Ю.А.Розанов

СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Систематически излагается общий функциональный подход к изучению
обобщенных стохастических дифференциальных уравнений в частных
производных, описывающих многие важные теоретико-вероятностные модели с
помощью обобщенных случайных функций. Изучаются граничные свойства
обобщенных функций, дается характеризация всех возможных граничных
условий для общего (линейного) дифференциального оператора, устанавливается
разрешимость общих граничных задач, дается их точное и приближенное
решение. На этой основе находятся различные характеристики случайных полей,
возникающих в предлагаемой общей теоретико-вероятностной модели, изучается
их вероятностное поведение (например, устанавливается марковское свойство),
рассматриваются различные задачи прогнозирования, задачи идентификации и
оценки параметров самой модели по статиетпческн.м данным и др. От читателя
предполагается знание основ функционального анализа и теории вероятностей.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие	5

Введение	7

Глава I. Обобщенные случайные функции и их реализации	18

§ 1.	Некоторые вводные понятия	16

1° Обобщенные случайные функции (16). 2° Пространства типа W (20). 3°
Пространства с воспроизводящим ядром (24). 4° Обобщенные
случайные функции и стохастические интегралы (27).

§ 2.	Пространства пробных обобщенных функций	32

1° Пробные пространства типа W(32). 2° Пробные пространства,

связанные с операторами в Ьг (34). 3° Пробные пространства для
дифференциальных операторов (37). 4° Преобразование Фурье
пробных обобщенных функций (41). 5° Положительные
дифференциальные операторы (55). 6 Мультипликаторы и
локализация пробных обобщенных функций (59).

§ 3.	Реализация случайных обобщенных функций и некоторые теоремы 63
вложения

1° Обобщенные функции и Соболевские пространства (65). 2° Реализация
случайных функции и некоторые теоремы вложения (66). 3°
Гауссовские случайные функции (71). 4° Вложения Гильберта —
Шмидта (72). 5° Случайные обобщенные функции и Соболевские
пространства (76).

§ 4.	Граничные значения обобщенных функций (случай соболсвских	79

пространств)

1° Некоторые характерные свойства Соболевских пространств (79). 2°
След обобщенных функций и граничные значения (82). 3° Полнота
системы граничных значений (92). 4° Некоторые функциональные
свойства граничных значений (95).

Глава II. Дифференциальные уравнения для обобщенных случайных	99

функций

§ 1.	Обобщенные дифференциальные уравнения	99

1° Пробные функции для операторных уравнений (99). 2° Некоторые
примеры (105).

§ 2.	Граничные задачи	119

1° Общие граничные условия для обобщенных дифференциальных
уравнений И19). 2° Стохастическое волновое уравнение (132). 3°
Стохастические эллиптические и параболические уравнения (147).

§ 3.	Однородные уравнения	159

1° О	бщий тип разрешимых граничных задач; точные и приближенные
решения (159). 2° Гладкость и продолжаемость решении;

устранимые особенности (164). 3° Продолжаемость и предельное
поведение решений (169).

Глава III. Случайные поля	177

§ 1.	Вероятностные характеристики стохастических граничных задач 177
1° Среднее значение (177). 2° Корреляционная функция (178). 3°
Характеристический функционал (184).

§ 2.	Прогнозирование и марковское свойство	183

1° Задача о наилучшем прогнозе (189). 2° Наилучший прогноз и
марковское свойство (198).

Глава IV. Гауссовские случайные поля	209

§ 1.	Некоторые вспомогательные предложения	209

1 ° Гауссовские величины и о-алгебры событий (209). 2° Полиномы от
гауссовских величин (212). 3° Одна теорема сравнения для
квадратичных форм от гауссовских величин (216). 4° Отношение
правдоподобия (218).

§ 2.	Идентификация коэффициентов стохастических дифференциальных 225
уравнений по реализации их решения

1° Условия эквивалентности и взаимной сингулярности гауссовских
распределений (225). 2° Идентификация коэффициентов (230). 3° Об
оценках корреляционного оператора (237).

§ 3.	Оценка осредненных решений стохастических дифференциальных 240
уравнений

1° Постановка задачи. Наилучшие несмещенные оценки (240). 2°
Псевдонаилучшие оценки и метод наименьших квадратов; условие
состоятельности (246).
ПРЕДИСЛОВИЕ

Обратившись к классическим моделям математической
физики, которые описываются разного типа дифференци-
альными уравнениями в частных производных, и пред-
ставив себе возможность воздействия на них стохастиче-
ских (случайных) возмущений, мы сталкиваемся с тем
обстоятельством, что возникающие при таком воздействии
случайные поля не укладываются в рамки решений из-
вестных граничных задач теории дифференциальных урав-
нений, и здесь требуется новый подход к самой постанов-
ке стохастических граничных условий для обобщенных
случайных функций, представляющих обобщенное реше-
ние соответствующих стохастических дифференциальных
уравнений в частных производных. С другой стороны,
многие классические модели случайных полей, лежащие
,у истоков различных направлений общей теории случай-
ных функций, могут быть описаны с помощью стохастиче-
ских обобщенных дифференциальных уравнений, причем
здесь при рассмотрении таких традиционных тем, как,
например, прогнозирование и контроль, возникают новые
для теории дифференциальных уравнений граничные за-
дачи. Случайным полям, которые описываются равного
типа стохастическими обобщенными дифференциальными
уравнениями при всевозможных стохастических гранич-
ных условиях, и посвящена настоящая монография —
в ней главным образом нашли отражение результаты
моих исследований в период 1982 —1987 гг. в Математи-
ческом институте им. В. А. Стеклова АН СССР, а также
в международном центре БиБоС (Билефельд — Бохум —
Стохастика, ФРГ).
Начало этих исследовании как в постановке основных
вопросов, так и в части получившихся результатов было
горячо поддержано А. Н. Колмогоровым . что имело для
меня неоценимое значение. Я хотел бы поблагодарить
С. Албеверпо, В. С. Владимирова, А. К. Гущина, В. П. Ми-
хайлова. О. А. Олейник, |С. Л. Соболева]. Л. Хермапдера
за возможность представить и обсудить на их семинарах
целый ряд различных вопросов, а также Е. С. Кедрову
за помощь при подготовке книги к печати.
ВВЕДЕНИЕ

Основное содержание и направленность предлагаемого
материала совсем кратко можно было бы охарактеризо-
вать как граничные задачи для обобщенных стохастиче-
ских уравнений в частных производных. Для более пол-
ной характеристики обратимся к некоторым примерам и
наиболее простым по своей постановке вопросам.

Рассмотрим такую известную теоретико-вероятностную
модель, как броуновское движение Леви, описы-
ваемое случайной функцией S. = %(i), f е RA, с начальным
|(0) = 0, нулевым средним п приращениями со средне-
квадратичным

\t-si, s, t^R\

Хотя эта функция нигде не дифференцируема,
она является обобщенным решением и = t, дифференци-
ального уравнения

Lu = f	(1)

в области Т = 7?3\{0) без начальной точки ( = 0 с опера-
тором Лапласа £ = Аи гауссовским «белым шумом» /=ц
в пространстве —	Более того, w, = g будет

единственным решением в классе iteW обобщен-
ных функций и=(х, м), непрерывных относительно проб-
ных .т е (Т) в соответствующем пространстве
X 3	(Г) обобщенных пробных функций

для уравнения (1).

Понятно, что единственное в области Т решение и —
«= g е W уже не будет единственным в той или иной ин-
тересующей нас области S^T; его можно идентифициро-
вать, например, с помощью граничного условия Дирихле

=	(2)

на границе Г = dS с данной непрерывной функцией
1(f), <еГ. Правая часть / = ц уравнения (1) в области
S не зависит от случайного источника ц вне этой обла-
сти, и можно было бы думать, что при задании граничных
условии (2) решение и = S будет (но терминология
Л. Н. Колмогорова *)) стохастически определенным в S,
т. е. его распределение вероятностен при данных S(Z),
t Г. не будет зависеть от каких бы то ни было условий
на поведение S вне области S. Однако это не так — ска-
жем. имеются не зависящие от 5(0- обобщен-
ные граничные значения

(,г.	.г).	(3)

определяемые по с вне области S с помощью пробных
х е X с носителями знрр.г^Г па границе Г = c)S. кото-
рые существенно влияют на условное распределение
и = S внутри 5. Уточним, что в качестве обобщенных
пробных х е X для рассматриваемого уравнения (1) ис-
пользуются обобщенные функции х (q . т). q сн С™ (Т;,
непрерывные относительно

Ыш =4q', .^q). .и

и среди всех граничных значений (g. х), suppz' = Г. по-
мимо ^(f) = (S. .г) с дельта-функциями х = б, в граничных
точках tel1, например, имеются еще обобщенные
нормальные п р о и з в о д н ы е (г, х) с обобщенными
пробными вида

Г (q, х) - \d^x(t)dt.
г

где Oq —нормальные производные функций q

Bonpocvo стохастической определен пости в области S
при соответствующих граничных условиях является
частью общей задачи о марковском свойстве, поставлен-
ной И. Леви**). В отношении его броуновского движе-
ния этот вопрос рассматривался Маккипом***), предло-

*) Kolmogoroff A. N. Uber die analytischen Methoden in
der Wahrscheinlichkeitsrechnung ff Math. Ann—1931.— Bd 104 :—
S. 415—426.

**) Levy P. A special problem of Brownian motion, and a ge-
neral Theory of Gaussian random functions/Proceedings of Third
Berkeley Symposium of Mathematical Statistics and Probability,
V. Ill—Berkeley—Los Angelos: Univ. California Press, 1956
P. 133—175.

***) McKean H. P. Brownian Motion with a several — dimen-
tional time Ц Teop. вероятн. и ее примен,— 1963,—T 8. К» 4 —
С. 357—378.
жившим описывать требуемые граничные условия па
поведение g с помощью фиксации всех событий из о-а.т-
гебры

Я(Г)= ГЖ(Гг).	(4)

где 21(ГЕ) означает о-алгебру событий, порождаемых по-
ведением g в открытой окрестности Ге границы, и пере-
сечение берется по всем окрестностям; само марковское
свойство было введено как условная независимость по-
ведения случайной функции ; в 5 от ее поведения в до-
полнительной области 5+ = 7’\(6'иГ) при условии 91(Г).
Обратимся к функции

S(Z) = £(g(/)/Sl(r)), t^S.

— она дает наилучнптй среднеквадратичный прогноз для
t(t) при по всем данным о g вне S. Оказывается,
что функция	t е 5, удовлетворяет уравнению

5^ = 0	(5)

(с 3 = А2) в области S. Спрашивается, можно ли по гра-
ничным данным 91(Г) сформировать надлежащие гранич-
ные условия для решения	этого дифференциаль-

ного уравнения (скажем, типа условий Дирихле)? Ответ
Положителен. Именно, сама о-алгебра 91 (Г) порождается
введенными в (3) обобщенными граничными значениями,
и требуемые граничные условия можно выразить в форме

(х, и) = (х, g), suppz^r.	(6)

— поясним, что обобщенные функции и = (х, и) нз свя-
занного с уравнениями (1), (5) функционального клас-
са W определены на всех пробных х^Х; при этом в (6)
достаточно взять лишь полную систему граничных зна-
чений, например, можно задать (6) в форме обобщен-
ного условия Дирихле для оператора 3 = А2,
взяв граничные значения с обобщенными пробными
х е X вида

х = (ф, х) — <р х (t) dt, ) д(р х (t) dt.
г	г

Сравнивая граничную задачу (5) — (6) с обычной зада-
чей Дирихле, еще раз отметим, что функция g = E,(t),
которая, согласно (6), диктует граничное поведение иско-
мого решения, является нигде не дифференцируемой, и в
том смысле, как это имеет место в соответствующем собо-
левском классе и е W = Wl, нормальных производных
просто не существует.

Аналогичная задаче (5)—(6) задача возникает для
наил.учшего прогноза

=	t^S,

по данным S3 о случайном источнике ц вне области S.
Оказывается, функция — t^S, удовлетворяет
уравнению

Zw = 0	(7)

(с i = A) в области S, и возникает вопрос, как по дан-
ным S3 сформировать надлежащие граничные условия,
которые среди всех решений в (7) выделили бы искомое
и — g. Уточним, что данные об источнике непосредствен-
но доступны с помощью измерений вида (g, ц), g^
е£?2(7) с g(£) = 0 в 5, и здесь, оказывается, достаточно
ограничиться лишь некоторой полной системой ре-
шений сопряженного уравнения L*g = 0 (L* = А) в до-
полнительной к S области <S+ = T\(SU Г), с помощью ко-
торой для соответствующей системы обобщенных гранич-
ных точек х ~ L*g s X граничные условия можно задать
в форме

(г, it) = (r,	=	т]).	(8)

Помимо внешнего отличия граничной задачи (7) — (8)
от традиционных задач для оператора Лапласа £ = А
в пространстве £?, когда решение принадлежит соответ-
ствующему Соболевскому Клаусу W а сами гранич-
ные условия формируются с помощью надлежащих ли-
нейных комбинаций ciu + съди искомой функции и ее нор-
мальной производной, в задаче (7) — (8) приходится иметь
дело с необычно плохими обобщенными функциями —
скажем, реализация ц в правой части (8) представляет
собой результат применения оператора Лапласа к нигде
не дифференцируемой функции, и, как уже отмечалось,
производных ди в прямом смысле просто не существует.

С помощью стохастического дифференциального урав-
нения вида (1) в области Т s R1 с общим (линейным)
дифференциальным оператором

Л — 2 а-ьа'л
ь

и «случайным источником» f = ц, представленным обоб-
щенной случайной функцией того или иного типа, можно
описать многие важные теоретико-вероятностные модели,
для которых возникают все вопросы, затронутые на при-
мере (1) с 1/ = Д. Так, для общего уравнения (1) возни-
кает вопрос о выделении соответствующего функциональ-
ного класса и е W, в котором решение будет единствен-
ным в области Т s R!; при рассмотрении этого уравнения
в той пли иной области S = Т возникает вопрос о соот-
ветствующем классе граничных условии

н1г = ...?	(9)

на границе Г = dS, которые, будучи заданными произ-
вольно, выделяли бы единственное в S решение, п здесь
необходимо найти подход к самому определению надле-
жащих граничных значений обобщенных функций
и = (х, и), х е С~ (S). Различным аспектам такого рода
вопросов, являющихся фундаментальными для теории
дифференциальных уравнений в частных производных,
'посвящены многочисленные исследования, важное место
в которых, начиная со знаменитых работ С. Л. Соболе-
ва *), занимают общие теоретико-функциональные мето-
ды — одним из наиболее обширных источников здесь может
служить фундаментальная серия работ Ж.-Л. Лионса и
Э. Маджениса **). К этой области относится и предла-
гаемый нами подход к поставленному в (9) вопросу
о граничных условиях для обобщенных случайных функ-
ций***). Он основан на введении соответствующих обоб-
щенных пробных функций х <=Х э 6'“ (Т) и предлагает
в качестве класса единственности использовать простран-
ство обобщенных функций и е W, определяемых условием

*) С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функциональ-
ного анализа в математической физике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1950
(2-е изд.— М.: Наука, 1989).

**) Лионс Ж.-Л., Мадженис Э. Неоднородные гранич-
ные задачи и их приложения. В 3-х т.— М.: Мир, 1971.

***) Розанов Ю. А. Обобщенная задача Дирихле Ц Докл.
АН СССР— 1982,—Т. 266, № 5 —С. 1067—1069; из последующих
работ см., например, Розанов Ю. А. Марковские случайные
поля и граничные задачи для стохастических уравнений в част-
ных производных // Теор. вероятн. и ее примен.— 1988.— Т. 32,
•Nf 1.— С. 3—34. Другие подходы к некоторым постановкам
граничных задач для случайных функций имеются, например,
в работах: Г и х м а н И. И. Стохастические дифференциальные
уравнения с частными производными Ц Теория случайных про-
цессов—Киев: Наукова думка.— 1980.— № 8.—С. 20—31; Ben-
fat t о G., Gallavotti G., Nicolo F. Elliptic equations and
Gaussian processes Ц J. Funkt. Anal.— 1980,— V. 36,— P. 343—400.
непрерывности и=(х, и) по х е (Г) в X, а общие
граничные условия в (9) на границе Г = dS области
S е Т задавать теми пли иными граничными значениями
(х, и) с помощью обобщенных пробных х^Х, зпррж^Г.
На этом пути можно охарактеризовать все возможные
граничные условия, при которых имеется единственное
решение уравнения (1) в S — уточним: в классе
е W (5), который получается как сужение W в области
S Т. Отметим, что в детерминированном случае пред-
лагаемый подход можно с успехом применить ко многим
задачам теории дифференциальных уравнений в частных
производных — скажем, в случае эллиптических уравне-
ний он дает решение известных граничных задач в Собо-
левских классах W; более того, используемая в нем схема
легко может быть изменена применительно к различным
функциональным классам, связанным с темп пли иными
граничными задачами.

Отметим одно важное обстоятельство, которое нужно
иметь в виду при рассмотрении обобщенных случайных
функций. Возможность постановки тех или иных гранич-
ных задач обобщенного дифференциального уравнения
(1) существенно зависит от его правой части f, диктую-
щей вместе с оператором L выбор соответствующегс
функционального класса W э и. Говоря о граничных
условиях на u = g в области S, естественно считать,
что их соблюдение целиком определяется поведением §
в окрестности границы Г = dS. а значит эти условия це-
ликом определяются событиями из граничной о-алгеб-
ры 91 (Г)—см. (4). При слишком иррегулярной правой
части / = ц интересующее нас решение и = с, может по-
рождать лишь тривиальную о-алгебру 9€(Г), и это
означает, что его нельзя охарактеризовать никакими
граничными условиями; для примера укажем на уравне-
ние (1) с оператором Лапласа L — А и гауссовским «бе-
лым шумом» / = 1] на соболевском пространстве И г(5).
когда в качестве л = | мы получаем обобщенную случай-
ную функцию типа «белого шума» на R:RS). С

В теоретико-вероятностной модели, описываемой об-
щим стохастическим уравнением (1). возникает целый
ряд традиционных для теории случайных функций задач,
таких как нахождение вероятностных характеристик ре-
шения и = § (например, корреляционной функции с л у-
чайного поля с в области Т R1). различных за-
дач прогнозирования, задач о характеризации
поведения реализаций/т р а е к т о р и й случайного по-
ля в и др.

Скажем, рассматривая решение и = g общего стоха-
стического уравнения (1) как обобщенную функцию со
значениями (ф,	в гильбертовом пространстве Н =

=	на вероятностном Q, естественно поставить во-

прос: а будет ли его реализация £м=(ф, g)w при
отдельном исходе и е Q обобщенной функцией перемен-
ного ф е Со° (Г), т. е. будет ли она линейной и непрерыв-
ной относительно сходимости в пространстве Шварца
Ф- С™ (Т)? А если будет, то удовлетворяет ли и = g,„
обобщенному дифференциальному уравнению (1) с со-
ответствующей правой частью / = i]u? Ответ на эти во-
просы положителен для надлежащих эквивалентных мо-
дификаций и = g, / = T) *).

Обратившись для примера к реализациям и = g в сто-
хастическом уравнении (1) с оператором Лапласа L = А
и случайным источником / — ц типа «белого шума» на
Соболевском пространстве НД(7') в области Т s 11 евкли-
дова d-мерного пространства, отметим, что реализации щ,
столь плохи, что в шкале Соболевских пространств даже
локальное включение ту, е И’., 9 возможно лишь для
q > d/2 + 1; при большой размерности d это дает также
плохую обобщенную функцию типа е И . ’ ". Не-
смотря на это, обобщенная задача Дирихле для уравнения
Lu = О (L = A) в области 5 <= Т с условиями па грани-
це Г = OS в форме (.г. u) = (.r. g). аирря^Г. заданными
с помощью обобщенных пробных х X. и м е е т единствен-
ным решением гармоническую функцию v-=u{t),
t^S, допускающую посредством данных граничных усло-
вий «склейку» с обобщенной функцией g вне области S,
в целом составляя обобщенную функцию типа«ей'Д '

Как теоретико-вероятностная модель стохастические
уравнение (1) нанбольпшй интерес представляет в слу-
чае источника /=)). который описывается обобщенной

*) Эти вопросы тесно связаны с известными результатам»
о вероятностных мерах в счетно-гильбертовых пространствах (тео-.
ремой Сазонова — Миплоса), но как-то в свое время не получили
должного внимания — см., например, Гельфанд И. М., Ви-
ленкин II. Я. Обобщенные функции. Т. 4. Некоторые примене-
ния гармонического анализа.— М.: Фпзматгпз, 19G2. Относительно
ответа на эти вопросы см., напримр. Ito К. Foundations of sto-
chastic differential equations in infinite dimensional spaces Ц Se-
ries in Appl. Math. SIAM.— 1984,— V. 47.
случайной функцией Т) = (ср, ц), <р е С™ (Т), с неза-
висимыми значениями. Естественно возникает
вопрос о том или ином достаточно общем представлении
случайных функций этого типа, аналогичном известному
представлению случайных процессов с независимыми
приращениями, и здесь важным примером может служить
общее стохастическое представление для функций ц =
= (<р, т]), непрерывных по ср е (Г) в пространстве
ST = 3?z(T), аналогичное представлению Леви — Ито
для стохастических мер с независимыми значениями*).

В случае источника f — ц с независимыми значениями
одним из характерных свойств решения и = g общего
стохастического дифференциального уравнения (1) явля-
ется марковское свойство, которое для = (х, с)
с функциональным переменным х е X означает, что по-
ведение в любой области S е Т при данных граничных
значениях (ж, |), supp^^F, на границе Г = OS не зави-
сит от поведения £ вне S. Более того, всякое обобщен-
ное гауссовское поле S, с так называемым устой-
чивым марковским свойством может быть
описано уравнением (1) с надлежащим локальным опера-
тором L и гауссовским «белым шумом» /=ц на соответ-
ствующем локальном функциональном пространстве
(Т)', поясним: устойчивость марковского свойст-
ва означает его сохранение в области S при расширении
соответствующих граничных условий — отсутствие такой
устойчивости типично, например, для обобщенных случай-
ных полей с независимыми значениями**).

Как и для всякой теоретико-вероятностной модели,
для стохастического уравнения (1) возникают «обратные
задачи» — по имеющимся статистическим данным иден-
тифицировать (оценить) неизвестные параметры — ска-
жем, неизвестное среднее, возникающее за счет детерми-
нированной составляющей в источнике / — ц, или неиз-
вестные коэффициенты самого оператора L = 2 Для
ft
решения этих задач можно использовать общие подходы
математической статистики, скажем, основанные на о т-

*) Задача описания обобщенных случайных функций с неза-
висимыми значениями ставилась уже давно — см., например,
Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. в примечании на с. 00.

**) По этому поводу см., например, Розанов Ю. А. Марков-
ские случайные поля.— М.: Наука, 1981.
ношении правдоподобия (если оно существу-
ет!). Понятно, что здесь сразу же возникает вопрос о су-
ществовании плотности для распределений вероятностей
решения и—§ уравнения (1) при различных параметрах
в том или ином функциональном пространстве, а также
вопрос о возможности безошибочной идентификации тех
или иных параметров, различие в которых приводит к
взаимно сингулярным распределениям. В связи с по-
следним возникает много на первый взгляд совершенно
неожиданного. Например, для стационарного гауссовского
поля £ на d-мерном евклидовом пространстве Rd со спект-
ральной плотностью вида

!/&(&.), л е R1, где & (if-) = 2

lh|< 2р

— полином степени 2р, которое может быть описано как
решение и = g уравнения (1) с надлежащим случайным
источником /=т] и эллиптическим оператором

£=^= 2 akdk.

при соотношении

2р < d/2

по отдельной реализации g = (<р, |), <f>eC0 (5),
в сколь угодно малой области S R1 безошибочно
определяются все коэффициенты ак, [/гI 2р (это ра-
дикально отличается от того, что известно для стационар-
ных процессов авторегрессии, отвечающих случаю
d = 1). □

В заключение отметим, что изложение в целом пред-
полагает известными основные элементы функциональ-
ного анализа и теории вероятностей, но не требует каких-
либо специальных сведений из теории дифференциальных
уравнений*), хотя знакомство с ней, особенно в части
различного тина граничных задач, сделает более полным
восприятие предлагаемого материала (в числе вспомога-
тельных сведений содержащего элементы теории обобщен-
ных функций, преобразований Фурье п др.).

*) Из многочисленных и очень разных руководств по теории
дифференциальных уравнений укажем здесь: В л а д и м и-
р о в В. С. Уравнения математической физики.— 5-е изд.— М.:
Наука, 1988; Ладыженская О. А. Краевые задачи математи-
ческой физики.— М.: Наука. 1973; Михайлов В. П. Дифферен-
циальные уравнения в частных производных.— 2-е изд.— М.: Пау-
ка, 1983; Хермандер Л. Анализ линейных дифференциаль-
ных операторов с частными производными: В 4 т.— М.: Мир,
1986—1989.
ГЛАВА I

ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
И ИХ РЕАЛИЗАЦИИ

§ 1. Некоторые вводные понятия

1“ Обобщенные случайные функции. Говоря о слу-
чайности, мы будем иметь в виду зависимость от эле-
ментарного события о е Q из вероятностного пространства
(Q, §1, Р) с мерой Р = Р(А) на о-алгебре событий .4^=01.
Так, случайные величины g (действительные или
комплексные) с конечным математическим ожиданием

Ag = j s («>) Р

суть интегрируемые функции g = g(<r>), ojefi. Будет ши-
роко использоваться гильбертово пространство Н = 3?2(^)
случайных величин g с нормой

1)*11я = (Е | g | ) 2) "2 < ОО,

в котором скалярное произведение g, ц е Н есть

<ё, ,п>и = £'еп;

здесь и далее черта сверху означает операцию перехода
к комплексно-сопряженным величинам/функциям (не пу-
тать с операцией замыкания, которая будет обозначаться
скобками [•]).

Основным объектом нашего интереса будут обобщен-
ные случайные функции, описывающие те или иные
случайные поля. При этом под обобщенной случайной
функцией в области Т = R1 (открытом множестве Т в
d-мерном евклидовом пространстве R1) мы будем пони-
мать обобщенную векторную функцию

ё (<р, I), <Р е S) =	(Г),

со значениями (<р, |)еН в гильбертовом пространстве Н
случайных величин. Это заключает в себе линейность
и непрерывность функции £=(<р, |) в ее зависи-
мости от пробных <р е .2)
— уточним: II (ф„, g) — (<р, g) Ни ->- 0 при ф„-> ф в про-
странстве 2) С™ (Т). Основными характеристиками
такой функции * являются среднее значение

(ф, A) = E((f, £),	ф£^>,

и определенная для каждого ие 2 корреляционная
функция	’

(ip, — g) (и. с),	ц.^2),

которая представляет собой симметрическую положитель-
но-определенную билинейную форму

\и, к>=(н, Bv), и, v^2),	(1.1)

а именно

<«, У> = <17, м>,	<П, U> 3s О,

для любых элементов из 2), и для любых их линейных,
комбинаций

= S афц (uh, Vj). □

4 k	j X h,j

Напомним, что 2) = C^‘ (T) есть пространство беско-
нечно дифференцируемых функций ф = ф(£), t — (ii, ...
..с компактными носителями знррср^Г, и схо-
димость ф„ — ([ в нем означает, что для данных ф„ име-
ется компакт Ж^Т, где сосредоточены носители
supp ф„ == , и все производные

dk(fn -+ <?*ф

сходятся равномерно; здесь и далее о‘1 = dW/dti1. . . dtad
указывает производную порядка \к\ — к\ + ... + kd по пе-
ременным Zi, ..., td. Отметим, что при носителях supp фп
s Ж из компакта Ж^Т равномерная сходимость дйф„ -*

<5'!ф всех производных равносильна их сходимости в
Э^г-норме:

II ^фп — д’1ц |:^2 = \ | dh(fn— дЬ q>\2dt	С max | dh(f>n— dh<(> |2-> 0.

В этом легко убедиться, например, взяв для и е 2) пред-
ставление

и (t) = I ... i д*и dt, д1 = dd/dtt ... dta,

— ОО

--ОО
и вытекающее из него при	неравенство

max | и (?) | ^ С ( f \д1и |2 dtX1^,
XX /

которое нужно применить ко всем производным и — дкул —
— дку. Гильбертово пространство S^i~ измеримых
функции и = u(t), Т, 'с нормой

i'Mk2 - р

я скалярным произведением

<u,	= \ и (t) v (?) dt, и. v <= 3?2,

2 т

будет широко использоваться в дальнейшем.

Имея дело со скалярными обобщенными функциями
/ = (ф, /), ФеУ5.

действительными или комплексными, их совокупность бу-
дем обозначать как 3)*. Как обычно, будем отождествлять
обобщенную функцию / е с локально интегрируемой
функцией /(£), t<^T, если

f = <Ф> /) =	фе®-

Для такого рода / е 3>* комплексно-сопряженная функ-
ция есть, очевидно,

7 = (ф, 7) = (ф- /), ф е з>,

и в этой форме операция перехода к комплексно-сопря-
женным обобщенным функциям переносится на произ-
вольные

Напомним так называемое разложение единицы

1 = 2 wi (О, t е ^юс-
3

которое имеет место для любого покрытия замыкания
ограниченной области Tioc системой областей

Т,^Т, надлежаще взятых в конечном числе iVj е Cq (Tj).
Указанное разложение позволяет, например, определить
каждую функцию ф е С” (Г) по ее локализациям
в любой системе областей Th покрывающих ТХж з snpp ф,
а именно

ф = 2 «w;

э

соответственно определяется каждая обобщенная функция
/ = (ф- /) = 2 («’1Ф, /)=S u'if-

Э	3

Напомним еще важное для всего дальнейшего поня-
тия носителя supp/, представляющего минимальное
замкнутое множество, в дополнении к которому S =
= T’Xsupp / обобщенная функция / = 0, т. е. (ф, /)=0

Пространство Ф = С™ (Г) с определенной в нем схо-
димостью можно рассматривать как объединение

Ф = U W? (710с)

по ограниченным областям Т1ис с замыканием
—счетно-гильбертовых пространств W7^°(7’ioc),
каждое из которых получается пополнением функций
Ф е (Т10С) относительно системы норм

' Ф‘ и	f 2 f |^ф|2^Г/2, р = о, 1,....

\1^РТ)ОС	/

и представляет собой пересечение

ЙТ(Лос)= Л И>1ос)
р

известных Соболевских пространств ИТ^Юс)—пополне-
ний C“(7’ioc) относительно соответствующей нормы Пф11Р;
поясним, что при естественном вложении	(Тioc) S

сходимость функций ц п (7']ос) в про-
странстве (7'10с) равносильна равномерной сходимо-
сти в области Т всех их производных и, в частности,
предельные Ф е W™ (Т 1ос) суть бесконечно дифференци-
руемые функции с носителями supp ф = [7\ос]. Понятно,
что сходимость функций ф„ ф в пространстве Ф =
== Со (П означает их принадлежность какому-либо про-
странству И7!? (7’1ос) п сходимость в нем ф„ -* ф.

Мы увидим, что для выяснения тех или иных свойств
обобщенной случайной функции £ = (w, £), и^Ф, может
быть полезной ее характеризация с помощью «пробных»
и е W пз более широкого, чем S), функционального клас-
са 11’ = [.25], который мы введем как пополнение
Ф =	относительно скалярного произведения

<Щ 17>1г=<н, Н. v^3),	(1-2)

задаваемого формой (1.1).

2° Пространства типа W. Обратимся к произвольному
гильбертову пространству тина 1Г —[.25], которое получа-
ется путем факторизации и пополнения © — Со (7) от-
носительно скалярного произведения (1.2), заданного с
помощью произвольной симметрической положительно-
определенной билинейной формы <гг, к>, и, ге®. не-
прерывно й вместе с

Ьфйг = <ф, ф>1/2.	ф^25,

относительно сходимости в пространстве ©	(7’).

Введем оператор

В: W^2)*

для каждого элемента и s В’. определяющего обобщен-
ную функцию .г—Ви^-З)* по формуле

Х=(ф, ^)^<ф, «>1Г,	(fE®.	(1.3)

В комплексном случае наряду с В введем дополнительно
комплексно-сопряженный л и н е й и ы й о и е р а т о р

2’=//: &ц=Лч, и ~ И-.

— понятно, что и действительном случае мы имеем 2* =В.

В любом случае

x^b\v=1bw

ость линейное пространство, поскольку для любых
(комплексных) 7. и т = Ви^Х мы имеем ZwelF. Хг =
= В (7.и) е X.

Обобщенная функция л = Ви = <£)* равна 0 тогда и
только тогда, когда и = 0 в 1Г. поскольку VD плотно в
IV = [2)] и (ф, ж)=<ф. и>и- = 0 при всех tpe® тогда
п только тогда, когда = 0.

Обратимый оператор В: IV ' 7 А переносит на про-
странство X = BWs£>* норму

llzil.v = х = Ви, и <= IV,	(1.4)
относительно которой X будет гильбертовым простран-
ством со скалярным произведением

(Ви, Ви>х = <л1, и>1Г, н. v е 1Г. □

Каждая обобщенная фу пкцня л е Л’s SX представи-
ма в виде

.г = (q.. .т) = <q, к>1г, <f - 1Г,

с соответствующим u—B^x^W и по непрерывности от-
носительно может быть доопределена на всех и <= И7,
а именно, для n = liinq как предела функций q Ф
в IF = [Ф]:

(и. z) = liin(q, х)—<и,	(!•>)

'Согласно этому, (и, ,г) = 0 для всех х X тогда и только
тогда, когда » = 0. Учитывая это. отождествим каждый
элемент и е II'с соответствующей функцией

и=(х. и) = (ч. х) . X ЕЕ X,	(1.6)

обобщенного переменного х^Х^Ф*. определенной как
н)^(и. х):

здесь величины (т. и') можно рассматривать как резуль-
тат опробывання функций и = lini(pe It с помощью
пробных .(• СЕ х.

Условившись называть обобщенные функции х е Л" =
sФ* пробными для ».е1Г. дадим их характеризацию
в следующей форме.

Теорема. Обобщенная функция ,т==(ц. г). q? Ф,
является пробной для и 1Г тогда и только тогда, когда,
она непрерывна относительно НфИ,,-.

Доказательство очевидно. 11ояснп .м. что указанного
типа функция ,r=(q-. ,г) задает линейный непрерывный
функционал (д.-, х) от ср s Ф в гильбертовом пространстве
ТГ = [Ф]. который согласно представлению 1’псса (<р..г) =
= <(р. ;/>и- с соответствующим и s ТГ совпадает с х = Ви
(см. (1.3)): при этом

>нр Цф. .щ|	-ДЯх.

ТДС I

согласно (1.4).

Всякий линейный непрерывный функционал ,r = (q. х),
ча гильбертовом пространстве 1Г~[Ф] с плотным
в нем 3' можно однозначно отождествить с соответствую-
щпм х е W* пз сопряженного пространства W*, и в этом
смысле мы имеем X = BW в качестве сопряженного про-
странства к IV,

Х = 17*;

при этом мы имеем для x^X=W* соответствующее-
представление Рисса в виде

а: = (ф, л:)=<ф, гг>п-, <[ с 17.

с и — В~}х,

(ф, ж)= <ф, п>1Г = (Ви, 2?ф>л- = (х, В<р>х = (х, ф) (1.7)-
для всех ф е IV, х е X.

Понятно, что в (1.6) мы фактически отождествляем
IF = [Ф] с сопряженным пространством W = X*. □

Рассматривая в схеме (1.2) — (1.7) пространства
W = [&], Х~ BW=W*,

для указания их связи с Ф = С™ (Т) в соответствующей
области Т s R1 будем использовать обозначения

17 = 17(7), Х = Х(7).	(1.8)

Для различных Т = Т\, Т2 в случае 7j s72 укажем на
естественные вложения

I7(7i)-17(72), Х(71)-Х(72),	(1.9)

° *
в которых 17i = 17(7i), X1 = W1 рассматриваются как
подпространства в соответствующих 17г = 17(72),
Х2= W2 — понятно, что речь идет о пространствах, отве-
чающих одной и той же форме

<и, р>, у.геС“(7)

(см. (1.2) и далее). Именно, И'\ = [б”(7Д] непосред-
ственно совпадает с замыканием (7Д в 172 = [С^0 (72)],
а равенство

(ф, х) =<ф, u)w2, ф е Со (?,),

для гг е 171 определяющее элемент х е Aj и имеющее-
смысл для всех Ф е С“ (7а), одновременно определяет
х s Х2,

X = (ф,^) = <ф,п>щ2,‘	феС“(72),
что позволяет рассматривать Xi как подпространство Xi =
— BWi в Х2 =И'з. получающееся с помощью соответст-
вующего В: W2 Xi = BW2; при этом в Х2 для х<^Х{
в представлении х = Ви с и е 1Г1 W2 мы имеем

11 * |!Х, ~ ||11 |1и\ = I! и Щ’г = Il X li.Yj •

Отметим, что Х’1 = BW \ есть единственное «унитарное
представление» сопряженного пространства Xt = с по-
мощью подпространства Х\ s Х2, и оно может быть по-
лучено факторизацией всех элементов х е Х2 по норме
,j| х ||х = sup | (<р, ,г) |, где верхняя грань берется по
1

<реС~(7’1): при этом используемый в схеме (1.2) — (1.7)
в области Т = Т2 оператор В одновременно обслуживает
эту схем\- п в области Т — Т i £ Т2*).

При данной выше интерпретации Wi W2 справед-
ливо следующее предложение.

Теорема. Пространство Wi^W2 состоит из всех
функций и е И72, обращающихся в 0 вне области Т\^Т2.
(Уточним: здесь имеется в виду, что (ж, и) = 0 при но-
сителе suppajsTi в дополнении к области Т[.) Действи-
тельно. И’1 есть аннулятор для ортогонального дополне-
ния Хр = X2Q Х\ к подпространству Xi =BWi в Х — Х2,

*) Подчеркнем, что при вложении	элементы

а е Х(Г;) = 3)(ТР,*, представленные обобщенными функциями
в области Т~, суть сужение этих функ-
ций в е Т2 с нормой

'•Х(г) — SUP I (Ф’,г) I
о -<1

ТУ(Л)

sup

И'(7^

1! О	Ч

I (ф> ’’) I = II т

понятно, что это сужение может быть одним и тем же для совсем
различных х s Х(Т2), и х s Х(Т<) как обобщенная функция в
области 7Л (скажем, с носителем supp х cz ТР) может вовсе не быть
элементом в Х(Т2); например, в случае И7 = ИЛ(7?1) с нормой
И и Нур = «г;/т ueC'y^R1), пространство X = Х(7Р) содержит
пробные функции вида х = 6(1—а) — 6(t—b), сужение которых
в области Т cz R1, содержащей точку t = а п не содержащей
точку f = Ъ, дает в этой области пробные функции x = 6(t— а),
Которые как дельта-функции х = 6(t — a), t s R1, па прямой R1 пе-
входят в X = X(RX).
а именин

(.г. к)	' 1 • »еИ,.

-де для А',	/1116, = [/Я’“ ('/’,)] принадлежность 'S.V;

можно охарактеризовать условием

</^,.Од-	<>• тест('/;)•

которое для обобщенной функции х X означает, что со
носитель siipp.r лежит в дополнении 7j к обла-
сти 2'ь □

Наряду со скалярными функциями и. = (.г, и) обоб-
щенного переменного х^Х^З)*, образующими соответ-
ствующее пространство 1И = [^5], мы будем рассматри-
вать случайные функции и=(х, и) — векторные функции
со значениями в гильбертовом пространстве Н = Й72(^-)
случайных величии—линейные и непрерывные по теХ:
принадлежность к этому классу будем указывать записью
а е W.

3° Пространства с воспроизводящим ядром. Для лю-
бой билинейной положительно определенной формы <к,
непрерывной но к,	существует случайная обоб-

щенная функция g = (ф, g), ф<=.25, связанная с данной
формой соотношением (1.1)— к этому мы еще вернемся.
Рассматривая случайную обобщенную функцию £=(ф, £),.
у с-.25, и ее корреляционную форму (1.1), можно вос-
пользоваться непрерывностью (ф, §) в гильбертовом про-
странстве Н относительно Ikpil-,,- в отвечающем форме (1.1)
пространстве Ж=[®] и доопределить g до функции

g =(п, g). и е= W,

на всем пространстве II7. При этом мы будем иметь уни-

тарное соответствие

W э и (и, g) е Н-

между W и подпространством //щП всех величин (и, g),
и е W. Введенный формулой (1.3) оператор В назовем
корреляционным оператором случайной обобщенной функ-
ции g. Легко видеть, что соответствующее пространство
X = BW образовано всеми обобщенными функциями, до-
пускающими представление

ж = (ф, х) = Е{ц>, g) (н, £),	ц>^3),	(1.10)-
с и е И’ (,г = Ви). причем

<Ви, Bv>.x = Е(и, g) (г, g);

такое ni.'iьбертово А' называют пространством с воспроиз-
водящим ядром для g. Пространство II , отвечающее в на-
шей схеме форме (1.1). будем называть собственным,
и ноет ранством для случайной обобщенной функции g. О

Приведем два вспомогательных предложения относи-
тельно линейных функций g=(z/. g) со значениями
и гильбертовом пространстве И. рассматривая здесь пере-
менное и е L' в линейном пространстве I .

Пусть <//, /> есть произвольная симметрическая поле-
жптелыю определенная билинейная форма от н, и С.

Теорема. Существует функция z = (//. g). и е С,
малмнная с данной формой соотношением (1.1).

В частности, для U = Зб) и формы <и. 1:>. непрерыв-
ной относительно сходимости пробных и. v в пространстве
СО- 7^(7’). мы имеем здесь обобщенную случайную
функцию g=(/z. g). и ~ 3).

Для доказательства обратимся к гильбертову простран-
ству [t], которое получается факторизацией и попол-
нением исходного (/ относительно полунормы l!wh =
= <//, //>1/2. Имея в виду свободный выбор вероятностного
пространства Q. возьмем его так. чтобы соответствующее
гильбертово пространство Н случайных величин имело
бы размерность dim Н A dim [£7] *). Возьмем любой изо-
метрический оператор 77: U -* Н и положим

(и, g) = ЗС1. и s U.

Очевидно, что для функции g ==(//, g), и е U, будет спра-
ведливо соотношение (1.1).

Рассмотрим’теперь свойство непрерывности слу-
чайной функции g=(i/. ^) относительно той пли иной
полунормы 16/11 переменного и s U.

Теорема. Слабая непрерывность в И линейной,
функции ± — (и. g) равносильна ее сильной непрерыв-
ности.

*) Здесь можно взять, например, семейство независимых
гауссовских величин (в надлежащем числе т 7' dim U)—их замк-
нутая линейная оболочка Н = Н будет подпространством размер-
ности т; используя изометрический оператор З': U-+U, мы полу-
чим гауссоовскую функцию (и, £) = .7». » ен /’. для которой
псе величины (и. |), и е U, являются гауссовскими.
Это есть следствие известного принципа равномерной
ограниченности Банаха — Штеннгауза. Действительно,,
непрерывность <(н, £), ц>ц по Нн11 равносильна ограничен-
ности <(и, ^), т|>ц при !1н11 < 1, и если такая огра-
ниченность имеет место для всех ц е Н, то (и, г) ш С
при Hizll 1, что равносильно сильной непрерывности’
(и. j) по llwll. □

Рассматривая то или иное гильбертово X Ф* на
предмет того, является ли оно пространством с воспроиз-
водящим ядром, можно дать следующий критерий.

Теорема. Гильбертово пространство X Е Ф* обоб-
щенных функций х = (гр, х), сре.25, является простран-
ством с воспроизводящим ядром тогда и только тогда,,
когда для всех Греф величина

||тЬ’== «ИР | ('!• -г) |

конечна и непрерывна по ф относительно сходимости в
ф = С (Т).

Понятно, что речь идет о том, может ли данное X s
s Ф* быть реализовано в нашей схеме (1.2) — (1-7) как
Х = В1Р=И7* с соответствующим № = [Ф]. Необходи-
мость условия теоремы очевидна в силу того, что если
X — пространство с воспроизводящим ядром, для обобщен-
ной случайной функции | = (ф, £), ср е Ф, то собственное-
для £ пространство W ~[Ф] совпадает с сопряженным
пространством И7 = Х*. С другой стороны, при указанном
з теореме условии каждая пробная функция среф за-
дает линейный непрерывный функционал ф—(ф. х) на
х е X s Ф*, и в этом смысле мы имеем вложение Ф s X*.
Воспользовавшись представлением Рисса (ф, х)~
= <х, В<р>х, видим, что элементы Вгр, греф, плотны в X,
так как при (ф, х)~0. греф, мы имеем дело с нулевой
обобщенной функцией х^Ф*, и, следовательно, ж = 0
в X ~ Ф*. Плотность совокупности ВФ в X для унитар-
ного В: X* -► X означает плотность Ф в гильбертовом
X* = If7 с нормой hfdlw = snP I (фг -г) Ь Щ таким образом,

X является сопряженным к гильбертову пространству
W = [Ф], X — JP*, что только и требовалось доказать,
принимая во внимание условие непрерывности ПфН,г от-
носительно пробных греф в пространстве Ф —	(Т),
которое лежит в основе определения пространств типа W
в на гиен схеме (1.2) — (1-7).

4° Обобщенные случайные функции и стохастические
интегралы. Имея дело с той или иной случайной функ-
цией § = g(7), t е Т, локально интегрируемой в области
Т s R'. можно рассматривать ее в обобщенном смысле как

b---(T.g) q	(1-И)

используя ту или иную конструкцию взятого справа ин-
теграла — например, рассматривая функция со значения-
ми в И = 3^2 (О). можно использовать интеграл в гиль-
бертовом Н. В (1.11) мы имеем дело с обобщенно;!:
функцией S,=(q. g) типа обычной функции S = S(Z),
t s Т.

Аналогичная конструкция дает обобщенные функции
еМ’Г-Ю-U(OnH)- феСПП (1-12)

с помощью взятого »десь стохастического интеграла по
с л.хаотической мере — непрерывно!! в H = S,‘z(Q) адди-
тивной функции 1] = г| (А) па борелевскпх А Т. Скажем,
ото может быть стохастическая мера с некоррелирован-
ными (при вепересекагощпхся А Т) значениями i](A),

Ец(Л) = 0, Е|ц(.4) |2 = ц(Л),

где р(с?7) — обычная о-копечная мера, и тогда

Е(Ф, S)-0, Е | (срЛ) - У | q: (Z)	(А);

при n(dt) = dt в (1.12) возникает так называемый «бе-
лый шум» £=(ф. ё), ДЛЯ которого

Е (фЛ) 0. Е|(<г. щ)2 Мф&-

с нормой в = 32(Т).

(Условимся называть белым шумом на каком-либо
гильбертовом пространстве	(?’)] обобщенную

функцию g=(cp, |) с указанным выше свойством по отно-
шению к норме	в р7".)

Отметим, что всякая обобщенная случайная функция
= (<р. 5), непрерывная по норме 1!Ф|йг в 3~ — S’2{T)
и по непрерывности определенная на всем пространстве
&ЛТ) =[Со(Т)]. представима как (1.12), и можно
сказать, что она является обобщенной функцией типа
стохастической херы, в качестве которой выступает
ПС4)'=(Ъ. = ).

связанная с g = (<p, g). фе27г(?’)' посредством индика-
торов tp = 1 л ограниченных боре.тевских множеств Ле
е Т — очевидно, что здесь мы имеем дело с непрерывной
в //= 5?2( —) аддитивной функцией 1](Л). A ~= Т. Пояс-
ним: положив

' ф(0 >1 (*) -- 2 'М(-'Ь)

для простых функции <ре.?2(7'). каждая из которых
отлична от 0 лишь в ограниченной области и принимает
там не более конечного числа значении ff(Z)=q\. t^Aflr
ва н е иереср к а ю щ и х с я А/, s Т. мы получим

j ф (О п - (ф- ъ).

что указывает па непрерывность введенного памп интегра-
ла относительно нормы ||ф||з?2- и эта непрерывность по-
зволяет предельным переходом определить соответству-
ющий стохастический интеграл ф(/)ц(Л) для всех

В целях согласования обозначений будем ис-
пользовать символическую запись

ц (dt) = g (t) dt.

связывающую в (1.12) стохастическую меру ц(Л) с обоб-
щенной случайной функцией g==(<p, 5). Отметим, что
7](dt) = g(i)dt вовсе пе обязана быть стохастической ме-
рой с некоррелированными значениями — скажем, для
обычной функции g = g(i) с

( Е | £ (Z) \Rli С < оо

мы имеем в (1.12) непрерывную по ||е.?2(Г| обобщен-
ную функцию g=(cp. g) с

£|(ф, ё) I2< С-'\<pj^2,

и здесь г) (dt) = g (1) dt есть

il (Л) f g (t) dt. А с= Т.
А

Для «временного» интервала Т s R' (например, Т =
~(а, оо)) произвольную непрерывную по (реЗ^Г)
обобщенную функцию $=(ф. и отвечающую ей стоха-
стическую меру ц (dt) = с (/.)dt можно связать со случай-
ным процессом

Л;?)•

непрерывным по t^a в // = .^?2(--)- для которого

(<Ь g) ~ ) Ф (О Л (dt) = И ф (Z) dip. ф е 67 (Т).

можно определить по данному тц. t 2» а. с помощью взя-
того справа стохастического интеграла типа Римана —
Стилтьеса. Поясним: с простых ф(/)=ф(61), t^Ak —
= (6<-ь С], этот интеграл

) q (0 d^t ----- Z ф (6,.) [

распространяется предельным переходом на общие ([£
^2?2(Т). Как следствие формулы интегрирования по ча-
стям здесь

(ф. ;) - \ 4'(t)dy]t - \ ц '(t)x\tdt, ц>еСд(Т). (1.13)

В дальнейшем в ряде важных примеров нам встретят-
ся случайные процессы j, = S(-состояние которых в момент
;2=« определяется с помощью пробных tgCJ°(G) в об-
ласти G е R'~} величинами (.г. £(), в их зависимости от
переменного .г. представляющих соответствующие обоб-
щенные функции j(=(x, 7)- Нри рассмотрении такого
рода процессов может быть использована следующая кон-
струкция случайных функций в области T = GX(a, °°),
в которой «время» представлено переменным г>а в t —
= (s, г)^Т с «пространственным» переменным s е G.

Именно, пусть | = Ъл — случайный процесс указанного
выше типа, для которого при каждой пробной х е С™ (G)
мы имеем непрерывный в П=2>2(&) «одномерный» про-
цесс (х, 7)  г " с

Е\(х,	х е С™ (G),

на каждом конечном интервале а<г<Ь. Взяв пробную
ipe 67 (Т) и рассматривая ее как функцию ф — фг пере-
менного г>а со значениями фг —ф(я, г), s е G, из
Со00 (К) для непрерывной в S,‘z(G) функции ф — фг будем
иметь непрерывную в Я = 272(И) функцию ф,|г = (фг, |г)
с интегралом типа Римана

(<Г.5)=ЙЛ^	(1.14)

в его зависимости от ф е 6“(7). определяющего обоб-
щенную случайную функцию S=(<p. S) в области Т —
= GX(a,b) с

Е I (ф, £) |2 < С ) ]! фг i^2(G) dr. ф е G ' (а. Ь).

на каждом конечном интервале а < г < Ь. Понятно, что
сам интеграл (1.14) типа Римана определен, например,
для всех кусочно-непрерывных функции <р = ф,- — пояс-
ним, при h 0 и I! фг-ил — ф'Лз’.дю —1* мы имеем

!i Фг+лёг-^ — фгйг h <

< Пфг+Л — фг|>2щ) + ' (<!'• ^/<) — Он-

Отметим, что, используя «первообразную*

щ =- Вт dr. г~^а.

а

задающую случайный процесс с состояниями

(.г, 1),.) = У (,т, Er) dr. л £Е C”(G).
а

обобщенную случайную функцию (1.14) можно предста-
вить в виде интеграла типа Римана — Стилтьеса

(ф. g) J qrd\}r	(1-15)

как предела в // =	(И) интегральных сумм

гн

= 2 J ^'r,fir dr.

rk-l

Обратимся к конструкции (1.15) с помощью общего
стохастического интеграла типа Римана — Стилтьеса по
непосредственно данному случайному процессу ц — тр,
определяемого как предел

f ф^Пг = Нт 2	[’h, —

v	k
соответствующих интегральных сумм в 7/ = S’2(Q). Ука-
занный интеграл (1.13) существует для всех пробных
Фе^2(Т’) и задает обобщенную случайную функцию
£=(ф, g). скажем, когда мы при каждом х е (G)
имеем дело с непрерывным в Я = 272(Й) процессом
(ж, гр), г > а, и

жеС0°°(С),

равномерно па каждом конечном интервале. Как уже
фактически отмёчалось, в этом случае для произвольных

РДеС.ДС)

функция фгт)г =-- (фг, т|,.) является непрерывной, а инте-
грал типа Римана

— J «{Ут^Я = I фrdx]r	(1.16)

дает соответствующий интеграл (1.15) типа Римана —
Стилтьеса. Важным примером здесь является случай
процесса с некоррелированными приращениями

4’Ь - ГЬ-J - (Л iph)-(r, 11,.^),	(G),

для которых

— р этом случае мы имеем

Е | J <рг d\\r |2 < С J i| фг |1^>2(С) dr
и в (1.15)

£|(Ф. е)12<С)1ф&2(т>-	(1-17)

Понятно, что при всех г> а непрерывные gr в (1.14)
и щ в (1.15) однозначно определяются соответствующей
обобщенной функцией В =(ф, £), Ф е С“(Г), — например,
взяв пробные ф(.9, г) = x(s) и? (г) с х е С™ (К) и

«'	1 prr2p w' 6 (г — г2) — б (г — гх),

для произвольных г2 > г\> а получим

(ж, Т|Г2) — (ж, 1]Г1) = lim (ф, I).
§ 2. Пространства пробных обобщенных функций

1° Пробные пространства типа W. Мы ввели линей-
ные непрерывные функции и =(х, и) обобщенного пере-
менного х е X, где X s 3* есть соответствующее ??/><>.-
странство пробных обобщенных функций х = (ср. х), гр
е 3, которые выделяются в ЗУ* тем, что они непрерыв-
ны относительно licpli,,- в соответствующем VF = [3] и
наделены гильбертовой нормой

i|.Г ЙЛ-	S11P | ('i  2") I

ETl'n — l

— cm. (1.2) — (1.7). Естественно выделить случай, когда
«стандартные» пробные функции ср е 3) входят в X’. их
норма 11<р11Л- непрерывна относительно сходимости в про-
странстве .25 —- С’о°(7’) и, более того, само 3) s X плот-
но в гильбертовом X, так что

Х' = [0]	(2.П

является пространством того же тина W, что и IV =[31
в нашей схеме (1.2) — (1.7). В указанном случае рассма-
триваемые нами функции и = (х, и) обобщенного перемен-
ного х е X можно отождествить с соответствующими
о б о б щ е и н ы м и ф у н к ц и я м и

и = (гр. и), гр е 3.

которые в силу непрерывности относительно 11<р11Л- одно-
значно определяют и =(х. и) на- замыкании [3[ = X;
в этом смысле

IK = [3] <= 3*.

Например, в схеме (1.2) — (1.7) с оператором Ви = й,
и е 3. когда IV = [3[ — Sz, мы имеем

х = W* = BW = 32 = [3]

типа П' с обобщенными функциями х = Ви, = Х
(це И-7) вида

х = (гр, ,г) — (<f, и) = <<р, к>^. ц е 3.

По поводу того, что 1У — 3? = [3[, напомним здесь
один известный прием аппроксимации функциями <р е 3,
в котором используются «урезанные» функции
(равные 0 вне какой-либо ограниченной области Т1ое,
I^ioc]с Т) п их свертки

<р = гг*п(?) = ir (t — s)u (s) ds e Ф

с дельта-образными функциями w > 0 из Ф,
§w(t)dt=i, j ii'(i)<fr->0
|ii>s

при каждом e > 0 — для них ю*и — и*ю->ив Si, что
следует, например, из простой оценки

JI J [и (t —s) —и (Z)] w (s) ds | dt sjX

f f | и (t — s) — и (t) |2 w (s) ds dt =

= f f J | и (t — s) — и (t) |2 dt^ w (s) ds + о (1). □
|3|'<e

Обратимся к нашей схеме (1.2) — (1-7) с произволь-
ным W — [Ф] и соответствующим X = W*. Допустим,
имеется невырожденное вложение

WsW0	(2.2)

в гильбертово пространство 1Уо=[Ф] с Хо = W* типа
W, Xq = [Ф] (скажем, это может быть Жо = Si)— уточ-
ним: условие невырожденности здесь для более
слабой нормы I! и ||и’о С || и |lw, и е W, означает, что
l|w||vv =/=0 при IWIw^O).

Теорема. При невырожденном вложении (2.2) име-
ются плотные в X — W* вложения

Ф £= Хо = Wo с= П’* = X.	(2.3)

Это дает нам своего рода критерий сравнения для
W = [Ф] на предмет того, будет ли X = W* типа W.
Понятно, что согласно (2.3), вместе с ||<р|1х , <р е Ф, бо-
лее слабая норма 11<рПх в X = W* непрерывна относитель-
но сходимости в Ф = Со° (Т).

Доказательство. Очевидно, что любой элемент
х е Хо задает на W ^Wo линейный непрерывный функ-
ционал х =(и, х), так что Хо s X; при этом

k||x== sup |(u, х)|<С sup |(u, z)| = С||ж||г .

Более того, Хо плотно в X — если бы это было не так,
то нашелся бы не равный 0 элемент и е W = X*, (х. и} =
= 0, при всех х е Хо, определяющий равный 0 элемент
и е И о = Хо, что противоречит условию = 0 при
Мшв = °-

Далее, в данном нам Xq = [3)] каждый элемент ,-щ е
е Хо может быть сколь-угодно точно аппроксимирован
пробными ср е Ф, п соответственно относительно белее
слабой нормы в X з Хо мы имеем

ho — т h С !| .Го — ф. -* о.

Установленные в X плотные вложения Ф s Х’о, Хо = X.
дают X = [Ф], причем норма ПфИх, ф е Ф, непрерывна
относительно сходимости в Ф С™ (Т), поскольку этим
свойством обладает более сильная норма

Добавим, что в (2.3) мы имеем невырожденное вло-
жение Ха = 1В'О <=: W* = X. В самом деле, для х s Xq с
1Ы!„г = О будем иметь (и, ж)=0, и е W, а поскольку 1В
плотно в Wo, то (и, х) = 0 при всех и е ИД, т. е. х = О
как элемент сопряженного пространства Хо = И 0,
•'-V "• а

В дальнейшем мы укажем различные классы про-
странств W = \Ф\, X = W* типа IB, и каждое Wo = IB,
X (все равно, идет ли речь о самом IB = [^>] или о дзой-
ственном ему Х = [Ф]) может служить эталоном для
любого другого интересующего нас пространства ВВ =
— [Ф] в критерии сравнения (2.2) на предмет проверки
того, будет ли соответствующее пространство пробных
функций X — IB* типа IB — см. (2.3).

2° Пробные пространства, связанные с операторами в
Ж 2- Рассмотрим случай, когда форма (1.2) связана с опе-
ратором В-. Ф Фч—Ф* в пространстве Фг, иначе го-
воря, когда в нашей схеме (1.2)—(1.7) мы имеем B\t  «=

при ф е ЗХ Этот случай удобнее описать с помощью
оператора Ф = В, а именно

<u, i’>w <и,	. и. v е Ф,	(2.4)

где Ф — линейный симметрический положительный опе-
ратор на Ф = CqCT) в пространстве S-z — S’z(T),

{и,	<фи.

для всех и, v е Ф>.
Допустим, что этот оператор Z 0 удовлетворяет ус-
'ловшо полуограниченности

<Ф,	(2-5)

при некотором с > 0.

Это условие на норму ||<PhW = <ф,	в W дает

очевидное вложение W — ]Z\rzZ2- Покажем, что оно яв-
ляется невырожденным, т. е. для и е W с нормой
1и‘>2‘.2 = *-* мы имеем llullw = 0. Действительно, взяв обоб-
щенную функцию х = Ви е X с ||	= 0, получим

(«р, Ви) = <<р, Zu>&2 = <.^ф, и)&2 = 0, ф е= 3),
откуда видно, что обобщенная функция ж = Ви = 0 в Xs
= ££-* и IIBull х — Hh.IIw = 0. Применяя критерий сравнения
(2.2) с И’о = S^, гарантирующий вложения (2.3), прихо-
дим к следующему предложению.

Теорема. При условии полуограниченности (2.5)
пространство пробных функций X = BW = ZW содержит
плотное в нем Z 2 = Z ч]?) и является пространством ти-
па П7. □

В связи с условием (2.5) отметим следующее.

Отправляясь от симметрического положительного опе-
ратора Z в 9?2 = Z^T) с областью определения Z =
— С™ (Т) и связывая его с соответствующей формой
(2.4), в схеме (1.2) — (1-7) мы фактически получаем его
пр одолжение Z: Zu = Ви, и е W = [ЗУ], как оператора

Z-. w -+X = ZW,

кот фое определяет, в частности, расширение оператора Z
в пространстве Z2 на область

Z)= {и е W: Zu е Z.2}.

Он ; совпадает с известным расширением по Фридрихсу
нс ' щного симметрического 3s 0 до самосопряжен-
1:  < г :> оператора в Zz-

Поясним: по самому определению область значений
Zu, и^. Z)ф, есть пересечение Z2 П BW, а, как мы знаем,
X э Z2, так что совокупность X — BW — ZW комплексно-
сопряженных функций Zu = Bu с и е W содержит Z2 —
= Z2, S’a П ZW = Z2- Оператор

Z-. Zgi-^Z.i^ZZgi
является симметрическим, что диктуется равенством

<U.	= <U, K>W, и,

Кроме того, он удовлетворяет условию

И у.

что следует из условия полуограниченности (2.5) при
переходе к пределу	в пространстве IT'= ДИ:

I!и lis7, Я ->7 <щ -/,ы>= I! “ !1п-

= liin I' (f Jvv — lim <([, ^ф>c?	lim c j| ф |ljg^ = c § и ||^> _

В итоге мы имеем симметрический оператор Ф с опреде-
ленным на всем пространстве .?2 симметрическим огра-
ниченным обратным оператором Q = 5s-1, Н()11 С 1/с,
и вместе с Q оператор Ф = Q~x является самосопря-
жен ны м. □

По поводу (2.5) отметим еще, что как условие, гаран-
тирующее включение Ф -- С™ (Т) в пространство проб-
ных функций X = BW = ^W и приводящее к Х = [Ф]
типа IV, оно в случае

ФФ^Ф

может быть заменено более слабым условием-

<<f. Фц >^2 с | ср | dt.	ф-е Ф,	(2.6)

в каждой огра н и ч е и и о и области Тioc s Т.

Действительно, для всех функций x = x(t) из Ф со-
гласно (2.6) мы пмем непрерывность (ф, х) относитель-
но ф>е^5 ио норме !{ф||щ	<45	, поскольку

| (ф, л) | С max | х (Г) | •	| ф | dt < С max | х (t) 1ф ljir

Пос

в области Ti„c — supp х, содержащей носитель supp х,
а такая непрерывность, как мы знаем, п определяет при-
надлежность обобщенных х е Ф* к пространству проб-
ных функций X.

Таким образом,
и, более того, поскольку по самому определению X =
— \ВЗ\ = \33\ содержит плотное в нем 33 — 3 = 3,
при включении 3) s X мы имеем X = [3].

При условии (2.6) норма х е 3) как элементов в X
непрерывна относительно сходимости в пространстве 3,
s’!p | (ф, х) | С шах |.г (01,

и в итоге получается следующий результат.

Теорема. В случае 33 s 3 при условии (2.6) про-
странство пробных функций X — B\V = 3W содержит
плотное в нем 3) = С™ (Г) и является пространством
типа IT.

Отметим, что мы имеем 33 ^3. например, в случае
дифференциального оператора 3 = 2 akdh с бесконечно-
дифференцируемыми коэффициентами.

3° Пробные пространства для дифференциальных опе-
раторов. Важное место в дальнейшем занимают простран-
ства пробных функций для симметрических дифферен-
циальных операторов

3 = V ahdk > О

с дейс твите ль п ы м и бесконечно дифференцируемы-
ми коэффициентами, для которых в схеме (1.2) — (1.7) с
формой (2.4) мы имеем

Btf — 3(f = 3<р, ф е 3.

Здесь мы специально останавливаемся па комплексном
случае, чтобы подчеркнуть инвариантность соответствую-
щего пространства X = 3W <= 3* относительно перехо-
да х -> х к комплексно-сопряженным х е 3*. Именно,
в указанном случае

|< = <<П ^'Р>^2 = <(Р’	= ’Шил <f>^3,

и эта инвариантность нормы в JF относительно перехода
<р — ф показывает, что вместе с х е X комплексно-сопря-
женная обобщенная функция х = (ф, .г) является непре-
рывной по норме

11ф111г = Нф111г, ф е 3,

а следовательно, х е X.
Понятно, что вместе с комплексно-сопряженным 3) =
= 3) мы имеем

х = д>\? = X	(2.7)

с нормой

!И!хs’iP |(ф. ж)| - sup |(([, .?){	жеХ.

1ч8и'<1	(.ФлуСТ

Для дифференциального оператора Д’--X п/ф" его
действие на о б о б щ е н н ы е ф у н к ц и и и = (<р, и),
q е 3), определяется формулой

Д’?? = (ф, .Д’??) = (.Д’*Ф, и), ф е 3).
где

Д»*Ф -• Z(— '1)|/;|^(щ:ф).

I:

Отметим, что оператор Д’ в (2.7), являющийся рас-
ш и р е п и е м исходного заданного на 3) —	(Т) сим-

метрического дифференциального оператора

5Э = 5Э*,

действует на функции ме1Г=[^2>] так же, как диф-
ференциальный оператор; точнее,

(ф, Д>1?) = (Д’*ф, и). ф е .25.

Действительно, согласно общему определению Д’ = В, мы
имеем

(ф. Зи.) - (ф. Ви) — (<[, Ви) (/>’<(. и) (.Яф. и) (Д’ф, и)

с Д’ф = Д’ф. Д’ф = Д**ф. □

Рассматривая вопрос о том, когда X является про-
странством типа W, т. е. X = [3)] является замыканием,
пространства 3) С™ (Т), сразу можно было бы сказать,
что указанное свойство X = [3] равносильно невырож-
денности оператора 3 в следующей форме: сходимость
11фДг=(ф, Д*ф)1/2 -> 0 влечет слабую сходимость ф О
функций ф s 3 в 3)'а именно,

(ж, <р) = (ф, ж)-* О

при каждом х ^3) — С™ (7’).

Напомним, что в случае полуограниченного оператора
3, удовлетворяющего условию (2.5) или — когда 33)
Е 3) — условию (2.6), пространство пробных функций
X = [2)] включает плотное в нем 3) ~ С™ (Г). п функ-
ции п=(л, и), х.еХ, из IV =[^>] можно отождествить с
обобщенными функциями

и=(х, и), хе 2, в 2)*.

Примером дифференциального оператора 2 с услови-
ем полуограниченности (2.5)— и тем более условием
(2.6)—может служить оператор

.^=2 (-	(2.8)

задающий форму (2.4) вида

<и. »’>п’ = <и,	_g? == 2	и)д? , е

2 1М<р	2

Eii отвечают известные соболевские пространства

17 == Т-И’ ('/’)• * = 3W = IF* = W^p (Т)
с нормами, обозначаемыми в дальнейшем как

IWI1V = I'uflp, 1Ы1Л = !WLp.

Отметим, что

!| »(? = 2 I! 9ku ['%>.

РИ<Р	2

причем это справедливо не только для ме ® - С™ (7’),
° р

но и для всех и е И а (Г) — нужно только понимать dhu
как обобщенную производную

(ф, дки) = (— 1)!ft! (d\p, и).	(ре2).

В частности, согласно указанной формуле для р,
здесь утверждается, что

для всех u^Wp(T) обобщенные производные дки
порядка Ш < р принадлежат пространству Z^ — Z-i^T).

В самом деле, каждая функция и е VF.f есть предел
и = Jim ип функций ип е 2) в IV? — [2>], для них в
существует предел lim дкип = Д, при всех ф е 2)
(ф. дКи} = (— l)>h^(dh(f>, и) = lim(— l)lftl (dhtp, ип) =

= Ит(ф, dhun) = (ф. .4),

и здесь уже непосредственно видно, что dku=fkeZ2,
причем

1Мт = lim = lim 2	2 ЕМЬ* •

1И<р	2	|л;«р	2

Аналогичный пример дает дифференциальный оператор

3s * 2 2 (—i)|/!-'V4	(2.8)'

j = l

задающий форму (2.4) вида

(и, с>и = (и, ^«) = 2 v (d\i. д'3 *^)^, и. и <= Ф,
ж-1 |'9'И'9

где м у л ь т и и и дексы Ад указывают производные по
у-и группе переменных, скажем, формально объединенных
в многомерное tj е Л 3 и в совокупности 2 dj ~ с’
представляющих А=(С, . .., 7d)e R1. Соответствующие

1Г ЙЧ'СС), X - 3>W W* ЙТ₽(7’)

с м у л ь т и и н д е к с о м р =(щ, ..рп) будем также на-

зывать Соболевскими пространствами.
обозначения IWIiy =	1Ы1Л- = !Ы1

для всех uePF.j(7’) обобщенные

пс пользуя те же

.р. Понятно,
производные

|Ад| < pj. принадлежат пространству А?2==^2.(7') и

что
д’'3 и,

\\u\p =2 2 \д3и1&9, u<=W!l.

Отметим, что при любых р' ДС р" (/Д =С р,. 7 -- 1. . . ., п )

имеют место вложения

й7Г йх' = ф.г с= wv,J' <= йтр"

того же типа, что и в (2.2), (2.3). □

В случае дифференциального оператора

З3 = SP (д) - 2 akdk	(2.9)

k

с постоянными коэффициентами его свойства определяют-

ся соответствующим полиномом	*

V ah(i7.)k, X^.Hd, (2.9)'
Это связано с представлением

<u,	3,v) <£ = [ и (X) v (К) 3 (z'X) dX.

где и, v — преобразование Фурье функций u, v е С™ (Т).
Из него непосредственно видно, например, что при

^(iX)>c>0, леЯ!\

для оператора 3 будет выполнено условие полуограни-
ченности (2.5) и тем более условие (2.6)—поясним:

1| ср ||уГ = ( | ф (X) |'2 3 (iK) d’K с J | ср (X) |2 dK == с || ср ||^> .

4° Преобразование Фурье пробных обобщенных функ-
ций. Напомним коротко о некоторых свойствах преобразо-
вания Фурье

K^Rd. (2.10)

(2л)я/2а

Rd

Для интегрируемой <p = <р(£),	оно определяет не-
прерывную функцию переменного X, ф (X)	0 при К -*

и в случае интегрируемости ф (Л), К е Rd, справедлива
формула

ф(0 = ^р«ф(Х)А t^Rd,

определяющая соответствующее обратное преобразование
Фурье f = ф для f = ф. При интегрируемости 11\рф(t) пра-
вую часть в (2.10) можно р раз дифференцировать по
переменным (Xj, .. ., ХД = X под знаком интеграла, и опе-
рация дифференцирования д^ср, | /il р, непосредственно
дает

3*ф =(—it)hcp.

С другой стороны, если функция ф имеет интегрируемые
производные д'ф, |Х| «С р, то интегрированием по частям
в (2.10) получается

с/‘ф =(iX)'‘cp.

Для свертки ср — и * и интегрируемых функций

Ф (i) = j u(t — s)v (s) ds
повторное интегрирование в (2.10) дает

и * v = (2л)‘'/2йг>.

Аналогично в случае интегрируемости u,v обратное
преобразование Фурье свертки й *v дает произведение
(2л)rf/2 uv, и при интегрируемости uv получается, что

(2n)d/2iw = и * и,

| e~iMu (t) v (/) dt = \ и (p) v (X — u) c/u.

Взяв вместо v комплексно-сопряженную функцию v, при
X = 0 здесь получим известное равенство Парсеваля

\ u(t)v (i) dt — \ и (ц) v (р.) с/р.

Обратимся к пространству У бесконечно дифференци-
руемых функций <р, таких что все их производные
5*<р(£) убывают на «бесконечности» быстрее любой сте-
пени

\1\рд\р0 при £-><».	(2.11)

Сходимость ф„ -> <р в 3f определяется как равномерная
сходимость

।/|рд\п-^р|рЛр

для всех производных бй<р и степеней ltlp. Очевидно вло-
жение

со сходимостью <р„ -> ф в 3), более сильной, чем в 3.
Преобразование Фурье функций <p s 3 дает ф е 3 из та-
кой же совокупности функций (двойственного переменно-
го X s /С), и то же самое можно сказать об обратном пре-
образовании, так что мы имеем взаимно однозначное со-
ответствие

3 э ф -W ф Е 5^.

Легко видеть, что это соответствие взаимно непрерывно,
т. е. при ([,. - (,г в .7 мы имеем ф„ -+ф в S' и наоборот —
это следует, например, нз общей для всех tp е dJ оценки

| (iX)'< З'ф |	(1 -- | i гГг dt-sup (1	11 |2r | / |(— it)1 ф] |

t

c r> d/2.
Взяв w еС“ (^d) с w(t)~ 1 при |б| < 1 и положив
фп(б) = w(t/n)<p(t), для любой функции	получим

цп е Ф =	(^d), для которых

фп ф, фп ф

в St. Каждая обобщенная функция

г=(Ф, j:), ф£ Ф,

непрерывная относительно сходимости в 3по непрерыв-
ности однозначно продолжается па все ф = У, и это
определяет обобщенную функцию х^З*: понятно,
что 3* Ф*.

Для любой обобщенной функции х е 3* равенство

(ф, х) = (ф, х)	(2.12)

с помощью (ф, х) на фе J задает обобщенную функцию
х е 3* на ф е 3 — обобщенное преобразование Фуръе
функции х е 3*.

Например, равенство

L/2 f e-i?-Kp(X)c?Z = ф(0 = (Ф, S;) = (ф, St), 1
(2л) '

непосредственно определяет функцию х = 6г (X) = е~ш,
Л Rd, как обобщенное преобразование Фурье дельта-
функции х = 8i(s), s е Rd, в точке t е Rd.

Внешне равенство (2.12) схоже с равенством Парсе-
валя, которое фактически и составляет суть формулы
(2.12) для и = ф и x = v. С учетом того, что простран-
ство 3 ~ С™ ( R'1} плотно в Ф2 — 2?2(Rd), справедливое
для и, и^З равенство Парсеваля распространяется на
все и, v^2?2, устанавливая унитарность преобразо-
вания Фурье ф -> ф в 3?2.

Для обобщенного преобразования Фурье сохраняют
свою силу формулы дифференцирования и умножения на
полином.

В связи с умножением выделим функции w, являю-
щиеся мультипликаторами в 3, для которых w3 s 3 и
операция умножения ф w<p непрерывна по ф е 3 отно-
сительно сходимости в пространстве 3. Такими мульти-
пликаторами являются бесконечно дифференцируемые
функции, которые сами и все их производные растут на
бесконечности не быстрее, чем степенным образом,— ска-
жем, для w = w(t), t^Rd, должно быть

|	(/) | < GI i |Pft- te=Rd.

В соответствии с этим w является также мультипликато-
ром в для каждого х е РУ*, определяя wx е РУ* как
(ср, «лг) = (»ср, х). ср е РУ.

На обобщенное преобразование Фурье переносится фор-
мула для умножения-свертки

(2л) i,2wx = w * х.

Понятно, что все сказанное относится и к обобщенному
обратному преобразованию Фурье. О

Сделаем несколько дополнительных замечаний, свя-
занных с операцией свертки.

Используя свертку / * g обобщенной функции f <= ЗУ*
и пробной функции g <= ЗУ =	которая определя-

ется при каждом t е Rd как результат применения f к
пробной g(t — s), ss/P, мы имеем дело с бесконечно
дифференцируемой функцией f * g (J * g e £“) с произ-
водными

6 s (/ * g)= i * dhg

— поясним: операция дифференцирования dkgt непрерыв-
на в пространстве ЗУ.

Для t — 3)* с компактным носителем свертка f*g
определена для любой обобщенной функции g е 3>*,
а именно действие j*g<^3)* на пробные <p(s), s еR!,
определяется как результат последовательного примене-
ния f it сдвинутой на t пробной <pi = <p(s + i). а затем
применения g к пробной функции (<p(, /), t <= Rd; при
этом

f * g = g * f,

где справа / s 3)* с компактным носителем действует со-
ответственно на функцию (<jp,	(локализованную

в окрестности носителя supp /).

Свертку /* g можно рассматривать как тензорное
произведение f®g на ср(s + f), a. t^Rd. что непосред-
ственно указывает на включение

suppi (/ * g) — supp f + supp) g

в арифметическую сумму носителей / и g. Аналогичное
включение справедливо и для сингулярных носителей
sing supp(/ * g) = sing supp / + sing supp g

(напомним, что sing supp обобщенной функции есть до-
полнение к открытому множеству, для каждой точки ко-
торого имеется окрестность, где она является бесконечно
дифференцируемой). Указанное соотношение для /, gs
е 3* с компактными носителями получается, например,
из их представления f = /1 + /2, g — gi + gz c /1,
и y2, g2 s с носителями из s-окрестностей с и н г у-
л я р и ы х носителей f и g:

sing supp (/1 * gl + fl * g2 + /2 * gl + /2 * g2)

= supp f2 * g2 = supp /2 + supp g2,
а к общему случаю можно прийти локализацией ] - ~
-> w(t/n)f, g-+ w(t/n)g с, ш^З (® = 1в окрестности 0)
при П ОО.

Благодаря непрерывности операции дифференцирова-
ния в 3,

dk(f*g) = (dkf * g) = (f * dkg).

Имея фундаментальное решение Е е 3* уравнения
LE = б для операторов L с постоянными коэффициента-
ми, являющееся функцией С°° всюду, кроме точки 0 (син-
гулярного носителя дельта-функции б), для любого и =
е 3* с компактным носителем можно использовать пред-
ставление

и = б * и =LE * и = ЦЕ * и) = L (и* Е)~ Lu * Е,

которое дает включение

sing supp и — sing supp Lu,
указывающее на бесконечную дифференцируемость реше-
ния и е 3* уравнения

Lu = /

в Toit же области, где этим свойством обладает правая
часть /. Указанное свойство, характерное для эллиптиче-
ских операторов, называют пшоэллиптичностыо. Отметим,
что фундаментальное решение Е е 3* в R' может быть
«описано преобразованием Фурье

у—'^Rd,

(2n)rf/2 L Фб
4(5

непосредственно получающимся из уравнения
LE = 6. □

Покажем, например, как, используя преобразования
Фурье (точнее, соответствующие ряды Фурье), можно
выявить некоторые нужные нам в дальнейшем свойства
пространств S) = С™ (Т) и W% (Т), р= 0, 1, ...

Каждая функция	= в области Т = R1,

имея компактный носитель в одном пз кубов (—пл, ил)“,
n = 1, 2, .. ., представима в нем рядом Фурье

Ф (0 ~---“7/7 2 ч1 (—-) е 11 *

1	(2л)^ Т V “ /

с коэффициентами

ф! —'l = —ютт ( е ' " * ф (0 dt -> О
\ п t (2n)d/2 J

при |/с| -> оо быстрее любой (отрицательной) степени Ч’!,
так что все производные й’"ср представимы соответствую-
щим равномерно сходящимся рядом

э™ /а 1 V {• к \т ~ ( к \
)е 1 

Понятно, что функция <р с носителем в ограниченной об-
ласти Т\Ж^Т может быть аппроксимирована в-простран-
стве S) = С™ (Т) частичными суммами ф.у (по |&|	.V)

указанного ряда Фурье, локализованными надле-
жащим множителем гге С™ (7 ), и' = 1, в области - э
э supp ф, а именно, при N -+ °° для всех производных

| с*тф — dm («Рх) | = | д™W (ф — ФлО | лб С У I д1(р — й‘фл-1 —-О

I <ТП

равномерно. Очевидно, что функции вида we п с различ-
ными w, отвечающими счетному числу областей Т10С (объ-
единение которых составляет Т), образуют счетную
полную систему в пространстве 3) —	(71) — полную в

том смысле, что ее линейная оболочка плотна в 3), т. е.
для любой ф е 3) найдется последовательность линейных

комоинаций функций вида we п , сходящаяся к ф в про-
странстве S) =	(71); при этом, скажем, здесь можно
с надлежащими w = wi. . .

взять линейные комбинации с рациональными коэффи-
циентами, и это показывает, что пространство Ф =
=	(Т) является сепарабельным. Понятно, что вместе

с ним будут сепарабельными все соболевские простран-
ства ЙД(Т’) = [С~ (Г)] и сопряженные к ним ИД Р(Т\
(р = 0, 1, ...).

Добавим, что согласно известному «разложению еди-
ницы», в пространстве Ф С™ (Г) в качестве полной
f . к
J 1—t
системы можно взять [w’e п

.. . if.i, локализованными в достаточно малых окрестностях
(взятых в счетном числе) и дающих

.ft, d	.kJ_

we*ri = П (;Д вп }

как произведение пробных функции от каждого перемен-
ного tj в t=(t\, ..ta); это указывает, в частности, на
полноту соответствующих тензорных произведе-
ни й типа

d	d

Ф = II ®	П Ф? (0)-	□

j=l	J=1

Тензорное произведение обобщенных функций f,g^
s Ф* в области Т s R1 определено в прямом произведе-
нии Т X Т как обобщенная функция f ® g, действие кото-
рой на пробные функции ф(х, t), (s, t)eTXT, есть ре-
зультат последовательного действия f на <р( •, t) при фик-
сированном t и g на пробные (ф(-, t\, f) е Ф =	(Г).

Обобщенная функция / ® g однозначно определяется
па всем С” (Т х Т) при ее задании па пробных функ-
циях

<p(s, t)= ф! (х)ф2(Д= ф1 ® ф2

с ф). фз s Ф, где она есть

(ф! ® ф2, f ® Й') = (ф1, /) * (ф2, g)

— поясним: всевозможные пробные ф = ф1 ® ф2 образуют
полную систему в Со (Т у. Т). □

Продолжим рассмотрение Соболевских ИДД?’) и бо-
лее общих пространств типа W с помощью преобразова-
ния Фурье.
Обозначим через гильбертово пространство типа
S£i с весовой функцией F(X)&*0, локально ограниченной
и растущей при 1X1 -* °° не быстрее некоторой степени
)Х|Г (уточним,	образуется функциями / = /(Х),

pWf<= <£2 = S?2(Rc') со скалярным произведением

</, g>^2 F=^f W Ж) F /, g е= 2,.F.

В частности, в S\F входят все функции / е 3, убываю-
щие вместе со своими производными при |Х| -*• °° быстрее
любой степени |Х|“при этом сходимость в простран-
стве 3 сильнее, чем в 3?2,v (см. (2.11)).

Отметим сразу же, что совокупность 3 С™ (Rd)
плотна в пространстве SF2,г,

<?2.Р = [3]

— например, любая ограниченная функция /, равная О
вне некоторого компакта, может быть аппроксимирова-
на в 22 надлежащими свертками f * w С™ (А) с но-
сителями в ограниченной области Л s Rd, п для них

//*"’ С П / — / *«’ h>2 0.

Обратимся к пространствам 1И = IV(Т), X = W(T)*,
отвечающим в схеме (1.2)— (1.7) форме (1.2) вида

<н, p>iv - <u, v)^ , и, i>£ 3). '	' (2.13)

2 ,F

Как уже отмечалось (см. (1.9)), для любой области Т <=
с Rd их всегда можно рассматривать как подпро-
странства в соответствующих

W = IV (/?"), X = W(Rd)*,

что мы и будем делать, остановившись на случае Т = R’1.

Согласно (2.13), преобразование Фурье дает нам изо-
метрическое соответствие

W ВЭ ф ++ ф е ^2 ,
для функций ф е3), которое продолжается до унитар-
ного соответствия

=	(2.14)

при котором для произвольного и <= W= [0] как предела
и = lim ф с ф е S) соответствующее преобразование Фурье
дает и = lim ф е а совокупность W всех таких и,
и е W. составляет все пространство Z?f (поясним: функ-
ции ср, <р е 55, плотны в пространстве 2 Zz, а значит,
и в самом пространстве Z2,v — \3\ )•

Согласно (2.14), пространство W = 17 (В") содержит
нее функции и = /е.7, получающиеся из функций fe
обратным преобразованием Фурье, причем
сходимость в пространстве 2 s W сильнее, чем в самом
17; понятно, что

W = №-

Очевидно, что элементы x=(w, х), и е 17, сопряженного
пространства X = W* можно рассматривать как обобщен-
ные функции х е 2*, непрерывные по и s 2 относитель-
но !Ы11Г, п в соответствии с этим можно использовать
обобщенное преобразование Фурье

х = (ф, х),	фе-7,

— см. (2.12); при этом совокупность X всех х, х<^Хт
можно отождествить с совокупностью всех линейных не-
прерывных функционалов х=(/, х) на / е W =	—

напомним, что 2 плотно в пространстве Z^x-

Для более явного описания обобщенных пробных
функций х е X = BW удобно перейти к комплексно-со-
пряже иным функциям

х = Ви = Zu, и е W

— отметим, что скалярное произведение (2.13) инвариант-
но относительно перехода к комплексно-сопряженным
функциям, и мы имеем

X = X = ZW.

Воспользовавшись обобщенным преобразованием Фурье,
получим

Zu = Fu, и е W,	(2.15)

согласно тому, что

(ф, Zu) = (ф, X) = <ф, U)w = <ф. и}д> =

2.У

= | <fFudK, ф е.7.

Обратимся к случаю, когда 1/F(X) допустима в качестве
весовой функции и можно использовать отвечающее ей
пространство ^2,i/f. Очевидно, что в этом случае
/ = У и = Fu, и е= W =

однозначно характеризуются условием feS’z.i/F. т. е.

и мы имеем унитарное соответствие

X = W’ — X = ^2.1/р,	(2.16)

задаваемое обобщенным преобразованием Фурье / = '3>и,
обобщенных пробных функций &и, и е ||' поясним:
||W|ht= sup I (<г. ^п)| = sup I (if. f) I = yilg, \.
Гч’Ф’*1	Й7,	2,1/ /

Подведем итог.

Теорема. Отвечающие форме (2.13) пространства

W = W (Rd), X =	= W*

с помощью преобразования Фурье допускают унитарные
представления (2.14), (2.16), в рамках которых, согласно
(2.15), оператор есть оператор умножения на весовую
функцию F. □

Остановимся подробнее на случае весовой функции
типа

F(k)X 1 + |Aj2p	’	(2.17)

<с целым показателем р > 0.

Отметим, что стоящий справа полином 2Р(ik) = 1 -г
+ Ш2р соответствует, согласно общей формуле (2.9),
дифференциальному оператору 5э(й)=1-!-
+ (—1)РА?, где

оператор Лапласа. Очевидно, что этот полином в условии
эквивалентности (2.17) можно заменить на эквивалент-
ный ему полином зР (ik) = У |%|2ft, соответствующий
дифференциальному оператору & (д) = У (—1)^1 д21,
которому (см. (2.8)) отвечают соболевские пространства
о	о

W =н И’?, X = W2P- Это указывает на эквивалентность
норм

I! Ф llw = IIФ lls’^p X II Ф W&^g, = IФ |'р, ф е -® •
где, напомним, 2 11^к(/||Ь’ есть норма в соболев-
|Л(< р	2

ском пространстве И7?, которое и получается у нас в слу-
чае весовой функции типа (2.17):

с эквивалентной нормой Нп111Г X Hull,, и е IV.

Как мы знаем, каждая функция и е 1V| имеет обоб-
щенные производные dhu «= Sz порядка \к\ р, и это
полностью характеризует функции и е И’?(R'1)— дей-
ствительно, условие dku е Zz (Rd) влечет включение дки —
= (ik)ku e^2(Kd), и если это верно при всех \к\ $5 р. то
S(i\) 1/2м е ZztR") для 5s (?Л) — Tl | Z |2ft, что дает и =

е Zz,g> К, Ite IF (см. (2.14)).

Понятно, что вместе с W = W‘> мы имеет соболевское
пространство X W* = ИХ1' с эквивалентной нормой
1Ы1Д X llzILp, х е X.

Рассмотренный в (2.17) случай очевидным образом
обобщается на

F(X)xl + 2	(2.17)'

1=1

где многомерные /.j е й ’ указывают соответствую-
щие переменные, в совокупности ^2 dj = dj представляя
7. =(Xi, ..., Kn)^Rd. Здесь возникают анизотропные Собо-
левские пространства

w = wp2, х = w* =

отвечающие мультииндексу р — (pt, . .., рп), с эквивалент-
ными нормами

llullw X llu-llp, IWIjr X lla;ILp

— см. (2.8) напомним

11«1ф = £ 2 bAMk, u<=wi

j=l
При этом функции //е ИЧ'(Я") полностью характеризу-
ются тем свойством, что их обобщенные производные

ЧЧе.?,, \kj\^Pj (/^ 1...........») □

Рассматривая 1Г = И/(7’), X = W(T)* в произвольной
области Т R'1 как подпространства в IP = 17 (Я'), X —
= W (Rrl)* (см. по этому поводу (1.9)), их можно описать
с помощью преобразования Фурье, обратившись к соот-
ветствующим подпространствам W = [0] s S?2,f — замы-
канию в 3?2,f всех функций <p, <p е S) п X = [/<®] =
— /р — замыканию в ^2,1/г всех функций Тбр, ср s S),
образованном всеми функциями Fit, й s ГГ; здесь помимо
представления

х = (ф, -г) --= <ф. />^ .
2 ,г

с /е ТГ' можно использовать для JeX такое же пред-
ставление с другими f^S?2.F, имеющими одну и ту же
ортопроекцию на подпространство W s £'2,f. С

Рассмотрим вопрос о том, как соотносятся нормы з
пространствах W = [t£>], отвечающих форме (2.13) при
различных весовых функциях F — речь будет идти о
нормах

I; Ф !| Ч h?, „• Ч е С» (Г)-
2, г

для ограниченных областей Т = R.

Отметим сразу, что при условии

7(л)^с0>0	(2.18)

мы имеем вложения	Иг£ ££ и каждая функ-

ция f е И' = [£>] — Z^.f есть преобразование Фурье

f G-) ~f е^1гЛи {t) dt
£-^dl2

финитной функции и s 17 (и = 0 вне ограниченной
области Т Я1'), определяющее целую аналитическую
функцию /(X) комплексных X, о которой можно ска-
зать, что ,ф.)^0 в случае, когда /(Х) = 0 в некоторой об-
ласти действительных %	Я11.

Рассмотрим пространства при различных F =
= Fi, F2 (считая, что Fi£:F2). Допустим, что разность
— 1'\ имеет своим обобщенным преобразованием Фурье
локально квадратично интегрируемую функцию b(t), t<s
s R'; положив

b(s, t) =b(s + t),.	(s, t) eTXT s=R2:,

продолжим b(s, /) на все пространство R2d до квадратич-
но интегрируемой функции и и возьмем ее преобразование
Фурье 5(Л, и), (X, р)е Н2Л. Используя известные формулы
для умножения-свертки и равенство Парсеваля, для
w, v е С™ (7’) получим

и v (F;— F2) d't. = --и (s) v (t) b (я + t) ds dt =

J	“	(2л)Л- ! С

= f f u v Ъ (x- 0 ds dt

Считая e дальнейшем F = Fj, нужное нам продолжение
b(s, t) выберем удовлетворяющим условию

<2J9’

— это можно сделать, например, в случае Fcq> 0.
Взяв

будем иметь а (/., ц)е З’г.гхг в пространстве известного
мам типа с весовой функцией F(A)F(p), (?,, р)е Д2“, и

J и v (F\ — F.,) db = <и х и, р р

с й X е = й г(ц) s 2’2 fxf. Непосредственно видно, что
ограниченная симметрическая билинейная форма

</’ - </• - </.

z’r2	~'L

от /, se 1V допускает указанное здесь представление с
симметрическим вполне непрерывным (компактным) опе-
ратором А в гильбертовом пространстве	—

поясним: для ортонормированного базиса {?7Й} в ГГ мы
имеем ортонормированную систему	в SE^.ptp и

2 | Auj)^ I2 =

— xj | {ukXUj, a) \~£ „^FyF^la'& ,2FyF<^ °°

(обладающий указанным свойством оператор А называют
оператором Гильберта — Шмидта). Как известно, верх-
няя грань

sup</, Л/>^2 7? = с

по всем /еН', ii/i^2F = K достигается на соб-
ственной функции / = /о е W. В нашем случае F = Fl'> F%
мы имеем 0 < с 'С 1. Покажем, что с < 1. Действительно,
при с = 1 мы имели бы f | /0 |2F2 (X) dh — О и /о(Х)=О в.
той области к е Rd, где f2(X)¥=0, но это в рассматривае-
мом случае F = F\ типа (2.18) может быть справедливо
лишь для /os 0. В итоге мы имеем с < 1 и

(1 —с) И / Из’ <11 f 11^ F < il /р ’ / е

Сформулируем полученный при сделанных выше предпо-
ложениях результат.

Лемма. Для любой ограниченной области Т = Rd
имеет место эквивалентность норм

х F > феС"(Г). (2.20)

Пусть, например, весовая функция F удовлетворяет
условию

0 < lim 11 Г2рГ (X) С ШТГ | X Г2”/1 (X) < эо (2.21)
Х--ОО	-* 00

или более широкому условию

(2.21)'

(уточним: при достоточно больших X она пред-
ставляет собой функцию типа (2.17) или соответственно
функцию более широкого типа (2.17)'). Очевидно, мож-
но взять другую весовую функцию F = Fi в точности ти-
па (2.17), (2.17)', совпадающую с исходной функцией
F = l'i при достаточно больших л и удовлетворяющую
условию (2.18). Как мы знаем, для любой области
Т ~ R ' при условии (2.17), (2.17)' мы имеем Соболев-
ские пространства И — W ? (Г), А' = И* = 11'2 '(?) Раз-
ность Fi — 7’2 есть финитная функция, и ее преобра-
зование Фурье допускает нужное нам продолжение
с условием (2.19), так что, согласно (2.20), получается
следующий результат.

Теорема. Форме (2.13) с весовой функцией типа
(2.21), (2.21)' в любой ограниченной области Т = IF от-
вечают соответствующие Соболевские пространства И’ =
= Wi (Т), X ~ W7P (Т) с эквивалентными нормами

1Ы1Л!- X llnilp, Ы х X IWLР.

5° Положительные дифференциальные операторы.
•Обратимся снова к дифференциальному оператору IF =
— <F(d) с постоянными коэффициентами в (2.9) и соот-
ветствующим ему по формуле (2.9)' полиному

У7 = F (<л) = У а.], (гл)'!, Z (= /irf.
I/г I < m

Положительная определенность формы (2.4) (иначе го-,
воря, положительность оператора IF = fF(d) > 0) диктует
положительность ^’(1Л)> 0, /. е RI. В самом деле, условие

(Ф, ^ф) = J [ ф |2-? (//.) dK > О

для определенного на Ф^С^(/?‘!) оператора IF распро-
страняется на все функции ipeJ, преобразование Фурье
которых дает, в частности, все функции

п указанное условие, очевидно, равносильно положитель-
ности IF(il) >0, /.е R1.

Понятно, что имеет место представление (2.13) с ве-
совой функцией /’(л) = IF(ik). □

Объединив все члены полинома F(ik) старшей степе-
ни 772, получим однородную форму

’’С	/."	.тп	Л k - ____ fyd

У ah(iK) = i 2- ak^ t	.

|k!==m

Для каждого л = Ло, где эта форма не равна 0, она при
Л = /Ао растет с г °°, как rm быстрее, чем остальные
члены полинома ^(iZ)^O, и ясно, что в случае дей-
ств и тельных коэффициентов здесь должно быть т —
= 2р, причем

(~1)₽ 2 «hXft>0

|fe|=2P

при всех }. е R'.

Допустим, имеет место условие эллиптичности опера-
тора = ^(д), выраженное строгой положительной опре-
деленностью

(-1)р 2	(2.22}

|Л|=2Р

при X 0. Классическим примером здесь может служить
оператор 5Э(<9) = (— 1)РАР, представляющий собой взятую
с надлежащим знаком р-ю степень оператора Лапласа
d

А = 2 и отвечающий полиному ^(г'Х) = 1Х|2з>.
бН-
3=1	3

В условии (2.22) старшая однородная форма порядка
пг = 2р такова, что

ср~2р (— 1)р 2 аХ- <2 c.,r2p

|k|=2p

при всех X, 1 Xi = г, где Ci, С2 > 0 есть min, max этой фор-
мы при IXl = 1, и При достаточно больших г — 1X1, оче-
видно, F (X) = ^(/Х) X |Х)2р удовлетворяет условию (2.21).

Как следствие, получаем, что для эллиптического опе-
ратора 3) = 3)(д) в каждой ограниченной области Т = Н
имеет место эквивалентность

(и,бди)х 2	wel'Ff(T’).

|й|<Р	2

Попятно, что в нашей схеме (1.2) — (1.7) мы в каж-
дой ограниченной области Т s Rd имеем Соболевские про-
странства

W = WP2{T), X---W~'“(T)

с эквивалентными нормами llullw X Dull?, X h^ii_p. □
Обобщением условия эллиптичности (2.22) для диф-
ференциального оператора ^(5)^0 может служить
условие

тп

^Rx2I^|2p>	£.22)'

3=1
при достаточно больших |Z|, где kj е 7? 3 ука-
зывает на /-ю группу переменных, в совокупности [^dj=d^
= d) представляющих X =(/.[, ..лп)е/Г'; согласно
(2.21)для каждой ограниченной области Т s R1 имеет
место эквивалентность

(и. ?и)х2 2	• «G ihV).

;=1

где Н'.('(7’) есть соболевское пространство с мультппн-
дексом р =(pi, ..р„.).

Характерным здесь является

эР = L*L =.= — d^dtl + Л2

с параболическим оператором L = d/dti + А, где dfdti —
производная по переменному	а А — симметриче-

ский эллиптический оператор по остальным перемеппым
(t2. .... LR=R~' с производными д\ \к\^р. к =
= (к2, ..., кЛ); согласно (2.21)', мы имеем

(и. cFu) -- |[ Lu j|^ X



в любой ограниченной области T^R1. □

Обратимся теперь к произвольному положительному
оператору // = ^(д) 0 с полиномом .^(гЗ^^О, удовлет-
воряющим условию

lim & (/Z) > О.

(2.23)

Согласно унитарному представлению (2.15) и пашен лем-
ме из п. 4° (см. (2.20)), для С™ (Т) в каждой
о г р а в и ч е н п о п области Т s R1 мы будем иметь

(If. ^ф) Х||Ф|1^2 Г, <ре0.

выбрав весовую функцию F так, что F (к) = ^(ik) при
достаточно больших W п F (к)^ fPtjk), F (к)^3 с> 0, при
всех к s R'. Очевидно, что I! ф F с f| ф Для так вы-
бранной F(к)^3 с > 0. В итоге получаем, что при условии
(2.23) для дифференциального оператора 9i = 9i{d'} в
каждой ограниченной области Т s R1 выполняется уело-
вне полуограниченности

(ср,	'I if...	'| SC“('/').

со всеми вытекающими из пего следствиями
(см. (2.5)). □

Характерный пример, когда нарушается условие
(2.23). дает оператор С/ = L*L с

L = d“. p=(pi, ..., p,i),

и полипом С? (/X) — |	| P1 ... | /.,< | ‘d. Однако n для пе-

го в каждой ограниченной области Т R' выполняется
условие (2.5). более того, в любой области типа

Т<= \t: tj>l°j', j = 1, . .., d}
выполняется условие полуограниченности (2.6).

Покажем это, выделив р} ¥=0 п считая здесь j — 1. ...
..., п < d. Воспользовавшись тем, что всякую функ-
цию и е Со' (Г) можно представить /у-кратиым повтор-
пым интегралом от производной о и и применяя эту
менному t.j с оценкой

t-
| и (Z) |2 <С С П dVju dtj

J

в любом конечном интервале < tj Zj, и применяя эту
оценку к и = ср при 7 = 1. а затем последовательно при
7 = 2. .... н к соответствующим подынтегральным функ-
циям

и = с/’йр, с/1 1,!>2\р = д12 (дР’ср).

получим

I	/

*1 hl

I <Г (01'2 С с .. . I 16,гф |2dt± ... dtn
tn
‘1 hi

в любой ограниченной области Г)ОС |Z: Z° tj'. 1 ~
= 1. ..., «]; дополнительное интегрирование дает здесь
очевидную оценку

| ср (Z) |2 Й < С С | dpcp [2dZ,
Пос	т
выражающую для 3 — L*L, L = др, условие

<q. ^<р>^2>с J |((>(г)Г2бЙ.

Г1ОС

(2.24)

6° Мультипликаторы и локализация пробных обоб-
щенных функций. Рассмотрим вопрос о том. когда в на-
ших пространствах W = [3)]. Х=Ж*е£>* определено
умножение на ту или иную функцию w. ("кажем, умно-
жение на бесконечно дифференцируемую функцию w
определено для любой обобщенной функции .г е D* как

wx = (yp, wx)^(w(p, х). ipsgi.

по остается вопрос о том, будет ли это для х s X s 3)*
давать функцию wx^S>* из X.

Допустим, что функция w такова, что определенное
указанной формулой произведение wx^X при всех х s X
(это заключает в себе, в частности, что ияре И7 при всех
<р^3>). Покажем, что (линейный) оператор умножения
х -» wx з а м к и у т в X. При сходимости х„. х, wx„ -* у
в Л’ мы имеем также слабую сходимость

(ф, WXn) = (ц-ф. ,Т„)

I I

(ф, У) ~ ("X- З’) = (<Г. »’^). f(

и видно, что y — wx. Как известно, определенный па всем
гильбертовом пространстве лилейный замкнутый опера-
тор является ограниченным, и на всех х^Х

I!m-zII.v X (ДИД.

Отсюда следует, что

। (и’ф. х) I — I (ф. wx) | sS KpXJlwHi v < 1ЫК

и

|| ('<[ I w = sup I (Юф, х) К С; ф !>. Ф е Ф,
еуХ « 1

т. е. что непосредственно определенный па 3) оператор
умножения Ф-> и'ф о г р a ii и ч е п в W. В свою очередь
при условии ограниченности этого оператора па 3) в
W = [3>]

ПшфП^ X СНфН„-, феЗ),	(2.25)

для любого е Х и wx = (q>, wx), фе®, получается

II (ср, wx) II rX lln^Hn-IWLx X СПфНууИ^Пх,
что указывает на принадлежность wx e.Y = JF* с нормой

IIzpxIIj CIWIA-.	(2.25)'’

Отметим, что ограниченный в W оператор умножения
на функцию w, непосредственно определенный для ф е
е -25. однозначно продолжается па все пространство И’ =
= \ЗУ\ как

wu = lim и7ф	(2.26)1

для всех п=Нп1ф в W. В случае, когда X есть про-
странство типа IV (X = [3)]) и IV ^3)*, определенный
в (2.26) оператор умножения действует па предельные
элементы u — iimtp как на обобщенные функции и^З)*.
поскольку

(х, гги)Е=(шн, х} = lim (гиф, х) =

= lim(<p, wx) = (u, wx) = (wx, и),	x<^3).

Подведем итог следующим предложением.

Теорема. Оператор умножения на w определен в
пространствах IV = [3)]. Х= И7* тогда и только тогда,
когда он ограничен на 3) в IV. □

Для примера обратимся к условию ограниченности
(2.25) в случае Соболевских пространств П' =
= Wt (7’), X- W~? (Т). Очевидно, что оно выполняется
для любой p-гладкой функции w = w(t), ограниченной
вместе с производными дки порядка р — паиомпим здесь
формулу Лейбница

д11 (щ<р) - 2 ц (Д /)1
l<k ’'	''

с мультиипдексами к, I, согласно которой

II w’<r l!w х 2 Iд>1 (""г) <
|h|<p

< С У j| d}q X С l| <p ||w, fp e 3).
lj|«₽	2

Это относится и к Соболевским пространствам с мульти-
индексом p = (pi, ..рп), указывающим порядок р,- про-
изводных по соответствующей группе переменных ij е

d	П

е 7? в представлении i = (ii, ..1п)^ Ю с d= У <7^;
напомним, что

Более широкий класс пространств можно определить
условием

С V, д‘ |Л,	(2-27)

h Пос	к

для каждой о г р а и и ч е н и о й области Т 1()С s Т, в кото-
рое вместе с каждой производной d’!<f входят и все про-
изводные д'ф меньшего порядка I < к (l{ С kt, i = 1, ...
... cl. для мультиипдексов I, к). При условии (2.27)
в H7 = [S5], X = W* определено умножение на все фи-
нитные функции if е t” (Т) — очевидно, что, взяв
Tt„,: 3 supp w, получим

|l U’T ivv < с 2;! дк (шер) С С 2 У \d\\2dt^Chp\\w. □
k	k т\

1 loc

Рассмотрим вопрос об умножении для пространств
W=[0], X = IP*, отвечающие форме (2.13). используя
для IV унитарное представление W 3\г в простран-
стве с весовой функцией F (см. (2.15)).

Пусть весовая функция F(X), k^Rd, допускает оценку

F(X+p)^F(X)G(p)	(2.28)

при всех ре 7?'' (например, это так для весовых функ-
ций F типа (2.17), (2.17)', дающих Соболевские про-
странства).

Произведение ш<р имеет своим преобразованием Фурье
свёртку W(f = (2л)-1/2ш * ср, и условие ограниченности
(2.25) можно выразить в форме

!i ф	те®.

Допустим, что преобразование Фурье w таково, что функ-
ция /(р) = 1ш(р) lG(p)1/2 является интегрируемой,

) | w (р) | G (р),/2 с/р < оо.	(2.29)

Тогда, воспользовавшись неравенством

F(XHF(X-p)G(p)
и считая	== 1, получим

и- * ср	| ф (7. — ц) и- (ц) F (7^)1/2 du | d’K sC

<2 f | ) ф (7. — p) F (7. — 11)l2/ (u) dp l~ d'K

| ф (7. — p) I2/1 (7 — it) f (p) <Zp d'K =

= C j I (П Ф (Z — h) |2F (A — и) d'K] / (u) du ---= ;i Ф

— видно, что условие ограниченности (2.25) выполнено.
Сформулируем полученный результат.

Теорема. В отвечающих весовой функции F типа
(2.28) пространствах W = |2Д]. X = IV* определено ум-
ножение на любую функцию w, удовлетворяющую усло-
вию (2.29).

Попятно, что эта теорема об умножении переносится
на все пространства W = [0]. X = IV* с эквивалентными
нормами

II ф lav х С ф F- 'I :

Отметим широки!! класс пространств

IV = W(T)=

с «аппроксимационной единицей», образованной последо-
вательностью мультипликаторов w,, = w(t/n),	п^°°,

w е С~ (Rd), w — 1 в окрестности / = 0; здесь мы име-
ем в виду IV с умножением па функции w’eC“(/?d),

такие что последовательность операторов умножения на
u,t==w(t'n) является ограниченной.

11ггпф!1и- < СПф'ф-,

Примером здесь могут служить соболевскпе пространства

Р	° ’Г

||1У == И 2 (?’), связанные с дифференциальными операто-
рами (2.8), (2.8)'. Для таких пространств ТУ = 1У(Г) ло-
кализация функций ueJV в подобласти SooT дает сле-
дующий результат.
Теорема (о локализации). Функции uelF с носи-
телями supp и = 5 входят в подпространство

1К(5)=[СГ(5)].

(Подчеркнем, что здесь 5 может быть произволь-
ным открытым множеством 5е Г в й1.)

В случае компактного носителя supp и е S мож-
но взять мультипликатор е С™ (S), w = 1 в окрестно-
сти компакта supp и. для которого и = wu — lira г/щ в
представлении и = lim ф в TF как предела функций
<1 • ее 3) — Со (Г), и, таким образом, и = lim и’ф для птг е
е (£). В случае произвольного носителя supp и ~ S
можно взять «аппроксимационную единицу» wn = w{tin),
для которой и = lim w„u е IF(5) как предел функций
wnu е W (S) с компактным и носителями supp w„u- s
supp и s S. Здесь для ограниченной по норме последо-
вательности операторов умножения на w„ с очевидной
сходимостью и'пф-^-ф в 3) = С™ (Т) s W мы имеем

I!» — идд/'Н,,- < Пи — фИ„. + Нф — гг7„ф!1ДГ + 11ш„ (гр — и) 1Ц.

с ф -> и в W. О

Рассмотрим еще один вопрос, касающийся л о к а л п-
з а ц и и функций и е IF в той пли иной области 5 = Г,
Напомним, что пространство W = W (Т) было введено как
пополнение исходного 3) ~С™ (Т) в области Те/{!.
При .этом, имея дело с IF = IF{Т). мы условились рас-
сматривать и е IF как функции и={х, и) обобщенного
переменного х е X. взяв соответствующие х— (ф, х), q-e
^3), за пробные обобщенные функции—см. (1.6),
(1.7). Этот подход можно использовать, чтобы опреде-
лить функции и е W в области S как и = (х, и) с по-
мощью пробных х е X, скажем, имеющих носители
supp х е [5] в замыкании [5] этой области. Обозначив
X{S) совокупность всех таких х е X. составляющую под-
пространство в гильбертовом X, введем соответствующий
функциональный класс IF(5) как пространство всех и =
= (х, и), линейных и непрерывных по x^X{S). По-
нятно, что всякая функция u^W{S), будучи линейным
непрерывным функционалом на подпространстве Х{&)^

X, продолжается до функции и е IF = X* во всей об-
ласти Т э 5, где она определяется с помощью обобщен-
ных пробных х^Х как и={х, и). .т^Х.
Выделим здесь специально важный случай, когда X
есть пространство типа W. X — [С^° (7’)]. и в соответ-
ствии с этим каждая функция u^W(S) представляет
в области S обобщенную функцию

д е 67(5).

(2.30)

на пробных д' — х <= X (5) 2	(S); отметим здесь, на-

пример, что для соболевскпх И’ — И7^?’), X- 1472”р(7’)
мы имеем X (5) = ft” (5)], так что и е W(S) можно
отождествить с обобщенной функцией и=(<р. и);
<ре (5) на плотном в Х(5) пространстве 3) = C^S
в области S Т.

Казалось бы, само определение W (S) указывает нэ
зависимость этого функционального класса от соответ-
ствующей области Т э S. однако это пе совсем так.

Рассмотрим 5 s Т с замыканием |5'| = 7'!..с в области
7’1ос s Т с соответствующими И7),,,. = W (Т1пс) и Х10С =
= X(Tim), интерпретируя Arloc, согласно (1.9), как под-
пространство Х1„геХ = 1(Т), которое получается из X
факторизацией по норме

|(ф.-Г)|.	(2-31)

! Ф.1Щ*1

где гр е С™ (7’1ос). Допустим, мы имеем дело Со случаем,
когда в исходном Х = Х(Т) определено умножение на
щеС”(7’) с w(t)=l при (е[ф Тогда для х е
ен Со°° (S) S X мы имеем

<!х kjос	I!хк =-= S,|P I (“'Ф- -ФI

'и7^ 1

С sup I (идр. х) I
hwl’w* 1

с1ккж-

Имея эквивалентные нормы

ИИкк1(!Схкк. ^eC(S).	(2.32)

для различных областей Т 1ое э S мы получаем один и
тот же функциональный класс РУ (*$'), образованный все-
ми обобщенными функциями и = (х, и), непрерывными
по х е Cf (5) относительно IWL
Как пример укажем здесь Соболевские пространства
1У(5) = И7£(5),	°	(2.33)

отвечающие соответствующим	(У) =	(Г)],

р = 0, + 1. ...

Уже говорилось, что наряду со скалярными u^W(S)
мы будем иметь дело с обобщенными случайными функ-
циями и — (х, и), х е Со°° (5), непрерывными относительно
нормы 11x11 в соответствующем X (типа И7) со значения-
ми в гильбертовом пространстве	случайных

величин на вероятностном Q; принадлежность к этому
классу будем указывать записью iteW(S).

§ 3. Реализация случайных обобщенных функций
и некоторые теоремы вложения

1° Обобщенные функции и соболевские пространства.
Обобщенная функция / е 3)* в области Т е R'1 пред-
ставляет собой линейную функцию /= (<р, f) пере-
менного <р е 3. в каждой ограниченной подобласти Тi„0
с замыканием [Т10,.| еТ, являющуюся непрерывной по

ос) — П ^2 (Лос)> н локализация ее как
р

wj с помощью мультипликатора wе	(Г 1ос~) дает

линейный непрерывный функционал

«/gC(W=- и К7₽(^ос),
р

т. е. при некотором р

wj е W2 р(Т1ос).	(3.1)

Понятно, что выраженное в (3.1) свойство равносиль-
но тому, что в любой ограниченной области Т10С
с замыканием [Лот]с Т сужение /=(<р, /),	(?’]0С),

оооощепноп функции / е 3)* представляет элемент из
Соболевского пространства И7_р(Лос) с показателем р.
отвечающим соответствующему мультипликатору w е
еС“(Г) в (3.1), io = l на [Л..<]; указанное здесь
свойство локальной принадлежности обобщенной функ-
ции /«=££»* пространствам W2P (Лос) выразим как

10С О

/гЖ-^Лос)	(3.1)'

с отвечающим области Т1ос показателем р.
Этот подход можно 'использовать и для характериза-
ции векторных обобщенных функций / = (ф, /), (ре®
(со значениями в гильбертовом пространстве)—нужно
лишь использовать векторные W^~P(T) как пространства
векторных / = (ф, /), непрерывных относительно
пробных ([с® по норме ИфНР в соответствующих Собо-
левских пространствах Wp (Г) = [3)]. Так и будет нами
сделано в дальнейшем для случайных обобщенных функ-
ций и их реализаций, п здесь нам потребуется одно
уточнение в шкале Соболевских пространств

. . . сЙ^+]£ W%<= . . . <=	. <= W2pc=	.....

касающееся так называемых вложений Гильберта —
Шмидта.

2° Реализация случайных функций и некоторые тео-
ремы вложения. Говоря о случайной обобщенной функ-
ции | = (<р, g), мы условились иметь в виду векторную
линейную функцию от пробных ср е 3). значения которой
в гильбертовом пространстве Н=^2(й) случайных ве-
ли чип непрерывны относительно сходимости в 3) —
=	(Г). Как отмечалось, можно считать, что значения

(ф, в>н непрерывны относительно некоторой полунор-
мы . которая в свою очередь непрерывна относи-
тельно сходимости в 3). и £=(ф, g) можно рассматри-
вать как векторную линейную функцию на соответству-
ющем гильбертовом пространстве IV = [3)],— см. и. 1° § 1.

Имея это в виду, рассмотрим произвольное гиль-
бертово пространство W и линейную непрерывную функ-
цию В=(и, £) от u^W с векторными значениями
(и, £)еН в пространстве И случайных величин, завися-
щих от элементарного исхода со е Й. Эту зависимость
для случайных величин (u, g) укажем записью

(и, S) = (lt, ^)ш, О) е Й.

При каждом исходе oi — Q мы имеем реализацию (w, g)„>
случайных величин (и, %), а в их совокупности—реа-
лизацию

^tt = (u, g)^,	и W,

случайной функции g=(u, g), usW. Спрашивается,
можно ли выбрать векторную функцию Ъ,—(и, g) в Н
так, чтобы ее реализации B»=(u, g)m были линейны
и непрерывны по uelV для всех (или почти всех)
<о е Q? Понятно, что речь здесь идет о вложении реали-
заций в сопряженное пространство X = W*, при ко-
тором

с,, = (и, £ш), и s И-7,

с

Отметим, что в нашей интерпретации случайной функ-
ции £=(и, £) как векторной функции со значениями в
Н мы отождествляем ее со всеми эквивалентными слу-
чайными функциями £ = (щ £), при каждом отдельном
u^W имеющими значения (и, |) = {и, £) в Н — пояс-
ним: эти значения как случайные величины равны с
вероятностью 1,
(м,	= с)м

для почти всех м е Й, что оставляет возможность «под-
править» зависимость значений функции 1=(щ 5) от
случая для каких-то «плохих» исходов со, в совокупно-
сти имеющих вероятность 0 (и такая поправка может
внести радикальные изменения в поведение реализаций!).
Говоря о реализациях случайной функции §=(и, §)
с тем или иным свойством, мы будем иметь в виду
возможность выбора эквивалентной случайной
функции с такими реализациями.

Указывая на связь с предложенной в (1.2) — (1.7)
схемой, используем ф для обозначения элементов
гильбертова пространства W. Рассмотрим вопрос о реа-
лизациях еХ = И7* случайной функции g=(cp, ^) при
дополнительно данном условии ее непрерывности отно-
сительно нормы ЦфИи7 в каком-либо гильбертовом про-
странстве И’о 3 W. Данное здесь вложение

WsW0	(3.2)

подразумевает, что норма НфП^ не слабее H'IIvf •

Нам удобно будет использовать для элементов х е X —
= W* представление Рпсса

х = (ф, ж)=<ф, u>w, ф е W,

которое задает х = Ви с помощью и е W и позволяет
отождествить W* с гильбертовым пространством X = BW,

СВи, Bv>x = <w, v>w-

Характеризуя векторную функцию § = (ф, 5)» феИ\
со значениями в Н ее непрерывностью относительно
нормы J ф |,!ivo, мы налагаем условие

£](ф, ё)]2<С|ф||^-о, ф e= W.

Назовем (3.2) вложением Гильберта — Шмидта, если для
ортонормированного базиса {фД в W

!щ'0<	(3.3)

Теорема. При условии, что W s Wq есть вложение
Гильберта—Шмидта, реализации |«,=(ф, ё)о=(ф, cm)
являются линейными непрерывными функциями от
ф <= W,

(3.4)

Доказательство. Исходя из условия (3.3), по-
ложим ^ = (фл, £). Для случайных величин cs = ^ft((o),
(it е Q, мы имеем

Е 11 Ь. (<о)|2 ~ IЕ | (фk, В) |2 С С 21| <Н ||у2г < оо,

k	k	k	0

что дает У, | z.k («) |2 < °° при почти всех о) е Q. Возьмем
н

эквивалентные случайные величины ^ = ^(<а) так, что-
бы указанный ряд сходился при всех (о е Q. Исполь-
зуя в X = W* сопряженный ортонормировапйый базис
{ж*} с xh = Bqh, введем

h

При каждом ь) е: О мы имеем £ш=(ф, g,„). ф е W,
как реализацию в А’ случайной функции |=(ф, g), (ре
е W, со значениями

(Ч- f) -

= 2 Ik-(ф, zh) = 2 (% •'/,•) (Фл. ё) (2 (Ф» xk) 4k- g) = (ф. I)
k	h	\ h	'

— здесь используются разложение

ф = 2 <ф- фО1Уфй = 2 (ф, nJ <гь
к	к

по ортонормированному базису {фД и непрерывность
функции £=(ф, g) по ф е W в И. Имея ^=(ф, %) как
случайную функцию, эквивалентную g = (<p, 5), видим,
что все ее реализации дают нам элементы gw е -V = И7*. □

Условие (3.3) того, что ЖеЖ0 есть вложение Гиль-
берта — Шмидта, MQ»tno выразить в разной форме. Само
вложение W s 1У0 означает, что элементы ср е ТГ одно-
временно представляют элементы ср е ГИ0 с нормой
|| Ф ?и70 -С с 11 Ф ||пл и, таким образом, скалярное произведе-
ние <п, у>п’о непрерывно по и, v в гильбертовом про-
странстве W, допуская известное представление

<ic, i’>w — <w, Rv}w, и. с- е W, (3.5)

с линейным ограниченным оператором й>0 в W. Взяв
квадратный корень Q = Ri/2, можно переписать условие
(3.3) в виде

2Q'fИск = 2 <(Гь. Яфк)п7< оо (3.6)
к	k

— напомним, что {<р*} есть ортонормироваштый базис в
W. Условие (3.6) определяет Q = Ry2 как оператор Гиль-
берта — П/мидта. ай — как ядерный оператор в ТГ.

Рассматривая случайную функцию |=(<р, g) с не-
прерывными по ср е W значениями (ср, g)<^//, в качестве
Woэ W всегда можно взять собственное для g гильбер-
тово пространство Wo = [W], получающееся пополпепи-
ем исходного W относительно скалярного произведения,
определяемого корреляционной формой

{и, v}Wo = Е (и, g) (щ g), и, v е W.

— для нее мы имеем представление (3.5), в котором со-
ответствующий R называют корреляционным оператором
в W. Перефразируя доказанную теорему о включении
(3.4), можно сформулировать следующее предложение.

Теорема. При условии ядерности корреляционного
оператора в W для реализаций случайной функции g =
= (ф, g), qp е И7, справедливо включение (3.4). О

Рассматривая в вашей схеме (1.2) — (1.7) случайную
функцию g = (x, g) обобщенного переменного х е А', где
X = И7* — отвечающее данному W — [3)] пространство
пробных обобщенных функций, можно поставить вопрос
о принадлежности реализаций

(3.7)

сопряженному пространству Wo — У* для того или иного
гильбертова Х0^Х. (Пока здесь в сравнении с рассмот-
ренным выше общим случаем лишь переставлены ме-
стами И7 о и X.)

Теорема. Включение (3.7) имеет место для лю-
бого ТГ, допускающего вложение Гильберта — Шмидта

П s II о-	(3.8)

Это следует из уже доказанного ранее (при замене
Wо па X) с помощью следующей модификации общего
условия (3.3) того, что Ш s П70 есть вложение Гильбер-
та — Шмидта.

Именно, взяв произвольный ортопормировапиып ба-
зис {Xj} в гильбертовом пространстве X,, — Wo, это ус-
ловие можно выразить в форме

2|(<Гл, ^)|2< <».	(3.3)'

Ь,з

Действительно, используя сопряженный ортонормирован-
ный базис {щ} в Шо, мы имеем

IIФ i|w0 = 2 I <Ф, Uj>w013 = 2 I (ф, -Tj) I3
з	з

для любого ср е ТТо, и в условии (3.3) для ортоиорми-
рованного базиса {срД в гильбертовом пространстве
W Е Wo

211 фй !|ш0 = 21(фь> z'j)l3<°°.
k	° kJ

При вложении W s Wo мы имеем одновременно вло-
жение

Хо W* s W* = X

сопряженных пространств. При этом W = X* является
сопряженным к гильбертову X = W* и {cpj является
ортопормировапным базисом в X*. Согласно этому,
в (3.3)' мы имеем также условие того, что И' о ~ Ш*
есть вложение Гильберта — Шмидта. Получается следу-
ющий результат:

вложение Гильберта — Шмидта W eIFq равносильно
такого же типа вложению ТУоеИ7* сопряженных про-

странств.

Таким образом, условие (3.8) равносильно тому, что
Хо s X есть вложение Гильберта — Шмидта, а это, как
мы уже знаем, дает для Wo = Хо включение (3.7). □
3° Гауссовские случайные функции. Гауссовская слу-
чайная функция £ = (<р, g), <( *= W, на гильбертовом про-
странстве В7 — это линейная непрерывная функция с дей-
ствительными значениями (<р, g)eH, имеющими гаус-
совское распределеттие вероятностей для всех ф. Напом-
ним, что при нулевом среднем £'(ф, g)=0 это есть рас-
пределение с плотностью вероятности

р (.г) = ——е~~•х2'(2<т2)	—

1 ' ’	]/2ла

где о2 = Е(ф, g)2.

Допустим, что реализации = (tp, |ю), <р е IV, такой
функции можно охарактеризовать тем свойством, что
с положительной вероятностью gB е X входят в со-
пряженное пространство X = И7*. Взяв ортонормирован-
ный базис {ф,Д в И7, получим, что с положительной ве-
роятностью (tpfe, gm)^0 при А: оо, а это для гауссов-
ских случайных величин влечет среднеквадратичную
сходимость,

#1 (фл, £) I2 =' <ф*, Верн) -> О,
указывающую на компактность корреляционного
оператора R. Взяв ортонормированный базис {<р;.} из его
собственных значений, для соответственно н е з а в и с и-
мых гауссовских величин (<pft, gM), k = 1. 2, .... и схо-
дящегося (с положительной вероятностью) ряда

2 I (фЮ U) I2	!1 ?<о ГХ < 00 •

к

получим вытекающую отсюда среднеквадратичную схо-
димость

2 К (фь. ^)2- 2 <Фл< 7?,lh> и- < <»,
h	к

и мы видим, что R — яд е р и ы й оператор в IP.

Ранее для произвольной случайной функции j6)1!, %),
ф е |р, мы установили, что условие ядерности ее корре-
ляционного оператора R в W дает '-«£ .¥^11'* при
всех (!)eQ (точнее, дает возможность выбора эквива-
лентной случайной функции с реализациями е X --
= 1Р0). В итоге для реализаций гауссовской случайной
функции §=(ф, g). <р <= IV, включение ^юеХ=1Р* име-
ет место тогда и только тогда, когда ее корреляционный
оператор R в W является ядерным.
Рассматривая гауссовскую случайную функцию g е
= (<р, I)? фе Wo, на гильбертовом пространстве Wo, где
она является невырожденной со среднеквадратич-
ными значениями

Е(Ф, I)2 х ||<p|^o.

(3.9)

на основании полученных результатов можно сформули-
ровать следующее предложение.

Теорема. Вложение Гильберта — Шмидта W s По
является необходимым и достаточным условием включе-
ния реализаций с,„ е X = 17* гауссовской невырожденной
функции |е(<р, W.

Это указывает па неулучшаемость общих включений
(3.4). (3.7).

4° Вложения Гильберта — Шмидта. Рассмотрим Собо-
левские пространства W2 (Т), п = О, +1..... в	области

Напомним, что (Т) = [Ф] при п > 0 есть за-
мыкание пространства Ф =	(У) по норме



а соответствующее
жениым к W2 (Г).
вивалентпую норму

W2 п (Т) = W2 (Г)* является сопря-

Нам удобнее будет использовать эк-

I' ф I!» = (ф, Ф(р), Ф =- (1 — Д)п,

где Л — оператор Лапласа.

Как мы внаем, при всех п > тп имеет место вложение

Ж(Т)еЙ'Т(7’).	(3.10)

Теорема. При

п — т> сЦ2	(3.11)

для любой ограниченной области Т<=В.Л в (3.10) имеет
место вложение Гильберта — Шмидта.

Доказательство. Ограниченная область Т содер-
жится в некотором кубе 7’о = [—ла, ла]d, п мы восполь-
зуемся в пространстве ^2(^0) разложением

ф (о = 2 <рл eh (0	(3.12)

k
по ортонормированному базису из функций

где к —к,/) пробегает всю целочисленную d-мер-
ную решетку. Не ограничивая общности доказательства,
будем считать а= 1. Введем операторы как

(<) = 2(1 +1 |2)г,/2	(О,	(3.13)

к

определенные на <ре .^(То), для которых в их разло-
жении (3.12)

2(1 + | к |2)га | С[й |2 < оо.

к

Очевидно, что все функции <р е Ф (Т) входят в об-
ласть определения оператора Зп при каждом п, посколь-
ку для них коэффициенты

Ф'‘ = (Т^7Г | ф(0е-;й<Й

стремятся к 0 при I&I -* °° быстрее, чем (14-!&12)~р с
л ю б ы м р 0; отметим, что при п = 0, 1, ...

(1 - АГф(0 = 2(1 -ИОТтл (0
h

И

||ф||п=11-9г"ф||2’2.	(3.14)

Рассмотрим оператор Q = 77_р, р > d/2. Очевидно, что
есть ограниченный симметрический положительный опе-
ратор в Si(То), имеющий элементы ортонормированного
базиса {еА} своими собственными функциями с соответ-
ствующими собственными значениями (1 + |/d2)~p/2, для
которого

2il<2M3= 2(1 + тг₽<°о

k	k

при p > d/2. Таким образом, Q есть оператор Гильбер-
та— Шмидта в .З’гСТо), и этим мы воспользуемся.

Обратимся к вложению (3.10) с произвольным тп > 0
и п =^т + р, р> d/2. Согласно (3.14), ортонормирован-
ному базису {<р,} в W%(T) из функций ср.<^Ф в S2/TQ)
отвечает ортонормированная система {.7пср5}, применяя к
которой оператор Гильберта — Шмидта Q = 3~р, полу*
чаем

2 II Q (= 2 || "3rm4’7lib’ = 2 !l fP; ||т < ОО,
j	- j	- j

а это и доказывает то, что И’г (7')	Ш.™ (7) есть вло-

жение Гильберта — Шмидта. Применяя полученный ре-
зультат к сопряженным пространствам, убеждаемся в
том, что W2 т (Т) Ш2 ” (?’) есть вложение Гильбер-
та — Шмидта при любых — т — (—n) = р > d/2.

Рассмотрим теперь оставшиеся еще п — —т + р (ст,
п > О п р > d/2) и установим, что ГИ2 (Т) s 1Г7т (Т)
есть вложение Гильберта — Шмидта. Для элементов х =
= <pj — 3) ортонормированного базиса {<рД в И7” (Г), рас-
сматриваемых в X = WTm (Т), мы имеем

sup |(<р, ж)| = sup |(.7"\. (Z7".r)|<
|<₽1!т<1	<1

II Г\ О/п '

Q-s

откуда с использованием ортонормированпоп системы
{3nq>j} в 9?ч(То) и оператора Гильберта—Шмидта Q
получаем

2 II Ф; ll-m < 2 II Q^n4j ИЬ1 <°°-
i	i	2

что и требовалось доказать*).

В дополнение к доказанной теореме с условием (3.11)
отметим еще следующее.

В пространстве (То) операторы 3"‘ определены
формулой (3.13) на if'е 3) = Со°° (Т) при всех дей-
ствительных т, и с их помощью для каждого т > О
равенством (3.14) можно ввести норму HtpllTr = lltpll,,,, от-
вечающую в общей схеме (1.2) — (1.7) положительной
билинейной форме

<и,	, и, 3).

*) Условие (3.11) доказанной теоремы нельзя улучшить,'что,
в частности, следует из расходимости ряда 2(1+1 Г')~р = 00
При р = >1 — т d;2.
и порождающую соответствующее пространство ТУ = [2)],
которое обозначим как W = ТУГ (Т); в согласии с этим
обозначим X = ТУ* как X = W^m (Г). Очевидно, что
li Ф 1|т	|| ф Ils’. nPn любом m 0 и имеет место невы-

рожденное вложение ТУ’2П (Т) s (Т) (поясним:
все <р е ТУ’"(Г) входят в S’zfT'js 3?2(Т0), и при ||Ф\\д?= О
мы имеем ф = 0, <‘7”’ф = 0 в S^2{T0), так что !1фНт =
= || .З^ф |(с? = О). Согласно этому, X ==	(Т) есть

пространство типа ТУ, X = [^>] — см. (2.2), (2.3). Данное
нами доказательство того, что при условии (3.11) мы
имеем в (3.10) вложение Гильберта — Шмидта, распро-
страняется на все действительные п, men — m =
= р> d/2. □

Выделим здесь специально случай

р > d/2,

когда мы в ограниченной области Т имеем вложение
Гильберта — Шмидта

ТУПП <= 3%(7’).

Дополнительно здесь можно указать справедливое для
любо й области Т s Ш вложение

ТИ(Г)^С(7’)	(3.15)

в пространство непрерывных функций С(Т’), которое лег-
ко установить, например, используя для функций и е
еЙ1(7’)<=1У?(7?(г) преобразование Фурье u^S'^.v
из известного нам пространства S’a.F с весовой функцией

F(2,)X1+|А|2р,

В самом деле, в силу интегрируемости функции 1/F по-
лучается, что

С	IС ~	\1/2 / С 1	'Л'2

J | и (Л) | dX | и (X) |2 F (к) dh j Q dZ<C оо j =

= СII “

и, следовательно, сама функция ш= W2 (Г), представи-
мая обратным преобразованием Фурье

“ = и (О = f и (X) dk. t(^ Т,
J

является непрерывной по переменному t, причем

В соответствии с этим случайные izeW -W^'/’.)
также представимы как непрерывные функции u = u{t),
t^T, в гильбертовом пространстве Н = ^2(й) случай-
ных величин на вероятностном Q, поскольку простран-
ство пробных обобщенных функций X = W^~p (Т) содер-
жит всевозможные дельта-функции х = б( с = е!А‘ е
которые в совокупности образуют полную си-
стему в X, позволяя идентифицировать «еW как «обыч-
ные» функции

и = u(t) = (х, и), ж = 6(,

переменного t е Т; при этом

Е | и (t -|- h) — и (i) |2 < С || 8t+h — 6г l!b’2il/F



5° Случайные обобщенные функции и собблевские
пространства. Рассматривая случайную обобщенную
функцию



как векторную обобщенную функцию со значениями
в гильбертовом пространстве H = S’2(^) случайных ве-
личин, ее можно охарактеризовать тем свойством, что
в каждой ограниченной области Т!ос с замыканием
Tice != Т она непрерывна по ([EC"(rj0[.) относитель-
но нормы 11<рНр Соболевского пространства Pa(^ioc) —
с зависящим от области Т1м показателем р. Для скаляр-
ных функций это свойство было определено как локаль-
ная принадлежность к сопряженным Соболевским про-
странствам W^~p (7’юс) (см. (3.1), (3.1)').

Рассматривая случайную обобщенную функцию S с
точностью до эквивалентности и имея в виду возмож-
ность выбора соответствующих реализаций

|a = (<r,U, ч<=с”(Т),	(3.16)

отвечающих случайным исходам о установим сле-
дующее важное свойство.

Теорема. Реализации случайной обобщенной функ-
ции локально принадлежат соболевским пространствам-.

1ОС о
s« е И'Т^юе).

Это заключает в себе утверждение о том, что в (3.16)
мы имеем не просто какую-то коллекцию данных (<p, 5m).
<( eCrj (Г), а такую, что при каждом со е Q (3.16) дает
нам обобщенную функцию gm е S)*.

При доказательстве мы используем нашу схему
(1.2) — (1.7) для 7’iOo = Л, 7’2, ... с монотонно расши-
ряющимися областями 7’п, в сумме дающими (J Тп ~ 7”.

п

Как мы знаем, непрерывность g=(<p, g) по ([ еС”(7'п)
» Wn = И72(7’п) позволяет представить с в области 71,, как

(ф, I) = (<Г, Sn).



(3.17)

со случайным элементом

cH^xn^wrPn(Tn),

pn>p + d/2.

— см. (3.4), (3.11). Уточним, случайный элемент =
= ^„(w)eX„ при всех «sfi, а равенство (3.17) для
любого ср е С™ (7’„) выполняется с вероятностью 1 (при
почти всех cosQ), какова бы ни была рассматривае-
мая модификация случайной обобщенной функции Обе
части равенства (3.17) как случайные обобщенные функ-
ции в области Тп непрерывны по <р в W^C^n), и это
равенство распространяется на все ф £ И’г" (Т’п) =
= [б’о°(7’п)]. Возьмем монотонно возрастающую после-
довательность рп. Взяв без изменения начальный эле-
мент |1 ==51 и определив надлежащие	тл'п,

несколько «подправим» последующие 5n+ieA’n+t, чтобы
получить нужные нам g„+1. Для этого используем вло-
жение

Xn = WiPn(Tn)^W.^1(Tv),
рассматривая 1В2 Pra+1 (Тп) X (7\) как подпространство
в Х„+1-- W2 ,!+1(7\l+1), ортогональное аннулятору Г„ ==
s А’„+1 при всех q> е С™ (Тп) (согласно общему представ-
лению (1.9) мы используем здесь Х(Гп+!) = 5Bz(7’n+i) с
Wn+1) = lHn+1(7\+1) 3 Ф’’П+1(ГП) = Ж(7\) и А-(7’„) =

Q	О

= BW(Tn) как подпространство в Х(7’„+1) ~
— И2 Р”+1(71,1+1)). Возьмем ортогональное разложение
ьп+1 = ^„ + п« в Xn+i с компонентами ^п,еХ(7’п) п е
еУ„, для которых прп любом Ч е^(7’п)~ [С”(Л|)1
мы имеем (<р, ц„,) = 0 и с вероятностью 1

(ф, 1п) = (<Р, Ьп+1) = (ф, В)-

Используя определенный на предшествующем шаге эле-
мент е Хп S Х(Тп), для которого при любом ф е
е W (7’п) s W 1п(Тп) с вероятностью 1

(<р, Ь) = (ф, ё),

заменим на и положим

bn ”1” "Нп*

Для любого <реИ/(7’п+1) в его разложении <р = ф + ф на
компоненты феВ7(7’ге) и ф J- W (Тп) в 1У(7’1!+])э 1У(7'Я)
получим с вероятностью 1

(фЛп+1) = (ф, Вп) = (ф, s)
и

(Ф, Г„+1) = (ф, тьНСФ, V)

— поясним; Х(Тп)^ Хп+\ есть аннулятор ортогонального
дополнения к подпространству W (7’п) в 1У(7’п+1), так что
в итоге с вероятностью 1

(ф, 1п+1) = (ф, В).

В нашей конструкции мы последовательно имеем

Bi = ём Sn+i = ё»	И72 +1 (^п+1)

с (ф, ц„) = 0 при всех феС“(7’п), так что £ можно
§ 4. ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 7<)
представить формально «слабо сходящимся» рядом

ь = si -И 2 Лп,
п

для которого при каждом <[ ge (Г) с вероятностью 1

(ф, е)^(ф, Ь) = (ф; д),	(3.18)

где п подчинено лишь условию Тп з supp ф. Взяв равен-
ство (3.18) за определение предлагаемой с помощью
g модификации случайной обобщенной функции ви-
дим, что ее реализации локально принадлежат Соболев-
ским пространствам И 2 ”(7’п). и — 1, 2. ... Теорема до-
казана. □

§ 4. Граничные значения обобщенных функций
(случай соболевских пространств)

1° Некоторые характерные свойства соболевских про-
странств. Допустим, что мы имеем дело с обобщенной
функцией и = (ф, и), ф (= Ф — С™ (Г), в области Т ^Rd
и нас интересует ее граничное поведение вблизи границы
Г = dS подобласти S Т. В общей форме трудно даже
поставить вопрос, отражающий этот предположительный
интерес, однако в случае непрерывности ц = (ф. и) по
норме Иф" в том или ином пространстве пробных функ-
ций X =[Ф]^ Ф* определенной характеристикой гранич-
ного поведения гг?=(ф, и) может служить предел

1ш1(ф, и) = (х, и)	(4.1)

при сходимости пробных Ф к граничным функ-
циям х е X с носителями supp х е Г; дополнительно здесь
можно требовать от пробных ф е Ф быть так пли иначе
локализованными вблизи границы Г, скажем supp ф 5.
С этой, точки зрения мы рассмотрим граничные свойства
обобщенных функций и s IF для соболевских пространств

JF-M(7’). У ПТ'ДП

точнее, речь будет идти о граничных свойствах функций
и е W (S) = W-2 (S) в области S па границе Г = dS.
Напомним, что W (S) IF? (8) у нас означает про-
странство, получающееся как сужение IF — WK (7~) в об-
ласти S — T (см. (2.33)). □
Начнем со случая, когда W? характеризуется целым
р>0. Напомним, что И7^ (Г) = [^2>J есть замыкание
S) = С” (Г) относительно нормы

2 hMb’cn
,	i«i-<p	2

— см. (2.8).

Обратимся к пространству С„ (Г) всех функций и =
— u(t\ переменного t^T с компактными носителя-
ми supp и с Т, имеющих непрерывные производные <5'!н,
|А’1 -Ср; при рассмотрении таких функций в Н7^/^)
мы имеем

C%(T)<=W?,(T)

с замыканием

Используя это представление для И^Т1), легко уста-
новить, что Соболевские пространства типа W% инвари-
антны относительно p-гладких невырожденных преобра-
зований переменного 7 = т(£), покоординатно задаваемых
функциями

г, = тД£1, ..., td), г=1, • •d, (4.2)

с ограниченными производными до порядка р и не-
вырожденным якобианом |с>т! >с>0. Действительно,
ири t = функции « -и(()е6'5(Г) переходят в
функции и = и (т (/)) е Со (Т) Wf (Т) в соответ-
ствующей области Т В.л, причем, как легко проверить,
имеет место эквивалентность норм Hull, X llullp, что в ито-
ге для всех функций и е W? (Т) --= [С% (71)] дает и е

Сказанное здесь переносится и на анизотропные про-
странства W?(T), характеризуемые мультииндексом р =
— (pi, ..., рп), если иметь в виду преобразования, сохра-
няющие однородные группы переменных C=tj(C), 7 =
= 1, .. ., п — см. (2.8)□
Рассматривая И ?(Г)	Й'Т( /?d) как подпространство

в W2(Rd\ обратимся к случаю Т = Rd.

При |A:|sSp—1 каждая функция / = № и ее обоб-
щенная производная g = dfjdtt^ S>2(Rd) по любому пере-
менному ti^Rx из 1 = (Л, ..td)^Ri связаны равен-
ством

— j fdt =	<| = 67(Л',;):

объединив все tj, j =/= i, в переменное s^Rd~l п взяв про-
изведение пробных функций от переменных s п Л-, как
следствие, при почти всех s s/Г'”1 получим

<Р е Со ([«, Z>]),

па любом конечном интервале а :£ " ~ Ъ, и в силу этого
здесь должно быть

й

/ =z j g dti д- С,
а

что указывает на абсолютную непрерывность
функции / по переменному i, c обычной производной
g = df/dt(.

Таким образом, для любого Л из i = (ii, ..tlt) = (s, h)
все функции f = dku(s, tf) с	— 1 и обобщенной

производной dfldti^. S’2{Rd) при почти всех s^R'1-1 аб-
солютно непрерывны по переменному tt и имеют df/dti
своей обычной производной.

Отметим, что к такого рода абсолютно непрерывным
функциям применимо правило интегрирования по ча-
стям, которое дает тождество

указывающее, что обычная производная	f е S 2(Rd)

функции / задает и ее обобщенную производную по пе-
ременному ti.
Остановившись па случае однородно-изотропного про-
странства W,.>(Rd), характеризуемого целым р > 0, ви-
дим, что принадлежность и е	можно определить

условием абсолютной непрерывности (указанного выше
типа) по всем переменным самой функции и = и (t) и
всех ее последующих обычных производных до порядка
р—1с г/м е .З’г (#'') при Ui </) — см. (2.17).

С очевидными изменениями это переносится и па
случай анизотропного ll-W/t*1) с мультпиидексом р =
= (рь .. , Р«)- см. (2.17)'. □

2° След обобщенных функций и граничные значения.
Рассматривая функции и е W -- W'J (Т) в области 5’е
е Т е R'\ вернемся к поставленному ранее вопросу об их
предельном поведении вблизи границы Г = dS, остано-
вившись па случае, когда Г есть (d—1)-мерное много-
образие в R1. Будем предполагать, что граница предста-
вима в виде конечного объединения

Г = и.Г,	(4.3)

замкнутых «кусков» Га, каждый из которых имеет окре-
стность в R11, где после надлежащей замены переменных
i = x(s, г) типа (4.2) в .локальных координатах (s, г)
представляется «плоским куском» Га е Rtl~l в (4—1)-
мерном подпространстве переменного s^R'l~l—в исход-
ных координатах t = x(s, г) Га описывается уравнением

f = T(s,O),	=

В дальнейшем структура составляющих Г отдельных кус-
ков Га не является существенной; мы будем их рассмат-
ривать лишь с точки зрения лебеговой меры ds в 7?U-L,
которая с Га е R'~l переносится па Г«, предполагая, что
пересечения различных Га имеют меру 0 — понятно, что
в целом мы имеем лебегову меру ds на Г; существенную
роль будет играть соответствующее пространство ^2 (Г).

Представление (4.3) будет нами использовано для
перехода от Га е Г к соответствующим «плоским кускам»
ГаЕ/i '"1; именно, локализовав и е W = W? (Г) как wu
о надлежащим мультипликатором w е С“ (Rd) в окрест-
ности локальных координат t = x(s, г), мы обратимся к
функции г£’гл[т(.ч, г)] от новых переменных (s, г)е/Г,
iru е W$(Rd),
граничное поведение которой вблизи новой границы
Г = /('"‘зГ3 описывает граничное поведение исходной
функции u — u(t) вблизи Г« — Г — в качестве повой
области S с границей Г = 7Г“1 при этом появится соот-
ветствующее полупространство, скажем

5 = Rd+ = {(s', г): se Rd~\ r>0).

Имея это в виду, рассмотрим граничное поведение
функций

вблизи «границы» Г=7?'”1, образованной подпростран-
ством переменного з е /Г-1 в R‘. □

Мы знаем, что для почти всех s е R -1 каждая функ-
ция и = и (з. г) е И7'/(Rd) и ее последующие производ-
ные дки порядка \к\ р—1 абсолютно непрерывны
по переменному г; в частности, сама функция и =
= u(s, г) и все ее последующие производные (к и порядка
л* =5 р — 1 по переменному г таковы, что для почти всех
имеется предел

lim дки (з, ?) — дк и (з. 0) =	(s).	(4.4):

г-, о

Напомним, что u = u(t) как функция переменного t ~
= (з, г) определена при почти всех t^Rd, точнее, при
изменении ее па множестве меры 0 опа будет представ-
лять тот же самый элемент пространства ЙЛз(Лс!); есте-
ственно спросить, как такое изменение отразится па со-
ответствующих функциях ит (з) в (4.4). Частично на
этот вопрос сразу же можно ответить, для рассматривае-
мых в области S — Rd+ функций и е W^R4) взяв, на-
пример, пробные ф = хп е (5) вида

хп = xn(s, r)= x(s)ivn(r)	(4.5)

с х (з) е С"	и дельта-образными wn(r) = nw(nr)T

(Я1 ), па которых обобщенные производные дъи,.

к 'Z р — 1, принимают значения

(хп, dku) = (— Г)к(дкхп, и) =

= (— l)h { | dhxnudr^ ds = J хпдки dr^ds —

= [ x (з) [ { дки (з, г) wn (г) dr | ds -а- [ х (з) uW ($) dsr
где справа в пределе появляются функции u(ft’(*•) из
(4.4), а сам предел

Ипт (.тп. <5/!м) = ) х (s)	(s) ds	(4.6)

вместе с допредельными значениями (,т„, дки) =
= ( — 1)к(дкхп, и) не меняется при изменении u = w(t)
на множестве меры 0. Ввиду произвольности «весовых
функций» ^r(s), .s е/Г-1, отсюда следует, что для каж-
дого элемента u^Wl^Rd>) функции uw—uw(s), к sg
р—1, в (4.4) определены однозначно при почти всех
s^R’-1. □

Взятые нами в (4.5) функции хп е ф =: 0“ (/?d)
в пределе дают обобщенную функцию х = x'i>[ е Ф* с
обобщенными производными х(к> — дкх по переменному г
вида

(ф,	= (—l)h 11 т1 (s)	(,s-) q e Ф, (4.7)

г

где cptft) (s) = dk<p (s, r) |r=o, к =-5 p—1; понятно, что обоб-
щенные х{к)^Ф* имеют носители supp х{к> Г = R~\
Покажем, что все хт^Ф* (к 5 р—1) входят в про-
странство обобщенных пробных функций X = BVp(/?d).
Установим сначала, что в (4.7) для функции (s), se

Г, на r = /?<i~1 при всех ([=55 справедлива оценка

!ie%.,(r)<C|MP. A-Ср-1. .	(4.8)

Она легко получается с помощью преобразования Фурье
<р(%) с двойственным для £=(.>, г) переменным л = (о. р);
именно, согласно равенству Парсеваля для <p(,,>(s) =
= дк(р (s, г) |г=0 с

?(й) <с) = 7у417Т f (с- Р) rfP’
(2 л)v 2 а

(о) I2 < с	• f I ? Г2 (1 + IA M d9 <

<cJ|qW(i + Н2Р)Ф

при к p — 1, получаем

J I Ф(/!) (s) I2 ds = f| (o) p da

J J | ф(л) |'2 (1 + |X|2P)dadp <C'I q-lp
— напомним здесь о представлении (2.14) пространства
W = IIZ2(T?rf) с помощью преобразования Фурье. Для са-
мих же xw е Ф* в (4.7) теперь получаем

ч-^Ф,

и это уже непосредственно показывает, что е X =
-= IV V1' (/?“) причем

Р’,ЧЛх =j|a<ft)Lp<C||r|i2,4r).	Л-<р—1.	(4.9)

для всех «весовых функций» x(s), № Г, из .ЙДДГ).

Из оценки (4.8) вытекает также, что для любого
леП7^/?11) как предела и = lim ф функций <| е Ф =
=	в W - и"; (/,'") имеются соответствующие

ит (s) = lim ф('г) (s),	(4.10)

являющиеся пределом в 2?2(Г) производных ф(*’(«) =
= 6‘ф(.<?, г) |,.=0 по переменному г порядка k-Vp — 1, с по-
мощью которых значения обобщенных е X ~
— H 2p(/?d) вида (4.7) па и е 11 =РК»(Л<‘) могут быть
выражены как

(и. ,г(;!)) = lim (ф, ДЧ) —

= lim (— 1),; ) ф<й> (s) х (s) ds -- (— l)Jt J uw (s) x (s) ds.

Сравним это с тем. что ранее получилось в (4.6) для
функций uw(s) из (4.4), обратившись для этого к уже
послужившим нам пробным хп^Ф вида (4.5). Покажем,
что пх производные х„ = а хп порядка k-V р — 1 схо-
дятся в пространстве обобщенных пробных функций
X = BV(/C); понятно, что, согласно (4.6), при сходи-
мости дкхп дкх предельными хт = дкх могут быть лишь
соответствующие хт е X вида (4.7). Указанную сходи-
мость легко установить с помощью преобразования Фурье

дкхп('к) = х(о) [(ip)ftir’(p/n) ],
дкх(к) = х(о) (ip)k,

где }.= (о, р); именно, используя представление (2.16)
для пространства -V = W.2p(Rd} и учитывая, что

I Р 12'г

(1 + Р2)-\	Кр-1-

получаем

~fi	-1/1

0 хп — Ох

рх JlA.-A-hi + IM2")-1^

J I x (a) da- j I w (p/n) — 112	-+



При этом слабый предел

lim (w, OkxX) — (u, 0hx) =- (— l)h )	(s) x (.s) ds

выражается как мы только что видели, через функции
и1к’(s) из (4.10), а, согласно (4.6), этот предел предста-
вим в том же виде через функции ит (s) из (4.4); ввиду
произвольности весовых x(s) отсюда заключаем, что
uw—uw(s), к ~S p—1, в (4.4), (4.10) суп одни и те
же функции (определенные при почти всех s е Г на гра-
нице Г = й'!~1) — их называют следом функции и е
&W%(Rd>) п ее производных дки, к р—1, по нормали
к границе Г.

Отметим, что оценка (4.8) распространяется на все

<р =- и е PH(#d) с ср1,!) = u(M, к С р — 1. □	’

Возьмем функцию u — u(t), для которой указанные
выше производные дки по переменному г из t = (s, г)
имеют пулевой след uw = 0 на Г=/?'~1 при всех к С
р — 1, и рассмотрим ее сужение

 - ИХ -	S S'

и°	(0, t&S

(4.11)

в области S !Г с границей Г — скажем, в полупростран-
стве S /?+ всех t = (s, г), г > 0. Вместе с uQ=Vrp(Rd)
функция uo = uo(t) обладает тем свойством, что в области
£ она сама и ее последовательные производные dhuo =
= dkuo(t) по всем переменным из t е Rd порядка )Zc| С
sS p — 1 абсолютно непрерывны по каждому ti из t (для
почти всех остальных переменных в их координатном
подпространстве 7?11"1); применение правила интегриро-
ваппя по частям для любой пробной qe 3 С™ ( Rd)
последовательно при всех \к\^р дает*)

) dhquodt = j d\uodt — (—	[ qdhuit (Z) dt ==

т	s	s

= (- UfAo(0 dt .

T

Это показывает, что обобщенные производные д''ио, ! Л'1
«С р, во всей области Т = R1 суть

представляя сужение функций дки е 2?2(Т) в области
S = R-. Таким образом, операция срезки (4.11) для лю-
бой функции u^Wp2(T) с пулевым полным следом
uw = 0. к ~0, ..р — 1, на границе Г = dS дает

иоеМ(7').

Более того,

н0е1И(5) = кТШ (4-12)

в самом деле, такое включение очевидно для сдвинутых
по переменному т-+г — /г, h > 0, функций но(з, г — к) с
;supp и0 = В^ = {t = (s, г), г > 0} — см. лемму о локали-
зации. а исходная функция и$ есть предел в И7^?')

мо (Л’, r) = ио С5’- г — к). □

/1-»0

*) Здесь для проверки удобно выделить отдельно дифферен-
цирование д1 по переменным из s е Rd~l и дк по переменному г;
учитывая независимость производных функции ф е 25 от порядка
дифференцирования и положив v = <Йср, например, будем иметь

«с нулевым следом и (s, 0) = lim и (s, г) = 0.
г- О
Покажем, что описанные в (4.4) — (4.12) граничные
свойства имеют место в случае границы Г = dS общего
типа (4.3).

Имеющее локальный характер предельное соотноше-
ние (4.4) непосредственно переносится па функции и е
ееП'^С/'). которые в окрестности локальных координат
i = x(s, г) для каждого Га s Г в (4.3) могут рассматри-
ваться как функции и (т (.s, г)) е W* и для и л. и
всех 5 е Га производные u'h‘ (t) = порядка к С /. — 1
при г 0 имеют указанный в (4.4) предел, определяю-
щий след производных ит, к л'р — 1, по направлению-
нормали к границе Г на каждом Г.,;£ Г и в целом на
г = ига.

Этот след можно определить и предельным соотгп пе-
нием (4.10), распространив на случай границы Г общего
типа (4.3) оценки (4.8), (4.9) со всеми вытекающими из
mix следствиями. Именно, взяв функцию феС?(Г) и
локализовав ее как кчр = ср в окрестности локальных ко-
ординат Z = t(s, г) с помощью 1ГЕ С”(Лй). ic ~ 1 в.
окрестности компакта Га П supp ср, мы можем приме-
нить к wcp [т (s, г)] е Ср (/б;) оценку (4.8), действую-
щую для всех функций из И7? (-Crf) э Ср (/?d). которая:
на Г-Щ Г из данной координатной окрестности дает

II ч W lL?2(Га) < С I! l,'V < СII ср fp; ’

суммируя здесь по всем Га, в конечном объединении
(4.3) получаем оценку (4.8) на Г=иГа — понятно, что
речь идет о производных <р(М = д\р в окрестности грани-
цы Г, вычисляемых в локальных координатах 2 = т(а. г)?
как

t^cp = dh(p(t)/drk1 к р—1.

Повторим здесь, что оценка (4.8) с ср е Ср (Т) позволя-
ет определить след самой функции и е W% (Г) и ее к — 1
обобщенных производных д':и (имеющихся в окрестности
границы Г) как предел

uw (s) = limср'*’ (s),	№ Г,
® пространстве 3’2(Г) с помощью Ф е С’о (Т). lim ф = и
в П72 (Т). Сама оценка при указанном предельном пере-
ходе распространяется па все функции ф — и е



(1.13)

Тач же как и раньше, эта оценка позволяет установить
принадлежность обобщенных хт, к^р—1, вида (4.7)
к пространству X — W7P(T), давая для них оценку
(4.9).

Отметим, что формуле (4.7), задающей обобщенные
-ж'®’ е £?)*, можно дать несколько другую интерпретацию,
пр:и и = ф е 3) рассматривая

(—l)!'(z/. ж(,!)) = ( — l)h(xm, п) = (ж, uw), к < р—1,

(4.14)

кан граничные значения функции u^W -ИИ (7’) па
пробных (— 1)''.т/'1' ело А", а весовые функции x = x(s), ss
е i, в (4.7) как «пробные» х	. с помощью кото-

рых след производных дки па Г можно определить как
о б о б щ е и п ы е функции

=(х, и<к}).	же272(Г).

При этом равенство (4.14) можно взять за опреде-
ление обобщенных ит, к < р — 1. Очевидно, что это
распространяется с и — ф е 3) предельным переходом
< и в И'=1^2 (Л па все функции u^Wp(T). при
котором, согласно (4.13), мы имеем	в 272(Г),

R р— 1. □

Лам осталось еще распространить па случай общей
границы Г определенную в ll’ofT1) операцию (4.11) и
включение (4.12).

Это легко сделать, когда в окрестности любой к о м-
иактной части Г| ,, е Г имеется «разложение единицы»

I =-' 2 » -’р
э

в котором каждая функция u'j е. С^° (Л1) имеет носитель
внутри окрестности локальных координат t = x(s\ г) для
какого-либо Га в представлении (4.3)

Г,< Г Г supp Wj

— например, такое «разложение единицы» имеется в слу-
чае. когда граница Г представляет собой гладкое (d — 1)-
мериое многообразно с картон окрестностей локальных
координат t = t(s, г) типа (4.2). Удобно сначала взять
функции и(^И’2(7’) с компактными носителями
suppus Г; для каждой из них указанное «разложение-
единицы» в окрестности Г,(,г = Г П supp и при операции
«срезки» (4.11) дает пам представление

u, — ft — 2 «-Лип + У; u-jUf, - [(1 — 2 нзМ + 2
\	3	3	l' j Jo j

где первое слагаемое есть функция из И7? (5) в силу
уже известной пам теоремы о локализации, а каждое из
остальных слагаемых гсщ0 = (щ-u)0 с компактным
носителем в окрестности локальных координат t=r(s, г)
при достаточно малых сдвигах г->г+1/п переменного
г > 0 дает функции с компактным носителем в области 5-
является их пределом при п -> °° в WZ2 (Г) п вместе с
ними входит в Wl’ (S) согласно упомянутой уже теоре-
ме о локализации. К общим функциям u^,WV2(T) те-
перь можно перейти предельным переходом от функций

Un ---- юпи -> u е W% (Т)

с «аппроксимативной единицей» №я=1г(//в)еС”(Л<!). [J
Подведем итог всему сказанному выше о граничном
° р

поведении функций	в области S^T с гра-

ницей Г = dS рассмотренного типа:

при почти всех № Г имеются производные и(к1 —
= um (s) порядка к^р—1 по нормали к Г, и(й) е27г(Г)
с оценкой (4.13); как обобщенные функции uw, k^p —
— 1, могут быть определены на Г формулой (4.14);
условие

и"°=0,	/с^р-1,	(4.15)

характеризует сужение Uo = и в области S s Т как ип е
о

е I tZ2 (£); условие

supp и s [S]

(4.16)
дает и = и0 в области Т и характеризует функции и е
е >И(5).

Уже отмечалось, что uw называют следом на грани-
це Г = dS нормальной производной д:‘и обобщенной функ-
ции и е IV? (Г); будем называть полным следом сово-
купность. uw, к'Ср— 1. □

Описанные выше свойства Соболевских пространств
П’2 (7’) s W% (Rd) для одпородио-пзотрошюго случая, ха-
рактеризуемого о д и п м целым р > 0, с очевидно необ-
ходимыми изменениями переносятся па анизотропные
пространства ТУ? ( Н<!) с м у л ь т и и и д е к с о м р =
= (/ц,	рГ1), определяющим норму

I) 19

№\р

i=l IM -<Pi

где i указывает соответствующую группу переменных
ti^RCl из I е Rd[^idi = d). Возникающая при
различных pi анизотропность накладывает ограниче-
ния на возможность использованного нами перехода от
Г = R'~1 к границе Г = U Т\ произвольного типа (4.3).
Эти ограничения касаются представления

1\ = {£ = т($, г), ssE,. г — 0)

«плоским куском» ras7?rf_I п могут быть выражены тем
условием, что преобразование t=r(s, г) типа (4.2) со-
храняет соответствующие группы переменных

^тДВ), t^Rdi

(г = 1, .... и)

и тем самым сохраняет само пространство	с р —

— (pt, ..., рп). Понятно, что в окрестности локальных
координат i = r(s, г) с переменным r^R из группы

е К описанные для однородного случая с одним
р граничные свойства переносятся в отдельности па
каждый кусок Г, е Г со своим р = что вносит из-
менения в неравенства (4.8), (4.9) и граничные свойства
на границе Г=иГа в целом — мы имеем в виду свой-
ства, определяемые наличием па Га следа u,K’(s), $
е Гк, нормальных производных порядка к ' р—1. вооб-
ще говоря, со своим р = Pi для каждого ГедГ. Очевид-
но, что неравенства (4.8), (4.9) и вытекающие из mix
следствия, а также определяющая след формула (4.14)
сохраняются с тем лишь изменением, что нужно ограни-
читься соответствующими функциями x{s~), s е Г. из
Й72(Г) с носителями supp х Г\ в каждом отдел ежом
Г,;£|\ Очевидно, что сохраняет свою силу и условие'
(4.15) нулевого полного следа uw, к^р— 1 (с со-
ответствующим р=рд), а вместе с ним и условие (4.16).
Полепим сказанное иа примере двух различных р{ > I,
pi = 1 в применении к функциям и W:,11R ) с
группой переменных	и t%^Rx; скажем, для

полупространства S = Ui е Rd~\ ta> 0} полный след на
границе Г = dS есть отвечающий p=pi — l след самой
функции и = и<0)(х), № Г: для цилиндра S = {tt_=G,
ty^R'} с основанием G	полный след на Г = dS

есть отвечающий p = pi след всех нормальных к ш.з-рх-
ности цилиндра производных и(к} (.?), s е Г, порядка к-4
<р — 1 пт. п.

3° Полнота системы граничных значений. Рассматри-
вая функции ut=W2^Rd') в области S^R'1. мы ввели
И'г (S) как пространство, образованное всеми этими
обобщенными функциями

и = (ср, и).



попятно, что обратившись к обобщенным пробным х е

еX(5) из замыкания X (S) — [С^0 (5)] в X = W2 p(Rd}

в общей схеме (1.2) — (1.7) мы будем иметь и е И7(5)
как функции

и=(х, и}, xexX(S).

с граничными значениями

(х. и) = lim (ф, и), ф С™ (S),

(4.17)

для граничных пробных х X (S) с носителями
supp х Г на границе Г = dS. Введем соответственно
обобщенную границу У(Г) как совокупность всех обоб-
щенных пробных x^X(S), suppх^ Г; очевидно, что
Х(Г) есть линейное подпространство (поясним: для пре-
дела х = lim хп е X(S) обобщенных я:пеХ(Г) мы имеем
(ф. х) ---= lim (ср, я-Д = 0. <р (= С™ (Яй\ Г),

что н означает включение support Г).

Ограничившись случаем, когда граница Г представ-
ляет собой гладкое (d—1)-мерное многообразие в R1,
покажем, что

АДГ) есть подпространство всех х е X -- ИТ'1(R1)

с носителями supp х := Г.

Достаточно показать, что С(““(5) плотно в подпро-
странстве АД [5]) всех х е .Y с носителями supp х [5]
в замыкашш [5] области S s R':

А(|5])^ [С0~(5)] = АД5).

Рассматривая и е W = НД (7?0 как элементы и =
=.(х. и), х е X, сопряженного пространства W = X*,
возьмем произвольную функцию и е W, аннулирующую
все .те Со (5,). 5, = 5. Как мы знаем (см. общее ус-
ловие (4.16)). равная 0 в дополнительной к S2 = RX [5]
области 5i=S обобщенная функция и е W = W%(Rd)
является пределом u = limtp в W функций <р е (52),
и ее значения на обобщенных пробных х е Х( [5Д) с но-
сителями supp .г s [51] вне области S% есть

(.г, и) = (и, а ) = lim (ф, ж)==0.

Таким образом, произвольный линейный функционал
и е А’*, равный 0 па С£° (5,) X, равен 0 на подпро-
странстве X([Si]), и, следовательно, С“ (5Д плотно в
АД [51]).

Напомним, что с помощью обобщенных пробных
функций вида (4.7) для и е W? (5) был определен их
полный след на Г = dS (см. по этому поводу (4.14)).
Покажем, что всякая система граничных пробных функ-
ций .т'еХ(Г), определяющая полный след для

ИД (5) на границе Г, является полной в гильберто-
вом АДГ). Действительно, всякая * функция иеИ’ =
— Wp с нулевыми граничными значениями (х. п) =
= 0 на такой системе пробных яге АДГ) имеет нулевой
полный след на Г, а, как мы знаем, это есть условие
того, что ее сужение ио — и в области S есть е
е WP(S) = [еда] (см. по этому поводу (4.15));
попятпо, что (ж, и) = (х, ио) при всех ,re[C^(S)]=^
= X ([5]), и, рассматривая и0 е И как предел w0 = lini(p
функции <р (S) в I/? (S). мы будем иметь

(ж. п) = (ж, ito) = («o, x) = lim(<p, ,г) = 0

при всех х s Х(Г) s Х( [,S’j) с носителями supp ж Г
вне области S. Таким образом, всякая функция и'~П' =
= X*, аннулирующая данную систему' пробных жеХ(Г),
аннулирует все хеХ(Г), что и определяет свойство
полноты этой системы в Х(Г).

Возвращаясь к первоначально поставленному' вопросу
о граничных значениях (4.1). как итог выделим следую-
щий результат.

Теорема. Предельные граничные значения (х. и) =
= lim((p, х) для обобщенной функции п = (ф, и), ср е
эС^°(5), из пространства W (S) — И7? (S) в области
S —Rd суть граничные значения (х. и), .те.¥(Г), на
всех обобщенных пробных х <= X — W3 р (Т) с носите-
лями supp х Г на границе Г = dS, и все они определя-
ются полным следом функции и W? (S) на границе Г.

Для ясности добавим, что каждая пробная функция
,теА’(Г) есть предел т = Пзпж„ пробных хп. являющихся
линейными комбинациями пз полной в У (Г) системы
обобщенных пробных функции вида (4.7), п

(х, к) = 1нп(ж„, и), о

Выделенная выше теорема распространяется па в е к-
торные обобщеппые функции и е W7 (S) со значения-
ми (ж, и)<^Н в гильбертовом пространстве Н и. в Част-
ности, на случайные обобщеппые функции со значе-
ниями в пространстве Н = 27г(^) случайных величии па
вероятностном Q; в уточнении нуждается лишь опре-
деление следа. Напомним, что Wj (SJ означает су-
жение соответствующего W£(ffd)B области Ss]l\ а сам
функциональный класс W2(/?rf) определяется усло-
вием непрерывности в Н составляющих его обобщенных
функций

П = (ф,к), чеСвх(№),
относительно нормы 11ф11_р в Соболевском Х = И72Р\Н ).
Имея в виду для начала однородно-изотропные Wg (/?d),
характеризуемые одним целым р 5s 0, отметим, что ло-
кальные свойства случайных обобщенных функции
u eW.>’(/?d) много хуже, чем известные нам свойства
детерминированных	грубо говоря,

локально обобщенные случайные функции u,eW2p(^?d)
могут быть реализованы лишь как функции из И'? (7?d)
с q<p — d/2 (см. по этому поводу (3.8), (3.11)). Об-

щую ситуацию здесь можно проиллюстрировать па при-
мере так называемого «белого шума», представимого
обобщенной случайной функцией и = (({?, и) с

:(ф- к) j, <•') Г2 ' ч i<’2- ф = С(/г').

— такая функция, непрерывная относительно нормы
[Фii Йфi!^„, даже локально не может быть реализо-
вана как функция из j?2 (опа локально реализуется
лишь в Соболевском И7’ с q <—ф/2). Тем не менее для
обобщенных случайных функций и ^WP(S) и обоб-
щенных нормальных производных дки, к С р — 1, вбли-
зи границы Г = dS с помощью формулы (4.14) можно
определить их след на Г как о б о б щ е п п ы е
функции

??*’ —(г, и(А)), re^(Г).	(4-18)

где значения (х, и(*’) па пробных .7'е5?2(Г) суть гра-
ничные значения функции и е Wf (5) на обобщенных
пробных (— i)kxw е У(Г) из (4.7) с соответствующими
весовыми функциями х е ^2 (Г); полная в А'(Г) си-
стема таких обобщенных пробных функций определя-
ет полный след функций и е W’) (5) па границе Г. По-
нятно, что так же, как п раньше для детерминирован-
ных функций, это распространяется па анизотропные
пространства с мультпипдексом р = (/ц, ..., рп).

Некоторые функциональные свойства граничных
значений. Как пример рассмотрим обобщенные случайные
функции п = (ф, и), <рсС(Г). из пространства W^T)
в цилиндрической области Т — G Х(а, °°) с мультииндек-
сом p=(pt, рг), отвечающим группе переменных ti е G
в области G^Rd 1 и ^е(а, 00)• Обратимся к следу

иг — (г, иг), х е С„ (G),

на каждом сечении области Т гиперплоскостью

Гг = {^! ей'-1, Z2 = r}.

Напомним, что согласно формуле (4.14),

(ж, и,.) = (жг, м)	(4.19)

для обобщенных пробных

хг = х  6; = x(ii)  6(^2 — r) e X

вида (4.7) с весовыми функциями x = x(ti) переменного
i\ =seR'~l и дельта-функциями б,. = 6(ia — г) перемен-
ного	Рассматривая п=(ф, и), непрерывные по ф

в соболевском пространстве X -- W^P(T), пам удобно
будет воспользоваться соответствующим вложением
И7Г!’ (Г) s W2v(Rd\ в общей форме указанным в (1.9).

Положив р\ = I и р2 = т, покажем, что

MreW?(G), q =[/- Z/(2m)].	(4.20)

Воспользовавшись преобразованием Фурье с двойствен-
ным для t—(s, г) переменным Х=(о. р), для обобщен-
ных пробных xr е X S (Pd). согласно представ-
лению (2.16), получим

о Г - л г Г ^Р 1 j
:! к х J | х (о) (- (1 + |a|2);+p2™j<*

где при 1 + lol2 = а2 и к I — I)(2т) мы имеем

f dp == 1 Г 2й-2/-Н/т1 ( dp	С

J а2!+р2« a'^L	I n'-''1' ,.- '7

так что

справа указана норма весовых функций х ^C^(Rd *)
из (4.7) в соболевском пространстве W2k{Rd г). В итоге
для наибольшего к = [Z — Z/ (2т) ] = q получаем

что указывает па непрерывность обобщенных функций
(4.19) относительно х е С™ (G) по норме 1Ы1_, в Собо-
левском пространстве W7q(G), а это и определяет вклю-
чение (4.20).

Отметим, что здесь q > 0, и, в частности, для случай-
ных функций и s Wa,тп) (Т) мы имеем

E|(T,Wr)P<CMfe>2(G)- *^C~(G).	(4.21)

Укажем на непрерывность обобщенных пробных .г, = ,тб,
в (4.19) по переменному г—скажем,

III xr+h — Xr lli X

J J	(1 + | о| У + р-т

Уб С || X ||<у? (G)^ (^)*

где 0(/г) -* 0 при h 0. Понятно, что для (х, иг) = (хг и)
в (4.19), непрерывных по xr е X, мы имеем

Е | (х, urJrh) — (х, иг) |3 < С || xr+h — хт |1х

<Ch||^a(G)e(/O,	x<=C*(G). (4.22)

Воспользовавшись предложенной в (1.15) конструк-
цией, дли м s W|!‘’m',(7') как обобщенной функции и =
— (ф, и), ф е С™ (Т), можно дать представление в виде
соответствующего интеграла

(ф. и) — ) <f ruT dr,

(4.23)

где. как и выше, фг получаются из q: = (p(s, г) фиксацией
переменного г, а фгиг=(фг, иг) есть результат апробации
следа иг с помощью пробной фг = х е С™ (G). Действи-
тельно, мы знаем, что при условиях (4.21), (4.22) взя-
тый справа в (4.23) интеграл задает обобщенную слу-
чайную функцию и = (<р, и) типа случайного процесса
и = иг, и остается лишь пояснить, что как функция пе-
ременного г след и = иг задает соответствующую функ-
цию и е wu.™)(7’)_ Это

можно сделать, например, обра-
тившись к представлению пробной ср е (Т) как эле-
менту в X = ТУ2 (г,тп->(7’) в виде интеграла

ср = f <pr6r dr

от непрерывной в X функции срг6г переменного г, что для
элемента .г е W2(,’m)(Z1) дает

(ср. и) = I (ср,.6,., н) dr — | (cpr, w,.) dr.
ГЛАВА II

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Обобщенные дифференциальные уравнения

1° Пробные функции для операторных уравнений.
Действие дифференциального оператора L — ^а^дк (ска-
жем. с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами)
на обобщенные функции и = (ф, и), ф е Ф = С” (Г),
в области Т = /i'1 определяет соответствующие Ьи = (ф,
Lu), у s Ф, формулой

(ф, £n) = (Z*<p, и)

с оператором

£*Ф = 2 (— 1)|к,о»Н (щдр), Ф (= Ф\

понятно, что это дает Lu = У акдьи на гладких функ-
циях 'скажем, на и^Ф).

Рассмотрим уравнение

Lu = f,	(1.1)

где правая часть как обобщенная функция / = (ф, /) ха-
рактеризуется непрерывностью относительно пробных
Ф^У по норме НфНр в некотором гильбертовом простран-
стве F (например, в F = 3?2)‘, обозначим F^>f класс та-
ких функций п обратимся к вопросу о выборе соответ-
ствующего функционального класса W э и.

Обобщенные функции в (1.1) могут быть со значения-
ми в гильбертовом пространстве (в частности, это могут
быть скалярные функции), по в большей степени пас
будут интересовать обобщенные случайные функции
со значениями в известном нам гильбертовом простран-
стве // = Фч (Q) на вероятностном Q.

Уравнение (1.1) в области T^R’ означает, что

(Ь*Ф, п) = (Ф,/)	(1-1)'

для всех пробных ф е Ф = С™(Т). Согласно (1.1)' с
/еF, непрерывность / = (ф, /) по ||ф||р вносит в опреде-
леппе Wsu непрерывность и = (х, и) относительно проб-
ных х = /лр по || я || = || <p|lf. Допустим, F^3) есть гиль-
бертово пространство обобщенных функций (fe®*),
в котором сходимость gn -* g'^F влечет (слабую) сходи-
мость gn g в 3)*, а вместе с этим и слабую сходимость
обобщенных функций L*gn L*g в 3)*,

(<р, L*g„) = (Zxp, g„)->(Zxp, g) = (<p, L*g),	ф£0.

Обратимся к замыканию [3>] в F и, чтобы не вводить
новых обозначений, будем считать [3)]=F.,

В уравнении (1.1) — (1.1)' нам фактически дана функ-
ция f = (g, f) с пробными g^F, непрерывная по норме
ilgllp — мы имеем в виду непрерывное продолжение ис-
ходной функции / = (<р, /), <р^3>, на замыкание [3>] =
= F. При этом для каждого g = lim ф и соответствующего
х = L*g = lim L*<p в 3)* формула (1.1)' определяет
предел

(ж, и) = lim(Л*ф, u) = lim(<p, /) = (g, /)

который можно интерпретировать как результат апро-
бирования функции и е W с помощью обобщенной проб-
ной функции Х‘^3)*. Такая интерпретация вносит в оп-
ределение W э и идентичность значений (х. u) — (g, f)
для различных g = lim ф в F с одним и тем же х = £*" =
= lim Л*ф в 3>* — уточним, рассматривая здесь х 25*
как обобщенные функции

х (ф, .г). (ре® = С“(Т),

мы не делаем различия между функциями, совпадающи-
ми в области Т R", и, согласно предложенной интер-
претации значений (.г, и) = lim (Л*<р, к). в частности,
должно быть (.г, и) = 0 при х = L*g с

(ф, L*g) = (L<p, g) = 0,	<ре^.

В рамках этого подхода уравнение (1.1) описывает
функцию и=(х, и) с помощью обобщенных пробных
х е L*F как

(L*g, u) = (g, f), g^F.	(1.2)

Попятно, что это равенство накладывает на его правую
часть дополнительное требование, состоящее в том. что
(g, /) = 0 при L*g = 0 в 3)*. Ядро оператора L*-. F — 3>*
является замкнутым подпространством в гильбертовом F,
так что, взяв ортогональное к нему дополнение F в F
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ]()t
со	о

и проекцию g на F произвольного g F с L*g =
получим, что

(£,/Н(£,/),

должна быть непрерывной относительно llgliF. < ilg'iif.; об-
ладающие этим ограничительным свойством функции
JeF объединим в подкласс F^F (попятно, что для
невырожденного оператора L* мы имеем F = F).
Обратимый оператор L*: F ЗУ* переносит гильбертову
норму в F на пространство

Х = L*F = L*F = 3>*,	(1.3)

и можно сказать, что описываемая уравнениями (1.1),
(1.2) функция п, = {х, и) непрерывна относительно проб-
ных х еХ по норме

||ж||л. = llgllj,,, x = L*g, g^F.

Как мы увидим в дальнейшем, во многих важных слу-
чаях появляющееся в связи с уравнением (1.1). (1-2) гиль-
бертово пространство (1.3) есть пространство пробных
обобщенных функций известного нам типа, в общей фор-
ме введенное в схеме (1.2) — (1.7) гл. I; именно так бу-
дет в случае, когда характеризующее правую часть (1.1)
гильбертово пространство F ЗУ* таково, что величина

1!ф1|щ = S1IP |(£T'.tf)|	(<',)

'б?1

конечна при всех фе 3) и непрерывна в пространстве
3) = 6? (Т)—она-то и определяет W = [3)], Х = /?ПЛ =
= W* в рамках упомянутой схемы (па это фактически
уже было указано при рассмотрении пространств с вос-
производящим ядром). Мы знаем, что для широкого клас-
са таких пространств X (типа И’) справедливо вложение

S)^X = L*F-,	(1.5)

понятно, что в этом случае предельная формула (1.2).
определяющая функцию и = (ж, и) на всех пробных х е
еД’. полностью определяет ее как обобщенную функцию

и = (ж, п), х е 3) = С™ (71),
и здесь естественно ввести связанный с уравнением
(1.1) функциональный класс W э и условием непрерыв-
ности составляющих его обобщенных функции и=(<р, х),
Ф е 36), относительно нормы ll<pll.Y в X, что дает известное
уже нам пространство W. Напомним, что вложение (1.5)
будет иметь место, например, при условии

1ф1Л. <ге®.
т1ос

(1.5)'

для каждой ограниченной области TilK s Т — см.

(2.6) гл. I.

Отметим, что при рассмотрении уравнения (1.1),
(1.1)' для функций и е W, определяемых с помощью
соответствующих пробных хе X как и=(х, и), вовсе
пе обязательно требовать, чтобы коэффициенты оператора
L =-- У, акдк были бесконечно дифференцируемы.— нужно
лишь, чтобы в (1.1), (1.1)' был определен соответствую-
щий сопряженный оператор

L*: 3) — Х = 3)*.

(1.6)

Подведем итог следующим предложением для случая
(1.5) невырожденного оператора

Л*: F-+X <=£>*.

Теорема. При любой правой части f е F уравнение
(1.1) имеет единственное решение и е W, которое как
обобщенная функция и = (ф, и) описывается формулой,
(1.2) с L*g = ф, <р е3) *).

Добавим, в случае вырождения L* это будет справед-
ливо при / = F. □

Уже говорилось, что уравнение (1.1) будет нас инте-
ресовать в основном, для обобщенных случай и ы х
функций и — | е W со значениями в гильбертовом про-
странстве Н = 27г(й) на вероятностном Q.

Как мы знаем, обобщенные случайные функции g е
е W имеют эквивалентную модификацию с реализациями

*) На первый взгляд здесь может показаться странным, что
уравнение (1.1) имеет единственное решение и е W без
каких-либо видимых дополнительных условии. Объяснение этому
заключается в том, что функции и е W фактически удовлетворяют
нулевым граничным условиям на Г = дТ, имея предель-
ные граничные значения (х, и) =0 на обобщенных проб-
ных х, supp г £ Г.
= (<p, gw), '[eS). которые при каждом w е Q являются
обобщенными функциями g,„ е ^5*. Рассматривая уравне-
ние (1.1) со случайными и = g, /=т] как уравнение с
обобщенными векторными функциями в гильбертовом
пространстве //=272(^), одновременно можно рассмат-
ривать (1.1) как уравнение для реализаций и = g,0,
/ = цы е 3)*, а именно, используя для интересующего пас
решения и = g е W эквивалентную модификацию с реали-
зациями gMe^)*, можно считать, что обобщенная слу-
чайная функция представлена модификацией с реализа-
циями

Цю=(ф, Т]ш) = (Л*ф, gw), фей).

Однако для ц е F, geW их реализации б\д\т
вне указанных функциональных классов. О

Рассмотрим два важных для дальнейшего примера,
остановившись на действительном случае, чтобы избе-
жать необходимых переходов к комплекспо-соиряженпы.м
функциям.

Пример. Симметрические положительные операторы
в пространствах ninaW. Рассмотрим уравнение (1.1) с
симметрическим положительным оператором

£ = £*=^>^0	(1.7)

и правой частью jе F, отвечающей пространству /-' =
= W = [2)] с нормой

1!фПту ='(ф, ^ф). фЕ^)_

Очевидно, что именно эту норму мы получаем в (1.1) с
(£ф, £) = (ф, ^?)=<ф, g>ir,

й пространство пробных обобщенных функций (1.3) для
уравнений (1.1), (1.2) есть

X = L*F = &W = BW,

отвечающее в схеме (1.2) — (1-7) гл. I пространству 1F —
= F с оператором & = В. По поводу невырожденности
оператора (1.6) здесь можно сказать, что этот оператор

Л* = ^: W-X

является унитарным. О

Пример. Операторы в пространстве iF2. При F =
= 2>2(Т) в (1.4) мы имеем

!Mw = liMiav
и для уравнения (1.1), (1.2) пространством пробных
функции (1.3) служит

X = 3>W, З1 = L*L,

отвечающее в схеме (1.2) — (1.7) гл. I пространству W —
= [55] с указанной нормой llcpliw, д е 59. Рассмотрим это
подробнее в применении к уравнению (1.1) для произ-
вольного линейного оператора

L: 3) = Cv(T)-+F = 37,(Т),	(1.8)

непрерывного в F относительно сходимости пробных ср е
е55 в пространстве 3) = СЩТ), с оператором L*: F -*
3)*, заданным формулой

£*g = (q>, L*g) = <Lq>, g>„,	<pe0.

Оператор (1.8) является изометрическим на 3)~W =
= [3>], и можно взять его унитарное замыкание

£: w -> F = [Ш] £= F,

где F = [L0] как раз есть ортогональное дополнение в
Р = 2,2(Г) к ядру оператора L*. образованному всеми
g^F с

(ср, 7L*g)=<Lcp, g>F = 0,

О	ОО

Используя связь g = Lv соответствующих v е W и g е F,
получаем

<ср,. v>w = Lv'>F = (cp, L*g), ере 55,

откуда непосредственно видно, что появившиеся у нас
ранее для уравнения (1.1) пробные обобщенные функции

X = L*g =(<р, L*g),	(je®,

есть не что иное, как

х = &V = (q>,	q>^3),

из пространства X=BW—3W в схеме (1.2) — (1.7)
гл. I с оператором В = 3, 3 — L*L, для которых

НВг11х = 1Ы11Г = ilLtillf = llgfllp.

Добавим, что невырожденность оператора L* выражается
условием



(1-9)
Отметим еще, что уравнение (1.1) с оператором L в
пространстве F = 3>2(Т) для ueW сводится к уравнению

3>и = f

с оператором 3 = L*L и новой обобщенной функцией
У=(ср, /), получающейся пз правой части (1.1) заменой
переменного ср -> Z.cp, ср е 3) — она будет непрерывное! по
норме llcpllw = 11/лрНг. Это новое уравнение равносильно
исходному уравнению (1.1) в том смысле, что описывает
ueW с помощью тех же обобщенных пробных

X = 3v = lim ^ср Е X,

применение которых дает тот же результат, что и в (1.2)
с S = S = Lv, представимый как

(ж, и) = Пт(^ср, и) = lim (ср, /) = (щ /)

с помощью новой функции /=(<р, /), определенной
по непрерывности па всех и = lim ср в пространстве 1Г ==
= [ЗУ]. Сказанное здесь фактически повторяет суть пред-
ложенного в (1.2) общего подхода к уравнению (1.1),
когда в качестве L выступает симметрический положи-
тельный оператор а в качестве F — гильбертово про-
странство F = W = \3) ].

2° Некоторые примеры. Проиллюстрируем предложен-
ный общий подход к уравнению (1.1), обратившись к
простейшему дифференциальному оператору L = cZ/dZ и
уравнению

= /	(1.10)

на конечном интервале 7’ = (а, Ъ) с обобщенной пра-
вой частью У = (ф, У), непрерывной по ср е (Т) в про-
странстве F =	.

Для (1.10) соответствующее пространство обобщенных
пробных функций х есть соболевское пространство

х = йтг(П = [ОТ)],

сопряженное к II7 = Wj (Т), т. е. к замыканию [С“ (Г)]
по норме

II ф liW = ф' 1^2 X II ф ИЬ’з + II ф' llb>2 = II ф 111,
которое состоит из функций

(

и ~ и (£) = i g (t) dt,

t<=T.

c g^F из подпространства l''£F = !F(T}. определяемо-
го условием

ь

fi(i)*==<l, ">г==П.

a

Поясним, что всякая удовлетворяющая этому условию
t

g С™ (7) есть производная от функции ср (i) — g (/) dt
о

из С” (?'): в общем случае	есть предел со-

ответствующих производных ф' от функций ф е (Т),
а при сходимости ф'== Lcp g в 2?2(Т) мы имеем сходи-
мость ср и в W, определяющую и е W как функцию
указанного выше вида.

Как мы знаем, F есть ортогональное дополнение к яд-
ру оператора L* = —d/dt в	и это показывает, что

обобщенное решение уравнения L*g = 0 есть постоянная
па интервале t^T=(a, Ъ) функция g(i) = c. Простран-
ство Х = ТГ.Г1('Г) образовано всеми обобщенными функ-
циями

.т = L*g = —dgidt. gs Z2(T),

факторизованными по норме	где g есть

проекция на подпространство F. Случайные функции
и е W обобщенного переменного х е X. определяемые ус-
ловием непрерывности и = (х. п) по норме IWI.Y, можно
описать как u = u(t), t^T, взяв полную в А’ систему
пробных дельта-функций

х = б, = 6(s — ?) =

переменного № К с параметром t е Т. отвечающих пол-
ной в Z2{T] системе индикаторных функций

I !-

seJ.

s ф A
с A — (a, t), и положив

u(t) = (6(, и), te Т.

Отметим, что 1(а,()0 в 9?%(Т) при t -> а, Ъ и это дает
нулевые трапп ч и ы е з и а ч еп п я

и (а) = lim и (£) = 0, и (b) = lim и (1) = <?
i^a	t-+b

в граничных точках t = а, b интервала Т= (а, Ь).

В уравнении (1.10) обобщенная производная / = du/dt
от и е W как обобщенной функции

и = (.г, и), х е (Г) <= X,
такова, что

/ = (Ф,/) = (<Р,/)- феСою(Г);

и с сохранением этого равенства / = (<р, /) продол-
жается по непрерывности на все ср е F = S?2 (Т) —
= [Со°° (Г)]; такое продолжение, в частности, дает нам

(1(«,С),	м) = (б|, u)=u(l),

определяя функцию иеW по / = Lu. Обратившись к ин-
тегральному представлению

(<р,/) = j <р W / (*И,

в котором для обобщенной случайной функции f ис-
пользуется отвечающий ей стохастический инте-
грал, единственное решение и е W уравнения (1.10)
можно описать как

(

U (0 = (1(аД), /) = j f (s) ds, tf=T. □
a

Указанное здесь интегральное представление описы-
вает функции iteW для уравнения (1.10) и на беско-
нечном Т = (а, °°), причем с тем дополнением, что
/ = (<р, /) может быть произвольной обобщенной функ-
цией, непрерывной по ср е F =	— дело в том. что

оператор L* = —d/dt является невырожденным на
^2(«, 00) и мы имеем F = F. Поясним: обобщенное ре-
шение уравнения L*g — O на каждом конечном интервале
a<t<b, как мы знаем, есть постоянная g(t) = c,
и лишь g(t) = 0 входит в пространство F — З^Т) в слу-
чае бесконечного Т — (а, Взяв в уравнении (1.10)
в качестве f = т) — гауссовский белый шум 1] = (q\ ц)
с нулевым средним и

<lk-

как единственное решение и — g е W, получим случайный
процесс м(/)=^(^), t X а, представляющий хорошо из-
вестное броуновское движение, связанное с белым,шумом
стохастическим интегралом Ито

f ф (i)	(f) = (<г, т]) = ф (011 (0 dt. ф е= S’, (Г). □

Как уже отмечалось в общем случае, уравнение (1.10)
для и е W равносильно соответствующему уравнению

-—.u^j	(1.11)

с повой правой частью, получающейся п.з исходной
применением сопряженного оператора L* = —dfdt. По-
ясним здесь этот факт тем, что свойство непрерывности
функций и = (х, и) по х^Х дает

7Г| и (t) |2 = Е | (бг, и) |2< С || l(a,t>!lk’2	— a), t^a.

В результате применения оператора L* = —d/dt белый
шум па S’г переходит в белый шум T] = (ф, ц) .на соот-
ветствующем пространстве W типа П7а(Т) с

К|(ф. п)|2 = || ф |щ = ||ф'1к,’

и с его помощью броуновское движение пред-
ставляется как единственное решение u = |eW уравне-
ния (1.11) при / = 1] па полупрямой Т = (а, °°).

Та же модель (1.11) на конечном интервале 7 =
= («. Ь) дает в качестве п. = Jj хорошо известный броунов-
ский мост i(t), a^t^b,— с тем же распределением ве-
роятностей. как п у броуновского движения при условии

g(a) = g(6) = O.

Уточним: решение u=^eW рассматриваемого уравне-
ния (1.11) па интервале 7 —(а. Ь)—с белым шумом
f=r\ на соответствующем И' —связано с удовлетворяю-
щим тому же уравнению броуновским движением и == So
§ I. ОБОБЩЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЮЭ
равенством

S 0) ‘ (0 ~	(^)'	□

Во многом аналогичным уравнению (1.10) является
уравнение

О-12)

с переменным t = (ti, t2) на плоскости — мы рассмотрим
его в области r = (ai, °°)Х(а2, °°). Применим наш общий
подход к этому уравнению с оператором L = d2ldti dt2 в
случае F =S‘2{T). Отметим сразу же, что оператор
Z* = d2ldt\ dt2 является невырожденным, поскольку
для обобщенного решения g^^2(T') уравнения L*g = 0,
согласно равенству

ОО ОО

(£rf. g) j ) q.' (Q q-o (/,) g (7) dt1 dt2 0

a ° °

co всевозможными пробными q =- qq X q2 e (7’). мы
имеем функцию

8i (<i) = ) <Гг (.Q g (?) dt., = 0

единственным решением в ^2(7’1) обобщенного уравне-
ния dg]ldt\=Q на бесконечном 7ni=(nI, °°), и, как след-
ствие, g(t\. t2) — Q есть единственное решение в 2‘2{Т2)
обобщенного уравнения dgldt2 = Q на бесконечном Т2 =
= (й2. °0). Это позволяет заключить, что пространство
пробных функций X для уравнения (1.12) образовано
всеми обобщенными

х = L*g = d2gldti dt2, g^Z’2(T),

с, нормой рЭл ~ i!  Очевидно, что оператор L =
= d2jdt\ dt2 принадлежит к указанному в (2.6) гл. I ти-
пу, и мы имеем (Т) s X. X [С”(Г)]. В нашей
общей схеме (1.2) — (1-7) гл. I пространство X является
сопряженным к И’ — [С“ (7’)]—замыканию всех
«£^”(7) по норме

. i; и IJtv = || g l|_g> ,  g' — d-u/dtydt.^ ‘
которое состоит из функций вида

и (0 = j ЦО'И*-

'ai'a2

понятно, что это интегральное представление описывает
единственное решение u^W уравнения (1.12) с дайной
правой частью f = g^£’2(T). В той же форме можно
представить решение и е W этого уравнения с об' -бщен-
ной случайной / = (ф, /), непрерывной относительно
Ф е F = S^2(T), обратившись к соответствующему сто-
хастическому интегралу

и (t) = \ I / (х) ds

«1«2

по стохастической мере, символически представленной
как f(s)ds и на ограниченных лебеговских Л^Т прини-
мающей значения, определенные с помощью индикатор-
ных функций как

J/(.s-)^=(lA, /).

А

Уточним: функция и=(х, и) обобщенного переменного
аX —	(71)] может быть описана с помощью пол-

ном в X системы пробных дельта-функций

х = б( = 6(s — t) = L*1a,	Л=(«1, ii)X(a2, t2),

как u(t) = {6t, и), t^T. Из приведенного интегрального
представления для и е W видно, что при 0, F О
имеются нулевые граничные значения

и (0, t.2) = lim и (£п Л,) = 0. и (ip 0) = lim и (fj. ls) = 6.

i^o ‘	V°

Взяв в уравнении (1.12) в качестве /= ц гауссовский
белый шум т| —(ф, ц), ф е F = 3?2(Т), как единственное
решение и = с е W, получим случайную функцию

s (0 = j J n («)ds, t т,

представляющую с помощью указанного стохастического*
интеграл* так называемое винеровское поле (известное-
егце как броуновский лист} с нулевыми граничными зна-
чениями

5(0, г2) = 0, О) = о.

Отметим, что с помощью введения «пространственно-

го» переменного »• =	— t2) и

«времени»

т = — (<! + С' уравнение (1.12) переходит в волновое
И 2

уравнение

в ограниченной его характеристиками s = ±r новой об-
ласти 71, при «белом шуме» / — т) определяя там соответ-
ствующее винеровское поле как единственное решение
и = с s W, которое совпадает с решением известной за-
дачи Гурса для уравнения (1.12) с нулевыми данными
на характеристиках*). □

Обратимся к уравнению

Aw = f

(1.13)

с оператором Лапласа А = д'3/д^ + д-/д1^ + ФфС в об-
ласти Т = 7?3\{0) переменного £ = (Л, h) с выколотой
точкой t — О, где правая часть / = (ср, /) характеризуется
непрерывностью по ф е С™ (Г) в пространстве F =
= S’i(T}. Оператор L* = А является невырожден-
ным на (Г), поскольку при Л*£ = 0 в области Т =
=/?3\{01 для gs)??(/?3) обобщенная функция x = L*g
имеет носителем supp х = {0} в точке t = 0, преобразова-
ние Фурье х(7.) = W2g(Z) есть полином и благодаря осо-
бенностям g(7.) = |7vI“2^(7.) при -0, эс мы имеем
лишь в случае g = 0.

Согласно этому функции 1м = Аи,	плот-
ны в пространстве^/'' =	(Т) =	(7?3), а их преобра-

зования Фурье Au — |Х|2и (7.) = a(Z) плотны в двойст-
венном 5^2(/?3). Используя для и<=.С^(Т} с н(0) = 0

') Отметим, стохастическое волновое уравнение (точнее,
«уравнение струны») появлялось в целом ряде работ — см., напри-
мер, Walsh J. В. An introduction to stochastic partial differen-
tial equations // Lecture notes in Math.— 1984,—V. 1180,—P. 226—
интегральное представление

"w = (й* jw й ” iSF- f	“<ч d>"

(1.14)

в качестве пополнения [С“(Г)]==1¥ по норме

J и ||уу = ’> Ли j| а ,
получаем все функции указанного выше вида с ос е
е^г(7?3). Уточним: здесь мы используем изометрию
и а и тот факт, что при каждом t функции

।	_I

= —-Л

(2л г'" Z

ВХОДЯТ В пространство &2(R3), в совокупности IIO t^T
образуя там п о л п у ю систему с

J [«г+8 (к) — at (Л.)] а (Л) dk

1

(2n)3//2

ш _ 1

----5— а (7.) dk = О

Ш2 J

лишь при а (к) = 0. Отметим для дальнейшего еще ра-
венство

Г	। С I ’|(|и1 _ । I2

I W I3 dk = -Ь Iе AI цф |. (1.15)
а	(2л) J | р |

получающееся ортогональным преобразованием к р с

Iх! — ^1 । г'| + К | t\ + ?-з 11\

и последующим преобразованием подобия 111 р -► р с
,	1 f I е***1 - 1 | , п	т I

а“ = рТр” J 1—|*—'	^ЛЯ опеРатоРа ~ выполня-

ется условие невырожденности (2.6) гл. I — скажем., из
интегрального представления (1.14) для и = <р е ( 7 )
с ср (t) = f at (Л) ос (к) dk получается, что

|£ф ||_g>



at (к) а (к) dk

>с|ф(г)|,

/ с= 7 [0Сг
I 1. ОБОБЩЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ц5
в каждой ограниченной области Тюс — Т, и, согласно это-
му, пространство обобщенных пробных функции X' Э

X — [С” (Т7)], уточним: X является сопря-
женным к описанному выше W и состоит из всех обоб-
щенных функции

x = £*g = Ag, g^S?2(T),
в области Т с нормой |j х = || g . Отметим, что взяв;

? (») ^=at(s) = ? * \er^at(X)dK sseT.

в качестве пробных х = Ag, получим полную в X си-
стему дельта-фуикцпй ж = б(=б(х — I) с параметром
t е Т; здесь, согласно интегральному представлению"
(1.14), для и ср е Со (Г)

(ф, ж) = (Аф, g) —(Аф, а() = ф(«),

где для полной системы функций «((А) в ,2А(7?3) мы
имеем полную систему gt (s) = at (s) в двойственном
2,г(7?3) = 3?2(Т) и соответственно полную систему
б(s — /) = Ag(s) в X = £*^2(Т) с унитарным

£* = А: F = g2(T)-*X.

Интегральное представление (1.14) показывает, как
функция ие Ж = [С^° (£)] восстанавливается по обоб-
щенной / = Хи с помощью преобразования Фурье f = a. s

Аналогичным образом дело обстоит с обоб-
щенными случайными и е W, которые определяются
как и—(х. и) пробными же Х =	(7’)] и с помощью

п о л н ой в X системы пробных х = бг могут быть опи-
саны как функции u(i) = (6(, u), teT, задаваемые сто-
хастическим интегральным представлением

н(0 = (Я/, /) = —(W

по обобщенной случайной / = Хи ее преобразованием
Фурье f, где справа указан отвечающий f стохасти-
ческий интеграл; очевидно, что при t -> 0 имеется
предельное граничное значение

и (0) = lim и (2) --= 0.

1^0
Взяз в качестве / = ц гауссовский «белый шум»
на F = S?z(T) = ^2(Л3), как единственное решение и =?
= J = W уравнения (1-13) получим гауссовскую случай-
ную функцию

g (/) = (af. р) г-_- ---	|	1 м (/.) rfZ. t^T,

(^) - I л |-

с пулевым граничным значением 5(0) = О, нулевым сред-
ним £^(0 = 0 и, согласно (1.15).

Е | g	I2 -= I at (a) — as (л) |2 сП. =

= J | at_s ( a) cl/. --= a-11 — s |.	t g= IF;

-случайная функция S = g(Z), t e R3, известна как броу-
новское движение Леви. С

Рассмотрим уравнение

Lu = /	(1.16)

•с имеющим постоянные (действительные) коэффициенты
дифференциальным оператором L =- v ai.dh в области
h

Т = R'1 и обобщенной правой частью / — (ср. /). характе-
ризуемой непрерывностью ио <| е С™ ( /?г!) в простран-
стве F = SL•г(Нл'). Пусть отвечающий оператору & = L*L
полином

^(щ) = Л*(/л)£(а)= |£(iZ)l2	.

таков, что функция 1/^* = 1/^(гХ), /. = /?', может слу-
жить весовой функцией для соответствующего простран-
ства	известного нам типа. Тогда, как мы знаем,

пространство пробных обобщенных функций х нс X для
уравнения (1.16) можно описать с помощью преобразо-
вания Фурье условием	/д>—напомним, что X яв-

ляется сопряженным к пространству И’--[С” ( Rrf)]
с нормой
-

в частности, X содержит плотное в нем {Rd),
X = [СГ (7?d)] — см. (2.16) гл. I. Конечно, оператор
L* = 2(—l)ft ahdh является невырожденным на F =
k

= S'2(Rd), поскольку для g 2'2(,Rd') обобщенная функ-
ция L*g = O имеет своим преобразованием Фурье обоб-
щенную функцию L* (iX)g(X) = 0 лишь при g = 0, и до-
полнительно можно сказать, что X состоит из всех обоб-
щенных функций x = L*g с g^SL^^R1),	54?.) =

= (—u)g(Z). причем

ЧИ! -Jfp'(Z)p4d;.f7\
-	4,1/^	'•	s

Согласно этому, единственное решение «eW уравнения
определяется по f = Lu с помощью пробных :c = L*g^X
как

и^(х, u) = (g, /),

где, скажем, g 2,2(Rd) может быть найдена для дан-
ного х е X с помощью обратного преобразования Фурьн
функции

g(Z)= х (л)/£(-/?.)

в частности, взяв здесь х = гр е (Ч), мы пол?, чим
решение «eW как обобщенную функцию « = (<,. и)г
ФеС(Ч).

При у с л о в и и интегрируемости весовой функ-
ции i/f? мы имеем: 1/Л( —гХ)е Ч(ТС) и х(?,)=е',‘‘ с па-
раметром t е Rd образуют в пространстве S’ )s> полную*
систему, для которой соответствующие ж = 6г = б(5 — t)
образуют полную систему в X, позволяя описать ре-
шение уравнения (1.16) как

и = и (/) —- (ё;, и) = (гщ, /) = w (t — s) f (.s-) ds. t e R1,
где

а крайнее справа выражение представляет в общем слу-
чае стохастический интеграл, определяемый по обоб-
щенной случайной функции f = (g, f), g^2'2[Rd).
Взяв здесь в качестве f = ц белый шум !]=(£. ц),
^eS?2(7?d), как единственное решение u = :eW урав-
нения получим стационарное случайное поле

ё (/) = J w (t — s) ц (s) ds, t e Rd,

с нулевым средним и спектральной плоскостью 1/&* =
= l/0(ik); при общей весовой функции Ц0 мы полу-
чим обобщенное стационарное поле

(ф. s) == (щ 11).

с указанной спектральной плотностью

E|((f.g)|2--	|д(л)Г-^с?л. □

Аналогичное решение получается для уравнения

0u=f	(1-1")

с имеющим постоянные коэффициенты дифференциаль-
ным оператором

0' = L = У, акдк О

в области Т = Rd и обобщенной правой частью / = ($,/),
характеризуемой непрерывностью по фе (Rd) в со-
ответствующем оператору 0	0 пространстве F ~ И’ =

= [С”(А1Й)] с нормой

Ч'У =(ф- ^ф) !/2-

При тех же условиях на

1 '0 - 1 ;0 (iX).	0 (гл) = 2 «к (iZ).

к

что п раньше (с 1/0 как весовой функцией можно обра-
зовать Z )в качестве пространства пробных функ-
2.1/^/

ЦП Й X -[с(/г')] для уравнения (1.17) мы имеем
совокупность всех обобщенных z. х^02л/;р. с нормой
~	/ Г ~	1	М/2

^2,1/0	'

При этом оператор 0 = L = L* в уравнении (1.17) в
применении к функциям g е 1Г дает в совокупности все
пробные х = 0 g е X и, в частности, единственное реше-
ние и е W уравнения (1.17) как обобщенная функция
и = (ср, и), ср е С« (Rd), определяется по имеющейся в
(1.17) обобщенной i = (g, f), g^W, формулой

(ср, w) = (g, /), g = 0~'(f,
где для преобразований Фурье мы имеем

^(Х) = ф(Х)/^(гА),	7^Rd.
Взяв. например, в качестве /=»] «белый шум» т] =
= (?. )]) на пространстве F = W. как единственное
решение и = 5 е W уравнения (1.17) получим обобщен-
ное ст ационарпое поле

(фЛ)^Й'- я),	cpeC"(7?d),

с нулевым средним и спектральной плотностью ijS3.

Упомянем здесь хорошо известное свободное марковское
.поле со спектральной плотностью вида (! X!2 + а~) ~1,
/.еЛ'. отвечающее модели (1.17) с Я3 = — А + а2, где
А — оператор Лапласа. □

Коротко остановимся еще на одном примерю, к кото-
рому мы вернемся в дальнейшем. Рассмотрим и а р а б о-
.л и ч е с к о е ура в п е н и е

в области Т = GX(a, °°) с «пространственным» перемен-
ным г? е G и «временем» г > а в t = (s, г) Т, где —Л Г" О
есть положительный эллиптический оператор (поряд-
ка гп) в области Gs7?d_1, для которого сопряженный к
F—д/дг — А оператор L* = — д)дг~ А является невы-
рожденным на пространстве &~ =	, и оператор Я3 =

= L*L — — д-/дт^ + А2 в схеме (1.2) — (1-7) гл. I порож-
дает соболевское И7 Й7 (7) = Й4 (7’). р--(т,1). с

Ыш = (ф,^ф) X ЙЙр-

Пространством обобщенных пробных функций х X для
ураьнейпя (1.18) с обобщенной правой частью / = (ф,/),
непрерывной относительно ср е С™ (Г) в Я7 = Sf^T),
будет соответствующее соболевское

Х-ЙТг'(7’) = [С ('/’)],

и имеется единственное решение и е Wf (7’) этого урав-
нения, определяемое согласно предложенному в (1.2)
общему подходу. Как мы знаем, обобщенная функция
и — (ср, и),	класса ТГг(Т’) на каждом сече-
нии G X {/} области Т имеет след

иг = (х, иг), х е С™ (G),

для которого

(ф, и) = (f riir dr,

— (S' и] ~ J (f'rllr dr = J((r dllr-

причем аналогичный интеграл дает и

(Лф, и) = I A(f,.urdr;

напомним, что е С” (G) получается из ф = ф('. г)
фиксацией переменного г>а — см. (1-14) гл. I. Возьмем
в правой части (1.18) обобщенную случайную Функ-
цию / типа стохастической меры d^]r с

О, ./) = j qvdi]r, ф€ЕС^(Г).

где, скажем, т] — ц,. есть случайный процесс с нек рре-
л про ванными приращениями

Е I (х, T|r+ft — 1]г) I2 СII х (GJi, х^С™ {G),

— как мы знаем, / = (ср, /) будет тогда непрерывной по
•| е (Т) в ЗААТ) (см. гл. I). Согласно • уравнению
(1.18), мы имеем

( ^rdur = j A(f rur dr + ) <prdip.;

взяв здесь феС“(Г) вида ср(s, r) = x(s)w(n с
х е Со°° (G), получим

и- (г) d (х, ur) = f w (г) (Ах, ur) dr + w (г) d \.х, тр-)-

и в итоге, используя предельный переход w~->- 1(r ,r2jr
получаем

г2	Г2

(х, иг ) — (г, нГ1) = (Ах. ur) dr + d (х. "qr),
;i	Ч

что для рассматриваемого случайного процесса иг = |г
можно символически представить с помощью стохасти-
чеснмх дифференциалов в виде уравнения
(7g,. = /lgr dr + с?цг.

известного как стохастическое уравнение Ито. Включе-
ние m=seW2(7’) для 7=СХ(л, оо) дает началь-
ное значение

ga == lim g,. — О.

Г—нг

(Отметим, что в рамках описываемой стохастическим
уравнением Ито теоретико-вероятностной модели случай-
ный процесс g = gr рассматривается лишь в его зависи-
мости от времени г> а, оставляя в стороне фактически

имеющуюся зависимость от пространственного перемен-
ного в области бн/?’ ’1. явно выступающую в соответ-
ствующем уравнении (1.18).)

§ 2. Граничные задачи

1° Общие граничные условия для обобщенных диф-
ференциальных уравнений. Обратимся к общему урав-
нению (1.1) с дифференциальным оператором L

в области Т = Н‘! и обслуживающему (1.1). (1.2) функ-
циональному классу W = W(71), в котором решение
и е V» является единственным. Понятно, что, имея дело
с уравнением

(2.1)

в той или иной области S s Т, уже нельзя гарантировать
единственность решения, и возникает вопрос о дополни-
тельных к уравнению (2.1) данных, которые однознач-
но выделяли бы интересующее нас и е W (S) в соответ-
ствующем функциональном классе W(S), получающемся
сужением W в области S е Т. Этому вопросу можно
придать более точную направленность, имея в виду
данные, которые доступны в форме своего рода «гранич-
ных условий», скажем, отражающих те или иные усло-
вия г не области S (примером здесь могут служить рас-
сматриваемые в дальнейшем задачи прогнозирования*)).

*) Здесь можно было бы сказать об известных задачах мате-
матической физики, исследования которых в рамках соответствую-
щих граничных задач определили целые направления в теории
дифференциальных уравнений в частных производных.
Используем предложенный в (1.1) — (1.2) общин под-
ход для уравнения (2.1) в области 8 Т. Именно, ис-
пользуя непрерывность правой части / = (ср. /) по
<;е6’^(8) относительно ||(г|!у- и непрерывность й =

= (х, и) относительно х = £*ср по 1Ы1Х, вместе с । боб-
щенным уравнением (2.1) для weW(8) рассмотрим
эквивалентное ему уравнение

(L*g, u) = (g, /),	(2.1)'

с «пробными» g е ST (8) из замыкания ST (8) — [С^ (8)J
в соответствующем пространстве ST, где указанное \У(8)
есть совокупность обобщенных функций и=(х. и) с г огю-
нымп x^X(S) из подпространства X(S) обобщенных
пробных х^Х — Х(Т) в замыкании области 8 —
с носителями supp х s [8]. Само уравнение (2.1), (2.1)'
дает нам не что иное, как функцию и=(х. и) на под-
пространстве х е Х~ (8),

X- (8) = L*ST (8) = [Л*С (8)] s X (8).	(2.2)

Понятно, что дополнительными данными, вместе с
(2.1),	(2.1)' однозначно определяющими пеА\(8),

могли бы быть значения (х, и) с пробными те.\’(8)
из дополнения к подпространству Х~(8)—скажем, из.
ортогонального дополнения

1(8)9Г(8).

Оказывается, что это ортогональное дополнение входит
в граничное пространство А'(Г) = Л’(8) всех пробных х,
supp^sT, с носителями на границе Г = dS области 8,
и, таким образом, дополнительные данные относительно-
искомой функции г/ еЦ'(8), о которых здесь идет речь,
суть ее граничные значения

(х,и). X е Х„ (Г),	(2.3)

на указанном граничном подпространстве

Х0+(Г) = Х(8)@Х- (8)^Х(Г)

пробных х, supp х — Г. Покажем это.

Остановимся сначала на случае оператора L в прост-
ранстве	когда пространством пробных функ-

ций во всей области Т э 8 служит

Х = £*2’2(Т) = ^1У
с 5s = L*L на соответствующем W == W (Г) — [б’о (Г)],
ив (2.1)' мы имеем

^) = [C(S)] -^.2(S).

Очевидно, что включение LC™ (S)	3? 2 (S) для замы-

кания Й’(5) — [С“ (5)] в 1И дает нам

3>W (5) = [Ж" (Я)] <= £*^2 (5) = Х~ (5) <= X (5).

где в пространстве X(S) всех обобщенных пробных
л е X, supp [5], граничные хеХ(Г) с носителя-
ми suppхе Г па границе Г = dS выделяются условием

(ф, х) = <.^С|,, х>А =. О, <pe(7(S).

отбывающим граничное Х(Г) как ортогональное до-
полнение г. -V(5) к подпространству ^ЧУ(5),

Х(5) = ^1С(5)® Х(Г)	(2.4)

— -м. по атому поводу (1.7), (2.4) гл. I. Согласно (2.4),
в ортогональном разложении

X-(S) = ^IK(1S’)® Л'-(Г)

О

ортогональное дополнение к (S) в X~(S) = £*^г(5)
есть

Х“(Г) = Х(Г)ПХ-(5) = Х(Г)П£*^2(5),	(2.5)

а ортогональным дополнением к X~(S) в X(S) является
ортогональное дополнение

10+(Г) = х(Г)еГ(Г)	(2.6)

к Х-(Г) в Х(Г).

Оставшийся нерассмотренным случай оператора L —
— L* = .£ SoO в соответствующем пространстве = П7 =

— W(T) еще проще; именно, здесь мы имеем

^(5) = Ф(6’)==[(7(5)],

Х“(5) = L*ST(S) = [£*С’0ОЭ(5)]= ,^Ж(5).

и ортогональное дополнение к пробным х е Х~ (S),
согласно общему ортогональному разложению (2.4), есть.

А0+(Г)^Х(Г),	(2.7)

т. е. все граничное пространство А'(Г). □

13 общем случае мы имеем ортогональную сумму

Х(5) = А-(5) + Х+(Г).	(2.8)

Понятно задав произвольно граничные значения
(2.3), а именно, задав произвольно линейную непре-
рывную функцию и=(х, и), теХ^(Г), на граничном
подпространстве A’J (Г) X (Г) и имея заданную урав-
нением (2.1), (2.1)' функцию и — (х, и). x<^X~(S)f
в совокупности мы однозначно определим л и и е it и у ю
функцию и—(х. и) при всех x^X(S) как

(х, и) = (х~, и) + (х+, и)

при разложении х = х~ + х+ па компоненты x~sX~(S)r
Х*<=Х+(Г). □

Приведем следующее очевидное предложение: система,
граничных пробных а:еХ+(Г) является полной в Х(Г)
тогда и только тогда, когда уравнение

3>и = 0

в области ТАГ с граничными условиями

(х. п) = 0,	,-геХ+(Г),

имеет единственное решение и е W (т. е. и=0). пояс-
ним, что это относится как к случаю 3 ~ L = L* 5=- 0 на

= W ='П/(Т), так и к случаю 3 = 131. с оператором!»
на ST =SP2(Т). Отметим, что в силу общего представ-
ления X = L*<3 (см. (1-5)) граничные	могут

быть описаны как x = L*g	удовлетворяющими

однородному сопряженному уравнению

L*g = 0	(2.9)

в дополнительной к границе области ТАГ. При этом в
случае &~ = S?2(T), когда от решения уравнения (2.9)
не требуется даже непрерывности на границе Г = dS. его
можно «разрезать» по Г, выделив отдельно решения с
g = g-S?z(S), /*g~ = 0 в S и g-=0 в дополнении
5Г = 7А5, и с g = g+fs , g+=0 в S и L*g+ = 0 в
дополнительной к S области S+ = Т\ [5]; здесь гранич-
ные x = L*g~ в совокупности образуют АП Г), а состав-
ляющпе дополнение к ним граничные х = L*g+ в случае
невырожденного L* образуют ортогональное допол-
нение А'в (Г)— напомним, что невырожденный оператор
£*: ^ = ^2(7,)-Х = £*^

является унитарным оператором. □

Г шоря <> граничных условиях па обобщенное
решение «sW(S) уравнения (2.1). которое в пашей
схеме есть обобщенная функция и = (х, п) функциональ-
ного переменного x^X(S), естественно понимать их как
условия на те или иные граничные значения
(х, •: . supp г s Г, па границе Г — OS области S, скажем,
как условия, задающие граничные значения

(х. п) = (х, п+), хеХ+(Г), (2.10)

для произвольной совокупности Х+(Г) обобщенных
граничных .теХ(Г). и при таком подходе можно ска-
зать. что выбор А’+(Г)еХ(Г) определяет тип граничных
уело?’й (2.10). В дальнейшем при рассмотрении кон-
кретных примеров мы в рамках этого подхода встретим-
ся со многими известными в теории дифференциальных
уравнений граничными условиями. Отметим, что в
(2.10: речь идет о линейной непрерывной функции и —
: ;(л о) функционального переменного х, и задание ее
значений в точках хе.Х’!(Г) определяет ее на их замк-
нутей линейной оболочке; согласно этому можно считать,
что X" (Г) есть подпространство в граничном X (Г),
а в (2.10) задаются граничные значения (х, и) па ка-
кой-либо полной системе хеХ+(Г) в граничном
подпр ic.Tраистве Х+ (Г) = Х(Г).

Кек уже фактически отмечалось, некоторые гранич-
ные значения удовлетворяющей уравнению (2.1)
фу : ни и е W(5) определяются самим уравнением,
а именно это значения

(х, и) . X Е Х~ (Г) ,

отвечающие в схеме с общим оператором L в простран-
стве .У = ЗХ(Т} пробным

у е= Х~ (5) = [	(5)] -	(5)

с но’лтелями suppx^r на границе Г = dS (см. (2.5));
уточним: при этих x = L*g, согласно (2.1), (2.1)'

(х, u) = (g, /),	(2.11)
где соответствующие g 2’2( S ). g = 0 вне 5 могут Сыть,
описаны сопряженным уравнением

L*g = 0	(2.12)

в самой области S. Таким образом, если в грани;пых
условиях (2.10) речь идет о той же функции ms\V(S),.
что п в уравнении (2.1), то должно быть

(х. u+) = (g, f), x = L*g,	(2.13)

для тех пробных .геД'ц'Г) из (2.10), что задействованы
также в (2.1)'. т. е. для

геГ(Г)ЛЛ-(Г);

более того, должно быть

(.т. u+) — (g, /)-0	(2.13)'

для тех геХ+(Г) из (2.10), что сближаются е какими-
то пробными L*g из (2.1)'.

Их — L*gi:X — 0.

В (2.13), (2.13)' выражена необходимая согласован-
ность граничных условий (2.10) с уравнением (2.1).
Очевидно, что вопрос об этой согласованности не возни-
кает для граничных условий (2.10) произвольного типа
А'+(Г) с граничным подпространством Х“(Г)еХ(Г)г
составляющим прямую сумму

Х(Г) = Х-(Г) + Х+(Г),	(2.14)

когда А+(Г) является прямым дополнением к
Х-(5).= [МС-(5)] в

Х(5) = Х-(5)+Х+(Г)	(2.14)'

— попятно, что произвольно заданные граничные
условия (2.10) этого типа Х+(Г) являются согласован-
ными с уравнением (2.1), поскольку в (2.13) речь может
идти лишь об х = 0, а в (2.13)'—лишь об х -> 0. Тем
более вопрос о согласованности не возникает в случае
уравнения (2.1) с оператором Л=Л*=53Э=() в отвеча-
ющем ему пространстве ST = W, когда

Х~(Г) = Х(Г)П А-(5) = 0

— см. (2.7).

Назовем граничные условия (2.10) полными, если
геХ:(Г) дополняют Х~ (S) = [£*С“ (£)] до полной
системы в пространстве X(S) всех пробных функции х,
supp х — [5].

Справедливо следующее предложение.

Теорема. Произвольно заданные граничные условия
(2.10) определяют единственное решение и<^ W(S} урав-
нения (2.1) тогда и только тогда, когда они являются
полными и согласованными с этим уравнением.

Доказательство очевидно: заданную на jeX*(5)
уравнением (2.1), (2.1)', а на дополняющих их х е
ер(Г)—граничными условиями (2.10) линейную не-
прерывную функцию м=(.т, и) можно единственным об-
разом продолжить на все пространство zeX(S).

Добавим здесь, что в случае, когда согласован-
ность можно выразить в форме (2.13) с теми пли
иными х = L*g е Х+ (Г). g 3?2(S), при полноте гра-
ничных условии, мы имеем представление всех элемен-
тов, x^X(S) в виде прямой суммы

х = Ь*ц + х+

с соответствующими (ре2'2(S). ортогональными функ-
циям g^S’2(S) из (2.13) и граничными ^eA'-(f);
очевидно, что единственное решение meW(5) общей
граничной задачи (2.1), (2.10) при произвольных гра-
пичпых условиях такого типа Х+(Г) описывается с по-
мощью пробных x^X(S) формулой

(.?, и) = (ф- /) + (х+. и+).	(2.15)

Добавим счце, что при соотношении эквивалентности

!1 А*Ф L- х Ф lb <peC~(S),	(2.16)

граничная задача (2.1), (2.10) разрешима при любой
правой части — любой обобщенной функции / (скажем,
со значениями (<р, /)^=П в гильбертовом Н), непрерыв-
ной по феС”(5) относительно |] Ц.дг и, понятно, удов-
летворяющей (2.13). Все вместе это в случае условия
согласованности (2.13) и соотношения эквивалентности
(2.16) приводит нас к следующему предложению.

Теорема. Общая граничная задача (2.1), (2.10)
имеет единственное решение u^W(S), описываемое фор-
мулой (2.15) с оценкой

sup ||(^, н)|!н<С( sup . || (q\ /)||н + sup I, (.r\). Л.
Отметим, что в частном случае граничных условий
tic । (2.14). не требующих никакой согласованности
(условие (2.13) отсутствует), первое слагаемое в фор-
муле (2.15) представляет решение при однородных (ну-
левых) граничных условиях (2.10) с п+=0, а второе
слагаемое в (2.15) представляет решение однородного
ура нения (2.1) с правой частью / = 0.

Напомним, что указанный в (2.14) тип А’+(Г) = А’(Г)
с т швпальпым АГ_(Г) = О только и может быть для опе-
рат>а /,	в соответствующем пространстве 3~ =

•1Г(7'1.

Для общего оператора L в пространстве ST =

важ 'ым примером полных и согласованных с уравнени-
ем (2.1) граничных условий (2.10) типа Х+(Г) являют-
ся ’сто внешние граничные условия — под этим мы бу-
дем донимать задание граничных (х, п) = (х, и+) с по-
мог; дю пробных теХ+(Г), которые связаны с соответ-
ству-нцимп g+ 3?2(8С) вне области 5 и представимы
как >'=L*g+ с g+ = 0 в 5 и L*g = 0 в дополнительной
об.г к ти S+ = Т\ [5] — см. (2.9), (2.12); понятно, что г.
надуй модели (2.1) с данным / в области Т граничные
ус. -я этого типа непосредственно связаны с / вне об-
ласти S равенством

(х. w) = (x, w+) = (g+, /), х = L*g+ е А'+(Г).

Отм. тим. что здесь в случае невырожденного опе-
рат- а £* на 3Г = 2Д(71) мы имеем граничные условия
т и. ।

Х-(Г)	А’„+(Г).

определяемые на ортогональном дополнении
X»4Т) --= А’(Г) © Х~ (Г) — см. (2.6), (2.8). Выделим спе-
циально случай, когда внешние граничные условия
являются единственно полными — мы имеем в виду слу-
чай. когда они типа

Х+(Г)== АДГ),

что отвечает Х~(Г) = 0, когда в области S = 7' кроме
тривиального g = 0 пет решений g^S^S) сопряжен-
ного уравнения L*g = 0 в 5—см. (2.9), (2.12)*).

’) Это наблюдается для самых различных операторов Lb
бесконечных областях S.
В нашей общей граничной задаче (2.1), (2.10) ? об-
ласти 5 s Т само уравнение (2.1) разрешимо (имеет ре-
шение) в классе ueW(5) тогда и только тогда, когда
правая часть (2.1) задается обобщенной функцией f —
= (ср. /), непрерывной по ср е (S) относительно нор-
мы 1'7*ф1!д- в соответствующем X(S). При этом



для оператора L в левой части (2.1) в случае L = Л* =
= ^>0в отвечающем ему пространстве = 1Г = Н'(Г)
или. В случае произвольного L. В ЗГ = 2?2{Т} С ПсВЫ-
р о ж дени ы м £*, с 3~ [АС“ (7)] = - SX (Г): в слу-
чае же общего оператора L в ST = 2’г(7) норма'

li к IIФ {'у-

совпадает с нормой ортопроекцип ф па подпространство
5Г=[ЛС”(Г)]. п здесь можно дополнительно указать
случай общего положения с отличным от 0 углом между

(8) = S’i(S) и ортогональным дополнением
(ядром сопряженного оператора £*) в &" = 2?2(Т} — по-
нятно, что это как раз случай, когда выполняется усло-
вие (2.16) и уравнение (2.1) имеет решение u^XV(S)
для любой правой части / = (ф, /), непрерывной по
феС“(5) относительно нормы ЦфЬ.^г --"ЦфЦ.2’ •

Напомним, что мы рассматриваем уравнения (2-1)
для обобщенных функций со значениями в произвольном
гильбертовом пространстве (в частности, для обобщен-
ных случайных функций со значениями в гильберте ком
Я = 2?2(П) на вероятностном Q). Покажем, что си'тно-
шение эквивалентности (2.16) в 3~ = 3?2 равносильно
тому, что уравнение (2.1) разрешимо для любой скаляр-
ной функции /е^2(к). Действительно, наличие равен-
ства / — Lu дает непрерывность линейной формы (ц./) =
= (Л*ф, и) но <р е Со (.S') относительно 11£*фк и ее
ограниченность на множестве ф е= С™ (S) с 1И,*фк^1
при каждом j -LCiS), что указывает на ограниченность
этого множества в гильбертовом S'2 (5) и на справедли-
вость неравенства

ЬЬ2<с8л*сг11а

при всех <f£C”(S), где II L*<f л- ||ф ||^г

Понятно, что при соотношении эквивалентности
(2.16) уравнение (2.1) разрешимо в классе u^'W(S)
при любой правой части f =	f), непрерывной по

<f е (5) относительно IiTILf- О

Для иллюстрации всего сказанного можно обратить-
ся к простейшему уравнению

ria интервале S = ((q, i[) в схеме с пространством =
= 3?z(T) на конечном интервале Т = («, 6)=>[5]. Прост-
ранством обобщенных пробных функций для ueW(S)
здесь будет соболевское X(S) — W., (5), и соответствен-
но мы имеем W (S) = W) (5). Ядро © 9~ сопряжен-
ного к L = d/dt оператора L* = —dldt состоит из посто-
янных в Т функций g = с, и в случае [5] с Т очевидно,
что подпространство ^(S1) = ЗДб1) имеет с ним отлич-
ный от 0 угол, что дает пам случай общего положения,
когда решение weW(5) существует для любой /=(ф./),
непрерывной no Ф е (S) относительно || ф|1у = || ф По-
граничное пространство АДГ) порождается .обобщенны-
ми пробными х = L*g, отвечающими постоянным на
интервалах {a, to), (io, ii), (ti, b) функциям g 3?2(T),
и ;,тп теА(Г) внутри T— (a, b) проявляют себя как
линейные комбинации

х = саб (t — i0) + С[6 (i — fi)

дельта-функций в граничных- точках io, i, е Т интервала
4S' = (i0, it). Подпространство Х~(Г) образовано гранич-
ными

х = с1(М1) с Iй (^ — О — б (i — Я)],
которые дают определяемые самим уравнением гранич-
ные значения

t

(х, и) = — с(1(1и,<1). /) =-- — c\fdt,

'о

где для обобщенной случайной функции / = (g, /),
(скажем, типа «белого шума») имеется в ви-
ду отвечающий ей стохастический интеграл. Гра-
ничные условия (2.10) могут быть выражены для реше-
ния «eW(S) как функции u = u(t),	опреде-

ленной линейной комбинацией

Cou(to) + С1Н(^1) = (х, и) = (х, и+)

с помощью соответствующего граничного я = с06(£ — ^о) +
+ Cj6(t —ti), задающего Х+(Г). При любом таком х,
х^Х~(Г), имеется единственное решение weW(S),
удовлетворяющее указанным граничным условиям. До-
полнительно здесь можно отметить, что аналогичная схе-
ма с ^"=2’2(7’) на бесконечном интервале Г =
= (<?. °°) будет более простой и удобной благодаря не-
вырожденности L* = —dldt, задающего унптар-
п ы й оператор

L*: 5Г = 5’2(Г)-*Х = £*^'.

Скажем, в этом случае непосредственно видно, что
граничное ж = L*l(0,«проявляющее себя в каче-
стве пробной функции внутри Т как

X = 8(t — to) ,
ортогонально к

х = е ^~(Г)

и, более того, порождает ортогональное дополнение
Х^~ (Г) к Л'~~(Г) в граничном пространстве Х(Г), зада-
вая во внешних граничных условиях (2.10) типа
Х+ (Г) = Xd (Г) начальное значение u(t0) для u(t),
t>to. □

Обратимся к детерминированным функциям
izeH7(S). Напомним, что для них функциональный
класс W (S) получается сужением в области S функций
це EfZ = И (7’), которые являются предельными,

и = lim о

относительно соответствующей нормы для функций
<(• е= Со° (Г) в объемлющей области Т э S, причем дей-
ствие дифференциального оператора L — У а^д . непо-
средственно, определенного на <1 е= С™ ( Г) как
может быть на и е W определено предельным переходом

Lu = limLcp,

и сужение так определяемой обобщенной функции Lu
в области S — Г как раз и представлено в уравнении
(2.1) для искомого u<^W(S).

Во многих известных задачах теории дифференциаль-
ных уравнений применительно к функциональным клас-
сам типа и е W (S) граничные условия на границе
Г = dS ставятся фактически с помощью того или иного
граничного (линейного) оператора Lq, определенного на
IF(5) таким образом, для произвольно взятого «эта-
лона» п+17(5), характеризующего нужное граничное
поведение искомого решения we W (S),

L0(u- u+) = 0.	(2.17)

Естественно, функции а -«Е С” (5), равные 0 в ок-
рестности Г = dS, должны удовлетворять н у л е в ы м
граничным условиям

£о(<р) = О.

Оказывается, для оператора Lo с замкнутым ядром
{и: Lo(u) = O) в 1У(5) справедливо следующее предло-
жение *).

Теорема. Граничные условия произвольного типа
(2.17) равносильны граничным условиям (2.10) соответ-
ствующего типа Х+(Г).

Действительно, подпространство {и: Lo(u) = O} в W (5)
однозначно описывается соответствующим аннулятором в
сопряженном пространстве X(S), который, согласно орто-
гональному разложению (2.4), аннулируя все функции
и = ф е С™ (а), входит в граничное пространство Х(Г),
представляя собой граничное подпространство Х+(Г)^
^Х(Г). Понятно, что условие (2.17) того, что разность
и — и+ входит в ядро оператора Lo, равносильно тому, что
и — и+ как элемент сопряженного к Х(5) пространства
IF (5) аннулирует подпространство Х+(Г) Х(5), т. е.

*) Аналогичное предложение о связи сильных и слабых реше-
ний общих граничных задач для функций в гильбертовом про-
странстве Я = 2?2(Я) было предложено в работе Булычев В. А.,
Фролов Ф. Ф. Граничные задачи для обобщенных дифферен-
циальных уравнений Ц Мат. сб,— 1988.— Т. 136(177), № 3,—
С. 275—296.
равносильно толу, что

(х, и — и+) = О,

(х, и) = (х, и+), х^ХЧГ). □

Укажем на возможность использования в нашей общей
схеме (в частности, для обобщенных случайных
функций) тех или иных результатов теории диффе-
ренциальных уравнений, связанных с детерминиро-
ванным п граничными задачами.

Обратимся, например, к однородны м граничным
условиям (2.17) с эталонной функцией и+=0, которые
могут быть дополнены условиями согласованности (2.13)
вида

(g, /) = 0	(2.17)'

для правой части уравнения (2.1) на g е 9?ч (S), L*g = О
в области 5. что выражает граничные условия
(х, и) = (х, и+) при и+ = 0 на граничных пробных
x=L*g<^X~(r) и в совокупности с (2.17) дает
Л’+(Г) с и+ = 0). Допустим, что при этих однород-
ных граничных условиях уравнение (2.1) с произ-
вольной правой частью /е.2?2, удовлетворяющей усло-
виям (2.17)', имеет единственное решение u^W(S).
Тогда в отношении общей граничной задачи (2.1),
(2.10) данного типа (для случайных функций, в част-
ности) справедливо следующее предложение.

Теорема. Граничные условия

(х, и) = (х, и*), .гсХ'Дф),

являются полными, а их согласованность с уравнением
(2.1) при произвольных и+ eW(5) выражается соответ-
ствующими условиями (2.13). При любой правой части
/ = (ср, /), непрерывной по	относительно

IiTils’ , и любых граничных условиях (с произвольным
н+е\У(5)) в случае указанной согласованности урав-
нение (2.1) имеет единственное решение и eW(5).

В самом деле, существование и единственность реше-
ния детерминированной граничной задачи с однородными
граничными условиями рассматриваемого типа Х+(Г),
где Х+(Г) взято, скажем, в форме граничного подпро-
странства, при произвольной правой части /е^2, удов-
летворяющей (2.17), означает существование и един-
ственность линейного непрерывного функционала и =
— (х, и), x^X(S), равного 0 на х = х+еХ+(Г) и про-
извольно заданного как (х, н) = (<р, /) на x = L*q>
при всех (р 2^2(8), ортогональных функциям g^Si^S)
из (2.17)', что имеет место лишь тогда, когда элементы
jeX(Sj разлагаются в прямую сумму х — L*q> + х+
соответствующих £*<р и х+, а в этом случае существует
и единственно решение общей граничной задачи типа
Х+(Г)-см. (2.15).

Остается добавить, фактически повторив сказанное по
поводу (2.16), что разрешимость уравнения (2.1) при
любой правой части	удовлетворяющей (2.17)',

дает соотношение эквивалентности (2.16) для <|.-^2(S),
ортогональных функциям g^3?2(S) из (2.17)', а это
вместе с условиями согласованности (g, f) = (L*g, u)
дает разрешимость уравнения (2.1) для произвольной
функции / = (<р, /), непрерывной по <р е С'ь (S) относи-
тельно Mlsv

2° Стохастическое волновое уравнение. Обратимся к
гиперболическому уравнению вида

д2и д~и

(2.18)

рассматривая его в нашей общей схеме (2.1), (2.1') с
волновым оператором L = d2/dti — d2/dt%, Р простран-
стве ST = 22(Т), которая в случае гауссовского белого
шума / = т] в области Т ^R2 задает случайное поле
к = S типа «броуновского листа» (см. (1.12), (1.12)').

При описании всех возможных граничных условий*)
для этого уравнения в области S Т в классе решений
и е W (5) пам удобнее обратиться к нему в форме
(1.12), получающейся из (2.18) поворотом координатных
осей на 45°. Для получающегося таким образом диффе-
ренциального оператора

L = d2ldtx д12
в пространстве	мы в целях упрощения обо-

*) Интерес к граничным условиям для уравнения (2.18) может
возникнуть, скажем, при рассмотрении известной нам задачи про-
гнозирования, которая в случае «броуновского листа» привлекала
внимание многих исследователей — см., например, D а 1 a n g R. С.,
Russo F. Prediction Problem for the Brownian Sheet (preprint).
значений возьмем

Т = (0, °°)Х(0, °°).

Как мы знаем, общие граничные условия типа (2.10)
определяются выбором соответствующего Х+(Г)^АГ(Г)
в граничном пространстве А (Г) всех обобщенных проб-
ных х е X с носителями supp х s Г па границе Г = dS,
представимых как x = L*g с помощью g	удов-

летворяющих дифференциальному уравнению (2.9) с опе-
ратором L* = d2/dti dt2,

д'2 -g = Q
dtl dt2

в области Т\Г = 5 U S+.

Всякое обобщенное решение g^S?2(T) этого урав-
нения как функция g = g(t) переменного Z = (tj. t2) в Т
локально описывается формулой

g(i) = gi(ii) + g2(i2),	(2.19)

точнее, такой вид имеет общее решение в каждом пря-
моугольнике «1 < ii < bi, a2<.t2< Ъ2. В самом деле,
при всех <( е (а2, Ь2) обобщенная производная функ-
ции

J ф' (Q g (*r h) ^2 е ^2 («1, &i)
на интервале а\ < tt < bi равна 0 и
j ф' (t^gltj, t2)dt2 = с
есть постоянная с = с(<р'); при почти каждом t\ из орто-
гонального разложения

g(t\, t2) = gi(ti) + g2(ti, i2)

функции g(ti, t2)ez 3?2(a2, b2) с постоянной gi(^i) и про-
екцией gz(ti, t2) на замыкание в ^2(a2, b2) всех произ-
водных <p'(i2) получим

J ф' (*2) g-2 (^» i2) dt2 = c (Ф')> Ф e co («Р ft2),
что однозначно определяет одну и ту же функцию
g2(ii, i2) = ^2(i2), и в итоге мы получаем формулу (2.19).

Примером здесь могут служить индикаторные функ-
ции g = l(o,s1)x(o,s2), представимые как g = 1(O(S1) (ii) в
полосе (0, °°)Х(0, s2) иg ~ l(o,s2)(i2) в полосе (0, «1)Х
Х(0, °о); они дают пробные дельта-функции

я = Л*£ = 6(г-з)	(2.20)
в области Т,

S1

(ф, х) = (Л*ф, g) = j J <f dt = Ф (s). Ф e с (Г),
0 0	12

— в частности, они дают граничные хеХ(Г) в точ-
ках .s‘ е Г границы Г = dS.

Допустим, часть границы представляет гладкую кри-
вую у s Г, переменное s = (fi,	па которой может

быть описано, скажем, уравнением

0 = 7(0),	«1 < 0 <

Используя функцию g 2\(7'), отличную от 0 лишь в
полосе «1 < 0 < &i под кривой 7, где она взята как
g — g(ti) в качестве граничного х = L*g Х(Г) получим
х = (ф, х')= (£*ф, g) =

I _^L_

J dt2

ф (0, t2) dt2

bl

= J g<di) [~f^ Ф (<p T (0))] dt.. ф S С” (Г).

°i	1

Непосредственно видно, что мы имеем здесь обобщенную
функцию вида

J х ($) ку- б (f — 5)1 ds
у 1 1 J

(2.20')

— распределенную по •' £ Г производную
б (t — s) дельта-функций в граничных точках se’j

Отметим, что в случае отрезка прямой y(ti)=c гранич-
ные теА’(Г) вида (2.20)' ничего существенного в до-
бавление к дельта-функциям (2.20) не вносят, поскольку
здесь при индикаторных функциях g(t.) = 1(0 ^) получа-
ется, что

х = J ±-b(t - 5)&! = 6(f - 5) - б (f - 5°)
есть просто разность дельта-функции в граничных точках
S = («1, с), S° = («1, с).

Аналогично, если переменное s = (t>, h)^^ допускает
представление

0 = у(0>),	a2<t2<b2,

то на части границы мы имеем в качестве обобщен-
ных пробных функций граничные геХ(Г) вида

х = J a; (s) Г^- 6 (t— s) ds.	(2.20)*

? I 2	J

Пусть кривая	не содержит прямолинейных

участков вида у(О) = С1 или "((^2) = С2, которые представ-
ляют характеристические направления для оператора
L = d2/dti dt2; скажем точнее, пусть есть участок
границы, который одновременно может быть описан как
уравнением t2 = ^(ti), так и уравнением ti = \(ti), и на
нем одновременно имеются распределенные производные
(2.20)' и (2.20)". Тогда на имеются граничные
пробные х^Х(Г) общего вида

ж = Jx(.s)[-^-6(Z —s)] ds,
v

т. е. типа распределенных производных

6 (t — s) п о л ю б о м у направлению I (в частности, по
нормали) в граничных точках s е у.

Оказывается, что для кусочно гладкой границы Г =
= DS, представимой в виде объединения такого рода глад-
ких кривых 7, вместе с дельта-функциями (2.20) гранич-
ные геХ(Г) вида (2.20)', (2.20)" образуют полную
систему в граничном пространстве Х(Г).

Поясним это сначала на примере прямоугольной об-
ласти 5 = (й1, Ь1)Х(Я2, Ъ2), когда полной является си-
стема дельта-функций (2.20)—как уже фактически от-
мечалось, в этом случае граничные (2.20)' на отрезках
ч(^)==а2, Ь2 и граничные (2.20)" на отрезках 7(^2) =
= «1, bi ничего существенного не добавляют. Обратив-
шись к детерминированным функциям и е И-' с
их общим представлением

Ч Ч

U(t) = ^fdt, f^3?2(T),	(2-21)

6 о
чения u(ti, а2), а\

Рис. 1

рассмотрим в S граничные условия типа А’+(Г), взяв в
качестве х^Х+(Г) дельта-функции x = 8(t— s) на от-
резках у(^) = а2 и "f(f2) = «i, задающие граничные ;;на-

: bi, и u(ai, tz), аг ts b2. От-
метим здесь Х+ (Г) s А, (Г),
поскольку взятые нами дельта-
функции х — 6 (t — s) получа-
ются как

а: = L*g,

g =	-2*2 ($ )

с индикаторами прямоугольни-
ков (0, Si)X(0, s2) из дополни-
тельной к S области S+ — Т\ [SJ
(см. по этому поводу замечание
к (2.9)). При произвольно
условиях (2.10) выбранного на-

ми типа А+ (Г) s Xq (Г) наше уравнение с произвольным
]^2?г($) имеет единственное решение u^W (S), опре-
деляемое, как видно из рис. 1, выражением

заданных граничных

и

(1)	= и(а1ч t2) + и (t±, а2) — и (щ,

й2) + j f f dt,

t^S.

Это означает, что А+(Г) составляет полную систе-
му в ортогональном дополнении А^ (Г) к соответствую-
щему Х~(Г) в граничном пространстве А (Г). Восполь-
зуемся теперь тем обстоятельством, что Х~(Г) играет
роль граничного подпространства типа А^(Г+) по отно-
шению к дополнительной области 5+ с границей Г4’, где
лишь на части Г s Г+ имеются отличные от 0 граничные
А(Г+).

Возьмем граничные же А-(Г), получающиеся как

Х = (ai’Sl)X (“2>S2)

С ПОМОЩЬЮ индикаторов прямоугольников (щ,81)Х («2- 8г)
с ai^Sts^bi, s2=b2 и si = bi, «2^ s2^b2—они пред-
ставляют собой «вторые разности» дельта-функций в
вершинах соответствующего прямоугольника, задавая
граничные значения вида

w(8i, b2)—u{ai, b2)—u(si, a2) + u(a.i, a2),
u{bi, s2)—u(bi, a2)—u(a\, s2)+u(ai, a2).
Рассмотрим в дополнительной области 5+ граничные
условия, задающие с помощью взятых	ука-

занные выше граничные значения. Легко видеть, что
наше уравнение с произвольным	в об-

ласти £+ при произвольно заданных на границе
Г+ э Г граничных условиях типа (2.10) с выбранными

нами граничными яеХ'(Г) имеет единственное реше-
ние и е IV (S+) — скажем, в указанном на рис. 2 случае
с «1 = t\ оно определяется как

и (t)= \ ) f dt + [и (sj, b2) — и (av b2) — и (sp а,) + и (ar щ)],

где интеграл от данной в уравнении функции f 3?2{$+)
берется по области в 5+, получающейся из прямоуголь-
ника (0, li)X(0, t2) выбрасыванием прямоугольника
[«1, li] X [а2, й2]. Это означает, что выбранные нами гра-
ничные а:еХ_(Г) составляют полную систему в
граничном подпространстве Х_(Г), и в итоге мы видим,
что дельта-функции x = 8(t — s), №Г, образуют полную
систему в граничном пространстве

Х(Г) = Х-(Г) ©Х0+(Г).

Совершенно аналогичные соображения с использо-
ванием элементарных приемов интегрирования по час-
тям позволяют описать граничные подпространства
Х~ (Г),	(Г) и в случае общего вида области S с ку-

сочно гладкой границей Г. Скажем, взяв выпуклую об-
ласть (на рис. 3 она взята ограниченной), будем иметь
Граничные пробные геХТ(Г) вида (2.20) на участке
•у = (1) — (2) — (3) и вида (2.20)' на участке у =
= (2)— (1) — (4), представляющие собой распределенные
производные — (6 (/ — .s')) и — (6 (£ — «)) дельта-
функций; понятно, что на общем участке "(=(1)—(2)
мы имеем распределенные производные (6 (I — s))
по любому направлению—в частности, по нормали (на
рис. 3 направления производных схематично указаны
стрелками). Кроме того, на участке ^=(1) — (2) мы
имеем граничные пробные а" £	(Г) вида дельта-функ-

ций d(t — s) в отдельных точках s е "f, которые получа-
ются как х = L*g с помощью индикаторных функций

Взяв в качестве Х~ (Г) s Xj (Г) все эти граничные х,
легко убедиться, что при произвольно заданных гранич-
ных условиях (2.10) с так выбранным типом Х+(Г)
наше уравнение с произвольной правой частью
имеет единственное решение W (5), и это означает,
что указанная совокупность Х+(Г) S Xj (Г) гранич-
ных пробных функций составляет полную систему в гра-
ничном подпространстве Х^ (Г).

Остановимся подробнее на том, как уравнение с дан-
ной в области S функцией	вместе с граничными

условиями (2.10) выбранного нами типа Х+(Т) опреде-
ляют решение и (S). Из общего интегрального пред-
ставления (2.21) для детерминированных функций
и е W видно, что при почти каждом в отдельности ti, t-i
имеются производные

4
и (t) = | / dt.,,	и (0 = f / dtt,

1 о	2 о

которые фактически и задаются в наших граничных ус-
ловиях — скажем, с помощью граничных пробных х «=
еХ+(Г) в схеме на рис. 3 непосредственно задается


на участке у = (1) — (2) — (3) и

*2

J йГ u(y(t2),t2)dt2,
% 2

па участке у=(2)—(1) — (4). Помимо этого на участке
ч=(1) — (2) задаются еще сами значения u(s), s^y.

Рис. 4

Используя интегральное представление (2.21) с данной
нам в области S функцией / е 3?2(Т), получаем

«1	Ч v(S)

j	и (ij, у (И)) dtl = j f dt.ydtr

а± 1	О

И

г2	f2 V(M

j ^~и(т(<2),	= J j fd^dt.,,

а2 1	а2 О

что позволяет определить

Ч

и (t) = J | / dt + j и (iv у (И)) dt± + и (з)
si 1

согласно рис. 4, а и

t2

u(t)=\(fdt+\-£-u (у (i2), i2) dt.2 + и (s)

согласно рис. 4, б, где в обоих случаях двойной интеграл
берется по заштрихованной области. Таким образом
определяется u(t) при всех t в заштрихованной на
рис. 4, в области, и для оставшихся t S можно опре-
делить u(t) аналогичным, столь же элементарным прие-
мом, что мы и предоставляем сделать читателю.

Обратимся к граничному подпространству А" (Г).
Возьмем содержащиеся в нем пробные х = L*g с g <=
^^2(5) вида g = g(t}) и g = g(h) — они дают соответ-
ственно

bi

х = У" (^)	6	—-£г6 —ds^ (2-22>

1	3

при «“=(«],	на кривой у-= (1) — (2) — (3) т

£+ = ($1, 7+(si)) на кривой у+ = (1) — (4) — (3) и

Ь2

•г' = J g (ti) 6 (Z — s+) —-^-8 (t — s-)j ds2 (2.22')
ал

rtpii s_ = ('Y“(s2), S2) на кривой 7~=(2) — (1)—(4).	=

= (Y+(s2), s2) на кривой y+ = (2) — (3) — (4). Скажем,
С ПОМОЩЬЮ весовых функций g = 1(а ,t ) И g = 1(о2Д.,' ЭТИ
граничные пробные же А-(Г) определяют соответст-
венно

Ч	-

У [йг и - 4*и (Si1 (Si)]dSx=

°i 1	1

4 v+co

=	jdt2ds^

ni т-СО

и

У [4u ~ttu dSi =

°2L	2	2

~	/ dt-^ ds2, h2 ^2’

“2 V“(»2)

где двойные интегралы берутся по областям, заштрихо-
ванным на схематичных рис. 5, а и б и определяются
правой частью / нашего уравнения в области S. Задав
с помощью взятых .геА'ДГ) граничные условия для
рассматриваемого уравнения в дополнительно й
области 5+ = Т\ [S'], легко убедиться, что всегда имеет-
ся единственное решение	и это означает,

Рис. 5

что взятые нами граничные ,теА^(Г) вида (2.22),
(2.22)' образуют полную систему в граничном подпрост-
ранстве А'-(Г). Для ясности укажем, например, что,
согласно рис. 5, а

Ч

U ® J J fdt + J 11 т+ ~ (S1’ dS1'
°i

где двойной интеграл берется по входящему в 5+ допол-
нению к заштрихованной области в прямоугольнике
(О, Л)Х(0, h).

Еще раз отметим, что если для детерминирован-
н ы х функций и е W обращение к обобщенным пробным
тед(Г) на границе Г = dS дает лишь удобный способ
описания соответствующих граничных условий, то для
общих и е W это едва ли не единственный способ са-
мого определения граничных значений (ж, и)
обобщенных случайных и = (ср, и), <ре Со (Т).
Случайные и е W типа винеровского случайного поля
(броуновского листа), хотя и могут быть представлены
как функции u = u(t) переменного (. еТ) являются нигде
не дифференцируемыми, и их граничные значе-
ния вида *)

(ж, к) = J х (s)	и (s) ds

V

с соответствующими производными на £ Г можно лишь
интерпретировать как значения определенной на Г с по-
мощью «пробных» x(s), se['. обобщенной производной
д , .	„

и \s), «к | ; например, винеровское поле и = g как
функция £ = £(1) в гильбертовом пространстве случай-
ных величин Н = ^2(й) удовлетворяет условию

! г+ / Липшица лишь с показателем

I	1/2, точнее,

I	/	!ig(O-U«)"H = ^lUi)-Us)l2)1/2 =

л/	=(ш ki — «11 + C2U2 — «al — 

5b	- lil - Sil 112-S2l),/2r

1	X\	где ci = max(s2, i2)> c2 = max(si, ti).

i	Вернувшись к волновому уравне-

)	\ нию (2.18), можно было бы рассмот-

ри g реть для случайных полей
и = W, скажем, хорошо известные в
теории дифференциальных уравнений граничные задачи;
например, задачу Гурса для области S Т, образованной
характеристиками Z-, 1+ (как схематично указано на
рис. 6), когда задаются граничные условия типа

u(s) = u+(s), s е= Г,
плп первую краевую задачу для цилиндрической области
с начальными при = i? значениями

и (s) = и+ 7), •^-u(s) = ^|-w+(.s), sey = (l)-(2).
включающими обобщенные нормальные производные,
и граничными условиями

u(s) = u+(s), 8Еу = (1)-(4), (2) —(3)

*) То, что граничные значения броуновского листа на грани-
це Г не исчерпываются значениями B(t), t е Г, было обнаружено
при исследовании марковского свойства случайного поля g — см.
Розанов ,Ю. А. Марковские случайные поля.— М.: Наука, 1981.
Укажем здесь на возможность определения обобщенных нормаль-
ных производных непосредственно с помощью предельного пере-
хода — см., например, Russo.
(рис. 7), пли аналогичную вторую краевую задачу с теми
же начальными данными на участке границы у =(1) — (2)
и граничными условиями

А и (s) = ± и+ (>•), а е у = (1) - (4), (2) - (3)

(рис. 8).

Напомним, что существование и единственность реше-
ния тех или иных граничных задач в классе детерми-
нированных функций и <= W (5)для соответствующих

Рис. 7

граничных условий, выраженных в форме (2.10) с по-
мощью граничных пробных жеХ+(Г), означает их пол-
ноту и согласованность с уравнением, что дает существо-
вание единственного решения ueW(S) стохастиче-
ского уравнения (в рассматриваемом случае — уравне-
ния (2.18)) с произвольной обобщенной случай-
ной функцией / = (ф, /), непрерывной по ф е С”(S)
относительно нормы || ф = || ф , и произвольно задан-
ных обобщенных граничных условиях типа Х+(Г)— ска-
жем, с произвольной обобщенной случайной
функцией и+ е W (5).

Обратившись к рассматриваемому уравнению в формн
(2.19), остановимся на детерминированном случае сме-
шанной краевой задачи в области S Т общего вида,
схематично изображенной на рис. 8 (к этому виду отно-
сится и цилиндрическая область S, рассматриваемая в
классических задачах .математической физики). Отметим,
что на рис. 8 графически представлена вторая смешан-
ная задача с «косыми» производными (соответствен-
ди ди

Н0 dt^' дЦ

граничными условиями типа (Г) на границе Г = dS.

, в которой мы имеем дело с внешними
Рассмотрим общую смешанную задачу, в которой гра-
ничные условия задают на участке границы 7=(,1)— (2)

и = 11 +.

ди

дп

ди"~
дп

(2.23)

— саму функцию u^W и ее производную по нека-
сательному направлению, а на участках границы
7 = (1)— (4), 7= (2) — (3) задают

। ди	,	ди	/поо\^

с, и + с0 -z-~ — CiU^ 4- Со —:—.	(2.2о)

1	- дп 1	1	- дп	v z

Используем для и е IK представление (2.21). Попят-
но, что по самой функции вдоль кривой 7=(1)— (2)
определяется ее производная в касательном направле-
нии I = a\t\ + о^г,

ди ди ди
,, — ОС,	—J— ОС п	.

<?Z	1 dt 2 at.

что, вместе с некасательной производной
ди л ди;	л ди

= Pi + Р'2 щу
определяет на у производные

S2	Л

> 00 = f /	t2)dt2.	(S) = J f (Zr s2) dtt,

1 о	2 о

«=(«!, S2)s V.

На участке границы 7 = (1) — (4) с точками =
= (sj, Хг”), лежащими непосредственно над кривой 7 =
= (1) — (2), по данной в области S правой части уравне-
ния определяется интеграл

s2

У /(.<?!, t2)dt2,

'S2

а вместе с ним и производная

4

4r^+) = ,i /(S132)^2-

1	О
Допустим, мы имеем дело со второй краевой задачей,
когда на этом же участке границы f = (l) — (4) из гра-
ничных условий нам известна производная

тогда при

определяется также



<<s+)"iyps+)-P<<s+)]-

Аналогичным образом на участке границы у =
= (2) — (3) с точками s+ = (sf, .s2), лежащими непо-
средственно правее кривой 7=(1) — (2), по заданной в
граничных условиях

ди о ди , о ди

при £1¥=0 определяется производная
ди , , .	1 Гбм . , .	„ ди ,

Легко видеть, что, продолжая идти по этому пути, мы
можем по данной на участках 7=(1) — (4), ^ = (2) —(3)
.. ди

производной определить

(4

sey = (2)-(3),

(s),

se ? = (!)-(4).

(2.23)’

„	ди ди	ди

Эти данные -г~, чт- вместе с и, — на участке * ==
”	ot2	on v	1

= (1)—(2) определяют внешние граничные условия (см.
рис. 4), при произвольном задании которых, как мы
знаем, в области S s Т имеется единственное решение
Очевидно, оно будет также единственным реше-
нием первоначальной задачи с данной на 7 = (1) — (4),
у—(2) — (3) производной -----поясним, на том пути,

„	ди	ди

который мы ранее проделали от до полученных ,
ди

-Гт-, мы от них придем к первоначальной
0t2

ди	ди^

дп	дп

Аналогичным образом можно рассмотреть первую крае-
вую задачу с данной на участках 7 = (1)—(4).	=

= (2) — (3) функцией

и = и+.

Чтобы использовать указанный нами путь, здесь нужно
лишь обратиться к производной iro касательная j-
направлению I = aiti + 0^2

по которой при известных начальных значениях в точ-
ках (1), (2) определяется сама функция и = и+; чтобы
прийти к внешним граничным условиям (2.23)", мы
должны иметь

си г О

на участке у=(1) — (4) п

оц О

на участке 7 = (2) — (3). Лишь несколько сложнее ука-
занный путь будет в случае общей граничной задачи
(2.23), (2.23)'. Скажем, на участке 7=(1)—(4), распо-
лагая производной , из граничных условий (2.23)г

мы можем вдоль кривой s е v определить

fdu ,	Рэ ди

а, —— as + а2 — а, ——

2	dt	а, “ dt

(1) 2 2 2

и, решая возникающее здесь относительно функции

( du 7

(1) "

дифференциальное уравнение, определить затем произ-
водную

^-(s), se ? = (!) — (4);
аналогично определяется

^-(4 SeT = (2)-(3),

и таким образом, мы от общей задачи с граничными ус-
ловиями (2.23), (2.23)' приходим к равносильной зада-
че с внешними граничными условиями (2.23), (2.23)",
для которой, как мы уже знаем, при произвольном вы-
боре граничных данных (при произвольном и+е=1У)
имеется единственное в области S^T решение us И'.

Подведем итог сказанному, обратившись к волноно-
вому уравнению (2.18) в области S, рассмотренного с
граничными условиями (2.23), (2.23)', где в (2.23)' на-
„ ди

правление п для производной отлично от характер
ристических направлении ti = — t2 па участке границы
у =. 1) — (4) и от ti = t2 на участке границы у = (2) — (3).

Теорема. Общая стохастическая граничная задача
со смешанными граничными условиями типа (2.23),
(2.2 У при их произвольном задании (с u+sW) имеет
единственное решение us W.

Как пример приведем стохастическую вто-
р у зэ смешанную задачу, в которой граничные ус-
ловия определяются с помощью винеровского поля и+ е
е W (являющегося независимым от источника белого
шума / = 1] в области S) и на участках границы у=
= (i) — (4). (2) — (3) задаются обобщенные производные

ди ди+
on дп

в характеристических направлениях п\ it = t2 на у =
= (!) — (4) и п: t\ = —t2 на у=(2) —(3); решение такой
граничной задачи в области S дает нам броуновский
лист ве1Г (точнее, целый броуновский лист
в области Т э S получается склейкой решения в S с
частью данного броуновского листа и+ s W вне S).

3= Стохастические эллиптические и параболические
уравнения. Для иллюстрации предложенного нами обще-
го подхода к обобщенным граничным условиям в его
связи с известными эллиптическими граничными
задачами теории дифференциальных уравнений можно
обратится, например, к уравнению (2.1) с оператором
Лапласа L = А, рассматривая его в области S s Т с
достаточно хорошей границей.
Заменив Л на ^> = —Л, обратимся сначала к нашей
схеме с оператором £ = ^*^0 в отвечающем ему про-
странстве 9~ - IF == IF (Т), которое получается замыка-
нием Со (Т) относительно нормы

= (ф,

О
и локально совпадает с Соболевским ИЛдТ). В этой
схеме для у равнения Пуассона.

\u = f	(2.24)

в ограниченной области S с замыканием [»S'| — 7'
пробными функциями будут обобщенные x^X(S) из
Соболевского пространства X (S) =	(S), которое обра-

зуется всеми х, supp х = [S], из сопряженного к JF =
= 11’(7’) пространства X.

Соответствующий класс ие W (5) = W( (S) обоб-
щенных функций и = (х, и) определяется условием не-
прерывности по х е (5) относительно Соболевской
нормы Ид-Их = llrcIL] в X(S), что позволяет по непрерыв-
ности продолжить и = {х, и} на все обобщенные пробные
х е X (.S’) = [С™ (5)]. Для любой обобщенной функ-
ции / — (ср,/), непрерывной по ср е (S) относительно
соболевской нормы 11ф!1тг == lltpllj, уравнение (2.24) явля-
ется разрешимым — оно имеет решение и е W(A’) —
= W|(S). Его граничные значения (х, и), геХ(Г),
на границе Г = dS являются предельными для
(ср, и) с фбЕС~(5), ф —.г в X (S) = [С(Г (¥)]• Об-
общенные пробные ге.\'(Г) вида

х — (ф. х) ----- f ср (,s-) х (,s‘) ds, ф е (S).
образуют полную систему в граничном пространст-
ве Х(Г), задавая след обобщенных функций не
е W (S) = Wg (5), который в случае детерминирован-
ных (скалярных) и е IF (S') = IFJ (5) представим со-
ответствующими функциями u(s), se Г, из ^г(5) с

f и (.S-) х (.s) ds ~ (и, х) = (х, и)
г

— см. по этому поводу § 4 гл. I.

Взяв в качестве ,¥+ (Г) полную систему проб-
ных .глА'(Г) указанного выше вида, в граничных уело-
виях (2.10) типа .\+(Г) мы задаем не что иное, как
след интересующего нас решения H.eW(5). Задание
граничных условии (2.10) типа Л+(Г) с помощью надле-
жащего w+eW(S) выражает требование того, чтобы
граничное поведение искомого решения (tsW(S) было
таким же. как у взятого эталона u+eW(5) (точнее,
чтобы решение имело на границе Г = dS такой же след,
как п эталонная функция н+). Граничные условия (2.10),
означающие, что разность и — и+ аннулирует подпрост-
ранство Х(Г)£Х(5), для детерминированных
функций и. u+eW(S) равносильны тому, что

и _ е w (S) - W] (5) [СГ (5)].

В целом можно сказать, что рассматриваемое уравнение
(2.24) с граничными условиями (2.10) составляют обоб-
щенную задачу Дирихле, которая при произвольной пра-
вой части в (2.24) и произвольно заданных полных гра-
ничных условиях (2.10) имеет единственное решение п е
<= W (5) = Wj (S). □

Напомним здесь, что обычно задача Дирихле для эл-
липтического оператора	порядка 2р в соболев-

ском пространстве W (S) — W? (5) определяется зада-
нием в граничных условиях полного следа искомой функ-
ции не1Г(£), включающего след всех се нормальных
производных д”и, к = 0, ..., р — 1. Аналогичная обобщен-
ная задача Дирихле запускает постановку в вашей общей
схеме и для обобщенных случайных функций и s
eW(S). Как мы знаем, задающие полный след гранич-
ные условия являются полными, и, согласно нашей
общей теореме о существовании и единственности реше-
ния уравнения (2.1) в классе W(5), можно сформули-
ровать следующее предложение.

Теорема. Обобщенная задача Дирихле для уравне-
ния (2.1) с оператором L = &>'^0 порядка 2р имеет
единственное решение и е W (А) ----- W.i’ (S) при любой
правой части j =	f), непрерывной по

относительно - = H(pllp в W (5) — Ищ (>?). и любой
Функции и+ eW(S), задающей полный след
dhu — dhu+, к = 0, .... р — 1,

на границе Г = dS области S.

Это предложение применительно к д е т е р м и и и р о-
ванным функциям в Соболевском W% (S) с условием
150

г. i. к. дифференциальные уравнения

Дирихле в форме

и	ИЗД [6- (5)]

дает важный и хорошо известный пример теоремы диф-
ференциальных уравнений в мастных производных. □

Обратимся теперь к уравнению (2.24) в нашей схе-
ме с оператором Л = Л в пространстве = 2: ^(Т), ска-
жем. взяв Т = R'1. В ограниченной области S пробными
для уравнения (2.24) функциями будут обобщенные х е
eX(S) из Соболевского пространства X (5) — Hz7" (5),
образованного всеми х. supp х е [S], из пространства Л,
сопряженного к соответствующему W = П’ (7?''). которое
получается замыканием функций (f CjJ3 ( 7?rf) относи-
тельно нормы

II (fl) ж =?^ф||;3г = II Аср 11g,

2

и локально представляет собой пространство типа
Wl. Соответствующий класс и е W (5) == W2 («S’) опре-
деляется условием непрерывности обобщенных функций
и = (х. и) ио х е (5) относительно Соболевской нор-
мы у = |ЫЬ2 в X(«S’), что позволяет по непрерывности
продолжить и = (х, и) на все обобщенные пробные
1еХ(6>[С0”(5)].

Как и для всякого дифференциального оператора с
постоянными коэффициентами, L* = А является невы-
рожденным на 9~ = S^R'1), так что уравнение (2.24)
разрешимо в классе и е W2 (S) для любой обобщенной
функции / = (<р, /), непрерывной по фен С“ (5) относи-
тельно нормы

||Ф||.5Г =^11Ф По-

граничное пространство Х(Г) всех обобщенных проб-
ных ж, supp х — Г (с носителем па границе Г = dS) мо-
жет быть описано с помощью составляющих в нем
полную систем у обобщенных функций ж=((р. х),
г[ е Co(Rd), вида

х = f х (s) q> ds, ( х (s) <9ф ds

г	г	,
(с нормальными производными Лр); эти гра-
ничные пробные аге.У(Г) определяют распределенные
на границе Г функции и, ди как

(.г. и) — | х (.<;) и dx. | х (з) ди ds {и. .< )
г	г

с соответствующими «весовыми» (пли «пробными», если
хотите) функциями x(s), «еГ, задавая полный след
и, ди обобщенных u£Wj(5) на Г (см. § 4 гл. I).

Граничное -¥_(Г)^АДГ), где значения (х. и). х
еА'(Г), любого решения и е W:2 (S) уравнения (2.24)
определяются, согласно (2.11), самим уравнением, обра-
зовано всеми пробными x = L*g (L* = A) с гармони-
ческими, согласно (2.12) функциями	в об-

ласти S, и, применяя формулу Грина, их можно описать
как обобщенные функции вида

.г = (ср, а-) = Г (ср dg — g <?ф). ср е С„ (Г),
г

а точнее,

(ср, х) = (Лер, ") = lim j* Acpg — lim (ср dg — рдц).

«Г	гГ

где указанные интегралы появляются при применении
формулы Грина к надлежаще аппроксимирующим об-
ластям АД S $ с границами ГД ->• Г.

Возьмем в (2.10) граничные условия тина Л'+(Г) с;
системой пробных ге!+(Г), определяющих след самих
функций ugeW2(S). Для детерминированных
функций и е 1Г(5) из Соболевского пространства
W (S) ~ 1F-2 (А) уравнение (2.24) с	вместе

с задающими след

n(.s-) = u+(s),

S е Г,

граничными условиями (2.10) дает нам известную зада-
чу Дирихле, относительно которой в теории дифферен-
цированных уравнений имеется, скажем, следующий ре-
зультат:

при однородных граничных условиях (с и+ = 0) для
любой правой части f^S?2 уравнение Пуассона (2.24)
в ограниченной области 5 с гладкой границей Г = dS
имеет единственное решение »е1Г(5) в соболевском
W (S) = Wi (S) *). Как мы знаем, это указывает на
полноту н согласованность условий Дирихле, представ-
ляющих собой граничные условия типа (2.14), и, следо-
вательно, в отношении стохастического уравнения Пуас-
сона (2.24) получается следующее предложение.

Теорема. Для любой обобщенной случайной функ-
ции / = (ф. /), непрерывной по <р е (5) относительно
IIФ Ils’. ’ пРи произвольно заданных стохастических гра-
ничных условиях Дирихле

и = и+

на границе Г = dS с любым u+^WlfS) уравнение
(2.24) имеет единственное решение ue IFf(S). □

Возьмем еще в (2.10) граничные условия другого ти-
па Х+(Г) с системой пробных .геА'+(Г), задающих след

ди (s) = ди+ (s),	s е Г,

нормальных производных ди для функций u<^Wi(S),
а также, скажем,

) и = [ и+.
г г

Необходимость согласования их с уравнением (2.24)
диктует здесь определенное требование на (х, и) при
х = L*g е А'+(Г) П Х_(Г) с индикатором g = ls е S>2{S)
области S.

х = (ср, х) = — [ <9ф, <f еС” (Т),
г

при Дп = / задающим граничное значение

(х, и) = (и, х) = — \ ди — (ls. /);

г

*) Граница Г = 9S области Ss/l1 предполагается гладкой
класса С2, и возникающее в нашей схеме W(S) как сужение про-
странства И7® (l?d) на S совпадает с Соболевским пространством
W%(S) в его общепринятом понимании (см., например, Михай-
лов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производ-
ных.— М.: Наука, 1983, с. 240, 139).
интеграл от нормальной производной ди здесь можно по-
нимать буквально в случае детерминированных
и е= Wl (5) со с ледом du = du(s), s е Г, из ^2(1),
когда

— \ ди = [ f (i) ds
г s

с &и е ^2(5).

В детерминированном случае поставленные
здесь граничные условия составляют для уравнений
Пуассона хорошо известную в теории дифференциаль-
ных уравнений задачу Неймана, относительно которой
имеет место следующий результат*): при однородных
граничных условиях (с и+ = 0) для любой правой части
\f(t)dt~Q, уравнение Пуассона (2.24) в ог-
s

раниченной области S с гладкой границей Г = dS имеет
единственное решение и ^W2(S). Как следствие в от-
ношении взятой нами обобщенной задачи Неймана для
стохастического уравнения Пуассона получается следую-
щее предложение. .

Теорема. Для любой обобщенной случайной функ-
ции / = (ф, /), непрерывной по	относительно

||ф|^ , при произвольно заданных условиях Неймана

ди = ди+, \и— \ н+
г г

на- границе Г = dS с любым и+ eW|(S’), I ди+ =

г	S

уравнение (2.24) имеет единственное решение
ut=W%(S).

Нужно еще раз здесь отметить, что случайные и е
eW(S) из класса

W(S) = W2(S), W*(S),

рассматриваемые как обобщенные функции со значения-
ми в гильбертовом пространстве Н =• ^2^) на вероят-
ностном Q, по своим локальным свойствам весьма отли-
чаются от детерминированных функций, образующих

') См. примечание па с. 151.
соответствующий подкласс

И7 (5) — И7* (5), ГГ;(5).

Скажем, с л у чайные и еW(S) в каждом случае
« е Q представлены реализациями, которые, как мы
знаем, описываются функциями и е W7q (5) с харак-
терным для них показателем q > d/2 — 1 при W(5)
= Wg (5) п q > d/2 — 2 прп W (5) = W» (5). где d —
размерность пространства R^ S — см. по этому поводу
§ 3 гл. 1. Сами iieW(S) как функции со значениями в
гильбертовом	также	сильно отливаются ио

своим локальным свойствам от детерминирован-
ных функций и е 17(5). Скажем, в каком важном
примере, как броуновское движение Леви
§ = g(t), R\ в ограниченной области 5е/?3, пред-
ставляющее функцию K = ^eW?(5). мы имеем для
и = g лишь условие Липшица с показателем 1/2, точнее,

Ш0-5(а)щ = (Е|5(0-ё (s)|V/2 = a|i~Sr. □

Несмотря на уже пе раз отмечавшееся существенное
различие в свойствах с л у ч а и пых функций и е W (5) =
=W^(5)n детерминированных функций соответ-
ствующего Соболевского класса и е W (5) = W% (S), на-
копленный теорией дифференциальных уравнений обшир-
ный материал по различным граничным задачам в Собо-
левских пространствах для эллиптических и параболиче-
ских уравнений можно с успехом применить к общему
стохастическому уравнению (2.1), когда в рамках нашей
схемы с подходящим Т => [5] в качестве обобщенных проб-
ных функций x^X(S) для этого уравнения в об-
ласти S мы имеем соответствующее соболевское про-
странство типа

А’ (5) ПТ" (5).

Например, это может быть соболевское X (5) Н ., '
характеризуемое одним показателем р О, что в нашей
схеме получается для уравнения (2.1) с эллиптическим
оператором L=^5^:0 порядка 2р в отвечающем ему
ST = W, или для общего эллиптическою оператора L по-
рядка р. в пространстве £'—£2, или, скажем, это может
быть А’(5) == ГГ’Т'/Л') с мультппоказателем p=(l, 1) для
параболического уравнения (2.1)

$ + Л - /	(2.25)

в пространстве ^' = ^’2 с производной д/дг по временно-
му переменному г > г0 и эллиптическим оператором А О
порядка l = 2q, действующим по группе s е Rd~x про-
странственных переменных в i = (s, г).

Используя наше общее вспомогательное предложение,
устанавливающее полноту и согласованность граничных
условий на основе разрешимости соответствующей
детерминированной граничной задачи, мы можем
установить разрешимость аналогичной стохастичес-
ской граничной задачи.

К такого рода граничным задачам для параболическо-
го уравнения (2.25) с «ей' (5) =	(S) можно от-

нести, например, задачу Коши в полупространстве 5 --
= Rd~x X (г0, 00) с условиями Коши, в начальный момент
«времени» г = го задающими (обобщенный) след

и — и+

с помощью надлежащего эталона, в качестве которого
можно взять произвольное и+ е W (S); сюда же мож-
но отнести первую краевую задачу в цилиндрической об-
ласти S = G X (го, п) с заданным следом

и — и+

при г = го на основании G^R'~X цилиндра S и (обобщен-
ным) следом

dhu = дки+, к = 0, ..., q. — 1,
самой функции и ее нормальных производных на боковой
поверхности этого цилиндра (напомним, что 2q = I есть
порядок эллиптического оператора А в (2.25)).

Отметим, что решение и = I задачи Коши дает
решение соответствующего стохастического уравнения Ито

db + Airdr = йщ,	(2.26)

как об этом уже говорилось при рассмотрении (1.18), но
здесь уже при произвольных начальных усло-
виях
— это решение и—с представляется следом §г = иг,
функции и = t, е (5) г > г0, (см. по этому поводу
(4.20)-(4.23) гл. I).

Добавим, что, рассматривая стохастическое уравнение
Ито со случайным процессом |г, г > го. скажем, в фазо-
вом пространстве ^2(^), для линейного уравнения типа
(2.26) в пашей схеме можно поставить и первую
краевую задачу, обратившись к соответствующему
параболическому уравнению (2.25) со случайным источ-
ником /, который получается из правой части уравнения
(2.26) с i],e.!?2(6') так же, как это было указано в
примере с уравнением (1.18). Соответствующее we
е W?’1'1 (5") в S = GX(r0, оо) имеет при фиксированном
г след

M;. = s,.eWj(G).

который в области G является функцией с определенным
следом ее самой п ее нормальных производных

дкиг = dklr, k^q—1,
на границе dG, что позволяет в форме первой краевой
задачи поставить граничные условия

о

при г— го на основании G цилиндра S = G Х(го, °°) и
= к = 0,

на его боковой поверхности*).

Покажем еще, как в нашей общей схеме можно ис-
пользовать известные результаты по разрешимости гра-
ничных задач для параболического уравнения (2.25) с
оператором Д = —А,

*) Один из возможных подходов к однородным (нулевым) гра-
ничным условиям для эволюционных стохастических уравнении
сводится к выбору надлежащего функционального пространства
как пространства состоянии описываемого уравнением случайного
процесса — см., например. Г и х м а н II. II. Граничная задача для
стохастического уравнения параболического типа // Укр. мат.
журн.— 1979.— Т. 31, № 5,— С. 483—489 (обзор результатов в этом
направлении можно иаитп в книге Розовский Б. Л. Эволю-
ционные стохастические системы.— М.: Наука, 1983).
Рассмотрим две известные граничные задачи для это-
го уравнения в ограниченном цилиндре 5 = СХ(го, п),
В обеих из них при г = го на основании ци-
линдра 5 задается

в первой смешанной задаче (типа Коши — Дирихле) на
боковой поверхности цилиндра S задается еще

иг = и^,

а во второй смешанной задаче (типа Коши — Неймана) —
нормальная производная

диг = ди?;

уточним, что мы имеем в виду граничные условия, за-
данные с помощью следа функции и+ е W(22,1) (5) и ее
нормальной производной.

В детерминированном случае относительно этих за-
дач известно*), что для любой правой части
при однородных граничных условиях с и+ = 0 имеется
единственное решение uelP (5) = И'’а2’1)(5). Это озна-
чает, что в обеих поставленных задачах граничные ус-
ловия, задающие соответствующую часть полного следа
функций и е Wa2,1) (S), являются в нашей схеме усло-
виями типа (2.14), и мы приходим к следующему пред-
ложению.

Теорема. Стохастические первая и вторая смешан-
ные задачи имеют единственное решение w — £ е
е Wg2’1) (5) для любого стохастического источника.
J = г\, непрерывного по пробным	относи-

тельно ЦфЦ^7 . при произвольных стохастических гранич-
ных условиях с любым и~ е Wj2,1) (5).

Отметим, что обобщенное случайное поле и = кото-
рое возникает как единственное решение weW(S)
уравнения (2.25) в цилиндре S=GX(r0, и) с теми или
иными граничными условиями, может быть продо.тжеш
при	на область GX(r0, °°). На каждом сечении

G X {г} будет след	который может быть описан.

*) См., например, Михаилов В. П. Теория дифференциаль-
ны'- уравнений в частных производных.— 2-е изд.— М.: Наука
1983.
например, с помощью пробных функций ф е б,-” (G)
в области G, соответственно представляя там при каждом
г го обобщенное случайное поле

1г = (ф, U ф е Со (G);

как уже фактически отмечалось ранее, само поле g в
области СХ(го, °°) однозначно определяется по случай-
ному процессу gr, 7'Х/-0,— скажем, при всех про'ных
функциях вида х = ф ® а в прямом произведении G X
Х(го, оо) мы имеем

(ф®а, J) = J «(/•) (ф, gr) dx.

Предположим, что обобщенная случайная функция / = 1)
в правой части (2.25) есть производная случайного про-
цесса ivr, г^го с фазовым состоянием, которое млкет
быть описано как обобщенное случайное поле

ж, = (T, и>), ч =

в области G, точнее,

(ф®а, т|) = — | а' (г) (ф, wr) dr

на полной системе всех пробных функций вида ф ® с: в
GX(r0, оо). Согласно обобщенному дифференциальному
уравнению (2.25), мы имеем тогда

— j а' (г) (ф, sr) dr — J а (г) (Л*ф, gr) dr =

= — [ а‘ < ? ) (ф, uX drr
что при wr = 0 дает нам

(Ч1, 1г) — (ф, Ц) — j Ir) dr = (ф, wr), г rQ.
г»

а это интегральное уравнение определяет указанное в.
(2.26) стохастическое уравнение Ито

c/tr = Atrdr + dwT.

Таким образом, предложенная в (2.25) — (2.26) вероят-
ностная модель дает нам стохастическое уравнение Ито-
с неоднородными стохастическими граничными ус-
ловиями.
§ 3. Однородные уравнения

1° Общий тип разрешимых граничных задач; точ-
ные и приближенные решения. Обратимся к общему од-
нородному уравнению (2.1) с правой частью / == О,

Lu = О	(3.1)

в области 5. при произвольно заданных граничных усло-
виях (2.10) того или иного типа А+(Г),

(х, и} = (х. п+),	гл.\’*(Т).	(3.2)

С помощью выбранной системы граничных пробных
з:еЛт(Г) г. (3.2) задаются значения линейной непре-
рывной по х функции и+ =(х, и+), которая при указан-
ных свойствах линейности и непрерывности в остальном
является произвольной — скажем, можно считать, что
граничные условия (3.2) предписывают для искомого
решения и W(5) такие же граничные значения (ж, и),
х^Х~(Г). как и у произвольно данного эталона и+ е
eW(5). Понятно, что задание в (3.2) линейной непре-
рывной функции (ж, и) = (х, и+) на той или иной систе-
ме j'£l+(F) однозначно определяет значения (ж, п) =
= (х. и+) на всех х из замкнутой линейной оболочки
исходного Л'+(Г), так что, не ограничивая общности,
можно считать А+(Г) подпространством в гра-
ничном пространстве Х(Г) всех обобщенных пробных
х е А (5) с носителями supp ,г £ Г на границе Г = dS
области 5.

Мы уже отмечали, что в функциональном классе
1Г(Д) детерминированных функций общие гра-
ничные условия (3.2) эквивалентным образом могут
быть заданы с помощью граничного оператора £о на
II'’(5) в форме

£о(п-г/+) = 0	(3.2)'

с данным эталоном iz+ е II (S)— для данных в этой фор-
ме граничных условий соответствующее А+(Г) в сопря-
женном пространстве А’(5)=1Г(5)* есть аннулятор ау-
ра оператора Lg в H’(S).

Допустим, что детерминированная гранич-
ная задача (3.1), (3.2) при произвольном «+
e|f(S) имеет единственное решение ие|1'(5).
Это означает, что всякий линейный непрерывный функ-
ционал и—(х, и), равный 0 на jgA*CJ°(5) и про-
изволь но заданный на .геА'т(Т), единственным об-
разом продолжается па все пространство x^X(S), а это
в свою очередь означает,что подпространства

.¥-(5) -\L*C~ (5)]

иГ(Г) образуют прямую сумму

.¥-(5) + ¥’+(Г) = Х(5)	(3.3)

с Х~ (S) —	(5)] ф Х~ (Г), где, согласно ортого-

нальному разложению (2.4), подпространство [&Со° (5)]
ортогонально всему граничному Х(Г), и, следовательно,
-¥“(Г) сА'ДГ) образуют прямую сумму

Х-(Г) + Х+(Г) = Х(Г),

(3.3)'

причем угол 0=^0 между Х~(Г) и -¥+(Г) равен углу меж-
ду X“(S) и Х+(Г). При произвольных граничных усло-
виях тина Х+(Г) с указанным в (3.3) свойством общее
неоднородное уравнение

Jai = f

с произвольным / имеет единственное решение !<eW(S),
определяемое формулой

(ж, M) = (g, /) + (ж+, и+),	x^X(S).	(3.4)

гДе (g, /) = (г, и), (х+, и+) = (х+, и) задают и е W(5)
на компонентах х~ = L*g s X~(S) с g (S)	[с“ (5)]

и гте.\'+(Г) в разложении х = х~Л-х^ произвольного
же X(S)-, очевидно, что первое слагаемое в (3.4) пред-
ставляет общее решение

и = (х, и)~(х~, u) = (g, f),	x^X(S),	(3.5)

неоднородного уравнения с нулевыми граничными усло-
виями типа ¥+(Г), а второе слагаемое — общее решение
и=(х, и) = (х+, и) = (х+, и+),	x^X(S),	(3.6)

однородного уравнения, с произвольными граничными
условиями.

Сформулируем полученный результат.

Теорема. При условии, что однородная детермини-
рованная задача (3.1), (3.2)' имеет единственное реше-
ние, общая стохастическая граничная задача того же ти-
па Х+(Г) также имеет единственное решение ueW(5),
определяемое формулой (3.4).

Отметим, что в нашей схеме для уравнения (2.1),.
(3.1) с оператором L = 5s > 0 на соответствующем прост-
ранстве = Ж, когда Х~ (5) —	(5)] и в пря-

мой сумме (3.3) граничным подпространством Х+(Г)^
еХ(Г) может быть лишь само А (Г) (см. (2.5), (2.6)),.
имеющей единственное решение однородной граничной
задачей типа (3.2), (3.2)' является обобщенная задача
Дирихле с

Х+(Г) = Хо+(Г) = X (Г);	'

в схеме же с общим дифференциальным оператором L в
пространстве 3~ = Д? мы имеем разнообразие граничных
задач типа (3.2), (3.2)', имеющих единственное решение-
при произвольно заданных граничных условиях.

Отметим также, что предложенная выше теорема рас-
пространяется на случай граничных задач общего типа
Х+(Г), когда произвольность граничных условий
тем не менее предполагает их согласованность с
/ = 0—см. (2.13), (2.13)'. Примером здесь может слу-
жить задача Неймана для уравнения Лапласа с
А = Д в ST = Д 2. когда на границе Г = dS произволь-
но задается (обобщенная) нормальная производная

ди дД~
дп дп ’

согласованность которой с / = 0 означает, что

в качестве соответствующего Х+(Г) при представлении1
этих граничных условий в форме (3.2)' можно взять,
систему обобщенных пробных

х — (ср, х) = i х (s)dcpds, <р е СД (Т),
г

из Соболевского X (X) = W^2 (.S’) с системой весовых
функций x(s), s <= Г, полностью определяющих соответст-
вующий след нормальных производных ди на
границе Г = dS области S Т для функций we W(5)
из Соболевского W (5) = X (5)* = W% (S). □
Выбор граничного подпространства Х+(Г) определяет
тип граничных условий (3.2). Поясним еще раз, что мы
имеем в виду, на примере оператора Лапласа L = А в
•пространстве = когда X (S') И’Г2 (S). Т-Г (S’) =
= lk'5(S) есть соболевские пространства — здесь задачи
.Дирихле, Неймана или смешанная задача получаются
при выборе в (3.2) соответствующего Х+(Г).

От одного типа граничных условий всегда .можно пе-
рейти к другому. Именно, по заданным граничным усло-
виям (3.2) типа А+(Г)---А'1 (Г) можно непосредствен-
но определить соответствующие условия любого другого
тина Ал+ (Г) -= Х7 (Г), взяв для геХДГ) разложение
.х = :с~ + х+ на компоненты д_еХ_(Г), НеХДГ) в
прямой сумме (3.3) с Х“(Г) — A'f (Г) и положив

(,r, и) = (х , и) + (х+, и) = (х+, и+);	(3.7)

— поясним, для решения «eW(S) однородного уравне-
ния (3.1) должно быть (ж-, и)=0.

Рассмотрим общую граничную задачу (3.1), (3.2) с
базисной системой {хк} в граничном подпространстве
Х+(Г), определяющем в (3.2) тип граничных условий —
мы имеем в виду, что каждый элемент .rs.V'lTj одно-
значно представим рядом

X = Д Ck.rk.

сильно сходящимся в гильбертовом Х+(Г) с коэффициен-
тами щ,

.. •.	,д- X (Г).

ft

которые могут быть определены формулой

ск=(х. ик)

по сопряженной системе {uk} г. сопряженном ТУ(5) =
= Х(5)*,

11,	1 — к.

поясним: для любого линейного непрерывного функцио-
нала и — (х, и) на х = У ch.rh мы имеем сходящийся ряд
2 Ck (xh, и)^= (z, и),
к

и это равенство при и = щ дает с} = (х, и,).

Рассматривая (3.8) как граничные условия ти-
па Л+(Г) для детерминированных функций и   s
es IP(iS'), задаваемые с помощью базисной системы проб-
ных х = Xj е Х+ (Г), при каждом к мы можем в качестве
элемента сопряженной системы {мА} взять единствен-
ное решение и = ик однородного уравнения (3.1). Возь-
мем базисную систему {ик} таких решений детермини-
рованной граничной задачи (3.1), (3.2) типа Л’~(Г)
и рассмотрим общую граничную задачу этого типа при
произвольных граничных условиях, заданных на базис-
ной системе граничных пробных Ат(Т| с помощью
произвольных

У Е |	|2 < оо.

k

Теорема. Общее решение граничной задачи (3.1) ,
(3.2) представимо (сильно) сходящимся рядом

u^^bhUh	(3.9}

к

по базисной системе детерминированных решений {п.,} с
данными в граничных условиях величинами {gA}.

В самом деле, обратившись к общей формуле (3.6) и
взяв разложение

= 2 скхк = 2 ик) хк
k

для компоненты г+еЛ’+(Г) произвольной пробной функ-
ции x^X(S), получим, что

(х, и) = (х+, м) =

= lim 2 ch(xh, и) = Нт У, (х+, u^lh =
Я—>оо k<n	k<n

= lim (х+, 2 huk ) = Нт |.г, У $кик)

V k<S7l /	\ h<n /

есть предел в Н = 3? 2 (Q) для функций

и(п) = 2 IhUh,	(3.10>

hen
точнее, для разности и — и{п) с

(.Г. U —	— У, C/..Гк. и j

\ 1:Хп	/

мы имеем

Е | (z. и — н(п)) |2 < С । зг — 2 С1Л Г • □	(3.1L)

r	li	Ijx

2° Гладкость и продолжаемость решений; устрани-

мые особенности. Обобщенную функцию и е D* в об-
ласти S

и — (гр, и). ср е Г) Cf (5).

условимся называть L-гармопической, если она удовлет-
воряет однородному уравнению (3.1) с дифференциаль-
ным оператором L. Так, в представлении (3.9) решения
u=^^W(S) общей стохастической граничной за-
дачи (3.1), (3.2) мы имеем его разложение по детерми-
нированным L-гармоническим составляющим uk^W (S).
В связи с этим отметим важный класс гипоэллиптиче-
ских операторов L. для которых всякое обобщенное ре-
шение и е D* уравнения Lu = 0 в S представляется с о-
ответ ственно гладкой внутри области S функцией
t^S; классическим примером может служить
оператор Лапласа L = А, для которого всякое обобщен-
ное решение «к е D* уравнения Lu = Q в S представляет-
ся гармонической функцией u = u(t), tszS. Естест-
венно здесь возникает вопрос о соответствующей глад-
кости решения	общей стохастической

граничной задачи (3.1), (3.2). На этот вопрос сразу же
можно ответить, имея в виду надлежащую модификацию
% = с реализациями и = s D*. представленными
обобщенными функциями

= (<г, :ю). <Р D = Со°° (5),

при всех ю s Й: реализации gM s D* являются регуляр-
ными функциями £т = !<>(£)> t^S, той степени гладко-
сти. которая гарантируется соответствующей гипоэллип-
тичностыо дифференциального оператора L в уравнении
(3.1). Это есть следствие следующего общего пред-
ложения.

Теорема. Реализации решения u = ;eW(S) общей
стохастической граничной задачи (3.1), (3.2) являются
L-гармоническими функциями.
Речь здесь идет о надлежащей модификации обобщен-
ной случайной функции g с реализациями u = c,a^D*,
удовлетворяющими обобщенному уравнению Lu = 0 в об-
ласти S (с дифференциальным оператором L —'^a1.dk.
имеющим бесконечно-дифференцируемые коэффициенты).

Покажем как выбрать такую модификацию. Для
счетной плотной в пространстве D ~ 6“ (S) сово-
купности пробных ср е D мы при всех <в е А из некото-
рого .4 s Q меры Р(Л)= 1 имеем

(Л*ср, н) = (Л*ср, ди)=0,

и зт.. равенство для исходно взятых и — е D* по не-
прерывности продолжается на все что дает нам
и = при каждом со е А как обобщенное решение урав-
нения Lu = 0. Подправив g = для остальных со е Q —
скажем, положив go = 0, мы получим нужную модифика-
цию с = X, Е 1)*, со Е Q. □

Рассмотрим такое свойство, как продолжаемость ре-
шения и = g е W(S) в более широкую область So э S
с сохранением класса и = ^eW(So). По самому опреде-
лению, W (S) есть сужение возникающего в общей схе-
ме (1-1). (1.2) функционального класса H/ = W(7)
в области Т = S, так что указанного типа продолжение
всегда возможно в любую область So, S sS: = Г.

Именно. ueW(S) в нашей схеме отождествляется с
линейной непрерывной функцией н=(ж, и) на пробных
^eA'(S) из подпространства X(S)s X = Х(Т) в гиль-
бертовом X. которая всегда может быть продолжена до
линейной непрерывной функции и = (х, и) на всех х е X,
определяющей и е W = И’(7') — скажем, всегда можно
взять функцию (х, и)=0 на ортогональном дополнении
к _Y(S) и линейно доопределить ее на всех х^Х.
В частности, напомним, что Соболевские пространства
типа W sS) = Wf (S), S s T, в нашей схеме с выбран-
ным Т s R определяются как соответствующее су-
жение npi странства W = W?(7’). в котором детермини-
рованные функции образуют ТГ = И'а (Г) =	(У)],

являющееся замыканием функций и е С™ (Т) по собо-
левской норме ?Ф1:Р; уточним, что в сопряженном
X == W* = IVTP (Т) мы выделяем подпространство
Az (5) — W2 р (.S') всех обобщенных функций х X с но-
сителями supp х s [5] в замыкании области S и опре де-
ляем м е W (5) как сужение линейной непрерывной
функции ц = (ж, ц), х<^Х, на подпространстве А'(5). ко-
торое оказывается замыканием С” (5) в А. А (5) =
== [Со° (*$)]• что позволяет рассматривать общие и е
eW(5) как обобщенные (случайные) функции и =
= (*, »), же С„ (5).

Продолжаемость решения и = ;е W(5) обиден ст: а-
стпческой граничной задачи (3.1), (3.2) позволяет слу-
чить ото решение, рассматривая соответствующую гра-
ничную задачу в более широкой области So — S, кот. рая
по тем пли иным причинам может быть более предпоч-
тительной (скажем, So имеет более гладкую границу
п т. и.). Пусть S получается из 5о исключением нею до-
рого (замкнутого) множества у,

5 = 50\у.

Условимся называть у устранимой особенностью, если
всякое решение однородного уравнения (3.1) в S, иначе
говоря, всякая L-гармоническая в области 5 функция
и eW(5), продолжаемая, как мы знаем, до функции
kgW(So), при любом продолжении дает L-гармониче-
скую функцию в области So "(удовлетворяющую в Sq
уравнению Lu = Q). Спрашивается, как охарактеризовать
множество 7, являющееся устранимой особенностью. На
этот вопрос можно сразу же ответить следующим обра-
зом, обратившись к замыканию (5)] = СГ (А) в со-
ответствующем пространстве ST, где, согласно нашему
общему подходу (1.1), (1.2), действует дифференциаль-
ный оператор L*. Именно, свойство L-гармоничностп в об-
ласти S означает, что

(L*g, u)=0,

и обязательность такого свойства в области 5о — S дикту-
ет равенство

[L*^(5o)] = [L*^(5)],
которое будет выполнено при условии равенства

[СГ(А)] = [Свто(А0)]	(3.12Х
в 9~, причем указанное условие необходимо в слу-
чае невырожденного на подпространстве
siF оператора L*.

Напомним, что в нашей схеме с оператором Z/ = 55Si
РФ:, соответствующем пространстве = П' = IF(T’) мы
всегда имеем L* = L унитарным, а для общего опе-
ратора L в Зг = 2?2(7’) невырожденность L* на
подпространстве &~(S) = 2?2(S) в области S с замыка-
нием [.S’|-Z' можно считать случаем общего поло-
ж е н пя — см. по этому поводу (2.16).

Сформулируем указанный в (3.12) результат*).

Теорема. Множество ц представляет устранимую
особенность для L-гармонических функций, когда

6S’rt ху) является плотным в (5*,,) ~ [С(Л’„)1 что
является необходимым для устранимости у в случае диф-
ференциального оператора L с невырожденным L*
на ST (5о) 

Как следствие, для дифференциального оператора L
в пространстве 3r = lZ'2 получается, что всякое (замкну-
тое'. множество ц лебеговой меры 0 представляет для
L-гармонических функций устранимую особенность.

Проиллюстрируем это на простейшем примере опера-
тора L = dldt в пространстве ST = S?2(T) на полупрямой
Г =(0. °о). когда речь идет о конечном интервале >S’o =
= (к,- б)-: Т с особой точкой у, а < у < 6; здесь для S =
= 5’o'iy мы имеем соболевский класс И7 (£) = ITl (5) как
сужение соответствующего W (S) —	(,S’O). так что

всякая Т-гармопическая в S = 8д\ц функция и <= W2 (5)
подчиняется требованию продолжаемости до н е п р е-
р ы в н о й функции и е И а (50) и есть постоянная на
всем интервале 5о=(«, Ъ).

В противоположность этому, скажем, для оператора
L = рф =—d2ldt2 в соответствующем пространстве ST =
— }V = W{T) с И7(50) = IV|(5O) особая точка у уже не
является устранимой — каждая ломаная, представляю-
щая функцию и е IFo №), является Л-гармонической в

*) В анализе и теории дифференциальных уравнений имеются
самые разные постановки вопросов об «устранимых особенностях»
для тех или иных функциональных классов — укажем для приме-
ра Hedberg L. I. Spectral syntesis in Sobolev spaces and uni-
queness of solutions to the Dirichlet problem Ц Acta Math.— 1985.—
V. 147.— P. 237-264.
S — 8о\у, но не является таковой во всем интервал©
5о = (а, Ь). □

Как уже отмечалось, решение неW(S) общей гра-
ничной задачи (3.1), (3.2) в области S = So\^, продол-
жаемое до функции не 1К(5о) в So, может быть получе-
но путем решения надлежащей граничной задачи е об-
ласти So. В случае устранимой особенности у любое
продолжение «eW(50) будет удовлетворять в So тому
же однородному уравнению (3.1); в случае произ-
вольного у в области So придется иметь дело с неодно-
родным уравнением

Lu = f, -	(3.13)

для которого правая часть / и соответствующие гранич-
ные условия на Го = 55о определяются исходными гра-
ничными условиями (3.2) на Г = dS. Переход от S = 5;\у
к новой области S = So наиболее просто выглядит для
граничных условий (3.2), преобразованных к типу
Х+ (Г) — Х^ (Г); по поводу преобразования граничных
условий см. (3.7). Остановимся на этом подробнее для
уравнения (3.1) в схеме с общим дифференциальным
оператором L в пространстве &~ = 3?2(Т) при таком
Т — R', что сопряженный оператор L* является невы-
рожденным на ST. Тогда, как мы знаем, граничное под-
пространство X? (Г) состоит из обобщенных пробных
функций вида x = L*g с ge^H'/'). где g = 0 в области
5 и L*g = 0 в дополнительной области S+'= Т\ [S] —
см. (2.9), (2.12). В соответствии с этим граничные усло-
вия (3.2) типа А’+(Г) = Х0‘ (Г) определяют на указан-
ных g е 3?2(Т) функцию /,

(g, f) = (x, и+) = (х, и), x = L*g,

которая может быть продолжена до линейной непрерыв-
ной на всем &~=^2(Т) функции f=(g, f), равной 0 и
области S, (g, f)— 0 при g е 3?2(S). Формула

(х, u) = (g, f), x = L*g, g^£'2(T),

задает продолжение определяемой в (3.1), (3.2) функции
ueW(S) на всю область Т, и для этого продолжения
ueW(50) в области So Т мы имеем указанное в (3.13)
дифференциальное уравнение с определяемыми на гра-
нице Го = dSo граничными условиями

(х, и) = (х, u+) = (g. f), х = L*g^ ХДгД (3.14)
тки ! же типа, что и исходные условия (3.2) с А’+(Г) =
= А'о+ (Г)

Отметим, что общей моделью граничной задачи (3.1),
(3.2) с граничными условиями указанного в (3.14) типа
Л Л’)	(I) может служить обобщенное случайное

поле* и = g е W, описываемое в соответствующей области
Т £ R'' общим уравнением Lu = f со случайным источни-
ком / в н е рассматриваемой области S точнее, с / = О
в 5 (см. по этому поводу § 1); поясним: в области S это
« = g удовлетворяет однородному уравнению (3.1), для
кот рого граничные условия (3.2) могут быть сформиро-
ваны по данному / как

(ж, и) = (х, u+) = (g, f)	(3.15)

с ломощью обобщенных пробных х — L*g, отвечающих
g^&2(T). g = o В S и L*g — 0 в 5+.

Для общей граничной задачи (3.1), (3.2) с граничны-
ми условиями типа (3.15) особенно наглядно выделяется
непрерывная зависимость решения и е W (S)
•от соответствующего /, которая, например, в де-
терминированных задачах с	позволяет полу-

чить сколь угодно точное приближение для искомого
;/eW(5). заменив в рассматриваемой задаче f на доста-
точно гладкую функцию, надлежаще приближающую
/в ^2(7-).

3° Продолжаемость и предельное поведение решений.
Рас мотрпм следующую модельную задачу. Представим,
что в области Т s R1 имеется случайное поле, которое
•описывается обобщенной случайной функцией и — свя-
занной со случайным источником / = Г] (действующим
в н о области S s Т) дифференциальным уравнением

Lu = /,

с единственным решением и = g е W в соответствующем
классе W (см. § 1); рассматривая это уравнение в схеме
с оператором L в пространстве = 2?2(Г), имеющем не?
вырожденный на 3~ сопряженный оператор Л*, в обла-
сти S — T можно описать и = §eW(<S') как единствен-
ное решение граничной задачи (3.1), (3.2) с / = 0 в S и
граничными условиями типа Х+ (Г) = Хд (Г) на границе
Г = OS— см. (3.15). Представим теперь, что область
X имеет сложную сильно гранулированную струк-
туру, скажем, она получается из некоторой простой
области 50 как S — So\y исключением замкнутого у. со-
стоящего из большого числа мелких гранул, плотно рас-
пределенных в So.

Спрашивается, а что получится, если попытаться ре-
шить аналогичную граничную задачу (3.1), (3.2) в про-
стои области So, рассматривая ее при «в целом малом
как своего рода приближение для области S = So\y?

Как мы знаем, решение исходной граничной задачи
(3.1), (3.2) может быть получено с помощью решения
соответствующей граничной задачи (3.13), (3.14) г об-
ласти 5о; и непосредственно видно, что если лебегова,
мера mes 7 в R' достаточно мала, то правая часть / ц.
уравнении (3.13),

f=icf, w = К,
является соответственно малой, и соответственно будет
малой разность между решением и е W (50) в (3.13) г
(3.14) и решением однородной граничной задачи (3.1),
(3.2) в области 50; но поводу произведения w-f с индика-
тором w = 1Т множества 7 нужно пояснить, что для
обобщенной случайной функции f~(g, f) с пробными
g е 3~ = S определено умножение на ограничен-
и ы е функции w, а именно

(g, wf) = (wg, j),	g^S'.

Можно поставить общий вопрос о предельном поведении
решений и = ип граничной задачи (3.1), (3.2) во все бо-
лее сложных областях S — S„,

Sn ~ S0\yn

(со все более плотным в So множеством у = из ьсе
более мелких гранул)*). Именно, при каких условия?: па
имеется слабый/спльный предел решений и = lim и,
если он есть, является лп предельная функция и — lira ип
решением соответствующей граничной задачи? Уточним,
что мы имеем в виду слабую/сильную сходимость и., &
t:W(.S'o) как функций со значениями в гильбертовом
пространстве Я = .2?2(Й) случайных величин на вер: ят-

*) Вопросы такого рода рассматривались в самой разно:: по-
становке — см., например, Марченко В. А., X р у с л о в Е. Я.
Краевые задачи в областях с мелко зернистой границей.— Виев:
Наукова думка, 1974; Papanicolau G., Varadhan С. К. S.r
Diffusions in regions with many small hols/Notes Control.— Inform.
Sci.— 1980,— V. 25.
постном 12. где каждая функция и = исходно опреде-
ленная в своей области Sn = So\y„, доопределена в об-
ед е я при всех п области So как решение соответствую-
ще? > уравнения (3.13) вида

Lu = wnf	(3.16)

с индикатором wn = 17р множества у„ при граничных ус-
ловиях (3.14).

Согласно общей формуле (3.4). от переменного у„ за-
висит лингв та часть в и = ип. что является решением
уравнения (3.16) при нулевых граничных условиях,
кот 'рая для каждой пробной функции ieX(S) в ее раз-
лоя . ппи х = х~ + х+ на х~ = L*g, g e= ^~(S0)= 2’2(S0), и
Х+	Х,7 (Го) дает

(л-. wn) = (u?,tg. /).

В случае, например, белого шума / — г] из этой фор-
мул ы непосредственно видно, что сильная сходимость ре-
шеипй равносильна сильной сходимости функций wng
для каждого g в пространстве .^(So); видно также, что
при указанной сходимости wng сильная сходимость ре-
шс ii будет в случае любого источника /. Легко про-
верять также, что сильная сходимость wng^= lvgiipn каж-
дом д в 1?2(а$о) равносильна наличию такого предельного
множества

у = limy,,.	(3.17)

что лебегова мера mes [(у„ ° у) П В] 0 для симметриче-
ской разности у„ ° у = (уп\у) U (у\уп) при каждом огра-
ниченном В — So, причем в качестве предельной функ-
ции при сходимости it’„g будет wg = lim wng с ииди-
кат -ром

W = 1Т

предельного множества у: поясним: в силу- равномерной
по а ограниченности

сходимость wng при всех g^S^So) равносильна сходи-
мости при g = 1В для полной в 2?2(So) системы инди-
каторов ограниченных В So- Сильная сходимость wng
-> wg при всех g е Ф?г(Ао) дает

lim(g, w„J) = lim(w„g, /) = (wg, /) = (g, wj),
и в соответствии с этим сильный предел решений
lim ип = и, определяющий

lim(.r. u„) = lim(g, w„f) = (g,	?/l,

z^X(S0),

представляет собой функцию !ieW(So), которая есть-
решение предельного для (3.16) уравнения

Lu — wf	(3.18}

яри имеющихся у нас граничных условиях (3.14).

Перейдем теперь к слабой сходимости !(„EW(Sa),
имея в виду слабую сходимость величин (я, ип) в гиль-
бертовом пространстве Я = 2’г(й) на вероятностном й.
Наличие такой сходимости при любом /, в частности при
детерминированных SMSq), влечет сходи-
мость детерминированных величин (m„g, /). которая при
j = g = 1в даст предел

limmes(y„ П #) = w(f)dt	(3.19}

в

для каждого ограниченного В s So; поясним: указан-ый
предел определяет аддитивную функцию множеств
В е So, абсолютно непрерывную относительно лебег.-вой
меры mes В и представимую указанным в (3.19) интег-
ралом от соответствующей плотности w. О < w -'4 1.
Легко видеть, что наличие предела (3.19) для каждого
ограниченного множества 4=Sq означает также сущест-
вование

lim(wng, /) = (wg, f)

для любых /. g из полной системы индикаторных функ-
ций {!«}, и в силу равномерной ограниченности

fu'ng	’! g l!^2

это равносильно слабой сходимости wng wg для каж-
дого g в ^2(So). В свою очередь такая сходимость при
любом случайном источнике f и произвольном
т] е И дает сходимость линейного непрерывного функ-
ционала

E(w„g, /)ц -> E(wg, /)п
от wng -> irg, а это означает слабую сходимость решении
ип и к функции и е W (So), определяемой как

(х~, u) = (wg, f),	xe^X(S0),

и представляющей, согласно общей формуле (3.4), реше-
ние предельного для (3.16) уравнения (3.18) с гранич-
ными условиями (3.14).

Добавим к этому еще тот факт, что плотность ш =
= w(t), t е So, в предельном соотношении (3.19), для
каждого ограниченного В s So при почти всех оп-
ределяемая как слабый предел

!Р1В = lim wn\n - lim 1?пцВ,

может быть произвольной функцией w, 0<ip(Z):C1.
В самом деле, возьмем систему неперссекающихся
множеств В„, j = 0, 1, . ... га, которая асимптотиче-
ски полна в том смысле, что для любого g = 1г из
полной в ^2(So) системы {1в} найдутся соответствующие
объединения Вп-- (J В3п с 1вп~*-1в- Возьмем теперь
произвольную функцию w, 0 < w X 1, и для непе-
ресека ющихся

образуем

Л/? - В}п р, С*, j. к = 0, ..., п.

Наконец, выберем замкнутые А3„ с лебеговой мерой
i/i к	Ajk .	( — 2\

niesy^ = — mes .4^ + о{п )

и положим

II
Tn — и у« •

Очевидно, что для любого g — 1В— lim 1Впс соответствую-
щим объединением Вп — |J А3,?

li га mes (уп П Вп) = lim mes А3„ ~

= lira j* w (t) dt -- w (Z) dt.

Bn	В
Подведем итог.

Теорема. Для слабой!сильной сходимости решений
в областях S„ = SrAv,, (при произвольном случайном ис-
точнике j вне Sn) необходимо и достаточно условие
(3.Ti)/(3.17): при этом предельная для этих решений
функция получается из решения и е W(So) предельного
уравнения (3.18) в области So с предельной для индика-
торов wn= lv?1 плотностью w = lim шп, которая в зависи-
мости от п оо, может быть произвольной функиией
O^i(’(i)^ljE5o.

Рассмотренную выше модель предельного поведения
решений граничных задач в сильно гранулированных об-
ластях вида Sn = So\yn можно пополнить случаем, когда
множества цл имеют хаотическую структуру, модели-
руемую некоторым стохастическим механизмом (неза-
вис и м о г о от случайного источника f).

Представим, например, что ylt ~ U у!!г прп каждом п
есть объединение шарообразных гранул радиуса г в
У?11, г' = Х/п при иоо и постоянном с центрами в
случайных точках т,: е So, независимых и распределен-
ных в области So с плотностью вероятности p(t), t е So.
Так- то рода хаотическая структура уп при п <х> дает
характерный пример соотношения (3.19) со всюду поло-
жительной плотностью w — t е So; прп взятых вы-
ше параметрах она имеет вид

ir(t)-= 1-	.	t^S„.	(3.20)

где о2—объем единичного шара в R1. Покажем это*).

Используя вероятностное пространство Q, где опреде-
лен’,! случайные

т„ = Tft(G>), к = 1, 2, ...,
обратимся к измеримой по совокупности переменных
(ю. t) функции

ЬЛ) = 1-П|1-Чп(0]

*) См. Ар ат о Н. Об одной предельной теореме для обоб-
щенных гауссовских случайных полей, заданных стохастическими
дифференциальными уравнениями в частных производных // Тео-
рия вероятн. и ее примеп.—• 1989,—Т. 24.— С. 409—411.
с индикаторами

Ivfen (0 ’ 1 {(<0,0:	<| <>},

при каждом оз е Q представляющей индикатор 1 Гп (t)r
t е В'1. случайного множества

Тп = U Xkn s R'1,
которое в пересечении с ограниченным В Sq имеет
меру

р„ = mes(yn П В) -= (
в

Установим среднеквадратичную сходимость*)

lim ) 1V)! (I) dt — ) [1 — e~Xo p(/) ] dt.
'•-’°? в	в

Рассмотрим случайные величины

' П11 - l^]df-

В й = 1

Нам нужно установить среднеквадратичную сходимость
lim рт, = I р(-Г) dt
в

Используя независимость случайных т», получаем
£\ни

= f Е [[ [I - lVfcn(i)]^-= f П [1 -
в k=l	в

~ f [1 - ^Wl" dt ~ f e-^pit} dtr
j L n 1 J
в	в

поскольку

£17а„(0- J p{u)du^^^
|u -1\< r

*) Простые оценки позволяют установить также и сходимость,
при почти всех <о е Q.
176	гл. II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

при гл = к!п	Одновременно имеем

А’о — [ е IJ [1 — Y/»i (01 11 — хип (01ds & ~

В'.В ?!1

J J L п п J

(3\В) ^{|s—/|>2г}

~ f f e-?.a2p(S)-;.o2p(/) dsdt = Г f e~^Pwdt
BB	в

что дает

£’р» ~ (/ОМ2

и доказывает среднеквадратичную сходимость

Е | р„ — Ецп |2 = Еи'п — (£р„)2 -> 0

при п ‘х.
ГЛАВА III

СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ

§ 1. Вероятностные характеристики
стохастических граничных задач

1° Среднее значение. Можно представить себе слу-
чайное и о л е s, возникающее в области Т = РГ как
результат того пли иного случайного источника
1], с которым £ связано обобщенным дифференциальным
уравнением

(i.i):

являясь единственным его решением W в соответст-
вующем функциональном классе W = W(T), или, ска-
жем. уравнение (1.1) имеет место в области .8'^7'. где
помимо этого для случайного ноля § на границе Г = dS
имеются еще граничные условия, выраженные с по-
мощью той или иной системы граничных пробных функ-
ций в форме

(х,5) = (х,Г), ^еХ+(Г)	(1.2)

— общие схемы такого рода и целый ряд важных приме-
ров были предложены в гл. II.

Можно представить, например, что нас интересует ре-
шение и s W(S) детерминированной граничной задачи:

Lu = f	(1.3)

в области S,

(х, и) = (х, н+),	хеХ’+(Г),	(1.4)

па границе Г = dS (где граничные условия могут быть
заданы и в какой-то другой эквивалентной форме), но по
тем или иным обстоятельствам нам приходится иметь
дело с соответствующей стохастической граничной зада-
чей (1.1), (1-2), возникающей в результате появления
дополнительных возмущений случайного характера, даю-
щих вместо детерминированных /, и+ в (1.3), (1.4) соот-
ветствующие ц, в (1.1), (1.2) со средними значения-
ми Ei] = /, Е^+ — и+ — уточним, что здесь имеются в ви-
ду функции

£(([> 11) = (?•/)> cpeC^(S).

и

£(1Д+) = (х и+),	.ге.¥+(Г);

понятно, что интересующее нас решение u^W(S) гра-
ничной задачи (1.3), (1.4) будет средним значением и =
= Е£, случайного поля с eW(5) в области S, описывае-
мого стохастической моделью (1.1) — (1-2). Для нее. как
и для всякой другой теоретико-вероятностной схемы, воз-
никают задачи определения тех или иных вероятностных
характеристик описываемого этой схемой случайного объ-
екта |—в предлагаемой модели (1.1), (1-2) одной из
важнейших характеристик такого рода (наряду с ужн
упоминавшимся средним значением) является
корреляционная функция случайного поля g.

2° Корреляционная функция. Для обобщенного слу-
чайного поля g = (<Р, ё) с пробными (f D из простран-
ства D = С™ (5) мы ввели корреляционный оператор —
обозначим его Q,— при каждом у е (S) задающий
корреляционную функцию Qy <= О*.

Qy=\<f, Qy),

которая (при нулевом среднем Е(ср, 2)=0) определяет
корреляцию

W, Ю(П) = (ф, Qy).

Рассматривая общую стохастическую модель (1.1), (1.2),.
когда случайное поле geW(S) описывается с помощью
пробных x^X(S) из надлежащего гильбертова прост-
ранства X (5) э С™ (5), удобно ввести корреляционную-
функцию Qy для каждого уеХ(<$), положив

Qy = Qt, Qy) = Е(х, g) (у, g),	x^X(S).

что определяет ее как функцию Qy WQS) из соответст-
вующего функционального класса Ж(5) = Х(5)* — здесь-
мы считаем, что детерминированная часть в (1.1), (1.2)
уже исключена, и вместе с Ег] — 0, E’g+ = O мы имеем
нулевое среднее Е(х, |)е0. х^ X (S).

Допустим, что случайный источник ц в (1.1), пред-
ставленный обобщенной случайной функцией ц =(<р, q),
Ф е С* (S), имеет корреляционный оператор Н. Спра-
шивается, как найти корреляционный оператор/корреля-
ционную функцию случайного поля 5? Отвечая на этот
вопрос, остановимся на случае, когда действие источника
т) в (1.1) внутри области S некоррелировано/не-
зависимо от предписанных для g граничных условий
(1.2) на границе Г = dS. В этом случае

В = В" + г

есть сумма некоррелировапных/незавпсимых и g+. пз
которых г-е\У(5) получается как решение уравнения
(1.1) с нулевыми граничными условиями (1.2),
а V — как решение однородного уравнения (1.1) с т] = О
при данных в (1.2) общих граничных условиях — см. по
этому поводу § 2 гл. И; уточним, что

5~ ='(.£, £-) = (£-, g) = (g, Т])

г=(х, Г) = (.г+, ю = (*+, Г)

для пробных x^X(S) при их представлении х~х~+х+
с компонентами x~ = L*g, g е ST (S) ~ [С“ (5)], и
х+еХ+(Г). Понятно, что используя корреляционные
функции Q~y, Q+y с корреляционными операторами Q~,
Q+ компонент g~, g+, мы можем получить

Qy = Q~y + Q+y

С Q = Q' + Q+.

Напомним, что т]=(ф, т]) в уравнении (1.1) считает-
ся непрерывным по Ф е С™ (S) относительно соответст-
вующей нормы ||ф|!.у-, и мы имеем ц =(g, ц) определен-
ным прп всех g е^(S)^[C~(S)]; согласно этому,
положим

Rg = (ф, Rg) = Е (ф, т]) (g, ц), феР = С" (5),
что определяет корреляционную функцию Rg (с корреля-
ционным оператором R) как обобщенную функцию Rg =
е D*, непрерывную относительно пробных ф е D по нор-
ме 1|ф|1>-. Очевидно, что при любом пробном yeX(S) в
его представлении у = у~ + у+ с y~=L*g, г/+еХ+(Г),
для корреляционной функции и = Q~y = Q~y~ еЖ(5)
мы имеем

(Л*Ф. и) = Е (Л*ф, |) (Ж) =

= Е (ф, ц) (g, ц) = (ф, /?g), ф е Со (5),
и непосредственно видно, что и = Q~y есть (единствен-
ное) решение уравнения (1.3) с

f = Rg

(1-5)

при нулевых граничных условиях (1.4). Очевидно так-
же, что корреляционная функция и = Q+y = Q+y+ =
е 1F(5) есть решение однородного уравнения (1.3)
с / = 0 при граничных условиях (1.4), определяемых
корреляцией

[х. и + )^Е(х, Г)(Г, Г), ^Х+(Г),	(1.6)

в стохастических граничных условиях (1-2). В целом же
для источника ц в (1.1) с корреляционным оператором
/?. действующим некоррелированно/независимо от гранич-
ных условий в (1.2), для любого пробного y=L*g + yY
с g<=$~ (S) = [С (5)] и !/+еХ+(Г) получается еле-,
дующий результат.

Теорема. Корреляционная функция u — Qy^W(S)
есть единственное решение уравнения (1.3) с (функцией
f вида (1.5) при граничных условиях (1.4) с функцией
и+ вида (1.6). □

Рассмотрим общее уравнение (1.1) в области S = T,
когда для определения gEW = W(T) не требуется до-
полнительных граничных условий. Это уравнение, имею-
щее вид

•	(1.6)'

в пашей схеме с оператором L = 3*	0 в соответствую-

щем пространстве = И7 = IV (Г), как мы знаем, в схе-
ме с общим оператором L в пространстве ЗГ = 2?2(71) эк-
вивалентно уравнению (1.6)' с	и новым

источником щ получающимся из исходного i]=(g,л)
в (1.1), определенного на всех g е (Т) —	(Г)],

заменой g = <p на I([.(|>eCj°(T) — см. § 1 гл. II.

Правая часть ц=(ф, ц) в (1.6)' является непрерыв-
ной по ф е С” (I1) относительно соответствующей нормы.

в 3~ = W, п корреляционный оператор R, опре-
дели ющип

£(ф. 1]) (к. 1]) = (ф. Rv)

при всех v е W, дает нам обобщенную функцию Rv s X
из отвечающего И’ пространства обобщенных функций
X = 3W. Перейдя от (1.1) к уравнению (1.6)'. при лго-
бом пробном х = Зи (с v е W) для корреляционной
функции

и (<1. и) - (ц. Qx) - = Е (ф, В) (.г, S). ф е= (Г),
получим

(^Ф- п) = (зРф. Qx) = E(3y, I) (Зи. g) =

= £(Ф, п) (7 п) = ((Г- pv),
что определяет искомую корреляционную функцию как
единственное решение це 17= 17(7) дифференциально-
го уравнения

^н = /	(1.7)

с правой частью / = Ни е X в области Т.

Рассматривая общее уравнение (1.7), можно исполь-
зовать f — Rv с v -- ф е (Т) для определения искомой
корреляционной функции и = Qx с х = 3v прп произ-
вольном и s W, воспользовавшись предельным переходом

и = Q3u — lim <2^ф

в пространстве IV — 17(7) с ф V.

Для примера выделим тот случаи, когда в (1.6)' мы
имеем источник «белого шума» на W = 17(7) с корреля-
ционным оператором /? = .7— он возникает, скажем,
в исходной модели (1.1) о общим L прп источнике «бе-
лого шума» соответственно на 3~ = &ъ(Т)\ именно в этом
случае уравнение (1.7) превращается в равенство

Зи = Зи,
которое непосредственно дает
и = и, Qx = V,
при каждом х = Зи е X, так что в указанном случае
корреляционным оператором случайного поля с е W
является

Q = 3~x

— обратный оператор к 3\ W А; поясним: равенство
(Ф, Q3v) -- (Ф. v),	<реС"(7),

дает Q3v = и при всех v е W, х = Зи е X. Для н о л у-
огранило я н о г о оператора

Ср0	(Г)

и его самосопряженного расширения	2>д> -> (Т)

с областью определения ФW из уравнения (1.7) при
/ — Rv s S4 (Г) мы получаем u = Qf с помощью обратно-
го к самосопряженному & оператора Q = 3i~Y в прост-
ранстве

^2(7’)-X = [S’2(7)];

попятно, что рассматривая случайное поле §=(ж. с) на
пробных ,ге	мы имеем

ё) (У, ё) = Об Qy)

с корреляционным оператором <2 = ^-1, являющимся ог-
раниченным в пространстве S’zQT). Здесь, например,
рассматривая пашу модель (1.1), (1.6) в ограниченной
области T'- fi’ с эллиптическим дифференциальным
оператором Ф порядка 2р, р> d/2, мы имеем Q — ^1
интегральным оператором Гильберта — Шмидта.

<?/(<) = $QQ,t)f(s)ds, t^T.

с ядром Q(s, t), f f I Q ($, t) |2 dsdt •< 00 — попятно, что

=	s,t^T,

есть корреляционная функция величин е(0 = (ж, §). по-
лучающихся с помощью полной в X системы пробных
дельта-функций х = в точках t<s.T и представляющих
случайное поле g е W как g = g (t), (е Т. □

Все сказанное в отношении (1.7) фактически остается
в силе (с формальной заменой Т на произвольную 067
ласть 5 — Т) при рассмотрении случайного поля £е
eW(S), которое описывается уравнением (1.6)' в обла-
сти S s Т и нулевыми граничными условиями

(х, g)=0,	x^XQ£),

па границе Г = dS. Именно, здесь, согласно формуле
(2.15) гл. II, при любом пробном x^-X(S) в его ортого-
нальном разложении х = х~ + хХ на х~ = ^g е Х~ (S) с
gelV(5) = [C0°°(5)] и ГеХ(Г) мы получаем

(х, £) = (Лр, £) = ($, ц),

как и для уравнения (1.6)' в области Т = S.	.
•Это можно использовать при рассмотрении уравнения
(1.6)' в области S s Т с общими граничными условиями

(*, B) = U, Г), ^ДГ),

когда случайный источник ц внутри области S действует
некоррелированно независимо от граничных условий
па границе Г — dS. Именно, W(5) в этом случае
можно представить в виде суммы g + '§+ некоррели-
рованных независимых компонент |+eW(6'), из ко-
торых получается как решение рассматриваемого
уравнения при нулевых граничных условиях, а 1+ — как
решение однородного уравнения с рассматриваемы-
ми граничными условиями; корреляционный оператор Q
случайного поля | представим суммой

Q = Q~ + Q+,

где Q~ и Q1' есть соответственно корреляционные опера-
торы компонент и g+, из которых относительно Q~
фактически уже говорилось выше, a Q+ при любом проб-
ном x^X(S) дает SP— гармоническую корреляционную
функцию u = Q+x е W (3), являющуюся решением обоб-
щенной задачи Дирихле:

У и = О

в области 5 с граничными условиями

(<Л и) = (У, и+), г/еХ(Г),
определяемыми корреляцией

(у, u+) = £’(g, g+) (7+, V)

для компоненты х+ в разложении х = х~ + х+ на х~ s
e-.Y(T). Напомним здесь, что при переходе
от общей граничной задачи (1.1), (1.2) в схеме с опера-
тором L в пространстве SF~3\ к эквивалентной обоб-
щенной задаче Дирихле для уравнения (1.6)' с

= L*L дополнительно к (1.2) появляются новые
граничные условия

(т, g) = (g, ц), теХ-(Г),

где пробные теА’(Г) имеют вид x=L*g с ge272(5),
Z*g = 0 в S ((/др, g)=0 при всех ФеС“(5)): в соот-
ветствии с этим упомянутое выше условие некорре-
лированности источника и граничных условий для
модели (1.6)' будет выполнено, если, например, в и с-
ход ной модели (1.1) мы имеем дело со случайным р
типа «белого шума» на пространстве &~(S)= £2(8). ко-
торый п скоррелирован с граничными условиями в
(1.2)—для такого источника величины (Аф, р). q <=
е (Г), некоррелпрованы с граничными значе-
ниями (х, £+) = (g, р), х = L*g е= Х~ (Г).

3° Характеристический функционал. Рассматривая
общую стохастическую модель (1.1), (1.2), можно пред-
ставить себе, что случайный источник р в (1.1) воздейст-
вует как своего рода хаотическое возмущение, при-
чем это воздействие происходит независимо от гра-
ничных условий в (1.2). Представим случайное поле
geW(.S'), описываемое такой моделью, в виде суммы

ё = Г + Г

независимых компонент g”, ^+eW(S), из которых
является решением рассматриваемого уравнения (1.1)
с нулевыми граничными условиями (1.2), a g+—ре-
шением однородного уравнения (1.1) с рассматри-
ваемыми граничными условиями (1.2).

Обратимся к	в качестве модели для хаотиче-

ски воздействующего источника взяв обобщенное случай-
ное поле р =(<р, р) с независимыми значениями — с не-
зависимыми величинами (<р, р) для пробных <р е (5)
имеющих в е и е р е с е к а ю щ и е с я носители suppip, счи-
тая среднее Zi(<p, i])s0.

Можно представить, например, что в бесконечно ма-
лой окрестности каждой точки t е S мы имеем случай-
ный источник с гауссовской (нормальной) ком-
понентой v(<ft),

Ev(dt) = 0, E\v(dl)\2 = Fv(dt),

— представленной в целом гауссовской (нормальной) ме-
рой x- = x(dt) в области S^T^R’, и независимыми при
различных 7-еТ?1 компонентами rn(dtdr) пуассонов-
ского типа.

Ел (dt dr) = 0, Л’|л (dt dr) i2 = (dt dr),

которые в целом описываются ц е нт р пр о в а н и н о й
пуассоновской мерой n = n(dtdr) в трубчатой области
SXR^R!+i с 7? = й1\{0); понятно, что интегральное
воздействие этих компонент, независимо действую-
щих при различных tе с помощью пробных ф е
описывается как

(<f. n) = ( q(t)v(dt) + f | <р(/)гл (dtdr). (1.8)
S	S R

где для случайных величин (<р. ц) мы имеем

Е I (‘П ’1) I2 J I Ч1 Г2 Р\- (dl) + ,0 I ’Р I2 Г'Р^ (dt dr).

Используя в (1.8) действительные ц = (<р. ц). ука-
жем характеристический функционал Е е'<,рq’^	(5).

точнее, его логарифм

log Ееы -

- — -J JI <(. I2 Fv (dt) + J f (l)r — J — /<('(t) /] F-, (dt dr).

(I.!))

Понятно, что при источнике г) вида (1.8) мы имеем
случайное поле g = g“ е W(S) с

(х, g) --- g (/) v (dt) +	\ g(t) гл (dt dr)

S	SB

при всех пробных х L*g, ,?е У - [С”(5)]. — напом-
ним, что г) =(<р, Т|) в правой части (1.1) считается не-
прерывной по феС“(5) в соответствующем ST (см.
§ 1 гл. II), так что представление (1.8) распространяет-
ся с феС0°°(5) на произвольные у е 3~ (S)	[С^° (5)].

Рассматривая случаи пробных х е (S) и условно
считая для наглядности, что из дифференциального урав-
нения L*g = x функция g^SE(S) определяется с по-
мощью интегрального оператора Gx — g с ядром G(s, t)r

g (t) -- i x (.s) G (s. t) ds, t e 5,

8

получим

) G (.S', t) V (dt)
s

x (s) ds

f G (s, l) гл (dt dr)

S R

x (.s-) ds;

(i.8)'

соответственно для действительного случайного поля
£ = с, характеристический функционал будет описывать-
ся формулой

1оц Ее*х'^

/* v (dt) +

ir\(;(s,l)x(s)ds
s

— ir \ G (.s', t) x (.s-) dr

Fn(dtdr). и (1.9)'

Для общего дифференциального оператора Е ^--^\a],dh
стохастическая модель (1.1) была нами предложена в
схеме, когда L рассматривается в пространстве 3~ = 2?2
и з соответствии с этим правая часть в (1.1) представ-
ляется обобщенной случайной функцией ц = (ф, р).
непрерывной п о гр е (S) относительно и о р-
м ы । <р|!у- = IlTii.S?  ’^т<) накладывает па параметры Fv. /Д
в представлении (1.8) дополнительные условия, которые
можно выразить в форме

Fv(rft) = M0^	(1 10)

7Д {dt dr) = /„ (t, r) dt (dr)

с ограниченными

/v (t) < C. f /Дд (t, г) Рл (dr) < C.

R

Обратившись к стохастической модели (1.1), в которой
случайный источник представлен обобщенной функцией
т)=(ф, ц) с независимыми значениями, непрерывной по'
<р е. (S) относительно IIФ \\?~ ~ Il Ф укажем его об-
щий вид.

Теорема. Общий вид ц=(ф, ц) описывается стоха-
стическим представлением (1.8), которое в действитель-
ном случае определяется формулой Леви — Хиичина
(1.9) с параметрами типа (1.10).

Доказательство основано на том, что ц=(гр, ц) по
непрерывности продолжается на все гр ^2~(S)= 22(S),
при ф = 1в задавая на ограниченных (борелевских) мно-
жествах B^S стохастическую меру ц(2?) = (1в, ф)
с независимыми для непересекающихся В значе-
НИЯМИ р(5),

5р(5) = 0, Е\ц(5) I2 < со.

Из условия непрерывности £’|р(5)|2 относительно ф = 1а
в Z(S) = Z2(S) вытекает, что р(5) является безгранич-
но делимой случайной величиной, и, рассматривая д е й-
с т в и т о л ь н ы е величины, согласно общей формуле Ле-
ви — Хпнчппа, мы имеем

'AogEj'^.------^-7dFx(B) + f(eiZr - 1 - ш)5я(5. dr).

'я

В 'илу равенства

u(Z?i UB2) = .4(50 +ц(^г)

с независимыми для пепересекающихся В\, B2~S сла-
гаемыми в указанном представлении Леви — Хинчпна мы
имеем FX(B), Fn(B) аддитивными функциями от B^S.
аб  ,.ттотно непрерывными относительно о-конечной
меры т (В) = Е\ц(В) |2, с которой они связаны равен-
ств ,м

m (/?)=.= Л- (В) + ^FF^B.dr)-.

R

точнее, мы имеем Fv. Ел как о-конечные меры Fv = Fv(dt)
и F-, = F^(dt dr) соответственно в области S е Т R1 и в
произведении SXRs R'l+i с 5=5‘\{0}. Отсюда для ли-
нейных комбинаций ф = 2^л1в/{ индикаторов непере-
сек'Ющихся множеств B; S S и отвечающих им случайных
вел-тцш

(ф, 11) 2 Ы1 И4)
получаем

]ogEei<(^ —1 V^v(5f() +

k

+ 2 f (е^Г - 1 - i^r) IE (B!t. dr) =
h R

= - 7 f I Ф \2Fv (dt) + f f [ Л(/)г - 1 - (t) r] (dt dr).

Здесь в силу непрерывности случайных величин (ф, ц)
по (p^Zz(S) предельным переходам к ФеС"(5)
и получается формула (1-9). Она указывает, что рас2
пределение вероятностей случайных величин ((}-, ц)-R1
такое же. как и в стохастическом пред-
ставлении (1.8) с гауссовской мерой v(dt) л центри-
рованной пуассоновской мерой л (dt dr) *) .□

° л

Используя шкалу соболевскпх пространств Ит “ И ? —
--[CoJ. — 00 < р < естественно поставить вопрос об
общей структуре обобщенных случайных функций
р= (ф- й) с независимыми значениями, непрерывных
по ([ е С™ относительно нормы llqjllw = Iltpllj, в W,
Простой ответ здесь имеется, по-видимому, лишь для
W — W!( при р С 0. а именно, для отвечающего р = 0
пространства И7 = Z<y мы имеем общее представление
(1.8), а для W - И7 У при р < 0 непрерывных по <р И7
случайных функций В = (<р, р) с независимыми
значениями просто не может быть (понятно, не счи-
тая р^О) — поясним; при р С 0 мы имеем вложение'
Zz И7 п вытекающее из него общее представление (1.8),
(1.!)), которое в случае существования нетривиальной
функции р — (q; р) дает обязательное вложение И’
= 3~	[/',(] с 9~ типа S’o, где |;(р !|у- = Е | (ср, р) |~, согласно

(1.10), имеет вид

‘I1 I <1 17 (С) dt.

а для такого tZ и W •- П7? с показателем р < 0 вложе-
ния W s ST. означающего, что норма 1кр]1и- сильнее
||fp![y, быть не может. Для пространств И7 -- Tl’.f с по-
казателем р > 0 широкий класс случайных р = ((р. р)
с независимыми значениями, непрерывных относительно-
11фП,г = Hrplip, получается из представления (1.8), (1.9)
заменой гр е С™ (S) на дифференциальное выраже-
ние 2 С/7Л<Р с производными порядка |/с| С р/2; в об-
ласти 5 s R'1 к этому можно при р > d/2 добавить, напри-
мер, еще обобщенные случайные функции вида

4 = 2 Пьб (t —
й

с независимыми случайными коэффициентами р;, и т. щ

*) Указанные v(dt) и si(dt dr) определяются ио величинам
(<р, ц), феС”(5), на том же вероятностном пространстве Q
аналогично тому, как это получается в известном представлении
Леви — Хинчипа— Ито для случайных процессов с независимыми
приращениями.
§ 2. Прогнозирование и марковское свойство

1° Задача о наилучшем прогнозе. Обратимся к случай-
ному полю g, которое в области Т описывается на-
шей общей моделью с обобщенным дифференциальным
уравнением

£g = P	(2.1)

л граничными условиями

М)=(*.Г). ^Г(Г0),	(2.2)

на границе Го = dSo- Можно представить, что по тем
или иным причинам непосредственное наблюдение g не-
доступно в той пли иной части области So, it требуется
дать прогноз для g ио каким-то имеющимся данным S3.
Определяя ь с помощью пробных функций как

S = (х, g),	,теХ(5о),

в качестве прогноза для величин' (х, g) можно исполь-
зовать условное математическое ожидание

(х, 1) = Е[(х, *)/$]	(2.3)

относительно данных S3, которое для рассматриваемых ве-
личин в гильбертовом пространстве Н = 2’г(й) на ве-
роятностном Q задается оператором £(753) ортогональ-
ного проектирования на подпространство H(S3)^
образованное всеми величинами, измеримыми относитель-
но о-алгебры событий в £2, порождаемой данными S3 (тем
же S3 будем в дальнейшем обозначать и упомянутую
о-алгебру). Указанный в (2.3) способ дает наилучший
.прогноз — в нем средпеквадратпческая ошибка

Е\ (х, g) — (х, 5) I2 = min

является минимально й в сравнении с любым другим
способом прогнозирования, в качестве прогноза для ве-
личин (,r. g), дающим по S3 те или иные величины из
Н(®).

Очевидно, что для geW(So) тому же функциональ-
ному классу принадлежит и функция g = (х, g) — напом-
ним, что включение m=;eW(5o) определяется усло-
вием непрерывности относительно пробных x^X(So).
Уравнение (2.1) означает, что

(£*Ф, g) = (ф, ц)
при всех пробных х = L*q> с (р£	(6'0), откуда сле-

дует, ЧТО

(L*cp, g) = (ф, 1])

связано аналогичным уравнением

Ь1 = л	(2.1>

с функцией 1] = (ф, ц), определенной как

(ф, ц) =.= Е [(ф, т|)/8], ф е Со (So).

Ясно, что имеющиеся для £ граничные условия (2.2}
дают соответствующие граничные условия

О,1) = О, Г),	.ге.\'+(Го),	(2.2)''

на границе Го = 55о с

(х, 1+) — Е[(х, В)/53],

п, таким образом, наилучший прогноз g может быть по-
лучен, как решение граничной задачи (2.1)', (2.2)'.

Понятно, что это относится к любому прогнозу g,
который дается с помощью того или иного лпнейн- го
ограниченного оператора £(-/8) в гильбертовом.
И = •2’2(И), определяя

1= (х, 1) = £Щ, g)/3]	.	(2.4)

при пробных xeX(So). В частности, для данных $3Г
представленных теми или иными величинами из прост-
ранства Н = 5’г(П). это относится и к иаилучшему ли-
нейному прогнозу £, который дается оператором £(•<'©)
ортогонального проектирования на замкнутую линей-
ную оболочку составляющих ® величин из Н—отметим
здесь сразу же тот хорошо известный факт, что в случае,,
когда прогнозируемые величины с данными в 8 имеют
совместные гауссовские распределения вероят-
ностей, определяемый формулой (2.3) наилучший прогноз
является линейным. О

Рассмотрим пашу модель (2.1), (2.2) со случайным
источником т] в (2.1), действие которого внутри области So
не зависит от имеющихся граничных условий (2.2)
на границе Го = д5’о; при этом будем считать, что обоб-
щенное случайное поле т] = (ф, т]), ф е (50), имеет
нулевое среднее £(ф, т]) = 0.
Говоря о задаче прогнозирования, можно представить,
например, что данные S3 содержат лишь граничные зна-
чения (ж, g), жеХ+(Го), определяемые граничными ус-
ловиями (2.2). Тогда очевидно, что граничная задача
(2.1)', (2.2)' для наилучшего прогноза w = |eW(So)
имеет вид

Lu = О
в области So,
(ж, н) = (ж, g), жеХ+(Го),
на границе Го = 9Sq.

Выдели в область S s So, где «наблюдения» недоступ-
ны, можно представить также, что имеющиеся данные ®
о случайном поле $ вне области S содержат, в частности,
все граничные значения

Й(Г) ={(ж, g), жеЛ’(Г)}	(2.5)

— напомним, что граничное Х(Г) образовано всеми проб-
ными жеЛ’(5о) с носителями йирржеГ на границе
Г = dS; наиболее полные данные S о случайном поле
ij вне области S получаются с помощью величин

Ш(5С) = {(ж, g), теХ(5')}	(2.6).

при всех пробных x^X(S0) с носителями suppж s Sc
в дополнение к S.

Как мы знаем, при данных граничных значениях
91 (Г) случайное поле £ в области S однозначно опреде-
ляется уравнением

^g = T],	(2.7)

где

& = L

для модели (2.1), (2.2) cL>0b соответствующем про-
странстве 3~ = W = W (Т) и

& = L*L

для модели с общим оператором L в пространстве
3~ = 3?2(Т) —уточним, что для нее в (2.7) появляется
не только новый в сравнении с (2.1) оператор но
и новый случайный источник ц, получающийся из
исходного т] = (<р, ц) в (2.1) заменой пробных ф
на £ф, ф е C“(S); по поводу используемых здесь,
и в дальнейшем конструкций в схеме модели (2.1), (2.2)
см. гл. II.
Понятно, что определяемый общей формулой (2.4)
прогноз для g в S может быть получен как (единствен-
ное) решение уравнения

^1=П	(2.7)'

и области 5 с соответствующей правой частью р.

(ср. р) - Е Ц<( , т)) 33], q £<7 (S),

при о б о б щ е н н ы х у с л о в и я х Д п р и х л е

(.г, g) = (х, g), /еДГ),

на границе Г = dS с данными в S3 граничными значения-
ми (2.5).

В пашей схеме (2.1), (2.2) в области So — Т с опера-
тором L в пространстве ST — S?ДТ) своего рода стандарт-
ной моделью случайного источника хаотических возму-
щений в области So может служить гауссовский «белый
шум» на (So) — Si(So)—поясним, что такая модель
случайного поля р=(ф, q), <pe£F"(So), отражает оп-
ределенную однородность в распределении но So
интенсивности рассматриваемых возмущений, а также
соответствующую малость их интегрального воздействия
в каждой достаточно малой области в So. Обратимся
к общей стохастической модели (2.1), (2.2) со случай-
ным источником ц, представленным гауссовским «белым
шумом» на соответствующем ST (Sn) •= [/’« (So)].
В такого рода модели задача о прогнозе получает сле-
дующее решение.

Теорема. Лаилучший прогноз для g в области
S s So по данным S3 = 31 (Sc) вне S дается (единственным)
решением n = geW(S) обобщенной задачи Дирихле:

(2.8)
в области S,

(х. и) = (х, 5),	те!(Г),	(2.9)

на границе Г = dS.

Попятно, что то же решение получается и при любых
других данных S3 s3l(Sc), содержащих граничные значе-
ния (2.5), с помощью которых ставятся граничные ус-
ловия (2.9) — поясним, что для соответствующих § =
= (ж, g) и решения «eW(S) граничной задачи (2.8),
(2.9) при всех пробных jeX(S) использование повтор-
ных условных математических ожиданий дает равенства
(х. I) -£[(^. |)/3] = £{£[(.?,	(№)]»} =

= £{£[(*, Ш$(Г)]/$} = £[(*, ЮМ(Г)] = (х, и).

Предлагаемое здесь решение задачи о наилучшем
прогнозе в случае гауссовского источника 1]
в (2.1) является следствием решения аналогичной задачи
о на и лучшем линейном прогнозе, к которой
мы и переходим. □

Обратимся к нашей модели (2.1), (2.2) с произ-
вольны м «белым шумом» т] на соответствующем
(	= [C~(S0)] в (2.1), некоррелирован-

ным с граничными условиями (2.2).

Напомним, что в (2.7) мы имеем то же & = L и р,
что и в исходном уравнении (2.1) для нашей модели
в области So — Т с оператором L = Ф > 0 в соответствую-
щем ST = 1Г = W (7), и в (2.7) появляются оператор
& = L*L и новый источник р для модели с общим
оператором L в пространстве ^" = 2’2(7)—при этом
новый источник р, который получается заменой ф G=
е С” (So) на £ср в исходном «белом шуме» р =
= (ф. р) из (2.1), представляется «белым шумом» на
н о в о м 2“ (So) = [Со00 (So)] = W (So), поскольку по
самому определению скалярного произведения в W —
= 1У(7) мы имеем

би.	= (Lu, Lv) g

(по этому поводу см., например, § 1 гл. II).

Отметим, что имея дело с источником р, представлен-
ным произвольным полем с некоррелированными
значениями на 2”(So) = 2’г(50) с невырожденной кор-
роля । тонной формой

£ (/. р) (g. р) = j f (i) g (t) o'2 (f) dt,	о2 (i) > c > (),

заменой в исходном p= (ф, p) переменного ф^З^в)
на -у ф можно получить новый источник р, используя
его в эквивалентном (2.1) уравнении того же типа
С НОВЫМ

k
получающимся из исходного оператора в (2.1) умноже-
нием на функцию l/о, что дает новый оператор 53 =
= L*L с сопряженным

h	'	'

Перейдем непосредственно к доказательству заявленной
теоремы.

В данных S вне области S s & содержатся и зсе
граничные значения

{X, g), ХЕХ(Го),

на границе Го = 55о самой области So, где рассматривает-
ся модель (2.1), (2.2). Имея эти данные, можно выделить
в g составляющую д+, получающуюся как решение
и = £+е W (So) обобщенной задачи Дирихле-.

&и = 0	(2.10)

в области So,

(х, и) = (х, I), хеХ(Го). (2.11)

Выделив таким образом все величины

®+ = {(.г, Г), ^^X(So)}, •
обратимся к разности

Г = I - ё+,
которая как функция = W (So) есть решение урав-
нения

5^" = т]	(2.12)

в области So при нулевых граничных условиях

(ж, Г)=0,	хеХ(Го).	(2.13)

При рассмотрении	нам	удобно будет	освободиться

от граничных	условий	(2.13),	обратившись	к	уравнению

(2.12) во всей области T^Sq с надлежаще продолжен-
ной правой частью ц = (ф, ц), ф е С™ (Т). Именно, вос-
пользовавшись ортогональным разложением

X = &W(SO)®X(SCO)
с IV (5) = [Со°° (50)] в W = W (Т) и подпространством
Х(5о) всех пробных х е X с носителями siippar е 5g
в дополнение к области So, для соответствующего ортого-
нального разложения

1Г = Ж(5о)ф^-1Х(5О

с унитарным ^-1: X -> W при u=-uo + v с uq^ W(So),
положим

(и, р) = (ио, р), u^W.	(2.14)

С так определенной правой частью р уравнение (2.12)
в области Т, однозначно определяющее Iе W =.W(Т)
с нулевыми значениями (х, ^) = (щ р) — 0 при всех
пробных х е X (19о) э X (Го), х = ZPv, в области So^T
будет давать решение граничной задачи (2.12), (2.13).
Для g“ s W при всех пробных х=&и, u^W, мы имеем
(х, %~) = (и, р),

где определенное в (2.14) случайное поле р = (и, р),
и е W, обладает тем свойством, что при любых ортого-
нальных ceW(So). и s W величины (ф, р), (и, р)
являются некоррелированными — поясним, что взяв
разложение и~ = и0 + V, для ортогональных ф, uq =
= и — v е J'F(S'o) получим некоррелированные (ф, р),
(ио, р) = (и.	р). В частности, для S е So мы

имеем некоррелированные (ф,	p),<|eC”(S),

п (я. р). ('£,'?'Xfy-j, с пробными де W из ортогональ-
ного дополнения к подпространству W (S) = [С^° (S)]
в Г/, где X(SC) представляет все пробные х^Х с носи-
телями supp х s Sc в дополнение к области S — напом-
ним, что

X^0W(S) © X(S°).

Итак, при федС”(5) мы имеем (ф, р) некоррели-
рованными с величинами из совокупности

%- = {(х, £-), геХ(5')},

которая вместе с выделенной в (2.10), (2.11) сово-
купностью й+ образует все данные S = ?l(Sc) вне об-
ласти S, на что укажем записью
Рассматривая нашу модель (2.1), (2.2), мы до сих
пор не оговаривали, какого типа граничные условия (2.2)
в ней ставятся. Будем считать теперь, что для детер-
минированных функций u^W(SQ) однородное
уравнение (2.1)

Lu — О

в области So имеет единственное решение прп произволь-
ных граничных условиях типа (2.2) — прп задании их,
скажем, с помощью надлежащего граничного оператора
Lo в форме

Lo(u — н+) = 0

С произвольным м+еИ'ф?;) (см. по этому поводу § 3
гл. II). В нашей модели граничные условия (2.2) такого
типа Х+(Г0) при произвольном их задании выделяют
(единственное) решение ^sW(So) уравнения (2.1).

При рассмотрении уравнения (2.1) с оператором
L = в пространстве 2~ — W=W(T) указанного
типа условия (2.2) есть обобщенные условия Дирихле
типа Х+(Го) = А'(Г’о), с помощью которых ранее была
выделена компонента t+ — см. (2.10), (2.11). При том ус-
ловии, что источник т] в (2.1) является некоррелированным
с граничными условиями (2.2), мы имеем величины
<р, ц), фе С” (5), некоррелированными со всей
совокупностью S = ЗВ U 31+, и в итоге при нулевом сред-
нем 2?(ф, т})= 0 для правой части ц в общем уравнении
(2.7) получаем

(ф, Т]) = £[(ф, T))/S9] = 0.

Аналогичный результат получается для модели (2.1),
(2.2) с общим оператором L в пространстве ST = 2?•>(Т).
Именно, при рассматриваемом типе граничных условий
(2.2) граничное АД Го) представимо прямой суммой

Х(Г0) =Х-(Г0) +Х+(Г0),

и для пробных х = х~ + х+ с х~^Х~(Го), х+^Х+(Г0)
мы имеем

(х, I) = (Х-, S) + (*+, Ю,

где x~ = L*g~ с g~ '(So) = 2z(So), ортогональ-
н ы м и всем Бф, ф£ (Д (So) — напомним, что

(L<P, g~) = 0
при всех ф'е (50). В случае исходного источ-
ника г) в (2.1), представленного «белым шумом» на про-
странстве ^(50)= 5?2(5о) и некоррелированного с гра-
ничными условиями (2.2), мы имеем величины (Лф, р)
некоррелированными со всеми граничными зна-
чениями

(ж, *) = (g~, -11) + (ж+, V),	жеЛ'(Г0).

Это говорит о том, ЧТО НОВЫЙ ИСТОЧНИК Т] в (2.7)
является некоррелированным со всеми граничными
значениями (ж, %), теЛ’(Го), и дает в области S величи-
ны (<р, г]), фбС (5), которые некоррелпрованы с
53 = §[- V 51+, и для них в правой части (2.7)'

(ф, >1) = £’[(ф, т])/Э] = 0.

В итоге получается следующий результат.

Теорема. Наилучший линейный прогноз для g в
области S по данным вне S дается (единственным)
решением w = ^eW(5) обобщенной задачи Дирихле
(2.8), (2.9). □

Этот результат показывает, в частности, что наилуч-
ший линейный прогноз по всем данным %5 = %L(SC) вне.
области S оказывается таким же, как и наилучший ли-
нейный прогноз по данным только лишь граничным зна-
чениям 51(Г), а именно,

Е[(х, g)/Sl(5e)] =£[(ж, £)М(Г)]	(2.15)

при всех пробных x<^X(S) в замыкании [5] области 5.
Выраженное в (2.15) свойство можно назвать марков-
ским (в широком смысле). Для гауссовского g оно
означает, что при указанных в (2.5) граничных данных
31 (Г) случайное поле § в области S не зависит от собы-
тий вне этой области, определяемых указанными
в (2.6) данными 51 (5е). Уточним, что речь идет об ус-
ловной независимости § в S от 51 (5е) при дан-
ных 51 (Г), которая при использовании определяемого по
51 (Г) решения «. = ceW(S) граничной задачи (2.8),
(2.9) объясняется (безусловной) независимостью раз-

ности

lo = ?~^W(5)

в области S от величин 51 (5е) и выражается в том. что
условное распределение вероятностей совокупности ве-
личин (ж, g), suppars [S], относительно 9l(Sc) такое же,
как и относительно $[( Г) s 9l(Sf') —поясним: за вычетом
условных средних (ж, п.) = Е[(ж, §)Д(Г)] условное
распределение величин (ж, £) такое же. как у независи-
мы'-: от ?l(Sc) величин (ж, £о), supp ж s [5].

2° Наилучший прогноз и марковское свойство. До-
пустим, перед нами стоит задача о наилучшем прогнозе
случайного поля g, описываемого общей моделью (2.1),
(2.2), которое в интересующей нас области S s So обла-
дает марковским свойством, а именно, условное распре-
деление величин

21(5)={(ж, g), suppars [S]}	(2.16)

относительно данных 9l(Sc) вне области S такое же,
как относительно граничных данных 91 (Г) на гра-
нице Г = dS —напомним, что введенные ранее Й(Г),
Й(5С) определяются аналогично (2.16); см. (2.5), (2.6).
Понятно, что при наличии марковского свойства наилуч-
ший прогноз и = £ <= W(S) по данным 3,

Я(Г) e8^9I(Sc),

получается, согласно общему уравнению (2.7) как един-
ственное) решение уравнения

0>u = f	’	(2.17)

в области S с правой частью /=т],

(Ф, П) = £[(<р, 1])/?1(Г)].	феС”(5),

при граничных условиях

(ж, и) = (ж, £), жеХ(Г),	(2.18)

поставленных с помощью граничных данных Й(Г). Мож-
но представить, например, что нам как-то удалось по-
лучить дополнительные данные, связанные с £ в «недо-
ступной» области S — скажем, это какие-то данные
5Э(Г®) ^91(Г8) в малой окрестности Г’ границы Г = dS,
которые в совокупности с прежним S3 составляют
®V93(re). Как на основе новых Э(Г®) подправить наи-
лучший прогноз?

На первый взгляд может показаться очевидным, что
в уравнении (2.17) для наилучшего прогноза нужно лишь
подправить правую часть /, взяв там /=р с

(<Р, р) = £[(<₽, р)/31(Г) V$(rf)],	Фе=С“(5),

что отвечает замене исходных граничных данных 21 (Г)
на более полные данные 21(Г) V23(re) в окрестности Гг
границы Г = dS. К сожалению, такое решение может
оказаться ошибочным, так как = р в области S может
стать при расширенных данных Ш(Г) V 23 (Р) существен-
но зависимым от S3 s Я (5е). Проиллюстрируем это на
простейшем примере броуновского движения § = S(i),
t^T, в модели (2.1), (2.2) с 5o = jT = jR\{O} и опера-
тором 3* = —d2ldt2 в соответствующем пространстве 3~ =
° °

= W =W(Г) типа Соболевского Иг (Л— поясним:
в качестве источника р в (2.1) используется производ-
ная гауссовского «белого шума» на 272(7’)- При наплуч-
шем прогнозе в «будущее» 5 = (0, оо) мы имеем не-
зависимость g в 5 от «прошлого» UO, Р5' = (—<», 0] —
поясним: £ (0) = 0. Налицо марковское свойство, выра-
женное полной независимостью 21(5) от 91 (5е) при три-
виальном 21(Г) = 0 на точечной границе Г = (0). Однако
2((5) и 21 (5е) становятся существенно зависимыми
при данных «(Г) V93(P) = £Э(ГЕ) с

23(Г)={(Ф, р), феС(Г')]£«(Г');

достаточно указать здесь на явную зависимость величин
pi= Ц(3е) - Ue)] - 1ё(е) -g(-e)]

T]2 = [U-3e) - s(—е)] + [g(e) - g(-e)]

с общей компонентой рз = (Ue) ~ U-е)], каждая из
которых не зависит от 23(ГЕ), а щ и р2 должны были бы
быть условно независимыми относительно 23(Г') в случае
условной независимости 31(5) и 21(5е) относительно
21(Г) V 23 (Гв) = 2Э(ГВ) —к этому мы еще вернемся при
рассмотрении устойчивости марковского свойства по
отношению к допустимым расширениям граничных дан-
ных 21(Г). *)

*) См. Розанов Ю. А. Марковские случайные поля.— М.г
Наука, 1981, где аналогичный пример был приведен в связи с оши-
бочностью некоторых имеющихся ранее представлений о марков-
ских случайных полях.
Наш пример указывает на нетривиальность самого
марковского свойства, для модели (2.1), 2.2) равносиль-
ного тому, что имеющийся в правой части (2.1) слу-
чайный источник т] в области S So является условно
независимым от поля £ вне этой области при гра-
ничных данных 91(Г), и в частности, условно независи-
мым от р = Li, в дополнительной к S области S+ = 5о\ [5],
что, вообще говоря, может пе быть даже в модели, пред-
ставляющей источник т] как обобщенное случайное поле
с независимыми значениями. □

Ранее мы установили марковское свойство для модели
(2.1). (2.2) в области So — T со случайным источником
гауссовского «белого шума» в (2.1), действие которого
внутри Sr, не зависит от граничных условий (2.2) на
границе Го = б Sr,.

Рассмотрим теперь источник р, представленный
произвольным случайным полем с независимыми
значениями, обратившись к модели (2.1), (2.2) в области
Sa^T с общим оператором L в пространстве = 2?2(Т)
и внешними граничными условиями, на Го = dSo типа
Х+(Г0), в которых граничные пробные жеХ+(Г0) свя-
заны с соответствующими	вне области 5.э

п могут быть представлены как x = L*g с g = 0 в 5о,
L*g = 0 в дополнительной области 50 = Г\[50]— см.
по этому поводу § 2 гл. II.

Обратимся к

91(5), 91 (Г), 91 (5е),

порожденным случайным полем g па [5], Г, Sc — см.
(2.16).

Используя о-алгебры событий, порождаемые соответ-
ствующими случайными величинами, марковское свойство
условной независимости 91(5) от 91(5е) относительно 9((Г)
можно коротко описать, сказав, что ЭД (Г) расщепляет
о-алгебры 91(5) и 91(5е), или, иначе, что 91(Г) является
расщепляющей а-алгеброй для 91(5) и 91(5е).

Мы покажем, что не только 91(Г), но и ее любое
расширение 91 (Ге), порождаемое соответствующими ве-
личинами

91(Ге) ={(.г, g), supp.rs [Г®]}

из замыкания окрестности Г8 границы Г — dS, яв-
ляется расщепляющей о-алгеброй для величин
91(5) и ЭД(5е). □
Напомним сначала некоторые известные свойства рас-
щепленных о-алгебр*).

Определим S3 как расщепленную а-алгебру для 311 и
й2, если при данном S3 о-алгебры Sli и 312 являются ус-
ловно независимыми в том смысле, что для условных
вероятностей при любых событиях .4is9li и	вы-

полняется равенство

Р(41Л2/8) = Р(Л1/Э)Р(Л2/8).

С использованием индикаторов = 1дг, = 1д событий
А], А2 указанное равенство можно выразить как

Е(Ш®) =Е(Ы^)Е(121Ъ)ь

и это распространяется на любые величины Si. S2 е Н =
= S’2(O), измеримые относительно Sli, ®2-

Расщепляя Sti и о-алгебра S3 расщепляет также
расщепленные о-алгебры Sli = SJti V S3 и Ш2 = V S3
(порождаемые дополнительно к Sti, Я2 еще событиями
из 8), что непосредственно видно для событий Aj=A1Sl
в Л2 = -42В2 с ^isSli, 42 еSt2 и Bi, В2^$. порождаю-
щих 6-алгебры Sli, Я2 — поясним: для индикаторов ука-
занных событий

Е ( 1аА- Цв2/8) = ЦЦЯ (Ц/8) Е (1Л2/Э) =

Определенная выше условная независимость 911 и ЗО
относительно 8 равносильна тому, что для всех событий
Ai е= St]

Р(Л1/«2 VSB) =P(41/S);

поясним это, указав в случае расщепляющей о-алгебры
8 на равенство

Е - £(^/8) ] f2 = Е{Е - £(£./8) ] ЫЗ) = 0

для измеримых относительно Sli, 8=312 величин
S2 е Н, которое означает, что

£(^/S3) = £(^/®2 V8)

*) См., например, Knight F. A remark on Markovian germ
fields / Z. Wahr. Geb.— 1970,— Bd 15,— S. 291—296.
t-сть проекция величины gi на подпространство Я(Я2 V 8)
измеримых относительно Я2 '/8'величин в Н = 3?2(&).

Парадоксальным на первый взгляд кажется тот факт,
что расширение 8 э® может уже не быть расщеп-
ляющей о-алгеброй для Яц Яг. Вспомним как пример о-ал-
гебры

®i=8(0, °°), Э=®(~8, б), Я2 = 8(-°о, 0),

порождаемые производной гауссовского «белого шума» на
интервалах (0, о°), (—е, б), (—°°, 0), где независимые
о-алгебры Я; и Яг являются условно зависимыми
относительно о-алгебры 8 (которую можно рассматри-
вать как расширение тривиальной о-алгебры 8) —
ранее была указана явная (условная) зависимость со-
ответствующих 8|V8='8(—е, оо), ЯгУЭ = ®(—°°, е) от-
носительно 8.

Оказывается, что расширение 8 расщепляющей о-ал-
гебры 8 будет также расщепляющей о-алгеброй, если
8 получается как

8 = 8!V8VS2

присоединением компонент 8[^Я1, ®2^Я2; поясним это,
скажем, пир 8 = 8 V 82, когда для любой измеримой
относительно Я] величины £i е Н и 8г s Я2

Е^/Я) = Е[Е(^У^)/^] =

= Я[£(^/8)/8] = Я(^/8) =£(^/Я2У8)

с Я2 V 8 = Яг V 8. Понятно, что во всех указанных ранее
соотношениях о-алгебры Я] и Яг можно поменять места-
ми — их условная независимость относительно 8 симмет-
рично отражается на свойствах Яь Я2.

Укажем еще операцию сужения расщепляющих
о-алгебр; именно, при расщепляющих 81 э 82 з ... рас-
щепляющей будет также предельная о-алгебра

8 - П 8„,
п

что непосредственно следует из самого определения и
непрерывности условных вероятностей/математических
ожиданий относительно предельного перехода от 8 = 8„
к 8 =• П 8„. □
Вернемся к нашей модели (2.1), (2.2) со случайным
источником т] = (ф, ц), непрерывным относительно проб-
ных Ф е С» (So) по норме || ф = 1| ф |l_g>2 п продол-
женным по непрерывности на все ф е (So) = -ЙМ^о) •
Для случайного поля с независимыми значениями порож-
даемые им величины

2Э(5)=Д(ф, р), фе^2(5)}

в произвольной области S s So п е зависят от величин
S3(Sc)=4(g, 1]), ge^2(S')}

вне S, что является следствием независимости от S3 (S')
величин (ф, 1]) при пробных феС0 (S), каждая из
которых имеет к о м п а кт н ы й носитель supp ф S, не
пересекающийся с замкнутым Sc. Сразу же отметим, что
независимость 8(S) и S(SC) переходит в услов-
ную независимость относительно о-алтебры Z =>
= S(P), порождаемой величинами (g, Tj), geSf^fP),
в любом расширении Г'ч Г границы Г = dS, что являет-
ся следствием разложения

S(P) =s(p)- vs(p)+

на компоненты, порождаемые соответственно величинами
(g“, ц) и (g+, т]) с g-e^trnS) и g+ ^^(Р П Se)~
поясним: каждая функция geS5?!!') представима , как
g = g~ + g+; более того, при любом ГЕэ Г п-алгебра
S3(Р) является расщепляющей для 8(S U Р) и 8(SC U Г4).
Указанная здесь условная независимость случайного по-
ля г] в произвольных (замкнутых) Si=SUP и S2 =
==S;Lir' при задании его на расширенной границе
Р = S’i П S’2 определяет так называемое устойчивое (гло-
бальное) марковское свойство, означающее устойчивость
свойства условной независимости S(S) и SS(SC) при ука-
занных выше расширениях граничных условий. Отметим,
что согласно разложению

^2(S0) = ^2(S) +^2(Г) +^2(S+)

для области S ж S( | с границей Г = dS и дополнительной
областью S+ — Sq\ [S], устойчивым (глобальным) мар-
ковским свойством обладает всякое обобщенное марков-
ское поле т) = (ф, ц) непрерывное по ф е С^° (So) отно-
сительно IItIIs’j,— уточним, что марковским называют
такое обобщенное случайное поле, для которого соответ-
ствующпе £3(5) и 8(5+) условно независимы относитель-
но граничной О-алгебры §3(Г), определяемой как
пересечение

53(Г) = П£Э(Ге)

по всем (открытым) Гг => Г.

В дальнейшем нам удобно будет использовать замк-
нутые окрестности Г’ границы Г = dS, обратившись к
марковскому случайному источнику т] в (2.1), для
которого порождаемые им 8(5) и 8 (5е) будут условно
независимы относительно 2? := £3(Г'!); более того, для та-
кого источника ц, действие которого внутри области 5о
не зависит от граничных условий (2.2) на границе
Го = д5о, мы имеем соответствующую о-алгебру 8(5)
условно независимой от о-алгебры 8(5е) У91+(Го),
дополнительно порождаемой граничными величинами
(x, j+)> жеХ+(Го). Здесь расщепляющую о-алгебру
8 = 8(ГЕ) можно расширить до о-алгебры 8 = 5((Г')э
2Э(Г!). порождаемой всеми величинами (ж, %), supp .z s
ЕГ'. с пробными .геА’(Г'). Дело в том, что в нашей
модели (2.1), (2.2) в области So^T каждая пробная
функция х <= Х(Ге) представима как х = L*g eg <= S'ztT),
L*g — 0 в области

Г\ [Г‘] = (5\ [Г']) U (5е \ [Гв]),

где при разложении

g = g' + g+



на компоненты
g-e^2(5), g+e^2(5e)

мы получаем разложение

х = х~ + х+

на х~, z+ = X(Te) с x~ = L*g~ и х+ = L*g+, для которых
(ж-, B) = (g", T])eS(5), а (ж+, g)е8(5е) V §1+(Г0). что
непосредственно видно из дополнительного разложения

g+ = g+" + g++

на компоненты

g+-E^2(5e\50)

и
для которых

СЛ Ю = (g+-, п)+ (я++, Г)

с пробными

ж++=£*£++е=Х+(Го),

определяющими внешние граничные условия типа
Х+(Г0) в (2.2). Согласно указанным разложениям, мы
имеем представление

91(Г8) =Я(Г’)- V9C(P) +

(2.19)

с 91(Ге)~ = 99(5) и 5((Гг)+г«(№) W+(r0), которое ука-
зывает на то, что расширение 91 (Г8) эй(Г') является
расщепляющей о-алгеброй для 8(5) и 8(SC) 791+(Г0).
Здесь 9((Ге) будет также расщепляющей для расширений

$9(5) V9t(P)= 91(5)

и

9((Г8) V8(SC) V9l+(r0) =9С(5с),

что дает нам устойчивое (глобальное) марковское свойство
случайного поля 9t(5) условно не зависит от 91 (5е)
относительно 91 (Г8) *).

Вернемся к источнику ц с независимыми значениями,
когда 99(5) и $9(5С) расщепляются о-алгеброй $Э(Г) s
s9Ur), порожденной величинами (g, ц), ^е^г(Г) —
понятно, что для границы Г = dS нулевой меры $Э(Г)
является тривиальной; в случае источника в (2.1),
действие которого внутри 50 не зависит от граничных
условий (2.2) на границе Го = д50, для нашей модели
(2.1), (2.2) в области 50 s Т с внешними граничными
условиями (или в So = Т без каких-либо граничных ус-
ловий) в силу аналогичного (2.19) разложения

9Г(Г) = 91(Г)- V9l(T) +

(2.20)

получается следующий результат

*) Ср., напрпмер, К u s и о k a S. Markov fields and local ope-
rators // Journal of the Faculty of Science, Univ. Tokyo.— 1979.—
V. 26, № 2.— P. 199—212, где устанавливается сохранение устой-
чивого (глобального) марковского свойства при локальных невы-
рожденных преобразованиях вида = ц на пространствах типа
^• = ^2.
Теорема. Случайное поле g обладает устойчивым
(глобальным) марковским свойством и, в частности, для
любой области S~S0 а-алгебры %L(S) и 91(5°) условно
независимы относительно граничной а-алгебры 91(Г) па
границе Г = dS.

Подчеркнем, что устойчивость означает сохранение
свойства условий независимости 91(5) и 91 (5е) при расши-
рении граничных данных до 91 (Г8) на любом [Г8] =Г.
Однако это вовсе не означает сохранение условной не-
зависимости 91(5) и 91(5°) при всяком расширении 9ЦГ)
до 91(Г) V99(re) с каким-либо 93(Ге) г9((Г8), на что уже
фактически указывалось выше в примере броуновского
движения в модели (2.1), (2.2) с L = dldt в Т = Иг \{0}
и гауссовским «белым шумом» г] в = 2?$(Т) = 3?2(R),
когда для 5 =(0, °°), 5е =(—°°,0] и 8(Ге), порожденном
обобщенной производной — r\' = L*-r] = ^ «белого шума»
т) на интервале Г = (—е, е), мы указали на явную (ус-
ловную зависимость «будущего» 91(5) и «прошлого»
91(5е) при данных 91(Г) V 93(Г8) = 9)(Г8) с тривиальным
91 (Г) на точечной границе Г = {0} с граничным значением
ЦО) =0 — поясним еще, что в противоположность раз-
ложению вида (2.19), (2.20) мы здесь имеем

Э(Ге) ^Э(Г8)- V93(T8)+,

где указанная справа о-алгебра порождается компонен-
тами

(ф-> *1), (ф'+, л),
появляющимися при разложении

— (ф, т]') = (Ф\ П) = (Ф-, п) + (ф+, п)

с S’2(S), ф'+е S?2(5C) в ф' = ф1 + ф'+е C^(rE). □

Вернемся к вопросу о наилучшем прогнозе в рассмот-
ренной выше модели, когда в общей граничной задаче
(2.17), (2.18) для наилучшего прогноза u = geW(5)
случайного поля £ с марковским свойством в области 5
правая часть / = т] в уравнении (2.17) может быть оп-
ределена, согласно разложению (2.20) с 9С(Г)_ £8(5),
9Г(Г)+Е©(5е) 7 9П(Г0), как

(<р, л) = Е [(Ф, ц)/9Г (Г)~], Ф е С? (-5),
где, напомним,

Я(Г)- = {(я, В), хеХ-(Г)}

отвечает граничным х = L*g с g^Z’o(S), L*g = 0 в об-
ласти S. Случай, когда таких g^2?2(S) нет, мы охарак-
теризовали ранее тем, что назвали соответствующие гра-
ничные условия типа Х+(Г) =Х(Г) внешними. Ясно,
что в этом случае, когда 9((Г)~ = 0, при источнике ц с
нулевым средним в правой части уравнения (2.17) нуж-
но взять f = 0 и, более того, саму граничную задачу
(2.17), (2.18) нужно заменить более простой граничной
задачей с уравнением

Lu = 0

(2.21)

в области S и внешними граничными условиями

(х, и) = (х, е),	хеХ+(Г)=Х(Г),	(2.22)

на границе Г = dS — ее решение и дает нам наилучший
прогноз и = ge W (S).

Иллюстрацией к этому может служить прогноз на
«будущее» в хорошо известной модели (2.1), (2.2) с
обыкновенным дифференциальным оператором

L = 2 ahdk/dth
k -ср

на бесконечном So=(io, 00) при граничных условиях
(2.2) с (начальными) производными |<ft,(io). к = 0. ...
..., р—1, задающей случайный процесс £ = £(<),
вида

ё (0 = 2 g(/t) (С) "ь (t, t0) +
ь=о

t

\	1 (i, s) Т] (Js),

К

где uk(t. to), & = 0,..., p —1, есть система решений од-
нородного уравнения Lu = 0 в 50 с граничными условиями

(п.),,	I1- т = к

Uh о) " (о, т к

(т = 0, ..., р — 1),

а ц (ds) — стохастическая мера с независимыми значе-
ниями, отвечающими источнику т] на (So) = S'zfSo) 
Именно, рассматривая S=(t, °°), мы видим, что на от-
резке (io, i] = Sc случайный процесс | определяется на-
чальными c,m(t0), к = 0,...,р—1, и источником ц на
интервале (t0, t), и, таким образом, для задаваемых
производными (t), к = 0,..р — 1 граничных значе-
ний 21 (Г) на границе Г = {/} мы имеем соответственно

Я(Г) e23(Sc) V2C+(r0),

что при независимости от граничного 21+(Г0) на Го = {io)
случайном источнике ц с_ нулевым средним дает для
наилучшего прогноза M=ge:W(,S) граничную задачу
(2.21), (2.22).
ГЛАВА IV

ГАУССОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ

§ 1. Некоторые вспомогательные предложения *)

1° Гауссовские величины и о-алгебры событий. Имея
дело с той или иной совокупностью {£} действительных
случайных величин, их называют гауссовскими, если га-
уссовскими являются совместные распределения вероят-
ностей любых (взятых в конечном числе) величин этой
совокупности. Напомним, что гауссовское распределение
вероятностей в Rn (распределение случайных величин
§1, ..., 5п) имеет характеристическую функцию

{п	\	1 п

i	( = exp ] I й/Ak п~	г •

k=l	J	I k—1	k,j=l J

(%i, ..Z„) Rn,
с параметрами

ah = E%k, bhj = E(lk-ak)	— k, ] = n,

которые, подчеркнем, непрерывно зависят от величин
51, ..5„ в гильбертовом пространстве Н = .2?2(й); отме-
тим, что для 5ь • • , gn с нулевыми средними и невырож-
денной корреляционной матрицей R = {bkS} в Rn имеется
плотность вероятности

---—------т- ехр [—(Е~гх, ж)1,
(2л) det-(	2 4	’

x-=(xi, ..x„)^R“.

Ограничимся рассмотрением действительного Н =
= 272(й). В нем замкнутая линейная оболочка Я = Я(5)
произвольной совокупности {5} гауссовских величин даег
нам гауссовские же величины {т]1 = Н. Благодаря этому
обстоятельству, например, при переходе от гауссовской
случайной функции 5(^), t^T, переменного t^T в об-

*) См. также Розанов Ю. А. Гауссовские бесконечномер-
ные распределения /Тр. МИАН СССР. Т. 108.— М.: Наука, 1968.
ласти Т s/1' к величинам

(Ф, 5)=

мы получаем обобщенную гауссовскую функцию
(ф. ф е (Т). Остановимся на этом несколько под-
робнее.

Интеграл от гауссовской функции. Рассмотрим гаус-
совскую функцию £(£), t е Т, на измеримом пространстве
Т с мерой m(dt) как функцию со значениями в про-
странстве ^(О), считая ее (сильно) интегрируемой. На-
помним, что кусочно постоянная функция %(£), принима-
ющая постоянные значения на измеримых множествах

I («) = k е Aft. к = 1. 2. .. . ( и -- Г),
называется интегрируемой, если интегрируемой является
числовая функция Hg(i) II, tsi'; при этом

g (Z) m (dt) = 2	ОМ;

т	&

произвольная функция c,(t) называется интегрируемой,
если найдется такая последовательность интегрируемых
кусочно постоянных функций %n(t). что

lim j || g (t) — In (О (I m (dt) = 0;
г

при этом (сильный) предел

f g (/) m (dt) = lim f c,n (t) m (dt)

T	T

не зависит от выбора аппроксимирующей последователь-
ности. Ясно, что аппроксимирующие функции |п(£) всег-
да можно взять со значениями в замкнутой линейной
оболочке величин ^(t), t^T (обозначим ее II), посколь-
ку для проекций gn(0 величин g„(it) на II мы имеем

^(t)~ln(t)\\^^(t)-^n(t)\\.

Таким образом,

f - (t) m (dt) e H,

T
где для гауссовских величин £(/), t^T, совокупность’Я
является гауссовской.

Отметим, что функция g(Z)e Н = .S^O), t^T, ин-
тегрируема тогда и только тогда, когда действительная
функция

g(i)=g(co, i), (со, t)<^£lXT,
пары переменных (со, t) измерима относительно произ-
ведения мер Р X т и

j || g (i) || т (dt) < оо.
т

При этом в качестве надлежащей аппроксимирующей по-
следовательности можно взять действительные кусочно
постоянные функции £„(!) = £„(и, t), принимающие ко-
нечное число различных gnfi на непересекающихся множе-
ствах Л„йХАпк с	и Ank^T (совокупность мно-

жеств указанного вида порождает о-алгебру измеримых
множеств в произведении ЙХГ). Отметим также, что
интеграл । g (t) т (dt) как величина в пространстве Н =
= S>2(Q) есть

I g (t) т (dt) = ( g (ю, t) т (dt), со е ф,
т	т

где справа стоит интеграл от числовой функции g(co, t)T
t^T, при фиксированном со; этот интеграл существует
при почти всех со е Q, поскольку

j j I £ (®, t) | m (dt) P (da) < j j] g (t) || m (dt).

h т	т

Гауссовские G-алгебры событий. Рассматрпвая сово-
купность гауссовских величин {£} и порождаемую ими
о-алгебру событий Sl = 9t(g), можно перейти к их замк-
нутой линейной оболочке Н = Н(Е,). При таком переходе,
имея дело с различными гауссовскими Н и порождаемы-
ми ими о-алгебрами §1, пересечение Г)31 можно охаракте-
ризовать как а-алгебру, порождаемую гауссовской сово-
купностью [}Н.

Покажем это для последовательности гауссовских Н =
— Нп, п = 0, 1, ... Используя подпространства Н„ в Н =
= 2>ч(И), каждое из которых образовано величинами,
измеримыми относительно соответствующей о-алгебры %пт
достаточно показать, что пересечение

пн = н„

совпадает с подпространством Н„ величин, измеримых
относительно о-алгебры порожденной гауссовской со-
вокупностью

Н,: = ПНп.

Не меняя обозначений, будем считать Нп = П Нк. Вос-
п

пользуемся тем свойством гауссовских Нп, что ортогональ-
ные дополнения Н„ = H,t-i © Нп будут независимы-
ми при различных п = 1. 2, ..., и

СО

Я0 = яоо© 2 Я,t.

12 = 1

Обозначив через о-алгебры, порождаемые Нп, мы
имеем как порождаемую независимы м и о-алгеб-
рамп 91 „ и

ОО
= v С.'
П=1

Рассмотрим всевозможные произведения g • величин
в Но. где с измеримы относительно 9U, а — относи-
тельно (скажем, речь идет об ограниченных величи-
нах). Такие g • в совокупности образуют полную си-
стему в Но; при этом в разложении

их=(2О+шх-^х)

первое слагаемое входит в подпространство Нте, а второе
ортогонально ему, так что всевозможные §(gx — об-
разуют полную систему в ортогональном дополнении

Hi = н0©Ноо.

Возьмем произвольную величину т] из пересечения всех
Н„, n—i, 2, ... Будучи измеримой относительно 91п, она
не зависит от (при каждом тг = 1, 2, ...) и, следова-
тельно, не зависит от Sli = \/ 91,), что указывает на орто-
гональность т] системе величин с(^х — Я£х), и, таким
образом, 1] входит в подпространство Hoo = H0©Hi, что
и требовалось доказать.

2“ Полиномы от гауссовских величин. Пусть {с) —
произвольная совокупность гауссовских величин и Нр =
= Я-1'(5)— замыкание в пространстве Н = 2\(О) всех
полиномов степени не выше р от величин {V- Включив
в рассматриваемую совокупность величину g = 1, можно
сказать, что Нр есть замкнутая линейная оболочка про-
изведений £[... к^р, всевозможных величин из {g};
в частности, Н — II1 есть замкнутая линейная оболочка
самой совокупности {£}. Очевидно, что Нр не изменится,
если а качестве исходной совокупности взять все вели-
чины {т|} = Н.

^(i]) = №(5)	(1.2)

— поясним; для гауссовских величин их произведения
5i... Д непрерывно зависят в # = -S?2(O) от 5ъ • •
и для предельных

pi = limgi, .... т)й = lim

в Н‘ получается, что

Hi • •  Па = Hingi... gft
в

Условные математические ожидания. Рассмотрим про-
извольную совокупность {т|} Е Н (g), произвольную вели-
чину (5)е нр (5) п ее условное математическое ожида-
ние относительно {ц}; оказывается, что

(1.3)

Покажем это. При р = 1, имея дело с гауссовскими
величинами (g) = 5 —	(5)  получаем

£[<Р1(шад=1

как проекцию g величины 5 на подпространство Я*(ц),
поскольку ортогональная к II1 (ц) гауссовская величина
5—g не зависит от {ц} и

£[5-1/{р}] = £(5-1) = 0.

Допустив справедливость (1.3) при всех p<q и рассмат-
ривая при p — q соответственно <рд(5) = »1 • • • возьмем
проекции Д, ..., §5 на Я!(т]) и положим

'Ф'г (S) = (si fei)• • • (£i 5<г) •

Величина 4'«(i)e^’(B) не зависит от {ц), и

£bMBW] = Я^-

Разность полиномов <рд(Е) — ifp(5) представляется линей-
нои комбинацией произведений вида

(К ••• Ч)(Ч+1 ••• Ч)’ p<q'
для которых

£[(Ч	=

= Е [(£ьг . • • ёкр)/{т]}] (Ц,-1  • • ?"7),
где, согласно нашему предположению о справедливости
включения (1.3) при p<q, мы имеем

Е [(Ц • •  ЬР)/{П}] ее Нр(р),
и вместе с глр+1, •	(р) это дает

£[(Ц •  • ЧШИЧ-Н  -	"’"D-

В итоге получается, что

£[фв(е)/Ц>] = Я[фЛ5)-^(£)Лп>] + £1Мь)еЯ’(1р.

Ортогональные разложения по полиномам. Для про-
извольной гауссовской совокупности {£} всевозможные
полино м ы образуют полную систему в подпространстве

Н(^)-Я = ^2(й)
всех случайных величин, измеримых относительно по-
рождаемой (V*) о-алгебры 91(£).

Обратившись к подпространствам Нр = Нр(-), порож-
денным всеми полиномами <р(|) степени не выше р, мож-
но процессом ортогонализации перейти к подпростран-
ствам

яР(Ю = ^(Юея₽-1(Ю, р = 1, 2, ...,	(1.4)

включив сюда также Я0(^)='Я°(5), образованное всеми

*) Например, непосредственно видно, что для любой линейзой
комбинации g = У, величин из {£}

h

а функции вида ф ($) =<? к образуют полную систему в
комплексном Н(£) при любой совокупности действительных вели-
чин {£}.
постоянными. Получающиеся таким образом

называют полиномами Эрмита от гауссовской совокупно-
сти {^}. Понятно, что имеют место ортогональные разло-
жения

р	ОО

яр©= 2 эЯИё), Н(е)=2®Яй®.	(1.5)

h=0	k=0

Рассмотрим две произвольные совокупности {^) и {т]1
с тем лишь условием, что их совместные распределения
вероятностей являются гауссовскими. Казалось бы, для
различных ЯР(5), Яд(т|) нет оснований ожидать каких-
либо особых связей, однако на самом деле имеет место
следующее соотношение ортогональности-, при p^q

яР(Ю-ья,(п).	(1.6)

Докажем это. Пусть для определенности р< q. Рас-
смотрим произвольную величину ф = ф(д) s//,-,(;) и ее
условное математическое ожидание

ф = Е [ср/{т]}] £=Н₽(т])

— см. по этому поводу (1.3). Как известно, <р есть проек-
ция величины ф на все подпространство Н (г|) = Нр (ц) ®
ф У Яй(ц) и, в частности, ф — ф-L ЯДц), q> р, что вме-
/>;> _

сте с ортогональностью Нр(т])-Lпри гре//’(т])
дает ф = (ф. - ф) + ф J- Яд(т]).

Согласно установленным выше свойствам полиномов
Эрмита от гауссовских величин {§}, для любой совокуп-
ности

{тД^ЯДЮ

подпространство Н(г|)еН(|) оказывается инвариантным
относительно оператора проектирования на подпростран-
ство а именно,

Н(ц)-ЯР(ц);	(1.7)

поясним: в ортогональном разложении	Н(ц) =

сс

= 2®Я^(»]) все ЯДц) (к р), являются ортого-
h=0

На льны ми к

яРа)-яР(т]).
Отметим, что в классическом анализе полиномами, Эр-
мита принято называть полиномы фР(ж) от действитель-
ного переменного, ортогональные при различных степе-

1 ~х2/•>

нях р = 0, 1, ... с «весом» р (х) =	_= е

|/ 2 л

р	(О, р^а<

J 4PW<fg(x) p(x)dx

У«>	. Р = <7-

При любой гауссовской совокупности {£}, взяв в Н —
полную ортонормированную систему {ц}, можно
получить полную ортонормированную систему во всем
ОО

пространстве Н (£) = У, Hk (£), образовав всевозможные
s=o

величины вида

Ф^ (Пт) • • • Фл„ (П»)

с различными тр, ..., т)„ пз системы {ц}.

3° Одна теорема сравнения для квадратичных форм
от гауссовских величин. Речь будет идти о сравнении
дисперсий квадратичных форм вида

п
ф (ё) У
J,h=l

от гауссовской совокупности {£} относительно различных
распределений вероятностей — скажем, Р и- Pq. Поеятно,
что здесь можно было бы говорить о различных {§} и
{%0} с распределениями Р и Pg при установленном взаим-
но однозначном соответствии

s — 1°

величин из рассматриваемых совокупностей '?} и
сравнивая дисперсии соответствующих

ф®= i cjh^k, Ф(ё°)= у
j,k=i	j,k~i

Рассмотрим гауссовские gi, .... gn с нулевым средним
и корреляцией

ВЛ = Е%£к,	],k=t,...,n.

Для симметричных
с коэффициентами Сй = сйз- получаем

Е | ф Q) — E<f (g) |2 = 2 2 2
j,k l,m

II гпользуя вероятностное пространство Q с заданным
на п .рождаемой совокупностью {§} о-алгебре 81 общим
(гауссовским) распределением Р и произведение QXQ
с вероятностной мерой Р X Р, обратимся к симметриче-
ской билинейной форме

ф (со, со') = 2 Cjklj (со) с,ч (<о')

М

•от (со. (1)')^ Q X Q; для нее, как легко проверить,

j । I Т (со, со') |2Р (</со) Р (dto) =

= 22 WimBpB^ = | ЕI ср (ё) - Eq (g) |2. (1.8)
j.'t 1,т

Рассмотрим теперь различные Р п Ро. Допустим, что
для всевозможных линейных форм от {§}

•е'|2оЛР<^012слЬ|2,	(1.9)

I к |	I h I

где указанные математические ожидания берутся отно-
сительно Р. Ро. Тогда для всех квадратичных форм <p(g)
справедливо неравенство

Я|ф(В) -£ф(£)I2X С2£о1ф(В) -£ф(ЮI2- (1.9').

Покажем это. Очевидно, что в силу (1.8), мы имеем
соот.ч штенне

J J I Т (со, со') |2Р X Р = ( Е I 2 [ 2 Cjhlk (co')l sj ¥Р (ско’)<^

V I j I k	-1 J

< c J’ Eo | 2 [2 cjhik (co')] \2P №> ) =

= C Ц|ф(со,со')|2.РохР,
которое аналогичным образом продолжается в неравен-
ство

\ f | ф (со, со') \*Р X Р < С2 I ф (со, со') |2Р0 х PQ

— оно с учетом полученного выше общего выражения
(1.8) для стоящих здесь интегралов и дает неравенст-
во (1.9').
4° Отношение правдоподобия. Рассмотрим гауссов-
скую совокупность {£} с различными распределениями
вероятностей (скажем, Р и Ро). Имея то или иное данное
вероятностное пространство Q с определенными на нем
случайными величинами g = ^(w), со е Q, и говоря о рас-
пределении вероятностей совокупности (g), обратимся
к соответствующим вероятностным мерам Р и Ро па с-ал-
гебре Я, порождаемой {£}. Речь будет идти о плотности

как функции от совокупности Q}, которую будем считать
индексированной (произвольным) переменным и = U,
т. е. образованной соответствующе данными величинами

с, (?г)(cd, и), со s Q (ti^U).

гауссовские распределения Р, Pq которых определяются
средними

А(и) = ЕЦи), А0(и) = РоНм)
и корреляционными функциями

В(и, v) = E[t,(u)-A(u)] [Е (г)-А (к) 1,

Р0(щ и) = Е0[Ци)-А(и)] [£(р)-А(р)]

от и, v s U.

Обратимся сначала к Р и Ро с одинаковыми корреля-
ционными функциями Р=Ро, когда различие распреде-
лений Р и Ро проявляется в различии средних А и А о.
Будем считать Ао = 0 — понятно, что к этому7 случаю всег-
да можно перейти, используя преобразование

Ци)^ Ци)1—А0(и), u^U,

при котором

Ао(и)^О, А (и) а(и) = А (и) — Ао(п), и е U.
Рассматривая совокупность {g} по отношению к распре-
делению Ро, используем замкнутую линейную оболочку
Н = Н1(Е,) величин £ = ^(п), и е U, имеющим по отно-
шению к распределению Р среднее a(w) = £g(n), u^U.
Оказывается, что для плотности р(<в) = P(d(o)/Po(d«)
имеет место формула

р = о? ехр {тр,	(1.10)

где ц е ф(и)е Я(^) однозначно определяется из
уравнения

а (и) = J g (со, и) <р (со) Ро (da), usC. (1.11)

причем само представление (1.11) среднего а(и), u^U,
с помощью некоторого ср (со) е 77 является необходимым
и достаточным условием существования плотности р; по-
стоянная о2 в (1.10) определяется нормировкой

f р (со) Ро (<7со) = 1

fl 'I
— — 7?oi]2i).

Понятно, что представление (1.11) и величина т] •=
е77 =771(со) не зависят от выбора индексации совокуп-
ности {^} переменным и s U, и (1.11) выражает то факт,
что треднее a(u) = 7?g(w), и е U, задает на Н линейный
непрерывный функционал, который на линейных формах
2<У?(м/г) принимает значения 2cfta(wh); прп этом (1.11)
есть фактически представление Рисса этого линейного
функционала на полной системе элементов |(н), и е U.

Убедиться в справедливости (1.10), (1.11) легче все-
го. оративптпсь сначала к конечному числу орт о нор-
мированных величин {|(м), и = 1, ..., п) из Н =
= Р.(^) п порождаемой ими о-алгебре §(„, па которой со-
ответствующая плотность рп (со) = Р (da) /P0(da) с учетом
обпей формулы (1.1) для гауссовской плотности в 7?”
будет пметь вид

рп = ехр

' п	' п

2 а. (и) £(п) — у 2 °2 №

и=1	г/ = 1

где

а (и) = Ес, (и) = J £ (со, и) т]„ (со) Ро (da)

суть коэффициенты ортогонального разложения величи-
п

ны = 2 а (и) В (м)- Легко видеть, что для расшпряю-
и=1

шихся конечных совокупностей {^(и), и=1. ..., п) суще-
ствование предела

р = lim рп

равносильно существованию предела т)=1ппт]„, и усло-
вия этого могут быть выражены в форме (1.11), позво-
ляющей указать предельную плотность (1.10).
Отметим одно общее положение: Ро может быть абсо-
лютно непрерывным относительно Р лишь при условии
эквивалентности

Е | 2 c£h |2 х Ео | 2 chlk |3	(1.12)

ДЛЯ всевозможных линейных форм 2ckSh°T совокупности
k

{£} — очевидно, что при нарушении этого условия Р и Ро
будут взаимно сингулярны. Как мы знаем (см. (1.9),
(1.9)'), вместе с (1.12) будет также выполнено условие
эквивалентности

J J | ср (со, со') |2Р (rf<o) Ро (dco') X Е | ц |-
для всевозможных симметрических билинейных форм
Ф (®, 0)') = 5 cihlj (о) Sft («') = 5	® lh

3<h-	3,h

на Q X Q.

Ф = cp ((0. CO) = У cjklj (co) (co)
j,k

на Q и соответствующих

Л = ф — Роф е И2 (1),
представляющих полиномы Эрмита второго порядка (от-
носительно гауссовского распределения Ро); при этом
взаимно однозначное соответствие

ф(со, со') «->- ц = ср — Р0<р	(1.13)

между указанными величинами распространяется пре-
дельным переходом на все rjs/pd) и соответствующие
предельные <р(со, со') (совокупность которых обозначим
ЯХЯ).

Рассмотрим теперь гауссовские распределения Р и Ро
для величин {g), индексированных переменным v s £7,
с одинаковыми средними А = Ло = 0 и различными кор-
реляционными функциями В и Ро. Положим

b(u, v) = B(u, и) — В0(и, v), и, v <= U.

Оказывается, что для плотности р(со) = Р(с7со)/Р.-(йсо)
имеет место формула

р (со) = а2 ехр Г— 4; Г] (со)],	(1.14)
где	однозначно определяется по ср(<в, о/) —- т)

из уравнения

b(u,v) = | 1|| (и. и) g (со', v) ф (со, со') Р (das) Ра (с?со'), (1.15)

причем само представление (1.15) с ф(со, со')е Н X И яв-
ляется необходимым и достаточным условием существо-
вания плотности р; постоянная о2 в (1.14) определяется
нормировкой

Ь(со)/%(Ло)==1.

Задающая плотность (1.14) величина 1] = Я2(£) мо-
жет быть определена с помощью представления (1.15)
следующим образом. Возьмем в Я = Я1(|) любую пол-
ную систему величин, преобразуем ее последовательной
ортогонализацией по отношению к скалярным произве-
дениям

£о&П, ЯВп (s, ПеЯ)

в соответствующие ортоиормпрованные системы {£;}. {щ}
и образуем ортонормпрованный базис в Н X Н из величин

gj® тр= 5:(<о)тр(со'),	(и, со')бЕ Q х Q.

Величина ф(со, со')еЯХЯ в (1.15) представима как

п

ф (со, со') = 2 cihij ® ’Ife lim s cihZj ® Пь

71 — 00 j>k==1

с коэффициентами

сЛ = Ez,jT}h — Ео&тр,

причем указанные здесь частичные суммы являются с нм-
метричнымп величинами в ЯXИ, что видно, напри-
мер, из представления

п	п

X; Qhsj ® Oh = S 1) ei ® Zji

М=1	j~l

где при данном п в общей линейной оболочке величин
(j — 1, ..., п) и тр (k = 1, ..п) использована система
величин с



11, А- = /, Frr__ (<Д k = j.
(О, k^j, '^h	|0, k^j.

Согласно (1.15), величина i|e Я2(^), задающая ллотность
(1.14), представима как
п

Ч = Um 2	— E^h) (В^Ча — Eot^k) =

п-»оо = 1

= 2Ш - Ш) to - W (1.16)
з, h

Отметим, что вычисление по этой формуле проводится
с помощью ортогонализации произвольно взятой полной
системы величин в // = Я(|) п не требует, скажем, реше-
ния задач по отысканию базисной системы {£;} в Н, орто-
гональной одновременно по отношению к обоим скаляр-
ным произведениям 2?оВл, (£, т] *=Я).

Поясним, например, как из представления (1.15) вы-
текает условие эквивалентности (1.12).

Для линейных форм от величин {^}, индексированных
переменных и е U, мы имеем

п

3 CfeS (wft)
ё=1

п

2 chZ (uh)

ft=i

= 2 C3Chb (lip Uk) =

n

2C;5 (®, Uj)

n

2 cki (uh)
k=i

n

2ca£(<o', wft)

k=i

Ф (co, co') P (die)P0(da')^

1 n

2 aB (wft)

h=l

j j I Ф (co, co') \2P (dee) Po (die'},

и видно, что если Е 2 c^>(uh) ->0, то также

А=1

О, и наоборот.

E<-. < 2cas(wa)

A—i

Очевидно, что представление (1.15) и величина Т] s

еЯо(^) не зависят от выбора индексации совокупности
{S.} переменным и s U, и (1.15) выражает тот факт, что
разность корреляционных функций задает в .гильберто-

вом Я X Н линейный непрерывный функционал, который
на билинейных формах ср (со, со') = 2 (со, Uj) Е (со', ик)
j,h

принимает значения ^Cjhb(uj, uh); прп этом (1.15) есть
J.A

фактически представление Рисса этого линейного функ-
ционала на полной системе элементов £(со, м)^(со', и),
и, v е U, в пространстве // X Н. Понятно, что представ-
ление (1.15) будет иметь место, если в указанном выше
смысле разность корреляционных функций Ъ(и, и) задает
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 223

линейный непрерывный функционал в гильбертовом
IIX II с эквивалентной нормой

( | Ф (со, (o') !2jP0 (Ло) Ро (da') х | Ф (со, со') рТ5 (Ло) Ро (Ло).

Как уже фактически отмечалось, такая эквивалентность
есть следствие условия (1.12), и при его выполнении
(1.15) можно заменить аналогичным представлением

Ъ(и, р) = J J С (<О, и) g (со', и) ф0 (со, со') Ро (Ло) Ро (бы') (1.15)'

с соответствующим фо (со, а')еЯХЯ. Подчеркнем, что
это представление равносильно (1.15) лишь при условии
эквивалентности (1.12). Обратившись к (1.15)', рассмот-
рим линейный ограниченный оператор в гильбертовом
Н = определяемый билинейной формой

— ЕоВп = <В,
от g. ц е II; имея

(1.17>

<1 (u), ig (р)>н = J g (со, и) [Ьё (со, к)] Р№ (Ло) = b {и, V) =

= ( g (со, и) ф0 (со, со') ё (со', v) Ро (do>) Ро (Ло),

видим, что этот оператор, определяемый разностью Ъ (и, v),
-задается ядром фо(со, со') е= //X//,

йц И = J Фо(“, <•>') »1Ю Ро (р<")
£2

•— напомним, что этого типа операторы составляют класс
операторов Гильберта — Шмидта. В итоге получается, что
для абсолютной непрерывности Р относительно Ро необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие экви-
валентности (1.12) и определяемый разностью корреля-
ций оператор в (1.17) был бы оператором Гильберта,—
Шмидта *).

Условие (1.15) на разность корреляционных функций,,
очевидно, является симметричным по отношению к Р и
Ро — при перемене их местами лишь меняется знак самой
разности и величины ф(со, со')е IIX Н; это показывает,.

*) Это условие было указано Фелдманом — см. Feldman Г.
Equivalence and perpendicularity of Gaussian processes Ц Pacific J.
Math.—I960,—V. 10,—P. 1211—1220.
-ш—— s((0- и)1(&, и),
О (и)

что гауссовские распределения Р и Ро либо взаимно абсо-
лютно непрерывны (эквивалентны), либо взаимно сингу-
ЛЯ Ы.

Убедиться в справедливости (1.14), (1.15) легче все-
го. обратившись сначала к конечному числу величин
{£(’’), и = 1. ..., п} в Я = Я1(5), ортонормированиях по
отношению к распределению Ро и ортогональных по от-
ношению к Р

Е^(и)2 — о2 (и),	и = 1, ..., п.

На порождаемой ими о-алгебре соответствующая плот-
ность рп(<л) = P(d(d)IPo(d<so) с учетом общей формулы
(1.1) для гауссовской плотности в й" будет иметь вид

О (	1	1

рп = О- expl-2~ 11»(>

где r]„ = фп — Е(рп -<-* ф„(й), и') согласно (1.13) соответ-
ствует билинейной форме

фп((0. О)') == 2 —
и=1

— поясним, что в представлении (1.15), отвечающим вы-
бранной нами индексации {±(и), и = 1, . . ,,п}, мы имеем

Ь (и. v) = Е^ (и) I (и) — Е01 (и) g (у) =	—Л

коэффициентами при ортогональных §(ю, и)^(а>', и)
и, v = 1, ..., п, в НХН. Для расширяющихся конечных
совокупностей, каждая из которых может быть индекси-
рована указанным выше способом как {^(гг), и=1, 2, ...
.... ’?}, существование предела

р = lim рп
равносильно существованию предела ц = lim т)„, и усло-
вия этого могут быть выражены в форме (1.15), позво-
ляющей непосредственно указать предельную плотность
(1.14). □

Указанному критерию эквивалентности гауссовских
распределений Р, Ро для семейства {В(и)} случайных ве-
личин £(п) — (и, %), индексированных пробными и е Ф =
=	(Г) и образующих обобщенное случайное поле

g= in, £) в области T^R1, можно придать несколько
иную форму, выразив этот критерий непосредственно че-
рез корреляционные операторы В, Во рассматриваемых
распределений. Напомним, мы ввели корреляционный опе-
ратор (остановимся для определенности на Во) как

Во: Ф -> Ф*,
при каждом и^Ф задающим обобщенную функцию
Вои е Ф*,

Вои = (<р, Bou) — Eo(q, g) (п, |), ipej5,
и его можно рассматривать в рамках общей схемы § 1
гл. I на собственном для | гильбертовом простран-
стве 1¥о — [Ф], которое отвечает скалярному произве-
дению

<ф, u)wa = Во (<Р, g) (и, g), Ф, и<=Ф,

и является пзометрпчным пространству Н = 7/i(g) — за-
мыканию всех величин (ср, |), ц>ефг в Н = Фг(9); при
этом Во. совпадает на Ф 1У0 с унитарным оператором
Во- Wo-^Xo

в сопряженное гильбертово W* = Xos Ф'. Заменив Н =
на изометричное 1Го с плотным в нем) D = С™ {Т},
критерий эквивалентности гауссовских распределений Р,
Ро можно выразить следующим образом: корреляционный
В является обратимым оператором

В: В’озф - Хп:=Ф*.

таким, что разность

В ~В0-. П’о-Хо	(1.17')

есть оператор Гильберта — Шмидта.

§ 2. Идентификация коэффициентов стохастических
дифференциальных уравнений по реализации

их решения

1° Условия эквивалентности и взаимной сингулярно-
сти гауссовских распределений. Обратимся к предложен-
ной нами в § 1 гл. II модели обобщенного случайного по-
ля §=(ж, |), геЛ = С”(Г), представляющего един-
ственное решение g *= W стохастического уравнения
в области Т Rd, где, напомним, L может быть диффе-
ренциальным оператором общего вида при его рассмотре-
нии в пространстве Ф = или это может быть диф-
ференциальный оператор вида L — 3>	0 в отвечающем

ему пространстве 3~ = W = [3)] со скалярным произве-
дением

<U, v'>w=(u, ЗУ), и, ЗУ,

стохастический источник ц будем считать представленным
гауссовским белым шумом на соответствую-
щем 3~. Имея дело с различными операторами L, поста-
вим вопрос об эквивалентности соответствующих распре-
делений вероятностей для е=(ж, £), х^З).

Здесь речь идет о гауссовских распределениях с ну-
левым средним и корреляционным оператором В, кото-
рый, как мы знаем (см. 2° § 1 гл. III), имеет вид

5 = ^-',	(2.1)

где 5а = £*£ в модели с оператором L в 3~ = ЗУ(Т)
и 3* = L в модели с £ > О в S' = ТУ = [3)]; напомним
в связи с этим, что £,=(х, д), х е 3), представляет един-
ственное решение ) -W стохастического дифференциаль-
ного уравнения

•П = Т]	(2.2)

с источником «белого шума» ц на W = [3)], и использо-
вание уравнения общего вида (2.2) непосредственно дает
указанную в (2.1) связь с соответствующим распределе-
нием вероятностей. Уточним еще, что

£ = X-+W

есть унитарный оператор, .задающий представление Рпсса
сопряженного W = X* к пространству обобщенных проб-
ных функций х е X = [3>] типа W, являющегося соб-
ственным для |=(.г. §), Х^З).

Рассмотрим модель (2.2) с оператором 3i = 3io в про-
странстве W = Wo п другим оператором 3* в его W =
— [ЗУ], обозначив через Р и Ро гауссовские распределе-
ния отвечающего им £ = (#, д), х^ЗУ Условие эквива-
лентности Р, Ро включает эквивалентность

II х |11 = Е | (х, I) р х £01 (х, д) р = h |Цо, х е= ЗУ

(2.3)
которая п будет предполагаться в дальнейшем; при этом,
как мы знаем, корреляционный В будет обратимым
s 2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 227
оператором

В = ХГ1- Шо.

а необходимое и достаточное условие эквивалентности га-
уссовских Р, Ро будет выражаться в том, что

В — Во: Хо-> Шо	(2.4)

есть оператор Гильберта — Шмидта; здесь в сравнении с
(1.17') лишь поменялись местами обозначения Шо и Хо
соответствующих пространств типа W. Это равносильно
тому, что оператором Гильберта — Шмидта является

(В-В0)Д0: Wo-+Wo

с унитарным

^Во1-. ИД->Х0 = ^0Ш0.

Умножив

(В — В0)Д0 = ВД0 —I

слева па обратимый (ограниченный с ограниченным об-
ратным В = ^-1) оператор Д, получим следующий ре-
зультат.

Теорема. Для эквивалентности гауссовских Р, Ро
необходимо и достаточно, чтобы разность

Д - Л: Wo -> Хо	(2.5)

представляла оператор Гильберта — Шмидта. □

Для примера обратимся к невырожденным эллиптиче-
ским операторам .'Л До порядка 2р на соболевском ПД =
= WP2(T) с

Mw .хМр = 2 fl dhu j2, weZZ
0	iy<c"

Будем считать, что Д и До имеют гладкие коэффициенты
с ограниченными /с-мн производными, |/«| < 2р. Покажем,
что разность

А - дД = 2 w/Z

представляет дифференциальный оператор порядка q,
ограниченный в схеме

A: W%(T)^W2(T)

с показателем п X р — q. Действительно, оператор диф-
ференцпрования

д: ту7(7’)^ту.™-1(7’)

является ограниченным при всех т = 0, ±1, ..что оче-
видно при т > 0, а прп т 0 получается, например, пз
ограниченности билинейной формы

I (ф, дх) I = I (бф, х) I	С11фИ_„г+11Ыт

от Ф (= С™ (Т). х е ТУ™ (Г), дающей
|]^1!тл_1= sup |(ф,
оператор умножения на гладкую функцию w=w(t)
с ограниченными Ar-ми производными, Ifcl гп, будет огра-
ниченным в любом ТУ™, что очевидно при т > 0 и полу-
чается при т < 0 из ограниченности формы

I (ф, wx) I = I (z/’ф, а:)| IWpILJWL Cl^lLJIdlm
от феС”(П> x<=W™(T), дающей

II wx |'m = sup | (ф, Wx) К С || Ж ||т,
№l-m< 1

и в итоге указанная ограниченность А = У, аьдк получа-
ется последовательным применением операторов диффе-
ренцирования и умножения па функции. Кдк мы знаем,
для п = р — g > — р вложение

Г. ТУ" (Г) -> ТУ Г р (Г)
будет оператором Гильберта — Шмидта прп
п — (—р) = п + р> d/2,
и, следовательно, в схеме

ТУ? (Г) 4- ТУ" (Г)	ТУ Гр (Т)

с ограниченным А произведение ТА будет оператором:
Гильберта — Шмидта, представляющим

А: ТУР(Г)->ТУ7Р(Г).

Поясним: в случае сопряженных ограниченного А* и
Гильберта — Шмидта/*

2II а*т*^ Цр < с 2 |/*^!1п < оо
5	j
для ортонормированного базиса в ШТАГ). Таким обра-
зом, соотношение

п + р — 2р — q> d/2

является условием того, что А =	= эР — .7% будет опе-

ратором Гильберта — Шмидта, и в итоге для стохастиче-
ских эллиптических уравнений типа (2.2) с различными
дифференциальными операторами

^-22 ahdh	(2.6)

Ifcl-szp

порядка 2р в ограниченной области Т^И d-мер-
ного Л'1 п отвечающих им гауссовских распределений по-
лучается следующий результат*).

Теорема. Распределения Р, Рг, эквивалентны при
условии, что операторы .7% имеют одинаковыми все
старшие коэффициенты порядка \k\ > q с целым

q<2p — d/2.	(2.7)

Как уже фактически отмечалось по поводу операто-
ров Гильберта — Шмидта, неравенство (2.7) не может
быть улучшено — имеются простые примеры, в которых
при обратном неравенстве условие эквивалентности (2.5)
нарушается. В дальнейшем мы представим широкий
класс такого рода примеров, в которых по реализации
случайного поля описываемого стохастическим урав-
нением (2.2) с эллиптическим оператором 3* = 2 алФ ,
однозначно определяются все коэффициенты а,,. Iк| > q,
с указанным выше q.

Согласно этому, решение с с W стохастического урав-
нения (2.2) при различных 3* (имеющих различие в
старших коэффициентах ah, \к\ > q, указанного в (2.7)
порядка) будет иметь взаимно сингулярные распределе-
ния Р, что дает принципиальную возможность безошибоч-
но идентифицировать по отдельной реализации § соответ-
ствующее Р**).

*) Ср. Inoue К. Equivalence of measures for some class of
Gaussian fields // J. Multivar. Anal.— 1976.— V. 6, № 2.— P. 295
308; Соколова С. Д. Об эквивалентности гауссовских мер, отве-
чающих решениям стохастических дифференциальных уравне-
ний // Теория вероят. и ее примен.— 1983.— Т. 28, № 2.— С. 429
433.

**) Отметим, однако, что для случайного распределение ве-
роятностей Р которого принадлежит данному семейству взаимно
сингулярных распределений, вообще отнюдь не всегда по реализа-
2 Идентификация коэффициентов. Обратимся к воп-
росу об идентификации коэффициентов дифференциаль-
ного оператора 3* в стохастическом уравнении (2.2) по
реализации его решения*) g е TF, остановившись на
случае постоянных коэффициентов, когда оператору

= .<7 (5) = 2 аада	(2.8)

с а —(си, ..а.г) из данной совокупности {а}, индек-
сирующей производные да, отвечает полином

/Э —	(z) ~ У, aaza У- О

от z = elX, kezR1 (см. по этому поводу § 2 гл. II).

Примером относящихся сюда результатов может слу-
жить известная теорема Леви**), согласно которой для
броуновского движения £ = g(i). 15s 0, с коэффициентом
диффузии о2 при почти всех реализациях (скажем, па
интервале 1 = (0, 1)) мы имеем

— напомним, что броуновское движение представляет
обобщенное решение | е W простейшего уравнения (2.2),
с оператором

ср _____1

СТ dt1

на полупрямой 7’ = (0, °°).

ции g можно определить соответствующее Р: скажем, хорошо
известен пример гауссовских распределений Р на плоскости, каж-
дое из которых имеет носитель на своей прямой, где оно есть
одномерное гауссовское распределение с данными параметрами —
понятно, по реализации | можно определить лишь весь пучок пря-
мых, проходящих через точку £ = х на плоскости, и не более того.

*) См. Горяйнов В. Б. О теоремах типа Леви — Бакстера.
для стохастических эллиптических уравнений Ц Теория вероятн.
п ее прпмен.— 1988.— Т. 33, № 1.— С. 176—179, а также Л р а-
т о Н. М. Об одной теореме для обобщенных гауссовских полог //
Теория вероятн. и ее примен.— 1989.— Т. 34, № 4.— С. 409—411,
где рассматриваются переменные коэффициенты.

**) См. еще, например, Розанов К). А. Бесконечномерные
гауссовские распределения/Тр. МИАН СССР, т. 108.— М.: Наука,
1968, где имеются предельные теоремы типа Леви — Бакстера, по-
зволяющие идентифицировать параметры в семействе взаимно син-
гулярных гауссовских распределений для широкого класса слу-
чайных процессов.
Мы обратимся к стационарному решению g е W в
Т =Н", условия существования которого выражаются ло-
кальной интегрируемостью функции

l^Rd- <2-9>

представляющей спектральную плотность обобщенного
стационарного гауссовского поля £ = (ж, g), х еС(“ (7?d).
Зато при этом мы откажемся от условия невырожден-
ности

I 2 «aZ“|2^c|z|2P,
I И=2Р I

относительно 3* в (2.8) предполагая лишь, что =А 0 для
(5 <= {а), являющихся крайними точками выпуклой
оболочки в /d всех имеющихся а старшего порядка led =
= 2/?, и что полином SP (z) является мажорантой своих
членов,

lz“|=<C^(z)	(2.10)

для данной в (2.8) совокупности {а,} (очевидно, что ука-
занные здесь требования будут выполнены при условии
невырожденности ^(z) для совокупности всех a, lai $£
^2/,).

Предваряя точные формулировки, коротко можно ска-
зать, что каждый коэффициент в (2.8) порядка

lal>2p — d/2	(2.11)

определяется по реализации g =(ф, 5), Ф (Л, в сколь
угодно малой области 7 R'1 (мы возьмем для удобства
обозначений единичный куб 7 = (0, l)d) с помощью квад-
ратичных функционалов вида

=	Ю2-Л1;	(2-12)

тп п

здесь для каждого мультиипдекса a = (aj, ..., ai;) из
(2.11) берутся надлежащий дифференциальный оператор
Q, нормирующие постоянные Ап, Вп и функции $„,„(<) =
= у(пЧ — тп), получающиеся из ср е С/// (7) указанным
преобразованием сжатия — переноса с подходящим у =
= (71, •  I'd и m=(mi, ..., md) на целочисленной ре-
шетке с mh — 0, .. ., пУк — 1 (к = 1, ..., d), где целое

П -* оо.
Перейдем к более детальному описанию процедуры
определения коэффициентов аа указанного в (2.11) по-
рядка. Начнем с крайних старших а = р, |р| = 2р, для
каждого пз пих выбирая подходящее 7, дающее

(а, 7)<(Р, 7)	(2.13)

прп всех а ¥= Р; здесь, например, можно взять 7 с компо-
нентами

Y&~l+fp" (А'=1.........d).

указанными прп малом е с точностью до о(е), где Р” =
== (Р?, .... Р”) задает гиперплоскость {X: (X, р°) = (р, р0)}
в R1, отделяющую все а =£ р с

(a. Y)~|cd+e(cz, Р°) < 2р + е (р, р°)~(р, 7).

Для каждого крайнего а = р возьмем

<2 = д\

Ап = 0. Вп = 7?(P-v) (ф. (Ар) =	[ | ф (д) р (— jX)₽ dk.

Вообще, используя тот или иной дифференциальный
оператор <2 = Q (д) с постоянными коэффициентами и от-
вечающий ему полином Q = Q(iX), для соответствующих
величин (<2фтп, В) в (2-12) стационарного поля £ со
спектральной плотностью (2.9) мы имеем

Е | (<2<fmn, ё) |2 = Е I (<2qW 5) |2= f I О'on (X) Р -Цг^

где преобразование Фурье фо„ есть

?on (А) = —(«т’О dt = тг-^1ф (Xn~?), X <= Пл,
(2л)и/- J

что сразу же получается после замены пЧ 1, точнее,
n!4k-^th (/.:== 1, ..., d),

с якобианом па', I7I = 71 + ... + 7„. После аналогичной
замены /.и-7 -* X с якобианом и-171 приходим к выражению

ЕI (<2ч W, g) I2 - п-^ С I Гр (X) р	dk

В нем для

(/ХИД = 2 da (i^)“
(а}
и <2(^^1) = (гл)рп(₽'п в силу неравенства (2.13) при п <»
мы имеем

1

EI ((fr.

A |?(A)|2(-iZ)₽dZ.n(3.v) =
«р j	«р

что для S„ в (2.12), где число различных т —(ту. .. та)
составляет п т', дает

lim ESn —- 9
?1-*оо

с 0 = 1/ае. Покажем, что

1 im Е | Sn — 9 |2 — 0.

(2.15)

При условии (2.14) для

т

с величинами

T)mn

ЯВЛЯЮЩИМИСЯ

— (<2<P.-nn, g)2 ~ E(Q(pmn,
полиномами Эрмпта второй степени от

гауссовского поля g, нужно показать, что

в-

т

Согласно известному нам свойству (см. (1.9), (1.9)ве-
личины гр,», е 11% в сравнении с соответствующими

11„.я = (^<pmn, g)2 — Е(^(ртп, g)2

имеют

о

[тп

I т I	I т |

поясним: условие (2.10) дает нам неравенство
|<?(г)|2^СЩг)|2,

(2-16)

а вместе с ним и неравенство

Е (Q<pmn, g)2 = J |	(X) |2

dl

с J । I2	1)2
для соответствующих гауссовских величин

= (Qtf'mni ^)	ъ) = ?mn-

В правой части (2.16) величины rL-i являются неза-
висимыми, поскольку независимыми являются

Ептп = (&\mn, g) =	Т])

с пробными <pmne С” (/), имеющими н е и е р е с е к а то-
щи е с я носители — напомним, в рассматриваемой нами
модели = т] есть обобщенное случайное поле с незави-
симыми значениями, точнее, обобщенное гауссовское поле
с нулевым средним и корреляционным оператором
^==^(5).

С учетом стационарности при суммировании по всем
т (их число составляет и111) получаем

I2 = 2 I ч™„12 =

| т I т

= nlvi£ | (^<роп,	- Е (^Фоп, ф |- = № -2 [£ (^Фоп, ^)-р =

= nW. 2

rc-ivi | ф (л) |3

| S> (iUy) I2
& (iX«v)

dk < Ся-|?Н-2»ах(а,?)ф

В итоге при £„ = (ф, <9₽ф) получается, что

E\Sn - £S„|2 Сп-2^'-^+2

где для y = (yi, . •Yd) с компонентами 7„=1 + О(е) при
малом е мы имеем

(ji, y)= IfJl + 0(e), \^\=d + 0(&),

max(a, ч) = 2р + 0(е.),

и видно, что если

|fj| > 2р — d/2,

то при достаточно малом е

E\Sn-ES„\2^Cn^

(2.17)

с некоторым 6 > 0. Это вместе с (2.14) доказывает пре-
дельное соотношение (2.15) и, более того, доказывает, что
при достаточно быстро растущих п (скажем. п = 2'' с це-
лым N °°) мы имеем

limSn = e	(2.18)

с вероятностью 1.
Согласно этому, определяются все крайние старшие
ре {а). Перейдем к остальным а, последовательно упо-
рядочив пх так, что прп уже выбранных старших сс > р
очередное по старшинству р из оставшихся а берется как
а = р наибольшего порядка |р|=шах и наибольшей ев-
клидовой нормы !1р!1=(р, р)1/2 в R'. Используя для оче-
редного p=(pi, .... р,г) отвечающее ему у с компонентами

уЛ ~ 1 + epfi, к — 1, ..., d.

указанными с точностью до о (б), при достаточно малом
е будем иметь для всех а< р неравенство (2.13),

(а, у)~ |а| +е(а, р)< |р| + е(р, р) ~ (р, 7);
указывая у с точностью до о(е), мы возьмем его так, что-
бы все (р, у) с крайними старшими рз были различны,
что дает

(а. у) < max (fV, у) ([!*, у)	(2.19)

{₽j}

для всех а. пе являющихся крайними — поясним: для а
порядка loci = 2р, принадлежащим выпуклой оболочке
крайних {р3},	= с коэффициентами O^cj<;1

j

(2kj = l). и мы имеем прп различных (р3, у)
строгое неравенство

(а, у) = 2 у) < max (р3. у).
j	{fv}

Зная ранее определенные коэффициенты аа с а > р, вклю-
чая все крайние старшие а = р3, для определения коэф-
фициента аа с очередным а = р, старшим по отношению
к остальным сс < р, в (2.12) используем дифференциаль-
ный оператор

Q = Q (<?) = S «X.

а>Р

ПОЛОЖИВ

Ап = Ц-у ( ф, 2 aarda’'ddacf \	-ly Г | ф (Л) Р Q (ilnV) dk,

п \ а>₽	/	п‘ J

Вп = n<₽-v) (ф, д₽ср) = „(₽,т) [ | ф (X) р (— iX)3 dk

с у, отвечающим данному р. Не повторяя фактически про-
веденных уже выкладок, с учетом четности ^(—z) = ^*(z)
укажем сразу, что

ESn

Ср

Ba j ।	'2

\q№ |2

Q (рлгУ) dn =

( — Z'X)₽ 7?<P>V)

2 aa(ZZ)“n(a’v>

V ___________________-dl

' 2	' 1

где отношение под интегралом имеет в числителе все
крайние а = $}, так что, согласно неравенству (2.19)
с крайним Р*, (Р*. у) = тах(р’, у), это отношение' асимп-
i

тотически при п -> °° есть

вр#(а)₽*п(₽*-«+...

и с выбранным Вп асимптотически

ZaS'„ ~ ар	[ | ф (X) |2 (— гл)Р dl = аэ.

Таким образом, мы получаем предельное соотношение
(2.14) с 6 = ао, а вместе с ним также и • соотношение
(2.15), поскольку фактически проведенная уже оценка
дисперсий величин S„, на которые не влияют значе-
ния постоянных А„, дает нам (2.17). Как следствие, мы
имеем предельное соотношение (2.18), при почти всех
реализациях § определяющее 0 — ал.

Сформулируем итоговый результат в виде следующего
предложения.

Теорема. При почти всех реализациях g справед-
ливо предельное соотношение (2.18) с 0 = 1/яа для край-
них старших а и 0 = аа для остальных а порядка led >
> 2р - d/2.

Видно, в частности, что при большой размерности

d>dp	(2.20)

предельное соотношение (2.18) определяет все коэффи-
циенты а.,_ (полностью определяет дифференциальный опе-
ратор З9 в пашей стохастической модели (2.2) — пол-
ностью определяет спектральную плотность (2.9) возни-
кающего в этой модели стационарного гауссовского
поля g). □

В дополнение отметим, что для г и п о э л л и п т и ч е-
ских уравнений любое решение в (2.2) отличается от
стационарного g лишь на слагаемое, которое как решение
uelF(S) однородного уравнения .'Ри= О в области
S есть соответственно гладкая функция — такая, скажем,
что при использовании нами дифференциальных опера-
торов Q мы имеем ограниченные функции Qu = f и для
них (с вероятностью 1)

2 (сГти, /)2 с filvi • С [) j ср (п^) I dtY Cn-I'.’l (I,

и в силу этого выраженное в (2.18) свойство распростра-
няется со стационарного решения на любые решения g
уравнения (2.2).

3° Об оценках корреляционного оператора. Обратив-
шись к стохастической модели

SPz = г]

с оператором

W-+X

и гауссовским белым шумом на отвечающем .Р О прост-
ранстве W — [Ф], S) = С™ (Р) в области T^R:—(см.
(2.2)), коротко остановимся на вопросе об оценках кор-
реляционного оператора В = в обстановке, когда из-
вестно, что распределение вероятностей обобщенного слу-
чайного поля j е W принадлежит семейству гауссовских
распределений {Р}, эквивалентных данному Р = Ро
с корреляционным оператором В = Во, отвечающим в
рамках рассматриваемой нами модели оператору гР = гРд
(Ро==^ Т1).

Располагая оператором ^д: И о Хо для каждого
и отвечающего ему W, введем дифференциальный опера-
тор SP ® ^о, действующий на функции w (s, t) в области

(s, t}eTXT=IP:

таким образом, что л3 и .Ро действуют по своим пере-
менным s и t. Используя тензорное произведение IF 3 (Го
с плотным в нем С™ (Т х Р), будем иметь

TF®PFo-X®Xo

как унитарной оператор в сопряженное пространство
X ® Хо = (J-Р ® (Ио) *—точно в плайе общей схемы § 1
гл. I; уточним, для элементов

и ® v = u(s) v (t) е W ® TF0

с компонентами и, v е С™ (Т) мы имеем

X 5%) (и X v) = 0>и ® .Ду е X ® Хо

с х = 9>и X, у = &ои е Хо.

Отметим, что фактически мы уже использовали надле-
жащее тензорное произведение при выводе формулы (1.14)
для плотности р(ю) = P(da) /Po(d<x>), элементами которого
служили величины ср (со, со') па произведении QXQ—
с очевидно попятными изменениями обозначений приме-
нительно к совокупности гауссовских (ж, g), х <= D =
= Со (71), указанные ф(о>, со') суть

ср (со, со') = 2 cjh (Xj. g) (xk, е)и,
j,k

— см. (1.13). Учитывая, что для каждого Ф случайное
иоле g е W является гауссовским белым шумом на X =
= [27], приходим к изометрии

ср- (со, со') 2 Cjk (xi ® xh) е X ® Хо, (2.21)
М

согласно которой введем обозначение

Ф (со, со') = (Д X g)OiO,, z =- 2 cjh (xj ® zh).

i,k

Напомним, что при выводе формулы (1.14) мы исполь-
зовали изоморфизм

(z, S X £)О)О' Т| = Ф — £оф G= н2 (£)	(2.2Г)

— на пего в дальнейшем будем указывать соответствую-
щим обозначением

n=(z, |Xg), z s X ® Хо,
для величин г) еЯг(В); добавим здесь, что при = мы
имеем в (2.21') изометрию

(z, g х	(иД X £) е= Я2

Согласно (2.21), представление (1.15) для1 разности
корреляционных операторов Ъ = В — Во дает нам
(х, by) = J J (х ® у, с, X ^)ш,0' (z, £ X g)e>0>, Р (dco)X 7’0(dco') =

= <x ® У, z>x®A0, X, y<=D= C” (P)r
с полной в X ® Хо системой {х ® у}, и это можно интер-
претировать так, что разность b — В — Во задает па все-
возможных пробных

х ® у = X (s) у (t) е= С™ (Т X Т)
обобщенную функцию b е W ® И70, определенную
как

(х ®y,b) = (х, by) = (х ® у. z'/х^хв

— попятно, что при такой интерпретации мы имеем
z=(^X^0)b.

Итак, в рамках предложенной здесь схемы критерий экви-
валентности гауссовских Р, Ро выражается в терминах
разности Ъ = В — Во условием

(х®у, 6) = (.т, by)^W ® Wo,	(2.22)

причем

р И = fS = °2 ехр <(г-«х (2‘23)

г = (.?Х^, Ъ).

Взяв произвольную полную систему функций в W и
процессом ортогонализации по отношению к скалярным
произведениям

(и, bPv), (u, &ov), и, не И7,
преобразовав ее соответственно в ортопормировапиые си-
стемы {«у}, {vk}, согласно (1.16), получим, что

величина це//2(^) в формуле (2.23) представима как

1'1 =2 [(«j,	— (Pj, <?ovh)] [(&ou}, g) £)— (Uj, ^ovk)].

jM

Рассматривая вопрос об оценках корреляционного опе-
ратора В, можно перевести его в вопрос об оценках функ-
ционального параметра 6 = & в пространстве И7®1Йо из
данного семейства 9,

0Е0£ Г ® ТР0.

Величины

1]9=(z, |Х5) = (2е, sXj)

в формуле (2.23) для плотности вероятности распределе-
ний Р = Р«, отвечающих Q = Ъ = В — Во, зависят от пара-
метра 0 е W ® IFo линейно, так что в обстановке, когда
6 с= 1Г ® Wo вместе с любыми 0Ь ..., 0„ е 0 содержит их
линейные комбинации 6 = У, АЙ6Й с (Ai, ..А„) из неко-
й

торой области в 7?п, мы имеем в (2.23) экспоненци-
альное семейство плотностей.

Для их параметров могут быть применены известные
методы оценивания*) —здесь, скажем, в качестве исход-
ных данных можно использовать величины

(х®у, ёХ^) = (Ж, ё)(р, ё)-(х, Вор),
являющиеся несмещенными оценками для значений

(х ® у, 0) = (ж, By) - (х, Воу)

при всевозможных пробных х, у е X (напомним здесь, что
при условии эквивалентности (2.3) пространства Х = Х$
отличаются лишь эквивалентными нормами).

§ 3. Оценка осредпенпых решений стохастических
дифференциальных уравнений

1° Постановка задачи**). Наилучшие несмещенные
оценки. Можно представить, что введенная в гл. III об-
щая стохастическая модель, описываемая в области S =
s Т s R1 стохастическим дифференциальным уравнением

и граничными условиями

(U) = fo Г), *еХ+(Г),

на границе Г = dS, возникает в обстановке, когда главным
объектом является обобщенное решение ueTT(S) соот-
ветствующей детерминированной задачи

ЛЦ = /’	(3.1)

(х, и) = (х, и+), меХ+(Г),
которое в результате стохастических возмущений оказы-
вается спрятанным в случайном поле g, являясь его де-
терминированной составляющей

zz = E’g,

*) См., например, Леман Е. Проверка статистических гипо-
тез.— М.: Наука, 1964.

**) Близкие вопросы рассматривались Л. Маркушем (диссерта-
ция, МГУ, 1990 г.).
и здесь, непосредственно имея дело с наблюдаемым
нужно оценить неизвестное не W(5).

Мы рассмотрим среднее и = 6 как неизвестный пара-
метр соответствующего распределения вероятностей Ра-
совокупности случайных величин

(ж, |), x^X(S),

индексированных пробными ж е X(S) = IF (S) *, считая,
что 0 е 0 принадлежит определенному множеству 0 s
^TF(S) в отвечающем схеме (3.1) функциональном про-
странстве 1F(S), и предполагая распределения Ра гаус-
совским и, будем считать, что вместе с каждыми ли-
нейно независимыми 0|; ..., 0„ е 0 множество 0 содер-
жит все 9 = 2 №k с (Xi, ..., Хп) пз некоторого и-мерно~
fc=i

го параллелепипеда в Рп. При 0 = 0 гауссовские величины
(х. g), x^X(S), представляют те стохастические возму-
щения, которые накладываются на решение п = 0 гранич-
ной задачи (3.1), п, обратившись к их распределению
вероятностей Р с пулевым средним Е (х, g) = 0, уточним,
что все Ре отличаются от Р лишь соответствующим
средним

(х, Q) = Ea(x, |),	x^X(S).

Сами стохастические возмущения с распределением Р = Ро
будем считать по своей природе близкими к белому шуму
на гильбертовом X(S), а именно, при Е(х, |)^0 такими,
что

Е|(.гЛ)|2х|к&. xe=X(S). (3.2)

Мы используем распределение Р и отвечающее ему про-
странство H = S72(H) величин г] = г](ы), на веро-
ятностном й, являющихся функциями от совокупности
«наблюдаемых» величин (х, §), x^X(S) —точнее, изме-
римых относительно о-алгебры 91 = 91(g), порожденной
этой совокупностью. При условии эквивалентности (3.2)
все распределения Ра имеют относительно Р = Ро плот-
ность вероятности

Рп (<2со)	„

Ре =	= °0 ехр <Г|0}е н’ (3-3)

задаваемую соответствующими величинами т]ееЯ =
= Я1(£), каждая из которых однозначно определяется
уравнением

(х, Q)=E(x, £)цв,	x^X(S).	(3.4)'
Поясним, что 0 = и е JF (S) есть линейная непрерывная
функция от teX(S), и в силу условия (3.2) (ж, 0) за-
дает линейную непрерывную функцию от (.г. £)е //; до-
бавим, что представление (3.4) распространяется с сово-
купности величин ц =(х, '§) на их замыкание H =
в Н, выражая равенство

£в1] =£’(ц  Це), ц е/А

так что рассматривая пространство пробных функций
x^X(S') с плотным в нем (5), мы имеем плотную
в Н = Н($) совокупность величин (х, с), х е С™ (5),
и, согласно этому, в определяющих величины {ц0} пред-
ставлении (3.4) можно ограничиться переменным
х е= Со°° (S).

Понятно, что согласно (3.3) для любого qeH(;) име-
ется конечное математическое ожидание

£0Ц = Ецре, 0Е0.

Обозначив через S о-алгебру, порождаемую всеми вели-
чинами р0, 0 е 0, отметим, что совокупность {р0} образует
достаточную статистику, относительно которой условное
математическое ожидание

£0(Л/Э) = £(ц/Э)

любой величины ц е Н(^) не зависит от 0 s 0,— поясним:
f Е (ц/Э) Ре (Ao) = f Е (q'S) р^Р (Ао) =

в	в

= ) Е (ip/WS) Р (ckP} = j т\р^Р(скР) = J i]Pe (d«)
в	в	в

при всех В е Э, так что Ев (т]/Э) задается величиной ц =

При том или ином пробном x^X(S) используем в
качестве возможной оценки неизвестного значения (х, 9)
величины Г|еН(^), обладающие свойством несмещен-
ности:

РеЦ=(.т, 0),	0S0,

— тривиальной оценкой такого рода может служить ц =
= (£&)•

Как известно, для каждой несмещенной оценки ц е
еЛ(|) имеется улучшенная несмещенная оценка

ц = ^(п/^) = £а(п/^),
которая лучше исходной ц в том смысле, что средне-
квадратическая ошибка в оценке ц меньше, поскольку
Et 11] — (z, 0) I2 =

= Eelt] — (Z, 0) |2 + f'eh] — T} 12 > 2?в1т] — (z, 0) I2.
Получаемая указанным выше способом улучшенная оцен-
ка 1] является измеримой относительно о-алгебры S3,
точнее,

ц = £(T]/S3)e H(S3)	(3.5)

входит в подпространство H(S3) всех измеримых относи-
тельно S3 величин из H(fe). При условии полноты доста-
точной статистики {ре}, означающей в рассматриваемой
схеме полноту величин рц, 0 е 0, в подпространстве H(S3),
имеется лишь единственная несмещенная оценка ц <=
еЦ(3), поскольку для разности такого рода оценок
0 = Ль 02 получается

£е(т]1 - Т]2) = £'(т]1 — Т]2)/’е = О, 0S0,

что в силу полноты {/?0} влечет гц = ца в H(S3).

Наложенное памп условие на множество 0	17 (5),

указывающее, что в экспоненциальной совокупности (3.3)
вместе с каждыми линейно независимыми г]е = щ, ...,
п

имеются i]e — У, с (2ц, ..., Лп) из некоторого ?г-мер-
fe=i

пого параллелепипеда Rn, дает полноту экспоненциального
семейства величин {рв} вида (3.3) в H(S3) — это следует,

например,

из

полноты

(/.!, ..., En)<^Rn в комплексном H(S3) *).

Таким образом, в классе всех несмещенных оценок
цеН(^) для неизвестного значения (z, 0) мы имеем
единственную оценку из Н (S3), которая, как указано
в (3.5), получается из любой другой несмещенной оценки
г) ее осреднением относительно S3, представляя таким об-

разом наилучшую оценку

т] = (z, 0)

*) Поясним: для любой величины 1]еН(?) выражение
{п	3

У, определяет целую аналитическую функцию
fc=i	J

комплексных (zi, ..., zn), которая тождественно равна 0 (и, в част-
ности, при zi = iXi, ..., zn = Ап), если она равна 0 в некотором
л-мерном параллелепипеде действительного Rn.
•с наименьшей среднеквадратической ошибкой

Е\(х, 0) —(я, 0)|2 = min.

Отправляясь от тривиальной несмещенной оценки ц =
= (z, £•) и получая наилучшую оценку как среднее

(z, 9) = k0[(z, g)/8]

относительно о-алгебры S3, порождаемой гауссовской
совокупностью {ре) из (3.3), заключаем, что (z, 0) при-
надлежит замкнутой линейной оболочке Я{т]0} величин щ,
0е0, и в этом смысле паплучшая оценка (z, 0) является
линейной:

(х, 0) е Я{т)9}.

Если принять во внимание общее представление (3.4)
относительно паилучшей оценки tj=(z, 0) с Еат]=(х, 6),
0 е 0, то получается следующий результат:

Теорема. Наилучшая несмещенная оценка для
(х, 6) однозначно определяется^ как (z, 0)еЯ{т]9},

£(z, O)i]0=(z, 0), 0 е 0.	(3.6)

Отметим, что при наложенном нами на множество 0 у
£ IF(S) условии наилучшая несмещенная оценка (z, 0)
для (z, 0), 6 е 0, будет также паилучшей несмещенной
оценкой для (z, 0) и в обстановке, когда вмебто исходного
0 рассматривается его (замкнутая) линейная оболочка в
пространстве W(S), к которой нам и будет удобно перей-
ти, обозначив ее тем же 0 (поясним, такой переход не
меняет соответствующей о-алгебры S3).

Рассмотрим задачу о наилучшпх оценках неизвест-
ного среднего и = 0 в (3.1) при стохастических возму-
щениях с

£|(z,g)|2 = о2 ||z||l'. x<=X(S).	(3.7)

Мы знаем, что пространство пробных функции X(S) пред-
ставляет сопряженное И7 (5)* и получается в общей схе-
ме (3.1) как

X(S) = 3>W(S)

при помощи оператора гР, £P = L*L в схеме (3.1) с общим
оператором L в пространстве SF = 3?‘i и = L в схеме
(3.1) с положительным L > 0 в соответствующем ЗЕ = W.
Согласно (3.7), мы пмеем

Е(х, g) (0>и, ^)=о2<ж, 5эн>х = о2(л:, и)

при все:с г = Х(5), и е И7 (5) — в частности

Е(х, Ш^8,	6),

и непосредственно видно, что величины в представле-
нии (3.4) есть

г1ь = Д (^0, S), Ое н.	(3.8)

О"

Взяв ортонормировапный базис {0J в 0£|Г(5). с по-
мощью унитарного оператора SP'. IF(5)->X(5) получаем
ортонормпрованную систему {^6А} в пространстве X(S),
который в подпространстве 7/{т]0} — замкнутой линейной
оболочке величин ц9, 0 е 0, отвечает ортонормироваи-
ный базис {о’1 (Ж, ^)). Используя ортогональное раз-
ложение

k

искомой оценки (х, 0), из (3.6) можно определить коэф-
фициенты

Ch = Е (л, 6 ) 4 (^6й, В) = (х, 6/0-
а”

чи (3.1) —точнее, оценок его значений (.г, 07 на проб-
ных геА'(5), при стохастических возмущениях типа
(3.7) получается следующий результат.

Теорема. Наилучшие оценки (х, 0) могут быть
получены с помощью ортогонального разложения

(.г-,0) = 2(^,О,)(ЖЛ)-	(3.9)

k

Уточним, что речь идет об оценках (ж, 0) при фикси-
рованном x^X(S), при каждом из которых (3.9) пред-
ставляет ряд по ортогональному базису в Жце) из вели-
чин т]й = (5э9й, ^), отвечающих ортонормированной си-
стеме {0J в W (5). Представив этот ряд в виде

(ж, 0 ) = 2 щ (ж, 9Й),	х(=Х(Х),

к
для конечномерного в получим функциональную
оценку

(3.10)
k

неизвестного решения и = 9 в (3.1). К сожалению, функ-
циональное разложение (3.10) по ортопормированному
базису {0J в О не действует для бесконечномерного ©,
поскольку У |	|'- = оо с вероятностью 1 для независимых

k

гауссовских величин 11А==(5г’0А, ё), 7?|ц4|2 = о2— здесь
можпо гарантировать лишь сходимость с вероятностью 1
ряда 2 Лй (-С Для которого при каждом x^X(S) мы

к

имеем

Ео 2 10й) I2 = о2 2 J {х. 0ft)j2 < о21! х |!1.
к	к

Отметим еще, что формула (3.9) для наилучших оце-
нок не зависит от множителя о2 в (3.7), характеризую-
щего интенсивность стохастических возмущений типа
белого шума.

2° Псевдонаилучшие оценки и метод наименьших
квадратов; условие состоятельности. Легко представить
себе обстановку, когда при оценках решения uejr(S)
граничной задачи (3.1) распределение вероятностей име-
ющих место стохастических возмущений оказывается
неизвестным — скажем, известно лишь, что относительно
этого распределения Р среднее Е (х, £) = 0; напомним
еще, что в рамках рассматриваемой нами модели мы
имеем величины (х, £) непрерывными по x^-X(S) в
гильбертовом пространстве Н, что приводит к

Е\{х, g)|3<CML л-ё=Х(5),

и понятно, что это также является известным свойством
распределения Р.

Независимо от того, каким является истинное распре-
деление вероятностей Р, можно попытаться использовать
оценки, являющиеся наилучшими по отношению к како-
му-либо (взятому по тем или иным соображениям) рас-
пределению Ро- Скажем, рассматривая обобщенное реше-
ние w = 0ell7(S) граничной задачи (3.1) с вложением

Ж(5)еЖ0(5),	(3.11)
которое позволяет при IPo(S) = Хо(5) * интерпретировать
и=(х, и) как функцию от пробных ге!0(5) из соответ-
ствующего

X0(S)^X(S);	(3.1 Г)

в качестве распределения Ро соответствующего обобщен-
ного g = (z, g), x^Xq(S), можно взять распределение
«белого шума» на гильбертовом Хо (5) — конечно. здесь
речь идет о пространстве Xo(S) типа W с плотным в нем
С” (5) в рамках нашей общей схемы § 1 гл. I. Согласно
этому, в качестве оценок значений (х, 0) прп пробных
x^X0(S) для неизвестного и = 0е0 в Шо(*$) предлага-
ется взять величины (х, 0), определяемые по формуле
(3.10) с заменой ортонормированного базиса в 9^ IF(S)
на ортонормированный базис {0ft} в 0sJFo(5) и операто-
ра на соответствующий оператор

.'Д: TFo(S)->Xo(5)

в представлении Рисса сопряженного пространства
И’о(5) = X0(S) *, что дает

(^е) = 2(х.0й) (ад. (3.12)
к

Получаемые таким образом величины (х, 0) е IIНi (5)
назовем псевдонаилучшими оценками для (х, 0) — под-
черкнем, что опп являются наилучшимп прп Р = Ро-

Теорема. Псевдонаилучшие оценки являются несме-
щенными .

В самом деле,

Ео> 9,ё) = 2(-0 0WM) =
k

= 2 (ж, 9ft) (М-е) = (А 9)-
k

поскольку для 6^0 в гильбертовом Т47о(5) мы имеем раз-
ложение

0 =	(3.13)

k

по ортонормированпому базису {QJ в 0sIFo(S).

Остановимся дополнительно на случае, когда (3.1'1),
(3.1Г) есть вложения Гильберта — Шмидта. Тогда обоб-
щенная случайная функция ^ = (ж, g), х е Xq(S) , наблю-
даемая как результат стохастических возмущений реше-
ния u = 0eFFo(S) в (3.1), имеет эквивалентную моди-
фикацию, все реализации которой есть

l^W0{S)	(3.14)

— см. по этому поводу § 3 гл. I. Рассматривая реали-
зацию с е ТРо^), для оценки 0 спрятанной в ней состав-
ляющей и = 0 е 0 можно попытаться взять наилучшее-
приближение для ^sH’o(S) функциями из линейной
оболочки 0s0, точнее, из замыкания [0] в 1Ко(5) —
это наилучшее приближение 0 •= [0] дается проекцией
функции g на подпространство [0] в гильбертовом
И'о(5). Взяв ортопор мированный базис {0Ь} из линейной
оболочки 0 в 1Ио(5) и дополнив его элементами {ик} до
ортопормпрованпого базиса во всем 1Ро(<$), для

ъ = 2 (^о0ь g) + 2 ё) uk
a	h

получим

е = 2ст,Ю oft,

что при всех пробных ./eXo(S) дает

Ue) = 20,oft) W4)-
к

Непосредственно видно, что изложенный выше извест-
ный метод наименьших квадратов дает для значений
(х, 0) оценки (х, 0), введенные нами по формуле (3.12)
как псевдоиаилучшие — наилучшие по отношению к рас-
пределению Р = Ро стохастических возмущений типа «бе-
лого шума» па пространстве пробных функций Xo(S).
Коротко сформулируем это в виде следующего предло-
жения.

Теорема. Оценки наименьших квадратов являются
псевдонаилучшими.

Вернемся к паплучгаим оценкам, получающимся пред-
ложенным выше методом при Р = Ро- Понятно, что даже
для наилучших оценок (z, 0) стоит вопрос о том, на-
сколько они хороши с точки зрения близости к оценивае-
мым значениям (х, 0), например с точки зрения бли-
зости в смысле среднеквадратичного расстояния

Ре l(z, 0)-(z, 0) I2 = Е I (z, 0)|2.	(3.15)

Этот вопрос можно поставить точнее в обстановке, когда
рассматриваются расширяющиеся данные — в пашей об-
щен модели это, скажем, данные о случайном поле
£=(*,

при пробных x^X(S) в расширяющихся областях

S = Sn, п=1, 2, ...,

а именно, точность оценок

= (х, 0„)

по данным в каждой области Sn можно охарактеризовать
их состоятельностью, означающей, что

E|(z,'e„)-(z, 6) I2 -> 0	(3.16)

При п ОО.

Здесь определенные в каждой области 5., обобщен-
ные функции и = 0 е W (5„) естественно рассматривать
как обобщенные функции в области

— (J Sn,
п

характеризуемые не только пробными г е (5’^;), но и
обобщенными пробными функциями х, каждая из кото-
рых входит в какое-либо

X(Sn) = W(Sn)*.

Выясним условия состоятельности оценок (х, 0) зна-
чений (х, 0), обратившись сначала к одномерному мно-
жеству 0, когда речь идет фактически об оценке неиз-
вестного /.ей1 в представлении 0=Х0о обобщенной
функции и = 0 в области S* с данной в S* функцией
0о- В каждой области Sn мы имеем 0 е W (>?„) с нормой

Жирад = sup (х, 0),

И=1

где sup берется по указанным пробным х е X (Sn). Огра-
ниченность этой нормы по п=1, 2, ... означает для
обобщенной функции 0 в области S* включение 9 е
е TF (5*), и вместе с этим мы имеем включение £
ё= W (S*) возникающего в нашей модели гауссовского
обобщенного поля в области 5*. Допустим, что
е W (S*) по отношению к распределению Р со средним
££ == 0 представляет стохастические возмущения, оха-
растеризованные в (3.2) для S* = S. Тогда распределе-
ние Ре со средним

Eei = e

будет абсолютно непрерывным относительно распределе-
ния Р, и сходимость в (3.16) может быть, очевидно,
лишь при 0 = 0.

Таким образом, условие

0 |!w(s?l) -* °®

(3.17)

на 0 =/-0 является необходимым для состоятельности
наилучших оценок. С другой стороны, при этом условия
для определяемых общей формулой (3.9) оценок функ-
ции 0 е О в области S = Sn мы имеем

~	0о) S)

„ !!и -/.q \



с постоянным при п оо значением (х, 0о) на данном
пробном х и

Е | (х, 0 ) |2 < С LlilML _> о.

II % l|VT(S„)

где постоянная С зависит от распределения Р — уточ-
ним, что в случае стохастических возмущении типа «бе-
лого шума», охарактеризованных в (3.7),



II 0О llw(S„)

Понятно, что (3.17) является необходимым ус-
ловием состоятельности оценок для общего 6, поскольку,
как мы видели, его нарушение при каком-либо 0 — 0о ли-
шает свойства состоятельности даже наилучшие оценки,
несмещенные лишь для «одномерного» параметра вида
0 = ХОо. Уже отмечалось, что при несмещенных оценках
можно, не ограничивая общности, расширить 0 до его
(замкнутой) линейной оболочки; оказывается, что прп
взятом в таком виде 0 условие (3.17) на 0 е 0 будет
достаточным для состоятельности всех наилучших
оценок (х, 0). Покажем это.

Располагая несмещенной оценкой т]п = (;г, 0) по дан-
ным в области S = Sn, наилучшую оценку т]„+1=(ж, 0)
по данным в расширенной области S — Sn+i э Sn можно
получить соответствующей операцией проектирования,
в общей форме описанной в (3.5), и, таким образом, по-
следовательность даилучших оценок т}п, п=1, 2, по-
лучаемая последовательным проектированием, имеет в
H = 2?2(Q) предел	Каждая величина т]„ по

своему определению такова (сравни (3.4)), что формула

Е (ф, ё) Пп = (ф. 0п), ф es ГД (5П).

определяет некоторую функцию 0П е 0. Очевидно, что
при сходимости т]„ в Н мы имеем слабую сходимость
обобщенных функций 0„ е 0 в области 5* = (J Sn, и в
силу замкнутости 0 получаем предельную функцию 0 =
= lim 0„ е 0, для которой

Е (ф, Ю П - (ф, 0)- Ф ge С (5*).

Полученное представление функции 0 е 0 указывает на
ее непрерывность относительно пробных ф s 5“ (5^.) по
норме 11ф11х, что определяет принадлежность 0еИ7(5*),
а это в силу условия (3.17) может быть лишь для 0 = 0,
1] = 0. В итоге видим, что при условии (3.17)

lim = т] = 0

в Н, т. е. Е\т]пI2 -> 0 при п -> <».

Перейдя i£ предложенным в (3.12) псевдопаилучшим
оценкам (z, 0), отвечающим вложениям (3.11), (3.11)'
в области 5 = 5*, укажем следующий критерий их со-
стоятельности.

Теорема. При условии, что для каждой функции
0 = 0

(I 0 !!^o(S«)	’

псевдонаилучшие оценки (х, 0) всех (х, 0) являются
состоятельными.

Для доказательства нужно лишь принять во внима-
ние, что для среднеквадратичных ошибок

£0|(z, 0)-(z, 0) I2 = Е\(z, 0)|2,

согласно вложениям (3.11), (3.11)' мы имеем мажорант-
ное соотношение

£|(z,0 )|2<CA’o|(z,0)|?,

где правая часть представляет те ошибки, которые име-
ли бы место для Р = Ро, отвечая псевдораспределепию
Ро — как фактически уже было указано, при условии
теоремы для оценок т]п = (.г, 0) по данным в расширяю-
щихся областях Sn мы имеем

£oh„l2^O.

Добавим в заключение, что при эквивалентности норм
в используемых для построения псевдопаилучшпх оце-
нок вложениях (3.11). (3.11)' условие теоремы, равно-
сильное условию (3.17), будет необходимым условием
состоятельности.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие........................................ 5

Введение..................................... 7

Глава I. Обобщенные	случайные	функции	и	их	реализации	16

§ 1.	Некоторые вводные	понятия	.......	16

1° Обобщенные случайные функции (16). 2° Простран-
ства типа W (20). 3° Пространства с воспроизводящим
ядром (24). 4° Обобщенные случайные функции и стоха-
стические интегралы (27).

§ 2.	Пространства пробных обобщенных функций .	.	32

Is Пробные пространства типа W (32). 2° Пробные про-
странства, связанные с операторами в -2?2 (34). 3° Проб-
ные пространства для дифференциальных операторов (37).

43 Преобразование Фурье пробных обобщенных функций
(41). 5° Положительные дифференциальные операторы (55).

63 Мультипликаторы и локализация пробных обобщенных
функций (59).

§ 3.	Реализация случайных обобщенных функций и не-
которые теоремы вложения.................................65

I3 Обобщенные функции и Соболевские пространства (65).

2° Реализация случайных функций и некоторые теоремы
вложения (66). 3° Гауссовские случайные функции (71).

4° Вложения Гильберта — Шмидта (72). 5° Случайные
обобщенные функции и Соболевские пространства (76).

§ 4.	Граничные значения обобщенных функций (слу-
чай соболсвских пространств).............................79

Г Некоторые характерные свойства Соболевских про-
странств (79). 2° След обобщенных функций и граничные
значения (82). 3° Полнота системы граничных значений
(92). 4° Некоторые функциональные свойства граничных
значений (95).

Глава II. Дифференциальные уравнения для обобщенных

случайных функций...............................99

§ 1.	Обобщенные дифференциальные уравнения ...	99

Г Пробные функции для операторных уравнений (99).

23 Некоторые примеры (105).

§ 2.	Граничные задачи................................119

Г Общие граничные условия для обобщенных диффе-
ренциальных уравнений (119). 2“ Стохастическое волно-
вое уравнение (132). 3° Стохастические эллиптические и
параболические уравнения (147).

§ 3.	Однородные уравнения................................159

1° Общий тип разрешимых граничных задач; точные и
приближенные решения (159). 2° Гладкость и продол-
жаемость решений; устранимые особенности (164). 3° Про-
должаемость и предельное поведение решений (169).
4

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава III. Случайные поля...................................177

§ 1.	Вероятностные характеристики стохастических гра-
ничных задач............................................177

1* Среднее значение (177). 2° Корреляционная функция
(178). 3° Характеристический функционал (184).

§ 2.	Прогнозирование и марковское свойство .	.	.	183

Г Задача о наилучшем прогнозе (189). 2° Наилучшпй
прогноз и марковское свойство (198).

Глава IV. Гауссовские случайные поля.....................1	209

§ 1.	Некоторые вспомогательные предложения .	.	. 209

1° Гауссовские величины и о-алгебры событий (209).

2° Полиномы от гауссовских величин (212). 3° Одна
теорема сравнения для квадратичных форм от гаус-
совских величин (21G). 4° Отношение правдоподобия
(218).

§ 2.	Идентификация коэффициентов стохастических диф-
ференциальных уравнений по реализации их ре-

шения .............................................225

1е Условия эквивалентности н взаимной сингулярности
гауссовских распределений (225).	2° Идентификация

коэффициентов (230). 3° Об оценках корреляционного
оператора (237).

§ 3.	Оценка осредненных решений стохастических диф-
ференциальных уравнений..................................240

1° Постановка задачи. Наилучшие несмещенные оценки

(240). 2° Псевдонаилучшие оценки н метод наименьших
квадратов; условие состоятельности (246).