Ю. І. Волощук
СИГНАЛИ
та процеси
у радіотехніці
том
Компанія "СМІТ”
Харків
2003
УДК 621.372(07)
ББК 32.841
В.68
Затверджено Міністерством освіти і науки
як підручник для студентів радіотехнічних спеціальностей
вищих навчальних закладів.
Лист № 1\11-2800 від 16.08.2002 р.
Рецензенти:
В. М. Манжос, д-р техн. наук, проф. (ХВУ);
І. В. Баришев, д-р техн. наук, проф. (НАУ “ХАІ”)
В.68	Волощук Ю.І. Сигнали та процеси у радіотехніці:
Підручник для студентів вищих навчальних закладів, том 1. -
Харків: «Компанія СМІТ», 2003. - 580 с.
І8ВМ 966-8530-03-9
І8ВМ 966-8530-04-7 (т.1)
У першій частині підручника докладно розглянуто сучасні
методи аналізу детермінованих сигналів, математичні моделі
керувальних, вузькосмугових, складних сигналів. Особливу ува-
гу приділено сигналам з амплітудною, частотною, фазовою моду-
ляцією. Подання теоретичного матеріалу супроводжено великою
кількістю прикладів, вправ та задач для самостійного розв’язання.
Для студентів радіотехнічних спеціальностей вищих нав-
чальних закладів. Підручник може бути корисний також студентам
суміжних спеціальностей, спеціалістам та магістрам
з радіотехніки, аспірантам.
І8ВМ 966-8530-03-9
І8ВМ 966-8530-04-7 (т.1)
ББК 32.841
© Ю.І. Волощук, 2003
© «Компанія СМІТ*
ПЕРЕДМОВА
Дисципліна «Сигнали та процеси у радіотехніці» (СПР)
є теоретичною основою, на якій базується підготовка бакалаврів,
спеціалістів та магістрів за всіма спеціальностями професійного
спрямування РАДІОТЕХНІКА.
Курс СПР спирається на такі дисципліни, як «Вища математи-
ка», «Фізика», «Інформатика», «Радіоматеріали, радіокомпонен-
ти та мікропроцесори», «Основи теорії кіл». Глибоке розуміння
та засвоєння матеріалу дисципліни СПР є необхідною умовою
вивчення практично всіх інших інженерних дисциплін спряму-
вання РАДІОТЕХНІКА.
Дисципліну «Сигнали та процеси у радіотехніці» включено
до переліку нормативних, тобто обов’язкових дисциплін при під-
готовці бакалаврів. В цьому переліку дисциплін СПР посідають
особливе місце. Досить сказати, що в циклі фундаментальних та
професійно орієнтованих дисциплін лише на дисципліну «Вища
математика» відведено навчальних годин більше, ніж на СПР.
Вивчення СПР розраховано на два семестри.
Зміст дисципліни СПР, як його сформульовано в освітньо-
професійній програмі вищої освіти за спрямуванням «Радіотех-
ніка», зокрема, містить:
•	основи загальної теорії детермінованих сигналів;
•	спектральний та кореляційний аналіз детермінованих сиг-
налів;
•	модульовані радіосигнали;
•	теорія вузькосмугових сигналів;
•	обробка детермінованих сигналів лінійними системами зі ста-
лими параметрами, параметричними, нелінійними системами;
З
•	системи зі зворотним зв’язком;
•	автоколивні системи;
•	дискретні і цифрові сигнали та цифрові фільтри;
•	основи теорії випадкових сигналів;
•	обробка випадкових сигналів лінійними, параметричними
та нелінійними системами;
•	теорія оптимальної фільтрації сигналів.
У пропонованому підручнику досить докладно, з великою
кількістю прикладів, вправ і задач розглянуто ці питання. До
підручника включено також ряд питань, які необов’язкові при
підготовці бакалаврів, але, на думку автора, важливі для розу-
міння тенденцій розвитку сучасної радіотехніки, техніки зв’язку,
радіомовлення, телебачення і т. ін. Ці питання адресовано, в пер-
шу чергу, тим студентам, що мають рівень підготовки вищий від
середнього, на який орієнтована обов’язкова програма. Крім
того, окремі розділи підручника можуть стати змістом спецкур-
сів, дисциплін за вибором студентів, дисциплін для самостійного
вивчення при підготовці спеціалістів, магістрів, аспірантів. Ав-
тор при викладенні досить складних питань теорії сигналів мав
на меті показати студентам, що тих знань, які вони набули при
опануванні СПР, досить для розуміння принципу дії сучасних
складних радіотехнічних систем. Автор сподівається, що такий
підхід хоча б частково компенсує «перевагу» теорії над практич-
ними питаннями радіотехніки на молодших курсах.
Всі розділи і підрозділи підручника, матеріал яких виходить
за межі обов’язкової програми, позначено зірочкою (наприклад,
розділ 9* або підрозділ 7.7*). Ці розділи без шкоди для засвоєння
решти розділів при першому читанні може бути пропущено.
Слід звернути увагу ще на одну особливість підручника.
Дисципліна СПР викладається студентам після дисципліни
«Інформатика», внаслідок опанування якою студент, зокрема,
повинен вміти працювати на ЕОМ з пакетами прикладних про-
грам, орієнтованих на розв’язання математичних задач та задач,
що пов’язані з обробкою сигналів. Такими загальноприйнятими
в усьому світі є системи МАТНЕМАТІСА і система МАТЬАВ. Це
дозволило авторові розглядати в підручнику приклади іноді дослі-
дницького характеру, які без застосування ЕОМ або неможливо
розв’язати, або їх аналітичний розв’язок є складним і позбавле-
ним фізичної наочності. Більшість програм, які використовували-
ся при розв’язанні тих або інших задач, наведено в додатках до
відповідних розділів. У додатку Г викладено відомості, необхідні
4
для розуміння наведених програм і розробки власних програм в
системі МАТНЕМАТІСА.
У третій частині курсу наведено необхідний мінімум для ро-
зуміння і програмування в системі МАТЬАВ. Усі приклади, при
розв’язанні яких використано ЕОМ, помічено ярликом Слід
підкреслити, що автор в деяких випадках навмисно не прагнув
оптимізувати програми і не використовував у повному обсязі мо-
жливості мов програмування перелічених систем з тим, щоб зро-
бити наведені програми зрозумілими для студента.
У підручнику розглянуто багато прикладів, їх відмічено значком
, а закінчуються вони символом С. У ході викладення мате-
ріалу дисципліни для кращого його засвоєння включено вправи,
які не потребують багато часу для їх виконання, але дозволяють
студентові контролювати процес засвоєння тих або інших конк-
ретних питань, вони помічені значком
В кінці практично
всіх розділів наведено задачі, частина з яких розглядається на
практичних заняттях; решта призначена для самостійного роз-
в’язання або розв’язання під керівництвом викладача. Ці задачі
можна використати при проведенні поточного контролю засвоєн-
ня дисципліни.
Формулювання і висновки виділено рамкою і позначено сим-
волом
Наприкінці кожного розділу наведено список додаткової літе-
ратури. Посилання в тексті на додаткову літературу даються за
номерами у списку курсивом, наприклад [2]. В кінці підручника
наведено список основних підручників, в яких у тій чи іншій мірі
розглянуто більшість з обов’язкових питань дисципліни. На від-
міну від додаткової літератури посилання на основну літературу
надаються прямим шрифтом, наприклад [2].
Формули нумеруються таким чином: перше число — номер роз-
ділу, друге — порядковий номер формули у цьому розділі. Якщо ж
на місці першого числа поміщено літеру — формулу розташовано
у відповідному додатку. Наприклад, (А.56) означає, що мається
на увазі формула 56 з додатка А, наведеного наприкінці першої
частини підручника.
При написанні підручника автор широко використовував чудо-
ві підручники, учбові посібники, задачники з дисципліни «Радіо-
технічні кола і сигнали», за якими і сам свого часу опановував
5
цю науку. Це, в першу чергу, підручники Йосипа Семеновича
Гоноровського і Святослава Івановича Баскакова, яких автор
має сміливість вважати своїми вчителями.
На закінчення автор вважає своїм приємним обов’язком ви-
словити вдячність усім тим, хто тією чи іншою мірою допомагав
йому при написанні підручника. У першу чергу це студенти ра-
діотехнічного факультету ХНУРЕ, які були першими читачами
і критиками електронного варіанта підручника.
Без підтримки керівництва університету, працівників кафедри
основ радіотехніки ця робота ніколи не була б виконана. Особли-
ву вдячність за моральну, а іноді й матеріальну підтримку автор
висловлює завідувачу кафедри, професорові Шокало Володимиру
Михайловичу. Професори Манжос В. М., Баришев І. В., Лучані-
нов А. І., Пресняков І. М., доценти Гарбузов Ю. В., БавикінаВ. В.,
Ковтун П. С. уважно прочитали цю працю і висловили багато цінних
зауважень. Автор із вдячністю намагався всі їх врахувати. Тому
всі переваги підручника автор поділяє зі своїми добровільними
опонентами, а всі недоліки зараховує тільки на себе.
Глибока вдячність Стрельцовій Ріні Іванівні, яка взяла на себе
важку працю з редагування підручника.
Автор вдячний своїй сім’ї за увагу, терпіння і підтримку,
оскільки вона, як ніхто інший, відчула, як це мати поруч люди-
ну, яка пише підручник.
Пропозиції та зауваження надсилайте, будь ласка, за адресою
огі@кіиге.кЬагкоу.па.
6
СПИСОК АБРЕВІАТУР
АГ
АД
АІМ
АКФ
АМ
АМн
АФХ
АХ
АЦП
АЧХ
ВАХ
ВВЧ
ВКФ
ВЧ
ГВЧ
ГЗЗ
ГЗЧ
гн
ГР
гс
ДвХ
двч
дмх
др
дх
ЕОМ
ЕРС
автогенератор
амплітудний детектор
амплітудно-імпульсна
модуляція
автокореляційна
функція
амплітудна моду-
ляція, амплітудно-
модульований
амплітудна маніпу-
ляція
амплітудно-фазова ха-
рактеристика
амплітудна характерис-
тика
аналого-цифровий пере-
творювач
амплітудно-частотна
характеристика
вольт-амперна характе-
ристика
вкрай високі частоти
взаємно кореляційна
функція
висока частота, високо-
частотний
генератор високої час-
тоти
генератор із зовнішнім
збудженням
генератор звукової час-
тоти
генератор напруги
•	густина розподілу
генератор струму
довгі хвилі
	дуже високі частоти
	дециметрові хвилі
•	диференційне рівняння
-	динамічна характерис-
тика
• електронна обчислю-
вальна машина
- електрорушійна сила
ЕС — енергетичний спектр
33 — зворотний зв’язок
34 — звукова частота
ІКМ — імпульсно-кодова моду-
ляція
ІМ — імпульсна модуляція
IX — імпульсна характерис-
тика
КМ — кутова модуляція
КФ — кореляційна функція
КХ — короткі хвилі
ЛЗ — лінія затримки
ЛК — лінійне коло
ЛЧМ — лінійна частотна моду-
ляція
ММХ — міліметрові хвилі
МХ — метрові хвилі
нвч — надвисока частота, над-
високо-частотний
НЕ — нелінійний елемент
НЗЗ — негативний зворотний
зв’язок
НК — нелінійне коло
НСп — нелінійні спотворення
НсЧ — носійна частота
НЧ — низька частота, низько-
частотний
ОА — обмежувач амплітуд
ОМ — односмугова моду-
ляція, односмуговий
модулятор
ОРК — одиночний резонан-
сний контур
ПдЧ — подільник частоти
ПЗЗ — позитивний зворотний
зв’язок
ПЛ — перетворення Лап ласа
ПЛО — перетворення Лапласа
обернене
ПмЧ — помножувач частоти
ПНп — підсилювач напруги
ПНсЧ — підносійна частота
ППт — підсилювач потужності
7
ППЧ — підсилювач проміжної
частоти
ПрС — преселектор
ПрЧ — перетворювач частоти
псч — підсилювач сигнальної
частоти
ПФ — перетворення Фур’с
ПФО — перетворення Фур’с обер-
нене
ПХ — перехідна характери-
стика
ПЧ — проміжна частота
РЛС — радіолокаційна станція
РПдП — радіопередавальний при-
стрій
РПрП — радіоприймальний при-
стрій
РТС — радіотехнічна система
РФ — режекторний фільтр
СГА — спектральна густина амп-
літуд
СГП — спектральна густина по-
тужності
СГПр — супергетеродинний
приймач
СКВ — середньоквадратичне
відхилення
СМХ — сантиметрові хвилі
СП — смуга пропускання
СрЧ — середні частоти
СФ — смуговий фільтр
СХ — середні хвилі
СЧ — сигнальна частота
С/Ш — відношення сигнал/шум	
ТБ	— телебачення
ТВ	— телевізійний
УВЧ	— ультрависока частота
УКХ	— ультракороткі хвилі
ФВЧ	— фільтр верхніх частот
ФД	— фазовий детектор
ФЗВ	— фільтр зосередженої вибі- рності
ФІМ	— фазово-імпульсна моду- ляція
ФМ	— фазова модуляція, фазо- модульований
ФМн	— фазова маніпуляція
ФНЧ	— фільтр нижніх частот
ФПЧ	— фільтр проміжної частоти
ФР	— функція розподілу
ФЧХ	— фазочастотна характерис- тика
ЦАП	— цифроаналоговий пере- творювач
ЦФ	— цифровий фільтр
чд	— частотний детектор
ЧІМ	— часово-імпульсна моду- ляція
чм	— частотний модулятор, частотна модуляція, час- тотно-модульований
ЧМн	— частотна маніпуляція
ШІМ	— широтно-імпульсна моду- ляція
ШПФ	— швидке перетворення Фур’є
8
Розділ
КЛАСИФІКАЦІЯ ТА МОДЕЛІ
СИГНАЛІВ ТА СИСТЕМ
Вступ
Здебільшого під сигналом розуміють величину або про-
цес, які відображують будь-яким чином стан фізичної системи.
У цьому розумінні природно розглядати сигнал як результат
деяких вимірювань, що здійснюються над фізичною системою
в процесі її спостереження. Таким чином, сигнал несе в собі ін-
формацію. Кількість інформації, яку може переносити сигнал,
залежить від його параметрів: тривалості, смуги займаних ним
частот, потужності та ін. Пристрій обробки перетворює вихідний
сигнал у форму, зрозумілу та зручну для споживача.
На рис. 1.1 представлено загальну модель обробки сигналів.
Рис. 1.1.
Первинний перетворювач є «давачем», що перетворює ви-
хідну фізичну величину (акустичну, електричну, оптичну,
9
теплову та ін.) в іншу фізичну величину х2, зручнішу для подаль-
шої обробки.
Перетворивши вихідні фізичні величини в електричні сигна-
ли, можна вести подальше перетворення останніх з тим, щоб під-
креслити найважливіші властивості спостережуваної системи
й послабити інші, які не характеризують її стан. Це і є завдан-
ням кодувального пристрою. Призначення модулятора полягає
в узгодженні вихідного сигналу х4 з властивостями каналу передачі.
Наприклад, якщо використовується хвилевідний канал, сигналом
х3 здебільшого модулюється відповідне ВЧ коливання за ампліту-
дою або фазою. Демодулятор і декодувальний пристрій слугують
для «розшифрування». Вони виконують перетворення, протилежні
тим, які робилися на вході каналу передачі. Пройшовши демоду-
лятор, декодувальний пристрій і вихідний перетворювач, сигнал
набуває бажаної структури, зручної для споживача.
Приклади таких систем різноманітні — це телефонія, телемет-
рія, локація, телекерування, телебачення, телеграфія, медична
діагностика та ін. З цього переліку можна зробити висновок про
велику різноманітність сигналів, що зустрічаються в різних систе-
мах. Підкреслимо, що в курсі СПР ми частіше матимемо справу не
з фізичним процесом — сигналом, а з його аналітичним описом —
моделлю й цю математичну модель називатимемо сигналом.
0
З позиції кібернетики під моделлю розуміють не абсолютно
точний опис явища (подібно закону), а приблизний вираз
невідомого закону, що задовільно характеризує явище
у деякій локальній області факторного простору.
Теорія сигналів повинна бути досить загальною, присто-
сованою для всіх сигналів, включати методи аналітичного зобра-
ження сигналів, оцінку числових параметрів сигналів і вивчення
перетворень сигналів, здійснюваних різними пристроями обробки.
Проте розробити таку загальну теорію сигналів, що здатна вирі-
шувати конкретні практичні інженерні задачі, практично немож-
ливо. Саме з цієї причини сигнали, залежно від їх властивостей
розподіляють на класи, множини сигналів і вже для сигналів,
що належать до якогось конкретного класу, будують адекватні
їх властивостям моделі і методи аналізу.
У цьому розділі підручника розглянуто класифікацію і моделі
сигналів, що найчастіше зустрічаються при розв’язанні тих чи
інших практичних задач.
10
Це повною мірою стосується і кіл або систем. Тому ми розгля-
немо також класифікацію і математичні моделі систем залежно
від сигналів, що в них діють.
1.1. Класифікація та математичні моделі сигналів
і процесів
Сигнал, як правило, можна представити у вигляді мате-
матичної моделі двома способами.
1. Сигнал — деяка функція часу, що описує фізичну величину,
безпосередньо пов’язану із системою, де він діє. У цьому випадку
називатимемо його коливанням. Сигнал як фізичний процес зав-
жди існує на кінцевому інтервалі часу, однак в теорії сигналів,
як правило, сигнали розглядають на нескінченному або напівне-
скінченному інтервалі часу.
2. Сигнал — деяка функція частоти. У цьому випадку сигнал
відображується своїм спектром.
Сигнали в реальних радіотехнічних системах за своєю приро-
дою випадкові. В теорії сигналів, однак, всі сигнали поділяють
на повністю відомі — детерміновані і випадкові.
Детермінований сигнал — це повністю відомий сигнал, його
миттєві значення передбачені абсолютно точно, тому він не несе
ніякої інформації.
Випадковий сигнал — це сигнал, миттєві значення якого за-
вчасно невідомі, оскільки вони змінюються випадковим чином.
Це означає, що вони можуть бути передбачені лише з деякою
імовірністю, меншою за 1.
У першій частині підручника буде розглянуто теорію детермі-
нованих сигналів.
Класифікувати детерміновані сигнали можна за різними оз-
наками. Прийнято розрізнювати детерміновані сигнали трьох
основних класів: керувальні, високочастотні немодульовані та
високочастотні модульовані.
Керувальні (модулюючі, первинні) сигнали — це порівняно
низькочастотні коливання, що містять в собі інформацію, і не
можуть бути безпосередньо використані для передачі на великі
відстані за допомогою електромагнітних хвиль.
Високочастотні (ВЧ) немодульовані сигнали — це коливан-
ня, здатні поширюватися у вигляді електромагнітних хвиль на
великі відстані.
Модульовані (вторинні) сигнали — це ВЧ коливання, один
або декілька параметрів яких промодульовано коливанням
11
первинного сигналу. Вони здатні поширюватися у вигляді елек-
тромагнітних хвиль на великі відстані. В радіотехніці використо-
вують амплітудну (АМ), частотну (ЧМ), фазову (ФМ), імпульсну
(ІМ), а також ряд інших складніших типів модуляції.
Класифікація сигналів залежно від області
визначення та області набутих значень:
неперервні, дискретні і цифрові сигнали
Неперервний сигнал — це коливання задане в не-
зчисленній множині* точок часової осі і яке триває нескінченно
довго, -оо < і < оо. На рис. 1.2 наведено приклад такого коливання
81(і) = 2/(1+ґ2).
Поодиноким випадком неперервного сигналу є імпульсний
сигнал — коливання, енергія якого відмінна від нуля в обме-
женому інтервалі часу. Прикладом імпульсного сигналу, який
є неперервним, але в той же час не є неперервною функцією ча-
су, буде імпульс прямокутної форми. Для таких сигналів введено
спеціальне позначення:
ґ0-т/2<£<£0 + т/2,
інакше.
(1.1)
де А — максимальне значення (висота) імпульсу;
т — тривалість імпульсу;
і0 — час його появи.
Нескінченна множина 8 зчисленна, якщо можна встановити взаємно одно-
значну відповідність між нею та множиною натуральних чисел. У противному
разі множина незчисленна. Наприклад, множина цілих і раціональних чисел
є зчисленною, множина дійсних чисел — незчисленна множина.
12
Сигнал, з2(0 = П — І наведено на рис. 1.2.
)
Таким чином, неперервність у часі не є ознакою, що сигнал —
це математично неперервна функція часу. Поняття неперервний
сигнал означає лише, що сигнал є функцією неперервної в часі
змінної.
Імпульсна послідовність — це скінченна (пачка імпульсів)
або нескінченна послідовність імпульсів.
У деяких системах неперервний сигнал представлений лише
відліками його миттєвих значень в окремі, дискретні моменти ча-
су. Такі сигнали називаються дискрет-
ними в часі або просто дискретними.
Прикладом такого сигналу є коливання
8х(£), наведене на рис. 1.3. Такимчином,
дискретний сигнал — це коливання,
область визначення якого — зчисленна
множина точок часової осі, а область
прийманих значень — незчисленна мно-
жина. Значення, яких набуває сигнал
у цих точках, називають відліками або
вибірками сигналу.
Квантований сигнал — це сигнал,
область визначення якого є незчислен-
ною множиною, а область прийманих
значень — зчисленною. Приклад такого
сигналу — коливання $2(і) на рис. 1.3.
Таким чином, квантований сигнал мо-
же набувати лише фіксованих значень
(рівнів), але зміна від рівня до рівня від-
бувається в довільні моменти часу.
Цифрові сигнали — це сигнали
дискретні в часі і квантовані за при-
йманими значеннями (коливання $3(£)
на рис. 1.3).
Періодичні та неперіодичні (аперіодичні) сигнали
Сигнал $(£) називається періодичним тоді і лише тоді,
коди він задовольняє умові:
8(і + То) = $(і),	(1-2)
Тут То — період.
13
Найменше значення То, при якому виконується ця умова, нази-
вають основним або фундаментальним періодом сигналу $(і).
Прикладом періодичного сигналу є синусоїдне коливання
з(£) = А08Іп(27С/0^ + 0О), -00 < І < 00.
Ао, /о і 0о — деякі константи; 2л/0 = соо, То = 1//0 = 2л/соо.
Сума двох або більше синусоїдних коливань може бути або не
бути періодичним коливанням залежно від співвідношень між
їх періодами або частотами. Якщо відношення періодів коливань-
екладових є раціональними числами, то сума буде періодичним
коливанням.
Приклад 1.1
Визначити, які з коливань періодичні.
а) х^і) = 8Іп(10л0; б) х2(0 = 8Іп(20л0;
в) х3(0 = зіп(310; Г) Х4(і) = х^і) + Х2(і);
Д) х5(і) = хД0 + х3(0-
Розв'язання.
Періоди коливань хДО, х2(і) і х3(і) дорівнюють, відповідно,
1/5, 1/10 і 2л/31 с. Коливання х4(і) також є періодичним. Дійсно
на інтервалі часу, який дорівнює періодові коливання хДО, коли-
вання х2(і) здійснить два повні коливання. Отже, період коливан-
ня х4(і) дорівнює 1/5 с. Що стосується коливання х5(і), то воно не
періодичне, оскільки відношення періодів коливань — складових
не раціональне число.	І І
Комплексні сигнали та спектри
Тут під терміном «комплексний сигнал* розумітимемо
такий сигнал, який можна подати у вигляді вектора на комплекс-
ній площині.
Всі фізичні системи працюють з реальними (дійсними) сигна-
лами. Однак, при аналізі й синтезі сигналів часто математично
зручно (наприклад, для лінійних систем) реальний сигнал пред-
ставити за допомогою комплексних функцій.
Комплексну величину А = Ае1* зручно використати для матема-
тичного опису реального синусоїдного коливання
х(О = Ее{Ае7Ч/}=Ке{Аед^)}= Асо8(соо^+0), -оо<£<оо. (1.3)
Сигнал
х(0 =	- оо < і < оо	(1.4)
називається комплексним сигналом. Його можна зобразити за
допомогою вектора на комплексній площині, який обертається
14
проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю соо. Скористав-
шись теоремою Ейлера (А.1), можна показати, що комплексний
сигнал х(0 є періодичним сигналом, і його період То = 2л/соо.
Щоб від комплексного сигналу перейти до реального, можна
скористатися двома способами:
1. взяти реальну частину комплексного сигналу, тобто
х(О = Ке[х(О];	(1.5)
2. доповнити дзеркальною компонентою, тобто записати
х(О=ХаЕ(О+}<£*(О=^ел“о'+в)+^е'л“о‘+в), -оо<е<оо. (і.б)
Ця друга, дзеркальна, компонента є спряженим вектором, що обер-
тається на комплексній площині у протилежному відносно вектора
х(0 напрямку. Рис. 1.4, аі) і 61) ілюструють ці два способи.
Амплітуда
А------
їш[х(О] аі)
^“Асоз(со0« + 0)-*

Амплітуда
І - ],
-/о	0 /о
Фаза
аЗ)
Фаза
0
-Го _
0
-0
Рис. 1.4.
Вираз х(£) = Асоз(а)0£ + 0) відповідає відображенню сигналу
в часовій області, тобто у вигляді коливання. Альтернативою йому
служить спектр9 сигналу, який дає повний опис сигналу в частотній
області. Оскільки комплексний сигнал х(і) повністю визначається
величинами А і 0 на даній частоті соо = 271/^, така модель сигналу
повинна являти собою два набори параметрів або дві діаграми. Одна
діаграма відображає значення величини А як функції частоти,
друга — 0 як функції частоти.
Оскільки функція х(0 визначена лише на одній частоті /0,
кожна діаграма представлена однією точкою або лінією на часто-
ті / « /0. Такий спектр відповідає першому способові переходу від
Слово *спектр* було введено в фізику Ньютоном (1664 р.) при описанні
аналізу розкладання призмою світла на його колірні компоненти або частоти.
15
х(1) до х(ґ) і називається однобічним — рис. 1.4, а2) і аЗ). Якщо
коливання х(і) представлене як сума двох спряжених векторів,
кожна діаграма має дві точки (лінії) на частотах / = /0 і
Такий спектр називається двобічним — рис. 1.4, 62) і 63). Очевид-
но, якщо сигнал є сумою синусоїдальних коливань різних частот,
спектральна діаграма матиме множину точок-ліній.
Три важливі особливості двобічних спектрів:
	спектральні лінії на від’ємних частотах обов'язкові;
	спектр амплітуд має парну симетрію;
	спектр фаз має непарну симетрію.
Ці три властивості є необхідною умовою того, що сигнал
х(і) є дійсною функцією часу.
Приклад 1.2
Побудувати однобіч-
ний і двобічний амплітуд-
ний і фазовий спектри коли-
вання х(і) = 4зіп(20тіґ + тс/6),
Амплітуда
4І-----,
о ю Гц
Розв'язання.
Фаза
Л Гц
о
-2л/3 - —
а)
Амплітуда
_ _ І_2_ _
-10 о ю Гц
Фаза
г----І2л/3
1	10 А гц
-ю о
-2л/3--
б)
Рис. 1.5.
Щоб обчислити і по-
будувати однобічний спектр,
запишемо х(і) як реальну час-
тину комплексного сигналу
і знайдемо значення амплітуди та фази отриманого вектора для
моменту часу і = 0.
х(і) = 4соз(20тсґ - тс/6 - тс/2) = 4соз(20л^ - 2л/3) =
= Ке{4ехр[у(20к£ - 2к/3)]}.
Тепер можна побудувати однобічний спектр коливання х(і)
(рис. 1.5, а)).
Щоб обчислити й побудувати двобічний спектр, запишемо ко-
ливання х(і) як суму двох комплексно-спряжених векторів:
х(і) = 4со8(20ти - 2л/3) =
= 2ехр[7(20тсґ - 2тс/3)] 4- 2ехр[-/(20лг - 2л/3)].
Двобічний спектр коливання х(і) зображено на рис. 1.5, б).
16
Вправа 1.1
Побудуйте векторну діаграму, однобічний і двобічний
амплітудний і фазовий спектри коливання
х(і) = 48Іп(20ти - л/6) + 4соз(40лґ - л/6), -оо < і < оо.
Енергія та потужність сигналів. Сигнали енергії і
сигнали потужності
При розв’язанні практичних задач радіотехніки часто
використовуються окремі кількісні характеристики сигналів
і процесів такі, наприклад, як їх енергія і потужність.
Всі сигнали поділяються на три класи: сигнали зі скінченною
енергією (називатимемо їх сигналами енергії), сигнали зі скінчен-
ною середньою потужністю (сигнали потужності) і сигнали, які
не належать ні до першого, ні до другого класів.
Нехай и(і) — напруга, прикладена до резистора з опором Н.
Ця напруга викликає струм і(і), який протікає через резистор.
Якщо Н = 1 Ом, миттєва потужність
р(і) = и(і)і(і) = и2(і) = і\і) = §2(0,	(1.7)
де $(£) — загальне позначення довільного сигналу незалежно від
його розмірності.
Інтегруючи миттєву потужність на інтервалі |^| < Т, можна
знайти його енергію Е та середню потужність Ро:
Т	т
Е = 1іт ^82(і)(іі, Ро =1пп^- ^з2(і)(іі.	(1.8)
Якщо сигнал визначено на скінченному інтервалі часу а < і < Ь
і Ь - а = Т, то ці формули матимуть вигляд:
Ь	і ь
Е = р(Г)Й, Ро = ±	(1.9)
а	Та
Для довільного сигналу $(ґ), який може бути й комплексним,
енергія та середня потужність, що виділяються на опорі 1 Ом,
обчислюється за формулами:
Т	і т
Е = 1іт ||з(0|2^, Ро = 1іт— /|8(0|2<И.	(1.10)
Після того, як було отримано формули, що дають змогу обчис-
лити енергетичні характеристики сигналів, можна переходити
до класифікації сигналів за енергетичними характеристиками.
17
1.	Сигнал з(і) є сигналом енергії, якщо 0 <Е <оо. При
цьому, природно, Ро = 0.
2.	Сигнал $(0 є сигналом потужності, якщо 0 < Ро < оо.
При цьому, природно, Е = оо.
3.	До третього класу належать ті сигнали, енергетичні
характеристики яких не задовольняють умовам ні першо-
го, ні другого класів. Це може бути, наприклад, сигнал,
заданий на нескінченному інтервалі часу, енергія якого
нескінченна, а середня потужність дорівнює нулю. \ * 1
Нехай тепер 8(і) періодичний сигнал з періодом повторен-
ня То. Очевидно, що такий сигнал належить до класу сигналів
потужності і для нього середня потужність дорівнює
Ро = — | |з(0 \2сІЇ, £0 — довільний момент часу. (1.11)
Т0 І'
Приклад 1.3
Провести класифікацію сигналу, математична модель
якого має вигляд:
з(і) =	- 1).
Тут і далі Щі) — одинична функція (див. підрозділ 1.2).
Розв'язання.
Знайдемо енергію сигналу.
Т
Е = 1іш [г1/2^ = 21іт(л/Т-1) = оо.
Т->х 1
1
Знайдемо середню потужність сигналу.
р	9
Ро = Ііт— = Ііт—(7Т-1)=0.
и г->® 2Г	2Т
Таким чином, цей сигнал не належить ні до класу сигналів
енергії, ні до класу сигналів потужності.	[2]
Один і той самий сигнал може належати до різних класів за-
лежно від значень його параметрів.
18
Приклад 1.4
Провести класифікацію сигналу, математична модель
якого має вигляд:
аа(0 = Ае а1Щі), а > 0, А і а — сталі.
Розв’язання.
Знайдемо енергію сигналу:
т	А2
Е = 1ІШ ЇА2е 2“(Лі =--.
2л.
Тобто цей сигнал у загальному випадку має скінченну енергію.
Однак, якщо перейти до границі при а -> 0, отримаємо:
1іт8„(0= Ііха.Ае~аіЩі) = АЩі).
а->0	а->0
Знайдемо середню потужність такого сигналу.
1 т.	А2
Ро - Ііт — (а2сіі = —.
0 2Т '	2
Такий сигнал має вже нескінченну енергію, але скінченну по-
тужність.	| |
Вправа 1.2
Знайдіть миттєву потужність, енергію і середню потуж-
ність сигналу 8(і) = 21/(1).
Приклад 1.5
Знайти потужність комплексного сигналу
з(і) = АоеЯМо<+в<,), -оо<£<оо,
де Ао, соо і 0О — сталі величини.
Розв’язання.
Період сигналу дорівнює То = 2ге/соо. Знайдемо його
середню потужність, скориставшись відповідним виразом для
періодичних сигналів.
19
і	«• іо + То
Ро=± /	= і ІАг0сІі = А20.
70 «о	2° 'о
Запишемо комплексний сигнал у тригонометричній формі.
СО8(с00£ + 0О) + ] А^ 8Іп(СОо^ + 0О).
У комплексного сигналу половина його середньої потужності
припадає на дійсну частину і половина — на уявну частину. Цей
факт пояснюється однією важливою властивістю сигналів — вла-
стивістю ортогональності.	[2]
Вправа 1.3
--- Доведіть, що для комплексного сигналу А^е’^**** середні
потужності дійсної і уявної частин однакові і дорівнюють А*/2.
Ортогональність сигналів за енергією та потужністю
У загальному випадку миттєва потужність суми сигналів
не дорівнює сумі їх миттєвих потужностей, однак енергія і серед-
ня потужність суми сигналів може дорівнювати сумі їх енергій
або середніх потужностей. Це відбудеться, якщо сигнали ортого-
нальні.
Нехай два сигнали зДґ) і 82(і) є дійсними і заданими на скінчен-
ному інтервалі часу [а, 6]. Знайдемо енергію суми цих сигналів.
ь	ь	ь	ь
а	а	а	а
= ЕЇ+Е2+2Е12.	(1.12)
Середня потужність суми цих сигналів дорівнюватиме
ро = 77- і [81 (0 +	= Рг + Р2 + 2Р12.	(1.13)
6-а '
Тут Р1 і — середня потужність та енергія сигналу вДґ) від-
повідно;
Р2 і Е2 — середня потужність та енергія сигналу з2(і) відповідно;
Р і £12 — взаємна середня потужність та взаємна енергія сигна-
лів зДґ) і $2(0 відповідно.
Тепер можна сформулювати умови ортогональності сигналів.
Два сигнали зДґ) і з2(і) називаються ортогональними за
енергією, якщо їх взаємна енергія дорівнює 0, тобто:
20
ь
^12 =	= О,
а
за умови, що Е1 Ф 0 і Е2 Ф 0.
(1.14)
Два сигнали вДО і з2(ґ) називаються ортогональними
за потужністю, якщо їх взаємна потужність дорівнює
0, тобто:
Р12=-4-к(082(0^ = 0,	(1.15)
о-а *
а
за умови, що Рг Ф 0 і Р2 Ф 0.
Якщо сигнали 8^) і 82(1) задані на скінченному інтервалі
часу, з ортогональності за енергією виходить і ортогональність
за потужністю, й обидва ці поняття можуть бути застосовні одна-
ковою мірою. У випадку, коли сигнали задані на нескінченному
інтервалі часу, поняття ортогональності за енергією може бути
застосовне лише до сигналів енергії, а поняття ортогональності за
потужністю — лише до сигналів потужності.
1.2. Сингулярні функції та їх використання
при моделюванні детермінованих сигналів
Важливим класом моделей неперіодичних сигналів
є сингулярні функції Щі), г(1) і 3(0-
Одинична функція (функція Хевісайда,
функція включення, функція одиничного стрибка)
Ця функція позначується 17(0 інколи 1(0 та визначаєть-
ся таким виразом:
0,	*<0,
Щ0 = ^-і(0=і 0,5, < = 0,
(1.16)
1,	ґ>0.
Така функція може бути визначена за допомогою граничного
переходу.
21
Нехай математична модель сигналу
задана системою рівностей
и(і) =
0,	і <
0,5(</£ +1), -£<<<£,
1,
Тоді 1іши(<) = 17(<).
5-й»
Епюри сигналів и(і) і 1/(1) наведено
на рис. 1.6.
Інші сингулярні функції визначаються
через функцію С7_1(і). У загальному ви-
0
і
Рис. 1.6.
падку
І
Ц-1(О=	і = ...-2,-1,0,1,2,...,
—ос
(1.17)
або
ц..(<)=^Я
аі
(1.18)
Таким чином,
і
012 = / Ц’-іСОЛ.
-00
Функція С7_2(<), як і функція 17_1(<), часто використовується
при моделюванні детермінованих сигналів, позначується г(і)
і називається функцією лінійного зростання або, іноді, функці-
єю люфту, тобто
г(0 = <
І,
о,
<>0,
і<0.
На рис. 1.7 наведено графік функції
г(0-
Будь-який сигнал можна переміщувати
вздовж осі часу заміною і на і - Якщо > 0,
сигнал зміщується вправо. Наприклад,
(1.19)
	0,	<-1/2<0,	0,	<<1/2,
Щі-1/2) = -	0,5,	< = 1/2,	0,5,	< = 1/2,
	1,	<-1/2>0.	1,	01/2.
22
Віддзеркалити функції Щі) і г(і) відносно осі ординат можна,
замінивши і на -і. Відповідні епюри наведені на рис. 1.8.
За допомогою функцій І/(і) і г(і) можна представити множину
інших сигналів.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 1.6
Записати одиничний прямокутний імпульс за допомогою
функцій включення.
Розв’язання.
П(і) =
1, -1/2<і<1/2,
0, інакше.

Приклад 1.7
За допомогою функцій Щі) і г(і) записати математичну
модель сигналу х1(і), наведеного на рисунку 1.9.
Розв’язання.
х/і) = Щі) - К* ~ 1) + 2г(* - 2) - г(і - 3) + 1/(і - 4) - 2С7(і - 5).
Приклад 1.8
За допомогою функції Щі) записати математичну модель
сигналу х2(і), наведеного на рисунку 1.9.
23
Розв’язання.
х2(і) = 2Щі)Щ2 - 0 + Щі ~ 3)17(5 - О-
Вправа 1.4
--- Зверніть увагу на те, як записано імпульс прямокутної
форми; порівняйте з виразом, отриманим у прикладі 1.6.
За допомогою функції включення можна одержати ще одну
важливу функцію.
Знакова функція
Позначається зі§п(і) і має графік, на-
ведений на рис. 1.10.
зіеп (і)
1,
і>0,
< 0,
= 2ЩЄ)-1-
(1.20)
Рис. 1.10.
Дельта-функція
(функція Дірака, одинична імпульсна функція)
Якщо скористатися формулами (1.17), (1.18), що встанов-
люють зв’язок одних сингулярних функцій з іншими, можемо
отримати ще одну дуже важливу функцію
<Ш Лі)
(ІІ
Ця нова сингулярна функція має назву дельта-функція
й позначається 5(0*
Таким чином,
8(0=^.	а.21)
Дельта-функція має такі чудові властивості*:
У. М. Сіберт в книзі «Цепи, сигнальї, системні», ч. 2 розповідає про студента,
який звернувся зі скаргою: «Ви говорите, що скрізь, за винятком початку коор-
динат, імпульс настільки малий, що його не можна побачити, в той час як ща
початку координат він настільки великий, що його знову не можна роздивитися.
Інакше кажучи, його ніде не можна знайти, в крайньому разі, я його не бачу!»
Студент безумовно правий: немає ніяких способів визначити, що таке одинична
імпульсна функція, можна лише визначити, що вона «робить*.
24
5(0 = 0,
(1.22)
Функцію, що має такі властивості, можна одержати лише
за допомогою граничного переходу. Розглянемо функцію
= • 2е’
1
0,
Н|>Є.
Епюри функції 8є(0 для трьох значень
є наведено на рис. 1.11. Можна зазначити,
що зі зменшенням значення є тривалість
імпульсу пропорційно зменшується, а його
висота пропорційно збільшується так, щоб
добуток тривалості на висоту (величина пло-
щі) залишався таким, що дорівнює 1. При
Рис. 1.11
спрямуванні є до 0 функція 5є(ґ) стає такою, що для неї викону-
ються обидві властивості (1.22). Таким чином,
1іт5 (0 = 5(0-
є—>0
Існує багато функцій 5с(0, Для яких справедливий такий гра-
ничний перехід (див. задачі до розділу 1).
Більш строге математичне визначення дельта-функції викори-
стовує поняття функціонала*.
|*(0б(0Л = х(0),	(1.23)
-X
х(0 — неперервна функція часу в околі і = 0.
Дельта-функція має строгий математичний зміст лише
в разі, коли вона використовується під знаком інтеграла.
Визначення дельта-функції за допомогою функціона-
ла (1.23) дає змогу виявити ряд властивостей цієї функції, які
* Функціонал — це числова функція, визначена на деякому класі функцій.
Функціонал ставить у відповідність кожній функції з цього класу деяке чис-
ло. Якщо клас функцій складається з чисел, поняття функціонала співпадає
з поняттям функції. Прикладом функціонала є певний інтеграл.
Оператор відображує одну множину функцій в іншу множину функцій.
Прикладами операторів є перетворення Лапласа, перетворення Фур’є т. ін.
25
широко використовуються при аналізі сигналів та електричних
кіл. Наприклад, справедливе твердження
8(оЄ)=їіт8(0.	(1-24)
|л|
Якщо в (1.24) вставити а = — 1, одержимо:
8(~П = 3(П,	(1.25)
що співпадає з визначенням парної функції.
Тепер визначимо найважливіші властивості дельта-функції.
1.	Дельта-функція є парною функцією.
2.	Дельта-функція має фільтрувальну властивість.
]х(і)Ь(і-і0)аі=х(і0),	(1.26)
де х(і) — неперервна функція в околі і = і0.
Інтеграл зі скінченними межами інтегрування можна розглядати
як поодинокий випадок (1.26), якщо прийняти х(і) = 0 поза межами
інтервалу < і < і2. Тоді формулу (1.26) можна записати так:
Ч	<.	ґх(£0),
їх(О5(і-А,)^=Е 0 * , /	(1.27)
ц	1°»	*2 <*<*!•
3.	Згортка довільної функції з дельта-функцією є саме ця до-
вільна функція.
Щоб обґрунтувати цю властивість, використаємо властивість
парності й запишемо (1.26) у вигляді:
|х(Х)5(і-А,)гіХ = х(0.	(1.28)
Зауважимо, що ліва частина виразу (1.28) є згорткою функцій
х(і) та 8(0- Тоді одержимо:
х(0®5(0 = х(0.	(1.29)
Тут — символ, яким будемо позначати згортку.
4.	Ця властивість дельта-функції визначається такою
рівністю:
х(05(* " У =	~ М»	(130)
якщо х(і) неперервна в околі і = і0.
26
Рівність (1.30) виходить з того, що &(і - £о) = О скрізь, крім

і
Щі) = |5(Х)<а.
—ас
(1.31)
Вправа 1.5
зо
Обчисліть інтеграл
Вправа 1.6
Обчисліть інтеграл |со8(2л05(£-0,5)<Й.
о
1.3*. Простір сигналів
При розв’язанні багатьох теоретичних та прикладних
задач радіотехніки виникають такі питання:
1. В якому значенні можна говорити про величину сигналу, ствер-
джуючи, наприклад, що один з сигналів перевищує інший?
2. Чи можна об’єктивно (кількісно) оцінити, наскільки два
неоднакові сигнали «подібні» один одному?
У XX ст. було створено функціональний аналіз — розділ ма-
тематики, що узагальнив інтуїтивні уявлення про геометричну
структуру простору. Ідеї функціонального аналізу дали можливість
побудувати злагоджену теорію сигналів, в основі якої лежить по-
дання сигналу у вигляді вектора у нескінченновимірному просто-
рі, сконструйованому спеціальним чином. Щоб глибше зрозуміти
ідеї, які покладено в основу сучасної теорії сигналів і процесів,
що відбуваються у радіотехнічних колах і системах, необхідно
чітко уявляти, яким чином сконструйовано простір, в якому роз-
глядаються сигнали. Детальний інженерний виклад цих питань
з великою кількістю радіотехнічних прикладів і задач можна знайти
у книгах [1,2], в більш формалізованому вигляді — в навчально-
му посібнику [3], а також у підручниках [2, 3].
При графічному поданні сигнали зображуються складною су-
купністю точок у двовимірному просторі (саме такі сигнали-коли-
вання ми розглядали, коли провадили їх класифікацію у поперед-
ньому підрозділі). На відміну від цього, запровадимо складніший
27
простір — простір сигналів, у якому кожен сигнал зображується
найпростішим елементом — точкою.
Розглянемо багатокрокову процедуру конструювання такого
простору. На кожному кроці будемо додавати деякі нові властиво-
сті простору, поки не отримаємо такий простір, який найповніше
відповідатиме задачі аналізу сигналів, їх перетворень у радіотех-
нічних пристроях. Це і буде той простір сигналів, у якому побу-
довано сучасну теорію сигналів.
Множини сигналів
Як перший крок розглянемо сигнал як елемент множини
8. Фактично та класифікація, яку отримано у попередньому під-
розділі, і формує таку множину. Множина визначається деякою
властивістю Р, яка є твердженням, справедливим для будь-якого
елемента множини. Умовно це позначається так: 8 = {х: Р}, тобто,
З є множиною всіх х, для яких справедливе Р. Це можна запи-
сати й так: Р => х є 3, що означає «Р вірне для х, що належить
З». Визначивши властивість Р, ми тим самим задаємо множину
сигналів. Звичайно простіше мати справу з множиною, обмеже-
ною жорсткою умовою. Однак, якщо обмеження надто жорстке,
множина містить мало корисних сигналів. Вибір властивості Р
є складним завданням.
Розглянемо декілька прикладів множин сигналів з тих, що класи-
фіковано вище і з якими часто мають справу у теорії сигналів.
Гармонічні (синусоїдний) сигнали
Позначимо через Зс множину всіх гармонічних (синусо-
їдних) сигналів, тобто,
Зс = {х: х(ґ) = Ве{Аехр[у(0 4- 2тс/ґ)]},
-оо <ґ <оо, А, 0, / є 2?}.	(1.32)
Твердження А, 0, / є В означає, що ці параметри можуть до-
вільно вибиратися з множини всіх дійсних чисел Я, тому Зс міс-
тить гармонічні коливання зі всілякими амплітудами, фазами
та частотами.
Часто властивість Р для конкретної множини можна задати
в іншій формі, наприклад,
8 = х
+ Х2х(ґ) = 0, -оосґсоо, Хє2?>. (1.33)
с/ і;
28
Періодичні сигнали
Позначимо через 8Д(Т) множину періодичних сигналів
з періодом Т, де Т < оо, тобто
8Я(Т) = {х-.х(і + Т) = х(0,	< і < ~}-	(1-34)
Обмежені сигнали
Множину сигналів, миттєві значення яких обмежені
за величиною деяким дійсним додатним числом К, позначимо:
8М(К) = {х: | х(0 < К, -п<і< «>}.	(1.35)
Зрозуміло, що
хє 8М(^)^ХЄ $М(К2), К2>КГ	(1.36)
Сигнали з обмеженою енергією — сигнали енергії
Про сигнали з множини
3„(К’) = ]х: 1іт[т х2(0^<1И	(1.37)
Г->ое Т	І
кажуть, що їх енергія обмежена величиною К, де К — додатне
дійсне число. Тут мають на увазі, що х(і) є напругою на наван-
таженні 1 Ом, тоді інтеграл — це повна енергія, що виділяється
на навантаженні.
Сигнали з обмеженою середньою потужністю —
сигнали потужності
Множиною таких сигналів буде:
8р(К) = |х: ІіпД {гх2(і)(іі к|.	(1.38)
Сигнали обмеженої тривалості (імпульсні сигнали)
8О(Т) — це множина сигналів, які дорівнюють нулю
за межами інтервалу часу -Т <і<Т:
Зв(Т) = {х:х(0 = 0, И>Т}.	(1.39)
Очевидно, що
х є 8О(Т() => X є 8О(Т2), Т2 > ТГ	(1.40)
29
Сигнали з обмеженою смугою частот
5в(Рт) — це множина сигналів зі смугою частот, обмеже-
ною деякою частотою Р , тобто
00
Зв(Рт) = \х:Х(Г) = \х(і)е-і2’с(ісІі = 0, |/|>^т ,	(1.41)
де Х(/) є перетворенням Фур’є функції часу х(і).
Таким чином, зроблено перший крок до побудови простору
сигналів. Далі треба обрати функціональний простір^ у якому мо-
жуть бути представлені і проаналізовані сигнали тих чи інших
множин-кл асів.
Об’єднавши сигнали, що мають деяку загальну властивість,
в одну множину, ми починаємо цікавитися тими властивостями,
що відрізняють поодинокі елементи цієї множини. Конкретні
сигнали становлять інтерес тільки в їх співвідношенні з іншими
сигналами множини. Відрізнятися сигнали один від одного мо-
жуть енергією, тривалістю, амплітудою, тощо.
Метричні простори
Метричним простором називають абстрактну множину,
для довільних елементів х та у якої визначено функцію
й(х, у) — так звану відстань.
Загальний підхід до визначення різниці між двома еле-
ментами множини полягає в тому, що кожній парі елементів
ставиться у відповідність дійсне додатне число, що трактується
як відстань між елементами. При цьому сама множина набуває
геометричних властивостей. Використанню цих властивостей при
аналізі сигналів присвячено підрозділі 2.4*.
8
Множина, в якій певним чином визначена відстань
є простором сигналів.

Щоб визначити відстань у просторі сигналів, необхідно
мати деякий функціонал, який відображає всі пари елементі# аійо-
жини на дійсну вісь. Такий функціонал й:{х, у} —> 2? називається
метрикою, якщо він має такі властивості:
ЗО
сІ(х, у) > 0, причому (І(Х, у) = 0 ТОДІ І ТІЛЬКИ ТОДІ, ЯКЩО X = у,
Л(х9 у) = сІ(у, х) (симетрія),	(1'42)
гі(х, з) < гі(х, у) 4- (і(у9 г) (нерівність трикутника).
(1.42)—	це математичне формулювання властивостей від-
стані:
	відстань — це величина, що не є від’ємною;
	відстань від х до у дорівнює відстані від у до х;
	довжина однієї сторони трикутника не може перевищувати
суму довжин двох інших (тут елементи х, у і 2 геометрично пред-
ставлені як вершини трикутника).
Тепер можна конкретизувати:
0
Множина х, що має метрикою Л, називається метрич-
ним простором (%, Л).
Приклад 1.9
Дійсна вісь В, що включає множину всіх дійсних чисел,
є метричним простіром з метрикою
<і(х, у) = |х - у|; х, у є В.
Приклад 1.10
На базі множини Я” упорядкованих послідовностей п дійс-
них чисел можна утворити різні метричні простори. Якщо х = {ар
а2,ая} і у = {рр Р2,.... ря}, тоді наступні функціонали є приклада-
ми можливих метрик:
а)<А(^У) = Еіаі-М.
І=1
Ііа,-Р,І2
1/2
б) <4(х,у) =
(1-43)
в) </3(х, у) = тах{|а. - р.|; і = 1, 2.п}.
Ці метрики можуть також бути застосовані на множині Сп пос-
лідовностей п комплексних чисел.
Всі наведені визначення поширюються на нескінченні послі-
довності Я°і С”°. У такому випадку в метриці (1.43 в)) тахітшп
31
замінюється на зиргете — точну верхню грань множини {|а. - р(|;
і = 1, 2, тобто
аз(х, у) = вир{|а. - р(|; і = 1, 2,
Метрика (1.43 б)) відповідає звичному розумінню відстані
 у тривимірному просторі і називається евклідовою мет-
рикою.
Приклад 1.11
В системах зв’язку з передачею інформації у вигляді двій-
кових символів (0 або 1) повідомлення здебільшого є деякою послі-
довністю кодованих слів фіксованої довжини, наприклад, п-значних
(див. розділ 10). У такому разі з множини 2п різних слів можна
утворити метричний простір, якщо задати відстань між довільною
парою слів, що дорівнює числу незбіжних символів. Це рівнознач-
но підсумовуванню за модулем 2 символів у всіх позиціях:
=£[(а( + р()тоа2].
1=1
Така метрика називається відстанню за Геммінгом для двій-
кових слів і використовується для побудови кодів з виявленням
помилок і кодів з коректуванням. Ідея, яку покладено в основу
методів побудови таких кодів, проста.
Розглянемо простіший випадок коду, який виявляє помилку
в одному розряді. Нехай маємо п-значний код, що дозволяє зако-
дувати 2п слів. Додамо ще один символ — символ перевірки на
парність, тобто
ос = (ос. + ссо + ... + ос )то(12.
П + 1	4	1	2	П'
Очевидно, що тепер кожне слово містить парну кількість оди-
ниць і мінімальна відстань між словами дорівнює 2. Спотворення
у будь-якому одному розряді слова відразу буде виявлено. Якщо
ввести у код додаткові розряди, можна не тільки виявляти помил-
ки, але ще і виправляти їх.	| |
Приклад 1.12
Для довільної множини дійсних або комплексних функцій,
що задані на скінченному інтервалі часу Т = {ґ; а < ґ < &}, можна
знайти метрики, аналогічні (1.43):
32
ь
а) <іх(х,у) =
а
б) <Іг(Х,у) =
ь
/кЮ-уСОІ2^
а
(1.44)
в) Л3(х, у) = 8ир{|х(0 - у(і)\; і є Т}.
Для метрик б/х и д2 характерна така особливість: якщо х(ґ) і у(1)
відрізняються тільки в одній точці (див. нижче рис. 2.4 і пояснен-
ня до нього), тоді с/(х, у) = 0. Ця трудність переборюється тим,
що функції, які відрізняються лише на скінченній множині
точок інтервалу Т, трактуються як одна точка метричного простору.
В такому разі говорять, що функції х(ґ) і у(і) співпадають
майже всюди.	І І
Лінійні простори
Наступний крок удосконалення структури простору
сигналів досягають при внесенні достатньо простих алгебраїчних
взаємозв’язків між сигналами. Такі взаємозв’язки мають місце
у лінійних просторах.
Множину X елементів х, у, ж, ..., що називаються векторами,
називають лінійним, або векторним простором, якщо вона за-
довольняє таким умовам.
1.	Для кожної пари векторів х, у є X однозначно визначено
третій вектор х + у є X, який називають їх сумою, причому
а)х + у = у + х (комутативність);
б)	х 4- (у 4- г) = (х 4- у) 4- 2 (асоціативність);
в)	множина X містить тільки один вектор 0 — нульовий еле-
мент — такий, що х + 0 = х для всіх х є X;
г)	для кожного х є X існує єдиний вектор -(«мінус »)х є X та-
кий, що х 4- (-х) = 0 (тобто існує протилежний елемент-вектор).
2.	Існує множина елементів, які називаються скалярами
і утворюють поле, а також існує операція, яка зветься добутком
вектора на скаляр, що ставить у відповідність кожному скаляру
а і кожному вектору х є X вектор ах є X, причому
а)	а(Рх) = аРх (асоціативність);
б)	їх == х і Ох = 0 для кожного х є X;
в)	а(х 4- у) = ах 4- ау, (а 4- Р)х = ах 4- Рх (дистрибутивність).
Якщо скаляри є дійсними числами, лінійний простір називаєть-
ся дійсним лінійним простором. Якщо скаляри є комплексними
33
числами, лінійний простір називається комплексним лінійним
простором.
Вектор, утворений сумою декількох векторів зі скалярними
коефіцієнтами, називається лінійною комбінацією:
х = Еаіхі-	(1-45)
І=1
Множина лінійних комбінацій векторів {хр х2, ..., хл} утворює
лінійний простір. Якщо взяти підмножину {хр х2,..., хто} множини
{Хр х2, ..., хл}, де т < п, тоді множина лінійних комбінацій век-
торів підмножини утворює лінійний простір, що є підпростором
початкового лінійного простору, утвореного лінійними комбіна-
ціями первинної МНОЖИНИ векторів {Хр х2, ..., хл}. Цей підпростір
називається лінійним підпростором.
Множина векторів {к- і = 1, 2,..., п} називається лінійно неза-
лежною, якщо рівність
£/*Л=0	(1.46)
/=1
має місце тільки при всіх ар що дорівнюють нулю. Іншими сло-
вами, будь-який вектор лінійно незалежної множини не можна
подати у вигляді лінійної комбінації векторів цієї множини.
Нехай М — простір лінійних комбінацій п лінійно незалежних
векторів {х,; і — 1, 2, ..., п}. Кожний вектор у М відповідає єдиній
лінійній комбінації векторів {хД. У такому разі М називається п-ви-
мірним лінійним простором, а множина {хД — базисом простору
М. Кажуть, що М натягнуто на цей базис.
Будь-яка множина п лінійно незалежних векторів у М може
бути його базисом. Таким чином, лінійний простір має не один
базис.
Нормовані лінійні простори
Тепер об’єднаємо геометричні властивості метричних
просторів і алгебраїчні властивості лінійних просторів. Це мож-
на зробити, якщо визначити деяке дійсне число, що характеризує
«розмір» елемента у лінійному просторі. Таке число має назву
норма вектора (позначається ||х||) і може бути визначене за до-
помогою будь-якого відображення лінійного простору на дійсну
вісь, що задовольняє таким вимогам:
а)	||х|| > 0, причому ||х|| = 0, тільки, якщо х = 0;
б)	||х + у|| < ||х|| + ІІУІІ;	(1.47)
в)	||ах|| = |а|  ||х||.
34
Норма узагальнює поняття довжини вектора: якщо взяти
до уваги властивості (1.47), легко показати, що
<*(х, у) = І|х - у||
(1.48)
є метрика, що задовольняє умовам (1.42). Така метрика використо-
вується у нормованому лінійному просторі, якщо треба, щоб цей
простір був метричним. Зауважимо, що норма вектора дорівнює
відстані точки від початку координат. Нормований лінійний про-
стір, що є повним метричним простором, називається банаховим
простором. У всіх прикладах, що було розглянуто вище у цьому
підрозділі, метрики було отримано через норми. Наприклад, мож-
на визначити норму для Нп або Сп співвідношенням
ІМ= Х1“<1’
(1.49)
а для дійсних або комплексних функцій часу, заданих на інтер-
валі часу Т, — співвідношенням
М= Сі*(оГ^
•» 1
(1.50)
Головна причина того, що саме таку норму найчастіше вико-
ристовують для подання сигналів, полягає у простоті фізичної
інтерпретації квадрата норми. Як легко бачити, квадрат норми
сигналу е його енергією.
Множина функцій, для яких норма (1.50) обмежена, назива-
ється простором Ь2, що позначається Ь2(Т). Початком координат
в цьому просторі є функція, яка дорівнює нулю майже всюди
на інтервалі Т.
Простори зі скалярним добутком
Останнім кроком в удосконаленні структури просто-
ру сигналів є визначення додаткової геометричної характерис-
тики — скалярного добутку двох векторів. Скалярний добуток
є відображенням упорядкованих пар векторів лінійного простору
на комплексну площину С. Це відображення позначається (х, у)
і задовольняє таким властивостям:
а)	(х, у) = (у, х)*, де символ ♦*» означає комплексно-спряже-
ну величину;
б)	(ах + ру, г) = а(х, з) + р(у, г) (лінійність скалярного
добутку за першим аргументом);	(1-51)
в)	(х, х) > 0 і (х, х) = 0, якщо тільки х = 0.
З (1.51а) і (1.516) виходить, що (ах, у) = а(х, у) і (х, ау) =
= а‘(х, у), а також, що (х, х) — дійсне число.
35
Важливим висновком з наведеного визначення скалярного
добутку є те, що величина
||х|| = 7(х,х)	(1.52)
є нормою у лінійному просторі.
Таким чином, скалярний добуток породжує норму, яка в свою
чергу породжує метрику (1.48). Отже, простір зі скалярним добут-
ком є метричним простором.
	Нескінченновимірний комплексний лінійний простір
 Н називають гільбертовим*, якщо кожній парі елемен-
тів х і у із Н поставлено у відповідність комплексне чис-
ло (х, у) — скалярний добуток, що задовольняє умовам
(1-51).
	Цей простір будемо далі розглядати як простір сиг- і
налів.	;
У деяких випадках скалярний добуток корисно подавати
як деяку міру кута 0 між векторами і
СО80 =
Не(х,у)
ЦхіНіуіҐ
(1.53)
Для тих просторів, що розглянуто, скалярний добуток можна
подати такими аналітичними виразами:
п
(х,у) = £а(Р*; х,уєС",	(1.54)
1=1
(х,у) = Г х(і)у* (і) (ІЇ; х,уєІ?(Т).	(1.55)
5
Найважливіша властивість простору сигналів, в якому
визначено скалярний добуток, полягає в тому, що в ньому
має місце прямий зв’язок сигналу з його наданням — ма-
тематичною моделлю.
../' / оу 4..>1111
Розглянемо декілька прикладів.
* Гільберт Давид (1862-1943 рр.), великий німецький математик, член Російсь-
кої Академії Наук (1922), іноземний почесний член АН СРСР. Д. Гільберт зробив
великий внесок у багато розділів математики — теорію інваріантів, математич-
ну логіку, варіаційне числення, диференціальні й інтегральні рівняння, теорію
чисел, математичну фізику й ін. Гільбертів простір — математичне поняття, що
узагальнює поняття евклідового простору на нескінченномірний випадок, виникло
на рубежі 19 і 20 ст. у роботах Д. Гільберта.
36
Приклад 1.13 [2]
На рис. 1.12, а) і б) зображено два сигнали у вигляді від-
різків синусоїдних коливань однакової тривалості Т, але з різними
(кратними) частотами і амплітудами.
Знайти норму кожного з сигналів і відстань між сигналами
у просторі сигналів Ь2(Т).
Рис. 1.12.
Розв'язання.
За формулою (1.55) знайдемо скалярний добуток сиг-
налів
Т/2
(зі,82) = |	(1)з2= А1А2 |соз(3лі/ Т) соз(5пі/ Т)(Іі =
-Т/2
= 0.
За формулою (1.52) знаходимо норму одного і другого
сигналів:
Т/2	’1/2
II 81II = д/(8і»81) = А-І ^соз2(Зпі/Т)сіі =
-Т/2
аналогічним чином отримаємо
І|з2ІІ = лА82’8г) =
А2 ^соз2 (8пі/Т)сІі =А2фГ/2.
Тут використано формули (А. 17) і (А. 9) з додатка А.
37
Оскільки квадрат норми сигналу у просторі сигналів дорівнює
його енергії, отримаємо, що Еу = А2Т/2 і Е2 = А|Т/2.
Таким чином, косинус кута 0 між векторами і $2, (1.53)
дорівнює нулю. Отже, ці сигнали є ортогональними.
Метрику — відстань між сигналами — знайдемо за формулою
(1.48):	____________
^(81? з2) ~ || - $21| = дДн, - $2, - $2). Скористаємося властивістю
(1.516) скалярного добутку і запишемо:
</(5п52) =	+ (82,82) - (8пЯ2) - (Яг,^) =
= ^Е2 + Е22 = у]т/2(А2і+А22) = ^Е^І + АІ/А2).
Положення сигнальних точок 1 і 2 (позначено кружечками)
у просторі сигналів зображено на рис. 1.12, в) (положення точки
0 обрано довільно).	| |
Приклад 1.14 [3]
Сигнал и(і)9 зображений на рис. 1.13, є фрагментом сину-
соїди на відрізку [0, Т]. Висота імпульсу II відома.
Вибрати висоту А прямокутного імпульсу
у(і) тієї ж тривалості такою, щоб відстань між
двома сигналами була мінімальною. Знайти цю
мінімальну відстань.
Розв'язання.
Сигнал и(і) запишемо так:
и(і) = 1/8Іп(лґ/Т), і є [0, Т].
Квадрат відстані між сигналами дорівнює:
а2 (и, V) = II и - VII2 = |[ ц 8Іп(л/ / Т) - А]2(ІІ =	- 4А^Т + А2 Т.
Звичайно, цю задачу можна розв’язати без того, щоб звертатися
до ЕОМ, але надалі нам часто знадобиться звертатися до деяких
пакетів прикладних програм, зокрема, до пакета МАТНЕМАТІСД.
Ця потужна система дозволяє розв’язувати подібні задачі безпо-
середньо у символьному вигляді.
Щоб розв’язати задачу, треба ввести та виконати програму,
текст якої і результати обчислення наведено у додатку до цього
38
розділу. У додатку Г викладено основи програмування в системі
МАТНЕМАТІСА.
Таким чином, А = 217/л = 0,63717, мінімум відстані між двома
сигналами дорівнює, приблизно, б/тіп(и, V) » 0,30817л/т, що складає
44,5% від норми синусоїдального імпульсу ||и \\ = у[Еи = ^и2Т/2«
« 0,707 и4т.	П
Вправа 1.7
Складіть алгоритм розв’язання задачі прикладу 1.14.
Запишіть усі формули, які для цього потрібні. Після цього ще
раз розгляньте програму, що наведена у додатку.
1.4. Класифікація та математичні моделі
радіотехнічних кіл та систем
Кола (або схеми) є сукупністю взаємно з’єднаних елементів.
Однак термін «коло» може характеризувати як реальну структуру,
що створена з резисторів, конденсаторів і транзисторів, з’єднаних
за допомогою проводів або друкованих шин, так і ідеалізовану
модель, створену на основі абстракцій. У курсі СПР в основному
розглядаються кола в цьому останньому значенні (хоча завжди
слід пам’ятати, що для інженера моделі кіл цікаві лише як засіб
для розуміння й розробки реальних систем). Слово «система» пе-
редбачає, що дану структуру доцільно розглядати ієрархічно —
у вигляді підсистем, зв’язаних певним чином.
Фізична наука найбільш ефективна у вивченні явищ, які під-
даються аналізу, тобто можуть бути розкладені на складові, роз-
членовані або представлені лише через взаємодію компонентів.
Процес зворотний аналізові — синтез складної структури через
відповідні зв’язки елементів для реалізації поставленої мети — суть
технічного проектування. Особливість фізичних систем полягає
в тому, що процедури аналізу й синтезу найбільш ефективні, якщо
виконуються не одразу для всієї системи, а по частинах, етапах.
Так, наприклад, телевізійний приймач краще за все уявляти як
вищий рівень об’єднання підсилювачів, перетворювачів частоти,
генераторів, фільтрів, вентилів, детекторів і т. д., кожен з яких
складається з інтегральних схем, транзисторів, резисторів, конден-
саторів і т. д., які, в свою чергу, виготовлені з різних матеріалів,
що визначають їх розміри, форму та взаємне положення. Спроба
аналізу такого пристрою за один прийом шляхом розв’язання
39
рівнянь Максвелла для визначення електродинамічного стану
можливих компонентів, що утворюють телевізор, не має сенсу.
Фактично обчислювальні витрати, необхідні для вирішення вели-
кої проблеми, звичайно вищі, якщо проблема вирішується одразу
цілком, ніж якщо спочатку вона розчленовується на невелику
кількість підпроблем, які вирішуються при довільних граничних
умовах, а потім вже з’єднуються в одне ціле.
На кожному рівні ієрархічного процесу аналізу/синтезу ми
намагаємося об’єднати функціональні описи підсистем та струк-
турну інформацію про їхні взаємозв’язки з тим, щоб отримати
функціональний опис найкрупнішої системи, який в свою чергу
може об’єднуватися з функціональними описами інших систем
і структурною інформацією про їх взаємозв’язки для одержання
функціонального опису ще більшої системи і т.д. Таким чином,
при вивченні технічних систем доводиться постійно звертатися
як до їх функціональних описів (наприклад, передатна функція),
так і структурних (принципова або блочна схема) і т. д.
У попередніх курсах, наприклад «Основи теорії кіл», ви вивчи-
ли, як об’єднувати функціональні описи елементів електричних
кіл (тобто основні співвідношення типу закону Ома) і структурні
вирази, що характеризують топологію кола (наприклад, отрима-
ні із законів Кірхгофа) для одержання повного функціонального
опису кола.
Таким чином, принципової різниці між колом і системою не-
має. В курсі СПР вивчаються системи, утворені з’єднанням різних
електричних (радіотехнічних) кіл, заданих своїми системними
або передавальними функціями. Особливу увагу далі буде при-
ділено найпростішому нетривіальному з’єднанню — системі зі
зворотним зв’язком.
Вичерпним описом електричного кола (його моделлю) є такий
опис, що встановлює однозначний зв’язок вхідної дії з реакцією
на неї кола, тобто встановлює зв’язок вхід-вихід.
Розглянемо декілька прикладів такого опису.
Опис за допомогою диференційних рівнянь (ДР)
Будь-яке радіотехнічне коло може бути описано ДР
такого вигляду:
а° ~Т^У^ +аі	+ •" + а"-’ ~7Г+а"уЮ =
аі	аі	аі
= Ьо ^—х(і) + Ь.	+ ... + Ьт_х —+ Ьтх(і).	(1.56)
аг	ат	ал
40
Тут а. та Ь.— деякі коефіцієнти, що залежать від структури та
параметрів кола; х(і) — вхідна дія; у(і) — реакція кола на х(і).
Для фізичних кіл, тобто таких, що можуть бути реалізовані,
п > т. Якщо коло описано рівнянням (1.56), то кажуть, що коло
має порядок п. Таким чином, порядок кола визначається поряд-
ком найвищої похідної від вихідної змінної у(і).
За видом ДР (1.56) проводять класифікацію електричних кіл.
Іноді в ДР (1.56) присутні частинні похідні від координат. Такі
кола носять назву кіл з розподіленими параметрами. У тому окре-
мому випадку, коли коло не містить в собі реактивних елементів,
ДР (1.56) перетворюється на алгебраїчне рівняння.
Багато радіотехнічних пристроїв можна описати, наприклад,
моделями такого типу:
у(і) = Ах(і) + В,
або
у(і)=Ах(і) +Вх\і),
де А і В — деякі сталі.
У першому випадку рівняння описує, наприклад, підсилювач
з коефіцієнтом підсилення А і зміщенням В. У другому випад-
ку — підсилювач з нелінійним перетворенням Вх3(ґ) у вихідному
сигналі у (і).
Опис за допомогою інтегральних виразів
В такому разі модель лінійного кола записується за допо-
могою інтеграла згортки (Дюамеля)і
у(і) = |й(Х)х(^-Х)гіХ = |х(Х)й(^-Х)с?Х = х(О®Л(О- (1-57)
-00	-00
Тут Н(і) — імпульсна характеристика кола, що є реакцією кола
на вхідну дію х(і) = 3(0-
Усі кола, що можуть бути представлені за допомогою звичайних
лінійних ДР з постійними коефіцієнтами, можуть бути описані та-
кож інтегральними моделями (1.57). Однак не усі кола, що можуть
бути представлені моделями (1.57), можуть бути описані за допо-
могою звичайних лінійних ДР з постійними коефіцієнтами.
Пізніше ми розглянемо методи опису радіотехнічних кіл також
і в частотній області.
Класифікація радіотехнічних кіл та систем тісно пов’язана з
їхніми властивостями. Як і у випадку з сигналами, класифікувати
кола та системи можна за різними показниками: за типом сигналів,
що в них діють, за виглядом рівнянь, що їх описують і т. ін.
41
Неперервні та дискретні кола та системи
Система є системою з неперервним часом, якщо в ній
діє неперервний сигнал. Якщо діючий сигнал дискретний, то
і система називається системою з дискретним часом. У тому
разі, якщо діючий сигнал квантований на скінченне число рівнів,
система називається квантованою. Нарешті, у разі дії в системі
цифрового сигналу система називається цифровою системою.
Системи з постійними
та змінюваними у часі параметрами
Система (коло) є системою (колом) з постійними па-
раметрами, якщо в математичній моделі (1.56) жоден з коефі-
цієнтів а. та Ь.не є функцією часу. Якщо хоч один з коефіцієнтів
змінюється за часом, система (коло) буде системою (колом) зі
змінюваними параметрами або параметричною системою
(параметричним колом).
Каузальні та некаузальні системи та кола
Каузальною системою (колом) є така система (коло), від-
гук якої не випереджає вхідної дії, тобто відгук не може з’явитися
раніше в часі, ніж буде прикладено вхідну дію.
Система (коло) з неперервним часом є каузальною системою
(колом), якщо та лише якщо з умови, що вхідний вплив
х/0 = х2(1), і < і0, виходить, що відгук у^і) = у2(0, і < Іо (1.58)
при будь-яких хДі), х2(1) і і0.
Інакше кажучи, система є каузальною, якщо за умови, що
різниця двох вхідних сигналів дорівнює нулю для і < і0, різниця
сигналів на її виході також дорівнює нулю при і < ґ0.
З наведених визначень виходить, що умова каузальності кола
ставить жорсткі вимоги до її імпульсної характеристики. Викори-
стовуючи вираз (1.57), можна довести, що для каузальних систем
повинна виконуватися умова
А(2) = 0 при і < 0.	(1.59)
Приклад 1.15
Модель кола задана рівнянням у(і) = Ах(0 + В. Визначи-
ти, чи є коло каузальним.
42
Розв'язання.
Подамо на вхід кола два сигнали хДО == Щі) і х2(і) = г(і).
На інтервалі і < і0 < 0 обидва вхідні сигнали однакові. Відгук ко-
ла на інтервалі при і <	= у2(і) = В. У загальному випадку,
якщо хх(0 = х2(і) і і < £0, то й у^і) = у2(і) оскільки Ах^і) = Ах2(і).
Очевидно, що це справедливо для будь-якої пари вхідних сигналів,
для яких виконується умова хх(і) = х2(і) при і < Таким чином,
це коло задовольняє умовам каузальності.	| |
Інерційні та безінерційні системи та кола
Система (коло), відгук якої у будь-який довільний момент
часу залежить від величини впливу лише в цей момент часу і не
залежить від значень впливу в інші моменти часу, називається
безінерційною системою (колом) або системою (колом) без
пам'яті.
Інерційною або динамічною системою називають таку систему,
реакція якої залежить як від величини впливу в цей момент, так
і від попередніх або майбутніх значень вхідної дії. Якщо система
ще й каузальна, то реакція інерційної системи в деякий момент
часу залежить як від значення вхідної дії у цей момент, так і від
значень його в попередні моменти часу.
Системи, описані ДР вигляду (1.56) або інтегральними рівнян-
нями вигляду (1.57), є динамічними. Наприклад, коло, що містить
індуктивність, є інерційним. Дійсно, якщо за вплив розглядати
прикладену до нього напругу, а за відгук — струм, що проходить
крізь нього, то
і(0= —
З цього виразу виходить, що значення струму в момент часу і
залежить від значень напруги не лише в момент часу і, але й від
значень її у попередні моменти, аж до і -> -ос.
Лінійні та нелінійні системи та кола
Система називається лінійною, якщо в ній виконується
принцип суперпозиції.
Принцип суперпозиції (лінійності) визначається так:
Нехай є система така, що у^і) =	і у2(і) =
= Я[х2(О].	І
43
В системі виконується принцип суперпозиції, якщо при
довільних сталих і а2,
НЕо^хДО + а2х2(О] = с^НЕхДО] + а2Н[х2(О] =
=	+ а2у2(ґ).
Система (коло) називається нелінійною, якщо в ній не
виконується принцип суперпозиції.
Приклад 1.16
Показати, що система, описана диференційним рів-
нянням
(її
належить до класу лінійних систем.
Розв'язання.
Зауважимо, що ця система є системою зі змінюваними
параметрами.
Відгук у^і) системи на дію хДО задовольняє рівнянню
^у^+іу1(О = х1(О,
аі
а відгук у2(і) на дію х2(і) задовольняє
^^+й/2(О = х2(О-
аі
Підсумуємо ці рівняння, помноживши перше на оср друге на а2.
а
—[аіУі(0+а2'/2(0]+^[а)Уі(0+а2у2(0] = аіХ1(0+а2х2(0.
(ІІ
Тобто відгук системи на дію о^хДґ) + а2х2(ґ) є о^у^і) + о.2у2(і).
Таким чином, ця система задовольняє умовам лінійності. І І
Приклад 1.17
Перевірити на лінійність систему, опис якої задано ДР
^^ + 10і/(0 + 5 = х(0.
44
Розв'язання.
Перевіримо виконання принципу суперпозиції в заданій
системі. Відгук у^і) системи на дію х^і) задовольняє рівнянню
^+10У1(0+5 = хї(і),
аі
а відгук у2(і) на дію х2(і) задовольняє
^^+іоу2(о+5=х2а).
аі
Підсумувавши ці рівняння, помноживши перше на ар друге
на а2, отримаємо
а
—[ЩУііі)+а2&(0]+Ю[ед(О+ед(0]+бСа, +а2) = оцхДО+а2х2(0-
аі
Бачимо, що це рівняння при довільному виборі сталих а1 і а2 не
може бути приведене до вигляду, який має рівняння, що дає опис
системи. Тобто принцип суперпозиції не виконується. [ |
1.5. ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 1.1
1.1.1.
якщо
1.1.2.
Побудувати графіки імпульсних сигналів АП^
І т
1. А = 2 В, і0 = 0, т = 20 мс;
2. А = 2 В, і0 = 10 мс, т = 20 мс.
Побудувати графіки таких сигналів:
і.П(о ДО; 2.П(100; 3. П(і-1/2);
4. П[(і-2)/5]; 5. П[(ґ-1)/2] + Па-1).
для
Побудувати графіки імпульсних сигналів 2Т
1.1.3.
п’яти значень т:
т. — 20 мс, т9« 10 мс, т = 5 мс, тА = 2,5 мс, т_ == 1 мс.
1.1.4. Знайти фундаментальний період таких коливань. Оди-
ниці вимірювання часу — секунди.
1. 4зіп(100я0;	2. 5соз(120яО;
3. 48іп(100лґ) + Ззіп(200л0;	4. Ззіп(100л0 + со8(120л0-
45
1.1.5. Визначити, які з наведених сигналів є періодичними.
1. 8іл(150л0; 2. 2со8(120л£ + л/3);
3.	5со8(377ґ); 4. 2со8(120лґ + л/3) + 5со8(3770-
1.1.6.	Сигнали з задачі 1.1.4 записати як реальні частини век-
торів, що обертаються.
1.1.7.	Сигнали з задачі 1.1.4 записати як напівсуму векторів,
що обертаються, та векторів, комплексно спряжених до них.
1.1.8.	Знайти і побудувати однобічні спектри сигналів із зада-
чі 1.1.4.
1.1.9.	Знайти та побудувати двобічні спектри сигналів із за-
дачі 1.1.4.
1.1.10.	Сигнали із задачі 1.1.5 записати, як реальні частини
векторів, що обертаються.
1.1.11.	Сигнали із задачі 1.1.5 записати, як напівсуму векторів,
що обертаються, та векторів, комплексно спряжених до них.
1.1.12.	Знайти і побудувати однобічні спектри сигналів із за-
дачі 1.1.5.
1.1.13.	Знайти і побудувати двобічні спектри сигналів із зада-
чі 1.1.5.
1.1.14.	Знайти і побудувати однобічний та двобічний спектри
коливання
х(і) = 10со8(100лґ - л/3) +
+ 2соз(95лД - л/2) + 2со8(105л£ - л/6), -оо < і < оо.
1.1.15.	Обчислити середню потужність сигналів із задачі
1.1.4.
1.1.16.	Обчислити середню потужність сигналів із задачі
1.1.5.
Задачі до підрозділу 1.2
1.2.1. Побудувати графіки таких сигналів, класифікувати
їх за енергетичним характеристиками:
1.	хДО = Щі) + г(0 - 2г(і - 1) + г(і - 2) - Щі - 2);
2.	х2(0 =	- і);	3. х3(0 = 17(0^2 - і);
4.	х4(0 - 417(^)17(2 -	- 1);	5. х5(0 = 417(0^(2 - 05(ґ - 3);
6.	х6 = 217(0 + 5(* - 2);	7. х7 = 217(05(^ - 2).
1.2.2.	Записати сигнали, наведені на рис. 1.14, за допомогою
сингулярних функцій та обчислити їхню енергію.
46
Рис. 1.14.
1.2.3.	Побудувати графіки таких функцій:
Хі = а(т-|ф;	Х2 = С7(И-Т);	х3 = 17[со8(20лП];
х4 = І7[зіп(20лі)];	х5 = г[соз(20пі)];	хв = г[8Іп(2Ол0];
Х7 = 8І£П[СО8(20лІ)]; Х8 = 5І£п[8Іп(20ЛІ)].
Класифікувати ці сигнали за енергетичними параметрами.
1.2.4.	Побудувати графіки таких функцій:
х1 = П[8Іп(2лГ0 - 0,5]; х2 - Н[0,5 - 8Іп(2яГг)];
х3 = П[со8(2лГ0 - 0,5]; х4 = ІДО,5 - со8(2яРЄ)].
1.2.5.	Побудувати графіки таких функцій і обчислити їх
енергію.
1. е~10,Щі);	2. Щі) - Щі - 15);
3. со8(ЮлО^(0^(2 - і);	4. г(0 - 2т\і - 1) + г(і - 2).
1.2.6. Дано сигнали:
а) соз(Юл^) + 8Іп(6лі); б) зіп(2/) + соз(лі);
в) е10,Щі)‘, г) е2'П(0.
1.	Які з цих сигналів є періодичними? Знайти їх період.
2.	Які з них є сигналами енергії? Обчислити їх енергію.
3.	Які з них є сигналами потужності? Обчислити їх середню
потужність.
1.2.7. Показати, що при збільшенні а функція и„ (і)=---
1+ехр(-аі)
апроксимує функцію Хевісайда Щі). Розв’язання ілюструвати гра-
фіками.
1.2.8. Показати, що функції 8е(ї). наведені нижче, прямують
до функції §(£), якщо є —> 0.

8ІП(7й/Е)
ЯІ/Е
47
3. 5С(О=ЄХР^
£
1.2.9. Показати, що функції ЗДґ), наведені нижче, прямують
ДО ФУНКЦІЇ 3(0, ЯКЩО П -» оо.
1.8п(і) = ^; 2.8п(0 = ^е<-^.
2	V
1.2.10. Обчислити інтеграли:
1. |соз(2я05(Є-2)(И; 2. |соз(2яі)5(і-2)(/ґ; 3. ^(і-2)1 28(і-2)(іі-,
5	0	-ао
4. |<Г“25а-10)с^;	5. рґ“2ба + 10)си.
-X	0
Задачі до підрозділу 1.3
1.3.1. Чи є множина дійсних чисел метричним простором,
якщо відстань між елементами визначено так:
(і(х,у) = уі\у-х\?
Відповідь: Так, це метричний простір.
1.3.2. [6] Знайти норми функцій на інтервалах ортогональності
що наведено у квадратних дужках праворуч від функції:
1. $і£п[5Іп(2ляґ/Т)], [0, Т];
3. л/2 соз(2яп0, [0,1];
5. ехр(/2япґ/Т)], [0, Т];
де п — цілі додатні числа.
2. -7=8^п[8Іп(2 пі/Т)], [0, Т];
л/Т
4. 8Іп(2лпґ/Т)], [0, 1];
6. -^=ехр(і2ппі/Т), [0, Т],
7Т
Які з наведених функцій ортонормовані?
Відповідь: 1.4т; 2. 1; 3. 1; 4. 1/72; 5. 4т; 6. 1. Ортонормо-
ваними є функції 2, 3, 6.
1.3.3.	[3] Сигнал и(і) — це си-
метричний трикутний імпульс,
сигнал у(і) — вписаний у нього
імпульс прямокутної форми (рис.
1.15). Якою повинна бути висота
прямокутного імпульсу, щоб від-
стань між цими двома сигналами
була мінімальною?
48
1.3.4.	[7] Сигнал /(£) = і2, і є [0,1]. Знайти наближення до цього
сигналу за допомогою лінійної функції и(і) = Аі + В, найкраще за
мінімумом відстані (метрики).
Відповідь: А = 1, В = -1/6.
1.3.5.	[1,7] У гільбертовому просторі сигналів задано два век-
тори х і у. Норми цих векторів однакові. Показати, що вектори
х+уіх-ує ортогональними.
1.3.6.	[1, 7] Для довільних сигналів и(і) і у(£), що є елементами
гільбертового простору, доведіть рівність паралелограма
||и + у||2 + ||и - у||2 = 2||и||2 + М2.
Задачі до підрозділу 1.4
1.4.1. [4] Знайти порядок систем, що задані такими рівнян-
нями
1. 3^^- + 5у(і) = ^-^- + х(і);	2. 5у(0+ \у(к)<їк = х(і); аі	ді
3. 2і/(0 + 10 = ^^+7х(0;	4.	+	[х(Х)о!Х; <11	сіі
5. ^>+и<)^й+!ко-5х(п. аі	аі
1.4.2.	Які з систем, що задані рівняннями задачі 1.4.1, є систе-
мами з постійними параметрами? Обґрунтувати відповідь.
1.4.3.	Які з систем, що задані рівняннями задачі 1.4.1, нелі-
нійні? Обґрунтувати відповідь.
1.4.4.	Систему задано рівнянням у(і) = х(і + 10). Каузальна чи
некаузальна ця система? Обґрунтувати відповідь, вибравши таку
пару дій, яка або задовольняє, або не задовольняє умові (1.58).
1.4.5.	Систему задано рівнянням у(і) = 10х(ґ) + 5. Чи є ця сис-
тема лінійною? Обґрунтувати відповідь.
1.4.6.	Систему задано моделлю у(і) = х(і2). З’ясувати, чи є ця
система:
1.	лінійною?
2.	каузальною?
3.	з постійними параметрами?
Обґрунтувати відповіді.
1.4.7. Задано систему з дією і відгуком, що наведені на рисун-
ку 1.16. Каузальна чи некаузальна ця система? Обґрунтувати
відповідь.
49
1.4.8. Задано систему з дією і відгуком, що наведені на рисун-
ку 1.17. Що можна сказати про те, що вона є
1.	лінійною?
2.	каузальною?
3.	з постійними параметрами?
4.	системою без пам’яті?
По кожному з пунктів навести обґрунтування відповіді.
Рис. 1.16.
Рис. 1.17.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Френкс Л. Теория сигналов. Пер. с англ. —
М.: Сов. радно, 1974. —344 с.
2.	Харкевич А. А. Борьба с помелами. —М.: Наука,
1965. —275 с.
3.	Омельченко В. О., Безрук В. М., Драган Я. П.,
Колесников О. О., Омельченко А. В. Імовірнісні моделі
випадкових сигналів та полів у прикладах і задачах: Навч.
посібник/За ред. В. О. Омельченка. —Л.: ІСДО, 1996. —270 с.
4.	2іетег КоЛ^ег Е., Тгапіег ІАГіІИат Н., Гаппіп П. КопаІЛ.
8і&па1з апЛ Зузіетз: Сопііпиоиз апЛ Візсгеіе. МастіПап
РиЬ1із1йп£ Со., 1990. —487 р.
50
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 1
Програма до прикладу 1.14
а = Цв (и*5іп|л*і/ті-А)А2Л'
<И = О|сІ, А]
х = 5оіує[сі1 == 0, А]
У = Мх]
сі/.х
<і/.у
7%
Л,Т_4АТО^ТЦ1
2АТ-1™
Я
«А-~»
({А-»0.63662 II)}
«ти2 4ти2.
2 Л2 ’
(0.0947153 ТУ2)
{0.307758 урТЦ*}
Перший оператор обчислює
у символьному вигляді інтеграл.
Другий — обчислює похідну, тре-
тій розв’язує рівняння 61 = 0.
Ті оператори, що залишилися,
забезпечують видачу результатів
на екран дисплея. Оператор М[х]
дозволяє вивести результати не
в символьному, а в чисельному ви-
гляді. Символ % означає резуль-
тат, отриманий при виконанні
попередньої команди.
Нижче від горизонтальної лінії
наведено результати обчислень
після виконання кожного з семи
операторів програми.
51
Розділ
ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ
УЗАГАЛЬНЕНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО
АНАЛІЗУ СИГНАЛІВ
Вступ
У1807 році барон Жан Батист Жозеф Фур’є (1768-1830 рр.)
висловив сміливе припущення, що за допомогою нескінченного
ряду
=у+СО8—+2Л8Ш—
можна подати будь-яку довільну періодичну з періодом Т функ-
цію, причому навіть таку, яка містить розриви. Він також отримав
формули, за допомогою яких можна обчислити коефіцієнти ряду
а ЇЬ .
п п
Приклад 2.1
Як перший приклад розглянемо тригонометричний ряд
Фур’є вигляду:
х(і) = —[зіп^О + —зіпСЗсо^) + —зіп(5(010 + ...], - оо < ґ < оо,
я	3	5
де 2л/(0, = То — період.
Частинні суми ряду будуть:
1
4	4Г 1
8, = —ЗІП((0,0, 32=— 5Іп((О,0+ ~8Іп(3(0,0 »
З
і так далі.
52
Декілька з них наведено на рис. 2.1. Графікй побудовано
в системі МАТНЕМАТІСА, програму наведено у додатку до цього
розділу. Обчислення коефіцієнтів ряду див. у прикладі 3.1.
Аналізуючи послідовність графіків, бачимо, що чим більше членів
формують коливання, тим більше воно наближується за виглядом
до так званої «прямокутної хвилі» або «меандру» — періодичного
коливання прямокутної форми. | |
Рис. 2.1.
ряду:
Приклад 2.2
Розглянемо частинні суми такого тригонометричного
у (і) - зіп(сохО	зіп(2сох І)+~8Іп(ЗС011) + ... , - 00 < І < 00,
де 2л/со1 = то — період.
Декілька частинних сум цього ряду наведено на рис. 2.2.
Аналізуючи послідовність графіків, бачимо, що чим більше
членів формують коливання, тим більше воно наближується
53
за виглядом до періодичного коливання пилкоподібної форми.
Як і в попередьому прикладі, кожна складова ряду, що додається,
зменшує розмах коливань відносно пилкоподібної форми коливання
у (і). Частота цих коливань дорівнює частоті складової суми най-
вищої частоти.	| |
Фур’є був більшою мірою інженером або фізиком, ніж мате-
матиком, і його доведення цих положень не задовольнило навіть
сучасників. Фур’є виклав свої ідеї в конкурсній праці, надісланій
до Французької академії. Жюрі — до його складу входили Лаплас,
Лагранж і Лежандр — присудило Фур’є премію, однак вказало
на відсутність строгості в математичних методах, які він вико-
ристав.
Перше строге доведення теореми Фур’є було дане Діріхле у 1829
році, але вичерпне дослідження цієї проблеми стало можливим лише
на початку XX століття, коли було розвинуто теорію інтеграла
Лебега, тобто майже через сто років після того, як вперше було
сформульовано теорему Фур’є. І зараз дослідження рядів Фур’є
залишається активною гілкою математики.
Слід зазначити, що, строго кажучи, методи аналізу Фур’є не-
застосовні до деяких функцій (зокрема, якщо функція має нескін-
ченне число скінченних розривів на кінцевому інтервалі). Однак,
і це дуже важливо, ряд Фур’є завжди збігається, якщо вихідна
функція є результатом фізичних вимірювань. Таким чином, при
аналізі будь-яких фізичних радіосигналів можна використати метод
Фур’є, однак цього ще не можна стверджувати, якщо при аналізі
використовуються не самі фізичні сигнали, а їхні математичні
моделі. У цьому розділі розглянемо теоретичні засади аналізу
Фур’є у загальному випадку. У наступних розділах зосередимося
на гармонічному (спектральному) аналізі як такому, що найчасті-
ше зустрічається при аналізі сигналів і систем.
2.1.	Подання довільного сигналу
у вигляді суми елементарних коливань.
Узагальнений ряд Фур’є
Розглянемо деякі загальні властивості подання функцій
у вигляді
х(О = ЕСяфя(О.	(2.1)
54
Як вже було зазначено у вступі до цього розділу, умови, при
виконанні яких функцію х(і) можна подати за допомогою ряду
Фур’є, було сформульовано у 1829 році Діріхле*.
й
Достатні умови Діріхле:
	Функція х(і) має бути визначена та обмежена на інтер- |
валі [а, &[ або [ґ0, До 4- Т].	}
	Якщо функція х(і) має екстремуми, їх кількість повинна ;
бути скінченною в діапазоні [До, ґ0 4- Т].
	Якщо функція х(і) має розриви, їх кількість повинна [
бути скінченною в діапазоні [До, £0 4- Т].
Висновок. Для всіх фізичних сигналів достатні умови І
Діріхле виконуються.
Базисні системи функцій {(()(ґ)} та їх властивості
Для зручності спочатку уявімо, що функції фл(Д) є орто-
гональними, упорядкованими і нормованими. Ці припущення не
вносять суттєвих обмежень, але спрощують обчислення коефіцієнтів
Сп ряду (2.1). Однією з переваг подання сигналів рядами вигляду
(2.1) є те, що в цьому випадку з’являється можливість геомет-
ричної інтерпретації аналітичних процедур аналізу та обробки
сигналів (підрозділ 2.4*).
й
Нескінченна система функцій {фл(ґ)} = {<р1(^)»<р2(^)>
фл(0, •••} називається ортогональною на інтервалі [а, &],
якщо для всіх п і т виконується умова:
ь
/ф„(Офт(О^=-
а
0, п Ф т,
||ф„ц2, п = т,
(2.2)
Де ||фяЦ # 0.
Величина
ІІФ„ІІ=Л /ф»(*)Л
І а
(2.3)
називається нормою функції фл(0-
Діріхле Петер Густав (1805-1859 рр.), видатний німецький математик,
іноземний член-кореспондент Петербурзької Академії Наук. Основні наукові праці
присвячені аналітичній теорії чисел, теорії функцій і математичній фізиці.
55
Функція <рл(0, для якої виконується рівність ||фп|| = 1, називається
нормованою функцією. Система функцій {<рп(£)} називається нор-
мованою системою функцій, якщо умова ||фп|| = 1 виконується для
всіх функцій системи. Якщо при цьому виконується й умова (2.2),
то система носить назву ортонормованої. Очевидно, що умова (2.2)
в цьому випадку буде:
ґ , ч , ч ,	[0, пїт,
ІФп(Офт(О<** = к
1, п = т.
а	’
(2.4)
8
Якщо функції Фп(0 неперервні на інтервалі [а, &[,
то довільна кусково-неперервна на інтервалі [а, Ь[ функція
х(і), яка задовольняє умові
ь
/|х(01 аі < оо ,	(2.5)
а
може бути поданою рядом
м
х(0 = Соф0(0 + С1Ф1(П+... +С„фл(О+ - =ХС*Ф*(О-	(2.6)
&=0
Тут М може набувати і нескінченного значення.

Формула (2.6) називається формулою розкладання сигналу
х(і) за системою базисних функцій фл(0* Формула
N
(2.7)
л=о
де N < М, дає наближене зображення сигналу х(і) і називається
апроксимацією сигналу скінченним рядом.
І в тому, і в іншому випадку невідомими є коефіцієнти ряду Сл.
Узагальнений ряд Фур’є
Щоб знайти коефіцієнти Сп, помножимо ліву і праву
частини виразу (2.6) на функцію фп(ґ) та проінтегруємо результат
множення в межах [а, &[.
ь	ь	ь	ь
|х(Оф„(О^ = Со|фо(Офп(О^+С1|ф1(Оф„(О^+- +Сп|фп(Офп(О^ + ....
а	а	а	а
У правій частині цього виразу всі складові, в яких ти п, дорів-
нюють нулю, якщо базисна система функцій {фл(ґ)} ортогональна.
Тоді маємо
56
|х(о <рп (о <а=сп} ф* * (о аі=с„ Ц фп ||2.
а	а
Звідси отримаємо шуканий результат:
1
с-=м!І(ґ,ф-<0Л-
(2.8)
8
	Ряд
х(О = ХСЛ(О,	(2.9)
Л=0
коефіцієнти якого Сп знайдено за формулою
1 &
С" =ІЇфТ	(2,10)
називається узагальненим рядом Фур’є за базисною
системою функцій {фп(0}-
	Сукупність коефіцієнтів Сл ряду Фур’є називається
спектром сигналу х(і) за ортогональною системою
базисних функцій {фл(ґ)}.
Спектр повністю визначає сигнал х(ґ).
У багатьох випадках система базисних функцій є комп-
лексною, тобто {фл(0}* Запишемо всі формули, отримані вище, для
цього випадку.
Умова ортогональності:
*	0, п * т,
Квадрат норми:
| Ф»(0 <'(*)<**=/ ІФДО \2(іі-
а	а
Узагальнений ряд Фур’є:
х(0=Хс*Ф*(0.
л=о
Коефіцієнти узагальненого ряду Фур’є:
1 &
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
57
Тут скрізь ф''(ґ) (або ф*й(0) — функція, комплексно спряжена
функції фДО-
Узагальнений ряд Фур’є має таку чудову властивість, яка
й пояснює широке застосування його при аналізі сигналів.

в
Якщо система базисних функцій {фп(ґ)} задана, і число
членів ряду Фур’є обмежене деякою фіксованою скінчен-
ною величиною ІУ, ряд забезпечує найкращу апроксима-
цію сигналу х(0 за критерієм мінімуму енергії помилки \
(мінімуму середньоквадратичної помилки). Тобто:	\
є2
ь Г N
= ( х(О-Ха*Ф*(О
а І *=<>
2
<Й = £2	^<М
Ш1П ’
І
І
тільки у випадку, якщо ак = СА.

Нерівність Бесселя, рівність Парсеваля
Отже,
ЬГ	N
£2 = [ х(О-ХС*Ф*(О =
а І	*=0
тій’
(2.15)
Знайдемо мінімальне значення похибки є^. Ця величина має
значення енергії похибки апроксимації. Очевидно, розділивши її
на величину 6-а, одержимо середню потужність похибки апрок-
симації.
є2.
ітип
ЬГ	V
= /	(11 =
а І	*=0
Ь N
ЬГ N
2
сії. (2.16)
к=0
_Л=0
Розглянемо кожну зі складових правої частини (2.16).
1.	|х2(ґ)<^=|І*(ОІГ-
а
Це є не що інше, як квадрат норми функції х(Д), тобто енергія
сигналу.
ь N	N Ь	N
2.	2/х(0£сЛ(ПЛ=2£с4х(0фД0Л=2£с2 II<рАII2.
а к=0	а	Л=0
Остання рівність витікає з формули (2.8).
3.	Розглянемо третю складову формули (2.16).
2
2
Ь
58
Відома така формула:
N \2 N	N
=£хі2+Ххіх>-
і=0 І і=0	і=0
Тоді
| Х^лФлСо
аІ_А=О
N	Ь	N	Ь
Ар=О	а	і=0	д
/=0
Якщо базисна система функцій {%(£)} ортогональна, то з (2.2) вихо-
дить, що останній член правої частини перетворюється на нуль і
ь г *	1 н
І £с*ф*(о <и=м<м2.
вІ_Л=О	*=0
Таким чином, для мінімальної енергії похибки апроксимації
можемо записати:
Є... =	-ІСЛ2ІЧ>,|!.	<2.17)
Л=0
Оскільки за визначенням (2.15) похибка апроксимації є вели-
чиною невід’ємною, одержуємо нерівність:
|х(()|!>Іс.-|ф,|!.	(2.18)
Л=0
Ця формула носить назву нерівності Бесселя*.
Нерівність Бесселя справедлива для будь-якої ортогональної
системи базисних функцій і стверджує, що при апроксимації
сигналу х(і) за допомогою ряду з ортогональних функцій енер-
гія (потужність) апроксимуючої функції не перевищує енергію
(потужність) самого сигналу.
Щоб кількісно оцінити якість апроксимації функції х(і) рядом
Фур’є, частіше використовують не абсолютне значення похибки
апроксимації, отримане за формулою (1.17), а відносну середньо-
квадратичну похибку
і
N	І2
г 1і Хс’ІФ,!2
X- ___^тіп_	— 1 — А=0______ ( О 1О\
Бессель Фрідріх Вільгельм (1784-1846 рр.), видатний німецький астроном
і геодезист, іноземний почесний член Петербурзької Академії Наук.
59
8
Ортогональна базисна система функцій {фл(0} називається
повною системою для класу сигналів, що задовольняють
умовам Діріхле, якщо для будь-якого сигналу з цього кла-
су при N -+М енергія похибки апроксимації прямує до
нуля, тобто
м
к(0і* Е 2 з=£с; ІІФ.ІІ2.	(2.20)
А=0
Формула (2.20) носить назву рівність Парсеваля. Вико-
нання рівності Парсеваля свідчить про повноту обраної базисної
системи функцій.
Якщо врахувати, що ||х(0ІІ2 є енергія сигналу, то рівність
Парсеваля можна записати так:
м
Я = Еса2||фЛ2	(2.21)
л=о
або, якщо базисна система функцій є ортонормованою,
м
Е = ^Сгк.	(2.22)
*=о
Формули (2.21) і (2.22) відомі як теорема Парсеваля.
Неповні системи ортогональних функцій не забезпечують
збіжність розкладання в ряд для всіх сигналів. Незважаючи на
це, вони мають широке застосування на практиці. Наприклад,
вихідна напруга ідеального фільтра нижніх частот (див. підроз-
діл 5.1 і детальніше — підрозділ 17.3 другої частини) може бути
точно представлена за допомогою ряду за неповною ортогональною
системою функцій (зіпх)/х.
Вибір оптимальної для заданого класу сигналів базисної системи
функцій залежить від задачі, що стоїть перед інженером.
1. Забезпечити точне розкладання сигналу за обраною базисною
системою функцій.
2. Забезпечити таку апроксимацію сигналу, яка гарантує задану
точність апроксимації при мінімальному числі членів ряду.
При розв’язанні першої задачі найчастіше використовують
систему тригонометричних функцій синус, косинус або зв’язаних
з ними комплексно-експоненційних функцій. Пояснити це можна,
насамперед, тим, що гармонічне коливання — це єдине коливання
(функція часу), що зберігає свою форму при проходженні крізь
лінійні кола з постійними параметрами.
При розв’язанні другої задачі, коли потрібно одержати при-
близний опис сигналів, або коли клас сигналів має деякі особливі
60
властивості, застосовують багато інших систем базисних функ-
цій, наприклад, функції Лагерра, Хаара, Уолша й інші (див. далі
підрозділ 2.3*). Таких систем базисних функцій можна отримати
багато. Практично кожну систему лінійно-незалежних функцій*
/к(і) з інтегрованим квадратом можна перетворити на систему
ортонормованих функцій <рк(і) за допомогою математичної про-
цедури Грама-Шмідта (див. далі підрозділ 2.2*). Використовуючи
цю процедуру, можна показати, що для кожної наданої системи
М + 1 функцій (сигналів) з.(ґ), є система не більша, ніж М + 1 ор-
тонормованих функцій ф.(0, при цьому
м
8/(0 = £С..ф.(0.	(2.23)
7=0
Тепер можна сформулювати кілька важливих властивостей
узагальненого ряду Фур’є.
Властивості рядів Фур’є
1.	Коефіцієнти Сп, обчислені за формулами (2.8) або (2.14),
складають оптимальний за критерієм мінімуму енергії (потужності)
похибки набір коефіцієнтів ряду Фур’є.
2.	З формул (2.8), (2.14) обчислення коефіцієнтів ряду Фур’є
випливає, що коефіцієнт Сп + 1 не залежить від значення коефіцієнта
Сп, тобто кожен з коефіцієнтів ряду обчислюється незалежно від
усіх останніх. Таким чином, якщо при розв’язанні якоїсь задачі
сигнал 8(1) було апроксимовано сумою N членів ряду Фур’є і ви-
никла необхідність збільшити кількість членів ряду до М членів,
перші N коефіцієнтів залишаться незмінними і обчислити треба
буде лише М -Н нових коефіцієнтів.
3.	Якщо базисна система функцій є повною для даного класу
сигналів, то при 2У -»оо енергія похибки апроксимації прямує
до нуля.
4.	У формулах обчислення коефіцієнтів Сп використовуються зна-
чення сигналу «(<) лише в межах інтервалу [а, Ь[. Таким чином,
якщо функцію $(£) задано лише на цьому скінченному інтервалі,
відповідний ряд Фур’є збігатиметься до 8(1) на інтервалі [а, Ь[. Поза
цим інтервалом ряд Фур’є збігається до сигналу, який періодично
продовжує сигнал 8(1). Таким чином, розклад періодичного сигналу
з періодом повторення Т в ряд Фур’є еквівалентний розкладанню
Функції є лінійно незалежними, якщо жодну з них неможна подати у вигляді
виваженої суми інших функцій, що залишилися.
61
періодичне продовження сигналу
за межами інтервалу [а, Ь]
Ь
а
Рис. 2.3.
і
сигналу, заданого на скінченному
інтервалі Т. Рис. 2.3 ілюструє цю
властивість ряду Фур’є.
5.	Ряд Фур’є збігається до сигна-
лу $(0 на інтервалі визначення, але
в загальному випадку не збігається в
кожний довільний момент часу. Це
означає, що якщо два сигнали х(і) і у(0, співпадають скрізь, крім
єдиної точки, де вони відрізняються на скінченну величину (див.
рис. 2.4), то ця скінченна відмінність не впливатиме на величину
коефіцієнтів рядів Фур’є, і ряди Фур’є сигналів х(0 і у(і) будуть
однаковими. У цьому розумінні кажуть, що
перетворення Фур’є — це відбиття «багатьох
в одне». Множина, що визначається пере-
творенням Фур’є, містить функції часу, які
відрізняються лише у скінченній множині
точок у будь-якому інтервалі часу. Слід
підкреслити, що такі розривні сигнали не
мають практичного значення, і ми маємо
право розглядати кожну таку множину як
один сигнал. Ця еквівалентність означає
рівність майже скрізь. Виходячи з цього, можна вважати пере-
творення Фур’є взаємно однозначним відбиттям.
6.	Якщо сигнал а(0, що заданий на
інтервалі часу Т, є неперервним для всіх
значень часу і, крім, можливо, скінченно-
го числа точок, де сигнал та його похідна
мають скінченні розриви, ряд Фур’є збі-
гається монотонно до $(0 скрізь, крім точок
розриву. Але і в точках розриву ряд Фур’є поводиться прийнятно:
межа суми ряду в точці розриву дорівнює середньому значенню від
ліво- і правосторонніх меж. Ілюстрацією цього є рис. 2.5.
»(*)
і
Рис. 2.5.
Приклад 2.3
Нехай деяка функція х(0 подана рядом Фур’є за ортого-
нальною системою функцій {фДО}:
х(0 = С^фДП + С2ф2(0 + С3ф3(О + ...
(2.24, а)
і та сама функція подана рядом
х(0 = С^срДО + С3<р3(0 + С4ф4(О + — •
(2.24, б)
62
У другому випадку ми навмисне вилучили один член ряду. За-
стосувавши той самий метод, що було використано нами раніше
при знаходженні коефіцієнтів Сп, одержимо, що коефіцієнти Ср
С3, С4... і в ряді (2.24, а), і в ряді (2.24, б) будуть однаковими (друга
властивість рядів Фур’є). Отже, якщо один з розкладів є вірним, то
інший містить помилку. Можна припустити, що в (2.24, б) одного
члена бракує. Однак, як можна знати, що в (2.24, а) відповідний
член не є зайвим? Справа в тому, що навіть нескінченна множина
функцій і процедура обчислення коефіцієнтів Сп не гарантують, що
побудований ряд може описати довільну функцію. Лише у випадку,
коли базисна система функцій включає всі необхідні функції, це
можливо й саме ця система функцій називається повною. Вико-
нання рівності Парсеваля (2.20) дає таку гарантію. Очевидно, що
в розглянутому прикладі, якщо рівність Парсеваля виконується
для ряду (2.24, а), то вона не виконується для ряду (2.24, б)
і навпаки.	І І
Приклад 2.4
---- Показати, що система функцій {еІІа} (к — ціле, к є ]-«, оо[),
ортогональна на інтервалі [-я, л[ за потужністю та за енергією.
Розв’язання.
Середня взаємна потужність дорівнює:
Рпт = — (еіпх (еітх )* <іх =— [ еііп-тиах.
пт 2л £	1	' 2л £
Розглянемо два випадки.
1) п = т.
Р„=—(</х = 1.
2) пї т.
Р^=^1еЯа т)Хііх-^Г-------; И" т^[7(п-т)х] =
2л д	2л/(п-т)4
-------8Іп[л (п- т)]=0.
л(п-т)
Таким чином
у (0, п*т,
пт
11, п = т.
63
8Я(О = ^-£Р/8(Х)Є>'ИО'^Х
(3.39)

З аналізу графіків, наведених на рис. 3.11, випливає, що для
того, щоб повернутися від сигналу $к(1) до сигналу $(£), необхідно
здійснити граничний перехід при Т -> оо, тобто,
8(0 = Ит«д(0.	(3.40)
Т ->00
З (3.38) виходить, що при Т -> со коефіцієнти ряду Фур’є Сп -» 0,
з властивості еквідистантності спектрів періодичних сигналівізипли-
ває, що кількість спектральних складових прямує до нескінчен-
ності, а відстань між ними, яка дорівнює Шр прямує до нуля, тобто
спектр стає суцільним. Далі, при Т -> оо частота -> (ї®, п®1 —> о,
а операція підсумовування в (3.39) трансформується в операцію
інтегрування. Таким чином, формула (3.39) стане такою:
2л і
*2
|8(х)е_/““(2х
(1(0.
(3.41)
Інтеграл, що стоїть в квадратних дужках, є функцією тільки
частоти (о, тобто, можна позначити
^2
5(ш) = |з(х)е'у‘“</х.	(3.42)
».
Оскільки сигнал в(і) за умовою відрізняється від нуля тільки
в інтервалі (ґр і2), інтеграл (3.42) не зміниться якщо межі
інтегрування змінити на нескінченні. Крім того, повернемося до
звичної змінної і. Одержимо:
5(®)= ^8(1)6^ (іі.	(3.43)
Тепер формулу (3.41) можна записати так:
8(0 = — |3(со)е**<йо.
—оо
(3.44)
 Формула 5(ш) = £з(і)е 'маі називається формулою
прямого перетворення Фур’є (ПФ);
126
0,5	1	1
С2 = | (1)со8(2л0^ + і (-1)со8(2л7)<^ = —|^8Іп(2яО|°’5-8Іп(2ти)|р 5] = 0;
0	0,5
0,25	0,75	І
С3 = |(1)со8(2яОб7^ + | (-1)со8(2я0</£ + |(1)со8(2лї)</£ =
О	0,25	0,75
= ^[8іп(2яО|о'25-8ІП(2лО|о,’2І+8ІП(2л:О|к75] =
2
Таким чином, маємо —Фз(О.
я
Знаходимо енергію похибки апроксимації:
3	г	А 2 \2 1 (9 \2
£тіп = ііх(0і|2-ХС42||(рЛ2=Ісо52(2л0^-=-- - .
о	І71,! 2 н;
3. Аналогічно тому, як це було зроблено в пункті 2, отримаємо,
що 6^ = 0, С2= 2/я, С3 = 0.
Легко показати, що енергія похибки апроксимації буде такою
ж, як і у пункті 2.	| |
2.2.	* Ортогоналізація систем
лінійно незалежних функцій.
Процедура Грама-Шмідта
Щоб базисна система ортогональних функцій була повною
для довільного сигналу, вона обов’язково має містити безмежну
кількість функцій. На практиці часто трапляються ситуації, коли
клас сигналів, які необхідно подати за допомогою ряду Фур’є,
містять скінченне число членів ряду. В такому разі повна для даного
класу сигналів базисна система функцій також містить скінченну
кількість функцій. Математична процедура Грама-Шмідта, що
розглянута далі, дозволяє таку ортогональну (або ортонормовану)
систему функцій побудувати. Цю процедуру можна застосувати
і у випадку, коли повна для даного класу сигналів базисна система
ортогональних або ортонормованих функцій містить нескінченну
множину функцій.
Нехай $о(О, ^Ц),..., 5м(0 є множиною лінійно незалежних
сигналів, заданих на скінченному інтервалі часу Т. Необхідно
подати ці сигнали рядом Фур’є за базисною ортонормованою сис-
темою функцій <р0(0, ф/0» —, Фл,(0- Задача полягає в тому, щоб за
відомими функціями 8(1) знайти функції <р(£) і коефіцієнти у такі,
щоб виконувалися такі рівняння:
65
«о<О = УооФо<0 + УоіФі<О + •" + УомФм<О	(2.25-0)
«/0 = УюФоСО + Т«Фі<0 + - + УшФм(0	(2.25-1)
МО “ 7моФо(О + 7міФі(0 + - + їммФмСО-	(2.25-М)
Систему рівнянь (2.25) можна подати у вигляді:
«,(0 = £ууфДО. і = 0,1,.... М.	(2.26)
/=о
Запишемо умову ортонормованості на інтервалі Т базисної
системи функцій <р(0-
/гФ,(0ф*(0Л=
ї, і = к,
0, / # к.
(2.27)
Тепер можна сформулювати алгоритм розв’язання задачі.
1.	Прийняти, що у виразі (2.25-0) усі коефіцієнти, крім у00,
дорівнюють нулю, тобто
8о(О = УооФо(О-	(2.28, а)
Піднести обидві частини (2.28, а) до квадрата і проінтегрувати
на інтервалі Т. Якщо врахувати (2.27), отримаємо
Уоо = [/гво(^1І/2,	(2.28,6)
і першу шукану функцію знайдено: ф0(і) =
2.	Прийняти, що у виразі (2.25-1) усі коефіцієнти, крім перших
двох у10 і Уи. дорівнюють нулю, тобто
«1(0 “ УіоФоСО + У,^(0-	(2.29, а)
Помножити обидві частини (2.29, а) на <р0(і) і проінтегрувати на
інтервалі Т. Беручи до уваги умову ортонормованості (2.27) для
функцій <р0(0 і <р1(0» отримаємо
Уіо = /г«і(ОФо(О^-	(2-29, б)
Тепер можна знайти уп. Для цього запишемо (2.29, а) у вигляді
«і(0-У10Фо(0 = УиФі(0»
піднесемо ліву і праву частини до квадрата і проінтегруємо
на інтервалі Т. Отримаємо |г[81(О-у10фо(0]2Л = У121|гф2(О^ = Уп-
66
Знаходимо коефіцієнт уп.
Ги ={/Д^(О-У1оФо(О]2Л }1/2«
Нарешті,
Ф,ю=-Ц,1(О-Ї!А<О.
Тик Уоо _
3.	Продовжити і записати (2.25-2) як
(2.30)
(2.31)
«2(0 - Г20Фо<0 + Ї21Ф1(О + Т22Ф2(О.
тобто, прийняти, що у23 і решта коефіцієнтів дорівнюють нулю
Тепер, як легко показати
їго =^®2(ОФо(О^»	(2.32, а)
У2і= /г«2(0Фі(*М*.	(2.32,6)
Т22 ~ {|г[82(0“'У2<Д>о(О— У2іФх(О]2^^}	»	(2.32, в)
<р (і) = ^-^.І-ІгоФоСО-УгіФіСО .	(2.33)
У22
4.	Продовжити аналогічним чином для усіх функцій зД0, що
залишилися. В результаті дістанемо множину ортонормованих
функцій ф,(0, Л — 0,1, 2,..., М.
Раніше було прийнято, що всі функції з(і) є лінійно незалежни-
ми. Припустимо тепер, що ця вимога не виконується і, наприклад,
8,(0 = В282(0 + В2з2(і), де В3 і В2 — деякі сталі. Тоді, оскільки 8г(0
і 82(0 можуть бути подані за допомогою функцій фх(0 і ф2(0,
То і 8,(0 можна подати за допомогою тільки функцій ф3(0 і ф2(0,
тобто ум = 0, і процедура Грама-Шмідта не згенерує нову функ-
цію ф3(0. У загальному випадку, якщо з М функцій з(і) тільки N
е лінійно незалежними, процедура ортогоналізації визначить N < М
ортонормованих функцій, за допомогою яких можна подати всі
М функцій 8(0.
Ще одне зауваження. М функцій з(і) можна пронумерувати
по-різному. При цьому кожному варіанту нумерації буде відповіда-
ти своя множина N ортонормованих функцій ф(0. Інакше кажучи,
множина ортонормованих функцій, яку отримано за допомогою
процедури Грама-Шмідта, не єдина (унікальна).
67
У просторі сигналів (гільбертовому просторі), що було введено
у підрозділі 1.3, ітераційну процедуру Грама-Шмідта можна запи-
сати у компактному вигляді. Зробимо це.
Дано систему лінійно незалежних векторів {х.; і = 0, 1,2,..., п - 1}
у п-вимірному гільбертовому просторі. Тоді систему ортонормова-
них функцій (векторів) {ф.} можна отримати шляхом нормалізації
функцій {уи.} за такою схемою:
™о=хо>
1¥1=Х1-(Хі,Фо)Фо»
=Х2 ~(Х2’Ф1)Ф1 ~(х2’Фо)Фо’
і-1
^=х(-Е(хрф*)ф*.
де
Ф/=іГ1’ і = 0’1’ 2’-’ л"1-
ЮІ
(2.34, а)
(2.34, б)
Процедура Грама-Шмідта важливіша як метод дове-
дення, а не як обчислювальна процедура. Вона показує, |
що, зосереджуючи увагу на рядах за ортонормованими ї
функціями, ми не вносимо суттєвих обмежень, і для ;
кожної даної системи М лінійно незалежних функцій ;
існує система не більша за М ортонормованих функцій. >

Приклад 2.6
Два сигнали з0(і)
і $х(ґ) наведено на рис. 2.7.
Інтервал часу, на якому во-
ни задані, дорівнює [0, Т[.
Використавши процедуру
Грама-Шмідта, подати ці
сигнали за допомогою орто-
нормованих компонент.
80(І)	®1(/)
0	т	о Т/2 Т
Рис. 2.7.
Розв’язання.
За формулою (2.28, б) отримаємо, що
Уоо = [/г«о(О^]1/2 =
т	\1/2
$2г(іі = 2л/г.
о	7
68
Тоді
Фо(О =
8р(0_ 1
7оо 7Т
За формулою (2.29, б) знаходимо
Т/2 / і \
Уір=/7.8і(Офр(^ = /4 Н= <іі = 2у/Т.
о Т ,
За виразом (2.30) знайдемо уп.
Уи = {/тк(0-УюФо(О]^}
Графіки функцій [з/О-УюФо^)]
і ОДО -у1оФо(О]2 наведено на рис. 2.8.
Отримаємо:
7П = ^4сіі = 2>/т.
Іо )
1 <9«(І)	1 ФіО)
Рис. 2.8.
Нарешті, за формулою (2.31) знаходимо
«1(0 -
27тмо1 і ()_
2л/Т 27Т
’’,<‘)=27?

І>і(^-УіоФ</*Л2
2
Ортонормовані функції ф0(ґ) і фДО наведено на рис. 2.8.
Тепер можна записати ряди Фур’є для сигналів «0(ґ) і «ДО-
зо(О = 2л/т<ро(О,
«Д0 = 2^фо(О + 2^ф1 (0-
Приклад 2.7
Дано систему лінійно незалежних функцій «ДО = іке~і/2ІДі).
За процедурою Грама-Шмідта знайти три перші з нескінченної
множини ортонормованих на інтервалі 0 < і < х функцій фДО-
Ці функції називаються функціями Лагерра. Щоб розв’язати
задачу, нам знадобиться табличний інтеграл (А.81) з додатка А.
Розв'язання.
За формулою (2.28, б) знаходимо
69
Уоо
=[£а2(ол]1/2
00
.0
=1.
Отже, фо(О = е
За формулою (2.29, б)
оо	оо
710 = |з1(Офо(О^* = ^е~‘/2е~,/2<11 = 1.
О	о
За формулою (2.30) одержуємо уп:
Ти =И[«і(О-7юФо(О]2^
][іе-,/2-е-‘/2]гсіі
оо	оо	оо
112е~‘<іі - 21
О	0	0
(2!-2+1)1/2 =1.
Тепер за (2.31) можемо знайти фДґ).
Ф1(0 = — 8^-^^-
7и І 7оо
= іе',/2и(і) - е-‘/2Щі) = (і - 1)е-‘/2Щ0.
За формулою (2.32, а) одержуємо
00	оо
720= /в2(ОФо(О<И= |*2е‘/2е‘/2<И=2!=2.
О	о
За (2.32, б) знаходимо
У21 = |52 (ОФі (О	-1)^ = 3!-2!= 4.
о	о
За (2.32, в) маємо
722 = і ]Ї82(О-72оФо(О-72іФі(*)]2с^ > =
,0
<]е‘[і(ґ-4) + 2]2^
,0
1/2
= 2.
Далі за формулою (2.33) можна знайти ф2(ґ)
ф2(0 = 8г(°-7гоФо(О-72іФі(О = 1^/2 _2е-,/2 _4(і_1)є->/2] Щі) =
722	2
= (іг/2-2і + 1) е',/2и(і)-
Очевидно, що за таким же алгоритмом можна знайти фк(0 для
будь-якого значення к.
70
Фо(0 = е-‘/217(О,
Ф1(П = (і-1)е-(/2Щ0,
ф2(0 = (і2/2-21 + 1)е'(/2Щі),
і кі аі
Зверніть увагу на те, що при і = 0 функції із парними індексами
к дорівнюють 1, а з непарними — значення -1.	[ |
Приклад 2.8
Задано систему лінійно незалежних функцій х. = Xі,
і = 0, 1, 2,.... Використовуючи процедуру Грама-Шмідта, знай-
ти три перші із нескінченного ряду ортонормовані на інтервалі
хє [-1, 1] функції Р.(х). Ці функції називаються ортонормова-
ними поліномами Лежандра першого роду.
Розв'язання.
Скористаємося тепер формулами (2.34, а) і (2.34, б).
~1	-|1/2
II «о 11=
_-1
^о = хо=:1>
Знаходимо РДх).
Г~ ~ і V	1
2, Р0(х)—й її-То
11*0 II у/2
Iі
= X! -(х!,Р0)Р0 =х--{хйх = х,
’ і	11/2
2Х-
Знаходимо Р2(х).
^2 ~ Х2 (Х2’^л)^1 (Х2’^о) ^0
= х2 -—X (х3<іх - — [ х2<іх = -(Зх2 -1),
2	2 З
І!
“11/2
І(зхг-1’-
Аналогічним чином можна отримати поліноми Лежандра будь-
якого порядку.	021
71
2.З.	* Деякі класичні ортогональні системи
у просторі £2 (у просторі зі скалярним
добутком)
Поліноми Лежандра першого роду
Поліномами Лежандра* Рп(х) є многочленами, ортогональ-
ними на проміжку [-1, 4-1]. їх можна знайти за допомогою проце-
дури Грама-Шмідта, якщо за вихідну систему лінійно незалежних
функцій використати систему {1, х, х2, х3, ...}. Графіки декількох
перших поліномів Лежандра наведено на рис. 2.9, а самі поліноми
перших степенів є такими многочленами:
Р0(х) = 1; Р1(х) = х; Р2(х)=4(3х2-1);
Р3 (X) = |(5х3 - Зх); Р4 (X) = |(35х4 -ЗОх2 + 3);
Р5(х) =—(63х5 - 70х3 + 15х);...	(2.35)
8
Доречно відзначити, що при непарних значеннях п поліно-
ми Лежандра непарні функції, а при парних — парні функції
змінної х.
Існують такі рекурентні формули, які дозволяють послідовно
знаходити многочлени для будь-яких значень п:
Лежандр Адрієн Марі (1752-1833 рр.), видатний французький математик,
автор праць з теорії чисел, еліптичних інтегралів, геодезії й ін.
72
Л+і(*)=
2п + 1
п + 1
хРа(х)~
п
—Рп.1(х) = хРп(х) +
х2-1гіР„(х)
П + 1 СІХ
Умова ортогональності для поліномів Лежандра записується
так:
1	0,	п ш,
р„(*)тт(х)с^=- -1	2	(2.36) 	, М = 7П. _2п + 1
Нормування поліномів Лежандра можна здійснити звичайним
способом, поділивши кожний на його норму, тобто
А(*)=
Л(х)
І 2
12п + 1
У прикладі 2.8 за допомогою процедури Грама-Шмідта отримано
перші три з них.
Нехай деяка функція з(х) є Р2[-1, +1], тоді ряд Фур’є-Лежандра
цієї функції буде:
А=0
1
Ск = р(х)РДх)<ІХ.
(2.37)
Потрібно підкреслити ось що: при використанні поліномів
Лежандра як базисних для апроксимації сигналів 8(1), що є функ-
ціями часу на відрізку [-Т/2, Т/2], необхідно або безрозмірний
аргумент х поліномів замінити на аі, де коефіцієнт а = 2/Т (при
цьому, очевидно, зміниться також умова ортогональності (2.36)
і формули (2.37)), або від розмірного аргументу сигналу 8(ґ) перейти
до безрозмірного х = 2і/Т.
Приклад 2.9 [б]
Апроксимувати імпульс прямокутної форми з(і) = АП(і/т),
що дано на інтервалі часу [-Т/2, Т/2], Т = 2т, трьома доданками
ряду Фур’є за системою ортогональних поліномів Лежандра пер-
шого роду. Побудувати графік апроксимуючої функції. Визначити
середньоквадратичну похибку апроксимації.
73
Розв'язання.
На рис. 2.10 наведено графік сиг-
налу з(і) = АП(£/т). Перейдемо від змінної
і до змінної х, тобто, до з(х)=АП(х), де
х = 2і/Т. Другий графік на рис. 2.10 ілюс-
трує цей перехід.
З властивостей парності поліномів
Лежандра виходить, що апроксимуюча
функція має вигляд:
аа(х) = С0Р0(х) + С2Р2(х) + С4Р4(х), (2.38)
-1 -0,5	0 0,5	1
Рис. 2.10.
де Р0(х), Р2(х) і Р4(х) — многочлени (2.35).
Знаходимо коефіцієнти ряду Фур’є-Лежандра.
_ 2п + 1 г . хт>. . ,	А0?5, А
Со = —— ] в(х)Рп (х)<іх = —\ (їх =—.
С2 =~ °/ |(3х2 -1)<іх~(х3 -х)
-0,5
0,5	15А
-0,5" 16
ОД °>,5 1	од
С4 І ^(35х4 -ЗОх2 +3)б/х = у^(7х5 -10х3 +3х)
0,5	135А
-0,5 “ 256
Підставимо у (2.38) коефіцієнти ряду і повернемося до змінної І.
Отримаємо:
А	154	1 3 54
8а(і) = -Р0(2і/Т)-—- Р2(2і/Т) + —-Р4(2і/Т) =
2	1о	25о
А Г 15
2	16
135
1024
560 — -120 — +3
І7Ч І7Ч
(2.39)
На рис. 2.11 наведено графіки вихід-
ного сигналу — безперервна лінія —
і апроксимуючої функції (2.39) — пунк-
тирна лінія. Заштриховані ділянки
графіка дають внесок у середньоквад-
ратичну похибку апроксимації.
Визначимо середньоквадратич-
ну похибку — енергію похибки апро-
ксимації. За формулою (2.17)
1,5] «(ОМ
ч
0,5
--Гч - - ---------------
-Т/2 -т/2	0	т/2	Т/2
Рис. 2.11.
74
е2=||§(х)||2 -£С2||Р*(х)||2.
к=0
Підставляючи отримані значення до цієї формули, визначимо, що
0,5
є2 = | А2сІЇ -
-0,5
А? 2	< 15А У 2 ґ 135А V 2
2 ) 2-0+1 \ 16 ]2-2 + 1\ 256 ) 2-4 + 1
Нарешті, відносна середньоквадратична похибка апроксимації
за (2.19) дорівнює:
г Iі
5 ІІІФОІГ.
= 70,087=0,295.
Поліноми Чебишева* першого роду
Поліноми Чебишева знаходять широкого використання,
наприклад, при апроксимації частотної характеристики ФНЧ —
фільтра Чебишева (див., наприклад, [2, 3, а також додаток Е
частини 3]).
Поліномом Чебишева Тп(х) степеня п називається поліном,
що визначається залежністю
Тп(х) = со8[п • агссоз(х)], |х| < 1.
Кількома першими поліномами Чебишева Тп(х) є такі много-
члени:
Т0(х) = 1; 7\(х) = х; Т2(х) = 2х2 - 1;
Т3(х) = 4х3 - Зх; Т4(х) = 8х4 - 8х2 + 1; ... .	(2.40)
На рис. 2.12 зображено графіки поліномів Чебишева першого
роду на інтервалі 0 < х < 1. Як і поліноми Лежандра, поліноми Чеби-
шева при непарних значеннях п — непарні, а при парних значеннях
п — парні функції змінної х. Поліноми Чебишева відрізняються
тим, що з усіх многочленів степеня п (якщо їх привести до вигляду,
коли коефіцієнт при старшому степені х дорівнює одиниці) вони най-
Чебишев Пафнутій Львович (1821-1894 рр.), великий російський математик,
академік Петербурзької АН (1856). Творчості П. Л. Чебишева притаманна різно-
манітність сфер досліджень, уміння простими засобами знаходити фундаментальні
результати, прагнення пов’язати проблеми математики з принциповими питаннями
природознавства і техніки. Чебишев створив теорію найкращого наближення функцій
за допомогою многочленів, у теорії імовірностей довів закон великих чисел.
75
менше за всі інші многочле-
ни відхиляються від нуля на
відрізку -1 < х < 1 [2]. За-
вдяки цій властивості вони
забезпечують найменшу мак-
симальну похибку рівномір-
ної апроксимації на цьому
інтервалі.
Явний вираз, що визна-
чає поліноми Чебишева, має
вигляд:
Рис. 2.12.
Тп(х) = 2п'г хп
п „п-2 , п(п-З) „л_4 п(п-4)(п-5)„л_6
_ Л "т"	. л	с	л
1! 22	2!24	3!26
Поліноми Чебишева ортогональні на проміжку [-1, +1] з вагою
р(х) = 1/ 71 — х , тобто,

0, пг Ф п,
п/2, пг = п*0,
л, т = п = 0.
(2.41)
З урахуванням (2.41), а також того, що Т0(х) = 1, ряд Фур’є-
Чебишева можна записати так:
5(Х) = СО+Хад(х), -1<Х<1,
Л=1
8(Х)
•\/1-х2
с/х,
(2.42)
2 V з(х)Т„(х)
71 -1 л/1-х2
Приклад 2.10
Апроксимувати імпульс прямокутної форми з(і) = АП(£/т),
який задано на інтервалі часу [-Т/2, Т/2], Т = 2т, трьома доданками
ряду Фур’є за системою ортогональних поліномів Чебишева пер-
шого роду. Побудувати графік апроксимуючої функції. Визначити
середньоквадратичну похибку апроксимації.
76
Розв'язання.
Оскільки умова задачі повторює умову прикладу 2.9,
етап переходу від розмірного аргументу сигналу до безрозмірного
аргументу поліномів пропустимо і відразу перейдемо до визначення
коефіцієнтів ряду
5а(х) = СОТО(Х) + С2Т2(Х) + С4Г4(х),	(2.43)
де Г0(х), Т2(х) і Т4(х) — многочлени (2.40).
Коефіцієнти ряду Фур’є-Чебишева:
_	1 } 8(Х) , А 7 (Іх А
Сп = — -тЛ;/ -гіх =—	-—= =—агсзіпх
0,5
- 0,333А,
-0,5
2 1Ф0ВД ах = 2А V 2x^-1 ах =_ 2А
71-Х2 П -0,5>/1-Х2	Я
0,5
~-0,551А.
-0,5
_	2 } 8(Х)Т4 (х) , 2А °’с5 8х4 - 8х2 +1 ,
С4=- —=±==-гіх=  ---------===—(іх
од і-----	0,5
=—хл/1-х2(х-2х3)	==0,276А.
Підставимо у (2.43) отримані коефіцієнти ряду і повернемося
до змінної І. Отримаємо:
80(і) = О,ЗЗЗАТо(2і/Т) -0,551АТ2(2^/Т) +0,276АТ4(2Є/Т) =
= А<0,333-0,551 8
+ 0,276
128
Графік, що ілюструє цю залежність, практично співпадає з тим,
що наведено на рис. 2.11.
Величина середньоквадратичної похибки і, природно, відносної
середньоквадратичної похибки також практично не відрізняються
від тих визначень, які було отримано при використанні поліномів
Лежандра.	| |
Приклад 2.11
У попередньому прикладі було зауважено, що при апрок-
симації сигналу 8(0 = АП(Є/т), даного на інтервалі часу [-Т/2, Т/2],
Т = 2т, трьома доданками рядів Фур’є-Лежандра і Фур’є-Чебишева
77
результат отримано практично однаковий. Виникає питання, що
буде, якщо кількість доданків рядів зросте? Очевидно, що провести
таке дослідження можливо тільки на ЕОМ. Результати, які наве-
дено нижче, отримано в системі МАТНЕМАТІСА. Цей потужний
пакет прикладних програм дозволяє розв’язувати подібні задачі
безпосередньо у символьному вигляді.
Текст програми визначення коефіцієнтів рядів Фур’є-Лежандра
і Фур’є-Чебишева, апроксимуючих функцій, відображення їх у ви-
гляді графіків на екрані дисплея, обчислення середньоквадратичних
похибок апроксимації наведено у додатку до розділу 2. Параметр
пт задає кількість доданків ряду (наприклад, якщо пт = 5, обчис-
люються ті ж характеристики, що у прикладах 2.9 і 2.10). Змінюючи
параметр пт та висоту вихідного імпульсу а, можна досліджувати
властивості рядів Фур’є-Лежандра і Фур’є-Чебишева.
Розглянемо деякі результати.
На рис. 2.13 наведено графіки Азв(х) = за£(х) - заСА(х), де $о£(ґ)
і заСА(ґ) — апроксимуючі функції, які отримано, відповідно, для
рядів Фур’є-Лежандра та Фур’є-Чебишева, А = 1.
Рисунок 2.13, а) відповідає випадку, коли і один, і другий
ряди включають 0, 2 і 4 доданки рядів (як зазначено вище,
і в першому, і в другому рядах коефіцієнти Сп відрізняються від нуля
тільки для непарних п). Рисунок 2.13, б) ілюструє випадок, коли
апроксимуючі ряди включають ще 6 і 8 членів ряду, рисунок 2.13,
в) — додано ще два доданки: 10 і 12. Як очікувалося, при зростанні
кількості членів ряду середньоквадратична похибка апроксимації
зменшується: якщо при апроксимації сигналу рядом Фур’є-Лежандра
у випадку а) вона дорівнює, приблизно, 0,087, то у випадках б)
і в) — 0,055 і 0,044 відповідно. Така ж, приблизно, похибка і при
використанні поліномів Чебишева (відміна не перевершує 0,005).
Порівняльний аналіз графіків, що наведені на рис. 2.13, показує,
що поки х належить до діапазону -0,5 < х < 0,5, функція А$а(х)
є коливним процесом зі сталою амплітудою. Поза межами цього
діапазону амплітуда зростає зі збільшенням модуля х.
Рис. 2.13.
78
На рис. 2.14 наведено графік функції Д$а(х), отриманої, коли
в кожний з рядів включено по 15 перших парних складових.
Залежність Д$а(х) демонструє особливості апроксимуючого ряду
Фур’є-Чебишева, про які йшлося вище. Що стосується вершини
імпульсу, то її краще апроксимує ряд Фур’є-Лежандра.
Рис. 2.14.
Те дослідження, яке ми виконали, дає інженеру інформацію,
потрібну при виборі тієї чи іншої базисної системи функцій при
розв’язанні конкретної задачі.	[2]
У розділі 25 ми використаємо поліноми Чебишева для апрок-
симації частотних передатних функцій аналогових і цифрових
фільтрів.
Система функцій Хаара
При обробці дискретних сигналів широкого застосування
знаходять ортонормовані системи функцій Хаара і Уолша. В останні
роки функції Хаара застосовуються у новому, що швидко розви-
вається, зокрема у теорії сигналів, методі АУауеІеі-аналізу. Основи
цього методу розглянуто у четвертій частині підручника.
Система функцій Хаара утворює повну ортонормовану систему
у просторі Ь2[0, 1[.
Щоб визначити функції Хаара зручно використати поняття
двійкового відрізка. У нашому випадку це відрізки, які мож-
на одержати діленням відрізка [0,1[ на 2т рівні частини. Ці
відрізки замкнені зліва і відкриті справа. Позначатимемо їх
так: І
де ] змінюється від 1 до 2т \ а т = 1, 2, ....
Для кожного значення т виконується умова
=[0Д[.
ті т£	т2 *	“•
Часто замість подвійної нумерації зручно використати просту
нумерацію, вважаючи І = /п, де п = 2"'"1 4- у. Однак, при такій ну-
79
мерації п = 2, 3, ... (відрізок із п = 1 відсутній). Будемо позначати
ліву і праву половини Іт), відповідно, і /т.+ так, що Іт~ + /щ.+ = Іт..
Систему функцій Хаара {%„(*)} зручно будувати групами: група з но-
мером т містить 2т і функцій {%„(х)}, у = 1, 2,...» 2*'1, т = 1, 2,...,
причому перша Хі(х) = 1 залишається поза групами.
Функції Хаара визначаються такими співвідношеннями:
2(т-1)/2, хє І'
Хті(Х)='і “З'” 1>/2» ХЄГ,,
о. х* ІтГ
Графіки перших восьми функцій Хаара наведено на рис. 2.15.
Умова ортогональності функцій %л(х), х є [0, 1[ має вигляд:
і
ІХп(х)Хт(х)<Іх
о
0, п Ф т,
1, п = т.
(2.44)
Х«(Х)
Х»(*)

Рис. 2.15.
Оскільки норма дорівнює 1, система функцій Хаара ортонор-
мована на інтервалі х є [0, 1[.
Систему ортонормованих функцій Хаара {хп(х)} можна використа-
ти як базисну при розкладі в рівномірно збіжний ряд Фур’є-Хаара
будь-якої неперервної на відрізку [0, 1[ функції
80
/(х) = ^Сп%п(х);
П=1
сп =
О
(2.45)
При використанні функцій Хаара як базисних для апроксимації
сигналів 8(1), заданих на відрізку [0, Т[, безрозмірний аргумент х
функцій Хаара необхідно замінити на аі, де коефіцієнт а = 1/Т.
Очевидно, що при цьому умову ортонормованості (2.44) слід за-
мінити на умову ортогональності:
Тг	Го, п*т,
= ]	(2.46)
о	[1 , п = т.
Таким чином, квадрат норми ||%п(ї)||2 = Т і ряд Фур’є-Хаара будь-
якої неперервної на відрізку [0, Т[ функції буде
«(О = 2СвХп(0;
Л=1
св=7 р(*)хп(О<*«.
•* п
(2.47)
Приклад 2.11
1.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів розкладу в ряд
Фур’є-Хаара сигналу з(і) = 1/Тг(і)Щі)ЩТ - і). Тут г(0 — функція
лінійного зростання.
2.	Навести графіки вихідного сигналу та апроксимуючих
функцій.
3.	Визначити відносну середньоквадратичну похибку апрок-
симації.
Розв’язання.
1.	Зобразимо епюру заданого сигналу (рис. 2.16, а).
Рис. 2.16.
81
За формулою (2.47) знаходимо коефіцієнт Сг Межі інтегрування
та відповідні коефіцієнти знаходимо з аналізу епюр, наведених на
рис. 2.15.
С,=|ї«(‘)Х,(‘М«=ірЛ=і.
Аналогічно знаходимо й інші коефіцієнти.
І Т	|	Т/2 т
1 0	1 І 0	Т/2

Т/4	Т/2
$ІСІІ — ^І(ІІ
°	Т/4
л/2 ҐТ2
Т2 32
у,2 гр2
~8'+32>
72
16 ‘
Легко показати, що С4 = С3.
/р2 гр2 гр2
Ї28~32+Ї28
1 т	2 778	774	2 (
С5	= {Мі-	•
1 0	1 І 0	Т/8	1 \
1
32
С6 = С7 = С8 = С5. В справедливості цих рівностей легко переконатися,
не роблячи обчислень, якщо згадати геометричну інтерпретацію
інтеграла.
2. Знаючи коефіцієнти ряду (2.47) та самі функції Хаара, легко
обчислити апроксимуючі функції при різній кількості складових
ряду Фур’є-Хаара.
Наприклад, на відрізку і є [0, Т/8]
V*) = сЛ(0 + С2Х2(0 + сзХ3(О + с5Х5(0 =
= 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 = 1/16,
на відрізку і є [7Т/8, Т[
М*) = СіХДО + С2Х2(О + с4Х4(0 + с8Х8(0 =
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16,
і т. д.
На рис. 2.16, б), в) і г) наведено частинні суми ряду Фур’є-Хаара
(індекс дорівнює числу членів ряду). Можна сказати, що із збіль-
шенням числа членів ряду апроксимуюча функція збігається до
сигналу в(і).
3. Відносна середньоквадратична похибка апроксимації при
скінченній кількості складових ряду Фур’є визначається за фор-
мулою (2.19).
82
Знайдемо квадрат норми (енергію) сигналу:
II8(0 ||2=	= І =^-
З урахуванням виразу (2.46) за формулою (2.19) для функції,
наведеної на рис. 2.16, б), одержуємо:
х Г(1/2)2-Т(-1/4)2
т/з
2
6 =
ґ З З V і-----------
1---— = 70,0625 = 0,25.
І 4 16 У
Для функції рис. 2.16, в) (чотири члени ряду) відносна середньо-
квадратична похибка апроксимації 3 = 0,125 і, нарешті, для функції
рис. 2.16, г) (вісім складових ряду Фур’є-Хаара) — 5 = 0,0625. І І
Система функцій Уолша
Множину функцій Уолша можна отримати різними спосо-
бами залежно від порядку слідування окремих функцій у системі.
Загальноприйнятими є такі впорядкування: 1. впорядкування за
частістю (за Уолшем); 2. діадичне впорядкування (за Пелі);
3. натуральне впорядкування (за Адамаром).
При аналізі сигналів, як
буде показано далі, найзруч-
ніше використати упорядку-
вання за Уолшем.
Щоб відрізняти окремі
функції, впорядковані за Уол-
шем, використовують узагаль-
нене поняття частоти, яке
визначається як половина се-
реднього числа перетинань ну-
льового рівня в 1с. Для опису
узагальненої частоти засто-
совують термін «частість».
У випадку синусоїдних фун-
кцій поняття частості спів-
падає з поняттям частоти.
Обмежимося системою фун-
кцій Уолша, впорядкованою
за Уолшем.
Множину функцій Уолша
позначають так: {и>аІ(і9 х),
83
і = 0, 1, .... N-1}, де N = 2", п =1, 2, 3,.... Тут і відповідає і-му еле-
ментові множини, у нашому випадку впорядкованої за Уолшем.
На рис. 2.17 зображено графіки перших 9 функцій Уолша
шаІ(і,х).
Позначимо через V, частість юаІ(і, х). Тоді
0, і = 0,

і/2, і-парне,
(і-1)/2, і-непарне.
Функції Уолша, як і тригонометричні функції, можна підроз-
ділити на парні саІ(і, х) і непарні заІ(і, х):
и>аІ(2і, х) = саЦі, х); и>аІ(2і -1, х) = з а Ці, х).
Можна зазначити, що частість кожної наступної функції Уолша
більша або дорівнює частості попередньої функції та має на один
перетин нульового рівня більше у відкритому інтервалі х є [0, 1].
Звідси й виходить назва «впорядкування за частістю».
Система функцій Уолша ортонормована на інтервалі [0, 1],
тобто,
^и>аІ(і,х)іааІ(/,х)(іх
о
0, і Ф ],
1, і = у.
(2.48)
0, і * у,
Т, і = у.
(2.49)
Якщо функції Уолша задано на інтервалі [0, Т], то умова орто-
гональності (2.48) записується у вигляді
т
о
Для функцій Уолша, впорядкованих за частістю, справедлива
така рівність:
іиаЦі, х)и>аІ(], х) - шаІ(і Ф у, х).	(2.50)
Тут знаком ® позначено операцію підсумовування розрядами за
модулем 2 чисел, записаних у двійковій системі числення, тобто:
0®0 = 0;0Ф1 = 1;1Ф0=1;1Ф1 = 0.
Праворуч на рис. 2.17 вписано для кожної з функцій Уол-
ша значення і у двійковій системі числення. Скориставшись
формулою (2.50), можна за тими функціями, що наведені на
рисунку, знайти функції Уолша до и>аІ(15, х). Наприклад,
и>аІ(8, х)іиаЦ2, х) = іоаЦІО, х).
Запишемо ряд Фур’є-Уолша
84
8(1) = 2^Ски>аІ(!г, і),
*=о
1 т
Ск=—^8(і)и>аЦк,і)си, £є[0, Т].
о
(2.51)
Обмежуючись у ряді Фур’є-Уоліпа скінченним числом членів,
одержимо частинну суму — апроксимацію сигналу з(і).
Приклад 2.12
1. Обчислити значення перших восьми коефіцієнтів
розкладу в ряд Фур’є-Уоліпа сигналу з(і) = 1 / Тг(і)Щі) ЩТ - і), який
ми розглянули в прикладі 2.11.
2. Обчислити відносну середньоквадратичну похибку апрок-
симації.
Розв’язання.
1. Оскільки перші дві функції Уолша співпадають з пер-
шими двома функціями Хаара, можна одразу записати Со= 1/2,
С, = —1/4 (див. приклад 2.11).
Далі
1 т С2 = І8<0 ^(2,1) <11 = 0	'т/^	ЗТ/4	т | І(1і- | І(ІІ+ | І(ІІ 0	Т/4	ЗТ/4
- 7/4	7/2	31/4	т	і
— ^їсІЇ-Ї?с1і+ І ісІЇ- | ідЛ = —;
_ О	Т/4	Т/2	ЗТ/4 _	8
Т/4	Т/2 ЗТ/4	Т
Т/2
1 Т
С3=-;|8(0и;а/(3
* о
С4 = С. = Сй = 0;
4 О 6	7
1 Т
С7 = ~^8(і)и/аІ(1
Т о
1 |~Т/8	Т/4	ЗТ/З	Т/2	5Т/3	6Т/3	7Т/3 Т
*	[_ О	Т/8	Т/4	ЗТ/8	Т/2	5Г/8	6Т/8	7Т/8
1 / О	* /	<52/0	х / а	□ X / о	О / /б	І / / б	І
= —~ | І(ІІ ІСІЇ + | І(ІІ — | І(ІІ + І(ІІ -1 І(ІІ +| ісіі -1 ісіі =----------------------------.
Т _ О Т/З Т/4 ЗТ/З Т/2	5Т/3	6Т/3	7Т/3	_
Знаючи коефіцієнти ряду, можна обчислити апроксимуючі функції
при різній кількості ортогональних складових ряду Фур’є-Уолша.
Наприклад, на відрізку і є [0,Т/8[
МО = С0 + С1 + сз + с7 = 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 = 1/16;
85
на відрізку і є [7Т/8, Т]
5в8(0 = Со - Сх - сз - с7 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16 і т. д.
Графіки частинних сум ряду Фур’є-Уолша мають той самий
вигляд, що і в попередньому прикладі (рис. 2.16).
2. Відносна середньоквадратична похибка апроксимації при
скінченній кількості складових ряду Фур’є визначається за фор-
мулою (2.19). Для функції, наведеної на рис. 2.16,6), одержуємо, як
і в попередньому прикладі, 6 = 0,25. Для функції рис. 2.16, в) — чо-
тири члени ряду — відносна середньоквадратична похибка апрок-
симації 6 = 0,125 і для функції рис. 2.16, г) — вісім складових ряду
Фур’є-Уолша — 5 = 0,0625.
Порівнявши результати апроксимації заданого сигналу рядами
Фур’є-Хаара і Фур’є-Уолша, можна зробити висновок, що вони за
виглядом апроксимуючих функцій і за величиною відносної серед-
ньоквадратичної похибки повністю ідентичні.	І І
Система поліномів і функцій Лагерра
Функції Лагерра широко застосовуються у вимірювальній
техніці і в системах багатоканального зв’язку. Пояснюється це
простотою їх генерування, оскільки функції Лагерра (див. графіки,
що наведено на рис. 2.18) співпадають з імпульсною характеристикою
фізичного кола, що складається з каскадного з’єднання простих
ЯС-ланок (див., наприклад, [2, 1]).
В багатьох задачах радіотехніки роботу системи розглядають
на проміжку [0, оо]. Тому при розв’язанні таких задач необхідно
користуватися базисами, елементи яких визначені на півосі. До
них належать поліноми та функції Лагерра. Цей базис особливо
зручний у випадку, коли модель сигналу задана у вигляді полінома
або добутком поліномів на експоненціальні функції.
Поліноми Лагерра визначаються так:
£я(х)=(-1)"ех-^-(хяе-1), х>0.
ах
Поліноми Лагерра ортогональні на півосі [0, оо] з вагою р(х) = е х,
тобто,
7	[0,	п^/п,
|£ (х)і(х)е *<іх=\
І п' ' я' '	/_|\2 „ _
0	Цл!), П — Ш.
Здійснивши нормування їп(х) = £„(х)/п!, одержимо ортонормо-
вану базисну систему поліномів Лагерра. Перші п’ять поліномів
£п(х) і £„(х) наведено нижче:
86
Ь0(х) = £0(х) = 1;	Ь1(х) = £і(х) = -х + 1;
£2(х) = х2-4х + 2;	£2(х)Ц(х2-4x4-2);
Ь3(х) = -х® + 9х2 - 18х + 6; Д(х) = і(-х3 +9х2 -18х+6);
Ь4(х) = х4 - 16х3 + 72х2 - 96х + 24;
Ь4(х) = —(х* -16х3 4-72х2 -96x4-24);
24
І,5(х) = -х5 4- 25Х4 - 200Х3 4- 600х2 - бООх 4-120;
£6(х) = — (-х5 4-25х4 -200х3 4-600х2 -600x4420).
За формулою
(-*)*
(й!)2
можна знайти нормовані поліноми
Лагерра будь-якого порядку.
Функції Лагерра визначаються
за формулою
и*)=е'х/24(х).	(2.52)
Графіки перших 8-ми функцій
Лагерра наведено на рис. 2.18.
Функції Лагерра ортонормо-
вані на інтервалі [0, оо] і мають
властивість Іп(0) = 1.
Можна відмітити, що функції
(2.34), одержані за допомогою про-
цедури Грама-Шмідта у прикладі
2.7, з точністю до коефіцієнта (-1)"
співпадають з тими, що визна-
чені виразом (2.52). Зауважимо,
що зміна знаку перед функцією
не впливає на її властивості
ортогональності.
Запишемо формули для ря-
ду Фур’є—Лагерра і його коефі-
цієнтів.
0	10	20 ЗО 40	50
Рис. 2.18.
87
ГМ = ^СпІп(х),
п=0
Сп =]ї(х)Іп(х)<1х.
О
(2.53)
При апроксимації сигналів — функцій часу — безрозмірний
аргумент функцій Лагерра х слід замінити на аі, де а > 0 —
коефіцієнт, що задає необхідний часовий масштаб.
Приклад 2.13 дт
1. Обчислити значення перших восьми коефіцієнтів роз-
кладання в ряд Фур’є-Лагерра сигналу з(0 = 17(0*
2. Знайти відносну середньоквадратичну похибку апрокси-
мації.
Розв’язання,
1. Перейдемо від безрозмірного аргументу х до часу і = х/а.
з(і) = $(х/а) = Щх/а). Із властивостей функції одиничного стрибка
одержуємо, що з(х) = Щх).
Знаходимо коефіцієнти ряду Фур’є—Лагерра, використовую-
чи формули (2.52), (2.53) і формули для нормованих поліномів
Лагерра.
Со = |(7(х)/0(х)с/х=|/0(х)с/х^е 2£0(х)е/х=|е Мх=2;
0	0	0	о
Ц = |Іг(х)Лх =|е‘2 ь^х)(іх =|е 2 (-х + 1)сіх=- 2.
0	0	о
При обчисленні цього та наступних коефіцієнтів використо-
вується табличний інтеграл (А.81) з додатка А.
Продовжуючи аналогічним чином, можна переконатися, що
Сп = 2(-1)п при будь-якому значенні п.
Тепер можна знайти апроксимуючі функції при різній кіль^
кості ортогональних складових. Наприклад, для ряду з трьох
членів маємо:
$о2(*) = С010(х) + С^Дх) + С2/2(х) =
= 2е-х/2[1 - (-х +1)4- (х2 - 4х + 2)/2]С7(х) = е */2(х2 - 2х + 2)С7(х).
Графік цієї функції наведено на рис. 2.19.
88
При великій кількос-
ті членів ряду побудува-
ти апроксимуючу функ-
цію— громіздка задача,
яка потребує великих ви-
трат часу. Тут треба вже
використати ЕОМ і, зо-
крема, пакет прикладних
програм МАТНЕМАТІСА.
Щоб розв’язати задачу (от-
римати ряд Фур’є-Лагерра
і графіки апроксимуючих
функцій) достатньо запи-
сати 4 оператори, які наведені в додатку до розділу 2. Змінюючи
параметр пш, можна отримати графіки апроксимуючих функцій
при довільному числі членів ряду.
На рис. 2.19 наведено графіки апроксимуючих функцій, коли
ряд Фур’є-Лагерра містить 4, 8 і 36 складових. Можна відзначити,
що зі збільшенням кількості членів ряду апроксимуюча функція
все ближче збігається до сигналу з(х).
2. Відносна середньоквадратична похибка апроксимації при
скінченній кількості складових ряду Фур’є визначається за фор-
мулою (2.19). Оскільки енергія сигналу нескінченна, відносна се-
редньоквадратична похибка апроксимації при будь-якій скінченній
кількості складових ряду Фур’є дорівнює 1.	| |
2.4.* Подання сигналів у векторному просторі
У цьому підрозділі докладніше розглянемо геометричну
інтерпретацію подання сигналів у тому просторі, що було побудо-
вано у підрозділі 1.3.
Існує певна аналогія між зображен-
ням сигналів за допомогою ортогональ-
них функцій та зображенням векторів за
допомогою ортонормованих компонент.
Паралель між сигналами і векторами
настільки близька, що багато з того,
що розглядається в курсі «Сигнали та
процеси в радіотехніці», розглядається
у спеціальній математичній літературі
в розділі «Лінійні векторні простори».
89
Як приклад розглянемо тримірний евклідовйй простір. На
рис. 2.20 вектор А подано в системі координат ХУ£. Одиничні
вектори і, і, к попарно перпендикулярні один одному та утворюють
праву прямокутну декартову систему координат. Скалярні добутки
цих одиничних векторів дорівнюють одиниці, тобто,
(і, і) = а, і) = (к, к) = 1.	(2.54)
Можна відзначити аналогію з властивостями ортонормованих
функцій
(фп(0<МОЛ = 1.	(2.55)
•І 1
Далі, для одиничних векторів виконується умова
(і, і) = 0, к) = (к, і) = 0.	(2.56)
Для ортонормованих функцій відповідна властивість записуєть-
ся так:
|гФп(0фт(0Л = 0, п*т.	(2.57)
Довільний вектор А можна однозначно подати у вигляді
А=Ахі+Ар+А,к.	(2.58)
Аналогічно довільну функцію х(і) можна подати так:
Х(О = Софо(О +	+ ... + Смфм(О	(2.59)
за умови, що базисна система функцій є повною для даного класу
функцій.
Якщо потрібно знайти, наприклад, компоненту А,, треба знайти
скалярний добуток (і, А), тобто, записати
б, А) = А (і, і) + АД і) 4-А (і, к) = 0 + Ау + 0.
Звідси одержуємо: Ау = (і, А). Такий самий метод було вико-
ристано вище при виведенні формули (2.8) для коефіцієнтів ряду
Фур’є.
Довільний вектор можна однозначно визначити його прямокут-
ними декартовими координатами
А = {Ах,Ау,Аг}.	(2.60)
Відповідно функцію х(і) можна однозначно визначити коефіцієн-
тами ряду Фур’є або, іншими словами, спектром за вибраною ба-
зисною системою ортогональних функцій, тобто,
х(О = {Со,СрС2,...,См}.	(2.61)
90
Для наочності було розглянуто вектори у фізичному, тримір-
ному, просторі. Все, що було обговорено вище, справедливе і для
М-мірного векторного простору.
Кожний сигнал, який можна подати у вигляді ряду Фур’є
м
х(О = £хаФДО	(2.62)
к=0
за заданою системою функцій <рА(^), можна описати сукупністю М
величин (коефіцієнтів ряду) ХЛ, які визначають М-мірний вектор
х з компонентами Хк, Якщо у(і) — інша функція, задана у тій же
базисній системі функцій, тобто
м
ИО = £у»Ф»(О>	(2.63)
Л=0
то вектор, що відповідає сигналу Ах(і) 4- Ву(і), д,еА ЇВ — константи,
просто має вигляд Ах 4- Ву.
Нехай обрана базисна система функцій є ортонормованою на
інтервалі Т. Тоді можна записати
м
м	1Г м
/	2Х<мо	(2.64)
|_т=0	_Ц_л=О	4	л=0
Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює ін-
тегралу від добутку двох сигналів. З цього результату випливають
такі наслідки:
1. Умова ортогональності функцій х(і) і у(і) еквівалентна умові
рівності нулю скалярного добутку векторів х і у, тобто тому, що
вектори х і у перпендикулярні один одному. Отже, вектори фл, що
відповідають функціям (рл(0, утворять сукупність взаємно перпен-
дикулярних М векторів у М-мірному просторі.
2. Якщо х(ґ) подано рядом (2.62), тоді
м
$тХ2(і)(іІ = £Х2 = (х,х) =|| х||2,	(2.65)
п=0
де ||х||2 — квадрат розміру або довжини вектора х, що еквівалент-
но квадрату норми або енергії сигналу х(ґ). У окремому випадку,
коли функції <рк(і) нормовані (квадрат норми функцій <рк(і) дорів-
нює одиниці), вектори фл являють собою взаємно перпендикулярні
одиничні вектори (як вектори і, ), к на рис. 2.20), що утворюють
декартову координатну систему у М-мірному евклідовому просторі.
Тоді кожний коефіцієнт Хк є складовою вектора х за 6-ю координа-
тою. Оскільки фл — одиничний вектор у напрямку к-ї координати,
то Хк — це проекція вектора х на фл:
91
хк =<х> Ф*)=]/(Офл(О<^-
(2.66)
Це не що інше, як вираз (2.8) для коефіцієнтів ряду Фур’є, що
отримано раніше алгебраїчним шляхом.
Чудовою особливістю векторного подання сигналів є те, що
при цьому з’являється можливість оцінити ступінь відмінності
одного сигналу від іншого, тобто
знайти «відстань між сигналами».
Наприклад, два сигнали і 82(і),
кожний з яких подано рядом Фур’є
за ортонормованою базисною системою
функцій {ф*}, можна подати за допо-
могою двох векторів, як зображено на
рис. 2.21 (для простоти розмірність
векторного простору дорівнює 2). Сис-
тему координат задано за допомогою
одиничних ортонормальних векторів
фх і (р2. Сигнали ^(ґ) і 82(і) подані своїми компонентами, ко-
ординатами, (5П, 512) і (^2і» ^22) а®° векторами, проведеними
з початку координат до точок з відповідними координатами.
Розглянемо типову для радіотехніки ситуацію.
Нехай є N сигналів 8^1), 82(і), ..., 8^1). Кожний з них містить деяке
своє повідомлення (інформацію), що потрібно передавати з одного
місця до іншого. Залежно від повідомлення необхідно передати
той або інший сигнал. На приймальному кінці відомо для кожно-
го з N сигналів, яке повідомлення він несе. Таким чином, задача
полягає в тому, щоб відрізнити прийнятий сигнал від усіх інших,
тобто зробити розрізнення сигналів. Подібні задачі виникають не
тільки у зв’язку, але і, наприклад, у радіолокації. Якщо прийня-
тий сигнал не відрізняється від переданого, ніяких ускладнень не
виникає. Однак, при передачі радіосигналу на нього накладається
шум і, незалежно від параметрів сигналу (потужність, закон роз-
поділу й ін.), завжди з’являється скінченна імовірність помилки
розрізнення сигналів. Очевидно, що імовірність виникнення такої
помилки тим менша, чим більшою мірою сигнали відрізняються
один від одного. Завдання полягає в тому, щоб запровадити якусь
кількісну характеристику відмінності одного сигналу від іншого.
Як видно на рис. 2.21, такою характеристикою може бути розмір
відстані між точками з координатами (51Р 512) і (521, 522), тобто:
И(0 - з2(0ІІ2 = [(5П - 521)2 + (512 - 522)2].	(2.67)
Якщо </(8р 82) — відстань між сигналами 8,(0 і 82(0, з (1.44, б))
випливає:
92
а\зх, в2)	-<=/г[М*)-М*)]2Л-	(2.68)
Ясно, що відмінність між двома сигналами максимальна, якщо
кут між відповідними векторами в даному випадку, коли розмір-
ність векторного простору дорівнює 2, складає 180°.
Покажемо переваги векторного подання сигналів на прикладах.
Приклад 2.14
Скалярний добуток двох векторів можна записати у ви-
гляді (див. підрозділ 1.3)
(х, у) = ||х|| • ||у||сО80,
де 0 — кут між векторами х і у. Оскільки |соз0| < 1, то
||(х, у)||2 < ||х||2 ІІУІІ2	(2.69)
або
^х(і)у(ї)сІі
(2.70)
Формула (2.70) називається нерівністю Буняковського-Шварца.
Цю корисну формулу (ми надалі нею скористаємося) можна одержати
і безпосередньо, але векторний підхід спрощує її виведення. [2]
Приклад 2.15
Нехай необхідно вибрати коефіцієнти Хк у скінченної
N
суми ^ГХЛфЛ(ґ), що за критерієм мінімальної середньоквадра-
А=0
тичної похибки апроксимує сигнал х(ґ). Розв’язання цієї задачі,
отримане алгебраїчно, звелося до того, що коефіцієнти Хк мають
бути коефіцієнтами ряду Фур’є. Суть цієї проблеми і її розв’язання
стають набагато зрозумілішими, якщо її розглянути у векторній
формі. Нехай необхідно знайти «краще наближення» вектора
х' до вектора х. Припустимо, що вектор х' має скінченне число
відмінних від нуля складових (наприклад, перші необхідних
для визначення вектора х. При цьому під «кращим наближенням»
розуміється мінімізація відстані між кінцями векторів х і х' або
норми Нх-х'И вектора х-х'. Мінімальна відстань між векторами
в цьому значенні відповідає мінімальній середньоквадратичній
похибці між сигналами, оскільки
Цх,х'І|2=
N
А=0
2
А ^тіп ‘
93
Тут Хк — компонента вектора х уздовж к-го одиничного векто-
ра
Припустимо, зокрема, що необхідно знайти кращу апроксимацію
тривимірного вектора х вектором х', що лежить у площині 9^2,
як зображено на рис. 2.22.
З геометричної точки зору ясно, що
для мінімізації ||х - х'|| вектор х - х' має
бути перпендикулярним до площини
<р1ф2; отже, складові вектора х' мають
бути однаковими зі складовими век-
тора х за координатами срх і (р2. Тоді
з властивостей прямокутних трикут-
ників одержуємо ||х|| > ||х'||, що еквіва-
лентно нерівності Бесселя. | |
Приклад 2.16
Розглянемо 4 наступні сигнали:
8((0 = л/2^со8[®0?+(2і-1)л/4],	(2.71)
де Р8 — середня потужність кожного з сигналів, і набуває значення
1, 2, 3 і 4, 0 < і < Т, 2<о0Т = ті. Таким чином, кожний з сигналів є
відрізком косинусоїди з однаковою амплітудою і частотою. Сигнали
відрізняються тільки значеннями початкової фази: при переході від
одного сигналу до іншого фаза стрибком змінюється на 45°. Такі
сигнали називають фазоманіпульованими (ФМн) і вони широко
використовуються у техніці зв’язку. Ми їх розглянемо у розділі
12. Потрібно:
1.	Побудувати ортонормовану систему координат для заданого
сигналу.
2.	Подати сигнал у вигляді векторів у побудованій системі
координат.
Розв'язання.
Запишемо (2.71) так:
«ДО = уІ2Р3 соз [(2г -1)я/4] созсц/ - ^2Р3 зіп [(2і -1) я/4] зіпсцД,
і позначимо
Фі (0 = л/2 / Т соз щД, ф2 (0 = д/2 / 8ІП юо
Тоді 8.(1) можна записати так:
94
«1(0 = 7^ СО8 [(2г - 1)л/4]	ф2(0.
Тепер можна зобразити сигнали при / = 1, 2, 3 і 4. Це зроблено
на рис. 2.23. Відзначимо, що відстань між сигналами, наприклад,
82(і) і $3(0 дорівнює (І = ^2Р$Т.
Важливо зазначити, що довжи-
на (модуль) вектора, що відоб-
ражає сигнал, дорівнює кореню
квадратному з енергії сигналу.
Дійсно, за формулою (2.71)
маємо, що енергія кожного
з сигналів дорівнює РТ. | |
На цьому ми закінчимо роз-
гляд загальних питань спект-
рального аналізу сигналів
і зосередимося на перший з двох задач аналізу, які були сформульо-
вані у підрозділі 2.1, тобто: розглянемо випадок, коли базисною
системою ортогональних функцій є система тригонометричних
функцій синус, косинус або пов’язаних з ними комплексно-екс-
поненційних функцій.
2.5.	ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 2.1
2.1.1.	Показати, що система функцій {со8 кп}> к ціле, к = [0, оо],
є ортогональною на інтервалі [0, л[ за потужністю і енергією.
2.1.2.	Показати, що система функцій {зіп кп}9 к ціле, к = [0, оо],
є ортогональною на інтервалі [0, л[ за потужністю і енергією.
2.1.3.	Показати, що коли функції фл(ґ) і фт(0 задовольняють
умові ортогональності, то зміна знаку перед будь-якою з них не
порушує умову ортогональності.
2.1.4.	[6] Визначити норми функцій на інтервалах ортогональ-
ності, що зазначені у квадратних дужках праворуч від функції:
а) $і£п[8Іп(2лл£/Т)], [0, Т]; б) -^8І£п[8Іп(2пл£/Т)], [0,Т];
в) а/2со8(27спґ), [0,1]; г) 8Іп(2лпО, [0, 1];
д) ехр(у’2лпґ/Т), [0, 71;
е) —^=ехр(72лпґ/Т), [0, Т],
уіТ
95
де п — цілі додатні числа.
Які з наведених функцій є ортонормованими?
Відповідь: а) л/Т; б) 1; в) 1; г) 1/^2; д) у/Т; е) 1.
Ортонормованими є функції б), в), е).
2.1.5.	Показати, що система функцій
<М0 = '
1/ч/3, к8<£<(/г + 1)3
0, для інших значень і
, 1*1 <00,
2.1.6.	На рис. 2.25 наведено
графіки двох сигналів. Побуду-
вати графік сигналу з^і) + 82(£).
Показати, що сигнали з^і) і з2(£)
є ортогональні. Показати, що
Цз/0 + 82(£)||2 = ІІ8Д0ІІ2 + ІІМОІГ-
Рис. 2.25.
Задачі до підрозділу 2.2
2.2.1.	Три сигнали наведено на рис. 2.26.
Використовуючи процедуру Грама-Шмідта, подати ці сигнали
за допомогою ортонормованих складових.
Рис. 2.26.
2.2.2.	Використовуючи процедуру Грама-Шмідта, подати сигнали,
наведені на рис. 2.27 за допомогою ортонормованих компонент.
1.	При використанні процедури ортогоналізації розглядати
сигнали у такому порядку: 8/0, $2(0, 83(0, 84(0«
96
2.	Повторити розв’язання задачі, змінивши порядок запису
сигналів: «ДО, $4(0, 53(0 і $2(0-
.27.
М0 = '
2.2.3.	Множину сигналів задано виразом
соз((о0^ + йл/2), О<^<2/пс/соо,
0, у інших випадках,
де к - 1, 2, 3 і 4.
Зобразити графіки сигналів.
За процедурою Грама-Шмідта знайти ортогональну множину
функцій, за допомогою яких можна подати сигнали 8к(і).
Задачі до підрозділу 2.3
2.3.1. Апроксимувати імпульсний сиг-
нал, що наведено на рис. 2.28 (сигнал за-
дано на інтервалі часу [-Т/2, Т/2], Т = 2т),
трьома доданками ряду Фур’є-Лежандра.
Зобразити графік апроксимуючої функції.
Визначити середньоквадратичну похибку
апроксимації.
2.3.2. Апроксимувати імпульсний сиг-
нал, що наведено на рис. 2.28 (сигнал зада-
но на інтервалі часу [-Т/2, Т/2], Т = 2т), трьома доданками ряду
Фур’є-Чебишева. Побудувати графік апроксимуючої функції.
Визначити середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.3.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Хаара
сигналу = Щі)ЩсТ - і), якщо:
1)	с =1;	2) с =1/2;	3) с =1/4;	4) с =1/8.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.4.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Уолша
сигналу, що розглянуто у задачі 2.3.3.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
-У2 0
в(0
-Т/2
Рис. 2.28.
т/2 Т/2
-А
97
2.3.5.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Хаара
сигналу = 1/Т[г(О - 2г(і - Т/2)]17(Т - і). Тут г(і) — функція
лінійного зростання.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.6.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Уолша
сигналу, що розглянуто у задачі 2.3.5.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.7.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Хаара
сигналу з(і) = 1/Т[г(і) - г(1 - Т/2)]У(Т - ґ). Тут г(і) — функція
лінійного зростання.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.8.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Уолша
сигналу, що розглянуто у задачі 2.3.7.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.9.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Хаара
сигналу	- і).
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.10.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Уолша
сигналу, що розглянуто у задачі 2.3.9.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.11.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Хаара
сигналу в(0 - (1 - е'</г)С7О)С7(Т -1).
Знайтй відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.12.	Обчислити перші вісім коефіцієнтів ряду Фур’є-Уолша
сигналу, що розглянуто у задачі 2.3.11.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.13.	Обчислити перші десять коефіцієнтів ряду Фур’є-
Лагерра коливання /(0 — б(і).
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.14.	Обчислити перші десять коефіцієнтів ряду Фур’є-
Лагерра коливання /(і) = е"°*/217(0> а > 0.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.15.	Обчислити перші десять коефіцієнтів ряду Фур’є-
Лагерра коливання /(/) =	а > 0.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.16.	Обчислити перші десять коефіцієнтів ряду Фур’є-
Лагерра коливання /(і) =	а > 0.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.17.	Обчислити перші десять коефіцієнтів ряду Фур’є-
Лагерра коливання /(і) = (а/)ге“а'''2Щ#), а > 0.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
98
2.3.18.	[6] Апроксимувати імпульс з(і) = [ДЦСДт - і), і є (0, <ю),
трьома доданками ряду Фур’є-Лагерра.
Знайти відносну середньоквадратичну похибку апроксимації.
2.3.19.	[6] Апроксимувати імпульс з(і) =	- е~рі, 0 < і < оо,
де а = 103с-1, Р = 2 • 103с-1, трьома складовими ряду Фур’є-Лагерра.
Визначити норми вихідного та апроксимуючого імпульсів.
Задачі до підрозділу 2.4
2.4.1.	Використовуючи результати розв’язання задачі 2.2.2,
подати сигнали, що наведено на рис. 2.27, у вигляді точок у системі
координат ортогональних компонент. Показати, що і для першо-
го, і для другого варіантів порядку запису сигналів відстані між
сигналами залишаються незмінними.
2.4.2.	Дано два сигнали з^і) = /(і), 0 < і < Т і з2(0 = -/(і),
Показати, що незалежно від вигляду функції /(І) відстань між
сигналами дорівнює ^2Е, де Е — енергія коливання Дґ).
2.4.3. [7] Дано два сигнали: и(і) = [17(0 - Щі - т)] і у(ґ) — Ае~а‘Щі)
(А, а і т — додатні дійсні числа). Вважаючи тривалість т фіксованою,
знайти параметр а такий, що відстань д(и, V) є мінімальною.
Відповідь: а — 0,96/т.
2.4.4.	[7] Сигнал ДОв і2, і є [0,1]. Знайти наближення до цьо-
го сигналу за допомогою лінійної функції и(і) - Аі + В, найкраще
за мінімумом відстані.
Відповідь: А = 1, В « -1/6.
2.4.5.	[7] На відрізку часу -Т/2 <і< Т/2 за-
дано імпульсний сигнал и(і) = А соз(лґ/Т), що
тотожно дорівнює нулю поза межами відрізка
(рис. 2.29). Сигнал у(і) — це прямокутний ім-
пульс тривалістю 2;о, вписаний в імпульс и(і).
Визначити параметр і0 таким, щоб відстань гі(и,
V) була мінімальною.
Рис. 2.29.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Френкс Л. Теория сигналов. Пер. с англ. М.: Сов. радно,
1974. —344 с.
2.	Сиберт У. М. Цепи, сигнальї, системьі: В 2-х ч. 4.1: Пер.
с англ. М.: Мир, 1988. —336 с. 4.2: Пер. с англ. М.: Мир,
1988. —359 с.
99
3.	2іетег Косі^ег Е., Тгапіег \7і11іат Н., Гаппіп В. Копай.
8і§па1з апсі Зузіетз: Сопііпиоиз апсі Візсгеіе. Мастіїїап
РиЬІізІппе Со., 1990. —487 р.
4.	Солодовников В. В, Дмитриев А. Н., Егупов Н. Д.
Спектральньїе методи расчета и проектирования систем
управлення. М.: Машиностроение, 1986. —440 с.
5.	Хармут X. Ф. Передача информации ортогональними
функциями: Пер. с англ. М.: Связь, 1975. —269 с.
6.	Хармут X. Ф. Несинусоидальньїе волни в радиолокации
и радиосвязи: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. —376 с.
7.	Янке Е., Змде Ф., Леш Ф. Специальние функции:
формули, графини, таблицн. М.: Наука, 1968. —344 с.
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 2
Програма до прикладу 2.1
V
• = 4/Рі2 5іп[х(2к-1)]/(2к-1);
к«1
«1-е/. »-> 1;
82-8/. Н-> 2;
83 = 8/. Н-> 3;
84 = 8/. Н->4;
д1 = Р1оі[8І, {х, 0, 2Р1), АжяЬаЬеІ
д2 = Р1о1[в2, {х, 0, 2РІ}, АжвЬаЬеІ ->	'	}]
дЗ = Р1оі[83, {х, 0, 2РіЬ АжяЬаЬеІ -> {"цЛ", "ЗзСЬ)" }]
д4 = Р1оі[84, {х, 0, 2Р1}, АжяЬаЬеІ ->	, "5<(і)« И
31штг[&гарЬіс8Аггау[({д1, дЗ), {д2, д4}}]]
Програма до прикладу 2.11
Програму можна поділити на три складові частини. В першій
частині обчислюється подання сигналу рядом Фур’є-Лежандра. Тут
третій оператор завантажує пакет прикладних програм ВігасВеїіа. Цей
пакет дозволяє працювати з функціями (ипИЗіер[х]) і (ВігасВеКаМ).
Результатом виконання першої частини програми є коефіцієнти
ряду Фур’є-Лежандра, графік, аналогічний до графіка, наведеного
на рис. 2.11, а також оцінки середньоквадратичної та відносної
середньоквадратичної похибки апроксимації (див. приклад 2.9).
100
лп» 13;
• « а (Саістйлш 'ВігатФеНаИлііЗіер [х + 0.5] - Саісиїш ВігасОеІІа'ІІпіХЗДер[х - 0.5]);
д1=Р1оЬ[в, (х, -1, 1), РІоШалде-> (-0.1, 1.2}];
го .5
Гог[л « 0,п< літі, с1[л] « (2*п+1)/2«^ а*Ьедеш1геР[л, х] &х; п++];
Гог[п» 0, л< плі, Рг і лі[с1 [ л ] ]; л++];
«1=2 с1М *ЬеделДгеР[п, х];
л=0
д2 = Р1оЦ>1, (х, -І, 1}, АхеяЬаЬеІ -> ("х* , "яід(х)" }];
5)илг[д2, ді];
еряі « ал2&х-£Ів1(Их;
Н[ерв1]
йеііід « 5дгЬ[%]
(»---------------------------------------------------------------------------»)
Друга частина програми аналогічна першій, але замість поліномів
Лежандра використано поліноми Чебишева (див. приклад 2.10).
Еог[п - 0, л < лпіх сс1і[л] « 2*а/д#^ (СЬеЬужІьеігТСл, х]	1- хА2 ) Лх; л++];
ссК[0] = ссЬ[0]/2;
Гог[л« 0, п < лпі, Ргілі[ссН[л]]; л++];
нк-1
92 « 2 ССМП] *С1*еЬу*ЬеігТ[п, х];
ПяО
дЗ « Р1оі[«2, {х, -1, 1}, АхевЬаЬеІ -> {“х" , ,ІяСП(х)и }];
$1илг[дЗ, ді];
ГО.5	ГО.М
ертсЬх І ал2Лх- І >2*с2і&х;
□-0.5	□-0.99
Н[ЄР8С)1]
ОеІЬсІїа 5дгЬ[%]
(#-----------------------------------------------------------------------------
Нарешті, два останні оператори дозволяють розв’язати завдан-
ня прикладу 2.11 з поданням графіків, що наведені на рис. 2.13,
2.14.
РЮЬ[я1-я2, {х, -1, 1), АхеяЬаЬе1-> {"х", "жЬд(х)-яСЬ(х)"}];
ерві - ергсії
Програма до прикладу 2.13
плі« 35;
ва« (-1)л*®"к/2 *ЬадиеггеЬ[п, х];
п ^0
Ргіпі [ЕцраіиЦза] ];
Р1о1|>а, {х, 0, 20}, РІоіНалде ->{0, 2}, йхевЬаЬеІ -> {"х", "ва(х)"}];
101
Розділ
СПЕКТРИ ДЕТЕРМІНОВАНИХ
СИГНАЛІВ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
Вступ
Цей розділ підручника є одним з основних у курсі СПР.
У попередньому розділі було підкреслено, що вибір
оптимальної для даного класу сигналів базисної системи функцій
залежить від задачі, що стоїть перед інженером:
1. Забезпечити точне розкладання сигналу за обраною базис-
ною системою функцій.
2. Забезпечити таку апроксимацію сигналу, яка гарантує задану
точність апроксимації при мінімальній кількості членів ряду.
Другу з цих задач, коли потрібно одержати приблизний опис
сигналів, або коли клас аналізованих сигналів має деякі особливі
властивості, було розглянуто у розділі 2.
В цьому розділі зосередимося на першій задачі, при розв’язанні
якої за базисну використовують систему тригонометричних функцій
синус, косинус або зв’язаних з ними комплексно-експоненційних
функцій. Пояснити це можна, насамперед, тим, що гармонічне
коливання — це єдине коливання (функція часу), що зберігає
свою форму при проходженні через лінійні кола з постійними
параметрами.
Застосуємо всі ті результати, яких було отримано у попередніх
розділах, для спектрального аналізу детермінованих сигналів за
системою базисних функцій, що базуються на тригонометричних
функціях зіп х, соз х і пов’язаної з ними функції е>х, тобто для
гармонічного аналізу. Почнемо з рядів Фур’є, потім перейдемо
до інтегралів Фур’є. Особливу увагу буде приділено властивостям
перетворення Фур’є. Сформулюємо основні властивості спектрів
102
сигналів, що дозволить за виглядом сигналу з(^) заздалегідь, до
виконання обчислень, передбачати вигляд амплітудного і фазо-
вого спектрів цього сигналу. Такий попередній аналіз сигналу
і його спектра дозволяє контролювати коректність результатів
спектрального аналізу.
При гармонічному аналізі сигналів і процесів, що протікають
в радіотехнічних колах і системах при дії на них цих сигналів,
важливо встановити не тільки зв’язок сигналу з(і) з його спектраль
ною густиною, але і з’ясувати, як зміна сигналу 8(1) відобразиться
на його спектральних характеристиках. Це у багатьох випадках
можна зробити, якщо знати властивості перетворення Фур’є.
Ці властивості ми сформулюємо у вигляді теорем про спектри.
Хоча, як буде показано нижче, всі фізичні сигнали задовольня-
ють умовам застосування перетворення Фур’є, при теоретичному
аналізі сигналів, коли реальний фізичний сигнал замінюється його
математичною моделлю, інколи ця модель вже не задовольняє
достатнім умовам Діріхле. В цьому разі отримати спектр сигналу
моделі можна, якщо виконати граничний перехід.
Всі ці і багато інших питань розглянуто у цьому розділі під-
ручника.
3.1.	Гармонічний аналіз періодичних сигналів
8
Перш за все зауважимо, що гармоніка — це найпрості- ।
ша періодична функція вигляду ((І) = А соз(2п/і + 0), що [
характеризує гармонічне (синусоїдне) коливання, якеє
складовою складного періодичного коливання з періодом
і = І//*, причому частота гармоніки / кратна частоті
— частоті першої гармоніки, тобто 2/р 3/*, ....
Аналізуватимемо сигнал потужності з(і)^ що належить
до множини
8Д(Т) = {*:Ф + Г) = $(О» -оо<^<оо}
періодичних сигналів з періодом Т.
Як виходить з 4-ї властивості ряду Фур’є (див. підрозділ 2.1),
розклад періодичного сигналу з періодом повторення Т у ряд Фур’є
співпадає з розкладом сигналу, що задано на скінченному інтервалі
Т. Якщо базисною системою функцій є система тригонометрич-
них функцій зіп х, соз х або е>х, ряд Фур’є сигналу, що належить
до множини 8,(Т). можна подати в одній з трьох форм.
103
Три форми запису ряду Фур’є періодичних сигналів
1. Тригонометрична синус-косинусна
(квадратурна) форма
У цьому випадку як базисна система функцій викорис-
товується система {<рп(0} = {со8(псо10}, зіпСпю^)}, де<о1 = 2п/Т. Ряд
Фур’є тоді буде:
з(0 =—+а{ соз^і) + а2 соз(2о)^) + • • •
2
5Іп((010 + Ь28Іп(2й)10+ ", -<Х><І<<Х>.	(3.1)
Записавши (3.1) у компактній формі, одержимо
жо=-^-
о
+ ^[а„ 008(7X0)!і) + Ьп зіп^о^О]» - °о < і < °°, (3.2)
71=1
де п — ціле.
Завдання полягає в тому, щоб для заданого сигналу 8(0 знайти
коефіцієнти ряду а0, ар а2, ... ,&р &2, ....
Згадаємо одну властивість інтегралів, підінтегральні вирази
яких є добутками синусів і косинусів. Очевидно, що інтеграл
від функції зіпСпсо^) або со8(псо^) при інтегруванні на інтервалі,
що дорівнює цілому числу періодів Т, дорівнює 0. Однак, якщо
у підінтегральному виразі стоїть добуток зіп^й^Осоз^с^О, то при
довільних п і т можливі такі результати:
т
Ц = |8Іп(7ПС0108ІП(пС01^)^^ =
0
т
І2 = |С08(7ПС01ОС08(ПС010^^ =
0
т
І3 = |8Іп(7ПС010сО8(иС010^^ = 0.
0
0, 7П И,
Т/2, тп = п^О,
0, ш Ф п,
[Т/2, т = п ^0,
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Прип = 0, у (3.4) і (3.5) маємо інтеграли від соз^й^Оізіп^ю/),
відповідно. Крім того, врахуємо, що добуток двох синусоїд
із кратними частотами є періодичною функцією часу й інтегру-
вання можна здійснити в межах одного періоду.
Скориставшись формулами (3.3) та (3.5), можна одержати
вирази для знаходження коефіцієнтів ряду ап і Ьп. Почнемо
з а0/2. Інтегруючи почленно ряд (3.1) в межах періоду сигналу
8(0, одержуємо
104
в( І)(ІІ =	+ Я, СО8 01, ІСІІ + а2 £.005 201, ІСІІ+...+
+ &,| 8ІП01, 1(11 + 62£зІП2(0,ґ<їґ +...
Оскільки всі складові у правій частині, крім першої, дорівню-
ють нулю, одержуємо
^ = |//(0^,	(3.6)
тобто я0/2 є середнім значенням сигналу з(і).
Щоб знайти коефіцієнти ап, помножимо ліву і праву частини
ряду (3.2) на 008(77701,0 та проінтегруємо їх на інтервалі, що дорів-
нює періодові сигналу в(і). Одержимо
^(^СО^тО^сИ =	008(77701, ОЛ
+
+ |г ^ап 008(7701,0 СОЗ(77701,0^ +]г 8ІП(770},0 СОв(77701,0^.
Перша складова правої частини дорівнює нулю, з (3.5) одер-
жуємо, що 3-й член правої частини теж дорівнює нулю. Згідно
(3.4) з другого члена правої частини відмінний від нуля лише
один при 77 = 777. Таким чином,
ап =-^-1,8(0008(7701,0^.	(3.7)
Діючи аналогічно, але помножуючи (3.2) на 8Іп(т77со1і),
одержимо
&п	£в(0 8Іп(7701,0^^
Отже,
(3.8)
9
Ряд Фур’є у синус-косинуснїй формі записується так:
8(0 = — + ^[алС08(770110 + 6п8ІП(7701,0], -оо<£<оо, ДЄ
2 п=і
а„=^ ^8(0008(7701,0^, Ьп = |т8(08ІП(7701,0^^
105
У загальному випадку сукупність двох множин коефіцієнтів ।
1) ап і 2) Ьп називається спектром сигналу в синус- І
косинусній формі запису ряду Фур’є.
Приклад 3.1
Обчислити коефіцієнти ряду, побудувати спектр і записати
синус-косинусний ряд Фур’є для сигналу 8(0, який задано на
інтервалі [0, Т],
8(0 =
А, 0<і<Т/2,
-А, Т/2=^1<Т
та періодично повторюваного за межами цього інтервалу.
Вправа 3.1
Зобразіть графік сигналу 8(0-
Розв'язання.
Одразу зазначимо, що функція 8(ґ) є непарною функцією
часу.
Середнє значення сигналу дорівнює нулю, тобто а0/2 == 0.
Із (3.7) знаходимо
2 т/2	2 т
ап=— ^Асоз(п(іїаі)(1і+— |(-А)соз(псо10^ =
Т о	Т/2
2 А	ЗІП^СО^)	Т/2	8Іп(ПС0^)	Т/2~
” Т	ПСО!	0	ПСОі	0
Дійсно со1 = 2л/Т, отже, 8Іп(иС01Т/2) = 8Іп(П7і) = 0. Очевидно, що
8Іп(п(о Т) == зіп(2пл) = 0. Таким чином, всі коефіцієнти ап = 0.
За формулою (3.8) знаходимо
2 ^/2	2
Ьп =— рІ8Ш(П(010^+— |(-А)8Іп(пС010с^ =
0	Т/2
_2А
Т
008(71(0,0
П(0.
772 008(71(0,0 т/2
о п(й1 о
Знову, з урахуванням того, що со1 « 2л/Т, після підстановки
меж інтегрування одержуємо
106
Ьп = —[1 - со8(пл)] або Ьп =
пп
4А
---, п непарне,
пл
0, п парне.
На рис. 3.1 наведено спектр сиг-
налу а(0- Ще раз підкреслимо, що
хоча всі коефіцієнти ап = 0, верхня
діаграма обоє9 язкова.
Ряд Фур’є сигналу, що аналі-
зується, і є непарною функцією
часу, містить лише непарні гармоні-
ки частоти ю1 = 2л/Т. Це наслідок
того, що сигнал має так звану
непарну напівперіодичну симетрію.
Пізніше ми ще повернемося до цього
питання.
Сам ряд Фур’є сигналу §(£) можна
записати так:
0123456789
Рис. 3.1.
4А	1	1
8(0 =--[8Іп(0)10 + ~’8ІП(ЗС010 + —2^(510,0 + ... ].
л	3	5
Апроксимуючі сигнал з(ґ) ряди (частинні суми ряду), що міс-
тять один, два і т. д. доданків ряду, будуть:
4А
«і =---зпЦсо^),
л
4А Г	1
32 =--- 8ІП((О10 + “-8Іп(ЗО)10 ,
л [_	З
і т. д.
Графіки деяких з них наведено на рис. 3.2.
107
Аналізуючи послідовність графіків, бачимо, що чим більше
членів формують коливання, тим більше воно наближується за
виглядом до періодичного коливання прямокутної форми.
Зверніть увагу ось на що:
1. Кількість максимумів (мінімумів) кожної з часткових сум
дорівнює найвищому порядку гармоніки, що присутня у частковій
сумі.
2. Деякі особливості на рисунках помітні при тих значеннях
аргументу со/, де функція, подана тригонометричним рядом, має
розрив ((0/ = л, 2л). Це явище називається явищем Гібса, воно
буде розглянуто пізніше (приклад 3.22).	[2]
Вкажемо на одну особливість спектрів при використанні синус-
косинусної форми запису ряду Фур’є.
Як виходить з аналізу формул обчислень коефіцієнтів ряду
(3.7) і (3.8), у випадку, коли сигнал а(ґ) є парною функцією
часу, коефіцієнти Ьп = 0. Якщо ж сигнал непарна функція
часу, коефіцієнти ап = 0.
Розглянемо випадок, коли 8(0 є функцією загального виду.
Будь-яку функцію можна подати у вигляді суми її парної
8/0 і непарної 8/0 складових, тобто записати
5(0 = 8/0 + 32(І), ДЄ
8/0=1/2[8(0 + 8(-0],
82(0=1/2[8(0-8(-0].
Рис. 3.3 ілюструє цю операцію. Тоді
стає очевидним, що коефіцієнти ап роз-
кладання в ряд Фур’є складової 5/0,
а Ьп — коефіцієнти розкладання в ряд
Фур’є складової 5/0.
2. Тригонометрична косинусна (полярна)
форма запису ряду Фур’є
Перехід від синус-косинусної форми запису ряду Фур’є
до косинусної форми базується на використанні відомої фор-
мули
ап соз(пи\і) + Ьп зіп(0 = Ап соз(псо1 і + 0П),	(3.9)
Де
Ап=^а2+Ь2-,	(3.10)
108
(3.11)
0п =-агсі£—.
а
п
Застосовуючи формули (3.9), (3.10) і (3.11) до ряду (3.2),
одержуємо
00
8(О = Ао + ^Алсоз(псй1#+0п), -оо<г<оо,	(3.12)
П=1
Де Ао = «о/2-
Таким чином,
8
Ряд Фур’є у косинусній формі записується так:
8(0 =	008(7100^ + 0П), -00 <^<оо,
П=1
деА0 = а0/2.
А. - 4ап + ’	0„ = -агсі£—.
ап	І
При використанні цієї форми запису ряду Фур’є спектр
сигналу з(і) однобічний, як спектр синусоїдного коливання
х(і) = А соз(со0ґ 4- 0), вказаного на рис. 1.4, а).
8
	Щоб одержати однобічний спектр амплітуд (амп- і
літудний спектр) періодичного сигналу з(ґ), необхідно
відкласти значення Ао, Ар А2, ... на частотах 0, сор 2сор ...
відповідно.
	Щоб побудувати однобічний фазовий спектр періодич-
ного сигналу 8(1) необхідно відкласти значення 0р 02, ...
на частотах сор 2а)р ... відповідно.
Приклад 3.2
Обчислити коефіцієнти ряду Фур’є, поданого в косинус-
ній формі (3.12), та зобразити спектр періодичної послідовності
імпульсів синусоїдної форми виду $(і) - Аг [8ІП(й)оО]> де г(х) — функ-
ція лінійного зростання, або
8(0 =
Азіп(сооО» 0<і<Т0/2,
0,	Т0/2<і<Т0,
(3.13)
якщо період сигналу з(і) дорівнює То = 2л/соо.
109
Вправа 3.2
Зобразіть графік сигналу (3.13).
Розв'язання.
З аналізу (3.13) виходить, що сигнал з(і) є функцією
загального виду. Отже, й коефіцієнти ап, і коефіцієнти Ьп у за-
гальному випадку відмінні від нуля.
За формулами (3.7), (3.8) знаходимо
2 т°і2
ап=— І А8Іп(<о0Осо8(псо0Ой^
Го о
2\/2
Ьп =-- І А8ІП(СООҐ)8111(71(1^0^•
*0 0
Використавши відомі формули тригонометрії (див. додаток А),
одержуємо
|Т0/2	То/2 ап-—< |зіп[(1-«)(!)(/]<&+ | 8Іп[(1+п)Ц)ґ]Л ^0	0	0	(3.14)
(3.15)
Т0/2	То/2
Ьп =--< | СО8[(1-п)(00ґ]Л- | СО8[(1 + 7і)(000^
Го о	о
За формулою (3.15) одержуємо
II	8ІП [(1 —П) Ю0І]	Т°/2 8ІП[(1 + П)(ОоІ]		То/2	
	(1- п) Ио	о	(1 + п)шр		0	
А	5ІП [(1~П) Я] 8ІП [(1 + П) Я]				
Тс'	(1-п)ш0	(1 + п)ш0	•		
Врахуємо, що синуси, які стоять у виразі, дорівнюють нулю,
отже, Ьп = 0 за умови п Ф 1. Випадок п « 1 потребує окремого роз-
гляду, оскільки при цьому з’являється невизначеність типу 0/0.
Підставимо п = 1 до формули (3.15):
л ҐТ0/2 То/2	1	.
Ьг=— | Лі- | соз(2(000^ = —.
о о	2
За формулою (3.14), одержуємо
-	[1~“со5[(1-п)гс] + 1-СО8 [(1+7і)л] 1
0/1 2л 1	1-й	1 + п І
110
Врахуємо, що
соз [(1+п) я] = соз [(1 - ті) я] =
-1, п = 2, 4, 6, ...
1, п = 3, 5, 7,...
Тоді
А( 2	2 ] 2А
---------1----=--------—
2я \1-п 1 + п) я(1-п )
0,	п = 3,5,7,...
п = 2,4,6,...
Випадок п = 1 знову потребує окремого розгляду. Підставимо
п = 1 до формули (3.14) і одержимо
А Т'Г
а1=— І 8іп(2со0і)<іі = 0.
о
Залишилося знайти а0/2 — середнє значення сигналу з(і).
За визначенням (3.6) знаходимо
а„ 1 V 1 г’г2	Асоз(оМ)
— = — [з(і)^=— ( 8ІП(й)оО^ =-----------—
2 Т» І То {	0 Ц)Т0
То/2
А
о
Підсумовуючи отримані результати, знаходимо спектр сигналу
з(і) у синус-косинусній формі:
А/я,
2А
я(1-п2)
0,
п = 0,
п парне,
п непарне;
А/2, п=1,
0,	п>1.
а
п
На рис. 3.4 наведено графік спектру сигналу «(і) у синус-ко-
синусній формі.
Тепер, скориставшись формулами (3.10), (3.11), перейдемо
до коефіцієнтів ряду Фур’є у косинусній формі
А/я,
А/2,
2А
я|1-п2Г
0,
п=0
71 = 1
п парне
п > 1, непарне
111
О, п = О
±л п парне
0, п > 1, непарне.
Знак 0п при парних значеннях п обрано довільно.
0123456789	-л/2
Рис. 3.4.
Рис. 3.5.
На рис. 3.5 наведено спектральну діаграму сигналу
при використанні косинусної форми запису ряду Фур’є.
Вправа 3.3
---- Побудуйте графіки парної і непарної складових сигналу
(3.13).
3. Комплексно-експоненційна форма запису ряду Фур’є
Щоб записати ряд Фур’є в комплексно-експоненційній
формі, досить у косинусній формі ряду Фур’є зробити заміну
(формула (А.2), додаток А)
сов (псо +0П)=---------------.	(3.16)
2
112
Проте, це не завжди зручно. Одержимо формули, за допомогою
яких можна знайти коефіцієнти ряду, не обчислюючи попередньо
ап, Ьп, Ап і 6п.
Підставимо (3.16) до ряду (3.12)
00
8(0 = Ао+ £ Апсо8(пцг+Є„) =
П=1
= ... +С_,е-І2^ + +Сц + С/4' +^е>2Ші‘+
= ^Сдеі^.
П=-ао
(3.17)
Тут Сп — у загальному випадку комплексні величини, які
й треба знайти. Щоб це зробити, помножимо ліву і праву частини
(3.17) на ехр(-утп(ота проінтегруємо в межах періоду сигналу
8(0=

е~іт*аі = £ Сп І	(3.18)
п=-00
Розглянемо 2 випадки:
1. ті ф тп — останній інтеграл у формулі (3.18) дорівнює нулю.
Це легко показати, скориставшись теоремою Ейлера (формула
(А.1)).
2. п = т — останній інтеграл у формулі (3.18) дорівнює Т.
Таким чином, (3.18) набуває вигляду
^тз(і)е-іпш'1сіі=ТС2_,
звідки одержуємо шуканий вираз

(3.19)
Формула (3.19) називається прямим перетворенням Фур’є
періодичного сигналу з(і) за системою комплексно-експоненцій-
них функцій, а ряд (3.17)— оберненим перетворенням Фур’є
за системою комплексно-експоненційних функцій.
Таким чином,
Ряд Фур’є в комплексно-експоненційній формі записується
так:
8(0 = £ С2еІпШіі, -оо < і <оо, де £, = - ^(.іУе'^аі.
п = -х>	Т Т
113
Відмінною особливістю комплексно-експоненційної форми ряду
Фур’є є те, що тут формально введено коливання з від’ємними
частотами і, отже, спектр стає двобічним. Пояснюється це тим,
що в даному випадку реальний сигнал одержується з комплексних
складових ряду Фур’є за допомогою другого способу — формула
(1.6). При необхідності завжди можна позбутися від’ємних час-
тот і перейти до косинусного ряду Фур’є та однобічного спектра.
Однак, слід підкреслити, що обчислити коефіцієнти Са звичайно
набагато простіше, ніж коефіцієнти будь-якого з тригономет-
ричних рядів.
Ще одне зауваження: пара перетворень Фур’є — це єдина кон-
струкція, тобто, пряме та обернене перетворення Фур’є можна
розглядати лише спільно.
Інколи ряд Фур’є в комплексно-експоненційній формі
записується так:
1 °°	9
п=-ос	-І
Вище вже було вказано, що коефіцієнти Сп у загальному
випадку є комплексними величинами, тобто,
^=\СДе^,
0„ = агсія-------------=~,
"	Ке{£,}’
|слІ=|с„|,ев=-е_п.
(3.20)
Таким чином:
0
	Щоб отримати двобічний спектр амплітуд (амп-
літудний спектр) періодичного сигналу з(і), необ- \
хідно відкласти значення .... |С_2|, | С_,|, |С^ | С,|, |Сг|, ... |
на частотах ..., -2®1, -®1, 0, ®х, 2®р ..., відповідно. |
	Щоб побудувати двобічний фазовий спектр періодич-
ного сигналу з(і), необхідно відкласти значення ..., 0_2,
0_р 0О, 0р 02, ... на частотах ..., -2®р -®р 0, ®р 2®р ...,
відповідно.
114
Зв’язок коефіцієнтів рядів Фур’є, записаних
у косинусній та комплексно-експоненційній формах
Виберемо з ряду (3.17) два члени з індексами п і-п.
Знайдемо їх суму, враховуючи (3.20).
С еіпш'* 1+С е~іяа,і = |С |еЛпш‘‘+ в"‘ + ІС |е=
п	—П	ІПІ	І -П І
= |С1|[еЯлш‘'+в"’ +е-'<"^+в”’] = 21^1 со8(псо1і+0п).
Тепер ряд (3.17) можна записати у вигляді
8(0 = Со + £ 21 С„ |008(710)^ +е„).	(3.21)
П=1
Зверніть увагу на те, що в ряді (3.21) відсутні від'ємні
частоти.
Залишилося порівняти вираз (3.21) з виразом (3.12) і отри-
мати, що
ТЛ С =а0/2 2 3І^І=А.(3.22) |
Фазові спектри на додатних частотах для однієї і другої
форм запису співпадають.
Перш ніж розглянути приклад обчислення коефіцієнтів Сл,
сформулюємо основні особливості спектрів періодичних сигналів.
Знання цих особливостей суттєво спрощує обчислення спектрів і,
головне, дає змогу уникнути багатьох помилок.
Особливості спектрів періодичних сигналів
Розглянемо їх на прикладі комплексно-експоненційого
ряду Фур’є.
1. Дві характеристики — амплітудна і фазова, тобто, модулі
та аргументи комплексних коефіцієнтів ряду Фур’є повністю ви-
значають спектр періодичного сигналу.
2. Властивість дискретності або лінійчастості. Спектр
періодичного сигналу дискретний або лінійчастий. Він складається
з окремих ліній (точок) на відповідних частотах ..., -2о)р -Шр 0,
сор 2о)р ....
3. Властивість еквідистантності. Спектри періодичних
сигналів еквідистантні, тобто спектральні лінії знаходяться одна
від одної на відстані со1 = 2л/ Т. Частота со1 називається частотою
першої гармоніки.
115
4.	Властивість симетрії. Коефіцієнти ряду Фур’є, а отже й
спектри симетричні відносно частоти (0 = 0. Цією властивістю спект-
рів ми вже користувалися, тепер розглянемо її детальніше.
Формулу (3.19) можна записати так:
с„ =	£«(08іп(л<^ОЛ.
Якщо сигнал є дійсною функцією часу, перша складова
правої частини є дійсною складовою коефіцієнта Сп, а друга скла-
дова — уявною складовою. Порівняємо цю формулу з формулами
(3.7), (3.8). Одержуємо, що
га>о.
ІК+А). «<о-
(3.23)
З (3.23) виходить, що Сп = С”Л = С*п. Звідси отримуємо, що
іо,нс;і=|^_ і е„=-е-„.	(3.24)
Таким чином, якщо сигнал 8(і) є дійсною функцією часу,
то модулі коефіцієнтів ряду Фур’є мають властивість парної
симетрії відносно п, отже й частоти, а аргументи — властивість
непарної симетрії відносно п, отже й частоти.
5.	Якщо а(0 є дійсною й парною функцією часу, то уявна час-
тина коефіцієнтів ряду Фур’є Сп дорівнює нулю або, що те саме,
коефіцієнти синус-косинусного“ряду Фур’є Ьп = 0.
З умови 0п = -агсі£(6п/ап) виходить, що 0п може набувати лише
двох значень: 0 або ±л.
Якщо з(і) є дійсною і непарною функцією часу, то дійсна час-
тина коефіцієнтів ряду Фур’є Са дорівнює нулю або, що те саме,
коефіцієнти синус-косинусногоряду Фур’є ап = 0. У цьому випадку
0л може набувати лише двох значень: я/2 або -ті/2.
6.	Якщо сигнал з(£) має властивість непарної напівперіодич-
ної симетрії, то Сп= 0 при п - 0, ±2, ±4, ±6, .... Умова непарної
напівперіодичноГсиметрії записується так:
з(ґ) = -8(і±Т/2), -оо<і<оо.	(3.25)
7.	Теорема Парсеваля для періодичних сигналів.
Знайдемо середню потужність сигналу з(і).
Раніше у підрозділі 1.1 було показано, що середню потужність
періодичного сигналу можна знайти за формулою
116
1 Т/2	1 Т/2
ро=^7 І М2л = 7 і
* -Т/2	* -Т/2
Замість 8*(£) підставимо відповідний ряд Фур’є
1 Т/2	/	\	а>	( 4 Т/2	>
ро=7 І »(0 X £«'""* л =	? І =
** -Т/2	\^п=-х	у	п=-оо	-Т/2
= £ £Х = Е І£»І2=с° +2£і£.12-	(3.26)
П=-00	П=-00	П = 1
Врахуємо, що | С„ |= Ап / 2, Со = а0 / 2. Тоді
+1м-	<з-27>
п»1
Таким чином,
8
Середня потужність періодичного сигналу є сумою Ь
потужності сталої складової і потужностей гармонік-1
них складових сигналу.	|
Приклад 3.3
Обчислити і побудувати спектр періодичної несиметричної
послідовності імпульсів прямокутної форми
8(0 = і; еП 1	. г<г0.
Ш = -00	\	^	/
де То — період проходження, іц — довільна величина, що визначає
затримку сигналу відносно і = 0, т — тривалість імпульсу.
Розв'язання.
Почнемо з того, що зобразимо епюру сигналу (рис. 3.6).
Рис. 3.6.
117
З властивостей 2 і 3 виходить, що спектр сигналу з(1) повинен
бути:
	лінійчастим і еквідистантним й відстань між сусідніми
спектральними лініями має дорівнювати <»1 = 2я/Т0;
	Оскільки з(і) — функція загального виду, із властивості 4
виходить, що коефіцієнти Сп повинні бути комплексними і 0п може
набувати будь-яких значень (не лише 0, я або ±л/2);
	з(і) — дійсна функція часу, тобто модулі коефіцієнтів ряду
Фур’є повинні мати парну, а аргументи — непарну симетрію
відносно частоти.
За формулою (3.19) обчислимо коефіцієнти ряду Фур’є.
,	г. <о+т/2
=	= Т	(3 28)
*о 0	-*о Іа-х/2
Візьмемо інтеграл.
С = ~Е с-^\^/2 2Е
— /псОїТо	‘"'т/2 п“іто <	2/	)
= ————е~^пш,І°віп——^—,п^0.	(3.29)
™\Т0	2
Щоб знайти Со, підставимо п = 0 у формулу (3.28). Одержимо
С0 = Ет/Т0.
Перейдемо від частоти ш [рад • с1] до частоти / [Гц], тобто під-
ставимо до (3.29) (01 = 2я/р де Д = 1/Г0. Одержимо:
С =—	(3.30)
- То
Вираз (3.30) дозволяє побудувати спектр сигналу з(0- Однак,
перш ніж це робити, розглянемо декілька важливих функцій,
часто вживаних при аналізі сигналів.
1.	Перша функція, яку ми розглянемо, це функція 5іпс(2).
За визначенням
ч 8Іп(Я2)
5шф) =-------—(3.31)
Я2
Значення цієї функції наведено в табл. А. 1 додатка А, графік —
на рис. 3.7, а). Аналізуючи формулу (3.31), можна переконатися,
що 8іпс(г) = 0, коли 2 = ±1, ±2, ±3,.... Ця функція парна і набуває
максимального значення, яке дорівнює 1, коли 2 = 0. При |2| -> оо
амплітуда коливань значень функції прямує до нуля.
118
2.	Наступна функція — це функція 8а(у) (затр1іп£ іипсііоп,
в перекладі з англійської — функція вибору; пізніше буде зрозу-
міло походження такої назви). Функція 8а(у) за визначенням
така:
8а(у) = ^-.	(3.32)
У
Із визначення (3.32) виходить, що функції 8іпс(г) і 8а(у) тісно
пов’язані між собою і відрізняються лише масштабом аргументу.
8а(у) = 0, коли у = ±л, ±2л, ±3л,.... Решта властивостей цих функ-
цій співпадає (див. рис. 3.7, а)). Тому у деяких книгах (навіть
підручниках) функцію (3.32) називають 8іпс(у). Щоб уник-
нути плутанини, надалі будемо дотримуватися поданих вище
визначень.
3.	Часто при аналізі сигналів і систем використовується
функція 8іпс2(г). Графік цієї функції наведено на рис. 3.7, б),
а значення— втабл. А.1. Властивості цієї функції випливають
з її визначення та властивостей функції 8іпс(г). Зазначимо лише
одне, а саме: при |г| -> оо значення функції дуже швидко прямує
до нуля. Цю властивість ми неодноразово використаємо надалі.
4.	Нарешті, за аналогією з функцією 8іпс2(2) вводиться функція
8а2(у). Графік її наведено на рис. 3.7, б).
0
	У тому разі, коли спектр сигналу обчислюється |
як функція частоти со [рад • с"1], зручно використати;
функції 8а(у) і 8а2(у).
	У тому ж разі, коли спектр сигналу обчислюється як ;
функція частоти / [Гц], зручніше використати функції •
8іпс(г) і 8іпс2(2).
« -А	'	<	*	'	' і	У Л,	і.
119
Повернемося до прикладу.
Продовження розв'язання Прикладу 3.3
Використовуючи введені функції, вираз (3.30) можна
записати так:
£,= — 8іпс(п/1т)е-іагк'Л.	(3.33)
То
Введемо важливу характеристику періодичного сигналу:
величина д = Т0/т — відношення періоду проходження імпульсів
прямокутної форми до їх тривалості — називається щілинністю
періодичної послідовності імпульсів з прямокутною формою
(це визначення справедливе і для радіоімпульсів з прямокутною
обвідною; поняття «обвідна» буде розглянуто пізніше). Тепер
(3.33) можна записати так:
С = - Зіпс Ґ-) е-ІМ.	(3.34)
Щоб побудувати спектр сигналу, необхідно знайти модуль
та аргумент коефіцієнтів Сп.
0,
Є„ = -п2к/1і0+<
І+л,
(3.35)
8іпс(п/у)>0,
8іпс(п/д)<0.
(3.36)
Тепер усю підготовчу роботу зроблено і можна будувати спектр.
Приймемо, наприклад, що щілинність д = 5.
На рис. 3.8, а) наведено двобічний спектр сигналу з(і).
Частота першого обернення обвідної спектра амплітуд (зображено
пунктирною лінією) в нуль дорівнює / = $ Д = 1/т або со = д2п/1 - 2л/т.
Частота першої гармоніки — /і = 1/Т0 або ш1 = 2л/Т0.
Кут нахилу обвідної спектра фаз визначається першою скла-
довою (3.36), на частотах де функція 8іпс(п/у) змінює знак,
до фазового кута 0п додається ±л.
На рис. 3.8, б) зобразимо спектр сигналу з(1) в косинусному
запису ряду Фур’є. Врахуємо, що Ап = 2| Сп|, Ао = | Со|, / £ 0, п > 0.
Фазочастотний спектр не змінюється, за вйнятком"того, що / > 0,
п > 0.
На закінчення запишемо ряд Фур’є сигналу з(і).
120
8(0= У с еіп2*1і‘ = — у 5іпсГ-1е';п2’'л‘0еУп2М‘ =
ч£-
Е 2Е ’г-і 1 . пк А г п л /л.
= — -к--- >—81П ------ СО8 [п2я/. (£-£,)] =
9 я	Ч ;
Е 2Е ’г-і 1	ґ	т А	_	/. Ч1
=—-к—У—зпг псОї- созрмоДґ-^)].
Ч	п п=іп	І	2 1
Розглянемо ще декілька прикладів для закріплення матеріалу
цього розділу.
Приклад 3.4
Знайти середню потужність, що виділяється на опорі
1 Ом, синусоїдного коливання з(і) = 4зіп(50лґ), В.
Розв'язання.
Скориставшись формулою обчислення середньої потуж-
ності періодичного сигналу (1.9), одержуємо:
121
Т	ч 0,04
Р° = ?р2(І)<ІІ"(Г04 | 1б8Іп2<50^ =
0,04
1
0,04
16	16 О’04
— 0,04-— Г со8(100я0^ = 8Вт.
2	2 *
0
Обчислимо цю саму величину, використовуючи теорему Парсе-
валя.
В експоненціальному ряді Фур’є відмінними від нуля будуть
лише два коефіцієнти: С_г = С\ - 2у. Тоді Ро = 4 + 4 = 8 Вт. [^]
Приклад 3.5
На ідеальний фільтр нижніх частот зі смугою пропускання
частоти / < Рт = 51 кГц подається періодичне коливання
8(0 = ЕЩсоз&п^і)] - Е/2,
де Щх) — одинична функція, = 1/Т0 = 10 кГц, Е/2 = 1В.
Необхідно знайти:
1)	потужність сигналу з(і);
2)	потужність сигналу на виході фільтра, якщо коефіцієнт
підсилення в смузі пропускання Ка = 10;
3)	потужність сигналу на виході фільтра у випадку, коли
Р —> ОО.
т
Розв'язання.
На рис. 3.9 наведено графік
сигналу 8(0- Оскільки для розв’язання
задачі нам буде потрібний спектр сиг-
налу 8(2), проведемо попередній аналіз
сигналу і заздалегідь виявимо основні
особливості спектра.
	Сигнал з(і) є періодичним, отже,
спектр його буде ліній частим та екві-
*(0
2	2
Рис. 3.9.
дистантнимі спектральні лінії знаходяться одна від одної на
відстані = 10 кГц.
	Оскільки сигнал є дійсною функцією часу, спектр повинен
мати властивість симетрії, тобто, |СП |=| С_п | і 0п = —0_п.
	Сигнал з(і) є парною функцією часу, отже, уявна частина
коефіцієнтів ряду Фур’є Сп дорівнює нулю, тобто Сп = Сп або,
що те саме, коефіцієнти синус-косинусного ряду Фур’є Ьп = 0.
0и може набувати лише два значення: 0 або ±тс.
122
 з(і) має властивість непарної напівперіодичної симетрії, отже,
Сп = 0 при п = 0, ±2, ±4, ±6, ....
Ці основні особливості спектра, який необхідно побудувати, ми
звірятимемо з результатами обчислень, що дозволить уникнути
помилок.
Побудуємо спектр сигналу скориставшись результатами
прикладу 3.3. Одразу ясно, що Со = 0 (середнє значення), = 0,
щілинність д = 2. За формулою (3.35) знаходимо:
Е	ґп"!	Е 8іп(пл/д)	Е	2	. ( /оч
Сл = —-	— =-----------=-------8іп(п л/д)= 8іп(пя/2).
7	І 7 І	д о/д	пл	пл
Відомо, що 8Іп(пл/2) = 0, якщо п = 0, 2, 4,.... Таким чином, усі
передбачені у попередньому аналізі особливості спектра сигналу
з(1) підтверджено.
Зобразимо спектр сиг-
налу.
На рис. 3.10, а) наведено
двобічний спектр амплітуд,
а на рис. 3.10, б) — двобічний
спектр фаз. Пунктирними
лініями показані відповідні
обвідні лінійчастих спектрів.
Зазначимо, що спектр фаз зоб-
ражено так, щоб підкреслити
властивість симетрії.
На наступному рисунку
3.10, в) показано амплітуд-
но-частотну характеристику
(АЧХ) ідеального фільтра
нижніх частот, властивості
і характеристики якого буде
розглянуто нижче (розділ 17,
другої частини). Тут лише
вкажемо, що ті гармоніки спектра сигналу на вході фільтра, які
попадають у смугу його пропускання, підсилені в Ка разів, над-
ходять на вихід фільтра. Ті ж гармоніки, частоти яких лежать
поза смугою пропускання, фільтром придушуються. Таким чином,
на виході фільтра будуть присутні лише ті спектральні складові
сигналу з(і)9 частоти яких задовольняють умові \п/х\ <51 кГц.
Відгук фільтра наведений на рис. 3.10, г).
Знайдемо середню потужність сигналу
а)
і
Г І- >, А кГц
-70 -50 -ЗО -10 0 10 ЗО 50 70
б)

-70 -50 -ЗО -10
в)
0,
*10 ЗО 50 70 , _
—•——।	1---/. кГц
10|Х,
. т  І ... , / кГц
-70 -50 -ЗО -10 0 10 ЗО 50 70
г)
10


-70 -50 -ЗО -10 0 10 30 50 70
Рис. 3.10.
А кГц
123
ро =^!/(і)^~Іт(^/2)2(іі = (Е/2У =1 Вт.
А) 0 Л) 0
Щоб знайти потужність сигналу на виході фільтра, запишемо
8(0 за допомогою ряду Фур’є (3.17).
з(0 = £сяе/ягм' = 2/л(...-1/7е’у14*1' +1/5е-'10*'1‘ -1/3е'у®4' +
л=-оо
+е~/2пГіі+е/2кГіі-1/Зе/6кГіі + 1/5едо^ -1/7е'14їс4'+ ...).
Тоді сигнал на виході фільтра буде:
8(ґ)п =20/л(1/5е-'10лА‘ -І/Зе^ + е’2* -І/Зе'6’*' + 1/5е/10л^).
Таким чином, маємо:
Со = 0, Сп = 0, якщо |п| > 5,
|С_,| = |С,| = 20/л, |С_3| = |С3| = 20/(37г),	|С_5| = |С5| = 20/(5л).
За теоремою Парсеваля знаходимо потужність сигналу на
виході фільтра.
’их=С02+2£|Сп|2=2
20 ї /20 V /20
— І — І —
п І І Зтг І І 5п
.2
~93,ЗВт.
Нарешті, якби фільтр пропускав усі спектральні компоненти
сигналу 8(1), потужність коливання на виході фільтра дорівнювала
б Ро • К* = 100 Вт.
Результати, отримані в цьому прикладі, дають змогу зробити
наступний висновок: 5, а фактично 3 гармоніки спектра сигналу
містять понад 93 % повної потужності цього сигналу. Тобто
ряд Фур’є цього сигналу швидко збігається.	ГП
Вправа 3.4
Побудуйте, зберігаючи однаковими масштаби по осях абс-
цис та ординат, спектри періодичних послідовностей імпульсів
прямокутної форми для таких випадків (одиниці вимірювання
часу — мілісекунди):
1) То = 1, т = 0,25;	2) То = 1, т = 0,125;
3) То = 2, т = 0,25; 4) То = 1, т = 0,4.
Порівняйте спектри.
124
Вправа 3.5
Обчисліть, яка частина потужності сигналу, розглянутого
у прикладі 3.5, міститься в першій гармоніці спектра, в 1-й і 3-й
гармоніках, в 1-й, 3-й, 5-й і 7-й гармоніках.
На цьому ми закінчимо вивчення спектрів періодичних
сигналів (сигналів, заданих на скінченному інтервалі часу) і
рядів Фур’є.
Звернемося до спектрального аналізу неперіодичних сигналів
(сигналів, заданих на нескінченному інтервалі часу).
3.2. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів
Перетворення Фур’є
Застосуємо результати, що отримано в попередньому розділі
для періодичних сигналів, у випадку, якщо сигнал е неперіодич-
ним. Зробити це можна за допомогою граничного переходу.
Щоб пояснити це, розглянемо
рис. 3.11. Тут з(і) — сигнал, заданий
на нескінченному інтервалі часу, але
відмінний від нуля на скінченному ін-
тервалі (Єр і2). Виберемо довільний інтер-
вал часу Т, який містить в собі інтервал
(ґр і2), й одержимо періодичний сигнал
ад(ґ), що повторює 8(і) з періодом Т.
Це періодичне коливання можна записати
у вигляді ряду Фур’є:
««(*)=£	(3.37)
л=-х
де ©! = 2л/Т;
С„=—(3.38)
т ч
Підставимо (3.38) у (3.37), змінивши для зручності позначення
змінної інтегрування. Тоді,
М0=£ - ^(хуе-^ах е1^,
підставимо Т — Зл/со^.
125

П п=-«Ц	у
(3.39)
З аналізу графіків, наведених на рис. 3.11, випливає, що для
того, щоб повернутися від сигналу 8к(і) до сигналу $(£), необхідно
здійснити граничний перехід при Т -> ОО, тобто,
в(0 = Иш8д(0.	(3.40)
З (3.38) виходить, що при Т -> оо коефіцієнти ряду Фур’є Сп -> 0,
з властивості еквідистантності спектрів періодичних сигналівізипли-
ває, що кількість спектральних складових прямує до нескінчен-
ності, а відстань між ними, яка дорівнює сор прямує до нуля, тобто
спектр стає суцільним. Далі, при Т -» оо частота -> ско, —> <о,
а операція підсумовування в (3.39) трансформується в операцію
інтегрування. Таким чином, формула (3.39) стане такою:
8(0=—р*
2л 2
і*
^а(х)е~1аа(іх
•і
(І(О.
(3.41)
Інтеграл, що стоїть в квадратних дужках, є функцією тільки
частоти (о, тобто, можна позначити
^2
>8(а)) = ]з(х)е'>‘“</х.	(3.42)
Оскільки сигнал з(і) за умовою відрізняється від нуля тільки
в інтервалі (ґр і2), інтеграл (3.42) не зміниться якщо межі
інтегрування змінити на нескінченні. Крім того, повернемося до
звичної змінної і. Одержимо:
5(®)= р(0е-**Л.	(3.43)
Тепер формулу (3.41) можна записати так:
в(0=—/3(со)Л<о.
—оо
(3.44)
	Формула 5(со)= ^з(і)еназивається формулою
прямого перетворення Фур’є (ПФ);
126
1 00
	формула з(і) = — |5(со)е'ш*ско називається формулою
оберненого перетворення Фур’є (ПФО).	{
Функція _5((о) має назву спектральної густини сигналу |
*(0-_____________________________________________
Якщо за змінну використовують частоту / [Гц], пара
перетворення Фур’є має вигляд:
5(/)= |з(0е-у2“"Л,
*О=|«(/к'2“^А
(3.45)
9
Пару перетворення Фур’є (3.45) будемо позначати так:
8(0 о _5(/) або 8(0 о _5((о), де двобічна стрілка вказує
на те, що _8(/) або _8(ш) одержано з в(і) за допомогою
прямого перетворення Фур’є, а в(і) одержано з 8_(/) або
5(ш) за допомогою оберненого перетворення Фур’є.
Як і для періодичних сигналів та рядів Фур’є, щоб непе-
ріодичний сигнал 8(1) був Фур’є перетворюваним, досить, щоб він
задовольняв деяким вимогам — достатнім умовам Діріхле:
9
1.	Функція з(і) однозначно визначена для всіх значень
аргументу І, має скінченну кількість екстремумів і розривів
на будь-якому довільному скінченному інтервалі часу.
2.	Функція 8(0 абсолютно інтегровувана, тобто:
00
Р8(0І^<=».	(3.46)
-оо
Підкреслимо дві важливі особливості цих умов:
	Умови Діріхле є достатніми, але не є необхідними,
тобто, існують такі функції, для яких ці умови не ви-
конуються, але вони є Фур’є-перетворюваними.
127
	Умовам Діріхле задовольняють всі сигнали з обмеженою
енергією, тобто ті, які належать множині
8я(К) = |х :1ііп|/г|х|2
де К — додатне дійсне число.
Перетворення Фур’є тісно пов’язане з перетворен-
ням Лапласа, однак властивості цих перетворень такі, що
в одних випадках зручніше використати перетворення Лапласа,
в інших — перетворення Фур’є.
8
	Перетворення Лапласа особливо корисне при аналізі ।
перехідних процесів у електричних колах, а також систем, 5
передавальні функції яких можна подати у вигляді полі-
номів зар (р « о + уо). У цьому випадку аналіз оснований
на дослідженні нулів і полюсів передатних функцій. і
 Перетворення Фур’є зручніше при аналізі радіотехніч-
них систем у стаціонарних режимах, бо дозволяє одразу
отримати їх АЧХ та ФЧХ.
	Перетворення Фур’є можна розглядати як окремий
випадок перетворення Лапласа при р = усо, тобто о = 0, ‘
отже, для багатьох функцій, які не задовольняють ви- з
мозі абсолютної інтегровуваності, перетворення Фур’є ;
використати безпосередньо не можна. А перетворення ?
Лапласа для них може бути отримане завдяки тому, що
параметр о забезпечує його збіжність.
11	?	/-• V1........................'
У загальному випадку _£(/) і _5(<о) є комплексними
функціями частоти, тобто:
$(/) = 15(/)|е'в(/’.
Тоді, ЯКЩО 8(0 <=> 8{/) і з(і) є дійсною функцією часу, функція
частоти 8_(/) має властивості симетрії, аналогічні тим, що були
отримані раніше для коефіцієнтів ряду Фур’є, а саме:
|5(/)|=|5(-/)| і 0(/) = -Є(-/).	(3.47)
Модуль спектральної густини дійсного сигналу $(і)
є парною функцією частоти, а аргумент— непарною
функцією частоти.
128
	У загальному випадку дві функції частоти |_5(/)| і 0(/)
визначають суцільний спектр неперіодичного сигна- 
лу 8(І).
	Функція частоти |_5(/)| називається амплітудним спект-
ром сигналу з(і).
	Функція частоти 0(/) називається фазовим спектром І
сигналу $(£)•
Вправа 3.6
---- Доведіть справедливість (3.47).
Запишемо формули прямого й оберненого перетворення
Фур’є У тригонометричній формі.
Скориставшись формулою Ейлера (А.1), запишемо (3.43)
у такому вигляді:
5(со) = |	| $(ґ)соз (со і)	з(Озіп(со і)(іі =А(со) - ;В(сй).
-00	-оо	-оо
Тут А(со) — пряме перетворення Фур’є парної складової сигналу,
В(со) — пряме перетворення Фур’є непарної складової сигналу.
Тепер вирази для амплітудного і фазового спектрів сигналу з(0
можна подати у вигляді:
\8(оз)\=уІАг((о) + Вг(ці),
Є(со) = -агсі8^^
А(ю)
(3.48)
З (3.48) випливає така властивість спектральної густини:
	Якщо сигнал з(і) є дійсною і парною функцією часу, §
___________ то його спектральна густина є дійсною функцією часто-1
ти, а тому фазовий спектр 0(со) (або 0(/)) може набувати |
тільки значення 0 або ±л.	і1
	Якщо сигнал в(і) є дійсною і непарною функцією часу, і
то його спектральна густина є уявною функцією часто- ;
ти, а тому фазовий спектр 0(со) (або 0(/)) може набувати
тільки 2 значення’. ±л/2.	|
г>>'у 1,1 і1 111 їУі'ц"
Зведемо до тригонометричної форми обернене перетво-
рення Фур’є (3.44).
129
«(*) = ” }	4(0= ± 115(ш) | ел<л+в<“и 0(0=
=	115(о>) |со8[о)і+0(0))] (1(0+	115(®)18Іп[аИ+0(ю)]<йо.
Другий інтеграл правої частини дорівнює нулю.
Вправа 3.7
Довести справедливість останнього твердження.
Одержуємо:
(3.49)
8(0 = —1| 5(0)) І соз[о)? + О(0))]</0).
яо
Вкажемо, що в (3.49) вже відсутні від’ємні частоти, тобто ми
повернулися до фізичної частоти.
Перехід від комплексно-експоненційноіі форми перетво-
рення Фур’є до тригонометричної доцільно здійснюва-
ти на заключній стадії аналізу сигналу, а всі проміжні
обчислення виконувати в комплексно-експоненційній
формі перетворення.
Відмітимо ще одну чудову властивість перетворення
Фур’є — властивість площ.
00
В (3.43) підставимо значення о = 0. Одержимо 5(0) = £$(і)(іі.
У формулу оберненого перетворення Фур’є (3.45) підставимо значен-
□с
ня і = 0 і одержимо, що 8(0) =	З геометричної інтерпретації
операції інтегрування та наведених співвідношень виходить:
	Якщо $(£) <=> то на частоті / (або со), яка дорівнює
нулю, значення спектральної густини чисельно дорівнює
ПЛОЩІ функції 8(1).
	Якщо $(/) <=> _5(/), то площа функції 8$/) чисельно до-
рівнює значенню сигналу в момент часу і = 0.
Знайдемо зв'язок спектрів імпульсного сигналу та пе-
ріодичної послідовності імпульсів.
130
Нехай маємо поодинокий імпульсний сигнал аДО тривалістю
т. Повторимо цей імпульс з періодом Т>т так, щоб отримати
періодичний сигнал Цей періодичний сигнал можна подати
рядом Фур’є з коефіцієнтами
£, = £	а = 1	(3.50)
За формулою прямого перетворення Фур’є пари (3.45) знайдемо
значення спектральної густини імпульсу на частоті п/г
8(71^)= ]зі(і)е-і2т''‘аі=^8н(і)е-і2кп^аі.	(з.5і)
-ао
Заміна меж інтегрування пояснюється просто: імпульсний
сигнал $х(0 відрізняється від нуля тільки на інтервалі тривалості
імпульсу т і на цьому інтервалі співпадає з одним із імпульсів
періодичного сигналу
Порівнюючи формули (3.50) і (3.51), одержуємо:
£,=|5(пГ1) = Г15(п/1).	(3.52)
З формули (3.52) виходить, що коли розмірність сигналу,
наприклад [В], то розмірність спектральної густини буде [В/Гц]
або [В с]. Крім того, з аналізу формули (3.52) можна зробити такі
висновки:
	Модуль спектральної густини поодинокого імпульсу та
 обвідна лінійчастого спектра періодичної послідовності,
отриманої повторенням цього імпульсу, співпадають
за формою і відрізняються тільки масштабним множ-
ником.
	Переходячи від періодичного сигналу до поодино-
кого при Т -> оо, одержимо С —> 0 і > 0, але так,
Сп	~
що 1іт= = 5(/).
Важливою характеристикою сигналу є його спектральна
густина енергії. Особливо це стосується випадкових сигналів (див.
розділ 15 другої частини).
Спектральна густина енергії, енергетичний спектр
неперіодичного сигналу
Раніше було отримано формулу, за допомогою якої можна
знайти енергію сигналу поданого у часовій області.
131
ос
Е= 118(0 М-
(3.53)
Отримаємо формулу, яка дозволяє знаходити енергію сигналу,
поданого у частотній області.
За формулою (3.53) маємо:

= /5(/)5*(/)# = ||5(/)|2#.
С
Формула
Я=/|5(Л|2# або Е = ^]|5(со)|2ско
(3.54)	|
відома як теорема Парсеваля для перетворення
Фур’є.
Розмірністю спектральної густини є [В  с]. Тоді одиницею
вимірювання квадрата її модуля є [В2 • с2] або, якщо розглядати
енергію, яка виділяється на опорі 10м, - [Вт • с • с] = [Вт • с/Гц] -
= [Дж/Гц]. Таким чином, функція |_5(/)|2 має розмірність густи-
ни енергії як функції частоти і характеризує розподіл енергії
по частоті.
8
Спектральну густину енергії або енергетичний спектр
сигналу будемо позначати С(/), тобто,
<?(/)” І 5(/)|2.	(3.55)
Інтегруючи функцію Сг(/) по частоті від -оо до оо, одержуємо
повну енергію сигналу, що виділяється на опорі 10м.
При інтегруванні на кінцевому інтервалі частот маємо
енергію сигналу, яка зосереджена в цьому діапазоні.
В розділі 4 ми докладно розглянемо властивості цієї
функції.
132
форми
Приклад 3.6
Обчислити і побудувати спектр імпульсу прямокутної
Розв’язання.
Почнемо з аналізу сигналу 8(і), графік якого наведено
на рис. 3.12, а).
Рис. 3.12.
Отже, сигнал 8(1) — неперіодична функція часу, тобто, його
спектр — неперервна функція частоти.
Сигнал 8(1) — дійсна і парна функція часу. Це означає, що:
	спектральна густина— дійсна функція частоти, тобто,
0(/) набуває значення 0, або ±п;
	значення спектральної густини на частоті, яка дорівнює 0,
5(/)|,_0 = 2Ат;
	Сигнал задовольняє умовам Діріхле, тобто, він є Фур’є-
перетворюваним. Таким чином,
є'™1
= 2Ат5іпс(2/т).
5(0 = 1| Ае~і2кГіс1і = А
А еіМх-е-і2п^
л/ 2/
133
Отже, ми отримали таку пару перетворень Фур’є:
аПШ
<=> 2Ат5іпс(2/т).
(3.56)
Щоб зобразити амплітудний і фазовий спектри, знайдемо
модуль і аргумент спектральної густини:
15(П |= 2Ат 15/ис(2Гт) |,	0(7) 4°’
(±л, 5тс(2/т)<0.
Амплітудний спектр |5(/)| імпульсу наведено на рис. 3.12, б).
Аналізуючи графік, можна зробити такі висновки:
	головна пелюстка амплітудного спектра має ширину 1/т
і симетрична відносно початку координат;
	бічні пелюстки спектра з обох боків від головної пелюстки
зменшуються по амплітуді пропорційно
	перетин функції 5(/) нульового рівня відбувається на частотах
Фазовий спектр наведено на рис. 3.12, в).
Якщо повернутися до результатів попереднього аналізу, можна
бачити, що всі передбачувані властивості спектра підтвердилися
обчисленнями.	І І
Вправа 3.8
Скориставшись властивістю площ, обчисліть значення
інтеграла від функції 8іпс(2), 2 є (-оо, оо).
Приклад 3.7
Обчислити і побудувати спектр сигналу

Розв’язання.
На рис. 3.13, а) наведено графік сигналу з(і). Проведемо
його аналіз.
134
Сигнал — неперіодична
функція часу, тобто, спектр
сигналу 8(і) є суцільним.
Сигнал — дійсна і непар-
на функція часу, отже:
	спектральна густи-
на — уявна функція частоти,
тобто, 0(0 = ±я/2;
|5(ЛІ
	значення спектраль-
ної густини на частоті, яка	Рис- 3.13.
дорівнює 0, _5(ОІг=о =
	сигнал 8(0 задовольняє умовам Діріхле і Фур’є-перетво-
рюваний. Таким чином,
«(/)= ]з(і)е-і2кГІаі=| Ае-і2^аі-]Ае-і2кГ‘аі=
о
_ . А
~} 2л/
=А
є4™
/2я/ _т
9 А
= і---зіп2(я/Ч) = ]2Ап/т?8ітіс2 (/т).
я/
_і_	А
2-2-------—------
2

о
Отримано таку пару перетворень Фур’є:

<=> ]2Ак/т28іпс2(/т). (3.57)
Знайдемо модуль і аргумент спектральної густини:
|5(/)|=2Алт2 |/|5іпс2(/т), 0(/) = !+Я^’
І-я/2, /<0.
На рис. 3.13, б) наведено амплітудний, а на рис. 3.13, в) —
фазовий спектри сигналу. Як і очікувалося, спектр узгоджу-
ється з результатами попереднього аналізу.	[2]
Вправа 3,9
Зробіть порівняльний аналіз спектрів сигналів, роз-
глянутих у прикладах 3.6 і 3.7. Спробуйте пояснити відмінність
у спектрах.
135
Приклад 3.8
Обчислити і побудувати спектри двох сигналів:
$/0 = е'Щі) і з2(0 =
де Щі) — функція включення.
Розв'язання.
Зобразимо епюри двох цих сигналів та проаналізуємо їх.
На рис. 3.14, а) наведено графік сигналу на рис.
3.14, б) — сигналу §2(^). Оскільки і перший, і другий сигнали
є функціями загального виду, їх спектральні густини повинні бути
комплексними функціями частоти. На нульовій частоті значення
спектральної густини і одного, і другого сигналів дорівнюють 1.
Вправа 3.10
Доведіть справедливість останнього твердження.
Обидва сигнали задовольняють умовам Діріхле, тому
можна записати:
5. (/) = ї е-‘е-І2хГісіі =ї є1'1 (1+і2к П1 <іі =--—
-	І	1+/2л/
£,(/) = (е‘е-/2кГ‘(іі= ІеІІ(1-/2кП1(іі=-------.
—	1	А	1-/2л/
Отримали чергові пари перетворення Фур’є:
—4—,	(3.58)
1 + ;2л/	'	7
(3.59)
1-у 2171/
Щоб побудувати графіки розглянутих спектрів сигналів,
необхідно знайти модулі та аргументи спектральних густин
(3.58) і (3.59). Для спектральної густини 5Х(/) маємо:
1
1 1 2
1 + ;2я/ 1-у2я/
Є,(/) = -агс^Яя/).
136
Вправа 3.11
Знайдіть аналітичні
вирази амплітудного і фазо-
вого спектрів сигналу 82(0-
На рис. 3.14, в) і г) на-
ведені амплітудні спектри
сигналів зх(ґ) і а2(0, а на
рис. 3.14, д) і е)— фазові
спектри. Порівнюючи їх,
можна помітити, що
	для обох сигналів амп-
літудні спектри однакові;
	фазовий спектр сиг-
налу а2(0 є дзеркальним
відображенням фазового
спектра сигналу 8х(ґ), тоб-
то, спектр одного сигналу
комплексно спряжений зі спектром другого. Пізніше ми ще
повернемося до цієї властивості спектрів.	| |
Приклад 3.9
Обчислити енергію сигналу 8(і) = Ае~аіЩі), а > 0, розгля-
нувши його у часовій та частотній областях, А = 1, а = 1.
Розв'язання.
У прикладі 1.4 ми вже знайшли, що енергія такого
сигналу
тг	А2
Е = Ііт [ А2е~2а1сІі = —.
2а
Підставимо чисельні значення і отримаємо, що Е == 1/2.
Із (3.58) виходить, що
С(/) = |5(/)|2 =---—г.
1+(2л/)
Тоді енергія цього сигналу, зосереджена в смузі частот
[-В < / < В], дорівнюватиме
ґ #
Е = І-----:
в І1+(2л/)
х = 2л/
а{=—
2л
2 у ах
2л | 1 + х2
= і агсі§(2лВ).
л
137
При В -> оо одержуємо Е = 1/2, що співпадає з результатом
обчислення енергії цього сигналу, поданого в часовій області.| |
3.3.	Властивості перетворення Фур’є.
Теореми про спектри
При спектральному аналізі сигналів і процесів, що існують
в радіотехнічних колах і системах при впливі на них деякого
сигналу 8(1), важливо встановити не лише зв’язок сигналу 8(1) з
його спектральною густиною, чим ми й займалися у попередніх
підрозділах цього розділу, але й з’ясувати, як перетворення сигналу
з(і) змінює його спектральну густину. Це у багатьох випадках
можна зробити, знаючи властивості перетворення Фур’є, які ми
зараз і розглянемо. Ці властивості будуть сформульовані у вигляді
теорем про спектри.
0
	Теореми про спектри дають змогу знайти нові пари {
перетворень Фур’є за вже отриманими для деяких сиг- |
налів.	’
	Теореми про спектри встановлюють зв’язок між пере- «
творенням сигналу з(і) і спектром, який відповідає цьому
перетвореному сигналу.
	Важливо підкреслити, що теореми про спектри у де-
яких випадках дають можливість отримувати спектри
сигналів, не використовуючи для цього пряме перетворення
Фур’є.
Розглянемо найважливіші теореми про спектри, доведемо
їх і продемонструємо на прикладах їх використання в практиці.
У додатку Б (табл. Б.1) наведено формулювання кожної з теорем
і деяких інших властивостей, розглянутих вище.
Теорема лінійності (суперпозиції)
Нехай 82(/) <=> 5Д/), а 82(і) <=> 82(/). Тоді для будь-яких
сталих а і Ь справедливе”твердження
аз.(і) + Ьз2(і) <=> а8.(Г) + ЬЗ^Г).	(3.60)
Доведення властивості (3.60) безпосередньо випливає з ліній-
ності перетворення Фур’є.
138
Вправа 3.12
Доведіть справедливість властивості суперпозиції пере-
творення Фур’є.
Приклад 3.10
Знайти спектр сигналу
е
8(0 = е"|г| 1,
і>09
і = 09
е1> і<0.
Розв'язання.
Зобразимо сигнал графічно (рис. 3.15) і проведемо попе-
редній аналіз.
Сигнал — дійсна і парна функція
часу, отже його спектральна густи-
на — дійсна функція частоти, тобто,
0(/) = 0 або ±л.
Значення спектральної густини на
частоті, яка дорівнює 0, 5(О|г=о== 2.
Оскільки сигнал задовольняє умовам
Діріхле, він є Фур’є-перетворюваним,
і його спектр можна знайти, скорис-
тавшись прямим перетворенням Фур’є. Проте, простіше одержати
спектр сигналу з(і)9 якщо скористатися властивістю лінійності
та вже отриманими парами перетворень Фур’є (3.58) і (3.59):
8(/) = —1— + —-— =-----------—-
1 + ;2л/ 1 - )2л/ 1+(2л/)
Одержали чергову пару перетворення Фур’є:
-ІН	2
е 1,1 <=>--------
1+(2л/)2
(3.61)
Спектр повністю відповідає результатам попереднього аналізу.
Можна зробити висновок, що використання властивості лінійності
суттєво спростило розв’язання задачі.	| |
Вправа 3.13
Одержати спектр сигналу з прикладу 3.10 безпосередньо,
використовуючи пряме перетворення Фур’є.
139
Теорема переміщення сигналу в часі (запізнювання
сигналу)
Якщо <=> тоді для будь-якого сталого запізню-
вання і0 справедливе твердження
8(І - і0) <=>	(3.62)
Доведення.
Підставимо у формулу прямого перетворення Фур’є
(3.45) затриманий сигнал і зробимо заміну змінних, як показано
нижче:
8(£-ґ0)<=>	е~'2п/і(іі
= ]8(х)еЧ2кГ(х+Єо)гіх= е‘/2к^ ^8(х)е-^хах = еЧ2пГіо 8(/).
і-і0=х
(ІІ = (ІХ
Теорему доведено.
Для пояснення отриманого результату запишемо комплексні
спектральні густини вихідного та затриманого сигналів в
показниковій формі, тобто:
Я(/) = |5(Пкв(П,
5(^)е->2^о = 15(/) | е>
З порівняння цих формул можна зробити такий висновок:
8
При затримці сигналу на довільний, але сталий час ।
£0, не змінюючи його форми, амплітудний спектр не
змінюється, а фазовий спектр має приріст на величину
-2п/і0, що лінійно залежить від частоти /.
.. ... £ гищ.гті , ,    п„г ш    . ... . ,пі і	.і ЩЬМ ... .^.ір .^.11	.
Приклад 3.11
Знайти спектри двох імпульсів прямокутної форми, кожен
тривалістю 2т і заввишки А, але затриманих один на час і0 = т,
другий — на час і0 = -т, тобто:
М0=АПр2^1 і 82(0 = АПГ^Ї
140
Розв'язання.
У прикладі 3.6 для незатриманого імпульсу з такими
самими параметрами як і в даному прикладі, ми одержали пару
перетворень Фур’є (3.56) і побудували амплітудний і фазовий
спектри (рис. 3.12).
Застосовуючи теорему запізнювання, одразу знайдемо спектри
сигналів «ДО і з2(1).
<=> 2Ах8іпс(2/х)е
<=> 2Ах8іпс(2/х )є'2#х.
Знайдемо амплітудний і фазовий спектри, наприклад, першого
сигналу:
1ЗД| = 2Ах 18іпс(2/х) |, 0Х(/) = -2п/х+-
0, 8іпс(2/х) > 0,
±л, 8іпс(2/х)<0.
Вправа 3.14
Знайдіть аналітичні вирази амплітудного і фазового
спектрів сигналу в2(і).
Проілюструємо отриманий результат за допомогою графіків.
На рис. 3.16, а) наведе-
но графік сигналу ах(0,
нарис. 3.16,0)— графік
сигналу 82(і). Амплітудні
спектри цих сигналів одна-
кові і мають вигляд такий,
як на рис. 3.12, 0). Фазо-
вий спектр сигналу зх(0
зображено на рис. 3.16,
в), сигналу з2(і) — на рис.
3.16, г). Якщо порівняти,
наприклад, фазовий спектр	Рис. 3.16.
сигналу	з фазовим спект-
ром незатриманого сигналу з прикладу 3.6, можна зазначити,
що вони дійсно відрізняються тільки приростом на величину ~2л/т.
У діапазоні частот / е \	~ | значення фази 0. залежить від
І 2т 2т;	1 1
частоти за лінійним законом 0Х = -2л/т і при / — ліворуч 0Х -я.
2Х
141
При подальшому збільшенні частоти фаза стрибком змінюється
на я радіан через зміну знаку функції 5іпс(2/т) і т. д. Аналогічно
можна пояснити і фазовий спектр сигналу з2(і).	| |
Теорема зміни масштабу часу
5
Якщо з(і) <=> 8(/), тоді
а(аО<=>Лі5| - |,
|а| І а )
(3.63)
де а — масштабний множник, який може набувати
як додатні, так і від’ємні значення.
Доведення.
Розглянемо два випадки:
1. а > 0. Тоді, зробивши зміну змінних, одержуємо:
5(а0<=> $8(аї)е~'2к/ісІЇ
аІ = х, і — —
а
. СІХ
(Іі = —
а
а а~
2. а < 0. У цьому випадку аі = -|а|£. Тоді
з(аі)<^> |в(-|а|0в ,2к1‘(іі
&х
|а|
|а|
= 1дґгҐІ = А_5ҐГі
|а| 1^0 N Iа?
Тут ми врахували, що -|а| = а. Об’єднавши обидва розглянуті
випадки, одержуємо формулу (3.63).
Теорему доведено.
Властивість зміни масштабу часу встановлює важливий зв’язок
подання сигналу у часовій області з поданням того самого сигналу
у частотній області.
 При стисканні сигналу в а разів на осі часу у стіль-
ки ж разів розширюється його спектр на осі частоти.
142
Модуль спектральної густини при цьому зменшується
у а разів.
 При розтягуванні сигналу за часом (а < 1) відбуваєть-
ся звуження спектра і зростання модуля спектральної
густини.
Рис. 3.17 ілюструє цей зв’язок на прикладі імпульсу
прямокутної форми «(0 =
Рис. 3.17.
Тривалість імпульсу змінюється від 0 до 10 с, при цьому зна-
чення спектральної густини на частоті / — 0 збільшуються від 0
до 10, а ширина головної пелюстки спектральної густини змен-
шується від оо до 0,2 Гц.
Тривимірний графік, що наведений на рис. 3.17, розраховано
і побудовано в системі МАТНЕМАТІСА. Для цього потрібно ввести
тільки два оператори, що наведені у додатку до розділу 3.
До аналізу цього графіка ми ще повернемося у четвертій частині
підручника, коли будемо розглядати методи частотночасового
аналізу сигналів.
Теорема інверсії часу
Якщо в(0 о _8(/)> т°ді
8(-Л-
(3.64)
143
Ця теорема є поодиноким випадком властивості зміни масш-
табу часу коли а = -1.
Приклад 3.12
Знайдети спектр імпульсу прямокутної форми тривалістю
т і заввишки А.
Розв’язання.
Раніше було отримано пару перетворень Фур’є (3.56)

2Ат5іпс(2/т).
Очевидно, що для стискання імпульсу в 2 рази необхідно,
щоб масштабний множник а дорівнював 2. Тоді
= Ат5тс(/т).
(3.65)
Приклад 3.13
Знайти спектр сигналу з(і) =Ае~аії}(і), а>0.
Розв’язання.
Знаючи пару (3.58) і використавши властивості лінійності
та зміни масштабу часу, одержуємо:
Ае^Щі)«  ------------= —•
а (1 + ]2к//а) а + ;2л/
(3.66)
Приклад 3.14
Треба знайти спектр сигналу в(<) - Аеа,Щ-і), а>0.
Розв'язання.
Знаючи пару (3.66) і використавши теорему інверсії часу,
одразу знаходимо, що
АевТ7(-0 «—^-7.	(3.67)
а - }2пт
У додатку до розділу наведено програму в системі МАТНЕ-
МАТІСА, яка дозволяє розв’язати цю задачу на ЕОМ. Програма
видає на екран дисплея формули (3.66), (3.67), а також графіки
144
одного і другого сигналів, дійсної та уявної складових
спектральної густини кожного з них.	| |
Теорема дуальності
Якщо х(і) <» Х(/)9 тоді
Х(0 <х> х(-/).	(3.68)
Ця властивість випливає з подібності формул прямого і обер-
неного перетворень Фур’є.
Доведення.
Запишемо обернене перетворення Фур’є
х(і)=]х(Г)е^‘аг.
— •
Тоді
х(-і) = ]х(Г)е-™<і/.
оо
Замінивши і на / і / на і, одержимо:
х(-/) = ]х(і)е-і2*г‘<іі або х(-/) о Х(і).
Теорему доведено.
Приклад 3.15
Запишемо пару перетворень Фур’є (3.65) так:
х(0=П[Яот5/МЛ) = *(/)•
Відповідні графіки наве-
дено на рис. 3.18.
Замінимо / у Х(/) на і
і одержимо нову функцію
часу Х(і) - т 8іпс(іт). Згідно
з теоремою дуальності ця нова
функція часу має спектр
-ПрА
Рис. 3.18.
145
Позначивши Р = т/2 і враховуючи, що
жуємо:
2Р8іпсЦ2Рі) о ПІ^У •
одєр-
(3.69)
На рис. 3.18 наведено графіки, які ілюструють отриманий
результат.	□
Вправа 3.15
--- Задано спектральну густину 5(/) = е_/17(/) деякого сигналу.
Використовуючи властивість дуальності для пари (3.58), запишіть
обернене перетворення Фур’є для заданої спектральної густини.
Теорема переміщення спектра за частотою
Якщо з(0 <=> 8_(П, тоді для довільного, але сталого зна-
чення /0
зЩе*’2*'^8(/+/0).	(3.70)
Ця властивість дуальна властивості переміщення сигналу
в часі.
Доведення.
5(/+/0)= 18(і)е'і2к('*м‘аі= ]8(і)е-і2^е-і2^аі<^з(і)е-і2^.
Теорему доведено.
Аналогічно легко показати, що
з(і)еі2кГві «> 8(/ -/0).	(3.71)
Важливим наслідком властивості (3.70) є теорема модуляції,
яка дозволяє встановити зв’язок між спектрами відеосигналів зі
спектрами радіосигналів.
Теорема модуляції
Якщо »(ґ) о тоді
8(0соз(2гс/оО о	- 4)+І5(/ + /0).	(3.72)
А	А
146
Для доведення справедливості (3.72) використаємо формулу
(А.2):
СО5(2л/о0 =
Скориставшись цією формулою і властивістю лінійності пере-
творена Фур’є, одержуємо потрібний результат.
На рис. 3.19, а) наведено графік радіосигналу
з(і) =	— |соз(2л/0і).
Спектр модулюючого коливання — імпульсу прямокутної
форми ми вже одержали раніше (пара (3.65)). Підставляючи його
значення до формули (3.72), одержуємо спектр радіоімпульсу
із прямокутною обвідною і заповненням з частотою /0.
Дт
5(/) = —{5іпс[т(Г - £)]+8іп^ + /0)]}.
А
Рис. 3.19.
Одержали нову пару перетворень Фур’є:
АП _ |со8(2,і4>0 <=>
д т
«>^{8/пс[т(/-/'0)]+5іпф(Г+/0)]}.
(3.73)
На рис. 3.19, б) показано спектр радіосигналу.
У наступних розділах підручника ми докладно вивчатимемо
спектри радіосигналів.
Вправа 3.16
Знайдіть спектр сигналу з(0 = е‘8Іп(2тг/оО17(О-
147
Теорема диференціювання у часовій області
Нехай 8(і) <=> _5(Л і перша похідна функції	задовольняє
умовам Діріхле, тоді
^-5(0 о /2л/5(/).	(3.74)
Доведення.
Запишемо обернене перетворення Фур’є
8(0= / 5(/)^2"/,й/.
Візьмемо похідну від лівої і правої частин у часі, замінивши
порядок диференціювання та інтегрування. Тоді
^8(0= °]і2пГ8(Г)еі2^а/.
Права частина цього виразу є оберненим перетворенням Фур’є
функції }2п/8_(/).
Теорему доведено.
Рівність (3.74) можна узагальнити на випадок п-кратного
диференціювання:
^-8(0о(;2л/Г5(/).	(3.75)
Комплексний спектр похідної від сигналу одержується
з комплексного спектра сигналу множенням його на
/2л/ (або на /ш).
Теорема диференціювання корисна для обчислення спектрів
сигналів, які описуються кусково-лінійними функціями часу.
Теорема диференціювання у частотній області
Якщо до (3.74) застосувати теорему дуальності, одер-
жимо:
^-5(/)«-/2лґв(С.	(3.76)
»/
148
Теорема множення сигналу на і
З формули (3.76) випливає ще одна важлива властивість
перетворення Фур’є:
і • 8(1) <=> -
1 48(П
І2п сі/
(3.77)
Приклад 3.16
Обчислити і побудувати спектр симетричного імпульсу
трикутної форми, висота якого дорівнює Е, а тривалість за рівнем
0,5Е дорівнює т.
Для такого імпульсу введено таке позначення (Е = 1):
|і|>т
Розв'язання.
Зобразимо заданий сигнал і про-
ведемо попередній аналіз. На рис. 3.20, а)
наведено графік сигналу, спектр якого не-
обхідно обчислити. Сигнал — дійсна і парна
функція часу, тому його спектральна густи-
на — дійсна функція частоти, тобто, 0(/) = 0
або ±л. Значення спектральної густини на
частоті, яка дорівнює 0, 5(/)Іг=0 = Ех. Оскіль-
ки сигнал задовольняє умовам Діріхле, він
є Фур’є-перетворюваним і для обчислення
спектра можна застосувати пряме перетво-
рення Фур’є. Проте ми зробимо інакше: вико-
ристаємо властивості перетворень Фур’є і вже
відому пару. Це дозволить розв’язати задачу
без обчислення будь-яких інтегралів.
Продиференціюємо сигнал один раз. На рис. 3.20, б) наведено
графік похідної. Можна бачити, що
(із Е -і—г । £+т/2 । Е ।—г| £-т/2
(іі т * Ч т } т * Ч т
149
непарна функція часу, тобто спектральна густина її — уявна
функція частоти.	д8
Далі, якщо з(і) <=> _£(/), а — <=> 5Д/) ,то, згідно з теоремою дифе-
аі —
ренціювання, 5//) == ;2л/5(/)» Звідси знаходимо, що
«(/) =
^ЛС/).
;2ге/ —
(3.78)
Раніше було одержано пару перетворень Фур’є (3.57). Викорис-
товуючи властивість лінійності, з (3.57) одержуємо:
Е -і—г[ £+т/2] Е -і—г| £—т/2 ।	\
— ГТ  '— ГТ  '— Ь» ;2Ел/т 8іпс (/т).
т т ; т т )
Скориставшись формулою (3.78), одержуємо спектр імпульсу
трикутної форми заввишки Е і тривалістю т за рівнем Е/2
(очевидно, що по основі імпульсу його тривалість дорівнює 2т).
о Ет8іпс2(/т).
(3.79)
Можна зауважити, що
одержаний спектр повністю
узгоджується з результа-
тами попереднього аналі-
зу. Нарис. 3.21 зображено
діаграму спектральної гус-
тини сигналу з(Ґ). Фазовий
спектр на всіх частотах має
нульове значення. | |
Рис. 3.21.
Вправа 3.17
Знайдіть спектр сигналу з прикладу 3.16 безпосередньо,
використавши формулу прямого перетворення Фур’є.
Приклад 3.17
Скориставшись теоремою диференціювання, знайти такий
імпульсний сигнал £(і), перетворення Фур’є якого матиме ту саму
форму, що й
150
Розв’язання.
Нехай §(і) <=> _£(/)• Застосуємо теорему диференціювання
в частотній області (3.76).
(1	1(1
-]2пі§(і)<^—С(/) або -2лГ#(0<=>-?—£(/)•	(3.80)
(і/	1(1/
Приймемо, що сигнал §(і) задовольняє диференціальному
рівнянню першого порядку
л
—§(і) = -2кі§(і),	(3.81)
аі
тобто, зрівняли ліву частину виразу (3.74), замінивши з(і) на
§(і)9 з лівою частиною рівняння (3.80). Можемо зрівняти й праві
частини, тобто записати:
^С(Л = /2л/С(/) або ^-С(/)=-2я/С(Л.	(3.82)
]<і/	сі/
Таким чином, якщо сиг-
нал &(і) є розв’язком диферен-
ціального рівняння (3.81),
то його перетворення Фур’є
О(/) має задовольняти дифе-
ренціальному рівнянню (3.82).
Але обидва ці рівняння мають
один і той самий вигляд, отже,
сигнал £(і) і його спектраль-	_____ ,	*
на густина ^(/) є функціями -1»5 -і -0,5 о 0,5 і 1,5
одного і того самого виду, що
й потрібно одержати. Зали-	Рис. 3.22.
шилося розв’язати рівняння
(3.81) і (3.82). Зробити це просто, оскільки змінні поділяються
й інтегрування не становить труднощів.


№71
‘-0,47
Вправа 3.18
Розв’яжіть рівняння (3.81) і (3.82). Переконайтеся
в тому, що
Я(О = е-л'2 і С(/) =
Отримано чергову пару перетворень Фур’є.
ехр(-пі2) ехр(-л/2).
(3.83)
151
На рис. 3.22 наведено графік сигналу §(і). З (3.83) виходить,
що графік функції (?(/) має такий же вигляд.
Сигнал що описується моделлю (3.83), називають гаус-
совим імпульсом через подібність формули, яка його описує,
з формулою гауссової густини ймовірностей.	І І
Вправа 3.19
Найдіть площу, обмежену гауссовим імпульсом.
Приклад 3.18
Скориставшись теоремою множення сигналу на час і,
знайти спектр сигналу з(і) = Аіе~а‘Щі), а > 0.
Розв’язання.
Раніше ми одержали пару перетворень Фур’є (3.66)
Аеа'17(Є) о
А
а + у2ті/ ‘
Згідно з теоремою множення сигналу на і (3.77), маємо:

і а	А і	А
]2п сі/	ч а + ;2л/ ) (а + /2я/)2
Отримано чергову пару перетворень Фур’є:
Аіе-аЇЦі) <=>
А
(а + ;2л/)2
(3.84)
Вправа 3.20
Зобразіть сигнал з прикладу 3.18 і його спектр гра-
фічно.
Теорема інтегрування у часовій області
Нехай з(і) о _5(Л, тоді

(3.85)
152
Розглянемо поки що поодинокий випадок теореми інтегру-
X)
вання, а саме: випадок, коли 5(0) = |8(і)с/і = 0. Загальний випадок
буде розглянутий пізніше у підрозділі 3.4.
Отже, в поодинокому випадку, коли 5(0) = 0, (3,85) має
вигляд

(3.86)
Доведення.
Запишемо
Праворуч стоїть певний інтеграл зі змінною і. Його
підінтегральний вираз можна розглядати як добуток двох функ-
і
цій часу:	і	Застосувавши правило інтегрування по
частинах, одержуємо:
| є'''2”"
е-'2я/‘Л=г', п=——є’'2*"
/2л/
____
/2л/
Перший з інтегралів у правій частині дорівнює нулю в тому
випадку, який ми розглядаємо і, отже, теорема доведена для по-
одинокого випадку 5(0) = 0.
В
Комплексний спектр інтеграла сигналу	одержується |
з комплексного спектра сигналу множенням його на і
|
..1
З порівняння формулювань теорем диференціювання та
інтегрування у часовій області можна зробити такі висновки.
	При диференціюванні сигналу у часовій області
посилюються високочастотні складові спектральної
густини сигналу, що визначається множником ]2п/.
153
	Інтегрування сигналу ослаблює його високочастотні
складові за рахунок впливу множника (/2 л/)'1.
Теорема спряженості
Якщо з(і) <=> _3(/), тоді для сигналу, комплексно спряже-
ного з сигналом $(0, справедливе таке твердження
з*(0~ £*(-/)	(3.87)
Щоб довести справедливість (3.87), запишемо обернене пере-
творення Фур’є.
«(0= ] 8(Г)еі2*'1<ії.
Знайдемо комплексно-спряжені складові лівої і правої частин
цієї рівності, потім зробимо заміну / на -/ і одержимо:
«*(0 = ї «‘(/)	=-8Х-/)еі2кГ,аГ=
З цього виразу виходить, що з*(і) є оберненим перетворення»
Фур’є від _5*(“/)> Щ° й треба було довести.
Приклад 3.19
Сигнал з(і) є комплексною функцією часу. Треба
спектральні густини дійсної та уявної складових сигналу.
Розв'язання.
Запишемо сигнал 8(0 у алгебраїчній формі.
8(0 = Ке [3(0]+Дт[8(0].	(3.88)
Комплексно-спряжений сигнал буде:
8*(0 = Ке[з(0]-/Іт[5(0]-	(3.89)
Розв’язуючи систему двох рівнянь (3.88) і (3.89), знаходимо:
Ве[8(0]=|[в(0+вШ	(3.90)
&
Іт[8(0] = ^[«(0-/(0].	(3-91)
2/
Застосуємо до (3.90) і (3.91) теорему спряженості і одержимо:
154
Ке[5(і)]«|[5(/) + 5*(-/)],
(3.92)
іш[8(0]«^[5(/)-5‘(-П].
(3.93)
З (3.93) випливає, що для дійсного сигналу 8(і) 8(/) = 8^(-/).
Вправа 3.21
Скориставшись рівністю _8(/) = _8*(-/), доведіть властивості
симетрії (3.47) спектральної густини дійсних сигналів.
Вправа 3.22
Покажіть, що для дійсного сигналу з(і) формулу (3.87)
можна подати у вигляді 8(~0 о _8*(/), тобто доведіть теорему
інверсії часу (3.64).
Теорема згортки
Нехай 8,(0 <=> 8,(/) і 82(Г) <=> 82(/), тоді
8,(0®8г(0«5к(/)ЗД).
(3.94)
Тут знак ® означає згортку сигналів, тобто:
8,(0®«2(0 =
(3.95)
Доведення.
Позначимо х(0 = 8,(0 ® 82(0 і за допомогою прямого
перетворення Фур’є знайдемо

18, (Х)82 (і - Х)сіА. сіі =

= } 8,(Х)Л }
= ]	} 82(^-^Ч=«і(Л^(Л.
Теорему доведено.
155
Отже,
Згортці двох сигналів відповідає добуток зі спектральних
густин.
Теорема згортки широко використовується як при аналізі
процесів, що відбуваються у радіотехнічних колах і системах, так
і для одержання нових пар перетворення Фур’є. Розглянемо два
приклади.
Приклад 3.20
Одержати формулу для обчислення похідної згортки двох
сигналів 8х(0 ® 82(0-
Розв’язання.
Скориставшись теоремами згортки і диференціювання,
одержуємо:
£[М0 0 з2(і)] « і2яГ[81(Г)82(Г)] =
аі	— —
= [/2Л/8, (/)] 82(/) <=> І	(і) 1 ® 82 (0.
—	— аі
Таким чином,
а
-^-[81(О®82(0] = -у-^СО ® МО-
аг	аі
(3.96)
сіі
8
Похідна згортки двох функцій часу дорівнює згортці
однієї функції з похідною від іншої.	?
Згортка підпорядковується таким законам композиції: ,
	Асоціативність:	'
5/0 ® [*2(0 ® 5/0] = [5/0 ® 5/0] ® 5/0.
	Комутативність:	'
5/0 ® 8/0 = 8/0 ® 81(ї).	;
	Дистрибутивність:
«/О ® [5/0 + 5/0] = 5/0 ® 5/0 + 5/0 ® 5/0.
156
Приклад 3.21
Знайти спектр сигналу, який є згорткою двох однакових
імпульсів прямокутної форми, тобто, х(і) =
у V 7	у * і
Розв’язання.
Оскільки з інтегралом згортки при аналізі сигналів і
процесів у радіотехніці доводиться стикатися дуже часто, пояснимо
графічно, що таке коливання х(і) = з^і) ® з2(і).
Отже,
81(4)®«2(і)= |вІ(Х)вї(^-Х)4Х.
Щоб одержати підінтегральний вираз,
коливання з2(і) треба обернути в часі, тоб-
то перейти ДО 82(-Х) і здійснити його зсув
у часі на і. Це показано на рис. 8.28, б) і в).
На цих самих рисунках штрихуванням
позначені області перекриття функцій
зДХ) і з2(і - X) для двох випадків: і — 0 і і,
що дорівнює деякому значенню Оскіль-
ки висота кожного з імпульсів дорівнює
одиниці, інтеграл — значення коливання
х(і) — дорівнюватиме площі, яка відповідає
області перекриття. Очевидно, що при |е| £ т
підінтегральний вираз перетворюється на
нуль. При і = 0 х(і) набуває максимального
значення, яке дорівнює т.
Таким чином,
Рис. 3.23.
х(О=тА^.
Перейдемо до обчислення спектра. Оскільки
згідно з теоремою згортки
|8іпс(/Ч)]2 =т25іпс2(/Ч).
Отриманий результат співпадає з парою (3.79).
157
Вправа 3.23
Знайдіть спектр згортки двох імпульсів прямокутної
форми з1(і) = 2П(ґ/т) і 82(і) = П(ґ/2т).
Зобразіть графік функції х(£) = «ДО ® з2(і).
Приклад 3.22
Знайти згортку двох сигналів:
з,(0 =	-] і зг(і) = е~Щі).
і Т )
Розв’язання.
Роблячи те саме, що й у попередньому прикладі, одер-
жуємо:
х(0 = «і(0®в2(0 =
0,
і<0,
|е<х'0/тЛ, 0<і<т, =
0
Іе(Х~1)/т(їХ, і>х.
о
0,	і<0,
• т(1-е ’),	0<і<х,
т(е-1) е 1, і>х.
Вправа 3.24
Перевірте отриманий результат, побудувавши графіки
сигналів «/і)» 82(0> 82(і - (як у прикладі 3.21). Зобразіть графік
функції х(і) — зДі) ® з2(і), знайдіть спектральну густину сигналу
х(ї).
Приклад 3.23
Розглядаючи тригонометричний ряд у прикладі 3.1, ми
відзначили, що його часткові суми дають викиди в окіл точок,
де апроксимований сигнал має розриви (ефект Гіббса). Розглянути
причини, які до цього призводять.
Розв’язання.
Припустімо, ЩО 8(0 <=> _5(/), І МИ з допомогою оберненого
перетворення Фур’є за відомою спектральною густиною відновлює-
158
мо сигнал. Питання у тому, чи в будь-якому випадку відновлений
сигнал співпадатиме в усіх точках із сигналом з(і)? Щоб відповісти
на це питання, розглянемо спочатку відновлення сигналу лише
по низькочастотній частині його спектра, тобто
(3.97)
Раніше ми отримали пару (3.69)
2Р8іпс(2Рі) о П
Тоді, застосувавши теорему згортки, одержимо:
з(і) = 8(і)®2Р8іпс(2Рі).	(3.98)
Далі розглядатимемо конкретний випадок.
Нехай сигнал 8(1) е імпульсом прямокутної форми заввишки
1, тривалістю 1 і зсунутий праворуч на ґ0 — 0,5, тобто,
з(п=п^-|>|=що-щ<-і),
де Щі) — функція включення.
Підставимо цей вираз у (3.98):
з(і)=(Щі)-Щі-ГІ\®2Р8іпс(2Рі).	(3.99)
Спочатку розглянемо тільки один член (3.99). Одержуємо:
Щі)=Щі) ® 2Р8іпс(2Рі) = 2Р8іпс(2Рі) ® Щі) =
= 2Р18іпс(2ГХ) Щі - Х)</Х =2Р | 8іпс(2РХ)<і'к.	(3.100)
Цей інтеграл не виражається в елементарних функціях, але його
можна визначити за допомогою спеціальної функції — інтегральний
синус. Ця функція позначується 8і(и) та визначається так:
8Ци)=^Ш-ах.	(3.101)
о х
Графік функції наведений на рис. 3.24. З аналізу функції
інтегрального синуса виходить:
1.	функція 8і(и) є непарною функцією;
159
2.	функція набуває екстре-
мального значення, коли и
кратне я.
3.	При \и\ -> оо, |8ї(и)| -> я/2.
За допомогою функції 8і(и)
формулу (3.100) можна запи-
сати так:
ЩО = ^+—5і(2лГґ). (3.102)
2 я
Графік цієї функції для Р = 2
зображений на рис. 3.25, а).
За формулою (3.99) виходить, що сигнал з(і) можна одержати
з Щі) як
а(і) = Щі)-Щі-1).
Рис. 3.25.
Графіки функції в(і) при різних значеннях граничної частоти
Р наведено на рис 3.25, б), в) і г). У першому випадку Р = 2, для
сигналу рис. в) -Р - 4 і для сигналу рис. г) -Р = 8. Порівнюючи
ці рисунки, можна зробити такі висновки:
1.	Апроксимація сигналу в(і) функцією $(і) стає кращою
зі збільшенням діапазону частот Р.
2.	Це має місце скрізь, крім околів точок розривів при і “ 0
їі -1.
3.	Поблизу точок розривів спостерігається викид функції 8(І),
причому ширина цього викиду при Р оо прямує до нуля, а висота
викиду наближається до значення 9 % від висоти імпульсу, тобто
в розглянутому прикладі — 0,09.
Це явище отримало назву ефекту Гіббса.	[2]
160
Теорема множення у часовій області
Нехай 8,(0 о 5//) і з2(і) <х> 52(/), тоді
81 (082(і) « } ЗД 8^ - *)<& = 8Д/) ® £,(/). (3.103)
Таким чином,
5
Спектральна густина добутку двох сигналів дорівнює
згортці спектральних густин цих сигналів.	;
Доведення теореми множення робиться аналогічно тому,
як було доведено теорему згортки, або за допомогою теореми
дуальності.
Вправа 3.25
Доведіть теорему множення, тобто, справедливість твер-
дження (3.103).
Приклад використання теореми множення розглянемо нижче
(приклад 3.27).
Отже, ми розглянули властивості перетворень Фур’є, переко-
налися в тому, що знання їх у багатьох випадках істотно спрощує
обчислення спектрів сигналів.
9
Теореми про спектри було розглянуто на прикладах не-1
періодичних сигналів і для перетворення Фур’є в інтег- ’
ральній формі. Очевидно, що всі вони справедливі і для •
періодичних сигналів, однак в їх формулюваннях місце |
спектральних густин займуть комплексні коефіцієнти ,
ряду Фур’є.
У додатку Б наведені формулювання всіх розглянутих
теорем і деяких інших корисних властивостей перетворень Фур’є
(табл. Б.1). В ньому ж є таблиця деяких пар перетворень Фур’є
(табл. Б.2), багато з яких отримано в даному та інших розділах
підручника.
Тих пар перетворень Фур’є, які вже одержано вище, мало для
аналізу навіть найпростіших моделей сигналів, які не задоволь-
няють умовам Діріхле. Проте, й для таких функцій можна знай-
161
ти спектри, якщо використати перетворення Фур’є і граничний
перехід.
3.4. Граничний перехід у перетворенні Фур’є.
Спектри сигналів, що не задовольняють
умовам застосовності перетворення Фур’є
Одним з таких сигналів є синусоїдне коливання, що три-
ває в часі від І — -оо до і = оо. Таке коливання, як ми знаємо, має
лінійчастий спектр, але для нього не можна знайти спектральну
густину через безпосереднє використання прямого перетворення
Фур’є. Іншими прикладами можуть служити функція включення,
знакова функція, дельта-функція і т.д. Вже цей перелік свідчить про
важливість того питання, обговорення якого ми розпочинаємо.
Підкреслимо таку обставину. Якщо сигнал з(і) задовольняє
умовам Діріхле, то цього досить, щоб існувала функція частоти
_§_(/), яку можна знайти безпосередньо за допомогою прямого
перетворення Фур’є. Але, оскільки пряме та обернене перетворення
Фур’є повністю симетричні, то щоб від _5(/) повернутися до 8(1) за
допомогою оберненого перетворення Фур’є, необхідно, щоб функція
_8(/) також задовольняла умовам, аналогічним умовам Діріхле.
Тільки у цьому випадку виконується умова взаємно-однозначної
відповідності з(і) о 8{/).
Розглянемо приклад.
Приклад 3.24
Нехай з(і) = 5(ґ). Дельта-функція задовольняє умовам
Діріхле і формально знайти її спектральну густину просто, якщо
згадати фільтрувальну властивість:
5(/) = /5(0е’/2"Л<Й = 1.
Однак, обернене перетворення Фур’є веде до невласного інте-
грала
—ОО	-00
Щоб існувала взаємно-однозначна відповідність 5(0 <=> 1> не-
обхідно прийняти як факт, що
р2я/‘<//=5(0.	(3.104)
162
Зміст формального вир азу (3.104) можна пояснити різними
способами. Розглянемо один з них. Скориставшись формулою
Ейлера
= соз(2л/0 + у зіп(2л/0»
можна подати інтеграл (3.104) у вигляді суми великої кількості
синусоїд та косинусоїд різних частот. Очевидно, що у будь-який
момент часу і 0 вони складатимуться з різними фазами, що
веде до їх повної взаємної компенсації. При і = 0 всі косинусоїдні
складові дорівнюють 1, їх внески підсумовуються, створюючи в
цей момент часу нескінченно великий ВИКИД.	[2]
Щоб визначити спектри сигналів, для яких не виконуються
умови, сформульовані вище, застосовують метод, оснований на
використанні граничного переходу.
Розглянемо застосування цього методу на прикладах і*
одночасно, одержимо декілька нових пар перетворень Фур’є, які
будуть потрібні надалі.
Спектр дельта-функції, періодичної послідовності
дельта-функцій і сталої величини
В розділі 1.2 було вказано, що дельта-функцію, яка
має унікальні властивості, можна одержати лише за допомогою
граничного переходу. Як один з можливих варіантів було розглянуто
функцію
8е(0 = —ПҐ—1
і показано (див. рис. 1.11), що ІітЗ (0=5(ґ). Цей граничний
є->0
перехід ілюструє тривимірний графік, наведений на рис. 3.26,
а). На ньому відображено як змінюється форма імпульсу ЗДі)
Рис. 3.26.
163
зі зменшенням параметра є
від 0,05 до 0,001. Виникає
питання: що відбувається зі
спектром функції 5е(ї) при
такому граничному переході?
Аналіз графіків, наведених на
рис. 3.26, б), 3.27, а) і 3.27,
б) дозволяє дати відповідь на
поставлене питання.
Очевидно, що 5ДО <х>
<=> 8іпс(2/є).
Це ілюструє рис. 3.26, б)
при, наприклад, є = 0,05, та
рис. 3.27, а) при довільному є.
Якщо є прямує до 0, ширина
Рис. 3.27.
першої пелюстки спектра прямує до оо, значення частот першого
перетину функції 8іпс(2?г) нульового рівня прямуватимуть до оо
і -оо, що й відображено на рисунках. Цей результат просто обґрун-
тувати математично. Дійсно, з відомої рівності
81ПХ „
Ііт------= 1
*->о х
одразу виходить, що 1іш8іпс(2/’є) = 1.
є—>0
Таким чином, ми одержали таку пару перетворень Фур’є:
5(0 о 1.	(3.105)
Спектральна густина дельта-функції є дійсною функцією
частоти, яка має стале значення 88(/) = 1 на всіх частотах.
Це означає, що при підсумовуванні нескінченної кіль- [
кості спектральних складових із нескінченно малими
амплітудами утворюється нескінченно великий сплеск
у момент часу і = 0, причому його тривалість нескінчен-
НО
Знаючи спектр дельта-функції і теореми про спектри,
можна одержати цілий ряд перетворень Фур’є, не вико-
нуючи операції інтегрування.
В
Згідно з теоремою лінійності,
А5(0<=>А.
(3.106)
164
Знаючи зв’язок спектрів по-
одинокого сигналу та послідов-
ності, отриманої періодичним
повторенням цього сигналу
з періодом Т, знаходимо спектр
періодичної послідовності
дельта-функцій, наведений на
рис. 3.28.
Рис. 3.28.
Спектр сталої величини можна знайти різними способами.
Зробимо це, використовуючи пару (3.106) і теорему дуальності.
Одержуємо А5(-/)<=>А, але оскільки дельта-функція є парною
функцією,
А<=>А5(/).
(3.107)
Вправа 3.26
--- Отримайте спектр періодичної послідовності дельта-
функцій і переконайтеся в тому, що він такий, як зображено на
рис. 3.28.
Вправа 3.27
Отримайте пару (3.107), скориставшись граничним перехо-
дом. За вихідний сигнал візьміть прямокутний імпульс заввишки
А й тривалістю т. Проаналізуйте випадок, коли т -> оо.
Приклад 3.25
Обчислити спектр імпульсу трикутної форми 8(0 =
= еЛ(«/т), скориставшись спектром дельта-функції.
Розв'язання.
Цю задачу вже було розв’язано кількома способами.
Тут зробимо так. Спочатку двічі здиференціюємо сигнал 8(0,
а потім скористаємося теоремою диференціювання й одержимо
потрібний результат. На рис. 3.29, а) наведений графік сигналу
$(0, б) — графік першої, в) — р&угбі похідної 8(0
•^4 = —5(ї+т)-—5(0 + —5(^-т).	(3.108)
аг т	т т
Якщо <=> 28(0 то, згідно з теоремою диференціювання,
можна записати:
165
(3.109)
аг
Застосовуючи теореми лінійності і зсуву
в часі до (3.108), одержимо:
е'2*х -2+е-'2*'х) =
<іі2 хк	’
=-—[1 - соз(2я/т)] = ———зіп2(л/т). (3.110)
X	т
Залишилося зрівняти праві частини
(3.109) і (3.110) та з отриманого рівнян-
ня знайти 8(/):
8(/)=- (/2л/)"2 ——зіп2(л/т) = Ех8іпс2(/х).
х
Рис. 3.29.
Одержаний вираз співпадає з тим,
що ми визначили раніше.	| |
Розглянутий приклад дає змогу зробити деякі висновки.
9
	Використання спектра дельта-функції дозволяє різко
спростити спектральний аналіз сигналів, описуваних
кусково-лінійними залежностями, оскільки в цьому
випадку перша або друга похідні можуть бути зображені
у вигляді суми дельта-функцій.
	На цьому оснований один з чисель-
них методів обчислення спектрів ДО-
вільних сигналів. Зміст його в тому,	І
що для довільного сигналу спочатку /І
ЗДІЙСНЮЮТЬ кусково-лінійну апрокси- &£--------— і
мацію, як показано на рисунку. Чим 0
менший інтервал апроксимації, тим
менша похибка. Друга похідна апроксимованого сигна-
лу є послідовністю дельта-функцій, перетворення Фур’є
якої визначити просто. Далі роблять так, як ми зробили
у прикладі 3.25.
Спектр знакової функції і функції включення
У підрозділі 1.2 було зазначено, що за визначенням зна-
кова функція описується формулою
166
( О,
і>0,
/-О, =Д = 217(0-1.
і<0,	*
Проведемо аналіз цієї функції.
Функція є неперіодичною, тобто, спектр функції має
бути суцільним.
—	дійсна і непарна функція часу, отже:
	Спектральна густина її — уявна функція частоти, тобто,
0(/) = ±л/2.
	Значення спектральної густини на частоті, яка дорівнює 0,
Ж=о = О-
Ясно, що знакова функція не задовольняє умові абсолютної
інтегрованості. В такому разі, для обчислення спектра використо-
вується метод множників збіжності. Ідея методу проста.
0
Якщо функція х(і) не абсолютно інтегрована, її по-
множують на функцію е'аі, а>0 так, щоб одержана
нова функція ха(і) = х(і)е~а1 вже задовольняла умові
абсолютної інтегрованості. Далі знаходять спектральну
густину Ха(/) <=> ха(і) і спектр функції х(і) одержують
як межу Ха(/) при а -> 0.
Скористаємося цим методом. Визначимо таку функцію:
е'аі, і>0,
*.(0 = і0,	і = 0,
-еа‘, «о.
Графік цієї функції наведений на
рис. 3.30. Очевидно, що Ііт хАі) = ві§п(і).
а->0
На рисунку результат граничного пере-
ходу зображено пунктирною лінією.
Раніше, у прикладі 3.8 було отри-
мано пари перетворень (3.58) і (3.59).
Скориставшись теоремами зміни масштабу часу і лінійності,
одержуємо:
Хв(Л =—477 477’
— а + /2л/ а - /2л/
Де Ха(/)« ха(і).
167
Після простих перетворень маємо: Ха(/)~
4л/
/(а2 + 4л2/2)
На рис. 3.31, а) наведено графік функцій ха{і,а) за умови,
що а -> 0. Можна спостерігати за тим, як із зменшенням а
трансформується функція ха(аД), прямуючи до функції 8І£п(і).
На рис. 3.31, б) і в) зображено як при цьому змінюється модуль
спектральної густини функції ха(а,і).
Рис. 3.31.
Вправа 3.28
Побудуйте тривимірний графік аргументу <ра(а,і) спект-
ральної густини функції ха(а,і).
Здійснимі граничний перехід:
1ітХа(/)=~
а->0- /Л/
Як було передбачено, спектральна густина зі§п(і) дійсно є уяв-
ною функцією частоти. Проте на частоті / = 0 отримана формула
замість 0 дає нескінченне значення спектральної густини. Це
означає, що ми чогось не врахували. Дійсно, при / = 0 граничний
168
перехід призводить до невизначеності типу 0/0. Щоб розв’язати
цю проблему, знайдемо значення функції на частоті / = 0 так:
л_ш>=-------------------=и-
—	[ а + /2л/ а - /2л/ _|/=0
Таким чином, аналітичний вираз спектральної густини отри-
маної вище знакової функції справедливий для всіх частот, крім
частоти / = 0. Зверніть увагу на те, як цю особливість спектра
чітко виявлено на рис. 3.31, б) і рис. 3.31, в).
Таким чином, модуль спектральної густини при |/| —> 0 набуває
скільки завгодно великого скінченного значення, але на частоті
/ = 0 він дорівнює 0.
Отже,
<=> 4 /я/
10,	/ = 0.
(3.111)
Цей приклад дозволяє зробити такі висновки:
	При використанні методу множників збіжності необ-
хідно бути уважним особливо при визначені значення
спектральної густини на частоті /== 0.
	Саме попередній аналіз функції дозволяє уникнути
помилок.
^3'	..і 1 •; ;V	- "х >3' '"'ї" 'З
Графік модуля і аргументу функції 1/(ул/) наведено ні
рис. 3.32, а).
Одержимо ще одну пару перетворень Фур’є, яка буде потрібні
надалі.
За теоремою дуальності--о 8І§п(-/), / з урахуванням не
]ПІ
парності функції ві§п(/) одержуємо:
[ 1

0,
і*0,
1 = 0.
(3.112)
Отже, і в цьому разі модуль функції, розташований
у (3.112), при |і| —» 0 набуває скільки завгодно великого ск
значення, але в момент часу і = 0 він дорівнює 0.
Знайдемо спектр функції включення. Для цього скорі
відомим спектром знакової функції, сталої величини і
лінійності.
169
Спочатку подамо функцію включення у вигляді Щі) =
= —[ві&п(0+1]- Тоді можемо одразу записами:
2
На рис. 3.32, б) наведено спектр функції включення.
Рис. 3.32.
Слід зазначити, що фазовий спектр знакової функції набуває
лише двох значень (±л/2), в той час як фазовий спектр функції
включення — трьох (0 і ±л/2).

Вправа 3.29
Виходячи з властивостей спектрів дійсних сигналів,
поясніть особливості фазових спектрів знакової функції і функції
включення.
Тепер можна повернутися до теореми інтегрування і довести
її для загального випадку.
Раніше, у підрозділі 3.3 цю теорему було доведено для пооди-
оо
нокого випадку, коли 5(0) =	= 0.
Отже, теорема інтегрування стверджує: якщо з(і) <=> 5(/), тоді
х(0= Ь(0^^І5(0)5(/)+^-5(/)|м. (3.114)
_оо	"	1
170
Доведення.
Спочатку доведемо, що функцію х(4) можна подати
як згортку функцій 8(0 і Щі), тобто, х(і) = а(і) ® Щі).
За визначенням
з(і)®Щі)= 18(Х)ї7(4-Х)гіХ = } §(Х)</Х.
Дійсно, якщо X < і, то 17(4 - X) = 1, а якщо X > і, то Щі - X) = 0.
Згідно з теоремою згортки можемо записати:
І
в(і) ® Щі) = р(Х)<7Х » 5(Г)ЩГ) =8(/)
3(П
|„4аджп.
1 Сл
—І +-5(Л =
72ге/'"0 2 и
Беручи до уваги четверту властивість дельта-функції (підрозділ
1.2), одержуємо (3.114).
Теорему доведено.
Розглянемо ще один приклад, який показує, що метод множ-
ників збіжності не завжди веде до бажаного результату і в деяких
випадках потребує при здійсненні граничного переходу ретельного
аналізу проміжної функції.
Приклад 3.26
Знайти спектр функції включення методом множників
збіжності.
Розв’язання.
По-перше, зазначимо, що Щі) є функцією загального ви-
ду, отже, 'її спектральна густина має ненульову уявну і ненульову
дійсну частини. По-друге, спроба скористатися прямим перетво-
ренням Фур’є веде до невласного інтеграла:
Щ/) = ^Щі)е~і2^аі= /е'^ді.
-00	0
Як множник збіжності виберемо функцію е~‘/п й розглянемо
послідовність функцій 17п(4) = Щі)е~1/п, яка прямує до Щі) при
п —> оо. Знайдемо перетворення Фур’є проміжної функції Ип(4):
[7 //) =---1.
—	(І/п) + ]2к/
171
В межі при п -» оо ця функція прямує до (/2л/)"1. «Спектральна гус-
тина» виявилася уявною функцією частоти, що не узгоджується
з попереднім аналізом сигналу Щі). Пояснюється це протиріччя
просто: Ііт С7П(/) = (Ї2л/)"1 на всіх частотах, крім / = 0. На цій частоті
П->ОС -
11 п = п = оо і є дійсною величиною. Запишемо (7я(/) в алгебраїчній
формі, яка містить дійсну та уявну частини вявному вигляді.
—	(і/п)2+(2п/)2 \1/п)2+(2кГ)2
При п -> оо і / * 0 уявна частина прямує до (/2л/)-1 (на частоті / = 0
уявна складова дорівнює 0 при будь-яких великих, але скінченних
значеннях п). Дійсна частина при п -> оо є послідовністю функцій,
що прямують в межі до імпульсу з площею 0,5. Це легко показа-
ти. Дійсно,
Т? 177 ҐП1 =	1/л	= 1 2л
(1/п)2+(2п/)2	2 1+(п2л/)2,
Площа під кривою (2п)/[1+(п2л/)2] дорівнює 1, отже
Ііт----——=• = 3(/).
п-»» і + (п2л/)2
Вправа 3.30
Доведіть справедливість останнього твердження.
Таким чином, ми одержали перетворення Фур’є для
функції включення С7(*) о—8(/) + * І , що співпадає з форму-
2	/2л/ ^*°	_
лою (3.113), одержаною раніше іншим способом.	| |
Спектральна густина періодичного сигналу
Узагальнимо поняття спектральної густини, яке було
введено для неперіодичних сигналів, на періодичні сигнали.
Почнемо з комплексного сигналу х(і) = А еі2п/а‘.
Знаючи спектр сталої величини А о 8(/) і використавши теоре-
му переміщення спектра по частоті, одержуємо:
Ае>2яЛ‘«А8(/-/о), або	(3.115)
Ае'і2кГ°‘ » А8(/ + /0).	(3.116)
172
Таким чином,
0
	Спектральна густина комплексного сигналу дорівнює
0 на всіх частотах, крім частоти / = /0 або / = -/0.
	Спектральна густина комплексного сигналу несимет-
рична відносно частоти / = 0.
Знайдемо спектральну густину гармонічного коливання.
Для цього застосуємо теореми Ейлера (А.2), лінійності і формули
(3.115), (3.116):
Д соз(2л/00 о ^[5(/ - Го) + 8(/ + /0)].
(3.117)
Вправа 3.31
Отримайте пару перетворень Фур’є (3.117)
Вправа 3.32
1. Обчисліть та побудуйте графіки модуля й аргументу
спектральної густини (амплітудний і фазовий спектри) сигналу
«(0 = А0зіп(2л/0і).
2	. Обчисліть та побудуйте
графіки модуля й аргументу
спектральної густини сигналу
з(і) « А08Іп(2л/0і + л/3).
На рис 3.33 наведено гра-
фіки сигналу в(0> коефіцієнтів
Сп комплексно-експоненційно-
го ряду Фур’є і спектральної
густини £(/) косинусоїдного
коливання.
Тепер можна знайти спек-
тральну густину довільного
періодичного сигналу «л(0-
Довільний періодичний
сигнал 8л(і) з періодом Т мож-
на записати за допомогою
комплексно-експоненційного
ряду Фур’є у вигляді
Рис. 3.33.
173
Т=±.
П=-ао	/1
Застосуємо перетворення Фур’є до кожного доданка пра-
вої частини і, використавши вираз для спектральної густини
комплексного сигналу, одержимо
(3.118)
П=-ао	Л=-оо
З	аналізу формули (3.118) виходить:
фаз.
	Якщо періодичний сигнал подано в частотній області
за допомогою спектральної густини, амплітудний спектр
складається вже не з спектральних ліній скінченної дов-
жини, а з дельта-функцій.
	Діаграма спектральної густини періодичного сигналу
повторює діаграму комплексних амплітуд, але утворена
дельта-функціями, взятими з вагами, що дорівнюють мо-
дулям відповідних комплексних амплітуд.
Вправа 3.33
З аналізу виразу (3.118) визначити спектральну густину
Рисунок 3.34 якісно ілюст-
рує отриманий результат на
прикладі періодичної послідов-
ності імпульсів прямокутної
форми.
Вправа 3.34
--- Зробіть маспгтабуваи-
ня осей координат спектраль-
них діаграм (рис. 3.34), якщо
тривалість кожного імпульсу
т, а період проходження Т.
Обчисліть і побудуйте гра-
фіки фазових спектрів.
Розглянемо тепер приклад
використання теореми мно-
ження.
Рис. 3.34.
174
Приклад 3.27
Знайти спектр радіоімпульсу з прямокутною обвідною,
тобто, сигналу
у(о = £П| “ |СО82л/0<,
(3.119)
якщо 1//0 = т/4,5, тобто на інтервалі часу, що дорівнює трива-
лості імпульсу, розміщується 4,5 періодів високочастотного ко-
ливання.
Розв'язання.
Спочатку проілюструємо за допомогою графіків, як такий
імпульс можна одержати, використавши операцію множення.

На рис. 3.35 ліворуч наведено графіки імпульсу =
гармонічного коливання х(і) = сов(2п/0і) та радіоімпульсу у(і). Пра-
воруч для кожного з цих сигналів наведено спектральні густини,
які їм відповідають. Як виходить з аналізу графіків рис. 3.35 і фор-
мули (3.119), у(і)=8(1)-х(і).
Рис. 3.35.
Нам відомі такі дві пари перетворень Фур’є:
ЕП||	і со8(27г/00«|б(/-/0)+|5(/+/0).
175
За теоремою множення
ЕП[-1соз(2<п « Ех 8іпс(/х) ®І -4) + І5(/+/0) =
І Т у	_ Сл	£л
= —8тс(/т) ® Щ - /0) + —5іис(Л) ® 5(/ + /0).
Щоб записати останню рівність, застосовано властивість
асоціативності згортки.
Скористаємося визначенням згортки і фільтрувальною влас-
тивістю дельта-функції.
8іпс(Ю®5(/±/0) = 15іпс(Хт)5(/±/0 -1)с(1=$іпс[т(/±/0)].
Таким чином, ми одержали таку пару перетворень Фур’є:
М/ + Ш (3.120)
Вправа 3.35
Отримайте пару перетворень Фур’є (3.120), використав-
ши теорему модуляції.
Чудові властивості спектральної густини дельта-функції дозво-
ляють встановити ще один важливий зв’язок між формою сигна-
лу і середньою швидкістю зменшення його амплітудного спектра
в міру збільшення частоти і, отже, опосередковано з діапазоном
частот, займаних сигналом.
Закономірність зменшення амплітудного спектра
зі збільшенням частоти
Теоретично сигнал, відмінний від нуля на скінченному
інтервалі часу, має спектр, який займає частотний діапазон
-х < / < оо. Однак зі збільшенням частоти модуль спектральної густи-
ни (амплітудний спектр) більшості Сигналів швидко зменшується.
Тому при виборі того чи іншого сигналу для розв’язання практич-
них задач радіотехніки важливо знати, як швидко амплітудний
спектр сигналу прямує до нуля зі збільшенням частоти. Правило
тут просте.
176
Якщо й-та похідна сигналу з(і) є східчастою функцією ;
так, що (й + 1)-ша похідна сигналу $(ґ) містить дельта- >
функцію, то амплітудний спектр сигналу прямує до 
нуля в середньому ЯК +	*
•і'.®, сч,-: т.з." • »
Переконаємося в правильності цього твердження.
Нехай з(0 <х> £(/"), тоді за теоремою диференціювання
сіг
Якщо ліва частина цього виразу вже містить дельта-функцію,
то права частина містить член, модуль якого не залежить від час-
тоти, тобто,
|(;2л/)*+15(/)|=соп$і+ иаг,
де оаг — складова, що осцилює відносно рівня соп$і, причому
при |/| -> оо вона прямує до нуля. Тоді
Іітп 1 Ж1—	СОП8І
1 НІ/) І~	(2л/)*+1
або	
Ііт |3(П|-|(2лП’(*+1) І,	(3.121)
1/1-»®
що й треба було довести.
Таким чином, одержано просте правило, що дозволяє вести
повніший аналіз сигналу, перш ніж починати обчислення його
спектра.
Приклад 3.28
Визначимо закономірності, за якими амплітудні спек-
три дельта-функції, прямокутного, трикутного та гауссівського
(дзвоноподібного) імпульсів прямують до нуля при И -» 00.
Розв’язання.
1.	8(0“ .43(0.
Очевидно, що в цьому випадку к + 1 - 0. Отже,
1іт|5(/)|=—4-й- =А
І/І-»ю 1 (2п/)°
спектральна густина не зменшується зі збільшенням частоти.
177
2.	5(0 = ^П
Для такого сигналу к + 1 = 1, тобто, вже перша похідна містить
дельта-функцію. Згідно з правилом (3.121),
Ит|8(/)|-
1.
/
Перевіримо за відомим спектром цього сигналу.
Оскільки
лгтґ Н	а о- X А 8Іп(л/т) АТ8Іп(л/г) 1
АІ І — оАт8іпс(/т)=Ат -------------±2—'.—г
х )	л/т	лт /
доходимо висновку, що правило (3.121) виконується.
3.	з(0 = аА^.
Для такого сигналу к + 1 = 2 (див. приклад 3.24). Згідно з пра-
вилом (3.121),
1
/2'
,Цш|5(Г)|-
Перевіримо за відомим спектром цього сигналу.
Оскільки
(я/г)2	(яг)2 Г
і в цьому випадку правило (3.121) виконується.
4.	Гауссів імпульс £(0 = е“2, його епюру і властивості розгля-
нуто в прикладі 3.17.
Похідні цієї функції при будь-яких значеннях к є неперервними
функціями часу, тобто амплітудний спектр такого сигналу пови-
нен максимально швидко наближатися до нуля зі збільшенням
частоти: ехр(-лі2) <=> ехр(-л/2).	П
Вправа 3.36
---- Знайдіть закономірності, за якими амплітудні спектри
функцій 17(0, г(0, е’а'(7(0,	прямують до нуля при |/| —> оо.
178
3.	5. ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 3.1
3.1.1.	Для сигналу, розглянутого в прикладі 3.2, записати ряд
Фур’є у синус-косинусній формі і в косинусній формі. Перекона-
тися, що обидва ці ряди однакові.
3.1.2.	Зобразити для моменту часу І = 0 векторну діаграму
часткової суми 5-ти перших складових косинусного ряду Фур’є,
сигналу, розглянутого у прикладі 3.2.
3.1.3.	Для сигналу х1(0 = 17[8Іп(2л.Р0] записати ряд Фур’є
в комплексно-експоненційній формі, побудувати спектр.
3.1.4.	Для сигналу хДі) = Щ8Іп(2я/7)] записати ряд Фур’є в ко-
синусній формі, побудувати спектр. Порівняти отриманий спектр
зі спектром із задачі 3.1.3, пояснити результати порівняння.
3.1.5.	Для сигналу х2(і) = Щсо8(2л.Р0] записати ряд Фур’є
в комплексно-експоненційній формі, побудувати спектр.
3.1.6.	Для сигналу х2(0 = Щсоз(2пРі)] записати ряд Фур’є в ко-
синусній формі, побудувати спектр. Порівняти отриманий спектр
зі спектром із задачі 3.1.5, пояснити результати порівняння.
3.1.7.	Порівняти спектри сигналів х^і) і х2(і) із задач 3.1.3
і 3.1.5. Що в них є спільного і чим вони відрізняються?
3.1.8.	Порівняти спектри сигналів х1(/) і х2(і) із задач 3.1.4
і 3.1.6. Що в них є спільного і чим вони відрізняються?
3.1.9.	Для сигналу х3(0 = зі§п[соз(2пРі')] записати ряд Фур’є
в комплексно-експоненційній формі, побудувати спектр.
3.1.10.	Для сигналу х3(і) = зі£п[соз(2лРі)] записати ряд Фур’є
в косинусній формі, побудувати спектр. Порівняти отриманий спектр
зі спектром із задачі 3.1.9, пояснити результати порівняння.
3.1.11.	Для сигналу х4(і) = зі£п[8Іп(2лРі)] записати ряд Фур’є
в комплексно-експоненційній формі, побудувати спектр.
3.1.12.	Для сигналу х4(0 = зі^л[8Іп(2лГ0] записати ряд Фур’є
в косинусній формі, побудувати спектр. Порівняти отриманий спектр
зі спектром із задачі 3.1.11, пояснити результати порівняння.
3.1.13.	Порівняти спектри сигналів х3(0 і х4(0 із задачі 3.1.9
і 3.1.11. Що в них є спільного і чим вони відрізняються?
3.1.14.	Порівняти спектри сигналів х3(0 і х4(і) із задачі 3.1.10
і 3.1.12. Що в них є спільного і чим вони відрізняються?
3.1.15.	Порівняти епюри сигналів хД0 і х4(0 із задачі 3.1.3
і 3.1.11 та їхні спектри. Що в них є спільного і чим вони відріз-
няються?
179
3.1.16.	Для сигналу х5(і) = г[соз(27гВґ)] записати ряд Фур’є
в комплексно-експоненційній формі, побудувати спектр.
3.1.17.	Для сигналу х5(ґ) = г[соз(2лВ^)] записати ряд Фур’є
в косинусній формі, побудувати спектр. Порівняти отриманий спектр
зі спектром із задачі 3.1.16, пояснити результати порівняння.
3.1.18.	Провести попередній аналіз сигналу та його очікуваного
спектра. Обчислити і побудувати спектр періодичного сигналу
за тригонометричною і комплексно-експоненційною системами
функцій.
8(0 = Асо8* 2(2л/О0, А = ЮВ, /0 = 10 кГц.
3.1.19.	Виконати попередній
аналіз періодичного сигналу, на-
веденого на рис. 3.36, та його
очікуваного спектра. Обчисли-
ти і побудувати спектр цього
сигналу за тригонометричною
системою функцій. Обчислити
потужність сигналу, зосеред-
жену в смузі частот [-1/т, 1/т]
і [-2/т, 2/т], якщо Т = 20мкс,
т = 5мкс, Е = 1В.
3.1.20.	Виконати попередній
аналіз сигналів 8^0 і $2(0, наве-
дених на рис. 3.37. Обчислити
і побудувати їхні спектри за
комплексно-експоненційною
системою функцій. Зробити
порівняльний аналіз отриманих спектрів. Т = 20 мкс, т = 5 мкс
з(0 т
2	2
Рис. 3.36.
5і(0 х
- л п £ПТ п -
я і—і.гтТіі р
Т о т
2	2
Рис. 3.37.
Е = 1 В.
3.1.21.	Виконати попередній аналіз сигналу
«(0 =
соз(2 Рі),
[о,
со8(2яГі) > 0,
соз(2л.Р7) < 0
та його очікуваного спектра. Обчислити і побудувати спектр.
3.1.22.	Виконати попередній аналіз сигналу 8(і) - |со82лГґ|
та його очікуваного спектра. Обчислити і побудувати спектр.
3.1.23.	Виконати попередній аналіз сигналу
Г8іп(2л/'О , 8іп(2лР0 > 0,
8(0 = <
|0,	8іп(2л2?'О < 0
та його очікуваного спектра. Обчислити і побудувати спектр.
180
3.1.24.	Виконати попередній аналіз сигналу з(ґ) = |8Іп2те?ї|
та його очікуваного спектра. Обчислити і побудувати спектр.
3.1.25.	Виконати попередній аналіз сигналів і з2(і), наведе-
них на рис. 3.38, та їхніх очікуваних спектрів. Обчислити і побу-
дувати спектри. Порівняти отримані спектри і зробити висновок
про те, що в них спільного і чим вони відрізняються.
3.1.26.	Виконати попередній аналіз сигналів $3(0 і 84(£), на-
ведених на рис. 3.38, та їхніх очікуваних спектрів. Обчислити
і побудувати спектри сигналів з3(0 і $4(£). Порівняти отримані
спектри і зробити висновок про те, що в них спільного і чим
вони відрізняються.
Рис. 3.38.
3.1.27.	Порівняти спектри сигналів з^ґ) і з3(£) із задач 3.1.25
і 3.1.26 Пояснити відмінності в спектрах амплітуд і фаз цих
сигналів.
3.1.28.	Порівняти спектри сигналів з2(ґ) і з4(ґ) із задач 3.1.25
і 3.1.26. Пояснити відмінності в спектрах амплітуд і фаз цих
сигналів.
3.1.29.	Провести попередній аналіз сигналу, що наведено на
рис. 3.39, та його очікуваного спектра. Обчислити і побудувати
спектр сигналу, якщо Е = 1 В, т = 400 мкс. Показати, що в спектрі
цього сигналу відсутні гармоніки з частотами 2п/р де / = 1/Т —
частота першої гармоніки. Задачу розв’язати двома способами: за
допомогою прямого перетворення Фур’є і, застосувавши теорему
лінійності.
3.1.30.	Виконати попередній
аналіз сигналу 3^(1), наведеного	гп-.«
на рис. 3.40, та його очікуваного —|-у—гДуІ——^ |- |— —г—І—І—і
спектра. Обчислити і побудувати	|~Е
спектр сигналу, якщо А = 1 В,
Т = 100 мкс, т = 40 мкс.	Рис. 3.39.
181
3.1.31.	Виконати попередній
аналіз сигналу $2(0, наведеного
на рис. 3.40, та його очікуваного
спектра. Обчислити і побудувати
спектр сигналу, якщо А = 1 В,
Т == 40 мкс. Порівняти отриманий
спектр зі спектром сигналу із за-
дачі 3.1.30. Пояснити відмінності
спектрів.
Рис. 3.40.
3.1.32. Виконати попередній
аналіз сигналу, наведеного на
рис. 3.41, та його очікуваного
спектра. Сигнал є періодичною
послідовністю імпульсів косину-
соїдної форми
5я(0

1 + соз І4л1 , |і|<Т/4,
-т _т
2
Рис. 3.41.
|і|>Т/4
в межах Т, де Т — період, з яким повторюються імпульси в періо-
дичному сигналі зд(£)« Показати, що перші три члени ряду Фур’є
цього сигналу дорівнюють
(0 = — + — СО8(ЯД) + — соз(2ти) + • • •
3.1.33. За допомогою теореми Парсеваля знайти середню
потужність коливання
х(і) = 2 соз(104 тії) зіп2 (2 • 1047с£) .
Задачі до підрозділів 3.2, 3.3
3.2.1.	Показати, що у випадку, коли х(і) — дійсна і парна
функція часу, перетворення Фур’є для неї може бути зведено
до вигляду
Х(/) = 2 |х(0соз(Йі/0Л.
3.2.2.	Показати, що у випадку, коли х(ґ) — дійсна і непарна
функція часу, перетворення Фур’є для неї може бути зведено
до вигляду
182
XV) - -2] |х(ґ)зіп(2л/ї)^-
о
3.2.3.	Знайти перетворення Фур’є імпульсу косинусоїдної
форми
1	л(л	2лґ Ат-г/'і А
з(0 = —А І4-СО8---- І 1 - .
2	I	г ) \Т7
Відповідь: Х(/) = ±-Ат:[8іпс(ії-1) + 8іпс(/т + 1) + 25іпс(/т)].
4
3.2.4.	Знаючи пару перетворень Фур’є для імпульсу прямокутної
форми, за допомогою теореми лінійності знайти і побудувати спек-
три сигналів, наведених на рис. 3.42.
3.2.5.	Сигнал, спектр якого рівномірний у смузі частот
/ є [100,10000]Гц, а за межами цього діапазону приблизно дорівнює
нулю, записаний на магнітну плівку зі швидкістю її руху 10 см/с.
Відтворюється сигнал зі швидкістю руху стрічки 5 см/с. Побуду-
вати спектри записаного і відтвореного сигналів.
53(0
Рис. 3.42.
*(/)
2
1-
3.2.6.	Графік спектральної густини
сигналу х(і) наведений на рис. 3.43. Ви-
користавши теорему дуальності, знайти
і побудувати графік сигналу х(ґ).
Відповідь: х(і) = 45те(4ґ) +
+ 28іпс(2і).
3.2.7.	Одержати перетворення Фур’є	Рис. 3.43.
таких сигналів, використавши: теоре-
му переміщення в часі, а потім теорему перенесення спектра по
частоті; теорему перенесення спектра по частоті, а далі теорему
переміщення в часі. Показати, що обидві ці процедури ведуть
до одних і тих самих перетворень Фур’є.
(0 = ехр[/2л (і -1) - (і -1)] Щі -1),
82(ґ) = П| - |ехр[у’2я(і-2)].
І 4 І
183
Відповідь: <81(/) =
ехр(-;2я/)
1 + 72я(/-1)‘
3.2.8.	Одержати обернене перетворення Фур’є функції
5(/) = 20
5/пс(2/)
54-/271/
Рекомендація*. Скористайтесь теоремою згортки.
3.2.9.	Виконати аналіз сигналу, наведеного на рис. 3.44, визна
чити і побудувати його спектральну густину. Розв’язати задачу
використовуючи теореми лінійності і переміщення в часі.
3.2.10.	Розв’язати задачу
3.2.9, використавши теореми
диференціювання і переміщен-
ня в часі.
3.2.11.	Провести аналіз сиг-
налів 8^1) і наведених на
рис. 3.45, побудувати їхні спект-
ри. Розв’язати задачу, викори-
стовуючи теореми лінійності
і переміщення в часі. Викона-
ти порівняльний аналіз отри-
маних спектрів.
3.2.12.	Розв’язати задачу
3.2.11, використавши теореми
диференціювання і переміщен-
ня в часі.
3.2.13.	Знайти спектр сиг-
налу
5(0
використовуючи теорему мно-
ження сигналу на і. Зобразити
графік сигналу і спектральну
діаграму.
3.2.14.	Виконати аналіз
сигналу (рис. 3.46), обчислити
і побудувати його спектраль-
ну густину. Розв’язати зада-
чу, використовуючи теореми
8(І)
0
Рис. 3.46.
184
лінійності і спектр симетричного трикутного імпульсу ти = 2тф,
т. = 100 мкс, Е = 1 В.
3.2.15.	Розв’язати задачу 3.2.14, використовуючи теореми
диференціювання, лінійності, переміщення в часі та спектр дель-
та-функції.
3.2.16.	Розв’язати задачу 3.1.25, використавши теореми
диференціювання і переміщення в часі.
3.2.17.	Розв’язати задачу 3.1.26, використавши теореми
диференціювання і переміщення в часі.
3.2.18.	Розв’язати задачу 3.1.30, використавши теореми
диференціювання і переміщення в часі.
3.2.19.	Розв’язати задачу 3.1.31, використавши теореми
диференціювання і переміщення в часі.
3.2.20.	Розв’язати задачу 3.1.30, використавши відому спект-
ральну густину поодинокого імпульсу трикутної форми і зв’язок
спектрів поодинокого сигналу та періодичної послідовності таких
сигналів.
3.2.21.	Розв’язати задачу 3.1.31, використавши відому спект-
ральну густину поодинокого сигналу трикутної форми і зв’язок
спектрів поодинокого сигналу та періодичної послідовності таких
сигналів.
3.2.22.	Провести аналіз сигна-
лу, наведеного на рис. 3.47, визна-
чити його спектральну густину,
виразивши її через спектральну
густину функції включення.
5(0,В
1-
*,мс
0
3.2.23.	Виконати аналіз сиг-	рис 347.
налу з(0 = АП(ґ/т) соз(27с/00, якщо
А= 1В, і = ЗОмкс, /0 = 200кГц. Обчислити і побудувати його
спектр.
3.2.24.	Виконати аналіз сигналу 8(0 = АП(£/т)8Іп(2тг/оО, якщо
А = 1В, і = ЗОмкс, /0 = 200кГц. Обчислити і побудувати його спектр.
Порівняти зі спектром із задачі 3.2.23.
3.2.25.	Задано спектральну густину сигналу 5(/) = А/(а + ;2л/).
Визначити енергію сигналу, використовуючи його часове і спект-
ральне подання. Відповідь ілюструвати графіками.
3.2.26.	Виконати аналіз сигналів, що є функціями Лагерра
/0(х) і Іг(х) (див. підрозділ 2.3 і рис. 2.18). Обчислити і побудува-
ти їх спектри.
3.2.27.	Знайти спектр сигналу з(і) = і • е”гС7(0, використовую-
чи теорему множення сигналу на і. Зобразити графік сигналу
і спектральну діаграму.
185
3.2.28.	Знайти спектр сигналу 8(0 = і2 • використовую-
чи теорему множення сигналу на і. Зобразити графік сигналу
і спектральну діаграму.
3.2.29.	Визначити енергію імпульсу 8(0 = Е А (£/0, побудува-
ти його спектр.
3.2.30.	Зробити аналіз сигналів зДґ) і 82(0- Обчислити і побу-
дувати графіки їхніх спектрів.
»і(О=5(і-іо)-3(# + іо), 82(О=8(*-Л)+8(*+/о)-
3.2.31.	Задано спектральну густину сигналу
2
8(Г)=-----------------, а > 0, р > 0, а = 2р.
(а+у 2л/) (р +/2л/)
За допомогою теореми лишків (додаток А) знайти сигнал 8(0,
зобразити графіки сигналу та його спектра.
3.2.32.	Гауссова функція з прикладу 3.18 є прикладом
часової функції, перетворення Фур’є якої має точно таку саму
функціональну форму — пара перетворень Фур’є (3.83). Покажіть,
що ця властивість притаманна й іншим часовим функціям.
Доведіть, якщо х(і)<^>Х(/) і х(і) є довільною парною функцією
часу, то х(і) + Х(1) <^> х(/) 4- Х(/)-
3.2.33.	Скориставшись теоремою дуальності і парою перетво-
рень 8 з табл. Б.2 додатка Б, показати, що —оле"2,г|/|.
1 + £2
Задачі до підрозділу 3.4
3.4.1.	Провести аналіз сигналу, обчислити і побудувати спектр.
Сигнал — це синусоїда, що починається в момент часу і = 0, тоб-
то, 8(0 = Ао8Іп(2л/оОЩО, /о = 5МГц, Ао = 1В.
3.4.2.	Виконати аналіз сигналу, графік якого наведено на
рис. 3.48, визначити і побудувати його спектр.
3.4.3.	Знайти спектр знакової функції, якщо
відомим є спектр функції включення.
3.4.4.	Знайти закономірності, за якими амплі-
тудні спектри функцій со8(2л/0017(0 і 5Іп(2я/оОЇДО
прямують до нуля при |/| —> оо. Пояснити з точки
зору фізики отриманий результат.
*(0
Е-	
	1
Рис. 3.48.
0 і,
і
186
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Френкс Л. Теория сигналов. Пер. с англ. —М.:
Сов. радио, 1974. —344 с.
2.	Сиберт У. М. Цепи, сигнальї, системьі: В 2-х ч. 4.1:
Пер. с англ.—М.: Мир, 1988. —336 с. Ч. 2: Пер. с англ.—
М.: Мир, 1988. —359 с.
3.	Хіешег ВосІ£ег Е., Тгапіег ХУіІІіапі Н., Гаппіп Б. Копаїсі.
8і&па1з апсі Зузіешз: Сопііпиоиз ап<і Візсгеіе. Масшіїїап
РиЬ1І8Іііп£ Со., 1990 —487 р.
4.	Харкевич А. А. Спектрьі и анализ. Изд. 3-є,
переработанное. —М.: Гос. издат. технико-теоретической
литературьі, 1957.
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ з
Програма побудови графіка рис. 3.17
а = 1;
РІоІЗО[ат8іп[ягТт]/Мт), (1, -1,1}, (т, 0,10}, РіоіЯапде -> {-0.5,10},
РІоіРоіпіз -> 50, ЗЬадіпд -> Раїзе, АхезкаЬеІ -> {”Г, "т", ”8(1,т)"} ];
Перший оператор задає висоту імпульсу А = 1. Все інше
виконує оператор РІоіЗБ, куди записано формулу спектральної
густини імпульсу прямокутної форми (3.56). Зверніть увагу, що
тут т — тривалість імпульсу на відміну від формули (3.56), де три-
валість імпульсу дорівнює 2т (див. приклад 3. 12). Наступні три
опції задають діапазони частоти, тривалості імпульсу і значень
8(/, т). Три останні опції визначають параметри графіка.
Програма до прикладів 3.13 та 3.14
Перед запуском програми за допомогою оператора «Саісиїиз’
ЕоигіегТгапзГогт’ треба завантажити пакет ГоигіегТгапз^огт.
Зверніть увагу на те, як можна скористатися цим пакетом систе-
ми МАТНЕМАТІСА, щоб отримати спектральну густину у тому
вигляді, що прийнято в радіотехніці (див. зауваження до опису
пакета ГоигіегТгапзІогт в додатку Г).
а » 1; а = 0.5;
вХХ - а Ехр( -аі] ІЛп±Є5Сер[ Ь ] ;
- 2тг ІпуегвеЕоигіегТгапв£огж(Ь, о] А. «->2д£;
в2Є =	/. V - > -Є;
в2£ = 2 тг Іпуег»еГоигіехТгапв£огж(в21, Ь, <і>) /.	-> 2тг £;
187
РгхпС[яіі]; Рххп£[з1£];
Ргхпі І »2<; ]; Ргіпк [ »2£ ];
ді ~ Р1о£[в11;, {£, -1, 6), АхеяЬаЬеІ ~> £* Ь* ,	;
д2 ~ Р1о£(«2і:, (І, -б, 1) , АзссяГаЬоІ -> {Н\ "я2 (£)*}];
дЗ = Р1оЬ[Ке[«1£Ь (*/	-їх	1),	АхеяХаЬсі	~> {'£* ,	'Пс{51(£) }* } ] ;
д4 = Р1оС[Ке(»2£Ь (£,	-1,	1} ,	АхсяХаЬеІ	->{' £",	*Ре{52(£)}*}|;
д5 = Р1о^[їш[я1£| х (£,	1,	1} ,	АхевЕаЬеІ	~ > { * £* ,	“ Іт(31(£) } * } ] ;
д<5 = Р1оЬ[Іт(я2£], (£,	-1,	1} ,	АхевЬаЬеі	->{*£* ,	” Іт{52(£) }* } ] ;
ЗИоу/ | Сг арИіскАггау ( {(ді, д2) х (дЗ, д4) , (д5, дб))}|;
ШиЛЗсер |Н
1
Е0-5* ШиЛЗЄер[ -Н
1
0.5-2 Іі л
188
Розділ
СПЕКТРАЛЬНА ГУСТИНА ЕНЕРГІЇ
ТА СПЕКТРАЛЬНА ГУСТИНА
СЕРЕДНЬОЇ ПОТУЖНОСТІ.
КОРЕЛЯЦІЯ
Вступ
У цьому розділі підручника доповнимо характеристики
сигналів і систем, звернувши увагу на енергетичні характеристи-
ки сигналів енергії та потужності. В попередньому розділі було
введено поняття спектральної густини енергії (енергетичний
спектр) сигналу, що визначає розподіл енергії сигналу у функції
частоти. Цю характеристику застосовано до сигналів з обмеже-
ною енергією — сигналів енергії. Введемо аналогічну характери-
стику — спектральну густину середньої потужності — для
сигналів зі скінченною потужністю. У цьому ж розділі введемо
інший важливий параметр сигналу— кореляція, яку можна
розглядати, як деяку додаткову часову характеристику сигналу,
безпосередньо пов’язану зі спектральною густиною енергії (для
сигналів енергії) або спектральною густиною потужності (для
сигналів потужності). Ці характеристики ми будемо розгляда-
ти для дійсно-значних сигналів (тобто таких сигналів, миттєві
значення яких є дійсними величинами) енергії та потужності.
Обговорення почнемо зі спектральної густини енергії, визначи-
мо її основні властивості, розглянемо важливу характеристику
сигналів енергії — активну ширину спектра.
За теорією сигнал, що не дорівнює нулю на скінченному інтер-
валі часу, має спектр, що займає частотний діапазон -оо < / < оо.
Однак, з ростом частоти амплітудний спектр більшості сигналів
швидко спадає. Тому, при виборі того або іншого сигналу для
189
розв’язання практичних задач радіотехніки важливо знати, як
швидко амплітудний спектр сигналу прямує до нуля з ростом час-
тоти або, іншими словами, знайти обмежений діапазон частоти
такий, що спектральні складові, зосереджені в ньому, відіграють
основну роль при формуванні сигналу. Ширину цього діапазону
частоти називають активною шириною спектра сигналу.
4.1. Спектральна густина енергії і кореляційна
функція сигналів зі скінченною енергією
Спектральна густина енергії
Розглянемо множину сигналів 8(і) зі скінченною енергією,
визначених на інтервалі часу —оо < і < оо, тобто,
8г(0=|в:Нт|г«2(і)сЙ^К’|,	(4.1)
де К — додатна дійсна величина.
Нехай з(і) <=> 5(/) і цей сигнал є дійсно-значним. Тоді його пов-
на енергія визначається за виразом (3.53) або у частотній облас-
ті — за виразом (3.54).
Для розвитку другого з методів визначення енергії сигналу
розглянемо таку формулу:
00	00
/ві(0«2(^= |ад)52(-/)<//,	(4.2)
-00	—00
де «ДО і $2(0 — два сигнали зі скінченною енергією;
5Х(/) і 52(/) — їхні перетворення Фур’є, відповідно.
Вправа 4.1
--- Доведіть справедливість рівності (4.2). Для цього ско-
ристайтеся теоремою множення у часовій області (таблиця Б.1,
додаток Б).
У поодинокому випадку «ДО = $2(0 = з(ґ), 5//) = 5(/) і, якщо сиг-
нал є дійсно-значним, 52(-/) = £*(?)• Тоді з (4.2) випливає (3.54):
00	оо
|з2(0^ =/|5(/)|2<*Л	(4.3)
-00	—00
Це є вже відома нам теорема Парсеваля або, як її ще назива-
ють, — теорема енергії Рейлі.
190
Теорема Рейлі важлива не тільки тим, що дозволяє знаходи-
ти енергію сигналу, але також тим, що з її формулювання (4.3)
випливає такий важливий висновок:
Функція |5(/)|2 — це розподіл енергії сигналу з(0|
в частотній області. Це і є причиною того, що квадрат І
амплітудного спектра |5(/)|2 називають спектральною І
густиною енергії або енергетичним спектром. |
Як у розділі 3, будемо позначати |5(/)|2 = ОС/)-
Приклад 4.1
Знайдемо енергію імпульсу, математична модель якого
має вигляд
з(£) = А8іпс(2Рі).
Розв’язання.
За визначенням енергія сигналу дорівнює
Е = Аг\8іпс2(2Рі)сіі.
Інтеграл, що стоїть у правій частині рівняння взяти складно.
Одержати потрібний результат можна, скориставшись теоремою
енергії Рейлі. Раніше ми одержали пару перетворень Фур’є (3.69),
з якої випливає, що

Тоді, застосувавши теорему енергії, отримуємо:
□
Вправа 4.2
Покажіть, що загальна площа області, що обмежена кри-
вою 8іпс?(і), дорівнює 1, тобто, \8іпс2(і)ді = 1.
191
Властивості спектральної густини енергії
1.	Спектральна густина енергії сигналу зі скінченною
енергією є невід’ємною дійсно-значною функцією частоти,
тобто:
С(/)>0 для всіх значень частоти /.	(4.4)
2.	Спектральна густина енергії дійсно-значного сигналу
енергії є парною функцією частоти:
<?(-/) = <?(/).	(4.5)
3.	Площа області, що обмежена кривою С?(/), чисельно дорів-
нює енергії сигналу:
оо
Е =$(!(№.	(4.6)
Наприклад, нехай з(і) — напруга, що виділяється на опорі 1 Ом,
90
якщо до неї підключено джерело сигналу; тоді інтеграл | з2(і)<іі
дорівнює енергії сигналу, що виділяється на опорі 1 Ом. Рівність
(4.6) дає те ж саме значення енергії.
Вправа 4.3
Обґрунтуйте справедливість властивостей 1-3.
4.	При проходженні сигналу енергії через лінійну систему
з постійними параметрами спектральна густина енергії сигналу на
виході системи дорівнює спектральній густині енергії сигналу, що
діє на вході системи, помноженої на квадрат амплітудно-частотної
характеристики системи.
У другій частині підручника (розділ 17) докладно розглянуто
аналіз проходження сигналів через лінійні системи з постійними
параметрами спектральним методом, що базується на цій влас-
тивості спектральної густини енергії. Тут же відзначимо тільки
наступне.
 Комплексну, у загальному випадку, функцію частоти

(4.7)
називають передавальною функцією системи (кола).
192
 Модуль |Н(/)І Цієї функції називається амплітудно-час-
тотною характеристикою (А ЧХ)\ аргумент <р(/) — фазо-
частотною характеристикою (ФЧХ) лінійної системи
з постійними параметрами.
В основі аналізу процесів, що протікають у лінійних
системах (колах) з постійними параметрами спектральним ме-
тодом, лежить те положення, що відгук такої системи (кола) на
синусоїдну дію у стаціонарному режимі (після закінчення пере-
хідних процесів) є синусоїдним коливанням тієї ж частоти, що
і синусоїдне коливання на вході, але з амплітудою, помноженою
на коефіцієнт |Н(/)|, і фазою, зсуненою на ср(/) радіан відносно
вхідного сигналу.
З огляду на цю властивість лінійних систем з постійними па-
раметрами, можна записати відгук такої системи на вхідну дію
у вигляді комплексної експоненти е/2яЛ:
=	(4.8)
У підрозділі 1.4 було зазначено, що лінійну систему з постій-
ними параметрами можна описати за допомогою інтегрального
співвідношення (1.57), тобто
у{і) =	(4.9)
-□о
де Н(і) — імпульсна характеристика системи; х(і) — вхідна дія;
у(і) — відгук системи на цю вхідну дію.
Знайдемо відгук кола на вхідну дію за допомогою (4.9).
у(і) = ] Л(Х) еігкП,-Х)(1Х = е1™1 ] й(Х) е-^ах.
Порівнюючи з (4.8), одержуємо, що
Я(/)= ]л(%)е-/2яЛгі1 =/й(Ое-у2я/,Л.	(4.10)
Передатна функція системи пов’язана з її імпульсною
характеристикою парою перетворень Фур’є (4.10) і
оо
Л(0 =(4.11)
-оо
193
Нехай х(і) <=> Х(/) і у(і) о УС/-). Тоді, з (4.9) відразу отримуємо
таку важливу рівність:
В
Г(П = Х(/)Н(/),	(4.12)
тобто, спектр сигналу на виході лінійної системи (кола)
в стаціонарному режимі дорівнює добутку спектра сигна-
лу, що діє на вході, з передатною функцією системи.
Вправа 4.4
Доведіть справедливість формули (4.12).
Рекомендація: скористайтеся теоремою згортки сигналів
(таблиця Б.1, додаток Б).
З (4.12) відразу випливає четверта властивість спектральної
густини енергії. Дійсно, піднісши модулі правої і лівої частин
(4.11) до квадрата, одержимо: |У(/’)|2=|Х(/)|2 |Н(/)|2 аб°
<?,Ю = ОХ(/)|Н(/)|2,	(4.13)
де Сх(/) і £?,(/) — спектральні густини енергії сигналів, що діють
на вході і виході системи, відповідно.
Приклад 4.2
Імпульс прямокутної форми х(і) = П(0 діє на вході ліній-
ної системи (фільтра) з АЧХ такого вигляду:
|Я(ЛІ=
1,
0, інакше
Визначити вплив ширини смуги пропускання фільтра на енергію
сигналу на його виході.
Розв'язання.
Імпульс на вході фільтра має одиничну енергію.
Вправа 4.5
Покажіть, що енергія Ех заданого сигналу дорівнює 1.
194
Спектр одиничного імпуль-
су прямокутної форми знайде-
мо за (3.56), підставивши А = 1
і 2т = 1, тобто:
Х(/) = 8іпс(/).
Отже, спектральна густина
енергії сигналу на вході фільтра
Сх(/)=|Х(/)|2 = 5шс2(/).	(4.14)
Графік цієї функції для
додатних частот зображено на
рис. 4.1.
Спектральна густина енергії сигналу на виході фільтра за
(4.13) матиме вигляд

С (/),
о,
-р< /< Р;
інше.
Енергію сигналу на виході системи одержимо у вигляді:
Еу =	(Г)а/ = &(№ = 2 \Ох(№=2\8іпс2(ГМ.
-00	-Р
Оскільки енергія імпульсу на
вході фільтра дорівнює 1, відно-
шення
Еу/Ех =2 ^8іпс2(/)(!/.	(4.15)
0
Графік функції (4.15) наведено
на рис. 4.2. Аналіз графіка пока-
зує, що приблизно 90% енергії
імпульсу прямокутної форми зо-
середжено в першій пелюстці
спектра. Очевидно, що в загальному випадку імпульсу триваліс-
тю т ця 90% межа розташовується на частоті 1/т.	| |
Активна ширина спектра сигналу
Значення амплітудних спектрів усіх фізичних сигналів
швидко зменшуються зі збільшенням частоти. У зв’язку з цим
основну роль при формуванні сигналів відіграють спектральні
195
складові, зосереджені в обмеженому діапазоні частот. Активною
шириною спектра сигналу з(і) є той діапазон частот, спектральні
складові якого формують (апроксимують) цей сигнал із заданою
точністю. Для оцінювання точності апроксимації на практиці
найчастіше використовують енергетичний критерій. У такому
випадку
8
Активною шириною спектра сигналу називаєть-
ся той інтервал частот, який містить в собі спектральні
складові, що містять переважну частину (г| = 0,9 - 0,95)
енергії сигналу.
Згідно з (4.6) і (4.5), енергію сигналу можна знайти за
00
формулою^ = 2	Тоді активну ширину спектра Р за рівнем
о
г| можна знайти, розв’язавши таке рівняння:
оо	м
2/С(/)гі/ = Г|Я = 2г||ад^ або |С(/)гі/=п[С(/)<*Л	(4.16)
0	0	0	0
Аналогічно до того, як визначається активна ширина спектра
сигналу, знаходять і активну тривалість (або просто тривалість)
імпульсного сигналу.
Під тривалістю імпульсного сигналу розумітимемо
тривалість того мінімального інтервалу часу ту, на яко-
му зосереджена у-та частина повної енергії сигналу.
Звичайно приймають у = 0,9-0,95.
Як і для активної ширини спектра тривалість імпульсно-
го сигналу можна знайти, розв’язавши таке рівняння:
00
|	= V |82(£)с^.
-оо
(4.17)
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 4.3
Визначити активну ширину спектра та активну трива-
лість імпульсу прямокутної форми.
196
Розв'язання.
Розглянемо імпульсний сигнал І — І, тобто, прямо-
кутний імпульс з висотою А = 1 і тривалістю т. Пара перетворень
Фур’є такого сигналу відома <=> т 57пс(/т).
Спектральна густина енергії за визначенням дорівнює:
ад = |5(/)|2=т28шс2(Л).
Підставимо цю функцію до (4.16) та одержимо рівняння,
розв’язком якого є шукана величина.
оо
8іпс2(/!т)<ї(Л)=п|5іпс2(/т)<ї(/!т) = 0,5'Г|,	(4.18)
о	о
00
оскільки ^8їпс2(х)(1х = 0,5 (А.78).
о
Інтеграл у лівій частині рівняння не виражається в елементар-
них функціях, якщо Р^ ф оо, але його можна обчислити чисельни-
ми методами на ЕОМ. У додатку до цього розділу наведено про-
граму розв’язання рівняння (4.18) в системі МАТНЕМАТІСА.
Значення кореня, обчислене за допомогою наведеної програми,
дорівнює {у 2,07297}. Тут у = Ро 95т. При г| = 0,9 корінь рівняння
приблизно дорівнює 1. Рис. 4.3, б) графічно ілюструє розв’язання
рівняння (4.18).
Таким чином, активна ширина спектра імпульсу прямокутної
форми тривалістю т за рівнем 0,9 його повної енергії приблизно
дорівнює 1/т, а за рівнем 0,95 — 2/т.
	90% енергії імпульсу прямокутної форми зосереджено
в першій пелюстці його спектральної густини.
	У перших двох пелюстках спектра імпульсу прямо-
кутної форми зосереджено 95% його енергії.
Знайдемо активну тривалість імпульсу прямокутної
форми. За формулою (4.17) одержуємо
ту/2
[ 82(0	2
V =2і____=__2___
2^
0
197
Графік цієї залежності наведений на рис. 4.3, в). Таким чином,
активна тривалість імпульсу прямокутної форми за рівнем 0,9
його енергії дорівнює 0,9т.	| |
Рис. 4.3.
Приклад 4.4
Визначити активну ширину спектра та активну тривалість
імпульсу трикутної форми.
Розв'язання.
Розглянемо імпульсний сигнал $(£) =

тобто трикут-
ний імпульс висотою А = 1 і тривалістю т на рівні 0,5 висоти. Пара
перетворень Фур’є такого сигналу відома з(^) <=> тЗіпс2(/т).
Спектральна густина енергії
6'(Л = т25шс4(/т).
Підставимо цю функцію у (4.16) і одержимо рівняння, розв’язком
якого є шукана величина:
°°	1
|5ігас4(/т)</(/т) = т||5іпс4(/т)гі(/т) = -я,	(4.19)
о	о	З
00	1
оскільки $8іпс4(х)сіх = — .
о	3
Інтеграл у лівій частині рівняння, як і в попередньому при-
кладі, не виражається в елементарних функціях і обчислений
в середовищі МАТНЕМАТІСА.
Вправа 4.6
Які зміни потрібно внести в програму до прикладу 4.3
(див. додаток до розділу 4), щоб знайти активну ширину спектра
імпульсу трикутної форми?
198
На рис. 4.4, а) наведено графік нормованої спектральної густи-
ни енергії, а на рис. 4.4, б) — розв’язок рівняння (4.19).
З аналізу цієї залежності виходить, що активна ширина спектра
імпульсу трикутної форми тривалістю т на рівні 0,9 його повної
енергії дорівнює приблизно 0,42/т, а на рівні 0,95 - 1/(2т).
0
Активна ширина спектра за рівнем 0,95 енергії імпульсу І
трикутної форми, тривалість якого відрахована на рівні |
0,5 висоти, вдвічі вужча, ніж в імпульсі прямокутної |
форми тієї ж тривалості.
—~:~---------—і	і
Знайдемо активну тривалість імпульсу трикутної форми.
За формулою (4.17) одержуємо
гґ і V
[ «2(0 2 і 1-т Л	/ т V
----= <Л V =1- 1-Ь. .
р2(0 9\(. *ї\.,	І	Ч
і* 21 1— \ аі
і т І
ок 17
Отримане кубічне рівняння має 3 корені: один дійсний і два комп-
лексні. Для V = 0,9 маємо {0,536, 1,232 -/0,402, 1,232 + /0,402}
і для V == 0,95 - {0,632, 1,184-/0,319, 1,184 +/0,319}. Оскільки
тут — величина дійсна, підходять лише перші з наведених коренів
рівняння (див. рис. 4.4, в)).
Таким чином, активна тривалість імпульсу трикутної форми
за рівнем 0,9 його енергії дорівнює 2 • 0,536т = 1,072т, за рівнем
0,95-1,264т.	П
Приклад 4.5
Визначити активну ширину спектра та активну тривалість
гауссівського імпульсу.
199
Розв'язання.
Цей сигнал було розглянуто у прикладі 3.17, де показа-
но, що такий сигнал має чудові властивості — його спектральна
густина описується виразом, який співпадає з виразом сигналу
в часовій області, тобто,
е’и2<=>	(4.20)
Спектральна густина енергії такого сигналу дорівнює:
(?(/) = е-2<
Підставимо цю функцію до (4.16) і одержимо рівняння,
розв’язком якого є шукана величина.
00	-
(4-21)
2"/2<ї/ = Г]|е 2^2(І/
о	о
00	2	1
оскільки ’2л/	—7=— табличний інтеграл.
о	2д/2
Інтеграл у лівій частині рівняння не виражається в елементар-
них функціях, але його можна привести до табульованої функції
2 ґ 2
Ф(г) =	(1і — інтеграла помилок, таблиці якого наведено, на-
л/л о
приклад, в [І], або до функції Ег£(з), пов’язаної з функцією Ф(з)
а/ТС
виразом Ег£(г) =—(1-Ф(г)) [1].
2
У математичній статистиці звичайно застосовують дещо інше
нормування інтеграла ймовірності
1 Г --	1Г	( 2
Ф(2)=-— е 2сії=- 1+ф
ч&о	2 Л
Таблиці цієї функції наведено в [7], й в [2]. В додатку А
наведено таблицю А.2 цієї ж функції, але з іншими межами
інтегрування:
Р(2) = -±=]е*г/2(їк, Г(-г) = 1-Г(г), Ф(г) = Г(з)-0,5.
у2тс Д
Надалі, коли ми розглядатимемо випадкові сигнали і проце-
си, саме ця остання функція нам стане в нагоді. З цієї причини
перетворимо (4.21) так, щоб можна було його розв’язати за до-
помогою таблиць Р(г). Провівши заміну зміннихл/2л/= х/72,
одержуємо, що
200
Іе-2я(га/=—= [ е’2 ах = -=[Р(2^Рп)-0,5]=-^=т\.
І	2уіп і	72 п	272
Тепер рівняння (4.21) набуде вигляду:
Г(2^) = іті + 0,5.
А
(4.22)
Розв’язати (4.22), маючи таблицю функції Р(г)9 просто.
Розглянемо випадок ц = 0,9. Тоді ^(2>/л^п) = 0,45 + 0,5 = 0,95.
За таблицею, наприклад, А.2, знаходимо, що Р(г) дорівнює
0,9495, якщо 2 = 1,64, і 0,9505, коли 2 = 1,65. Інтерполюючи,
одержуємо 2 = 1,645. Звідси Р =1,645/2л/л = 0,464.
На рис. 4.5, а) наведено
графік нормованої спек-
тральної густини енергії,
а рис. 4.5, б) ілюструє гра-
фічно розв’язок рівняння
(4.22). Крива, що наведена
на цьому рисунку, — це
залежність г\ = 2[Р(24пР^-
-0,5] від Р , яку можна побудувати за таблицею Р(г).
Що стосується тривалості гассового імпульсу, то з (4.20) вихо-
дить, що залежність у(ту) повторює залежність лС? ) рис. 4.5, б).
Таким чином, активна тривалість гауссового імпульсу при V = 0,9
дорівнює 2 • 0,464 = 0,928.
Вправа 4.7
Знайдіть активну ширину спектра та активну тривалість
гауссового імпульсу при г| = V = 0,95, скориставшись таблицею А.2
функції Р(г)9 і порівняйте отриманий результат з тим, який одер-
жано графічно (рис. 4.5, б)).	[2]
Приклад 4.6
--- Визначити активну ширину спектра та активну тривалість
імпульсу експоненційної форми 8(0 =
Розв’язання.
Цей сигнал було розглянуто у прикладі 3.8 і одержано
таку пару перетворень Фур’є:
201

1
1+/2л/
(4.23)
Спектральна густина енергії дорівнює:
£(/) =
1
1 + (2л/)2
Графік цієї функції наведено на рис. 4.6, а).
Рис. 4.6.
Підставляємо цю функцію до (4.16) і одержуємо таке рів-
няння:
і	00 і
[-------= П [--------
І1+(2л/)2	{1+(2л/)2
Провівши заміну змінних, призводимо інтеграли до таб-
личних
1	1 2^ 1	1
2^п і
= —агс*Є(2л^).
о 2л
Оскільки --------------<!{=—, одержуємо трансцендентне рів-
няння	^1 + (2л/)2	4
ХІЯХІХІЛ	V
-агсі£(2лР) = ї].	(4.24)
Я
Щоб розв’язати (4.24), скористаємося знову системою МАТНЕ-
МАТІСА. Для цього достатньо одного оператора:
ЕіпсІКооі[2/я АгсТап[2 я Е] == 0.9, {Е, 0.5}].
Корінь рівняння 7?0 9 = 1,0005. Змінивши 0,9 на 0,95, отримаємо
^,95^2,022 іт.д.
202
Розв’язати це рівняння можна графічно, побудувавши за
допомогою калькулятора, де є обернені тригонометричні функції,
графік залежності Цю залежність наведено на рис. 4.6, б).
Там само стрілками ілюстровано розв’язок рівняння (4.24).
Щоб знайти активну тривалість експоненціального імпульсу,
скористаємося рівнянням (4.17), яке для даного сигналу має
вигляд:
^е~2ісІі = у£е~2ісІі.
о	о
Обчисливши інтеграли, одержуємо 1-е"2£у = у, звідки
=-0,51п(1-у).
Підставивши значення V = 0,9, знаходимо
т0 9 = 1,15 або V = 0,95-т0 95 = 1,5.
Вправа 4.8
Знайдіть активну ширину спектра та активну тривалість
сигналу 8(і) = еаіЩі). Як впливає на ці величини наявність
коефіцієнта а у показнику степеня. Знайдіть добуток ^09т09,
переконайтеся в тому, що він не залежить від а.
Приклад 4.7
Визначити активну ширину спектра та активну тривалість
сигналу = е“м.
Розв'язання.
Цей сигнал було розглянуто у прикладі 3.10, де одержано
таку пару перетворень Фур’є
с-и 2
1 + (2тс/)2'
Спектральна густина енергії дорівнює:
4
сот*[і+(:адг]!-
(4.25)
Графік цієї функції наведено на рис. 4.7, а). Підставимо
цю функцію до (4.16) й одержимо
203
/[1 + (2тг/)2]2	[1 + (2п/)2]2 аІ'
Інтеграл у лівій частині рівняння зводиться до табличного
інтеграла (А.48).
#	х-2л/ _ 12? йх
] [1 + (2л/)2 ]2	=	2 л і (1 + х2)2
х 1	27Г^+(1 + 4л2^)агсіЄ(2лГл)
=-------- + — агссі£(х) =------!---------ь.
4л(1 + х ) 4л	0	4л(1 + 4лГп)
Таким чином, рівняння для знаходження Р має вигляд:
2л^п+(1 + 4л2^п2)агсіе(2яГп)	1
л + 4л3^п2	2ті’
Розв’язати його можна чисельними методами.
Результати розв’язання такі: Г09 =0,216, Г095 =0,292.
Вправа 4.9
Запишіть оператор системи МАТНЕМАТІСА, за допомогою
якого можна знайти корінь цього трансцендентного рівняння.
Розв’язати це рівняння можний графічно, побудувавши за
допомогою калькулятора, де є операції з оберненими тригономет-
ричними функціями, графік залежності Цю залежність
наведено на рис. 4.7, б). Тут стрілками зображене розв’язання
рівняння, отримане графічним методом.
204
Активна тривалість сигналу удвічі перевершує ті значення,
що було одержано в попередньому прикладі для імпульсу експо-
ненційної форми: т09 = 2,3, т095 =3,0.
Вправа 4.10
Обґрунтуйте справедливість останнього твердження.
З розглянутих прикладів можна зробити такі висновки:
8
	У загальному випадку й активна ширина спектра, |
й активна тривалість сигналу залежать не лише від фор-
ми сигналу, але й від його параметрів.
	Проте добуток активної ширини спектра на активну І
тривалість сигналу вже не залежить від параметрів •:
і визначається лише формою сигналу.
	Добуток Р називається базою сигналу.
Зведемо в таблицю значення баз сигналів, розглянутих
у прикладах, відсортувавши їх за зменшенням значень баз.
Сигнал	р т х 0,9 0.9	Р т 0,95 0,95
Однобічний експоненційний імпульс	1,15	3,03
Імпульс прямокутної форми	0,90	1,90
Двобічний експоненційний імпульс	0,49	0,88
Симетричний імпульс трикутної форми	0,45	0,63
Гауссів (дзвоноподібний) імпульс	0,43	0,61
Імпульс з лінійно-частотною модуля- цією	»1	»1
Фазо-маніпульований сигнал	»1	»1
З аналізу даних, наведених у таблиці, виходить, що наймен-
шу базу з усіх розглянутих сигналів має дзвоноподібний імпульс.
Згадаємо, що для такого сигналу модуль спектральної густини
максимально швидко прямує до нуля зі збільшенням частоти
(приклад 3.27). Якщо повернутися до прикладів 4.3-4.7 та
205
проаналізувати рисунки 4.3, а)~4.7, а), де показано епюри
сигналів, напрошується ще один висновок: найбільше значен-
ня бази відповідає тим сигналам, в яких є розриви, і навпаки,
сигнали без різких змін своїх миттєвих значень мають малі зна-
чення баз.
0
	Сигнали, для яких база мало відрізняється від 1,
називаються простими сигналами.
	Сигнали, в яких значення бази набагато більші від 1,
називаються складними сигналами (інколи їх називають
ще сигналами з великою базою або широкосмуговими
сигналами).
Всі сигнали, що наведені у верхній частині таблиці,
є простими сигналами. До класу складних сигналів належать,
зокрема, радіоімпульс з прямокутною обвідною і змінюваною за
лінійним законом частотою заповнення (ЛЧМ-радіоімпульс) та
фазоманіпульовані сигнали (це радіосигнали, в яких початкова
фаза високочастотного заповнення в певні моменти часу стрибком
змінюється на деяку скінченну величину). Ці сигнали, широко
використовуються в радіотехніці і техніці зв’язку. В підрозділі
8.6 їх буде розглянуто детально.
Автокореляційна функція (АКФ) сигналів енергії
та її властивості
Спектральна густина енергії є важливою частотнозалежною
характеристикою сигналів з множини (4.1). Раніше за допомогою
перетворення Фур’є встановлено зв’язок між поданням сигналів
у часовій та частотній областях. Природно спробувати встановити
аналогічний зв’язок спектральної густини енергії сигналу — його
частотною характеристикою — з деякою функцією часу.
Отже, якщо з(і) <=> 5(/) і сигнал має скінченну енергію, то його
спектральна густина енергії
С(Г) = 8(Г)8:(Г).	(4.26)
Таким чином, щоб одержати спектральну густину енергії,
необхідно виконати дві операції у частотній області:
1) знайти комплексно-спряжену функцію £*(/);
2) здійснити множення £(/) - 5*(/)-
206
Тепер, щоб знайти обернене перетворення Фур’є функції С(/),
можна скористатися такими двома властивостями перетворення
Фур’є (теоремами про спектри):
1)	теоремою інверсії часу, згідно з якою £•*(/) <=> з(-і);
2)	теоремою згортки: зДО ® з2
З урахуванням цього можна визначити таку пару перетворень
Фур’є:
з(т ) ® з(-т ) « 8(/)£* (/г	(4.27)
У (4.27) для зручності аргумент сигналу як функції часу позначе-
но т. Це дозволяє записати інтеграл згортки у вигляді:
ВДт) = в(т)®з(-Т) = ^8(і)з(і—т)(119 -оо<Т<оо. (4.28)
8
	Функція ЯДт) називається аятокореляційною функцією *
(АКФ) сигналу енергії 8(ї).	І
	Як виходить з (4.28), АКФ характеризує ступінь зв’язку І
сигналу з(і) з його копією, переміщеною на величину т І
уздовж осі часу.	І
Схема, наведена на рис. 4.8, ілюструє прямий метод ви-
мірювання АКФ.
З аналізу процесів, що проті-
кають у схемі, можна уточнити
роль часової затримки т: вона є
деяким сканувальним парамет-
ром (параметром, що сканує).
Рис. 4.8.
Вправа 4.11
Покажіть, що для визначення АКФ, замість формули
(4.28), можна використати формулу
2ЇДт) = |з(0$(£+т)гі£, —оо<т<оо.	(4.29)
Приклад 4.8
Побудувати АКФ імпульсу прямокутної форми
МО=П
I ^2
207
Розв'язання.
Розв’язання задачі ілю-
струють графіки (рис. 4.9).
Кожному значенню
зсуву т відповідає своя функція
- т). Графік цієї функції
наведено на рисунку у вигляді
заштрихованого прямокутника.
Оскільки ця функція є підін-
тегральним виразом формули
(4.28), що визначає АКФ, зна-
чення АКФ при деякому зсуві
т дорівнює площі відповідного
прямокутника. Зі зростанням |т|,
як це виходить з аналізу графіків
рис. 4.9, значення АКФ спадає
за лінійним законом. Очевидно,
що при |т|	значення АКФ
дорівнює нулю. Крім того, при
т = 0 АКФ набуває значення, що
дорівнює енергії сигналу. Таким чином показано, що АКФ
імпульсу прямокутної форми має вигляд:
ВД = еАЦ-
Ч
і не залежить від положення імпульсу на часовій осі.
Приклад 4.9
Побудувати АКФ пачки з чотирьох імпульсів прямокутної
форми, наведених на рис. 4.10; причому То = Зтц.
5(0
п	я	я
То	2Т0	Зто
Я,(*)
то ’ 2Т0 ЗТ0
4Е
ЗЕ
2Е
Е
б т,
а л А А А а <
-ЗТ0 -2Т0 -То -т„0 гц
і
Рис. 4.10.
208
Розв’язання.
Як в попередньому прикладі, будуємо АКФ пачки імпуль-
сів. Поблизу значень т = 0, ±Т0, ±27^, ±37^ АКФ має такий же
вигляд, як і для поодинокого імпульсу. При т = 0 АКФ дорівнює
збільшеній учетверо енергії одного імпульсу, при Т = ± То —
потроєній, при т = ± 2710 — подвоєній енергії одного імпульсу пач-
ки, при т = ± ЗТ0 — енергії одного імпульсу.	[2]
Вправа 4.12
Виконайте графічні побудови як на рис. 4.9 і переко-
найтеся в тому, що АКФ пачки з чотирьох однакових імпульсів
прямокутної форми має вигляд рис. 4.10.
Вправа 4.13
Як зміниться АКФ пачки, якщо при дотриманні співвід-
ношення тривалості імпульсів з відстанню між ними кількість
імпульсів дорівнюватиме: а) N = 5; б)?7 = 10; в)?7 = 20? Обґрун-
туйте, чому формулами (4.28) і (4.29) не можна користуватися
у випадку, коли N —> оо.
Вправа 4.14
Побудуйте АКФ пачки з чотирьох однакових імпульсів
прямокутної форми, якщо То = 4ти.
Аналізуючи формули (4.28) і (4.29), а також результати,
отримані у прикладах 4.8 і 4.9, можна сформулювати основні
властивості АКФ.
1.	АКФ дійсно-значного сигналу зі скінченною енергією є дійс-
но-значною парною функцією, тобто:
Я.(-с) = Я,(т).	(4.30)
2.	Значення АКФ при т = 0 дорівнює повній енергії сигналу:
П,(0) = Е.	(4.31)
3.	АКФ сигналу зі скінченною енергією набуває максимального
значення при т = 0, тобто:
|й (т)| < Я,(0), для усіх т.	(4.32)
Щоб переконатися в цьому, врахуємо, що
[8(І) ± 8(1 - т)]2 = а2 (І) ± 2в(І)8(І - Т) + з2 (І - Т) >0
209
або
±2$(0$(*-'0 <82(ґ)+52(^-т).
Інтегруючи обидві частини останньої нерівності і враховуючи
(4.28) і (4.31), одержуємо нерівність (4.32).
4.	АКФ сигналів енергії та їхні спектральні густини енергії
пов’язані парою перетворень Фур’є, тобто: Вз(т) <=> (?(/). Таким
чином,
=	=	(4.33)
-ос	—оо
Ця властивість доводиться безпосередньо за формулами від
(4.26) до (4.28).
Вправа 4.15
Доведіть справедливість четвертої властивості АКФ.
Вправа 4.16
Скористайтеся четвертою властивістю АКФ і пока-
жіть, що:
1) площа, обмежена кривою (7(/), дорівнює енергії сигналу;
2) площа, обмежена кривою ЛДт), дорівнює значенню спект-
ральної густини енергії на нульовій частоті.
Приклад 4.10
Знайти АКФ імпульсу 8(і) = А8іпс (2РІ).
Розв’язання.
Для розв’язання задачі скористаємося четвертою влас-
тивістю АКФ, що суттєво простіше, ніж безпосереднє обчислення
за формулою (4.28).
Раніше було одержано пару перетворень Фур’є (3.69)
2Г8іпс(2П)<^
пШ.
у
(4.34)
звідки знаходимо для заданого сигналу перетворення Фур’є
виду:
8(/) = — ГІЇ— 1
210
Спектральна густина енергії буде
К ' 2Г 11 [2Р
Тепер можна знайти АКФ як обернене перетворення Фур’є функ-
ції (?(/). Знову скористаємося парою (4.34) і теоремою лінійності
перетворення Фур’є. Одержуємо:
А2
П8(т) = — 8іпс(2Рт).	(4.35)
Порівнявши отриманий вираз із сигналом з(1), можна зроби-
ти висновок, що цей сигнал і його АКФ мають однакову форму
і відрізняються тільки масштабом вздовж осі ординат. [2]
Взаємна кореляційна функція (ВКФ) сигналів енергії
та її властивості
АКФ оцінює схожість сигналу з його копією, зсунутою
в часі. Аналогічний підхід можна використовувати для оцінки
схожості (близькості) одного сигналу з копією іншого сигналу,
зсунутого в часі відносно першого. Для цієї потреби використо-
вується взаємна кореляційна функція (ВКФ).
Нехай зДО і 82(і) — два дійсно-значні сигнали з множини (4.1).
8
Взаємна кореляційна функція двох сигналів енергії |
за визначенням дорівнює:	|
^і2(т)= рі(0з2(^-т)б/Л -оо<т<оо.	(4.36) І
-00	В,
Очевидно, якщо сигнали зДО і з2(і) схожі один на одного,
ВКФ у деякому діапазоні значень т матиме ненульове значення.
Таким чином, ВКФ можна розглядати, як кількісну оцінку схо-
жості або когерентності цих двох сигналів.
0
Два сигнали зДО і з2(і) називаються ортогональними,
якщо
оо
П12(х) =	=	(4.37)

211
Для двох сигналів »,(<) і 82(і) можна визначити іншу за (4.36)
ВКФ
00
Я21(т) =	— оо<Т<оо.
(4.38)
З визначення ВКФ (4.36) і (4.38) випливає така властивість
ВКФ:
Лі2(т) = Я2і(-т).	(4.39)
Вправа 4.17
Доведіть справедливість рівності (4.39).
Наступна важлива властивість ВКФ установлює її зв’язок
із перетворенням Фур’є:
тг^^оздзд/).	(4.40)
Вправа 4.18
Доведіть справедливість рівності (4.40).
	Формула (4.40) є математичним формулюванням
кореляційної теореми:
	ВКФ двох сигналів зі скінченною енергією відповідає
добуток перетворення Фур’є одного сигналу на комплекс-
но-спряжене перетворення Фур’є другого сигналу.
Щоб виявити ще дві властивості ВКФ, відмінні від
відповідних властивостей АКФ, розглянемо приклад.
Приклад 4.11
На рис. 4.11 наведені графіки двох сигналів 8х(0 і $2(ґ),
що належать множині сигналів (4.1).
Побудувати ВКФ цих сигналів.
Розв'язання.
Розв’язання задачі ілюструє рис. 4.11. Тут наведено гра-
фіки функції 81(ґ)з2(ґ - т) для декількох значень зсуву т. Оскільки
ця функція є підінтегральним виразом формули (4.37), за якою
обчислюється ВКФ, значення ВКФ при відповідних зсувах чисельно
212
дорівнюють площам перекриття
сигналів (на рисунку ці області
затінені), тобто, на інтервалах ча-
су, де добуток сигналу 8^2) і зсу-
нутого вліво або вправо сигналу
82(і) не дорівнює нулю. З аналізу
графіків виходить, що ВКФ набу-
ває максимального значення при
т = -0,5. При зсуві копії сигналу
82(ґ) вправо, якщо т > 1, де 1 — три-
валість сигналу 8^), Т?12(т) = 0.
При зсуві копії сигналу 82(ґ) вліво,
якщо |т| > 1,5, де 1,5 — тривалість
сигналу	Л12(т) також дорівнює
нулю. Графік ВКФ Л12(т) наведено
нарис. 4.11.	[2]
З аналізу ВКФ, що отримана
в прикладі 4.11, можна зробити
два висновки.
0
	У загальному випадку ВКФ не є парною функцією^
змінної т;	В
	Значення ВКФ при т = 0, у загальному випадку, І
не є їі максимумом.	|
4.2. Спектральна густина середньої потужності
і кореляційна функція сигналів
зі скінченною середньою потужністю
і нескінченною енергією
У цьому підрозділі розглянемо дійсно-значні сигнали,
що належать множині
8Р(17) = <8: Ііт 1 ]\2(0<11 <К к	(4.41)
Спектральна густина середньої потужності
Середня потужність сигналу з(1) дорівнює (1.8):
213
ро = Ни1 ^7 р2(0<Й-	(4.42)
т-юо2Т_*
Щоб за аналогією із сигналами множини (4.1) обчислити
потужність сигналу множини (4.41) у частотній області, необхідно
знати його перетворення Фур’є. Однак, тут може виникнути дея-
ка проблема, оскільки такі сигнали мають нескінченну енергію
і не є Фур’є-перетворюваними. Щоб впоратися з цією проблемою,
розглянемо спочатку сигнал 8(ї) на скінченному інтервалі часу.
Нехай
мо=моп(і1	<4-43>
Такий сигнал вже має скінченну енергію, отже, для нього мож-
на знайти перетворення Фур’є і 8т(і) <=> 8Т(Ї). Тепер (4.42) можна
записати так:
(4Л4)
-оо
Оскільки усічений сигнал зт(і) має скінченну енергію, до нього
можна застосувати теорему Рейлі, тобто, записати
— 00	—оо
і (4.44) подати у вигляді:
При зростанні Т зростає як енергія сигналу зт(і)9 так і спек-
тральна густина енергії С?т(/) = |5Т(/)І2- Якщо Т -> оо, то і Ст оо.
Однак, оскільки середня потужність сигналу є величина скінченна,
спектральна густина енергії повинна прямувати до нескінченності
з тією ж швидкістю, що і Т. У цьому разі в (4.45) можна змінити
порядок обчислення інтеграла і межі, тобто записати:
(4-46)
Позначимо
СР(/) = 1ітА-|ЗД)|2.
(4.47)
214
	Функція частоти Ср(/) називається спектральною гус- |
такою середньої потужності сигналу зі скінченною І
середньою потужністю.	І
	Функцію частоти \8т(/)\2/2Т = Ст(/)/2Т називають пе- |
ріодограмою* сигналу.	1
Приклад 4.12
Знайти спектральну густину середньої потужності коли-
вання
х(і) = $(£)со8(2л/00,
(4.48)
де з(і) — сигнал потужності, ширину спектра якого обмежено
частотою Р Гц, /0 » Р.
Розв'язання.
х(і) є коливанням з амплітудною модуляцією (аналізу
сигналів з АМ присвячений розділ 7 підручника), тобто амп-
літуда синусоїдного коливання з частотою /0 змінюється у часі
пропорційно сигналу з(і).
Формула (4.47) для коливання, що розглядається у цьому
прикладі, набуває вигляду:
«леї
де Хт(/) <=> хт(і), а хт(і) — усічена версія коливання (4.48). Таким
чином,
хт(і) = 8т(ґ)соз(2л/00,	(4.50)
де обмежений у часі сигнал зт(і) задано моделлю (4.43).
Застосувавши теорему модуляції (табл. Б.1) до (4.50) одер-
жуємо:
ВД) = |[ЗД-/о) + ЗД + /о)].	(4.51)
де 5^,(7) <=> зт(і).
За умови /0 » Р виходить, що 8Т(/ - /0) і 8Т(/ + /0) є складові
спектра, що не перекриваються, отже, їхнііГдобуток дорівнює
нулю. Тоді з (4.51) одержуємо:
|Хг(Г)|2=і[|5г(/-/о)|2 +|5г(/ + Г0)|2], /0»Г.	(4.52)
—	4	—	—
Термін періодограма прийшов зі статистики і широко використовується,
хоча, строго кажучи, ця характеристика є функцією частоти, а не періоду.
215
Підставимо (4.52) до (4.49) і одержимо спектральну густину
середньої потужності коливання (4.48)
СхР(/) = 1іт^|[|^(/-/0)|2+|^(/+/0)|2] =
(4-53)
=|[^(/-/о)+с.р(/+/о)Ь Г0»Р-
4
Тут Сг$р (/) = Ііт18Т (/) |2 — спектральна густина середньої потуж-
ності сигналу 8(і).	[2]
Властивості спектральної густини середньої
потужності
1.	Спектральна густина середньої потужності сигналу
зі скінченною середньою потужністю
Сгр(ї) > 0 для всіх значень частоти /.	(4.54)
2.	Спектральна густина середньої потужності дійсно-значного
сигналу потужності є парною функцією частоти:
С?(-/) = С,(/).	(4.55)
3.	Площа області, обмеженої кривою Сгр(ї), чисельно дорівнює
середній потужності сигналу:
X
р0=/адмл	(4.56)
Вправа 4.19
Використовуючи формули, що наведено вище, обґрунтуй-
те справедливість властивостей 1-3.
4.	При проходженні сигналу зі скінченною середньою потужніс-
тю через лінійну систему з постійними параметрами спектральна
густина середньої потужності сигналу на виході системи дорів-
нює спектральній густині середньої потужності сигналу, що діє
на вході системи, помноженої на квадрат амплітудно-частотної
характеристики системи, тобто,
ОуР(П = СхР(Г)\Н(Г)\2,	(4.57)
216
ДЄ Сгхр(/) І СуР(П — спектральні густини середньої потужності
сигналів на вході і виході системи з АЧХ |Н(Л|.
Вправа 4.20
Переконайтеся у справедливості зв’язку вхід-вихід ліній-
ної системи з постійними параметрами, що описаний рівнянням
(4.57).
АКФ сигналів зі скінченною середньою потужністю
та її властивості
Формулу для визначення АКФ сигналів, що належать
множині (4.41), отримаємо методом, аналогічним тому, що вико-
ристовувався вище.
Запишемо (4.47) так:
СДП = 1іт^ад)^,‘(Г).	(4.58)
Тут 8Т(/)<=> 8т(і), зт(і)— обмежений за часом сигнал потуж-
ності^
Скористаємося парою перетворень Фур’є
8г(т) ® 8г(-т)«	(4.59)
Помножимо обидві частини (4.59) на коефіцієнт 1/2Т і перейде-
мо до межі
т т^8г(Т) ® 8г~ Ї}т^3т^8т*(/У	<4-60)
Права частина формули (4.60) є спектральна густина середньої
потужності сигналу з(0- Тоді
1 00
к(і)8т(і-х)(ііоСзР(Г).	(4.61)
Т“>00
— 00
За аналогією з тим, як ми зробили при виведенні формули (4.28),
приймемо, що ліва частина (4.61) є АКФ сигналу зі скінченною
середньою потужністю, тобто,
1 т
К3(х) = т ™ 2Т 18г^8г^	(4.62)
217
8
Функція
1 т
Д,(0 = Ьт— р(ф(* -т)Л
(4.63)
називається автокореляційною функцією (АКФ) сигна-
лу зі скінченною середньою потужністю.
Властивості АКФ сигналів зі скінченною середньою по-
тужністю аналогічні властивостям АКФ сигналів зі скінченною
енергією. Діючи так, як при обґрунтуванні останніх, одержимо:
1.	АКФ дійсно-значного сигналу зі скінченною середньою
потужністю є дійсно-значна парна функція, тобто,
Я(-т) = В(т).	(4.64)
2.	Значення АКФ сигналу потужності з(і) при т = 0 дорівнює
середній потужності сигналу:
Я(О) = Ро.	(4.65)
3.	АКФ сигналу потужності набуває максимального значення
при т = 0, тобто:
рг?в(т)| < ЯДО), для усіх т.	(4.66)
4.	АКФ сигналів потужності і їхні спектральні густини серед-
ньої потужності пов’язані парою перетворень Фур’є, тобто:
ЛЖШ	(4.67)
Або у розгорнутому вигляді
00
(4.68)
оо
Д(т) = /<?.,(/) є'**#.	(4.69)
—00
8
Формули (4.68) і (4.69) відомі як теорема Ейнштей-
на —Вінера—Хінчина*.
х" '	'. '	'у-	""	"	11	11	'	....Xі" '"""" .. х'Т""
Часто в літературі ці формули називають теоремою Вінера-Хінчина, забу-
ваючи про те, що за два десятки років до них у 1914 році в роботі Ейнштейна,
присвяченій аналізу часових рядів, обговорювалося питання зв’язку АКФ зі спек-
тральним складом часових рядів.
218
Приклад 4.13
Знайти АКФ коливання (4.48) з прикладу 4.12.
Розв'язання.
Щоб знайти АКФ коливання х(і)9 скористаємося четвер-
тою властивістю АКФ.
З (4.53) виходить, що спектральна густина середньої потужності
коливання х[і) дорівнює:
сип=-/0)+с,Р(г+г0>], г0»р.
4
Тоді,
ВД = |[В,(т)е>2^х +	= І7г,(т)со8(2л/0т). (4.70)
Вправа 4.21
Скориставшись формулою (4.70), покажіть, що середня
потужність модульованого коливання х(і) дорівнює половині
середньої потужності сигналу §(ґ), що модулює.
ВКФ сигналів потужності
Нехай і з2(і) — два сигнали потужності, тоді:
Взаємна кореляційна функція двох сигналів потужності
за визначенням дорівнює:
1 т
йі2<т>=1^— /«,(<)%(«-тМі, — оо <Т < оо. (4.71) * 1


Аналогічно визначається й друга ВКФ Я21(т).
9
Два сигнали потужності зДО і з2(0 називаються ортого- *
нальними на інтервалі часу і є (-оо, оо), якщо	\
1 т !
Ііпі^-р1(052(^~х)б/^ = 0.	(4.72)
219
Підіб’ємо підсумки розглянутих
у цьому розділі частотно-часових зв’яз-
ків сигналів із множин (4.1) і (4.41).
На рис. 4.12 показано діаграму, що
відображає ті перетворення сигналу зі
скінченною енергією, котрі необхідно
*(*)	<===•=>	£(/)
(4,28) І	І (4,26)
▼	(4,33)	▼
К8(т) <—=Ф О(/)
Рис. 4.12.
здійснити, щоб знайти його спектральну густину енергії або
АКФ. Наприклад, знайти спектральну густину енергії сигналу
8(0 можна двома способами:
1. Знайти перетворення Фур’є сигналу, потім за формулою
(4.26) — його спектральну густину енергії.
2. За формулою (4.28) визначити АКФ сигналу, потім за
(4.33) — його спектральну густину енергії.
З наведеної діаграми виходить, що з чотирьох перетворень два
не є оборотними, тобто, відображення -» ЛДт) і 8(/) -> Сг(/) у за-
гальному випадку призводять до часткової втрати інформації про
сигнал $(0 або його спектр При 8(/) -» Нз(т) втрачається залеж-
ність сигналу від фізичного часу і. Перехід 8(/) -» призводить
до втрати інформації про фазовий спектр сигналу. Це означає,
що коли два (або більше) сигнали мають однакові амплітудні, але
різні фазові спектри, то їхні спектральні густини енергії і АКФ
будуть однакові.
Зв’язки між частотно-часовими характеристиками сигналів
потужності аналогічні тим, що відображені на діаграмі рис. 4.12
для сигналів енергії.
Вправа 4.22
Побудуйте діаграму, аналогічну тій, яку зображено на
рис. 4.12, для сигналів зі скінченною середньою потужністю.
Вправа 4.23
Задано сигнал 8(£) зі скінченною середньою потужністю.
Запишіть формули для двох процедур обчислення його АКФ.
4.3. Спектральна густина середньої потужності
і кореляційна функція періодичних сигналів
У цьому підрозділі розглянемо сигнали, що належать
до множини періодичних сигналів:
220
Зя(Т) = {х:х(і + Т) = х(1), -оо<#<оо}.	(4.73)
Періодичні сигнали є поодиноким випадком сигналів потуж-
ності.
Вправа 4.24
Обґрунтуйте справедливість цього твердження.
Спектральна густина середньої потужності і АКФ сиг-
налів потужності, які розглянуто вище, для періодичних сигналів
мають специфічну форму і властивості.
Нехай сигнал $д(0 є періодичним з періодом То. Його можна
подати за допомогою комплексно-експоненційного ряду Фур’є
(3.17):
А _	(}2ппі\	.. _
М*)= % С^ехр —— .	(4.74)
п--оо	•*	0	,
Тут 2п/Т0 — Сп — комплексні коефіцієнти ряду Фур’є.
При обчисленні середньої потужності періодичного сигналу
замість (4.42) можна використати формулу (1.11)
Т /2
Р.=^- ІІМОІ’Л-	(4,75)
1о -Тй/2
Тоді формула для спектральної густини середньої потужності
(4.58) з урахуванням дискретності спектра періодичного сигналу
і (3.118) набуває вигляду:
<?,(/)=	(4.76)
П=—оо	?
Спектральна густина середньої потужності періодичного сигна-
лу задовольняє усім властивостям С?р(/), розглянутим вище, але
додається ще одна:
Спектральна густина середньої потужності періодичного
сигналу є дискретною функцією частоти.	।
<	У"?;.................../'<' “і1 Г
Таким чином, середня потужність Ро періодичного сигна-
лу визначається так:
3>=£І£.І2-
(4.77)
221
8
Формула (4.77) відома як теорема потужності Парсе- г
валя. Вона стверджує, що середня потужність періо-1
динного сигналу	дорівнює сумі квадратів амплітуд ?
усіх спектральних складових цього сигналу.
Зверніть увагу на те, що теорема потужності Парсеваля,
як і теорема енергії Рейлі, потребує знання тільки амплітуд спек-
тральних складових.
За (4.76) спектральна густина середньої потужності періодич-
ного сигналу в загальному випадку містить дельта-функцію на
нульовій частоті. Це означає, що середня потужність періодичного
сигналу на постійному струмі дорівнює
Р„с = |С0|2,	(4.78)
де коефіцієнт Со — постійна складова або середнє значення періо-
дичного сигналу, тобто,
< П/2
Со=—	(4.79)
-П/2
Середня потужність періодичного сигналу за змінним струмом
дорівнює:
^с = Еі£п|2.	(4.80)
И=-00
п*0
Корінь квадратний із Рзс визначає середньоквадратичне зна-
чення сигналу.
У тому разі, коли сигналом зі скінченною середньою потужніс-
тю є періодичний сигнал, підінтегральний вираз в (4.63) також
є періодичною функцією. Отже, середнє за часом можна знаходи-
ти як середнє значення на інтервалі часу, що дорівнює періоду.
Таким чином,
АКФ періодичного сигналу зя(і) з періодом То дорівнює
/?8д(т) = —- ^д(£)8д(£--т)с/£, —оо < т < оо. (4.81)
^0 -То/2
АКФ періодичних сигналів має всі властивості АКФ
сигналів потужності, але крім них додається ще дві важливі
властивості.
222
8
АКФ періодичного сигналу зЛ(і) з періодом То є періо-
дичною функцією змінної т, причому її період дорівнює
періоду сигнал а, тобто,
=	±пТ0), п = 1, 2, ....	(4.82)
З аналізу формули (4.81) виходить, що інтеграл у правій
частині є не що інше, як АКФ поодинокого сигналу на інтервалі
часу То. Якщо його позначити /^(т), тоді
ад)=
То *
(4.83)
8
Формула (4.83) встановлює зв’язок АКФ періодичної пос-
лідовності імпульсів зд(() з АКФ поодинокого імпульсу |
цієї послідовності.
Запишемо формулу ВКФ періодичних сигналів для одно-
го окремого випадку.
Нехай 8ІЯ(і) і в2Я(Є) — два періодичні сигнали, причому періоди
одного і другого сигналів однакові і дорівнюють То. Тоді в той
же спосіб, що було використано при отриманні рівності (4.81),
отримаємо, що
П/2
—	~—00 < Т < 00.	(4.84)
‘° -Т./2
Вправа 4.25
Два періодичні сигнали подано такими рядами Фур’є:
«ія(о=Е^єхр -
]2ппіУ
Т
2о >
82Я(0= £ О^ехрГ-^^
п=-^	V 2о 7
Періоди обох сигналів однакові.
Використавши рівність (4.84), доведіть, що справедлива
наступна пара перетворень Фур’є:
223
«=-00	20 .
(4.85)
Приклад 4.14
Знайти спектральну гус-
тину середньої потужності, серед-
ню потужність і АКФ синусоїдного
коливання
8я(0 = Асо8(2л/о£+0о), (4.86)
графік якого наведено на рис.
4.13, а).
Розв’язання.
Щоб подати задане коли-
вання за допомогою ряду Фур’є,
запишемо:
А2/46(/+/о)А	СВ(/) А^2/48(/-/(1)
~/о	0
І—Тг-І
Рис. 4.13.
«л(0 = С1ехр(;2л/оО + С^ех.р(-і2п/0і),
де
А	А
Сі= —ехр(/0о) і 0.!=—ехр(-/0о).
Тоді, відповідно до (4.76), одержуємо спектральну густину
середньої потужності:
А2
<?я(/) = — [3(/-/о) + 5(/ + /о)]-	(4.87)
4
Таким чином, спектральна густина середньої потужності си-
нусоїдного коливання є двома дельта-функціями, розташованими
на частотах / = ±/0, обидві з однаковою вагою А2/4, як зображено
на рис. 4.13, б). Зауважимо, що спектральна густина не залежить
від початкової фази 0О коливання.
Щоб обчислити середню потужність синусоїдного коливання,
досить знайти загальну площу під кривою тобто обчислити
інтеграл
*	Д2
Ро = /=| Сі І2 +1 С_і 12=—.	(4.88)
-оо
Нарешті, щоб знайти АКФ, скористаємося формулою (4.81):
224
і ^/2
^Л(Т) = 7Г I 8я(ї)8я(І-ї)<ІІ =
-То/2
1/(2/»)
= А2/0 | со8(2л/оґ + 0о)со8(2л/оґ-2л/т + 0о)с/ґ =
-1/(2/»)
А2/ 1/(2/о)	А2
=------- | [соз(2л/от)+со8(4я/оґ-2л/т + 20о)]<Й = —соз(2л/0т). (4.89)
2 -1/(2Г0)	2
Графік цієї функції наведено на рис. 4.13, в). Отже, АКФ
довільного синусоїдного коливання є косинусоїдною функцією
змінної т з нульовою початковою фазою і тим же періодом,
що і вихідне коливання. Якщо підставити до (4.89) т = 0, одержи-
мо 2їяЛ(т) = Ро = А2/2, чого і слід було очікувати.	| |
Вправа 4.26
Покажіть, що спектральна густина (4.87) і АКФ (4.89)
складають пару перетворень Фур’є.
Приклад 4.15
Знайти спектраль-
ну густину середньої по-
тужності і АКФ періодич-
ної послідовності імпульсів
прямокутної форми зі щі-
линністю 2. Графічне зоб-
раження сигналу наведено
на рис. 4.14, а).
Розв'язання.
У підрозділі 3.1
було знайдено коефіцієнти
ряду Фур’є для сигналу
у вигляді періодичної пос-	Рис. 4.14.
лідовності імпульсів прямо-
кутної форми— формула (3.34). Підставивши до неї параметри
сигналу, одержимо:
А
Сп =—Зіпс — .
л 2	<2)
(4.90)
Тепер можна знайти спектральну густину. Підставимо (4.90)
до (4.76), і отримаємо:
225
(4.91)
п=-ао	\
5	.
[ То)
Графік цієї функції наведено на рис. 4.14, б).
Щоб знайти АКФ періодичного сигналу скористаємося
властивістю (4.83) і результатом, отриманим у прикладі 4.8,
як-от: імпульсу прямокутної форми, що має тривалість ти, від-
повідає АКФ
В9(т) = еЛГ—І
тобто, АКФ має вигляд симетричного трикутника з тривалістю
по основі 2тм. У нашому випадку ти = То/2 і функція, що стоїть
у чисельнику виразу (4.83), буде:
Я (Т)=А2р.ДҐ_1_ .
2	^0/2;
Таким чином, маємо
'«я
А т
То 2	ІТ0/2
41+П _А<т<0,
2 То 2
'	(4.92)
2т
Т
0 7
А2
2
%
2
Залишилося у відповідності до властивості АКФ періодичних
сигналів (4.82), записати
Я,д(т) = В,я(т±пТ0), п = 1, 2, ....
Графік АКФ періодичної послідовності імпульсів прямокутної
форми з щілинністю 2 наведено на рис. 4.14, в).	| |
Вправа 4.27
На прикладі рівності (4.91) проілюструйте власти-
вості спектральної густини середньої потужності періодичного
сигналу.
Вправа 4.28
Скористайтеся рівністю (4.92), щоб проілюструвати влас-
тивості АКФ періодичного сигналу.
Визначіть спектральну густину середньої потужності періо-
дичної послідовності імпульсів прямокутної форми, один період
якої задано виразом:
226
А, 0<£<Т0/2
О, на частині періоду, що залишилася.
Приклад 4.16
Знайти ВКФ двох синусоїдних коливань з однаковими
частотами:
81Д(0 = А1СО8(2л^+91) І 82д(0 = А2СО8(27і/оЇ+02).
Розв’язання.
Періоди коливань однакові і дорівнюють То = 1//0.
Скористаємося формулою (4.84):
! Го/2
^12^) = гп	~
10 -те/2
і П/2
=  1^! СО8(2л/оІ + 01)А2 СО8[2л/о(£-Т)+02]гі£ =
^0 -То/2
То/2	То/2
|соз[4л/0£-2л/от +0! +02]<їі+ |со8[2л/0т +01 -02]й£ ••
-Т./2	-То/2
^1-^-2
2Т0
Перший з інтегралів дорівнює нулю. Таким чином,
^2<т) = А^СО8[27і4>т + (0і -02)]-	(4.93)
Сі
Отримали, що на відміну від АКФ синусоїдного коливання, яка
не залежить від початкової фази (див. приклад 4.14), ВКФ сину-
соїдних коливань однакової частоти не залежить від конкретних
значень початкових фаз цих коливань, але залежить від різниці
початкових фаз одного і другого коливань.	[2]
Вправа 4.30
Покажіть, що 2?12(0) = Р12 є середня взаємна потужність
коливань.
т
ДУ 4.16.
Вправа 4.31
Знайдіть вираз для ВКФ Л21(т) коливання з прикла-
227
Вправа 4.32
--- Доведіть, що ВКФ двох синусоїдних коливань з довіль-
ними амплітудами і початковими фазами, з різними, але крат-
ними частотами (тобто, /2 = п/р п = 2, 3, ...) дорівнює нулю при
будь-яких значеннях т.
На цьому поки що закінчимо розгляд питань даного розділу.
Нижче ми знову до них повернемося, але вже стосовно аналізу
випадкових сигналів (розділ 14 другої частини).
4.4. ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 4.1
4.1.1.	Знайти спектральні густини енергії таких сигналів
(а > 0):	81(0 =	»2(0=Аеа1Щ-і\,
83(О = Ае*01'1;	е4(і) = Ае^Щі) - АеаіЩ-і).
4.1.2.	Знайти ту частину повної енергії сигналу «ДО із задачі
4.1.1, яка зосереджена в смузі частот: а) |/| < а і б) И < 2а.
4.1.3.	Дано експоненційний імпульс
8(0 =
1	/ ч
-ехр(-аґ),
о,
іїО,
і<0.
Знайдіть ту частину енергії сигналу у відсотках, що зосеред-
жена в смузі частот -Р</^Р, де Р = а/2л.
4.1.4.	Покажіть, що два різні імпульси синусоїдної форми,
які наведено на рис. 4.15, мають однакову спектральну густину
енергії
4А2Т2соз2(лТ/)
л2(4Т2/2-І)2
Рекомендаціях використайте пару перетво-
рень Фур’є № 20 з таблиці Б.2.
4.1.5.	На практиці часто під шириною
спектра розуміють частотний інтервал,
у межах якого модуль спектральної густи-
ни не менший від деякого заданого рівня,
наприклад змінюється в межах від |5|твх до
0>1|>3|тах. Обчисліть ширину спектра імпульсу
8(0 = е*а'П(0, а>0.
Відповідь: Рп =1,584а.
228
4.1.6.	Розв’яжіть задачу 4.1.5, якщо 8(ґ) = А0е а>0.
4.1.7.	Розв’яжіть задачу 4.1.5 для гауссового імпульсу, тобто,
4.1.8.	На практиці часто тривалість імпульсів визначають
з умови десятикратного зменшення рівня сигналу. Визначити
тривалість імпульсу з(ґ) =	а > 0, тобто, розв’яжіть рів-
няння ехр(-ат.) = 0,1.
Відповідь: т. = 2,303/а.
4.1.9.	Розв’яжіть задачу 4.1.8, якщо 8(0 = Ао а > 0.
4.1.10.	Розв’яжіть задачу 4.1.8 для гауссового імпульсу,
тобто, 8(0 = е к1 .
4.1.11.	Знайти АКФ сигналів із задачі 4.1.1. Зобразити їхні
графіки.
4.1.12.	Знайти АКФ і навести її графік для гауссового ім-
пульсу
пі2
8(0 = —ехр
^0
Перетворення Фур’є деякого сигналу дорівнює |8іпс(/)|.
4.1.13.
Покажіть, що АКФ цього сигналу має
вигляд симетричного трикутника.
4.1.14.	Наведіть приклад двох таких
різних сигналів, щоб їхні АКФ цілком
співпадали.
4.1.15.	Знайти АКФ і побудувати
її графік для сигналу, наведеного на
рис. 4.16.
4.1.16. Для сигналів, розглянутих у прикладі 4.1.1, одержати
ВКФ в аналітичному вигляді.
4.1.17. Знайти ВКФ /?12(т) двох прямокутних імпульсів, наведе-
них нарис. 4.17, побудува-
ти графік. Що собою являє
ВКФ В21(т)?
4.1.18.	На рис. 4.18 на-
ведено графіки двох сиг-
налів. Знайти і побудува-
ти графік ВКФ Д21(т) цих
сигналів. Що являє собою
ВКФ Т?21(т)? Чи є ці сигна-
ли ортогональними? Дайте
обґрунтування відповіді на
кожне питання.
Рис. 4.17.
Рис. 4.18.
і
і
229
Задачі до підрозділу 4.2
4.2.1.	Обмежений у часі комплексний експо-
сР(Л
ненційний сигнал має вигляд:
8г(0 = Аехр(;27гГ0#)П|	]•
-2-1 0 1 2
Рис. 4.19.
Знайти спектральну густину середньої потужності Рис- 4-1у-
сигналу, якщо Т — скінченна величина. Що бу-
де, якщо Т -> оо?	/ ч
4.2.2.	На рис. 4.19 наведено графік спект-	\
ральної густини середньої потужності сигналу /	\
ЗІ скінченною середньою потужністю. Знайдіть 3}	і
середню потужність цього сигналу.	Рис. 4.20.
4.2.3.	Знайдіть АКФ обмеженого в часі ком-
плексно-експоненційного сигналу з задачі 4.2.1. До якої функції
прямує його АКФ, якщо Т —> оо?
4.2.4.	Знайти АКФ сигналу, спектральну густину середньої
потужності якого наведено на рис 4.20. Чому дорівнює значення
АКФ при т = 0?
Задачі до підрозділу 4.3
4.3.1.	Дано сигнал
з(і) = соз(2п^і +0Т) + Аз со8(2л/2£ +02).
1.	Знайдіть АКФ цього сигналу.
2.	Чому дорівнює значення /ЇДО)?
3.	Яку інформацію про сигнал було загублено при одержанні
АКФ?
4.3.2.	Знайдіть спектральну густину середньої потужності
й АКФ періодичної послідовності імпульсів прямокутної форми,
якщо один період її задано таким виразом:

А, -То/8< ї< Т0/8;
0, на частині періоду, що залишилася.
4.3.3.	Графік періодичного сигналу $1Д(£) наведено на рис. 4.21.
Знайдіть спектральну густину середньої потужності й АКФ цього
сигналу.
4.3.4.	Графік періодичного сигналу $2Д(0 наведено на рис, 4.21.
Знайдіть спектральну густину середньої потужності й АКФ цього
сигналу.
4.3.5.	Порівняти функції, що отримано при розв’язанні задач
4.3.3 і 4.3.4. Сформулювати відповідні висновки.
230
4.3.6.	Знайдіть спектральну гус-
тину середньої потужності й АКФ
сигналу ззя(і) рис. 4.21.
4.3.7.	Знайдіть спектральну гус-
тину середньої потужності й АКФ
сигналу 54Д(0> рис. 4.21.
4.3.8.	Порівняти функції, що от-
римано при розв’язанні задач 4.3.6
і 4.3.7. За результатами порівнян-
ня зробити висновки і обґрунту-
вати їх.
4.3.9.	Знайдіть ВКФ сигналів
і 82к(і)9 наведених на рис.
4.21.
4.3.10.	Знайдіть ВКФ сигналів
8зк(і) із4Д(і), наведених на рис.
4.21.
Рис. 4.21.
4.3.11.	Знайдіть ВКФ сигналів рис. 4.21 і со8(2лґ/Т0).
4.3.12.	Знайдіть ВКФ сигналів з1д(£) рис. 4.21 і 8Іп(2л^/Т0).
4.3.13.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.11 і 4.3.12.
4.3.14.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої
потужності сигналів $1Я(£) рис. 4.21 і со8(2ти/Т0).
4.3.15.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої
потужності сигналів рис. 4.21 і 8Іп(2л^/Т0).
4.3.16.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.14 і 4.3.15. Сформулюйте відповідні
висновки.
4.3.17.	Знайдіть ВКФ сигналів рис. 4.21 і г[со8(2ти/Т0)],
де г(х) — функція лінійного зростання (1.19).
4.3.18.	Знайдіть ВКФ сигналів рис. 4.21 і г|зіп(2л£/Т0)],
де г(х) — функція лінійного зростання (1.19).
4.3.19.	Порівняйте результати, що отримано при розв’язанні
задач 4.3.17 і 4.3.18.
4.3.20.	Знайдіть ВКФ сигналів $2Д(0 рис. 4.21 і со8(2ти/Т0).
4.3.21.	Знайдіть ВКФ сигналів з2Я(£) рис. 4.21 і зіп(2ти/Т0).
4.3.22.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, що отрима-
но при розв’язанні задач 4.3.20 і 4.3.21. Сформулюйте відповідні
висновки.
4.3.23.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої
потужності сигналів з2Д(ґ) рис. 4. 21 і со8(2л£/Т0).
231
4.3.24.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої
потужності сигналів 82К(1) рис. 4.21 і 8Іп(2ті^/Т0).
4.3.25.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, які отрима-
но при розв’язанні задач 4.3.23 і 4.3.24. Сформулюйте відповідні
висновки.
4.3.26.	Знайдіть ВКФ сигналів рис. 4.21 і г[со8(2л^/Т0)],
де г(х) — функція лінійного зростання (1.19).
4.3.27.	Знайдіть ВКФ сигналів з2Я(0 рис. 4.21 і г[зіп(2я^/Т0)],
де г(х) — функція лінійного зростання (1.19).
4.3.28.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.26 і 4.3.27. Сформулюйте відповідні
висновки.
4.3.29.	Знайдіть ВКФ сигналів з1я(ґ) рис. 4.21 і періодичної
послідовності дельта-функцій, якщо період цієї послідовності
дорівнює періоду сигналу з1я(0-
4.3.30.	Знайдіть ВКФ сигналів з2П(і) рис. 4.21 і періодичної
послідовності дельта-функцій, якщо період цієї послідовності
дорівнює періоду сигналу 82П(1).
4.3.31.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.29 і 4.3.30. Сформулюйте відповідні
висновки.
4.3.32.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої
потужності сигналів рис. 4.21 і періодичної послідовності
дельта-функцій, якщо період цієї послідовності дорівнює періоду
сигналу
4.3.33.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої по-
тужності сигналів 82К(і) рис. 4.21 і періодичної послідовності
дельта-функцій, якщо період цієї послідовності дорівнює періоду
сигналу 82Я(0-
4.3.34.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.32 і 4.3.33. Сформулюйте відповідні
висновки.
4.3.35.	Знайдіть ВКФ сигналів 8зп(і) рис. 4.21 і періодичної
послідовності дельта-функцій, якщо період цієї послідовності
дорівнює періоду сигналу 8зп(і).
4.3.36.	Знайдіть ВКФ сигналів 84П(і) рис. 4.21 і періодичної
послідовності дельта-функцій, якщо період цієї послідовності
дорівнює періоду сигналу з4Я(ґ).
4.3.37.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.35 і 4.3.36. Сформулюйте відповідні
висновки.
232
4.3.38.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої по-
тужності сигналів 8зп(і) рис. 4.21 і періодичної послідовності
дельта-функцій, якщо період цієї послідовності дорівнює періоду
сигналу 8ЗП(І).
4.3.39.	Знайдіть взаємну спектральну густину середньої по-
тужності сигналів 8ак(і) рис. 4.21 і періодичної послідовності
дельта-функцій, якщо період цієї послідовності дорівнює періоду
сигналу 8^к(і).
4.3.40.	Проведіть порівняльний аналіз результатів, отриманих
при розв’язанні задач 4.3.38 і 4.3.39. Сформулюйте відповідні
висновки.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1. Янке Е., Змде Ф., Леш Ф. Специальньїе функции.
Формульї, графики, таблицьі. —М.: Наука, 1968. —344 с.
2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник
по математике для инженеров и учащихся втузов. —М.:
Наука, 1980. —974 с.
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 4
Програма до прикладу 4.3
;/:= 0.95; д = (8іпргх]/(л х))2;
РІоі[д {х, 0, 3}, РІоїНапде -> {0, 1}, АхезЬаЬеІ -> {"Іт", ”6(І)/(3(0)”)1;
гуд
РІОІЇ2 * І	<7х, {у, 0, 3), РІоІРапде -> {0, 1}, АхезкаЬеІ -> {"Рут",
1 и$МасЬіпеЄр8іІоп
РіпсІКооі[2* І	дс/х == ?;, (у, 0.6)1
1 и$МасЬіпеЕр8іІоп	1
Перший оператор програми задає рівень, за яким знаходиться
активна ширина спектра (у даному випадку це 95% повної енергії
сигналу). Другий і третій оператори задають спектральну густину
енергії імпульсу прямокутної форми і забезпечують виведення нор-
мованого графіка, що неведений на рис 4.3, а). Нижня межа інте-
грування, замість 0 прийнята такою, що дорівнює МасїііпеЕрзіїоп,
де $МасЬіпеЕр8ІІоп=2.22045.10‘16 — найбільше додатне число, яке
при підсумовуванні з, наприклад 1, дає результат 1. Нарешті, два
останні оператори забезпечують виведення графіка рис. 4.3, б)
і розв’язання рівняння (4.18).
233
Розділ
ДИСКРЕТНІ І ЦИФРОВІ СИГНАЛИ
ТА МЕТОДИ ЇХ АНАЛІЗУ
Вступ
У попередніх розділах було розглянуто методи спектраль-
ного аналізу сигналів, область визначення та область прийманих
значень яких є незліченними множинами. У сучасній радіотехніці
і техніці зв’язку широкого застосування набули дискретні і особ-
ливо цифрові сигнали. Тенденція така, що вже у найближчому
майбутньому такі сигнали можуть суттєво потіснити неперервні
сигнали. Пов’язано це в першу чергу із широким розповсюджен-
ням комп’ютерної техніки, де цифрові сигнали відіграють най-
головнішу роль.
Дискретним у часі називають такий сигнал, який визначено
тільки в дискретні, відлікові моменти часу. Якщо значення сигна-
лу в ці відлікові моменти часу (відліки, вибіркові значення) потім
квантуються та кодуються, сигнал стає цифровим. Цифровий сиг-
нал одержують з аналогового за допомогою аналогово-цифрового
перетворення (АЦП). Слід зазначити, що в багатьох системах циф-
ровий сигнал непов’язаний з відліками з неперервного сигналу.
Прикладом можуть бути вихідні дані комп’ютера. Однак підхід,
коли дискретний сигнал формується з неперервного, дозволяє
пов’язати теорію, розглянуту в попередніх розділах, з теорією
дискретних і цифрових сигналів, яку ми почнемо розглядати
в цьому розділі і продовжимо в наступних.
Почнемо з дискретизації неперервних сигналів, з’ясуємо, як
вона відбивається на спектрі сигналу, що треба зробити, щоб при
переході від неперервних сигналів до дискретних не загубити ту
інформацію, яку містить неперервний сигнал. Тут важливу роль
234
відіграє теорема відліків*. Вона дозволяє встановити, як при
переході від неперервного сигналу до дискретного змінюється
спектр, що треба робити, щоб при цьому не загубити в більше
ніж допустимих межах інформацію, яку містить неперервний
сигнал, і т. д.
Перехід від дискретного сигналу до цифрового виконується
квантуванням на скінченну кількість рівнів. Ясно, що чим більше
рівнів квантування, тим ближче цифровий сигнал до дискретного.
Із зменшенням числа рівнів квантування збільшується похибка
АЦП. З’ясуємо, як обирати кількість рівнів квантування, щоб
похибка не перевищувала заданої.
У розділах 10, 11, 12, де розглянуті сигнали з імпульсною
і цифровою модуляцією, ми зосередимося на деяких прикладних
питаннях застосування дискретних та цифрових сигналів.
В цьому розділі ми також розглянемо апроксимацію рядів Фур’є
та інтегралів, за допомогою яких обчислюються коефіцієнти рядів
(їх детально розглянуто в попередніх розділах підручника), сумами
скінченної довжини. Це необхідно для того, щоб їх можна було
обчислювати чисельними методами. Таке зображення спектрів
сигналів за допомогою сум скінченних послідовностей називають
дискретним перетворенням Фур’є(ДПФ). Алгоритми швидкого
перетворення Фур’є (ШПФ) і Хартлі будуть розглянуті у розділі
26 четвертої частини.
Важливою частиною розділу є методи аналізу дискретних сиг-
налів і систем. Принциповим тут є г-перетворення, за допомогою
якого можна як знаходити параметри цифрових сигналів, так
і встановлювати зв’язок вхід-вихід цифрових систем і в часовій,
і в частотній областях. Розглянутий в цьому розділі математич-
ний апарат знадобиться нам далі для аналізу і синтезу цифрових
фільтрів.
Історія формулювання і доведення теореми відліків охоплює проміжок
часу понад 150 років. Так, інколи авторство загального формулювання цієї тео-
реми віддають Коші (1841 р.). У 20-і роки XX ст. основна ідея теореми відліків
була заново перевід крита Карсоном, Найквістом і Хартлі. Завдяки їх зусиллям,
теорема відліків стала наріжним каменем сучасної теорії зв’язку. Саме тому вели-
чину 1/(22г/тг) часто називають інтервалом Найквіста, а 2Ет — частотою Найквіста.
Теорему відліків пов’язують також з іменами Габора, Шеннона і Котельнікова.
235
5.1. Дискретизація та квантування
неперервних сигналів
Теорема відліків для сигналів з обмеженим спектром
у часовій області. Спектр відлікового сигналу
Досі ми розглядали неперервні в часі сигнали. Тепер звер-
немося до дискретних сигналів, тобто, до сигналів, визначених
своїми значеннями (відліками) лише в дискретні або вибіркові
моменти часу.
При аналітичному описі та аналізі таких сигналів важливу
роль відіграє теорема відліків. У цьому розділі ми розглянемо
випадок, коли дискретизації піддається сигнал з обмеженим спек-
тром. тобто, сигнал, що належить множині сигналів
00
3В(ГП)= х:Х(Л= р(0е’'2я"<И=0, \/\>Гп ,	(5.1)
-0°
де Х(/) <=> х(і); Рт — найвища частота в спектрі сигналу.
Теорема відліків для таких сигналів формулюється так:
8
Якщо неперервному сигналу $(ґ) відповідає спектраль-
на густина 5(/), до того ж 5(/) = 0 при \/\ > Рт і 8(/) не
має особливостей при |/| = Гт, то такий сигнал можна
визначити відліками миттєвих значень	причому
М<(2Рту\
Інакше кажучи, якщо
сигналу з(і) з обмеженим спек-
тром відповідає спектральна гус-
тина 8(/), і з нього беруть відліки
миттєвих значень з інтервалом часу
&і<(2РтУ' (рис. 5.1), то множина
цих миттєвих значень (відліків)
повністю характеризуватиме сигнал
з(£), тобто через точки, що нанесе-
Рис. 5.1.
но на нижньому графіку рис. 5.1, можна провести єдину непере-
рвну функцію часу, що має спектр 5(/), і цією функцією буде з(і).
А це означає ось що.
Якщо в будь-який спосіб передати відліки сигналу з(АДґ)
(множину чисел) по каналу зв’язку, то на приймальному кін-
ці можна однозначно відновити неперервний сигнал з(і).
236
У навчальній і науковій літературі, присвяченій аналізу сигналів
[2-5, 1—3 та інші], використовуються різноманітні підходи для
доведення теореми відліків. Ми зробимо обґрунтування висновків
теореми відліків у частотній області зображення сигналів.
Розглянемо схему рис. 5.2, за допо-
могою якої можна здійснити перехід від
неперервного сигналу до дискретного.
До помножувача надходять два коливання:
неперервний сигнал з обмеженим спектром
з(£) і періодична імпульсна послідовність зд(£)
з періодом Дґ. Результатом множення цих сигналів буде сигнал
зв(0, який є послідовністю імпульсів, модульованих сигналом з(£),
тобто таких імпульсів, які на інтервалі їх тривалості пропорційні
сигналу з(і), або, якщо імпульси послідовності 8^(1) мають одинич-
ну висоту, дорівнюють з(і) на інтервалі часу тривалості імпульсу.
Таким чином, зі зменшенням тривалості імпульсу висота імпульсів
послідовності зв(1) прямує до з(кАі). Функціонування схеми, що
розглядається, ілюструють три графіки в лівій частині рис. 5.3.
Кожному з трьох розглянутих сигналів поставимо у відповід-
ність його зображення в частотній області.
5В(/)

2ГИ 2Рт 2Рт 2Рт 2Рт 2Рт 2Р,
Рис. 5.3.
Нехай 8(1) <=> 5(/!). Функцію 3(/) зображено праворуч від сигна-
лу з(0- Зображення є умовним, але підкреслює, що сигнал має
обмежений спектр.
Коливання 8д(і) є періодичною послідовністю коротких імпуль-
сів. Отже, його можна подати за допомогою ряду Фур’є:
237
«д(')= ХС,г'2“'-‘. де г,=±.
П--0О
Коефіцієнти ряду Фур’є
м
1 2
сп=± \8^е~і2,1п,‘1^
2
Знайдемо спектр сигналу 8в(0, виразивши його через спектри
коливань 8(і) і 8д(ґ).
Як виходить з аналізу схеми рис. 5.2, відліковий (вибірковий,
дискретний) сигнал зв(ґ) дорівнює:
8,(0 = 8(0-8д(0 = Хз(1)Спеі2кп'-1.	(5.2)
Л = -оо
Нехай ав(0 о 5В(/). Тоді, згідно з прямим перетворенням
Фур’є
00
ЗД) = ^Юе^аі.
—□о
Підставимо до цієї формули замість зв(ґ) ряд (5.2) і змінимо
порядок інтегрування і підсумування.
5В(/) = | ^8(і)спе}2пп^е~і2к/,аі=^сп^8(і)е-і2кіГпГ‘}іаі.
—оо П = —<х>	п=-,х: _х
Інтеграл у правій частині цього виразу — це пряме перетво-
рення Фур’є
^з(і)е~і2кі/~пГ‘ *<іі = 8(/
—□о
Таким чином, одержано такий важливий аналітичний вираз:
5в(/)=Еад/-п/в).	(5.з)
Л=-оо
Якщо його проаналізувати, можна зробити такий висновок:
8
Спектр відлікового сигналу 5в(0 є спектром вихідного
неперервного сигналу помноженим на Со, плюс
копії спектра сигналу з(4), зміщені на частоти кожної
з гармонік періодичної послідовності	і помножені на ;
відповідний цій гармоніці коефіцієнт Сп ряду Фур’є. ‘
238
Це зображено на рис. 5.3.
Вище зазначалося, що імпульси періодичної послідовності зд(0
мають тривалість т « і, чим вона менша, тим ближче зв(0 до
Тоді послідовність зд(£) можна описати моделлю вигляду
X 8(*-пгЛ0 = Шде(0-	(5.4)
т=-«>
Функція (5.4) — у правій частині наведено її позначення — на-
зивається функцією відліків, дискретизації або функцією, яка
здійснює періодичне продовження. Походження останньої з назв
стане зрозумілим дещо пізніше (див. формулу (5.6)).
8
Відліковий (дискретний) сигнал, для одержання моделі
якого у формулі (5.2) як зд(0 використовується функ-
ція відліків (5.4), називається ідеальним відліковим
сигналом.
Вправа 5.1
Покажіть, скориставшись зв’язком спектрів періо-
дичних і неперіодичних сигналів та спектром дельта-функції,
що для функції відліків коефіцієнти Сп ряду Фур’є не залежать
від частоти, тобто, Сп = 1/\і = /в.
Підставимо це значення коефіцієнтів Сп = 1/Дґ до формули (5.3)
та одержимо спектр ідеального відлікового сигналу:
5в(/) = “Х-8(Г-п/в)-
Тепер можна записати таку пару перетворень Фур’є:
8(0ШД((0о^-Х5(/-п/в).
(5.5)
(5.6)
8
Спектр ідеального відлікового (дискретного) сигналу
є сумою нескінченної кількості складових, кожна з яких
є копією спектра вихідного неперервного сигналу з(ґ),
зміщеною по частоті одна відносно одної на частоту від-
ліків /в і помноженою на сталу величину 1/Д£ = /в.
З цього визначення, а також з аналізу графіків рис. 5.3
виходить, що проміжок між копіями спектра дорівнює /в - 2Рт
і копії спектрів не накладаються одна на одну, якщо /в - 2Рт > 0.
239
На рис. 5.4 наведено спектри вихідного неперервного сигналу та
ідеальних відлікових сигналів для трьох значень частоти відліків /в.
Рис. 5.4, а) ілюструє випадок /в - 2Рт > 0, рис 5.4, б) — граничний
випадок /в - 2Рт = 0 і рис. 5.4, в) — випадок /в - 2Рт < 0. На цих
самих рисунках перервними лініями зображено передатні функ-
ції ідеальних фільтрів нижніх частот із частотами зрізу /3 = /в/2.
Характеристики ідеальних фільтрів будуть розглянуті пізніше,
а зараз лише відмітимо, що такий ідеальний фільтр нижніх час-
тот без спотворень пропускає тільки ту частину спектра сигналу,
яка належить до діапазону частот |/| < /3.
~Рт 0 Рт
Рис. 5.4.

о Р
1 {/ о \1 /
-^-/в	27в
На трьох нижніх графіках наведено спектри сигналів на ви-
ході фільтра. Можна бачити, що у випадках, коли /в > 2Рт або
Дґ (2Рт)-1, а це саме те, що вимагається за теоремою відліків,
спектр сигналу на виході фільтра співпадає зі спектром вихідного
неперервного сигналу. У випадку, коли /в < 2Рт, копії спектрів
вихідного неперервного сигналу, що формують спектр дискретного
сигналу, перекриваються, накладаються одна на одну і відновити
за таким спектром вихідний неперервний сигнал вже неможливо.
Спектр сигналу на виході фільтра для цього випадку зображено
на рис. 5.4, в). Видно, що на відміну від попередніх випадків, він
не співпадає зі спектром вихідного сигналу.
8
	При виконанні вимог^теореми відліків /в > 2Рт або,
що те ж саме, Д£ (22?т)-1, процедура дискретизації сиг-
налів з обмеженим спектром не веде до втрати інфор-
мації, і вихідний сигнал може бути повністю відновлено
за відліковим сигналом.
240
	Граничне значення частоти відліків = коли
вихідний сигнал може бути повністю відновлено
за відліковим сигналом, називають частотою Най-
квіста.
Вправа 5.2
Знайдіть частоту Найквіста для двох сигналів: «*(£) =АП(£/т)
і 82(ґ) = АП(£/2т), якщо частоту Рт прийнято і в першому і в дру-
гому випадках такою, що дорівнює активній ширині спектра за
рівнем 0,95 енергії сигналу.
Розглянемо процес відновлення вихідного сигналу за відліковим
детальніше.
Відновлення неперервного сигналу з відлікового
(дискретного) сигналу
Як було сказано вище, відновити вихідний сигнал з(і) з об-
меженим спектром за відліковим сигналом зв(і) можна, якщо про-
пустити останній через відновлювальний ідеальний фільтр нижніх
частот з частотою зрізу /3, вищою, ніж частота Рт, але нижчою,
ніж частота їв~Рт- Очевидно, що за умови {в>2Рт цій вимозі
задовольняє значення /3 = 0,5/в. Крім того, якщо необхідно, щоб
відгук фільтра повторював сигнал з(і), треба, щоб АЧХ фільтра
у смузі його пропускання чисельно дорівнювала Аі.
Вправа 5.3
Покажіть необхідність виконання цієї вимоги для того,
щоб 8н(і) = з(і), де 8н(і) — сигнал на виході відновлювального
фільтра.
Таким чином, процес відновлення сигналу можна подати
за допомогою такої схеми.
8в(0 = 8(0Шд1(0
зв(0 =
к=-<п
Н(Л = «	' р	> V	Та- СО | Н* ьо | Н*
Зя(0 = 8(0
Рис. 5.5.
241
Знайдемо імпульсну характеристику цього фільтра*.
Відомо, що імпульсна характеристика лінійної системи зі ста-
лими параметрами пов’язана з її передатною функцією парою пе-
ретворень Фур’є. Пізніше ми розглянемо це питання докладніше,
а зараз запишемо для відновлювального фільтра
»	/в/2	А/
К(1)=\Н(Г)еі2пГі(1ї = № ^еі2пГ‘<і/ = ------(еік'*1 -є'™**
-/в/2
= Д і /в 8 іпс(/ві) = 8іпс(/ві).
(5.7)
Вправа 5.4
Отримайте імпульсну характеристику відновлювального
фільтра, скориставшись теоремою дуальності та відомим спектром
імпульсу прямокутної форми.
За визначенням імпульсної характеристики одразу виходить, що
відгук фільтра на імпульс, що надійшов на його вхід у момент часу
і = 0 (А == 0) дорівнює $(0)А(0 = 8(0)5іпс(/в0- Відгук на відлік з(АД^), що
надійшов на вхід фільтра, буде 8(к\і)1і(і - кі\ї) = 8(кАі)8іпс[/3(і - АДО].
Таким чином, відгук відновлювального фільтра на відліковий (дис-
кретний) сигнал можна подати за допомогою такого ряду:
= ]Г$(АД£) 8іпс[/в(і - АД£)]-	(5-8)
*=-00
8
	Ряд (5.8) можна інтерпретувати як розклад непере-
рвного сигналу 8(і) з обмеженим спектром в ряд Фур’є
за системою базисних функцій 8іпс[/в(1-кАі)]. Чудова
властивість цього ряду полягає в тому, що коефіцієнти
розкладу ряду Ск = з(АД/).
	Ряд (5.8) показує, що вихідний сигнал, який належить
до множини (5.1), можна відновити з дискретного сигналу
підсумовуванням функцій 8іпс[/в(1 - АДО], помножених
на миттєві значення сигналу у відлікових точках.
	Ряд (5.8) іноді називають рядом Котєльнікова.
Імпульсною характеристикою називають функцію яка є відгуком
системи на вхідний сигнал 5(і). Функцію £(і), яка є відгуком системи на вхідний
сигнал у вигляді одиничної функції Щі), називають перехідною характеристикою
системи. Саме так позначують ці обидві функції практично в усіх англомовних
підручниках, такі самі позначення використовує С. І. Баскаков[3]. І. С. Гоноровсь-
кий [2] імпульсну характеристику позначує £(і), а перехідну — Л(£)-
242
Рис. 5.6 ілюструє формування
вального фільтра:
1)	відгуком фільтра на кож-
ний відлік (вибірку) сигналу з(і)
є коливання, описувані функ-
ціями 8тс[/в(£-ЛД0], наведених
на рисунку;
2)	неперервний сигнал з(і)
одержуємо в результаті їх підсу-
мовування.
Теорема відліків дозволяє
обґрунтувати наступний метод
передачі на відстань неперервного
сигналу з обмеженим спектром.
сигналу на виході відновлю-
9
1)	На передавальному кінці лінії зв’язку одержати відлі-
ки з(к\і) сигналу $(£) в моменти часу ЙД£, причому з(к\і)
є деякі числові величини.
2)	Отримані числа в будь-який спосіб передати по лінії
зв’язку.
3)	На приймальному кінці лінії сформувати короткі
імпульси, висота яких пропорційна з(к\і).
4)	Послідовність цих імпульсів пропустити через фільтр
нижніх частот з частотою зрізу = 0,5/в.
5)	На виході фільтра одержати вихідний сигнал з(і).
Необхідно зауважити, що цей метод є ідеалізованим. Для
фізичних сигналів і реалізовних пристроїв їх обробки точне від-
новлення неперервного сигналу за відліками його миттєвих зна-
чень неможливе. Неминуче відновлений сигнал відрізнятиметься
від вихідного, тобто з’являється деяка похибка. Основні джерела
похибки при використанні теореми відліків є такі:
9
	Всі фізичні сигнали є фінітними і, отже, строго кажу-
чи, не є сигналами з обмеженим спектром. А це призво-
дить до того, що перекриття, накладання копій спектра
вихідного сигналу при формуванні спектра відлікового
сигналу неминуче, що спотворює відновлений сигнал.
	Реалізовний, тобто такий, що може бути створений при-
наймні теоретично, відновлювальний фільтр має АЧХ,
яка відрізняється від АЧХ ідеального фільтра (пізніше
ми детальніше розглянемо це питання).
243
	В реальних умовах дискретизація здійснюється не за
допомогою дельта-функцій, а за допомогою імпульсів
скінченної тривалості.
Шляхи зменшення похибок, що є неминучими при
використанні теореми відліків, очевидні.
0
Щоб зменшити похибку відновлення неперервного
сигналу з відлікового, необхідно:
	збільшувати частоту відліків (зменшувати інтервал
дискретизації Д£);
	зменшувати тривалість імпульсів, за допомогою яких
одержуються відлікові значення з(кМ).
Таким чином, на практиці завжди
/ > 2Рт- Звичайно частоту відліків /в беруть
приблизно в 10 разів вище від тієї частоти,
на якій амплітудний спектр сигналу $(£)
змінюється на -3 дБ відносно максимально-
го значення. Оскільки 201^0,707 = -3 дБ,
це відповідає спаду до значення 0,707 від-
носно максимального. Нарис. 5.7наведено
нормований до максимального значення
амплітудний спектр деякого сигналу
і відображено значення частоти 2Рт за рівнем -3 дБ. Частота /в
має бути приблизно в 10 разів більша за цю величину.
У більш загальному вигляді теорема відліків формулюється
іноді як теорема розмірності.
0
	Дійсний сигнал повністю визначається
#	= 2Г Т	(5.9)
т
незалежними відліками, які описують його на інтервалі
часу Т.
 Кажуть, що N — це розмірність (число ступенів свобо-
ди) сигналу або, інакше кажучи, розмірність простору,
в якому даний сигнал може бути однозначно поданим.
Розглянемо декілька прикладів. Перший приклад взятий
з книги [3].
244
Приклад 5.1
З неперервного сигналу з(і) = 6соз(2л5000 В беруть-
ся ідеальні відліки в одному випадку з частотою /В1 = 700 Гц,
а в другому — з частотою /в2 = 1400 Гц. Отримані дискретні сигнали
пропускаються через ідеальні фільтри нижніх частот з частотами
зрізу 0,5/в1 та 0,5/В2, відповідно. Необхідно визначити сигнали,
відновлені за допомогою фільтрації.
Розв'язання.
Найвища частота в спектрі вихідного сигналу Рт == 500 Гц.
Таким чином, у першому випадку /В1 = 700Гц < 2Р , у другому —
/В2 = 1400 Гц >2^.
Знайдемо спектр відлікового сигналу. Для цього спочатку запише-
мо спектр вихідного сигналу. Оскільки сигнал є парною функцією
часу, його спектральна густина є дійсною функцією частоти:
£(/) = 38(/- 500) + 38(/ + 500).	(5.10)
Згідно з (5.5) спектр відлікового сигналу, що розглядається
в прикладі, буде
П=-00
= 3/в£[3(/-500-п/в)+6(/ + 500-п/в)].	(5.11)
На рис. 5.8, а) наведе-
но графік спектральної
густини вихідного сигна-
лу. Як виходить з (5.10),
вага (константа, на яку
помножується кожна
дельта-функція) дорів-
нює 3.
На рис. 5.8, б) зобра-
жено спектр відлікового
сигналу у випадку, ко-
ли частота відліків до-
рівнює /В1 = 700 Гц, на
рис. 5.8, г) — те саме,
але у випадку, коли час-
тота відліків дорівнює
/В2 = 1400 Гц. Графіки
а)
8(/)
—1-----1--І—/,Гц
-500 0	500 7 4
б) Н=Лі 5в(Л
 х-. і.	. и..44 - {,гц
-1800-1200-600 0	600 1200 1800
5Н(/)
в) ________ш______/Ги
-200 о 200 ї’1 ц
г)
.......Т.СЇ, .................1	/.ГЦ
-1800 -1200 -600 0	600 1200 1800
д)	5„(Я
-500 0	500 ?’Гц
Рис. 5.8.
245
побудовано згідно з формулою (5.11) при підставлянні в неї
відповідного значення частоти відліків. З цієї самої формули
виходить, що вага кожної з дельта-функцій дорівнює 3/в, тобто,
З • 700 = 2100 на рис. 5.8, б) і 3 • 1400 = 4200 на рис. 5.8, г). На
цих самих рисунках перервними лініями показано АЧХ віднов-
лювальних фільтрів. Характеристики фільтрів вибрано згідно
зі схемою рис. 5.5. У першому випадку частота зрізу і значення
Н в діапазоні частот, що пропускає фільтр, дорівнюють 350 Гц
і 1/700, у другому випадку— 700 Гц і 1/1400, відповідно.
На рис. 5.8, в) і д) зображено спектральні густини 8Я(/)
коливань на виходах фільтрів: рис. 5.8, в) — випадок /В1 = 700 Гц
і на рис. 5.8, д) — випадок / = 1400 Гц. У першому випадку вага
дельта-функцій дорівнює 3 • /^//^ = 3, у другому — 3 • /^//^ = 3.
Таким чином, сигнал на виході фільтра і в першому, і в другому
випадках є синусоїдальне коливання з амплітудою 6В, що співпа-
дає зі значенням амплітуди вхідного сигналу 8(1). Однак частота
коливання на виході фільтра з частотою зрізу /В1 = 700 Гц < 2Рт
дорівнює 200 Гц замість 500, і спектри вихідного та відновленого
сигналів (рис 5.8, а) і 5.8, в)) суттєво відрізняються. У другому
випадку, коли /В2 = 1400 Гц > 2Рт, і частоти, і спектри (рис. 5.8, а)
і 5.8, г)) повністю співпадають. Перший з розглянутих випадків
ілюструє ефект накладання (перекриття) копій спектрів вихідного
сигналу при формуванні спектра відлікового сигналу.	Г~]
Вправа 5.5
Побудуйте графіки сигналів $(£), $в(0 і 8П(1) в часовій області
для двох значень частоти вибірок /В1 = 700 Гц і /В2 = 1400 Гц.
Вправа 5.6
За аналогією з тим, як це зроблено у прикладі 5.1, про-
аналізуйте випадок /В1 = 500 Гц = Рт.
Приклад 5.2 [2].
Одним з найважливіших
прикладних застосувань теореми
відліків є системи з імпульсною
модуляцією (аналізу і застосуван-
ню таких сигналів присвячений
розділ 10). Чудовою властивіс-
тю таких систем є те, що вони
246
дозволяють передавати одночасно декілька сигналів по одно-
му каналу із часовим ущільненням. На рис. 5.9 зображено
З послідовності імпульсних сигналів, одержаних відліками
з 3-х різних сигналів з обмеженим діапазоном частот Рт. Ці
сигнали можна розділити в часі і передати по одному каналу.
На приймальному кінці вони виділяються відповідним часовим
стробуванням і наступним відновленням за допомогою фільтра
нижніх частот. Звичайна система для передавання восьми мов-
них сигналів із часовим ущільненням може мати такі технічні
характеристики.
Спектр кожного з мовних сигналів обмежується зверху фільт-
ром нижніх частот |/| < 3,3 кГц. Для збереження інформації, що
міститься в цих сигналах, частота відліків не повинна бути нижчою
від частоти Найквіста 2 • 3,3 = 6,6 кГц. На практиці встановлюють
частоту відліків, вищу від цієї нижньої межі, тобто, / = 8 кГц
або Аґ = 125мкс. Це роблять для того, щоб створити запобіжну
смуту завширшки /в - 2Рт = 8 - 6,6 = 1,4 кГц. При наявності такої
запобіжної смуги спрощується розробка відновлювальних фільтрів
для приймачів, де така смуга використовується як перехідна зона
між смугою пропускання і смугою непрозорості реального фільтра
(див. вище обговорення джерел похибки при використанні теоре-
ми відліків і шляхів їх зменшення).
Кожен відлік перетворюється на імпульс відповідної ампліту-
ди тривалістю в декілька мікросекунд. Електронний перемикач
кожні 125/8 = 15,6 мкс послідовно вибирає відліки кожного
з 8 каналів. Результуючий сигнал є послідовністю імпульсів три-
валістю близько 5мкс і періодом проходження 15,6 мкс. Кожен вось-
мий імпульс відповідає певному мовному сигналу. Перед передачею
сигналу (звичайно методом частотної модуляції НсЧ — носійної
частоти) до нього підмішується синхронізуючий сигнал, наприк-
лад, синусоїдна напруга з частотою 64 кГц (з періодом 15,6 мкс)
і фіксованою фазою. На приймальному кінці одержаний сигнал
пропускається через формувальний фільтр з метою максимального
обмеження смуги частот. Потім за допомогою електронного пере-
микача, аналогічно до того, який використовується на передаваль-
ному кінці каналу, виділяються 8 імпульсних послідовностей, що
відповідають 8 мовним сигналам. Ці послідовності подаються на
входи 8 ідентичних відновлювальних фільтрів, на виходах яких
одержують 8 неперервних мовних сигналів.	| |
У цьому прикладі розглянуто найпростішу систему АІМ
(амплітудно-імпульсна модуляція). Нижче (розділи 10, 11) роз-
глянемо й інші види імпульсної модуляції.
247
Теорема відліків у частотній області
Ця теорема є дуальною до теореми відліків у часовій області.
Вона дозволяє обрати інтервал дискретизації А/ спектра фінітного
сигналу, виходячи з його тривалості Т3. Теорема стверджує:
8
Спектр 5(/) фінішного сигналу тривалістю Т3 повністю
визначається своїми дискретними значеннями (відліками)
8(йА/), що беруться з інтервалом частоти А/ < 1/Т3.
Це ствердження забезпечує можливість апроксимації на
нескінченному інтервалі частот з нульовою середньоквадратич-
ною похибкою спектрів фінітних сигналів рядом, що є подібним
до ряду (5.8):
«(/)=£«(* А/) 5іпс[Т3(/-ЛД/)], Д/<1/Т3. (5.12)
й=-00
Особливістю дискретизації спектра 5(/) = | £(/) | е7ф(/) є його ком-
плексність, яка потребує, щоб у кожній відліковій точці визначи-
лися два параметри: модуль |5(йА/)| і фаза ф(йА/) (або Ке[5(йА/)]
та Іт[3(/гА/)]). Проте, це не потребує подвоєння обсягу вибірки,
оскільки можна обійтися відліками лише в області позитивних
частот.
Вправа 5.7
Обґрунтуйте слушність останнього твердження.
Приклад 5.3
Теорема відліків у частотній області дозволяє дати тлу-
мачення ряду Фур’є і зв’язку спектрів поодинокого імпульсного
сигналу та періодичної послідовності таких імпульсів, яке відріз-
няється від того тлумачення, яке запроваджене у розділі 3.
Періодичний сигнал зя(і) можна зобразити у вигляді згортки:
5д(0 = М0®х(0,	(5.13)
де — сигнал обмеженої тривалості, тобто такий, що належить
множині (1.39)
в	0<^<т0,
0 для усіх інших значень і;
То — період проходження сигналу 8я(і);
х(і) — періодична послідовність одиничних імпульсних функцій.
248
На рис. 5.10, а) наведено графічну ілюстрацію рівності
(5.13).
Рис. 5.10.
Згідно з теоремою згортки,
5д(/) = 8р(/)Х(/),	(5.14)
де 5Д(/) «	5Р(/)« М0, Х(/) о х(ґ).
Процес, описаний рівністю (5.14), відображено графіком на
рис. 5.10, б). У цьому випадку Х(/) і 5Я(/) є послідовності дель-
та-функцій, але у першому випадку площа під кожною з дель-
та-функцій однакова і дорівнює І/Т* , тоді як у другому випадку
площа є пропорційною значенням 5В(/) на відповідній частоті.
Можна записати:
п=-00
(5.15)
За допомогою оберненого перетворення Фур’є можна відновити
періодичний сигнал зя(0:
4[7ї4гМ/’г]к'''<'/'=
-00 10 л=-°о	/0 ) к 10 /
= 1 у 5її 1Л/ =- У 8В Г А.
гр \ т ]	• 7і І ‘ Т7 в І 7і
20«=-°°	у-оо	)	20 п=-<х>
З аналізу отриманого виразу випливає, що періодичну функцію
часу можна подати у вигляді суми комплексних експонент, а це
є не що інше, як ряд Фур’є у комплексно-експоненційній формі,
розглянутий у підрозділі 3.1
249
^=^Спеі2^, /Г = 1/То,
п~-х
у якого коефіцієнти Сп пропорційні значенням спектральної гус-
тини поодинокого фінітного сигналу, заданого на інтервалі часу,
що дорівнює періоду То, тобто,
С„	=	(5-16)
Зауважимо, що формула (5.16) співпадає з формулою (3.52),
яка встановлює зв’язок спектрів поодинокого імпульсного сигналу
і періодичної послідовності таких імпульсних сигналів.
Нарешті, якщо записати
5В(Л =	) 8В(О
-00	0
з (5.16) отримаємо
С = —
п ГТ1	'
20 0
Це є вже відома нам формула, що визначає коефіцієнти ряду
Фур’є (3.19). Ми отримали її раніше іншим способом.
Отже, можна зробити такий висновок:
8
Отримані у підрозділі 3.1 вирази для ряду Фур’є є пооди-
ноким випадком перетворення Фур’є.
Аналого-цифрове перетворення сигналів
На рис. 5.11 наведено функціональну схему аналого-циф-
рового перетворювача (АЦП), яка пояснює перетворення неперер-
вного сигналу з(1) в цифровий сигнал 8а(пЛЇ).
Рис. 5.11.
250
У першому блоці АЦП здійснюється операція одержання від-
ліків миттєвих значень сигналу з(і) в моменти часу пЛ£, тобто,
відлікового (дискретного) сигналу. Інтервал дискретизації Лі (час-
тота відліків) обирається згідно з теоремою відліків. На виході
цього блоку одержуємо сигнал $в(ґ) = 8(пЛі), що є дискретним
в часі і неперервний за ділянкою прийманих значень.
У другому блоці АЦП здійснюється квантування дискретно-
го сигналу, тобто відображення значень відліків на скінченну
кількість значень так, що кожне з них може бути представлене
цифровим словом скінченної довжини. У блоці кодування здійс-
нюється прив’язка кожного квантованого значення відліку її(пЛі)
до деякого числа. В результаті на виході маємо цифровий сигнал
8а(пЛі), що вже дискретний і в часі, і за ділянкою прийманих
значень. Для того, щоб цей цифровий сигнал можна було розгля-
дати як цифровий еквівалент вихідного, неперервного сигналу
8(і), необхідно не лише вірно вибрати інтервал дискретизації Лі
(це дозволяє забезпечити теорема відліків), але й визначити кіль-
кість рівнів квантування.
Квантування відліків сиг-
налу — це віднесення їх до
найближчого з деякої множи-
ни обраних рівнів, а разом з
кодуванням — подання кож-
ного з квантованих значень
у вигляді цифрового слова.
Процедуру квантування і ко-
дування відлікових значень
сигналу ілюструє рис. 5.12.
Кількість рівнів кванту-
вання 7 і довжина цифрово-
го слова п пов’язані рівністю
Рис. 5.12.
7 = 2". Наприклад, на рис. 5.12 подано 12 рівнів квантування,
кожен з яких однозначно визначається чотирибітовим словом
кодованого виходу.
Оскільки при квантуванні здійснюється перехід від справжнього
значення відліку до деякого дискретного, квантованого, поблизу
якого розміщене справжнє значення, з’являється похибка, яку не
можна усунути в процесі будь-якої додаткової обробки сигналу.
Знайдемо величину цієї похибки.
Нехай А — відстань між двома сусідніми рівнями квантуван-
ня (ширина коридора квантування). Тоді максимальне значення
помилки квантування становить ± Л/2. Звичайно кількість рівнів
251
квантування д велика, отже, Л — величина мала порівняно з діа-
пазоном можливих значень дискретного сигналу зв(0* Тоді для
більшості рівнів квантування можна вважати, що між рівнями
(в межах коридора квантування) сигнал з(£) змінюється приблиз-
но за лінійним законом. Якщо знехтувати похибками, що вини-
кають при одержанні відліків (як було показано вище, для цього
необхідно обрати частоту відліків /в > 2Рт), похибку квантування
відліків можна оцінити, знайшовши похибку квантування непе-
рервного сигналу з(£).
На рис. 5.13 наведено пояснювальні графіки. Тут 2іг —
інтервал часу, протягом якого сигнал з(1) перебуває між двома
сусідніми рівнями (рис. 5.13, а)). На рис. 5.13, б) зображено,
як на цьому інтервалі часу змінюється похибка квантування
а на рис. 5.13, в) — квадрат похибки квантування.
Знайдемо потужність похибки квантування є(^).

Л
2Л
2 Л2
І2(іі = —
12
(5.17)
Таким чином, у передбаченні, що
в межах одного інтервалу квантування 8(ґ)
змінюється за лінійним законом, потуж-
ність помилки квантування або, інакше
кажучи, потужність шуму квантування
не залежить від
Однією з характеристик АЦП, що часто
використовується на практиці, є відношення
сигнал/шум (С/Ш, в англомовній літературі
ця величина позначується 8ЬШ або 8/ЬЇ),
яка дорівнює відношенню потужності сиг-
налу до потужності шуму. Щоб обчислити
значення цієї величини, визначимо спочатку
ще одну важливу характеристику будь-якого
АЦП — його динамічний діапазон £>, тобто
діапазон змінювання вхідного сигналу:
О = тах[8(0] ” тіп[8(0].
Тоді відстань між сусідніми рівнями квантування Л = — = 02 п.
Підставивши це значення в (5.17), одержимо:
п2
Р£ =—22п
є 12
(5.18)
252
Нарешті, поділивши потужність сигналу на цю величину, одер-
жимо С/Ш. В розрахунках здебільшого приймають, що потужність
сигналу на виході АЦП дорівнює потужності сигналу на вході,
тобто помилка квантування при правильному виборі характери-
стик АЦП нехтовно мала і відсутні відмінності між відліковим
(дискретним) і цифровим (квантованим) сигналами.
Слід, однак, зазначити, що формула (5.17) спрощена і не завжди
забезпечує вірний результат навіть у випадку, коли число рівнів
квантування велике. Якщо сигнал має екстремуми у будь-яких
певних інтервалах (наприклад, як на рис. 5.12), рівність (5.17)
ігнорує похибку, яка вноситься в значення екстремумів.
в
Вплив шуму квантування залежить від характеру вихід- <
ного сигналу і призначення системи зв’язку.
	32 рівні вважаються достатніми для передачі мови ।
з якістю, що задовольняє більшості застосувань. Однак 5
мова зберігає розбірливість навіть при двох рівнях, й така І
*кліпована* мова має у відношенні розбірливості навіть
деякі переваги, особливо в зашумлених приміщеннях ;
(салон автомобіля, кабіна літака).
	Для високоякісного відтворення музики потрібно не мен-
ше 128 рівнів.
Випишемо ще декілька корисних для обчислення систем
передачі інформації формул, які знадобляться при розгляді сиг-
налів та систем з імпульсною модуляцією у розділі 10.
Очевидно, що швидкість передачі інформації по каналу зв’язку
в бітах за секунду дорівнює
Я=р	(5.19)
де п — довжина цифрового слова в бітах, а Т — тривалість переда-
ваного сигналу. Якщо ^ = 2п — кількість рівнів квантування АЦП,
то швидкість передачі інформації по каналу зв’язку в словах за
секунду дорівнює
^= — = 7^—-	(5.20)
п 1ое2д
#	N
Згідно з теоремою розмірності (5.9), Р„ = ——, але — = Я№. Тут
А 2	1
N — кількість цифрових слів, що описують сигнал з(і) на інтер-
валі часу Т. Тоді потрібну для забезпечення заданої швидкості
передачі інформації смугу частот системи зв’язку можна оцінити
за формулою
253
р =
т 2 2п
(5.21)
Приклад 5.4
Знайдемо С/Ш аналого-цифрового перетворювання
сигналу з(1) = А0соз2л/0ґ.
Розв’язання.
Середня потужність сигналу на вході АЦП
1 гг	АІ
Р = -Г(А0со82п/002^=^
* о	&
Динамічний діапазон АЦП дорівнює 2А0. Потужність шуму
квантування знайдемо за формулою (5.18):
р =	2~2я = о~2л _ .+
£	12	12 З
Тепер можна знайти С/Ш:
С/Ш= —= А/222" =-22п.
РЕ А2/3	2
Отриманий результат виразимо у децибелах:
З
10І£(С/Ш) = 10І£—+ 20п 1^2 = 1,76 + 6,02п, дБ. (5.22)
2
Вправа 5.8
---- Сигнал з(і) = 5соз(100л0 + 10со8(500л£) подається на вхід
АЦП.
Визначити, як залежить О і С/Ш від довжини п цифрового
слова.
Побудуйте графік залежності 101&(С/ПІ) від п. На цей самий
графік нанесіть залежність (5.22).
Проаналізуйте отриманий результат.
Результати, одержані у прикладі 5.4, у вправі 5.8 і при розв’я-
занні задач 5.1.13-5.1.16, дозволяють зробити такі висновки:
254
5
	Залежність 101е(С/Ш) = а + 6,02п (для синусоїдного і
коливання а = 1,76) справедлива для будь-якого сиг- •
налу. Від виду сигналу залежить лише величина кое- І
фіцієнтаа.
	Навіть мале збільшення довжини п цифрового слова
призводить до істотного збільшення С/Ш на виході АЦП. ї
Долучення одного біта (двійкового розряду) збільшує С/Ш І
приблизно на 6 дБ.
5.2. Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ)
У цьому розділі розглянемо чисельний метод, який
покладено в основу обчислення перетворення Фур’є за допомо-
гою ЕОМ.
Пряме та обернене дискретне перетворення Фур’є
Задано сигнал (рис. 5.14), необхідно знайти його
спектральну густину. Виділимо інтервал часу [£р £2], на якому
зосереджена переважна частина його енергії (це може бути,
наприклад, активна тривалість сигналу за рівнем 0,95 - 0,99 його
повної енергії (див. розділ 4.1).
Розкладемо цей вже обмежений в часі сигнал в експоненціаль-
ний ряд Фур’є на інтервалі часу Т = і2 - ґР
М0=
Л--ЗС
Як виходить з четвертої влас-
тивості ряду Фур’є (розділ 3.1), як-
що функцію задано на скінченному
інтервалі часу Т = і2 - і19 Фур’є
збігається до з(і) на інтервалі [^р £2],
поза цим інтервалом він збігається
до сигналу, який періодично про-
довжує сигнал 8(ґ). Таким чином,
ряд (5.23) відтворює періодичний
з періодом Т сигнал	Цей сигнал
зображено на рис. 5.14. (виділено
той фрагмент сигналу, який повто-
рює з(ґ) на інтервалі [ґр £2]).
Коефіцієнти ряду знайдемо за
формулою
Г= і2- іг
N відліків: к= 0,1, ...» N-1
Рис. 5.14.
255
•І *2
сп =— $8(і)е-ігяп''*сІі,	(5.24)
де - 1/Т; коефіцієнти Сп у загальному випадку є комплексними
величинами.
Приймемо, що сигнал з(ґ) є сигналом з обмеженим спектром
і перейдемо до відлікового сигналу зв(0« За теоремою відліків
оберемо частоту відліків /в > 2Рт або Д£ < (2Гт)-1. На інтервалі
[£р М, очевидно, розміститься N = Т/Аі відліків. Таким чином,
зв(0 = 8(АДґ), А = 0, 1, ..., N - 1, як і зображено на рис. 5.14.
Підставимо в (5.24) з3(і) = з(кАі). Оскільки відліковий сигнал
визначено лише в моменти часу АДґ, змінну ґ замінимо на АД£,
сіі замінимо на Аі = Т/1Я, а операцію інтегрування — на операцію
підсумовування. Одержимо:
і N-1
Сп=^з(.Ш)е-і2япШ/Т
АГ"
1 ЛГ-1
= — У 8(кМ)е~іг*пкІ\ п = 0, 1, ..., АГ-1.	(5.25)
АГ"
Можна показати, що (5.25) є наближеним значенням (5.24),
якщо для чисельного інтегрування використати метод прямо-
кутників.
Позначимо зк = з(/гА£) і для зручності домножимо праву час-
тину (5.25) на N. Формулу, що отримано, називають формулою
прямого дискретного перетворення Фур’є:
£4 -і—пк
Сп = ^зке ” , п = 0,1....N-1.	(5.26)
к=0
Формулу оберненого дискретного перетворення Фур’є запише-
мо, скориставшись властивостями симетрії (дуальності) прямого
та оберненого перетворень Фур’є.
1 У-1 ,^пІІ
8к=^сп^ • Л = О,1,...,АГ-1.	(5.27)
™ п=0
Тут множник 1/И введено, щоб компенсувати те, що в (5.26)
ми його усунули.
Переконаємося в тому, що (5.26) і (5.27) дійсно створюють
пару перетворення Фур’є. Для цього в (5.27) підставимо (5.26).
Якщо формули (5.26) і (5.27) утворюють пару перетворень Фур’є,
в результаті такої підстановки ми одержимо тотожність зк = 8к.
256
1 ЛГ-1 І2ппь 1 ЛГ-1/N-1	{2п,
ЇУ п=0	л=0І 1=0
%пк 1	&-0
е л' =£\ЛЕе • (5.28)
1=0 ІУ п=0
(5.29)
V 7
п=0
Знайдемо значення внутрішньої суми:
»£еі>-и=»£е, [>»]”.
п=0	п=0
У правій частині (5.29) стоїть сума членів геометричної
прогресії, яку знаходимо за відомою формулою:
лг-і і
Ухп = ^-^.
^0	1-х
Тепер (5.29) можна записати так:
- г’’г 1л і _р;2*(*-г)
, ,  =0,	к*1.
.2к(к-1)	’
1-е *
Цей результат випливає з того, що е>2п<*-'> •= 1. У випадку к = І
одержуємо невизначеність типу 0/0, тому, суму знайдемо безпосе-
редньо з (5.29). Очевидно, що при к = 1 всі експоненти дорівнюють
1 і, отже,
п=0
к = 1\ хгя
0, к*1\	‘
де 8М — так званий кронекерів символ (5И = 1, якщо к = І, і 8М = 0,
якщо к І).
Підставимо отримане значення суми до (5.28):
&Ц1 і ЛМ у2^(Л.()
8* = ІТ78<2>
1=0 2У п=0
і N-1
= Т7	= 8л*
N м
Тотожність виконується, отже, формули (5.26) і (5.27) дійсно
становлять пару перетворень Фур’є.
	Формула
?<-і	-і2"-*
С„ = £з*е * , п = 0,1.ЛГ-1
*=о
дозволяє знайти апроксимацію спектра неперервно-
го сигналу з(ґ) за скінченною кількістю його відліків
= в(АДґ), к = 0,1,... N - 1, і називається формулою пря-
мого дискретного перетворення Фур’є (ПДПФ).
257
	Формула
1 N1 ;^пк
’ * = О,1,...,ЛГ-1
™ п=0
забезпечує апроксимацію неперервного сигналу з(і) за ві-
домими значеннями коефіцієнтів Сл, які відповідають
N гармонікам, що містяться в спектрі сигналу $(£)-
Ця формула називається формулою оберненого дискрет-

ного перетворення Фур’є (ОДПФ).
ДПФ має властивості, що є дискретними аналогами вла-
стивостей перетворення Фур’є.
1.	ПДПФ і ОДПФ, за винятком множника 1/.У, є еквівален-
тними операторами, тобто, алгоритми їх обчислення однакові,
що й стало, по-перше, вирішальним чинником широкого викори-
стання ДПФ у спектральному аналізі сигналів на ЕОМ і, по-друге,
призвело до появи ефективних алгоритмів такого аналізу, відомих
як алгоритми швидкого перетворення Фур’є (ШПФ).
2.	ДПФ є лінійним перетворення, отже, сумі сигналів відпові-
дає сума їх ДПФ.
3.	Число різних коефіцієнтів СП дорівнює кількості N відліків
сигналу в(і) і Сх = Со.
х-і
4.	Коефіцієнт Со дорівнює X8*'
к-0
N-1
5.	Якщо N — парне число, то Ск/2 =
к=0
6.	Якщо 8к — дійсні числа, то коефіцієнти ДПФ, номери яких
симетричні відносно N/2, утворюють спряжені пари, тобто,
^N-/1
Ця властивість дозволяє розглядати коефіцієнти С^2 +1,
як відповідні від'ємним частотам і при аналізі амплітудного спек-
тра вони не несуть ніякої додаткової інформації про сигнал.
ДПФ і ряди Фур’є. Похибки, що виникають
при використанні ДПФ
Метод ДПФ є чисельним наближеним методом спектрально-
го аналізу, що реалізується за допомогою спеціальних алгоритмів
і програм на ЕОМ. Тому важливо встановити, в чому проявляються
відмінності результатів застосування ДПФ від результатів звичай-
258
ного перетворення Фур’є, і що треба зробити, щоб ці відмінності
звести до мінімуму.
Як було зазначено у попередніх розділах, ряди Фур’є визнача-
ють неперервний періодичний сигнал, що існує на нескінченному
інтервалі часу — оо < і < оо, і його лінійчастий спектр у загальному
випадку займає діапазон частот -оо < / < оо. ДПФ описує скінченну
кількість відліків на скінченному інтервалі часу 0 < кТ^ < Т,
і лінійчастий спектр, що одержується, обмежений смугою
0 < п/М < Ії/Т, хоч формули (5.26) і (5.27) періодично повторюють
•	•	(. .2л,
кожні N точок згідно з ехрІ±у—кпі.
Розглянемо на прикладі явища, викликані переходом від непе-
рервного сигналу до дискретного і кінцевим часом спостережен-
ня, а також їхній вплив на апроксимацію перетворення Фур’є за
допомогою ДПФ. Тут нам будуть потрібні результати, одержані
в розділах 3 і 4.
Приклад 5.5
--- Розглянемо сигнал вигляду
в(О = ехр| —— ],
якому відповідає спектральна густина
(5.30)
(5.31)
«(/) =
2т
1+(2л/т)2
Графіки цих функцій наведено на рис. 5.15, а).
Розв’язання.
Оскільки ми будемо розглядати дискретний сигнал, помно-
00
жимо з(і) на функцію відліків (5.4), тобто, на 8^1) = ^&(і-пгАІ).
т=-<х>
В результаті одержимо ідеальний відліковий сигнал
5в(0 = 5д(*)ех
Спектр відлікового сигналу пов’язаний зі спектром вихідного
сигналу співвідношенням (5.5). Підставивши в цю формулу спектр
(5.81), одержуємо
5в(Л = ^-£5(/-п/в) = 5ї{1+[М/-"/в)]2}’1.
И--0О	л = -00 *	-*
259
1
-з
Рис. 6.15.
Відліковий сигнал і його спектр зображено на рис. 5.15, б) для
випадку /в = 1/Аі = 1.
Далі, при розрахунках ДПФ використовується тільки фрагмент
сигналу «(і) тривалістю Т секунд. Це означає, що сигнал з(і) тре-
ба помножити на вагову функцію П(і/Г) або, кажуть, пропусти-
ти його через часове вікно П(£/Т). Операції множення сигналу
з(і) на вагову функцію в частотній області відповідає згортка
функції 5В(/) з перетворенням Фур’є вагової функції. Оскільки
П(ї/Г) <=>Т8іпс(/Т), одержуємо, що спектральна густина зва-
женого (пропущеного через вікно) сигналу буде
=	£{1 + [2лт(/-п/в)]2}’1®Т5іпс(/7’).
На рис. 5.15, в) штриховою лінією зображено вікно (вагову фун-
кцію), відліковий зважений сигнал і відповідний йому спектр.
Нарешті, результатом ДПФ є відліки спектральної густини
5ВВ(Л на дискретній множині частот, які відповідають інтервалу
спостереження (ширині вікна), тобто 1/Т. В результаті одержуємо
відлікову спектральну густину 5вр(/). З властивостей перетворен-
ня Фур’є випливає, що цій операції відповідає згортка в часовій
області з послідовністю дельта-функцій, бо
Т £ 5(ґ-/пТ)о ^(/-пТ-1).
260
Далі, з властивостей дельта-функцій випливає, що згортка — це
періодична послідовність відліків $вр(0 у часовій області. Результую-
чий відліковий сигнал та його спектр наведено на рис. 5.15, г).
Підводячи підсумки, можна зазначити, що ДПФ завжди
містить три послідовно виконувані операції.
е
1.	Перехід від неперервного сигналу до дискретного
(або цифрового).
2.	Зважування отриманого відлікового сигналу (пропус-
кання його через відповідне вікно). Ця процедура вирізає
сигналу зв(і) фрагмент скінченної тривалості.
3.	Перехід до відліків спектральної густини дискретно-
го, зважуваного сигналу, що в часовій області веде до
отримання періодичного відлікового сигналу.
Кожен з перелічених кроків виконання ДПФ веде до
похибок апроксимації спектральної густини (ПДПФ) і до похи-
бок апроксимації неперервного сигналу за відомим ДПФ (ОДПФ).
Проаналізуємо похибки, що вносяться на кожному кроці ДПФ,
що дозволить визначити шляхи їх зменшення.
Спектр відлікового сигналу, як відомо, є суперпозиція копій
спектрів вихідного неперервного сигналу, зміщених один від-
носно одного на частоту, з якою здійснюється дискретизація.
Неминуче перекриття, накладання копій спектрів (рис. 5.15, б))
призводить до похибки перекриття спектрів (в англомовній
літературі — аііазіпз).
Пропускання відлікового сигналу через вікно в часовій об-
ласті призводить до згортки спектральної густини цього сигналу
з перетворенням Фур’є вікна, що ілюструє рис. 5.15, в). Таким
чином, значення спектральної густини зваженого відлікового
сигналу на даній частоті одержується в результаті інтегрування
всіх компонентів спектра сигналу після проходження вікна з ва-
гою, яка дорівнює перетворенню Фур’є від прямокутного вікна.
Це призводить до того, що відносно потужні компоненти періодич-
ної Спектральної густини, зображеної на рис. 5.15, б), наприклад
на частоті / = 1 Гц, можуть вплинути на значення спектральної
густини сигналу, що пройшов вікно, на деякій іншій частоті,
нагіриклад, на частоті /==0,5Гц. Це явище називається ефек-
том просочування (в англомовній літературі — Іеакаде е^есі),
який підкреслює той факт, що енергія спектральних складових
внаслідок зважування (пропускання через вікно) «просочується»
з однієї частоти на іншу.
261
Нарешті, ефект «частоколу* (ріскеі-{епсе еНесі), який під-
креслює той факт, що спектр відлікового, зрізаного вікном сигналу
виглядає як множина значень спектральної густини на дискретній
множині частот. Графіки рис. 5.15, г) наочно демонструють прояв
ефекту «частоколу» у вигляді дискретних компонент і значень, які
дорівнюють нулю, між ними, наприклад, на частоті / = 0,375 Гц,
тоді, як у спектрах відлікового сигналу і зрізаному вікном сигналу
(рис. 5.15, б) і в)) на цій частоті значення спектральних густин
відмінні від нуля.
Всі перелічені ефекти, що вносять похибки в ДПФ, присутні
завжди. Для мінімізації впливу ефектів перекриття, просочування
і «частоколу» існують різні шляхи. їх зведено в таблицю:
Проблема	Можливі шляхи усунення
1. Збільшення похибки апроксимації через пере- криття спектрів	1. Збільшення частоти відліків 2. Попередня фільтрація сигналу з метою мінімізації (ослаблення) високочастотних компонент
2. Спотворення спектра, що викликано впливом ефекту просочування	3.	Збільшення ширини вікна за рахунок збільшення кількості N точок ДПФ 4.	Використання віконних функцій, перетворення Фур’є яких має низь- кий рівень бічних пелюсток (вікна Бартлетта, Хеннінга, Хеммінга та ін. [2, 4, 5], деякі з них буде розглянуто нижче) 5.	Якщо в сигналі присутні потужні періодичні компоненти, обмежити їх, перш ніж пропускати через вікно
3. Вплив ефекту «частоко- лу», внаслідок дії якого деякі, можливо важливі, спектральні компоненти можуть бути загублені	6. Збільшити кількість точок ДПФ, зберігаючи фіксовану частоту від- ліків. Це розміщує відліки спек- тральної густини тісніше один до одного 7. Якщо тривалість досліджуваного сигналу обмежена, доповнити мно- жину точок ДПФ точками-нулями (заповнення нулями — гего расі(ііп,£)
□
262
Хоч метод ДПФ є чисельним і розроблений, як і всі його піз-
ніші модифікації, спеціально для обчислень з використанням
комп’ютерів, розглянемо приклад обчислення ДПФ за допомо-
гою олівця та паперу.
Приклад 5.6
Дискретний сигнал подано відліками
{зД = (0,1, 2, 3, 2,1,0, 0).
Знайти коефіцієнти ДПФ цього сигналу.
Розв’язання.
Для обчислення коефіцієнтів ДПФ скористаємося форму-
лою ПДПФ (5.26). В нашому випадку N = 8. Тоді
7 .ж .
-]—пк
С.-Яье « , п = 0,1, ...,7.
Л=0
Со =	= 9»
к=0
С1 =Іле =0+е>і +2е'2 +3е’'т +2е~/я +е"'7 +0+0=
к=0
=-—(3+2>/2) - у—(3+2>/2)=-4,121 -/4,121.
2	2
При одержанні цього результату використано теорему Ейлера
(див. формулу ( А.1)).
Аналогічно обчислюються й наступні коефіцієнти ДПФ.
С2 =/, С3 = 0,121-/0,121, С4=-1.
Решту коефіцієнтів знайдемо, скориставшись властивостями
ДПФ, а саме властивістю 6:
С5 =С3 =0,1214-/0,121, С6=С2*=-/, С7=С; =-4,1214-/4,121.
Таким чином, по 8-ми відліках сигналу знайдено сталу складову
й комплексні коефіцієнти ряду Фур’є 1-ї, 2-ї, 3-ї і 4-ї гармонік.
263
При будь-якому парному N число гармонік сигналу, які
можна знайти за допомогою ДПФ, дорівнює половині
числа відліків, тобто N/2. Цей висновок безпосередньо
випливає з теореми відліків (див, наприклад, [3]).
На рис. 5.16, а) наведено спектр модулів комплексних ко-
ефіцієнтів ряду Фур’є для невід’ємних частот (див. 6-у властивість
ДПФ). Рисунок наочно демонструє вплив ефекту «частоколу»: спектр
представлений відліками спектральної густини імпульсу трикутної
форми, тобто, функції виду 8іпс2(х). Як зазначалося вище, одним
із шляхів боротьби з впливом цього ефекту є доповнення множи-
ни точок ДПФ точками-нулями.
Рис. 5.16.
На рис. 5.16, в) наведено спектр сигналу, одержаного з попе
реднього доповненням нулями до N = 16, тобто сигналу
{$,} = (0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0).
Кількість відліків спектральної густини подвоїлась, і ймовір
ність того, що якісь важливі спектральні складові загубляться
при перегляді спектра через «частокіл» зменшується. Г~
264
Важливо підкреслити:
0
Якщо за допомогою ДПФ (або ШПФ) для деякого сигналу
по скінченній кількості N (нехай для спрощення N — пар-
не) відліків його миттєвих значень знайдено коефіцієнти
ДПФ Со, Ср ...,	то по них можна відновити вихідний
неперервний сигнал з обмеженим спектром.
Ряд Фур’є в цьому випадку має скінченну кількість членів.
Скориставшись (5.27), позбавляючись від’ємних частот, як ми це
вже неодноразово робили, одержуємо
^(ґ^Со/^ч^/ЛГ-ІС! |соз(2л-^4-ф1 1+ 2/ДГ-1С2 |соз! 4л~ + ф2 І+...+
4-2/АГ-1 Сдг/21 сов
.г І
(5.32)
Тут ф. — аргумент (фазовий кут) коефіцієнта ДПФ.
Приклад 5.7
За обчисленими у прикладі 5.5 коефіцієнтами ДПФ
апроксимувати сигнал $(£)•
Розв'язання.
Запишемо ряд (5.32) для випадку N = 8.
в(ґ) = Со/8-+-1/4* | Сг | соз
+ Ф1 Г V4' І С2 І СО8 І 4Л^ + <?2 1+
+ 1/4-|С3 |соз[6л^ + ф3|+1/4-|С4 |со8і 8л^ + ф4 і.
(5.33)
Як виходить з цього виразу, спочатку необхідно знайти модулі
та аргументи комплексних коефіцієнтів ДПФ. У таблиці наведені
ці значення, обчислені за результатами попереднього прикладу.
Параметр	Со	с4	с2	с3	С4
Модуль	9	5,828	1	0,171	1
Аргумент	0	-Зл/4	л/2	-л/4	л
265
Підставимо значення модулів та аргументів у формулу (5.33):
8(0 = 1,125+1,4572со8|2я-~—| + 0,25соз| 4л-+-| +
І Т 4 І І Т 2 І
+ 0,0428соз
' і я А Л („і
6л-----+0,25соз 8я— + л
Т 4 І	Г
На рис. 5.16, б) зображено сигнал Як очікувалося, лінійчас-
тому спектру відповідає періодичний сигнал. Виділена компонента
періодичного сигналу і є апроксимацією вихідного неперервного
сигналу за допомогою скінченної суми членів ряду Фур’є.
На рис. 5.16, г) наведено графік відновленого сигналу, поданого
рядом Фур’є з 9-ти складових (після доповнення нулями). Можна
зазначити, що в цьому випадку апроксимуючий сигнал ближчий
до вихідного — похибка апроксимації зменшилася.	□
В додатку до цього розділу наведено програму обчислення
ДПФ на ЕОМ.
5.3.	Математичний апарат аналізу дискретних
сигналів та систем, з-перетворення
Якщо базою аналізу і синтезу сигналів та систем з непе-
рервним часом є перетворення Фур’є і Лапласа, то базою аналізу
і синтезу дискретних (цифрових) сигналів та систем є г-перетворен-
ня. Аналіз і синтез цифрових фільтрів розглянуто в розділі 22.
Пряме ^-перетворення
Вище було показано, що модель ідеального відлікового
сигналу можна подати у вигляді
8в(*) =	- пАО,	(5.34)
л=-00
де — інтервал часу між сусідніми відліками неперервного сиг-
налу 8(1), що обрано відповідно до теореми відліків.
Щоб визначити пряме и-перетворення дискретного сигналу
8в(і), модифікуємо (5.34). Оскільки функція З(ґ-пА^) дорівнює
0 для всіх значень і, крім і = пДі, з(і) можна замінити на з(пДі),
якщо з(ґ) неперервна при і = пДІ. Приймемо також, що сигнал
8(і) є каузальним, тобто таким, що з(і) = 0, і < 0. Тоді (5.34) мож-
на записати так:
266
«в(0 = ^«(лД03(*-лД0-	(5.35)
п=0
Знайдемо перетворення Лапласа функції (5.35).
8в(р) = |^»(пАї)5(і -пДі)е-р'Л =^а(пЛі) 15 (і - пЛі)е~ріді.
о п=0	л=0 о
Скористаємося фільтрувальною властивістю дельта-функції
і отримаємо
^(р)=Е«(лДО«-'"А‘.
л=0
Позначимо
г = ер“	(5.36)
і одержимо
£[«(пД0]=5(г) = ^8(пД0г'".	(5.37)
п=0
Визначення.
8
	Функція 8(г) змінної г, отримана за допомогою форму- в
ли (5.37), називається г-перетворенням дискретного <
(відлікового) сигналу 8(пЛі).
	Формула (5.37), що дозволяє здійснити перехід від функ- •;
ції дискретного часу з(пДі) Д,о нової функції неперервного І
аргументу г, називається прямим г-перетворенням.
	Пару г-перетворень будемо умовно позначати	І
8(2)4——$8(п&і).
Перш ніж розглянути приклади обчислення г-перетворен-
ня, необхідно відзначити.
1.	Суттєва вада перетворення Лапласа (і Фур’є теж) — апа-
рата аналізу систем з неперервним часом — полягає в тому,
що передатні функції таких систем містять множники виду ер1
й описуються, у загальному випадку, трансцендентними функція-
ми змінної р, а виходить, і <о = 2л/, що істотно ускладнює аналіз.
У випадку дискретних сигналів і систем дискретного часу роз-
глядаються явища і процеси тільки в окремі, відлікові моменти
часу 0, Д£, 2Д/, ... . Це дозволяє перейти від складової ер1 до
267
і потім до 2 = ерДГ. Звідси виходить, що р = Іпз/Дг. Така заміна дає
змогу перейти від трансцендентних функцій відносно змінної р
до раціональних функцій змінної г.
2.	У послідовності відліків сигналу кожний з них подано упо-
рядкованою парою чисел: одне число задає величину відліку, дру-
ге — його розташування на осі часу. Таку ж форму має і кожний
доданок суми (5.37): $(пД£)задає значення відліку, а г~п відображає,
що відповідний відлік належить моменту часу пМ.
3.	У загальному випадку р = с + /со, де с — деяка стала, що
забезпечує збіжність інтеграла перетворення Лапласа і, отже,
існування самого перетворення. Тоді
2—Є =Є Є ,
З (5.38) виходить, що
І2І = Є°М
(5.38)
(5.39)
і \г\ > 1, якщо о > 0. Ця умова відповідає правій напівплощині
р-площини. Лівій напівплощині (о < 0) відповідає умова |з| < 1.
Це означає, що ліва напівплощина р-площини відображається
на 2-площині в коло одиничного
радіусу, а права — на область поза
межами цього кола. Це зображено
на рис. 5.17.
Пізніше, аналізуючи умови стій-
кості систем, буде показано, що лінійна
система є стійкою (у тому розумінні,
що скінченному за величиною сигналу
на її вході відповідає скінченний за ве-
личиною сигнал на її виході), якщо всі
корені характеристичного рівняння,
що описує її (або полюси передатної
функції), розташовано у лівій напів-
площині змінної р = о + /со. Таким
чином, одиничне коло на ^-площині
відіграє роль межі, що розділяє стійкі
і нестійкі системи.
З іншого боку, якщо розглядати 2-
перетворення як математичний апарат
аналізу дискретних сигналів, необхід-
но, щоб ряд (5.37) збігався. Для цього
Рис. 5.17.
має виконуватися така умова:
268
0
Якщо |$(пДОІ зростає не швидше, ніж функція 2п =
ряд (5.37) збігатиметься для всіх значень з, що знаходять-
ся поза деяким колом на комплексній з-площині, радіус
якого г0 називається радіусом збіжності (рис. 5.18).
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 5.8
Один з доданків (5.37) має вид 136,2г-13. Це значить, що
величина відліку складає 136,2 і розташований цей відлік на 13
позиції осі часу після і = 0, тобто, ІЗДі.	| |
Приклад 5.9
Відліковий сигнал наведено на рис. 5.19. Скориставшись
формулою (5.37), знайти з-перетворення цієї послідовності.
Рис. 5.19.
Розв’язання.
Запишемо ряд (5.37) для заданого сигналу:
Х(2) = ^х(пДЇ)г'п =£х(пМ)е~рпЛ> =
л=0	п=0
= 2е’рОД‘ + 3(е’м‘ + е~р2“) + 2(е‘р841 + е'р4Л() + е~рІЛГ =
= 2 + 3(г-1 +з'2) + 2(з~8 + 2'*) + г~і.
Це і є шуканий результат.
269
Приклад 5.10
Знайти г-перетворення дискретної одиничної імпульсної
функції.
Розв'язання.
Дискретна одинична імпульсна функція 3 (гі) визначається
рівністю
х(пДґ) =
1,
0,
=5(п).
п = 0
п*0
Функція 3 (гі) при аналізі дискретних систем відіграє
ту ж саму роль, що і дельта-функція при аналізі систем
неперервного часу.	>
Підставимо х(пДґ) до формули прямого г-перетворення
(5.37):
Х(2) = £Х(пМ) і" = 1 + 02 * + О?2 + • • • = 1.
п=0
Одержано таку пару г-перетворень:
5(п)<—^->1.
(5.40)
Приклад 5.11
Знайти 2-перетворення нескінченної послідовності відлі-
ків функції одиничного стрибка, тобто и(пДІ) = 1, п > 0.
Розв'язання.
За формулою (5.37)
Щг)^2'л-
п=0
Скористаємося формулою суми членів геометричної про-
гресії
|а|<1.	(5.41)
И 1-а
Тоді для а = г’1 отримаємо
270
^) = Т-^Г = -£Т«
1-2	2-1
|г|>1.
17(2) абсолютно збігається поза оди-
ничним колом і має полюс при 2=1.
На рис. 5.20 зображено розташування
нулів (Ф) і полюсів (х) функції 17(2) на
2-ПЛОЩИНІ.
Отримано таку пару 2-перетворень:
и(пА£)< 2	|2|>1.	(5.42)
1-2
Приклад 5.12
Знайти 2-перетворення дискретної експоненти
х(пА0 = е	а>0, п>0.
Графік функції наведено на рис. 5.21, а).
Розв'язання.
До (5.41) підставимо а = і отримаємо
1-е	2
Якщо а і Д1 відомі, то е~аАІ — деяка стала.
Нехай е-®^ = К, тоді
Х(2) =
1	_ 2
1-КгЛ~ г-К’
| 2 | > X.
На рис. 5.21, б) зображено область збіжності Х(г) для випадку
К = 0,5. Зауважимо, що функція Х(г) має нуль при г = 0 і полюс
при 2 = К на колі, що обмежує область збіжності.
Чергова пара 2-перетворень має вигляд:
е'^, а>0, п>0< г > г , К = е-аЛІ, \г\>К. (5.43)
2-К
Приклад 5.13
Знайти г-перетворення сигналу
х(пДі) = /?’лА(, Ь < 0, п > 0,
тобто, послідовності зі знакозмінними членами (рис. 5.22, а)).
271
Розв’язання.
До формули (5.41) підставимо а = і одержимо
Х(г)=1"^- 1 г |>! ь~“1 
1-0	2
Позначимо Ь~АІ = К. Тоді
На рис. 5.22, б) наведено область збіжності функції Х(г) для
випадку К = -0,7. Зауважимо, що Х(г) має нуль при 2 = 0 і полюс
при 2 = К, тобто, на від’ємній частині дійсної осі. Радіус збіжності
го = О,7.
Таким чином,
Ь’пА(, 5<0, п>0< г ,К = Ь'“, |г|>|7Г|.	(5.44)
2-К
У додатку Б наведено таблицю Б.4 г-перетворень деяких дис-
кретних сигналів, які часто використовуються при аналізі і синтезі
цифрових фільтрів.
Властивості «-перетворення. Теореми про
«-перетворення
Розглянемо основні властивості «-перетворення.
1.	Властивість лінійності
2-перетворення е лінійною операцією. Тоді є слушним
таке твердження.
272
Якщо Аі В — деякі сталі, то	к
'^і[Ах1(п^і) + Вх2(пМ)]г~п = АХх(2) + ВХ2(г),	(5.45) І
п=0	I
де Х1(г)<-^->х1(пД<) і Х2(з)<—^->х2(пД0.	І
2.	Теорема множення на експоненту
Якщо х(пД<)< 2 > Х(з),тоді	5
апх(пМ)<г-?-+ = Х(а'2).	(5.46) |
3.	Теорема множення на п
Якщо х(пД£)<—> Х(г), то
пх(пДО< 2- > = -а^^г\	(5.47)
6,2

Приклад 5.14
Знайти г-перетворення дискретної послідовності х(пДі) =
= пЬ"пД', Ь < 0, п > 0.
Розв’язання.
У прикладі 5.13 одержано пару (5.44). Застосувавши
до неї теорему множення на п, одержимо:
Кг1
1=—К=ГМ. (5.48)
бгІІ-Кг-1 І (І-Кг'1)2
Вправа 5.9
Для випадку К = 0,5 побудуйте епюри дискретних пос-
лідовностей х^пДґ) = Ь_"де і х2(пДі) = пЬ иА‘, п £ 0.
4.	Теорема зсуву в часі
(теорема запізнювання, оператор зсуву)
Якщо х(пД<)< 2 > Х(г), то
х(пДі - тАї) < 2 > 2"тХ(г).
"1ЮІИЯЯВЖіЯВЖйО«5г?ї1ЯЖЯЙЮ!!^ВЯИШИ0
(5.49)
273
Оператор зсуву часто використовується при аналізі та синтезі
дискретних і цифрових систем. Доведемо слушність формули
(5.49).
За формулою прямого г-перетворення (5.37)
х(пД£) < - > ^х(пДО2 "-
п=0
Тоді
х(пДі-тДО <——ї£х(пДі -тЛі)2~п.
п=0
Проведемо заміну змінних. Позначимо к = п - т. Тоді и = к + т,
коли п = 0, к — - т.
х(пЛі - тДі)	х(кЛі)2~т * •
к=-т
Оскільки х(кАі) = 0, коли к < 0 одержимо
х(пДґ-?пД0«—^-»£х(ЛД02 т~* = 2~т^/х(кАі)2~*=х~тХ(г),
*=0	*=0
що і треба було довести.
Приклад використання оператора зсуву розглянемо пізніше.
5.	Властивість коефіцієнтів розкладання
г-перетворення в степеневий ряд
8
Якщо х(пДі)<——> Х(г) =д0 +?1з"1 + д2г~2 +, то коефі- Ь
цієнти д0,	д2, ... розкладання Х(г) в степеневий ряд \
по 2 дорівнюють значенням відліків функції х(пДґ), тоб- \
то дп = х(пДґ).	\
Ця цінна властивість випливає безпосередньо з (5.37):
Х(г) = ^Гх(пД?)г " = х(0) + х(Дґ)2 1+х(2Аі)г 2 + -
п=0
Тобто, х(0) = д0, х(Д/) = х(2Дї) = д2 і так далі.
б.	Теореми початкового і кінцевого
(фінального) значень
Ці теореми важливі для з’ясування поводження дискрет-
ної послідовності х(пДї) відповідно до відомого її г-перетворення.
274
Крім того, теореми початкового і кінцевого значень дозволяють
контролювати обчислення зворотного г-перетворення.
Теорема початкового значення встановлює, що
х(0) = Ііш Х(з).	(5.50)	;
Справедливість (5.50) легко довести. Запишемо (5.37)
у вигляді
Х(2) = ^х(рЛі)2~п = х(0) + ^х(пА02л.
п=0	п=1
Тоді при 2 -» оо сума в правій частині цього рівняння прямує
до нуля, що і призводить до рівності (5.50).
8
Теорема кінцевого значення встановлює, що
х(оо) = 1іт(1-21)Х(2).	(5.51) *
г->1	|
Формулу (5.51) можна перевірити.
Якщо Х(з) має полюс (або полюси), розташований поза
одиничним колом, то цьому відповідає нестійка послідовність
така, що зростає з часом, тобто х(оо) = оо.
Якщо всі полюси Х(2) розташовані усередині одиничного кола,
х(пАґ) є відліки загасаючої функції, тобто х(оо) = 0.
Залишилося розглянути випадок, коли полюси функції Х(г)
лежать на одиничному колі.
Нехай полюси належать одиничному колу, але не лежать у тій
його точці, де г = 1. Цьому випадку відповідає функція часу, що
є осцилюючою функцією, і її значення х(оо) визначити не можна, хо-
ча є скінченні межі, в діапазоні яких відбуваються коливання.
Ненульове значення, що встановлюється, може існувати
в єдиному випадку, коли існує полюс на г-площині при 1,
а всі інші полюси лежать усередині одиничного кола. Тоді функ-
цію Х(2) можна подати так:
Х(г) = —+С(г),
1 — 2
причому всі полюси функції С(г) лежать усередині одиничного
кола і £(°о) = 0. Як виходить з результату, отриманого у прикладі
5.11, і властивості лінійності, першому доданку правої частини
275
відповідає послідовність х(пЛі) = К, п > 0. Тобто К є усталене
значення. Таким чином, з (5.51) одержимо
х(оо) = 1іт(1 - Г1 )Х(г) = К + 1іт(1 - з’*) С(з) = К.
г->1	г->1
Що і стверджує теорема кінцевого значення.
Рисунок 5.23 пояснює висновки теореми кінцевого значення.
Тут на рис. 5. 23, а) зображено графік незгасаючої складової послі-
довності х(пДі) = К, п > 0. На рис. 5.23, б) — згасаючої складової,
^-перетворенням якої є функція 0(2). Нарешті, на рис. 5.23, в)
наведено суму цих двох послідовностей, межа якої при п -> оо
дорівнює К. Цей результат відповідає тому значенню, що дає
теорема кінцевого значення.
Розглянемо приклад.
Рис. 5.23.
Приклад 5.15
Задано функцію
ад=
ю
І-О.бГ1*
Знайти відповідну дискретну послідовність, перевірити
за допомогою теорем початкового і кінцевого значень отримані
результати.
Розв'язання.
Дискретну послідовність знайдемо за таблицею г-пере-
творень В.4, пара № 3.
І-Лз"*
276
За умовою задачі К = 0,5, звідки виходить, що шуканою послі-
довністю буде х(пД7) = 10 • 0,5л. Таким чином, х(0) = 10, х(Дґ) = 5,
х(2Дґ) = 2,5, х(ЗД7) = 1,25, ..., х(оо) = 0.
Згідно з теоремою початкового значення отримаємо
х(0) = 1ітХ(г) = Ііт-——- = 10.
2-*ж1—0,5з
За теоремою кінцевого значення —
х(оо) = 1іт(1 - з"1 )Х(г) = Ііт^^—= Юііт ——— = 0.
1-0,5г"1	^2г-1
Це підтверджує те, що дискретну послідовність знайдено вірно.
Обернене г-перетворення
Отже, ми з’ясували як, знаючи дискретну часову пос-
лідовність, знайти її відображення у просторі змінної 2. Тобто,
визначили процедуру переходу х(пД^)——— пряме з-пере-
творення. Тепер з’ясуємо, як можна здійснити зворотний перехід
х(пД0^— Х(2).
Існує декілька методів обчислення оберненого ^-перетворення.
Один з них ми застосували, розглядаючи приклад 5.15. Вада цього
методу очевидна: тільки в рідкісних випадках у таблицях 2-пере-
творень вдасться знайти потрібну пару перетворень.
На практиці найчастіше застосовують один із таких трьох
методів:
7.	Метод ділення поліному на поліном
З визначення (5.37) і 5-ї властивості з-перетворення ви-
ходить, що
Х(г) = х(0) + х(Д0г'* + х(2Д0г’2 + • • •.	(5.52)
Таким чином, якщо з-перетворення деякої дискретної послі-
довності можна подати у вигляді (5.52), то тим самим задачу буде
розв’язано.
Подати Х(г) у вигляді (5.52) можна за допомогою операції ді-
лення поліному на поліном (див. [6, стор. 210]). Простіше за все
пояснити цей метод на прикладі.
277
Приклад 5.16
Знайти дискретну послідовність х(п), якщо її г-перетво-
рення має вигляд:
Х(г) =
(г-1)(г-0,2)'
Розв’язання.
Спочатку знайдемо початкове і кінцеве значення шуканої
послідовності. За відповідними теоремами отримуємо:
х(0) = Ііт Х(г) = 1 і
2->Х
х(<ю) = 1іт(1 -з’1 )Х(х) = Ііт-— -------= 1,25.
(г-ІХг-0,2)
Перетворимо вираз для Х(г) так, щоб і чисельник, і знаменник
були поліномами відносно змінної г"1.
Х(г) = —----------=--------}------
з2-1,23+0,2 1-1,2г’1 +0,2г’2
Тепер можна приступати до ділення поліному на поліном.
1	1- 1,2г’1 + 0,2г’2
1 - 1,2г * +0,2г’2	І+І.гг’Ч 1,24г’2 +1,248г-3+...
о+і.гз’-о.гз’2
1,2г’1 -1,44з’2+ 0,24г’3
0	+ 1,24г’2-0,24г’3
1,24г’2 - 1,488г’3 + 0,248г-4
0	+ 1,248г-3 -0,248г’4
Одержали: Х(г) = 1+1,2г’1 +1,24г’2 +1,248г’3+ ....
Таким чином, х(0) = 1, х(Л0 = 1,2, х(2Л0 = 1,24, х(ЗД0 = 1»248, ....
Операцію ділення можна продовжувати доти, доки не одержимо
необхідну кількість членів дискретної послідовності. Щоб оцінити
278
необхідну кількість членів послідовності, використовують резуль-
тат, що дає теорема про кінцеве значення. Можна відзначити, що
вже четвертий відлік послідовності тільки на 0,002 відрізняється
від фінального значення, тому, операцію ділення в розглянутому
прикладі на цьому можна завершити.	| |
9
	Метод ділення поліному на поліном є найпростішим
з методів отримання оберненого з-перетворення.
	Основним недоліком цього методу є те, що він не доз-
воляє одержати загальний вираз для х(пА^).
	Хоча метод ділення поліному на поліном не дозволяє
знайти загальний член х(пА^), іноді того, що він дає,
достатньо для розв’язання практичних задач. Наприк-
лад, якщо х(пА£) монотонно прямує до деякого значення
(як у прикладі 5.16), часто необхідно обчислити значен-
ня тільки кількох перших відліків і кінцеве значення
за теоремою про кінцеве значення.
2. Метод розкладання на найпростіші дроби
(метод факторизації знаменника)
9
	Цей метод дозволяє одержати х(пА^) у загальному виг-
ляді й аналогічний методу розкладання на найпростіші
дроби в перетвореннях Лапласа і Фур’є.
	Основна ідея методу полягає в тому, щоб перетворити
Х(г) до такого вигляду, який дозволяє здійснити обернене
2-перетворення, використовуючи таблиці г-перетворень
і властивість лінійності.
Алгоритм розкладання на найпростіші дроби легше за
все розглянути на прикладі.
Приклад 5.17
Знайти обернене з-перетворення, якщо
г2
Х(х) =-----------.
(г-1)(г-0,2)
Розв'язання.
Перше, що зробимо, розділимо ліву і праву частини функ-
ції Х(г) на 2 і запишемо результат як суму дробів.
279
Х(г) 2	_ В, | В2
2	(г-1)(г-0,2) 2-1 г-0,2'
Необхідно знайти коефіцієнти В1 і В2. Це можна зробити
різними способами, наприклад склавши та розв’язавши систе-
му двох рівнянь з двома невідомими В1 і В2. Розглянемо інший,
простіший метод.
Домножимо ліву і праву частини на (г - 1):
г '	1	г-0,2
Рівність має виконуватися при будь-яких значеннях г. Тоді
В, =----------- = —--— = 1,25.
(г-1)(г-0,2) г=1 1-0,2
Домножимо ліву і праву частини на (г - 0,2)
ад(г_0,2) = 4<^М + В,
г	(г-1)
Тоді,
В,-. г(г-°'2)	=-^-=-0.25.
" (г-1Хг-0,2)„„ 0,2-1
Таким чином,
1,25г 0,25г	1,25	0,25
(2)~ г-1 г-0,2 “1-г’1 1-0,2г'1'
З таблиці г-перетворень знаходимо, що перший член правої
частини відповідає випадку К = 1 — послідовність одиничних
імпульсів; другий член відповідає випадку 1С = 0,2— відліки
з експоненційної функції, тобто,
х(пД0 = 1,25-0,25 (0,2)", п>0.
Це і є функція х(пДі) у загальному виді.
Отримали, що
х(0) = 1,25-0,25(0,2)°=1,
х(Дґ) = 1,25-0,25(0,2)1 =1,2,
х(2Д0 = 1,25-0,25(0,2)2 =1,24,
х(ЗДґ) = 1,25-0,25(0,2)3 = 1,248,....
280
Можна відзначити, що ці значення, по-перше, збігаються
з тими, що отримано методом ділення поліному на поліном
у прикладі 5.16 і, по-друге, з залежності х(п)= 1,25 - 0,25(0,2)л
виходить, що х(оо) = 1,25.
У додатку до розділу 5 наведено програму, за допомогою якої
можна розв’язати цю задачу на ЕОМ, а також результати обчис-
лення.	І І
(5.53)
Приклад 5.18
При |г| > 1/2
Знайти в загальному вигляді відповідну дискретну послідов-
ність х(пДі).
Розв’язання.
За теоремами про початкове та кінцеве значення знахо-
димо:
х(0) = Ііт Х(з) = 5 і
х(оо) = 1іш(1 - г 1 )Х(х) = Ііт ——- —---------------------- 0.
г-^1	г-+1	2	62 -2-1
Зробимо факторизацію знаменника функції Х(2), тобто, знайде-
мо корені рівняння, що буде отримано зі знаменника, якщо його
прирівняти до нуля.
6з2 -2-1=6 2-
2
1
2 + — =б22 1--2"'
З
2
іДг'1].
З
Тепер можна записати
1----2 ||1 + —2
2	3
1--2-11
2
Знаходимо Вх і Вг
5| 1--2’4
/„у, 1
1--2	1 + -2
І 2 II З
в2
1 + -2
З
- 5 -З
* 3 *
281
Таким чином,
=-3
= 2.
Скориставшись таблицею Б.4 з-перетворень і властивістю
лінійності, одержимо
х(пД0 = 3
Очевидно, що початкове і кінцеве значення за цією формулою
дорівнюють тим значенням, що ми знайшли за допомогою від-
повідних теорем.	| |
Розглянутий метод має одну істотну ваду, що обмежує область
його застосування.
8
	Метод розкладання на найпростіші дроби дозволяє
одержати х(пЛ£) у загальному вигляді, однак він непри-
датний, якщо чисельник функції Х(г) містить змінну з”1
у рівному або більш високому степені, ніж знаменник.
	Одержати розкладання такої функції Х(г) на найпро-
стіші дроби можна, попередньо ділячи чисельник на зна-
менник і понижуючи степінь 2 і у залишку, поки він не
стане нижчим від степеня знаменника.

Розглянемо приклад.
Приклад 5.19
Знайти в загальному вигляді дискретну послідовність
х(пАґ), якщо
11 _2 1
Х(г) = л	х<	1—V-	(5.54)
Ц--2’1 1 + -2’1 І
І 2 Л	3 )
282
Розв'язання.
Легко переконатися, що коли діяти формально, як
у прикладі 5.18, одержимо ті ж коефіцієнти В1 і В2, що й у попе-
редньому прикладі.
Дійсно, подамо Х(г) за допомогою найпростіших дробів.
Х(г) =
+
1 ——2
2
Знайдемо Вг і В2.
в1 =

З
+-
2
Формально ми одержали коефіцієнти В1 і В2, але вони від-
повідають розкладанню на найпростіші дроби функції (5.53),
а не (5.54), яку ми розглядаємо в цьому прикладі.
Відповідно до правила, що було сформульовано вище, поді-
лимо чисельник на знаменник і зменшимо степінь змінної з-1
у залишку:
— 2 2— 2 1+11
-2~2 -2 х +6
5
—1/62 2 —І/бз-1 +1
~6
Залишок дорівнює 5. Таким чином,
5	5
ВД = —-------—+6 =	- ,+6.
1-42'1-42‘2	І 1 + -21 І
6	6 І 2 Д 3 )
Розкладаючи перший доданок правої частини на найпростіші
дроби (див. приклад 5.18), одержимо
283
Х(2) =--11---------+ 6.
1+12>
2 З
Використовуючи таблицю г-перетворень Б.4 або приклади 5.10,
5.12, знаходимо дискретну послідовність:
х(пДі) = ЗІ — +2
І 2 ,
1 у
- +68(п).
У додатку до розділу 5 наведено програму, за допомогою якої
можна розв’язати цю задачу на ЕОМ, та результати її вико-
нання.
Ще одне корисне правило:
Якщо функцію Х(г) подано у вигляді дробу, чисельник
і знаменник якого є поліном змінної 2 однакового степе-
ня, необхідно збільшити степінь поліному знаменника,
тобто перейти до функції Х(г)/г, і цю нову функцію
розкласти на найпростіші дроби.
Приклад 5.20
Розв’язати задачу прикладу 5.19, використавши метод
збільшення степеня знаменника.
Розв'язання.
Зауважимо, що саме так ми зробили, розглядаючи при-
клад 5.17.
Запишемо (5.54) як
11 2 2
І 1	1	-111-е	1
1--2	1+-2
( 2 Д З
11г2 - г-1
1II 1
2— гл—
2Д З
Розділимо Х(г) на г і запишемо
Х(г) 11г2-г-1 В,
2 ґ IV 2
Д , в3
і	і ‘
2---2 + —
2	З


284
Знаходимо Вр В2 і В3:
адг
2
11г2-2-1
~ 7 Тії Г
г*° І 2-2 + —
І 2Д З
= 6,
2	2 І 2
1І22 -г-1
= З,
Таким чином,
2 зу
Х(г) 6 । З
2	2	1
2---
2
2
1
ч—
з
1І22-2-1
= 2.
г='з
або
. 6г Зг
Х(г) =—+
2
2г
1  1 6+ 1 ’ 1 
г~2 г + 3	''її’ 1 + Г
Результат співпадає з тим, що отримано у прикладі 5.19. | |
Вправа 5.10
Знайдіть послідовність р(пД<), якщо У(з) =---------.
(2 ~ ЇХ 2 — 0,2)
Задачу розв’язати двома методами: методом ділення полі-
ному на поліном і методом розкладу на найпростіші дроби.
Розглянемо приклад використання оператора зсуву.
Приклад 5.21
Знайти послідовність якщо
1
У(г) =------------.
(г-1)(з-0,2)
~	21 2 + —
2 І З
£
2
З
Т 2
2
1
285
Використати результат, отриманий у прикладі 5.17, і теорему
зсуву в часі.
Розв’язання.
У прикладі 5.17 було отримано таку пару:
22
1,25- 0,25(0,2)" <-ї->Х(2)=------------.
(г-1)(г-0,2)
Порівнявши функції Х(г) і У(г), можна відзначити, що
У(г) = Х(г)г~2.
За теоремою зсуву в часі (5.49) знаходимо, що
у(пАі) = х[(п - 2)Дґ].
Оскільких(пД0 = 1,25-0,25(0,2)", п>0(див. приклад5.17), відразу
одержуємо
у(пМ) = 1,25-0,25(0,2)”'2, п>2.
Вправа 5.11
--- Переконайтеся, що отриманий результат співпадає
з результатом вправи 5.10, хоча вигляд виразу для у(пМ) і відріз-
няється.
3. Метод, що використовує інтегральну форму
оберненого г-перетворення
Знайдемо вираз для оберненого 2-перетворення в інтег-
ральній формі.
За (5.37)
Х(2)=£х(тД02”’.
т=О
Домножимо обидві частини цієї рівності на гп~х і проінтегруємо
по кільцю С, що цілком розташоване у середині області збіжності
функції Х(г):
^Х(2)гп1(І2 = ф X х(/пД^)2'те+и’1^2-
с	С
Поміняємо порядок інтегрування і підсумування:
286
фХ(г) г"-Чг=£х(7пА0ф2'т*л’1</2.
С	т=0	с
(5.55)
Інтеграл у правій частині рівняння обчислимо за допомогою тео-
реми лишків (див. додаток А).
Якщо ТИ = П, 2~т + п~1 має полюс першого порядку при 2 = 0.
Далі, якщо функція /(2) у точці г = а ф оо має полюс А-го поряд-
ку, то лишки обчислюються за формулою
Ке5/(з) = 1	- а)7(г)].
У нашому випадку к — 1, а = 0. Тоді
Кез (г_1) = 1іт[(2-0)г-1] = 1.
а	г~»°
Якщо т*п, функція 2т + '11 не має полюсів. Таким чином,
і і .	|2л/, т = п
фг"п+п-1аг = і 1
•	[0, т * п
і єдиним таким, що не дорівнює нулю, доданком (5.55) є той, для
якого т — п. Тому (5.55) можна подати так:
<$Х(г) гп~1<І2=2я/ • х(пА£).
с
Тепер можна записати обернене 2-перетворення у інтегральній
формі:
(5.56)
0
Формули (5.37) — пряме г-перетворення
Х(2) = ^х(пМ)2а
п=0
і (5.56) — обернене г-перетворення
Х(пАї) = —— <£х(2) 2л 1(І2
складають пару г-перетворень.
287
Приклад 5.22
Знайти дискретну послідовність, ^-перетворення якої
задано рівністю:
ХИ = -4-Г. І^г-‘|<1.
1 “Л2
Розв’язання.
За (5.56)
1	1	п
Х(пД І) =-Ф--------г(І2 =-(£-----СІ2.
2яЦ1-Кх-'
Якщо х > 0, підінтегральна функція має один полюс 2 = К. Знахо-
димо лишок
Вев
к
2п
2-К )
= Ііт
»->х
(2-К) 2П
2-К
= К\
Тепер можна записати для шуканої дискретної послідовності
х(пДї) = Кп.
Отриманий результат співпадає з парою № 3 таблиці з-перетво-
рень Б.4.	[2]
На цьому ми закінчили вивчення г-перетворення дискретних
часових послідовностей. Цей матеріал нам знадобиться у розділі
25 для аналізу і синтезу цифрових фільтрів.
5.4. ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 5.1
5.1.1.	Визначити тривалість імпульсу прямокутної форми, що
синтезований за дискретними відліками. Відліки взято у моменти
часу, що відповідають вимогам теореми відліків. Частота відліків
дорівнює 4Гт « 20 кГц.
Побудувати спектри вихідного сигналу, ідеальних відліків
і відлікового сигналу.
Вважати, що спектр обмежено активною шириною за рівнем
0,9 його повної енергії.
288
5.1.2.	З прямокутного імпульсу тривалістю 100 мкс беруться
відліки з частотою Найквіста.
Обчислити і побудувати спектри вихідного сигналу, ідеаль-
них відліків і відлікового сигналу. Рт — частота, що відповідає
активній ширині спектра вихідного сигналу за рівнем 0,95
від його повної енергії.
5.1.3.	Відліковий сигнал наведено на
рис. 5.24. Побудувати його спектр, зобра-
зити нульову, першу і другу складові ряду
Котєльнікова, вважаючи, що Рт відповідає
частоті першого нуля модуля спектраль-
ної густини вихідного сигналу. А = 10 В,
т = 20 мкс.
5.1.4.	Відліковий сигнал наведено на
рис. 5.25. Зобразити його спектр і сигнал
на виході смугового фільтра зі смугою про-
зорості ЗГт ... 5Гот, Рт відповідає активній
ширині спектра за рівнем 0,9 повної енергії
вихідного сигналу. А == 2 В, т = 10 мкс.
5.1.5.	З імпульсу прямокутної форми
тривалістю 20мкс беруться відліки з час-
тотою Найквіста. Зобразити нульову, першу
і другу складові ряду Котєльнікова, якщо
Рт — частота, що відповідає активній ши-
рині спектра вихідного сигналу за рівнем
0,95 від його повної енергії.
5.1.6.	Обчислити і побудувати графіки
амплітудних спектрів сигналів ^(0 і $2(0,
кожний із яких є пачкою з 7 імпульсів.
Сигнали наведено на рис. 5.26. Парамет-
ри сигналів: А = 2 В, т = 4 мкс, Т = 20 мкс,
Тп = 7Т.
5.1.7.	Обчислити і побудувати графік
спектра амплітуд пачки з 5 рівновіддалених
трикутних імпульсів. Обвідна пачки — ім-
пульс прямокутної форми. Графік сигналу
зображено на рис. 5.27. Параметри сигналу:
5в0)
і
Рис. 5.24.
Рис. 5.25.
А
Рис. 5.26.
АІ
Рис. 5.27.
А = 10 В, т = 1 мкс, Т = 5 мкс, Тп = 5Т.
5.1.8.	Спектр сигналу дорівнює нулю поза смугою \/\ < 100 Гц,
а спектр сигналу з2(і) дорівнює нулю поза смугою |/| < 200 Гц.
Знайти величину інтервалу часу між відліками, щоб вони цілком
характеризували такі сигнали:
289
1) зДО; 2)8,(100; 3)з,(0 + 82(0;
4)81(0®82(0; 5)51(082(0-
Відповідь: 1) 5 мс, 2) 0,5 мс, 3) 2,5 мс, 4) 5 мс, 5) 1,67 мс.
5.1.9.	Визначити частоту Найквіста й інтервали дискретизації
таких сигналів:
5,(0 = 8іпс(2000; 8г(і) = 8іпс2(200і);
з3(0 = Зіпс(200і) + 8іпсг(200і).
5.1.10.	Коливання
8(0 = сО8(10лД0 + сов(12лД0 + соз(14л:/00 і
«д(0 =
т=-<х>
Рис. 5.28.
прикладено до схеми, наведеної рис. 5.28.
1.	Визначити максимальний інтервал
між відліками Д£, при якому ще можливо
відновити вихідний сигнал із дискретного
сигналу ав(0.
2.	Побудувати математичну модель сиг-
налу
3.	Для випадку, коли частота відліків дорівнює частоті Найквіста,
знайти і побудувати амплітудний спектр відлікового сигналу.
4.	Знайти передатну функцію відновлювального фільтра.
Побудувати графік АЧХ фільтра.
5.	Сигнал $в(0 подано на вхід ідеального ФНЧ зі смугою про-
пускання |/| < /0. Знайти математичну модель сигналу на виході
фільтра.
5.1.11.	Із сигналу ф) = 6+4со8(10л0+4со8(14тй)+2со8(20я0 бе-
руться відліки з частотою ЗО відліків за секунду. Побудувати
спектр відлікового сигналу для |/| < 80 Гц. Пояснити, як можна
відновити сигнал $(£) із відлікового сигналу.
5.1.12.	На рис. 5.29 наведено спектр — дійсна функція часто-
ти — сигналу, з якого беруться відліки
з частотами ЗО, 40 і 60 Гц. Обчислити і
побудувати спектри відлікових сигналів
для всіх частот дискретизації. Яка (або
які) із трьох частот відліків відповідає
теоремі відліків?
290
5.1.13.	Сигнал 8(0 = 2со8(100яі) + 2со8(300я0 подано на вхід
АЦП.
Визначити:
1.	Динамічний діапазон АЦП.
2.	С/Ш на виході АЦП як функцію числа розрядів п.
5.1.14.	Сигнал 8(1) = 2зіп(100лі) + 28Іп(200лі) подано на вхід
АЦП.
Визначити:
1.	Динамічний діапазон
АЦП.
2.	С/Ш на виході АЦП як
функцію числа розрядів п.
5.1.15.	На рис. 5.30 наве-
дено графік сигналу «ДЦ,
поданого на вхід АЦП.
Визначити:
1.	Динамічний діапазон
АЦП.
Рис. 5.30.
2. С/Ш на виході АЦП як
функцію числа розрядів п.
5.1.16.	На рис. 5.30 наведено графік сигналу 82(і), поданого
на вхід АЦП.
Визначити:
1.	Динамічний діапазон АЦП.
2.	С/Ш на виході АЦП як функцію числа розрядів п.
5.1.17.	Нанести на один графік залежності 10І£(С/Ш) = Дп),
отримані в прикладі 5.4, вправі 5.8 і при розв’язанні задач
5.1.13-5.1.16. Сформулювати висновки з аналізу побудованого
графіка.
Задачі до підрозділу 5.2
5.2.1.	Періодичний дискретний сигнал задано на інтервалі
періодичності п’ятьма рівновіддаленими відліками {0,25, 0,8,
-1,5, -0,2}.
Обчислити коефіцієнт Со ДПФ для даного сигналу.
5.2.2.	Обчислити коефіцієнти ДПФ Са (п = 0,1, 2) дискретного
періодичного сигналу, що заданий трьома відліками {0, 10, 20}.
5.2.3.	Дискретний періодичний сигнал задано чотирма відліками
{1, 0, —1, 0}. Обчислити коефіцієнти ДПФ Сп (п = 0,1, 2).
5.2.4.	Відновити неперервний сигнал за коефіцієнтами
ДПФ, обчисленими у задачі 5.2.3. Переконайтеся, що значення
291
відновленого сигналу у відлікових точках співпадають зі значеннями
дискретного сигналу. Вважати, що період Т сигналу заданий.
Задачі до підрозділу 5.3
5.3.1.	Дискретний сигнал наведено на рис. 5.31, ($(пДО = 0,
при п > 6). Знайти його 2-перетворення.
5.3.2.	Скориставшись парою ^-перетворень № 3 із табл. Б.4,
одержати пари № 4 і 5 із цієї ж таблиці.
Рекомендація', знайдіть похідну за а від правої і лівої частини
рівняння
00	1
-алДї -п	х
& г
5.3.3.	Скориставшись парою
2-перетворень № 3 із табл. Б.4,
одержати пари № б і 7.
Рекомендація: у формулі
□о	1
у, -ССПДГ -п _	1
І	І-е-^2-1
здійсніть заміну а = ;&, а потім застосуйте теорему Ейлера.
5.3.4.	Скориставшись парою з-перетворень № 3 із табл. Б.4,
визначити пари №8 і 9. Застосуйте той же метод, що рекомен-
довано для розв’язання задачі 5.3.3. Яке значення потрібно
присвоїти змінній а?
5.3.5.	3 імпульсу прямокутної форми а(0 = 5П[(? -4)/5,2] отрима-
но відліки. Знайти г-перетворення дискретних сигналів, отриманих
при наступних частотах відліків: /4 = 1 Гц, 0,5 Гц і 3 Гц.
5.3.6.	Визначити з(пД^), якщо
1) 8(2) = 1 + 0,5г’2-Зг’5;
2)	8(2) = 3(1-г’1)(1 + 2’3);
3)	8(г) = 8(1-0,4г'1)3.
5.3.7.	Визначити з(пДґ), якщо
1)8(2) =--------
'	1- 0,25г’1
2) 8(г) = — -2?-3-;
І-О.бг’3
292
_ । з
2 + 2
3) 5(2) =-----.
2 + 2
5.3.8.	Визначити з(0), 8(Дї), з(2Ді), з(ЗДі)> якщо
ч_ 5 + 5,5г’1-4г’2
1)	5(г)	і 2	3,
1 + 42 + 42 + 42
2) 5(г) =
1 + 2г~1+4г~3______
0,5 +0,1г'1 + 0,25г’2 +0,8г’3 ‘
5.3.9.	Визначити обернене г-перетворення у компактній формі
кожної з наступних функцій. Перевірити результати за теоремами
про початкове і кінцеве значення.
1.	Х(г) =-----г------2. Х(г) =----------------|
1 -1,5г'1 + 0,5г’2	1-0,5г’1-0,5г’2
22	22
3.	Х(г) = ------------;	4. Х(г) =--------------------.
г2-0,52 + 0,06	(г + 1)(г2 +0,1г-0,06)
Відповідь:
1.	х(пД0 = 2-(1/2)", п>0;
2.	х(пДі) = 2/3 + 1/3(-1/2)", п>0;
3.	х(пД*) = 3(0,3)"-2(0,2)", п>0;
4.	х(пДґ) = -25/21(-1)" +6/7(-0,3)" +1/3(0,2)", п>0.
5.3.10.	Для функції, наведеної нижче, знайти х(пТ) для всіх
значень п. Перевірити результат на значеннях х(0), х(Д£), х(2Ді)
і х(°о), отриманих будь-яким з інших методів.
(1 - г’1 )(1 - 0,2 5г’1 )(1 - 0,5г’1) ‘
5.3.11.	Для функцій, наведених нижче, знайти х(пДі) для всіх
значень п. Перевірити результати на значеннях х(0), х(Д£), х(2Д£)
і х(оо), отриманих будь-яким з інших з методів.
і.ад=
5
2(2-1)’
2. Х(г) =
1
(2-1)(2-0,5)2'
5.3.12.	Визначити обернене г-перетворення функцій, наведе-
них нижче:
293
2	1 4-
1)8(г>=К^ 2>5<г>’їт-^;
Відповідь:
1)	.з(пДі) = 1,15478іп(60"п), п >0;
2)	в(пД0 = 8Іп(60”п)+1,732І8Іп(60°п), п >0;
3)	8(пДі) = соз(90°п), п > 0.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Френкс Л. Теория сигналов. Пер. с англ. —М.:
Сов. радно, 1974. —344 с.
2.	Сиберт У. М. Цепи, сигнали, системи: В 2-х ч.
Ч. 2: Пер. с англ. —М.: Мир, 1988. —359 с.
3.	2ІЄП1ЄГ КосІ£ег Е., Тгапіег АУіІІіат Н., Гаппіп В. КопаИ
Бі£паІ8 ап<1 Зузіетз: Сопііпиоиз ап<1 Візсгеіе.
Мастіїїап РиЬИвйіп^ Со., 1990. —487 р.
4.	Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой
обработки сигналов. —М.: Мир. 1978. —848 с.
5.	Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н.
Цифровая обработка сигналов: Справочник. —М.: Радио
и связь, 1985. —312 с.
6.	Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник
по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. —
М.: Наука, 1980. —974 с.
294
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 5
Програма до прикладів 5.6, 5.7
йаіа = {0, 1, 2, 3, 2,1, 0, 0}; п = ЬепдіІі[(!аіа];
□віРІоЦсІаіа, РІоіЗіуІе -» Роіпі8іхе[0.025|, АхезЬаЬеІ -> {"к",
сірТсІаіа = Іпуег8еРоигіег[с1аіа] Уп;
І_і8іРІоі[АЬ8[с1рТсіаіа], РІоШапде -> АП,
РІоіЗіуІе -> РоіпШіге[0.025], АхевЬаЬеІ -> {"п", "|Сп|"}];
М[АЬ8[арМаіа], 5]
кі8(РІоЦАгд[с1рМаІа], РІоШапде -> АП, РІо&Іуіе -> Роіпі8і2Є[0.025],
Ахе8І_аЬеІ -> {"її",
Тіскз -> {Аиіотайс, {-Рі, -ЗРі/4, -Рі/2, -Рі/4, 0, Рі/4, Рі/2, ЗРі/4, Рі}}];
М[Агд[сІркІаіа], 4]
8(1аіа = Еоигіег[сірМаіа] / л/п;
І.і8іРІо4АЬ8[8(!аіа], РІоШапде -> АП, РІоІЗДуїе -» Роіп18іхе[0.025|,
Ахе8І_аЬеІ -> {"к", "[.к| "}];
М[АЬ8[8<1аіа], 3]
Зауваження.
В системі МАТНЕМАТІСА використано версію ДПФ, яка дещо
відрізняється від тої, що було отримано вище, а саме:
1 X 21С(Л-1)(*-1)
Спм=-7==І^	*	,
У# л=і
оператор Еоигіег [...] і
2я(л-1 )(&-!)
е1 N
1
8.м = —=\С
НМ	/ _ _	П
ЧМ П=1
й = 1,...Л —
оператор ІпуегвеЕоигіег
Якщо порівняти ці формули з формулами (5.26) та (5.27), прий-
нятими в електро- та радіотехніці, можна відзначити таке:
1) Сп = ІпуегзеЕоигіег [зл] • V#;
2) = Еоигіег [Сп] /^.
Саме такий метод обчислення коефіцієнтів ряду Фур’є засто-
совано в програмі, наведеній вище.
Нижче наведено деякі результати.
295
Комплексні коефіцієнти ряду Фур’є (в системі МАТНЕМАТІСА
уявна одиниця позначається літерою І):
{9. + 0. І, -4.1213 - 4.1213 І, -2.2204ХІ0"'15 + 1.1, 0.12132 - 0.12132 І, -1. + 0. І,
0.12132 + 0.12132 І, 2.2204х10‘16 - 1. І, -4.1213 + 4.1213 1}
Модулі та аргументи коефіцієнтів ряду Фур’є:
{9., 5.8284, 1., 0.17157, 1., 0.17157, 1., 5.8284}
(0., -2.356, 1.571, -0.7854, 3.142, 0.7854, -1.571, 2.356}
Дискретний сигнал, що отримано за допомогою ряду Фур’є:
{0., 1., 2., 3., 2., 1., 2.22ХІ0"16, 1.94x10"“}
Порівняйте ці результати з тими, що було отримано вище при
розв’язанні прикладів 5.6 та 5.7.
Програма також обчислює та виводить графіки, аналогічні
наведеним на рис. 5.16.
Програми до прикладів 5.17, 5.19
Тут оператор системи МАТНЕМАТІСА Арагі[Г(г)] — оператор
розкладання на простіші дроби функції Г(г).
Приклад 5.17 Х2І = ХЛ2/((Х- 1)*(Х-0.2)) АрагЦххІ /х] %»2	 	22	 (-1 +2) (-0.2+2) 1,25 _	0.25 — 1+2	-0.2 + 1.2 / 1.25 _	0.25	\ '—1+2	-0.2+1.2'	Приклад 5.19 хх2 = (11	- х1 А2)/((1 - 1 / 2 х1) (1 + 1 /3x1)) Арагі[хх2] %/. 2І -> 1/7 11 -2І -2І2 (1 -^)(1 + ^) 6	6	6 -2 + г1 '	3 + г1 6—+ -2+1	3 +	|
296
Розділ V
ВУЗЬКОСМУГОВІ СИГНАЛИ
Вступ
У попередніх розділах підручника основну увагу було
приділено аналізу низькочастотних сигналів, тобто таких, зна-
чення амплітудно-частотного спектра яких в околі частоти / = 0
значно відрізняється від нуля. До такого класу сигналів належить
більшість керувальних сигналів.
У цьому і наступних розділах розглянемо інший клас сигналів
з обмеженим спектром. У радіотехніці та її застосуваннях викори-
стовуються, як правило, вузькосмугові сигнали, що з’являються
на виході частотновибірних кіл і систем. Зокрема, всі модульовані
сигнали належать до цього класу сигналів.
На рис. 6.1, а) наведено
типовий амплітудно-частот-
ний спектр низькочастотного
сигналу, а на рис. 6.1, б) —
вузькосмугового сигналу. Тут
/0 — опорна частота сигна-
лу, яка здебільшого співпа-
дає з центральною частотою
спектра.
В цьому розділі розглянемо загальні властивості вузькосмугових
сигналів. У наступних розділах ці загальні властивості знадоблять-
ся при аналізі вже конкретних радіосигналів і процесів, що про-
тікають у системах при проходженні через них радіосигналів.
Вузькосмугові сигнали мають властивості, завдяки яким методи
їхнього аналізу відрізняються від методів аналізу низькочастотних
сигналів. Суть цих методів багато в чому зводиться до використан-
ня відомого, але видозміненого методу комплексних амплітуд.
297
6.1.	Обвідна та миттєва частота
вузькосмугового сигналу
Почнемо з визначення.
	Сигнал зветься вузькосмуговим, якщо його спектральна
густина відмінна від нуля лише в межах смуги частот А/
в околі частот =ь / причому виконується умова /0 » А/
або А///о « 1.
	Сигнал звуть широкосмуговим (складним), якщо його
база, тобто, А/т » 1 або ширина його спектра порівняна
з центральною частотою сигналу.
Вузькосмуговий сигнал має ту чудову властивість, що
його з високою точністю можна подати аналітичною моделлю
такого виду:
з(0 = А(0со8[Т(0]=А(і)соз[2к/0і + 0(0],	(6.1)
де А(і) і — повільно змінювані низькочастотні функції часу,
тобто за період опорної частоти /0 вузькосмугового сигналу їх
відносні зміни досить малі; гр(г) — повна фаза, А(і) — фізична
обвідна вузькосмугового сигналу.
З фізичної точки зору вузькосмугові сигнали — це квазігар-
монічні* коливання.
Знайдемо середнє значення частоти на інтервалі часу від і до
і + М:
У^ + Ар-Уд)
2лА£
4(0=
Тоді миттєва частота вузькосмугового сигналу в(і) до-
рівнює
,. , , ,	Г*(« + А*)-*(ОІ	1 <*Т(0
Ш) = Іпп /..(і) = Ііш ----------- =---------. (6.2)
Д<->0 д Д*->0 2лА/	2л аі і • /
Для миттєвої кутової частоти формула (6.2) матиме вигляд
аі
Інтегруючи (6.3), одержимо:
Т(0 = ^(1)41 = |ф(0<^+0о.
0
(6.3)
(6.4)
Префікс «квазі» означає «майже».
298
Тут стала інтегрування О0 має значення повної фази в момент
часу і = 0.
8
	Якщо повна фаза сигналу змінюється з часом як і
то миттєва кутова частота цього коливання змінюється І
за законом
1 аі
	Якщо миттєва кутова частота сигналу змінюється \
з часом як ©.(Є) то змінюється й повна фаза цього коли- \
вання:	І
*	І
т(о = |<о4(Оси = |ц(0Л+ео.	\
0	;

Завдання полягає в тому, щоб вміти подати будь-який
вузькосмуговий сигнал моделлю, що має вигляд
8(0 = А(0соз[^(0]-	(6.5)
З цієї формули виходить, що фізична обвідна А(0 і повна фа-
за \|>(0 вузькосмугового сигналу взаємопов’язані, тобто обравши
довільно функцію ір(£), завжди можна так підібрати функцію А(£),
що рівність (6.5) формально виконуватиметься, проте, в загально-
му випадку, при цьому А(£) не буде фізичною обвідною.
Щоб сформулювати ви-
моги, яким повинна задо-
вольняти фізична обвідна,
розглянемо рис. 6.2. Тут
наведено фрагмент деякого
вузькосмугового сигналу $(ґ),
пунктирною лінією проведено
криву А(Є), яка є фізичною
обвідною цього вузькосму-
гового сигналу. З аналізу
рисунка можна сформулю-
вати очевидні вимоги, яким має задовольняти обвідна А(і),
1.	Обвідна вузькосмугового сигналу не є від’ємною, тобто
А(/)>0.
2.	Обвідна А(і) швидко осцилюючої функції з(і) мусить мати
спільні точки з останньою.
3.	Обвідна не повинна перетинатися з функцією з(і), тобто
в спільних точках А(і) торкається
299
4.	Як виходить з аналізу графіка, наведеного на рис. 6.2,
в точках, де функція А(ї) дотикається функції $(£), остання має
амплітудне або досить близьке до амплітудного значення.
5.	Обвідна А(і) має бути найпростішою у тому розумінні, що
вона з’єднує сусідні спільні для А(і) і $(ґ) точки по найкоротшому
або близькому до найкоротшого шляху.
Зазначеної вище невизначеності можна уникнути і знайти
функцію А(і), яка задовольняє властивостям фізичної обвідної,
якщо подати А(ї) і у(ґ) у вигляді:
а(о=7«* 1 2(о+82(о.	(6.6)
<	(6-7)
Тут »(1) — нова функція, пов’язана з функцією в(і) співвідно-
шеннями
8(0 = -?—^,	(6.8)
я
8(0 = --?—^.	(6.9)
71 І - Т
	Співвідношення (6.8) і (6.9) називаються перетворення-
 ми Гільберта.
	Функція 8(і) називається функцією, спряженою або
сполученою за Гільбертом з вихідною функцією з(ґ).
	Для перетворень Гільберта використовуються такі
символічні записи: §(і) = Н[8(і)]; з(і) = Н_1[£(ґ)] або
8(0 ^->8(0.
	Перетворення Гільберта відіграє, як буде видно
з подальшого, найважливішу роль в теорії вузькосму-
гових сигналів і в побудові радіотехнічних пристроїв
і систем.
	У додатку Б (таблиця Б.З) наведено перетворення Гіль-
берта деяких функцій.
Розглянемо вираз (6.6) для фізичної обвідної вузькосму-
гового сигналу:
1) (6.6) задовольняє властивості 1 фізичної обвідної, а саме:
А(і) > 0.
2) В моменти часу Г, коли £(£') = 0, А(і') = 8(1').
300
3)	Про диференціюємо (6.6)
.. .СІА . .(ІЗ ^СІ8
4(0— = «(О—+
аі аі аі
, (ІА , (ІЗ
В моменти часу і' А(і)-— = з(і)— або з урахуванням власти-
аі аі
вості 2) одержуємо
(ІА _ (ІЗ
(ІІ (ІІ*
тобто, в моменти часу, коли 8(0 = 0, функції А(і) і з(і) мають од-
накові дотичні. Таким чином, модель (6.6) задовольняє властиво-
стям 2) і 3) обвідної.
4)	Щоб А(і) можна було трактувати як найпростішу обвідну,
необхідно, щоб в точках, де з(і) ЇА(і) дотикаються, функція з(і)
набувала значень, близьких до амплітудних. Виконання цієї
вимоги і забезпечується, якщо з(і) є функцією, спряженою за
Гільбертом функції з(і).
Приклад 6.1
Знайти фізичну обвідну гармонічного коливання
8(і) = СО8(2л/о0, - 00 < і < оо.
Розв'язання.
Знайдемо функцію з(і), спряжену за Гільбертом функ-
ції 8(0. Скористаємося виразом (6.8) і, провівши заміну змінної
і - т = х, одержимо
1 1 ^Ят-1 ї СОЗ(2 зЧ'Т)//__
8\І) ~ І «Т — І	б/Т —
Я<І-Т	IIі	1-Х
-00	-00
1	* ч ґ соз(2я/0х) ,	1 .	? зіп(2я/пх) ,	. ,п . ч
= —соз(2я/00 і-----—с?х +—5іп(2л/оО І-------—-<іх =8іп(2л/0О.
Я	<, X	Я	* X
—00	—00
о
Тут ми скористалися тим, що підінтегральний вираз першого
з інтегралів є непарною функцією, другого — парною функцією
змінної х, а також формулою (А. 77).
Таким чином, коливанню 8(0 = со8(2л/о0 відповідає спряжене
коливання 8(0 = 8іп(2тс/о0. Зверніть увагу на те, що спряжена функ-
ція з(і) дорівнює нулю в ті моменти часу, коли вихідна функція
набуває екстремальних значень. Це є важливою властивістю пе-
ретворення Гільберта.
ЗОЇ
Отже,
В
Якщо при будь-якому значенні і вихідний сигнал а(ґ)
досягає екстремуму (максимуму чи мінімуму), то в околі
цієї точки спряжений сигнал набуває значення, що
дорівнює нулю.
Вправа 6.1
Покажіть, що функції $(£) = 8іп(2л/0ґ), - оо < і < оо, відпові-
дає спряжена за Гільбертом функція $(0 = -соз(271^0-
Тепер за формулою (6.6) знаходи-
мо обвідну А(Д) = >/з2(0 + 52(0 =1- Об-
відна — це лінія, дотична до вихід-
ної функції, що з’єднує два сусідні
максимуми найкоротшим шляхом
(див. рис. 6.3). Таким чином, (6.6)
визначає обвідну, яка задовольняє
всім властивостям фізичної обвідної. Цей висновок справедли-
вий і для складного сигналу, якщо він вузькосмуговий. | |
А(0=1
Рис. 6.3.
Перетворення Гільберта та його властивості
Розглянемо приклад.
Приклад 6.2
Передатна функція лінійного кола зі сталими парамет-
рами має вигляд
-Л />0
И(/) = ^0,
/ = 0^ = -у
(6.10)
/<0
де 8і&пЦ) — знакова функція (1.20).
На рис. 6.4, а) наведено АЧХ, а на рис. 6.4, б) — ФЧХ такого
кола.
а) 1,0	І»(ЛІ	б) ф(/)	л/2	в)
		< 				 , 8(0	Перетворювач. §(р
(	> 0 -л/2			 у	»	Гільберта
Рис. 6.4.
302
При подаванні на вхід розглядуваного кола деякого сигналу
відбувається зміна фаз його спектральних складових з від’ємними
частотами на кут л/2 і спектральних складових із додатними частота-
ми — на кут - л/2. При цьому амплітуди (модулі) всіх спектральних
складових вхідного сигналу залишаються незмінними. Пристрій
з ідеальними характеристиками (6.10), відображеними нарис. 6.4,
називається гільберт-перетворювачем. На рис. 6.4, в) наведено
структурну схему гільберт-перетворювача сигналу з(і) о 5(/г), яко-
му на виході відповідає спряжений сигнал §(і)<=>	Щ/).
Покажемо, що сигнал на виході розглядуваного пристрою
є спряженим сигналу, що діє на вході, тобто обидва ці сигнали
задовольняють (6.8). Щоб зробити це, спочатку знайдемо імпульсну
характеристику пристрою з передатною функцією (6.10).
Відомо, що імпульсна характеристика лінійного кола з пос-
тійними параметрами пов’язана з її передатною функцією парою
перетворень Фур’є, тобто в нашому випадку
й(0«-;8І£П(/).	(6.11)
Раніше було отримано пару перетворень Фур’є (3.112), в таб-
лиці Б.2 додатку Б це пара № 7

я*’
0, ґ = 0.
Таким чином, для каузального гільберт-перетворювача одер-
жуємо:
Л(0=—, £>0;	й(0 = 0, і = 0.
лі
Далі, сигнал на виході лінійного кола зі сталими параметра-
ми є згорткою вхідного сигналу з імпульсною характеристикою
кола, тобто,
8(0 = 8(0 ® Л(0 = - [ —Л,
лДї-т
що співпадає з формулою перетворення Гільберта (6.8).	| |
Результат, отриманий у прикладі 6.2, дає змогу зробити такий
важливий висновок.
8
При поданні сигналу	на вхід лінійного пристрою зі ста- 
лими параметрами і передатною функцією Н(/)=-у аі£п(Л і
на виході одержимо спряжений за Гільбертом сигнал §(0- І
'і
303
Каузальні фільтри з такими властивостями відносно легко
реалізуються на практиці і в аналоговому, і в цифровому варіан-
тах. В розділі 25 це буде показано.
Перетворення Гільберта є лінійним перетворенням, тобто для
будь-яких сталих і а2 справедлива формула
(0 + а2з2 (0] =	(0] + а2Н[з2(0].
(6.12)
Вправа 6.2
Доведіть справедливість формули (6.12).
Базуючись на результатах прикладів 6.1 і 6.2, мож-
на стверджувати: якщо сигнал 8(2) подано за допомогою ряду
Фур’є
з(0 = X А СО8(2я/„0 + Ьп зіп(2лД0],
п
то спряжений йому сигнал з(0 матиме вигляд
8(0 = X ІА зіп(2я/п0 -Ьп соз(2<0].
п
Звернемося ще раз до вихідної аналітичної моделі вузькосму-
гового сигналу (6.5) і, застосувавши формулу (А. 15), запишемо
її у вигляді
з(ґ) = А(Осо8[2л/0£ + 0(0] =
= А(ОсО5[0(О]сО8(2л/оО“ЖОзІп[%О]8Іп(2л/оО-
Позначимо А,(0 = А(0соз[0(0], Л^(0 = А(0зіп[0(0].
Тоді
з(0 = АІ(і)соз(2п/0і)- Ав(0зіп(2л/О0.	(6.13)
У формулі (6.13) функції часу А^і) і Ад(і) є низькочастотними
у тому розумінні, що їх відносна зміна за період 1//0 високочастот-
ного коливання досить мала.
	Функція А^і) називається синфазною амплітудою
вузькосмугового сигналу.
	Функція Ад(і) називається квадратурною амплітудою
вузькосмугового сигналу.
	Формула (6.13) є канонічним зображенням вузько-
смугового сигналу.
304
6.2.	Аналітичний сигнал
Відомо, що аналіз електричних кіл при дії на них
гармонічного коливання істотно спрощується, якщо коливання
подати у вигляді комплексного сигналу, наприклад,
а(і) = Д) со8(2л/0£ + 0О) =
= Л0Ке[е,вое;2,'/о'] = Ве[А0е>2Ч(], де А0=А0е^. (6.14)
Тут Ао — комплексна амплітуда.
Таке подання гармонічного коливання дозволяє використати
переваги методів, що базуються на теорії функцій комплексної
змінної, зокрема, метод комплексних амплітуд.
Той факт, що вузькосмугові сигнали з високою точністю можна
описати моделлю (6.1), наштовхує на думку, що їх також можна
записати в комплексній формі вигляду (6.14).
Розглянемо вузькосмуговий сигнал з(і) <=> 5(/). Перейдемо
до нового сигналу
=	+	(6.15)
де з(і) — сигнал, спряжений сигналу з(і) за Гільбертом.
Очевидно, що
3(0 = Ке[2в(0Ь	(6-16)
з(0 = Ьп[з8(0].	(6.17)
Функція г8(і) = з(і) + ]8(і) називається аналітичним сиг-
налом, який відповідає вузькосмуговому сигналу 8(і).
Слід підкреслити ось що.
0
Вводячи в аналіз, крім власне сигналу $(£), спряжений |
з(і) та аналітичний 2з{і) сигнали, не можна одержати •:
будь-якої нової інформації про сигнал, крім тої, що вже |
знаходиться у вихідному сигналі з(І). Ці альтернативні |
моделі відкривають шляхи до систематизації і спрощен- 5
ня методів дослідження сигналів та процесів, що від- І)
буваються в радіотехнічних колах і системах, особливо ?
у випадку, коли сигнал і система є вузькосмуговими.
Нехай 2а(і) •» 2г(/) і з(ї) <=> 5(/). Тоді, можна записати
гз(Г) = 8(Г) + ]8(Г).	(6.18)
305
Знайдемо спектральну густину спряженого сигналу.
У прикладі 6.2 показано, що 8(0 = «(0®
( 1 А
— . Застосувавши
м
теорему згортки і пару перетворень Фур’є № 7 з табл. Б.2, одер-
жуємо
5(/) = -/8ІЯп(/)3(/) = -
-мп,
Мї),
Підставимо (6.19) у (6.18)
і знайдемо спектральну густину
аналітичного сигналу
г,(п=8(Г)+8іеп(Г)8(П =
28(Г), />0;
8(0),
0,
Г=0;
/<о.
(6.20)
На рис. 6.5, а) умовно зображено
амплітудний спектр вузькосмуго-
вого сигналу з(і), а на наступному
рисунку — амплітудний спектр
спряженого сигналу з(0- Як вихо-
дить з (6.19), вони однакові, хоча
фазові спектри, а отже і самі ці сиг-
нали суттєво відрізняються один від
одного (див. нижче приклад 6.3).
/>0;
/<0.
(6.19)
Рис. 6.5.
Згідно з (6.20) побудовано амплітудний спектр аналітичного
сигналу 2г{і) рис. 6.5, в).
Комплексна обвідна вузькосмугового сигналу
Якщо проаналізувати формулу (6.15) для аналітичного
сигналу і формули (6.6) і (6.7), можна прийти до висновку, що
А(1) =	+
є обвідною аналітичного сигналу, а
у(0 = агсі&—- = аге г,(і) —
8(0
його повною фазою. Це дає змогу записати аналітичний сигнал
у вигляді
306
25(0 = к(0|е/аг^(О - А(і)е^і}.	(6.21)
За аналогією з повною фазою гармонічного сигналу повну
фазу вузькосмугового сигналу запишемо так: \у(і) = 2тіЦі + 0(0,
де /0 — опорна частота вузькосмугового сигналу, 0(0 — повільно
змінювана функція часу, яка не містить компонентів, що лінійно
залежать від часу. Підставимо це значення у (6.21).
25(0 = А(і)еі12^ііп =	- 8(І)ЄІ2^.	(6.22)
Низькочастотна, повільно змінювана функція часу
з(і) = А(і)еті}	(6.23)
називається комплексною обвідною сигналу з(і).
	Модуль комплексної обвідної дорівнює А(і) містить |
інформацію лише про амплітудну модуляцію сигналу, |
а фазовий множник еА0 — лише про кутову модуляцію |
сигналу з(і).
	Комплексна обвідна містить повну інформацію про >
сигнал. А це означає, що всю інформацію, яку може
переносити вузькосмуговий сигнал з(1), зосереджено '
в його комплексній обвідній.
	При аналізі проходження вузькосмугового сигналу ,
через радіотехнічне коло досить розглянути лише, як
при цьому змінюється його комплексна обвідна. І
Спектральну густину комплексної обвідної можна одер-
жати перенесенням спектральної густини аналітичного сигналу
з частоти / = /0 на частоту / = 0.
Вправа 6.3
За допомогою теореми переміщення спектра за частотою
обґрунтуйте останнє твердження.
На рис. 6.5, г) наведено амплітудний спектр комплексної
обвідної вузькосмугового сигналу з(і).
Таким чином, комплексна обвідна є низькочастотним ана-
логом вузькосмугового сигналу. За формулами (6.16) і (6.22)
виходить, що
в(0 = Ке[5(0е/й,*‘].	(6.24)
307
Знайдемо зв’язок комплексної обвідної вузькосмугового сигна-
лу з його синфазною і квадратурною А^і) амплітудами (див.
вираз (6.13)). Для цього запишемо (6.23) так:
8(і) = А(ї)е™ = А(Осоз[0(О]+М(08Ш[0(О].
Звідси виходить, що
=	+	(6.25)
8
	Дійсною частиною комплексної обвідної є синфазна
амплітуда вузькосмугового сигналу.
	Уявною частиною комплексної обвідної є квадратурна
амплітуда вузькосмугового сигналу.
	Дві повільно змінювані функції часу А^І) та А^і) міс-
тять повну інформацію про вузькосмуговий сигнал.

Вправа 6.4
Вузькосмуговий сигнал подано моделлю вигляду
з(0 = ^(Осоз^л/оО»
де е(і) — керувальний низькочастотний сигнал. Знайдіть синфазну
і квадратурну амплітуди сигналу та його комплексну обвідну.
6.3.	Подання вузькосмугового сигналу
5(ґ) за допомогою аналітичного сигналу гз(і)
Нехай вузькосмуговий сигнал задано аналітичним виразом
довільного вигляду. Як вже зазначалося вище, для розв’язання
задач аналізу проходження такого сигналу через електричні
кола бажано цей сигнал подати у вигляді з(ґ) = А(^)соз[\|/(^)]. Оче-
видно, коли спряжений сигнал з(і) знайдено, зробити це просто,
оскільки
А(і) = у]82(і) + з2(і), у(0 = агсі£.
8(0
Таким чином, все зводиться до знаходження спряженого сигна-
лу. Можна сформулювати два алгоритми розв’язання поставленого
завдання. Один з них дозволяє розв’язати завдання безпосередньо
в часовій області, другий як проміжне використовує спектральне
зображення сигналів. Подамо кожен з алгоритмів у вигляді лан-
цюжка, послідовності дій, що необхідно виконати.
308
1.	Алгоритм обчислення спряженого сигналу в часовій
області:
2.	Алгоритм, оснований на спектральному зображенні
сигналів
а)	8(0 » 5(№4\(/)« 2,(0 -> 8(0 =
= Іш[г,(0]» 8(0 = Ве[2,(0]
або
(6.19) л
б)	8(о<=>«(/) -> адресо
Тут у дужках надано номери формул, за допомогою яких роблять
обчислення.
Зауважимо ось на що: незважаючи на те, що другий з алго-
ритмів потребує виконання більшої кількості операцій порівняно
з першим, саме він найчастіше використовується на практиці.
Після того, як знайдено функції з(і) і з(і), за формулою (6.3)
можна знайти миттєву частоту вузькосмугового сигналу:
=	=	(6.26)
СІІ (ІІ з(і)	з\і) + з2(і)
Виділивши сталу складову миттєвої частоти со0 = 2л/0, повну фазу
сигналу можна подати у вигляді \у(0 = 2л/0^ + 0(ґ), де 0(ґ) вже не
містить складових, які лінійно залежать від часу. Підставивши
знайдені А(і) і 9(0 у формулу (6.23), одержуємо комплексну об-
відну 5(0 вузькосмугового сигналу.
Розглянемо декілька прикладів.
Перший з алгоритмів було застосовано у прикладі 6.1. Основ-
ну увагу приділимо другому алгоритмові, який найчастіше ви-
користовується і в теоретичних дослідженнях, і при реалізації
радіотехнічних систем.
Приклад 6.3
Сигнал з(і) = 2Р  8іпс(2Рі). Знайти спряжений сигнал.
Розв’язання.
Оскільки за умов задачі потрібно знайти лише спряжений
сигнал, скористаємося другим алгоритмом б).
309
1.	За таблицею Б. 2 знаходимо
2Р 8іпс(2Рі) « ЦШ •
2.	Згідно з (6.19) спектральна густина спряженого сигналу
дорівнює
/«(/),
/>0;
/<0.
5(/)Ч
Нарис. 6.6, а) наведено амплітудно-частотний, а на рис. 6.6, б) —
фазочастотний спектри сигналу з(ґ). На рис. 6.6, в) зображено
графік залежності аргументу спектральної густини спряженого
сигналу від частоти. Як було сказано вище, амплітудно-частотні
спектри вихідного $(0 і спряженого з(0 сигналів однакові.
б) _	|е,(Л
-
В) |	р
-р
-п/2 -І-----
3.	Знаходимо спряжений сигнал.
У формулу оберненого перетворення Фур’є підставимо спект-
ральну густину спряженого сигналу та обчислимо відповідний
інтеграл:
8(0= ]з(Г)еі2кГ,аГ= | іеі2’сГ,4/+^-і)еі2к'‘(іГ =
-ао	~Р	0
0	Р
= /-^-в‘2"" +(-/)^-еіад' =4[1-соз(2лГ0] =
}2пі р ]2пі 0 пі
О
= —віл2 (пРі) = 2пР21 Зіігс2 (Рі).
тії
Графіки функцій і $(0 наведено на рис. 6.6, г).
Можна зазначити, що спряжений сигнал перетворюється
на нуль у точці, де вихідний сигнал з(і) досягає максимального
значення.	І І
310
Приклад 6.4
Сигнал 8(і) — це гармонічне коливання зі сталими амп-
літудою, частотою і початковою фазою, тобто,з(0 = А^со^п/^ + 0^.
Побудувати векторну діаграму сигналу та його комплексної об-
відної.
Розв’язання.
Коливання такого виду ми розглянули у прикладі 6.1, де
показали, що А(і) = Ао. Миттєва частота пов’язана з повною фазою
виразом (6.2) /^(0 =
1 №(1)
2п Лі
і в нашому випадку дорівнює /0.
На рис. 6.7, а) наведено векторну діаграму
аналітичного сигналу гя(і). Вектор, модуль
якого дорівнює Ао, обертається проти годин-
никової стрілки зі сталою кутовою швидкістю
<оо = 2тс/0 так, що його кінець описує коло
з діаметром 2А0. У деякий момент часу і
він зайняв положення, показане на рисунку.
Згідно з (6.15), проекція вектора на дійсну
вісь комплексної змінної х8(і) є значенням
сигналу 8(1) в даний момент часу, проекція
на уявну вісь — значення спряженого за
Гільбертом сигналу §(і) в ту саму мить.
Знайдемо комплексну обвідну сигналу
Іпі [28(0]
а)
2я/0і+90
^£=й-КгІ2.(‘)1
з(0
24.'
Іт(її)
б)
Ке(з)
Рис. 6.7.
5(0
о
8(0-
У випадку, що розглядається, формула (6.23) набуде вигляду
8(1) - і, отже, комплексна обвідна не залежить від часу.
Знайдемо синфазну і квадратурну амплітуди сигналу. Очевид-
но, що $ = АдСозОд + )А0 8Іп0о. Звідси виходить, що А/=ЛоСО80о
і А^ = Ад 8ІП00.
На рис. 6.7, б) наведено векторну діаграму комплексної обвід-
ної 8(і) сигналу з(і). Зверніть увагу, що в цьому разі, на відміну
від попереднього, вектор Ао нерухомий.	[2]
Приклад 6.5
Сигнал з(і) є сумою двох гармонічних коливань з різними
амплітудами і частотами: з(і) = А1соз(2л/1і) + А2соз(2л/20.
Знайти спряжений сигнал, фізичну обвідну, миттєву частоту,
комплексну обвідну, синфазну та квадратурну амплітуди сигналу,
побудувати векторні діаграми аналітичного сигналу і комплексної
обвідної для випадку Ах = 10 В, А2 = 5 В, Д = 10 МГц і /2 == 6 МГц.
311
Розв’язання.
Базуючись на результатах прикладів 6.1 і 6.2, можна
одразу записати аналітичний вираз для спряженого сигналу.
з(0 = А 8іп(2л/і0 + А 8іп(2л/2ґ).
За формулою (6.6) після нескладних перетворень знаходимо
фізичну обвідну:
А(і) =	+ А2 +2А1А2 со8[2л(4 ~/2Х].
За формулою (6.7) знаходимо повну фазу:
Т(ґ) = агсі£ А1 8ІП<27і£*> +	8^(271^0
Аг СО8(2л/їґ) + А2 СО8(2л:/2Ґ)
Нарешті, за формулою (6.2) знаходимо миттєву частоту:
/(і) = 2лА А2 +	+ А А 2л (4 + 4) соз|2л (4-4)?]
2л{А + А +2ААс°8[2л(А -4Х]}
Підставивши числові значення, одержимо:
з(0 = 10со8(20 10епі) + 5соз(12• 10епі), В;
8(0 = 108іп(20 • 10е пі) + 5віп(12• 10е пі), В;
4(0 = 7125+100со8(8 • 106 пі), В;
^^^3 + 16008(8.^^
5+4со8(8 106л0
Уникнути досить громіздких
перетворень можна, якщо ви-
користовувати ЕОМ і систему
МАТНЕМАТІСА. У додатку
до цього розділу наведено текст
програми, який потрібно вве-
сти, щоб одержати не тільки
наведені вище формули, але
і відобразити результати гра-
фічно.
На рис. 6.8 наведено графіки
цих залежностей. На рис.
6.8, а) зображено фрагмент
самого сигналу $(ґ). Аналіз
цього рисунка показує, що й
амплітуда, і миттєва частота
Рис. 6.8.
312
сигналу змінюються з часом. На рис. 6.8, б) наведено графік
залежності миттєвої частоти від часу. Частота змінюється
з періодом 0,25 мкс відносно середнього значення /0 = 10 МГц.
З таким саме періодом, але у протифазі змінюється обвідна А(ґ)
сигналу. Середнє значення обвідної становить приблизно 10,63 В.
У ті моменти часу, коли обвідна набуває максимального зна-
чення, миттєва частота мінімальна і навпаки. Це виявляється
й на рис. 6.8, а). Описаний ефект легко пояснюється при аналізі
векторної діаграми.
Знайдемо аналітичний сигнал. За визначенням 23(і) =	+ /8(ґ).
Тоді
28(і) = Аі 005(27140 + Аг СО8(2л/20 + І[Аі 8Іп(2я/Ї0 + А^ 8Іп(2я/20] =
= А^21^ +	= 10 є'2010’* + 5 є'1210*"*.
Далі нам часто буде необхідно будувати годограф* векторних
діаграм різних сигналів. В додатку до цього розділу наведено
оператор, що дозволяє будувати двовимірні годографи вектор-
них діаграм.
На рис. 6.9, а) наведено годограф векторної діаграми аналі-
тичного сигналу 2з(і), побудований при зміні і від 0 до 0,3 мкс.
Вектор 2з(і), модуль якого змінюється в часі, обертається проти
напрямку руху годинникової стрілки з миттєвою кутовою швид-
кістю 2тг/.(£). На рисунку зображено його положення в деякий мо-
мент часу і. Проекція вектора на дійсну вісь є значенням сигналу
8(0, а проекція на уявну вісь — значенням спряженого сигналу
8(0 в цей момент часу.
Можна відзначити, що навіть для простого коливання, яке
розглянуто у прикладі, годограф векторної функції 2з(і) являє
собою досить складну криву. Крім того, на різних ділянках цієї
кривої швидкість обертання вектора також різна. Наочне уявлен-
ня про поведінку вектора 2з(і) дає тривимірний годограф, в якому
додано ще одну координату — час. В додатку до цього розділу
наведено оператор, що дозволяє будувати тривимірні годографи.
Нарис. 6.9, б) зображено такий тривимірний годограф, побудова-
ний ЕОМ за програмою, яка містить тільки один цей оператор.
Знайдемо комплексну обвідну сигналу. За формулою (6.22)
виходить, що
Годографом векторної функції зветься просторова крива, описувана кінцем
радіус-вектора цієї функції.
313
де /0 — опорна частота вузькосмугового сигналу. З аналізу графі-
ка рис. 6.8, б) виходить, що за опорну необхідно вибрати частоту
= 10 МГц. Тоді
=	= А + А2е-,2А,'-^‘ =10+5е^м.
Рис. 6.9.
На рис. 6.9, в) зображено векторну діаграму комплексної обвід-
ної. Вектор 0а, що наведений на рисунку, відповідає моменту часу,
коли швидкість зміни його модуля А(і) максимальна, а швидкість
зміни миттєвої частоти мінімальна. В точках Ь і Л швидкість змі-
ни миттєвої частоти набуває екстремальних значень, а швидкість
зміни обвідної А(і) — мінімальна.
Вправа 6.5
--- Проаналізуйте графіки рис. 6.8, б), 6.8, в) та векторну
діаграму рис. 6.9, в) і дайте відповідь на такі питання:
1.	Як розміщується вектор комплексної обвідної в момент ча-
су і = 0?
2.	Вкажіть на графіках рис. 6.8, б) і в) точки, яким відповідає
положення вектора на рис. 6.9, в).
3.	Зробіть те саме для випадку, коли вектор А (рис. 6.9, в))
напрямлений в точки 6, с і сі.
Вправа 6.6
--- Запишіть оператор на мові системи МАТНЕМАТІСА,
за допомогою якого побудовано векторну діаграму рис. 6.9, в)
314
Вправа 6.7
Доповніть або змініть програму, текст якої наведено
у додатку до розділу, так, щоб задачу прикладу 6.5 можна було
розв’язати від початку до кінця, тобто, з виведенням графіків,
наведених на рис. 6.9.
Синфазна і квадратурна амплітуди є дійсною і уявною скла-
довими комплексної обвідної відповідно, як це і зображено на
рис. 6.9, в). Запишемо
«(*) = А +А со8[2ге(/, -/2)і]-у А8іп[2я0і ~/2)Л-
Тоді
аг(і)=д +АСО8[2л(/1 -/2К] і АДО=А^Р^Оіа®°
А/(О=Ю [1 + 0,5соз(8л 106і)] та А(0 = 5зіп(8л Ю60.
□
У наступному прикладі одержимо результат, що знадобиться
у подальшому.
Приклад 6.6
Вузькосмуговий сигнал з(0
задано його спектральною густиною,
графік якої наведено на рис. 6.10, а).
Знайти фізичну обвідну і повну фазу
сигналу, побудувати його графік. Ви-
значити комплексну обвідну, синфазну
і квадратурну амплітуди.
Розв'язання.
Скористаємося другим алго-
ритмом.
1.	За відомою спектральною густи-
ною сигналу з(1) згідно з (6.20) знаходи-
мо спектральну густину аналітичного
сигналу.
Рис. 6.10.
25(/), />0
0,	/<0
Графік цієї функції зображено на рис. 6.10, б), де /2 - /1 == А/,
(/2 + Л)/2 = /0.
315
2.	За допомогою оберненого перетворення Фур’є знаходимо
аналітичний сигнал
г,(0 = )и,(/)Є^Г =
-X
/о+А//2	1
= 2 (	=
/о-А//2
/2я(/0+ДГ/2)Є
€/2л(/0-ДГ/2)ґ
9
= —е}2кГоі зіп(лД^) = 2Д/ 8іпс(Д/і) [соз(2л/0ґ) + ; зіп (2л/оґ)].
лі
3.	Знаходимо сигнал $(£) і спряжений йому сигнал §(і):
з(і) = Ке [га (01 = 2Д/5іпс(Д/ґ)соз(2л/оО,
$(0 = Іш [з5(0] = 2Д/8гпе(Д^)зіп(2я/0і).
4.	Фізична обвідна сигналу буде
А(і) = 7«2(О + «2(О = 2Д/ |5іпс(Д/0| •
5.	Повна фаза
. .	8(1)
у(О = агсї§—= агсі£
8(0
8іпс (Д/ї) зіп(2я/0ґ)
8іпс(А/і)соз(2л/0і)
2л/оі,	8іпс ( Д/ґ) > 0
2л/0£ + 7і, 5іпс(Д/ґ)<0-
6. Можна записати аналітичний вираз сигналу $(£):
з(і) = А(0соз[у(0] =
.	।	[0, 8іпс(&їі} > 0
= 2Д/ 5тс(ДЛ) со8(2л/0^ + Ал), к = \	' 1 '
[1, 8іпс(Д/і)<0.
Тепер можна зобразити сиг-
нал з(і). Його наведено на рис.
6.11. Зверніть увагу на те, що
в моменти часу, коли функція
8іпс(^і) змінює знак, відбу-
вається стрибкоподібна зміна
фази високочастотного запов-
нення на кут л.
Синфазну і квадратурну
амплітуди знайдемо як дійсну
та уявну частини комплексної
обвідної сигналу, відповідно.
Рис. 6.11.
316
Оскільки 8(0 = 2Д/5шс(Д/0, синфазна амплітуда сигналу дорівнює
А/(0 = 2Д/5іпс(Д/ґ), а квадратурна амплітуда дорівнює нулю. | |
6.4. Дискретизація вузькосмугових сигналів
Теорему відліків для сигналів з обмеженим спектром, роз-
глянуту в підрозділі 5.1, можна узагальнити й на вузькосмугові
сигнали, тобто такі, які можна подати математичною моделлю
вигляду
8(0 = А(0 СО8[Т(0] = А(0 СО8[2л/0£ -4-0(0]-
На рис. 6.12, а) наведено
спектр вузькосмугового сиг-
налу 8(і). Найвища частота
у спектрі цього сигналу дорівнює
^ = /о + Д//2.
Якщо формально застосувати
теорему відліків для сигналів з об-
меженим спектром, одержимо, що
частота відліків /в > 2/0 + ДД тобто
величина надто велика, визначу-
вана, в основному, опорною частотою вузькосмугового сигналу.
Але відомо, що всю інформацію, що міститься у вузькосмуговому
сигналі, зосереджено в його комплексній обвідній. Щоб обрати
інтервал дискретизації, перетворимо аналітичний вираз сигналу
8(0 так, щоб у явному вигляді вилучити ту його складову, яка
несе інформацію.
Запишемо аналітичний сигнал, що відповідає заданому вузь-
космуговому сигналу:
г,(О = А(Ое;в(')еу2я'»‘ =з(і)еІ2^‘.	(6.27)
Тут з(і) — комплексна обвідна сигналу з(і), спектр якої наведено
на рис. 6.12, б).
а)
5(/)
А/ 7о
б)
25(/0)
0
|5(/)
Рис. 6.12.

І
2	2
9
	Задача дискретизації високочастотного коливання і
зводиться до задачі дискретизації низькочастотного |
коливання — комплексної обвідної 8(і).	:
	Найбільший припустимий інтервал між відліками ї
визначається найвищою частотою спектра функції 8(0, |
тобто,	І
Дґ =-------= — або /В = ДД
2(4/72) АГ в
(6.28)
317
Вправа 6.8
За аналогією з тим, як у розділі 5.1 було сформульовано
теорему відліків для сигналів з обмеженим спектром, дайте своє
формулювання теореми відліків для вузькосмугових сигналів.
Оскільки спектр комплексної обвідної примикає до нульової
частоти, цю функцію з найвищою частотою спектра Д//2 можна
подати рядом (5.8):
5(0= X $(^0 8іпс[/з(і-кАі).
к=-<х>
(6.29)
Підставивши (6.29) в (6.27), одержимо:
г5(0= У,§(к&і) 8іпс[/в(і - кЛі) е>2к(а* =
= £ А(кМ) 8іпс [/в(і - Мі)
к--аз
Виділивши дійсну частину цього виразу і підставивши значен-
ня частоти відліків, знайдемо сам сигнал з(і):
8(і)=^А(Мі) 8іпс [Д/(і-Мі)]сов[2л/0і+Є(Мі)].	(6.30)
А=-оо
Тут А(АДґ) — значення фізичної обвідної, а 0(АДґ) — фази
у відлікових точках.
	Ряд (6.30) будемо називати рядом Котєльникова для }
 вузькосмугових сигналів.
	За допомогою ряду (6. ЗО) можна подати будь-яку функ- |
цію, спектр якої зосереджено у смузі частот Д/ в околі \
опорної частоти /0 і /0 » Д/.	І
Розглянемо, що являють собою члени ряду (6.30). Аналі-
зуючи цю рівність, можна зробити такі висновки.
1.	Кожний доданок ряду є високочастотним, модульованим
коливанням.
2.	Обвідна цього коливання має вигляд А(йД^)| 8іпс[А/(1 - ЙД£)]|
і співпадає за формою з відповідним членом ряду (5.8) для низь-
кочастотного коливання.
3.	Високочастотне заповнення сов^л/^ + О^ДОЬ як і обвідна,
з кожним наступним відліком зміщується в часі на величину
М = 1/Д/.
318
4.	Ширина першої пелюст-
ки цієї функції визначається
шириною спектра сигналу
і дорівнює 2/А/.
5.	Як виходить з розглянуто-
го вище прикладу 6.6, ця фун-
кція має рівномірний спектр у
смузі частот А/ і з точністю до
множника А(кА£) співпадає з на-
веденим на рис. 6.10, а). Спектр
обвідної з точністю до такого
самого множника співпадає
(£-1)ДД кДі (к+1)&і
к--------2Д/ ------І
Рис. 6.13.
з тим, що зображений на рис. 6.10, в).
6.	Епюру А-го доданка ряду (6.30) наведено на рис. 6.13.
Ряд (6.30) можна записати у дещо іншому вигляді, а саме:
8(0 = А(АА^)5шс[А/’(^-/?А0] со8[2л/0(ґ-/гДО+Ж(^0],	(6.31)
Л?=-00
де у(йАО — значення повної фази вузькосмугового сигналу 8(0
в момент часу к&і.
Вправа 6.9
Покажіть, що два записи ряду Котєльникова (6.30)
і (6.31) для вузькосмугових сигналів є ідентичними.
Приклад 6.7
З вузькосмугового сигналу
8(0 = А ехр(-л£2)со8(2л/00
взято відліки згідно з (6.28).
1. Дослідити, як змінюється вигляд відновленого сигналу при
збільшенні кількості членів ряду Котєльникова.
2. Обчислити і побудувати графіки нульової, першої, другої
і третьої складових ряду Котєльнікова.
Параметри сигналу: А = 5 В, ®0 = 2к/0 = ЗО рад/с. Частоту обрано
такою низькою, щоб розв’язання задачі можна було ілюструвати
графіками.
Розв’язання,
Раніше ми одержали пару перетворень Фур’є (3.83)
ехр(-л£2) о ехр(-л/2).	(6.32)
319
Очевидно, що ліва частина цього співвідношення є нормова-
ною обвідною сигналу, який необхідно дослідити. Використаємо
знову систему МАТНЕМАТІСА і знайдемо спектр обвідної і всі
інші необхідні результати. Текст програми аналізу сигналу наве-
дено у додатку до цього розділу (програма 1).
На рис. 6.14 наведено графіки
характеристик сигналу: обвідної
А(і), самого сигналу 8(і) і його
амплітудного спектра. Аналіз
графіка обвідної сигналу, з якої,
відповідно до (6.30), треба брати
відліки, показує, що миттєві зна-
чення обвідної при |ї| > 1с близькі
до нуля. З аналізу спектра вихо-
дить, що модуль спектральної гус-
тини швидко спадає з віддален-
ням від опорної частоти ЗО рад/с,
і смуга частот, яку займає сигнал,
з високою точністю дорівнює
20 рад/с. Відповідно до теореми
відліків для вузькосмугових сигналів, частота відліків дорівнює
цій величині. Можна очікувати, що при цьому вихідний сигнал
з високою точністю можна відновити з дискретного. Відзначимо,
якщо використовувати теорему відліків для сигналів з обмеженим
спектром, частота відліків складе 80 рад/с.
Вправа 6.І0
---- Поясніть, чому для розглянутого сигналу можна обчис-
лювати спектри за допомогою оператора ЕоигіегТгапзТогт [...],
а не робити так, як при розв’язанні прикладів 3.13 та 3.14 (див.
додаток до розділу 3).

Вправа 6.11
Переконайтеся в тому, що спектральна густина обвідної,
що знайдена ЕОМ, цілком співпадає з (6.32).
Вправа 6.12
Для сигналу, що розглянуто у прикладі 6.7, фізична
і комплексна обвідні співпадають. Обґрунтуйте цей висновок.
320

Вправа 6.13
Поясніть, чому амплітудний спектр розглянутого сигналу
швидко спадає з віддаленням від опорної частоти.
Тепер можна починати дослідження.
Введемо до ЕОМ програму, текст якої (програма 2) наведено
в додатку до розділу, і запустимо її.
На рис. 6.15 зображено графіки сигналів 8п(і), відновлених
з відлікового сигналу. Тут же пунктирною лінією зображено
обвідну вихідного сигналу. З аналізу графіків виходить, що ряд
Котєльникова для заданого сигналу швидко прямує до вихідного
вузькосмугового сигналу з(ї). Вже при п — 3 (7 відліків обвідної)
похибка апроксимації стає нехтовно малою величиною.
Рис. 6.15.
Вправа 6.14
Наведіть обґрунтування, чому саме для заданого сигналу
ряд Котєльникова є швидко збіжним.
На рис. 6.16 наведено графіки першої, другої і третьої складо-
вих ряду Котєльникова.
Вправа 6.15
Поясніть:
1. Чому на рис. 6.16 не наведено графік нульової скла-
дової ряду?
321
2. Якими будуть графіки тих же складових, що й на рис. 6.16,
але з від’ємними значеннями індексів?
41 «1(0
Рис. 6.16.
Вправа 6.16
Які зміни потрібно внести до програми 2, текст якої наве-
дено в додатку, щоб обчислити і побудувати графіки, що зображені
нарис. 6.16?	| |
На закінчення цього розділу розгляньмо особливості кореля-
ційного аналізу вузькосмугових сигналів.
6.5. АКФ вузькосмугових сигналів
У розділі 4 досить докладно було розглянуто кореляцій-
ний аналіз довільних сигналів, що належать до класу сигналів зі
скінченною енергією або до класу сигналів зі скінченною серед-
ньою потужністю. Вузькосмугові сигнали мають такі властивості,
що дозволяють істотно спростити визначення їх АКФ.
Нехай а(0 = А(0соз[у(0] є вузькосмуговий сигнал зі скінчен-
ною енергією. Тоді його АКФ можна одержати, скориставшись
формулою (4.28):
Я,(т)=|а(08(<-ОЛ, -°°<т<оо.	(6.33)
-00
Однак, обчислення цього інтеграла, як правило, наштовхується
на значні труднощі. Навіть у випадку, коли інтеграл вдасться обчис-
лити, наприклад, за допомогою ЕОМ, результат часто настільки
складний, що тепер вже його інтерпретація викликає труднощі.
Приклад 6.8
Знайти АКФ вузькосмугового сигналу $(£) з прикладу
6.7. Знайти АКФ обвідної цього сигналу.
322
Розв’язання.
Запишемо формули для обчислення АКФ. Для цього
в (6.33) підставимо сигнал 8(1) і його обвідну А(і). Одержимо
Л,(т) = ] 5е-“гсоз(300 5е’м,’х)2со8[30(*-т)]</г,
-00
Лл(Т)= |5е-’‘'2-5е-’І('-х,2Л.
Для обчислення інтегралів можна скористатися будь-яким па-
кетом прикладних програм символьної математики, наприклад,
системою МАТНЕМАТІСА.
У результаті отримано такі аналітичні вирази для АКФ:
450 ят2
п 2
25 і
ЛЛХ) =—/НЕхр---------^--/30т х
4>/2	п 2	,
х Ехр| | + Ехр| + /60т |+2Ехр(/30т) >,
І Я І І я І
25 —
ад)=-Ае 2
V
Можна зауважити, що АКФ вузькосмугового сигналу є фун-
кцією істотно складнішою, ніж АКФ обвідної, і її аналіз — це
досить складна справа.	| |
9
Суттєво спростити кореляційний аналіз вузькосмугових (
сигналів дозволяє та чудова властивість вузькосмугових ’
сигналів, що вся інформація, яку вони можуть перено- |
сити, міститься в їхніх комплексних обвідних.	*
Нехай в(і) є вузькосмуговий сигнал. Це означає, що його
з високою точністю можна подати математичною моделлю такого
вигляду:
в(Є) = А(0соз[і|г)0].	(6.34)
Тут А(ґ) і у(0 фізична обвідна і повна фаза, відповідно.
Перейдемо до аналітичного сигналу (6.21). Скористаємося фор-
мулою (А.2) і запишемо 6.34) так:
8(0=Л(0---
+е'м<)
2
+|а(0є-/'і”° =12Д0+1г;(0.	(6.35)
А	£л	6	а
323
Тут гз(1) —аналітичний сигнал, що відповідає вузькосмуговому
сигналу (6.34);	— функція, комплексно-спряжена функції
2,(0-
До формули (6.33) підставимо сигнал (6.35):
)=т ЇІМ*)+~т >+2» ~т =
4
-00
1	00	00
= - І 2,(02, (< -Т)Л + ] 2*(і)2*(і-х)сіі +
+1 2* (ї)га	+ га (І)2*(і - х)<іі .
Розглянемо кожну з під інтегральних функцій окремо. При цьо-
му врахуємо, що повна фаза \у(і) = 2п/01 + 0(0- Підінтегральний
вираз першого інтеграла буде:
2, (Ф, (і -т) = А(0 А(і -х )Ехр{/ [Т(0+Т(і - т)]} =
= А(і)А(і-т)Ехр{] [2л/оґ + 0(0 + 2п/0(і-т) + д(і -т)]} =
= А(і)А(і - т)Ехр{ -] [2к/ох - 0(0 - 0(1 - т)]}Ехр(;4л/оО	(6.36)
Легко показати, що
2* (ї)г* (і - т) = А(і) А(і - т) х
х Ехр{/ [2л/от-0(О-ф-О]}Ехр(-у4лГоО. (6.37)
Аналогічно перетворимо вирази, що залишилися.
2* (0г8 (І - 0 = А(і) А(і - 0 X
х Ехр{ і [-2д/оі - 0(0 + 2л/0£ - 2л/от+0(і - т)]} =
= А(ОА(ї-т)Ехр{-у [2л/от+0(О-0(*-О]}	(6.38)
і
2в(і)г*(1-х) = А(ОА(ґ-т)Ехр{/[2л/от +0(О-9(*-О]}. (6.39)
Порівняємо між собою отримані вирази (6.36) — (6.39).
Можна відзначити, що вирази (6.36) і (6.37) містять множник
е±;4я/<>', який є швидко осцилюючим в часі, тоді як у підінтенгральних
функцій (6.38) і (6.39) немає складових, які швидко змінюються
в часі. А це означає, що першим і другим інтегралами формули,
яка визначає АКФ вузькосмугового сигналу, можна знехтувати
порівняно з тими інтегралами, де швидко осцилюючі множники
відсутні.
324
Вправа 6.17
Обґрунтуйте коректність цього твердження.
Таким чином, одержали, що АКФ вузькосмугового сигна-
лу можна без внесення істотної похибки подати так:
1	00	00
г‘(0г8(^ -т) + г,(Ог,*(< -т )]</і.
У цій формулі підінтегральна функція останнього з інтегралів
є сумою двох комплексно-спряжених функцій. Це значить, що її
можна записати так:
<	со	<	оо
-Й,(т) = -Ке І"2*(і)2,(і-х)Лі = -Ке гв(і)г*(і-х)сіі .
2	„	2
(6.40)
Вправа 6.18
Обґрунтуйте коректність формули (6.40).
З урахуванням (6.38) або (6.39) формулу (6.40) можна
подати у вигляді:
Вв (т) = і | А(ї)А(і - т) соа [2л/от + 9(0 - 9(і - т)] <іі.	(6.41)
2 _
Отже:
8
АКФ вузькосмугового сигналу можна визначити
з високою точністю за наближеними формулами (6.40)
або (6.41).
Приклад 6.9
Знайти АКФ вузькосмугового сигналу з(і) з прикладу 6.7,
скориставшись наближеними формулами. Порівняти її з резуль-
татом точного розв’язання, отриманим в прикладі 6.8.
Розв’язання.
Скористаємося формулою (6.41) і врахуємо, що 0(£) = О.
Тоді
325
1	00
ЛДт) = -СО8(30т)
Інтеграл у правій частині виразу є АКФ обвідної, знайденої
в прикладі 6.8. Отже,
25	—
Я5(т) = —-=е 2 сов(ЗОт).	(6.42)
2л/2
Нарис. 6.17, а) наведено графік
АКФ, побудований за точною фор-
мулою (див. приклад 6.8), а на рис.
6.17, б) — графік АКФ, що побу-
довано за наближеною формулою
(6.42). Графіки практично однакові.
Розрахунки на ЕОМ показали, що
максимальна абсолютна відмінність
точної оцінки АКФ від наближеної
не перевищує 10"13. Ця величина
є сумірною з тією точністю, що
гарантує ЕОМ.
Тут ми аналізували унікальний
вузькосмуговий сигнал, проте,
твердження, що було сформульо-
вано вище, як-от: при визначенні
АКФ вузькосмугових сигналів на-
ближені формули (6.40) і (6.41)
забезпечують високу точність одер-
жуваних оцінок, залишається спра-
Рис. 6.17.
ведливим для всіх вузькосмугових сигналів.
Інші приклади визначення АКФ вузькосмугових радіосигналів
буде розглянуто в наступних розділах.
На цьому ми закінчимо загальний аналіз вузькосмугових сиг-
налів. У наступних розділах підручника ми розглянемо конкретні
типи вузькосмугових сигналів — модульовані сигнали.
Вправа 6.19
Сформулюйте, у чому полягає унікальність вузькосмугово-
го сигналу, розглянутого в прикладах 6.7-6.9. Як ця унікальність
впливає на величину похибки, що виникає при використанні на-
ближених формул?
326
6.6. ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 6.1
6.1.1.	Задано сигнал з(і) = 5зіп(60л^) - 2соз(100лґ). Знайти
спряжений сигнал, фізичну обвідну і миттєву частоту.
6.1.2.	Побудувати спектри сигналу з задачі 6.1.1 і його спря-
женого сигналу.
6.1.3.	Знайти синфазну і квадратурну амплітуди, записати сиг-
нал із задачі 6.1.1 у канонічному вигляді.
6.1.4.	Задано сигнал $(£) = 5зіп(60л^ - л/3) - 2соз(100л£ 4- л/6).
Знайти спряжений за Гільбертом сигнал, фізичну обвідну і мит-
тєву частоту.
6.1.5.	Побудувати спектри сигналу з задачі 6.1.4 і його спря-
женого сигналу.
6.1.6.	Знайти синфазну і квадра-
турну амплітуди, записати сигнал із
задачі 6.1.4 у канонічному вигляді.
6.1.7.	Однобічний спектр амплітуд
і фаз сигналу з(і) наведено на рис.
6.18. Параметри сигналу: Ао = 10 В,
М - 0,8, /0 = 50 кГц, Р = 10 кГц, 60 =
= л/3 рад, у == л/6 рад. Знайти спряже-
ний за Гільбертом сигнал, фізичну
обвідну і миттєву частоту.
6.1.8.	Однобічний спектр амп-
літуд і фаз сигналу з(і) наведено на
рис. 6.18.
Побудувати спектр спряженого сигналу.
6.1.9.	Знайти синфазну і квад-
ратурну амплітуди та записати
сигнал з задачі 6.1.7 у канонічному
вигляді.
6.1.10.	Вузькосмуговий сигнал з(і)
задано спектральною густиною, що
наведена на графіку рис. 6.19. Знай-
ти фізичну обвідну, повну фазу і миттєву частоту сигналу.
6.1.11. Сигнал з4(0> наведений на рис. 2.1 (приклад 2.1, роз-
діл 2 підручника). Знайти спряжений сигнал і побудувати його
графік.
6.1.12. Сигнал з5(ґ) наведено на рис. 2.2 (приклад 2.2, роз-
діл 2 підручника). Знайти спряжений сигнал і побудувати його
графік.
0і—
0„
о
АдМ
2
АдМ
2
/
0-у
0+у
00,-'

Рис. 6.18.
5(/0)
5(/)
~/о Д/ 0 Д/
Рис. 6.19.
7
/
327
6.1.13.	Доведіть, ЩО ЯКЩО 8(0 є сигналом зі скінченною енер-
гією, то він ортогональний своєму спряженому сигналу, тобто,
6.1.14.	Визначити перетворення Гільберта сигналу 8(0 =
6.1.15.	Визначити перетворення Гільберта сигналу
Задачі до підрозділів 6.2, 6.3
6.2.1.	Вузькосмуговий сигнал 8(0 задано спектральною густи-
ною, наведеною на графіку рис. 6.19. Визначити аналітичний
сигнал, комплексну і фізичну обвідні, синфазну і квадратурну
амплітуди.
6.2.2.	Запишіть вирази аналітичного сигналу і його комплекс-
ної обвідної, якщо вихідний сигнал
8(0 = А)[1 + СОЗ(2лГ0]сО5(2л/00, /о >>
6.2.3.	Побудуйте спектри вихідного сигналу, розглянутого у за-
дачі 6.2.2, його аналітичного сигналу і комплексної обвідної.
6.2.4.	Побудуйте спектри і векторні діаграми сигналу з задачі
6.2.2 і спряженого йому сигналу.
6.2.5.	Спектральну густину сигналу 8(0 задано таким ви-
разом:	,
0,
5(/)= 50е-в|/1, -/„</<
0,	/>
Тут 50, а, /в — додатні числа.
Знайти відповідний аналітичний сигнал.
6.2.6.	Комплексна обвідна вузькосмугового сигналу з опорною
частотою /0 має спектральну густину
5(О = Ю0еУя/4/(Ь+;2я/), /0» Ь.
Визначити вихідний сигнал з(0-
6.2.7.	Вузькосмуговий сигнал
8(0 = Д) соз[2л/0£ + 7П8іп(2лР0Ь “00 < і < °°> Де /о >>
Запишіть формули для фізичної обвідної, повної фази, середньої
частоти, початкової фази, комплексної обвідної.
328
6.2.8.	Сигнал 8(і) із задачі 6.2.7 запишіть у канонічному
вигляді.
6.2.9.	Одержати аналітичний вираз і зобразити епюру сигналу,
що має спектральну густину

(80/2)е~а™-'°>,Г> /0
0,	/</0’
графік якої наведено на рис.
6.20. Сигнал 8(1) вважати
ву зькосму говим.
6.2.10.	Одержати аналі-
тичний вираз і зобразити
епюру сигналу, що має спек-
тральну густину, графік якої
наведено на рис. 6.19.
6.2.11.	Сигнал з(і) являє
собою гармонічне коливан-
ня, початкова фаза якого
в момент часу і = 0 стрибком
змінюється на 180°, як зобра-
жено на рис. 6.21. Запишіть
аналітичний вираз його ком-
плексної обвідної.
6.2Л2. Сигнал
з(і) = Ад соз(2л/0ОЩО-
Знайдіть його комплексну
обвідну.
6.2.13. Сигнал з(і) має дій-
сну спектральну густину 8(/),
графік якої при / > 0 зображе-
Рис. 6.20.
/о —А/
/о+ А/
Рис. 6.22.
5/
но на рис. 6.22. Визначити аналітичний сигнал, а також закон
змінювання в часі миттєвої частоти сигналу.
Задачі до підрозділу 6.4
6.4.1.	Задано сигнал з(і) = 5зіп(60л^) - 2соз(100л^).
Знайти частоту відліків, обчислити і зобразити спектр відлі-
кового сигналу.
6.4.2.	Записати ряд Котєльникова для відлікового сигналу
з задачі 6.4.1.
329
6.4.3.	Для дискретного сигналу, який було отримано при
розв’язанні задачі 6.4.2, обчислити і побудувати графік АЧХ
фільтра, що відновлює вихідний сигнал.
6.4.4.	Задано сигнал з(£) = 5зіп(60ти - л/3) - 2соз(100л£ 4- л/6).
Знайти частоту відліків, обчислити і зобразити спектр відлікового
сигналу.
6.4.5.	Для дискретного сигналу, що було отримано при розв’язанні
задачі 6.4.4, обчислити і побудувати графік АЧХ фільтра, що від-
новлює вихідний сигнал.
6.4.6.	Для дискретного сигналу з задачі 6.4.4, обчислити чисельні
значення перших чотирьох відліків його миттєвих значень.
6.4.7.	Для сигналу, графік спектра якого наведено на рис. 6.18,
знайти такий інтервал дискретизації, щоб за дискретним сигна-
лом можна було відновити вихідний сигнал.
6.4.8.	Спектр вузькосмугового сигналу наведено на рис. 6.19.
Зобразити сигнал $(£) та відліковий сигнал, якщо частоту відліків
обрано згідно з теоремою відліків для вузькосмугових сигналів.
6.4.9.	Для відлікового сигналу з задачі 6.4.8 записати ряд
Котєльникова.
Задачі до підрозділу 6.5
6.5.1.	Задано вузькосмуговий сигнал
т-гґ Н	1
8(0 = А>П - СО8(2лД0» /о » “•
Обчислити його АКФ. Зобразити АКФ на графіку.
6.5.2.	Сигнал 81(і) = 8(і)соз(2п/0і}, /0»1/хи, де з(і)— коливан-
ня, графік якого наведено на рис. 4.10 (приклад 4.9). Обчислити
АКФ сигналу «ДО- Зобразити АКФ на графіку.
6.5.3.	Сигнал з(0 = А8іпс(2Рі)соз(п/01), /0»Р. Скористайтеся
результатами, які отримано в прикладі 4.10, і знайдіть АКФ за-
даного сигналу. Зобразити графіки сигналу і його АКФ.
6.5.4.	Сигнал 81(0 = 8л(0со8(2я/г00, /0 » 1/Т0, Де 8д(0 — сигнал,
графік якого наведено на рис. 4.14, а) (приклад 4.15). Обчислити
АКФ сигналу 8^1). Зобразити АКФ на графіку.
330
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Френкс Л. Теория сигналов. Пер. с англ.— М.:
Сов. радио, 1974. —344 с.
2.	Сиберт У. М. Цепи, сигнали, системи: В 2-х ч. Ч. 1:
Пер. с англ. —М.: Мир, 1988. —336 с. Ч. 2: Пер. с англ. —М.:
Мир, 1988. —359 с.
3.	Хіешег ВосІ£ег Е., Тгапіег \¥і11іат Н., Еаппіп П. Вопаїсі.
8і£паІ8 апсі Зузіетз: Сопііпиоиз апсі Пізсгеіе . МастШап
РиЬ1І5Іііп£ Со., 1990 —487 р.
4.	Наукіп Зітоп. Ап Іпігосіисііоп іо Апа1о& апсі Ві£Ііа1
Соттипісаііопз. Зоїт \¥і!еу & Зопз, 1989 —652 р.
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 6
Програми до прикладу 6.5
Більшість операторів першої з програм або вже зустрічалися
раніше, або їхній зміст зрозумілий. Однак є кілька операторів,
що потребують пояснень. За допомогою операторів чисельного
інтегрування МІпіедгаіе[%,{1,0,1}] обчислюються середні значен-
ня функцій (символ «%» означає, що підінтегральний вираз
є функція, яку знайдено за допомогою попереднього оператора).
..........с/(р8І)
Оператор оі р8і обчислює значення першої похідної ———Опера-
(іі
тор ЗітрІіГу [ ] — «Спростити» — призводить функцію, записану
у квадратних дужках, до найпростішого вигляду.
а1 = 10;а2 = 5;11 =10; 12 = 6; 8 = а1*Со8(2»я*Н*і]-ьа2*Со8[2*я*12*М;
РІоІ[8, {І, 0,1), АхезІ_аЬеІ -> {'Хя»”, ”8(1),V"}]
зі = а1 * 8іп[2 * п * Н ♦ і] + а2 * 8іп(2 * я ♦ 12 ♦ і];	аа = V з2 + з12
8ітрН1у[аа]
МІпіедгаіе[7о, {І, 0,1}]
рзі = АгсТап|з1 / з}
1і =	р8і/(2*тг)
8і(пріі1у[1і]
МІпіедгаіе[о/о, {1, 0,1}]
РІоЦаа, Ц, 0, 1), РІоіКапде -> (4,15}, АхезЬаЬеІ -> П,^з", "А(і),\Г}};
РІоЦІі, 0, 1}, РІоіКапде -> {8,14}, АхезкаЬеІ -> {"1,дз", ”1(1),МНг"}];
Нижче наведено оператор, що дозволяє будувати годографи дво-
вимірних векторних діаграм. Тут 10соз(20д0 + 5соз(12лО —дійсна
331
частина, 10зііі(20л0 + 58Іп(12л£) — уявна частина аналітичного
сигналу. Остання опція оператора встановлює масштаб зобра-
ження таким, щоб розмір за вертикаллю дорівнював розміру за
горизонталлю.
РагатеІгісРІоі[{10Соз[20яІ] + 5Соз[12лі], 108іп[20лІ] + 58іп[12тгі]}, {і, 0, 0.3),
АзресШаїіо -> Аиіотаїіс];
За допомогою наступного оператора можна побудувати три-
вимірний годограф векторної діаграми аналітичного сигналу.
Тут масштабний множник 100 до змінної і визначає крок спіралі
і його обирають так, щоб графік був наочним.
РагатеігісРІоіЗО[
{10Со8[20лі] + 5Соз[12лі], 108іп[20яі] + 58іп[12яі], 1001}, {І, 0, 0.3},
РІоіРоіпІз -> 500];
Програми до прикладу 6.7
Програма 1
« СаІсиїизТоигіегТгапзїогт'
а = 5; 8 = а*г"”г*12; зг = з*СозІЗО*і];
д0 = РІоЦз, {і, -1.5, 1.5}, РІоІКапде -> {-5, 5}];
д1 = РІоЦзг, {і, -1.5, 1.5), РІоІКапде -> {-5, 5}];
за> = ЕоигіегТгапзїогт[з, і, о>]
5а>г = ЕоипегТгапзТогтІзг, С,
ехрза»г = ТгідТоЕхр[8й>г]
тосІ8а»г = АЬз[ехрзй>г]
8Ьо\л/[дО, д1, АхезЬаЬеІ -> {"І", "з(і>, А(1)”}];
РІоЦтосізбмг, -45, 45}, РІоїЯапде -> {0, 3}, АхезЬаЬеІ -> {'V, ”8(й>)*)];
5 Е~&
5 Со5Ь[ 15АЬ5^1]
І я ]
5 - 900+и? / — 15АЬ&М 15АЬ8[и>] х
— Е	4л (Е я	+ Е л )
5	900+ЯеМ . г	15 АЬзМ	_ 15АЬ&[иі] -»
— Е-------— АЬз[Е--------------- + Е~- ]
Перший оператор завантажує в робочий простір пам’яті ЕОМ
пакет обчислення перетворення Фур’є у символьному вигляді.
Наступні 3 оператори вводять обвідну заданого сигналу (позна-
чена 8) і самий сигнал (позначений 8г). За ними йдуть два опе-
ратори побудови графіків обвідної і сигналу з(і). Два оператори
ЕоигіегТгапзїогт [...] вказують ЕОМ, що потрібно знайти пряме
332
перетворення Фур’є відповідної функції. Нагадаємо, що в системі
МАТНЕМАТІСА пряме перетворення знаходиться як функція ку-
тової частоти со, рад/с (див. додаток Д). Оператор ТгідТоЕхр [...]
перетворює знайдений вираз для спектральної густини сигналу
з тригонометричної форми на експоненційну. Потім обчислюється
модуль спектральної густини. Два останні оператори відображають
сигнал і його обвідну на одному графіку й амплітудний спектр
вузькосмугового сигналу — на другому.
Під рискою наведено аналітичні вирази, що отримано ЕОМ.
Тут Е = 2,71828... — неперове число е. Перший вираз є спектр
обвідної сигналу. Наступна формула — спектральна густина вузь-
космугового сигналу виражена через гіперболічний косинус.
Третій вираз є результатом перетворення спектра сигналу з(і)
з тригонометричного на експоненційний вигляд. Нарешті, останній
вираз — це амплітудний спектр сигналу з(і).
Програма 2
Більшість операторів програми нам вже відомі. З’явився
тільки один новий оператор М[ТаЬІе[8СІ, {к, -5, 5}]]. Оператор
ТаЬІе[зсІ, {к, -5, 5}] виводить таблицю значень функції зсі при к,
що змінюється в межах [-5, 5] (11 значень) у символьній формі.
Зовнішній оператор М[...] вказує ЕОМ, що значення функції 8СІ
треба вивести в чисельній формі. Параметр п задає кількість скла-
дових ряду Котєльникова. Під горизонтальною лінією першим
виведено інтервал дискретизації Дґ = тс/10 с. З проведеного вище
аналізу виходить, що кількість відліків миттєвих значень обвідної
приблизно дорівнює 2/(я/10) + 1» 7...9.
Далі записано формулу, що визначає дискретний сигнал
і, нарешті, таблицю значень 11 відліків з обвідної сигналу.
сК=20/(2я); сК = 1/сН
а = 5; п = 4; зсі = а * г“л*(к*т)А2
епуіаЬІ = М[ТаЬІв[зсі, {к, -5, 5}])
п
згеіг =	зсі ♦ (8Іп}я ♦ сИ * (і - к * сії)] / (я • сН * (і - к * сії))) * Соз[30 * <];
к=-п
РІоЦзгеСг, {і, -1.5,1.5}, РІоіЯапде -> {-5, 5}, АхезЬаЬеІ -> ("Г, ”8(1)”}];
10
5Е~^к27г3
{0.00215034, 0.0350294, 0.306933, 1.44656, 3.667, 5., 3.667,
1.44656, 0.306933, 0.0350294, 0.00215034}
333
СИГНАЛИ З АМПЛІТУДНОЮ
МОДУЛЯЦІЄЮ
Вступ
Однією з найважливіших проблем техніки зв’язку
є побудова та аналіз таких систем, які дозволяють одночасно пере-
давати кілька повідомлень по одному каналу зв’язку. Здійснити
це можна, якщо кожне з повідомлень перенести в різні дільниці
частотного діапазону. Ця операція має назву частотне ущіль-
нення (див. підрозділ 10.4 другої частини). На приймальному
кінці кожне окреме повідомлення виділяється шляхом частот-
ної фільтрації.
В цьому розділі почнемо розглядати методи, за допомогою яких
можна здійснити таке перенесення без втрати інформації, що міс-
титься у повідомленні. Особливу увагу приділимо аналізу характе-
ристик радіосигналів у частотній області, оскільки проектування
будь-якої радіотехнічної системи починається з вибору сигналів,
а цей вибір ґрунтується на порівнянні спектрів сигналів.
Як правило, сигнали, що надходять від джерел повідомлень
(мікрофон, передавальна телевізійна камера, давач телеметрич-
ної системи та ін.) є низькочастотними і не можуть ефективно
передаватися на велику відстань у будь-якому середовищі.
Для того, щоб це здійснити, необхідно перенести спектр цих сиг-
налів з низькочастотної області в область досить високих частот.
Ця процедура в радіотехніці називається модуляцією.
Таким чином, для передачі інформації по радіоканалах викори-
стовується високочастотне коливання (носійне, несуче коливання),
один з параметрів якого змінюється в часі згідно з керувальним
сигналом — передаваним повідомленням. Як носійне коливання
найчастіше використовується коливання вигляду
ас(і)==Асо8(2п/і+ в).	(7.1)
334
Тепер можна уточнити термін «модуляція*.

	Зміна параметрів носійного коливання за законом
 модулювального сигналу називається модуляцією.
	Модулювальний сигнал — це той низькочастотний
сигнал, який необхідно передавати на відстань без втра-
ти інформації, що міститься в ньому.
	Операція модуляції здійснюється у пристроях, що
називаються модуляторами.
	Щоб на приймальному кінці каналу зв’язку можна
було повернутися від модульованого сигналу до вихідного
модулюючого сигналу, необхідно, щоб існувала операція,
обернена операції модуляції, і відповідні пристрої —
демодулятори (або детектори).
Якщо як носійне використовується коливання (7.1),
піддавати модуляції можна будь-який з його параметрів, тобто,
амплітуду А, частоту / або початкову фазу 0. Залежно від цього
розрізняють амплітудну (АМ) і кутову (КМ) модуляції. Кутова
модуляція в свою чергу буває частотною (ЧМ) і фазовою (ФМ).
Як виходить із самої назви, при АМ амплітуда носійного коли-
вання змінюється за законом
А(/)=АО + ^(І).	(7.2)
При ЧМ миттєва частота змінюється згідно з
ло-гв+м*)’	<7-3)
Нарешті, у випадку ФМ
0(П = 0о + МО-	(7-4)
У формулах (7.2), (7.3) і (7.4) кА, к^їк* — додатні коефіцієнти
пропорційності, які мають назву амплітудна чутливість модулято-
ра, частотна чутливість модулятора і фазова чутливість модулятора
відповідно; е(і) — сигнал, що модулює носійне коливання; Ао, /0
і 0О — амплітуда, носійна частота (НсЧ) і початкова фаза носійно-
го коливання, коли е(і) — 0.
Крім стандартної АМ (або АМ з повним спектром), в цьому
розділі розглянемо спеціальні види АМ; саме вони найчастіше
використовуються на практиці в системах зв’язку і т.ін.
Розглядати сигнали, що використовуються в сучасних систе-
мах зв’язку, неможна без хоча б короткого огляду на рівні струк-
турних схем пристроїв, за допомогою яких такі сигнали можна
335
одержувати, і пристроїв, за допомогою яких можна здійснювати
їхню демодуляцію. Зауважимо, що і ті, і другі пристрої є досить
складними. Однак, тих знань із теорії сигналів, які наведено вище,
досить, щоб зрозуміти принципи їх побудови. Головна мета — по-
казати, як отримані математичні моделі тих або інших сигналів
дозволяють синтезувати структурні схеми систем для генерування
і детектування таких сигналів.
Закінчимо цей розділ порівняльним аналізом сигналів і систем
з різними видами АМ.
Розглянемо спочатку найпростіший випадок тональної АМ,
визначимо основні переваги і недоліки стандартної АМ. Потім
поступово будемо переходити до все більш складних сигналів,
намагаючись зберегти переваги стандартної АМ, і як тільки мож-
на звести до мінімуму її недоліки.
7.1.	Тональна АМ. Подання сигналів у часовій
і частотній областях. Векторні діаграми
(7.5)
Згідно з визначенням, АМ сигнал записується так:
в(0 = А(Осоз(2л/оі+0о) = [Ао + кАе(і)]соз(2п/0і+д0) =
кл
= А0 1+-А-е(і) со8(2л//+0о).
І Ао З
Розглянемо найпростіший випадок тональної АМ, коли
е(і) = Есоз(2яЕі + у).	(7.6)
Тоді, підставивши (7.6) у (7.5), одержимо
к Е
з(і) = А0 1 + ——соз(2лГ4+у) соз(2л/0£+90).
Позначимо
М = шах
1^(01
або у випадку тональної АМ
м=йіВ = ДЛ
(7.7)
(7.8)
336
8
	Параметр М, визначений формулою (7.8), називається
коефіцієнтом амплітудної модуляції (коефіцієнтом
глибини амплітудної модуляції).
	Коефіцієнт амплітудної модуляції дорівнює відношенню ;
максимального приросту амплітуди коливання до амп-
літуди Ао немодульованого носійного коливання (або — і
до амплітуди коливання, коли сигнал, що модулює,
дорівнює нулю).	'
	Коефіцієнт АМ звичайно обчислюють у відносних >
одиницях або в процентах.	І
* 4	'	*  Л' > • ’ " '	'-іХ.
З урахуванням (7.8) сигнал з тональною АМ можна
записати так:
8(1) = Ао[1 + Мсоз(2пГі + у)]соз(2л/0£ + 90).	(7.9)
Тут ІА0[1 + Мсоз[2лГ< + у]| = А(і)— фізична обвідна сигналу
з тональною АМ.
Лише у випадку, коли М < 1, А(і) = Ао[1 + Мсоз[2пГі + у] та фі-
зична обвідна АМ сигналу вміщує неспотворену інформацію про
сигнал, що модулює. Якщо М > 1, вимога лінійної залежності А(і)
від е(і) не виконується, що призводить до появи спотворень —
перемодуляції.
На рис. 7.1 як приклад наведені епюри АМ коливання ви-
гляду
в(і) = 2[1 + Мзіп(2л0]соз(20лі).
У коливання рис. 7.1, а) коефіцієнт амплітудної модуляції
М = 0,7, у коливання рис. 7.1, б) — М = 1,4. Можна відзначити,
що у першому випадку обвідна АМ сигналу (пунктирна лінія) про-
порційна е(£) — спотворень немає. У другому випадку пропорцій-
ність порушено, з’явилися спотворення. Це добре ілюструє рис.
7.2, на якому наведений тривимірний графік залежності ампліту-
ди того самого АМ коливання від часу та коефіцієнта модуляції.
Доки М < 1, спотворень немає, а потім зі зростанням коефіцієнта
АМ зростають і спотворення. Зверніть увагу на те, що при М > 1
(рис. 7.1, б)) в моменти часу, коли А(і) = 0, фаза високочастотного
заповнення стрибком змінюється на 180°.
З аналізу рис. 7.1 можна одержати формулу, за допомогою якої
за виглядом коливання з тональною АМ (наприклад на екрані
осцилографа) можна знайти значення коефіцієнта амплітудної
модуляції.
337
Рис. 7.1.
Рис. 7.2.
За формулами (7.8) і (7.9), а також з аналізу графіків рис. 7.1
виходить, що
Апах = Ло(1 + М)>	д^.Апах Апіп
Апіп А^І-М)	Апах+Апіп'
(7.10)
Тут А™- і Ашп — максимальне та мінімальне значення амплітуди
АМ сигналу.
Вправа 7.1
--- Зобразіть епюри сигналів з тональною АМ, якщо Ао = 1,
Мї = 0,3, М2 — 1, М3 =1,5. Значення Р і /0 виберіть довільними,
але такими, щоб /0 » Р.
Таким чином, щоб на приймальному кінці лінії зв’язку можна
було за допомогою детектора одержати неспотворену обвідну АМ
сигналу, необхідно виконати дві умови.
9
	Коефіцієнт амплітудної модуляції повинен задовольня-
ти вимозі М < 1.
	Активна ширина спектра сигналу, що модулює, має
бути малою порівняно з НсЧ /0.

Останню вимогу буде обґрунтовано пізніше, коли ми роз-
глянемо випадок АМ довільним сигналом.
338
Тепер перейдемо до подання сигналу з тональною АМ у частот-
ній області.
Сигнал з тональною АМ за умови Ц/Р = с, де с — раціональне
число, є періодичним коливанням.
2
Вправа 7.2
Обґрунтуйте це твердження.
Знайдемо спектр. Для цього перетворимо вираз (7.9) так,
щоб сигнал в(і) був записаний у вигляді суми кількох доданків,
кожен з яких є гармонічним коливанням зі своєю амплітудою,
частотою і початковою фазою.
»(і) = Д [1+М со8(2геГ і +у)] со8(2л/</+0О) =
= Д со8(2л/0£ +0о)+А$М соз(2кРі +у)со8(2тс/оі+0о).
Застосувавши формулу (А. 17), одержимо
з(0 = Д соз(2ге/0і +0О) +	со8[2гс(/0 + Р)і +0о +у] +
2
+^^с°8[2ге(/о-Г)і+0о-у].	(7.11)
За виразом (7.11) можна побудувати спектр сигналу з тональною
АМ.
На рис. 7.3, а) наведено амплітудний спектр модулюючого
сигналу. На рис. 7.3, б) — спектр амплітуд (видно, що М < 1),
а на рис. 7.3, в) — спектр фаз коливання зі стандартною тональ-
ною АМ.
Рис. 7.3.
а) |£(У)|
в/28(/+Л 4 | |Я/я«(/-Л
"М/)І „„„
І б)	♦
/о	0	/о
'а^СУ+Уо) в) |8(ЛІ	А/ааС/Уо)
\лАоМ/45(/+Л+Л І ^/««(У-УстЛ*/
ТаоМ/45(/+/,-П А>м/4а(ЛУглТ
0
Рис. 7.4.
339
Знайдемо спектральну густину коливання	Нехай з(ї) <=> 5(/)
тоді, використовуючи теорему лінійності і пару перетворень Фур’є
№ 10 з таблиці Б.2 або теорему переміщення за частотою і пару
перетворень Фур’є № 9 з тієї самої таблиці, одержуємо такий ви-
раз для спектральної густини коливання зі стандартною тональ-
ною АМ:
«(0 « 8(п = А [ея 5 (/ _ Д) +	з (/ + д)] +
£
+АА[ехмт)з у _ Д _ Р)+е-лео+т>5 (/ + /0 + Г)] +
4
4-АА[єЯЄ0-г)5(/_^ +Г) + е-К9о-г)3(/ + д _Г)].	(7.12)
4
Запишемо ще й вираз для спектральної густини модулюючого
коливання (7.6):
е(Є)« Е(Г) =	(/ - Г) + еЧ + Г)].	(7.13)
64
Нарис. 7.4, а) наведено амплітудний спектр модулюючого коли-
вання, на рис. 7.4, б) — амплітудний спектр носійного коливання
(модуль першого доданка (7.12)), а на рис. 7.4, в) — амплітудний
спектр АМ сигналу в(і).
З аналізу спектра коливання з тональною АМ (рис. 7.3) можна
зробити такі висновки:
0
Спектр коливання з тональною АМ складається з трьох
складових:
	носійної на частоті /0 з амплітудою Ао і початковою
фазою 0О;
	верхньої бічної складової на частоті /0 + Г, з ампліту-
дою .^9— і початковою фазою 0. + у;
2
	та нижньої бічної складової на частоті /0 - Е, з тією
самою амплітудою А^. і початковою фазою 60 - у.
2
Підкреслимо ще одну особливість спектрів сигналів
з АМ.
340
в
	Якщо ширина спектра модулюючого коливання дорів-
нює Е, то спектр коливання з АМ має ширину 2Е, тобто
вдвічі більшу.
	Амплітуди бічних складових однакові, а їхні початкові
фази симетричні відносно фази носійного коливання.
	Якщо перша особливість спектрів АМ коливань є недолі-
ком цих сигналів, то друга — їх важливою для практики
перевагою.
Зобразимо векторні діагра-
ми коливання з тональною АМ,
тобто кожен з доданків виразу
(7.11) подамо графічно вектором
зі своїм модулем та аргументом.
Таку векторну діаграму наведено
на рис. 7.5, а).
Вектор носійного коливання
обертається відносно нерухомої
осі проекцій проти годинникової
стрілки з кутовою швидкістю ®0 =
= 2л/0. Довжина (модуль) вектора
носійної дорівнює Ао і в деякий
фіксований момент часу і вектор
розміщено під кутом 2п/0І + 0О до
осі проекцій. Вектори бічних, ко-
жен з яких має довжину А0М/2,
обертаються у той самий бік, що й
вектор носійної, з кутовими швид-
костями 2л(/0 + Е) — верхня бічна
і 2л(/0 - Е) — нижня бічна. У будь-який момент часу вони розмі-
щені симетрично векторові носійної під кутами 2пЕі 4-у — верхня
бічна і ~(2пЕі + у) — нижня бічна. В результаті підсумовування
трьох векторів одержуємо вектор обвідної АМ коливання в момент
часу і, тобто А(і). Проекція цього вектора на вісь проекцій дорів-
нює миттєвому значенню сигналу $(і) у момент часу і.
Частіше векторні діаграми радіосигналів зображують в системі
координат, що обертається. Таку векторну діаграму наведено на
рис. 7.5, б). Тут вісь проекцій обертається з кутовою швидкістю
®0 = 2л/0 в напрямку руху годинникової стрілки і в момент часу і
займає положення, відображене на рисунку. Вектор носійного ко-
ливання розміститься під кутом 0О до напрямку осі проекцій, який
вона займала в момент і = 0, і не змінюватиме свого положення
341
з плином часу відносно спостерігача. Вектори бічних складових
розміщуються так само відносно вектора носійної, як і на діаграмі
а), але обертаються з однаковою швидкістю 2кЕ у протилежних
напрямках: вектор верхньої бічної — проти годинникової стріл-
ки, вектор нижньої бічної — за годинниковою стрілкою. Всі три
вектори підсумовуються, наслідком чого є вектор обвідної АМ
коливання А(і). Проекція цього вектора на вісь проекцій дорівнює
миттєвому значенню сигналу з(і) у момент часу і.
Вправа 7.3
Зобразіть векторні діаграми АМ коливання, наведеного на
рис. 7.1, а) для моментів часу 1=0, Т/4, Т/2, ЗТ/4, де Т = 1/Е.
Приклад 7.1
--- Задані параметри коли-
вання з тональною АМ: Ао = 2 В,
М = 0,5,60 = тг/З, у = я/6, /0 = 10 кГц,
Е = 2 кГц.
Записати вирази для аналітично-
го сигналу і комплексної обвідної
заданого коливання. Побудувати
векторні діаграми аналітичного
Рис. 7.6.
сигналу та комплексної обвідної,
знайти синфазну і квадратурну амплітуди.
Розв’язання.
На рис. 7.6 наведено фрагмент сигналу з(і) та його обвід-
ної А(і).
Спочатку одержимо потрібні вирази в загальному вигляді.
Аналітичний сигнал пов’язаний з вихідним сигналом з(і) фор-
мулою (6.15)
2,(0 = 8(0+ /8(0,
(7.14)
де 8(0 — сигнал, спряжений за Гільбертом сигналу з(і).
Згідно з (7.11), сигнал з тональною АМ можна записати так:
8(0 = Д)со8(2я/оі+0о)+-^^-со8[2ге(/о +Е)і+0о +у] +
2
+^со8[2я(/0-ГИ+Є0-у].	(7.15)
342
Щоб знайти спряжений сигнал, скористаємося властивістю ліній-
ності перетворення Гільберта та таблицею Б.З.
8(0 = Ао 8іп(2ге/оЄ+0о)+^Ц^8Іп[2я(/о +Р)Є+0о +у]+
А
+^£8Іп[27і(/0 -1?Х+0о -У].	(7-16)
Підставивши (7.15) і (7.16) в (7.14), згрупувавши доданки та
скориставшись теоремою Ейлера (А.1), одержимо аналітичний
сигнал:
+ АрЛ/ -Д2я?ї+г) ^(2я/0і+в0)
2	2
(7-17)
Комплексна обвідна, згідно з (6.22), має вигляд:
8(0=Ар+ А^.еЛ2^)+ Ао^є-Л2^>=дді+мСО8(2яЕі +у)]. (7.18)
2	2
Підставимо числові значення.
г,(0 = [2+О,5еЛ41о3’“+"/6) +0,5е"Л41°3”+"/6)] еЯ210‘*+"/3)
з(0 = 2+соз(4 • 103я£+я / 6).
Рис. 7.7.
На рис. 7.7, а) зображено годограф векторної діаграми ана-
літичного сигналу, побудований при зміні часу від 0 до 0,5 мс.
343
Для моменту часу і = 0 наведено векто-
ри носійного і двох бічних коливань.
Вектор носійної обертається з кутовою
швидкістю а>0 = 2л • 104 рад/с проти
годинникової стрілки, описуючи кінцем
коло радіусом 2. Обидва вектори бічних
складових обертаються в той самий бік
зі швидкостями: вектор верхньої біч-
ної — 2л • 12 • 103 рад/с, вектор нижньої
бічної — 2л • 8 • 103рад/с. Вектор верх-
ньої бічної в заданий момент часу роз-
міщений під кутом л/2 до дійсної осі,
вектор нижньої бічної — під кутом л/6.
Сумарний вектор протягом часу змінює
довжину так, що його годограф являє
собою складну криву, яку й наведено
нарис. 7.7, а). Нарис. 7.7, б)зображе-
но розгортку в часі векторної діаграми.
Показано положення вектора аналітич-
іш[5(01
а О	ь
-1--1* Т Ч---Ке[в(і)]
0 12	3
ного сигналу в момент часу і = 0 (вектор Оа) і в момент і = 1 мс
(вектор О'Ь). Оскільки інтервал в 1 мс кратний періоду сигналу
в(і), а отже, й періоду аналітичного сигналу, вектори Оа та О'Ь
співпадають і за напрямком, і за величиною.
Перейдемо до аналізу комплексної обвідної сигналу. За (7.18)
квадратурна амплітуда сигналу зі стандартною АМ дорівнює
нулю.
На рис. 7.8, а) зображено векторну діаграму комплексної обвід-
ної сигналу з(і). Комплексну обвідну подано на ній векторами Оа
та ОЬ для різних моментів часу. Оскільки квадратурна ампліту-
да дорівнює нулю, у будь-який момент часу вектор комплексної
амплітуди лежить на дійсній осі.
На рис. 7.8, б) зображено векторну діаграму комплексної об-
відної сигналу, що розгорнута в часі. За її допомогою легко визна-
чити, якому моменту часу відповідає вектор Оа, якому — вектор
ОЬ, що зображені на рис. 7.8, а).	| |
§
Вправа 7.4
Складіть в системі МАТНЕМАТІСА програму побудови
векторних діаграм, наведених на рис. 7.7 і 7.8. Використайте
для цього оператори РагагпеігісРІоі [...] і РагатеігісРІоіЗО [...],
як це зроблено у прикладі 6.5.
344
7.2.	Енергетичні характеристики коливань з АМ
Розглянемо випадок тональної АМ, але основні висновки,
яких буде одержано, справедливі і для сигналів з АМ довільним
сигналом.
Амплітуда АМ коливання є функцією часу, тому середня за
період НсЧ /0 потужність, що виділяється на опорі Н, також буде
деякою функцією часу. Нехай Н = 1 Ом. Введемо та проаналізуємо
декілька найважливіших, з точки зору проектування радіотехніч-
них систем з АМ, енергетичних характеристик АМ сигналів.
Середня потужність носійного коливання —
потужність у режимі мовчання
Це середня потужність гармонічного коливання з амплі-
тудою Ао і вона дорівнює
А
Ро=^-	(7-19)
Далі всі оцінки потужностей будемо порівнювати з потужні-
стю Ро.
Максимальна або пікова потужність
Це миттєва потужність в момент часу, коли амплітуда
сигналу максимальна.
Ртах	Е^°(^М)]2 = Р0(1 + М)2.	(7.20)
й
	У випадку, коли М = 1, Ршах = 4Р0.
	Це означає, що передавальний пристрій системи
зі стандартною АМ має бути розрахований на потуж-
ність, яка в чотири рази перевищує середню потужність
носійного коливання.

Середня потужність бічних складових сигналу з АМ
Оскільки амплітуди верхньої і нижньої бічних складо-
вих однакові, середні за період відповідних частот потужності
також однакові і сумарна середня потужність бічних складових
дорівнює
345
Ре-2(А,м/2)‘
(7.21)
8
	Навіть у випадку, коли М= 1, Рв = Р0/2. Оскільки^
інформація про коливання, що модулює, міститься ;
у бічних складових, можна зробити висновок, що потуж- І
ність при передачі АМ сигналу використовується
неефективно.
	Це перший значний недопік сигналів з АМ.	і
Середня потужність за період модулюючого
коливання
Нехай Т = 1 /Р, тоді середня за цей проміжок часу потуж-
ність сигналу з(і), що виділяється на опорі 1 Ом, обчислюється
за відомою формулою
Підставимо до цієї формули наш сигнал (для спрощення
приймемо 0О = у = 0).
Рт = ^{АДІ + М со8(2лРі)]со8(2тс40)2с(і =
А2	А2
=	/т[1 + ЛГс°8(2яР0]2</Я-^-|г[1 +М сов(2йГі)]2 со8(4л/00^^
Другий з інтегралів правої частині цього виразу дорівнює
нулю. Тоді
2 ПГ*
2
А? г	М2 М2
Рт=^!т 1+2Мсо8(2пРі)+^~+^-со8(4яРі) сіі =
= ^-Г Лі+
2Т}т
Л^М2
АТ

Остаточно маємо:
(7.22)
346
Легко показати, що середня потужність за період модулюю-
чого коливання дорівнює сумі середніх потужностей носійної
і бічних складових.
Ефективність АМ сигналів з точки зору передачі інформації,
яка міститься в модулюючому сигналі, зручно характеризувати
величиною коефіцієнта корисної дії (ККД).
Коефіцієнт корисної дії сигналів з АМ
ККД визначимо як відношення середньої потужності біч-
них коливань до повної середньої потужності АМ коливання:
(7-23>
8
Навіть у випадку, коли М = 1, коефіцієнт корисної дії
АМ сигналів становить усього, приблизно, 33%, тоб-
то 2/3 потужності, яка випромінюється передавальним
пристроєм, фактично не використовується.
Але навіть такого значення ККД неможливо досягти,
якщо як модулюючий використано реальний сигнал, що містить
інформацію, яку необхідно передати. Розглянемо, наприклад,
випадок, коли система з АМ призначена для передачі складних
коливань типу звукових сигналів. У цьому разі необхідно врахо-
вувати так званий пік-фактор складного коливання. Пік-фактор
(рГ) визначається як відношення величини максимального значен-
ня сигналу до його середньоквадратичної величини. Очевидно,
що р/ гармонічного коливання дорівнює 42. ККД АМ не може
перевищувати величину 1/(1 + (р/)2]» якщо не допускається пе-
ремодуляція (див. детальніше, наприклад [ї]). Підставивши до
цієї формули значення пік-фактора гармонічного коливання, ми
й одержимо ККД ® 33% для тональної АМ. Величина пік-фактора
звукових сигналів приблизно дорівнює 35. Отже, ККД АМ для
такого типу сигналів не перевищує 0,1%. Для підвищення ККД
в радіомовних станціях використовують систему автоматичного
регулювання підсилення (АРП) для зменшення підсилення в той
момент часу, коли інтенсивність звуку висока. Це зменшує вели-
чину пік-фактора приблизно до 8. Крім того, допускають деякі
спотворення за рахунок перемодуляції.
347
Приклад 7.2
--- Тональне АМ коливання $(£) має такі параметри: /0 =
= 200 кГц, Р = 500 Гц, найбільше значення обвідної Атах = 2 В,
найменше значення обвідної Атіп = 1 В.
Визначити коефіцієнт амплітудної модуляції і записати вираз
для сигналу якщо 0о = у = О. Побудувати спектр АМ коли-
вання.
Розв’язання.
За формулою (7.10) знаходимо величину коефіцієнта ам-
плітудної модуляції:
Щоб записати аналітичний вираз АМ сигналу необхідно
знайти амплітуду носійного коливання:
А =тах----тіп = 15В
0	2
Підставимо отримані значення до (7.9)
8(0 = 1,5
1+і соз(1ОООя0
соз(2к-21050-
0,5
1:
Рис. 7.9.
1,995 2 2,005 //10
Щоб побудувати спектр, скористаємося записом АМ коливання
вигляду (7.11)
в(0 = 1,5со8(4л-1050 +
+ 0,25со8(2л-2,005-105О +
+ 0,25со8(2л.1,995.1050.
Будуємо спектр амплітуд (рис. 7.9).
Початкові фази всіх складових спек-
тра дорівнюють нулю.	|2]
Приклад 7.3
Сигнал з тональною АМ прикладений до опору Н = 200 Ом.
Визначити потужність Ро носійної, сумарну потужність бічних
складових, миттєву максимальну потужність, середню потужність
та ККД сигналу з тональною АМ, якщо Ао = 4 В, коефіцієнт амп-
літудної модуляції М = 0,6.
348
Розв’язання.
Якщо потужність носійної, що виділяється на опорі 1 Ом
дорівнює /2, то на опорі В виділиться потужність А$ /(22?). Тоді
для розглядуваного прикладу Ро = 40 мВт.
Сумарна потужність бічних складових пов’язана з потужністю
носійного коливання формулою (7.21)
п п М2 40-0,36	„
Рк = Ро---=-------= 7,2 мВт.
Б 0 2	2
Миттєва максимальна потужність за (7.20) дорівнює:
Р = Р0(1 4-М)2 = 40-2,56 = 102,4 мВт.
Середню потужність за період модулюючого коливання знайдемо
за (7.22)
( М2}
РТ = РО 1+— =40-1,18 = 47,2 мВт.
І 2 )
Нарешті, ККД обчислимо за формулою (7.23):
М2 0,36	й ,со.
Т| АМ =----- =---= 0,15 або 15%.
2 + М2 2,36	г—і
Вправа 7.5
У сигналі з прикладу 7.3 змінено коефіцієнт АМ, тепер
М = 1. Обчисліть енергетичні показники сигналу.
Ми розглянули тональну АМ. Далі розглянемо загальний
випадок АМ, коли як модулююче коливання виступає довільний
сигнал.
7.3.	Коливання з АМ довільним сигналом
Розглянемо 2 випадки:
1.	Сигнал, що модулює, є довільною періодичною функ-
цією часу, тобто він належить до множини (1.34)
е(0 =	= е(і + Т), -оо < і < ОО,
де Т— фундаментальний період модулюючого сигналу
349
2.	е(і) — неперіодична функція часу.
У випадку 1 модулювальний сигнал є періодичним і його
можна подати за допомогою ряду Фур’є. Нехай стала складова
дорівнює нулю, тоді
єя(0 = ХАСО8(2я7;'л^+Ул), де	2^1/Т.	(7.24)
П=1
Згідно з (7.2)
з(і)= А0+кА'£Апсо8(2пЕпі+уп) соз(2я/оі+Єо) =
1 00 к А
= А0со8(2пГ0і+Є0)+-^	^А0со8[2я(/0 + Рп)і+в0 +ул]+
1 * к А
+ -Ц -^А0со8[2л(/0 -Рп)і+Є0 -у„].
Тут кожен доданок суми помножено і поділено на Ао. Позначимо
м
Мп називається парціальним коефіцієнтом амплітудної моду-
ляції п-ї гармоніки спектра модулюючого сигналу. З урахуванням
введеного позначення одержуємо для АМ коливання у випадку,
коли сигнал, що модулює, є періодичною функцією часу, цей
вираз:
00 А М
$(І) = Л СО8(2гсГ0І+Є0) + ^-^-^-СО8[2п(Г0 + Рп)і+Є0 +ул]+
П=1	*
+ Е^^С08[2я(/о-Рп)і+% -ул].
*
(7.25)
Зауважимо: (7.25) подає АМ сигнал у вигляді суми складових,
кожна зі своєю амплітудою і початковою фазою, тобто спектр цьо-
го сигналу нам вже відомий.
З аналізу формули (7.25) можна зробити важливі висновки.
5
Спектр АМ коливання формується зі спектра періодич-
ного модулюючого сигналу ея(і) таким чином:
	права (верхня частотна складова) відносно НсЧ /0 поло-
вина спектра являє собою спектр модулюючого сигналу
350
після помноження амплітуд гармонік на коефіцієнт &Л/2
(або — помноження амплітуди носійної на відповідні кое-
фіцієнти модуляції Мп і ділення результату на 2);
	ліва (нижня частотна складова) є симетричним відбит-
тям правої складової відносно НсЧ
Вправа 7.6
Розгляньте загальний випадок, коли стала складова
періодичного модулюючого сигналу не дорівнює нулю, тобто, ряд
Фур’є має вигляд:
МО^ + ЕЛсоз^тг^+уД де
“	П=1
Проілюструємо зв’язок спектрів модулюючого сигналу зі спек-
тром АМ коливання графічно. Нарис.7.10, а) наведено амплітудний
спектр періодичної послідовності імпульсів прямокутної форми,
одержаний у прикладі 3.3 (рис. 3.8, б)). Цей сигнал є таким, що
модулює. На рис. 7.10, б) показано спектр амплітуд АМ сигналу,
носійне коливання якого має амплітуду Ао і частоту /0.
З порівняння спектрів АМ сигналу і сигналу, що модулює, слід
зробити такий висновок:
8
	Спектр радіосигналу зі стандартною АМ займає смугу
частот, яка вдвічі перевищує ширину смуги частот моду-
люючого (керувального) сигналу.
	Це другий суттєвий недолік сигналів зі стандартною
АМ.
351
7.11, а).
Приклад 7.4
Спектр коливання 8(і) з АМ наведено на рисунку
Я...
-я/2-
а)
п/2
ЗО
20
10
Рис. 7.11.
.в2108108
108 2-10810<
Визначити парціальні коефіцієнти модуляції, записати аналі-
тичний вираз коливання та зобразити його векторну діаграму
для моменту часу і = 0.
Розв’язання.
Аналізуючи амплітудний і фазовий спектри рис. 7.11, а),
можна зазначити, що для кожної пари бічних складових, розмі-
щених на однаковій відстані від частоти 106 Гц, виконуються влас-
тивості симетрії спектрів, притаманні сигналам з тональною АМ.
Отже, розглядуваний сигнал є наслідком АМ носійної з частотою
/0 = 10е Гц, амплітудою Ао = ЗО В і початковою фазою 90 = п/2 рад
двома гармонічними коливаннями з частотами 2?1 = 2103Гц
і Р2 = 3 • 103 Гц.
Парціальний коефіцієнт амплітудної модуляції М1 знайдемо
за відомими амплітудами бічних. За визначенням
. Л»М1 •	„Л- 2Аі 2-5 1
д	2—ь звідки маємо М, =—к =-------= —
1	2	1 А, ЗО З
Аналогічно знайдемо М2.
2А, 2-Ю 2
М, =—- =---= -
2	Л ЗО З
352
Щоб записати аналітичний вираз коливання необхідно ви-
значити початкові фази модулюючих коливань у1 і у2. Початкова
фаза, наприклад, верхньої бічної першої модулюючої гармоніки
дорівнює:
00 + У і = тоді У! = я -90 =
Аналогічно
л
0о+У2=—,
4
Зп
Вправа 7.7
Переконайтеся в тому, що обчислення початкових фаз
і у2за відомими значеннями початкових фаз нижніх бічних дасть
той самий результат.
Тепер можна записати:
в(0 = А [1 + Му 005(2^ 1+Уу) + М2 со5(2л7:'2ґ+у2)]со8(2л/:оґ+0о) =
1	।	тг 12	।	Чтг
= 30 1 + —СОЗ 4тс103і + — +—соз 6л103і +—
ЗІ 2) З І 4
соз| 2л106і+— І.
І 2)
Векторну діаграму коливання в(і) для моменту часу і = 0 наве-
дено на рис. 7.11, б)	| |
Розглянемо випадок, коли сигнал, що модулює носійне
коливання, є неперіодичною функцією часу.
Нехай е(і) <=> Е(/). Визначимо спектральну густину 5(/) сигна-
лу з(і) з АМ через відому спектральну густину Е(Г) модулюючого
сигналу е(і).
Зробимо так. Запишемо АМ сигнал з(і) в часовій області, а по-
тім, використовуючи теореми про спектри, знайдемо його відбиття
в частотній області.
За визначенням сигналу з АМ
з(і) - [А +	со8(2л/0£+9о ) = А соз(2я/0і +90)+кАе(і) соз(2л/ої+90).
Застосуємо формулу (А.2) і, групуючи отримані члени, запишемо
АМ сигнал:
353
Тепер, знаючи спектральну густину постійної величини, теореми
лінійності та переміщення спектра по частоті, знайдемо спектраль-
ну густину АМ сигналу.
з(0 « 5(/) =	(/ ~ /о) +	+ /о)]+
Сі
+- /0) + є''0» Е(/+4)].	(7.26)
Сі
З аналізу (7.26) виходить, що
9
	Спектральна густина АМ коливання, отриманого при
модуляції неперіодичним сигналом, містить неперервну ;
і дискретну компоненти.	І
	Для спектральної густини АМ коливання виконують- ч
ся властивості симетрії: модуль спектральної густини
є парною функцією частоти, аргумент — непарною функ-
цією частоти.	|
Знайдемо спектральну густину обвідної АМ сигналу:
А(0 = А + КАе(і) » А(Г) = АЗ (/) +	Л •	(7.27)
На рис. 7.12 наведено графіки спектральних густин, побу-
довані згідно з отриманими вище формулами. На рис. 7.12, а)
наведено графік спектральної густини сигналу е(і) (форма вибра-
на такою лише для ілюстрації), на рис. 7.12, б) наведено графік
354
спектральної густини обвідної АМ сигналу і на рис. 7.12, в) — спек-
тральної густини самого АМ коливання. З порівняння формул для
спектральної густини А(/) обвідної і спектральної густини 5(/)
сигналу з АМ випливає таке правило.
й
Для одержання спектральної густини радіосигналу
з АМ необхідно знайти спектральну густину його обвід-
ної, помножити її значення на 1/2, перенести ліворуч
і праворуч на частоти /0 і (~/0) і потім підсумувати.
Вправа 7.8
Побудуйте спектри керувального сигналу е(і) = П^^
і АМ сигналу, якщо /0 = 10/т. Розгляньте два випадки:
А(О = /гле(О і А(і)=А0+кле(1).
Тепер можна повернутися до питання, якого вже торкалися
вище, а саме: вимоги, щоб /0 » Рп. Пояснення випливає з аналізу
графіка рис. 7.12, в). Дійсно, зі зменшенням частоти /0 складові
спектра АМ сигналу на від’ємних і додатних частотах зближу-
ються і все значніше впливають одна на одну. При цьому форма
їх спотворюється порівняно з формою спектральної густини обвід-
ної, отже, операція демодуляції (детектування) вже не дозволить
відновити справжню обвідну АМ сигналу та е(і). Це положення
можна сформулювати й так:
й
 Лише при виконанні умови /0 » Рт спектральна гус- »
тина коливання з АМ симетрична відносно частоти і
отже, спектральна густина обвідної в даному разі має {
властивість симетрії відносно частоти /= 0.
 Невиконання цієї вимоги порушує симетрію як спек- 5
тральної густини АМ сигналу відносно частоти /0, так і
і спектральної густини обвідної відносно частоти / = 0. )
 Це одна з причин появи неусувних спотворень сигналу !
на виході демодулятора.
 < я.'* 1.1'1,. и	Ч. 	4.'**•*	'••• '> <-
Спектр АМ коливання, наведений на рис. 7.12, в), на-
зивають повним спектром в тому розумінні, що він містить дис-
кретну складову на НсЧ, верхню і нижню бічні смуги сигналу.
Амплітудну модуляцію, при здійсненні якої одержують повний
спектр, називають стандартною АМ. Крім стандартної АМ
355
існують і інші види АМ, причому ці «інші» види АМ в основному
й застосовуються на практиці.
Розглянемо принципи побудови модуляторів і демодуляторів
АМ сигналів. Методів і схем, які дають змогу виконувати ці опера-
ції, існує багато. Всі вони мають свої переваги, недоліки та умови
застосування. Тут, як приклад, розглянемо дві схеми: квадратич-
ний модулятор і квадратичний детектор АМ сигналів.
Амплітудна модуляція є (в ідеальному випадку) лінійною
мінливою в часі операцією над модулюючим сигналом е(ї). Тому
амплітудну модуляцію інколи називають лінійною модуляцією.
А втім,
Більшість амплітудних модуляторів і демодуляторів
реалізуються за допомогою кіл, які вміщують елементи
з нелінійними характеристиками.
Модуляція завжди пов’язана з перетворенням спектра
сигналу, тобто в модульованому сигналі присутні спектральні ком-
поненти, яких не було у сигналі, що модулює, та носійному коли-
ванні. Наприклад, при тональній АМ на вході модулятора діють
коливання з частотами Е і /0, в модульованому сигналі відсутні
коливання з частотою Е, але з’явилися компоненти з частотами
/0±Г. Аналогічні висновки можна зробити, аналізуючи роботу
демодулятора. Докладно перетворення спектра в радіотехнічних
колах розглянуто в наступних частинах підручника.
Нарешті, і модулятор, і демодулятор повинні мати фільтри,
за допомогою яких зі значної кількості спектральних складових,
що утворюються на виході нелінійного елемента схеми, вибрати
лише потрібні.
В принципі, при побудові таких схем можна використати нелі-
нійні елементи з різноманітними характеристиками (див. розділ
22), але найчастіше використовують нелінійний опір із квадратич-
ною характеристикою. Найпростішими з елементів з такою харак-
теристикою є напівпровідникові діоди і транзистори. Наприклад,
якщо використовується діод, то при відповідному виборі зміщення
в деякому обмеженому околі робочої точки характеристика діода
наближується до квадратичного виду
(7.28)
де у1 — напруга на вході, а у2 — напруга на виході діода.
356
Не вдаючись в деталі побудови принципової схеми — це предмет
розгляду спеціальних дисциплін, — розглянемо роботу квадратич-
ного модулятора.
Квадратичний модулятор
Квадратичний модулятор містить три основні вузли: су-
матора носійного коливання і модулюючого сигналу, нелінійного
опору із квадратичною характеристикою та смугового фільтра.
Ці вузли модулятора об’єднані в схему, як зображено на
рис. 7.13, а).
Рис. 7.13.
Якщо напруга у^) = е(ї) + ас(ї) = е(і) + А0соз(2ті/00 не виходить за
межі того діапазону, в якому справедлива залежність (7.28), то
У2(О = Ь^1 +Ь2уі2 =^^(0 + ^1 А с°8(2л/оО +
+ Ь2[е(і) + Д со8(2к/00]2 =
= Ь.А0
Ь1
соз(2л/00 +
АМ коливання
+Ь1е(і) + Ь2е2(і)+со8(4я/0і).
Зайві складові
(7.29)
Перший член у правій частині (7.29) є потрібне АМ коливан-
ня, останні члени зайві і усуваються за допомогою операції фільт-
рації. На рис. 7.13, б) наведено спектральну густину коливання
уДО, а на рис. 7.13, в) — коливання у2(0- Спектральні діаграми
зображено якісно, тобто, масштаби вздовж осі ординат не витри-
мано, і лише для області додатних частот. Пунктирною лінією
на рис. 7.13, в) наведено АЧХ ідеального смугового фільтра,
357
сигнал, на рис. 7.14, б) — відповідний йому двосмуговий сигнал
із придушеною носійною.
Рис. 7.14.
Вправа 7.9
Зобразіть графік обвідної двосмугового модульованого
сигналу з придушеною носійною, наведеного на рис. 7.14, б)
Придушення носійної в коливанні (7.33) наявно проявляється
при аналізі його спектра. Знайдемо перетворення Фур’є від лівої
і правої частин (7.33). Згідно з теоремою модуляції одержуємо
(7.34)
де £(/) і £(/) — спектральні густини модульованого і модулюючо-
го сигналів, відповідно.
Якщо керуючий сигнал має обмежений спектр, як на рис.
7.14, в), то, як виходить з аналізу рис. 7.14, г), а також форму-
ли (7.34), за винятком постійного множника, операція модуляції
просто переносить спектр вихідного сигналу е(і) на частоти ±/0, що
й зображено на рис. 7.14, г). При цьому, очевидно, двосмуговий
сигнал із придушеною носійною займає таку саму смугу частот,
що й сигнал зі стандартною АМ. Однак, порівнюючи спектр рис.
7.12, в) для стандартної АМ зі спектром рис. 7.14, г), бачимо, що
в другому випадку носійну придушено, в той час як у першому
випадку вона присутня в спектрі у вигляді двох дельта-функцій
на частотах ±/0.
360
Побудувати модулятор двосмугових сигналів з придушенням
носійної можна, безпосередньо скориставшись формулою (7.33).
Це так званий мультиплікативний модулятор.
Вправа 7.10
Зобразіть структурну схему мультиплікативного моду-
лятора.
Розглянемо ще одну схему модулятора.
Балансний модулятор
Балансний модулятор скла-
дається з двох стандартних амплі-
тудних модуляторів, наприклад,
квадратичних, розглянутих раніше,
з’єднаних за балансною схемою так,
щоб відбулося придушення носійної.
Структурну схему балансного моду-
лятора наведено на рис. 7.15.
Припустімо, що обидва модулято-
ри ідентичні, крім знаків модулюю-
Рис. 7.15.
чого сигналу на входах. У цьому випадку вихідні сигнали одного
й другого модуляторів будуть такими:
«ДО = [Д) + Йде(0]соз(2л:/О0 і 82(0 = [Ао - ЙдЄ(І)]СО8(2ті/0І).
Віднімаючи $2(0 від $/£), одержуємо:
8(1) = 8^1) - 82(і) = 2ЙАЄ(г)СО8(2л/00‘	(7.35)
З аналізу (7.35) виходить, що сигнал на виході балансного
модулятора з точністю до постійного множника співпадає з ви-
разом (7.33), отже, балансний модулятор і мультиплікативний
модулятор еквівалентні.
Принципи демодуляції сигналів з двосмугою модуляцією
з придушенням носійної розглянемо на прикладі синхронного
(когерентного) детектора.
Синхронне (когерентне) детектування коливань
із двосмуговою модуляцією
Модулюючий сигнал можна вилучити з модульованого
сигналу 8(1) так. Спочатку 8(1) множать з гармонічним коливан-
ням від місцевого, тобто розміщеного на приймальному кінці лінії
361
на вихід якого проходить лише потрібне АМ коливання (рис.
7.13, г)). З аналізу спектрограми рис. 7.13, в) виходить, що АЧХ
смугового фільтра має вигляд:
К(Г) =
К, Г0-Рт<Г<Г0 + Рт
/о-^>/>/о+Л. '
(7.30)
Крім того, має виконуватись умова /0 > ЗРт.
Операція детектування або демодуляції призначена для роз-
в’язання оберненої задачі: вилучити модулюючий сигнал з моду-
льованого коливання.
Квадратичний детектор
Квадратичний детектор фактично є пристроєм, схема
якого така сама, як і у квадратичного модулятора. Відмінність
лише в тому, що замість смугового фільтра використовується
фільтр нижніх частот.
Нехай характеристика нелінійного елемента схеми описується
формулою (7.28). Очевидно, що у випадку демодулятора на вході
діє АМ коливання, тобто:
у,(0 = [Ао + МО]со8(2лГо0.	(7.31)
Підставимо (7.31) у (7.28) і після простих перетворень одер-
жимо
у2(і) = Ь1у1 +Ь2уі2 =6^ со8(2ге4>0+&і^ле(0со8(2”:/о0 +
+Ь.[1 + со8(4яГ0П]-[Л2 + 2А^кАе(і) + кАе2(і)].	(7.32)
42 З * *
З усіх складових сигналу на виході нелінійного елемента нас
цікавить лише одна, а саме:	Її можна виділити за допо-
могою фільтра низьких частот з передатною функцією
К(Г) =
К, 0<Г<Рт
‘ о, />Рт
Слід вказати, що до смуги пропускання фільтра потрапдять
і компоненти складової [Ьгк2Ае2(і)~\/2, які спотворять відновлений
сигнал. Відношення корисного сигналу до спотворюючого дорів-
нює 2А0/[кЛе(і)]. Щоб збільшити це відношення, необхідно змен-
шувати коефіцієнт амплітудної модуляції, тобто зажадати, щоб
величина |£Ле(0І була малою порівняно з одиницею. Таким чином,
358
відновлення без спотворень модулюючого сигналу за допомогою
квадратичного детектора можливе при виконанні двох умов.
1.	Максимальна амплітуда вхідного АМ коливання повинна
бути малою, щоб значення коливання не виходили за той діапазон
вхідних величин нелінійного елемента, де справедлива квадратич-
на залежність (7.28).
2.	Величина коефіцієнта амплітудної модуляції має бути дуже
малою.
Досі ми розглядали стандартну АМ, тобто таку, в результаті
здійснення якої отримують повний спектр АМ коливання, який
містить дискретну складову на частоті носійного коливання, верх-
ню й нижню бічні смуги.
7.	4*. Балансна (двосмугова) модуляція
з придушенням носійного коливання
Як виходить з тих моделей АМ сигналів, які ми одержали
для стандартної АМ, носійне коливання ас(і) повністю незалежне
від керуючого (модулюючого) сигналу е(і). Це означає, що немає
ніякої необхідності передавати носійне коливання по каналу
зв’язку і потужність Ро (7.19) витрачається даремно. Згадаємо,
що Ро навіть у випадку стовідсоткової модуляції вдвічі перевищує
середню потужність бічних складових (7.21), в яких і міститься
вся інформація про е(і).
	Кількість інформації про модулюючий сигнал в АМ {
коливанні не зменшиться, якщо у нього забрати складо-
ву на частоті /0, тобто носійку.	[
	Виконавши таку операцію, ми перейдемо до двосмугової
АМ із придушеною носійною. В англомовній літературі (
такий сигнал скорочено називають О8В8С — йоиЬІе- ?
зіЛеЬапй зирргеззед саггіег.	І
Щоб подати двосмуговий сигнал із придушеною носійною
у часовій області, запишемо
з(Ц = ас(Ое(Ц = А0со8(2те/0^)є(і).	(7.33)
Таке коливання змінює фазу на 180° в моменти часу, коли
модулюючий сигнал перетинає нульовий рівень. Це ілюструють
графіки рис. 7.14, а) і б). На рис. 7.14, а) наведено модулюючий
359
зв’язку, генератора. Потім одержане коливання пропускають
через фільтр нижніх частот, як це зображено на рис. 7.16.
Рис. 7.16.
Припустімо спочатку, що коливання на виході генератора
когерентне або синхронізоване як за частотою, так і за фазою
з носійним коливанням ас(і), що використано на передавальному
кінці лінії в модуляторі для одержання з(і). Технічно забезпечити
синхронізацію двох рознесених на велику відстань генераторів
за фазою складно, тому на практиці використовують генератори,
когерентні за частотою (для цього на передавальному і приймаль-
ному кінцях лінії застосовують високостабільні за частотою, на-
приклад кварцові, генератори). Що стосується початкових фаз,
то допускається деяка довільна різниця фаз ф генератора на
приймальному кінці відносно фази носійної ас(і), що й показано
на рис. 7.16.
Розглянемо, що являє собою коливання у(і) на виході муль-
типлікативного модулятора при подачі на нього сигналу (7.33)
та коливання з виходу генератора.
у(і) = со8(2л/0ґ+ф)$(0 = Д)е(Осо8(2л/о^)со8(2л/0і+ф) =
= -^-созф-е(і)	+^-со8(4л/0^+ф)-е(0.	(7.36)
2	2
Масштабований	Зайва складова
модулюючий сигнал
Фільтр нижніх частот усуває зайву складову і на виході його
буде коливання
л
Уо(О = о С08ф-е(0.	(7.37)
4^
Таким чином, сигнал у0(і) є пропорційний е(і), якщо різни-
ця фаз ф стала величина. Амплітуда цього сигналу максималь-
на, коли ф = 0, і дорівнює нулю, коли ф = ±л/2. Отже, фазове
362
розузгодження генератора на приймальному кінці відносно гене-
ратора носійної на передавальному кінці призводить до ослаблен-
ня напруги на виході детектора пропорційно созф. Якщо фазова
помилка ф = сопзі, детектор відтворює неспотворений модулюю-
чий сигнал е(і). В реальних умовах значення ф змінюється в часі
випадково через випадкові зміни характеристик самого каналу
зв’язку. Щоб ослабити вплив цих факторів, доводиться усклад-
нювати схеми приймальних пристроїв. Це та ціна, яку необхідно
сплачувати за економію потужності передавального пристрою, що
досягається за рахунок придушення носійної.
Вправа 7.11
Нехай модулюючий сигнал е(і) має обмежений спектр
~Рт</<Рт.
Покажіть, що фільтр нижніх частот синхронного демодулятора
(рис. 7.16) повинен задовольняти таким вимогам:
• '°>г-
5^’ І / /0 |> ^т.
Приклад 7.5
Повернемося до тональної АМ, але зараз розглянемо дво-
смуговий сигнал із придушеною носійною.
Нехай модулюючим буде таке коливання:
= Есоз(2тіРі).
Запишемо, скориставшись (7.33), відповідне йому двосмугове
коливання з придушеною носійною:
8(0 = Д)Есоз(2я/00 соз(2пР і) =
=	СО8[2л (Д + Р)ї\ +	Соз[2л: (/0 - Р)1\.
А	и
На рис. 7.17, а) наведено графік цього коливання.
Спектральна густина коливання з(і) має вигляд:
5(Л = —[8(/ - и - Р}+§(/ + /0 + Р)+8(Г - /о + Р)+§(/ + /о - Л].
363
Таким чином, спектр двосмугового коливання з придушеною
носійною при тональній модуляції являє собою дельта-функції на
частотах /0±І’ і (-/0±Р), як зображено на рис. 7.17, б).
Рис. 7.17.
Припустимо тепер, що існує повна синхронізація генератора
на приймальному кінці лінії з генератором носійного коливання
на передавальному кінці. Тоді на виході мультиплікативного мо-
дулятора в схемі рис. 7.16 буде такий сигнал:
у(0 = соз(2яГ0о]соз[2л (Д - Р)1] + ^-соз[2я (Д + Р)ї] І =
І 2	2	І
=	соз[2л (2/0 - Р)і] +	соз(2лГ<) +
4	4
+ ^-соз[2я(2/0 + Р)і] + ^-соз(2кРі),
4	4
де перші два доданки отримано завдяки нижній бічній, а остан-
ні два члени — завдяки верхній бічній. Коливання з частотами
(2/0-Г) і (2/0 + Г), будуть придушені фільтром нижніх частот
(рис. 7.16). Отже, вихід синхронного детектора відтворює ви-
хідне модулююче коливання. Відзначимо одну важливу особли-
вість:. коливання на виході детектора є сумою двох однакових
доданків, причому один з них породжується нижньою бічною,
а другий — верхньою бічною компонентами спектра сигналу
Звідси випливає такий висновок:
0
Для того, щоб здійснити передачу сигналу е(і) по ра-
діоканалу і на приймальному кінці отримати його
з прийнятого коливання, необхідна лише одна бічна ком-
понента (або нижня, або верхня) спектра АМ сигналу.
Приклад 7.6
Задано параметри коливання із двосмуговою АМ з приду-
шеною носійною: Ао = 2 В, Е = 0,5 В, Оо = л/3, у = л/6, /0 = 10 кГц,
Р = 2 кГц.
364
Записати вирази для аналітичного сигналу і його комплексної
обвідної. Побудувати векторні діаграми аналітичного сигналу та ком-
плексної обвідної, знайти синфазну і квадратурну амплітуди.
Розв'язання.
У цьому прикладі розглянемо той самий модулюючий
сигнал, що й у прикладі 7.1.
Повторимо все те, що було зроблено при розгляді прикладу 7.1,
але замість формул для стандартної АМ використаємо відповідні
вирази для двосмугової АМ із придушеною носійною.
Запишемо аналітичні вирази для модулюючого і носійного
коливань:
е(0 = Есо5(2теР7 + у), ас(і) = А0соз(2л/0і + 0О).
Тоді, згідно з (7.33), сигнал із двосмуговою АМ можна запи-
сати так:
82(0 = ^со8[2яао+Лі+Є0+у]+^-со8[2к(/о-Лі+90-у]-
х^	хи
Спряжений сигнал
»2(0 =	[2л(/0 +У)£+0О +у]+—^-зіп [2л - Р)і+ео -у].
&	и
Діючи так, як у прикладі 7.1, одержимо аналітичний сигнал
(0 — А>Д ^(2^+ї) +	^;(2л/оі+Єо)
і комплексну обвідну
82(і) = А^це,(2^у) +	= соз(2лГі+у).
2
Зазначимо, що у випадку двосмугової АМ квадратурна амплітуда
дорівнює нулю і комплексна обвідна — дійсна функція часу.
Підставимо числові значення.
32 (І) = 0 5 |^е/(27С-2-10Ч+іс/6) + е-/(2тс-2-103і+х/6)]е/(2я-10Ч+7С/2)
82(£) = СОз(4л-103^ + Л/6).
На рис. 7.18 наведено фрагмент сигналу з2(і) та його комплекс-
ної обвідної (пунктирна крива).
365
На рис. 7.19, а) зображено годо-
граф векторної діаграми аналітично-
го сигналу, який відповідає задано-
му сигналу з двосмуговою модуляцією
$2(0 Вектор аналітичного сигналу
обертається з кутовою швидкістю
соо = 2л>104 рад/с проти напрямку руху
годинникової стрілки і його годограф
являє собою складну криву.

Рис. 7.18.
Рис. 7.19.
Зображений на рис. 7.19, а) век-
тор Оа відбиває аналітичний сигнал
в момент часу і = 0. Його проекція на
дійсну вісь є значенням сигналу з2(і)
у цей момент часу (див. рис. 7.18).
Рис. 7.19, б) показує, як розгорта-
ється спіраль годографа в часі впро-
довж однієї мілісекунди. Оскільки цей
інтервал часу дорівнює чотирьом
періодам сигналу з2(і), вектор О'Ь
співпадає за величиною і напрямком
з вектором Оа.
Комплексна обвідна сигналу із
двосмуговою АМ є дійсною функці-
єю часу і квадратурна амплітуда,
як і у сигналу зі стандартною АМ,
дорівнює нулю.
Рис. 7.20.
366
На рис. 7.20, а) зображено векторну діаграму комплексної
обвідної сигналу $2(0- Вектор комплексної обвідної в будь-який
момент часу перебуває на дійсній осі і змінює лише свою довжину
(модуль). На рис. 7.20, б) наведено графік зміни в часі комплекс-
ної обвідної. Моменти часу, в які вектор набуває значення Оа
і ОЬ на рис. 7.20, а), легко встановити з аналізу рис. 7.20, б).
де зображено відповідні вектори для двох можливих моментів:
вектор ОЬ для моменту часу в який комплексна обвідна набу-
ває максимального значення +1, і вектор Оа для моменту часу і.
коли її значення мінімальне.	І І
Вправа 7.12
Запишіть програму побудови векторних діаграм, наведе-
них на рис. 7.19 і 7.20, в системі МАТНЕМАТІСА. Використай-
те для цього оператори РагатеїгісРІоі [...] і РагатеігісРІоіЗО
як у прикладі 6.5.
7.5	*. Квадратурна амплітудна модуляція
Як виходить з опису сигналів зі стандартною і двосмуго-
вою амплітудною модуляцією, вони потребують для себе смугу
частот, яка вдвічі перевищує смугу частот модулюючого сигналу.
Нижче буде розглянуто сигнали з односмуговою модуляцією, ши-
рина смуги займаних частот яких дорівнює ширині смуги частот
модулюючого коливання. Однак і у випадку стандартної і двосму-
гової АМ можна побудувати модулятор і демодулятор так, щоб
смугу частот завширшки 2Рт використати для передачі не одного,
а двох різних сигналів.
9
	Два різні модулюючі сигнали е^ї) і е9(і) можна пода-,
ти за допомогою суми двох модульованих за амплітудою
коливань, які займають одну й ту саму смугу частот.
причому так, що на приймальному кінці їх можна роз-
ділити і відновити з прийнятої суміші.
	Цього можна досягти, якщо застосувати метод квад-
ратурної амплітудної модуляції (9иа<1гаіиге-апір1ііи<іе
тосіиіаііоп — ОАМ).

Ідею методу квадратурної АМ найпростіше за все поясни-
ти, аналізуючи структурні схеми передавального і приймального
пристроїв системи.
367
На рис. 7.21 наведено структурну схему системи з С}АМ.
Рис. 7.21.
Схему модулюючого пристрою системи зображено на рис.
7.21, а). В ньому використано два мультиплікативні модулято-
ри з носійними коливаннями однієї частоти /0, але такими, що
відрізняються за фазою на кут (~л/2). Зсув за фазою відбуваєть-
ся у перетворювачі Гільберта (приклад 6.2, рис. 6.4). Об’єднаний
(стиснений, мультиплексований) сигнал є сумою коливань
з виходів цих двох мультиплікативних модуляторів
8(0 =^^/0^08(27140 + Аое2(Озіп(27і/оО, (7.38)
де е/0 і е2(і) — два різні модулюючі сигнали, що подаються на
модулятори.
Таким чином, об’єднаний сигнал $(0 займає смугу частот
2Гп навколо НсЧ, де Рт — найбільша з двох смуга сигналів
або е2(0*
Структурну схему приймальної частини системи наведено
на рис. 7.21, б). Сигнал одночасно надходить на входи двох
368
синхронних (когерентних) детекторів. Схему синхронного детекто-
ра і процеси в ньому було розглянуто вище (див. рис. 7.16 та пояс-
нення до нього). До інших входів детекторів підведені коливання
від місцевого генератора — гетеродина — частоти цих коливань
однакові, а фази відрізняються на кут (-ті/2), що забезпечується
перетворювачем Гільберта. На виході одного детектора одержуємо
коливання	на виході другого — Аое2(0/2. Для забезпе-
чення задовільної роботи систем із квадратурною АМ необхідно
підтримувати коректні співвідношення частот і фаз задаючих
генераторів на передавальному і приймальному кінцях системи
зв’язку. Для розв’язання цього завдання розроблено спеціальні
схеми, наприклад синфазно-квадратурна схема відновлення но-
сійної або, як її ще називають, схема Костаса та ін. Опис таких
схем і принципи, покладені в їх основу, наведено у спеціальній
літературі.
Вправа 7.13
Запишіть аналітичні вирази для сигналів на виходах
мультиплікативних модуляторів одного й другого каналів при-
ймального пристрою рис. 7.21, б).
Покажіть, що при відповідному виборі смуги пропускання фільт-
рів нижніх частот і повної когерентності задаючих генераторів ко-
ливання на виходах фільтрів з точністю до постійного множника
співпадають з модулюючими сигналами е^ї) і е9(і).
7.6	*. Односмугова модуляція (ОМ)
Як вже неодноразово зазначалося вище, верхня і ниж-
ня складові спектра АМ коливання жорстко пов’язані одна
з одною властивістю симетрії відносно НсЧ і кожну з них можна
однозначно отримати з другої. Це означає, що
8
	Навіть у випадку, коли придушені і носійна, і одна
з двох бічних складових спектра АМ сигналу, інформація
про модулюючий сигнал не губиться, і він може бути од-
нозначно відновлений лише з однієї бічної компоненти
спектра.
	В тому разі, коли по радіоканалу передається лише
одна бічна смуга АМ сигналу, модуляція називається
односмуговою. В англомовній літературі зіп§Іе-зісіеЬапсі
(83В) тодиіаііоп.
369
При розгляді стандартної і двосмугової АМ в попередніх під-
розділах цього розділу підручника ми починали з опису відповід-
них сигналів у часовій області, а потім переходили до їх подання
в частотній області. Аналіз сигналів з односмуговою модуляцією
провадитимемо у зворотному порядку.
Опис сигналів з ОМ в частотній області
Подання сигналів з односмуговою модуляцією в частот-
ній області залежить від того, нижня чи верхня бічна смуга АМ
сигналу використовується для передачі модулюючого сигналу по
радіоканалу.
Нехай низькочастотному модулюючому сигналу е(і) відповідає
спектральна густина £(/)» графік якої наведено на рис. 7.22, а).
Спектр сигналу із двосмуговою модуляцією 52(/), одержаний
при множенні е(і) на носійне коливання А0со8(2л/00, зображено
на рис. 7.22, б). Якщо для передачі сигналу по радіоканалу вико-
ристовується лише верхня бічна смуга АМ сигналу, спектр моду-
льованого коливання буде таким, як на рис. 7.22, в).
а)
£(/)
Рис. 7.22.
370
На рис. 7.22, г) зображено спектр 8г(/) модульованого коливан-
ня у випадку, коли для передачі сигналу по радіоканалу викорис-
товується лише нижня бічна смуга АМ сигналу.
З аналізу спектрів сигналів з односмуговою модуляцією вихо-
дить, що одержати їх можна, скориставшись методом частотної
селекції. Однак, щоб застосувати цей метод, модулюючий сигнал
е(і) повинен задовольняти двом таким вимогам:
1.	Модулюючий сигнал е(і) або взагалі не містить надто низько-
частотних складових, або, якщо вони є в сигналі, то їх енергія
мала. Важливим класом сигналів, які задовольняють цій вимозі,
є аудіосигнали (мова, музика). У телефонії, наприклад, мовний
сигнал займає смугу 0,3-3,4 кГц, отже, в спектрі відсутні скла-
дові з частотами від 0 до 300 Гц.
2.	Найвища частота Рт у спектрі Е(/) повинна бути набагато
меншою від НсЧ /0.
При виконанні цих вимог генератор коливань з односмуговою
АМ включає мультиплікативний модулятор і смуговий фільтр,
що з’єднані як зображено на рис. 7.16, але фільтр нижніх частот
замінено на смуговий фільтр. Саме цей фільтр виділяє одну бічну
(верхню чи нижню) і придушує іншу. При цьому до частотної ха-
рактеристики фільтра висуваються досить жорсткі вимоги.
Аналіз спектрів рис. 7.22, в) і г) дає змогу сформулювати
основні переваги сигналів з односмуговою модуляцією.
8
	Ширина смуги частот, необхідна сигналу з односмуго-
вою модуляцією, дорівнює ширині спектра модулюючого
сигналу е(і), тобто, вдвічі вужча, ніж смуга у випадках
і стандартної, і двосмугової модуляції з придушенням
носійної.
	Перехід від стандартної АМ до односмугової модуляції
істотно зменшує енергетичні втрати.
Приклад 7.7
Розглянемо, що дає перехід від стандартної тональної
АМ до односмугової модуляції.
Нехай коефіцієнт амплітудної модуляції М = 1. Тоді середня
потужність однієї бічної складової спектра модульованого ко-
ливання, згідно з (7.21), дорівнює Рв/2 = Р0/4, де Ро— середня
потужність носійного коливання. Оскільки при односмуговій
модуляції по радіоканалу передається лише одна бічна складова,
371
то радіопередавальний пристрій (РПдП) системи має бути розра-
хований на середню потужність Р0/4. Врахуємо тепер, що у випад-
ку стандартної АМ потужність РПдП має бути не менша за 4Р0.
Це означає, що при інших рівних умовах перехід до односмуго-
вої модуляції дозволяє в 16 разів (!) зменшити потужність РПдП.
А якщо і в першому, і в другому випадках використано один
і той самий РПдП, то потужність корисного сигналу у випадку
односмугової модуляції збільшується в 16 разів.
Але це ще не все. При переході до односмугової модуляції
в два рази звужується діапазон займаних сигналом частот, а це,
з одного боку, поліпшує електромагнітну сумісність з іншими за-
собами зв’язку і, з іншого боку, в 5-10 разів зменшує потужність
завад, що потрапляють до робочої смуги частот радіоприймально-
го пристрою (РПрП), тобто виграш порівняно з стандартною АМ
ще збільшується.
Цим пояснюється те, що з середини 30-х років односмугова
модуляція почала застосовуватися на короткохвильових лініях
зв’язку, а зараз цей вид модуляції є основним як у телефонії, так
і в багатоканальній телеграфії.	| |
Односмуговій модуляції, звичайно, притаманні й недоліки.
0
	Головний недолік односмугової модуляції — це склад-
ність і відносно висока вартість пристроїв її апаратурної
реалізації.
Розглянемо тепер часове подання сигналів з ОМ.
Опис сигналів з односмуговою модуляцією
в часовій області
Питання це викликає цікавість не лише з точки зору
повноти опису таких коливань, але, що не менш важливо, дозво-
ляє побудувати математичні основи методів генерування сигналів
з односмуговою модуляцією.
Подання сигналів з односмуговою модуляцією в часовій області
базується на понятті комплексної обвідної вузькосмугового сигна-
лу, розглянутого в розділі 6.2.
Розглянемо математичний запис сигналу зи(Ц з односмуго-
вою АМ, у формуванні якого використовується верхня бічна
смуга частот. Спектр такого сигналу умовно зображено на рис.
7.22, в). Цей сигнал можна одержати, пропустивши сигнал з2(і)
372
із двосмуговою модуляцією
через смуговий фільтр з пере-
датною функцією Ки($). Спектр
сигналу 82(і) зображено на
рис. 7.22, б). Передатну функ-
цію Х"и(/) ідеального фільтра
наведено на рис 7.23, а).
Сигнал із двосмуговою моду-
ляцією можна записати так:
з2(0=А0е(0со8(2тг/00,
і він містить лише синфазну
амплітуду (див. приклад 7.6).
Комплексна обвідна такого
сигналу буде
з2(і)=А0е(і).
Рис. 7.23.
(7.39)
Сигнал з односмуговою АМ, на відміну від з2(Д), містить,
крім синфазної, ще й квадратурну амплітуду.
Нехай зи(і) — комплексна обвідна сигналу $и(0- Тоді, згідно
з визначенням комплексної обвідної, можна записати
5ц(0 = Ве[зц(0еу2*].	(7.40)
Щоб знайти $ц(0, зробимо ось що:
1.	Перейдемо від смугового фільтра з передатною функцією Ки (/)
до низькочастотного аналога фільтра з передатною функцією Ки (/).
В третій частині підручника (розділ 18) при аналізі проходження
вузькосмугових сигналів через вузькосмугові системи, ми доклад-
но розглянемо цю процедуру. Тут відзначимо лише ось що: як
від спектра вузькосмугового сигналу з(/) здійснюється перехід
до спектра £(/) низькочастотної функції (комплексної обвідної),
так і від вузькосмугової функції частоти Ки(ї) можна перейти до
її низькочастотного еквівалента ІГи(/).
й
Як комплексна обвідна, а отже, і її спектр містить всю
інформацію про вузькосмуговий сигнал, так і низькочас-
тотний аналог смугового фільтра зберігає всі властивості
і параметри вихідного смугового фільтра.
На рис. 7.23, б) наведено графік передатної функції
що є низькочастотним аналогом передатної функції яку
373
зображено на рис. 7.23, а). Формулу, що описує функцію Ки({),
отримаємо з аналізу її графіка:
?гл = М11+8^л(Л1’О</<Л..
•**и (/ / "
(7.41)
0,	інше.
Тут — знакова функція.
2.	Від сигналу з2(0 з двосмуговою АМ переходимо до його ком-
плексної обвідної (7.39), спектр якої зображено на рис. 7.23, в) і
52(П = Л^(/)-	(7.42)
3.	Комплексну обвідну за(і) знайдемо за допомогою оберненого пе-
ретворення Фур’є добутку Ки(/)82(/). З (7.41) і (7.42) одержуємо
-8ц(Г) = ^и(/)52(/) = ^[1+^п(/)]Е(Г).	(7.43)
Графік цієї функції наведено на рис. 7.23, в), затемнена час-
тина.
Раніше ми отримали формулу (6.19), яка для сигналу, що тут
розглядається, набуває вигляду:
(7.44)
де е(і) сигнал, спряжений за Гільбертом модулюючому сигналу е(і).
З урахуванням (7.44) обернене перетворення Фур’є від (7.43), тоб-
то, комплексна обвідна сигналу з односмуговою АМ має вигляд:
іи(О = А[е(О+уе(Є)],	(7.45)
що і потрібно було одержати.
Підставимо (7.45) до (7.40) і одержимо сам сигнал в„(0-
8и(0 = ^-[«(0соз(2л/о0-е(08Іп(2л/00]-	(7.46)
Або
А<?(0-Ае(0.	(7.47)
А	и
8
З точністю до сталого множника модульоване коливання,
яке враховує лише верхню бічну смугу частот, містить
синфазну амплітуду, яка дорівнює модулюючому сигналу
374
е(і), і квадратурну амплітуду, яка дорівнює перетворен-
ню Гільберта від е(і).
Вправа 7.14
Нехай є односмуговим АМ коливанням, при отриман-
ні якого використано лише нижню бічну смугу частот. Покажіть,
що
^(0 = ^-к(0со8(27с/00+^(08Іп(27с/00].	(7.48)
Приклад 7.8
Знову розглянемо коливання з тональною модуляцією,
тобто, е(і) = Есо8(2л2?().
Спряжений сигнал буде е(1) = Езіп(2лК0- Підставивши ці вира-
зи до (7.46), одержимо, що сигнал, при передачі якого по каналу
зв’язку використано лише одну верхню бічну, матиме вигляд
А^Е
8и(І) = ——[С08(2лі5’0с03(2л/О0 - ЗІП^ТіГОзІпСгл/оІ)] -
2
= А^соз[2л(Д+??)*]•
Використавши вираз (7.48), одержимо, що сигнал, при переда-
чі якого по каналу зв’язку використано лише одну нижню бічну,
буде
вло=^соз[2л(/о-па
0	4
-А—І-/,кГч
Рис. 7.24.

375
Зобразимо епюри коливань та їхні спектральні густини для ви-
падку Ао = 2В, Е = 0,5В, /0 = ЮкГц, Г = 2кГц. На рис. 7.24, а) і б)
наведено відповідні графіки. Очевидно, що ваговий множник кожної
з дельта-функцій дорівнює 0,25.	ГП
Приклад 7.9
Задані параметри коливання з односмуговою АМ: Ао = 2 В,
Е = 0,5 В, 90 = л/3, у = л/6, /0 = 10 кГц, Е = 2 кГц.
Записати вирази для аналітичного сигналу, комплексної об-
відної заданого коливання. Побудувати векторні діаграми ана-
літичного сигналу та комплексної обвідної, знайти синфазну
і квадратурну амплітуди. Розглянути випадок, коли по каналу
зв’язку передається лише верхня бічна смуга.
Розв’язання.
Вихідні дані в цьому прикладі обрано для зручності по-
рівняння такими ж, що й у прикладах 7.1 і 7.6.
Запишемо вирази для модулюючого і носійного коливань.
е(0 = £соз(2лРі+у), ас(1) = А^ соз(2лДі+90).
Щоб скористатися формулою (7.46), знайдемо спряжений сиг-
нал за таблицею Б.З перетворень Гільберта.
е( і) = Е зіп(2л.?7+у).
За формулою (7.46) після простих перетворень знаходимо
5«(0 -	[соз(2пЕі +у)соз(2л/(/ +90 )-зіп(2гс2'ї +у)зіп(2л/оі-і-9о)] =
2
= А£Соз[2л(/0+ГК+Є0+у].	(7.49)
За формулою (7.45) знаходимо комплексну обвідну:
зи (0 =	[«(0 + 7^(0] =	[соз(2лГі + у) + і зіп(2лГі +у)] =
= 5())
2 (І) = 3	_
2
= —~{соз[2л(/0+/’)?+60 +У]+/зіп[2я(/о +Е)і+Є0 4-у]}. (7.51)
376
Нарешті, запишемо вирази для синфазної та квадратурної
амплітуд:
А/ц(0 = ^^со8(2тгГі+у), Дги(0 = ^-8Іп(2пГі+у).	(7.52)
2	2
Підставимо до (7.49)-(7.52) числові значення:
зи(Ь) = 0,5соз(24 103лі + я/2),
8и (і) = 0,5 [соз(4 • 103я£ + Я /6) + ] 5ІП(4 -1037# + я/6)],
^(0 = 0,5[со5(24-103я^ + я/2) + 78Іп(24-103я^ + я/2)],	(7.53)
АІц(0 = 0,5соз(4-103я£ + я/6), А^і) = 0,58Іп(4-103я£ + я/6).

Рис. 7.25.
На рис. 7.25 зображено фраг-
мент коливання зи(і) з односмуго-
вою АМ. Сигнал є гармонічним
коливанням зі сталими амплі-
тудою, частотою і початковою
фазою.
На рис. 7.26, а) зображено
векторну діаграму аналітичного
сигналу коливання $ц(0- Вектор Оа обертається проти напрям-
ку руху годинникової стрілки зі сталою кутовою швидкістю
со = 24 • 103я рад/с і в момент часу і = 0 його проекція на дійсну
вісь дорівнює 0, а проекція на уявну вісь дорівнює 0,5. Щоб
переконатися в цьому, досить записати (7.53) у вигляді ги(і) =
= 0,5[-8Іп(24-103яО + 7*со8(24-103я^)] і підставити і = 0.
Рис. 7.26.
377
На рис. 7.26, б) зображено розгортку годографа векторної
діаграми на інтервалі часу 0-0,5мс. Оскільки на цьому інтервалі
вкладаються точно 6 періодів сигналу а отже, й аналітичного
сигналу вектори Оа і О'Ь є колінеарними і мають однакові
абсолютні значення.
На рис. 7.27, а) наведено векторну діаграму комплексної обвід-
ної зи(і)9 побудовану за наведеними вище формулами.
Вектор Оа обертається проти годинникової стрілки з кутовою
швидкістю 4 • 103тг рад/с. Його положення в момент часу і = 0 зоб-
ражено на рисунку. З плином часу модуль вектора залишається
сталим, але його синфазна і квадратурна амплітуди змінюються
так, як зображено на рис. 7.27, б).
На рис. 7.27, в) наведено тривимірну векторну діаграму, на
якій відображено положення вектора комплексної обвідної в різ-
ні моменти часу протягом одного періоду комплексної обвідної.
Як і на рис. 7.26, б), вектори Оа і О'Ь є колінеарними і мають
однакові абсолютні значення.	| |
Рис. 7.27.
Вправа 7.15
--- За даними прикладу 7.9 отримайте вирази для аналітичного
сигналу, комплексної обвідної, синфазної і квадратурної амплітуд
сигналу з ОМ у випадку, коли використовується лише нижня бічна
смуга частот. Зобразіть векторні діаграми (якісно) аналітичного
сигналу та комплексної обвідної. Порівняйте їх з відповідними
діаграмами, наведеними на рис. 7.26 і 7.27. Вкажіть, що у них
є спільного і чим вони відрізняються.
378
Розглянемо приклади методів генерування сигналів з односмуго-
вою АМ, а також їх демодуляції. В основу цих методів покладено
математичні моделі, отримані вище.
Метод генерування сигналів з односмуговою АМ,
оснований на фазовій дискримінації
Структурна схема модулятора випливає безпосередньо
з одержаних вище виразів (7.46) або (7.48), які є канонічною
формою подання сигналів з односмуговою АМ в часовій облас-
ті. Схема містить два мультиплікативні модулятори І і ф, два
перетворювачі Гільберта, один з яких має бути широкосмуговим,
і суматора. На рис. 7.28 наведено структурну схему такого моду-
лятора (цей модулятор відомий як модулятор Хартлі).
88В коливання
»Х0	»ц(0
Рис. 7.28.
Вправа 7.16
Проаналізуйте наведену схему і переконайтеся, що в ній
виконуються перетворення сигналів, що описуються формулами
(7.46) або (7.48) залежно від полярності входу суматора з боку
квадратурного каналу.
Демодуляція коливань з односмуговою АМ
Щоб виділити модулюючий сигнал е{і) з коливання зи(і)
або в;(і) з ОМ, необхідно перенести спектри рис. 7.22, в) або г)
залежно від того, яку з бічних смуг (верхню чи нижню) АМ сиг-
налу використано при переході до односмугового АМ сигналу,
379
на частоти ±/0, відповідно. Це можна здійснити за допомогою ко-
герентного детектування.
На вхід мультиплікативного модулятора подається сигнал з(і)
з ОМ і коливання со5(27і/0£) від місцевого генератора-гетеродина.
Пропустивши результат такого перетворення через фільтр ниж-
ніх частот, на виході одержимо з точністю до сталого множника
модулюючий сигнал е(і).
Структурну схему де-
модулятора наведено на
рис. 7.29.
Дамо математичне об-
ґрунтування перетворен-
ня сигналу з ОМ в демо-
СО8(2л/00
Рис. 7.29.
дуляторі.
Скориставшись формулами (7.46) або (7.48), одержимо коли-
вання на виході мультиплікативного модулятора схеми, наведеної
на рис. 7.29:
у(і) = соз(2тс/005(0 = “4 соз(2я/00[^(0 соз(2я/0^) ± е(І) зш(2л/оО] =
2
=	+уД,[е(<)со8(4л/0і)±е(Озіп(4тс/00]-	(7.54)
4>	4'
Масштабований	Зайва складова
модулюючий сигнал
Перший член (7.54) є корисною складовою, що відтворює
з точністю до сталого множника потрібний сигнал. Останні члени
(7.54) є складовими з подвоєною НсЧ; вони усуваються за допомо-
гою фільтра нижніх частот.
Розглянутий випадок є ідеальним у розумінні повної синхро-
нізації за частотою і фазою двох генераторів — генератора носій-
ного коливання на передавальному кінці лінії зв’язку і місцевого
гетеродина на приймальному кінці лінії. Вплив фазового зсуву ф
місцевого генератора коливань з коливань з НсЧ веде до того, що
коливання на виході детектора матиме вигляд:
уо(0 = “ ДХОсозф +—Д^Озіпф.	(7.55)
4	4
Вправа 7.17
За аналогією з тим, як отримано формулу (7.54), одержіть
вираз для випадку, коли в схемі рис. 7.29 на мультиплікативний
380
модулятор подається коливання соз(2л/0^ + ф). Що в цьому випадку
буде корисною складовою, яка проходить на вихід фільтра нижніх
частот, і що — зайвою складовою, яку відтинає фільтр?
У формулі (7.55) знак «+» відповідає випадку, коли односмуговий
сигнал на вході містить верхню бічну смугу, і знак «-» — нижню
бічну смугу. Таким чином, при порушенні когерентності генерато-
рів за фазою коливання уо(0 на виході детектора містить не лише
потрібний модулюючий сигнал е(і)9 але й спряжений йому сигнал
е(і). Це означає, що у вихідному сигналі присутні фазові спотво-
рення. При передачі мовних сигналів фазовими спотвореннями
можна знехтувати, оскільки слух людини мало чутливий до таких
спотворень сигналу. При передачі музики та відеосигналів фазові
спотворення, викликані сталим фазовим зсувом усіх компонентів
спектра, можуть стати неприпустимими.
Вправа 7.18
Покажіть, що фільтр нижніх частот когерентного детек-
тора (рис. 7.29) повинен задовольняти таким вимогам:
1	. Смуга пропускання дорівнює Р.
2	. Ширина захисного частотного інтервалу не повинна перевищу-
вати величину 2/0 - аР9 де а = 1 для ОМ, яка містить верхню бічну
смугу, та а = 2 — для ОМ, яка містить нижню бічну смугу.
На закінчення розглянемо один з методів АМ, який найчас-
тіше зустрічається на практиці. Досить сказати, що практично
всі системи телебачення у світі використовують той метод, який
ми зараз розглянемо.
7	.7*. Односмугова АМ з неповним (частковим)
придушенням бічної смуги —
УезіідіаІ зісіеЬапсІ тосіиіаііоп (УЗВ)
Як вже зазначалося раніше, односмугова АМ доречна
у випадку, коли потрібно передавати, наприклад, мовний сигнал,
оскільки в його спектрі є енергетичний проміжок в діапазоні частот
від нуля до кількох сотень герц. Однак, якщо модулюючий сигнал
містить значущі компоненти на надто низьких частотах (як у ви-
падку, наприклад, телевізійних та деяких інших широкосмугових
сигналів), верхня й нижня бічні смуги прилягають одна до одної
поблизу носійної частоти. Це не дозволяє використати односмугову
381
модуляцію для передачі таких сигналів через складність чіткого
виділення однієї з бічних смуг сигналу. Саме ці ускладнення поста-
вили вимогу розробки іншого методу, відомого як односмугова моду-
ляція з частковим придушенням бічної. Цей метод є компромісом
між односмуговою і двосмуговою АМ модуляцією з придушенням
носійної. В цьому методі одна з бічних смуг виділяється практично
повністю, в той час як інша залишає слід, залишок (ує8іі§є).
Опис сигналів з У5В модуляцією в частотній області
Нарис. 7.30наведено
спектр 5(/) сигналу з частково
придушеною нижньою бічною
смугою (рис. б)) і Е(/) — спектр
модулюючого сигналу е(4)
(рис. 7.30, а)). Нижня бічна
складова 5(/) практично не
спотворює верхню. Можна
зробити висновок, що смуга
Рис. 7.30.
частот, яку займає передаваний модульований сигнал, дорівнює
А/ = Р + де Р — смуга частот, яку займає модулюючий сигнал,
а — смуга частот частково придушеної нижньої бічної. При
цьому Д, « Р. Таким чином, сигнал з У8В модуляцією займає
смугу частот не набагато ширшу, ніж сигнал з односмуговою
модуляцією, і забезпечує практично таке саме розділення бічних
в області низьких частот модулюючого сигналу, як двосмугова
модуляція. З цієї причини нині
5
У8В модуляція — модуляція з частковим придушенням
бічної смуги — стала загальноприйнятою при передачі
телевізійних і подібних їм сигналів, де потрібно забезпе-
чити:
	гарні фазові характеристики;
	без втрат передавати низькочастотні компоненти моду-
люючого сигналу;
	у міру можливості зменшити необхідну для сигналу
смугу частот, порівняно з двосмуговою модуляцією.
Генерування сигналів із \/8В модуляцією
Щоб одержати У8В коливання, треба двосмуговий сиг-
нал $2(£) з виходу мультиплікативного модулятора пропустити
382
через фільтр, що формує потрібну бічну смугу, як показано на
рис. 7.31, а). Практична реалізація такого фільтра залежить від
того, який спектр У8В модульованого коливання необхідно отри-
мати.
ЛфСозСгя/оО
соа(2я/0г)
Рис. 7.31.
Сигнал на виході мультиплікативного модулятора
з2(0 = А^со8(2пГ0і)е(і).
Тоді, згідно з теоремою модуляції, його спектр можна подати
у вигляді:
52(/) = А[Е(/_/о) + £(/ + /о)].	(7.56)
Тут — спектр модулюючого сигналу.
Спектр 8(/) У8В коливання на виході формуючого фільтра з пере-
датною функцієюК(/) знайдемо задопомогою спектрального методу
аналізу процесів у лінійних системах з постійними параметрами.
В розділі 17 другої частини підручника ми досконально розглянемо
цей метод і приклади його використання при аналізі проходження
сигналів через лінійні системи зі сталими параметрами. Тут достат-
ньо того, що ми обговорили в розділі 4 і формули (4.12).
Підставимо у (4.12) спектральну густину (7.56) і одержимо:
~ /о) + Е(Г+4)Ж(Г).	(7.57)
Залишилося визначити передатну функцію К(/) так, щоб функція
5(/*) була спектром потрібного У8В коливання. Цю задачу можна
розв’язати, якщо тільки розглядати модулятор і демодулятор разом.
383
Структурну схему У8В демодулятора наведено на рис. 7.31, б).
Він є когерентним детектором, який розглянуто вище. Завдання
полягає в тому, щоб визначити умови, при виконанні яких на ви-
ході його буде неспотворений модулюючий сигнал е(і).
На мультиплікативний модулятор надходять сигнал з(і) і гар-
монічне коливання со8(2л/00 від місцевого генератора. Припусті-
мо, що генератор НсЧ на передавальному кінці лінії і місцевий
генератор на приймальному кінці синхронізовані і за частотою,
і за фазою. Тоді коливання у(і) на виході мультиплікативного мо-
дулятора рис. 7.31, б) буде у(і) = со8(2л/00$(0 і йому відповідає
спектральна густина
5(Г) =	- 4) + Е(/ + /о )Ж(/)].	(7.58)
Тоді, підставивши (7.57) у (7.58), після простих перетворень
одержуємо:
у (/) = 4-£(Г)[^(/ - /о) + К(Г+4)]+
4
+^[Е(Г-2ГО)К(Г-ГО) + Е(Г + 2ГО)К(Г + ГО)1	(7.59)
4
На рис. 7.32, а) наведено спектр (7.59).
Другий член рівності (7.59) відповідає У8В коливанню з опор-
ною частотою 2/0. Ця компонента коливання не проходить через
фільтр нижніх частот і спектр коливання у0(£) на виході фільтра
у схемі рис. 7.31, б) матиме вигляд:
70(Г) = ^Е(Р)[К(Г - Д) + К(/ + £)],	(7.60)
4
а його графік буде таким, як на рис. 7.32, б).
Для того, щоб коливання на
виході когерентного детектора
рис. 7.31, б) було неспотворе-
ною копією вихідного вузько-
смугового модулюючого сигна-
лу е(і), зажадаємо, щоб спектр
Уо(/) відрізнявся від спектра
_Е(/) лише на сталий множник.
Передатну функцію К({) фор-
муючого фільтра слід обрати
К>(Л
Ш)
-Р 0 Р
Е+р
^£(0)[К(-/о)+*(/о)]
-Р 0 Р
Рис. 7.32.

384
такою, щоб виконувалася сформульована вимога. З аналізу ви-
разу (7.60) виходить, що спектр Уо(/) буде пропорційним спектру
модулюючого сигналу, якщо прийняти, що
К(Г - /0) + К(/ + /0) = 2К(Г0),	(7.61)
де К(/о) = С0П8І.
Оскільки спектр вузькосмугового модулюючого коливання від-
мінний від нуля лише в смузі частот -Р <{<Р, достатньо, щоб
рівність (7.61) виконувалася
лише в цьому інтервалі час-
тот. Легко переконатися, що і 0.............. ......~
рівність (7.61) виконується,	/\ І\
якщо передатна функція К(р) 0,6	/'• •	 \
фільтра має вигляд, поданий	?
на рис. 7.33 (на графіку зобра-	/0_/о д+д
жено область тільки додатних
частот, в область від’ємних	Рис. 7.33.
частот характеристика фільт-
ра дзеркально відбивається відносно осі ординат). Частотну
характеристику фільтра нормовано так, що К(/о) = 0,5. У смузі
частот зрізу фільтра /0 - Д, <, |/| < /0 + характеристика рис. 7.33
має непарну симетрію в тому розумінні, що в межах цього інтер-
валу для будь-яких значень Д/ виконується така рівність:
Я(Г0-Д/) + Я(/0 + Д/)=1.
Важливо підкреслити, що
8
Фільтр з передатною функцією, наведеною на рис. 7.33, і
реалізувати значно простіше, ніж фільтр, що забезпечує 5
повне придушення однієї з бічних смуг.
У загальному випадку, щоб у сигналі на виході фільтра
були відсутні фазові спотворення (частотні і фазові спотворення
сигналу, які з’являються при його проходженні через лінійні сис-
теми зі сталими параметрами, буде докладно розглянуто в розділі
17 другої частини), ФЧХ вузькосмугового формуючого фільтра
повинна мати непарну симетрію відносно частоти /0. В ідеально-
му випадку вона має бути лінійною функцією частоти в діапазоні
/0 - Д, £ |/| 2 /0 + Р і її значення на частоті /0 повинно дорівнювати
або нулю, або п2п, де п — ціле. В такому разі фазові спотворення
відсутні, а відновлений сигнал на виході детектора зміщується
в часі на сталу величину відносно модулюючого сигналу е(і).
385
Вид передатної функції К(Г) фільтра на частотах /> /0 + Р аж
ніяк не впливає на роботу модулятора і демодулятора. З цієї при-
чини на рисунку її зображено пунктирною лінією.
Вправа 7.19
Побудуйте в області додатних частот графік частотної
характеристики формуючого фільтра для У8В коливання
з неповним придушенням верхньої бічної смуги частот.
У прикладі 18.2 третьої частини буде розглянуто подання сиг-
налів з односмуговою АМ з неповним придушенням бічної смуги
в часовій області.
На закінчення цього розділу підведемо підсумки, порівняємо
між собою всі розглянуті види АМ й окреслимо галузі радіотех-
ніки і техніки зв’язку, в яких той чи інший тип АМ доцільно
застосувати.
7	.8*. Порівняльний аналіз сигналів
і систем з амплітудною модуляцією
Вивчивши характеристики різних типів амплітудної
модуляції, можна порівняти їх переваги і недоліки з точки зору
практики.
1.	У системах зі стандартною АМ по каналу зв’язку переда-
ються обидві бокові смуги сигналу і носійна. В цьому випадку
демодулятор являє собою, наприклад, квадратичний детектор.
З іншого боку, системи з придушенням носійної потребують за-
стосування більш складного РПрП, який містить додаткові кола
для відновлення коливання з НсЧ. За цієї причини радіомовні
системи з одним РПдП і численними приймальними пристроями
найчастіше використовують стандартну АМ.
2.	Системи двосмугової АМ з придушенням носійної мають
ту перевагу порівняно з системами стандартної АМ, що вони
потребують РПдП набагато меншої потужності, а тому й вартості
при інших рівних умовах. З цієї причини такі системи частіше
використовуються там, де необхідно передавати інформацію з од-
ного пункту до іншої, тобто, є один передавач і один приймач.
В цьому разі йдуть на ускладнення РПрП.
3.	Для здійснення передачі інформації з використанням
ОМ потрібні передавальний пристрій з мінімальною потужністю
386
і мінімальна смуга частот для модульованого сигналу. З цієї при-
чини односмугова модуляція застосовується при передачі мовних
сигналів по проводах на великі відстані. Пояснюється це тим, що
її властивості дають змогу збільшити відстань між ретранслятора-
ми, що важливіше, ніж спрощення обладнання на кінцях лінії.
Ретранслятори — це просто широкосмугові підсилювачі, які
встановлено вздовж траси для компенсації загасання сигналу.
4.	У8В модуляція потребує смугу частот, що ширша, ніж при
односмуговій модуляції, але вужча, ніж при модуляції з приду-
шенням носійної, і використовується, коли модулюючий сигнал
займає широку смугу частот, наприклад, телевізійний сигнал.
5.	Двосмугова модуляція з придушенням носійної (В8В8С),
односмугова (88В) модуляція, односмугова модуляція з неповним
придушенням бічної (У8В) — це все приклади лінійної модуля-
ції. Вихідне коливання лінійного модулятора можна записати
в канонічній формі
5(0 = АІ(і)со8(2п/0і) - А^(^)зіп(2л/0і).	(7.62)
Синфазна амплітуда А{(1) з точністю до сталого множника спів-
падає з модулюючим сигналом е(і). Квадратурну амплітуду А^(і)
одержуємо за допомогою деякої лінійної операції. Тоді, згідно
з принципом суперпозиції, сигнал на виході модулятора можна
обчислити як суму відгуків модулятора на компоненти, з яких
складається модулюючий сигнал е(і). В таблиці 7.1 наведено фор-
мули, за допомогою яких можна знайти синфазну і квадратурну
амплітуди модульованого коливання за відомим модулюючим сиг-
налом за умов, що амплітуда носійного коливання дорівнює 1.
Суворо кажучи, амплітудний модулятор не є лінійною систе-
мою у відношенні до модулюючого сигналу. Дійсно, якщо зДО
є коливанням, що одержано при АМ носійної керувальним сигналом
е^І), а з2(0 — таке ж саме коливання, але за умов, що керувальним
є сигнал е2(і), то АМ коливання, відтворене сигналом е^і) + е2(і),
не дорівнює зг(і) + 82(і). Проте, багато математичних операцій, що
є характерними для лінійних перетворень, застосовно до сигналів
з АМ. Наприклад, синфазна і квадратурна амплітуди АМ коливан-
ня лінійно пов’язані з модулюючим (керувальним) сигналом:
Ага)=Ао + йде(ОІА<г(О = О.
6.	У системах із 88В і У8В роль квадратурної амплітуди по-
лягає лише в тому, щоб при взаємодії з синфазною амплітудою
компенсувати потужність однієї з бічних складових спектра (див.
387
приклад 7.9). Зазначимо, що модулюючий сигнал е(і) можна
отримати з модульованого коливання за допомогою когерентного
демодулятора без урахування квадратурної складової.
7.	Використовуючи властивості вузькосмугових сигналів, мож-
на перейти до квадратурної модуляції ((^АМ). У цьому випадку
маємо (в припущенні, що амплітуда носійної дорівнює 1):
А/О=е1(О іА9(0 = е2(0»
де е^і) і е2(і) — два незалежні модулюючі сигнали.
8.	Комплексна обвідна коливання з(і) з лінійною модуляцією
дорівнює:
«(0 = АДО+УА/О
і містить повну інформацію і про модулюючий сигнал, і про всі
процеси, пов’язані з модуляцією і демодуляцією.
Таблиця 7.1. Різні форми лінійної модуляції
Тип модуляції	Синфазна амплітуда А/0	Квадратур- на ампліту- да	Коментар
В8В8С	е(0	0	е(і) — модулюю- чий сигнал
88;		В	
1. Передається верхня бічна смуга	Г(()		є (і) — перетворен- ня Гільберта сиг- налу е(і)
2. Передається нижня бічна смуга		ч-/ 1-І І сч 1	
У8В			
1. Неповне придушен- ня нижньої бічної	&	от тЧ | СЧ	е9(і) — відгук фільтра з пере- датною функцією на дію сиг- налу е(ї)
2. Неповне придушен- ня верхньої бічної	Ю | н* Лі /—X		
Про визначення передатної функції КЯ(Г) за відомою передатною функ-
цією К(Г) формуючого фільтра (рис. 7.33) див., наприклад, у книзі [2], а також
у розділі 18 третьої частини.
388
У наступному розділі 8 розглянемо ще один тип модуляції,
широко використовуваний на практиці — кутову модуляцію, що,
у свою чергу, поділяється на частотну модуляцію (ЧМ) і фазову
модуляцію (ФМ).
Після цього в розділі 9 проведемо порівняльний аналіз сигналів
з АМ і сигналів з ЧМ та розглянемо приклади реальних радіо-
технічних систем, які використовують розглянуті вище сигнали
з різними типами АМ.
7.9.	ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 7.1
7.1.1.	Обчислити амплітуди, частоти і початкові фази гармоніч-
них складових АМ коливання
8(0 = 5[1 + 0,5со8(2л104£ + 7і/6)]со8(2л107£ + л/3).
7.1.2.	Обчислити амплітуди, частоти і початкові фази гармоніч-
них складових АМ коливання
8(0 = 5[1 + 0,5со8(27і104£ + 7і/6)]8Іп(2л107£ + л/3).
7.1.3.	Обчислити амплітуди, частоти і початкові фази гармоніч-
них складових АМ коливання
8(0 = 5[1 + 0,58Іп(2л104£ + л/6)]со8(2л107£ + л/3).
7.1.4.	Для коливань, розглянутих у задачах 7.1.1, 7.1.2,
і 7.1.3, побудувати амплітудні і фазові спектри. Порівняти отри-
мані результати.
7.1.5.	Обчислити спектральні густини коливань, що розглянуті
у задачах 7.1.1, 7.1.2, і 7.1.3. Побудувати спектри і порівняти їх
зі спектрами, знайденими при розв’язанні задачі 7.1.4.
7.1.6.	Для коливань, розглянутих у задачах 7.1.1, 7.1.2, і 7.1.3,
побудувати векторні діаграми для моменту часу і = 0.
7.1.7.	Для коливань, розглянутих у задачах 7.1.1, 7.1.2,
і 7.1.3, знайти спряжені за Гільбертом сигнали, аналітичні сиг-
нали, комплексні обвідні, синфазні та квадратурні амплітуди.
Провести аналіз отриманих результатів.
7.1.8.	Тональне АМ коливання має такі параметри: Агаах = 4 В,
Атіп = 1 В, Р = 2-Ю3 Гц і /0 = 107 Гц, у = 0, 0О = 0. Записати аналі-
тичний вираз коливання, зобразити його спектр.
389
7.1.9.	Для сигналу з задачі 7.1.8 побудувати векторні діагра-
ми для таких моментів часу: і = 0, і = 71/4, і = Т/2 і І = ЗТ/4, де
Т=1/Г.
Задачі до підрозділу 7.2
7.2.1.	Покажіть, що пік-фактор симетричного прямокутного
періодичного коливання з нульовим середнім значенням (меан-
дра) дорівнює 1.
7.2.2.	Покажіть, що пік-фактор синусоїдного коливання дорів-
нює у[2.
7.2.3.	Доведіть, що пік-фактор коливання, що є сумою N одна-
кових за амплітудоюсинусоїдних коливань різних частот, може
досягати значення 72/7.
7.2.4.	АМ струм і(і) = 100[1 + 0,5со8(44 030]соз(1060, мА проті-
кає по резистивному навантаженню 75 Ом. Знайти:
1.	пікову потужність джерела струму;
2.	середню потужність, що виділяється на навантаженні;
3.	відносну частину потужності, зосереджену в носійному
коливанні;
4.	ККД сигналу, що виділяється на опорі навантаження.
7.2.5.	Для сигналу, розглянутого у задачі 7.1.1, причому
розмірність сигналу — мВ, опір навантаження 300 Ом, об-
числити:
1.	пікову потужність джерела сигналу;
2.	середню потужність, що виділяється в навантаженні;
3.	мінімальну потужність, що виділяється на опорі наванта-
ження;
4.	потужність бічних складових, що виділяється на опорі
навантаження;
5.	середню за період сигналу, що модулює, потужність джерела
сигналу;
6.	середню за період сигналу, що модулює, потужність, що
виділяється на опорі навантаження;
7.	відносну частину потужності, зосереджену в носійному
коливанні;
8.	ККД сигналу;
9.	пік-фактор сигналу з АМ.
7.2.6. Джерело АМ сигналу створює на резистивному наванта-
женні 2 кОм напругу и(і) = 100[1 + 0,5со8(103^)]соз(1060, мВ.
Обчислити мінімальне, максимальне і середнє за період носій-
ного коливання значення активної потужності джерела.
390
Задачі до підрозділу 7.3
7.3.1.	Зобразити спектр і векторну діаграму для моменту часу
і = 0 такого коливання:
з(0 = 10[1 + 0,25со8(105£ + %/4) -
- 0,5соз(5105і + 7і/6)]со8(5-106£ + л/2), В.
7.3.2.	Для коливання, розглянутого в задачі 7.3.1, знайти
спряжений за Гільбертом сигнал, аналітичний сигнал, комплекс-
ну обвідну, синфазну і квадратурну амплітуди.
7.3.3.	За спектральною діа-
грамою АМ коливання, що на- 10
ведена на рис. 7.34, обчислити 8:
парціальні коефіцієнти АМ, ®
записати аналітичний вираз АМ 2
коливання, навести векторну а
діаграму сигналу для моменту
часу і = 0.
4.Л	25°
ноР
60° 30°
а±1..
Рис* 7*34.
7.3.4.	Покажіть, що при АМ довільним періодичним сигналом
явище перемодуляції може мати місце тільки у випадку, коли сума
парціальних коефіцієнтів глибини АМ більша за 1.
7.3.5.	Дано АМ коливання ^(0 у вигляді періодичної послідов-
ності радіоімпульсів з прямокутною обвідною* Графік сигналу на-
ведено на рис* 7.35. Параметри коливання: тривалість імпульсу
391
т = 10 мкс, період повторення Тп = 20 мкс, частота заповнення
/0 = 1/го’ причому т/го » 1, ип = 10 В.
Записати аналітичний вираз для АМ коливання, побудувати
його спектр.
7.3.6.	На рис. 7.35 наведено графік сигналу з2(і). Цей сигнал
відрізняється від сигналу з^і) із задачі 7.3.5 додаванням немо-
дульованої синфазної напруги з амплітудою Д = 2 В. Чим спектр
сигналу з2(і) відрізняється від спектра сигналу
7.3.7.	Модулюючий сигнал е(і) = 1/(1 + і2). Знайти аналітичні
вирази і побудувати графіки обвідної і АМ сигналу, якщо коефіцієнт
глибини АМ набуває таких значень: 50%, 100% і 150%.
Для перевірки отриманих результатів використайте програму,
наведену на рис. 7.36.
т = 1,5;
1 = 2;
а = т*і/(1+Р);
РІоЦ(1+а),{і,-10,10},
РІоіРоіпіз 100, РІоНЧапде -+ {-2,2}]
РІоі[(1+а)*Со8[2л*ГІ], {1,-10,10},
РІоіРоіпіз -> 100, РІоіРапде {-2,2}]
Рисунок 7.36
7.3.8.	Дано модулюючий сигнал е(і) = 2/(1 + і2). Знайти аналі-
тичні вирази і побудувати графіки обвідної і АМ сигналу, якщо
коефіцієнт глибини АМ набуває таких значень: 50%, 100%
і 150%.
Запишіть програму у системі МАТНЕМАТІСА для перевірки
одержаних результатів.
Задачі до підрозділу 7.4*
7.4.1.	Задано сигнал е(і) = Есов(2тіРі), що модулює, і носійне
коливання с(і) = А0соз(2л/0і + ф), де ф — різниця фаз коливань е(і)
і с(1) в момент часу і = 0. Побудувати графіки відповідних сигналів
із двосмуговою АМ і придушеною носійною для таких значень ф:
0, 45°, 90°, 135°. Прокоментувати отримані результати.
392
7.4.2.	Для модулюючого сигналу, розглянутого в задачі 7.3.7,
знайти і зобразити графік сигналу з двосмуговою АМ з придуше-
ною носійною.
7.4.3.	Спектральну густину сигналу, що
модулює, наведено нарис. 7.37, Рт = 1 кГц.
Цей сигнал і носійне коливання А0соз(2л/0^)
діють на мультиплікативний модулятор,
на виході якого утворюється сигнал з2(і)
з двосмуговою АМ з придушеною носійною.
Сигнал $2(Д) діє на вхід когерентного демо-
дулятора, структурну схему якого наведено
на рис. 7.16.
Нехай має місце повна когерентність. Знайти спектри сигналу
на виході демодулятора, якщо:
1) /0 = 1,25 кГц і 2) /0 = 0,75 кГц. Яким є найменше значення
НсЧ, при якому на виході демодулятора без спотворень віднов-
люється модулюючий сигнал?
Задачі до підрозділу 7.5*
7.5.1. Об’єднаний сигнал з(і) у системі з квадратурною АМ от-
римано на виході модулятора, схему якого наведено рис. 7.21, а).
Цей сигнал передається по каналу зв’язку з передатною функцією
Н(/) і надходить на приймальний пристрій, схему якого зображе-
но на рис. 7.21, б). Довести, що необхідною умовою відновлення
модулюючих сигналів ^(0 і е2(і) є Я(/о + /) = Н*(/о - /), 0 < /<
де /0 — НсЧ, Рт — найбільша з двох ширина смуги частот, що
займають сигнали е^і) і е2(і).
Задачі до підрозділу 7.6*
7.6.1. Нехай імпульс прямокутної форми висотою А і триваліс-
тю т подано на модулятор рис. 7.28. Знайти обвідну сигналу на
виході модулятора. Показати, що обвідна має викиди (піки) на
передньому і задньому фронтах імпульсу.
7.6.2. Нехай зи(і) є сигнал з ОМ, причому в ньому залишено
верхню бічну смугу повного спектра АМ сигналу. 8и(і) — сигнал,
спряжений за Гільбертом сигналу Показати, що:
2
1	• е(і) = —[8Ц (і) соз(2я/о0 + 8ц(0 зіп(2я/оО]
і
2	.
е(0 = —[8и(0СО8(2л/оО - 8 (І) 8Іп(2я/оО],
А
393
де е(і) — сигнал, що модулює, е(і) — спряжений йому сигнал, Ао
і /0 — амплітуда і НсЧ;
2. відповідні рівності для сигналу зг(0 з ОМ, у якому вико-
ристано тільки нижню бічну смугу сигналу мають вигляд:
2
б(0 = — [в, (0 СО8(2л/00 + 8,(0 ЗІп(2я/оО]
А
2
е(і) = — [8,(08ІП(2п/оО - 8г(0с08(2я/о0]-
А
7.6.3. Побудувати структурну схему РПрП за формулами,
що наведені в задачі 7.6.2.
Задачі до підрозділу 7.7*
7.7.1.	Сигнал, що модулює, для ОМ з неповним придушенням
бічної смуги має вигляд е(і) = Есоз(2л/е0- Модульоване У8В ко-
ливання
«(0 = аЕА0соз[2л(/0 + /е)] + ЕА0(1 - а)соз[2л(/0 - /е)],
де а — стала величина, а < 1.
1.	Знайти синфазну і квадратурну амплітуди сигналу з(і).
2.	Визначити величину сталої а, при якій з(0 є сигналом
з двосмуговою АМ з придушенням носійної.
3.	Визначити величину сталої а, щоб сигнал з(0 був сигналом
з односмуговою АМ з неповним придушенням бічної смуги.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
І	.Сиберт У. М. Цепи, сигнальї, системи: В 2-х ч. Ч. 2:
Пер. с англ. —М.: Мир, 1988. —359 с.
2	.Наукіп 8ішоп. Ап Іпігойисііоп іо Апа1о§ апсі ПІ£ііа1
Соттипісаііопз. ЛоЬп АУіІеу & 8опз, 1989. —652 р.
394
Розділ
СИГНАЛИ
З КУТОВОЮ МОДУЛЯЦІЄЮ
Вступ
Як зазначено у вступі до розділу 7, сигнали з кутовою
модуляцією (КМ) поділяються на два класи: сигнали з частотною
модуляцією (ЧМ) і сигнали з фазовою модуляцією (ФМ).
Почнемо, як при аналізі сигналів з АМ, з найпростішого виду
КМ — тональної КМ. Розглянемо подання таких сигналів у часовій
та частотній областях. Зокрема визначимо, що поділ на сигнали
з ЧМ і сигнали з ФМ є досить умовним, оскільки ті та інші тісно
пов’язані один з одним. Аналіз спектрів сигналів з КМ дозволяє
визначити ті їхні властивості, що зумовлюють їх широке викори-
стання в радіотехніці, радіоприладобудуванні і техніці зв’язку.
Як і для сигналів з АМ у попередньому розділі підручника, роз-
глянемо деякі методи генерування і демодуляції сигналів з КМ.
Покажемо, що методи синтезу відповідних пристроїв базуються на
моделях подання сигналів з КМ у часовій або частотній областях,
що потребує і від бакалавра, і від спеціаліста радіотехніки, не го-
ворячи вже про магістра, глибокого знання теорії сигналів.
Наступним етапом аналізу сигналів з КМ буде перехід від тональ-
ної модуляції до КМ довільним сигналом. Визначимо, як формує-
ться спектр сигналу у цьому випадку, а також його властивості.
Нарешті розглянемо сигнали зі змішаними видами модуляції
типу АМ-ЧМ. Прикладом такого складного сигналу або сигналу
з великою базою є радіоімпульс з лінійно-частотною модуляцією
(ЛЧМ). Ми розглянемо його моделі у часовій та частотній облас-
тях та його АКФ. Це дозволить визначити чудові властивості
цього сигналу, котрі й пояснюють його широке використання
на практиці.
395
Ще одним складним сигналом, який ми розглянемо у цьому
розділі, є сигнал з фазовою маніпуляцією (ФМн).
Як і в попередніх розділах підручника, в прикладах дослідни-
цького характеру будемо використовувати ЕОМ.
8.1.	Кутова модуляція: базова концепція
Отже, при кутовій модуляції за законом модулюючого
сигналу е(і) змінюється або миттєва частота ®, або фаза 8 носійно-
го коливання ас(і). Амплітуда носійного коливання залишається
без змін.
Запишемо модульоване коливання у вигляді

(8.1)
і
де Ао— амплітуда, а = ІсоДі)6^ = |(оДі)<іі+9о— повна фаза
о
модульованого коливання, яка змінюється в часі відповідно до
сигналу, що модулює. Аналітичний вираз, що описує цю зміну
повної фази, залежить від типу модуляції.
Коливання з кутовою модуляцією
8км(і) можна подати за допомогою век-
торної діаграми, наведеної нарис. 8.1.
Вектор коливання, згідно з (8.1), в мо-
мент часу і буде розміщений під кутом
ц/(£) до осі проекцій. З плином часу цей
кут збільшується, отже, вектор оберта-
ється в напрямку, протилежному на-
Рис. 8.1.
прямкові руху годинникової стрілки,
і його кінець описує коло
радіуса Ао. Кутова швидкість обертання вектора дорівнює
04(1)
СІІ
У випадку немодульованої носійної = 2л/0? + 0О і вектор обер-
тається зі сталою швидкістю <в0 = 2л/0.
й
Існує нескінченна кількість способів зміни повної фази
відповідно до сигналу Ми розглянемо лише два ме-
тоди, які найчастіше використовуються в радіотехніці:
	метод фазової модуляції (ФМ);
	метод частотної модуляції (ЧМ).
1. Фазова модуляція (ФМ) є поодиноким випадком куто-
вої модуляції, коли повна фаза лінійно пов’язана з модулюючим
сигналом, тобто
396
Ч/(і) = 27ІГоі + 0о + йее(О.	(8.2)
Перші дві складові є повного фазою немодульованого носій-
ного коливання, сталий множник /?е — це фазова чутливість мо-
дулятора, він вимірюється в рад/В, якщо сигнал е(1) вимірюється
в вольтах. Таким чином, модульоване за фазою коливання
можна описати в часовій області таким виразом:
8ф(і) = А0со8[2л/0і + Єо + й9е(О]-	(8.3)
2. Частотна модуляція є поодиноким випадком КМ, коли
миттєва частота /.(і) лінійно пов’язана з модулюючим сигналом,
тобто
4(О = Го + МО-	<8-4>
Тут /0 — частота немодульованої носійної, а к( — частотна чут-
ливість модулятора, виражена в Гц/В, якщо одиницею виміру
сигналу е(і) є вольти. Інтегруючи (8.4) за часом і помножуючи
результат на 2л, одержимо повну фазу коливання з ЧМ:
Ч/(О = 2л/оі + Оо + 2л/?/|е(0<іі.	(8.5)
Таким чином, модульоване за частотою коливання вч(і) можна
описати в часовій області виразом такого виду:
8ч(і) = Д)со5[2л/0і+00 +2як^ е(і)Фі].	(8.6)
Якщо порівняти рівності (8.3) і (8.6), можна зазначити,
що ЧМ коливання можна розглядати як ФМ коливання, в яко-
му замість модулюючого сигналу е(і), використано коливання
|е(ОсИ. Тепер можна встановити зв’язок між частотною і фазовою
модуляцією.
	ЧМ коливання для сигналу е(і) можна одержати за
 допомогою фазового модулятора, подавши на його вхід і
коливання, що є результатом інтегрування е(і).	'
	ФМ коливання для сигналу е(і) можна одержати на ви- ;
ході частотного модулятора, якщо на його вхід подати .
коливання, яке є результатом диференціювання е(і).
	Таким чином, всі властивості коливань з ФМ можна і
одержати з аналізу коливань з ЧМ і навпаки.	।
'г»л'-г.;-иЛ	'. <• І'"'-.'
Взаємозв’язки коливань з ЧМ та ФМ ілюструють струк-
турні схеми, що наведені на рис. 8.2, а) і 8.2, б).
397
Приклад 8.1
Розглянемо випадок
тональної кутової модуляції.
Нарис. 8.3, а) наведено графік
коливання е(і), що модулює.
Відповідне ЧМ коливання 8ч(і)
зображено на рис. 8.3, б).
Щоб одержати ФМ коли-
вання для того ж модулюючого	Рис. 8.2.
сигналу е(і), згідно зі схемою
рис. 8.2, б), необхідно знайти і подати це коливання на вхід
д,і
частотного модулятора. На рис. 8.3, в) наведено графік функції
тобто графік змінювання миттєвої частоти ФМ коливання.
Лі
Наприклад, якщо у першому випадку миттєва частота змінюва-
лась за законом синуса, то у другому — за законом косинуса. Саме
ФМ коливання зф(і) зображено на рис. 8.3, г). Зауважимо: щоб
коливання зч(і) і 8ф(і) відрізнялися лише зсувом за часом, повинні
виконуватися певні умови (задача 8.1.1).
Рис. 8.3.
З аналізу коливань, наведених на рис. 8.3, можна зробити
висновок, що коливання з ФМ і ЧМ при модуляції одним тоном
співпадають за формою.
Інша справа, якщо модулююче коливання довільне, тобто
таке, в спектрі якого присутні спектральні складові з різними
частотами.	І І
398
Приклад 8.2
Розглянемо випадок, коли сигналом, що модулює, є пе-
ріодична послідовність відеоімпульсів прямокутної форми.
На рис. 8.4, а) наведено фрагмент такого коливання. У випад-
ку ЧМ за таким законом змінюється миттєва частота коливання
Це коливання зображено на рис. 8.4, б). При ФМ миттєва
частота змінюється як ——. Графік зміни миттєвої частоти ФМ
бі
коливання наведено на рис. 8.4, в). На рис. 8.4, г) наведено епюру
одного з можливих коливань вф(і).	Д
Рис. 8.4.
Вправа 8.1
Як знайти величину стрибка фази в момент часу, коли
в законі зміни миттєвої частоти є дельта-функція?
Вправа 8.23
Коливання з ЧМ подано виразом
з(і) = А0соз[20-Ю5лі + зіп(5 • 1О3л0].
Визначте миттєву частоту сигналу з(і).
Вправа 8.3
--- Коливання, що зображено на рис. 8.4, а), подається на
вхід схеми, наведеної на рис. 8.2, а). Зобразіть графіки коливань
на вході та виході фазового модулятора.
З аналізу сигналів з ЧМ і ФМ можна зробити висновок, що
вони так тісно пов’язані між собою, що достатньо детально роз-
глянути один з видів модуляції. Інший відрізнятиметься лише
параметрами, які легко знайти за формулами (8.3) і (8.6), а також
з аналізу схем рис. 8.2.
399
8.2.	Подання сигналів з кутовою модуляцією
у часовій області
Коливання з частотною модуляцією описується вира-
зом (8.6):
5ч(0 = Д)С°з[27с/0^+90 е(і)сІі].
З цього виразу виходить, що зч(і) є нелінійною функцією модулюю-
чого сигналу е(і). Отже,
Процедура частотної модуляції є нелінійним процесом
Тому, як і у випадку АМ, при ЧМ відбувається пере-
творення спектра модулюючого сигналу. Щоб дослідити спек-
тральні властивості ЧМ коливання, розглянемо спочатку сигнали
з тональною модуляцією в часовій області.
Нехай модулююче коливання задано виразом
е(і) = Есоз(2тіРі + у).	(8.7)
Миттєва частота коливання з ЧМ змінюватиметься в часі за за-
коном
/.(0 = /0 + кгЕсоз(2тіГі + у).	(8.8)
Очевидно, що множник к^Е має значення амплітуди відхилення
миттєвої частоти ЧМ сигналу від частоти носійної і має розмір-
ність Гц.
	Максимальне відхилення миттєвої частоти коливан-
 ня з кутовою модуляцією від НсЧ /0 звуть девіацією
частоти.
	У випадку частотної модуляції девіація частоти
гй=М	<8-9>
не залежить від частоти Е модулюючого коливання
і пропорційна його амплітуді Е	і
> "* , > > ' '' '
З урахуванням введеного позначення (8.8) можна за-
писати:
Г/0 = 4 + 4соз(2л^ + у).	(8.10)
400
Знайдемо повну фазу коливання з тональною ЧМ.
Ч/(0 = 2я| /.(О<^+0о= 2я/о^4--у8Іп(2лГ^4-у)4-0о. (8.11)
Тут 0О — значення початкової фази носійного коливання в момент
часу і = 0 при відсутності модулюючого сигналу.
На рис. 8.5 зображено вектор-
ну діаграму коливання з кутовою
модуляцією. Вісь проекцій оберта-
ється за напрямком руху годинни-
кової стрілки з кутовою швидкістю
соо = 2л/0. В такій системі координат
вектор носійної нерухомий і роз-
ташований так, як зображено на
рисунку. Вектор модульованого
коливання здійснює коливання
відносно нього і максимальний
кут, на який він відхиляється від
вектора носійної, дорівнює 0т. Як
виходить з (8.11), 0т = Їа/Р.
Рис. 8.5.
0
	Максимальне відхилення фази коливання з КМ від фази
90 носійної зветься індексом тональної КМ, позначаєть-
ся літерою ш, являє собою девіацію фази модульованого
сигналу і вимірюється в радіанах.
	У випадку ЧМ індекс модуляції дорівнює:
Запишемо аналітичний вираз сигналу з тональною ЧМ
та його параметри.
9
	Коливання, що модулює :
е(і) = Есоз(2пРі + у).
	Модульоване коливання:
зч(і) = А0со8[2п/0і + тзіп(2пРі + у) + 90],
де індекс тональної ЧМ
(8.13)
401
девіація частоти

Вправа 8.4
Нехай модулюючий сигнал е(і), що задано виразом (8.7),
подано на вхід частотного модулятора. Параметри сигналу: Е = 5 В,
Е = 1 кГц. Частотна чутливість модулятора к{ = 40 Гц/В. Знайдіть
девіацію частоти та індекс модуляції.
Приклад 8.3
Одержимо аналітичний вираз сигналу з тональною ФМ.
Нехай модулююче коливання
е(і) = -Е8Іп(2л/7 + у).
(8.14)
Вправа 8.5
---- Порівняйте (8.14) з модулюючим сигналом (8.7), що ви-
користано при аналізі сигналів з тональною ЧМ, і постарайтеся
передбачити вигляд аналітичного виразу сигналу з тональною
ФМ, який розглядається в цьому прикладі.
Коливання з ФМ записується так:
8ф(і) = Ао соз[2я/0і +0(0] = Д> со8[2л/0і +90	е(0] =
= А0 соз[2я/0і + /^ £зіп(2я7'7+у)+Є0].
Тут
к9Е = т—	(8.15)
індекс модуляції коливання з тональною ФМ.
Таким чином,
зф(і) = А0со8[2л/0і + твіп(2ііЕі + у) + 0о].	(8.16)
Знайдемо миттєву частоту коливання з тональною ФМ:
^(0 = “^^ = /о+^сов(2дРґ+у).
2п аі
Очевидно, що множник тЕ має значення девіації частоти ФМ
сигналу:
402
/а~тГ.	(8.17)
Таким чином, у випадку тональної фазової модуляції сигнал
та його параметри вийшли ось які:
8
	Модулююче коливання:	*
е(і) = Езіп(2яГі + у).	\
	Модульоване коливання:	\
8ф(і) = А0соз[2л/0і + 7П8Іп(2лГі + у) + 0О],	|
де індекс тональної ФМ	\
т = НЕ,	І
І
девіація частоти	|
_____________________________________   І
Порівняємо результати, що отримано при аналізі сиг-
налів з тональною ЧМ, з результатами прикладу 8.3 і зробимо
деякі висновки.
8
	Аналітичні вирази сигналів $ч(£) і зф(і) при тональній
модуляції цілком однакові — формули (8.13) і (8.16) —
і якщо модулюючий сигнал невідомий (у випадку ЧМ —
(8.7), у випадку ФМ — (8.14)), наприклад по осцилограмі
коливання визначити тип модуляції у деяких випадках
неможливо.
	Векторні діаграми коливань з тональною ЧМ і ФМ та-
кож не відрізняються одна від одної і мають вигляд, як
на рис. 8.5.
	Параметри модульованих сигналів — девіація частоти
та індекс модуляції — відрізняються у першому і дру-
гому випадках. На рис. 8.6, а) наведено графіки залеж-
ностей індексу модуляції та девіації частоти від частоти
Р модулюючого сигналу при ЧМ, а на рис. 8.6, б) —
те ж саме, але для ФМ.
При ЧМ девіація частоти пропорційна амплітуді сиг-
налу е(і) і не залежить від Р. При ФМ від Р не залежить
величина індексу модуляції. Індекс модуляції при ЧМ
зменшується із збільшенням Р і при малих значеннях
403
Р може набувати надто великого значення в той час, як
при ФМ, девіація частоти збільшується із збільшенням
Р за лінійним законом.
	Відмінність сигналів з ЧМ і ФМ один від одного чітко
виявляється у випадку, коли модулюючий сигнал е(і)
складний, тобто містить понад одну гармонічну складову
у спектрі (див., наприклад рис. 8.4).
Перейдемо до опису сигналів з тональною КМ в частот-
ній області.
8.3. Спектри сигналів
з тональною кутовою модуляцією
Для спрощення проміжних формул приймемо, що 0О = 0,
у = 0. Тоді сигнал з тональною ЧМ описуватиметься таким аналі-
тичним виразом:
з(і) = А0соз[2л/0і + ?П8Іп(2лГ0]-	(8.18)
Використавши (А. 15), цей вираз можна подати у вигляді
«(0 = А» соз(2л/00со8[тзіп(2л/’0]-
- А, 8Іп(2я/оО8іп[пі8Іп(2л:1!:ї)]-	(8-19)
З цього виразу виходить, що синфазна і квадратурна ампліту-
ди сигналу з тональною ЧМ мають такий вигляд:
А{(і) = А0соз[тзіп(2лГО]	(8.20)
і
ААі) = Агізіп[тзіп(27г/’і)].	(8.21)
404
Тоді комплексна обвідна коливання з ЧМ дорівнює:
8(ї) = А[(1)+= Д ехр[;тзіп(2лГ0] (8.22)
і вміщує в собі всю інформацію про модулюючий сигнал е(і). За
виразом (8.22) виходить, що комплексна обвідна є періодичною
функцією часу з періодом 1/Г. Якщо так, то функцію можна
подати за допомогою ряду Фур’є, тобто записати:
8(і) = ^Сп ехр(]2кпЕі),	(8.23)
П=-00
де комплексні коефіцієнти ряду Фур’є
1/2Г
Сп = Р | 8(І)ехр(-І2кпРі)(ІІ =
-1/2Р
1/28
= РА<) |ехр[ітзіп(2кЕі)-]2кпРі]сІі.	(8.24)
-1/2У
Зробимо заміну змінних х = 2пРі. Тоді (8.24) набуде вигляду:
1 к
Сп = Ао — | ехр[у(тзіпх-пх]<іх.	(8.25)
Інтеграл, що стоїть у правій частині цього рівняння, в теорії
спеціальних функцій носить назву функція Бесселя першого роду
п-го порядку і має спеціальне позначення <7п(тп) (див. наприклад,
[4]), тобто,
1 ’
^п(т) =— Г ехр[у(тзіпх-пх)]4х.	(8.26)
З урахуванням цього (8.25) можна записати так:
С„=ДД».	(8.27)
Підставимо (8.27) в (8.23) і одержимо наступний вираз для
комплексної обвідної сигналу з тональною ЧМ:
«(0 = А» ^^п(т)ехр(і2ітРі).
П=-оО
Перейдемо від комплексної обвідної сигналу до самого сигналу.
8(г) = Ве[8(Оехр(у2л/оО] = Ао^Лп(т)со8[2п(/0 +пР)і].	(8.28)
405
8
Формула (8.28) є розкладанням сигналу з тональною
ЧМ в ряд при будь-яких значеннях індексу модуляції
і фактично, визначає спектр модулів (амплітуд) і аргу-
ментів (фаз) коефіцієнтів ряду.
Вправа 8.6
За яких умов ряд (8.28) є рядом Фур’є?
Щоб одержати спектральну густину сигналу з тональ-
ною ЧМ, достатньо знайти перетворення Фур’є від лівої і правої
частин (8.28), для чого скористатися таблицею Б.2 і теоремами
про спектри,
8(ї) =	І ^)[5 (/ - /о - "Л+5 (/ + 4 + ^)1 • (8 • 29)
"	71——оо
Вправа 8.7
Розгляньте загальний випадок, коли 0О * 0 і у 0. Пока-
жіть, що в цьому випадку формула (8.28) набуде вигляду:
ОО
з(0 = Д £ -Уп(т)соз[2п(/О + пР)< + пу +0О].	(8.30)
Одержіть вираз для спектральної густини сигналу (8.30).
Вправа 8.8
Розгляньте випадок тональної ФМ. Чим відрізнятимуться
вирази (8.28), (8.29) і (8.30), якщо той самий модулюючий сигнал,
що використовано при розгляді тональної ЧМ, подати на вхід фа-
зового модулятора?
З тих формул, що було отримано, виходить, що для побудови
спектрів коливань з кутовою модуляцією необхідно знати значення
функцій Бесселя <Іп(т).
На рис. 8.7 наведено
графіки кількох перших
функцій Бесселя першого
роду. Аргументом є індекс
модуляції т. З аналізу гра-
фіків виходить, що при фік-
сованому п функція Лп(т)
має коливний характер
і 1іт|е7я(тп)| = 0. Детальні-
т-^хз	,
ше властивості функцій
406
Бесселя першого роду описано у додатку В. Там наведено таблиці
значень еТ^пг) для різних п і т. Особливу увагу потрібно звернути
на наступні три властивості, котрими необхідно користуватися
при аналізі сигналів з тональною КМ.
8
1.	При п > т + 1 значення функції ^(иг) швидко зменшу-
ються зі зростанням п, тобто:
<їп(т) = 0, якщо ті > т + 1.	(8.31)
Ця властивість функцій Бесселя, отже й спектрів сигналів
з тональною КМ, дозволяє визначати активну ширину
спектра таких сигналів.
2.	Властивість симетрій:
«Л„(т) =
<їп(т), п парне
-їЩт), п непарне.
(8.32)
З цієї властивості виходить, що для побудови спектра
сигналу з КМ достатньо знати значення функції <Іп(т)
тільки для додатних значень п.
3.	Властивість нормування:
£^И) = 1.	(8.33)
Тепер можна сформулювати основні властивості сигналів
з кутовою модуляцією — ЧМ і ФМ.
І.	Вузькосмуговий сигнал з кутовою модуляцією
Сигнал з КМ, індекс модуляції якого малий у порівнянні
з 1 радіаном, називається вузькосмуговим. Практично вся енер-
гія такого сигналу зосереджена в трьох спектральних складових:
на частоті, /0 носійного коливання, верхній бічній складовій на
частоті (/0 + Р) і нижній бічній складовій на частоті (/0 - Р). Це
добре видно на рис. 8.7 і випливає з такої властивості функції
(див. додаток В):
е/0(тп) = 1
якщо т <0,3,

(8.34)
'Іп(т) = 0, п>1
407
Підставляючи (8.34) до (8.28), одержуємо з урахуванням власти-
вості (8.32) для вузькосмугового сигналу з тональною КМ:
8(0 = .Д со8(2яД0+——^-соз[2я (Д + Г)0соз[2я(/0 -і'’)*]- (8.35)
З цього виразу випливає:
В
якщо індекс модуляції т < 0,3, то коливання з то-
нальною КМ можна з високою точністю апроксимувати
сумою носійної з амплітудою Ао, верхньої бічної компо-
ненти на частоті (/0 + Р) з амплітудою тА0/2 і нижньої
бічної компоненти на частоті (/0 - Р) з тією ж амплітудою
тА0/2, але зсунутою по фазі на кут п відносно верхньої
бічної.
З
Вправа 8.9
Покажіть, що в загальному випадку 0О 0 і у * 0, вузько
смугове коливання з тональною КМ можна подати
моделлю такого вигляду:
з(0 = Д соз(2я/о0 + -^* 2-соз[2я(/о + Р)і+у +0О] +
2
+^^соз[2я(/о-/’)і-у+0о+я].	(8.36)
2
Аналіз формул (8.35) і (8.36) показує, що вони
вирази для сигналів із стандартною АМ (7.11).
Приклад 8.4
---- Обчислити спектри і побудувати для моменту часу і = С
векторні діаграми сигналу з тональною стандартною АМ і сигна-
лу з тональною ЧМ. Параметри сигналів: Ао = 1В, М = т = 0,25.
0о = О, у = я/4.
Розв’язання.
Запишемо аналітичні вирази для сигналів:
8ам(і) = соз(2пГ0і) +
+0, 125соз[2я (Д + Р)і + я /4]+0,125 соз[2я (£ - Р)і - я /4]
408
8чм(і) = соз(2кГ0і) +
О,125соз[2я(/0 + Г)£+я/4]+0,125со8[2я(Д -іі’)і+Зя/4],
В останньому виразі початкова фаза нижньої бічної дорівнює
я - л/4.
Будуємо спектри.
На рис. 8.8, аі), а2) наведено амплітудний і фазовий спектри
сигналів з АМ, а на рис. 8.8, 61), 62) — амплітудний і фазовий
спектри сигналу з ЧМ. Спектри амплітуд обох сигналів однакові,
спектри фаз відрізняються тим, що нижня бічна складова спек-
тра сигналу з ЧМ має додатковий зсув по фазі на кут я радіан
у порівнянні з нижньою бічною складовою сигналу з АМ. Цей зсув
і призводить до того, що в часовій області сигнали 8^1) та 8чм(і)
виявляють себе по-різному. В чому полягає ця відмінність, наоч-
но показує порівняння векторних діаграм сигналів. Вісі проекцій
обертаються з кутовою швидкістю ®0 = 2я/0 за годинниковою стріл-
кою. Як було показано вище, в такій системі координат вектор
носійної нерухомий і орієнтований в момент часу і = 0 під кутом
0о до осі проекцій. На рис 8.8, аЗ) зображено знайому векторну
діаграму сигналу з АМ. Симетрія фаз бічних складових відносно
фази носійної призводить до того, що сумарний вектор у будь-
який момент часу співпадає за напрямком з вектором носійної
і з плином часу змінюється лише його модуль.
409
Розглянемо тепер векторну діаграму коливання з ЧМ, наве-
дену на рис. 8.8, 63). Поворот вектора нижньої бічної складової
спектра ЧМ сигналу на 180° зумовлює те, що вектор суми бічних
перпендикулярний вектору носійної. При цьому вектор суми всіх
трьох компонент ЧМ сигналу відхиляється від вектора носійного
коливання. На рисунку зображено положення вектора в момент
часу і = 0. З плином часу вектори бічних обертаються з кутовою
швидкістю £1 = 2лГ у протилежних напрямках. Це призводить до
того, що сумарний вектор здійснює кутові коливання відносно
вектора носійного коливання. Коли він рухається назустріч осі
проекцій, миттєва частота більша від НсЧ /0, а коли напрямок
обертання сумарного вектора співпадає з напрямком руху осі
проекцій, миттєва частота менша від НсЧ. При малих значеннях
індексу модуляції модуль сумарного вектора мало відрізняється
від Ао і, отже, паразитну амплітудну модуляцію в сигналі 8чм(і)
можна зневажити. Одержуємо сигнал з ЧМ.
Вправа 8.10
При використанні наближених моделей (8.35), (8.36)
для опису вузькосмугових сигналів з КМ паразитною амплітуд-
ною модуляцією у випадку т < 0,3 можна знехтувати, хоча вона
присутня. Поясніть, що є причиною появи паразитної АМ.
//. Широкосмуговий сигнал з кутовою модуляцією
При великих значеннях індексу модуляції (у порівнянні
з 1 рад.) спектр сигналу включає носійну і теоретично нескінченну
кількість бічних компонент, розміщених симетрично по обидва
боки від носійної. Такі сигнали отримали назву широкосмугових
сигналів з кутовою модуляцією’.
III. Середня потужність
Оскільки амплітуда сигналів з ЧМ і ФМ не змінюється
в часі і дорівнює Ао, середня потужність таких сигналів є сталою.
Термін «широкосмуговий», який використовується для таких сигналів,
відрізняється за змістом від визначення, даного у розділі 6. Широкосмуговий
ЧМ або ФМ сигнал фактично є вузькосмуговим, оскільки займана ним смуга
частот набагато менша від НсЧ.
410
Таким чином, середня потужність, що виділяється на опорі 1 Ом,
коливань з КМ дорівнює
(8.37)
Такий самий результат можна одержати і подавши сигнал з куто-
вою модуляцією моделлю (8.28).
За теоремою Парсеваля для ряду Фур’є (8.28) маємо:
А 2	00
" п=-оо
(8.38)
Підставивши (8.33) до (8.38), одержуємо (8.37).
Приклад 8.5
У цьому прикладі дослідимо вплив амплітуди Е і часто-
ти Е модулюючого сигналу е(і) = -Есоз^лТ'ї) на спектр коливання
зЧМ.
Індекс і девіація частоти коливання з ЧМ пов’язані з час-
тотою та амплітудою модулюючого сигналу виразами т = ій/Е
4, = ^.
Розглянемо 2 випадки: 1. Е — сопзі, Е = ваг і 2. Е = сопзі,
Е = ваг.
1. Зміна амплітуди Е веде до відповідної зміни девіації часто-
ти. При цьому частота Е, а отже, і відстань між спектральними
лініями залишаються незмінними. На рис. 8.9, аі), а2) і аЗ)
наведено амплітудні спектри відповідних ЧМ сигналів, нормова-
ні до амплітуди Ао немодульованою носійної, для значень індек-
су частотної модуляції 1,0, 2,0 і 5,0, відповідно. При побудові
спектрів використовувалася таблиця В. 2 значень функції <1 г(т)
з додатку В.
2. Зміна частоти Е модулюючого сигналу при незмінній амплі-
туді Е призводить до зміни індексу модуляції, девіація частоти
при цьому не змінюється. Амплітудні спектри коливань для цього
випадку наведено на рис. 8.9, 61), 62) і 63). Можна відзначити,
що при фіксованому значенні девіації частоти із збільшенням
індексу модуляції т кількість спектральних ліній у смузі частот
4 “ 4 < < 4 + 4 Збільшується.
411
Рис. 8.9.
Таким чином, в даному випадку (Е - сопзі, Е = саг) навіть
при дуже великих значеннях індексу модуляції ширина
смуги частот, займаної сигналом з ЧМ, залишається об-
меженою приблизно значенням 2/гі.
Вправа 8.11
--- Для тих самих двох випадків, що проаналізовані у при-
кладі, побудуйте амплітудні спектри сигналів з ЧМ при т = 0,2
IV. Смуга частот
Як виходить з формул (8.28) і (8.29), навіть найпростіший
сигнал з тональною кутовою модуляцією містить нескінченну кіль-
кість бічних складових і, отже, потребує для себе нескінченної
смуги частот. Однак, без суттєвої похибки опису таких сигналів
моделлю (8.28) можна знехтувати спектральними складовими
з номерами |п| > т + 1. Це виходить з властивості (8.31) функцій
^п(т). Тоді
8(0^Д) Лп(иг)со8[2л:(/0 + пГ)і],	(8.39)
п=-(т+1)
412
Д т+1
8(П = ^- £«7п(тп)[8(/-/0-пР)+8(/+/0+пР)]. (8.40)
" п--(т+і)
З виразів (8.39) і (8.40) випливає, що практична ширина спек-
тра сигналу з кутовою модуляцією приблизно дорівнює:
Ди^2ГИ + 1)	(8.41)
Тобто виходить, що для вузькосмугових (т « 1) сигналів
з КМ Д/практ = 2Р або, якщо сигнал широкосмуговий (т » 1),
Д/практ = 2Р • т = 2/а. В таблиці В. 2 значень функцій Л/т) останні
з тих компонент, які щетреба врахувати за(8.39), (8.40) або (8.41)
при розв’язанні практичних задач, виділено підкресленням.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклад 8.6
--- Носійне коливання сигналу з тональною ЧМ має такі
параметри: Ао = 10 В, /0 = 100 МГц, 0О = л/3 рад. Параметри моду-
люючого сигналу е(і) = Есо8(2лГі + у) такі: Е = 2 В, Р = 10 кГц,
у = л/6. Частотна чутливість модулятора к{ = 20 кГц/В.
1. Знайти практичну ширину спектра, девіацію частоти, обчис-
лити і побудувати амплітудний і фазовий спектри ЧМ сигналу.
2. Для того самого модулюючого сигналу і носійної знайти
практичну ширину спектра, девіацію частоти, обчислити і побу-
дувати амплітудний і фазовий спектри ФМ сигналу за умови, що
індекси модуляції ЧМ і ФМ сигналів однакові.
Розв’язання.
1. Девіація частоти ЧМ сигналу = кЕ = 40 кГц. Тоді
/ 40
індекс модуляції т=— = — = 4. Підставивши до формули (8.13)
Р 10
параметри модулюючого сигналу і носійної, одержимо:
8ц(0 = 10соз [2яЮ0-106і+48іп(2л104і + л/6) + я/3].
За формулою (8.42) знаходимо практичну ширину спектра
Д/практ = 100 кГц, число бічних складових спектра, які ще треба
враховувати, дорівнює т + 1 =• 5. Запишемо наближений аналі-
тичний вираз сигналу за допомогою ряду (8.39):
&
вДП£І0£^„(4)со8[2л(10010в+п104К + л/3 + пл/6].	(8.42)
п=-5
413
Складемо таблицю.
Таблиця 8.1
п	<(4)	ЧМ, ФМ В	ЧМ, ФМ п > 0, МГц	ЧМ, ФМ ГЛ> п < 0, МГц	ЧМ Є , п >0, рад.	ЧМ п < 0, рад.	ФМ 9 , п > 0, рад.	ФМ п < 0, рад.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	-0,397	3,97	100		4л/3		4л/3	
1	-0,066	0,66	100,01	99,99	Зл/2	л/6	2л	-л/3
2	0,364	3,64	100,02	99,98	2л/3	0	5л/3	-л
3	0,430	4,30	100,03	99,97	5л/6	-7л/6	7л/3	-8л/3
4	0,281	2,81	100,04	99,96	л	-л/3	Зл	-7л/3
5	0Л32	1,32	100,05	99,95	7л/6	-9л/6	11 л/3	-4л
У перший стовпчик випишемо значення п. З таблиці В.2 випи-
суємо у другий стовпчик таблиці значення функцій еГи(лг) для т = 4
і п < 5. Згідно з формулою (8.42) знаходимо амплітуди складових
Ап =А^^п(4)|, А_п = Ап. В наступних двох стовпчиках запишемо час-
тоти складових спектра. Залишилося обчислити початкові фази
складових спектра.
Для п > 0
9Я
Є0+пу, «Гп(т)>0
<
0о+пу+л, ^(т)<0.
(8.43)
У випадку п<0 необхідно враховувати ще й властивість (8.32)
функцій Одержуємо:
0о-|п|у, «7н(?п)>0, п парне
0о-|п|у ±д, ^(т)>0, п непарне
0о-|п|у±я,	п парне
0О-|п|у, е/|п|(ш)<0, п непарне
еп
(8.44)
Підставляємо до (8.43) і (8.44) числові значення і заповнюємо 6
і 7 стовпчики таблиці 8.1.
Тепер можна побудувати спектр.
На рис. 8.10, а) наведено амплітудний спектр, побудований
за даними таблиці 8.1 для коливання з ЧМ. Зазначимо, що ам-
плітудний спектр є парною функцією частоти відносно частоти
/0 = 100 МГц носійної. Фазовий спектр цього сигналу зображено
нарис. 8.10, б). Щоб виявити закономірності, пов’язані з власти-
вістю симетрії фазових спектрів, при їх побудові на рис. 8.10
414
не здійснювалося зведення значень 6л до інтервалу [-я, я], що
звичайно робиться на практиці. Перервна лінія на рисунку від-
повідає властивості симетрії, якій підпорядковуються сигнали
зі стандартною АМ. Видно, що всі бічні складові з парними но-
мерами задовольняють цій властивості, в той час як у складових
з однаковими за абсолютною величиною але непарними номерами,
з’являється фазовий зсув на кут 180° один відносно одного. В цьо-
му випадку вектор суми кожної пари таких складових перпенди-
кулярний до вектора несійної (див. рис 8.8, 63)), що й забезпечує
кутову модуляцію. Виникає питання, яку роль відіграють парні
складові спектра, тобто ті пари бічних складових, які не впливають
на величину фазового кута сумарного вектора, а змінюють лише
його модуль, чи потрібні вони? Відповідь на це питання можна
одержати з аналізу тієї самої векторної діаграми рис. 8. 8, 63).
Навіть у випадку т « 1 врахування лише складових за номерами
1 і -1 призводить до того, що модуль сумарного вектора змінюєть-
ся в часі і, за винятком окремих моментів часу, більший за Ао. Це
призводить до паразитної АМ коливання з КМ. При збільшенні
індексу модуляції (кутового відхилення вектора модульованого
коливання відносно вектора носійної), щоб зменшити паразитну
АМ, необхідно враховувати все більше і більше бічних складових.
Саме парні з них і слугують для того, щоб забезпечити сталість
модуля сумарного вектора. Наближена формула (8.41) для розра-
хунку практичної ширини спектра сигналів з КМ, згідно з якою
необхідно враховувати т + 1 гармоніку праворуч НсЧ і стільки ж
415
ліворуч, забезпечує виконання цієї вимоги. Далі, в прикладі 8.8,
ми проведемо дослідження впливу смуги частот, що виділено сиг-
налові з тональною ЧМ, на його вигляд у часовій області.
2. За умовою задачі індекс коливання з ФМ дорівнює тому
значенню, яке було отримане вище, тобто т = 4. Практична ши-
рина спектра не змінилася Д/практ = 100 кГц і кількість бічних
складових спектра, які ще потрібно враховувати, залишилася
такою самою.
Коливання з ФМ у нашому випадку записується так:
8ф(і) = А^[2я/0і+0О + йее( 0] = А^[2я^1 + квЕ соз(2лРі+у) +0О ].
Тут к&Е = т = 4. Можна знайти фазову чутливість модулятора
кд = т/Е = 2рад/В.
Таким чином, в даному випадку
вф (0 = 10 соз [2л100 • 10е і+4 соз(2л104 і + л/6) + л/3] =
= Юсоз [2л100 10е* + 4зіп(2л104 е + л/6 + л/2) + л/3].
Або
зф(0 = 10 соз [2 лі 00 • 106 і + 4зіп(2л104і + 2л/3) + л/3].
Запишемо наближений аналітичний вираз сигналу за допомо-
гою ряду (8.39):
8Ф (0 = 10 £ (4) соз [2я(100 • 106 + пі О4) і + л/3 + п 2 л/3]. (8.45)
п=-5
Якщо порівняти (8.45) з (8.42), можна зробити висновок, що
амплітудні спектри коливань з ЧМ і ФМ однакові, відрізняються
лише спектри фаз. Крім того, з цього порівняння виходить, що
для обчислення фаз складових спектра можна користатися фор-
мулами (8.43), (8.44), підставляючи до них у замість у, де уф =
— л/6 + л/2 = 2л/3. В колонках 8 і 9 таблиці 8.1 наведено значення
0Я для сигналу з ФМ. Фазовий спектр сигналу з ФМ зображено на
рис. 8.10, в). Його властивості і роль бічних складових з різними
номерами аналогічна тим, що обговорювалися вище.
ф"| Вправа 8.12
---- Зробіть порівняльний аналіз спектрів сигналів з тональ-
ною ЧМ і ФМ, наведених на рис. 8.10. Сформулюйте, в чому вони
повторюють один одного і чим відрізняються.
416
Знайдемо девіацію частоти сигналу з ФМ. Згідно з (8.17),
= тР = 40 кГц Таким чином, девіація частоти у випадку тональ-
ної ЧМ і ФМ, що розглядаються в даному прикладі, однакова.
§
Вправа 8.13
Обгрунтуйте цей результат.
Рекомендація: використайте результати, що отримано
в прикладі 8.5.
Вправа 8.14
Для сигналів, розглянутих у прикладі 8.6, розрахуйте
спектральні густини і побудуйте графіки амплітудних і фазових
спектрів.
Приклад 8.7
Носійне коливання сигналу з тональною ЧМ має такі
параметри: Ао = 2 В, /0 = 100 кГц, 0О = тг/З рад.
Модулюючий сигнал: е(і) = Есо8(2л^ + у), Р = 10 кГц, у = л/6.
Індекс частотної модуляції т = 5. Значення частот /0 і Р обрано
такими, щоб графіки, які будуть побудовані, були наглядними.
Записати вирази для аналітичного сигналу і комплексної обвід-
ної. Побудувати векторні діаграми аналітичного сигналу та ком-
плексної обвідної, знайти синфазну і квадратурну амплітуди.
Розв’язання.
Сигнал, який потрібно дослідити, має вигляд:
8ч(і) = А0со8[2п/0і + тп8Іп(2л.Р7 + у) + 90].
За формулами (8.20), (8.21) і (8.22) знаходимо синфазну, квад-
ратурну амплітуди та комплексну обвідну сигналу 8ч(і):
А[(і) = А0со8[иг8Іп(2л2?і + у)],	(8.46)
Ад(і) = А08Іп[т8Іп(2п.?7 + у)],	(8-47)
в(і) = Аг (і)+ЇАд(і) = Д) ехр [7т8Іп(2лР^ +у)].	(8.48)
За формулою (6.22) знаходимо аналітичний сигнал
2Ді) = з(Ое;'(2л/оі+Єо).	(8.49)
417
Знайдемо дійсну та уявну частини (8.49):
2,(0 = ІЛ (0+(0] [сов(2я/01 +Є0)+І 8іп(2я/0(+Єо)] =
= [А, (Осо8(2я/0*+Є0) - Ае(і)зіп(2я/оД+0о)]+
+у[А7(08Іп(2я/оМ9о) + А(?(Д)соз(2я/0і +0О)].	(8.50)
Підставимо числові значення:
зч(і) = 2сов[2я •1054+58Іп(2ге •104і+я/6)+я/3],
Аг(0 = 2со8[5зіп(2я -Ю'Ч+я/б)], Ач(0 = 28Іп[58Іп(2я -104ї+я/6))],
2а(і) = [АІ (І)соз(2я • 105 і + я/3) - А(?(і) зіп(2я • 10® і +я /3)] +
+7[А,(08Іп(2я •105£+я/3)) +Ад(0со8(2я •ЮЧ+я/З)].
На рис. 8.11, а) наведено фрагмент сигналу вч(і) тривалістю
0,2 мс, тобто, два періоди сигналу е(і). Нарис. 8.11, б) зображено
векторну діаграму аналітичного сигналу. Стрілка Оа вказує поло-
ження вектора аналітичного сигналу в момент часу і = 0. Вектор
обертається проти годинникової стрілки з миттєвою кутовою швид-
кістю ® .(і) = 2я/0 + 2я/йсо8(2яГ^ + у), де = тР — девіація частоти.
Годограф вектора являє собою коло, що вказує на сталість амп-
літуди коливання. Зміна швидкості в часі чітко спостерігається
на тривимірній векторній діаграмі рис. 8.11, в). Видно, що крок
спіралі годографа вектора аналітичного сигналу змінюється в ча-
сі і, якщо його спроектувати на площину {Ве[гі(і), і]}, одержимо
сигнал, зображений на рис. 8.11, а).
Рис. 8.11.
418
На рис. 8.12, а), б) наведено фрагменти синфазної і квадратурної
амплітуд сигналу з^і), відповідно. Можна вказати, що на відмі-
ну від того, з чим ми зустрічалися раніше, форма цих коливань
відрізняється від синусоїдної. Це є наслідком того, що навіть при
тональній ЧМ спектр модульованого сигналу містить теоретично
нескінченну кількість гармонічних складових.
Рис. 8.12.
Нарис. 8.12, в) наведено векторну діаграму комплексної обвід-
ної сигналу з ЧМ. Вектор Оа відповідає моменту часу і = 0. Він
обертається з миттєвою кутовою швидкістю со .(£) = 27Г/гіС08(27ГІ?І + у).
На відміну від вектора аналітичного сигналу, кутова швидкість
обертання якого завжди має додатне значення в діапазоні [®0 ± сой],
миттєва швидкість вектора комплексної обвідної змінюється
в межах [±®й] і, отже, в якісь моменти часу напрямок обертання
вектора змінюється на протилежний. Очевидно, щоб знайти ці
значення часу, необхідно розв’язати рівняння соз(2яГїг + у) = 0.
Підставивши в це рівняння числові значення і розв’язавши йо-
го, одержуємо Д. = 0,0166(6) ± 0,05 мс. У ці моменти часу вектор
комплексної обвідної розміщується або так само, як вектор Ос,
або через половину періоду модулюючого коливання, як вектор
Ос' на рис. 8.12, в). В момент часу І = 0,0166(6) мс вектор Оа на-
буває значення Ос і миттєва кутова швидкість дорівнюватиме
нулю. Потім напрямок його руху зміниться на протилежний, за
419
час 0,05 мс (половина періоду модулюючого сигналу) він, рухаю-
чись за годинниковою стрілкою, повернеться на кут т рад. = 5 рад.
і співпаде з вектором Ос'. У цей момент часу напрямок його руху
знову зміниться на протилежний і через 0,05 мс він займе поло-
ження Ос і т. д.
На рис. 8.12, г) наведено тривимірну векторну діаграму ком-
плексної обвідної сигналу з тональною ЧМ. На ній відображено
положення векторів комплексної обвідної в різні моменти часу.
Її аналіз допомагає краще зрозуміти все те, про що йшлося перед
цим.	ГП
Вправа 8.15
---- Складіть в системі МАТНЕМАТІСА програму побудови
векторних діаграм, наведених на рис. 8.11 і 8. 12. Використайте
для цього оператори РагатеігісРІоі [...] і РагатеігісРІоіЗО [...].
Приклад 8.8 дтаї
Дослідити вплив ширини смуги частот, що відведено
на сигнал з тональною ЧМ, на його подання у часовій області.
Як такий сигнал розглянути сигнал з прикладу 8. 7, тобто,
зч(і) = 2соз[2л • 10®£ + 5зіп(2л • 104і + 7г/6) + л/3].
Розв’язання.
Як було показано вище, практична ширина спектра сиг-
налу з КМ визначається за формулою Д/практ = 2Р(т + 1) Або в на-
шому випадку Д/практ = 12Р, тобто, к = т + 1 = 6, дек — кількість
бічних складових спектра, які необхідно розмістити у відведеній
сигналу смузі частот. Розглянемо кілька випадків: 1) к > 6; 2) к = 6
і 3)й<6.
Згідно з формулою (8.30)
=	Х^л(иг)со8[2д(Д + пГ)£ + пу+0О].	(8.51)
П=-00
Якщо смуга частот, відведена під сигнал, містить 2к + 1 спек-
тральну складову, замість (8.51) буде
к
$ч(0 = Д ^^(т)соз[2я(/0 + пР)і + тіу +Є0].	(8.52)
п--к
420
Цю функцію нам і треба дослідити при різних значеннях пара-
метра к. Очевидно, що провести такий аналіз без використання ЕОМ
надто складно. Скористаємося системою МАТНЕМАТІСА і введемо
програму, текст якої наведено в додатку до цього розділу.
Вправа 8.16
Визначити формули для коливань з(і), А, (і), Ад(і), аналі-
тичного сигналу і комплексної обвідної вузькосмугового сигналу,
який аналізується в даному прикладі, звірити отримані формули
з тими, що записано у програмі. Графіки яких з функцій виведено
на екран за кожним з операторів РІоі[...] і РагатеігісРІоі[...]?
Тепер можна приступати до дослідження. Воно буде склада-
тися в тому, щоб, змінюючи параметр к, аналізувати результати
розрахунків, які виводить ЕОМ у графічному вигляді.
На рис. 8.13, аі) наведено графік сигналу, побудованого за вира-
зом (8.52) у випадку, коли к = 7 і смуга частот, відведена сигналу,
на величину 2Г, перевищує практичну ширину спектра коливання
з КМ. Можна сказати, що зміна амплітуди в часі практично відсут-
ня. Це наочно демонструє годограф векторної діаграми аналітично-
го сигналу рис. 8.13, 61), який являє собою лише злегка розмите
коло. Наведена на рис. 8.13, ві) векторна діаграма комплексної
обвідної сигналу підтверджує цей висновок. Позначення векторів
на діаграмах рис. 8.13 і моменти часу, яким вони відповідають,
такі самі, як і на рис. 8.11 і 8.12 попереднього прикладу.
На рис. 8.13, а2) ображено фрагмент сигналу \Ц)ІА=6, тобто
сигналу відведено смугу частот, що дорівнює практичній шири-
ні спектра сигналу з КМ. Тут вже проявляється паразитна АМ,
що підтверджують векторні діаграми як аналітичного сигналу,
так і комплексної обвідної. Таким чином, вибір практичної ши-
рини спектра за (8.41) припускає, що такі спотворення сигналу
допустимі.
Розглянемо тепер випадок, коли смуга, що відводиться
для сигналу, вужча за практичну ширину його спектру. На
рис. 8.13, аЗ), а4) наведено епюри сигналів, коли кількість
компонент спектра дорівнює 11 і 9, відповідно. У випадку, ко-
ли замість 6 складових з кожного боку НсЧ на вхід приймача
надходить лише 4, сигнал зовні вже мало нагадує коливання
з ЧМ. Суттєво змінилася комплексна обвідна сигналу, яка, як
ми знаємо, несе всю інформацію про модулюючий, корисний,
сигнал. Виникає питання, чи можна в такому разі відновити
421
без істотних спотворень сигнал е(і)? Виявляється, що можна.
В цьому й полягає головна перевага сигналів з кутовою (ЧМ або
ФМ) модуляцією.
Рис. 8.13.
Розглянемо рис. 8.14. Тут наведено сигнали на виході дво-
бічного обмежувача миттєвих значень при поданні на його
вхід коливань, які зображено на рис. 8.13, аі) і а4), відпо-
відно. Обмежувач пропускає на вихід лише ті значення сиг-
налу, які лежать в діапазоні [-0,5, 0,5] В і відтинає все, що
в цей діапазон не потрапляє. Тим самим усуває паразитну АМ,
але зберігає практично всі особливості сигналу, пов’язані з куто-
вою модуляцією, навіть у випадку, коли смуга частот зменшилася
422
більше, ніж на третину, як у
нашому випадку. Порівнян-
ня графіків рис. 8.14 дозво-
ляє переконатися в цьому.
Ця чудова властивість сиг-
налів з кутовою модуляцією
широко використовується
в радіотехніці. | |
Рис. 8.14.
Зупинимося на питан-
нях генерування та детектування сигналів із кутовою модуляцією.
Не втрачаючи спільності, будемо розглядати сигнали з ЧМ.
8.4*. Генерування і детектування сигналів
з кутовою модуляцією
Генерування сигналів з КМ
У загальному випадку існує два методи генерування ЧМ
сигналів.
8
Методи генерування сигналів з ЧМ можна поділити на
	непрямий та
	прямий
В непрямому методі використовується двокрокова проце-
дура: спочатку одержують вузькосмуговий ЧМ сигнал, а потім за
допомогою помножувачів частоти домагаються бажаного значення
девіації частоти.
Прямий метод дозволяє одразу здійснити частотну модуляцію
носійної згідно з модулюючим сигналом. Розглянемо основні
властивості цих методів з точки зору перетворення сигналів, не
вдаючись у деталі побудови схем, що реалізують ці перетворення.
Почнемо з непрямого методу.
1. Непрямий метод ЧМ
Як зазначалося вище, в цьому випадку ЧМ здійснюється
в два етапи. Розглянемо перший етап — генерування вузькосму-
гового ЧМ коливання. Для спрощення формул приймемо, що по-
чаткові фази носійної і модулюючого сигналу дорівнюють нулю.
Тоді коливання «ДЦ з ЧМ можна подати так:
423
= А1соз[2я/1і + 0,(0],	(8.53)
де /,(0 — частота; А, — амплітуда носійного коливання.
Аргумент 0,(0 пов’язаний з модулюючим сигналом е(і) такою
рівністю:
і
01(О = 2лй1|е(О<і^	(8.54)
о
Тут й, — частотна чутливість модулятора.
В тому разі, коли 0,(0 — величина мала, у порівнянні з 1 ра-
діаном при будь-яких значеннях і, можна використати наступну
апроксимацію:
008(0,(0] 21, 8ІП[0,(О] = 9,(0-
З урахуванням цього формулу (8.53) можна апроксимувати ви-
разом:
з, (І) = А, соз[2я/,0 - А, 8Іп[2я/і09і (і) =
= А, соз[2п/]і] - 2лй, А, зіп[2л/іЄ]|(8.55)
о
Формула (8.55) являє собою наближену модель вузькосмугово-
го ЧМ сигналу. Тепер за цією моделлю можна побудувати схему
рис. 8.15, а) для генерування вузькосмугового ЧМ сигналу.
в)
Рис. 8.15.
424
Якщо врахувати зв’язок сигналів з ЧМ та ФМ (див. рис. 8.2),
можна відзначити, що виділена перервною лінією частина частот-
ного модулятора є вузькосмуговий фазовим модулятором.
Модульоване коливання на виході вузькосмугового модулятора,
схему якого наведено на рис. 8.15, а), відрізняється від ідеально-
го ЧМ сигналу.
-	Обвідна змінюється в часі за рахунок паразитної АМ;
-	У випадку тональної ЧМ в такому модуляторі виникають
спотворення у вигляді гармонічних складових третього і більш
високих порядків частоти Р.
Однак у випадку, коли індекс модуляції 0,3рад., вплив
паразитної АМ і гармонік у законі зміни фази нехтовно малий.
Наступним кроком у непрямому методі є помноження частоти.
В загальному випадку помножувач частоти включає нелінійний
прилад (діод або транзистор) та смуговий фільтр, як зображено на
рис. 8.15, б). Докладно перетворення спектра в нелінійному колі
ми розглянемо в розділі 22 третьої частини, проте й того, що ми
вже розглянули, досить для розуміння принципу дії помножувача
частоти. В розділі 1 було дано визначення безінерційного приладу
(елемента) схеми — це пристрій, який не має пам’яті. В загаль-
ному випадку безінерційний прилад можна подати моделлю, що
пов’язує його вхідний вплив і відгук з2(і):
з2(і) =	(0 + а2 8^(І) + • • • + апз”(ї),	(8.56)
де ар а2, .... ап — сталі коефіцієнти.
Підставивши (8.55) до (8.56), зробивши нескладні перетворен-
ня та згрупувавши відповідні члени, одержимо, що сигнал з2(і)
містить сталу складову та п ЧМ коливань з носійними частотами
Д, 2/р ..., і девіаціями частоти 2/аї, ..., п/аі, відповідно. Ве-
личина /аі визначається частотною чутливістю вузькосмугового
частотного модулятора та максимальною амплітудою модулюючого
сигналу е(і). Тепер є зрозумілим призначення смугового фільтра
у схемі рис. 8.15, б):
-	Він має пропускати ЧМ коливання з частотою носійної
і девіацією частоти п/аі та
-	придушувати всі спектральні складові решти ЧМ сигналів.
Поєднавши низькочастотний модулятор із помножувачем час-
тоти, як показано нарис. 8.15, в), можна генерувати широкосму-
говий ЧМ сигнал з(і) з НсЧ /0 = пД і девіацією частоти
425
Можна записати:
8(0 = Д> соз
І
+ 2лЛу| е(і)4і
о
(8.57)
де кг=пкг, тобто широкосмуговий частотний модулятор, схему
якого наведено на рис. 8.15, в), має частотну чутливість, яка в п
разів перевищує частотну чутливість вихідного вузькосмугового
модулятора.
"Тлі Вправа 8.17
--- Переконайтеся в тому, що для п = 3 при підстановці (8.55)
до (8.56) сигнал з2(1) являє собою суму сталої складової і трьох
ЧМ коливань.
Визначити частоти носійних, девіації частот та індекси моду-
ляції кожного ЧМ коливання.
Вправа 8.18
--- ЧМ коливання з девіацією частоти 10 кГц і модулюючою
частотою 5 кГц подається на два послідовно з’єднаних помножу-
вачі частоти. Перший помножує частоту в два рази, другий —
в три рази. Визначте:
1. девіацію частоти та індекс модуляції ЧМ коливання на ви-
ході другого помножувача;
2. відстань між сусідніми спектральними лініями спектра
вихідного сигналу.
2. Прямий метод ЧМ
У прямому методі генерування ЧМ сигналів миттєва час-
тота носійного коливання змінюється відповідно до модулюючого
сигналу за допомогою пристрою, що зветься генератором, керова-
ним напругою (ГКН). Будуються такі пристрої на базі або кіл із
змінними параметрами, або на базі нелінійних кіл. Такі системи ви
вивчатимете в цій та інших дисциплінах, що входять до програми
підготовки бакалаврів і спеціалістів в галузі радіотехніки. Тому
тут обмежимося аналізом тільки однієї простої, але ефективної
схеми. Для розуміння принципу її роботи достатньо тих знань,
якими ви вже володієте.
Таким пристроєм може бути генератор синусоїдних коливань
з високодобротним вибірним контуром, в якому для керування
частотою використовуються реактивні елементи схеми, інкремент
426
яких змінюють в часі. Як приклад нарис.
8.16 наведено схему індуктивного триточ-
кового генератора, відомого в літературі
як генератор Хартлі.
Припустимо, що одним з елементів ви-
бірного контура є конденсатор зі сталою
ємністю, шунтований іншим конденсато-
ром, ємність якого залежить від підведе-
ної до нього напруги. Результуючу ємність
позначено на рис. 8.16 С(і). Конденсатор,
ємність якого залежить від підведеної до
нього напруги, звуть
варактором або варикапом. Такий елемент можна одержати, на-
приклад, використовуючир-п перехід діода, включеного до схеми
у зворотному напрямку. Чим більше запірна напруга, підведена
до діода, тим менше перехідна ємність діода. Частота коливань,
що генеруються пристроєм, схему якого зображено на рис. 8.16,
визначається за відомою формулою
4(0=----1	(8-58)
+£2)0(0
Припустимо, що під дією модулюючого сигналу в(0 ємність
змінюється за законом
С(і) = Со-ксе(і),	(8.59)
де Со — спільна ємність при відсутності модуляції та кс — чутли-
вість варикапа до зміни підведеної до нього напруги.
Підставимо (8.59) до (8.58) і одержимо:
І-ІЄ(О
Ь0
-1/2
4(0=4
(8.60)
де /0 =------======================= — частота при відсутності модуляції.
2л^С0(£1 +і>г)
Якщо найбільша зміна ємності, викликана впливом моду-
люючого сигналу, мала у порівнянні з Со, рівняння (8.60) можна
апроксимувати виразом
4(0^4 1+^-е(0 .
^с0
Позначимо
кг=^
' 2С0
(8.61)
427
і одержимо такий вираз для миттєвої частоти коливань, що гене-
руються:
4(0 = /0 + к^е(і)
де к( — результуюча частотна чутливість модулятора.
Головний недолік прямого методу генерування ЧМ сиг-
налів з використанням ГКН полягає в тому, що частота
носійного коливання вже не визначається високостабіль-
ним генератором, наприклад з кварцовою стабілізацією
частоти. Це призводить до необхідності ускладнювати
схеми, використовувати різні схеми автопідстроювання
та інше.
Демодуляція сигналів з кутовою модуляцією
Всі методи демодуляції ЧМ сигналів фактично зводяться
до одержання на виході демодулятора сигналу, амплітуда якого
пропорційна миттєвій частоті модульованого коливання.
пристрої і звуться частотними демодуляторами (частотними де-
текторами). Існує багато методів побудови частотних демодулято-
рів, але всі вони також можуть бути поділені на два класи: прямі
і непрямі.
Прямі методи, як виходить з їх назви, грунтуються на без
посередньому визначенні миттєвої частоти. До них належать
наприклад, такі частотні демодулятори: балансний частотний
детектор і детектор перетину нульового рівня.
Непрямі методи частотної демодуляції звичайно будуються
з використанням кіл зі зворотними зв’язками для слідкування за
зміною миттєвої частоти. Прикладом демодулятора, що належить
до другого класу, є система фазового автоматичного підстрою-
вання частоти (ФАПЧ).
Тут ми розглянемо дві схеми частотних демодуляторів, реалі-
зованих прямим методом.
1. Балансний частотний детектор
Щоб пояснити принцип роботи балансного детектора:
розглянемо спочатку роботу пристрою, структурну схему ЯКОГО
наведено на рис. 8.17, а).
Нехай синусоїдне коливання із сталою амплітудою і частотою
/ прикладено до частотновибірного кола, АЧХ якого зображено
428
на рис. 8.17, б). На виході кола також буде синусоїдне коливання
з тією самою частотою /0 та амплітудою А = В^. На виході детек-
тора обвідної одержимо сталу величину А. Нехай тепер миттєва
частота / коливання на вході пристрою рис. 8.17, а) змінюється
в часі. Крім того, зажадаємо, щоб АЧХ вибірного кола була бли-
зька до лінійної у відповідному діапазоні частот в околі частоти /0,
як зображено на рис. 8.17, б). Тоді амплітуда високо частотного
коливання на виході вибірного кола вже не лишається сталою,
а буде функцією часу, тобто
А(0 = ВД + Аоі£а • [/Д) - /0].	(8.62)
Асов(2я/0£4-ф)
Лінійна ділянка
характеристики,
а/
І-АМоІ
в ' '
б)	—і/
/о
Рис. 8.17.
Таким чином, пристрій, схему якого наведено нарис. 8.17, а),
перетворює сигнал з ЧМ в сигнал з АМ — ЧМ. Детектор обвідної
проігнорує ЧМ і на його виході залишиться тільки АМ. На жаль,
неможливо побудувати вибірне коло, яке має суворо лінійну АЧХ.
На практиці сигнал на виході частотновибірного кола містить,
крім корисної складової (другий доданок правої частини (8.62)),
ще й додаткові компоненти, що спотворюють сигнал на виході:
а(о=дд+вди(о-/о]+в2А0[гі(о-/о]2+••••
Балансний детектор, схему якого наведено на рис. 8.18, дозво-
ляє усунути з вихідного сигналу сталу складову ВД і всі парні
гармоніки, що суттєво зменшує спотворення, викликані неліній-
ністю АЧХ вибірного кола.
Схема балансного детектора містить два канали, які відрізняють-
ся лише нахилом АЧХ смугових фільтрів. Сигнал на виході детек-
тора є різницею сигналів на виходах каналів. Якщо враховувати
нелінійності лише другого порядку, одержимо:
429
А(і) = А'(О-А''а) = вод,+в1Л[4(О-/о]+в2Ао[4(О-/о]2-
-вол +в1Л[Л(П-/о]-в2Л[4(О-/о]2 =2В1ло[/ДО-/о]-
Рис. 8.18.
Таким чином, у такому балансному детекторі досягається
лінійність залежності А(0 від
2. Детектор перетину нульового рівня
Метод базується на тому факті, що миттєва частота ЧМ
коливання приблизно дорівнює
/ = *
'1 2АҐ
(8.63)
де Д£ — часовий інтервал між двома сусідніми перетинаннями
нульового рівня ЧМ сигналом. Це ілюструє рис. 8.19.
Розглянемо деякий інтервал часу Т, вибраний так, щоб він
задовольняв таким двом умовам:
1. інтервал Т малий у порівнянні з величиною, оберненою до
смуги модулюючого сигналу;
2. інтервал Т набагато більший у порівнянні з величиною,
оберненою до частоти носійної.
430
Умова 1 означає, що мо-
дулюючий сигнал е(і) практич-
но не змінюється на інтервалі
часу Т.
Умова 2 забезпечує наявність
достатньої кількості перетинань
нульового рівня за час Т.
де
т
Нехай п0 — кількість перети-
нань нульового рівня на інтер-	Рис. 8.19.
валі часу Т. Тоді інтервал часу
між сусідніми перетинаннями дорівнюватиме Лі = Т/п0 і рівність
(8.63) можна записати так:
1 2Т
(8.64)
Оскільки за визначенням сигналу з ЧМ його миттєва частота
лінійно пов’язана з модулюючим сигналом е(і), з (8.64) виходить,
що п0 також пропорційне е(і). Залишається тільки підрахувати
кількість перетинань нульового рівня і формувати сигнал, значен-
ня якого пропорційні п0.
Тут доречно згадати результати дослідження властивостей
сигналів з ЧМ, що наведено у прикладу 8.8, зокрема, рис. 8.14
та коментар до нього.
8.5.* Кутова модуляція при негармонічному
модулюючому сигналі
Якщо модулюючим сигналом є коливання, спектр яко-
го включає декілька гармонічних складових, кількість складових
у практичному спектрі сигналу з кутовою модуляцією різко збіль-
шується.
Розглянемо спочатку випадок, коли модулюючий сигнал е(і)
є сумою двох синусоїдних складових з частотами і Г2. Тоді сиг-
нал з кутовою модуляцією описуватиметься таким виразом:
з(0 =А0сов[2л/0£ + 7п18Іп(2л2?1 є) + т28Іп(2лГ2і)]-
Тут иг1 і т2 — парціальні індекси кутової модуляції відповідних
складових сигналу, що модулює. Значення цих індексів модуля-
ції залежать від амплітуд гармонічних складових модулюючого
сигналу.
Перетворимо цей вираз.
431
в(0 = Ад Ке{ехр[7’2тс/Оі + ]т1 8Іп(2лГі і) + рп2 8т(2яР20]} =
= Ао Не
(8.65)
Далі, якщо до лівої частини формули, що йде за формулою
(8.27), підставити комплексну обвідну з (8.22), одержимо такий
вираз:
ехр [/т8Іп(2пДО)] = ^Л^іп)ехр(іп2пРі), або
П=-со
ОО
ехр (у'т 8Іп х) = ^п(т) ехр(упх).	(8.66)
П=-00
Скористаємося формулою (8.66) і запишемо (8.65) ось як:
з(і) = Ао Ке
ДО	00
^^(т^ехріугл^ 4-іГіХ] ^^(иі2)ехр(7Й2лГ20
_І=—оо	к~—<*>
оО	00
= Ао ^е/£(т1)^^(т.2)соз[2я(/0 + іРу +кР2)і}.
к=-<ю
(8.67)
Нижче, як приклад, наведено досить громіздку формулу, отри-
ману з (8.67). Прийнято, що парціальні індекси модуляції однієї
та другої складової не перевищують 2 радіан, тобто |і| < 3, |/?| < З,
<в0 = 2л/0, О, = ЗлГр О2 = 2пР2. При її обчисленні і побудові спек-
тра слід враховувати властивості функції ^(т).
8(і)^А0^0(т1У0(т2) соз(®00+аі(т1)^(т2) соз[(со0 -Щ X]+
+^2 (ті )^о (т2 ) со8[(и0+2Ц X] + /3 (ту Ио (т2 ) соз[(©0+ЗЦ )і] +
+<і (т-у Хо (т2) со8[(®0 -п^)і]+^_2(т1)^0(т2) соз[(0)0 - 2Ц X]+
+Л3(7П1 Ио (т2 ) СО8[((00 - ЗІІ! X] + еГ0 (/Пі У! (/«2 ) СО8[(©0 + О2 X] +
+е70 (ту )«72 (піц) соз[(оо0+2О2 )і]+еГ0 (тг У3(т2) соз[(®0+ЗО2 X]+
+еГо (ту V.! (т,,) соз[(©0 -П2)і]+^(тпу ) X 2 (тпг) соз[(®0 - 2О2 X]+
+Хо (ту ) Х_3 (п^) соз[(®0 -ЗО^Ї+^т^-Жт^ соз[(®0+Ц - ЗО2 X] +
+еГ2(7Пі )Х3(т2 )соз[(®о+2Оі- ЗС22 X]+Х3 (ту ) Х3 (п^ )соз[(®0+ЗГ^-ЗП2 Х]+
4-еІ! (ту )еГ з («2) соз[(й0-	- ЗГ22 X]+^-г (ту )«7 3 (т^ )соз[(®0- 2£іу - ЗО2 Х]+
+е73 (ту) X з (т^) соз[((»0- ЗОХ - 3£12 X]+(ту )^у (т2) со8[(й)0+- П2 X]+
+е/і (ту )Л2 (т2) соз[(®0+Ц - 2Г22 X]+е/2 (ту )Л! (т^) соз[(й)0+ 2Пу - £12 Х]+
+^(ту)^2(т2)соз[(в)0+2О.у-2С1г X]+еГ3 (ту№у (п^ )соз[2л (и0- ЗГ}і+Г12 Х]+
^у (тх ^у (т2) соз[(со0 + □1 + О2 X]+<І2 (ту) (т2) соз[(®0+2П1+О2 X] +
+е73 (ту Хі (т2) соз[(и0+ЗГ21+С12)^]+^^(т^ )еТ2(т2) соз[(®0+Ц+2Г22 X] +
432
+'І2(ті )еГ2(7П2 ) соз[(©0+2Г2,4- 2О2 )£] 4- е/3 (тп, )еІ2 (тп2) соз[(й)0 4- 30,4- 2О2)4] 4-
4-е/, (ТП,)е/3 (ПІ2 ) сод[(оо0 4-0,4- ЗОз )£] 4- е/2(пг, )^з (т2 ) соз[((В0 4- 20,4- ЗО2 )<]4-
+>.І3(т1)'73(пі2) соз[(й)04- 30,4- ЗО2 )£] 4- (т,)е/2 (тп2)соз[((В04- ЗО,- 2О2 )і]4-
+'І3(т1	(т?) соз[(й)04- ЗО, - 2О2 )£] 4- е/, (пг,)е/2 (т? ) соз[(о)0- О,- 2О2 )<] 4-
4-е/2 (тп )е/3 (тп2)соз[(й)0- 20, - 2О2 У] 4- е/ з (тп,)е/2 (тп2) соз[(©0- ЗО,- 2О2 )і]4-
4-е/_, (тп, )е/_, (ТП2 ) С О8[(0)0 - О, - Оз У] 4- е/_2(тп, )е/_, (тПз ) соз[((В0 - 20, - О2 У] 4-
4-е/_3 (тп, )е/_, (тПз ) с оз[(й)0 - ЗО, - О2)/] 4- е/_, (тп, )е/, (тті2 ) с оз[((В0 - 0,4- О2 )і] 4-
4-е7_2 (тп, )е/, (тпз) соз[(©0- 20,4- О2 )і] 4- є/, (пг,)е/2 (т? ) соз[((В0- 0,4- 2О2 У] 4-
4-е/2 (тп,)е/2 (тПз)соз[(й)0- 20,4- 2О2 У] 4- е/ а (тп, )е/2 (^Ч ) соз[(©0- ЗО, 4- 2О2 У ]4-
4-е/_, (тп, )е/з (тпз ) соз[(оо0- 0,4- ЗО2 У ] 4- е/2 (тп,)е/3 (т2) соз[(0)0- 20,4- ЗОз У ]4-
+^_3(т^ )е/3(тпз )соз[(со0 - ЗО, 4- ЗО2У].
З аналізу цієї формули виходить, що в спектрі сигналу з двото-
нальною кутовою модуляцією з’явилася велика кількість комбі-
наційних частот. Амплітуди складових на цих частотах визнача-
ються добутками відповідних функцій Бесселя, які, в свою чергу,
залежать від парціальних індексів модуляції. Можна уявити собі,
що буде у випадку КМ сигналом, що містить три або більше гар-
монічних складових.
Формули типу тієї, що наведена вище, отримати без допомоги
ЕОМ досить складно.
Вправа 8.19
Складіть програму, за допомогою якої система МАТНЕ-
МАТІСА зробить за Вас цю роботу.
У загальному випадку, якщо в активній смузі спектра модулюю-
чого сигналу міститься N складових, то сигнал з кутовою модуля-
цією записується так:
8(0 = Д> £ £ - ЕА(”гі)е7’*Лт2)-ЛЛ^)х
я-.» »-оо =-<»
хсов[(й)0 4-А,О, 4-Л2^2 +•*•+ ^0,^)0.	(8.68)
§
Вправа 8.20
Доведіть справедливість формули (8.68)
433
Тепер можемо зробити такі висновки:
й
	За іншими рівними умовами спектр сигналу з КМ
складним керувальним сигналом значно багатший ніж
спектр аналогічного сигналу із стандартною АМ.
	Щоб підкреслити той факт, що складові спектра модульо*
ваного коливання є результатом взаємодії спектральних
складових модулюючого сигналу, кутову модуляцію, на
відміну від амплітудної, називають модуляцією неліній-
ного типу.
Розглянемо приклад.
Приклад 8.9
Модулюючий сигнал е(і) являє собою періодичну послідов-
ність двополярних імпульсів прямокутної форми із щілинністю
2, періодом повторення 0,2 мс і амплітудою 1 В. Частотна чутли-
вість модулятора Л/.= 8рад/В. Амплітуда носійного коливання
2 В, частота 60 кГц.
Подати сигнал з ЧМ у часовій і частотній областях.
Розв’язання.
Згідно з (8.6)
8,(0 = А^соз
2я[оі+2 л к{ |
о
(8.69)
Модулюючий сигнал подамо за допомогою ряду Фур’є. Вико-
ристаємо результат, наведений у прикладі 2.1, і теорему запізню-
вання. Тоді:
4	11
е(0 = — соз(2л/і 0—соз(2 л 34 0+—соз(2 л 54 0-
л	3	5
де — частота першої гармоніки, яка дорівнює 5 кГц в прикладі,
що розглядається.
Обмежимося лише першою, третьою та п’ятою гармоніками
спектра сигналу і підставимо числові значення. Одержимо:
е(0 = 1,2732соз(104л0 - 0,4244соз(3 • 104тг£) + 0,2546соз(5 • 104л0,
434
і
{ е(і) = 0,04053зіп(104яі) -
О
- 0,00450 8іп(3 • ІОМ + 0,00162зіп(5 • 104лі).	(8-70)
Графіки цих коливань зображено на рис. 8.20, а).
Рис. 8.20.
Модульований по частоті сигнал одержимо, підставивши (8.70)
до (8.69):
«Д0 = 2соз[12 • 104л* + 2,037зіп(104я*) -
- 0,226зіп(3 • 1О4л0 + 0,081зіп(5 • 104л*)
Тут коефіцієнти перед функціями синус є парціальними індекса-
ми модуляції.
Вправа 8.21
Знайдіть девіацію частоти сигналу, мінімальне і макси-
мальне значення миттєвої частоти.
Перейдемо до аналізу сигналу в частотній області. Згідно з ви-
разом (8.68), запишемо для сигналу, що розглядається,
З 1	1
«ч(0 = 2£ £	(2,037)^(-0,226)^3(0,081)х
кг =—3 ^2=-1 к% =— 1
X соз[2я 103(60 + кх 5 + к215+й3 25)*].
435
Розгорнемо цю формулу і підставимо значення функцій Бессе-
ля. Зробимо це за допомогою ЕОМ і системи МАТНЕМАТІСА.
8(0 = 0,0012со8(103л0-0,0033соз(20 103я0+0,0052со8(30 1037й) +
+ 0,0089соз(40 • 103 л0 - 0,0341соз(50 • 1О3л0 + 0,0124соз(60 • 103л0 +
+ 0,0623соз(70 • 103тй) - 0,1713 соз(80 • 103л0 - 0,2546 соз(90 • 103 та) +
+0,8315соз(100 103л;0-1,0467со8(110 1037й)+0,4664со8(120103л0+
+ 1,0467со8(130103л0+0,8315со8(1401037с0+0,2546со8(1501037с0-
-0,1713со8(160 103л0-0,0623со8(170103л0+0,0124со8(180 1037й)+
+ 0,0341со8(190103лО+0,0089со8(200 1037сО-0,0052со8(210103яО-
-0,0033соз(220 103л0-0,0012со8(230 1037с0-	Ґ8.71)
Вправа 8.22
Складіть програму виводу формули (8.71) в системі
МАТНЕМАТІСА
На рис. 8.20, б) наведено амплітудний і фазовий спектри сиг-
налу з ЧМ, побудовані за виразом (8.71). Часовий графік функції
(8.71) наведено нарис. 8.20, а). Можна зазначити, що ми дійсно
отримали сигнал з ЧМ, і закон зміни частоти в часі відповідає мо-
дулюючому сигналу. Деяка незначна зміна амплітуди ЧМ сигналу
в часі пояснюється тим, що смугу частот, відведену під сигнал,
обмежено.	І І
Вправа 8.23
Проаналізуйте спектр сигналу рис. 8.20, б), зробіть ви-
сновки стосовно властивостей симетрії амплітудного і фазового
спектрів, розрахуйте повну середню потужність сигналу у випад-
ку, коли смуга частот нескінченна.
Визначить, яка частина повної потужності міститься в п’яти
(центральна і по двоє бічних складових), семи, дев’яти складових
спектра. Знайдіть активну ширину спектра за рівнем 0,9 і 0,95
від повної потужності.
Було розглянуто сигнали з кутовою модуляцією. Показано, що
навіть у найпростішому випадку тональної модуляції спектри та-
ких сигналів при тих індексах модуляції, які використовуються
436
на практиці (т = 3...4), містять значну кількість взаємопов’язаних
спектральних складових. Ще більшу складність мають сигнали
при модуляції складним сигналом і особливо при змішаних ви-
дах модуляції, наприклад, АМ-ЧМ. Розглянемо два з таких
сигналів, що знайшли широке застосування в радіолокації
і у техніці зв’язку: радіоімпульс з лінійною частотною модуляці-
єю (ЛЧМ) і радіоімпульс з фазовою маніпуляцією ( ФМн ). Обидва
ці сигнали відносяться до класу складних сигналів або сигналів
з великою базою.
8.6.	Радіоімпульси з лінійною частотною
модуляцією (ЛЧМ)
Сигнали, які тут розглядатимуться, відрізняються від
звичайних радіоімпульсів тим, що миттєва частота їх високочас-
тотного заповнення змінюється в часі за лінійним законом.
Радіоімпульс з ЛЧМ,
його характеристики і властивості
Розглянемо радіоімпульс з обвідною прямокутної форми,
частота заповнення якого лінійно збільшується від початку до
кінця імпульсу.
На рис. 8.21, а) і б) зображено
графіки зміни амплітуди (обвідної)
і миттєвої частоти такого сигналу.
Тут — тривалість імпульсу. Мит-
тєва частота в часі змінюється за
лінійним законом
ю(О = соо + Рі, (8.72)
десо0 — частота носійної, (3 — коефі-
цієнт із розмірністю рад./с2, який
дорівнює швидкості зміни миттєвої
частоти.
Девіація частоти за час, який
дорівнює тривалості імпульсу, оче-
видно, буде:
Д<в =	(8.73)
При цьому на практиці потрібно, щоб виконувалася така умова:
437
В
т=Д/ті
Агот.
2я
»1.
(8.74)
	Коефіцієнт т називають параметром модуляції ра-
діоімпульсу з ЛЧМ. За умови, що т » 1, значення
параметра модуляції практично співпадає зі значенням
бази сигналу. Це виходить з аналізу спектра ЛЧМ радіо-
імпульсу, який розглянуто нижче.
	На відміну від бази сигналу, яка дорівнює добутку ши-
рини спектра на тривалість сигналу, параметр модуляції
ЛЧМ радіоімпульсу формально може приймати будь-які
малі додатні значення.
Вправа 8.24
Нехай є радіоімпульс з ЛЧМ і Д/->0. До яких значень
прямують параметр модуляції і база такого сигналу?
Як буде показано у розділі 21 третьої частини, лише при вико-
нанні умови (8.74) найповніше проявляються чудові властивості
таких сигналів, які й зумовили їх широке застосування в радіо-
локації.
Знайдемо повну фазу сигналу:
'Р(О={ш(О^ = ®ог+—+0О-	(8.75)
2
Не порушуючи загальності, приймемо Оо = 0 і запишемо мате-
матичну модель сигналу:
0, ґ<-т4/2,
и(0 = -
тт І . Vі
І/-сов (0оі + ——
”	0	2

(8.76)
0, і>хі/2.
9
Сигнал, математична модель якого описується рівністю
(8.76), зветься радіоімпульсом з лінійною частотною
модуляцією, або ЛЧМ радіоімпульсом.
Розглянемо спектр і АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ.
438
Спектр радіоімпульсу
з лінійною частотною модуляцією
Знайдемо спектральну густину радіоімпульсу з ЛЧМ. Ско-
ристаємося тим, що цей сигнал є вузькосмуговим. Тоді порядок
розрахунку може бути таким:
1.	знайти комплексну обвідну й(і);
2.	за допомогою прямого перетворення Фур’є обчислити спек-
тральну густину й((д) комплексної обвідної;
3.	знайти спектральну густину 2и(а>) аналітичного сигналу;
4.	одержати спектральну густину Е7(®) імпульсу з ЛЧМ.
1. Щоб знайти комплексну обвідну сигналу (8.76), запишемо
його в канонічній формі:
(	В*2^
и(і) = 11тсов (йоі+—— =
2 ,
і В*2
= Цт СО8(И0І)СО8І —----
І 2
(в^П । ।
—Е7ОТ 8Іп(©04)зіп, Н|<т£/2.
\ ;
Тут
[ В?2 1
^(0 = ^008 V >
V	і
(8.77)
синфазна і
ав(о=ажап
р£
2
|і|<т£/2 —
(8.78)
квадратурна амплітуди вузькосмугового сигналу и(і).
За формулою (6.25) знайдемо комплексну обвідну:
ги2 ї
“(0 = ^(0+^(0 = ехр , |гкт4/2.
(8.79)
2. Щоб знайти спектральну густину Щ©) комплексної обвідної,
скористаємося прямим перетворенням Фур’є:
Щ©) = |	= Цт | ехр
-оо	-Т./2
•І р*2 ,
/ г----©і
2
(11.
(8.80)
Щоб обчислити інтеграл, доповнимо аргумент експоненціальної
функції до повного квадрата:
439
££2/2—<»£ = (0£2/2-<о£+с2)-с2 = (^0 /2 — с)2 — с2.
Тоді, о>^ = 2с?7Р/2 і с = е>/д/2ЇГ. Тепер (8.80) прийме вигляд:
Т,/2
й((й)=итеч‘г | ехр
-т,/2
Лі.
Зробимо заміну змінних. Позначимо ^0/2 -с = х. Тоді, після про-
стих перетворень одержимо:
й(а>) = ип, -|ехрґ-7^-| [ ехр(ух2)сЬс. (8.81)
уР І 2Р;і2
Тут позначено
Інтеграл, що стоїть у правій частині (8.81), не виражається
в елементарних функціях, але його можна подати комбінацією
добре вивчених спеціальних функцій — інтегралів Френеля [4]:
С(з) = «Р-]сов(^2)^ і 8(г) = Д (зіпС;2)^.
’ТС о	о
Щоб звести (8.81) до комбінації інтегралів Френеля, скори-
стаємося теоремою Ейлера (А.1) і властивостями визначених
інтегралів:
ехр(/х2)<іх = /ехр(;х2)сїх +/ехр(7х2)йх =
X,	Х2	/Х1	х2	\
= |соз(х2)<іх +|соз(хг)Лх+І |зіп(х2)(Іх+|зіп(х2)йх
0	0	\ 0	0	,
Залишилося підставити до цієї формули інтеграли Френеля.
І— —
^(ю) = ^тЛ^2Р{[С(Х1)+С(Х2)]+7[5(Х1)+5(Х2)]}.(8.82)
3. Знаходимо спектральну густину аналітичного сигналу. Згід-
но з формулою (6.22),
440
зи(О = й(Оем>‘.
Тоді, за теоремою перенесення спектра за частотою (табл. Б.1)
знаходимо 2и((й) = й((й-(їі0), тобто
г— ;«а-<Мг
= 2Р {[С(Х1)+С(Х2И+/[8(Х1)+5(адХ (8.83)
4. Спектральна густина С7(<в) радіоімпульсу з ЛЧМ для додат-
них значень частоти згідно з формулою (6.20) дорівнює:
Г—
= "Т^ЇЄ 2Р «С(Хі)+С(Х2)1+Лдаі)+-8(^2)]}- (8.84)
Вправа 8.25
Запишіть вираз для спектральної густини радіоімпульсу
з ЛЧМ в ділянці від’ємних частот.
Для практичних цілей достатньо знати лише значення спек-
тральної густини при а > 0.
Знайдемо модуль (амплітудний спектр) та аргумент (фазовий
спектр) спектральної густини (8.84) радіоімпульсу з ЛЧМ:
|Щш)І=^^ї^[С(Х1)+С(Х2)12 +№і)+5(х2)12’ <8-85>
,	(й)-(Оо)2
ф(“) = —2Ґ-
+агсі£
ЗД)+8(Х2)
од+од)’
(8.86)
Одержані вирази є точними, але, на жаль, складними для ана-
літичного розгляду, бо містять спеціальні функції — інтеграли
Френеля, аргументи яких самі залежать від частоти. Тому інтерес
викликають наближені вирази, які дозволили б виявити особливості
спектра ЛЧМ радіоімпульсу і вплив на нього параметрів сигналу.
Для цього треба розглянути властивості інтегралів Френеля.
На рис. 8.22 наведено графіки інтегралів Френеля. Можна заува-
жити, що інтеграли Френеля, які є інтегралами від парної функції,
441
самі є функціями непарними. Із
збільшенням модуля аргументу
як косинус, так і синус-інтегра-
ли Френеля швидко збільшую-
ться до значення 0,5, до якого
вони асимптотично прямують,
коливаючись біля нього в міру
подальшого зростання значення
модуля аргументу.
Звернімося до формул (8.85)
і (8.86). В цих формулах аргументами інтегралів Френеля є змінні
Х1 і Х2, причому і перша, і друга є лінійними функціями частоти.
Наприклад,
„	ЛГт.	1 І Дот.	1 т/
1 ї2 2	2} 2	у2Д®
Підставимо значення и = Ди/2. Одержимо Хх = 0. Якщо <в = -Д®/2,
І Дот.	І2лД/т.	і—
одержимо Хг = и----- = .І---£- =^іст. Тут
V а V "
т =
Док, _ рт,2
2я 2л
(8.87)
параметр модуляції ЛЧМ радіоімпульсу.
Таким чином, при зміні частоти від (а>0 - Ди/2) до (о>0 + Д<в/2)
змінна Х{ змінюється за лінійним законом від значення до
нуля. Якщо проаналізувати зміну змінної Х2, одержимо, що в тому
самому діапазоні частот відбувається зміна Х2 від нуля до л/лж.
При виконанні умови т » 1 це дає змогу, згідно з залежностями,
наведеними на рис. 8.22, одержати такі наближені формули:
С(Х{)+С(Х2) = 8(Хі)+8(Х2) =1, о0 - Д® / 2 < о < ®0 + До/2,1
С(Х1)+С(Х2) = 5(Х1)+8(Х2)г0, |®-®01>Д®/2.	/ (8‘88)
Підставимо (8.88) до (8.85) і (8.86) та одержимо наступні вирази,
що апроксимують амплітудний і фазовий спектри радіоімпульсу
з ЛЧМ за умови, що його параметр модуляції т » 1:
®0-Д®/2<® <®0 +Д®/2,
(8.89)
0,	|®-®0|>Д®/2;
442
, .	(®-®0)2 я
<р(и) = --—-^-+—.
20	4
(8.90)
Таким чином, радіоімпульс з ЛЧМ при т » 1 має приблизно
прямокутний амплітудний і квадратичний фазовий спектри.
Спектральна густина енергії (енергетичний спектр) такого
сигналу
п-Г/2
<?(/) = І<8(Г)І2=^
(8.91)
також приблизно постійна у смузі частот [®0- Дго/2, ©0 + Аго/2]
і наближається до нуля поза цією смугою.
Енергія імпульсу з ЛЧМ дорівнює С72ті/2 і не залежить від за-
кону змінення частоти.
Перш ніж розглянути приклади, зупинимося на питанні фор-
мування сигналів з ЛЧМ. Розглянемо лише один з методів — па-
сивний метод формування.
Відомо, що відгуком лінійної системи на вплив у вигляді
короткого імпульсу є коливання, що з точністю до сталого множ-
ника повторює імпульсну характеристику системи. Крім того,
відомо, що перетворенням Фур’є IX системи є її передатна
функція.
З цього випливає висновок: необхідно створити таку систе-
му, IX якої є сам радіоімпульс з ЛЧМ, або, інакше кажучи, —
передатна функція якої співпадає з точністю до сталого множ-
ника зі спектральною густиною імпульсу з ЛЧМ. Звідси випли-
ває, що АЧХ системи, при дії на яку короткого імпульсу, на
виході з’явиться ЛЧМ радіоімпульс за умови, що т» 1, має
вигляд:
|К(®)| =
®0 -Д®/2<® <®0 + Д®/2,
|м-®0 |> Д®/2;
(8.92)
ФЧХ системи
Фх(®) = “
(СО-Юр)2
20
(8.93)
я
+—.
4
Таким чином, система для генерування ЛЧМ радіоімпульсу
складається із смугового фільтра з АЧХ (8.92) і фільтра з квадра-
тичною ФЧХ (8.93). Залишилося з’ясувати, як на практиці мож-
на реалізувати пристрій з квадратичною ФЧХ.
443
З (8.93) виходить, що час затримки сигналу при проходженні
його через фільтр дорівнює:
( (8.в4)
3	(1(0 р Д<о ‘
і є лінійно зростаючою функцією частоти.
9
	Явище залежності часу затримки від частоти називаєть-
ся дисперсією, а характеристика (8.94) — дисперсійною
характеристикою пристрою.
	Пристрій з характеристикою (8.94) зветься дисперсій-
ним фільтром або дисперсійною лінією затримки.
	Сучасні дисперсійні ЛЗ мають смугу пропускання зав-
ширшки понад 500 МГц і дозволяють формувати ЛЧМ
імпульси, параметр модуляції (база) яких досягає вели-
чини в декілька десятків тисяч.
	Звичайно це акустоелектронні пристрої, переносієм
сигналу в яких є поверхневі акустичні хвилі.
Приклад 8.10
--- Дослідимо зв’язок величини параметру модуляції ЛЧМ
радіоімпульсу з його спектром. Розрахунки проводитимемо на
ЕОМ за точними формулами (8.85) і (8.86).
Параметр модуляції сигналу т = Д/т. можна змінювати, ва-
ріюючи або величиною девіації частоти, або тривалістю імпульсу.
В цьому прикладі дослідимо вплив девіації частоти. У наступному
прикладі розглянемо вплив тривалості імпульсу.
Отже, нехай т( = 0,001с, Цт = 2 В. Розглянемо 3 випадки:
параметр модуляції сигналу дорівнює 200, 50 і 10. Крім того,
приймемо, що /0 » Д/.
Розв’язання.
В додатку до розділу 8 наведено текст програми у сис-
темі МАТНЕМАТІСА, за допомогою якої будемо досліджувати
сигнал.
лізу.
Вправа 8.26
Самостійно розберіть наведений текст програми ана-
444
Що необхідно змінити у програмі, щоб провести розрахунки
для трьох випадків, що задані в умові задачі?
Значення яких характеристик сигналу виводить ЕОМ, крім
графіків, які подано тут окремим рисунком?
Тепер можна приступати до аналізу графіків, які обчислено
і побудовано ЕОМ.
1.	т = 200.
На рис. 8.23, аі) і 61) наведено графіки амплітудного і фазового
спектрів. Крім того, нарис. 8.23, ві) зображено графік залишко-
вого фазового члена ф2(/) спектральної густини — другої складо-
вої правої частини рівності (8.86). Аналіз отриманих результатів
проведемо після того, як розглянемо всі три випадки.
2.	т = 50.
Параметри сигналу в цьому випадку такі: А/ = 50 кГц, 0. =
- 50 МГц/с, X' = 6,2666 - 0,00025066/і Ха = 6,2666 + 0.00025066/.
Графіки модуля, аргументу і залишкового фазового члена спек-
тральної густини радіоімпульсу наведено на рис. 8.23, а2), 62)
і в2), відповідно.
3.	т —10.
Параметри сигналу: Д/= 10 кГц, 0; = 10 МГц/с, Х1 = 2,8025 -
- 0,0005605/іХ2 = 2,8025 + 0,0005605/. Графіки модуля, аргументу
і залишкового фазового члена спектральної густини радіоімпульсу
наведено на рис. 8.23, аЗ), 63) і вЗ), відповідно.
Проаналізуємо одержані результати.
аі) 0,2І|5(Д|жВ-с
-1^ 0 ІООЛ/о,
кГц
ф(/).Рв6
61)/100
7-200
62)
445
- Оскільки енергія сигналу, його тривалість та амплітуда
в усіх трьох випадках залишаються незмінними, а активна шири-
на спектра пропорційна величині параметра модуляції, у повній
відповідності до теореми Парсеваля із зменшенням девіації часто-
ти збільшується середнє значення модуля спектральної густини
в межах смуги [/0 - Д//2, /0 + Д//2].
-	Аргумент спектральної густини ср(/) у смузі частот [/0 - Д//2,
/0 + Д//2], якщо й змінюється зі зміною величини параметра мо-
дуляції, то лише за рахунок відмінності залишкового фазового
кута спектральної густини від значення л/4.
-	Із збільшенням величини т спостерігається зменшення осци-
ляцій модуля спектральної густини. При т = 200 вони практично
щезли і форма графіка стала наближатися до прямокутної. Таким
чином, при великих значеннях параметра модуляції радіоімпульсу
з ЛЧМ можна користатися наближеною формулою (8.89).
-	Графіки рис. 8.23, ві), в2) і вЗ) залежності залишкового фа-
зового кута спектральної густини від частоти показують, що при
великих значеннях параметра модуляції в межах смуги [/0 - Д//2,
/0 + Д//2] кут ср2 практично не змінюється і близький до значення
л/4. При малих значеннях т спостерігаються осциляції відносно
цього рівня. Отже, наближена формула (8.90) цілком прийнят-
на у випадку спектрального аналізу ЛЧМ сигналів з великими
значеннями параметра модуляції.
Приклад 8.11 ійлііт
---- У цьому прикладі розглянемо, як зміна величини парамет-
ра модуляції радіоімпульсу за рахунок зміни тривалості імпульсу
впливає на спектр.
Нехай Цт = 2 В, Р/ = сопзіапі = 10 МГц/с, /0 » Д/.
Розглянемо ті самі 3 випадки, що й у попередньому прикладі:
параметр модуляції сигналу дорівнює 200, 50 і 10.
Розв’язання.
Програма до прикладу 8.10, текст якої наведено в до-
датку, з мінімальними змінами дозволяє розв’язати поставлену
задачу.
Вправа 8.27
---- Що потрібно змінити в програмі до прикладу 8.10, щоб
адаптувати її до розв’язання задачі, яку поставлено в умові при-
клада 8.11?
446
1.771 = 200.
За формулами, наведеними вище, знаходимо т^^тп/р, =
= —і-=с, А/ = тп/т, =20\/б кГц, До = 2лА/ та В = 2тф,. Підставив-
100^5	1
ши числові значення змінних, що входять у відповідні формули,
знаходимо
Д/к/10
1000
Х2 = 5л/2к +
Л/я/10
1000 ‘

і
На рис. 8.24, а) наведено амплітудний спектр імпульсу з
ЛЧМ.
2.	т = 50.
Для цього випадку: ті=—
А/= 10-75 кГц,
Х1 = 5у[п/2-
/\/%/іо
1000
Х2= 5у/п/2
| /7%/ю
1000
і
Амплітудний спектр наведено
на рис. 8.24, б).
3.	т = 10.
Для цього випадку: т,- 0,001с,
А/ = 10 кГц,
1 у 1000
Графік модуля спектральної густини
наведений на рис. 8.24, в).
У цьому прикладі, на відміну від
попереднього, потрібне за умовою
задачі значення параметра модуля-
ції забезпечується зміною тривало-
сті імпульсу при збереженні сталої
швидкості зміни частоти.
Проаналізуємо одержані ре-
зультати.
Рис. 8.24.
447
- Оскільки = сопзіапі, з формул (8.85) і (8.89) виходить, що
в межах смуги частот [/0 - Д//2, /0 + Д//2] середнє значення моду-
ля спектральної густини не залежить від величини т. Це ми й
спостерігаємо на наведених графіках.
- У розглянутому прикладі енергія сигналу та його тривалість
збільшуються зі збільшенням величини параметра модуляції.
Враховуючи попередній висновок і теорему Парсеваля, можна
стверджувати, що зі збільшенням величини т повинна збільшу-
ватися активна ширина спектра, що спостерігається на наведених
графіках. Цікаво, що тут ми одержали результат, який, нібито,
суперечить тому, з чим ми зустрічалися раніше: тривалість ім-
пульсу зменшуємо, а активна ширина спектра, замість того, щоб
зростати, теж зменшується. Пов’язано це з тим, що тут ми маємо
справу зі складним сигналом, активна ширина спектра якого зале-
жить не стільки від його тривалості, скільки від того, наскільки
змінюється частота за проміжок часу, що дорівнює тривалості
імпульсу.
Розглянемо ще одну важливу характеристику складного сиг-
налу, яким є радіоімпульс з ЛЧМ, як-от, його АКФ. Чудові вла-
стивості АКФ складних сигналів і є основною причиною їхнього
використання в радіотехніці. Забігаючи вперед, відзначимо, що
сигнал на виході оптимального фільтра, що ми розглянемо
у розділі 21 третьої частини, із точністю до постійного множника
повторює АКФ сигналу, що діє на його вході.
АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ
Радіоімпульс з ЛЧМ при т » 1 є складним, але вузько-
смуговим у змісті визначення, що дано в розділі 6, сигналом зі
скінченною енергією. Таким чином, для розрахунку його АКФ
з точністю, що є достатньою при розв’язанні практичних задач,
можна скористатися формулами (6.40) або (6.41).
Отже, сигнал, АКФ котрого потрібно знайти, поданий матема-
тичною моделлю вигляду:
0, і<-Т/2,
и(1) = -
І , 0*
соз юпґ+——
2
-Т/2^і£Т/2,
(8.95)
0, і>Т/2.
448
де, на відміну від (8.76), для позначення тривалості імпульсу
використано літеру Т, а літеру т зарезервовано для позначення
аргументу АКФ.
На рис. 8.25 наведено гра-
фіки сигналу и(і) і того ж сиг-
налу, зсунутого по осі часу
на величину т, тобто и(і - т).
У нижній частині рисунка по-
казано інтервал часу, на якому
сигнали и(і) і и(і - т) перекри-
ваються при т > 0.
Раніше, у розділі 6, було от-
римано формулу (6.41), за якою
можна з високою точністю ви-
значити АКФ вузькосмугового
сигналу. З урахуванням (8.95)
ця формула набуває вигляду:
Рис. 8.25.
Ви(Т) = ^-Ке	.
2	„
(8.96)
Запишемо аналітичний сигнал:
2ц(0 = ^тЄХр[/(®0« + 0*2/2)], |ґ| <Д.
Тоді
ту 2 Гт/2
ки &) 1x^0= -у-Ке /ехр[7(ю0і+рі72)]ехр{-Я<о0 (і -т )+р (і -т
[_т-Т/2
Т/2
2 Т/2
£у2	Т/2	^2 Т/2
= —^-Ке |ехр[7(®от + Р<т - рт2/2)]<2£ = —— $соз(и0т+р£т - рт2/2)4і=
2	г-Т/2	2 т-Т/2
ту2
= 8іп(аот + Р іт - рт2 / 2)
Т/2
т-Т/2
( 2 >
соз(ю0т).
Тут межі інтегрування обрано з аналізу графіків рис. 8.25
і використано формулу (А. 21).
Таким чином,
ДЛ’1 )| гаО —
С72 .
—-81П
рт
рт(Т-т)
2
С08(м0т), 0<т<Т
(8.97)
0,
т їТ
449
Формула (8.97) встановлює зв’язок АКФ ЛЧМ радіоімпульсу
за умови, що т > 0, з швидкістю зміни миттєвої частоти 0 = Да/Т
(див. графіки рис. 8.21). На практиці частіше використовують ін-
шу характеристику радіоімпульсу з ЛЧМ — параметр модуляції
т = Д/Т (Д/ — повна девіація частоти, Т — тривалість імпульсу).
Тоді, 0 = 2тип/Т2.
Підставимо це значення до (8.97) і після простих перетворень
одержимо:
_ зіп
Ц2Т
пг____
2
т І, т
тип— 1---
ТІ Т
008(2^41), 0<т <Т
тип—
Т
(8.98)
0,	х>Т
Вправа 8.28
Отримайте аналітичний вираз для АКФ радіоімпульсу
з ЛЧМ, якщо т < 0.
У загальному випадку АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ можна пода-
ти наступним аналітичним виразом:
Я„(т) =
Ц2Т
тп
2
т і
зіп тип—11
ТІ,
т
тип—
Т
-со5(2л/0т), тє[-Т,Т]
(8.99)
0,
т«?[-Т,Т]
С72Т
ТУТ -5“хДМ=о=£ — енергія радіоімпульсу. Тоді,
т 1-і
зіп тип—\ 1
т
тип—
Т
— со8(2я/от), тє[-Т,Т]
(8.100)
0,
т«?[-Т,Т]
є нормована АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ.
450
Приклад 8.12
Скористаємося ЕОМ і побудуємо графіки нормованої
АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ при різних значеннях параметра мо-
дуляції. У системі МАТНЕМАТІСА скласти програму для обчис-
лення і побудови графіків за формулою (8.100) просто. Оскільки
аналогічні програми вже неодноразово розглядалися, складіть
програму самостійно.
Нехай тривалість імпульсу
Т=1мсі/0» 1/Т.
Нарис. 8.26 наведено графі-
ки нормованих АКФ сигналів
з ЛЧМ при значеннях т = 0,1,
10 і 20, а на рис. 8.27 — при
т = 50 і т = 100. Порівнюю-
чи наведені на рисунках гра-
фіки АКФ, можна виявити
явні закономірності зміни фор-
ми АКФ зі збільшенням пара-
метра модуляції.
Якщо включити до аналі-
зу ще і математичну модель
(8.100), можна зробити такі
висновки:
Рис. 8.26.
1. Ширина першої пелюст-
ки АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ
дорівнює 2/Д/, де А/ — девіація
частоти за час, що дорівнює
тривалості імпульсу. У сигна-
лів з базою В » 1 і, отже, т » 1 ширина смуги частот, що займає
сигнал, приблизно дорівнює А/. Оскільки Д/ = т/Т, ширина першої
пелюстки АКФ дорівнює 2Т /т. Таким чином, із збільшенням т
пропорційно зменшується ширина першої пелюстки.
2.	Ширина першої пелюстки за рівнем 2/л = 0,637 дорівнює
1/Д/або Т/т, тобто в т разів менша, ніж тривалість самого ЛЧМ
радіоімпульсу. З цієї причини коефіцієнт т іноді називають кое-
фіцієнтом стиснення.
3.	Узагальнюючи перші дві властивості нормованої АКФ ЛЧМ
радіоімпульсу, можна зробити наступний важливий висновок:
451
ширина першої пелюстки
АКФ, її тривалість за рівнем
0,637 і коефіцієнт стиснення
залежать тільки від девіації
частоти (смуги частот, що
займає ЛЧМ сигнал).
4.	Обвідна АКФ імпульсів
з ЛЧМ зі збільшенням т на-
ближається до функції 5іпс(г).
З аналізу графіка цієї функції,
наведеної на рис. 3.7, і табли-
ці її значень (табл. А. 1) можна
зробити висновок, що сусідні
з першою пелюстки АКФ ма-
ють екстремальні значення,
що досягають значення при-
близно 0,2 від висоти першої
пелюстки.
Третя властивість АКФ
ЛЧМ є важливою для сучас-
ної радіотехніки і багато в чому визначають широке застосуван-
ня сигналів з ЛЧМ.
Вправа 8.29
Поясните форму АКФ радіоімпульсу при т = 0,1.
Вище ми розглянули сигнали з неперервною фазовою мо-
дуляцією. У радіотехніці, крім цих сигналів, застосовуються сиг-
нали з ФМн. Фазова маніпуляція полягає в тому, що у визначені
моменти часу фаза високочастотного коливання стрибкоподібно
змінюється на скінченну величину при цьому як амплітуда, так
і частота залишаються незмінними. Ці сигнали належать до кла-
су сигналів з великою базою (В істотно більше 1). Такі сигнали
ми зараз і розглянемо.
8.	7. Радіоімпульси з фазовою
маніпуляцією (ФМн)
Сигнали, що розглянуто в цьому підрозділі, відрізняю-
ться від звичайних радіоімпульсів тим, що початкова фаза їх
452
високочастотного заповнення змінюється в задані моменти часу
стрибком на скінченну величину.
Два радіосигнали з однаковими обвідними (з однаковою енер-
гією або середньою потужністю), але такі, що їх початкові фази
відрізняються на 180°, мають максимально можливий ступінь
відмінності. Тому, використання таких сигналів при передачі
дискретних повідомлень (наприклад, при телеграфії, яка у цьому
випадку називається фазовою телеграфією) забезпечує найбільшу
завадостійкість [б].
ФМн сигнали будуються в такий спосіб. Відрізок часу Т, що
дорівнює тривалості радіоімпульсу, розбивається на N часових
позицій (інтервалів) тривалістю Д = Т/М кожна. На і-тій позиції
формується коливання У^ехрОф^), де V. і ер. — заздалегідь обрані
амплітуда і фаза коливання високої частоти. Множини Ур ..., У„
й фр ..., фд, утворять коди, що обираються так, щоб забезпечити
потрібні характеристики сигналу. Будемо розглядати випадок
V. = V = сопзі, а ф. приймає тільки два значення: 0 або я. Крім того,
для спрощення співвідношень приймемо, що 2л/0Д кратне 2л.
Побудуємо математичну модель ФМн сигналу у часовій області.
Запишемо
/УзІПІгл^+ф^), (І-1)Д<І<ІД, ї = 1,...,#	/ОІЛП
10,	і<0 і і>Ьт&
Позначимо совф. = й.. Тоді з урахуванням формули (А. 16) вираз
(8.101) можна подати так:
у(і) = Усі.зіп(2л/0(), (і - 1)Д < і < іД,
(8.102)
де і = 1.2У,	а сі. приймає значення +1 або -1.
На рис. 8.28, а) на-
ведено графік деякого
ФМн сигналу, а на рис.
8.28, б) — графік залеж-
ності, відповідно до якої
і
змінюється фаза високо-
частотного коливання.
Графік комплексної
обвідної сигналу наведе-
но на рис. 8.28, в).
Протягом перших
трьох інтервалів Др
Д2 і 3 <іі = 1 і значення
комплексної обвідної
о-----------
Нтедиріж»
о----:—
-V-
0 Д 2Д
б)
—і
в)
— і
—І------1-------1— £
ЗА 4Д 6Д
Рис. 8.28.
453
дорівнює V. У четвертому інтервалі <і4 = (-1) і значення комплекс-
ної обвідної дорівнює (-У)- У інтервалі Д5 значення комплексної
обвідної знову стає рівним V. Такий сигнал зручно позначати
у відповідності зі знаком комплексної обвідної так: + + ч-Н
АКФ радіоімпульсів з фазовою маніпуляцією
Формули для обчислення АКФ сигналів із ФМн для до-
вільного коду досить складні (див., наприклад [5, 6]) і отримання
їх ми розглядати не будемо.
Однак одна властивість АКФ, яку можна отримати з аналізу
її аналітичного виразу, нам знадобиться надалі. Цю властивість
можна сформулювати так: АКФ комплексної обвідної сигналу,
складеного з елементарних радіоімпульсів, що мають однакову
тривалість А і початкові фази 0 або я, являє собою лінійно-ла-
ману лінію, точки зламу якої відповідають зсувам у часі т, які
є кратними тривалості А.
Ця властивість дозволяє спростити процедуру розрахунку АКФ
комплексної обвідної, зводячи її до обчислення значень АКФ
у точках зламу. Щоб з АКФ комплексної обвідної одержати АКФ
ФМн сигналу, необхідно врахувати високочастотне коливання,
тобто, помножити її на (1/2)соз(2я/0і)-
Для обчислення АКФ комплексної обвідної зручно скористати-
ся наступною простою методикою. Пізніше (див. розділ 21 третьої
частини), коли ми розглянемо узгоджені фільтри і проходження
через них сигналів, стане зрозуміло, на чому грунтується ця ме-
тодика.
Отже, для того, щоб знайти АКФ обвідної радіоімпульсу
з ФМн, складається наступна таблиця. Заповнимо її для сигналу,
що наведений на рис. 8.28.
Таблиця 8.2
	+	+	+	—	+				
+		+	+	—	+				
—		—	—	—	+	—			
+			+	+	+	— '	+		
+				+	+	+	—	+	
+					+	+	+	—	+
£	+1	0	+1	0	+ 5	0	+1	0	+ 1
У верхній рядок таблиці запишемо комплексну обвідну роз-
глянутого ФМн сигналу. У лівий стовпчик запишемо розглянуту
454
послідовність знизу нагору. Заповнюємо ту частину таблиці, яку
виділено сірим кольором, по рядках зверху вниз. Якщо в рядку
лівого стовпчика розміщено знак «+», перепишемо послідовність
із верхнього рядка таблиці без змін. Якщо, у відповідному рядку
лівого стовпчика розміщено знак «-», перепишемо послідовність
із верхнього рядка таблиці, змінивши знаки всіх її елементів.
В міру просування вниз по таблиці кожний рядок заповнюється
зі зсувом на одну позицію праворуч.
Таким чином, у верхньому рядку виділеної частини таблиці
записано послідовність, елементи якої є добутком відповідного
елемента вихідної послідовності на її останній елемент. В другому
рядку записана зі зсувом праворуч на А аналогічна послідовність
добутків елементів вихідної послідовності на П передостанній еле-
мент і так далі. Підсумувавши елементи кожного стовпця виділеної
частини таблиці, одержимо значення АКФ комплексної обвідної
сигналу, що розглядається, в точках зламу. Побудувавши ці зна-
чення на графіку і з’єднавши сусідні точки прямими лініями,
одержимо АКФ комплексної обвідної ФМн сигналу.
На рис. 8.29 наведені графіки комплексної обвідної та її
АКФ.
Як відзначалося вище, множини
{И} й {<р.} утворюють коди, що обира-
ються так, щоб забезпечити потрібні
характеристики сигналу. При викори-
станні того методу фазової маніпуля-
ції, який ми розглядаємо (К = V = сопзі
і ф{ приймає тільки два значення 0
або я), код визначається двома характе-
ристиками: числом позицій N і законом
чергування коефіцієнтів сі., що можуть
набувати значень +1 і -1.
Рис. 8.29.
АКФ ФМн сигналів Баркера
Однією із вимог, що накладаються на сигнали, застосову-
вані в радіолокації, завадостійкому зв’язку й ін., є забезпечення
якомога меншого рівня бічних пелюсток їх АКФ у порівнянні
з рівнем першої пелюстки. Наприклад, у радіоімпульсів з ЛЧМ
цей показник складає 0,212 (див. рис. 8.27), що є вадою таких
сигналів.
Можна показати (див., наприклад, [5-8]), що для ФМн сигналів,
які ми розглядаємо, можна побудувати такі коди, що забезпечують
455
рівень бічних пелюсток АКФ не вище за 1/N від максимально-
го рівня головної пелюстки. Такі послідовності {<!.} при N = 3, 7
і 11 уперше було запропоновані Баркером. З цієї причини один
з кодів що задовольняє цій властивості, зветься кодом Баркера,
а сигнали, фазова маніпуляція в яких здійснюється за кодом Бар-
кера, — фазоманіпульованими сигналами Баркера. На жаль, код
Баркера відомий тільки для N = 2, 3, 4, 5, 7, 11 і 13. Практичний
інтерес являють собою сигнали Баркера тільки з непарним значен-
ням N. Відповідні коди Баркера і розглянемо.
У наведеній нижче таблиці 8.3 записано всі відомі коди Бар-
кера з непарними значеннями N.
Порівнявши сигнал, що розглянуто вище (рис. 8.28), з даними
таблиці 8.3, можна відзначити, що він є п’ятипозиційним сигна-
лом Баркера. АКФ комплексної обвідної цього сигналу, зображена
на рис. 8.29, цілком задовольняє вимогам мінімуму рівня бічних
пелюсток.
Таблиця 8.3
N	к		<*3	а 4	^5	X	а7	Й8		^0	^11	Й12	Й13
3	+1	+1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	+1	+1	+1	-1	+1	0	0	0	0	0	0	0	0
7	+1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	0	0	0	0	0	0
11	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	0	0
13	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	+1	-1	+1
Вправа 8.30
Побудуйте графік АКФ 5-ти позиційного ФМн сигналу
Баркера.
Вправа 8.31
Розрахуйте за описаною вище методикою АКФ комплексної
обвідної 7-ми позиційного сигналу Баркера. Побудуйте графік.
Побудуйте графік АКФ 7-ми позиційного ФМн сигналу Бар-
кера.
Відзначимо основні властивості АКФ сигналів Баркера.
- Максимальний за модулем рівень бічних пелюсток не пере-
вершує 1від максимального значення центральної пелюстки.
456
Таким чином, сигнал Баркера з N > 5 перевершує ЛЧМ радіоім-
пульс за цим показником.
-	Кількість бічних пелюсток з кожного боку від центрально-
го дорівнює (А - 1 )/2. Таким чином, сумарна кількість пелюсток
АКФ дорівнює N.
-	Ширина по основі всіх пелюсток АКФ однакова і дорів-
нює 2Д.
-	За рівнем 0,5 від максимального значення АКФ ширина го-
ловної пелюстки в N разів менша за тривалість сигналу Баркера.
Таким чином, коефіцієнт стиснення ФМн сигналів Баркера дорів-
нює М, і вони поступаються сигналам з ЛЧМ за цим показником
за умови т > 13.
-	При N = 5 і 13 АКФ комплексної обвідної всюди невід’ємна. При
N = 3, 7 і 11 вона недодатна, за винятком інтервалу - Д < т < Д.
-	Висота центральної (головної) пелюстки АКФ комплексної
обвідної сигналу Баркера дорівнює МУ2 А, бічні пелюстки мають
амплітуду Т^Д.
Спектри ФМн сигналів Баркера
Перейдемо до аналізу сигналів Баркера у частотній об-
ласті.
Розрахувати повний спектр, тобто, амплітудний і фазовий, сиг-
налів Баркера без допомоги ЕОМ складно, але знайти загальний
аналітичний вираз для амплітудного спектра комплексної обвідної
досить просто. Цієї інформації здебільшого досить при розв’язанні
багатьох задач практики. Скористаємося таким алгоритмом:
1. За відомою АКФ комплексної обвідної сигналу за допомо-
гою прямого перетворення Фур’є знайти спектральну густину
енергії.
2. Добути корінь квадратний зі спектральної густини енергії
і одержати модуль спектральної густини комплексної обвідної
(амплітудний спектр).
Почнемо розв’язувати поставлену задачу
1. Згідно з (4.33)
ОО
ад) = ІЙ/)І2 =1	(8.103)
-00
У нашому випадку В5(т) є сукупність N симетричних трикут-
них імпульсів тривалістю Д за рівнем 0,5 висоти, зсунутих один
457
від одного уздовж осі т на величину, що кратна 2Д, і таких, що
мають комплексні амплітуди Л^Д (центральна пелюстка) і ± К2Д
(бічні пелюстки), причому знак «+» відповідає N = 5 і 13, знак «-»
відповідає N = 3, 7 і 11. Нам відома пара перетворень Фур’є для
симетричного імпульсу трикутної форми (пара №21, табл. Б.2).
У нашому випадку вона має такий вигляд:
еЛ І — І	Е Д 8іп<?(ї Ь).
(8.104)
Застосуємо теореми лінійності і запізнювання й одержи-
мо, що
(ЛМ)/2
ІУ(/)|2 = V2Ь28іпс2(ї Д) N ± £ (є/4я/*4 +

= У2Д25іпс2(ГД) ТУ ±2 £со8(4яГМ)
(8.105)
2. Добуваємо корінь квадратний із (8.105) і знаходимо модуль
спектральної густини комплексної обвідної сигналу Баркера:
|У(/)| = |УД8іпс(/Д)| N±2 £соз(4яАД) .	(8.106)
У формулах (8.105) і (8.106) знак «+» відповідає ^ = 5 і 13,
знак «-» відповідає N = 3, 7 і 11.
тром його комплексної обвідної (див. розділ 6), знайдіть амплітуд-
ний спектр сигналу Баркера за умови, що /0 » 1 /Д.
Якщо проаналізувати вираз (8. 106), можна зауважити, що
амплітудний спектр ФМн сигналів Баркера являє собою добуток
амплітудного спектра імпульсу прямокутної форми тривалістю
Д, тобто, одного з елементарних сигналів, з яких складено ФМн
сигнал, і функції
,ЦГ) = N±2 £со8(4л/А!Д)
(8.107)
458
яка залежить від форми повного сигналу Баркера. Ця функція
е періодичною функцією частоти з періодом 1/(2Д).
З цього аналізу можна зробити такий висновок:
б
Ширина смуги частот, що займає сигнал Баркера, визна-
чається спектром елементарних імпульсів прямокутної {
форми, із яких складено сигнал.
Тривалість елементарного імпульсу Д = Т/Н, д,еТ — три-
валість N позиційного сигналу Баркера. Активна ширина спектра
прямокутного імпульсу оберненопропорційна його тривалості,
звідси виходить:
б
	Ширина смуги частот, що зайнято ФМн сигналом Бар- \
кера, у N разів більша від смуги частот, що займає ра- |
діоімпульс тривалістю Т і немодульованим носійним \
коливанням.	\
	База ФМн сигналу Баркера дорівнює N, а оскільки \
N > 2, цей сигнал є складним, причому в тим більшому \
ступені, чим більша кількість елементів, що його скла- і
дають.	<
Приклад 8.13
Скористаємося ЕОМ і побудуємо графіки амплітудних
спектрів комплексних обвідних ФМн сигналів Баркера при різ-
них значеннях N. Розглянемо випадок, коли Д = сопзі.
У системі МАТНЕМАТІСА програма для розрахунку і побудови
графіків за формулою (8. 106) містить два, а то й один оператор.
Складіть програму самостійно.
На рис. 8.30 наведено графіки функцій |У(/)| для додатних
частот. Можна відзначити, що у випадку Д = сопзі, що ми роз-
глядаємо, активна ширина спектра для всіх сигналів однакова
і дорівнює 1/Д. Пояснення цьому було дано вище. Осцилююча
складова спектра (8.107), що накладається на амплітудний спектр
імпульсу прямокутної форми тривалістю Д, із збільшенням чис-
ла позицій коду зменшується за амплітудою. При цьому частота
осциляцій зростає.
459
Амплітудні спектри комплексних обвідних сигналів Баркера
при N = 11 і 13 практично співпадають, за винятком області дуже
низьких частот і околу частоти 0,5/Д. Така відмінність спектрів
пояснюється різною структурою кодів Баркера при значеннях
А= 11 і 13.
Вправа 8.34
Зобразіть (якісно) фазові спектри сигналів Баркера.
Рекомендація: врахуйте властивості амплітудних спек-
трів (8.107) цих сигналів.
Вправа 8.35
Розгляньте випадок Т = N • Д = сопзі.
Зобразіть амплітудні спектри комплексних обвідних сиг-
налів Баркера для тих же значень М, що й на рис. 8.30.
Чим спектри в цьому випадку відрізняються від тих, що наве-
дені на рис 8.30?
Рис. 8.31.
Рис. 8.30.
460
Генерування ФМн сигналів Баркера
Сигнал, маніпульований по фазі на л за законом, наприк-
лад, 5-ти позиційного коду Баркера, можна одержати за допомо-
гою пристрою, структурну схему якого зображено нарис. 8.31, а).
У схемі використано балансний модулятор (БМ), на один вхід яко-
го подано коливання високої частоти /0 від генератора високої
частоти (ГВЧ), а на другий вхід— послідовність відеоімпульсів,
що відтворює закон зміни комплексної амплітуди сигналу. Послі-
довність кодованих імпульсів утворюється шляхом алгебраїчного
підсумовування імпульсів, що знімаються з відводів ЛЗ із загаль-
ною затримкою - 1)А. На вхід ЛЗ подано прямокутний імпульс
тривалості А (рис. 8.31, б)). ЛЗ має (N-2) відводи, забезпечую-
чи затримку на час, що є кратним інтервалу А. Імпульси, зняті
з входу ЛЗ, із усіх її відводів і кінця лінії, подаються на суматор,
де вони підсумовуються з вагами, що відповідають значенням чле-
нів Л. коду Баркера. У результаті цього підсумовування й утво-
риться послідовність кодованих відеоімпульсів, що наведена на
рис. 8.31, в). При поданні цієї послідовності і коливання високої
частоти (рис. 8.31, г)) на входи БМ на його виході виробляється
сигнал, фаза якого маніпульована за законом коду Баркера. Цей
сигнал наведено на рис. 8.31, 8).
Кодів Баркера з N > 13 не існує тому ФМн сигнали, отримані
за їх допомогою, мають бази не більше, ніж 13. У радіолокації,
системах завадостійкого зв’язку та ін. такого значення бази зама-
ло. Це спонукало до пошуку таких кодів, де кількість позицій N
практично не обмежена, а ФМн сигнали, отримані за їх допомогою,
мають такий самий відносний рівень бічних пелюсток АКФ, що
й сигнали Баркера. Ми розглянемо сигнали, які маніпульовано
за фазою на л так званими двійковими псевдовипадковими послі-
довностями.
Двійкова псевдовипадкова послідовність
В літературі (див., наприклад [5-8]) такі послідовності
називають ще лінійними рекурентними послідовностями макси-
мальної тривалості або М-послідовностями.
Двійкова псевдовипадкова послідовність являє собою періодич-
но повторювану сукупність N символів <1і9 кожен з яких може
приймати тільки одне з двох значень: +1 або -1. Це значення
визначається добутком значень двох або більшої кількості (але
завжди парної) попередніх символів, взятим з протилежним зна-
ком, тобто
461
=	7^-п	.	(8.108)
парна кількість співмножників
де п> т> ... > 1> А > 1, а. п + 1 <і <У.
Якщо, наприклад, (іі = д2 = ... <іп = 1, то при правильному вибо-
рі т, ..., І та к повинна утворитися неповторювана елементарна
послідовність {</.} з N символів, де
^ = 2Я —1.	(8.109)
Ця послідовність повинна містити всі комбінації п символів
з двох елементів -1 та +1, крім комбінації, складеної з самих
від’ємних одиниць. Внаслідок цього кожна послідовність {</.}, де
1 < і < (2Я - 1), містить 2Я1 додатних і 2" * 1 * - 1 від’ємних одиниць.
Таким чином,
N
£Х=1.	(8.110)
При і > N символи повторюються в тому самому порядку, тобто
при будь-якому цілому р
(8.111)
З (8.111) виходить, що число # характеризує період нескінченної
послідовності.
8
Утворену таким чином нескінченну послідовність на-1
зивають двійковою псевдовипадковою послідовністю^
максимального періоду або М-послідовністю.	І
У поодинокому випадку двох співмножників
<ї. = -д. д. ..
і	і-п і -я
(8.112)
Приклад 8.14
Нехай п = 3, початковий блок 11 1, к = 2. Потрібно одер-
жати ІИ-послідовність.
Розв’язання.
Знайдемо довжину неповторюваної елементарної послі-
довності: N = 23 - 1 = 7.
Якщо дї = д2 = д3 = 1, то
462
сі = —сГй =-1: <1^ — — скск = -1;
4	1 2	*	5	2 3	*
гіб = —</3(і4 = 1; <і7 = — й4<ї5 = — 1;
<*8== і; й9 = -М7 = і; <Ло = -<Мв = і і т. д.
Таким чином, одержано шукану послідовність:
... +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 ...
Ця послідовність містить всі можливі комбінації з трьох сим-
волів:
+1 +1 +1, +1 +1 -1, +1 -1 -1,
-1 -1 +1, -1 +1 -1, +1 -1 +1, -1 +1 +1,
крім «забороненої» комбінації -1 -1 -1.
Елементарна послідовність -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 повторюється
через N = 7 символів.
Вправа 8.36
При п = 3 можна отримати ще одну М-послідовність,
якщо прийняти к = 1. Знайдіть її.
Вправа 8.37
За даними прикладу 8.14 одержіть М-послідовність у ви-
падку, якщо початковий блок має вигляд: 1-1-1. Порівняйте
послідовність з тією, що отримано у прикладі. Зробіть висновки
з наслідків порівняння.
Число елементів послідовності із зростанням п швидко збіль-
шується (практично подвоюється при збільшенні п на одиницю,
див. (8.109)). Так, наприклад, прип = 5 ^ = ЗІ.прип = 7 # = 127,
при п = 10 N = 1023 і т. д. Звідси виходить такий висновок:
0
Якщо при фазовій маніпуляції як коди використати
М-послідовності, можна одержати сигнали з дуже вели-
кими значеннями бази.	і
І
Вище було зазначено, що для одержання неповторюваної
елементарної послідовності {гі.} з N символів, параметри т, ..., І
та к алгоритму (8.108) слід вибирати певним чином. У загальному
463
випадку, їх знаходять методом перебору. Майже кожному п від-
повідає декілька чисел к, при яких по алгоритму (8.112) можна
знайти М-послідовність. Деякі з таких комбінацій п і к наведено
в таблиці 8.4. Якщо взяти інше значення к, ніж вказано в цій таб-
лиці, буде утворено деяку двійкову послідовність, але з періодом
меншим І*?, тобто це не буде М-послідовність.
Таблиця 8.4
п	5	5	6	6	7	7	9	9	10	10	11	11	14	14	15	15
к	2	3	1	5	1	6	4	5	3	7	2	9	5	9	1	14
При п = 8, 12, 13 і 16 не існує таких чисел к, за допомогою яких
за (8.112) формуються М-послідовності, однак це не означає, що
такі послідовності взагалі не можна одержати. У цих випадках
треба скористатися загальним алгоритмом (8.108). Деякі комбіна-
ції чотирьох чисел п, т, І та к, що дозволяють за (8.108) утворити
послідовності максимального періоду 1У, вміщено в таблиці 8.5.
Таблиця 8.5
п	5	5	5	5	6	6	6	6	8	8	12	12	13	13	16	16
т	3	4	4	4	5	5	4	5	4	6	6	11	4	12	5	15
к	2	3	2	3	2	4	3	3	3	5	4	8	3	10	3	13
1	1	2	1	1	1	1	1	2	2	4	1	6	1	9	1	11
Як виходить з розглянутого вище (див. вправу 8.37, таблиці
8.4 і 8.5), одному значенню п можуть відповідати декілька М-пос-
лідовностей. Загальна кількість різних двійкових псевдовипадко-
вих послідовностей максимального періоду N для будь-якого п
становить
М = ф(2п-1)/п,	(8.113)
де ф(х) — функція Ейлера, яка визначає кількість чисел, вклю-
чаючи одиницю, менших х і взаємно простих із х, тобто таких,
що не мають з ним спільних дільників.
Приклад 8.15
Нехай п — 3. Знайти кількість різних двійкових псевдо-
випадкових послідовностей максимального періоду N.
464
Розв’язання.
У випадку, що розглядається, N = 2" - 1 = 7. Тоді числа-
ми, що задовольняють функції Ейлера, є наступні: 6, 5, 4, 3, 2
і 1. Всього 6, тобтоср(7) = 6. Згідно в (8.113) одержуємо М = 6/3 = 2.
Отже, при п = 3 існує 2 М-послідовності.	| |
Вправа 8.38
Визначте кількість різних двійкових псевдовипадкових
послідовностей максимального періоду 2У, якщо п = 4.
У таблиці 8.6 наведено оцінки параметра М для деяких зна-
чень п. Наприклад, при п = 10 і, отже, N = 1023, кількість різних
типів М-послідовностей становить 60.
Таблиця 8.6
п	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
м	2	2	6	6	18	16	48	60	176	144	630	756	1800
Більш повні таблиці параметрів алгоритмів (8.112) і (8.108)
наведено наприклад, у [5, 6], інші алгоритми одержання М-пос-
лідовностей розглянуто в [7, 8]. В цих самих книгах розглянуто
деякі властивості алгоритмів формування М-послідовностей, яких
ми тут не торкалися.
Після того, як основні правила формування двійкових псевдо-
випадкових послідовностей визначено, можна починати синтез
радіосигналів, маніпульованих на л за законом зміни членів від-
повідних М-послідовностей.
Сигнали з фазовою маніпуляцією двійковими
псевдовипадковими послідовностями
У додатку до даного розділу наведено програму, за до-
помогою якої можна одержати М-послідовність для будь-якого
значення п. Ця сама програма синтезує комплексну обвідну від-
повідного ФМн сигналу на інтервалі часу, що дорівнює періодові
М-послідовності.
На рис. 8.32 наведено графіки комплексних обвідних деяких
з можливих для заданого значення п ФМн сигналів.
Щоб отримати сам ФМн сигнал, можна використати при-
стрій, схему якого наведено на рис. 8.31, а), вносячи в неї деякі
зміни.
465
Вправа 8.39
Які зміни треба вне-
сти до схеми рис. 8.31, а),
щоб на її виході одержати
ФМн сигнал на інтервалі ча-
су, який дорівнює 2УД, якщо
п = 3?
На рис. 8.33, а) наведено
графіки комплексної обвідної
у(0 і ФМн сигналу у(0 на ін-
тервалі часу Т = ҐЇА для одно-
го з двох можливих (див. таб-
лицю 8.6) варіантів коду при
п = 3. Обчислення і побудову
?(0
графіків виконано в системі МАТНЕМАТІСА. На графіку ФМн
сигналу у(0 чітко видно, як фаза високочастотного заповнення
стрибком змінюється на 180° в ті моменти часу, коли комплексна
обвідна змінює знак.
Рис. 8.33.
АКФ сигналів, маніпульованих /И-послідовностями
Як зазначалося вище, важливою характеристикою склад-
них сигналів, до яких належать і ФМн сигнали, є їх кореляційна
функція. У практичних застосуваннях таких сигналів потрібно,
щоб рівень бічних пелюсток АКФ був якомога меншим у порівнян-
ні з рівнем головної пелюстки при т = 0. Так, у сигналів Баркера
рівень бічних пелюсток за абсолютною величиною не перевищує
1 /.У, де N — кількість позицій коду Баркера.
АКФ комплексних обвідних сигналів, що маніпульовано
М-послідовностями, мають всі властивості АКФ комплексних
466
обвідних ФМн сигналів, розглянуті вище, а саме: вони являють
собою лінійно-ламану лінію, точки зламу якої відповідають зсу-
вам у часі т, кратним тривалості А. Крім того, при обчисленні
і побудові АКФ слід враховувати, що ФМн сигнали, розглянуті
тут, є періодичними.
Не наводячи аналітичні викладки, запишемо формулу, за
якою можна обчислити АКФ комплексних обвідних сигналів,
маніпульованих на л М-послідовностями (вивід формули дано,
наприклад, в [5, 6]):
Я5(т) =
1+Ц1(1 + 1/А), |т|<А,
д
А<|т|<(А-1)А
(8.114)
Крім того, враховуючи властивості АКФ періодичних сигналів
(див. підрозділ 4.3), можна записати:
^(т) = Я-(т + рМ\),
(8.115)
де р — будь-яке ціле число.
На рис. 8.33, б) наведено графік АКФ сигналу, маніпульовано-
го за фазою М-послідовністю з п = 3, а на рис. 8.34 — при п = 4,
5 і 6.
АКФ має на інтервалі, що
дорівнює періоду Т = КА, один
максимум завширшки приблиз-
но А. На більшій частині періо-
ду, тривалість якої дорівнює
(1 - 2/А)Т, її абсолютна величи-
на в N разів менша максимуму.
Оскільки А, як зазначено вище,
в принципі може бути скільки
завгодно великим, рівень біч-
них пелюсток АКФ може бути
скільки завгодно малим. Таким
В/г)
-15	-1/15
п=4	/
3 5 7 9 111?/ Т /Л
15 7
Рис. 8.34.
чином,
8
АКФ сигналів, маніпульованих на л М-послідовностями, ?
із збільшенням п наближаються до ідеальних.	І
.......... ................. . ......... £
467
8
Нижче (розділ 15 другої частини) показано, що кореля-
ційна функція шуму має велику схожість з АКФ сигна-
лів, які маніпульовано М-послідовностями (особливо
при великих значеннях гі). З цієї причини послідовність,
за допомогою якої утворено такий детермінований сиг-
нал, і називають псевдовипадковою, а сам сигнал — шу-
моподібним.
Оскільки формулу (8.114) подано без виводу, переконає-
мося, що АКФ сигналів, що тут розглядаються, дійсно мають
такий вигляд, як на рис. 8.33 і 8.34. Для цього скористаємося
методом, який було використано вище для обчислення АКФ сиг-
налів Баркера.
Приклад 8.16
Нехай п = 3. Побудувати АКФ комплексної обвідної від-
повідного ФМн сигналу.
Розв’язання.
Складемо таблицю 8.7, аналогічну табл. 8.2, для сигналу,
що тут розглядається.
____________________________________ Таблиця 8.7
	—	-	4-	—	4-	+	4-							
4-	. —	—	4-	—	4-	4-	4-							
4-		. —	—	4-	—	4-	4-							
4-				—	4-	—-	4-	ч-	4-					
—					4-	—	4-							
4-					—	 —	+		4-	: > ж				
—						4-	+		4-			—	—	
—							+	4-	 —	4-		—	  —	—
£	-1	-2	-1	0	+1	0	+7	0	+1	0		-1	-2	-1
На рис. 8.35 наведено графік нормованої АКФ, побудований за правилами, сформульованими вище (див. коментар до табл. 8.2 і рис. 8.29). Якщо порівняти цей _								“6-5*				Хт)	5 6	
графік з графіком АКФ, поданим ' на рис. 8.33, то можна побачити, що вони суттєво відрізняються один									-2/7- Ри		І І ’Ч с. 8.35.			“ Т/4Л
468
від одного. Пояснюється це просто. При обчисленні АКФ у цьому
прикладі ми ніде не врахували той факт, що сигнал, маніпульо-
ваний М-послідовністю, є періодичним. Врахуємо цю властивість
сигналу. Складемо і заповнимо таблицю 8.8.
Спочатку складемо допоміжну ромбоподібну таблицю, аналогіч-
ну табл. 8.7. У табл. 8.8 її виділено темною заливкою. Потім усі
елементи цієї ромбоподібної таблиці рядок за рядком перепишемо
праворуч і ліворуч від неї доти, доки не утвориться прямокутна
таблиця така, як, наприклад, табл. 8.8. Підсумуємо елементи цієї
таблиці по стовпчикам (результат записаний в нижньому рядку)
і одержимо значення АКФ. Графік нормованої АКФ комплексної
обвідної, побудованої за даними табл. 8.8, наведено на рис. 8.36.
Можна пересвідчитися, що отримана АКФ повністю співпадає
з тією, що наведено на рис. 8.33, б).	[2]
Обчислити і побудувати АКФ комплексної обвідної і самого
ФМн сигналу можна, скориставшись теоремою Ейнштейна-
Вінера-Хінчина (див. підрозділ 4.2 та формули (4.68) і (4.69)).
Як виходить з (4.69), АКФ сигналу є оберненим перетворенням Фур’є
спектральної густини середньої потужності цього сигналу. Таким
чином, якщо знайти спектр ФМн сигналу (або його комплексної
обвідної), потім квадрат його
модуля та обчислити оберне-
не перетворення Фур’є, то ми
й одержимо шукану АКФ.
Спектри сигналів, що мані-
пульовано за фазою М-послі-
довностями, ми розглянемо
в наступному пункті даного
469
розділу. Тут лише зазначимо, що ті АКФ, що наведено на рис.
8.33, б) і 8.34, побудовано саме таким методом. Очевидно, що
зробити це можна було лише за допомогою ЕОМ. У додатку до
даного розділу наведено програму, яка дозволила побудувати АКФ
сигналів, що розглядаються.
Вправа 8.40
На рис. 8.33, б) наведено графіки АКФ комплексної об-
відної і сигналу з ФМн М-послідовністю при п = 3. Порівняйте їх
між собою і дайте відповіді на такі питання:
1.	Якими коливаннями е АКФ комплексної обвідної і самого
сигналу з ФМн?
2.	Як, знаючи нормовану АКФ комплексної обвідної, знайти
нормовану АКФ самого ФМн сигналу?
3.	Як змінюється, якщо вона змінюється, початкова фаза ви-
сокочастотного заповнення АКФ ФМн сигналу?
Спектри сигналів, маніпульованих
М-послідовностями
Як і для ФМн сигналів Баркера, обчислити повний спектр
комплексної обвідної сигналів, маніпульованих М-послідовностя-
ми, без використання ЕОМ важко. Знайти амплітудний спектр
можна за відомою АКФ комплексної обвідної — див. вище пункт
«Спектри ФМн сигналів Баркера».
Тут для обчислення та аналізу спектрів сигналів, маніпульо-
ваних на я за законом зміни членів двійкової псевдовипадкової
послідовності максимальної тривалості (М-послідовності), ви-
користано ЕОМ і систему МАТНЕМАТІСА. Це дало можливість
розглянути не лише амплітудні, але й фазові спектри. Спочатку
побудуємо спектри комплексних обвідних сигналів в межах од-
ного періоду Т = МА. У додатку наведено програму, яка дозволяє
провести таке дослідження.
Розглядатимемо випадок, коли при різних значеннях пЛМтри-
валість елементарних імпульсів, з яких формується комплексна
обвідна і сам ФМн сигнал, не змінюється, тобто А = сопзі.
На рисунку 8.37 зображено амплітудні, фазові спектри, а та-
кож дійсні та уявні складові спектральних густин комплексних
обвідних, обмежених за часом одним періодом, двох можливих
М-послідовностей при п = 3, к = 2 (рис. 8.37, а)) і при п = 3, к = 1
(рис. 8.37, б)).
470
На цьому і наступних рисунках у полі, де наведено графік мо-
дуля спектральної густини, зображено також епюри комплексних
обвідних у (І). Оскільки при різних значеннях к вид комплексної
обвідної при збереженні сталого значення Т = ІУД змінюється за
рахунок зміни порядку проходження всіх можливих комбінацій
(у даному випадку трьох (див. приклад 8.14)) символів, різними
є й усі частотні характеристики сигналу.
З аналізу графіків модулів спектральної густини комплексної
обвідної, що наведені на рис. 8.37 і нижче на рис. 8.38, можна
зробити такі висновки:
8
	Як і у випадку сигналів Баркера, що розглянуто вище,
амплітудний спектр комплексної обвідної, а отже і само-
го ФМн радіосигналу, являє собою добуток амплітудного
спектра імпульсу прямокутної форми тривалістю Д та
деякої функції виду (8.107), яка залежить від типа пос-
лідовності (коду), що маніпулює.
	Ширина смуги частот, займаних ФМн сигналом, в N
разів перевищує ширину смуги частот імпульсу трива-
лістю Т == 7УД у випадку відсутності маніпуляції фази.
	База сигналів, що маніпульовано на ті за законом змі-
ни членів двійкової псевдовипадкової послідовності,
471
дорівнює N = 2" - 1 і, як зазначено вище, може прийма-
ти дуже великі значення.
	За умови, що розглядається комплексна обвідна сигналу
в межах одного періоду Т = 2УД, модуль спектральної гус-
тини і дійсна складова спектральної густини на частоті
/ = 0 дорівнюють одиниці-, значення уявної складової на
цій частоті завжди дорівнює нулю.
Вправа 8.41
Обгрунтуйте останній з наведених вище висновків.
На рисунку 8.38 на-
ведено спектри одного періо-
ду комплексних обвідних
ФМн сигналів для п = 4,
/г = З (рис. 8.38, а)), п = 5,
к = 2 (рис. 8.38, б) і п = 6,
к = 5 (рис.8.38, в)). На цих
самих рисунках зображено
епюри комплексних обвід-
них. Аналіз наведених амп-
літудних спектрів показує,
що вони повністю задоволь-
няють властивостям, сфор-
мульованим вище. Очевид-
но, що, змінивши параметри
ЛГ-послідовності згідно з таб-
Рис. 8.38.
лицями 8.4 або 8.5, одержимо вже інші сигнали і спектри,
властивості спектрів залишаться незмінними.
Вправа 8.42
---- Що буде спільного і в чому виявляться відмінності спек
трів сигналів з однаковими значеннями п, але різними значеннямі
к, її т із таблиць 8.4 або 8.5?
Вправа 8.43
--- Вище розглянуто спектри комплексних обвідних
сигналів для випадку А = сопзі. Як зміняться спектри,
Т = ^А = сопзі? Розгляньте два випадки:
472
1. за віссю частот відкладена величина /Д. як на рис. 8.37
і 8.38;
2. за віссю частот відкладена величина /.
Вище було зазначено, що сигнали, маніпульовані на п двійко-
вими псевдовипадковими послідовностями — М-послідовностя-
ми — інколи називають шумоподібними сигналами.
За допомогою програми, яку використано при моделюванні та
аналізі сигналів, маніпульованих М-послідовностями, можна де-
тальніше розглянути це питання (для цього в програмі, наведеній
у додатку, треба змінити лише один оператор).
На рис. 8.39, 61) зображено одну реалізацію випадкового ФМн
сигналу завдовжки 35Д. Її отримано за допомогою генератора ви-
падкових чисел. На цьому ж рисунку зображено її амплітудний
спектр. На рис. 8.39, 62), 63) і 64) наведено графіки фазового спек-
тра, дійсної та уявної складових спектральної густини.
Рис. 8.39.
На перший погляд, амплітудний спектр, випадкового сигналу
нагадує спектри, детермінованих сигналів, наведені нарис. 8.38, 6)
і в), проте, спектр фаз, дійсна та уявна частини спектральної гус-
тини являють собою хаотичні флуктуації. На рис. 8.39, аі) для
порівняння показано комплексну обвідну сигналу, маніпульова-
ного М-послідовністю з п = 3 на інтервалі часу Т = 527 Д = 35Д,
473
тобто — 5 періодів (на рисунку темною заливкою виділено один
з періодів), та її амплітудний спектр. На рис. 8.39, а2)-а4) зоб-
ражено фазовий спектр, дійсну та уявну складові спектральної
густини. Порівнюючи частотні характеристики псевдовипадкового
ФМн сигналу із частотними характеристиками випадкового ФМн
сигналу, можна зазначити, що вони займають одну й ту саму сму-
гу частот, проте спектри їх мають принципові відмінності. Спектр
сигналу, маніпульованого М-послідовністю, е типовим спектром
детермінованого сигналу, де немає хаотичних флуктуацій,
а сусідні викиди спектральної густини рознесені за частотою на
величину 1/АА = 1/7Д.
Вправа 8.44
---- Як виходить з аналізу графіків, наведених на рис. 8.39, аі),
аЗ) і а4), значення модуля спектральної густини на частоті / = 0
дорівнює 5УА. Дайте пояснення цьому фактові.
Чому дорівнюватиме це значення, якщо сформувати комплекс-
ну обвідну ФМн сигналу з 10 повторюваних періодів М-послідов-
ності?
Чи зміниться це значення, якщо як маніпулюючий сигнал ви-
користати М-послідовність із п = 4 при інших однакових умов?
Особливо чітко виявляють-
ся відмінності двох розгляну-
тих сигналів у їх кореляційних
функціях. Нарис. 8.40, а) зобра-
жено АКФ сигналу, наведеного
на рис. 8.39, аі), на рис. 8.40,
б) — випадкового сигналу, наве-
деного на рис. 8.39, 61). АКФ
зображено при т>0. Цього до-
сить, оскільки АКФ — парна
функція. Можна зазначити, що
Рис. 8.40.
і одна, і друга АКФ мають однакову по ширині і висоті головну
пелюстку при т = 0. Абсолютні значення бічних пелюсток суттєво
менші 1. АКФ, що наведено на рис. 8.40, 6), є типовою для випад-
кових сигналів — шумів. Її відмітна особливість — це наявність
вузького сплеску при т = 0. Бажано, щоб таку ж властивість мав
і детермінований сигнал, який можна було б використати в ра-
діолокації і завадостійких системах зв’язку. Як виходить з ана-
лізу АКФ сигналів, що маніпульовані М-послідовностями (див.
474
ЗО *
20
10
60
40
20

а)
А—,_а. А-АрАх^д, , у д
б)
1-^__*__1 А ГА .X—>_,_/ д
0,5	1	1,5	2
Рис. 8.41.
рис. 8.33, б), 8.34, 8.36, 8.41, б)), вони, будучи детермінованими,
мають цю властивість. Це й стало однією з причин, чому такі
сигнали називають шумоподібними (ШПС сигналами).
Вище зазначалося, що ра-
діосигнали, маніпульовані
дійковими псевдовипадкови-
ми послідовностями (ЛГ-послі-
довностями), є періодичними
сигналами з періодом Т = #А.
Програма, використана при
розрахунку і побудові спектрів,
наведених на рис. 8.37-8.39, до-
зволяє дослідити, як змінюєть-
ся спектр комплексної обвідної
та ФМн сигналу при переході від одного періоду сигналу до р -> оо
періодів. На рис. 8.39, аі) зображено амплітудний спектр для ви-
падку М-послідовності зп = 3ір = 5. Вже в цьому випадку починає
виявлятися властивість лінійчастості спектру. На рис. 8.41, а) і б)
наведені графіки модуля спектральної густини для р = 10 і р = 20,
відповідно. Закономірність видозміни спектру чітко виявляється:
сплески спектру на частотах І/ТУА стають вужчими, а їх висота
збільшується пропорційно величині р. При р -> оо сплески набли-
жаються до 6 функцій, як і повинно бути у періодичного сигналу
(див. підрозділ 3.4).
8.8. ЗАДАЧІ
Задачі до підрозділу 8.1
8.1.1.	На рис. 8.3, а) наведено графік коливання е(і) = Е8Іп(2тгР0.
Це коливання діє на вхід частотного модулятора з частотною чут-
ливістю кґ На виході модулятора маємо коливання $ц(Ц, графік
якого наведено на рис. 8.3,6). Якою має бути частотна чутливість
модулятора у схемі рис. 8.2, 6), щоб на
його виході було коливання 8ф(і) таке, що
відрізняється ВІД 8^(1) тільки зсувом за
часом, як зображено на рис. 8.3, г)?
8.1.2.	На рис. 8.42 наведено графік
періодичного сигналу, що модулює.	рис § 42.
е(0
ЛФ^ІЖ-,
-2Т -ТО Т 2Т
475
Побудувати графіки ЧМ і ФМ сигналів.
Якою має бути частотна чутливість ЧМ, щоб девіація частоти
дорівнювала 2 МГц?
Якою повинна бути фазова чутливість ФМ, щоб фаза модульо-
ваного сигналу змінювалася від 0 до 180°? Е = 1 В.
8.1.3. Сигнал, наведений нарис. 8.42 подано на схему рис. 8.2, а).
Зобразити графік сигналу на виході схеми.
8.1.4.	Сигнал, наведений нарис. 8.42 подано на схему рис. 8.2, б).
Яким буде сигнал на її виході?
8.1.5.	На рис. 8.43 наведено гра-
фік сигналу, що подано на вхід схеми
рис. 8.2, а). Яким буде сигнал на її
виході?
8.1.6.	Той же сигнал, що розгля-
Рис. 8.43.
нуто в задачі 8.1.5, подано на схему
рис. 8.2, б). Яким буде сигнал на
виході схеми?
8.1.7.	Модулюючий сигнал наведено
на рис. 8.44. Зобразити графіки зміни
Рис. 8.44.
в часі амплітуди, миттєвої частоти, 0
початкової і повної фази ЧМ сигналу.
Зобразити ЧМ сигнал.
8.1.8.	Модулюючий сигнал наведено на рис. 8.44. Зобразити
графіки зміни в часі амплітуди, миттєвої частоти, початкової
і повної фази ФМ сигналу. Зобразити ФМ сигнал.
Задачі до підрозділу 8.2
8.2.1.	Записати аналітичний вираз тонального ЧМ коливання
і його миттєвої частоти, якщо: амплітуда коливання Ао= 10 В,
середня частота /0 = 10 МГц, початкова фаза носійного коливання
0О = л/3, частота і початкова фаза модулюючого сигналу дорівню-
ють Е = 5 кГц і у = л/6, відповідно, індекс модуляції т = 0,2.
8.2.2.	Записати аналітичний вираз тонального ФМ коливання
і його миттєвої частоти, якщо: амплітуда коливання Ао = 10 В,
середня частота /0 = 10 МГц, початкова фаза носійної 90 = л/3, час-
тота і початкова фаза модулюючого сигналу дорівнюють Е = 5 кГц
і у = л/6, відповідно, індекс модуляції т = 0,2.
8.2.3.	Миттєва частота ФМ коливання змінюється за за-
коном:
4(0 = 106[1 + 0,01соз(2л1030], Гц.
Знайти математичну модель цього коливання, якщо його амп-
літуда дорівнює 5 В.
476
8.2.4.	ФМ сигнал подано математичною моделлю
и(і) = со8[2л/0і + тсо8(2пРі)].
Зобразити графік модулюючого коливання.
Тією ж моделлю поданий ЧМ сигнал. Побудувати графік моду-
люючого коливання для цього сигналу.
8.2.5.	Знайти максимальне і мінімальне значення миттєвої час-
тоти, а також девіацію частоти ЧМ коливань, що задані такими
аналітичними виразами:
а)	и(і) = 10соз[2л104 + 8Іп(2л5 • 104) + 5зіп(2л8 • 103і)];
б)	и(і) = 20со8[2л104 + 10соз(2лЗ • 104) - 6соз(2л5 • 104)];
в)	и(і) = 50соз[2тг5 • 104 - зіп(2л • 104) + 10соз(2л8 • 104)].
8.2.6.	Для коливань, розглянутих у задачі 8.2.5, знайти зна-
чення миттєвої частоти в момент часу і = 1 мкс.
8.2.7.	Носійне коливання з амплітудою 5 В і частотою 2 МГц
модульовано по частоті гармонічним коливанням з частотою 3 кГц
і амплітудою 1 В. У результаті отримано коливання з девіацією
частоти 10 кГц. Потім амплітуду модулюючого коливання збіль-
шили до 10 В, а частоту встановили рівною 10 кГц. Запишіть ана-
літичний вираз для нового модульованого сигналу.
8.2.8.	Однотональний ЧМ сигнал має НсЧ /0 = 10 МГц і часто-
ту модуляції Р = 6 кГц. У яких межах [/юіп, /тах] має змінюватися
миттєва частота цього коливання для того, щоб індекс модуляції
т дорівнював 50?
Задачі до підрозділу 8.3
8.3.1.	Визначити практичну ширину спектра ФМ сигналу, як-
що частота однотонального модулюючого сигналу 10 кГц, а індекс
модуляції дорівнює 6.
8.3.2.	Визначити, у яких межах змінюється практична ширина
спектра і кількість складових бічних частот ЧМ і ФМ коливань,
якщо частота модулюючого коливання змінюється від 100 Гц до
12 кГц. Девіація частоти при ФМ дорівнює 75 кГц, індекс моду-
ляції при ФМ дорівнює 10.
8.3.3.	Носійне коливання модулюється за частотою гармонічним
сигналом з частотою 2 кГц. У результаті отримане ЧМ коливання
з девіацією частоти 5 кГц.
1.	Знайти практичну ширину спектра ЧМ коливання.
477
2.	Амплітуда модулюючого сигналу збільшилася в 3 рази, а час-
тота стала дорівнювати 1 кГц. Знайти практичну ширину спектра
ЧМ коливання для цього випадку.
8.3.4.	Обчислити і побудувати спектри і векторні діаграми для
моменту часу і — 0 таких коливань:
= 5со8[2тг106і + 0,2зіп(2л103# + л/3) + л/2],
в2(0 = 5[1 + 0,2соз(2л103£ + 7г/3)]со8(2л106£ + л/2).
8.3.5.	Дано математичну модель ЧМ коливання:
в(і) = 5соз[2л106і + 6соз(2л1030 + л/3].
Визначити індекс модуляції, частоту девіації, практичну ши-
рину спектра і число гармонік у межах цієї смуги. Побудувати
спектр сигналу.
8.3.6.	Девіація частоти ЧМ коливання дорівнює 5 кГц. Визначи-
ти те мінімальне значення частоти модуляції, при якому в спектрі
ЧМ сигналу відсутня складова з частотою носійного коливання.
8.3.7.	Однотональний ФМ сигнал має частоту модуляції Р =
= 2 кГц. При якій девіації частоти в спектрі цього сигналу відсут-
ні складові з частотами ЇО±Р"Ї
8.3.8.	Для каналу радіозв’язку із застосуванням ФМ відведено
смугу частот 100 кГц при НсЧ /0 = 10 МГц. Яка можлива найви-
ща частота модуляції Р, якщо індекс модуляції т має бути не
менше 5?
8.3.9.	Обчислити сумарну потужність, що виділяється на опорі
75 Ом, спектральних складових сигналу у межах практичної шири-
ни спектра і порівняти з середньою потужністю ЧМ коливання
в(і) = 5соз[2л106ї + тпсоз(2л103< + л/2], В.
Індекс модуляції набуває значень:
а) т = 0,2; б)тп = 0,5; в) т = 5; г) т = 10.
8.3.10.	Задано аналітичну модель сигналу:
8(0 = соз(2л/00 + 0,2соз(27іГї)8Іп(27г/00.
1.	Показати, що з(і) є сигналом зі складною модуляцією
АМ-ЧМ;
2.	Побудувати спектр сигналу;
3.	Зобразити векторну діаграму сигналу з(і) для моменту часу
і = 0.
8.3.11.	Сигнал з КМ задано такою математичною моделлю:
и(і) = соз[2тг/0£ + пгсоз(2лГі)].
478
Обмежитися практичною шириною спектра і побудувати вектор-
ні діаграми в системі координат з нерухомим вектором носійного
коливання для моментів часу, коли 2лРі = 0, л/4, л/2, Зл/4 і л.
У кожному випадку обчислити значення модуля результуючого
вектора.
8.3.12.	Задано аналітичну модель сигналу:
з(0 = соз(2л • 1060 + 0,02со8[2л(10б + 103)Є].
1.	Показати за допомогою векторної діаграми, що з(і) являє
собою носійне коливання, модульоване і за амплітудою, і за час-
тотою;
2.	Показати, що амплітуда і частота змінюються, приблизно,
за синусоїдним законом з частотою 103Гц;
3.	Подати сигнал наближеною моделлю виду
з(і) = [1 + Мсоз(2л * 1030]со8[2л106£ + тп8Іп(103^)].
Знайти М і т.
4.	Знайти закон зміни миттєвої частоти в часі.
8.3.13.	Знайти АКФ тонального ЧМ коливання з індексом мо-
дуляції т = 3.
Задачі до підрозділу 8.4*
8.4.1. Вузькосмуговий ЧМ сигнал за умови т « 1 можна по-
дати математичною моделлю такого вигляду:
и(і) = со8(2л/00-(т/2)соз[2л(/0 -Р)і] + (тп/2)соз[2л(/0 + Р)ї].
Девіація частоти такого сигналу А/ = тР.
Цей сигнал подається на вхід кола з квадратичною характери-
стикою у = х2, де х — вхідна дія, у — відгук кола. Знайти спектр
сигналу на виході нелінійного кола. Порівняти отриманий спектр
із точним спектром ЧМ сигналу з девіацією частоти Д/= 2тР.
8.4.2. Розглянемо ЧМ де-
тектор, схему якого наведено
на рис. 8.45. Такий детектор
знайшов широке застосуван-
ня в системах, що працюють	рис. 8.45.
у діапазоні НВЧ.
На вході діє ЧМ коливання. Це коливання проходить через ЛЗ,
час затримки якої обрано таким, щоб вносити фазовий зсув -л/2
в носійне коливання. Сигнал з(і) і його затриману копію подано
на суматор і з його виходу — на детектор обвідної.
479
Нехай в(і) = А0соз[2л/Г0ї + пг8Іп(2я/7)], причому т « 1 і час
затримки Т лінії затримки настільки малий, що соз^лРТ) = 1
і 8Іп(2тг7'Т) = 2пГТ.
Показати, що схема, наведена на рис. 8.45, дійсно є схемою
ЧМ детектора.
Задачі до підрозділу 8.5
8.5.1. Сигнал з КМ описано такою математичною моделлю:
8(1) = А^ со8[2я/0і + т18Іп(2яі7іі) + т2 зіп(2пЕ2і)].
Показати, що в спектрі цього сигналу, крім складових на час-
тотах, кратних Ех і Е2, присутні складові на частотах, що кратні
(Е1+Е2)І(Е1~Е2).
8.5.2. Нехай аналітичний вираз сигналу з КМ має вигляд:
з(і) =	соз[2я/о£ + /Пі 310.(21^^1) + т2 8Іп(2я2<'2г)].
Параметри сигналу такі: Ао = 10 В, /0 = 10 МГц, /’1 = 10 кГц,
Е2 = 2ЕХ, тх = т2=1 рад.
Обчислити і побудувати спектр сигналу в(і), враховуючи тіль-
ки ті спектральні складові, що розташовані в межах практичної
ширини спектра.
Задачі до підрозділу 8.6
8.6.1. ЛЧМ радіоімпульс з прямокутною обвідною має трива-
лість т — 10 мкс і амплітуду 10 В. Девіація частоти за час, що до-
рівнює тривалості імпульсу, Д/ = 40 МГц. Визначити: а) параметр
модуляції сигналу; б) величину квадратичного доданку фазового
спектра на межі смуги частот, що займає сигнал; в) енергетичний
спектр сигналу.
8.6.2. Знайдіть спектральну густину ЛЧМ радіоімпульсу з гаус-
совою обвідною
з(і) = П0ехр(-аі2)со8(2л/04 + ^і2/2),
заданого на нескінченному інтервалі часу -оо < і < оо.
Задачі до підрозділу 8.7
8.7.1.	Обчислити і побудувати АКФ комплексної обвідної
13-ти позиційного сигналу Баркера. Побудувати графік АКФ
цього сигналу. Зобразити схему генератора 13-ти позиційного
сигналу Баркера.
480
8.7.2.	Розрахувати і побудувати АКФ комплексної обвідної
7-ми позиційного сигналу Баркера.
Змінити код в одній довільно обраній позиції і побудувати АКФ
комплексної обвідної зміненого сигналу. Порівняти АКФ сигналу
Баркера з АКФ зміненого сигналу.
8.7.3.	п = 5, к = 2, початковий блок 11111. Знайти М-пос-
лідовність.
8.7.4.	п = 5, тп = З, І = 2, к = 1, початковий блок 11111. Знай-
ти М-послідовність.
8.7.5.	Знайти М-послідовності за умовами задач 8.7.3 та 8.7.4,
якщо початковий блок такий: 1-11-11.
8.7.6.	Знайти кількість різних М-послідовностей при п = 4
і п = 5.
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Картьяну Г. Частотная модуляция. Изд-во
«МЕРЕДИАНЕ», Бухарест, 1964. —671 с.
2.	Новаковский С. В., Самойлов Г. П. Техника частотной
модуляции в радиовещании. М.: «Госзнергоиздат»,
1952. —304 с.
3.	Наукіп 8ітоп. Ап Іпігосіисііоп 1о Апа1о§ апсі Пі§і1аі
Соттипісаііопз. Зоііп ^ііеу & 8опз, 1989. —652 р.
4.	Янке Е., Змде Ф., Леш Ф. Специальньїе функции.
Формульї, графики, таблицьі. М.: «Наука», 1968. —344 с.
5.	Лезин Ю. С. Оптимальньїе фильтрьі и накопители
импульсньїх сигналов. М.: «Советское радио», 1969. —448 с.
6.	Лезин Ю. С. Введение в теорию и технику радиотехниче-
ских систем. Учебн. пособие для вузов. М.: «Советское радио»,
1986. —280 с.
7.	Теоретические основьі радиолокации. Под. ред.
Я. Д. Ширмана. Учебное пособие для вузов. М.: «Советское
радио», 1970. —560 с.
8.	Шумоподобньїе сигнальї в системах передачи информации.
Под. ред. В. Б. Пестрякова. М.: «Советское радио», 1973. —424 с.
481
ДОДАТОК ДО РОЗДІЛУ 8
Програма до прикладу 8.8
а = 2; т - 5; Ю = 10а5; їт = 10А4; дата - Рі/6; іеіаО = Рі / 3; к = 7;
к
5 = а	Ве55еМ[п, т | Соз[2 Рі ((0 + п їт) і + ІеІаО + п дата]; N[5]
П=-к
к
81 = а Ве88еМ[п, т] 8іп[2 Рі (10 + п їт) і + іеїаО + п дата];
п=-к
к
зі = а	Ве88еМ[п, т| Со5|2 Рі п їт і + п дата];
п=-к
к
5Я = а У^ ВеззеМІп, т]5іп|2Ріпїті +пдата];
п=-к
РІоЦз, (І, 0, 2/їт), РІоіНапде -> {-3, 3), РІоІРоіпІз -> 100, Ахе$І_аЬеІ -> П”, "ей)"}];
РагатеігісРІо1[]8, з1|, {І, 0,1 /їт], РІоїРапде -> ({-З, 3], {-З, 3}|,
РІоїРоіпІв -> 100, АзресШаііо -> 1, АхезЬаЬеІ -> {"Яе[г(і)Г, "Іт(2(1)ПІ;
РагатеїгісРІоІЦзі, зд}, {І, 0,1 /їт|, РІоіКапде -> Ц-3, 3], (-3, 3}|,
РІоїРоіпіз -> 100, АзресіРаііо -> 1, АхезЬаЬеІ -> (”Не|8(ї)]”, ”Іт|8(і)|”]|;
2. ( -0.364831 Соз|0.523599 - 439823 1| + С.391232 Со$| 1.0472 - 376991.1] + 0 131049 Со$]2.0944 - 251327. (| -
0.0533764 Соз(2.61799 - 188496.1| * 0.0465651 Соз(502655. Ц - 0.391232 Со#(879648. Ц +
0.327579 Сов|.0.523599 + 565487 І|~ 0 177597 СсЦІ 0472 + 628319.1| + 0 0465651 Смр .0944 + 753982 1) +
0.364831 СОВІ2.61799 + 818814. І| + 0.261141 СозІЗ.88519 + 942478.1| ♦ 0.131049СО»|4.18879 + 1 00531 ч 10*1]-
0 261141 8Іп|314159 І] ч 03275798ІП|691150 І] • 0.0533764Зіп|1 06814.10вІ|)
Практично усі оператори програми нам вже відомі. Виклик
функції ^П(т) виконується вводом її імені Ве$8еМ[п,т]. Всі введе-
ні формули — це відомі нам математичні моделі сигналів з ЧМ:
з — коливання (8.52), зі — відповідне йому спряжене за Гільбертом
коливання, зі — синфазна і зя — квадратурна амплітуди. Якщо
в операторі вводу будь-якої з цих функцій забрати символ «;», ЕОМ
виведе відповідну функцію у символьному вигляді, а якщо після
будь-якої з них записати оператор М[%], то ЕОМ видасть числові
значення відповідних функцій Бесселя першого роду.
Якщо, наприклад, задати значення параметра к = 7, тобто
обмежитися сімома бічними складовими, ЕОМ видасть на екран
вираз (8.52) у розгорнутому вигляді (наведено під горизонталь-
ною лінією).
482
Програма до прикладу 8.10
Ьазе-200; г = 0.001; ит = 2; ЬеК = Ьа8е/т2
Р = 2 л ЬеК
6єуГ = Ьазе/т
сіеуотд = 2 л 6єуТ
х12 = 2лї 7г/(2*6еуотд); х1 = у)рт2/3 - х12
х2 = у/ /?г2/8 + х12
аГсЬ =
(ит/2) 777/? 7((Еге8ПеІС|х1| + Еге8пе!С[х2|)2 + (Еге8пеІ8[х1| + Еге8пеІ8|х2})2);
РІоЦаТсЬ, {Т, -6єуї, 6єуТ}, РІоШапде -> {0, 0.0005), АхезкаЬеІ -> {"Г, °|8(0Г*Л;
оеІрЬ = АгсТап[Еге8пеІЗ[х1] + Еге8пеІ8[х2|, Рге8ПеІС[х1 | + Еге8ПЄІС[х2|];
рКсЬ = -4яЧ2/(2 £) + о8ірЬ;
РІоЦрЬсЬ, {<, -6єу(, 6єуТ), РІоШапде -> (0, -500}, АхееЬаЬеІ -> (“Г,
РІоЦозІрІї, ((, -сІєуТ, 6єуї}, РІоШапде -> {-5, 5}];
2.хЮ8
1.25664x109
200000.
1.25664 x10е
0.000125331ї
12.5331 - 0.000125331 Т
12.5331 +0.0001253311
Виклик функцій С(х) і 5(х) виконується ВВОДОМ їх імен
ЕгезпеІС[х] і ЕгезпеІ8[х], відповідно.
Під горизонтальною лінією наведено деякі характеристики
сигналу, що було розраховано ЕОМ
Програма обчислення комплексної обвідної сигналів з фазо-
вою маніпуляцією М-послідовностями
« СаІсиїиз'ОігасОеІіа'
п = 5; к = 2; пп = 2Лп-1; 61 = ТаЬІе[1, {і, 0, п + пп)];
пит = ТаЬІе[і, {і, 0, пп}];
61 = ТаЬІе|61[П|] = (-1) * 61Пі - п|] * 6111і - к|], {|, п + 1, п + пп}];
Ргіп1:|61 ];
8 =	^1 ПІ]] (ипК81ер[1- пит[Ц]]] - ІІпИ8іер[і- пит[[| +1]]]);
І=1
РІОІ[8, {І, -1, ПП + 1},
РІоіРоіпіз -> 500, РІоШапде -> {-2, 2), АзресШаііо -> 0.2,
АхезЬаЬеІ -> {’Ч/Д",
483
Оператор <<СаІсиІи8 'ОігасОеКа' завантажує пакет роботи
з функцією одиничного стрибка і 5 функцією. Про оператор
ТаЬІе [ ] див. у додатку до розділу 6. Параметрами пік задано
потрібну М-послідовність (див. таблицю 8.4). Параметри М-послі-
довності можна встановити і за таблицею 8.5. Для цього потрібно
замінити шостій з операторів на такий:
61 =
ТаЬІеіаяип = (-1) * 61Ш - п | ] * 61Ц] - т]] ♦ 61Щ -1]] * 61Щ - к]], Ц, п + 1, п + пп}];
Необхідно також ввести значення ще двох параметрів: т та І.
Програма обчислення АКФ комплексної обвідної та ФМн
сигналів
« СаІсиїиз'ОігасОеКа'
п = 3; к = 1; пп = 2лп -1
61 = ТаЬІе[1, {Ь 0, п + пп}]; пит = ТаЬІеГі, (і, 0, пп}];
61 = ТаЬІе|61[(і]] = (-1)*61(П-п]|*61ПІ~к]], {], п + 1, п + пп}];
Ргіпі]611
пп
зЗ = ^61||]||(ипй8іерЦ- пит||ЛІ] - ипИЗІерЦ- питЦ] +1|Ю;
РЮЦзЗ, {і, -0.5, 0.5 + пп}, РІоіРоіпіз -> 500,
РІоіНапде -> {-2, 2}, АзресШаііо -> 0.2, АхезЬаЬеІ -> |”Г, му(И"П;
зЗТ = 83 8іп[16 РИ];
РІоЦзЗЇ, Ц, -0.5, 0.5 + пп}, РІоІНапде -> {-2, 2},
РІоІРоіпїз -> 500, АзресіРаІіо -> 0.2, АхезЬаЬеІ -> {"Г, ”5(1)“}];
зЗбаіа = ТаЬІеїзЗ, Ц, 0, пп, 1 /100}}; зЗГбаіа - ТаЬІе|83і, {ї, 0, пп, 1 /200}|;
зресігЗТ = ЕоигіегІзЗІдаіа}; зресігЗ = ЕоигіегІзЗбаІа];
дЗ - (АЬзІзресІгЗ})л 2; дЗІ - (АЬзїзресігЗЦ)А 2;
сггЗ = ІпУег8еРоипег|дЗ|; сггЗЇ = іпуег8еРоигіег|дЗЛ;
кі8ІРІоі|сггЗ/Мах]АЬ8|сггЗ}], РІоіЗоіпеб -> Тгие,
РІоіНапде -> АП, АзресіКаїіо -> 0.25, АхезЬаЬеІ -> (”тм, ”Ку(т)”}|;
ЬІ8іРІоЦсггЗі/Мах[АЬ8|сггЗ]}, РІоібоіпеб -> Тгие, РІоІКапде -> АП,
АзресШаїіо -> 0.25, АхезкаЬеІ -> ("г", ’‘К5(т)"}|;
Перші оператори програми такі самі, як і у попередньої. зЗТ — це
є ФМн сигнал. Далі формуються таблиці миттєвих значень ком-
плексної обвідної та ФМн сигналу. Для обчислення спектра сигналів
використано ДПФ (див. підрозділ 5.2). В системі МАТНЕМАТІСА
для цього потрібно ввести тільки один оператор: Еоигіег [ ]. Для
обчислення ОДПФ слугує оператор Іт/егзеЕоигіег [ ]. Останні два
оператори потрібні для побудови графіків АКФ.
484
Програма обчислення спектрів комплексної обвідної ФМн
сигналів
« СаІсиІиз'РоигіегТгапзїогт'
п = 3; к = 1; пп=2лп-1;
сИ = ТаЬІе| 1, {і, 0, п + пп}]; пит = ТаЬІе[і, {і, 0, пп)];
сИ = ТаЬІеІсИ[ПП = (-1)*дЦ|) - п|]	- к||, (|, п +1, п + пп)|;
Ргіпі[д1];
ПП
зі = сИ(ІПІ * (І3піі8іер[і - питЦІШ - ОпііЗіерП - питЩ + 1)]]);
)=1
РІоі|зІ, Ц, -1, пп +1}, РІоіРоіпіз -> 500,
РІоіРапде -> (-2, 2), АзресіРаііо -> 0.2, АхезЬаЬеІ -> {”і/д”, ”8(1)”}];
зТ = 2д ІпУегзеРоигіегТгапзГогт[8і, І, уу] /. у/ -> 2 Рі ї;
Ріоі[АЬ8[8Ї}, И, о, 2}, РІоіНапде -> АП,
РІоіРоіпів -> 500, АзресШаїіо -> 0.25, АхезІаЬеІ -> {”Гд”, ”|8(0І/Л“}1;
РІоЦАгд[зП, {ї, 0, 2),
РІоіРоіпЬ -> 500, АзресїНаііо -> 0.25, АхезЬаЬеІ -> {'ЧД”, ”0(0”}];
РІоІ[Не[$П, {І, 0, 2}, РІоШапде -> АП,
РіоіРоіпіз -> 500, АзресШаііо -> 0.25, АхезкаЬеІ -> (”ТД”, ”Не(Г)/Д”}];
РІоІ[Іт[$Г], {(, 0, 2], РІоІРапде -> АН,
РІоіРоіпіз ~> 500, АзресШаііо -> 0.25, АхезкаЬеІ -> {”ЇД”, ”Іт(0/Д"}І;
На відміну від попередньої програми, тут спектр обчислює-
ться за допомогою перетворення Фур’є у символьному вигляді.
Тому перший оператор програми завантажує пакет символьного
обчислення перетворення Фур’є (див. додаток Г). Всі оператори
програмі нам вже відомі і їх неодноразово використано у поперед-
ніх розділах підручника.
485
Розділ
ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ
СИГНАЛІВ З АМ ТА ЧМ.
ПРИКЛАДИ РАДІОТЕХНІЧНИХ
СИСТЕМ З АМ ТА ЧМ
Вступ
Докладно розглянувши в попередніх розділах підручника
часові і частотні властивості сигналів з амплітудною і кутовою
модуляцією, можна провести їх порівняльний аналіз, щоб вияви-
ти їх переваги і недоліки. Розглянемо сигнали зі стандартною АМ
і, як альтернативу їм, сигнали з ЧМ.
Нехай і у першого, і у другого сигналів частота й амплітуда
носійної однакові. В обох випадках модулююче коливання е той
самий низькочастотний сигнал е(і), найвища частота в спектрі
якого дорівнює Гт. Тоді, на базі того, що ми вже знаємо про вла-
стивості АМ і ЧМ сигналів, можна відзначити таке:
5
	Смуга частот, що необхідно відвести сигналу зі стан-
дартною АМ, дорівнює 2Рт. Для сигналів із ЧМ, від-
повідно до (8.41) смуга частот, приблизно, дорівнює
А/ т = 2Гда(т + 1), де т — індекс модуляції, тобто смуга
частот, що потрібна сигналу з ЧМ, в т + 1 разів ширша
за смугу частот сигналів зі стандартною АМ. Наприклад,
у системах ЧМ радіомовлення значення індексу моду-
ляції складає 3-4 (див. підрозділ 9.3) і т + 1 = 4 ... 5.
Це є вадою сигналів із ЧМ.
	Амплітуда сигналу з АМ змінюється в часі і її міні-
мальне і максимальне значення залежать від величини
коефіцієнта АМ, наслідком чого є низькі енергетичні
486
характеристики таких сигналів (див. підрозділ 7.2).
Амплітуда сигналів з ЧМ є сталою і вся потужність
передавального пристрою, є корисною. Це — перевага
сигналів із ЧМ.
	Системи з АМ простіші і дешевші від систем із ЧМ.
Обмежитися тільки цим не можна. Головна перевага
сигналів і систем із ЧМ — це їх більш висока завадостійкість.
5
	Завадостійкість системи визначають як здатність
її протистояти шкідливому впливу завад, тобто як вла-
стивість системи передавання у цілому.
•	Здебільшого дослідження системи за завадостійкістю
у цілому є дуже складною задачею.
	За таких умов має сенс говорити про завадостійкість
окремих ланок системи: про завадостійкість кодів, про
завадостійкість видів модуляції, про завадостійкість
РПрП і таке інше.
	В такому разі можна використовувати порівняльну або
відносну завадостійкість, що дозволяє порівняти різні
варіанти технічних розв‘язань (див. докладніше про це
у чудовій книзі [І]).
Саме такий підхід і буде застосовано нижче.
Щоб обгрунтувати твердження про більш високу завадо-
стійкість сигналів з ЧМ (отже і систем з ЧМ) порівняно із сиг-
налами з АМ, нам знадобляться деякі відомості з теорії шумів
у радіотехнічних системах. У другій частині підручника ці
питання ми докладно розглянемо. Однак, і того, що ми вже роз-
глянули вище, досить, щоб розібратися в тих перетвореннях
сигналів, що здійснюються в системах із ЧМ і переконатися
в тому, що, по-перше, усе базується на знанні часових і частотних
властивостей сигналів і, по-друге, що нічого особливо складного
в них немає.
Закінчимо цей розділ оглядом практичних застосувань вивчених
сигналів. Буде розглянуто системи АМ, ЧМ і стерео радіомовлення,
системи чорно-білого і кольорового телебачення. Звичайно, тут ми
не будемо торкатися принципових схем і чисто технічних рішень.
Наша задача — ще раз переконатися, що в основі проектування
всіх РТС лежить теорія сигналів, яка є суттю курсу «Сигнали та
процеси в радіотехніці».
487
9.1.	Відношення сигнал/шум на вході
і виході демодуляторів ЧМ і АМ
Отже, розглянемо реальну ситуацію, коли при проходжен-
ні сигналу по каналу зв’язку на нього завжди накладається шум
п(0, що являє собою коливання з випадковими амплітудою, час-
тотою і фазою. Як модель шуму оберемо (це часто робиться при
теоретичному аналізі таких ситуацій) модель так званого «білого
шуму». Надалі (розділ 15) ми цю модель розглянемо детально.
Тут нам знадобиться тільки одна з властивостей білого шуму,
що виходить з його визначення.
0
У радіотехніці прийнято називати стаціонарний випадковий
процес з енергетичним спектром ТУ(со), що є рівномірним
на всіх частотах -со < со < со, тобто ТУ(со) = ТУ0 = сопзі. білим
шумом. Цей термін підкреслює аналогію з «білим» світ-
лом, у якого в межах видимого діапазону інтенсивність
усіх спектральних складових приблизно однакова
Розглянемо коливання на виході частотного демодулято-
ра, якщо на його вході діє:
1.	тільки ЧМ сигнал;
2.	тільки білий шум;
3.	сума ЧМ сигналу і білого шуму.
Однак спочатку необхідно докладніше розібратися з тими про-
цесами, що відбуваються у демодуляторі. Розглянемо схему, на-
ведену на рис. 9.1, а). Як буде показано при аналізі систем із ЧМ
у підрозділі 9.3, на рисунку зображено ту частину схеми РПрП,
що розташована після змішувача, тому тут частота є проміжна
частота (ПЧ) носійної.
Рис. 9.1.
488
У ЧМ системах сигнал, що модулює, змінює тільки частоту
носійної. Отже, будь-які зміни амплітуди модульованого сигна-
лу, якщо вони є, викликані тільки дією завад, зокрема шуму.
Обмежувач амплітуди призначений для того, щоб придушува-
ти такі шумові варіації амплітуди. На виході двостороннього
обмежувача миттєвих значень вхідного сигналу («Обмежувач
м. з.» на рисунку) буде коливання майже прямокутної форми
з періодом, що змінюється в часі (див. приклад 8.8, рис. 8.14).
Це коливання потім згладжується у смуговому фільтрі, що приду-
шує гармоніки НсЧ. На виході фільтра буде коливання формою
близькою до синусоїдної, з такою же миттєвою частотою, що
і коливання на вході обмежувача, але з практично постійною
амплітудою Аь.
Частотний демодулятор (наприклад, балансний детектор, схему
якого рис. 8.18 розглянуто вище) можна представити складеним
із двох послідовно включених пристроїв: конвертора частота-амп-
літуда, що являє собою фільтр з АЧХ, наведеною на рис. 9.1, в),
і детектора обвідної. Оскільки вид ФЧХ фільтру не впливає на
процес демодуляції, щоб спростити математичні вирази, прийме-
мо, що передавальна функція фільтра має вигляд:
Кч_А(а) = іоа,	(9.1)
де су — деяка стала, що визначає нахил АЧХ і може бути як до-
датною, так і від’ємною величиною.
Тоді, якщо на вході такого фільтра діє сигнал у^О, то сигнал
на виході буде таким:
у2(0=О-77уі(0-	(9.2)
аі
Вправа 9.1
Доведіть, що коливання у((0 і у2(0 пов’язані рівнян-
ням (9.2)
Припустимо, що сигнал який діє на вході демодулятора,
після обмежувача амплітуди має вигляд:
уДО = А£соз[сос£ 4- 0(0],	(9-3)
де Аь — стала амплітуда сигналу після обмежувача ампліту-
ди, що не залежить від амплітуди сигналу на вході приймача;
®сі + 0(0 — повна фаза сигналу з ЧМ.
489
Тоді, за (9.2) виходить, що
у2(0 = -оАь
+ Ае(О
зіп [а>сг+О(0].
(9.4)
Позначимо у = оА£. В такому разі сигнал на виході детектора
обвідної буде таким:
У3(О=Г<ос+Г^-0(О-	(9-5)
аі
Відзначимо, що сигнал на виході демодулятора пропорційний
миттєвій частоті <іО(і)/<іі вхідного сигналу.
Тепер можна повернутися до сформульованої вище задачі
і розглянути проходження сигналу і шуму через частотний демо-
дулятор.
(9.6)
(9.7)
1)	. На вході обмежувача діє ЧМ сигнал
8Ч (і) = А соз [<вс і + е(і) (і і].
Формула (9.6) безпосередньо виходить з (8.6) за умови 0О = 0.
Сигнал на виході обмежувача амплітуди буде
«і(4) = АЬ соз[шсі+й£|е(0</і].
Врахуємо, що при ЧМ 6 (і) = к^е(і)(іі. Тоді за (9.5) виходить,
що сигнал на виході детектора обвідної дорівнює:
з3(0 = уюс + уй/е(0-	(9.8)
На виході смугового фільтра з передавальною функцією
|К,(0)| = 0, графік модуля якої (АЧХ) показано на рис. 9.1, г), бу-
де сигнал з придушеною сталою складовою, тобто, з (і) = уА е(і).
1г ° '
Якщо потужність модулюючого сигналу Ре =—£е2(і)сіі, то потуж-
о
ність корисного сигналу на виході РПрП буде:
5=у^Р.	(9.9)
Перейдемо до аналізу проходження шуму через частотний де-
модулятор.
2)	. На вході частотного детектора діє тільки шум (е(і) = 0). Зна-
йдемо коливання на виході. Спочатку необхідно запровадити якусь
зручну модель шуму. Вище відзначалося, що шум — це є процес,
амплітуда і фаза якого змінюються в часі за випадковим законом.
Тоді однією з моделей шуму може бути, наприклад, така:
490
п[і) = Ііт [а4 со8(2лЛ ДЛ)+Ьк 8Іп(2тс/?Д/0],	(9.10)
де ак і Ьк — випадкові величини.
У нашому випадку зручніша інша модель, що виходить
з(9.10):
п(0 = пс(і)СО8(2л/о^) - п8(О8Іп(2лГоО,	(9.11)
де пс(1) й п8(ї) одержують відповідно до (9.10).
Тоді носійне коливання і шум, що надходять на вхід обмежу-
вача, можна записати так:
пДі) = А соз(®с0 + пс(і)со8((йсі) - п8(08Іп(<ос<) =
- [А + пс(0]со8(юс0 - п8(і)8Іп(сос0.	(9.12)
Векторну діаграму коливання п.(і),
що побудовано за рівнянням (9.12), на-
ведено на рис. 9.2.
Вектори 7іс(і)со8((и>сі) і Асоз(®сі) співпа-
дають за фазою тоді, як вектор п8(і)зіп(®с0
має фазову квадратуру (зсунутий за фазою
на кут 90°) відносно двом іншим векто-
рам. Модуль сумарного вектора — вектор обвідної — дорівнює:
Д(О - 7[А+лс(0]2+[п,(0]2,
(9.13)
а його аргумент
(9.14)
Є(0 = агеіе :П’^\ ч
А+пс(0
Таким чином, коливання (9.12) на вході обмежувача миттєвих
значень можна записати так:
п.(0 = В(і)соз[(дсі + 0(0].
(9.15)
Коливання на виході обмежувача амплітуди
ПД0 = А£со8[а)с£ + 0(0].
(9.16)
Це коливання, викликане дією шуму, надходить на вхід час-
тотного демодулятора.
Припустимо, що потужність шуму набагато менша за потуж-
ність носійного коливання. У цьому випадку з високою вірогідні-
стю можна прийняти, що |пе(0| «А. і |п8(0| «А. Тоді,
491
пе(і)
А
Є (і) =
(9.17)
П1(0 = А£СО8 (Ас1 +
(9.18)
А
За формулою (9.5) одержуємо коливання на виході детектора
обвідної, викликане дією шуму
... 1
П=«) -ЇИ,. -у------
(9.19)
Після проходження смугового фільтра, одержимо коливання:
п4(і) =
У <іпв(і)
А <11
(9.20)
Передавальна функція диференціювального фільтра, що забез-
печує перетворення (9.20), К(а>) = і'/а/А. Тоді, якщо п4(Д) <=>^(<в)
і П/П Л\(а>), то ДГ4(а>) = (со)Х(со). Позначимо <?//) = |#4(ЛІ2 —
спектральна густина середньої потужності коливання на виході
фільтра. Тоді 6!4(/) = |^(/)|2|К(®)|2. Підставивши до цієї формули
вираз передавальної функції Х(и) і врахувавши, що шум білий,
одержимо:
<74(/) = ^-2Ж0,
На рис. 9.3 наведено графік функції
С4(Л* Площа області, що виділена на ри-
сунку, за теоремою Парсеваля дорівнює
потужності шуму на виході РПрП.
3)	. Проаналізуємо загальний випадок,
коли на вході приймача діє адитивна су-
міш* ЧМ сигналу і шуму.
Розглянемо тональну ЧМ з девіацією
частоти Тоді сигнал на вході схеми рис. 9.1, а), згідно з (8.13),
можна записати так:
= Асоз
(йсі + ^яїп(2пРті) .
(9.22)
Лінійна сума сигналу і шуму називається адитивною сумішшю сигналу
і шуму, а шум в цьому випадку зветься адитивним.
492
Дорівнявши другі доданки правих частин (9.22) і (9.6),
після диференціювання, одержуємо = 271^008(271^^). Отже,
потужність корисного сигналу з урахуванням (9.9) і того, що
потужність гармонічного коливання з одиничною амплітудою
дорівнює 1/2,
Сл
(9.23)
Тепер можна визначити одну з найважливіших характери-
стик — відношення сигнал/шум. З цим поняттям ми зустрілися
тут уперше. Надалі ми часто будемо ним користуватися.
0
Відношенням сигнал/шум називається відношення се-
редньої потужності сигналу до середньої потужності
шуму.
Щоб знайти С/Ш, необхідно визначити потужність шуму.
Спробуйте зробити це самі.
Вправа 9.2
Покажіть, що потужність шуму на вході РПрП до-
рівнює
°	3 А2 т-
(9.24)
За визначенням С/Ш одержуємо для нашого випадку
1 = (9.25)
М, ІбяУИ^3 2{Рт) 2ТУ04	2 Мп
де т = Їа/Рт — індекс модуляції; 5. = А2/2 — потужність вхідного
сигналу приймача; РІт - 2\Р(1Рт — потужність шуму в смузі частот
[-Гт, Гт] на вході приймача.
Визначимо ще одну важливу характеристику сигналів з ЧМ:
Т| ЛАЛт2.	(9.26)
^/Мт 2
493
Ми розглянули характеристики сигналів з ЧМ. Тепер одержи-
мо аналогічні оцінки для сигналів із тональною стандартною АМ.
Коефіцієнт амплітудної модуляції М < 1.
Середня потужність АМ коливання на вході детектора обвідної
складається з потужності Ро = А^/2 носійного коливання і сумарної
М2
потужності бічних складових спектра РБ =Р0--, формула (7.21).
2
Оскільки смуга частот АМ коливання дорівнює 2Рт, середня по-
тужність шуму на вході дорівнюватиме 2РтРИ0. Отже, С/Ш на
вході детектора буде:
8І Р мг+2 1
хт~ 0 2 ’гад'
(9.27)
Знайдемо С/Ш на виході детектора. Очевидно, що потужність
корисного сигналу дорівнює потужності бічних, а потужність шу-
му залишиться такою ж, як на вході. Тоді,
4^0
(9.28)
Розділивши (9.28) на (9.27), одержимо для АМ сигналів:
-	-8о/М»- М2
ІАМ 8І/Мт 2 + М2'
(9.29)
Вправа 9.3
Порівняйте (9.29) з (7.23) і спробуйте пояснити ідентич-
ність цих формул
9.2.	Порівняльний аналіз сигналів
з АМ та ЧМ
Тепер можна провести порівняння сигналів з АМ
та ЧМ.
Для сигналів із тональною ЧМ, коли індекс модуляції дорівнює
т, отримано вираз (9.26). Аналогічний вираз для АМ — це (9.29).
У найкращому випадку тональної АМ, коли М = 1, за (9.29) одер-
жуємо, що Г)ам =1- Тоді
О
494

(9.30)
При отриманні цієї формули ми припустили, що й у випадку
ЧМ, і у випадку АМ спектральна густина середньої потужності
шуму однакова (Жо), однакова максимальна частота в спектрі
модулюючого сигналу (Рт) і однакова середня потужність моду-
льованих сигналів на вході (8.).
З аналізу рівності (9.30) виходить, що
9
 за цими умовами сигнали з ЧМ дозволяють одержати .
С/Ш на виході ЧМ демодулятора краще, тобто більш ви- '
соке, ніж сигнали з АМ на виході АМ демодулятора, і
Сигнали з ЧМ починають перевершувати сигнали з АМ
за цим показником, коли 9т2/2 > 1 або т>72/3 = 0,5. З ростом
індексу модуляції виграш у відношенні сигнал/шум сигналів
із ЧМ швидко зростає. Однак при цьому зростає і ширина смуги
частот, необхідної сигналу.
Щоб виявити зв’язок між виграшем у С/Ш і програшем у не-
обхідній ширині смуги частот, припустимо, що індекс модуляції
настільки великий, що можна користуватися формулою (8.41) для
обчислення практичної ширини спектра сигналу з ЧМ, тобто
ДГчм2 2^ж(т + 1) = 2Гі(,т.
Оскільки ширина смуги частот АМ сигналу дорівнює Д/^ = 2Рт,
а індекс модуляції приблизно дорівнює Д/чм/Д/дм» (9.30) можна
записати так:
ґ \2
Л?м _ £( Дічм 1
Лам ^Д/дм/
(9.31)
Таким чином, розширення смуги частот у два рази призводить
до збільшення С/Ш в 4 рази (6 дБ).
Ми проаналізували найпростіший випадок, коли потужність
шуму мала порівняно з потужністю сигналу. Тільки в цьому випад-
ку справедлива формула (9.31). Якщо ця умова не виконується,
ситуація ускладнюється і розширення смуги частот ЧМ сигналу
може призвести навіть до зменшення С/Ш. Далі буде розглянуто
і такий випадок, а зараз зробимо деякі висновки.
495
- За умови, що потужність шуму на вході РПрП мала у порів-
нянні з потужністю сигналу, збільшуючи ширину смуги частот ЧМ
сигналу, можна досягти збільшення відношення сигнал/шум.
- Виграш за С/Ш ЧМ сигналів у порівнянні з АМ сигналами,
починає виявлятися при значеннях індексу модуляції т>0,5,
тобто поблизу межі, що відокремлює вузькосмугові ЧМ сигнали
від широкосмугових.
-Виграш за С/Ш— це властивість тільки широкосмугових
сигналів з ЧМ.
9.3. Приклади РТС,
де застосовано сигнали з АМ та ЧМ
У цьому підрозділі розглянемо декілька прикладів прак-
тичного використання в радіомовленні деяких з тих модульованих
сигналів, що були описані і проаналізовані у розділах 7 і 8.
Системи радіомовлення в загальному випадку можна розділи-
ти на три групи: системи АМ радіомовлення, у яких застосову-
ється стандартна амплітудна модуляція, системи з частотною
модуляцією (ЧМ або ЕМ) і системи телебачення (ТБ або ТУ)
або телемовлення, у яких застосовується амплітудна модуляція
одного носійного коливання для передачі зображення і частотна
модуляція другого носійного коливання для звукового супроводу.
Розглянемо приклади систем кожної з груп, приділяючи основну
увагу сигналам і їхнім спектральним характеристикам.
АМ радіомовлення
Амплітудна модуляція головним чином використовується
в діапазонах довгих (ДвХ або кілометрові хвилі, довжина хвилі
10 — 1 км), середніх (СХ, або гектометрові хвилі, 1000 — 100 м)
і коротких (КХ, або декаметрові хвилі, 100 — 10 м) хвиль.
Таким чином, частота носійної лежить у діапазоні, приблизно,
від ЗО кГц до ЗО МГц.
-Зв’язок на ДвХ має дві великих вади: необхідність великої
потужності РПдП через сильне поглинання поверхневої хвилі при
її поширенні над земною поверхнею; неможливість передавання
сигналів, ширина спектра яких порівнянна з НсЧ.
496
- Широко використовуються в радіомовленні гектометрові хви-
лі, завдяки стійкості прийому. їхня вада полягає у труднощах
забезпечення великої дальності приймання. На цих частотах пра-
цює переважно місцеве мовлення з радіусом дії у декілька сотень
кілометрів.
- Головна позитивна якість декаметрових хвиль — можливість
забезпечення великої дальності дії при відносно малій потужності
РПдП і можливість здійснення спрямованого випромінювання.
Основна вада — коливання рівня прийнятого сигналу (завмиран-
ня).
При прийманні АМ сигналів у таких системах звичайно вико-
ристовують РПрП супергетеродинного типу. Структурну схему
такого РПрП наведено на рис. 9.4.
Настроювання на
радіостанцію
Рис. 9.4.
РПрП включає тракт високої частоти (ВЧ) (вхідні кола РПрП
і підсилювач високої частоти), тракт проміжної частоти (ПЧ),
що включає підсилювач ПЧ і змішувальну частину перетворюва-
ча частоти; детектор, підсилювач низьких частот і підсилювач
потужності (ППт). З виходу ППт сигнал низької, модулюючої,
частоти (НЧ) подається на відтворювальний пристрій — гучно-
мовець.
Середнє значення проміжної частоти звичайно дорівнює
465±2кГц; ширина смуги частот, що займає сигналом ПЧ,
складає, приблизно, ІОкГц.
Сигнал з антени через вхідне частотновибірне коло надходить
на підсилювач високої (сигнальної) частоти (ПВЧ). Вхідне коло
і ПВЧ послабляють сигнали завадних станцій, що знижує спотво-
рення при перетворенні частоти і підсилення сигналів ПЧ. Далі
за схемою розміщений перетворювач частоти (ПрЧ), що містить
два основних елементи: змішувач з частотновибірним навантажен-
ням і гетеродин. Гетеродин — це малопотужний високочастотний
497
генератор, що має забезпечувати стійке генерування коливань
з необхідною сталістю частоти й амплітуди в заданому діапа-
зоні частот. Вибір потрібної станції здійснюється одночасним
настроюванням контурів ПВЧ на частоту станції і контуру гетеро-
дина. Основна вимога, якій має задовольняти ПрЧ, це забезпечити
перетворення вхідного модульованого коливання ВЧ на модульова-
не коливання ПЧ (звичайно більш низкою, ніж частота сигналу)
без зміни форми обвідної модульованого коливання. Результатом
перетворення є носійна на фіксованій, що не залежить від НсЧ
приймальної станції, проміжній частоті
?пч~ ?вч~ ^Г’
де /р — частота коливання, що генерується гетеродином; — НсЧ
вхідного сигналу; — проміжна частота носійної.
На відміну від тракту радіосигналу, частотновибірні кола
якого перестроюються в межах широкого діапазону прийманих
частот, у тракті ПЧ усі частотновибірні кола настроєні на одну
фіксовану частоту — проміжну. Завдяки цьому забезпечуються
дві основних вимоги до тракту ПЧ: високе підсилення і висока
селективність.
Після проходження тракту ПЧ сигнал надходить на детектор
(демодулятор), призначенням якого є виділити низькочастотний
модулюючий сигнал. Нарешті відновлений модулюючий сиг-
нал підсилюється і перетворюється з електричного на звуковий
за допомогою гучномовця.
ЧМ (ЕМ) радіомовлення
Частотна модуляція використовується в діапазоні метро-
вих хвиль (МХ). При цьому максимальна девіація частоти скла-
дає 50 кГц, максимальна частота в спектрі модулюючого сигналу
дорівнює 15 кГц, індекс модуляції т = 3,3. Типові частотні харак-
теристики ЧМ радіомовлення такі:
1.	Діапазон НсЧ, приблизно, 65-108 МГц;
2.	Середня частота тракту ПЧ дорівнює 10,7 МГц;
3.	Смуга пропускання тракту ПЧ біля 200 кГц.
У діапазоні МХ вдало сполучуються два такі фактори:
- Застосування дуже високої частоти випромінювання дозволяє
розширити смугу частот передаваного повідомлення, оскільки умо-
ви передачі і підсилення сигналів у радіоапаратурі визначаються
в основному відносною шириною спектра сигналу.
498
- Особливості поширення МХ (у межах прямої видимості) май-
же цілком виключають спотворення сигналу через інтерференцію
хвиль, що поширюються по різних шляхах.
Як і у випадку АМ радіомовлення, більшість РПрП ЧМ радіо-
мовлення будуються за супергетеродинною схемою. Структурну
схему системи ЧМ радіомовлення наведено на рис. 9.5. Зупинимося
на основних особливостях цієї схеми і тих перетворень сигналів,
що у ній відбуваються.
Спочатку розглянемо ідеальний випадок, коли шум п(і) або
взагалі відсутній, або його потужність є настільки малою, що
внесеними їм спотвореннями сигналу можна знехтувати, а пере-
датні функції двох фільтрів, включених до схеми, такі: Хл(о>) =
= 1//Сп(со) = 1.
Як вже обговорювалося вище, у ЧМ радіомовленні будь-які змі-
ни в часі амплітуди носійної є наслідком або обмеженості смуги
частот, відведеної сигналу, або впливу шумів, або інтерференції
сигналу. Обмежувач амплітуди, зображений на схемі, забирає
паразитні варіації амплітуди сигналу. Обмежувач амплітуди, як
було сказано вище, складається з двобічного обмежувача миттє-
вих значень і смугового фільтра. На виході обмежувача миттєвих
значень буде коливання майже прямокутної форми зі змінюваним
в часі періодом. Це коливання згладжується в смуговому фільтрі,
що придушує гармоніки носійної частоти, і подається на вхід час-
тотного демодулятора, на виході якого одержуємо неспотворений
модулюючий сигнал е(і). Цей сигнал підсилюється і подається на
гучномовець. Докладно ці процеси ми проаналізували вище.
Рис. 9.5.
Залишилися нерозглянутими два фільтри з передатними
функціями Кп(<{>) І 1/Кп((й). Щоб з’ясувати, що вони собою явля-
ють і яке їхнє призначення, сформулюємо вимоги, яким повинна
499
задовольняти система. Очевидно, що вона має забезпечити таку
передачу ЧМ сигналу по каналу зв’язку, щоб С/Ш смугового сиг-
налу на виході РПрП було якнайбільше. Врахуємо спектральні
властивості звукових (аудіо) сигналів. Спектральна густина таких
сигналів відносно висока в низькочастотній області спектра і швид-
ко зменшується зі збільшенням частоти. Іншими словами, у ЧМ
аудіосигналів спектральна густина середньої потужності бічних
складових має найбільші значення поблизу частоти носійного ко-
ливання і відносно малі значення поблизу меж частотного діапа-
зону, відведеного для сигналу. Система, схему якої наведено на
рис. 9.5, побудована так, щоб по можливості зберегти в спектрі
сигналу ці слабкі, але необхідні складові. Тим більше, що саме
вони сильніше від інших, низькочастотних і більш потужних
компонент спектра, спотворюються шумом.
З аналізу схеми системи ЧМ радіомовлення виходить, що на
передавальному кінці лінії зв’язку смуговий модулюючий сигнал
е(і) не надходить відразу на частотний модулятор, але попередньо
пропускається через фільтр з передавальною функцією Кп(®). При
цьому фактичним модулюючим сигналом є коливання еп(і). Моду-
льована цим коливанням носійна передається по каналу зв’язку,
де на неї накладається адитивний шум. Фільтр із передатною
функцією Хл(со) здійснює цілеспрямоване попереднє спотворення
форми і спектра сигналу, що надходить на його вхід, і називається
перед спотворюючим фільтром. У РПрП здійснюються описані
у підрозділі 9.1 перетворення адитивної суміші сигналу і шуму,
за винятком того, що перш ніж потрапити на вхід прикінцевого
фільтра звукової частоти (34), ця суміш перетвориться у фільтрі,
передатна функція 1/КП(а) якого є оберненою передатній функ-
ції того фільтра, що включений до схеми РПдП. Такий фільтр
називають компенсатором перед спотворень. Якщо шум відсут-
ній, то, очевидно, сигнал на виході РПрП у точності буде таким,
якби ані передспотворюючого, ані компенсуючого фільтрів взага-
лі не було. Шум, на відміну від сигналу, проходить тільки через
фільтр РПрП і цей фільтр, очевидно, можна зробити таким, щоб
у ньому відбувалося придушення шуму. Вибір передатної функ-
ції цього фільтра грунтується на аналізі проходження шуму
по колах приймача, розглянутого в підрозділі 9.1. Як виходить
з аналізу виразу (9.21) і графіка рис. 9.3, значення енергетичного
спектра шуму на виході частотного детектора зростають за квад-
ратичним законом при зростанні абсолютного значення частоти.
Отже, додатково включений до схеми РПрП фільтр має забезпе-
чити придушення високих частот. Щоб при цьому не втратити
500
і корисні спектральні складові сигна-
лу, ці складові повинні бути підсиле-
ні, що і здійснює передспотворюючий
фільтр на передавальному кінці лінії
зв’язку.
Звичайно як компенсатор перед-
спотворень використовують простий
а)
Рис. 9.6.
низькочастотний КС-фільтр (його схему наведено на рис. 9.6, а))
із передатною функцією
ккп(Г) =
і
1+/7/А
(9.32)
де /1 = 1/(2л7?С).
На передавальному кінці лінії передспотворюючий фільтр му-
сить мати передавальну функцію, обернену (9.32). Схему просто-
го 7?С-кола, що може слугувати таким фільтром, зображено на
рис. 9.6, б). Дійсно, нехай г << Н і нехай у смузі частот модулюю-
чого сигналу опір г набагато менше реактивного опору ємності С.
Тоді струм, що протікає крізь опір г, дорівнюватиме:
Дсо) = 71(со)|^- + 7(оС
V її
і передатна функція кола
г
Кпс(а} = —(1 + ](£>СВ) або
КПС(Г)=-\1+І^
\ /1
(9.33)
Добуток передавальних функцій двох цих фільтрів дорівнює
г/Н і є сталим, отже, передатні функції (9.32) і (9.33) обернені
одна до одної, що і потрібно для компенсації в РПрП передспотво-
рень, навмисно внесених до сигналу у РПдП.
ЧМ стереорадіомовлення
Система ЧМ стереорадіомовлення являє собою приклад
використання частотного ущільнення для передачі і прийому
двох різних сигналів за допомогою одного носійного коливання.
При проектуванні системи стереорадіомовлення мають вико-
нуватися дві такі вимоги:
1. Для передавання стереопрограм повинен використовуватися
стандартний ЧМ радіоканал;
501
2. Програми стереорадіомовлення мають прийматися не тіль-
ки стереофонічними, але і звичайними монофонічними РПрП,
звичайно, без стереоефекту.
Перша з цих вимог накладає обмеження на припустимі частот-
ні характеристики сигналів, зокрема, на девіацію частоти. Дру-
га вимога істотно обмежує можливості формування передаваних
сигналів.
На рис. 9.7 наведено одну з можливих структурних схем сис-
теми частотного ущільнення ЧМ стереофонічного РПдП.
Рис. 9.7.
Нехай е£(і) і ея(і) звукові сигнали лівого і правого стереофоніч-
них каналів, відповідно. Ці сигнали надходять на просту матричну
схему, з виходів якої одержуємо сумарний еь(і) + ек(і) і різницевий
еь(і) - ен(і) сигнали. Спектр кожного з цих низькочастотних сигна-
лів обмежений на частоті 15 кГц спеціальними фільтрами, що не
зображені на схемі. Сумарний сигнал не піддається обробці і через
суматор надходить на вхід частотного модулятора і далі в канал
зв’язку. Цей сигнал на приймальному кінці використовується для
монофонічних приймачів. Генератор синусоїдних коливань генерує
коливання з частотою /яс = 19 кГц, що зветься пілот-сигналом.
Це коливання надходить на подвоювач частоти, на виході якого
одержують синусоїдне коливання на підносійній частоті (ПНсЧ)
= 38 кГц. Коливання з цією частотою надходять на вхід мульти-
плікативного модулятора. На інший вхід модулятора підключено
різницевий сигнал. На виході модулятора одержуємо коливання
[е£(Ц - ея(Є)]со8(2л;/ля^). Сигнали з виходу модулятора, сумарний
і пілот-сигнал подаються на суматор, на виході якого одержуємо
композиційний модулюючий сигнал
502
ек№ =	+ ея<0] +
+ К(0 - Єд(О]соз(2л/пнО + Хсо8(2л/яс0. (9.34)
Тут К — стала, що задає рівень пілот-сигналу в сигналі ек(і).
Нарис. 9.8 наведено енерге-
тичний спектр типового компо-
зиційного модулюючого сигна-
лу. Сумарний сигнал ея(і) + ея(і)
займає смугу частот від нуля до
15 кГц. Сигнал з виходу муль-
типлікативного модулятора
[еь(0 - ея(і)]со8(2п/пні) займає
нижню бічну смугу від 23 (38 -
Пілот
От(]) сигнал
еА^+е^і) [^(О-віДИніДОЛш*)
Рис. 9.8.
-15) до 38 кГц і верхню бічну
смугу від 38 до 53 кГц (38 + 15).
Відзначимо, що в спектрі відсутня підносійна з частотою 38 кГц,
але є присутній пілот-сигнал на частоті 19 кГц. Цей композиційний
сигнал модулює по частоті радіоносійну, і модульоване коливання
подається на передавальну антену.
Тепер розглянемо процеси, що відбуваються у приймальному
пристрої.
На рис. 9.9 наведено схему РПрП системи ЧМ стереорадіомов-
лення.
Сигнал, ущільнений по частоті, надходить на вхід демодулято-
ра і далі на три фільтри, частотні характеристики яких підібрано
так, щоб виділити з композиційного сигналу такі три складові
(див. рис. 9.8):
1.	складову ея(і) + ея(і), спектр якої розташований у смузі
[0,15]кГц;
2.	пілот-сигнал;
3.	складову [еь(0 - ея(0]со5(2л/пні), спектр якої сконцентрова-
ний у смузі [23, 53] кГц.
Ідеалізовані АЧХ фільтрів зображено на рис. 9.9.
Виділений фільтром пілот-сигнал в подвоювані частоти регенеру-
ється у коливання з ПНсЧ. Це коливання надходить на синхронний
демодулятор (детектор) двосмугового АМ сигналу з придушеною
носійною. Схему і принцип дії такого пристрою ми розглянули
вище (див. рис. 7.16 і пояснення до нього). На виході синхронного
детектора буде сигнал — [е£(0-ед(О]- Зауважимо, що коливання
<и
на ПНсЧ 38 кГц не передається по каналу зв’язку, а генерується
вже на приймальному кінці з прийнятого пілот-сигналу. Причина
503
вибору саме такого способу одержання коливання на частоті під-
носійної очевидна. Ця підносійна, на відміну від пілот-сигналу,
не відокремлюється від верхньої щодо неї і нижньої бічних поміт-
ним частотним інтервалом (див. рис. 9.8). Отже, щоб її виділити,
знадобився б фільтр з дуже високою вибірністю. Що стосується
пілот-сигналу, то спектральні складові інших компонентів сигна-
лу знаходяться на відстані не менше ніж 4кГц від нього.
монофонічного
приймача
Рис. 9.9.
Після описаних перетворень сигналів на вхід матричної схеми
надходять сигнали —[еь(і)+еЙ(і)] і	На виході маємо
2	2
в одному каналі модулюючий сигнал е£(і) і в іншому — модулюю-
чий сигнал ея(і). Система цілком сумісна з вимогами монофоніч-
них приймачів. У такому приймачі сумарний сигнал еь(і) + ев(і)
проходить через фільтр зі смугою пропускання, що дорівнює
смузі частот модулюючого сигналу, тоді як дві інші складові
придушуються ним. Отже ці складові не впливають на роботу
монофонічного РПрП.
Ми розглянули принцип дії сучасної, досить складної системи
ЧМ радіомовлення.
Наступні приклади, що ми розглянемо, являють собою для ра-
діо-інженера ще більший інтерес. Саме при розробці і створенні
систем мовного телебачення як, напевно, ніде проявилися інже-
нерна інтуїція, вигадка і найвищий професіоналізм цілої когорти
в першу чергу радіоінженерів різних країн світу.
504
Чорно-біле телебачення
Телевізійна система— це сукупність оптичних, елек-
тронних і радіотехнічних пристроїв, що приймають і передають
на відстань інформацію про просторово-випромінювальні харак-
теристики об’єкту.
Основний принцип телевізійної передачі зображень об’єктів
полягає в наступному: те зображення, яке потрібно передати, роз-
кладається на окремі елементи, тобто піддається послідовному ска-
нуванню і світловий сигнал від кожного елемента перетворюється
на електричний. Процес сканування здійснюється в телевізійній
камері. У такій камері зображення об’єкта за допомогою оптично-
го пристрою фокусується на фотокатод, що складається з великої
кількості фоточутливих елементів. У залежності від інтенсивності
світлового потоку, що падає на фоточутливий елемент, на ньому
з’являється більший або менший електричний заряд. Фоточут-
лива поверхня сканується електронним променем, у результаті
чого формується сигнал, що змінюється в часі в залежності від
яскравості. Сигнал зображення після підсилення модулює носійне
коливання, що за допомогою РПдП та антени випромінюється в
ефір. У ТБ РПрП сигнали зображення виділяються, підсилюються
і відтворюються на екрані приймальної телевізійної трубки — кі-
нескопу. Одержуване в такий спосіб телевізійне зображення по-
винно в точності відтворювати характеристики об’єкта. Однак
це пов’язано з необхідністю передавати дуже великий об'єм
інформації, причому усе потрібно здійснювати в реальному часі,
тобто без будь-якої помітної затримки. Радіосигнал, за допомогою
якого можна здійснити таку передачу, мусить мати дуже широку
смугу частот. Для обмеження об’єму передаваної інформації (сму-
ги частот сигналу) задаються необхідною точністю відтворення
телевізійного зображення. У телебаченні точність відтворення
зображення обмежується характеристиками зору: роздільною
здатністю ока, його контрастною чутливістю і інерційністю зо-
рового сприйняття. Роздільна здатність визначає мінімальний
розмір передаваної деталі зображення, а завдяки інерційності зо-
рового сприйняття можна одержати відчуття відтворення повного
зображення послідовним передаванням окремих його елементів,
а також враження безперервності руху при досить швидкій зміні
нерухомих зображень.
У телебаченні, як відзначено вище, застосовується метод пос-
лідовної передачі інформації про випромінювальні властивості
кожного елемента зображення. Сукупність елементів, на які роз-
бивається зображення, називається кадром, а геометричне місце
505
послідовно переданих елементів у кадрі називається телевізійним
растром. Процес растрового сканування подібний до того, як ми
читаємо друкарський текст: зліва направо і рядок за рядком.
Перш, ніж переходити до аналізу телевізійних сигналів, необ-
хідно зупинитися на основних телевізійних стандартах, викори-
стовуваних у різних країнах світу. Більшість із цих стандартів
чорно-білого телебачення відрізняються головним чином числом
рядків розкладання, числом кадрів у секунду і розносом за час-
тотою носійних коливань звука і зображення. Загальним для
всіх стандартів є черезлінійна кадрова розгортка (див. нижче).
Однак, незважаючи на відсутність єдиного стандарту, у всіх кра-
їнах прийнято фактично однакову форму телевізійного сигналу.
Відмінність є тільки в деяких особливостях формування кадрового
синхронізуючого сигналу. Тут ми не будемо доходити таких тон-
кощів. Ці та багато інших питань буде розглянуто у спеціальних
дисциплінах програми підготування як бакалаврів, так і спеціа-
лістів та магістрів в галузі радіотехніки.
Як приклад, у таблиці, наведеної нижче, наведено деякі харак-
теристики телевізійних сигналів двох стандартів: КІТ8С (Маііопаї
Тєієуізіоп Зузіеш СотшіИее) США і ГОСТ 7845-79 країн СНД
у тому числі України.
Таблиця
Параметри	Телевізійні стандарти	
	Г4Т8С	ГОСТ 7845-79
Кількість рядків у растрі	525	625
Частота кадрів/полів, Гц	30/60	25/50
Ширина смуги частот, МГц: Повний телевізійний сигнал Радіоканал	4,2 6	6 8
Рознесення носійних частот РПдП зображення і звука, МГц	4,5	6,5
Тип модуляції РПдП звуку	ЧМ ± 25 кГц	ЧМ + 50 кГц
Період рядка (лінії), мкс	63.5	64
Тривалість імпульсів гасіння рядків, мкс	10	12
Тривалість імпульсів гасіння полів, мкс	20	25
506
При порядковому розкладанні зображення, застосовуваному
у всіх системах телемовлення, промінь рухається з постійною
швидкістю за паралельними прямими рядками (лініями). Час,
протягом якого промінь проходить один рядок, називають часом
прямого ходу розгортки, або активною частиною рядка. Дійшов-
ши до правого краю растра, промінь швидко повертається в лівий
край і починає прокреслювати наступний рядок. Час повернення
променя у вихідне положення називається часом зворотного ходу
розгортки по рядку. Сума часів прямого і зворотного ходів скла-
дають період рядкової розгортки Тр, а 1/Тр = — частота рядків.
Кожний наступний рядок розміщується під попереднім. Дійшовши
до правого краю останнього рядка растра, промінь швидко повер-
тається в його верхній лівий кут і все повторюється поновно. Час
передачі одного кадру Тк складається з часу прямого і зворотного
ходів променя і дорівнює 1//к, де /к— частота повторення
кадрів. Щоб промінь під час зворотного ходу не залишав слід
на екрані, до телевізійного сигналу вводяться імпульси гасіння
рядків і полів, що запирають промінь передавальної трубки на
час зворотного ходу розгортки.
На рис. 9.10 наведено форму повного телевізійного сигналу за
час одного рядка.
Цього короткого огляду до-
сить, щоб перейти до опису
частотного спектра телевізій-
ного сигналу.
Телевізійний сигнал є функ-
цією часу з періодичним повто-
ренням тих його елементів, що
визначаються частотою рядків
і кадрів. Ця складова сигналу
в частотній області формує
лінійчасту компоненту спектра. Змінна складова телевізійного
сигналу складається з окремих імпульсів різної тривалості і фор-
ми, зумовлені розміром, яскравістю і кольором (у кольоровому
телебаченні) деталей переданого зображення. При передаванні не-
рухомих зображень нижні частоти спектра телевізійного сигналу
однозначно пов’язані з тривалістю передавання максимального
розміру зображення. Оскільки ця тривалість не може перевищува-
ти Т , нижня частота спектра приблизно дорівнює частоті кадрів
/ (див. таблицю). Найвища частота спектра визначається міні-
мальним розміром переданої деталі зображення. Зсунути верхню
межу смуги убік більш низьких частот дозволила особливість зору
507
людини. Так, якщо для якісного відображення великих деталей
зображення необхідно передавати точну форму імпульсу, то при
передаванні дрібних деталей допускається значне спотворення
форми телевізійного сигналу. При цьому розподіл яскравості по
площі деталі зображення через малі її розміри людським оком
не буде помічений. Тому для відтворення дрібних деталей досить
передати тільки першу гармоніку спектра імпульсу. Частота цієї
гармоніки і є верхньою частотою спектра. Таким чином (див. де-
тальніше, наприклад у [3]),
Уп = йг2п/2,
(9.35)
де к = 4/3 — формат кадру (відношення ширини кадру до його
висоти);
г — кількість рядків у растрі;
п — кількість кадрів у секунду.
У горизонтальному напрямку мінімальний розмір зображен-
ня при ширині спектра (9.35) дорівнює товщині одного рядка.
У вертикальному напрямку деталь товщиною в один рядок може
відтворюватися одним або двома рядками, що пов’язано з розта-
шуванням деталі зображення щодо рядків (вона може потрапити
між двох рядків). Тому чіткість зображення поперек рядків змі-
нюється від 1 до 0,5 значення горизонтальної чіткості. Це дозво-
лило скоротити смугу частот телевізійного сигналу у порівнянні
з (9.35), практично зберігши роздільну здатність.
Для урахування особливостей, що відзначені вище, впроваджено
додатковий коефіцієнт р = 0,75 4- 0.85 і Рт = рк22п/2. Однак і цю
формулу отримано для ідеалізованого випадку. Реально розгортка
зображення відбувається тільки під час прямого ходу рядкової
розгортки (на рис. 9.10 це 52 мкс з 64). Якщо а — частина Тр9 що
використовувана на зворотний хід променя рядкової розгортки,
то корисний час розгортки дорівнює (1 - а)Т . Те ж саме спра-
ведливо і для кадрової розгортки. Якщо рТк — час, необхідний
для того, щоб промінь із кінця останнього рядка повернувся до
початку першого рядка наступного кадру, то за час одного кадру
буде (1 - (3)? корисних рядків, а рг рядків буде загублено. Для
забезпечення однакової реальної чіткості по вертикалі і горизон-
талі формула для граничної частоти спектра телевізійного сигналу
матиме вигляд:
т 2(1-а)
(9.36)
508
Підставивши в (9.35) з = 625, п = 25 і к = 4/3, одержуємо Рт =
= 6,5 МГц. За уточненою формулою (9.36) при р = 0,8, ос = 0,18,
Р = 0,08 — стандартизовані значення — одержуємо Рт = 6 МГц.
Вище відзначено, що повний спектр телевізійного сигналу
лінійчастим, Тоді його можна подати такою моделлю:
и(і) = а^ГСО8[2я(1/р +пГк)і+ф1п],
1=0 п=о
де І і п — номери гармонік рядкової і кадрової частот, від-
повідно;
<р;и — амплітуди і фази спектральних складових.
Таким чином, телевізійний сигнал має лінійчастий спектр із
складовими, що є кратними частоті /. Біля цих складових гру-
пуються досить вузькі смуги бічних частот, обумовлені кадровою
розгорткою. Амплітуди гармонік залежать від передаваного зоб-
раження і швидко спадають зі зростанням І і п.
На рис. 9.11 наведено спрощений спектр телевізійного сигна-
лу. Дискретність спектра і швидке зменшення амплітуд гармонік
дозволяють одночасно передавати в одній смузі частот кілька не-
залежних сигналів. Ця властивість спектрів використовується
в системах кольорового телебачення.
Отже, спектр телевізійних сигналів
є широкосмуговим. Зменшити ширину
спектра можна за рахунок зменшення
як частоти кадрів, так і частоти рядків.
Але кількість рядків у кадрі визначає
чіткість зображення й істотне зменшен-
ня її небажано. Число кадрів обирається
з вимоги відсутності мерехтінь і зни-
ження його неможливо. Навіть при
Рис. 9.11.
кількості кадрів 25 4- ЗО за секунду ефекту мерехтіння уникнути
не можна, якщо не збільшити його приблизно вдвічі. Однак при
цьому в стільки ж разів збільшиться ширина смуги частот сигналу.
Щоб цього уникнути у всіх системах телебачення застосовується
черезрядкова розгортка. Ідея цього методу перебуває в тому, щоб
передавати і відтворювати повний кадр зображення за два рази,
або за допомогою двох полів. У першому полі розгортаються
непарні рядки растру, а в другому — парні. Кожне з полів —
це растр із зменшеним удвічі числом рядків. Два послідовних
поля утворять один кадр.
509
На рис. 9.12, а) умовно показано повний растр одного кадру.
Цей повний растр складається з двох полів: поля непарних рядків
(рис. 9.12, б)) і поля парних рядків (рис. 9.12, в)). На рисунках
жирною лінією показано прямій хід променів, тонкою — зво-
ротний.
Рис. 9.12.
У основі методу черезрядкової розгортки лежить така влас-
тивість зору: критична частота мерехтінь практично не залежить
від числа рядків растру. Тому передача за секунду числа полів, що
перевершує критичну частоту мерехтінь, забезпечує сприйняття
зображення без мерехтінь, а швидкість передачі інформації зни-
жується вдвічі. Вдвічі зменшується і ширина смуги частот, що
займає телевізійний сигнал.
Зупинимося тепер на виборі типу модуляції.
Тип модуляції телевізійного сигналу зображення визначається
такими двома чинниками:
1. Телевізійні відеосигнали (модулюючі сигнали зображення)
є широкосмуговими і, на відміну від аудіосигналів (модулюючі
сигнали звукового супроводу), їхні низькочастотні складові відіг-
рають важливу роль при відтворенні зображення. Ці особливості
спектра вказують на доцільність використання односмугової мо-
дуляції з неповним придушенням бічної смуги (УЗВ-модуляція,
див. підрозділ 7.7).
2. Схеми демодуляторів у телевізійних приймачах мають
бути простими і дешевими. Це вимагає використання простих
детекторів обвідної, для реалізації котрих необхідно, крім самого
односмугового коливання з неповним придушенням бічної смуги,
мати ще і носійне коливання.
Незважаючи на перший із чинників і прагнення не розширюва-
ти, якщо це не є необхідним, смугу частот, передаваний телевізій-
ний сигнал, суворо говорячи, не є односмуговим АМ коливанням
з неповним придушенням бічної смуги. Амплітудний спектр
передаваного сигналу за стандартом, що діє в Україні, має вигляд,
наведений на графіку рис. 9.13, а). Основна причина цього полягає
510
в тому, що рівень випромінюваної потужності РПдП систем те-
лебачення звичайно дуже високий. При цьому пристрої, що за-
безпечують суворе дотримання заданих частотних характеристик
сигналу, що випромінюється, виявляються складними і коштовни-
ми. Економічно вигідніше установити фільтри, що забезпечують
частотні характеристики сигналу з односмуговою АМ з неповним
придушенням бічної смуги, у кожному телевізійному приймачі,
де рівень потужності сигналу низький. Такий сигнал формується
в закінченому вигляді уже у приймальному пристрої. Звичайно,
за таке спрощення системи доводиться платити деякими втратами
потужності і розширенням смуги частот каналу телебачення.
Ці міркування ілюструють графіки, наведені на рис. 9.13.
На рис. 9.13, а) відображено стандартизовані в Україні частотні
параметри радіоканалу мовного телебачення і номінальні харак-
теристики бічних смуг телевізійного РПдП. Можна відзначити,
що по радіоканалу зображення передаються: верхня бічна, при-
близно 13% нижньої бічної і носійна зображення. Нарис. 9.13, б)
наведено номінальну АЧХ радіоканалу зображення телевізійного
РПрП. Можна бачити, що у радіоканалі зображення приймача діє
типове коливання з односмуговою АМ з неповним придушенням
нижньої бічної смуги, розглянуте в підрозділі 7.7. Більш деталь-
ний розгляд питань, порушених у цьому підрозділі підручника,
залишимо на спеціальні дисципліни.
а)
Носійна зображення Носійна звукового
/	/ супроводу
Радіоканал зображення
Радіоканал
звукового супроводу
.6,75
^/-/„мгц
' 6,575
6,375
—1,25< -0,75 0	6,0 6,5
Радіоканал телебачення
Рис. 9.13.
Радіоканал телебачення, крім каналу зображення, містить
і канал звукового супроводу. Як виходить зі стандартів, наведених
511
вище у таблиці, для передавання звукового супроводу використо-
вується сигнал з ЧМ, девіація частоти 50 кГц (в Україні). Якщо
верхня частота спектра модулюючого аудіосигналу складає 15 кГц,
індекс частотної модуляції дорівнює приблизно 3,3.
Кольорове телебачення
Передавання і прийом сигналів кольорового зображення
базується на тому факті, що всі кольори, що існують у природі,
можна отримати як суму трьох основних кольорів. Такими коль-
орами ще у 1931 році Міжнародною комісією з освітлення (МКО)
було прийнято червоний (гей), зелений (£гееп) і синій (Ьіие) — сис-
тема ЕСгВ. Ці три базових кольори формують відеосигнали е^і),
ес(ї) і ев(і), відповідно. Параметри систем кольорового телебачен-
ня жорстко обмежено стандартами, прийнятими в тій або іншій
країні (див. таблицю, наведену в попередньому підрозділі). Цими
обмеженнями в першу чергу є такі:
1. Смуга частот кольорового телебачення не повинна перевищу-
вати смуги, відведеної для сигналів чорно-білого телебачення.
2. Системи кольорового телебачення повинні бути цілком сумісні
з вже існуючими системами чорно-білого телебачення. Це значить,
що сигнали кольорового телебачення мають забезпечувати одержан-
ня чорно-білого зображення в приймачах чорно-білого телебачення
і, навпаки, сигнали чорно-білого телебачення повинні прийматися
приймачами кольорового телебачення.
Для забезпечення сумісності в сигналі кольорового телебачення
формується складова еуЦ), Щ° відповідає чорно-білому зображен-
ню (несе інформацію тільки про яскравість), називана сигналом
яскравості й одержувана змішанням у відповідних пропорціях
трьох сигналів основних кольорів е^і), ес(і) і ев(1):
еу(і) = 0,30еяЦ) 4- 0,59ес(0 + 0,11ев(і).	(9.37)
Ця залежність враховує спектральну чутливість зору, тобто
те, що однакові за інтенсивністю джерела червоного, зеленого
і синього кольорів викликають неоднакові відчуття яскравості.
Цей сигнал не відрізняється від відеосигналу чорно-білого те-
лебачення і слугує для одержання повноцінного зображення на
екранах чорно-білих телевізорів.
Крім сигналу яскравості (9.37) у системах кольорового те-
лебачення необхідно передавати ще два сигнали колірності.
Інформацію про третій колірний сигнал можна одержати вже
в приймальному пристрої лінійною комбінацією цих двох сигналів
512
і сигналу яскравості. На перших етапах розробки сумісних систем
кольорового телебачення, крім сигналу яскравості, передавали-
ся сигнали основних кольорів — червоного і синього. Однак на
екранах чорно-білих телевізорів ці два сигнали створювали заваду
у вигляді дрібноструктурної сітки, що повільно переміщується
по діагоналі екрана телевізора. Для послаблення дії цієї завади
у всіх сучасних системах кольорового телебачення замість зга-
даної трійки сигналів як два сигнали колірності використову-
ють кольорорізницеві сигнали. Такими у стандарті, прийнятому
в Україні, обрано <?й_у(0 = ея(і)-ру(і) і ев у(і) = ес(і) - еу(і). При
цьому та завада, про яку йшлося вище, різко послаблюється.
Причина цього полягає в тому, що на незабарвлених ділянках
зображення кольорорізницеві сигнали дорівнюють нулю. Оскільки
навіть у кольорових передачах незабарвлені або бліднозабарвлені
ділянки складають не менше 60^- 70%, то на стільки ж послаб-
люються ці дрібноструктурні завади.
З урахуванням (9.37) можна записати:
ея_у(і) = 0,70ея(і) - 0,59ес(0 - 0,11ев(0,	(9.38)
ев_у(0 = -0,30ед(0 - 0,59ес(0 + 0,89ев(0-	(9.39)
Для формування сигналу яскравості
і кольорорізницевих сигналів викорис-
товуються спеціальні схеми (матриці),
що складаються з подільників напруги
і змішувачів. Формули (9.37) — (9.39)
і є рівняннями кодувальної матриці.
Найпростішу схему матриці для фор-
мування сигналу яскравості наведено на
рис. 9.14. Підібравши опори чотирьох
резисторів, на виході одержимо потріб-
ний сигнал.
Вд еХО-О.зоедЮ
ев(0°-4—=1 • Г - ‘ +0,5ОДЄ)
йП +0,11ея(Є)
Рис. 9.14.
На приймальному кінці сигнали еу(і), ея_у(і) і ев у(і) перетво-
ряться в сигнали основних кольорів:
ен(і) = ен,у(і) + еу(і),
ев(^ = ев-г^ + М*)’
ес(і) = 1,69єу(0 - 0,51ей(0 - 0,19<?д(£).
Викладені тут принципи побудови і перетворення сигналів
прийнято в усіх сучасних сумісних системах кольорового теле-
бачення. Розрізнюються системи тільки методами формування
кольорорізницевих сигналів і передавання через один канал трьох
513
сигналів — сигналу яскравості і двох сигналів колірності. Напри-
клад, у стандарті МТ8С прийнятий той же сигнал яскравості, що
й у розглянутому вище стандарті, але в якості сигналів колірності
використано інші сигнали:
ег(і) - О,6Оед(0 - О,28ес(0 - 0,32ев(0,	(9.40)
е/і) = 0,21ея(0 - 0,52ес(£) + 0,31ев(0,	(9.41)
які за допомогою наступних перетворень дозволяють одержати
сигнали основних кольорів:
=	~ 0,96е/0 + 0,62^0,
ев(і) = еу(і) - О,28е/0 - 0,64^(0,
ес(0 = еу(0 - ІДОе/0 + 1,70^0.
Повернемося до питання, як передати через один канал три
різних сигнали — сигналу яскравості і двох сигналів колір-
ності? Саме те, як це робиться, і лежить в основі трьох систем
кольорового телебачення: 8ЕСАМ (Зузіете Зедиепііеі Соиіеигз
а Метоіге), N780 (Маііопаї Тєієуізіоп Зузіет Соттіііее) і РАЬ
(Рііазе Аііегпаііоп Ьіпе).
Число рядків, кадрів, смуга частот телевізійного сигналу і низка
інших параметрів системи кольорового телебачення відповідають
параметрам чорно-білого стандарту, з яким вона сумісна. Відміна
полягає тільки в спектрі сигналу кольорового телебачення, що
містить як звичайний сигнал чорно-білого телебачення (сигнал
яскравості), так і два кольорорізницеві сигнали. Кольорорізницеві
сигнали передаються в смузі сигналу яскравості підносійним ко-
ливанням із так званою колірною ПНсЧ. Це коливання модулю-
ють за амплітудою або частотою. У телебаченні частота носійної
в залежності від номера каналу приймає значення від декількох
десятків до декількох сотень мегагерц. Цю носійну модулюють,
наприклад, за амплітудою з частотою 4,43 МГц. У результаті,
як ми знаємо, виникають дві смуги частот по обидва боки від
НсЧ. Оскільки нижню смугу сильно придушено (див. рис. 9.13
і пояснення до нього), у смузі телевізійного сигналу залишається
тільки одна підносійна.
Колірну ПНсЧ обирають максимально можливою у межах сму-
ги сигналу. У цьому випадку на чорно-білому зображенні вона
створює заваду у вигляді дрібноструктурної малопомітної сітки.
У системах кольорового телебачення зі стандартом 625 рядків частота
колірної підносійної дорівнює приблизно 4,43 МГц, а зі стандартом
525 рядків — біля 3,58 МГц. Точне значення ПНсЧ залежить від
способу її модуляції кольорорізницевими сигналами.
514
У основи всіх трьох систем кольорового телебачення покладе-
но декілька загальних принципів, що базуються на особливостях
колірного зору. Основні з них ті, що визначають спектральні ха-
рактеристики сигналів колірності, такі:
1. Трикомпонентність колірного зору поширюється тільки на
відносно великі деталі зображення, що при їх телевізійній пере-
дачі потребує смуги відеочастоти від 0 до 1,5 МГц.
2. Дрібні деталі, що потребують для їх відтворення відеочас-
тоти від 1,5 МГц і вище, розрізняються на екрані кольорового
телевізора тільки за градаціями яскравості, тобто виглядають
на екрані чорно-білими.
Іншою важливою загальною особливістю всіх сумісних сис-
тем кольорового телебачення є передавання сигналів колірності
в межах спектра сигналу яскравості. Як уже відзначалося вище,
при порядковому передаванні телевізійного сигналу його енергія
розподіляється по спектру дискретно, групуючись навколо частоти
рядків і її гармонік (див. рис. 9.11 і пояснення до нього). Отже,
якщо колірну підносійну розмістити у вільному від гармонік
частоти рядкової розгортки інтервалі, то і всі частоти її модулю-
ючих кольорорізницевих сигналів також розмістяться на вільних
ділянках спектра. Таке розміщення складових одного сигналу
в незаповнених ділянках спектра іншого сигналу називається
частотним перемеженням.
Нарис. 9.15 наведено графік спо-
лучених спектрів сигналу яскравості
і сигналів колірностіі.
Система 1УТ8С є системою кольо-
рового телебачення із квадратурною
АМ. У підрозділі 7.5 розглянуто цей
спосіб модуляції і на рис. 7.21 наве-
дено схеми модуляторні демодулято-
ра таких сигналів. Якщо позначити
Рис. 9.15.
/йк — частота підносійної, за перший модулюючий сигнал прийняти
кольорорізницевий сигнал е^і), а другим взяти сигнал (див.
(9.40) і (9.41), покласти Ао = 1, тоді, за формулою (7.38), сигнал
колірності на виході модулятора матиме вигляд:
зк(і) = с/0со8(2л/пк0 + ее(08Іп(2л/яя0.	(9.42)
Таким чином, сигнал колірності є модульованим і за амплітудою,
і за фазою: зміна насиченості кольору передаваного зображення
пропорційно змінює значення сигналів е^і) і е^і), що змінює тільки
амплітуду результуючої напруги 8к(і); зміна колірного тону при-
515
зводить до зміни співвідношення сигналів е{(і) І що змінює
фазу коливання 8к(і). Не зупиняючись на деталях, відзначимо,
що при прийомі таких сигналів іноді виникають спотворення як
амплітуди, так і фази сигналу 8к(і). Перші змінюють насиченість
кольору, другі — його колірний тон.
У системі РАЬ використано той же тип модуляції підносійної,
що й у системі МТ8С. Відмінність полягає в тому, що у системі
РАЬ колірна підносійна сигналу еп_у від рядка до рядка змінює
фазу на 180°. У цьому випадку (9.42) приймає вигляд:
8к(і) = ев-у^соз(2п^н^ 1 е5-у(0зіп(27г/які).	(9.43)
Зміна фази сигналу еду призводить до того, що фазові по-
хибки підносійної двох сусідніх рядків, однакові за величиною,
мають різні знаки, а це значить, що для компенсації помилки
досить підсумувати сигнал підносійної у двох сусідніх рядках.
Таким чином, сигнал системи РАЬ менш чутливий до фазових
спотворень, але, як і сигнал системи МТ8С, піддається впливу
амплітудних спотворень.
Докладніше розглянемо систему кольорового телебачення
8ЕСАМ (бузіеше 8едиепііе1 Соиіеигв а Метоіге — послідовність
кольорів із запам’ятувальним пристроєм), що прийнята в Україні
і є сьогодні кращою з трьох систем. Головна відмінність цієї сис-
теми від систем МТ8С і РАЬ полягає в наступному:
1. У цій системі використано частотну модуляцію підносійного
коливання.
2. Сигнали колірності передаються по черзі: під час передавання
одного рядка підносійна модулюється сигналом ея_у(і), а під час пе-
редавання наступного рядка — сигналом ев_у(і). Сигнал яскравості
передається неперервно.
З порівняльного аналізу сигналів з АМ і ЧМ, проведеного
у підрозділі 9.2, виходить, що сигнали з ЧМ при індексах модуляції
т >0,5 перевершують за завадозахищенністю сигнали з АМ.
На рис. 9.16 наведено схему, що пояснює принцип послідовного
передавання кольорорізницевих сигналів у системі 8ЕСАМ.
Рис. 9.16.
516
Комутація (переключення) у РПдП здійснюється електронним
комутатором У РПрП є лінія затримки на час тривалості од-
ного рядка (64мкс, див. таблицю вище і рис. 9.10) і електронний
комутатор В2. На вхід комутатора надходять сигнали колірності
з входу і виходу ЛЗ. У такий спосіб у кожний момент часу на
вході комутатора присутні два різні кольорорізницеві сигнали.
Один з них, наприклад ев у(£), передається у даний час на даному
рядку, а другий еЕу(і) передавався під час попереднього рядка,
але був затриманий на час 4. Кожний із виходів комутатора по-
перемінно через рядок підключається до кожного з його входів.
У результаті на кожний з виходів проходить тільки один тип ко-
льорорізницевого сигналу. При цьому протягом двох послідовних
рядків відтворюється однаковий сигнал, що передавався протягом
одного рядка. Це рівнозначно зниженню вдвічі колірної чіткості
за вертикаллю. Однак при візуальному спостереженні кольорово-
го зображення це несуттєво, оскільки в кольоровому телебаченні
у кольорі передаються тільки великі деталі зображення. У дріб-
них деталей зорово сприймається тільки їхня яскравість, а сигнал
яскравості, як відзначалося вище, передається неперервно.
Основні параметри системи 8ЕСАМ, прийняті в нашій країні,
такі:
	Кожен кольорорізницевий сигнал модулює за частотою
окрему підносійну, частоти яких відрізняються одна від одної
і мають значення:
4 = 2824 = 4,40625 МГц,
4=272/р = 4,25000 МГц ,
де /р = 625 • 25 = 15625 Гц — частота рядкової розгортки.
-	Сигнали 8ЕСАМ формуються в такому виді:
сигнал яскравості
еу(і) = 0,299ев(0 + 0,587е6(0 + 0,114едЦ)
і кольорорізницеві сигнали
Єп-Т^ = -1>9Іел(0 - еу(*)Ь
Єв_у(0 = -1,5[е;і(0 - Єг(0].
Коефіцієнти при кольорорізницевих сигналах обрано так, щоб
забезпечити однакові максимальні значення кольорорізницевих
сигналів.
	Смуги частот кольорорізницевих сигналів до модуляції дорів-
нюють близько 1,5МГц. Сполучені спектри сигналів, прийняті
в системі 8ЕСАМ подано на рис. 9.17.
517
Для підвищення завадос-
тійкості сигнали колірності
піддають частотним перед-
спотворенням. Перше перед-
спотворення по відеочастоті
(до модулятора підносійної)
полягає в підйомі верхніх час-
тот спектра сигналів основних
кольорів. Така передкорекція
не викликає збільшення ін-
дексу модуляції, а тільки
вирівнює значення девіації
частоти по спектру. Для одержання неспотвореного сигналу
в приймачі після частотного детектора встановлено фільтр з обер-
неною характеристикою. Таким чином, у системах кольорового
телебачення застосовано той же метод підвищення завадостійкості,
що й у системах ЧМ радіомовлення, розглянутий нами раніше.
Крім корекції до модулятора застосовано ще і високочастотну
корекцію, якій піддається спектр ЧМ сигналу. Дія цієї корекції
полягає у збільшенні амплітуди підносійної в міру її частотного
відхилення від центрального значення.
Процес почергового передавання кольорорізницевих сигналів
у системі 8ЕСАМ вимагає їхнього розпізнання в приймальному
пристрої з метою підведення сигналів до відповідних демодуля-
торів. Для цього в повний колірний телевізійний сигнал додається
спеціальний сигнал колірної синхронізації, передаваний протягом
9 рядків імпульсу гасіння полів: з 7-го по 15-й рядок першого
поля і з 320-го по 328-й рядок другого поля.
Тепер можна зобразити спрощену схему декодування сигналів
колірності в системі 8ЕСАМ — рис. 9.18.
Рис. 9.18.
518
Повний колірний сигнал з(і) формується телевізійним приймачем
і розділяється на два канали: яскравості і колірності. Сигнал еу(і)
каналу яскравості проходить через режекторний фільтр придушен-
ня підносійної і потрапляє на катоди кінескопу. У іншому каналі
з сигналу смуговим фільтром виділяються по черзі один
і другий кольорорізницеві сигнали. Частотну характеристику філь-
тра обрано такою, щоб одночасно компенсувати передспотворення
по високій частоті, внесені на передавальному кінці каналу. Після
високочастотної корекції кольорорізницевий сигнал надходить на
два входи комутатора рядків: на один безпосередньо, а на другий
через ЛЗ з затримкою на 64мкс, що дорівнює часу передавання
одного рядка. У результаті цього через відповідні частотні детек-
тори і низькочастотні коректори на матрицю для формування тре-
тього кольорорізницевщго сигналу ес у(і) одночасно надходять
сигнали ек у(і) і ев у(і). Після підсилення і прив’язки до рівня
чорного кольору ці три сигнали надходять на керуючі електроди
кольорового кінескопа. Оскільки сигнал яскравості еу(і) подано
до катодів, сигнали основних кольорів ес(і) і ев(і) формуються
в самому кінескопі.
Електронний комутатор працює з частотою рядків / і забез-
печує перетворення однієї послідовності сигналів, що почергово
ЗМІНЮЮТЬСЯ, еп	Єв-¥^^ — наДВІ послідовності
ев_у{і) і ев-¥^* Сигнал кожного рядка підводиться до комутатора
двічі, і кожен із двох входів по черзі під’єднується до кожного
з двох виходів. Ця операція реалізується за допомогою генератора
комутуючих імпульсів (тригера), що керується імпульсами ряд-
кової розгортки. На виході генератора формується послідовність
імпульсів прямокутної форми зі щілинністю 2 і з періодом 2Тр.
Для правильного встановлення фази тригера, що забезпечує
надходження сигналів ев у(і) і еву(і) на відповідний частотний
детектор, застосовується схема розпізнання рядків. На один її
вхід надходять імпульси сигналу колірної синхронізації, виділені
з кольорорізницевого сигналу, а на другий — диференційовані ім-
пульси гасіння полів від генератора вертикального відхилення.
Ці імпульси діють на схему розпізнання таким чином, що додатні
диференційовані імпульси відчиняють схему запирання каналу
колірності, і тим самим забезпечують проходження сигналу колір-
ності до каналу колірності, а від’ємні диференційовані імпульси
замикають схему, наслідком чого є припинення проходження
сигналу колірності до каналу колірності.
519
ДОДАТКОВА ЛІТЕРАТУРА
1.	Харкевич А. А. Борьба с помехами. —М.: Наука,
1965. —275 с.
2.	Головин О. В. Радиоприемньїе устройства: Учеб.
для техникумов. —М.: Вьісш. шк., 1987. —440 с.
3.	Справочник по радиозлектронньїм системам: В 2-х томах
Т. 2./Волошин И. А., Бьїков В. В., Васин В. В. и др.; Под ред.
Б. X. Кривицкого. —М.: Знергия, 1979. —368 с.
520
Додаток
МАТЕМАТИЧНІ ТАБЛИЦІ
ТА ФОРМУЛИ
А-1. Тригонометрія
е±іи =сози±78Іпи (Теорема Ейлера)	(А.1)
со8и = і-(е;“ + е''и)	(А.2)
зіпи = — (е,и -е~,и) 2/	(А.З)
, • ( + сози = 8іп и±— 1 2/	(А.4)
+ 8іпи = соз и+— V 2)	(А.5)
зіп2и + соз2и = 1	(А. 6)
.	2	• 2 1-ій2и соз(2и) = соз и- зіп и =	— 1 + а	(А. 7)
2і&и зіп(2и) - 2 зіп и • соз и =	 1 +	и	(А.8)
2соз2и » 1 + соз(2и)	(А.9)
2зіп2и = 1 - соз(2и)	(А. 10)
4соз3и == Зсози + соз(Зи)	(А. 11)
4зіп3и = Ззіпи - зіп(Зи)	(А. 12)
8соз4и = 3 4- 4соз(2и) 4- соз(4и)	(А. 13)
521
8зіп4и = 3 - 4со8(2и) 4- соз(4и)	(А.14)
соз(и+у) = сови-созу + зіпи • зіпу	(А.15)
зіп(и ± у) = зіп и • созу ± соз и  зіпу	(А. 16)
2 сози • созу = соз(и - у) + соз(и+у)	(А.17)
2зіпи-зіпу = соз(и-у)-соз(и+у)	(А.18)
2зіпи-созу = 8Іп(и-у) + зіп(и+у)	(А. 19)
„ . и+у и-у ЗІП и + ЗІПУ = 2 ЗІП	СО8	 2	2	(А.20)
и+у . и-у зіп и - зіп V = 2 соз	зіп	 2	2	(А.21)
о и+у и-у соз и+созу = 2 соз	соз	 2	2	(А.22)
л . и+у . и-у сози-созу = -2зіп	зіп	 2	2	(А.23)
А соз х-В зіп х = В соз(х +0),	
де Н = тІА2 +Вг, 0=агсі§—, А = Ясоз0, В = Лзіп0 (А.24)
А
А-2. Похідні
й[и(х)у(х)]	. .</у(х)	. сіи(х) т .	_
--------------------------и(х)	-+у(х)	(Похідна добутку)
йх-----------------------------сіх-сіх
сі	ч(х) у(х)
<іх
. .сІи(х) , .сіу(х)
------а*—---------ах_ (Похідна дробу)
у2(х)
(А.25)
(А.26)
<2и[у(х)] _ <іи </у	(А. 2 7)
(ІХ	(ІУ (ІХ	
Л(хп)	г 	= пх Лх	(А.28)
Й8Іп(их) 	= а соз(их) сіх	(А.29)
522
гісо8(ах) . . .
-----і—- = -а зіп(ах)
(іх
(1Л§(ах) _ а
Лх йоз2(ах)
йагс8Іп(ах) а
71-(ах)2
йагссоз(ах) _ а
Лх	уІ1-(ах)2
гіагсі£(ах) _ а (іагссі§(ах) _ а
(іх 1 + (ах)2’ (іх	1 + (ах)2
^°Х)_ас<,х
(ІХ
(і(ах) х,
——- = а Іпа
(іх
гі(іпх) 1
(ІХ X
^5^ = 1іоВ.е = ^-
сіх х хіпа
А-З. Інтеграли
Заміна змінної:
Нехай
V
Ь	и(Ь)ґ
= и(х):|/(х)</х = |
а
(ІХ’/іІХ
йду = иу - І уй« (Інтегрування частинами)
Невизначені інтеграли:
[(а + Ьх)п(іх =	+	, п>0
&(п+1)
Г =1-іп|а+Ьх|
•’ а+Ьх Ь
(А.ЗО)
(А.31)
(А.32)
(А.ЗЗ)
(А.34)
(А.35)
(А.36)
(А.37)
(А. 38)
(А.ЗЗ)
(А.40)
(А.41)
(А.42)
523
сіх _	-1
(а + Ьх)п	(п -1) Ь(а. + &х)"~‘ ’
(А.43)
(ІХ	_ с + Ьх + ах2	2	. ( 2ах + Ь -===агсі§ —	, V4ас-Ь2	і,V4ас-Ь2 , 1	2ах + Ь-лІЬ2-4ас ^Ь2-4ас	2ах + Ь + у/ь2-4ас -2 2ах+Ь'	Ь2 <4ас , Ь2 > 4ас (А.44) Ь2 =4ас
сіх
а2+Ь2х2
г х<іх
•І а2 +х2
~^1п(а2 +х2)
х2(іх		
	 — -у _	- а агсі& —	
2	2		
а +х		
(ІХ	_	X	1	. (X
		+ТТагсі£ “ 2а
(а2 +х2)2	2а2(а2 + х2)	
хсіх _	-1	
(а2 +х2)2	2(а2 +х2)	
х2<іх _	-х	1
		и.	— агсі£ — 2а	\а)
(а2 +х2)2	2(а2+х2)	
| соз(ах)<іх = — зіп(ах)
г , соз(ах) + ахзіп(ах)
хсоз(ах)ах =------------5---------
}	а
| х2 соз хсіх = 2х соз х + (х2 - 2) зіп х
| хтсоз(х)с?х = хт8Іп(х) - хт 15Їп(х)ііх
X 1
| соз2(ах)<іх = —+—зіп(2ах)
(А.45)
(А.46)
(А.47)
(А.48)
(А.49)
(А.50)
(А.51)
(А.52)
(А. 53)
(А.54)
(А. 5 5)
524
18Іп(ах) йх =	соз(ах)		(А.56) (А.57) (А. 58)
|хзіп(ах)гіх = |х2зіпхйх = 2	зіп(ах) - ах соз(ах) 2 а х зіп х - (х2 - 2) соз х	
| Хт8Іп(х)ЙХ =	-хотсоз(х) + т | хот“1соз(х)йх	(А. 59)
|8Іп2(ах)йх =	— ——зіп(2ах) 2 4а	(А. 60)
ДХ [е°\2х =—, і	а	і — дійсна або комплексна стала	(А.61)
{хеахйх = еах^	х 1 >	, 	г , а — дійсна або комплексна стала а а )	(А. 62)
^Х2Єах(ІХ = Єах	(х2 2х 2 )	_ 	Г+~ » а — Дійсна або \ а а а /	комплексна стала х3 Зх2 6х 6	(А.63)
І х3еохйх = еах		тг+—	4- , а — дійсна або \ а а а а ) комплексна стала	(А. 64)
| еах зіп хд.х =	еах ——(а зіп х- соз х) а +1	(А. 65)
|еаХСО8ХЙХ =	еах —;—(асозх +8ІПХ) а +1	(А.66)
Визначені інтеграли:
ґ айх п _	Л_.
(А6Т)
0 СІ Т X Сі
[—-----йх =----, 0 < тп < п	(А.68)
0І + Хп 8ІП(7ПЛ/п)
|х0-1е"хсіх = Г(а), а>0
о
де Г(а+1) = аГ(а), Г(1) = 1,
Г(О,5) = 7я", Г(п) = (п-1)І, якщо п ціле	(А.69)
525
{	2 а	V а	(А. 70)
[ е-аіхі+Ьхйх = —еь2/‘4а2), а > 0 3	а -оо	(А.71)
к^х = Д а>0 і 2«	(А. 72)
|8ІП2(ПХ)</Х=|СО82(ПХ)ЙХ = —, П — ЦІЛЄ 0	0	2	(А.73)
7	а 1 е ах соз(Ьх)<іх = — 	7-, а > 0 1	а +Ь2	(А.74)
[ е*ах 8Іп(6х)йх = „	,, а > 0 І	а +ь	(А. 75)
оо	/	Ь2 Є~“гх2СОЗ(Ьх)(ІХ=—^-Є 4“г о	2а	(А-76)
= а>0 І	2	(А. 77)
і 5іп(дУ^х Д ь пх	2	(А. 78)
7 8ІП2 X	Я —2—ах = т: І х	2	(А. 79)
(е±;2адх<іх = 8(у)	(А.80)
[ хпе ахйх = -^-г, п — ціле, а>0	(А.81)
І а
Ґ с°^1ах = -^-е-аЬ, а>0,Ь>0	(А.82)
}0 Ь2+хг 2Ь
( Х8^а-^-ах = —е-аЬ, а>0,Ь>0	(А.83)
і Ь2+х2	2
526
А-3. Лишки та їх застосування
Якщо аналітична* функція /(з) у точці 2 = а має ізольовану
особливу точку, то коефіцієнт с_1 при степені (г - а) 1 у ряді Лорана
(А.96) функції /(з) називається лишком аналітичної функції /(з) від-
носно точки а і позначається Ке5/(г). При а ^оо
а
Ке8/(г) = -і7р(^С=с_1,	(А.84)
°	2л:/с
а при а = оо
Кез /(з) =	Щ = -с ,,	(А.85)
00	2п]3с
причому С — будь-яка замкнена гладка крива, що охоплює точку
г = а і обходиться в позитивному напрямку в першому випадку,
й у протилежному напрямку в другому.
Якщо /(г) має в точці г = а Ф ж полюс т-го порядку, лишок можна
визначити за формулою:
1
=Вев/(?) = ----	[(г-аГ/(г)]
(А.86)
2 = а
Приклад А. 3.1
Знайти лишки функції /(г) = —-----
2г +
Розв'язання.
Функція в точках г = ±]а має однократні полюси. За форму-
лою (А.86) знаходимо:
е’г
Вез /(г) = (г -	?
я	г + а
Кез /(г) = (г + іа)—--------г
-Iа	2 + а
2 — ](1
еіг ^еа
г + іа 2 = ]а 2}а'
г = -]а
еа
2]а
Функцію [(г) називають аналітичною в точці г - а, якщо вона визначена
в ній і є диференційованою у кожної точці в околі точки 2.
527
Теорема лишків
й
Якщо /(з) — аналітична функція в області С9 за винятком в
скінченного числа точок ар а2, ..., ак, а С — замкнена ку- *
сочно-гладка крива, що охоплює особливі точки а1 і лежить ;•
цілком у Ст9 тоді	|
і	к
— 6/’(х)йх = ^Ве8/(г).	(А.87-1) І
Злу І	% а'
Приклад А.3.2
Знайти обернене перетворення Лапласа такої функції:
р + 2,5
Р (р+0,5)2+16
Розв’язання.
Запишемо формулу оберненого перетворення Лапласа.
1 о+/®
Х(0 = ^/
У прикладі, що розглядається, підінтегральна функція має ви-
гляд:
= р+2;5......=.
(р + 0,5)2+16	(р + 0,5+;4)(р+0,5-/4)
За формулою (А.86) знаходимо лишки:
ВезХ(р)ер< = —(р + о,5 + /4)
-О.5-/4	(р + 0,5)2+42
(р+2,5) лР,|	_ 2-/4 л-(0,5+/4)ґ
л -і в=-0,5-М — п Є	’
/? + 0,5-/4	-;8
ЛезХ(р)ер1 =
-0,5 +/4
(р+2,5)	„;|	= 2 +/4 (0,5-;4)<
Еґ । • л	І Р=-0,54-у4	-о
р + 0,5 + ;4	1	/8
528
Згідно з теоремою лишків (А.87-1) одержимо:
х(0 = | і + 7-	+|1-Д |Є-(О.5-/4К =
<2	4) І2 4)
= е-°.5‘[1е-М‘ +7-е->4‘ +-е'4‘ -і-еі4і
І2 4	2	4
(	4. р-№	1 р№ _ р-І^ А
_ е"0,5і е	і  е = е~0,5і
І 2	2	2/	)
соз(40 +—зіп(40 .
2
Застосування теореми лишків до обчислення
визначених інтегралів
Теорема лишків дозволяє знаходити деякі визначені інте-
грали від функцій дійсної змінної.
5
Якщо функція /(з) задовольняє таким умовам:
	є аналітичною функцією на всій верхній напівплощині і і
на дійсній осі, за виключенням скінченного числа особли- )
вих точок ар а2, ак, що лежать зверху від дійсної осі, а і
також
/1
	рівняння Т\ —
нулю, і т > 2, тоді
= 0 має тп-кратний корінь, що дорівнює
7	к
|/!(х)йх = 2л7^Ве8/(г).	(А.87-2) |
-«о	4=1 Я|	|
А-4. Ряди
Скінченні ряди
*	N(N+1)
---~2---
Л=1	&
Л 2 ^(^ + 1)(2^+1)
> ТІ =--------------
(А.88)
(А.89)
529
^дз,АГ2(АГ+1)2 П=І	(А.90)
X	а1**1 -1 Уа"=-	і а-1	(А.91)
У	—	= (х + уУ1	(А.92)
У'е№+»4) _ 8Іп|ХУ+1)<р/2] ед0+(^/2)) 8Іп(ф/2)	(А.93)
Нескінченні ряди
Ряд Тейлора:
(^пЬтг 'А
/(*) = £ —уЧ(х-Хо)”	(А.94)
о V п! )
У поодинокому випадку х0 = 0 ряд (А.94) називається рядом Мак-
лорена.
Ряд Фур’є:
/(х) = '^Спе’2кпІ'хі для а<х<а+Т,	(А.95)
1 а+т	1
С.=| р(хК'"'“<іх,	Д=-
а
Ряд Лорана:
ТЮ= -а/, де	(А.96)
а /(г) — функція, що є аналітичною усередині деякого кільця між дво-
ма концентричними колами з центром а, 0<г<\г-а\<. В, а*<х>.
530
«о
С08Х = V
п=0
(~1)пх2п
(2п)!
8ІПХ = ^
п=0
(-1)ях2пИ
(2п+1)!
(А.98)
(А.99)
Біном Ньютона:
Для всіх дійсних чисел а^Оі&^Ота для всіх натуральних чи-
сел п
(а + Ь)п = ^СпкапкЬк,
*=о
(а-Ь)п =	де
*=о
(А. 100)
(А.101)
с*п =
п\
к\(п-к)\
0, к>п
0<к<п
(А. 102)
Таблиця А.1 — Функції 8іпс(г) та 8іпс2(г)
2	8іпс(г)	8іпс2(г)	2	8іпс(г)	8іпс2(г)
0,0	1,0	1,0	1,6	-0,18921	0,03580
од	0,98363	0,96753	1,7	-0,15148	0,02295
0,2	0,93549	0,87514	1,8	-0,10394	0,01080
0,3	0,85839	0,73684	1,9	-0,05177	0,00268
0,4	0,75683	0,57279	2,0	0	0
0,5	0,63662	0,40528	2,1	0,04684	0,00219
0,6	0,50455	0,25457	2,2	0,08504	0,00723
0,7	0,36788	0,13534	2,3	0,11196	0,01254
0,8	0,23387	0,05470	2,4	0,12614	0,01591
0,9	0,10929	0,01194	2,5	0,12732	0,01621
1,0	0	0	2,6	0,11643	0,01356
1,1	-0,08942	0,00800	2,7	0,09538	0,00910
1,2	-0,15591	0,02431	2,8	0,06682	0,00447
1,3	-0,19809	0,03924	2,9	0,03392	0,00115
1,4	-0,21624	0,04676	3,0	0	0
1,5	-0,21221	0,04503			
531
Таблиця А.2 — Інтеграл імовірності
1
Р(2) = -7== [, Р(-г) = 1 - Е(г).
л/2л Д
2	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
0.0	.5000	.5040	.5080	.5120	.5160	.5199	.5239	.5279	.5319	.5359
0.1	.3598	.5438	.5478	.5517	.5557	.5596	.5636	.5675	.5714	.5753
0.2	.5793	.5832	.5871	.5910	.5948	.5987	.6026	.6064	.6103	.6141
0.3	.6179	.6217	.6255	.6293	.6331	.6368	.6406	.6443	.6480	.6517
0.4	.6554	.6591	.6628	.6664	.6700	.6736	.6772	.6808	.6844	.6879
0.5	.6915	.6950	.6985	.7019	.7054	.7088	.7123	.7157	.7190	.7224
0.6	.7257	.7291	.7324	.7357	.7389	.7422	.7454	.7486	.7517	.7549
0.7	.7580	.7611	.7642	.7673	.7704	.7734	.7764	.7794	.7823	.7852
0.8	.7881	.7910	.7939	.7967	.7995	.8023	.8051	.8078	.8106	.8133
0.9	.8159	.8186	.8212	.8238	.8264	.8289	.8315	.8340	.8365	.8389
1.0	.8413	.8438	.8461	.8485	.8508	.8531	.8554	.8577	.8599	.8621
1.1	.8643	.8665	.8686	.8708	.8729	.8749	.8770	.8790	.8810	.8830
1.2	.8849	.8869	.8888	.8907	.8925	.8944	.8962	.8980	.8997	.9015
1.3	.9032	.9049	.9066	.9082	.9099	.9115	.9131	.9147	.9162	.9177
1.4	.9192	.9207	.9222	.9236	.9251	.9265	.9279	.9292	.9306	.9319
1.5	.9332	.9345	.9357	.9370	.9382	.9394	.9406	.9418	.9429	.9441
1.6	.9452	.9463	.9474	.9484	.9495	.9505	.9515	.9525	.9535	.9545
1.7	.9554	.9564	.9573	.9582	.9591	.9599	.9608	.9616	.9625	.9633
1.8	.9641	.9649	.9656	.9664	.9671	.9678	.9686	.9693	.9699	.9706
1.9	.9713	.9719	.9726	.9732	.9738	.9744	.9750	.9756	.9761	.9767
2.0	.9773	.9778	.9783	.9788	.9793	.9798	.9803	.9808	.9812	.9817
2.1	.9821	.9826	.9830	.9834	.9838	.9842	.9846	.9850	.9854	.9857
2.2	.9861	.9864	.9868	.9871	.9875	.9878	.9881	.9884	.9887	.9890
2.3	.9893	.9896	.9898	.9901	.9904	.9906	.9909	.9911	.9913	.9916
2.4	.9918	.9920	.9922	.9925	.9927	.9929	.9931	.9932	.9934	.9936
2.5	.9938	.9940	.9941	.9943	.9945	.9946	.9948	.9949	.9951	.9952
2.6	.9953	.9955	.9956	.9957	.9959	.9960	.9961	.9962	.9963	.9964
2.7	.9965	.9966	.9967	.9968	.9969	.9970	.9971	.9972	.9973	.9974
2.8	.9974	.9975	.9976	.9977	.9977	.9978	.9979	.9979	.9980	.9981
2.9	.9981	.9982	.9982	.9983	.9984	.9984	.9985	.9985	.9986	.9986
3.0	.9987	.9987	.9987	.9988	.9988	.9989	.9989	.9989	.9990	.9990
3.1	.9990	.9991	.9991	.9991	.9992	.9992	.9992	.9992	.9993	.9993
3.2	.9993	.9993	.9994	.9994	.9994	.9994	.9994	.9995	.9995	.9995
3.3	.9995	.9995	.9996	.9996	.9996	.9996	.9996	.9996	.9996	.9997
3.4	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9997	.9998	.9998
3.5	.9998	.9998	.9998	.9998	.9998	.9998	.9998	.9998	.9998	.9998
3.6	.9998	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999
3.7	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999
3.8	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	.9999	1.0000	1.0000	1.0000
532
Додаток
ТАБЛИЦІ ПЕРЕТВОРЕНЬ ФУР’Є,
ГІЛЬБЕРТА, 2-ПЕРЕТВОРЕННЯ
І ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА
Таблиця Б.1 — Властивості перетворення Фур'е —
теореми про спектри
Теореми	-СО	
Суперпозиції		5,(Г) + Ь52(0
Переміщення в часі	— *о)	5(Пе-;г”Ло
Зміни масштабу часу	«(аі)	—5^1 |аГІа>І
Інверсії, обернення часу	8(-Ґ)	5(-Г)
Дуальності	5(0	»(-Л
Переміщення за частотою	8(0е’;2”Л'	5(Г + 70)
Модуляції	8(0сО82я/0^	|5(Г-/о) + |5(Г + /о)
Диференціювання за часом	(Г	(/2лГ)"5(Л
Диференціювання за час- тотою	(1/	~І2пі8(і).
Помноження на іп	1*8(1)		і ап$(ї) ар
Інтегрування	| 3(і)(ІІ -сО	й(0)5(П+і®Г)І^ ^/1/
Спряженості	8*(0	5*(-/)
Згортки	8^(1)® 82(І)	8ЛГ)8г(Г)
533
Теореми		о 5(/)=|«(0е’7г*'</ї
Множення	(0$г(0	«.(ЛввгСП
Площин	|в(О«И=5(О), -сС	8(0) = }я(7)</7 -«0
Таблиця Б.2 — Деякі з перетворень Фур’є
№	«0	«0 х(1)=\Х(Пеіг^ЛГ	«>	Х(П = |х(ї)е-;аг/їйі		
1	8(0	1	
2	1	8(7)	
3	е-ж(«/т)а	те-«<М’	
4	е^Щі)			—а>0 а + /2л/	
5	17(0	;2л/1м+25(^	
6	(1, і>0 8^л(і)=1-і,<<0	{4т. 7* о, |тя7 |о, г=о.	
7	{—, і*0, л£ Ір, * = 0.	-]8Ї§П(ІЇ	
8	-а|і| Є 1 1	2а а2+(2л/)2	
9	є'2"»'	8(7-/о)	
10	8ІП(2#о0	8(7-7о)-8(7+7о) 2	
11	СО5(2я/00	8(7~7о)+8(7 + 7о) 2	
12	е^'ЩО	8(7-/о) і 1 Г 1 1 2	/2я[/-70]	
13	зіп(2л4)0^(0	8(7-7о)-8(7 + 7о) , 1 ' 4;	2 л	70 1 ,7о2-72]
14	со8(2л/оОЩО	8(7-7о)+8(7 + 7о) , 1 			1	 4	і 2л	А) _72-7ог ]
534
№	х(0 = |Х(/’)е'2”/‘с//'	<=	>	х(/)=]ді)е-іг^аі
15	а>0	1 (а+і2пГ)2
16	«2е-"а(0, а>0	2 (а+;2лЛ3
17	а>0	6 (а + ;2#)4
18	Е5(»-лТ) П=-«о	-Е5Р--1 7і	1 'ТІ 1 п=-*>	\	1 /
19	1 Є ьз	Ех 8іпс(/х)
20	2Р8іпс(2Рі)	
21	еЛ(1)	Ех $іпс2(/х)
22	•ЕП[“]со^2я^>і)	^-[8іпс(Г-^+8іпс(Г+ГМ
Таблиця Б.З — Деякі з перетворень Гільберта
х(і) = х(і) ®— = — [ ' '<ІХ
пі п і, і -т
Функція	Спряжена функція
х(аі)	х(аі)
х(аі)	-х(аі)
х(аі + Ь)	х(аі + Ь)
^(0+у(0	х(і) + у(і)
сГх(і) бі"	(Іпх{і) аіп
А стала	0
£ і	-л5(0
' 5(0	1 кі
СО8(2п[0І + В)	8Іп(2тг/оі+0)
535
Функція	Спряжена функція	
зіпсгл/^+е)	-СО8(2л/0£ + Є)	
о,о$(аі)4 п(Ьі), 0 <д < а, п = 0,1,2,...	8Іп(аі)е7 п(Ьі)	
зїп(аі)4п(Ьі), 0<д<а, п = 0,1,2,...	-со8(а0е7п(&0	
Г1С7(^-а),а>0	1 . а 	1п	 пі а-і	, і Ф 0, і Ф а
і~2Щі-а),а >0	1	1	1 	5-ІП апі пі	а 	, і* 0,1* а а-і
	+іеіігк^	
зіп(а0	_ 		—а>0 аі	/ \2 1-соз(а0 __ аі\ 8Іп(а£/2) । аі	2 аі/2 )	
Ке[а]>0 (Г+ а2)	і (і2 + а2)	
ПМ	1. 2(-т —1п	 п 2£ + т	
Більш повну таблицю перетворень Гільберта можна знайти у Бейт-
мен Г., Зрдейн А. Таблицьі интегральньїх преобразований: В 2-х т.
Т. 2: Преобразования Бесселя. Интегральї отспециальньїхфункций:
Пер. з англ. —М.: Наука, 1970. —327 с.
Таблиця Б.4 — Деякі з з перетворень
№	Неперервна функція часу /(0, і > о	Відліковий сигнал /(лДО, п>0	2-перетворення
1	—	/(пД0=Н’Л [0,П 9*0]	1
2		/(пД0 = и(пДО = 1	1 1-г1
3		е-ог.Д< =(Є-«А')" =К"	1 1 1-Кгч
4	і	пЛі	Д*?'1 (1-г-’)2
5	іе~ш		дг (1-е-“'г-’)2
536
№	Неперервна функція часу ЛО, і > о	Відліковий сигнал /(пДі), п > 0	г-перетворення
6	зіп(дг)	зіп(дпД0	зіп (дДО^-1 1-2соз(дД02’1 + г~2
7	СО8(д£)	соз(дпДі)	І-созСЬДО^1 1-2соз(дД0-г-1 +2-2
8	е~^ зш(Ьі)	е-алЛ' зіп (ЬпАі)		е^зіпСдДрг-1	 1 -2е-аД'соз(дДі)2~1+е 2аАіг~2
9	е'ш соз(ЬЇ)	е'^1 соз(&пД0	1-е~аА/зіпСЬД^г-1 1-2е"аД/соз(дД02"14- е~2аЛіг~2
Таблиця Б.5 — Деякі з перетворень Лапласа
№	со	! О+/*> р^^г^е-^аі	<=>	7(0=— р(р)Лр 0	"У о_/00	
1	р	1
2	1 (р+а)	е-а/
3	1 Р2	і
4	1 р(р+а)	-(1-е^) а
5	1 (р+а)(р+Р)	(е-“-е-р') р-а
6	р (р+а)(р+Р)	а-р
7		1_	 (р+а)(р + р)(р+ї)		1	 (а-р)(р-у)(у-а)Х х[(7-Р)е'с“+(а-7)е~р' +(р -а-Уе'’11]
8	1 (Р+а)2	іе~ш
9	1 р2(р+а)	^(е-^+аг-І) а2
10	р (р+а)2	е“"(1-аі)
11	1 р(р+а)(р+р)	—!— [(а-р)+ре-“-ае’'1 аР(а-Р)
537
додаток
ФУНКЦІЇ БЕССЕЛЯ ПЕРШОГО
РОДУ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
І ТАБЛИЦІ ЗНАЧЕНЬ
(В.1)
(В.2)
(В.З)
Функції Бесселя першого роду га-го порядку позначаються
^(х) і визначаються таким аналітичними виразом:
1 *
е/„(х) = — і ехр(;х8Іп0 - уп0)<20 .
2тг -І
—ІЬ
Рівність (В.1) можна записати і так:
1 *
<(х) = — ( СО8(х 8ІП0 - п0 )с/0 .
я І
Подання за допомогою степеневого ряду:
" *!(»-*>!
Скориставшись розкладанням (В.З), можна записати:
х^ х6
'7о(Х) = 1-^- + ^Гр--22 42 б2 + •••;
Ті \-Х х3 х5
1(Х)-2 22-4 + 22-42-6
х2 х4 х6
<Г2(х)=-----£------------------
2-4 22-4-6 2?-42Ь-8
і т. д.
Властивості функцій Бесселя першого роду
1.<(х) = (-1ГЛ„(х).	(В.4)
Щоб довести цю рівність, замінимо 0 на (х - 0) в рівнянні
(В.2). Тоді, оскільки зіп(я - 0) = віп0, отримаємо:
538
1 %
е/л(х) = —|сОб(Х8ІП0 +П0 -ПЯ)бІ0 =
я О
1
= — |[СО8(ПЯ)СОЗ(Х8ІП0 + П0 ) + 8ІП(ПЯ )ЗІП(Х8ІП0 + П0)]Й0.
Я О
(В.6)
Для цілих п соз(п%) = (-1)® І 8Іп(пя) = 0. Отже,
е7л(х) = ^-^—|сОЗ(Х8ІП0 + П0)Й0.	(В.5)
71 о
Замінивши п на -п у (В.2), одержуємо:
Рівність (В.4) виходить з порівняння (В.5) і (В.6).
2.	е7л(х) = (-1)^л(-х).	(В.7)
Цю рівність можна дістати, якщо в (В.2) замінити х на -х і порів-
няти отриману рівність з (В.5).
З.	еГд_і (х)+<Тп+1 (х) =—<Іп(х).	(В.8)
х
Ця рекурентна формула корисна при заповненні таблиць функ-
цій Бесселя.
4.	Для малих значень аргументу х справедлива така формула:
^(х)=^7-	(В-9)
2 ПІ
Ця апроксимація виходить при відкиданні всіх членів ряду
(В.З), крім першого. Таким чином при малих значеннях змінної х
одержуємо:
еЛ0(х) = 1, ^(х) = х/2, е72(х) = х4/8, ...
НІ
ця В.1).
Вправа В.1
Порівняйте наведені значення з табличними (табли-
5.	Для великих значень аргументу х справедлива така наближе-
на формула:
т < \	( п пп]	_ ...
^п(х)= ---.СО8 х———--— .	(В.10)
улх V	4	2>
539
З цієї формули виходить, що при великих значеннях аргумен-
ту х функція Бесселя <їп(х) поводиться як синусоїдне коливання
з амплітудою, що зменшується.
6.	Якщо х — дійсна стала, то Л^х) прямує до нуля при п -> оо.
00
7.	Х'7п^х)ехР(7пФ) = ехР(7Х8ІпФ)-
П=-00
(В.И)
8.	^^(х) = 1, для усіх х.	(В.12)
П=-00
У таблицях В.1 і В.2 наведено значення функцій Бесселя <їп(х)
при зміні аргументу х і порядку п.
Вправа В.2
Переконайтеся в справедливості властивостей з 3 по 8, ви-
користавши для цього таблиці В.1 і В.2.
Таблиця В.1 — Функції Бесселя першого роду
при малих значеннях аргументу х
X			<Л,(х)		
0	1,0000	0	0	0	0
0,1	0,9975	0,0499	0,0012	0	0
0,2	0,9900	0,0995	0,0050	0,0002	0
0,3	0,9776	0,1483	0,0112	0,0006	0
0,4	0,9604	0,1960	0,0197	0,0013	0,0001
0,5	0,9385	0,2433	0,0306	0,0026	0,0002
0,6	0,9120	0,2867	0,0437	0,0044	0,0003
0,7	0,8812	0,3290	0,0589	0,0069	0,0006
0,8	0,84	0,3668	0,0758	0,0102	0,0010
0,9	0,8075	0,4059	0,0946	0,0144	0,0016
1,0	0,7662	0,4401	0,1149	0,0196	0,0025
1,2	0,6711	0,4983	0,1593	0,0329	0,0050
1,4	0,5669	0,5419	0,2073	0,0505	0,0091
1,6	0,4554	0,5699	0,2570	0,0725	0,0150
1,8	0,3400	0,5815	0,3061	0,0988	0,0232
2,0	0,2239	0,5767	0,3528	0,1289	0,0240
540
Таблиця В.2 — Функції Бесселя першого роду
при довільних значеннях аргументу х
п	<(1)	<(2)	<(3)	<(4)	<(*)	<«5)	<(?)
0	0,765	0,224	-0,260	-0,397	-0,178	0,150	0,300
1	0,440	0,577	0,339	-0,066	-0,277	-0,277	-0,005
2	0.115	0,353	0,486	0,364	0,047	-0,243	-0,301
3	0,020	ЙЛ2Й	0,309	0,430	0,365	0,115	-0,168
4	0,003	0,034	0.132	0,281	0,391	0,358	0,158
5		0,007	0,043	0.132	0,261	0,362	0,348
6		0,001	0,011	0,049	0.131	0,246	0,339
7			0,003	0,015	0,053	0.130	0,234
8				0,004	0,018	0,57	0.12,3
9					0,006	0,021	0,059
10					0,001	0,007	0,024
11						0,002	0,008
12							0,003
Продовження табл, В. 2
п	<(8)	<(9)	<(10)	<(11)	<(12)	<(13)	<(14)
0	0.172	-0.090	-0.246	-0.171	0.048	0.207	0.171
1	0.236	0.245	0.043	-0.177	-0.223	-0.070	0.138
2	-0.113	0.145	0.255	0.138	-0.065	-0.218	-0.162
3	-0.291	-0.181	0.058	0.227	0.191	0.003	-0.177
4	0.103	-0.266	-0.220	-0.015	0.162	0.219	0.076
5	0.166	-0.055	-0.234	-0.238	-0.073	0.132	0.220
6	0.338	0.204	-0.014	-0.202	-0.224	-0.118	0.081
7	0.321	0.328	0.217	0.018	-0.170	-0.241	-0.151
8	0.224	0.305	0.318	0.225	0.045	-0.141	-0.232
9	0.126	0.215	0.292	0.310	0.230	0.067	-0.114
10	0.061	0.125	0.203	0.280	0.300	0.234	0.085
11	0.026	0.062	0.123	0.201	0.270	0.293	0.236
12	0.010	0.027	0.063	0.122	0.195	0.262	0.286
13	0.003	0.011	0.029	0.064	0.120	0.190	0.254
14	0.001	0.004	0.012	0.030	0.065	0.119	0.186
541
п	<(8)	<(»)	<(10)	<(И)	<(12)	<(13)	<(14)
15		0.001	0.005	0.013	0.032	0.066	Олії 7
16			0.002	0.005	0.014	0.033	0.066
17					0.006	0.015	. 0.034
18					0.002	0.006	0.016
19						0.002	0.007
20							0.003
21							0.001
Продовження табл. В-2
п	<(15)	<(16)	<(17)	<(18)	<(19)	<(20)	<(21)
0	-0.014	-0.175	-0.170	-0.013	0.147	0.167	0.037
1	0.205	-0.090	-0.098	-0.188	-0.106	0.069	0.171
2	0.042	0.186	0.158	-0.158	-0.150	-0.160	-0.020
3	-0.194	-0.044	0.135	0.186	0.072	-0.099	-0.175
4	-0.119	-0.203	-0.111	0.070	0.070	0.181	-0.030
5	0.130	-0.057	-0.187	-0.155	0.004	0.151	0.164
6	0.206	0.167	0.001	-0.156	-0.179	-0.055	0.108
7	0.034	0.182	0.188	0.051	-0.117	-0.184	-0.102
8	-0.174	-0.007	0.154	0.196	0.093	-0.074	-0.176
9	-0.220	-0.190	-0.043	0.123	0.185	0.125	-0.32
10	0.090	-0.206	-0.199	-0.073	0.092	0.186	0.149
11	0.100	-0.668	-0.191	-0.204	-0.098	0.061	0.173
12	0.237	0.112	-0.049	-0.176	-0.206	-0.119	0.033
13	0.279	0.237	0.123	-0.031	-0.161	-0.204	-0.136
14	0.246	0.272	0.236	-0.132	-0.015	-0.146	-0.200
15	0.181	0.240	0.267	0.236	0.139	-0.008	-0.132
16	0.116	0.178	0.234	0.261	0.234	0.148	0.012
17	0.066	0.115	0.174	0.229	0.266	0.233	0.150
18	0.086	0.067	0.114	0.171	0.224	0.261	0.232
19	0.017	0.035	0.067	0.113	0.168	0.219	0.246
20	0.007	0.017	0.036	0.067	0.112	0.165	0.214
21	0.003	0.008	0.018	0.037	0.067	ОЛІЇ	0.162
22	0.001	0.003	0.008	0.019	0.037	0.068	0.110
23		0.001	0.004	0.009	0.019	0.038	0.068
24			0.002	0.004	0.009	0.020	0.032
25				0.002	0.004	0.010	0.020
26					0.002	0.004	0.010
542
ОСНОВИ ПРОГРАМУВАННЯ
В СИСТЕМІ МАТНЕМАТІСА
1.	Запуск системи
Запуск системи здійснюється традиційним для АУіпсіохув
способом. При цьому на екрані з’являється пусте вікно ЬТоіеЬоок.
Якщо у Вас вже є свій МоіеЬоок і ви продовжуєте роботу в системі,
треба його завантажити з відповідного файла. Якщо ж ви лише по-
чинаєте роботу в системі, введіть інформацію в пусте вікно і після
закінчення запишіть результати роботи. Хоча система записує ЬТоіе-
Ьоок у файл зі стандартним розширенням *.пЬ, вивести його на екран
у тому вигляді, в якому Ви його створили, можна лише в системі
МАТНЕМАТІСА.
8
Щоб виконати будь-яку дію, введіть вхідну інформацію Ь
і на клавіатурі зробіть 8ЬІЙ-Епіег. Якщо все вірно, МАТНЕ- І
МАТІСА обробить вхідну інформацію і видасть результат. $
При цьому система виведе вхідну інформацію з позначкою і
Іп[п]:= і результат з позначкою ОиЦп]= . Тут п — порядко- р
вий номер.	:
Наприклад, Ви хочете знати, чому дорівнює 5 + 7. У вікні
МоіеЬоок з клавіатури введіть 5 + 7, далі 8ЬІЙ-Епіег. Система додає
до входу відповідну позначку і на наступному рядку видає результат
також з відповідним ідентифікатором.
Іп(1]:= 5+7
0іл[1]= 12
І
1
Праворуч після кожного з операторів входу/виходу система
розміщує дужки: звичайна квадратна дужка об’єднує вхід/вихід,
543
квадратна дужка з трикутником — вхід, квадратна дужка з трикут-
ником і рисочкою — результат.
й
	Щоб виконати будь-яку дію в системі, необхідно з клавіа-
тури ввести відповідний оператор та виконати 8Ьій-Епіег.
	Вхідний оператор (команда) може складатися з кількох
рядків, тобто являти собою вже просту програму. В цьому
випадку, як у звичайному текстовому редакторі, слід ввести
програму і виконати 8Ьій-ЕпІег. Команда 8ЬІЇЇ-Епіег повідом-
ляє системі, що програму введено і ї*ї треба виконати.
2.	Числові обчислення в системі МАТНЕМАТІСА
Арифметичні обчислення
хЛу -X х/у хуг або х*у*х X + у	піднесення до степеня, тобто Xу мінус операція ділення операція множення операція підсумовування
Такі обчислення в системі МАТНЕМАТІСА виконуються
як на звичайному калькуляторі.
Приклад
Зверніть увагу на те, що система перетворює вхідний запис
у стандартну математичну форму.
Іп[2]:* 2.4Л43
0«Р]= 1.28678 x10і’
В системі МАТНЕМАТІСА є можливість за допомогою набору
зразків (РаїеМев) записувати і вхідні вирази у математичній формі.
Для цього слід скористатися меню системи. Наприклад, основна
таблиця зразків введення інформації з’явиться на екрані монітора,
якщо виконати такі дії: ПІе -> Раїейез -> Вазісіприі. Тепер достатньо
встановити курсор в потрібному місці програми і за допомогою мані-
пулятора «миша» вибрати необхідний символ або операцію (інтегру-
вання, диференціювання, піднесення до степеня і т. ін.).
Іп(4]:=> 3.4® 2-/2
0и(4)= 820.74
544
Точні та округлені результати обчислень
Звичайний калькулятор видає результати обчислення з де-
якою точністю, наприклад 8 цифр після десяткової крапки. В системі
МАТНЕМАТІСА можна отримати точний результат. У наступному
прикладі обчислено точне значення 2100.
Іп[5];= 2Л100
1
0ій[5]= 1267650600228229401496703205376
Якщо така точність не потрібна, можна вказати системі, щоб
вона видала наближений результат. Для цього використовуються
такі опції:
Ехрг Н N або ІМ[ехрг] округлення результату обчислення ехрг
М[ехрг, п]	числове значення ехрг із п знаками після
десяткової точки
Наприклад:
іпи= 2100 //н	]'
Оиф]= 1.26765 хіо”
МАТНЕМАТІСА може виводити результат у вигляді дробу і, зви-
чайно, округленим:
Іп|7]:= 1/5+4/11
1/5+4/11 // Н
31
0иф]= -
55
Оиі[В]= 0.563636
Зверніть увагу на те, що в цьому прикладі вхідний оператор за-
ймає два рядки.
Наступні приклади демонструють, як МАТНЕМАТІСА автоматично
інтерпретує вхідні дані: або як точні, або як наближені. Відповідно
до цього і результат вона видає або точним, або наближеним.
Цілі числа МАТНЕМАТІСА сприймає як точні і перший результат
в наведеному нижче прикладі є точним. Всі числа з десятковою точ-
кою МАТНЕМАТІСА розглядає як наближені і результат обчислень
з такими числами для неї є наближеним. Якщо в арифметичному
виразі є хоча б одне число з десятковою точкою, результат буде ви-
ведено округленим.
545
Іпр]:= 452/62
452/62//Н
226
Оиі|9]= ---
Зі
0ит[10]= 7.29032
Іп[І1].= 452. /62
0иі[11]= 7.29032
Деякі математичні функції
До системи МАТНЕМАТІСА включено велику кількість
математичних функцій. Нижче наведено лише деякі з них.
8дгі[х] Ехр[х] І_од[х] 1_од[Ь, х] 8іп[х], Соз[х], Тап[х]	ух ех 1о£ех = Іпх тригонометричні функції, аргумент подано в радіанах
Агс8іп[х], АгсСоз[х], АгсТап[х] п! АЬз[х] Роипсі[х] МосІ[п, ш] Капдот[ ]	обернені тригонометричні функції факторіал абсолютне значення найближче до х ціле п за модулем т (залишок від ділення п на т) псевдовипадкове число, що належить діапазону (0, 1)
Мах[х, у, ...] Міп[х, у, ...]	максимальне з х, у, ... мінімальне з х, у, ...
	Аріумент усіх функцій МАТНЕМАТІСА береться в квадратні
дужки.
	Імена власних функцій системи МАТНЕМАТІСА почина-
ються з великої літери.
	Звичайні (круглі) дужки в системі МАТНЕМАТІСА вико-
ристовуються лише для групування членів і вони ніколи
не використовуються для завдання аргументу.
Деякі важливі сталі:
Рі Е Оедгее	тс = 3,14159 е = 2,71828 тс/180 — коефіцієнт переводу градусів до радіан
546
і	і-і = 7-ї
ІпТІпИу	00
$МасЬіпеЕрзіІоп мінімальне додатне число таке, що при підсу-
муванні його з 1 виходить величина, яку ЕОМ не відрізняє від 1.
Введення такого додатка не впливає на результати обчислень, але
дозволяє уникнути невизначеності типу 1/0
Приклади
Іп[13]:= Ьод[5.6]
Ьод[10, 6]
Ьод[10, 6] //Н
0«л[13]= 1.72277
Ьод[6]
От [14]= --
І»од[10]
0иі[15]= 0.778151
ІпрО]:= 5дті[16]
5дгі[2] // Н
8дг^[2.]
ЗдгГ[2]
ОигрО]= 4
Оілрі]= 1.41421
О«Л[22]= 1.41421
ОигрЗ]= ^~2
1
]
1
ІпР8]:= 5ІП[РІ / 2]
Хіп[90 Редгее]
0иф8]= 1
О(ЛР9]= 1
Комплексні числа
Нижче виписано основні операції з комплексними числами
системи МАТНЕМАТІСА.
х + Іу
Ке[2]
Іт[2]
Соп]идаіе[2]
АЬзИ
АгдИ
комплексне ЧИСЛО X + ІУ
дійсна частина
уявна частина
комплексно-спряжена величина 2*
абсолютне значення |и|
аргумент ер комплексного числа г=|г|
547
Приклади
Іп[35]:= 5ф?Ь[-91
Оиф5> З І
Іпрб]:= (5+31) / (2.5-1)
Оиф8]= 1.31034+ 1.724141
У
1.
т
1
3.	Організація процесу обчислення в системі
МАТНЕМАТІСА
Використання попереднього результату
При виконанні обчислень часто слід використовувати
отримані раніше результати. В системі МАТНЕМАТІСА для цього
можна використати такі оператори:
%		виклик останнього результату
%%		виклик передостаннього результату
%% ..	.. % (к раз)	/?-й попередній результат
%п		результат, отриманий у рядку ОиЦп]
Приклади
Іп[41]:= З73
%+ 1
0іЛ[41]= 50653
0іЛ[42]« 50654
В наступному прикладі машина обчислила таку величину:
5 • 50654 + 506542 4-50653.
Іп[43]:= 5%+ЯИ2 +Я>^
0<Л[43]= 2566131639
У цьому прикладі МАТНЕМАТІСА знаходить значення
50653-2566131639.
Іп[44]:= М1-МЗ
0иг[44]= -2566080986
548
Задання (визначення) змінних у системі
МАТНЕМАТІСА
При виконанні багатокрокових обчислень зручно надавати
імена одержаним проміжним результатам. Як це робиться в матема-
тиці і в мовах програмування, в системі МАТНЕМАТІСА вводять
поіменовані змінні. Роблять це за допомогою таких операторів:
х = х/аіие змінній х надається значення оаіие
х = у = уаіие обом змінним х і у надається значення оаіие
х=. або С1еаг[х] відбувається очищення (вилучення) змінної х
Важливо пам’ятати, що значення, надані змінним, залишаються
в оперативній пам’яті ЕОМ, доки вони не будуть вилучені. Якщо
встановлено, наприклад, х = 5, МАТНЕМАТІСА в усі вирази, де
зустрічається змінна х, підставлятиме це значення. Щоб уникнути
помилок, необхідно
0
Вилучати змінні після того, як закінчено їх використання
в обчисленнях.
Обмежень на кількість символів в іменах змінних практич-
но немає. Існує єдине обмеження: ім’я змінної ніколи не може почи-
натися з цифри. Наприклад, хЗ може бути змінною, але Зх система
сприйме як 3*х.
Ще одне зауваження. МАТНЕМАТІСАрозрізняє великі і пропис-
ні літери.
0
	Всі вбудовані в систему МАТНЕМАТІСА об’єкти завжди
мають імена, що починаються з великої літери.
	Щоб уникнути помилок, перші літери імен власних функ-
цій і змінних мають бути прописними.
Визначивши змінні, далі можна записати формули з ними
майже так, як це заведено у математиці. Однак є декілька важливих
моментів, які треба пам’ятати.
х у означає х*і/, якщо літери розділені пропуском
ху позначує ім’я змінної ху, якщо літери не розділені
пропуском
5х означає 5*х навіть, якщо пропуску немає
хЛ2у означає (х'2) у , але не х'(2у)
549
Приклади
!п[50]:= рі = Н[Рі, 40]
ріл2
Ріл2
От[50]= 3.141592653589793238462643383279502884197	]
Ош(51]= 9.86960440108935861883449099987615113531	]
Омф2]= я*	]
Іп[4Є]:= X = 45
5іп[хІ)едгее]
0иі(48]=	45	1
і	1
Оиі{49]= ---
<2	_]_
Послідовність операцій
При обчисленнях майже завжди необхідно пройти по де-
якій послідовності операцій (кроків). Кожен з операторів програми
можна записувати на окремому рядку. Однак часто зручно розмісти-
ти декілька операторів на одному рядку. Це можна зробити, якщо
кожен оператор відокремлено від наступного крапкою з комою. Тут
слід пам’ятати ось що:
ехрг^ ехрг2; ехрг3 буде виконано кілька операцій, але виведено
тільки результат виконання останньої
ехрГр ехрг2; буде виконано всі перелічені
в послідовності оператори, але жоден
з результатів не буде виведено на екран
Правило таке:
8
Якщо після будь-якого оператора програми стоїть символ
«;», результат його виконання не виводиться на екран мо-
нітора і в МоіеЬоок.
Це дозволяє після налагодження програми усунути виведення
проміжних результатів.
Приклад
Іп[53]:= х = 4; у = 6; 2 = х + у + 5
О«л(бЗ]= 15
т
1
550
4. Алгебраїчні обчислення в системі
МАТНЕМАТІСА
Символьні обчислення
Це є типовим прикладом числового обчислення:
з/----
Іл(70):= 25+ 8.6 Л/15
0иі[70]= 46.2094
А це с прикладом символьного обчислення:
Іп[72]:=
х = .
5х+ З.Зх- 7
Ои![73]= -7 + 8.3’Х
Формули можна записувати за допомогою тих правил, що роз-
глянуто вище. Система МАТНЕМАТІСА автоматично зведе їх до
стандартного математичного вигляду.
У наступному прикладі зверніть увагу на те, що змінну х було
вилучено, але змінна у=6 залишилася.
Приклад
Ь[74]= ху+2хЛ2у-уЛЗхЛ2-Зух
/1123 (5п) ! (15035 + 278и) / (піл4 387 к (4 п))
-12х - 204х*	З
Л 387-*л (15035+278 п) (5п) І
До формул можна підставляти значення змінних. Для цього
використовуються такі опції:
Ехрг /. х—> уаіие	підстановка в конкретну
формулу х:=оаІие
Ехрг /. {х->хуаІ, у->ууаІ} підстановка значень кількох змінних
х=уаІуе	задає значення х, яке використовувати-
меться в усіх наступних обчисленнях
Приклади
1+Зх/.х->5
т
1
0иф8]= 16
551
Іп[93]:= І « 1 + КЛ2
Є/. х-> 2
і /. х-> 5а
1/. х->Рі//Н	□
Оі_Л[93]= 1 + Xі
0цф4]= 5	1
Оифб]= 1 + 25 а*
□ифб]= 10.8696	-3-
ГІеретворення алгебраїчних виразів
У багатьох випадках один і той самий алгебраїчний вираз
можна записати різними способами. Наприклад, 1 + 2х + х2 можна
записати як (1 + х)2. МАТНЕМАТІСА містить багато різноманітних
функцій, за допомогою яких формули можна записати різними спо-
собами. Розглянемо деякі з них.
ЕхрапсЦехрг] виконує множення, розкриває дужки і т. ін.,
тобто записує вираз ехрг у вигляді суми членів
Еасіог[ехрг] записує вираз ехрг у вигляді добутку
Зітр1іГу[ехрг]
мінімальних співмножників
намагається знайти найпростішу форму
виразу ехрг за допомогою стандартних
алгебраїчних перетворень
РиІІ8ітрІИу[ехрг] намагається знайти найпростішу форму виразу
ехрг, що містить не лише алгебраїчні функції,
за допомогою широкого набору всіляких
перетворень
~1 Приклади
Іпр7]:= Ехрапс1[(2 + х) Л3]
Гас£ог [Я$]	Л
0иф7}= 8 + 12 х + 6 х* + х*
0иф8]= (2 + х)5
У наступному прикладі Сашша[х] — гама-функція.
552
іп(Юі]:= 5ішр1і£у [Башта[х] Байта[1 ~ х] ]
Еіі11$ит^1і£у[Батта[х] Батта[1-х]]
0іл[101]= Батша[1 - х) Баюіа[х]
Оіл[Ю2}« тгСзс[лх]
Тут Сзс[х] — косеканс х.
Іл{99]:« Еасіог[хл10 - 1]
ЕхралсЦЧ]
(-1+Х) (1+Х) (1 -X +Х?-X2 + X*) (1 4-х + Хг +Х? 4-х*) З
ОиЦІООІ» -1 4- Xі*
МАТНЕМАТІСА містить також спеціальні оператори перетво-
рення виразів із тригонометричними функціями. Розглянемо деякі
з них.
ТгідЕхрапсЦехрг]	перетворює тригонометричний вираз ехрг на суму членів
ТгідЕасіог[ехрг]	записує тригонометричний вираз ехрг у вигляді добутку членів
ТгідКедисе[ехрг]	перетворює тригонометричний вираз ехрг за допомогою формул кратних кутів
ТгідТоЕхр[ехрг]	перетворює тригонометричну функцію на експоненційну
ЕхрТоТгід[ехрг]	перетворює експоненційну функцію на тригонометричну
СотрІехЕхрапсЦехрг]	перетворює вираз на алгебраїчну форму у припущенні, що всі змінні є дійсними
Приклади
ІП[103] = ТгідЕхраш1[Тал[х] Сов [2 х] ]
Ігі^Расіог [%]
Тгідйе«1исе[%]
0іп[103)= Соз[х] 5іп(х] - 5іп[х]! Тап[х]
Оиі[іО4)= (Соз[х] - Зіп[х]) (Соз[х] + Зіп[х]) Тап(х]
ОіпПОЗ)’ -~5ес(х] (5іп[х] - 5іп(3 х ])	1
Іп[Ю6]:« ТгідТоЕзф[Тап[х) Сов[2 х]] /. х -> 2 Рі £ і
ЕзфТоТгід[%]
0іл[і0?]» Соз[4Ґ * с] Тап[2 £л с|
553
5. Символьна математика
в системі МАТНЕМАТІСА
Основні операції
Деякі з основних математичних операцій наведено нижче.
□[Г, х]
Іпіедгаіе[Г, х]
8ит[Т, і, ітіп, ітах]
8оіує[ІНз= =гїіз, х]
8егіез[Г, {х, х0, огдег}]
1_ітЩЇ, х-> Хр]
, ч ЇЇ
похідна (частинна) ——
дх
невизначений інтеграл ^ї<іх
ітах
сума
і=ітіп
розв’язання рівняння стосовно х
розклад функції / до степеневого ряду
В ТОЧЦІ X = Хо
межа Ііш /
х-+х0
МАТНЕМАТІСА видає результат в загальному вигляді, якщо це
можливо. Інколи при розв’язанні рівняння не вдається отримати
результат у вигляді формули. У цьому випадку треба скористатися
числовими методами та апроксимацією — розглянемо пізніше.
Зараз на прикладах розглянемо кожну з операцій.
Диференціювання
Іп[10Єр= В[хЛп, х]
ОиЦ108]=
МАТНЕМАТІСА знає всі табличні похідні, наприклад,
Іп[110]:= В[Агс5Іп[х], х]
1
......
7і - х*
У наступному прикладі МАТНЕМАТІСА не знає, як продиферен-
ціювати функцію / і видає результат у символічному вигляді. Проте
МАТНЕМАТІСА вміє диференціювати функцію від функції, що вона
й продемонструвала.
ІпПИ]:= В[£[х], х]
В[2хї[хА2], х]
£'[х}	З
ОЛП12> 2 £[хх) + 4хгГ|хІ]	З
554
Інтегрування
Іп[113]:= ІіЛедгаЬе[хлп, х]
ОіЛ[113]= --
1 + п
У випадку, якщо Ви забули синтаксис операції інтегрування, або
Вам потрібно вставити результат у звіт, який читатимуть люди, які
не знають мови МАТНЕМАТІСА, можна за допомогою Зразків —
Раїеііев записати так:
Іп[114]:= ^xпйx
хип
0іЛ[114]х -------
1 + п
МАТНЕМАТІСА знає практично всі інтеграли, що виражаються
за допомогою елементарних функцій, і дуже багато інтегралів, які
можна подати за допомогою спеціальних функцій.
У випадку, якщо система не змогла взяти інтеграл або його вза-
галі не можна обчислити, вона повідомляє про це так, як у наступ-
ному прикладі.
Іп[іі7]:= Іпіедга£е[хЛх, х]	З
0иі[117]=
Приклад обчислення інтеграла, який не виражається в елемен-
тарних функціях:
Іп[И9]:= ІіЛедгаЬе[5іп(хЛ2]/ х]
ГтГ г ПГ і 1
Оиф19}= / — Ггезпе15| І — х|
Щоб з’ясувати, що це за функція ЕгезпеІ8[ ], звертаємося по до-
помогу. Для цього потрібно відмітити (виділити кольором) назву не-
відомої функції і натиснути клавішу РІ. МАТНЕМАТІСА видасть,
по-перше, стандартне математичне позначення функції і, по-друге,
її опис, посилання й т.ін. Наприклад, у даному випадку в першому
рядку довідки виведено:
ЕгезпеІЗИ діуез ІЬе ЕгезпеІ іпіедгаї 8(г).
Цей інтеграл — інтеграл Френеля — було використано нами при
виведенні аналітичного виразу спектра ЛЧМ радіоімпульсу.
555
Суми і добутки
Прикладом використання оператора 8сіт[Г, і, ітіп, ітах]
є програма до прикладів 2.1, 2.11, 2.13 (див. додаток до розділу 2)
та інші. Тут розглянемо приклади, коли треба знайти суму нескін-
ченного ряду.
Іп[126):= 5шл[1/ІЛ2)Г {і, 1, Іпіілііу}]
{і, 1, а,}]
я*
От [126]= —
я-4
Оиі[127> —
90
У цих прикладах одержано точне значення суми. В інших випад-
ках сума може виражатися за допомогою складних формул, спеціаль-
них функцій або взагалі не виражатися у згорнутому вигляді. Однак
і в цих випадках можна знайти числове значення суми.
Іп[ізо]= 5ша[1/іА3, {і, 1, ІпїіпіЛу}]
НМ
0<л[130]= 2е£а[3]
0<л[ізі]= 1.20206
Іп[132]:= 5илі[1/(і! + (21)!), (1, 1, Іпіілііу}! Х
Н[%]
1
Оиї[132]= V-----------
ЙІ1 + С2І)!
0<л[Ш1= 0.373197	]
Рівняння
х=у дає змінній х значення змінної у
х= =у перевіряє, чи виконується рівність двох величин X і у
У наступному прикладі перевіримо знання таблиці множення.
6 7 «« 42
67== 42
о«(2]« Тгие
0<л[3]« Гаїзе
1
1
Зверніть увагу на те, що між цифрами 6 і 7 у першому операторі
стоїть пропуск, а у другому її «забули» ввести.
556
Операції порівняння та логічні операції
При написанні програм часто необхідно використати опера-
ції порівняння та логічні операції. Нижче наведено деякі з них.
х= =у х!=у х>у х>=у х<у х<=у	дорівнюють (х = у) не дорівнюють (х у) більше (х > у) більше або дорівнюють (х > у) менше (х < у) менше або дорівнюють (х < у)
!р р&&С|&&... РІІЧІІ •••	«не» «і» (рл?л...) «або»
Ці оператори не потребують пояснень, тому розгляньте наступ-
ний приклад самостійно:
Іп[143]?= 9 > 7 && 5 != 6
9 > 7 £& 5 !=5
9 > 7	11 5 2= 5	]
0іл[і43]> Тгие	З
0иф44]= Раїзе	]
Оиі(14б]= Тгие	1
Розв'язання алгебраїчних рівнянь
Рівняння х2 -Ь 5х - 13 « 0 мовою МАТНЕМАТІСА записує-
ться так: хл2+5 х-13= =0. Необхідно розв’язати це рівняння, тобто
знайти те значення х, при якому вираз є істинним.
Іп[14б]:= £о1ує[хл2 + 5 к - 13 == 9, х]	1
0т[14б]= {{х-> - (-5-/7?)}, {Х"*7 (“5 +]
Наступні два оператори дозволяють отримати числовий резуль-
тат.
Іп[147]:« Н[*]
X/.
0иф47> ({х->-6.88748}, (х1.88748}}	З
0иї[148]= (-6.88748, 1.88748}	]_
557
Значення, що одержано, можна звичайним способом підставити
в будь-який вираз.
Іп[151].= х+ 5 /. *147
хА2 - 15 х/. %147
0іЛ[151]« {-1.88748, 6.88748}	]
0иф52> {150.75, -24.7496}	У
Зверніть увагу на те, що підставлено результат Ои([147], але не
Оиі[148].
МАТНЕМАТІСА завжди розв'язує алгебраїчні рівняння до 4-го
порядку включно. Рівняння більш високого порядку інколи не може
бути розв'язано системою безпосередньо. В цьому випадку МАТНЕ-
МАТІСА автоматично переходить до технології Нооі (корінь) і від-
шукує корені рівняння, для яких завжди можна одержати числові
значення.
И[153]:» $ОІТЄ[ХЛ5 - 4 X + 2 — 0, X]
НГЧ
х/. %
Ол[153]* {{х-»К00М2-4£1 + #1$&, 11),
(х->Воос[2-4#1 + #1$&, 21),
(х-*НооС{2-4і1 ♦ #1$4, 3)},
{х-+КооС(2-4і1*#1’*, 4В,
(Х-+Коос[2-4І1 + #1$&, 51)}	]
0Щ154]» {{х-»-1.51851}, (х->0.508499},	1
{х -> і. 2436) , (х -> -0.116792 - 1.43845 І),
{х->-0.116792+ 1.438451})
От [155]= {-1.51851, 0.508499, 1.2436, -0.116792- 1.438451, 1
-0.116792 + 1.438451)	1
У деяких випадках розв’язання не можна отримати в явному
вигляді. Машина повідомляє про це:
іп[іОД- Зо1те(Сов[х] «®х, хі
5оіуе::гс1ер : Піе едиасіопз арреаг со ііїуоВгє 1
ггапзсепйепсаі Гипссіопз о£ сЬе тгасіаЬіез
іп ап еззепсіаііу поп-аІдеЬгаіс кгау.	]
0л[!5б]» 5о1?е[Соз[х] ==х, хі	У
Проте і в цьому випадку можна знайти числове розв’язання,
якщо використати наступний оператор:
Іп[158].= Р1пЛЯ00І[С08[х] == X, {X, 111	З
СЧЛП5Є]= {х-+0.739085}	У
558
Тут 1 стартове значення х, з якого ви пропонуєте системі почати
пошук кореня.
Розв'язання диференціальних рівнянь
□8оіує[єяпз, у[х], х] розв’язується диференціальне рівняння
для і/[х], причому х виступає
як незалежна змінна
Знайдемо розв’язання рівняння у'(х) === ау(х) + 1.
Р5о1те[у1 [х] »» ау[х] + X, у[х], х]

Тут С[1] стала, визначувана з початкових умов.
Початкові умови можна ввести в оператор.
Інші приклади розв’язання диференціальних рівнянь розгляне-
мо нижче.
Степеневі ряди
При аналізі сигналів часто бажано отримати апроксимую-
чу формулу, справедливу, наприклад, коли х — мала величина.
В цьому випадку можна скористатися апроксимацією степеневим
поліномом.
Приклади
У загальному випадку довільної функції МАТНЕМАТІСА
видає формулу ряду Тейлора (А. 94):
Іп[164]:= Зегіея0/ 4}]
0т[1б4> £[0] +£*[0] А Г[0]
2
- £<}’[0) V + — £<*>(01 Ь* + 0|Є15
6	24
Для конкретної функції, наприклад, е'а,8Іп(20 одержимо:
Іп[1б5};- 5ЄГІЄ8(Ехр[-а1:] ЗІП[2Г], {£, а, 4}}
♦	/4	, і 4 8	8* ї 4 с
Ол(і65)« 2 с-2аг + І-+ а | V +---------г +СЦс]
4 3	* ІЗ ЗІ
З отриманими рядами можна робити всілякі дії, як із змін-
ними.
559
Іп[1бб):= Зегіез[Ехр[х], {х, 0, 5}]
%л2 (1-%)
Нотаї [%]
^л2
Ехрашірь]
х£	X2 X4	X5
Оиі(1бб]= 1 + х + —	+	 + 	 + —.—
2	6	24	120
5 Xі 0иї(1б7)= -X		19 х? 65 х4
	б	24
2	
5 х^ 0иі[1&8]= — X — 			19 х} 65 Xі
	6	24
2	
/	5 х*	19 X3 65 Xі
Оіл[1бй]= -х		• — 		— —	
\	2	6	24
Оиг[1701= у? + 5 х' +	15ІХ4	85х5
	
	12	+	4
2743 х*	44521 Xі»
	
288	14400
+ 0[х]5
211 х5	£
	+ 0[х]$
120	
211х$
120
211х5 V
" 120 /
9751 хб 467 х7 53197 х*
360	+	18	+	2880	+
У цьому прикладі з’явився оператор І\ІогтаІ[...]. Після його вико-
нання ряд записано вже у звичайній математичній формі.
Останній оператор записує піднесений до квадрату ряд як суму
членів.
Обчислення границь (меж)
Нижче наведено приклад. Проаналізуйте його самостійно.
Іп[171]:= ЗІПС = 5ІП[Х] /X
8ІПС /. Х-> 0
яілс /. х-> 0.01
ЬІ_ПІ1[5ІПС , х-> 0]
5іп[х]	1
От [171]» --—	І
х	□
Рота-ег:: іпґу	:	Іпііпіге	ехргеззіоп	-і	епсоип^егесі.	|
0	З
<х>::1псіег :	Іпйе^егвіпасе	ехргеззіоп	0 СошрІехІпСіпзху ~
епсоиигегесі.
□Щ172]= Іпйегегтіпасе
Оіл[173]= 0.999983	]
0и![174]» 1	У
560
Додаткові пакети символьної математики
У системі МАТНЕМАТІСА є великий набір пакетів програм,
за допомогою яких можна виконувати символічні математичні опе-
рації. Розглянемо лише 2 з них.
Перетворення Лапласа
«Саісиїиз 'карІасеТгапзГогт' оператор, що завантажує до
оперативної пам’яті ЕОМ пакет
(бібліотеку) перетворення Лапласа
карІасеТгап8Їогт[ехрг, і, 8] обчислення прямого перетворення
Лапласа функції ехрг
Іпуег8ЄкарІасеТгап8Іогт[ехрг, 8, і] обчислення оберненого перетво-
рення Лапласа функції ехрг
Перетворення Фур’е
«Саісиїиз ТоигіегТгапзТогт' оператор, що завантажує до
оперативної пам’яті ЕОМ пакет (бібліотеку) перетворення Фур’є
ЕоигіегТгап8Тогт[ехрг, і, со]	обчислення прямого перетворен-
ня Фур’є функції ехрг
ІпуегзеЕоигіегТгапзГогтІехрг,®, і] обчислення оберненого перетво-
рення Фур’є функції ехрг
Приклади
Іп[175]:= « Са1си1из'Ьадр1асеТгап5£огпі'
іп(і76Г» Ьар1асеТгал8іот[іл5і, р]
ІптегзеЬарІасеТгаїшїоггЦЯ^ р, і]
120
0іЛ[17б]= --------
(-в+р)6
□иі[177]- Е**с5
іп[179]:= ГоигіегТгап8Іоіті[Хііі[і] /і, і,
ІП¥егз€ЕоіігіегТгапз£от[Я*, о, і]
0»л[і7а)в -лИпіСЗСер [ -1 + оі, 2его?а1ие~»
х НпісЗгер [1 + оі, 2егоУа1ие -+ І ]
ОЩ180)« ---—
С
561
Тут функція ІІпііЗіерИ — одинична функція (див. розділ 1).
Важливі зауваження
  В системі МАТНЕМАТІСА пряме перетворення Фур’є
обчислюється за формулою
-ОО
а обернене перетворення — за формулою
1 00
з(і) =—|3((йК>и‘й(й.
_ю
Зверніть увагу на знаки показників експоненційних функ-
цій.
	3 цієї причини фазочастотні спектри, одержані в системі
МАТНЕМАТІСА, відрізняються від тих, що знайдено за
формулами, отриманими в розділі 3.
	В програмі, наприклад, до прикладів 3.13, 3.24 (додаток
до розділу 3) показано, як можна використати систему та
одержати результати, що співпадають з тими, що одержано
в розділі 3.
6.	Двовимірна графіка в системі МАТНЕМАТІСА
Основи графічних побудов
Деякі з основних операторів обчислення і побудови двови-
мірних графіків наведено нижче.
РІоЦІ, {х, хтіп, хтах}]	будує графік /(х) як функції х
в діапазоні значень від хтіп
до хтах
РІоЦ{Іг Г2, ...},{х, хтіп, хтах}] будує графіки кількох функцій
РІоі^аІиаіе[П, {х, хтіп, хтах}] спочатку обчислює значення
функції, а потім обирає точки,
необхідні для побудови графіка
РІоі[ЕуаІиаіе[ТаЬІе[І, ...]], {х, хтіп, хтах}] генерує таблицю значень
функцій із списку, потім будує
графік
РІоі[Еуаіиаіе[у[х] Лзоіиііоп], {х, хтіп, хтах}] будує графік числових
значень розв’язання диференціаль
ного рівняння, одержаного за допо
могою оператора ИОЗоіує
562
В системі МАТНЕМАТІСА-3 є два методи побудови графіків.
8
	Перший метод полягає в тому, що спочатку робиться ©циф-
рування функції /’, далі вже з числових значень функції
обираються ті, які потрібні для побудови графіка.
	Другий метод полягає в тому, що в міру побудови графіка
обчислюються необхідні значення функції.
РІо([ЕуаІиаіе[ї], {х, хтіп, хтах}], якщо функція одна, або оператора
РІоі[ЕуаІиаІиаіе[ТаЬІе[Т, ...]], {х, хтіп, хтах}], якщо функцій декіль-
ка.
Тут команда Еуаіиаіе вказує системі, що спочатку треба створити
таблицю значень функції і з неї обрати значення, потрібні наприк-
лад, для побудови графіка.
Знайдемо числове розв’язання однорідного лінійного диферен-
ціального рівняння і побудуємо графік розв’язання, тобто функції
и(0. Для цього використаємо оператор Еуаіиаіе, який вказує системі
МАТНЕМАТІСА, що спочатку треба взяти одержаний об’єкт Іпіег-
роІаііпдРипсііоп, ©цифрувати його на множині значень змінної і і за
цими числовими значеннями побудувати графік.
« МІ>£оІте[
(и‘ •(*] « 2и'[М - ЮЄи[Ь], <и[0] «« 1, V [0} «« • »/
{І,	5}]
{(иІпгегро1ас.іпд?\тссіоп({{0., 5.	}	З
Р1оі[Еиа1иаіе[и[Г] /. %], (і, 0, 5)1
- ОгарИІС-5 -
Основні опції графічних побудов
При побудові графіків МАТНЕМАТІСА автоматично обирає
параметри зображення. В більшості випадків вона робить це добре.
Проте, якщо треба якісь із опцій змінити, це можна зробити. Для
цього треба дотримуватися деяких правил.
Кожна опція має своє ім’я і після основних аргументів функції
типу Ріоі можна дописати послідовність опцій у вигляді ім’я ->
563
значення. Всі останні опції, які не перевизначені, мають ті значення,
які встановлено в системі МАТНЕМАТІСА за замовчанням. Символ
«->» вводиться з клавіатури послідовним натисканням клавіш «-»
і « > ».
РІоі[Т, {х, хтіп, хтах}, орйоп ->уаІие] будує графік /(х) із змі-
неним значенням опції.
Оператор РІоі має багато опцій, які можна встановлювати на
свій розсуд. Однак на практиці користуються лише кількома
з них. їх й наведено нижче. Всі опції можуть використовуватися
в операторі Віллу, про який мова піде нижче.
Ім’я	За замовчанням		
АзресіРаііо	І/СоІбепВаііо	= 2/(14-л/б) = 0,61803 відношення висота/ширина. Автоматично обчислюється за значенням координат х і у
Ахез	Аиіотаііс	на графіку наносяться осі координат
АхезІаЬеІ	ЬТопе	щоб позначити осі: уІаЬеІ виводить позначення осі у, хІаЬеІ виводить позначення осі х, {хІаЬеІ, уІаЬеІ} позначено буде обидві осі координат
АхезОгідіп	Аиіотаііс	точка, в якій перетинаються осі координат
Ргате	Гаїве	використовується, коли треба взяти графік у рамку
Сгісіїіпез	Копе	якщо цю опцію включено, на графік наноситься сітка
РІоіІаЬеІ	ЬТопе	коли цю опцію включено, можна ввести заголовок графіка
РІоІРапде	Аиіотаііс	змінює діапазон значень вздовж осі у
Розглянемо приклад.
Побудуємо графік функції
8Іп(2л/) _
——. Якщо скористатися
опціями, що встановлено за
замовчанням, то графік буде
«обрізаний згори». Виправи-
ти це можна за допомогою оп-
ції РІоіКапде. Візьмемо графік
у рамку, додамо сітку, позначи-
мо осі координат і встановимо
співвідношення висота/ширина,
ІП(192]:« Р1оі[5іл[2 Рі П / (2 Рі ї)<
(і, -2, 2), РЮОІалде-> (-0.3, 1}.
Ггаше -> Тгие, ЄгіШиіпея -> Аиісттаііс,
АхеяЬаЬеІ -> ("£«, '8іп(2пП/2лГ Ь
564
яке дорівнює 1. Зверніть увагу на те, що вісь ординат позначено за
допомогою звичайних символів математики.
Перестроювання і комбінування графіків
МАТНЕМАТІСА зберігає інформацію про кожен графік,
який вона побудувала. Тому пізніше їх можна побудувати заново,
змінивши, якщо треба, опції.
Нижче наведено деякі функції маніпулювання графіками.
8Ьоуу[рІоі]	будує графік заново без змін
8Ьоуу[рІоі, орііоп ->УаІие] будує графіки заново із зміненими
опціями
8Ьоуу[рІоіг ріо^, ...] накладає кілька графіків один на інший
ЗЬоу^СгарЬісзАггауКфІо^, рІоі2, ...}, ...}]] будує множину (область)
кількох графіків

Приклад
Побудуємо графік відомої нам функції.
Р1о1[(3іл[2 Рі і] І Л2 / (2 Рі £ « Л2,	-2, 2},
РІаЬйалде -> {-0.1, 1}]
Ош(іаз)= - СгарЬісз -
Іп(і94]« 51ипг[Я5,
Егаше -> Тгие, (угійБіпев -> АиІопаЬіс,
ахезЬаЬеІ ->	“8і»2(27г£М(2л1)2"},
ЛзресіЯаМо -> 1]
ОиЦЖ]3 - Огаріїісз -
565
Скористаємося оператором 8Ьою, змінимо деякі опції та отримає-
мо графік, що наведено нижче.
Діючи таким чином, можна проглянути багато різних варіантів
побудови графіка і вибрати той, який Вас задовольнить.
Оператор 8Ьоуу можна використати для комбінування різних гра-
фіків. Розглянемо цю можливість на прикладі.
.	... 8ІП(О
Побудуємо графіки функції —та п спектральної густини.
Проміжні побудови не наведено.
Остання опція ЕгатеТіскз ->Мопе усуває з рамки масштабні
рисочки.
Зверніть увагу на те, як отримано спектр коливання. Чому у про-
грамі пряме перетворення Фур’є обчислено за допомогою оператора
ІпуегзеЕоигіегТгапзїогтп [...] і яку роль відіграє сталий множник 2я?
« СаІспІияГоигіегТгаляїопп
«1 = $ія[€]/і;
деІгПоЧ»*,	ХО)ж ЖхвЛЛеІ (МЄ, “«(Є)")!?
ІпуегяеЕоигіегТгапяїогтІяІ, і, ту] 2 л
дГ1=Р1оі[%, {V, -4, 4), АхеяЬаЬеІ -> ( чГ , ”3(1»)”}, АяресШаііо -у 0.31
5Іиж(&г«фПісяАггау[ {(дві), {дГ 1}] ], Ргате -> Тгие, ЕгаспеТіскв -> Поле|;
566
7.	Тривимірна графіка у системі МАТНЕМАТІСА
Контури і густини
Нижче наведено оператори побудови контурів однакових
значень і густин функцій.
СопіоигРІоЦЇ, {х, хтіп, хтах}, { у, утіп, утах }] будує контури
однакових значень / як функції х та у
□епзііуРІоЦЦх, хтіп, хтах}, {у, утіп, утах}] будує графіки густини
Деякі з опцій контурних графіків наведено у наступній таблиці.
Вони застосовні і в операторі 8Ьою.
Ім'я
За замовчанням
Сопіоигз	10 загальна кількість контурів або список значень 2 для контурів
СопІоигЗНасІіпд РІоіРоіпіз	Тгие на графіку наносяться відтінки 15 кількість точок графіка в кожному напрямку
Побудуємо контурний графік залежності спектра імпульсу пря-
мокутної форми від частоти і тривалості імпульсу. За допомогою
відповідних опцій перетворимо графік так, щоб його можна було
друкувати на монохромному принтері.
а= 1;
Сопіош?Р1о1 [а г Зіп[п £ г] / (п £ г + $МасМлеНувіІоп),
{£, -1, 1), (т, 9, 10}/ Соп£аш?£кааіпд -> Еа1«е,
РІоІРоіпіз -> 69, Сопіошгз -> 20]
о
-1	$ вл
оирізі* - СошхиігСігарЬісз -
567
Графіки тривимірних поверхонь
РІоіЗО[Т,{х, хтіп, хтах}, {у, утіп, утах}] будує тривимірний графік
/ як функції змінних х та у
Деякі опції тривимірних графіків:
Ім’я	За замовчуванням	
Ахез АхезІаЬеІ	Тгие	наносяться осі координат ЬТопе	щоб позначити осі координат, треба ввести: хІаЬеІ — позначено лише вісь з, {хІаЬеІ, уІаЬеІ, ХІаЬеІ} — позначено всі осі координат
ВохесІ	Тгие	графік розміщено у відповідному паралелепіпеді
ЕасеОгісіз	ЬТопе	визначає, на яких гранях паралелепіпеда наносити сітку, якщо А11, — на всіх.
НісИепЗигТасе МезЬ РІоІРапде	Тгие	поверхня непрозора Тгие	на поверхню нанесено ху сітку Аиіотаііс	задає діапазони значень змінних: {хтіп, хтах} — лише г, {{хтіп, хтах}, {утіп, утах}, {хтіп, гтах}} — по всіх осях
ЗІіадіпд	Тгие	встановлює чи має бути поверхня забарвленою чи білою
\/іежРоіпІ	{1,3, -2,4, 2} задає координати точки, з якої розглядається поверхня
РІоіРоіпІз	15	число точок у кожному напрямку, в яких обчислюються значення функції. Якщо треба змінити, задають іншу кількість точок {п , п }
Приклад побудови графіка тривимірної поверхні наведено у роз-
ділі 3, рис. 3.17.
8.	Параметричні графіки
в системі МАТНЕМАТІСА
Досі було розглянуто графіки, в яких координата у є дея-
кою заданою функцією координати х у двовимірному випадку, або
координата 2 є функцією координат х і у у тривимірному випадку.
МАТНЕМАТІСА дозволяє обчислювати та будувати параметричні
графіки, коли і х, і у є функціями третьої змінної, наприклад і.
568
В радіотехніці це дає змогу просто і швидко будувати, наприклад,
векторні діаграми, точніше, годографи векторних діаграм.
Деякі оператори побудови параметричних графіків наведено
в таблиці.
РагатеігісРІоі [{/х,	іпгах}}] будує двовимірний
параметричний графік
РагатеігісРІоіЗО [{/х, /у, £},{£, ітіп, ітах}}] будує тривимірний
параметричний графік
Приклади
Побудуємо графіки кількох фігур Ліссажу.
В підручнику розглянуто багато інших прикладів побудови
двовимірних і тривимірних параметричних графіків.
Іп[і4]:= Рагагое£гісР1о1[(5іп[£], Со8[і]}, [і, 0, 2 Рі}, АяресШаМо-> 1]
РагатеігісР1оі[{Зіп[І;], СозСЗі}}, {і, 0, 2 Рі}, ХвресіКагіо-> 1]
От [14]= - бгарйісз -
От [15]= - СгарИісз -
Детальніше про систему МАТНЕМАТІСА див., наприклад,
1.	АУоІГгат ЗіерИеп. ТИе МаНіетаііса Ьоок. СатЬгісі&е
НпІУегвИу Ргевв, 1959. —1403 р.
2.	Капустина Т. В. Компьютерная система МаПіешаііса 3.0
для пользователей. —М.: СОЛОН-Р, 1999. —240 с.
3.	Дьяконов В. П. МаіИетаїіса 4 с пакетами расширений. —
М.: «Нолидж», 2000. —608 с.
569
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ
ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1.	Радіотехніка: Енциклопедичний навчальний довідник:
Навч. посібник/За ред. Ю. Л. Мазора, Є. А. Мачуського,
В. І. Правди. —К.: Вищ. шк., 1999. —838 с.
2.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигнали.
4-е изд. —М.: Радио и связь, 1986. —512 с.
3.	Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигнали.
2-е изд. —М.: Вьісш. шк., 1988. —448 с.
4.	Зиновьев А. Л., Филиппов Л. И. Введение в теорию
сигналов и цепей. Учеб. пособие для радиотехн. спец, вузов. —
М.: Вшсш. шк., 1975. —264 с.
5.	Радиотехнические цепи и сигнали: Учеб. пособие
для вузов/Д. В. Васильєв, М. Р. Витоль, Ю. Н. Горшенков и др.?
Под. ред. К. А. Самойло. —М.: Радио и связь, 1982. —528 с.
6.	Радиотехнические цепи и сигнали. Примерьі и задачи:
Учеб. пособие для вузов/Г. Г. Галустов, И. С. Гоноровский,
М. П. Демин и др./Под ред. И. С. Гоноровского. —М.: Радио
и связь, 1989. —248 с.
7.	Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигнали.
Руководство к решению задач: Учеб. пособие для радиотехн.
спец, вузов. —М.: Вьісш. шк., 1987. —207 с.
570
ЗМІСТ
Передмова........................................З
Список абревіатур................................7
1.	КЛАСИФІКАЦІЯ ТА МОДЕЛІ СИГНАЛІВ
ТА СИСТЕМ..........................................9
Вступ............................................9
1.1.	Класифікація та математичні моделі сигналів
та процесів ....................................11
Класифікація сигналів залежно від області
визначення та області набутих значень: неперервні,
дискретні і цифрові сигнали..................12
Періодичні та неперіодичні (аперіодичні) сигнали . 13
Комплексні сигнали та спектри................14
Енергія та потужність сигналів. Сигнали енергії
і сигнали потужності.........................17
Ортогональність сигналів за енергією
та потужністю ...............................20
1.2.	Сингулярні функції та їх використання при
моделюванні детермінованих сигналів.............21
Одинична функція (функція Хевісайда, функція
включення, функція одиничного стрибка) ......21
Знакова функція .............................24
Д е л ьт а- фу н кція
(функція Дірака, одинична імпульсна функція) ... 24
1.3*	. Простір сигналів........................27
Множини сигналів ............................28
Метричні простори............................ЗО
Лінійні простори.............................33
Нормовані лінійні простори...................34
Простори зі скалярним добутком...............35
571
1.4. Класифікація та математичні моделі радіотехнічних
кіл та систем...................................39
Опис за допомогою диференційних рівнянь .....40
Опис за допомогою інтегральних виразів ......41
Неперервні та дискретні кола та системи......42
Системи з постійними та змінюваними у часі
параметрами..................................42
Каузальні та некаузальні системи та кола ....42
Інерційні та безінерційні системи та кола....43
Лінійні та нелінійні системи та кола.........43
1.5.	Задачі.....................................45
Додаткова література............................50
Додаток до розділу 1 ...........................51
2.	ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ УЗАГАЛЬНЕНОГО
СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛІЗУ СИГНАЛІВ....................52
Вступ...........................................52
2.1	. Подання довільного сигналу у вигляді суми
елементарних коливань. Узагальнений ряд Фур’є ... 54
Базисні системи функцій та їх властивості....55
Узагальнений ряд Фур’є.......................56
Нерівність Бесселя, рівність Парсеваля.......58
Властивості рядів Фур’є .....................61
2.2	*. Ортогоналізація систем лінійно незалежних
функцій. Процедура Грама-Шмідта ................65
2.3	*. Деякі класичні ортогональні системи функцій
у просторі Ь2 (у просторі зі скалярним добутком) .... 72
Поліноми Лежандра першого роду...............72
Поліноми Чебишева першого роду...............75
Система функцій Хаара........................79
Система функцій Уолша........................82
Система поліномів і функцій Лагерра..........85
2.4	*. Подання сигналів у векторному просторі...89
2.5	. Задачі....................................95
Додаткова література............................99
Додаток до розділу 2 ...........................100
572
З-	СПЕКТРИ ДЕТЕРМІНОВАНИХ СИГНАЛІВ
ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ................................102
Вступ..........................................102
3.1.	Гармонічний аналіз періодичних сигналів...103
Три форми запису ряду Фур’є
періодичних сигналів .......................104
Зв’язок коефіцієнтів рядів Фур’є, записаних у
косинусній та комплексно-експоненційній формах 115
Особливості спектрів періодичних сигналів ..115
3.2.	Спектральний аналіз неперіодичних сигналів . . 125
Перетворення Фур’є .........................125
Спектральна густина енергії, енергетичний спектр
неперіодичного сигналу......................131
3.3.	Властивості перетворення Фур’є.
Теореми про спектри ...........................138
Теорема лінійності (суперпозиції) ..........138
Теорема переміщення сигналу в часі
(запізнювання сигналу)......................140
Теорема зміни масштабу часу.................142
Теорема інверсії часу.......................143
Теорема дуальності .........................145
Теорема переміщення спектра за частотою.....146
Теорема модуляції...........................146
Теорема диференціювання у часовій області...148
Теорема диференціювання у частотній області ... 148
Теорема множення сигналу на і...............149
Теорема інтегрування у часовій області......152
Теорема спряженості.........................154
Теорема згортки.............................155
Теорема множення у часовій області..........161
3.4.	Граничний перехід у перетворенні Фур’є.
Спектри сигналів, що не задовольняють умовам
застосовності перетворення Фур’є...............162
Спектр дельта-функції, періодичної послідовності
дельта-функцій і сталої величини ...........163
Спектр знакової функції і функції включення . . . 166
Спектральна густина періодичного сигналу ...172
573
Закономірність зменшення амплітудного спектра
зі збільшенням частоти.....................176
3.5.	Задачі...................................179
Додаткова література..........................187
Додаток до розділу 3 .........................187
4.	СПЕКТРАЛЬНА ГУСТИНА ЕНЕРГІЇ
ТА СПЕКТРАЛЬНА ГУСТИНА СЕРЕДНЬОЇ
ПОТУЖНОСТІ. КОРЕЛЯЦІЯ.........................189
Вступ........................................189
4.1.	Спектральна густина енергії і кореляційна функція
сигналів зі скінченною енергією...............190
Спектральна густина енергії................190
Властивості спектральної густини енергії...192
Активна ширина спектра сигналу.............195
Автокореляційна функція (АКФ) сигналів енергії
та її властивості..........................206
Взаємна кореляційна функція (ВКФ)
сигналів енергії та її властивості.........211
4.2.	Спектральна густина середньої потужності
і кореляційна функція сигналів зі скінченною середньою
потужністю і нескінченною енергію.............213
Спектральна густина середньої потужності...213
Властивості спектральної густини середньої
потужності.................................216
АКФ сигналів зі скінченною середньою потужністю
та її властивості..........................217
ВКФ сигналів потужності....................219
4.3.	Спектральна густина середньої потужності і
кореляційна функція періодичних сигналів......220
4.4.	Задачі...................................228
Додаткова література..........................233
Додаток до розділу 4 .........................233
574
5.	ДИСКРЕТНІ І ЦИФРОВІ СИГНАЛИ
ТА МЕТОДИ ЇХ АНАЛІЗУ.............................234
Вступ.........................................234
5.1.	Дискретизація та квантування
неперервних сигналів...........................236
Теорема відліків для сигналів з обмеженим спектром
у часовій області. Спектр відлікового сигналу .. . 236
Відновлення неперервного сигналу з відлікового
(дискретного) сигналу.......................241
Теорема відліків у частотній області........248
Аналого-цифрове перетворення сигналів.......250
5.2.	Дискретне перетворення Фур’є (ДПФ)........255
Пряме та обернене дискретне
перетворення Фур’є..........................255
ДПФ і ряди Фур’є. Похибки, що виникають при
використанні ДПФ............................258
5.3.	Математичний апарат аналізу дискретних сигналів
та систем, г-перетворення......................266
Пряме г-перетворення........................266
Властивості г-перетворення.
Теореми про г-перетворення..................272
Обернене г-перетворення.....................277
5.4.	Задачі....................................288
Додаткова література...........................294
Додаток до розділу 5 ..........................295
6.	ВУЗЬКОСМУГОВІ СИГНАЛИ.........................297
Вступ..........................................297
6.1.	Обвідна та миттєва частота
вузькосмугового сигналу........................298
Перетворення Гільберта та його властивості..302
6.2.	Аналітичний сигнал........................305
Комплексна обвідна вузькосмугового сигналу .. . 306
6.3.	Подання вузькосмугового сигналу з(і)
за допомогою аналітичного сигналу г£і) ........308
575
6.4.	Дискретизація вузькосмугових сигналів ...317
6.5.	АКФ вузькосмугових сигналів..............322
6.6.	Задачі...................................327
Додаткова література..........................331
Додаток до розділу 6 .........................331
7.	СИГНАЛИ З АМПЛІТУДНОЮ МОДУЛЯЦІЄЮ . 334
Вступ.........................................334
7.1	. Тональна АМ. Подання сигналів у часовій та
частотній областях. Векторні діаграми ........336
7.2	. Енергетичні характеристики коливань з АМ . . . 345
7.3	. Коливання з АМ довільним сигналом.......349
Квадратичний модулятор......................357
Квадратичний детектор.......................358
7.4	*. Балансна (двосмугова) модуляція з придушенням
носійного коливання ..........................359
Балансний модулятор.........................361
Синхронне (когерентне) детектування коливань
із двосмуговою модуляцією...................361
7.5	*. Квадратурна амплітудна модуляція ......367
7.6	*. Односмугова модуляція (ОМ).............369
Опис сигналів з ОМ в частотній області......370
Опис сигналів з односмуговою модуляцією
в часовій області ..........................372
Метод генерування сигналів з односмуговою АМ,
оснований на фазовій дискримінації..........379
Демодуляція коливань з односмуговою АМ .....379
7.7	*. Односмугова АМ з неповним (частковим)
придушенням бічної смуги - УезіІ£Іа1 зібеЬаші
тойиіаііоп (У8В)..............................381
Опис сигналів з У8В модуляцією
в частотній області.........................382
Генерування сигналів із У8В модуляцією......382
576
7.8	*. Порівняльний аналіз сигналів і систем
з амплітудною модуляцією .....................386
7.9	. Задачі..................................389
Додаткова література..........................394
8.	СИГНАЛИ З КУТОВОЮ МОДУЛЯЦІЄЮ .................395
Вступ.........................................395
8.1.	Кутова модуляція: базова	концепція.......396
8.2.	Подання сигналів з тональною кутовою модуляцією
у часовій області.............................400
8.3.	Спектри сигналів з тональною кутовою
модуляцією....................................404
8.4*	. Генерування і детектування сигналів з кутовою
модуляцією....................................423
8.5*	. Кутова модуляція при негармонійному
модулюючому сигналі ..........................331
8.6.	Радіоімпульси з лінійною частотною
модуляцією (ЛЧМ)..............................437
Радіоімпульс з ЛЧМ, його характеристики
і властивості..............................437
Спектр радіоімпульсу з лінійною частотною
модуляцією.................................439
АКФ радіоімпульсу з ЛЧМ....................448
8.7.	Радіосигнали з фазовою маніпуляцією (ФМн) . . 452
АКФ радіоімпульсів з фазовою маніпуляцією .... 454
АКФ ФМн сигналів Баркера...................455
Спектри ФМн сигналів Баркера...............457
Генерування ФМн сигналів Баркера ..........461
Двійкова псевдовипадкова послідовність.....461
Сигнали з фазовою маніпуляцією двійковими
псевдовипадковими послідовностями .........465
АКФ сигналів, маніпульованих
М-послідовностями..........................466
Спектри сигналів, маніпульованих
М-послідовностями..........................470
577
8.8.	Задачі.................................475
Додаткова література........................481
Додаток до розділу 8 .......................482
9*. ПОРІВНЯЛЬНИЙ АНАЛІЗ СИГНАЛІВ
З АМ ТА ЧМ. ПРИКЛАДИ РАДІОТЕХНІЧНИХ
СИСТЕМ З АМ ТА ЧМ...........................486
Вступ.......................................486
9.1.	Відношення сигнал/шум на вході та виході
демодуляторів ЧМ і АМ.......................488
9.2.	Порівняльний аналіз сигналів з АМ та ЧМ .... 494
9.3.	Приклади РТС, де застосовано сигнали
з АМ та ЧМ..................................496
АМ радіомовлення..........................496
ЧМ (ЕМ) радіомовлення ....................498
ЧМ стереорадіомовлення....................501
Чорно-біле телебачення....................505
Кольорове телебачення ....................512
Додаткова література........................520
Додаток А. Математичні таблиці
та формули .................................521
Додаток Б. Таблиці перетворень Фур’є,
Гільберта, х-перетворення і перетворення
Лапласа ....................................533
Додаток В. Функції Бесселя першого роду,
їх властивості і таблиці значень ...........538
Додаток Г. Основи програмування в системі
МАТНЕМАТІСА.................................543
Список використаної
та рекомендованої літератури................570
578
Навчальне видання
Волощук Юрій Іванович
Сигнали та процеси у радіотехніці
Підручник для студентів
вищих навчальних закладів
том 1
Редактор Попко О. Г.
Комп’ютерна верстка Кримського А. В.
Художнє оформлення Денисенка А. О.
Підп. до друку 07.10.2003 Формат 60x90/16
Умов. друк. арк. 36,25
Зам. № Тираж 4 тис. прим.
Ціна договірна.
Видавництво «Компанія СМІТ».
61166, м. Харків, проси. Леніна, 14.
Тел.:8-(0572)-17-54-94
Факс: 8-(0572)-14-23-66
Е-таі1: Ьоок@8тіі.ккагкоу.иа
Свідоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи до держав-
ного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої
продукції ДК № 435 від 26.04.2001
Друкарня «Торнадо»,
61045, Харків, вул. Отакара Яроша, 18
Список помилок у першому томі підручника Ю.І. Волощука
«Сигнали та процеси в радіотехніці»
Сір.	Рядок (рисунок, формула)	Надруковано		Має бути
42	13 знизу	>?0		</0
55	13 згори	{ „(0)		{ф„(0}
71	4 знизу			
76	12 згори	Xй'6 х]		Xй’6]
94	13 згори	ІННМІ		ІІФІМІ
171	5 знизу			°\е~ігіфйі 0
175	4 згори	$А1)		у(і)
215	(4.51)	хт(П		
237	17 згори			5(АДг)
281	10 знизу	ііт Х(г) = 5		Ііт Х(г) = 5
287	11 згори, 13 згори, 2 знизу	2/		2яу
288	7 згори	2 у два рази		2ту два рази
311	9 знизу	5(ї)		у(0
317	3,5, 9, 10 знизу	чотири рази		У (7) чотири рази
321	Рис.6.15			убрано
324	(6.38)	0(/ —т)] два рази		0(7 ~ Т)]} два рази
324	(6.39)	Є(г-т)]		Є(ґ-т)]}.
328	10 знизу		а 1 аГ*' 1Л V ІЛ А .1	І.' ***	(о,	/<-/„. 5(/)= 50г-*І, -Л</<Л, [о,	/>УВ-
353	5 згори	У1 два рази		у2 два рази
353	15 знизу	п/2		Зя/4
353	15 знизу	Зп/4		п/2
373	15 знизу	каг>		КАП
384	(7.58)	Ж) = -£[£(/- /о) + Е(/ + /о)К(Л		У(П = ^[5(/-/0) + 5(/+ /„)].
409	Рис.8.8,63)	2л/ Р два рази		2пР два рази
422	Рис.8.13,а4)	8ч (ІЇ\к=5		8ч (^)і к=4
463	8 знизу	п = 5іу = 31 при п = 7М = У27		п- 5 Л/ = 31 при п = 7 ^ = 127

ГИПЧАПИ