/
Автор: Бойко В.С. Бойко В.В. Видолоб Ю.Ф. Курило І.А.
Теги: електроніка електротехніка теорія електричних кіл електронні пристрої
ISBN: 966-622-042-3
Год: 2004
Текст
В. С. Бойко
В. В. Бойко
Ю. Ф. Видолоб
І. А. Курило
В. І. Шеховцов
Н. А. Шидловська
ЕОРЕТИЧНІ
СНОВИ
ЛЕКТРОТЕХНІКИ
ПОЛІТЕХНІКА
НТУУ «КПІ»
Теоретичні
Основи
Електротехніки
В. С. Бойко
В. В. Бойко
Ю. Ф. Видолоб
1. А. Курило
В. І. Шеховцов
Н. А. Шидловська
ТЕОРЕТИЧНІ
ОСНОВИ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ
У трьох томах
Том 1
Усталені режими лінійних
електричних кіл
із зосередженими параметрами
За загальною редакцією академіка НАН України І. М. Чиженка,
доктора технічних наук, професора В. С. Бойка
Допущено Міністерством освіти і науки України
як підручник для студентів технічних спеціальностей
вищих закладів освіти
Київ
«Політехніка»
2004
УДК 621.3(075.8)
ББК31.21я73
ТЗЗ
Гриф надано Міністерством
освіти і науки України
(Лист від 29.09.1999р. № 10/2-18)
Рецензенти: Б. С. Стогній, акад. НАН України;
А. Ф. Верлань, д-р техн. наук, проф., зав. відділу моделювання
динамічних систем Інституту проблем моделювання в енергетиці
НАН України
Теоретичні основи електротехніки: Підручник: У 3 т. / В. С. Бойко, В. В. Бойко,
ТЗЗ К). Ф. Видолоб та ін.; За заг. ред. І. М. Чиженка, В. С. Бойка. - К.: ІВЦ “Видав-
ництво «Політехніка»”, 2004. - Т. 1: Усталені режими лінійних електричних кіл із
зосередженими параметрами. - 272 с.: іл.
966-622-042-3
Наведено основні формулювання, визначення, поняття і закони теорії елект-
ричних і магнітних явищ. Розглянуто властивості активних та пасивних
двополюсних елементів електричного кола і властивості електричних кіл, а
також методи їх розрахунку за постійного, синусоїдного та несинусоїдного
сигналів. Проаналізовано найважливіші для практичного застосування явища
резонансу і взаємоіндукції. Викладено основи теорії чотириполюсників та
багатополюсників.
Для студентів електротехнічних спеціальностей вищих закладів освіти, може
бути корисним аспірантам, інженерам і широкому колу фахівців технічного
профілю.
УДК 621.3(075.8)
ББК 31.21я73
І8ВИ 966-622-042-3
© В. С. Бойко, В. В. Бойко,
Ю. Ф. Видолоб, 1. А. Курило,
В. І. Шеховцов, Н. А. Шиддовська, 2004
ВІД АВТОРІВ
Шановний Читачу!
Ти тримаєш у руках перший том тритомного видання підручника «Тео-
ретичні основи електротехніки», створеного авторським колективом
співробітників кафедри теоретичної електротехніки Національного техніч-
ного університету України «КПІ».
Увесь матеріал підручника ми поділили на п’ять частин. Перша з них має
назву «Усталені режими лінійних електричних кіл із зосередженими парамег-
рами» і складає весь обсяг першого тому. Зміст цієї частини відповідає не
тільки курсу «Теоретичні основи електротехніки», а й спорідненим курсам, а
саме: «Основи теорії лінійних електричних кіл», «Електротехніка» та «Загаль-
на електротехніка». Тому сподіваємось, що ця частина підручника буде корис-
ною студентам як електротехнічних, так і неелектротехнічних спеціальностей.
Є в ній також інформація, потрібна аспірантам та інженерам, що займаються
аналізом лінійних електричних кіл, досліджують процеси в електротехнічних
пристроях, які з достатньою ймовірністю можна вважати лінійними.
Другий том підручника містить дві частини: «Перехідні процеси в лі-
нійних електричних колах із зосередженими параметрами» і «Нелінійні
електричні та магнітні кола». їх зміст є більш спеціалізованим і розрахо-
ваний на електротехнічні та електроенергетичні спеціальності.
З двох частин складається і матеріал третього тому: «Кола з розподіле-
ними параметрами» та «Теорія електромагнітного поля». Традиційно він
зорієнтований на електроенергетичні та радіотехнічні спеціальності. Од-
нак сучасний розвиток і-алузей, пов’язаних з обчислювальною технікою і
приладобудуванням, дає підстави сподіватись на ширше коло читачів цих
частин підручника.
Це - перше повне видання курсу «Теоретичні основи електротехніки»
українською мовою в незалежній Україні.
І нарешті, - це перше видання підручника кафедрою теоретичної електро-
техніки НТУУ «КПІ», яка 2001 року відзначила 100-річчя з дня заснування.
Під час заснування Київського політехнічного інституту (1998 рік) в
«Положенні» про КПІ було перераховано 35 кафедр, серед них - і кафед-
ра електротехніки, але процес створення кафедри дещо затягнувся.
5
У листопаді 1899 року великий учений, один із засновників КІП,
М. Є. Жуковський звернувся з листом до директора КШ В. Л. Кирпичова, в
якому рекомендував на посаду викладача електротехніки М. А. Артем’єва.
«Скажу відверто, - писав М. Є. Жуковський - що з наших молодих елект-
ротехніків я ставлю Миколу Андрійовича Артем’єва вище за всіх» [19].
1 лютого 1901 року М. А. Артем’єва було зараховано на посаду вико-
нуючого обов’язки екстраординарного професора по кафедрі електротех-
ніки, де він викладав загальний курс «Електротехніка» для студентів ме-
ханічного, хімічного й інженерного відділень.
У 1902 році М. А. Артем’єв створив першу електротехнічну лабораторію
в КШ і став її завідувачем. Проводити лабораторні роботи зі студентами
М. А. Артем’єву допомагали два лаборанти, які мали дипломи інженерів і
разом із завідувачем кафедри виконували наукові дослідження, зокрема, з
проблеми захисту людини від високої напруги, про що М. А. Артем’єв до-
повів у Берліні на засіданні Спілки німецьких електротехніків (1902 р.).
Відповідну статтю було потім опубліковано в «ЕІекігоіесЬпіхсІїе Хеіізсйгій».
М. А. Артем’єв очолював кафедру до 1911 року, коли пішов у відстав-
ку з політичних мотивів, протестуючи проти безпідставного звільнення
деканів трьох відділень інституту.
Отже, кафедра теоретичної електротехніки НТУУ «КПІ» має сторічну
історію і фундаментальні науково-педагогічні витоки.
Підручник узагальнює багаторічний досвід викладання курсу «Теоре-
тичні основи електротехніки» і споріднених з ним курсів. Ми прагнули
зберегти надбання попередніх поколінь викладачів кафедри, одночасно
враховуючи сучасні досягнення в розвитку теоретичної електротехніки,
поєднати формалізовані методи аналізу з доскіпливим вивченням фізич-
них особливостей процесів. У цьому полягає особливість Київської шко-
ли теоретичної електротехніки.
Автори підручника - фахівці, чий внесок у методичну, науково-
педагогічну та організаційно-технічну підготовку видання найвагоміший.
Водночас, ми цінуємо внесок у розвиток теоретичних основ електротех-
ніки багатьох викладачів, які працювали на кафедрі. Не маючи змоги пе-
рерахувати всіх і зазначити їх здобутки в електротехніці, висловлюємо
окрему щиру подяку Чиженку Івану Мироновичу, який протягом 39 років
(з 1950 до 1989 р.) очолював кафедру. Саме в цей період ним створено
основний напрям наукових досліджень, присвячений теорії вентильних
перетворювачів електричної енергії, і досягнуто вагомих успіхів у царині
теоретичної електротехніки. Матеріал лекцій І. М. Чиженка, які прослу-
хали свого часу більшість авторів, також використаний у підручнику.
Ми сподіваємось, що наш підручник сподобається читачам.
Будемо вдячні всім за зауваження та побажання щодо вдосконалення
підручника, які можна надіслати на адресу: 03056, м. Київ, проспект Пе-
ремоги, 37, Національний технічний університет України «КПІ», корпус 20,
кафедра теоретичної електротехніки.
6
ВСТУП
Теорія лінійних електричних кіл вивчає електромагнітні явища в техніч-
них системах, призначених для виробництва, передачі і розподілу елект-
ричної енергії, поширення, перетворення й обробки інформації в систе-
мах автоматичного керування, засобах інформаційно-вимірювальної та
обчислювальної техніки, електромеханічних і елекгротехнологічних при-
строях.
Підґрунтя теорії електричних кіл закладене відкриттям фундаменталь-
них законів Омом (1827 р.), Фарадеєм (1831 р.), Джоулем (1841 р.), Нен-
цем (1842 р.) і Кірхгофом (1847 р.).
У 1873 році Максвелл узагальнив та поглибив ідеї своїх попередників,
особливо Фарадея, в своїй видатній праці «А Тгеаіізе оп Еіесігісйу апсі
Ма§пеіізт». Відтоді минуло вже понад сто років, а теорія електромагніт-
ного поля Максвелла і на сьогодні є основою теоретичної електротехніки.
За цей час вона набула подальшого розвитку, що закономірно, якщо звер-
нути увагу на такі властивості електричної енергії:
- створено чимало пристроїв, здатних ефективно перетворювати теп-
лову, механічну, хімічну, атомну, променеву енергію на електричну;
- дія більшості технологічних пристроїв будується на споживанні елек-
тричної енергії і перетворенні її на інші види енергії;
- передавання електричної енергії на дальні відстані зручне й економіч-
но вигідне (ефективніше, ніж транспортування на такі ж відстані па-
ливно-енергетичних ресурсів);
- процес виробництва, передачі і споживання електричної енергії легко
автоматизувати, він досить точно керований;
- використання електричної енергії розширює номенклатуру виробни-
чих галузей, поліпшує умови праці на виробництві і створює комфор-
тні умови в побуті (навряд чи можна уявити життя сучасної людини
без користування електричною енергією).
Основними недоліками електричної енергії є її небезпечність для не-
обізнаного користувача і неможливість накопичення у значній кількості
7
для споживання у зручний час. Тобто електрична енергія має бути вироб-
лена в певний проміжок часу і в такій кількості, як потребує споживач.
Теорія електричних кіл спирається на основні фізичні поняття про елек-
тричні і магнітні явища. З них починається розуміння електромагнітних
процесів, які відбуваються в електричних колах. Тому і перший розділ
підручника присвячено вихідним поняттям і законам теоретичної елект-
ротехніки. Набувши цих знань, можна переходити до вивчення властиво-
стей електричних кіл та їх елементів, а далі - і до особливостей електро-
магнітних процесів.
Будемо розглядати електричне коло як сукупність пристроїв, що утво-
рюють замкнений шлях для проходження електричного струму.
Функціонально електричне коло призначене для розподілу, перетво-
рення та передачі електричної енергії або інформації. Складові електрич-
ного кола, що виконують певні функції, називатимемо елементами елек-
тричного кола.
До основних належать ті елементи електричного кола, дія яких пов’я-
зана з перетворенням одного виду енергії на інший. Це джерела електри-
чної енергії та її споживачі. Усі інші елементи - допоміжні.
Режим роботи будь-якого електричного кола задають джерела. Тому їх
відносять до активних елементів. Усіх споживачів вважають пасивними.
Вивченню властивостей елементів електричних кіл, оволодінню основ-
ними законами, теорією і методами аналізу усталених електромагнітних
процесів у лінійних електричних колах із зосередженими параметрами та
можливостям практичного застосування електротехнічних явищ присвя-
чено цей том підручника.
8
1. ВИХІДНІ ПОНЯТТЯ І ЗАКОНИ
ТЕОРЕТИЧНОЇ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ
1.1. Електричний заряд. Електромагнітне поле
Весь навколишній світ складається з елементарних частинок матерії, що
безперервно рухаються і зв’язані між собою через матеріальне поле. Суку-
пність частинок матерії називають речовиною, а фізичний простір між ни-
ми, де існують поля різноманітної природи, - пустотою.
Для всіх частинок, як і тіл, що з них складаються, характерна механічна
взаємодія, яка виражається законом всесвітнього тяжіння. Однак існують
частинки матерії, котрим властива механічна взаємодія іншої природи.
Вона виявляється в силах відштовхування та притягання, значно більших
від сили тяжіння. Таку взаємодію назвали електромагнітною, а частинки
матерії, котрим притаманна зазначена властивість - електричними елеме-
нтарними частинками матерії.
Сьогодні відомі три види стабільних, тривало (практично вічно) існую-
чих частинок матерії: електрони, протони і нейтрони, з яких електрони і
протони - електричні частинки, а нейтрони - неелектричні. Причому ней-
трони тривало стабільні лише в ядрах атомів.
Фізичні властивості електричних елементарних частинок кількісно оці-
нюються поняттям електричного заряду. Електричний заряд і електромагні-
тне поле - це фундаментальні поняття, які досить важко визначити через те,
що на сучасному етапі розвитку науки їх не можна звести до простіших.
Електричний заряд елементарних частинок матерії не є якоюсь субстан-
цією, котру можна частково чи повністю відняти у них. Заряд частинки - це
кількісна міра її здатності до електромагнітної взаємодії. Тому вираз, що
елементарна частинка має електричний заряд, не слід сприймати буквально.
Ураховуючи наведене, можна запропонувати таке визначення. Електрич-
ний заряд елементарних частинок матерії є фізичною скалярною величи-
9
ною, що характеризує властивість їх обопільного відштовхування та при-
тягання з силою, значно більшою від сили гравітаційної взаємодії.
При цьому слід ураховувати, що електрони і протони - дві групи елект-
ричних елементарних частинок з протилежними властивостями. Частинки
однієї групи відштовхуються, а різних груп - притягуються. З цієї причини
для електричного заряду встановлено поняття його знака: заряду електро-
на приписують від’ємний знак, а протона - додатний. Якщо під час роз-
гляду явища враховують тільки електричні властивості електронів і прото-
нів, їх називають елементарними зарядами.
Електрон - єдина стабільна елементарна електрична частинка матерії з
від’ємним зарядом. Це найменший від’ємний заряд. Протон - єдина стабі-
льна елементарна електрична частинка матерії з додатним зарядом. Це
найменший додатний заряд.
Заряди електрона і протона однакові. Обидві частинки мають складну,
поки що не повністю пізнану внутрішню структуру зі своєрідними фор-
мами руху.
У певних умовах електрони і протони можна розглядати як такі, що зна-
ходяться у вільному стані. Однак, як правило, вони зв’язані між собою і
виявляються як системні утворення, як структурні елементи всіх атомів, а
отже, і тіл, що з них складаються. *
Якщо тіло містить однакову кількість рівномірно розподілених електро-
нів і протонів, то відносно зовнішнього простору воно нейтральне. За над-
мірної кількості зарядів будь-якого знака - тіло заряджене.
Електричний заряд тіла - це фізична скалярна величина, що характери-
зує стан тіла стосовно надлишку чи нестачі зарядів будь-якого знака.
Так само, як і для елементарних частинок, заряд тіла є кількісною харак-
теристикою його здатності до електромагнітної взаємодії.
Природною одиницею електричного заряду мав би бути заряд елемен-
тарної електричної частинки матерії: електрона чи протона. Однак ця оди-
ниця надзвичайно мала, і на практиці користуватись нею незручно. У сис-
темі фізичних одиниць СІ за одиницю електричного заряду прийняли ку-
лон (Кл), тобто такий заряд, який містить 6,2-1018 зарядів електрона.
Електричний заряд позначають літерою 2.
Елементарні електричні заряди, що безперервно рухаються, завжди ото-
чені матеріальним фізичним полем, яке забезпечує їх взаємодію й об’єднує
в різноманітні системні утворення. Це фізичне поле назвали електромаг-
нітним.
Електромагнітне поле є об’єктивно існуючим різновидом матерії, яке
має певні властивості. Деякі з них: маса, енергія, кількість руху - мають
такі самі властивості, що і частинки матерії.
10
Механічна дія на електричний заряд - основний вияв електромагнітно-
го поля, яке має досить складну природу. У різних умовах воно може ви-
являтися неоднаково, що враховано в його повному визначенні.
Електромагнітне поле - один із видів матеріального поля, одна з форм
руху матерії, це матеріальний фізичний процес, що відбувається у прос-
торі та часі і виявляється своєю дією на електричний заряд; характеризу-
ється наявністю в одному й тому ж просторі нерозривно пов’язаних між
собою електричного та магнітного полів.
1.2. Електричне поле. Напруженість електричного поля
Електричне поле - одна із форм електромагнітного поля. Воно виявляє
себе через механічну дію на пробний, нерухомий відносно спостерігача
електричний заряд, розташований у полі.
Дослідження електричного поля за допомогою пробного заряду пере-
конує, що механічна сила, яка діє на заряд, може бути характеристикою
інтенсивності поля. Однак, користуватись такою характеристикою незру-
чно, через те що вона залежить не тільки від властивостей поля в певній
точці, а й від значення пробного заряду.
Ураховуючи, що сила лінійно залежить від значення пробного заряду,
характеристикою поля в точці природно вважати відношення сили до
пробного заряду, який вважають додатним:
£ = //Єо-
Цю векторну величину Е назвали напруженістю електричного поля.
Слід ураховувати, що в наведеному виразі Е характеризує дію усіх заря-
дів, які створюють поле, за винятком дії пробного заряду:
Е=1іт^ = Д
де-ю д<2 й(<2
Щоб внесення пробного заряду в поле системи зарядів не спотворюва-
ло поле внаслідок перерозподілу зарядів, для визначення напруженості
поля використовують наведене вище граничне співвідношення.
Отже, напруженість електричного поля - це фізична векторна величи-
на, що є силовою характеристикою електричного поля в даній точці і об-
числюється як відношення механічної сили, яка діє на нерухомий позити-
вний пробний заряд, розміщений в цій точці, до значення заряду, за умо-
ви наближення останнього до нуля.
Напрям вектора напруженості збігається з напрямом механічної сили,
що діє на додатний заряд.
11
В електричному полі є можливість провести безліч ЛІНІЙ, У кожній точ-
ці яких вектор напруженості електричного поля буде дотичним. Такі лінії
назвали лініями вектора Е, або
інакше - електричними силови-
ми лініями. Частину поля усе-
редині будь-якої трубчастої по-
верхні, створеної сукупністю
силових ліній, називають труб-
кою поля (рис. 1.1).
Взаємодія точкових електри-
чних зарядів описується експе-
риментально встановленим законом Кулона, який стверджує;
1. Заряди одного знака відштовхуються, різних знаків - притяіуються.
2. Сила взаємодії зарядів пропорційна до значень цих зарядів.
3. Сила взаємодії зарядів обернено пропорційна квадрату відстані
між ними.
4. Напрям сили взаємодії зарядів збігається з лінією, що їх з’єднує
(рис. 1.2).
5. Сила взаємодії зарядів залежить від властивостей середовища, в
якому вони розташовані.
Ці положення записують формулою:
12і<2г *2і
Єг2 г12
/12 ~ /гі ~
Рис. 1.2
значення дорівнює 1/4л.
Тому
Звертаємо увагу на те, що силу
відштовхування умовно вважають
додатною.
Коефіцієнт к визначається вжи-
тою системою одиниць та раціо-
нальністю наступних електротех-
нічних формул. У системі СІ його
0-\0-2 Ґ21
4Л£Г2
або у скалярній формі
/= Є1Є2/4ЛЕГ2.
У формулюванні закону зазначено відстань між зарядами і те, що напрям
сили взаємодії збігається з лінією, яка з’єднує заряди. Це свідчить, що закон
12
Кулона справедливий лише для точкових зарядів. Точковими вважають заря-
ди, розміри яких досить малі порівняно з відстанями між ними.
Властивості середовища, де взаємодіють заряди, враховано величиною є.
Вона дістала назву діелектричної проникності середовища.
Скористаємось законом Кулона
для дослідження поля точкового х—>9 7* ДО Д/
заряду. При цьому будемо вважа- ( + )-------------------*•---------►
ти, що бі = б _ заряд, поле якого
досліджується, а <32 = д<2 - проб- Рис’13
ний заряд (рис. 1.3).
Відповідно до закону Кулона:
Д/=^
4лег г
Розглядаючи напруженість електричного поля як границю відношення
механічної сили до значення пробного заряду, коли остання наближаєть-
ся до нуля, одержимо:
Е = Ііт Е = -О-ї-
ає-л Д(2 4тгєг г
Запишемо попередню формулу в скалярній формі: Е - 0,І4к£.г\ звідки
є = О.Щ'Л.Ег2'. Останнє дозволяє визначити одиницю діелектричної прони-
кності речовини:
ІКд
1 В/м -1 м2
1 Кл
ІВІм
= 1 Ф/м.
Для пустоти Єо = 8,85 10'12 Ф/м і зветься електричною сталою.
Відношення є/Єо = єг називають відносною діелектричною проникністю
середовища. Вона показує, у скільки разів сила взаємодії зарядів у певно-
му середовищі менша від сили взаємодії цих зарядів у пустоті.
Досить важливим є питання про розрахунок напруженості електрично-
го поля у випадку, коли останнє створюється сукупністю зарядів. Якщо
якийсь ефект обумовлений декількома причинами, кожна з яких пов’я-
зана з відповідним окремим ефектом лінійною залежністю, то загальний
ефект дорівнює сумі окремих ефектів. Це перевірене практикою твер-
дження назвали принципом накладання. Природно, що для векторних ве-
личин сума має бути геометричною, а для скалярних - алгебричною.
Нехай, наприклад, поле створюють точкові заряди <2\, (22,..., (2п- Роз-
глянемо дію на пробний заряд кожного з них:
д/]=й^і; ...
4таг12 г 4таг22 г 4пег' г
13
Сила - це ефект, а заряд - причина, між ними - лінійна залежність. Викої
ристовуючи принцип накладання, одержимо: .д
Д/-Д/1+ДГ2 + ... + Д/„.
Поділимо останнє на Д(2 і перейдемо до границі, за умови, що Д<2 набли-
жається до нуля. Отже, запишемо: А
£ = + £2 +... Еп •
Напруженість поля, що створюється
декількома точковими зарядами, дорів-
нює геометричній сумі напруженостей
полів, створених кожним зарядом окремо.
Закінчимо розгляд напруженості елек-
тричного поля теоремою Гаусса. Визна-
чимо потік вектора напруженості \|/Е
(електричний потік) через замкнену по-
верхню 5, всередині якої знаходиться
точковий електричний заряд (рис. 1.4).
Спочатку розглянемо елементарний
потік вектора напруженості через еле-
мент поверхні (18:
</у£ = Е(18со&а = Есі8,
де Е - ()/4пег2, а (18 соз а = (18' = г2(1(й - елемент сферичної поверхні раді-
усом г, який видно з точки розташування заряду 0 під тілесним кутом Ло.
Ураховуючи це, б/нє. - потік елементарної конічної трубки,
4тгє
який не залежить від радіуса. Весь електричний потік через замкнену по-
верхню: ($(ІуЕ =-0— <$(!($= — .
’ ' 4те 1 є
5 5
Тут використано, що будь-яку замкнену поверхню видно зсередини під
кутом <^<а'со = 4л:.
Отже, потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку
замкнену поверхню в однорідному та ізотропному середовищі дорівнює
відношенню заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні, до діелект-
ричної проникності середовища:
($Е(Ї8=—.
3 £
14
Це формулювання теореми Гаусса. Слід зазначити, що:
1) теорема справедлива для однорідного та ізотропного середо-
вища, що дозволило під час доведення формули винести є за
знак інтеграла;
2) незважаючи на те, що теорему доведено для точкових зарядів, во-
на дійсна для будь-яких зарядів, оскільки останні можна подати
сукупністю точкових (за принципом накладання);
3) теорема дійсна для будь-якої замкненої поверхні;
4) під час визначення потоку враховуються лише внутрішні заряди
(зовнішні заряди не враховуються).
Використання теореми Гаусса дозволяє визначити напруженість елект-
ричного поля деяких полів та виявити їхні особливості. При цьому слід
пам’ятати про обмеженість застосування теореми, що пов’язано з інтег-
ральною формою запису її рівняння. Теорему Гаусса раціонально вико-
ристовувати у задачах, в яких потрібно визначити значення вектора Е за
відомого напряму цього вектора.
1.3. Робота сили електричного поля
Електричне поле здатне виконувати механічну роботу, наприклад, під
час руху електричних зарядів під дією сили поля, коли відбувається про-
цес перетворення однієї форми руху на іншу. Здатність таких перетво-
рень кількісно оцінюється енергією. Енергія розглядуваного поля дістала
назву енергії електростатичного поля, найпростішого виду електричного
поля, що створюється нерухомими відносно спостерігача зарядами.
Нехай заряд Д<2 рухається в електричному полі з напруженістю Е. По-
ле діє на нього з силою / = Д2Е. При цьому виконується робота, що за-
лежить також від напряму переміщення відносно напряму напруженості
поля, який враховано кутом а (рис. 1.5, а, б).
а б
Рис. 1.5
У загальному випадку криволінійного руху заряду в неоднорід-
ному полі робота обчислюється вздовж елементарних відрізків шля-
15
ху, які умовно вважають прямолінійними, а поле навколо них - од-
норідним:
ДЛ =/Д/со8а;
А = ]Г/Д/со$а = ^/д7;
(/> (/)
А=1іпіХ/лГ=|7л.
Отже, робота визначається як
лінійний інтеграл сили вздовж
деякого шляху (рис. 1.6).
Розглянемо поле точкового заряду
(), в якому переміщується заряд Д(2.
Визначимо роботу вздовж шляху АВ
(рис. 1.7):
в
Аав = А.О. ^ЕАІсоаа.
А
Використавши значення
Е = —та АІ сова = Аг,
4таг
одержимо:
^АВ
В
=де/
А
()Аг
4лег2
4ЛЕ(/А
Якщо шлях замкнений, то гА = гв, і робота сили поля дорівнює нулю. Це
положення має принципове значення. Як випливає з останньої формули,
робота сили поля лінійно залежить від значення заряду, який його ство-
рює. Отже, під час визначення роботи системи зарядів можна користува-
тись принципом накладання. Будь-яка система зарядів подається сукупні-
стю точкових.
16
Із зазначеного випливає:
- робота сили поля будь-якої системи зарядів вздовж замкненого шля-
ху завжди дорівнює нулю, що відповідає закону збереження енергії,
оскільки початковий стан поля (до переміщення заряду) і кінцевий
(після повернення його у вихідну точку) тотожні;
- силові лінії електричного поля не можуть бути замкненими, інакше
робота вздовж замкненого шляху не дорівнюватиме нулю;
- робота в електричному полі не залежить від форми шляху, а визнача-
ється його кінцевими точками:
ДЄ | ЕОЇ = ДЄ | ЕІЇ, або | Е4І = | ЕОІ.
АтВ АпВ АтВ АпВ
1.4. Електричний потенціал
Порівнюючи здатність поля виконувати роботу в різних точках, обчис-
лимо її за умови переміщення зарядів із різних точок поля в одну й ту са-
му фіксовану точку (рис. 1.8).
Ма=^Е41 = А0/(Ха,Уа,2аУ,
А
ДАв = ДЄрЛ = ДЄГ(Хв;Ув;2в);
В
ЛАМ=^\Е(ІІ=^(ХМ-,УМ-,2М).
м
Це не зовсім зручно, оскільки робота залежить не тільки від властивостей
поля, а й від значення заряду, що переноситься. Тому для енергетичної
характеристики поля ввели величину
.. ДА сІА
<р= 1іт---=---,
де-^о ДЄ й!Є
яку назвали електричним потенціалом поля в даній його точці.
17
Під потенціалом електричного поля розуміють фізичну скалярну вели-
чину, що є енергетичною характеристикою взаємодії зарядів у даній точ-
ці поля й обчислюється як лінійний інтеграл вектора напруженості поля
р __
вздовж довільного шляху від даної точки до фіксованої: <рА = $ЕсіІ.
А
Відповідно до визначення потенціал фіксованої точки є нульовим:
р _
фр = |ел=о.
р
Ураховуючи, що робота сили електричного поля не залежить від фор-
ми шляху, визначимо її, вибравши шлях з А у В через фіксовану точку Р
(рис. 1.9):
ДААв = Д2/ЕЙ;
л
ґ р в А
ДАав=ДЙ ^Е<11 + ^Е(Н =Дб(<рА-<рв);
кл Р )
ДА вґ —
Рис. 1.9
Останній вираз визначає поняття
різниці потенціалів між точками по-
ля А та В. Він же дозволяє визначити
одиницю потенціалу та різниці по-
тенціалів, яка дорівнює вольту (В).
Різниця потенціалів між двома
точками поля дорівнює 1 В, якщо
переміщення заряду 1 Кл між цими
точками супроводжується виконан-
ням роботи 1 Дж (Дж-джоуль).
Вважаючи точку В фіксованою, визначимо потенціал поля, що створює
точковий заряд, розташований у точці А. При цьому, враховуючи одер-
жані раніше співвідношення, запишемо:
ГА
ГВ,
Якщо фіксована точка розташована в нескінченності, тоді й потенціал
додатного заряду має у будь-яких точках навколишнього поля додатне
значення, а поле від’ємного заряду має в усіх точках від’ємний потенціал.
18
Між потенціалом та зарядом, що його створює, існує лінійна залеж-
ність, тому для розрахунку потенціалу поля складної системи зарядів ко-
ристуються принципом накладання.
Нехай поле створюють точкові заряди ()>, <22,
Тоді
а
Зауважимо, що складові
напруженості електричного
поля додаються геометрично,
а потенціали - алгебрично.
Як приклад розглянемо поле
електричного диполя - системи
жорстко зв’язаних між собою,
однакових за значеннями, про-
тилежних за знаком зарядів,
розташованих у просторі на
відстані д (рис. 1.10) за умови
Г»(1.
Ф.М =Ф1+Ф2 =
рпЛ=ф1+<Р2+...фп.
м
~0. _й г2-г}
4л£г2 4та І]Г2
+6
4л£т;
Ураховуючи, що гіг2 ~^\г2-г\~д соха,
одержимо
Оіісоза Есоза
Ф=--------5— = —----?->
4лег 4тгег
де плече диполя; Ре=()<і- електричний момент диполя.
Визначимо зв’язок між напруженістю електричного поля та потенціа-
лом в окремій його точці:
р _ р
Фм = ^ЕсіІ = |ЕсозаЛ; Есоза = Е1.
м м
Розглядаючи шлях як цілком визначену лінію на рис. 1.11, а, дістанемо:
Ф = |ЕЛсо8а = -|Есозои//.
/ іг
19
Після диференціювання цього виразу запишемо:
- -Есо&а. = -Еі.
Похідна потенціалу в будь-якому напрямі кількісно дорівнює проекції
напруженості поля на цей напрям, взятій з від’ємним знаком:
1) а = 0, Е | | (11 - лінія інтегрування збігається з силовою лінією:
Жр/Л = -Е; -<1<р = Еді.
Напруженість поля чисельно дорівнює спаду потенціалу на одиниці
довжини силової лінії; похідна потенціалу в цьому напрямі найбільша;
Л - —
2) а = —, Е1.СІІ - лінія інтегрування перпендикулярна до силової
лінії. Тоді ск^/сіі = 0; <р = сопхі.
Лінія інтеїрування в цьому разі збігається з лінією однакового потенці-
алу (еквіпотенціальною лінією).
Електричний потенціал є неперервною функцією координат, інакше б в
певних точках напруженість поля Е = -д^/сії була б нескінченно великою,
що фізично неможливо.
1.5. Електричний струм, напруга, електрорушійна сила
Електричний струм - це явище спрямованого руху носіїв елекіричних
зарядів (частинок або тіл), а також процес зміни електричного поля у
просторі.
Існують такі види електричного струму:
1) струм провідності - спрямований, або інакше, упорядкований рух
під дією електричного поля вільних (не зв’язаних жорстко з ато-
20
мами) електронів або іонів - структурних елементів провідного
середовища;
2) струм перенесення - існує в пустоті чи газах як рух заряджених
частинок або тіл, які не є структурними елементами середовища;
3) струм зміщення - має місце в діелектриках (у тому числі й в пус-
тоті) у разі зміни в них електричного поля. Він має дві складові:
струм поляризації, що є процесом створення електричних диполів
з нейтральних молекул у напрямі дії електричного поля, яке змі-
нюється, та струм зміщення в пустоті;
4) молекулярний струм - обумовлений рухом елементарних електрич-
них зарядів на орбітах атомів та власним обертанням, що
виявляється намагнічуванням речовини в магнітному полі.
З фізичної точки зору існують лише два види електричного, струму:
один - пов’язаний з рухом елементарних заряджених частинок, а інший -
це струм у пустоті у разі зміни в ній електричного поля.
Визначимо кількісну характеристику електричного струму на прикладі
струму провідності. Розглянемо провідник з електричним струмом, в
якому за час Аг через будь-який перетин 5 проходить заряд А (9. Перейде-
мо до границі:
.. де •
11ГП--=-----= І.
М-Л Дг сії
Величину і називають мірою електричного струму, або просто елект-
ричним струмом.
Отже, під електричним струмом будемо розуміти фізичну скалярну
величину, що є кількісною характеристикою явища електричного струму,
її обчислюють як границю відношення заряду, що переміщується через
перетин провідника за будь-який проміжок часу, до розміру цього промі-
жку, за умови наближення його до нуля.
Струму, як скалярній величині, приписують додатний чи від’ємний
знак, який визначає напрям переміщення зарядів відносно перетину, що
розглядається. За напрям струму (так історично склалося) беруть напрям
руху позитивних зарядів, протилежний напряму руху частинок, які ство-
рюють струм провідності в металах, - електронів.
Одиницею струму є ампер (А):
И=ІШ; ш=1£і=1л.
[г] 1с
Отже, 1 А - це такий незмінний за часом струм, коли через перетин
провідника за 1 с проходить 1 Кл електричного заряду. Цю одиницю
застосовують не тільки для струму провідності, а й для струмів інших
21
видів. Струми різних видів вважають тотожними, якщо вони створю-
ють однакові магнітні поля.
Для тривалого існування електричного струму провідності необхідні
провідне середовище та електричне поле в ньому. Тобто в замкненому про-
відному середовищі повинна бути зона, в якій має місце роз’єднання зарядів
силами, протилежними кулонівським. Такі сили, здатні роз’єднувати заряди
протилежних знаків, називають сторонніми електричними силами.
Проходження струму в провідниках супроводжується нагріванням
останніх, тому робота сторонніх сил вздовж замкненого контуру струму,
на відміну від роботи сили взаємодії, не дорівнює нулю. Отже, джерело
сторонньої сили, яке створює електричний струм, одночасно має бути й
джерелом електричної енергії, здатним компенсувати її втрати в провід-
ному середовищі.
Сукупність середовищ, які складають замкнений шлях для проходжен-
ня електричного струму, називають електричним колом.
Для тривалого існування електричного струму:
1) електричне коло має бути замкненим;
2) в електричному колі має бути джерело енергії, в якому діють сторонні
сили, здатні роз’єднувати електричні заряди протилежних знаків.
Стороннє електричне поле. Роз’єднання зарядів у джерелах електрич-
ної енергії обумовлене процесами перетворення різних форм руху (меха-
нічного, теплового, хімічного і т. ін.) на електричний. У теорії електричних
кіл немає потреби розглядати всю сукупність джерел енергії. Більш доціль-
но подавати їх узагальнено як об’єкти, здатні створювати електричний
струм за допомогою сторонніх сил.
Матеріальний фізичний процес, що відбувається в певній ділянці прос-
тору і виявляється в дії сторонніх сил на електричний заряд, називають
стороннім електричним полем.
Сумарне електричне поле. Усередині джерела одночасно існують і поля
взаємодії зарядів, і стороннє електричне поле. Таку сукупність полів нази-
вають сумарним електричним полем. Стороннє та сумарне електричні поля,
як і поле взаємодії зарядів, кількісно характеризуються напруженістю *
е-Я.
_* в НА
Як показано раніше, <І£юії/=0, або |Еюії/ = <рд -<рв = ——. Однак, на
' _ А
відміну від поля взаємодії, 0.
І
22
Те саме можна зазначити й щодо сумарного електричного поля, для якого
характерно:
/сум = Лз + 7ст = 4 + 4 <рсум * 0 •
1
І в сторонньому, і в сумарному полях робота сили щодо переміщення
заряду вздовж замкненоі-о шляху є відмінною від нуля і залежить від
шляху. Тому названі поля не належать до потенціальних.
Для кількісної характеристики цих полів введено поняття: різниці потен-
ціалів (<рА - фв) для поля взаємодії зарядів, електрорушійної сили е для сто-
роннього електричного поля та електричної напруги и для сумарного поля.
Різниця потенціалів - це фізична скалярна величина, що характеризує
поле взаємодії з енергетичного боку, яка чисельно дорівнює лінійному
інтегралу вектора напруженості цього поля вздовж довільного шляху між
двома точками в полі:
Фл-Фв = рВз^=^--
Ця ж величина чисельно дорівнює границі відношення роботи, виконуваної
силами взаємодії зарядів щодо переміщення заряду вздовж деякого шляху
між цими точками, до значення заряду, коли остання наближається до нуля.
Електрорушійна сила (ЕРС) - це фізична скалярна величина, що харак-
теризує стороннє електричне поле з енергетичного боку, або інакше, -
його здатність створювати в електричному полі електричний струм, яка
чисельно дорівнює лінійному інтегралу вектора напруженості сторонньо-
го електричного поля вздовж заданого шляху між двома точками в сто-
ронньому полі:
Електрична напруга - фізична скалярна величина, що характеризує
сумарне електричне поле з енергетичного боку, яка чисельно дорівнює
лінійному інтегралу вектора напруженості сумарного поля вздовж зада-
ного гшгяху між двома точками в цьому полі:
4 Л-^Аум
«АВ щ
Одиницею ЕРС та електричної напруги є вольт (В). Наголошуємо, що
електрична напруга на ділянці поля поза джерелами електричної енергії є
різницею електричних потенціалів.
23
Розглянемо замкнений контур, який проходить всередині джерела елек-
тричної енергії (джерела ЕРС), як показано на рис. 1.11,6. Для нього
\Епаі = е.
І І ВпА
Отже, ЕРС можна визначати як
4 Е^І = ^Е^І = е.
І І
З другого боку,
£=4^=4^+/^.
І ВпА АтВ
Будемо вважати, що струму у джерелі немає. Оскільки всередині дже-
рела середовище провідне, відсутності струму відповідає відсутність су-
марного електричного поля: Е^ = Е„+ Еш= 0 - стороннє поле повністю
компенсується полем зарядів, які накопичуються біля полюсів джерела,
тому
АтВ АтВ
Отже, якщо струму у джерелі немає, його ЕРС збігається з напругою між
полюсами, яка звичайно розглядається поза джерелом.
1.6. Густина електричного струму.
Принцип неперервності електричного струму
Електричний струм, як кількісна
характеристика явища електричного
струму, - величина скалярна і стосу-
ється всього перетину провідника чи
деякої частини простору, де існує
струм. Проте у ряді практичних ви-
падків важливо знати закон розподі-
лу струму по перетину. Розглянемо
струм в околі точки М перетину про-
відника з електричним струмом, роз-
ташувавши у точці М елементарну
площину Д5 (рис. 1.12); вектор V по-
казує напрям переміщення зарядже-
них частинок.
Електричний струм через цю площину Ді = Д^/Дг залежить як від інтен-
сивності струму в перетині, так і від самої площини. Для того, щоб точ-
24
кова характеристика електричного струму не залежала від розміру пло-
щини та її орієнтації, розташуємо площину нормально до напряму пере-
міщення зарядів і розглянемо граничне співвідношення:
Д/ V Оі V :
Ііт-----=------= з.
ла->оД5У 03 V
Якщо напрям переміщення зарядів збігається з нормаллю до площини, в
загальному випадку запишемо: У = Оі/ОЗ.
Векторну величину У назвали густиною електричного струму. Під гус-
тиною електричного струму розуміють векторну фізичну величину, що є
точковою характеристикою електричного струму, яка чисельно дорівнює
границі відношення електричного струму через елементарну площину,
розташовану в даній точці перпендикулярно до напряму руху зарядів, до
розміру цієї площини, коли остання наближається до нуля, й спрямовану
в бік руху позитивних зарядів.
Відповідно до визначення одиниця густини електричного струму
[Л=-Ц- = 1 А/м2.
їм2
Величину Оі в загальному випадку визначають як
аі=]аз = а аз соя а,
звідки і = рОЗ = |Усо8а<75.
і 5
Це дозволяє стверджувати, що електричний струм через деяку поверхню
є потоком вектора густини струму через неї.
Розглянемо більш докладно поняття густини електричного струму сто-
совно зазначених раніше його видів.
1.6.1. Густина струму провідності
За постійної температури провідного середовища густина струму про-
відності пропорційна напруженості електричного поля. Математично це
записують так:
Лф=7£суМ=ї(^»з + £СТ)-
Останнє співвідношення визначає зв’язок між густиною електричного
струму й напруженістю електричного поля в точці провідного середови-
ща і називається законом Ома в диференціальній формі.
Електричні властивості середовища враховано величиною у - питомою
провідністю середовища, яка, як відомо з фізики, може бути визначена за
формулою: у = п^^т/іто.
25
У вираз для у входять константи (Зой т0 (відповідно електричний заряд
і маса однієї частинки), які не залежать від властивостей середовища, та
и0 й Т - що є характеристиками середовища. Ці величини: и0- число віль-
них, не зв’язаних з атомами елементарних зарядів в одиниці об’єму, і
Т - середній час вільного пробігу елементарного заряду. Час залежить від
властивостей середовища й, окрім того, від його температури.
З підвищенням температури по зростає, а Т - зменшується, тому що збі-
льшується швидкість теплового руху. Залежно від того, який фактор пе-
реважає, у у разі підвищення температури може або зменшуватись, або
зростати.
Одиницею питомої провідності є сименс на метр (См/м). У теоретичній
електротехніці часто використовують величину, обернену до питомої
провідності р = 1/у, яку назвали питомим опором середовища.
Питома провідність, а отже, і питомий опір провідників, залежать від
температури цих провідників. Урахувати такий фактор можна, скористав-
шись формулою:
рв = р[1+а(0-0о)],
якщо залежність опору від температури лінійна. Тут р@, р - питомий опір
провідника відповідно за кінцевої 0 і початкової бо температур; а - темпе-
ратурний коефіцієнт опору.
Одиницею питомого опору є ом-метр (Ом м).
1.6.2. Густина струму перенесення
Під струмом перенесення розуміють явище перенесення електричних
зарядів зарядженими частинками або тілами, що рухаються у вільному
просторі, швидкість яких не пропорційна напруженості електричного по-
ля Е. У разі вільного руху зарядженої частинки в електричному полі на-
пруженості пропорційне її прискорення. Отже, густину струму перене-
сення обчислюють за формулою:
4р=Р^
з якої випливає, що вона пропорційна швидкості переміщення частинок
та їх об’ємній густині, яку теж позначають літерою р.
1.6.3. Густина струму електричного зміщення
Електричне поле в діелектрику обумовлює явище поляризації, яке по-
лягає в утворенні електричних диполів з нейтральних молекул та атомів.
Диполі виникають як результат зміщення центрів зарядів, протилежних
за знаком, через деформацію орбіт електронів. Таку поляризацію діелект-
риків називають електронною.
26
Якщо атоми чи молекули діелектрика полярні, тобто є диполями ще до
появи електричного поля, їх поляризація полягає в орієнтації осі диполів
у напрямі дії поля. Таку поляризацію називають орієнтаційною.
У кристалах має місце іонна поляризація. Вона полягає у зміщенні ґрат
додатних і від’ємних іонів.
Кількісно ступінь поляризації речовини в будь-якій точці оцінюють
граничним відношенням значень зарядів, що зміщуються в процесі поля-
ризації через площину, перпендикулярну напряму зміщення, до розміру
площини, за умови наближення її до нуля:
л$->о Д5 (18
Цю векторну величину називають поляризованістю речовини. Ті напрям
збігається з напрямом зміщення додатних зарядів. Поляризованість речо-
вини залежить від інтенсивності поля і може бути визначена як: Р - уЕ,
де X - діелектрична сприйнятливість речовини.
Сумарне значення заряду, що зміс-
тився в результаті поляризації через
замкнену поверхню (рис. 1.13), розра-
ховують інтеїруванням:
& = Рд$ = Р„с18; 2' = <рґ/5.
5
Оскільки до зміщення зарядів діелект-
рик був нейтральним, то у разі виходу
зарядів з об’єму, обмеженого замкне-
ною поверхнею, біля зарядженого тіла
з’явиться заряд протилежного знака:
ц = - 2'. Наявністю заряду ц і поясню-
ється вплив середовища на взаємодію
зарядів. У формулах цей вплив враховується величиною Є чи ц'.
Наприклад, у теоремі Гаусса
1 є єо
Ураховуючи заряд поляризації, теорему Гаусса для діелектрика запи-
шемо так:
с£(є0Е + РІОЗ = (), або = <2,
5 5
де 2 - вільний заряд, що знаходиться всередині замкненої поверхні;
О = (є0Е + Р) - вектор електричного зміщення.
27
У процесі встановлення поля всі три величини, пов’язані останнім ви-
разом, будуть функціями часу. Тому:
аг> аЕ ар
ас 0 ас ас
ар
Доведемо, що---є густиною струму поляризації
ас
а&_а
аі =—~
ас ас
<ІР„
ас
ар„
=-(рпаз)=^-аз- —=а,
аі ас аз 1
ас
ар
Отже, густина струму поляризації У = —. Цілком природно припустити,
ас
аЕ „
що и доданок Єо — також є густиною струму, який має місце в пустоті у
ас
разі зміни поля. Дійсно, такий струм існує. Він виявляє себе утворенням
„ аЕ •-
магнітного поля. Якщо Єо— = Уо - густина струму зміщення в пустоті, то
ас
„ аг> ~ у, у
и сума — = а0 + } = Узм є густиною струму зміщення. Отже, струм змі-
ас
щення визначають як ізм = |?змс/5 = аЗ = — $Е>аЗ- Струм зміщення в
х 5 а ас 5
цілому та його складові (струм поляризації та струм зміщення в пустоті)
мають місце тільки у разі зміни електричного поля в просторі. Якщо ін-
тенсивність поля є сталою величиною (не залежить від часу), то ці струми
відсутні.
1.6.4. Принцип неперервності електричного струму
Ураховуючи струм зміщення, можна вважати лінії струму замкненими.
Якщо існує тільки струм провідності, а інших струмів немає, то замкне-
ними є лінії цього струму. Якщо має місце тільки струм зміщення, то за-
мкнені його лінії струму. Якщо ж існують обидва струми, то лінії струму
провідності, обриваючись, переходять у лінії струму зміщення (чи навпа-
ки), створюючи загальну замкнену лінію струму.
Розглянемо процес внесення заряду на тіло струмами провідності та
перенесення (рис. 1.14): іиер + іцр = ~а()іас. Від’ємний знак означає, що
заряд вноситься всередину поверхні
'зм=— •
асі <*1
28
З двох останніх виразів випливає, що повний
струм, який проходить через замкнену повер-
хню: і - і,Ф + /пер + Ьм = 0. У загальному випад-
ку, коли існують всі три види струму
^7^ = ^(7пр+71,ер + 7зми5=о.
5 5
Цю фізичну властивість струму - завжди бути
за своєю природою замкненим - називають
принципом неперервності електричного струму.
Вираз <^7с/5 =0 означає, що повний струм, який проходить через будь-
5
яку замкнену поверхню, дорівнює нулю. Якщо ж струм зобразити певною
кількістю ліній струму, то відповідно до принципу неперервності кіль-
кість ліній струму, що входять у замкнену поверхню, дорівнює кількості
ліній струму, що виходять з неї.
1.7. Закони електричного кола
1.7.1. Закон Ома
Для того, щоб знайти інтегральне співвідношення, скористаємось одер-
жаною раніше залежністю між густиною струму провідності та напруженіс-
тю сумарного поля 7пр = уЯ ,
яку називають законам Ома в
диференціальній формі.
У провідному середовищі з
електричним струмом виділимо
елементарну трубку струму
(рис. 1.15) й розглянемо її час-
тину, що знаходиться під де-
якою напругою. У кожній точці
цієї трубки 7 = уЕ^ , тому
Рис. 1.15
|Е Л = (4// = Г—— = Лі (— = — = и.
1 /у >а8 у № ас^
Оскільки через будь-який перетин трубки проходить один і той самий
струм, аі винесли за знак інтеграла.
Провід скінченних розмірів є сукупністю елементарних трубок струму
(див. рис. 1.15), що знаходяться під однією й тією самою напругою. У
такому разі
29
І = [<Я = = и = иО =
5 5 5 К
Величину К назвали електричним опором про-
відника, а ^-С - електричною провідністю.
Одиниця електричною опору - ом (Ом), одини-
ця електричної провідності - сименс (См).
В окремому випадку циліндричного одно-
рідного проводу з незмінним перетином
(рис. 1.16):
_ 1 Г П - 1 -V18
^у<75 у<75^ І
І І І 1 Р1 0 8
Отже, для будь-якого провідника із струмом справедливе співвідно-*
шення и = іК, яке є законом Ома в інтегральній формі.
1.7.2. Перший закон Кірхгофа
Застосуємо принцип неперервності
електричного струму в околі будь-якої
точки середовища з електричним струмом
(рис. 1.17).
Розглянемо елементарну замкнену по-
верхню з цією точкою поля всередині й
визначимо, що
(р’с/5
Ііпт —-------- сііу} = 0.
дг-я ДІ/
Цей вираз назвали першим законом Кірхгофа в диференціальній формі.
Він дійсний для будь-якої точки простору з електричним струмом.
Тепер застосуємо принцип неперервності електричного струму до труб-
ки струму (див. рис. 1.15). Вона обмежує поверхню
5 = -ь 5і + 52,
де 5о - бічна поверхня; 5; та 52 - перетини?
Стосовно трубки струму перший закон Кірхгофа запишемо так:
<рс/5 = | Л/5 + рб/5 + 1Л/5 = 0.
5 50 52
ЗО
Враховуємо, що 1 ± б/50, тому 1М8 = 0.
Позначивши Лі, = а Лі2 = ^1<18, одержимо: Дії + Лі2 = 0, звідки
5, 52
випливає, що І Ай І = І Ай І, тобто через будь-який перетин трубки стру-
му проходить один і той же струм.
Будь-який провідник з електричним струмом також є трубкою струму,
тому І й І = 1'21 - 1'1 ~ перший закон Кірхгофа для трубки струму,
справедливий і для провідника зі струмом.
Розглянемо випадок проходження електричного струму через провідни-
ки, що сходяться в загальну точку, яку називають вузлом електричного
кола. (Вузол - частина електричного кола, в якій з’єднуються більше ніж
два провідники). Узявши за замкнену поверхню інтегрування (рис. 1.18, я)
поверхню 8 = 8о+ 8і + 8к+ 8п, одержимо:
Рис. 1.18
Звідси маємо перший закон Кірхгофа для вузла електричного кола в інте-
гральній формі:
к=1
Алгебрична сума струмів, що сходяться у вузлі електричного кола, дорів-
нює нулю, або інакше, сума струмів, які підходять до вузла, дорівнює су-
мі струмів, що виходять з нього.
Принцип неперервності електричного струму застосовується й до пе-
ретину електричного кола (рис. 1.18,5), під яким розуміють сукупність
віток, видалення яких призводить до поділу електричного кола на дві
окремі частини.
31
Закон Кірхгофа для перетину електричного кола стверджує, що алгеб-
рична сума струмів віток, які належать до будь-якого перегину кола, до-
рівнює нулю:
В окремому випадку (рис. 1.18, в) ц +іг = 0, або і і = -і2.
Узагальнений запис першого закону Кірхгофа для будь-якого електрич-
ного кола з пвз вузлів і мв віток:
=0; к= 1, 2, ..., мвз;
у=і
ац = 0 - якщо віткау не під’єднана до вузла к;
акі = 1 - якщо струм вітки у відходить від вузла к;
ак; = -1 - якщо струм вітки у підходить до вузла к.
Перший закон Кірхгофа має топологічний характер. Він не залежить
від фізичного стану віток, а враховує лише геометричну структуру елект-
ричного кола.
1.7.3. Другий закон Кірхгофа
Запишемо напруги віток контуру електричного кола (рис. 1.19) через
потенціали вузлів:
мі = Фі— Фг>
и2 = Фг — Фз’>
«з = Фз - Фг;
Додавши ці рівняння, одержимо:
«г=Фг-фл;
ЇХ=о.
=ф„-Фі
Алгебрична сума напруг віток замкненого контуру дорівнює нулю - це
одне з формулювань другого закону Кірхгофа.
Другий закон Кірхгофа підтверджує рівняння, складене для замкненого
контуру за законом Ома:
^М=±ікКк
к=\
32
Урахувавши викладене, потенціальні рівняння для контуру
(див. рис. 1.19) запишемо так:
Ф1 ~Ф2 + ~ еі’>
Фг ~ Фз ~ е2 ’
ф3 = ф4 + «з/?3 — е3;
ф4=фл-«Л;
фп=Фі-іЛ.-є„.
Додавши їх, одержимо:
Єї - Є2 + е3 + еп = /'17?1 - І2ІІ2 + І3К3 - ік^к - Іціїп-
п п
Узагальнюючи останнє, запишемо =^/4Т?4 - що і є другим законом
к=1 к=1
Кірхгофа-. алгебрична сума ЕРС усіх віток замкненого контуру дорівнює
алгебричній сумі напруг на опорах цих віток.
Під час складання рівнянь треба приписувати додатний знак ЕРС,
напрям якої збігається з напрямом обходу за контуром, і від’ємний
знак - якщо не збігається. Аналогічне правило для напруги: якщо
струм в опорі збігається з напрямом обходу за контуром, її беруть з
додатним знаком, у протилежному випадку - з від’ємним.
33
1.7.4. Закон Джоуля - Ленца
Рис. 1.20
Проходження електричного струму су-
проводжується виконанням силами електри-
чного поля певної роботи. Розглянемо ділян-
ку електричного кола, через яку проходить
струм (рис. 1.20). Згідно з визначенням елек-
тричної напруги робота, яка виконується під
час переміщення одиниці заряду між точка-
ми А і В, дорівнює и.
Якщо струм цієї ділянки дорівнює і, то за
час Лі проходить заряд Лд = іЛі, тому робота ЛА -- иЛд = иіЛі.
За умови, що ділянка кола є нерухомим провідником, тобто механічна
робота дорівнює нулю і не відбувається випромінення та накопичення
енергії чи хімічних реакцій, вся ця робота перетворюється на теплоту, яка
виділяється у провіднику. Швидкість надходження енергії, тобто миттєва
потужність:
р = ЛА/Лі = иі.
Це співвідношення називають законом Джоуля - Ленца. Одиницею по-
тужності є ват (Вт).
Отже, миттєва потужність р певної ділянки кола дорівнює добутку
миттєвих значень напруги і струму. Якщо р > 0, це означає, що ділянка
одержує енергію від зовнішньої частини кола. Інакше - вона віддає (ге-
нерує) енергію до зовнішньої ділянки кола.
Застосуємо закон Джоуля - Ленца до
фізично нескінченно малого елемента
об’єму ЛУ (рис. 1.21) провідного сере-
довища, в якому проходить електрич-
ний струм. Потужність, що визначає
енергію, яка перетворюється на тепло-
ту в цьому об’ємі: Лр = ЛиЛі.
Підставляючи у цей вираз значення
Ли = ЕЛІ; Лі - ЛЛз; Л - уЕ; ЛУ - ЛІЛз,
отримаємо: Лр = ЕЛІЛЛз = уЕ2ЛУ.
Ця потужність, віднесена до одиниці об’єму, дорівнює:
р' = Лр/ЛУ = уЕ2 = ЛЕ.
Останнє співвідношення визначає закон Джоуля - Ленца в диференціа-
льній формі.
34
Закон дозволяє визначити віднесену до одиниці об’єму потужність пе-
ретворення електричної енергії на теплову в будь-якій точці провідника,
якщо відомі іустина струму У і напруженість електричного поля Е в цій
точці.
1.8. Основні поняття та закони магнітного поля
1.8.1. Магнітне поле
Магнітне поле - одна з форм вияву електромагнітного поля. Воно зав-
жди існує навколо електричного струму, нерозривно з ним пов’язане і
виявляє себе дією тільки на рухомі заряди. Наявність магнітного поля в
даній ділянці простору виявляється за допомогою незарядженого провід-
ника з електричним струмом, який вносять у досліджуваний простір. Як-
що на такий провідник діє сила, це свідчить про наявність магнітного по-
ля, оскільки на незаряджений провідник електричне поле не діє.
Механічна дія магнітного поля на сталі магніти й магнітну стрілку по-
яснюється наявністю в них молекулярних струмів - причини сталого маг-
нетизму.
1.8.2. Магнітна індукція
Експериментально доведено, що механічна дія магнітного поля на рухо-
мий електричний заряд залежить від значення заряду, його полярності, від
швидкості й напряму руху, а також від інтенсивності поля. Напрям сили
завжди перпендикулярний до напряму швидкості рухомого заряду. Крім
того, сила перпендикулярна ще до одного визначеного для даного поля на-
пряму, в загальному випадку неоднаковому в різних точках. Сила стає мак-
симальною, якщо заряд рухається перпендикулярно до цього напряму. За
іншого напряму руху сила зменшується, причому за синусоїдним законом
залежно від кута між зазначеними напрямами. Останнє свідчить про спря-
мованість дії магнітного поля, тобто маїнітне поле в кожній його точці мо-
же бути охарактеризоване векторною величиною.
Експерименти підтверджують, що Д/тах = ВД<2К Де В - модуль вектора
магнітної індукції - характеристика поля в цій точці. Отже,
В = Д/тах/ДС^. У загальному випадку неоднорідного поля й скінченних
значень носіїв заряду цей вираз уточнюється таким записом:
В = Ііт тах ^~тах
лє-л Д£>у дду ’
Вектор магнітної індукції В, на відміну від сили, яка теж характеризує
поле в певній точці, не залежить від значення пробного заряду та його
швидкості. Він не має залежати і від напряму руху пробного заряду.
35
За напрям В вибирають такий напрям у просторі, який характеризую-
чи поле, визначає напрям механічної сили. Сила завжди перпендикулярна
до цього напряму й напряму руху заряду (рис. 1.22, а).
Отже, магнітна індукція - фізична векторна величина, що є силовою
характеристикою магнітного поля в даній точці і чисельно дорівнює гра-
ниці відношення механічної сили, що діє на рухомий заряд, до добутку
заряду на його швидкість, якщо значення заряду наближається до нуля і
заряд рухається в такому напрямі, що ця границя має найбільше значен-
ня. Магнітна індукція спрямована перпендикулярно до механічної сили й
до напряму руху заряду так, що вектори сі], V і В утворюють правогви-
нтову систему.
Одиниця магнітної індукції - тесла (Тл):
„„ ІН-Іс ІВ-ІАІс ІВ-Іс іт
ІА-іс-Ім ІА • 1 мім їм2
Визначимо магнітну індукцію через елемент провідника з електричним
струмом (рис. 1.22, б):
^У =іс!і— = ісй.
сії
При цьому В = Ііт ^тах = .
д/->о /Д/ ісіі
Отже, силу, що діє на рухомий заряд у магнітному полі, визначають так:
# = сі()[УВ] або $ = І[ЙІ В].
Для прямолінійного провідника, який рухається в однорідному магнітно-
му полі за умови, що сії ± В, записують:/= ВИ.
Напрям сили зручно визначати, користуючись правилом лівої руки; як-
що руку розташувати так, щоб струм йшов від ліктя до пальців, а магнітні
лінії входили в долоню, то великий палець вкаже напрям сили.
36
Частину магнітного поля, що знаходиться всередині трубчастої поверх-
ні, створеної сукупністю магнітних ліній, назвали магнітною трубкою.
Потік вектора магнітної індукції дістав назву магнітного потоку.
Ф = ^ВгіЗ = |Всоха</5
5 5
або сІФ = В(18 = Всо5О.(і8.
Якщо магнітна індукція перпендикулярна до площини перетину, через
яку розглядається потік (соха = 1) В = ііФ/с18, тобто магнітна індукція чи-
сельно дорівнює густині магнітного потоку.
Одиниця магнітного потоку - вебер (Вб):
[ф] = 2АІ£1 м2 = 1 В 1 с = 1 Вб.
1 м
Фізичною властивістю магнітних ліній і трубок магнітного поля є зам-
кненість, що виражається принципом неперервності магнітного потоку.
(рЛ5=0.
5
Наслідком цього є незмінність магнітного потоку у будь-якому перети-
ні трубки поля.
1.8.3. Явище і закон електромагнітної індукції
Велике практичне значення має властивість магнітного поля роз’єдну-
вати заряди різних знаків у провідниках, що рухаються у полі. На позитивні
й негативні заряди у провіднику з боку магнітного поля діють сили проти-
лежних напрямів, які їх роз’єднують. Такі сили можна назвати сторонніми:
#=<1<2]УВ]-, Е„=^-=[УВ}.
“0.
Індуковану у провіднику ЕРС визначають як
е = |ЕСГ Л = |[УВ\ОЇ, або Ле = \УВ}41.
І І
Для окремого випадку, коли У = сопзі, В = сонзі, В ± V і провідник пря-
молінійний: е = ВІУ. Напрям індукованої ЕРС визначають за правилом
правої руки-, руку розташовують так, щоб магнітні лінії входили в доло-
ню, а великий палець вказував напрям руху, тоді ЕРС буде спрямована
від ліктя до пальців (рис. 1.23).
Розглянемо замкнений контур з провідного матеріалу, що рухається у
магнітному полі (рис. 1.24).
37
Нехай внаслідок руху контур за час <іі змістився на відстань дт. При цьо-
му він опише поверхню, через яку магнітний потік
сІФ = $Вс18 = $В[дт(ЇІ] = <^[В0т]7і = -^[атВ]ОІ =
8 1 І І
= -^[УдіВ]дІ = -ді^[УВ]д! = -е<В.
і і
Явище виникнення ЕРС у провіднику, що рухається в магнітному полі
або знаходиться у змінному магнітному полі, називають явищем елект-
ромагнітної індукції, а створювану при цьому ЕРС - індукованою. Одер-
жана залежність е = -дФ/ді дістала назву закону електромагнітної індук-
ції (1831 р. експериментально відкритий Фарадеєм).
Закон встановлює, що ЕРС, яка виникає у замкненому контурі в проце-
сі електромагнітної індукції, чисельно дорівнює взятій з від’ємним зна-
ком швидкості зміни магнітного потоку, зчепленого з контуром.
1.8.4. Зв’язок електричного струму з магнітним полем
За допомогою пробного конту-
ру можна встановити картину ма-
гнітного поля струмів (рис. 1.25).
Так, навколо прямолінійного про-
відника з електричним струмом
магнітні лінії - кола, напрям яких
створює зі струмом правогвинто-
ву систему (рис. 1.25, а). Картину
поля котушки зі струмом наведе-
но на рис. 1.25, б.
Виміри показують, що для лінійного провідника Всії = ± Цо/, де
і
Цо = 4п-10“7 - магнітна стала, Гн/м; І - контур інтегрування, зчеплений зі
струмом І.
38
Знак «+» відповідає випадку, коли напрям контуру інтегрування ство-
рює з напрямом струму правогвинтову систему.
Для котушки з кількістю витків гг маємо:
<^Ваі = Цомч.
і
1.8.5. Намагнічення та намагніченість речовини
Рух електричних зарядів у межах атомів і молекул є електричним струмом,
який назвали молекулярним. Молекулярні струми, як й інші види струмів,
оточені зв’язаним з ними магнітним полем. У звичайному стані середовищ і
тіл молекулярні струми не виявляють магнітної дії через хаотичний напрям
їхнього руху. У разі появи зовнішнього магнітною поля молекулярні струми
намагаються розташуватись відповідно до напряму його дії.
Орієнтацію молекулярних струмів згідно з напрямом дії зовнішнього
магнітного поля називають намагніченням речовини. Кількісно воно ха-
рактеризується намагніченістю.
Під намагніченістю речовини розуміють фізичну векторну величину,
що характеризує намагнічення речовини, яке чисельно дорівнює сумі мо-
лекулярних струмів, що припадає на одиницю довжини лінії, проведеної
через дану точку в просторі так, щоб ця сума була найбільшою: напрям
вектора намагніченості М пов’язаний з напрямом молекулярних струмів
за правилом правого гвинта. Модуль цього вектора:
,, .. Аг' сії
М = 11Ш — = —.
д/ аі
Граничне співвідношення характеризує явище в даній точці, якщо його
інтенсивність у просторі змінюється.
Якщо МЦаі, то йі' = Маї. В інших випадках аі’ = Маїсоьа. = Маї. Для
лінії скінченної довжини молекулярний струм
1.8.6. Напруженість магнітного поля
Скористаємось встановленим раніше зв’язком між струмом та магніт-
ним полем. У загальному випадку, коли контур інтегрування проходить
частково через речовинне середовище, слід ураховувати молекулярні
струми (рис. 1.26):
(| ваІ = Цогг( + цог',
АтСпА
39
де Г - сумарний молекулярний струм, зчеплений з контуром інтегруван-
ня: і'= І М<М= М сії, оскільки на відрізку АпС речовини, що нама-
АтС АтСпА
нітне поле в даній його точці.
Ураховуючи це, С» ---—— \ аІ = ит.
Н Но )
Введемо позначення: Н =----к—.
Но
Отже, <^НсіІ = т.
Векторну величину Н назвали напруже-
ністю магнітного поля.
Напруженість магнітного поля - фізИЧМ
векторна величина, що характеризує маг-
Характерною особливістю напруженості магнітного поля є те, що її лі-
нійний інтеграл вздовж будь-якого замкненого контуру чисельно дорівнює
зовнішньому струму, що пронизує поверхню, яка спирається на цей кон-
тур. Молекулярні струми враховуються при цьому самим вектором Н .
Лінійний інтеграл <^НсІІ = т = Е називають магніторушійною силою
і
(МРС), або намагнічувальною силою. МРС може розглядатись як причина
існування магнітного поля.
в _
Для відрізка шляху АВ у магнітному полі ^Нсіі = РАВ є магнітною на-
А
пругою вздовж лінії АВ.
Одиниця напруженості магнітного поля - ампер на метр (А/м):
[Я]=— = 1А/м.
1 м
1.8.7. Закон повного струму
Електричні струми різної природи однаково здатні створювати магніт-
не поле. Це слід ураховувати, визначаючи лінійний інтеграл вектора на-
пруженості магнітного поля:
4^^='пр+'Пер+4м=«-
1
Струм і =іар + іпер + і» будемо називати повним.
40
1,8.8. Зв’язок між векторами, що характеризують
магнітне поле
Зв’язок між векторами В, Н і М встановлює формула:
В=р0Я+р0М.
У лінійних середовищах намагніченість речовини лінійно залежить від
напруженості намагнічувального поля:
М =кН,
де к - магнітна сприйнятливість речовини.
Отже, В=р0Й + р0М = р0(1 + к)Н = р/7,
де р = Ро(1 + к) - магнітна проникність речовини.
2. ДЖЕРЕЛА
ЕЛЕКТРИЧНОЇ ЕНЕРГІЇ
ТА ЇХ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ
2.1. Автономні джерела напруги та струму.
Взаємне перетворення джерел
Розглянемо замкнений контур з джерелом постійної ЕРС Е і запишемо
для нього рівняння:
У = Е-Ио;У = И.;/ = ^.
Еквівалентну схему, що відповідає
цьому рівнянню, наведено на
рис. 2.1. Вона містить еквівалентну
схему джерела енергії, параметра-
ми якого є ЕРС Е, внутрішній опір
ї?о та навантаження з опором Кл.
Параметри джерела можуть бути
визначені експериментально за ре-
жимами неробочого ходу та корот-
кого замикання або за двома інши-
ми режимами, якщо для джерела
зазначені режими неприпустимі.
1. Режим неробочого ходу: Лн = І = 0, 17^ - Е; напруга неробочого
ходу ї/„х збігається з ЕРС джерела Е.
2. Режим короткого замикання: Лн = 0, / = /о, 17 = 0; внутрішній опір
визначається за струмом короткого замикання Ко = ЕП^.
Параметрами джерела енергії не обов’язково мають бути Е та К$. Дже-
рело можна також характеризувати Е та /и, або /ита Ло-
3. Режим, близький до неробочого ходу:
43
Е=и+іКц = іка + ік0.
Оскільки /Ян »1Н0, то Е - її = ІКа - сопзі.
У разі зміни опору навантаження та струму в широких межах напруга
джерела енергії практично не змінюється. У таких режимах джерело енер-
гії зручно розглядати як джерело напруги (джерело ЕРС).
Якщо Яо - 0, то Е = ї/ за будь-якого струму, а джерело енергії є ідеаль-
ним джерелом ЕРС.
Ідеальне джерело ЕРС - це таке джерело енергії, напруга якого не за-
лежить від значення струму, що проходить через нього.
Струм короткого замикання ідеального джерела ЕРС /и = (Е/Ко) —>
тому режим короткого зами-
кання для нього неприпусти-
мий.
Реальне джерело енергії в
будь-якому режимі роботи мо-
жна зобразити у вигляді ідеаль-
ного джерела ЕРС і з’єднаного з
ним послідовно внутрішнього
опору Яо: II = Е-ІКо.
Вольт-амперні характеристи-
ки ідеального та реального дже-
рел ЕРС наведено на рис. 2.2.
4. Режим, близький до короткого замикання: Ян <к Яо;
І = — =-------------= / = СОП8І. !
Яи + Ао 1+Ан/Ао
За цих умов у разі зміни Ян струм у колі практично не змінюється, а на-
пруга змінюється в широких межах, тому джерело енергії зручно розгля-
дати як джерело струму.
Якщо Яо -> °°, то / = - І за будь-якої напруги. Таке джерело енергії
вважають ідеальним джерелом струму.
Ідеальне джерело струму - це таке джерело енергії, струм І якого не
залежить від значення напруги на його затискачах.
Режим неробочого ходу для ідеального джерела струму неприпус-
тимий.
Для реального джерела енергії: Е= СІ + ІК0.
Звідси:
Тому, коли реальне джерело енергії подають еквівалентною схемою з
джерелом струму, його моделюють, як зображено на рис. 2.3.
44
Вольт-амперні характеристики ідеального та реального джерел струму
наведено на рис. 2.4.
Ідеальне джерело ЕРС віддає в електричне коло потужність Р = ЕІ, а
внутрішні втрати енергії в ньому відсутні. У реальному джерелі внутріш-
ні втрати становлять Рал = /2Ло, а потужність, що віддається в коло, дорів-
нює Р ~ III = /2ЛН- Ідеальне джерело струму віддає в електричне коло по-
тужність Р - Ш.
У реальному джерелі струму внутрішні втрати враховуються у внут-
рішньому опорі Яо; (Р = иг/К0 = І/2Со). З цього випливає:
- будь-яке джерело енергії можна подати або як реальне джерело
струму (див. рис. 2.3), чи як реальне джерело ЕРС (див. рис. 2.1);
- еквівалентність математичних моделей реального джерела енергії
встановлюється тотожністю умов роботи навантаження за співвідно-
шеннями:
Е = ЛІО-, } = ЕО0;О0 = 1/Я0; (2.1)
- втрати енергії на внутрішніх опорах схем джерела ЕРС та джерела
струму - різні.
Опір Ко (див. рис. 2.1, 2.3) не обов’язково є внутрішнім опором джере-
ла; це може бути резистор, увімкнений послідовно з ідеальним джерелом
ЕРС чи паралельно до ідеального джерела струму.
На завершення доведемо теорему потужності, яка визначає умову
передачі споживачу максимальної енергії у схемі на рис. 2.1:
Рл = VI = Iі Кл = (——)2 Кн = -----------.
Х+«о л02/лн + 2/г0 + /гн
Умова максимуму передачі потужності:
/7
—(/ + 2Ко +1^) = 0.
45
Отже,
-Д- + 1 = 0 або /?о = /?н.
(2.2)
Значення цієї потужності Рнтах= Струм, потужність, яку генерує
джерело, та коефіцієнт корисної дії (ККД) у цих умовах:
/=- = -; р> =ЕІ=—-, п = А = 0,5.
2^ 2 2^ Рт
В енергетичних пристроях такий ККД неприпустимий, тому вони пра-
цюють в режимах, наближених до неробочого ходу.
Робота установок за максимальної пспужності доцільна для передачі сигна-
лів, де головне значення має не ККД, а потужність сигналу, який приймається.
У цьому розділі питання про джерела енергії розглянуто на прикладі
джерел постійного струму. Подібно до цього в теорії електричних кіл мо-
делюють джерела енергії за будь-якої форми сигналу.
2.2. Керовані (неавтономні) джерела енергії
Розглянуті у попередньому розділі схеми та математичні моделі відповіда-
ють двополюсним незалежним (або інакше, автономним) джерелам енерпї.
У практичній електротехніці досить поширені неавтономні джерела,
керовані напругою чи струмом. Ці чотириполюсні елементи мають одну
пару вхідних затискачів та одну пару вихідних. Основний параметр керо-
ваного джерела енергії - коефіцієнт передачі, що характеризує міру пе-
редачі сигналу зі входу на вихід.
Існують 4 типи керованих джерел, які описують рівняннями (вважаємо,
що з боку вхідних затискачів кероване джерело енергії не споживає):
- неавтономне джерело напруги, кероване напругою (рис. 2.5, а)
Л=0;П2 = ВД; (2.3)
- неавтономне джерело напруги, кероване струмом (рис. 2.5, б)
Рис. 2.5
46
- неавтономне джерело струму, кероване напругою (рис. 2.5, в)
/1=0;/2 = ад;
- неавтономне джерело струму, кероване струмом (рис. 2.5, г)
ї/1=0;/2=/ґ/71.
(2.5)
(2.6)
2.3. Електричні сигнали
Розглянемо деякі додаткові терміни задач аналізу електричних кіл. У
таких задачах найчастіше відомі параметри джерел та споживачів елект-
ричної енергії, а визначенню підлягають струми, напруги та потужності
окремих елементів кола.
При цьому струми та напруги джерел називають вхідними електричними
сигналами (або просто сигналами), а струми та напруги елементів, визначені
під час аналізу електричного кола - вихідними сигналами (або реакціями).
В електротехніці використовується досить багато сигналів різноманіт-
ної форми. Характеристиці форми сигналів та їх математичного подання
присвячений цей розділ.
Електричні сигнали можуть бути постійними чи змінними. Змінні сиг-
нали поділяють на періодичні та неперіодичні.
2.3.1. Постійні сигнали 5..
Електричний струм (напруга), зна- 5 = сопзі
чення та напрям якого не змінюються,
називають постійним.
Величини постійного струму, нап-
руги та ЕРС позначають відповідно------------------------------►
І, І], Е. Графічне зображення постійно- ®
го сигналу наведено на рис. 2.6.
Рис. 2.6
2.3.2. Змінні періодичні синусоїдні сигнали
Електричний струм (напруга), значення чи напрям якого змінюються,
називають змінним.
Значення змінного струму (напруги) в певний момент часу називають
миттєвим.
Величини змінних струму, напруги та ЕРС позначають відповідно і, и, е.
Форми змінних сигналів досить різноманітні. Однак всі вони можуть
бути поділені на періодичні та неперіодичні.
Періодичними називають такі сигнали, миттєві значення яких повто-
рюються через однакові проміжки часу.
47
Найменший проміжок, після закінчення якого миттєві значення сигна-
лу повторюються, називають періодом і позначають Т. Період вимірюють
у секундах (с).
Кількість періодів за секунду називають частотою змінного сигналу. Ча-
стоту позначають літерою/, її вимірюють у герцах (Гц) і обчислюють як:
/=р (2-7)
Сигнали, що змінюються за гармонічним законом, назвали синусоїд-
ними (рис. 2.7). Миттєве значення синусоїдного сигналу записують
виразом
X = 5’т8ІП(О)І + \|/5),
де - максимальне або амплітудне значення; 0, = (со/ + у5) - фаза сигна-
лу; фї - початкова фаза сигналу.
Фазу вимірюють у радіанах (рад) чи в електричних градусах (...°).
Швидкість зміни
фази <в називають ку-
товою частотою. Її
вимірюють у радіанах
за секунду (рад/с) і
розраховують як
п . 2п
(л=2к/
Гармонічний сиг-
нал вважають визна-
ченим, якщо відомі:
амплітуда, частота (період) та початкова фаза. Початкову фазу відрахо-
вують від початку синусоїди (її нульового значення за переходу від
від’ємних до додатних значень) до моменту і = 0. Звичайно беруть
я $ у, < + я. Якщо > 0, початок синусоїди змішений ліворуч, а при
< 0 - праворуч від початку координат.
2.3.3. Змінні періодичні несинусоїдні сигнали
Якщо змінний періодичний сигнал за формою відрізняється від гармо-
нічного, його називають періодичним несинусоїдним (наприклад, як на
рис. 2.8).
48
З математики відомо, що
будь-яка періодична функція,
що задовольняє умови Діріхле
(має на скінченному інтервалі
скінченну кількість розривів
першого роду та скінченну кіль-
кість максимумів і мінімумів)
5(/) = і(/ + Т)
може бути подана нескінченним
тригонометричним (гармоніч-
ним) рядом:
х = 50 + 5тіЗІп(соЖ|/|) + 5,„,28іп(2сі)Л-\|/2) +...+ 5^ 8іп(/:сої+уО +..., (2.8)
де 5о - стала складова сигналу; 5тІ8Іп(а)ЛН|/і) - основна (перша) гармоні-
ка; ^зіпЦсожуО - гармоніка вищого (£-го) порядку.
Цей ряд називається рядом Фур’є. Подання періодичного несинусоїд-
ного сигналу рядом Фур’є виконують у такій послідовності:
1 т
1) визначають сталу складову за формулою: 50= —р(Г)Л;
? о
2) визначають коефіцієнти складових синуса та косинуса відповідно
за формулами:
2т 2Т
Вк = — р(ґ)8Іп^а>ґЛ; Ск = —|$(г)со8£соїЛ;
о Т о
3) знаходять амплітуди гармонік:
$тк =^Вк+Ск>
4) визначають початкові фази гармонік:
Ск вк ск
=агсі§—= агссо8—— = агс8іп—
Вк $тк Втк
Звернімо увагу, що теоретично нескінченний ряд Фур’є на практиці
використовують як скінченний. Остання, п-на гармоніка вищого порядку,
якою обмежують ряд Фур’є на практиці, повинна мати амплітуду, зна-
чення якої відповідає допустимій похибці в розрахунку.
Наведені вище формули використовують у разі аналітичного подання
періодичної несинусоїдної кривої рядом Фур’є. Однак на практиці це не
завжди вдається, оскільки сигнал може бути заданим (відомим) у вигляді
графіка досить складної форми. У такому разі застосовують графоаналі-
49
тичний метод, за якого коефіцієнти ряду Фур’є обчислюють за наближе-
ними формулами. При цьому період Т поділяють на р однакових інтерва-
лів, на кожному з них визначають ординату <;(п(оТІр) сигналу (п - номер
інтервалу). Дискретний характер аналізу сигналу призводить до заміни
інтегрального виразу коефіцієнтів ряду Фур’є на суму згідно з однією із
формул числового інтеїрування.
2.3.4. Неперіодичні сигнали
Приклади неперіодичних сигналів наведено на рис. 2.9, 2.10.
Для аналізу електричних кіл, в яких діють неперіодичні сигнали, вико-
ристовують методи, які базуються на принципі накладання. Згідно з цим
принципом неперіодичний сигнал подають як сукупність східчастих, ім-
пульсних або синусоїдних функцій різних частот.
Східчасту функцію (рис. 2.11, а) записують як 5 (г) = 5-1 (Г), де 5 - амп-
літуда стрибка, а 1(0 - одинична східчаста функція. Остання має амплі-
туду, що дорівнює одиниці і Математично записується так:
10 при і < 0,
1(0 = 4
[1 при і > 0.
(2-9)
Функція 1(0 дорівнює нулю за від’ємних значень аргументу й одиниці -
за додатних.
Для функції, зміщеної на А/ (рис. 2.11,6), слід записувати:
10 при г < А/,
1(/-Д0 = 4 н
[1 при і > Аі.
(2.10)
5(0 = 5-1(0
Рис. 2.11
50
Будь-яка обмежена функція, домножена на одиничну східчасту функ-
цію, перетворюється на нуль, коли г < А/, і не змінюється при і > Аг.
Неперіодичний сигнал на рис. 2.9, б подано накладанням східчастих
функцій.
Сукупність двох східчастих функцій дозволяє одержати прямокутний
імпульс з площею К = (рис. 2.12). Якщо зробити цей імпульс нескін-
ченно коротким (Аг —> 0), не змінюючи його площі (це відповідає зрос-
танню 5 до нескінченності), отримаємо імпульсну функцію /С3(г), де 6(г) -
одинична імпульсна функція. Вона дорівнює нулю за всіх ненульових
значень аріуменгу і перетворюється на нескінченність за нульового зна-
чення аргументу:
5(Г)=1іт — 1(г)-—1(Г-Д/) ,
Д/^о[А/ Д/
тобто
„ Г 0 при і Ф 0,
8(0 = (
при і = 0.
Площа одиничної імпульсної функції:
|б(г)л= =1.
—> 0-
г
Звідси випливає, що /3(г)Л = 1(г) , це, в свою чергу, дозволяє розглядати
одиничну імпульсну функцію як похідну від одиничної східчастої функції:
(212)
ді
51
Одиничну імпульсну функцію, яку зміщено на Дг, записують так:
„ [Оприг^Дг,
5(/-Дг)= н
[«> при / = ДЛ
(2.13)
Неперіодичний сигнал подано сукупністю імпульсів, кожний з яких
може бути наближено замінений імпульсною функцією (див. рис. 2.10).
Нарешті, неперіодичний сигнал можна подати нескінченною кількістю
нескінченно малих гармонік, спектр яких простягається в діапазоні час-
тот від нуля до нескінченності.
Докладно застосування східчастих та імпульсних функцій, а також
спектральний метод будуть розглянуті, відповідно, у розд. 13 та 14 друго-
го тому цього підручника.
2.3.5. Експоненціальний сигнал
З математики відомо, що експоненціальну функцію записують як
5ЙХ =
та
Дг) - е~, де в загальному
випадку г є комплексним
числом (г = х +іу) з дійс-
ною частиною х та уявною
у, а е ~ 2,718.
Якщо уявна частина до-
рівнює нулю (у = 0), екс-
поненціальний сигнал за-
пишемо у вигляді:
.ї(л) = ЄХ.
Його та графік сигналу
і(х) = е~х на рис. 2.13.
У математичному ана-
лізі і в електротехніці
досить поширені комбі-
нації цих експоненціаль-
них функцій:
(2.14)
які відповідно називають гіперболічним синусом та гіперболічним косинусом.
Якщо функцію х(х) = ех подати рядом за формулою Тейлора, одержимо:
1 2! З!
п!
52
Нагадаємо, що в цьому виразі х - дійсне число. Якщо ж припустити, що у
функції е~ = е(х+7)> дійсна складова дорівнює нулю (х = 0) і функцію 8У- Фу
подати рядом за формулою Тейлора, дістанемо:
^=і+^+(я)і+(^+ +Ж+...
1 2! З! пі
або
2 -3 4 • 5
^ = 1 + лі_21_2>1+2_+2)1_....
1 2! З! 4! 5!
Виділимо в цьому ряді дійсну та уявну частини:
З математики відомо, що в дужках записані ряди, суми яких дорівню-
ють ВІДПОВІДНО СО8 у та зіп у, тобто е'У = С08 У +/8ІП у.
Цей вираз у математиці називають формулою Ейлера.
Очевидно еіу = сох у -у'хіп у.
З двох останніх виразів випливає, що
рІУ _ р-ІУ
$іпу= / ; (2.15)
е]у+е~іу ,п1£ч
сох у =--------. (2.16)
Ці прості математичні співвідношення мають досить важливе значення
для теоретичної електротехніки, оскільки через них встановлюється
зв’язок між гармонічною та експоненціальною функціями.
2.4. Векторне та комплексне зображення
гармонічного сигналу
Рівняння стану електричного кола, складені за законами Кірхгофа, міс-
тять алгебричні суми струмів та напруг. У разі електричних кіл синусоїд-
ного струму ці струми та напруги - синусоїдні функції часу.
Алгебрична сума синусоїд однакової частоти є синусоїдою тієї самої
частоти. Щоб знайти амплітуду і початкову фазу сумарної синусоїди,
треба, навіть у випадку двох доданків, провести досить складні тригоно-
метричні перетворення.
Аналіз електричного кола значно спрощується, якщо гармонічні сигна-
ли зобразити векторами, довжина яких у відповідному масштабі дорів-
нюватиме амплітуді сигналу.
53
Побудову синусоїдної функції як проекції на вертикальну вісь вектора,
що обертається проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю (о, по-
казано на рис. 2.14. Відлік кутів ведеться від горизонтального положення
вектора, яке відповідає гармонічній функції з початковою фазою ц/=0.
Якщо гармонічна функція має додатну початкову фазу, це відповідає
зміщенню початкового положення вектора відносно початку умовного
відліку кутів на зазначений кут проти годинникової стрілки.
З рис. 2.15, а - в видно, як додаються дві гармонічні функції відповід-
но: з однаковими початковими фазами, зсунуті за фазою на кут л/2 та
зсунуті на довільний кут. Додавання виконано з використанням хвильо-
вих та векторних діаграм. Як бачимо, операції з векторами простіші.
Рис. 2.15
54
Графічні розрахунки
дають більшу похибку,
ніж аналітичні. Тому в
електротехніці найбіль-
шого поширення набув
аналіз електричних кіл з
іармонічними сигналами,
який базується на зобра-
женні останніх комплекс-
ними числами.
Будемо вважати пло-
щину, в якій знаходиться
вектор (5К), що зображує
гармонічну функцію,
комплексною площиною (рис. 2.16). При цьому вектор математично мо-
жна записати як комплексне число однією з трьох форм: алгебричною,
тригонометричною, показниковою:
ік = 5^ + - алгебрична форма, де 8'т = 5гасо8©, = Ке[ік] - дійсна
складова;
5' = 8т 8Іп©(= /т[ ік | - уявна складова комплексного числа, / = >/-ї ;
= 5„со8©, + Д„8Іп0, = 5„(со8©г + ;хіп©,) - тригонометрична форма.
Вираз у дужках є формулою Ейлера, скориставшись якою запишемо
показникову форму комшіексного числа:
= 5
т
Установимо зв’язок між різними формами запису комплексного числа.
Модуль (довжину) вектора знаходимо як
= +
Аріумент ©, обчислюємо за співвідношеннями:
р/ п*
соз© = ^-; 8Іп0. і£0,=%
І 0 7 І 0< ’ С3 І 0'
Фаза гармонічної функції - аргумент комшіексного числа ік(Г) є функ-
цією часу 0, = «от + ід,. Тому число, що символізує вектор, який оберта-
ється, можна записати:
- у показниковій формі
ік(і) = 8те^^=8теіч‘е]а1-,
55
- у тригонометричній формі
5к(0 = $тС08(С1)Г + V,) + ;5т 8ІП(СОГ + V,),
де \(/) - комплексне зображення миттєвого значення гармонічного ко-
ливання. У подальшому для стислості будемо називати його комплексом
миттєвого значення.
Комплексне число 8т = 8те14, є сталою величиною, що не залежить
від часу. Її називають комплексною амплітудою. Комплексній амплітуді
відповідає нерухомий вектор довжиною 8т, розташований на комплекс-
ній площині під кутом ^відносно осі дійсних значень (+1).
При цьому комплекс миттєвого значення можна записувати і так:
зк(і') = 8те^ш. (2.17)
Особливо наголошуємо, що комплексне число не дорівнює миттєвому
значенню синусоїдної функції, а лише умовно його зображує. Гармонічна
функція є уявною частиною комплексного числа
Іт. Щг)1 = і’т8Іп(а)Г + у5). (2.18)
Гармонічне коливання з відомою частотою повністю визначається амплі-
тудою 8,„ та початковою фазою Тому під час аналізу синусоїдного
процесу в електричному колі досить знати (за відомої частоти) комплекс-
ну амплітуду
= (2-19)
У цьому ще одна перевага комплексного зображення гармонічного сиг-
налу. Для додавання синусоїдних величин замість складання векторів до-
дають відповідні комплексні амплітуди. Такий зручний метод застосову-
ють не тільки під час аналізу електричних кіл, а й взагалі у разі потреби
додавання синусоїдних величин однакової частоти.
Визначимо похідну від гармонічного сигналу, поданого у комплексній
формі (2.17):
аі
Як бачимо, процедура диференціювання зводиться до множення вихід-
ної функції на /<в. Відповідно процедура інтегрування гармонічного сиг-
налу, поданого у комплексній формі, зводиться до ділення вихідної фун-
кції на у®. Тому використання комплексної форми запису рівнянь елект-
ричного кола дозволяє здійснити його аналіз на базі алгебричних, а не
диференціальних рівнянь.
56
2.5. Характеристики гармонічного сигналу
Для характеристики гармонічного сигналу, окрім миттєвого та амплі-
тудного значень, про які йшлося раніше, вводять ще поняття діючого та
середнього за модулем значень.
Діюче значення змінного синусоїдного струму обчислюють за формулою:
7= І—(2.20)
V о
Її одержали, прирівнюючи кількість теплоти, яку виділяють постійний та
змінний періодичний струми в одному й тому самому провіднику за од-
наковий проміжок часу:
т . т
^КІ2сІ( = КТ-= КІ2Т.
о Т 0
Розглянемо гармонічний струм: і = 7,и8Іп(<в/ + \|(). Для нього
і Т । Т т 2 Т
І2 = — = — ]72 іііп2(СУ + у)<ІІ = — у.5Іп2(<ВГ +
Т'о Т’о Т 0
, 1
Урахуємо, що 8Іп (®/ + \у) = — [1 - соз(2сог + 2\у)].
,2 Т ,2Т
Тоді 72=-^р;—!2-|со8(2(0Г + 2у)Л.
2Т0 2Т0
Другий інтеграл цього виразу дорівнює нулю як інтеграл від гармонічної
функції за період, що дає остаточно
2 72 І
І2=^- або І =-4^ = 0,707
2 >/2
Цей висновок чинний для будь-якого гармонічного сигналу.
Діюче значення гармонічного сигналу в у/ї. разів менше за його амплі-
тудне значення:
5=-^.
72
У практичній електротехніці для кількісної характеристики періодич-
них, зокрема гармонічних струмів, напруг, ЕРС звичайно користуються
саме їх діючими значеннями величин І, І}, Е. Тому для гармонічних сиг-
налів використовують також комплексні діючі значення 5 = 8е™г,
аналогічні комплексним амплітудам (2.19):
57
є
72
Середнє за модулем значення гармонічного струму знаходять за фор-
мулою:
= (2.22)
' о
Якщо струм змінюється за законом і = /т$іп 0)1, то
,Т „Г/2 772 2/
рЛ = — І Ітііп<оп1г=-------сохо? ( =—
сер Т 7 Т 0] ®Т І п ,
Середнє за модулем значення будь-якого гармонічного сигналу:
? V
\єр= —и- = 0,637 5)п.
71 І
Для характеристики гармонічного сигналу використовують два коефі-
цієнти:
- коефіцієнт амплітуди
кл=^ = &-, (2.23Х
- коефіцієнт форми {•
^=/- = 1,11. (2.24)
*сер
58
3. ДВОПОЛЮСНІ
ПАСИВНІ ЕЛЕМЕНТИ
ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА
Незважаючи на велику різноманітність споживачів електричної
енергії, які використовують на практиці, задачу аналізу процесів у
них спрощують і уніфікують шляхом моделювання елементів (ком-
понентів) електричного кола. Побудова моделей пасивних елементів
чи, інакше, схем заміщення, які б досить повно враховували зв’язок
між струмами і напругами на їх затискачах, є такою ж складною за-
дачею, як і для активних елементів. Для її розв’язання потрібно, у
першу чергу, знати фізичні властивості елемента і можливий харак-
тер електромагнітного процесу в ньому залежно від характеристики
сигналу.
Створюючи оптимальну схему заміщення будь-якого пасивного елемен-
та електричного кола, слід спиратися на розуміння, що модель, побудова-
на з урахуванням несуттєвих факторів, ускладнює розв’язання задачі, а
інколи й унеможливлює його. Тому, моделюючи елементи електричного
кола, доцільно обмежуватися такою схемою заміщення, яка відображає
найсуттєвіші сторони процесу, що аналізується.
3.1. Фізичні властивості пасивних елементів
електричного кола
3.1.1. Індуктивні котушки
Провідники зі струмом здатні створювати, концентрувати й утримува-
ти довкола себе магнітне поле. Кількісно магнітне поле характеризується
магнітним потоком Ф, який визначається кількістю одиничних магніт-
них силових ліній через поверхню 5.
59
Магнітний потік всередині одного витка:
Ф = | В08.
Магнітні лінії за своєю природою завжди замкнені, тому поверхнею інте-
грування може бути будь-яка поверхня, що спирається на виток.
Для концентрації магнітного поля у певній ділянці простору на прак-
тиці використовують спеціальні пристрої, які називають індуктивними
котушками. Витки котушки намотані впритул один до одного суцільним
провідником (рис. 3.1). Котушки можуть бути без осердя (рис. 3.1, а, б),
або з осердям (рис. 3.1, в, г). В індуктивних котушках одна й та ж одини-
чна магнітна лінія може бути зчепленою з кількома витками. Цю обста-
вину враховують введенням поняття потокозчеплення під яким розу-
міють потік вектора магнітної індукції через поверхню (складну), що
створена всіма витками котушки:
а
Рис. 3.1
Потокозчеплення також можна визначити як суму магнітних потоків,
зчеплених з окремими витками котушки
к=1
або як суму зчеплень кожної з одиничних магнітних ліній зі своєю кількі-
стю витків.
В окремому випадку, коли всі лінії зчеплені з усіма витками
\|/ = и>Ф. (3.1)
Якщо потокозчеплення створюється власним струмом котушки, його на-
зивають потокозчепленням самоіндукції, а потік - потоком самоіндукції.
Потокозчеплення самоіндукції (\у/_) залежить від геометричних розмі-
рів (&) котушки, магнітних властивостей середовища, в якому існує маг-
нітний потік, та від значення струму: \|о, = /(&, 0- Якщо магнітна про-
60
иикність середовища ц і геометричні розміри котушки незмінні, то між
струмом і потокозчепленням існує лінійна залежність:
= Ьі або Ь = уі/і,
де Ь- індуктивність котушки.
Під індуктивністю розуміють фізичну скалярну величину, що характе-
ризує властивість контуру, в якому проходить струм, створювати та
утримувати довкола себе магнітне поле (або інакше, концентрувати його
у певній ділянці простору). Індуктивність дорівнює відношенню потокоз-
чеплення самоіндукції контуру до струму, що його створює.
Індуктивність залежить від геометричних розмірів котушки і властиво-
стей середовища, в якому зосереджене магнітне поле:
А=Ж Ц).
Змінне магнітне йоле, зчеплене з контуром, створює в ньому ЕРС, яка
визначається за законом електромагнітної індукції:
г = Ж (3.2)
ді
Електрорушійна сила, що виникає у разі зміни потокозчеплення само-
індукції, називається ЕРС самоіндукції:
, ді .сІЬ
1 аі аі &
Якщо Ь = сопгі, то еь = -ЬдИді.
Одиниця індуктивності - генрі (Гн):
[Е]=1^А£ = іОм-1с = 1Гн.
1А
Обчислення індуктивності пристроїв виконують на підставі розрахунку
їх магнітного поля.
Як приклад, визначимо індуктивність котушки, яку називають тороїдом
(див. рис. 3.1, в), що має довжину середньої лінії осердя /, площу перетину
5, осердя виготовлене із матеріалу, магнітна проникність якого ц. При цьо-
му скористаємось такими співвідношеннями: у = угФ, де Ф = .
5
Окрім того, згідно із законом повного струму для котушки
$НсіІ =т=Е.
і
Якщо вважати, що весь потік, який створює струм котушки, замикається
вздовж осердя і магнітне поле всередині осердя однорідне, то наведені
вище співвідношення запишемо так:
61
Ф = В5 = (адже В = уН); Н1 = п\> = Р.
„ . _ „ ін> ію Р
Звідси Ф = іі£—=-------= —,
/
де Км- магнітний опір осердя котушки; Р - намагнічу вальна сила котушки.
, . , її/ міНЗ іг2
Індуктивність котушки Ь - — = — = —.
Ця формула показує, що для збільшення індуктивності слід використо-
вувати осердя з якнайбільшим ц, збільшувати переріз осердя і кількість
витків обмотки за меншої довжини осердя.
Магнітний потік, зчеплений з витками однієї котушки, може бути
створений струмом іншої котушки, розташованої поруч. Якщо цей струм
змінний, то магнітний потік, створений ним, зумовлює появу ЕРС у пер-
шій котушці. Це явище називають явищем взаємної індукції, або взаємо-
індукції, а потік - магнітним потоком взаємоіндукції Фу. Відповідно, ко-
тушки вважають взасмоіндуктивно (або просто індуктивно) зв’язаними.
Дві індуктивно зв’язані котушки, розташовані на одному неферомагнітно-
му осерді, зображені на рис. 3.2. Нехай і] - струм першої котушки, а в другій
котушці сіруму немає. Лінії мапіітної індукції для цього випадку показано на
рис. 3.2, а. Потокозчеплення самоіндукції першої котушки (ц/£)) можна роз-
рахувати або через потік самоіндукції {Ф/.Д чи через індуктивність Ц за фо-
рмулою: Ц/£,1 = идФ^ = Ь|/і. Частина магнітного потоку самоіндукції першої
котушки, що пронизує витки другої котушки, є мапіітним потоком взаємоін-
дукції Фгі, а відповідне потокозчеплення взаємоіндукції і|/2і = ц2Ф2|. Потоко-
зчеплення ц/2І пропорційне струму ц, що його створює: ц/2і = М2\і\, де Л72і -
взаємна індуктивність, або взаємоіндуктивність котушок.
Тепер розглянемо такий випадок: струм В проходить по другій котуш-
ці, а й = 0 (рис. 3.2, б). Частина магнітного потоку самоіндукції другої
котушки Ф^ (Ц/^ = іг2Ф/^ = /^2Ї2) зчеплена з витками першої котушки,
62
створюючи магнітний потік взаємоіндукції Фі2; \(/і2 = идФп = МцІі- Екс-
перименти показують (це можна довести і теоретично), що Л/2і = Л/12, то-
му в подальшому за наявності лише двох котушок будемо позначати вза-
ємоіндуктивність М— без індексів. Отже:
М21 =МІ2 =М =^і_ = -^. (3.3)
'і '2
У разі, коли струми існують одночасно в обох котушках (рис. 3.2, в\
магнітне поле с результатом накладання полів, зображених на
рис. 3.2, а, б. Повні потокозчеплення котушок:
Ч'і=Ч'д±Уі2 = Л'і±М/2;
(3.4)
^2=^/.2±^2)=^'2±Л4І1.
Знак перед складовими потокозчеплень взаємоіндукції залежить від харак-
теру зв’язку котушок між собою. Якщо за даних напрямів струмів зв’язок
узгоджений, тобто в кожній котушці магнітні потоки само- і взаємоінду-
кції спрямовані однаково - потокозчеплення взаємоіндукції є додатними.
У разі неузгодженого зв’язку - вони від’ємні.
На схемах характер зв’язку котушок (узгоджений чи неузгоджений)
подають, застосовуючи так зване маркування, тобто позначення однако-
вими символами (зірками, точками, трикутниками тощо) однойменних
затискачів котушок (див. рис. 3.2, в) - однакові напрями струмів відносно
однойменних затискачів означають узгоджений зв’язок.
Кількісною характеристикою явища взаємоіндукції є не тільки взаєм-
на індуктивність Л/, а також і коефіцієнт індуктивного зв'язку К. Він
показує, яка частина потоку самоіндукції є одночасно потоком взаємо-
індукції:
д-2 _ Ф2і Ф]2 _ ^Фгі И)Фі2 _ У2і Уі2 _ МіуМіг. = (3 5)
Фд Фд 'ЦФд ^Фд Ч^Д Ч'д Л'1 ^2(2 Л^2
г „ М
тобто К = —г==.
Оскільки частина менша від цілого, Ф2і < Фц і Фц < Фт2, звідки К < 1.
Лише в ідеальному випадку, коли котушки суміщені, весь потік самоін-
дукції пронизує іншу котушку, тобто Ф2і = Ф£) і Ф)2 = Ф/.т За цих умов
маємо так званий абсолютний зв’язок, коли К = 1, М = у/ЦЦ , Ьі =
= и^Ф^/д =
н'іИ'2//?л/. (3.6)
63
Отже, Ьі = Мюі/юі, і-г - Мм>г/м>і.
Якщо у котушках проходять змінні струми, в них виникають ЕРС; згі-
дно з (3.2)
СІЦ, і <#1 л.
Є, =----— = -Ц — + М — = Є, ±ЄМ
' Ні СІІ сії м>
4^2 , ^2 4- ,4
е,-----— - -Ь, —- + М —- = еІ
2 Лі сії сії
(3.7)
м2-
3.1.2. Конденсатори
Джерела електричної енергії зі сторонніми силами здатні роз’єднувати
_ електричні заряди різних знаків, які нако-
'х пичуються на електродах джерел. Значен-
/ \ ня накопиченого заряду залежить від ЕРС
і І ] / джерела і геометричних розмірів електро-
/ дів. Якщо до затискачів джерела (рис. 3.3)
~*~лЛЛ-~- Г під’єднати металеві обкладки зі збільше-
ною поверхнею, то накопичений заряд
\ І збільшиться.
'. . Якщо між металевими тілами розташо-
ваний ідеальний діелектрик, заряди на них
е збережуться і після вимкнення джерела.
0 ^7 Таку фізичну властивість металевих тіл
рис. з.з використовують в електротехнічних при-
строях, які називають конденсаторами.
Конденсатори призначені для накопичення електричних зарядів, або
інакше, - для зосередження електричного поля в певній ділянці простору.
Це два металевих тіла, розділених діелектриком.
Для кількісної характеристики зазначених властивостей конденсаторів
введемо поняття електричної ємності С.
Електрична ємність - скалярна фізична величина, що характеризує
властивість конденсатора накопичувати та утримувати електричні заряди,
яка чисельно дорівнює відношенню абсолютного значення заряду на
будь-якій з обкладок до напруги між обкладками:
с=о.=_о_
и ф,-ф2’
Одиниця ємності - фарад (Ф):
[С] = — = 1Ф.
1В
64
Від чого залежить ємність?
Розглянемо плоский конденса-
тор, площа обкладок якого 5 і
вони розділені діелектриком тов-
щиною (і (рис. 3.4). Діелектричну
проникність діелектрика позна-
чають £.
Використовуючи теорему Гаус-
са, визначимо напруженість еле-
ктричного поля:
7 £ є5
Останнє співвідношення справе-
дливе для однорідного поля, що існує в діелектрику між обкладками.
Далі визначимо напругу між обкладками
и = ф1 - <р2 = р сі 5 = Е<1 =
(Шлях інтегрування проходить вздовж силової лінії 1 - 2).
Ємність плоского конденсатора С - — = —.
Одержана формула вказує шляхи збільшення ємності конденсаторів:
- використання діелектриків з якнайбільшим є;
- збільшення площі 5 обкладок;
- зменшення відстані <1 між обкладками.
3.1.3. Резистори
Резистори - елементи електричного кола, що характеризуються влас-
тивістю необоротно перетворювати електричну енергію на теплову.
На резистивному елементі зв’язок між струмом та напругою визнача-
ється законом Ома:
и=іК, К = р— = —,
5 у5
де К - опір резистора; р - питомий опір; у - питома провідність; І та 5 -
довжина та поперечний переріз провідника відповідно.
Опір - основна характеристика резистивного елемента. Його властиво-
сті докладно розглянуто у підрозд. 1.7.1.
65
3.1.4. Схеми заміщення резистора, індуктивної
котушки та конденсатора
Теоретично резистор, індуктивна котушка та конденсатор - реальні еле-
менти електричного кола, які характеризуються усіма трьома розглянути-
ми вище параметрами К, Ь, С. Спрощені розрахункові схеми резистора ін-
дуктивності, конденсатора наведено відповідно на рис. 3.5, а-в. Урахо-
вуючи конкретні умови роботи елементів, деякими параметрами можна
знехтувати, тобто реальні елементи ідеалізовано визначити тільки найваж-
ливішими параметрами.
________її ।
। ••___________________і
! к ц і
а 0-----------------------‘--4---------0
Рис. 3.5
Резистор найчастіше подають як електричний опір. За постійного стру-
му його називають омічним. Опір того ж резистора, який знаходиться в
колі змінного струму, називають активним.
На високих частотах активний опір більший від омічного, що поясню-
ється поверхневим ефектом, тобто нерівномірним розподілом струму по
перерізу провідника. Для промислових частот активний та омічний опори
провідника практично однакові.
Індуктивна котушка ідеалізується або індуктивністю з послідовно
з’єднаним з нею опором, або просто індуктивністю. В останньому випад-
ку її називають ідеальною, чи безвтратною.
Конденсатор найчастіше подають ємністю і паралельно (або послідов-
но) з’єднаним з нею опором. Ідеальний (безвтратний) конденсатор - це
тільки ємність.
66
3.2. Електромагнітні властивості
ідеалізованого резистора
Двополюсний пасивний елемент, в якому відбувається лише перетво-
рення електричної енергії на теплоту і не існує електричного та магнітно-
го полів, називається ідеалізованим резистором.
Як зазначалося раніше, струм з напругою на опорі пов’язані за законом
Ома: и = Ні. Ця формула дійсна для миттєвих значень напруги та струму.
Розглянемо електричне коло (рис. 3.6, а) і припустимо, що в ньому діє
постійний сигнал (Ц = соплі). У такому разі (/ = ІУ/Р = соплі) струм буде
постійним (рис. 3.6, б).
Рис. 3.6
Миттєва потужність, яку споживає резистор р = иі = ІД = соплі, є ста-
лою величиною.
Використовуючи закон Ома, одержимо інші форми запису формули
для обчислення потужності резистора:
Р = НІ2 = СІ/2, (3.8)
де Сі = 1/7? - провідність резистора.
Тепер припустимо, що в резисторі проходить синусоїдний струм
і - /„ліпші. Для спрощення його початкову фазу вважатимемо нульовою.
Скориставшись законом Ома, одержимо:
и = Кі = КІтйп(0і - 1)т ліпші.
Цей нескладний розрахунок дозволяє зробити важливі висновки:
1. Синусоїдний струм створює на резисторі синусоїдну напругу
(і навпаки).
2. На резисторі синусоїдні струм і напруга збігаються за фазою, або
інакше, зсув фаз, який завжди визначають як різницю початкових
фаз напруги та струму (<р = - V/), дорівнює нулю.
3. Співвідношення IIт = КІт показує, що закон Ома для резистора
дійсний не тільки для миттєвих значень струму та напруги, а й для
амплітудних (і діючих).
67
Розглянемо потужність, яку споживає резистор.
Миттєва потужність р = иі = 17т хіп иґ/т 5Іп <о[, або р = 17/(1 - соз 2(0?).
Вона є різницею сталої складової та косинусоїди подвоєної частоти
(рис. 3.6, в). Уся крива розташована в області додатних значень. Це свід-
чить про те, що в електричному колі з резистором енергія надходить від
джерела до споживача, тобто в резисторі має місце необоротний енерге-
тичний процес, пов’язаний лише зі споживанням енергії у вигляді тепло-
ти. Середню за період потужність, яку споживає резистор, називають ак-
тивною.
Активну потужність
і Т ,т
Р = — |р</і = — |ї//(1 - сох 2<В?)Л = 67
о о
будемо розраховувати як добуток діючого значення струму та напруги на
опорі. Формула така ж, як і за постійного сигналу, тому можливі її варіан-
ти: Р = КЇ1 = СЦ1.
Параметри резистора Р і О у колах змінного струму називають відпові-
дно активним опором і активною провідністю, щоб підкреслити їх від-
мінність від таких самих параметрів для кіл постійного струму.
Для періодичного несинусоїдного сигналу струм і напруга однакові за
формою, а миттєва потужність має лише додатні значення.
3.3. Електромагнітні властивості індуктивної котушки
Розглянемо індуктивну котушку з індуктивністю Ь і активним опором
провідника /?, до якої прикладено напругу и(г). Скориставшись законами
Ома і Кірхгофа, запишемо:
і({\ = иУ) + еіА1) - и(і) + (-ЬЛі / Лі)
Р К ’
З цього випливає, що напруга, підведена до котушки, долає опір провід-
ників та ЕРС самоіндукції:
.. _. _ Лі
и(і) - Фа - Фв = = «Я + «£•
Лі
Оскільки напруги ия — Ні та иЛ = Ь— враховано в рівнянні у вигляді
Л
окремих складових, то параметри Р і Ь котушки можна розглядати і зо-
бражати на схемі окремо (рис. 3.7, а).
68
Визначимо потужність Рь, яку споживає котушка, та енергію магніт-
ного поля, накопичену в ній:
_ . ,Л. сі.і\ с№„
Р, =и,і = Ь—і-—(Ь—)=—
1 ь Лі сії 2 сії
Сі2 _ _ УІ
2 2 2Ь
(3.9)
Напругу безвтратної котушки, тобто котушки, активним опором якої
можна знехтувати, розраховують як иь= ІЛМі. Припустимо, що в елект-
ричному колі діє постійний сигнал і через безвтратну котушку проходить
постійний струм І. У такому разі напруга на котушці (індуктивна напру-
га) 1)і= 0. Відсутність напруги на індуктивності під час проходження че-
рез неї постійного струму означає, що індуктивність постійному струму в
усталеному режимі опору не чинить.
Тепер розглянемо проходження синусоїдного струму і = Іт$т(йі через
безвтратну індуктивну котушку. Початкову фазу струму вважатимемо
нульовою (\/,- = 0).
Скориставшись одержаним раніше співвідношенням, розрахуємо на-
пругу на індуктивності:
, СІІ г 1 г Т . 7Г,
иь = Ь— = озЬІт сох озі = ІІЬт хіп(а>г + —),
сії 2
Де Уіт = - амплітуда напруги на котушці (індуктивної напруги).
Це дозволяє зробити такі висновки:
1. Синусоїдний струм створює на безвтратній котушці синусоїдну
напругу.
69
2. На безвтратній котушці синусоїдні струм і напруга зсунуті між
собою за фазою на кут ф = \|/« - V: = тс/2, або інакше, струм відстає
від напруги на кут тг/2.
3. Співвідношення = ОйЬІт показує, що для безвтратної котушки
дійсний закон Ома для амплітудних (та діючих значень) струму і
напруги.
4. Множник (йЬ вимірюють в омах, тобто він є опором індуктивного
елемента для синусоїдного струму. Цю величину позначають і
називають індуктивним реактивним опором (Хі = а величину
1/Х£ = \/шЬ - Вь- індуктивною реактивною провідністю.
Розглянемо потужність електричного кола з безвтратною котушкою.
Миттєва потужність
Рс = иьі = = (Л.тсо8ая/тхіпая або рь -
Ця крива, а також хвильові діаграми струму та напруги, наведені на
рис. 3.7, б.
Миттєва потужність є синусоїдою подвоєної частоти, симетричною
відносно осі абсцис. Це свідчить про те, що в електричному колі з безвт-
ратною котушкою існує обмін енергією між джерелом та споживачем.
Середнє значення миттєвої потужності за період дорівнює нулю, тобто
перетворення енергії з одного виду на інший або виділення енергії у
будь-якому вигляді не відбувається. Виходячи з цього, за енергетичну
характеристику індуктивності взяли амплітуду миттєвої потужності
яку назвали індуктивною реактивною потужністю.
Одиниця реактивної потужності - вольт-ампер (ВА) (на практиці за-
стосовують також вар). Використовуючи закон Ома для кола з безвтрат-
ною котушкою, одержимо інші форми запису формули індуктивної реак-
тивної потужності:
(3.10)
Для періодичного сигналу будь-якої несинусоїдної форми напруга та
струм індуктивності відрізняються за формою, а середнє значення миттє-
вої потужності за період дорівнює нулю.
3.4. Електромагнітні властивості конденсатора
Розглянемо реальний конденсатор ємністю С, втрати в якому врахова-
но послідовно з’єднаним резистивним елементом з опором В (рис. 3.8, а).
Якщо до такого кола прикласти змінну напруїу и(0, заряд на обкладках
конденсатора змінюватиметься і в колі буде проходити струм і = сі(2/сІі.
70
Рис. 3.8
Цей струм (як струм провідності) проходить у провідниках кола, а вра-
ховуючи неперервність електричного струму, він повинен існувати і в
діелектрику, між обкладками конденсатора, що можливо лише за рахунок
виникнення між обкладками струму зміщення (ізм):
б/
=□—(18 = <ЗО(І8— =---------= гіп>.
зм / сії І Л сії щ
Отже, і = = С(тут враховано, що <2 = Сис).
сії (її
Конденсатор здатний зберігати свої заряди і у разі вимкнення від джерела
енергії, тому визначаючи напругу на ньому, слід урахувати його попередній
стан:
1г., 1 °г ., 1 г.,
ис =— І ісіі —— | иіі-і—іиіі,
С Є — о
ісії = ис(0) - напруга на конденсаторі при і = 0.
Отже, ис (і) = ис(0) + — .
о
Скориставшись законами Ома і Кірхгофа для схеми рис. 3.8, а, запишемо:
и(і) = иг + ІК = иг + КС^£~.
с с Лі
Якщо ємність не мала початкового заряду, то
1 г
ис=—рЛ. (3.11)
С о
Миттєву потужність рс та енергію Ис, накопичену в ємності, записують
формулами:
71
„ сІиг сі (Сиг | с№г
рг = игі = игС —— = — ------- =----
с С С сіг сіі[ 2 ) сії
ц/ _ Сис _ 6МС _ 6
с 2 2 2С’
(3.12)
де Жс - енергія електричного поля, зосереджена в конденсаторі.
Струм безвтратного конденсатора і = Ссіис/сІі. Якщо до конденсатора
прикладено постійну напругу ис = сопкі, то / = 0.
Відсутність струму в ємності у разі підведення до неї постійної напру-
ги означає, що ємність в усталеному режимі чинить постійній напрузі
нескінченний опір.
Нехай до безвтратного конденсатора підведено синусоїдну напругу и =
= і/т8Іп<вг. При цьому струм через конденсатор:
І = С~- ОЗС 1} СО8 031 = / $Іп(0Д + —),
сії т т к 2
де Іт=ОзСит- амплітуда струму безвтратного конденсатора (ємності).
Ураховуючи викладене, можна зробити такі висновки:
1. Синусоїдна напруга створює на конденсаторі синусоїдний струм
(і навпаки).
2. На ємності синусоїдні струм і напруга зсунуті між собою за фазою
на кут <р = - у, = -п/2, або інакше, струм випереджає напругу на
кут гс/2.
3. Співвідношення Іт = озСит показує, що для безвтратного конден-
сатора дійсний закон Ома для амплітудних (та діючих значень)
струму і напруги.
4. Множник озС вимірюють у сименсах, тобто він є провідністю без-
втратного конденсатора у колі синусоїдного струму. Цю величину
позначають Вс і називають ємнісною реактивною провідністю
(Вс= озС), а величину 1/ВС = 1/озС = Хс - ємнісним реактивним
опором.
Розглянемо потужність електричного кола з ємністю. Миттєва потужність
рс = іис = /тсо8(пгї/т8іп<вг або рс = Ї/Ліп2<вг.
Ця крива, а також хвильові діаграми струму та напруги, наведені на
рис. 3.8, б.
Миттєва потужність є синусоїдою подвоєної частоти, симетричною
відносно осі абсцис. Це свідчить про те, що в електричному колі з безвт-
ратним конденсатором існує обмін енергією між джерелом та спожива-
чем. Середнє значення миттєвої потужності за період дорівнює нулю,
72
тобто перетворення енергії з одного виду на інший або виділення енергії
в будь-якому вигляді не відбувається. Виходячи з цього, за енергетичну
характеристику ємності взяли амплітуду миттєвої потужності О.с = ІЛ,
яку назвали ємнісною реактивною потужністю.
Використовуючи закон Ома для кола з ємністю, одержимо інші форми
запису формули ємнісної реактивної потужності:
^с = XсI2=Вс^г. (3.13)
Для періодичного сигналу будь-якої несинусоїдної форми напруга та
струм ємності відрізняються за формою, а середнє значення миттєвої по-
тужності за період дорівнює нулю.
3.5. Закони Ома та Кірхгофа
для електричного кола зі змінними струмами
Загальний вигляд ділянки складного кола змінного струму наведений
на рис. 3.9.
и
Рис. 3.9
Потенціальне рівняння цієї ділянки
Фл = Фв - е + —- [ (і + Л)сІі + і—(і + У) + (і + 7)Л.
Сд Л
Ураховуючи, що фл - фв = иАВ, запишемо:
и = и.в=-е + (— ЇЛІІ + Ь—+Л{)+ — ІйН + Ь— + іК =
<2 аі сі <1і
— —е + е 4— І ісіі + В'—ь іК.
СІ <И
Позначивши ее = е - ее', одержимо
•О 1 Г
и - —е. +іК + Ь— 4— І ісіі.
е л с *
73
Наведені перетворення свідчать про те, що ділянки з джерелами струму
можна замінити еквівалентними ділянками з джерелами ЕРС і навпаки -
ділянки з джерелами ЕРС можна замінити на еквівалентні ділянки з дже-
релами струму (рис. 3.10, а, б). Критерій еквівалентності - напруги та
струми неперетворюваної частини кола не повинні змінитись.
и
Рис. 3.10
Стосовно розглядуваної ділянки еквівалентну ЕРС е'е знаходимо так:
е= Лі + Ь— + — [Мі. (3.14)
Її визначають за відомим значенням струму У джерела струму і парамет-
рами пасивних елементів ділянки.
Аналогічно можна одержати рівняння для визначення струму екві-
валентного джерела струму за відомим значенням ЕРС джерела напруги і
параметрами пасивних елементів.
Закони Кірхгофа через неперервність струму і однозначність потенціа-
лів зберігають свій попередній вигляд:
Іл=0 та ^ик=0,
к=1 к=1
де к- номер вітки.
Ураховуючи зв’язок між струмом та напругою на різних ділянках елек-
тричного кола, останнє співвідношення запишемо так:
Л п М 1 1
Хик= + Ьк {ікЛ - ек) = 0.
*=1 к=\ а1
З цього випливає, що розрахункові рівняння електричних кіл з незмінни-
ми параметрами, складені за законами Ома та Кірхгофа, є лінійними інте-
гро-диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами. Для таких
кіл чинний принцип накладання. Дійсно, нехай і = і> + <2 +...+ ц +...+ іп.
При цьому напругу на елементах
= іК= + І2К+...+ ікК +...+ і„Л = + Икг+...+ ицк +...+ иЛп;
74
, СІІ . сЩ . (ІІ-у , сіі. , сііп
и, = А--------і-——- + ... + £------------------+ — — и, іи< +... + и. +...4-М/ ;
£ л <іі аі л л1 ц
— иСі +иСі + ... + иСі +... + ис
визначаємо як суму складових від кожного окремого струму.
Аналогічна ситуація виникає, якщо на електричне коло діє напруга, по-
дана у вигляді суми напруг. Струм у лінійному елементі дорівнює сумі
струмів, створених дією кожної окремої напруги.
Рівняння, складені за законами Ома і Кірхгофа, дозволяють визначити
струми та напруги ділянок, якщо відомі /?, Е, С та ЕРС ділянок.
Послідовно диференціюючи та виконуючи відповідні підстановки з
метою зменшення кількості невідомих, із системи диференціальних рів-
нянь можна одержати одне диференціальне рівняння з одним невідомим,
але вищого порядку:
ап-'і <гкі л . „ ч ,, , л ч
+ + +«0' = /(г)- (3-14а)
СІІ иіи/ и/
Інтегруванням таких рівнянь розраховують кола.
Права частина останнього рівняння /(ї), як правило, під час аналізу
електричних кіл відома. Вона може являти собою ЕРС, напругу, струм,
похідну будь-якого порядку від цих величин або їх лінійну комбінацію. У
літературі залежність Дт) (символ досить умовний) називають функцією
збурення.
Реакцію електричного кола, описаного рівнянням (3.14а), визна-
чають за відомим з теорії диференціальних рівнянь правилом як су-
му окремого та загального розв’язків. Окремий розв’язок визнача-
ється видом сигналу. Тому надалі будемо його називати вимушеною,
або усталеною, складовою реакції. Загальний розв’язок не залежить
від сигналу і тому визначається лише видом диференціального рів-
няння, тобто схемою та параметрами електричного кола. Загальний
розв’язок називатимемо вільною складовою реакції.
Вільна складова реакції при і —> °° наближається до нуля, тому практи-
чно через деякий проміжок часу (теоретично нескінченний) залишається
лише вимушена складова реакції. Вільна складова реакції обумовлена
переходом системи від одного енергетичного стану до іншого, що потре-
бує деякого часу.
75
3.5.1. Закони електричного кола в комплексній формі
Розглянемо ділянку електричного кола,
яка складається з послідовно з’єднаних
елементів К, Ь, С, через яку проходить
струм І = /т8ІП(йУ + \|/,) (рис. 3.11).
Зв’язок між струмом і напругою и
ділянки визначає диференціальне рів-
няння:
ІК + Ь— + — іісії — и.
сіі С*
Тепер рівняння (3.14а) можна записати так:
гІт 8іп(юг + ф,) + Ь^-[іт 8Іп(сот + ф,)] + |7И 8ІП(0» + у,)Л =
аі С •'
= (/т8ІП(ЮТ+\|/а).
Зобразимо це рівняння в комплексній формі
+ №ітеіа1 + — /?“ =отеіш.
І(йС
Скоротивши рівняння на є'0*, одержимо
/?/„ + _ н------/_ — й т *9
т т • у-х т т*
](йС
/,ДЯ ++ —!—) = 0т або Ітї(№ = йт,
](йС
де 2( йо) - К + ]((йЬ ——) = 7£іч - комплексний опір кола.
тС
Ураховуючи правила переходу від алгебричної форми запису комплекс-
ного числа до показникової, можна записати, що модуль 7 та аргумент
комплексного опору:
„ /7Ї 1 ч2 (йЬ-МійС
7 =. Я + (озЬ-----) ; <р = агс1е------. (3.15)
\ (йС К
Модуль комплексного опору називають повніш опором ділянки.
Комплексне зображення перетворило диференціальне рівняння на ал-
гебричне. Це загальне правило для будь-якого кола синусоїдного струму,
що описується диференціальними рівняннями за законами Ома та Кірх-
гофа. Тому ці закони в комплексній формі записують так:
76
п
- перший закон Кірхгофа: Ік = 0;
к~1
- другий закон Кірхгофа: ^0к =0, або ^2кІк = ^Ек;
к-1 к=\ к=1
п і V
- закон Ома: / = —.
7
Як бачимо, в комплексній формі вигляд законів такий самий, як і для
кіл постійного струму, тільки замість дійсних величин у них фігурують
комплексні. Це свідчить про те, що методи розрахунку кіл постійного й
синусоїдного струмів однакові.
3.5.2. Закони електричного кола в операторній формі
Операторне зображення найчастіше використовують під час розрахун-
ків перехідних процесів.
Перехідний процес має місце в електричному колі, де є індуктивності
та ємності - елементи, здатні накопичувати електромагнітну енергію. Він
виникає завжди через невідповідність енергетичного стану елементів ко-
ла в момент, коли миттєво змінюється його структура або параметри,
енергетичному стану в усталеному режимі.
Розрахунок перехідних процесів в електричних колах зводиться до ме-
тодів, які використовують під час розрахунків усталених процесів, якщо
користуватись прямим та зворотним перетвореннями Лапласа.
Пряме перетворення Лапласа
(з.іб)
о
дозволяє визначити зображення Е(р) за відомим оригіналом/Ц). При цьо-
му розрахунок із області дійсного змінного і переноситься в область ком-
плексного змінного р = а + ]Ь.
Автори припускають, що читачу відомі основи математичного апарату
інтегральних перетворень. Скористаємось відомими з теорії інтегрально-
го перетворення Лаішаса співвідношеннями, які використаємо у подаль-
шому доведенні:
гг .. . . . А
- зображення сталої Л: А = —;
Р
- зображення похідної — /(() = /'(/): / '(0 Ф рЕ(р) ~/Ф);
сії
77
- зображення інтеграла |’/(г)Л: ----.
оо Р
Це дає можливість розглянути операторну форму законів електричного кола.
Перший закон Кірхгофа:
ІЛ(Р) = О. (3.17)
і=і
Тут використано властивість лінійності перетворення Лапласа, яка ствер-
джує, що зображення суми дорівнює сумі зображень.
Рівняння за другим законом Кірхгофа для контуру, що складається з
послідовно з’єднаних елементів К, £, С та ЕРС е:
Е ('ї- Рк+Ьк^г + уг + «ск (0)) = •
к=і аг Ск '
Оиераторне зображення цього рівняння має вигляд:
І(^Л(р)+[рЬкЛ(р)-^'к(0)1+
4=1
4(р)
рс\
, «а(0)
Р
=ІЯ(р)-
4=1
Позначимо:
Ек(р) + Ькік(0)-^^-=Е'(р),
Р
де Кк + рЕк +—-— = ХДр) - операторний опір.
З урахуванням цього, другий закон Кірхгофа в операторній формі запи-
шемо так:
= (3-18)
1=1 к=і
Для нерозгалуженого кола, яке складається з послідовно з’єднаних еле-
ментів К, Ь, С і ЕРС е, можна записати:
/(р)=7т4 (3’19)
2(р)
Це рівняння можна назвати законом Ома в операторній формі.
Як бачимо, закони Ома і Кірхгофа, якщо користуватись перетворенням
Лапласа, для перехідного процесу мають такий же вигляд, як і для уста-
леного процесу за постійного та змінного струмів, коли розрахунок вико-
нують у комплексній формі.
78
3.5.3. Узагальнення законів електричного кола
У практичній електротехніці доводиться мати справу з найрізноманіт-
нішими сигналами. Тому й методи аналізу електромагнітних процесів в
електричних колах досить різноманітні. Однак в лінійних електричних
колах, для яких чинний принцип накладання, можна подати всю різнома-
нітність сигналів (струмів та напруг) через узагальнену функцію, що, в
свою чергу, дозволяє узагальнити розрахункові мегоди.
Такою узагальненою функцією стосовно струму є експоненціальна функція
і = Іе!‘,
де І - узагальнена комплексна амплітуда; з - (а + у'со) - комплексна час-
тота; і - час.
Зображення реально існуючих струмів через узагальнену функцію на-
ведено у табл. 3.1.
Таблиця 3.1
Графічне зображення струму Миттєве значення струму Узагальнений вираз струму
0 1 І = / = СОП8І і = /е";І = /; 5=0
6*“ ==— і = Іе"; І = /; 5 = -а > 0
'1 і = /,«'' - І ІХ = Ї, = І; 5,=-а,; 52 = -а2 а, > 0; а2 > 0
оГ і = /,е'--/2є‘>- /, = /2 = /; 5, = 0; а2 - -а а>0
і = /5іп(и = 7(е^-е--м’)/2у ^ = ^ = 112) 52 = -;О)
0 І = /е“ 8ІП (ОГ = = 7[е(а+-'“)' - і = І,є'1' - Ле'1' /,=/2=//2у і, =а+ ;(о;л2 =а-)а> а>0
, / І = ІЄ~“ СО5 (ОГ = = /[?-“’»' + 2 II 5 Т ї. я є г- 'ї- о .? и +' II 2? .Г" і - *= 1 є"
79
Припустивши, що через елементи електричного кола проходить уза-
гальнений струм, розрахуємо узагальнену напругу та узагальнений опір
(табл. 3.2).
Таблиця 3.2
Елемент кола Зв’язок між струмом та напругою Узагальнена напруга Узагальнений опір
К и = іК /Ке" К
аі и = Ь— аі ІзЬе!‘ зЕ
С и = — Г/Л С і —е!' зС 1 зС
Для електричного кола з послідовним з’єднанням елементів К, Ь, С,
якщо немає початкової напруги на ємності, отримаємо:
І(К + 5Ь + —)е!'=йе!',
зС
або І(К + 5Ь + —) = й =І2. (3.20)
зС
Це і є закон Ома в узагальненій формі. Наголошуємо, що струми й напру-
ги є узагальненими комплексними функціями однієї й тієї самої комплек-
сної частоти. Ураховуючи це, перший закон Кірхгофа в узагальненій фо-
рмі запишемо так:
ІЛ(Ц = 0, (3.21)
Л=І
а другий - £(\(5) = 0 або ^Ік{з)2к (з) = ^Ек(з).
і-=1 1=1 к=1
У будь-якому режимі роботи електричного кола розрахункові диферен-
ціальні рівняння набувають за узагальненого струму вигляду алгебрич-
них рівнянь. Слід взяти до уваги, що:
- для постійного струму 5 = 0;
- для синусоїдного - 5 = у®;
- для перехідних процесів 5 = р (див. т. 2, розд. 12).
Узагальнений підхід до опису електричних кіл у різних режимах дося-
гається введенням у розрахунок узагальненої характеристики, яку назва-
ли системною функцією.
80
Під системною функцією електричного кола розуміють фізичну характе-
ристику кола, яка чисельно дорівнює відношенню реакції кола до збурення за
умови, що збурення має узаі-альнений експоненціальний вигляд: а = Де5'.
= ^ВИХ = ^ВИХ
авх А.Х
Узагальнена функція для електричних кіл є раціональним дробом:
Г(5) = ь^п+ьт-^п1+- + ьо (3.22)
3.6. Потужність електричного кола
з синусоїдними сигналами
Припустімо, що до двополюсника (рис. 3.12) прикладено синусоїдну
напругу и = (7тзіпсог і проходить струм і = /т.?іп (со/ - ф). Прн цьому мит-
тєва потужність, яку споживає двополюсник:
р = иіу[2и 8Іп зіп(сот — ср) = ПДсоз ер - соз(2сог - (р)].
Рис. 3.12
Хвильові діаграми напруги, струму та миттєвої потужності наведено на
рис. 3.13.
Визначимо активну потужність як середнє значення миттєвої потужно-
сті за період
81
1 * 1 *
Р = —^р& = —ІЛ |(С05 ф - СО8(2®/ - ф))Л =
о о
(//7ґ и{7( „
=--- ІСОХфЛ---]СО8(2йХ - ф)Л.
ї 0 7” о
Другий інтеграл останнього рівняння дорівнює нулю як інтеграл від гар-
монічної функції, взятий за період, тому:
Р = С7со$ф. (3.23)
Середнє значення миттєвої потужності за період Р називають активною
потужністю. Одиниця активної потужності - ват [Вт].
Під повною потужністю розуміють найбільше можливе значення ак-
тивної потужності, яке можна отримати за даних діючих значень напруги
II та струму 1:8= III. Одиниця повної потужності - вольт-ампер [ВА].
Подаючи струм і напругу у комплексній формі, розглянемо добуток
комплексної напруги і спряженого комплексу струму:
й 1=111*-іе-™=ілеі{'*‘= иіе* = у/со8ф+уу/зіпф.
Величину (2 = №іпф називають реактивною потужністю.
Отже, добуток комплексної напруги і спряженого комплексу струму
можна розглядати як комплексну потужність І’, дійсна частина якої актив-
на потужність, а уявна - реактивна:
8=йІ =р + ](2 = 8е*:
8 = у[р2+О.2: ер = агсі§
Співвідношення між активною і реактивною потужностями у повній
потужності характеризує коефіцієнт потужності:
Дня пасивних двополюсників коефіцієнт потужності дорівнює косину-
су кута зсуву за фазою між синусоїдами напруги та струму.
Отже, для пасивного двополюсника, скориставшись законом Ома, можна за-
писати:
р = К!г = си2:
О,=ХІ2 = ВИ2\ (3.24)
8 = пг = чи2,
де Я О, X, В, 2, У- еквівалентні параметри цього двополюсника.
82
4. ВЛАСТИВОСТІ, МЕТОДИ
РОЗРАХУНКУ Й АНАЛІЗУ
ПРОСТИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ
4.1. Поняття про дуальність
Дуальність - це формальна відповідність математичного опису двох
різних об’єктів. Відмінність полягає лише в позначеннях і назвах вели-
чин, які входять в ці описи. Властивість дуальності надає можливість ви-
користовувати результати аналізу одного об’єкта для одержання резуль-
татів, які стосуються дуального йому об’єкта, шляхом формальної заміни
величин і назв.
Якщо читач уважно вивчив попередній матеріал, він не міг не помітити
формальної аналогії між рівняннями, що описують окремі елементи елек-
тричного кола (наприклад, = ІЛіЛіі та іс = Ссіи/сіі). Подібна ж формаль-
на аналогія притаманна й більш складним утворенням - колам з певним
складом елементів за певної конфігурації з’єднань.
4.1.1. Електричне коло з послідовним з’єднанням елементів
Спочатку мова піде про електричне коло з постійним сигналом на вхо-
ді V (рис. 4.1, а). Основною ознакою послідовного з’єднання є те, що че-
рез всі елементи проходить один і той самий струм /.
Я,
17,
Рис. 4.1
83
Застосуємо другий закон Кірхгофа:
и= их + уг+...+ ик+...+ііп,
або
ІА = ІВХ + //?з +. • •+ ІВк +...+ //?п — /7?е.
.Як бачимо, еквівалентний опір кола /?,. тобто при послідовному
(=1
з’єднанні елементів їх опори арифметично додаються.
Тепер розглянемо електричне коло з синусоїдним сигналом
(рис. 4.1, б), в якому проходить синусоїдний струм І = Іт 8ІПЮЛ
Також застосуємо другий закон Кірхгофа для миттєвих значень:
и = ііц + і/д + ис,
або
Л
и = ІВ + Л— + — Г(Ні,
Ні С і
або
и = К/,„ 8ІП (01 + ши„, 5Іп((О1 + —) + —— Іт 5ІП((О1 -
2 (ОС 2
Кожну складову цього рівняння зобразимо вектором на векторній діагра-
мі (рис. 4.2, а). Для прямокутного трикутника АВС запишемо рівняння
згідно з теоремою Піфагора;
/ . \2 _________________
^ = ^2 + /2 шЛ —- або {7,П = /„15/Л2 + ((О£-1/(ОС)2.
\ 0)С)
84
Це закон Ома для амплітудних значень напруги і струму: И,„ = 7,„2, де
/ = +(шЛ-1/шС)2 - повний опір, що залежить від активного (7?) і ре-
активного (X = соЛ - 1/шС = Хь - Хс) опорів кола.
Звернімо увагу, що реактивний опір кола визначається як різниця індук-
тивного та ємнісного опорів.
Сторони прямокутного трикутника АВС зображають напруги (тому йо-
го називають трикутником напруг), які пропорційні Якщо кожну сто-
рону цього трикутника поділити на Іт, одержимо трикутник опорів
(рис. 4.2, б), для якого запишемо формули, що пов’язують опори різного
характеру між собою, а також з кутом зсуву за фазою <р:
7,=>ІК-+ X1-,
Л = Хсо8<р;
X = /зіпер;
<р = агсі£(Х /В).
Якщо ж для кола (див. рис. 4.1, б) виконати розрахунок у комплексній
формі, як це було зроблено у підрозд. 3.5.1, то одержимо:
або = / Ц]
ушС (і>С
- закон Ома в комплексній формі:
С„, = і,„х.
(4.1)
де 7 = 2е7<р = чК2 + Х2е^ - комплексний опір кола.
4.1.2. Електричне коло з паралельним з’єднанням елементів
Розглянемо електричне коло (рис. 4.3, а) з постійним сигналом на вході 7/.
Основною ознакою паралельного з’єднання є те, шо до всіх елементів
прикладено одну і ту саму напругу.
Рис. 4.3
85
Застосуємо перший закон Кірхгофа
або
, у у
і=—+—
Я я2
В останньому співвідношенні
Я, Я
_і_=2
к.. ~ я
Ц
Я Я я
або
(7і + Ст +...+ Ск +...+ (7,| = Сс.
Як бачимо, еквівалентна провідність кола (їг=^(74, тобто за паралель-
ні
ного з’єднання елементів їх провідності арифметично додаються.
Тепер розглянемо електричне коло (рис. 4.3, б) з синусоїдним сигналом
« = (/„8Іп м. Застосуємо перший закон Кірхгофа для миттєвих значень:
і - >к + + іс>
або
« ІГ,
—+ — иг/Г + С—.
К ї 1 л
—-^-зіп сиг + —— зі п(е)Г - —) + зіп( ті + —).
або
К шЛ 2 2
Кожну складову цього рівняння зобразимо вектором на векторній діагра-
мі (рис. 4.4, а). Для прямокутного трикутника АВС запишемо рівняння
згідно з теоремою Піфагора:
1?„ =и*„Сг +^(І/ш£-(оС)2 або =(/,„7(72 + (1/ш/.-о>С)2.
86
це - закон Ома для досліджуваного кола: = (/„,7, де
у = у/с2 +(1/шЛ-шС)2 - повна провідність, що визначається активною (О)
і реактивною (В = 1/соЛ - соС = В і- Вс) провідностями.
Зазначимо, що реактивна провідність кола визначається як різниця ін-
дуктивної та ємнісної провідностей.
Сторони прямокутного трикутника АВС зображають струми (тому його
називають трикутником струмів), які пропорційні ІІт. Якщо кожну сто-
рону цього трикутника поділити на одержимо трикутник провіднос-
тей (див. рис. 4.4, б), для якого запишемо формули, що пов’язують про-
відності різного характеру між собою, а також з кутом зсуву за фазою ф:
У = 7сї7вї;
О = У со8ф: (4.2)
В = У 8іп(р;
ф = агсі§(В/С').
Якщо ж для кола рис. 4.3, б виконати розрахунок у комплексній формі, то
одержимо:
А»=дг+-^- + >СІ/„,. аб° ІС-Л-Ь-оС»
К шЬ
- закон Ома в комплексній формі
іт=й„^
де У = Уе'* =
На закінчення розглянемо
формули «чужого опору». Як-
що напруга невідома, а загаль-
ний струм заданий, то струми
кожного з двох паралельних
резисторів (рис. 4.5) визнача-
ють за формулами «чужого
опору». Доведемо їх. Для цього
визначимо напругу на парале-
льних вітках за законом Ома:
С„ = /Я„
К| + К,
87
(4.3)
Цим же законом скористаємось і під час визначення струму окремих віток:
те, к, + кг
кг /?, + кг
Такі формули можна використовувати, розраховуючи кола синусоїдного
струму у комплексній формі. Знаючи загальний струм І, струм однієї з
двох паралельно з’єднаних віток визначають, якщо І домножити на «чу-
жий опір» і поділити на суму опорів обох віток:
/,=/- І2=І — -4-
4+><2
(4.4)
4.1.3. Еквівалентність кіл з послідовним і паралельним
з’єднанням активного та реактивного опорів
Схеми еквівалентних кіл зображено на риє. 4.6. Еквівалентна заміна
однієї частини кола іншою не призводить до зміни струмів, напруг та ку-
тів зсуву за фазою у тій частині кола, яка не перетворювалася:
(/= 17'; / = /’; <р = Ф’.
Рис. 4.6
Для розрахунку скористаємось законом Ома та співвідношеннями (4.1)
і (4.2), одержаними під час розгляду трикутників опорів та провідпостей.
Паралельне з’єднання
І' = ІГУ\
сох ф1 = С/У;
8Іп ф' = В/У.
Послідовне з’єднання
сох ф = Я/2;
хіп ф = Л77.
Порівнюючи першу пару рівнянь, бачимо:
— =Г або 2=—.
2 У
(4.5)
88
Повний опір - величина обернена до повної провідності (і навпаки).
Порівнявши другу пару рівнянь, запишемо
2.~ У
НУ
звідки <7 = —
2
та х =
2і
С,2
У
6~
У2 '
Порівнявши третю пару рівнянь, дістанемо
Я Л
2~ У'
„ ХУ X „ В2
звідки в = — = —та х = —
2 72 У
В
У2'
За результатами розрахунку доходимо висновку:
- провідності паралельних віток за відомими опорами різного харак-
теру, з’єднаними послідовно, визначають із співвідношень:
в2 + х2 в2 + х2
(4.6)
- опори вітки з послідовним з’єднанням елементів за відомими ировід-
ностями різного характеру, з’єднаними паралельно, визначають за
формулами:
-з----т; х= —------г.
С" + В2 С - + в~
(4.7)
Очевидно, що отримані співвідношення чинні, якщо в колах на рис. 4.6
замість індуктивності буде ввімкнено ємність.
4.1.4. Дуальність елементів електричного кола
та схем їх з’єднання
Попередній матеріал містить досить докладну характеристику властиво-
стей окремих елементів електричного кола. Зведемо деякі з них у табл. 4.1.
Т а б л и ц я 4.1
Елемент Величина
Струм Напруга Потужніст ь (енергія)
Активний опір ік = Сик чк = Вік р = Вік = Сик
Індуктивність ‘і. ч, = Ь—- 4і (V =ї±- ' 2
Ємність іс = С^- 1 4і 1 Г- л »< =-]'<•<* \УС=^+- 2
89
Порівняємо вирази для струму та напруги на активному опорі. Якщо
виконати формальну заміну струму на напругу, а провідності - на опір,
то від струму перейдемо до напруги. Так само здійснимо зворотний
перехід або одержимо формули потужності.
При цьому скористаємось властивістю дуальності, яка дозволяє від од-
них розрахункових співвідношень переходити до інших, формально замі-
нюючи символи одних величин іншими. Взаємно дуальні величин такі:
и є-> і (напруга та струм);
Ь <-> С (індуктивність та ємність);
/? 6 (опір та провідність);
IV, )УС (енергія індуктивна та ємнісна).
У цьому легко переконатись, порівнюючи формули, наведені у табл. 4.Ї. ‘
Приклади взаємно дуальних понять:
контур <-> перетин;
послідовне з’єднання <-» паралельне з’єднання;
розрив <-> коротке замикання.
З дуальності основних елементів електричного кола випливає дуаль-
ність електричних кіл та їх математичних моделей, які найчастіше вико-
ристовують у вигляді схем та математичних рівнянь.
Дуальність електричних кіл визначається тотожністю складених для них
рівнянь: якщо рівняння для струмів і напруг одного кола тотожні рівнянням
для напруг і струмів іншого кола за умови заміни всіх величин на дуальні.
4.2. Еквівалентні перетворення пасивних ділянок
електричного кола
Ураховуючи викладене у розд. 4.1,4.2, зробимо висновки:
1. У разі послідовного з’єднання додаються опори, а паралельного -
провідності елементів.
2. Омічні й активні опори (провідності) додаються арифметично.
3. Реактивні індуктивний та ємнісний опори (провідності) додаються
алгебрично. При цьому індуктивний реактивний опір вважають
додатним, а реактивний ємнісний - від’ємним.
4. Повний опір (провідність) електричного кола з елементами різно-
го характеру визначається як корінь квадратний з суми квадратів
активних і реактивних опорів (провідностсй).
5. Тільки повний опір і провідність є взаємно оберненими (формула
(4.5)). Між активними і реактивними опорами та провідностями
існують більш складні залежності, які визначають формулами
(4.6), (4.7).
90
Еквівалентні перетворення найпростіших видів з’єднання - послідов-
ного й паралельного - у колах постійного та синусоїдного струмів пока-
зано у табл. 4.2.
Таблиця 4.2
Еквівалентні перетворення сполучення резисторів на зірку та трикут-
ник наведено у табл. 4.3.
Формулами з табл. 4.3 можна скористатися і під час розрахунків у ко-
лах змінного синусоїдного струму за будь-якого характеру опорів. При
цьому опори зірки і трикутника потрібно подати у комплексній формі.
91
Розглянемо питання про еквівалентний взаємний перерахунок струмів
зірки та трикутника. Простішою є задача розрахунку струмів зірки за відо-
мими струмами трикутника, яку розв’язують за першим законом Кірхгофа:
/і = /і2- /зі;
Іі-Іц-Іп- (4.8)
1} = Л1 ~ І23-
Знаки в цих рівняннях відповідають напрямам струмів, позначених на
схемах у табл. 4.3.
Таблиця 4.3
Якщо ж відомі струми зірки, а визначаються струми трикутника, по-
трібно застосувати другий закон Кірхгофа та закон Ома. При цьому
отримаємо:
/ (4.9)
23 ’
і _ _ і\И\
л ЇГ'
92
4.3. Еквівалентні перетворення ділянок кола
з джерелами ЕРС та струму
Реальне джерело енергії в будь-якому режимі роботи подається схемою
заміщення у вигляді ідеального джерела ЕРС з послідовно з’єднаним
внутрішнім опором (див. рис. 2.1) чи ідеального джерела струму з пара-
лельно з’єднаним внутрішнім опором (див. рис. 2.3). Еквівалентність реа-
льних джерел встановлюють співвідношення (2.1).
Взаємна еквівалентна заміна віток з ідеальними джерелами ЕРС і стру-
му в багатьох випадках значно спрощує аналіз і розрахунок електричних
кіл. Особливо ефективна ця операція у поєднанні з методом накладання.
Під час перетворення джерел слід ураховувати певні правила, шо грун-
туються на таких особливостях електричних кіл:
- точки однакового потенціалу можна перемикати будь-яким опором -
цс не змінює режим роботи кола;
- увімкнення ідеального джерела ЕРС до точок кола, різниця потенці-
алів яких дорівнює ЕРС, не змінює режим роботи кола;
- режим роботи кола не зміниться, якщо у будь-яку вітку ввімкнути
ідеальне джерело струму, струм якого дорівнює струму вітки.
Кожен рядок табл. 4.4 ілюструє відповідний пункт наведених нижче
правил еквівалентних перетворень ділянок кола з ідеальними джерелами
енергії.
Якщо режим роботи джерела припустимий чи якшо після перетворення
кола режим його роботи не зміниться і перетворення припустиме, у таб-
лиці зазначено «ТАК». У разі неприпустимості режиму роботи чи перед-
бачуваного перетворення у таблиці зазначено «НІ».
Правила еквівалентних перетворень ділянок кола з ідеальними джере-
лами енергії:
1. Режим неробочого ходу припустимий для джерела ЕРС і неприпу-
стимий для джерела струму.
2. Режим короткого замикання неприпустимий для джерела ЕРС і
припустимий для джерела струму.
3. Джерела ЕРС з будь-якими значеннями ЕРС можна з’єднувати між
собою послідовно, при цьому еквівалентна ЕРС буде дорівнювати
алгебричній сумі складових. Джерела струму можна з’єднувати
між собою послідовно, якщо вони мають однакове значення стру-
му. При цьому їх можна замінити одним джерелом струму.
93
Табл и и я 4.4
<7лк>, якщо./, =./.,
<Ш>, якщо/, *,Д
1
<ТЛК>, якщо - Е, = £,
/і <НІ>, якщо £, * Е, * Е3
94
Продовження т а б л . 4.4
95
Таблиця 4.4
1
___ <ТЛК>, якщо £, - £, = Еу
4__<НІ>, якщо Е, * Е^ф Е.л
.! У П
5’ <Ш>
94
Продовження т а б л . 4.4
95
4. Джерела ЕРС можна з’єднувати між собою паралельно, якщо вони
мають однакове значення ЕРС. При цьому їх можна замінити од-
ним джерелом ЕРС. Джерела струму з будь-якими значеннями
можна з’єднувати між собою паралельно, при цьому струм еквіва-
лентного джерела струму буде дорівнювати алгебричній сумі
струмів паралельно з’єднаних джерел струму.
5. Джерела ЕРС з протилежним напрямом ЕРС можна з’єднувати між
собою послідовно. Якщо дві ЕРС мають однакове значення, їх можна
виключити із схеми і режим її роботи не зміниться. Джерела струму
протилежних напрямів з’єднувати між собою послідовно не можна.
6. У схемі з однаковими джерелами ЕРС завжди можна замкнути
КЛЮЧ, ОСКІЛЬКИ <Рд = <рв через те, що дія джерел ЕРС компенсується.
У схемі з джерелами струму замикання ключа не змінить режим
роботи тільки у випадку, коли І = 0.
7. Якщо у схемі з джерелом ЕРС Е - 1Л, то ф,.< = фд і замикання ключа
не змінить режим роботи кола. За інших значень ЕРС фд / <рв і за-
микати ключ не можна. У схемі з джерелом струму розмикати
ключ можна тільки за умови 7 = І. У цьому випадку струми в опо-
рах не зміняться й у колі збережеться попередній режим.
8. Ідеальні джерела ЕРС паралельно з’єднувати між собою не можна,
оскільки у цьому разі вони працюють у режимі короткого замикання,
який, як зазначено раніше, для джерел ЕРС не припускається. Джере-
ла струму паралельно з’єднувати можна. Причому, якщо = Е, екві-
валентний струм / паралельного з’єднання дорівнює нулю.
9. Джерело ЕРС можна переносити у вітки, розташовані за вузлом.
При цьому не змінюються потенціали точок 1, 2, 3, а також зали-
шаються незмінними алгебричні суми ЕРС контурів. Джерело
струму за вузол переносити не можна.
Такі самі еквівалентні перетворення можна виконувати і в колах синусо-
їдного струму, якщо розрахунок ведеться у комплексній формі.
4.4. Еквівалентні перетворення активних ділянок
електричного кола
4.4.1. Послідовне з’єднання джерел ЕРС
Початкова та еквівалентна схеми наведені па рис. 4.7, а, б. Еквівалент-
не перетворення відповідає третій позиції правил еквівалентних перетво-
рень ділянок кола з ідеальними джерелами і не потребує спеціального
доведення.
96
Рис. 4.7
ЕРС джерел, з’єднаних послідовно, додаються алгебрично. З додатним
знаком враховуються ЕРС, спрямовані в той же бік, що й еквівалентна:
Ег = Еі~ Ег+...+ Е„.
Опори вітки додаються арифметично.
У колах синусоїдного струму всі перетворення виконуються у комплек-
сній формі.
4.4.2. Паралельне з’єднання джерел струму
Початкову та еквівалентну схеми подано на рис. 4.8, а, б. Еквівалентне
перетворення відповідає четвертій позиції правил еквівалентних перетво-
рень ділянок кола з ідеальними джерелами і не потребує спеціального
доведення.
а б
Рис. 4.8
Струми джерел, з’єднаних паралельно, додаються алгебрично. З додат-
ним знаком враховується струм джерела струму, яке має такий самий на-
прям, що й еквівалентне.
Провідності віток додаються арифметично.
У колах синусоїдного струму всі перетворення виконуються у комплек-
сній формі.
97
4.4.3. Перетворення кола з двома вузлами
Етапи перетворення схеми з трьома паралельними вітками і двома
джерелами ЕРС на еквівалентне джерело струму наведено па рис. 4.9, а.
Вихідна й кінцева схеми еквівалентні відносно напруги між точками А і
В, яку в разі п паралельно з’єднаних віток визначають за формулою:
V... = —--------
Лп ц
(4.10)
~ 1 . . . ,
де Ск =-----провідність вітки к.
Перетворення тієї самої схеми, що і в попередньому випадку, до іншо-
го вигляду показано на рис. 4.9, б. Наведене перетворення по суті є пере-
несенням джерела ЕРС Е] з вітки з опором /?1 у вітку з опором /?> Якщо
при цьому нове значення перенесеної ЕРС розрахувати за формулою
' 1 /е,
то напруга між точками А і В Шдв) не зміниться.
Узагальнене правило перерахунку ЕРС джерела при перенесенні його з
однієї вітки кола з двома вузлами в іншу: якщо ЕРС Е„ переноситься з
вітки з опором /?„ у вітку з опором її нове значення розраховують за
формулою
Е„ = Е„
(4.Н)
Перетворення (рис. 4.9, в) ілюструє заміну джерела струму джерелами
ЕРС. Для того, щоб напруга між вузлами не змінилася, треба задовольни-
ти таку умову:
Е, Ег Е,
—1 + _2_ + —
Я, К2 К3
(4.12)
98
В
в
V» = [7да якщо/ = +
в
Рис. 4.9
Значення ЕРС окремих віток при цьому можуть бути довільними.
4.4.4. Перетворення активної зірки на активний трикутник
Етапи перетворення показані на рис. 4.10.
Рис. 4.10
99
Спочатку ЕРС £(, £2і Ез переносяться за точки 1,2,3 і пасивна зірка
перетворюється на пасивний трикутник. Скористаємось методом перене-
сення джерела ЕРС за вузол. Значення ЕРС віток еквівалентного активно-
го трикутника визначаються так само, як і в підрозд. 4.4.1.
4.5. Теореми теорії електричних кіл
4.5.1. Теореми компенсації
Якщо у схемі рис. 4.II, а між точками А і В увімкнути два однакових
джерела, ЕРС яких Е'= СІ, це не змінить режим роботи кола.
Рис. 4.11
100
Поділивши вихідну схему на дві самостійні схеми через розімкнення
ділянок АА' і ВВ', одержимо можливість ділянку АВ замінити на ЕРС £'.
Так досить просто можна довести теорему компенсації, згідно з якою в
будь-якому електричному колі без зміни розподілу струмів у ньому опір
можна замінити джерелом ЕРС, яка чисельно дорівнює спаду напруги на
опорі і спрямована назустріч струму в цьому опорі.
У прикладі, що розглядається, Е'= і! = Е + ІП. Якщо ж Е = 0, то Е' = //?.
Перетворення, наведене на рис. 4.11,6, показує, як, використовуючи
джерела струму, початкову схему можна поділити на дві самостійні. При
цьому ділянку А В замінюють джерелом струму, значення струму і напрям
якого такі самі, як і в опорі /? початкової схеми.
Таким чином доводимо другу теорему компенсації, яка стверджує, що
в будь-якому електричному колі без зміни розподілу струму в ньому опір
можна замінити джерелом струму.
Використовуючи зазначені вище правила еквівалентних перетворень
ділянок кола з ідеальними джерелами, останніми можна замінювати не
тільки окремі опори, а й ділянки електричних кіл.
Так, якщо складне електричне коло подати у вигляді двох частин, як
показано на рис. 4.11, в, г, то їх можна відокремити, скомпенсувавши час-
тину, що відокремлюється, джерелом струму чи джерелом ЕРС.
4.5.2. Теореми про еквівалентні джерела енергії
Розглянемо активний двополюсник, навантаженням якого є вітка АВ з
опором /?. Увімкнемо послідовно до В два ідеальних джерела з однакови-
ми ЕРС протилежних напрямів, кожна з яких дорівнює напрузі неробочого
ходу активного двополюсника: Е'= Е" = С„х (рис. 4.12, а), що звичайно ж
не змінює режим кола. Розрахуємо одержану схему, використовуючи ме-
тод накладання. При цьому поділимо всі ЕРС на дві групи (рис. 4.12,6):
1) Єї, Е2. ..Еп, Е' - створюють режим неробочого ходу вітки: Ґ- 0;
2) Е" - створює струм І".
Як бачимо, сумарний струм І = Г+ І" = І".
Замінивши пасивну частину електричного кола еквівалентним опором
Ве, одержимо коло, показане на рис. 4.12, в, та
1= (4.13)
Ве + К
Отже, будь-який активний двополюсник еквівалетний реальному дже-
релу напруги з ЕРС, що дорівнює напрузі неробочого ходу і!т, та з внут-
рішнім опором Ке, що дорівнює вхідному опору відповідного пасивного
двополюсника.
101
Рис. 4.12
У цьому полягає сутність теореми про еквівалентне джерело ЕРС (тео-
реми Тевенена).
Тепер проаналізуємо режим активного двополюсника з навантаженням
К так, як показано на рис. 4.13. Паралельно до вітки АВ увімкнемо два
однакових за значенням і протилежних за напрямом джерела струму,
струм кожного з яких дорівнює струму короткого замикання активного
двополюсника У'= У" = Ік„ що не змінює режим кола. Поділивши всі дже-
рела енергії кола (рис. 4.13, а) на дві групи, розрахуємо його, користую-
чись методом накладання (рис. 4.13, б):
1) Е\, Е2...Е„, .Г - створюють режим короткого замикання вітки АВ:
ІАав = 0 та /'= 0;
2) - створює струм 1".
102
(4.14)
Замінивши пасивну частину електричного кола еквівалентним опором чи
еквівалентною провідністю Се= 1//?г, одержимо коло, показане на рис. 4.13,«, та
се+с, к
У такому разі активний двополюсник подається реальним джерелом
струму зі струмом ] = і внутрішнім опором У цьому полягає сут-
ність теореми про еквівалентне джерело струму (теореми Нортона).
Одержати схему Нортона (рис. 4.13, в) можна перетворенням вітки з
джерелом напруги у колі (див. рис. 4.12, в) на еквівалентну вітку з джере-
лом струму.
4.5.3. Вхідні та взаємні провідності й опори віток
Для кола можна скласти систему рівнянь за законами Кірхгофа. Вони
виражають лінійні залежності між ЕРС джерел напруги і струмами дже-
рел струму (причинами), з одного боку, та струмами віток (наслідками) -
з іншого. Якщо розв'язати складені рівняння відносно струму будь-якої
вітки (4), то залежність теж буде лінійною:
Ік = ІЕІ+ 2 Е1 + • •+ С’кк Ек + • • • + Ск,„ Е,„ +
+ КкуІ2 + ...+ +...+ К^п. (4.15)
У цьому виразі складові струму Д можуть бути як додатними, так і
від’ємними, залежно від того, чи збігається їх напрям з умовним напря-
мом струму Ік. Що ж стосується одиниці виміру коефіцієнтів С при ЕРС.
то вона дтя всіх складових однакова і є одиницею провідності (сименс).
Провідність з двома однаковими індексами називають вхідною (Сц - вхі-
дна провідність вітки А), а провідності з різними індексами - взаємними
(наприклад, Окт - взаємна провідність віток к і ///). Ккі - це нерозмірний
коефіцієнт передачі струму між віткою к та джерелом струму /(.
Виходячи з (4.15), знайдемо вхідні і взаємні провідності та коефіцієнти
передачі струму. Якщо вважати, що всі ЕРС кола, крім Ек, і струми всіх
джерел струму дорівнюють нулю, отримаємо /< = бц.Еь звідки
С«=-^. (4.15а)
Ек
Вхідну провідність будь-якої вітки розраховують як відношення струму
цієї вітки до її ЕРС, за умови, що ЕРС усіх інших віток і струми всіх дже-
рел струму дорівнюють нулю.
Якщо ж вважати, що нулю дорівнюють усі ЕРС, окрім Е„„ розташова-
ної у вітці т, і струми всіх джерел струму, то в такому разі струм
4 = СктЕт, ЗВІДКИ
103
(4-156)
Е,„
Зауважимо, що вхідні та взаємні провідності можуть бути як додатни-
ми, так і від’ємними, залежно від вибраних напрямів струмів та ЕРС.
Можна довести, що
М = = (4.15В)
Якщо в (4.15в) Ек = Ет, то Ітк = Ікт. Це принцип взаємності для елект-
ричного кола.
Щоб знайти коефіцієнт передачі струму, слід вилучити з кола всі дже-
рела, окрім джерела струму тоді Ц = Кк^і.
Отже, !<«=— (4.15г)
Л
Значення Си, Си, Кц залежать лише від пасивних параметрів віток. Во-
ни не залежать від ЕРС та струмів відповідних джерел. Своєю суттю ви-
раз (4.15) є принципом накладання для електричного кола.
4.5.4. Теорема про взаємні прирости струмів і напруг
Розглянемо дві вітки схеми рис. 4.14. У деякому довільному режимі
роботи струм однієї з них позначимо через Л, а іншої - через Іт. Зміна
опору вітки т на Д/?„ зумовить зміну струмів розглядуваних віток відпо-
відно на Д/4та Д/т.
Рис. 4.14
104
(4.16)
Використавши теорему компенсації, опір Д/?,„ замінимо джерелом на-
пруги З ЕРС Д£'т= (Лп + Е1т)ї\Кт.
Далі, користуючись методом накладання, одержану схему подамо су-
купністю двох схем. Перша є початковою, а в другій - маємо шукані ве-
личини приросту струмів Д/* та Д/,„ з ЕРС ДЕт.
Використовуючи поняття про вхідні та взаємні провідності віток. за-
пишемо. Д/* = ЕЕт(3^т, ЕІПІ — ЕЕт(Зтт.
Остаточні значення приростів струмів, що відповідають зміні опору ві-
тки т на Д/?„„ дістанемо, використавши вираз ЕЕт. При цьому
Д/и = '.МР™ <
т 1 . Л Г> ' /Л/П
1 + Л/?^
_ !т^тСкт
Формули для приростів струмів називають ще теоремою варіації. Зна-
чення Отт та Скт - відповідно, вхідна та взаємна провідності, що розрахо-
вують у початковій схемі до зміни опору у вітці пі.
4.5.5. Лінійні співвідношення між напругами й струмами
в електричному колі
Припустимо, що в електричному колі (рис. 4.15, а) значення одного з
опорів /?т змінюється. Використавши теорему компенсації, замінимо опір
джерелом ЕРС Ет"= КтІт (рис. 4.15, б) і запишемо струм к-ї вітки, корис-
туючись поняттям про вхідні та взаємні провідності віток:
4 = ЕіСкі + Еібіа +...+ Еп1Скт + Е”пСіт +...+ Е„Сі„.
Рис. 4.15
105
Усі складові, що входять у цей вираз, окрім є сталими, тому їх можна
замінити константами відповідно А' і В':
/х. = л'+ б'С.
аналогічно: /| = А " + В"Е’п,
отже, 4 - А + Вії
Останнє рівняння можна узагальнити, надавши йому такого вигляду:
X = А + В¥, де А і В - сталі, а X та ¥ - змінні величини (наприклад, струм
та напруга будь-яких двох віток кола).
Узагальнене рівняння показує, що у разі зміни параметра однієї з віток
електричного кола дві величини: напруги та струми будь-яких віток, на-
пруги на затискачах опорів чи струми в опорах зв’язані між собою ліній-
ними співвідношеннями.
Якщо в колі одночасно змінюються два параметри, то аналогічно наве-
деному вище три будь-які напруги чи струми зв’язані між собою також
лінійним співвідношенням, яке в узагальненій формі запишемо як
X = А + В¥ + СХ, де А, В, С - сталі, що визначають розрахунковим чи до-
слідним шляхом; X, ¥, X- струми та (чи) напруги, шо змінюються.
Співвідношення, отримані в розд. 4.3 - 4.5 для кіл постійного струму,
дійсні також і для кіл синусоїдного струму, якщо користуватися комплек-
сною формою розрахунку.
4.6. Методи розрахунку електричних кіл, що базуються
на еквівалентних перетвореннях пасивних ділянок
4.6.1. Метод еквівалентних перетворень
Метод доцільно застосовувати у тих випадках, коли відомі параметри
елементів електричного кола і напруга чи струм джерела живлення. Роз-
рахунок кола умовно можна поділити па два етапи: спочатку визначають
еквівалентний опір відносно затискачів джерела, а потім - за законами
Ома і Кірхгофа - струми та напруги па ділянках електричного кола. Роз-
глянемо, як застосовують цей метод па практиці під час розрахунків еле-
ктричних кіл постійного та синусоїдного струмів.
1. Нехай електричне коло постійного струму зображено схемою
(рис. 4.16, а). Визначаючи його еквівалентний опір, слід урахувати спосіб
з’єднання окремих елементів між собою. Так, у початковій схемі послідо-
вно з’єднаних опорів немає, а опори Я4та з’єднані між собою парале-
льно. Тоді
106
а- • 1 1 77 г к,п к,. І 1
107
Другий спосіб розрахунку - комплексний. У цьому разі повний опір
кожної вітки подають у комлексній формі і тоді алгоритм розрахунку та-
кий самий, як і для кола постійного струму. Таку форму розрахунку нази-
вають символічним методом.
Етапи перетворення початкової схеми наведено на рис. 4.18.
108
Метод ировідностей Символічний метод
Наведемо основні співвідношення, використані під час перетворень
електричного кола (див. рис. 4.17) з метою визначення його еквівалент-
ного опору.
/?, „ І
С, = , 2 ,, де Х2 = <і)/.2;
2 К22 + X2
Х2
Вг~ к2г + х2’
7( = К) + К( + у(»)/л;
7, = + у'оїЛ,;
Ві — —соСз;
1
21 — /
-3 о)С,
<Л = РЛУД’ (для х4 = о)/,4—^);
К4 + Х4 0)С4
х
В =------— (умовно вважаємо від’ємною);
К2 + Х4
В; = В.+ К".
Ці перетворення дозволяють перейти від схеми рис. 4.17 до схеми
рис. 4.18, а. Наступний етап перетворень пов’язаний з визначенням опору
паралельної ділянки.
Сп = Сг + о4;
Ва = В 2 + В$ + 54;
п =-_2а_. V _ вп
" о2 + в2 ’ " с2 + х2
Для однозначності вважатимемо, що паралельна ділянка має активно-
ємнісний характер, тобто Ва < 0, Хп < 0 і Х{ > | Х„ |.
Визначаємо еквівалентний опір кола:
Ве = В) + /?п;
74 = Я4 + уш/.4 -
(і)С4
= Яд + Д4-
2„
2г2з2,
-/?„+)Хп.
2, = 2, + 2П = к<. + ух, = 7,.ел’.
Хе = Х{ + Хп;
7, = 7/?2 + х/.
Тепер перейдемо до розрахунку струмів віток. Струм, що споживається
від джерела, визначають за законом Ома:
, II
X ,
<р = агсіе—- (струм відстає від напруги).
Ве
Зобразимо струм та напругу на
векторній діаграмі (рис. 4.19).
Ч-
Напруга паралельної ділянки
'4 = А2п-
Струми паралельно з’єднаних ві-
ток:
109
Оскільки паралельна ділянка має активно-ємнісний характер, на вектор-
ній діаграмі вектор 1/|( відстає від вектора /| па кут фп.
Визначивши напругу на першій вітці (з опорами 7?1 та Хі) як
</, = /1^2 + Х12; <р, = агс(§—
Лі
і відклавши цей вектор на діаграмі, маємо змогу виконати перевірку, ко-
ристуючись другим законом Кірхгофа, відповідно до якого (/=;;,+ й„.
Далі визначаємо струми паралельно з’єднаних віток:
, Х2
Л = -~р=^= =; <р2 = агсі§ —4-;
/ =Уп (п = (струм випереджає напругу);
3 1 ’ 3 2
шС-
V,
. Х4
<р4=агсі§—і
«і
110
Відклавши вектори визначених струмів на діаграмі, знову перевіримо роз-
рахунок. Цього разу скористаємось першим законом Кірхгофа, згідно з яким
Зауважимо, що векторну діаграму будують обов’язково у масштабі і вона
може бути докладнішою, якщо зобразити на ній напругу кожного елеме-
нта схеми.
4.6.2. Метод пропорційних величин
Використовуючи цей метод, потрібно задати довільно значення струму
в будь-якому опорі (доцільно брати вітку, найвіддаленішу від джерела).
Потім, користуючись законами Ома та Кірхгофа, визначити напругу дже-
рела, потрібну для одержання струму, яким задавались. Найчастіше роз-
рахована напруга джерела не дорівнює тій, яка задається умовою задачі.
У такому разі слід визначити коефіцієнт перерахунку як відношення за-
даної напруги джерела до розрахованої.
Використовуючи властивість лінійності, дійсні значення струмів та на-
пруг окремих віток одержимо, домноживши розрахункові на коефіцієнт
перерахунку.
Проілюструємо зазначене прикладами.
1. Розглянемо коло постійного струму, зображене на схемі рис. 4.16, а.
Задамо струм в опорі /?5 (наприклад, /^ = І А). Розрахункові значення
струмів та напруг позначатимемо штрихом.
При цьому напруга на опорі /?5:1}'42 = . 'Гака ж напруга буде й на
опорі /?4, з’єднаному з ним паралельно. Тому
/' -
'"V
Струм І3’ визначимо, користуючись першим законом Кірхгофа:
Далі розрахуємо напругу на опорі К? (ІҐ34 = І'3К3) і, заетовуючи другий
закон Кірхгофа, - напругу из2 (ІІ'І2 = Ц,4 + ІУ42')- У10 напругу прикладено
до опору /?2, тому струм у ньому
/;=^,
а струм джерела: /[ = /'+/',
Цс дає змогу визначити ІІ'ІЗ = і розрахункове значення напруги дже-
рела: ц'=ц;3+ц'2.
ш
Якщо розрахункове значення не дорівнює заданому умовою задачі
(6/^(7 ), слід визначити коефіцієнт перерахунку к = 1) !іУ. Дійсні значен-
ня струмів та напруг визначаємо за допомогою коефіцієнта перерахунку:
2. Тепер розглянемо коло синусоїдного струму. Подібно до методу ек-
вівалентних перетворень, його можна розраховувати за діючими значен-
нями з використанням векторної діаграми чи у комплексній формі.
Розрахунок за діючими значеннями обов’язково треба супроводжувати
побудовою векторної діаграми, тому його найчастіше називають мето-
дом векторних діаграм.
Застосуємо цей метод до розрахунку схеми рис. 4.20, а. Задамо значен-
ня струму І3' і у відповідному масштабі відкладемо його на рис. 4.20, б.
Рис. 4.20
Напругу на паралельній ділянці між вузлами 3-2 визначаємо за зако-
ном Ома:
X
Фз = агсі§— (напруга відстає від струму /3).
кз
Визначаємо струм 1'2:
Д2+хг2 ’
X і
Ф2 =агсі§—(струм відстає від напруги 1/„).
Струм джерела визначаємо за першим законом Кірхгофа як геометричну
суму струмів 1'2 та /3: 7' = /' +
112
Напруга між вузлами 1-3
у ,
ф] = агсі§—!- (напруга випереджає струм Ц).
Тепер маємо змогу визначити розрахункове значення напруги джерела:
Коефіцієнт перерахунку в цьому випадку - дійсне число (к = 11/11'),
тому що його розраховують через відношення діючих значень заданої
напруги до розрахункової.
Для визначення дійсних значень струмів та напруг кола розрахункові
значення потрібно домножити на коефіцієнт перерахунку. Векторну діаг-
раму перебудовувати не треба. Достатньо змінити масштаб струму й на-
пруги пропорційно коефіцієнту перерахунку.
Розрахуємо тепер схему (див. рис. 4.20, а) у комплексній формі. Для
цього визначимо комплексний опір кожної вітки, а електричне коло зо-
бразимо схемою рис. 4.21.
0-------1----Т
7, = Я, +]Х, = 7,Л (Ф1 > 0)
7, - Я, + Д, = 7/Л (ф, > 0)
7, = Я3 = 73єА (фч < 0)
Рис. 4.21
Задаємо струм І'3 (комплексне значення). Напруга на паралельній ділянці
Струм в опорі 72: І'2 = / 2а-
Струм джерела визначаємо за першим законом Кірхгофа:
Напруга між вузлами 1-3: = а розрахункове значення напруги
джерела
С' = Св + Ц'.-
Коефіцієнт перерахунку к=йїй' - комплексне число.
113
4.7. Енергетичний баланс в електричному колі
Найчастіше енергетичний баланс складають для перевірки правильнос-
ті розрахунку електричного кола. Його сутність - порівняння сумарної
потужності джерел із сумарною потужністю споживачів.
Потужність джерела постійної ЕРС Р = ЕІ.
Потужність, яку генерує джерело синусоїдної ЕРС:
8 = Е1 = ЕІ со5<р + у'Е7$іп(р=/’ +
де ф = ~ф,-
Потужність джерела постійного струму Р = Ш. де І! - напруга між ву-
злами, з якими з’єднане джерело.
Потужність джерела синусоїдного струму:
8 = Ш = С/} со8ф+ у7Л/5Іпф = Р + у(),
Де Ф = 'И„- V,-
Напрями струмів і напруг джерел показано па рис. 4.22,«, б.
-----------0
0-4^-^ іГТі6 4
101 . (У)
І'
-----------0
б
Рис. 4.22
Рівняння енергетичного балансу - це застосування закону збереження
енергії до електричного кола, відповідно до якого, енергія, яку віддає
джерело в електричне коло за деякий проміжок часу, повинна дорівнюва-
ти енергії, що перетворюється на інші види в елементах електричного
кола за той же проміжок.
Якщо ж розглядати енергетичний процес за одиницю часу, рівняння
енергетичного балансу переходить у баланс потужностей. Він відповідає
незаперечному факту, що в електричному колі у будь-який момент сумар-
на потужність джерел енергії дорівнює сумарній потужності пасивних
елементів.
Для кола постійного струму цс записують так:
Х=1
114
Тут ураховано, що коло постійного струму складається тільки з рсзисти-
вних споживачів, потужність яких відповідно до закону Джоуля - Лепца
визначається як ГК.
Для кола синусоїдного струму складають:
- баланс активних потужностей
+ ^(/4/*со8ф* = (4Л8)
к=\ к-1 к-і
- баланс реактивних потужностей
=^/12Х(і. (4.19)
<=І 1-І 1-І
Слід ураховувати, що сума потужностей реактивних елементів - алгеб-
рична. Додатною є потужність індуктивних елементів, а ємнісних -
від’ємною.
5. МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ
СКЛАДНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ
5.1. Граф кола. Основні визначення і властивості
Під геометричним образом електричного кола, який у подальшому бу-
демо називати графом кола, розуміють геометричну фігуру, яка склада-
ється з точок (відповідають вузлам кола) і відрізків ліній, що їх з’єднують
(відповідають віткам кола).
Електричну схему кола постійного струму та її граф наведено на
рис. 5.1.
® 4
2
Якщо на вітках графа зазначено додатний напрям струму чи напруги у
вигляді стрілок, такий граф називають орієнтованим. У протилежному
випадку - неоріснтованим графом кола. Орієнтований граф кола, орієн-
тація якого визначається додатним напрямом струмів віток схеми
рис. 5.1, а, зображено на рис. 5.1, б.
Два графи називають ізоморфними, якщо вони зображують одне й тс
саме електричне коло (рис. 5.2, а, б).
117
Рис. 5.2
Якщо вітки графа створюють шлях від одного вузла до всіх інших, йо-
го називають зв’язним.
Дерево графа - сукупність віток, що зв’язують між собою всі вузли
графа, не створюючи при цьому жодного замкненого контуру.
Величина дерева - добуток провідностсй віток, що утворюють дерево,
їх називають вітками дерева.
Вітки зв'язку - вітки, що доповнюють дерево до повного графа. Сукуп-
ність усіх віток зв’язку для конкретного дерева називають доповненням
дерева.
Величина доповнення дерева - добуток опорів усіх віток зв’язку, що
доповнюють дерево до повного графа.
Кількість можливих дерев графа, що с повним багатокутником, визна-
чають за формулою:
(5-і)
де /івз - кількість вузлів графа.
Переконатись у чинності цієї формули можна, розглянувши декілька
прикладів, наведених на рис. 5.3. Причому два останніх повних багатоку-
тники (рис. 5.3, в, г) пропонуємо читачеві розглянути самостійно.
Якщо багатокутник неповний, користуватись наведеною формулою пс
можна і кількість усіх дерев графа розраховують через його вузловий ви-
значник, складений для 1) вузлів, вважаючи, що всі провідності ві-
ток дорівнюють одиниці.
Загальна кількість віток дерева па одиницю менша від кількості вузлів:
Нцд= Лвз~ 1; Н = («вт- «вз + 1) - КІЛЬКІСТЬ ВІТОК зв’язку, а Нот ~ кількість усіх
віток графа.
118
Рис. 5.3
Головний контур графа складається з віток дерева і пише з однієї вітки
зв’язку, причому орієнтація останньої визначає додатний напрям обходу
контуру.
Перетни графа - сукупність віток, видаленням яких граф поділяється
на дві ізольовані (незв’язні) частини.
Головний перетин - такий перетин графа, який містить вітки зв’язку та
одну вітку дерева, причому орієнтація вітки дерева визначає орієнтацію
перетину.
Аналізуючи граф, спочатку виділяють у ньому вітки дерева. Будемо
нумерувати їх першими цифрами натурального ряду. Потім нумерують
вітки зв’язку. Наприклад, у графі на рис. 5.4, а дереву з вітками 1-2-3 від-
повідають вітки зв’язку 4-5-6. Цей граф має три головних контури: 1,11 та
111. Звернімо увагу, що першим головним контуром вважають той, який
містить вітку зв’язку з мінімальним номером (у наведеному прикладі 4).
119
Головні перетини 5і, $2 та 53 цього ж графа ілюструє рис. 5.4, б. Голов-
ний перетин позначають 5Ь якщо він містить вітку дерева з індексом 1,
якщо містить вітку дерева з індексом 2 і т. д.
5.2. Топологічні матриці
Структуру графа описують топологічними матрицями. Розглянемо ос-
новні з них.
5.2.1. Вузлова матриця
Під вузловою матрицею (матриця з’єднань) розуміють таблицю коефі-
цієнтів рівнянь, складених за першим законом Кірхгофа для вузлів графа.
Оскільки перший закон Кірхгофа є законом для струмів, його скорочено
позначають ЗКС (закон Кірхгофа для струмів).
Правило складання вузлової матриці ілюструє наведений нижче прик-
лад, у якому розглядається граф, зображений на рис. 5.5. Користуючись
ЗКС, запишемо систему рівнянь для всіх вузлів:
Г/'і + 1'/*2 + О'/з + 0 /4 + О'/’з — 1’/*6 ~ 0:
0*/*і — 1 'і*2 1*0 і'й + О’В + 0'^6 ~ 0;
О'/) + 0*7*2 ~ Г/*з + О'/д +Г/5 +1’7*6— 0;
—1’7*1 + 0’7*2 + 0’7*2 — 1’7*4 —1'7*5 + 0*7*6 = 0.
Рис. 5.5
У загальному випадку така система має /іт рядків (відповідає кількості
вузлів графа) та ивт стовпців (відповідає кількості віток).
120
Вузлова матриця графа має вигляд:
1 2 3 4 5 6 <— Номер вітки
і 1 0 0 0 -1 І
кіі= 0 -1 1 1 0 0 II <— Номер вузла
0 0 -1 0 1 1 III
-1 0 0 -1 -1 0 IV,
Таку вузлову матрицю називають иевизначеиою, оскільки сума елемен-
тів кожного стовпця дорівнює нулю. Дійсно, вітка завжди з’єднує два вуз-
ли і якщо вона входить в один вузол, то обов’язково виходить з іншого.
Невизначена матриця Ц/Ц містить надлишкову інформацію, тому що
складена для всіх вузлів графа. У такій матриці тільки (іівз- 1) незалежних
рядків. Однозначність визначення кола не порушиться, коли один із рядків
матриці ||Дн|| буде викреслено. Одержана при цьому прямокутна матриця
||д|| розмірністю [(нв1- 1) X нвт] - визначена вузлова матриця. Вузол, який
відповідає викресленому рядку матриці, називають базовим вузлом.
Вважають, що матриця відповідає графу. Якщо відома матриця ||Дн|| (чи
||д||), можна одержати граф кола. Знаючи матрицю ||д||, перший закон Кірх-
гофа у матричній формі записують так:
НІШНМ- (5.2)
При цьому слід узяти до уваги, що ||/ВІ.|| - матриця струмів віток, а ||д|| -
вузлова матриця, складена за таким правилом: у клітині на перетині т-го
стовпця та /1-го рядка ставиться +1, якщо ш-ма вітка під’єднана до /1-го
вузла і спрямована від нього, та -1, коли вітка спрямована до нього; якщо
ж вітка //і не під’єднана до вузла п, елемент ш-го стовпця та л-го рядка
дорівнює нулю.
Для графа на рис. 5.5, якщо взяти вузол 4 за базовий, перший закон Кірх-
гофа має такий розгорнутий вигляд:
'і
1 1 0
0 -1 1
0 0-1
-1
0
1
<2
<3
'4
<5
(5.3)
0 0
1 0
0 1
0
0
о
121
Якщо у прямокутній матриці ||л|| виділити квадратні підматриці поряд-
ку (Пвз- 1)> то їхні визначники відповідно дорівнюватимуть:
1 2 З
0
1 І І
2 0-і
3 0 0
1
-1
=>Д = 1 (для матриці віток дерева);
4 5 6
д = -1 (для матриці віток зв’язку, якщо
останні є вітками одного з можли-
вих дерев графа);
1 2 4
1110
2 0
З 0
-1 1 => А = 0 (для віток 1-2-4, що створюють контур).
0 0
Напруги віток графа, записані через потенціали вузлів, визначають так:
»і="и=»в,і+0 + 0;
и, = нІ2 = ив() -ив(2 +0;
и, =«23 =0+«ві2-«вл3;
»4=:»24=0 + ''ві2+0;
«5=и34=0 + 0 + ив1,;
»6=»31=-«в.1+О + «ввЗ’.
якщо базовим є вузол 4. Звідси випливає:
1 2 3
1 1 0 0 ’"1‘
2 1 -1 0 ">
3 0 1 -1 X "в,2 = “з
4 0 1 0 "юЗ "4
5 0 0 1 “5
6 .-1 0 ь
або
ИхкНМ-
(5.4)
122
Отже, за допомогою вузлової матриці можна записати систему незалеж-
них рівнянь для струмів віток графа, а також виразити напруги віток гра-
фа через потенціали його вузлів.
5.2.2. Контурна матриця
Контурна матриця (матриця контурів) є таблицею коефіцієнтів систе-
ми рівнянь, складеної за другим законом Кірхгофа.
Правила складання контурної матриці також проілюструємо стосовно
графа (див. рис. 5.5). При цьому розглянемо контури у вигляді комірок,
яких разом із зовнішнім контуром буде чотири. Для кожного контуру за-
пишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:
—Щ 4- И2 4- 0 4- Ид 4- 0 4- 0 “ 0;
0 4- 0 4" Из — Нд 4- 11$ 4- 0 — 0:
И| 4- 0 4- 0 4- 0 — 1(5 4- (((, — 0’,
0 — И5 — ((.з 4- 0 4- 0 — !/(, = 0.
І 2 3 4 5 6 є- Номер вітки
-1 1 0 1 0 0 1
0 0 1 -1 1 0 II <— Номер контуру
1 0 0 0 -1 1 III
0 -1 -1 0 0 -1 IV
Матриця ||Вн|| є невизначеною, як і
Для одержання визначеної контурної матриці досить викреслити з не-
визначеної будь-який рядок. Комірку, якій відповідає викреслений рядок
матриці, називають базовою коміркою.
Отже, контурну матрицю складають за таким правилом: у клітині на
перетині /н-го стовпця та н-го рядка ставиться 4-1, якщо /н-ма вітка вхо-
дить до н-го контуру і їхні напрями узгоджені, та -1, якщо ці напрями
протилежні; коли ж вітка /н не входить до контуру л, елемент /н-го стовп-
ця та н-го рядка дорівнює нулю.
Застосувавши цс правило для графа (див. рис. 5.5) і вважаючи комірку
IV базовою, запишемо:
0 0
1 0
-1 1
(5.4а)
За цих умов другий закон Кірхгофа у матричній формі запишемо так:
ІІФк.НМ-
123
Якщо помножити контурну матрицю на стовпцеву матрицю джерел ЕРС
віток, то ||ф|К,|| = Ь||, ||еЛ|| - матриця контурних ЕРС.
Введемо поняття контурного струму (ік - струм вітки зв’язку цього
контуру, який ніби-то замикається вздовж контуру), отже, струми віток
через контурні струми запишемо так:
'1 -~'кІ +0 + 'кЗ' -1 0 1 і2 = + 0 + 0; 1 0 0 /*з= 0 + ік2 + 0; 0 10 '4='к|-'к2+0; ^1-10 '5=0 + 'к2-'к3; 0 1 -• — 0 + 0 + /к3; 0 0 1 Складаючи ці рівняння, вважаємо, що дод 'і' г- л Ь 'К1 'з X /,2 = . • <4 ІАз] . ['<>. атний напрям контурного
струму збігається з напрямом контуру, позначеним на рис. 5.5, а.
Отже:
и<на (5.6)
що зв’язує контурні струми зі струмами віток.
Маючи матрицю ||н||, неважко побудувати граф кола і, навпаки, маючи
граф кола, можна записати матрицю контурів, користуючись сформульо-
ваними вище правилами. Надалі використаємо (5.6) та одержані раніше
вирази:
ІИІІX ЇМ = І|0||; ІИІ|'х|І««з|| = ИМ та ||В||х||Мві|| = ||0Ц. (5.7)
Спільний розгляд дає:
||вц х им = цв||х|ИН'х ||М = ЦОЦ; ІИ|| х Ц/В1|| = ||л|| хцв||' х Ц/к|| = цо||. (5.8)
Легко довести, що:
Их|И = ||0||;|И||х||В||' = ||0||. (5.9)
5.2.3. Матриця перетинів
Ця матриця є таблицею коефіцієнтів рівнянь, складених за першим за-
коном Кірхгофа для головних перетинів графа, тобто матриця визначає
сукупності віток, які входять у головні перетини графа.
Розглянемо головні перетини графа, зображеного на рис. 5.6. Рів-
няння ЗКС для перетинів 52та 53 і матриця перетинів ||(7|| відповід-
но мають вигляд:
124
і 2 З
4 5 6
/| + 0 + 0 + <4 + /5 + 0 — 0;
0 + /2 + 0-/4 -/5 -і6 = 0;
О + 0+ і3 + 0-і5 -і6 = 0.
Система рівнянь для струмів віток, що належать головним перетинам
графа, записана через матрицю перетинів:
або
ПСИ х їм = ||оц.
(5.10)
Останнє рівняння є першим законом Кірхгофа для головних перетинів
графа. Якщо у схемі є зовнішні струми, що створюють джерела струму,
ЗКС для перетинів графа записують так:
ПСИ х ІМІ = -неп X ||Л||. (5.11)
Правила складання матриці перетинів: у клітині на перетині /н-го стовпця
та /і-го рядка ставиться +1, якщо ш-ма вітка належить /і-му перетину й
орієнтована у напряму перетину, та -1, якщо вітка орієнтована у проти-
лежному напряму; коли ж вітка т не належить до перетину /і, то елемент
/н-го стовпця та /1-го рядка дорівнює нулю.
125
Виражаючи напруги віток графа через напруги віток дерева одержимо:
и( +0+0 = и,; "1 0 0’
0 + и, + 0 = и2; 0 1 0 "і
“1
0 + 0 + л3 =п3; 0 0 1 ІІ3
X и2 =
ні ~иі + 0 = //4; 1 -1 0 "а
[и3 ]
1 -1 -1 1<5
0 - и, - и, = и6 0 -1 -1 _"б_
Останній запис, або його згорнутий вигляд
(5.12)
показує, що напруги всіх віток можна визначити, знаючи напруги віток
дерева.
Аналогічно виразу: ||Л||х||б||' = ||0||, ||в|| х ||Л||' = ||0|| можна одержати
ІІС||хІІбІГ=І|О||’ІІвІ|х||ЄІІ'=І|ОЦ-
5.2.4. Властивості топологічних матриць
та співвідношення між ними
Виконуючи розрахунки в матричній формі, зручно подавати складні ма-
триці у вигляді окремих блоків, що в багатьох випадках спрощує процес
обчислення, дозволяє встановити більш прості співвідношення. Напри-
клад, вузлова матриця ||Л|(, складена у підрозд. 5.2.1 для графа рис. 5.5,
може бути поділена па дві підматриці за вітками дерева ||ЛД||та зв’язку ||х!.Д|.
Матрицю струмів віток також поділимо на дві підматриці за вітками де-
рева та зв’язку:
126
Тоді перший закон Кірхгофа для коагульованих матриць:
НИ/„|=[Нікі|]х ||
звідки ІИІІ X ||/вт|| = ||ЛД|| х ||/я|| + ІИ4І х Ц/..Ц = ||0||.
Домноживши обидві частини останнього рівняння на ||ЛД|| , одержимо:
ІМлІГ1 X |)ЛД|| х ||/д|] + Ц/ІДІГ’ X ]|Л,|) х])/.,]| = |]0]|. (5.13)
Ураховуючи, що ЦЛ.Л”1 X ||ЛД|| = ||1|| = ||£Ц-одинична матриця, остаточно маємо
ННИ-Г Х)|А,||Х||/.(Ц. (5.14)
Отже, струми віток дерева можна визначити через струми віток зв’язку.
Для знаходження струмів усіх віток достатньо знайти струми лише віток
зв’язку.
Тепер розглянемо питання про так звані фундамеїіта.іьиіматриці. Для
цього повернімося до одержаного раніше рівняння (5.13) і запишемо його
так:
де ||Е|| ' хІІЛІІ = ||4|>|| _ фундаментальна вузлова матриця.
Позначивши ||ЛЯ '|| х ||Л,|| = ЦГЦ, дістанемо ||ЯФ|| = |||Е|| І ||Е||]. (5.15)
Фундаментальна вузлова матриця містить одиничну підматрицю ||Е||,
що відповідає віткам дерева.
Для графа, наведеного на рис. 5.5, підматриці та фундаментальну вуз-
лову матрицю запишемо так:
’1 1 01 Го 0 -1 І Г1 1 Г
И = 0-11; 10 0; = 0-11;
0 0-1] [011] [0 0 -1
'10 0 1 10'
І4||= 0 10-1 -і -1 .
|_0 0 1 0-1 -1
Існує можливість визначення фундаментальної матриці ||Яф|| іншим
способом, виходячи зі структури графа та вибраного дерева. Для цього
127
складають матрицю головних перетинів ||0|| для графа з тим же деревом.
Якщо читач звернеться до підрозд. 5.2.3, то порівнявши матрицю ||2|| з
наведеною вище матрицею ||Лф||, переконається в їх ідентичності:
ІИфіі = НСфІІ. (5.16)
Отже, для складання фундаментальної вузлової матриці потрібно виб-
рати дерево графа і скласти матрицю головних перетинів, вважаючи, що
орієнтація кожної вітки перегину визначається орієнтацією вітки дерева.
Аналогічне узагальнення можливе і для контурної матриці ||В||, яка
може бути поділена на дві матриці за вітками дерева та зв’язку. Так само
вчинимо й з матрицею напруг віток:
И=[НІИ]-.
Тоді
[НІ І И] Д =ІІВАІІхІМІ + ІІ^||х|М| = ||о||. (5.17)
Домноживши ліву й праву частини останнього рівняння на |]В3]|_1, одер-
жимо
ІМҐ х ІІ^ДІІ х МІ + ||в,|Г‘ X ||В.,|| X ||«3|| = ПВзІГ* X ||/Ц X ||«ЛЦ + ||£IIX ІІИзІІ = ІЮІІ,
ЗВІДКИ ||й,|) = -||В,)|_|х||Вд||х||Нд|| - рівняння, в якому напруги віток зв’язку
виражені через напруги віток дерева.
Тепер маємо можливість перейти до фундаментальної контурної мат-
риці:
де = [ІІМ 'хНІ Н} чи позначаючи ЦВ,]!'1 х ||ВДЦ = ||ЛЦ,
ІІМ = [ИІІІ4|- (5.18)
Як бачимо, фундаментальна контурна матриця також містить одиничну
підматрицю, однак вона відповідає віткам зв’язку.
Розглянемо, як утворюється фундаментальна контурна матриця, на
прикладі графа, показаного на рис. 5.5. Контурна матриця має вигляд
(5.4а).
128
Отже:
1
1
1
о о
1 о
1 1
Звідси:
ІК =
ІІМ=ІІ'М’1*МІ=
-і
-і
о
1 о
1 1
І 1
Тоді, фундаментальна контурна матриця:
О
О 1 1
1 О О
0 10.
О 0 і
Рівняння ||вф|| х ||нот|| = ||0|| у розгорнутій формі мас такий вигляд:
-110 1
-1110
0 110
0 0' І 0 0 І X “і “1 “з «4 И, = ’о' 0 0
Контури графа, які відповідають цій системі рівнянь, наведено на
рис. 5.7. З рисунка видно, що система рівнянь відповідає головним кон-
турам графа, орієнтація яких визначається відповідними вітками зв’язку.
Рис. 5.7
129
На закінчення розглянемо питання про зв’язок між фундаментальними
матрицями ||ЛФЦ, ||ВФ||, ||0ф||.
Раніше доведено, що рфЦ = |^ф| = [НІі|И||'* хЦаИ} Й^ФІІ = [іі^И'' ХОЛІНИ]’
таИх||В1|'=||0||,ИхИ'=||0Ц.
Визначимо ІИфіі х ІІбФІГ = ІИдІҐ х И * ІК X (|КГ‘)' = ||0||. Якщо
врахуємо, що
М=[ІНІ ПНІ? ІМ'=
- !М=[ИІ№ М'=
то звідси одержимо:
НхМ=[ИІІН1*
=М’+И=І№
Таким чином, ||ЛЦ' = -|К чи ІК = ЧИЇ '•
Це дає можливість установити зв’язок між фундаментальною вузловою
та контурною матрицями:
м=[н і -мНн Ні<’х Н)']=И І -мх нг1)'}
ІМ=[44 ІиН"(Мх М)' ІИ]=[-ИІІ'х <нг1)' І н]-
Отже, знаючи матрицю ||ЛФ||, легко визначити матрицю ||ВФ|| для того
самого дерева графа, можливий також і зворотний перехід.
5.3. Закон Ома в матричній формі
Розглянемо узагальнену вітку в колі постійного струму (рис. 5.8), за-
стосувавши до неї закон Ома.
ї^вт + В'вт = Ввт(/вт + вт)
Лт + ^вт = (^вт((^вт + Вцт).
________
Е
(5.19)
(5.20)
або
Рис. 5.8
130
Для електричного кола, яке складається з декількох віток, доцільно вико-
ристати матричну форму закону Ома:
||1/В1|| + ||М = ||ЛВТ|| х (||/вт|| + ||Л,||); (5.21)
ІРвтІІ + ||Л,|| = ||СВ,Ц х (||Щ| + ||ЕВТ||), (5.22)
де та ||ОВІ||- відповідно матриці опорів та провідностей віток схеми
||Л»тЦ = ^ВТІ 0 0 явт2 0 . 0 . . 0 ' . 0 ; ІІМ = 'Свт1 0 0 0 . 0 . . 0 . 0 . ...
0 0 0 . • Д,т„. 0 0 0 . Св,„_
||Л.Т|Г1 = ||СВ1||;||ОВ1||-| = ||ЛВТ||.
Так записують матриці опорів та провідностей у колі постійного струму.
У колі синусоїдного струму опори й провідності доцільно записувати у
комплексній формі і позначати відповідно як 2 та У.
Струми, напруги, ЕРС віток - багатовимірні вектори, запис яких по-
требує чіткого знання правила знаків.
Так, вектор ЕРС віток є //„-вимірним і ЕРС віток у ньому входять зі
знаком «+», якщо напрям ЕРС вітки збігається з напрямом струму вітки,
зі знаком «-» - у протилежному випадку, і дорівнюють нулю, якщо вітка
ЕРС не містить.
Вектор джерел струмів є (ивт)-вимірним і струми джерел у ньому запи-
сують з додатним знаком, якщо їх напрям не збігається з напрямом стру-
му вітки відносно її вузлів, з від’ємним - у протилежному випадку, і
дорівнюють нулю - за відсутності джерела струму.
Вектори напруг і струмів віток складаються, відповідно, з напруг і
струмів усіх віток схеми.
Вектори записують у вигляді матриць-стовпців.
5.4. Методи розрахунку складних електричних кіл
Типова задача аналізу електричного кола полягає у визначенні реакцій
за відомими сигналами та параметрами кола.
Для розв’язання такої задачі використовують декілька методів, які ба-
зуються на топологічних (закони Кірхгофа) та компонентних (закон Ома)
рівняннях.
5.4.1. Метод законів Кірхгофа та Ома
Будь-яке складне електричне коло можна розрахувати, склавши для
нього систему рівнянь за законами Кірхгофа та Ома.
Розглянемо схему та її граф, які зображені на рис. 5.9, а, б відповідно.
131
Аналіз кола починається із зображення стрілками на схемі та на її графі
умовного напряму віток. Далі слід виділити на графі вітки дерева і про-
нумерувати їх, потім нумерують вітки зв’язку й вузли. Потрібно також
визначити кількість вузлів, віток, головних контурів.
Рис. 5.9
Після цього можна скласти необхідну систему рівнянь, користуючись
законами електричного кола в алгебричній чи матричній формі (табл. 5.1).
Т а б л и ц я 5.1
Алгебрична форма Матрична форма
ЗКС.'
х ||/„,|| = ||0|| або ||2|| х ||/ПІ|| = ||0||
зкн
1^=0
Для схеми (рис. 5.9) запишемо, взявши вузол 4 за базовий, рівняння:
- за першим законом Кірхгофа
0 1
0 -1
-1 0
0
1
-1
-і 1 '/ 7, /з д = "о" 0 0 0 або
0 1 X
1 /5 0
А.
-/, + /4-/6 = 0;
-/2-/4 + /, = 0;
-7, - 7, + 76 - 0;
(5.23)
132
за другим законом Кірхгофа
Нх|М=
1 -1 о
0 1-1
-1 0 1
о
1
о
(/, - і/, + и5 = 0;
-її, + іу} + и0 = о.
(5.23а)
І
о
о
Наведені вище рівняння визначаються лише топологією електричного
кола, відповідають способу з’єднання віток кола між собою і не врахову-
ють характер елементів у вітках.
Виразивши в цих рівняннях струми віток через їх напруги або напруги
віток через їх струми за законом Ома згідно з (5.21), (5.22), одержуємо нвт
рівнянь відносно невідомих напруг, або струмів віток.
Так, для кола на рис. 5.9 будемо мати:
>> 0
0 я.
ІЕ 0 0
КІІ= 3 ^4 : КІІ = 0 0
^5 0 0
Л. 0 0
Е,
Е,
0
^6
Підставивши ці матриці в (5.21), з урахуванням (5.23а), дістанемо:
І|в|| х ІІМ X ІІМ + ||В|| х ||ЯВТЦ х ||увт|| - ||в|| х ||ЕВТ|| = ||0||. (5.236)
Разом з (5.23) система (5.236) утворює п„ рівнянь з лвт невідомими
струмами віток.
Можна використати рівняння (5.22) і (5.23) для одержання системи п„
рівнянь з /івт невідомими напругами віток.
133
Аналіз електричних кіл за допомогою рівнянь у матричній формі є до-
сить раціональним завдяки своїй простоті та високому ступеню узагальне-
ності. Однак слід ураховувати деякі особливості такого підходу, які мають
місце за наявності у схемі електричного кола віток з ідеальними джерела-
ми ЕРС та струму. Справа в тому, що в матричних рівняннях використо-
вуються матриці ||Я»Т||(||ОВТ||) або ||2вТ||(ЦКн7І|). Як відомо, внутрішній опір
ідеального джерела ЕРС дорівнює нулю, а ідеального джерела струму -
нескінченності, шо може унеможливити певні операції з матрицями опорів
чи провідностей. У такому разі схема потребує додаткового перетворення:
ідеальне джерело ЕРС переносится за вузол (див. табл. 4.4, п. 9), а ідеальне
джерело струму перетворюється на декілька джерел струму, ввімкнених
паралельно з опорами віток, розташованих між затискачами ІДС.
Такі перетворення зменшують кількість вузлів чи контурів схеми, а
відповідно, - і загальну кількість рівнянь, які складають за законами Кірх-
гофа під час аналізу схеми.
Доведемо важливе твердження щодо зв’язку топологічних законів Кірхгофа
з енергетичними характеристиками електричного кола заданої структури.
Транспонуємо матрицю лівої частини рівняння, складеного за першим
законом Кірхгофа: (||А|| х ||їв,||)' = ||0Ц. або ||/вт||' х ||А)]'= ||0|). Отриманий ви-
раз домножимо на матрицю вузлових напруг |Щ|'х ||А||' х [[иві|[ = |]0|| і ви-
користаємо співвідношення ||А||'х= ||нвт||, пов’язане з другим законом
Кірхгофа. У результаті
ІІ'втII'х ||«.Т І = ||°|| ’ тобто £ 4«к = Е а = °- (5 -24>
*=| *=1
Віткою можна вважати кожний елемент кола.
Доведене твердження є однією з форм теореми Теледжена і відповідає
закону збереження енергії. Цікаво зазначити, що навіть тоді, коли струми і
напруги розраховані для різних режимів кола, все ж таки £^ікик =0, якшо
к=\
для струмів і напруг, окремо взятих, виконуються закони Кірхгофа. Цим
струмам і напругам можуть відповідати зовсім різні параметри віток кола.
5.4.2. Метод контурних струмів
Поняття контурного струму введено у підрозд. 5.2.2. Для контурних
струмів кола скористаємось магричною формою запису закону Ома і за-
кону Кірхгофа для напруг віток:
И х ІІ^ІІ + И X ||М = 1|В|| х ||/?В1|| х НМІ + ||Є|| х ||М х ||/и|(,
134
де ||В|| X ||£/и|| = ||0Ц - за другим законом Кірхгофа; ||5Ц х ||ЕВТ|| = ||ЕК||;
ЦКвтІІ х ІІ^»тІ1 = Р’кІІ ~ матриця ЕРС джерел, еквівалентних джерелам
струму.
Позначивши ||ЕК|| - = |{ЕКС||, яку надалі будемо називати .матрицею
контурних ЕРС, одержимо: ||В|| х ||КВТ|| х ||/вт|| = ||ЕКС||. Ураховуючи з попе-
реднього, що ||/вт|| = ||< ||/к||, переходимо до матричної форми рівнянь ме-
тоду контурних струмів
І|в|ИІМІІ<хИ = ІІМ- (5-25)
Елементами матриці: ||/Ц = ||В|| х |[ЯВІ|| х ||В||' = ||В|| х ||2Щ х |[в||') є
опори. Тому матрицю називають матрицею контурних опорів. Матричні
рівняння методу контурних струмів остаточно запишемо:
МХКІІ = ||Еке|| - для кола постійного струму;
||7К |[х|/к|| = |[Екє|| - для кола синосоїдного струму.
Особливості контурної матриці та правила її складання розглянемо на
прикладі схеми та її графа, наведених на рис. 5.9.
Фундаментальна матриця головних контурів, складена для графа з віт-
ками дерева 1-2-3, має вигляд:
1 о
1-10 1
0 1-10
-10 10
-1 1
-1
о
1
о
о
1
о о
1 о
0 1
0 1
о о
Матриця опорів віток схеми:
В, 0 0 0 0 0
0 /?2 0 0 0 0
о о о о о
о о о к4 о о
о о о о о
о о о о о т?6
135
Добуток
Ч 0 0 0 0 0 ’
0 я 0 0 0 0
1 -1 0 1 0 01
0 0 К, 0 0 0
ИХМ = 0 1-1 0 1 0 х 0 0 д 0 Е, 0 0
-10 10 0 1 4
0 0 0 0 Е5 0
0 с 0 0 0
Я, -Я2 0 0 0'
= 0 я, -Я3 0 Е$ 0 ,
-Я, 0 я3 0 0 л6.
1 0 -1
-1 1 0
Я, -Я2 0 е4 0 °1
0 -1 1
а||фМхН = 0 «г 0 «5 0 X 1 0 о
-Я, 0 я3 0 0 я6]
•- 0 1 0
0 0 і
Я( + Я2 + Я4 -Я2 -Я] - 'я,, я 12 Е^з
— — /?2 /?2 + 4" — ^3 = я2) я 22 «23
—/?] — ф 7?і + <-«6. Лз( Е 32 «зз_
~е4-е2- 0 -І
ІКНбММ = Е2 + Е} ;||Е’1і|| ФММ*ІМ= -Я5У5 ;
-яз + д6_ 0 ..
Е,~Ег
+ Еу +
-Е3 + Є6
Е«
Е„.,
136
Виходячи з цього, схемі рис. 5.9 відповідає така система рівнянь за мето-
дом контурних струмів у матричній формі:
«12 V
я,. «23 X 1.2 = ^.2
Лі ^2 -1.1 _
Кп = Пі + К4;
де /п,-.-, /22- контурні струми відповідних контурів: /?„ = /?, + Я, + К--,
Л = К. + +
/?и - власний опір контуру к, що є сумою опорів усіх віток. які містить
/?І2 = /?2І = -^2’
даний контур; /?13 = /?31 =-/?,;
/?2! = /?,, =~К} - спільні опори контурів 1. 2 і 3.
У загальному випадку спільний опір К„к = Ккп є сумою опорів віток,
якими проходять контурні струми та /„„ причому цей опір входить у
рівняння зі знаком «+», якщо напрями суміжних струмів у спільних віт-
ках збігаються, і зі знаком «-», якщо зазначені напрями протилежні.
Екі, Б*!, ЕК2~ контурні ЕРС відповідних контурів, що є алгебричними
сумами усіх ЕРС, розташованих у вітках даного контуру, причому зі зна-
ком «+» входить та ЕРС, напрям якої збігається з напрямом контурного
струму.
Наведена система рівнянь дозволяє визначити контурні струми за
відомими сигналами та параметрами елементів електричного кола.
Контурний визначник кола, тобто визначник матриці контурних опо-
рів, можна одержані як суму значень усіх доповнень дерев кола.
Контурні струми та струми віток пов’язані між собою співвідношен-
ням (5.6), користуючись яким, визначимо струми віток у схемі рис. 5.9:
< ’ 1 0 -1 І.і
-1 1 0 Г ЛЯ -Л. + 1.2
>2 0 -1 1 X КІ /к, -1.2+ 1.2
/4 1 0 0 / 'к>
І5 0 1 0 _'кЗ_ '.2
'б. 0 0 1 _ '.2
137
Вітки 1-2-3 є вітками дерева і струм кожної з них визначається як ал-
гебрична сума двох суміжних контурних струмів. Струм віток зв’язку
збігається за значенням та напрямом з контурним струмом свого контуру.
Для контуру, в якому є вітка з джерелом струму без паралельно увім-
кненого опору, рівняння не складається, однак при цьому слід
обов’язково додержуватись правила, згідно з яким вітка з джерелом
струму повинна бути віткою зв’язку. Розглянемо приклад.
Рис. 5.10
На схемі рис. 5.10 подано, три контури, яким відповідають три контур-
ні струми: /кі, /К2 та 4з- Як випливає з попереднього, для розрахунку цієї
схеми потрібно скласти систему з двох рівнянь:
ІКІ^И + 1к2^12 + 4зЕ)3 = Ек1;
41^21 + 41^22 + 41^23 = Ек2-
Рівняння складають лише для 1 та II контурів, оскільки контурний
струм третього контуру ВІДОМИЙ (/33 = У).
У наведеному прикладі
/?І І = /?| + /?2+ 7?22= Кз+ /?д+ /?5,' /?|2= /?2(= —Л3’, К[3= -Ні',
Е?з= -Н$', Екі = Еі; Ек2 = -Ед.
Отже, розрахунок струмів у триконтурному колі зводиться до розв’я-
зання двох рівнянь.
5.4.3. Метод вузлових напруг
Вузлові рівняння у матричній формі можна одержати, домноживши рів-
няння за законом Ома для узагальнених віток системи (5.22) на вузлову
матрицю ||Л||:
И х + ІМ..ІІ) = ІИІІ х цсвф х ())^| + ||Е4).
138
розкривши дужки і врахувавши, що ||Л|| х ||/8Г|| -|]0||, запишемо:
и х ІМІ х над=ИІ х (іаді - и х над X над)=НІ х (іаді - ііадшн х аднлд
де 3«х - вузловий струм, тобто алгебрична сума струмів джерел, увімкне-
них до певного вузла електричного кола.
Із ЗКН у формі (5.4) відомо, що напруга віток пов’язана з вузловою на-
пругою співвідношенням ||ад| = ||Л||' х ||ад|, використання якого дас ос-
таточно:
ІИІІX паді X іип'х наді = наді, (5.27)
що є узагальненою формою матричного запису системи рівнянь методу
вузлових напруг.
Позначимо ||ОВЗ|| - ||/1|| х ||СВТ|| х ||/1||'. Тоді матричні рівняння методу
вузлових напруг остаточно запишемо:
наді) х наді = надії- (5.28)
Особливості матриці вузлових провідностей та правила складання її
розглянемо на прикладі схеми та її графа, наведених на рис. 5.9.
Вважаючи вузол 4 базовим, вузлову матрицю ||Л|| та транспоновану вуз-
лову матрицю ІИЦ' запишемо так:
-1 0 0’
0 -1 0
-1 0 о і о -Г
НІ= 0 -1 0-110 0 0 0 -1 -1 0
0 0- 10-11
0 І -1
-1 0 1
Матриця провідностей віток схеми
’О, 0 0 3 0 0 ‘
0 С2 0 0 0 0
о о с, 3 0 0
)°Л= 0 0 0 С4 0 0
0 0 0 0 с5 0
0 0 0 0 0
Провідності віток - це величини, обернені до опорів віток.
139
Добуток
-І 0
НИ!М= о -1
о о
0 1
О -1
-1 о
о
1
-1
о,
0 0 0 0 0
о, о о о о
О Су о о о
О 0 (74 О О
о о о с5 о
о о о о сй
о
о
'-с} о о
о -о2 о
о о -6}
о4 о -с6
~О4 о5 о
О -о5 св
а №ІІМх||4= о
о
-о,
о
О, + 04 + 06 -С4
-04 С, + 04 + С,
-1 0
0 -1
0 с. ) -Обі
4 0 0
0 -04 с ;5 0 X
0 -1
-Су 0 - 0.5 06_
0 1
-1 0
-О6 '0,, Оі; 0.3 ’
-О5 Оц 0, О2з
+ С5 + 03| Су О33 _
о
о
-1
о
-1
1
о
0 [ е4о4-е6о6 1
ІИІ|х|)лт||= ; ИхІ|ов.ММ= -Е2С2 - Е4Сі
•Л [ ЕуСу + Е^ ]
-Є4О4 + Е6С76
-У, + Е2С2 + Е4С4
Виходячи з цього, схемі рис. 5.9 відповідає така система рівнянь за мето-
дом вузлових напруг у матричній формі:
140
С>,
с21
С.м
•Лі
Л,
Лз
О,, - О, + С4 + С();
де (/„•,!• - вузлові напруги відповідних вузлів; С,, =С2 + С4 + 6'5:
О,ч = С, + 05 + 06;
Си - власна вузлова провідність вузла к, що є сумою провідностсй усіх
віток, увімкнених до к-і'о вузла; 0,2= С2, — —С^ Оц = (Л, = —О,,. С2з = =
= -0$ - спільні (міжвузлові) провідності. У загальному випадку С„* = О*„
- взята з від’ємним знаком сума провідностсй віток, увімкнених між к та
п вузлами; Уц, У22, Лзз - вузлові струми відповідних вузлів, що с алгебрич-
ними сумами струмів джерел, розташованих у вігках, увімкнених до да-
ного вузла: у наведеному прикладі
У|1=_^ + ^; + У =_^+7 Д
/?4 /?6 - /?, /?4 /?, 5 кь
Звернімо увату, що струм джерела, спрямованого до вузла, враховують
з додатним знаком, а спрямованого від вузла - з від’ємним.
Наведена система рівнянь дозволяє визначити вузлові напруги за відо-
мими сигналами та параметрами елементів електричного кола. Струми
віток за відомими вузловими напругами розраховують за законом Ома
(5.22):
114-11 + ІІЛ4І = ІІМ х (||(/вт|| + ||ЕВТ||), (5.29)
де використовують матрицю провідностсй віток (або ||УВ,|| у колах
синусоїдного струму).
Зауважимо, що вузловий визначник електричного кола, тобто визнач-
ник матриці вузлових провідностсй, є сумою значень усіх можливих де-
рев графа.
Наявність віток з ідеальними джерелами ЕРС без послідовно увімкне-
них опорів призводить до зменшення кількості рівнянь у системі після
винесення таких джерел за відповідні вузли.
За наявності у схемі однієї вітки з ідеальним джерелом ЕРС базовим (у
даному методі таким, що має нульовий потенціал) слід вважати один з
вузлів, до яких цю вітку ввімкнено. У такому разі вузлова напруга іншого
вузла визначається значенням ЕРС ідеального джерела (у схемі рис. 5.11
^віі = Еі). Для вузла, вузлова напруга якого відома, рівняння не склада-
ють, тобто загальна кількість рівнянь зменшується.
141
Отже, система алгебричних рівнянь для схеми рис. 5.1 Г.
^В31^21 + ^вз2^22 + ^вчз^гз = ^22 >|
^взі^ЗІ + ^вз2^32 + ^вз.3^33 = -Лз ’ /
(5.30)
зз= —-Л
*4
1 . 1
/?4 /?6 + /?7
1
*4
в якій
К2
С->2 =------*--’ С33 ~-----*
-2 Я2 К 33 °
^21 = ^23 = ^32 =0; О31 = —
кз
Тут враховано, що ідеальне джерело струму має нескінченно великий
внутрішній опір.
Користуючись законом Ома, визначимо струми віток:
/ — ^вч2 + ] — ^»з2 ~ ^в|1 • ] — ~ ^ВІІ ~ ^4 . І _ ^взЗ
2 ’ 3 Яз ’ 4 ^4 ’ 6 Лб+Т?7‘
Струм вітки з ідеальним джерелом ЕРС визначають за першим законом
Кірхгофа, складеним для вузлів 1 чи 0: Ц = -/3 - /4, чи Ц = /2 + 4-
5.4.4. Метод вузлової напруги
Метод вузлової напруги (двох вузлів) є окремим випадком методу вуз-
лових напруг для схеми з двома вузлами.
Розглянемо схему з двома вузлами, наведену на рис. 5.12.
142
Рис. 5.12
Рівняння для вузлової напруги:
\2 (Оьті + Свт2 + СвтЗ'Р Свтд) “ £(Свт1 + ^2^вт2 “ ^4^вт4'Р = И
абоі/12=^^
^ВТІ
^'2^'вт2 + ^4^вт4
+ Ст2 +СвтЗ +Свт4
Останнє в узагальненому вигляді слід записати так:
2Ж + А)
^2=-^------------, (531)
А=І
де &і2 - вузлова напруга, спрямована від вузла 1 до вузла 2;
п
+ -Ік) - вузловий струм, що є алгебричною сумою струмів дже-
4=1
рел віток, в якій з додатним знаком ураховується струм джерела, спрямо-
п
ваний від вузла 2 до вузла 1; ^Свті - вузлова провідність, що є сумою
4=1
провідностей усіх віток схеми.
Співвідношення (5.31) записано для кола постійного струму. Для кола
синусоїдного струму в комплексній формі його записують як
ІЖВТІ+Л)
^2=-^------------, (5.32)
4=1
що дозволяє визначити вузлову напругу за відомими сигналами та пара-
метрами елементів електричного кола.
143
Струми віток через відому вузлову напругу визначають за законом
Ома.
Якщо в схемі є вітка з ідеальним джерелом ЕРС (£*), спрямованим від
вузла 2 до вузла 1, то 1)\2 = Е^.
5.4.5. Метод накладання
Як вихідні, під час доведення цього методу, використаємо співвідно-
шення, одержані методом контурних струмів (підрозд. 5.4.2):
Ц/МІ х ІІЛ-ІІ = Це;,.ц чи ||/А.|| = ц^ц-1 х цм та ||/ВІ|| = ||<хцл||. (5.зз)
Якщо при цьому врахувати, що ||Ец|| = ||В|| х (||£в1|| - ||/?В1Ц х ||Л,||), то роз-
гляд цих співвідношень дає:
||/вт|] = ||/?ІГх|]/?А|Г1х||2?||х(||і\4|-||Л?в4|х||./в,||) =
= ЦВЦ' х ІІ/Є4Г1 X цвц X ||£вт|| - цвц'х ||/?4Г' х цвц х ц/?„,ц X цлщ.
В узагальненому вигляді матрицю струмів віток запишемо так:
||/в1|| = ||С|| X им + ІИІX ІІЛ.Ц. (5.34)
де ||О|| = ЦВЦ' XІМГ1 X ЦВЦ, а ЦЛЧ(’Ц = -ЦВЦ'Х ЦЛ?АЦ-‘ х ЦВЦ х ||/?вт||.
Співвідношення (5.34) вказує на те, що струм будь-якої вітки обумов-
лений спільною дією усіх джерел енергії схеми, що і є принципом накла-
дання для струмів віток схеми.
Звернімо увагу на тс, що коефіцієнт, який встановлює пропорційність
між струмом вітки та ЕРС джерела, є провідністю і в загальному випадку
- цс матриця ЦСЦ вхідних та взаємних провідностсй. Пропорційність між
струмом вітки та струмом джерела встановлюється через коефіцієнт пе-
редачі, який у загальному випадку є матрицею ||£<')|| коефіцієнтів передачі
струму.
Раніше вже зазначали про універсальність принципу накладання і його
чинність для будь-якого лінійного середовища, у тому числі й для ліній-
ного електричного кола, де за принципом накладання можна розрахову-
вати не лише струми, а й інші величини, лінійно з ними зв’язані (напри-
клад, напруги).
Доведемо принцип накладання для напруг віток. При цьому скориста-
ємось співвідношеннями, одержаними методом вузлових напруг (див. під-
розд. 5.4.3):
||сВ)ц х цІ7В.,||=цл,е|| чи над = Ц641 х цлд та паді=ІИІГ х цад|. (5.35)
Якщо при цьому врахувати, що ||УВК.Ц = ||Л|| х (||/вт|| - ЦСВТЦ х ||евт||), то роз-
гляд цих співвідношень дає:
ц(/в1ц=іиіг х цов.(іг1 х цяц х (ііл,ц - наді х ІК.Ц)=
= І1< х |]с7в,ІГІ х ІИІІ х іадп - ІИІІ' х паді"1 х цлц х наді х Ц£в1ц.
144
В узагальненому вигляді напругу будь-якої вітки запишемо так:
ІІМ = ||Л|| X ||ЛТЦ + ||Л-(и)|| х ІІМ- (5.36)
де ||Л|| = ||А||'х ІІСвзІГ1 XІИЦ. а ІІИІ = -ІИІІ'х ЦО.ІГ'ІИІІ х||С„,||.
Співвідношення (5.36) і є принципом накладання для напруг віток,
оскільки вказує на те, що напруга будь-якої вітки знаходиться як сума
складових, створених у цій вітці кожним джерелом енергії окремо.
Коефіцієнт, то встановлює пропорційність між напругою вітки та
струмом джерела струму, являє собою опір і в загальному випадку є мат-
рицею ||Л|| вхідних та взаємних опорів. Пропорційність між напругою віт-
ки та ЕРС джерела встановлюється через коефіцієнт передачі, який у за-
гальному випадку є матрицею ||Л’("’|| коефіцієнтів передачі напруги.
Принцип накладання можна використати для визначення контурних
струмів та вузлових напруг. Потужність визначити за цим принципом не
можна, тому що вона є нелінійною функцією струму чи напруги.
Практичне застосування принципу накладання дістало назву методу
накладання. Сутність методу полягає в тому, що розв'язок однієї складної
задачі замінюється розв’язком декількох простих.
У разі використання методу накладання схему складного електричного
кола з декількома джерелами енергії подають сукупністю декількох схем,
кожна з яких містить одне джерело енергії. При цьому інші джерела енер-
гії вихідної схеми з неї вилучені. Замість вилученого джерела ЕРС у вітці
залишається його внутрішній опір.
Оскільки окрема схема містить лише одне джерело енергії, то її розра-
хунок спрощується через те, що у багатьох випадках можна скористатись
методом еквівалентних перетворень.
Розрахувавши всі окремі схеми, можна визначити струми (напруги)
початкової схеми як алгебричну суму відповідних часткових струмів (на-
пруг). Найчастіше метою застосування методу накладання є визначення
вхідних і взаємних провідностей, опорів і коефіцієнтів передачі.
Ю —4-І5
145
6. РЕЗОНАНСНІ ЯВИЩА
І ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
6.1. Загальна характеристика резонансних явищ
Резонансом називають такий стан двополюсника, коли струм і напруга
на його вході, незважаючи на наявність у ньому реактивних елементів,
збігаються за фазою.
Частотні характеристики - цс залежності будь-яких величин, що ха-
рактеризують коло, від частоти.
Розглянемо електричні кола, зображені на схемах рис. 6.1. Спираючись
на аналіз простого кола, проведений у розд. 4, запишемо:
Рис. 6.1
Р + у(а)В - 1/юС) = Л + І(Хс - Хс)
Залежно від параметрів елементів, з
місце три випадки:
1) Х; > Хе - все коло має активно-
індуктивний характер;
2) Хь< Хс - все коло має активно-
ємнісний характер;
3) Хь = Хе - все коло має активний
характер.
= С - у(-Ь - шС) = С - Д В,. - Вс).
яких ці кола складені, в них мають
1) > Вс - все коло має активно-
індуктивний характер;
2) Ві< В(— все коло має активно-
ємпісний характер;
3) Вг = Вс - все коло мас активний
характер.
147
Резонанс у разі послідовного з’єднання ділянок з індуктивними та єм-
нісними елементами дістав назву резонансу напруг.
Резонанс за паралельного з’єднання ділянок з індуктивними та ємніс-
ними елементами дістав назву резонансу струмів.
Кола, складені лише з елементів £, С, з’єднаних послідовно чи парале-
льно, називають ідеальним коливальним контуром. Математично умову
резонансу в ньому записують як (лЬ = 1/шС, звідки випливає узагальнена
умова резонансу в ідеальному коливальному контурі
(О2СС=1. (6.1)
Останнє можна використати для розрахунку.
- кутової частоти за резонансу ш0 =і!л]ЬС ;
- резонансної індуктивності Ьо = 1/ш'С:
- резонансної ємності Со= 1/огЛ.
Як бачимо, резонансу можна досягти, змінюючи параметри реактивних
елементів електричного кола чи частоту прикладеної до кола напруги.
6.2. Особливості резонансу напруг
Рівняння кола з послідовним з’єднанням елементів К,Ь ЇС (рис. 6.1, а)
0 = ІК +
соС
використаємо для побудови векторної діаграми резонансного режиму
(рис. 6.2).
Аналіз особливостей резонансу напруг ви-
кладемо у вигляді таких висновків:
1. Під час резонансу повний опір кола
має мінімальне значення (Хвх.реч = /?)•
2. Струм при цьому мас максимальне
значення (7рс, = 1//К) і збігається за фазою з
прикладеною до кола напругою.
----------------------
Рис. 6.2
3. Під час резонансу значення реактивних опорів ис впливають на зна-
чення струму кола, оскільки вони взаємно компенсуються.
4. Розрахунок напруг на елементах кола за резонансу
^=л/ри;
=(й0^реі’>
148
дає- підстави стверджувати, що:
- напруга на активному елементі дорівнює вхідній напрузі;
- напруги на реактивних елементах однакові за значенням і протилеж-
ні за фазою, тому їх сума завжди дорівнює нулю;
- напруга на реактивних елементах може бути значно більшою від
прикладеної до кола напруги І], за умови |Х£| = |ХГ|» /?.
Останнє якраз і є причиною того, що цс явище назвали резонансом напруг.
5. Величина
0 __ ХЧ~ Х('^ _ _ Р (62)
и и ні к к п к
(де р = ^ЬІС -хвильовий опір коливального контуру), яка визначає крат-
ність перевищення напруги на реактивних елементах за резонансу над
прикладеною до кола напругою, дістала назву добротності контуру.
Обернена до неї величина (сі) має назву згасання контуру
<і=—. (6.3)
6. Частотні характеристики параметрів елементів послідовного коливаль-
ного контуру, що розраховані за співвідношеннями:
/?(ш) = /? = соп8і; Х£(ш)=ш£; Хг(ш) = 1/(шС);
Х(ш) =о)Л-1/(соС); Х(ш)=з//?2 + X2;
<р(о>) = агсі£[(аг£С -1)/шСЛ?],
побудовані на рис. 6.3, а-в. Гадаємо, що читач розбереться в них само-
стійно. Звернімо увагу лише на фазочастотну характеристику (рис. 6.3, в),
яка показує, що в разі переходу через резонансну частоту змінюється знак
реактивного опору кола.
149
6.3. Особливості резонансу струмів
Рівняння кола з паралельним з’єднанням елементів К, ІЛС (рис. 6.1, б)
/=(7О + /шСЙ- і—і)
використаємо для побудови векторної діаграми резонансного режиму
(рис. 6.4).
у /,
Н.і
Рис. 6.4
Аналіз особливостей резонансу струмів
викладемо у вигляді таких висновків:
1. За резонансу повна провідність кола мас мі-
німальнс значення (Хвх.рЄ) = С).
2. При цьому струм, що споживається від
джерела, має найменше можливе для кола
значення (/ре, = 1/С) і збігається за фазою з
прикладеною до кола напругою.
3. Під час резонансу значення реактивних провідностсй не впливають
на значення струму кола, оскільки вони взаємно компенсуються.
4. Розрахунок струмів в елементах кола під час резонансу
/л =СП;
през
Іс = ш()С77;
’-рез и
дає підстави стверджувати, що:
- струм у резистивному елементі дорівнює вхідному струму;
- струми на реактивних елементах однакові за значенням і протилежні
за фазою, тому їх сума завжди дорівнює нулю;
- струми в реактивних елементах можуть бути значно більшими від
струму (/), шо споживається від джерела, за умови [б, | = |ВС|» С.
Останнє якраз і є причиною того, що це явище назвали резонансом
струмів.
5. Величина
д _ Вс^ = ~ = V
І І СІ/ С С С С
(6.4)
(де у = >/С7В -хвильова провідність кола), яка визначає кратність пере-
вищення струмів у реактивних елементах під час резонансу над струмом
у нерозгалуженій частині кола, дістала назву добротності кола.
Обернена до неї величина (сі) має назву згасання кола.
150
(>. Частотні характеристики паралельного коливального контуру, що
розраховані за співвідношеннями:
С(ш) = С = 1/К = сопзГ, Вг((0)=(йС;
В(ш) = 1/(ш6)-шС; У ((О) = а/с2 + В2;
<р((0) = агс(о[(1-ш2£С)/ші,0],
побудовані на рис. 6.5, а-в. Фазочастотна характеристика (рис. 6.5, в)
також свідчить про зміну знака реактивної провідності коливального кон-
туру у разі переходу через резонансну частоту.
Розглянута схема (див. рис. 6.1, б) є найпростішим
паралельним коливальним контуром. У складні-
ших схемах з індуктивними, ємнісними і резистив-
ними елементами аналіз резонансних явищ усклад-
нюється.
Розглянемо, наприклад, схему рис. 6.6, на якій
зображені котушка і конденсатор, з’єднані парале-
льно. За умови В/. = Вс коло перебуватиме у стані
резонансу струмів. Розрахуємо резонансну частоту
зі співвідношення:
о, — —і--------г - —;-----------г — і>г
В;+1/(о)оС)2
або [В2 + (ш06)2]/(ш0С) = |В2 + 1/(о)оС)2|ши6.
Розв’язавши останнє відносно кутової частоти, отримаємо
1 Кг-І,/С 1 В2-р2
>о = -7=4 1--= -7=«Нї—
уіьсунї-ис Лс\і$-р2
(6.5)
151
Проаналізуємо одержаний результат і зробимо відповідні висновки:
1. Якщо коливальний контур неідеальний, то резонансу можна досягти,
змінюючи не лише параметри реактивних елементів і частоту (як це
зазначалося для ідеального контуру), а й значення активних опорів.
2. Резонансу у колі не буде, якщо в результаті розрахунку кутова час-
тота (або інший параметр) виявиться уявною чи комплексною ве-
личиною. Тому слід взяти до уваги, що резонансу не завжди мож-
на досягти зміною лише одного параметра електричного кола.
3. Якщо у схемі (рис. 6.6) /?і */?2, то резонанс можливий за умови,
що активні опори 7?! і одночасно більші за хвильовий опір р, чи
одночасно за нього менші. Якщо ця умова не виконується, кутова
частота буде уявною, що свідчить про неможливість досягнення
резонансного стану.
У разі = /?2 * Р резонансну частоту кола можна розрахувати за спів-
відношенням (6.1), оскільки у такому випадку другий множник формули
(6.5) дорівнює одиниці.
Якщо 7?і = /?2 = р, то розрахунок резонансної частоти за (6.5) дає неви-
значеність, тобто резонанс спостерігається на будь-якій частоті і вхідний
опір за будь-якої частоти дорівнює р.
6.4. Енергетичний процес під час резонансу
Розрахуємо запас енергії в електричному і магнітному полях коливаль-
ного контуру і зробимо відповідні висновки.
Послідовний коливальний коніур ^Паралельний коливальний контур
Для всіх елементів контуру однакові:
і - /,„8іпюог = ^/зіпшу - струм и-(7ІИ5Іпшог = л/зїУхіпозо/ - на-
кола, таким же буде і струм індук- пруга кола, такою ж буде і напруга
тивності іь = УІ21 &іпюог. на ємності нс = у/ЇУ зіпіоог.
І, = — їшіі = — —— С08ИЛ =
= - >/2/£ созсо0ї,
, І]
де Л.=—-
1К,= и 28Іп2ЮоГ;
И4= СУ^со^.
Додатково розрахуємо
со5 0)0Г =
’о'-
= ->/2(7с со5(й0г,
,, І
де ІУГ =----.
(й0С
Запас енергії в магнітному і в електричному полях елементів коливаль-
ного контуру визначимо за співвідношеннями Ьіь/2 та И4= Снг72:
И7М = ЇЛ2со52и0Г,
И4= 25іп2сооГ.
152
Перш ніж розрахувати сумарний запас енергії в електромагнітному полі
коливального контуру IV = доведемо, що за резонансу СС/с2 = ЬІ/2'.
, /2 і2 / ,
сус = сЧ-^г=—--=и2
ц;С" (ОрС Ь
При доведенні враховано співвідношення (6.1). Якщо врахуємо, то
5ІП2С0У + со<со0? = 1, то дійдемо висновку, іцо у резонансному режимі су-
марний запас енергії в електромагнітному полі кола
(V = СІ]2 = и2
не залежить від часу. Разом із тим, складові цього сумарного запасу (енер-
гія магнітного й електричного полів) окремо від часу залежать. А це
означає, шо в електричному колі за резонансу відбувається обмін енергі-
єю між магнітним полем індуктивності й електричним полем ємності.
Обміну енергією між полями реактивних елементів і джерелом, шо жи-
вить коло, не відбувається, оскільки
ґ/ІК, Л¥с п
тобто у будь-який момент часу миттєва потужність індуктивності дорів-
нює миттєвій потужності ємності з протилежним знаком. Цс неважко до-
вести, користуючись наведеними вище співвідношеннями. Так, за резо-
нансу напруг
Рі_ = (/(./8іп2іОоЛ а рс = -^с^іп2сооГ.
Графіки цих миттєвих потужностей зображені на рис. 6.7.
За рахунок енергії джерела живлення компенсуються втрати енергії в
активному опорі кола.
153
6.5. Частотні характеристики струмів і напруг
коливального контуру
6.5.1. Частотні характеристики послідовного контуру
Для побудови цих частотних характеристик скористаємося залежнос-
тями:
/ (со) = ---------- - ;
V/?2 +(соЛ-1/(соС))2
(7,(ш) = шї./(со);
(7с(ш) = /(ш)/(соС);
С\(со) = /?/(со).
(6.6)
У такому вигляді ці залежності малоінформативні й незручні для графіч-
ного зображення. Нормуємо їх, вводячи відносні значення частоти у ви-
гляді коефіцієнта к = со/со0, шо є відношенням робочої частоти до резона-
нсної. При цьому
2ВХ (ш) = /?5/1 + (шЛ//?-1/(ш/?С))2,
кО),,к к
де — = —— = —;
/?/?</
11 1
шКС Ккш0С ксі
Тоді частотну характеристику струму кола можна записати так:
І(к) =. Ш
/?71 + (А/ -1/(М))2 іф2 + (к-1/к)2
Частотні характеристики напруг на елементах кола:
^(А)=. ЧК ;
фі 2+(к-1/к)2
Ц/к
^<12 + (к-1/к)2 ’
Пс(*) =
^(*) = , ,
фі2+(к-11к)2
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.9а)
(6.96)
Частотні характеристики послідовного коливального контуру, що жи-
виться від джерела зі стабілізованою синусоїдною напругою І), які розра-
154
ховані для сІ< 1(^ > 1) за співвідношеннями (6.8) і (6.9), зображені на
рис. 6.8, а.
Характеризуючи ці криві, зазначимо, що за малих частот (к —> 0) струм
кола наближається до нуля внаслідок нескінченно великого опору ємніс-
ного елемента, індуктивна напруга також дорівнює нулю, а ємнісна на-
пруга дорівнює напрузі джерела живлення.
І
Рис. 6.8
За великих частот (к —> °°) струм кола також наближається до нуля вна-
слідок нескінченно великого опору індуктивного елемента. При цьому єм-
нісна напруга дорівнює нулю, а індуктивна - напрузі джерела живлення.
За резонансу напруг (к = 1), як зазначалося раніше, індуктивна й ємнісна
напруга однакові. Причому, якщо сі > 1, що відповідає відносно великому
активному опору кола, індуктивна й ємнісна напруги, які за резонансу роз-
раховують за формулою
уь = у с = у/сі.
будуть меншими за напругу джерела живлення. За відносно малого актив-
ного опору кола, коли сі < 1, напруги па реактивних елементах можуть
значно перевищувати вхідну напругу.
Максимум напруг У[_ і Ус зсунутий відносно резонансної частоти.
Індуктивна напруга досягає максимуму, коли
сІУ, _ сі_____Ук
М фі2+(к-11к)2
чи
сі____________к2
сІ(к~) сі2 + к2 -2 + 1/к2
>с12 + к2-2 + \Ік2-Л2(1 -ЇМ4) = 0,
155
звідки отримаємо, що
2
к,=.------г. (6.10)
'' у2-сР
Ємнісна напруга досягає максимуму, коли
сШг = сі Ц/к =
‘Ік ^сі2+(к-\.Ік)2
чи —Є^(с12 + к2 -2 + 11 к2)к2 =сІ2 + 2к2 -2 = 0,
сі(к-)
звідки дістанемо, шо
<б11)
Аналізуючи (6.10) і (6.11), доходимо висновків:
1) напруги на індуктивності та ємності досягають максимуму при
різних частотах, відносні значення яких (у частках резонансної ку-
тової частоти) пов’язані співвідношенням к[кс = 1;
2) якщо у колі сі2 >2, індуктивна й ємнісна напруги максимуму не
мають: ємнісна напруга буде монотонно зменшуватись до нуля, а
індуктивна - монотонно зростати від нуля до (У;
3) якщо у колі сі2 < 2, скориставшись (6.9), (6.10) і (6.11), отримаємо
для резонансних напруг:
““ сі^-сі2
Як бачимо, максимальні значення напруг на реактивних елементах кола
під час резонансу однакові, але їм відповідають різні частоти.
6.5.2. Частотні характеристики паралельного контуру
Для побудови цих частотних характеристик скористаємося залежностями:
и(М) = -г- - 702+«оС-1/((»£))-
/г(0)) = шС(/((0); (6-13)
І/ (со) = 67 (со)/(соЛ);
156
Неважко помітити, що схеми рис. 6.1, а і 6. і, б дуальні. Відповідно дуаль-
ні й вирази (6.6) та (6.13).
Користуючись принципом дуальності, одержимо:
а) частотну характеристику напруги кола:
(/(*)=—, —---------== = —==£===; (6.14)
6у]1 + (кІ<1-1/(кб))2 + (А- -1 / А- )-
б) частотні характеристики струмів кола:
Іс(к)= . - >к -...... ; (6.15)
фі2 + (к-1/к)2
//(*)=-,----І-Ік ; (6.15а)
УІ(Г- + (к-1/к)2
Ік(к) = ——М------==. (6.156)
фі2+(к-1/к)2
Частотні характеристики паралельного коливального контуру, що жи-
виться від джерела зі стабілізованим синусоїдним струмом /, розраховані
за співвідношеннями (6.14) і (6.15), зображено на рис. 6.8, б. Вони повні-
стю дуальні кривим (див. рис. 6.8, а).
157
7. ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА
З ІНДУКТИВНИМИ
ЗВ’ЯЗКАМИ ВІТОК
7.1. Особливості кіл з індуктивними зв’язками віток
Загальні відомості про електричні кола з індуктивними зв’язками віток
наведено у підрозд. 3.1.1. Тому зараз стисло розглянемо деякі питання,
що мають суттєве значення для подальшого викладення матеріалу.
Індуктивний зв’язок двох контурів визначається відношенням потокоз-
чеплення взаємної індукції одного контуру до струму в іншому контурі,
яке називають взаємною індуктивністю М.
Взаємна індуктивність, яку, як і індуктивність Л, вимірюють у генрі
(Гн), є кількісною характеристикою явища взаємної індукції.
Інша фізична величина, шо також характеризує ступінь індуктивного
зв’язку між котушками, дістала назву коефіцієнта індуктивного зв'язку
(К). Це - нерозмірна величина, яку розраховують як середнє геомет-
ричне з відношення потоків взаємної індукції до повних потоків кожної
з котушок.
Зв’язок між цими коефіцієнтами встановлює співвідношення
(7.1)
де £, і Ь2 - індуктивності котушок, між якими існує взаємоіндуктивний
зв’язок.
Індуктивний опір взаємоіндукції:
Хм =шМ =шК>[ЦЦ = КуІХІлХ1п . (7.2)
Індуктивний зв’язок між котушками може бути узгодженим чи неузгод-
ження. Фізично узгодженість індуктивного зв’язку означає, що в котуш-
159
ці магнітні потоки самоіндукції і взаємоіндукції мають однаковий на-
прям. Формально це виявляє себе тим, що під час складання рівнянь кола
напруги самоіндукції і взаємоіндукції записують з однаковим знаком. У
разі иеузгодженого зв’язку напруга взаємоіндукції має протилежний знак
відносно знака напруги самоіндукції.
На схемах інформацію про спосіб зв’язку між котушками подають че-
рез поняття однойменних затискачів. Затискачі двох котушок вважають
однойменними, якщо за однакових напрямів струмів відносно цих затис-
качів магнітні потоки самоіндукції і взаємоіндукції в кожній котушці збі-
гаються за напрямом. На практиці однойменність затискачів котушок за-
лежить від їх взаємного розташування і напряму намотки.
Своєрідним є й енергетичний процес в електричному колі за наявності
взаємоіндукції, оскільки за рахунок магнітного потоку взаємоіндукції
здійснюється передача активної потужності із одного контуру в інший.
7.2. Послідовне з’єднання індуктивно
зв’язаних котушок
Розрахуємо електричне коло, в якому дві послідовно з’єднані котушки
живляться від джерела синусоїдної напруги за узгодженого (рис. 7.1, а) та
иеузгодженого (рис. 7.1, б) зв’язків.
Узгоджений зв’язок
Неузгоджений зв’язок
Складемо рівняння за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень:
и=іії, + Ц----М — +
1 А сіі
•П Т
1 н (Іі (Іі
и=іК.+Ь— +М— +
1 4 ді (ІІ
п ,
+//?. + £«-1- М —і
1 Ж сії
Як бачимо, рівняння різняться лише знаком перед напругами взаємоін-
дукції. Перепишемо їх у комплексній формі:
й = 1^ + ± )шМІ + ІК2 + усоС,/ ± )шМІ.
160
У цьому рівнянні знак «+» відповідає узгодженому зв’язку. Дещо пере-
творимо рівняння і зробимо відповідні висновки:
І) = /[(/?[ + /?2) + + ^-2 + 2Л/)], й = /[(У?, + К2) + — 2Л/)],
де 7У =(/?і + Л2) + ;со(Д + Ь>+2М) де 2„у = (/?1 + /?2) + усо(Д + -2М)
або 2у = Ку + ;Ху • або 2„у = Кну + ;'Хну.
Висновки:
1. Активний опір кода не залежить від способу зв’язку котушок між
собою (/?у = 7?цУ).
2. У разі узгодженого зв’язку реактивний опір більший, ніж за пе-
узгодженого зв’язку:
Ху - Хну = 4шЛ/. (7.3)
Цю формулу використовують для розрахунку взаємної індуктив-
ності двох послідовно з’єднаних котушок.
3. Повний опір кола з узгодженим зв’язком котушок більший від пов-
ного опору кола з неузгодженим зв’язком.
4. Наявність взаємоіндукції у власному опорі контуру враховується
подвоєним опором взаємоіндукції (± 2)шМ). додатним за узгодже-
ного зв’язку котушок і від’ємним - за неузгодженого.
Побудова векторної діаграми кола:
1. Базовим є вектор струму /.
2. Діаграми побудовані для котушок з різними параметрами, однак в
обох випадках (узгодженого і неузгодженого зв’язків) припуска-
лось, що Л2 > М> Ц, тобто Х2 > Хм> X;.
3. З діаграми для узгодженого зв’язку (рис. 7.2, а) випливає, що реак-
тивні опори кожної котушки збільшуються за рахунок індуктивно-
го зв’язку.
161
4. Діаграма для неузгодженого зв’язку (рис. 7.2, б) ілюструє досить
цікавий режим роботи електричного кола - ефект «хибної ємнос-
ті» у першій котушці: вектор струму / випереджає вектор напруги
за рахунок того, що з двох протилежно спрямованих векторів
/уХ, та /уХм, останній - більший. Однак ураховуючи, що Ь2 > М,
кут зсуву за фазою у другій котушці і у всьому колі завжди буде
додатним, тобто коло завжди матиме еквівалентний активно-індук-
тивний характер.
7.3. Паралельне з’єднання індуктивно
зв’язаних котушок
Маркування однойменних затискачів котушок та умовні напрями
струмів віток на схемі рис. 7.3 відповідають узгодженому зв’язку.
Рис. 7.3
Складемо систему рівнянь кола за методом законів Кірхгофа у комплек-
сній формі:
/=/, + Д;
Е = + уО)Д/1 + усоМД;
Е = І2К2 + , + іозМЦ.
Позначивши 2, = Д + у'соД, 22 = К2 + усоД, 2М = рівняння, скла-
дені за другим законом Кірхгофа, запишемо так:
— + ^2—М ’
Е = І)%м + Д—2*
(7.4)
162
Тепер для схеми рис. 7.3 складемо систему рівнянь за методом контур-
них струмів:
Ец = Л12|1 + ^22?І2’ (7 5)
^22 = А1?2І + Л2?22>
де 5ц = Е22 = Е, а /, । = І।; І,2 = Л •
Урахувавши останнє, а також вирази власних опорів контурів
2і і — ;
?22 = Е2 + уО)Ь>,
доходимо висновку, що системи рівнянь (7.4) і (7.5) будуть тотожними за
умови
212= 2т і — 2л/ = ушЛ7 .
З цього випливає, що:
1. Опори взаємоіндукції у власному опорі контуру не враховуються,
якщо індуктивності розташовані у різних контурах.
2. Опір взаємоіндукції враховується у спільному опорі контурів, як-
що між індуктивностями зазначених контурів має місце взаємна
індуктивність.
Розв’яжемо систему рівнянь (7.4) відносно струмів віток:
Д =
2,
Е
Е
= Е(22-2М)-,
/ = = Е ?2 2м ; Дх = £.21 2м
Д 2.2,-2^ 2 Д 2.2, -72
_і_2 -м -1-2 —л/ (76)
/ = /, + /2 = е-і + -2~22-л/-.
г 77 -7і
Як і зазначалося, рівняння, їх розв’язок і вирази (7.6) відповідають випад-
ку узгодженого зв’язку двох паралельно з’єднаних котушок.
163
У разі неузгоджсного зв’язку в рівняннях перед напругами взаємоіндук-
ції будуть протилежні знаки, а струми віток розраховуватимуть так:
/ - - £ -2 + —м . і _ ^2 _ р —і + —м
1 Д 7,7,-7^’ 2 Д 7,7,-7^
І=І +і
2,7, -7^
(7.7)
Векторні діаграми узгодженого і иеузгодженого зв'язків двох парале-
льно з’єднаних котушок побудовано на рис. 7.4, а, б відповідно.
Рис. 7.4
7.4. Розрахунок складних кіл з індуктивно
зв’язаними елементами
Складне розгалужене електричне коло з взаємоіндукцією, як правило,
можна розрахувати будь-яким із розглянутих у розд. 5 методів. Безпосе-
реднє застосування методу вузлових потенціалів ускладнюється тим, що
струми віток залежать не тільки від напруг між вузлами, до яких вони
ввімкнені, а й від струмів інших віток, з якими вони зв’язані через взаємо
індукцію.
Тому для розрахунків кіл із взаємоіндукцією найуживанішими є метод
законів Кірхгофа та метод контурних струмів.
Наявність у колі взаємоіндукції зумовлює деякі особливості розрахун-
ку, які розглянуто на прикладі схеми рис. 7.5.
164
Нехай у електричному колі, зображеному цією схемою, відомі парамет-
ри елементів, значення і напрями ЕРС. Потрібно розрахувати струми віток
за умови, що між індуктивностями Ьь Ьі та існує індуктивний зв’язок.
7.4.1. Особливості застосування методу законів Кірхгофа
Позначимо на схемі умовні напрями струмів віток і складемо необхід-
ну кількість 1) рівнянь за першим законом Кірхгофа для першого,
другого і третього вузлів:
Ф /, + /2-/5=0;
® -Л-/3 + /4-О;
® —/| + + /6 = 0.
Як бачимо, у цій частині розрахунку ніяких особливостей немає.
Вибравши незалежні контури, складемо три рівняння за другим зако-
ном Кірхгофа:
О Еі - -
+ у(оМ24/4 - /?2/2;
® Е6= + /?6/6 - у-^-/6 - >Е4/4 + >Л/24/2;
шС6
(щ) Е2 - їгПг + ушЕ,/, + ]шМ 1АІІ + у'шЕ4/4 -
~]<»М 24/, - ]—~і5 + /5/?5.
шС5
165
Особливістю цієї частини розрахунку є потреба врахування напруг вза-
ємоіндукції Звернімо увагу на знаки перед цими напругами.
Якщо індуктивності зв’язані узгоджено (наприклад, Ь\ та Е2), напруги
взаємоіндукції в них мають той же знак, що і напруги самоіндукції. У разі
иеузгодженого зв’язку (індуктивності Ь2 і Ед) напруги взаємоіндукції за
знаком протилежні до напруг самоіндукції.
7.4.2. Особливості застосування методу контурних струмів
Знову розглянемо схему рис. 7.5. Вибравши незалежні контури і позна-
чивши контурні струми /ц, Ьг та /33, складемо систему рівнянь у загаль-
ному вигляді:
Аі2|| + ^22?12 + 4з?із = Лі >
А1?2і + ^22?22 + 4з?23 = ^22 ’
Л 12зі + 122^32 + Лз2зЗ = Е-33
Розрахуємо контурні ЕРС: Еи = Е, - Е2, Е22 = Е6, Е33 = Е2. Як бачимо,
ніяких особливостей розрахунку немає.
Розрахуємо власні опори контурів:
। = /?| + /?2 + у | озЕ] + (і)Е, + шЕ,-] — 2 ушЛ/ [2 і
?22 = Я6 + у шЕ, + шЕ4 —— ;
І шСб)
= /?2 4- /?5 + уІшЕз+шЕд---І — 2 ішМ 24.
(і)С5 у
У власному опорі контуру має бути врахований подвоєний опір взаємо-
індукції від усіх індуктивних зв’язків, що мають місце в межах цього кон-
туру. Опір взаємоіндукції додатний, якщо відносно свого контурного
струму індуктивності зв’язані узгоджено, і від’ємний - якщо неузгоджено.
Розрахуємо спільні опори контурів:
212 ~ 221 = —7ШЛз — УШЛ/24 ’
22з = 732 — —ушЕ4 + ушЛ/24 >
2із = 2зі ~ ~(^2 "* 7®^г) + 7ш^і2 "* 7ш^24-
166
У спільному опорі контурів мають бути враховані опори взаємоіндук-
ції від усіх індуктивних зв’язків, що мають місце між контурами. Опір
взаємоіндукції додатний, якщо відносно своїх контурних струмів індук-
тивності зв’язані узгоджено, і від’ємний, якщо неузгоджсно.
7.5. Передача потужності потоком взаємоіндукції.
Баланс потужностей кола
Розглянемо числовий приклад: електричне коло, зображене на схемі
рис. 7.6, живиться джерелом синусоїдної ЕРС Е = 120 В і має такі пара-
метри пасивних елементів:
(оЕі = 10 Ом; —— = 10 Ом; = 8 Ом; шЛ/ - 8 Ом; ш/.2 = 8 Ом.
шС
Рис. 7.6
Розрахуємо струми віток, скориставшись рівняннями (7.6), і потуж-
ність всього кола та окремих віток, А:
/ = Е = 12о8±78-у8 =
2,^-7^ -(у8)І 2
І = ~м, = 120—= -у 15;
?,72-7^ -(;8)2
/ =/, +/2 =(15-/15).
Активна потужність, яку споживає коло від джерела, Вт:
/’ = Ке[£/] = Ке[120(15 + ;і5)] = 1800.
Активна потужність, яку споживає від джерела кожна вітка окремо, Вт:
Р1=Ее[Е/І] = Ке[12015] = 1800;
Р2 =Ке[£/21 = Ке[120-;15] = 0.
167
Розрахунок свідчить про наявність балансу між активною потужністю
джерела та сумарною активною потужністю окремих віток кола.
У першій вітці, яка споживає від джерела потужність 1800 Вт, активно-
го опору немає, відповідно немає і теплових втрат. Натомість у другій
вітці, яка від джерела не споживає нічого, мають бути теплові втрати,
оскільки в ній є активний опір К2.
Аналізуючи результати числового розрахунку потужностей, доходимо
висновку щодо особливостей механізму енергетичного процесу в колі із
взаємоіндукцією: активна потужність, яку споживає від джерела одна ві-
тка (у прикладі це перша вітка), частково чи повністю передається за ра-
хунок взаємоіндукції в іншу вітку.
Доведемо формулу для розрахунку потужності взаємоіндукції. Для цьо-
го напруги віток, між якими є взаємна індукція, подамо через складові:
=
У 2 = А—2 + •
Активна потужність віток:
Д=Ке[Ц/(] = Ке (/,7, + І2ХМ}Ц =Ке[/1/1711 + Ке[/2/І7А,];
^2 — Ке[[72 і2] ~ (А?2 "* А — М )Л
= Ке[/2/272] + Ке[/І/27л/].
Якщо врахувати, що добуток комплексного і комплсксно-спряженого
чисел дорівнює квадрату модуля, неважко помітити ті доданки останніх
виразів, які є потужністю теплових втрат у вітках:
М/,/,/,]== (78)
Ке[/2/272]=/22Я2 = Р21.
Відповідно другі доданки є пе що інше, як активна потужність, що пе-
редається потоком взаємоіндукції. Подавши комплекси струмів віток у
показниковій формі
І, = Це*' та І2 = 12е*г,
розрахуємо активну потужність взаємоіндукції.
Потужність, що надходить у спільне магнітне поле через першу коту-
шку:
Р12 = Ке[/2 11] = Ке[/172еЛ,'2'¥,) ] = (йМЦІ 2зіп(\|/і - у2).
168
Потужність, що надходить у спільне магнітне поле через другу котушку:
=Ке[/,/,7д/] = Ке[/1/2ед’І'І‘’І'2)>Л/] = соЛ//1/28Іп(\іг2-^1)-
Як бачимо, Р12 = —Рій чи Р\2 + Рц = 0. (7.9)
З останнього випливає, що у загальному випадку нема потреби розра-
ховувати обидві потужності.
Досить виконати один розрахунок і скористатись співвідношенням
Рі^-Р)*- (7.10)
Такий розрахунок можна провести і для реактивної потужності взаємо-
індукції:
212 = ^1 ?Л, 1 ’’
<2^ = 1т[ЦІ2гм].
За аналогією з (7.10) без докладного доведення запишемо:
2^=^/д„со^-ч/Р); (7
^I>к=™МкрIк1рс^к^/I-^ук).
Урахувавши парність функції «косинус», отримаємо:
2*,= 2/Д- (7-12)
Зрозуміло, що сума цих потужностей дасть подвоєну реактивну потуж-
ність взаємоіндукції між двома індуктивностями, тобто одного індуктив-
ного зв’язку Мі (()кр + (2рк = 20д,.).
Останнє, а також співвідношення (7.9), мають важливе значення для
складання балансу потужностей в електричних колах із взаємоіндукцією.
Оскільки сума Р^ та Р^ завжди дорівнює нулю і цс правило чинне для всіх
взаємоіндуктивпих зв’язків кола, доходимо висновку, що активну потуж-
ність, яка передається через взаємоіндукцію, у балансі активних потужностей
кола можна не враховувати. Інакше, баланс активних потужностей у колах із
взаємоіндукцією складається так само, як і в колах без взаємоіндукції:
_І=І
(7.13)
Складаючи баланс реактивних потужностей, ураховують реактивні поту-
жності індуктивних і ємнісних елементів електричного кола, а також по-
двоєну реактивну потужність взаємоіндукції від усіх індуктивних зв’язків
кола:
169
Іш
_*=1
II ІП
= £/М*±£2ЄМ(.
к=1 1=1
(7.14)
Знак «-» у рівнянні (7.14) береться у разі нсузгодженого зв’язку індук-
тивно зв’язаних елементів.
7.6. Трансформатор з лінійними характеристиками
Трансформатор - це статичний електромагнітний апарат, призначений
для передачі електроенергії з одного кола в інше через взаємоіндукцію.
Функціонально трансформатор призначений для узгодження рівнів
струмів і напруг без зміни частоти.
Трансформатор - класичний приклад електричного кола з взаємоіндук-
цією. Для його розрахунку використовують теоретичні положення розд. 7.
Окрім того зауважимо, що розглянемо лише деякі питання трансформації
електричної енергії двообмотковим трансформатором.
Як правило, такий трансформатор складається з феромагнітного осердя, па
якому розташовані дві обмотки. З цієї причини він є нелінійним пристроєм.
Двообмотковий трансформатор, схему якого зображено па рис. 7.7, фе-
ромагнітного осердя не має, тому його інколи називають повітряним
трансформатором з лінійними характеристиками.
ють теж первинними і позначають індексом 1.
Затискачі трансформа-
тора, які вмикають до
електричної мережі (чи до
яких вмикають джерело
електроенергії), назива-
ють первинними, всі ре-
жимні і параметричні ха-
рактеристики цієї частини
трансформатора назива-
Затискачі трансформатора, до яких вмикається навантаження, назива-
ють вторинними. Відповідну назву мають усі режимні і параметричні
характеристики цієї частини трансформатора. їх позначають індексом 2.
Якщо вторинна напруга трансформатора більша за первинну, його на-
зивають підвищувальним, у противному разі - знижувальним.
Скористаємось методом контурних струмів і запишемо систему рів-
нянь для схеми рис. 7.7:
+ 72?12
71?2і + 72—22 =0’
(7.15)
де г„ = Л, + ушЬі’, Х22 = /?2+; 712 = 721 = ~](аМ\ 7Н = Кн + уХ„.
170
Друге рівняння системи (7.15) встановлює зв’язок між первинним і
вторинним струмами:
І2 = —=^-Ц = де К, - передавальна функція за струмом.
—22
к - - -2| -
Ц —21 ^2 + 7Ш^2 + —н
Підставимо вираз /2 в перше рівняння системи (7.15) й отримаємо
( 72 V
(/,=
V —22 )
(7.16)
(7.17)
Множник у дужках є вхідним опором (7ВХ) двообмоткового лінійного
трансформатора.
Передавальну функцію трансформатора за напругою Ки визначають так:
З урахуванням (7.16) дістанемо
к - 22і2н _____________ (7 18
?и?2>-?|22 (Л,+;шД)(Л2 + У«Л,+7н) + ш2М2 ’
Розглянемо характер частотної залежності передавальної функції
трансформатора за напругою /Су(ш). В області низьких частот (ш —> 0)
опори реактивних елементів і опір взаємоіндукції наближаються до нуля,
отже, і Ки —♦ 0.
В області середніх і високих частот визначальне значення для величи-
ни Ки мають реактивні опори. Якщо знехтувати активними опорами (/?,
та Л2) первинної і вторинної обмоток, співвідношення для розрахунку
передавальної функції трансформатора за напругою запишемо так:
к =_______7мЛ/7„______
~и >Д7„+<о2(л/2-Д^)’
(7.19)
За високих частот (нехай со —» зменшення коефіцієнта Ки формаль-
но визначається доданком у знаменнику, який має множник ш2. Фізич-
но це обумовлено розсіянням магнітного потоку обмоток, що несклад-
но довести.
171
У разі абсолютного зв’язку, коли коефіцієнт індуктивного зв’язку
К= 1, розсіяння магнітного потоку немає, М , а
Як бачимо, у трансформатора з нульовими активними опорами обмоток,
якщо немає розсіяння, передавальна функція за напругою не залежить від
частоти і визначається співвідношенням кількості витків обмоток. Від-
ношення кількості витків первинної і вторинної обмоток трансформатора
21 = 4 (7.21)
IV,
називають коефіцієнтом трансформації.
У доведенні (7.20) використано формулу (3.5).
7.7. Вхідний опір лінійного трансформатора
Зі співвідношення (7.17) вираз вхідного опору трансформатора запи-
шемо так:
і ~ = К, + >7,--------—-----------. (7.22)
?22 Я, + >£, +/?н +
Схему, шо відповідає цьому рівнянню, наведено ва рис. 7.8. Її назива-
ють одноконтурною схемою заміщення двообмоткового лінійного транс-
форматора.
Рис. 7.8
Розрахуємо сумарні параметри вторинного кола трансформатора
Я 2с =
%2с = <0^2+ X,
172
і виділимо в (7.22) дійсну та уявну частини у такому вигляді:
_ „ іо2Л/2/?, / , ш~М2х'}
/?2с + х:2с \ 4 /?£с + х;с;
(7.23)
Доданки
ю2Л/2/?, ю2Л/2Х,
А/?, =—----=Д та АХ. =---:----=£-
Яіс + Хгс «Іс + Хіс
назвали відповідно внесеними активним і реактивним опорами. За своєю
сутністю ці опори враховують вплив вторинного кола трансформатора па
первинне.
За будь-яких співвідношень параметрів трансформатора і навантажен-
ня Д/?і >0, оскільки ця величина визначає активну потужність, яка пере-
дається із первинної обмотки у вторинну.
Знак внесеного реактивного опору ДХ1 завжди протилежний знаку Х2с.
Якщо останнє додатне, опір вторинного кола буде за характером індуктив-
ним, що спричинить розмагнічувальний вплив на первинне коло і при-
зведе до зменшення його еквівалентної індуктивності.
Особливо інтенсивним буде цей процес за умови /?2 = 0 та 7„ = 0. У та-
кому випадку еквівалентний індуктивний опір первинного кола визнача-
ється уявною частиною співвідношення (7.23):
, , <л2М2шЬ2 ( М2] і т\
шД,. = юД--------у*- =юІД-----= шД(1 -К ).
(юД)' І Д )
Зрозуміло, що цей опір не може бути від’ємним, оскільки коефіцієнт ін-
дуктивного зв’язку завжди К< 1.
Вхідний опір ідеального трансформатора:
7 _ ^1 - _ І,- 7
-“’ОА р-н’
—вх
7.8. Еквівалентування індуктивних зв’язків віток
Розглянемо частину електричного кола з взаємоіндукцією, зображену
на рис. 7.9, а. Складемо рівняння для розрахунку напруги першої індук-
тивності:
, (Д сіі2
и. = Д — + М
1 Л Л
173
Рис. 7.9
Додамо до нього М<1і\/<1і і таку ж величину віднімемо. При цьому отримаємо:
и
' к 2
Неважко переконатися, шо останнє є виразом, за яким розраховують
напругу ні у схемі рис. 7.9, б. Отже, можна говорити про еквівалентність
схем рис. 7.9, а, б, критерієм якої є тотожність рівнянь.
У цьому і полягає сутність процедури еквівалентування - отримання
схем без взаємоіндукції, еквівалентних схемам із взаємоіндукцією.
У прикладі зі схемою рис. 7.9 розглянуто випадок узгодженого зв’язку
індуктивностей. Якщо ж розглянути неузгоджений зв’язок за зміни на-
пряму одного із струмів на протилежний - результат буде таким самим.
Надаємо змогу читачеві самому упевнитися в цьому.
Випадок иеузгодженого зв’язку за рахунок зміни маркування одно-
йменних затискачів індуктивностей і еквівалентування ілюструють схема
рис. 7.10 і подальший розрахунок.
Рис. 7.10
174
Складемо рівняння для розрахунку напруги першої індуктивності у
схемі рис. 7.10, а:
1 сії сії
Додамо до нього МсІі\!сІі і таку ж величину віднімемо. При цьому дістанемо:
Иі=(іп+л/)А_л/А(/і+/2).
Неважко переконатися, що останнє є виразом, за яким розраховують на-
пругу «і у схемі рис. 7.10, б.
Отже, якщо у загальну точку індуктивності ввімкнені однойменними
затискачами, сквівалентування індуктивних зв’язків віток здійснюється
за правилом, зображеним на рис. 7.9. Правило сквівалентування для ви-
падку, коли індуктивності ввімкнені у загальну точку неоднойменпими
затискачами, наведено на рис. 7.10.
Застосуємо зазначені правила до схеми двообмоткового лінійного
трансформатора (див. рис. 7.7), з’єднавши спочатку нижні кінці індуктив-
ностей Ц і С>. При цьому одержимо схему рис. 7.11, яку називають дво-
контурною схемою заміщення трансформатора.
Фізично реалізувати таку схему замішеним трансформатора завжди
можна лише для випадку, коли /стр = 1, тобто Ц - М > 0 і М > 0.
175
8. РОЗРАХУНОК 1 АНАЛІЗ
ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ
З НЕСИНУСОЇДНИМИ
ПЕРІОДИЧНИМИ ЕРС,
НАПРУГАМИ І СТРУМАМИ
Форма сигналу, який створюється джерелом живлення чи споживаєть-
ся з мережі електропостачання, є одним із якісних показників електро-
енергії. У практичній електротехніці найпоширеніші сигнали синусоїдної
форми - гармонічні функції часу.
Розглядаючи у попередніх розділах процеси в колах синусоїдного
струму, ми вважали синусоїдний сигнал ідеальним, нехтуючи деяким йо-
го спотворенням, яке насправді завжди має місце. Аналіз режимів роботи
електричних мереж показує, що причиною спотворення форми синусоїд-
них струмів і напруг є нссинусоїдність ЕРС генераторів електростанцій
чи наявність у мережі потужних споживачів з нелінійними характеристи-
ками, або спільна дія обох зазначених факторів. Причому для системи
електропостачання спотворення синусоїдних струмів і напруг небажане з
таких міркувань: з’являються додаткові втрати енергії в електричних
двигунах і трансформаторах, спостерігається прискорене старіння ізоля-
ції електротехнічного обладнання, утруднюється компенсація реактивної
потужності за допомогою конденсаторних батарей, погіршуються умови
роботи пристроїв автоматики, телемеханіки, зв’язку, потребують захисту
засоби обчислювальної техніки.
Проте існує багато важливих для практики випадків, коли пристрій
розрахований для роботи з сигналами, форма яких відрізняється від сину-
177
соїди. Так, наприклад, у радіолокаційній техніці використовується напру-
га у вигляді послідовності прямокутних чи трапецоїдних імпульсів, що
повторюються через однакові проміжки часу; в телевізійній і вимірюва-
льній техніці використовується електричний струм (чи напруга) «пилко-
подібної» форми.
Аналіз електричних кіл нссинусоїдного струму грунтується на поданні
періодичних нссинусоїдних сигналів рядами Фур’є.
8.1. Подання періодичного несинусоїдного
сигналу рядом Фур’є
Нагадаємо загальний вигляд ряду Фур’є для періодичної функції з пе-
„ 2л
рюдом / =—:
0)
/(«/) = ^ + В(. зі п ким + С*с05 кім ’ (8.1)
। 2л 1 . І 2,1
де — Г/'((ли)<-/(ій/)’ Вк =— і /(сіи)8Іп<:(іи сЦ(М)', Ск=— (((аиісоакті </(аи)>
271 о 71 о 71 о
к = 1, 2, 3... - номер гармоніки.
Ряд, записаний виразом (8.1), - його тригонометрична форма. Скори-
ставшись елементарними перетвореннями тригонометричних функцій,
отримаємо амплітудно-фазову форму ряду Фур’є
/(юг) = 4 + ^Д,п18Іп(/хог + і|гі). (8-2)
А=1
Де = у/ві+сЇ = Сі/Вк;
(агс££ Ск/Вк при Вк > 0,
[±л + агсї&Ск/Вк при Вк < 0.
Сукупність гармонічних складових, якими подається періодична нсси-
нусоїдпа функція, називають спектром. Він складається із сталої складо-
вої (До) і теоретично нескінченної кількості гармонічних складових (гар-
монік), кожна з яких має свою амплітуду, свою початкову фазу і частоту.
Частоти гармонік створюють дискретний ряд значень км, кратних до ос-
новної частоти коливань (до частоти першої гармоніки). При цьому різ-
ниця частот сусідніх гармонік дорівнює частоті першої гармоніки. Такий
спектр називають дискретним, або лінійчастим.
178
У загальному випадку довільна періодична несинусоїдна функція може
подаватись рядом, що містить всі гармоніки. На практиці досить часто
зустрічаються функції, що мають якусь симетрію. Для рядів Фур’є таких
функцій характерні певні особливості, які зменшують обсяг обчислень
під час розрахунків гармонік.
Функцію, що задовольняє умову
ДоЛ) = -Дой + л).
називають симетричною відносно осі абсцис (рис. 8.1, а). Ряд Фур’є. яким
подається така функція, не містить сталої складової та парних гармонік,
тобто
ДюГ) = Ат1зіп(юї + \|/|) + А,„3зіп(Зш/ + у3) + А,„5зіп(5(оГ + \р5) + ....
Рис. 8.1
Якщо функція симетрична відносно осі ординат (рис. 8.1,6), вона має
задовольняти умову
ДшГ) =Д-<оГ).
При цьому ряд Фур’є не містить синусів і записується як
ДшГ) = Ао + Ат|Соз ооґ + Атгсоз 2ол + А„,3соз Зол + ....
Симетричною відносно початку координат (рис. 8.1, в) вважають функції
Дюґ) = -Д-иг).
Ці функції не мають сталої складової та косипусних гармонік:
ДоЛ) = А„,і5ІПО)Г + Ат28Іп2(Щ + Ат3зіпЗ(ог + ....
Форма кривої, а відтак, і її гармонічний склад, залежать від пристрою,
Що генерує гармоніки. На сьогодні такими пристроями, вплив яких па
179
форму струмів і напруг електричної мережі найбільш відчутний, є при-
строї енергетичної електроніки: випрямлячі, інвертори, перетворювачі
частоти. З результатів досліджень режимів їх роботи гармонічний склад
вхідних і вихідних струмів та напруг - відомий. Так, якщо мова йде про
трифазний мостовий випрямляч, його вхідний струм складається з гармо-
нік шестипульсного режиму, номери яких можна розрахувати за співвід-
ношенням к = 6р± 1, тобто к = 1, 5, 7, 11, 13 ....
Приклади найпоширеніших в електротехніці періодичних песинусоїд-
них кривих та подання їх рядом Фур'є наведено у табл. 8.1.
Таблиця 8.1
Графік функції Подання рядом Фур’є
1 2
./ с Ґ \ їл .ЯОМ) = А„,ЗІПОМ
\ 7* я\/ ш/
я 1 /((02) = Д„ /3 + £л/ЗД,/л^[5ІП<1>Г-(С05 2іОГ)/2- - (СО34(1М)/4 - (ЗІп5оМ)/5 - (5Іп7ш/)/7 + + (С0з8иМ)/8 + (СО5І0(1М)/10 + + (зіпі1 о>/)/11 + (зіп13ом)/13 - (соз14ом)/14 - ...]
* я 2л 6
/ А». І /(ом)= ^2 73Л„, /л^[зіп ом - (зіп 5ом) / 5 - - (зіп7(іМ)/7 + (зіп 11ом)/11 + + (зіпІЗом)ІЗ -(зіп17им)/17 -...]
я — 2п ’«
У X у 00 зл /(ом) = У1—~зіп кшг; к = 6р ± 1 75 тЛ
п | п І І
У 0 а» /((0Г)= —=2р+ І 2 ?=о ЛІ
я 2л й»
У 0 I А. 2л ~ А А І\ші) = У—-зіпіом ; к = 2р + 1 75 пк
л — О)Г
/ 0 А 2Я 9Д /(оМ) = У——гЬІпкіхії ;к = (>р± 1 Р.оТі'к
III Д Л 6
180
Продовження т а б л . 8.1
2
“ *~|
І'(ші) = У —^(-1) 2 зіпАчог; к = 2р + 1
»=о я к
~ 4Д
/'((Пі) = У-^зіпХгаБІпХчог; к = 2р + І
Т^алГ
« 2Л
/'(ШГ) = У---—1)4*1 5ІП&Ш1 ; к = р
7? Пк
/'(<о/) = —-У^т-сої^ол -.к = 2р+ 1
2 ГІ як'
)(и>() = А„Д + 0,5А,„с<ми>/ +
°°л 2Д
> ---—(-1) 2 созйам \к-2р
^(к1-))
2 А °° Д А »•* -
/(ші) = —- + У — —(-1) : созкмі; к = 2р
Я ^Я(1:2-1)
8.2. Діючі і середні значення періодичних
несинусоїдних функцій часу
Діюче значення будь-якої періодичної функції визначають за форму-
лою (2.18). Якщо йдеться про нссинусоїдну функцію (нехай цс буде
струм), формулу (2.18) використовують, попередньо подавши криву ря-
дом Фур’є:
і = і’о + <і + <2 ••• + 4 + ...
Оскільки у виразі діючого значення під інтегралом стоїть квадрат миттє-
вого значення функції, запишемо
І2 = (<0 + 'і + '2- + >к + -)2 - X'* + X 'р'</ •
к=0 р=0
<7=0
Зауважимо, що к, ртац є цілими числами - це номери гармонік. А кожна га-
рмоніка - цс синусоїда із своєю амплітудою, частотою і початковою фазою:
181
4 =^ь>п(^+'И*);
'р = /тр3іп(р^+^р); •
(8.3)4
Ураховуючи викладене, формулу для розрахунку квадрата діючого зна-
чепня періодичного нссинусоїдного струму запишемо так:
+ (8-4) ‘
І-С> • о Р-0 ' о
ч=о
Взявши до уваги (8.3), неважко довести, що кожний доданок другої
суми останнього виразу дорівнює нулю як інтеграл від косинуса, взятий
за період, а саме:
АА = /тр8ІП(р<Щ + (|/р)/т^ІП(<?К>Г + V,) =
= //„{созЦр -д)ші+ (\рр- \уч)] - соз[(р + </) <лі + (\|ір + V,)]},
оскільки (р - д) та (р + д) також є цілими числами.
Кожний доданок першої суми виразу (8.4) є квадратом діючого зна-
чення струму к-ї гармоніки. Отже,
Іг ~ квадрат діючого значення періодичного нссинусоїдного
4=0
струму дорівнює сумі квадратів діючих значень окремих гармонічних
складових.
Висновок для струмів відповідає будь-якій періодичній нссинусоїдній
функції часу. Тому остаточно запишемо
(8-5)
На відміну від синусоїдної функції, середнє значення якої за період до-
рівнює нулю, для характеристики періодичних нссинусоїдних функцій
використовують середні значення величин: середнє за період та середнє
за модулем.
182
Розрахуємо середнє за період значення нссинусоїдного струму, скорис-
тавшись відомою з математики формулою середнього значення
Л =7 рЖ-
' о
Порівнявши цю формулу з наведеним у (8.1) співвідношенням для роз-
рахунку сталої складової ряду Фур’є, доходимо висновку, що середнє за
період значення періодичної несинусоїдпої функції дорівнює її сталій
складовій.
Однак, як зазначали раніше, не кожна несинусоїдна крива має сталу
складову. Для таких функцій розраховують середнє за модулем значення,
користуючись співвідношенням
(8-6)
' о
Спеціальних приладів для вимірювання нссинусоїдних струмів і на-
пруг не існує, тому їх вимірюють амперметрами і вольтметрами, які за-
стосовують у колах постійного і синусоїдного струмів. Нагадаємо, що
прилади електродинамічної і електромагнітної системи реагують па дію-
че значення вимірюваної величини, магнітоелектричні прилади - на сталу
складову, прилади магнітоелектричної системи з випрямлячами - на се-
реднє за модулем значення вимірюваної величини, амплітудні електронні
вольтметри - на максимальне значення несинусоїдпої напруги.
8.3. Потужність у колах неси ну соїд ного струму
Скориставшись формулою (3.7), розрахуємо середнє значення миттєвої
потужності кола з періодичним несинусоїдним струмом, яке, як і в колах
синусоїдного струму, назвемо активною потужністю:
Р = ±-\рсІІ,
' о
ДС р — иі= (і/д + //] + ІІ2 + ... 4- и* +...)(/() + іі + і? + ... + Ц + =
Л=0 р=0
<1=0
Отже, формула для розрахунку активної потужності електричного кола
періодичного нссинусоїдного струму має вигляд:
183
р = ІІ:^икаі+ІІ:\иі>іч<і{- <8-7)
*=0 ' о р=О ' о
<7=0
р*<7
Взявши до уваги, що гармоніки ц, щ, ир, /, - синусоїдні функції із своїми
амплітудами, частотами і початковими фазами, а к, р, є/ - як номери гармо-
нік - цілі числа, доходимо висновку про нульове значення другої суми ви-
разу (8.7). Перша сума - сума активних потужностей окремих гармонік:
р=Е^ = р0 + р, + р2+...+ рі+...=
А=0
= {/0^0 + ^1ЛСО5Ф1 +^2^2СО5Ф2 +- + £ЛЛС05Ф1 +"-’ (8-8)
Подібно до кіл синусоїдного струму, формально за аналогією з актив-
ною потужністю, вводимо поняття реактивної потужності кола несинусо-
їдного струму як суми реактивних потужностей окремих гармонік:
с=Ес4=е,+е2+...+е4+...=
*=і
= С/1/15ІПф1 +672/28ІПф2 + ... + (/4/І. 8ІПф* + .... (8.9)
Звернімо увагу па те, що сума активних потужностей гармонік, куди
входить і потужність сталої складової, на вході пасивного лінійного кола
є арифметичною, оскільки активна потужність від’ємною не буває. Сума
реактивних потужностей окремих гармонік - алгебрична. Тут чинне тс
саме правило, що і для кіл синусоїдного струму: реактивна індуктивна
потужність додатна, а ємнісна - від’ємна. У цій сумі немає доданка від
сталої складової, чим ураховується факт відсутності реактивної потужно-
сті у колах постійного струму.
Для розрахунку повної потужності електричного кола з несипусоїдни-
ми струмами
5 = Ш= (8-10>
V і=0 к=0
потрібно визначити діюче значення несинусоїдного струму та несинусоїд-
ної напруги.
Відповідно до співвідношення (3.24) в колах синусоїдного струму повна
потужність є геометричною сумою активної і реактивної потужностей
82 = Р2 + ^2.
184
Для кіл несинусоїдного струму з реактивним елементами
52>Р2 + Є2.
З’являється ще одна потужність, яку розраховують за співвідношенням
Т = ^82-Рі-02 (8.11)
і називають потужністю спотворення. Наявність цієї потужності в елек-
тричному колі з реактивними елементами обумовлена різною формою
нссинусоїдних струмів і напруг. Якшо коло складається лише з активних
опорів, у ньому несинусоїдний струм і несинусоїдпа напруга мають од-
накову форму «2 = 0, Р = 5), а потужність спотворення дорівнює нулю.
Відношення активної потужності до повної
у = Л (8.12)
називають коефіцієнтом потужності. У колах нссинусоїдного струму
його позначають літерою X. (Нагадаємо, шо в колах синусоїдного струму
коефіцієнт потужності збігається з созф, де ф - кут зсуву за фазою між
напругою та струмом).
Для характеристики енергетичних процесів у колах несинусоїдного
струму часто користуються співвідношенням:
Х = созо, (8.13)
де в - кут зсуву за фазою між еквівалентними синусоїдами несинусоїдпої
напруги та нссинусоїдного струму. Діючі значення цих синусоїд дорів-
нюють діючим значенням нссинусоїдних кривих, які вони замінюють.
8.4. Коефіцієнти, що характеризують періодичну
несинусоїдну криву
Коефіцієнт амплітуди (Аа) - відношення максимального значення нс-
сипусоїдної кривої до її діючого значення
^а = Апих/А. (8.14)
Згідно з (2.23) цей коефіцієнт для синусоїдної функції дорівнює л/2 .
Коефіцієнт форми (Хф) - відношення діючого значення нссииусоїдної
кривої до її середнього за модулем значення
А-Ф = А/Асср. (8.15)
Відповідно до (2.24) цей коефіцієнт для синусоїдної функції дорівнює 1,11.
Якщо періодична функція несинусоїдпа, то вже самою назвою перед-
бачається, що вона відрізняється за своєю формою від синусоїди. Кількіс-
ні 85
ну оцінку відхилення форми періодичної несинусоїдпої кривої від сину-
соїди здійснюють, вводячи відповідні коефіцієнти.
Коефіцієнт спотворення (£с) - відношення діючого значення першої
гармоніки до діючого значення несинусоїдпої кривої
кс = А{іА. (8.16)
Для синусоїди кс = 1.
Коефіцієнт гармонік (кг) - відношення діючого значення вищих гар-
монік до діючого значення першої гармоніки несинусоїдної кривої
. (8.17)
Для синусоїди кГ = 0.
Вплив виших гармонік на режими роботи різних видів електротехніч-
ного обладнання досить специфічний і виявляється неоднозначно. Тому
немає потреби (а з другого боку - можливості) встановлювати норматив-
ні вимоги до рівня окремих гармонік. На практиці використовують одну
інтегральну характеристику, що дістала назву коефіцієнта несинусоїднос-
ті напруги, який вимірюють у відсотках і розраховують як відношення
діючого значення вищих гармонічних складових несинусоїдпої напруги
до діючого значення напруги:
Ж
£нс=^—100, (8.18)
де - діюче значення напруги к-ї гармоніки; 1/ном - номінальна напруга
мережі.
Наявність вищих гармонік струму та напруги в електричній мережі не-
бажана. Тому коефіцієнт несинусоїдпості напруги слід узгоджувати під
час укладання договору між організацією-слектропостачальником та
споживачем. Для електротехнічного обладнання, яке не потребує спеціа-
льних умов експлуатації, прийнятним можна вважати коефіцієнт нссину-
соїдності, що не перевищує 5 %.
Аналогічно розраховують інший якісний показник - коефіцієнт пуль-
сацій випрямленої напруги, %:
к.. = -^-----100.
и
ном
(8.19)
186
Звертаємо увагу, шо у чисельник входить сума квадратів напруг усіх гар-
монік, за винятком сталої складової.
Більшість електродвигунів постійного струму працюють нормально,
якщо цей коефіцієнт не перевищує 8 %.
8.5. Розрахунок кіл несинусоїдного струму
Розрахунок електричних кіл з нссипусоїдними струмами і напругами
спирається на загальну теорію лінійних електричних кіл, більшість поло-
жень якої докладно розглянуто у попередніх розділах. Тому нам залиша-
ється розглянути алгоритм розрахунку і зробити зауваження щодо деяких
особливостей його реалізації.
Алгоритм розрахунку:
1. Подання вхідного сигналу (напруг джерел ЕРС та струмів джерел
струмів) рядом Фур'є. Це можна зробити, використовуючи теоре-
тичні чи практичні методи.
2. Розрахунок електричного кола за дії сталої складової вхідного си-
гналу. Цього етапу розрахунку не буде, якшо вхідний сигнал не
містить сталу складову. Якшо ж вона є, слід пам’ятати, що індук-
тивні елементи постійному струму в усталеному режимі опору не
чинять, а ємнісні можна розглядати як такі, шо мають нескінченно
великий опір. Інакше, на індуктивних елементах не буде напруги,
а у вітках з ємностями - струмів.
3. Розрахунок електричного кола за дії гармонічних складових вхід-
ного сигналу. Сутність зазначеного етапу розрахунку полягає у
тому, що електричне коло однакової структури розраховується
стільки разів, скільки є гармонічних складових у вхідному сигналі.
При цьому потрібно враховувати залежність опорів реактивних
елементів від частоти:
^ці) = а)Е; Х<~(і) = 1/соС; „
Хщ> = кмЬ = кХи„, Ход = 1/шС = ХС(1 Д. к ’
Тобто перш ніж розрахувати коло від дії наступної гармоніки вхід-
ного сигналу, опори реактивних елементів слід перерахувати від-
повідно до номера гармоніки.
4. Накладання результатів розрахунку попередніх етапів:
- миттєві значення нссинусоїдних струмів та напруг є сумою миттє-
вих значень окремих гармонік
і= /0 + 6 + С + + іь + ••• = і (8.21)
к=0
- діючі значення розраховують за співвідношеннями (8.5);
187
- активну, реактивну, повну потужності та потужність спотворення
розраховують відповідно за співвідношеннями (8.8) - (8.11);
- для розрахунку коефіцієнтів, що характеризують несинусоїдні
струми і напруги, використовують формули (8.14) - (8.17).
Оскільки струми і напруги окремих гармонік мають різну частоту, век-
торно-топографічні діаграми будують для кожної гармоніки окремо.
8.6. Резонанс у колах несинусоїдного струму
Нехай суто рсзистивне електричне коло (рис. 8.2, а) живиться від джерела
нссинусоїдної напруги. Розрахуємо за законом Ома амплітуди струмів 1-ї та
к-ї гармонік, вважаючи, що активний опір не залежить від частоти:
і
0---►
0-►
І
0—*~
Рис. 8.2
Візьмемо відношення амплітуд розрахованих струмів і порівняємо його з
відношенням амплітуд напруг. При цьому одержимо відношення амплі-
туд струмів к-ї та 1-ї гармонік
ЛпЦ) _^іп<к'>
Ал(І) ^т(І)
яке дорівнює відношенню амплітуд напруг зазначених гармонік.
Фізично це означає, що в активному опорі несинусоїдні струм і напру-
га однакові за формою.
Виконаємо подібний розрахунок для суто індуктивного електричного
кола (рис. 8.2, б), врахувавши залежність індуктивного реактивного опо-
ру від номера гармоніки (частоти) згідно з (8.20):
1 — . і _
'т(І) ~ у, ’ ‘т(к) ~
188
Візьмемо відношення амплітуд розрахованих струмів і порівняємо його з
відношенням амплітуд напруг
/ к 11
'и(І) Л Ь'лХП
Як бачимо, відношення амплітуд струмів к-ї та 1-ї гармонік у к разів ме-
нше за відношення амплітуд напруг зазначених гармонік. Отже, нссипу-
соїдні криві струму і напруги на індуктивності пе є подібними. Індуктив-
ність згладжує форму нссинусоїдного струму.
Далі розглянемо суто ємнісне електричне коло, схему якого зображено
на рис. 8.2, в. Урахувавши залежність ємнісного реактивного опору від
номера гармоніки (частоти) відповідно до (8.20), отримаємо за законом
Ома:
. _ ^Ля(І1 , , _ тік)
'т(І) ~ "77 * ““З ~ІТ •
ЛС(І) ЛС(П/А:
Візьмемо відношення амплітуд розрахованих струмів і порівняємо його з
відношенням амплітуд напруг
тік) __ тік1
А>кі)
^тІІ)
Як бачимо, відношення амплітуд струмів к-ї та 1-ї гармонік у к разів бі-
льше за відношення амплітуд напруг зазначених гармонік. Отже, пссину-
соїдпі криві струму і напруги на ємності не є подібними. Ємність згла-
джує форму несинусоїдпої напруги.
Викладені властивості окремих елементів електричного кола виявля-
ють себе в складних електричних колах. Найбільш цікавим і важливим
виявом є виникнення резонансних явищ па частотах окремих гармонік.
£
Рис. 8.3
189
Нехай у колі (рис. 8.3, а) параметри реактивних елементів підібрані
так, що каЬ = 1/АтоС. За цих умов у колі буде резонанс напруг на частоті
к-ї гармоніки. Якщо К вважати навантаженням кола, а ділянку з послідов-
ним з’єднанням індуктивного й ємнісного опорів - фільтром, на наванта-
женні значення напруги к-ї гармоніки буде таким, як на джерелі. Для
струмів к-ї гармоніки фільтр опору не чинитиме. Струмам усіх інших га-
рмонік фільтр чинитиме опір - тим більший, чим більше відрізнятиметь-
ся частота гармоніки від резонансної частоти. Такого типу резонансний
фільтр доцільно використовувати для забезпечення на навантаженні най-
вищого рівня однієї з гармонік.
Якщо ж потрібно до споживача якусь гармоніку не пропустити, вико-
ристовують запірний фільтр, побудований на явищі резонансу струмів.
Ідеалізовану схему такого фільтра наведено на рис. 8.3, б. За умови
коіС = 1/АсоС ділянка з паралельним з’єднанням індуктивного й ємнісного
елементів для струму к-ї гармоніки буде нескінченно великим опором.
Струму і напруги цієї гармоніки у навантаженні кола не буде, оскільки
фільтр забирає їх на себе.
Завдання - не пропустити до споживача гармоніку - можна вирішити
також і за допомогою фільтра, побудованого на резонансі напруг. У цьо-
му разі фільтр вмикають до споживача паралельно (як показано на
рис. 8.3, в). Паралельним вмиканням до споживача декількох резонанс-
них віток можна уникнути пропускання декількох гармонік струму і на-
пруги, створених джерелом.
Зауважимо також, що в електричному колі з несинусоїдними струмами
можуть мати місце одночасно декілька резонансних явищ. Розглянемо
схему рис. 8.4. Нехай вхідний сигнал змінюється за законом
И - ит^Іп(ка( + ук) + ї/т(р)8ІП(рО)ґ + \|/р) + ї/,„(9)5Іп(б/(У/‘ + у,).
0-----------------------------------------
Рис. 8.4
Параметри реактивних елементів кола можна підібрати так, щоб у кон-
турі Ь] - Сі був резонанс струмів на частоті к-ї гармоніки, у контурі Ьг-Сг
- на частоті д-ї гармоніки, а у всьому колі резонанс напруг на частоті р-ї
гармоніки, причому к < р < д.
190
9. ТРИФАЗНІ ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА
Усі генератори сучасних електричних станцій виробляють електричну
енергію за допомогою трифазної системи ЕРС і струмів. Енергія переда-
ється через високовольтні лінії електропередачі, які також є трифазними
системами. Система розподілу електричної енергії в межах енергорайону.
населеного пункту, підприємства чи житлового масиву - також трифазна.
Більшу частину цієї енергії споживають трифазні споживачі. Таке широке
практичне застосування трифазної системи не випадкове. Воно зумовлене
рядом обставин, головними з яких є:
1) для передачі однієї і тієї самої потужності трифазна система потре-
бує меншої кількості проводів, ніж незв’язані однофазні системи:
2) трифазна система одночасно має два рівні напруг (фазну і ліній-
ну), що забезпечує живлення різних споживачів без застосування
трансформації електричної енергії;
3) сумарна миттєва потужність трифазної системи може не залежати
від часу, що свідчитиме про сприятливий енергетичний процес, у
якому потужність від генератора до споживача подається рівномір-
но протягом періоду;
4) трифазна система струмів найпростіше створює обертове у прос-
торі магнітне поле, яке використовується для роботи найпошире-
ніших споживачів електроенергії - електричних двигунів.
9.1. Вихідні поняття. Принцип створення багатофазної
системи ЕРС
Багатофазною системою електричних кіл називають сукупність елек-
тричних кіл, в яких діють зсунуті між собою за фазою синусоїдні ЕРС
однакової частоти, створені спільним джерелом електричної енергії.
Окремі електричні кола, які входять до складу багатофазної системи чи
багатофазного кола, будемо називати фазами. Число фаз позначають лі-
терою т.
191
Сукупність кондуктивно не зв’язаних між собою фаз зазвичай назива-
ють багатофазною системою. Якщо ж декілька фаз зв’язані між собою
кондуктивно, таке утворення дістало назву багатофазного кола.
Багатофазною системою ЕРС називають сукупність ЕРС, що діють у
фазах багатофазного кола.
Розглянемо принцип утворення багатофазної (трифазної) системи ЕРС
трифазним генератором. Конструктивно він має дві основні частини: ста-
тор і ротор (рис. 9.1, а).
А
X
а б
Рис. 9.1
Статор - цс нерухома частина генератора, за формою схожа на ци-
ліндр, внутрішня поверхня якого має пази, куди закладено три однакові
обмотки: Л-г, В-у, С-г. Осі обмоток зсунуті між собою на третину пери-
метра статора.
Ротор - обертова частина генератора, конструктивно може бути явпо-
полюсиим чи иеявнополюсним. Незалежно від цього обмотка ротора жи-
виться постійним струмом і призначена для створення у генераторі маг-
нітного поля.
Кожний генератор має свій первинний двигун, тобто пристрій, який
з’єднаний з валом ротора генератора і забезпечує його обертання з певпою
швидкістю. На теплових і атомних електростанціях таким первинним дви-
гуном є теплова турбіна, а на гідроелектростанціях - гідравлічна турбіна.
Завдяки прикладанню до вала генератора обертального моменту пер-
винного двигуна ротор обертається, що зумовлює рух магнітного поля
відносно провідників обмотки статора. Як відомо з попереднього матеріа-
лу, рух замкненого контуру відносно магнітного поля спричиняє появу
ЕРС. Оскільки у трифазного генератора три однакові обмотки статора, ма-
ємо систему трьох ЕРС, однакових за амплітудою і частотою, але зсунутих
одна відносно одної па третину періоду. Таку сукупність ЕРС ілюструють
хвильові діаграми рис. 9.1, б, вирази миттєвих значень ЕРС окремих фаз
192
еА - у/2Е$іп(ші + у);
ев = у/2Е$іп(ші + »|/ - 2я/3);
ес =>/2Є8Іп(ам + \|/-4л/3)
(9-1)
та їх подання у комплексній формі
ЕА = Ес"; Ев = Еле~;120°; Ес = ЕАе~рм° = Едсл-°". (9.2)
Останній запис можна спростити, скориставшись поворотним множни-
ком а = ?'20 • При цьому отримаємо
Еа -Ее^; Ев =(ГЕЛ; Ес -оЕа. (9.3)
Звернімо також увагу, що
1 + а + а2 = 0. (9.4)
Багатофазні кола і системи можна класифікувати за рядом загальних
ознак, а саме: симетричні і несиметричні; зрівноважені і незрівноважені;
зв’язані і незв'язапі.
9.2. Поняття про симетрію в багатофазній системі
9.2.1. Симетричні системи ЕРС, напруг, струмів
Симетричною вважають багатофазну систему ЕРС, в якій ЕРС окремих
фаз однакові за амплітудою і кожна наступна ЕРС відстає за фазою від
попередньої на один і той же кут, що дорівнює дітіїт, де ц - будь-яке ціле
число.
Розглянемо трифазну систему, у якій зазначені кути дорівнюють с/2л/3.
Якщо (/ - 1, це означає, що кожний наступний вектор ЕРС фази відстає
від попереднього на 120°. Таку сукупність векторів зображено на
рис. 9.2, а. Ураховуючи, що в ній ЕРС фаз проходять через максимум у
порядку найменувань фаз (А, В, С, А, В, С ...), цю систему назвали симет-
ричною системою прямого чергування (прямої послідовності) фаз. Мате-
матичний запис ЕРС її фаз здійснюється співвідношеннями (9.2) чи (9.3).
Розглянемо трифазну систему, в якій д = 2. За цих умов кожний наступ-
ний вектор ЕРС фази відстає від попереднього на 240°. Зазначену сукуп-
ність векторів зображено на рис. 9.2, б. Ураховуючи, що в ній ЕРС фаз
проходять через максимум в порядку (А, С, В, А, С, В ...), таку систему
назвали симетричною системою зворотного чергування (зворотної по-
слідовності) фаз. У комплексній формі її записують так:
ЕА=Ете’\Ев=аЕА', Ес=а2ЕА. (9.5)
193
Для трифазної системи, шо має д = 3, отримаємо три вектори ЕРС, зсу-
нуті між собою на кут 2л (рис. 9.2, в). Інакше кажучи, між векторами ЕРС
цієї системи зсуву за фазою немає. Усі три ЕРС проходять через макси-
мальне значення одночасно, що математично записують як
Ед = = Ес • (9-6)
Таку багатофазну систему назвали симетричною системою нульової по-
слідовності фаз.
Нескладно довести, що багатофазні системи з д = 4, 7... є також систе-
мами прямого чергування, з д = 5, 8 ... - зворотного, з </ = 6, 9 ... - нульо-
вого чергування фаз. Інших систем чергування фаз не існує.
Звернімо увагу на досить важливу обставину: геометрична сума всіх
векторів ЕРС симетричної системи прямого чи зворотного чергування
дорівнює нулю:
ЕА + ЕВ + ЕС=О. (9.7)
Усе зазначене вище для симетричної системи ЕРС так само стосується
і симетричної системи напруг та струмів.
9.2.2. Несиметричні системи ЕРС, напруг, струмів
Основною причиною несиметрії трифазної напруги є специфічні умови
роботи генераторів електричної енергії та (або) наявність у системі потуж-
них однофазних споживачів.
Будь-яку несиметричну систему ЕРС (рис. 9.3, а), напруг чи струмів
можна подати сукупністю трьох симетричних трифазних систем: прямої
(рис. 9.3, б), зворотної (рис. 9.3, в) та нульової (рис. 9.3, г) послідовностей.
Математично несиметричну систему трифазних напруг (і)А,і)в,і)с) за-
писують так:
йА = й0 + й{ + йг; (9.8)
194
(9.8а)
й в—й0+а2й ।+сій 2;
йс=й0+айх+а2й2. (9.86)
Перші доданки у наведених виразах створюють симетричну трифазну
систему нульового чергування фаз ((/0, та (70), усі вектори якої мають
однакові значення та напрям.
Другі доданки (йх, а2йх, айх) є симетричною системою прямої послі-
довності, а треті (й2,ай2,агй2) - симетричною системою зворотної по-
слідовності.
Подання несиметричної трифазної напруги через симетричні складові -
основа розрахункового методу (методу симетричних складових), який
використовують для аналізу режимів несиметричних трифазних кіл. За
своєю сутністю цей метод є методом накладання, оскільки дозволяє роз-
рахунок складного трифазного електричного кола за наявності несимет-
ричної вхідної напруги замінити розрахунком трьох простіших режимів -
симетричних.
При цьому виникає питання про визначення симетричних складових
несиметричної вихідної системи. Звернімось до рівнянь (9.8). Додамо їх.
Урахувавши (9.7), отримаємо
йА+йв+йс=зй0 чи й0 = (йл+йв + йс)із. (9.9)
Для розрахунку складових симетричної системи прямого чергування
фаз зробимо так: співвідношення (9.8) залишимо незмінним, (9.8а) дом-
ножимо на а, (9.86) домножимо на а2, потім усі три співвідношення до-
дамо і поділимо на 3. Цс дає
йх=(йА+айв + а2йс)І-ї. (9.9а)
195
Аналогічно розраховують і складові симетричної системи зворотного
чергування фаз: співвідношення (9.8) залишається незмінним, (9.8а) дом-
ножують на а2, (9.86) домножують на а, потім усі три співвідношення
додають і ділять на 3. Отже,
й, = (ОА+а2йв+айс)/3. (9.95)
Такі міркування стосуються і несиметричних трифазних систем ЕРС та
струмів.
Зазначимо також, що питання про несимстрію трифазних систем ЕРС,
напруг і струмів та їх симетричні складові є не лише теоретичним. Воно
має практичне значення, оскільки рівень нссимстрії трифазної напруги -
один із показників якості електроенергії, що регламентує і контролює
Національна комісія з питань регулювання електроенергетики України.
9.2.3. Симетрія споживача та багатофазного кола
Якщо опір кожної фази багатофазного споживача однаковий за харак-
тером і значенням - споживача вважають симетричним. Для трифазного
навантаження цс записують так:
= —в = = — •
Урахувавши, що трифазне коло, як і будь-яке інше, складається з дже-
рела, лінії електропередачі (з’єднувальних проводів) та споживачів, сфор-
мулюємо поняття про симетрію багатофазного кола: симетричним вва-
жають багатофазне електричне коло, в якому симстричнй споживач жи-
виться від симетричного джерела електроенергії.
Несиметрія системи ЕРС джерела живлення, як і несиметрія наванта-
ження багатофазного кола, спричиняє його иссиметрію в цілому.
9.3. Поняття про зрівноваженість
багатофазної системи
Зрівноваженою є багатофазна система, миттєва потужність якої не за-
лежить від часу.
Звернімось до рис. 3.13, де зображено криву миттєвої потужності од-
нофазного кола синусоїдного струму, яка свідчить про нсзрівноваженість
однофазної системи. У такій системі потужність, яка виробляється гене-
ратором чи подається до навантаження, не є постійною, а пульсує з час-
тотою 2ш.
Розглянемо симетричну двофазну систему (т = 2), струми і напруги якої:
и1 = у/їі) зіп (Ш; і, =з/2/8Іп(юг-ф);
и2 = УІЇи кіп(сог - тс); і2 = Тї/ 8Іп(ют - <р - тс).
196
Розрахуємо миттєву потужність окремих фаз цієї системи та її сумарну
миттєву потужність:
Рі = іціі = Шсо8ф - С//соя(2а>/ - ф);
Р2 = "2'2 - ІЯсохф - 67со8(2оЦ - ф - 2л);
р = Р> + Р2 = 21/ІСО5<ф - 2С//с08(2о)Г - <р).
Знову отримаємо сумарну миттєву потужність як функцію часу, тобто
симетрична двофазна система - незрівноважсна. її можна зробити зрівно-
важеною, створивши несиметричний режим роботи, однак пам’ятаємо,
шо несимстрія має свої вади.
Перейдемо до симетричної трифазної системи:
и, = /її/5Іп ом; і) = /її 8іп((йї - ф);
и2 = /їіІ 8Іп(ю/ -2л/3); і2 =г/2/8Іп((ог -ф-2л/3);
н3 = х/2/8Іп((Ш-4л/3); /, = /її 8Іп(юг-ф-4л/3).
Розрахуємо миттєву потужність окремих фаз цієї системи:
Рі = «і'і = ІЛсотр - ІЛсоь&М - ф);
Рі = "2'2 = (7/созф - У/С08(2со/ - ф - 4л/3);
Рі - "з'з = (7/созф - 67со$(2«и - ф - 2л/3).
Сума других доданків миттєвих потужностей окремих фаз симетричної
трифазної системи дорівнює нулю, в чому легко переконатись, побудував-
ши відповідну діаграму. Тому
Р = Рі + Рі + Рі = 3 С//со8ф. (9.10)
Цей результат свідчить про зрівноваженість трифазної системи.
Зауважимо без доведення, що всі симетричні системи більшої фазності
також зрівноважені. Отже, доходимо висновку, згідно з яким трифазна
симетрична система - це зрівноважена система мінімальної фазності.
9.4. Схеми з’єднання елементів багатофазної системи
Незв’язаною називають багатофазну систему, окремі фази якої не ма-
ють кондуктивного зв'язку між собою. Приклади таких систем (трифаз-
них) наведено на рис. 9.4, а та 9.5, а. На практиці їх майже не використо-
вують через низькі економічні показники. У першу чергу це стосується
великої кількості з’єднувальних проводів (їх шість).
Практичне застосування мають зв’язані багатофазні системи, основ-
ними видами з’єднання елементів яких є зірка та багатокутник, реалізація
котрих у трифазних колах має вигляд трипроменсвої зірки або трикутни-
ка. Зв’язана трифазна система - три- або чотирипровідна.
197
Рис. 9.4
Зв’язування трифазної системи зіркою (рис. 9.4, б) здійснюють так:
- з’єднують однойменні затискачі обмоток фаз генератора між собою,
створюючи точку О, яку називають нульовою, чи нейтральною',
- створюють нульову (нейтральну) точку О'у трифазного споживача;
- з’єднують між собою генератор і споживач.
Провід О-О', який з’єднує нейтральні точки генератора і споживача,
називають нульовим, або нейтральним. Таку ж назву дістав і струм (Лу),
що проходить через цей провід.
Проводи А-А', В-В', С-С, що з’єднують затискачі фаз генератора із за-
тискачами фаз споживача, називають лінійними. Відповідно лінійними
називають і струми (ІА, Ід, Іс) цих проводів.
Фазними називають струми, які проходять у фазі генератора чи у фазі
споживача. Користуючись схемою рис. 9.4, б, неважко помітити, що фаза
генератора, лінія та фаза навантаження з’єднані між собою послідовно.
Оскільки основною ознакою послідовного з’єднання є проходження через
усі елементи одного і того самого струму, доходимо висновку, що у разі
з’єднання трифазного кола зіркою фазний і лінійний струми будуть одна-
ковими (/ф = /л).
Напруги па затискачах окремих фаз генератора чи споживача назива-
ють фазними напругами, напруги між лінійними проводами - лінійними
напругами. У разі з’єднання трифазного кола зіркою фазні і лінійні на-
пруги будуть різними (С/ф Ф ия).
Зв’язування трифазної системи трикутником (рис. 9.5, б) здійснюють,
з’єднуючи кінець попередньої фази з початком наступної як у генераторі,
так і в навантаженні. Після цього, як і для зірки, лінійними проводами
А-А', В-В', С-С з’єднують між собою затискачі відповідних фаз генера-
тора і навантаження.
198
а б
Рис. 9.5
Зауважимо, що у разі з’єднання трифазного кола трикутником, однако-
вими будуть фазна і лінійна напруги, що ж стосується фазних і лінійних
струмів - вони будуть різними. Тому у такому колі фазні струми позна-
чають ІАВ, Івс, ІСА
9.5. Розрахунок симетричного трифазного кола,
з’єднаного зіркою
Нехай трифазне коло, схему якого зображено на рис. 9.6, а, живиться
від генератора із симетричною системою ЕРС. Потрібно розрахувати
струми віток кола, якщо відомі:
- фазна напруга генератора (/ф-,
- опори фаз споживача = 7В = 7С = ;
- опори лінійних проводів 7Л л = 7Л в = 7Л с = 7Л;
- опір нульового проводу .
а б
Рис. 9.6
Схема містить чотири вітки і два вузли, тому для її розрахунку найраціо-
нальнішим буде метод вузлової напруги (див. підрозд. 5.4.5). Скористав-
шись (5.32), розрахуємо напругу між нейтральними точками
199
ІУ п'п — • х У • І 1 )
Гфл+Ки+ГфС + ^
Оскільки коло симетричне, провідності усіх його фаз однакові і є величи-
нами, оберненими до еквівалентних опорів фаз:
2ф=2„+2і; Гф=1/2ф.
Ураховуючи цс, вираз (9.11) перепишемо так:
_(0Л+ЦВ+0с)і
00 ЗГ. + К,
Взявши до уваги, що геометрична сума векторів напруг симетричної
трифазної системи прямого чергування фаз завжди дорівнює нулю, дохо-
димо першого важливого висновку: у симетричному трифазному колі
напруга між нейтральними точками завжди дорівнює нулю і розрахову-
вати її немає потреби; нульовий провід у такому колі не потрібний.
За цих умов фазні (вони ж і лінійні) струми розраховують за законом
Ома як
ІА=ОА/Х^ Ів=йв/^; їс=йс!^. (9-12)
Оскільки знаменники виразів для розрахунку фазних струмів однакові,
а чисельники відрізняються лише зсувом за фазою, можемо зробити дру-
гий важливий висновок: у симетричному трифазному колі всі фазні стру-
ми однакові за значенням і зсунуті один відносно одного на однаковий
кут, який дорівнює 2л/3, отже, можемо виконувати розрахунок стосовно
лише однієї фази (як правило, цс роблять для фази А), а струми інших фаз
записати, скориставшись поворотним множником.
Векторно-топографічну діаграму розглядуваного кола зображено на
Рис. 9.7
рис. 9.6, б. Початок побудови - вектори на-
пруги фаз споживача О'в, О'с), які ство-
рюють симетричну зірку. Під кутом <р =
= агс^Х,,/#,,) до цих напруг побудована три-
фазна система струмів. Далі за законом Ома
розраховано напругу в лінії (та її складові
/ф/?л, /фуХі), геометрична сума якої з напру-
гою відповідної фази споживача є фазною
напругою генератора (0А, і)в, і)с).
Розглянемо питання про співвідношення
між фазною і лінійною напругами у симет-
ричному трифазному колі, з’єднаному зір-
200
кою (рис. 9.7). Лінійна напруга І! АВ -йА -Ов. Оскільки між вектором
[)АВ і вектором ІЇА кут 30°, нескладно розрахувати, іцо
Доходимо третього важливого висновку: лінійна напруга у >/з разів
більша за фазну; зірку лінійних напруг зсунуто відносно зірки фазних
напруг на кут 30° «вперед» (проти годинникової стрілки).
9.6. Розрахунок симетричного трифазного кола,
з’єднаного трикутником
Розглянемо трифазне коло, навантаження якого з’єднане трикутником
(рис. 9.8, а, б). Схему з’єднань обмоток генератора на рисунку не показа-
но, оскільки для розрахунку це несуттєво.
Рис. 9.8
Для кола відомо:
- напруга генератора ЧАВ = ЧВс = Чсл = Ч',
- опори фаз споживача 2ЛВ = 2ВС = 2ГЛ = 2„;
- опорами лінійних проводів спочатку нехтуємо (рис. 9.8, а), тобто
— лА = 2ЛЙ = 2лс = = 0-
Розрахувати фазні і лінійні струми.
За зазначених умов, коли опорами лінії нехтуємо (отже і спаду напруги
в лінії не буде), фазна напруга споживача дорівнюватиме генераторній
напрузі. Подавши її у комплексній формі
йлв=с7; (7ЙС=^120”; ^=^120’
і скориставшись законом Ома, розрахуємо фазні струми:
/ав=^Лв/2„; /вс=^вє/?„; /СЛ=^са/2„. (9.13)
201
Урахувавши, що знаменники виразів для розрахунку фазних струмів
однакові, а чисельники відрізняються лише зсувом за фазою, доходимо
висновку, у симетричному трифазному колі всі фазні струми однакові за
значенням і зсунуті один відносно одного на однаковий кут, який дорів-
нює 2л/3, отже, можемо виконувати розрахунок стосовно лише однієї фа-
зи (зазвичай це роблять для фази АВ), а струми інших фаз записати, ско-
риставшись поворотним множником.
Генераторні напруги і фазні струми зображено на векторно-топо-
графічній діаграмі (рис. 9.9, а).
Рис. 9.9
Лінійні струми кола можна розрахувати через фазні, склавши рівняння
за першим законом Кірхгофа для вузлів А', В', С. З урахуванням зазначе-
них на схемі рис. 9.8, а умовних напрямів струмів, дістанемо:
ІЛ ~ ^АВ - ^СА>
^В = ІВС ~ ^АВ'
= СА ~ ВС-
(9.14)
Розглянемо питання про співвідношення між фазними і лінійними
струмами у симетричному трифазному колі, з’єднаному трикутником.
Для цього вектори фазних струмів векторно-топографічної діаграми
рис. 9.9, а змістимо паралельно так, щоб вони починались в одній точці
(рис. 9.9, б). Ураховуючи (9.14), бачимо, що відрізки, які з’єднують кінці
векторів фазних струмів, є векторами лінійних струмів. Оскільки між век-
тором /лв і вектором ІА кут 30°, нескладно розрахувати, що
Л=^з/лв.
Отже, доходимо висновку: лінійний струм у л/з разів більший за фазний;
зірку фазних струмів зсунуто відносно зірки лінійних струмів на кут 30°
«вперед» (проти годинникової стрілки).
202
Тепер розглянемо випадок, коли опори лінійних проводів у розрахунку
симетричного трифазного кола, з’єднаного трикутником, ураховують
(рис. 9.8, б). За цих умов фазна напруга споживача не дорівнюватиме на-
прузі генератора, оскільки в проводах лінії буде спад напруги, обумовле-
ний наявністю лінійних струмів. Тому розрахунок такого кола викону-
ють, скориставшись еквівалентним перетворенням зірки і трикутника:
трикутник опорів навантаження перетворюють па еквівалентну зірку від-
повідно до співвідношень, наведених у табл. 4.3.
Розрахунок цього кола докладно розглянуто у підрозд. 9.5.
9.7. Розрахунок складного симетричного
трифазного кола
Схему кола наведено на рис. 9.10, а. Вона може бути й складнішою.
Для розрахунку цс несуттєво.
б
Рис. 9.10
Перетворимо всі споживачі, з’єднані трикутником, на еквівалентні зір-
ки. Із симетрії кола випливає, що потенціали точок О, О',... (У"} будуть од-
наковими і їх можна об'єднати. За цих умов кожну фазу кола можна роз-
глядати окремо і розрахунок всього кола можна здійснити за однією фазою
(рис. 9.10, б). Методи розрахунку таких кіл наведено у підрозд. 4.6.
203
9.8. Розрахунок несиметричного трифазного кола,
з’єднаного зіркою
9.8.1. Загальний випадок
Нехай трифазне коло, схему якого зображено на рис. 9.6, а, живиться
від генератора з симетричною системою ЕРС. Потрібно розрахувати
струми віток кола, якщо відомі:
- фазна напруга генератора
- опори фаз споживача 2д * 2в * 2с
- опори лінійних проводів ХлЛ = 2л В = 2 л с = 2л і
- опір нульового проводу Хд,.
Як і в прикладі, розглянутому у підрозд. 9.5, сумістимо вектор фазної на-
пруги фази А (йл) з віссю дійсних величин комплексної площини і
запишемо комплекси напруг інших фаз як
ив=0Ае-^- ис=іїле}12°°.
Скориставшись (9.11), розрахуємо напругу між нейтральними точками
°'° Гфл+Іфв+Гфс + Гл
Оскільки коло несиметричне, провідності усіх його фаз різні і є величи-
нами, оберненими до еквівалентних опорів фаз:
їф5=1/2^, (5 = А, В, о,
2ф д= 2д + 2л > 2ф в = 2в 2л > 2ф с = 2с 2Л •
Як бачимо, за рахунок нссиметрії фаз навантаження між нульовими точ-
ками з’являється напруга ї?о-0, яку називають зсувом нейтралі. Ця на-
пруга спричиняє нссимстрію напруги на фазах споживача. Якщо спожи-
вачем вважають ХфХ, його фазну напругу можна розрахувати як
йА&=0А-0&о; 0в(у=0в-0ао< йс« =йс~й<ю- (9-‘5)
Напруги фаз генератора, зсув нейтралі та фазні напруги споживача зо-
бражено на векторно-топографічній діаграмі (рис. 9.11, а). Звернімо ува-
гу, що напруги генератора - це симетрична трифазна система з нульовою
точкою О. Напруги споживача - несиметрична трифазна система з нульо-
вою точкою О’.
204
Рис. 9.11
Відповідно несиметричною буде і трифазна система фазних струмів,
які розраховують за законом Ома:
іА=ил:и°'п=^ (9.іб)
~<|>Л ~<|>Л
і — ^В ^О'О _ ВО' . (9.16а)
В ^в 2фВ
і _ йс-йо.о _ йсо' (9.166)
4фс
Струм нейтрального проводу можна розрахувати двома способами:
- за першим законом Кірхгофа як суму фазних струмів
А/ ~ Л + І в + :
- за законом Ома
Ік =^о'о/2м •
Несиметрія фазної напруги споживача - явище небажане у трифазних
колах, оскільки за цих умов режим роботи електротехнічного обладнання
відрізняється від розрахункового.
Один із способів симстрування фазної напруги несиметричного трифаз-
ного споживача випливає із формули (9.11) та ілюструється векторно-
топографічною діаграмою (рис. 9.11,6).
Зрозуміло, що фазна напруга споживача буде симетричною, якщо нема
зсуву нейтралі. Останній залежить від опору нейтрального проводу. Як-
що Хд/ -*0, і зсуву нейтралі не буде. Цей висновок має вагоме
практичне значення. Трифазну систему з несиметричним навантаженням
205
обов’язково виконують як чотирипровідну з якнайменшим опором ну-
льового проводу.
У такому трифазному колі фазні струми розраховують за законом Ома:
Л=^л/^фл’’ 4=^/^’. 4=^/^
а струм нейтрального проводу - за першим законом Кірхгофа:
Лг = Л + Л»+ •
Потужні промислові мережі, як правило, симетричні, а отже - трипро-
відні. Однак і в них може з’явитися нссимстрія фазних напруг споживача,
обумовлена аварійними ситуаціями. Розглянемо аварійні режими корот-
кого замикання й обриву фази, ілюстровані схемою на рис. 9.12, а і век-
торними діаграмами на рис. 9.12, б і в.
9.8.2. Коротке замикання фази
Такий аварійний режим відповідає схемі рис. 9.12, а, коли обидва клю-
чі (/<, і К2) замкнені. Нехай до аварії коло було симетричним:
2фЛ = 2фВ = —фС = 2ф
Унаслідок короткого замикання фази А коло стане несиметричним, у
ньому виникне зсув нейтралі і для розрахунку фазних струмів потрібно
використати формули (9.16).
Однак струм пошкодженої фази за співвідношенням (9.16а) розрахува-
ти не вдається через невизначеність, оскільки за зазначених умов і чисе-
льник (Уду- = 0А -и0‘0 =0, і знаменник Хф = 0. Нульове значення фазної
напруги пошкодженої фази дозволяє розрахувати зсув нейтралі, яка, оче-
видно, дорівнює
^о'о а-
206
Ураховуючи це, співвідношення для розрахунку фазних струмів непо-
шкоджених фаз запишемо так:
/ _ЦВ-ЦЛ=ЦВЛ.
В 2фВ ’
С 2фс /ф ’
Векторно-топографічну діаграму, яка відповідає розглянутому аварій-
ному режиму, наведено на рис. 9.12, б. Зауважимо, що коротке замикання
в одній фазі призводить до зростання напруги неушкоджених фаз у л/з
разів. Струм пошкодженої фази розраховують за першим законом Кірх-
гофа для вузла О' -. ІА =-(Ів + Іс).
9.8.3. Обрив фази
Такому аварійному режиму відповідає схема рис. 9.12, а. в якій обидва
ключі (Кі і К2) розімкнені. Математично умову обриву фази А запишемо,
наблизивши її опір до нескінченності (7фЛ —>°°). Цс відповідає нульово-
му значенню провідності пошкодженої фази, отже формула (9.11) для
розрахунку напруги між нульовими точками О'-О набуде вигляду
ув^+Цс^с_ йА
°'° 2 ’
Тут враховано, що коло до обриву було симетричним, а
йв+йс=-йА.
Струми неушкоджених фаз розрахуємо за законом Ома, скориставшись
співвідношеннями (9.16):
і ^йв+йлІ2_ЦвсІ2,
в 7 7
Єф/7 =Ф
/ _(]с-(]Ап _исвп
2фс 2ф
Відповідну векторно-топографічну діаграму зображено на рис. 9.12, в.
Зазначимо, що струму в пошкодженій фазі немає, а напруги на неушко-
джених фазах - зменшились.
207
9.9. Розрахунок несиметричного трифазного кола,
з’єднаного трикутником
Розглянемо схему рис. 9.8, б, в якій вважатимемо відомими: напруги
симетричного генератора, опори лінії 7.іА=7лВ=7.іС=7л, опори фаз
навантаження 7ЛВ Ф 7ВС * 7СЛ.
Для розрахунку струмів кола слід скористатись еквівалентним перетво-
ренням пасивних ділянок електричного кола, тобто трикутник опорів спо-
живача перетворити на еквівалентну зірку. Аналіз такого несиметричного
трифазного кола, з’єднаного зіркою, докладно розглянуто у підрозд. 9.8.1.
Виконавши цей розрахунок, отримаємо лінійні струми. Фазні струми
знайдемо за наведеними раніше формулами (4.9) розрахунку струмів ек-
вівалентного трикутника за відомими струмами зірки.
Якщо опорами лінійних проводів у розрахунку можна знехтувати,
розв’язок задачі спрощується. Трикутник опорів навантаження на еквіва-
лентну зірку перетворювати не потрібно, а одразу, скориставшись зако-
ном Ома, розрахувати фазні струми. Лінійні струми через фазні визнача-
ють за першим законом Кірхгофа.
Відповідні формули (9.13) і (9.14) наведено у підрозд. 9.6.
9.10. Розрахунок складного несиметричного
трифазного кола
Як приклад розглянемо розрахунок кола, схему якого зображено на
рис. 9.13. Три несиметричних трифазних споживачі, два з яких з’єднані
зіркою, а один - трикутником, живляться від генератора, що створює си-
метричну систему напруг. Опори окремих відрізків лінії у розрахунку
враховано.
208
Параметри елементів кола, зображених на схемі, відомі. Необхідно
розрахувати струми кола.
Теоретично у такому розрахунку нічого нового немає. Усі потрібні для
аналізу міркування викладені раніше. Тому розглянемо лише алгоритм
розрахунку:
1. Трикутник навантажень перетворюємо на еквівалентну зірку з ну-
льовою точкою О”’, опори цієї зірки складаємо з опорами відповідних
фаз лінії 7" > в результаті чого отримуємо нову несиметричну зірку з тією
ж нульовою точкою.
2. Опори фаз несиметричних зірок з нульовими точками О' і О" не
можна вважати з’єднаними паралельно, оскільки потенціали зазначених
нульових точок різні, тому їх слід перетворити на еквівалентні трикутни-
ки, опори відповідних фаз яких будуть з’єднані паралельно, що дозволяє
замінити обидва трикутники одним еквівалентним.
3. Отриманий трикутник перетворюємо на еквівалентну зірку з нульо-
вою точкою О/У; опори цієї зірки складаємо з опорами відповідних фаз
ЛІНІЇ 21 , в результаті чого отримуємо нову несиметричну зірку з тією са-
мою нульовою точкою.
4. Зірки з нульовими точками О' та О,у перетворюємо на еквівалентні
трикутники, які, в свою чергу, перетворюємо на один еквівалентний три-
кутник.
5. Отриманий трикутник перетворюємо на еквівалентну зірку і розра-
ховуємо струми в несиметричному трифазному колі, з’єднаному зіркою
(див. підрозд. 9.8.1).
6. Користуючись формулами взаємного еквівалентного перерахунку
струмів зірки і трикутника та викладеними вище теоретичними положен-
нями стосовно трифазних кіл, розраховуємо струми усіх віток схеми
рис. 9.13.
9.11. Розрахунок несиметричного трифазного кола
через лінійні напруги
Розглянемо несиметричне трифазне трипровідне коло, з’єднане зіркою
без нейтрального проводу (7^ = °° на рис. 9.6). Скориставшись (9.16), за-
пишемо
1 в~й во^в'* Іс=йСо'¥фс- (9.17)
Лінійні напруги генератора можна розрахувати через його фазні напру-
ги чи через фазні напруги споживача як
Уав -Vао' ва'-’ Vвс = Уво' ~Уссґ> ^сл~^с& асу*
209
звідки отримаємо:
^ВО'-^АО' Уав> (9 18 б/со-=й А0-+йСА.
У трифазному колі без нульового проводу ІА + І в + Іс =0. Підставимо
сюди (9.17) та (9.18) і отримаємо вираз фазної напруги споживача фази А
через лінійні напруги генератора
Гфд+їфв+ГфС
Напруги споживачів інших фаз дістанемо, застосувавши циклічне перс-
ставлення індексів: Уво-—^0--^ (9-19а) 2-фл + іфв+Сфс (/с0. = . (9,і 9б) КфА+ ^фв + ^фС
Знаючи фазні напруги споживачів, фазні струми розраховують за
(9.17). Співвідношення (9.19) досить універсальні, оскільки ними можна
користуватись і в разі несиметричної напруги генератора.
Якщо система напруг генератора несиметрична, а навантаження кола -
симетричне, формули для розрахунку фазних напруг споживача спрощу-
ються:
її АВ+йАС . {'і ^В^ВС. і'і СА+ІЇСВ
и АО' - , ’ и ВО' ~ и со' ~ -,
9.12. Зауваження щодо методу симетричних складових
Сутність методу полягає в поданні несиметричної вхідної напруги че-
рез симетричні складові нульової, прямої та зворотної послідовностей
фаз (див. підрозд. 9.2.2, формули (9.9)).
Якщо потрібно розрахувати статичне трифазне електричне коло без
взаємоіндукції, метод симетричних складових не має переваг перед ви-
кладеним вище розрахунком через лінійні напруги.
Сфера раціонального, а в багатьох випадках єдино можливого, викорис-
тання методу симетричних складових: аналіз несиметричних режимів
енергетичних пристроїв із взаємними індуктивностями між окремими
210
фазами електричних машин, ліній і трансформаторів з динамічним наван-
таженням.
Взаємна індуктивність між обмотками фаз електричної машини з
обертовим ротором не задовольняє принцип взаємності внаслідок
нссимстрії магнітного поля, обумовленої обертанням ротора. Це при-
зводить до того, що спад напруги на опорах зазначених елементів від
симетричних складових струмів різної послідовності буде різним.
Для елементів з нерухомими індуктивно зв’язаними обмотками опори
прямої і зворотної послідовностей однакові (7, = 72), але відрізняються
від опорів нульової послідовностей 70 .У загальному випадку в електрич-
них машинах 7, 7, 7ц.
9.13. Трифазна потужність
У загальному випадку потужність трифазного кола є сумою потужнос-
тей окремих фаз
8=йАіА+йвів+йсіс = р+](2-,
Р = ТЛ С05(РЦ
С = = Е^48ІпФо
(9.20)
(9.21)
де к. = А, В, С.
У цих виразах активні потужності окремих фаз додаються арифметично,
а реактивні - алгебрично. З додатним знаком враховується реактивна ін-
дуктивна потужність.
Якщо трифазне коло симетричне
і)а - Ув - Ус - У& іа - їв- Іс-1& фл = <Рв = фс = ф,
Р = 3(/ф/фсо8<р; •
(9.22)
2 = 3^ф/ф5ІПФ-
Ураховуючи, що у разі з’єднання зіркою в симетричному трифазному
колі
Д = /ф; Цл=л/ЗЦф,
а у разі з’єднання трикутником
І/Л = ЦФ;Л= л/з/ф,
формули потужності для симетричного трифазного кола набудуть вигляду
211
5=^1.-,
Р = 4зі/:і 1 лсо8<р; •
(9.23)
Є=7зб'1/1хіпф.
У формулах (9.23) фігурують лінійні напруги і струми, але кут ф - фа^
ний.
9.14. Вимірювання потужності у трифазному колі
9.14.1. Вимірювання активної потужності
в симетричному трифазному колі
Потужність у трифазному колі вимірюють ватметром. Оскільки ват є
одиницею активної потужності, назва приладу відповідає його призна-
ченню. Однак існують такі схеми ввімкнення ватметра у трифазне коло,
коли він вимірює і реактивну потужність.
Активна потужність кожної фази симетричного трифазного кола одна-
кова. З цього випливає, що виміряти її можна, користуючись одним ват-
метром.
Якщо трифазне коло чотирипровідне, можна застосувати схему, зо-
бражену на рис. 9.14, а. Струмову обмотку ватметра ввімкнено у фазу А,
напругову - до фазної напруги цієї ж фази. Отже, ватметр вимірює акти-
вну потужність однієї фази
Рис. 9.14
Активна трифазна потужність дорівнюватиме потроєному показу ватметра.
Схему вимірювання активної потужності в симетричному трипровід-
ному трифазному колі за допомогою одного ватметра наведено на
рис. 9.14, б. Це схема із «штучною нульовою точкою». Вона створюєть-
212
ся з використанням двох опорів 7,,., значення яких має бути таким, як
опір напругової обмотки ватметра. Від точності підбору цих опорів за-
лежить точність показу ватметра, який можна розрахувати за співвідно-
шенням (9.24).
Очевидно, як і в попередньому випадку, що трифазна потужність буде
дорівнювати потроєному показу ватметра.
9.14.2. Вимірювання активної потужності
в несиметричному трифазному колі
Потужності окремих фаз несиметричного трифазного кола різні, тому у
разі чотирипровідної системи для вимірювання її активної потужності
використовують схему з трьома ватметрами (рис. 9.15, а), в якій кожний
ватметр вимірює активну потужність однієї фази генератора.
рв1=кє иАіА
’ ^и-2 — Ке ^В1В
Рис. 9.15
а трифазна потужність дорівнює сумі показів ватметрів
Ри3=Ке 1/с/,
р = ке (7Л/Л+(7Й/Й+(7Г/Г
(9.25)
Якщо трифазне коло трипровідне, його активну потужність вимірюють
за схемою Арона (схема двох ватметрів). Один із можливих варіантів
увімкнення ватметрів зображено на схемі рис. 9.15, б. відповідно до якої
покази ватметрів
Лц _ Ке 0АС1А
; Р„г - Ке й Вс ів
(9.26)
а їх сума
ки. - Ке йАС іА+й вс ів
(9.27)
213
дорівнює трифазній потужності кола. Це не є очевидним і потребує до-
ведення;
У АС ІА+У ВСІ в
= (У А ~ УС)іА+ (йВ~УС)ів = У А ІА-Ус 'а +
+ Ув!в Усів-Уа'а + Увів Ус\іа+ів
У трифазному трипровідному колі ІА + Ів = -Іс, що й доводить еквівален-
тність формул (9.25), (9.27).
9.14.3. Вимірювання реактивної потужності
в симетричному трифазному колі
Якщо різницю показів двох ватметрів (9.26), увімкнених за схемою
Арона (рис. 9.15, б), домножити на -Тз, отримаємо реактивну потужність
симетричного трифазного кола. Доведемо цс:
Рн, - Ке 0 АСІА йвс Ів
= ЦЛС/ЛСО8
У вс^в соб
Побудуємо векторно-топографічну діаграму (рис. 9.16), з якої випли-
ває, що в симетричному трифазному колі кут між вектором лінійної на-
пруги йАС (яка у -Тз разів більша за фазну) та вектором фазного струму
ЇА дорівнює (<р - 30°), а кут між вектором лінійної напруги І! вс і стру-
214
Ураховуючи викладене, різницю показів двох ватметрів через фазні
струми і напруги запишемо так:
Р.
- АС ІА У ВС
= ЛиАіА сох(<р - зо°) - уіїивів соз(ф+зо°).
Скориставшись відомою із тригонометрії формулою різниці косинусів
різних кутів, остаточно отримаємо:
Р„ = 7з б'ф/фзіпф = (#у/з. (9.28)
Оскільки мова йде про вимірювання реактивної потужності в симетрич-
ному трифазному колі, очевидно, шо зробити цс можна і за допомогою
одного ватметра, якщо ввімкнути його за схемою рис. 9.17, а. У такому
разі показом ватметра буде
Р«, = О вс А
ВС'1 А Є’081 (7веїА
а б
Рис. 9.17
Побудуємо векторно-топографічну діаграму (рис. 9.17, б), з якої випли-
ває, що кут між вектором лінійної напруги (]вс та вектором фазного
струму 1А дорівнює (ф - 90°). Урахувавши також, що лінійна напруга в
-Уз разів більша за фазну, остаточно отримаємо:
Рк = Л 1/ф/фХІпф = <2/>/з,
тобто реактивна трифазна потужність дорівнює показу ватметра, домно-
женому на -Уз.
9.15. Пульсуюче й обертове магнітні поля
Обертове магнітне поле, що утворюється завдяки просторовому та ча-
совому зсуву трифазної системи струмів, є основою для створення трифаз-
них електричних машин. Розглянемо систему трьох однакових обмоток,
розташованих симетрично у просторі так, що їх осі знаходяться між со-
215
бою під кутом 2л73 (рис. 9.18, а). Цс звичайне розташування обмоток на
статорі електричної машини. На рисунку зображено також магнітне поле,
яке створює струм фази А. Як бачимо, магнітний потік замикається не
лише через феромагнітне середовище, а й через повітряну щілину, яка
переважно і створює магнітний опір. За цих умов крива розподілу магні-
тної індукції у повітряному середовищі вздовж периметра статора має
вигляд, показаний на рис. 9.18, б.
Рис. 9.18
Насправді конструктивно обмотки, призначені для створення оберто-
вого поля, виконують складнішими, ніж це зображено на рисунку. Спеці-
альний спосіб розміщення провідників окремих обмоток на статорі до-
зволяє отримати на його поверхні майже синусоїдний просторовий закон
розподілу індукції від кожної обмотки.
Подаючи криву магнітної індукції рядом Фур’є, виділимо першу гар-
моніку з амплітудою Во (вона також зображена на рис. 9.18, б) і запишемо
закон її розподілу в розточці статора, визначаючи положення точки на
поверхні статора кутовою координатою а, що відраховується проти го-
динникової стрілки:
ВА(а) = В0соха.
Ураховуючи просторове розташування обмоток усіх трьох фаз на статорі,
для сумарного значення індукції, використовуючи принцип накладання,
отримаємо
В(а) = ВА(а) + Вв(а) + Вс(а) = В0соха + Восох(а + 2л/3) + В0сох(а - 2л/3).
Якщо струми в обмотках фаз створюють симетричну трифазну систе-
му, то за умови симетрії конструкції статора й обмоток значення індукції
216
на осях обмоток, обумовлені струмами фаз, також створять симетричну
пульсуючу систему:
ВДг) = Вотхіп(ОГ; Вв(0 = Вяхіп(шг - 2л/3): ВДг) = В„,хіп(шг + 2я/3).
Останнє дозволяє записати вираз миттєвого значення магнітної індук-
ції на статорі В(а, ї) у вигляді суми
В(а, 0 = В,„|8Іполсо8а + зіп(шг - 2л/3)со$(а + 2л/3) +
+ 8Іп(о)г + 2л/3)сох(а - 2тг/3) ].
Скориставшись тотожністю зіггг • соху = 0,5[хіп(х + у) + хіп(.г- у)], діста-
немо
В(а, г) = 0,5В,„[хіп(<ог + а) + хіп(шг - а) + хіп(шг + а) +
+ 8Іп(сог - а - 4тг/3) + хіп(о)/ + а) + хіп(ш/ - а + 4я/3)].
Звернімо увагу, що сума парних доданків останнього виразу дорівнює
нулю, оскільки їм відповідає симетрична система однакових векторів. Це
значно спрощує остаточне співвідношення
В(а, і) = 1,5В„,хіп(шї + а).
Як бачимо, магнітна індукція иа осі магнітного поля має амплітуду
1,5В„ і ця вісь обертається з кутовою швидкістю і» в бік від’ємних зна-
чень а, тобто за годинниковою стрілкою. Дійсно, для точки, що оберта-
ється на поверхні статора зі швидкістю со, маємо а(г) = а о - <ог, тобто фаза
магнітної індукції у цій точці - величина стала.
Щоб отримати поле, яке обертається у протилежному напрямі, досить
поміняти між собою початки будь-яких двох фаз обмотки статора.
Якщо в обертове магнітне поле помістити провідник зі струмом, роз-
ташований на роторі, виникне обертальний момент, що і спричиняє робо-
ту електричних двигунів.
У розглянутій системі, характерній для двигунів середньої і великої
потужності, обертове поле створювали три обмотки, що живились трифа-
зною системою струмів. У двигунах малої потужності використовується
простіша конструкція, яка також створює обертове магнітне поле, але за
допомогою лише двох обмоток з просторовим зсувом осей на л/2, що жи-
вляться системою струмів з таким самим фазним зсувом. Для цієї систе-
ми, подібно до попереднього, маємо
В(а, Г) - ВДхіпш/соха + хіп(о)ї - л/2)сох(а + л/2)] =
= ВДзіпшЮоха + сохшґхіпа) - В,„хіп((ог + а),
де амплітуда магнітної індукції обертового магнітного поля дорівнює В,„,
а інші властивості поля такі самі, як і у трифазній системі.
217
10. ЧОТИРИПОЛЮСНИКИ
І БАГАТОПОЛЮСНИКИ
10.1. Загальна характеристика і класифікація
чотириполюсників
Існує чимало електротехнічних пристроїв, що використовують для пе-
редачі енергії або сигналів, які мають дві пари затискачів - полюсів. У
теорії електричних кіл їх називають прохідними чотириполюсниками.
Приклади чотириполюсників - лінія електропередачі, трансформатор,
електричний фільтр, електронний і напівпровідниковий підсилювачі, ате-
нюатор тощо. Безумовно проаналізувати процеси у таких пристроях мо-
жна, застосувавши загальну теорію електричних кіл. Однак у багатьох
випадках це призводить до складання громіздких систем рівнянь і незру-
чно для аналізу. Спрощення досягають за рахунок узагальненого подання
пристрою (чи його частини) чотириполюсником з подальшим застосу-
ванням відповідної теорії.
Отже, пайзагальнішим є визначення чотириполюсника як електричного
кола (чи його частини) з двома парами полюсів (рис. 10.1). На схемі його
позначають прямокутником чи ква-
дратом з чотирма затискачами, все-
редині якого стоїть літера П, якщо
чотириполюсник пасивний, і А -
якщо він активний.
Пару полюсів, до якої вмикають
джерело живлення, називають вхід-
ними затискачами (входом).
Рис. 10.1
Пару полюсів, до якої вмикають навантаження, називають вихідними
затискачами (виходом).
Виходячи з цих визначень, у чотириполюсника може бути два входи і
жодного виходу, чи два виходи - і жодного входу.
219
Найчастіше одну пару затискачів позначають 1-1' і називають первин-
ною, а іншу - 2-2' і називають вторинною. Усі режимні і параметричні
характеристики кола, пов’язані з первинною парою полюсів, позначають
індексом 1, а з вторинною - індексом 2.
Розглянемо класифікацію чотириполюсників, що спирається на загаль-
ні ознаки з теорії електричних кіл:
1. За характером елементів. Лінійним вважають чотириполюсник, який
складається лише з лінійних елементів. Якщо чотириполюсник містить
хоча б один нелінійний елемент, він є нелінійним.
2. За схемою внутрішніх з’єднань чотириполюсники можуть бути Г-,
Т-, П-подібними, мостовими, Т-подібними мостовими (рис. 10.2, а - д)
або їх комбінацією.
Рис. 10.2
3. За кількістю елементів: одно-, двох-, трьох-, чотирьохелементні та ба-
гатоелементні. Одноелсмснтиі чотириполюсники наведено на рис. 10.3, а, б.
Г-подібний чотириполюсник - двохелементний. Відповідно Т- і П-подіб-
ні - трьохелементні. Мостовий чотириполюсник є прикладом чотирьох-
елемептиого.
/
10--------------0 2
1'0--------------0 2'
а
10-
1'0-
Рис. 10.3
220
4. За наявністю чи відсутністю джерел енергії. Пасивним вважають чо-
тириполюсник, у якому відсутні джерела електричної енергії. Активний
чотириполюсник обов’язково містить джерело (джерела) енергії. Якщо ці
джерела автономні (незалежні), чотириполюсник називають активним
автономним. Необхідною ознакою активності такого чотириполюсника є
наявність напруги хоча б на одній парі розімкнених полюсів. Якщо чоти-
риполюсник містить неавтономні (залежні) джерела, його вважають ак-
тивним неавтономним.
5. За режимно-параметричними властивостями: два чотириполюсники
вважають еквівалентними, якщо заміна одного іншим не спричинює змі-
ну струмів і напруг у частинах кола, ввімкнених до первинних і вторин-
них полюсів; чотириполюсник вважають симетричним, якщо зміна місць
його входу і виходу не призводить до зміни струмів і напруг у частинах
кола, ввімкнених до первинних і вторинних полюсів; у оборотного чоти-
риполюсника відношення напруги на вході до струму на виході в режимі
короткого замикання не залежить від того, які затискачі є вхідними, а які
вихідними, інакше він необоротний.
Режим роботи будь-якого чотириполюсника вважають повністю визна-
ченим, якщо відомі струми і напруги па його первинних і вторинних по-
люсах: /|, йх, І2, й2. Типовою є задача, коли дві із зазначених величин
відомі, а дві - потрібно розрахувати. Для цього використовують систему
рівнянь з двома невідомими, яку називають основними рівняннями теорії
чотириполюсників. Складемо їх спочатку для лінійного пасивного чоти-
риполюсника.
10.2. Рівняння лінійного пасивного чотириполюсника
Пасивний чотириполюсник може працювати у трьох режимах
(рис. 10.4, а):
а б
Рис. 10.4
- прямої передачі (струми Іі, /,), коли енергія передасться від пер-
винних полюсів до вторинних;
221
- зворотної передачі (струми Ґ2), коли енергія передається від вто-
ринних полюсів до первинних;
- двостороннього живлення (струми /| , Ґ2), коли енергія від зовнішніх
джерел споживається усередині чотириполюсника.
Скориставшись теоремою компенсації (див. підрозд. 4.5.1), одержимо
еквівалентну схему, зображену на рис. 10.4, б, причому Еі=і)1 і Е2 = 02.
Оскільки ця схема містить лише два джерела ЕРС, згідно з поняттям про
вхідні і взаємні провідності та методом накладання можна записати:
І^Е^+Е&і, 1
-/2 = Е\¥21+ Е2¥22,)
або
А^нЦ+Г^
^=^, + ^2-:
(Ю.1)
Це рівняння в У-формі. Назва системи відповідає її коефіцієнтам, які є
вхідними та взаємними провідностями. З цього випливає: одиниця виміру
коефіцієнтів - сименс; незалежних У -коефіцієнтів - три, оскільки УІ2=У11.
Нижче наведено матричний запис рівнянь в У-формі
А
Л
г»
(10.1а)
Розв’яжемо систему (10.1) відносно первинної і вторинної напруг:
Д =
Ги
К21
=ГиГ22-Г,,г21;
А
д,=
Ак12;
Ги А
Г21 2
ЕХ-\\ Аг.21’
1 д д 1 д 2
й =^ = Ги/;_Г2і/
2 Д Д - д '
222
Позначивши 2^ । — !%>/ Л > —12 — ~^~і2^ » —21 — —21^ * —22 ~ ’ остато-
чно отримаємо:
(7. — 7../. + 2.2/> П
. ! -12 ?Ч (іо.2)
- систему рівнянь чотириполюсника в 2 -формі, де параметри 2,,, 2,,.
/12 72, вимірюють в омах, причому 7,2 = 721.
Для того, щоб отримати найуживанішу систему рівнянь чотириполюс-
ника в А-формі, яка відповідає режиму прямої передачі, систему (10.1)
розв'яжемо відносно напруги і струму первинних полюсів, замінивши в
пій /2 на І2. Розрахунок дає
Як бачимо, коефіцієнти Ан і А22 нерозмірні, коефіцієнт А12 вимірюють в
омах, а коефіцієнт А21 - у сименсах.
Оскільки в рівняннях в У - та 2 -формі чотириполюсник характеризу-
ється трьома незалежними параметрами, ймовірно, що з А-коефіцієнтів
тільки три незалежні, тобто має існувати рівняння, що їх пов’язує. Дійс-
но, використавши зв’язок між А - та /-коефіцієнтами, легко довести, що
—11—22 —12—21
(10.4)
Систему рівнянь для режиму зворотної передачі одержимо ІЗ (10.3) ПІ-
СЛЯ зміни напрямів струмів І1 та /2 на протилежні
^у = ^і)2-Аі2І2-,
~І[ = —21^2 - —22^2
1 розв’язання отриманої системи відносно 02 та Ґ2:
223
Отже,
чи
4п
42і
А.=
412
- 412
/А
-/;
д2-
41!
421
-“411422 + 4і24гі
412
422
/А
-/;
--^422 -/1'4,2;
- 4і іА 4гі//|-
//2=422//1+412/ї;
/2 =4гД +4цА'
02
А
422
Д21
4,2
411
!Г
(10-5)
(10.5а)
Д =
Ці рівняння дістали назву системи в В-формі. Звернімо увагу, що мат-
риця ||в|| складається з тих же А коефіцієнтів, що і матриця Ца||, тільки в
ній коефіцієнти Аи і Л22 поміняли місцями.
Якщо у чотириполюсника 4ц = А22, рівняння (10.3) і (10.5) тотожні,
що свідчить про його симетричність.
Ще дві форми рівнянь чотириполюсника запишемо без доведення:
Н-форма рівнянь чотириполюсника
чи
і/1 =//11Л +//12^2^
/2=^21/) + ^2 I
//11
//21
— 12
У 22
О-форма рівнянь чотириполюсника
У 2 “ &1//| + У\2^2'
І} - С.2\Уі + 0.22^2
чи
Єн
.—21
Є(2
622
(10.6)
(10.6а)
(10.7)
(10.7а)
А
І 2
224
Отже, режим пасивного чотириполюсника незалежно від умовних на-
прямів струмів і напруг па його полюсах може бути описаний будь-якою
з шести систем рівнянь.
Коефіцієнти, які визначають зв’язок між вхідними та вихідними напру-
гами і струмами чотириполюсника, називають первинними параметрами.
Цс сталі величини, що залежать лише від параметрів елементів, з яких
складається чотириполюсник, та схеми їх з’єднання між собою. Розраху-
нок первинних параметрів - один із найважливіших етапів аналізу чоти-
риполюсника.
10.3. Визначення коефіцієнтів чотириполюсника
Коефіцієнти чотириполюсника найпростіше визначають з режимів не-
робочого ходу (НХ) та короткого замикання (КЗ), які можуть бути як
експериментальними, коли потрібні для розрахунку значення вимірюють
приладами, так і теоретичними - тоді необхідні значення розраховують.
Нехай чотириполюсник працює у режимі прямої передачі і описується
системою рівнянь (10.3). Нижче наведено цю систему для режиму неро-
бочого ходу (/2 =0) та режиму короткого замикання (і)2 =0), з якої
отримані вирази А коефіцієнтів через струми і напруги:
- неробочий хід
^о=дДо->411 =Цо/^о=(^оМ)^ч'“,п'ч'“:о); (108)
Ао = 421^20 -* 4>. = Ао/^20 = (Ло/</2о)^(Ч",О‘Ч'“2о)-.
- коротке замикання
^ік = 4А^412=^/Лк=(^к/Лк)єу(ч'"ік'ч''2к); ,
(10.8а)
Ак =А22І2к = Ак/Лк
Як бачимо, такий шлях визначення коефіцієнтів чотириполюсника до-
сить простий, потребує знання значень струмів і напруг НХ та КЗ, а якщо
вони синусоїдні, - то й кутів зсуву за фазою між ними. У разі експеримен-
тального дослідження напруги вимірюють вольтметром, струми - ампер-
метром, кути зсуву за фазою - фазометром чи осцилографом.
У деяких випадках (наприклад, для дослідження лінії електропередачі як
чотириполюсника) не можна під’єднати фазометр (чи осцилограф) одночасно
до вхідних і вихідних полюсів. Тоді для визначення коефіцієнтів можна вико-
ристати опори чотириполюсника, розраховані з боку входу і виходу в режи-
мах неробочого ходу і короткого замикання за такими співвідношеннями:
225
£10
7 — ^10 • 7 — • 7 — ^20 • 7 — ^2к
<110 ~ і > <1к - : > <20 ~ ;/ ' <2к ~ .,
‘іо Ік 20 12к
У загальному випадку цс комплексні опори
7 _ 7 „УФіо. 7 _ 7 _Л>і, .7 -7 «ІФго .7 -7 „Мі,
<10 - Л'І0е ’ <1к ~ Л'1ке ’ <20 ^20с ’ <2к ~ ^2ке
для експериментального визначення яких також досить виконати вимі-
рювання вольтметром, амперметром і фазометром чи осцилографом.
Оскільки опорів неробочого ходу і короткого замикання чотири, то для
їх визначення слід виконати вимірювання в чотирьох режимах: НХ і КЗ у
прямій передачі та такі ж досліди у зворотній.
Співвідношення (10.8) та (10.8а) відповідають прямій передачі. Для
зворотної передачі, скориставшись системою (10.5) та умовами неробо-
чого ходу (/] = 0) і короткого замикання (Ц = 0), отримаємо:
- неробочий хід ./° —2. 10 (10.9) ^20 = 41^10’
- коротке замикання 2 к “ А 2 А ц- ’ ./к _І2.Ік (10.9а) Лк= 4і іЛк-
Беремо відношенім першого рівняння до другого в системах (10.8) та
(10.9) і маємо
г10 =^-; ?,к =ті- (1(П0)
611 612 611 41
Розв’язуємо систему (10.10), використовуючи перше, третє і четверте
співвідношення:
7—7 - —22 — -12 — 1 •
<20 <2к - . . “ . . ’
бгі 41 4і4і
——— = А2., звідки
22О-?2К
226
Скориставшись (10.10), для інших коефіцієнтів запишемо:
412=41|4 2к ’ 4г І ’ 4’2=421420- (10.11а)
410
(10.12)
Як бачимо, окрім первинних параметрів, досить зручною характерис-
тикою чотириполюсника є його опори неробочого ходу і короткого зами-
кання. Подібно до (10.4), яким встановлюється зв’язок між Л-кое-
фіцієптами, можна, скориставшись (10.10), встановити відповідний
зв’язок і між опорами:
410 _ 4і 14:2 . 4:о _ 4за4і і
4ік 4:і4і2 4’к 4гі4і2
Тобто справедлива пропорція
4і0 _ 4?о
21к 42к
Ще раз переконуємося, що пасивний чотириполюсник характеризується
трьома незалежними параметрами, і для їх розрахунку достатньо резуль-
татів лише трьох дослідів.
Коефіцієнти У системи рівнянь чотириполюсника (10.1) розраховують
з дослідження короткого замикання для прямої та зворотної передач:
^,=[-6-) ; У\=Г-У ; ^=[41-1 ;
-1' // </ п п
\и^йг-о <и^/й1=о Уи-Уи^о
Коефіцієнти 7 системи рівнянь чотириполюсника (10.2) розраховують
з дослідження неробочого ходу для прямої та зворотної передач:
7 . 7 ,7 . 7
£Л1 - : - £121 “ ; ’ £И2 _ ; > £122 _ ;>
к 'і )і\ = 0 < 7< Л;=0 V '2 Л, = о к '2 Л,=0
Для оборотних (пасивних) чотириполюсників К|,= У21, 7]2 = 7,,.
10.4. Вхідні опори пасивного чотириполюсника
10.4.1. Загальний випадок
Розглянемо пряму передачу в пасивному чотириполюснику. До його
первинних полюсів подається напруга Ц, а до вторинних - увімкнено
навантаження, опір якого 7, (рис. 10.5, а) і напруга й2 = І272. Розрахує-
мо вхідний опір, використавши (10.3):
227
1/, А„/272 + АІ2/2
А 4г./2?2 + 4:2 /2
Рис. 10.5
Скоротимо на /2 і отримаємо вираз, що зв’язує вхідний опір з опором
навантаження через ^-коефіцієнти у прямій передачі
а21х2 + а22
Співвідношення для розрахунку вхідного опору через опори неробочого
ходу і короткого замикання дістанемо, перетворивши останнє. Винесемо
в чисельнику за дужки А,,, а в знаменнику - А2І:
2 - — и —2 + -іг/ — ч
~'ВХ 42І 22 +422^2. ’
Скориставшись (10.10), остаточно маємо:
7, + 7,
7,„ = 2,0=-;— . (10.13а)
4г + 4’0
Тепер розглянемо зворотну передачу. До вторинних полюсів подається
напруга й2, а до первинних - увімкнене навантаження, опір якого X.
(рис. 10.5, б) і напруга - /,7^ Розрахуємо вхідний опір, використавши
(10.5):
2 — й2 _ 4’2/12. + 4.’/.
-2вх~ /' ~42./.'21 + 411/1'’
Скоротимо на /[ і одержимо вираз, що зв’язує вхідний опір з опором на-
вантаження через ^-коефіцієнти у зворотній передачі
228
Співвідношення для розрахунку цього ж вхідного опору, але через опори
неробочого ходу і короткого замикання, отримаємо, перетворивши
останнє. Винесемо в чисельнику за дужки Ап, а у знаменнику -/Ьц
— 422 —І + 4іг/ —22
4>1 21+411/421
Скориставшись (10.10), остаточно одержимо:
7+7
22ВХ=220^-7ь- (10.14а)
4і + 4ю
Вирази (10.13) і (10.14) характеризують властивість чотириполюсника
перетворювати опори.
Розглянутий режим роботи навантаженого чотириполюсника є загаль-
ним, оскільки у ньому співвідношення між опором навантаження та па-
раметрами чотириполюсника ніяк ис обумовлено.
10.4.2. Характеристичні опори чотириполюсника
Характеристичними опорами називають пару опорів (7Г і 2Г>), піді-
браних так, що у прямій передачі в разі навантаження чотириполюсника
па ХСі вхідний опір з боку первинних полюсів дорівнюватиме 7С|, а у
зворотній - у разі навантаження чотириполюсника на 7Г| вхідний опір з
боку вторинних полюсів дорівнюватиме .
Уведемо цю умову в співвідношення (10.13) та (10.14)
2 _ 4||2с, + 4і2 2 _ 4222с, + 4і2
Г| 4212с, + 4г2 42і2с, + 4і і
і розв’яжемо їх відносно характеристичних опорів. Дістанемо
Гд д _________
2С1=.^^=^22О22К. (10.15а)
N 4214ц
Режим роботи чотириполюсника, навантаженого характеристичним опо-
ром, називають узгодженим на виході.
Коли внутрішній опір джерела Хо, від якого живиться чотириполюс-
ник, дорівнює характеристичному опору 7Г|, кажуть, що чотириполюс-
ник узгоджений на вхрді. За одночасного виконання умов 7С| = 2^ та
-с2 = 2н чотириполюсник вважають повністю узгодженим.
229
Для повністю узгодженого чотириполюсника з суто активними харак-
теристичними опорами двічі виконуються умови передачі максимальної
потужності сигналу - від джерела ЕРС до чотириполюсника і від чотири-
полюсника до навантаження.
Надалі використовуватимемо добуток характеристичних опорів
2с, 2с, =4і2/42і (10.16)
та їх відношення ?с/2с, =4цМ22- (10.16а)
Якщо чотириполюсник симетричний (Ан = А>2), то
2с, = 2с2 — 2с = >/—12^ —21 • (Ю-17)
Отже, для симетричного чотириполюсника визначається лише один
характеристичний опір 7с-
10.4.3. Повторний опір чотириполюсника
Повторним опором (7и) називають такий опір, увімкнення якого як
навантаження чотириполюсника дає вхідний опір, що дорівнює 7„.
Уведемо цю умову в співвідношення (10.13)
у _ 4і12п + 4|2
42>2..+422
і розв’яжемо його відносно повторного опору, що дає
(411 _422)±у(4іі — —22) + 44і242і )й.
=--------------—---------------. (10.18)
Якщо чотириполюсник симетричний ( 4ц = Д22),
2ц = —її ’
тобто повторним опором симетричного чотириполюсника є його характе-
ристичний опір.
10.5. Передавальні функції чотириполюсника
Проходження сигналу через чотириполюсник характеризується пере-
давальними функціями, що визначаютея як параметрами чотириполюсни-
ка, так і опором навантаження на його виході 7Н. Використовуючи рів-
няння (10.3), а також співвідношення й2 = І27Н (або /, = 02ІХІІ'), знахо-
димо вирази для передавальних функцій:
230
1) передавальна функція напруги (або коефіцієнт передачі за напругою)
Ки =^2. =-----------------------;
йі Аі?н +4і2
2) передавальна функція струму (або коефіцієнт передачі за струмом)
К 1 •
А Лі2я+42/
3) передавальний опір
К7=^ =-------;
Л ^1?н + ^22
4) передавальна (взаємна) провідність
Ку =-^- =---------;
4ц2„+Д|2
5) міра передачі (коефіцієнт поширення чотириполюсника (Г))
характеризує зміну амплітуди і фази синусоїдних струмів і напруг
у разі проходження через чотириполюсник, узгоджений на виході.
Міру передачі розраховують як половину натурального логарифма від-
ношення добутків комплексів струмів і напруг на вході і виході чотири-
полюсника:
Розглянемо пряму передачу узгодженого на виході пасивного чотири-
полюсника, для якого і)і =1І2СІ, й2 = І22С2- Урахувавши це, міру пере-
дачі чотириполюсника запишемо так:
1 А2/,- І. 12^
= 1п-А -
/2й
Г=—Іп^—
“ 2 /;7,
і й{гс
Г=-\п^=^
- 2 у2гСі
= 1п-^-
(Л
Д=А І!
чи
або
^2 \ ?с.
231
<10'19а,
Перетворимо (10.19), виразивши Ц з другого рівняння системи (І0.3)
за умови узгодженого на виході режиму
г _ + —22)
е” Ті
Після нескладних алгебричних перетворень отримаємо
ЄС = >/411^22 + ’ (Ю-20)
чи Е = 1п(л/4п422 +\/4і2^2і )• (10.20а)
Оскільки в (10.20а) під коренем стоїть добуток коефіцієнтів Ан та А22,
доходимо важливого висновку, що міра передачі чотириполюсника не
залежить від напряму передачі сигналу через нього. Урахувавши, що в
симетричному чотириполюснику 7С| = 2с2 ’ співвідношення (10.19) ма-
тимуть такий вигляд:
Г = 1п^- = ІпД = 1п (д,, + ^А12А21). (10.21)
Зрозуміло, міра передачі - комплексне число, яке через комплекси вхід-
ної і вихідної напруг розраховують як
_ 1 . ІЛ Д'Ииі-'Ии?) . І/) .1 \
- и2е^“2 Ч2 ^2 11 2/
Дійсна частина міри передачі а = 1п—- = 1п— - цс коефіцієнт згасання,
^2 ^2
або власне згасання чотириполюсника.
Уявна частина міри передачі Ь = 2|/И| -у„, ='Ч,,1 “V/, < яка е кутом зсуву
за фазою між напругами або струмами на вході і виході в узгодженому
режимі- цс коефіцієнт фази чотириполюсника. Його вимірюють у
радіанах чи градусах.
Розглянемо докладніше коефіцієнт згасання. Додамо два його значен-
ня, виражені через напруги і струми:
2н = 1п—+ 1п —
и2 Л
. , я,
1п—— = ІП—.
(72Л $2
232
Отже, а = О.ЗІпС^/З?) - коефіцієнт згасання можна виразити через повні
потужності па вході і виході чотириполюсника. Оскільки останній узго-
джений на виході, його вхідний комплексний опір збігається з опором,
увімкненим на виході, тобто збігаються їх аргументи і кути зсуву за фа-
зою фі = Фі між напругами та струмами відповідно на вході і виході чоти-
риполюсника, тому повні потужності в чисельнику і знаменнику можна
домножити на созфі = созф? чи зігирі = хіпфз- За цих умов одержимо:
Будучи нерозмірною величиною, коефіцієнт згасання а, обчислений за
однією із наведених вище формул, вимірюють в пеперах (Нп). Власне
згасання в І Нп означає, що у разі проходження сигналу через чотирипо-
люсник напруга і струм зменшуються в е - 2,718 разу, а потужність (по-
вна, активна і реактивна) - в е~ = 7,389 разу.
Часто коефіцієнт згасання виражають не через натуральний, а через де-
сятковий логарифм
тоді його вимірюють у белах (Б) або децибелах (дБ), коли
а = 1018-5-.
Рг
Знайдемо співвідношення між коефіцієнтами згасання одного й того
самого чотириполюсника, виміряного в децибелах «Д(-> і нсперах При
цьому використаємо
-5- = е2" ; ал6 = 10І8Є2" = 20 «нп 18е = 20 «11П • 0,4343 = 8,686 а.
^2
тобто 1 Нп = 8,686 дБ, 1 дБ = 0,115 Нп.
Зауважимо, що характеристичні опори, міра передачі і її складові (кое-
фіцієнт згасання та коефіцієнт фази) належать до вторинних параметрів
чотириполюсника.
10.6. Рівняння пасивного чотириполюсника, записані
через його вторинні параметри
Скористаємось виразами (10.20)
Є~ = —І І —22 "* у/ Аз—21 ’ Є ~ ~ Д 1 —22 — V—12 Дії ’
233
які легко довести. Спочатку додамо їх, а потім віднімемо другий від пери
шого. При цьому отримаємо:
,------ ес+е’с
(1) V—і і —22 ~ — сН Г; ,.
.----- е£-е~1
(2) V412421 ~ 2
Візьмемо квадратний корінь від співвідношень (10.16):
(3) -7411 / 4’2 - ^2с, ^2с2 ’
(4) >/412^ 4гі = •
Розв’яжемо ці чотири рівняння з мстою визначення А-коефіцієнтів:
помножимо (1) на (3) і отримаємо
4і і ~ у/2с, І 2с, сі1 Е ’>
помножимо (2) на (4) і дістанемо
Л12 =^7С|7Сі зЬГ;
поділимо (2) на (4) і отримаємо
поділимо (1) на (3) й одержимо
422 =7^/2с, сЬГ.
(10.22)
(10.22а)
(10.226)
(10.22в)
Підставимо коефіцієнти в рівняння (10.3), що і буде системою рівнянь
пасивного чотириполюсника, записаною через його вторинні параметри:
(7, =^7С|/7С2(6,2с1іГ+/2ХС28ііГ);
і ІУ "Ту Ґ^25і1Е , і гг^
1\=Лг їг ———+ЛсНГ .
1 '4- 2 -
\ —‘-2 )
(10.23)
Це загальна форма таких рівнянь. За певної специфіки чотириполюсник;
чи його режиму рівняння набудуть вигляду:
а) для симетричного чотириполюсника (2с, = 2сг = 2с )•
(7, = С/2 сЬ Г + /22с Е;
234
б) для чотириполюсника, узгодженого на виході (22 = 7^ ,
^2 = 42Сг):
/, =ТОр2е-г;
в) для симетричного чотириполюсника, узгодженого на виході
(2, = ^,^ = /2^):
Ц =02еп;
/, =Ле-.
Останні рівняння дають можливість найбільш просто виразити коефі-
цієнти передачі напруги і струму симетричного чотириполюсника в узгод-
женому режимі через його міру передачі.
10.7. Схеми заміщення пасивного чотириполюсника
Оскільки пасивний чотириполюсник характеризується трьома незалеж-
ними параметрами, його найпростіша еквівалентна схема має містити
відповідно три опори. Існують лише дві схеми чотириполюсників, які
складаються з трьох опорів, - Т-подібна (див. рис. Ю.2, б) і П-подібпа
(див. рис. 10.2, в).
Розрахуємо, як приклад, коефіцієнти П-подібного чотириполюсника,
використавши режими неробочого ходу та короткого замикання.
У разі неробочого ходу (полюси 2-2' розімкнеш) зручно задатись на-
пругою на виході (/, і розрахувати І/, та подібно до того, як було
викладено у підрозд. 4.6.2:
І0 = І2 =~\ V,=1020+1)2=1),+^20-, /2 = —= ^=- + -^=—20;
2 2, 1 °-° 2 - 2, -° 4 2, 2,2, -°
Як бачимо
( 7 А . . ( 1 1 7
і/. =0, 1+^- ; І. =ІЛ —+ —+ -^о-
1 \ 12) 1 Х2 2,2,
235
Порівнюючи отриманий результат з рівняннями (10.8), доходимо виснов-
ку, що вирази у дужках є, відповідно, коефіцієнтами Аи і А,,:
211 =1 + ~; —21 “
—2
1 1 ІП
----—— н----
2, 72
(10.24)
У разі короткого замикання (полюси 2-2' закорочені) задаємося стру-
мом па виході Л і знову розраховуємо Ц та . Оскільки опір 72 зако-
рочений, то І7г =0, /0 = /2, а
(А = А>2о = Л2о ’
; Ц Л2о ; ; ; ; Л2о • ґ. 7(Л
2і 7, 1 7, \ 7^
Порівнюючи цей результат з рівняннями (10.8а), маємо:
А|2 422 =1 + ^-- (10.25)
Аналогічно можна знайти коефіцієнти Т-подібного чотириполюсника.
Наводимо формули для їх розрахунку, а доведення пропонуємо читачеві
виконати самостійно:
7 7 7 1 7
^,=1 + ^; 4,2 = 2. + ^ + ^; А21= — ;А22 = 1 + ^. (10.26)
Знаючи коефіцієнти чотириполюсника і використавши (10.24) —
(10.26), можна визначити опори схеми заміщення через коефіцієнти чо-
тириполюсника:
- для П-подібної схеми
20 = А1,;71=-^;г,=^-; (10.27)
422-1 ~ 4ц-1
- для Т-подібної схеми
7ц = —; 7^^—7, =^112. (10.27а)
—21 ’ ^21
Отже, будь-який пасивний чотириполюсник, коефіцієнти якого знай-
дено за допомогою розрахунків чи експерименту, може бути замінений,
за бажанням, еквівалентним П-подібним або Т-подібпим, опори яких роз-
раховують за наведеними вище формулами. Зауважимо, що дійсна части-
на одного чи двох опорів схеми заміщення може бути від’ємною, тобто
236
еквівалентний чотириполюсник не можна реалізувати, проте для розра-
хунків така заступна схема заміщення цілком придатна.
10.8. Схеми з’єднань чотириполюсників та їх рівняння
Подібно до двополюсників, чотириполюсники можуть з’єднуватись
між собою певним чином. Схем з’єднання двох чотириполюсників -
п’ять: каскадна, паралельна, послідовна, послідовно-паралельна та пара-
лельно-послідовна. Виконуючи операції еквівалентного перетворення,
два чи кілька з’єднаних між собою чотириполюсники можна замінити
одним еквівалентним і отримати для нього відповідну систему рівнянь.
Каскадне з’єднання чотириполюсників - цс такс з'єднання, за якого ви-
хідні затискачі попереднього чотириполюсника з’єднуються з вхідними
затискачами наступного. Схему цього з’єднання наведено на рис. 10.6. На
рисунку пунктиром позначено еквівалентний чотириполюсник. Щоб роз-
рахувати його коефіцієнти, використаємо матричний запис системи рів-
нянь пасивного чотириполюсника в А-формі (10.3а):
Рис. 10.6
Із схеми каскадного з’єднання (рис. 10.6) видно, що
. Ла І Лб
отже.
237
Таким чином, матриця ||Д.)| еквівалентного чотириполюсника дорівнює
добутку матриць ||а|| окремих чотириполюсників:
ИлНШНаА
ЛіаАіб + Ага^гіб’’
^21а А 16 + ^22а^21б ’
А 1а^12б + АзаЛігб
^2ІаАгб + ^22а^22б
(10.28)
Коли каскадно з’єднані н чотириполюсників, то
ІІ^ІІ=НІ|х||4бІІ-хИІ|.
(10.29)
Розрахуємо міру передачі п каскадно з’єднаних чотириполюсників, узго-
джених між собою та па виході (2Г , =7„). Відповіднодо(10.19) і засто-
сувавши позначення, згідно з якими вхідний характеристичний опір 7сА-го
чотириполюсника позначений індексом к, а вихідний - к + 1, отримаємо:
- для першого чотириполюсника е-1
- для другого чотириполюсника е-2
г І 2с
- для /2-го чотириполюсника е~" = І-------— .
Ал+і) у 2с,„,„
Перемноживши останні співвідношення
‘(п+І) у
доходимо висновку, що міра передачі еквівалентного чотириполюсника
дорівнює сумі мір передачі його складових
гс = Уг*.
к=1
чотириполюсників зображено на схемі
Паралельне з’єднання двох
рис. 10.7. З рисунка видно, що
й, = 1/1а = 1/16,і
А'
А.
й2 = й.
[А. з
2а = А ’ аб° Інакше,
1 іа6\
Аб_
238
Рис. 10.7
У такому випадку скористаємось рівняннями пасивного чотириполюсни-
ка в У-формі (10.1а)
А
А.
А’
Аз.
А'
_^2б_
Оскільки за паралельного з’єднання /| = /|а + ІІ5 і І'2 = І'2а + /(6
А.‘
Аб
л.
л~
А.
Отже, матриця ||£.|| еквівалентного чотириполюсника дорівшо*сумі
матриць ЦуЦ окремих чотириполюсників, з’єднаних паралельно. Нагадає-
мо, що під час додавання матриць додають і їх окремі елементи
ї-Іж = ¥-кт+¥.кпб-
двох чотириполюсників зображено па схемі
Л
Л
/А
А.
X
'йі
й,
Послідовне з’єднання
рис. 10.8. Очевидно,
А = А»
~ Аб А ~ А = 26 і або інакше,
А'
А.
Доцільно скористатись
2 -формі (10.2а)
А’ =
Аа]
16’
'А'
Л
рівняннями пасивного чотириполюсника в
Л'
л.
X
л~
л.
.А'
X
'їй
_^2б_
239
Оскільки у разі послідовного з’єднання + йі6 і й2 = й2а + й26,
Отже, матриця ||7е|| еквівалентного чотириполюсника дорівнює сумі
матриць ||7|| окремих чотириполюсників, з’єднаних послідовно. Додаван-
ню матриць відповідає додавання їх елементів
2* п с ~ п а + п б '
Послідовно-паралельне з 'єднання двох чотириполюсників зображене на
схемі рис. 10.9. Його сутність полягає у тому, що з боку первинних затис-
качів чотириполюсники з’єднані послідовно (7, = /1а = /1б), а з боку вто-
ринних - паралельно (І12 = ІЇ2л = Ця умова
240
вказує на доцільність використання рівнянь пасивного чотириполюсника
в Н -формі (10.6а)
Ча
_ 4а
^16
,4б_
Аб
/4й
= Ш|х
Оскільки у разі послідовно-паралельного з’єднання і/, = і/1а + (71В
І'г = 4а + 4б>
І
.4
ДаїрАб'
. ^2а □ ^26 _
= Ш|х , ‘
Отже, матриця ||/7С|| еквівалентного чотириполюсника дорівнює сумі
матриць Ц//Ц окремих чотириполюсників, з’єднаних послідовно-
паралельно.
Паралельно-послідовне з’єднання двох чотириполюсників подано на
схемі рис. 10.10.
Рис. 10.10 ••
Його сутність полягає в тому, що з боку первинних затискачів чотири-
полюсники з’єднані паралельно (6/| = 6/1а = 6/1в), а з боку вторинних -
послідовно (І'2 = І'2а = /(в). Ця умова
'<
_4а _
.4.
_4б _
вказує на доцільність використання рівнянь пасивного чотириполюсника
в О-формі (10.7а)
=ІаІІх|'4
241
Оскільки у разі паралельно-послідовного з’єднання Ц = /1а + /,6 і
^2 = ^2а + ^б-
Отже, матриця ||<д || еквівалентного чотириполюсника дорівнює сумі
матриць ||о|| окремих чотириполюсників, з’єднаних паралельно-
послідовно.
Виконуючи еквівалентні перетворення з використанням наведених фор-
мул, потрібно стежити, щоб кожний окремий чотириполюсник, з яких
складається еквівалентний, залишався прохідним, тобто, щоб струми
двох вхідних (/]) і двох вихідних полюсів (/,) були однаковими. Це так
звана умова регулярності. Якщо вона не виконується, використання на-
ведених формул призводить до помилкових результатів.
10.9. Активні автономні чотириполюсники
Для активного автономного чотириполюсника (рис. 10.11, а) й еквіва-
лентної схеми (рис. 10.11, б) згідно з принципом накладання запишемо
рівняння, аналогічні (10.1):
т п
1=3 ,=І (10.30)
т п
І2 = + ^22 + £ + ІЬ «2І.
і=3 і=1
Рис. 10.11
де Ек - ЕРС джерел напруги; У, - струми джерел струму, які містить ак-
тивний чотириполюсник; Уи., Кц - відповідні взаємні провідності; Ки,
К2І - передавальні функції струму.
Нехай одночасно здійснюється режим короткого замикання на вході і
виході чотириполюсника (У, = [)2 = 0).
242
(10.31)
(10.31а)
Тоді з (10.30) отримаємо:
пі п т п
к=3 <=І *=3 /=1
Відповідно рівняння (10.30) можна переписати так:
А = 0^+0^+^-,
і'2=йїу,1+й2у22+ кк,
чи
А- ^=0^+02^
І2-Ї2Ь=0^ + 02Ї12-
Останнім рівнянням відповідає схема з пасивним чотириполюсником,
зображена на рис. 10.12. а. Вона еквівалентна вихідному активному чоти-
риполюснику (рис. 10.11), оскільки напруги 0х і 02 та струми Ц і І'2 в
цих схемах однакові. Дія двох джерел струму схеми заміщення еквівален-
тна дії всіх джерел електричної енергії активного чотириполюсника. Рів-
няння (10.31а) пасивного чотириполюсника на рис. 10.12, а тотожні сис-
темі в У-формі (10.1) за умови, що струм у первинних полюсах пасивно-
го чотириполюсника (/, - /и.), а у вторинних - (І2 - І'2к).
Рис. 10.12
За такої ж умови записують рівняння активного чотириполюсника в
А-формі (10.3), якщо взяти, що -І'2 = /,, а -І'2к = І2к:
О^АнОі + Д^-І^
' (Ю.32)
А-^=^2+^2(Л-^)-
Перепишемо друге рівняння системи (10.32) інакше:
А =^2 + ^21 |т—^2-
И21 42і )
243
16*
Позначимо вираз у дужках через -С20, тоді
А =М^2-^2о) + 42.Л- (10.33)
Останнє збігається з другим рівнянням системи (10.3) в А-формі, за умо-
ви, що вихідна напруга дорівнює (С2 - (/20). Якщо при цьому припусти-
ти, що і вхідна напруга дорівнює ((/] - (УІ0), співвідношення, аналогічне
першому рівнянню системи (10.3), набуде вигляду:
-і/.о = 411(^2+ (Ю-ЗЗа)
Порівнюючи його з першим рівнянням (10.32), матимемо:
^Ао -4| =й\0 + ~Г^Аі д"-” = — —12^2к>
4гі 42і
звідки йі0 = ~~2-—-12-21 і2к - , а враховуючи (10.4)
4гі 4,і
За умови неробочого ходу одночасно на вхідних і вихідних полюсах
(/) = /2 =0) з рівнянь (10.33) одержимо: ІЇ\ = (/10, й2 = й2а, тобто й10 і
С20 - це напруги неробочого ходу відповідно на вході і виході чотирипо-
люсника. Рівнянням (10.33) відповідає схема на рис. 10.12, б, в якій знову
враховано, що -Ґ2 = І2 і -12к = І2к. Усі джерела електричної енергії поча-
ткового активного чотириполюсника замінено двома еквівалентними іде-
альними джерелами ЕРС: Е10, Е20. Рівняння чотириполюсника (10.33)
тотожні системі в А-формі (10.3) за умови, що вхідна напруга пасивного
чотириполюсника дорівнює (С/, - (/10), а вихідна - ((/2 - ІЇ20).
10.10. Активні неавтономні чотириполюсники
Найчастіше активні неавтономні чотириполюсники містять електронні
лампи або транзистори, еквівалентні схеми яких містять у собі неавтоном-
ні джерела електричної енергії. їх параметри залежать від напруги чи
струму на вході чотириполюсника. На відміну від активних автономних
чотириполюсників, у неавтономних, якщо немає вхідного сигналу (£/р
/і), вихідного сигналу ((/2, /2) також немає. Оскільки ЕРС джерел на-
пруги, струми джерел струму еквівалентних схем пропорційні напрузі і/.
244
або струму /|, активні неавтономні чотириполюсники є лінійними, що
дозволяє псвною мірою використовувати математичні співвідношення,
одержані для лінійних пасивних чотириполюсників.
Як приклад активного неавтономного чотириполюсника на
рис. 10.13, а наведено схему найпростішого транзисторного підсилювача
зі спільним емітером.
а б
Рис. 10.13
Для його аналізу як чотириполюсника найдоцільнішою вважають сис-
тему рівнянь (10.6) в Н -формі, де явно виражено вхідну напругу 0і і ви-
хідний струм /2 (розглядають синусоїдні складові струмів і напруг). Рів-
нянням у Н -формі відповідає еквівалентна схема, зображена на
рис. 10.13, б.
Найважливішим з Н -параметрів є Н2І = І'2ІЦ - коефіцієнт підсилення
за струмом в режимі короткого замикання на вихідних полюсах ((/2 = 0).
Інші //-параметри мають такий фізичний сенс: //и = ІЦІЦ - вхідний
опір транзистора у тому самому режимі короткого замикання;
//12 = Ц/6/2 _ коефіцієнт зворотного зв’язку за напругою в режимі неро-
бочого ходу на вхідних полюсах (/, =0); Н22 = І2ій2 - вхідна провід-
ність з боку вихідних полюсів у тому ж режимі неробочого ходу. За неви-
соких частот можна знехтувати паразитними ємностями транзистора і
вважати Н -параметри дійсними величинами.
На відміну від пасивних чотириполюсників, де Нї2 =-Н2х, для типо-
вих транзисторів, увімкнених за схемою зі спільним емітером, //12 і //21
відрізняються на декілька порядків.
Звичайно, від рівнянь (10.6) нескладно перейти до рівнянь у будь-якій
пішій формі. Наприклад, виразивши струми, одержимо рівняння в
У -формі:
245
1 1 я,.
[ ^2,
"и ' I "а
-а22 к/2,
(10.34)
де Уц--—; К12-
Пц
^12^21
У 22
і
2
~11 . у _ ^21
Як бачимо, т°бто не виконується принцип взаємності. Відпо-
відно, якщо перейти до рівнянь в А-формі, отримаємо АИА22 - А12А2)
Для підсилювачів передавальні функції за напругою і струмом, які роз-
глянуто в підрозд. 10.4.1, - відповідні коефіцієнти підсилення.
10.11. Зворотний ЗВ’ЯЗОК
У радіоелектронних пристроях широко застосовують зворотний
зв’язок - режим, у якому частина сигналу з виходу підсилювача (чотири-
полюсника) подається па його вхід.
Якщо коефіцієнт передачі (підсилення) без зворотного зв’язку дорів-
нює К, отже 02 = кй{, то за його наявності напруга підсилювача на
вході (рис. 10.14) становить + Рі/2) і
й2 = к(йі+рй2),
де 3 - так званий коефіцієнт зворотного зв’язку.
Рис. 10.14
З останнього випливає:
к
і-рк
(10.35)
246
Отже, коефіцієнт підсилення (передачі) з урахуванням зворотного
зв’язку:
У загальному випадку коефіцієнт зворотного зв’язку може бути комплекс-
ною величиною, при цьому частина вихідного сигналу, що подасться па
вхід, зсувається за фазою. Практично ж аргумент 0 становить близько 0 чи
я, тобто коефіцієнт 0 - дійсне число: додатне чи від’ємне. Якщо 0 - додатне
дійсне число, маємо додатний зворотний зв’язок, якщо від’ємне -
від’ємний зворотний зв'язок. Як видно з (10.36), за додатного зворотного
зв’язку коефіцієнт підсилення може збільшуватись аж до нескінченно ве-
ликого (коефіцієнт К вважаємо додатною дійсною величиною), за
від’ємного зворотного зв'язку - він зменшується.
Для прикладу розглянемо внутрішній зворотний зв’язок у транзистор-
ному підсилювачі зі спільним емітером (див. рис. 10.13). Як уже зазнача-
ли, НІ2 - коефіцієнт зворотного зв’язку за напругою. Дійсно, з рівнянь
(10.6), враховуючи, що (/2 = /2/?„ (де /?„ - активний опір навантаження на
виході підсилювача), і вилучивши з них /,, легко одержати ви^з, подіб-
ний за формою до (10.36)
у _ ^2І^н ^(—11 + ^11^22^1,) у
2 1-//12//,1Лн/(//11 + ЯІ1ВД) '
З останнього випливає, що коефіцієнт підсилення без зворотного зв’язку
к_
а коефіцієнт зворотного зв’язку дорівнює Н12 і є додатним, тобто має міс-
це додатний зворотний зв’язок.
Одержаний результат не відображає фізичної суті явища внутрішнього
зворотного зв’язку у транзисторі. Еквівалентну схему транзисторного
підсилювача, яка відповідає фізичним зв’язкам у транзисторі (схему
Джиаколетто), наведено на рис. 10.15.
247
Зворотний зв’язок у ній (зв’язок від колектора до бази) здійснюється за
рахунок активної провідності (7*б- Оскільки синусоїдна складова (12 зна-
ходиться у протифазі до відповідної складової , частина 02, що пода-
ється через 0<б на базу транзистора, зменшує напругу на базі, тобто зво-
ротний зв’язок фактично є від’ємним.
Як показує детальний аналіз, описане явище внутрішнього зворотного
зв’язку математично відображається так: провідність дійсно обумов-
лює коефіцієнт зворотного зв’язку Н12 (при О<б = 0, Нп = 0)> але, окрім
того, різко збільшує вхідну провідність транзистора з боку вихідних по-
люсів у режимі неробочого ходу на вхідних полюсах Н22(оіїя транзистора
ГТ309Д від 6,49-1 (У6 до 50-10*6 См), істотно зменшуючи коефіцієнт під-
силення без зворотного зв’язку К. Розрахунки показують, що цс змен-
шення впливає на результуючий коефіцієнт підсилення К3 значно більше,
ніж наявність НІ2 у знаменнику - К3 зменшується.
10.12. Електричні фільтри
Електричним фільтром називають пристрій, за допомогою якого елек-
тричні коливання різних частот відокремлюються одне від одного.
Найчастіше вопи реалізуються у вигляді чотириполюсника, який про-
пускає синусоїдні сигнали в деякій смузі частот з малим згасанням (осла-
бленням), а для частот, що знаходяться за межами цієї смуги - згасання
велике.
Діапазон частот, що пропускає фільтр з малим ослабленням, дістав на-
зву смуги пропускання (зони прозорості). Діапазон частот, за яких сигна-
ли зазнають значного ослаблення, проходячи через фільтр, - це смуга
згасання (зона затримування). Межу між цими двома смугами називають
частотою зрізу і позначають ш3.
Розглянемо ідеальні реактивні симетричні П-подібні і Т-подібні фільт-
ри за таких припущень:
а) активні опори індуктивних і ємнісних елементів фільтрів пе
враховують;
б) фільтри узгоджені на виході (7Н = 7С) для всіх частот.
Виконання цих двох умов дозволяє досягти ідеальної прозорості фільт-
рів у смузі пропускання (коефіцієнт згасання а дорівнює нулю).
За призначенням розрізняють такі типи фільтрів (відповідні смуги про-
пускання виділені жирними лініями на рис. 10.16):
а) низькочастотні; б) високочастотні; в) смугові; г) багатосмугові;
д) смугозагороджувальні (режекторні); с) смугозапірні з кількома смуга-
ми згасання.
248
“з
а
О мз
б
О <0ЗІ (Очг
в
О <й31 ®32 ^33 ®34 ®35 ®3
г
О <О3, ®32
д
О Ю31 ©.,, М,з шв
е
Рис. 10.16
Використаємо матриці ||д|| для П-подібного (рис. 10.17, «) і Т-по-
дібиого (рис. 10.17, б) фільтрів, знайдені раніше (10.24) - (10.26):
т;
2х,
л
2х,
Х-з
Рис. 10.17
А
(10.37)
Знайдемо міру передачі цих фільтрів згідно з (10.21):
Г = 1п(Аи + у]А12А2і) = а + }Ь.
249
Підставивши значення Ап, А12, А21, легко переконатися, що
Гп=Гт=Г = 1п
(10.38)
Якшо виконуються дві умови
1)—<0;2) |л,| <|4л-2|
(10.39)
(перша умова відповідає тому, що опори лу і х2 мають різні знаки), то під-
кореневий вираз у (10.38) від’ємний, отже
Г = 1п
2х2
= 1п (А/е7'*).
(10.40)
Модуль виразу у квадратних дужках
Отже, Г = а + у£> = ІпМ + у'Ь = 0 + у'Ь. Зрозуміло, що (10.39) - це умови
пропускання фільтра.
Скориставшись (10.17), розрахуємо характеристичні опори, підставив-
ши значення А,, і А21:
(10.41)
Для низькочастотних фільтрів (рис. 10.18, а, б) лу = а>Л, х2 =-
юС
Виконання першої умови (10.39) очевидне. Друга умова
Рис. 10.18
250
, 4 . 2
(ВЬ<----, ЗВІДКИ Ш <-7=
шС
отже, частота зрізу
2
(П, - ---
Тле
(10.42)
Уведемо поняття відносної частоти: V = —; <в = що.,, тоді
(03
= -ш2ЬС = -у2ш.,2ЛС = -4у2 .
*2
З (10.38) отримуємо:
Г = 1п (1-2у2±2ул/у2-1), (10.43)
а для смуги пропускання (о < 1)
Г = 1п (1 - 2V2 ± )2 V л/ПЛЛ) = МеІЬ. (10.44)
Звідси знаходимо коефіцієнт фази
Ь = ±агсЦ>2у..„1~у (10.45)
1-2у2
Побудувавши векторну діаграму, можна переконатись, що за всіх час-
тот смуги пропускання коефіцієнт фази додатний, тобто вхідна напруга
(/і за фазою випереджає вихідну напругу Отже, за зростання частоти
ц від нуля до одиниці, коефіцієнт фази Ь змінюється від нуля до п.
У смузі згасання модуль М = Л1>1, інакше фільтр підсилював би си-
гнал, що звичайно суперечить фізичному розумінню процесу. М > 1, як-
що знаходячи квадратний корінь в (10.43) використовують від’ємний
знак. Отже, в смузі згасання
Г = 1п (1 - 2у2 - 2у\/у2 -1).
Оскільки в останньому виразі в дужках знаходиться від’ємне число,
його можна переписати так:
Г = 1п (2у2 -1 + 2у\/у2 -1) + у ті.
251
Отже, маємо формули для коефіцієнтів згасання і фази:
Г = 1п (2у2-1 + 2у^у2-!);& = я. (10.46)
За формулами (10.45) і (10.46) розраховано частотні характеристики
фільтра, які побудовано на рис. 10.19.
Згідно з (10.41), урахувавши, що -Л|Л2 -, а —— = -V2, знайдемо ха-
С 4х2
рактеристичні опори П-подібного і Т-подібного низькочастотних фільтрів:
Ісп = л т = 7(^О(1-У2). (10.47)
V1 - V"
З останніх формул випливає, що в смузі пропускання (ц< 1) квадратні
корені знаходять з додатних чисел, і, відповідно, характеристичні опори є
активними. У смузі згасання (ц > 1) квадратні корені доводиться знаходи-
ти з від’ємних чисел, тому характеристичні опори суто реактивні. Харак-
тер реактивності найпростіше визначити, вважаючи, що частота стає не-
скінченно великою (ц —> <»), і врахувавши, що характеристичний опір си-
метричного чотириполюсника повторний.
Для П-подібного низькочастотного фільтра (див. рис. 10.18, а), якщо
о —» оо, фільтр з навантаженням шунтується нескінченно малим ємнісним
опором, увімкненим паралельно до його входу; отже, його вхідний, а
відповідно, і характеристичний опір, мають ємнісний характер. Для Т-
подібного низькочастотного фільтра (рис. 10.18, б), якщо ц —► оо, послідо-
вно з входом увімкнений нескінченно великий індуктивний опір. Після
нього решта кола (включаючи навантаження) зашунтовапа нескінченно
малим ємнісним опором, отже, його вхідний і характеристичний опори
мають індуктивний характер.
252
Ураховуючи викладені мірку-
вання, на рис. 10.20 побудовані
частотні характеристики харак-
теристичних опорів П-подібного і
Т-подібного низькочастотних
фільтрів.
Слід зазначити, що частотні
характеристики коефіцієнтів
згасання (д = Іп((Л/(Л)) і фази
(Ь = у«і - уи2 = Уи - ЧОз) реаль-
них низькочастотних фільтрів,
які використовують на практи-
ці, суттєво відрізняються від
характеристик, побудованих на
рис. 10.19, з двох причин:
1) реальні елементи фільтрів, особливо котушки, мають значні акти-
вні опори, які не враховані в (10.37) і подальших формулах;
2) важко уявити навантаження фільтра, опір якого змінювався б згід-
но з формулами (10.47) і рис. 10.20, тобто зазвичай фільтр узго-
джений з навантаженням лише на одній частоті.
Розрахунок параметрів фільтра (А, С) здійснюють, виходячи з потрібної
смуги пропускання (для низькочастотних фільтрів це зводиться до розра-
хунку відповідної частоти зрізу от,) і опору навантаження. Вважатимемо
опір навантаження суто активним /?„ і незалежним від частоти. Узгодимо
фільтр із навантаженням на одній з частот. Як правило, цс роблять за ну-
льової частоти, адже тоді, як видно з характеристик на рис. 10.20, прибли-
зне узгодження має місце в досить широкому діапазоні частот (від о = 0 до
ц = 0,5 характеристичний опір змінюється лише на 15 %). Отже, згідно з
(10.47) =ЛН =у[ьЇС . Розв’язуючи останнє рівняння разом з (10.42).
одержуємо потрібні параметри фільтра:
£ - С= ~
(О. ’ (О37?н
(10.48)
Властивості низькочастотних фільтрів якісно випливають безпосередньо
з вигляду їх схем (рис. 10.18). За високих частот сигнал не потрапляє па
вихід фільтра (до навантаження) через послідовно ввімкнені індуктив-
ності, які за цих умов мають великий опір, а паралельно ввімкнені ємно-
сті за високих частот мають малий опір і шунтують навантаження. За
низьких частот запірна дія індуктивностей зменшується (зменшується їх
опір), зменшується також шунтувальна дія ємностей (збільшується їх
опір).
253
Інші типи фільтрів (за призначенням) розглянемо, не вдаючись до ма-
тематичного аналізу, який можна викопати подібно до вищенавсдсного.
У високочастотних фільтрах (рис. 10.21) суттєво виявляються запірні
властивості послідовно ввімкнених ємностей і шунтувальні властивості
паралельних індуктивностей за низьких частот. У разі високих частот за-
значені властивості значно слабші.
Рис. 10.21
У смугових (рис. 10.22) і смугозагороджуваїьиих (рис. 10.23) фільтрах
використовуються резонансні властивості кіл: послідовне коло Л-С за
частот, близьких до резонансної, має малий опір, за інших частот - знач-
но більший; у паралельного кола Ь-С за частот, близьких до резонанс-
ної- опір великий, за інших частот - малий. Застосуванням цих власти-
востей резонансних кіл задовольняють вимоги до смугових і смугозаго-
роджувальних фільтрів, які зображені па рис. 10.16.
254
Слід зазначити, що існують технічні проблеми використання коту-
шок у фільтрах па низьких частотах, оскільки великий індуктивний
опір за цих умов можна отримати лише у разі великої індуктивності,
що пов’язано із значними габаритами котушки, її вагою і вартістю.
Важко позбутися помітного активного опору. Тому замість індуктив-
ностей у низько- і високочастотних фільтрах іноді використовують ре-
зистори (активні опори), що призводить до погіршення характеристик
фільтрів і додаткових втрат електричної енергії. Такі фільтри дістали
назву безіндуктивних.
У смугових і смугозагороджувальних фільтрах замість резонансних кіл
Ь-С використовують елементи з п’єзоелектричними (кварцовими) плас-
тинами, які мають в електричному колі такі ж властивості, що й резонан-
сні кола Ь—С, і характеризуються дуже стабільними параметрами, зокре-
ма, резонансною частотою.
10.13. Пасивні багатополюсники
Пасивним вважають багатополюсник, який ис містить джерел електрич-
ної енергії.
Схему багатополюсника, шо мас (н + І) полюсів, через які він
з’єднаний із зовнішнім колом, зображено на рис. 10.24. Базовим будемо
вважати (п + 1)-й полюс, відносно якого розглянемо напруги всіх інших
полюсів: (/,, С-,. 0п. Згідно з теоремою про компенсацію замість
зовнішнього кола між полюсами можна ввімкнути ідеальні джерела ЕРС
(рис. 10.25):
Е, = йк, Е, = йк,... Ек = йк-... Е„ = й„.
Рис. 10.24
255
Користуючись поняттям про вхідні та взаємні провідності, струм кожно-
го полюса можна виразити так:
4 = £,Ь.+ Е2Г42+...+ Е,Ги+...+ ЕЛь.,
тобто:
А = її Д+ Ї.А+-+г, А+-+ї,Л
і 2 = У 2,0, + У2202+-+У2к0к+...+ ї2Д;
......................................(10.49)
/, = ї^,у,+ї42(л+...+ї«^+-+ї*а;
іп = -УЛЛ+ Уп202+ ...+^0к+ :.+ Упп0п,
ДС їц. У.22' •••> їн> •••’ їда _ ВХІДНІ ПрОВІДПОСТІ ПОЛЮСІВ = І к / С к, КО-
ЛИ напруги інших полюсів (окрім к-го) дорівнюють нулю, тобто коли ці
полюси з’єднані накоротко з (п + 1)-м полюсом).
Відповідно Ї|2, їц, .... ї1л. Ї21. •••• їц, —- ї2п, ... - взаємні
провідності ( ¥к)) = Ц/Ор, якщо інші полюси, окрім р-го, серед інших і
к-й полюс, з’єднані з (н + 1)-м полюсом). Згідно з принципом взаємності
Укр = Урк-
Рівнянням (10.49) відповідає еквівалентна схема пасивного багатопо-
люсника, зображена на рис. 10.26. Рівняння (10.49) можна подати у мат-
ричній формі:
ІИІ=МхІРІ- (10-49а>
256
дС ||у|| - квадратна матриця провідностсй; ||(7| та ||/|| - матриці-стовпці
(вектори) напруг і струмів. Якщо матричне рівняння (10.49а) розв’язати
відносно вектора напруг, одержимо
|р|| = ||гГх||/| = ||г||х||/||, (10.50)
де ||7|| = ІІ^ІІ”' - квадратна матриця опорів.
Відповідна система рівнянь пасивного багатополюсника:
=2ііА + ?І2^2 + ”+ + -” + 2|,Лі’
V 2 = + ?22^2 + •••+ + ••+
”,.......................... ." (10.50а)
0 к = + 2*2^2 + —+2цЛ + ...+ 2к„І„',
й» = 2,,Л + 2,,2^2 + -+2„і4 +-+2»Л»
де 2Н ... Хт - вхідні опори відповідних полюсів; = С/к11 к, якщо всі
інші струми (крім к-го і (и + 1)-го) дорівнюють нулю, тобто всі полюси,
окрім к-го і (п + 1)-го, нікуди не ввімкнено.
Відповідно 712 ... 2пк, ... - взаємні опори; 2кр - йкІІр, коли інші
струми (крім /;, = /,|+1) дорівнюють нулю; йк - напруга вимкненого А-го
полюса.
257
10.14. Активні автономні багатополюсники
Схему активного багатополюсника наведено рис. 10.27.
Рис. 10.27
Запишемо його рівняння в У-формі
т й
4 = уккй>+ ук2й2+ ...+¥ийк+...+щ7„+X е,г1(+£4&(, (ю.51)
;=і і=і
де Е/ - ЕРС джерел напруги; 7, - струми джерел струму, які діють у колі
активного багатополюсника; У_к) - взаємна провідність між к-м полюсом і
джерелом Е,; Ккі - передавальна функція між струмом Л-го полюса Ікі і
струмом відповідного джерела 7,.
Здійснимо режим короткого замикання одночасно на всіх полюсах ба-
гатополюсника ((7, = в2 = ... =(]к = ... = ІЇп = 0). Струм £-го полюса в ре-
жимі короткого замикання, виходячи з (10.51),
т Л
/=1 І=І
Отже,
А = /ц + у^і+ Упй2+...+¥ікйк+...+Г.Д;
4 =4* + У2і01+¥2202+...+¥2кйк+...+¥2>1йп-,
",.........................:................(10.52)
Ік = Ікк + Ук^+ У^1+ - + У^+- + Ук,Р,^
4=4*+г„Д+г„2^+-+г„А+-+ї„Д,
де /ц, 12к,..., /ц,..., їпк - струми полюсів у разі їх одночасного коротко-
го замикання. Останнім рівнянням відповідає еквівалентна схема з пасив-
258
ним багатополюсником, зображена на рис. 10.28. Усі джерела електрич-
ної енергії, які знаходяться в активному багатополюснику, в еквівален-
тній схемі заміщені еквівалентними джерелами струму.
Рис. 10.28
Від рівнянь в У-формі, використавши їх матричне подання
И<ЖхІ4 <10-52а>
перейдемо до рівнянь в X-формі:
ІМЖГ'41Н^ (10.53)
У режимі неробочого ходу, коли кола всіх полюсів розімкнемо, |/Ц = 0,
одержимо рівняння, що зв’язують напруги неробочого ходу із струмами
короткого замикання:
ІИМ=-И* |< І аб° ІКІ=-МхИ <1 °-54>
Ураховуючи (10.54), рівняння (10.53) можна переписати так:
ИЧ№ИхІИІ- (10-55)
259
Отже,
= Цо + 211А + 212^2 + — +2|*Л + ---+21,Лй
йі - ^20 + 2нА + 2ігЛ + •• + 2гііЛ +-” + ?2пАі>
. ’ . ’ ’ . ’ . (10.55а)
^к = ^к0 + 2*Л + 2*2^2 +•••+ 2мЛ + •••+ 2ьЛг
=й,і0 + + гп1і2 +...+7„л +...+
Цим рівнянням відповідає еквівалентна схема з пасивним багатополюс-
ником, зображена на рис. 10.29. Електрорушійні сили джерел цієї схеми до-
рівнюють відповідним напругам неробочого ходу Е10 = Оіо, .... Еп0 = 0п0.
Рівняння (10.55) тотожні рівнянням (10.50), якщо врахувати, що напруги на
полюсах пасивного багатополюспика (рис. 10.29) дорівнюють (йі - і)ю),...,
(^, - 0п0).
Рис. 10.29
Знову скористаємось теоремою про компенсацію. Увімкнемо до активного
багатополюсника її ідеальних джерел, ЕРС яких збігаються з відповідними
напругами Ек = і)к (рис. 10.30). У схемі на рис. 10.30 додатні напрями стру-
мів протилежні напрямам струмів схеми па рис. 10.27, оскільки вважають,
що активний багополюсник генерує електричну енергію. Від такої заміни
струми та напруги вихідного багатополюсника (див. рис. 10.27) не зміняться.
Ці джерела споживають комплексну потужність 5 = ^Ек Ік. Замінивши в
цій формулі ЕРС джерел однаковими з ними напругами, одержимо вираз для
комплексної потужності, яку віддає активний багатополюсник:
260
8=й1’і1+й2'іг+...+йк'ік+...+йяія.
(10.56)
Рис. 10.30
Потужність, пов’язана з одним (Л-м) полюсом 8к = 0к Ік, визначається
вибором базової точки, потенціал якої вважають нульовим, однак загальна
потужність, яка генерується (або споживається) активним багатополюсником
в цілому, не залежить від положення базової точки. Дійсно, з переміщенням
базової точки (яка може збігатися з одним із полюсів, а може знаходитись і
поза полюсами) напруги всіх полюсів змінюються на однакову величину
Д(7; відповідно загальна комплексна потужність багатополюсника
/НІ * /ні • л+1 ♦
5=£(йк +м))ік Ік ь ’
*=І *=| І=1
л+1 • л+1
оскільки ^1 к =0 так само, які ^Ік =0, що випливає з принципу непс-
<:=! Л=1
рервності електричного струму.
Очевидно, рівняння багатополюсника слушні і за постійних напруг і
струмів. У цьому випадку потужність, яку віддає активний багатополюсник:
р = і/1/1 + и2і2 +...+ ілік +...+ ц,/р +•••+ ипіп- (Ю.57)
Знайдемо умови, за яких активний багатополюсник передає у зовнішнє
коло максимальну потужність за постійних струмів і напруг. Для цього в
(10.57) підставимо вирази струмів через вхідні (Скк) та взаємні (С7*р) про-
відності згідно з (10.52):
Р = ІЖ +Іокрикир+±сіЛурик.
І=1 *=1 р=І
р=1 Д=І
к*р р*к
261
Відповідно до принципу взаємності тому
Р =
*=І А=І *=1
р=і
к*р
З останнього виразу випливає, що потужність, яку віддає активний ба-
гатополюсник, за відомих струмів короткого замикання 4ь а також
вхідних і взаємних провідностсй полюсів, - цс функція п незалежних
змінних, якими є напруги 64 Потужність максимальна, коли кожна з час-
тинних похідних потужності за однією з напруг дорівнює нулю:
сІР "
— =/а+2^/4 + 220^ =0. (10.58)
к*р
Однак, коли кола всіх полюсів розімкнені (режим неробочого ходу-
4 = 0), з (10.52) отримаємо
+ад0 + Іоі//,1> = 0. (10.59)
Р=1
к*р
Порівнюючи вирази (10.58) та (10.59), доходимо висновку, що
(10.60)
тобто активний багатополюсник віддає найбільшу можливу потужність,
коли робоча напруга кожного полюса вдвічі менша від його напруги в
режимі неробочого ходу всіх полюсів. Подібно до цього можна довести,
підставивши (10.55) до (10.57) і продиферепціювавши за 4, що максима-
льно можливу потужність активний автономний багатополюсник віддає
за умови
4 = /н/2, (10.61)
тобто коли робочий струм кожного полюса вдвічі менший від його стру-
му в режимі короткого замикання всіх полюсів.
262
Список рекомендованої
літератури
Основна
1. Антамонов В. X., Курило И. Л. Избранньїе задачи по линейннм злс-
ктричсским цспям: Учеб. пособие. - К.: НМКВО, 1993. -96 с.
2. Атабеков Г. И. Основи тсории цепсй. - М.: Знсргия, 1969. - 424 с.
3. БессоновЛ. А. Теорстичсские основи злектротехники. Злектриче-
ские цепи. - М.: Вьісш. шк., 1984. - 559 с.
4. Блажкевич Б. І. Основи теорії лінійних електричних кіл. - К.: Наук,
думка, 1964. - 425 с.
5. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетуїиил А. В., Страхов С. В. Основи
теории цепсй. - М.: Знергоатомиздат, 1989. - 528 с.
6. Зериов Н. В., Карпов В. Г. Теория радиотсхничсских цепей. - Л.:
Знсргия, 1972. -816 с.
7. Лосев А. К. Теория линейнмх злсктричсских цепей: Учеб. для ву-
зов. - М.: Вьісш. пік., 1987. - 512 с.
8. МатхановП.Н. Основи анализа злектричсских цепсй. Липейпис
цепи. - М.: Вьісш. шк., 1990. - 400 с.
9. НейманЛ. Р., Демирчян К. С. Теорстичсские основи злектротехни-
ки: В 2-х т. - Л.: Знсргия, 1981. -Т.1. - 536 с.
10. Новгородцев А. Б. ЗО лекций по теории злектричсских цепсй: Учеб.
для вузов.-СПб.: Политехника, 1995.-519 с.
11. Перхач В. С. Теоретична електротехніка. Лінійні кола: Підручник. -
К.: Вища шк., 1992. - 439 с.
12. Попов В. П. Основи теории цепей: Учеб. для вузов спец.
«Радиотсхника». - М.: Вьісш. шк., 1985. - 496 с.
13. Сборник задач и упражнений по тсоретичсским основам злектротех-
ники: Учеб. пособие для вузов / Под рсд. П. А. Ионкина. - М.: Зне-
ргоиздат, 1982. - 768 с.
263
14. Сборник задач по теоретическим основам злсктротехпики / Под
ред. Л. А. Бессонова. - М.: Вьісш. шк., 1988. - 544 с.
15. Теоретические основьі злектротсхники: Учеб. для злсктротсхн. ву-
зов / Под ред. П. А. Ионкина. - М.: Вьісш. шк., 1976. - Т. 1: Основи
тсории линейньїх цепсй. - 544 с.
16. Шсбсс М. Р., Каблукова М. В. Задачник по теории линейньїх злект-
ричсских цепсй. - М.: Вьісш. шк., 1990. - 544 с.
Додаткова
17. Влах И„ Синхгал К. Машинньїс методьі анализа и проектирования
злектронньїх схем. - М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.
18. Сиберт У. М. Цепи, сигнали, системи: В 2 ч. - М.: Мир, 1988.
19. Факультет електроенергетики та автоматики: Нариси історії. - К.:
Нора-принт, 1998. - 260 с.
20. Чуа Л. О., Пен-Мин Лин. Машинний анализ злектронньїх схем (ал-
горитми и вьічислитсльньїе мстодьі). - М.: Знергия, 1980. - 638 с.
21. Шимони К. Тсоретичсская злектротехника. - М.: Мир, 1964.-774 с.
264
Зміст
Від авторів...........................................................5
Вступ.................................................................7
1. ВИХІДНІ ПОНЯТТЯ І ЗАКОНИ ТЕОРЕТИЧНОЇ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ...............9
1.1. Електричний заряд. Електромагнітне поле........................9
1.2. Електричне поле. Напруженість електричного поля...............11
1.3. Робота сили електричного поля.................................15
1.4. Електричний потенціал.........................................17
1.5. Електричний струм, напруга, електрорушійна сила...............20
1.6. Густина електричного струму.
Принцип неперервності електричного струму..........................24
1.6.1. Густина струму провідності................................25
1.6.2. Густина струму перенесення................................26
1.6.3. Густина струму електричного зміщення......................26
1.6.4. Принцип неперервності електричного струму.................28
1.7. Закони електричного кола......................................29
1.7.1. Закон Ома.................................................29
1.7.2. Перший закон Кірхгофа.....................................ЗО
1.7.3. Другий закон Кірхгофа.....................................32
1.7.4. Закон Джоуля - Ленца......................................34
1.8. Основні поняття та закони магнітного поля.....................35
1.8.1. Магнітне поле.............................................35
1.8.2. Магнітна індукція.........................................35
1.8.3. Явище і закон електромагнітної індукції...................37
1.8.4. Зв’язок електричного струму з магнітним полем.............38
1.8.5. Намагнічення та намагніченість речовини...................39
1.8.6. Напруженість магнітного поля..............................39
1.8.7. Закон повного струму......................................40
1.8.8. Зв’язок між векторами, що характеризують магнітне поле....41
2. ДЖЕРЕЛА ЕЛЕКТРИЧНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ЇХ МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ..............43
2.1. Автономні джерела напруги та струму.
Взаємне перетворення джерел........................................43
2.2. Керовані (неавтономні) джерела енергії.......................46
2.3. Електричні сигнали...........................................47
265
2.3.1. Постійні сигнали...........................................47
2.3.2. Змінні періодичні синусоїдні сигнали.......................47
2.3.3. Змінні періодичні несинусоїдні сигнали.....................48
2.3.4. Неперіодичні сигнали.......................................50
2.3.5. Експоненціальний сигнал....................................52
2.4. Векторне та комплексне зображення гармонічного сигналу........53
2.5. Характеристики гармонічного сигналу...........................57
3. ДВОПОЛЮСНІ ПАСИВНІ ЕЛЕМЕНТИ ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА....................59
3.1. Фізичні властивості пасивних елементів електричного кола......59
3.1.1. Індуктивні котушки.........................................59
3.1.2. Конденсатори...............................................64
3.1.3. Резистори..................................................65
3.1.4. Схеми заміщення резистора, індуктивної котушки
та конденсатора...................................................66
3.2. Електромагнітні властивості ідеалізованого резистора..........67
3.3. Електромагнітні властивості індуктивної котушки...............68
3.4. Електромагнітні властивості конденсатора......................70
3.5. Закони Ома та Кірхгофа для електричного кола
зі змінними струмами...............................................73
3.5.1. Закони електричного кола в комплексній формі..............76
3.5.2. Закони електричного кола в операторній формі..............77
3.5.3. Узагальнення законів електричного кола.......................79
3.6. Потужність електричного кола з синусоїдними сигналами.........81
4. ВЛАСТИВОСТІ, МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ
Й АНАЛІЗУ ПРОСТИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ....................................83
4.1. Поняття про дуальність.......................................83
4.1.1. Електричне коло з послідовним з’єднанням елементів........83
4.1.2. Електричне коло з паралельним з'єднанням елементів........85
4.1.3. Еквівалентність кіл з послідовним і паралельним з'єднанням
активного та реактивного опорів..................................88
4.1.4. Дуальність елементів електричного кола та схем їх з’єднання.89
4.2. Еквівалентні перетворення пасивних ділянок електричного кола....90
4.3. Еквівалентні перетворення ділянок кола
з джерелами ЕРС та струму.........................................93
4.4. Еквівалентні перетворення активних ділянок електричного кола....96
4.4.1. Послідовне з’єднання джерел ЕРС...........................96
4.4.2. Паралельне з'єднання джерел струму........................97
4.4.3. Перетворення кола з двома вузлами.........................98
4.4.4. Перетворення активної зірки на активний трикутник.........99
4.5. Теореми теорії електричних кіл..............................100
4.5.1. Теореми компенсації.....................................100
4.5.2. Теореми про еквівалентні джерела енергії................101
4.5.3. Вхідні та взаємні провідності й опори віток.............103
4.5.4. Теорема про взаємні прирости струмів і напруг...........104
4.5.5. Лінійні співвідношення між напругами
й струмами в електричному колі..................................105
266
4.6. Методи розрахунку електричних кіл, що базуються на еквівалентних
перетвореннях пасивних ділянок..................................106
4.6.1. Метод еквівалентних перетворень.........................106
4.6.2. Метод пропорційних величин..............................111
4.7. Енергетичний баланс в електричному колі....................114
5. МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ СКЛАДНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ....................117
5.1, Граф кола. Основні визначення й властивості................117
5.2. Топологічні матриці........................................120
5.2.1. Вузлова матриця.........................................120
5.2.2. Контурна матриця....................................... 123
5.2.3. Матриця перетинів...................................... 124
5.2.4. Властивості топологічних матриць та співвідношення між ними....126
5.3. Закон Ома в матричній формі............................... 130
5.4. Методи розрахунку складних електричних кіл.................131
5.4.1. Метод законів Кірхгофа та Ома.......................... 131
5.4.2. Метод контурних струмів.................................134
5.4.3. Метод вузлових напруг.................................. 138
5.4.4. Метод вузлової напруги................................. 142
5.4.5. Метод накладання........................................144
6. РЕЗОНАНСНІ ЯВИЩА І ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ....................147
6.1. Загальна характеристика резонансних явищ...................147
6.2. Особливості резонансу напруг.............................. 148
6.3. Особливості резонансу струмів....................................150
6.4. Енергетичний процес під час резонансу..................... 152
6.5. Частотні характеристики струмів і напруг коливального контуру....154
6.5.1. Частотні характеристики послідовного контуру...........154
6.5.2. Частотні характеристики паралельного контуру...........156
7. ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА З ІНДУКТИВНИМИ ЗВ’ЯЗКАМИ ВІТОК................159
7.1. Особливості кіл з індуктивними зв'язками віток.............159
7.2. Послідовне з’єднання індуктивно зв’язаних котушок..........160
7.3. Паралельне з’єднання індуктивно зв’язаних котушок..........162
7.4. Розрахунок складних кіл з індуктивно зв'язаними елементами.......164
7.4.1. Особливості застосування методу законів Кірхгофа.......165
7.4.2. Особливості застосування методу контурних струмів......166
7.5. Передача потужності потоком взаємоіндукції.
Баланс потужностей кола.......................................167
7.6. Трансформатор з лінійними характеристиками................170
7.7. Вхідний опір лінійного трансформатора.....................172
7.8. Еквівалентування індуктивних зв'язків віток...............173
8. РОЗРАХУНОК І АНАЛІЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З НЕСИНУСОЇДНИМИ
ПЕРІОДИЧНИМИ ЕРС, НАПРУГАМИ І СТРУМАМИ............................177
8.1. Подання періодичного несинусоїдного сигналу рядом Фур’є.........178
8.2. Діючі і середні значення періодичних несинусоїдних функцій часу.181
8.3. Потужність у колах несинусоїдного струму..................183
8.4. Коефіцієнти, що характеризують періодичну несинусоїдну криву....185
267
8.5. Розрахунок кіл несинусоїдного струму.........................187
8.6. Резонанс у колах несинусоїдного струму....................188
9. ТРИФАЗНІ ЕЛЕКТРИЧНІ КОЛА.........................................191
9.1. Вихідні поняття. Принцип створення багатофазної системи ЕРС..191
9.2. Поняття про симетрію в багатофазній системі..................193
9.2.1. Симетричні системи ЕРС, напруг, струмів..................193
9.2.2. Несиметричні системи ЕРС, напруг, струмів................194
9.2.3. Симетрія споживача та багатофазного кола.................196
9.3. Поняття про зрівноваженість багатофазної системи.............196
9.4. Схеми з’єднання елементів багатофазної системи...............197
9.5. Розрахунок симетричного трифазного кола, з’єднаного зіркою...199
9.6. Розрахунок симетричного трифазного кола,
з’єднаного трикутником.........................................201
9.7. Розрахунок складного симетричного трифазного кола............203
9.8. Розрахунок несиметричного трифазного кола, з’єднаного зіркою.204
9.8.1. Загальний випадок........................................204
9.8.2. Коротке замикання фази...................................206
9.8.3. Обрив фази...............................................207
9.9. Розрахунок несиметричного трифазного кола,
з’єднаного трикутником.........................................208
9.10. Розрахунок складного несиметричного трифазного кола.........208
9.11. Розрахунок несиметричного трифазного копа
через лінійні напруги..........................................209
9.12. Зауваження щодо методу симетричних складових................210
9.13. Трифазна потужність.........................................211
9.14. Вимірювання потужності у трифазному колі....................212
9.14.1. Вимірювання активної потужності
в симетричному трифазному колі................................212
9.14.2. Вимірювання активної потужності
в несиметричному трифазному колі..............................213
9.14.3. Вимірювання реактивної потужності
в симетричному трифазному колі...............................214
9.15. Пульсуюче й обертове магнітні поля.........................215
10. ЧОТИРИПОЛЮСНИКИ І БАГАТОПОЛЮСНИКИ..............................219
10.1. Загальна характеристика і класифікація чотириполюсників....219
10.2. Рівняння лінійного пасивного чотириполюсника...............221
10.3. Визначення коефіцієнтів чотириполюсника....................225
10.4. Вхідні опори пасивного чотириполюсника.....................227
10.4.1. Загальний випадок......................................227
10.4.2. Характеристичні опори чотириполюсника..................229
10.4.3. Повторний опір чотириполюсника.........................230
10.5. Передавальні функції чотириполюсника.......................230
10.6. Рівняння пасивного чотириполюсника, записані через
його вторинні параметри.......................................233
10.7. Схеми заміщення пасивного чотириполюсника..................235
10.8. Схеми з'єднань чотириполюсників та їх рівняння.............237
268
10.9. Активні автономні чотириполюсники........................242
10.10. Активні неавтономні чотириполюсники.....................244
10.11. Зворотний зв’язок.......................................246
10.12. Електричні фільтри......................................248
10.13. Пасивні багатополюсники.................................255
10.14. Активні автономні багатополюсники.......................258
Список рекомендованої літератури..................................263
ВИДА вничо-по.
Видовничо-полігр.офічнйй]
"ПОЛІДҐ^™
Національного технічного]
СЕСЖЕИ
- це колектив досвідчених фахівців у галузі редагування,
комп’ютерної верстки, друку, що здійснюють випуск нав-
чальної, навчально-методичної, наукової та інших видів
літератури згідно з вимогами чинних стандартів.
Видавництво співпрацює з найкращими творчими авторськими
колективами щодо підготовки технічної книги: підручників та нанчаль-
них посібників д ія вищої школи.
Мас широкий спектр навчальної та наукової літератури для реалізації.
У оптимальні терміни та за помірними цінами ВИК "Політехніка”
надає такі послуги:
переклад (російсько-український);
У набір тексту;
У редагування, коригування;
•/ верстка; сканування; дизайн;
/ виготовлення оригінал-макетів;
г друк;
маркетинг та реалізація видань.
У Вас є сумніви щодо правильності оформлення рукописів, стилістич-
ної вправності. Ви иелоетанн.о опанували державну мову. зок|х:ма україн-
ську термінологію, Ви цінуєте свій час і вмісте вправно ршпоряджатпся
своїми коштами - ми готові з Вами співпрацювати!
Якщо Ви фахівець у будь-якій галузі науки і техніки, маєте досвід
викладання у вищих закладах левіти і бажаєте. щоб ваші надбання стали
надбанням інших, звертайтеся до ВПК “Політехніка"’
Ми маємо багаторічний досвід редагування. ґрунтовні -знання з під-
готовки оригіиал-макетін.
Запрошуємо до співщшці з піїготовки оригінал-макетів інші видавництва.
Чекаємо на Вас за адресою:
Навчальне видання
Бойко Валерій Степанович, Бойко Віктор Валерійович,
Видолоб Юрій Федорович, Курило Ігор Анатолійович,
Шеховиов Володимир Ілліч, Шидловська Наталія Анатоліївна
Т ЕОРЕТИЧНІ
Основи
Електротехніки
Підручник
У трьох томах
Том 1
Усталені режими лінійних електричних кіл
із зосередженими параметрами
Редактор М. В. Прокопенко
Коректор Н. С. Козак
Комп’ютерна
верстка Г. С. Дем ’яиенко
З питань реалізації звертатися за тел.: (044) 241-68-78,241-66-64
Темплан 2002 р., поз. 1/49
Темплан 2003 р., поз. І-1/009
Підп. до друку 23.12.2003. Формат 60х84'/|6. Папір офс. Спосіб друку - офссі.
Ум. друк. арк. 15,81. Обл.-вид. арк. 26,29. Зам. № 4-15. Наклад 2000 прим.
Інформаційно-видавничий центр “Видавництво «Політехніка»” НТУУ «КПІ-
Свідоцт во про держресстрацію ДК № 211 від 09.10.2000
03056, Київ-56, вул. Політехнічна, 14, кори. 15
тел./факс (044) 241-68-78, 241-66-64, 441-16-59, е-таіі: І7.ііаісІ5іуо@пІи-крі.кіеу.иа
ЗЛТ .ВІПОЛ., ДК № 15. 03151, м. Київ, вул. Волинська. 60
® Вихідні поняття і закони теоретичної електротехніки
® Джерела електричної енергії та їх математичні моделі
(з) Двополюсні пасивні елементи електричного кола
© Властивості, методи розрахунку й аналізу простих
електричних кіл
© Методи розрахунку складних електричних кіл
© Резонансні явища і частотні характеристики
@ Електричні кола з індуктивними зв’язками віток
© Розрахунок і аналіз електричних кіл з несинусоїдними
періодичними ЕРС, напругами і струмами
© Трифазні електричні кола
® Чотириполюсники і багатополюсники