а, ранном Аа'. Мы по-
лучим тогда развернутый чертеж (45), который впредь будем называть
эпюром; чертеж этот состоит из прямой ху, означающей ось проекций,
и двух точек, расположенных на одном перпендикуляре к оси х_у; ниж-
няя точка есть горизонтальная проекция, а верхняя — вертикальная про-
екция точки Д.
Конечно, всякой
точке .4, взятой
внутри двугранного
угла (черт. 44), со-
ответствуют на эпю-
ре две вполне опре-
деленные точки а
и а', расположен-
ные на одном
перпендикуляре к
оси ху. Обратно,
всяким двум точкам
Черт. 46.
эпюра а и а , расположенным на одном перпендикуляре к осн ху (точка а
ниже ху, а точка а выше ху), соответствует одна определенная точка А
внутри двугранного угла. Чтобы получить эту точку, мы должны во-
образить, что нижняя половина эпюра вращением вокруг осн ху снопа
повернута на 90° кверху, и затем из точек а и а' восставлены перпен-
дикуляры к плоскостям образовавшегося двугранного угла; пересечение
этих перпендикуляров и определит точку А.
55. Частные случаи. Из чертежей 4G и 47 видно, что если:
1) точка .4 лежит на горизонтальной плоскости, то ее вертикальная
проекция а лежит на оси ху, а горизонтальная совпадает с самой точкой;
2) точка В распо-
ложена на вертикаль-
ной плоскости, то ее
горизонтальная проек-
ция лежит па оси ху,
а вертикальная совпа-
дает с самой точкой;
3) точка С лежи г
на осн ху, то обе ее
проекции совпадают с
самой точкой.
Черт. 4т.
56- Изображение
прямой. Мы уже видели (§ 47), что если проектируемая линия пря-
мая, то и проекция ее должна быть прямой линией. Значит
отрезок прямой, соединяющей точки Д и В (черт. 48), изобразится
на эпюре (черт. 49) отрегками ab и а'Ь', нз которых первый
есть го шзонтальная проекция, а второй вертикальная проекция отрез-
ка АВ. Таким обратом, чтобы получить проекцию неограниченной
прямой на какую-нибудь плоскость, достаточно найти проекцию на эту
плоскость двух ее точек и через эти проекции провести прямую.
Проекции пря-
мой можно получить
еще иначе, а имен-
но мы можем про-
вести через эту пря-
мую две плоскости:
одну — перпендику-
лярную к гориюи-
гальной плоскости
проекций (она на-
зывается горизон-
тально проектиру-
ющая плоскость),
и другую—перпен-
Черт. 50.
дикулярную к вер-
тикальной плоскости проекций (она называется вертикалыю-проекти-
рующая плоскость). Пересечешк* этих плоскостей с плоскостями про-
екций дасг проекции ab и а'Ь'.
Заметим, что если отрезок прямой обозначен буквой АВ, то его
проекции обозначаются ab (торшонгалызая) н а'Ь' (вертикальная): если
неограниченная прямая обозначена одной буквой, например К, то про-
екции ее обозначаются тоже одной буквой (малой) k (горизонтальная)
и k' (вертикальная).
2S
57. Частные случаи. 1) Олин конец отрезка АВ лежит па гори-
зонтальной плоскости.
2) Один конец отрезка CD лежит на вертикальной плоскости.
3) Отрезок EF упирается своими концами в плоскости проекций.
Эти три случаи изо-
бражены в перспектив-
ном виде на чертеже 50
и проекциями на эпюре
на чертеже 51.
4) Отрезок ДД
перпендикулярен к вер-
тикальной плоскости
проекций и упирается
в нее (черт. 52 и 53).
5) Отрезок CD
перпендикулярен к го-
ризонтальной плоско-
сти и упирается н нее
(черт. 52 и г>3).
6) Отрезок АВ лежит в некоторой плоскости Р, нериенлику тярной
к оси ху. Тогда обе проектирующие ii.hockocih совпадаю! с илоскос1ьк>
Р и потому на эпюре ab, а'Ь' расположены па одном периентикуляре
к оси ху (черт. 54 и 55).
7) Отрезок АВ параллелен вертикальной плоскости. Тогда его гори-
зонтальная проекция параллельна оси ху (черт. 56 и 57), а вертикаль-
ная проекция равна и параллельна АВ.
26
8) Отрезок АВ параллелен горизонтальной плоскости (терт. 58 я 59);
тогда его вертикальная проекция параллельна осн ху, а горизонтальная
проекция равна и параллельна самому отрезку АВ.
58. Проекции пересекающихся прямых. Очевидно, что если две
прямые О\ и /.) нерс-скат >гея, то пересекаются также и их одноименные
проекцин (черт. 60), причем точки пересечения т нт' лежат на одном
нернендик}заре к оси лу. Обратно: если одноименные проекции двух
прямых пересекаются, причем точки пересечения лежат па одном пер-
пендикуляре к оси ду, то и сами прямые пересекаются, так как точка
(т, т’), определяемая точками пересечения проекций, принадлежит обеим
прямым.
59. Проекции параллельных прямых параллельны. Действительно,
если АВ С!> (черт. 61>, ю стороны углов ВАа и DCc параллельны
и потому проектирующие плоскости также параллельны (§ 1 ’>), а
иараллельпые пло,. кости пересекаются третьей плоскостью (Р) по парал-
лельным прямым (<т/< н гт/) (§ 16).
60. 11 тображениямн прямых помощью двух ее проекций на дне
1ИЛ1МПИ ПерПСНДНК V.lUplllJC II. К К hi iC I If МОЖНО llO.lh fOI’UThCH для решении
p;i i.iii'ihhx ,u i.ri, K.h .ПО1ЦНХ1 н по.1<)ЖеП11Я прпмпх в нрос i рдис i не.
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Задача 1. На эпюре дайн проекции ab. а’Ь’ некоторою отрезка
АВ (черт. 62). Определить дейетвительную величину этого отреиса.
Первый способ решении. Чтобы лет те было виобратит» поло-
жение отрезка в пространстве, возьмем перспективное изображение
27
отрезка АВ и его горизонтальной проекции ab (черт. 63), т. е. такое
изображение, которым мы пользовались в первой главе.
Четырехугольник АВЬа представляет собой прямоугольную трапецию
с прямыми углами при точках а и Ь. Проведя в этой трапеции прямую
АС, параллельную ab, получим прямоугольный треугольник АВС.
В этом треуголь-
нике отрезок АВ
является гипотену-
зой, катет АС, оче-
видно, ранен гори-
зонтальной проек-
ции ab отрезка АВ.
Эта проекция на
эпюре задана. Ка-
тет ВС ранен раз-
ности отрезков ВЬ
и Л«.
Отрезки ВЬ к
Аа на эпюре также
даны; именно, они
равны соответственно расстояниям точек У и а'от оси ху, следовательно, и
разность их также можно найти на эпюре. Она равна разности расстояний
точек Ь' и а от оси ху. Отсюда следует, что чтобы найти дейстнитель-
ную длину отрезка АВ, нужно построить прямоугольный треугольник,
одним из катетов которого служит горизонтальная проекция ab иско-
мого отрезка, а другим—отрезок, ранный разности расстояний верти-
кальных проекций а и Ь’ кондов отрезка <«т оей1 XV. Гшь >гену -.а этого
треугольника и дает действительную
длину отрезка АВ.
Второй способ. Представим се-
бе, что отрезок АВ в пространстве
неизменно скреплен с прямой Аа и
будем вращать отрезок АВ около этой
прямой до тех пор, пока он не станет
параллелен вертикальной плоскости
проекций (черт. 64).
При этом его вертикальная проекция
будет давать его действительную длину.
При таком вращении отрезка АВ
его проекции ab и а'Ь' на эпюре
будут меняться. Но его угол накло-
на к прямой Аа не будет меняться,
Черт. 64.
а следовательно, не будет меняться и длина его горизонтальной проекции
/меняется только ее направление). Значит, при этом вращении отрезка
его горизонтальная проекция изменится так, что точка а на эпюре остается
н-ногвижной, а точка Ь перемещается по луге окружности. Когда отре-
зок АВ станет параллелен вертикальной плоскости, его горизонтальная
проекция сделается параллельной оси ху. Вертикальная проекция а'Ь’
при вращении также меняется, но так как расстояние точки В от гори-
зонтальной плоскости о.гается неизменным, то расстояние точки Ь' о г
оси ху также не оудет меняться. Отсюда следует, что точка Ь' будет
перемещаться по прямой, параллелыюй оси ху. Из сказанного следует,
что можно получить на эпюре проекции отрезка АВ, посте его поворота
вокруг оси Аа, с помощью следующего построения (черт. 65): описываем
дугу окружности с центром в точке а радиусом, ранним ab, и находим
точку ее пересечения с прямой, параллельной оси ху и проходящей
через точку а; через Ь проводим прямую, параллельную осн ху, и продол-
жаем ее до пересечения в некоторой точке А® с перпендикуляром к
оси ху, проведенным через точку й От-
резки abu и а’Ь'д будут проекции отрезка
АВ после поворота. Его вертикальная
проекция а'Ь'о будет при этом давать
действительную длину отрезка АВ.
61. Задача 2. На эпюре даны про-
екции I и Г некоторой при ной
(черт, 66). Найти точки пересечения
этой прямой с плоскостями проекций
(эти точки наливаются след’амп пря-
мой на плоскостях проекций).
Р е ш е и и е. Точка встречи данной пря-
мой с вертикальной плоскостью имеет своей
горизонтальной проекцией точку на оси ху.
С другой стороны, горизонтальная проекция этой точки должна лежать на
прямой I. Следовательно, для нахождения на эпюре вертикального следа
прямой продолжаем ее горизонгальную проекцию Z до встречи в точке
f с осью ху. Точка f будет горизонтальной проекцией искомого верти-
кального следа. Чтобы найти его вертикальную проекцию, восставим в
точке / перпендикуляр к оси ху и продолжим его до пересечения в
точке /' с прямой I'. Эта точка f и будет искомой вертикальной про-
екцией вертикального следа, она, очевидно,
совпадает с самим вертикальным следом. Та-
ким же путем найдем и горизонтальный след
прямой: продолжаем /' до встречи в точке т
с осью ху, в точке т восставляем перпенди-
куляр к оси ху до встречи в точке т с пря-
мой /; точка т—искомая.
62. Проекции треугольника. Если в про-
странстве дан треугольник, то можно по-
Черг. 66. строить горизонтальные и вертикальные
проекции его вершин и сторон. На эпюре
получатся, таким образом, два треугольника, которые служат горизон-
тальной и вертикальной проекциями данного треугольника в про-
странстве.
Если форма и положение треугольника в пространстве не указаны
заранее, то проекции его вершин можно задавать произвольно, соблю-
дая лишь условие, чтобы вертикальная и гори юнтальиая проекции одной
и той же вершины лежали па одном перпендикуляре к осн ху. Действи-
тельно, положение плоскости в проС гране гве вполне определяется
положением трех ее точек, которые можно брать в пространстве со-
вершенно произвольно, лишь бы они не располагались на одной
прямой.
29
Черт. 68.
Черт. 67.
Решение. Пусть прямая е есть заданная горизонтальная проекция,
она встречает прямые ас к be соответственно в точках р и </.
Так как зта прямая проведена в плоскость треугольника АВС, то
она пересекается со сторонами АС и ВС в точках, для которых р и <]
служат горизонтальными проекциями. Для получения вертикальных, про-
екций тех же точек, очевидно, следует из точек р и ,/ опустить пер-
пендикуляры на ось ху и продолжить их до встречи в точках р' и д'
соответственно с прямыми ас' и Ь'с'.
Прямая р'ч' есть искомая верти-
кальная проекция пряной, лежащей
в плоскости данного t реуголышка.
64. Задача 2. На эпюре даны
проекции abc. и а'Ь’с' треугольника
АВС (черт. 69). Кроме того, дана го-
риэонтальнаи проекции d точки П,
.ifJKauieil а плоскости этого треуголь-
ника. Построить вертикальную про-
екцию этой точки.
Р е in е п н е. Соединив точки d и а,
мы получим горизонтальную проекцию
ad прямой, лежащей в плоскости тре-
угольника ЛВС н соединяющей точку D
с вершиной А (черт. 70). Точка р,
в которой прямая ad встречает Ьс,
точки пересечения Р прямой AD
е^ть горизонтальная проекция
со стороной ВС (черт. 70).
oiivcTHB пеппеюХ°ЛИИ веГ,тнка;|ьиУ10 проекцию р’ той же точки,
на вей таким же С|/п2?ЯР '1а °СЬ‘ ^аяее проводим прямую а'р' и
точки D (черт. 69). М находим искомУю вертикальную проекции} d’
30
65. Проекции многоугольников. При построении проекций много-
угольника уже нельзя произвольно задавать проекций его вершин. Если
взять произвольные горизонтальные проекции вершин многоугольника,
то из вертикальных их проекций произвольно (но на одном перпендику-
ляре с соответствующими горизонтальными проекциями) можно взять только
три. Действительно, эти три вертикальные проекции вместе с горизонталь-
Черт. 72.
ными вполне определяют плоскость, в которой лежит многоугольник.
Поэтому вертикальные проекции остальных вершин следует брать
так, чтобы они служили проекциями точек, лежащих в этой плоскости.
На чертеже 71 даны проекции прямоугольника, лежащего в плоскости,
перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций, и имеющего
две вертикальные стороны.
На чертеже 72 представлено постро-
ение проекций шестиугольника, причем
горизонтальные проекции abedef ею вер-
шин взяты произвольно.
Вертикальные проекции а', Ь', с'
выбраны на перпендикулярах к оси
проекций, ироне денных через точки
«, Ь, с. При этом точку а' можно брать где
угодно на перпендикуляре к оси проек-
ций, проведенном через а; точку Ь'—
где угодно на перпендикуляре к оси,
проведенном через Ь, и точку с — где
угодно на перпендикуляре к оси, про-
веденном через с. Вертикальные проек-
ции остальных вершин можно постро-
ить, применяя способ, указанный в § 64.
Соединив точки а, b и с, получим го-
ризонтальные проекции двух сторон ше-
стиугольника (ab и Ьс) и одной его диа-
гонали (ас). Соединив точки а’, Ь' и с', получим вертикальные проекции
тех же сторон (а'Ь' и Ь'с') и той же диагонали (а'с'). Соединим после этого
точку Ь с горизонтальными проекциями d, е и / остальных вершин шести-
угольника. Точки пересечения прямых bd, be и bf с прямою ас обозначим
31
соответственно через р, q и г. Проведя через точки р, q и г прямые, перлон-
днкулярные к оси проекции, продолжим их до пересечения с прямой
а'с', тогда мы получим на этой прямой вертикальные проекции р, q’
и г точек пересечения трех диагоналей шестиугольника, с четвертой, для
которой вертикальной проекцией служит прямая а с. Вертикальные
проекции этих трех диагоналей мы получим, соединяя точки р, q п г'
с точкою Ь'. Если теперь продолжить прямую Ьр', а через точку d
пронести прямую, перпендикулярную к оси проекций, до пересечения
с прямою Ь'р, то точка пересечения этих прямых d' будет служить вер-
тикальной проекцией четвертой вершины шестиугольника. Таким же
обраюм, продолжая прямые b'q' и Ь'г' и опуская из точек ей/
перпендикуляры на ось проекций, найдем вертикальные проекции е'
и /' пятой и шестой вершин шестиугольника. Соединив последова-
тельно точки a', b', с', d\ c,f‘, получим искомую вертикальную проекцию
шестиугольника.
66. Замечание. Метод изображения фигур и тел в ортогональ-
ных проекциях на две плоскости был разработан французским ученым
Гаспаром Монжем (1745—1818). Гаспар Монж был круплейшнм
французским геометром конца XVIII и начала XIX пн. Во время фран-
цузской революции был одним из основателей знаменитой политехни-
ческой школы, созданной конвентом. Метод Монжа в настоящее время
является одним из основных в той области геометрии, которая разра-
батывает методы изображения геометрических тел на плоскости и носит
название начертательной геометрии. Метод Монжа имеет широкое
применение в технике при вычерчивании проектов сооружений, планов
зданий, частей и деталей машин и г. л. При этом методе построения
на эпюре выполняются иногда но сложным правилам, ноль юнаться
которыми можно, лишь хорошо усвоив главные факты и предложения
стереометрии. Поэтому в учебниках геометрии, как п в настоящей книге,
при изображении геометрических фигур и тел применяются упрощенные
рисунки.
Эти рисунки представляют собою проекции изучаемых фигур, но
не на две плоскости, а лишь на одну, именно па плоскость чертежа.
Как следует из всего предыдущего, одна такая проекция еще не
определяет ни положения фигуры в пространстве, ни ее точных разме-
ров, но она дает ясное представление о виде изучаемой фигуры. Этого
представления достаточно, чтобы, основываясь на общих теоремах сте-
реометрии, изучать свойства геометрических фигур и тел.
Глава третья.
МНОГОГРАННИКИ.
I. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА.
67- Многогранник. Многогранником называется тело, огра-
ниченное плоскими многоугольниками. Об.цие стороны смежных много-
угольников называются ребрами многогранника. Многоугольники, кото-
рые ограничивают многогранник, называются его гранями. Грайн мною-
граннпка, сходящиеся в одной точке, образуют мпогогрмшыП угол;
вершины таких многогранных углов называются вершинами многогран-
32
ника. 'Прямые, соединяющие две какие-нибудь вершины, не лежащие
на одной грани, называются диагоналями многогранника.
Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т. е.
такие, которые расположены по одну сторону от плоскости каждой
из его граней.
Наименьшее число граней в многограннике четыре; такой многогран-
ник получается от пересечения трехгранного угла какой-нибудь плоско-
стью.
68. Призма. Призмой называется многогранник, у которого
две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными
сторонами, а все остальные грани — параллелограмы.
Чтобы пока )ать возможность существования такого многогранника,
возьмем (черт. 73) какой-нибудь многоугольник ABCDE и через его
вершины проведем ряд параллельных прямых, нс
скости. Взяв затем на одной из этих прямых
произвольную точку проведем через нее плос-
кость, параллельную плоскости ABCDE; через
каждые две соседние параллельные прямые также
проведем плоскости. Пересечение всех этих плоско-
стей определит многогранник ABCDEA^B^CfiyE^
удовлетворяющий определению призмы. Действи-
тельно, параллельные плоскости ABCDE и
пересекаются боковыми плоскостями
по параллельным прямым (§ 16); поэтому фигуры
AAtELE и и т. д. — параллелограмы.
С другой стороны, у многоугольников ABCDE
и A-Ji^D^ равны соответственно стороны (как
противоположные стороны параллелограмов) и
лежащих в его пло-
Чсрт. 73.
углы (как углы с параллельными и одинаково на-
правленными сторонами); следовательно, эти многоугольники равны.
Многоугольники ABCDE и AlBiC-tDlEi, лежащие в параллельных
плоскостях, называются основаниями призмы, перпендикуляр ОО,,
опущенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость дру-
гого, называется высотой призмы. Параллелограмы АА^В, ВВ^С
и т. д. называются боковыми гранями призмы, а их стороны ААП
BBL и т. д., соединяющие соответственные вершины оснований,—бо-
ковыми ребрами. У призмы все боковые ребра равны как отрезки
параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями.
Отрезок прямой, соединяющий какие-нибудь две вершины, не при-
лежащие к одной грани, называется диагональю призмы. Таков, на-
пример, отрезок ADt (черт. 73).
Плоскость, проведенная через какие-нибудь два боковых ребра, не
прилежащих к одной боковой грани призмы (например через ребра
Л.4, и CCV черт. 73), называется диагональной плоскостью.
Призма называется прямой или наклонной, смотря по тому, будут
ли се боковые ребра перпендикулярны или наклонны к основаниям.
У прямой при!мы боковые грани — прямоугольники. За высоту такой
призмы можно принять боковое ребро.
Прямая призма называется правильной, если ее основания — пра-
вильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные
прямоугольники.
3 Киселев. Геометрия, часть II
Р 69 Параллелепипед. Так называют призму, у которой основаниями
лелепипед называется прямоугольным, если его основание прямоуголь-
ник (черт. 75).
Из этих определений следует:
1) у параллелепипеда псе шесть
граней — параллелограмм;
2) у прямого параллелепипеда
четыре боковые грани прямоуголь-
ники, а дна основания — паралле-
лограмм;
3) у прямоугольного паралле-
лепипеда все шесть граней пря-
моугольники.
Черт. 75. Три ребра прямоугольного па-
раллелепипеда, сходящиеся в одной
вершине, называются его измерениями; одно из них можно рассматри-
вать как длину, другое как ширину, а третье как высоту.
Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, назы-
вается кубом. У куба все грани — квадраты.
70. Пирамида. Пирамидой называется многогранник, у которого
одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник,
а все остальные грани, называемые боковыми, — треугольники, имеющие
общую вершину.
Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь многогранный
угол S (черт. 76) пересечь произвольной плоскостью АВС1) и взять
отсеченную часть SABCD.
Общая вершина 5
Черт. 76.
Черт. 77.
боковых треугольников

пирамиды, а перпендикуляр
основания, — высотой ее.
Обыкновенно, обозначая
рая поставлена у вершины,
34
SO, опущенный из вершины на плоскость
пирамиду буквами, пишут сначала ту, кото-
например SABCD (черт. 76).
Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-ни-
будь диагональ основания (например через диагональ BD) (черт, 78),
называется диагональной плоскостью.
Пирамиды бывают: треугольные, четырехугольные и т. д., смотря
по тому, что является основанием—треугольник, четырехугольник и т. д.
(черт. 77) называется иначе тетраэдром; все
Треугольная пирамида
четыре грани у такой пирамиды — тре-
угольники.
Пирамида называется правильной
(черт. 78), если, во-первых, ее основание
есть правильный многоугольник и, во-вто-
рых, высота проходит через центр этого
многоугольника. В правильной пирамиде
нее боковые ребра равны между собой (как
наклонные с равными проекциями). По-
этому все боковые грани пр.шильной пи-
рамиды суть равные равнобедренные тре-
угольники. Высота Л’Л/ (черт. 78) каждого
hi этих треугольников называется апофе-
мой. Все апофемы в правильной пирамиде
равиы.
71. Усеченная пирамида. Часть пира-
миды (чер|. 7!1). заключенная между осно-
ванием (ABCDE) и секущей плоскостью
(A,B,C,D,Et), параллельной основанию,
на <ынае гея усеченной пирамидой. Парал-
лельные грани натынанися основаниями, а отрезок перпендикуляра ОО,,
опущенного in какой-нибудь точки О] основания AlBt('xDlEl на другое
основание, — высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида назы-
вается правильной, если ина составляет часть правильной пирамиды.
Свойства граней и
диагоналей паралле-
лепипеда.
72. Теорема. В
параллелепипеде:
1) противопо-
ложные грани рав-
иы и параллельны;
2) асе четыре
диагонали пересека-
ются в одной точке
и делятся в ней по-
полам.
1) Грани (черт. 80) ВВ,С,С и AA,D,D параллельны, потому что две
пересекающиеся прямые НВ, и В,С\ одной грани параллельны двум
пересекающимся прямым АА, и A,Dl другой (§ 15); эти грани и равны,
гзк как В,С,— At£)p /31В = А1.4 (как противоположные стороны
параллелограмов) и / ВВ, Cj = • / AA1D1.
2) Возьмем (черт. 81) какие-нибудь две диагонали, например АС,
и BD,, н проведем вспомогательные прямые AD, и ВС,. Так как
й „г
Черт. 82.
пебоа АВ и D.C. соответственно ранни и параллельны ребру DC, то они
™1ы ‘н параллУтьны между собой; вследствие этого фигура AD^B
jL-ть пардл телограм, в котором прямые С,А п BD. - диагонали, а В парад,
летограме шагеналп делится в точке пересечения пополам. Возьмем теперь
одну и< этих диагоналей, например АС„ с третьей диагональю, положим
с B.D. Совершенно так же мы можем доканать, что они делятся в точке
пересечения пополам. Следовательно, диагонали B^D и АС, и днаго-
на-лн .АС н 60, (которые мы раньше брали) пересекаются в одной и
‘ той же точке, именной середине диагонали АС,.
Наконец, влив эту же диагональ АС, с четвертой
диагональю А,С, мы также докажем, что и они
делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой
пары диагоналей лежит в середине диагонали АС,.
Таким образом все четыре диагонали параллелепи-
педа пересекаются в одной и той же точке и делятся
этой точкой пополам.
73. Теорема. В прямоугольном парал-
лелепипеде квадрат любой диагонали (АС,,
черт. 82) равен сумме квадратов трех его
измерений.
Проведя диагональ основания АС, получим два
треугольника. АС,С и АСВ. Оба они прямоугольные; первый питому,
что параллелепипед п р я м о й, и, следовательно, ребро СС, перпенди-
кулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямо-
угольный, и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из
этих треугольников находим:
АС; = .ДС? —CCJ и АС-= АВ'1ВС?.
Следовательно,
АС- — АВ'-- ВС?- CCj = АВ'- ±А1У- -|- АД2.
Следствие. В прямоугольном параллелепипеде асе диагонали равна.
Свойства параллельных сечений в пирамиде.
74. Теоремы. Если пирамида (черт. 83) пересечена плоско-
стью, параллельной основанию, то:
1,| боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на
пропорциональные части;
-> в сечении получается многоугольник (abate), подобный
основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты
их расстояний от вершины.
1) Прямые ab и АВ можно рассматривать как линии пересечения
двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоско-
стью ASB; поэтому ab\,AB (§ 16). По этой же причине W
са CD ... н ат AM; вследствие этого:
5а _ 56 _ 5с _ _Sm
аА ЬВ сС ’ ’ ‘ тМ ’
2) Из подобия треугольников ASB и aSb, затем BSC и bSc и т. Д.
выводим: ...
AS=65 BS__BC
ab bS ’ bS ~ be ’
36
откуда АВ_ВС ab Ьс
Так же: BC^CS CS CD be cS' cS~~cd'
откуда BC_CD be cd'
Так же докажем пропорциональность остальных сторон многоуголь-
ников ABCDE и abcde. Так как, сверх того, у этих многоугольников
равны соответственные углы (как образованные параллельными и одина-
ково направленными сторонами), то они подобны.
3) Площади подобных многоугольников относятся, как квадраты
сходственных сторон; поэтому
Но
Значит,
площадь ABCDE___ABZ _/ЛВ\а
площадь abcde аЬг \ ab J
AB_AS MS
ab aS mS ’
площадь ABCDE /MS\3_____MS-
площадь abcde \ mS/ mS2'
75. Следствие. У правильной усеченной пирамиды верхнее
основание есть правильный многоугольник, а боковые грани суть рав-
ные и равнобочные трапеции (черт. 83).
Высота любой из этих трапеций называется
апофемой правильной усеченной пирамиды.
76. Теорема. Если две пирамиды с
равными высотами рассечены на одинако-
вом расстоянии от вершины плоскостями,
параллельными основаниям, то площади
сечений пропорциональны площадям осно-
ваний.
Пусть (черт. 84) В и В, — площади осно-
ваний двух пирамид, Н — высота каждой из
них, b н Ьх — площа ди сечений плоскостями,
параллельными основаниям и удаленными от
вершин на одно и то же расстояние Л.
Согласно предыдущей теореме мы будем
иметь;
b__ ft2 =
В~~Н2 И Вх Н-'
откуда
Черт. 83,
77. Следствие. Если В = ВР то и b — bv т. е. если у двух
пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики
и сечения, равноотстоящие от вершины.
3?
Боковая поверхность призмы и пирамиды ’)•
78 Теорема. Боковая поверхность призмы равна проазве-
дению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Перпендикулярным сечением (черт. 85) называется многоугольник
aK'd, получаемый от пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной
к боковым ребрам. Стороны этого многоугольника перпендикулярны
к ребрам (§ 24).
Черт. S4.
Боковая поверхность призмы представляет собой сумму площадей
плрзллелограмов; в каждом из них «а основание можно ыять боковое
ребро, а за высоту — сторону перпендикулярного сечения. Поэтому:
боковая поверхность призмы — .4Д1 • ab ВВХ Ьс -}- ССг cd DDi da —
= fab 4- be 4- cd 4- da) • .4.-1,
79. С л e .1 с т s и e.
произведению периметра
Боковая поверхность прямой призмы равна
высоту, потому что в такой
призме <а перпендику-
лярное сечение можно
в<ять само основание, а
боковое ребро ее равно
высоте.
80. Теорем л. Бо-
ковая поверхность
правильной пирамиды
равна произведению
периметра основания
на половину апофемы.
Пусть (черт. 86)
SABCDE — правильная
пирамида и S.V — ее апо-
фема. Боковая поверх-
ность этой пирамиды есть
сумма площадей рапных
равнобедренных треуголь-
ников. Площадь одного
Если всех треугольников п, то
поверхность- % потребляется вместо Л^ЛЛ?" кРаткости ТСРМ"" .боковая
38 г " вместо .площадь боковом поверхности*.
основания на
из них. например ASB,
равна AB-V.SM.
боковая поверхность = А В •1 ,,SA1 -п = АВ- п-1; „S.M,
где .-1В-л есть периметр основания, а A’.lf— апофема.
81. Теорема, Боковая поверхность правильной усеченной
пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих
оснований на апофему.
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды есть сумма
площадей равных трапеций. Площадь одной трапеции, например АаЬВ
(черт. 86), равна 1 ..(.IB аЬ)-Мт. Если число всех трапеций есть
п, то
АВ-^-ab „
боковая поверхность—---------Мт-п
АВ п -1- ab - п ,,
----------- Мт,
где АВ-п и аЬ'П суть периметры нижнего и верхнего оснований.
УПРАЖНЕНИЯ.
1, Высота прямой призмы, основание которой есть правильный rpeyi ольнпк,
равна 12 м, сторона основания—3 м. Вычислить полную поверхность призмы.
2. Полная поверхность прямостольного параллелепипеда равна 1714 а
неравные спешны основании равны 25 м и 14 лг. Вычислить боковую поверх-
ность и (маковое ребро.
3. В прямоегольноч параллелепипеде с квадратным основанием и высотой А
провелена секстан плоскость через два противоположных боковых ребра Вычис-
лив полную поверхность параллелепипеда, зная, что площадь сечения равна S.
-I. Правильная те. тнугодьная пирамида имеет сторону основания а и вы-
соту h. Вычислить боковое ребро, апофему, боковую поверхность м волную
поверхность.
ё. Вычислить полную поверхность высоту треугольной пирамиды, у ко-
торой каждое ребро равно а.
б. Правильная шестиугольная пнраыкда, у которой высота 25 ем, а сторона
основания 5 см, рассечена плоскостью, параллельной основанию. Вычислить
расстояние згой плоскости от вершины пирамиды, знай, что площадь сечения
равна 27- ) 3 см-.
7. Высота хсеченной пирамиды с квадратным основанием равна h, сторона
нижнего основания а, а верхнего Ь. Найти полную поверхность усеченной
пирами ты.
Ч Высота усеченной пирамиды равна 6, а площади основании 18 и 8. Пи-
рамида рассечена плоскостью, параллельной основаниям делящей высоту по-
полам Вычислить площадь сечения.
II. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ.
82. Основные допущения об объемах. Величина части простран-
ства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.
Мы ставим задачу — найти для
этой величины выражение в виде
некоторого числа, измеряющего эту
величину. При этом мы будем ру-
ки воде гвоиатьсн следующими исход-
ными положениями.
1) Равные тела имеют равные
объемы.
2) Объем какого-нибудь тела
(например каждого параллелепипеда, Черт.
изображенного на черт. 87), со-
стоящего из частей (Р и Q), равен сумме объемов этих частей.
Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.
Объем параллелепипеда.
84. Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений.
В таком кратком выражении теорему эту паю понимать так: число,
выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубической еди-
нице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соот-
ветствующей линейной единице, т. е. в единице, являющейся ребром
куба, объем которого принят за кубическую единицу. Так, если х есть
число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда в кубических
сантиметрах, и а. b и с — числа, выражающие три его измерения в ли-
нейных сантиметрах, то теорема утверждает, что х — ubc.
При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая:
1) Измерения выражаются целыми числами.
Пусть, например, измерения будут (черт. 88): ЛВ — а, ВС=Ь и
BD~c, где а. Ь и с — какие-нибудь целые числа (например, как изо-
бражено у нас на чертеже: а = 4, Ь = 2 и с = 5). Тогда основание
параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый
представляет собой соответствующую квадратную единицу, На каждом
из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической
единице. Тогда получится слой (изображенный на чертеже), состоящий
из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линей-
сего параллелепипеда содержит с таких единиц,
то внутри параллелепипеда можно поместить
с таких слоев. Следовательно, объем этого
параллелепипеда равен abc кубических единиц.
2) Измерения выражаются дробными
числами.
Пусть измерения параллелепипеда будут:
т р г
п' ц' 7
(некоторые из этих дробей могут равняться це-
лому числу).
Приведя дроби к одинаковому знаменателю,
будем иметь:
единице, а высота
Черт. 88.
mgs pns rnq
nqs ’ nqs ’ nqs ’
линейной единицы за новую (вспомогательную)
п 1
Примем --- долю
nqs
летепипем^'выпатят^'1 В ЭТ°Й новой единице измерения данного парал-
™ ™ Р си Целыми числами, а именно: mgs, pns и rnq. и по-
изведению^тл.Т^олс! случае 1)> объем параллелепипеда равен пр0^
единицей,имеРять этот объем новой кубической
единиц в одной к1биУЮ Цейл нсвой линейной единице. Таких кубических
у ческой единице, соответствующей прежней линей-
ной С‘‘ -;i||C ’.'7е\Г; ГЗТ,
ляет . * прежней. Поэтому объем
(nqs}3
И'-Ь-я ёйишцд ссстде-
параллелепипеда, выраженный в
прежних единицах, равен:
W (rnq) =
mqs pns rnq m p г
nqs nqs nqs n q s ‘
3) Измерения выражаются и p p а ц и'о н а ль-
и ы м и ч и с л а м и.
Пусть у л.никл о параллелепипеда (черт. 89),
который для краткости .мы обозначим одной
буквой Q, измерения будут:
AC — 'f; AD=-:,
где все числа a, J и 7, или только некоторые из Черт. 89.
них, иррациональные.
Каждое из чисел т, ? и 7 может быть представлено в виде бесконечной
десятичны дроби. Во’.ьмем приближенные значения этих дробей с л десятич-
ными знаками сначала v недостатком, а затем с избытком. Значения с недс-
сга1ком обо значим а„, рл, значения с избытком ал, ^Л и тя. Отложим на
ребре АН, начиная от точки А, два отрезка АВ^ — а„ и АВ2 — in. На ребре АС
от той н е точки А отложим отрезки .4Cj — Jn и АС2 — Jn и на ребре AD от
той же точки отрезки ADt — 7Л и ДО- -7..
При этом мы будем иметь:
< АВ < АВ,. АС. < АС < AC, ADt < AD < AD*
Построим теперь дна
его Q]) с измерениями АВ
реннями АВ,. АС2 и Д£);
имеет пределом предел
вспомогательных параллелепипеда: один (обозначим
!, АС, и AD, и другой (обозначим его Q-) с изые-
Пар.1.тлелепп1К'.1 Qi будет весь помещаться внутри
параллелепипеда Q, а параллелепипед Оа будет со-
держать внутри себя параллелепипед Q.
По доказанному (в случае 2) будем иметь
объем С,-зал?л7п (1)
объем Р2^«л?„’л, (2)
причем объем Qj < объема Qa.
Начнем теперь увеличивать число п. Это зна-
чит, что мы берем приближенные значения чисел
т, f, у все с большей и большей степенью точности.
Посмотрим, как при этом изменяются объемы па-
раллелепипедов Q; и Q-,.
При неограниченном возрастании л объем Qb
очевидно, увеличивается и, в силу равенства (I),
при беспредельном увеличении п имеет своим пре-
делом предел произведения (ал?п7п). Объем Q,,
очевидно, уменьшается н в силу равенства (2)
произведения 7„)- Но нз алгебры известно, что
оба произведения ал?п7л и ая 'л "Р” ||е01 раннчепном увеличении п имеют
общий предел, который является произведением иррациональных чисел agy.
Этот предел мы и принимаем за меру объема параллелепипеда Q: объем
Q— aj7. Можно доказать, что определенный таким образом объем удовлетво-
ряет тем условиям, которые установлены для объема (§ 82). В самом деле,
при таком определении об-ьема' равные параллелепипеды, очевидно, имеют рав-
41
ные объемы Следовательно, первое условие (§ 82) выполняется. Разобьем те-
перь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое;
<?х » Q., (черт. 90). Тогда будем = АВ-AD,
объем Q.,=/^Вр/ЦС-Л^у.
Складывая почленно два иоследнЛ равенства и замечая, что АВ, = ЛВ и
A,Dx~ AD, получим объем (^Ц-объем Q> — AB-AAl-Ab-r AB-Afi-Ab^
=AB‘AD\AAx-\- Afi} — AB-AD-AC, отсюда получаем:
объем Qy-)-объем Q> — объему Q.
Следовательно, и второе условно § 82 тоже выполняется, еслп параллелепипед
складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, парал-
лельной одной из граней.
85. Следствие. Пусть измерения прямоугольного параллелепи-
педа, служащие сторонами его основания, выражаются числами а и Ь,
а третье измерение (высота) — числом с. 1огда, обозначая объем его
в соответствующих кубических единицах буквой V, можем написать:
V = abc.
Так как произведение ab выражает
площадь основания, то можно сказать, что
объем прямоугольного параллелепи-
педа равен произведению площади
основания на высоту.
Замечание: Отношение двух куби-
ческих единиц разных названий равно
третьей степени отношения тех линейных
единиц, которые служат ребрами для этих
кубических единиц. Так, отношение куби-
Черт. 91.
ческого метра к кубическому дециметру равно 10”, т. е. 1000. Поэтому,
например, если мы имеем куб с ребром длиной а линейных единиц и
другой куб с ребром длиной За линейных единиц, то отношение их
Объемов будет равно 3’, т. е. 27, что ясно видно из чертежа 91.
86. Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой
призме, основание которой равно перпендикулярному сечению
наклонной призмы, а высота — ее боковому ребру.
Пусть дана наклонная призма ABCDEA^B.C.D.E. (черт. 92). Про-
должим все ее боковые ребра и боковые грани в одном направлении.
Возьмем на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную
точку а и проведем через нее перпендикулярное сечение abede. Затем,
отложив аа1 = АА1, приведем через а, перпендикулярное сечение
42
Так ка#_ плоскости обоих сечений параллельны, то bb. =
=cci=ddl eeY аа1 = АА1 (§ 17). Вследствие этого многогранник
atd, У которого за основания приняты проведенные нами сечения, есть
прямая призма, о которой говорится в теореме. Докажем, что
данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предва-
рительно убедимся, что многогранники aD и
равны. Основания их abcde и a^b^d^
равны как основания призмы ard; с другой
стороны, прибавив к обеим частям равенства
А1А=а1а по одному и тому же отрезку пря-
мой Ага, получим: подобно этому:
bB = bxBv сС^с}С{ и т. д. Вообразим те-
перь, что многогранник aD вложен в много-
гранник <i\Dy так, чтобы основания их сов-
пали; тогда боковые ребра, будучи перпенди-
кулярны к основаниям и соответственно равны,
также совпадут; поэтому многогранник aDсов-
местится с многогранником с^О,; значит, эти
тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме aYd добавим
многогранник aD, а к наклонной призме добавим многогранник
axDit равный aD, то получим один и тот же многогранник a^D. Из
этого следует, что две призмы AyD и a^d равновелики.
87. Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту.
Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоуголь-
ного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом
и наклонного.
1) Пусть (черт. 93) ЯС] — прямой параллелепипед, т. е. такой, у ко-
торого основание ABCD — какой-нибудь параллелограм, а все боковые
грани — прямоугольники. Возьмем в нем за основание боковую грань
ЯА1В1Д; тогда параллелепипед будет наклонный. Рассматривая его
как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы пре-
дыдущего параграфа, можем утверждать, что этот параллелепипед равно-
велик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть пер-
пендикулярное сечение M.\'PQ, а высота ВС. Четырехугольник MNPQ—
прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых
двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основа-
нием прямоугольник MNPQ, должен быть прямоугольным, и, следова-
тельно, его объем равен произведению трех еп> измерений, за которые
можно принять отрезки ALV, MQ и ВС. Таким образом
объем ДС\ = ВС — MN-(AIQ-BC). *
Но произведение ,1fQ-ВС выражает площадь параллелограма ABCD,
поэтому
объем АС{-—(площади ABCD)-Mb! = (площади ABCD)- ВВГ
2) Пусть (черт. 94) ЛС\—наклонный параллелепипед. Он равнове-
лик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное
сечение Mb!PQ (т. е. перпендикулярное к ребрам AD, ВС,...), а высо-
той — ребро ВС. Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда
равен произведению площади основания на высоту; значит,
объем А С, = (площади MNPCB-BC.
43
Eew RS «т, -лота «иен» MMPQ. n »«««* MNPQ = MQ.rs.
«Ь«. AC^MQ-RS-BC-VC.MQt-RS.
Произведение BC-MQ выражает площадь параллелограма ABCD; сле-
довательно, 1 n/-ni ПС
объем XCj = (площади ABCD)-Rt>.
Остается теперь доказать, что отре-
зок RS представляет собой высоту парал-
лелепипеда. Действительно, сечен не MNPQ,
будучи перпендикулярно к ребрам ВС,
BtClt .... должно быть перпендикулярно
к граням ABCD, BBfC^C, ... , проходя-
щим через эти ребра (§ 43). Поэтому,
если мы из точки S восстании перпен-
дикуляр к плоскости ABCD, го он должен
лежать весь в плоскости ALVPQ (§ 44)
и, следовательно, должен слиться с пря-
мой SR, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к AfQ. Значит,
отрезок SR есть нысота параллелепипеда. Таким образом, обз.см и на-
клонного параллелепипеда ранен произведению площади основания на
высоту.
Следствие. Если V, В и Н суть числа, выражающие п соответ-
ствующих единицах объем, площадь основания и высоту параллелепи-
педа, то можно написать:
V=BH.
Объем призмы.
Я8. Теорема. Объем призмы равен произведению площади
основания
на высоту.
Сначала докажем эту теорему для треуголь-
ной при «мы, а потом и для многоугольной.
1) Проведем (черт. 95) через ребро Д/Ц
треугольной призмы АВСА{В}С{ плоскость, парал-
лельную грани ВВ^С, а через ребро СС, — пло-
скость, параллельную грани затем про-
должим плоскости обоих оснований призмы до
пересечения с проведенными плоскостями. Тогда
мы получим параллелепипед flD,, который диа-
гональной плоскостью AA}CtC делится на две
треугольные призмы (из них одна есть данная).
Докажем, что эти при)мы равновелики. Для
этого проведем перпендикулярное сечение abed.
В сечении получится параллелограм, который
диагональю ас делится на два равных треуголь-
ника. Данная призма равновелика такой прямой
ири!ме, у которой основание есть Д abc, а нысота - ребро АА. (§««)•
Другая треуюльная призма равновелика такой прямой, у которой осно-
ванне есть f\adc, а высота — ребро АА{. Но две прямые призмы с
равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вло-
...................... . призмы ABCA^t^ и ADCA^DlCi
составляет
женин они совмещаются); значит, i
равновелики. Из этого следует, что объем данной
по-
по-
половину объема параллелепипеда BD^,
этому, обозначив высоту призмы через Н,
лучим:
объем треугольной призмы =
(площади ABCD)-H площади ABCD
~ 2 2
— (площади АВС) Н.
•н=
2) Проведем через ребро АА, многоугольной
призмы (черт. 96j диагональные плоскости AAtCtC
н AA^D. Тогда данная пртма рассечется на
несколько треую.’п.ных призм. Сумма объемов
этих призм составляет искомый объем. Если обо-
значим площади их оснований через />,, Ьг,
Ьл, а общую высоту через Н, то получим:
объем многоугольной призмы —- Н J-Ь,-H Н = (/>,-}- Ьг^-Ь3)-Н=
— (площади ABCDE} - Н.
призмы
ь.
В
Черт. 96.
Следствие. Если V, В и Н будут числа,
ветственпых единицах объем, площадь основания
по доказанному, можно написать:
V = B-H.
выражающие в соот-
н высоту призмы, го,
89. Принцип Кавальери. Итальянский математик XVII доска Кавальери вы-
сказал бел дока i.i гельс। на следующее утверждение
1;сли два тела (oi раннчеииые плоское гимн или крниымн поиерхностямп—
все равно) могут быть помещены
в такие положение, при котором всякая
плоскость, параллельная какой- нибудь
данной плоскости и пересекающая оба
тела, даст в еечении с ними равновели-
кие Фигуры, то объемы таких тел оди-
наковы.
Это предложение может быть строю
доказано, ио доказательство его выходит
за пределы элементарной математики к
потому мы ограничимся проверкой его на
отдельных примерах.
Условиям принципа Кавальери удов-
летворяют, например, две прямые призмы
(треугольные или многоугольные — все
равно) с равновеликими основаниями и
равными высотами (черт. 97). Такие приз-
мы, как мы знаем, равновелики. Вместе с
тем, если поставим такие призмы основаниями на какую-нибудь плоскость,
то всякая плоскость, параллельная основаниям и nepeccK.iioiu.iH одну из призм,
пересечет и другую, причем и сечениях получатся равновеликие фигуры, так
К4К фигуры эти равны основаниям, а осиопанпя равновелики. Значит, ipuu-
UHH Кавальери подтверждается в этом частном случае.
Принцип этот подтверждается также и в планиметрии в применении к пло-
щадям, а именно: если Ове фигуры могут быть помещены в такое положе-
ние< что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой, пере-
секающая обе фигуры, дает в сечении с ними равные отрезки, то такие
45
*niVpu ра^ем Примером могут служить
^угольника с равными основаниями и равными
два параллелограма или 1П,
высотами (чертеж 98).
Объем пирамиды.
90 Лемма Треугольные пирамиды с равновеликими оско-
мниями и равными высотами равновелики.
Х^зательство наше будет состоять из трех частей. В первой части
МЫ докажем равновеликость не самих пирамид, а вспомоительных тел,
" * составленных из ряда
треугольных призм, по-
ставленных друг на дру-
га. Во второй части мы
докажем, что объемы
этих вспомогательных
тел, при увеличении
числа составляющих их
призм, приближаются
к объемам пирамид как
угодно близко. Наконец, в третьей части мы убедимся, что сами
пирамиды должны быть равновелики.
I. Вообразим, что пирамиды поставлены основаниями на некоторую
плоскость (как изображено на чертеже 99); тогда их вершины будут
находиться на одной прямой, параллельной плоскости оснований, и вы-
сота пирамид может быть изображена одним и тем же отрезком пря-
мой II. Разделим эту высоту на какое-нибудь целое число п равных
частей (например на 4, как это указано на чертеже) и через точки де-
ления проведем ряд плоскостей, параллельных плоскости оснований.
s s.
Черт. 99.
Плоскости эти, пересекаясь с пирамидами, дают в сечениях ряд тре-
угольников, причем треугольники пирамиды 5 будут равновелики соот-
ветствующим треугольникам пирамиды S, (§ 77). Построим внутри каж-
дой пирамиды ряд таких призм, чтобы верхними основаниями у них
были треугольники сечений, боковые ребра были параллельны ребру SA
в одной пирамиде и ребру в другой, а высота каждой призмы
равнялась бы —Таких призм в каждой пирамиде окажется я — они
образуют собой некоторое ступенчатое тело, объем которого, очевидно,
меньше объема той пирамиды, в которой призмы построены. Обозначим
объемы призм пирамиды S по порядку, начиная от нершины, буквами
р»р»Рз.......Pn-v аобъе',ы призм пирамиды также по порядку от
вершины, буквами б/р 7,, 73, тогда, принимая во внимание, что
у каждой пары соответствующих призм (у рх и qu у р2 и q2 и т. д.)
основания равновелики и высоты равны, мы можем написать ряд равенств:
Р1 = Чк Р2 = Р2, P3 = q3, .... Pa-r^q^t.
Сложив все равенства почленно, найдем:
Pl ~ТгРг ~Т~Рз 4~ • • 4" P„-i = 4- <7г + 93 + .. . -у- ?я_г (1)
Мы доказали, таким образом, что объемы построенных нами вспо-
могательных ступенчатых тел равны между собой (при всяком числе л,
на которое мы делим высоту Н].
П. Обозначив объемы пирамид S’ и S’, соответственно буквами У
и Ур положим что:
v - (Pt-^Pi 4--4- • • • 4-Л.-1)=*
и Vx — (<7i 4"9’-r<7j4- • • • -r4n-i)—y^
откуда: />, 4" Р2 +Рз 4~ • • • 4Д,-1 = V - х
и 91 4_9з4~?з 4- • • • +9п-1 = vi — У- (2)
Тогда равенство (1) мы можем выразить так:
х= Уг— у.
мы
Предположим теперь, что число л равных частей, на которые мы
делим высоту Н, неограниченно возрастает; например, предположим,
что вместо того, чтобы делить высоту на 4 рапные части, мы разделим
се на 8 равных частей, потом на 16, на 32 и т. д., и пусть каждый
раз мы строим указанным образом ступенчатые тела в обеих пирами-
дах. Как бы ни возросло число призм, составляющих ступенчатые тела,
равенство (1), а следовательно, и равенство (2), остается в полной силе. При
этом объемы Ун Ур конечно, не будут изменяться, то,гда как величины х
и у, показывающие, на сколько объемы пирамид превосходят объемы соот-
ветствующих ступенчатых тел, будут, очевид-
но, все более и более уменьшаться. Докажем,
что величины х н_у могут сделаться так малы,
как угодно (другими словами, что они стре-
мятся к нулю). Это достаточно доказать
для какой-нибудь одной из двух величин х
и у, например для .v.
С. этой целью построим в пирамиде S
(черт. 100) еще другой ряд призм, который
составит тоже ступенчатое тело, но по объему
большее пирамиды. Призмы эти мы построим
так же, как строили внутренние призмы, с
той только разницей, что треугольники се-
чений мы теперь примем не за верхние осно-
вания призм, а за нижние. Вследствие этого
получим теперь ряд
---(1 оа nti/nnnv< . - - «Г Г 1
призм, которые некоторой своей частью будут выступать из пирамид
наружу, и потому они образуют новое ступенчатое тело с объемом,
47
бд тьшнм, чем объем пирамиды. Таких призм будет теперь не л — 1, как
внутренних призм, а л. Обозначим их объемы по порядку, начиная от
вершины, буквами: р\, р2, р3...Рп^Ря- Рассматривая чертеж, мы
легко заметим, что
Р\=Рь Pi = Pv Pi—Рз.......Pn-i = Pn-\-
Поэтому
(р'х + + Р3 + • • • + Р'п-з + P'J - (^1 + Рз + Р0 + • • + p«-i) =Р'а-
Так как ............
Р\-\-Р'1 + Рз+ • • • +Ря-1 + Л,> v’
Pi+Pa + Pa+Pi+ • • • +Pn-i< V’
Р— (Pi +Рз4“Ра 4" • • • +Рп-1ХРЛ’
т. е.
^у
Но р = площади АВС— (если АВС есть основание);
" л
поэтому
уу
х <2 площади АВС> — .
п
„ н
При неограниченном возрастании числа п величина — , очевидно, мо-
жет быть сделана как угодно малой (стремится к нулю). Поэтому и про-
Н
изведение: площадь АВС- — , в котором множимое не изменяется, а мно-
житель стремится к нулю, тоже стремится к нулю, и так как положи-
тельная величина х меньше этого произведения, то она и подавно стре-
мится к нулю.
То же самое рассуждение можно было бы повторить и о вели-
чине у.
Мы доказали, таким образом, что при неограниченном увеличении
числа призм объемы вспомогательных ступенчатых тел приближаются
к объемам соответствующих пирамид как угодно близко.
III. Заметив это, возьмем написанное выше равенство (2) и придадим
ему такой вид:
V— V\ = x-y. (3)
Докажем теперь, что это равенство возможно только тогда, когда
V= Vj и х=у. Действительно, разность V— Vp как всякая разность
постоянных величин, должна равняться постоянной величине, разность
же х—у, как всякая разность между переменными величинами, стре*
мящнмися к нулю, должна или равняться некоторой переменной
величине (стремящейся к нулю), или равняться нулю. Так как постоян-
ная величина не может равняться переменной, то из двух возможностей
надо оставить только одну: разность х—у = 0; но тогда
и х—у.
48
Мы доказали, таким образом, что рассматриваемые пирамиды равно-
велики
Доказанная лемма очень просто выводится также из принципа Кавальери.
Действительно, вообразим, что две пирамиды с равновеликими основаниями
и рапными высотами поставлены основаниями па какую-нибудь плоскость Р
(черт. 101), тогда всякая секущая плоскость Q, параллельная 'Р, дает в сечении
с пирамидами треугольники равновеликие (77); следовательно, пирамиды эти
удовлетворяют условиям закона Кавальери, и потому объемы их должны быть
одинаковы, по это доказательство нельзя считать строгим, так как принцип
Кавальери нс был доказан.
Черт. 101.
Черт. 102.
91. Теорема. Объем пирамиды равен произведению площади
ее основания на треть ее высоты.
Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а за-
тем и многоугольной.
1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим
такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды,
а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объем
пирамиды составляет третью часть объема этой призмы. Отделим от
призмы данную пирамиду. Тогда останется четырехугольная пирамида
SADEC (которая для ясности изображена от-
дельно). Проведем в ней секущую плоскость
через вершину 5 и диагональ основания DC.
Получившиеся от этого две треугольные пира-
миды имеют общую вершину S и равные осно-
вания DEC и DAC, лежащие зз одной плоско-
сти; значит, согласно доказанной выше лемме,
пирамиды эти равновелики. Сравним одну из
них, именно SDEC, с данной пирамидой. За
основание пирамиды SDEC можно взять /\SDE-,
тогда вершина ее будет в точке С, и высота
равна высоте данной пирамиды. Так как
>) Необходимость столь сложного доказательства этой теоремы объясняется
тем фактом, что два равновеликие тела нельзя так легки преобразовывать одно
в Другое, как это можно было делать с равновеликими многоугольниками на
плоскости. Именно, если даны два равновеликих многогранника, то в общем
случае оказывается невозможным разбпть один из них на такие части, из ко-
торых можно было бы составить другой. В частности это невозможно для двух
произвольных треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными
высотами.
Д 49
** Киселев. Гепметгля, часть II
^SDE—^ABC, то, согласно той же лемме, пирамиды CSDE и SABC
^Призма"SABCDE нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC,
SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую
трехгранную призму. Это является одним из важных свойств трехгранной
призмы.) Таким образом, сумма объемов трех пирамид, равновеликих
данной, составляет объем призмы; следовательно,
1 «пл (площадь АВС}-Н
объем SABC=x- объема SDEABC =------------—
О
уу
= (площадь АВС} у ,
где Н означает высоту пирамиды.
2 ) Через какую-нибудь вершину Е (черт. 103) основания многоуголь-
ной пирамиды SABCDE проведем диагонали ЕВ и ЕС. Затем через
ребро SE и каждую из этих диагоналей проведем секущие плоскости.
Тогда многоугольная пирамида разобьется на несколько треугольных,
имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади осно-
ваний треугольных пирамид через 2>(, Ь2, Ь2 и высоту через Н, будем иметь:
объем SABCDE = у bt-НЬ2-Н1 Ьл-Н =
и О О
= (bt -J- Ь2 4* Л3) = (площади ABCDE}- ~ .
О О
Следствие. Если V, В и Н откачают числа, выражающие в со-
ответственных единицах объем, площадь основания и высоту какой угодно
пирамиды, то
V = ~BH.
О
92. Теорема. Объем усеченной пирамиды ранен сумме объ-
емов трех пирамид, имеющих высоту, одинаковую с высотой
усеченной пирамиды, а основаниями: одна — нижнее основание
данной пирамиды, другая — верхнее основание, а площадь осно-
вания третьей пирамиды равна среднему геометрическому
площадей верхнего и нижнего оснований.
Пусть площади оснований усеченной пирамиды (черт. 104) будут
В и Ь, высота И и обт.е.м V (усеченная пирамида может быть треуголь-
ная или многоугольная — все равно). Требуется доказать, что
u=1 вн 4- у ьн 1 н/вь = --в ь 4- у/вь},
где j/ВЬ есть среднее геометрическое между В и Ь. Для доказательства
на меньшем основании поместим малую пирамиду, дополняющую данную
усеченную пирамиду до полной. Тогда объем усеченной пирамиды V мы
можем рассматривать как разность двух объемов, полной пирамиды
и верхней дополнительной.
Обозначив высоту дополнительной пирамиды буквой х, мы найдем, что
у В<-И+х) — у **=у (вл/4- Вх — ьх} .^-\вн 4(в — ^*1-
Для упрощения этого уравнения извлечем
из обеих частей его арифметический квадратный
корень:
/В
у/Ъ х
Из этого уравнения (которое можно рассма-
тривать как пропорцию) получим:
откуда ,
(у/В — у b)x—Hy/b,
и, следовательно, НугЬ
Х=~------т-.
J В -/Ь
Черт. 104.
Поде
найдем:
ганив это выражение в формулу, выведенную нами для объема
и=4
3 ] в-Vb J
V,
Так как В—b -(j/B-f-l /?;(] В — v'то, по сокращении дроби
на разноси, |/ В—р/>, получим:
у1 [в/-/ (| В + Vb)Н\ ЪI --1 (ВН4-н у/вь4-ьну =
~ Н(В -4 ь 4 ^ВЬ],
О
т. е. получим ту формулу, которую требовалось доказать.
111. ПОДОБИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
93. Определение. Два многогранника называются подобными, если
они имеют соответственно ранные многогранные углы и соответственно
подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников
на гыватген сходственными.
Из этого определении следует, что в подобных многогранниках:
1) Двугранные углы соответственно равны п одинаково расположены,
потому что многогранные углы равны.
2) Сходе г венные ребра пропорциональны, потому что в каждых двух
подобных гранях отношение сходственных ребер одно и то же, и в каж-
дом многограннике соседние грани имеют но общему ребру.
Возможность существования подобных многогранников доказывается
следующей теоремой.
94. Теорема Если а пирамиде проведем (черт. 105) секущую
плоскость (ABCD EJ параллельно основанию, то отсечем от
нее другую пирамиду (SAiBlClDlBJ, подобною данной.
4 ’ ; г
Так как АДЦАВ, В.С.ЦВС и т. д., то боковые грани двух пирач11д
их также подобны (§ 74). Остается доказать равен-
подобны; основания
Черт. 105.
также подобны (§ 74). Остается доказать равен-
ство многогранных углов. Угол S у обеих пирамид
общий; трехграиные углы A)t Bv С,,... равны
соответственно углам А, 8, С,..., потому что у
каждой пары этих углов имеется по одному н
тому же двугранному углу, расположенному между
двумя соответственно равными и одинаково распо-
ложенными плоскими углами; так, у углов А
и А, один и тот же двугранный угол (с ребром AS)
лежит между ранными плоскими углами-
SA^E^SAE и 5.4,8,= SAB.
95. Т е о р е м а. Поверхности подобных мно-
гогранников относятся, как квадраты сход-
ственных ребер.
Пусть Рр Р„, Р2, ..., Рп означают площади от-
дельных граней одного из подобных многогранников, а />,, р.,, р2< .... рп—
площади сходственных граней другого; положим еще, что /. и I будут
длины двух каких-нибудь сходственных ребер. Тогда, вследствие подобия
сходственных граней и пропорциональности всех сходственных ребер,
будем иметь:
Черт. 106.
Px~ P ' Pt~ lZ ’ Р1Г'......... Pa~ l’'
откуда по свойству равных отношений получим:
Pi+Ps-t-Ps4--• — Рл 1г '
96. Теорема. Объемы подобных многогранников относятся
как кубы сходственных ребер.
Ограничимся доказательством этой теоремы только для подобных
пирамид. Пусть (черт. 106) пирамиды
Вложим вторую пирамиду в первую
многогранные углы S и S,.
Тогда основание AjfljCjD,/?!
займет некоторое положение
abcde, причем стороны ab,
Ьс,... будут соответственно па-
раллельны сторонам АВ, ВС,...
(вследствие того, что соответ-
ствующие плоские углы трех-
гранных углов А и Ар В и
В, и т. д. ранни). Поэтому пло-
скость
ABCDE. Пусть SO и So —
высоты
да объем
SABCDE и подобны,
так, чтобы у них совиази равные
abcde параллельна
двух пирамид. Тог-
SABCDE = (пло-
щади ABCDE) • SO; объем Sabcde = (площади abcde) • -j- So.
52
Следовательно,
ооъеч SABCDE плгнцаль ABCDE SO
об ьем Sabcde ~~ 7.ющазь аЛ< <17 ' So ’
НО плошать ABCDE SCA
площадь abide So- ’
поэтому объем SABCDE SOi SA*
объем Sabcde S& Sa* ‘
IV. ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ.
Многогранник наймется правильным, если все его грани равные
Прдвиль11ис Mfiuiujr )льники и е^с .тонные vr.m рз?ны таков, на*
пример, куб). Из лого u:i;k.ic.-chhb бедует. что в правильных много-
гранниках равны все плоские углы, все csv-pa 'чые углы и see ребра.
97. Перечисление правильных многогранников. Примем во внимание,
что в мног траппом угле нзим(.«ьщси чи^граней тон н что сейма
плоских углов выпукл .гл мня угла меньше 4d 51». КажтчЛ
угол правильного треугольника равен : jd Если повторны *itd слагаемым
Черт. IU7. Черт i“S. Черт 1н9. Черт. 110.
3, 4 н !> раз, то получим суммы шс‘ошис 4<У. а есть повторим 1 td
слагаемым t’> pat или Сид-, то г.у. им в .. мм. Ad и тн ftiiu. Поэтому
из плоских утлой, равных уг-’ам яра-. .пм ш. т;ч . i .71 нньа, можно образо-
вать выпуклые мног ч ранные гг:ы *. • т,нх in-. .11 tjk с: ранные, четы-
pe.xi ранные и инти; ранные 'ri ат <ч ти .ранами прави иного мно-
гогранника . .тужат np.ua тъчые т.чу им*. т г «< рилои миог.тт'ранника
могут exo tiiTbiM н тн 3 р. <ра н 1и 4 и ги 5 {ч-бср. Со itmt тиною с чтим
Имеется три ни за прзвн "ьмнх м.ч и. , рачиик >• < треугольными гранями:
Прана н.пыП четы1Ч'х. '.ohoik. ил * тетраэдр, и >ьсрхн<чть кото|м1го
составлена hi четыре и,'.г ч :-»io тртi•• тьнньои (черт. 107/. Он имеет
4 грани, 4 перныны н ь [ч '«
2) Ilp.iBH,П.ный n.Kt.Miipi <!•►. или октавлр, нонерхность миорогг.
С'нтантенд ил 1Юк|,чн пч н и ’ ы\ треугольников (черт. 10^). Он имеет
Н граней, Г» першнн н 12
3) ПрапнтьныЛ 2r'-:pi....«к лти ивосавлр. обраюмнный дмливтью
«раянлмоачн треуго-гьнпмми «черт. 1-‘Ч- Он ные.т 20 ip.iHeA, 12 вер-
I1JHH л 3D
Угол шимг.1 ранен J. а ггот ,|рзннтьи<,го пггиуюльннкл равен •
поморвн ли VIлы <1.иземым 3 ра<3. пучзс- суммы, мсныпне Ad.
а повторяй их' 4 р.113 ИЛИ битее. n.yvn.KM Ad или боке Полому из
плоских уг.юн, равных уча- кнзтрага г ли правильного пятиугольника
можно образовать только цкх; ранные углы.
53
Д-JK.I 114В.НОГ, ЧТО
мши странников,
зги пять ВИТОН
т. е. что можно
оспис каж-
Чгоби убе-
многогранников, достаточно
А поэтому если гранями многогранника служат квадраты, то в каждой
вепшнне мопт схоцпься лишь 3 ребра. Имеется единственный правиль-
ный многогранник этого рода-это правильный шестигранник, пли
эксаэдр, нлн кеб (черт. ПО), он имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
Если гранями правильного многогранника служат правильные пяти-
угольники, то н каждой вершине могут сходиться лишь 3 ребра.
' Существует единственный правильный многогранник этого рода —
правильный 12-грапннк, нлн додекаэдр. Он имеет 12 граней, 20 вер-
шнч и 30 ребер (черт. 111).
Угол правильного шестиугольника равен <,'3rf; по-
этому нз таких углов нельзя образовать даже трех-
гранного утла. Из углов правильных многоугольни-
ков, имеющих более 6 сторон, подавно мель ш образо-
вать никакого многогранного угла.
Отсюда следует, что гранями правильного много-
гранника могут сзужить лишь правильные треуголь-
Черт. 111. ники, квлр.иы и правильные пятиугольники.
Таким образом всего могут существовать лишь пять
видов правильных многогранников, указанных выше.
98. Построение правильных многогранников. Изложенные вышерас-
сужд-чн'я о нимо кных видах правильных многогранников
могут существовать не более пяти видов правильных
Но hi этих рассуждений еще не вытекает, что все
правильных многогранников действительно существуют,
пронелеппем плоскостей в пространстве осуществить п
дото in этих пяти во(можных правильных многогранников,
литься в сущеегнонанпи всех правильных
указать способ построения каждого niinix.
Способ построения куба укатать весьма
легко. Действительно, берем произвольную
плоскость Р и в ней какой-либо квадрат:
через стороны этого квадрата проводим
плоскости, перпендикулярные к плоскости
Р. Таких плоскостей будет четыре. Далее
проводим плоскость Q, параллельную Рн
отстоящую от нее на расстоянии, равном
стороне квадрата. Шесть полеченных пло-
скостей образуют грани куба; двенадцать р
прямых пересечения каждой пары пересе-
кающихся плоскостей являются ребрами
куб.!, а восемь точек пересечения каждой ч пт 11°
тройки пересекающихся плоскостей служат е₽ ’
вершинами куба. В этом легко убедиться, непосредсгневно рассматривая
полу генную совокупность точек, прямых и плоскостей. Умея построить куб,
легко найти способ построения всех других правильных многогранников.
Построение правильного тетраэдра. Пусть дан куб (черт. 112).
Возьмем какую-либо его вершину, например /1. В ней сходятся три
грачи куба, имеющие форму квадратов. В каждом нз этих квадратов
берем вершину; противоположную точке Л. Пусть это будут вершины
к- а ’ 11 • o'lkH Л, В, С и D служат вершинами правильного
декаэдра. Действительно, каждый нз отрезков АВ, ВС, CD, AD,
54
BD и AC, очевидно, служит диагональю одной из граней куба.
Д потому все эти отрезки равны между собою. Отсюда следует, что
в треугольной пирамиде с вершиною А и основанием BCD — все грани
правильные треугольники, следовательно, эта
тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.
Полезно заметить, что оставшиеся четыре
вершины куба служат вершинами второго пра-
вильного тетраэдра, равного первому и также
вписанному в данный куб.
Построение октаэдра. Если в данном кубе
построить центры всех его граней, то шесть
полученных точек служат вершинами октаэдра.
В этом легко убедиться, рассматривая чертеж 113.
Построение додекаэдра и икосаэдра. Если
через каждое из 12-пг ребер куба пронести плоскость,
не имеющую с поверхностью куба других общих
пирамида — правильный
точек, кроме гичек того ребра, через которое она проведена, то полученные
12 плоско) гей образуют граня некоторого 12-граиш1ка. Болес подробное
изучение формы этого много! рагпшка показывает, что можно так подобрать
наклон siiix плоскостей к граням куба, что полученный 12-гранннк будет
додекаэдром.
Наконец, сч. .in мы умеем построить додекаэдр, то построение икосаэдра
не нредс।.1Н.1ЯС। затруднений: центры граней додекаэдра служат вершинами
икосаэдра.
V. ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР.
99. Центральная симметрия. Две фигуры называются симметричными
oniocHTe ii.iii) какой-либо гонки О пространства, если каждой гонке А
одной фигуры соответствует в другой фигуре точка А', расположенная
на прямой ОА по друг ую сторону от точки О, на расстоянии, равном
расстоянию точки
А от точки О (черг.
114). Точка О на-
зывается центром
симметрии фигур.
Пример таких
симметричных фи-
гур в прос т ране гве
мы уже встречали
Черт. 114. ЧеРт- 115-
за вершину
ребра и грани многогранного
симметричный данному. Соогвет-
1§ 53), когда, продолжая
угла, получали многогранный угол,
ственпые отрезки и углы, входящие в состав двух симметричных фигур,
равны между собой. Техг не менее фигуры в целохг не могут быть на-
званы равными их нельзя совместить одну с другой вследствие того,
что порядок расположения частей в одной фигуре иной чем в другой,
как это мы видели на примере симметричных многогранных углов.
В отдельных случаях симметричные фигуры могут совмещаться, по
пои этом будут совпадать не соответственные их части. Например,
возьмем прямой трехгранный угол (черт. 115) с вершиною в точке О и
ребрами Ох, Оу, Oz. г\
Построим ему симметричный Ох'у^. Угол Oxyz можно совместить
g Qx'y'z' так, чтобы ребро Ох совпало с Оу, а, ребро Оу с Ох'.
Если же совместить соответственные ребра Ох с Ох и Оу с Оу , то
ребро Oz и Oz' окажутся направленными в противоположные стороны.
Если симметричные фигуры составляют в совокупности одно геомет-
рическое тело, то говорят, что это геометрическое тело имеет центр
симметрии. Таким образом, если данное тело имеет центр симметрии,
то всякой точке, принадлежащей этому телу, соответствует симметрич-
ная точка, тоже принадлежащая данному телу. Из рассмотренных
нами геометрических тел центр симметрии имеют, например, 1) парал-
лелепипед, 2) призма, имеющая в основании правильный многоугольник
с четным числом сторон.
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.
100. Симметрия относительно плоскости. Две пространственные
фигуры называются симметричными относительно плоскости Р, если
каждой точке А в одной фигуре соотвегст-
вует в другой точка А', причем отрезок АА’
перпендикулярен к плоскости Р и в точке
пересечения с этой плоскостью делится по-
полам.
Теорема. Всякие два соответст-
венные отрезка в двух симметрич-
ных фигурах равны между собою.
Пусть даны две фигуры, симметричные
относительно плоскости Р. Выделим две ка-
кие-нибудь точки А и В первой фигуры, и
пусть А’ и В' соответствующие им точки вто-
Черт. 11b.
рой фигуры (черт. 116, на чертеже самые
фигуры не изображены). Пусть далее С—точка пересечения отрезка .4.4'
с плоскостью Р, D — точка пересечения отрезка ВВ' с той же пло-
скостью. Соединив прямолинейным отрезком точки С и D, получим два
четырехугольника ABDC и A'B'DC. Так как АС--А'С, BD — B‘D и
Z- ACD — A CD, j/_BDC = ^_B'DC как прямые углы, то эти четы-
рехуюльники равны (в чем легко убеждаемся наложением). Следовательно,
АВ —АВ. Из этой теоремы непосредственно вытекает, что соответ-
ственные плоские и двугранные углы двух фигур, симметричных отно-
сительно плоскости, равны между собою. Тем не менее совместить эти
две фитуры одну с другой так, чтобы совместились их с<ю гветствен-
ные части, невозможно, так как порядок расположения частей н одной
фи1уре обратный тому, который имеет место в другой (это будет до-
казано ниже § 102). Простейшим примером двух фигур, симметричных
относительно плоскости, являются: любой предмет и его отражение в
плоском зеркале: всякая фигура симметрична со своим зеркальным
отражением относительно плоскости зеркала.
Если какое-либо геометрическое тело можно разбить на две части,
симметричные относительно некоторой плоскости, то эта плоскость на-
зывается плоскостью симметрии данного тела.
Геометрические тела, имеющие плоскость симметрии, чрезвычайно
распространены в природе и в обыденной жизни. Тело человека и живот-
ного имеет плоскость симметрии, разделяющую его на правую и левую части.
На этом примере^особенно ясно видно, что симметричные фигуры
левой руки симметричны, но
нельзя совместить. Так, кисти правой и
совместить их нельзя, что можно видеть
хотя бы из того, что одна и та же пер-
чатка не может подходить и к правой и
к левой руке. Большое число предметов
домашнего обихода имеет плоскость сим-
метрии: стул, обеденный стол, книжный
шкаф, диван и др. Некоторые, как, напри-
мер, обеденный стол, имеет даже не одну,
а две плоскости симметрии (черт. 117).
Обычно, рассматривая предмет, имею-
щий плоскость симметрии, мы стремимся
занять по отношению к нему такое поло-
жение, чтобы плоскость симметрии нашего
тела, или по крайней мере нашей го-
Черт. 117.
самого предмета. В этом
ловы, совпала с плоскостью симметрии
случае симметричная форма предмета становится особенно заметной.
101. Симметрия относительно осн. Ось симметрии второго по-
рядка. Две фигуры называются симметричными относи-
тельно оси / (ос ь—п р я м а я линия), если каждой т о ч к е А
первой фигуры соответствует точка А' второй фигуры,
причем отрезок АА' перпендикулярен к оси I, пересе-
кается с нею и в точке пересечения делится пополам.
Сама ось I называется осью симметрии второго порядка.
Из этого определения непосретственно вытекает, что если два гео-
метрических тела, симметричные относительно какой-либо оси, пересечь
плоскостью, перпендикулярной к этой оси, то н сечении получатся две
плоские фигуры, симметричные относительно точки пересечения пло-
скости с осью симметрии тел.
Отсюда далее легко вынести, что два тела, симметричные относи-
тельно осп, можно совместить одно с другим, вращая одно из них на
180° вокруг оси симметрии. В самом дезе, вообразим все возможные
плоскости, перпендикулярные к оси симметрии.
Каждая такая плоскость, пересекающая оба тела, содержит две фи-
гуры, симметричные относительно точки встречи плоскости с осью сим-
метрии тел. Если застанигь скользить секущую плоскость саму по себе,
вращая ее вокруг оси симметрии тела на 180°, то первая фигура сов-
падет со второй.
Это справедливо для любой секущей плоскости. Вращение же всех
сечений тела на 180° равносильно повороту всего тела на 180° вокруг
оси симметрии. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.
Если после вращения пространственной фигуры вокруг некоторой
прямой на 180° она совпадает сама с собой, то говорят, что фигура
имеет эту прямую своею осью симметрии второго порядка.
Название .ось симметрии второго порядка’ объясняется тем, что
пРн полном обороте вокруг этой оси тело будет в процессе вращения
дважды принимать положение, совпадающее с исходным (считая и ис-
57
ходное). Примерами геометрических тел, имеющих ось симметрии вто-
рою порядка, могут служить:
1) правильная пирамида с четным числом боковых граней. Осью ее
симметрии служит ее высота;
2) прямоетольный параллелепипед, он имеет три оси симметрии:
прямые, соединяющие центры его противоположных граней;
3) правильная призма с четным числом боковых граней. Осью ее
симметрии служит каждая прямая, соединяющая центры любой пары ее
п отнвоположных граней (боковых граней и двух оснований призмы).
Если число боковых граней призмы равно 2k, то число таких осей
симметрии будет k -J- 1. Кроме того, осью симметрии для такой призмы
служит каждая прямая, соединяющая середины ее прошвоиоложных
боковых ребер. Таких осей симметрии призма имеет k.
Таким образом, правильная 2^-гранная призма имеет 2Л-[“1 осей
симметрии.
102. Зависимость между различными видами симметрии в про-
странстве. Между различными видами симметрии в прос транс гне —
осевой. плоскостной и центральной--существует зависимое гь, выража-
емая следующей теоремой.
Те о ре м а. Если фигура Асимметрична
с фигурой F' относизельно плоскости Р
ив то же время симметрична с фигурой F"
относительно точки О, лежащей и плос-
кости Р, то фигуры F’ и F" симметричны
относительно оси, проходящей через точку
О и перпендикулярной к плоскости Р.
Вон.мем какую-нибудь точку /I i|hii уры F
(черт. 118). Ей cooTiiei\iвует точка .Г фи-
гуры F’ и точка /1“ фигуры F'' (сами фш у-
ры F, F' и А* на черч’же не и юбражены).
Пусть В точка пересечения oipriK.i -1Д'
с плоскостью Р. Проведем плоское1Ь через
точки Д, Д' и О. Эта плоскость будет перпен-
дикулярна к плоскости Р, так как проходит через прямую .1,1', перпен-
дикулярную к этой плоскости. В плоскости ЯД'О проведем прямую ОН.
перпендикулярную к ОВ Эта прямая ОН будет перпендикулярна и
к плоское in Р. Пусть далее С—точка пересечении прямых Д'Д” и ОН
В треугольнике ДД'Д" отрезок ВО сое шняе г середины сторон Д.1
и ДД', следовательно, ВО || Д'Д", но ВО _[_ОН, значит Д'Д*Ц_б>А7.
Далее, так как О — середина стороны ДД" н СОЦ ДД'. тс» А'С—Л’С.
Отсюда заключим, что точки Д' и Д’ симметричны относительно осн
ОН. То же самое справедливо и для всех ipyinx точек фигуры. Значит,
наша теорема доказана. Из згой теоремы непосредственно следует, что две
фигуры, симметричные относительно плоскоеi и, не могут быть совмещены
так, чтобы совместились их соответственные части. В самом деле, фигура А
совмещается с F“ путем вращения вокруг оси ОН на 180°. Но фигуры
А* и А не могут быть совмещены как симметричные относительно точки,
следовательно, фигуры А и А' также не могут быть совмещены.
103. Оси симметрии высших порядков. Фигура, имеющая ось сим-
метрии, совмещается сама с собою после ионорои вокруг оси симметрии
на угол в 180°. Но возможны случаи, когда фигура приходит к совме-
М
Черт. 119
щению с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси
на угол меньший 180 . Таким образом, если тело сделает полный обо-
рот вокру г этой оси, то в процессе вращения
она несколько раз совместится со своим пер-
воначальным положением. Такая ось вращения
называется осью симметрии высшего
порядка, причем число положений тела, сов-
падающих с первоначальным, называется по-
рядком оси симметрии. Эта ось может и ие
совпадать с осью симметрии второго порядка.
Так, правильная трехграниая пирамида не имеет
осн симметрии второго порядка, но ее высота
служит для нее осью симметрии третьего по-
рядка. В самом деле, после поворота эгоЛ пи-
рамиды вокруг высоты на угол 120°, она сов-
мещается сама с собой бтерг. 119). ГТрп вра-
щении пирамиды вокруг высоты она может и-
иимать три положения, совпадающие с исход-
ным, <читая и пехотное. Легко заметить, что всякая
ось симметрии чет-
ного порядка есть в го же нремя ось симметрии второго порядка.
Примеры осей сим метрик высших порядков:
1) Ilp.iHii.TF.пая fl-rpjini.iH пирамида имеет ось симметрии я-го порядка,
Этою осью служит высота пир.овцы;
2) иртнчтьчаи л-граниая npiini.i имеет ось симметрии w-ro порядка.
Этою осью служит прямая, соетнняющлч центры оснований ирнтмы.
104. Симметрия куба. Как и тли всякого параллелепипеда, точка
пересечения диагоналей куба есть центр его ciiMMeipiiii.
Куб имеет девять плоскостей симметрии: шесть диагональных пло-
скостей и ipn плоскоеги, проходящие через середины каждой четверки
его iiap.i |.1е.ты1ых ребер.
Куб имеет деняп. осей симметрии второю порядка: шесть прямых,
соединяющих середины его противоположных ребер, н три прямые, сое-
диняющие центры противоположных
грачей (черт. 120). Эти последние
прямые ив ihioich осями симметрии
четверто!о порядка. Кроме того, куб
имеет четыре осн симметрии третьего
поритка, которые япляпнгя его диа-
гоналями. В самом деле, ди.п он.тль
ктб.| .1(1 (черт. 120), очевидно,
одинаково наклонена к ребрам AR,
.1/) н А/?, а эти ребра одиилкоио
наклонены одно к другому. Вели
соедииить точки R, Г> н /7, го поле-
чим правильную треугольную nu-
ll ,, ио рами iy, T in которой unaiotia.’ib кеба
служиг высоюй. Когда при праще-
"ни noK'pvr высоты эта пирамида будет сопме1цаг!.с>1 сама с собою, Весь
куб будет совмещаться со своим исходным положением. Других осей
симметрии, как петрт дно убедиться, куб не имеет. Посмотрим, сколькими
Р«1личным|| способами куб может быть совмещен сам с собою. Вращение
59
HOKOvr обыкновенной оси симметрии дает одно положение куба, ОТ.1ИЧ.
Но7от исходного, при котором куб в целом совмещается сам с собою.
Вращение вокруг оси третьего порядка дает два таких положения
и вращение вокруг оси четвертого порядка-три таких положения. Так
кзк kv6 имеет шесть осей второго порядка (это обыкновенные осн
симметрии), четыре осн третьего порядка и три оси четвертого порядка,
то имеются 5.1 j_4.2-f-3 3 = 23
положения куба, отличных от исходного, при которых он спвмещается
сам с собою.
Легко убедиться непосредственно, что
Легко убедиться непосредственно, что все эти положения отличны
одно от другого, а также и от исходного положения куба. Вместе с ис-
ходным положением они составляют 24 способа совмещения куба с самим
собой.
боковое
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Ребро данного куба равно а. Найти ребро другого куба, объем которого
вдвое более объема данного куба.
Замечание. Эта задача об удвоении к^ба, известная с древних времен,
депо решается вычислением (именно, х— у 2а1 — а у 2 —а-1,2 о9'»2...), но
построением (помощью циркуля и линейки) она решена быть не можег, так
хак формула для неизвестного содержит радикал третьей степени из числа,
не являющегося кубом рационального числа.
2. Вычислить поверхность и объем прямой призмы, у которой основание —
правильным треугольник, вписанный в круг радиуса г —2 м, а нысота равна
стороне правильного шестиугольника, описанного около того же круга.
3. Определить поверхность и объем правильной восьмиугольной призмы,
у которой высота h — Ъм, а сторона основания а -8 см.
4. Опреаслигь боковую поверхность и объем правильной шестиугольной
пирамиды.) которой высота равна 1 м.з апофема сое глинист с высотой угол в 30
б. Вычислить объем треугольной пирамиды, v которой каждое
ребро равно I. а стороны основания суть а, b и с.
6. Дап трехграпиый угол SABC. у'которою нее три плоских угла прямые.
На его ребрах отложены длины: SA — a, SB — b и SC • с. Через точки А, В и С
проведена плоскость. Определить объем пирамиды SABC.
7- Высота пирамиды равна h. а основание — правильный шестну!ольпик со
стороной а. На каком расстоянии х от вершины пирамиды следует провести
плоскость, параллельную основанию, чтобы объем образовавшейся усеченной
пирамиды равнялся U?
8. Определить объем правильного тетраэдра с ребром а.
9. Определить объем октаэдра с ребром о.
10. Усеченная пирамида, которой об и м V- 146.5 см3, имеет основаниями
правильные шестиугольники со сторонами: а —23 см и ft—17 см. Вычислить
высоту этой пирамиды.
11. Объем V усеченной пирамиды равен 10,5 м3, высота Л- j/ 3 JC и
рона а правильного шестиугольника, служащего нижним основанием, равна - •
*’ич*?.':л,!Ть СТОР0,,У правильно! о шестиугольника, служащего верхним оспои.ти •
1— Па каком расстоянии от вершины S пирамиды SABC надо провести •
скость. параллельную основанию, чтобы отношение объемов частей, на ко
рые рассекается этой плоскостью пирамида, раннялось «? „пва.
13. Пирамида с высотой h разделена плоскостями, параллельными осн
нию, на три части, причем объемы этих частей находятся о отношении т Р‘
Определить расстояние этих плоскостей до вершины пирамиды. цис
14. Сумма объемов двух подобных много! ранпнков равна У> а отношение
сходственных ребер равно т.п. Определить их объемы. ,ия«ы
1о. Разделить усеченную пирамиду плоскостью, параллельной основ
н *S части, чтобы объемы находились в отношении т.п.
lb. найти центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей и
скости и пересекающей ее прямой не перпендикулярной к этой плоскости.
6Q
Ответ: центр симметрии - точка пересечения прямой с плоскостью пло-
скость симметрии — плоскость, перпендикулярная данной, проходящая 'через
данную прямую, осей симметрии фигура ие имеет. Р р
17, Найти цеп гр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух
пересекающихся прямых. * 'н ’ 3 л»У*
Ответ, фигура имеет две плоскости симметрии и три осн симметрии (ука-
зать какие). f и
Глава четвертая.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
I. ЦИЛИНДР и КОНУС.
105. Поверхность вращения. Поверхностью вращения называется
поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии (/И/V,
черт. 121), на иапаемой образующей, вокруг неподвижной прямой (АВ),
называемой осью; при этом предполагается, что образующая (/И/V) при
своем вращении неизменно связана с осью (АВ).
Возьмем на образующей какую-нибудь точку Р и опустим из нее
на ось перпендикуляр РО. Очевидно, что при вращении не изменяются ни
длина этого перпендикуляра, ни величина угла ДОР, ни положение
точки О. Поэтому каждая точка образующей описывает окружность,
плоскость которой перпендикулярна к оси АВ и центр которой лежит
на пересечении этой плоскости с осью. Отсюда следует:
Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью
вращения, дает в сечении окружность.
Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется мери-
диональной плоскостью, а линия ее пересечения с поверхностью вращения —
меридианом. Все меридианы равны между собой, потому что при
вращении каждый из них проходит через то положение, в котором
ранее был всякий .ipviofl меридиан.
106. Цилиндрическая поверхность. Цилиндрической поверхностью
называется поверхность, производимая движением прямой (АВ, черт. 122),
перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересе-
кающей при этом данную линию (Л(Л). Прямая АВ называется обра-
зующей, а линия AW—направляющей.
107. Цилиндр. Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндри-
ческой поверхностью и двумя параллельными плоскостями (черт. 123).
Часть цилиндрической поверхности, заключенная между плоскостями,
называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые
61
этой поверхностью.—основаниями цилиндра. Расстояние между плоско-
стами оснований есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым
цлн наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны
к основаниям его образующие.
Прямой цилиндр (черт. V24) называется круговым, если его осно-
вания-круги. Такой цилиндр можно рассматривать как тело, происхо-
дящее от вращении прямоугольника O/l.AjOj вокруг стороны 00, как
оси; ири этом сторона .4.1| описывает боковую поверхность, а стороны 0.4
и oi_4i — круги оснований. Всякий отрезок ВС, параллельный 0/1, описи-
вает также круг, плоскость которот о перпендикулярна к осп. От < юда следует:
. Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной
основаниям, есть круг.
В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой
цилиндр; для краткости его называют просто цилиндром.
Иногда приходится рассматривать такие призмы, основания кото-
рых — многоугольники, вписанные в основания цилиндра или описанные
около них, а высоты равны высоте цилиндра; такие при <мы называются
вписанными в цилиндр или описанными около него.
108. Коническая поверхность. Конической
поверхностью патываетсм поверхность, ттронтво-
днман движением прямой (.1/J. черт. пере-
мещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно прохо-
дит через неподвижную точку (6) и перетекает данную .iiiiiiiht (/WiV).
Прямая АВ называется образующей, линия МЛ/—направляющей, а
точка S вершиной конической поверхности.
109. Конус. Конусом на«ыт1.тегся тело, ограниченное частью кониче-
ской поверхности, расположенной но одну сторону от вершины и плоско-
стью, пересекающей все образующие щ, одну с торону о г вершины
(черт. 12G). {аегь конической поверхности, от раинчениая этой плоско-
стью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая
боковой поверхностью,— основанием конуса. Перие-пдику ияр, опущен-
ный нз вершины на плоскость основания, натыкается высотой конуса-
Конус называется прямым круговым, если ею основание есть круг,
а высота проходит через центр основания (черт. 127). Такой конус
можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоуголь-
ного Д 5ОД вокруг катета SO как осп. При этом гипотенуза S.4 описывает
боковую поверхность, а кагег ОА - основание vouvea. Всякий отреток
в?
BOV параллельный OA, описывает при вращении круг, плоскость кото-
рого перпендикулярна к осн. Отсюда следует-
Сечение прямою кругового конуса плоскостью, параллельной осно-
ванию, есть круг.
В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой
конус, который для краткости натываегся просто конусом.
Иногда приходится рассматривать такие пирамиды, основания кото-
рых суть многоугольники, вписанные в основание конуса или описанные
около нею, а вершина совпадает с вершиной конуса. Такие пирамиды
называются вписанными в конус или описанными около него.
110. Усеченный конус. Так называется нас i ь полного конуса, (включенная
между основанием и секущей и jockoci ыо, парат ле льнпй основанию.
Круги, по которым карал тельные плоскости пересекают _______
конус, называются основаниями усе-тенного конуса.
Усеченный конус (черт. 12Я) можно рассматривать / । I
как тело, происходящее or вращения прямоугольной / ! 1
трапеции 0.1.1,0, вокруг стороны ООГ перпендикуляр- / I I
ной к основаниям трапеции. / j I
Поверхность цилиндра и конуса. ( 04----~)А
111. Определения. Боковые поверхности цилиндра Черт 123
и конуса прима тлеж.тг к понерхностям кривым, г. е. к
таким, никакая часть которых не можег сонмсстигьеН с плоскостью. Поэ-
тому мы должны особо определить, чю надо p.iiyMeib под величиной
боковой поверхности ни ош тра или kohx.j. koi j.i cpaniiiiii.iior эти по-
верхности с плоской единицей площади. Мы будем при тержнвагься
следующих о и ре де лен и й.
1) Ла величину боковой поверхности цилиндра принимают предел.
к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот ци-
линдр правильной при -мы, когда число сторон
правильного многоугольника, вписанного в осно-
вание, неограниченно удваивается (и, слетона-
гелыто. тощать каждой боковой грани неограни-
ченно хбынаег). 2) Ла величину боковой поверх-
ности конуса (полною или усеченного) прини-
мается предел, к которому стремится боковая
поверхность вписанной в этот конус правильней!
пира виды (полной или усеченной), когда число
сторон правильного многоугольника, вписанного
в основание, неограниченно удваивается (и. сле-
довательно, площа ть каждой боковой грани неогра-
ниченно убывает).
112. Теорема. Боковая поверхность ци-
линдра равна произведению длины окруж-
ности основания на высоту.
Впишем в цилиндр (черт. 124) какую-нибудь прпшльную призму. Обо-
значим буквами р и // числа, выражающие длины периметра основания
н высоты этой ори тмы. Тогда боковая поверхность ее вырлшая ттрона-
недением pH. Предположим теперь, что число сторон вписанного в осно-
вание многоугольника неограниченно но трвстает.
63
Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за ДДи.
яу С окружности основания, а высота А останется без изменения; еле.
довательно. боковая поверхность призмы, равная всегда произведению
р-Н, будет стремиться к пределу СН- Этот предел и принимается за
величину боковой поверхности цилиндра. Обозначив боковую поверх-
ность цилиндра буквой 5, можем написать:
$=С-Н.
113. Следствия. 1) Если R обозначает радиус основания цилиндра,
то С=2тг/?, поэтому боковая поверхность цилиндра выразится формулой:
S=2nRH.
2) Чтобы получить полную поверхность цилиндра, достаточно
приложить к боковой поверхности сумму площадей двух оснований;
поэтому, обозначая полную поверхность через Г, будем иметь:
Т = 2nRH иРГ- Ц- л/?з = 2tr^ 4- R).
114. Теорема. Боковая поверхность конуса равна произве-
дению длины окружности основания на половину образующей.
Впишем в конус (черт. 130) какую-нибудь пра-
вильную пирамиду н обозначим буквами р и I числа,
выражающие длины периметра основания и апофемы
этой пирамиды. Тогда боковая поверхность ее выра-
зится произведением р-1. Предположим теперь,
что число сторон вписанного в основание много-
угольника неограниченно возрастает. Тогда пери-
метр р будет стремиться к пределу, принимаемому за
длину С окружности основания, а апофема I будет
иметь пределом образующую конуса (так как из
в с £\SAK следует, что S.4— SK<CAK); .значит, если
Черт. 130. образующую конуса обозначим буквой L, то боковая
поверхность вписанной пирамиды, постоянно равная
1 '.р-l, будет стремиться к пределу Этот предел и принимается
за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверх-
ность конуса буквой 5, можем написать:
1 = =
115. Следствия. 1) Так как С—2п/?, то боковая поверхность
конуса выразится формулой:
S=^-2rt.RL=itRL.
2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность
сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность
через Г, будем иметь?
Т=nRL 4- тт/?= = П/? (L 4- /?).
118. Теорема. Боковая поверхность усеченного конуса ров-
на произведению полусуммы длин окружностей оснований оо
образующую.
64
Впишем в усеченный конус (черт. 131) какую-нибудь правильную
усеченную пирамиду и обозначим буквами р, и / числа, выражающие
в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего
оснований и апофемы этой пирамиды. Тогда боковая поверхность вписан-
ной пирамиды равна */3
При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной
пирамиды периметры р и рх стремятся к пределам, принимаемым за длины
Си С, окружностей оснований, а апофема /имеет пределом образующую L
усеченного конуса. Следовательно, величина боковой поверхности впи-
санной пирамиды стремится при этом к пределу, равному 43(C-}-Ct)L.
Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечен-
ного конуса. Обозначив боковую поверхность усеченного конуса бук-
вой S, будем иметь:
5=1 (C+CJI.
117. Следствия. 1) Если /? и означают радиусы окружностей
нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усеченного ко-
нуса будет;
5 = 1 (2п7? 4- 2тг У? J L = п (/? -j- RJL.
ле
2) Если в трапеции ОО^А (черт. 131), от вращения которой полу-
чается усеченный конус, проведем среднюю линию ВС, то получим:
вс= 1 (ОА 4- ОИ1) =4 (Я+.
откуда R + = ^ВС.
Следовательно, S—2nBC-L,
т. е. боковая поверхность усеченного конуса равна произведению окруж-
ности среднего сечения на образующую.
3) Полнея поверхность Т усеченного конуса выразится так:
тe it (/?++RL+W
118. Развертка цилиндра и конуса* Впишем в цилиндр (черт. 132)
какую-нибудь правильную призму и затем вообразим, что боковая ее
поверхность разрезана вдоль бокового ребра. Очевидно, что, вращая ее
грани вокруг ребер, мы можем развернуть эту поверхность в пло*
5 Киселев. Геометрия, часть II ^5
СКУЮ Лчгург, бел разрыва и бет складок. Тогда получится то. что назы-
РАТКОЙ боковой поверхности призмы. Она представляет со-
бой прямоугольник KLAW, составленный из стольких отдельных прямо-
угольников, сколько в призме боковых граней. Основание его MN рав-
но периметру основания призмы, а высота KN есть высота призмы.
Вообразим теперь, что число боковых граней вписанной призмы не-
ограниченно удваивается; тогда ее развертка будет все удлиняться, при-
ближаясь к предельному прямоугольнику KPQN, У которого длина осно-
вання равна длине окружности основания цилиндра, а высота есть высота
цилиндра. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверх-
* ifOj’Tii ни п tru г»п э
пости цилиндра.
Черт. 133.
Подобно этому вооб-
разим, что в конус впи-
сана какая-нибудь пра-
вильная пирамида (чер-
теж 133). Мы можем раз-
резать ее боковую поверх-
ность по одному из ребер,
и затем, повертывая грани
вокруг ребер, получить ее
плоскую раэнертку в виде
многоугольного сектора
SKL, составленного из стольких равнобедренных треугольников, сколько
в пирамиде боковых граней. Отрезки SK, Sa, Sb,... равны боковому ребру
пирамиды (или образующей конуса), а длина ломаной Kab... L равна пе-
риметру основания пирамиды. При неограниченном удвоении числа бо-
ковых граней вписанной пирамиды развертка ее увеличивается, прибли-
жаясь к предельному сектору SKM, у которого длина дуги КМ равна
длине окружности основания, а радиус SK равен образующей конуса.
Этот сектор называется разверткой боковой поверхности конуса.
Подобно этому можно получить развертку боковой поверхности усе-
ченного конуса (черт. 133) в виде части кругового кольца KMNP. Лег-
ко видеть, что боковая поверхность цилиндра или конуса равна пло-
щади соответствующей развертки.
Объем цилиндра и конуса.
119. Определения. 1) За величину объема цилиндра принимает-
ся предел, к которому стремится объем правильной призмы, впи-
санной в цилиндр, когда число боковых граней этой призмы неогра-
ниченно удваивается.
2) За величину объема конуса (полного или усеченного) принимает-
ся предел, к которому стремится объем правильной пирамиды
(полкой или усеченной), когда число боковых граней пирамиды неогра-
ниченно удваивается,
120. Теоремы. 1) Объем цилиндра равен произведению пло-
щади основания на высоту.
2) Объем конуса равен произведению плошади основания на
треть высоты.
Впишем в цилиндр какую-нибудь правильную призму, а в конус ка-
кую-нибудь правильную пирамиду; тэгда, обозначив площадь основания
66
призмы ИЛИ пирамиды
получим:
для призмы
буквой Bt, высоту ия буквой Н и объем — К„
И = для пирамиды И(=1в(//.
Вообразим теперь, что число боковых граней призмы и пирамиды
неограниченно удваивается. Тогда Bt будет иметь пределом площадь В
основания цилиндра или конуса, а высота Н остается без изменения;
значит, произведения В{Н и - ВХН будут стремиться к пределам ВН
I
Н3
ВН и потому объем V цилиндра илн конуса будет:
для цилиндра У = ВН\ для конуса V=$BH.
121. Следствие. Если радиус основания цилиндра или конуса
обозначим через R, то В = тт/?’; поэтому объем цилиндра V=itRzH;
объем конуса V=-itR2H.
О
122. Теорема. Объем усеченного конуса равен
сумме объемов трех конусов, имеющих одинако-
вую высоту с усеченным конусом, а основаниями:
один — нижнее основание этого конуса, другой —
верхнее, третий — круг, площадь которого есть
среднее геометрическое между площадями верх-
него и нижнего оснований.
Теорему эту докажем совершенно так же, как рань* „
ше мы доказали теорему для объема усеченной пира- " "
миды (§ 92).
На верхнем основании усеченного конуса (черт. 134) поместим такой
малый конус (с высотой й), который дополняет данный усеченный ко-
нус до полного. Тогда объем V усеченного конуса можно рассматривать
как разность объемов полного конуса и дополнительного. Поэтому
V = I nRz (Н + Л) — тгг’Л = к [RZH +(/?»- r*)h].
J JO
Из подобия треугольников находим:
R H + h
г Л
откуда получаем:
, ,, с. г»
Rh = rH+rh; (R — r)h = rH‘, h = -^—r.
Поэтому
V = j гг [/?W -f- (R + ') rH] = я/7 (Rz-j- Rr + г’) =г
= 1 nRiH+j *RrH 4- з nr'//.
67
Так как it/?1 выражает площадь нижнего основания, № —площадь
верхнего основания н п/?г=/*Я’-^ есть среднее геометрическое между
площадями тех и других оснований, то полученная нами формула вполне
подтверждает теорему.
Подобные цилиндры в конусы.
128. Определение. Два цилиндра или конуса называются подобными,
если они произошли от вращения подобных прямоугольников или при-
мохтольных треугольников вокруг сходственных сторон.
'Пусть (черт. 135 и 136) Л в Л, будут высоты двух подобных цн-
динаров или конусов, гиг, — радиусы их оснований н I и — обра-
зующие; тогда, согласно определению:
г __ h г _ I
Г1— А1 Н Л1 1'. '
откуда (по свойству равных отношений) находим:
г + Л г г -I-1 г
- —- - - II _ —
<14-Ах п 'гЧЧ ri ’
Заметив этн пропорции, докажем следующую теорему:
Черт. >36.
124. Теорема. Боковые в молям* поверхности подобных
цилиндров или конусов относятся, как квадраты радиусов или
вы»от, а объемы,— как кубы радиусов или высот.
Пусть 5, Г и I будут соответственно боковая поверхность, полная
поверхность н объем одного цилиндра или конуса: S,, Г, и 1’, — те же
величины для другого цилиндра или конуса, подобною первому. Топа
будем иметь:
для цилиндров:
_ 2пгЛ ___ гЛ г Л /,?
2пгЛ \ =
Т_ 2пт(гЦ-Л)_ Г_ r4-h Н Л’
г, 2^, (г, + *,) “ г, • ,74^
~ л*
ев
для конусов:
——2^.—£. 1 _ ri А*
«Ь’1
_£ ттг (г 4- /) г г 4-1 г»
Ti vi^±o-V'’r-H1e’^= *f
II. ШАР.
Сечение шара плоскостью.
125. Определение. Тело, происходящее от вращения полукруга
вокруг диаметра, называется шаром, а поверхность, образуемая при
этом полуокружностью, называется шаровой нлн сферической поверх-
ностью. .Можно также скаить. что эта поверхность есть геометрическое
место точек, одинаково удаленных от од-
ной и той же точки (называемой центром
шара).
0i резок, соединяющий центр с какой-нибудь / _4-^~- \
точкой поверхиос।и. на.ипиется радиусом, а уГ'”’*”
отрезок, соединяющий две точки поверхности и i___
проходящий чере) цент,', называется диаметром \ ; ]
шара. Все радиусы одного шара равны между \. 1 У
собой; всякий диаметр равен двум радиусам. 1 S
Два шара одинакового радиуса равны, по- Черт. ки.
тому что при вложении они совмещаются.
128. Теорема. Всякое сеченое шара плоскостью есть круг.
1) Предположим сн.г.ала, что (черт. 137) секущая плоскость АВ про-
ходит мере» центр О шара. Все точки лгнин пересечения приплате кат
шаровой поверхности и поэтому одинаково у и тепы от точки (?, ле-
жащей п секущей плоскости; следо1ител1.но, сечение есть круг с цент-
ром н точке О.
*2) Положим теперь. что секущая плоскость CD не проходит чере»
центр. Опустим на нее и» центра перпещику тчр <АК и вон.чем на ли-
нии пересечения какую-нибудь точку .И. Сое щпнп ее с О и А. полу-
чим прямоугольный треугольник .ИОЛ', нз которого находим:
(1)
Так как длины отреткои О.И и ОК не итменяюкя при изменеикк
положения точки .4 на липни пересечения, го расстояние .ИА' есть ве-
личина постоянная ДЛЯ данного сечения; значит, линия пересечения есть
окружность, центр которой есть течка А-
1’27. С деде гв не. lhen. А’ н г бу тут длины радиуса шара и ра-
диуса круга сечения, a d расстояние еектчцей плоскости от центра;
тогда равенство (I) примет вид: у A’* J3-
&
Из этой формулы выводим:
1) Наибольший радиус сечения получается при а 0, т. е. когда
секущая плоскость проходит через центр шара. В этом случае г =
Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом.
2) Наимснъишй радиус сечения получается при а В этом
случае г = 0, т. е. круг сечения обращается в точку.
3) Сечения, равноотстоящие от центра шара, равны.
4) Из двух сечений, неодинаково удаленных от центра шара, то
которое ближе к центру, имеет больший радиус.
128. Теорема. Всякая плоскость (Р, черт. 138), проходящая
через центр шара, делит его поверхность на две симметрия'
ные и равные части.
Возьмем на поверхности шара какую-нибудь точку А, пусть АВ есть
перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость Р. Продолжим АВ
до пересечения с поверхностью шара в точке С. Проведя ВО, мы по-
лучим два равных прямоугольных треугольника ЛОВ и ВОС (общий
катет ВО, а гипотенузы равны как радиусы шара); следовательно,
АВ = ВС, таким образом ненкой точке А поверхности шара соответ-
ствует другая точка С этой поверхности, симметричная относительно
плоскости Р с точкой А. Значит, плоскость Р делит поверхность шара
на две симметричные части.
Эти части не только симметричны, но и равны, так как, ра<резав
шар по плоскости Р, мы можем вложить одну из двух частей в другую
и совместить эти части.
129. Теорема. Через две точки шаровой поверхности, не
лежащие на концах одного диаметра, можно провести окруж-
ность большого круга и только одну.
Пусть на шаровой поверхности (черт. 139), имеющей центр О,
взяты какие-нибудь две точки, например С и N, не лежащие на одной
прямой с точкой О. Тогда через точки С, О и И можно провести
плоскость. Эта плоскость, проходя через центр О, даст в пересечении
с шаровой поверхностью окружность большого крута.
Другой окружности большого круга через те же дне точки С и М
провес!» нельзя. Действительно, всякая окружность большого круга
должна, по определению, лежать в плоскости, проходящей чере! центр
шара; следовательно, если бы через С и И можно были пронести еще
другую окружность большого круга, тогда выходило бы, что чере<
три точки С, N и О, не лежащие на одной прямой, можно провести
две различные плоскости, что невозможно.
70
130. Теорема. Окружности двух больших -
сечении делятся пополам. Цвнтр О (черт ЯР^ пере-
гКОСТЯХ ОбОИХ больших кругов лежит на nJLa 9' находясь на пл°-
? «каются; значит, эЛрямзя X диаТтрто7оТГ "" “РУГИ
а диаметр делит окружность пополам. Р ° h Д₽угого К₽уга’
Плоскость, касательная к шару.
131. Определение. Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью
только одну общую точку, называется касательной плоскостью В™
ыожность существования такой плоскости доказывается следующей
теоремой: 7
132. Теорема. Плоскость (Р, черт. 140), перпендикулярная
к радиусу (ОА) в конце его, лежащем на поверхности
шара, есть касательная плоскость.
Черт. Н1.
Возьмем на плоскости Р произвольную точку В и проведем прямую
ОВ. Так как ОВ — наклонная, а ОА — перпендикуляр к плоскости Р,
то ОВ^>ОА. Поэтому точка В лежит вне шаровой поверхности; следо-
вательно, у плоскости Р есть только одна общая точка А с шаровой
поверхностью; значит, эта плоскость касательная.
133. Обратная теорема. Касательная плоскость (Р, черт. 140)
перпендикулярна к радиусу (0.4), проведенному в точку каса-
ния. Так как, по определению, точка А есть единственная общая точка
У плоскости с пировой поверхностью, то всякая другая точка плоскости
лежит вне шаровой поверхности и, следовательно, отстоит от центра на
большее расстояние, чем А; таким образом отрезок ОА есть кратчайшее
расстояние точки О от плоскости Р, т. е. ОД есть перпендикуляр к Р.
Прямая, имеющая одну общую точку с шаровой поверхностью, на-
зывается касательной к шару. Легко видеть, что существует бесчислен-
ное множество прямых, касающихся шара в данной точке. Действительно,
всякая прямая (АС, черт. 140), лежащая в плоскости, касательной к шару
в данной точке (Д) и проходящая через точку касания (Д), есть каса-
тельная к шару в этой точке.
Поверхность шар« " его частей.
134. Определения. 1) Часть шаровой поверхности (черт. 141), от-
секаемая от нее какой-нибудь плоскостью (ДД называется сегментной
поверхностью.
71
Окружность АА. называется основанием, а отрезок КМ радиуса, пер-
пендикулярного к плоскости сечения, — высотой сегментной поверхности.
2) Часть шаровой поверхности, заключенная между двумя параллель-
ными секущими плоскостями (АА, и В5,), называется шаровым поясом,
или зоной.
Окружности сечения AAj и ВВ, называются основаниями, а рас-
стояние KL между "параллельными плоскостями — высотой пояса.
Шаровой пояс и сегментную поверхность можно рассматривать как
поверхность вращения: в то время как полуокружность MABN, вращаясь
вокруг диаметра MN, описывает шаровую поверхность, часть ее АВ опи-
сывает пояс, а часть
Черт. 142.
МА— сегментную поверхность.
Для нахождения величины шаровой поверх-
ности и ее частей
1) Пусть конус
катета АС. Если D
мы докажем следующую
лемму:
135. Лемм а. Боко-
вая поверхность каж-
дого из трех тел: ко-
нуса, усеченного кону-
са и цилиндра равна
произведению высоты
тела на длину окруж-
ности, у которой ра-
диус есть перпендику-
ляр, восставленный к
образующей из ее се-
редины до пересечения
с осью.
образуется (черт. 142) вращением Д АВС вокруг
есть середина образующей АВ, то (§ 115)
боковая поверхность конуса = 2n-BC-AD. (1)
Проведя DEАВ, получим два подобных треугольника АВС и ADE
1 имеют общий угол А); из их подобия выводим:
BC-.ED = AC‘.AD,
Черт. 143.
(они прямоугольные и
откуда
н равенство (1) дает:
боковая
BC-AD = ED-AC,
поверхность конуса= 2nED-АС,
что и требовалось доказать.
и«Л£глЬ усеч,енныП КОНУС <черт- ’«) образуется вращением трапе-
цни ABCD вокруг стороны AD. 11
Проведя среднюю линию EF, будем иметь (§ 117):
боковая поверхность усеченного конуса = 2a-EF-ВС (2)
Ipyroro); »э н. гагабм .м"»мж °Ш°" « ст»Р»“
откуда
72
EF:BH=£G:ac,
ВС= ВН- EG = AD EG.
Поэтому равенство (2) можно написать так:
боковая поверхность усеченного конуса = 2nEG AD,
что и требовалось доказать.
3) Теорема остается верной и в применении к цилиндру, так как
окружность, о которой говорится в теореме, равна окружности основа-
ния цилиндра.
136. Определение. За величину поверхности шарового пояса, об-
разуемого вращением (черт. 144) какой-нибудь части (BE) полуокруж-
ности вокруг диаметра (AF), принимают предел, к которому стремится
поверхность, образуемая вращением вокруг того же диаметра правиль-
ной вписанной ломаной линии (BCDE), когда ее стороны
неограниченно уменьшаются (и, следовательно, число сторон неограни-
ченно увеличивается).
Это определение распространяется и на сегментную поверхность
и на шаровую поверхность; в последнем случае ломаная линия вписы-
вается в целую полуокружность.
137. Теоремы. 1) Сегмент-
ная поверхность равна произве-
дению ее высоты на длину ок-
ружности большого круга.
2) Поверхность шарового
пояса равна произведению его
высоты на длину окружности
большого круга.
1) Впишем и дугу АА1черт. 145),
образующую при вращении сег-
ментную поверхность, правильную
ломаную линию ACDEF с произволь-
ным числом сторон. ч )44
Поверхность, получающаяся от *
вращения этой ломаной, состоит из
частей, образуемых вращением сторон AC, CD, DE и
прелставзяют собой боковые поверхности или полного
Черт. 145.
т. д. Эти части
конуса (от вра-
щения АС/, или усеченного конуса (от вращения CD, EF, .. .), или ци-
линдра (от вращения DE, если DE [| АВ). Поэтому мы можем применить
к ним лемму § 135. При этом заметим, что каждый из перпендикуляров,
восставленных из середины образующих до пересечения с осью, равен
апофеме ломаной ли,ши. Оботначив эту апофему буквой в, получим:
поверхность, образованная вращением AC=Ac-2wr,
„ , CD = cd-2na‘
, DE=de-2na.
• • w
Сложив эти равенства почленно, найдем:
поверхность, образованная вращением ACDEF= Af- 2па.
При неограниченном увеличении числа сторон вписанной ломаной
апофема а стремится к пределу, равному радиусу шара /?, а отрезок Af
остается без изменения; слезовательно, предел поверхности, образованной
вращением ACDEF = A;-2nR. Но предел поверхности, образованной
® Киселев, геометрия, часть U 73
вращением ACDEF, принимают за величину сегментной поверхности,
а отрезок Af есть высота Н сегментной поверхности; поэтому
сегментная поверхность ==//• 2тг/? = 2kRH.
2) Предположим, что правильная ломаная линия вписана не в лугу AF,
образующую сегментную поверхность, а в какую-нибудь дугу CF, обра-
зующую шаровой пояс (черт. 145). Это изменение, как легко видеть,
нисколько не влияет на ход предыдущих рассуждений, поэтому и вывод
остается тот же, т. е. что
поверхность шарового пояса = /7-2гг/? = 2тт/?Л7,
где буквой Н обозначена вы-
сота с/ шарового пояса.
138. Теорема. Поверх-
ность шара равна произве-
дению длины окружности
большого круга на диаметр,
или: поверхность шара
равна учетверенной пло-
щади большого круга.
Поверхность шара, обра-
зуемую вращением полуокруж-
ности ADB (черт. 145), можно
рассматривать как сумму поверхностей, образуемых вращением дуг
AD и DB. Поэтому, согласно предыдущей теореме, можем написать:
поверхность шара = 2тг/? • Ad -4- 2тт/? • dB = 2тт/? (Ad -f- dB) —
= 2n/?-2/? = 4ntf2.
139. Следствие. Поверхности шаров относятся, как квадраты
их радиусов или диаметров, потому что, обозначая через R и Rx ра-
диусы, а через 5 и S, поверхности двух шаров, будем иметь:
S: S, = 4п/?5: 4тг/?? = /?=:/?’= 4/?=; 4R] = (2R)-: (2/?()=.
Объем шара и его частей.
140. Определение. Тело, получаемое от вращения (черт. 146) кру-
гового сектора (COD) вокруг диаметра (АВ), не пересекающего ограни-
чивающую его дугу, называется шаровым сектором. Это тело ограни-
чено боковыми поверхностями двух конусов и поверхностью шарового
пояса; последняя называется основанием шарового сектора. Один из
радиусов кругового сектора может совпадать с осью вращения; например,
сектор АОС, вращаясь вокруг АО, производит шаровой сектор OCACt,
ограниченный боковой поверхностью конуса и сегментной поверхностью.
Для нахождения объема шарового сектора и целого шара мы предвари-
тельно докажем следующую лемму:
141. Лемма. Если А АВС (черт. 147) вращается вокруг оси ху,
которая лежит в плоскости треугольника, проходит через
его вершину Л, но не пересекает стороны ВС, то объем тела,
получаемого при этом вращении, равен произведению поверхно-
сти, образуемой противоположной стороной ВС, на одну треть
высоты h, опущенной на эту сторону,
74
При доказательстве рассмотрим три случая
1) Ось совпадает со стороной АВ (черт. 148). В этом случае игко
мый объем равен сумме объемов двух конусов, получаемых вращением'
прямоугольных треугольников BCD и DCA. Первый объем paS
-nCEF-DB, а второй ^nCD'-.DA-, поэтому
объем, образованный вращением ABC=~nCDi(DB -j-DA) =
= ~ttCD-CD-BA.
Прои♦веление CD-ВА равно BC-h, так как каждое из этих про-
изведений выражает двойную площадь £\АВС; поэтому
ABC—^-nCD-BC-h.
и
объем
Черт. 148.
Черт. 149.
Но произведение nCD-BC
значит,
равно
боковой поверхности конуса BDC,
объем
_ 1
Л/?С= (поверхность ЕС)--^-п.
2) Ось не совпадает с АВ и не па|мллельна ВС (черт. 149). В этом
случае искомый объем равен рашости объемов тел, производимых вра-
щением треугольников АМС и zl.WZ?. По доказанному в первом случае
АМС= -rh- (поверхность
АМВ = 3- Л • (поверхность
О
4ВС= -7 fi- (поверхность
= -L h- (поверхность ВС).
Q *
Ось параллельна стороне ВС (черт. 150). Тогда искомый объем
объему, производимому вращением ДЯЭСбез суммы объемов, про-
75
объем
объем
объем
МС),
МВ}-, следовательно,
МС—поверхность МВ) =
3)
равен
с»
изводимых вращением треугольников ЛЕВ и ACD; первый из них
равен itDCP-ED; второй ^кЕ&-ЕА и третий -nDCF-AD. ПрИНЯй
теперь во внимание, что EB=DC, получим:
Черт. 150.
объем ABC=itDC* ED- j (ЕА-[-AD)j =
=itDCs (ED — 4 = т ^DC- • ED‘
l и / о
Произведение 2nDC- ED выражает боковую поверх-
ность цилиндра, образуемую стороной ВС; поэтому
объем АВС= (поверхность ВС)- у DC=(поверхность BQ-jk.
142. Определение. За величину объема шарового сектора, получае-
мого вращением
вокруг диаметра (EF, черт. 151) кругового сектора
(ADD), принимается предел, к которому стремится
объем тела,
Черт. 151.
Черт. 152.
образуемого вращением многоугольного
сектора, который ограничен край-
ними радиусами (ОД и OD) и пра-
вильной ломаной линией (ABCD),
вписанной в дугу кругового сектора,
когда число сторон ее неограниченно
увеличивается.
143. Теорема. Объем шаро-
вого сектора равен произведению
поверхности соответствующего
шарового пояса (или соответ-
ствующей сегментной поверхно-
сти) на треть радиуса.
Пусть шаровой сектор проиэво-
EF (черт. 151) сектора ADD.
этого впишем в лугу AD правильную
дится вращением
Определим его объем V. Для ; ' " ~~
ломаную линию ABCD с произвольным числом сторон. Многоугольный
сектор OABCD образует при вращении некоторое тело, обт.ем которого
обозначим буквой V\. Объем этот есть сумма оба,смой тел, получаемых
вращением треугольников ОАВ, ОВС, OCD вокруг оси EF. Применим
к этим объемам лемму, доказанную в § 141, причем заметим, что вы-
соты треугольников равны апофеме а вписанной ломаной. Согласно этой
лемме будем иметь:
вокруг диаметра
Vj = (поверхность АВ) • -- + (поверхность ВС) • у .
=(поверхность
ABCD)- - .
О
Вообразим теперь, что число сторон ломаной линии неограниченно
увеличивается. При этом условии поверхность ABCD стремится к лре-
76
имеет пре-
того, бу-
вращения
делу, именно к поверхности шарового поясЛщ а апоЛема а
делом радиус /?; следовательно, апофема а
V— пределу И, = (поверхность пояса AD)- —
3
Замечание. Теорема и ее доказательство не зависят от
дет ли один из радиусов кругового сектора совпадать с осью
или нет.
144. Теорема. Объем шара равняется произведению его по-
верхности на треть радиуса.
Разбив полукруг ABCD (черт. 152), производящий шар, на какие-
нибудь круговые секторы А ОВ, ВОС, COD, мы заметим, что объем
шара можно рассматривать как сумму объемов шаровых секторов, про-
изводимых вращением этих круговых секторов. Так как, согласно пре-
дыдущей теореме;
объем
АОВ = (поверхность AB)-~R,
О
ВОС= (поверхность BC)--^-R,
и
COD = (поверхность CD) • -5- /?,
о
то
объем
объем
объем шара=(поверхиость .43-{-поверхность 5С-(-поверхность CD) • -L-R=
w
=(поверхность ABCD)-^- R.
Замечание. Можно и непосредственно рассматривать объем шара,
как объем тела, образованного вращением вокруг диаметра кругового
сектора, центральный угол которого равен 180°.
В таком случае объем шара можно получить как частный случай
объема шарового сектора, у которого шаровой пояс составляет всю
поверхность шара.
В силу предыдущей теоремы объ^м шара будет при атом равен
его псы’рхност:, умноженной на одну треть радиуса.
145. Следствие 1. Обозначим высоту шарового пояса или сег-
ментной поверхности через Н, радиус шара через /?, а диаметр через D-.
тогда понерхиос гь пояса или сегментной поверхности выразится, как мы
вплели (§ 137), формулой 2пА>7/, а поверхность шара (§ 138) —фор-
мулой 4ттА'-; поэтому
12,
объем шарового сектора = 2tt/?W-у/? = —тт/?2//;'
1 4
шара = 4ir^2--g- R = ^-тт/?81).
объем
или
объем
4 (D\3 I
шара = 3- * [уУ — 6"’r^-
быть выведен (не вполне, впрочем, строго) следующим
ПРОСТЫМ%ЗСС\ОКЛ₽СН1ЩМ. Вообразим, что вся поверхность шара разоита на очень
малые“участки н что все точки контура каждого участка соединены радиусами
J 77
Отсюда видно, что объемы шаров относятся, как кубы их радиу-
сов или диаметров, _ «
146 Следствие 2. Поверхность и объем шара соответственно со-
ставляют 2/» полной поверхности и объема цилиндра, описанного около
^^Действительно, V цилиндра, описанного около шара, радиуооснования равен
радиусу шара, а высота равна диаметру шара; поэтому для такого цилиндра:
полная поверхность описанного цилиндра = 2it/?-2/?-|-2*/?* 1 2 = 6x/?2;
объем описанного цилиндра = кЛ2-2/? = 2п/?>.
Отсюда видно, что 2|, полной поверхности этого цилиндра ^равны 4-R\
т. е. равны поверхности шара, а 2/, объема цилиндра составляют я/?2, т. е.
объем шара *).
147. Замечание. Формулу для объема шара можно весьма просто по-
лучить, основываясь на принципе Кавальери (§ 89), следующим образом.
Пусть на одной н той же плоскости Н (черт. 153) помещены шар радиуса
R и цилиндр, радиус основания которого равен R, а высота 2R (значит, это такой
цилиндр, который может быть описан около шара радиуса/?). Вообразим, далее,
что из цилиндра вырезаны и удалены два конуса, имеющие общую вершину
на середине а оси цилиндра, а основания — /одного верхнее основание цилин-
дра, у другого нижнее. От цилиндра останется тогда некоторое тело, объем
которого, как мы сейчас увидим, равен объему нашего шара. Проведем какую-
нибудь плоскость, параллельную плоскости Н, и которая пересекалась бы с
обойми телами. Пусть расстояние этой плоскости от центра шара будет ci,
а радиус круга, полученного в сечении плоскости с шаром, пусть будет г.
Тогда площадь этого круга окажется равной xr'- — ~(R- — d'-). Та же секущая
плоскость даст в сечении с телом, оставшимся от цилиндра, круговое кольцо
(оно на чертеже покрыто штрихами), у которого радиус внешнего круга ранен
R, а внутреннего d (прямоугольный треугольник, образованный этим радиусом,
с центром шара. Тогда шар разделится на очень большое число маленьких тел,
из которых каждое можно рассматривать как пирамиду с вершиной в центре
шара. Так как объем пирамиды равен произведению поверхности основания на
третью часть высоты (которую можно принять равной радиусу шара), то объем
шара, равный, очевидно, сумме объемов всех пирамид, выразится так:
объем шара = S •-^-/?,
где S— сумма оснований всех пирамид. Но эта сумма оснований должна соста-
вить поверхность шара, н значит,
1 4
объем шара = 4л/?2 • — /? = -т- л/?3 4,
и и
Таким образом объем шара может быть найден посредством формулы его
поверхности. Обратно, поверхность шара может быть найдена помощью формулы
его объема из равенства:
S--|-/? = -j-i/?3, откуда $ = 4п/?з.
*)_ Это предположение было доказано Архимедом (в 1П веке до начала
нашей эры). Архимед выразил желание, чтобы чертеж этой теоремы был изо-
бражен на его гробнице, что н было исполнено римским военачальником Мар-
целлон (Ф. Кэджорн, История элементарной математики).
Предлагаем учащимся как полезное упражнение доказать, что поверхность
и объем шара составляют */9 соответственно полной поверхности и объема
описанного конуса, у которого образующая равна диаметру основания.
Соединяя это предложение с указанным в следствии 2, мы можем написать
такое равенство, где Q обозначает поверхность или объем:
Qmpa _ ^цилиндра___Quoкуса
4 6 — 9
78
if отрезком ат, — равнобедренный, так как каж-тый n-r,...s
Значит, площадь этого кольца равна кРз — -л — „,Л,Р ^г°м его рапен 45^-
ШП согласно при,шину е“я“ртХ'"н^«Х«
тела, оставшегося от цилиндра, равен объему цилиндра без удвоенного объема
конуса, т. с, он ранен:
ir№-2£-2.1 ^ R = 2-R3- =
v О О
значит, это и будет объем шара.
148. Определения. 1) Часть шара (АСС, черт. 154), отсекаемая от
него какой-нибудь плоскостью (СС), называется
Круг сечении называется ос-
нованием сегмента, а отре-
зок Ат радиуса, перпенди-
кулярного к основанию, —
высотой сегмента.
2) Часть шара, заклю-
ченная между двумя па-
раллельными секущими пло-
скостями (СС и DD'), на-
зывается шаровым слоем.
Круги параллельных сече-
ний называются основз-
Чсрт. 155.
ниями слои, а расстояние тп между ними — его высотой.
Оба эти тела можно рассматривать как происходящие от вращения
вокруг диаметра АВ части круга АтС или части CmnD.
149. Теорема. Объем шарового сегмента равен объему ци-
линдра, у которого радиус основания есть высота сегмента,
а высота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты
сегмента, т. е.
v = кН- f R — '} ’
где Н есть высота сегмента, a R — радиус шара.
Объем шарового сегмента, получаемого вращением вокруг диаметра
AD (черт. 155) части круга АСВ, найдется, если из объема шарового
сектора получаемого вращением кругового сектора АОВ, вычтем объем
конуса, получаемого вращением ДСО5. Первый из них равен =/ап7?=/Л
79
второй *itCB*-CO. Так как СВ есть средняя пропорциональная между
АС и CD, то CB* = H(2R-H), поэтому
CBiCO = H(2R — H)(R— H)-2R-H—RH* 2/?АЛ“ —№ =
^iR’H—^tPR^-H3;
следовательно,
2.1
объем АВВ^ = объему OBAB^объем OBBX = -^nR-H—-^ пСД--СО =
-1п№ = кЛр(/? - •
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Объем цилиндра, у которого высота вдвое более диаметра основания,
равен 1 зА Вычислить его высоту.
2. Вычислить боковую поверхность к объем усеченного конхса, у которого
радиусы оснований равны 27 см и 1S см, а образующая равна Ji г.и.
3. На каком расстоянии от центра шара, ратиус которого равен 2,425 м,
следует провести секущую плоскость, чтобы отношение поверхнос гл меньшего
сегмента к боковой поверхности конуса, имеющею общее с сегментом осно-
вание, а вершину в центре шара, равнялось 7:4?
4. Найти объем тела, происходящею от вращения правильного шестиуголь-
ника со стороной а вокруг одной из его сторон.
5. Вычислить радиус шара, описанного около куба, ребро которого равно 1 м,
6. Вычислить объем тела, происходящего от вращения пр 1ьи.тьн >го тре-
угольника со стороной а вокруг осн, проходящей через его вершину и парал-
лельном противоположной стороне.
7. Дан разносторонний ДЯЯС со стороной а: на ВС строят квадрат BCDE,
располагая его в противоположную стороне от треугольника. Вычислить о', гем
тела, происходящего от вращения пяти-.тольника ABEDC вокруг стороны АВ.
8. Дан квадрат ABCD со стороной а. Через вершину А проводят прямую
ЯЛГ, перпендикулярную к диагонали АС, н вращают ква ip.tr вокруг ЯЛЕ Вы-
числить поверхность, образуемую контуром квадрата, и объем, о 'р., >уемый
площадью квадрата.
9. Дан правильный шестиугольник ABCDEFсо стороной а. Через вершину
А проводят прямую ЯЛЕ перпендикулярную к радиусу ОА, я вращают шести-
угольник вокруг Я.И. Вычислить поверхность, образуемую контуром, и объем,
образуемый площадью правильного шестиугольника.’
16. В шаре, раднх’с которого равен 2, просверлено цилиндрическое отверстие
вдоль его диаметра. Вычислить объем оставшейся части, если радиус цилиндри-
ческого отверстия равен 1.
11. Вычислить объем шара, который, будучи вложен в коническую воронку
с радиусом основания г = Ъсм и с образующей /--13езм, касается' основания
воронки.
12. Около круга радиста г описан равносторонний треугольник. Найти
отношение объемов тел. которые производятся вращением круга и плошали
треугольника вокруг высоты треугольника.
13. В цилиндрический сосуд, у которого диаметр основания равен б гм.
а высота 36 см, налита вола до половины высоты сосуда. На сколько подни-
мется уровень воды в сосуде, если в нее погрсчить шар диаметром 5г.«'
14. Железный пустой шар, внешний радиус которою равен <<.Гй м. пл.п>лет
в воде, погружаясь в нее наполовину. Вычислить толщину оболочки зто| о пыра,
зная, что удельный вес железа рзле'н 7,7.
15. Диаметр Марса составляет половину земного. Во сколько раз поверх-
ность я объем Марса меньше, чем соответственные величины для Земли.*
Диаметр Юпитера в II раз больше земного; во сколько рат Юпитер пре-
вышает Марс по поверхности и объему?-
80
ДОПОЛНЕНИЕ.
ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ.
1. Геометрия среди других областей математики /алгебра, арифметика) вы-
делится одной то.тьк.з ей приселей ос. костью. Эта Л-шкиност* "“стоит
в том, что те теоремы и свойства фи-ур. изучаются в геометрии
не только }<танлвл»оч!..гся путем ряда рассуждений, но’во многих стч
могут служить объектом непосредственного создания, справедливость'этих
свойств не только доказывается, но н полгнерждастся кепссоет,гвенчым трн-
тельным впечатлением. Так. равенство углов при основания ‘реви- бедренного
треугольника или равенство лвух треугольников, имею а; их отям.1л.»-.>се сл-ны
сторон, и многие дру.ме cb'fi<iSj фм.-ур можно нс'ькрелствекн • у о.«ер:;.1’ь.
Hat лилн'к гь . еоиетривеских объектов помогает обнаруживать и угадывать
многие геометрические факты прежде, чем они будет Точно лобаны. Непо-
средственное созерцание геометрически! фигур у древних египтян (эа 2000 лет
до нашей ары) служило главным способом убеждаться в наличии тех нлн
иных их свойств. .1о такой сп \ мог быть при1’ лен лишь для Установления
простейших геоме-рикесхиу фактов, с такими именно фактами й имели дело
египтяне, которые ио.тьзмьались геометрией для узко практических целей. Но
уже простое расширение н усложчепке практических задач привело к необхо-
димости изучать сь .'йства все белее сложных геометрически! фигур, а для
втгго еже недостаточно было простого созерцания чертежа появилась необхо-
димость применять все белее сложные фермы рассх'жденнй.
Кроче того, сама нэг.т«дно,ть чертежа в применении к более сложным
геометрическим фи'урам часто весьма обманчива и приводит иногда прямо в
неверным заключениям.
Можно привести много примеров, когда общий вид чертежа подсказывает
неверное заключение о взаимном гас :о хженни и свойствах изображеин! на
них фигур. На этом г.сиовено ыт.го геометрических парадоксов, прав лить
которые .мы здесь не г'о т.м.
Древние греки, воспри овшие геометрическую науку от египтян, обобщили
отдельные факты, известные египтянам, и выработали определенные формы
рассуждений, при помощи ко- рых с,ни обнаруживали новые геометрии..кке
факты. Приз ти <ител., |О за Л’ает до начала нашей эры греческий геоме.-р
Эеклит ь раде .а.жх книг, п.сиешн! общее нанзние .Наьз.а". дал пер. ое
научное иёоснованне г.'"Мсгрии. сн ;м>. тарался в достаточно отчетливых тер-
минах ьыраыть сдо!амн те _> д не п:>едставлуо.иа о простейшн! геометрических
образах, точках, линиях. повурхно.тя! и о взаимоотношения! между ними, ко-
торые считались до т . гэ ьр. и ;,и сам > со' ой пинитными. Бз’ируясь на этом,
он дал по.: ое логически с’тос'гое ггоутрсыине геометрии по форме в высшей
степени совершенное и с течки «роняя с. :.pewei..:ой наукм.
Он прежде всего попытался -.is точные определения основных геометри-
чески! понятий точки, линяя, в ча.тистя прямой линии, поверхности, в частно-
сти плоскости в геометрического теза. Приведем данные им определения:
1. Точка есть то. что не имеет чисжиД.
2. . 7ь-ччч /еж» длина дел н.::рины.
4. /(и<и?шы» «.я»ия.«о«оли одинаково раеполоисена относительно
*еех своих тачек
5. /Л.лг,"*ж..гж* ггжв жо. чжо имеет только длину к ширину.
6. Границы полер сноети evmb линии.
Плоскость сеть лои-рхность. которая одинаково расположена оямо-
i.vr rAuujf яри~ымх.
К. Телом нахыгаетсч то. что имеет длину, ширину в глувину.
9. Границы тела гуже поеерхноети.
Целью этих пирс -.слепий было достигнуть того, чтобы термины „точка*,
.прямая* нт X нс только вызы:кми определенное зрительное представление.
Но отчовремспно с тем определяли некоторое п житие, отираясь на которое,
Можно г.Ы') бы делать дальнейшие логические выводы. И юти эти определе-
ния несовершенны с точки зрения современной науки, ио они вполне соответ-
ствовали тогдашнему состоянию научной мысли и являлись первый шагом к ле-
р«оду от образов i понятиям. Они послужили отправным пумхтом исих по-
81
следующих работ по геоисгрнк н определили собою пути ее дальнейшего
^'пТнстнны которые устанавливаются в геометрии, Эвклид разделил На
IkL истины, «готовы у тгопемы. К первым двум видам1 *) были отце-
три вита, постулаты, .с К,,ТО11ЫС нс возбуждали никаких сомнений, были
hXJSX очевидны и могли потному служить исходными предложениями,
"3 ‘третий вяд'“ ож2-тео(рмы-\кХ, которые должны показы-
ваться,Те. путем ряда раесуждептЛ выводиться из двух первых видов истин.
Приведем постулаты и аксиомы Эвклида.
а) Постулаты. Требуется, чтобы’.
1) от каждой точки до каждой другой точки можно было провести
одну прямую линию; _ ,
2) ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по
прямой; , ,
3) из любого центра можно было описать окружность любым радиусом:
4) все прямые углы были равны между собой;
5) две прямые, которые при пересечении с третьей образуют е ней по
одну сторону внутренние углы, в сумме меньшие двух прямых, при продол-
жении в ту же сторону пересекались.
6) Акснэмы:
1) равные одному и тому же равны между собой;
2) если к равным прибавить поровну, то суммы будут равны:
3) если от равных отнять поровну, то остатки будут равны:
4) совмещающиеся друг с другом равны;
б) целое больше своей части.
'Эти аксиомы и постулаты Эвклида в течение долгого ряда последующих
столетни служили базой, на которой строилась вся геометрии.
2. Уже 'ближайшие потомки Эвклида обратили особое внимание на пятый
из данных Эвклидом постулатов. Он привлекал к себе внимание сложностью
своей формулировки и далеко не полной очевидностью. Эта неочевидность
вызвала стремление так или иначе доказать справедливость постулата, т. е.
вывести его нз остальных, не возбуждающих сомнений истин. Попытки дать
доказательство пятого постулата продолжались в течение более 2000 лет, но »,е
привели, и как оказалось впоследствии, не могли привести к положительному
результату. Удавалось лить заменить постулат другим предложением, ему
равносильным, но столь же неочевидным и не вытекавшим из остальных гео-
метрических аксиом и постулатов.
Легко показать, что постулат Эвклида равносилен утверждению, что в дан-
ной плоскости через каждую точку к каждой прямой можно провести един-
ственную прямую, ей параллельную (т. е. не пересекающую данной). Действи-
тельно, если принять это положение, как аксиому, то из теорем, доказанных
в планиметрии, непосредственно вытекает постулат Эвклида. Это предложение
□ единственности параллельной прямой и принимается обычно как аксиома
вместо постулата Эвклида (как это сделано и в настоящей книге). Другим
предложением, равносильным постулату Эвклида, является теопема о сумме
углов треугольника. 1
Усилия геометров в течение ряда веков были направлены на то, чтобы
доказать или самый постулат Эвклида, или предложение, ему равносильное*
Приведем здесь для иллюстрации несколько таких доказательств.
1) Принципиальной разницы между теми и другими Эвклид не указывает,
но с постулатами он обычно связывает утверждение возможности выполнить то
или иное построение. «
8?
Докаэательство Прокла (eV веке нашей «ка
пой плоскости прямую а и точку А вне ее (черт. 166) Спустим и, /I пе
дикуляр АВ па прямую айв точке А восстпши ‘>с1ни иД/| перпеи-
АВУ Прямые а и *ЛС’нс пересекаются
опущено па прямую АВ два перпендикуляра. Пусть теперь через А im2° бЫ
еще какая-либо прямая АО. Прокл до^^ет^оТдолж. а вс
с прямой а. Вот ею доказательство: очрчизься
Будем восставлять перпендикуляры к прямой АС н продолжать ид до
пересечения с прямом АО. По мере удаления основания перпендикуляра от
точки А его длина будет расти, и при достаточной удалении от точки А она
станет больше расстояния между параллельными прямыми а и АС. Соответ-
ствующие точки прямой AD окажутся, таким образом, лежащими ио другую
сторону прямой а, т. е. прямая АО перейдет с одной стироны прямой а па
другую. А это может случиться только, если она пересечет прямую а. В этом
своем AOKjjjiiic/ihCгве Прокл опирается на то положение, что расстояние титек
одной из двул пари л л и л ьк ы к прямых от другой нс может беспредельно воз-
растать. Но а го положение само есть некоторый постулат, равносильный по-
стулату Эвклида.
Приведем еще пример попытки доказательства теоремы о сумме углов
треугольника без помощи свойств параллельных прямых. Это доказательство
относится уже к XIX в. и принадлежит профессору
Гегтиш опекою университета Thlb.iut (Тибо). Пусть
дан Д АВС (черт. 157). Продолжим сторону СА за
точку * “ . и . . _ - ""
точку
углы
около
этого
щаем,
кого
после поворота
щаем теперь эту прямую около
слелпего положения па величину внешнего угла С.
После этих трех поворотов прямая вернется в ис-
ходное положение. Следовательно, в общей сложно-
А, сторону АВ за точку В и сторону ВС за
С. Докажем, что образовавшиеся внешние
составляют в сумме 4с/. Вращаем прямую АС
точки А на величину внешнего угла А. После
поворота
далее, ату
положения
с прямой АВ. Вра-
точки В от ее по-
внешнего угла В,
с прямой ВС. Вра-
точкн С от ее по-
она совпадает
прямую около
на величину
она совпадает
Черт. 157.
сти она повернется па полный угол, т. е. на 4d, по
три ее попорота состояли из поворотов на величины трех внешних углов
треугольника. Следовательно, сумма этих внешних углов раина 4г/. Но сумма
и внешних и внутренних углов треугольника, очевидно, равна 6d. Следова-
тельно, сумма его внутренних углов равна 6d — 4т/ — 2d.
В этом доказательстве Тибо’ производил три поворота прямой около раз-
личных точек и молчаливо предполагал, что такое вращение равносильно
полному повороту около одного центра, когда прямая описывает полный
угол.
Такое предположение само составляет некоторое допущение. Подробное
изучение этого допущения показывает, что оно равносильно постулату Эвклида.
Мы нс будем приводить других попыток доказательства пятого постулата.
Несмотря на многочисленные неудачи получить строгое доказательство
постулата Эвклида, попытки его доказательства не прекращались и причиной
этого была полная убежденность геометров в невозможности обойтись без
него при построении геометрии.
3. В первой половине XIX века русский математик, профессор Казанского
университета, Николай Иванович Лобачевский, венгерский математик Иоанн
Ьолиай и немецкий математик Карл Фридрих Гаусс высказали смелую мысль,
что постулат Эвк.тида не является логическим следствием остальных аксиом
геометрии и потому не может быть доказан и что принятие этого постулата
не является необходимым для построения геометрии.
В подтверждение своей мысли они построили новую геометрию, в которой
постулат Эвклида был заменен другим предположением, а именно, что через
Данную точку в данной плоскости можно провести бесчисленное множество
прямых, не пересекающих данной.
Предложения этой геометрии существенно отличались от теорем геометрии
Эвклида. Так, сумма углов треугольника оказывалась меньше двух прямых
83
углов, к теоремам о равенстве треугольников присоединялась новая; .треуголь-
ники равны, когда три угла одного равны трем углам другого". В этой
геоморин, следовательно, не существует треугольников подобных и неравных
между собой. _ .
Несмотря на всю непривычность таких предложении новой геометрии, она
мела таксю же стройную н законченную форму, как и геометрия Эвклида,
Впоследствии ей было дано название не эвклидовой геометрии. Одновре-
менно с ее открытием возник вопрос, какая же геометрия имеет место в дец.
ctbi; тельном материальном мире и какой геометрией следует ноль лопаться при
решении проблемы прикладного знания — физики, астрономии и др. Лобачев-
ский и Гаусс пытались решать этот вопрос опытным путем (Лобачевский —
путем астрономических наблюдений, Гаусс —путем измерений на местности.
Оа измерял при помощи угломерных приборов сумму углов треугольника,
вершинами которого служили три удаленные одна от другой горные вершины
иа земной поверхности). Но решить этот вопрос столь простыми средствами ока-
залось невозможным. Дело в том, что наши пространственные восприятия не
обладают абсолютной точностью н лишь приблизительно отражают простран-
ственные отношения материального мира.
Геометрия Эвклида выросла нз наблюдений над материальным миром,
I потому с большою точностью отражает существующие в нем взаимоотно-
шения, по крайней мере в их простейших проявлениях Поэтому опыты Лоба-
чевского и Pavcca не дали исчерпывающего ответа на поставленный вопрос:
они яе обнаружили заметных отклонений от того, что давала геометрии Эвк-
лида, но и не установили абсолютного совпадении предложений этой геометрии
с пространсгвеннымп взаимоотношениями материального мира.
Открытие неэвклидовой геометрии произвело глубокие изменения в созна-
геометров. Самый факт существования стройной и непротиворечивой неев-
клидовой геометрии подрывал вековое доверие к .наглядности* и .очевидно-
сти", руководившими мыслью древних геометров. Многовековой анализ пятого
Постулата расшатал устои первичных геометрических представлений, па которых
покоилась юометрпя Эвклида. Он вскрыл глубокие зависимости между отдель-
ными, казавшимися далекими одни от других, геометрическими фактами и пред-
ставил в новом свете пространственные взаимоотношения материального мира.
Поэтому система аксиом н определений Эвклида как база для по, i роения
геометрии стала уже недостаточной. В свете новых идей его определения
и аксиомы обнаружили недостаточную Полноту и не могли уже отвечать
возросшим требованиям научной строгости.
Такое, например, определение, как .линия есть длина без ширины", не
могло уже удовлетворить геометров, так как в их сознании сами понятия дли-
ны и ширины еже утратили тот характер абсолютной ясности и первоначаль-
ности, который они имели во времена Эвклида. Для геометров нового времени
многие определения Эвклида не имели силы без некоторых дополнительных
предположений, которые явно не высказывались, но молчаливо и незаметно
принимались сознанием древних геометров. Иначе трудно обз>яс.ннть, почему,
например, определение 4 нельзя применить к окружности и определение 7
к поверхности круглого цилиндра или конуса.
Требование большей полноты геометрических определений и аксиом при-
вело к тому, что в конце XIX века была поставлена задача общего пересмотра
уточнения всей аксиоматической базы геометрии. Эти работы привели к соз-
данию новой аксиоматики геометрии, вполне отвечающей современным требо-
ваниям математической строгости.
Ниже мы даем краткое изложение современного состояния этого вопроса.
4. Прежде всего поставим вопрос об определении основных геометриче-
ских образов: точка, прямая липин и плоскость. Заметим, что определить какое-
нибудь понятие, значит выразить его через понятия, ранее уже установленные.
Если же искать определение простейших понятий, то дело неизбежно
сведется лишь к замене одного термина другим, в свою очередь требующим
определения. Так и было у Эвклида, который понятие .линии' определил
через понятие .длины" или .гралици", а эти последние не определял.
Поэтому можно с самого начала не искать определения простейших гео-
метрических понятий, а принять их за исходные, которые нельзя уже выразить
через понятия более простые. .Точка", .прямая* и .плоскость" и принимаются
а такие первичные, неопределимые геометрические понятия. По отношение
М
К ним устанавливается целая СНСТсчЛ осно позожени» а.
мых эа исходные недоказуемые положения. По cviuXbv"°М ’ "!*'’’"«с-
ляют собой лишь целесообразные абстракции простраИЛвеНН»^ "релстаж-
ний материального мире. 1 ‘-транственных вмимоотноше-
Мы приведем здесь tv систему аксиом котопяа «с.,,
тик^Гидьберсом. В атой системе все акс J “
имеют0 целью Остановить те вз^ютноц.е^яТежд^по^ аГр> ппы
группа состоит из следующих аксиом: с»осги и т. п. „Чта
’ 1. Дее точки определяют единственную проходящую через нас тянчк,
2. На каждой прямой лежит не менее двух точек- сущеетярют^
крайней мере, три точки, не лежащие на одной пряной ' ‘
3. Через три точки не лежащие на одной прямой, проходит единствен-
ная п.101 кость. В каждой плоскости лежит. по крайней мере, одна точка
4. Еслидве точки прямой линчи лежат в данной плоскости, то и всё
точки мой прямой лежат в той же плоскости.
5. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют и еи-е
по крайней мере, одну общую точку. 1 ‘
6. Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной
плоскости.
При первом взгляде на эти аксиомы некоторые из них могут показаться
или недостаточными нлн вообще ненужными. Так, аксиома 2 как бы противо-
речит обычному представлению о прямой, на которой мы мыслим бесчислен-
ное множество точек. Но не следует забывать, что точки н прямые введены
у нас как первичные, не зависящие одно от другого понятия. Опп могут суще-
ствовать р;нде.о,но. Поэтому, когда мы говорили, чго точка лежит па прямой,
или что прямая проходит чере< точку, мы приписываем точке и прямой спо-
собность находиться между собою в некотором взаимоотношении. Чтобы яснее
представить себе такое раздельное существование точек, прямых и плоскостей
и взаимоотношения между ними, будем их представлять себе в виде конкрет-
ных физических предметов. Точки будем представлять себе в виде гориивп
какой-нибудь определенной величины. ?ти горошины будем предполл ап> шаро-
образной формы II достаточно мягкими (например разбухшими в воде), чтобы
их можно было прокалывать тонкими иглами к резать на части. Прямые линии
будем представлять в виде очень тонких стальных иголок, а плоскости в пиле
столь же топких пластинок. Сначала эти пластинки, иглы и горошины пред-
ставляем себе ничем не связанными и даже находящимися в разных местах:
в одном месте кечка гороха, и другом — груда стальных игл, и третьем —
пачка сложенных пластинок. Начнем теперь подчинять их тем условиям, кото-
рые содержатся в наших аксиомах. Мы будем считать, что точка лежит на
прямой, если игла прокалывает горошину, ели хотя бы частично входит в нее.
Будем считать, что точка лежит на плоскости, если топкой пластинка режет
горошину пополам, или лишь надрезает горошину. Наконец, будем считать,
что прямая лежит па плоскости, если топкая шла служит краем пластинки,
т. е. если игла прилегает па всем протяжении к краю пластинки, не выдаваясь
от нее ни в tv ни в другую стерону. Что означают при этих условиях акси-
омы? Они требуют чтобы наши горошины, иглы и пластинки приняли такое
расположение в’ прлтряпстве. чтобы: каждые две горошины были проколоты
но крайней мере одной иглой, или нанизаны па o.uiy И1лу (акс. 1), каждая
ш ла прокалывала не менее двух горошин (акс. 2); каждые три горошины были
разрезаны (нлн надрезаны) одной пластинкой н чтобы каждая пластинка
надрезала по крайней мере, одну горошину (акс. 3); если две горошины,
нанизанные из одну иглу, надрезать некоторой пластинкой, то и все другие
прошины которые' мог’ут оказаться нанизанными на ту же иглу, надрезы-
вались бы той же пластинкой (икс- 4>; если две пластинки надрезывают одну
и ту же ГОП01 im°v то они надрезывали бы, по крайней мере, еще одну горо-
/ ГОС?,1,Н11'* „ „А кшЛней мере, четыре горошины, нс разданные
(я не нГдрезднные) одною к ™ же пластипкоЛакс. 6) Таким условиям дол-
надрезанные) одним и пластинки. И такую комбинацию
горошин,”ЛИМ°нЯТпласЛтинок нетрудно построить. Действительно, отделим от
пачки пластинок четыре пластинки. Обрежем их по краям так, чтобы каждая
нз них приняла форму равностороннего треугольника определенного размера.
Из груды игл возьмем 6 штук к обломаем их концы так, чтобы все иглы
стали' одной длины, равной стороне треугольной пластинки. Возьмем, далее,
4 горошины и составим следующую фигуру: нз 4 пластинок составим пра-
вильный тетраэдр; в пазы между прилегающими краями пластинок вложим
иглы, а на вершинах тетраэдров поместим горошины так, чтобы пластинки
их подрезали, а иглы прокалывали. Для этой совокупности I орошин, игл и пла-
стинок удовлетворяются все поставленные выше требования, т. е. все наши
аксиомы.
Нз этого примера видно, что множество точек прямых и плоскостей,
удовлетворяющих аксиомам 1-й группы, может быть конечным. В нашем при-
мере мы имеем всего 4 точки, 6 прямых и 4 плоскости.
Вторая группа аксиом „аксиомы порядка" — имеет целью в отчетливой
форме высказать те положения, на которые мы опираемся, когда говорим о том
или ином порядке расположения точек на прямой и на плоскости. Главным
понятием здесь является расположение на прямой одной точки между двумя
другими. Логическое содержание этого понятия и устанавливается аксиомами
этой группы. Она состоит из следующих аксиом:
1. Если В лежит между А и С, то А, В и С — различные точки пря-
мой, и В лежит также между С и А.
2. При данных двух точках А и В на прямой линии на ней существует,
по крайней мере, одна точка С такая, что В лежит между А и С.
3. Из трех данных точек на прямой не более, чем одна, лежит между
двумя другими.
4. Если в данной плоскости даны треугольник АВС и какая-либо пря-
мая а, не проходящая ни через одну из его вершин и пересекающая отре-
зок АВ, то она непременно пересечет или отрезок ВС или отрезок АС.
Эти аксиомы предъявляют к нашим точкам, прямым и плоскостям требования,
которым они должны удовлетворять. Та совокупность граней, ребер и вершин
тетраэдра, которая удовлетворяла аксиомам 1-й группы, уже не удовлетворяет
нашим аксиомам. В самом деле, на каждой нашей игле были нанизаны лишь
горошины, между тем как вторая аксиома 2-й группы требует, чтобы на пря-
мой было не менее трех точек. А более подробный анализ показывает, что
на каждой прямой должно лежать бесчисленное множество точек н что акси-
омам 2-й и 1-й групп, вместе взятым, может удовлетворять лишь бесконечное
множество точек, прямых и плоскостей1).
Третья группа аксиом — „аксиомы конгруентностн" — имеет целью уста-
новить основные предложения о равенстве отрезков н углов. Она содержит
следующие аксиомы:
1, На любой прямой от любой ее точки можно отложить отрезок,
равный данному.
2. Два отрезка, равные третьему, равны между собой.
3. Пусть А, В, С —точки одной прямой и Вь С\ — также точки
одной прямой и АВ = А1В1, ВС = В^Су если отрезки АВ и ВС, а также
AjBi и В£х не имеют общих точек, то AC=A\CV
4. От любой точки данной прямой по данную ее сторону можно по-
строить один и только один угол, равный данному: каждый угол равен
самому себе.
3. Если в двух треугольниках АВС и А,В,С, стороны AB=AlBi.
AC = AyCi и £ ВАС = / ^lAiCj, то £ АВС= 2 -MiG-
Следует ооратить внимание на последнюю аксиому.
В учебниках геометрии эта аксиома есть следствие второго случая равен-
ства треугольников. Но само это равенство треугольников доказывается путем
наложения, и, следовательно, предполагает возможность перемещения
фигур; возможность же такого перемещения сама составляет некоторую но-
вую аксиому и притом не включенную в нашу систему. Поэтому предложение
5 и приходится принимать как новую аксиому. Пользование ею заменяет при-
менение в геометрии метода перемещения фигур.
Четвертую группу аксиом составляет одна — „аксиома о параллельных
прямых . При этом возможность существования параллельных доказывается
-) Доказательство этого факта выходит нз рамок настоящей книги.
Ь6
без помощи новых аксиом. А потому аксиома требует лишь единств“П"ос-и
параллельной прямой: через данную точку в данной' плоскости можно про-
вести не более одной прямой, не пересекающей данной. Об этой аксиоме
мы уже говорили выше.
Наконец, пятую и последнюю группу аксиом составляют — .аксиомы не-
прерывности". Эта группа состоит нз двух аксиом:
1. Аксиома Архимеда. Если АВ и Cd— два произвольных отрезка то
на прямой АВ существует ряд точек Л]( А-, А^..., А„ таких, что АА.—
А3А, — А,А3 —... — АП-1АЯ — CD и что В будет лежать между А. t и
А„ (черт. 1о8). я-‘
Л Л, Д? Д3 4, С О
Черт. 158.
2. Аксиома линейной полноты. Точки прямой линии образуют систему
точек, которую нельзя дополнить новыми точками, которые можно было
бы считать принадлежащими той же прямой без нарушения ранее уста-
новленных аксиом 1).
Содержание первой из этих аксиом — аксиома Архимеда — достаточно ясно:
аксиома требует, чтобы каждой точки прямой, как бы далеко она ни была
намечена, можно было достигать с помощью конечного числа равных шагов и,
следовательно, чтобы можно было измерить расстояние от данной точки до
любой точки прямой. Поэтому эту аксиому н называют иногда аксиомой из-
мерения.
Посмотрим, в чем сущность аксиомы линейной полноты.
Учащиеся знают из курса алгебры, что если на числовой оси построить
все точки с рациональными абсциссами, то этим не исчерпаются все точки
прямой: прямая не будет сплошь заполнена этими точками. Так, точки с ирра-
циональными абсциссами еще не будут построены. Когда вводятся алгебраиче-
ские иррациональные числа в виде корней всевозможных степеней из рацио-
нальных чисел и корней алгебраических уравнений с рациональными коэфи-
циентами и строятся соответствующие им точки на числовой осн, то числовая
ось обогащается новыми точками с иррациональными абсциссами. Но на число-
вой оси все еще остаются пустые места, где еще могут быть вставлены
новые точки. Так, точки с абсциссами /с и т. п. не будут на-
несены на числовой оси. Ось заполнится вся лишь после того, как будут
введены все действительные числа. После этого на ней нельзя будет вставить
новую точку. На ней уже не останется пустых мест. Аксиома полноты требует,
чтобы именно этим свойством обладала геометрическая прямая: чтобы на ней
не оставалось ни одного пустею места, куда можно было бы вставить новую
точку.
Принятие этой аксиомы позволяет считать, что каждому действительному
числу соответствует определенная точка на прямой при выбранном начале
отсчета абсцисс, й обратно — каждой точке прямой соответствует определенное
действительное число.
Таков перечень всех аксиом, на которых базируется в настоящее время
эвклидова геометрия.
5. Если теперь провести анализ всего курса элементарной геометрии, то
можно будет заметить, что при всех проводимых доказательствах не приходи-
лось опираться ни на какие иные исходные положения, кроме тех. которые
заключены в данной выше системе аксиом. Одни из этих положений, как ак-
сиома о параллельных и некоторые нз аксион соединения, были высказаны
явно, другие молчаливо подразумевались как само собой разумеющиеся. Аксиомы
конгруентности были заменены предположением о возможности свободного
перемещения фигур в пространстве. Но само это предположение, как показы-
вает более подробный его анализ, является сложной аксиомой, равносильной
всей совокупности аксиом конгруентности.
]) Точнее: без нарушения первых двух аксиом соединения, аксиом порядка,
сервой аксиомы конгруентности и аксиомы Архимеда.
87
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие .....................
СТЕРЕОМЕТРИЯ.
Предварительные замечания ..........
Глава первая.
Прямые и плоскости.
I. Определение положе-
ния плоскости............3
II. Параллельные прямые
и плоскости ............ 5
Р.цмл.тельпые прямые...—
Прямая н плоскость, параллель-
ные между собой........—
Параллельные плоскости ... 7
Задачи на построение .. 8
III. Перпендикуляр и на-
клонные к плоскости . 9
IV. Зависимость между па-
раллельностью и пер-
пендикулярностью пря-
мых и плоскостей . . .12
Задачи на построение ..... 13
V. Двугранные углы, угол
прямой с плоскостью,
угол двух скрещиваю-
щихся прямых, много-
гранные углы....................
Двугранные углы.......... . 15
Перпендикулярные плоскости . 17
Угол двух скрещивающихся пря-
мых .........................18
Угол, образуемый прямой с пло-
скостью .................• . 18
Многогранные углы .........19
Простейшие случаи равенства
трехгранных углов............21
Упражнения....................22
Глава вторая.
Ортогональные проекции точки, отрезка и фигуры..................23
Глава третья.
Мпогзгранннкн.
I. П а р а л л е л е п и п ед и пи-
рамида ....................32
Свойства граней и диагоналей
параллелепипеда ......... 35
Свойства параллельных сечений
в параллелепипеде ...... 36
Боковая поверхность призмы
и пирамиды .............. 38
Упражнения...............39
II. Объем призмы и пира-
миды ......................39
Объем параллелепипеда .... 40
Объем призмы..........44
Объем пирамиды........46
III. Подобие многогранни-
ков .....................51
IV. Понятие о правильных
многогранниках...........53
V. Понятие о симметрии
пространственных фи-
гур .....................55
Упражнения................60
Глава четвертая.
Круглые тела.
I. Цилиндр а конус . . . .61
Поверхность цилиндра и ко-
нуса ....................... 63
Объем цилиндра и конуса ... 66
Подобные цилиндры и kohv-
сы.....................'. 63
II. III а ........................pg
Сечение шара плоскостью ... —
Плоскость, касательная к шару 71
Поверхность шара и его ча-
стей.........................71
Объем шара и его частей . • 74
Упражнения.................. . . 80
Дополнение. Об акеппмпх ?еомет-
............................81
77 >